Hamilton Jacobi

Teoría de Hamilton-Jacobi Nicolás Sánchez Marín

1.

Introducción

Las transformaciones canónicas se pueden utilizar para proporcionar un procedimiento general para la resolución de problemas mecánicos, un ejemplo de esto es el mismo Hamiltoniano que se obtiene de una transformación canónica del Lagrangeano. Podemos buscar una transformación canónica de las coordenadas y momentos, (q, p), en un tiempo t, a un nuevo conjunto de cantidades constantes, que pueden ser relacionadas con los 2n valores iniciales, (q0 ,p0 ), en t0 . Con esta transformación, las ecuaciones de transformación que relacionan las viejas con las nuevas variables canónicas son exactamente la solución del problema mecánico: q = q(q0 , p0 , t) p = p(q0 , p0 , t) Se obtienen las coordenadas y los momentos como una función de sus valores iniciales y el tiempo. Este procedimiento es el más general, ya que en principio es aplicable incluso cuando el hamiltoniano posee dependencia temporal. De manera particular, si el hamiltoniano es conservativo, las nuevas variables que nos arroja la transformación canónica son todas ciclicas, y por ello las soluciones de las ecuaciones de movimiento son triviales.

1

2.

Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función principal de Hamilton

Para asegurar que las nuevas variables se mantengan constantes con el tiempo, el hamiltoniano tranformado K deber ser igual a cero, y con ello las ecuaciones de movimiento son ∂K = Q˙ i = 0 ∂Pi ∂K − = P˙i = 0 ∂Qi

(1)

K esta relacionado con el viejo Hamiltoniano,H, por medio de la función generatriz por la ecuación K=H+

∂F ∂t

Como exigimos K = 0 H(q, p, t) +

∂F =0 ∂t

(2)

Es conveniente tomar F en función de las viejas coordenadas qi , los nuevos momentos constantes Pj y el tiempo, así nos entregará de manera mas inmediata la solución de los qi y podremos relacionar de alguna forma las constantes de integración de alguna forma con los Pi Para escribir el hamiltoniano de la ecuación (2) como una función de las mismas variables, se puede hacer uso de las ecuaciones de transformación pi =

∂F ∂qi

Reescribiendo la ecuación (2) H(q1 , ..., qn ;

∂F ∂F ∂F , .., ; t) + =0 ∂q1 ∂qn ∂t

(3)

La ecuación (3) se le denomina ecuación de Hamilton-Jacobi, la solución F de esta ecuación diferencial parcial posee (n + 1) variables, q1 , ..., qn ,t. Denotaremos desde ahora a F como S y la llamarremos función principal de Hamilton. La solución de la ecuación (3) sólo posee dependencia de las coordenadas ”antiguas”(q) y el tiempo, de los nuevos momentos (P ) solo sabemos que 2

son constantes, pero la naturaleza de la solución nos dirá que forma tienen los Pi ’s. Matemáticamente la ecuaciń (3) tiene forma de una ecuación diferencial parcial de primer orden n + 1 variables. Supongamos que existe una solución de esta ecuación con la forma S = S(q1 , ..., qn ; α1 , ..., αn+1 ; t)

(4)

donde (α1 , ..., αn+1 ) son n + 1 constantes de integración independientes. Tales soluciones se conocen como soluciones completas de la ecuacion diferencial parcial de primer orden1 Pero una de estas constantes es irrelevante para la solución, ya que S no participa por si sola en la ecuación (3), sólo lo hacen sus derivadas parciales con respecto a q o t. Por lo tanto, sí S es solución de la ecuación diferencial, S + a también lo será (a una constante cuanquiera). Uno de las n + 1 constantes de integración (αi ) es aditiva, así que podemos considerar esta constante aditiva como parte de S. Esto último no tiene ninguna importancia en la función de generación (o generatriz), ya que sólo participan las derivadas parciales de S en las ecuaciones de transformación. Por esto podemos escribir la solución completa como: S = S(q1 , ..., qn ; α1 , ..., αn ; t)

(5)

donde ninguna de las constantes de integración es aditiva, por lo tanto podemos considerar las n constantes como los n momentos Pi . Pi = αi

(6)

La primera mitad de las ecuaciones de transformación (n ecuaciones) pueden ser escritas como: pi =

∂S (q; α; t) ∂qi

(7)

En el momento t0 existen n ecuaciones que relacionan las n α’s con los valores iniciales de p y q, esto nos permite evaluar las constantes de integración en función de las condiciones iniciales del problema que nos 1 la ecuación (4) no es la única forma que tiene la solución, de manera general en lugar de constantes arbitrarias deberiamos tomar funciones arbitrarias. Y tampoco tiene porque ser única, solo nos interesa que sea una solución completa.

3

encontramos estudiando. La otra mitad de las ecuaciones de transformación, que proporcionan las nuevas coordenadas constantes, aparecen como Qi = βi =

∂S (q; α; t) ∂αi

(8)

Las constantes β’s se puede obtener de manera similar a partir de las condiciones iniciales, simplemente cálculando el valor del lado derecho de la ecuación (8) en t = t0 . Luego despejo y encuentro qj en términos de α, β y t: qi = qi (α; β; t)

(9)

con esto ya tengo mis coordenadas en función de mis condiciones iniciales (de manera implicita). En las Ecuaciones (7), puedo sustituir las ecuanciones (9) y con ello obtengo los momentos pi como funciones de α, β y t. pi = pi (α; β; t)

(10)

Las ecuaciones (9) y (10) constituyen la solución completa que buscabamos de ecuaciones de movimiento de Hamilton. La Funciń principal de Hamilton,S, es por lo tanto el generador de una transformación canónica a las coordenadas y los momentos constantes, cuando obtenemos la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, estamos al mismo tiempo obteniendo una solución para el problema mecánico. Hasta cierto punto, la elección de las αi ’s como los nuevos momentos es arbitraria. De manera mas general podemos elegir una cantidad n de γi ’s, que serán funciones dependientes de la de constantes de integración como los nuevos momentos constantes: Pi = γi = γi (α1 , ..., αn )

(11)

con ello la función principal de Hamilton puede escribirse como una función de qi , γi y t. De manera particular Pi = γi = αi . Para una mayor comprensión del sentido físico de la función principal de Hamilton S estudiaremos su derivada total con respecto al tiempo, dS ∂S dqi ∂S dPi ∂S = + + dt ∂qi dt ∂Pi dt ∂t ya que pi =

∂S ∂qi

dPi =0 dt 4

∂S = −H ∂t

nos queda dS = pi q˙i − H = L dt

(12)

obteniendo, la integral indefinida: Z

S=

Ldt + constante

(13)

Ahora bien, el principio de Hamilton es una declaración acerca de la integral definida de L, de donde se obtiene la solución del problema a través de las ecuaciones de Lagrange. Aquí la misma acción integral, de forma indefinida, proporciona otra forma de resolver el problema. En los cálculos reales, el resultado expresado por la ecuación. (13) es de gran ayuda, ya que no podemos integrar el lagrangeano con respecto al tiempo hasta que se conocen qi y pi como funciones del tiempo, es decir, hasta que el problema está resuelto. Cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, la función principal de Hamilton puede escribirse en la forma2 S(q : α; t) = W (q, α) − at

(14)

donde W (q, a) se llama función característica de Hamilton. El sentido físico de W se puede entender estudiando su derivada total: dW ∂W dqi ∂W dαi = + dt ∂qi dt ∂αi dt la ecuación (7) nos queda pi =

∂S ∂W 1 dW = = ∂qi ∂qi q˙i dt dW = pi q˙i dt

(15)

(16)

integrando Z

W =

Z

pi q˙i dt =

pi dqi

(17)

Y a esto se le conoce como accioón abreviada. 2

cuando estudiemos separación de variables tendremos una visi’on mas amplia de porque la puedo escribir de esta manera.

5

3.

El problema del Oscilador Armónico como ejemplo para el método de Hamilton-Jacobi

3.1.

Oscilador Armónico unidimensional

El hamiltoniano del sistema es 1 H= p2 + m2 ω 2 q 2 ≡ E 2m 



(18)

Donde s

ω= Tenemos que p =

∂S ∂q ,

1 2m

k m

(19)

la ecuación de Hamilton-Jacobi nos queda 

∂S ∂q

2



+ m2 ω 2 q 2 +

∂S =0 ∂t

(20)

ya que el hamiltoniano no posee dependiencia temporal, la función principal posee la forma S = W (q, α) − αt, así la ecuación de HJ queda 1 2m



∂W ∂q

2



+ m2 ω 2 q 2 = α

(21)

Aquí ya se puede apreciar que la constante α es la energía del sistema. Así la función caracteristica es W =

√

Z

2mα

s

mω 2 q 2 2α

(22)

mω 2 q 2 − αt 2α

(23)

dq 1 −

y la función principal es S=

√

Z

2mα

s

dq 1 −

Pero no nos interesa conocer S, solo nos interesan sus derivadas parciales. La solución para q sale de la ecuación (8) β

0

β0

q ∂S ∂ = = dq 2mα − m2 ω 2 q 2 − αt ∂α ∂α r Z m dq q −t = 2 2 2α 1 − mω q Z



2α

6

Para integrar esto haremos el siguiente cambio de variable r

sin θ = ω

r

m q 2α

cos θdθ = ω

m dq 2α

Nos queda la integral 1 ω

Z

1 dθ = arcsin ω ω

r

m q = β0 + t 2α

(24)

despejando q de esta última expresión se obtine q en función del tiempo y las 2 constantes de integración α y β = β 0 ω r

q=

2α sin (β + ωt) mω 2

(25)

que es la solución a la que estamos familiarizados para el oscilador armónico. Para encontrar la solución del impulso utilizamos la ecuación de transformación (7), la cual, usando la ecuación. (22), se puede escribir pi =

q ∂S ∂W = = 2mα − m2 ω 2 q 2 ∂q ∂q

Con la solución encontrada para q, la ecuación(25) se convierte √ pi = 2mα cos(β + ωt)

(26)

(27)

Notar que este resultado cumple con p = mq. ˙ Para completar la historia, las constantes α y β deben relacionarce con las condiciones iniciales q0 y p0 en el tiempo t = 0. Al elevar al cuadrado las ecuaciones (25) y (27)encontraremos la naturaleza de α en términos de q0 y p0 . 2α sin2 β mω 2 = 2mα cos2 β = 2mα(1 − sin2 β)

q02 = p20

uniendo las ecuaciones nos queda 2α sin2 β mω 2   mω 2 q02 = 2mα 1 − 2α

q02 = p20

2mα = p20 + m2 ω 2 q02 7

(28)

Mostrando nuevamente que α es la energía del sistema. La fase constante β esta relaciona con q0 y p0 por q

2

q0 mω sin β q0 2α tan β = = q = mω 1 cos β p0 p0 2mα

(29)

Notemos que cuando q0 = 0, β = 0, esto corresponde a iniciar el movimiento con el oscilador en su posición de equilibrio q = 0. Por lo tanto, la función principal de Hamilton es la generador de una transformación canónica a una nueva coordenada que mide el ángulo de fase de la oscilación y a un nuevo impulso canńico identificado como la energía total. Si la solución para q se sustituye en la ecuación(23), función principal de Hamilton puede escribirse como S =

√

Z

2mα Z

S = 2α

r

mω 2 2α 1− sin2 (β + ωt) 2α mω 2

2α cos(ωt + β)ωdt − αt mω 2

cos2 (ωt + β)dt − αt

Z 

S = 2α

s

cos2 (ωt + β) −

1 dt 2 

(30)

Estudiemos el lagrangiano directamente, tenemos 1 p2 − m2 ω 2 q 2 L = 2m   1 2 2 2 2α 2 2mα cos (β + ωt) − m ω sin (β + ωt) L = 2m mω 2 L = α cos2 (β + ωt) − α sin2 (β + ωt) 



L = 2α[cos2 (β + ωt) − 1/2] por lo que S es la integral de tiempo de la función de Lagrange, de acuerdo con la relación general (13). Note que la identidad no se pudo probar hasta que se haber obtenido la solución del problema.

3.2.

Oscilador Armónico bidimensional anísotropico

Otro ejemplo instructivo es considerar la bidimensional oscilador armónico anísotrópico. Si dejamos que m sea la masa del cuerpo oscilante y kx y 8

ky son las constantes elasticas en las direcciones x e y, respectivamente, el hamiltoniano es 1 p2 + p2y + m2 ωx2 x2 + m2 ωy2 y 2 H=E= 2m x 



Dado que las coordenadas y momentos pueden ser separados en dos grupos distintos, la función principal puede ser escrita como una suma de la función característica de cada variable. S(x, y; αx , αy ; t) = Fx (x, αx ) + Fy (y, αy ) − αt

(31)

donde α = α(αx , αy ) es una constante que las αx y αy de alguna manera. Sea W = Fx + Fy , la ecuación de Hamilton-Jacobi asume la forma 1 2m



∂W ∂x

2



+

∂W ∂y

2



+ m2 ωx2 x2 + m2 ωy2 y 2 = α

(32)

Dado que las variables son separables, la parte y de la ecuación. (32) debe ser igual a una constante, lo que llamamos αy , por lo 1 2m



∂W ∂y

2

+

m2 ωy2 y 2



= αy

(33)

sí sustituimos el (33) en (32) tenemos 1 2m



∂W 2 + m2 ωx2 x2 + 2mαy = α ∂x    ∂W 2 1 2 2 2 + m ωx x = α − αy = αx 2m ∂x 



(34)

Lo que muestra la simetría de las ecuaciones (33) y (34). Estas ecuaciones tienen una solución análoga a las ecuaciones. (25) y (27), de modo que s

s

2αx x= sin (βx + ωx t) mωx2 √ px = 2mαx cos(βx + ωx t)

y= py =

q

2αy sin (βy + ωy t) mωy2

2mαy cos(βy + ωy t)

(35)

donde los βi ’s son constantes de fase y la energía total está dada por E = α = αx + αy

9

3.3.

Oscilador armónico bidimensional isotrópico

Como un tercer ejemplo ilustrativo de la teoría de Hamilton-Jacobi, dconsideraremos de nuevo el oscilador armónico bidimensional pero de manera isotrópica, asi que k = kx = ky y ω = ωx = ωy . Y usilizaremos coordenadas polares para escribir el hamiltoniano q

x2 + y 2 y θ = arctan x py = my˙ pθ = mr2 θ˙

x = r cos θ

r=

y = r sin θ px = mx˙ pr = mr˙

(36)

Entonces p2x = m2 x˙ 2 = m2 (r˙ cos θ − rθ˙ sin θ)2 = m2 (r˙ 2 cos2 θ + r2 θ˙2 sin2 θ − 2rr˙ θ˙ cos θ sin θ) p2y = m2 y˙ 2 = m2 (r˙ sin θ + rθ˙ cos θ)2 = m2 (r˙ 2 sin2 θ + r2 θ˙2 cos2 θ + 2rr˙ θ˙ cos θ sin θ) por lo tanto p2x + p2y = m2 r˙ 2 + m2 r2 θ˙2 = p2r +

p2θ r2

El hamiltoniano ahora escribe como p2 1 p2r + 2θ + m2 ω 2 r2 E= 2m r 



(37)

donde tenemos una coordenada ciclica que es θ. La función de principal puede escribise de la forma S(r, θ, αr , αθ ) = Wr (r, α) + Wθ (θ, αθ ) − αt S(r, θ, αr , αθ ) = Wr (r, α) + θαθ − αt

(38)

donde, como veremos más adelante, una coordenada cíclica qi siempre tiene una función característica de la forma Wqi = qi αi . El momento canónico pθ asociado con la coordenada cíclica, θ, se calcula desde la función generatriz. pθ =

∂Wθ = αθ ∂θ

tiene un valor constante, como se esperaba.

10

Cuando este pθ es sustituido en las ecuaciones (39) y (38), Wr (r, α) satisface la ecuación de HJ: 1 ∂Wr 2 αθ2 1 + + mω 2 r2 = α (39) 2 2m ∂r 2mr 2 Para encontrar Wr debemos hacer el siguiente cambio de variable para poder resolver la integral 

U=q



mω 2



α2 − αθ2 ω 2

α2 r − θ 2mα 2



+

αθ2 ω 2 − 2α2 p 4α2 mω 2 /qα

Pero en lugar de resolver esta ecuación directamente, vamos a escribir la solución de coordenadas cartesianas para estas condiciones r

r

2α x= sin (β + ωt) 2 mω √ px = 2mα cos(β + ωt)

2α sin (ωt) 2 mω √ py = 2mα cos(ωt) y=

la fase total la estamos expresando solo en x ya que nos interesa solo su diferencia de fase, no sus fases ”absolutas”. y desde estos obtenemos la solución en polares, r =

q

x2

+

y2

2α 2α = sin2 (β + ωt) + sin2 (ωt) 2 mω mω 2 

1

2

r

2α q 2 sin (β + ωt) + sin2 (ωt) mω 2  sin(ωt) θ = arctan sin(β + ωt) r =

(40)

Tenemos dos casos límite. 1. El caso lineal cuando β = 0, para el cual r

r =

4α sin(ωt) mω 2

pr = mr˙ =

√

2mα cos(ωt)

(41)

π pθ = mr2 θ˙ = 0 4 Donde el movimiento en el plano xy es diagonal. θ =

2. El otro caso extremo es aquel donde β = r

r = r0 =

2α mω 2

asi que3

pr = mr˙ = 0 pθ = mr02 ω˙

θ = ωt 3

π 2

sin(ωt + π/2) = sin ωt cos π/2 + sin π/2 cos ωt = cos ωt

11

(42)

El movimiento en un gráfico xy para este caso límite es un círculo de radio r0 . Para otros valores de β (0 < β < π/2), la órbita en el espacio de coordenadas es una elipse.

Figura 1: Esfera Celeste

4.

Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función característica de Hamilton

Fue posible integrar la ecuación de Hamilton-Jacobi para el oscilador armónico simple principalmente porque S se puede separar en dos partes, una que implica solo q y la otra solo el tiempo. Esta separación de variables mediante la función característica de Hamilton W (q, a) (Ec.(14)) siempre es posible mientras que el viejo hamiltoniano no tenga dependencia temporal explícita. Esto nos da la ecuación de Hamilton-Jacobi restringida ∂S ∂S )+ =0 ∂q ∂t ∂W H(q, ) = α1 ∂q

H(q;

(43)

Una de las constantes de integración, llamemosla α1 , es por lo tanto igual al valor constante de H. (H Normalmente será la energía, pero esto no tiene que ser siempre asi). LLa función característica de W Hamilton independiente del tiempo, aparece aquí como una parte de la función generatriz de S cuando H es constante. También puede demostrarse que W genera por separado su propia 12

transformación conónica con propiedades muy diferentes de las generadas por S. Para ello consideremos una transformación canónica en que los nuevos momentos son todos constantes del movimiento αi , y donde en particular α1 , es la constante de movimiento de H. si denotamos la función generatriz para esta transformación W (q, p), entonces las ecuaciones de transformación son pi = Qi =

∂W ∂qi ∂W ∂W = ∂Pi ∂αi

(44)

Mientras que estas ecuaciones se asemejan a las Ecs. (7) y (8), respectivamente para la función principal de Hamilton,S. La situación ahora para determinar la naturaleza de W es que H es el nuevo momento canónico α1 H(qi , pi ) = α1 Usando las ecuaciones (44), este requisito se convierte en la ecuación diferencial parcial: H(q,

∂W ) = α1 ∂q

que se idéntica a la ecuación (43). Dado que W no depende del tiempo, el nuevo y el viejo hamiltoniano son iguales, se deduce que K = H = α1 W es la función característica de Hamilton por lo tanto genera una transformación canónica donde todas las nuevas coordenadas son cíclicas. Se ha señalado en la introducción de este capítulo que cuando H es una constante del movimiento, una transformación de esta naturaleza resuelve el problema mecánico relacionado, y la integración de las nuevas ecuaciones de movimiento es entonces trivial. Las ecuaciones canónicas para Pi , de hecho, es simplemente repetir la afirmación de que el conjugado de una coordenada cíclica es una constante de movimiento: ∂K P˙i = − =0 ∂Qi

Pi = α1

(45)

Ya que el nuevo hamiltoniano, K,depende sólo uno de los momentos αi , las ecuaciones de movimiento para Q˙ i son ∂K Q˙ 1 = − =1 ∂α1

∂K Q˙ i = − =0 ∂αi 13

con las soluciones inmediatas Q1 = t − β 1 ≡

∂W ∂α1

Qi = βi ≡

∂W ∂αi

(46)

La única coordenada que no es simplemente una constante de movimiento es Q1 , que es igual al tiempo de más una constante. Aquí tenemos otro ejemplo de la relación conjugada entre el tiempo como una coordenada y el hamiltoniano como su momento conjugado. La dependencia de W en las viejas coordenadas qi está determinada por la ecuación diferencial parcial (43), que al igual que la ecuación (3) tambien se conoce como la ecuación de Hamilton-Jacobi. Ahora habrán n constantes de integración en la solución completa, pero una vez más una de ellas debe ser simplemente una constante aditiva. Los n − 1 constantes independientes que quedan, α2 , ..., αn , junto con α1 se pueden tomar como los nuevos momentos canónicos constantes. Si evaluamos en la primera mitad de las ecuaciones (44) podemos relacionar las n constantes αi con los valores iniciales de qi y Pi . Por último las ecuaciones (45) y (46) se pueden resolver y encontrar qi como una función de αi , βi y el tiempo t, encontrando así la solución del problema. Notemos que en las n − 1 Ecs. (46) que no implican el tiempo, podemos elegir uno de los qi ’s como una variable independiente, y el resto de coordenadas se podrá expresar en términos de la misma mediante la resolución de sólo estas ecuaciones independientes del tiempo. No siempre es necesario tener α1 y las constantes de integración de W como los nuevos momentos canónicos constantes. De vez en cuando es conveniente en lugar de utilizar un conjunto determinado de n funciones dependientes de los αi ’s como los momentos transformados4 . Designaremos estas constantes como γi , y la función característica W se puedrá expresar en términos de qi y γi como las variables independientes. El hamiltoniano en general, depende de más de uno de estos γi ’s y las ecuaciones de movimiento para Q˙ i ∂K Q˙ i = = vi (γi ) ∂γi donde los vi ’s son funciones de γi . En este caso, todas las nuevas coordenadas son funciones lineales de tiempo: Qi = vi (γi )t − βi 4

De manera analoga a lo que se hizo en la sección 2.

14

(47)

La forma que tiene W no se puede determinar, a priori, sin que integrar completa la ecuación de Hamilton-Jacobi. Los procedimientos involucrados en la solución de un problema mecánico por la función principal o la función característica de Hamilton pueden resumirse de la siguiente forma: 1. Estos métodos de soluci’on son aplicables cuando el hamiltoniano

H(q, p, t)

H(q, p)

2. Buscamos tranformaciones canonicas a las variables. Todas las coordenadas y momentos Qi y Pi son constantes de movimiento.

Todos los momentos Pi son constantes.

3. Para que se cumpla lo antior es sufieciente que:

K=0

Deben ser ciclicas todas las coordenadas K = H = α1

4. Con estas condiciones, las ecuaciones de movimiento quedan: Q˙ i =

∂K ∂Pi

Q˙ i =

=0

∂K =0 P˙i = − ∂Q i

∂K ∂Pi

= vi

∂K =0 P˙i = − ∂Q i

5. Con las soluciones: Qi = βi

Qi = vi t + βi

Pi = γi

Pi = γi

que deben cumplir lo siguiente, 6. La función generación debe generar el hamiltoniano que queremos: Función principal S(q, P, t)

15

Función caracteristica W (q, P )

7. Que satisfacen la ecuación de Hamilton-Jacobi H(q, ∂S ∂q , t) +

∂S ∂t

=0

H(q, ∂W ∂q ) − α1 = 0

8. Una solución completa a estas ecuaciones contiene: n − 1 constantes de integración no triviales, que con α1 son un conjunto de n constantes independientes.

n constantes de integración no triviales alpha’s

9. Los nuevos momentos constantes se pueden elegir como cualquiera de la n funciones de la n constantes de integración

Pi = γi (α1 , ..., αn )

Pi = γi (α1 , ..., αn )

10. La solución completa de la ecuación HJ puede considerarse como función de los nuevos momentos: S = S(qi , γi , t)

W = W (qi , γi )

En particular las γi ’s pueden ser iguales a αi 11. La mitad de las ecuacionesde transformación pi =

∂S ∂qi

pi =

∂W ∂qi

12. la otra mitad de las ecuaciones Qi =

∂S ∂γi

= βi

Qi =

∂W ∂γi

= vi t + βi

Pueden ser resueltos para qi en terminos de t y las 2n constantes βi y γi 16

La solución al problema se completa entonces mediante la evaluación de estas 2nconstantes en términos de los valores iniciales q0i y p0i . Cuando el hamiltoniano no depende del tiempo explícitamente, ambos métodos son adecuados, y las funciones generadoras se relacionan entre sí de acuerdo con la fórmula S(q, P, t) = W (q, P ) − α1 t

5.

Separación de variables en la ecuación de HamiltonJacobi

Podría parecer de la sección anterior que poca ventaja práctica se ha adquirido a través al utilizar el procedimiento de Hamilton-Jacobi. Pero en la práctica, la técnica de Hamilton-Jacobi se convierte en una herramienta computacional útil sí podieramos separar todas las variables. Una coordenada qj "se dice que es separable en la ecuación de HamiltonJacobi cuando (digamos) la función principal de Hamilton se puede separar en dos partes aditivas, una de las cuales depende sólo de la coordenada qj y el otro es totalmente independiente de qj . Por lo tanto, si q1 se toma como una coordenada separables, entonces ela función principal debe ser S(q1 , ..., qn ; α1 , ..., αn ; t) = S1 (q1 ; α1 , ..., αn ; t) + + S 0 (q2 , ..., qn ; α1 , ..., αn ; t)

(48)

y la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede dividir en dos ecuaciones, una para S1 y la otra para S 0 . Similarmente diremos que la ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable (o simplemente, separable) si todas las coordenadas en el problema son separables. Una solución para la función principal de Hamilton es S=

X

Si (qi ; α1 , ..., αn ; t)

(49)

y tendremos n ecuaciones de HJ de la forma Hi (qj ;

∂Sj ∂Sj α1 , ..., αn ; t) + =0 ∂qj ∂t

(50)

Si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, cada Si es de la forma Si (qj ; α1 , ..., αn ; t) = Wi (qj ; α1 , ..., αn ) − αi t 17

(51)

que entregan n ecuaciones restringidas de Hamilton-Jacobi, Hi (qi ;

∂Wi ; α1 , ..., αn ) = α1 ∂qj

(52)

(No hay sumatoria de las Ecs. (50) a (52)) Las funciones de Hi en las ecuaciones (50) y (52) pueden o no ser hamiltonianos, y αi puede ser una energía, un momento angular al cuadrado, o alguna otra cantidad dependiendo de la naturaleza de qi . Vamos a demostrar esto con el ejemplo en el problema de Kepler en la siguiente sección. Las constantes αi se conocen ahora como las constantes de separación. Cada una de las ecuaciones (52) implica sólo una de las coordenadas qi y la derivada parcial correspondiente de Wi con respecto a qi . Por lo tanto, son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de una forma particularmente simple. Dado que las ecuaciones son sólo de primer orden, siempre es posible reducir a cuadraturas, sólo tenemos que resolver la derivada parcial de Wi con respecto a qi y luego integrar sobre qi . En la práctica, cada Hi sólo contiene uno o como mucho un par de α’s. Tambián existen casos en los que solo se tienen r varialbes separables, quedando n − r variables no separables. Sin embargo, casi todas las aplicaciones útiles del método de HamiltonJacobi implican hamiltonianos no dependientes explícitamente del tiempo, por lo que t es una variable separable.

6.

coordenadas ignorables y el problema de Kepler

Podemos demostrar fácilmente que cualquier coordenada cíclica o ignorable es separable. Supongamos que la coordenada cíclica es q1 , el momento conjugado P1 es una constante, digamos γ. La ecuación de Hamilton-Jacobi para W es luego H(q2 , ..., qn ; γ;

∂W ∂W , ..., ) = α1 ∂q2 ∂qn

(53)

Si intentamos una solución separada de la forma W = W1 (q1 , α) + W 0 (q2 , ..., qn ; α)

(54)

entonces es obvio que la ecuación (53) implica únicamente la función separada W 0 , mientras que W1 es la solución de la ecuación p1 = γ =

∂W1 ∂q1

18

(55)

Por lo tanto γ es la constante de separación,α1 , y la solución obvia para W1 (sin considerar la constante aditiva) es W1 = γq1 y W está dado por W = W 0 + γq1

(56)

Existe una semejanza evidente entre la ecuación (56) y la forma que adopta S cuando H no es una función explícita del tiempo, Eq. (43). En efecto, ambas ecuaciones pueden ser consideradas como el resultado en circunstancias similares. Hemos visto que t puede considerarse en cierto sentido como una coordenada generalizada con H como su momento canónico. Si H se conserva, entonces t se puede tratar como una coordenada cíclica. Si de las n coordenadas, m no son cíclicos (es decir, que aparecen de manera explícita en el hamiltoniano), entonces el hamiltoniano es de la forma H(q1 , ..., qm ; α1 , ..., αn ; t). La función característica entonces se puede escribir como W (q1 , ..., qm ; α1 , ..., αn ) =

m X

Wi (qi ; α1 , ..., αn ) +

i=1

n X

αi qi

i=m+1

y tenemos m ecuaciones de Hamilton-Jacobi por resolver: H(q1 ,

∂W1 ; α2 , ..., αn ) = α1 ∂q1

(57)

Como se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para la variable independiente q1 , se puede reducir de a cuadraturas y es facil obtener las soluciones completas de W . En general, una coordenada qj puede separarse si el qj y su momento conjugado pj se pueden “separar” en el hamiltoniano en alguna función f (qj , pj ) que no contenga ninguna de las otras variables. Si probamos con una solución de la forma W = Wj (qj , α) + W 0 (qi , α) donde qi representa el conjunto de todos q’s menos a qj , entonces la ecuación de Hamilton-Jacobi aparece como H(qi ,

∂W 0 ∂Wj ; f (qj , )) = α1 ∂qi ∂qj 19

(58)

En principio la ecuación anterior podrá invertirse poder encontrar f : f (qj ,

∂Wj ∂W 0 ) = g(qi , , α1 ) ∂qj ∂qi

(59)

Notemos que f solo depende de qj , g en cambio es independiente de qj . Por lo tanto, la ecuación (59) es cierta sólo si ambos lados son iguales a la misma constante, independiente de todos q: ∂Wj ) = αj ∂qj ∂W 0 g(qi , ) = αj ∂qi

f (qj ,

(60)

y la separación de la variable se ha logrado. Tenga en cuenta que la separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi depende no sólo en el problema físico, sino que también en la elección del sistema de coordenadas generalizadas que se emplea. Por ejemplo, el problema de fuerza central de un cuerpo es separable en coordenadas polares, pero no en coordenadas cartesianas. Para algunos problemas, no es posible separar completamente la ecuación de Hamilton-Jacobi, el famoso problema tres cuerpos es un ejemplo de ello. Por otra parte, en muchos de los problemas básicos de mecánica y física atómica la separación es posible en más de un conjunto de coordenadas. En general, es factible resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi en forma cerrada sólo cuando las variables son totalmente separables. Por lo tanto, el ingenio juega un papel importante a la hora de resolver un problema. Un criterio simple se puede dar para indicar que los sistemas de coordenadas llevan a ecuaciones de Hamilton-Jacobi separables para cualquier problema particular. En el caso de sistemas de coordenadas ortogonales, las condiciones de Staeckel han demostrado ser útiles. Estos proporcionan condiciones necesarias y suficientes para la separabilidad en determinadas circunstancias.

6.1.

Condiciones de Staeckel para la separación de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

1. El hamiltoniano es conservativo. 2. El lagrangeano no es mas que una funcion cuadratica de las velocidades generalizadas, por lo que el hamiltoniano tiene la forma: 1 e)T −1 (~ H = (~pe − ~a p − ~a) + V (q) 2 20

donde, p~ = T ~q˙ + ~a, son matrices columna, T es una matriz cuadrada que representa el factor de la energía cinetica. 3. Los elementos ai del vector ~a dependes solo de su coordenada correspondiente ai = ai (qi ) 4. El potencial como una sumatoria de la forma V (q) =

X Vi (qi )

Tii

(61)

5. Considere una matriz φ−1 , con inverso φ donde sus elementos son δij φ−1 =

1 Tii

(62)

Donde 

∂Wi − ai = 2δik φkj γj ∂qi 

Con γ un vector constante desconocido. Si los elementos de la diagonal de φ y φ−1 dependen sólo de la coordenada asociada, es decir, φii y φ−1 ii son constantes o funciones de qi ,podemos asegurar que las condiciones1-4 se cumplen, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi es separable. Como hemos supuesto que las coordenadas generalizadas qi forman un sistema de coordenadas ortogonales, la matriz de T es diagonal. Entonces la matriz inversa T −1 , también es diagonal, y si se trata de una partícula en un campo de fuerzas externas, los elementos de la diagonal son los siguientes: φ−1 ii =

1 1 = Tii m

(63)

por lo que se cumple la quinta condición de Stackel. Si se cumplen las condiciones de Staeckel, entonces la función característica de Hamilton es completamente separable: W (q) =

X

Wi (qi )

donde las ecuaciones Wi satisfacen 

∂Wi − ai ∂qi

2

= −2Vi (qi ) + 2φij γj 21

(64)

donde γj son constantes de integración (sólo existe suma sobre el índice j). Si bien estas condiciones parecen misteriosas y complicadas, su aplicación suele ser bastante simple. Como una ilustración de algunas de las ideas desarrolladas aquí acerca de separabilidad, discutiremos la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula que se mueve en una fuerza central en coordenadas polares. El problema será generalizado a las leyes potenciales arbitrarias, para proporcionar una aplicación de las condiciones de Staeckel.

6.2. 6.2.1.

Fuerzas centrales separabilidad de las variables en coordenadas polares

Consideremos en primer lugar el problema de la fuerza central en términos de las coordenadas polares (r, Ψ) en el plano de la órbita. El movimiento se involucra sólo dos grados de libertad y el hamiltoniano tiene la forma 

H=

Pr2 P2 + Ψ2 2m 2mr



+ V (r)

(65)

Ψ es una coordenada cíclica, consecuentemente, la función característica de Hamilton es W = W1 (r) + αΨ Ψ

(66)

donde αΨ es el momento angular conjugado constante de Ψ. La ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en 

∂W1 ∂r

2

+

2 αΨ + 2mV (r) = 2mα1 r2

(67)

donde α1 es la constante identificada como la energía total del sistema. Resolviendo la ecuación (66) para la derivada parcial de W1 obtenemos ∂W α2 = 2mα1 − Ψ − 2mV (r) ∂r r2 

1 2

entonces W es Z

W =



dr 2m(α1 − V ) −

22

2 αΨ r2

1 2

+ αΨ Ψ

(68)

Con esta forma de la función caracterśtica, las ecuaciones de transformación (46) nos quedan Q1 = t + β 1 = Q2 = QΨ

∂W = ∂α1

∂W = = βΨ = ∂αΨ

mdr

Z

1

2 /r 2 ) 2 (2m(α1 − V ) − αΨ αΨ dr

Z

1

2 /r 2 ) 2 r2 (2m(α1 − V ) − αΨ

+ Ψ (69)

La primera ecuación de (69) nos entrega a r como una función del t La segunda Ecucación de (69) nos proporcionar la ecuación de la órbita. Si la variable de integración de esta última se cambia a u = 1/r, la ecuación se reduce a Ψ = βΨ −

6.2.2.

Z 2m (α1 α2Ψ

du −V)−u

separabilidad de las variables en coordenadas esféricas

Como un ejemplo adicional de separación de variables, vamos a examinar el mismo problema la fuerza central, pero en coordenadas polares esféricas, es decir, olvidando nuestro conocimiento a priori de que las órbitas están en un plano. El hamiltoniano apropiado es: H=

 p2φ  p2 1 p2r + 2θ + 2 2 + V (r) 2m r r sin θ

(70)

Si las variables de esta ecuación de Hamilton-Jacobi son separables, la función característica de Hamilton debe tener la forma W = Wr (r) + Wθ (θ) + Wφ (φ)

(71)

como φ es cíclica, entonces Wφ (φ) = αφ φ

(72)

αφ es una constante de integración. En terminos de W , la ecuación de Hamilton-Jacobi nos queda 

∂Wr ∂r

2

+

1 r2



∂Wθ ∂θ

2

+

αφ2  + 2mV (r) = 2mE sin2 θ

(73)

donde explicitamos directamente la constante de Hamilton con la energía total E. Notemos que todas las funciones cuya dependencia es de θ, y la 23

variableθ por sí sola, se han escrito en la expresión dentro de los corchetes. Asi que en este caso la ecuación de Hamilton-Jacobi, se ajusta a la expresión (58), y por los argumentos entregados allí esta cantidad debe ser una constante: 

∂Wθ ∂θ

2

+

αφ2 = αθ2 sin2 θ

(74)

Finalmente, la dependencia de W en r está dada por el resto de la ecuación de Hamilton-Jacobi: 

∂Wr ∂r

2

+

αθ2 = 2m(E − V ) r2

(75)

Las variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi son por lo tanto completamente separables. Las ecuaciones (74) y (75) pueden reducirse fácilmente a cuadraturas que proporcionan al menos una solución para Wθ y Wr , respectivamente. Notar que las constantes de integración α1 , αθ , αφ tienen significados físicos directamente reconocibles. La cantidad αφ es el valor constante del momento angular alrededor del eje polar (Ec. (44).): αφ = pφ =

∂Wφ ∂φ

(76)

Para identificar αθ utilizamos la ecuación (44) para volver a escribir la ecuación (74) como p2θ +

p2φ = αθ2 sin2 θ

asi que el hamiltoniano (70) queda como 1 α2 p2r + 2θ 2m r 

H=



+ V (r)

Si lo comparamos con la ecuación (65) que es el hamiltoniano en coordenadas polares en el plano de la órbita, se ve que αθ es igual αφ , la magnitud total del momento angular: αθ = p Ψ ≡ l

(77)

y por supuesto alpha1 es E. De hecho, las tres ecuaciones diferenciales para las partes de W pueden ser vistos como ejemplos del teorema de 24

conservación. La ecuación (75) dice que el componente z del vector de mo~ se conserva, mientras que la ecuación (74) establece la mento angular, L, conservación de la magnitud, l, del momento angular. tambien la Ec. (75) nos muestra la connservación de la enegía. En este sencillo ejemplo, se muestra el potencial y la elegancia del método de Hamilton-Jacobi. Pocos pasos son suficientes para obtener la dependencia de r en t y la ecuación de la órbita, ecuaciones (69). Las cantidades que se conservan del problema de fuerza central aparecen automáticamente. La separación de variables para el problema de la fuerza central también ocurre en otros sistemas de coordenadas, por ejemplo, coordenadas parabólicas, y las cantidades conservadas aparecen allí en formas apropiadas para esas coordenadas en particular. Finalmente, podemos emplear las condiciones de Staeckel para encontrar la forma más general de un potencial escalar V para una sola partícula para el que la ecuación de Hamilton-Jacobi sea separable en coordenadas polares esféricas. La matriz φ de las condiciones de Staeckel depende sólo del sistema de coordenadas y no del potencial. Puesto que la ecuación de HamiltonJacobi es separable en coordenadas esféricas para al menos un potencial, es decir, el potencial de fuerza central,la matriz φ existe. La forma específica de φ no es necesaria para responder a nuestra pregunta. Además, puesto que por hipótesis ~a es cero, lo único que debemos hacer es aplicar la ecuación (62) para encontrar la forma separable más general de V . A partir de la energía cinética, los elementos de la diagonal de T son Trr = m,

Tθθ = mr2 ,

Tφφ = mr2 sin2 θ

Desde la Eq.(62) se deduce que el potencial deseado debe tener la forma V (q) = Vr (r) +

Vφ (φ) Vθ (θ) + 2 2 2 r r sin θ

(78)

Es fácil de verificar directamente que con este potencial de la ecuación de Hamilton-Jacobi es todavía completamente separable en coordenadas esféricas.

25