G5oscilaciones-130502151155-phpapp02.docx

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL INGENIERIA EN SISTEMAS INFORMATICOS Y DE COMPUTACIÓN

OSCILACIONES

REALIZADO POR: ARTEAGA MADAI NIETO DANILO PAREDES ANDRES REMACHE CRISTIAN

CURSO: SIS 504-GR1 PROFESOR: ING. EZEQUIEL A. GUAMÁN T.

QUITO-ECUADOR ABRIL 2013

Índice de contenidos Portada……………………………………………………………………. 0 Índice…………………………………………………….………………… I Plan de Trabajo………………………………….…………………..... II Introducción……………………………………………………………. 1 Capítulo I: Movimiento Libre no Amortiguado (M.L.N.A)…………….. 2 Ley de Hooke..……………………………………………………......… 2 Segunda Ley de Newton……………………………………………. 4 Ecuación Diferencial M.L.N.A…………………………………….. 6 Ecuación del Movimiento………………………………………….. 7 Período y Frecuencia………………………………………………… 7 Ejercicios Resueltos y Propuestos……….…………………….. 8 Capítulo II: Oscilador Amortiguado...…………………………………………... 9 Oscilador Sobre Amortiguado…..………………..……………. 11

I

Oscilador con Amortiguamiento Crítico…………………… 12 Oscilador con Amortiguamiento Débil...…………………… 12 Ejercicios Resueltos y Propuestos..….………………………. 14 Conclusiones…………………………………………….……………. Recomendaciones………………………………….……………….. Bibliografía………………………………………………………………

I

Plan de Trabajo 1. Tema: Oscilaciones 2. Objetivos: 2.1 General: Aplicar los conocimientos de resolución de Ecuaciones Diferenciales para diversas asignaturas. 2.2 Específico: Resolver problemas de física de movimientos amortiguado y no amortiguado. 3. Planteamiento del Problema: La destreza en la resolución de ecuaciones diferenciales, de primer orden u orden superior, dependen de cuanta práctica exista por parte del ejecutante, por lo que hay que buscar la forma de aplicarlas con frecuencia. 4. Posible Solución al Problema: La aplicación de las ecuaciones diferenciales en diversas asignaturas como en Física, ayuda en la práctica de sus métodos de resolución; y por supuesto, nos da la solución a planteamientos de problemas que se pueden dar en la vida cotidiana o laboral. 5. Metodología: 5.1 Tipo de Investigación: Exploratoria 5.2 Métodos: Científico; Deductivo. 6. Calendarización: 6.1 Fecha de Entrega: 18 de abril de 2013

II

OSCILACIONES Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como:

( )

( )

( )

Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema. Una solución ( ) de la ecuación en un intervalo I que contiene a que satisface las condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema.

SISTEMA RESORTE/MASA MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de elongación y es expresada en forma simple como , donde es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número . Por ejemplo, si una masa que pesa 10 [libras] hace que un resorte se alargue pie, entonces *

()

implica

que

+. Entonces necesariamente

una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo

pie .

II

SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada como

. La condición de equilibrio es

Si

la masa es una cantidad de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces ( ). Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas «movimiento libre» se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso. (

)

El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.

ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

( )

o,

Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con ( ) y ( ) , el desplazamiento inicial de la masa, respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando ( ) , se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y

II

, la masa se libera desde el reposo de un punto | | unidades arriba de la posición de equilibrio. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar son los números complejos y . Así la solución general bien dad por: ( )

(

)

(

)

PERIODO Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo [segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa.

FRECUENCIA Es

y es el número de ciclos completado por segundo

Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado” 1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de

. Determinar la ecuación del Movimiento.

Solución: Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir:

El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.

II

Ahora es:

, por lo que la solución general de la ecuación diferencial

( )

( )

( )

2. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento si la constante de resorte es 1lb/pie y la masa se libera incialemte desde un punto 6 pulgadas debajo de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 3/2 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma ( ) ( ) 3. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? Rpta.:

√

Ejercicios propuestos 1. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte y se libera inicialmente con una velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la ecuación del movimiento? ( ) ( ) Rpta.: ( ) ( ) 2. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes y soportan una sola masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa como

. Una masa pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte

y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y luego a una placa metálica. Como se muestra en la figura, la masa se une el centro de la placa en la configuración del resorte doble. Determinar la constante de resorte efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación del movimiento de la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 [pies/s]

II

Rpta: ( )

√

( √

)

3. Un modelo de un sistema de resorte/masa es . Por inspeccion de la ecuacion diferencial solamente, describael comportamiento del sistema durante un periodo largo. Rpta. ( )

4. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple? 5. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte rígido, pero en posición paralela a la del sistema resorte y masa 50Kg. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posición de equilibrio con una velocidad de 10 m/s hacia arriba. a) ¿Cuál masa tiene la mayor amplitud de movimiento? b) ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t = 7r/4 s? ¿Y cuando t = 7r/2 s? c) ¿En qué momento están las dos masas en la misma posición? ¿Dónde están en ese momento? ¿En qué direcciones se mueven? 6. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2/pi oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg?

II

OSCILADOR AMORTIGUADO Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo.

II

Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación F= -kx Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial delmovimiento

que describe un oscilador armónico simple. En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento

II

donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :   

Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico) Si el sistema tiene amortiguamiento crítico. Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o sub crítico)

OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

y

y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes II

de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando La solución única es:

como antes,

y

son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos). OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO DÉBIL En este caso, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando: Al dividir la ecuación por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado

O sea:

Donde el símbolo 2ʎ sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda

II

m^2 + 2 ʎ m + w^2 = 0 y las raíces correspondientes son

Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de ʎ ^2 – w^2. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e^(ʎt), ʎ > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande. CASO III: ʎ ^2 – w^2< 0 La solucion general de la ecuacion sera:

EJERCICIOS 1.-Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m = 1/4 slug

m1=m2=-4 Entonces el sistema es criticamente amortiguado

al aplicar condiciones iniciales

c1=0 y c2=-3 II

asi la ecuación del movimiento es

2.- Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

Después de unir el peso, es 8.2 - 5 = 3.2 ft 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =1/2 slug

C1=-2 y C2=-2/3

3.-supongase que el movimiento masa resorte de un sistema con amortiguamiento queda descrito mediante la siguiente manera: ( )

( )

Determine la ecuación del movimiento para b=6 y b=10. Ecuación auxiliar = √

II

√

Caso 1: b=6 m=-3+4i m=-3-4i es un caso de sub amortiguamiento ( )

( )

( )

( )

con

( ) c1=1 y c2=3/4

( )

( )

(

( )

)

Caso 2: b=10 m=-5 m=-5 es un caso de amortiguamiento critico ( ) con

(

)

( )

( ) c1=1 y c2=5

( )

(

)

4.- una masa de ¼ de kg esta unida a un resorte con una rigidez de 4 N/m como se muestra en la figura . la constante de amortiguamiento b para el sistema es de 1N*seg/m. se la masa se desplaza ½ m a la izquierda y recibe una velocidad inicial de 1 m/seg a la izquierda, determine la ecuacion de movimiento

II

se sustituye los valores de m,b y k en la ecuación y obtenemos el problema con valores iniciales

( )

( )

La ecuación auxiliar Tendrá las soluciones m=-2+2√ m=-2-2√

La solución será ( ) ( √ ) Aplicando las condiciones iniciales tenemos C1=-1/2 y C2=-1/√ ( )

( √ )

( √ )

√

( √ )

II

Ejercicios propuestos 1.-Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una báscula de masa 10 kg . El muelle de la báscula tiene una constante elastica de 8 kg/cm. Suponiendo que después del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calcúlense: a) el desplazamiento máximo del plato de la báscula y b) la ecuación del movimiento del conjunto cuerpo-plato. (Respuestas: y2 = 0,171 m; x = 0,16 cos(19,8t) 2.- Una pesa de 16 Ib estira f ft un resorte. Al principio, parte del reposo a 2 ft arriba de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa está impulsada por una fuerza externa igual a f (t) = 10 cos 3t. ((

)

(

√

)

(

√

√

))

(

( )

( ))

3.- Se une una masa de 1 slug a un resorte cuya constante es 5 lb/ft. Se suelta la masa a 1 ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo; el movimiento se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la velocidad instantánea. a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual a f(t) = 12 cos 2t +3 sen 2t actúa sobre la masa ( ) ( ) 4.- Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ít, y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea. (

)

(

)

( )

II

5.- Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 68em2’ cos 4t. Deduzca la ecuación del movimiento cuando no hay amortiguamiento

Conclusiones  La aplicación de ecuaciones diferenciales en el ámbito de la mecánica newtoniana, simplifica la resolución de problemas.  L. Recomendaciones  Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración  Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden u orden superior.

Bibliografía  M. BRAUN, “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones”, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990.  BOYCE DIPRIMA, ”Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera”, ED.DIGITAL EDUCACIÓN PARA TODOS. Edición cuarta, LimusaWilley, México ISBN 958-18-4974-4 2005?  DENNIS G. ZILL, “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado” International Thomson Editores, An International Thomson Publishing Company. Loyola Marymount University. Edicion sexta, Impreso en México ISBN 968-7529-21-0, 1997.

II

 LARSON, HOSTETLER, EDWARS. “Calculo con geometría analítica”, Octava edición, Volumen I, McGraw-Hill Interamericana, Impreso en México 2006.  Juan Pablo Prieto y Mauricio Vargas, “Apuntes de Clases Calculo II”, Ingenieria Forestal e Ingenieria en Industrias de la Madera. Universidad de Talca, 2004.  Murray R Spiegel, “Ecuaciones diferenciales” Edición tercera, PRENTICEHALL IHISPANOAMERICANA, S.A. 1993.  EDWARS PENNEY. “ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA ”, Computo y Modelado, Edición cuarta

II