Gamma Beta

GEOMETRÍA 2ºBACH GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA

Sergio Jodral Estepa

Juan Manuel López Rossi

GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO

ÍNDICE TEMA 0: INTRODUCCIÓN…………………………………………………................. TEMA 1: ESPACIOS VECTORIALES……………………………………………....... 1.1. Combinación lineal y dependencia lineal…………………………………………….. 1.2. Producto escalar………………………………………………………………………. 1.3. Producto vectorial…………………………………………………………………….. 1.4. Producto mixto……………………………………………………………………….. TEMA 2: ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL……………………………………... 2.1. La recta………………………………………………………………………………... 2.2. El plano……………………………………………………………………………….. 2.3. Posiciones relativas…………………………………………………………………… TEMA 3: PROPIEDADES MÉTRICAS……………………………………………...... 3.1. Perpendicularidad…………………………………………………………………….. 3.2. Ángulos……………………………………………………………………………….. 3.3. Distancias……………………………………………………………………………... 3.4. Perpendicular común…………………………………………………………………. 3.5. Cálculo de simétricos…………………………………………………………………. ANEXO…………………………………………………………………………………… EJERCICIOS……………………………………………………………………………..

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2 2 4 5 6 7 9 9 10 12 20 20 21 24 26 26 29 30

TEMA O: INTRODUCCIÓN Este documento tiene como objeto resumir el bloque de Geometría para la asignatura Matemáticas II para 2º Bachillerato de Ciencias. En primer lugar, se muestra los contenidos que se trabajan para la preparación de la prueba de selectividad: GEOMETRÍA: - Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en el plano y en el espacio. - Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente independientes o linealmente dependientes. - Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra. - Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). - Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. - Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta. - Conocer el producto escalar de dos vectores, sus propiedades e interpretación geométrica. - Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.). - Conocer el producto vectorial de dos vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. - Conocer el producto mixto de tres vectores y saber aplicarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo.

TEMA 1: ESPACIOS VECTORIALES Aunque parezca algo extraño, lo lógico sería comenzar definiendo el concepto de Espacio Vectorial. Sin embargo, lo omitiremos, porque se desvía de nuestro propósito principal y supondría engrosar el tema de forma innecesaria. Igual que se trabajó con los vectores en ℝ2 , espacio vectorial, lo haremos con el conjunto de vectores de ℝ3 observando, poco a poco, sus características; por otro lado, muy similares a los vectores en el plano. Es fundamental que sepas diferenciar entre el concepto de punto y vector para evitar confusiones.

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Se define el espacio vectorial ℝ3 al conjunto de la forma: ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)/𝒙, 𝒚, 𝒛𝝐ℝ}. Al igual que se definió las operaciones 𝑽 = ℝ𝟑 = ℝ × ℝ × ℝ = {𝒖 2 suma y producto en ℝ , se extiende de forma natural a ℝ3 .

Suma en 𝑽 = ℝ𝟑 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥´, 𝑦´, 𝑧´) = (𝑥 + 𝑥´, 𝑦 + 𝑦´, 𝑧 + 𝑧 ′ ) Producto de un número real por un vector de 𝑽 = ℝ𝟑 : 𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) ∀𝑘 ∈ ℝ , ∀ (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥´, 𝑦´, 𝑧´) ∈ ℝ3 Gráficamente, las anteriores operaciones serían:

Muchos de los conceptos que se mostrarán ahora, fueron trabajados en ℝ2 , por tanto, se tratará de extender a ℝ3 . Dejamos una breve pincelada de conceptos ya conocidos.

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Un vector fijo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Todo vector libre del espacio se caracteriza por su módulo (longitud del segmento 𝐴𝐵), dirección (dirección de la recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵) y sentido del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (recorrido de la recta cuando nos trasladamos de 𝐴 a 𝐵).

Dos vectores son equipolentes cuando tenían la misma dirección, sentido y módulo.

Como consecuencia, se introduce el concepto de vector libre, que es cada una de las clases de vectores equipolentes que se forma por la relación de equipolencia. Se denota por 𝑢 ⃗ . Recordad que en primero, decíamos vectores libres del plano; ahora pasan a ser vectores libres del espacio.

1.1. COMBINACIÓN LINEAL Y DEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES Un vector 𝑢 ⃗ de ℝ3 es combinación lineal de los vectores 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑘 de ℝ3 si existen 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 ∈ ℝ de forma que podamos expresarlo de la forma: 𝑢 ⃗ = 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 + 𝜆2⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 + ⋯ 𝜆𝑘 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑘 . Se dice que ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 , … , 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑘 ∈ ℝ3 son vectores linealmente dependientes si existen 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 ∈ ℝ no todos nulos de forma que 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 + 𝜆2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 + ⋯ 𝜆𝑘 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑘 = ⃗0, donde ⃗0 es el vector nulo. Si todos los 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 ∈ ℝ son nulos podemos afirmar que ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 , … , 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑘 ∈ ℝ3 son linealmente independientes. En el espacio, un conjunto {𝑣} formado por un solo vector es L.I. si y sólo si el vector 𝑣 es no nulo; dos vectores {𝑢 ⃗ , 𝑣} son L.I. si y sólo si no son paralelos, esto es, si sus coordenadas no son proporcionales; tres vectores {𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ } son linealmente independientes y si sólo si no son coplanarios y cualquier sistema formado por más de tres vectores es linealmente dependiente. Por tanto, una base del espacio es un conjunto de formado por tres vectores no coplanarios, es decir, linealmente independientes de forma que cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de los mismos. 4

1.2. PRODUCTO ESCALAR Se llama producto escalar de dos vectores 𝑢 ⃗ y 𝑣 (se expresa 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 ) al resultado: ⃗ ∙𝒗 ⃗ = |𝒖 ⃗ | ∙ |𝒗 ⃗ | ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒖 Observación: el resultado del productor escalar siempre es un número real. El productor escalar cumple las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

|𝑢 ⃗ | = √𝑢 ⃗ ∙𝑢 ⃗ (luego 𝑢 ⃗ ∙𝑢 ⃗ = |𝑢 ⃗ |2 ) ⃗ 𝑜𝑣 =0 ⃗ 𝑜 cos 𝛼 = 0. 𝑢 ⃗ ∙𝑣 = 0→𝑢 ⃗ =0 ⃗ ⃗ ⃗ ≠ 𝟎 ,𝒗 ⃗ ≠ 𝟎 𝒚 ⃗𝒖 ∙ 𝒗 ⃗ =𝟎 → 𝒖 ⃗ ⊥𝒗 ⃗ (𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝟎 → 𝜶 = 𝟗𝟎𝟎 ) Si 𝒖 Conmutativa: 𝑢 ⃗ ∙𝑣 =𝑣∙𝑢 ⃗ Homogénea: (𝑘𝑢 ⃗)∙𝑣 = 𝑢 ⃗ ∙ (𝑘𝑢 ⃗ ) = 𝑘 (𝑢 ⃗ ∙ 𝑣) Distributiva del producto respecto la suma de vectores: 𝑢 ⃗ ∙ (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ ∙𝑣+ 𝑢 ⃗ ∙𝑤 ⃗⃗

Sigamos con la interpretación geométrica, ya conocida en el curso anterior: 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢 ⃗ | ∙ (|𝑣| ∙ cos 𝛼) = |𝑢 ⃗ | ∙(proyección de 𝑣 en 𝑢 ⃗ )= |𝑣| ∙(proyección de 𝑢 ⃗ en 𝑣)

Expresión analítica: Sea 𝐵 = {𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ } una base ortonormal, es decir, una base de vectores unitarios (módulo 1) y perpendiculares dos a dos. Si 𝑢 ⃗ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗 + 𝑢3 𝑘⃗ y 𝑣(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘⃗ Teniendo en cuenta que 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘⃗ ∙ 𝑘⃗ =1 y 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘⃗ = 𝑘⃗ ∙ 𝑖=0 se verifica que: ⃗ ∙𝒗 ⃗ = 𝒖𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒖𝟐 𝒗 𝟐 + 𝒖𝟑 𝒗 𝟑 𝒖

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Dada esta base teórica, conviene aportar un resumen práctico de estos resultados: ⃗ | = √𝒖 ⃗ ∙𝒖 ⃗ = √𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟏 𝟐 + 𝒛𝟏 𝟐 a) Módulo del vector 𝑢 ⃗ (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), |𝒖 𝑢 ⃗ ∙𝑣⃗

b) Sea 𝑢 ⃗ (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑣(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), cos 𝛼 = |𝑢⃗ |∙|𝑣⃗| =

𝒙𝟏𝒙𝟐 +𝒚𝟏𝒚𝟐 +𝒛𝟏 𝒛𝟐 √𝒙𝟏𝟐 +𝒚𝟏 𝟐+𝒛𝟏𝟐 ∙√𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐𝟐 +𝒛𝟐 𝟐

c) Criterio de perpendicularidad: si 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣 son vectores no nulos, 𝑢 ⃗ ⊥𝑣⇔𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 Nota: Ver ejercicio resuelto de la página 31

1.3. PRODUCTO VECTORIAL Dados dos vectores 𝑢 ⃗ (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑣(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), se define el productor vectorial 𝑢 ⃗ × 𝑣 como otro vector que posee las siguientes características: 1. Su módulo es |𝑢 ⃗ × 𝑣 | = |𝑢 ⃗ | ∙ |𝑣| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2. La dirección de 𝑢 ⃗ × 𝑣 es perpendicular a 𝑢 ⃗ y𝑣 3. Su sentido viene marcado por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha, girando el primer vector 𝑢 ⃗ al segundo vector 𝑣 por el camino más corta

Nota: El producto vectorial es el vector nulo (𝑢 ⃗ × 𝑣 = ⃗0) en los siguientes casos: 1. Si 𝑢 ⃗ = ⃗0 𝑜 𝑣 = ⃗0. 2. Si 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣 son linealmente dependientes (ya que 𝑠𝑒𝑛(00 ) = 𝑠𝑒𝑛(1800 ) = 0) El producto vectorial cumple las siguientes propiedades (entre otras): 1. El módulo de 𝑢 ⃗ × 𝑣 es igual al área del paralelogramo definido por los vectores 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣.

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2. Se cumple que 𝑢 ⃗ × 𝑣 = −𝑣 × 𝑢 ⃗ 3 ⃗ 3. 𝑢 ⃗ ×𝑢 ⃗ = 0, ∀𝑢 ⃗ ∈ℝ 4. Los vectores de la Base ortonomal {𝑖, 𝑗, 𝑘⃗} cumplen la siguiente propiedad cíclica: 𝑖 × 𝑗 = 𝑘⃗, 𝑗 × 𝑘⃗ = 𝑖, 𝑘⃗ × 𝑖 = 𝑗 ⃗ Además, 𝑗 × 𝑖 = −𝑘⃗, 𝑘⃗ × 𝑗 = −𝑖, 𝑖 × 𝑘⃗ = −𝑗 y 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘⃗ × 𝑘⃗ = 0 3 5. Linealidad: ∀𝑢 ⃗ , 𝑣 ∈ ℝ y ∀𝑘 ∈ ℝ, (𝑘 ∙ 𝑢 ⃗)×𝑣 =𝑢 ⃗ × (𝑘 ∙ 𝑣) = 𝑘(𝑢 ⃗ × 𝑣) 6. Distributiva: 𝑢 ⃗ × (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ ×𝑣+𝑢 ⃗ ×𝑤 ⃗⃗ ∀𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ ∈ ℝ3 ⃗ ×𝒗 ⃗ . Si 𝑢 7. Expresión analítica de 𝒖 ⃗ (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑣(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), entonces 𝐢 ⃗ × 𝐯⃗ = |𝐱𝟏 𝐮 𝐱𝟐

𝐣 𝐲𝟏 𝐲𝟐

𝐤 𝐳𝟏 | 𝐳𝟐

Nota: Ver ejercicio resuelto de la página 35

1.4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES

Se llama producto mixto de los vectores 𝑢 ⃗ ,𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ , y se designa [𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ ], al número que se obtiene al realizar el productor escalar del primer vector 𝑢 ⃗ con el producto vectorial del ⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ] = 𝒖 ⃗ ∙ (𝒗 ⃗ ×𝒘 ⃗⃗⃗ ). segundo 𝑣 y tercer vector 𝑤 ⃗⃗ . Es decir, [𝒖

⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ] es el volumen del Interpretación geométrica (1ª parte): El valor absoluto de [𝒖 ⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ]| paralepípedo definido por 𝑢 ⃗ ,𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ , es decir, 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = |[𝒖

Expresión analítica: Si 𝑢 ⃗ (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) , 𝑣(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) 𝑦 𝑤 ⃗⃗ (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ), sería: 𝑥1 [𝒖 ⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ] = |𝑥2 𝑥3

𝑦1 𝑦2 𝑦3

𝑧1 𝑧2 | 𝑧3

Interpretación geométrica (2ª parte): Como un paralepípedo está formado por seis tetraedos, usando la interpretación geométrica del paralepípedo afirmamos que: 7

⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ]| → 𝑉𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 6 ∙ 𝑉𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = |[𝒖

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1 ⃗ ,𝒗 ⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ ]| ∙ |[𝒖 6

Tema 2: ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL Antes de mostrar las ecuaciones de la recta y del plano, comencemos con las coordenadas de un vector fijo ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 conociendo su origen 𝐴 y su extremo 𝐵. Tomando sus vectores de posición ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 y 𝑂𝐵, se obtiene que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 y por tanto, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴. Analíticamente, si ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝐵 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 y por consecuencia, 𝑂𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑂𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) sus vectores de posición, se obtiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑩 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑨 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 ) − (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 ) = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 , 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 , 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )

2.1. LA RECTA Recuerda que una recta 𝑟 en el plano quedaba determinada por un punto 𝑨 y un vector ⃗ no nulo, denominado vector director de la 𝒖 recta. También podíamos determinarla a partir de dos puntos del plano. En el espacio, ocurre exactamente lo mismo. Observa los distintas expresiones de la recta extendidas a ℝ3 (en el anexo aparece qué ocurría en el plano).

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Se llama recta que pasa por el punto 𝑃 y tiene la dirección del vector 𝑑 ≠ 0 al lugar ⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑑. Así, una recta queda determinada por geométrico de los puntos 𝑋 tales que los vectores 𝑃𝑋 un punto 𝑃 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y una dirección 𝑑⃑(𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 ). Sea un punto genérico 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧). ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝝀𝒅 -) Ecuación vectorial: 𝑶𝑿 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒅𝟏 -) Ecuaciones paramétricas: {𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒅𝟐 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒅𝟑 Despejando 𝝀 en cada una de las ecuaciones, se obtiene la ecuación continua: -)Ecuación continua:

𝒙−𝒙𝟎 𝒅𝟏

=

𝒚−𝒚𝟎 𝒅𝟐

=

𝒛−𝒛𝟎 𝒅𝟑

(= 𝝀)

-)Si conocemos dos puntos 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y el vector director es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 , 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎 , 𝒛𝟏 − 𝒛𝟎 ), la ecuación de la recta que pasa por 𝑷 y 𝑸 𝑷𝑸 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒚 − 𝒚𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 = = 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟎 𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟎 𝒛𝟏 − 𝒛𝟎 -)A partir de la ecuación continua, al igual que existía la ecuación implícita en ℝ2 , se pueden obtener la ecuaciones implícitas de la recta. En general, sería de la forma: Ecuaciones implícitas de la recta: {

Ax + By + Cz = D siendo 𝐴, 𝐴′ , 𝐵, 𝐵′ , 𝐶, 𝐶 ′ , 𝐷, 𝐷′ ∈ ℝ A′ x + B′ y + C′ z = D′

2.2. EL PLANO Se llama plano que pasa por el punto 𝑃 y tiene las direcciones de los vectores linealmente independientes ⃗𝒖 y ⃗𝒗, al lugar geométrico de los puntos 𝑋 tales que los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑋, ⃗𝒖, ⃗𝒗 son linealmente independientes. Este nuevo elemento geométrico denominado plano queda determinado por un punto 𝑷(𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ) y dos vectores directores ⃗ (𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 ) 𝒚 ⃗𝒗(𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 ) linealmente independientes. Sea 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto genérico. 𝒖

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝝀𝒖 ⃗ + 𝝁𝒗 ⃗ con 𝝀, 𝝁 ∈ ℝ. -) Ecuación vectorial: Π: 𝑶𝑿 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒖𝟏 + 𝝁𝒗𝟏 -)Ecuaciones paramétricas del plano: Π: {𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒖𝟐 + 𝝁𝒗𝟐 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒖𝟑 + 𝝁𝒗𝟑 Expresado en una línea,(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) + 𝜆(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) + 𝜇(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ), es decir, (𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 , 𝑧 − 𝑧0 ) = 𝜆(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) + 𝜇(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑋 = 𝜆𝑢 ⃗ + 𝜇𝑣 ⇔

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝒖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝒖 ⃗ ,𝒗 ⃗ ) = 𝟐 ⇔ 𝐝𝐞𝐭(𝑷𝑿 ⃗ ,𝒗 ⃗ ) = 𝟎. ⇔ 𝑹𝒈(𝑷𝑿 -)A partir de este razonamiento se puede obtener la ecuación implícita o general del plano resolviendo el siguiente determinante: 𝑥 − 𝑥0 | 𝑢1 𝑣1

𝑦 − 𝑦0 𝑢2 𝑣2

𝑧 − 𝑧0 𝑢3 | = 0 𝑣3

Desarrollando resulta: Π: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝐳 + 𝐃 = 𝟎 con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ -)Ecuación canónica o segmentaria del plano: Si se trata de un plano Π no paralelo a ninguno de los tres ejes y que no pasa por el origen, éste forzosamente corta en tres puntos a los ejes. Sea 𝐴(𝑎, 0,0), 𝐵(0, 𝑏, 0) y 𝐶(0,0, 𝑐) esos puntos de corte. Aplicando la expresión anterior para hallar la ecuación implícita se obtiene: Π:

𝒙 𝒚 𝒛 + + =𝟏 𝒂 𝒃 𝒄

Nota 1 (Obtención del plano usando el vector normal del plano y un punto) Si hay un vector que caracteriza a un plano, es el vector normal o perpendicular al plano. Dado un vector normal 𝑛⃗(𝐴, 𝐵, 𝐶 ), un punto 𝑃 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) del plano y 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto genérico, se tiene que:

𝑛⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑋 ⇔ 𝑛⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑋 = 0 ⇔ 𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎 ⇔ ⇔ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 0

Nota 2 (Obtención del plano que contiene una recta y un punto exterior a ella): Sabiendo que elementos caracteriza un plano, tomamos el punto exterior 𝑄 y necesitamos dos vectores linealmente independientes que estén contenidos en el plano. Seleccionando un punto cualquiera ⃗⃗⃗⃗⃗ será el primer vector director y el segundo sería un 𝑃 de la recta 𝑟 contenida en el plano, 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ son linealmente independientes; en caso vector director 𝑢 ⃗ de la recta 𝑟. Efectivamente, 𝑢 ⃗ y 𝑃𝑄 contrario, 𝑃 pertenecería a la recta 𝑟 y llegaríamos a una contradicción. Sea 𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto genérico del plano se verifica: ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑢 det(𝑃𝑋 ⃗)=0

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Observación (puntos coplanarios): Dados cuatro o más puntos de ℝ3 , hablamos de puntos coplanarios si comparten el mismo plano. Sea 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑘 puntos no alineados, la condición ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ para que compartan el mismo plano es que entre el conjunto {𝐴 1 𝐴2 , 𝐴1 𝐴3 , … , 𝐴1 𝐴𝑘 } sólo nos encontremos dos vectores linealmente independientes.

Nota: En la práctica, se toman tres puntos y se calcula la ecuación implícita del plano que contiene a ellos. Para comprobar si el resto de puntos pertenece al plano, basta con sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación implícita del plano y ver que se verifica.

2.3. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO AFÍN 2.3.1. Posiciones de dos planos Basándonos en geometría elemental, se sabe que existe tres tipos de posiciones tomando dos planos: Los planos son secantes (tienen en común una recta), paralelos (no tienen ningún punto en común) y coincidentes (coinciden en todos sus puntos). Para dictaminar cada uno de las posibles posiciones relativas, consideraremos las ecuaciones implícitas de los planos. Sea Π1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 Π2 = 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0 Para el estudio, vamos a considerar la matriz de coeficientes 𝑀 y la matriz ampliada 𝑀∗ .

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𝐴 𝑀=( ′ 𝐴

𝐵 𝐵′

𝐴 𝐶 ∗ ′ ) y 𝑀 = (𝐴′ 𝐶

𝐵 𝐶 𝐵′ 𝐶′

𝐷 ) 𝐷′

a) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=2 El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y las soluciones dependerán de un parámetro. Por tanto, se afirma que ambos planos se cortan en una recta y son secantes. Basta tener en cuenta las dos ecuaciones implícitas de Π1 y Π2 que serán las ecuaciones de la recta que forman al intersectar.

Nota: Si deseamos hallar de inmediato el vector director de la recta 𝑟 resultante, usaremos el producto vectorial de sus vectores normales 𝑛1 (𝐴, 𝐵, 𝐶) y ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 (𝐴′, 𝐵′, 𝐶′), es decir, 𝑢𝑟 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 × ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 b) Si Rango(𝑀)=1 y Rango (𝑀∗ )=2 El sistema ahora es incompatible. Los planos ahora no tendrían nada en común, o sea, son planos paralelos. Esto quiere decir que: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = = ≠ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′

De esta última puntualización, se deduce que todos los planos paralelos a Π1 son de la forma Π𝑘 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐾 = 0 ∀𝐾 ∈ ℝ denominado haz de planos paralelos.

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c) Si Rango(𝑀)=1 y Rango (𝑀∗ )=1 El sistema es compatible determinado. Las dos ecuaciones son linealmente dependientes, luego poseen las mismas soluciones. Estamos en el caso en el que coinciden con todos sus puntos, es decir, son planos coincidentes. Centrándonos en los coeficientes, sería lo mismo que decir: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = = = 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′

2.3.2. Posiciones de tres planos. Sea tres planos Π1 , Π2 𝑦 Π3 dados por sus ecuaciones implícitas o generales: Π1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 Π2 : 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0 Π3 : 𝐴′′𝑥 + 𝐵′′𝑦 + 𝐶′′𝑧 + 𝐷′′ = 0 Volvemos a considerar la matriz de coeficientes 𝑀 y la matriz ampliada 𝑀∗ . 𝐴 𝐵 𝑀 = ( 𝐴′ 𝐵′ 𝐴′′ 𝐵′′

𝐴 𝐶 𝐶′ ) y 𝑀∗ = ( 𝐴′ 𝐴′′ 𝐶′′

𝐵 𝐶 𝐵′ 𝐶′ 𝐵′′ 𝐶′′

𝐷 𝐷′ ) 𝐷′′

Estudiemos cada una de las posibles posiciones relativas en función de los rangos obtenidos: a) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=3 Nos encontramos ante un sistema compatible determinado, por tanto, posee una única solución. Geométricamente, los tres planos tienen un punto en común formando un triedo, denominándose éste vértice del triedo.

b) Si Rango(𝑀)=2 y Rango(𝑀∗ )=3. El sistema es incompatible, luego los planos no tienen ningún punto en común. Ahora bien, tenemos dos posibles posiciones relativas. b1) Los planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática. b2) Dos de los planos son paralelos y el otro plano los corta.

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c) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=2 El sistema es compatible indeterminado. Existen dos ecuaciones implícitas independientes, siendo la sobrante combinación lineal de éstas. Las soluciones dependen de un parámetro, de ahí que la solución ser una recta 𝑟 que puede estar dispuesta de dos maneras distintas: C1) Los planos son distintos y se cortan en una recta

C2) Dos planos son coincidentes y el otro plano los corta. Nota: por lo mencionado anteriormente, tenemos la siguiente situación 𝐴′′ 𝑥 + 𝐵′′ 𝑦 + 𝐶 ′′ 𝑧 + 𝐷′ = 𝝀(𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫) + 𝝁(𝑨′′ 𝒙 + 𝑩′′ 𝒚 + 𝑪′′ 𝒛 + 𝑫′′ ) = 𝟎. Para 𝜆 = 0 resulta Π2 y para 𝜇 = 0, Π1 . Se lo conoce como haz de planos secantes a este conjunto de planos 𝝀Π1 + 𝝁Π2 = 𝟎 que pasar por la recta 𝑟 = Π1 ∩ Π2 conocida como arista del haz.

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d) Si Rango (𝑀)=1 y Rango(𝑀∗ )=2. El sistema es incompatible, al ser Rango(𝑀)=1, denota que los planos son paralelos, volviendo a tener dos posiciones distintas. D1) Los planos son paralelos y distintos dos a dos

D2) Dos planos son coincidentes y otro paralelo distinto a ellos dos.

e) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=1 Nos encontramos con un sistema compatible indeterminado que se reduce a una sola ecuación, siendo los tres planos coincidentes.

2.3.3. Posiciones de recta y plano. Teniendo claro el concepto geométrico de plano, sabemos que existen tres posiciones relativas entre una recta y un plano. La mejor forma de estudiar la posición relativa de una recta y un plano es expresar el plano mediante su ecuación general y la recta mediante sus ecuaciones paramétricas. Al estudiar la eventual intersección de ambas sustituyendo en la ecuación general del plano las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) por las respectivas de la recta se obtiene una ecuación de primer grado de la forma 𝑚𝜆 + 𝑛 = 0, donde 𝜆 es la incógnita. Si 𝑚 = 0 y 𝑛 ≠ 0, la ecuación carece de soluciones y la recta es paralela al plano; si 𝑚 = 𝑛 = 0, la ecuación es su identidad y todos los puntos de la recta 𝑚 son del plano; si 𝑚 ≠ 0 se deduce 𝜆 = − que corresponde al único punto de la recta que también 𝑛

es del plano. Si preferimos considerar las ecuaciones implícitas o generales de la recta 𝑟 y el plano Π, con sus matrices de coeficientes 𝑀 y matriz ampliada 𝑀∗ . 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝑟: { 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0 Π = 𝐴′′𝑥 + 𝐵′′𝑦 + 𝐶′′𝑧 + 𝐷′′ = 0 𝐴 𝐵 𝑀 = ( 𝐴′ 𝐵′ 𝐴′′ 𝐵′′

𝐴 𝐶 𝐶′ ) y 𝑀∗ = ( 𝐴′ 𝐴′′ 𝐶′′

𝐵 𝐵′ 𝐵′′

𝐶 𝐷 𝐶′ 𝐷′ ) 𝐶′′ 𝐷′′

Observación: El rango mínimo de la matriz 𝑀 es 2, ya que la recta 𝑟 es generada al intersectar dos planos secantes. a) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=3

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El sistema es compatible determinado. El plano y la recta se cortan en un punto único 𝑃 , es decir, ambos elementos son secantes.

b) Si Rango(𝑀)=2 y Rango(𝑀∗ )=3

El sistema es incompatible. El plano y la recta no tienen ningún punto en común, luego la recta y el plano son paralelos.

c) Si Rango(𝑀)=Rango(𝑀∗ )=2

El sistema es compatible indeterminado. La recta se encuentra contenida en el plano.

Observación: Otra forma de resolver las posiciones relativas de una recta 𝑟 y el plano Π, es trabajando con las ecuaciones paramétricas de 𝑟 y la ecuación implícita de Π. La forma de proceder sería sustituyendo la ecuaciones paramétricas de 𝑟 en la ecuación implícita de Π.

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2.3.4. Posiciones de dos rectas La mejor forma de estudiar la posición relativa de dos rectas es expresar ambas en su forma paramétrica (con parámetros 𝜆 y 𝜇). Se igualan las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de ambas ecuaciones y se obtiene así un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas ( 𝜆 y 𝜇), en el que la matriz ampliada tiene por columnas las direcciones de ambas rectas y el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵, siendo 𝐴 un punto de una de las rectas y 𝐵 un punto de la otra. Las cuatro únicas posibilidades para los rangos de ambas matrices dan las cuatro posiciones relativas posibles entre ambas rectas. Si preferimos usar sus ecuaciones implícitas, Sea 𝑟: {

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 𝐴′′𝑥 + 𝐵′′𝑦 + 𝐶′′𝑧 + 𝐷′′ = 0 y 𝑠: { 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0 𝐴′′′𝑥 + 𝐵′′′𝑦 + 𝐶′′′𝑧 + 𝐷′′′ = 0 Se podría estudiar las distintas posiciones relativas usando las ecuaciones implícitas

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Rango(𝑴) Rango(𝑴∗ ) 3 4 3 3 2 3 2 2

Tipo de sistema Incompatible Compatible determinado Incompatible Compatible indeterminado

Posición Rectas cruzadas Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes

Otra manera fácil es estudiar la posición relativa a través de su ecuación continua. Por tanto, 𝑟:

𝒙−𝒙𝟏 𝒖𝟏

=

𝒚−𝒚𝟏 𝒖𝟐

=

𝒛−𝒛𝟏 𝑢𝟑

y 𝑠:

𝒙−𝒙𝟐 𝒗𝟏

=

𝒚−𝒚𝟐 𝒗𝟐

=

𝒛−𝒛𝟐 𝒗𝟑

donde ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ). Sea el

⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ). punto 𝐴𝐵 Las rectas 𝑟 y 𝑠 serán coplanarias si y sólo si ambas rectas se cortan en un punto o son paralelas o son coincidentes. De esta forma, se verifica que el determinante formado por ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 , ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵, o sea, 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 |𝑨| = | 𝒖𝟏 𝒗𝟏

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒖𝟐 𝒗𝟐

𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 𝒖𝟑 | = 𝟎 𝒗𝟑

Usando este sencillo razonamiento, afirmamos que: -) si el determinante 𝐴 ≠ 0 las rectas 𝑟 y 𝑠 se cruzarían.

Ahora tratemos el caso en que det(𝐴) = 0. 18

-) si ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 𝑦 ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 son linealmente independientes (rango(𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 ) = 2), es decir, ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 ≠ 𝑘 ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 ∀𝑘 ∈ ℝ, al ser coplanarias no queda otra opción que ser rectas secantes 𝑟 y 𝑠. -) Si ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 𝑦 ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 dependen linealmente, tenemos dos opciones: a) Si rango(𝐴)=2 , las rectas 𝑟 y 𝑠 son paralelas. b) Si rango(𝐴)=1, las rectas 𝑟 y 𝑠 son coincidentes.

Nota: Ver ejercicio resuelto de la página 33.

19

Tema 3: PROPIEDADES MÉTRICAS. 3.1. Perpendicularidad 3.1.1. Entre rectas. 𝑟:

𝒙−𝒙𝟏

y 𝑠:

=

𝒖𝟏 𝒙−𝒙𝟐 𝒗𝟏

𝒚−𝒚𝟏

=

=

𝒖𝟐 𝒚−𝒚𝟐 𝒗𝟐

𝒛−𝒛𝟏

con ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) vector director de 𝑟

𝑢𝟑 𝒛−𝒛𝟐

=

𝒗𝟑

con ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) vector director de 𝑠.

Se afirma que 𝑟 ⊥ 𝑠 ⇔ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 ⊥ ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 ⇔ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 ∙ ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 = 0 ⇔ ⇔ 𝒖𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒖𝟐 𝒗 𝟐 + 𝒖𝟑 𝒗 𝟑 = 𝟎

3.1.2. Entre una recta y un plano. Sea Π: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 y 𝑟:

𝒙−𝒙𝟏 𝒖𝟏

Se tiene que 𝑟 ⊥ Π ⇔ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 ∥ 𝑛⃗(𝐴, 𝐵, 𝐶 ) ⇔

=

𝒚−𝒚𝟏

𝒖𝟏 𝐴

𝒖𝟐

=

=

𝒖𝟐 𝐵

𝒛−𝒛𝟏

=

𝑢𝟑

con ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )

𝒖𝟑 𝐶

3.1.3. Entre planos.

Sea Π1 : 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 y Π2 : 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0, se cumple que: Π1 ⊥ Π2 ⇔ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 (𝐴, 𝐵, 𝐶 ) ⊥ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 (𝐴′ , 𝐵′ , 𝐶 ′ ) ⇔ ⇔ 𝐴𝐴′ + 𝐵𝐵′ + 𝐶𝐶 ′ = 0

20

3.2. Ángulos. 3.2.1. Ángulos de dos rectas. Definamos de forma precisa el ángulo comprendido entre dos rectas: i) Si las dos rectas tienen algún punto en común (secantes o coincidentes), el ángulo que forman es el menor de los dos ángulos que forman en el plano que las contiene.

ii)

Si las dos rectas 𝑟 y 𝑠 no tienen puntos en común, se proyecta la recta 𝑠 sobre el plano paralela a ella y que contiene a la recta 𝑟, de manera que el ángulo que forman el ángulo que forman 𝑟 y 𝑠 es el ángulo que forman la recta 𝑟 y la recta proyecta 𝑠 ′ .

Dependiendo de los vectores de dirección elegidos, el ángulo 𝛼 que forman dos rectas será el ángulo que forman sus vectores de dirección o el suplementario de éste.

En cualquiera de ambos casos es: 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |cos(𝑢 ⃗ , 𝑣)| y recurriendo al coseno del ángulo de dos vectores se tiene: |𝑢 ⃗ ∙ 𝑣| 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |cos(𝑢 ⃗ , 𝑣)| = |𝑢 ⃗ ||𝑣| Si 𝑟 con ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) y 𝑠 con ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ), sería: |⃗⃗⃗⃗ |𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 | 𝑢𝑟 ∙ ⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 | 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |cos(𝑢 ⃗ , 𝑣)| = = |⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 ||⃗⃗⃗ 𝑣𝑠 | √𝑢2 + 𝑢2 + 𝑢2 √𝑣 2 + 𝑣 2 + 𝑣 2 1

21

2

3

1

2

3

3.2.2. De dos planos o su suplementario al que forman sus vectores perpendiculares. El ángulo 𝛼 de dos planos secantes Π y Π′ es el menor de los ángulos diedros que determinan.

El ángulo 𝛼 será el mimo que el formado por los vectores normales 𝑛⃗ y 𝑛⃗’ de ambos planos, o bien su suplementario, dependiendo del sentido que tengan.

En cualquiera de los casos es 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |cos(𝑛⃗ , 𝑛⃗′ )| y por tanto podemos escribir: |𝑛⃗ ∙ 𝑛⃗′ | 𝑐𝑜𝑠𝛼 = |cos(𝑛⃗ , 𝑛⃗ ′ )| = |𝑛⃗||𝑛 ⃗ ′|

22

Concretando, sea Π1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 y Π2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0, con sus respectivos vectores normales ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 (𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 ) ⊥ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 (𝐴2 , 𝐵2 , 𝐶2 ) cos 𝛼 =

|𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2 | √𝐴21 + 𝐵12 + 𝐶12 √𝐴22 + 𝐵22 + 𝐶22

3.2.3. De recta y plano. El ángulo que forman una recta 𝑟 y un plano Π es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano. Si 𝑢 ⃗ es un vector de la dirección de 𝑟, y 𝑛⃗ es un vector normal de Π, el ángulo que forma suma o se diferencia en 900 con el ángulo 𝛼, dependiendo del sentido de ambos.

En cualquier de los casos es 𝑠𝑒𝑛𝛼 = |cos(𝑢 ⃗ , 𝑛⃗)| y por tanto, |𝑢 ⃗ ∙ 𝑛⃗| 𝑠𝑒𝑛𝛼 = |cos(𝑢 ⃗ , 𝑛⃗)| = |𝑢 ⃗ ||𝑛⃗| Fórmula que nos da el seno del ángulo comprendido entre una recta y un plano en función de sus vectores de dirección y normal, respectivamente. Especificando, sea la recta 𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) vector director y un plano Π: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, con vector normal 𝑛⃗ (𝐴, 𝐵, 𝐶 ). 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

|𝐴𝑢1 + 𝐵𝑢2 + 𝐶𝑢3 | √𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2 √𝑢12 + 𝑢22 + 𝑢32

23

3.3. Distancias 3.3.1. De un punto a un plano Para calcular la distancia de un punto a una recta, se halla la recta 𝑟 con vector director 𝑢𝑟 = 𝑛⃗. Posteriormente, se calcula 𝑄 = 𝑟 ∩ Π (intersección de la recta 𝑟 y el plano ⃗⃗⃗⃗ |𝑃𝑄|. Sin embargo, existe una Π). Tomamos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 y calculamos su módulo, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ expresión analítica que simplifica este procedimiento: 𝑑(𝑃, Π)=

|𝐴𝑝1 +𝐵𝑝2 +𝐶𝑝3 +𝐷| √𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2

3.3.2. Entre dos planos paralelos Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se toma un punto 𝑃 ∈ Π1 y realizar el procedimiento 3.1. De igual manera, existe una fórmula que calcula la distancia directamente: |𝐷1 − 𝐷2 | 𝑑(Π1 , Π2 ) = √𝐴21 + 𝐵12 + 𝐶12

24

3.3.3. Entre una recta y un plano (paralelos) Para calcular la distancia entre una recta 𝑟 y un plano Π paralelos (la recta está contenida en un plano paralelo a Π), se realiza de igual manera que el apartado 3.1. tomando un punto 𝑃(𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 ) |𝐴𝑝1 + 𝐵𝑝2 + 𝐶𝑝3 + 𝐷| 𝑑(𝑟, Π) = 𝑑(𝑃, Π) = √𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2

3.3.4. De un punto a una recta.

Sea la recta 𝑟 y un punto 𝑃, para calcular su distancia se procede así: creamos un plano Π cuyo vector normal sea 𝑢𝑟 y que contenga al punto 𝑃. Una vez calculado Π, se calcula la intersección con 𝑟, que resulta 𝑄 (conocida como proyección ortogonal).

3.3.5. Entre dos rectas paralelas. Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas 𝑟 y 𝑟 ′ , basta con crear un plano Π que posea como vector normal el vector director 𝑢𝑟 de 𝑟 y un punto cualquiera 𝑄 de 𝑟. Una vez formado Π, calculamos la intersección de Π con la recta 𝑟 ′ , que resulta 𝑃. Finalizando, se calcula la distancia entre 𝑃 y 𝑄.

25

3.3.6. Entre rectas que se cruzan. Sea 𝑟 y 𝑟 ′ dos rectas que se cruzan, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto de la primera recta 𝑟 a un plano Π que contiene a la segunda 𝑟 ′ y es paralelo a la recta 𝑟. Resumiendo, necesitaremos para formar Π un punto 𝐴 de 𝑟 ′ , 𝑢𝑟′ su vector director y 𝑢𝑟 vector director de 𝑟. Para concluir, se calcula la distancia de la recta 𝑟 al plano Π.

3.4.Cálculo de la perpendicular común Para realizar la perpendicular común (recta perpendicular a dos rectas que se cruzan), usaremos el método de los puntos genéricos. Método que sirve para calcular la ecuación de la perpendicular común y la distancia entre ambas rectas que se cruzan. Sea las rectas 𝑟 y 𝑠 que se cruzan, con 𝑃𝑟 y 𝑃𝑠 puntos genéricos de 𝑟 y 𝑠, respectivamente. Para ello usaremos las ecuaciones paramétricas. 𝑃𝑟 (𝑥1 + 𝜆𝑎, 𝑦1 + 𝜆𝑏, 𝑧1 + 𝜆𝑐) y 𝑃𝑠 (𝑥2 + 𝜇𝑎′, 𝑦2 + 𝜇𝑏′, 𝑧2 + 𝜇𝑐′) Se calcula el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑟 𝑃𝑠 (𝑥2 − 𝑥1 + 𝜇𝑎′ − 𝜆𝑎 , 𝑦2 − 𝑦1 + 𝜇𝑏′ − 𝜆𝑏 , 𝑧2 − 𝑧1 + 𝜇𝑏′ − 𝜆𝑏). El objetivo es hallar un valor concreto de 𝜆 y 𝜇, cumpliendo que el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑟 𝑃𝑠 es ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ortogonal a los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 y ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 , es decir, 𝑃𝑟 𝑃𝑠 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = 0, 𝑃𝑟 𝑃𝑠 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 = 0 Se obtendría un sistema de ecuaciones, cuyo parámetros son 𝜆 y 𝜇. Para acabar sólo hay que sustituir en 𝑃𝑟 y 𝑃𝑠 , para hallar la ecuación de la perpendicular común y la distancia entre ambas rectas.

3.5.Cálculo de simétricos 3.5.1. Cálculo de un punto simétrico a un punto respecto: a) A otro punto. Sea 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) el punto inicial y 𝑄(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) el punto respecto el cual se quiere realizar la ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ . simétrico 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧). Para su cálculo sólo hay que tener en cuenta que 𝑃𝑅

26

b) A una recta.

Sea 𝑃 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) el punto inicial y 𝑟 la recta. Se calcula la proyección ortogonal sobre la recta 𝑟, se calcula el punto 𝑄 intersección de Π y 𝑟.Una vez hallado 𝑄, calculamos el simétrico 𝑅 de la misma manera que el apartado anterior.

c) A un plano. Sea 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y Π el plano. Proyectamos 𝑃 sobre Π, para calcular 𝑄. Ya calculado 𝑄, volvemos al caso a)

3.5.2. Cálculo de un simétrico de una recta respecto de un plano: a) Si la recta 𝒓 corta al plano 𝚷, tomamos el punto de incidencia de 𝑟 con Π, 𝑄. Por tanto, la recta simétrica contiene a 𝑄. Sólo tenemos que tomar otro punto cualquiera de 𝑟 y calcular su simétrico respecto del plano, 𝑄′ . Dados dos puntos 𝑄 y 𝑄′ , se calcula fácilmente la recta simétrica 𝑟 ′ .

27

b) Si la recta 𝒓 y el plano 𝚷 son paralelos, basta con calcula los simétricos de dos puntos cualesquiera de la recta y se halla su ecuación de la recta.

28

ANEXO

29

EJERCICIOS 

EJERCICIO 1: Dados los vectores ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 = (−1 2 1), 𝑢 ⃗⃗⃗⃗2 = (2 −1 2) y 𝑢3 = (1 −1 1), se pide: ⃗⃗⃗⃗ a. Demostrar que son base de ℝ3 . b. Calcular las coordenadas del vector 𝑣 = (3 −2 2) respecto de dicha base.

En la práctica, para demostrar que un conjunto de n vectores forman una base de ℝn (n = 3 en nuestro caso), basta demostrar que su determinante es distinto de cero.

a) Comprobemos que el determinante de la matriz que se forma con esos vectores es distinto de cero (por las propiedades de los determinantes, es indiferente cuál coloquemos primero, segundo o tercero, así como escribir dicha matriz en filas o en columnas). Entonces: det(⃗⃗⃗⃗ 𝑢1

𝑢2 ⃗⃗⃗⃗

−1 𝑢 ⃗⃗⃗⃗3 ) = | 2 1

2 −1 −1

1 2| = −2 ≠ 0 1

Como hemos visto, el determinante es distinto de cero (el valor concreto nos es indiferente para esta apartado), por tanto, el sistema de vectores {𝑢 ⃗⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 , 𝑢 ⃗⃗⃗⃗3 } 3 forman una base de ℝ .

b) Visto que es una base, tenemos ahora que resolver el sistema 𝛼𝑢 ⃗⃗⃗⃗1 + 𝛽𝑢 ⃗⃗⃗⃗2 + 𝛾 𝑢 ⃗⃗⃗⃗3 = 𝑣 , del que sabemos que es un S.C.D. por el apartado anterior. Los valores de los escalares 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 son las coordenadas del vector respecto de dicha base. (3 −2 2) = 𝛼(−1 2 1) + 𝛽 (2 −1 2) + 𝛾 (1 −1 1) −𝛼 + 2𝛽 + 𝛾 = 3 {2𝛼 − 𝛽 − 𝛾 = −2 𝛼 + 2𝛽 + 𝛾 = 2 Escrito en forma matricial, tenemos el siguiente sistema: −1 2 1 3 ( 2 −1 −1|−2), este sistema podemos resolverlos como queramos 1 2 1 2 (siempre que no se especifique lo contrario). En este caso, usaremos la Regla De Cramer. 3 |−2 𝛼= 2 −1 |2 1

2 −1 2 2 −1 2

1 −1| 1 = 1 ; 1 −2 −1| 1

−1 |2 𝛽= 1 −1 |2 1 30

3 −2 2 2 −1 2

1 −1| 1 = −3 = 3 ; 1 −2 2 −1| 1

−1 |2 𝛾= 1 −1 |2 1

2 −1 2 2 −1 2

3 −2| 2 = 1 1 −2 −1| 1

−𝟏 𝟑 −𝟏

Por tanto, las coordenadas del vector 𝐯⃗ respecto de la base son ( 𝟐 , 𝟐 ,

𝟐

).



EJERCICIO 2: Discutir, para los distintos valores del parámetro, la posición relativa de los siguientes planos: 𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1 {𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 1 1 𝑎1 Nuestro sistema, escrito en forma matricial, es: (𝑎 1 1|1), buscamos 2 1 1𝑎 directamente los valores que hacen que el determinante de la matriz de los coeficientes (A) se anule, si no hubiese ninguna matriz que fuese cuadrada, tendríamos que empezar por determinantes “más pequeños” hasta los de “mayor tamaño” aunque este no es nuestro caso. (Consulta tus apuntes de álgebra para refrescar la resolución de sistemas): →𝐶2 −𝐶3 1 1 𝑎 𝐶𝐶2→𝐶 1 − 2𝑎 1 − 𝑎 𝑎 1 1 −2𝐶3 1 − 2𝑎 1 − 𝑎 |𝑎 1 1 | → | 𝑎−2 | 0 1| = | 𝑎−2 0 2 1 1 0 0 1 𝑎=2 = −(𝑎 − 2)(1 − 𝑎) = 0 ⇒ { 𝑎=1  Caso 1) Si 𝑎 ≠ 1, 𝑎 ≠ 2, tenemos un S.C.D. Los tres planos se cortan en un único punto de manera similar a como se indica en la imagen:

1  Caso 2) Si 𝑎 = 2, nuestro sistema, escrito en forma matricial, es: (2 2 31

1 1 1

21 1|1) 12

En este caso, directamente podemos afirmar que 𝑅𝑔(𝐴) ≠ 3. A simple vista, encontramos un menor de orden 2x2 en la matriz A que verifica ser no nulo 1 2 | = −1 ≠ 0), por lo que tenemos que 𝑅𝑔(𝐴) = 2. Tenemos que averiguar (| 1 1 ahora el rango de la matriz de los coeficientes, (𝐴). Para ello, orlamos nuestro menor para calcular todos los menores de orden 3x3 en la (matriz ampliada) a partir del que tenemos de orden 2. Las 1 |2 2 1 |1 {1

dos únicas opciones 1 2 1 1| = 0 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 = 2 1 1 2 −𝐶1 1 2 1 𝐶𝐶2 →𝐶 1 0 3 →𝐶3 −𝐶1 1 0 | | | = −1 ≠ 0 1 1 → 1 0 0| = − | 0 1 1 2 1 0 1

posibles

son:

Como hemos encontrado un menor de orden 3 con determinante no nulo, podemos afirmar que el rango de la matriz de los coeficientes es 3. Tenemos entonces un S.I. Los planos no se cortan en ningún punto en común. Ahora sería decidir si estamos en el caso en que los planos forman una superficie prismática o en el que los dos planos son paralelos y el otro plano los corta. Observando la matriz de coeficientes 𝐴 , se aprecia que ninguna fila no es proporcional a ninguna de las dos restantes, luego estamos en el caso en que los planos se cortan dos a dos y forman una superficie prismática.

 Caso 3) Si 𝑎 = 1. 1 1 11 Nuestro sistema es: (1 1 1|1) Basta observar que tenemos dos filas iguales 2 1 11 (𝑓1 = 𝑓2 ), por lo que podemos eliminar una de ellas de nuestro sistema, 1 1 11 | ). obteniendo entonces el sistema ( 2 1 11 Este es un sistema compatible indeterminado pues 𝑅𝑔(𝐴) = 2 = 𝑅𝑔(𝐴) < 3 = "𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠". Por tanto, los tres planos se cortan en una recta común que es la solución del sistema que obtenemos al suprimir una ecuación. Concretando, tenemos dos

32

planos coincidentes Π1 = Π2 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 y otro plano que los corta a ambos Π3 : 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1.

𝑥+𝑦+𝑧 = 1 Calculemos la ecuación de la misma: { . Aplicando el método de 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 reducción, podemos hacer 𝑓2 − 𝑓1 y obtenemos 𝑥 = 0. Si 𝑥 = 0, tenemos que 𝑦 + 𝑧 = 1. Basta hacer, por ejemplo 𝑧 = 𝛼 para obtener la ecuación (en paramétricas) de la recta 𝑟 que es solución del sistema, obteniendo 𝑥=0 𝑟: {𝑦 = 1 − 𝛼 𝑧=𝛼



EJERCICIO 3: Comprobar que las rectas de ecuaciones 𝑥

𝑟: 0 =

𝑦−1 1

=

𝑧+3 2

y

𝑠:

𝑥−1 1

=

𝑦+1 −1

𝑧

= 3 se cruzan, y hallar la ecuación de la

perpendicular común a ambas. En primer lugar, comprobemos que las rectas se cruzan. Para empezar, comprobamos que los vectores directores de las rectas ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑟 = (0, 1, 2) 𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = (1, −1, 3) NO SON PROPORCIONALES. Descartamos entonces los casos de que sean paralelas o coincidentes. Sólo queda saber si se cortan o se cruzan. Por ejemplo, veamos que no se cortan comprobando que el sistema es incompatible. Para ello, pasamos las ecuaciones de las mismas a paramétricas, obteniendo que: 𝑥 =1+𝛽 𝑥=0 𝑟 { 𝑦 = 1 + 𝛼 𝑦 𝑠 {𝑦 = −1 − 𝛽 𝑧 = 3𝛽 𝑧 = −3 + 2𝛼 Igualando las x, obtenemos que 𝛽 = −1, por lo que el punto sería 𝑥 = 1−1= 0 𝑦 = −1 − (−1) = 0 Sin embargo, al igualar los valores de 𝑦 y de 𝑧, obtenemos { 𝑧 = 3(−1) = −3

33

0 = 1 + 𝛼 → 𝛼 = −1 Como vemos, este sistema es INCOMPATIBLE, −3 = −3 + 2𝛼 → 𝛼 = 0 por lo que las rectas se cruzan, como queríamos probar. que {

Ahora, calculemos la perpendicular común. Para ello, consideremos un par de puntos genéricos, cada uno en una de las rectas. Sean 𝐴 ∈ 𝑟, 𝐴(0, 1 + 𝛼, −3 + 2𝛼 ), 𝑃𝑠 ∈ 𝑠, 𝐵(1 + 𝛽, −1 − 𝛽, 3𝛽). El vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ha de ser perpendicular a los vectores directores de las rectas. Imponemos por ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑑𝑟 = 0 tanto que { obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 0 incógnitas (𝛼 y 𝛽) que nos proporcionaran los puntos A y B llamados pies de la perpendicular común. ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 + 𝛽, −1 − 𝛽, 3𝛽 ) − (0, 1 + 𝛼, −3 + 2𝛼 ) = Entonces 𝐴𝐵 =(1 + 𝛽, −2 − 𝛼 − 𝛽, 3 − 2𝛼 + 3𝛽 ). ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 + 𝛽 −2 − 𝛼 − 𝛽 3 − 2𝛼 + 3𝛽) ∙ (0, 1, 2) = 0 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑟 = 0 { ⟺{ (1 + 𝛽 −2 − 𝛼 − 𝛽 3 − 2𝛼 + 3𝛽) ∙ (1, −1, 3) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑑𝑠 = 0 −2 − 𝛼 − 𝛽 + 6 − 4𝛼 + 6𝛽 = 0 ⟺{ 1 + 𝛽 + 2 + 𝛼 + 𝛽 + 9 − 6𝛼 + 9𝛽 = 0 −5𝛼 + 5𝛽 = −4 ⟺{ −5𝛼 + 11𝛽 = −12 Resolviendo este sistema, obtenemos que 𝛼 = −1

⃗⃗⃗⃗⃗ ( entonces el vector 𝐴𝐵 3 𝐴 (0

7 15

−61

−1

), 𝐵( 3 15

1 3

−2

1

12

15

−8 15

y 𝛽=

−4 3

. Podemos obtener

) y los puntos 𝐴 y 𝐵 que son, respectivamente

−4).

La recta perpendicular común a ambas,𝑡, viene dada por la ecuación vectorial 𝑡 = 𝐵 + 𝜆 · ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵, 𝜆 ∈ ℝ. En forma paramétrica, tenemos que −1 𝑥 = 3 − 5𝜆 𝑡 { 𝑦 = 1 − 2𝜆 3

𝑧 = −4 + 𝜆 Nota: Hay diferentes maneras de resolver el problema. Hemos seleccionado esta debido a que la distancia entre dos rectas que se cruzan viene dada por el módulo ⃗⃗⃗⃗⃗ , por lo que el modelo de ejercicio de distancia entre rectas que se del vector AB cruzan es similar a lo que hemos realizado hasta el cálculo de los puntos A y B, pero ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. en ese caso, bastaría con calcular ‖AB

Como ejercicio, se deja al lector interesado que calcule la distancia entre estas rectas, así como la perpendicular común aplicando otros métodos.

34



EJERCICIO 4: Dados los vectores 𝑢 ⃗ = (5, −1, 2), 𝑣 = (−1, 2, −2), calcular: a. 𝑢 ⃗ ·𝑣 b. |𝑢 ⃗ | 𝑦 |𝑣 | c. (𝑢 ⃗̂ , 𝑣) d. Proyección de 𝑢 ⃗ sobre 𝑣 y proyección de 𝑣 sobre 𝑢 ⃗. e. ¿Cuánto debe valer 𝑥 para que el vector 𝑤 ⃗⃗ = (7, 2, 𝑥) sea perpendicular a 𝑢 ⃗?

a) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3 . Por tanto, 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 5 · (−1) + (−1) · 2 + 2 · (−2) = −9. b) |𝑢⃗| = √(5)2 + (−1)2 + (2)2 = √30; |𝑣| = √(−1)2 + (2)2 + (−2)2 = √9 = 3 𝑢 ⃗ ∙𝑣 ⃗

−9

c) Como 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗| ∙ |𝑣| ∙ cos 𝛼 → cos 𝛼 = |𝑢⃗|∙|𝑣⃗| = 3

√30

=

−3 √30

→

−3

) = 123𝑜 √30 d) 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = |𝑢⃗| ∙ (|𝑣 | ∙ cos 𝛼) = |𝑢⃗| ∙ (𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣 𝑒𝑛 𝑢⃗) ⇒ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (

(𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣 𝑒𝑛 𝑢 ⃗)=

𝑢 ⃗ ∙𝑣 ⃗ |𝑢 ⃗|

=

−9 √30

.

Análogamente, tenemos que: 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = |𝑣| ∙ (𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒𝑛 𝑣) ⇒ 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 −9 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢 ⃗ 𝑒𝑛 𝑣 = = = −3 |𝑣 | 3 e) La condición de perpendicularidad de dos vectores es que su producto escalar sea nulo. Imponemos que el producto escalar entre estos sea cero y obtenemos el valor de 𝑥. 33 𝑢 ⃗ ∙𝑤 ⃗⃗ = 35 − 2 − 2𝑥 = 0 ↔ 2𝑥 = 33 ↔ 𝑥 = 2



EJERCICIO 5: Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de: a. Los puntos 𝐴(4, −1, 7) y 𝐵(−2, 5, 1) b. Los planos 𝜋: 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0 y 𝜋 ′ : 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0

a) El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos puntos 𝐴 y 𝐵 se llama plano mediador. Por construcción, el vector perpendicular a este plano, coincide con el vector que une los puntos pedidos. Por tanto, calculamos en primer lugar ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (−2, 5, 1) − (4, −1, 7) = (−6, 6, −6). Deducimos ya que la ecuación de este plano será 𝜋: −6𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = 𝑘. Falta por averiguar el valor de 𝑘. Para ello, se impone que este plano 𝜋 pase por el punto medio de 𝐴 y 𝐵 (que llamaremos M). Las coordenadas de 𝑀 son 35

1

𝑀 = 2 {(−2, 5, 1) + (4, −1, 7)} = (1, 2, 4). Imponemos ahora que 𝜋 pase por 𝑀 para hallar el valor de 𝑘: −6 · (1) + 6 · (2) − 6 · (4) = −18 → 𝑘 = −18. La ecuación del plano es 𝜋: −6𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = −18 OBSERVACIÓN 1: Al obtener la ecuación del plano 𝜋: −6𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = 𝑘, pudimos haber simplificado la expresión de éste dividiendo todo entre 6 (ó -6) y trabajando con la ecuación 𝜋′: −𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑘′. Lógicamente, el valor de la constante 𝑘′ sería diferente (concretamente 𝑘 ′ = 𝑘/6), pero esto no afectaría al resultado puesto que ambos planos serían el mismo. OBSERVACIÓN 2: Se deja como ejercicio las siguientes cuestiones: I.

II.

Calcular el simétrico de uno de los puntos (𝐴 ó 𝐵) respecto del plano obtenido. Sin necesidad de realizar cálculos, ¿serías capaz de averiguar el resultado? Calcular dicho plano imponiendo la condición 𝑑(𝑃, 𝐴) = 𝑑(𝑃, 𝐵), siendo 𝑃 un punto cualquiera (𝑥, 𝑦, 𝑧).

b) A primera vista podemos observar que los dos planos que tenemos son paralelos, por lo que en este caso sólo tenemos un plano mediador. Para calcularlo, podemos proceder a buscar los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) tales que 𝑑 (𝑃, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋 ′ ). Entonces, 𝑑(𝑃, 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋 ′ ) ↔

|𝑥−3𝑦+2𝑧−8| √12 +(−3)2 +22

=

|𝑥−3𝑦+2𝑧| √12 +(−3)2 +22

↔

𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 8 = 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 (𝐼) |𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 8| = |𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧| ↔ { 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 8 = −𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 (𝐼𝐼) La condición (I) no lleva a ninguna solución (obtenemos que −8 = 0) La condición (II) nos lleva al plano de ecuación 2𝑥 − 6𝑦 + 4𝑧 − 8 = 0 Como ejercicio adicional, se propone hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 y de 𝜋 ′ = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 de manera análoga a la realizada arriba, teniendo en cuenta que 𝑎 = 𝑏 |𝑎| = |𝑏 | ↔ { 𝑎 = −𝑏

36



EJERCICIO 5: Se sabe que las rectas 𝑥 = 1+𝑡 𝑥−𝑦+𝑧 =3 𝑟 ≡ {𝑦 = −1 − 𝑡 y 𝑠≡{ están contenidas en un 6𝑥 + 2𝑧 = 2 𝑧=𝑏+𝑡 mismo plano. Calcular el valor del parámetro 𝑏 así como la ecuación del plano que las contiene. Procedamos de la siguiente manera: Dos rectas con coplanarias si los vectores directores de cada una y un vector que una dos puntos (uno de cada recta) cualesquiera son LINEALMENTE DEPENDIENTES (es decir, el determinante formado por estos es cero). Para aplicar esto, escribamos estas ecuaciones de las rectas en forma paramétrica, calculemos un vector de dirección de las mismas y un vector que una dos puntos cualesquiera. 𝐴(1, −1, 𝑏) . Resolvemos el sistema para 𝑢𝑟 = (1, −1, 1) ⃗⃗⃗⃗ obtener de manera sencilla un punto y un vector director de la recta 𝑠: 𝑥−𝑦+𝑧= 3 𝑥−𝑦+𝑧 = 3 𝑠≡{ ⟺{ → 𝑧 = 1 − 3𝑥 (𝑥 será nuestro 6𝑥 + 2𝑧 = 2 3𝑥 + 𝑧 = 1 parámetro 𝜆), sustituimos en la primera ecuación y obtenemos: 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 − 3 = 𝑥 + (1 − 3𝑥 ) − 3 = −2𝑥 − 2 → 𝑦 = −2 − 2𝑥. La ecuación 𝑥=𝜆 𝐵(0, −2, 1) paramétrica de la recta 𝑠 es: 𝑠 ≡ {𝑦 = −2 − 2𝜆 ⇒ 𝑠: { 𝑢𝑠 = (1, −2, −3) ⃗⃗⃗⃗ 𝑧 = 1 − 3𝜆 Para la recta 𝑟 tenemos 𝑟: {

Necesitamos un vector que “una” dos puntos entre las rectas: tomemos el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, −2, 1) − (1, −1, 𝑏) = (−1, −1, 1 − 𝑏). 𝐴𝐵 Imponemos ahora que el sistema {𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵} sea linealmente dependientes (para ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = que los vectores sean coplanarios). Por tanto det(𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 , 𝐴𝐵 1 = |1 1

−1 −2 −1

1 −3 | = b − 2 − 8 = 0 ⟹ b − 10 = 0 ↔ 𝑏 = 10 1−𝑏

𝐵(0, −2, 1) 𝑢𝑟 = (1, −1, 1) . Para El plano que contiene a estas rectas viene dado por 𝜋 ≡ { ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 = (1, −2, −3) ⃗⃗⃗⃗ calcular la ecuación implícita, imponemos que si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜋, entonces el ⃗⃗⃗⃗⃗ } es linealmente dependiente. Por tanto: sistema {𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 , 𝑃𝐵 𝑥 𝜋 ≡ |1 1

𝑦+2 −1 −2

𝑧−1 1 | = 0 ↔ 𝜋 ≡ 5𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 9 = 0 −3

37

Nota: otro método sería teniendo en cuenta que dos rectas son coplanarias si son secantes, paralelas o coincidentes. Se comprueba que las direcciones ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 y ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 no son proporcionales y de esta forma, forzamos que sean secantes. Para ello, sustituimos las ecuaciones paramétricas de 𝑟 en las implícitas de 𝑠, hallando 𝑡 = −3 (resultando el punto de corte de ambas rectas) y 𝑏 = 10.



EJERCICIO 6: Dadas las rectas determinadas por las ecuaciones 𝑟:

𝑥−2 3

=

𝑦−𝑘 4

𝑧

= 5 y 𝑠:

𝑥+2 −1

=

𝑦−1 2

=

𝑧−3 3

, se pide

a. Hallar el valor de 𝑘 para que ambas se corten en un punto. b. Determinar la ecuación del plano que las contiene. a) Para calcular puntos de intersección entre rectas, la forma más cómoda es trabajar con sus ecuaciones paramétricas. Entonces, estas ecuaciones serían: 𝑥 = 2 + 3𝛼 𝑟 {𝑦 = 𝑘 + 4𝛼 𝑧 = 5𝛼 𝑥 = −2 − 𝛽 𝑠 { 𝑦 = 1 + 2𝛽 𝑧 = 3 + 3𝛽

Ten cuidado al seleccionar los parámetros. Cuando trabajamos con dos o más rectas escritas en paramétricas, hay que usar un parámetro distinto para cada una de ellas para evitar posibles confusiones.

Para calcular el punto de corte, igualamos las respectivas coordenadas, obteniendo un sistema de ecuaciones (cuyas incógnitas son los parámetros de las rectas) que tendrá que tener solución única de acuerdo con el enunciado del problema. Entonces: 2 + 3𝛼 = −2 − 𝛽 { 𝑘 + 4𝛼 = 1 + 2𝛽 A partir de la primera y última ecuación, podemos 5𝛼 = 3 + 3𝛽 −9 determinar los valores de 𝛼 y 𝛽. Resolviendo el sistema, obtenemos que 𝛼 = 14 y 𝛽=

−29 14

. Por tanto, para que el sistema sea compatible determinado (es decir,

las rectas se cortan en un punto), de la segunda ecuación podemos deducir el valor de 𝑘 pues 𝑘+4·

−9 −29 −8 = 11 + 2 · ↔ 14𝑘 − 36 = 14 − 58 ↔ 14𝑘 = −8 → 𝑘 = 14 14 14

b) Para hallar la ecuación del plano que las contiene, necesitamos dos vectores (independientes) de dicho plano, así como un punto del mismo. Como vectores tomaremos los directores de las rectas, ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 y ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑠 y como punto, podemos tomar cualquiera que esté en la recta, por ejemplo, el punto 𝑃(−2, 1, 3) ∈ 𝑠. Entonces la ecuación del plano viene dada por:

38

𝑥+2 | 3 −1

𝑦−1 4 2

𝑧−3 5 |=0↔ 3

(𝑥 + 2) |4 5| − (𝑦 − 1) | 3 5| + (𝑧 − 3) | 3 4| = 0 2 3 −1 3 −1 2 Es decir, el plano que contiene a las rectas 𝑒𝑠 Π: 2𝑥 − 14𝑦 + 10𝑧 − 14 = 0



EJERCICIO 7: Hallar la distancia del punto 𝑃(1, 3, −1) a la recta 𝑥−𝑦=0 𝑟: { 𝑥+𝑦−𝑧 =0 Usaremos el producto vectorial para resolver el problema, pero antes, escribamos la recta en forma paramétrica. Resolviendo el sistema, se obtiene que 𝑥=𝜆 esta viene dada por 𝑟 ≡ { 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 2𝜆 Dos puntos cualesquiera de nuestra recta son, por ejemplo 𝐴(0, 0, 0) y B(1, 1, 2). Queda claro que la distancia entre el punto 𝑃 y la recta 𝑟 viene dada por la altura del triángulo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝐴𝐵𝑃 descrito en la figura (𝑃𝑀

Sabemos que el área del triángulo es 𝑆𝐴𝐵𝑃 =

𝑏𝑎𝑠𝑒·𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

y la base mide

⃗⃗⃗⃗⃗ | = √12 + 12 + 22 = √6 |𝐴𝐵 Por otro lado, tenemos como aplicación del producto vectorial que el área de un triángulo 𝐴𝐵𝑃 es 𝑆𝐴𝐵𝑃 =

⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝑃 2

. Una vez calculado este producto vectorial,

tendríamos prácticamente resuelto el problema. ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, −1) y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 𝐴𝐵 = (1, 1, 2), por tanto: 𝑖 𝑗 𝑘⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |1 3 −1| = 7𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘⃗ ⇒ |𝐴𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √49 + 9 + 4 = √62 𝐴𝑃 1 1 2 Entonces

⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝑃 2

=

𝑏𝑎𝑠𝑒·𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

⇔

√62 2

39

=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √6·𝑃𝑀 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⇔ 𝑃𝑀

√62 √6

31

= √3

31

La distancia entre el punto y la recta es √ 3 𝑢 . OBSERVACIÓN: Otro método para calcular la distancia sería calculando el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto 𝑃. Una vez hecho esto, calculamos el punto 𝑀 intersección de este plano con la recta. La distancia vendrá dada por el módulo del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 . Se propone como ejercicio realizar este problema a través de éste método.

EJERCICIO 8: Considera los puntos 𝐴(−1, 𝑘, 3), 𝐵(𝑘 + 1, 0, 2), 𝐶 (1, 2, 0) y 𝐷(2, 0, 1). Se pide: a. ¿Existe algún valor de 𝑘 para el cual los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 sean linealmente dependientes? b. Calcular los valores de 𝑘 para los que el tetraedro 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 tiene volumen 1 a) Calculamos en primer lugar los vectores pedidos: ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑘 + 2, −𝑘, −1) 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = (−𝑘, 2, −2) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = (1, −2, 1) Entonces, para que estos tres vectores sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que el determinante que formamos con ellos sea cero.

→𝑓1+𝑓3 𝑘 + 2 −𝑘 −1 𝑓𝑓1→𝑓 𝑘 + 3 −𝑘 − 2 0 2 2 +2𝑓3 | −𝑘 |2 − 𝑘 2 −2| → −2 0| = 1 −2 1 1 −2 1 (𝑘 + 3) ∙ (−2) − (2 − 𝑘) ∙ (−𝑘 − 2) = −2𝑘 − 6 + 4 − 𝑘 2 = −𝑘 2 − 2𝑘 − 2

−𝑘 2 − 2𝑘 − 2 = 0 ↔ 𝑘 = =

2 ± √(−2)2 − 4(−1)(−2) 2 ± √4 − 8 = 2(−1) −2

2 ± √−4 −2 40

Como podemos observar, no existe solución a esta ecuación de segundo grado. Por tanto, el determinante es siempre distinto de cero para cualquier valor real de 𝑘, es decir, siempre son linealmente independientes. b) El volumen del tetraedro con vértices en 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 viene dado por la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 𝐴𝐷. Calculamos éste producto mixto: 2 −3𝑓1 −1 𝑓𝑓2 →𝑓 𝑘+2 −𝑘 −1 3 →𝑓3 −2𝑓1 | | → −3 −3𝑘 − 4 2𝑘 + 2 0 | −2 −2𝑘 − 1 𝑘 0 −3𝑘 − 4 2𝑘 + 2 | = −| −2𝑘 − 1 𝑘 = (3𝑘 + 4) · 𝑘 − (2𝑘 + 2)(2𝑘 + 1) = −𝑘 2 − 2𝑘 − 2 1⁄ · |−𝑘 2 − 2𝑘 − 2| = 1 ↔ |−𝑘 2 − 2𝑘 − 2| = 6 ↔ Entonces 6 −𝑘 2 − 2𝑘 − 2 = 6 (𝐼) { 2 −𝑘 − 2𝑘 − 2 = −6 (𝐼𝐼)

𝑘+2 | 2 3

−𝑘 2−𝑘 −𝑘

Al resolver la ecuación (I), llegamos a 𝑘 2 + 2𝑘 + 8 = 0 que no tiene solución real. Al resolver la ecuación (II), llegamos a 𝑘 2 + 2𝑘 − 4 = 0 ↔ −2 ± √22 − 4 · (1) · (−4) −2 ± √4 + 16 −2 ± √20 𝑘= = = 2 2 2 = −1 ± √5 Por tanto, si 𝑘 = −1 ± √5, el volumen del tetraedro será igual a uno.

EJERCICIO 9: Dada la recta 𝑟 definida por 𝑥=1 por 𝑠: { 2𝑦 − 𝑧 = −2

𝑥−1 3

=

𝑦+1 2

= −𝑧 + 3 y la recta 𝑠 definida

a. Hallar la ecuación del plano que contiene a 𝑟 y pasa por el origen de coordenadas. b. Hallar la ecuación del plano que contiene a 𝑠 y es paralelo a 𝑟.

a) Las rectas 𝑟 y 𝑠 vienen dadas por las ecuaciones en paramétricas 𝑥=1 𝑥 = 1 + 3𝜆 {𝑦 = −1 + 2𝜆 y 𝑠 ≡ { 𝑦 = 𝛽 𝑧 = 2𝛽 − 2 𝑧 =3−𝜆

𝑟≡

Entonces, es fácil determinar a partir de la ecuación paramétrica, un punto de nuestra recta 𝑟 y un vector director de la misma ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 . Tomaremos como punto 𝐴(1, −1, 3) y como ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = (3, 2, −1) 41

Entonces nuestro plano pedido Π viene determinado por un punto cualquiera del mismo (tomaremos el origen de coordenadas), y dos vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ ). independientes (tomaremos el vector ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 y el vector 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗𝑟 = (3, 2, −1) 𝑢 𝑥−0 𝑦−0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, −1, 3) ⟹ Π ≡ | 3 Π ≡ {𝑂𝐴 2 1 −1 Ο = (0,0,0) Π ≡ 5𝑥 − 10𝑦 − 5𝑧 = 0

𝑧−0 −1 | = 0 ⟺ 3

b) Buscamos ahora un plano Π tal que 𝑠 ⊂ Π y 𝑟 ∥ Π. Por tanto, nuestro plano vendrá dado por los vectores directores de 𝑟 y 𝑠 y un punto cualquiera 𝑃𝑠 de la recta 𝑠. 𝑃𝑠 (1, 0, 2) 𝑥−1 𝑦 𝑧+2 𝑢𝑟 = (3, 2, −1) → Π ≡ | 3 Π ≡ {⃗⃗⃗⃗ 2 −1 | = 0 ↔ 0 1 2 𝑢𝑠 = (0, 1, 2) ⃗⃗⃗⃗ 2 −1 3 −1 3 2 |−𝑦| | + (𝑧 + 2) | |=0↔ ↔ (𝑥 − 1) | ⏟ ⏟ ⏟ 1 2 0 2 0 1 5

6

↔ 5𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 + 1 = 0

42

3