Geometria Descriptiva

2013 GEOMETRIA DESCRIPTIVA -MODULO I

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO

ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL 01/02/2013

CONTENIDOS Semana 1: ♣ Reseña histórica, definición del curso. ♣ Proyección de un punto en el espacio ♣ Planos auxiliares de proyección perpendicular a los planos en proyección horizontal y frontal. ♣ Representación de los planos auxiliares en el depurado. ♣ Vistas auxiliares sucesivas. Proyección de sólidos. Semana 2: ♣ Recta. ♣ Proyecciones y planos proyectantes. ♣ Posiciones particulares de las rectas que se cortan. ♣ Visibilidad. ♣ Verdadera magnitud mediante vista auxiliar ♣ Proyección de una recta como un punto. ♣ Orientación y pendiente. ♣ Rectas paralelas y perpendiculares. ♣ Plano determinación del plano. ♣ Rectas contenidas en un plano. ♣ Rectas notables en los planos horizontal, frontal y de perfil. Posiciones particulares. ♣ Planos de canto en vistas auxiliares. ♣ Verdadera magnitud de un plano. ♣ Pendiente orientación de un plano. ♣ Recta máxima pendiente ♣ Paralelismo: condición de paralelismo entre rectas y planos. ♣ Por una recta trazar un plano paralelo a una recta dada. Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas Semana 3: ♣ Perpendicularidad: condición de perpendicularidad entre rectas y planos ♣ por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada. ♣ Por un punto trazar una recta perpendicular a un plano.

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OBJETIVOS Objetivo General Brindar al alumno métodos visuales prácticos para el desarrollo de problemas tridimensionales que el sirvan para su futura vida profesional Específicos Analizar por sí mismo problemas tridimensionales mediante proyecciones Ortogonales Desarrollar vistas de un proyecto arquitectónico Representar en el papel un objeto cualquiera dado Desarrollar en forma practica un método de análisis visual para la solución de problemas tridimensionales.

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Es la ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal.

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Teoría de la Proyección ¿Qué es una Proyección? Es el método que se utiliza para representar un objeto en una superficie. Figura que resulta de proyectar los puntos que se observan del objeto en la dirección del plano de proyección. Proyectar: Objetivizar lo que captamos de las formas y dimensiones de los objetos en un plano

Plano de proyección: Superficie sin espesor transparente, ilimitado y bidimensional, se proyecta la imagen de un objeto Principios de la proyección Es la imagen obtenida en una superficie (Generalmente plana) llamado plano de proyección. Esta imagen resulta de la intersección con el plano de proyección de las visuales que van del ojo del observador a los diferentes puntos del objeto a representar En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en sí. b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio. c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc. d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección.

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Perspectiva Visual Plano de proyección

Proyección Objeto

Observador

 Horizontal  Frontal  Perfil

Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. Proyección cónica

Proyección cilíndrica

Ortogonal

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Oblicua

Sistemas de representación Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección Tipos de sistemas de representación Es el conjunto de principios que permite determinar la representación de un objeto mediante de la selección de cualquier tipo de proyección

Es el elemento geométrico más simple en el espacio

Representación del Punto Los puntos se representan con letras Mayúscula en el espacio, y en las proyecciones se le agrega el superíndice para identificar la proyección vertical y la proyección horizontal. ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

Determinación de un punto mediante coordenadas P ( 95, 60, 40) P ( x, y, z )

O= Origen de replanteo de todo punto X= Distancia del punto al plano lateral o de perfil Y= vuelo del punto (distancia del punto del plano frontal) Z= Cota del punto (distancia del punto al plano horizontal

La representación de un punto A se materializa en su proyección horizontal A 1 y su proyección vertical A2.

No se dibuja línea de tierra. Su situación queda determinada en base a las proyecciones de otros puntos (sistema de coordenadas relativas)

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La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra. Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra. Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima . Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará sobre la línea de tierra.

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Posición del punto con respecto a otro Un punto con respecto a otro puede referenciarse de dos manera a) Por medio de coordenadas cartesianas (distancias: más alto, más bajo). b) Por coordenadas angulares (Orientación: norte, sur, este, oeste; inclinación). Plano adyacente: Plano de proyección contiguo, separado por una línea de pliegue. Plano anexo: Plano que se halla separado de otro por un plano adyacente PROYECCIONES RELATIVAS ENTRE PUNTOS:

LA ORIENTACIÓN SOLO SE DEFINE EN EL PLANO H

Ejercicios 1. Dibujar las proyección horizontal, frontal y lateral de tres puntos A,B y C cubicados en el primer diedro. El punto A tiene una cota de 4m un alejamiento de 2m y un apartamiento de 3m. El punto B está ubicado 2m al norte, 3m al este y 2m más abajo que A. El punto C está ubicado 1m al sur, 1,5m al oeste y 1m mas abajo que A. Esc: 1:100. 2. Represente los siguientes puntos e indique em que diedro se encuentran: A(25;50;-70), B(45;-40;-65.5) C(65;75;0) D(65;50;-25) E(110;-55;30).

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En los Planos de Proyección, las Visibilidades serán las siguientes: VISTA HORIZONTAL: La visibilidad se ve en los Planos Laterales, los puntos que estén Visible y lo que está abajo Invisible.

arriba son

VISTA FRONTAL: La visibilidad se ve en los Planos superior o inferior ,los puntos que estén Adelante son Visible y lo que están detrás Invisible. VISTA DE PERFIL: La visibilidad se ve en el Plano Frontal, los puntos que estén a derecha son Visibles y la Izquierda Invisibles. Vista Auxiliar: Es aquella que se toma en un plano diferente a los planos Principales. Es práctica común enumerar todos los vértices de objeto para obtener una mayor claridad en la obtención de las vistas. Pero hay que tener cuidado porque en piezas complicadas puede confundir al dibujante Clasificación de Vistas Auxiliares: A) Vista Auxiliar Primaria  Si proviene de una vista principal Clasificación  Vista Auxiliar Horizontal  Vista Auxiliar Frontal  Vista Auxiliar de perfil B) Vista Auxiliar Secundaria  Si proviene de una primaria . ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

I.- Vista Auxiliar Horizontal Cota: distancia de la proyección de un punto al Plano Horizontal

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Cuando se desea mostrar el verdadero tamaño y forma de una superficie, inclinada la cual está inclinada con respecto a dos o más planos principales de proyección, debe proyectarse una vista de la superficie sobre un plano paralelo a la misma.

CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE CONSTRUCCIÓN DE UNA VISTA AUXILIAR DE UNA SUPERFICIE 1. Se parte de dos vistas. 2. Se enumeran los puntos de interés 3. Se traza la línea de referencia H1 paralela a la superficie plana 4. Se trazan las líneas de proyección a la nueva vista 5. Se miden las distancias desde la línea de referencia HF hasta los puntos 1F 2f 3F 4F y se colocan a continuación de la línea de referencia H1 y se forma la vista

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PROYECCIONES DE UN SÓLIDO Proyección (H, F y P) el sólido se proyecta ortogonalmente 1. Es visible el contorno en cualquier plano de proyección. 2. En el plano H: Son visibles los puntos que están arriba Son invisibles los puntos que están abajo 3. En el plano F: Son visibles los puntos que están adelante Son invisibles los puntos que están atrás. 4. En el plano P: Son visibles los puntos que están a la derecha Son invisibles los puntos que están a la izquierda

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VISTAS AUXILIARES EJERCICIOS Dadas las vistas superior y frontal Dibujar las vistas auxiliares parciales de un prisma truncado de base hexagonal, de un cilindro truncado y de una pirámide truncada de base hexagonal

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La recta es el rastro que deja un punto sobre el espacio cuando este se mueve en una dirección y pendiente constante. Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. Una recta tiene una sola dimensión: la longitud. Una recta queda definida por dos puntos. Un punto pertenece a una recta si sus proyecciones pertenecen a las de esa recta (A y B pertenecen a la recta r) Las proyecciones de los puntos determinan las proyecciones de la recta En el espacio la línea recta está definida, bien sea por dos puntos o un punto y una dirección. Representación de una recta dada por dos puntos en el espacio (A y B) Se acostumbra a denominar la recta con la letra minúscula.

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Tipos de rectas Según la posición de la recta con respectos a los planos de proyección (horizontal, vertical o frontal y de perfil) está pueden recibir diferentes denominaciones.

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Posiciones Particulares De La Recta Son las posiciones en las cuales la recta muestra su verdadera magnitud en alguna de sus proyecciones. También son útiles para determinar relaciones geométricas respecto a otros elementos, como los ángulos respecto de los planos de proyección. Recta horizontal: Paralela al PH. Su proyección vertical h2 es perpendicular a las líneas de referencia.

En la planta se proyecta la VM y se mide el ángulo β que forma la recta con el PV.

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Recta frontal: Paralela al PV. Su proyección horizontal f1 es perpendicular a las

líneas de referencia. En el alzado se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH

Recta de perfil: Paralela al PP. En el perfil se proyecta la VM y se mide el ángulo α que forma la recta con el PH y el ángulo β que forma con el PV.

Recta perpendicular al PP: En la planta y el alzado se proyecta la VM. Las dos proyecciones principales son paralelas entre sí y perpendiculares a las líneas de referencia. En el perfil la proyección es un punto.

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Recta vertical: Perpendicular al PH y paralela a los otros dos planos de proyección. La dirección de la proyección vertical es la misma que la de las líneas de referencia. En el alzado y perfil se proyecta en VM. En la planta su proyección es un punto.

Recta de punta: Perpendicular al PV y paralela a los otros dos planos de proyección. La dirección de la proyección horizontal es la misma que la de las líneas de referencia. En la planta y perfil se proyecta en VM. En el alzado su proyección es un punto.

Trazas de la recta

La traza (o intersección) es el punto de penetración de una recta en un plano de proyección también se denomina puntos trazas o puntos notables de la recta. Para que un punto (como el punto traza) pertenezca a la recta debe tener su proyección sobre la proyección de la recta

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Ejemplo: Dibujamos la recta dada ( por dos puntos: A,B).

Traza Vertical Se determina con la intersección de la proyección horizontal con la línea de h

tierra encontrando el punto V (V =0) donde corta con la proyección vertical. Traza Horizontal Se determina con la intersección de la proyección vertical con la línea de tierra v

encontrando el punto H (H =0) donde corta con la proyección horizontal. Verdadera Magnitud de una Recta:

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 Método del plano paralelo: Se ha visto que una recta horizontal es paralelo al plano H se proyecta en dicho plano VM igual forma una recta frontal y de perfil. Para tener una recta en VM es necesario que el plano de proyección sea paralelo a la recta caso contrario se recurrirá a una vista auxiliar paralelo a la recta y en la vista auxiliar se mostrará en VM la recta.

 Método del triángulo de rebatimiento: Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.

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1. Se lleva sobre la proyección vertical de la recta AB una perpendicular v

v

(B Ba´) la diferencia de vuelos entre los puntos de la recta, donde A Ba´ es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra β(beta) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical. 2. Se lleva sobre la proyección horizontal de la recta AB una perpendicular v

(B Ba) la diferencia de cotas entre los puntos de la recta, donde AvBa es la verdadera magnitud. Con este procedimiento se encuentra α(alfa) que es el ángulo que forma la recta con el plano vertical.

Medir distancias sobre una recta Cuando una recta es al menos paralela a uno de los proyección, la distancia de cualquier punto ubicada sobre esta, puede ser determinada en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela. Cuando una recta es oblicua, fijamos un segmento conocido (como AB) v

y

determinamos su verdadera magnitud (A Ba´) sobre el verdadero tamaño medimos la distancia que se desea conocer, esta distancia corresponderá proporcio nalmente a la relación entre la proyección y verdadera magnitud Ejemplo: medir sobre el segmento AB, desde A una distancia d(AC)

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Proyecciones De La Recta Las proyecciones de los puntos AB determinan las proyecciones de la recta en los diferentes planos Un punto contenido en una recta aparece en todas las proyecciones de la recta

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Ejercicio

DIBUJAR EL POLIGONO ABIERTO ABCDE SABIENDO QUE: Las coordenadas del punto A son: A (300, 500) F

A (300, 2600) H

B, está a 3 Km al norte y 500 metros arriba de A C, está a 5 Km al este, 1 Km al sur y 100 metros debajo de B D, está a 1 Km hacia adelante, 2 Km a la izquierda y 2 Km debajo de C E, está a 2 Km al oeste, 2 Km al sur y 1500 metros debajo de D

Orientación Y Pendiente De La Recta La pendiente es el ángulo de inclinación que hace la recta con el plano principal o un plano paralelo a él.

Si AB es el segmento entonces la pendiente será positiva si B está por encima de A y será negativa si B está debajo de A

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Determinación De La Pendiente: La pendiente se aprecia en su verdadera medida cuando se toma la verdadera magnitud de la recta a partir de la vista horizontal.

La pendiente se puede denotar en ángulos o en

porcentaje.

Para

determinar

la

pendiente en porcentaje desde un punto extremo de la recta se mide 100 unidades y lleva una perpendicular con respecto a esta, el cateto opuesto al ángulo determina el valor de la pendiente en base al 100%. En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: si la recta asciende con respecto a la línea de tierra a partir del punto determinado para medir dicho ángulo. Es negativa (-), si desciende o se acerca a la línea de tierra.

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Es el ángulo que forma la proyección horizontal de una recta con el eje coordenado Norte-Sur, Este ángulo siempre se mide en el plano de proyección horizontal y será en un ángulo menor a 90º

Ejemplo:

Dado

el

punto A trazar una recta AB desde el punto A con una orientación N 66º E.

Vista De Punto De Una Recta:

Para que una recta se proyecte de punta en un plano de proyección es necesario que una recta de VM sea perpendicular al plano. Para lo cual es necesario dos vistas auxiliares: 1.- Para determinar la VM de la recta. 2.- Un plano perpendicular a VM de la recta y se verá la recta de punta.

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Rectas Perpendiculares Cuando dos rectas se cortan o cruzan y forman un ángulo de 90º. serán perpendiculares si una de ellas se proyecta en VM Si una de ellas se proyecta en VM y la otra como punto, entonces estas serán perpendiculares En la siguiente figura se muestra el caso de dos rectas perpendiculares AB y CD, en donde AB es una recta horizontal, luego AhBh y ChDh deberá medir 90º, no así el ángulo entre AfBf y CfDf ya que ninguno de ellos estará en verdadera magnitud. En la figura (b) se tiene un caso en que dos rectas MN y PQ determinan un ángulo de 90º en la vista horizontal. Estas dos rectas no son perpendiculares entre sí, ya que MhNh y PhQh no están en su verdadera magnitud.

Pertenencia de punto a recta Dada una recta r y el punto M, para que el punto pertenezca a la recta es necesario que las proyecciones del punto se encuentren sobre las proyecciones del mismo nombre en la recta En el caso de la recta de perfil no es suficiente con ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

comprobar las proyecciones horizontal y vertical y en el caso del punto C nos hemos de auxiliar de la proyección de perfil para comprobar que no pertenece a la recta.

Rectas Paralelas: Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier plano serán también paralelas entre sí:

Rectas Que Se Cortan Se dice que dos rectas se cortan cuando poseen un punto en común. Como el punto de intersección pertenece a las rectas, será necesario que en todas las proyecciones, las dos rectas se encuentren en la proyección del punto en común. Se encuentran en un mismo punto en un mismo plano.

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Cuando no se da esta circunstancia las dos rectas se cruzan en el espacio.

Ejercicios Desarrollados 1Dada la recta “m” por los puntos A(30;35;20), B(70;35;55) se pide proyecciones de la recta “a” el tipo de recta, trazas y verdadera magnitud del segmento AB. Primero hallamos las proyecciones de los puntos A y B. (en la perspectiva se ve claramente que es una recta frontal). La recta es paralela a PV. La extensión de la proyección vertical hasta la línea de tierra ayuda a determinar el punto de penetración (traza) de la recta AB al plano horizontal h

que es el punto Q , no existe traza vertical por que la recta es paralela al PV. La verdadera magnitud de la recta se puede verificar directamente sobre la proyección de la recta.

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2. Dado el punto C( 30; 15; 40): a) Dibujar las proyecciones de un segmento CD (De Perfil) que forma 60° con el Plano Horizontal de proyección y mide 50 mm. Tomar la alternativa de mayor vuelo y mayor cota para la representación del punto D. b) Hallar las trazas.

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Ejercicios Propuestos

2. Dada una mina de cobre: a) Representar en doble proyección ortogonal la boca de un túnel de la mina dada por la recta "r" [A (100;40;20) y B(70;28;8)]. b) Determine el punto "V" y "H" (trazas de la recta AB con los planos de proyección) donde se encuentra las estaciones de trabajo del túnel AB. c) Representar la proyección del túnel HC que desciende por el suelo extensión de la recta "r" que mide 45 mt. d) Determinar la ubicación de otra estación de trabajo que se encuentra en el punto D emplazada en la mitad del tramo CH. e) A partir de la estación ubicada en el punto D construir un segundo túnel que va hasta el mineral que se encuentra en el punto E ubicado a 50 mt, este túnel es una recta de punta y E tiene mayor vuelo que D f) Determinar los ángulos y verdadera magnitud de los segmentos AH y DE. 3. Se desea perforar un túnel en una montaña para llegar a una mina de carbón partiendo del punto A (25;10;35) la boca del túnel, extendiéndose hasta B (65; ? ; 10). a) Determinar las proyecciones del segmento AB sabiendo que forma 30º con el plano horizontal y que el punto "B" tiene mayor vuelo que el punto A. b) Hallar el punto de penetración del túnel "H" (con el plano horizontal) (Punto donde se encuentra el carbón). c) sobre el tramo AB, Construir un segundo túnel a partir del punto "P" que se encuentra a 25 mt del punto "A" denominado PQ para ventilar al primero (AB), sabiendo que forma 90º con el plano horizontal y 0º con el plano vertical, este túnel mide 30 mt. que es la distancia hasta Q, don se ventila en la superficie. d) Determinar el Angulo b de AH. Problema: AB es una barra estructural, se le refuerza en X con una barra perpendicular a AB que parte de C. Determinar la magnitud, orientación y pendiente de CX (Esc: 1/100) A (3,0 – 5,0 – 8,5) B (5,0 – 2,0 – 12,5) C (8,0 – 4,0 – 10,0) ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

El plano es un lugar geométrico originado por una línea en movimiento y tiene una extensión indefinida a menos que se indique otra cosa. El plano se denomina con letras griegas (αβΩπΦ…). a) Limitados (polígonos, círculos, otros). b) Ilimitados (carece de contornos definidos y se extienden al infinito).

Representación De Un Plano Un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas). La forma más expresiva de representar un plano es a través de sus trazas. Las trazas del plano son rectas del plano (V y H) que se originan por la intersección del plano en el espacio con los planos de proyección; determinando la posición de este.

Traza vertical (V): recta del plano contenida en el plano vertical. (recta frontal). Traza horizontal (H): recta del plano, contenida en el plano horizontal (recta horizontal)

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Ω

HΩ

Tipos de planos Al igual que la recta, el plano recibe un nombre según la posición que tengan con respecto a los planos de proyección, (por ejemplo Ω). Es conveniente conocer sus trazas o rectas características que las estudiaremos más adelante. a) Plano oblicuo Tiene una posición accidental con respecto a los planos de proyección

b) Plano paralelo a la Línea de Tierra Sus trazas son paralelas a la L. T

c) Plano horizontal Es paralelo al PH (Plano de Proyección Horizontal)

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d) Plano frontal Es paralelo al PV (Plano de Proyección Vertical)

e) Plano de canto o Proyectante Vertical Es Perpendicular al PV (Plano Vertical)

f) Plano Vertical o Proyectante Horizontal Es Perpendicular al PH (Plano Horizontal)

g) Plano d perfil Es paralelo al plano de perfil

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Formas De Determinar Un Plano Como se dijo anteriormente, un plano puede quedar definido si se conoce cualquiera de sus elementos (puntos; rectas; o sus trazas), pero deben reunir ciertas condiciones como son:  Planos determinados por dos rectas paralelas r A r

 Planos determinados por dos rectas que se cortan

 Planos determinado por 3 puntos no alineados

 Planos determinados por un punto y una recta

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 Plano determinado por sus trazas.

 Por figuras geométricas

Rectas contenidas en un plano Todo plano tienen infinitas rectas y puntos que lo conforman. Por ello es importante saber cómo representar un punto o una recta cualquiera contenida en sí. Si una recta corta a dos rectas contenidas en un plano, esta recta también está contenida en el plano

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Una recta está contenida en un plano, si pasa por dos puntos que pertenecen a este plano.

Una recta está contenida en un plano si pasa por un punto que pertenece a un plano y es paralela a una recta que está contenida en dicho plano.

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Rectas Notables De Un Plano  Recta Horizontal Paralela al PH de referencia.

AX recta Horizontal  Recta Frontal Paralela al PV de referencia

MN recta Frontal ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

 Recta De Perfil

XY recta de Perfil

Puntos Pertenecientes A Un Plano Si un punto pertenece a un plano, dicho punto pertenecerá también a cualquier recta que esté contenida en el plano, siempre que la recta pase por dicho punto.

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H

Posiciones Del Plano Particulares 

Plano Horizontal

Plano paralelo al plano H Se proyecta en verdadera magnitud en el plano H Se proyecta de canto en el plano F BH

Verdadera Magnitud

CH

AH H F AF

BF

CF

 Plano Frontal Plano paralelo al plano F Se proyecta en verdadera magnitud en el plano F Se proyecta de canto en el plano H BH

CH

BF

Verdadera Magnitud

CF

AF ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

 Plano De Perfil Plano paralelo al plano P Se proyecta en verdadera magnitud en el plano P Se proyecta de canto en el plano F

BP Verdadera Magnitud

CP

 Plano Vertical Se muestra perpendicular al plano H, por lo que se proyectará de canto en H

CH BH

BF

CF

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 Plano Normal Se muestra perpendicular al plano F, por lo que se proyectará de canto en F BH

CH

AH

CF BF

AF

 Plano Perpendicular al Plano de Perfil U Ortogonal Se muestra perpendicular al plano P, por lo que se proyectará de canto en P

BF

BF

AF

CF

CF

F P

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Plano De Canto Para hallar la proyección de un plano de canto en una vista, es necesario y suficiente hallar en dicha vista una recta del plano como punto

B1 N1

C1 M1

A1

BH NF

B2 CH

M2 N2

2

A2

1

MF 1 H

AH

H F C2 CF AF MF NF BF

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Ejercicio Encontrar la vista de canto del siguiente plano

Solución

1.

Primero se toma la recta MN cualquiera que pertenece al plano

2. En la vista 1 se obtiene la verdadera magnitud de la recta MN 3. En la vista 2 se proyecta de punta como se observa en esta vista el plano se mostrara de canto. Veamos el desarrollo

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Método Directo (Recta Notable Horizontal) Se toma una recta horizontal cualquiera y como esta se proyecta en verdadera magnitud en la vista horizontal

se

podrá

proyectar

de

punta

directamente sobre la vista auxiliar primaria y así obtener la vista de canto.

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Método Directo (Recta Notable Frontal) Se toma una recta frontal cualquiera y como esta se proyecta en verdadera magnitud en la vista frontal se podrá proyectar de punta directamente sobre la vista auxiliar primaria y así obtener la vista de canto.

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Verdadera Magnitud De Un Plano Se proyecta en un plano paralelo al plano Inicialmente hallas el plano de canto. Luego se toma una vista auxiliar paralela a está vista de canto. En dicha vista se obtendrá el plano en VM (por lo tanto todas las rectas del plano están en VM). B1 N1

C1 M1

32

2

1 A1

BH NF

B2 CH B3

MF

M2 N2 A3

1 H

A2

AH

VERDADERA MAGNITUD

H F C2 CF C3

AF MF NF BF

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Ejercicios Encontrar la verdadera magnitud del siguiente plano

Solución

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Ejercicios propuestos

Problema 1: Hallar la verdadera magnitud del plano ABC A (2,0 – 5,5 – 8,5) B (4,5 – 3,0 – 10,0) C (6,0 – 4,5 – 6,5)

Problema 2:

ABC son los vértices de un plano ortoperfil. Determinar las coordenadas y proyecciones principales del plano JKL que está determinado por los puntos medios de AB, BC y AC A (2,5 – 7,0 – 8,0) B (6,0 – 5,0 – ?) C (4,0 – 4,0 – 11,5)

ORIENTACION DE UN PLANO

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 La orientación de un plano está determinada por la orientación de una recta horizontal contenida por un plano  Se ve únicamente en el plano H  La nomenclatura es la misma que en el caso de la recta

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Notación del plano ABC

- Si se toma en sentido AX, su orientación será: S αo E - Si se toma en sentido XA la orientación será: N αo O

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Pendiente De Un Plano

Es la tangente del ángulo de inclinación que hace el plano respecto a un plano horizontal Se nombra en grados o en porcentaje de pendiente. Proyectar el plano de canto en una vista de elevación (adyacente al plano H)

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Recta de máxima pendiente de un plano es una recta (o cualquiera paralela a ella) contenida en un plano oblicuo, perpendicular a todas las horizontales contenidas en dicho plano. Analíticamente la recta de máxima pendiente de un plano se determina respecto a un plano horizontal cualquiera, y está dado por una recta contenida en aquel plano , que hace con sus proyección ortogonal en el plano horizontal, un ángulo cuya tangente es máxima. - La dirección en que baja la recta de máxima pendiente es hacia el vértice más bajo del plano o paralelo a ella.

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- Por la razón anterior, la recta de máxima pendiente en la proyección horizontal, se indica con una flechita que apunta en esa dirección - Obviamente, ninguna recta contenida en el plano, tendrá mayor pendiente que la recta de máxima pendiente; el plano tiene pendiente igual a la recta de máxima pendiente; la recta de máxima pendiente es la pendiente del plano.

Orientación: N ß O M. pendiente: ø NE ING. LUZ E. ALVAREZ ASTO.

Nomenclatura De La Pendiente Y Recta De Máxima Pendiente De Un Plano Se halla primero el ángulo que forma el plano respecto al plano horizontal (que se lee en el plano auxiliar o por diferencia de cotas en la construcción auxiliar) y luego la dirección en que baja la recta de máxima pendiente (que se lee en el plano H). Así, la pendiente y la recta de máxima pendiente del plano ABC es de θ0 SE Ejercicios Resueltos 1.- Determinar la orientación, la pendiente y la recta de máxima pendiente del plano ABC, cuyas propiedades se brindan en H y F.

2.- Completar la proyección horizontal y de perfil del triángulo isósceles ABC

recto en A. El triángulo ABC se ve equilátero en la proyección frontal (Tomar B detrás de C).

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Solución 1

Orientación del plano; está dada por la orientación de una recta horizontal tal como BR, N β0 O KC es la dirección en que baja la recta de máxima pendiente, perpendicular a RB que es la recta horizontal contenida en ABC. La recta de máxima pendiente del plano ABC tiene posición θ0 NE

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Solución 2

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Ejercicios Propuestos Problema 1: Si los segmentos AB y BC de la línea de tubería ABC tienen la misma pendiente, encuentre la vista frontal de BC. A (3,0 – 1,8 – 2,7) B (2,0 – 1,2 – 3,7) C (0,8 – ? – 3,4) Problema 2: Sobre el punto P que pertenece al plano XYZ se encuentra una esfera de acero, que al ser dejada en libertad se desplaza sobre el plano por efecto de la gravedad, determinar la longitud verdadera y la pendiente de la trayectoria, si tenemos: X (1,0 - 1,0 Y (4,0 - 4,0 Z (5,0 - 2.0 P (3,0 - ? Problema 3:

- 8,0) - 10,0) - 10,0) - 9,0) Completar las proyecciones H y F del plano KAB y además el

pliegue F-1

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Paralelismo  Paralelismo entre rectas Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. Si demás de ser paralelas son paralelas a un plano de perfil, se necesita su proyección de perfil para verificar el paralelismo

 Paralelismo entre recta y plano Una recta r es paralela a un plano, cuando lo es a una recta s que está contenida en el plano

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 Casos de paralelismo entre recta y plano  Trazar por un punto P exterior a un plano α una recta paralela al plano. (infinitas soluciones)

 Trazar por un punto P un plano α paralelo a un recta r. (infinitas soluciones)

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 Dadas dos rectas r y s no paralelas, trazar el plano α paralelo a s. (solución única)

 Paralelismo entre planos Si dos planos α y β son paralelos también los son las rectas r y s resultantes de la intersección de esos dos planos con un plano auxiliar δ. Si dos rectas que se cortan definen un plano, en dos planos paralelos hallaremos pares de rectas que se corten y que sean paralelas a otros pares de rectas del otro plano. Dos planos paralelos tendrán paralelas las rectas notables: las horizontales y las frontales, las de máxima pendiente y las de máxima inclinación o los lados del polígono que representa el plano.

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Trazar por un punto P el plano β paralelo al plano α.

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A) Por Una Recta Trazar Un Plano Paralelo A Una Recta Dada

1º Por un punto arbitrario (X) que pertenezca a la recta AC trazar una recta de longitud arbitraria, paralela a MN 2º Proyectar X (sobre AC) y trazar una recta paralela a MN en el otro plano de proyección.

B) Por un punto trazar un plano paralelo a dos rectas dadas 1º Por el punto (X) trazar una recta paralela a una de las rectas dadas (MN). Ubicamos el punto Y (arbitrario). 2º Por un punto de esta nueva recta (Y) trazar una recta paralela a la otra recta dada (AB). Ubicamos el punto Z (arbitrario).

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C) Por un punto trazar un plano paralelo a otro plano dado 1º Por el punto (A) trazar una recta paralela a una recta del plano dado (YZ). Ubicamos el punto M (arbitrario). 2º Por el punto (A) trazar una recta paralela a otra de las rectas del plano dado (XY). Ubicamos el punto N (arbitrario).

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Perpendicularidad Según el teorema de las tres perpendicularidades, si dos rectas son perpendiculares entre sí en el espacio (tanto si se cortan como si se cruzan) y una de ellas es paralela a un plano, las proyecciones ortogonales de las dos rectas sobre este plano son perpendiculares entre sí.  Condiciones entre rectas Cuando determinan un ángulo recto, siempre que una de ellas de muestre en VM  Condiciones entre una recta y un plano: La recta debe ser perpendicular a dos rectas que se cortan y que estén contenidas en el plano. Una recta será perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano.  Condiciones entre planos: Cuando un plano tiene una recta perpendicular al otro plano. A) Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada Por el punto (A) trazar una recta horizontal y otra frontal, buscando que sus verdaderas magnitudes sean perpendiculares a las respectivas proyecciones de la recta (MN)

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Problema 1: Hallar la longitud mínima que se apoya en AB y CD y sea paralela al plano XYZ A (4,0 – 3,3 – 4,8) B (6,5 – 1,0 – 5,9) C (1,2 – 2,2 – 5,1) D (4,5 – 3,8 – 7,8) X (3,8 - 2,5 - 6,1) Y (3,3 - 0,7 - 5,1) Z (5,8 - 3,7 - 4,6)

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