Guia8 - Solucionario

Gerencia de Operaciones y Tecnología Por: Lic. Jhonny R. Barrera Quispe

SOLUCIONARIO 1. Se tomaron 10 muestras de 15 piezas cada una de un proceso continuo con el fin de establecer una gráfica p para control. Las muestras y el número de piezas defectuosas en cada una aparecen en la tabla siguiente: Muestra 1 2 3 4 5

Tamaño de la muestra 15 15 15 15 15

Número de defectos en la muestra 3 1 0 0 0

Muestra 6 7 8 9 10

Tamaño de la muestra 15 15 15 15 15

Número de defectos en la muestra 2 0 3 1 0

a) Elabore una gráfica p para una confianza de 95% (1,96 desviaciones estándar). b) Con base en los puntos de datos en el diagrama, ¿qué puede comentar? Solución: a) La gráfica p para una confianza de 95%

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tamaño de la muestra 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

Número de defectos en la muestra 3 1 0 0 0 2 0 3 1 0 10

Fracción de defectos 0,20 0,07 0,00 0,00 0,00 0,13 0,00 0,20 0,07 0,00

𝑝̅ =

𝑁𝑇𝐷 10 = = 0,0667 𝑁𝑀 × 𝑛 10 × 15

𝑠𝑝 = √

𝑝̅(1 − 𝑝̅ ) 0,0667(1 − 0,0667) =√ = 0,0664 𝑛 15

𝐿𝐶𝑆 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝 = 0,0667 + 1,96(0,0664) = 0,1929 𝐿𝐶𝐼 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝 = 0,0667 − 1,96(0,0664) = −0,0596 ≅ 0

0,25

Fraccion de defectos

0,20

LCS

b) De las 10 muestras, 2 se apartan de los límites de control.

0,15

Como estos límites se establecieron en 95% o uno de cada 20, se diría que el proceso está fuera de control. Es necesario examinarlo para encontrar la causa de una variación tan extensa.

0,10 0,05 0,00 1

2

3

4

5

6

Nro de muestras

7

8

9

LCI 10

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2. La producción de un proceso contiene 0,02 unidades defectuosas. El reemplazo de cada unidad defectuosa que no se detecta y llega a las últimas etapas del ensamblaje tiene un costo de 25 dólares. Es posible establecer un proceso de inspección para probar las unidades que detectaría y eliminaría todas las piezas defectuosas. Sin embargo, el inspector, quien prueba 20 unidades por hora, recibe un pago de 8 dólares la hora, prestaciones incluidas. ¿Es conveniente instalar una estación de inspección para probar todas las unidades? a) ¿Cuánto cuesta inspeccionar cada unidad? b) ¿Cuál es el beneficio (o la pérdida) derivado del proceso de inspección? Solución: a) El costo de inspeccionar cada unidad es: 0,02 defectos sin inspección → 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 25

$

𝑢 $

1ℎ

ℎ

20𝑢

0,00 defectos con inspección → 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 8 ×

= 0,4

$ 𝑢

b) El beneficio (o la pérdida) derivado del proceso de inspección con una mejora del 2% es: $ $ = 0,5 𝑢 𝑢 $ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 0,4 𝑢 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 0,02 × 25

Por lo tanto, se debe realizar la inspección puesto que se ahorra 0,1$ por cada unidad. 3. En un punto específico de un proceso de producción hay un índice de errores de 3%. Si se colocara un inspector en este punto se detectarían y eliminarían todos los errores. Sin embargo, al inspector se le pagan 8 dólares por hora e inspecciona 30 unidades por hora en el proceso. Si no se recurre a ningún inspector y los errores pasan este punto, la corrección en una etapa posterior cuesta 10 dólares por unidad. ¿Es conveniente contratar a un inspector? Solución: El costo de inspeccionar cada unidad es: 0,03 defectos sin inspección → 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 10

$

𝑢 $

1ℎ

ℎ

30𝑢

0,00 defectos con inspección → 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 8 ×

= 0,267

$ 𝑢

El beneficio (o la pérdida) derivado del proceso de inspección con una mejora del 2% es: $ $ = 0,3 𝑢 𝑢 $ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 = 0,267 𝑢 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 0,03 × 10

Por lo tanto, se debe contratar a un inspector para realizar la inspección puesto que se ahorra 0,033 $/u.

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4. Una máquina automatizada de alta velocidad fabrica resistores para circuitos electrónicos. La máquina está programada para producir un lote muy numeroso de resistores de 1.000 ohms cada uno. Con el fin de ajustar la máquina y crear una gráfica de control para utilizarla a lo largo de todo el proceso se tomaron 15 muestras con cuatro resistores cada una. La lista completa de muestras y sus valores medidos es la siguiente: Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Lecturas (en ohms) 1.010 995 990 1.015 1.013 994 989 1.001 1.006 992 996 1.019 981 999 1.013

991 996 1.003 1.020 1.019 1.001 993 986 989 1.007 1.006 996 991 993 1.002

985 1.009 1.015 1.009 1.005 994 982 996 1.005 1.006 997 991 989 988 1.005

986 994 1.008 998 993 1.005 1.020 996 1.007 979 989 1.011 1.003 984 992

Elabore una gráfica 𝑋̅ y una gráfica R, y grafique los valores. Con base en las gráficas, ¿qué puede comentar sobre el proceso? (Utilice tres límites de control Sigma) Solución: Número de la muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

𝑋̅

Lecturas (en ohms) 1.010 995 990 1.015 1.013 994 989 1.001 1.006 992 996 1.019 981 999 1.013

991 996 1.003 1.020 1.019 1.001 993 986 989 1.007 1.006 996 991 993 1.002

985 1.009 1.015 1.009 1.005 994 982 996 1.005 1.006 997 991 989 988 1.005

R

986 994 1.008 998 993 1.005 1.020 996 1.007 979 989 1.011 1.003 984 992

993 999 1.004 1.011 1.008 999 996 995 1.002 996 997 1.004 991 991 1.003

𝑋̿

999 𝑅̅

Límite de control superior: 𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝐴2 𝑅̅ = 999 + 0,73(22) = 1.015,06 Límite de control inferior: 𝑋̅ = 𝑋̿ − 𝐴2 𝑅̅ = 999 − 0,73(22) = 982,94 Límite de control superior: 𝑅 = 𝐷4 𝑅̅ = 2,28(22) = 50,16 Límite de control inferior: 𝑅 = 𝐷3 𝑅̅ = 0(22) = 0 Para los valores de A2, D3 y D4 se obtuvieron de la tabla otorgada en la guía.

25 15 25 22 26 11 38 15 18 28 17 28 22 15 21 22

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1.020

LCS

60

1.010

50

1.000

40

990

30

980

LCI

970

LCS

20 10

960

LCI

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

1

2

3

Nro de muestras

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Nro de muestras

De los gráficos se puede observar que todas las medias de la muestra y los rangos de las muestras se encuentran dentro de los límites de control. 5. En el pasado, Alpha SRL no realizaba inspecciones de control de calidad en los productos que recibía, sino que confiaba en sus proveedores. Sin embargo, hace poco la empresa tuvo una experiencia desagradable con la calidad de los artículos que compra y quiere establecer planes de muestreo para el departamento de recepción de productos. Para un componente X en particular, Alpha tiene una tolerancia de defectos por lote de 10%. Zenon SRL, empresa a la que Alpha compra este componente, tiene un nivel de calidad aceptable en sus instalaciones de producción de 3% para el componente X. Alpha tiene un riesgo para el consumidor de 10% y Zenon maneja un riesgo para el productor de 5%. a) Al recibir un envío del Producto X de Zenon, ¿qué tamaño de muestra debe probar el departamento de recepción de productos? b) ¿Cuál es el número de defectos permitido para aceptar el envío? Solución:  Los lotes se definen de alta calidad si no contienen más de un nivel específico de defectos, lo que se conoce como nivel de calidad aceptable (NCA).  Los lotes se definen de baja calidad si el porcentaje de defectos es mayor que una cantidad específica, lo que se conoce como porcentaje de tolerancia de defectos en el lote (PTDL)  La probabilidad asociada al rechazo de un lote de alta calidad se indica con la letra griega alfa () y se conoce como riesgo del productor.  La probabilidad relacionada con la aceptación de un lote de baja calidad se indica con la letra beta (β) y se llama riesgo del consumidor. c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

PTDL/NCA 44,890 10,946 6,509 4,890 4,057 3,549 3,206 2,957 2,768 2,618

n*NCA 0,052 0,355 0,818 1,366 1,970 2,613 3,286 3,981 4,695 5,426

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Los parámetros del problema son:    

Nivel de calidad aceptable (NCA)= 0,03 Porcentaje de tolerancia de defectos en el lote (PTDL)= 0,10 Riesgo del productor ()= 0,05 Riesgo del consumidor (β)= 0,10

Con la anterior tabla se encuentran c y n. Primero, divida PTDL entre NCA (0,10 ÷ 0,03 = 3,33). Luego, encuentre la razón en la columna 2 que sea igual o mayor que la cantidad (3,33). Este valor es 3,549 asociado a c = 5. Por último, encuentre el valor en la columna 3 que esté en la misma fila que c = 5 y divida esa cantidad entre NCA para obtener n (2,613 ÷ 0,03 = 87,10  88). El plan de muestreo adecuado es c = 5, n = 88. 6. A usted lo acaban de nombrar asistente del administrador de un hospital de su localidad, y su primer proyecto consiste en investigar la calidad de los alimentos para pacientes que prepara el departamento correspondiente. Para ello, realizó una encuesta durante 10 días mediante un sencillo cuestionario con cada comida a 400 pacientes, en el que detallaron si los alimentos fueron satisfactorios o no. En aras de la sencillez, suponga que la respuesta fue de 1.000 cuestionarios por 1.200 comidas cada día. Los resultados son los siguientes:

Diciembre 1 Diciembre 2 Diciembre 3 Diciembre 4 Diciembre 5 Diciembre 6 Diciembre 7 Diciembre 8 Diciembre 9 Diciembre 10

Cantidad de comidas no satisfactorias 74 42 64 80 40 50 65 70 40 75 600

Tamaño de la muestra 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 10.000

a) Elabore una gráfica p con base en los resultados del cuestionario y un intervalo de confianza de 95,5%, que implica dos desviaciones estándar. b) ¿Qué puede comentar acerca de los resultados de la encuesta? Solución a) Muestra Diciembre 1 Diciembre 2 Diciembre 3 Diciembre 4 Diciembre 5 Diciembre 6 Diciembre 7 Diciembre 8 Diciembre 9 Diciembre 10

Tamaño de la muestra

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Cantidad de comidas no satisfactorias 74 42 64 80 40 50 65 70 40 75 600

Fracción de defectos 0,074 0,042 0,064 0,080 0,040 0,050 0,065 0,070 0,040 0,075

𝑝̅ =

𝑁𝑇𝐷 600 = = 0,0600 𝑁𝑀 × 𝑛 10 × 1.000

𝑠𝑝 = √

𝑝̅(1 − 𝑝̅ ) 0,0600(1 − 0,0600) =√ = 0,0075 𝑛 1.000

𝐿𝐶𝑆 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝 = 0,0600 + 2(0,0075) = 0,0750 𝐿𝐶𝐼 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝 = 0,0600 − 2(0,0075) = 0,0450

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b) De las 10 muestras, 4 se apartan de los límites de control. Se concluye que el proceso está fuera de control. Es necesario examinarlo para encontrar la causa de una variación tan extensa.

7. En un departamento de una empresa de electrónica se fabrican módulos de circuitos integrados en gran escala. Estos módulos se integran a dispositivos analógicos que después se encapsulan en un material epóxico. El rendimiento no es muy bueno para la manufactura de módulos integrados en gran escala, de modo que el NCA especificado por el departamento es de 0,15, mientras que el PTDL que el departamento de ensamblaje considera aceptable es de 0,40. a) Diseñe un plan de muestreo. b) Explique el significado del plan de muestreo; es decir, ¿cómo diría a alguna persona que realizara la prueba? Solución: a) El plan de muestreo será diseñado de acuerdo a los siguientes parámetros:    

Nivel de calidad aceptable (NCA)= 0,15 Porcentaje de tolerancia de defectos en el lote (PTDL)= 0,40 Riesgo del productor ()= 0,05 Riesgo del consumidor (β)= 0,10

Primero, dividimos PTDL entre NCA (0,40 ÷ 0,15 = 2,67), luego, encontramos la razón en la columna 2 que sea igual o mayor que la cantidad (2,67). Este valor es 2,768 asociado a c = 8. Por último, encontramos el valor en la columna 3 que esté en la misma fila que c = 8 y dividimos a esa cantidad entre NCA para obtener n (4,695 ÷ 0,15 = 31,30  32). El plan de muestreo adecuado es c = 8, n = 32. b) Explique el significado del plan de muestreo; es decir, ¿cómo diría a alguna persona que realizara la prueba? El muestreo de aceptación es un componente principal de control de calidad y es útil cuando el costo de la prueba es alto comparado con el costo de pasar un elemento defectuoso o cuando la prueba destruye la muestra. Es un compromiso entre realizar el 100% de la inspección y no inspeccionar. En particular, en casos en que se desconoce la calidad del proceso de un proveedor, un muestreo de aceptación podría ser una buena opción en lugar de una inspección de 100% de los elementos. El muestreo de aceptación se puede realizar en atributos o mediciones del producto. 8. Los departamentos de policía estatal y local pretenden analizar los índices delictivos con el fin de desplazar patrullas desde las áreas en las que los índices van a la baja hacia aquellas en donde se incrementan. La ciudad y el condado están divididos en áreas con 5.000 residencias. La policía reconoce que no se denuncian todos los delitos e infracciones: la gente no quiere verse involucrada, considera que no vale la pena denunciar las

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infracciones, no se sienten a gusto de ir a la delegación o no se dan el tiempo de hacerlo, entre otras razones. Debido a lo anterior, cada mes, la policía contacta por teléfono a una muestra aleatoria de 1.000 de las 5.000 residencias para obtener información sobre delincuencia (a quienes contestan las llamadas se les garantiza el anonimato). Estos son los datos de un área recopilados durante los últimos 12 meses: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Incidencia delictiva 7 9 7 7 7 9 7 10 8 11 10 8

Tamaño de la muestra 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Índice delictivo 0,007 0,009 0,007 0,007 0,007 0,009 0,007 0,010 0,008 0,011 0,010 0,008

Elabore una gráfica p para una confianza de 95% (1,96) y grafique cada mes. Si los siguientes tres meses muestran que la incidencia de delitos en esa área será:  Enero = 10 (de 1.000 elementos en la muestra)  Febrero = 12 (de 1.000 elementos en la muestra)  Marzo = 11 (de 1.000 elementos en la muestra) ¿Qué puede comentar en cuanto al índice de crímenes? Solución: Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tamaño de la muestra 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Incidencia delictiva 7 9 7 7 7 9 7 10 8 11 10 8 100

Índice delictivo 0,007 0,009 0,007 0,007 0,007 0,009 0,007 0,010 0,008 0,011 0,010 0,008

𝑝̅ =

𝑁𝑇𝐷 100 = = 0,0083 𝑁𝑀 × 𝑛 12 × 1.000

𝑠𝑝 = √

𝑝̅(1 − 𝑝̅ ) 0,0083(1 − 0,0083) =√ = 0,0029 𝑛 1.000

𝐿𝐶𝑆 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝 = 0,0083 + 1,96(0,0029) = 0,0140 𝐿𝐶𝐼 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝 = 0,0083 − 1,96(0,0029) = 0,0027

De las 12 muestras, todas se encuentran dentro de los límites de control. El índice de los próximos meses enero, febrero y marzo son 0,010, 0,012 y 0,011 respectivamente, dichos índices se encuentran en los límites establecidos anteriormente.

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9. Algunos ciudadanos se quejaron con los miembros del ayuntamiento porque en su opinión la ley debería ofrecer una protección equitativa en contra de la delincuencia. Los ciudadanos argumentaron que esta protección equitativa se debe interpretar como la indicación de que las áreas con un índice delictivo alto deben contar con mayor protección por parte de la policía que las áreas con un índice más bajo. Por tanto, se deben dedicar patrullas de policía y métodos de prevención (como alumbrado público o limpieza de áreas y edificios abandonados) en proporción a la ocurrencia de los delitos. De modo similar al anterior problema, la ciudad se dividió en 20 áreas geográficas, cada una de las cuales con 5.000 residencias. Las 1.000 residencias en la muestra de cada área mostraron el siguiente índice delictivo durante el mes anterior: Área 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Cantidad de delitos 14 3 19 18 14 28 10 18 12 3 20 15 12 14 10 30 4 20 6 30

Tamaño de la muestra 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Índice delictivo 0,014 0,003 0,019 0,018 0,014 0,028 0,010 0,018 0,012 0,003 0,020 0,015 0,012 0,014 0,010 0,030 0,004 0,020 0,006 0,030

Sugiera una reubicación de los esfuerzos de protección, si lo considera apropiado, a partir del análisis de la gráfica p. Para que su recomendación sea más certera, seleccione un nivel de confianza de 95% (es decir, Z = 1,96). Solución: Área 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tamaño de la muestra 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Incidencia delictiva 14 3 19 18 14 28 10 18 12 3 20 15 12 14 10 30 4 20 6 30 300

Índice delictivo 0,014 0,003 0,019 0,018 0,014 0,028 0,010 0,018 0,012 0,003 0,020 0,015 0,012 0,014 0,010 0,030 0,004 0,020 0,006 0,030

𝑝̅ =

𝑁𝑇𝐷 300 = = 0,0150 𝑁𝑀 × 𝑛 20 × 1.000

𝑠𝑝 = √

𝑝̅(1 − 𝑝̅ ) 0,0150(1 − 0,0150) =√ = 0,0038 𝑛 1.000

𝐿𝐶𝑆 = 𝑝̅ + 𝑧𝑠𝑝 = 0,0150 + 1,96(0,0038) = 0,0225 𝐿𝐶𝐼 = 𝑝̅ − 𝑧𝑠𝑝 = 0,0150 − 1,96(0,0038) = 0,0075

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0,035

Fraccion de defectos

0,030 0,025

LCS

0,020 0,015

0,010 LCI

0,005

0,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nro de muestras

Del análisis del grafico se tiene que los índices de delincuencia más bajas se presentan en las áreas 2, 10, 17 y 19, en tanto que las áreas más peligrosas son el 6, 16 y 20 cuyos índices superan considerablemente los límites de control, por lo que se recomienda fortaleceré estas últimas.

10. A continuación se dan los valores de barra de 𝑋̅ y valores de R de cinco muestras. Si el límite de control inferior para la gráfica de barra X es 8,34, ¿cuál es el tamaño de la muestra? Muestra 1 2 3 4 5

Barra 𝑋̅ 8,51 8,37 8,42 8,61 8,54

R 0,44 0,58 0,66 0,47 0,60

Solución: Muestra 1 2 3 4 5

Barra 𝑋̅ 8,51 8,37 8,42 8,61 8,54 𝑋̿= 8,49

R 0,44 0,58 0,66 0,47 0,60 𝑅̅ = 0,55

𝐿𝐶𝑆𝑋̅ = 𝑋̿ + 𝐴2 𝑅̅ = 8,49 + 𝐴2 (0,55) 𝐿𝐶𝐼𝑋̅ = 𝑋̿ − 𝐴2 𝑅̅ = 8,49 − 𝐴2 (0,55) = 8,34

→

𝐴2 = 0,27

De tablas, se tiene que el tamaño de cada muestra es n = 12 (número de observaciones de cada subgrupo)