Geometria

APUNTES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA DIÉDRICO

José C. Izquierdo Fitz Catedrático de Dibujo y Artes Plásticas

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

ÍNDICE 1.- CONCEPTO DE PROYECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyección de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de las proyecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de Planos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema Axonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema Cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 3 4

2. SISTEMA DIÉDRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Posición de los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Proyección del punto. Alfabeto del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Coordenadas de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Proyecciones de la recta. Alfabeto de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Trazas de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Determinación de los cuadrantes por donde pasa una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Partes vistas y ocultas de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Intersección de una recta con los planos bisectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Situar puntos en una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 b).- Recta paralela al PV. Recta frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 e).- Recta paralela al PV y PH. Paralela a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Proyecciones del plano. Alfabeto del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Condición de pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Condición de pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Rectas horizontales y frontales de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Situar un punto definido por sus coordenadas en un plano dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 b).- Plano paralelo al PV. Plano frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal. . . . 26 d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical. . . . . 27 e).- Plano paralelo a la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 f).- Plano que pasa por la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Posiciones relativas entre puntos, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Relaciones de pertenencias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

a).- Pertenencia entre puntos y rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 b).- Pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c).- Pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 d).- Posiciones entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e).- Posiciones entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2).- Planos no paralelos. Intersección de planos. . . . . . . . . . . . . . 30 f).- Posiciones entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1). Recta y plano paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano.32 Visibilidad entre recta y el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Movimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Cambios de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Para cambiar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Para cambiar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Giros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Para girar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Para girar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Giro especial. Abatimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 a).- Método del triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 b).- Método del cambio de plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 c.- Método de abatir la traza que no es el eje de giro . . . . . . . . 44 Consideraciones sobre este método . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ¿Qué método se debe aplicar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Paralelismo y perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Paralelismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 a).- Paralelismo entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 b).- Paralelismo entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 c).-Paralelismo entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 a).- Perpendicularidad entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 b).- Perpendicularidad entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 c).- Perpendicularidad entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 d).- Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Cálculo de distancias y ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 a).- Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 b).- Distancia entre punto y recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 c).- Distancia entre punto y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 d).- Distancia entre rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 e).- Distancia entre planos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 f).- Distancia entre recta y plano paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

g).- Distancia entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 a).- Ángulo entre dos rectas que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 b).- Ángulo entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 c).- Ángulo entre recta y plano que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 d).- Ángulo entre dos planos que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 e).- Ángulos entre una recta y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . 68 f).- Ángulos entre un plano y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . . 68 Ejercicios de aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ejercicio nº 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ejercicio nº 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ejercicio nº 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Clasificación de las superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Estudio y representación de los poliedros regulares convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Características geométricas de los poliedros regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Poliedros conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sección principal de un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Consideraciones sobre la representación de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Octaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Icosaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Cubo O Exaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Dodecaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Determinación de secciones planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Sección plana de un cubo por un plano de canto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Sección plana de un octaedro por un plano paralelo a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Sección plana de un icosaedro por un plano vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Sección plana de un cubo por un plano oblicuo a los de proyección. . . . . . . . . . . 107 Intersección de una recta con un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Superficies regladas desarrollables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 a).- Superficie piramidal. La pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Clasificación de las pirámides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Representación diédrica de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Situar puntos en la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Sección plana de una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Sección plana de una pirámide mediante cambio de plano. . . . . 117 Sección plana de una pirámide mediante homología. . . . . . . . . . 119 Otra forma de situar puntos en una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Intersección de recta y pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Desarrollo de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica. . . . . . . 125 2). Colocando las cara una a continuación de otra. . . . . . . . . . . 126

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

b). Superficie prismática. El prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de los prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación diédrica del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situar puntos en el prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana de un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana de un prisma mediante cambio de plano. . . . . . . . Sección plana de un prisma mediante afinidad. . . . . . . . . . . . . . Otra forma de situar puntos en un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intersección de una recta con un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desarrollo del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c). Superficie cónica. El cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de los conos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación diédrica del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situar puntos en el cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planos tangentes a un cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intersección de recta y cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cono de revolución. Determinación de la cónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cono oblicuo. Determinación de la cónica. . . Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desarrollo del cono de revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desarrollo del cono oblicuo de directriz circunferencia. . . . . . . . . . . . c). Superficie cilíndrica. El cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de los cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación diédrica del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situar puntos en el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planos tangentes al cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intersección de recta y cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . Caso ejes de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . Caso diámetros conjugados de la elipse.. . . . . . . . . . . . . Desarrollo del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso a). Cilindro recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso b). Cilindro oblicuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación diédrica de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situar puntos en la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planos tangentes a la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 130 130 131 132 133 134 136 137 140 144 145 145 147 148 150 153 157 157 160 163 166 166 167 168 169 169 170 171 172 174 176 177 177 179 179 180 180 180 183 183 184 185

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

Intersección de recta y esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Sección plana de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *

J. C. Izquierdo

1.- CONCEPTO DE PROYECCIÓN. Proyección de un punto. Sea un punto A el cual queremos proyectar sobre el plano P desde el punto O, se une A con O y la intersección (a) de la recta AO con el plano P es la proyección del punto A sobre el plano P desde el punto O. Figura 1.

P= Plano de proyección O= Centro de proyección A= Elemento a proyectar AO= Rayo de proyección o rayo proyectante Clasificación de las proyecciones. Figura 1

Las proyecciones se clasifican atendiendo a dos factores que son: 1º. Según sea el centro de proyección. 2º. Según sean los rayos de proyección respecto del plano P.

En el primer caso, el centro de proyección puede ser un punto propio (o impropio) denominándose la proyección CÓNICA (o CILÍNDRICA). Figuras 2a y 2b.

Figura 2a. Proy. Cónica

Figura 2b. Proy. Cilíndrica

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En el segundo caso, los rayos de proyección pueden ser perpendiculares (u oblicuos) al plano P denominándose ORTOGONAL (u OBLICUA). Figuras 3a y 3b.

Figura 3b. P. Oblicua

Figura 3a. P. Ortogonal

Resumiendo, las proyecciones pueden ser:

PROYECCIÓN

CÓNICA CILÍNDRICA

ORTOGONAL

OBLICUA Combinando los tipos de proyección con los planos de proyección convenientemente elegidos, se obtienen todos los sistemas de representación que existen. Estos sistemas son: Sistema Diédrico o de “de Monge”1 Sistema de Planos Acotados S. Axonométrico Ortogonal Sistema Axonométrico S. Axonométrico Oblicuo (Perspectiva Caballera) Sistema Cónico S. Cónico Puro S. Cónico Lineal

1

Gaspar de Monge, considerado como el padre de la Geometría Descriptiva. Matemático y Físico francés nacido en Beaune (1.7461.818). Aplicó la Geometría a la construcción, comienzos de la Geometría Descriptiva. Fue uno de los fundadores de la Escuela Politécnica (1.794). Sus principales obras fueron: - Traîté élèmentaire de statique (1.788) - Leçons de géometrie descrptive (1.795) - Application de l’analyse à la géometrie (1.795) Página nº 2

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Sistema Diédrico está formado por dos planos que se cortan bajo ángulo recto , por tanto tenemos dos planos donde proyectaremos los elementos según los criterios anteriormente expuesto. Emplea la proyección cilíndrica y ortogonal. Figura 4.

Figura 4 Sistema de Planos Acotados, es una variante del anterior, consta de un sólo plano donde proyectaremos los elementos y al lado de estos aparece un número afectado de signo, estos números representan la altura del elemento sobre el plano de proyección. Emplea la proyección cilíndrica y ortogonal. Figura 5.

Figura 5 Sistema Axonométrico, tiene dos variantes,el ortogonal y el oblicuo. En el ortogonal emplea la proyección cilíndrica y ortogonal y en el oblicuo emplea la proyección cilíndrica y oblicua. Ambos están formado por tres planos que se cortan bajo ángulo recto dos a dos sobre los que proyectaremos los elementos, este conjunto se vuelve a proyectar sobre un cuarto plano que es oblicuo a los tres anteriores en el caso del ortogonal y paralelo a uno de ellos en el caso del oblicuo. En ambos sistemas la Página nº 3

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proyección sobre los tres planos es cilíndrica y ortogonal y la proyección sobre el cuarto plano es, cilíndrica y ortogonal (en el primer caso) y cilíndrica y oblicua (en el segundo). Figuras 6a y 6b.

Figura 6a. Axonom. Ortogonal

Figura 6b. Axonom. Oblicuo

Sistema Cónico, como su nombre indica, emplea la proyección cónica. Existen dos variantes del mismo, el sistema cónico puro, constituido por un sólo plano de proyección y un centro de proyección y el sistema cónico lineal, constituido por dos planos que se cortan bajo ángulo recto y un centro de proyección. Figura 7.

Figura 7. Cónico Lineal

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2. SISTEMA DIÉDRICO. Posición de los planos de proyección. Los dos planos de proyección están colocados de manera que forman ángulo de 90º, uno recibe el nombre de plano vertical de proyección (PV) y el otro de plano horizontal de proyección (PH), ambos se cortan en una recta que recibe el nombre de línea de tierra. Por la posición de estos, los planos quedan divido en dos regiones cada uno, plano horizontal delantero y trasero y plano vertical superior e inferior. Estos planos dividen al espacio en cuatro regiones o cuadrantes. Figura 8.

Figura 8 Proyección del punto. Alfabeto del punto. Consideremos un punto A situado en el primer cuadrante, para proyectarlo procederemos de la siguiente manera: Proyectaremos ortogonalmente el punto A sobre el PV obteniendo el punto a’ (proyección vertical del punto A), seguidamente proyectaremos el punto A sobre el PH obteniendo el punto a (proyección horizontal del punto a), por ser las proyecciones ortogonales a los planos del proyección, las rectas Aa’ y la Aa serán paralelas a los planos horizontal y vertical respectivamente, esto tiene como consecuencia que si trazamos rectas paralelas por los puntos a’ y a a las Aa y Aa’, estas rectas se cortarán en el punto x perteneciente a la línea de tierra, por tanto el cuadrilátero Aa’ax será un rectángulo. Figura 9.

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Figura 9

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Ahora bien, estamos trabajando sobre dos planos y no podemos representarlo en una hoja de papel. Para solucionarlo procederemos a girar el plano vertical alrededor de la línea de tierra un ángulo de 90º en sentido antihorario hasta que coincida con el plano horizontal, de esta manera ambos planos (vertical y horizontal) serán un solo plano y podremos representarlo en una hoja de papel. Figura 10. Si hacemos que ambos planos sea nuestra

hoja de papel tendríamos las dos proyecciones (a’-a) del punto A representadas. Figura 11.

Figura 10 Es decir, tendríamos la línea de tierra, el punto a’, el punto a y una línea que une ambos puntos, esta línea recibe el nombre de línea de correspondencia o de Figura 11 reflejo, no forma parte del punto, solamente es una ayuda para saber cual es la proyección que le corresponde a un punto. De esta manera hemos realizado una correspondencia biunívoca y completa entre los puntos del espacio y los puntos del plano, así a un punto del espacio le corresponde una pareja de puntos en el plano y viceversa. Para que el sistema quede perfectamente definido, a la línea de tierra se lo colocan dos pequeños trazos para indicar cual es el plano horizontal delantero. De esta manera sabemos donde se encuentra el plano vertical superior, inferior y el plano horizontal delantero y trasero. Figura 12.

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Visto como quedan las proyecciones de un punto perteneciente al primer cuadrante, vamos a representar ahora las proyecciones de un punto perteneciente a los demás cuadrantes. Figura 13. Una vez girados los planos, la representación sería la de la figura 14.

Figura 12

Figura 13

Figura 15

Cada punto tiene asociado con él dos valores que son la altura o cota del punto A sobre el PH y la distancia o alejamiento del punto A sobre el PV. Vista las dos proyecciones del punto, la altura es la magnitud que hay entre la proyección vertical del punto y la línea de tierra y la distancia es la magnitud que hay entre la proyección horizontal del punto y la línea de tierra. Tiene que quedar claro que estas magnitudes se miden como hemos dicho esté donde esté la proyección de punto. Esto quiere decir que hay alturas que quedan por encima o por debajo de la línea de tierra. Análogas consideraciones a las distancias. Figura 15.

Figura 14

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Vamos a estudiar ahora las proyecciones del punto cuando pertenece o está situado en uno de los planos de proyección. Si el punto está situado en el PV, la distancia será nula, por tanto, la proyección horizontal del punto A estará situado en la LT. Con respecto a la proyección vertical estará por encima o por debajo de la LT en función de si el punto está en el PV superior o inferior. Figura 16. Si el punto está situado en el PH, la altura será nula, por tanto, la proyección vertical del punto A estará situado en la LT. Con respecto a la proyección horizontal estará por encima o por debajo de la LT en función de si el punto está en el PH delantero o trasero. Figura 16.

Figura 16 Si el punto está situado en la LT, estará situado en los dos planos de proyección al mismo tiempo, lo que da lugar a que la altura y la distancia son nulas, por tanto, ambas proyecciones estarán situadas en la LT. Figura 16. Hay dos planos mas que integran el sistema y son los llamados planos bisectores. Los bisectores son dos planos perpendiculares entre sí y que forman con los planos de proyección ángulos de 45º, es decir, que dividen a cada cuadrante en dos partes iguales. El conjunto de todos estos planos, PV, PH, primer bisector y segundo bisector divide al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Figura 17. La propiedad que tienen los puntos que están situados en estos planos, es que la altura y la distancia son iguales, por tanto, si el punto pertenece al primer bisector, las proyecciones a’ y a equidistarán de la LT y si pertenecen al segundo, ambas proyecciones coincidirán. El primer bisector divide a los cuadrantes primero y tercero, y el segundo bisector a los segundo y cuarto. Figura 18. Página nº 8

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Vamos a establecer un criterio de signos, la altura la consideraremos positiva si el punto A está por encima del PH y negativa en caso contrario, y la distancia la consideraremos positiva si el punto A queda por delante del PV y negativa si queda por detrás. Así y nombrando primero la distancia y después la altura, el criterio de

Figura 17

Figura 18

signos queda establecido de la siguiente manera: Figura 19. Quedando el siguiente criterio de signos: Primer cuadrante (+, +) Segundo cuadrante (-, +) Tercer cuadrante (-, -) Cuarto cuadrante (+, -). Esto queda reflejado en el diedro abatido de la siguiente manera: Alturas positivas desde la LT hacia arriba y negativas en caso contrario y distancias positivas Figura 20 desde la LT hacia Figura 19 abajo y negativas hacia arriba. Figura 20.

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Coordenadas de un punto. Un punto queda definido por tres coordenadas A(x, y, z), siendo la coordenada x la magnitud entre un punto fijo(O, sobre la LT) a partir del cual consideraremos las medidas positivas si estas están a la derecha del punto fijo, la coordenada y será la distancia o alejamiento y la coordenada z será la altura o cota.

Figura 21 Proyecciones de la recta. Alfabeto de la recta. Una recta queda definida conociendo dos puntos de ella; por tanto para determinar las proyecciones de una recta bastará con conocer las proyecciones de dos puntos de ella, uniendo las proyecciones verticales tendremos la proyección vertical de la recta y uniendo las horizontales tendremos la proyección horizontal de la recta. Figura 22. La condición para que un punto A (a’-a) pertenezca a una recta R (r’-r) es que Figura 22 las proyecciones del punto estén situadas sobre las proyecciones de la recta, es decir, a’ debe estar sobre r’ y a sobre r. Figura 22.

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Trazas de una recta. Llamamos trazas de una recta a la intersección de una recta con los planos de proyección. Una recta podrá tener dos, una o ninguna traza según que corte a los dos planos de proyección, a uno (es paralela al otro) o a ninguno (es paralela a ambos). Para determinar las trazas de una recta, procederemos de la siguiente manera: La traza vertical V(v’-v) será un punto de la recta, por tanto deberá cumplir la condición de pertenencia entre punto y recta, es decir, v’ estará sobre r’ y v sobre r. Por otro lado, la traza vertical debe de pertenecer al PV, por lo que, el punto deberá cumplir la condición de pertenencia al PV y es que no tenga distancia o lo que es lo mismo que v debe estar sobre LT. Por ello, buscaremos aquel punto de r que esté sobre LT y este será v. Trazando una perpendicular a LT por este punto, nos cortará a r’ en v’. Para determinar la traza horizontal, procederemos análogamente. Figura 23.

Figura 23

Determinación de los cuadrantes por donde pasa una recta. Una recta pasará por tantos cuadrantes como trazas tenga mas uno, es decir, si tiene dos trazas pasará por tres cuadrantes, si tiene una por dos y si no tiene Página nº 11

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ninguna por uno. Para determinar las zonas que corresponde a cada cuadrante, bastará con elegir un punto entre las trazas, y otro antes y después de cada una de ellas. Si el punto pertenece a un cuadrante, la recta en ese tramo, pertenecerá al mismo cuadrante. Figura 24. Así, observando la figura vemos que, el punto C pertenece al III cuadrante, el punto B al IV y el punto A al I. Por tanto, la recta viene por el tercer cuadrante, corta al plano vertical inferior, pasa al cuarto cuadrante, corta al plano horizontal delantero y pasa al primer cuadrante. O al revés. Partes vistas y ocultas de la recta.

Figura 24

Para determinar las partes vistas y ocultas de la recta simplemente tendremos en cuenta la posición de los planos de proyección y la recta, nosotros siempre estaremos situado en el I cuadrante, por lo que será visto la zona de la recta que esté en este cuadrante siendo lo demás oculto. El hecho de que sea oculto no significa que no se represente, sino todo lo contrario, se representará con líneas de trazos. Figura 24. Intersección de una recta con los planos bisectores. Para determinar la intersección de una recta con los planos bisectores, debemos buscar aquellos puntos de la recta que pertenezcan a los planos bisectores, por tanto, estos puntos deberán cumplir dos condiciones, estar en la recta y en los planos bisectores al mismo tiempo. La condición de pertenecer a la recta, ya lo hemos definido anteriormente y si están en los bisectores deberán cumplir que las alturas sean iguales a las distancias. Primero determinaremos la intersección con el segundo bisector; un punto de este plano estará en el II o en el IV cuadrante y un punto de estos cuadrantes se caracteriza por tener ambas proyecciones confundidas. Para encontrarlo deberemos prolongar ambas proyecciones de la recta hasta encontrar el punto de corte de r’ y r, ese será el punto buscado (i2'-i2). Para encontrar el punto de intersección con el primer bisector deberemos buscar un punto de la recta que tenga la altura igual a la distancia, pero estando estas proyecciones una a cada lado de la LT. Para ello, calcularemos la simétrica de la Página nº 12

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proyección r’ (o r) con respecto a LT, donde esta recta corte a la otra proyección r (o r’) ahí estará la proyección i1 (o i1') del punto buscado. Después no hay mas que trazar una perpendicular a LT hasta encontrar a la otra proyección de la recta, ahí estará el punto i1' (o i1). Figura 25. Situar puntos en una recta. Dada una recta R(r’-r) queremos situar en ella un punto que cumpla con las condiciones A(x, y, 4), observando las coordenadas del punto vemos que tiene 4 unidades de altura, por tanto deberemos de determinar la proyección vertical con esta condición, una vez encontrado a’, la proyección a es inmediata. Trazaremos una paralela a LT a 4 unidades de altura positiva (por encima de LT) hasta que corte a r’, ahí estará la proyección buscada. Figura 26.

Figura 25

Hay que tener en cuenta que si nos dan el punto B(x, y, -5) tenemos que trazar una paralela a LT por debajo de ella (obsérvese el signo) hasta encontrar a la proyección vertical de la recta (r’). Análogamente si tuviésemos el punto C(x, -3, z), ahora trazaríamos la paralela por encima de LT (ver signo) hasta encontrar a la proyección horizontal de la recta (r). Nótese que el dato que nos dan es una distancia. Figura 26

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Posiciones particulares de la recta. Generalmente, en cualquier sistema de representación, las magnitudes no se ven con medidas reales, no obstante hay posiciones particulares de la recta donde las magnitudes reales coinciden con alguna de sus proyecciones. Vamos a estudiar las posiciones particulares de la recta, donde se pone de manifiesto esta consideración, muy importante para el desarrollo de futuras aplicaciones de la materia. Una recta puede adoptar las siguientes posiciones en el espacio con respecto a los planos de proyección. a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal. b).- Recta paralela al PV. Recta frontal. c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical. d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta. e).- Recta paralela al PV y PH. Recta paralela a LT. f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil. a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal. Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma altura, por tanto, la proyección vertical de esta recta será paralela a LT. Es una recta que sólo tiene una traza (la vertical) y pasa por dos cuadrantes (I y II o III y IV). Además, por ser paralela al PH, la magnitud del segmento AB coincide con la magnitud de las proyecciones horizontales de los puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma la Figura 27 recta con el PV se ve en verdadera magnitud en el ángulo que forma r con LT. Figura 27.

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b).- Recta paralela al PV. Recta frontal. Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma distancia, por tanto, la proyección horizontal de esta recta será paralela a LT. Es una recta que sólo tiene una traza (la horizontal) y pasa por dos cuadrantes (I y IV o II y III). Además, por ser paralela al PV, la magnitud del segmento AB coincide con la magnitud de las Figura 28 proyecciones verticales de los puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma la recta con el PH se ve en verdadera magnitud en el ángulo que forma r’ con LT. Figura 28. c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical. Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma distancia además de tener todos la misma coordenada x por lo cual, su proyección vertical, será una recta perpendicular a la LT y la horizontal será un punto. Hay que tener en cuenta que por ser perpendicular al PH también es paralela al PV, y deberá de cumplir las condiciones de una recta frontal, es decir, posee una sola Figura 29 traza (la horizontal) y pasa por dos cuadrantes (I y IV o II y III). Por ser paralela al PV la magnitud del segmento AB coincide con la magnitud de las proyecciones verticales de los puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma con PH se ve en verdadera magnitud en el ángulo que forma r’ con LT. Figura 29.

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d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta. Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma altura además de tener todos la misma coordenada x, por lo cual su proyección horizontal será una recta perpendicular a la LT y la vertical será un punto. Hay que tener en cuenta que por ser perpendicular al PV también es paralela al PH, y deberá de cumplir las condiciones de una recta horizontal, es decir, posee una sola traza (la vertical) y pasa por dos cuadrantes (I y II o III y IV). Por ser paralela al PH la magnitud del segmento AB coincide con la Figura 30 magnitud de las proyecciones horizontales de los puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma con PV se ve en verdadera magnitud en el ángulo que forma r con LT. Figura 30. e).- Recta paralela al PV y PH. Paralela a LT. Esta recta debe cumplir las propiedades de las rectas horizontal y frontal, por tanto ambas proyecciones serán paralelas a la LT y no tendrá trazas, por este motivo pasará por un sólo cuadrante. La magnitud del segmento AB coincide con las magnitudes entre las proyecciones verticales y las proyecciones horizontales respectivamente. Figura 31. Figura 31 f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil. Un plano de perfil es un plano perpendicular al PV y al PH, cualquier recta contenida Página nº 16

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en este plano tendrá sus proyecciones perpendiculares a la LT, por tanto, una recta de perfil no queda definida hasta que no conozcamos dos datos de ella, pues todas las rectas de perfil tienen las mismas proyecciones. Figura 32. Para que quede perfectamente definida debemos conocer dos datos de ella, que pueden ser: a). Dos puntos. b). Un punto y uno de los ángulos que forma con alguno de los planos de proyección. Obsérvese que si nos dan los dos ángulos que forma con los planos de proyección, la recta no queda definida, pues cualquier recta que sea paralela a la dada cumplirá con la igualdad de ángulos con los planos de proyección. Para poder estudiar la recta de perfil, es decir, poder determinar sus trazas, cuadrantes por los que Figura 32 pasa, intersección con los bisectores, situar puntos, etc. hay que buscar un método que nos permita poder realizar este estudio. Para realizar este estudio procederemos a girar el plano de perfil alrededor de su intersección con el PV hasta que este coincida con el PV, de esta manera, en proyección vertical, veremos como es la recta, su inclinación, podremos determinar las trazas, situar puntos, etc. Observemos la figura 33. Al girar el plano de perfil alrededor de la recta r’, el punto A o el B, describirán arcos de circunferencias que, en proyección horizontal, lo veremos como un arco de circunferencia de centro el punto v=h’ y radio que pase por la proyección horizontal del punto A (a) o B (b). En proyección vertical, estos arcos de circunferencias los veremos como rectas paralelas a la LT y pasando por las proyecciones verticales a’ y b’ respectivamente.

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Figura 33 Cuando el punto a halla llegado a la LT, el punto a’ habrá llegado a (A), análogas consideraciones para los puntos b, b’ y (B). La unión de los puntos (A) y (B) nos darán (R), proyección girada de la recta R. Si observamos esta última recta, corta a LT en (H) traza horizontal girada de R y cortará a r’ en (V) traza vertical de la recta R. Para determinar la situación de las trazas de la recta, observemos que la vertical coincide con el punto de corte entre (R) y r’, mientras que la horizontal habrá que girarla en sentido contrario hasta situarla sobre r. De esta manera tenemos la recta totalmente definida. Los ángulos que forma R con los planos de proyección se ven en los ángulos que forma (R) con r’ y (R) con LT. Para situar un punto sobre la recta, procederemos de la siguiente manera. Sea el punto C(x,y,4). Situaremos la proyección vertical c’ a 4 unidades de altura desde LT y sobre r’. Giraremos la recta R y el punto c’ parará a ser el (C ) y este último nos permitirá determinar la proyección horizontal c del punto dado. Obsérvese que para situar puntos sobre la recta lo haremos a través de la recta girada (R).

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Por último, para determinar los cuadrantes por donde pasa y los puntos de intersección con los bisectores, bastará ver en la posición que quedan los cuadrantes en la recta girada y determinar los puntos de intersección de la recta (R) con las bisectrices de los respectivos cuadrantes. Figura 34 y 35.

Figura 34

Figura 35

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Proyecciones del plano. Alfabeto del plano. Un plano queda definido por tres condiciones, que son: a). Por tres puntos no alineados. b). Por una recta y un punto que no le pertenezca. c). Por dos rectas que se corten. Obsérvese que dos rectas paralelas sería un “caso particular” de dos rectas que se cortan, pues dos rectas paralelas “se cortan” en el infinito. Por tanto, el caso de rectas paralelas queda englobado en el de dos rectas que se cortan. Por otro lado, un plano lo definiremos por sus TRAZAS. Llamamos trazas del plano a la intersección de este con los planos de proyección. Por tanto, y ya que la intersección de dos planos es una recta, las trazas del plano serán dos rectas. Figura 36.

Figura 36

Estudiemos el caso de dos rectas que se corten. Antes de empezar veamos la diferencia entre dos rectas que se CORTAN y que se CRUZAN. Figura 37. Si dos rectas se cortan tienen un punto en común (caso de la izda). Por tanto, la línea que une los puntos de corte de r’ y s’ y r y s es perpendicular a LT. Si dos rectas se cruzan (caso de la dcha), en el punto del cruce hay dos puntos (A y B o C y D) cada uno pertenece a una recta. Figura 37 Página nº 20

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En este caso se nos plantea la visibilidad de ambas rectas, es decir, que recta tapa a quién en el punto del cruce. Como tenemos dos puntos de cruce, el A y B y el C y D, veamos quién tapa a quién. En el caso de los puntos A y B, en proyección horizontal, el punto A tapa al B, ya que la proyección vertical de A está MAS ALTA que la del punto B, por tanto, en este punto, la recta R tapa a la S, y en el caso de los puntos C y D, en proyección horizontal el punto C tapa al D, ya que la proyección horizontal de C tiene MAS DISTANCIA que la del punto D Figura 38 por tanto, la recta R tapa a la S.

Para determinar las trazas de un plano definido por dos rectas que se cortan tendremos que buscar los puntos del plano que estén en el PV y en el PH respectivamente, para ello determinaremos las trazas de ambas rectas ya que ,estas están situadas en PV y PH. Uniendo los puntos obtenidos obtendremos las y trazas del plano. Figura 38. Obsérvese que hemos obtenidos cuatro puntos V y H de R y V y H de S dando lugar a ocho proyecciones, vr’, vr, hr’, hr, vs’, vs, hs’ y hs, la unión ordenada de estos ocho puntos nos determinan las trazas del plano. Nótese que ambas trazas del plano se cortan en la LT. Muy importante es no olvidar que un punto A que esté situado sobre la traza vertical del plano P’, tendrá su proyección vertical a’ sobre P’ y la proyección horizontal a en la LT, análogamente un punto B situado sobre la traza horizontal P del plano tendrá su proyección horizontal b sobre P y la proyección vertical b’ en la LT.

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El caso de dos rectas paralelas se resuelve análogamente al expuesto. Figura 39. Los otros dos casos, a). tres puntos no alineados y b). una recta y un punto que no se pertenecen procederemos a buscar dos rectas que se corten y que estén situadas en el plano buscado y tendremos el problema como en el caso resuelto. En el caso a). bastará con unir los puntos dos a dos y darán lugar a tres rectas, determinando las trazas de dos de ellas tendremos el problema resuelto y el en caso b). tomaremos un punto cualquiera Figura 39 de la recta dada y lo uniremos con el punto dado, teniéndose así dos rectas que se cortan, determinaremos sus trazas y tendremos el problema resuelto. Téngase presente que para determinar las trazas de un plano (son dos rectas), necesitamos obtener cuatro puntos, es decir, cuatro proyecciones de trazas, pero con tres es suficiente pues, la unión de dos de ellas nos determina en la LT un punto que unido con el tercero nos resuelve el problema. Si por un casual las trazas de las rectas que tenemos se salen fuera de los límites del papel, para solventarlo procederemos a buscar otras rectas que estén contenidas en el plano y cuyas trazas se encuentre dentro de los límites del papel. Piénsese que si tenemos un plano definido por dos rectas, cualquier punto de una de ellas unido con otro punto de la otra, nos determina una recta que se encuentra en el mismo plano que las dadas. Condición de pertenencia entre rectas y planos. La condición para que una recta pertenezca a un plano, es que las trazas de la recta estén situadas sobre las trazas del plano. Figura 40.

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Condición de pertenencia entre puntos y planos. Para que un punto pertenezca a un plano, las proyecciones del punto tienen que estar sobre las proyecciones de una recta que pertenezca al plano. Figura 40.

Figura 40

La recta R pertenece al plano P y la recta S pertenece al plano Q. El punto A pertenece a la recta S y por pertenecer esta al plano Q, implica que el punto A también pertenece al plano Q.

Rectas horizontales y frontales de un plano. Llamamos rectas horizontales (o frontales) de un plano a todas aquellas rectas que perteneciendo al plano sean paralelas al PH (o al PV). Figura 41. Obsérvese que al tener las rectas horizontales (o frontales) una sola traza obliga a que la proyección horizontal (o frontal) de esta recta debe mantenerse paralela a la traza horizontal P ( o vertical P’) del plano. Téngase en cuenta que las rectas horizontales (o frontales) es el lugar geométrico de todos los puntos que distan la misma magnitud del PH (o PV) y pertenecen a un plano dado.

Figura 41

En la figura la recta R es una horizontal del plano P y la S una frontal del plano Q.

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A partir de estos conocimientos podemos resolver problemas basados en la pertenencia entre puntos y rectas con planos, como son, figura 42: a). Dada la proyección vertical P’ de un plano y las proyecciones a’-a de un punto A perteneciente al mismo, determinar la proyección horizontal P del plano. b). Dada la proyección horizontal b de un punto B perteneciente a un plano definido por sus trazas Q’-Q determinar la proyección vertical b’ del punto.

Figura 42 Situar un punto definido por sus coordenadas en un plano dado.

Para situar el punto A(x,5,2) en el plano P’-P trazaremos una recta horizontal del plano que tenga 5 unidades de separación del PV y una recta frontal del mismo que tenga 2 unidades de altura, donde ambas rectas se corten tendremos situado el punto A. Figura 43.

Figura 43 Página nº 24

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Posiciones particulares del plano. Un plano puede adoptar las siguientes posiciones en el espacio con respecto a los planos de proyección. a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal. b).- plano paralelo al PV. Plano frontal. c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal. d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical. e).- Plano paralelo a la LT. f).- Plano que pasa por la LT. g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil. a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal. Este plano se caracteriza, por ser paralelo al PH, por tener una sola traza la vertical P’ y esta es paralela a la LT. Tiene la propiedad de que cualquier figura contenida en este, en proyección vertical, se verá como una línea y estará confundida con P’, estando en proyección horizontal donde sea y en VERDADERA MAGNITUD. Figuras 44 y 45. En la figura está representada las proyecciones de una circunferencia contenida

Figura 44 en el plano P.

Figura 45 Página nº 25

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b).- Plano paralelo al PV. Plano frontal. Este plano se caracteriza, por ser paralelo al PV, por tener una sola traza la horizontal P y esta es paralela a la LT. Tiene la propiedad de que cualquier figura contenida en este, en proyección horizontal, se verá como una línea y estará confundida con P, estando en proyección vertical donde sea y en

Figura 46 VERDADERA MAGNITUD. Figuras 46 y 47. En la figura se ve las proyecciones de un triángulo contenido en el plano P.

Figura 47

c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal.

Figura 48

Este plano se caracteriza por tener su proyección vertical perpendicular a LT y la horizontal inclinada. Cualquier figura contenida en este plano se verá en proyección horizontal como una línea y estará confundida con la proyección horizontal del plano, teniendo la proyección vertical donde sea y NO ESTARÁ EN VERDADERA MAGNITUD. Además el ángulo formado por la proyección horizontal del plano y la LT será el ángulo que forma el plano con el PV. Página nº 26

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En la figura se ve las proyecciones de una circunferencia contenida en el plano P’-P, obsérvese que la proyección vertical no es una circunferencia, es una elipse. Figuras 48 y 49.

Figura 49 d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical. Este plano se caracteriza por tener su proyección horizontal perpendicular a LT y la vertical inclinada. Cualquier figura contenida en este plano se verá en proyección vertical como una línea y estará confundida con la proyección vertical del mismo, teniendo la proyección horizontal donde sea y NO ESTARÁ EN VERDADERA MAGNITUD. Además el ángulo formado por la proyección vertical del plano y la LT será el ángulo que forma el plano con el PH. En la figura se ve las proyecciones de un triángulo equilátero contenido en el plano P’-P, obsérvese que la proyección horizontal no es un triángulo equilátero. Figuras 50 y 51. Figura 50

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Figura 51 e).- Plano paralelo a la LT. Un plano paralelo a la LT se caracteriza por tener sus proyecciones paralelas a la LT. Cualquier figura contenida en este plano NO SE VERÁ EN VERDADERA MAGNITUD. Obsérvese que los lados del

Figura 52 triángulo son rectas que pertenecen al plano P’-P. Véase condición de pertenencia entre rectas y planos. Figura 52 y 53.

Figura 53

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f).- Plano que pasa por la LT. Este plano se caracteriza por tener ambas trazas confundidas con la LT, es un plano que no queda definido pues, todos los planos que pasan por la LT tendrán las mismas proyecciones. Para su definición es necesario dar un punto del mismo. Figura 54 g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil. Este plano se definió al estudiar la recta de perfil. Posiciones relativas entre puntos, rectas y planos. Las posiciones relativas entre puntos, rectas y planos pueden ser: Relaciones de pertenencias: a).- Pertenencia entre puntos y rectas. b).- Pertenencia entre rectas y planos. c).- Pertenencia entre puntos y planos. Relaciones de posición: d).- Posiciones entre rectas. e).- Posiciones entre planos. f).- Posiciones entre rectas y planos. a).- Pertenencia entre puntos y rectas. Este apartado quedó expuesto en la página 10, figura 22.

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b).- Pertenencia entre rectas y planos. Este apartado quedó expuesto en las páginas 22 y 23, figura 40. c).- Pertenencia entre puntos y planos. Este apartado quedó expuesto en la página 23, figura 40. d).- Posiciones entre rectas. Las posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio son: 1).- Rectas que se cortan. 2).- Rectas que se cruzan. 3).- Rectas paralelas. Los apartados 1 y 2 fueron expuestos en la página 20, figura 37 mientras que el apartado 3) será expuesto al abordar el estudio del paralelismo y la perpendicularidad. e).- Posiciones entre planos. 1).- Planos paralelos. 2).- Planos no paralelos. Intersección de planos. El punto 1) se expondrá en el estudio del paralelismo y la perpendicularidad. 2).- Planos no paralelos. Intersección de planos. Dos planos que se cortan lo hacen a través de una recta. Para determinar la recta intersección procederemos de la siguiente manera: La recta intersección pertenecerá a ambos planos, por tanto deberán cumplir las condiciones de pertenencia entre rectas y planos. Sean los planos P y Q y la recta

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R. Por pertenecer la recta R al plano P, la traza vertical de R deberá estar en la traza vertical de P, por el mismo motivo, la traza vertical de R deberá estar en la traza vertical de Q, como conclusión, la traza vertical de R será el punto de intersección de las trazas verticales de ambos planos. Por idéntico razonamiento, la traza horizontal de R estará en la intersección de las trazas horizontales de ambos planos. Para resolver el problema bastará con determinar estos puntos y unirlos. Figura 55 Figura 55.

Veamos como solucionar el problema cuando las trazas de ambos planos se cortan fuera de los límites del papel.

Sean los planos P y Q cuya intersección queremos determinar. Consideremos un plano horizontal W1 (o vertical) auxiliar y con él cortaremos a ambos planos, el plano W cortarán al plano P en una recta T y el plano auxiliar W cortará al plano Q en otra recta S, ambas rectas, T y S, se encuentran en el plano W, por tanto se cortarán en un punto A Figura 56 que pertenece a ambos planos. Repitiendo este proceso (plano auxiliar W2) obtendremos otro punto B que, unido con el A, nos determinará la recta R intersección de ambos planos. Figura 56.

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Nota: Como plano auxiliar puede tomarse cualquier tipo de plano, pero recomendamos usar planos horizontales o frontales por ser mas fácil la determinación de las intersecciones con los planos dados. Si dos de las trazas de los planos se cortan dentro de los límites del papel, solamente tomaremos un plano auxiliar, ya que, al cortarse las trazas dentro del papel, tendremos un punto de la recta intersección buscada.

Hay casos donde no es factible elegir planos auxiliares horizontales o frontales, por la complejidad en determinar las rectas intersecciones, en estos casos elegiremos otro tipo de plano como pueden ser los planos proyectantes verticales u horizontales (planos verticales o de canto). Figura 57.

Figura 57

f).- Posiciones entre rectas y planos. Las posiciones entre rectas y planos pueden ser: 1). Recta y plano paralelo. 2). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano. 1). Recta y plano paralelos. Este apartado se expondrá al estudiar el paralelismo y la perpendicularidad. 2). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano. La intersección entre recta y plano es un punto, debemos de encontrar aquél punto de la recta que pertenezca al mismo tiempo al plano.

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Para resolver este problema, lo vamos a plantear desde dos puntos de vista distintos aunque el grafismo empleado en la resolución del problema es el mismo.

Figura 58 Figura 58.

Primer método. Consideremos la recta R y el plano P cuya intersección queremos determinar, para ello vamos a considerar que la proyección vertical (o la horizontal) de la recta R perteneciera al plano P’-P, entonces tendría en proyección horizontal la recta s, pero a la proyección r’ le corresponde la r y no la s, vemos que ambas rectas tienen un punto en común el i, este punto será el punto buscado.

Segundo método. Consiste en tomar un plano W, auxiliar, que contenga a la recta R, este plano W cortará al plano P en la recta S, la recta S y la recta R se encuentra en el plano W, por tanto ambas rectas se cortarán en el punto I, punto de intersección buscado. Figura 59 y 60.

Figura 59

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Visibilidad entre recta y el plano. Tenemos que determinar quién tapa a quién, es decir, saber que parte de la recta será tapada por el plano. Para ello partimos de la idea de que la recta queda dividida en dos partes, antes del punto de intersección y después de él. Una parte será vista y la otra oculta. Para ello, tomaremos un punto sobre la recta situado antes (o después) del punto de intersección, (en realidad estamos eligiendo dos puntos, el A que pertenece a la recta y el B que pertenece al plano), miraremos en la otra proyección cual de los dos tiene mayor cota (o distancia), aquél que tenga la mayor magnitud será el visto y el otro el oculto. La recta sera visible si el punto elegido es visible y oculta en caso contrario. En la figura se ve que el punto A tiene mayor cota que B, por tanto A tapa a B, es decir, Figura 61 recta tapa a plano. Solo se ha estudiado la proyección horizontal para no hacer el dibujo demasiado complejo. Hay que destacar que la zona visible en proyección horizontal NO TIENE POR QUÉ ser visible en proyección vertical, por tanto, este proceso habrá que realizarlo dos veces, una para la proyección vertical y otra para la horizontal. Figura 61. Movimientos. Los movimientos son los métodos operativos que disponemos, en geometría descriptiva, para poder “ver” aquellas cosas que no vemos en las proyecciones que nos planteen. Hay dos tipos de movimientos: a).- Los cambios de planos. b).- Los giros. Página nº 34

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La diferencia entre giro y cambio de plano es la siguiente:

En un giro nosotros quedamos inmóvil y gira el objeto que estamos estudiando y en el cambio de plano, es el objeto el que permanece inmóvil y somos nosotros los que cambiamos de posición, de esta

Figura 62 manera podremos ver aquellas partes que queden ocultas o confundidas. Figura 62 (giro) y 63 (cambio de plano).

Figura 63 En el giro (figura 62) observamos como la recta R gira alrededor del eje E hasta convertirse en una recta frontal (paralela al PV). Vemos como el punto v’ gira hasta convertirse el el vg’ (que queda a igual distancia del PV como el H). El punto H queda inmóvil por pasar el eje de giro por dicho punto. Este movimiento se emplea con mucha frecuencia para poder determinar verdaderas magnitudes sobre la recta R (recuérdese las propiedades de la recta frontal). En el cambio de plano, figura 63, observamos que la cara VAB de la pirámide representada, según la vista nº 1, en proyección vertical, se ve como un triángulo v’‘a’‘b’‘, mientras que según la vista nº 2, esa misma cara se ve como una línea v’a’b’. En este ejemplo, hemos convertido la cara VAB en un plano de canto, importante para resolver problemas de intersecciones de figuras.

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