Guia De Fisica I 2020

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Física I Área de Física Jorge Luis Godier Amburgo Alejandro Trujillo Quinde Lima – Perú 2020

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

GUÍA DE LABORATORIO DE FÍSICA I © Derechos Reservados 2011 Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del autor. © Área de Física Primera Edición 2011 Segunda Edición 2018

Diseño, Diagramación e Impresión Universidad Científica del Sur Panamericana Sur Km.19. Lima-Perú 610-6400

Tiraje 500 ejemplares IMPRESO EN PERÚ

PRINTED PERU

2

Rector Dr. Manuel Rosemberg Barrón Director General Académico Dr. José Agustín Ortiz Elias Director de Cursos Básicos Rodrigo Pinillos Osnayo Coordinador de Área Biología, Educación Ambiental, Física e Investigación M.Sc. Dámaso Ramírez Huaroto Asistente de la Coordinación Gisela Paredes Rosello

Reservados todos los derechos: ningún material de este manual puede ser reproducido sin autorización expresa por escrita por los autores. La autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100, solo para uso con fines educativos y sin lucro

PRESENTACIÓN

En educación, como muchas otras actividades, el uso creciente de equipamiento computarizado ha venido dictado por la evolución de éstos. Este equipamiento se ha aplicado a la educación desde hace bastante tiempo, pero fue la aparición de las computadoras personales a comienzos de los años 80 el hito que permitió que la informática fuera un recurso barato y con grandes prestaciones, accesible a todos. Las posibilidades educativas en experimentación de los equipos Pasco Scientific han de ser consideradas en dos aspectos: su conocimiento y su uso; no se puede entender el mundo de hoy sin un mínimo de cultura informática, es preciso entender cómo se genera, cómo se almacena, cómo se transforma, cómo se transmite y cómo se accede a la información en sus múltiples manifestaciones (textos, imágenes, soni- dos). Desde ese enfoque los equipos Pasco es un sistema que revoluciona los méto- dos de de realización de experimentos con respecto a lo que se ha estado haciendo, especialmente en laboratorio, ya que permiten realizar las experiencias de una forma rápida y con mayor exactitud en comparación a los procedimientos convencionales. La metodología de enseñanza de las principios, leyes y conceptos de Física I implementada por la Universidad Científica del Sur a través de experiencias en el laboratorio es sustancialmente mejorada con este nuevo sistema computarizado de adquisición de datos; debido a esto, para su completa implementación se requiere que tanto el docente como el alumno cuenten con un conjunto de guías que se presentan en esta obra.

El Autor.

CONTENIDO

1. Manejo del software Data Studio. 2. Análisis de datos con Data Studio 3. Mediciones y Teoría de incertidumbre 4. Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado. 5. Movimiento en dos dimensiones (movimiento parabólico). 6. Caída libre 7. Movimiento circular uniforme y uniformemente variado. 8. Leyes de Newton. X2 9. Impulso y momentum. 10. Cambios de Energía Potencial 11. Conservación de la energía. 12. Momento de inercia. 13. Estudio del péndulo simple 14. Cinemática y dinámica de un M.A.S. 15. Oscilaciones forzadas y resonancia. 16. Ondas estacionarias en una cuerda (experimento de Melde). 17. Modos de vibración en una columna de aire y velocidad del sonido.

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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MANEJO DEL SOFTWARE DATA STUDIO

I. INTRODUCCIÓN Desde hace mucho tiempo el hombre ha tratado de liberarse de los trabajos manuales. La idea fundamental por la cual hubo la necesidad de inventar lo que hoy llamamos la computadora, no fue otra que la de reducir laboriosas tareas a una serie de tareas repetitivas sencillas para completar grandes proyectos; en nuestro caso, la realización de experimentos en física requiere no solo la recolección de grandes cantidades de datos sino también que los mismos sean exactos, por ende se propone como solución un sistema complejo, el cual funciona en conjunto con un computador, una interface y ciertos transductores (sensores). Este sistema permite realizar mediciones de forma rápida y con mucha mayor precisión con respecto a los métodos tradicionales. La cantidad de datos que se pueden registrar es mayor y en consecuencia, se puede des- cribir mejor el fenómeno en estudio. II. OBJETIVOS Conocer el sistema “Data Studio”, manipular las herramientas que proporciona el software y montar experimentos que utilicen equipos electrónicos y mecánicos de medición; al finalizar la sesión el estudiante estará en la capacidad de:   

Realizar el procedimiento para puesta en marcha del sistema. Utilizar y manipular las herramientas matemáticas y estadísticas proporciona- das por el sistema “Data Studio”. Aplicar los procedimientos para configuración, creación y edición de experiencias en física I, empleando el sistema “Data Studio”.

III. DESCRIPCIÓN Y MANEJO DEL SISTEMA El sistema ”Data Studio” provee a través de un software las herramientas para regis- trar, manipular y analizar datos, adquiridos mediante un conjunto de sensores y dis- positivos mecánicos, los cuales se adaptan y configuran dependiendo de la experien- cia a realizar. En general para trabajar eficientemente con el sistema se requieren los siguientes implementos electromecánicos, computacionales y de hardware:

     

Computadora personal microprocesador 80486 ó superior. Sistema operativo Windows 95/98/2000/XP. Puerto USB. Interface Science Workshop 750 con fuente de alimentación de 12V. Conjunto de sensores seleccionados según la experiencia a realizar. Accesorios específicos según la experiencia a realizar (carril, soporte, poleas, conjunto de pesas, etc.). Software instalado.



III.1 Componentes del sistema Los componentes del sistema pueden clasificarse en tres grupos: 

Software, son los programas para registro, análisis y manipulación de datos, incluyendo las ayudas del sistema. Hardware, formado por la interface Spark y el conjunto de sensores. Accesorios, se refiere al conjunto de elementos físicos adicionales que facilitan la toma de datos (carriles, poleas, pesas, etc.).

 

Software.- El programa esta diseñado para usarse en el entorno Windows y sirve como medio de comunicación con el usuario, facilita el análisis de los datos adquiridos y permite el manejo de sensores. En general podemos resumir su función y en el siguiente listado de características. -

Provee un medio de comunicación con los dispositivos electrónicos de recolección de datos. Proporciona las herramientas para realizar análisis matemáticos, estadísticos y gráficos de la información adquirida. Permite acceso rápido a datos y facilita su transporte.

Los requerimientos mínimos para instalación son: -

Procesador Pentium I (ó superior). 50 MB de espacio libre en disco. 16 MB de memoria RAM disponible. Lectora de CD-ROM.

Hardware.- Los medios físicos necesarios son los siguientes: 

Interface Spark, es un convertidor de señales digitales y analizador en tiempo real diseñado para la recolección de datos, sus características principales son:

-

El modelo PS-2008, provee dos canales para ingreso de señales digitales, con un registro máximo de 250,000 muestras por segundo. Cuenta con dos puertos USB para comunicación con periféricos y entrada y salida de datos digitales. Tiene incorporado un sensor de temperatura y un sensor de Voltaje. La pantalla de visualización de datos es interactiva a color y táctil. Su alta duración de batería le permite tener una autonomía de hasta ocho horas de uso continuado. Tiene la capacidad adicional de cargar diapositivas en PowerPoint como base para introducción de experimentos pre-diseñados.

El modo de operación es autónomo o mediante una conexión con una PC a través de un puerto USB.

Figura (1). Interface Spark.

Permite registrar valores de voltaje y temperatura con los sensores integrados. Puede almacenar datos directamente en una memoria USB o imprimirlos sin uso de una PC.

Figura 1 - Interface Spark



Sensores, son dispositivos electrónicos, cuya función es transformar parámetros físicos, químicos y biológicos en magnitudes eléctricas, a los sensores se les denomina también transductores. Existe una gran variedad de sensores; sin embargo los fabricados con el prefijo PS (Pasport) son enteramente digitales, lo que brinda mayor precisión y menor uso de memoria de almacenamiento. -

Sensor de fuerza, enteramente digital; esta encargado de percibir variaciones de tracción ó compresión en un rango de  50 Newton. El modelo PS-2104 opera registrando variaciones de carga almacenada, en un capacitor interno de placas planas paralelas, cuya separación má- xima es 1mm.

Por defecto esta configurado para interpretar como positiva a las fuerzas de compresión aplicadas y como negativas a las de tracción. El límite mecánico incorporado impide daño al sensor cuando se aplican fuerzas mayores a 50 Newton. Figura 2. Sensor de fuerza PS-2104 .

-

Sensor de movimiento, completamente digital, calcula la variación de velocidad y posición de un móvil, midiendo el tiempo de retorno de una señal ultrasónica de alta frecuencia, transmitida desde el plato emi- sor; su alcance varia desde 015 m hasta 8.0 m, la información se envía a la interface como una señal digital.

El modelo PS-2103 de tercera generación, presenta mejoras en cuanto al rango de muestreo de datos, variando desde 5 registros por segundo (para largas distancias) hasta 120 re- gistros por segundo (caso de eventos de rápida sucesión). Asimismo tiene sensitividad reducida para evitar localización de blancos falsos. Figura (3). Sensor de movimiento PS-2103.

-

Sensor de movimiento circular, el modelo digital PS-2120 determina la velocidad y aceleración angular, registradas mediante el conteo de interrupciones reflexivas de un haz lumínico sobre un disco graduado, la medición de los intervalos de interrupción permitirá al ordenador calcular la velocidad angular y tangencial, así como la aceleración y posición angular. El tipo de medición implica el uso de una señal digital para envió de datos a la interface, lo cual puede realizarse mediante un solo cable tal como se muestra en la figura (4).

El modelo PS-2120 puede registrar eventos en una frecuencia de muestreo que va desde 1Hz hasta 25000 Hz, con una frecuencia de opera- ción óptima predeterminada para eventos de sucesión rápida de 10Hz. La polea incorporada permite variar hasta tres veces el radio durante la toma de datos.

Figura 4 - Sensor de movimiento circular PS-2120.



Accesorios.- Son el conjunto de dispositivos mecánicos que sirven de soporte para los sensores tales como: carriles, poleas, soportes, cuerdas, resortes, etc. En nuestros trabajos será necesario utilizar un conjunto diferente para cada experimento.

Figura (5). Conjunto de Accesorios.

III.2 Manejo del Software El software Data Studio, proporciona información de los datos registrados en tiempo real y facilita herramientas de análisis básicas que permiten inferir una conclusión sobre el fenómeno estudiado. A continuación se explican cada una de las actividades que el software permite realizar y los pasos a ejecutar para dar inicio a una sesión y aplicar las herramientas de analisis. III.2.1 Inicio de una Actividad.- Para ingresar a la “ventana de bien- venida” se hace doble clic sobre el icono Data Studio que aparecerá en el escritorio de la PC una vez instalado el software. Existen dos moda- lidades de operación “con interface” y “sin interface”, en lo que sigue mostraremos las actividades que se pueden realizar en cada modalidad. 

Ventana de bienvenida, se activa al ingresar al sistema, y en ella aparecen cuatro iconos que corresponden a las actividades que se pueden realizar tal y como se muestra en la figura (6), esta aparecerá siempre que este activada la casilla de verificación que se ubica al pie de la ventana, las cuatro actividades posibles son: - Abrir actividad - Introducir datos - Representar gráficamente una ecuación - Crear experimento

Figura 6 - Ventana de bienvenida de Data Studio.



Trabajo sin interface, permite ejecutar las tres primeras actividades (no incluye la creación de experimentos); es necesario especificar el archivo ASPI.DLL de la interface correspondiente en nuestro caso será el SW750 (predeterminado).



Trabajo con interface, cuando se disponga de una interface será posible realizar las cuatro actividades que ofrece el programa, pero en el caso de elegir crear un experimento el trabajo se inicia con el montaje y la con- figuración de sensores y accesorios.

III.2.2 Abrir Actividad.- Se hace clic sobre el icono “Abrir ac- tividad”, en la ventana de bienvenida, luego localizamos el ar- chivo que contiene la información (extensión DS) y el programa procede a cargarlo automáticamente, el sistema mostrara todos los gráficos y configuraciones empleadas en la puesta en marcha de los sensores. III.2.3 Introducir Datos.- Para acceder a esta opción se hace clic sobre el icono “Introducir datos” en la ventana de bienvenida. Mediante esta actividad el programa permite al usuario realizar un análisis gráfico de los datos previamente adquiridos u obtenidos en la ejecución de algún experimento; al activarla, se muestra por defecto un gráfico en blanco y una tabla vacía tal como se ve en la figura (7). Esta tabla en blanco se usará para introducir la información procedente de registros efectuados manualmente, conforme se llena la tabla podrá visualizarse la gráfica en la ventana correspondiente. El software permite modificar los encabezados y unidades, así como la precisión para los registros tabulados.

Figura 7 - Ventanas mostradas al ingresar a la actividad “Introducir datos”.

III.2.4 Representar gráficamente una ecuación.- En esta ac- tividad el usuario podrá visualizar en pantalla las graficas y puntos tabulados correspondientes a funciones matemáticas, las cuales pueden ser editadas utilizando la aplicación para intro- ducir ecuaciones que se activa automáticamente. La sintaxis de escritura es similar a la empleada para elaborar ecuaciones en una hoja de cálculo y al igual que en la actividad anterior esta permitido colocar los títulos y encabezados que se crean convenientes, la Figura (8) muestra el cuadro de dialogo para edición de ecuaciones y la tabla generada con su correspondiente gráfica.

Figura 8 - Ventanas mostradas al ingresar a la actividad “Representar gráficamente una ecuación”.

III.2.5 Crear Experimento.- En esta actividad el usuario deberá realizar la selección, configuración y calibración de los sensores que se emplearán para ejecutar la toma de datos; asimismo, tendrá a su alcance las herramientas para análisis de los registros obtenidos. Los pasos a seguir son los siguientes:

a) Conexión de la interface y puesta en marcha del programa, para activar la interface e iniciar el software deberemos realizar lo siguiente: -

Conectar la interface a la fuente de alimentación de 12V y esta a su vez a la red domestica de 220V.

-

Conectar la interface con la Pc mediante el cable USB y encenderla.

-

Encender el CPU y el monitor, luego hacer doble clic en el icono de acceso directo a Data Studio.

-

En la ventana de bienvenida se escogerá la opción “Crear experimento”.

b) Selección de Sensores, Configuración y Calibración, dependiendo del ex- perimento a realizar el usuario seleccionará los sensores que crea conve- niente, y dado que cada uno ejecuta tareas especificas la configuración es propia a cada componente, el procedimiento a seguir es el siguiente: -

Establecer el sensor a utilizar, eligiéndolo de la ventana de “configura- ción del experimento”, donde se muestran los sensores disponibles (ac- tivarlo haciendo doble clic en el icono correspondiente), la figura (9) muestra el contenido de la ventana para una interface 750.

-

Las interfaces XplorerGLX y SPARK reconocerán automáticamente el Sensor conectado y mostraran por defecto la grafica correspondiente, Ver figura (10) y (11).

-

El siguiente paso es configurar las unidades y frecuencia de muestreo, esto se puede realizar en el cuadro de dialogo “propiedades del sensor”, tal como se muestra en la figura (9).

-

Se establece cuantos gráficos vamos a utilizar, cada uno corresponderá a algún parámetro medido, registrando su variación con respecto al tiempo.

-

Los gráficos se activan arrastrando el icono de gráfico en la ventana resumen hasta el icono perteneciente a la cantidad medida.

-

Data Studio permite de modo adicional generar gráficos múltiples o individuales, es decir la superposición de graficas y el intercambio de parámetros medidos por eje coordenado.

Figura 9 - Ventana de “configuración del experimento”, mostrando el cuadro de dialogo “propiedades del sensor” para el sensor de movimiento.

Figura 10 - Ventana de reconocimiento del sensor, mostrando los parámetros de registro en la SPARK para el sensor de temperatura y voltaje.

Figura (11), Ventana de grafico, mostrando el registro de temperatura en la SPARK, como variación en el tiempo, medidor digital y analógico.

c) Montaje de accesorios, en este punto se ensambla la estructura que nos per- mitirá ejecutar la toma de datos; es decir, escogeremos la posición de los sensores, el número y valor de los pesos a emplear, poleas, resortes, etc. se- gún sea el caso, ver figura (12).

Figura 12 - Configuración de accesorios y sensores para verificación experimental de la Segunda Ley de Newton.

d) Ejecución del experimento, la toma de datos comienza cuando se hace clic en el botón “inicio” que se ubica en la barra de herramientas de la ventana principal, se detiene la ejecución haciendo clic nuevamente sobre este botón. En el caso de la SPARK se oprime cualquiera de los botones laterales que se indican en la figura (13).

Figura 13 - SPARK indicando principales caracteristicas.

III.3 Herramientas de Análisis Las herramientas proporcionadas por el software Data Studio y la Interface Spark para analizar datos se localizan en la barra de herramientas de cada uno de los gráfi- cos y tablas generados; a continuación explicamos brevemente el uso y funciona- miento de las más importantes:  Escala de pantalla y Zoom, permite variar de manera rápida y sencilla la escala para los valores mostrados en cada uno de los ejes coordenados; los botones de acercamiento facilitan la magnificación de toda o parte de la gráfica, según el número de registros seleccionados.  Herramienta Ajustar, esta utilidad se activa oprimiendo el botón “ajustar”, en la barra del grafico presentada por Data Studio; de inmediato se despliega un menú indicando los ajustes posibles (lineal, cuadrático, polinómico, etc.).

 Herramientas Estadísticas, se enciende oprimiendo el icono de “sumatoria” en la barra de gráfico del sistema. Establece como activados ó desactivados los cálculos estadísticos sobre la región de datos seleccionada (media, máximo, mínimo, área, etc.).  Herramienta para ubicación de coordenadas (herramienta inteligente), facilita realizar un análisis dato por dato de los valores tanto en el eje de las abcisas como en el de las ordenadas, permitiendo estudiar pormenorizadamente la información registrada.  Herramienta para cálculo de pendiente, calcula la pendiente de la recta tangente a una porción seleccionada de la curva graficada, esto sobre un punto escogido por el sistema, el cual puede variarse a voluntad.  Herramienta Calculadora, funciona de manera similar al editor, en la acti- vidad “representar gráficamente una ecuación” y permite evaluar datos re- gistrados según alguna función usando combinaciones de uno ó más pará- metros medidos.  Botón de ajuste de curvas, permite introducir una ecuación de ajuste para los datos seleccionados, ó bien puede seleccionarse una predefinida.

Figura 14 - Herramientas de análisis

IV. EQUIPOS Y MATERIALES    

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de movimiento

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Encender el computador (CPU y monitor). c. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio. Primera actividad (Representar gráficamente una ecuación) a. b. c.

Seleccione la actividad representar gráficamente una ecuación, en la ventana de bienvenida de Data Studio. Haga clic con el mouse sobre el botón Resumen. En el casillero definición del cuadro de dialogo Calculadora, digite la siguiente expresión:

x  25.0  cos(4.0  t )

d. e. f.

g. h.

Haga clic en aceptar. En el mismo cuadro de dialogo defina la variable t (en toda la escala). Haciendo clic en el botón Propiedades, asigne el nombre posición para la variable y, luego tiempo para la variable x, modifique la precisión a cinco decima- les e indique metros (m) para las unidades de posición y segundos(s) para las unidades de tiempo, seguidamente haga clic en Aceptar. Arrastre una tabla desde la subventana Pantallas hasta el icono Valores en la subventana Datos de la ventana Resumen. En la ventana calculadora haga clic sobre el botón nuevo, luego repita los pasos desde (c) hasta (f) para las siguientes funciones: I = Io*exp(t), donde: [Io = 25.0 y t en toda la escala] v = 2.0*sen(2.0*t)+3.0*cos(1.5*t), donde: [v (m/s) y t (s)] Para estos casos se deberá adicionar un gráfico extra.

i.

En la opción Archivo del menú principal, seleccione Guardar actividad como, luego elija la carpeta y el nombre para guardar la actividad. Segunda actividad (Introducir datos)

a. b. c.

Seleccione la actividad introducir datos, en la ventana de bienvenida de Data Studio. Haga clic con el mouse sobre el botón resumen. En la tabla que aparece por defecto, ingrese los datos recogidos para un móvil que se mueve con aceleración constante, que se muestran en la tabla (1).

Tabla (1). Datos respecto a posición y tiempo de un móvil. Posición (m)

0

1 0 5

42 0

94 5

84 0

13 12

18 90

25 72

33 60

42 52

Tiempo (s)

0

5

1 0

1 5

2 0

25

30

35

40

45

d. e.

f.

g.

Realice las modificaciones correspondientes a los encabezados y la precisión de las unidades registradas. Seleccione la ventana gráfico 1 y en la opción pantalla del menú principal elija exportar imagen, guarde esta gráfica en el archivo posición-tiempo.bmp, en la carpeta seleccionada. Seleccione la ventana tabla 1 y en la opción pantalla del menú principal elija exportar datos, guarde los registros en el archivo posición-tiempo.txt, en la car- peta seleccionada. En la opción archivo del menú principal, seleccione guardar actividad como, luego elija la carpeta y el nombre para guardar la actividad.

Tercera actividad (Crear experimento) a. b. c.

Seleccione la actividad Crear experimento, en la Ventana de bienvenida de Data Studio. En la ventana de Sensores, seleccione Sensor de Movimiento y haga doble clic en el icono correspondiente. Active el cuadro de dialogo de propiedades del sensor y en la pestaña medida, active las casillas de verificación correspondientes a posición, velocidad y ace- leración, luego en la pestaña sensor de movimiento, modifique la frecuencia de disparo a 20 y seguidamente calibre la distancia máxima de medición (por de- fecto 1.0m), para esto utilice una regla graduada direccionando el plato del sen- sor a 1.0m de un obstáculo con superficie de reflexión suficiente; cuando la distancia actual marque 1.0 metros haga clic en el botón calibrar, luego en el botón aceptar.

d. e. f.

g. h. i.

Arrastre con el mouse un gráfico y un medidor digital para cada uno de los parámetros medidos por el sensor, a continuación en el menú principal haga clic en la opción ventana y luego elija mosaico. Inicie la toma de datos haciendo clic en el botón inicio de la barra de herramien- tas de Data Studio. Mueva lentamente su mano delante del plato en el sensor de movimiento, observe los cambios tanto en el medidor digital como en la gráfica posición vs. tiempo, velocidad vs. tiempo y aceleración vs. tiempo, continué el movimiento variando la velocidad. Detenga la toma de datos haciendo clic en el botón detener de la barra de herra- mientas de Data Studio. Adicione una tabla de datos para cada parámetro registrado y calcule los valores máximos y mínimos. En la opción archivo del menú principal, seleccione guardar actividad como, luego elija la carpeta y el nombre para guardar la actividad.

Cuarta actividad (Abrir actividad) a. b. c. d.

Seleccione la actividad grabada previamente en la segunda actividad. Verifique las tablas y datos previamente almacenados. Adicionalmente en la opción archivo del menú principal elija importar datos, luego adicione una gráfica. Sobre los datos registrados de la tabla (1), realice un ajuste cuadrático y determine los valores de la aceleración, velocidad inicial y posición inicial.

VI. CUESTIONARIO 1.

En el movimiento rectilíneo uniformemente variado MRUV, se cumple que:

v  v0  at Si un móvil parte con una velocidad inicial de 5m/s a aceleración constante de 2.0 m/s2 y recorre x metros en 10 segundos; ¿puede calcularse la distancia total recorrida usando las herramientas estadísticas de Data Studio?; si su respuesta es afirmativa indique el procedimiento a seguir y el valor de x. 2.

Usando la actividad Representar gráficamente una ecuación de Data Studio, grafique las siguientes funciones de posición y velocidad para un movimiento armónico simple:

x  5.0cos(2.0t  0.5) v  10.0sen(2.0t  0.5)

Luego genere un gráfico para cada una de ellas y arrastre con el mouse los valores de posición hasta el eje de las abcisas de la gráfica velocidad; ¿Qué se observa en la gráfica?, ¿Qué información podemos obtener de ella?, Explique. 3.

Usando la información obtenida de la pregunta anterior y empleando la aplicación “calculadora” de Data Studio, calcule la variación respecto al tiempo tanto de la energía cinética como de la energía potencial, del sistema; ¿de que manera podría calcularse la energía total?, explique.

4.

Haciendo uso de la actividad correspondiente en Data Studio importe los datos grabados en la segunda actividad del archivo “posición-tiempo.txt”, luego efec- túe un ajuste lineal y un ajuste cuadrático a los registros; ¿Cuál es en su opinión el ajuste mas conveniente?, ¿Qué información útil puede extraerse de los datos presentados?, Explique

5.

¿Qué ocurriría en el caso de calibrar el sensor de movimiento para una distancia menor a la que se indica en la casilla “distancia de calibración”?, explique.

6.

Describa las opciones de configuración para manejo de sensores que tiene el programa Data Studio, para ello haga clic en el botón “opciones” del menú prin- cipal en la ventana “configuración de experimento”.

7.

Describa las opciones de configuración para gráficos que tiene el programa Data Studio, para ello haga clic en “configuración” de la opción “pantalla” en el menú principal.

8.

¿Es posible importar un gráfico para una aplicación activa en Data Studio?

9.

Haga un recuento del número total de sensores en la base de datos de Data Stu- dio e indique su utilidad.

10. Explique cada una de las opciones para trazado de graficas que permite Data Studio e indique su utilidad

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MEDICIONES Y TEORÍA DE INCERTIDUMBRE

I. OBJETIVOS 1. Adquirir destreza en el manejo de instrumentos básicos de medida de longitud y masa. 2. Aprender a expresar correctamente una medida. 3. Iniciar en el estudiante el sentido de trabajo en equipo. II. EQUIPO Y MATERIAL 1.- Regla graduada. 2.- Vernier o pie de rey. 3.- Balanza o dinamómetro. 4.- Cilindro metálico. 5.- Cilindro hueco. III. MARCO TEORICO Una medición es el resultado de una operación humana de observación mediante la cual se compara una magnitud con un patrón de referencia. La metrología es la ciencia que se encarga de describir ordenadamente el trabajo aso- ciado a la medición. La metrología es la ciencia que trata de las medidas, de los sistemas de unidades adoptados y de los instrumentos utilizados para actuali- zarlas e interpretarlas. Comprende también las determinaciones experimenta- les y teóricas en cualquier campo de la ciencia y la tecnología; a cualquier nivel de incertidumbre. La metrología tiene gran impacto en los diversos ámbitos del quehacer humano, como el comercio, el medio ambiente, la salud y en la sociedad en general. Su desarrollo es clave para incrementar la competitividad del sector pro- ductivo de una sociedad. Patrón: Medida materializada, instrumento de medición, material de referencia o sistema de medición destinado a definir, realizar, conservar o reproducir una unidad, o uno o varios valores de una magnitud para servir de referencia.

Cantidad: Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distin- guido cualitativa y determinado cuantitativamente. Medición directa: Cuando el valor de la magnitud que busca el experimentador se puede ubicar directamente en el instrumento de medida. Medición indirecta: Cuando el valor de la magnitud se obtiene midiendo los valores de otras magnitudes relacionadas con aquella mediante alguna fórmula o ley física. Incertidumbre: Parámetro asociado con el resultado de una medición que ca- racteriza la dispersión de los valores, que razonablemente pudiera ser atribuido al mesurando. La experiencia ha puesto en evidencia que ninguna medición está exenta de incertidumbres. La capacidad de evaluar y minimizar la influencia de estas in- certidumbres es muy importante, pues toda la estructura y aplicación de la ciencia se basa en mediciones experimentales. Aun cuando se hayan evaluado y corregido todas las componentes del error, siempre persiste una incertidumbre de la confiabilidad del resultado declarado; es decir, se duda que el resultado de la medida represente adecuadamente el valor de la cantidad que se midió. Por esta razón se introduce el con- cepto de incertidumbre como un atributo cuantificable. Cuando se realizan mediciones, de alguna manera se duda de la validez de la medición. La diferencia entre el valor de la medición y el valor verdadero del parámetro que se está midiendo (mesurando) se conoce como error de medi- ción. Análisis de errores. Es el estudio y evaluación de las incertidumbres a las que están sujetas todas las medidas, por muy cuidadosas y científicas que sean. Las dos principales funciones del análisis de errores son: • Permitir a los científicos estimar el tamaño de las incertidumbres. • Ayudar a los científicos a reducir las incertidumbres cuando sea nece- sario. El error en la medición científica significa la inevitable incertidumbre que asiste a todas las mediciones. Como tal, los errores no son equivocaciones, no se

pueden eliminar por más cuidado que se tenga. A lo más que se puede aspirar es asegurarnos de que los errores sean tan pequeños como sea razonablemente posible y tener una estimación fiable de su magnitud. Cuando al realizar una serie de medidas directas se obtienen los mismos resul- tados, no se puede concluir que la incertidumbre es cero; lo que sucede es que los errores quedan ocultos ya que son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medición. En este caso, puede establecerse un criterio simple y útil: se asigna una incertidumbre igual a la mitad de la división más pequeña del instrumento ( lectura mínima), la cual se conoce como resolución o error de lectura mínima. Este parámetro forma parte del denominado Error del ins- trumento de medición, el cual se calcula de la siguiente manera: 𝛿𝑥 = √(𝐸𝐿𝑀)2 + (𝐸0)2 (1.1) Siendo ELM el error de lectura mínima y E0 el error asociado a los instrumentos no calibrados. La medida se puede expresar de la siguiente forma: 𝑥 = 𝑥𝑖 ± 𝛿𝑥

(1.2)

Siendo : x el valor real. xi i-ésima medida. x la incertidumbre. Bajo ciertas condiciones existen tipos de incertidumbres que se pueden estimar en forma confiable si la medición se repita varias veces. Una suposición natural, es que la mejor estimación de una medida que se ha realizado varias veces, es el promedio. Errores aleatorios y sistemáticos. Las incertidumbres experimentales que pue- den evidenciarse mediante la repetición de las mediciones se denominan erro- res aleatorios; mientras que aquellas que no pueden evidenciarse de esta forma se llaman errores sistemáticos. Casi todas las mediciones están sujetas a incertidumbres aleatorias y sistemáti- cas. Debe tenerse en cuenta que las fuentes comunes de incertidumbres alea- torias pueden ser pequeños errores de juicio del observador, alteraciones pe- queñas del aparato y algunos otros. Quizá la causa más frecuente de error sis- temático es la mala calibración de los instrumentos.

ANALISIS ESTADÍSTICO. Supongamos que se requiere determinar el valor de cierta variable, habiéndose identificado y reducido todas las fuentes de error sistemático. Como todas las demás fuentes de incertidumbre son aleatorias, se deben detectar repitiendo la medición varias veces. Para todos los valores obtenidos, la mejor estimación es el promedio o media. En forma general si se tienen N determinaciones de la variable x (Todas las determinaciones realizadas con el mismo equipo y procedimiento), estas se pueden representar como:

x1, x2, x3,….,x

(1.3)

N

La mejor estimación de x, es la media de x1, x2, x3…xN. Es decir xmejor=𝑥, donde: 𝑥=

𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯+𝑥𝑁

=

𝑁

𝑥 𝑖 𝑁

(1.4)

La desviación estándar de x1,…,xN es una estimación de la incertidumbre media de los valores x1, x2,…,xN. y se denota por: 1

1

𝜎 = √ ∑𝑁 (𝑑 )2 = √ ∑𝑁 𝑥

𝑖=1

𝑁

𝑖

(𝑥 − 𝑥)2 𝑖=1

𝑁

(1.5)

𝑖

Con esta definición la desviación estándar puede ser descrita como la raíz cua- drada de la media de los cuadrados de las desviaciones de los resultados x1, x2,..xN. A veces esta definición se modifica reemplazando en denominador N por N1. Si no se le extrae la raíz cuadrada se tiene una cantidad 𝜎𝑥2 llamada varianza. La cantidad 𝜎𝑥 viene a representar la incertidumbre media de las N mediciones. Otra forma de expresar la desviación estándar es: 𝜎=√

𝑥

1

𝑁−1

(𝑑 )2 = √ ∑𝑁 𝑖=1 𝑖 𝑖=1 � � − 1

1 𝑖

2 ∑𝑁 (𝑥 − 𝑥)

(1.6)

La expresión (1.6) permite obtener mejores resultados y corrige una tendencia de la ecuación anterior a subestimar la incertidumbre en los resultados x1, x2, …,xN; especialmente si N es pequeño. A la expresión (1.5) se le lama frecuentemente desviación estándar poblacional y a la expresión (1.6) se le llama desviación estándar muestral. La diferencia entre las dos definiciones es casi siempre numéricamente insig- nificante. Desviación estándar dela media. La desviación estándar de la media de denota por: 𝜎𝑥 = 𝜎𝑥 (1.7) √𝑁

Representa la incertidumbre de la mejor estimación de un conjunto de medidas de la misma cantidad. Tambien se le llama error estándar o error estándar de la media. La desviación estándar de la media puede ser considerada como la componente aleatoria de la incertidumbre Error absoluto: El error absoluto se obtiene de la suma cuadrática del error instrumental y el error estándar: ∆𝑥 = √(𝐸𝑖)2 + (𝜎𝑥)2

(1.8)

Errores sistemáticos. Los errores sistemáticos deben ser reducidos a un nivel insignificante antes de empezar las mediciones definitivas. No existe ninguna teoría simple que nos diga qué hacer con los errores sistemáticos. La única teoría de errores sistemáticos es que deben ser identificados y reducidos lo más que se pueda. Sin embargo, en un laboratorio de prácticas frecuentemente esto no es posible. Por esto algunos laboratorios de prácticas establecen como regla que, en ausencia de información más específica, se considerará que los apara- tos de medida tienen cierto grado de incertidumbre sistemática definida. Entonces si se han realizados varias medidas de una cantidad con el mismo instrumento; el valor real de dicha medida es: 𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥

(1.9)

PROPAGACION DE INCERTIDUMBRES EN MEDICIONES INDIRECTAS. Sean las medidas x=𝑥±x y y=𝑦±y y sea q, una medición indirecta que depende de x e y:

Si x=𝑥±x se usa para llegar a q=𝑞±q a través de una potencia entonces: ∆𝑥

𝑞 = (𝑥)𝑛 𝑦 ∆𝑞 = 𝑛 ( ) 𝑞 𝑥

(1.10)

Si x = 𝑥 ± x y y = 𝑦 ± y se usan para llegar a q = 𝑞 ± q a través de una suma, entonces: 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 y ∆𝑞 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2

(1.11)

Si x = 𝑥 ± x y y = 𝑦 ± y se usan para llegar a q = 𝑞 ± q a través de una resta, entonces: 𝑞 = 𝑥 − 𝑦y∆𝑞 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2

(1.12)

Si x = 𝑥 ± x y y = 𝑦 ± y se usan para llegar a q = 𝑞 ± q a través de una multiplicación, entonces: 𝑞 = 𝑥. 𝑦 y  ∆𝑥 2 ∆𝑦 2 (1.13) √ 𝑞 = 𝑞 (𝑥) + ( 𝑦) 

Si x = 𝑥 ± x y y = 𝑦 ± y se usan para llegar a q = 𝑞 ± q a través de una di- visión, entonces: 𝑥 𝑞= y ∆𝑥 2 ∆𝑦 2 (1.14) 𝑞=𝑞√ ( ) + ( ) 𝑦

𝑥

𝑦

IV. PROCEDIMIENTO Observe con atención cada uno de los instrumentos de medida e identifique su lectura mínima. Mida con el vernier la longitud del diámetro y la altura del cilindro. Repita el procedimiento haciendo uso de la regla graduada. Registre los datos en la tabla 1. Mida con el vernier la longitud el diámetro y la altura del cilindro hueco. Mida también las dimensiones de los lados de la ranura paralelepípeda. Registre los datos en la tabla 2. Utilice la balanza para medir la masa del cilindro y la masa del cilindro hueco. Registre los datos en la tabla 1.

Tabla 01.

Cilind ro Usando vernier.

Observado r.

Usando regla.

Balanza.

Alt

Diámet

Alt

Diámet

M

ura

ro

ura

ro

as

(m

(mm)

(m

(mm)

a

m)

m)

(g)

Tabla 02.

Cilindro hueco Cilindro Observado r.

Altur a

Diámet ro

(mm)

(mm)

Ranura paralelepípeda. a

b

c

(m m)

(m m)

(m m)

Balanza Ma sa (g)

Determine la densidad del cilindro y comparé el resultado con datos teóricos. VI. CUESTIONARIO. 1.- ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud?

2.- Haciendo referencia a los valores obtenidos en la tabla 01; con que instru- mento de medición de longitud se obtienen valores más precisos? Funda- mente su respuesta. 3.- Cuantifique el porcentaje de error para la medida de la densidad con los datos obtenidos usando el vernier y con los datos obtenidos usando la regla. 4.- ¿Cómo determinaría la densidad real del cilindro hueco cuyos datos están registrados en la tabla 02? 5.- ¿Cuáles son las tres actividades principales que cubre la metrología?

ERRORES E INCERTIDUMBRE

I. INTRODUCCIÓN En la actualidad el uso de la computadora personal para realizar gráficas sobre datos recogidos de una observación, facilita el proceso de análisis; sin embargo, es impor- tante que el experimentador domine las técnicas para escoger la más conveniente según los resultados buscados. En esta sesión trataremos acerca del modelo para ajuste de datos comúnmente empleado en el trabajo científico y revisaremos concep- tos elementales y que normalmente pasan inadvertidos acerca de las mediciones, ta- les como el uso de la notación científica, el trazado de gráficas y el manejo del cali- brador Vernier ó Pie de Rey, finalizando con una breve aproximación al uso de la estadística y la teoría de errores para evaluación de registros y análisis de datos, si- multáneamente veremos de qué manera es posible utilizar el sistema Data Studio para tal efecto.

II. OBJETIVOS Siendo una de las actividades primarias para todo investigador realizar la toma de datos (efectuando mediciones directas e indirectas); es necesario, tener los conocimientos y la preparación técnica adecuada a fin de llevarlas a cabo con la mayor precisión posible. El objeto de esta sesión es proporcionar las herramientas necesarias para obtener conclusiones respecto al comportamiento de los procesos bajo investigación, utilizando para ello métodos de análisis computarizados; en ese sentido, se plantea alcanzar los siguientes objetivos:   

  

Verificar los resultados proporcionados por el software, con los mo- delos matemáticos conocidos y establecer diferencias. Determinar relaciones matemáticas entre las variables físicas que in- tervienen en un experimento. Analizar usando el sistema Data Studio los resultados que se obtienen de mediciones y observaciones, para predecir comportamientos previos ó posteriores a la toma de datos, junto con la verificación de parámetros estadísticos. Realizar mediciones con mayor grado de precisión. Calcular el error estimado para mediciones directas e indirectas apli- cando la teoría de errores. Manejar correctamente el Vernier para mediciones de longitud y profundidad.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Siendo que la física es ante todo una ciencia experimental, que se basa en el estudio de datos, es imprescindible aprender el correcto manejo de las cantidades numéricas registradas tanto por instrumentos como las que resultan de la aplicación de fórmu- las, relaciones matemáticas y funciones; asimismo, será conveniente evaluar sus di- versas representaciones como paso previo a efectuar cualquier operación de análisis. III.1 Funciones, tipos y representación Una función es una regla ó ley, de acuerdo a la cual se relacionan las variables inde- pendientes con las variables dependientes. En general, en una función para cada valor del dominio existe un único valor del rango, de tal manera que solo así se podrá afirmar que: y  f ( x) (1) Donde:

x, pertenece al dominio de la función. y, pertenece al rango de la función.

III.1.1 Tipos de Funciones En el estudio de las ciencias fundamentales, existen muchos tipos de funciones utilizadas para describir fenómenos; sin embargo, nos centraremos en las tres más importantes:

 Función lineal, es aquella en que las variables dependientes e independientes están en relación directa y su gráfica corresponde a una línea recta. La ecuación matemática de esta función es:

y  mx  b

(2)

Donde: b, es la intersección de la recta con el eje vertical. m, corresponde a la pendiente de la recta.

 Función Potencial, es aquella en que la variable dependiente esta relacionada con la variable independiente, mediante una potencia de esta. Muchas leyes en física trabajan con este tipo de funciones, cuya ecuación matemática es:

y  kxn Donde:

k, es coeficiente. n, corresponde a la potencia de la variable independiente.

(3)

Se pueden considerar algunos casos especiales:

a) Si n = 1, se obtiene: y = kx, que viene a ser la ecuación de una recta que pasa por el origen. Por ejemplo: la “Ley de Hooke” para un resorte, (F = kx).

b) Si n = 2, se obtiene: y = kx2, llamada función cuadrática, correspondiendo su gráfica a una parábola. Por ejempl1o: en el MRUV, la posición de una x  at 2 partícula que parte del reposo, 2 ). (

c) Si n = 3, se obtiene: y = kx3, llamada función cúbica. Por ejemplo: la deformación máxima  de una viga en voladizo depende de la longitud 1 de la viga, (

4F

3

  Eab)t3.

d) Si n = -1, se obtiene: y = k/x, llamada función hiperbólica, correspondiendo su gráfica a una hipérbola, Por ejemplo: la “Ley de Boyle”, ( p  k ). V 2 e) Si n, se obtiene: y = k/x , que también es una función hiperbólica, denominandose a su gráfica, hiperbola cuadrática. Por ejemplo la Ley de Coulomb F

Kqq ' r

2

En general, la función potencial tiene una determinada representación gráfica depen- diendo del valor de la potencia. En la siguiente figura se han representado las curvas que corresponden a la función potencial para los posibles valores de n.

Figura 1- Representación gráfica de la función potencial.

 Función exponencial, es aquella en que la variable dependiente se relaciona exponencialmente con la variable independiente. La ecuación matemática que rige esta función es: y  kanx

Donde:

(3)

k, es el coeficiente. a, es la base. n, corresponde al exponente, junto al valor de la variable independiente x.

III.1.2 Representación de Funciones Para representar una función existen tres métodos:

 El método analítico, consiste en representar la función mediante una fórmula ó ecuación matemática.

Por ejemplo: y  5  3x

 El método de tabulación, consiste en obtener valores numéricos de la función para ciertos valores del argumento, realizando luego un proceso llamado tabulación (ordenar los valores en una tabla). Por ejemplo: Si: y = 5 + 3x, la representación tabular sería: y= f(x) x

5

8

0

1

1 1 2

14

17

3

4

2 0 5

 Método gráfico, este método consiste en representar una función por medio de la construcción de una gráfica, para lo cual se puede usar un computador ó algún papel especial (milimetrado, polar, logarítmico, etc.). Una gráfica es la representación geométrica que permite visualizar el carácter de varia- ción de la función. Por ejemplo:

Para y = 5 + 3x, la representación gráfica sería:

Figura (2). Representación gráfica de una función lineal.

III.2 Análisis de datos La forma científica de relacionar las variables en estudio es expresándolas mediante una ecuación matemática. Para determinar esta ecuación usando el programa Data Studio, usaremos las herramientas de ajuste, para usar correctamente esta ventaja del Software debemos considerar lo siguiente: 



En la toma de datos respecto a algún fenómeno obtenemos pares de datos con cierta variabilidad (grande o pequeña), estos conforman la nube de pun- tos, en primera instancia una inspección visual sugiere una posible relación entre x e y. La estrategia apropiada es derivar una función aproximada que ajuste la ten- dencia general de los datos sin ajustar necesariamente con los puntos indivi- duales.

Observación, realizar una grafico directo sobre nubes de puntos (datos dispersos) no permitirá realizar un análisis valido. En el sistema la variabilidad para datos registrados es mínima por lo cual la inspección visual es mas sencilla. III.2.1 Ajuste Lineal (Método de los mínimos cuadrados) Se utiliza cuando la nube de puntos sugiere una relación lineal entre x e y, lo que se busca es determinar los valores para la pendiente m y la constante b, en una línea recta denominada de ajuste. Como el objetivo es encontrar la ecuación de una línea recta de la forma y = mx+b, que sea la mejor representación de un conjunto n de puntos, usando el método de los mínimos cuadrados, es posible calcular dos rectas para aproximación o ajuste:

Primera Recta de Regresión, Suponiendo que la primera recta de ajuste tiene la forma: y = mx + b. para cada valor de xi asociamos un valor y que difiere de yi en la cantidad Diy , es decir: Diy = yi - (mx i + b )  0 Si calculamos las desviaciones Diy correspondiente a dada uno de los puntos del con- junto y sumamos los cuadrados de estos valores, obtendremos la cantidad E y donde: y

E  mx

 N

i 1

iy

1

1

N

D 2  ( y  mx  b)2  .......  ( y 

N

 b)2

La cantidad Ey será nula solamente cuando todos los puntos se encuentran sobre la recta, y cuando mayor sea Ey tanto mayor será en promedio la separación de los puntos respecto a la recta. El método de los mínimos cuadrados dice que: "Los parámetros m y b deben elegirse de tal modo que la suma de los cuadrados de las desviaciones, o sea Ey sea el menor posible". Desde el punto de vista de las matemáticas, esto significa que:



Ey

m

0

y



Ey

b

0

De esta manera, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de donde hallamos que:

 y  x    x y  x  N   x     x 2   x y  N    x   y  m N   x     x 2

y

2 i i

i

b 

i

i

2 i

i i

i

i

2

i

Quedando así determinada la primera recta de ajuste: y = mx + b. Segunda Recta de Regresión, se repite el proceso minimizando la suma de los cua- drados de las desviaciones de las abcisas xi y las abcisas de la primera recta de ajuste, obteniéndose: '

b y



  y   x y     x   y  N   x y    x   y  2

i

i i

i

i

i

i

i

i

 y    y   y  m' N   x y     x   y  N

2

i

i i

i i

i

i

Quedando así determinada la segunda recta de ajuste: y = m' x + b'. Recta Promedio de Ajuste, las condiciones de esta recta es que pase por el punto de intersección de las dos rectas de regresión y bisecar el ángulo formado por ellas. Con estas condiciones se demuestra que:

 arctgm  arctgm '  m  tg  2  

 b m '  m   b'm  m    b  m'm   Los errores respectivos son:

 b   b  b' 2

m

mm' 2

III.3 Dígitos Significativos, mediciones, incertidumbre y errores III.3.1 Dígitos Significativos Siendo que la física es ante todo una ciencia experimental, que se basa en el análisis de datos, es imprescindible aprender el correcto manejo de las cantidades numéricas, registradas tanto por instrumentos como las que resultan de la aplica- ción de formulas y relaciones matemáticas. Para comprender el concepto de dígitos significativos o cifras significativas, supongamos lo siguiente: Si tenemos como dato el radio de una circunferencia digamos 1.3 cm, y se desea calcular el área, es decir usamos la relación conocida A = r2 , operando tendríamos: 5.30929….cm 2 (esto claro utilizando una calcu- ladora), nuestro resultado no estaría correctamente expresado ya que solo cono- cemos el valor del radio con 2 dígitos significativos, la respuesta correcta seria 5.3 cm2 (aplicando redondeo). Considerando esto es posible entender la primera regla para efectuar mediciones y realizar cálculos: “El resultado de un calculo no puede tener mas dígitos significativos que los que aparecen en cualquiera de los números empleados” Por ejemplo si tenemos las siguientes medidas, para el radio de una circunferencia, en diferentes unidades: r = 0.013 m,

Donde se utilizan 4 dígitos, dos son significativos, los ce ros a la izquierda no son significativos.

r = 1.3 cm,

Donde la expresión usa solo 2 dígitos, siendo ambos significativos.

r = 13000 m

Donde los tres ceros a la derecha no son significativos.

Debido a la dificultad para determinar el número de dígitos significativos y no significativos, es preferible utilizar la notación científica; si aplicamos esta notación a las tres expresiones para el radio, tendríamos: r = 1.3x10-2 m r = 1.3 cm

; en todos los casos son solo dos los dígitos

significativos. r = 1.3x104 m Para dar un resultado, no se debe cortar de modo arbitrario el resultado proporcionado por un instrumento o por la calculadora, tenemos que tomar en cuenta el primer digito que vamos a descartar, así una vez identificado se evalúa lo siguiente: si es mayor ó igual que cinco, aumentamos en uno al digito anterior, en caso contrario el ultimo digito deseado se queda como esta, a este proceso se le conoce como redondeo. III.3.2 Mediciones La medición de una magnitud M, consiste en determinar un número x, que se obtiene comparando ésta magnitud con respecto a una que sea fija y arbitraria u llamada unidad. Considerando esto la magnitud M cumple la siguiente ecuación M = xu; cuando realizamos la medición de una cantidad física, es común que no se obtenga un resultado exacto ó real, por consiguiente no es posible afirmar algo respecto a la exactitud, existen dos tipos de mediciones: -

Medición Directa.- es la que se obtiene por observación al hacer uso de instrumentos de medida.

-

Medición Indirecta.- se obtiene como resultado de la aplicación de formulas ó ecuaciones matemáticas sobre una serie de observaciones ó medidas directas.

El objetivo es determinar el valor real ó verdadero x, que como su nombre lo indica, posee la magnitud en forma exacta ó real, perfectamente definida y que no tiene ninguna clase de errores, aunque en la práctica esto no es posible, por muy buenos y precisos que sean los instrumentos de medida. III.3.3 Incertidumbre de lectura y valor medio Cuando hacemos la medición, por ejemplo, de una longitud usando una regla, es imposible obtener un resultado que sea preciso hasta una micra (1 m = 10-6

m), la razón es que la escala de la regla tiene divisiones separadas en 1 mm, y no es posible determinar la longitud con una exactitud mucho mejor a eso, para esto asociada a toda medición existe cierta incertidumbre. Para calcular la incertidumbre, tomamos en cuenta lo siguiente: como resulta po- sible identificar la división más cercana de la escala, hemos de tomar a la incerti- dumbre de lectura como la mitad de la división más pequeña del instrumento. De modo que si medimos la longitud de un objeto con una regla cuya precisión es 1 mm (división mas pequeña), y decimos que su longitud es 113 mm, en reali- dad entenderíamos que la longitud esta entre 112.5 mm y 113,5 mm, por que si fuera algo menor diríamos 112 mm y si fuera algo mayor diríamos 114 mm, el resultado se representa de la siguiente manera: L = 113.0  0.5 mm El numero que sigue al símbolo  es la incertidumbre de la medición y normalmente se representa por la letra griega sigma (). Aunque la especificación de una medición junto con su incertidumbre da toda la información necesaria sobre la medición, a veces es conveniente presentar este resultado de otras maneras, una de ellas es usando la incertidumbre relativa, así para nuestro ejemplo anterior, tendríamos:



0.5 L  113.0  0.004

ó

 L

 100%  0.4

Ahora el valor más próximo y que mejor representa el valor real ó verdadero de una magnitud y que resulta de una serie de mediciones que son promediadas, se conoce como valor medio, este es mas preciso cuento mayor sea el número de mediciones realizadas, el valor medio de una magnitud se define con la relación:  x  ( x1  x2  x3  .........  xN )/ N  ( xi )/ N Donde:

xi , es el valor de cada medición N, es el total de mediciones realizadas.

III.4 Errores El error de una medición es la desviación, discrepancia ó diferencia entre la lectura de una medida (valor medio <x>), y el valor real ó verdadero x, generalmente

este valor es expresado en función de la lectura de una medida ó de su valor medio x, acompañado con una de las diferentes representaciones para el error, así: x = < x >  error Error Absoluto (x).- es la diferencia entre la lectura del valor medido ó del valor medio para la magnitud estudiada y su valor real ó verdadero, la notación usual es: x =  (x - <x>) Error Relativo (xr).- esta dado por la relación entre el error absoluto y el valor medido ó medio de la magnitud, y representa la discrepancia de la medición con referencia a la unidad de la magnitud, podemos calcularlo usando la siguiente relación: xr = x / <x> Error Porcentual (xp).- es el error relativo multiplicado por cien y representa la discrepancia de la medición con referencia a 100 unidades de la magnitud, es posible calcularlo usando la siguiente relación: xp = (x / <x>).100% En resumen el valor real ó verdadero puede ser expresado en función de los errores absolutos, relativos ó porcentuales, de manera que: x = <x>  x x = <x>  (x / <x>) x = <x>  (x / <x>).100% IV. El calibrador Vernier Esta diseñado para superar en cierta medida la limitación de incertidumbre de lectura para separación de divisiones en regla relativamente grandes, en comparación con las magnitudes a medir. Funciona por adición de una reglilla auxiliar llamada vernier ó nonio, las divisiones sobre el Vernier permiten determinar con más precisión la posición del extremo del objeto cuando este se encuentra entre dos divisiones de la escala principal, algunas características de este instrumento son: 

Permite medir espesores, diámetros interiores, exteriores y profundidades.



Proporciona un aproximación de 5 centésimas de milímetro ó 0.05 mm, y en la escala de pulgadas aproximadamente 1/126.



Las características para aproximación varían según el modelo y marca del calibrador.

Es posible realizar mediciones en mm ó pulgadas en la regla principal, se establece que la mínima lectura es 1mm y 1/16 pulgadas, la mínima usada en el nonio (1/n).1mm y (1/n)(1/16 pulgadas). La distancia medida se puede calcular usando la siguiente formula: d = (a + b/n) mm

ó

d = (a + b/16n) pulg.

Donde d es el valor total de la longitud medida en mm ó pulgadas; a es el numero de milímetros ó pulgadas en la regla principal a la izquierda del cero del nonio; b es el numero de divisiones que indica el nonio, medida desde su cero a la derecha, hasta aquella división que coincida con una de la regla principal y n es el numero total de divisiones del nonio.

Figura (3). Calibrador Vernier

V. EQUIPOS Y MATERIALES      

Computadora personal Programa Data Studio instalado Microsoft Excel instalado Objeto de forma cilíndrica Regla metalica graduada en cm y milímetros Calibrador Vernier.

VI. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio. Primera actividad (ajuste lineal) Usando Data Studio con la actividad para edición de tablas, ingresar los datos de la tabla 1, obtenidos en la medición para la velocidad v (m/s) en función del tiempo t (s), empleado por un móvil. Tabla (1). Datos de velocidad vs. tiempo. tiempo (s) 0.000 0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 2.250 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 3.750 4.000

velocidad (m/s) 1.000 1.900 1.800 2.350 2.300 2.500 2.550 3.150 2.750 3.900 3.300 3.820 3.450 4.310 3.910 4.635 3.830

tiempo (s) 4.250 4.500 4.750 5.000 5.250 5.500 5.750 6.000 6.250 6.500 6.750 7.000 7.250 7.500 7.750 7.800 7.850

velocidad (m/s) 5.140 4.960 5.850 5.100 5.700 5.900 6.430 6.000 6.350 6.702 6.588 7.600 7.300 7.450 7.555 8.678 9.767

a. Digite los datos de la tabla (1) en el block de notas de Windows y guarde un archivo con el nombre de exper1.txt, en la carpeta Mis documentos. b. Ingrese al sistema Data Studio y seleccione edición de tablas, luego elija en el menú Archivo la opción Importar datos.

c. Genere un grafico nuevo para la tabla creada y elimine el grafico y la tabla vacías (creadas por defecto). d. En la ventana resumen, active la opción para introducir los encabezados apropia- dos (para el x, nombre de la variable = tiempo, para el eje y, nombre de variable = velocidad; unidades x = s, y = m/s). e. En el formato para presentación de gráficos desactive la unión de puntos con líneas. f.

Escoja del menú de ajustes el tipo mas apropiado según la configuración de nube de puntos observada (en este caso lineal).

g. Usando las ecuaciones dadas en clase verifique los resultados proporcionados por el sistema para la recta de regresión promedio (parámetros m y b). h. Analice los valores obtenidos y determine lo siguiente:    

Valor de la velocidad inicial. Aceleración del móvil. Valor máximo y mínimo de velocidad. desviación estándar en datos ingresados.

Segunda actividad (Errores, incertidumbre y uso del Vernier) a.

Medir 10 veces el diámetro del cuerpo cilíndrico, usando la regla graduada.

b.

Medir 10 veces el diámetro del cuerpo cilíndrico, usando el Vernier.

c.

Registrar sus datos usando la actividad para creación y edición de tablas del sistema Data Studio y edite los encabezados apropiados.

d.

Usando las herramientas estadísticas calcule el valor mínimo, máximo, la media, la desviación estándar y la varianza.

e.

Use las relaciones proporcionadas en clase para verificación de los resultados obtenidos usando Data Studio.

f.

Proporciones como resultado final el diámetro del cilindro, indicando la incertidumbre de lectura, error relativo, porcentual y absoluto, tomando las medidas logradas con la regla graduada y las registradas usando el Vernier.

VII. CUESTIONARIO 1.

¿Es posible determinar la función que relaciona las variables x e y sin realizar un ajuste?

2.

¿Es posible aplicar el método de mínimos cuadrados para ajustar polinomios?

3.

¿En que consiste el procedimiento de linearización?

4.

Con los resultados de la primera actividad calcule la velocidad del móvil luego de 1 hora de iniciado su recorrido.

5.

Indique algún fenómeno natural cuyo comportamiento pueda ser descrito usando una ecuación exponencial.

6.

¿Seria útil realizar un ajuste para una grafica que considere los datos registrados y el número de mediciones?

7.

¿Cuál de los 2 instrumentos utilizados (Regla graduada y Vernier) es más confiable? y ¿Cuáles son en su opinión los valores más aceptables para dar un resultado?, explique ¿Por qué?

8.

De lo obtenido en el paso (e) para la segunda actividad, explique en sus propios términos, los beneficios y desventajas observadas al utilizar Data Studio para evaluar estadísticamente las mediciones.

9.

¿Qué representan? y ¿para que sirven?, los valores obtenidos para la desviación estándar, varianza y media.

10. ¿Cual es la diferencia entre precisión y exactitud?

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

I. INTRODUCCIÓN El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. En la mayor parte de los movimientos reales, los diferentes puntos de un cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias diferentes. Se conoce el movimiento completo si sabemos como se mueve cada punto del cuerpo; por ello, para comenzar, consideraremos solamente un punto móvil, ó un cuerpo pequeño denominado partícula.

II. OBJETIVOS En esta sesión analizaremos conceptos elementales de la cinemática, la cual se ocupa del estudio del movimiento, luego de la exposición de los métodos matemáticos para caracterizar el movimiento y de realizar la comprobación experimental, el estudiante será capaz de: 

Establecer cuales son las características del movimiento rectilíneo con aceleración constante.



Determinar experimentalmente las relaciones matemáticas que expresan la posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo.



Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis grafico utilizando como herramienta el software Data Studio.



Utilizar el software Data Studio para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Movimiento Rectilíneo uniforme (MRU) Se denomina movimiento al cambio continuo de posición que experimenta un cuerpo con el tiempo, para nosotros esta posición queda determinada por sus proyecciones sobre los tres ejes de un sistema de coordenadas rectangulares, el cual se denomina sistema de referencia; consideremos ahora que el móvil se desplaza en la dirección

+X de un sistema coordenado lineal, entonces su posición en cualquier instante de tiempo, estará especificada cuando se conozca la función x = x(t). Velocidad Media.- Se define como la razón del desplazamiento al tiempo transcurrido. Si denotamos por x = x2 - x1, al desplazamiento desde la posición inicial x1 hasta la posición final x2 y por t = t2 - t1, al tiempo transcurrido, entonces la velocidad media estará dada por:

v

x

 x2  x1 t t 2  t1

(1)

La ecuación (1), puede escribirse de la forma:

x2  x1  v (t2  t1 )

(2)

Puesto que nuestro dispositivo de medida del tiempo puede ponerse en marcha en cualquier instante, podemos hacer t1 = 0 y t2 igual a un tiempo cualquiera t. Entonces, si x0 es la abscisa cuando t = 0 (x0 se denomina posición inicial) y x es la abscisa en el instante t, la ecua- ción (2) se convierte en:

x  x0  v t

(3)

Velocidad Instantánea.- Es la velocidad de un cuerpo en un instante dado, en un punto de su trayectoria. Si el intervalo de tiempo en la ecuación (1) se toma cada vez mas corto, la posición final x2 estará cada vez mas próxima a la posición inicial x1, es decir x se ira acortando y la velocidad media tendera a tomar magnitud, dirección y sentido de la velocidad del cuerpo en x1 . La velocidad instan- tánea v es:

v  lim

x

t0 t

 lim

x2  x1

t0

t2  t1

En un movimiento uniforme el valor de la velocidad media será igual en magnitud al valor de la velocidad instantánea.

(4)

III.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Excepto en ciertos casos especiales, la velocidad de un cuerpo móvil varía continua- mente durante el movimiento. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo se mueve con un movimiento acelerado ó que tiene una aceleración. Aceleración Media.- La aceleración media de la partícula ó móvil cuando se mueve de un punto P hasta un punto Q (ver figura 1) se define como la razón de cambio de velocidad al tiempo transcurrido:

v v a

2

v 1

(5)



Donde t1 y t2 son los tiemt 2post1corresptondientes a las velocidades v1 y v2. La aceleración media entre t1 y t2 es igual a la pendiente de la cuerda PQ.

Figura (1). Grafica aceleración vs. tiempo.

Aceleración Instantánea.- es la aceleración en cierto instante, ó en determinado punto de su trayectoria, se define del mismo modo que la velocidad instantánea, por lo cual realizando un análisis similar se define esta aceleración como:

a  lim t0

v

t

 lim

v2  v1

t0 t

(6) 2  t1

En un movimiento uniformemente acelerado el valor de la aceleración instantánea coincide con el de la aceleración media.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES         

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de Movimiento Móvil PASCAR Carro motorizado de movimiento uniforme variable Carril de aluminio con tope magnético y polea. 2.0 m de hilo negro. Set de masas

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Realice la conexión de la interface con la PC usando el cable de transmisión de datos a la entrada USB bidireccional. c. Encender el computador (CPU y monitor). d. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio. e. Seleccionar el sensor de movimiento en la lista de sensores, efectuar la instalación y calibración. f.

Configure el sensor a fin de que sea capaz de registrar 30 lecturas por segundo.

g. Genere un grafico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor (aceleración, velocidad y posición). h. Realizar el montaje del conjunto de accesorios (carro, carril, cuerda, polea, pesos y tope) a fin de ejecutar la actividad. Primera actividad (MRU) a. Coloque sobre el carril el carro motorizado de movimiento uniforme (ME9781).

b. Regule la velocidad, de modo que recorra el carril en aproximadamente 3 segundos. c. Coloque el carro sobre el carril en la posición inicial (0.15 m del sensor), véase la figura (2). d. Inicie la toma de datos encendiendo el carro y oprimiendo el botón inicio en la barra de configuración principal del software Data Studio. e. Finalizado el recorrido pulse el botón detener y apague el carro. f.

Utilice las herramientas de análisis del programa para determinar la velocidad media.

g. Repita el proceso hasta completar 10 mediciones. h. Evalué la información obtenida, comparándola con sus cálculos teóricos y calcule el error absoluto, el error porcentual; luego calcule la desviación estándar. i.

Calcule el área en la grafica velocidad vs. tiempo, en cada caso y anótelo como la longitud recorrida.

j.

Utilice la tabla (1) para anotar sus resultados.

Figura 2 - Configuración de equipos para la primera actividad.

Tabla (1), datos de velocidad y posición para el MRU Numero de Medición Velocidad Media (m/s) Longitud Recorrida (m)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Segunda actividad (MRUV) Coloque el Móvil PASCAR en la posición inicial (0.15 m del sensor). a.

Use el peso del soporte (5 gramos) para la medición, véase la figura (3).

b.

Inicie la toma de datos soltando el carro y oprimiendo el botón inicio en la barra de configuración principal de software o directamente de la interface.

c.

Utilice las herramientas de análisis del programa para determinar la velocidad media y la aceleración media.

d.

Repita el proceso hasta completar 10 mediciones.

e.

Evalué la información obtenida, comparándola con sus cálculos teóricos y calcule el error absoluto, el error porcentual; luego determine la media y la desvia- ción estándar.

f.

Utilice la tabla (2) para anotar sus resultados.

Figura 3 - Configuración de equipos para la Segunda actividad.

Tabla 2, datos registrados considerando un peso de 5 gramos. Numero de Medición Velocidad Media (m/s) Aceleración Promedio (m/s2) Longitud Recorrida (m)

1

Análisis

2

Val or Teóri co

3

4

5

6

Err or abso luto

Porcentu al

7

8

9

1 0

Estadísticas Media

Desviació n

Velocidad Media (m/s) Aceleración Media (m/s2) Longitud Recorrida (m)

VI. CUESTIONARIO 1.

Grafique los datos de posición vs. tiempo de la segunda actividad (exportándolos), realice un ajuste cuadrático y determine la aceleración, la posición inicial y la velocidad en t = 0.

2.

¿Muestra la grafica alguna evidencia de que exista error experimental?, explique la respuesta y si así es, sugiera las posibles causas de este error.

3.

Realice un ajuste lineal sobre la grafica velocidad vs. tiempo de la primera acti- vidad y por extrapolación determine la velocidad del móvil para t = 15 seg. y compare este valor con el obtenido usando las ecuaciones dadas en clase.

4.

Analice el valor de la desviación estándar, ¿Qué indica respecto a los datos recogidos?

5.

¿Existirá fricción entre el carro y el carril?, ¿Por qué no se toma en cuenta?

6.

Cuando la velocidad es constante, ¿difiere la velocidad media en un intervalo de tiempo cualquiera de la velocidad instantánea en un instante cualquiera?

7.

¿Puede un cuerpo tener rapidez constante y a la vez tener velocidad variable?

8.

¿Qué se observaría en la grafica velocidad vs. tiempo para un móvil si la acele- ración no fuese constante?

9.

¿Es el MRU un caso especial del MRUV cuando la aceleración es nula?

10. ¿En que se modificarían los cálculos para la velocidad y aceleración del móvil si se tuviese en cuenta la resistencia del aire?

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

57

58

GuíadeLaboratoriodeFísicaI MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (MOVIMIENTO PARABÓ- LICO)

I. INTRODUCCIÓN Un tipo frecuente de movimiento sobre una trayectoria curva es el que realiza un proyectil; la expresión proyectil se aplica a una pelota, una bomba que se arroja de un avión ó a una bala de rifle, donde la línea descrita por el proyectil se denomina trayectoria. La trayectoria queda afectada en gran medida por la resistencia del aire, lo cual hace que el estudio completo del movimiento sea muy complicado. Sin em- bargo, nosotros despreciaremos los efectos de la resistencia del aire dado que traba- jaremos con pequeñas velocidades y supondremos que el movimiento tiene lugar en el vació. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso, por lo que podemos usar la segunda ley de newton para deducir las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad. II. OBJETIVOS 

Verificar las relaciones cinemáticas que gobiernan el movimiento de un pro- yectil.



Determinar la relación entre ángulo de disparo y alcance máximo.



Determinar la velocidad de lanzamiento.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Como la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su propio peso, la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares, indica que la componente horizontal de la aceleración es nula, y la vertical esta dirigida hacia abajo y es igual a la de caída libre, entonces:

a 

F

x

 0;

a 

F

y



 mg



(1)

g x

m

y

m

m

En virtud de la ecuación (1), se concluye que el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal a velocidad constante y movimiento ver- tical uniformemente acelererado.

III.1 Movimiento de un Proyectil En este caso se lanza un objeto con cierto ángulo de elevación respecto a un plano horizontal de referencia, tal como se ve en la figura (1). La velocidad en el punto origen ó donde inicia su recorrido esta representada por el vector v 0 (velocidad inicial), en este punto hacemos por conveniencia t = 0, luego designamos el “ángulo de tiro” como 0, de modo que se puede descomponer la velocidad inicial en una componente horizontal v0cos0, y una componente vertical, v0sen0. Puesto que la aceleración horizontal a x es nula tal como se ve en la ecuación (1), la componente horizontal vx de la velocidad permanece constante durante el movimiento, para cualquier instante posterior t > 0.

vx  v0cos0

(2)

Como la aceleración vertical ay es igual a – g. La velocidad vertical vy para todo instante de tiempo será:

vy  v0sen0  gt

(3)

Figura (1). Trayectoria de un proyectil, lanzado con un ángulo de elevación , y con velocidad inicial v0.

El vector velocidad v es tangente en todo instante a la trayectoria. Luego como v x es constante, la abcisa x (alcance) en un instante cualquiera es:

x  (v0cosθ0 )t y la ordenada y vale:

y  (v senθ )t  0

0

1 2

gt 2

(3)

(4)

En el tiro con ángulo de elevación mayor a cero, el tiempo requerido para que el proyectil alcance máxima altura h, lo calculamos haciendo v y = 0 en la ecuación (3), entonces:

thmax

v  00 senθ g

(5)

La “altura máxima” se obtiene sustituyendo (5) en la ecuación (4), lo cual da como resultado lo siguiente:

hmax 

v20sen2θ 0 (6)

2g

El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel de referencia de lanzamiento se denomina “tiempo de vuelo”, y es el doble del valor dado por la ecuación (5), reemplazando este valor en la ecuación (4), puede calcularse el “alcance máximo”, es decir la distancia horizontal cubierta, esto es: 2

R  0vsen2θ0 g

(7)

La ecuación de la trayectoria se obtiene despejando t en la ecuación (3) y reemplazando este valor en la ecuación (4), la cual es la ecuación de una parábola.

y

g 2v 0cos2θ 0 2



xtanθ0

IV. EQUIPOS Y MATERIALES(8-10-12-14)         

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK O Xplorer GLX Sistema lanzador de proyectiles Accesorio para tiempo de vuelo Adaptador para fotopuerta Esfera de acero Papel carbón, papel bond, gafas protectoras Soporte con pinzas, cinta métrica 2.0 m

(8)

PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verificar la conexión e instalación de la interface. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar crear experimento. c. Seleccionar el accesorio para tiempo de vuelo y fotopuerta, de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos, de acuerdo a lo indicado por Data Studio. d. Efectúe la configuración del temporizador, para la fotopuerta y el accesorio para tiempo de vuelo, tal como se aprecia en la figura (2).

Figura (2). Configuración de secuencia temporizador.

e. Adicione un medidor digital a los datos recogidos por el temporizador, en el se registrará el tiempo de vuelo. f.

Coloque la fotopuerta en el adaptador y luego en la boca del lanzador de proyectiles.

g. Efectúe el montaje de dispositivos y accesorios tal como se muestra en la figura (3).

Figura (3). Disposición de equipos y accesorios.

Primera actividad (determinación de la velocidad inicial) a. Verifique la elevación angular del tubo lanzador. b. Inserte con ayuda del tubo atacador la esfera de plástico ó acero, en la primera o segunda posición de compresión del resorte según sea el caso. c. Verificar la puntería, esta debe coincidir con la dirección del accesorio para tiempo de vuelo. d. Pulsar el botón inicio. e. Tirar suavemente del cable que activa el disparador. f. Verificar el punto de alcance máximo correspondiente; de ser necesario ajuste la distancia de ubicación del accesorio para tiempo de vuelo. g. Anote el valor del alcance máximo (fotopuerta al punto de impacto en el plato), el tiempo de vuelo y el ángulo empleado; realice esta operación tres veces y tome el promedio. h. Varíe la posición angular aumentando cinco grados cada vez. i.

Repita los procedimientos desde (a) hasta (g), para las medidas angulares mostradas en las tablas (1) y (2), usando la esfera de acero y la esfera de plástico.

j.

Usando Data Studio con la actividad introducir datos, realice una gráfica alcance máximo (m) vs. ángulo de tiro (rad), y determine la velocidad inicial empleando la ecuación (7) y el valor conocido de gravedad.

Tabla (1), Datos registrados para alcance máximo y ángulo de tiro, usando la esfera de plástico Angulo de tiro (Radianes)

Alcance máximo promedio (m)

Tiempo de vuelo promedio (s)

0.087 (5) 0.175 (10) 0.262 (15) 0.349 (20) 0.436 (25) 0.524 (30) 0.611 (35) 0.698 (40) 0.785 (45) 0.873 (50)

Tabla (2), Datos registrados para alcance máximo y ángulo de tiro, usando la esfera de acero Angulo de tiro (Rad) 0.087 (5) 0.175 (10) 0.262 (15) 0.349 (20) 0.436 (25) 0.524 (30) 0.611 (35) 0.698 (40) 0.785 (45) 0.873 (50)

Alcance máximo promedio (m)

Tiempo de vuelo promedio (s)

VI. CUESTIONARIO 1.

Señalar y clasificar las fuentes de error en este experimento.

2.

¿Se cumple el principio de independencia de movimiento, para las esferas lanzadas?

3.

Demostrar que un ángulo de 45º da el máximo alcance horizontal.

4.

Encontrar el ángulo de disparo para el cual, el alcance horizontal es igual a la máxima altura del proyectil.

5.

¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre el proyectil después de haber sido lanzado?, muestre su respuesta en un diagrama.

6.

¿Cómo se determinaría la velocidad inicial de una bala si solo se dispone de una cinta métrica?

7.

¿Qué es una “curva balística”?, Explicar detalladamente.

8.

¿A que se denomina “visual de puntería”?, hacer un esquema explicativo de cómo apuntar con un arma de fuego para batir el blanco.

9.

¿A que se denomina “parábola de seguridad”?

10. ¿Qué es y como se origina el “efecto de desvío lateral de un proyectil”?

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

65

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

66

CAÍDA LIBRE

I. INTRODUCCIÓN Estado normal del movimiento de un objeto en el espacio bajo la influencia gravitatoria de un cuerpo central. Según esto la Tierra se encuentra en caída libre alrededor del Sol, mientras que un satélite artificial más allá de la atmósfera está en caída libre alrededor de la Tierra, en tanto un vehículo se encuentre en caída libre, un astronauta no tendrá "peso" aparente y experimentará el fenómeno de ingravidez. En el vacío todos los cuerpos, con independencia de su forma o de su masa, caen con idéntica aceleración en un lugar determinado, próximo a la superficie terrestre. El movi- miento de caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, es decir, la acele- ración instantánea es la misma en todos los puntos del recorrido y coincide con la aceleración media, y esta aceleración es la aceleración de la gravedad (en la Tierra, g = 9.8 m/s2) Galileo fue el primero en demostrar experimentalmente que, si se desprecia la resis- tencia que ofrece el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma acele- ración. II. OBJETIVOS Habiendo analizado las características del movimiento uniforme y uniformemente variado, verificaremos en esta sesión que el movimiento de caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, donde la aceleración instantánea coincide con la aceleración de la gravedad; luego de esta sesión el estudiante será capaz de realizar lo siguiente: 

Calcular la aceleración de la gravedad usando el sistema Data Studio.



Verificar que la aceleración de caída de un cuerpo no depende de su masa.



Realizar un análisis grafico de los parámetros registrados por los sensores a fin de establecer con un mínimo margen de error las magnitudes físicas bus- cadas (gravedad, tiempo de caída).



Verificar la relación entre la distancia de caída con el tiempo empleado.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Movimiento de Caída Libre Sabemos que un cuerpo que cae a tierra lo hace a una aceleración aproximadamente constante, esto debido a factores como la resistencia del aire y la ligera variación de la gravedad con la altura. Prescindiendo de estos factores, se encuentra que todos los cuerpos, independientemente de su tamaño ó peso caen con la misma aceleración en un mismo lugar de la superficie terrestre, y si la distancia recorrida no es demasiado grande, la aceleración permanece constante durante la caída. A este movimiento idealizado se le denomina caída libre, aunque la expresión se aplica tanto a cuerpos que ascienden como a los que caen. La aceleración de un cuerpo en caída libre se denomina aceleración debida a la gravedad y se representa con la letra (g), en la superficie terrestre ó cerca de ella, es aproximadamente: g = 9.80 m/s2 ó 32 pies/s2

(1)

Galileo fue el primero en determinar esto asegurando además que la distancia recorrida en la caída de un objeto es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. d  t2

(2)

Para analizar los datos recolectados en la medición de la caída de un cuerpo, será necesario utilizar las siguientes relaciones cinemáticas de posición y velocidad:

x  x0  v0t 

at 2

2

(3)

y

v  v0  at Donde:

(4)

x0, es la posición inicial de medición para la caída (desde donde se libera el cuerpo), en nuestro caso su valor es cero. v0, es la velocidad inicial de caída que en nuestro experimento valdrá cero, es decir parte desde reposo. a, es el valor de la gravedad y es el que debemos calcular. t, es el tiempo total de caída (medido).

Como el valor total de la longitud x se conoce en el experimento (desde x0 hasta el final del recorrido) y la aceleración es la aceleración de la gravedad, podemos expre- sar la ecuación (3) como:

g

2x t2

(5)

Esta relación nos permitirá calcular el valor experimental de la gravedad, al determinar el tiempo total de recorrido. Es posible también medir el valor de la velocidad final de caída usando la ecuación (4) y el valor obtenido de g, recordemos que se suelta el objeto con velocidad nula (v0 = 0), por lo tanto:

v  gt

(6)

Considerando el tiempo total de caída t, medido experimentalmente. Para determinar el grado de error correspondiente en nuestras mediciones, utilizaremos el valor de la gravedad establecida a nivel del mar y sobre el ecuador (980 cm/s2).

IV. EQUIPOS Y MATERIALES       

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Equipo de caída libre Timer Switch Accesorio para tiempo de vuelo Regla graduada de 1.0m

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verificar la conexión e instalación de la interface. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar crear experimento.

c. Seleccionar el accesorio para tiempo de vuelo y Timer Switch, de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos, de acuerdo a lo indicado por Data Studio, ver figura (1). d. Efectúe la configuración del temporizador, para el Timer Switch y el accesorio para tiempo de vuelo, tal como se aprecia en la figura (2).

Figura (1). Accesorios requeridos.

Figura (2). Configuración de secuencia temporizador.

e. Adicione un medidor digital a los datos recogidos por el temporizador, en el se registrará el tiempo de caída.

f.

Coloque el Timer Switch en el accesorio para liberación magnética de objetos y luego sujete la esfera de PVC, al liberador magnético, finalmente coloque el interruptor en armado.

g. La altura de caída debe ser de- terminada previamente utili- zando la regla graduada. h. El montaje de dispositivos y accesorios, es tal y como se muestra en la figura (3).

Figura (3). Configuración de equipos.

Primera actividad (Determinación de la gravedad) a. Pulse el Timer Switch para liberar la esfera de PVC suspendida al inicio. b. Anote el tiempo de caída mostrado en el medidor digital. c. Empleando la ecuación (5) calcule la magnitud de la gravedad en m/s2. d. Con el valor obtenido previamente y utilizando la ecuación (6), calcule el valor de la velocidad final de caída. e. Anote sus resultados en la tabla (1).

Tabla 1, datos registrados considerando esfera de poliestireno. Numero de Medición

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

Tiempo de caída (s) Aceleraci ón Gravedad (m/s2) Velocidad Final de Caída Longitud Recorrida (m)

Análisis

Aceleración Media (m/s2)

Val or Teóri co

Err or absolut o

Estadísticas Porce ntual

Medi a

Desvi ación

9 . 8

Tiempo promedio de caída (s) f.

Repita los pasos de (a) hasta (e) diez veces, anotando sus resultados en cada caso.

g. Determine el error absoluto y porcentual, luego calcule la media y la desviación estándar de las mediciones. h. Cambie la esfera de PVC por la Vinílico y repita los pasos de (a) hasta la (g).

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Qué factores pueden causar las diferencias entre el valor obtenido y el valor comúnmente aceptado para la aceleración gravitacional a nivel del mar?

2.

¿La fuerza de fricción juega un papel importante en este experimento?

3.

¿Cuál diría usted que es la relación que liga el tiempo de recorrido con la dis-

tancia total de caída?, exprese usted la ecuación considerando la constante proporcionalidad correspondiente y señale cual es su significado.

4.

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzará una altura máxima y después caerá. ¿Tanto la fase de subida como la de bajada son de caída libre?

5.

Utilice la ecuación (3) para elaborar una grafica posición vs. Tiempo para la caída libre, calcule la pendiente de esta gráfica para t = 0.01 seg. ¿Qué unidades tiene?, ¿Qué significado físico tiene este valor?

6.

En el espacio, ¿Existe la gravedad?, justifique su respuesta.

7.

¿Cuál es la incertidumbre en nuestra medición experimental de la gravedad?

8.

¿Esta usted conforme con el valor experimental obtenido para la aceleración?, justifique su respuesta.

9.

Si los frenos de tu automóvil son capaces de crear una aceleración retardatriz de 17 m/s², Si tu vas a 85 km/h y de repente ves un policía de transito, ¿cuál es el tiempo mínimo en el que tu puedes bajar la velocidad a 55 km/h?

10. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 m/s, deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba.

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y UNIFORMEMENTE VA- RIADO

I. INTRODUCCIÓN Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproducción en el equipo de música, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta son ejemplos de movimientos circulares, es decir, de cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia. A veces el movimiento cir- cular no es completo: cuando un coche o cualquier otro vehículo toma una curva realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360 º de la circunferencia. Por esto, el estudio y descripción del movimiento circular es muy importante. En esta sesión, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo. II. OBJETIVOS En esta sesión analizaremos dos conceptos elementales de la cinemática, el caso del movimiento circular, luego de la exposición de los métodos matemáticos para carac- terizar el movimiento circular y de realizar la comprobación experimental, el estu- diante será capaz de: 

Establecer cuales son las características del movimiento circular con aceleración constante.



Determinar experimentalmente las relaciones matemáticas que expresan la posición, velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo.



Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis grafico utilizando como herramienta el software Data Studio.



Utilizar el software Data Studio para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada.



Analizar usando el sistema Data Studio los resultados que se obtienen de mediciones y observaciones, para predecir comportamientos previos ó posteriores a la toma de datos, junto con la verificación de parámetros estadísti- cos.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Movimiento Circular Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Cuando el recorrido del ángulo se realiza en el sentido contrario al de las agujas del reloj o el sentido de aflojar un tornillo, el ángulo es positivo. Si el recorrido se realiza en el sentido de las agujas de un reloj o el de apretar un tornillo, el ángulo se considera negativo, una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posición angular () En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, ver figura (1). Su posición angular viene dada por el ángulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Figura (1). Movimiento Circular Velocidad angular () En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo  ', ver figura (2). El móvil se habrá desplazado  = ’ -  en el intervalo de tiempo t = t'- t comprendido entre t y t'. Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

   t

(1)

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.    lim  (2)

d



t0

t

dt

Figura (2). Velocidad Angular.

Aceleración Angular () Si en el instante t la velocidad angular del móvil es  y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ', ver figura (3). La velocidad angular del móvil ha cambiado =' -  en el intervalo de tiempo t = t' - t comprendido entre t y t'. Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el in- tervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

   t

(3)

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

  lim t0

 t



d dt

Figura (3). Aceleración Angular

(4)

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento  - 0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

  0





t t0

(5)

 dt

El producto dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t + dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t. En la figura (4), se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área coloreada mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Figura (4). Calculo del desplazamiento angular.

Podemos hallar la posición angular  del móvil en el instante t, sumando la posición inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva  vs. t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula (5). Ahora dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular, del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular  en función del tiempo t, pode- mos calcular el cambio de velocidad  - 0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

  0 

(6)

t



dt 0

En la figura (5), el cambio de velocidad  -0 es el área bajo la curva  vs. t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula (6). Conociendo el cambio de velocidad angular  - 0, y el valor inicial 0 en el instante inicial t 0, podemos calcular la velocidad angular  en el instante t.

Figura (5). Calculo del cambio en velocidad angular.

III.2 Movimiento Circular Uniforme (MCU) Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular  es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular  del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando:

   0  (t  t0 )

(7)

Gráficamente, en la representación de  en función de t.

Figura (6). Velocidad angular en el MCU

III.3 Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración  es constante. Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular  -0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

  0   (t  t0 )

(8)

Figura (7). Aceleración en el MCUV

Dada la velocidad angular  en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento  - 0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

     (t  t )  1  (t  t )2 0

0

0

2

(9)

0

Despejando el tiempo t en la ecuación (9) y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular  con el desplazamiento θ - θ0

 2   2  2 (   )

0

0

Figura (8). Velocidad angular en el MCUV

(10)

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

80

IV. EQUIPOS Y MATERIALES         

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de Movimiento Circular Móvil PASCAR Carro motorizado de movimiento uniforme. Carril de aluminio con tope magnético y polea. 2.0 m de hilo negro. Set de masas y calibrador Vernier.

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Encender el computador (CPU y monitor). c. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio. d. Seleccionar el sensor de movimiento circular en la lista de sensores, efectuar la instalación y calibración. e. Configure el sensor a fin de que sea capaz de registrar 30 lecturas por segundo. f.

Genere un grafico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor (aceleración angular, velocidad angular y posición angular).

g. Con ayuda del calibrador Vernier determine el diámetro de la polea del sensor de movimiento circular luego calcule la longitud de su circunferencia (L). Primera actividad (MCU) a. Sujete una masa de 10 gramos en el extremo posterior del CMMU (ME-9781), emplee para esto el hilo negro, luego asegurese que el hilo pase sobre la polea del sensor de movimiento circular. b. Regule la velocidad, de modo que pueda recorrer 0.8 m sobre el carril en aproximadamente 3 segundos. c. Coloque el CMMU en la posición inicial (0.15 m del sensor), en lugar del móvil PASCAR, que se muestra en la figura (9). d. Inicie la toma de datos encendiendo el carro y oprimiendo el botón inicio en la barra de configuración principal del software Data Studio.

e. Finalizado el recorrido pulse el botón detener y apague el carro. f.

Utilice las herramientas de análisis del programa para determinar la velocidad angular media.

g. Repita el proceso hasta completar 10 mediciones. h. Calcule el área en la grafica velocidad angular vs. tiempo, anótelo como despla- zamiento angular recorrido, luego divida esta cantidad entre 2, este es el nu- mero de vueltas (N). i.

Evalué la información obtenida, comparándola con sus datos teóricos y calcule el error absoluto, el error porcentual respecto a la distancia recorrida (D).

j.

Utilice la tabla (1) para anotar sus resultados. Tabla (1), datos de velocidad y posición para el MRU.

Numero de Medición Velocidad angular media (rad./s) Desplazamiento angular (rad.) Numero de Vueltas (N) Distancia recorrida (LxN = D)(m) Distancia recorrida teórica (m)

1

2

0 . 8

3

4

5

Error Absoluto

6

7

8

9

Error Porcentual

Segunda actividad (MCUV) a. Coloque el Móvil PASCAR en la posición inicial (0.15 m del sensor). b. Sujete un peso de 10 gramos en el extremo del carro, emplee para esto el hilo negro, luego asegurese que pase sobre la polea del sensor de movimiento circular, véase la figura (9). c. Inicie la toma de datos soltando el carro y oprimiendo el botón inicio en la barra de configuración principal de software. d. Utilice las herramientas de análisis del programa para determinar la velocidad angular media y la aceleración angular media. e. Repita el proceso hasta completar 10 mediciones.

10

f.

Calcule el área en la grafica velocidad angular vs. tiempo, anótelo como despla- zamiento angular recorrido, luego divida esta cantidad entre 2, este será el nu- mero de vueltas (N).

g. Evalué la información obtenida, comparándola con sus datos teóricos y calcule el error absoluto, el error porcentual respecto a la distancia recorrida (D). h. Utilice la tabla (2) para anotar sus resultados.

Figura (9). Configuración de equipos para la segunda actividad.

Tabla (2), Datos registrados considerando un peso de 10 gramos. Numero de Medición Velocidad angular media (rad./s) Aceleraci ón angular prome dio (rad./s 2 ) Numero de Vueltas (N)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

Distancia re- corrida (LxN = D) ( m ) Distancia re- corrida teórica ( m )

0 . 8

Error Absoluto

Error Porce n- tual

VI. CUESTIONARIO 1.

Grafique los datos de posición angular vs. Tiempo de la segunda actividad, realice un ajuste cuadrático y determine la aceleración, la posición angular inicial y la velocidad angular en t = 0.

2.

Sobre los datos de la segunda actividad, realice un ajuste lineal sobre la grafica velocidad angular vs. tiempo y por extrapolación determine la velocidad angular del móvil para t = 15 seg. y compare este valor con el obtenido usando las ecua- ciones dadas en clase.

3.

¿Existirá fricción entre el carro y el carril?, ¿Por qué no se toma en cuenta?

4.

¿Muestra la grafica alguna evidencia de que exista error experimental?, explique la respuesta y si así es, sugiera las posibles causas de este error.

5.

¿En el movimiento circular la dirección del vector velocidad es constante?, jus- tifique su respuesta.

6.

Deduzca una expresión para la velocidad tangencial en función de la velocidad angular y del radio de la polea.

7.

Utilizando la ecuación obtenida en la pregunta anterior y los datos de velocidad angular (primera y segunda actividad) y diámetro de la polea calcule la veloci- dad tangencial a la cual se desplazo el móvil.

8.

Calcule la frecuencia de rotación para la primera actividad.

9.

Determine la frecuencia de rotación en la segunda actividad, luego elabore una grafica frecuencia vs. tiempo.

10. ¿Qué representa cada una de las componentes del vector velocidad para un mó- vil que se desplaza con MCU?

LEYES DE NEWTON

I. INTRODUCCIÓN Se denomina dinámica a la parte de la física que estudia conjuntamente el movimiento y las fuerzas que lo originan. En su sentido más amplio, la dinámica abarca casi toda la mecánica; sin embargo por nuestra experiencia cotidiana, sabemos que un objeto en reposo jamás comenzara a moverse por si mismo, si no que será necesario que otro cuerpo ejerza sobre el una tracción ó un empuje, es también familiar el hecho de que para retardar el movimiento de un cuerpo ó para detenerlo es necesaria una fuerza y que cuando la trayectoria es rectilínea, es preciso que esta fuerza sea lateral para desviarla. Todos los procesos anteriores (aceleración, retardo ó cam- bio de dirección) implican un cambio en el valor ó en la dirección de la velocidad del cuerpo, en otras palabras, en todos los casos el cuerpo es acelerado y ha de actuar una fuerza exterior para producir esta aceleración. Newton planteó que todos los mo- vimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario definir primero. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m. En esta sesión estudiaremos el comportamiento de un cuerpo cuando es sometido a una fuerza no nula y veremos aquí que la respuesta a esta cuestión esta contenida en las leyes de Newton II. OBJETIVOS Usando el equipo experimental Pasco Scientific y el sistema Data Studio, seremos capaces de alcanzar los siguientes objetivos: 

Verificar que todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.



Verificar que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.



Verificar que cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.



Ser capaz de configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis grafico utilizando como herramienta el software Data Studio.



Analizar usando el sistema Data Studio los resultados que se obtienen de mediciones y observaciones, para predecir comportamientos previos ó posteriores a la toma de datos, junto con la verificación de parámetros estadísti- cos.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Primera Ley de Newton La primera ley de Newton, conocida también como Ley de inercia, nos dice que si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cual sea el observador que describa el movimiento. Así, para un pasajero de un tren, el boletero viene caminando lentamente por el pasillo del tren, mientras que para al- guien que ve pasar el tren desde el andén de una estación, el boletero se está mo- viendo a una gran velocidad. Se necesita, por tanto, un sistema de referencia al cual referir el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como “Sistemas de Referencia Inerciales”, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en un sistema inercial. En muchos casos, supo- ner a un observador fijo en la tierra es una buena aproximación de sistema inercial. La primera Ley de Newton se enuncia como sigue: “Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él” III.2 Segunda Ley de Newton La primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo que conocemos como fuerzas. Considerando esto se realizaron diversos experimentos a lo largo del tiempo cuyos resultados fueron: 

La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta; esto es cierto, bien se encuentre el cuerpo inicialmente en reposo ó bien moviéndose en cualquier dirección y con cualquier velocidad.



Para un cuerpo dado, la razón del valor de la fuerza al de la aceleración es siempre la misma, o sea, es constante. F / a = constante (para un cuerpo dado)

(1)

A esta razón constante de la fuerza a la aceleración puede considerarse como una propiedad del cuerpo denominada masa y denotada con la letra (m), por lo cual:

m

F

(2)

a

La segunda ley de Newton se encarga entonces de cuantificar el concepto de fuerza y nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La masa de un cuerpo es una magnitud escalar, numéricamente igual a la fuerza necesaria para comunicarle la unidad de aceleración. La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una acele- ración de 1 m/s2, o sea, 1 N = 1 Kg. · 1 m/s2 Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, ade- más de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de New- ton debe expresarse como:

F  m Donde:

,

a ,F

(3)

a es la aceleración del cuerpo. es la fuerza neta

externa. m, masa del cuerpo.

La consecuencia de la ecuación (3) es que el resultado que produce una fuerza ó una combinación de ellas sobre un cuerpo es que se acelera en la misma dirección y sen- tido que la fuerza resultante (suma de fuerzas) ó la fuerza neta. En conclusión la segunda ley de Newton, expresada en la ecuación (3), es la más importante en cuanto nos permite establecer una relación numérica entre las magnitudes fuerza y aceleración; esta se podría enunciar como: “La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración”

La expresión de la segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, la ecuación (3), no es valida y habrá que reformularla.

III.3 Tercera Ley de Newton La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción, nos dice que si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario. Esto es algo que podemos comprobar a diario en nume- rosas ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia arriba, empujamos el suelo para impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace saltar hacia arriba. Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros también nos move- mos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otra persona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a nosotros. Hay que destacar que, aunque los pares de acción y reacción tenga el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que actúan sobre cuerpos distintos. La tercera Ley puede enunciarse de la siguiente manera: “Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto”

IV. EQUIPOS Y MATERIALES              

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de Movimiento Móvil PASCAR 2 Sensores de fuerza Carril de aluminio con tope magnético y polea. 2.0 m de hilo negro. Set de masas Balanza analógica ( ± 0.1 gr.) Masas adicionales (250 gr.) Regla de nivel Lanzador de carro Accesorio para montaje de sensor de fuerza

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Encender el computador (CPU y monitor). c. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio, luego seleccione crear experimento. d. Seleccionar sensor de movimiento y sensor de fuerza en la lista de sensores, luego efectuar la conexión según lo indicado por el Software. e. Configure el sensor de movimiento a fin de que sea capaz de registrar 30 lecturas por segundo. f.

Configure el sensor de fuerza, para un registro máximo de 5 Newton en tracción (+) y mínimo de 0 Newton en compresión (-), con sensibilidad baja.

g. Genere un grafico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor de movimiento (aceleración, velocidad y posición vs. tiempo) y por el sensor de fuerza (fuerza vs. tiempo). h. Sitúe el carril sobre una superficie horizontal, luego nivelelo empleando la regla de nivel, para corregir utilice el pie ajustable del extremo del carril. i.

Determine con ayuda de la balanza analógica, la masa del carro, la masa del sensor de movimiento y la masa del sensor de fuerza; anote sus datos en la tabla (1). Tabla (1), Masas de los sensores. Componente

Masa en gramos

Masa en Kilogramos

Sensor de movimiento Sensor de fuerza Móvil PASCAR Primera actividad (Segunda Ley de Newton) a. Instale el sensor de movimiento en el extremo izquierdo del carril, b. Coloque el móvil PASCAR a 0.15 m del plato deflector del sensor de movimiento. c. Sobre el móvil PASCAR ajuste el sensor de fuerza, emplee para ello un desarmador plano y emplee el terminal tipo gancho para el sensor.

d. Sujete mediante el hilo negro un porta pesas en el extremo delantero del sensor de fuerza, luego coloque en el una masa de 10 gramos (masa neta igual a 15 gr.). e. Asegurese que el hilo negro pase sobre la polea ubicada en el extremo del carril, tal como se muestra en la figura (1). f.

Sobre el sensor de fuerza coloque una de las masas adicionales de 250 gramos, la masa total del móvil será ahora la suma de masas.

g. Inicie la toma de datos soltando el móvil y oprimiendo luego el botón inicio en la barra de configuración principal de Data Studio. h. Registrar datos hasta antes de que el móvil llegue al tope. i.

De la grafica aceleración vs. tiempo determine el valor promedio de la aceleración durante todo el recorrido.

j.

De la grafica fuerza vs. tiempo calcule el valor promedio de la fuerza aplicada al cuerpo durante todo el recorrido.

k. Anote sus datos en la tabla (2) l.

Repita el proceso hasta completar 5 mediciones, luego calcule el promedio total.

m. Calcule el valor teórico para la fuerza neta (masa en porta pesas multiplicada por la gravedad) y la aceleración correspondiente (fuerza neta dividida entre la masa del móvil), emplee para ello los datos de la tabla (1) y la ecuación (3). n. Evalué los promedios para fuerza y aceleración obtenidos usando Data Studio, y compárela con sus datos teóricos, luego determine el error absoluto, el error porcentual en cada caso.

Figura (1). Configuración de equipos para la primera actividad.

Tabla (2), Datos registrados de fuerza y aceleración. Masa total del Móvi l (Kg.) Aceleraci ón (m/s2) Fuerza (N)

Magnitud

1

2

Valor Teóric o

3

Valor Experimental

4

5

Prom. total

Err or absolut o

Porcentu al

Fuerza (N) Aceleraci ón (m/s2) Segunda actividad (Primera y Tercera Leyes de Newton) a.

Posicione el lanzador de carro en la posición de disparo tal como se muestra en la figura (2), y verifique que el impulso sea moderado.

b.

Instale el accesorio para montaje del sensor de fuerza en el extremo libre del carril, luego fije el sensor con ayuda del desarmador plano incorporado (el sen- sor debe estar previamente calibrado para un registro máximo de 0 Newton en tracción (-) y mínimo de 5 Newton en compresión (+), con sensibilidad baja), use el terminal tipo resorte.

c.

Sobre el móvil PASCAR ajuste el segundo sensor de fuerza (calibrado previamente, de manera similar al paso anterior), use el terminal plano. La masa total será la suma de masas.

d.

Adicione una grafica fuerza vs. tiempo para el segundo sensor de fuerza.

e.

Coloque el móvil en el extremo del lanzador de carro.

f.

Inicie la toma de datos oprimiendo el botón inicio y luego lanzando el carro.

g.

Registrar datos hasta antes de que el móvil regrese por rebote al lanzador.

h.

De la grafica fuerza vs. tiempo para el primer móvil, determine el valor de la fuerza acción y de reacción en la colisión (divida la curva en dos mitades, la

izquierda corresponderá a la acción y la mitad derecha a la reacción).

i.

Realice el paso anterior ahora para el segundo sensor (sobre el carro), debe verificarse que estas graficas son iguales en ambos sensores (acción = reacción).

j.

Repita el proceso hasta completar 5 mediciones, luego calcule el promedio total.

k.

Repita los pasos de a) hasta j) pero adicionando una masa de 250 gr. Sobre el móvil.

l.

Anote sus datos en la tabla (3).

Figura (2). Disposición de equipos y accesorios para la segunda actividad.

Tabla (3), Medición de la fuerza de acción y de reacción Masa total del Móvi l (Kg.) Fuerza acción móvil (N) Fuerza reacción sensor fijo (N) Masa total del Móvil + 250 gr. (Kg.) Fuerza acción móvil (N) Fuerza reacción sensor fijo (N)

1

2

3

4

5

Prom. total

1

2

3

4

5

Prom. total

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Existirá fricción entre el carro y el carril?, ¿Por qué no se toma en cuenta?

2.

¿Muestra la grafica fuerza vs. tiempo de la primera actividad alguna evidencia de que exista error experimental?, explique la respuesta y si así es, sugiera las posibles causas de este error.

3.

Utilice la grafica velocidad vs. tiempo para la primera actividad y hallando el área bajo la curva, determine el valor promedio de la distancia total recorrida por el móvil, ¿coincide este valor con el registrado en el carril?, si no es así, describa la causa para esta divergencia.

4.

Una partícula libre es aquella que no esta sujeta a interacción alguna, ¿Existe en el universo tal partícula?, justifique si respuesta.

5.

¿La segunda y tercera leyes de Newton, son consecuencia del principio de con- servación del momentum?, ¿Por qué?

6.

Si todas las fuerzas de la naturaleza corresponden a interacciones entre cuerpos situados cierta distancia entre ellos, ¿Cómo se explica la sensación experimen- tada al golpear una pelota o clavar un clavo?

7.

¿Es posible la existencia de una única fuerza aislada?, justifique su respuesta.

8.

En la segunda actividad, si la tercera ley de Newton fuese falsa, ¿Cómo se explicaría que la fuerza de acción medida para el móvil en la colisión es igual a la fuerza de reacción del sensor fijo?

9.

En su opinión, ¿Los experimentos realizados en la primera y segunda actividad prueban que la primera ley de Newton es valida?

10. Las fuerzas modifican el estado de movimiento de los cuerpos, ¿Qué otro efecto pueden ocasionar las fuerzas sobre los cuerpos que actúan?

IMPULSO Y MOMENTUM

I. INTRODUCCIÓN El momentum o cantidad de movimiento es la cantidad dinámica por excelencia en la descripción Newtoniana del movimiento de un objeto. La velocidad es más simple de comprender en forma intuitiva, porque es directamente apreciable con la vista; sin embargo, no es tan directo visualizar el momentum, aunque esta directamente rela- cionado con la velocidad, pero es conveniente usarlo porque, a diferencia de la velo- cidad, tiene además un carácter dinámico relacionado a la causa del movimiento. Lo esencial en la dinámica del movimiento esta en que los objetos interactúan, y esa interacción altera su posición espacial en función del tiempo. Por otro lado existen varias aplicaciones para otra cantidad dinámica importante, el impulso y segura- mente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas. En esta sesión veremos que cada interacción entre un par de objetos, ya sea una colisión o una explosión significa una fuerza sobre uno de los objetos y una fuerza igual y opuesta sobre el otro (Tercera Ley del movimiento de Newton), pudiendo cuantificar variables dinámicas bajo el principio de conservación del momentum. II. OBJETIVOS En esta sesión analizaremos dos conceptos elementales de la dinámica, el caso del impulso y la cantidad de movimiento, posteriormente veremos como en un sistema aislado el momentum se conserva, al finalizar esta sesión el estudiante habrá logrado lo siguiente: 

Determinar experimentalmente el impulso aplicado por una fuerza durante una colisión elástica.



Verificar empíricamente la conservación de momentum lineal en colisiones y explosiones.



Configurar e implementar equipos para toma de datos experimentales y realizar un análisis grafico utilizando como herramienta el software Data Studio.



Utilizar el software Data Studio para verificación de parámetros estadísticos respecto a la información registrada.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO El momentum lineal o cantidad de movimiento, en física, es una cantidad fundamen- tal que caracteriza el movimiento de cualquier objeto. Por ejemplo, cuando un juga- dor de tenis golpea una pelota, el momento lineal de la raqueta justo antes de golpear la bola más el momento de la pelota en ese instante es igual al momento de la raqueta inmediatamente después de golpear la bola más el momento de la pelota golpeada. En otro ejemplo, imaginemos a un nadador que salta desde un bote inmóvil que flota sobre el agua. Antes de saltar, el bote y el nadador no se mueven, por lo que el momento lineal total es cero. Al saltar, el nadador adquiere momento lineal hacia delante, y al mismo tiempo el bote se mueve hacia atrás con un momento igual en magnitud y dirección pero sentido contrario; el momento total del sistema for- mado por el nadador y el bote sigue siendo nulo (conservación del momentum). III.1 Momentum El momentum o cantidad de movimiento es una magnitud física que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p  mv

(1)

La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial. El vector cantidad de movimiento de un cuerpo móvil tiene la misma dirección y sentido que su vector velocidad; en el Sistema Internacional de unidades, se mide en Kg·m/s. Relacionando la ecuación (1) con la expresión original para la segunda ley de Newton, según la cual, la fuerza que actúa sobre un cuerpo en movimiento debe ser igual al cambio del momento lineal por unidad de tiempo, es posible definir el vector fuerza como la derivada del momento lineal respecto del tiempo, es decir:

F

dp dt

m ma

dv



dt

La ecuación (2), relaciona una expresión conocida y que usualmente manejamos para la Segunda Ley de movimiento de Newton.

(2)

III.2 Impulsión de una Fuerza Otra forma de expresar la segunda ley de Newton es decir que el impulso esto es, el producto de la fuerza por el tiempo durante el que actúa sobre un cuerpo equivale al cambio del momento lineal del cuerpo; Así, en una colisión de dos cuerpos la fuerza que se ejerce durante el impacto actúa durante un tiempo relativamente corto y ori- gina un cambio en la cantidad de movimiento en el cuerpo sobre el cual actúa la fuerza. Con el propósito de establecer una relación entre la fuerza aplicada, el tiempo de acción y el cambio de la cantidad de movimiento resultante; estableceremos que la fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo , es una fuerza promedio F, y al producto de la fuerza promedio F por el intervalo de tiempo, le llamaremos impulso I, quedando: t

I t

2

Fdt  F (t2  t1 )  F

(3)

1

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3), se tiene:

I  t2



 dp 

  t 1  dt 

dt  p  p  mv  mv 2

1

2

1

(4)

Combinando la ecuación (3), con la ecuación (4) tenemos:

I  Ft  mv2  mv1 (5) Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones. La fuerza impulsiva representada en la figura (1) se supone que es de dirección cons- tante. El impulso de esta fuerza está representado en magnitud por el área de la curva fuerza vs. tiempo.

Figura (1). Impulsión de una fuerza.

III.3

Conservación del momentum

La física actual considera la conservación del momentum como una ley universal, que se cumple incluso en situaciones extremas donde las teorías clásicas de la física no son válidas. En particular, la conservación del momentum lineal se cumple en la teoría cuántica, que describe los fenómenos atómicos y nucleares, y en la relatividad, que se emplea cuando los sistemas se desplazan a velocidades próximas a la de la luz. Es consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento y deriva en lo que se conoce como “Principio de conservación de la cantidad de movimiento”. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de New- ton nos dice que: 0 = dp/dt Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero, siempre y cuando el sistema este aislado; por ejemplo, cuando dos partículas se aproximan, la interacción mutua que se provocan altera su movimiento, el cual produce un intercambio de cantidad de movimiento lineal y energía, entonces se dice que ha habido una colisión, lo que no significa necesaria- mente que hayan estado en contacto físico en un sentido microscópico. El choque de dos esferas de billar o dos carros, en el cual se produce contacto físico, corresponde a una colisión macroscópica. Consideremos dos esferas de masas m 1 y m2, ver figura (2), que interactúan durante un intervalo de tiempo t. Durante ese lapso de tiempo y de acuerdo a la Tercera Ley de Newton ambas esferas se ejercen fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto.

El cambio de momentum lineal para cada partícula es: p  t2 F dt 1

p 



t1

21

t2

F dt

t1

12



2

(6)

(7)

Figura (2). Esferas que interactúan.

Si no actúan otras fuerzas sobre las partículas, en virtud de la tercera Ley de Newton se puede afirmar que F12 = - F21, si reemplazamos esto en la ecuación (6), podemos deducir que: p   t2 F dt 2



t1

21

Por lo tanto: p2 = - p1, o bien: p1 + p2 = 0. Este resultado expresa que la cantidad de movimiento total del sistema se conserva constante, esta ecuación expresa que la cantidad de momentum lineal del sistema se conserva constante en ausencia de fuer- zas externas, de esto se deduce que las fuerzas que actúan durante el choque son fuerzas internas, es decir, no cambia el momentum lineal del sistema. En la realidad, en toda interacción existen fuerzas externas como la fuerza de gravedad, la fuerza de fricción, pero es admisible no tomar en cuenta dichas fuer- zas durante el proceso y suponer la conservación de la cantidad de movimiento, siem- pre y cuando las fuerzas externas se puedan despreciar frente a las fuerzas impulsivas de choque. El principio de conservación de la cantidad de movimiento es indepen- diente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado y se puede enunciar como sigue: “Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo”

III.3.1 Conservación del momentum en colisiones elásticas Una colisión elástica es un tipo de interacción en la cual no existe perdida de energía; supongamos una esfera de masa m1, que se mueve con velocidad u1 hacia una esfera de masa m2 que está en reposo (u2 = 0) y colisionan, ver figura (3).

Figura (3). Colisión elástica de dos esferas.

Dado que se trata de un sistema aislado y no hay pérdida de energía se puede aplicar el principio de conservación del momentum lineal, es decir:

m1u1  m2u2  m1v1  m2v2

(8)

Podemos obtener las velocidades v1 y v2 después del choque empleando la conservación del momento lineal y de la energía cinética, dado que la energía cinética inicial es igual a la final.

1

2

2

mu  1 1

1

2

mu 

2

2

2

1

2

mv  2

1

1 1

mv

2

(9) 2 2

2

Dadas las velocidades de las partículas u1 y u2, y las masas m1 y m2 antes del choque, podemos calcular las velocidades de las partículas v 1 y v2 después del choque resol- viendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; ahora si, trasformamos las dos ecuaciones, en las equivalentes:

m1 (u1  v1 )  m2 (u2  v2 ) m (u2  v 2 )  m (u2  v 2 ) 1

1

1

2

2

2

Y siendo que la diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de su suma por su diferencia, tenemos:

m1 (u1  v1 )  m2 (u2  v2 ) m1 (u1  v1 )(u1  v1 )  m2 (u2  v2 )(u2  v2 )

Nos queda un sistema de dos ecuaciones más fácil de resolver.

m1 (u1  v1 )  m2 (u2  v2 ) (u1  v1 )  (u2  v2 ) Despejamos las velocidades de las partículas después del choque v 1 y v2.

v1 

2m2 u2  (m1  m2 )u1 mm 1

2

1

2

2m1u1  (m2  m1 )u2 v mm

(10)

2

III.3.2 Conservación del momentum en las explosiones Supongamos dos móviles de masas m1 y m2 inicialmente en reposo sobre un carril. En el instante inicial t = 0, un mecanismo de disparo hace que el móvil de masa m1 se mueva hacia la izquierda con velocidad v 1 y el móvil de masa m2 se mueva hacia la derecha con velocidad v 2. Tenemos un sistema aislado formado por dos partículas bajo la acción de una fuerza interna. Como las velocidades iniciales u1 y u2 son cero. La conservación del momento lineal establece que: m1(-v1) + m2v2 = 0

(11)

1

(12)

El balance energético, es:

Q

2

2

mv  1 1

1

mv

2

2

2 2

Para medir las velocidades v1 y v2 de los móviles después del disparo, procedemos del modo en que se muestra en la figura (4).

Figura (4). Explosión.

El tiempo t que invierte el primer móvil en desplazarse hacia la izquierda una distancia x1, es el mismo que emplea el segundo móvil en desplazarse una distancia x2 hacia la derecha, lo cual implica que:

v1  x1 t Luego, se puede decir que:

v2 

y

m1

x2 t (13)

x2 x1

 m2

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (11) y (12), se obtiene:

K2  Q

m mm 1

y 2

m2  Q K1 mm 1

2

Y por tanto,

K1

m2  K2 m1

(14)

Las energías cinéticas son inversamente proporcionales a sus masas respectivas.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES             

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX 2 Sensor de Movimiento Móvil PASCAR Sensor de fuerza Carril de aluminio Set de masas Balanza analógica ( ± 0.1 gr.) Masas adicionales (250 gr.) Regla de nivel Lanzador de carro Accesorio para montaje de sensor de fuerza

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Encender el computador (CPU y monitor). c. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio, luego seleccione crear experimento. d. Seleccionar sensor de movimiento y sensor de fuerza en la lista de sensores, luego efectuar la conexión según lo indicado por el Software. e. Configure el sensor de movimiento a fin de que sea capaz de registrar 40 lecturas por segundo. f.

Configure el sensor de fuerza, para un registro máximo de 0 Newton en tracción (-) y mínimo de 5 Newton en compresión (+), con sensibilidad baja.

g. Genere con ayuda de la calculadora un grafico momentum vs. tiempo, usando datos de velocidad de cada uno de los sensores de movimiento y por el sensor de fuerza (fuerza vs. tiempo). h. Sitúe el carril sobre una superficie horizontal, luego nivelelo empleando la regla de nivel, para corregir utilice el pie ajustable del extremo del carril. i.

Determine con ayuda de la balanza analógica, la masa del móvil y la masa del sensor de fuerza; anote sus datos en la tabla (1).

j.

Calibre el lanzador de carro (determinación de la constante elástica del resorte), usando las diferentes masas proporcionadas, tal como se muestra en la figura (5).

Figura (5). Calibración del lanzador de carro.

Tabla (1), Masas de los sensores. Componente

Masa en gramos

Masa en Kilogramos

Sensor de fuerza Móvil PASCAR Primera actividad (Impulso) a. Posicione el lanzador de carro en la posición de disparo tal como se muestra en la figura (6), y verifique que el impulso sea moderado. b. Instale el accesorio para montaje del sensor de fuerza en el extremo libre del carril, use el terminal de colisión tipo plano. c. Luego fije el sensor de fuerza al móvil PASCAR con ayuda del desarmador plano incorporado (el sensor debe estar previamente calibrado), use el terminal de co- lisión tipo plano. d. Coloque el móvil en el extremo del lanzador de carro.

e. Inicie la toma de datos oprimiendo el botón inicio y luego lanzando el carro. f.

Registrar datos hasta antes de que el móvil regrese por rebote al lanzador.

g. En la grafica fuerza vs. tiempo para el móvil, determine el área bajo la curva generada, este será el impulso transmitido al carro por el lanzador. h. La energía potencial almacenada por el lanzador es igual a la energía cinética ganada por el móvil antes de chocar con el accesorio para montaje del sensor de fuerza, de ahí debe calcularse el momentum del móvil, el cual debe ser igual al impulso (área bajo la cuerva fuerza vs. tiempo) registrado por el sensor. i.

Registre sus datos en la tabla (2).

j.

Repita el proceso hasta completar 5 mediciones, calcule el promedio y determine el error absoluto y porcentual para el impulso calculado teóricamente y el medido por el sensor de fuerza.

Figura (6). Configuración de equipos para la primera actividad.

Tabla (2), Datos de impulso medido por el sensor de fuerza. Magnitud Impulso medido con sensor de fuerza (N.s) Impulso calculado teóricamente (N.s)

1

2

Error Absolut o

3

4

5

Error Porcentua l

Promedi o

Segunda actividad (Conservación del momentum en colisiones) a. Coloque los sensores de movimiento en extremos opuestos del carril previamente nivelado. b. Situé los móviles a 0.15 m y 0.35 m de los sensores, tal como se muestra en la figura (7). c. Sobre el móvil del extremo derecho (móvil 2) coloque una de las masas adicionales de 250 gr., y anote las masas de cada uno de los móviles en la tabla (3). d. Configure los sensores de movimiento para inicio retardado con duración de un segundo. e. Para iniciar la toma de datos, proporcione un impulso moderado al móvil situado al lado izquierdo (móvil 1) y luego oprima el botón inicio. f.

Detenga la toma de datos luego del rebote antes de que los móviles colisionen con los sensores.

g. De las graficas momentum vs. tiempo, determine usando la herramienta inteligente la cantidad de movimiento para los móviles 1 y 2, antes y después de la colisión. h.

Verifique que la suma de los momentos para móviles 1 y 2, antes de colisionar sean iguales a la suma de momentos luego de la colisión.

i.

Con la información de las masas y las velocidades medidas por el sensor de mo- vimiento calcule los momentos antes y después de la colisión, teóricamente.

j.

Registre sus datos en la tabla (3) y determine el error absoluto y porcentual.

Figura (7). Configuración de equipos para la segunda actividad.

Tabla (3), Datos registrados de momentum en colisión.

Masa del móvil 1 (Kg.) Momentum mó- vil 1 antes de la colisión(N.s) Momentum mó- vil 2 antes de la colisión(N.s) Momentum mó- vil 1 antes de la colisión (N.s) Momentum mó- vil 2 antes de la colisión (N.s) Error Absoluto Respecto a suma de momentum totales

0 . 0

0 . 0

Experimen tal Masa del móvil 2 (Kg.) Momentum mó- vil 1 después de la colisión (N.s) Momentum mó- vil 2 después de la colisión (N.s) Teórico Momentum mó- vil 1 después de la colisión (N.s) Momentum mó- vil 2 después de la colisión (N.s) Error Porcentual Respecto a suma de momentum totales

Momentu m Total

Tercera actividad (Conservación del momentum en explosiones) a.

Coloque los sensores de movimiento en extremos opuestos del carril previamente nivelado.

b.

Situé ambos móviles a 0.40 m de los sensores, tal como se muestra en la figura (8).

c.

Verifique que el impulsor retráctil de cada uno de los móviles se encuentren de frente.

d.

Sobre el móvil del extremo derecho (móvil 2) coloque una de las masas adicio- nales de 250 gr., y anote las masas de cada uno de los móviles en la tabla (4).

e.

Configure los sensores de movimiento para inicio retardado con duración de un segundo.

f.

Para iniciar la toma de datos oprima el botón inicio, y suelte uno de los impulsores retráctiles, esto proporcionara un impulso a ambos móviles.

g.

Detenga la toma de datos luego del rebote antes de que los móviles colisionen con los sensores.

h.

De las graficas momentum vs. tiempo, determine usando la herramienta inteligente la cantidad de movimiento para los móviles 1 y 2, antes y después de la explosión.

i.

El momentum del móvil 2 debe ser negativo, esto lo puede configurar usando la calculadora de Data Studio.

j.

Verifique que la suma de los momentos para móviles 1 y 2, Después de la explosión sea igual a cero.

k.

Con la información de las masas y las velocidades medidas por el sensor de movimiento calcule los momentos después de la explosión, teóricamente.

l.

Registre sus datos en la tabla (4) y determine el error absoluto y porcentual res- pecto a la suma de momentos luego de la explosión.

Figura (8). Configuración de equipos para la tercera actividad.

Tabla (4), Datos registrados de momentum en explosión. Experimen tal Masa del móvil 1 (Kg.) Momentum mó- vil 1 después de la explosión (N.s)

Masa del móvil 2 (Kg.) Momentum mó- vil 2 después de la explosión (N.s) Teórico

Momentum mó- vil 1 después de la explosión (N.s) Error Absoluto Respecto a momentum total

Momentum mó- vil 2 después de la explosión (N.s) Error Porcentual Respecto a mo- mentum total

Moment um Total

VI. CUESTIONARIO 1.

¿La tasa de velocidades finales y masas de los móviles en el caso de explosiones es la misma?

2.

En la primera actividad, ¿Cuál de los móviles es el que adquiere mayor momen- tum, el móvil 1 o el móvil 2?, ¿Por qué?

3.

En una explosión cuando los fragmentos tienen masas iguales, ¿Cuál de ellos adquiere mayor energía cinética?, ¿A que se debe?

4.

Cuándo dos carros de masas iguales colisionan a la misma velocidad y se detie- nen, ¿Qué ocurre con el momentum de cada carro?, ¿Se conserva el momentum en este caso?, justifique su respuesta.

5.

¿Qué se entiende por transferencia de momentum?, ¿Es esto posible?

6.

Diseñe un experimento usando los equipos Pasco, para demostrar que es posible una transferencia total de momentum, ¿Qué se espera observar?

7.

Cuando una persona se impulsa para dar un salto, ¿Adquiere la tierra cierta can- tidad de movimiento?, explique.

8.

Cuando se lanza una roca, esta adquiere cierta cantidad de movimiento, ¿Se conserva el momentum en este caso?, Explique.

9.

Una bala de 25 gr. que se desplaza a 250 m/s impacta sobre una persona de 80 Kg. de masa, que esta en reposo, ¿Cuál es el momentum transferido?

10. La expresión conocida para momentum, ¿Es valida para cuerpos cuya velocidad es cercana a la de la luz?, ¿Por qué?

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110

GuíadeLaboratoriodeFísicaI CAMBIOS DE ENERGÍA POTENCIAL

I. OBJETIVOS 1.- Determinar el valor de la constante elástica de un resorte. 2.- Comparar los cambios de energía potencial elástica y gravitatoria. II. EQUIPO Y MATERIAL 1.- Un soporte universal. 2.- Un portapesas. 3.- Juego de Pesas. 4.- Regla. 5.- Masa de 0,5kg. 6.- Hoja milimetrada. III. MARCO TEORICO Cuando un cuerpo sujeto a un resorte, se aparta de su posición de equilibrio ejecuta, como consecuencia un movimiento que recibe el nombre oscilación libre si sobre él no actúan fuerzas externas. En realidad siempre existe una fuerza amortiguadora o retardadora que tiende a reducir el movimiento; sin embargo aproximaremos nuestro estudio al caso ideal en el que las fuerzas amortiguadoras son lo bastante pequeñas para que se puedan despreciar. La acción de un resorte sobre un cuerpo móvil que se halle unido a él es un típico ejemplo de trabajo realizado sobre un cuerpo debido a unafuerza varia- ble. Supondremos aquí que el resorte es de tipo lineal común de constante recupe- radora o rigidez k. Para muchos resortes, si el resorte está estirado comprimido una distancia pequeña desde su configuración de equilibrio (sin estirar), ejerce en el bloque una fuerza que sepuede representar como:

F = -kx

(3.1)

Siendo x la posición del bloque en relación a su posición de equilibrio (x=0). Esta ley de fuerzas para resortes, se conoce como Ley de Hooke. k es una medida dela rigidez del resorte. Los resortes rígidos tienen grandes valores de k y los resortes suaves tienen pequeños valores de k. el signo negativo significa que la fuerza que ejerce el resorte siempre tiene una dirección opuesta al des- plazamiento de equilibrio. Cuando un resorte unido a un cuerpo se libera desde un estado de tracción o compresión, la fuerza que actúa en cualquiera de los dos casos sobre el cuerpo tiene el mismo sentido que el desplazamiento, por tanto, el trabajo realizado sobre el cuerpo es positivo y viene dado por la expresión: 𝑊 = 1 𝑘𝑥2

(3.2)

2

Si se tiene una masa suspendida del resorte en el punto de referencia (posición inferior del resorte, cuando está libre de la acción de fuerzas externas) como se muestra en la figura 3.1 y se hace descender la masa suavemente y sosteniéndola hasta que el resorte se estira una cantidad x1y luego se deja la masa en libertad hasta que el resorte alcanza una elongación x2; el trabajo rea- lizado para estirar el resorte es: 1

1

2

∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 = 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 2

2

(3.3)

2

Esta expresión define el cambio de energía potencial elástica producida por el resorte.

Figura 3.1

Tomando en consideración que la masa está en las proximidades de la superficie terrestre donde la atracción gravitatoria es prácticamente constante; la energía potencial gravitatoria Vg de la masa es, por definición, el trabajo mgh que se realiza contra el campo gravitatorio para elevar la masa una distancia h por encima de un plano de referencia arbitrario en el que Vg se toma como cero. Así pues, la energía potencial, puede escribirse como: 𝑉𝑔 = 𝑚𝑔ℎ

(3.4)

Este trabajo recibe el nombre de energía potencial porque puede convertirse en energía si permitimos que la masa puntual realice un trabajo sobre un cuerpo portante, mientras regresa a su plano original de referencia situado a menor altura. Al pasar de una altura h = h1 a otra más elevada h = h2, la variación de la energía potencial es: ∆𝑉𝑔 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1) = 𝑚𝑔∆ℎ

(3.5)

El correspondiente trabajo que realiza la fuerza gravitatoria sobre la masa es - mgh. Así pues, el trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria es igual y opuesto a la variación de la energía potencial. IV. PROCEDIMIENTO 1.- Determinación de la constante elástica del resorte. a) Monte el equipo como se muestra en la figura3.2 y elija el punto de referencia a partir del cual se medirán las elongaciones del resorte. Este punto debe ser el punto que indica el extremo inferior del resorte en estado de reposo. b) Mida la altura H. c) Cuelgue del extremo inferior del resorte el portapesas y registe en la Tabla 01 la masa del portapesas y el estiramiento correspondiente( a partir del punto de referencia). d) Adicione sucesivamente masas al portapesas y registre en la Tabla 01 las masas y los estiramientos correspondientes( A partir del punto de referencia).

Figura 3.2 Tabla 01. Masa

Magnitud

Elongaci

de la fuerza

ón

elás- tica

dida

aplicada

(m)

(N/m)

(kg)

(N)

suspen-

Constante

2.- Determinación de la energía potencial elástica y la energía potencial gravi- tatoria. a) Suspenda una masa de 0,5kg del extremo inferior del resorte y mientras la sostiene deslícela suavemente verticalmente hasta que el resorte se estire 2cm (Figura 3.3). Este, será el primer valor de x1 que deberá regis- trar en la Tabla 02. Mida también la longitud y1 y regístrelo en la tabla 03. b) Suelta la masa de manera que empiece a oscilar libremente. Observe con mucho cuidado la posición más baja a la que llega el resorte en esta oscilación. Este será el primer valor de x2 que deberá registrar en la tabla 02. Mida también la longitud y2 y regístrelo en la tabla 03. c) Repita los pasos a) y b) con valores de 3cm, 4cm y 5cm para x1 y anote los respectivos valores de x2 en la tabla 02. Anote en la tabla 03 los res- pectivos valores de y1 y y2. d) Los resultados de la última columna de las Tablas 02 y 03 colóquelos en la Tab1a 03.

Tabla 02.

x

x

1

2

(

(

m

m

)

)

1 2 𝑘𝑥 2 1 (J)

1 𝑈𝑒 =

𝑈𝑒 = 1

𝑘𝑥 2 2

2 (J)

2

∆ 𝑈𝑒

(J )

Tabla 03.

y

y

1

2

(

(

m

m

)

)

𝑈𝑔1 = 𝑚𝑔𝑦1

𝑈𝑔1 = 𝑚𝑔𝑦2

(J)

(J)

Tabla 04 ∆ 𝑈

∆ 𝑈

𝑒

𝑔

(J )

(J )

∆ 𝑈 𝑔

(J )

V. CUESTIONARIO. 1.- Con los datos de la tabla 1 grafique en un papel milimetrado las fuerzas versus sus respectivas elongaciones. 2.- A partir del gráfico anterior determine el valor de la constante elástica del resorte. 3.- Explique los resultados dela Tabla 04.

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117

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118

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

I. INTRODUCCIÓN En la sesión anterior se demostró que, para deslizar un cuerpo a velocidad constante sobre una superficie rugosa horizontal, es preciso que algún agente externo realice trabajo, pero en este caso no habiéndose modificado ni la energía potencial ni la energía cinética, el trabajo se ha convertido en calor; esto ocurre debido a que las fuerzas tales como la gravitatoria ó la fuerza ejercida por un resorte, en las cuales el trabajo es recuperable, se consideran conservativas, bajo esta consideración, única- mente cuando todas las fuerzas son conservativas se mantiene la energía mecánica del sistema y solamente cuando se realiza trabajo contra fuerzas conservativas se produce un incremento en la energía mecánica. II. OBJETIVOS Usando el equipo experimental Pasco Scientific y el sistema Data Studio, seremos capaces de alcanzar los siguientes objetivos: 

Estudiar la conservación de la energía mecánica (suma de la energía cinética más la energía potencial) en un sistema simple.



Demostrar que para el sistema masa-resorte, la energía mecánica se conserva.



Demostrar que el teorema de conservación de la energía mecánica es valido también para sistemas sometidos a un campo exterior constante.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Fuerzas conservativas y no conservativas Se llaman fuerzas conservativas aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover un cuerpo entre dos puntos por cualquier trayectoria arbitraria, no depende de la trayectoria que une los puntos. Las fuerzas que dependen de la posición son conservativas, por ejemplo: la gravitacional, elástica, electromagnética, etc.

Suponer que una partícula se mueve, por la acción de una fuerza, desde una posición inicial P hasta otra posición final Q, por trayectorias arbitrarias 1 y 2, como se ve en la figura (1a). Si la fuerza es conservativa, entonces el trabajo para mover la partícula desde P a Q sólo depende de las coordenadas inicial y final de la partícula, esto es: WPQ(por trayectoria 1) = WPQ(por trayectoria 2)

(1)

Figura (1). Diferentes trayectorias para desplazar la partícula.

Si ahora, la partícula se mueve desde P hasta Q por la trayectoria 1 y luego regresa desde Q hasta P por la trayectoria 2, figura (2b), se observa que en el regreso, WQP(por trayectoria 2) = -WPQ(por trayectoria 2), entonces: WPQ(por trayectoria 1) = -WQP(por trayectoria 2) WPQ(por trayectoria 1) + WQP(por trayectoria 2) = 0

Entonces, si la partícula regresa a su posición inicial, el trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es cero. Por el contrario, las fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas son aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas para mover una partícula entre dos puntos, depende de la trayectoria que se realice para unir los puntos. Para las fuerzas no conservativas se tiene que, WPQ(por trayectoria 1) ≠ WPQ(por trayectoria 2). Las fuerzas de roce que siempre se oponen al desplazamiento, son no conservativas o disipativas, el trabajo de estas fuerzas es negativo y le hacen perder energía al sistema. III.2 Energía Potencial

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120

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y de la rapidez con la que se mueve la partícula. En este caso el trabajo es sólo función de las coordenadas, por lo que se puede asociar con una variación de energía función de la posición, similar al caso de la energía cinética que es función de la velocidad. Las fuerzas que son función de la posición generan energía de posición, a la que se llama energía potencial. El trabajo realizado por la fuerza se almacena como energía potencial en el objeto en movimiento. Se define la energía potencial E P, a aquella que puede obtenerse en virtud de la posición del cuerpo, tal que el trabajo realizado por la fuerza conservativa entre dos posiciones, es igual a la disminución de la energía potencial, esto es, el trabajo reali- zado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio de energía potencial asociada con la fuerza:

W

r



f

Fdr E 

p

 Ep

 i

i

Ep

(2)

f

Se puede elegir una posición de referencia inicial y medir las diferencias de energía potencial respecto a ese punto y definir una función energía potencial en cualquier posición r como:



Ep (r )  

r

ri

Fdr  Epi

(3)

El valor de EPi generalmente no se conoce, por lo que se elige una posición arbitraria, donde por convención se le asigna el valor cero a la energía potencial inicial, EPi = 0, ya que por su definición, sólo tiene significado físico el cambio de energía poten- cial. Esta posición arbitraria se llama nivel de referencia y puede ser cualquiera, ge- neralmente se toma como nivel de referencia la superficie de la Tierra o cualquier otra posición conveniente, pero una vez que se ha elegido no debe cambiarse. Con esta elección, se define la energía potencial en una posición r como: r

E p (r )  



ri

Fdr

(4)

Para las fuerzas no conservativas no existe una función de energía potencial, ya que el trabajo, que depende de la trayectoria, no es función de la posición inicial y final de la partícula.

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121

VI.1.1 Energía potencial de la fuerza peso Si se calcula el trabajo y la energía potencial para una partícula que se deja caer libremente desde una posición inicial y i a otra posición final yf. La fuerza que produce el movimiento de la partícula es la gravitacional, que para caída libre es el peso P = mg, entonces el trabajo es:

W 



y



r rf

Pdr 

y f

i

mgd y

(5)

i

W  mgyf  mgyi

Figura (2). Caída libre de un cuerpo.

Esto demuestra que la fuerza gravitacional es conservativa, ya que el trabajo realizado por esa fuerza depende sólo de las posiciones inicial y final de la partícula. La variación de energía potencial de la partícula es:

Ep  W  (mgyf  mgyi )  mgyi  mgyf

(6)

Como las posiciones inicial y final son arbitrarias, se define la energía potencial de la fuerza gravitacional, o simplemente energía potencial gravitacional Epg, válida en las condiciones de caída libre, por la expresión:

Epg  mgy

(7)

Si consideramos la variación de la altura y respecto a una posición referencial y 0 la ecuación (7), se convierte en:

Epg  mg( y  y0 )

(8)

III.2.2 Energía potencial de la fuerza elástica Otra fuerza conservativa es la que ejerce un resorte deformado sobre un cuerpo fijo a él, si el resorte se coloca en posición vertical. El trabajo realizado por la fuerza elástica del resorte sobre el cuerpo, será:

W  x f (ky)dy 



Donde:

1

i

2

xi

2

ky 

1

2

ky  E  E  E f

2

p

pi

pf

k, es la constante de elasticidad del resorte.

Definiremos la energía potencial elástica EpE almacenada en nuestro resorte como:

EpE



1 2

2

ky

(9)

La energía potencial elástica es cero cuando el resorte no está deformado, es máxima cuando alcanza su deformación máxima y es siempre positiva ya que es proporcional a y2. Si consideramos la deformación y respecto a una posición referencial y0 la ecuación (9), se convierte en:

EpE



1

k(y  y )

2

0

2

(10)

III.3 Energía del sistema masa-resorte El sistema esta conformado por un resorte de constante elástica k el cual sostiene un bloque de masa conocida m; sin la masa, el resorte permanece en su elongación na- tural h, tal como se muestra en la figura (3a). Si se coloca la masa m, el sistema queda constituido y al estar colocado en posición vertical y estar sometido a la acción de la aceleración de la gravedad alcanza una posición de equilibrio tal como se muestra en la figura (3b).

Figura (3). Sistema masa-resorte.

La energía cinética del sistema, esta dada como sabemos por la expresión para E C: 1 E  mv2 (11) C 2 Finalmente la energía total E del sistema será la suma de las energías potencial gravitatoria, elástica y cinética, es decir: E = EpE + EPg + EC

III.3

(12)

Conservación de la Energía Mecánica

La Ley de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica total de un sistema permanece constante si las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas. Cuando una cantidad física no cambia, decimos que se conserva. Decir que la energía se mantiene constante significa que la cantidad total de energía de un sistema natural no cambia, no se puede crear ni destruir ener- gía, sólo se puede convertir de una forma a otra. Es una de las leyes fundamentales de la Física, deducida a partir de una de las leyes fundamentales de la mecánica, la segunda ley de Newton. Si las fuerzas presentes en un sistema mecánico no son con- servativas, como ocurre en los sistemas reales, la energía aparentemente no se con- serva, porque se transforma en otro tipo de energía. Por ejemplo, la fuerza de roce se

dice que es disipativa porque disipa energía, que se transforma en calor en la superficie de contacto entre los cuerpos. En efecto, se puede aplicar el teorema del trabajo y la energía tomando en cuenta la existencia de las fuerzas no conservativas. Si WNC es el trabajo sobre una partícula de todas las fuerzas no conservativas y W C el trabajo de todas las fuerzas conservativas, entonces:

WNC  WC  EC

(13)

Como WC = -EP, entonces:

WNC  EC  EP WNC  (ECf  ECi )  (EPf  EPi ) WNC  (ECf  EPf )  (ECi  EPi )  E f  Ei Es decir, el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica total del sistema. Cuando una partícula se mueve por la acción de una fuerza conservativa, por el teo- rema del trabajo y la energía se tiene que el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de energía cinética de la partícula:

W  Ec

(14)

Pero como la fuerza es conservativa, entonces W = - E P, donde EP puede ser la ener- gía potencial gravitacional, elástica o cualquier otra forma de energía potencial me- cánica. Igualando ambas expresiones del trabajo se obtiene:

Ec  Ep  Ec  Ep  0  (Ec  Ep )  0

(15)

Esta ecuación representa la ley de conservación de la energía mecánica, que se puede escribir también de la siguiente forma:

Eci  Epi  Ecf  Epf

(16)

Se puede definir la energía mecánica total como la suma de la energía cinética y la energía potencial:

E  Ec  Ep

(17)

Entonces la conservación de la energía se escribe como:

Ei  Ef  E  cte

(18)

IV. EQUIPOS Y MATERIALES       

Computadora personal Programa Data Studio instalado. Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de Movimiento Conjunto de pesas, balanza y soporte universal. Regla metálica ( =  0.5 mm) Resorte de constante elástica k conocida.

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verificar la conexión e instalación de la interface. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar la actividad crear experimento. c. Seleccionar el Sensor de Movimiento de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio. d. Efectúe la calibración correspondiente, elija para el sensor de movimiento una frecuencia de disparo igual a 30 (registros por segundo). e. Genere un gráfico para cada uno de los siguientes parámetros (velocidad y posi- ción) medidos por el sensor de movimiento. f.

Seleccione un resorte de longitud adecuada y constante elástica k conocida y una masa (pesada previamente), luego colóquela en el portapesas de modo que el sistema permita oscilaciones en una sola dirección.

Primera actividad (Cálculo de la energía mecánica en el sistema masa-resorte) a. b.

Realice el montaje de accesorios y sensores tal como se indica en la figura (1). Inicie una medición de prueba soltando el resorte desde la posición de elongación natural, detenga la toma de datos luego de 4.0 segundos.

c.

d.

e.

f.

g.

Determine la amplitud A, en la gráfica posición vs. tiempo y determine cual es la distancia desde el eje x hasta el punto medio de la sinusoide generada, esta dis- tancia será y0. Por calculadora formule la energía cinética, usando la ecuación (11) el valor de masa (constante) y velocidad del sensor de movimiento, luego sobre estos datos genere un gráfico Ec vs. tiempo. Por calculadora formule la energía potencial elástica, usando la ecuación (10), el valor para la constante elástica k y el valor de y0, en este caso y será la posición medida por el sensor de movimiento, luego sobre estos datos genere un gráfico EpE vs. tiempo. Por calculadora formule la energía potencial gravitatoria, usando la ecuación (8), el valor de la masa, la gravedad (de signo negativo) y el valor de y0, en este caso y será la posición medida por el sensor de movimiento, luego sobre estos datos genere un gráfico Epg vs. tiempo. Por calculadora formule la energía mecánica, usando la ecuación (12), luego sobre estos datos genere un gráfico E vs. tiempo.

h.

De la gráfica EC vs. tiempo, calcule la Ecmax.

i.

De la gráfica EpE vs. tiempo, calcule EpEmax.

j.

De la gráfica Epg vs. tiempo, calcule Epgmax.

k.

Grafique EC y EP (EpE + Epg) vs. posición, luego superponga ambas gráficas.

l.

m.

Exporte los datos Ep vs. posición, Ec vs. posición, posición vs. tiempo, velocidad vs. tiempo y E vs. tiempo, para análisis posterior. Registre sus datos en la tabla (1).

Tabla (1), Resultados obtenidos. M asa (K g.)

Amplit ud A (m)

Elongación natural (m)

Distanci ad (m)

E. Cinétic a Max. (J)

Energía Potencial Max. (J)

Elongación de equilibrio (m)

Energ ía Total (J)

Figura (1). Montaje y configuración de equipos y sensores para primera actividad.

VI. CUESTIONARIO 1.

Del análisis realizado sobre las graficas obtenidas, ¿Diría usted que se ha conservado la energía mecánica, durante el experimento?

2.

¿Cuál es la velocidad máxima que se observa en el sistema masa-resorte?

3.

¿Cuál es la energía total del sistema?, ¿Es constante en el tiempo?, explique sus respuestas.

4.

¿El sistema estudiado es cerrado?

5.

Diga cuales son los valores máximos y mínimos para la energía potencial y cinética.

6.

En el experimento realizado, cual diría usted que es la fuerza ejercida sobre el resorte, ¿conservativa ó disipatíva?, explique su respuesta.

7.

Usando los datos exportados de Ep y Ec vs. posición, localice los puntos donde Ep = Ec.

8.

Con los datos exportados para posición vs. tiempo y velocidad vs. tiempo, determine las ecuaciones de posición y velocidad en función del tiempo, recuerde que se debe considerar el desfasaje.

9.

¿Qué energía total tendrá el sistema analizado luego de 60 segundos?

10. Si el resorte se coloca sobre un plano inclinado, ¿De que forma seria necesario plantear las ecuaciones para calcular la energía cinética y potencial del sistema

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129

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130

MOMENTO DE INERCIA

I. INTRODUCCIÓN Considerando la mecánica como la ciencia que se ocupa del estudio de la evolución de los sistemas materiales y las causas que la producen, podemos preguntarnos sobre los aspectos o parámetros del sólido que tienen trascendencia en el ámbito de la me- cánica. Si centramos el objeto de nuestro estudio en el sólido rígido, entonces su evolución viene determinada por la cinemática de los sistemas indeformables. Ade- más, adelantando un resultado de Dinámica, las causas que producen la evolución del sólido rígido pueden ser encajadas en los sistemas de vectores deslizantes. Queda, por tanto, el estudio de la relación entre el movimiento del sólido y sus causas. En esta relación intervienen las propias características de cada sólido y, de éstas, sólo los momentos de órdenes cero, uno y dos. Dicho de otra forma, la única información necesaria para relacionar los sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido con la evolución posterior de éste son los momentos de 1er. orden hasta el segundo de dicho sólido. En esta sesión, veremos que siempre es posible encontrar un sistema ó eje de referencia para cada uno de los movimientos descritos por la masa (rotación y tras- lación), pudiéndose calcular experimentalmente el momento de inercia alrededor de dicho eje. II. OBJETIVOS Usando el equipo experimental Pasco Scientific y el sistema Data Studio, seremos capaces de alcanzar los siguientes objetivos: 

Determinar experimentalmente el momento de inercia de una masa puntual y compararla con su valor teórico.



Determinar en momento de inercia de un cilindro hueco y compararlo con su valor teórico.



Determinar en momento de inercia de un disco y compararlo con su valor teórico.



Analizar usando el sistema Data Studio los resultados que se obtienen de medi- ciones y observaciones, para predecir comportamientos previos ó posteriores a la toma de datos, junto con la verificación de parámetros estadísticos.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Por definición, sistema rígido es todo conjunto de partículas obligadas a permanecer a distancias relativas absolutamente fijas; por supuesto, no existen en la naturaleza sistemas de esta clase, ya que las ultimas partículas componentes que forman todos los cuerpos (átomos) están siempre sometidas a algún movimiento relativo. Este mo- vimiento, no obstante es de naturaleza microscópica, por lo cual puede ignorarse a efectos de la descripción del movimiento macroscópico del sistema. Es obvio intuitivamente que todo movimiento finito, cualquiera que sea, de un sistema rígido puede considerarse la suma de dos movimientos independientes; una traslación lineal de algún punto del cuerpo y una rotación en torno a dicho punto. Esto significa que siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación pero no rotante en el cual el movimiento del cuerpo parezca solo de rotación. III.1 Torque La relación equivalente rotacional de la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional, es: 



τIα

Donde:

(1)

, es la aceleración angular. , es el torque. I, es el momento de inercia.

Se define al torque como el producto vectorial del vector posición por la fuerza, así: 

 

τ  rx F

(2)

Tal como se ve en la figura (1), la dirección del vector , puede calcularse con la regla de la mano derecha.

Figura (1). Ilustración, para definición de torque.

Al producto vectorial, dado en la ecuación (1), se le llama también “momento de una fuerza alrededor de un eje”, y como se puede observar de la figura (1), depende de la fuerza y de donde este aplicada. El modulo del torque es rFsen, donde, puede introducirse la cantidad: b = rsen, a esta se le llama “brazo de palanca”, ver figura (2).

Figura (2). Brazo de palanca.

III.2

Dinámica Rotacional (Inercia Rotacional)

La descripción del movimiento rotacional de los cuerpos rígidos se realiza en la dinámica rotacional a través de la ecuación (1). La medida del momento de inercia para un cuerpo, no solo depende de la masa si no también de la forma como están distribuidos, es por eso que mientras mas lejos este distribuida la masa del eje de rotación, la inercia rotacional es mayor. III.2.1

Momento de inercia de una distribución de masas puntuales

Para una distribución de masas puntuales, el momento de inercia estaría dado por la ecuación:

I

xm 2 i

(3)

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. Por ejemplo, si sobre una varilla delgada de 1m de longitud, que tiene una masa despreciable se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.1 m de uno de los extremos. El momento de inercia rotacional del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla (eje z) que pasa a través de un extremo, tal como se ve en la figura (3), seria: IA=1·0.0+1·0.25+1·0.5+1·0.75+1·1.0 = 1.875 kgm2

(a)

(b)

Figura (3). Sistema de masas puntuales (a) giro alrededor de masa A y (b) giro alrededor de masa B.

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula (masa B), seria: IB=1·0.25+1·0.0+1·0.25+1·0.5+1·0.75 = 0.9375 kgm2

III.2.2 Momento de inercia de una distribución continua de masa

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es: I

 x dm 2

(4)

Aquí, dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

III.2.2.1 Momento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas, tal como se muestra en la figura (4). La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x + dx es:

dm 

M L

dx

(5)

Figura (4). Varilla rotando alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.

El momento de inercia de la varilla es entonces, en virtud de la ecuación (4), el siguiente:

L /2

M

 IC  

L /2

L

1 12

2

x dx 

2

ML

(6)

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura (5).

Figura (5). Varilla rotando alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos.

Su momento de inercia es:

 L 2 1 2 I  IC  M    ML 2 3

(7)

III.2.2.2 Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro, tal como se muestra en la figura (6).

Figura (6). Disco que gira en un eje perpendicular al plano y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es:

2M dm  M 2 xdx 



R

(8)

xdx

2

R2

El momento de inercia del discoR es:

2M

IC   R 2

1 3

x dx 

0

2

MR

2

(9a)

Si el giro se da por un eje que pasa por su diámetro, el momento de inercia estará dado por:

I  D

1

MR

2

(9b)

4

III.2.2.3 Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje principal, tal como se muestra en la figura (7).

Figura (7). Cilindro rotando alrededor de su eje principal.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x + dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura (7). La masa dm que contiene esta capa es:

dm 

M

2 xdx.L 

xdx  R2 L

2M R

(10)

2

El momento de inercia del cilindro es: 2

I  x dm  C



R



2M

0

R

3

x dx 

2

1

MR

2

(11a)

2

Si se tratase de un cilindro hueco el momento de inercia seria:

I



C

1

M 2

R

2

1

R

2

(11b) 2

Donde, R1, es el radio interior y R2, el radio exterior.

III.3

Calculo Experimental del Momento de Inercia

Para determinar experimentalmente el momento de inercia tanto para una masa pun- tual, como para una varilla, un cilindro y un disco, aplicaremos un torque y medire- mos la aceleración angular resultante, luego haciendo uso de la ecuación (1), podre- mos calcular el momento de inercia; recuérdese que, el torque es máximo cuando r y F son perpendiculares. En este caso, la fuerza aplicada es la tensión T, de un hilo

atado al aparato giratorio. La gravedad tira de una masa suspendida, m atada al hilo. El valor de r es el radio de la polea del aparato. El radio es perpendicular a la fuerza aplicada (Tensión), en consecuencia, el torque es:

  rT

(12)

La siguiente solución es derivada de la convención de que hacia arriba es positivo y hacia abajo es negativo, la dirección de las agujas del reloj es positiva y viceversa. Aplicando la segunda Ley de Newton para la masa en suspensión m, resulta:

 F  T  mg  m(a) Resolviendo para la tensión:

(13)

T  m(g-a)

(14)

τ  r T  rmg  a

(15)

El torque aplicado, será:

La aceleración lineal a, de la masa en suspensión es la aceleración tangencial, aT, del dispositivo que gira. La aceleración angular está relacionada con la aceleración tan- gencial según la relación:

α

aT r

(16)

Sustituyendo la ecuación (15) y (16) en la (1) resulta:  g ecuación

I  mr2 1   a  T 

(17)

Esta ecuación nos permitirá calcular experimentalmente el momento de inercia del sistema partiendo de la aceleración tangencial, a T y el valor conocido de la aceleración gravitacional g.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES            

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750, SPARK o Xplorer GLX Sensor de Movimiento rotacional Set de masas Accesorio adaptador de base rotacional Sistema Rotacional completo Equipo de rotación 2.0 m de hilo negro. Balanza analógica ( ± 0.1 gr.) Regla de nivel. Vernier.

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface, luego proceda a encenderla. b. Encender el computador (CPU y monitor). c. Ingresar al programa Data Studio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio, luego seleccione crear experimento. d. Seleccionar el sensor de movimiento rotacional de la lista de sensores, luego efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio. e. Efectúe la calibración correspondiente, elija para el sensor de movimiento rotacional una frecuencia de muestreo igual a 10Hz (registros por segundo), y 360 divisiones por giro; luego en calibración lineal seleccione polea grande (garganta). f.

Genere un grafico para la aceleración tangencial vs. tiempo.

g. Mida con un vernier el diámetro de la polea grande del sensor de movimiento rotacional y calcule el radio. h. Realice el montaje del sensor de movimiento circular en el soporte del sistema rotacional completo, usando el accesorio adaptador de base rotacional (CI6690), tal como se muestra en la figura (9).

Figura (9). Acoplamiento del sensor de movimiento circular.

i.

Monte la plataforma rotante de aluminio, la cual previamente deberá ser pesada junto con el eje de acero, tal como se muestra en la figura (10).

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

140

Figura (10). Montaje de la plataforma rotante de aluminio.

j.

En este punto haga una prueba con una masa en el porta pesas de 5 gramos.

k. Usando las ecuaciones correspondientes calcule el momento de inercia del conjunto solo, y anótelo en la tabla (1), este resultado deberá restarse de los resultados posteriores del momento de inercia. l.

Recuerde que las distancias debe estar dadas en metros y las masas en kilogramos, ya que el momento de inercia en el sistema MKS esta dado en Kgm2. Tabla (1). Masa y momento de inercia del sistema solo. Masa eje rotante Masa del disco

Radio interno del cilindro hueco (R1)

Masa plataforma de aluminio

Momento de inercia del eje

Momento de inercia sistema (ejeplataforma)

Masa del Cilin- dro hueco

Masa del ele- mento puntual

Masa disco y ci- lindro hueco

Radio externo del cilindro hueco (R2)

Primera actividad (Momento de inercia de masa puntual) a.

Pese el elemento puntual y colóquela a una distancia conocida del eje de rotación, sobre la plataforma rotante de aluminio tal como se muestra en la figura (11).

Figura (11). Disposición de equipos y accesorios para primera actividad.

141

GuíadeLaboratoriodeFísicaI b.

Use inicialmente una masa de 5 g y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante).

c.

Calcule el momento de inercia restándolo del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo.

d.

Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5 gramos y efectué nuevamente una medición.

e.

Repita el proceso 5 veces y calcule un promedio.

f.

Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (3) y determine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla (2).

Tabla (2). Momento de inercia del elemento puntual. Momento de iner- cia experimental

Momento de inercia Teórico

Error Absoluto

Error porcentual

Segunda actividad (Momento de inercia del disco) a.

Pese el disco y colóquelo sobre el eje rotante tal como se muestra en la figura (12).

Figura (12). Disposición de equipos y accesorios para segunda actividad.

b.

Use inicialmente una masa de 5 g y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante).

c.

Calcule el momento de inercia restándolo del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo.

d.

Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5 gramos y efectué nuevamente una medición.

e.

Repita el proceso 5 veces y calcule un promedio.

f.

Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (9a) y deter- mine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla (3).

g.

Repita el proceso pero esta vez el eje de rotación debe pasar por el diámetro del disco, ver figura (12).

h.

Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (9b) y determine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla (4).

Tabla (3). Momento de inercia del disco, eje de rotación perpendicular a su plano. Momento de iner- cia experimental

Momento de inercia Teórico

Error Absoluto

Error porcentual

Tabla (4). Momento de inercia del disco, eje de rotación por el diámetro. Momento de iner- cia experimental

Momento de inercia Teórico

Error Absoluto

Error porcentual

Tercera actividad (Momento de inercia del disco y el cilindro hueco) a.

Usando el vernier determine los radios interior R 1 y exterior R2 del cilindro hueco, luego pese el cilindro y colóquelo sobre el disco en posición horizontal sobre el eje rotante tal como se muestra en la figura (13).

Figura (13). Disposición de equipos y accesorios para tercera actividad.

b.

Use inicialmente una masa de 5 g y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio (r) es conocido (radio de la polea del eje rotante).

c.

Calcule el momento de inercia restándolo del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo.

d.

Varíe la masa en el porta pesos adicionando 5 gramos y efectué nuevamente una medición, el momento de inercia no debe cambiar.

e.

Repita el proceso 5 veces y calcule un promedio.

f.

Este resultado debe restarse del momento de inercia mostrado en la tabla (3).

g.

Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (11b) y determine el error absoluto, relativo y porcentual, anote sus resultados en la tabla (5). Tabla (5). Momento de inercia del cilindro hueco. Momento de inercia experimental

Momento de inercia Teórico

Error Absoluto

Error porcentual

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Qué factores podrían motivar las diferencias entre los valores teóricos y experimentales?, justifique su respuesta.

2.

Determine el radio de giro para cada uno de los elementos utilizados (varilla, disco y cilindro).

3.

¿A través de que punto debe pasar el eje de rotación para que el momento de inercia sea mínimo en el caso de la varilla y el cilindro?

4.

¿Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia permanece constante?

5.

¿Mediante que ecuación se relacionan el momento de inercia y el momento angular para un cuerpo rígido?

6.

Aplicando un razonamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

7.

Aplicando un razonamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros.

8.

¿Cómo se denomina al punto respecto al cual el momento estático de una distribución de masas es nulo?

9.

¿Por qué el momento estático respecto a un plano es la proyección perpendicular al mismo del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos?, explique.

10. ¿Por qué el momento de inercia en el caso de una masa puntual respecto al punto en que esté concentrada es nulo?

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145

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146

ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE

I. OBJETIVOS 1.- Entender el comportamiento del péndulo simple. 2.- Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gra- vedad. II. EQUIPO Y MATERIAL. 1.- Soporte universal. 2.- Transportador. 3.- Juego de pesas. 4.Portapesas. 5.- Cronómetro. 6.- Regla. 7.Tres hojas de papel milimetrado. 8.- Calculadora. III. MARCO TEORICO El péndulo simple es un sistema mecánico que muestra movimiento periódico. Consiste en una masa m suspendida de una cuerda ligera de longitud L que está fija en el extremo superior como se muestra en la figura 2. 1.

Figura2.1

El movimiento se presenta en el plano vertical y es impulsado por la fuerza gravitacional. Si el ángulo  es pequeño (menor que aproximadamente 10O ), el movimiento es muy cercano al de un oscilador armónico simple. Las fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión T del cable y la fuerza gravitacional mg. La componente tangencial mg sen de la fuerza gravitacional siempre actúa hacia  = 0, opuesta al desplazamiento de la masa desde la posición más baja. Por lo tanto, la componente tangencial es una fuerza restauradora y se puede aplicar la Segunda Ley de Newton en dirección tangencial: 𝐹𝑡

𝑑 𝑠

= −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚 2

(2.1)

𝑑𝑡2

Donde s es la posición dela masa medida a lo largo del arco y el signo nega- tivo indica que la fuerza tangencial actúa hacia la posición de equilibrio verti- cal. Comos=Ly L es constante, la ecuación (2.1) se reduce a: 𝑑 2𝜃 𝑑𝑡 2

𝑔

= − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐿

(2.2)

Si  es pequeño, menor que aproximadamente 10O o 0,2 rad, se puede usar la aproximación del ángulo pequeño en la que 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 donde  se mide en radianes. En la Tabla 01 se muestran los ángulos en grados sexagesimales y radianes y los senos de estos ángulos. En tanto  sea menor que aproximadamente 10O, el ángulo en radianes y su seno son los mismos hasta dentro de una precisión menor del 1,0%. Tabla 01. Ángulos y senos de los ángulos. Ángulo en gra-

Ángulo en ra-

Seno del án-

Porcentaje de

dos. 0

dianes. 0,0000

gulo 0,0000

diferencia. 0,0%

1O

0,0175

0,0175

0,0%

2O

0,0349

0,0349

0,0%

O

3O

0,0524

0,0523

0,0%

5O 10O

0,0873

0,0872

0,1%

0,1745

0,1736

0,5%

15O

0,2618

0,2588

1,2%

20O

0,3491

0,3420

2,1%

30O

0,5236

0,5000

4,7%

Por lo tanto para ángulos pequeños, la ecuación de movimiento (2.2) se convierte en: 𝑑 2𝜃 𝑑𝑡 2

𝑔

(2.3)

=− 𝜃 𝐿

Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación de movimiento para una partícula en movimiento armónico simple, por lo tanto su frecuencia angular  es: 𝜔= √

𝑔

(2.4)

𝐿

El período del movimiento es: 𝑇=

2𝜋 𝜔

= 2𝜋√

𝐿

𝑔

(2.5)

IV. PROCEDIMIENTO. Mida el período de oscilación del péndulo con una amplitud y masa constante y con una longitud de 80 cm. Repetir el procedimiento tres veces y obtener un promedio (). Para medir el período de oscilación del péndulo de una ma- nera más precisa, mida primero el tiempo que emplea el péndulo en completar diez oscilaciones y luego divida este tiempo entre diez. Repita el procedimiento anterior disminuyendo sucesivamente en 10 cm, apro- ximadamente la longitud del péndulo hasta llegar a una longitud aproximada de 20 cm. Registre sus medidas en la tabla 02.

Tabla 02 Masa : Constante. Amplitud: Constante. Longitu d. Período.

T1 (s) T2 (s) T3 (s) Mida el período de oscilación del péndulo con una amplitud y longitud constante y con una masa de 80 gramos. Repetir el procedimiento tres veces y ob- tener un promedio (). Para medir el período de oscilación del péndulo de una manera más precisa, mida primero el tiempo que emplea el péndulo en completar diez oscilaciones y luego divida este tiempo entre diez. Repita el procedimiento anterior disminuyendo sucesivamente en 10 gramos, aproximadamente la masa del péndulo hasta llegar a una longitud aproximada de 20 gramos. Registre sus medidas en la tabla 03. Tabla 03 Longitud : Constante. Amplitud: Constante. Masa. Período.

T1 (s) T2 (s) T3

(s)

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

150

Mida el período de oscilación del péndulo con una masa y longitud constante y con una amplitud angular de 14O aproximadamente. Repetir el procedi- miento tres veces y obtener un promedio(). Para medir el período de osci- lación del péndulo de una manera más precisa, mida primero el tiempo que emplea el péndulo en completar diez oscilaciones y luego divida este tiempo entre diez. Repita el procedimiento anterior disminuyendo sucesivamente en 2 O, aproxi- madamente, la amplitud angular del péndulo hasta llegar a una amplitud apro- ximada de 4O. Registre sus medidas en la tabla 04. Tabla 04 Longitud : Constante. Amplitud: Masa. Ampli tud Período.

T1 (s) T2 (s) T3 (s)

1.- Grafique en papel milimetrado T2 vs L y a partir del análisis de esta gráfica por mínimos cuadrados determine experimentalmente el valor de la acelera- ción de la gravedad. 2.- Grafique en papel milimetrado T vs m. 3.- Grafique en papel milimetrado T vs .

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151

V.- CUESTIONARIO. 1. Tomando como referencia el valor de la aceleración de la gravedad de 9,81m/s2, cuantifique el error experimental de la medida de la aceleración de la gravedad obtenida en el experimento. 2. De los gráficos obtenidos de la tabla 02 y 03, qué dependencia existe entre el período de oscilación con la masa y la amplitud de un péndulo simple?

CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE UN M.A.S.

I. INTRODUCCIÓN Un modo particular de variación en la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo que se presenta frecuentemente en la práctica, es la fuerza elástica recuperadora que se origina siempre que se deforme un cuerpo. Cuando este es abandonado en el estado de deformación se observa que efectúa vibraciones alrededor de su posición de equilibrio; las ecuaciones de movimiento para estos casos contienen senos ó cosenos, por lo cual se les denominan “armónicos”, por ello a este tipo de movimiento vibra- torio se llama “movimiento armónico”

II. OBJETIVOS 

Determinar experimentalmente el periodo y la frecuencia de oscilación del sistema.



Verificar las ecuaciones dinámicas y cinemáticas que rigen el movi- miento armónico para el sistema masa-resorte.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO III.1 Sistema Masa-Resorte Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura (1). Si se le aplica una fuerza al cuerpo desplazándolo una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara a ambos lados de la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la acción de la fuerza elástica. Este movimiento se puede denominar armónico, pero cuando se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define como “Movimiento Armónico Simple” (MAS).

Figura (1). Sistema masa-resorte indicando la posición de equilibrio.

Si aplicamos la segunda ley de Newton sobre el lado izquierdo de la ecuación (1), podemos escribir: -kx = ma Luego si consideramos que:

Entonces:

d2x

a

dt 2

d2x

k

 dt 2

m

x0

(2)

(3)

(4)

En este punto introduciremos la variable , tal que:

ω

k m

Por lo cual la ecuación (4) se modifica, transformándose en la siguiente expresión: d2x dt

2



ω

2

x 0

(5)

La solución de (5) es una función sinusoidal conocida y se escribe de la siguiente manera:

x  Acos( ω t  δ) Donde:

(6)

A, es la amplitud de oscilación.

La amplitud representa el desplazamiento máximo medido a partir de la posición de equilibrio, siendo las posiciones –A y +A los limites del desplazamiento de la masa. (t+) es el ángulo de fase y representa el argumento de la función armónica. La variable  es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo. La cantidad  se denomina constante de fase ó fase inicial del movimiento, este valor se determina usando las condiciones inicia- les del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta del tiempo (t = 0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente. Como el movimiento se repite a intervalos de tiempo iguales, se llama periódico debido a esto se pueden definir algunas cantidades de interés que facilitarán la descripción del fenómeno. Frecuencia ( f ), es el número de oscilaciones completas ó ciclos de movimiento que se producen en la unidad de tiempo, esta relacionado con la frecuencia angular por medio de la relación:

ω  2 f

(7)

Periodo (T ), es el tiempo que emplea el sistema para realizar una oscilación ó un ciclo completo, esta relacionado con f y ω , por medio de la relación:

T

1 2π f  ω

(8)

Las expresiones para la velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve con mo- vimiento armónico simple, pueden ser deducidas a partir de la ecuación (6) usando las relaciones cinemáticas derivadas de la segunda ley de Newton. Velocidad de la partícula ( v ), como sabemos por definición que: dx v , podemos dt usar la ecuación (6), para obtener lo siguiente:

v  ωAsen(ωt  δ)

(9)

155

GuíadeLaboratoriodeFísicaI Aceleración de la partícula ( a ), como sabemos por definición que: podemos usar la ecuación (9), para obtener lo siguiente:

a  ω2 Acos( ω t  δ)

a

dv

,

dt (10)

La ec ua ci ón (1 0) no s in di ca qu e en el M Á S, la ac el er ac ió n es sie m pr e pr op or ci on al y op ue sta

156

GuíadeLaboratoriodeFísicaI al desplazamiento. Respecto al periodo de oscilación, es posible señalar algo adicional; su relación con la masa y la constante elástica del resorte, la cual puede obtenerse usando la ecuación (8) y la definición de , que se empleó para llegar a la ecuación (6). Dicha relación se escribe de la siguiente forma:

T  2π

( 1 1 )

m k

Ahora si la masa m del resorte no es despreciable, pero si pequeña en comparación con la masa del cuerpo suspendido, se demuestra que se puede determinar el periodo de movimiento usando la siguiente ecuación:

T  2π Donde:

 mr  m  3  k  

(12)

mr, es la masa del resorte.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES             

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop o Pasport Adaptador analógico PS-2158 Adaptador Digital PS-2159 Convertidor USB/Serial CI-6759A Sensor de movimiento CI-6742 Soporte universal ME-8976 y varilla ME-8736 Nuez doble ME-9873 Varilla de 14 cm SA-9242 Set de resortes para la ley de Hooke SE-8749 Conjunto de pesas SE-8759 Regla graduada 100 cm. SE-8827

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156

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a.

Verificar la conexión y encendido de la interfase.

b.

Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear experimento”.

c.

Seleccionar el “Sensor de movimiento” de la lista de sensores y efectuar la conexión usando los cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por Data Studio.

d.

Efectúe la calibración para el sensor de movimiento indicando una frecuencia de disparo igual a 30 (registros por segundo).

e.

Genere un gráfico para cada uno de los parámetros medidos por el sensor de movimiento (aceleración, velocidad y posición).

f.

Realice el montaje de accesorios y sensores tal como se ve en la figura (2).

Figura (2). Disposición de equipos y accesorios.

Primera actividad (determinación de la constante de elasticidad) a. b. c. d. e. f. g.

Determine la posición de elongación natural del resorte. Coloque diferentes masas previamente pesadas al extremo del resorte Determine la elongación en cada caso. Registre sus datos en las tabla (1). Repita el proceso para cada masa sugerida. Grafique peso vs. elongación usando Data Studio. Determine la pendiente y calcule la constante de elasticidad k.

Tabla (1), Datos registrados para pesos y elongaciones. Masa (Kg) Peso (N) Estiramiento(m) Constante de elasticidad (N/m) Segunda actividad (determinación del periodo y la frecuencia de oscilación) a. Seleccione la cantidad y numero necesarios de masas para completar 150 g, colóquela en el porta pesas de modo que el sistema permita oscilaciones en una sola dirección. b. Ubique la masa en la posición de mínima elongación y pulse el botón “inicio” para registrar las lecturas de posición, velocidad y aceleración respecto al tiempo. Efectúe la recolección de datos por un tiempo c. Finalizada la toma de datos y haciendo uso de la “herramienta inteligente” sobre las graficas generadas calcule lo siguiente: 

Amplitud promedio de las oscilaciones.



Periodo promedio de las oscilaciones.



Frecuencia de oscilación media.

d. Exporte los datos de posición, velocidad y aceleración, luego superponga grá- ficamente estos datos con los producidos usando los valores teóricos calcula- dos con las ecuaciones (6), (9) y (10). e. Construir la gráfica de fase posición vs. velocidad. f.

Determine el error absoluto y porcentual sobre los datos logrados en el paso anterior, así como en la frecuencia y periodo experimental.

Observaciones 

Al hacer clic en el botón “Inicio”, el sensor de movimiento empieza a emitir ondas, este capta la posición de la masa y el respectivo ins- tante de tiempo.



Si las gráficas generadas no son visibles, puede mover las escalas de medida.



Las escalas de medida pueden ser modificadas colocando el mouse en un número cualquiera de la escala que usted desea modificar, rea- lizando un arrastre horizontal ó vertical cuando aparezca el símbolo rizo.



Si desea mover el plano, coloque el mouse en la posición de cualquier eje y haga un arrastre horizontal ó vertical cuando aparezca el símbolo mano.



Para construir la gráfica de fase seleccione el gráfico posición vs. tiempo, luego seleccione el gráfico velocidad vs. tiempo y arrástrelo sobre la abscisa t, del gráfico posición vs. tiempo.

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Cuál es el valor de la aceleración de un oscilador con amplitud A y frecuencia f cuando su velocidad es máxima?

2.

¿Pueden tener el mismo sentido la aceleración y el desplazamiento en un movimiento armónico simple?, ¿la aceleración y la velocidad?, ¿la velocidad y el desplazamiento?, Explique.

3.

¿De qué forma se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento? y ¿Qué tiempo transcurrirá para que la masa vuelva a su estado de reposo?

4.

¿Cómo variaría el coeficiente de amortiguamiento si la amplitud desciende rápidamente con el transcurrir del tiempo? y ¿Qué movimiento se realiza- ría?

5.

¿Qué es el decremento logarítmico?, Explique.

6.

¿En qué caso la gráfica posición vs. velocidad puede mostrar una circunfe- rencia?, Explique detalladamente.

7.

¿El valor de la frecuencia es igual al teórico solo si se toma en cuenta la masa del resorte?, Explique detalladamente.

8.

¿Cuál es la diferencia entre un movimiento oscilatorio y un movimiento periódico?

9.

¿Se cumple el principio de conservación de la energía en el sistema masaresorte?, Explique.

10.

¿Puede establecerse una analogía entre las ecuaciones del movimiento armónico simple y las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado?, Explique

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159

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160

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

I. INTRODUCCIÓN Muchos de los fenómenos físicos que se observan en la naturaleza son explicados a través del concepto de resonancia tanto a nivel clásico como cuántico, en consecuen- cia es muy importante comprender en que consiste. En nuestra vida cotidiana encon- tramos frecuentemente eventos de resonancia, en física este concepto es utilizado para explicar la interacción entre sistemas. II. OBJETIVOS 

Verificar la frecuencia natural de oscilación del sistema masa-resorte.



Determinar experimentalmente la amplitud y la frecuencia de resonancia del sistema acoplado.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Imagine a un muelle que cuelga verticalmente de un soporte, cuando no hay ninguna masa que cuelgue en el extremo del muelle este tiene una longitud L llamada longitud de equilibrio, luego cuando se añade una masa al muelle su longitud se incrementa en L, la posición de equilibrio de la masa ahora es una distancia L + L, medida desde el soporte del muelle. ¿Qué ocurre si se tira de la masa hacia abajo una pequeña distancia desde la posición de equilibrio? El muelle ejerce una fuerza recuperadora F = -kx, donde x es la distancia que se ha estirado el muelle y k es la constante elástica del resorte, el signo negativo indica que la fuerza apunta es en sentido con- trario al desplazamiento de la masa, la fuerza recuperadora hace que la masa oscile arriba y abajo. El periodo de oscilación para el movimiento armónico simple depende de la masa y de la constante del muelle, tal como se muestra en la siguiente ecuación:

m T  2π k Donde:

k, es la constante elástica del resorte. m, es la masa suspendida.

(1)

Si el sistema masa-resorte se le aplica una fuerza oscilatoria externa de diferente frecuencia r próxima a su frecuencia natural de oscilación, la amplitud de la vibración se incrementará al máximo, a este fenómeno se le denomina resonancia. Supongamos ahora que la fuerza externa FE varía con el tiempo según alguna función del seno ó del coseno, tal que:

FE  F0cos(ωf t) Donde:

(2)

F0, es la amplitud máxima de la fuerza externa. f, es la frecuencia de oscilación externa.

La fuerza externa varía periódicamente con un periodo igual a:

T 

2π ωf

(3)

Aplicando la segunda ley de Newton y adicionando una fuerza amortiguamiento ex- terna (Aire en este caso), podemos escribir la fuerza total actuante sobre la partícula como:

F  kx  λv  F

0 cosωf t

Donde:

(4)

, es la constante de amortiguamiento del liquido. v, es la velocidad de oscilación de la masa.

Realizando las sustituciones siguientes:

dx v y dt Se llega a la expresión:

d2x a

dt 2

d 2x

dx m 2  λ  kx  F0cosωf t dt dt

(5)

Realizamos los siguientes cambios de variable en la ecuación (5):



 2γ

ω2  0

k m

(6)

y

m Donde:

0, es la frecuencia natural de oscilación del sistema masa-resorte.

Reemplazando las expresiones (6) en (5), se obtiene: d2x dx F0 2 

(7) La frecuencia de oscilación del sistema forzado, no oscilara con la frecuencia angu02   2. En su lar no amortiguada 0, ni con la frecuencia angular amortiguada lugar, la partícula será forzada a oscilar con la frecuencia angular f de la fuerza aplicada. Luego se plantea como posible solución de la ecuación (7), una expresión de la forma:

x  Asen(ωf t  α)

(8)

Por conveniencia se ha dado un signo negativo a la fase inicial , la sustitución directa de la ecuación (8) en la ecuación (7) demuestra que será satisfactoria si la amplitud esta dada por: F0

A

m (ω2 f0ω2 )2  4γ2ω2 f

(9)

La amplitud A esta representada en función de la frecuencia f para un valor dado de . La amplitud tiene un máximo pronunciado cuando el denominador de la ecuación (9) tiene su valor mínimo. Esto ocurre para la frecuencia A, dada por:

ωA  ω2  2γ2 0

λ2 k  2m2 m

(10)

 Finalmente cuando la frecuencia f de la fuerza aplicada es igual a A, se dice que hay resonancia en la amplitud.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES            

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop o Pasport Adaptador analógico PS-2158 Adaptador Digital PS-2159 Convertidor USB/Serial CI-6759A Vibrador mecánico (máx. 1A) SF-9324 Cables conectores tipo banana SE-9750 y SE-9751 Sensor de movimiento CI-6742 Generador sinusoidal WA-9867 Soporte universal ME-8976 y varilla ME-8736 Nuez doble ME-9873

  

Varilla de 14 cm SA-9242 Set de resortes para la ley de Hooke SE-8749 Conjunto de pesas SE-8759

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verificar la conexión e instalación de la interfase. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear experimento”. c. Seleccionar “Sensor de movimiento”, de la lista de sensores y efectuar las conexiones usando el cable para transmisión de datos, en las entradas indicadas por Data Studio. d. Configure el generador para una señal sinusoide con frecuencia inicial igual a la frecuencia de oscilación natural del sistema masa-resorte calculada em- pleando la ecuación (1) y una amplitud de 4.0 v. e. Efectúe la calibración correspondiente, indicando para el sensor de movimiento una frecuencia de disparo igual a 20 (registros por segundo). f.

Genere un gráfico para posición vs. tiempo.

g. Realice el montaje de accesorios y sensores tal como se ve en la figura (1).

Figura (1). Disposición de equipos y accesorios.

Primera actividad (determinación de la constante de elasticidad) a. Determine la posición de elongación natural del resorte.

b. Coloque diferentes masas en el porta pesos, el cual deberá ser pesado previamente. c. Determine la elongación en cada caso. d. Registre sus datos en la tabla (1). e. Repita el proceso para cada masa sugerida. f.

Grafique Peso vs. elongación usando Data Studio.

g. Calcule la constante de elasticidad k. Tabla (1), Datos registrados para pesos y elongaciones. Masa (Kg.) 0.10 Peso (N) Estiramiento(m) Constante de elasticidad (N/m)

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Segunda actividad (determinación de la frecuencia de resonancia) a. Instale el oscilador mecánico como se muestra en la figura (1) y encender el generador sinusoidal. b. Coloque la masa en la posición de mínima elongación y pulse el botón “inicio” para registrar las lecturas de posición vs. tiempo. c. Hacer variar la frecuencia en el generador de señales alrededor de la frecuencia propia del sistema masa-resorte ω0 d. Detenga la toma de datos una vez alcanzada la amplitud máxima de oscilación. e. Adicione una gráfica para transformada de rápida de Fourier sobre los datos de posición vs. tiempo. f.

Usando la “herramienta inteligente” determine la magnitud de la frecuencia de resonancia (pico máximo).

g. Anote sus datos en la tabla (2). h. Empleando las ecuaciones (9) y (10) determine el error absoluto y porcentual sobre los valore de frecuencia y amplitud.

Tabla (2), Resultados obtenidos en la segunda actividad. A (rad /s)

Valores

o (rad /s)

f (rad /s)

Amplitu d máxima (m)

Teórico Experiment al Error Absoluto Error Porcentual

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Qué le sucederá a la amplitud de oscilación cuando el sistema masa-resorte oscile a su frecuencia natural?, Grafique.

2.

Describa el comportamiento de la gráfica posición vs. tiempo en el movimiento armónico forzado, cuando la frecuencia de oscilación externa sea ligeramente superior a la frecuencia natural.

3.

¿Cuáles son las razones posibles de la diferencia entre las dos gráficas?

4.

¿En que caso la gráfica posición vs. velocidad mostrará una circunferencia?, Explique detalladamente.

5.

¿El valor de la frecuencia de resonancia es igual al teórico solo si se toma en cuenta la masa del resorte?, Explique detalladamente.

6.

¿En que condiciones ocurre resonancia en la energía?

7.

Calcule el desfasaje de la velocidad respecto a la fuerza desarrollada por el oscilador mecánico.

8.

¿Es posible afirmar que cuando hay resonancia en la energía la transferen- cia de energía de la fuerza aplicada al oscilador forzado esta al máximo?

9.

Cuando el amortiguamiento es muy pequeño, ¿Cuál es la magnitud de la diferencia entre las frecuencias correspondientes a la resonancia en la amplitud y la resonancia en la energía?

10. Calcule la impedancia del oscilador

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA (EXPERIMENTO DE MELDE)

I. INTRODUCCIÓN Se denomina onda a toda perturbación que se origina en un estado de equilibrio y que se mueve ó propaga con el tiempo de una región del espacio a otra. En el centro de este tipo de perturbación no hay un transporte de materia; debe entenderse que es esta la que se traslada de punto a punto. En esta sesión veremos el caso de la inter- ferencia de dos ondas estacionarias del tipo transversal sobre una cuerda, permitién- donos demostrar el principio de superposición, el cual es extraordinariamente impor- tante en todos los tipos de movimiento ondulatorio y se aplica no solo a las ondas que se propagan en una cuerda, sino a las ondas sonoras en el aire, a las ondas lumi- nosas y en general, a cualquier clase de movimiento ondulatorio.

II. OBJETIVOS 

Determinar la relación entre la tensión en la cuerda y el número de segmentos de la onda estacionaria.



Determinar la relación entre la frecuencia de oscilación de la cuerda y el número de segmentos de la onda estacionaria.



Calcular la densidad lineal de la cuerda.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Consideremos un tren de ondas que avanza a lo largo de una cuerda tensa, llega al extremo de la misma. Si el extremo está sujeto a un soporte rígido tiene que permanecer evidentemente en reposo. Cada sacudida que llega ejerce una fuerza sobre el soporte, y la reacción a esta fuerza actúa sobre la cuerda y engendra una sacudida reflejada que se propaga en sentido contrario. Siempre que no se sobrepase el límite de elasticidad de la cuerda y las elongaciones sean suficientemente pequeñas, la elon- gación real en cualquier punto es la suma algebraica de las elongaciones individua- les, hecho que se conoce como principio de superposición. Este concepto se aplica en nuestro caso a trenes de ondas que pasan simultáneamente por una región deter- minada.

El aspecto de la cuerda en tales circunstancias no pone de manifiesto que la estén recorriendo dos ondas en sentidos opuestos; dado que en nuestro experimento la cuerda estar sujeta en ambos extremos. Un tren continuo de ondas, representadas por senos ó cosenos se reflejan en ambos extremos, y como estos están fijos, los dos han de ser nodos y deben estar separados por una semilongitud de onda, por lo cual la longitud de la cuerda puede ser:







, 2 , 3 ,......... 2 2 2

(1)

En general un número entero de semilongitudes de onda; es decir, si consideramos una cuerda de longitud L, se pueden originar ondas estacionarias en la cuerda para vibraciones de diferentes frecuencias, todas aquellas que produzcan ondas de longitudes 2L/1, 2L/2, 2L/3,….., etc. En virtud de la relación:

f Donde:

u (2)



u, es la velocidad de propagación de la onda.

Ahora puesto que u, es la misma para todas las frecuencias los posibles valores de estas son: u u u ,3 ,............. (3)

2L ,22L

2L

la frecuencia mas baja u/2L, se denomina fundamental f1; las otras corresponden a los armónicos, las frecuencias de estos últimos son, por consiguiente 2f1, 3f1, 4f1…., etc., correspondientes al segundo, tercer y cuarto armónico, respectivamente. La densidad lineal de masa del hilo puede ser medida pesando una cantidad conocida de longitud de hilo. La densidad lineal será la masa del hilo por unidad de longitud.

masa μ  longitud

(4)

Despejando la velocidad de la ecuación (2) y remplazando las posibles longitudes de onda correspondientes a las frecuencias de vibración, se tiene:

v Donde:

2L n

f

n, representa a cualquier número de longitud de onda.

(5)

La velocidad de la onda viajando en el hilo también depende de la tensión, T, en el hilo y de la densidad lineal del hilo, según:

v

T μ

(6)

Igualando las expresiones (5) y (6), para una misma velocidad y resolviendo para la 1 tensión, se tiene: T  (4L2 f 2μ) (7)    n2  El cálculo de la densidad lineal, se puede calcular en una gráfica T vs. 1/n 2, siendo que la longitud del hilo y la frecuencia de vibración se mantienen constantes. De igual modo si la tensión se mantiene constante y despejando la frecuencia, se tiene:

f 

T n 4L2μ

(8)

Una gráfica frecuencia (f) vs. número de antinodos (n), resultara en una línea recta cuya pendiente puede usarse para calcular la densidad lineal del hilo.

IV. EQUIPOS Y MATERIALES              

Computadora personal Programa Data Studio instalado. Interface Science Workshop o Pasport Adaptador analógico PS-2158 Adaptador Digital PS-2159 Convertidor USB/Serial CI-6759A Vibrador mecánico (máx. 1A) SF-9324 Cables conectores tipo banana SE-9750 y SE-9751 Generador sinusoidal WA-9867 Conjunto de pesas SE-8759 2.5 m de cuerda SE-9409 Abrazaderas ME-9472 x 2 Polea ME-9450 Varilla de 14 cm SA-9242 x 3

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios a. Verificar la conexión e instalación de la interfase. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear experimento”. c. Efectúe la calibración correspondiente, elija una señal sinusoide con una fre- cuencia inicial de 62.600 Hz. para un voltaje de 4.0 V. d. Ate un extremo del hilo a una varilla vertical sujeta a un extremo de la mesa. Pase el otro extremo del hilo sobre la polea que esta que está montada en una varilla y coloque una masa de 510g. e. Realice el montaje tal como se ve en la figura (1), midiendo previamente la longitud de la sección de hilo que estará vibrando.

Figura (1). Disposición de equipos y accesorios.

Primera actividad (determinación de la densidad lineal con cambio en la tensión) a. Encienda el generador de señales. b. Varíe la masa en el porta pesas para hacer que el hilo vibre en su modo frecuencia fundamental (antinodo en el centro) a una frecuencia fija de 62.600 Hz; verifique que los nodos en cada extremo estén claros no vibrando. c. Registre sus datos en la tabla (1). d. Varíe la masa hasta que el hilo vibre en cada uno de los armónicos superiores (2 a 7 segmentos) y registre sus datos (disminuya la masa progresivamente).

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

170

e. Usando la actividad para “introducir datos” ingrese los datos y grafique ten- sión vs. (1/n2). f.

En la gráfica generada calcule la pendiente y determine la densidad lineal del hilo.

g. Calcule el error porcentual entre los datos experimentales y el valor calculado con la balanza al pesar el hilo empleado. Tabla (1), Datos registrados para variación de tensión a frecuencia constante y cálculo de la densidad lineal. Armónico 1 (n) Masa (Kg.) Tensión (N) Longitud de la cuerda (m) Densidad lineal () exp

2

3

4

5

6

7

Frecuencia (Hz) Error (%)

Segunda actividad (cálculo de la densidad lineal al cambiar la frecuencia) a. Encienda el amplificador de potencia. b. Mantenga fija la masa (510 g), mientras varia la frecuencia inicial (62.600 Hz) en la ventana mostrada en la figura (1), hasta que el hilo vibre en un segmento (frecuencia fundamental). c. Registre sus datos en la tabla (2). d. Encuentre las frecuencias requeridas para armónicos superiores (2 a 7 segmentos) e. Usando la actividad para “introducir datos” ingrese los datos y grafique frecuencia vs. segmentos (n). f.

En la gráfica generada calcule la pendiente y determine la densidad lineal.

g. Determine el error porcentual entre los datos experimentales y el valor calcu- lado con la balanza al pesar el hilo empleado. Tabla (2), Datos registrados para variación de frecuencia a tensión constante y cálculo de la densidad lineal. Armónico (n) 1 Frecuencia (Hz.) Longitud de la cuerda (m) Densidad lineal () exp

2

3

4

5

Tensión (N) Error (%)

6

7

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

171

VI. CUESTIONARIO 1.

Cuando la tensión se aumenta ¿el número de segmentos aumenta ó disminuye cuando la frecuencia se mantiene constante?, Explique.

2.

Cuando la frecuencia aumenta ¿el número de segmentos aumenta ó disminuye cuando la tensión se mantiene constante?, Explique.

3.

Cuando la tensión aumenta ¿la velocidad de las ondas aumenta, disminuye ó permanece igual cuando la frecuencia se mantiene constante?, Explique.

4.

Cuando la frecuencia aumenta ¿la velocidad de las ondas aumenta, disminuye ó permanece igual cuando la tensión se mantiene constante?, Explique.

5.

Suponga que el hilo No.1 es dos veces mayor que el hilo No.2, pero ambos tienen la misma tensión y la misma longitud. Si cada uno de los hilos está vibrando en el modo fundamental, ¿Qué hilo tendrá mayor frecuencia?

6.

¿Cómo se denomina a los puntos donde las elongaciones resultantes son siempre nulas?

7.

¿De que manera se aplica la proporcionalidad inversa entre la frecuencia y la longitud en la calibración de las cuerdas de un piano?, Explique.

8.

¿Es posible que una cuerda vibre al mismo tiempo con varias frecuencias?, Explique.

9.

Para el caso de ondas estacionarias, explique el concepto de vibración virtual.

10.

¿En qué punto de la cuerda la elongación real es la suma algebraica de las elongaciones correspondientes a las ondas individuales?, Explique.

MODOS DE VIBRACIÓN EN UNA COLUMNA DE AIRE Y VELOCI- DAD DEL SONIDO

I. INTRODUCCIÓN Sabemos que una onda es una perturbación que se origina en un estado de equilibrio y se mueve ó propaga con el tiempo de una región del espacio a otra. Si sobre una columna de aire contenida en un tubo aplicamos una perturbación, lograremos que las moléculas contenidas oscilen longitudinalmente; siendo que, el tubo esta cerrado se forma una onda estacionaria, la cual presenta nodos de interferencia destructiva y antinodos de interferencia constructiva, producto de la superposición de ondas que se desplazan en el tubo. Las frecuencias a las que se producen estas ondas se deno- minan “frecuencias naturales” ó “frecuencias de resonancia”, los distintos patrones de ondas estacionarias son diferentes modos de vibración en resonancia ó modos resonantes. II. OBJETIVOS 

Determinar la velocidad del sonido en el aire.



Determinar los modos de vibración de ondas estacionarias en una columna de aire a diferentes frecuencias.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Si a una columna de aire contenida en un tubo se le perturba produciendo una diferencia de presión en un extremo de la columna, la perturbación producida viaja a lo largo de la columna de aire con una rapidez, equivalente a:

V 

Donde:

B ρ

(1)

, es la densidad del aire y B es el modulo de compresión volumétrico.

La diferencia de presión origina una onda longitudinal estacionaria, cuyo desplaza- miento es periódico, es decir se repite con cierta frecuencia ; ver figura (1).

Figura (1). Onda longitudinal, con desplazamiento periódico.

Cuando las ondas están confinadas en el espacio, tal como se ve en la figura (2), se producen reflexiones en ambos extremos y por consiguiente, existen ondas moviéndose en ambos sentidos, las cuales se combinan de acuerdo al principio de superposición.

Figura (2). Superposición de ondas longitudinales.

La relación entre la longitud de la onda , la velocidad V y la frecuencia  es:

V  λν

(2)

Si ajustamos la longitud de la columna de aire podemos conseguir que las ondas interfieran de tal manera que se cancelen una con la otra, en ciertos puntos (n 1, n2,

n3,….), a los cuales se les conoce como “nodos”. Ahora bien, en los puntos interme- dios las dos ondas se refuerzan haciendo que la columna de aire vibre con una am- plitud máxima, a estos puntos intermedios los denominamos “antinodos”. Como la distancia entre dos nodos sucesivos es /2, el número de antinodos es n y L es el largo de la columna de aire, es posible calcular la longitud de onda mediante la relación:

2L λ n

(3)

Sustituyendo la ecuación (3) en (2), es posible determinar la velocidad a la que se propaga la perturbación, dado que esta obedecerá a la relación:

V

2L n



(4)

Conociendo los valores de B,  y combinando las ecuaciones (1) y (4), es posible determinar la frecuencia de la perturbación, de:

n B  2  ρ

 

(5)

En nuestro caso la frecuencia de oscilación es asignada por el generador de señales, por lo cual la ecuación (5), se empleará únicamente para obtener un valor de compa- ración. IV. EQUIPOS Y MATERIALES       

Computadora personal Programa Data Studio instalado Interface Science Workshop 750 Cables conectores tipo banana SE-9750 y SE-9751 Amplificador de potencia CI-6552A Sensor de voltaje CI-6503 Tubo de resonancia, con pistón WA-9612

V. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES Procedimiento para configuración de equipos y accesorios

a. Verificar la conexión e instalación de la interfase. b. Ingresar al programa Data Studio y seleccionar “Crear experimento”. c. Seleccionar “Amplificador de potencia” y “Sensor de voltaje”, de la lista de sensores y efectuar las conexiones usando el cable para transmisión de datos, en las entradas indicadas por Data Studio. d. Configure el generador para una señal sinusoide con frecuencia inicial de 1800.0 Hz y una amplitud de 5.0 v, la frecuencia de muestreo para el voltaje de salida debe ser 50000Hz, tal como se aprecia en la figura (1).

Figura (1). Cuadro de dialogo para selección de amplitud y frecuencia.

e. Montar el tubo de resonancia, considerando que el inicio de la regla coincida con la posición del parlante; en el mismo lugar coloque el micrófono portátil y conéctelo mediante el adaptador con los terminales del sensor de voltaje, tal como se ve en la figura (2). f.

Configure el sensor de voltaje con una frecuencia de muestreo de 50000Hz, en rango predeterminado a baja sensibilidad.

g. Adicione una gráfica de osciloscopio para visualizar la señal de entrada pro- veniente del micrófono (onda producida por reflexión, al chocar con el ex- tremo del pistón) y superponga a esta gráfica el voltaje de salida del genera- dor (onda sinusoidal producida y transmitida al parlante). h. Para alcanzar un nivel de visualización óptimo configure la escala temporal de muestreo del osciloscopio a 0.2 ms/div. i.

Para el voltaje de salida la configuración de escala debe ser 2.0v/div y para el voltaje proveniente del micrófono 0.2v/div.

Figura (2). Disposición de equipos y accesorios.

Primera actividad (determinar la posición de los nodos y la velocidad del sonido) a. Encienda el amplificador de potencia. b. Pulsar el botón inicio. c. Mover el pistón hasta que la señal de entrada observada en la ventaba osciloscopio muestre un nodo bien definido (línea horizontal debido a la cancelación de las ondas) y anotar esta distancia como L0. d. Continuar el movimiento hasta ubicar la posición del segundo nodo y anote la medida vista en la regla, luego reste el valor encontrado en el paso (c), esta nueva cantidad puede registrarse como L (en este intervalo habrá un solo antinodo n=1). e. Calcule la longitud de onda usando la ecuación (3) y la velocidad de propagación con la ecuación (4). f.

Registre sus datos en la tabla (1) y determine el promedio de velocidad.

g. Efectúe una medición de la temperatura ambiental y aplique la corrección correspondiente según se indica en la ecuación (6).

V  V  0.6T

(6)

Donde: T, es la temperatura ambiental medida en grados centígrados. __

V, es la velocidad promedio obtenida. h. Repita los pasos desde (d) hasta (g), para el número restante de nodos en la columna de aire, en cada caso reste el valor de L0. i.

Repita todo el proceso para las frecuencias restantes 1900Hz y 2000 Hz, luego anotar los datos y resultados en las tablas correspondientes.

Tabla (1), Datos registrados para número de antinodos, longitud de onda y velocidad de propagación del sonido a una frecuencia de 1800Hz. Numero de antinodos (n) 1

L (m)

( m)

2 3 4 5 6 7 8 Promedio Velocidad con corrección (m/s)

Velocid ad (m/s)

Tabla (2), Datos registrados para número de antinodos, longitud de onda y velocidad de propagación del sonido a una frecuencia de 1900Hz. Numero de antinodos (n) 1

L (m)

( m)

Velocid ad (m/s)

2 3 4 5 6 7 8 Promedio Velocidad con corrección (m/s) Tabla (3), Datos registrados para número de antinodos, longitud de onda y velocidad de propagación del sonido a una frecuencia de 2000Hz. Numero de antinodos (n) 1

L (m)

( m)

2 3 4 5 6 7 8 Promedio Velocidad con corrección (m/s)

Velocid ad (m/s)

VI. CUESTIONARIO 1.

¿Si el tubo estuviese abierto en un extremo, se producirían nodos?, Explique.

2.

Compare el valor experimental de velocidad obtenido en cada caso con el valor comúnmente aceptado de 343 m/s a una temperatura de 20ºC, y calcule el error porcentual.

3.

¿De qué manera cambia la velocidad de propagación del sonido cuando se aumenta ó disminuye la temperatura del aire en el tubo?, Explique.

4.

Si se cambia el fluido dentro del tubo (agua en lugar de aire); ¿Cual seria la nueva velocidad de propagación del sonido?, Explique.

5.

Si se incrementa la temperatura del aire dentro del tubo, ¿Cual seria la nueva velocidad de propagación del sonido?, Explique.

6.

¿En que caso se puede afirmar que un cuerpo resuena con impulsos aplica- dos?, Explique.

7.

De la pregunta anterior (con el tubo lleno de agua), ¿Cual seria el número total de nodos para una frecuencia de 1800Hz?, Explique su respuesta.

8.

Explique el funcionamiento y utilidad de un interferómetro acústico.

9.

¿De qué manera aprovecha se fenómeno de resonancia para construcción de amplificadores acústicos?, Explique.

10.

Explique tres casos de resonancia óptica.

GuíadeLaboratoriodeFísicaI

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BIBLIOGRAFÍA “Worldwide Catalog and Experiment Guide 2009”, Pasco Systems; Roseville CA. USA 2009. “Física: Mecánica”, Alonso - Finn, volumen I; Fondo Educativo Interamericano S.A., México 1970. “Física General”, Francis W. Sears y Mark W. Zemansky; Quinta edición, Aguilar S.A. Ediciones, Madrid 1981. “Física para Ciencia e Ingeniería”, Mc. Kelvey –Zemansky-Young, Tomo I. Ed. Harla. Primera Edición; México 1978. “FÍSICA”, Tipler, Tomo I, Ed. Reverte, Tercera Edición; España 1998. “Métodos Numéricos”, Antonio Nieves y F. Domínguez, Editorial Continental S.A.; 4ta. Edición, México, 1999.

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