Functii Bijective

Funcţii bijective Funcţii injective 1. Să se arate că următoarele funcţii sunt injective: a) f :  , f ( x)  2x  1 ; b) f : 1,    , f ( x)  x2  2x  1 ; c) d)

f :  , f ( x)  x3  1; f :  0,     0,   , f ( x)  x5  x3 ;

e)

f:



f)

f:



, f ( x)  log 2  3  1 ;

g)

f:



, f ( x)  log3 2 x  x ;

, f ( x)  3x3  2 ;

c)

f:



d)

f:



f : 1,   

i)

f:



j)

f:



e)

f:



f) g) h)

f:



f: f:

 

x

2. Să se arate că următoarele funcţii nu sunt injective: a) f :  , f ( x)  x5  4x4  3 ; b) f :  , f ( x)  x2010  7 x2009  3 ; , f ( x)  x4  x  1; 2 x  3, x  1 , f ( x)   ; 5, x  1 

3. Să se determine m pentru care funcţia f : a) f  x   2 x  mx 2 ; b)

f  x   x  2m  x  1   2  m  2 x  1 ;

c)

f  x   m  x  1  m 2  x  1 .

2

2

, f ( x)  x 

 x  1, x  0 , f ( x)   ; 3x  1, x  0 , f ( x)  3x3  5x2  2 ; , f ( x)  x3  3x2  2x  4 ; , f ( x)  x2  x  1.

este injectivă, unde:

2

2

4. Să se studieze injectivitatea funcţiilor f : 2 x  m, x  2 a) f ( x)   ;  x  m  1, x  2  x 2  m, x  m b) f ( x)   2 ;  x  2 x, x  m 5. Se consideră funcţiile f , g : este descrescătoare.

1 ; x 3x  1, x  1 , f ( x)   2 ;  x  x, x  1 2 x  1, x  1 , f ( x)   5 .   x  x, x  1

h)





, în funcţie de parametrul real m:  x  1, x  0 c) f ( x)   ; 2 x  m, x  0 2   x   m  2  x  m, x  1 d) f ( x)   .   x  2, x  1

, f ( x)  1  x şi g ( x)  2 x 1. Să se arate că funcţia f g

6. Fie f : 1, 2,3  4,5, 6 o funcţie injectivă. Să se arate că f 1  f  2   f  3  15 . 7. Să se studieze injectivitatea funcţiei f :



, f  n  1  f  n   2n  1 , n  .

Funcţii surjective 8. Să se determine Im f pentru următoarele funcţii: a) f :  , f ( x)  x  2 ; b) f :  0,5   , f ( x)  3x  1 ; 1

c)

f :  ,3 

d)

f:



, f ( x)  4x  7 ;

, f ( x)  x2  x  1;

e)

f : 1, 4 

f)

f :  2,3 

g)

f:



, f ( x)  x2  x ; , f ( x)  x2  4x  3 ; x , f ( x)  ; 1  4x2

9. Să se arate că următoarele funcţii sunt surjective: a) f :  , f ( x)  2x  1 ; b) f :  , f ( x)  x3  x ;  x  2, x  2 c) f :  , f ( x)   2 ;  x  2 x, x  2

h)

f:



i)

f:



d)

f:

e)

f:

 x  1, x  1 , f ( x)   ; 3x  1, x  1 , f ( x)   x2  2x  4 .

 x 2  x  1, x  1 ;  , f ( x)   2 x  1, x  1 2x   1,1 , f ( x)  2 ; x 1

10. Să se arate că următoarele funcţii nu sunt surjective: a) f :  , f ( x)  x  5 ; b) f :  , f ( x)  x2 ; c) f :  , f ( x)  x4 ;  x  1, x  1 d) f :  , f ( x)   . 10, x  1 11. Să se determine parametrul m astfel încât următoarele funcţii să fie surjective: a) f :   m,   , f  x   2 x 2  6 x ;  x 2  m, x  1 f ( x )  d) , ; f :   b) f :  , m    2,   , f  x   x 2  3x  4 ; mx, x  1 c)

f:



 x  m, x  0 , f ( x)   ; 2 x  1, x  0

e)

f:



2  x  mx, x  1 , f ( x)   . 2 m  x , x  1

Funcţii bijective 12. Să se arate că următoarele funcţii sunt bijective, iar atunci funcţia inversă: 1 x a) f : \ 1  \ 1 , f ( x)  ; e) f : 1 x b) f :  , f ( x)  x3  2x ; f) f : c) f :  1,1   2, 4 , f ( x)  3x  1 ; g) f :  x  3, x  4 d) f :  , f ( x)   ; 2 x  7, x  4

când este posibil să se determine



 x2 , x  2 , f ( x)   ; 3x  2, x  2 , f ( x)  max  x  2, 2 x  1 ;



, f ( x)  min  x  1,5 x  1 ;



13. Să se determine a, b astfel încât următoarele funcţii să fie bijective: a) f :  1, 2  1, 4 , f ( x)  ax  b ; b)

f :  2,3   3, 7  , f ( x)  ax  b ;

c)

f :  0,1   0, 4 , f ( x)  ax  b .

14. Se consideră funcţia f :





, f ( x)  x 2  2

1 . Să se arate că funcţia nu este bijectivă. x2

15. Să se determine m  astfel încât funcţia f :  x  1, x  2 a) f ( x)   ; mx  3, x  2 b)



să fie bijectivă:

mx  2, x  m f ( x)   .  x  5m, x  m

16. Să se determine parametrul m  pentru care funcţia este bijectivă: a) f :  , m    2,   , f  x   2 x  1 ; b)

f :  ,5  3m,   , f  x   mx  6 ;

c)

f :  2, 4    7,   , f  x   2 x  m  8 ;

d)

f :  , m    4,   , f  x   x 2  2 x  3 .

x , f  x     4 . Să se determine funcţia g : 2 1 verifică egalitatea:  f g f   x   6 x  25 , x  . 

17. Se consideră funcţia f :

18.

Se dau funcţiile f , g :







, f  x   4 x  2 şi g  x   m2  m x 



care

n . Să se determine 4

numerele reale m şi n astfel încât g  f 1 .





1 , f  x   m 2  5m  7 x  6 şi g  x   x  n . Să se determine numerele reale 3 1 m şi n astfel încât f  g . 19. Fie f , g :



20. Să se determine inversa funcţiei bijective f :  0,    1,   , f ( x)  x2  1 .  1,   , f ( x)  e x  1 .

21. Să se determine inversa funcţiei bijective f :

22. Să se determine inversa funcţiei bijective f : 1,    1,   , f ( x)  3log2 x . 23. Se consideră funcţia f :



, f ( x)  3x  1 . Să se demonstreze că funcţia este neinversabilă.

24. Să se arate că funcţia f :  0,    1,3 , f  x  

x3 este bijectivă. x 1

25. Să se arate că funcţia f : 1,     2,   , f  x   x 2  1 este bijectivă.

3