Hibeler Cinematica
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SOLUCIONARIO -HibbeleR-MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROSSOLVED PROBLEMS -MOVIMIENTO CONTINUO PROBS 12-1 TO 12-35 Article · November 2018 CITATIONS
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1 author: Alvaro H. Salas National University of Colombia 330 PUBLICATIONS 937 CITATIONS SEE PROFILE
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le o N
T E N I
o
01
Dinámica
13.5
12 'T Cinemática de un a partícula U.I 12.2
12.3 12A 12.5
12.6 12.7
12.8 12.9 12.10
3
Objetivos del capítulo 3 Introducción 3 Cinemática rectilinea: Movimiento continuo 5 Cinemática rectilínea: Movimiento errático 18 Movimiento curvilíneo general 31 Movimiento curvilfneo: Componentes rectangulares 33 Movimiento de un proyectil 38 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial 49 Movimiento curvilineo: Componen les cilíndricas 62 Análisis del movimiento absoluto depen. diente de dos partículas 77 Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación 83
13.6
* 13.7
14 Cinéti ca de una partícula: Trabajo y energía 159 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
14.6
-
13.4
Objetivos del capítulo 97 Leyes del movimiento de Newlon 97 La ecuación de movimiento 101 Ecuación de movimiento para un sistema de partículas 104 Ecuaciones de movimiento: Coordenadas rectangulares 106
Objetivo!> del capítulo 159 El trabajo de una fuerza 159 Principio del trabajo y la energfa 164 Principio del trabajo y la energía para un sistema de partrculass 166 Potencia)' eficiencia 182 Fuerzas conservativas y energía potencial 190 Conservación de la energía 194
15
Cinética de una panícula: Fuerza y aceleración 97 13.1 13.2 13.3
Ecuaciones de movimiento: Coordenadas normal y tangencial 123 Ecuaciones de movimiento: Coordenadas cilíndricas 135 Movimiento bajo ruet7.a central )' mecánica del espado 146
T
Cinética de una partícula: Impulso y momentum 207 15.1 15.2
Objetivos del capítulo 207 Principio del impulso )' momcntum lineal 207 Principio del impulso y rnomentum lineal para un siSlcma de partículas 214
xiii
'-
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xiv 15.3 15.' 15.5 15.6 15.7
* 15.8 * 15.9
CONTENIDO
Conservación del momentum lineal para un sistema de partfculas 222 Impacto 233 Momenlum angular 246 Relación entre el momento de una fuerza y el momenlum angular 247 Principios del impulso angular y del momcnlUm angular 250 Corrientes de fluido estacionarias 260 Propulsión con masa variable 265
17.2 17.3 17.4 17.5
Ecuaciones cinéticas de movi mienlo plano 391 Ecuaciones de movimienlo: Traslación 394 Ecuaciones de movimiento: Rotación con respeclo a un eje fijo 406 Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general 422
Repaso 1: Cincmática y cinética' de una partícula 278
18 Cinética plana de un cuerpo rígido: Trabajo y energía 437 Cincmática plana de un cuerpo rígido 16.1 16.2 16.3
16.4 16.5
16.6 16.7 16.8
293
Objetivos del capítulo 293 Movimiento de un cuerpo rígido 293 Traslación 295 Rotación con respecto a un eje fijo 296 Análisis del movimiento absoluto 311 Análisis de mOvimiento relativo: Velocidad 319 Centro instantáneo de velocidad cero 333 Análisis de movim iento relativo: Aceleración 343 Aná lisis de movimiento relativo usando ejes en rotación 358
18.1 18.2
IR.3 18.4 18.5
Objetivos del capítulo 437 Energía cinética 437 El trabujo de una fucria 441 El trabajo de un par 443 Principio dellrabajo y la energía 445 Conservación de la energía 459
19 Cinética plana de un cuerpo rígido: Impulso y morncntum
Cinética plana de un cuerpo rígido: Fuerza y aceleración 17.1
Objetivos del capítulo 377 Momento de inercia 377
19.1
377
19.2 19.3
19.4
Objetivos del capítulo 471 Momentum lineal y momentum angular 471 Principio del impulso y momcntum lineal 477 Conservación del momentum 492 Impacto excé nt rico 496
471
,
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C ON T f N IDO
•
xv
Repaso 2: Cinemática y cinética planas de un cuerpo rígido 506
Vibraciones * 22.1 ... 22.2 . 22.3
20
l:~-
* 22.4
Cinemática tridimensional de un cuerpo rígido 523 20.1 * 20.2
-
20.3 * 20.4
Objetivos del capítulo 523 Rotación con respecto a un pun to fijo 523 La derivada CO D respeclo al tiempo de un vector medido desde un sistema fijo o rOlalorio en traslación 526 Movimiento general 531 Análisis de movimiento rela tivo usando ejes en tr~slaci6n yen rotación 540
. 22.5 . 22.6
Objetivos del capítulo 605 Vibración libre sin amortiguam iento 605 Métodos de energía 618 Vibración forzada sin amortiguamien to 624 Vibración libre con amortiguamiento viscoso 628 Vibración forzada con amortiguamiento viscoso 631 Analogfas con el circuito eléctrico 634
Apéndices A. 8.
C. D.
¡
605
Expresiones matemáticas 640 Análisis numérico y por computadora 642 Análisi.l! de vectores 651 Repaso de los fundamenlOS para un examen de ingeniería 655 Respuestas a problemas seleccionados
I
1
índice
21 Cinética tridimensional de un cuerpo rígido 553
'* 21.1 * 21.2 * 21.3 ...21.4 . 21.5 . 21.6
Objetivos del capítulo 553 Momenlos y productos de inercia Momentum angular 563 Energfa cinética 566 Ecuaciones de movi miento 574 Movimiento giroscópico 588 Movimiento libre de par 594
553
68\
67!
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-
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CAPiTULO
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OBJETIVOS DEL CAPiTULO
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12.1 Introducción La mecá"ica es una rama de la física q ue se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. la mecánica de cuerpos rfgidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La esrárictl tiene que ver con el equilibrio de un cuerpo que permanece en rcposo o que se mueve con velocidad constante. El tratamiento previo estuvo relacionado con la dinámica que se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. Aquí el tema de la dinámica será pre· sentado en dos partes: la cinemática, que trata sólo con los aspectos geométricos del movimiento, y la cinética. la cual analiza las fu erL3s que causan el movimiento. Para desarro· llar esos principios.. primero será analizada la dinámica de una partfcula. seguida por lemas de dinámica del cuerpo rígido en dos y luego en tres dimellsiones.
3
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4
• CApiTULO 12 Cinemática de una partitula
Históricamente. los principios de la dinámica se desarrollaron cuando fue posible efectuar mediciones exactas del tiempo. Galileo Galilei (1564·lfH2) fue uno de los principales pioneros en contribuir a este cam· po. Su trabajo consistió en experimentos usando péndulos y cuerpos en caída libre. Sin embargo. las contribuciones más importantes en dinámica fueron hechas por Isaac Newton (1642-1727), quien es famoso por su formulaciÓn de las lres leyes del movimiento y la ley de la atracción gravitatoria universal. Poco después que esas leyes fueron postuladas. Euler, O'Alemben. Lagrange y otros desarrollaron importantes procedimientos para su aplicación. Hay muchos problemas en ingeniería cuyas soluciones requieren aplicar los principios de la dinámica. Trpicamente. el diseño estructural de cualquier vehículo. como un automóvil o un aeroplano, requiere la conside.ración del movimiento aJ que está sometido. Esto también es cierto para muchos dispositivos mecánicos, como motores. bombas. herramientas móviles. operadores industriales y maquinaria. Además. las predicciones de los movimientos de satélites artificiales. proyectiles y vehícu· los espaciales están basadas en la teoría de la dinámica. Con mayores avances en la tecnología . habrá una necesidad aún más grande de aprender a aplicar los principios de este tema. Resolución de problemas. La dinámica es considerada más compleja que la estática ya que tanto las fuerzas aplicadas a un cuerpo como su movimiento deben ser tomados en cuenta. Además. muchas aplicaciones requieren el uso del cálculo.en vez de sólo álgebra y trigonometría. En todo caso. la manera más erectiva de aprender los principios de dinámica es resolvimdo problemas. Para tener éxito en eslO es necesario presentar el trabajo de manera lógica y ordenada. como lo sugiere la siguiente secuencia de pasos: L Lea el problema cuidadosamente y trate de correlacionar la situación física real con la teoría estudiada. 2. Trace todos los diagramas necesarios y tabule los datos del problema. 3. Establezca un sistema coordenado y aplique los principios pertinentes. generalmente en forma matemática. 4. Resuelva algebraicamente las ecuaciones necesarias en tanto sea práctico; luego use un conjunto consistente de unidades y complete la solución en forma numérica. Reporte la respuesta con no más cifras signi[icativas que las dadas por los datos. 5_ Estudie la respuesta usando juicio técnico y sentido común para de· terminar si parece o no razonable. 6. Una vez que la solución haya sido completada. revise el problema. Trate de pensar en otras maneras de obtener la misma solución. Al aplicar este procedimiento generaL efectúe el trabajo tan cuidadosamente como le sea posible. Esto a menudo estimula un pensamiento claro y ordenado_ y viceversa.
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SfCCION 12.2 Cinemática tectillnea: Movimiento cont inuo
12.2
•
Cinemática rectilinea : Movimiento continuo
Comenzaremos nuestro estudio de la dinámica anal izando la cinemática de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea o en línea recta. Recuerde que una partícula tiene masa pero tamaño y forma insignificantes. Por lan lo. debemos limitar la aplicación a aquellos objetos cu)as dimensiones no son de consecuencia en el análisis del mo· vimien to. En la mayoria de los problemas el imer6; se centra en cuerpos de tamaño finito. como cohetes.. proyecliles o vehículos. Tales objetos se pueden considerar como partículas. siempre que el movimiento del cuero po esté caracterizado por el movimiento de su centro de masa y que cualquier rotación del cuerpo sea ignorada. Cinematica rectilínea . La cinemá tica de una partfcula es caracterizada al especificar. en cualquier momento. la posición. velocidad yaceleración de la partícula. Posición . La trayectoria en Línea recta de una partícula se rá definida usando un solo eje coorde nado .~. figura 12·1 a. El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo. y desde es te punto el \'eClor de posición r se usa para especificar la localización de la partícu la P en cua lquier momen to dado. Advierta que r está siempre dirigido a lo largo del eje ... y entonces su dirección nunca cambia. Lo que cambiará serán su magnitud y su sent ido o dirección de la cabeza de la necha r . Por tunto. para el análisis de movimiento. es conveniente representar r mediante un escafar S algebraico. el cual representa la coordenada de posición de la partfcula, figura 12-10. La magnitud de s (y r) es la distancia desde O hasta P. usualmenle medida en metros (m) O pies (pics).y el sentido (o dirección de la cabeza de la necha de r) es defmido mediante el signo algebraico colocado sobre s. Aunque la se lección es arbitraria. en este caso s es positiva ya que el eje coordenado es positivo hacia la derecha del origen. Igualmen te. el sent ido es negativo si la parlfcula está localizada a la izq uierda de O. Desplazamiento. El desplazamietUo de la partícula es definido como el cambio en su posición. Por ejemplo, si la partícula se mueve desde P hasla 1". figura 12-lb.el desplazamiento es .1r = r' - r. Usando escalares algebraicos para representar :l.r.lenemos también tl.s = s' - s
Aquf .li es positiva ya que la posición {inal de la purtfcula está a la derecha de su posición inicial. es decir. s' > s. De la misma manera. si la posición final estuviese a la izquierda de su posición inicial. as sería negativa. Como el desplazamiento de una partfcula es una ClllUidnd vectorial. debe ser identificado a partir de la distancia que la partícula recorre. Específicamente. la (/is((lnóa recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de trayeclOria sobre la cual viaja la partícula.
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6
•
CApiTULO 12 Cinemática de una partJcula
Velocidad . Si la partícula se mueve a través de un desplazamiento 6r desde P hasta P' durant.e el intervalo de tiempo ~/. figura l2-lb, In ve/ocidoll promedio de la partfcula durante este intervalo de tiempo es
Ar
v
prom
~-
Ó,I
Si tOmamos valores cada vez más pequeños de !J.l. la magnitud de .l.r se vuelve cada vez más pequeña. En consecuencia. la velocidad inslallló"ea es definida como" = lím (!J.rj !J.t ). o ~-o
v
p
p
oor---~----'-<>-- .
l ", -j
O
dr
~-
d,
Representando v como un escalar algebraico, figura U-le. también podemos escribir
Vcl/'\Cldad
ds'
v =-
,,'
( 12-1)
Como !J.l o di es siempre positivo. el signo usado para definir el sentido de la velocidad es el mismo que para .ls o ds . Por ejemplo. si la partícula se está moviendo hacia la derecha. figura 12-1e, la velocidad es posiI;I'{I; mientras que si se está moviendo hacia la izquierda la velocidad es negaliva. (Esto es enfatizado aqur mediante la flecha escrita a la izquierda de la ecuación U-l.) La maglliwd de la velocidad se denomina rapillez.. y generalmente es expresada en unidades de mI s o pies/ s. Ocasionalmente se usa el término " rapidez promedio". La rl/pidez promedio es siempre un escalar positivo. y se define como la distancia total recorrida por una partícula. STo dividida entre el tiempo transcurrido !J.l; es decir.
Sr ( vRp) prom -- -6., Por ejemplo. la partícula mostrada en la figura 12-td viaja a lo largo de la trayectoria de longitud Sr en el tiempo ó". por lo que su rapidez promedio es (vllIp)prom = 5Tl tlJ, pero su velocidad promedio es vpmrn = - dsl tlJ.
¡---ru-¡ po
p ~------~o---o~-- ,
O
I
I
~
\'T Velncidad promedio y roPlt\I:¿ promediO (d)
ng. 11- 1
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SECC10N 12.2 Cinemática rectilinea: Movimiento continuo
•
7
Aceleración . Si la velocidad de la partícula se conoce en los dos pun+ (OS p Y P', la tlceleraci6n promedio de la panícula durante el intervalo de tiempo Al se defme como
• a
~v ~
"""
O
d/
Aquí ~v representa la difere ncia en la velocidad durante el intervalo de tiempo.k es decir, ~v = v' - v, figura t2+1e. La acelemcióII imfamálletl en el tjempo r se e_ncuen tra lomando va lo-res cada vez más pequeños de At y los vrllores correspondientes cadrl vez más pequei'ios de Av, de manera que SI = lím ( d.v/ .1t) o. usando esea· :lI ~ O lares aJgebraicos.
-
p
,
p
,
,"
Ace leración ("
-
-,
R~l
(l2- 2)
Tanto la aceleración promedio como la insl3n1ánea pueden ser po· si tivas o negativas. En panicular, cuando la partícula está reduciendo su rapidez. se dice que está desacelerando . En este caso, v' en la figu· ra 12·1/ es menor que v. por lo que .1v = 'v' - v será negativa . En consecuencia. a se rá también negativa y actuará hacia la izquierda en el sem ido opuesto a v. También advierta que cuando la velocidad es COIISIllll te. la aceleraci6n es cero ya que d.'v = v - v = O. Las unidades usadas comúnme nte para expresar la magnitud de la aceleración son m/ s2 o pies / s2 • Una relación diferencial que impl ica el desplazamiento. la velocidad y la aceleración a lo largo de la trayectoria puede ser obtenida eliminan+ do la diferencial de tiempo dI entre las ecuaciones 12·1 y 12+2. Observe que aunque podemos establecer e nto nces otra ecuación. ésta no será in+ dependiente de las ecuaciones 12·1 y 12+2. Demuestre que
, ods
= v dv
P'
-, '
Sustituyendo la ecuación 12·1 en este resultado, también podemos escribir
(±.)
P
~--------~~~-- ,
O
(12-3)
(Q
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8
•
CApiTULO 12 Cinemática de una particula
Aceleración constante, Q = a ro Cuando la aceleración es conSlanle, cada una de las tres ecuaciones cincmáticas 0 r = dv / dl. V = ds / dl,y 0 r d,f "" v dv. pueden ser integradas para obtener fó rm ulas que relacionen OC' V.l· y l. Velocidad como fundón del tiempo . do que inicialmente v "" Vo cuando I = O.
Inlegrclle = (Iv/ dl.suponien-
o,,
'V - vo + Ace leración constante
(12-4)
Posicion como función del tiempo. Integre v = ds / dl :: t'o + Del. suponiendo que inicialmente s :=: So cuando t = O.
l ' l' ds =
(±.)
( IJo
+ u, t ) dI
l'ot
+ !oc,2
11
J"
s
=
So +
Aceleración constante
(12-5)
Velocidad como función de la posición . Despeje I en la ecuación 124 y sustitúyalo en la ecuación U-5. o integre IJ dv = oeds. suponiendo que inicialmcnle v = Vo en s = So-
(±.)
1.,2 -
va + laces -
so)
Aceleración constante
(12-6)
Esta ecuación no es independiente de las ecuaciones 12-4 y 12-5 ya que puede obtenerse eliminando I enlre esas ecuaciones. Las magnitudes y los signos defQ, v() y {le ' usados en las tres ecuaciones anteriores son determinados a partir del origen elegido y de la dirección positiva del eje s como se indica mediante la Decha escrita a la izquierda de cada ecuación. También. es importante recordar que esas ecuaciones son útiles s6/0 Citando la oceleraó6n es consllmte y cuan· do t := O. S = So. V =Co. Un ejemplo común de movimiento acelerado constante ocurre cuando un cuerpo cae libremente hacia la Tierra. Si se ignora la resistencia del aire y la distancia de carda es carla. entonces la aceleración del cuerpo hacia abajo cuando está cerca de la lieITa es coostante y nproximadamente igual a 9.81 m/ s2 o 32.2 pieS/ 52• La prueba de esto está dada en el ejemplo 13.2.
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SECC10N 12.2 Cinemát ica rectilinea: Movimiento continuo
• 9
PUNTOS IMPORTANTES • La dinámica se oc:upa de cuerpos que tienen mo\·imiento acelerado. • la cinemática es el estudio de la geometria del movimiento. • La cinética es el estudio de la.. fuerzas que causan el mO\
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Las ecuaciones de la cinemática rectilínea deben aplicarse usando el siguiente procedimiento. .\ ·Úlemt. ,'foroenudo
• Establezca una coordenada s de posición a lo largo de la trayectoria y especifique su origen fijo y dirección positiva. • Como el movimiento es a 10 largo de una línea reela, la posición, la velocidad y la ace leración de la partícula pueden ser representadas como escalares algebraicos. Para el trabajo analítico. el sentido de s, v y a es determinado entonces a partir de sus signos algebraicos. • El sen tido positivo de cada escalar puede ser indicado mediante una necha mostrada al lado de cada ecuación cinemática que es aplicada. 11111
"•
Si se conoce una relación entre dos cualesquiera de las cuatro variables a. ti, s y r. entonces puede obtenerse una tercera variable usando una de las ecuaciones cinemáticas,a ::: dv f dr. v = ds/ dlo a ds =- v dv.lo que relaciona a las tres variables.· • Siempre que sea efectuada una integración, es importante que se conOl.can la posición y la velocidad en un instante dado para evalua r la constan te de integración si se usa una integral indefinida. o los límites de integración si se usa una integral definida. • Recuerde que las ecuaciones 124. 12-5 Y12-6 tienen un uso limi· tado. Nunca las aplique a menos que esté absolutamente seguro de que la ace/eracidll es cOnsUJIIle. -A[gunllli fórmulas e<St4nd:tT de diferenciación e inu:gración se proporcionan tn el
a~ndice
A.
Durante el tie mpo que este cohete experi· menta movimiento rectilfneo. su altura como fu nción del tiempo puede medirse y ser expresada por $ = ~ ('). Entonces es posible encont ra r s u velocidad usando 'V = tlsl dl. 'J su aceleración puede ser determinada a par· tirdea " dv , dr.
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10
'
CApITULO 12 Cinemática de una partfcula
E J E M P l O
12.1 El automóvil mostrado en la figura 12-2 se mueve en una Unea recta de manera tal que para un tiempo corto su velocidad es definida por tJ = (3r2 + 21) pies/s. donde r está eo segundos. Detenni ne su posición y su aceleración cuando ( -= 3 s. Cuando I = O, $ = O.
s , La coordenada de posición se extiende desde el origen fijo O del automóvil, es positiva hacia la derecha. Como v = 1(1). 13 posición del automóvil puede se r determinada a partir de 11 = ds/ dt. ya que esta ecuación relaciona a v, s y l. Tomando en cuenta que s = O cuando t = O. tenemos·
d, • - - - (31' + 21)
1' dI
1~ ds =
si:
=
(3/ 2
+ 21) dI
r + t21~
l'=13+,2
Cuando t = 3 s..
, - (3)' + (3)' - 36 pies Conocida tir de
Q
lJ
= f(t), la aceleración se detennina a
par-
= dv l dl. ya que esta ecuación relaciona a a, v y t.
(±.)
dv
d di
a - -:::: -(312 + 21) di
= 6t + 2 Cuando I = 3 s.
a = 6(3) + 2
= 20pies/sZ -
Las fórmulas para calcular la aceleración constante no pueden usar-
se para resolver este problema. ¿Por qué? ·Se puede obtener el mismo rau/lado eyaluando una constante de intcgración C en "ez de usar lfmites definido¡ en la integral. Por ejemplo.. al intcgrar ds .e (3r + 2/) dI resulla t - ~ ... r2 + C. Usando la condición de que en I - O, J .. O. enton~
C - O,
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SECClON 12.2 Cinemática rectiHnea: Movimiento continuo
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo a través de un fluido con una velocidad inicia] de 60 mi s. Debido a la resistencia del fluido el proyectil experimenta una desaceleración igual a a = (~O.4vl) m/s2 , donde ti está en m/s.· Determine la velocidad y la posición del proyectil 4 s después de ser disparado. Como el movimiento es hacia abajo, la coordenada de posición es positiva hacia abajo. con origen localizado en O. figura 12-3. , .' Aquí a = f(v), por lo que debemos determinar la velocidad como función del tjempo usando Q = dv / di. ya que esta ecuación relaciona a v, a y l . (¿Por qué no usar v = Va + ael?) Separando las variables e integrando, con Vo =- 60 mIs cuando I = O. obtenemos
d.
.~dt~ - O.4v'
(+1)
, f.
f'd Jo I
tlo
60 m,'. - O.4tf =
fra·
1 (1) v'1j' ~ O 1[1 1] 0.8 v' - (60)' ~,
-0.4 -2
60
~ {[(~)2 + 0.81
v
, -
r}
mi s
Tomamos la raíz positiva, ya que el proyectil se mueve hacia abajo. Cuando I = 4 s. v ~ 0.559 mi s j Conocida v = ft.t), podemos obtener la posición del proyectil a partir de v = dsldl. ya que esta ecuación relaciona a s, v y t. Usando la condición inicial s = O. cuando I = O, tenemos
(+ )
V
d, [ 1 ~ d, ~ (60)' + 0.81
]-"1
[' d, ~ Jof'[(60)' 1 ]-'(2 d, Jo + 0.81 2 [ 1 , ~ 0.8 (60)' + 0.81 1 { s~-
0.4
[ --+081 1 (60)"
]'f2
]'(2j'o 1} ~-
60
m
Cuando r = 4 S.
s = 4.43 m • Advicna que pafll que sea dimensionalmenle bOfDoFnea.1a COns1anu: 0.4 tiene unidadc$ de:. S/ml
1
•
11
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12
•
CApiTULO 12 Cinemática de una partícula
Durante una prueba un cohete va viajando hacia arriba a 75 mi s. y cuando está a 40 m del suelo su motor [aUa. Determine la altura máxima $" que alcanza el cohete y su rapidez. justo antes de tocar el suelo. Mientras está en movimiento el cohete es sometido a una aceleración constante hacia abajo de 9.81 m Is! debido a la gravedad. Ignore el efecto de la resistencia del aire. 501uo.10
El origen O para la coordenada de posición s se toma al nivel del sue lo. positiva hacia arriba, figu ra 12-4. .';/'w-mll ,"0",,1,'11,;(/0
t'Il"'O
a
B
1/IIIl'ri "'1,.- "';m/l Como el cohete va viajando hacia arriba, VA = + 75 mi s cuando t = O. En su altura máxima s = S8, la velocidad VB = O. Para todo el movimiento, In aceleración es at ""- -9.81 m/ s2 (oegativa
pues actúa en sentido opuesto a la velocidad positiva o al desplazamiento positivo). Como lit es COnstante, la posición del cohete puede ser relacionada con su velocidad en los dos pumos A y 8 sobre la trayectoria usando la ecuación 12-6, es decir,
"
(+ tl
ifs = ~ + 2a t (sB - SA) O = (75 SB
T
,
40 m)
= 327 m
1../, I rl. Para obtener la velocidad del cohete justo antes de que toque el suelo. podemos aplicar la ecuación 12-6 entre los puntos B y e, Ggura 12-4.
.0
,
mi')' + 2( -9.81 m/")(s, -
(+ f)
vt = ti + 211C'(SC - l"B ) ~ o + 2( -9.81 m/" )(O (te
= -80.1 mIs = 80.1
327 m)
m/sl
.,
Seleccionamos la raí7 negativa ya que el cohete se está moviendo hacia abajo. Similarmente. la ecuación 12-6 también puede aplicarse entre los puntos A y e, esto es.
(+ t)
ifc =
.~
~ (75
+ 2at (sc -
SA)
mi')' + 2( -9.81 00/ ,')(0 ve = - SO.1 mi s .,. 80.1 mIs !
40 m)
Nota: Debe observarse que el cohete está sometido a una desaceleradótl desde A hasta 8 de 9.81 m /s2. y luego desde 8 hasta e es aceleradQ con este valor. Además, aunque el cohete alcanza momentáneamente el reposo en B (VII = O). ¡la aceleración en B es de 9.81 m /s~ hacia abajo!
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SECCiÓN 12.2 Cinemática rectillnea: Movimiento continuo
Una partícula metálica está sometida a la influencia de un campo magnético al viajar hacia abajo a través de un fluido que se extiende desde la placa A hasta la placa 8, figura 12-5. Si la partrcula es liberada del reposo en el punto medio e, s = 100 mm, y la Aceleración es II ""'- (4s) m/ s'}., donde s está en metros, determine la velocidad de la partícula cuando llega a la placa 8, l ' = 200 mm, y el tiempo que necesita para viajar de a B.
e
Saludan ",'/uema ClumJrnadl'. Como se muestra en la figura 12-5,s se toma positiva hacia abajo. medida desde la placa A.
,,./o.ülad. Como a = f{s), la velocidad como función de la posición se puede obtener usando v dv = a ds. ¿Por qué DO usar las fórmulas para aceleración constante? Observando que v = Oen s = 100 mm = 0.1 m. tenemos vdv = uds (+ !)
1.. o
'V
dv =
1.
5
4$ d.~
0.1
i v2
l: ~~I:I =
v = 2{Sl - O.01}I;;!
En
s = 200rnm
(1)
= 0.2m,
va = 0.346 mIs = 346 mm/ s ¡ Seleccionamos la raíl positiva porque la partícula está viajando bacia abajo, esto es. en la dirección +s.
e
11l'mpo. El tiempo para que la partícula viaje de a B se puede obtener usando v = ds / dl y la ecuación L donde ti = 0.1 m cuando I = O. Con base en el apéndice A.
ds
(+ 1)
¡o.,'
vd! = 2(s2 - O.Ol)l l di =
ds ~-"'-,-=
(s' - 0.01 )'/2
¡'
-
o
1"(Vs' - 0.01 + S) [' 0.1
I"(Vs' Ens
= 200 mm 1
=
2 d,
~ 2' ['
0.01 + s) + 2.33
o
~
2t
= 0.2 m.
1"(V (0.2)' - 0.01 + 0.2 ) + 2.33 2
= 0.658 s
Res¡J.
•
13
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14
•
t
CApiTULO 12 Cinemática de una partrcula
, . - 4.0m
I
Una partfcuJa se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal con velocidad de v = (3r - 61) mIs. donde t es el tiempo en segundos. Si inicialrnenle la partfcula se ubica en el origen O. detennme la distan· da viajada en 3.5 s; también calcule la velocidad promedio y la rapi· dez promedio durante este intervalo de tiempo. p6. l2Sm
· - .0 -11 0
- o
,.)
Supondremos aquí que el movimiento es positivo hacia la derecha y que es medido desde el origen O. figura
12-60. 1" Ya que v = /f.l). 111 posición como una (unción del tiempo puede encontrarse integrando v = ds I tll con 1 = O, S = O.
,
ds = r{mM
di
1 31 1
1: ", ),J - 6r
ds
¡-
--!;-- - - - f -- - - - t i s) (0.01
V
= (312 - 61 ) dI
s = (rJ
12s,. o)
(1 ,,-) mis)
lb) 1,
l.'
1
=
(2
-
di -
6['
r dr
3r2 ) m
(1)
Para determinar la distancia viajada en 3.5 s. es necesario investigar la traYl!{:toria del mo\'imiento. La gráfica de la función velocidad, figura 12·6b. re\'ela que para O :s t < 2 So, la velocidad es negQtivo, lo cual significa que la partícula está viajando hacia la izquierda. y para , > 2 s la velocidad es positi~'a . y por tanto In partícula está viajando hacia la derecha. Además. v = Oen { = 2 s. La posición de la partfcula cuando I = O, I = 2 s y I = 3.5 s puede ser determinada con la ecuación l. Obtenemos
51'''3.5, = 6.125 m La trayectoria se muestra en la figura 12·00. Por consiguiente, la distancia viajada en 3.5 s es
Sr J~/ocl.'tI,1
= 4.0
+ 4.0 +
6.125
=
14.125 m = 14.1 m
J~.
,'-
El dúpfa1.amielllo desde { = Ohasta t = 3.5 s es As =
sl'_3.s¡ -
~-ll"o = 6.12 - O ~ 6.12 m
y la velocidad promedio es A.s-
6.12
vprom = ~ = 3.5
0 = 1.75m fs-
, .
La rapidez promedio se define en ténninos de la distancia lIiajlJda $r. Este escalar positivo es
sr
14.125
(vrap)."... = dI = 3.5 _ O = 4.04 mIs
U/·w.
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PROBUMAS
PROBLEMAS 12-1. Un ciclista parte del reposo y después de viajar a lo largo de una trayectoria recia una distancia de 20 m alcanza una rapidez de 30 km / h. Determine su aceleración si ésta es COI/5talllf'. Calcule también cuánto le toma alcan7.ar la rapidez de 30 km / h. IZ·Z. Un automóvil parte del reposo y alcanza una rapidez de 80 pies/ s después de viajar 500 pies a 10 largo de un camino recto. Determine su aceleración constAnte ~. el tiempo de viaje.
J
U -J. Una pelora de béisbol es lanzada hacia abajO desde una torre de 50 pies con una rapIdez imcial de 18 pIes / s. Detenmne la rapidez con que la pelota loca el suclo}' el tiempo de viaje. 12~.
Una panícula viaja a lo largo de una lInea rccta de modo que en 2 s se mueve deroe una posición inicial s", = +0.5 m a una posición )'8 = - 15 m. Luego, en OlroS 4 s. la partícula se mueve de 58 a Se = + 2.5 m. Determine la velocidad promedio y la mpidez promedio de la partfeula durante el intervalo de tiempo de 6 s. 12- ~. Viajando con rapidez inicial de 10 km/ h. un automóvil acelera a 6000 km h2 a lo largo de un camino recto. ¿Cuánto lardará en alcanlllr una rapidez de 120 km / h? ¿Qué distancia recorre el automóvil durante este tiempo?
r
e--q
~.tc
12-<1. Un tren de carga viaja ¡¡ = 60( 1 pies/ s. donde 1 es el tiempo transcurrido en segundos. Determine la distancia recorrida en tres segundos y la aceleración en este tiempo,
-
,.
- ,~
IZ-It ¿D esde aproximadumente qué piso de un edificio debe dejarse caer un automóvil a partIr de su posi. ción de reposo de manera que llegue al suelo con una rapidez de SO.7 pies/ s (55 mi/ h)? Cada piso es 12 pies más alto que el inferior. (No/a: Tal \'ez le interese recor· dar esto cuando viaje a 55 mi / h.)
11-1}. Un automóvil va a ser levantado mediantl! un elevador al cuano piso de un cstacionamienlo que está 11 48 pies sobre el nivel de In calk. Si el elevador puede acelerar a 0.6 pies/ s 2• desacelerar a 0.3 pies/ s 2• '! alcanzar una rapidez máxima de 8 pies/ s.. delCrmine el tiempo más cono en que puede efectuarse el levantamiento. partiendo del reposo '! terminando también en reposo.
12-10. Una partícula viaja en línea recta de modo que por un corto tiempo de 2 s s t S 6 s su movimiento es descrito por v = (4/ o) pies/ s, donde a está en pies/ s 2• Si /' - 6 piC$f s cuando t - 2l1,. delermine ta m:oeIemeión de. la panícula cuando I = 3 s. 12-11. La aceleración de unll partfcula al moverse a 10 largo de una Ifnea recta eSlá dada por (j :=o (21 - 1) mi s!. donde (está en segundos. Si s '" I m y 11 = 2 mi s cuando I '" O. determine la velocidad )' la posición de la partícula cuando I = 6 s. Determine también la diSlancia lolal que la partícula vLaja durante este periodo. 12-12.. Cuando un tren está viajando a lo largo de una ví¡¡ recta a 2 m / s..comienza a acelerar a a = (60 v~.,¡) mIro donde v está en mIs. Detennine su velocidad v y su posición ] s de.spués de iniciar la aceleración.
, .. f'rob. 11-U
hol¡. 12-tI
f
I
15
La posición de una partícula a lo largo de una [fnea recta e~a¡j dada por S = (f - 9r + 151) pies. donde / ~ tá en segundos. Determine su máxima aceleración y su máxima velocidad durante el intervalo de tiempo O :S IsIOs. 11-7.
12-13. La posición de una partfcula a lo largo de una lfnea recta está dada por s = (1.5f - 13.5r + 22.5t) pies.. donde 1 c!otá en segundos. Delermine la posición de la partfcula cuandQ 1 = 6 s y la distancia total que viaja durante el intervalo de 6 s. Sugerencia: Grafique la trayectoria para detenrunar la distancia 10lal recorrida.
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16
CApITULO 12 Cinemática de una partícula
J'\
12- 14) La posición de una partfcula sobre una lrnea rec· Itt eStá dada por ~ '
segundos. Determine la posición de la partfcula cuandu I = 6 s y la distancia total que viaja durante el intervalo de 6 s. Sugerencia: Grafique la trayeclona para determinar la distancia total recorrida. 12- 15. Una partícula viaja hacia la derecha a lo largo de una línen recta con "elocidad ti :::: [5 / (4 + s)] m/ r..don. de s está en metro~. Determine su posición cuando I : 6 s ~i5:::: S m cuando 1 = O.
12· 16. Una partícula viaja hacia la derecha a lo largo de una linea recta con \'elocidad 11"" IS / (4 + 5)J m ,'s. donde s está en metros. Determinc su desaceleración cuando s = 2 m .
)2·21. Una partícula viaja en línea recta con movimicnto aCeh:rado tal que a = - ks, donde 5 es la distancia desde el punto de inicio y k es una constante de proporcionalidad que debe ser determinada. En s = 2 pies la velocidad es de 4 pIes , S.) en ~ "" 3.5 pies In \'clocidad es de 10 pies/ s. ¿Cuál es el 'alor de 5 cuando 11 = 01
I,!-u. La acelerdción de un cohete viajando hacia arnba está dada por /1 o; (6 + O.O2.~) mIs:!. donde s está en metros. Detcnnine la \'clocidad del cohete cuando s = 2 km Y el tiempo nece~ario para alcanzar esta altura. Ini· cialmente.11 = O Ys = O cuando I - O.
12· 11. Dos panículas A y 8 parten del reposo en el ori· gen s = O Y se mueven a lo largo de una línea recta de tal manera que QA = (61 - 3) pies .'s~ )' u II :::: (12i - 8) pies / s~, donde I está en segundos. Determine la distancia entre ella~ cuando t = 4 S ) la di~tancia total que cada una ha \ iaJado en I = 4 So
12-18. Un automóvil parte del reposo y se mueve: a lo largo de una línea recta con una aceleración de Q = (35 - 1,3) m/ s2• donde s está en metros. Determine la aceleración del automóvil cuando / ... 4 s. )2·19, Una piedra A es dejada caer desde el reposo por un 1'0"-0. y I S después otra piedra 8 es dejada caer tamo bién partiendo del reposo. Determine la dIstancia entre las piedras un segundo después.
12-20. Una piedra A el; dejada caer desde el reposo por un pozo, y I s desputs es dejadn caer desde el reposo otra piedra B. Determine el intervalo de tiempo entre d IOstante en que A toca el agua y en el que lo hace B ¿Con qué rapidez tocan el agua las piedras?
1 Pro.... 1l- 22
12 · ~~ . La aceleración de un cohete viajando hacia arri· ba eSlá dada por (1 = (6 + 0.015) mjsl. donde s está en metros. Determine el tiempo necesario para que el cohe· te alcance una altura des'" 100 m.lnicialmente.1.· '" O Y ,f = O cuando I :::: O.
+
Pr
Prun, 11-13
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PROBLEMAS
12·24. En ( .., O una bala A es disparada verticalmen· te con velocidad inicial de 450 mI s. Cuando / = 3 S. aIra bala B es disparada hacia arriba con velocidad inicial de 600 m/ s. Determine el tiempo t. después de que A es disparada. en que la bala B pasa a la bala A. ¿A qué altura ocurre esto?
•
17
n ·Z't La aceleración de una partfeula a 10 lArgo de una Ifnea recta es definida por a = (21 - 9) m / s2. donde 1 está en segundos. En ( = o. s = 1 m )' v "" 10 m I s. Cuando ( = 9 s. determine (a) In posición de la partícula. (b) la distancill 10lal viajada. y (e) la velocidad. I Una partícula se mueve a lo Inrgo de una !fnea ~C1a y cuando estA en el origen tiene velocidad de 4 m Is. Si esta partícula empieza 11 desacelerar a razón de l 2 Il - (-1.5v 12) m/ s , donde '/.) está en m Is. determine la distancia que viaja antes de detenerse. 11 · ~1) .
.12· 25. Una partfcula se mueve a lo largo de una línea recta con m:c!eración a "" 5/(3.1'1") + ; .2) m/ s1. donde s está en metros. Determine la velocidad de la parlJcula cuando,f = 2 m si parte del reposo cuando s = l m. Use la regla de Slmpson para evaluar la integral. t!-2~. Una bola A es liberada del reposo a una altura de 40 pies al mismo tiempo que una segunda bola B es lanzBda hacia arriba desde 5 pies con respecto al suelo. Si las bolas pasan una frente a la otra a una altura de 20 pies. determine la rapidez con que la bola B fue lanzada hacia arriba,
12·.\0. Una partlcula se mueYe a 10 largo de una lrnea recta con Aceleración u = 5 / (3s1 /3 + l~J2) m/ 52. donde s está en metros. Determine la velocidad de la partrcula cuando s = 2 m si parte del reposo cuando,f = 1 m. Use la regla de Simpson para evaluar la integral.
12-;\1. Determine el tiempo requerido para que un automóvil viaje I km a lo largo de un camino si parte del reposo. alcnm.3 una rapidez máxima en algún puno to intermedio. y luego sc dClicn'" al final del camino. E l
automóvil puede acelerar a 1.5 m / sl y desacelerar a 2 m/ sl.
¡; I ~ . CUAndo dos automóviles A y 8 están uno junIO al otro, viajan en la mismA dirección con rapidez VA y VB. respectivamente. Si B mantiene su rapidez constante. mienlras que A empieza a desacelerar a a", detemline la distancia d entre los aulom6\'iles en el instante en que A
se detiene.
" rul>, 11- !6
, B
.12·27.
Un proyectil, inicialmente en el origen. se mueYC verticalmente hada abajo a lo largo de una trayectoria en Unen recta por un medio fluido tal que su ve· locidad es definida por v s 3(8e- 1 + ()Il m / s.. donde I está en segundos. Grafique la posición s del proyectil durante los primeros 2 segundos. Use el mélodo de Runge·Kuna pnra evaluar s con VAlores incrementales de h = 0.25 5.
Proh. 12-.U
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18 •
CApiTULO 12 Cinemática de una partlcula
IZ·)], Si los erectos de la resiste ncia atmosférica son tomados en cuenta, un cuerpo cayendo libremente tiene una aceleración ddinida por la ecuación 0= 9.8111 r.f(IO-.t)J m/51, donde v está en mIs y la dirección positiva es hacia abajo. Si el cuerpo es soltado del reposo desde una gran o/tura. determine (a) la velocidad cuando 1 = 5 s. y (b) la velocidad terminal o máxima alCánzahle (cuando 1-+ (0). ll- ~.
Cuando un euerpo es lanzado a una gran altitud por encima de la slIperficie de la Tierra. la variación de la acc!eración de la gravedad con respecto a la altitud y debe tomarse en cuenta. Ignorando la resistencia del aire. esta aceleración es determinada por la fórmula u = -goI R 2 /(R + )')21. donde 80 es la aceleración gravitatoria constante al nivel del mar. R es el radio de la Tie rra, y la dirección positiva se mide hacia arriba. Si &0 "" 9.81 m/s1 y R ::: 6356 k.m. determine la velocidad inicial mínima (,·elocidad de escape) con la que el proyectil debe ser disparado verticalmente desde la superficie de la TIerra de manera q ue no caiga de regreso a ésta. S I/gerencia: Se requiere que u = O cuando y -+ 00.
12.3
I.l.:t~. Tomando en cuenta la variación de la aceleración grAvita toria Q con respecto a la altitud y (vea el Probo 12· 34). obtenga una ecuación que relacione la velocidad de una partfcula en caída libre con su altitud. Suponga que la partícula es liberada del reposo a una allitud )'U con respeclo a la superficie de la TIerra. ¿Con qué velocidad llega la panícula a la superücie de la Tierra si es libera· da del reposo a una altitud Yo = 500 km? Use los datos numéricos del problema 12-34.
12-36. Cuando una partícula cae a través del aIre, su aceleración inicial a = g dismin uye hasta que es cero. y de ahf en adelante cae con una velocidad v¡terminal o constante. Si esta variación de la aceleración puede ser expresada como a = <&/tT-¡)(¡}¡- ·VZ). determine el tiempo necesario para que la velocidad se vuelva v < VI' Inicialmente la partícula cae del reposo.
Cinemática rectilínea: Movimiento errático Cua ndo e l movimiento de una pa rtícula es e rrático d urante cie rto perio d o. pue de ser difícil obte ne r u na fun ció n m a temá tica conti nu a pa· ra describir su posición. velocidad o ace le ración. E n tal caso, es mejor describirlo gráficamente usand o una se ri e de curvas q ue puede n ser ge ne rad as e xpe rimen talm e nte a pa rtir d e la salid a de una com p utado· ra . S i la g ráfica resultan te descri be la relación e nt re dos c ualesquie r a d e las va riables a. v. l·. l. pued e establecerse una gráfi ca q ue d escriba la re lación entre las o tras variables usa ndo las ecuaciones cinemáticas a = dv / dt. v = ds / df , a ds = v dv. Son varias las si tuacio nes que ocu· rren a menudo.
r-----------------------'____,__
~.------------------------
12-L A bicyclist starts from rest and after traveling along a straight pat~ a di~tance of 20 m reaches a speed of 30 km/h. Determme hIs acceleration if it is constant. Also. how long does it take to reach the speed of 30 km/h?
v. '.. 30 kmIb .. 8.33 mi.
(8.33)' = 0 + 2 a,,(20- 0) a" = 1.74 m/s'
ADS
". = v, + a" t 8.33 = 0 + 1.74(1) t
12-2. A car starts from rest and reaches a speed of 80 ftls after traveling 500 ft along a straight road. Determine its constant acceleration and the time of travel.
= 4.80 S
(80)'
ADS
= 0 + 2a,,(500-0)
a" = 6.40 ftls'
An.
". 80 .. 0 + 6.4(1) t .. 12.5 s
12-3. A baseball is thrown downward from a 50-ft tower with an initial speed of 18 ftls. Determine the speed at which it hits the ground and the time of travel.
Ans
v~ = (18)2 + 2 (32.2)(50-0)
v. .. 59.532 .. 59.5 ftlo v• .. v, + a"
Ans
t
59.532 = 18 + 32.2 (I) 1-1.290
Am
__
*U-4. A particle travels along a straight line such that in 2 s it moves from an initial position SA = +0.5 lit to Ii position SB = -1.5 m. Then in another 4 s it moves from sB to Sc = +2.5 m. Determine the particle's average velocity and average speed during the 6-s time interval.
Total distaDce traveled (O.S + 1.5+ I.S + 2.S)
=6 m
Total time traveled (2 + 4) _ 6 •
v. ,
2
= '6
= 0.333 mls
v., = '66 = 1 mls
12-5. Traveling with an initial speed of 70 km/h, a car accelerates at 6000 km/h2 along a straight road. How long will it take to reach a speed of 120 kmlh? Also, through what distance does the car travel during this time?
ADS
120 = 70 + 6000(1) 1 = 8.3l( 10-3 ) hr 2
v =
$ '"
>1
+
= 30 S
Au
24($ _ $1)
0.7921cm .. 792 m
Au
12-6. A freight train travels at v = 60(1 - e- I ) ft/s, where t is the elapsed time in seconds. Determine the distance traveled in three seconds, and the acceleration at this time.
r
o
$
'"
$ '"
Prob. 12-6
ds =
f vdI = f' 6O(1-e-t)dI 0
60(1 + e-I)I~
123 ft
Atl",
3.
ADS
12-7. The position of a particle along a straight line is given by s = ([3 - 9t 2 + 1St) ft, where t is in seconds. Determine it" maximum acceleration and maximum velocity during the time interval 0.::::: t .::::: 10 s. s = t3
ds v=-
+ 15t
= 3t-, -
dt
a
9t 2
-
= -tiv dt
18t
+ 15
=6t -18
anwx occurs at t = 10 s.
amax
= 6( I 0) -
Vma.,
occurs when t = lOs
V",,,x
= 3(10)2 -
18 = 42 ftls2
18(10)
Ans
+ 15 = 135 ftls
Ans
*12-8. From approximately what floor of a building must a car be dropped from an at-rest position so that it reaches a speed of 80.7 ftls (55 mi/h) when it hits the ground? Each floor is 12 ft higher than the one below it. (Note: You may want to remember this when traveling 55 mi/h.)
80.7 2 = 0
+ 2(32.2)(s -
0)
s = 101.13 ft 101.13
# of floors = -1-2- = S.43 The car must be dropped from the 9th floor.
Ans
12-9. A car is to be hoisted by elevator to the fourth floor of a parking garage, which is 48 ft above the ground. If the elevator can accelerate at 0.6 ftls, decelerate at 0.3 ft/s, and reach a maximum speed of 8 ft/s, determine the shortest time to make the lift, starting from rest and ending at rest.
ll
s.-y
v;wx = 0 + 2(O.6)(y - 0) 0=
v;",., + 2( -0.3)«48 -
48' y) -
0)
0= 1.2y - 0.6(48 - y)
y
= 16.0 ft,
4.382 = 0
V lna ,
= 4.382 ft/s < 8 ftls
+ 0.6t,
t, = 7.303 s
o= t2
4.382 - 0.3t2
= 14.61 s
( = t,
+ (2 =
21.9 s
Ans
0,
I)'
12-10. A particle travels in a straight line such that for a short time 2 sSt S 6 s its motion is described by v = (4/a) ft/s, where a is in ft/S2. If v = 6 ft/s when t = 2 s, determine the particle's acceleration when t = 3 s.
dv
a=-
tit
4
-=-
v
j"Vdv=j'4t1t"
,
z
vl-St+20 At t .. 3 s, d100sIDg Ibe positive root
v - 6.63 fils a=
12-11. The acceleration of a particle as it moves along a straight line is given by a = (2t - 1) m/s2, where t is in seconds. If s = 1 m and v = 2 m/s when t = 0, determine the particle's velocity and position when t = 6 s. Also, determine the total distance the particle travels during this time period.
~ = 0.603 fIIsz 6.63
r
dv =
1
ADS
l' (2 t -1) tit •
v=r-t+2
l' tis = l'(r - t + 2) tit I
0
WbmIt= 65. v
= 32 m/s
s=67m
Alii AM
Since v '" 0 IbeD d=67-1=66m
ADS
*12-12. When a train is traveling along a straight track at 2 mis, it begins to accelerate at a = (60 V- 4 ) m/s2; where v is in mls. Determine its velocity v and the position 3 s after the acceleration. du
a=di v
f--s-l
] ...... a .. a .... a" .. '" "' .. '" "' ...... II
.. ?
dt=
!!!!.a
dvio'dt-- fV -6Ou-4 1
Prob. 12-12
v-
3.925 m1s= 3.93 mls
aII-vdv
' 1 f"'U , J.ods=-60 v dv 1
(U')1$.92'
1 =1 - -
60 6
2
.. 9.98m
Ana
12·13. The position of a particle along a straight line is given by s = (1.5t - 13.5r + 22.5t) ft, where t is in seconds. Determine the position of the particle when t = 6 s and the total distance it travels during the 6-s time interval. Hint: Plot the path to determine the total distance traveled.
Polltto" : 'Ihe position of the par1icIe when t .. 6 s is
"I,.,. al.S( 6') -13.S( 6%) +22.5(6) --2',7.0ft
ADI
Totlll DIItllltc, TrlWIl,d: Thevelochyoftbe pardcleCin bedelamlned by applyin, Eq. 12-1.
t~~It~
C:~
t=-~~ 4'Oft
d.r
2
" .. di -4.5Ot
"
-27.Ot+22.S
The limes wilen the par1icIc stops are
=
4.5Ot% - 27.Ot+ 22.5 0 t-is and t=S s The position of the particle at t .. 0 s, 1. and S s are
'/'.0. .. 1.5( 0') -13.S( 02) + 22.S(O) =0
4'.10 "l.S( 1') -13.S( 1%) +22.5(1) .. 10.Sft '/'.5. = 1.5( S') -13.S( 52) +22.5(5) ... -37.5 fl From the pank:Ie' s path, the total distanc:e is
"'0. =10.5+48.0+ 1O.S =69.0ft
AM
I
I
U·I4. .The position of a particle on a straight line is given by s = (/ 3 - 9/ 2 + 15/) ft, where I is in secondS. Determine the position of the particle when I = 6 s arid the total distance it travels during the 6-s time interval. Hint: Plot the path to determine the total distance traveled.
s:;: t) -9,z + 151
V-
~ • 3,z - 18/+ 15
-lit
v=O when I.Isandt=5s t=O. $.0
t=ls. I-7ft t. 5'0
/I.
-25 ft
t=6s. /I.-18ft
Alii
Ir. 7 +7 +25 +(25-18). 46 ft
1Z-ts. A particle travels to the right along a straight line with a velocity v = [5/(4 + s)] mis, where s is in meters. Determine its position when t = 6 s if s = 5 m when t = O.
ds
S
di = 4+s
l's (4 + $) tis = J' 5 lit 0
4$ + 0.5i - 32.5 = 51 Whent = 6 s,
i
+ 8s - 125 = 0
Solving for tile positive root $
*12-16. A particle travels to the right along a straight line with a velocity v = [5/(4 + s)] mis, where s is in meters. Determine its deceleration when s = 2 m.
= 7.f!;1 m
Ans
5 4+$
V=-
v dv
= ads -5 tis
dv
= (4+1)2 5
(-Sds)
(4+1) (4+sF
= ads
-25 a .. '(4+'i)i WbeDI=2m,
a = -0.116 mls2
ADS
Alii
12-17. Two particles A and B start from rest at the origin = 0 and move along a straight line such that aA = (6t 3) ftis2 and (In = (12t 2 - 8) ftls2, where t is in seconds. Determine the distance between them when t = 4 sand the total distance each has traveled in t = 4 s.
s
Velocity: The velocity of particles A and B can be determine using Eq. 12-2.
r
r; 0.5 ft
1",
dv,( =
o
"8
I., --------.()'j
3)dl
(61 -
0 V.1
1
1t
= 31 2
dVB =
1t
()
I I 40.5 ft S,1=-0.5fl S,(=O t= I s t=Os
3t
-
(l2t" - 8)dt
0
Ve
= 4t 3
8t
-
The times when particle A stops arc 3t 2
-
I
SA=40.0ft 1=4s
31 = 0
t
SB=-..1.0fl S8=0 t = "';2 s t=0S
S8= 192 I
=4s
= 0 sand = I s
The times when particle B SlOpS arc 4t .l
-
81 = 0
t = 0 sand t =
v0. s Particle A has traveled
Position: The position of particles A and B can be deteTIlline using Eq. 12-\'
1
$·,
dS A =
()
1t
dA
= 2(0.5) + 40.0 = 41.0 ft
Ans
The positions of particle B at t
= v0. sand 4 s are
(3t 2 - 3t)dt
0
3, J s.=t---t-
..
2
Particle B has traveled dB = 2(4)
dS B = vBdt
1'" ()
dS B
=
11
(41 3
+ 192 = 200 ft
Ans
At t = 4 s. the distance between A and B is - 81)dt
I)
The positions of particle A at
/lSAB
1
= I sand 4 s are
= 192 - 40 = 152 ft
Ans
U·l8. A car starts from rest and moves along a straight line with an acceleration of a = (3s- 1/ 3) m/s2, where s is in meters. Determine the car's acceleration when t == 4 s.
acis=vdv
3 2
,
-(3)3 1 =
1 -.; 2
I
v=3,sf cis I _=3,s1 dt
3 • 2
-s! = 31
,
.s = (21)1
,sl••• = (2(4»1= 22.62=22.6m
12·19. A stone A is dropped from rest down a well, and in 1 s another stone B is dropped from rest. Determine the distance between the stones another second later. SA
1 2 = 0 + 0 + 2(32.2)(2)
1
S, = 0 + 0 + 2(32.2)(1)
2
S, = 16.1 it 4 S
= 64.4 -
16.1
= 48.3 it
*12-20. A stone A is dropped from rest down a well, and in 1 s another stone B is dropped from rest. Detertnine the time interval between the instant A strikes the water and the instant B strikes the water. Also, at what speed do they strike the water?
~f=r
B Is dropped _
IeCXIIId Iftec A,
/11 = I S
Au
+ J. s
',4::
80
tbat
= So + Vo t + !2 ~ r
~ ,~: J~.~~
"~i:
80 ft
:l~
I
¥ 1: ~i ,~~~ 'C,
1
t = 2.2291 s
v = 0 + 32.2(2.2291) ADS
Also,
V
v
12-21. A particle travels in a straight line with accelerated motion such that a = -ks, where s is the distance from the starting point and k is a proportionality constant which is to be determined. For s = 2 ft the velocity is 4 ftls, and for s = 3.5 ft the velocity is 10 ftls. What is s when v = O?
= 71.8 ftls
v
2
= rl + 2(32.2)(80)
= 71.8 ftls
ADS
ads = vdv
-tf'2 sds =
r
vdv
•
-k(~ _ (2)2) == (~ _ (4)\ 2 2 2 2
Set s
= 3.5 ft,
Then k
v = 10 ftls,
= -10.18 = -10.2 ,.2
A..
'Wbenv=O
sa
10.18("2 - 2)
s = 1.56 it
= -8
Au
12-22. The acceleration of a rocket traveling upward is given by a = (6 + 0.02s) m/s2, where s is in meters. Determine the rocket's velocity when s = 2 km and the time needed to reach this altitude. Initially, v = 0 and s = 0 when t = O.
ads = vdv
l'o (6+0.02 s) ds .. J; v dv
\I ..
{i2s + 0.02$2
When s
~
.. 2000 m.
= 322 mls
v
A ••
J' {llS ds+ 0.02,z =I'dt o
0
~ID(/l2s +
lOJii Sets
t
0.02$2 +
y V.\U
= 2000 m
Au
= 19.35
12-23. The acceleration of a rocket traveling upward is given by a = (6 + O.02s) m/s2, where s is in meters. Determine the time needed for the rocket to reach an altitude of s = 100 m. Initially, v = 0 and s = 0 when t = O.
~
ads
= vdv
ro
(6+0.02I)ds
=
r 0
vdv
v., ,f121 +0.0212 ds .. vtlt
roo o
III JI21 + 0.02,z -
1'tIt 0
~ In [-It21 + 0.0212 + 1,f0.02 +~ Y0.02 2y 0.02
100
1
t .. S.62s
AM
I'
12 s/Oif1. + 2'iiOi =t
.. t
0
*12-24. At t = 0 bullet A is fired vertically with an initial (muzzle) velocity of 450 m/s. When t = 3 s, bullet B is fired upward with a muzzle velocity of 600 m/s. Determine the time t, after A is fired. as to when bullet B passes bullet A. At what altitude does this occur? SA
= 0 + 450 t +
~(-9.81) f
s.
= 0 + 600(/ -
3) + 2(-9.81)(1- 3)
-( 450 1 - 4.90S f
1
= 600 t -
1800 - 4.905 f + 29.43 t - 44.14S
Au
t = 10.3 s SA
z
AIlS
= s. = 4.11 Ian
5
.u-zs.
A particle moves along a strai~ht line with an acceleration of a = 51(3s 1/3 + s5/2) mis, where s is in meters. Determine the particle's velocity when s = 2 m, if it starts from rest when s = 1 m. Use Simpson's rule to evaluate the integral.
a= ( 3s'1 +S1')
ads = IIdll
1"
r2 5 tis dv J, (3,J'. +s'') = 0, II I
0.8351 = iJ II
= 1.29 mts
ADS
12-26. Ball A is released from rest at a height of 40 ft at the same time that a second ball B is thrown upward 5 ft from the ground. If the balls pass one another at a height of 20 ft, determine the speed at which ball B was thrown upward.
Focbal1 # 1:
t= 1.1146 s
Porball #2:
IS = 0+ v. (1.1146) + t(-32.2)( 1.1146)2
v. -
31.4 ftJs
.12-27. A projectile, initially at the ongm, moves vertically downward along a straight-line path through a fluid medium such that its velocity is defined as v = 3(8e-' + 1)1/2 mis, where t is in seconds. Plot the position s of the projectile during the first 2 s. Use the Runge-Kutta method to evaluate s with incremental values of h = 0.25 s.
s
v = 3 (8e-' +
b.sg--- l
1)112
"o=Oatt=O
o
Using the Runge- Kuua meIhod;
" 0
0 0.2S
Z.OI 3.83 5.49 7.03 8.48 9.87 11.2
O.SO 0.75 1.00 1.2S
I.SO 1.7S 2.00
12.5
*12·28. The acceleration of a particle along a straight line is defined by a = (2t - 9) m/s2, where t is in seconds. At t = 0, s = 1 m and v = 10 m/s. When t == 9 s, determine (a) the particle's position, (b) the total distance traveled, an~ (c) the velocity. a=2t-9
r
dv
10
= f'0 (2 t =f -
v - 10
v
= tl
r
1=
9t
9 t + 10
-
tis =
1
9) tit
l' (t
2
-
9t
+ 10) dt
0
!t3 3 -
4.5t2 + 10t+ 1
Note wbal v
=Oatr -
9t+ 10 = 0
t = 1.298 sandt
= 7.701 s
When t = 1.298 s,
s = 7.13 m
When t = 7.701 s,
I
Wheot=9s,
1=-30.SOm
= -30.5 m
= -36.63 m
Au
(a)
I
(b)
Ir.,
= (7.13-1) + 7.13 + 36.63 + (36.63 -
Sr.,
= 56.0 m
(c)
v
= 10 mls
AIlS Ans
30.50)
I
"
l
12-29. A particle is moving along a straight line such that' when it is at the origin it has a velocity of 4 m/s. If it begins to decelerate at the rate of a = (-1.5v 1/ 2 ) m/sz, where v is in m/s, determine the distance it travels before it stops.
dv , a = di = -1.5v'
f·y-i l' dv=
4
-U dt
0
'I·4 = -1.5110 jl
2vf
v=(2-0.75t)2 m/s
$
(1)
= 4/- 1.5,2 + 0.18751 3
(2)
From Sq. (1), the particle will SlOp when 0= (2-0.751)2
1=2.667 s
,1,.2.1167 = 4(2.667)-1.5(2.667)2 +0.1875(2.667)3 = 3.56 m
12-30. A particle moves along a straight line with an acceleration of a = 5/(3s 1/ 3 + s5/2) m/s2, where s is in meters. Determine the particle's velocity when s = 2 m, if it starts from rest when s = 1 m. Use Simpson's rule to evaluate the integral.
ads=vd\l
f
2
1 (
\I
')= 1·
5 ds 3$', +$'
=1.29 m/s
dv
0 \I
Au
Ana
12-31. Determine the time required for a car to travel 1 km along a road if the car starts from rest, reaches a maximum speed at some intermediate point, and then stops at the end of the road. The car can accelerate at 1.5 m/s2 and decelerate at 2 m/s2.
UslDs formulas
= 1,S'1
VI
x
of CODStaDt acc:eJeration:
-
II."/s·
= i(1 1.S)(t~)
1000-,.
1000 - x
= V2~
-
1 2
-(2)(4)
Combining equatioDS :
X"
1.334
1000 - 1.33 4 = 2 If
= 20.702 s
- Ii
; t,
= 27.603 s
t=tl+~=48.3s
Au
~
*12.32. When two cars A and B are next to one another, they are traveling in the same direction with speeds VA and VB, respectively. If B maintains its constant speed, while A begins to decelerate at a A, determine the distance d between the cars at the instant A stops.
A
B
Motion of carA :
Motion of carB :
The distance between CIIrIA 8IId B is
12.33. If the effects of atmospheric resistance are accounted for, a freely falling body has an acceleration defined by the equation a = 9.81[1 - v2(lO-4)] m/s2, where v is in m/s and the positive direction is downward. If the body is released from rest at a very high altitude, determine (a) the velocity when t = 550 and (b) the body's terminal or maximum attainable velocity (as t -+ 00). Also note that Sq. (1) can be written as (a)
Hf
I( v 1 \ lootanh100
I
[1:'vZ] = 9.81t
1(f[b(:()2JlnG:~:)I =9.811
)1' =9.81(1O- )t 4
0
5{InG:~:)-lnl] =9.8lt When t= 5 s,
l00+v _ _ = ,0.9&1 = 2.667
= 100 tanh(O.4905) = 45.5 mls (b)
From Eq. (2),
with t -+ 00,
v = 100 tanh
=100 mls
00
Ana
l00-v
100+ v = 266.7 -2.667v Ana
12.34. As a body is projected to a high altitude above the earth's surface, the variation of the acceleration of gravity with respect to altitude y must be taken into account. Neglecting air resistance, this acceleration is 2 determined from the formula a = -go[R /(R + y)2], where go is the constant gravitational acceleration at sea level, R is the radius of the earth, and the2 positive direction is measured upward. If go = 9.81 m/s and R = 6356 km, determine the minimum initial velocity (escape velocity) at which a projectile should be shot vertically from the earth's surface so that it does not fall back to the earth. Hint: This requires that v = 0 as y -+ 00.
166.7 v= 3.667 =45.5 mls
Ana
vdv:ady
v= /2goR
= /2(9.81)(6356)(10)3 = 11167 mls .. 11. 2 kmis
AIlS
U-35. Accounting for the variation of gravitational acceleration a with respect to altitude y (see Prob. 12-34), derive an equation that relates the velocity of a freely falling particle to its altitude. Assume that the particle is released from rest at an altitude Yo from the earth's surface. With what velocity does the particle strike the earth if it is released from rest at an altitude Yo = 500 km? Use the numerical data in Prob. 12-34. Frolll Prob. 12-34. (+ t)
Since g dy = v dv
When Yo = SOO Ian.
then
v = - 63S6(10')
-goR~I',. ~ (R+y)2
= f.. vdv
r .,;:
0
y = O.
2(9.81)(SOO)(103)
63S6(6356 + SOO)(l06)
Au
v = - 3016 lIl/s = 3.02 kln/s J,.
z[ R+y. =-2
goR - 1 2
1 1 R+y R+Yo
.,;: 2
goR [ - - - - - ] = Thus v
= -R
go()'o -y) (R+y)(R+~)
*U-36, When a particle falls through the air, its initial acceleration a = g diminishes until it is zero, and thereafter it falls at a constant or terminal velocity vf' If this variation of the acceleration can be expressed as a = (g/v})(v} - v 2 ), determine the time needed for the velocity to become v < vf' Initially the particle falls from rest.
~ =a=(l.)(~-v1) dt VI
i
u
_v_=l. d o vj-v2 VI
1
2v,
£
In(~)IU lit-v
0
dt
0
t=.!'L In(~) 2g v,-v
View publication stats
g
= ~t Ana
SOLUCIONARIO -HibbeleR-MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROSSOLVED PROBLEMS -MOVIMIENTO CONTINUO PROBS 12-1 TO 12-35 Article · November 2018 CITATIONS
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le o N
T E N I
o
01
Dinámica
13.5
12 'T Cinemática de un a partícula U.I 12.2
12.3 12A 12.5
12.6 12.7
12.8 12.9 12.10
3
Objetivos del capítulo 3 Introducción 3 Cinemática rectilinea: Movimiento continuo 5 Cinemática rectilínea: Movimiento errático 18 Movimiento curvilíneo general 31 Movimiento curvilfneo: Componentes rectangulares 33 Movimiento de un proyectil 38 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial 49 Movimiento curvilineo: Componen les cilíndricas 62 Análisis del movimiento absoluto depen. diente de dos partículas 77 Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación 83
13.6
* 13.7
14 Cinéti ca de una partícula: Trabajo y energía 159 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
14.6
-
13.4
Objetivos del capítulo 97 Leyes del movimiento de Newlon 97 La ecuación de movimiento 101 Ecuación de movimiento para un sistema de partículas 104 Ecuaciones de movimiento: Coordenadas rectangulares 106
Objetivo!> del capítulo 159 El trabajo de una fuerza 159 Principio del trabajo y la energfa 164 Principio del trabajo y la energía para un sistema de partrculass 166 Potencia)' eficiencia 182 Fuerzas conservativas y energía potencial 190 Conservación de la energía 194
15
Cinética de una panícula: Fuerza y aceleración 97 13.1 13.2 13.3
Ecuaciones de movimiento: Coordenadas normal y tangencial 123 Ecuaciones de movimiento: Coordenadas cilíndricas 135 Movimiento bajo ruet7.a central )' mecánica del espado 146
T
Cinética de una partícula: Impulso y momentum 207 15.1 15.2
Objetivos del capítulo 207 Principio del impulso )' momcntum lineal 207 Principio del impulso y rnomentum lineal para un siSlcma de partículas 214
xiii
'-
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xiv 15.3 15.' 15.5 15.6 15.7
* 15.8 * 15.9
CONTENIDO
Conservación del momentum lineal para un sistema de partfculas 222 Impacto 233 Momenlum angular 246 Relación entre el momento de una fuerza y el momenlum angular 247 Principios del impulso angular y del momcnlUm angular 250 Corrientes de fluido estacionarias 260 Propulsión con masa variable 265
17.2 17.3 17.4 17.5
Ecuaciones cinéticas de movi mienlo plano 391 Ecuaciones de movimienlo: Traslación 394 Ecuaciones de movimiento: Rotación con respeclo a un eje fijo 406 Ecuaciones de movimiento: Movimiento plano general 422
Repaso 1: Cincmática y cinética' de una partícula 278
18 Cinética plana de un cuerpo rígido: Trabajo y energía 437 Cincmática plana de un cuerpo rígido 16.1 16.2 16.3
16.4 16.5
16.6 16.7 16.8
293
Objetivos del capítulo 293 Movimiento de un cuerpo rígido 293 Traslación 295 Rotación con respecto a un eje fijo 296 Análisis del movimiento absoluto 311 Análisis de mOvimiento relativo: Velocidad 319 Centro instantáneo de velocidad cero 333 Análisis de movim iento relativo: Aceleración 343 Aná lisis de movimiento relativo usando ejes en rotación 358
18.1 18.2
IR.3 18.4 18.5
Objetivos del capítulo 437 Energía cinética 437 El trabujo de una fucria 441 El trabajo de un par 443 Principio dellrabajo y la energía 445 Conservación de la energía 459
19 Cinética plana de un cuerpo rígido: Impulso y morncntum
Cinética plana de un cuerpo rígido: Fuerza y aceleración 17.1
Objetivos del capítulo 377 Momento de inercia 377
19.1
377
19.2 19.3
19.4
Objetivos del capítulo 471 Momentum lineal y momentum angular 471 Principio del impulso y momcntum lineal 477 Conservación del momentum 492 Impacto excé nt rico 496
471
,
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C ON T f N IDO
•
xv
Repaso 2: Cinemática y cinética planas de un cuerpo rígido 506
Vibraciones * 22.1 ... 22.2 . 22.3
20
l:~-
* 22.4
Cinemática tridimensional de un cuerpo rígido 523 20.1 * 20.2
-
20.3 * 20.4
Objetivos del capítulo 523 Rotación con respecto a un pun to fijo 523 La derivada CO D respeclo al tiempo de un vector medido desde un sistema fijo o rOlalorio en traslación 526 Movimiento general 531 Análisis de movimiento rela tivo usando ejes en tr~slaci6n yen rotación 540
. 22.5 . 22.6
Objetivos del capítulo 605 Vibración libre sin amortiguam iento 605 Métodos de energía 618 Vibración forzada sin amortiguamien to 624 Vibración libre con amortiguamiento viscoso 628 Vibración forzada con amortiguamiento viscoso 631 Analogfas con el circuito eléctrico 634
Apéndices A. 8.
C. D.
¡
605
Expresiones matemáticas 640 Análisis numérico y por computadora 642 Análisi.l! de vectores 651 Repaso de los fundamenlOS para un examen de ingeniería 655 Respuestas a problemas seleccionados
I
1
índice
21 Cinética tridimensional de un cuerpo rígido 553
'* 21.1 * 21.2 * 21.3 ...21.4 . 21.5 . 21.6
Objetivos del capítulo 553 Momenlos y productos de inercia Momentum angular 563 Energfa cinética 566 Ecuaciones de movi miento 574 Movimiento giroscópico 588 Movimiento libre de par 594
553
68\
67!
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-
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CAPiTULO
lL
ripPt'Y\Mir~
rlP
lln~ T)~rtlrllb
•
OBJETIVOS DEL CAPiTULO
• P
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• In
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eles en
~raJaa6r.
12.1 Introducción La mecá"ica es una rama de la física q ue se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. la mecánica de cuerpos rfgidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La esrárictl tiene que ver con el equilibrio de un cuerpo que permanece en rcposo o que se mueve con velocidad constante. El tratamiento previo estuvo relacionado con la dinámica que se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. Aquí el tema de la dinámica será pre· sentado en dos partes: la cinemática, que trata sólo con los aspectos geométricos del movimiento, y la cinética. la cual analiza las fu erL3s que causan el movimiento. Para desarro· llar esos principios.. primero será analizada la dinámica de una partfcula. seguida por lemas de dinámica del cuerpo rígido en dos y luego en tres dimellsiones.
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• CApiTULO 12 Cinemática de una partitula
Históricamente. los principios de la dinámica se desarrollaron cuando fue posible efectuar mediciones exactas del tiempo. Galileo Galilei (1564·lfH2) fue uno de los principales pioneros en contribuir a este cam· po. Su trabajo consistió en experimentos usando péndulos y cuerpos en caída libre. Sin embargo. las contribuciones más importantes en dinámica fueron hechas por Isaac Newton (1642-1727), quien es famoso por su formulaciÓn de las lres leyes del movimiento y la ley de la atracción gravitatoria universal. Poco después que esas leyes fueron postuladas. Euler, O'Alemben. Lagrange y otros desarrollaron importantes procedimientos para su aplicación. Hay muchos problemas en ingeniería cuyas soluciones requieren aplicar los principios de la dinámica. Trpicamente. el diseño estructural de cualquier vehículo. como un automóvil o un aeroplano, requiere la conside.ración del movimiento aJ que está sometido. Esto también es cierto para muchos dispositivos mecánicos, como motores. bombas. herramientas móviles. operadores industriales y maquinaria. Además. las predicciones de los movimientos de satélites artificiales. proyectiles y vehícu· los espaciales están basadas en la teoría de la dinámica. Con mayores avances en la tecnología . habrá una necesidad aún más grande de aprender a aplicar los principios de este tema. Resolución de problemas. La dinámica es considerada más compleja que la estática ya que tanto las fuerzas aplicadas a un cuerpo como su movimiento deben ser tomados en cuenta. Además. muchas aplicaciones requieren el uso del cálculo.en vez de sólo álgebra y trigonometría. En todo caso. la manera más erectiva de aprender los principios de dinámica es resolvimdo problemas. Para tener éxito en eslO es necesario presentar el trabajo de manera lógica y ordenada. como lo sugiere la siguiente secuencia de pasos: L Lea el problema cuidadosamente y trate de correlacionar la situación física real con la teoría estudiada. 2. Trace todos los diagramas necesarios y tabule los datos del problema. 3. Establezca un sistema coordenado y aplique los principios pertinentes. generalmente en forma matemática. 4. Resuelva algebraicamente las ecuaciones necesarias en tanto sea práctico; luego use un conjunto consistente de unidades y complete la solución en forma numérica. Reporte la respuesta con no más cifras signi[icativas que las dadas por los datos. 5_ Estudie la respuesta usando juicio técnico y sentido común para de· terminar si parece o no razonable. 6. Una vez que la solución haya sido completada. revise el problema. Trate de pensar en otras maneras de obtener la misma solución. Al aplicar este procedimiento generaL efectúe el trabajo tan cuidadosamente como le sea posible. Esto a menudo estimula un pensamiento claro y ordenado_ y viceversa.
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SfCCION 12.2 Cinemática tectillnea: Movimiento cont inuo
12.2
•
Cinemática rectilinea : Movimiento continuo
Comenzaremos nuestro estudio de la dinámica anal izando la cinemática de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea o en línea recta. Recuerde que una partícula tiene masa pero tamaño y forma insignificantes. Por lan lo. debemos limitar la aplicación a aquellos objetos cu)as dimensiones no son de consecuencia en el análisis del mo· vimien to. En la mayoria de los problemas el imer6; se centra en cuerpos de tamaño finito. como cohetes.. proyecliles o vehículos. Tales objetos se pueden considerar como partículas. siempre que el movimiento del cuero po esté caracterizado por el movimiento de su centro de masa y que cualquier rotación del cuerpo sea ignorada. Cinematica rectilínea . La cinemá tica de una partfcula es caracterizada al especificar. en cualquier momento. la posición. velocidad yaceleración de la partícula. Posición . La trayectoria en Línea recta de una partícula se rá definida usando un solo eje coorde nado .~. figura 12·1 a. El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo. y desde es te punto el \'eClor de posición r se usa para especificar la localización de la partícu la P en cua lquier momen to dado. Advierta que r está siempre dirigido a lo largo del eje ... y entonces su dirección nunca cambia. Lo que cambiará serán su magnitud y su sent ido o dirección de la cabeza de la necha r . Por tunto. para el análisis de movimiento. es conveniente representar r mediante un escafar S algebraico. el cual representa la coordenada de posición de la partfcula, figura 12-10. La magnitud de s (y r) es la distancia desde O hasta P. usualmenle medida en metros (m) O pies (pics).y el sentido (o dirección de la cabeza de la necha de r) es defmido mediante el signo algebraico colocado sobre s. Aunque la se lección es arbitraria. en este caso s es positiva ya que el eje coordenado es positivo hacia la derecha del origen. Igualmen te. el sent ido es negativo si la parlfcula está localizada a la izq uierda de O. Desplazamiento. El desplazamietUo de la partícula es definido como el cambio en su posición. Por ejemplo, si la partícula se mueve desde P hasla 1". figura 12-lb.el desplazamiento es .1r = r' - r. Usando escalares algebraicos para representar :l.r.lenemos también tl.s = s' - s
Aquf .li es positiva ya que la posición {inal de la purtfcula está a la derecha de su posición inicial. es decir. s' > s. De la misma manera. si la posición final estuviese a la izquierda de su posición inicial. as sería negativa. Como el desplazamiento de una partfcula es una ClllUidnd vectorial. debe ser identificado a partir de la distancia que la partícula recorre. Específicamente. la (/is((lnóa recorrida es un escalar positivo que representa la longitud total de trayeclOria sobre la cual viaja la partícula.
.,-el_ _'_------1---<0>'-'_ _ •
,~
o
PO~lción
l"
, "
'1 ' ! p·'1 P'
I
0'----0'--- •
aL .
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- --
•
Dc!;pln~am;emo
lb) rill . I l- I
S
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•
CApiTULO 12 Cinemática de una partJcula
Velocidad . Si la partícula se mueve a través de un desplazamiento 6r desde P hasta P' durant.e el intervalo de tiempo ~/. figura l2-lb, In ve/ocidoll promedio de la partfcula durante este intervalo de tiempo es
Ar
v
prom
~-
Ó,I
Si tOmamos valores cada vez más pequeños de !J.l. la magnitud de .l.r se vuelve cada vez más pequeña. En consecuencia. la velocidad inslallló"ea es definida como" = lím (!J.rj !J.t ). o ~-o
v
p
p
oor---~----'-<>-- .
l ", -j
O
dr
~-
d,
Representando v como un escalar algebraico, figura U-le. también podemos escribir
Vcl/'\Cldad
ds'
v =-
,,'
( 12-1)
Como !J.l o di es siempre positivo. el signo usado para definir el sentido de la velocidad es el mismo que para .ls o ds . Por ejemplo. si la partícula se está moviendo hacia la derecha. figura 12-1e, la velocidad es posiI;I'{I; mientras que si se está moviendo hacia la izquierda la velocidad es negaliva. (Esto es enfatizado aqur mediante la flecha escrita a la izquierda de la ecuación U-l.) La maglliwd de la velocidad se denomina rapillez.. y generalmente es expresada en unidades de mI s o pies/ s. Ocasionalmente se usa el término " rapidez promedio". La rl/pidez promedio es siempre un escalar positivo. y se define como la distancia total recorrida por una partícula. STo dividida entre el tiempo transcurrido !J.l; es decir.
Sr ( vRp) prom -- -6., Por ejemplo. la partícula mostrada en la figura 12-td viaja a lo largo de la trayectoria de longitud Sr en el tiempo ó". por lo que su rapidez promedio es (vllIp)prom = 5Tl tlJ, pero su velocidad promedio es vpmrn = - dsl tlJ.
¡---ru-¡ po
p ~------~o---o~-- ,
O
I
I
~
\'T Velncidad promedio y roPlt\I:¿ promediO (d)
ng. 11- 1
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SECC10N 12.2 Cinemática rectilinea: Movimiento continuo
•
7
Aceleración . Si la velocidad de la partícula se conoce en los dos pun+ (OS p Y P', la tlceleraci6n promedio de la panícula durante el intervalo de tiempo Al se defme como
• a
~v ~
"""
O
d/
Aquí ~v representa la difere ncia en la velocidad durante el intervalo de tiempo.k es decir, ~v = v' - v, figura t2+1e. La acelemcióII imfamálletl en el tjempo r se e_ncuen tra lomando va lo-res cada vez más pequeños de At y los vrllores correspondientes cadrl vez más pequei'ios de Av, de manera que SI = lím ( d.v/ .1t) o. usando esea· :lI ~ O lares aJgebraicos.
-
p
,
p
,
,"
Ace leración ("
-
-,
R~l
(l2- 2)
Tanto la aceleración promedio como la insl3n1ánea pueden ser po· si tivas o negativas. En panicular, cuando la partícula está reduciendo su rapidez. se dice que está desacelerando . En este caso, v' en la figu· ra 12·1/ es menor que v. por lo que .1v = 'v' - v será negativa . En consecuencia. a se rá también negativa y actuará hacia la izquierda en el sem ido opuesto a v. También advierta que cuando la velocidad es COIISIllll te. la aceleraci6n es cero ya que d.'v = v - v = O. Las unidades usadas comúnme nte para expresar la magnitud de la aceleración son m/ s2 o pies / s2 • Una relación diferencial que impl ica el desplazamiento. la velocidad y la aceleración a lo largo de la trayectoria puede ser obtenida eliminan+ do la diferencial de tiempo dI entre las ecuaciones 12·1 y 12+2. Observe que aunque podemos establecer e nto nces otra ecuación. ésta no será in+ dependiente de las ecuaciones 12·1 y 12+2. Demuestre que
, ods
= v dv
P'
-, '
Sustituyendo la ecuación 12·1 en este resultado, también podemos escribir
(±.)
P
~--------~~~-- ,
O
(12-3)
(Q
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•
CApiTULO 12 Cinemática de una particula
Aceleración constante, Q = a ro Cuando la aceleración es conSlanle, cada una de las tres ecuaciones cincmáticas 0 r = dv / dl. V = ds / dl,y 0 r d,f "" v dv. pueden ser integradas para obtener fó rm ulas que relacionen OC' V.l· y l. Velocidad como fundón del tiempo . do que inicialmente v "" Vo cuando I = O.
Inlegrclle = (Iv/ dl.suponien-
o,,
'V - vo + Ace leración constante
(12-4)
Posicion como función del tiempo. Integre v = ds / dl :: t'o + Del. suponiendo que inicialmente s :=: So cuando t = O.
l ' l' ds =
(±.)
( IJo
+ u, t ) dI
l'ot
+ !oc,2
11
J"
s
=
So +
Aceleración constante
(12-5)
Velocidad como función de la posición . Despeje I en la ecuación 124 y sustitúyalo en la ecuación U-5. o integre IJ dv = oeds. suponiendo que inicialmcnle v = Vo en s = So-
(±.)
1.,2 -
va + laces -
so)
Aceleración constante
(12-6)
Esta ecuación no es independiente de las ecuaciones 12-4 y 12-5 ya que puede obtenerse eliminando I enlre esas ecuaciones. Las magnitudes y los signos defQ, v() y {le ' usados en las tres ecuaciones anteriores son determinados a partir del origen elegido y de la dirección positiva del eje s como se indica mediante la Decha escrita a la izquierda de cada ecuación. También. es importante recordar que esas ecuaciones son útiles s6/0 Citando la oceleraó6n es consllmte y cuan· do t := O. S = So. V =Co. Un ejemplo común de movimiento acelerado constante ocurre cuando un cuerpo cae libremente hacia la Tierra. Si se ignora la resistencia del aire y la distancia de carda es carla. entonces la aceleración del cuerpo hacia abajo cuando está cerca de la lieITa es coostante y nproximadamente igual a 9.81 m/ s2 o 32.2 pieS/ 52• La prueba de esto está dada en el ejemplo 13.2.
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SECC10N 12.2 Cinemát ica rectilinea: Movimiento continuo
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PUNTOS IMPORTANTES • La dinámica se oc:upa de cuerpos que tienen mo\·imiento acelerado. • la cinemática es el estudio de la geometria del movimiento. • La cinética es el estudio de la.. fuerzas que causan el mO\
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Las ecuaciones de la cinemática rectilínea deben aplicarse usando el siguiente procedimiento. .\ ·Úlemt. ,'foroenudo
• Establezca una coordenada s de posición a lo largo de la trayectoria y especifique su origen fijo y dirección positiva. • Como el movimiento es a 10 largo de una línea reela, la posición, la velocidad y la ace leración de la partícula pueden ser representadas como escalares algebraicos. Para el trabajo analítico. el sentido de s, v y a es determinado entonces a partir de sus signos algebraicos. • El sen tido positivo de cada escalar puede ser indicado mediante una necha mostrada al lado de cada ecuación cinemática que es aplicada. 11111
"•
Si se conoce una relación entre dos cualesquiera de las cuatro variables a. ti, s y r. entonces puede obtenerse una tercera variable usando una de las ecuaciones cinemáticas,a ::: dv f dr. v = ds/ dlo a ds =- v dv.lo que relaciona a las tres variables.· • Siempre que sea efectuada una integración, es importante que se conOl.can la posición y la velocidad en un instante dado para evalua r la constan te de integración si se usa una integral indefinida. o los límites de integración si se usa una integral definida. • Recuerde que las ecuaciones 124. 12-5 Y12-6 tienen un uso limi· tado. Nunca las aplique a menos que esté absolutamente seguro de que la ace/eracidll es cOnsUJIIle. -A[gunllli fórmulas e<St4nd:tT de diferenciación e inu:gración se proporcionan tn el
a~ndice
A.
Durante el tie mpo que este cohete experi· menta movimiento rectilfneo. su altura como fu nción del tiempo puede medirse y ser expresada por $ = ~ ('). Entonces es posible encont ra r s u velocidad usando 'V = tlsl dl. 'J su aceleración puede ser determinada a par· tirdea " dv , dr.
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'
CApITULO 12 Cinemática de una partfcula
E J E M P l O
12.1 El automóvil mostrado en la figura 12-2 se mueve en una Unea recta de manera tal que para un tiempo corto su velocidad es definida por tJ = (3r2 + 21) pies/s. donde r está eo segundos. Detenni ne su posición y su aceleración cuando ( -= 3 s. Cuando I = O, $ = O.
s , La coordenada de posición se extiende desde el origen fijo O del automóvil, es positiva hacia la derecha. Como v = 1(1). 13 posición del automóvil puede se r determinada a partir de 11 = ds/ dt. ya que esta ecuación relaciona a v, s y l. Tomando en cuenta que s = O cuando t = O. tenemos·
d, • - - - (31' + 21)
1' dI
1~ ds =
si:
=
(3/ 2
+ 21) dI
r + t21~
l'=13+,2
Cuando t = 3 s..
, - (3)' + (3)' - 36 pies Conocida tir de
Q
lJ
= f(t), la aceleración se detennina a
par-
= dv l dl. ya que esta ecuación relaciona a a, v y t.
(±.)
dv
d di
a - -:::: -(312 + 21) di
= 6t + 2 Cuando I = 3 s.
a = 6(3) + 2
= 20pies/sZ -
Las fórmulas para calcular la aceleración constante no pueden usar-
se para resolver este problema. ¿Por qué? ·Se puede obtener el mismo rau/lado eyaluando una constante de intcgración C en "ez de usar lfmites definido¡ en la integral. Por ejemplo.. al intcgrar ds .e (3r + 2/) dI resulla t - ~ ... r2 + C. Usando la condición de que en I - O, J .. O. enton~
C - O,
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SECClON 12.2 Cinemática rectiHnea: Movimiento continuo
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo a través de un fluido con una velocidad inicia] de 60 mi s. Debido a la resistencia del fluido el proyectil experimenta una desaceleración igual a a = (~O.4vl) m/s2 , donde ti está en m/s.· Determine la velocidad y la posición del proyectil 4 s después de ser disparado. Como el movimiento es hacia abajo, la coordenada de posición es positiva hacia abajo. con origen localizado en O. figura 12-3. , .' Aquí a = f(v), por lo que debemos determinar la velocidad como función del tjempo usando Q = dv / di. ya que esta ecuación relaciona a v, a y l . (¿Por qué no usar v = Va + ael?) Separando las variables e integrando, con Vo =- 60 mIs cuando I = O. obtenemos
d.
.~dt~ - O.4v'
(+1)
, f.
f'd Jo I
tlo
60 m,'. - O.4tf =
fra·
1 (1) v'1j' ~ O 1[1 1] 0.8 v' - (60)' ~,
-0.4 -2
60
~ {[(~)2 + 0.81
v
, -
r}
mi s
Tomamos la raíz positiva, ya que el proyectil se mueve hacia abajo. Cuando I = 4 s. v ~ 0.559 mi s j Conocida v = ft.t), podemos obtener la posición del proyectil a partir de v = dsldl. ya que esta ecuación relaciona a s, v y t. Usando la condición inicial s = O. cuando I = O, tenemos
(+ )
V
d, [ 1 ~ d, ~ (60)' + 0.81
]-"1
[' d, ~ Jof'[(60)' 1 ]-'(2 d, Jo + 0.81 2 [ 1 , ~ 0.8 (60)' + 0.81 1 { s~-
0.4
[ --+081 1 (60)"
]'f2
]'(2j'o 1} ~-
60
m
Cuando r = 4 S.
s = 4.43 m • Advicna que pafll que sea dimensionalmenle bOfDoFnea.1a COns1anu: 0.4 tiene unidadc$ de:. S/ml
1
•
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12
•
CApiTULO 12 Cinemática de una partícula
Durante una prueba un cohete va viajando hacia arriba a 75 mi s. y cuando está a 40 m del suelo su motor [aUa. Determine la altura máxima $" que alcanza el cohete y su rapidez. justo antes de tocar el suelo. Mientras está en movimiento el cohete es sometido a una aceleración constante hacia abajo de 9.81 m Is! debido a la gravedad. Ignore el efecto de la resistencia del aire. 501uo.10
El origen O para la coordenada de posición s se toma al nivel del sue lo. positiva hacia arriba, figu ra 12-4. .';/'w-mll ,"0",,1,'11,;(/0
t'Il"'O
a
B
1/IIIl'ri "'1,.- "';m/l Como el cohete va viajando hacia arriba, VA = + 75 mi s cuando t = O. En su altura máxima s = S8, la velocidad VB = O. Para todo el movimiento, In aceleración es at ""- -9.81 m/ s2 (oegativa
pues actúa en sentido opuesto a la velocidad positiva o al desplazamiento positivo). Como lit es COnstante, la posición del cohete puede ser relacionada con su velocidad en los dos pumos A y 8 sobre la trayectoria usando la ecuación 12-6, es decir,
"
(+ tl
ifs = ~ + 2a t (sB - SA) O = (75 SB
T
,
40 m)
= 327 m
1../, I rl. Para obtener la velocidad del cohete justo antes de que toque el suelo. podemos aplicar la ecuación 12-6 entre los puntos B y e, Ggura 12-4.
.0
,
mi')' + 2( -9.81 m/")(s, -
(+ f)
vt = ti + 211C'(SC - l"B ) ~ o + 2( -9.81 m/" )(O (te
= -80.1 mIs = 80.1
327 m)
m/sl
.,
Seleccionamos la raí7 negativa ya que el cohete se está moviendo hacia abajo. Similarmente. la ecuación 12-6 también puede aplicarse entre los puntos A y e, esto es.
(+ t)
ifc =
.~
~ (75
+ 2at (sc -
SA)
mi')' + 2( -9.81 00/ ,')(0 ve = - SO.1 mi s .,. 80.1 mIs !
40 m)
Nota: Debe observarse que el cohete está sometido a una desaceleradótl desde A hasta 8 de 9.81 m /s2. y luego desde 8 hasta e es aceleradQ con este valor. Además, aunque el cohete alcanza momentáneamente el reposo en B (VII = O). ¡la aceleración en B es de 9.81 m /s~ hacia abajo!
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SECCiÓN 12.2 Cinemática rectillnea: Movimiento continuo
Una partícula metálica está sometida a la influencia de un campo magnético al viajar hacia abajo a través de un fluido que se extiende desde la placa A hasta la placa 8, figura 12-5. Si la partrcula es liberada del reposo en el punto medio e, s = 100 mm, y la Aceleración es II ""'- (4s) m/ s'}., donde s está en metros, determine la velocidad de la partícula cuando llega a la placa 8, l ' = 200 mm, y el tiempo que necesita para viajar de a B.
e
Saludan ",'/uema ClumJrnadl'. Como se muestra en la figura 12-5,s se toma positiva hacia abajo. medida desde la placa A.
,,./o.ülad. Como a = f{s), la velocidad como función de la posición se puede obtener usando v dv = a ds. ¿Por qué DO usar las fórmulas para aceleración constante? Observando que v = Oen s = 100 mm = 0.1 m. tenemos vdv = uds (+ !)
1.. o
'V
dv =
1.
5
4$ d.~
0.1
i v2
l: ~~I:I =
v = 2{Sl - O.01}I;;!
En
s = 200rnm
(1)
= 0.2m,
va = 0.346 mIs = 346 mm/ s ¡ Seleccionamos la raíl positiva porque la partícula está viajando bacia abajo, esto es. en la dirección +s.
e
11l'mpo. El tiempo para que la partícula viaje de a B se puede obtener usando v = ds / dl y la ecuación L donde ti = 0.1 m cuando I = O. Con base en el apéndice A.
ds
(+ 1)
¡o.,'
vd! = 2(s2 - O.Ol)l l di =
ds ~-"'-,-=
(s' - 0.01 )'/2
¡'
-
o
1"(Vs' - 0.01 + S) [' 0.1
I"(Vs' Ens
= 200 mm 1
=
2 d,
~ 2' ['
0.01 + s) + 2.33
o
~
2t
= 0.2 m.
1"(V (0.2)' - 0.01 + 0.2 ) + 2.33 2
= 0.658 s
Res¡J.
•
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•
t
CApiTULO 12 Cinemática de una partrcula
, . - 4.0m
I
Una partfcuJa se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal con velocidad de v = (3r - 61) mIs. donde t es el tiempo en segundos. Si inicialrnenle la partfcula se ubica en el origen O. detennme la distan· da viajada en 3.5 s; también calcule la velocidad promedio y la rapi· dez promedio durante este intervalo de tiempo. p6. l2Sm
· - .0 -11 0
- o
,.)
Supondremos aquí que el movimiento es positivo hacia la derecha y que es medido desde el origen O. figura
12-60. 1" Ya que v = /f.l). 111 posición como una (unción del tiempo puede encontrarse integrando v = ds I tll con 1 = O, S = O.
,
ds = r{mM
di
1 31 1
1: ", ),J - 6r
ds
¡-
--!;-- - - - f -- - - - t i s) (0.01
V
= (312 - 61 ) dI
s = (rJ
12s,. o)
(1 ,,-) mis)
lb) 1,
l.'
1
=
(2
-
di -
6['
r dr
3r2 ) m
(1)
Para determinar la distancia viajada en 3.5 s. es necesario investigar la traYl!{:toria del mo\'imiento. La gráfica de la función velocidad, figura 12·6b. re\'ela que para O :s t < 2 So, la velocidad es negQtivo, lo cual significa que la partícula está viajando hacia la izquierda. y para , > 2 s la velocidad es positi~'a . y por tanto In partícula está viajando hacia la derecha. Además. v = Oen { = 2 s. La posición de la partfcula cuando I = O, I = 2 s y I = 3.5 s puede ser determinada con la ecuación l. Obtenemos
51'''3.5, = 6.125 m La trayectoria se muestra en la figura 12·00. Por consiguiente, la distancia viajada en 3.5 s es
Sr J~/ocl.'tI,1
= 4.0
+ 4.0 +
6.125
=
14.125 m = 14.1 m
J~.
,'-
El dúpfa1.amielllo desde { = Ohasta t = 3.5 s es As =
sl'_3.s¡ -
~-ll"o = 6.12 - O ~ 6.12 m
y la velocidad promedio es A.s-
6.12
vprom = ~ = 3.5
0 = 1.75m fs-
, .
La rapidez promedio se define en ténninos de la distancia lIiajlJda $r. Este escalar positivo es
sr
14.125
(vrap)."... = dI = 3.5 _ O = 4.04 mIs
U/·w.
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PROBUMAS
PROBLEMAS 12-1. Un ciclista parte del reposo y después de viajar a lo largo de una trayectoria recia una distancia de 20 m alcanza una rapidez de 30 km / h. Determine su aceleración si ésta es COI/5talllf'. Calcule también cuánto le toma alcan7.ar la rapidez de 30 km / h. IZ·Z. Un automóvil parte del reposo y alcanza una rapidez de 80 pies/ s después de viajar 500 pies a 10 largo de un camino recto. Determine su aceleración constAnte ~. el tiempo de viaje.
J
U -J. Una pelora de béisbol es lanzada hacia abajO desde una torre de 50 pies con una rapIdez imcial de 18 pIes / s. Detenmne la rapidez con que la pelota loca el suclo}' el tiempo de viaje. 12~.
Una panícula viaja a lo largo de una lInea rccta de modo que en 2 s se mueve deroe una posición inicial s", = +0.5 m a una posición )'8 = - 15 m. Luego, en OlroS 4 s. la partícula se mueve de 58 a Se = + 2.5 m. Determine la velocidad promedio y la mpidez promedio de la partfeula durante el intervalo de tiempo de 6 s. 12- ~. Viajando con rapidez inicial de 10 km/ h. un automóvil acelera a 6000 km h2 a lo largo de un camino recto. ¿Cuánto lardará en alcanlllr una rapidez de 120 km / h? ¿Qué distancia recorre el automóvil durante este tiempo?
r
e--q
~.tc
12-<1. Un tren de carga viaja ¡¡ = 60( 1 pies/ s. donde 1 es el tiempo transcurrido en segundos. Determine la distancia recorrida en tres segundos y la aceleración en este tiempo,
-
,.
- ,~
IZ-It ¿D esde aproximadumente qué piso de un edificio debe dejarse caer un automóvil a partIr de su posi. ción de reposo de manera que llegue al suelo con una rapidez de SO.7 pies/ s (55 mi/ h)? Cada piso es 12 pies más alto que el inferior. (No/a: Tal \'ez le interese recor· dar esto cuando viaje a 55 mi / h.)
11-1}. Un automóvil va a ser levantado mediantl! un elevador al cuano piso de un cstacionamienlo que está 11 48 pies sobre el nivel de In calk. Si el elevador puede acelerar a 0.6 pies/ s 2• desacelerar a 0.3 pies/ s 2• '! alcanzar una rapidez máxima de 8 pies/ s.. delCrmine el tiempo más cono en que puede efectuarse el levantamiento. partiendo del reposo '! terminando también en reposo.
12-10. Una partícula viaja en línea recta de modo que por un corto tiempo de 2 s s t S 6 s su movimiento es descrito por v = (4/ o) pies/ s, donde a está en pies/ s 2• Si /' - 6 piC$f s cuando t - 2l1,. delermine ta m:oeIemeión de. la panícula cuando I = 3 s. 12-11. La aceleración de unll partfcula al moverse a 10 largo de una Ifnea recta eSlá dada por (j :=o (21 - 1) mi s!. donde (está en segundos. Si s '" I m y 11 = 2 mi s cuando I '" O. determine la velocidad )' la posición de la partícula cuando I = 6 s. Determine también la diSlancia lolal que la partícula vLaja durante este periodo. 12-12.. Cuando un tren está viajando a lo largo de una ví¡¡ recta a 2 m / s..comienza a acelerar a a = (60 v~.,¡) mIro donde v está en mIs. Detennine su velocidad v y su posición ] s de.spués de iniciar la aceleración.
, .. f'rob. 11-U
hol¡. 12-tI
f
I
15
La posición de una partícula a lo largo de una [fnea recta e~a¡j dada por S = (f - 9r + 151) pies. donde / ~ tá en segundos. Determine su máxima aceleración y su máxima velocidad durante el intervalo de tiempo O :S IsIOs. 11-7.
12-13. La posición de una partfcula a lo largo de una lfnea recta está dada por s = (1.5f - 13.5r + 22.5t) pies.. donde 1 c!otá en segundos. Delermine la posición de la partfcula cuandQ 1 = 6 s y la distancia total que viaja durante el intervalo de 6 s. Sugerencia: Grafique la trayectoria para detenrunar la distancia 10lal recorrida.
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16
CApITULO 12 Cinemática de una partícula
J'\
12- 14) La posición de una partfcula sobre una lrnea rec· Itt eStá dada por ~ '
segundos. Determine la posición de la partfcula cuandu I = 6 s y la distancia total que viaja durante el intervalo de 6 s. Sugerencia: Grafique la trayeclona para determinar la distancia total recorrida. 12- 15. Una partícula viaja hacia la derecha a lo largo de una línen recta con "elocidad ti :::: [5 / (4 + s)] m/ r..don. de s está en metro~. Determine su posición cuando I : 6 s ~i5:::: S m cuando 1 = O.
12· 16. Una partícula viaja hacia la derecha a lo largo de una linea recta con \'elocidad 11"" IS / (4 + 5)J m ,'s. donde s está en metros. Determinc su desaceleración cuando s = 2 m .
)2·21. Una partícula viaja en línea recta con movimicnto aCeh:rado tal que a = - ks, donde 5 es la distancia desde el punto de inicio y k es una constante de proporcionalidad que debe ser determinada. En s = 2 pies la velocidad es de 4 pIes , S.) en ~ "" 3.5 pies In \'clocidad es de 10 pies/ s. ¿Cuál es el 'alor de 5 cuando 11 = 01
I,!-u. La acelerdción de un cohete viajando hacia arnba está dada por /1 o; (6 + O.O2.~) mIs:!. donde s está en metros. Detcnnine la \'clocidad del cohete cuando s = 2 km Y el tiempo nece~ario para alcanzar esta altura. Ini· cialmente.11 = O Ys = O cuando I - O.
12· 11. Dos panículas A y 8 parten del reposo en el ori· gen s = O Y se mueven a lo largo de una línea recta de tal manera que QA = (61 - 3) pies .'s~ )' u II :::: (12i - 8) pies / s~, donde I está en segundos. Determine la distancia entre ella~ cuando t = 4 S ) la di~tancia total que cada una ha \ iaJado en I = 4 So
12-18. Un automóvil parte del reposo y se mueve: a lo largo de una línea recta con una aceleración de Q = (35 - 1,3) m/ s2• donde s está en metros. Determine la aceleración del automóvil cuando / ... 4 s. )2·19, Una piedra A es dejada caer desde el reposo por un 1'0"-0. y I S después otra piedra 8 es dejada caer tamo bién partiendo del reposo. Determine la dIstancia entre las piedras un segundo después.
12-20. Una piedra A el; dejada caer desde el reposo por un pozo, y I s desputs es dejadn caer desde el reposo otra piedra B. Determine el intervalo de tiempo entre d IOstante en que A toca el agua y en el que lo hace B ¿Con qué rapidez tocan el agua las piedras?
1 Pro.... 1l- 22
12 · ~~ . La aceleración de un cohete viajando hacia arri· ba eSlá dada por (1 = (6 + 0.015) mjsl. donde s está en metros. Determine el tiempo necesario para que el cohe· te alcance una altura des'" 100 m.lnicialmente.1.· '" O Y ,f = O cuando I :::: O.
+
Pr
Prun, 11-13
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PROBLEMAS
12·24. En ( .., O una bala A es disparada verticalmen· te con velocidad inicial de 450 mI s. Cuando / = 3 S. aIra bala B es disparada hacia arriba con velocidad inicial de 600 m/ s. Determine el tiempo t. después de que A es disparada. en que la bala B pasa a la bala A. ¿A qué altura ocurre esto?
•
17
n ·Z't La aceleración de una partfeula a 10 lArgo de una Ifnea recta es definida por a = (21 - 9) m / s2. donde 1 está en segundos. En ( = o. s = 1 m )' v "" 10 m I s. Cuando ( = 9 s. determine (a) In posición de la partícula. (b) la distancill 10lal viajada. y (e) la velocidad. I Una partícula se mueve a lo Inrgo de una !fnea ~C1a y cuando estA en el origen tiene velocidad de 4 m Is. Si esta partícula empieza 11 desacelerar a razón de l 2 Il - (-1.5v 12) m/ s , donde '/.) está en m Is. determine la distancia que viaja antes de detenerse. 11 · ~1) .
.12· 25. Una partfcula se mueve a lo largo de una línea recta con m:c!eración a "" 5/(3.1'1") + ; .2) m/ s1. donde s está en metros. Determine la velocidad de la parlJcula cuando,f = 2 m si parte del reposo cuando s = l m. Use la regla de Slmpson para evaluar la integral. t!-2~. Una bola A es liberada del reposo a una altura de 40 pies al mismo tiempo que una segunda bola B es lanzBda hacia arriba desde 5 pies con respecto al suelo. Si las bolas pasan una frente a la otra a una altura de 20 pies. determine la rapidez con que la bola B fue lanzada hacia arriba,
12·.\0. Una partlcula se mueYe a 10 largo de una lrnea recta con Aceleración u = 5 / (3s1 /3 + l~J2) m/ 52. donde s está en metros. Determine la velocidad de la partrcula cuando s = 2 m si parte del reposo cuando,f = 1 m. Use la regla de Simpson para evaluar la integral.
12-;\1. Determine el tiempo requerido para que un automóvil viaje I km a lo largo de un camino si parte del reposo. alcnm.3 una rapidez máxima en algún puno to intermedio. y luego sc dClicn'" al final del camino. E l
automóvil puede acelerar a 1.5 m / sl y desacelerar a 2 m/ sl.
¡; I ~ . CUAndo dos automóviles A y 8 están uno junIO al otro, viajan en la mismA dirección con rapidez VA y VB. respectivamente. Si B mantiene su rapidez constante. mienlras que A empieza a desacelerar a a", detemline la distancia d entre los aulom6\'iles en el instante en que A
se detiene.
" rul>, 11- !6
, B
.12·27.
Un proyectil, inicialmente en el origen. se mueYC verticalmente hada abajo a lo largo de una trayectoria en Unen recta por un medio fluido tal que su ve· locidad es definida por v s 3(8e- 1 + ()Il m / s.. donde I está en segundos. Grafique la posición s del proyectil durante los primeros 2 segundos. Use el mélodo de Runge·Kuna pnra evaluar s con VAlores incrementales de h = 0.25 5.
Proh. 12-.U
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18 •
CApiTULO 12 Cinemática de una partlcula
IZ·)], Si los erectos de la resiste ncia atmosférica son tomados en cuenta, un cuerpo cayendo libremente tiene una aceleración ddinida por la ecuación 0= 9.8111 r.f(IO-.t)J m/51, donde v está en mIs y la dirección positiva es hacia abajo. Si el cuerpo es soltado del reposo desde una gran o/tura. determine (a) la velocidad cuando 1 = 5 s. y (b) la velocidad terminal o máxima alCánzahle (cuando 1-+ (0). ll- ~.
Cuando un euerpo es lanzado a una gran altitud por encima de la slIperficie de la Tierra. la variación de la acc!eración de la gravedad con respecto a la altitud y debe tomarse en cuenta. Ignorando la resistencia del aire. esta aceleración es determinada por la fórmula u = -goI R 2 /(R + )')21. donde 80 es la aceleración gravitatoria constante al nivel del mar. R es el radio de la Tie rra, y la dirección positiva se mide hacia arriba. Si &0 "" 9.81 m/s1 y R ::: 6356 k.m. determine la velocidad inicial mínima (,·elocidad de escape) con la que el proyectil debe ser disparado verticalmente desde la superficie de la TIerra de manera q ue no caiga de regreso a ésta. S I/gerencia: Se requiere que u = O cuando y -+ 00.
12.3
I.l.:t~. Tomando en cuenta la variación de la aceleración grAvita toria Q con respecto a la altitud y (vea el Probo 12· 34). obtenga una ecuación que relacione la velocidad de una partfcula en caída libre con su altitud. Suponga que la partícula es liberada del reposo a una allitud )'U con respeclo a la superficie de la TIerra. ¿Con qué velocidad llega la panícula a la superücie de la Tierra si es libera· da del reposo a una altitud Yo = 500 km? Use los datos numéricos del problema 12-34.
12-36. Cuando una partícula cae a través del aIre, su aceleración inicial a = g dismin uye hasta que es cero. y de ahf en adelante cae con una velocidad v¡terminal o constante. Si esta variación de la aceleración puede ser expresada como a = <&/tT-¡)(¡}¡- ·VZ). determine el tiempo necesario para que la velocidad se vuelva v < VI' Inicialmente la partícula cae del reposo.
Cinemática rectilínea: Movimiento errático Cua ndo e l movimiento de una pa rtícula es e rrático d urante cie rto perio d o. pue de ser difícil obte ne r u na fun ció n m a temá tica conti nu a pa· ra describir su posición. velocidad o ace le ración. E n tal caso, es mejor describirlo gráficamente usand o una se ri e de curvas q ue puede n ser ge ne rad as e xpe rimen talm e nte a pa rtir d e la salid a de una com p utado· ra . S i la g ráfica resultan te descri be la relación e nt re dos c ualesquie r a d e las va riables a. v. l·. l. pued e establecerse una gráfi ca q ue d escriba la re lación entre las o tras variables usa ndo las ecuaciones cinemáticas a = dv / dt. v = ds / df , a ds = v dv. Son varias las si tuacio nes que ocu· rren a menudo.
r-----------------------'____,__
~.------------------------
12-L A bicyclist starts from rest and after traveling along a straight pat~ a di~tance of 20 m reaches a speed of 30 km/h. Determme hIs acceleration if it is constant. Also. how long does it take to reach the speed of 30 km/h?
v. '.. 30 kmIb .. 8.33 mi.
(8.33)' = 0 + 2 a,,(20- 0) a" = 1.74 m/s'
ADS
". = v, + a" t 8.33 = 0 + 1.74(1) t
12-2. A car starts from rest and reaches a speed of 80 ftls after traveling 500 ft along a straight road. Determine its constant acceleration and the time of travel.
= 4.80 S
(80)'
ADS
= 0 + 2a,,(500-0)
a" = 6.40 ftls'
An.
". 80 .. 0 + 6.4(1) t .. 12.5 s
12-3. A baseball is thrown downward from a 50-ft tower with an initial speed of 18 ftls. Determine the speed at which it hits the ground and the time of travel.
Ans
v~ = (18)2 + 2 (32.2)(50-0)
v. .. 59.532 .. 59.5 ftlo v• .. v, + a"
Ans
t
59.532 = 18 + 32.2 (I) 1-1.290
Am
__
*U-4. A particle travels along a straight line such that in 2 s it moves from an initial position SA = +0.5 lit to Ii position SB = -1.5 m. Then in another 4 s it moves from sB to Sc = +2.5 m. Determine the particle's average velocity and average speed during the 6-s time interval.
Total distaDce traveled (O.S + 1.5+ I.S + 2.S)
=6 m
Total time traveled (2 + 4) _ 6 •
v. ,
2
= '6
= 0.333 mls
v., = '66 = 1 mls
12-5. Traveling with an initial speed of 70 km/h, a car accelerates at 6000 km/h2 along a straight road. How long will it take to reach a speed of 120 kmlh? Also, through what distance does the car travel during this time?
ADS
120 = 70 + 6000(1) 1 = 8.3l( 10-3 ) hr 2
v =
$ '"
>1
+
= 30 S
Au
24($ _ $1)
0.7921cm .. 792 m
Au
12-6. A freight train travels at v = 60(1 - e- I ) ft/s, where t is the elapsed time in seconds. Determine the distance traveled in three seconds, and the acceleration at this time.
r
o
$
'"
$ '"
Prob. 12-6
ds =
f vdI = f' 6O(1-e-t)dI 0
60(1 + e-I)I~
123 ft
Atl",
3.
ADS
12-7. The position of a particle along a straight line is given by s = ([3 - 9t 2 + 1St) ft, where t is in seconds. Determine it" maximum acceleration and maximum velocity during the time interval 0.::::: t .::::: 10 s. s = t3
ds v=-
+ 15t
= 3t-, -
dt
a
9t 2
-
= -tiv dt
18t
+ 15
=6t -18
anwx occurs at t = 10 s.
amax
= 6( I 0) -
Vma.,
occurs when t = lOs
V",,,x
= 3(10)2 -
18 = 42 ftls2
18(10)
Ans
+ 15 = 135 ftls
Ans
*12-8. From approximately what floor of a building must a car be dropped from an at-rest position so that it reaches a speed of 80.7 ftls (55 mi/h) when it hits the ground? Each floor is 12 ft higher than the one below it. (Note: You may want to remember this when traveling 55 mi/h.)
80.7 2 = 0
+ 2(32.2)(s -
0)
s = 101.13 ft 101.13
# of floors = -1-2- = S.43 The car must be dropped from the 9th floor.
Ans
12-9. A car is to be hoisted by elevator to the fourth floor of a parking garage, which is 48 ft above the ground. If the elevator can accelerate at 0.6 ftls, decelerate at 0.3 ft/s, and reach a maximum speed of 8 ft/s, determine the shortest time to make the lift, starting from rest and ending at rest.
ll
s.-y
v;wx = 0 + 2(O.6)(y - 0) 0=
v;",., + 2( -0.3)«48 -
48' y) -
0)
0= 1.2y - 0.6(48 - y)
y
= 16.0 ft,
4.382 = 0
V lna ,
= 4.382 ft/s < 8 ftls
+ 0.6t,
t, = 7.303 s
o= t2
4.382 - 0.3t2
= 14.61 s
( = t,
+ (2 =
21.9 s
Ans
0,
I)'
12-10. A particle travels in a straight line such that for a short time 2 sSt S 6 s its motion is described by v = (4/a) ft/s, where a is in ft/S2. If v = 6 ft/s when t = 2 s, determine the particle's acceleration when t = 3 s.
dv
a=-
tit
4
-=-
v
j"Vdv=j'4t1t"
,
z
vl-St+20 At t .. 3 s, d100sIDg Ibe positive root
v - 6.63 fils a=
12-11. The acceleration of a particle as it moves along a straight line is given by a = (2t - 1) m/s2, where t is in seconds. If s = 1 m and v = 2 m/s when t = 0, determine the particle's velocity and position when t = 6 s. Also, determine the total distance the particle travels during this time period.
~ = 0.603 fIIsz 6.63
r
dv =
1
ADS
l' (2 t -1) tit •
v=r-t+2
l' tis = l'(r - t + 2) tit I
0
WbmIt= 65. v
= 32 m/s
s=67m
Alii AM
Since v '" 0 IbeD d=67-1=66m
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*12-12. When a train is traveling along a straight track at 2 mis, it begins to accelerate at a = (60 V- 4 ) m/s2; where v is in mls. Determine its velocity v and the position 3 s after the acceleration. du
a=di v
f--s-l
] ...... a .. a .... a" .. '" "' .. '" "' ...... II
.. ?
dt=
!!!!.a
dvio'dt-- fV -6Ou-4 1
Prob. 12-12
v-
3.925 m1s= 3.93 mls
aII-vdv
' 1 f"'U , J.ods=-60 v dv 1
(U')1$.92'
1 =1 - -
60 6
2
.. 9.98m
Ana
12·13. The position of a particle along a straight line is given by s = (1.5t - 13.5r + 22.5t) ft, where t is in seconds. Determine the position of the particle when t = 6 s and the total distance it travels during the 6-s time interval. Hint: Plot the path to determine the total distance traveled.
Polltto" : 'Ihe position of the par1icIe when t .. 6 s is
"I,.,. al.S( 6') -13.S( 6%) +22.5(6) --2',7.0ft
ADI
Totlll DIItllltc, TrlWIl,d: Thevelochyoftbe pardcleCin bedelamlned by applyin, Eq. 12-1.
t~~It~
C:~
t=-~~ 4'Oft
d.r
2
" .. di -4.5Ot
"
-27.Ot+22.S
The limes wilen the par1icIc stops are
=
4.5Ot% - 27.Ot+ 22.5 0 t-is and t=S s The position of the particle at t .. 0 s, 1. and S s are
'/'.0. .. 1.5( 0') -13.S( 02) + 22.S(O) =0
4'.10 "l.S( 1') -13.S( 1%) +22.5(1) .. 10.Sft '/'.5. = 1.5( S') -13.S( 52) +22.5(5) ... -37.5 fl From the pank:Ie' s path, the total distanc:e is
"'0. =10.5+48.0+ 1O.S =69.0ft
AM
I
I
U·I4. .The position of a particle on a straight line is given by s = (/ 3 - 9/ 2 + 15/) ft, where I is in secondS. Determine the position of the particle when I = 6 s arid the total distance it travels during the 6-s time interval. Hint: Plot the path to determine the total distance traveled.
s:;: t) -9,z + 151
V-
~ • 3,z - 18/+ 15
-lit
v=O when I.Isandt=5s t=O. $.0
t=ls. I-7ft t. 5'0
/I.
-25 ft
t=6s. /I.-18ft
Alii
Ir. 7 +7 +25 +(25-18). 46 ft
1Z-ts. A particle travels to the right along a straight line with a velocity v = [5/(4 + s)] mis, where s is in meters. Determine its position when t = 6 s if s = 5 m when t = O.
ds
S
di = 4+s
l's (4 + $) tis = J' 5 lit 0
4$ + 0.5i - 32.5 = 51 Whent = 6 s,
i
+ 8s - 125 = 0
Solving for tile positive root $
*12-16. A particle travels to the right along a straight line with a velocity v = [5/(4 + s)] mis, where s is in meters. Determine its deceleration when s = 2 m.
= 7.f!;1 m
Ans
5 4+$
V=-
v dv
= ads -5 tis
dv
= (4+1)2 5
(-Sds)
(4+1) (4+sF
= ads
-25 a .. '(4+'i)i WbeDI=2m,
a = -0.116 mls2
ADS
Alii
12-17. Two particles A and B start from rest at the origin = 0 and move along a straight line such that aA = (6t 3) ftis2 and (In = (12t 2 - 8) ftls2, where t is in seconds. Determine the distance between them when t = 4 sand the total distance each has traveled in t = 4 s.
s
Velocity: The velocity of particles A and B can be determine using Eq. 12-2.
r
r; 0.5 ft
1",
dv,( =
o
"8
I., --------.()'j
3)dl
(61 -
0 V.1
1
1t
= 31 2
dVB =
1t
()
I I 40.5 ft S,1=-0.5fl S,(=O t= I s t=Os
3t
-
(l2t" - 8)dt
0
Ve
= 4t 3
8t
-
The times when particle A stops arc 3t 2
-
I
SA=40.0ft 1=4s
31 = 0
t
SB=-..1.0fl S8=0 t = "';2 s t=0S
S8= 192 I
=4s
= 0 sand = I s
The times when particle B SlOpS arc 4t .l
-
81 = 0
t = 0 sand t =
v0. s Particle A has traveled
Position: The position of particles A and B can be deteTIlline using Eq. 12-\'
1
$·,
dS A =
()
1t
dA
= 2(0.5) + 40.0 = 41.0 ft
Ans
The positions of particle B at t
= v0. sand 4 s are
(3t 2 - 3t)dt
0
3, J s.=t---t-
..
2
Particle B has traveled dB = 2(4)
dS B = vBdt
1'" ()
dS B
=
11
(41 3
+ 192 = 200 ft
Ans
At t = 4 s. the distance between A and B is - 81)dt
I)
The positions of particle A at
/lSAB
1
= I sand 4 s are
= 192 - 40 = 152 ft
Ans
U·l8. A car starts from rest and moves along a straight line with an acceleration of a = (3s- 1/ 3) m/s2, where s is in meters. Determine the car's acceleration when t == 4 s.
acis=vdv
3 2
,
-(3)3 1 =
1 -.; 2
I
v=3,sf cis I _=3,s1 dt
3 • 2
-s! = 31
,
.s = (21)1
,sl••• = (2(4»1= 22.62=22.6m
12·19. A stone A is dropped from rest down a well, and in 1 s another stone B is dropped from rest. Determine the distance between the stones another second later. SA
1 2 = 0 + 0 + 2(32.2)(2)
1
S, = 0 + 0 + 2(32.2)(1)
2
S, = 16.1 it 4 S
= 64.4 -
16.1
= 48.3 it
*12-20. A stone A is dropped from rest down a well, and in 1 s another stone B is dropped from rest. Detertnine the time interval between the instant A strikes the water and the instant B strikes the water. Also, at what speed do they strike the water?
~f=r
B Is dropped _
IeCXIIId Iftec A,
/11 = I S
Au
+ J. s
',4::
80
tbat
= So + Vo t + !2 ~ r
~ ,~: J~.~~
"~i:
80 ft
:l~
I
¥ 1: ~i ,~~~ 'C,
1
t = 2.2291 s
v = 0 + 32.2(2.2291) ADS
Also,
V
v
12-21. A particle travels in a straight line with accelerated motion such that a = -ks, where s is the distance from the starting point and k is a proportionality constant which is to be determined. For s = 2 ft the velocity is 4 ftls, and for s = 3.5 ft the velocity is 10 ftls. What is s when v = O?
= 71.8 ftls
v
2
= rl + 2(32.2)(80)
= 71.8 ftls
ADS
ads = vdv
-tf'2 sds =
r
vdv
•
-k(~ _ (2)2) == (~ _ (4)\ 2 2 2 2
Set s
= 3.5 ft,
Then k
v = 10 ftls,
= -10.18 = -10.2 ,.2
A..
'Wbenv=O
sa
10.18("2 - 2)
s = 1.56 it
= -8
Au
12-22. The acceleration of a rocket traveling upward is given by a = (6 + 0.02s) m/s2, where s is in meters. Determine the rocket's velocity when s = 2 km and the time needed to reach this altitude. Initially, v = 0 and s = 0 when t = O.
ads = vdv
l'o (6+0.02 s) ds .. J; v dv
\I ..
{i2s + 0.02$2
When s
~
.. 2000 m.
= 322 mls
v
A ••
J' {llS ds+ 0.02,z =I'dt o
0
~ID(/l2s +
lOJii Sets
t
0.02$2 +
y V.\U
= 2000 m
Au
= 19.35
12-23. The acceleration of a rocket traveling upward is given by a = (6 + O.02s) m/s2, where s is in meters. Determine the time needed for the rocket to reach an altitude of s = 100 m. Initially, v = 0 and s = 0 when t = O.
~
ads
= vdv
ro
(6+0.02I)ds
=
r 0
vdv
v., ,f121 +0.0212 ds .. vtlt
roo o
III JI21 + 0.02,z -
1'tIt 0
~ In [-It21 + 0.0212 + 1,f0.02 +~ Y0.02 2y 0.02
100
1
t .. S.62s
AM
I'
12 s/Oif1. + 2'iiOi =t
.. t
0
*12-24. At t = 0 bullet A is fired vertically with an initial (muzzle) velocity of 450 m/s. When t = 3 s, bullet B is fired upward with a muzzle velocity of 600 m/s. Determine the time t, after A is fired. as to when bullet B passes bullet A. At what altitude does this occur? SA
= 0 + 450 t +
~(-9.81) f
s.
= 0 + 600(/ -
3) + 2(-9.81)(1- 3)
-( 450 1 - 4.90S f
1
= 600 t -
1800 - 4.905 f + 29.43 t - 44.14S
Au
t = 10.3 s SA
z
AIlS
= s. = 4.11 Ian
5
.u-zs.
A particle moves along a strai~ht line with an acceleration of a = 51(3s 1/3 + s5/2) mis, where s is in meters. Determine the particle's velocity when s = 2 m, if it starts from rest when s = 1 m. Use Simpson's rule to evaluate the integral.
a= ( 3s'1 +S1')
ads = IIdll
1"
r2 5 tis dv J, (3,J'. +s'') = 0, II I
0.8351 = iJ II
= 1.29 mts
ADS
12-26. Ball A is released from rest at a height of 40 ft at the same time that a second ball B is thrown upward 5 ft from the ground. If the balls pass one another at a height of 20 ft, determine the speed at which ball B was thrown upward.
Focbal1 # 1:
t= 1.1146 s
Porball #2:
IS = 0+ v. (1.1146) + t(-32.2)( 1.1146)2
v. -
31.4 ftJs
.12-27. A projectile, initially at the ongm, moves vertically downward along a straight-line path through a fluid medium such that its velocity is defined as v = 3(8e-' + 1)1/2 mis, where t is in seconds. Plot the position s of the projectile during the first 2 s. Use the Runge-Kutta method to evaluate s with incremental values of h = 0.25 s.
s
v = 3 (8e-' +
b.sg--- l
1)112
"o=Oatt=O
o
Using the Runge- Kuua meIhod;
" 0
0 0.2S
Z.OI 3.83 5.49 7.03 8.48 9.87 11.2
O.SO 0.75 1.00 1.2S
I.SO 1.7S 2.00
12.5
*12·28. The acceleration of a particle along a straight line is defined by a = (2t - 9) m/s2, where t is in seconds. At t = 0, s = 1 m and v = 10 m/s. When t == 9 s, determine (a) the particle's position, (b) the total distance traveled, an~ (c) the velocity. a=2t-9
r
dv
10
= f'0 (2 t =f -
v - 10
v
= tl
r
1=
9t
9 t + 10
-
tis =
1
9) tit
l' (t
2
-
9t
+ 10) dt
0
!t3 3 -
4.5t2 + 10t+ 1
Note wbal v
=Oatr -
9t+ 10 = 0
t = 1.298 sandt
= 7.701 s
When t = 1.298 s,
s = 7.13 m
When t = 7.701 s,
I
Wheot=9s,
1=-30.SOm
= -30.5 m
= -36.63 m
Au
(a)
I
(b)
Ir.,
= (7.13-1) + 7.13 + 36.63 + (36.63 -
Sr.,
= 56.0 m
(c)
v
= 10 mls
AIlS Ans
30.50)
I
"
l
12-29. A particle is moving along a straight line such that' when it is at the origin it has a velocity of 4 m/s. If it begins to decelerate at the rate of a = (-1.5v 1/ 2 ) m/sz, where v is in m/s, determine the distance it travels before it stops.
dv , a = di = -1.5v'
f·y-i l' dv=
4
-U dt
0
'I·4 = -1.5110 jl
2vf
v=(2-0.75t)2 m/s
$
(1)
= 4/- 1.5,2 + 0.18751 3
(2)
From Sq. (1), the particle will SlOp when 0= (2-0.751)2
1=2.667 s
,1,.2.1167 = 4(2.667)-1.5(2.667)2 +0.1875(2.667)3 = 3.56 m
12-30. A particle moves along a straight line with an acceleration of a = 5/(3s 1/ 3 + s5/2) m/s2, where s is in meters. Determine the particle's velocity when s = 2 m, if it starts from rest when s = 1 m. Use Simpson's rule to evaluate the integral.
ads=vd\l
f
2
1 (
\I
')= 1·
5 ds 3$', +$'
=1.29 m/s
dv
0 \I
Au
Ana
12-31. Determine the time required for a car to travel 1 km along a road if the car starts from rest, reaches a maximum speed at some intermediate point, and then stops at the end of the road. The car can accelerate at 1.5 m/s2 and decelerate at 2 m/s2.
UslDs formulas
= 1,S'1
VI
x
of CODStaDt acc:eJeration:
-
II."/s·
= i(1 1.S)(t~)
1000-,.
1000 - x
= V2~
-
1 2
-(2)(4)
Combining equatioDS :
X"
1.334
1000 - 1.33 4 = 2 If
= 20.702 s
- Ii
; t,
= 27.603 s
t=tl+~=48.3s
Au
~
*12.32. When two cars A and B are next to one another, they are traveling in the same direction with speeds VA and VB, respectively. If B maintains its constant speed, while A begins to decelerate at a A, determine the distance d between the cars at the instant A stops.
A
B
Motion of carA :
Motion of carB :
The distance between CIIrIA 8IId B is
12.33. If the effects of atmospheric resistance are accounted for, a freely falling body has an acceleration defined by the equation a = 9.81[1 - v2(lO-4)] m/s2, where v is in m/s and the positive direction is downward. If the body is released from rest at a very high altitude, determine (a) the velocity when t = 550 and (b) the body's terminal or maximum attainable velocity (as t -+ 00). Also note that Sq. (1) can be written as (a)
Hf
I( v 1 \ lootanh100
I
[1:'vZ] = 9.81t
1(f[b(:()2JlnG:~:)I =9.811
)1' =9.81(1O- )t 4
0
5{InG:~:)-lnl] =9.8lt When t= 5 s,
l00+v _ _ = ,0.9&1 = 2.667
= 100 tanh(O.4905) = 45.5 mls (b)
From Eq. (2),
with t -+ 00,
v = 100 tanh
=100 mls
00
Ana
l00-v
100+ v = 266.7 -2.667v Ana
12.34. As a body is projected to a high altitude above the earth's surface, the variation of the acceleration of gravity with respect to altitude y must be taken into account. Neglecting air resistance, this acceleration is 2 determined from the formula a = -go[R /(R + y)2], where go is the constant gravitational acceleration at sea level, R is the radius of the earth, and the2 positive direction is measured upward. If go = 9.81 m/s and R = 6356 km, determine the minimum initial velocity (escape velocity) at which a projectile should be shot vertically from the earth's surface so that it does not fall back to the earth. Hint: This requires that v = 0 as y -+ 00.
166.7 v= 3.667 =45.5 mls
Ana
vdv:ady
v= /2goR
= /2(9.81)(6356)(10)3 = 11167 mls .. 11. 2 kmis
AIlS
U-35. Accounting for the variation of gravitational acceleration a with respect to altitude y (see Prob. 12-34), derive an equation that relates the velocity of a freely falling particle to its altitude. Assume that the particle is released from rest at an altitude Yo from the earth's surface. With what velocity does the particle strike the earth if it is released from rest at an altitude Yo = 500 km? Use the numerical data in Prob. 12-34. Frolll Prob. 12-34. (+ t)
Since g dy = v dv
When Yo = SOO Ian.
then
v = - 63S6(10')
-goR~I',. ~ (R+y)2
= f.. vdv
r .,;:
0
y = O.
2(9.81)(SOO)(103)
63S6(6356 + SOO)(l06)
Au
v = - 3016 lIl/s = 3.02 kln/s J,.
z[ R+y. =-2
goR - 1 2
1 1 R+y R+Yo
.,;: 2
goR [ - - - - - ] = Thus v
= -R
go()'o -y) (R+y)(R+~)
*U-36, When a particle falls through the air, its initial acceleration a = g diminishes until it is zero, and thereafter it falls at a constant or terminal velocity vf' If this variation of the acceleration can be expressed as a = (g/v})(v} - v 2 ), determine the time needed for the velocity to become v < vf' Initially the particle falls from rest.
~ =a=(l.)(~-v1) dt VI
i
u
_v_=l. d o vj-v2 VI
1
2v,
£
In(~)IU lit-v
0
dt
0
t=.!'L In(~) 2g v,-v
View publication stats
g
= ~t Ana
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