Hidraulica De Canales.pdf

INDICE

Hidráulica de Canales

11.11.21.31.41.5-

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LAS CONDUCCIONES LIBRES Estudio comparativo de las conducciones libres y forzadas. Empleo de las conducciones libres. Clasificación de las conducciones libres. Clasificación del flujo en conducciones libres. Tiempo y espacio. Clasificación del flujo en conducciones libres. Fuerzas predominantes.

3 3 4 4 6 7

22.12.22.32.42.52.6-

PROPIEDADES DE LAS CONDUCCIONES LIBRES. Tipos de secciones transversales. Propiedades de la sección. Propiedades geométricas de la sección transversal. Propiedades hidráulicas de la sección transversal. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

10 11 12 13 14 21 27

33.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.113.12-

ENERGÍA Y MOMENTUM. Principios de energía y momentum. Principio de energía en conducciones libres. Energía especifica. Energía especifica mínima. Principio de momentum en conducciones libres. Fuerza especifica. Fuerza especifica mínima. Régimen crítico. Cálculo de la profundidad crítica. Control aguas arriba y aguas abajo. Sección de control. Fenómenos locales. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

29 29 29 31 34 36 39 39 45 45 45 49 55

44.14.24.34.44.54.64.74.84.9-

AFORO DE LAS CONDUCCIONES LIBRES. Objetivos y clasificación de los métodos de aforo. Métodos indirectos o de área-velocidad. Método directo de aforo. Técnicas de aforo volumétricas y gravimétricas. Técnica de aforo en secciones de control. Técnica de aforo con canaletas calibradas. Técnica de aforo con vertedores. Técnica de aforo con toberas hidrométricas. Técnica de aforo mediante reguladores con aditamento hidrométrico.

57 57 60 68 68 70 73 86 101 103

55.15.25.35.45.55.65.75.85.9-

REGIMEN UNIFORME Desarrollo del régimen uniforme. Condiciones de equilibrio. Fórmulas de régimen uniforme. Fórmulas de Chezy. Determinación de la C. Fórmula de Manning. Cálculo del régimen uniforme. Determinación de la profundidad normal. Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente limite. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

108 108 109 111 111 114 117 123 124 133

66.16.26.36.46.56.66.76.8-

CRITERIO BÁSICO PARA EL DISEÑO DE UN CANAL Erosión en la sección transversal de un canal. Velocidad critica permisible. Velocidad máxima permisible. Fuerza cortante o de arrastre. Relaciones básicas. Velocidad mínima. Pérdidas de aguas en canales. Talud del canal. Bordo libre.

133 134 134 135 150 159 161 168 170

2

6.96.10-

Sección de máximo radio hidráulico. Sección hidráulica más estable.

171 174

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LAS CONDUCCIONES LIBRES.

77.17.27.37.47.57.67.77.87.9-

DISEÑO DE CANALES. Método para el diseño de canales. Método de la velocidad máxima permisible. Método de la fuerza cortante. Método de la sección de MRH. Método de la sección hidráulicamente más estable. Diseño de canales con sección transversal cerrada. Canales con vegetación. Procedimiento de cálculo. Ejercicios resueltos. Ejercicios propuestos.

177 177 178 180 181 185 189 198 203 207

La conducción de líquidos puede dividirse en dos grandes grupos: las conducciones libres y las conducciones forzadas. Aunque ambos grupos presentan muchos aspectos coincidentes, se diferencian en uno muy importante: las conducciones libres tienen una superficie libre expuesta a la presión atmosférica, mientras que las conducciones forzadas son aquellas en que el liquido Ilena todo el conducto y la presión es diferente a la presión atmosférica.

88.18.28.38.48.58.68.7-

RÉGIMEN GRADUALMENTE VARIADO. Suposiciones básicas. Ecuación elemental del régimen permanente y gradualmente variado. Ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado. Características de las curvas superficiales. Rasgos básicos de las curvas superficiales. Análisis del perfil de flujo. Ejercicios propuestos.

208 208 209 211 215 217 221 227

Las conducciones libres tienen una gran aplicación; por ejemplo: los sistemas de riego y drenaje, las conducciones de agua para acueductos o para industrias, los alcantarillados de nuestras poblaciones y otros.

1.1 Estudio comparativo de las conducciones libres y forzadas. Las conducciones libres y las forzadas pueden ser analizadas a partir de la figura 1.1, donde aparecen los perfiles longitudinales de ambas.

Fig. 1.1 Comparación entre conducciones libres y forzadas

En la conducción forzada representada en la figura 1.1a se han instalado dos piezómetros, uno en la sección 1 y otro aguas abajo en la sección 2. Los niveles de agua en los piezómetros se mantienen por la presión en la conducción, y la línea imaginaria que une estos niveles se denomina rasante piezornélrica. La energía total del agua en cada sección con respecto al datum o plano de referencia, puede expresarse como carga y es igual a la suma de la elevación (z), la altura piezométrica ( P / γ ) y la carga a velocidad ( v / 2 ⋅ g ). donde v es la velocidad media del flujo en dicha sección. La energía en forma de carga se representa gráficamente mediante la rasante de energía, mientras que las pérdidas de carga (hf) entre las secciones 1 y 2 se representan por la diferencia con la horizontal. En la figura 1.1b, a su vez, se muestra el diagrama en el caso de una conducción libre. 2

3

4

Es necesario aclarar que si el flujo es paralelo y la inclinación del fondo del canal es suave, la rasante piezometrica coincide con la superficie libre. pero en caso contrario esto no se comporta así. Los estudios de ambos tipos de conducciones se diferencian por la mayor complejidad de las libres con respecto a las forzadas ya que la superficie puede variar con el tiempo y en el espacio: la profundidad de circulación, el gasto y la pendiente del fondo del canal y de la superficie libre, están interrelacionada la sección transversal de la conducción puede variar en forma y tamaño y las variaciones de la rugosidad, además de ser mayores que en las conducciones forzadas, ocurren al cambiar la posición de la superficie libre. Todo esto dificulta la obtención de datos experimentales en este tipo de conducción y complica bastante los cálculos cuando la posición de la superficie libre es una de las principales incógnitas.

1.2 Empleo de las conducciones libres. La utilización de las conducciones libres es tan antigua como la civilización misma. En los primitivos sistemas de riego y en los primeros acueductos, el hombre utilizo las conducciones libres para llevar el agua desde la fuente de abasto hasta el lugar de su utilización. Las conducciones libres se utilizan en una amplia variedad de obras hidráulicas como conductoras o colectores de agua, en canales de regadío, de abastecimiento urbano e industrial, de drenaje, de alcantarillado pluvial y de aguas negras, canales de navegación, cunetas y surcos. Como se puede observar abarcan obras de variadas envergadura en cuantos sus dimensiones y usos. Entre las obras más notables de la antigüedad se encuentran los canales de riego del Turkestan y los canales para regadío a partir de los ríos Eufrastes y Tigris, uno de los cuales el Narvan, tenía entre 100 y 129m de ancho, 10m de profundidad y 400km de longitud. En las riberas del Nilo, se construyeron canales para regadío hacia 4 500 a.n.e, así mismo en la India y en China ya se construían canales durante el esplendor de esas antiguas civilizaciones. Durante el Imperio Romano, bajo el mandato del emperador Tiberio, se acometieron importantes obras de canalización en Roma. Otras obras significativas se emprendieron bajo los mandatos de Claudio Apio, Augusto, Agripa, y Caligula, entre ellos varios canales de decenas de kilómetros de longitud. A partir del Renacimiento se vuelven a acometer abras de envergaduras en Europa, como el canal de Languedoc de 240km, en Francia, construido para la navegación entre 1667 y 1681 y que aun se utiliza, además de otros de Italia, Inglaterra y Holanda. En Rusia, durante el reinado de Pedro el Grande, se construyeron acueductos y canales para la navegación y el drenaje, entre los cuales se destacan el canal de Ladoga, los del Volga y los del Don. En la época contemporánea se han construido obras gigantescas como el canal Volga-Moscú, el Ferganski del Asia Central y el Gran Canal Volga-Don en la URSS, el All Americam Canal en los EE.UU. y otros. En Cuba antes del triunfo de la Revolución se realizaron muy pocas obras de canalización de importancia. De estas se pueden mencionar los canales de regadío de la zona del Mayabeque y el canal de Roque en Matanzas, aunque la más destacada es el Acueducto de Albear en Ciudad de La Habana, que funciona por gravedad y tiene más de un siglo. Después de 1959 se han utilizado las conducciones libres en numerosas obras. Por ejemplo, el canal magistral de la Presa Zaza, el canal de unión de los embalses Pedroso y Mamposton, numerosas rectificaciones de ríos y canales de drenaje de zonas agrícolas, etcétera.

1.3 Clasificación de las conducciones libres. Las conducciones libres pueden clasificarse de diferentes formas, según los criterios que se utilicen. En general, se puede decir que las conducciones libres se dividen en dos grandes grupos: conducciones libres naturales y conducciones libres artificiales. En las libres se incluyen los ríos, arroyos y corrientes subterráneas, mientras que las artificiales, construidas por el hombre, comprenden los canales, canaletas, alcantarillas, acueductos y cunetas.

3

Pequeñas

Q< 0.5m /s

y< 0.6m

Medias

0.5 ≤Q< 3.0m 3 /s

0.6 ≤y< 1.2m

Grandes

3.0 ≤Q< 10.0m /s

3

Q≥ 10.0m /s

Muy grandes

y≥ 1.6m

Otra clasificación se basa en el uso a que esta destinada la conducción libre: así, por ejemplo, pudieran mencionarse: los canales de riego, los canales de drenaje, los canales para la navegación, los canales conductores (magistrales), etcétera. Las conducciones libres también pueden clasificarse de acuerdo con la forma geométrica de su sección transversal, la inclinación de su fondo (pendiente), el tipo de material que se emplea para revestir sus paredes, el método constructivo empleado en su ejecución y hasta atendiendo al régimen de trabajo. Por ultimo, teniendo en cuenta los objetivos de la conducción, el especialista búlgaro Filiov clasifica las conducciones y recomienda en cada case las probabilidades de diseño (tablas 1.1. 1.2 y 1.3). Tabla 1.1 Clasificación de los canales según su objetivo Objetivo Clase de canal

Hidroenergetico Potencia de la hidroeléctrica (kW)

Riego y drenaje Área beneficiada por el riego (ha)

Área drenada (ha)

I

Mayor que 150 000

Mayor que 25 000

II

De 50 000 a 150 000

De 7 500 a 25 000

Mayor que 5 000

III

De 10 000 a 50 000

De 2 500 a 7 500

De 2 000 a 5 000

IV

Menor que 10 000

Menor que 2 500

Menor que 2 000

Tabla 1.2 Clasificación de los canales según su objetivo Clase de canal ( tabla 1.1 )

Clase de construcción Principales

secundarias

Temporales

I

1

3

4

II

2

3

4

III

3

4

4

IV

4

4

4

Tomada de Hidroteknicheskii Canali, de B. Filiov y otros .

Igualmente se pueden dividir en prismáticas y no prismáticas. Se denominan prismáticas aquellas cuya sección transversal no varia a lo largo de la conducción y no prismáticas a las que tienen una forma geométrica diferente en cada sección transversal. Desde otro punto de vista, las conducciones libres pueden clasificarse, según el caudal de agua que conduzcan, en:

5

1.2 ≤ y< 1.6m

3

6

Tabla 1.3 Probabilidad de diseño de los canales según su clase y condiciones de explotación Clase de construcción ( tabla 1.2 )

∂y =0 ∂x

Régimen Permanente

Probabilidad (%) Condiciones normales de explotación

Condicione extraordinaria de explotación

1

0.1

0.01

2

1.0

0.1

3

3.0

0.5

4

5.0

1.0

CRITERIO ESPACIO

Régimen Impermanente

∂y ≠0 ∂x

Fig. 1.4 Clasificación del régimen según su variación en el espacio

Tomada de Hidroteknicheskii Curiuli, de B. Filiov y otros.

1.4 Clasificación del flujo en conducciones libres. Tiempo y espacio. El flujo se clasifica atendiendo a diferentes criterios: La primera de estas clasificaciones obedece al cambia de la profundidad de circulación respecto a dos criterios básicos: el tiempo y el espacio.

Las cuatro combinaciones posibles de régimen de circulación atendiendo a estos dos criterios (tiempo y espacio) aparecen ilustradas en la figura 1.5. y1 = y2 ;

y1 ≠ y2 ;

∂y =0 ∂t

∂y ≠0 ∂t

Régimen permanente e impermamente , el tiempo como criterio. Se dice que el flujo en un canal es permanente si la profundidad de circulación, en una sección transversal cualquiera, no varía con respecto al tiempo. Por lo tanto, si la profundidad varia, el régimen es impermanente (Fig. 1.3).

Régimen Permanente

∂y =0 ∂t a) REGIMEN PERMANENTE Y UNIFORME

CRITERIO TIEMPO y1 = y2 ; y´,1 = y,2 ; Régimen Impermanente

∂y ≠0 ∂t

b) REGIMEN PERMANENTE Y VARIADO

∂y ≠0 ∂t

y1 ≠ y2 ; y,1 ≠ y,2 ;

∂y ≠0 ∂t

Fig. 1.3 Clasificación del régimen según su variación en el tiempo

Régimen uniforme y variado: el espacio como criterio. El flujo en conducciones libres se clasifica como uniforme si !a profundidad de circulación es la misma en cada una do las secciones analizadas de la conducción en un instante dado. Un flujo uniforme puede ser permanente o no de acuerdo con su comportamiento respecto al tiempo. Por otra parte, el flujo se denomina variado si en cada una de las secciones analizadas tiene una profundidad de circulación diferente. Este tipo de flujo puede ser permanente o no (Fig. 1.4). El flujo variado se subdivide a su vez en gradualmente variado y rápidamente variado. En este último la profundidad de circulación cambia bruscamente en una corta distancia y es denominado por algunos autores como fenómeno local. A este subgrupo pertenecen, la caída hidráulica y el salto hidráulico

c) REGIMEN IMPERMANENTE Y UNIFORME

d) REGIMEN IMPERMANENTE Y VARIADO

Fig. 1.5 Tipos de regimenes según su variación en el tiempo y en el espacio.

1.5 Clasificación del flujo en conducciones libres. Fuerzas predominantes. La segunda de estas clasificaciones diferencia los flujos de agua en las conducciones libres en función de las fuerzas dominantes: viscosidad y gravedad, en relación con las fuerzas de inercia del flujo. Las fuerzas de tensión superficial pueden afectar el flujo solo en casos muy especiales, pero no son frecuentes en la práctica de ingeniería.

7

8

Efecto de la viscosidad En dependencia de las fuerzas de viscosidad con respecto a las de inercia, el flujo en una conducción libre puede ser: laminar, transicional o turbulento (Fig. 1.6). El flujo se denomina laminar si las fuerzas de viscosidad son mucho más fuertes que las fuerzas de inercia. En este tipo de flujo el movimiento de las partículas de agua describe una trayectoria definida a lo largo de pequeños tubos de corriente. En el flujo turbulento las fuerzas de inercia son superiores a las de viscosidad y el movimiento de las partículas de agua describe una trayectoria irregular y errática. Como un caso intermedio entre el flujo laminar y el turbulento se produce el flujo transicional, que como su nombre indica, es la frontera entre ambos flujos. El efecto de la viscosidad (FV) con respecto a la inercia (FI) se representa por el número de Reynolds, definido como:

NR =

FI ρ ⋅ V 2 ⋅ L2 ---------- (1.1) = FV μ ⋅V ⋅ L V ⋅L NR = ---------- (1.2)

ν

Donde: V - velocidad media del flujo, m/s; L - longitud característica, que en las conducciones libres se considera como radio hidráulico (R). m; v - viscosidad cinemática del flujo. m 2 /s; 3 ρ - densidad del agua. Kg/m ; . 2 μ - viscosidad dinámica. N s/m ;

Fig. 1.8 Relación f vs. NR en canales rugoso

El radio hidráulico viene dado por la relación entre el área mojada y el perímetro mojado de la sección transversal de la conducción libre. En las figuras 1.7 y 1.8 se muestran los resultados obtenidos en las universidades de Illinois y Minnesota al cuantificar el efecto de la viscosidad, para canales lisos, y los obtenidos para canales rugosos por Kirschmer. Eisner y Kozeny, en los que se observan claramente las tres zonas de flujo mencionadas .

De los resultados experimentales se deduce que el régimen laminar termina para valores de NR entre 500 y 600. Con propósitos prácticos, en ingeniería se toman como limites de la zona de transición, valores de NR entre 500 y 2 000, con lo cual quedan definidas las zonas de flujo como: Laminar: NR<500. Transcisional: 500 2 000.

Efecto de la gravedad El efecto de la gravedad (FG) con respecto a las fuerzas de inercia (FI) se representa mediante el número de Froude, que se define como:

NF =

NF =

FI = FG

V g⋅L

ρ ⋅ V 2 ⋅ L2 = ρ ⋅ g ⋅ L3

----------

V2 ---------g⋅L

(1.3)

(1.4)

donde: V - velocidad media del agua, m/s; g - aceleración de la gravedad, m/s 2 ; L - longitud característica, que en conducciones libres se denomina profundidad hidráulica (D) y se calcula como la relación entre el área mojada y el ancho de la superficie libre en la sección transversal, m. Fig. 1.7 Relación f vs. NR para canales lisos

9

Cuando el número de Froude es igual a la unidad:

10

V = g ⋅ D ----------

(1.5)

y se dice que el flujo esta en estado critico Si el valor de NF es inferior a la unidad, y por tanto V <

g ⋅ D , el flujo se denomina subcritico, y

en caso que NF sea superior a la unidad, y consecuentemente

V > g ⋅ D , el flujo se denomina supercrítico. En el estado supercrítico las fuerzas de inercia predominan sobre las de gravedad y este flujo de gran velocidad se denomina rápido o torrencial. En la mecánica ondulatoria del agua, velocidad crítica

g⋅D

se denomina velocidad de las

ondas de gravedad, que tienen lugar en la superficie de las aguas de una conducción libre, como resultado de un cambio momentáneo de la profundidad. Esas ondas pueden desplazarse aguas arriba en un régimen subcritico, pero no en un régimen supercrítico. De esta forma posibilidad o imposibilidad de desplazamiento de las ondas de gravedad es un criterio cualitativo práctico y confiable para diferenciar el régimen subcritico del supercrítico .

Conclusiones

2.1 Tipos de secciones transversales. Entre las conducciones naturales, que abarcan desde los pequeños arroyos hasta los grandes estuarios, y comprenden todos los demás tipos de corrientes naturales (ríos, cañadas, etc.), así como las corrientes subterráneas a través de cavernas, es absolutamente imposible hablar de secciones transversales regulares. La diversidad de estas corrientes es in finita y una misma puede variar de forma de un punto a otro, e incluso variar en el tiempo. No obstante, en muchos casos es posible hacer suposiciones razonables y concordantes con la experiencia, de modo que a las condiciones de flujo pueda aplicárseles el tratamiento analítico de la hidráulica experimental. Por ejemplo, muchas conducciones naturales de pequeño o mediano tamaño tienen una sección transversal que puede considerarse como una parábola y en el caso de grandes ríos de un ancho notable, no se introducen errores apreciables de cálculo si la sección transversal se trata como un trapecio o como un rectángulo (Fig. 2.1). En el caso de los canales, generalmente se utilizan secciones transversales de geometría regular. La más utilizada es la trapecial, sobre todo en el caso de canales excavados en el terreno, ya sean estos recubiertos o no. Como casos particulares de la sección trapecial se presentan la triangular, utilizada en pequeñas zanjas y cunetas, y la rectangular que solo es posible emplearla si se trata de excavaciones en material rocoso o muy firme o de canales de hormigón, mampostería o metálicos (Fig. 2.2).

La combinación de los criterios de las fuerzas dominantes, o sea, de los efectos de las fuerzas de viscosidad y gravedad con respecto a las de inercia permite clasificar el flujo en conducciones libres desde un nuevo punto de vista, y así obtener los regimenes: Laminar subcritico; Laminar supercrítico; Turbulento subcritico; Turbulento supercrítico;

Para canaletas prefabricadas o canales elevados, se han utilizado secciones geométricamente mas complejas, en busca de alta resistencia estructural, mayor capacidad de conducción y mejores condiciones de almacenamiento.

Esta última clasificación permite, además, dar una visión mas completa del flujo en una conducción libre, tal como aparece en el cuadro resumen de la figura 1.9.

La selección de la forma depende de numerosos factores: los equipos de construcción utilizados, el use de la conducción, el tipo de recubrimiento, si lo lleva., las dimensiones, el material del cual esta construido, si se trata de un canal construido in situ o prefabricado, las variaciones del caudal que conducirá, su resistencia, vida útil de la obra, y otros.

UNIFORME

Por su parte, entre las conducciones libres cerradas, la sección transversal mas usada es la circular, aunque es frecuente también encontrar las rectangulares (alcantarillas de cajón) y otros formas más complejas coma la ovoidal, la de U, de herradura, de catenaria. etcétera (Fig. 2.3).

LAMINAR - SUBCRITICO PERMANENTE

VARIADO

LAMINAR - SUPERCRITICO

UNIFORME

IMPERMANENTE

TURBULENTO - SUBCRITICO TURBULENTO - SUPERCRITICO

VARIADO

Fig. 2.1 Sección transversal de conducciones libres naturales

PROPIEDADES DE LAS CONDUCCIONES LIBRES. El estudio de las propiedades de la sección transversal de una conducción libre tiene singular importancia, ya que dicha sección es la que define muchas de las características de la conducción. Otras cuestiones fundamentales, como las propiedades geométricas e hidráulicas de la sección, también son tratadas en este capitulo; se definen los principales conceptos y se plantean las formas de cálculo de variables tan importantes como el radio hidráulico y la profundidad hidráulica, la velocidad media, los coeficientes de energía y momentum y la distribución de presiones en la sección transversal. En resumen, el capitulo abarca una temática que será de obligada utilización en el resto del libro y de necesario conocimiento por todo aquel que aspire a estudiar cualquiera de los problemas que presentan estas conducciones.

11

Fig. 2.2 Sección transversal abierta de canales

Fig. 2.3 Secciones transversales cerradas

12

So =tan θ----------

2.2 Propiedades de la sección.

(2.1)

Para estudiar las conducciones libres se debe tener en cuenta una serie de conceptos básicos de extrema importancia, que se dividen en propiedades geométricas y propiedades hidráulicas de la sección. Las propiedades geométricas son aquellas que dependen exclusivamente de la forma de la sección de la conducción y de la profundidad del agua. Las propiedades hidráulicas dependen no solo de la geometría sino también de otros factores como la rugosidad del canal, la pendiente, la variación de dirección, etcétera. Se entiende por sección normal de una conducción la sección transversal tomada perpendicularmente a la dirección del flujo, mientras que la sección transversal tomada en un plano vertical que pase por el punto más bajo de la conducción en una sección normal se denomina sección vertical o simplemente sección (Fig. 2.4).

SECCION VERTICAL

Fig. 2.5 Perfil longitudinal de una conducción libre donde se muestran la profundidad de circulación y el tirante

d0

Fig. 2.4 Sección normal y sección vertical

Fig. 2.6 Geometría de la sección transversal

2.3 Propiedades geométricas de la sección transversal. Antes de enumerar las propiedades geométricas e hidráulicas de una sección, se debe conocer la nomenclatura que se asumirá en lo sucesivo Para definir los elementos geométricos de la sección transversal: la profundidad y el tirante de circulación, el ancho de fondo, la pendiente de los taludes de la sección y el diámetro de la sección transversal (en caso de secciones semicirculares y circulares).

Las propiedades geométricas pueden definirse totalmente en función de la geometría de la sección transversal y de la profundidad del agua (Fig. 2.7).

La profundidad de circulación (y) es la distancia vertical entre la superficie libre del agua y el punto más bajo del fondo del canal (medida en la sección vertical).

- Área mojada (A), es el área de la sección transversal del flujo por debajo de la superficie libre. - Perímetro mojado (P), es la longitud de la traza de las paredes de la conducción más el ancho de fondo. - Radio hidráulico (R), es la relación entre el área mojada y el perímetro mojado:

El tirante (d) es la distancia entre la superficie libre del agua y el punto más bajo del fondo del canal medido en un plano perpendicular a la dirección del flujo, (en la sección normal). En la figura 2.5 puede observarse que ambos conceptos están muy relacionados, Pero no son coincidentes; sin embargo, en el caso de canales de pendiente suave (θ≤60) sus valores son prácticamente iguales y puede usarse indistintamente uno u otro parámetro. Se denomina ancho de fondo o de Plato (b) al ancho del canal en la parte más profunda de la sección normal. Los taludes (m) de un canal suelen ser iguales en ambas paredes y normalmente se identifican por la distancia horizontal que corresponde a una unidad de altura (m : 1). En las conducciones circulares los parámetros geométricos básicos son el diámetro del conducto (do) y el ángulo subtendido (λ) (Fig. 2.6).

Las más importantes de dichas propiedades son las siguientes:

R=

A ---------P

- Ancho superficial (T), es el ancho del canal en la zona de la superficie libre. - Profundidad hidráulica (D), es la relación entre el área mojada y el ancho superficial:

D=

A ---------T

(2.3)

A P A D= T R=

Fig. 2.7 Propiedades geométricas de la sección

La pendiente del fondo (So) se define como la tangente del ángulo de inclinación del fondo θ (ver la figura 2.5):

13

(2.2)

14

En la tabla 2.1 aparecen las expresiones de las propiedades geométricas de algunas de las secciones transversales más comunes.

2.4 Propiedades hidráulicas de la sección transversal.

Tabla 2.1 Propiedades geométricas de las secciones transversales más comunes. SECCION

En la sección normal de una conducción libre la velocidad no es uniforme (Fig. 2.8), debido a que en cada punto el vector velocidad es diferente y por tanto la energía y el momentum de dicha distribución no uniforme de velocidades son diferentes de los que produciría una distribución uniforme.

AREA A

PERIMETRO MOJADO P

b⋅ y

b + 2⋅ y

b ⋅ y + m ⋅ y2

b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m2

m ⋅ y2

2 ⋅ y ⋅ 1 + m2

1 ⋅ (θ − senθ ) ⋅ d 2 8

1 2⋅ y ⋅ θ ⋅ d ; θ = 2 ⋅ cos −1 (1 − ) 2 d

2 ⋅T ⋅ y 3

8 y2 T+ ⋅ 3 T

Fig. 2.8 Distribución de velocidades en la sección Por otra parte, la distribución vertical de presiones puede, en muchos casos, considerarse que cumple la ley hidrostática; sin embargo, en casos de pendientes fuertes o curvaturas en el perfil longitudinal del canal, el valor de la presión en un punto se ve afectado. Las propiedades hidráulicas más importantes de una sección son la distribución de velocidades, la velocidad media, la energía y el momentum correspondientes. y la distribución de presiones. Para determinar las propiedades hidráulicas relacionadas con la velocidad del flujo es necesario conocer la velocidad en cada punto de la sección normal, la cual se obtiene mediante diferentes instrumentos diseñados para ese fin sobre los cuales se trata en el capitulo 4.

Calculo de la velocidad media La velocidad media puede calcularse una vez que se conoce la distribución de velocidades en la sección. Para esto, se calcula la velocidad media en una sección (Fig. 2.9): N

vi =

∑

j =1

v ij

N

----------

(2.4)

----------

(2.5)

y entonces M

v=

∑v i =1

i

A

⋅ Ai (

π 2

− 2) ⋅ r 2 + (b + 2 ⋅ r ) ⋅ y

T2 r2 − ⋅ (1 − m ⋅ cot −1 m) 4⋅m m

Valida para 0 ≤ X ≤ 1 ; donde X =

4⋅ y T

Tomada de Open Channel Hydraulics de V.T. Chow

15

16

(π − 2) ⋅ r + b + 2 ⋅ y

T 2⋅r ⋅ 1 + m2 − ⋅ (1 + m ⋅ cot −1 m) m m

vi = RADIO HIDRAULICO R

ANCHO SUPERFICIAL T

PROFUNDIDAD HIDRAULICA D

b⋅ y b + 2⋅m⋅ y

b

y

b ⋅ y + m ⋅ y2 b + 2⋅ y ⋅ 1+ m

b + 2⋅m⋅ y

b ⋅ y + m ⋅ y2 b + 2⋅m⋅ y

2⋅m⋅ y

1 ⋅y 2

2 ⋅ 1 + m2

(

π 2

1 1 − senθ ⋅( )⋅d θ 4

sen( ) ⋅ d o 2 ⋅ y ⋅ (d − y ) 2

1 θ − senθ ⋅( )⋅d 8 sen(θ ) 2

2 ⋅T 2 ⋅ y 3 ⋅ T 2 + 8 ⋅ y2

3 A ⋅ 2 y

2 ⋅y 3

θ

b + 2⋅r

− 2) ⋅ r 2 + (b + 2 ⋅ r ) ⋅ y

(

(π − 2) ⋅ r + b + 2 ⋅ y

A P

[

2 ⋅ m ⋅ ( y − r ) + r ⋅ 1 + m2

Para X ≥ 1 debe usarse la aproximación P =

2

---------- (2.7)

Existen, por otra parte, métodos mucho más refinados para hacer cálculos más precisos, y una amplia variedad de equipos para llevar a cabo estas mediciones.

Variación de la velocidad en una sección transversal

2

m⋅ y

vi ( 0.2 y ) + vi ( 0.8 y )

Las velocidades en una conducción libre no están uniformemente distribuidas en su sección, debido a la presencia de una superficie libre y a la fricción que se produce entre el agua y las paredes de la conducción; además, influyen la pendiente del canal y las variaciones de sección, de pendiente y de dirección. La máxima velocidad se desarrolla entre el 5 y el 25 % de la profundidad de circulación y mientras mas ancho es el canal más próximo a la superficie tiene lugar esta velocidad máxima.

En la figura 2.10 se muestran diferentes secciones transversales en las cuales están dibujadas las isotacas correspondientes.

π

− 2) ⋅ r 2 2 +y b + 2⋅r

]

A T

1 T ⎡ ⎤ ⋅ ( 1 + x 2 + ⋅ ln( x + 1 + x 2 )⎥ 2 ⎢⎣ x ⎦

Fig. 2.10 Isotacas en la sección transversal La rugosidad de las paredes de la conducción afecta la distribución de la velocidad; a medida que un canal es más rugoso, a mayor profundidad se encuentra la velocidad máxima y menor es su valor. La variación de dirección de un canal ocasiona el surgimiento de corrientes secundarias, que imprimen un movimiento de rotación al agua, debido a la componente de la velocidad tangencial al plano de la sección transversal (Fig. 2.11). Estas corrientes se estudiaran en el capitulo 11.

Fig. 2.11 Corrientes secundarias Fig. 2.9 Velocidad media en una vertical

Coeficientes de energía y momentum Existen formas de cálculo aproximado que permiten estimar este parámetro utilizando pocas observaciones, y que generalmente son engorrosas. Una de estas formas se basa en el hecho empírico de que la velocidad puntual en una vertical al 60 % de la profundidad (0.6y) es aproximadamente igual a la velocidad media en dicha vertical como puede observarse en la figura 2.9. Otra de las formas consiste en suponer que la velocidad media en una vertical es el promedio de las velocidades puntuales al 20 y 80% de la profundidad en dicha vertical (0.2y y 0.8y). vi = vi ( 0.6 y ) ---------- (2.6)

La energía cinética asociada a la distribución real de velocidades de una sección normal se calcula como la sumatoria de las energías cinéticas correspondientes a cada uno de los elementos diferenciales de área en que se puede dividir el área mojada. Como la energía cinética por unidad de tiempo es igual al peso del agua que pasa a través de un elemento de área por su carga velocidad, se tiene:

∂E C = (γ ⋅ ∂Q ) ⋅ ( 17

v2 v2 ) = (γ ⋅ v ⋅ ∂A) ⋅ ( ) 2⋅ g 2 ⋅ g ---------- (2.8) 18

γ ⋅ v3

∂E C =

2⋅ g

notablemente en las proximidades de obstáculos y curvas habiéndose reportado valores de α de hasta 2.

⋅ ∂A ---------- (2.9)

Tabla 2.2

La energía cinética total es:

EC =

γ 2⋅ g

Valores de los coeficientes de velocidad α y β

⋅ ∫ v 3 ⋅ ∂A ---------- (2.10)

E C = (γ ⋅ Q) ⋅ (hv ) = (γ ⋅ v ⋅ A) ⋅ (hv ) ---------- (2.11)

∫v

3

⋅ ∂A

2⋅ g ⋅v⋅ A

---------- (2.12)

o lo que es lo mismo:

hv =

∫v

3

⋅ ∂A

v3 ⋅ A

v α=∫

⋅ ∂A

v3 ⋅ A

v2 ) ---------- (2.13) 2⋅ g

---------- (2.14)

v2 ---------- (2.15) 2⋅ g

2

⋅ ∂A

v ⋅A 2

1.10

1.15

1.20

1.03

1.05

1.07

Corrientes naturales y arroyos

1.15

1.30

1.50

1.05

1.10

1.17

Ríos desbordados

1.50

1.75

2.00

1.17

1.25

1.33

en las cuales el valor de ε se determina por:

vMAX − 1 ---------- (2.20) v

Por otra parte, suponiendo una distribución lineal de velocidades se obtiene:

α = 1 + ε 2 ---------- (2.21) ε2 β = 1 + ---------- (2.22) 3 Distribución de presiones en la sección de una conducción libre

Q ⋅γ ⋅v Q ⋅γ )=β⋅ ⋅ v ---------- (2.16) g g

∫v

Máximo

donde: v MAX : velocidad máxima en la sección.

La carga a presión en cualquier punto de una sección transversal de una conducción libre con pendiente suave puede medirse mediante la columna de agua en un piezómetro introducido en el flujo, cuyo extremo coincida con el punto en cuestión. El nivel de agua en el piezómetro coincide a su vez con la superficie libre de agua, si es que no existen perturbaciones importantes en la circulación; de modo que la distribución de presiones en una circulación libre sigue la, ley hidrostática de distribución de presiones (Fig. 2.12). Esto es valido solamente si el canal es de poca pendiente y el flujo es paralelo, es decir, si las líneas de corriente no presentan curvaturas ni convergencias.

donde:

β=

Medio

α = 1 + 3 ⋅ ε 2 + 2 ⋅ ε 3 ; ---------- (2.18) β = 1 + ε 2 ---------- (2.19) ε=

De manera similar se determina el coeficiente de momentum de la velocidad o coeficiente de Boussinesq (β) de la sección, para calcular el momentum real de dicha sección a partir de la velocidad media. Es decir, el momentum medio de la sección es:

M =(

Máximo Mínimo

A partir de la suposición de una distribución logarítmica de velocidades puede demostrarse que:

Por lo tanto, la carga velocidad correspondiente a la distribución real no uniforme de velocidades puede calcularse como el producto de la carga velocidad correspondiente a la velocidad media por el coeficiente de Coriolis de la sección:

hv = α ⋅

Medio

Tomada de Open Channel Hydraulics, de V. T. Chow

⋅(

A partir de esta expresión puede definirse el coeficiente de energía de la velocidad o coeficiente de Coriolis (α) de la sección como: 3

Valores de β

Mínimo Conducción natural regular, canaletas y canales

De ahí igualando (2.11) y (2.10):

hv =

Valores de α

Tipo de conducción

Por otra parte, puede decirse también que la energía cinética total es el producto del peso del agua que pasa a través del área mojada, por una carga velocidad media (h):

---------- (2.17)

Ambos coeficientes, α y β, son mayores que 1, y tienden a ese valor en la medida que la distribución de velocidades se hace más uniforme. Se ha observado que α varía usualmente entre 1.03 y 1.36 y que β se encuentra entre 1.01 y 1.12 en canales prácticamente prismáticos (tabla 2.2); sin embargo, esos valores pueden aumentar

19

Fig. 2.12 Distribución de presiones. Canal con pendiente suave

20

En el caso de canales que presentan curvaturas en el fondo (como es el caso de vertedores, transiciones, etc.), el flujo deja de ser paralelo debido al efecto de la fuerza centrífuga normal a la dirección de este, y la distribución de presiones es curvilínea (Fig. 2.13). La carga a presión real en un punto cualquiera i, en un canal con curvatura, se determina por:

La presión unitaria es, por tanto,

γ ⋅ y ⋅ cos 2 θ

y la carga será:

h = y ⋅ cos 2 θ = d ⋅ cos θ ---------- (2.26) En el caso de conducciones con régimen variado debe utilizarse la segunda relación, ya que la primera pierde validez.

hC i = hI + CV ---------- (2.23)

Fig. 2.14 Distribución de presiones. Canal con pendiente fuerte

Esta afectación al valor de la carga presión debe aplicarse a canales con pendientes mayores de 0.1; en canales de pendiente mas suave no vale la pena entrar en esos refinamientos de calculo. En los canales de pendiente fuerte. y con curvatura en la sección longitudinal deben aplicarse ambas correcciones (Fig. 2.15):

hC = y ⋅ cos 2 θ ±

v2 ⋅ y ⋅ cos 2 θ ---------- (2.27) g ⋅r

Fig 2.13 Distribución de presiones. Canal con curvatura en el fondo

En la expresión (2.23) hi es la carga presión correspondiente a la distribución hidrostática de presiones y C i es la corrección por efecto de curvatura, que será positiva en caso de un fondo cóncavo y negativa si el fondo es convexo. El valor de C i se calcula a partir de las leyes de Newton:

Ci = ±

v2 ⋅ hi ---------- (2.24) g ⋅ ri

Fig. 2.15 Distribución de presiones. Canal con pendiente fuerte y curvatura

donde: r i : radio de curvatura medido desde el centro de la curva hasta el punto i.

2.5 Ejercicios resueltos.

Para el fondo del canal, donde ocurre la máxima carga presión:

1. Calcular el área mojada, el perímetro mojado y el radio hidráulico del canal trapecial cuya sección se muestra en la figura 2.16. Considere la pendiente del fondo lo suficientemente pequeña como para poder igualar el tirante a la profundidad de circulación.

hC = h ±

v2 v2 ) ---------- (2.25) ⋅ h = h ⋅ (1 ± g ⋅r g ⋅r

En la figura 2.14 se observa que en un canal de pendiente fuerte, el peso de la columna de agua (área rayada en la figura) tiene un valor γ

⋅ y ⋅ cos θ ⋅ dl . La presión debida a ese peso es:

γ ⋅ y ⋅ cos 2 θ ⋅ dl

Fig. 2.16 Sección del canal

21

22

En la figura 2.16 se tienen como datos:

A1 = 0.7 ⋅ 1 + 2.5 ⋅ 12 = 3.2m 2

b = 2.0 m; y = 1,5 m; m = 2,5; de modo que el ancho superficial es:

T = b + 2 ⋅ m ⋅ y = 2 + 2 ⋅ 2.5 ⋅ 1.5 = 9.5m Como se trata de un canal trapecial, su área mojada puede determinarse según:

A=

T +b ⋅ y = b ⋅ y + m ⋅ y 2 = 2 ⋅ 1.5 + 2.5 ⋅ (1.5) 2 = 8.625m 2 2

Para calcular el perímetro mojado es necesario conocer el valor de x, pues P = b + 2 ⋅ x :

x = (1.5) 2 + (2.5) 2 ⋅ (1.5) 2 = 4.039m ; quedando P = 2 + 2 ⋅ 4.039 = 10.078m . También puede calcularse usando la formula del perímetro de un canal trapecial (tabla 2.1):

. Para calcular A 2 hay que determinar primero el valor de x 1 pues su base es b2 = 1.5 + x1 + 2.0 Como x 1 es el ancho superficial del trapecio 1:

x1 = 0.7 + 2 ⋅ 2.5 ⋅ 1 = 5.7 m; b2 = 1.5 + 5.7 + 2.0 = 9.2m; A2 = 9.2 ⋅ 0.5 + 2 ⋅ (0.5) 2 = 5.1m 2 ;

y entonces

A = 3.2 + 5.1 = 8.3m 2 P = 0.7 + 2.0 + 1.5 + 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 ;

El perímetro mojado es

x 2 = (1) 2 + (2.5 ⋅ 1) 2 = 2.693m y x 3 = (0.5) 2 + (2 ⋅ 0.5) 2 = 1.118m A 8.3 Por lo tanto P = 0.7 + 2.0 + 1.5 + 2 ⋅ 2.693 + 2 ⋅ 1.118 = 11.822m y R = = = 0.702m P 11.822 donde:

3. Determinar los coeficientes de Coriolis y Boussinesq (α y β) para el canal cuya sección transversal se muestra en la figura 2.18; las velocidades medias y las áreas en cada una de las subsecciones en que se ha dividido aparecen en la tabla de la figura.

P = b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m2

= 2 + 2 ⋅ 1.5 ⋅ 1 + (2.5) 2 = 10.078m

SUBSECCION

AREA (m2)

VELOCIDAD MEDIA (m/s)

I

0.75

0.280

Finalmente se halla el valor del radio hidráulico

II

4.5

0.530

III

6.5

0.700

IV

6.7

0.785

V

6.2

0.695

VI

5.1

0.470

VII

1.0

0.240

A 8.62 R= = = 0.856m P 10.078

2. Calcular el área mojada, el perímetro y el radio hidráulico del canal cuya sección se muestra en la figura 2.17. El canal tiene una pendiente de 0.1%

Fig. 2.18 Cálculo del caudal en un canal

Recordando que:

α=

∫v

3

⋅ ∂A

v ⋅A 3

≈

∑v

3

⋅ ΔA

v ⋅A 3

y que

β=

∫v

2

⋅ ∂A

v ⋅A 2

≈

∑v

2

⋅ ΔA

v ⋅A 2

;

es necesario determinar primero la velocidad media; para ello, debe obtenerse el gasto total y dividirlo entre el área de la sección. Para llevar los cálculos simultáneamente puede trabajarse en forma de tabla (tabla 2.3). Tabla 2.3 ΔA (m 2 )

v (m/s)

ΔQ = v ⋅ ΔA

I

0.75

0.28

II

4.50

III

6.5

IV V

Subsección

Fig. 2.17 Canal de sección compuesta Como se trata de un canal con pendiente 0.1% puede aceptarse que y = d, ya que θ=arctan0.001 = 3° 27' que es menor que 6°. Al ser la sección transversal compuesta, debe buscarse una combinación de secciones geométricamente sencillas que faciliten los cálculos, y puede, además, considerarse que el área total esta compuesta por los trapecios 1 y 2 mostrados en la figura 2.17 y el área total es A=A 1 +A 2 .

23

v 2 ⋅ ΔA

v 3 ⋅ ΔA

0.210

0.059

0.016

0.53

2.385

1.264

0.670

0.70

4.550

3.185

2.230

6.7

0.785

5.170

4.129

3.241

6.2

0.695

4.309

2.995

2.081

(m 3 /s)

24

VI

5.1

0.470

2.397

1.104

0.519

VII

1.0

0.24

0.240

0.058

0.014

Totales

30.65

19.261

12.794

8.771

v=

como: ri

= 1 + (2 + y i ) = 3 − y i , quedando finalmente

El calculo de

∑ ΔQ = 19.261 = 0.628m / s

Pi

γ

Pi

γ

= y i − 0.638 ⋅

yi 3 + yi

, para valores de y i desde 0 pasta 2, a intervalos de 0.5m aparece en la

tabla 2.4 y el grafico de carga presión en la figura 2.20.

A

30.65 8.771 = 1.144 α= (0.628) 2 ⋅ 30.65 12.794 β= = 1.052 (0.628) 2 ⋅ 30.65

4. Determinar el gráfico de carga presión en las verticales 1, 2 y 3 de la rápida que aparece en la figura 2.19, si se sabe que las profundidades de circulación en dichas secciones son 2m, 1.8m y 1.6m y el gasto es 10 m3/s. Fig. 2.20 Distribución de presiones en la sección 1

Tabla 2.4

P Y

1.6m

Fig. 2.19 Rápida

Análisis de la vertical 1

Ci

(m)

(m)

0

0

0

0.5

0.128

0.372

1.0

0.319

0.681

1.5

0.638

0.862

2.0

1.276

0.724

γ

(m)

Análisis de la vertical 2

La sección 1 tiene perfil longitudinal de fondo convexo y, por tanto en un punto i, a una profundidad y i de la superficie libre actúa una carga presión:

Pi

γ

= yi − Ci

donde C i , que es la corrección por efecto centrífugo se calcula según la formula (2.24):

v2 Ci = ⋅ yi g⋅r Tomando v como la velocidad media en la sección:

v=

Esta sección tiene pendiente uniforme pero fuerte, S = 1/5 = 0,2 = 20%, que corresponde a un ángulo θ=arctan 0.2=110 910, de modo que la carga presión en un punto i, ubicado a una distancia yi bajo la superficie libre es:

Pi

γ

= y i ⋅ cos 2 θ = (cos 2 110 910´) ⋅ y i = 0.962 ⋅ y i ;

lo cual corresponde a una distribución lineal de la carga presión en una vertical, de modo que basta determinar el valor de dicha carga presión en el fondo, para plotear el grafico que se muestra en la figura 2.21:

PFONDO

γ

= 0.962 ⋅ 1.8 = 1.731m

10 = 2.5m / s 2⋅2

luego:

Pi

γ

= yi −

= yi − Ci

yi

y (2.5) 2 ⋅ y i = y i − 0.638 ⋅ i ri 9.8 ⋅ ri

25

26

0.5 1.0

ri 1.5

yi

1.8

1.6-yi

Fig. 2.21 Distribución de presiones en la sección 2

Análisis de la vertical 3 DISTRIBUCION HIDROSTATICA

Es una sección de perfil de fondo cóncavo y por tanto:

0.4

y ⋅ v2 = yi + Ci = yi + i γ g ⋅ ri

Pi

0.8 1.2

AI igual que en la sección 1, se toma v como la velocidad media:

v=

1.6

Q 10 = = 3.125m / s ; A 2 ⋅ 1.6

luego:

Pi

γ

= yi +

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

CARGA PRESION (m)

y y i (3.125) 2 ⋅ = y i + 0.996 ⋅ i ; ri 9.8 ri

Fig. 2.22 Distribución de presiones en la sección 3

2.6 Ejercicios propuestos. tomando valores de yi desde 0 hasta 1.6 cada 0.4 m (tabla 2.5 y Fig. 2.22). Tabla 2.5 yi (m) 0 0.4 0.8 1.2 1.6

ri (m) 1.5 1.9 2.3 2.7 3.1

Ci (m) 0 0.211 0.348 0.444 0.516

P/γ (m) 0 0.611 1.148 1.644 2.116

1. Calcular el área mojada, el perímetro mojado y el radio hidráulico del canal cuya sección vertical se muestra en la figura 2.23a, sabiendo que la pendiente de fondo del canal es 0.15. R/ d = 1.978 m; A = 11.823 m 2 ; P = 9.594 m; R = 1.232 m. 2. Calcular el radio hidráulico del canal cuya sección transversal aparece en la figura 2.23a, y que tiene una pendiente de fondo de 0.001. R / R = 1.243 m. 3. Calcular el radio hidráulico del canal cuya sección se muestra en la figura 2.23b, y que tiene una pendiente de 0.0016. R/ R = 0,5513 m.

Fig. 2.23 Canales

27

28

4. A un río se le hizo un aforo de velocidades cuyos resultados aparecen en la figura 2.24. Determinar la

v de cada vertical, así como α y β. Usar el criterio v = v ( 0.6 h ) y v = v ( 0.2 h ) + v ( 0.8 h ) .

En este capitulo se presenta la aplicación de los principios de conservación de la energía y el momentum a conducciones libres, así como la utilización practica de ambos principios. En el se definen conceptos básicos como la energía especifica y la fuerza especifica y a partir de ellos se hace un estudio del régimen critico y sus propiedades, y la profundidad critica y su aplicación a las llamadas secciones de control de diferentes aforadores.

R/ v = 0.670 m/s; v = 0.674 m/s; α = 1.16; β = 1.06; α = 1.14; β= 1.06. 1.5m

3.0m

3.0m

3.0m

1.5m

y

ENERGIA Y MOMENTUM.

SEC 1

SEC 2

SEC 3

SEC 4

2.0

2.5

3.0

2.0

V0.2 h

0.60

0.97

1.13

0.55

V0.4 h

0.58

0.90

1.06

0.50

V0.6 h

0.50

0.77

0.91

0.43

V0.8 h

0.38

0.56

0.77

0.25

Fig. 2.24 Sección transversal del río 5. Construir el gráfico de carga presión en la sección 1 de la figura 2.25, si se sabe que el gasto es 12 m 3 /s. 6. Construir el gráfico de carga presión en la sección 2 de la figura 2.25, si se sabe que el gasto 3 es 12 m /s.

También se estudian los conceptos de profundidades alternativas y profundidades conjugadas, y finalmente, los fenómenos locales.

3.1 Principios de energía y momentum. En la mayor parte de los problemas relacionados con el régimen uniforme las ecuaciones que representan ambos principios pueden llevar a resultados satisfactorios. Sin embargo, la naturaleza de dichos principios es diferente, tanto en su forma como en lo que representan: mientras que la ecuación de energía es escalar, en la ecuación de conservación del momentum intervienen elementos vectoriales. En la ecuación de energía se trabaja con la disipación de energía interna y en la ecuación de momentum con las perdidas debidas a las, fuerzas externas ejercidas por las paredes, obstáculos u otros objetos ajenos a la masa de agua. Cuando la disipación de energía se debe exclusivamente a las paredes, los resultados de ambas ecuaciones son similares, pero en caso contrario, debe seleccionarse cuidadosamente cual de las dos se utiliza, en dependencia de la información disponible. Para el análisis del flujo estas dos ecuaciones se complementan: la información que no se obtiene a partir de una, se obtiene a partir de la otra. En los casos en que se produce una pérdida de energía grande y desconocida, la ecuación de energía no puede aplicarse directamente y es necesario aplicar la ecuación de momentum y a partir de ella evaluar las perdidas.

Y

3.2 Principio de energía en conducciones libres. La carga total correspondiente al punto de una línea de corriente en que esta atraviesa una sección, esta compuesta por la carga elevación de ese punto, medida desde un plano horizontal de referencia o datum, la carga a presión que actúa sobre el punto y su carga velocidad:

H =z+ Fig. 2.25 Rápida.

P

γ

+

v2 ----------- (3.1) 2⋅ g

En la figura 3.1, la sección O se encuentra atravesada por una línea de corriente en el punto A y la carga en ese punto estará dada por:

H A = zA +

PA

γ

2

+

vA ---------- (3.2) 2⋅ g

donde: ZA - altura del punto A con respecto al datum; PA - presión actuante sobre el punto; vA - velocidad del flujo en el punto.

29

30

donde: v - velocidad media. Cuando se trata de un canal con curvatura en el fondo, la carga a presión se sustituye por su valor, según la expresión (2.25):

P

γ

= y ⋅ cos 2 θ ⋅ (1 ±

v2 ) g ⋅r

La ecuación de energía para una sección, se expresa, en su forma más general. como: Fig. 3.1 Energía en un punto

H = z + y ⋅ cos 2 θ ⋅ (1 ± Si se trata de un canal sin curvatura en el fondo, donde puede considerarse la ocurrencia de flujo paralelo, es valida la expresión (2.26), es decir:

PA

γ

= d A ⋅ cos θ = y A ⋅ cos 2 θ ;

La línea imaginaria que une la carga total en cada una de las secciones de una conducción se denomina rasante de energía y su pendiente en cualquier punto se representa por S a. La pendiente de la superficie del agua se simboliza por S, y la pendiente del fondo por S o, como se señalo en el primer capitulo. De acuerdo con el principio de conservación de la energía, se plantea para las secciones 1 y 2 (ubicada aguas abajo de la 1):

donde:

z 1 + y1 ⋅ cos 2 θ ⋅ (1 ±

d A - distancia de la superficie del agua al punto A, medida en la sección normal; yA - distancia vertical desde la superficie del agua hasta el punto A; θ - ángulo de inclinación del fondo del canal. Entonces, la ecuación de energía se presenta como: 2

v H A = z A + d A ⋅ cos θ + A ---------- (3.3a) 2⋅ g

2

2

2

----------- (3.7)

≤ 6 0 ) y sin curvatura:

2

v v z 1 + y1 + α 1 ⋅ 1 = z 2 + y 2 + α 2 ⋅ 2 + hf 1− 2 2⋅g 2⋅g

---------- (3.8)

α1 = α 2 = 1 2

z 1 + y1 +

v2 ---------- (3.4a) 2⋅ g

2

Si se trata de un canal con pendiente pequeña ( θ

y además

En este caso, en que la distribución es hidrostática para cualquier punto de la sección, la carga total es la misma. Así, para un punto ubicado en el fondo del canal puede plantearse:

H = z + y ⋅ cos 2 θ +

2

v v v1 v ) + α 1 ⋅ 1 = z 2 + y 2 ⋅ cos 2 θ ⋅ (1 ± 2 ) + α 2 ⋅ 2 + hf 1− 2 2⋅g 2⋅g g ⋅r g ⋅r

Esta expresión se denomina ecuación de energía y corresponde a las condiciones, para una conducción libre, de la ecuación de energía de Bernoulli.

2

v H A = z A + y A ⋅ cos θ + A ---------- (3.3b) 2⋅ g 2

H = z + d ⋅ cos θ +

v2 v2 ---------- (3.6) ) +α ⋅ g ⋅r 2⋅ g

2

v1 v = z 2 + y 2 + 2 + hf 1− 2 2⋅g 2⋅g

---------- (3.9)

La expresión (3.9) es la forma práctica más usual de presentar esta ecuación. En la generalidad de los casos no se cometen errores apreciables al trabajar con esta expresión simplificada.

3.3 Energía especifica. Energía especifica mínima. Se define como energía específica de una sección normal de una conducción libre el valor de la carga total cuando el datum coincide con el fondo de la conducción en dicha sección, de modo que:

2

v ---------- (3.4b) 2⋅ g

E = d +α ⋅

donde: z - altura del fondo del canal con respecto al datum; d – tirante; y - profundidad de circulación; v - velocidad en el fondo. Si se desea considerar la carga total asociada a la sección, debe tenerse en cuenta que la carga velocidad de la distribución de velocidades puede determinarse a partir de la velocidad media y el coeficiente de Coriolis α según la expresión (2.15), de modo que la energía total correspondiente a una sección es:

H = z + y ⋅ cos 2 θ + α ⋅

v2 ---------- (3.5) 2⋅ g

v2 ---------- (3.10) 2⋅ g

Para conducciones de pendiente suave y distribución bastante uniforme de la velocidad expresión (3.10) puede simplificarse como:

E = y+

v2 ---------- (3.11) 2⋅ g

De acuerdo con la ecuación de continuidad ( Q

31

= v ⋅ A ) la energía específica puede expresarse como: 32

∂A = T ---------- (3.16) ∂y

Q2 ---------- (3.12) 2 ⋅ g ⋅ A2 y puesto que A = f ( y ) , entonces queda: E = y+

Entonces:

Q2 1 ---------- (3.13) E = y+ ⋅ 2 ⋅ g f ( y) Esta última ecuación puede representarse gráficamente en un sistema de ejes E vs. y como la suma de dos expresiones:

E1 = y ---------- (3.14)

E=

Q2 1 ) ---------- (3.15) ⋅( 2 ⋅ g f ( y)

Q2 ∂E = 1− ⋅ T ---------- (3.17) ∂y g ⋅ A3 A Sustituyendo Q = v ⋅ A y =D T ∂E v2 ---------- (3.18) = 1− ∂y g⋅D Como se desea conocer el punto donde E toma un valor mínimo,

∂E debe tomar el valor cero, y ∂y

queda:

La primera de estas expresiones es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1 (obsérvese 0 que si θ >6 la pendiente de la recta ya no seria 1), mientras que la segunda es una curva que tiende a cero cuando (y) tiende a infinito y a su vez la curva tiende a infinito cuando (y) tiende a cero. Sumando gráficamente ambas expresiones, como se indica en la figura 3.2., se obtiene el grafico de la energía específica contra la profundidad de circulación o curva de la energía especifica. En el grafico de energía específica se observa un punto de singular importancia: el punto donde la energía específica es mínima.

0 = 1−

v2 g⋅D

o lo que es igual:

v2 g⋅D

= 1 ---------- (3.19)

Para obtener el valor de la energía especifica mínima, así como el valor de la profundidad de circulación a que esta ocurre debe cumplirse que

∂E =0 . ∂y

Fig. 3.3 Valor de ∂A

Como se recordara, el miembro de la izquierda es la expresión del número de Froude y al ser un valor igual a la unidad indica que corresponde a un régimen crítico. A partir de lo anterior puede interpretarse que cuando el régimen es crítico tiene lugar la energía específica mínima, la profundidad de circulación correspondiente a esta condición se denomina profundidad crítica. A partir de la expresión (3.18) se puede plantear:

∂E = 1 − NF 2 ∂y

. Esta ecuación permite analizar las características de las ramas superior e inferior de la curva de energía específica (Fig. 3.2). Este análisis puede dividirse en dos casos . Primer caso:

Fig. 3.2 Curva de energía específica

∂E >0 (Representa la rama superior de la curva) ∂y

Derivando E con respecto a (y) en la expresión (3.12):

Q 2 ∂ ( A −2 ) Q 2 ∂A ∂E ---------- (3.15) = 1+ ⋅ = 1− ⋅ 2⋅ g ∂y ∂y g ⋅ A 3 ∂y Ahora bien, en la figura 3.3 se observa que para un incremento

2

2

1-NF >0; NF <1; NF<1; lo cual demuestra que esa rama es característica del régimen subcritico.

∂y ocurre un incremento de área

Segundo caso:

∂E <0 (Representa la rama inferior de la curva) ∂y

∂A , cuyo valor es ∂A = T ⋅ ∂y , o sea:

1-NF 2 <0; NF2 >1; NF>1;

33

34

lo cual demuestra que esa rama es característica del régimen supercrítico.

β2 ⋅

Otra propiedad importante que se deriva de la ecuación (3.I8) es:

v2 D ---------- (3.20) = 2⋅ g 2

Q ⋅γ Q ⋅γ ⋅ v2 − β1 ⋅ ⋅ v1 = W1 − W2 + W ⋅ senθ − F f ---------- (3.24) g g

donde:

es decir, que cuando ocurre un régimen critico en una sección, la carga velocidad es numéricamente igual a la mitad de la profundidad hidráulica.

W 1 y W 2 - fuerzas debidas a la distribución de presiones sobre las secciones normales 1 y 2 respectivamente; W - peso de la masa de agua comprendida entre las dos secciones;

Sustituyendo la expresión (3.20) en la ecuación general (3.11) de la energía especifica:

E MIN = y C +

D ---------- (3.21) 2

donde: yC – profundidad crítica. En el caso de canales rectangulares, en los cuales D = y, la expresión (3.21) se convierte en:

E MIN =

3 ⋅ y C ---------- (3.22) 2

Con respecto al características:

grafico

de

energía

específica

pueden

establecerse

las

siguientes

1. Para un gasto dado, cuando la profundidad de circulación es la crítica, la energía especifica del flujo es mínima. 2. Para un gasto dado existen siempre dos profundidades de circulación para las cuales el flujo tiene la misma energía específica. 3. Las dos profundidades asociadas a una misma energía específica se denominan profundidades alternativas. 4. La porción de la curva por encima de la profundidad critica representa condiciones de flujo subcritico(al ser la profundidad de circulación mayor que la critica la velocidad disminuye y por tanto el numero de Froude se hace inferior a 1). 5. La porción de la curva situada por debajo de la profundidad crítica representa condiciones de flujo supercrítico.

Fig. 3.4 Principio de Momentum Ff - resultante de todas las fuerzas ejercidas por las paredes, obstáculos, etc. (incluida la fricción entre el fluido y las paredes) sobre la masa de agua en movimiento entre las secciones 1 y 2. La expresión (3.24) puede simplificarse:

6. Para una energía especifica dada, una de las profundidades alternativas es subcritica y se denomina profundidad alternativa superior, en tanto que la otra es supercrítica y se denomina profundidad alternativa inferior.

Q ⋅γ ⋅ ( β 2 ⋅ v 2 − β1 ⋅ v1 ) = W1 − W2 + W ⋅ senθ − F f ---------- (3.25) g

7. Para que ocurra flujo en un canal, necesario que exista una energía especifica igual o mayor que la E MI N asociada al gasto que circula, pues para contenidos de energía inferiores a este valor no es posible la circulación.

A esta ecuación se le denomina ecuación del momentum.

3.4 Principio de momentum en conducciones libres. El momentum del flujo a través de una sección transversal en la unidad de tiempo se expresa por:

v M = β ⋅ γ ⋅ Q ⋅ ----------- (3.23) g De acuerdo con la Segunda Ley del Movimiento de Newton, la variación del momentum de una masa de agua en movimiento por una conducción libre, en la unidad de tiempo, es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre dicha masa. Si se aplica este principio a la conducción de la figura 3.4, puede escribirse en relación con la masa de agua confinada entre las secciones 1 y 2:

35

En el caso de régimen uniforme o gradualmente variado, los valores de W 1 y W 2 pueden calcularse suponiendo una distribución hidrostática de presiones. En el caso de flujo curvilíneo o rápidamente variado, esto deja de ser valido, y para haber más sencillos los cálculos puede obtenerse W = β , ⋅ W , donde β ´ es un coeficiente de corrección para la sección normal en cuestión, que se denomina coeficiente de distribución de presión (Fig. 3.5) y su valor puede calcularse por:

β, =

1 1 ÷ h ⋅ ∂A = 1 + ⋅ C ⋅ ∂A ----------- (3.26) A ⋅ z ∫A A ⋅ z ∫A

donde: z - profundidad a que se encuentra el centroide del área mojada medido desde la superficie del agua en una sección normal; h - carga a presión sobre un elemento de área ∂A ; C - coeficiente de corrección de la carga presión por efecto de la curvatura (ver capitulo 2). ´

Obsérvese que β es mayor que 1 para flujo cóncavo, menor que 1para flujo convexo, e igual a 1 en flujo paralelo.

36

Q2 Q2 + z 1 ⋅ A1 = + z 2 ⋅ A2 ----------- (3.29) g ⋅ A2 g ⋅ A1 La fuerza especifica, F, se define por la expresión:

F=

Q2 + z ⋅ A ---------- (3.30) g⋅A

Como tanto A como z son funciones de la profundidad de circulación del agua, puede establecerse una relación F v s . y, que puede representarse gráficamente, lo mismo que la relación E vs. y. Ese grafico F v s . y (Fig. 3.7), se denomina curva d e f u e r z a específica. Fig. 3.5 Principio de momentum en flujo curvilíneo

F2 =

Esta ecuación podrá aplicarse directamente, entre otros, a los siguientes casos: a) cuando las pérdidas por energía interna son despreciables, aunque Ff no lo sea (este es el caso de compuertas deslizables); b) cuando Ff es despreciable, pero las pérdidas de energía interna son apreciables (como sucede en un salto hidráulico simple); c) cuando ni las pérdidas ni Ff pueden ser despreciados (lo que sucede en un salto hidráulico provocado por algún obstáculo).

Q2 g⋅A

F1 = z ⋅ A

SECCION

3.5 Fuerza especifica. Fuerza especifica mínima. Cuando se aplica el principio de momentum a un tramo como de una conducción libre, prismática y de pendiente horizontal o rnuy suave (Fig. 3.61), las fuerzas de fricción y el peso del agua no influyen en la ecuación de momentum θ ≈ 0 y F f =0.

Fig. 3.7 Curva de fuerza especifica En el grafico de la figura 3.7 se observa también la existencia de una profundidad para la cual la fuerza específica es mínima. Al igual que en el caso de la energía específica mínima, este punto puede hallarse buscando el valor que anula la primera derivada de la ecuación (3.10):

∂ ( z ⋅ A) ∂F Q 2 ∂ 1 = ⋅ ( )+ ; ∂y g ∂y A ∂y Q2 ∂F ∂A ∂ ( z ⋅ A) =− ⋅( ) + = 0 ----------- (3.31) ∂y ∂y g ⋅ A 2 ∂y El primer sumando de la ecuación es de fácil solución ya que

Fig. 3.6 Fuerza especifica Si, además se supone que

β 1 ≈ β 2 ≈ 1 , la ecuación de momentum queda de la forma:

Q ⋅γ ⋅ (v1 − v 2 ) = W1 − W2 ---------- (3.27) g Las fuerzas debidas a la presión hidrostática son:

El segundo sumando de la ecuación puede resolverse de la siguiente forma:

∂ ( z ⋅ A) 1 = ⋅ ∂ ( z ⋅ A) = 0 ∂y ∂y pero:

∂ ( z ⋅ A) = ( z ⋅ A) INCREMENTADO − ( z ⋅ A) ;

W1 = γ ⋅ z 1 ⋅ A1 ---------- (3.28)

luego:

W2 = γ ⋅ z 2 ⋅ A2

∂ ( z ⋅ A) = (

Q Q y v2 = queda: Como, por otra parte, v1 = A1 A2

37

∂A según ( 3 . 1 6 ) es igual a T. ∂y

y + ∂y y ) ⋅ ( y + ∂y ) ⋅ T − ⋅ ( y ⋅ T ) 2 2

de modo que:

38

∂ ( z ⋅ A) = T ⋅ y ⋅ ∂y + Despreciando ( ∂y ) .

T ⋅ (∂y ) 2 , 2

3 . 6 R é g i m e n crítico. El estado crítico se caracteriza por una serie de rasgos y peculiaridades: El valor del número de Froude es 1. La velocidad del flujo en la sección es numéricamente igual a la velocidad de las ondas de gravedad producidas en aguas poco profundas por perturbaciones locales

2

∂ ( z ⋅ A) = A ⋅ ∂y ,

v = g⋅D

∂ ( z ⋅ A) 1 = ⋅ ( A ⋅ ∂y ) , ∂y ∂y

La energía específica es mínima para un gasto dado. La fuerza específica es mínima para un gasto dado. El gasto es máximo para un valor dado de energía específica. La carga velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica.

∂( z ⋅ A) = A, ∂y

El segundo rasgo es, posiblemente, el que con más facilidad permite identificar de forma visual la naturaleza del régimen de circulación.

por lo tanto

Como las ondas de gravedad se mueven con una velocidad v en todas direcciones y, aunque la velocidad en la superficie no coincide con la velocidad media, no se aleja mucho de ese valor y para condiciones practicas pueden considerarse iguales, por lo tanto, si el régimen es supercrítico (NF>1 o v < (gD)1/2, las ondas de gravedad no pueden propagarse aguas arriba. En el caso de que el flujo este circulando con un régimen subcritico. las ondas de gravedad si pueden propagarse en dirección aguas arriba (Fig. 3.8).

y puede plantearse:

Q ∂F =− ⋅ T + A ---------- (3.32) ∂y g ⋅ A2 2

y como condición de mínimo:

−

Q2 ⋅T + A = 0 ---------- (3.33) g ⋅ A2

Pero como

Q T 1 1 = v , multiplicando por ( ) ambos miembros de la ecuación ( 3 . 3 3 ) se llega = y A D A A

a:

v2 = 1 ---------- (3.34) g⋅D

Fig. 3.8 Propagación de ondas de gravedad

y extrayendo raíz cuadrada:

v g⋅D

Al valor de velocidad ( v =

= 1 ---------- (3.35)

Por ser la expresión ( 3 . 3 5 ) la condición de régimen critico, implica que la fuerza especifica es mínima cuando el régimen es critico. Al observar la curva de fuerza específica se concluye que: 1. Para un gasto dado, cuando la profundidad de circulación es l a c r í t i c a , fuerza especifica del flujo es mínima.

g ⋅ D ) correspondiente al estado crítico se le denomina velocidad critica.

El estudio del estado crítico se refiere principalmente a una determinada sección del canal donde tiene lugar este tipo de régimen, y que se denomina sección critica. Si la condición de estado crítico ocurre a lo largo de un tramo del canal se dice que existe un flujo crítico en el canal. Como indica la condición de estado crítico, la profundidad crítica depende de l a geometría del canal cuando el gasto es constante. Por lo tanto en un canal prismático la profundidad crítica es constante a lo largo de dicho canal e independiente de la pendiente del fondo.

3.7 Cálculo de la profundidad crítica. 2. Para un gasto dado, existen siempre dos profundidades de circulación para las cuales el valor de la fuerza específica es el mismo. 3. Las dos profundidades asociadas a un mismo valor de fuerza específica se denominan profundidades conjugadas. 4. La porción superior de la curva representa condiciones de régimen subcritico. 5. La porción inferior de la curva corresponde a condiciones supercríticas de circulación. 6. Para una fuerza especifica dada, una de las profundidades conjugadas es subcritica y se denomina profundidad conjugada superior, mientras que la otra es supercrítica y se llama profundidad conjugada inferior.

39

A partir de la condición de estado crítico, y de acuerdo con la ecuación de continuidad:

Q = g⋅D

---------- (3.6)

Como que tanto A como D son funciones de y, el l producto escribirse:

Q = A ⋅ D = f ( y) g

A⋅ D

también

lo

es

y

puede

---------- (3.7)

El valor de la profundidad crítica puede calcularse resolviendo esta ecuación analíticamente, mediante un gráfico, tablas, ábacos, etcétera. Por ejemplo se trata de un canal trapecial se puede proceder de la manera siguiente:

40

'

A = b ⋅ y + m ⋅ y2 D=

b ⋅ y + m ⋅ y2 b + 2⋅m⋅ y

f ( y ) = (b ⋅ y + m ⋅ y 2 ) ⋅

b ⋅ y + m ⋅ y2 Q = b + 2⋅m⋅ y g

por algún método iterativo o por tanteos, como se indica en el diagrama de bloques de la figura 3.9. Un procedimiento de tanteo que converge rápidamente, y que es muy útil, tanto en cálculo manual como automatizado, es el siguiente: Sea la ecuación

Q g

= A ⋅ D = f ( y)

Si la y supuesta es mayor que la necesaria para hacer valido el signo igual, quedaría

A⋅ D >

Q g

o sea, el desbalance es hacia la izquierda y viceversa. Una vez establecida la ley de desbalance, se asume un límite inferior y otro superior para la variable a calcular; por ejemplo, para el caso de yC, puede establecerse, según el caso:

y CMIN = 0 y CMAX = 20.0m . Después de suponer los limites, el tanteo se realiza de forma muy simple, utilizando como variable de tanteo la promedio entre la mínima y la máxima y cambiando el valor de una de ellas de acuerdo con el sentido del desbalance, por ejemplo: valor real de y C = 3.6 m _

Q

Primer tanteo: y C = 10.0 m; Conclusión:

g

< A⋅ D

y C MAX es muy grande y por tanto hay que disminuir el límite.

y C MIN = 0 y C MAX = 10.0m Segundo tanteo: yC = 5.0m; Conclusión:

Q g

< A⋅ D

y C MAX es muy grande por lo tanto hay que disminuir el limite;

y CMIN = 0 y CMAX = 5.0m Tercer tanteo: yC = 2.5 m;

Q

> A⋅ D

g

Conclusión: el desbalance ocurre en el otro sentido, y en este caso hay que incrementar el límite inferior;

y CMIN = 2.5

Fig. 3.9 Calculo de yC. Diagrama de bloque

y CMAX = 5.0m Cuarto tanteo: yC = 3.75m;

Q g

< A⋅ D

41

42

Conclusión: de nuevo cambia el sentido del desbalance.

y CMIN = 2.5

y CMAX = 3.75m

Quinto tanteo: yC = 3.12m;

Q g

> A⋅ D

y CMIN = 3.12 y CMAX = 3.75m

Fig. 3.10 Curvas adimensionales para el cálculo de yC

43

44

Sexto tanteo: yC = 3.44m;

Q g

3.8 Control aguas arriba y aguas abajo

> A⋅ D

La propiedad del flujo crítico referente a la relación entre la velocidad crítica y la velocidad de las ondas de gravedad permite deducir algunos aspectos de índole práctica de notable importancia en la manipulación y control del agua en los canales.

y CMIN = 3.44 y CMAX = 3.75m Séptimo tanteo: yC = 3.59m,

Q g

= A⋅ D

Después de este resultado, puede detenerse el proceso de cálculo.

Como en el caso de flujo supercrítico, ]as perturbaciones no se trasmiten aguas arriba, debido a que la velocidad media del flujo es mayor que la velocidad de las ondas de gravedad, cuando en un canal ocurre un régimen supercrítico este no puede controlarse desde aguas abajo, sino desde aguas arriba. Por el contrario, si el flujo es subcritico, como las ondas de gravedad si se pueden propagar en dirección aguas arriba, el control puede realizarse desde aguas abajo. Esto puede ejemplificarse mediante el uso de una compuerta deslizable, como la que aparece en la figura 3.12.

Como elemento auxiliar para el cálculo puede utilizarse el gráfico adimensional de la figura 3.10, que permite calcular la profundidad critica con una buena aproximación en caso de canales rectangulares, trapeciales o circulares. Si se analiza dimensionalmente la expresión (3.37), se concluye que cada miembro es una longitud 2.5 elevada a la potencia 2.5; por lo tanto, si se divide cada miembro por b se tiene uno de los ejes adimensionales del grafico de la figura 3.10. El otro eje se obtiene dividiendo la profundidad por el ancho de plato. El grafico se utiliza en la forma que se indica en el diagrama de bloques de la figura 3.11

Fig. 3.12 Control aguas arriba y aguas abajo El flujo aguas arriba de la compuerta es subcritico y se controla mediante la compuerta ubicada aguas abajo, mientras que aguas abajo el flujo es supercrítico y se controla por una compuerta ubicada aguas arriba.

3.9 Sección de control. Se denomina sección de control a la sección crítica; es decir, aquella en la cual ocurre un régimen crítico, ya que debido a la configuración del canal el flujo pasa de un régimen subcritico aguas arriba a uno supercrítico aguas abajo de manera gradual, para todos los gastos esperados que puedan circular por el canal. Estas secciones son de extraordinaria importancia práctica, puesto que, como se sabe, la profundidad crítica depende solamente de la configuración del canal y del gasto que circula. Si la geometría es conocida, basta medir la profundidad de circulación en esa sección, que será yc y puede determinarse el caudal. De modo que las secciones de control sirven como elementos aforadores de un canal. Existen numerosos elementos y estructuras que tienen como objetivo asegurar la existencia de una sección de control que permita medir y controlar el, flujo que circula por un canal; entre ellos están los vertedores y los canales Venturi y Parshall, que son los más utilizados entre otros.

3.10 Fenómenos locales. En las conducciones libres ocurre frecuentemente que el flujo pasa de un estado subcritico a otro supercrítico o viceversa, con el consecuente cambio de tirante. Cuando ese cambio tiene lugar en un tramo relativamente corto, se esta en presencia de un régimen rápidamente variado y se dice que se trata de un fenómeno local. Los tres fenómenos locales más frecuentes en canales son: la caída hidráulica, la caída libre y el salto hidráulico. Caída hidráulica Consiste en un descenso rápido del tirante, ocasionado generalmente por un aumento brusco de la pendiente del fondo del canal o por un estrechamiento súbito de la sección transversal de dicho canal, que hace que el flujo pase de subcritico a supercrítico. Fig. 3.11 Calculo de yC con el grafico adimensional. Diagrama de bloques.

45

En la zona del fenómeno, la superficie del agua, tal como aparece en la figura 3.13, tiene la configuración de una S invertida que une el tirante antes y después de la caída. El punto de inflexión de la curva coincide, aproximadamente, con la sección de control donde ocurre el tirante crítico. En ese punto la energía específica alcanza su valor mínimo y se pasa de un régimen subcritico a uno supercrítico

46

. Un análisis de la caída hidráulica con el auxilio del grafico de energía específica (Fig. 3.13) muestra que si el estado energético inicial del flujo era E 1 , el estado final puede coincidir con E 1 , si la pendiente del fondo o la sección transversal del tramo aguas abajo son tales que permitan lograr su valor. Igualmente, la energía del flujo en el tramo aguas abajo puede resultar mayor o menor que la energía inicial E 1 .

Fig. 3.13 Caída hidráulica

Se representa por yb el tirante en el borde de la caída libre y se le denomina profundidad de circulación en el borde. En este fenómeno se produce una pérdida de energía específica, como puede observarse en la curva de la figura 3.15, cuando el flujo pasa del estado energético E 1 , al estado E MIN

Fig. 3.15 Energía especifica en una caída hidráulica

Caída libre.

Salto hidráulico

Aunque muchas veces se le considera un caso particular de la caída hidráulica, en realidad es un fenómeno cualitativamente diferente. Ocurre cuando en un punto del canal este es interrumpido bruscamente y el agua deja de estar soportada en el lecho de la conducción y se precipita al vacío por efecto de la fuerza de gravedad.

Cuando en la circulación ocurre un cambio repentino de estado supercrítico a subcritico, por efecto de una disminución rápida de la pendiente del fondo o por un ensanchamiento de la sección del canal, presencia de un obstáculo, etc., y el nivel del agua se eleva de manera súbita, se esta en presencia de un salto hidráulico. En la figura 3.16 se muestra este fenómeno, que es usual a la salida de una compuerta y al pie de una rápida.

Este fenómeno puede ocurrir aunque el régimen en el canal, previamente a la caída, sea supercrítico o subcritico. Evidentemente, si el régimen es supercrítico, la existencia de la interrupción no tiene reflejo aguas arriba, pues el flujo es controlado desde aguas arriba. (Fig. 3.14a). En cambio, cuando el flujo es subcritico, como en la figura 3.14b, si se produce alteración en la circulación previamente a la caída: las líneas de corriente pierden su condición de paralelismo, muestran una acentuada curvatura y la distribución de presiones deja de ser lineal tomando la configuración aproximada que se muestra en la figura; la sección critica deja de estar ubicada en el borde, y se retira aguas arriba

.

Fig. 3.16 Salto hidráulico

Existen diferentes formas de salto hidráulico y se clasifican de acuerdo con el valor Número de Froude antes del salto. En este fenómeno local se producen importantes pérdidas de energía específica. Sin embargo, el valor de la fuerza especifica se mantiene sensiblemente constante si no intervienen fuerzas externas, lo que ocasiona que; las profundidades antes y después del salto sean conjugadas. Las perdidas ΔE pueden obtenerse a partir de un análisis de las curvas de energía específica y de fuerza especifica en conjunto, como se indica en la figura 3.17.

Fig. 3.14 Caída libre

Experimentalmente, se han obtenido las siguientes relaciones geométricas en las caídas libres: yC = 1.4 ⋅ yb ---------- (3.38)

L = 3 − 4 ⋅ y C ≈ 5 − 6 ⋅ y b ---------- (3.39)

47

48

Se usara una u otra según se conozcan y 1 y NF 1 y desee determinarse el valor de y 2 o se conozcan y 2 y NF 2 y sea necesario calcular el valor de y 1 . Por su gran importancia como elemento disipador de energía se tratara con mas detenimiento sobre este fenómeno en el capitulo 10.

3.11 Ejercicios resueltos. 1. Determinar la curva de energía especifica vs. profundidad de circulación de un canal trapecial con taludes 2:1 y ancho de fondo 4 m cuando por el circula un caudal de 15m 3 /s. La pendiente del canal es 0.1% y α = 1.0. Determinar también el valor de la profundidad critica, el valor de la energía especifica mínima y la profundidad alternativa de 2 m. Fig. 3.17 Energía especifica en un salto hidráulico En el caso de un canal prismático de pendiente horizontal, el valor de esas profundidades conjugadas puede calcularse aplicando el principio de conservación del momentum entre las secciones 1 (antes del salto) y 2 (después del salto) que se observan en la figura 3.17:

γ

⋅ Q ⋅ v2 −

Sustituyendo Q y v 2 por sus expresiones correspondientes:

2 y1 ⋅ v1 2 2 2 ⋅( ) − ⋅ y1 ⋅ v1 = y1 − y 2 ---------- (3.41) g y2 g v1 2 = NF1 se obtiene: Dividiendo por y1 , agrupando y sustituyendo g ⋅ y1 2

2 ⋅ NF1 ⋅ 2

E = y+

γ

1 1 2 2 ⋅ Q ⋅ v1 = ⋅ γ ⋅ y1 ⋅ b − ⋅ γ ⋅ y 2 ⋅ b ---------- (3.40) 2 2 g Q pero v 2 = y Q = b ⋅ y ⋅ v1 b ⋅ y2 g

La expresión de energía especifica

y y2 2 − 2 ⋅ NF1 = 1 − ( 2 ) 2 ---------- (3.42) y1 y1

haciendo

y2 =x y1 queda una ecuación de tercer grado:

x 3 − (1 + 2 ⋅ NF1 ) ⋅ x + 2 ⋅ NF1 = 0 ---------- (3.43) 2

2

y puede descomponerse en factores de la forma siguiente:

E = y+

v2 , también puede plantearse en forma 2⋅ g

Q2 1 ⋅( ) 2⋅ g 2

Como se trata de un canal trapecial con b = 4 y m = 2:

A = 4⋅ y + 2⋅ y2 y tomando para Q el valor 15 m 3 /s y para g el de 9,8 m/s 2 :

E = y+

15 2 1 ⋅( ) 2 ⋅ 9.8 (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 2

que efectuando queda:

E = y+(

11.480 ) (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 2

Ahora deben darse diferentes valores a y para tener un conjunto de puntos que plotear: tomando y desde 0.2m a 2m de 0.2 en 0.2 m se obtiene: y (m) 0.2 0,4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 E (m) 15.024 3.514 1.679 1.372 1.329 1.395 1.527 1.687 1.861 2.045 3.010 Plateando estos puntos y uniéndolos por una curva se obtiene el grafico de E vs. Y, como se muestra en la figura 3.18. Ahora, sabiendo que la energía especifica mínima tiene lugar cuando la profundidad de circulación es la profundidad critica, puede obtenerse la energía especifica mínima (E MIN = 1.32m). Este valor corresponde a una profundidad de circulación de aproximadamente 0.95 m; por tanto: y CRIT = 0.95m.

( x − 1) ⋅ ( x 2 + x − 2 ⋅ NF1 ) = 0 ---------- (3.44) 2

La solución x = 1, o lo que es lo mismo y 1 = y 2 es absolutamente trivial, pues implica la no existencia de salto hidráulico. Así, trabajando con el segundo factor, llega a:

y2 1 2 = ⋅ ( 1 + 8 ⋅ NF1 − 1) ---------- (3.45) y1 2 La expresión (3.15) relaciona las profundidades conjugadas en el caso de un salto hidráulico en un canal prismático rectangular de pendiente horizontal y con β = 1. De manera análoga puede deducirse que:

y1 1 2 = ⋅ ( 1 + 8 ⋅ NF2 − 1) ---------- (3.46) y2 2

49

50

y = 0.54 m.

P R O F U N D I D A D D E

Este valor puede hallarse también analíticamente

y+

Si esta ecuación se resuelve por tanteos, con una precisión del milímetro se obtiene que y = 0.544m. Y (m)

2. Determinar la curva de fuerza especifica vs. profundidad de circulación para el canal del ejercicio 1 cuando circulan 15 m 3 /s. Determinar, a partir de la curva, el valor de la profundidad critica, el valor de la fuerza especifica mínima y la profundidad conjugada.

C I R C U L A C I O

Recordando la expresi6n de fuerza especifica:

F=

Q2 + z⋅A g⋅A

y sabiendo que Q = 15 m 3 / s; g = 9. 8 m/ s 2 y A = 4 ⋅ y + 2 ⋅ y y que z es la profundidad a que se encuentra el centro de gravedad del área mojada, puede hallarse la expresión de F para este ejercicio. 2

Fig. 3.18 Curva E vs. y Estas determinaciones pueden hacerse también de forma analítica con lo que se obtiene una mayor precisión en los resultados. Recordando que cuando la profundidad es la crítica:

NF = 1 =

11.480 = 2.045 (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 2

Para un canal trapecial:

v z=

g⋅D

y ⎛ 3⋅b + 2⋅ m⋅ y ⎞ ⎟ ⋅⎜ 3 ⎜⎝ 2 ⋅ b + 2 ⋅ m ⋅ y ⎟⎠

o sea: v = g ⋅ D 2

puede expresarse:

y como b = 4rn y m = 2 queda:

A3 Q 2 = T g

z=

Para este ejercicio: Q = 15 m /s: g = 9.8 m/s ; A = 4 ⋅ y + 2 ⋅ y queda: 3

2

2

y

T = 4 ⋅ y + 4 ; y sustituyendo

(4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 3 = 22.959 (4 ⋅ y + 4)

que modo que:

Es necesario buscar el valor de y que satisface esta ecuación, ese valor es y C . Como la ecuación es relativamente complicada y no puede despejarse el valor de de y, debe resolverse por tanteo. y 0.95 0.96 0.955 0.954 0.9546 A 3 /T 22.575 23,413 22.951 22.908 22.958 Si se desea una precisión hasta el centímetro y C = 0.95: y mientras más precisa se desee la respuesta, lógicamente se requiere mayor número de tanteo. Si la precisión debe llegar al milímetro y C = 0.955 m. Para este valor energía específica (mínima) es:

E MIN = 0.955 +

y ⋅ (3 + y ) 3 ⋅ (2 + y )

11.480

[4 ⋅ (0.955) + 2 ⋅ (0.955) ]

2 2

F=

y ⋅ (3 + y ) 22.959 + ⋅ (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 3 ⋅ ( 2 + y )

Dando valores a y en un intervalo amplio, por ejemplo, desde 0.2 a 2 m de 0.2 m en 0.2 en, se obtienen 10 puntos: y (m) 3

0.2

0.4

0.6

F (m ) 26.175 12.320 8.233

0.8

1.0

6.746 6.493

1.2

= 1.316m

Para calcular la profundidad alternativa de 2 m, debe recordarse que una profundidad alternativa de otra es aquella a la que le corresponde un valor igual de la energía específica. Como para 2 m el valor de la energía especifica es 2.045, puede observarse en el gráfico de E vs. y que ese valor también corresponde a una profundidad de 0.54 m, de modo que puede afirmarse que la profundidad alternativa de 2 m es:

51

1.4

7.055 8.161

52

1.6

1.8

9.844 12.046

2.0 14.768

(a)

P R O F U N D I D A D

(b)

D E C I R C U L A C I O N

Y (m)

Fig.3.20 Secciones transversales de canales En todos los casos, la condición de ocurrencia del régimen crítico es:

Fig. 3.19 Curva F vs. y

En el grafico puede observarse que F M I N = 6.4m 3 y que le corresponde una yCRIT = 0.95m. También se observa que a y = 1.8m, con una F = 12.02 m 3 , le corresponde una profundidad conjugada de 0.4m . Analíticamente pueden hallarse valores más precisos:

[

22.959 0.955 (3 + 0.955) + ⋅ ⋅ 4 ⋅ (0.955) + 2 ⋅ (0.955) 2 3 (2 + 0.955) 4 ⋅ (0.955) + 2 ⋅ (0.955) 2

]

FMIN = 6.473m 3

A3 Q 2 = T g En este ejercicio, como Q = 10 m2/s:

A3 = 10.204 T En cualquiera de los tres canales el problema se reduce a determinar el valor de y que satisface esta ecuación; la diferencia entre cada canal estriba en las diferentes expresiones de A y de T de cada uno y la mayor o menor complejidad entre estas y la solución de esa ecuación. Canal a En este canal, como es rectangular y b = 3m; A = 3 ⋅ v y T = 3m, la ecuación adopta la siguiente forma:

Para 1.8m

FMIN =

g⋅D

o sea:

Ploteando estos puntos puede hallarse la curva F vs. y como aparece en la figura 3.19.

FMIN =

v

NF = 1 =

9 ⋅ y 3 = 10.204 , que puede resolverse despejando la y directamente:

[

]

22.959 1.8 (3 + 1.8) + ⋅ ⋅ 4 ⋅ (1.8) + 2 ⋅ (1.8) 2 = 12.046m 3 3 (2 + 1.8) 4 ⋅ (1.8) + 2 ⋅ (1.8) 2

Resolviendo:

yCRIT = 3

10.204 = 1.043m 9

Canal b

[

]

22.959 y (3 + y ) + ⋅ ⋅ 4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 = 12.046m 3 ( 4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) 3 (2 + y ) se obtiene:

Al tratarse de un canal trapecial con un ancho de fondo de 2m y talud 1:1, la ecuación a resolver es:

A = 2⋅ y + y2 y T = 2 + 2⋅ y y

(2 ⋅ y + y 2 ) 3 = 10.204 (2 + 2 ⋅ y )

y C O N J - 1 . 8 = 0.409m 3. Determinar la profundidad crítica en cada uno de los canales que aparecen en la figura 3.20, cuando el gasto es 10 m 3 /s.

en la cual no puede despejarse directamente el valor de y CRIT , de modo que tanteando: y (m) A 3 /T

53

1.0

1.2

1.1

1.12

6.750 12.869 9.441 10.064

1.13

1.125

1.124

10.386 10.224 10.192

54

Para obtener una precisión del milímetro, y CRIT = 1.124m que es el valor mas cercano a la solución exacta de dicha ecuación. Canal c Este canal tiene sección transversal compuesta, luego las expresiones de A y de T no son validas para toda y. sino que para y< I se trata de un trapecio de ancho de fondo de 0.5 m y taludes 2:1, para el cual: WA

A = 0.5 ⋅ y + y 2 ;⎫ ⎬ ---------- (I) T = 0.5 + y; ⎭ en tanto que para y > 1 la sección esta formada por dos trapecios, uno sobre el otro, y las expresiones son:

A = 1.5 + 4.5 ⋅ ( y − 1) + 2 ⋅ ( y − 1) 2 ⎫ ⎬ ---------- (II) T = 4.5 + 4 ⋅ ( y − 1); ⎭ de modo que:

Fig. 3.21 Fuerzas actuantes sobre el bloque sumergido En la figura 3.21 se muestran las fuerzas que actúan sobre un volumen de agua inmediatamente antes del bloque, y que son las siguientes:

A3 = 10.204 T

Debe resolverse por tanteo cuidando de seleccionar adecuadamente las expresiones que se utilizan para valorar A y T, según sea y> I o y ≤ 1 .

y(m) 0.5 0.8 1.0 1.5 1.47 1.464 1.463

Expresiones usadas I I I II II II II

A 3 /T 0.083 0.536 1.350 10.810 10.465 10.210 10.168

3

Queda finalmente que el valor de y que produce el A / T mas cercano a 10.204 es y = 1.464m, de modo que se toma como y C = 1.464m. Para una mayor precisión habría que utilizar la décima de milímetro que no tiene sentido en la práctica (generalmente es suficiente llegar al centímetro).

4. Determinar el valor de la fuerza ejercida por la corriente de 5m 3 /s sobre el bloque ubicado en el fondo del canal rectangular que se muestra en la figura 3.21. Considerar β 1 = β 2 = 1.1 . En este caso existe variación en el momentum debido a la presencia de fuerzas externas que actúan sobre la masa de agua en movimiento, y que están originadas por el bloque presente en el fondo del canal contra el cual choca !a corriente. Como:

∑W =

γ ⋅Q g

⋅ ( β 2 ⋅ v 2 − β1 ⋅ v1 );

W 1 - fuerza debida a la distribución hidrostática de presiones en la sección de 5m de ancho; W 2 y W 3 - fuerzas debidas a la distribución hidrostática de presiones en la porción de 2m de ancho; W 4 - fuerza debida a la distribución hidrostática en la zona sobre el bloque; W A - fuerza que ejerce el bloque sobre el agua y que provoca la variación del momentum;

W1 − W2 − W3 − W4 − W A =

γ ⋅Q g

⋅ ( β 2 ⋅ v 2 − β1 ⋅ v1 );

1 ⋅ 10000 ⋅ 12 ⋅ 5 = 25000 N ; 2 1 W2 = W3 = ⋅ 10000 ⋅ (0.5 + 0.35) 2 ⋅ 2 = 7225 N ; 2 1 W4 = ⋅ 10000 ⋅ (0.35) 2 ⋅ 1 = 612.5 N ; 2 γ ⋅Q ⋅ ( β 2 ⋅ v 2 − β 1 ⋅ v1 ) = g 10000 ⋅ 5 5 5 = ⋅ (1.1 ⋅ − 1.1 ⋅ ) = 2641.06 N ; 9.8 4 ⋅ 0.85 5 ⋅1 γ ⋅Q ⋅ ( β 2 ⋅ v 2 − β1 ⋅ v1 ) = W A = W1 − W2 − W3 − W4 − g = 25000 − 2 ⋅ 7225 − 612.5 − 2641.06; W1 =

La fuerza ejercida sobre el bloque es de 7296.44N.

3.12 Ejercicios propuestos. 3

1. Determinar yC en los canales de la figura 3.20, sabiendo que el gasto que circula es m /s. R/ y Ca = 1.655m; y Cb = 1.646m; y Cc = 1.863m . 2. Para el canal b de la figura 3.20 trazar la curva de energía especifica contra profundidad de circulación y determinar gráficamente yC. EMIN y la profundidad alternativa de 1m. Considerar Q = 20 m3/s

55

56

R/ yC = 1.646; EMIN = 2.213m; y ALT =3.193m

AFORO DE LAS CONDUCCIONES LIBRES

3. Para el canal b de la figura 3.20 determinar la energía especifica mínima y la profundidad alternativa de 1m (analíticamente). Considerar Q = 20 m3/s

El presente capitulo se dedica al estudio de las diferentes variantes que se emplean para la medición del agua que circula por las conducciones libres. El aforo del gasto tiene importancia técnica y económica. Su repercusión en la operación de una red de canales es tal que no es posible lograr una utilización racional de los recursos hídricos si los sistemas hidrométricos de medición y control no fueron bien concebidos, proyectados y construidos. El capitulo trata de agrupar los métodos y medios de aforo más usuales en la práctica de ingeniería, tanto en los países miembros del CAME como en otros de gran desarrollo en el campo de la hidráulica.

R/ EMIN = 2.213m; yALT =3.193m 4. Para el canal a de la figura 3.20 trazar la curva de fuerza especifica contra profundidad de circulación y determinar gráficamente la profundidad critica, fuerza específica mínima y la profundidad conjugada de 1m. El caudal es 20 m3/s. 3

R/ yC = 1.655m; FMIN = 12.329m ; yCONJ = 2.553m 5. Determinar la fuerza que se ejerce sobre cada una de las pilas del puente que atraviesa el canal rectangular de la figura 3.22 cuando el caudal es 25 m3/s. Considerar β 1 = 1.1 y β 2 = 1.2

4.1 Objetivos y clasificación de los métodos de aforo La necesidad de conocer el gasto que circula por una conducción libre ha ocasionado la creación y el desarrollo de una gran cantidad de métodos para ese fin. Algunos de estos métodos requieren aparatos confeccionados con esmero o bien obras que necesitan especial atención en su proyección y construcción; otros por el contrario, son simples y sencillos. La experiencia de la URSS y otros países en el empleo de métodos de aforo en la ejecución de los planes de uso del agua, ha definido una serie de requisitos para los medios de medición del agua, tales como:

R/ 74 770.51N

SECCION LONGITUDINAL

Operatividad en la medición del agua. El error permitido no debe superar 5'%. Posibilidad de automatización en la medición. Las obras inducidas para estos fines no deben ser complejas. El cálculo derivado de las mediciones y las propias mediciones deben ser simples. Las principales y más importantes finalidades de la medición del caudal en las conducciones libres son: Determinar la magnitud de los recursos de agua de los sistemas hidráulicos y los recursos hídricos de las fuentes superficiales y subterráneas. Garantizar la información necesaria para una buena explotación de los canales y obras hidrotécnicas. Garantizar el sistema de datos necesarios para la proyección y ejecución de medidas encaminadas a elevar la efectividad del sistema, así como para la determinación de fórmulas y coeficientes empíricos. Determinar cotidianamente los volúmenes de agua en las corrientes naturales y en caso de fenómenos extremos. Garantizar el desarrollo adecuado de experiencias de campo o laboratorio en las cuales sea necesario determinar el gasto de las conducciones libres. De usuario. Internos. De evacuación. Fig. 3.22 Canal rectangular atravesado por un puente sobre pilas

De balance. De drenaje. De seguridad. El requisito fundamental que deben satisfacer las ubicaciones de los, puestos hidrométricos en un sistema de riego y drenaje es garantizar en tiempo y forma la regulación del agua y determinar el balance hídrico, tanto del sistema como de las partes de este, así como de las áreas regadas. La ubicación de los puestos debe ser tal que se cumplan todas las tareas con la menor cantidad de ellos y de ser posible que varios objetivos se logren en un mismo puesto. Esto además de ahorrar la inversión y el costo de la mano de obra para la operación, permite asegurar una mejor y más eficiente dirección , de los trabajos de explotación. Para la elección y empleo de !as técnicas e instrumentos a utilizar en cada puesto necesario tener en cuenta lo siguiente: hidrología e hidrogeología de la zona de ubicación, condiciones tecnológicas y de explotación, exigencias de la construcción, efectividad técnico-económica, grado de automatización presente y futuro del sistema. etc. Debe observarse rigurosamente

57

58

durante la elección, que para un mismo sistema, en las áreas con condiciones similares, se emplee una misma técnica de medición, así como un mismo tipo de construcción y equipamiento.

medición de la velocidad se realiza por medio de instrumentos especiales tales como: molinetes, tubo de Pitot, flotadores, o por medio de productos químicos, radiactivos, etcétera. Los métodos directos, son aquellos que utilizan un instrumento u obra calibrada para, con el auxilio de ella, obtener de forma inmediata el gasto que circula. Algunas de las variantes de este método son: el gravimetrico, el volumétrico, las canaletas calibradas, los vertedores, las obras hidrométricas, las obras reguladoras, las secciones de control, etcétera. Tanto los indirectos como los directos se emplean en al formación de la red hidrométrica de los sistemas hidráulicos y en ellos se deben diferenciar, de acuerdo con los objetivos, los diferentes puestos de medición. Según Oscar García Soto (Cuba.1983), estos puestos para una obra de riego y drenaje (Fig. 4.1) pueden ser: De apoyo. De cabecera. De distribución. Como indicadores generales para la elección deben considerarse los siguientes: 1. El método área-velocidad no es el más indicado en los puntos de regulación, ni en tramos donde el gasto varía rápidamente en el tiempo. Este método debe valorarse para su empleo en cauces naturales, grandes canales, para la calibración de obras hidrométricas, para la determinación de la distribución de velocidades y los coeficientes α y β así como en las mediciones de control de !os métodos directos. 2. En los puestos de regulación del agua es recomendable el método directo con técnicas que se adecuen a las condiciones de la regulación. 3. En puestos donde no se realiza regulación, es posible emplear cualquiera de los los métodos, siempre que !a técnica se adecue a !as condiciones de la operación del sistema. 4. La construcción de la obra y su equipamiento no debe dificultar el desarrollo posterior del sistema hidrométrico.

5. El medio de medición empleado no debe entorpecer el régimen de trabajo de los canales, ni provocar grandes pérdidas de carga y, además, debe garantizar el aforo en cualquier condición y régimen de trabajo que se presente. 6. El funcionamiento de las obras y equipos no debe perjudicarse a causa de los sedimentos en suspensión, cuerpos flotantes y otros factores, para lo cual debe preverse cada situación y su solución durante el proyecto del puesto hidrométrico. 7. El error relativo máximo no debe superar ± 5% . Este error se calcula según:

δ=

ΔQ ⋅100% ---------- (4.1) Qf

donde:

Fig. 4.1 Ubicación de puestos hidrométricos

ΔQ - diferencia entre el gasto medido y el gasto real (Q f ). Debido a la gran cantidad de métodos y medios existentes para la medición de los caudales de una conducción libre, la clasificación de estos es amplia y varia de un autor a otro. En este texto se dividirán los métodos en dos grandes grupos: métodos indirectos v métodos directos.

8. La relación Q MAX / Q MIN debe ser mayor que 3.

Los métodos indirectos o de área-velocidad, son aquellos que se basan en la medición de la distribución de la velocidad en la sección transversal para posteriormente de acuerdo con el principio de continuidad, calcular en el gabinete el gasto que atraviesa la sección en el momento de la medición. La

9. Los equipos para gastos menores que 5 m 3 /s deben ser de producción industrial y las obras de fácil construcción . 10. Para asegurar el desarrollo de la recopilación automática de la información, las mediciones del caudal no deben depender de más de dos variables y preferiblemente de una.

59

60

Por último, debe señalarse que los medios de medición del caudal se dividen en clases, según la relación existente entre el error máximo absoluto y su límite superior (K) que se expresa según:

K=

ΔQ ⋅100% ---------- (4.2) Q MAX

donde: ΔQ - máxima diferencia entre el gasto medido y el gasto real; Q MAX - gasto máximo que admite el medio de medición.

4.2 Métodos indirectos o de área-velocidad Para el cálculo del gasto mediante los métodos de área-velocidad, es necesario conocer la distribución de velocidades en la sección transversal que sirve de sección de aforo. Como aparece en el capitulo 2, la distribución de velocidades en la sección transversal depende de la forma geométrica de la sección, la rugosidad del perímetro mojado, la alineación del canal y las características del fluido, entre otros. En las figuras 4.2 y 4.3 se muestran ejemplos de la distribución de velocidades.

Los gráficos que muestran la variación de la velocidad en la sección transversal pueden confeccionarse dividiendo dicha sección mediante varias verticales y con un instrumento previamente calibrado medir, a partir de la superficie libre y a intervalos constantes hasta muy cerca del fondo, la velocidad en una serie de puntos, y luego, por interpolación, realizar el trazado de las curvas de velocidad, ya sea en una vertical o en una sección transversal, como se muestra en la figura 4.3. A partir de la curva correspondiente a cada vertical puede determinarse a escala la velocidad a cualquier profundidad. La velocidad media en la vertical es igual al área de la curva de velocidades dividida por la profundidad de circulación de dicha vertical. Luego de largos estudios se ha llegado a las siguientes conclusiones con respecto a la distribución de velocidades: 1. La velocidad máxima se encuentra entre el 5 y el 25% de la profundidad y este porcentaje aumenta con la profundidad de la sección. 2. La curva de velocidades correspondiente a cada vertical se aproxima a una parábola de eje horizontal que pasa por el punto de máxima velocidad. 3. La velocidad media en una vertical, se presenta al 60% de la profundidad, con un error máximo del 3% y un error medio del 1%. 4. La velocidad media en una vertical es la media aritmética de las velocidades al 20 y el 80'% de la profundidad, con un error máximo del 1% y un error medio nulo. 5. La velocidad media en una vertical es del 80 al 95% de la velocidad en la superficie aunque el valor medio de cientos de observaciones es de un 85% . Entre los instrumentos más utilizados para la medición de las velocidades en las conducciones libres están los molinetes hidráulicos, los tubos de Pitot y los flotadores.

Fig. 4.2 Distribución de velocidades, en m/s en el conducto Sudbury (tomado de Manual de Hidráulica de H.W. King)

Fig. 4.3 Distribución de velocidades en un canal abierto (tomada de Manual de Hidráulica, de H.W. King)

Molinete hidráulico El elemento fundamental de un molinete (Fig. 4.4) es una rueda con aspas o cazoletas, que son movidas por la corriente, y cuya velocidad de rotación depende de la velocidad del agua. La velocidad de rotación se determina mediante un mecanismo que a cada cierto número de revoluciones (por lo general 100) abre y cierra un circuito eléctrico conectado a un señalizador, que bien puede emitir una señal sonora o lumínica o accionar un contador mecánico o digital. De acuerdo con el número de señales emitidas en un período de tiempo, se puede conocer la velocidad de rotación promedio del molinete.

Fig. 4.4 Molinete hidrométrico

Un buen molinete debe reunir las siguientes características: Tener pequeño tamaño. Producir un mínimo de corrientes parásitas.

61

62

Tener poco rozamiento entre sus partes mecánicas. Ser poco sensible al efecto de corrientes verticales. Funcionar solamente por efecto de la componente de la velocidad perpendicular a él (en la dirección de la corriente). En los países miembros del CAME los molinetes más difundidos son el SANIIRI eje vertical y el GGI de eje horizontal. Para relacionar la velocidad de rotación del molinete con la velocidad del agua es necesario calibrar este, lo que suele hacerse en estaciones especiales (en Cuba existe una estación en Santiago de las Vegas). En la figura 4.5 se muestra el esquema de una estación de calibración. En esta estación el molinete se hace recorrer un canal, de longitud conocida y lleno de agua en reposo, a una velocidad constante. Con ello puede construirse un grafico de calibración similar al que aparece en la figura 4.6 y que corresponde a una ecuación del tipo: v = a + b ⋅ n ---------- (4.3)

calibración. La garantía del buen funcionamiento consiste en la cuidadosa manipulación durante el trabajo y el traslado de un lugar a otro y en brindarle los mantenimientos recomendados por el fabricante. La regulación en laboratorios especializados debe hacerse una vez al año como mínimo. Las mediciones con el molinete pueden realizarse desde un puente, un carro suspendido a un cable aéreo, un bote o si la corriente es poco profunda vadeandola .

Tubos de Pitot Otro de los instrumentos utilizados para conocer la velocidad media de la vertical y de esta forma determinar el caudal que circula por la sección transversal es el tubo de Pitot (Fig., 4.7). Cuando este se sostiene con la abertura dirigida contra la corriente, si v es la velocidad de dicha corriente en la abertura, el agua se elevará en el tubo una cantidad v2/2g por encima de la superficie libre del agua. Se ha demostrado experimentalmente que esto se cumple invariablemente cualesquiera que sean las dimensiones del tubo y el tamaño de la abertura.

donde: v - velocidad del agua; n - número de señales por minuto; a y b - coeficientes empíricos. Un molinete también puede calibrarse por comparación con otro previamente calibrado.

Fig. 4.7 Tubo de Pitot En su forma más simple, el tubo de Pitot tiene poco valor práctico, ya que la distancia a que se eleva el agua del interior del tubo por sobre el nivel del agua en la conducción es tan pequeña que no puede ser medida con exactitud. Fig. 4.5 Esquema de una instalación de calibración

En la figura 4.8 se muestra un dispositivo construido por Darcy para medir velocidades en conducciones abiertas: una pata cinética y otra estática con tubos de vidrio sujetos a sus extremos superiores, conectados a una bomba aspirante del aire a través de una cámara común con una válvula. Para medir la velocidad, la pata cinética se mantiene contra la corriente, se enrarece el aire para que el agua suba por los tubos de vidrio y se realizan las lecturas h1 y h2, obteniéndose la velocidad mediante la expresión:

v = C⋅ 2⋅g ⋅

(h1 − h 2 )

---------- (4.4)

donde: C - coeficiente constante para cada instrumento, cuyo valor se obtiene mediante una calibración previa. En la práctica moderna estos instrumentos se utilizan solo en los laboratorios, ya que la amplia variedad existente de molinetes los han desplazado del trabajo de campo.

Fig. 4.6 Curva de calibración de un molinete

La particularidad negativa de los molinetes como equipos de medición consiste en la imposibilidad de comprobar su exactitud en condiciones de trabajo, así como la dificultad de regularlos sin

63

Fig. 4.8 Tubo de Darcy

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Flotadores Un instrumento muy sencillo que se utiliza para conocer la velocidad de una corriente en una conducción libre es el flotador. Estos pueden ser objetos flotantes cualesquiera, que adquieren la misma velocidad que el agua en contacto con ellos y se emplean, por tanto, para medir la velocidad en la trayectoria que recorren. Los flotadores pueden ser de superficie, subsuperficie o de bastón o varilla (Fig. 4.9).

En general, puede plantearse que para efectuar un aforo con flotadores debe elegirse un tramo de canal recto, uniforme y sin corrientes parasitas. En los canales pequeños la longitud de recorrido debe ser, al menos, el doble del ancho de la corriente, con un máximo de 90m para corrientes anchas.

M e d i c i ó n d e los g a s t o s e n l a s e c c i ó n Un método grafico propuesto por Unwin en 1907 para calcular el gasto de la sección transversal con flotadores aparece en la figura 4.10.

Fig. 4.9 Flotadores Cualquier objeto que flote con su centro de gravedad cerca de la superficie se moverá con una velocidad igual a la velocidad del agua en dicha superficie, de modo que la velocidad media en la sección puede determinarse multiplicando la velocidad del flotador por 0.85, lo cual lleva a un error de 15% . La velocidad del flotador se cuantifica según el espacio recorrido y el tiempo empleado. Las dimensiones de estos flotadores oscilan entre 8 y 10cm de diámetro y 2 a 3cm de altura para pequeños caudales, y de 20 a 25cm de diámetro y de 4 a 5cm de altura para grandes caudales. El flotador de subsuperficie consiste en un objeto unido a otro flotador de superficie de menor volumen por medio de un cable, de modo que este permanezca estirado, pero sin que se hunda el flotador. Como el elemento sumergido es mayor que el flotador de superficie, la acción de este último es despreciable. Para obtener la velocidad media es necesario que el elemento sumergido quede a 60% de la profundidad de la corriente (0.6y). Su uso es escaso en el aforo de corrientes y su aplicación se limita al estudio del movimiento de grandes masas de agua: lagos. bahías, estuarios, etcétera. Si el flotador superficial y el de profundidad son de igual peso, se denominan flotadores dobles y la velocidad medida con ellos representa la del sistema. En este caso, la velocidad del flotador de profundidad se determina por una medición doble: primero la de superficie y después la del sistema, teniendo en cuenta que:

v SIST =

vSUP + v PROF 2

---------- (4.5)

Fig. 4.10 Esquema de aforo con flotadores (según Unwin)

El orden del procedimiento es el siguiente: a) se eligen dos secciones transversales separadas una distancia L; b) se determina mediante sondeos la geometría de ambas secciones; c) se sueltan simultáneamente varios flotadores ubicados a todo lo ancho de la sección transversal y se cronometra el tiempo empleado por cada uno de ellos en recorrer la distancia L; d) se marcan en una vista en planta del canal el punto de partida y el punto de llegada de cada uno de los flotadores y se unen con una línea recta; e) se divide el canal en subsecciones iguales (líneas discontinuas en la figura 4.10); f) se traza una recta a mitad de la trayectoria, en L/2 (línea AB);

Por último, los flotadores de bastón, varilla o pértigas hidrométricas se construyen de manera que floten en posición vertical, sin tocar el fondo ni sobresalir excesivamente. De esta forma la velocidad de esos flotadores corresponde bastante acertadamente con la velocidad media en la vertical.

g) en el punto en que la trayectoria de cada flotador corta a AB se representa gráficamente, a escala, la velocidad media correspondiente a ese flotador (esto permite dibujar la línea de las velocidades medias);

Para determinar la velocidad media en la vertical es necesario que la pértiga o bastón tenga una longitud no menor del 94% de la profundidad de la vertical; si esto no se cumple debe corregirse la medición según:

h) las velocidades medias para las subsecciones I, II, III etc. se determinan midiendo a escala los segmentos de ordenada en el punto medio de dichas subsecciones. Comprendidas entre la línea AB y la curva ACB;

⎞ ⎛ y−h v m = v f − 0.116 ⋅ ⎜⎜ − 0.1⎟⎟ ⋅ v f ---------- (4.6) y ⎠ ⎝

i) el gasto en cualquier subsección es su área por la velocidad media;

donde: v m - velocidad media; v f - velocidad del flotador: y - profundidad en la vertical; h - profundidad de sumersión del bastón.

j) el gasto total es la sumatoria de los gastos en las subsecciones. En el caso de los molinetes y tubos de Pitot, el método empleado se basa en dividir la sección escogida mediante verticales, las cuales deben tener una misma separación entre sí; se recomienda: para T < 5m de 4 a 6 verticales:

65

66

para 5 ≤ T < 10m de 7 a 10 verticales; para 10 ≤ T < 15m de 12 a 15 verticales.

De esta forma el gasto total será la sumatori a de los gastos parci ales a lo largo de la sección.

Si los anchos de la superficie libre son mayores, se requieren decisiones particulares para cada caso. Una vez ubicadas las verticales de medición y determinada la profundidad del agua en cada una, así como la forma geométrica de la sección transversal, se ubica una mira de control en la sección para determinar la posible variación de la profundidad de circulación, y con ella el gasto, durante la medición. Los trabajos siguientes requieren un orden determinado: Medir la profundidad de circulación en la mira y anotar el tiempo de comienzo. Comenzar la medición por la vertical más cercana a una de las orillas y continuar de una a otra vertical hasta la otra orilla. Cuando finalicen los trabajos se anota la hora y la medición de la mira de control. La velocidad media en cada vertical puede obtenerse de varias formas:

yj

a) midiendo la velocidad a 0.6y de la superficie (esta medición es la más rápida y garantiza un error máximo de ± 3%); b) midiendo la velocidad a 0.2y y a 0.8y y promediándolas (de esta forma la velocidad media se calcula con un error de ± 1%); c) si se desea mayor exactitud en la medición puede emplearse el método de tres puntos y calcularse la velocidad media según:

vm =

v ( 0. 2 y ) + 2 ⋅ v ( 0. 6 y ) + v ( 0. 8 y ) 4

o según:

vm =

Otra forma, propuesta por O. García, de cuanti ficar el gasto a partir de la medición de vel ocidades es la si guiente: 1- Se determina la velocidad media en cada vertical y el gasto especifico medio, multiplicando la veloci dad media por la prof undidad en la vert ical:

q j = v j ⋅ y j ---------- (4.10)

----------- (4.7)

v SUP + 3 ⋅ v ( 0.2 y ) + 3 ⋅ v ( 0.6 y ) + 2 ⋅ v ( 0.8 y ) + v FONDO

Fig. 4.11 Cálculo de gasto por método de área-velocidad

---------- (4.8)

10

Al medir la velocidad en cada punto, es necesario cuantificar el grado de inestabilidad en la velocidad medida; para lograr esto y que la medición sea representativa, el tiempo de medición no debe ser menor de 100s y siempre esperar a que el molinete esté como mínimo 10s sumergido para que las aspas establezcan un ritmo normal de trabajo. Después de comenzar la medición se debe anotar el número de vueltas o las señales indicativas a los 25s aproximadamente; sucesivamente se anotará el tiempo empleado en generar un número de señales igual al primer intervalo, hasta completar más de 100s en que se para la medición al coincidir con una señal. Las mediciones no se dan como buenas hasta que los tiempos entre la primera y la segunda mitad de las señales no se diferencien en menos de 3% Los molinet es con registradores de frecuencia u otro sistema de recepción con sedal es según el número de vueltas, requieren una at ención permanente para anot ar l a frecuencia de rotación máxima y mí ni ma de l as aspas, lo cual dará l a confiabilidad de l a l ectura. La exactitud del cálculo debe ser: para velocidades medias menores 1m/s: 0.001m/ s: para velocidades medias ma yores de 1m/s: 0.01 m/s.

2- Se trazan a escala los gastos y l as velocidades. En este caso los gastos específicos se 3 3 calculan hasta 0.001m /s/m para veloci dades menores de 1m/s y hasta 0.01m /s/m para vel ocidades ma yores de 1m/s. El área bajo la curva de gastos específicos de la fi gura 4.12 será el gasto tot al en sección de aforo que analíticament e puede calcularse según:

Q=

k ⋅ q1 q + q2 q + qn k ⋅qn ⋅ l n ---------- (4.11) ⋅ l0 + 1 ⋅ l1 + ... + n −1 ⋅ l n −1 + 2 2 2 2

donde: k = 0.7 a 0.8 para cauces en tierra; k = 0.9 para perfiles revesti dos; k = 0.85 para perfiles revesti dos de poca longi tud. Una últi ma forma, propuesta por L. González, para el cálcul o del gasto en la secci ón t ransversal (ver fi gura 4.11) se cuantifica según la siguiente expresión:

2 v1 + v 2 2 Q = ⋅ v1 ⋅ A 0 + ⋅ A1 + ... + ⋅ v n ⋅ A n ---------- (4.12) 3 2 3

Una forma de calcular el gasto propuesta por W.H. King, después de determinar la vel ocidad medi a en cada vertical (Fig. 4.11), se cuantifica según la siguiente expresión:

⎛ y j + y j−1 ⎞ ⎛ v j + v j−1 ⎞ ⎟ ---------- (4.9) ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ q j = l j−1 ⋅ ⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde: q j - gasto parcial ent re las verticales j-1 y j, m 3 /s.

67

68

gravimetrico) a cuyo interior pasa el agua, midiéndose el tiempo que demora en alcanzarse un volumen o peso predeterminado. En el primer caso (aforo volumétrico), el tanque que recibe el agua debe tener una sección uniforme preferiblemente circular o cuadrada. En esta técnica el tanque debe estar equipado de una válvula de fondo de cierre rápido y un piezómetro exterior con una regla calibrada en milímetros (Fig. 4.13). q

Fig. 4.13 Instalación de aforo volumétrico Una vez marcado sobre el piezómetro el nivel donde se comienza la medición y el nivel donde termina, con lo cual se prefija el volumen a llenar, se procede a dejar que el gasto a medir entre al tanque, el cual se mantendrá con la válvula de fondo abierta. En esta situación debe chequearse que el nivel de agua necesario para evacuar el gasto por Ia válvula de fondo no sea de tal magnitud que supere o iguale al nivel mínimo previamente fijado (a). Preferiblemente la diferencia entre ambos niveles debe ser mayor de 10mm.

Fig. 4.12 Método gráfico para calcular el gasto

Después de preparar el cronómetro, se procede a cerrar la válvula de fondo y se comienza Ia medición del tiempo cuando el menisco del líquido haya llegado a la marca inferior del piezómetro. La medición termina cuando dicho menisco llegue a la marca superior, con lo que se obtiene el tiempo de llenado (t). La fórmula del cálculo es:

Q=

4.3 Método directo de aforo Por su gran simplicidad en Ia operación y obtención de Ios resultados, el método directo de aforo tiene una gran aceptación Este método tiene variadas técnicas que permiten su amplia utilización en un gran número de conducciones con diferentes características. Esas técnicas de aforo se clasilican, por su semejanza, de la siguiente forma: Volumetricas y gravimetricas; En secciones de control;

V ---------- (4.13) t

El tiempo que demora el agua en subir de un nivel a otro no debe ser menor de 10s para asegurar una buena medición y el cronómetro debe ser capaz de medir hasta 0.05s con exactitud. El piezómetro debe construirse de cristal o plástico de más de 6mm de diámetro interior y debe estar protegido por una malla perforada para evitar las pulsaciones del nivel a medida que va subiendo el agua en el piezómetro; la velocidad de ascenso del agua en el piezómetro no debe superar 10mm/s, para lo cual debe seleccionarse adecuadamente el área del tanque. El piezómetro y el tanque deben estar ubicados, de forma que la sección transversal de este último quede en un plano horizontal y el piezómetro en la vertical. En el caso de la técnica de aforo gravimétrica el tanque puede o no tener válvula de fondo. Si e! gasto a medir es pequeño, el tanque no tiene que llevar válvula de fondo, ni estar colocado directamente sobre la balanza, ya que por su pequeño tamaño puede vaciarse y trasladarse para la pesada de forma manual.

Con canaletas calibradas; Con vertedores; Con toberas hidrometricas; Con reguladores y aditamento hidrometrico.

4.4 Técnicas de aforo volumétricas y gravimétricas.

En esta técnica el aforo se realiza con auxilio de un cronómetro, igual que en el caso anterior, y una balanza que sea capaz de cuantificar el peso de la masa de agua con un error no mayor de 0.1% para la mayoría de los casos.

Estas técnicas se utilizan fundamentalmente a nivel de laboratorio como base para la calibración de otras obras o instrumentos, su principio de funcionamiento se basa en un tanque calibrado volumétrica mente (aforo volumétrico) o montado sobre una balanza (aforo

El proceso más generalizado de la medición con esta técnica, se basa en prefijar un peso en la balanza, previa tara del tanque. Esto se realiza marcando en el piezómetro del tanque el nivel mínimo y pesando el tanque lleno de liquido hasta esa marca (tara), posteriormente se vacía el tanque y se comienza a llenar arrancando el cronómetro al llegar al nivel mínimo y parándolo

69

70

cuando llegue al peso prefijado al inicio de la medición. El tanque puede tener cualquier forma geométrica. El gasto se calcula por:

Q=

P2 − P1 ---------- (4.14) γ⋅t

donde: P 2 - peso fina! (prefijado); P 1 – tara; Fig. 4.14 Caída libre como sección de aforo

γ - peso especifico del liquido; t - tiempo de llenado.

Rápidas cortas

Las unidades de las formulas (4.13) y (4.14) están en dependencia de las unidades que se utilicen para el volumen y el tiempo.

4.5 Técnica de aforo en secciones de control

Se utilizan para el mismo fin que las anteriores y su principio se basa también en la ocurrencia del régimen crítico. La medición se realiza en la sección del cambio de pendiente y el valor del caudal se determina según el cálculo del régimen crítico o a partir de una calibración realizada en la propia obra (Fig. 4.15).

La calibración de las secciones transversales de las obras hidrotecnicas existentes en la red de canales es un medio económico para la medición de gastos. Esta técnica debe utilizarse cuando por alguna razón técnica o económica no puede implantarse otro tipo de obra específica para el aforo. Una obra se puede calibrar siempre que cumpla los siguientes requisitos: Estar en buen estado técnico. Que funcione con un régimen único (libre o sumergido). Que la velocidad de acceso a la obra sea baja. Si la obra es frontal, que guarde simetría con respecto a la sección transversal. Que no exista sedimentación en la zona de la obra para que no varíen los parámetros de esta. Que el coeficiente de sumersión aguas abajo no sea mayor que un 90 0 . En todos los casos se debe procurar que en secciones de control calibradas el gasto dependa de una sola variable para garantizar la futura automatización de la toma del dato. Como ejemplos de secciones de control pueden señalarse las caídas, las rápidas cortas, los reguladores abiertos o cerrados con compuertas y las secciones transversales calibradas.

Caida Es necesaria en el canal para cambiar la profundidad de excavación por ser una obra en la cual se produce el régimen crítico en una sección cercana a la caída; puede calibrarse fácilmente (Fig. 4.14). Las restricciones de su uso están dadas por las siguientes condiciones:

Fig. 4.15 Rápida como sección de aforo

Reguladore s abiertos o cerrado s con co mpue rtas . Se utilizan como obras reguladoras v pueden encontrarse en el cruce con una vía, en el cual el regulador estará ubicado en una sección transversal cerrada o bien en una sección cualquiera del canal (Fig. 4.16). En este caso es necesaria la medición de dos variables (carga sobre la compuerta y abertura de la compuerta) o tres variables en el caso del flujo sumergido, en el cual se hará necesario medir, además, el nivel aguas abajo de la compuerta.

y ≤ P ---------- (4.15) Q ≤ 10m 3 / s ---------- (4.16) La medición del gasto se realiza en una sección ubicada de 2 a 3 veces, la profundidad de circulación en la sección de la misma caída, aguas arriba de esta y el valor del caudal se halla según lo establecido en el cálculo del régimen critico (capitulo 3) o a partir de una calibración realizada en la propia obra. El también puede medirse la profundidad en la sección de la caída; incrementarla en un 40%, para llevarla a la crítica y aplicar el cálculo del régimen critico.

Fig. 4.16 Compuerta utilizada como

71

72

Si la descarga no es sumergida ( y ≤ a ) la medición del gasto se realiza según la fórmula:

[

]

Q = μ ⋅ A ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (y1 − 0.65 ⋅ a ); m / s ---------- (4.17) '

3

La valoración de N y K 0 puede realizarse de acuerdo con las fórmulas de cálculo del régimen uniforme (capitulo 5), o bien mediante una calibración de la sección en las condiciones de trabajo.

donde: A - área mojada bajo la compuerta, que se calcula en función de la lectura de la mira No 2 y la 2 forma geométrica de la sección de dicha compuerta, m ; y 1 - profundidad aguas arriba de la compuerta de acuerdo con la lectura de la mira No1, m. a - abertura de la compuerta de acuerdo con la lectura de la mira No 2, m;

μ ' - coeficiente de gasto de la compuerta para cada caso particular de trabajo. Como puede apreciarse, la determinación de μ debe realizarse en el lugar de la obra, para una '

amplia gama de gastos para cuantificar su valor. Las extrapolaciones de datos de μ de otros autores no dan, por regla general, buenos resultados y se hace necesaria la calibración de la obra en las condiciones reales de trabajo. '

En la práctica, la ecuación (4.17) se transforma en:

Q = K g ⋅ a ⋅ y1 − 0.65 ⋅ a ---------- (4.18) Fig. 4.17 Sección transversal calibrada

donde: K g - coeficiente que además de depender de μ , depende de la forma geométrica de la sección transversal de sus dimensiones y de la aceleración de la gravedad (en cada caso, la determinación de K g como función de (y) y de a para cada obra en particular es el paso previo para que dicha obra pueda, además de como reguladora. utilizarse como aforadora). '

En el caso de las compuertas con descarga sumergida (y 2 >a), además de las variables y1 y a se debe medir y 2 y la ecuación (4.18) adquiere la siguiente estructura:

4.6. Técnica de aforo con canaletas calibradas Esta técnica se basa en colocar en un corto tramo de canal una canaleta, construida in situ o prefabricada, la cual está dimensionada de forma que se produzca el régimen critico en una de sus secciones y se pueda conocer el gasto como función de las profundidades de circulación en la canaleta.

Q = K ' ⋅ a ⋅ Δy ---------- (4.19) Las ventajas de esta técnica con respecto a las demás radica en que: donde: Δy - diferencia y 1 – y 2 dada por las miras No1 y No3, m. En el caso de la expresión (4.19) K' es función de a y Δy, por lo cual su determinación se hace más compleja.

S ec c i o n e s t r an s ve rs a l e s c a l i b ra d a s Se pueden utilizar como secciones de aforo, siempre que cumplan las restricciones impuestas al comienzo del epígrafe con la salvedad de la relativa a la sumersión, que en este caso no tiene sentido. Todo tramo de canal recto, bien construido, de pendiente de fondo uniforme y sin obstáculos que interrumpan la libre circulación del agua y aseguren un régimen uniforme, puede ser utilizado para seleccionar una de sus secciones corno sección de aforo (Fig. 4.17). La sección en ese tramo puede ser o no revestida y la medición del caudal, conocida la forma geométrica de la sección transversal, la rugosidad de las paredes y la pendiente del fondo, se reduce a medir la profundidad de circulación y.

[

]

Q = K 0 ⋅ y ; m / s ---------- (4.20) 3

Una canaleta aforadora consta de una contracción gradual (Fig. 4.18), que conduce el flujo a una sección reducida o garganta, después de la cual se produce un ensanchamiento, también gradual, hasta que la sección de la canaleta coincida de nuevo con el canal. La pendiente de! fondo de la canaleta puede o no coincidir con la del canal según sea su diseño.

Canaleta Venturi Uno de los primeros trabajos en canaletas aforadoras se realizo con una canaleta de pendiente coincidente con la del canal (ver figura 4.18), en la cual la ecuación del gasto puede obtenerse de forma simple. Sean A1 y A2 las áreas de las secciones transversales en la entrada y la garganta respectivamente y y1 y y2 los niveles del agua en esas secciones.

La fórmula de cálculo en este caso: N

No retiene el agua en el canal. No afectan los sedimentos en suspensión, ya que no hay zonas de posibles depósitos. Las pérdidas de carga son pequeñas. Admite, por lo general, una amplia gama de gastos para un mismo diseño, lo que permite su adecuación a diferentes particularidades.

donde: y – profundidad de circulación del gasto, m; N y K 0 – variables para cada caso, de dependen del material que recubre el perímetro mojado, la forma y dimensiones de la sección transversal y la pendiente del fondo.

73

74

2

⎛ A ⎞ ⎜⎜ v 2 ⋅ 2 ⎟⎟ 2 A1 ⎠ v ⎝ y1 = = y 2 + 2 + hf1−2 2⋅g 2⋅g de donde:

v2 =

2 ⋅ g ⋅ (y1 − y 2 − hf1− 2 ) ⎛A ⎞ 1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

2

---------- (4.24)

y c o m o Q = A2 ⋅ v2 :

2⋅g

Q = K ⋅ A2 ⋅

⎛A ⎞ 1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

2

⋅ Δy - - - - - - - - - - ( 4 . 2 5 )

donde: K - factor de corrección (menor que1) que tiene en cuenta las pérdidas de carga (generalmente varia de 0.95 a 1).

Fig. 4.18 Canaleta aforadora Si se aplica Bernoulli entre las secciones 1 y 2 se tiene: 2

z 1 + y1 + α 1 ⋅

2

v1 v = z 2 + y 2 + α 2 ⋅ 2 + hf1−2 ---------- (4.21) 2⋅g 2⋅g

pero en esa ecuación:

z1 − z 2 = S0 ⋅ L

El primero que propuso este tipo de aforador llamado Venturi fue V.M. Cone en 1917, y posteriormente se recogen trabajos de P.S. Wilson y C.A Wright en 1920; de R.L. Parshall y C. Rohwer en 1921; de E.S Crump en 1922 y 1923 (India); de A.H. Jamenson en 1925 y 1930 (India): de R.L. Parshall a partir de 1926 (Estados Unidos); de C.C. Inglis en 1926 (India); de G. De Marchi y F. Contessini en 1936 (Italia); de G. Nebbia en 1936 y 1938 (Italia); de D. Citrini en 1941 (Italia); de A. Liulord en 1941 (Inglaterra); de A. Khafagi en 1 9 4 2 (Suiza); de V.N. Verisev en 1947 (URSS): de Ballolet en 1 9 5 5 (Argentina), y muchos otros. Un diseño práctico de la canaleta Venturi triangular, de O. García Soto. 1983, aparece en la figura 4.19, en la cual las dimensiones del resto de la canaleta son:

L1 = 1.5 ⋅ b , L2 = b , L3 = 0.5 ⋅ b ,

y este término se desprecia por ser L muy pequeña.

L4 = L1 , α A = 53 0 6 / , H = 1.33 ⋅ y1MAX

Además por hipótesis: α1 = α 2 = 1.0 ; por lo que queda:

El gasto en la canaleta puede calcularse según la siguiente formula:

2

y1 + ⋅

Q = 4.43 ⋅ K ⋅ μ C ⋅ A2 ⋅ Δy ---------- (4.26)

2

en la cual las unidades de medida deben ser: para Q en m 3 /s; para A 2 en m 2 y para Δy en m.

v1 v = y 2 + 2 + hf1−2 ---------- (4.22) 2⋅g 2⋅g

Por otra parte, si se aplica el principio de continuidad entre 1 y 2, se tiene:

A 1 ⋅ v1 = A 2 ⋅ v 2

K = 0.93 + (4.07 − 4.59 ⋅ y1 ) ⋅ (3.28 ⋅ Δy − 0.164 ⋅ y1 − 0.04) 2 ; A2 = 0.5 ⋅ y 2 ; 2

de donde:

v1 = v 2 ⋅

El resto de los factores se calculan según las expresiones:

⎛ 4 ⋅ b + 3 ⋅ y1 ⎞ A2 = ⎜ ⎟ ⋅ y1 6 ⎝ ⎠

A2 ---------- (4.23) A1

Sustituyendo la ecuación (4.23) en la ecuación (4.22) queda:

Se debe garantizar en el trabajo que

y2 ≤ 0.8 para que la sumersión no afecte el trabajo de la y1

canaleta.

75

76

Canaleta Parshall Paralelamente a todas las consideraciones anteriores, J. Hinds, en 1920, propone una modificación de la pendiente del fondo, tal que en la entrada se tenga una pendiente adversa, y seguidamente una horizontal, una supercrítica (en la garganta) y por último de nuevo una adversa. Este diseño provoca la ocurrencia del régimen crítico en la sección de la garganta del aforador para un intervalo amplio de gastos. Sobre esta idea básica R.L. Parshall trabajó, a partir de 1921, elaborando entre 1926 y 1950 toda la información necesaria para el diseño de una nueva canaleta aforadora (Fig. 4.20) denominada con su apellido por el Comité Ejecutivo de la División de Riego de la American Society of Civil Engineers (ASCE), en 1929 (tabla 4.1).

Fig. 4.20 Canaleta Parshall (USSCS)

SECCION A-A

Fig. 4.19 Canaleta Venturi triangular

77

78

Tabla 4.1 Dimensiones del aforador Parshall (m)

Tomada de “Guía para las mediciones de los gastos de agua por medio de vertedores, canaletas hidrométricas y umbrales”, en Ciencia y Técnica en la Agricultura, de O.R García Soto.

Ancho b

2 3A

B

C

D

E

F

G

K

N

0.025

0.242

0.356

0.093

0.617

0.229

0.076

0.203

0.019

0.029

0.008

0.013

0.283

5.663

0.051

9.276

0.406

0.135

0.214

0.254

0.114

0.254

0.022

0.043

0.016

0.025

0,566

14.158

0.076

0.306

0.457

0.178

0.259

0.457

0.152

0.305

0.025

0.057

0.025

0.038

0.849

28.317

0.152

0.415

0.610

0.394

0.397

0.610

0.305

0.610

0.076

0.114

0.051

0.076

1.416

110.44

0.229

0.588

0.864

0.381

0.575

0.162

0.305

0.457

0.076

0.114

0.051

0.076

2.548

252.02

0.305

0.914

1.343

0.610

0.845

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

3.115

455.90

0.457

0.965

1.419

0.762

1.025

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

4.247

696.00

0.610

1.016

1.495

0.914

1.206

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

11.893

937.29

0.914

1.118

1.645

1.219

1.572

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

17.273

1127.20

x

y

Gasto Minimo

Gasto Máximo

1.219

1.219

1.794

1.524

1.937

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

36.802

1922.711

1.524

1.321

1.943

1.820

2.302

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

45.267

2423.90

1.829

1.422

2.093

2.134

2.667

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

73.024

2930.80

2.134

1.524

2.242

2.438

3.032

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

81.951

3437.70

2.438

1.626

2.391

2.743

3.397

0.914

0.610

0.914

0.076

0.229

0.051

0.076

92.350

2950.20

3.658

2.032

4.877

4.470

5.607

1.524

0.914

1.048

0.152

0.343

0.305

0.229

226.54

9910.90

4.572

2.337

7.620

5.588

7.620

1.829

1.219

2.438

0.229

0.457

0.305

0.229

226.54

16000.20

2.845

7.620

7.315

9.144

2.134

1.820

3.658

0.305

0.686

0.305

0.229

283.17

28317.00

6.096

Tomada de Manual de Ingeniería de regadíos de R. Heras

Donde el gasto esta en

m3 ⋅10 −3 s 0.026

---------- (4.27)

donde: Q - caudal, m3/s; b0 – ancho de la garganta, m; y1 – profundidad de agua en el punto de observacion1, m; Otras fórmulas parciales aplicables solamente para aberturas de garganta determinadas son:

Q = An ⋅ b ⋅ y1

para 0.25m < b ≤ 0.90m

Q = An ⋅ b ⋅ y1

para 0.91m < b ≤ 1.6m

1.5 1.6

b(m) 0.25 – 0.075 0.15 – 0.225 0.30 – 2.40 3.00 – 15.00

Si la relación y2/y1 es mayor que la establecida, el aforador trabaja sumergido y es necesario calcular el gasto mediante un factor de corrección. En la figura 4.21 aparecen las relaciones entre el gasto, la profundidad y1, y el porcentaje de sumersión y2/y1, para las canaletas de 76.2: 152.0 y 229.0 mm de ancho de garganta. En los tres casos, el porcentaje máximo de sumersión es de un 95%, no aconsejándose valores superiores a este. Por su parte, en la figura 4.22, aparece la corrección por sumersión que es necesario aplicar al gasto a régimen libre para un mismo valor de y1 para aforadores de 305 mm y 3 050 mm de ancho de garganta. Por otra parte, en la figura 4.23 se representa gráficamente la corrección para los valores obtenidos de los gráficos de la figura 4.22 cuando los anchos de garganta son mayores que 305 mm o 3 050 mm. Toda la información recogida en los gráficos de las figuras anteriores se obtuvo en la Estación Experimental de Colorado (EE.UU.) por R.L. Parshall.ç

El aforador Parshall puede ser usado eficientemente en presencia de sedimentos arenosos y arcillosos en la corriente, ya que las altas velocidades en la garganta y otras particularidades de su diseño, no permiten obstrucción debido a este tipo de sedimentos. No obstante, si los granos de los sedimentos que arrastra la corriente son de tamaño considerable (grava, gravilla, etc.) no debe emplearse este tipo de canaleta aforadora y si una modificación de ella denominada canaleta San Dimas ensayada por H.G. Wilin. J.S. Cotton y H.C. Storey en 1938.

donde An se obtiene según los valores de la tabla 4.1 Tabla 4.2 Valores de An para la canaleta Parshall y1 (m)

b (m) 0.25

0.40

0.63

1.00

2.196

2.122

-

-

0.36 – 0.60

2.222

2.249

-

0.61 – 0.90

2.222

2.249

-

0.91 – 1.20

2.436

2.419

1.21 – 1.60

2.454

2.366

0.25 – 0.35

79

y2/y1 < 0.5 < 0.6 < 0.7 < 0.8

En la figura 4.24 se muestran en forma gráfica los datos obtenidos por R.L. Parshall para calcular las pérdidas de carga que introduce el aforador al ser intercalado en una corriente.

La calibración empírica de este aforador arrojó el siguiente resultado:

Q = 0.372 ⋅ b0 ⋅ (3.278 ⋅ y1 )1.567⋅b0

Si y2 es la profundidad del agua en el punto de observación, la relación y2/y1 indica si el aforador funciona en régimen libre o sumergido. En el primer caso la fórmula (4.27) resuelve el problema del cálculo del gasto siempre que se cumplan las siguientes condiciones, que aseguran el régimen libre:

80

Fig. 4.22 Otros casos del factor de corrección para canaletas Parshall Canaleta SANIIRI Por otra parte, V.N. Yarsev diseñó, en 1947, una canaleta denominada SANIIRI, en honor al Instituto Científico de Riego del Asia Central, al que pertenecía el investigador. Esta canaleta es de construcción muy simple y se utiliza mucho en los sistemas de riego, para gastos hasta de 2 m3/s.

Fig. 4.21 Factor de corrección para canaletas Parshall

81

82

Fig. 4.24 Nomograma para aforadores Parshall

Fig. 4.23 Factor de corrección para anchos hasta 3 050m

83

84

La canaleta SANIIRI (Fig. 4.25), tiene paredes verticales al plato, no paralelas entre sí, y de forma tal que van convergiendo. El plato es horizontal y está situado más alto que el fondo del canal. En general, la canaleta es un estrechamiento brusco, que provoca una caída súbita del nivel del agua. El acceso al estrechamiento es un tramo de canal revestido y de igual forma el ensanchamiento brusco al final, lleva otro tramo revestido. Las principales dimensiones de la canaleta SANIIRI son:

L = 2 ⋅ b0 ; 1.5 ⋅ b0 ≤ H C ≤ 2 ⋅ b0 ; 0.2m ≤ b0 ≤ 1m ; H MAX ≤ 0.8 ⋅ H C ; bC ≥ 1.4 ⋅ b1 ; b1 = 1.76 ⋅ b0 ; 0.1m ≤ H ≤ 1.0m ; L1 = 2.5 ⋅ b0 ; L2 = 1.5 ⋅ b0 ; P ≥ 0.5 ⋅ H MAX . La ecuación del gasto para esta canaleta es: 3

Q = K S ⋅ b0 ⋅ H 2 ---------- (4.28) Esta expresión es válida siempre que Q se exprese en metros cúbicos por segundo y b o y H en metros. El coeficiente KS se calcula según;

K S = 2.214 −

0.483 6.26 ⋅ H + 1

Una fórmula práctica con un error del 1 % con respecto a la anterior es:

Q = 2.14 ⋅ b0 ⋅ H 1.55 ---------- (4.28a) en la cual Q, bo y H deben estar expresados en las mismas unidades que en el caso de la expresión anterior. El flujo no sumergido se logra cuando h>0 y la corrección del gasto para esa condición se calcula por:

QS = CC ⋅ Q ---------- (4.29) donde: QS – gasto en condiciones de flujo sumergido, m3/s. CC - Coeficiente de corrección. El coeficiente de corrección CC se calcula según la expresión:

C C = 1.085 −

1.085 h⎞ ⎛ 11.7 ⋅ ⎜1 − ⎟ + 1 ⎝ H⎠

La medición de H y h puede realizarse en los puntos 1 y 2, con escalas graduadas, con un limnigrafo u otro instrumento.

Recomendaciones prácticas para la instalación de las canaletas. De acuerdo con la experiencia de la URSS en la instalación de las canaletas deben tenerse en cuenta los factores siguientes: 1. Las instalaciones y la obra deben ser de fácil acceso. 2. La no coaxialidad entre el eje de la obra y el eje longitudinal del canal debe ser menor, de 5mm para anchos de plato menores de 0.5m; de 10mm para anchos de platos hasta 1.5m, y de 15mm para anchos mayores de 1.5m. SECCION A-A

3. El desvío de la vertical de las paredes no debe superar el 20%.

Fig. 4.25 Canaleta SANIIRI

85

86

4. El fondo de la canaleta debe ser estrictamente horizontal en las secciones que se requiera. 5. El ancho de la garganta debe construirse con una exactitud del 0.2%. 6. El nivel del agua se mide en pozos de reposo construido para tal fin. 7. La longitud del canal aguas arriba debe ser como mínimo 10T y su trazado recto. Se pueden ubicar estabilizadores de flujo aguas arriba a no menos de 30 veces la carga máxima.

4.7 Técnica de aforo con vertedores. Los vertedores son elementos que obstruyen la circulación del agua en una conducción libre y por encima de los cuales el agua vierte, de hecho, esto implica una sección de control, de modo que la carga existente sobre el vertedor permite determinar con exactitud el caudal que está circulando. Este tipo de obra es muy utilizado como elemento de medición en canales de todo tipo y, además, se emplea como aliviadero en embalses. También es ampliamente utilizado para elevar el nivel del agua con el fin de disminuir velocidades y alejar el peligro de erosión, proveer suficiente profundidad para una obra de toma, disminuir la carga estática de bombeo, etcétera. En líneas generales un vertedor consiste en una escotadura o umbral. a través del cual fluye el agua, confinada por las paredes laterales o estribos, que limitan lateralmente dicho vertedor y que lo unen a las paredes del canal (Fig. 4.26).

las aristas y deben revisarse periódicamente para retirar el material atrapado en ellos y limpiar de musgo las aristas. Cuando existe suficiente carga sobre el vertedor y bajo la lámina vertiente existe entrada de aire, esta lámina cae naturalmente por efecto de la aceleración de la gravedad y se denomina lámina libre (Fig. 4.27a). Cuando la lámina se encuentra confinada por ambos lados, por no tener estribos el vertedor, el aire bajo esta es atrapado y arrastrado por la propia corriente, enrareciéndose y reduciendo la presión bajo la lámina. Por efecto de esta diferencia de presiones entre ambas caras de la lámina, esta se deprime ligeramente, como se muestra en la figura 4.27b. Cuando el caudal es muy pequeño, la lámina es consecuentemente pequeña y no cae libremente, sino que se adhiere a la pared del vertedor (Fig. 4.27c)

LAMINA LIBRE

LAMINA DEPRIMIDA

LAMINA ADHERIDA

Fig. 4.27 Lamina libre, deprimida y adherida.

Cuando el nivel aguas abajo del vertedor excede la altura del umbral, el caudal no solo es función de la carga sobre el vertedor, sino también de la diferencia existente antes y después del vertedor. En estos casos se dice que la lámina es sumergida (Fig. 4.28). Fig. 4.26 Vertedor

En la figura 4.26, las dimensiones del vertedor son: a – ancho del umbral; L – Longitud del umbral; P – altura del umbral; H1 – carga antes del vertedor; H2 – carga después del vertedor; H = H1 – P : carga sobre el vertedor; va – velocidad de aproximación.

Fig. 4.28 Lamina sumergida

Atendiendo al ancho del umbral, los vertedores pueden clasificarse en dos grandes grupos: vertedores de pared delgada (o cresta aguda) y vertedores de umbral ancho.

Vertedores de pared delgada Este tipo de obra es muy usual en los canales pequeños y medianos, en sistemas de regadío y en canales de abastecimiento o desecho industrial, para hacer posible la realización de aforos frecuentes y rápidos. Generalmente, están construidos de metal con las aristas del umbral biseladas, requieren ser pintados con material anticorrosivo o alguna sustancia protectora que reduzca el inevitable deterioro de

Como al circular el agua del canal hacia el umbral se produce una aceleración de esta, y por tanto una convergencia de las líneas de corriente, cuyos cambios de dirección no son agudos, y como, además, al atravesar el umbral, el agua cae libremente por efecto de la gravedad, el comportamiento del flujo que se muestra en la figura 4.29 no es real, sino teórico. La configuración real de la lámina aparece en la figura 4.30, donde se observa que ocurren tres tipos de contracciones. La contracción que se produce en la superficie del agua. CS, comienza a reflejarse desde cierta distancia antes del umbral y ha sido ubicada aproximadamente a 2 H de este, por lo que es recomendable que las mediciones de H1 o H se realicen entre 2 y 2.5 H veces, aguas arriba del vertedor, para evitar la afectación ocasionada por dicha contracción .

87

88

dx

PERFIL

PERFIL

Fig. 4.31 Vertedor rectangular de pared delgada con lámina libre El cálculo del gasto teórico que pasa a través del vertedor rectangular se puede plantear mediante la ecuación de Bernoulli entre un punto (1) en la superficie del agua en el canal de aproximación y un punto (2) en cualquier lugar sobre el vertedor. 2

va v2 +H = ⋅ x, ----------- (4.31) 2⋅ g 2⋅ g 2

de donde: PLANTA

PLANTA

Fig. 4.29 Vertimiento teórico sin contracciones

Fig. 4.30 Vertimiento real con contracciones

También en sentido vertical ocurre una contracción inferior, Ci, en el borde del umbral, cuya causante es la altura misma del umbral.

va ⋅ ( H − x) ----------- (4.32) 2⋅ g

v = 2⋅ g ⋅

El elemento de gasto, ∂Q , que pasa a través de la banda rayada de dimensiones L ⋅ ∂x es: 2

∂Q = 2 ⋅ g ⋅

va ⋅ ( H − x) ⋅ L ⋅ ∂x ----------- (4.33) 2⋅ g

El gasto teórico, Qt, se obtiene integrando la expresión (4.33) desde x = 0 hasta x = H: 2 3 3 ⎡ v 2 ⎤ v 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ ⎢( a + H ) 2 − ( a ) 2 ⎥ ----------- (4.34) ⋅ ⋅ g g 3 2 2 ⎣⎢ ⎦⎥

En sentido horizontal, la presencia de estribos obliga a la contracción de las líneas de corriente, provocando a ambos lados contracciones laterales C1, que tienen como resultado una disminución de la longitud efectiva de vertimiento.

Qt =

En experiencias realizadas por Bazin ( 1 8 5 2 ) con vertedores de L / H ≥ 5 se obtuvo:

En el caso de vertedores para los cuales la carga velocidad de aproximación v2/2g sea muy pequeña, la expresión se reduce a:

C1 = 0.1 ⋅ H ---------- (4.30)

3

En estudios posteriores se ha demostrado que la expresión (4.30) solo es aplicable para los valores señalados de L/H y algunos experimentos no confirman la validez de la fórmula ni siquiera en el intervalo mencionado, por lo que es recomendable la eliminación de estribos, dejando que el umbral corra a todo lo ancho del canal, eliminando de ese modo las contracciones laterales y con ellas la incertidumbre que introducen en los cálculos.

Qt =

2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ---------- (4.35) 3

que es la expresión del gasto teórico en vertedores de pared delgada sin contracciones, velocidad de aproximación pequeña y lámina libre.

Vertedores rectangulares de pared delgada con lámina libre

Una amplia recopilación de los ensayos realizados en este tipo de vertedores para determinar el gasto real y los resultados obtenidos por Francis. Fteley y Stearns, Bazin, y otros, aparecen en la obra Weir Experiments, Cofflicients and Formulas de Horton, 1907.

Estos son, sin dudas, los más estudiados a través de los años y la mayoría de las fórmulas empíricas propuestas se refieren a este tipo de vertedores (Fig. 4.31).

La mayoría de las fórmulas para el gasto real son de tipo: 3

Q = K q ⋅ L ⋅ H 2 ---------- (4.36) o lo que es igual: Q = C q ⋅ Qt ---------- (4.37) donde: Cq – coeficiente de gasto del vertedor.

89

90

A continuación se relacionan algunas fórmulas empíricas más conocidas: 1- Fórmula de Francis (1852).

2 ⎛H ⎞ ⎤ 0.00619 ⎞ ⎡ ⎛ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.47) K q = ⎜1.815 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ H ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣

3 3 ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ va ⎞ 2 ⎛ va ⎞ 2 ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − Q = 1.84 ⋅ L ⋅ ⎢⎜ H + ⎜ 2 ⋅ g ⎟ ⎥ ---------- (4.38) 2 ⋅ g ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦

5- Fórmula de Rehbock (1912)

lo cual implica:

de donde:

K q = 1.786 +

⎡ ⎤ 2 ⎛ ⎞ ⎛ va 2 ⎞ ⎥ va ⎟ −⎜ ⎟ ---------- (4.39) K q = 1.84 ⋅ ⎢⎢⎜⎜1 − ⎜ 2⋅ g ⋅ H ⎟ ⎥ 2 ⋅ g ⋅ H ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ que cuando v ≤ 1.5m/s puede simplificarse a: 3 2

3 2

2 ⎡ ⎛H ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.50) Q = 1.78 ⋅ L ⋅ H 1.47 ⋅ ⎢1 + 0.56 ⋅ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦

que implica:

Kq =

2- Fórmula de Fteley y Stearns (1883). 3

2 ⎛ v ⎞2 Q = 1.83 ⋅ L ⋅ ⎜⎜ H + 1.5 ⋅ a ⎟⎟ + 0.00065 ⋅ L ---------- (4.41) 2⋅ g ⎠ ⎝

Q=

3 2

⎛ 1.5 v a ⎞ ⎟ + 0.00065 ---------- (4.42) K q = 1.83 ⋅ ⎜⎜1 + ⋅ 3 H 2 ⋅ g ⎟⎠ ⎝ H2

2 ⎛H ⎞ ⎤ 1 ⎛ ⎞ ⎡ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.53) K q = ⎜1.815 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.5 ⋅ ⎜⎜ 551 ⋅ H + 0.888 ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣

2 ⎡ ⎤ ⎛H ⎞ 0.00118 ⎥ ⎟⎟ + ---------- (4.43) K q = 1.83 ⋅ ⎢1 + 0.383 ⋅ ⎜⎜ 3 ⎢ ⎥ ⎝ H1 ⎠ H2 ⎦ ⎣

8- Fórmula de Rehbock (1938)

3- Fórmula de Bazin (1888). 3

de donde: 2

3 ⎛H ⎞ 0.0021 ⎞ ⎡ 2 ⎛ ⎟⎟ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎜ 0.615 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ H ⎠ ⎢ 3 ⎝ ⎝ H1 ⎠ ⎣

de donde:

por lo que: 3

H + 0.1097 ⎞ ⎛ 0.1097 ⎞ 2 ⎛ K q = ⎜ 3.228 + 0.4323 ⋅ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ ---------- (4.55) P H ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Todas las fórmulas anteriores corresponden a vertedores sin contracción lateral, por lo cual al ser aplicadas a otros casos, debe corregirse el valor de L según la relación:

⎤ ⎥ ---------- (4.45) ⎥⎦

L' = L − 0.1 ⋅ n ⋅ H ---------- (4.56)

4- Fórmula de Frese (1890)

Q=

3

H + 0.1097 ⎞ ⎛ 0.1097 ⎞ 2 2 ⎛ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎜1.093 + 0.1464 ⋅ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ ----------- (4.54) P H ⎠ 3 ⎝ ⎠ ⎝ 3

Q=

2 ⎛H ⎞ ⎤ 0.0045 ⎞ ⎡ ⎛ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.44) ⋅ ⎜ 0.6075 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ H ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣

⎛H ⎞ 0.0133 ⎞ ⎡ ⎛ ⎟⎟ K q = ⎜1.793 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.55 ⋅ ⎜⎜ H ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H1 ⎠ ⎣

2 3 ⎛H ⎞ ⎤ 2 0.615 ⎛ ⎞ ⎡ ⎟⎟ ⎥ ----------- (4.52) ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎜ 0.615 + ⎟ ⋅ ⎢1 + 0.5 ⋅ ⎜⎜ 3 1000 ⋅ H + 1.6 ⎠ ⎢ ⎝ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦ ⎣

y por tanto:

que cuando v < 0.6m/s queda:

2 ⋅ 2⋅ g ⋅ L⋅ H 2 3

2 ⎛H ⎞ ⎤ 1.78 ⎡ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.51) ⋅ ⎢1 + 0.56 ⋅ ⎜⎜ 0.03 H ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦

7- Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924)

por tanto

Q=

H 1 ---------- (4.49) + 0.236 ⋅ P 357 ⋅ H − 1.014

6- Fórmula de King (1912)

2 ⎡ ⎛ H ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ---------- (4.40) K q = 1.84 ⋅ ⎢1 + 0.259 ⋅ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ H 1 ⎠ ⎥⎦

2

1 0.08 ⋅ H ⎞ 2 ⎛ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ L ⋅ H 2 ⋅ ⎜ 0.605 + + ⎟ ----------- (4.48) 1 . 049 3 ⋅ H − P ⎠ 3 ⎝ 3

Q=

2

⎤ ⎥ ----------- (4.46) ⎥⎦

donde: n – número de contracciones laterales; L – longitud física del vertedor; L’ – valor equivalente para utilizar las fórmulas. Los valores de K q de las fórmulas anteriores aparecen en la tabla 4.3 Tabla 4.3 3

Valores comparativos de Kq en la expresión

Q = Kq ⋅ L ⋅ H

vertedores.

91

92

2

obtenidos con las distintas fórmulas para

2. La fórmula de Fteley y Stearns no puede aplicarse para velocidades de aproximación muy altas.

H Fórmula Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin

P 0.15 0.3 -

0.6 0.9 1.5 3 -

0.06 1.88 1.93 1.93 1.92 2 2.03 2.1 1.85 1.89 1.88 1.87 1.95 1.97 2.04 1.84 1.88 1.86 1.85 1.93 1.94 2.02 1.84 1.87 1.85 1.84 1.92 1.94 2.01 1.84 1.87 1.84 1.84 1.92 1.94 2.01 1.54 1.87 1.84 1.84 1.92 1.94 2.01

0.15 1.96 2.06 2.04 2.05 2.11 2.15 2.14 1.89 1.92 1.92 1.93 1.97 2 1.99 1.85 1.87 1.87 1.87 1.9 1.93 1.92 1.85 1.85 1.84 1.84 1.88 1.9 1.9 1.84 1.84 1.83 1.83 1.87 1.89 1.89 1.84 1.84 1.82 1.83 1.86 1.88 1.88

0.3 2.05 2.38 2.27 2.22 2.29 2.3 2.29 2.51 2.05 2.03 2.05 2.09 2.1 2.09 1.89 1.92 1.92 1.92 1.95 1.96 1.95 1.87 1.88 1.87 1.88 1.9 1.91 1.9 1.85 1.84 1.84 1.84 1.87 1.87 1.87 1.84 1.84 1.82 1.83 1.84 1.85 1.84

0.6 2.16 2.73 2.4 2.47 2.45 2.45 2.05 2.38 2.26 2.22 2.27 2.26 2.26 1.96 2.05 2.03 2.04 2.08 2.06 2.06 1.92 1.95 1.95 1.97 1.99 1.97 1.98 1.88 1.89 1.88 1.89 1.91 1.89 1.9 1.85 1.85 1.84 1.84 1.85 1.83 1.84

0.9 2.22 3.21 2.48 2.56 2.52 2.54 2.21 2.93 2.5 2.33 2.38 2.35 2.36 2.01 2.21 2.14 2.14 2.18 2.14 2.16 1.96 2.05 2.03 2.04 2.07 2.03 2.05 1.9 1.94 1.93 1.94 1.97 1.93 1.95 1.87 1.87 1.86 1.87 1.88 1.84 1.86

1.5 2.29 4.15 2.58 2.64 2.57 2.62 2.2 2.97 2.45 2.51 2.44 1.49 2.09 2.59 2.38 2.28 2.33 2.26 2.31 2.02 2.25 2.18 2.17 2.21 2.14 2.19 1.96 2.05 2.02 2.04 2.07 2 2.05 1.89 1.91 1.9 1.92 1.93 1.87 1.91

Francis Fteley y Stearns Rehbock (1912) Sociedad Suiza Frese King Bazin

∞ -

1.84 1.87 1.83 1.84 1.92 1.94 2.01

1.84 1.84 1.81 1.83 1.85 1.88 1.86

1.84 1.83 1.79 1.82 1.84 1.84 1.84

1.84 1.83 1.79 1.82 1.83 1.81 1.82

1.84 1.83 1.79 1.82 1.82 1.78 1.84

1.81 1.83 1.79 1.82 1.82 1.76 1.8

3. La fórmula de Rehbock no es aplicable para umbrales muy bajos pues K q tiende a infinito. 4. Salvo las fórmulas de Francis y Fteley y Stearns, ninguna tiene en cuenta la velocidad de aproximación. 5. En las fórmulas de Fteley y Stearns, Rehbock y de la SSIA los valores de K q no difieren entre si, en general, en más de 1% dentro de los datos experimentados. 6. Las fórmulas de Frese, King y Bazin dan valores de K q de 1 a 5% mayores que las demás fórmulas. 7. Para vertedores con bordes bien biselados, paramento liso y suficiente ventilación bajo la lámina, lo más recomendable es aplicar las fórmulas de Rehbock o de la SSIA. En caso contrario posiblemente se obtengan valores más reales aplicando las fórmulas de Bazin. King o Frese. Las investigaciones realizadas durante largos años en la URSS sobre estos vertedores aconsejan el uso de diferentes fórmulas empíricas, entre ellas la siguiente, recomendada por el investigador cubano O. García Soto: 3

[

]

Q = 2.953 ⋅ μ C ⋅ L ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.57) en la cual L y H deben medirse en metros. En la fórmula, μ C es el coeficiente de corrección y se calcula según:

μ C = Ce + a ⋅

H P

Los valores de C e y a se calculan a partir de la relación que hay entre el ancho del canal y la longitud del umbral (L) variado desde 1.0 (vertedor sin contracción) hasta 0.05 (tabla 4.4). Tabla 4.4 Valores de C e y a en dependencia de b/b K b/b K 1.0 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55

Ce 0.602 0.600 0.598 0.597 0.596 0.595 0.594 0.5935 0.593 0.5925

a 0.075 0.07 0.064 0.055 0.045 0.037 0.030 0.025 0.018 0.015

b/b K 0.5 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

Ce 0.592 0.5915 0.591 0.590 0.5895 0.589 0.588 0.5875 0.587 0.587

Tomada de "Guía para las mediciones de los gastos de agua por medio de vertedores, canaletas hidrométricas y umbrales", en Ciencia y Técnica en la Agricultura, de O.R. García Soto

Vertedores triangulares de pared delgada con lámina libre Este tipo de vertedor (Fig.4.32) es recomendable para medir caudales pequeños, puesto que al obligar a una carga mayor, dado lo angosto de la sección hacia el vértice, puede realizarse una lectura de la carga sobre el vertedor más confiable. En el caso de canales de riego se recomiendan para gastos de hasta 100L/s y hasta 1.5m 3 /s en el caso de mediciones hidrológicas.

Tomada de Manual de Hidráulica de H.W.King De la comparación de estas fórmulas se puede concluir que: 1. La fórmula de Francis da valores muy bajos cuando la velocidad de acceso o de aproximación es alta.

93

a 0.012 0.009 0.006 0.004 0.002 0.0 0.002 0.002 0.002 0.0023

94

Θ0

Kq

n

120

2.35

2.48

90

1.34

2.48

60

0.821

2.51

22.5

0.254

2.43

Por su parte, King ha propuesto una ecuación empírica general para el cálcul o del gasto real en cualqui er tipo de vertedor triangular: Fig. 4.32 Vertedor triangular de pared delgada con lámina libre. El gasto teórico en este caso puede determinarse por:

Vertedores trapeciales de pared delgada con lámina libre.

2

∂Q = 2 ⋅ g ⋅ L ⋅

⎛θ ⎞ Q = 1.38 ⋅ tan⎜ ⎟ ⋅ H 2.5 ---------- (4.64) ⎝2⎠

va + (H − x )∂x ---------- (4.58) 2⋅ g

Para un vertedor trapecial como el que se muestra en la figura 4.33 se puede calcular el gast o teórico como la combinación de uno rectangular y uno triangular:

pero L no es constante, sino que:

3

Q=

⎛θ ⎞

L = 2 ⋅ x ⋅ tan⎜ ⎟ ---------- (4.59) ⎝2⎠

5

l 2 8 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ b ⋅ H 2 + ⋅ 2 ⋅ g ⋅ ⋅ H 2 ---------- (4.65) H 3 15

y por tanto:

⎛ θ ⎞ va ∂Q = 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan⎜ ⎟ ⋅ + (H − x ) ⋅ x ⋅ ∂x ---------- (4.60) ⎝ 2 ⎠ 2⋅ g 2

Integrando: 5 3 ⎡ 2 ⎞2 ⎛ v 2 ⎞2 ⎛θ ⎞ ⎛ v Q = 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan ⎜ ⎟ ⋅ ⎢⎢⎜⎜ a + H ⎟⎟ − ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⋅ g ⎠ ⎝ 2⋅ g ⎠ ⎢⎣

⎤ ⎛v 2 5 ⎞ ⋅ ⎜⎜ a + ⋅ H ⎟⎟⎥⎥ ---------- (4.61) ⎝ 2⋅ g 2 ⎠⎥ ⎦

La expresión (4.61) puede simplificarse cuando

va es despreciable, y queda: 2⋅ g

2

Fig. 4.33 Vertedor trapecial

El modelo más conocido es el llamado vertedor Cipolleti, en el cual l/H = 0.25. Este valo r ha sido fijado con el objetivo de que el gasto real del vertedor coi ncida con el gasto t eórico de un vertedor rectangular de longitud b. Es decir, el aumento de área con respecto al rectangular compensa las constricciones laterales y verticales. 3

[

]

Q = 1.859 ⋅ b ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.66)

8 ⎛θ ⎞ Qt = ⋅ 2 ⋅ g ⋅ tan⎜ ⎟ ⋅ H 2 ---------- (4.62) 15 ⎝2⎠ 5

Empíricamente se ha demostrado que el gasto real puede expresarse como:

Q = K q ⋅ H n ---------- (4.63) En diferentes investigaciones se han obteni do l os siguient es valores de K q y n para los ángulos indicados:

95

en el cual b y H deben estar expresada en met ros. En este vertedor se debe verificar que la velocidad de aproximación sea baja para obtene r un correct o funcionamiento. Otros modelos estudiados en la URSS de esta forma geométrica de vertedor son el Ivanov y el SANIIRI . El vertedor Ivanov tiene como característica que m=1, o sea el ángulo de 0 i nclinación del lado es 45 . La fórmul a empí rica de este vertedor es:

96

3

[

13. La construcción del vertedor se recomienda realizarla en talleres especializados.

]

Q = 1.86 ⋅ K 1 ⋅ b ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.67)

14. La sección del vertedor debe ser perpendicular al eje longitudinal del canal, permitiéndose un error de ± 3% .

El factor de corrección K1 se calcula según:

K1 =

b+H b + 0.25 ⋅ H

15. El nivel del agua se debe medir en pozos de reposo construidos especialmente para tal fin.

En el caso del vertedor SANIIRI, la inclinación del lado es inversa con un valor de m = -2.0 y la fórmula empírica es: 3

[

]

Q = 2.02 ⋅ (b − 0.5 ⋅ H ) ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.68) Consideraciones prácticas sobre la elección del vertedor. Según la experiencia de la URSS y del autor W.H. King, al seleccionar el tipo de vertedor, se debe escoger el que mejor se adapte a las condiciones especificas que se presenten, pero generalmente se prefieren los rectangulares sin contracciones laterales y los triangulares. Los Cipolleti y los rectangulares con contracción lateral no son muy favorecidos por la falta de seguridad de los coeficientes empíricos. Ante todo, debe hacerse un estimado del caudal que se presentará o, al menos, los limites entre los cuales variará, para tomar una serie de medidas importantes, tales como: 1. Evitar cargas menores de 5 cm., que pueden provocar una lámina adherida. 2. Hacer la longitud del vertedor mayor que tres veces la carga.

16. Si hay variaciones en el campo de velocidades que afecten el trabajo del vertedor se aconseja ubicar rejas verticales y rejillas flotadoras aguas arriba a no menos de 30 HMAX de la sección del vertedor. Además, el canal de aproximación debe ser recto en una longitud mínima de 10 veces el ancho superficial (10 T). 17. La cresta de los vertedores rectangulares y trapeciales debe ser estrictamente horizontal. 18. El ancho de la cresta y la inclinación de los taludes debe construirse con un error no mayor del 0.2 %.

Vertedores de umbral ancho. Los vertedores de pared delgada son difíciles de conservar, pues sus aristas se deterioran rápidamente o se dañan por efecto de los materiales flotantes que arrastra el agua, por lo que en muchos casos es conveniente el vertedor de umbral ancho. El caudal sobre un vertedor de umbral ancho depende fundamentalmente de la geometría del vertedor, tanto de la sección transversal como de la longitudinal. Son numerosos los perfiles de vertedor usados, desde el más simple con cresta horizontal y paramentos verticales, hasta los de perfil complejo (Fig. 4.34).

3. Evitar cargas mayores de 100 cm. Sobre los vertedores trapeciales y rectangulares y mayores de 50 cm. En los triangulares con θ =200; para los demás ángulos, 100 cm. 4. Como el error relativo en el cálculo del gasto, debido a un error en la medición de la carga, disminuye a medida que la carga aumenta, las mayores exactitudes se obtienen cuando la carga es alta. HORIZONTAL CON PARAMENTOS VERTICALES

3

5. Para caudales menores de 0.03 m /s es aconsejable usar vertedores triangulares.

TRAPECIAL CON PARAMENTO AGUAS ABAJO VERTICAL

6. Para caudales entre 0.03 y 0.3 m3/s, tanto el vertedor triangular como el rectangular son adecuados. 3

7. Para caudales mayores de 0.3 m /s es preferible usar vertedores rectangulares. 8. Los vertedores triangulares deben ser instalados de manera que la bisectriz del ángulo central coincida con la vertical trazada al eje de simetría del canal con un error no mayor de 1 %. 9. En los vertedores rectangulares sin contracción debe garantizarse que el nivel aguas abajo este 10 mm por debajo de la cresta del vertedor y que en los lados del canal existan orificios para la entrada de aire con diámetros de 20 a 25 mm, a 20 mm de la cresta y evitar la lámina adherida.

TRIANGULAR

TRAPECIAL CON PARAMENTO AGUAS ABAJO INCLINADO

Fig. 4.34 Vertedores de umbral ancho

10. La medición de H se realiza en una sección ubicada tres veces H máxima aguas arriba del vertedor.

A estos vertedores se aplica la fórmula general (4.36):

11. Los vertedores rectangulares deben cumplir las condiciones:

Q = Kq ⋅ L ⋅ H 2

H MAX ≤ b ;

H ≤ 2 ; 0.2m ≤ P ≤ 1.0m P

3

donde: Kq - coeficiente de gasto, que se determina experimentalmente, en ensayos y pruebas al prototipo o en modelos a escala reducida cuando se trata de obras de gran envergadura.

y si tienen contracción lateral, debe cumplirse que:

ancho.del.canal − L ≥ 100mm 2

Cuando la carga velocidad en el canal de aproximación es apreciable:

12. El flujo no sumergido se garantiza con valores del nivel aguas abajo menores de 10 mm con respecto a la cresta del vertedor.

97

98

La lámina, al pasar sobre la cresta aguas arriba, se separa del vertedor, cuando la carga es alta, y produce una contracción adicional que reduce el coeficiente de gasto.

3

⎛ v2 ⎞ 2 ⎟ ----------- (4.69) Q = K q ⋅ L ⋅ ⎜⎜ H + ⋅ g ⎟⎠ 2 ⎝

Con el objetivo de mejorar el funcionamiento de estos vertedores en esas condiciones se suele redondear el borde aguas arriba de la cresta, como se indica en1a figura 4.36a; por ejemplo, un radio de 10cm provoca un aumento del coeficiente de gasto del aproximadamente 9%.

Vertedores rectangulares de umbral ancho. En estos vertedores (Fig.1.35) el ancho del umbral coincide con el ancho del canal y la carga H debe medirse, al menos, a una distancia de 2.5 H aguas arriba del inicio del vertedor, para evitar la influencia de la caída del nivel del agua. El coeficiente de gasto esta bastante bien definido para cargas entre 0.15 y 0.45m y a partir de 0.45 m y hasta la carga que hace que el manto se separe de la cresta es constante e igual a 1.45. Para cargas bajas (menores de 0.15m) el coeficiente es muy impreciso (tabla 4.5).

Fig. 4.36 Modificaciones para aumentar el coeficiente de gasto Otra modificación usada es la inclinación de la cresta (Fig. 4.36b), dándole cierta pendiente a favor del flujo, lo cual también aumenta el valor del coeficiente de gasto.

Fig. 4.35 Vertedores rectangulares de umbral ancho Tabla 4.5

Si la arista superior se redondea hasta evitar la contracción, y la inclinación es lo suficientemente fuerte como para compensar las pérdidas por rozamiento, la profundidad crítica ocurre a la entrada misma del vertedor y el gasto viene dado por:

3

Valores de K q en la formula Q ≤ K q ⋅ L ⋅ H 2 para vertedores de cresta ancha Carga H (m) 0.15 0.3 0.06 1.54 1.48 0.12 1.61 1.5 0.18 1.7 1.52 0.24 1.82 1.57 0.3 1.83 1.64 0.36 1.83 1.7 0.42 1.83 1.76 0.48 1.83 1.81 0.54 1.83 1.83 0.6 1.83 1.82 0.75 1.83 1.83 0.9 1.83 1.83 1.05 1.83 1.83 1.2 1.83 1.83 1.35 1.93 1.83 1.5 1.83 1.83 1.65 1.83 1.83 Tomada de Manual de Hidráulica de

Ancho de la cresta del vertedero (in) 0.45 0.6 0.75 0.9 1.44 1.4 1.37 1.35 1.46 1.44 1.43 1.42 1.46 1.44 1.43 1.48 1.48 1.43 1.43 1.47 1.52 1.47 1.46 1.46 1.58 1.49 1.46 1.46 1.61 1.53 1.48 1.46 1.69 1.59 1.52 1.48 1.69 1.59 1.51 1.48 1.67 1.57 1.52 1.5 1.81 1.69 1.59 1.55 1.83 1.76 1.68 1.61 1.83 1.83 1.76 1.64 1.83 1.83 1.83 1.69 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 1.83 H.W. King

99

3

Q = 1.704 ⋅ L ⋅ H 2 ----------- (4.70) 1.5 1.29 1.38 1.49 1.48 1.48 1.47 1.46 1.46 1.46 1.46 1.47 1.47 1.48 1.49 1.51 1.54 1.59

3 1.37 1.41 1.49 1.48 1.48 1.48 1.47 1.46 1.46 1.46 1,46 1.46 1.46 1.46 1.46 1.46 1.46

de donde se deduce que el máximo valor de K q en vertedores rectangulares de umbral ancho es de 1.704. Al variar la inclinación del paramento aguas arriba, el coeficiente de gasto aumenta y de la misma forma, si el paramento aguas abajo se va inclinando, puede formarse un perfil trapecial e incluso triangular. El coeficiente de gasto no se afecta por las condiciones aguas abajo, en tanto estas no impidan que en el vertedor se produzca la profundidad critica, pero si esto llega a producirse debe corregirse el coeficiente de gasto. De la experiencia en la URSS en el trabajo con este tipo de vertedores se ha concluido que las dimensiones del vertedor deben satisfacer las siguientes condiciones limite: a) H ≥ 0.06m ; L ≥ 0.3m

P ≥ 0.15m ; 0.15 ≤

P ≤4 L1

H ≤ 1.6 L1 H H c) si ≥ 0.85 ; ≤ 0.85 L1 P

b)

0.10 ≤

100

H ≤ 1.5 P H H e) si > 0.85 ; ≤ 0.85 L1 P d)

0.15 ≤

Las dimensiones del umbral deben cumplir que:

y2 ≤

f) el flujo no sumergido se logra garantizando el nivel aguas abajo 10mm por debajo del fondo del vertedor.

T ; PU ≥ 0.15m ; 0.3 ≤ h ≤ 3m ; 4

H MIN = 0.08m ;

Q H h ≥ 2 ; MAX ≤ 8 ; ≤ 2; PU Q MIN PU

L P ≥ (10 ÷ 15) ⋅ d P ; L1 = y1MAX ; 3.8 ⋅ PU ≤ L U ≤ 4.8 ⋅ PU ;

Vertedor de umbral ancho SANIIRI. M.V. Butirin, en la URSS, desarrolló en 1958 este diseño de umbral ancho (Fig. 4.37), el cual admite gasto con sedimentos en suspensión hasta una razón de 50g/l. Esta instalación se aconseja para gastos de hasta 60 m 3 /s y un coeficiente de sumersión y 2 /y 1 menor que 0.8.

5 ⋅ y1 ≤ L ab ≤ 7 ⋅ y1 ; b U = b + 2 ⋅ m ⋅ PU ; La fórmula empírica para este umbral es: 3

[

]

Q = μ ' ⋅ (b + m ⋅ H ) ⋅ H 2 ; m 3 / s ---------- (4.71) en el cual el coeficiente μ se calcula por: '

μ ' = 1.64 + 0.18 ⋅

H PU

Los requisitos constructivos y de explotación de estas obras están contenidos en los que se plantearon anteriormente para los vertedores y las canaletas. Este umbral está modificado desde 1971 por el propio Butirin y otros investigadores para aumentar la relación QMAX / QMIN hasta 30.

4.8 Técnica de aforo con toberas hidrométricas. Tobera hidrométrica SANIIRI. Las toberas hidrométricas se utilizan para pequeños caudales, principalmente en canales de riego. Se basan en crear una diferencia de carga por el estrechamiento de la tobera, la cual trabaja sumergida (Fig. 4.38). La forma geométrica de la sección del canal no tiene influencia en el trabajo de la tobera. La tobera SANIIRI fue desarrollada por M.V. Butirin en 1937, y puede ser de sección circular, cuadrada o rectangular. Su esquema constructivo se muestra en la figura 4.38, y sus principales características son:

Q ≤ 1m 3 / s ; Q MAX < 4; Q MIN para las toberas circulares y cuadradas: D = 1.92 ⋅ d y L = 2 ⋅ d : para las toberas rectangulares: A = 1.9 ⋅ a ; b = 2 ⋅ a ; B = 2.9 ⋅ a ; L = 3 ⋅ a El gasto se determina empíricamente según las fórmulas siguientes: a) para toberas de sección circular:

[

]

Q = 3.3 ⋅ d 2 ⋅ Δy ; m 3 / s ---------- (4.72) b) para toberas de sección cuadrada:

[

]

Q = 4.1 ⋅ d 2 ⋅ Δy ; m 3 / s ---------- (4.73) c) para toberas de sección rectangular:

[

]

Q = 4.1 ⋅ a ⋅ b ⋅ Δy ; m 3 / s ---------- (4.74) Fig. 4.37 Vertedor de umbral ancho SANIIRI

101

donde Δy, a, b y d deben estar expresada en metros.

102

4.9 Técnica de aforo mediante reguladores con aditamento hidrométrico. Estas obras están destinadas a la doble función de regular y a la vez, medir el gasto de agua. La regulación se realiza mediante compuertas, mientras que el dispositivo hidrométrico se diseña para crear, en un corto tramo, una diferencia de carga Δy que permita la medición del gasto. El dispositivo puede encontrarse aguas arriba de la compuerta, denominándose entonces reguladores con aditamento hidrométrico (RAH), o aguas abajo de la compuerta con lo cual el nombre q u e reciben es el de reguladores hidrométricos de tubo (RHT). Este tipo de obra se 3 aconseja para gastos menores de 10 m / s. Los RAH fueron propuestos por primera vez en el Instituto Científico de Riego del Asia Central, por el investigador B. E. Krasnov, en 1958, mientras que los RHT se proyectaron en el propio instituto por M.V. Butirin en 1939 y posteriormente p o r D. P . Ki l o d k e v i c h y l .E. Starkovskaia a partir de 1954, y otros científicos posteriormente. La ventaja fundamental de los RAH sobre los RHT estriba en que los primeros trabajan sumergidos o no, aguas abajo de la obra mientras que los RHT necesitan una sumersión para operar. En ambos casos existen, numerosos diseños de amplia aplicación en la URSS y en los países miembros del CAME, incluyendo los trabajos que se realizan en Cuba sobre este tipo de obras dirigidos por O. García Soto.

Reguladores con aditamento hidrométrico (RAH) Estos reguladores pueden ser de tubo o abiertos y su configuración depende de las características de entrada de la obra de regulación. Las características del régimen de circulación aguas arriba deben ser subcriticas y la carga mínima sobre la entrada debe ser mayor que 1.5 veces la altura del orificio de entrada, pero a la vez no menor de 30cm. En la figura 4.39 aparece uno, de los diseños m á s difundidos del RAH de tubo diseñado por B.E. Krasnov. En estas obras los parámetros de diseño y calibración son los siguientes: 1.5 ⋅ D ≤ L ≤ 4.0 ⋅ D , en función de cada diseño en particular;

L1 = 0.5 ⋅ D si z ≤ 0.40m ; 1.5 ⋅ D ≤ L1 ≤ 2.0 ⋅ D si z > 0.40m ; L2 ≥ D ; L 3 ≥ 0.5m , para inspección de la compuerta; y MIN = 1.5 ⋅ D ; Δy MIN = 0.03m . Las entradas a los tubos de reposo donde se realiza la medición son orificios de 120mm de diámetro, los cuales pueden ser menores en el caso de que la obra sea para pequeños gastos. La longitud de la tubería que va aguas abajo de la compuerta está en función de las características de la obra y su función es estabilizar el flujo a la salida. La fórmula del gasto para este diseño es:

[

]

L ⎞ ⎛ Q = ⎜1.98 + 0.28 ⋅ 1 ⎟ ⋅ D 2 ⋅ Δy , m 3 / s ---------- (4.75) D⎠ ⎝ Utilizando la fórmula (4.75) se calcula el diámetro del tubo a colocar, conocido previamente el gasto máximo esperado y para un Δy menor que 0.5m. Fig. 4.38 Toberas SANIIRI

103

104

Fig. 4.39 Regulador con aditamento hidrométrico (RAH)

Reguladores hidrométricos de tubo (RHT) Estos reguladores tienen un gran empleo en la hidrometría de explotación. Pueden ser de varios tipos: RHT tobera, RHT anillo, RHT cilindro, RHT Venturi, etc. La condición indispensable es que el nivel aguas abajo sea tal que la obra trabaje sumergida. Como ejemplo, en la figura 4.10 se muestra el RHT tobera elaborado en el SANIIRI

SECCION B-B

Fig. 4.40 Regulador hidrométrico de tubo

105

106

Las principales dimensiones de la obra son: L1 ≥ 6.5 ⋅ D ;

L2 = D ; d = 0.74 ⋅ D ; φ = 0.06m ;

h p = 0.066 ⋅

Q 2 MAX + y 2 ( MAX ) + 0.5 d4

Fig. 4.41 RHT Venturi

La fórmula del gasto es la siguiente:

[

]

Q = 3.9 ⋅ d 2 ⋅ Δy , m 3 / s ---------- (4.76) y el gasto mínimo que puede medirse se calcula según:

Q = 0.55 ⋅ d 2 ---------- (4.77) Por último, en la figura 4.41 se presenta el RHT Venturi desarrollado en conjunto por V.E. Starkovskaia y S.I. Obolenskii. Las principales dimensiones son: L1 ≥ 6.5 ⋅ A ;

L2 ≥ A ; L 3 = 0.6 ⋅ a + u ; L 4 = 0.4 ⋅ a + u ; 0.2 ≤ u ≤ 0.3 ; L 5 = 0.4 ⋅ a ; a = 0.71 ⋅ A ;

107

108

b = 0.71 ⋅ B ; d = 0.10m . La fórmula para el gasto es:

[

]

Q = 4.08 ⋅ a ⋅ b ⋅ Δy , m 3 / s ---------- (4.78) y el gasto mínimo se calcula según:

Q MIN = 0.6 ⋅ a 2 En todas las fórmulas presentadas para los RHT las dimensiones están dadas en metros.

RÉGIMEN UNIFORME En una conducción libre ocurre régimen uniforme cuando en sus diferentes secciones las características de circulación, velocidad, distribución de presiones, profundidad de circulación, etc., son iguales. Como se hace evidente de esta definición, tales condiciones son posibles exclusivamente en conducciones de sección transversal constante, lo cual en la práctica queda restringido a las conducciones artificiales: canales y conductos artificiales cerrados. En conducciones naturales, no obstante, en algunos casos puede considerarse la existencia de régimen uniforme en ciertos tramos donde se ha alcanzado un equilibrio en la sección transversal y esta es sensiblemente constante en una zona recta y sin obstáculos, lo cual posibilita el estudio de estas conducciones con resultados satisfactorios. En este capitulo se estudiará el desarrollo del régimen uniforme, sus fórmulas y el cálculo de la profundidad normal de circulación.

5.1 Desarrollo del régimen uniforme

Fig. 5.1 Establecimiento del régimen uniforme.

De la definición del régimen uniforme, puede obtenerse como conclusión lógica, la más importante y evidente de sus propiedades: como la sección es constante, también lo es la profundidad, y como la velocidad es constante, también lo es la carga velocidad; de ahí que pueda plantearse:

S 0 = S e = S a ---------- (5.1) Para mayor comodidad en el desarrollo matemático, se utilizará sencillamente S para denotar las pendientes de la rasante de energía y de la superficie del agua, salvo que se quiera hacer una diferenciación entre ellas.

5.2 Condiciones de equilibrio Sobre el volumen limitado por las secciones 1 y 2, en la figura 5.2, actúan: las fuerzas W1 y W2 correspondientes a las distribuciones hidrostáticas de presiones ejercidas sobre las secciones transversales 1 y 2 respectivamente, el peso W del volumen de agua considerado, una fuerza normal N ejercida por el lecho del canal, y una fuerza de fricción Ff desarrollada en toda la superficie del canal en contacto con el agua.

En la práctica, no existe el régimen uniforme e impermanente; por lo tanto, solamente se suele hacer referencia al régimen permanente y uniforme con la denominación de régimen uniforme. Para que ocurra el régimen uniforme es necesario que se establezca un equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa de agua en movimiento, de modo que esta no presente aceleración (positiva o negativa) alguna. Esto solamente es posible en tramos rectos suficientemente alejados de la entrada del canal o de su desembocadura, de obstáculos, compuertas, puntos de inflexión horizontal o vertical, etc. En las proximidades de esas zonas el flujo se acelera o decelera, variando su tirante, y ocurre régimen variado. El equilibrio de fuerzas se alcanza por efecto del rozamiento con las paredes del canal, que compensa las fuerzas de gravedad. Las zonas anteriores o posteriores a la ocurrencia del régimen uniforme, reciben el nombre de zonas de transición. Por ejemplo, si el agua entra al canal a muy baja velocidad, las fuerzas de fricción son muy pequeñas y predominan las fuerzas de gravedad, con lo que el flujo se acelera y su velocidad comienza a aumentar según se desplaza aguas abajo; como consecuencia, las fuerzas de fricción se desarrollan hasta que llegan a balancear a las de gravedad: en el lugar en que eso ocurre (Fig. 5.1), se ha establecido el régimen uniforme que se mantendrá de ahí en adelante hasta que algún elemento lo perturbe. La longitud de la zona de transición depende del caudal y de las condiciones físicas del canal: pendiente, geometría, rugosidad, forma y naturaleza de la entrada y salida. Desde el punto de vista de la hidrodinámica, la longitud de la transición no puede ser menor que la longitud requerida para el desarrollo completo de la capa limite en las condiciones dadas.

109

Fig. 5.2 Cuerpo libre de la masa de agua en una conducción libre

110

Aplicando la Segunda Ley de Newton a este volumen, en la dirección del movimiento.

W1 − W2 + W ⋅ senθ − F f =

W ⋅ a ---------- (5.2) g

donde: a – aceleración del flujo (que en caso de régimen uniforme es nula) pero:

W1 = γ ⋅ z ⋅ A ----------- (5.3) ∂y ⎡ ⎤ W2 = γ ⋅ ⎢( z + ∂y ) ⋅ A + ⋅ (T ⋅ ∂y )⎥ ----------- (5.4) 2 ⎣ ⎦ A + ( A + T ⋅ ∂y ) W =γ ⋅ ⋅ ∂y ---------- (5.5) 2 F f = τ ⋅ P ⋅ ∂x ---------- (5.6) donde: τ - esfuerzo cortante o de arrastre promedio que actúa sobre toda el área de contacto agua - conducto. Sustituyendo (5.3). (5.4), (5.5) y (5.6) en (5.2), eliminando los diferenciales de orden superior y considerando senθ = S 0 ----------- (5.7) queda:

γ ⋅ A ⋅ ∂y + γ ⋅ A ⋅ S 0 ⋅ ∂x − τ ⋅ P ⋅ ∂x =

γ g

⋅ A ⋅ ∂x ⋅ a ---------- (5.8)

y como:

a = v⋅

∂v ---------- (5.9) ∂x

− γ ⋅ A ⋅ ∂y + γ ⋅ A ⋅ S 0 ⋅ ∂x − τ ⋅ P ⋅ ∂x = Despejando

τ

γ g

⋅ A⋅v ⋅

∂v ⋅ ∂x ----------- (5.10) ∂x

en esta ecuación, se obtiene:

En el caso del régimen uniforme, como la pendiente del fondo So es igual a la de la rasante de energía, puede plantearse: τ = γ ⋅ R ⋅ S 0 ---------- (5.18)

5.3 Fórmulas del régimen uniforme. En experiencias llevadas a cabo desde el siglo XVIII se verificó que en las conducciones libres con régimen permanente y uniforme la velocidad media de circulación es proporcional al radio hidráulico elevado a una cierta potencia y a la pendiente del fondo del canal, elevada a otra potencia, por lo que:

v = K ⋅ R p ⋅ S q ---------- (5.19) y como por la expresión (5.18): τ = γ ⋅ R ⋅ S 0 puede afirmarse que existe una relación directa entre la velocidad media y la fuerza cortante que se ejerce sobre el lecho del canal. Son numerosos los ensayos y experimentos realizados en una amplia variedad de tipos de canales en busca de los coeficientes y exponentes que permitan la utilización práctica de estas fórmulas. Especial atención se le dedicará a las fórmulas de Chezy y de Manning que son en gran medida las más utilizadas mundialmente.

5.4 Fórmula de Chezy. Determinación de la C. Antonie Chezy desarrolló su fórmula a partir del análisis dimensional y la verificó mediante experimentos en un canal en tierra, el Canal Courpalet, y en el río Sena de Paris. Este trabajo lo utilizó para la confección de un reporte especial sobre el canal de l'Yvette, junto con Rodolphe Perronet, en 1775. Esta fórmula y su autor fueron mencionados por primera vez en 1876 en el trabajo "Investigaciones sobre el Flujo Uniforme del Agua" del ingeniero alemán Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. La porción del informe del Canal de I'Yvette correspondiente a la fórmula fue publicada por primera vez en 1897 por el norteamericano Clemens Herschel, en su trabajo "Acerca del origen de la fórmula de Chezy".

que al compararla con la fórmula general (5.19) de la velocidad se puede observar que se considera K = C; p = 1/2 y q = 1/2.

∂ ⎛ v ⎞ v ∂v ⎜ ⎟= ⋅ ---------- (5.12) ∂x ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠ g ∂x 2

La deducción de la expresión (5.20) está basada en la suposición de que la fuerza cortante por unidad de área ( τ ) es proporcional al cuadrado de la velocidad

τ = k ⋅ v2

∂E ---------- (5.13) ∂x

---------- (5.21)

Esta expresión, sustituida en la ecuación general de la velocidad da como resultado:

queda:

v=

v2 ⎞ ∂ ⎛ ⎟ ---------- (5.14) τ = −γ ⋅ R ⋅ ⎜⎜ z + y + 2 ⋅ g ⎟⎠ ∂x ⎝

γ k

⋅ R ⋅ S ---------- (5.22)

en la cual

Como 2

γ /k = C,

término conocido como el coeficiente C de Chezy.

El coeficiente C, al igual que la f de Darcy, depende de la rugosidad de la conducción y del número de Reynolds. Además, es de esperar que varíe con la geometría del canal; sin embargo, no ha sido estudiado tan exhaustivamente como la f (recuérdense los trabajos de Nikuradze, Moody, Colebrook y White), ni se ha llegado a resultados de alta confiabilidad. Esto tiene como causas fundamentales que: intervienen más variables, las formas geométricas posibles son infinitamente más variadas, la diversidad de tamaño y tipos de rugosidades que es necesario ensayar, y la dificultad de lograr la ocurrencia del régimen uniforme totalmente desarrollado fuera del laboratorio.

v 2⋅ g ∂H τ = −γ ⋅ R ⋅ ---------- (5.15) ∂x ∂H ---------- (5.16) Se = − ∂x H = z+ y+

que es la condición básica que relaciona el cortante con la geometría y las condiciones hidráulicas del canal.

v = C ⋅ R ⋅ S ---------- (5.20)

y puesto que:

S0 = −

---------- (5.17)

La forma más conocida y usada de la ecuación propuesta por Chezy es:

⎡ ∂y v ∂v ⎤ τ = γ ⋅ R ⋅ ⎢ S 0 − − ⋅ ⎥ ---------- (5.11) ∂x g ∂x ⎦ ⎣

y

τ = γ ⋅ R ⋅ Se

No obstante lo señalado anteriormente, se han propuesto varias fórmulas para calcular la C de Chezy.

se llega a

111

112

Tabla 5.2 vMAX usada en varios ministerios de la URSS

Fórmula de Ganguillet-Kutter En 1869, estos dos ingenieros suizos, sobre la base de estudios realizados en diferentes canales, de las mediciones hechas por otro investigador, el francés Bazin, y de aforos realizados en el río Mississippi por Humphreys y Abbot, propusieron la siguiente fórmula:

0.00155 1 23 + + S n ---------- (5.23) C= 0.00155 ⎞ n ⎛ 1 + ⎜ 23 + ⎟⋅ S ⎠ R ⎝

a) vMAX según el Ministerio de Vías de Comunicaciones URSS Suelo consistencia Contenido de Suelo poca media partículas % consistencia Índice de poros: Índice de poros: 0.9 a 0.6 Tipo 1.2 a 0.9 Peso especifico: de < 0.005 0.005 a Peso especifico: 3 3 12.0 a 16.2kN/m suelo 12kN/m mm 0.05 Prof. circulación Prof. circulación mm (m) (m) 0.4

donde: n - factor que depende del material de que está formado el lecho de la conducción. Se debe señalar que en años recientes ha existido la tendencia a eliminar el término 0.00155/S pues este se introdujo en la fórmula para hacerla más concordante con las mediciones del río Mississippi, habiéndose demostrado por Houk en 1918 que estas no eran confiables. Esto no solo simplifica la fórmula sino que además brinda mejores resultados en general. En la tabla 5.1 aparecen los valores de n, propuestos por Kutter para diferentes tipos de canales.

30 – 50

Arcilla

1.0

vMAX (m/s) Suelo consistencia firme Índice de poros: 0.6 a 0.3 Peso especifico: 3 16.3 a 20.0kN/m Prof. circulación (m)

Suelo consistencia muy firme Índice de poros: 0.3 a 0.2 Peso especifico: 3 20 a 21.0kN/m Prof. circulación (m)

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

50 – 70

Arcilloso pesado

20 – 30

80 – 70

0.35 0.40 0.45

0.50

0.70

0.85

0.95

1.10

1.00

1.20

1.40

1.50

1.40

1.70

1.90

2.10

Arcilloso ligero

10 – 20

90 – 80

0.35 0.40 0.45

0.50

0.65

0.80

0.90

1.00

0.95

1.20

1.40

1.50

1.40

1.70

1.90

2.10

-

0.60

0.70

0.80

0.85

0.80

1.00

1.20

1.30

1.10

1.30

1.50

1.70

Loess consolidado

-

-

-

-

-

Tabla 5.1 Valores de n para diferentes canales según Kutter Tipo de conducción Madera bien cepillada Cemento puro Mortero de cemento con 1/3 de arena Madera sin cepillar Sillería u otra de ladrillo bien colocado Obra basta de ladrillo Mampostería concertada Canales excavados en grava firme Canales y ríos en buenas condiciones Canales y ríos con yerbas y piedras Canales y ríos con malas condiciones Tomada de Manual de Hidráulica, de H.W. King.

n 0.009 0.010 0.011 0.012 0.013 0.015 0.017 0.020 0.025 0.030 0.035

En 1916, Horton presentó una tabla más completa y confiable de valores de n, que abarca una mayor variedad de canales y conducciones naturales (anexo 3).

Tabla 5.3 Valores de

ε p para diferentes canales, según Powell. ε p Nuevo

Tipo de conducción Cemento liso

−5

Canaleta sin encofrado Canal recubierto de hormigón

6 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −4 1.2 ⋅ 10 −3

ε p Viejo 1.2 ⋅ 10 −4 5.2 ⋅ 10 −4 1.8 ⋅ 10 −3

Canal en tierra, recto y uniforme 0.012 Canal excavado en tierra 0.030 Tomada de Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow (valores modificados de acuerdo con el SI). En canales muy lisos el término

ε p / R es tan pequeño que puede ser despreciado y la fórmula (5.25)

se transforma en:

C = 23 ⋅ log

2.2 ⋅ NR ---------- (5.26) C

en tanto que en canales de gran rugosidad, donde por lo general se desarrolla un régimen turbulento con NR muy grande comparado con C, el término C / 2.2 ⋅ NR es prácticamente nulo y la fórmula (5.25) puede simplificarse:

C = 23 ⋅ log

R ---------- (5.27) εp

Esta fórmula tiene una aplicación práctica muy limitada por la incertidumbre en relación con el valor de ε en los diseños usuales

F ó rmu l a d e P a vl o vskii. Esta fórmula fue propuesta en 1925 por el soviético N.N. Pavlovskii:

C=

1 Y ⋅ R ---------- (5.28) n

donde: n - el mismo coeficiente utilizado por Kutter;

113

114

Y - exponente empírico que depende de las dimensiones del canal y también de n.

Determinación de la n de Manning.

Pavlovskii establece que la fórmula es válida para radios hidráulicos entre 0.1 y 3m y valores de n entre 0.011 y 0.04.

En la tabla 5.1 aparecen los valores de n según Kutter que pueden utilizarse en la ecuación de Manning. En el anexo 3 se dan los valores de n según Horton que también son válidos para la ecuación de Manning y en el anexo 2 los propuestos por Ven Te Chow en su tratado sobre hidráulica de canales. Estos valores se usan indistintamente para las ecuaciones de Manning, Pavlovskii o Ganguillet-Kutter.

El valor de Y se determina por la fórmula:

(

)

Y = 2.5 ⋅ n − 0.13 − 0.75 ⋅ R ⋅ n − 0.10 ---------- (5.29) aunque, para la práctica común, se sugieren las siguientes expresiones aproximadas: Y = 1.5 ⋅ n para 0.1m ≤ R < 1m ---------- (5.30a) Y = 1.3 ⋅ n para 1m ≤ R ≤ 3m ---------- (5.30b)

Ven Te Chow propuso calcular el valor de n según la expresión:

n = (n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) ⋅ n 5 ----------- (5.34)

En 1889 el ingeniero irlandés Robert Manning presentó en una reunión de la Institución de Ingenieros Civiles de Irlanda, la fórmula que se identifica por su nombre.

en la que los ni son valores de n en dependencia de cada uno de los principales factores de que depende; así no depende del material, n1 de la irregularidad de la superficie del lecho, n2 de la regularidad de la sección transversal, n3 tiene en cuenta las obstrucciones, n 4 la presencia de vegetación y n5 las curvas de alineación. Los valores de n; aparecen en la tabla 5.4.

Esa fórmula fue posteriormente simplificada y expresada en sistema métrico de la forma siguiente:

Tabla 5.4 Valores para calcular la n de Manning según la ecuación (5.34)

5.5 Fórmula de Manning.

1

v=

1

Condiciones del canal Material del lecho

1 ⋅ R 3 ⋅ S 2 ---------- (5.31) n

El coeficiente n de rugosidad, se conoce como n de Manning. En este caso al compararla con la fórmula general de la velocidad (5.19) queda: K = 1/n; p = 2/3 y q = 1/2.

n0

Se trata pues, de una fórmula empírica basada en los datos experimentales de 170 observaciones llevadas a cabo por Bazin en canales artificiales con diferentes rugosidades y secciones, en las cuales el exponente de R varió entre 0.6499 y 0.8395. Manning adoptó para este exponente el valor de 2/3 como valor aproximado, aunque otros autores como Blench proponen en 1939 usar el valor de 3/4 o Pavlovskii que hace al exponente p depender de R y de n.

Grado de irregularidad

La fórmula de Manning es ampliamente usada en Gran Bretaña y en el continente americano. En la década del 30 fue propuesta en Estocolmo para uso internacional. Los valores de la n de Manning y de la n de Kutter y de Horton son prácticamente idénticos y en la práctica no se establece diferenciación alguna entre ellos para pendientes mayores o iguales a 0.0001 y radio hidráulico de 0.3 a 10m, y se utilizan indistintamente uno u otro en todas las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Pavlovskii o Manning.

n1

Variación de la sección transversal n2 Presencia de obstáculo n3

Comparación entre la formula de Chezy y la de Manning. Comparando ambas expresiones (la de Chezy y la de Manning) se obtiene:

C=

Vegetación n4

1 6

1 ⋅ R ---------- (5.32) n

lo cual permite establecer de inmediato la relación entre la n de Manning y la C de Chezy.

Curvatura n5

Sin embargo, basándose en los datos de los cuales partió Manning para establecer su fórmula y los usados por Chezy, Forchheimer estableció en 1926 como relación más adecuada:

Tierra

Valores 0.02

Corte en roca Grava fina Grava gruesa Suave

0.025 0.024 0.028 0

Menor Moderada Severa Gradual

0.005 0.01 0.02 0

Poco cambiante Frecuentemente cambiante Despreciable

0.005 0.010 - 0.015 0

Menor Apreciable Severa Poca

0.010 - 0.015 0.020 - 0.030 0.040 - 0.060 0.005 - 0.010

Media Mucha Excesiva Poca

0.010 - 0.025 0.025 - 0.050 0.050 - 0.100 1

Apreciable Severa

1.15 1.3

Tomada de Open Channel Hydraulics, de V.T Chow.

1

1 C = ⋅ R 5 ---------- (5.33) n

Factores que afectan el valor de la n de Manning.

Por otra parte, están los estudios realizados por Pavlovskii, que estableció la fórmula (5.28) en la cual R tiene un exponente que depende de R y de n, como se señaló anteriormente.

De los experimentos y mediciones - realizadas se deduce que no puede pensarse que el valor de n de un canal dependa exclusivamente del material que constituye el lecho de este y se mantenga invariable para diferentes condiciones de circulación. En realidad n varía ampliamente y depende de numerosos factores y estos factores interactúan unos con otros modificándose mutuamente. Entre los factores que más influencia ejercen sobre el valor de n deben mencionarse: la rugosidad de la superficie del canal; la vegetación; las irregularidades en la conducción; la alineación de la

115

116

conducción; la sedimentación y el arrastre; las obstrucciones; el tamaño y la forma de la conducción; el tirante y el caudal; los cambios estacionales; y el material suspendido y la carga de fondo. Rugosidad de la superficie del canal. Está cuantitativamente relacionada con la forma y tamaño de las partículas que conforman el lecho de la conducción y provoca un efecto de retardo sobre el flujo. En la práctica común, este factor es el único que se tiene en cuenta a la hora de seleccionar el valor de n en un proyecto, lo cual es incorrecto. Sin embargo, los errores en que se incurre por esa razón no son notables, debido a que este factor es el que influye en mayor medida en el valor de n para la generalidad de los casos. Como regla general, el valor de n aumenta en la medida en que aumenta el tamaño de los granos que forman el lecho, es decir, mientras más rugoso es el lecho mayor es el valor de n. Así, en las corrientes aluviales, donde el material es fino (como las arenas, la arcilla o los limos), el efecto de retardo y el valor de n son menores que cuando se trata de corrientes sobre gravas o guijarros. También se debe destacar que en el caso de lechos de grano fino la variación del tirante afecta poco el valor de n. No ocurre así en el caso de canales excavados o recubiertos con material muy rugoso, en los cuales, a medida que disminuye el tirante su efecto se hace relativamente mayor y n crece aún más. Vegetación. La vegetación no solamente provoca la rugosidad adicional que retarda el flujo sino que también reduce la capacidad del canal. Su efecto, que depende de la altura, densidad, distribución y tipo de vegetación, es especialmente importante en los canales de drenaje agrícola. Sobre la vegetación y su influencia se tratará con más detalle en el capítulo 6. Irregularidades en la conducción. Las variaciones en la forma del perímetro mojado y el área mojada a lo largo de la conducción provocan que el valor de n varíe. Estas variaciones se deben a la presencia de bancos de arena o dunas en el fondo del canal, desprendimientos de los taludes, erosión de taludes y del fondo, huecos, promontorios, etcétera. Cuando esas variaciones son graduales la afectación de n es mínima, pero cuando el cambio es brusco, se provoca un rápido incremento del valor de n, más allá de 0.005 en algunos casos. Alineación de la conducción. Las curvas bruscas y los meandros pronunciados de radio de curvatura pequeño, incrementan el valor de n. De acuerdo con estudios realizados por Scobey, el valor de n crece en 0.001 por cada 200 de curvatura en un tramo de 30m. Aunque no es probable que el incremento total de n exceda en 0.002 o 0.003 el valor inicial, hay que tener en cuenta que en las curvas se puede producir, por una parte, sedimentación de material y por otra, erosión, con la consecuente variación de la forma de la sección transversal, lo cual provoca un incremento adicional del valor de n. En el caso de canales no revestidos y baja velocidad, n se mantiene invariable, en tanto que si la velocidad es alta puede suponerse un incremento de 0.002 en el valor de n por efecto de curvatura en canales recubiertos o no. En las conducciones naturales los meandros provocan un aumento de hasta un 30% en el valor de n. Sedimentos y arrastre. La sedimentación y el arrastre pueden provocar tanto aumento como disminución del valor de n. En el caso de canales de fondo irregular, la sedimentación de material en los huecos y el arrastre de material de los promontorios puede ir uniformando y alisando poco a poco la forma del fondo, haciendo disminuir el valor de n. A su vez, la sedimentación de material fino forma un recubrimiento poco rugoso que también reduce el valor de n, pero si esa sedimentación es irregular y forma bancos de arena o montículos, provoca efectos de irregularidad que hacen crecer el valor de n. Por otra parte, en el proceso de erosión y sedimentación se consume cierta cantidad de energía, lo cual se refleja en un aumento artificial del valor de n. Obstrucciones. El valor n se incrementa por la presencia de cuerpos que interfieran el flujo, como: las pilas de los puentes, troncos de árboles o cualquier otro obstáculo. El incremento de n depende de la forma, el número, distribución y tamaño de los obstáculos. Tamaño y .forma de la conducción. Los resultados de las investigaciones en relación con la influencia de la forma y el tamaño de la conducción en el valor de n son contradictorios. Todos coinciden en que n varia al variar R; sin embargo, en unos casos se produce incremento y en otros disminución. Tirante y caudal. Por lo general, el valor de n disminuye al aumentar el tirante y el gasto, debido a que se reduce la influencia relativa de la rugosidad de las paredes y el fondo. Pero en las conducciones naturales,

117

al aumentar el tirante y extenderse la circulación por el cauce de avenida, que es más rugoso por la presencia de vegetación, el valor de n vuelve a crecer notablemente. También es interesante el caso de los conductos circulares donde el valor de n varía con el tirante según demostró Camp en 1946, y sobre lo cual se tratará en detalles en el capítulo 7. Cambios estacionales. El valor de n también varía en el tiempo, si los factores de los cuales depende varían con el tiempo; un caso típico es la vegetación cuyo crecimiento es estacional. Material suspendido y carga de fondo. El material de azolve que el agua arrastra en suspensión, así como el movimiento de la carga de fondo, provocan pérdidas adicionales de energía que se reflejan en un aumento del valor de n.

5.6 Cálculo del régimen uniforme. Determinación de la profundidad normal. El cálculo del régimen uniforme se basa normalmente en la determinación de la profundidad de circulación con que se producen condiciones de régimen uniforme para un determinado caudal que circula por un canal dado; a esa profundidad correspondiente al régimen uniforme se le denomina profundidad normal yn. De la fórmula general de la velocidad (5.19) y de la ecuación de continuidad puede escribirse la fórmula general del caudal en un régimen uniforme:

Q = K ⋅ A ⋅ R p ⋅ S q ----------- (5.35) que en caso de emplear la fórmula de Chezy o la de Manning toma las formas particulares: 1

1

2 3

1 2

Q = C ⋅ A ⋅ R 2 ⋅S2 Q=

1 ⋅ A ⋅ R ⋅S n

---------- (5.36) ---------- (5.37)

En todos los casos se cuenta solamente con una ecuación, por lo que solo será posible que se tenga una incógnita a despejar. Para viabilizar los cálculos es más conveniente expresar ambas ecuaciones de forma que los elementos geométricos de la sección transversal queden en uno de los miembros de la ecuación: a) para Chezy 1

A⋅R2 =

Q C⋅ S

----------- (5.38)

b) para Manning 2

A⋅R3 =

Q⋅n

----------- (5.39)

S

De esta forma, el término de la izquierda queda como una función de y, si se conocen los demás elementos que componen la sección transversal. A este término se le da el nombre de factor de la sección para el régimen uniforme. Las ecuaciones (5.38) y (5.39) no son fáciles de resolver cuando se quiere determinar la y n, puesto que al estar y elevada a un exponente fraccionario se trata de una ecuación no lineal y se requiere de algún método iterativo para solucionar el problema. Ejemplificando el proceso para un canal trapecial, la expresión para el área es:

A = b ⋅ y + m ⋅ y2 en tanto que R puede expresarse como:

R=

b ⋅ y + m ⋅ y2 b + 2 ⋅ y ⋅ 1+ m2

118

y, por tanto, empleando la ecuación (5.39) de Manning:

⎛ b ⋅ y + m ⋅ y2 b⋅ y + m⋅ y ⋅⎜ ⎜ b + 2 ⋅ y ⋅ 1+ m2 ⎝

(

2

)

2

⎞3 Q⋅n ⎟ = ⎟ S ⎠

Como se ve, es imposible despejar el valor de y que satisface la ecuación. El proceso iterativo de determinación de la yn aparece en el diagrama de bloques de la figura 5.3. Este procedimiento puede auxiliarse de un método gráfico para aligerar los cálculos. En ese caso es necesario que en los tanteos se tengan, al menos, dos puntos que cumplan que: 2

A1 ⋅ R 1 3 <

Q⋅n S

2

< A2 ⋅ R 2 3

De esa forma es posible plotear un gráfico y entrar en él con el valor de

Q⋅n S

y que al cortar la 2

curva trazada dé el valor de yn. Si el gráfico se traza en papel logarítmico, la curva A ⋅ R 3 vs. y se rectifica adoptando una forma lineal en la mayoría de los casos y el resultado es más rápido y exacto. Si se prefiere, la interpolación puede realizarse numéricamente, siempre que los dos puntos más cercanos a la solución difieran de esta por exceso y por defecto respectivamente.. Teniendo en cuenta que en un papel log-log, esos puntos pueden unirse con una línea recta (Fig. 5.4), la solución numérica de la interpolación, aplicando semejanza de triángulos, será:

(

)

log A1 ⋅ R 1 − log(A 2 ⋅ R 2 log y1 − log y 2 0.67

0.67

)

=

log(A ⋅ R 0.67 ) − log(A 2 ⋅ R 2 log y − log y 2

0.67

)

---------- (5.40)

En la ecuación anterior se conocen los términos relativos a los puntos 1 y 2 y el log(A ⋅ R

0.67

) , ya

⎛Q ⋅ n ⎞ ; por lo tanto, la única incógnita es log y, o sea, la que este último es igual al log⎜ ⎟ S⎠ ⎝ profundidad. Esta incógnita puede despejarse fácilmente y obtener así la solución deseada. Como elemento auxiliar para el cálculo aproximado de yn en el caso de canales rectangulares, trapeciales o circulares, puede utilizarse el gráfico adimensional de la figura 5.5, en el cual el eje de 2

las ordenadas es y/b y el de las abscisas es

A⋅R3 8

.

b3 El empleo de ese gráfico se muestra en el diagrama de bloques de la figura 5.6. En el caso de que el canal tenga una sección circular, en el cálculo se sustituye b por d.

Fig. 5.3 Calculo iterativo de yn. Diagrama de bloques simplificado.

119

120

Fig. 5.4 Determinación gráfica de yn en papal logarítmico

121

Fig. 5.5 Curvas para determinar yn

122

Fig. 5.6 Cálculo de yn mediante el gráfico adimensional.

5.7 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite. Se conoce por pendiente normal la pendiente S0 del fondo de la conducción, para la cual se satisfacen las ecuaciones del régimen uniforme. Se denomina pendiente crítica SC al valor de pendiente del fondo de la conducción que asegure que el régimen uniforme sea a la vez un régimen crítico. La pendiente normal se obtiene resolviendo la ecuación de régimen uniforme: a) según Manning

⎛ ⎜ Q⋅n S0 = ⎜ 2 ⎜ ⎝ A⋅R3

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ---------- (5.41) ⎠

b) según Chezy

Q ⎛ ⎞ S0 = ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ C A R ⎝ ⎠

2

y la pendiente crítica se obtiene por:

⎛ ⎜ Q⋅n SC = ⎜ 2 ⎜A ⋅R 3 ⎝ C C

123

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ---------- (5.42) ⎠

124

⎛ ⎞ Q ⎟ SC = ⎜ ⎜C⋅A ⋅ R ⎟ C C ⎠ ⎝

A = b ⋅ y + m ⋅ y 2 = 4 ⋅ 1.5 + 2 ⋅ (1.5) 2 = 10.5m 2

2

P = b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 = 4 + 2 ⋅ 1.5 ⋅ 1 + 2 2 = 10.708m

donde:

R=

AC y R C - área mojada y radio hidráulico mojado calculados para la profundidad critica yC correspondientes a ese caudal en el canal.

A 10.5 = = 0.980m P 10.708

El concepto de pendiente límite surge del análisis teórico de las ecuaciones del régimen uniforme y del régimen crítico.

Ahora se procede a determinar la rugosidad según la fórmula que se va a utilizar para calcular el gasto.

Si se toma la ecuación (5.42) y en ella se sustituye el gasto en función de los parámetros del régimen

- Por Manning

(Q = A ⋅ v = A ⋅

crítico

SC =

n ⋅g⋅D

g ⋅D

)

se obtiene:

Según la tabla de valores ofrecida por Horton, para canales recubiertos con hormigón con buena terminación, el valor normal de n es 0.013, por lo que:

2

RC

4 3

2

---------- (5.43)

Si esta ecuación se aplica al caso particular de la sección rectangular:

SC =

n2 ⋅g ⋅ y 4

---------- (5.44)

2

1

- Por Chezy

⎛ b⋅ y ⎞3 ⎜⎜ b + 2 ⋅ y ⎟⎟ ⎝ ⎠

En este caso hay que decidir que fórmula se utilizará para determinar C.

que para un canal rectangular de ancho b y rugosidad conocida queda como una función de la profundidad de circulación y. Si la ecuación (5.44) se representa gráficamente en dos ejes coordenados (ver la figura 5.6), se obtiene una curva de doble concavidad, que tiene un punto en el cual el signo de la pendiente cambia. Al valor numérico de la pendiente en ese punto se le denomina pendiente límite y se interpreta como el menor valor que puede tomar la pendiente del canal para que ocurra el régimen crítico. Para encontrar el valor de ese punto, se utiliza el cálculo diferencial con el fin de obtener la primera derivada de SC con respecto a y, y posteriormente igualarla a cero en búsqueda del punto de mínimo: 4 1 ⎧ ∂S C ⎛ b + 2⋅ y ⎞3 ⎪⎛ b + 2 ⋅ y ⎞ 3 4 ⎟⎟ + ⋅ y ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = n 2 ⋅ g ⋅ ⎨⎜⎜ ∂y 3 ⎝ b⋅y ⎠ ⎪⎝ b ⋅ y ⎠ ⎩

1

1 1 ⋅ A ⋅ R 3 ⋅S2 = ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 3 ⋅ 0.001 2 n 0.013 Q = 25.20m 3 / s Q=

⎫ ⎡ 2 (b + 2 ⋅ y )⎤ ⎪ ⋅⎢ − ⎥⎬ 2 b ⋅ y ⎦⎪ ⎣b ⋅ y ⎭

Igualando esta derivada a cero, se obtiene como única solución:

b = 6 ---------- (5.45) y

Según Ganguillet-Kutter: En esta fórmula aparece n, se puede tomar la misma que se usó en el caso de la fórmula de Manning según la tabla de Horton o la que aparece en la tabla propuesta por Kutter (ver tabla 5.1) para mortero con 1/ 3 de arena (n = 0.011). Se decidió tomar el valor de n = 0,013.

0.00155 1 0.00155 1 + + 23 + S n 0 . 001 0 . 013 = C= 0.00155 ⎞ n 0.00155 ⎞ 0.013 ⎛ ⎛ 1 + ⎜ 23 + 1 + ⎜ 23 + ⎟⋅ ⎟⋅ S 0.001 ⎠ 0.980 ⎝ ⎠ R ⎝ C = 76.7 23 +

luego: Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S = 76.7 ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 ⋅ 0.001

Sustituyendo la ecuación (5.45) en la (5.43) queda:

Q = 25.22m3/s

⎛ ⎞ 8 ⎜ n2 ⋅g ⎟ S L = ⋅ ⎜ 1 ⎟ ---------- (5.46) 3 ⎜ 3 ⎟ ⎝ b ⎠

Según Bazin: De acuerdo con la tabla 5.2 se estima el valor de m como 0.21 correspondiente a madera no cepillada, hormigón o ladrillo. De modo que según esta fórmula el valor de C de Chezy es:

que es la fórmula válida para el trabajo con la ecuación de Manning, en el Sistema Internacional para secciones rectangulares.

5.8 Ejercicios resueltos. 1. Determinar el caudal que está circulando por un canal trapecial con ancho de fondo de 4m, taludes de 2:1 y tirante de 1.5 m. si la pendiente del fondo es 0.001. El canal está recubierto de hormigón con una buena terminación. Considerar que el régimen es uniforme. En primer lugar se determinarán las propiedades geométricas de la sección que intervienen en las fórmulas del régimen uniforme (A y R)

125

C=

87 87 = = 71.8 mB 0.21 1+ 1+ 0.980 R

y por tanto:

Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S = 71.8 ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 ⋅ 0.001 Q = 23.6m 3 / s

126

Según Powell: De la tabla 5.3 se toma el valor de ε p = 1.6 ⋅ 10

−3

que es el valor intermedio promedio puesto

Como se observa, por las diferentes fórmulas se han obtenido valores distintos del caudal: Manning

Q = 25.20m 3 /s

Chezy – Ganguillet-Kutter

Q = 25.22m 3 /s

Chezy – Bazin

Q = 23.60m 3 /s

Chezy – Powell

Q = 21.07m /s

Chezy - Pavlovskii

Q = 25.17m 3 /s

para un canal recubierto de hormigón. En la fórmula general (5.25) de Powell interviene el NR, que no puede determinarse hasta que no se conozca el valor del caudal, luego es necesario tantear, iniciando el cálculo de C según la fórmula (5.27):

C = 23 ⋅ log

R 0.980 = 23 ⋅ log = 64.1 εp 1.6 ⋅ 10 −3

El error máximo entre el mayor y el menor valor fue de un interpretarse como que una u otra fórmula es adecuada o obtenido sobre la base de investigaciones serias y exhaustivas lógicamente, con un carácter experimental determinado que infinitas variedades de materiales.

Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S = 64.1 ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 ⋅ 0.001 = 21.07 m 3 / s v=

Q 21.07 = = 2.01m / s A 10.5

Tomando ν = 10

3

20%; ahora bien, esto no puede inadecuada. Todas ellas se han y con un alto rigor científico, pero, no abarca ni puede abarcar las

Generalmente se prefiere trabajar con las fórmulas de Manning, Ganguillet-Kutter y Pavlovskii, ya que ellas emplean n corno parámetro que evalúa la rugosidad, del cual existe una gama amplia de valores que abarca un gran número de materiales.

−7

m2 / s v ⋅ R 2.01 ⋅ 0.980 NR = = = 1.97 ⋅ 10 7 ν 10 −7

En definitiva, la certidumbre del valor de gasto obtenido depende de la correcta selección que se haya hecho del parámetro que evalúa la rugosidad.

Ahora, en la fórmula (5.25):

⎛ C 1.6 ⋅ 10 −3 ⎞ ⎟ + C = −23 ⋅ log⎜⎜ 7 0.980 ⎟⎠ ⋅ ⋅ 2 . 2 1 . 97 10 ⎝

2. Calcular la profundidad normal en un canal trapecial con ancho de fondo de 5m, taludes 2.5:1, pendiente de fondo 0.0005 y n = 0.02, cuando circulan 15m 3 /s. Emplear la fórmula de Manning.

que debe ser resuelta por tanteos.

Por tanteos:

Con C = 70:

A = b ⋅ y + m ⋅ y 2 = 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2

⎛ 70 1.6 ⋅ 10 −3 ⎞ ⎟ = 64.1 + C = −23 ⋅ log⎜⎜ 7 0.980 ⎟⎠ ⋅ ⋅ 2 . 2 1 . 97 10 ⎝

P = b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 = 5 + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 2.5 2 = 5 + 5.385 ⋅ y

Con C = 64:

R=

⎛ 64 1.6 ⋅ 10 −3 ⎞ ⎟ = 64.1 + C = −23 ⋅ log⎜⎜ 7 0.980 ⎟⎠ ⋅ ⋅ ⎝ 2.2 1.97 10 Obsérvese que en este caso predomina la expresión (5.27) para el cálculo de C y en definitiva el caudal determinado por esta fórmula es:

A 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 = P 5 + 5.385 ⋅ y Q ⋅ n 15 ⋅ 0.02 = = 13.42 S 0.0005

S u po ni e n do y = 1 m:

Q = 64.1 ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 ⋅ 0.001

2

Q = 21.07 m / s 3

2 ⎛ 5 ⋅ 1 + 2.5 ⋅ 12 ⎞ 3 ⎟⎟ = 6.04 < 13.42 A ⋅ R 3 = (5 ⋅ 1 + 2.5 ⋅ 12 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1 ⎠

Según Pavlovskii: Como R es menor de 1m se usa la fórmula (5.30a) para calcular Y.

S u po ni e n do y = 2 m:

Y = 1.5 ⋅ n = 1.5 ⋅ 0.013 = 0.171

⎛ 5 ⋅ 2 + 2.5 ⋅ 2 2 A ⋅ R = (5 ⋅ 2 + 2.5 ⋅ 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 2 2 3

Ahora se calcula C por la fórmula (5.28):

2

2

⎞3 ⎟⎟ = 23.43 > 13.42 ⎠

S u po ni e n do y = 1 . 5 m:

1 Y 1 ⋅R = ⋅ 0.980 0.171 = 76.6 n 0.013

⎛ 5 ⋅ 1.5 + 2.5 ⋅ 1.5 2 A ⋅ R 3 = 5 ⋅ 1.5 + 2.5 ⋅ 1.5 2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1.5 2

Así que el gasto es:

Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S = 76.6 ⋅ 10.5 ⋅ 0.980 ⋅ 0.001

(

)

2

⎞3 ⎟⎟ = 13.09 < 13.42 ⎠

S u po ni e n do y = 1 . 6 m:

= 25.17m 3 / s 127

128

⎛ 5 ⋅ 1.6 + 2.5 ⋅ 1.6 2 A ⋅ R = (5 ⋅ 1.6 + 2.5 ⋅ 1.6 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1.6 2 3

2

2

⎞3 ⎟⎟ = 14.95 > 13.42 ⎠

2 ⎛ 5 ⋅ 1.55 + 2.5 ⋅ 1.55 2 A ⋅ R 3 = (5 ⋅ 1.55 + 2.5 ⋅ 1.55 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1.55

2 3

⎞ ⎟⎟ = 14.04 > 13.42 ⎠ ⎞ ⎟⎟ = 13.33 < 13.42 ⎠

S u po ni e n do y = 1 . 52 m:

y = 1.51m que es un valor aceptable para los cálculos en ingeniería Gráfico adimensional.

⎛ 5 ⋅ 1.52 + 2.5 ⋅ 1.52 A ⋅ R = (5 ⋅ 1.52 + 2.5 ⋅ 1.52 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1.52 2 3

2

2 3

⎞ ⎟⎟ = 13.50 > 13.42 ⎠

C o mo s e o bs er va , y n es t á e nt r e 1 . 5 1 y 1 . 5 2, p er o má s ce rc an o a 1. 52 ; l ue g o, s i el va lo r , d e y n de s ea c al c ul a rs e c o n p r e ci s i ón d el ce nt í met r o l a re s p u es t a es y n = 1 . 5 2 m. S i s e d es ea r a o b t en e r e l val or co n ma yo r pr ec i si ó n ( l o c ua l n o t i e n e muc ha si g ni f i ca ci ó n ) s e rí a n e ce sa ri o co nt i n u ar t a nt e os , y s e obt e ndrí a:

Q⋅n

Se calcula el valor:

Q⋅n S

⋅

1 b

8 3

=

13.42 8

= 0.183

53

Entrando con ese valor al gráfico de la figura 5.5, y para talud m = 2.5 se obtiene que y/b = 0.3; de modo que y n = 0.3 ⋅ 5 = 1.5m Este método es menos preciso pero mucho más rápido. 3. Calcule la profundidad normal en un canal triangular con taludes 3:1, n = 0.015, S0 = 0.0016 cuando circulan 300 L/s. Analíticamente:

S

A = m ⋅ y2 = 3⋅ y2 ; P = 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 = 2 ⋅ y ⋅ 1 + 3 2 = 6.324 ⋅ y;

y e s e se r í a u n va lo r má s pre ci s o d e y n . Por gráficos:

A 3⋅ y2 = = 0.474 ⋅ y; P 6.324 ⋅ y Q ⋅ n 0.3 ⋅ 0.015 = = 0.1125; S 0.0016

R=

Después de los tres primeros tanteos realizados donde se obtuvo: 2

A ⋅ R 3 = 6.04

para y =1

= 13.42

log 23.43 − log 6.04 log 13.42 − log 6.04 = log 2 − log 1 log y − log 1

2 3

2 ⎛ 5 ⋅ 1.51 + 2.5 ⋅ 1.512 A ⋅ R 3 = (5 ⋅ 1.51 + 2.5 ⋅ 1.512 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 5 + 5.385 ⋅ 1.51

= 13.42 =

S

donde: log y = 0.177314

S u po ni e n do y = 1 . 51 m:

y = 1. 51 5; A ⋅ R

Q⋅n

por lo tanto, si se aplica la interpolación queda:

S u po ni e n do y = 1 . 55 m:

2 3

y, además,

2

A ⋅ R = 23.43

para y = 2 para y = 1.5

8

A ⋅ R 3 = 3 ⋅ y 2 ⋅ (0.474 ⋅ y ) 3 = 1.852 ⋅ y 3

2 3

2

8

1.852 ⋅ y 3 = 0.1152

2 3

Por las características de la ecuación, es posible despejar directamente, y puede resolverse sin necesidad de tanteos:

A ⋅ R 013.09

3

se plotean estos valores, se entra al gráfico de la figura 5.7 con el valor:

Q⋅n S

= 13.42

En este caso no puede usarse el gráfico adimensional, que es solo válido para canales trapeciales y conductos circulares.

y se obtiene que yn = 1.5 m. Por último, también puede aplicarse la interpolación según la ecuación (5.40). En este caso, con dos puntos cercanos son suficientes, por ejemplo: y1 = 2m

A 1 ⋅ R 1 = 23.43

y2 = 1m

A 2 ⋅ R 2 = 6.04

⎛ 0.1125 ⎞ 8 yn = ⎜ ⎟ ⎝ 1.852 ⎠ y n = 0.325m

4. Calcular la profundidad normal en un canal trapecial con ancho de fondo de 5m y taludes 2.5:1, pendiente de fondo 0.0005 y n = 0.02, cuando circulan 15m3/s. Emplear la fórmula de Ganguillet-Kutter. En este caso se tiene el inconveniente de que C es una función de R, y R es, a su vez, una función de la yn que se desea determinar; luego, el tanteo se hace sobre la base de suponer R y recalcularla, o suponer yn y verificar el gasto.

129

130

A = 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 ;

Si en lugar de usar la fórmula de Ganguillet-Kutter para determinar C, se usará la de Pavlovskii o la de Bazin, el procedimiento seria análogo.

P = 5 + 5.385 ⋅ y; R=

A = 5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 ; P = 5 + 5.385 ⋅ y; A R= ; P

5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 5 + 5.385 ⋅ y

Suponiendo yn = 1m:

A = 5 ⋅ 1 + 2.5 ⋅ 12 = 7.5m 2 ; P = 5 + 5.385 ⋅ 1 = 10.385m;

R = A/P

7.5 R= = 0.722m; 10.385 0.00155 1 23 + + 76.1 0.0005 0.02 C= = = 47.1; 0.522 0.00155 ⎞ 0.02 ⎛ 1+ 1 + ⎜ 23 + ⎟⋅ 0.0005 ⎠ 0.722 0.722 ⎝ Q = 47.1 ⋅ 7.5 ⋅ 0.722 ⋅ 0.0005 = 6.71 < 15m 3 / s

Si 0.1m ≤ R ≤ 1.0m ;

A P Y = 1.5 ⋅ 0.02 = 0.212 1 ⋅ R 0.212 C= 0.02 R=

pero si 1.0m ≤ R ≤ 3.0m ;

Suponiendo yn = 2m:

Y = 1.3 ⋅ 0.02 = 0.1838

A = 5 ⋅ 2 + 2.5 ⋅ 2 2 = 20m 2 ;

C=

P = 5 + 5.385 ⋅ 2 = 15.77m; 20 R= = 1.268m; 15.77 76.1 C= = 52.0; 0.522 1+ 1.268

1 ⋅ R 0.1838 0.02

finalmente Q = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S Suponiendo yn = 1m:

A = 7.5m 2 ; P = 10.385m; R = 0.722m;

Q = 52 ⋅ 20 ⋅ 1.268 ⋅ 0.0005 = 26.19 > 15m / s 3

Suponiendo yn = 1.5m:

A = 5 ⋅ 1.5 + 2.5 ⋅ 1.5 2 = 13.125m 2 ;

1 0.212 ⋅ (0.722 ) = 46.7; 0.02 Q = 46.7 ⋅ 7.5 ⋅ 0.722 ⋅ 0.0005 = 6.65 < 15m 3 / s

C=

P = 5 + 5.385 ⋅ 1.5 = 13.077m; 13.125 R= = 1.004m; 13.077 76.1 C= = 50.0; 0.522 1+ 1.004

Suponiendo yn = 2m:

A = 20m 2 ; P = 15.77 m; R = 1.268m;

Q = 50 ⋅ 13.125 ⋅ 1.004 ⋅ 0.0005 = 14.70m 3 / s

1 0.1838 ⋅ (1.268) = 52.2; 0.02 Q = 52.2 ⋅ 20 ⋅ 1.268 ⋅ 0.0005 = 26.30 > 15m 3 / s

Finalmente se supone yn = 1.51m:

C=

A = 13.250m 2 ; P = 13.131m; R = 1.009m;

Finalmente se supone que yn = 1.515:

C = 50.1;

A = 13.31m 2 ;

Q = 14.910m / s 3

Para una mayor precisión debe calcularse hasta el mm; en ese caso se obtendrá: yn = 1.515 para A = 13.313m2 ; P = 13.158m; R = 1.012m, C = 50.1; Q = 15.00 m3/s.

131

P = 13.158m; R = 1.012m; C = 50.1; Q = 15.00m 3 / s;

132

lo cual indica que se ha llegado a la solución. 5. Calcular la profundidad normal en el canal cuya sección transversal se muestra en la figura 5.8, sabiendo que n = 0.05 y S0 = 0.0025 cuando el caudal es 80m3/s.

6. Calcular la pendiente critica en el canal trapecial del ejercicio 2. Es necesario en primer lugar determinar la profundidad crítica y, lo cual como ya se conoce, se determina resolviendo la ecuación:

A⋅ D =

Q g

,

es decir: (5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y ) ⋅ 2

5 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 15 = 5 + 5⋅ y 9.8

en este caso se obtiene que y n = 0.839; de modo que:

A C = 5 ⋅ 0.839 + 2.5 ⋅ 0.839 2 = 5.955; PC = 5 + 5.385 ⋅ 0.839 = 9.518;

Fig. 5.8 Sección transversal de un canal

R C = 0.626;

Como la sección es compuesta y no se conoce si la profundidad es inferior a 3m o mayor, hay que averiguar esto primero. Suponiendo yn = 3m:

A = 2 ⋅ 3 + 1.5 ⋅ 3 2 = 19.5m 2 ; P = 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1.5 2 = 12.817 m; 19.5 R= = 1.521m; 12.817 2 1 Q= ⋅ 19.5 ⋅ 1.521 3 ⋅ 0.0025 = 25.80m 3 / s 0.05

1. Calcular el caudal que circula por un canal trapecial con ancho de fondo 2m; taludes 2.5:1, cuando el tirante normal es 1m. Se trata de un canal excavado en tierra, con buena terminación y con pendiente 0.0001. Emplear las fórmulas de Manning y Chezy (con Ganguillet-Kutter, Bazin y Pavlovskii). R/ Depende del valor de n que se escoja.

A = 19.5 + (2 + 2 + 2 + 2 ⋅ 1.5 ⋅ 3) ⋅ y + 2.5 ⋅ y = 19.5 + 15 ⋅ y + 2.5 ⋅ y ; 2

2

P = 12.817 + (2 + 2) + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 2.5 2 = 16.817 + 5.385 ⋅ y; 19.5 + 15 ⋅ y + 2.5 ⋅ y 2 ; 16.817 + 5.385 ⋅ y Q ⋅ n 80 ⋅ 0.05 = = 80 S 0.0025

R=

4. Determinar la pendiente crítica en el canal del problema propuesto 2. R/ yC = 1.596 m; S C = 4.01 ⋅ 10

= 52.00 < 80;

para y = 1.6, A ⋅ R

para y = 1.64, A ⋅ R

.

Este capítulo está dedicado a aquellos criterios que sirven de base al proyectista de un canal en el momento de decidir la sección transversal de este. Se recogen los dos principales criterios de análisis de la erosión de los canales y se presentan diferentes resultados experimentales y teóricos en relación con las velocidades máximas permisibles y las fuerzas cortantes máximas.

= 78.20 < 80; 2 3

−3

CRITERIOS BÁSICOS PARA EL DISEÑO DE UN CANAL

2

para y = 1.5, A ⋅ R 3 = 73.39 < 80; 2 3

2. Calcular la profundidad normal en un canal con ancho de fondo 6m y taludes 2:1, sabiendo que la pendiente del fondo es 0.05% cuando circula un caudal de 50m3/s; considerar n = 0.02. Emplear la fórmula de Manning y la fórmula de Chezy, en este último caso determinar la C por la fórmula de Ganguillet-Kutter primero y luego mediante la de Pavlovskii. R/ Manning: yn = 2.72m; Chezy (G-K): yn = 2.73m; Chezy (Bazin): yn = 2.71m. 3. Calcular la profundidad normal en un canal triangular con talud izquierdo 1:2 y talud derecho 1:3, sabiendo que n = 0.018 y S0 = 0.001 al circular un gasto de 0.5 m3/s. R/ yn = 0.532m.

Tanteando: para y = 1, A ⋅ R

2

⎡ ⎤ 15 ⋅ 0.02 ⎥ = 4.74 ⋅ 10 −3 SC = ⎢ 2 ⎢ ⎥ 3 ⎣⎢ 5.955 ⋅ (0.626) ⎦⎥ 5.9 Ejercicios propuestos.

Como Q0 = 80m 3 /s > 25.80, se puede concluir que el tirante normal es mayor de 3m; de modo

2 3

luego

= 80.18 ≈ 80;

También se estudian los criterios para valorar la velocidad mínima, para el cálculo de las pérdidas de agua en canales, y para determinar el valor de los taludes en los canales y el tamaño del bordo libre. Finalmente, se estudian los criterios para seleccionar la sección transversal que deberá emplearse, según el método del máximo radio hidráulico y el de la sección hidráulicamente más estable.

De modo que: y n = 3+1.64; y n =4.64m.

133

134

6.1 Erosión en la sección transversal de un canal. Las leyes que rigen el comportamiento de un suelo solicitado por las fuerzas hidrodinámicas no se conocen bien aún, a pesar de que se han formulado muchos conceptos al respecto, que han sido aceptados mundialmente y recogidos en la abundante literatura que se refiere a la hidráulica del transporte de sedimentos. Los términos generales, existen tres formas de análisis del movimiento de las partículas de suelo bajo el efecto de la energía hidráulica: 1- Mediante ecuaciones de la velocidad crítica permisible y considerando el impacto del fluido sobre la partícula. 2- Mediante ecuaciones del esfuerzo cortante crítico permisible al nivel del suelo y considerando el arrastre friccional del flujo. 3- Mediante el criterio de la fuerza de elevación y considerando las diferencias de presiones que aparecen debido al gradiente de velocidades entre la parte superior e inferior de la partícula.

6.2 Velocidad crítica permisible. El fenómeno de la erosión puede ser analizado en el caso de canales en que la energía cinética y, por tanto, el grado de turbulencia, se encuentra en un intervalo de valores que permitan identificar las fuerzas que intervienen en el movimiento de una partícula, así como las fuerzas que lo resisten. Igualando ambas fuerzas se establece la condición de no erosión en una situación de equilibrio crítico. El análisis se complica cuando la partícula disminuye de tamaño hasta un grado tal que comienzan a ejercer influencia otras fuerzas, como la atracción neta entre las partículas y las fuerzas electroquímicas, que componen lo que se conoce como, fuerzas de cohesión FC, las cuales dependen de las propiedades del agua y no son constantes. En esos casos adquiere importancia el coeficiente de cohesión C0 que tiene en cuenta la acción de dichas fuerzas. Si primero se analiza teóricamente el movimiento de una partícula suelta de suelo, de diámetro d. solicitada por las fuerzas hidrodinámicas, puede verse que sobre ella actúan la fuerza de arrastre Fa, la fuerza de elevación F e y el peso sumergido de la partícula W (Fig. 6.1).

2

Fe = K 2 ⋅ C e ⋅ γ ⋅ π ⋅ r 2 ⋅

vf ---------- (6.2) 2⋅g

donde: C a y C e - coeficientes de arrastre y elevación respectivamente; K 1 y K 2 - coeficientes de forma de la partícula; γ - peso especifico del agua;

π ⋅ r - área frontal de la partícula considerada como esférica; vf - velocidad del flujo en el fondo; g - aceleración de la gravedad. 2

La fuerza de fricción que se opone al arrastre es: Fg = ϕ ⋅ ( W − Fe ) ---------- (6.3) en la cual:

4 W = ( γ p − γ ) ⋅ ⋅ r 2 ---------- (6.4) 3 donde: ϕ - coeficiente de fricción;

γ p - peso especifico de la partícula. En las condiciones de equilibrio se tiene: Fa = ( W − Fe ) ---------- (6.5) Sustituyendo los valores de las ecuaciones (6.1), (6.2) y (6.4) en la ecuación (6.5) se llega a:

k=

v 2 crit (γ p − γ )⋅ d ---------- (6.6)

en la cual: k = f (K1, K2, Ca, Ce, ϕ ). La ecuación (6.6) es el fundamento de la teoría en que se basa el estudio del movimiento de las partículas mediante el criterio de la velocidad crítica permisible.

6.3 Velocidad máxima permisible. La velocidad máxima, vMAX, da el nivel limitante por sobre el cual la sección transversal comienza a erosionarse peligrosamente. La condición: v ≤ v MAX ---------- (6.7) universalmente conocida por los diseñadores de conducciones libres, debe cumplirse en todos los diseños realizados. Aunque esta condición se fija para la velocidad media de la sección, criterio que no es muy riguroso (eso será visto con más detalle al estudiar la fuerza de arrastre), la amplia experiencia recopilada por numerosos investigadores y sintetizada en tablas, gráficos y fórmulas hacen que el uso de esta relación sea útil y poco riesgoso. No obstante, para gastos mayores de 50 m3/s, se recomienda que la determinación de la velocidad máxima se lleve a cabo por vía experimental para cada tipo de partícula. Fig. 6.1 Fuerzas actuantes sobre una partícula sumergida. Según las leyes de Newton:

Una de las primeras fórmulas conocidas mundialmente para determinar la velocidad máxima fue publicada en 1895 por Kennedy, está basada en los estudios de 22 canales en el Alto Bari Doab, en el Punjab,-India, y tiene la forma:

v MAX = C k ⋅ y x ; [m / s] ---------- (6.8)

2

Fa = K 1 ⋅ C a ⋅ γ ⋅ π ⋅ r 2 ⋅

vf ---------- (6.1) 2⋅g

donde: Ck - coeficiente que depende de la firmeza del material; y - profundidad de circulación; x - exponente empírico de poca variación.

135

136

1

De sus estudios. Kennedy concluyó que el valor de Ck era 0.55 y el de x 0.64, cuando y se expresa en metros. En estudios posteriores se precisó el valor de Ck en dependencia del tipo de terreno, recomendándose los valores siguientes: Tipo de suelo Extremadamente fino Ligero y arenoso Arena gruesa Areno – arcilloso Pesado

Ck 0.36 0.55 0.60 0.66 0.71

El valor de x se recomienda que se tome como 0.5 cuando se trate de canales que conducen aguas limpias. Otro estudioso de la velocidad máxima permisible, I.I. Levi, propuso a finales de la década del 50, la siguiente fórmula:

v MAX = Δ ⋅ g ⋅ d ⋅ ln

R ---------- (6.9) 7⋅d

donde: Δ - coeficiente que caracteriza la compactación del suelo y varía de 1.2 a 1.4; 2 g - aceleración de la gravedad, m/s ; d - diámetro promedio de las partículas del suelo, m; R - radio hidráulico de la sección transversal, m.

⎛ y ⎞6 v MAX = 4.6 ⋅ d ⋅ ⎜ ⎟ ⎝d⎠ 6. Fórmula de A.M. Latichenkov (1960):

⎛ y⎞ v MAX = 1.6 ⋅ g ⋅ d ⋅ ⎜ ⎟ ⎝d⎠

0.2

7. Fórmula de M.R. Carsten (1966):

⎛ ρp ⎞ v FON.MAX = 3.61 ⋅ g ⋅ d ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⋅ (tan ϕ ⋅ cos θ − senθ) ⎝ ρ ⎠ 8. Fórmula de C.R. Neill (1967):

⎛ ρp ⎞ ⎛D⎞ − 1⎟⎟ ⋅ ⎜ ⎟ v MAX = 0.025 ⋅ g ⋅ d ⋅ ⎜⎜ ρ ⎝ ⎠ ⎝d⎠

0.2

donde: R - radio hidráulico, m; d - diámetro medio de las partículas, mm; y - profundidad de circulación, m;

ρp ρ

- densidad relativa del suelo;

g - aceleración de la gravedad, m/s2; vMAX - velocidad máxima permisible, m/s.

La fórmula (6.9) es válida para 50 ≤

R ≤ 5000 . d

A continuación se relacionan otras fórmulas obtenidas experimentalmente para determinar la velocidad máxima: 1. Fórmula de B.N. Goncharov (1936):

v MAX = 3.9 ⋅ R 0.2 ⋅

Además de las fórmulas, en la literatura referente al tema aparecen numerosas tablas con los límites críticos de la velocidad máxima para diferentes tipos de conducciones libres. Por ejemplo, en la tabla 6.1 aparecen los valores planteados por Fortier y Scobey, y recomendados por el ASCE en 1926, para el caso de canales "viejos". Tabla 6.1 vMAX según Fortier y Scobey para canales después de su asentamiento con el tiempo.

(d + 0.0014)0.6 ;

v FON.MAX =

4 1 9 ρp ⋅d ⋅ −1 ; 2 ρ

Tipo de material

donde: d - diámetro de las partículas, in; vFON.MAX - velocidad máxima admisible en el fondo del canal, ft/s;

ρp ρ

- densidad relativa de la partícula.

3. Fórmula de M. A. Velicanov (1954):

v MAX = 3.14 ⋅ 15 ⋅ d + 0.006 .

4. Fórmula de B.C. Knoroz (1954):

R ⎞ ⎛ v MAX = 1.33 ⋅ ⎜ log 14.7 ⋅ 0.75 ⎟ ⋅ g ⋅ d d ⎠ ⎝ 5. Fórmula de G.I. Shanov (1959):

137

τF (Pa)

vMAX (m/s)

2. Fórmula de F.T. Mavis (1948) (en sistema inglés):

Arena fina

Agua con limo, arena o Agua con limo fragmentos Agua limpia coloidal de rocas 0.457 0.762 0.475

Agua limpia 1.33

Agua con partículas coloidales 3.66

Loam arenoso no coloidal Fango de sedimentos no coloidal

0.533

0.762

0.609

1.81

3.66

0.609

0.914

0.609

2.34

5.37

Sedimentos aluviales no coloidal loam firme ordinario Ceniza volcánica Grava fina

0.609 0.762 0.762 0.762

1.067 1.067 1.067 1.524

0.609 0.686 0.609 1.143

2.34 3.66 3.66 12.17

7.32 7.32 7.32 22.45

Arcilla consistente no coloidal

1.143

1.524

0.914

12.17

22.45

Material no coloidal graduado (de loam a guijarros)

1.143

1.524

1.524

32.7

32.69

138

Sedimentos aluviales coloidales

1.143

1.524

0.914

3.66

15.62

Material coloidal graduado (de limo a guijarros)

1.219

1.676

1.524

18.54

33.21

Grava gruesa, no coloidal Guijarros y cascajos

1.219 1.524

1.829 1.676

1.981 1.981

20.98 14.64

39.04 32.68

Pizarras y conglomerados

1.829

1.829

1.524

44.41

53.7

Tabla 6.3 vMAX según Schoktlisch (1961)

Tipo de suelo

1.55 – 1.75 γ SECO :

Tomada de Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow (valores modificados de acuerdo con el SI). En la tabla 6.2 aparecen los valores de velocidad máxima permisible propuestos por P.C. Kicaliov (1970) para diferentes profundidades de circulación, y en la tabla 6.4, se dan los valores utilizados para proyectos en los Ministerios de Vías de Comunicaciones, de Estaciones Eléctricas y de Agricultura de la URSS. Schoktlisch (1961) propuso valores de velocidad máxima permisible para suelos cohesivos, que se dan en la tabla 6.3; también para suelos cohesivos puede emplearse la tabla 6.6.

En la tabla 6.5 aparecen los valores de velocidad máxima propuestos por Lishtvan para cauces naturales en el caso de avenidas con probabilidad del 1%. Estos valores se usan frecuentemente en los estudios hidráulicos de puentes. Tabla 6.2 VMAX según P.G. Kiceliov (1970)

Material

Diámetro de la partícula (mm)

Limo 0.005 - 0.05 Arena fina 0.05 - 0.25 Arena media 0.25 - 1.0 Arena gruesa 1.0 - 2.5 Gravilla fina 2.5 - 5 Gravilla media 5.0 - 10.0 Gravilla gruesa 10.0 - 15.0 Grava fina 15.0 - 25.0 Grava media 25.0 - 40.0 Grava gruesa 40.0 - 75.0 Macadam fino 75.0 - 100.0 Macadam medio 100.0 - 150.0 Macadam grueso 150.0 - 200.0 Rajón 200

0.4 0.12 - 0.17 0.17 - 0.27 0.27 - 0.47 0.47 - 0.53 0.53 - 0.65 0.65 - 0.80 0.80 - 0.95 0.95 - 1.20 1.20 - 1.50 1.50 - 2.0 2.0 - 2.3 2.3 - 2.8 2.8 - 3.2 3.2

vMAX de circulación (m/s) Profundidad de circulación 1.0 2.0 0.15 - 0.21 0.17 -0.24 0.21 - 0.32 0.24 - 0.37 0.32 - 0.57 0.37 - 0.65 0.57 - 0.65 0.65 - 0.75 0.65 - 0.80 0.75 - 0.9 0.80 - 1.0 0.9 - 1.1 1.0 - 1.2 1.1 - 1.3 1.2 -1.4 1.3 - 1.6 1.4 - 1.8 1.6 - 2.1 1.8 - 2.4 2.1 - 2.8 2.4 - 2.8 2.8 - 3.2 2.8 - 3.4 3.2 - 3.9 3.4 - 3.9 3.9 - 4.5 3.9 4.5

Tomada de Guidraullka, de P.G. Kiceliov

vMAX (m/s) Suelos Suelos con compactación compactados Porosidad: media 0.6 – 0.3% Porosidad: 1.2 – 1.5% γ SAT : γ SAT : 2.03 – 2.27 1.75 – 2.03 γ SECO :

Suelos muy compactados Porosidad: 0.3 – 0.2% γ SAT :

γ SECO :

2.27 – 2.34 γ SECO :

1.66 – 2.04

2.04 – 2.14

1.20 – 1.66

0.88 – 1.20 Arcillaarenosa

0.45

0.90

1.30

1.80

Limo pesado

0.40

0.85

1.25

1.70

Arcilla loess

0.35

0.80

1.20

1.65

Limo pobre

0.32

0.70

1.05

1.35

Tomada de Análisis e investigación de la erosión local en los suelos cohesivos, de E. Martínez y R. Santos. 3.0 0.19 - 0.26 0.26 - 0.40 0.40 - 0.70 0.70 - 0.80 0.80 - 0.95 0.95 - 1.13 1.13 - 1.4 1.4 - 1.8 1.8 - 2.2 2.2 - 3.0 3.0 - 3.4 3.4 - 4.2 4.2 - 4.9 4.9

Tabla 6.4 vMAX usada en varios ministerios de la URSS a) vMAX según el Ministerio de Vías de Comunicaciones URSS Suelo consistencia Contenido de Suelo poca media partículas % consistencia Índice de poros: Índice de poros: 0.9 a 0.6 Tipo 1.2 a 0.9 Peso especifico: de < 0.005 0.005 a Peso especifico: 3 3 12.0 a 16.2kN/m suelo 12kN/m Mm 0.05 Prof. circulación Prof. circulación mm (m) (m) 0.4 Arcilla

30 – 50

1.0

vMAX (m/s) Suelo consistencia firme Índice de poros: 0.6 a 0.3 Peso especifico: 3 16.3 a 20.0kN/m Prof. circulación (m)

Suelo consistencia muy firme Índice de poros: 0.3 a 0.2 Peso especifico: 3 20 a 21.0kN/m Prof. circulación (m)

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

0.4

1.0

2.0

3.0

50 – 70

Arcilloso pesado

20 – 30

80 – 70

0.35 0.40 0.45

0.50

0.70

0.85

0.95

1.10

1.00

1.20

1.40

1.50

1.40

1.70

1.90

2.10

Arcilloso ligero

10 – 20

90 – 80

0.35 0.40 0.45

0.50

0.65

0.80

0.90

1.00

0.95

1.20

1.40

1.50

1.40

1.70

1.90

2.10

-

0.60

0.70

0.80

0.85

0.80

1.00

1.20

1.30

1.10

1.30

1.50

1.70

Loess consolidado

139

Suelo poco compactos Porosidad: 2 – 1.2% γ SAT :

-

-

-

-

-

140

(Cont. Tabla 6.4) b) vMAX según el Ministerio de Electricidad de la URSS. vMAX según el Ministerio de Electricidad de la URSS Contenido de Suelo poca partículas % consistencia Índice de poros: Tipo 1.2 de < 0.005 0.005 a suelo Mm 0.05 Prof. circulación mm (m)

Arcilloso

30 – 50

Tabla 6.5 vMAX según Lishtvan para cauces con avenida del 1% de probabilidad.

vMAX (m/s) Suelo consistencia Suelo consistencia media firme Índice de poros: Índice de poros: 1.2 a 0.6 0.6 a 0.3 Prof. circulación (m)

Prof. circulación (m)

Suelo consistencia muy firme Índice de poros: 0.3 a 0.2 Prof. circulación (m)

Carácter del suelo Suelos sueltos

20 – 30

70 – 80

Arcilloso ligero

10 – 20

80 – 90

1.0

0.15

0.42

0.56

0.67 0.75 0.83 0.90 1.01 1.11 1.20 1.28 1.35

Arena fina, terreno arenoso

0.5

0.54

0.72

0.86 0.96 1.05 1.13 1.28 1.39 1.50 1.61 1.70

Diámetro de la partícula (mm) ó

1.00

≥ 3.0

1.00

≥ 3.0

1.00

≥ 3.0

1.00

≥ 3.0

Arena de grano medio y fino con gravas

1.0

0.63

0.89

1.05 1.19 1.29 1.38 1.55 1.71 1.84 1.95 2.04

0.4

0.5

0.85

1.1

1.20

1.50

1.70

2.00

Arena de grano grueso y medio con grava

2.5

0.86

1.11

1.30 1.45 1.59 1.69 1.88 2.05 2.20 2.34 2.46

Gravas con arena gruesa

6.0

1.06

1.36

1.57 1.74 1.90 2.01 2.22 2.42 2.57 2.72

-

Guijarros pequeños con gravas y arena

15.0

1.33

1.70

1.94 2.12 2.28 2.41 2.64 2.84 3.02 3.20

-

Guijarros medios con gravas y arenas

25.0

1.65

2.05

2.33 2.56 2.74 2.90 3.14 3.37 3.57

-

-

Guijarros medios con gravas

60.0

2.00

2.46

2.77 3.00 3.19 3.35 3.64 3.90 4.12

-

-

Cantos medianos con guijarros

140.0

2.50

3.00

3.36 3.68 3.85 4.03 4.39 4.65

-

-

-

Cantos medios con guijarros

250.0

3.00

3.57

4.06 4.24 4.51 4.70 5.04 5.34

-

-

-

Cantos medios y pequeños

450.0

3.60

4.17

4.60 4.88 5.15 5.35 5.70

-

-

-

-

Cantos grandes

750

4.25

4.90

5.31 5.60 5.87 6.07 6.45

-

-

-

-

50 – 70

Arcilloso pesado

γ d (10 4 N / m 3 )

vMAX (m/s) Profundidad promedio del cauce principal (m) 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0

Nombre de la fracción predominante Arena muy fina suelta

c) vMAX según el Ministerio de la Agricultura de la URSS. Tipo de suelo

vMAX (m/s)

γ S = 14.7 kN / m 3 γ S = 14.7 ÷ 20kN / m 3

Arcilloso ligero

0.4 – 0.7

0.7 – 0.9

Arcilloso medio

0.45 – 0.75

0.75 – 1.0

Arcilloso pesado

0.50 – 0.85

0.85 – 1.20

Arcilla

0.55 – 0.90

0.90 – 1.25

Tomada de Pronóstico de la erosión aguas abajo de estructura terminal del tipo trampolín, de R. Santos.

Suelos compactados

1

0.60

0.82

0.97 1.10 1.22 1.31 1.49 1.65 1.77 1.89 2.00

1.7

0.87

1.11

1.28 1.41 1.53 1.63 1.80 1.95 2.07 2.18

-

1.8

1.20

1.48

1.67 1.80 1.92 2.03 2.21 2.36 2.48

-

Tomada de Puentes I. de E Valdés y G Taylor

141

142

-

Tabla 6.6 v MAX para suelos arcillosos

En Cuba se ha hecho una propuesta de valores de la velocidad máxima permisible por el Ministerio de la Construcción, para diferentes tipos de suelos, que aparecen en las tablas 6.9, 6.10 y 6.11. Tabla 6.7 vMAX para suelos rocosos.

v MAX (m/s) Suelos Profundidad de circulación (m) arcilloso con una cohesión 0.5 1.0 3.0 5.0 especifica de cálculo 5 Con un contenido de sales fácilmente solubles (CaCl 2, MgCl 2, NaCl, (10 Pa) Na2 SO4, Na HCO 3) dado en % del peso del residuo solamente del suelo seco 0.2

0.2 a 0.3

0.2

0.2 a 0.3

0.2

0.2 a 0.3

0.2

0.2 a 0.3

0.005

0.39

0.36

0.43

0.40

0.49

0.46

0.52

0.49

0.01

0.44

0.39

0.48

0.43

0.55

0.49

0.58

0.52

0.02

0.52

0.41

0.57

0.45

0.65

0.52

0.69

0.55

0.03

0.59

0.43

0.64

0.48

0.74

0.55

0.78

0.59

0.04

0.65

0.46

0.71

0.51

0.81

0.58

0.86

0.62

0.05

0.71

0.48

0.77

0.53

0.89

0.61

0.98

0.65

0.075

0.83

0.51

0.91

0.56

1.04

0.64

1.10

0.69

0.125

1.03

0.60

1.13

0.57

1.30

0.76

1.37

0.81

0.15

1.21

0.65

1.33

0.72

1.52

0.82

1.60

0.88

0.20

1.28

0.75

1.40

0.82

1.60

0.93

1.69

1.00

0.225

1.36

0.80

1.48

0.88

1.70

1.00

1.80

1.07

0.25

1.42

0.82

1.55

0.91

1.78

1.04

1.88

1.10

0.30

1.54

0.90

1.69

0.99

1.94

1.12

2.04

1.20

0.35

1.67

0.97

1.83

1.06

2.09

1.22

2.21

1.30

0.40

1.79

1.03

1.96

1.11

2.25

1.31

2.38

1.40

0.45

1.88

1.09

2.06

1.20

2.35

1.39

2.49

1.46

0.50

1.99

1.26

2.17

1.28

2.50

1.46

2.63

1.56

0.60

2.16

1.27

2.38

1.38

2.72

1.60

2.88

1.70

Tomada de Programas para el cálculo de canales, de H. Llanusa y C. Viamonte. Para el caso de suelos rocosos pueden consultarse los valores propuestos en la tabla 6.7, que corresponden a suelos no agrietados con una superficie nueva no sometida aún al intemperismo; en el caso de suelos agrietados y meteorizados esos valores deben disminuirse. Para suelos muy meteorizados, la velocidad máxima permisible debe estimarse considerando un suelo suelto según las dimensiones de los fragmentos y su peso específico. En el caso de canales revestidos hay que tener en cuenta el tipo de material utilizado, para evitar velocidades superiores a las que pueden deteriorarlo. En la tabla 6.8 se muestran valores de velocidad máxima permisible para los canales revestidos.

vMAX (m/s) 0.4

3.0

0.4

Prof. circulación (m) 1.0 2.0

3.0

a) Rocas sedimentarias Conglomeradas, margas, esquistos arcillosos y pizarras.

2.1

2.5

2.9

3.1

-

-

-

-

Calizas porosas, conglomerados compactos, calizas estratificadas, arenisca calcificada, calizas dolomíticas

2.5

3.0

3.4

3.7

4.2

5.0

5.7

6.2

Areniscas dolomíticas, calizas compactas no estratificadas, calizas silíceas

3.7

4.5

5.2

5.6

5.8

7.0

8.0

8.7

b) Rocas cristalinas. Mármol, granito, sienita, gabro

16

20

23

25

25

25

25

25

Pórfido, diabasas, basaltos, cuarcitas 21 25 25 25 25 25 25 25 Tomado de Pronóstico de la investigación aguas debajo de las estructuras terminales del tipo trampolín, de R. Santos Tabla 6.8 vMAX en cauces revestidos.

Tipo de revestimiento

Revestimiento de hormigón (agua libre de arenas y piedras) Revestimiento de mezcla de piedra (agua libre de arenas y piedras) Gaviones (0.5 mayor) Piedras grandes Capas de piedras o arcilla (10 a15cm) Recubrimiento de limo y paja o relleno apisonado de suelo y piedra Suelo apisonado con piedra Capa doble de piedra Pacas de yerba

143

Prof. circulación (m) 1.0 2.0

Características del material Hormigón 100 Hormigón 150 Hormigón 200 Hormigón 300 Hormigón 50 - 150 Hormigón 25 Hormigón 10 -

0.5 12.5 14.0 15.6 19.2 7.4 6.3 4.3 4.7 3.0 2.4

Piedra de 20 - 30cm Piedra de 15 - 20cm Piedra de 20 - 30cm Piedra de 15 - 20cm Piedra de 20 - 30cm -

2.8 2.6 3.0 3.0 3.1 1.0

144

vMAX (m/s) Prof. Circulación (m) 1.0 3.0 13.8 16.0 15.6 18.0 17.3 20.0 21.2 24.6 3.7 10.7 7.4 9.1 5.0 6.2 5.5 6.8 3.5 4.1 2.8 3.5 3.3 3.0 3.6 3.5 3.7 1.25

4.1 3.7 4.5 4.3 4.7 1.5

5.0 17.0 19.1 21.2 26.1 11.6 9.8 6.7 7.3 4.4 3.8 4.4 4.0 4.9 4.7 5.1 1.5

Tomada de Programas para el cálculo de canales, de H. Lanusa y C. Viamonte

3- La porosidad se expresa como la relación entre el volumen de poros y el volumen de suelo seco. Tomada de Programas para el cálculo de canales, de H. Llanusa y C. Viamonte

Tabla 6.9 Velocidades admisibles no erosivas de las corrientes en suelos no cohesivos.

Tabla 6.11 Velocidades permisibles no erosivas en suelos cohesivos poco y medio compactados.

vMAX (m/s) para diferentes tirantes (m) 1.0 2.0 3.0 5.0 y más

Tipo de suelo

Diámetro (mm)

0.4

Arena muy fina

0.05 - 0.15

0.15 - 0.20

0.20 - 0.30

0.25 - 0.40

0.40 - 0.45

0.40 - 0.55

Arena fina

0.15 - 0.25

0.20 - 0.35

0.30 - 0.45

0.40 - 0.55

0.45 - 0.60

0.55 - 0.70

Arena mediana

0.25 - 1.0

0.35 - 0.50

0.45 - 0.60

0.55 - 0.70

0.60 - 0.75

0.70 - 0.85

Arena gruesa

1.0 - 2.5

0.50 - 0.75

0.60 - 0.75

0.70 - 0.80

0.75 - 0.90

0.85 - 1.00

Gravilla fina

2.5 - 5.0

0.75 - 0.85

0.75 - 0.85

0.80 - 1.15

0.90- 1.10

1.00 - 1.20

Composición de las Suelo poco compactado partículas Porosidad: (%) 1.20 Tipo Densidad seca: 3 de suelo 11.8kg/m < 0.005 0.005 a Prof. circulación mm 0.05 (m) mm 0.4 1.0 2.0 3.0

Gravilla mediana

5.0 - 10.0

0.85 - 0.90

0.85 - 1.05

1.00 - 1.15

1.10 - 1.30

1.20 - 1.45

Arcillas

Grava fina

10.0 - 15.0

0.90 - 1.10

1.05 - 1.20

1.15 - 1.35

1.30 - 1.50

1.45 - 1.65

Grava mediana

15.0 - 25.0

1.10 - 1.25

1.20 - 1.45

1.35 - 1.65

1.50 - 1.85

1.65 - 2.00

Grava gruesa

25.0 - 40.0

1.25 - 1.50

1.45 - 1.85

1.65 - 2.10

1.85 - 2.30

2.00 - 2.45

Grava muy gruesa

40.0 - 75.0

1.50 - 2.00

1.85 - 2.40

2.10 - 2.75

2.30 - 3.10

2.45 - 3.30

Piedras pequeñas

75.0 - 100.0

2.00 - 2.45

2.40 - 2.80

2.75 - 3.20

3.10 - 3.50

3.30 - 3.80

Piedras medianas

100.0 - 150.0

2.45 - 3.00

2.80 - 3.35

3.20 - 3.75

3.50 - 4.10

3.80 - 4.40

Piedras gruesas

150.0 - 200.0

3.00 - 3.50

3.35 - 3.80

3.75 - 4.30

4.10 - 4.65

4.40 - 5.00

Roca pequeña

200.0 - 300.0

3.50 - 3.85

3.80 - 4.35

4.30 - 4.70

4.65 - 4.90

5.00 - 5.50

Roca mediana

300.0 - 400.0

4.35 - 4.75

4.70 - 4.95

4.90 - 5.30

5.50 - 5.60

Roca gruesa

400.0 - 500.0

4.95 - 5.35

5.30 - 5.50

5.60 - 6.00

Notas: 1- El valor inferior de velocidad corresponde al diámetro inferior de partícula y valor superior al diámetro superior de la partícula. 2- No se interpola. Cuando el valor del diámetro de partícula o del tirante no coincidan con algunos de los tabulados se toma como velocidad admisible la correspondiente al valor del diámetro o tirante más próximo que aparece en la tabla. Tomada de Programas para el cálculo de canales, de H. Llanusa y C. Viamonte. Tabla 6.10 Velocidades admisibles no erosivas para suelos cohesivos compactados y muy compactados. Composición de las Suelo compactado partículas Porosidad: (%) 0.6 a 0.3 Tipo Densidad seca: 3 de suelo 163 a 200kg/m < 0.005 0.005 a Prof. circulación mm 0.05 (m) mm 0.4 1.0 2.0 3.0 Arcillas

30 – 50

50 – 70

Suelo muy compacto Porosidad: 0.3 a 0.20 Densidad seca: 3 20.0 a 21.0kg/m Prof. circulación (m) 0.4

1.0

2.0

3.0

1.0

1.2

1.4

1.5

1.4

1.7

1.9

2.1

80 – 70

1.0

1.2

1.4

1.5

1.4

1.7

1.9

2.1

Arcillas ligeras

90 – 80

1.0

1.2

1.4

1.5

1.4

1.7

1.9

2.1

0.80

1.0

1.2

1.3

1.1

1.3

1.5

1.7

Loam

-

-

Notas: 1- No se interpola. Cuando el tirante no sea uno de los tabulados, se acepta la velocidad correspondiente al tirante tabulado más cercano. 2- Para tirantes mayores de 3m se acepta la velocidad admisible correspondiente al tirante de 3m.

145

50 – 70

0.4

1.0

2.0

3.0

0.35

0.4

0.45

0.5

0.7

0.85

0.95

1.10

Arcillas 20 – 30 pesadas

80 – 70

0.35

0.4

0.45

0.5

0.7

0.85

0.95

1.10

Arcillas ligeras

90 – 80

0.35

0.4

0.45

0.5

0.85

0.85

0.95

1.10

-

-

-

-

0.6

0.7

0.8

0.85

Loam

10 – 20 -

-

NOTAS: 1- No se interpola. Cuando el tirante no sea uno de los tabulados, se acepta la velocidad correspondiente al tirante tabulado más cercano. 2- Para tirantes mayores de 3m se acepta la velocidad admisible correspondiente al tirante de 3m. 3- La porosidad se expresa como la relación entre el volumen de poros y le volumen de suelo seco. Tomada de Programas para el cálculo de canales, de H. Llanusa y C. Viamonte. A diferencia de los autores que han publicado sus resultados en tablas, otros muchos ofrecen los criterios de vMAX en forma de gráficos. La figura 6.2 muestra resultados obtenidos por investigadores soviéticos para suelos no cohesivos, en tanto que la figura 6.3, también de investigadores soviéticos, muestra dichos resultados para suelos cohesivos. La figura 6.4 complementa las dos anteriores, pues brinda un coeficiente de corrección en función de la profundidad de circulación Este coeficiente de corrección propuesto por V.T. Chow en 1959, de forma empírica, tiene su expresión matemática, obtenida por S.C. Mehrota en 1983, donde se demuestra que la corrección está dada por la siguiente expresión: 1

Arcillas 20 – 30 pesadas 10 – 20

30 – 50

Suelo muy compacto Porosidad: 0.9 – 0.6 Densidad seca: 3 11.80 – 16.3kg/m Prof. circulación (m)

v 2 n1 ⎛ y 2 ⎞ 6 = ⋅ ⎜ ⎟ ---------- (6.10) v1 n 2 ⎜⎝ y1 ⎟⎠ donde: v2 - velocidad corregida; v1 - velocidad dada por los gráficos; n 1 y n 2 - rugosidades de Manning, para y1 y y 2 respectivamente; y 2 - profundidad para el caso real; y1 - profundidad para la cual se realizó el gráfico. En el caso particular de los gráficos de las figuras 6.2 y 6.3 la corrección queda, después de despreciar el efecto de n 1 / n 2 1 v2 = y 2 6 ---------- (6.10a) v1

expresión que coincide muy acertadamente con la curva propuesta en la figura 6.4. .

146

Fig. 6.4 Factor de corrección de la velocidad permisible en suelos cohesivos y no cohesivos por la profundidad de circulación.

En las figuras 6.5 y 6.6 se muestran los gráficos obtenidos en la URSS por T.S. Mirtsjulava para suelos sueltos y suelos cohesivos. También resulta de utilidad el diágrama de Hjulstrom (Fig. 6.7) propuesto en 1935 y que se basa en los valores medios de las velocidades. En este gráfico se muestran las zonas en que ocurre erosión, transporte o sedimentación. Lo más notable de este trabajo es que muestra la diferencia que existe entre las velocidades que provocan el inicio del movimiento en el lecho y las que provocan transporte de sedimentos. Estos dos conceptos a veces se confunden y no aparecen en el resto de las fórmulas, tablas o gráficos. Fig. 6.2 Velocidad permisible en suelos no cohesivos

Por último, se exponen algunas fórmulas que se utilizan para calcular la capacidad de transportación de material del canal, como por ejemplo, la fórmula de E.A. Zamarin: 3 ⎛ v ⎞ ρ S = 700 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ (R ⋅ S) 2 para 2mm / s ≤ v S < 8mm / s ---------- (6.11a) ⎝ vS ⎠ 1

⎛ R ⋅S⋅ v ⎞2 ⎟⎟ para 0.4mm / s ≤ v S < 2mm / s ---------- (6.11b) ρ S = 350 ⋅ v ⋅ ⎜⎜ ⎝ vS ⎠ donde: ρ S - cantidad de sedimento transportado, kg/m3; v – velocidad media del agua, m/s; v S – velocidad promedio de sedimentación de las partículas con un diámetro medio D med, m/s; R - radio hidráulico del canal, m; S - pendiente del fondo del canal, tanto por uno. Otra fórmula propuesta por la norma soviética, GOST 3908-47, es

ρ S = B ⋅ Q 0.4 ⋅ S o ---------- (6.12) donde: Q - caudal, m3/s; B - coeficiente empírico que torna los valores siguientes: 4 700 para v S ≤ 1.5mm / s ; 3 000 para 1.6 ≤ v S ≤ 3.5mm / s ; Fig. 6.3 Curvas de velocidad permisible en suelos cohesivos

147

1 100 para 3.6 ≤ v S

≤ 6.5mm / s ;

600 para v S > 6.5mm / s .

148

Fig. 6.6 Gráfico de TS Mirtsjulava para suelos cohesivos

Fig. 6.5 Gráfico de TS Mirtsjulava para suelos sueltos

Fig. 6.7 Criterio de erosión de partículas uniformes, según Hulstrom (1935)

149

150

Para concluir con las velocidades erosivas se exponen algunas conclusiones que presentaron en su informe ante el Comité Especial sobre Riego de la ASCE los investigadores S. Fortier y F.C. Scobey. 1. El material de los lechos asentados de los canales se compone de partículas de diferentes tamaños y cuando los intersticios de las mayores se rellenan con las más pequeñas, la masa se hace más densa, estable y menos sujeta a la acción erosiva del agua. 2. La velocidad que se requiere para erosionar un cauce de cualquier material es mucho mayor que la necesaria para mantener en movimiento las partículas de dicho material antes de que se sedimenten sobre el lecho. 3. Los coloides presentes en el material del lecho del canal, en el agua conducida por él o en ambos, tienden a cementar las partículas de arcilla, cieno, arena y grava de una manera tal que se hace más resistente a los efectos de la erosión. 4. La graduación del grano de material que va del fino al grueso, unida a la adhesión entre las partículas lograda por los coloides, hacen posible altas velocidades medias sin ningún tipo de efecto de erosión. 5. Los canales de riego se calculan para la velocidad máxima admisible cuando los canales sean asentados por el tiempo, pues la demanda de agua crecerá también con el tiempo y por tanto crecerá la velocidad media.

τ 0 = γ y ⋅ S ---------- (6.15) que es la forma más conocida de la ecuación de la fuerza cortante unitaria actuante en una conducción libre. Du Buat, en 1786, planteó la importancia de este concepto, pero no fue hasta 1914 que tuvo un uso práctico, al exponer Forchheimer la relación entre la fuerza cortante unitaria y la velocidad del flujo:

γ y ⋅ S = K ⋅ v f ---------- (6.16) 2

donde: K - constante de proporcionalidad; v f - velocidad del flujo en el fondo del canal. Posteriormente, mediante modernas técnicas de laboratorio y empleando la computación digital para resolver el problema mediante el método de las diferencias finitas, Olsey y Florey obtuvieron las relaciones de corrección de la fuerza cortante unitaria a los lados y en el fondo de canales rectangulares y trapeciales. De estas experiencias, cuyos resultados fueron publicados en 1952, en la figura 6.8 se muestran los coeficientes para corregir τ 0 en función de b/y. Estos coeficientes se aproximan a 1 en el fondo del canal y a 0.78 en los taludes.

6. Los canales para centrales eléctricas es probable que haya que trabajarlos con cargas máximas tan pronto como termine su construcción. Por esta razón debe escogerse una velocidad considerable, de lo contario podría erosionarse antes de que se asiente el lecho. 7. Los canales nuevos deben llevar estructuras de control para que trabajen con velocidades bajas durante su asentamiento. 8. Se prefiere un canal con una velocidad un poco excesiva a una insuficiente, ya que la excesiva puede corregirse con una obra de control, mientras que la velocidad insuficiente es prácticamente imposible de aumentar. 9. El crecimiento de la flora acuática solo está relacionado parcialmente con las velocidades. Desde el punto de vista de la erosión los canales calculados para las velocidades admisibles más altas estarán tan libres del crecimiento de plantas como lo permita su diseño.

6.4 Fuerza cortante o de arrastre. Relaciones básicas. Un criterio universalmente empleado para el estudio del movimiento de las partículas es el basado en el esfuerzo cortante crítico permisible. La fuerza cortante o de arrastre en el flujo uniforme es aproximadamente igual a la componente, en la dirección de la corriente, del peso de una masa de fluido (ver figura 6.1). De esta forma se puede plantear

Fa = γ ⋅ A ⋅ L ⋅ S ---------- (6.13) donde: F a - fuerza de arrastre; γ - peso específico del agua; A - área mojada; L - distancia entre las secciones A y B consideradas;

Fig. 6.8 Factor de corrección τ0 para el círculo en el fondo y los taludes de un canal

S - pendiente del fondo de la conducción. A partir de esta expresión puede definirse la fuerza cortante por unidad de superficie de canal, o lo que es igual:

La condición de movimiento inminente está dada, para un suelo no cohesivo por:

γ ⋅ A ⋅ L ⋅S τ0 = = γ ⋅ R ⋅ S ---------- (6.14) P⋅A

tan φ =

Para canales anchos la expresión (6.14) queda modificada en la forma:

151

F1 ----------- (6.17) Fn

152

donde: φ - ángulo de reposo del material; F n y F 1 - fuerzas normal y tangencial al ángulo de reposo de la partícula analizada.

En la ecuación (6.19) se considera β = 0 para simplificar el procedimiento matemático. No obstante, en el flujo en curvas horizontales, donde la inclinación de la velocidad crítica resultante del movimiento secundario es apreciable, β0 no puede despreciarse.

De ahí puede plantearse (Fig. 6.9):

La fuerza que se opone al movimiento de la partícula de suelo, en caso de suelos friccionales, es la fuerza de fricción. Por tanto, en el caso de movimiento inminente se tiene:

tan φ =

W ⋅ senα 0 + FA ---------- (6.18) W ⋅ cos α 0 − FE

W ⋅ cos α 0 ⋅ tan φ = ( W 2 ⋅ sen 2 α 0 + a 2 ⋅ τ L ) 0.5 ---------- (6.20) 2

de donde puede obtenerse el valor de τ L :

donde:

0.5

α - ángulo de inclinación de la partícula;

τL =

FA y FE - fuerzas de arrastre y de elevación respectivamente;

Igualmente, puede obtenerse el valor de τ L , fuerza cortante unitaria actuante sobre el fondo del canal, haciendo α0 = 0:

W - peso de la partícula. Al analizar las fuerzas que actúan sobre la partícula para tratar de moverla de su posición de equilibrio (Fig. 6.10) puede plantearse la siguiente ecuación:

ΣF = W 2 ⋅ senα 0 + a 2 ⋅ τ L

⎛ tan 2 α 0 ⎞ W ⎟ ---------- (6.21) ⋅ cos α 0 ⋅ tan φ ⋅ ⎜⎜1 − a tan 2 φ ⎟⎠ ⎝

2

----------- (6.19)

donde: α - área de la sección transversal de la partícula; τ L - fuerza cortante unitaria actuante en el talud del canal.

τF =

W ⋅ tan φ ---------- (6.22) a

De este modo se llega a la relación de fuerzas cortantes unitarias K τ

Kτ =

τL ---------- (6.23) τF

o lo que es lo mismo:

tan 2 α 0 sen 2 α 0 ---------- (6.24) = 1− 2 tan φ sen 2 φ relación que solo depende de α0 y φ . El valor de φ , que depende del material del lecho del canal, puede K τ = cos α 0 ⋅ 1 −

obtenerse de la figura 6.11.

Fig. 6.9 Diagrama de fuerzas sobre partículas en un lecho suelto no cohesivo

Fig. 6.11 Ángulo de reposo de materiales no cohesivos, según Lane (1953) Fig. 6.10 Diagrama de fuerzas sobre partículas en el talud de un canal

153

154

De la misma forma que se ha trabajado para encontrar una expresión de la fuerza cortante unitaria actuante, muchos investigadores han planteado fórmulas para el cálculo de la fuerza cortante resistente o crítica del suelo, que es la fuerza cortante que el suelo es capaz de soportar sin comenzar a erosionarse. Schoklitsch, en 1914, propuso la ecuación:

τ CRIT = 0.076 ⋅ (γ S − γ ) ⋅ d para d ≥ 0.0006m ---------- (6.27)

τ CRIT = 0 .201 ⋅ γ ⋅ (γ S − γ ) ⋅ λ ⋅ d

en la cual, d se expresa en metros,

[

]

3 0 .5

---------- (6.25)

τ CRIT = 0.000285 ⋅ (γ S − γ ) ⋅ d 0.333 para 0.0001 ≤ d ≤ 0.003m ---------- (6.28) γ S y γ en newton por metro cúbico, y τ CRIT en pascal.

Leliavski, por su parte, propone en 1955 una relación simple, que aparece en la figura 6.14 y cuya expresión es:

donde: τ CRIT - se expresa en kgf/m2 (1kgf/m2 = 9.81Pa);

τ CRIT = 16.3 ⋅ d, [Pa ] ---------- (6.29)

d - diámetro medio de los granos que forman el material;

válida para valores del diámetro medio de las partículas menores que 3.4mm.

A - coeficiente de forma, que vale 1 para esferas y 4.4 para partículas achatadas; γ y γ S - pesos específicos del agua y del suelo en kgf/m2 (1kgf/m2 = 9.81 N/m3) La información aportada por investigadores tales como Krey (1925), Eisner (1932), Nemenyi (1933) y O'Brien (1934) corroboran los resultados de Schoklitsch. En sus estudios, Kramer (1935) sugirió que la composición granulométrica del material debía ser estudiada, además de por su diámetro medio, por un coeficiente de distribución M, dado por la relación entre la fuerza de arrastre FA y la fuerza resistente FR, definidas en la figura 6.12.

Fig. 6.13 Fuerzas cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Schoklitsch (1950)

Fig. 6.12 Fuerza cortante crítica en relación con las características de la arena, según Tiffany (1935) Posteriormente, Tiffany, también en 1935, presentó otras evidencias experimentales que permitieron proponer la ecuación:

τ CRIT = 29 ⋅

(γ S − γ ) ⋅

d ---------- (6.26) M

De nuevo Schoklitsch, en 1950, reorganiza todos los datos existentes y propone dos ecuaciones que aparecen gráficamente en la figura 6.13, y que son:

155

Fig. 6.14 Fuerzas cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Leliavski (1955).

156

Después de una recopilación de criterios, Lane, en 1953, propone un diagrama (Fig. 6.15), el cual recoge los estudios realizados en materiales friccionales por muchos autores. Este gráfico es de gran utilidad para el proyectista de canales. En él se observa claramente la diferencia entre la fuerza cortante crítica en el caso que la corriente sea de aguas limpias o de aguas con sedimentos en suspensión.

Un extenso trabajo del USBR (United States Bureau of Reclamation) reportado por Euger (1960) y Thomas (1961), el cual recopila información de cuarenta y seis investigadores con canales que van desde 0.1 m3/s hasta 100 m3/s, da como resultado una ecuación de la forma: τ CRIT = a + b ⋅ (IP) + c ⋅ (LL) + d ⋅ (D%) + e ⋅ (Mφ) ---------- (6.32)

Otros criterios y estudios sobre el tema han sido desarrollados por investigadores como: Kalinske (1947), quien sugiere que las máximas fuerzas, en ocasiones, superan en 3 o 4 veces los valores medios hallados por criterios anteriores; Vanoni (1964), que emplea el criterio del número de "estallados" por segundo; y Grass (1970), quien realizó sus estudios mediante cámara ultrarrápida con un proceso de computación para el análisis de la filmación del comienzo y desarrollo del proceso erosivo en el canal.

Fig. 6.15 Fuerza cortante crítica en función del diámetro de los granos, según Lane (1953) En el caso de los materiales cohesivos, la cohesión brinda una fuerza adicional que se opone al movimiento, y la relación para el ángulo de reposo es:

tan φ =

FA ± Fcoh ---------- (6.30) W − FE

En estos casos el esfuerzo cortante no solamente es función de d, sino también de c (coeficiente de cohesión), por lo que puede plantearse:

τ CRIT = f (d, c) ---------- (6.31) Tanto Lane (1953), Chow (1959) y Masch (1968) recomiendan la tabla de Fortier (tabla 6.1) dada en 1926 para trabajos en materiales cohesivos. Otra información útil es la dada por Chow (1959), representada en la figura 6.16.

157

Fig. 6.16 Fuerza cortante permisible, según el USBR y datos de la URSS (tomado de Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow)

158

donde: a, b, c, d y e - constantes empíricas obtenidas por Thomas; lP - índice plástico del material; LL - límite liquido; D'% - porcentaje de densidad máxima in situ; Mφ - descripción matemática del gradiente del suelo. Por último, en la figura 6.17 se expone la correlación hecha por Gibbs (1962) para evaluar las características de la erosión.

Fig. 6.18 Diagrama de Shields 2. El transporte de arrastre del fondo de un lecho móvil se relaciona con las fluctuaciones de la velocidad y no con la velocidad media del flujo. El comienzo y el fin del movimiento de una partícula tienen que expresarse en el concepto de la probabilidad que relaciona las fuerzas hidromecánicas instantáneas de elevación con el peso de la partícula.

Fig. 6.17 Tendencias a la erosión en suelos finos cohesivos en relación con la plasticidad, según Gibbs (1962)

El avance moderno de la mecánica de los fluidos, apoyándose en los conceptos de la teoría de la turbulencia de Prandtl y Von Karman, ha incidido igualmente en la teoría de la erosión de los suelos, y * así vemos como en 1936 el alemán Shiels introduce el concepto de velocidad friccional v en la fórmula fundamental de la teoría del esfuerzo cortante crítico, con lo que se llega a la siguiente expresión:

⎛ v* ⋅ d ⎞ τ CRIT ⎟⎟ ---------- (6.33) = f ⎜⎜ (γ S − γ 0 ) ⋅ d ⎝ v ⎠

v ⋅d v *

donde

es el llamado número de Reynolds friccional, obteniéndose de sus experiencias la re-

lación que se muestra en el gráfico de la figura 6.18. Una de las más recientes líneas de enfoque del problema de la erosión del suelo en canales está basada en dos criterios desarrollados por H.A. Einstein en 1942 y 1950, y adoptados por investigadores de prestigio romo el académico T.S. Mirtsjulava Los criterios de Einstein son los siguientes: 1. La definición de un valor crítico para el inicio del movimiento de las partículas de un suelo es una proposición muy difícil de obtener.

Por otra parte, mientras que para los suelos no cohesivos la resistencia a la erosión la proporciona el peso sumergido del sedimento, para los suelos cohesivos esa resistencia está controlada por la atracción neta entre las partículas y las fuerzas electroquímicas, que en la actualidad solo se conocen parcialmente, ya que no son constantes, sino que son función de la calidad del fluido y su propiedad de resistencia depende del tiempo. Al incorporar estos criterios de Einstein a la ecuación (6.5), queda:

Fa = φ ⋅ (P − Fe ) + Fc ---------- (6.34)

donde: Fc - fuerzas de cohesión. El hecho de que las fuerzas de cohesión, así como los coeficientes que de ellas se derivan, no puedan expresarse como una función o cualquier otra variable, hace que se tenga que recurrir a la investigación para evaluar sus efectos.

6.5 Velocidad mínima. Un aspecto del diseño que merece atención especial es el de la velocidad mínima admisible en el canal. La velocidad mínima admisible vMIN es el límite inferior de velocidad que puede admitirse en un canal y por debajo del cual se produce deposición de los sedimentos en suspensión y comienza el crecimiento de plantas acuáticas que obstruyen la sección transversal y las obras de fábrica existentes. De modo que en todo proyecto debe cumplirse que: V > VMIN. ----------- (6.35) Son numerosas las fórmulas, tablas y gráficos que se han propuesto como resultado de investigaciones en torno a la velocidad mínima admisible, que aparecen en la literatura especializada.

159

160

El profesor I.I. Levi propone la siguiente:

vS

ρ 25 0.0225 ⋅ ---------- (6.40) 0.01 n

v MIN = e L ⋅ R , [m / s] ---------- (6.36)

e L = 0.01 ⋅

donde: R - radio hidráulico, m; eL - coeficiente que depende de la calidad de los sedimentos, su granulometría y su velocidad media de circulación.

donde: ρ 25 - porcentaje de sedimentos con diámetro mayor de 0.25mm contenidos en el peso específico.

Para determinar e L , hay que considerar dos casos: 1. Si el coeficiente de rugosidad n es aproximadamente igual a 0.0225, se toma para e L un valor igual a 0.5 cuando el diámetro medio de las partículas en suspensión es de 0,25mm, pero cuando estas partículas de 0.25mm no sobrepasan el 0.01% del peso específico, entonces el valor de e L debe calcularse por la fórmula:

e L = 0.01 ⋅

vS ---------- (6.37) dm

donde: dm - diámetro medio de las partículas, mm; vS - velocidad de sedimentación, mm/s. Los valores de v S son los siguientes: d (mm) 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.25 0.275

vS (mm/s) 0.0175 0.0692 0.277 0.623 1.11 1.73 2.49 3.39 4.43 5.61 6.92 10.81 15.6 18.9 21.6 24.3 27 29.9

2. Si en el fondo del canal se depositan sedimentos mucho mayores que los que la corriente puede arrastrar, el coeficiente e L está en función de la granulometría de los sedimentos que transporta la corriente, y por lo tanto:

e L = 0.5 ⋅

0.0225 ---------- (6.38) n

si el diámetro medio de la masa es de d m ≤ 0.25mm

e L = 0.01 ⋅

vS dm

⋅

0.0225 ---------- (6.39) n

dm

⋅4

Otras dos fórmulas de uso frecuente son la de S.J.Abolians

v MIN = 0.3 ⋅ R 0.25 , [m / s] ---------- (6.41)

y la de S.A. Yirchkan

v MIN = YV ⋅ Q 0.2 , [m / s] ---------- (6.42)

donde: R - radio hidráulico, m; 3 Q - caudal, m /s; Yv - coeficiente que depende de la velocidad de sedimentación (v s) de las partículas en suspensión (Yv = 0.33 si vS < 1.5mm/s; Yv = 0.44 si 1.5mm / s ≤ v S ≤ 3.5mm / s ; Yv = 0.55 si vS > 3.5mm/s). En cambio, V.T. Chow, en forma más simple, plantea que este valor es muy incierto y que un valor exacto no puede determinarse fácilmente; aclara, además, que en el caso de canales que conducen aguas claras o que han sido desarenadas, la velocidad mínima tiene poca importancia, salvo que se quiera evitar el crecimiento de yerbas. A partir de estas premisas propone un valor de vMIN entre 0.61 y 0.92m/s cuando el porcentaje de material transportado por el agua es bajo, y afirma que las velocidades mayores de 0.76m/s evitan el crecimiento de vegetación que pudiera dañar seriamente la capacidad del canal.

6.6 Pérdidas de agua en canales. Tanto en el caso de canales que se utilizan para conducir agua entre dos puntos, como en canales cuya función sea drenar o evacuar aguas residuales, el valor de las pérdidas de agua y su conocimiento exacto son de gran utilidad. En numerosos casos, el valor de las pérdidas debe tenerse en cuenta al determinar la sección transversal de la conducción, la eficiencia de esta, la influencia del agua que se pierde por percolación, la calidad del agua del manto freático y otros elementos que surgen en el análisis de los casos particulares de proyecto. La fórmula general que se utiliza para calcular el gasto afectado de las pérdidas es: QB = QN + PER ---------- (6.43) donde: QB - gasto total; QN - gasto neto, o sea, el gasto real que llega a su destino; PER - pérdidas de agua en la conducción. Las pérdidas totales de un canal con funcionamiento periódico (canales temporales, canales terciarios) puede determinarse de la siguiente forma:

PER =

[

]

α P ⋅ βP ⋅ σ ⋅ Q N ⋅ L , m 3 / s - - - - - -- - - - ( 6 . 4 4 ) 100

donde: α P - coeficiente que depende del ritmo de trabajo del canal; β P - coeficiente que depende del tiempo de trabajo del canal; σ - medida específica de las pérdidas, expresadas en tanto por ciento del gasto por kilómetro de canal; L - longitud del canal, km. Para canales de funcionamiento constante o durante períodos muy prolongados, P E R se puede determinar mediante la expresión:

siempre que la fracción mayor de 0.25mm, en peso, no sea mayor que el 0.01% del peso específico. En forma más general:

161

PER =

[

]

αP ⋅ QN ⋅ L , m 3 / s - - - - - -- - - - (6 . 4 5 ) 100

162

Para obtener el valor de α P es necesario conocer el ritmo de trabajo del canal ( RT C ) , que es la relación entre el número de canales que trabajan simultáneamente ( NC T ) y el número de canales ( N C ) que desembocan en el canal que se quiere calcular (Fig. 6 . 1 9 ) :

RCT =

NC - - - - - -- - - - ( 6 . 4 6 ) NCT

El valor de α P puede entonces obtenerse por la siguiente relación: αP 1.0 0.75 0.66 0.62

RCT 1 2 3 4

El coeficiente βP se obtiene en función del número de horas que trabaje diariamente la conducción y sus valores son: t 5 10 15 20 más de 24

βP 2.35 1.60 1.30 1.15 1.0

Para calcular las pérdidas de agua como porcentaje del gasto por kilómetro de canal (σ), se presentan en la tabla 6 . 1 2 tres fórmulas desarrolladas por el académico N. Kostiakov y tres fórmulas propuestas por el Instituto de Hidromejoramiento de Asia Central, en función del tipo de terreno en que se construye el canal. De esta forma quedan determinados todos los factores que intervienen en el cálculo de P E R según las fórmulas.

Tabla 6.12 Coeficientes σ de pérdidas de agua en canales.

Suelo

Permeabilidad (m/día)

Muy permeables

≥2

Medianamente permeables

0.5 – 1.0

σ según Kostiakov

σ según Instituto de Hidromejoramiento del Asia Central (URSS)

2.85 ÷ 3.15 Q 0.5 1.87 ÷ 2.3 σ= Q 0.5 1.0 ÷ 1.3 σ= Q 0. 5

3.4 Q 0.5 1.9 σ = 0.4 Q 0.7 σ = 0.3 Q

σ=

σ=

Poco ≤ 0.1 permeables Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caña de azúcar, de F. Rajimbaev. Si las aguas subterráneas no yacen profundamente y sostienen el flujo filtrante del canal, las pérdidas de agua son menores que la filtración libre. En este caso, PER se obtiene multiplicando las pérdidas por filtración libre por un coeficiente de corrección Cp según los datos que aparecen en la tabla 6.13. Tabla 6.13 Coeficiente Cp para corrección de pérdidas por influencia del manto freático. Profundidad del manto freático con respecto al fondo del canal (m) <3 3 5 7.5 10 15 20 25 0.3 0.82 1.0 0.63 0.79 3.0 0.50 0.63 0.82 10.0 0.41 0.50 0.65 0.79 0.91 20.0 0.36 0.45 0.57 0.71 0.82 30.0 0.35 0.42 0.54 0.66 0.77 0.94 50.0 0.32 0.37 0.49 0.60 0.69 0.84 0.97 100.0 0.28 0.33 0.42 0.52 0.58 0.73 0.84 0.94 Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caria de azúcar, de F. Rajimbaev. Gasto (m3/s)

De acuerdo con esta metodología, el cálculo de las pérdidas puede esquematizarse en el diagrama que se muestra en la figura 6.20.

Fig. 6.19 Cálculo del ritmo de trabajo del canal

163

164

El Instructivo del MICONS de 1978 plantea, para el cálculo de P E R , diferentes fórmulas en función de la forma de la sección transversal del canal. Dicho instructivo propone:

[

]

PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ (T + 2 ⋅ y ); m 3 / s ---------- (6.47)

donde: K - coeficiente de filtración del suelo del lecho del canal, m/día; T - ancho superficial del canal, m; y - profundidad de circulación, m. La fórmula (6.47) es válida para canales de sección aproximadamente semicircular. Para canales de sección trapecial se propone:

PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ μ P ⋅ (T + 2 ⋅ y ) para PER = 0.0116 ⋅ K ⋅ (T + A P ⋅ y ) para

T ≤ 4 ---------- (6.48) y

T > 4 ---------- (6.49) y

donde: AP y

T y del talud m, y que se determinan mediante y

μ P - coeficientes que dependen de la relación

la tabla 6.14. Tabla 6.14 Valores de A P y μ P m=1 T/y 2 3 4 5 6 7 10 15 20

AP 2.0 2.4 2.7 3.0 3.2 3.4 3.7 4.0 4.2

m = 1.5

μP 0.98 1.00 1.14 1.15 1.14 1.12 1.11 1.08 1.06

AP 1.9 2.2 2.5 2.7 3.0 3.2 3.6 3.9

μP 0.78 0.98 1.04 1.08 1.10 1.10 1.10 1.07 1.08

m=2 AP 1.8 2.1 2.3 2.7 2.9 3.3 3.6

μP 0.62 0.82 0.94 1.02 1.04 1.07 1.07 1.06 1.05

Tomada de Regulación de Proyectos, No. 1081, Ministerio de la Construcción. La influencia del agua subterránea se obtiene exactamente igual que en la metodología anterior. El coeficiente de eficiencia la fórmula:

η=

η para canales que trabajan con largas interrupciones se determina por

QN Qn ---------- (6.50) = QB QB

En este caso, el gasto neto (Q N ) coincide con el gasto normal de circulación del canal. Si esto no se cumple, o sea, si el gasto de circulación es menor que el gasto normal, el coeficiente de eficiencia se determina por la tabla 6.15, en la cual

Ω=

QN ---------- (6.51) Qn

Fig. 6.20 Cálculo de las pérdidas por filtración en un canal. Diagrama de bloques simplificado

165

166

Tabla 6.15 Valores de

η

Ω 0.4 0.5 0.5 0.7 0.8 0.9 1.0

Tabla 6.16 Valores del coeficiente KREV 0.60 0.45 0.49 0.52 0.54 0.55 0.58 0.60

Valores del coeficiente de eficiencia con diferentes Qn / QB (%) 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.50 0.56 0.62 0.68 0.76 0.83 0.54 0.60 0.66 0.72 0.78 0.85 0.57 0.62 0.68 0.74 0.80 0.86 0.6 0.65 0.70 0.76 0.82 0.88 0.62 0.67 0.72 0.78 0.83 0.89 0.64 0.68 0.74 0.79 0.84 0.90 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90

0.95 0.91 0.92 0.93 0.94 0.94 0.95 0.95

En los canales de gran sección con diques concebidos en terraplén o en semiexcavación-terraplén se deben determinar las pérdidas por filtración debidas al dique. Los diques de canales representan en si una presa de tierra con baja carga, y para determinar la filtración son válidos los cálculos empleados en presas de tierra. Debe tenerse en cuenta que la curva de la depresión no debe salir por el talud inferior del dique. Los valores mínimos aceptables para el rendimiento de los canales son: magistrales 0.75; principales 0.80; secundario 0.85 y temporales 0.90. En los casos en que los cálculos de las pérdidas por filtración den valores excesivos se toman medidas para reducir o evitar la filtración, por lo que las pérdidas de agua se determinan por la expresión: PER = β τ ⋅ PER ---------- (6.52) En la expresión (6.52) β τ es un coeficiente que considera el revestimiento y se calcula por la fórmula:

βτ =

A ⋅δ 1+ P 0 T

1 ---------- (6.53) ⎛ K SUELO ⎞ ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ ψ ⋅ K REV ⎠

Volumen de filtración (L/día/m2)

KREV (cm/s)

Revestimiento

3 ⋅ 10 −6 ÷ 5 ⋅ 10 −6

Hormigón monolítico

20 - 25

2.5 ⋅ 10 −6 ÷ 3.5 ⋅ 10 −6

Hormigón armado monolítico

3a6

Película de hormigón monolítica 20 - 25

0.5 ⋅ 10 −6 ÷ 2 ⋅ 10 −6

Hormigón armado prefabricado

35 - 40

1 ⋅ 10 −6 ÷ 1 ⋅ 10 −5

Hormigón asfáltico

10 - 15

Pantalla de película polimérica

8 - 10 10 a 15

7 ⋅ 10 −6 ÷ 1 ⋅ 10 −5

Pantalla arcillosa

5 – 10

Película de hormigón prefabricado

7 a 10

δ 0 - espesor del revestimiento; Ksuelo - coeficiente de filtración del suelo; K REV - coeficiente de filtración del revestimiento; T - ancho superficial, m; ψ - coeficiente que depende de la calidad de la construcción y que varia entre 1 y 9. En la tabla 6.16 aparecen los valores del coeficiente K REV.

La disminución de las pérdidas depende del tipo de medida que se tome. A continuación aparecen los porcentajes de disminución de las pérdidas para diferentes medidas contra la filtración.

Medida Compactación profunda del fondo y los taludes (más de 0.5m) Compactación poco profunda (0.25 m) Capa compacta bajo los diques y fondo Colmatado artificial Salinización artificial Betún asfáltico Arcilla Película de polietileno

⎛−η ⎞ ⋅ 100 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ η ⎠

70 – 80 30 – 50 30 – 60 30 – 50 40 – 60 85 – 95 60 – 80 85 – 90

Otras fórmulas para estimar las pérdidas de agua en canales han sido propuestas por investigadores de diferentes regiones del mundo. Por ejemplo: 1. Fórmula de Davis y Wilson para canales revestidos:

PER = 0.45 ⋅ C r ⋅

P⋅L 4 ⋅ 10 + 3650 ⋅ v 6

1

⋅ y3

donde: PER - perdidas, m3/día; L - longitud del canal, m; P - perímetro mojado, m; v - velocidad del agua, m/s;

167

35 - 40

Tomada de Regulación de Proyectos No. 1081, Ministerio de la Construcción.

Porcentaje de disminución

donde:

Plazo de servicios (años) 15 – 20

168

y - profundidad de circulación, m; Cr - constante que depende del revestimiento.

donde: FS - factor de seguridad escogido para el diseño (FS> 1); γ S - peso específico del suelo, N/m3;

2. Fórmula de Moritz:

y - profundidad de circulación en el canal, m; BL - bordo libre, cm.; CS - cohesión del suelo, Pa.

Q ; PER = C M ⋅ v

Después se determina el parámetro:

donde: PER - pérdidas, f t3/s/milla de canal; Q - caudal, f t3/s; v - velocidad del agua, f t/s; CM - coeficiente empírico que depende del tipo de suelo.

λ Cφ =

3. Fórmula de Molesworth (deducida en experiencias en Egipto):

PER = Γ ⋅ L ⋅ P ⋅ y ;

4. Fórmula de Offengenden para canales de tierra:

Q⋅L ; 100

λ Cφ se determina la cotangente del ángulo de estabilidad αr en el gráfico de la

figura 6.21. H. Llanusa y C. Viamontes (1982) propusieron sustituir el gráfico de la figura 6.21 por la ecuación:

⎡ Ne ' m ≥ cot α r = ⎢ ⎢⎣ 64.29 − 12.62 ⋅ 21.16 − λ Cφ

⎤ ⎥ ⎥⎦

1

+ 0.036⋅λ Cφ − 0.06 0.192

---------- (6.56)

En el caso de suelos friccionales (CS < 0.06), como la cohesión tiene poca influencia en el ángulo de estabilidad puede usarse un talud m, tal que: m ≥ cot φ .---------- (6.57)

donde: PER - pérdidas, m3/s; Q - caudal, m3/s; L - longitud del canal, km; s - porcentaje de pérdidas, que se determinan como s =

'

A ; Qw

A' y w - parámetros empíricos que dependen del suelo (para suelos de baja permeabilidad: A' = 0.7 y w = 0.3; para suelos de mediana permeabilidad: A' = 1.9 y w = 0.4; para suelos de alta permeabilidad: A' = 3.4 y w = 0.5) 5. Fórmula de S.A. Guirshkan:

PER =

donde: φ - ángulo de fricción interna del suelo (grados sexagesimales). Una vez obtenidos Ne' y

donde: 3 PER - pérdidas, m /s; L - longitud del canal, km; P - perímetro mojado, m; y - profundidad de circulación media, m; Γ - coeficiente que depende del suelo y su temperatura, que varía de 0.0015 para arcillas hasta 0.003 para arenas.

PER = s ⋅

γ S ⋅ (H + BL) ⋅ tan φ ---------- (6.55) CS

6.3 ⋅K⋅L 100

En el anexo 4 aparecen los valores de CS y φ para los suelos cubanos, según los resultados experimentales obtenidos por Tomás de la Torre. Aparecen también los valores de velocidad de infiltración y peso especifico según F.R. Simeón. Cuando el proyecto requiere la determinación experimental de φ y CS debe emplearse el ensayo triaxial lento, que es el que más se asemeja a las condiciones de fallo de un canal; la condición más desfavorable ocurre durante la construcción, al realizar la excavación, debido a la reducción de las presiones efectivas, con la consecuente disminución de la resistencia a cortante del suelo. En el ensayo debe usarse una presión de cámara por debajo y por encima a la que corresponde al suelo después de ser excavado. En caso de no disponer de información suficiente sobre las características del suelo pueden servir de guía los siguientes valores que propone V.T. Chow:

donde: PER - pérdidas, m3/s; L - longitud del canal, km; K - filtración del suelo, m/día.

6.7 Talud del canal. Los taludes de los canales dependen básicamente del tipo de material en que este se encuentre construido. Estos deben diseñarse atendiendo a los criterios de estabilidad, y aunque existen varios métodos de cálculo de estabilidad de taludes, por lo general, dado que no se trata de grandes diques, se prefiere usar los más sencillos con un adecuado factor de seguridad.

Material Talud Roca 0.25 : 1 Arcilla compactada o tierra con recubrimiento de hormigón 0.5 : 1 a 1:1 Tierra con revestimiento de piedra, o canales grandes en tierra 1:1 Arcilla firme o zanjas en tierra 1.5 : 1 Terreno arenoso suelto 2:1 Loam arenoso o arcilla porosa 3:1

A continuación, se describe el método propuesto por Jambu para suelos cohesivos friccionales. Se comienza por calcular el número de estabilidad (Ne’) del terreno:

Ne ' =

FS ⋅ γ S ⋅ (y + BL) ---------- (6.54) CS

169

170

Fig. 6.22 Bordo libre según el USBR. En la práctica es usual dejar bordos libres entre el 5 y el 30% de la profundidad de circulación esperada en la sección, de forma que: 1.05 ⋅ y ≤ y + BL ≤ 1.30 ⋅ y ---------- (6.58) El USBR indica valores dé bordo libre desde 30cm para canales pequeños con tirantes bajos, hasta 1.30m en canales con capacidad mayor de 85m3/s. Además, recomienda estimar el valor del bordo libre de acuerdo con la fórmula:

F = C BL ⋅ y ---------- (6.59)

cotαR

Fig. 6.21 Diagrama de Jambu

donde: y - profundidad de circulación, m; 3 CBL - coeficiente que varía desde 0.83 para canales con capacidad de 0.570m /s hasta 1.38 para canales con capacidad de 85m3/s o más. Para canales revestidos se plantea el cálculo del bordo libre recubierto y el bordo libre total correspondiente al dique mediante el gráfico de la figura 6.22. La ecuación de la curva correspondiente a la altura del dique con respecto al nivel de agua, según Llanusa y Viamontes es:

6.8 Bordo libre. Un elemento de vital importancia en el diseño de un canal es el bordo libre, empleado como elemento de protección y resguardo, para evitar cualquier desbordamiento debido a variaciones temporales del caudal que conduce el canal, salpicaduras producto de oleaje, variaciones de nivel debidas a la ocurrencia de régimen impermanente causado por abertura o cierre de compuertas de entrega o de extracción. El bordo libre adquiere mayor importancia en las zonas donde se espera régimen variado y en las curvaturas donde el efecto del peralte de la superficie del agua pudiera llegar a ser pronunciado.

BL = 0.3723 + 0.02133 ⋅ Q − 0.0035 en la cual, Q debe estar expresado en metros cúbicos por segundo y BL en metros.

6.9 Sección de máximo radio hidráulico. La forma óptima de la sección transversal en conducciones libres puede caracterizarse de diferentes formas: 1- Para una misma área de la sección transversal, rugosidad y pendiente del fondo, será la sección capaz de conducir un gasto máximo.

171

172

2- Para un gasto dado y fijado la rugosidad y la pendiente del fondo, aquella sección que tenga área mínima, perímetro mojado mínimo y una velocidad de flujo máxima.

A = P ⋅ y − 2 ⋅ y 2 ⋅ 1 + m 2 + m ⋅ y 2 ---------- (6.70)

3- La sección que requiera una pendiente del fondo mínima para conducir un gasto dado a una velocidad establecida.

Derivando esta ecuación con respecto a y e igualando a 0 como condición de máximo valor:

Del análisis de las ecuaciones del régimen uniforme: Q = f 1 (A, R, n, S) ---------- (6.60) v = f 2 (R, n, S) ---------- (6.61)

∂A = P − 4 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 + 2 ⋅ m ⋅ y = 0 ---------- (6.71) ∂y

puede concluirse que:

Sustituyendo P por su expresión (6.68)

a) si n y S están definidos, vMAX, se logra si R es máximo; b) si n y v están definidas, SMIN se logra si R es máximo; c) si n, Q y S están definidas, A MIN se logra si R es máximo; d) si n, A y S están definidas. Q MAX se logra si R es máximo . Por tanto, la forma óptima de la sección transversal se obtiene cuando se logra que el radio hidráulico alcance su valor máximo.

b − 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 + 2 ⋅ m ⋅ y = 0 ---------- (6.72)

De todas las formas de sección transversal posibles, la que tiene un radio hidráulico máximo es la sección semicircular. De ahí puede deducirse que: la sección transversal más eficiente es la semicircular, en la cual se cumplen las siguientes relaciones geométricas:

y finalmente, despejando la relación b / y, se obtiene

b = 2 ⋅ 1 + m 2 − 2 ⋅ m ---------- (6.73) y que es la relación que debe existir entre b y y para que el radio hidráulico sea máximo. Puede ahora calcularse el valor del radio hidráulico:

[(

) ]

A 2 ⋅ 1 + m 2 − 2 ⋅ m ⋅ y ⋅ (y ) + m ⋅ y 2 ---------- (6.74) = P 2 ⋅ 1+ m2 − 2 ⋅ m ⋅ y + 2 ⋅ y ⋅ 1+ m2

A=

π ⋅ y2 ---------- (6.62) 2

R=

R=

y ---------- (6.63) 2

que, después de simplificar queda:

Sin embargo, no siempre es posible o conveniente utilizar canales de sección transversal semicircular, sino de otro tipo de geometría. La sección más comúnmente usada es la trapecial, de modo que es necesario determinar la sección trapecial más eficiente. El trapecio de mayor relación A/ P es el semihexágono regular, inscrito en la semicircunferencia de radio y, y por tanto: la sección trapecial más eficiente es la semihexagonal, en la cual se cumplen las siguientes relaciones:

2

b=

3

⋅ y ---------- (6.64)

y ---------- (6.75) 2

b = 2 ⋅ 1 + m 2 − 2 ⋅ m ---------- (6.76) y y ---------- (6.77) 2

Obsérvese que si en la expresión (6.76) se sustituye un valor de talud m =

1 3

correspondiente al

semihexágono regular se obtiene la expresión (6.64) correspondiente a la sección trapecial más eficiente.

Por otra parte, en muchos casos no existe la posibilidad de construir un canal trapecial de talud

3

)

De esta forma puede afirmarse que la sección trapecial de talud fijo m más eficiente es aquella que cumple las siguientes relaciones geométricas:

R=

y ---------- (6.65) 2 1 ; α 0 = 60 0 ---------- (6.66) m= 3 R=

1

R=

(

o, lo que es igual, con inclinación de 60 0 con la horizontal, sino que es necesario utilizar un

talud prefijado m. En estos casos es necesario buscar cuál es la sección trapecial de talud más eficiente. Para esto, a partir de la expresión del radio hidráulico R = A/P, se observa que, si P se mantiene constante, el radio hidráulico máximo tiene lugar cuando el área es máxima y:

Finalmente debe observarse que para cada forma geométrica existe una sección más eficiente, es decir de máximo radio hidráulico (MRH). En la tabla 6.17 se muestran varios tipos de secciones transversales y las características geométricas de la correspondiente de MRH.

A = b ⋅ y + m ⋅ y 2 ---------- (6.67)

P = b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m ---------- (6.68) De la ecuación (6.68) puede despejarse b: 2

b = P − 2 ⋅ y ⋅ 1 + m ---------- (6.69) y sustituyendo en (6.67) queda: 2

173

174

Las particular, en los puntos entre el centro y los lados de la sección, se encuentran en estado de movimiento inminente, bajo la acción de la fuerza cortante y de la componente del peso sumergido tangencial al talud.

Tabla 6.17 Secciones de MRH

Sección Semicircular Semihexágono Triangular Rectangular Parábola

T = 2⋅ 2 ⋅ y

Área A

Perímetro mojado P

π ⋅ y2 2 3 ⋅ y2 y

2

π⋅ y

2⋅ 3 ⋅ y 2⋅ 2 ⋅ y

y 2 y 2 y

4⋅ y

2⋅ 2 y 2

8⋅ 2 ⋅y 3

y 2

2 ⋅ y2

4⋅ 2 2 ⋅y 3

Radio hidráulico R

Ancho superficie T

Profundidad hidráulica D

2⋅ y

π ⋅y 4 3 ⋅y 4 y 2

2⋅ y

y

2⋅ 2 ⋅ y

2 ⋅y 3

2⋅ y 4 ⋅y 3

Catenaria 1.89586 ⋅ y 2.9836 ⋅ y 0.46784 ⋅ y 1.917532 ⋅ y hidrostática Tomada de Open Channel Hrdraulics, de V.T. Chow.

La componente normal al lecho del canal provee la resistencia al movimiento. La fuerza cortante en cualquier área es igual a la componente en la dirección del flujo del peso del agua. Esta última hipótesis no concede importancia a la fuerza cortante, resultante del movimiento a diferentes velocidades, que ocurre en la sección transversal. Investigaciones del USBR han demostrado que tal hipótesis es efectivamente válida. De acuerdo con ella, puede plantearse que la fuerza cortante en la masa señalada como zona rayada en la figura 6.23 es:

FC = γ ⋅ y ⋅ S ⋅ ∂x ---------- (6.78) por lo que la fuerza cortante unitaria actuante en el fondo del área rayada es:

γ ⋅ y ⋅ S ⋅ ∂x

τL =

0.72795 ⋅ y

∂x 2 + ∂y 2

= γ ⋅ y ⋅ S ⋅ cos α 0 ---------- (6.69)

donde: α0 - ángulo de inclinación del talud en la zona de cálculo.

En el caso de rectángulos, por ejemplo, la relación b/y óptima se obtiene haciendo m = 0 y a partir de esa condición se llega al resto de las características geométricas. La sección triangular más eficiente, por su parte, se obtiene haciendo b = 0. Como se ha visto anteriormente, las secciones de MRH no pueden utilizarse siempre, ya que las secciones más eficientes son aquellas con taludes relativamente fuertes (m = 1

3

), que resultan

inadmisibles para muchos tipos de material. Por dicha razón, este tipo de sección transversal es recomendable en el caso de canales de hormigón, metal, madera u otro material resistente, y cuando son construidos por métodos que eviten el colapso de los taludes si se trata de canales excavados en terreno con bajo ángulo de fricción interna.

6.10 Sección hidráulica más estable. En el diseño de canales sin revestimiento antierosivo, usualmente se concibe la sección para que el estado inicial de movimiento de las partículas del canal ocurra en un lugar fijado del perímetro mojado de este. En otras oportunidades el diseño va encaminado a que el movimiento de las partículas ocurra simultáneamente en todo el perímetro mojado de la conducción. A la sección concebida con estos objetivos se le llama sección más estable. Secciones elípticas y parabólicas han sido estudiadas con el fin de obtener la sección más estable, pero no fue hasta 1951 que Glover, usando el principio de la fuerza cortante, desarrolló teóricamente el principio de la sección hidráulicamente más estable. De acuerdo con el criterio de la fuerza cortante, se diseña el canal para que solo en un lugar del perímetro mojado, para las condiciones dadas, la τ0 actuante sobre las partículas sea igual a la τCRIT mientras que en el resto del perímetro es menor. En el desarrollo de la sección más estable la igualdad entre τ0 y τCRIT ocurre simultáneamente a todo lo largo del perímetro mojado; por lo tanto, en el cálculo de la sección más estable, para que la eficiencia sea máxima, se debe impedir el movimiento de las partículas en lugares dispersos del canal. Para un canal construido en un, material de ángulo de reposo conocido, y para un gasto dado, esta sección no solo provee al canal de una máxima área mojada sino que, a veces, también se obtiene un diseño con ancho superficial mínimo, una máxima velocidad media y una excavación mínima. En 1963, Lane propuso las siguientes hipótesis básicas:

175

Fig. 6.23 Sección transversal hidráulicamente más estable Las demás hipótesis se usan para calcular la relación de fuerza cortante (Kτ) según la ecuación (6.24) es la relación entre τL y τF. Por tanto, se puede plantear: τ F = γ ⋅ y 0 ⋅ S ---------- (6.80) donde: y0 – profundidad en el centro de la sección Usando (6.23) queda:

τ L = K τ ⋅ τ F = K τ ⋅ γ ⋅ y 0 ⋅ S ---------- (6.81) y debe entonces cumplirse que:

γ ⋅ y ⋅ S ⋅ cos α 0 = K τ ⋅ γ ⋅ y 0 ⋅ S ---------- (6.82)

A partir de lo anterior, se llega a:

⎛ ∂y ⎞ ⎛ y 0 ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ y 2

2

⎞ ⎟⎟ ⋅ tan 2 φ = tan 2 φ ---------- (6.83) ⎠

La ecuación diferencial obtenida, de primer orden y segundo grado, se puede resolver introduciendo como condiciones de borde x = 0 y y = y0 y puede entonces plantearse como solución:

176

⎛ tan φ ⎞ ⋅ x ⎟⎟ ---------- (6.84) y = y 0 ⋅ cos⎜⎜ ⎝ y0 ⎠

2

r=

Esta ecuación muestra que la forma de la sección más estable bajo las hipótesis asumidas es una simple cosinusoide. Del análisis de la ecuación se puede llegar a:

A=

2.04 ⋅ y 0 tan φ

2

---------- (6.85) 2

⎡ ⎤3 1 ⎥ 2 1 ⎢ cos φ ⎥ ⋅ y 0 3 ⋅ S 2 ---------- (6.86) v = ⋅⎢ n ⎢π ⎛ 1 2 ⎞⎥ ⎢ 2 ⋅ ⎜⎝1 − 4 ⋅ sen φ ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ π ⋅ y0 ---------- (6.87) T= tan φ τ CRIT y0 = ---------- (6.88) 0.97 ⋅ γ ⋅ S Morns, en 1963, planteó ecuaciones similares para la velocidad media y el área mojada. El gasto para la sección teórica así determinada se obtiene mediante la ecuación de continuidad. Por lo general, el gasto calculado no coincide con el gasto de diseño QD, luego, será necesario modificar la sección hallada (Fig. 6.24):

2 ⋅ QD para QD < Q; T = T ⋅ ---------- (6.89) Q n ⋅ (Q D − Q ) ' ---------- (6.99) para QD > Q; T = 1

y0 y0 ⋅ + tan 2 φ ---------- (6.91) senφ ⋅ tan φ y2

En un análisis posterior (1930) Forchheimer estableció la influencia de la pendiente longitudinal del canal. Así mismo. Ghetti, en 1952; Lane, en 1953; Bretting, en 1958; y más recientemente publicaciones de la Unión Soviética, analizadas por Scheidegger, en 1961, han contribuido al esclarecimiento de esta materia.

DISEÑO DE CANALES. En este capitulo se estudian algunos de los métodos más comunes para proyectar canales con régimen uniforme, tanto de sección transversal abierta como de sección transversal cerrada, con o sin recubrimiento. Los primeros pasos a dar en el diseño de canales están encaminados a definir los datos y condiciones específicas del proyecto a realizar, los cuales pueden agruparse en el siguiente orden: - Fines para los cuales se ejecutará la obra. - Gasto (o gastos) a conducir y su variación en el tiempo. - Características hidrofísicas y agronómicas de los suelos por donde pasará el canal. - Características hidrológicas e hidrogeológicas del subsuelo de la zona. - Características topográficas de la zona del proyecto. - Métodos y medios constructivos de que se dispondrá. - Materiales y técnicas de revestimiento disponibles. - Recursos económicos disponibles para la obra. Las incógnitas a resolver serán todos los elementos necesarios para completar el diseño de la conducción, de acuerdo con lo expuesto en el capitulo 6.

'

7.1 Métodos para el diseño de canales.

5

y0 3 ⋅ S2 Esta última ecuación fue propuesta por V.T. Chow en 1959.

El diseño de un canal es el resultado final del análisis comparativo de las variantes de diseño planteadas, teniendo en cuenta la variación de parámetros tan significativos como son: la pendiente del fondo de la conducción, el trazado en planta de la alineación, la forma y dimensiones de la sección transversal, el revestimiento o no de la conducción, y otros parámetros, que en cada caso pueden influir en los cálculos de manera decisiva. Se debe señalar, igualmente, que el diseño de cada variante debe ejecutarse por tramos, entre los puntos inicial y final de la conducción. Cada tramo debe tener en toda su longitud condiciones aproximadamente homogéneas de los factores hidrofisicos, hidrogeológicos, de suelo, de gasto y topografía, para evitar que en un mismo tramo pueda existir tal diversidad de problemas que dificulten la obtención de una solución acertada. Los métodos que se tratarán en este capitulo para el diseño de la sección transversal del canal son: - Método de la velocidad máxima permisible. - Método de la sección de MRH. - Método de la fuerza de arrastre. - Método de la sección hidráulicamente más estable.

Fig. 6.24 Canal estable de diferente ancho superficial

Cada método toma su nombre de la condición teórica que lo genera. El orden de los cálculos varia, pero para todos es común el cumplimiento de la ley de velocidad correspondiente al régimen uniforme, la condición de no erosión que se escoja para el análisis, y las demás condiciones de proyecto que se impongan.

El concepto de sección estable aparece ya expresado por Forchheimer (1914) en la expresión del radio de curvatura de la sección transversal:

Cada uno de estos métodos no está teóricamente limitado a canales con revestimiento o sin él; por el contrario, su aplicación está limitada por la información que se posea y por los métodos constructivos de que se disponga.

177

178

Cada método se analizará primero mediante un diagrama de bloques simplificado, para hacer más rápida su comprensión. El objetivo de cada diagrama es presentar el problema generalizado en forma sintética. Se mostrarán, además, algunos ejemplos resueltos numéricamente.

7.2 Método de la velocidad máxima permisible. Este método se estudiará en dos variantes diferentes, según la vía seguida para resolver las incógnitas. Estas variantes son: simultaneo de ecuaciones y aproximaciones sucesivas. En cualquiera de ellas puede resolverse lo referente a las dimensiones para todo tipo de sección transversal, siempre que se tenga información del valor máximo que puede tomar la velocidad media sin que se erosione o dañe el material de que está revestida o formada la sección transversal del canal. Este método es muy popular debido a la información relativamente amplia que existe sobre vMAX para diferentes materiales y a la larga experiencia en su empleo. En todo caso, la posibilidad de variar la velocidad debe estar acotada por las velocidades máxima y mínima permisibles.

Simultaneo de ecuaciones

2

(2 ⋅

y=

El procedimiento es el siguiente: 1. A partir de los datos e información disponible deben conocerse, básicamente: - el caudal de diseño, QD; - la pendiente de fondo, S0; - la rugosidad del canal, n; - los taludes aceptables, m; - la velocidad máxima permisible, vMAX; - la velocidad mínima permisible, vMIN; 2. Se fija un valor de velocidad, que satisfaga la condición:

v MIN ≤ v ≤ v MAX 3. Cálculo del valor numérico de las propiedades hidráulicas de la sección : - a partir de la ecuación de continuidad

Q A = D ---------- (7.1) v

2

)

1 + m 2 − m ⋅ y 2 − P ⋅ y + A = 0 ---------- (7.8)

de modo que

P ± P 2 − 4 ⋅ A ⋅ (2 ⋅ 1 + m 2 − m) 2 ⋅ (2 ⋅ 1 + m 2 − m)

---------- (7.9)

En esta expresión puede suceder que:

(

)

a) P − 4 ⋅ A ⋅ 2 ⋅ 1 + m − m < 0 , en cuyo caso el valor de y supuesto no es aceptable y debe modificarse reiniciando los cálculos; 2

2

(

)

P 2 − 4 ⋅ A ⋅ 2 ⋅ 1 + m 2 − m = 0 , lo cual lleva a un solo valor de y; P ---------- (7.10) y= 2 ⋅ 2 ⋅ 1+ m2 − m

b)

Consiste, en esencia, en determinar los valores del área mojada y el perímetro mojado, a partir de un valor de velocidad media previamente fijado y con estos valores plantear un sistema de dos ecuaciones con el ancho de fondo b y la profundidad de circulación y como incógnitas, que una vez resuelto da la sección transversal que satisface las condiciones de proyecto.

(

)

y por tanto a un solo valor de b, que se obtiene sustituyendo (7.10) en (7.6): si este valor es positivo, se habrán obtenido valores de b y y que satisfacen las condiciones de no erosión; en caso de que b fuese negativo, se concluye que la y supuesta es inadecuada y debe suponerse un nuevo valor y repetir los cálculos;

(

)

c) P − 4 ⋅ A ⋅ 2 ⋅ 1 + m − m > 0 , lo cual lleva a dos valores de y: si uno de estos valores es negativo, no tiene sentido considerarlo y se procede con el positivo a determinar b, en la ecuación (7.6); si ambos fuesen positivos se calcula b con ambos valores y se escoge el valor factible (pues puede haber un valor de b negativo) o la mejor combinación de b y y de las dos obtenidas. 2

2

6. Debe verificarse que se satisfagan las condiciones usuales de proyecto como son: una adecuada relación b/y, un valor de b constructivamente aceptable, etc. Si esto no fuera así, es necesario hacer modificaciones al diseño calculado y revisar que se satisfaga la condición de no erosión. Este procedimiento se ilustra en forma de diagrama de bloques en la figura 7.1.

Aproximaciones sucesivas. Esta forma de cálculo se basa en los mismos principios que la anterior: determinar el ancho de fondo b y la profundidad normal de circulación yn, que permitan evacuar un caudal conocido QD por un terreno dado, sin que se erosione. Se parte de la misma información básica (QD, m, n. S0, vMAX y vMIN) y el procedimiento usual es el siguiente:

- a partir de la ecuación del régimen uniforme 3

⎛ v⋅n ⎞2 ⎟ ----------- (7.2) R =⎜ ⎜ S ⎟ ⎝ 0⎠

1. Calcular el término

- a partir de la definición de perímetro mojado

P=

A = (P − 2 ⋅ y ⋅ 1 + m ) ⋅ y + m ⋅ y ---------- (7.7) después de lo cual queda la siguiente ecuación de segundo grado:

QD ⋅ n S0

A ---------- (7.3) R

2. Suponer un valor de b.

4. Planteo de las ecuaciones de las propiedades hidráulicas de de la sección para un canal trapecial:

A = b ⋅ y + m ⋅ y 2 ---------- (7.4) P = b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 ---------- (7.5) En estas dos ecuaciones A, P y m son ya conocidos y solo se tienen como incógnitas los valores de b y de y.

3. Determinar la yn, tal como se estudió en el capitulo 5, bien sea por tanteos, gráfico o usando el gráfico adimensional de la figura 5.4. 4. Calcular la velocidad v: - con la b supuesta y la yn calculada se determina el valor del área mojada: - empleando la ecuación de continuidad se determina la velocidad media: v =

5. Solución del sistema de ecuaciones. Despejando b en la ecuación (7.5):

- se verifica que

b = P − 2 ⋅ y ⋅ 1 + m 2 ---------- (7.6)

v MIN ≤ v ≤ v MAX .

QD A

De no cumplirse esta condición es necesario suponer un nuevo valor de b y repetir el procedimiento. En caso positivo es necesario verificar si se cumple el resto de las condiciones de diseño.

sustituyendo b de (7.6) en la ecuación (7.4):

179

180

Este procedimiento se ilustra en la figura 7.2 mediante un diagrama de bloques.

7.3 Método de la fuerza cortante. De acuerdo con lo expuesto en el capitulo 6, este método de cálculo, basado en el concepto de la fuerza cortante o de arrastre, es un método muy exacto, siempre que se disponga de información confiable, ya que se fundamenta en un análisis profundo del posible movimiento de las partículas que forman la sección transversal del canal. Es precisamente la poca información existente y los limitados valores experimentales disponibles lo que hace su uso relativamente limitado. La información básica necesaria incluye los valores del caudal de diseño QD, el talud aceptable m, la rugosidad n y la pendiente del fondo S0. Adicionalmente debe tenerse información con respecto a la fuerza cortante admisible por el suelo τCRIT. Se puede proceder de la manera siguiente: 1. Determinar el τCRIT, del suelo, tanto en el fondo como en el talud, si es que son diferentes, por alguno de los procedimientos estudiados. 2. Suponer una relación b/yn. 3. Calcular las propiedades geométricas de la sección: con b/y se determinan los valores de KF y KL en la figura 6.8: se plantea la condición de no erosión: K F ⋅ γ ⋅ y ⋅ S 0 = τ CRIT − FONDO ---------- (7.11a)

K L ⋅ γ ⋅ y ⋅ S 0 = τ CRIT −TALUD ---------- (7.11b)

τ CRIT − FONDO ---------- (7.12a) K F ⋅ γ ⋅ S0

y=

τ CRIT −TALUD ---------- (7.12b) K L ⋅ γ ⋅ S0

. A diferencia de otros métodos, este se basa en las hipótesis planteadas en el epígrafe 6.9. Por esta razón la sección así diseñada tendrá entre sus características la de poseer un perímetro mojado mínimo, lo que la hace idónea para los casos en que el canal vaya a ser revestido con material de alto costo. En este método debe disponerse de la información usual de QD, S0, n y m. Sin embargo, en primer lugar debe decidirse el tipo de sección transversal a usar, pues en función de ello se escogerán las fórmulas a utilizar. En dependencia de la geometría de la sección escogida, se tendrá una ecuación para el área mojada A, el perímetro mojado P y el radio hidráulico R en función de la profundidad normal de circulación yn que sustituidas en la ecuación del régimen uniforme permite despejar el valor de yn directamente y determinar, a partir de este, todas las características de la sección transversal. Debe verificarse la posibilidad de erosión del canal y el resto de los criterios de diseño, aunque como generalmente este método se emplea en secciones recubiertas no hay peligro de erosión, y el criterio de mínimo perímetro predomina sobre otros criterios de diseño. Es necesario señalar que las fórmulas de cálculo de MRH tienen en cuenta solamente el perímetro mojado y no el perímetro total de la sección transversal, que es lo que realmente se reviste. Considerar el perímetro total en las fórmulas, complicaría la solución analítica del problema, por lo cual en el diagrama de bloques no se tiene en cuenta esto para lograr una mejor comprensión de la secuencia de cálculo. No obstante, en la práctica debe considerarse esta diferencia, para lo cual, entre otras vías, puede acometerse la solución por las dos siguientes: 1. Tomando como gasto de diseño el gasto forzado, según lo explicado en los criterios de proyecto en el capitulo 12.

de ellas se despeja el valor de y en cada una:

y=

7.4 Método de la sección de MRH.

2. Tomando como profundidad total de la sección a calcular la profundidad normal más el bordo libre como un tanto por ciento de esta (1.05 ÷ 1.3) ⋅ y . En la figura 7.4 se muestra un diagrama de bloques del procedimiento de cálculo.

y se escoge el menor de los dos valores para el diseño; a partir del valor de b/y supuesto se determina b:

⎛b⎞ b = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ y ---------- (7.13) ⎝y⎠ con el b y el y calculado se obtiene el valor de las propiedades geométricas A, P y R. 4. Verificación del caudal evacuado: planteando la fórmula de régimen uniforme (Manning o Chezy) se determina el valor del caudal Q; se verifica que Q = QD. . Si la condición no se cumple, lo que generalmente ocurre en el primer tanteo, se escoge una nueva relación b/y y se repite el procedimiento, hasta que se cumpla esta condición. Posteriormente se verifica el resto de las condiciones de proyecto . Este método aparece ilustrado en la figura 7.3 en forma de diagrama de bloques.

181

182

Fig. 7.1 Método de simultáneo de ecuaciones. Diagrama de bloque simplificado

183

184

Fig. 7.2 Método de aproximaciones sucesivas. Diagrama de bloques.

7.5 Método de la sección hidráulicamente más estable. Este método de cálculo se emplea normalmente en canales no revestidos, ya que en materiales resistentes como el hormigón, el asfalto, etc., el τCRIT es muy alto. Se basa en los planteamientos estudiados en el epígrafe 6.10 y parte de los elementos básicos del método de la fuerza cortante, pero resuelve el diseño de la sección de forma muy particular fundamentándose en las hipótesis planteadas por Lane. Se debe aclarar que constructivamente este tipo de sección es desventajosa, debido al cuidado necesario que se debe tener en el replanteo, construcción y posterior mantenimiento. No obstante, para canales excavados en materiales granulares o arcillosos, de los cuales se tengan los datos necesarios, y para algunos revestimientos antierosivos que utilizan materiales granulares, debe considerarse este método, debido a las ventajas que implica. El uso más frecuente de la sección hidráulicamente más estable no es para diseño propiamente, sino para estimar la configuración que adoptará con el tiempo un canal excavado en un material erosionable, una vez que se logre la estabilidad de la sección. Un caso típico son los surcos que se utilizan para regadío. El procedimiento de cálculo se ilustra en la figura 7.5.

185

186

Fig. 7.3 Método de la fuerza cortante. Diagrama de bloques simplificado

187

188

Fig. 7.5 Método de la sección más estable. Diagrama de bloques simplificado

7.6 Diseño de canales con sección transversal cerrada. El cálculo de canales de sección transversal cerrada se diferencia del resto de los canales en tres aspectos fundamentales. Primero: las secciones cerradas están construidas de materiales resistentes a las altas velocidades, debido a la función estructural que deben realizar, por lo cual su diseño no se basa en criterios de erosión. De esto no puede inferirse que el proyectista esté exonerado de revisar las velocidades que se producen en el conducto y que pudieran llegar a ser peligrosas, especialmente en las juntas constructivas. Segundo: las secciones transversales cerradas, por motivos estructurales o de operación, se diseñan con formas geométricas complejas, lo cual hace que las ecuaciones de las propiedades geométricas sean relativamente complicadas. Por supuesto, esto no es absoluto, pues las conducciones circulares o las rectangulares no presentan tanta dificultad como las ovoidales, de herradura, etc. Numerosos autores han contribuido a simplificar estos cálculos y salvar el obstáculo que representa la solución de ecuaciones, mediante gráficos y nomogramas. Fig. 7.4 Método del máximo radio hidráulico. Diagrama de bloques simplificado

189

Tercero: el gasto máximo y la velocidad máxima en muchas de estas secciones no se produce para el tirante máximo ni ocurren simultáneamente.

190

λ = tan λ ---------- (7.22) que tiene como solución:

Conducciones circulares.

λ = 257 27 12 ---------- (7.23) o lo que es igual: y = 0.813 ⋅ d ---------- (7.24): 0

De las diferentes secciones transversales cerradas que se utilizan, las más comunes son las circulares y hacia ellas irá dirigido básicamente el enfoque de este subepigrafe, aunque en Cuba la utilización de secciones rectangulares está tomando mucho auge.

'

''

Máximo caudal y máxima velocidad.

de lo que se observa que la velocidad máxima no ocurre cuando el conducto está totalmente lleno, sino parcialmente, al 81.3% de su diámetro.

Si en una conducción libre de sección transversal circular, fluye un caudal con régimen uniforme y profundidad normal y, corno se muestra en la figura 7.6, puede plantearse, empleando la ecuación de Chezy y la de continuidad:

De manera similar puede demostrarse que el caudal máximo ocurre en condiciones que aseguren que ∂Q ⋅ ∂λ = 0 . Esto puede determinarse derivando solamente A3/P con respecto a λ:

v = C⋅ R ⋅S = C⋅ S ⋅

Q = A⋅v = C⋅ S ⋅

A 3 r 5 ⋅ (λ − senλ ) ---------- (7.25) = P 8⋅λ 2 3 ∂ ⎛ A 3 ⎞ r 5 ⎡ 3 ⋅ λ ⋅ (λ − senλ ) ⋅ (1 − cos λ ) − (λ − senλ ) ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎢ ⎥ ---------- (7.26) 2 ∂λ ⎝ P ⎠ 8 ⎣ λ ⎦ 3

A ---------- (7.14) P

A3 ---------- (7.15) P

de modo que:

3 ⋅ λ ⋅ (λ − senλ ) ⋅ (1 − cos λ ) − (λ − senλ ) = 0 ---------- (7.27) 2

3

Transformando la expresión anterior:

(λ − senλ )2 ⋅ [3 ⋅ λ ⋅ (1 − cos λ ) − (λ − senλ )] = 0 ---------- (7.28)

(λ − senλ )2 ⋅ (2 ⋅ λ − 3 ⋅ λ ⋅ cos λ + senλ ) = 0 ---------- (7.29) que llega a la solución:

λ = 308 11 35 ---------- (7.30) lo que implica que 0

Fig. 7.6 Sección circular parcialmente llena con régimen uniforme.

S0

Para comprobar lo planteado en relación con la ocurrencia de la velocidad máxima y el caudal máximo, puede procederse de la siguiente forma, considerando que C permanece constante. con la profundidad de circulación. Expresando A/P en términos del ángulo λ (ver figura 7.6) queda:

'

''

y = 0.9498 ⋅ d 0 que nos demuestra que el máximo caudal circula, no cuando la tubería está totalmente llena, sino cuando el tirante alcanza el 94.98% del diámetro.

Propiedades geométricas e hidráulicas de la sección circular . Es conocido que en un conducto circular, donde el caudal llene por completo la sección transversal tiene las siguientes propiedades:

π ⋅ d0 ---------- (7.31) 4 d R 0 = 0 ---------- (7.32) 4

1

2

⎡ r 2 ⋅ (λ − senλ ) ⎤ 2 v = C⋅ S ⋅⎢ ⎥ ---------- (7.17) 2⋅r⋅λ ⎣ ⎦

A0 =

o simplicando: 1

⎡ r ⋅ (λ − senλ ) ⎤ 2 v = C⋅ S ⋅⎢ ⎥ ---------- (7.17) 2⋅λ ⎣ ⎦ Para que v sea máximo debe cumplirse que ∂v / ∂y sea nulo Derivando: 1 ⎡ r ⋅ (λ − senλ ) ⎤ ∂v = C⋅ S ⋅ ⋅⎢ ⎥ 2 ⎣ 2⋅λ ∂y ⎦

−

1 2

⎡ − 2 ⋅ r ⋅ (λ − senλ ) + 2 ⋅ λ ⋅ r ⋅ (1 − cos λ ) ⎤ ⋅⎢ ⎥ = 0 ---------- (7.18) 4 ⋅ λ2 ⎣ ⎦

Es decir, debe cumplirse que:

2 ⋅ r ⋅ (λ − senλ ) − 2 ⋅ λ ⋅ r ⋅ (1 − cos λ ) = 0 --------- (7.19) 2 ⋅ r ⋅ [λ − senλ − λ + λ ⋅ cos λ ] = 0 ---------- (7.20)

o sea:

2

v0 =

1 ⎛ d0 ⎞3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ S 0 ---------- (7.33) n ⎝ 4 ⎠ 2

d 1 ⎛d ⎞3 Q 0 = ⋅ π ⋅ 0 ⋅ ⎜ 0 ⎟ ⋅ S 0 ---------- (7.34) n 4 ⎝ 4 ⎠ 2

En tanto, un conducto circular parcialmente lleno, con tirante y tiene los siguientes parámetros:

⎛ d0 y ⋅ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ 4 d0 ⎝ 2

A=

⎞ ⎛ y ⎟⎟ − d 0 2 ⋅ ⎜⎜1 − ⎠ ⎝ d0

⎞ y ⎟⎟ ⋅ ⎠ d0

⎛ y ⋅ ⎜⎜1 − ⎝ d0

− senλ + λ ⋅ cos λ = 0 ---------- (7.21)

o más sencillamente:

191

192

⎞ ⎟⎟ ---------- (7.35) ⎠

⎞ y ⎛ y ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎠ d0 ⎝ d0 ⎛ y ⎞ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ d0 ⎠ ⎝

⎛1 y d 0 ⋅ ⎜⎜ − ⎝ 2 d0

d R= 0 − 4

⎞ ⎟⎟ ⎠

b) conocidos Q, y, d0 y n obtener S (Fig. 7.9); c) conocidos d0, y, S y n determinar Q (Fig. 7.10);

--------- (7.36)

d) conocidos Q, y, S y n calcular d0 (Fig. 7.11).

⎡ ⎛1 y ⎞ y ⎛ y ⎢ ⋅ ⎜⎜1 − d 0 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ 1 ⎢d0 ⎝ 2 d0 ⎠ d0 ⎝ d0 v = ⋅⎢ − n ⎢4 ⎛ y ⎞ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ ⎢ d 0 ⎠ ⎝ ⎣

2 3

⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎥ ⎥ ⋅ S 0 ---------- (7.37) ⎥ ⎥ ⎦ 5

3 ⎡d 2 ⎛ ⎛ y ⎞ y ⎞ y ⎛ y ⎞⎤ ⎢ 0 ⋅ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ − d 0 2 ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎥ d0 ⎠ ⎝ ⎝ d 0 ⎠ d 0 ⎝ d 0 ⎠ ⎥⎦ 1 ⎢⎣ 4 Q= ⋅ ⋅ S 0 ---------- (7.38) 2 n 3 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ y −1 ⎢d 0 ⋅ cos ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟⎥ d 0 ⎠⎦⎥ ⎝ ⎣⎢

Secciones rectangulares cerradas (tipo cajón) En la práctica diaria de la ingeniería es común el uso de las secciones rectangulares cerradas para resolver las conducciones de agua residuales, aguas pluviales o alcantarillas. Debido a su diseño estructural el cálculo de los parámetros hidráulicos no es simple (Fig. 7.12) por lo cual aparecen en el anexo 6, las tablas que permiten calcular este tipo de sección transversal cuando la circulación en la sección no es totalmente llena. Las ecuaciones para la sección llena son:

A0 = B ⋅ H − 2 ⋅ c ⋅ d P0 = 2 ⋅ B1 + 2 ⋅ H 1 + 4 ⋅ c 2 + d 2 A R0 = 0 P0

Puede observarse que intentar trabajar con las fórmulas (7.35) a (7.38), si bien es posible, resulta engorroso, y es por esa razón que se ha preferido obtener los valores de

⎛ y A 1 = ⋅ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ A0 π d 0 ⎝ R = 1− R0

⎞ 4 ⎛1 y ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜ − ⎠ π ⎝ 2 d0

⎞ y ⎛ y ⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎜⎜1 − ⎠ d0 ⎝ d0 ⎛ y ⎞ cos −1 ⎜⎜1 − 2 ⋅ ⎟⎟ d 0 ⎠ ⎝

⎛1 y 4 ⋅ ⎜⎜ − ⎝ 2 d0

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ y ⎟⎟ ⋅ d 0 ⎠

⎛ y ⋅ ⎜⎜1 − d 0 ⎝

y A R v Q , , y en función de . A0 R 0 v0 Q0 d0

⎞ ⎟⎟ ---------- (7.39) ⎠

---------- (7.40)

2

v ⎛ R =⎜ v 0 ⎜⎝ R 0

⎞3 ⎟⎟ ---------- (7.41) ⎠

Q A = Q0 A0

⎛ R ⋅ ⎜⎜ ⎝ R0

2

⎞3 ⎟⎟ ---------- (7.42) ⎠

La representación gráfica de estas expresiones, como se muestra en la figura 7.7, es de gran ayuda para el diseño de este tipo de conducción, pues basta calcular las propiedades geométricas o el caudal, o la velocidad de dicha conducción en condiciones de llenado total y determinar las correspondientes relaciones para cualquier llenado parcial, con el auxilio del gráfico de las propiedades de las conducciones circulares. Nótese que las fórmulas planteadas parten de la suposición de que n es constante, lo cual no corresponde con la realidad, pues se ha visto experimentalmente, y está lógicamente sustentado, que n varía con el tirante. Por lo tanto, la ley que relaciona v / v 0 con y / d 0 no es reflejada fielmente por las ecuaciones (7.41) y (7.42), sino por las curvas correspondientes de la figura 7.7 que han sido obtenidas por ensayos de laboratorio. A continuación se tratan algunos problemas típicos que pueden presentarse en el uso de tuberías circulares que funcionen como conducciones libres y cuyas soluciones se ilustran mediante diagramas de bloques: a) conocidos Q, d0, n y S calcular y y v (Fig. 7.8);

193

194

Fig. 7.9 Diagrama de bloques del caso b)

-

Fig. 7.8 Esquema de cálculo del caso a)

Fig. 7.7 Curvas características para conductos circulares parcialmente llenos.

Fig. 7.10 Diagrama de bloques del caso c)

195

196

Otras secciones transversales cerradas Por un procedimiento similar al seguido para el análisis de las conducciones circulares pueden establecerse las propiedades de cualquier otro conducto cerrado no circular, aunque evidentemente el proceso es más complejo desde el punto de vista matemático en la medida que se complica la sección transversal. En la figura 7.13 se muestran las curvas características de varios tipos de secciones transversales cerradas que son de uso más o menos frecuente en el diseño de túneles, alcantarillados, drenajes pluviales, etcétera.

Fig. 7.11 Diagrama de bloques del caso d)

Fig. 7.12 Dimensiones típicas de la sección de l t ill d jó

197

198

Fig. 7.14 Coeficientes de retardo n vs. v ⋅ R para diferentes recubrimientos en dependencia del grado de retardo, según el USSCS.

Fig. 7.13 Curvas características para conductos cerrados de sección no circular

7.7 Canales con vegetación. Procedimiento de cálculo. Es usual que en los canales excavados en tierra se produzca un gran enyerbamiento debido a su funcionamiento intermitente, pues aunque se diseñen con velocidades de circulación altas, en ciertos periodos por lo general no funcionan (los de regadío en la época de lluvia y los de drenaje en el periodo seco) y crece la vegetación en el lecho del canal. En estas condiciones, si no se tornan medidas de mantenimiento periódico, el canal no funcionará . Según los parámetros de diseño, la vegetación provoca una elevación del coeficiente de fricción, el tirante se eleva y el caudal de diseño circula con una menor velocidad Esto hace que, en muchos casos, sea aconsejable diseñar los canales como canales revestidos de vegetación y en este sentido se han desarrollado numerosos estudios experimentales para determinar tanto el coeficiente n de la fórmula de Manning, al cual se le suele denominar estos casos, coeficiente de retardo, corno la velocidad permisible para evitar la erosión de suelos recubiertos de vegetación. El principal inconveniente es que, a pesar de existir numerosos valores experimentales, estos no son suficientes y son prácticamente inexistentes en cuanto a pastos y vegetación propia de las zonas tropicales. En la tabla 7.1 aparece una indicación del efecto de retardo de diferentes coberturas vegetales, en la tabla 7.2 se da una guía para seleccionar el retardo y en la tabla 7 3 se muestran las velocidades permisibles para canales recubiertos de yerba, correspondiente a germinaciones promedio y uniformes de cada tipo de cobertura, aunque se recomienda usar valores superiores a 1.5m/s solo en caso de que la cobertura sea muy grande y se asegure un mantenimiento adecuado. Estas tablas corresponden al USSCS (United States Soils Conservation Service) publicadas por V.T. Chow. En la figura 7.14 se nuestra la relación entre n y el producto v ⋅ R según experimentos del USSCS. A la hora de diseñar se recomienda hacer el cálculo para las condiciones normales esperadas, y revisar la sección para condiciones de mayor enyerbarrriento (elevando. el coeficiente de retardo), para verificar si la sección transversal dada es suficiente para conducir el caudal de diseño sin desbordarse.

Tabla 7.1 Clasificación del grado de retardo para diferentes tipos de vegetación (según USSCS) Retardo A Muy alto B Alto

Weeping love grass Ischaemum amarillo azul Kudzu Yerba Bermuda Mezcla de yerbas Weeping love grass Lespedeza sericea Alfalfa Weeping love grass Kudzu Grama azul C Digitaría sanguinalis Moderado Yerba de Bermuda Lespedeza común Mezcla de yerbas Yerbas ciempiés Yerbas de Kentucky (poa prantesis)

Germinación excelente, alta (750mm) Germinación excelente, alta (950mm) Muy densa, sin cortar Buena germinación, alta (300mm) Buena germinación, sin podar Buena germinación, alta (600mm) Buena germinación, no leñosa, alta (480mm) Buena germinación, sin cortar, (280mm) Buena germinación, podada (330mm) Crecimiento denso, sin cortar Buena germinación, sin cortar (330mm) Puesta adecuada, sin cortar (250 – 1220mm) Buena germinación, podada (150mm) Buena germinación, sin cortar (280mm) Buena germinación, sin cortar (150 – 200mm) Cubierta densa (150mm) Buena germinación, con cabeza (150 – 300mm)

D Bajo

Buena germinación, cortada a 63mm Puesta excelente, sin cortar (114mm) Buena germinación, sin cortar (75 – 150mm) Buena germinación, sin cortar (100 – 125mm)

Yerba de Bermudas Lespedeza común Yerba búfalo Mezcla de yerbas (otoño y primavera) Lespedeza serícea

Después de cortada a 50mm y con una buena germinación E Yerba de Bermuda Buena germinación, cortada a 40mm Muy bajo Yerba de Bermuda Quemada Tomada de Open Channel Hidraulics, de V.T Chow

199

200

f) comparar este valor con el obtenido en el gráfico de la figura 7.14 como se indico en el inciso b); Tabla 7.2 Guía para seleccionar el retardo vegetal (según USSCS) Germinación Altura promedio de la yerba (mm) Buena 760 280 – 610 150 – 250 50 – 150 50 Adecuada 760 280 – 610 150 – 250 50 – 150 50 Tomada de Open Channel Hidraulics, de V.T Chow

Grado de retardo A Muy alta B Alto C Moderado D Bajo E Muy bajo B Alto C Moderado D Bajo D Bajo E Muy bajo

g) si no existe coincidencia aceptable, repetir los cálculos con una nueva n a partir del paso b); h) una vez obtenida la debida coincidencia en los valores de v ⋅ R se puede obtener el valor del área según la ecuación de continuidad A = Q / v i) con el valor del área mojada A y del radio hidráulico R determinar las dimensiones de la sección transversal según sea la forma geométrica deseada (trapecial, triangular, parabólica, etc.); j) una vez concluidos los cálculos revisar si con un mayor grado de enyerbamiento (n mayor) el caudal cabe en la sección determinada (incluido el borde libre escogido); Un diagrama de bloques de esta secuencia aparece en la figura 7.15.

Tabla 7.3 Velocidades permisibles para canales con vegetación (según USSCS) Velocidad permisible (m/s) Suelos Suelos Pendiente resistentes a fácilmente Cobertura (%) erosión erosionables Bermuda 0–5 2.44 1.83 5 – 10 2.13 1.52 10 1.83 1.22 Búfalo, Kentucky 0–5 2.13 1.52 Grama azul 5 – 10 1.83 1.22 10 1.52 0.91 Mezcla de yerbas 0–5 1.52 1.22 5 – 10 1.22 0.91 No usar pendientes mayores del 10% Lespedeza sericea ischaemum 0–5 1.07 0.76 Kudzú, alfalfa y Digitaría sanguinalis No usar pendientes mayores del 5%, excepto en los taludes en el caso de canales combinados Anuales, usadas en pendientes suaves como 0.5 1.07 0.76 protección temporal hasta que se establezca la No es recomendable su uso en cobertura permanente, lespedeza común y pendientes mayores del 5% yerba sudán Tomada de Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow Para el cálculo de las variantes: estabilidad (mínima altura de vegetación) y capacidad (máxima altura de vegetación), puede procederse de la siguiente forma: a) estimar n para las condiciones mínimas de enyerbamiento; b) con el valor de n, determinar v ⋅ R en la figura 7.14; c) estimar el valor de la velocidad permisible, según la tabla 7.3: d) obtener el valor

R=

(v ⋅ R ) ν

e) calcular el valor de v ⋅ R según la ecuación de Manning sustituyendo en ella el valor de R obtenido en el inciso d) y el de n estimado en el inciso a): 5

v⋅R =

1

1 ⋅ R 3 ⋅S2 n 201

202

7.8 Ejercicios resueltos. 1. Diseñar un canal trapecial que debe excavarse en un terreno arcilloso coloidal con pendiente de fondo de 3 0.004, n = 0.02, capaz de evacuar 20m /s sin erosionarse. Considerar m = 2. De la tabla 6.1 para agua limpia y este tipo de material vMAX = 1.14m/s. - Método de! sistema de ecuaciones Suponiendo v = vMAX = 1.14m/s;

A=

Q 20 = = 17.54m 2 v 1.14 3

⎡ v ⋅ n ⎤ 2 ⎡1.14 ⋅ 0.02 ⎤ R=⎢ ⎥ ⎥ =⎢ ⎣ 0.0004 ⎦ ⎣ S⎦ A 17.54 P= = = 14.41m v 1.217 b ⋅ y + 2 ⋅ y 2 = 17.54

1.5

= 1.217m

b + 2 ⋅ y ⋅ 1 + 2 2 = 14.41 b = 14.41 − 4.472 ⋅ y 2 Sustituyendo: (14.41 − 4.472 ⋅ y) ⋅ y + 2 ⋅ y = 17.54 o sea: 2.472 − 14.41 ⋅ y + 17.54 = 0 y=

14.41 ± (14.41) 2 − 4 ⋅ 2.472 ⋅ 17.54 2 ⋅ 2.472

= 2.915 ± 1.183

y1 = 4.098: b1 = - 3.916 (no tiene sentido) y2 = 1.732: b2 = 6.664 (válida) Verificación de la relación

b y

b = 3.847 (es aceptable) y Reajustando b a un valor de 7m; y recalculando yn;

Q⋅n S

=

20 ⋅ 0.02 0.0004

= 20; 2

⎛ 7 ⋅ y + 2 ⋅ y2 ⎞ 3 ⎟⎟ = 20 (7 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 7 + 4.472 ⋅ y ⎠ cuya solución es yn = 1.70m No es necesario verificar la velocidad, pues al aumentarse b, su valor es inferior al supuesto (1.14) Considerando un bordo libre:

0.05 ⋅ y ≤ BL ≤ 0.30 ⋅ y n ;

1.785 ≤ BL + y ≤ 2.21; se toma: BL + y = 2m; Fig. 7.15 Diseño de canal con vegetación. Diagrama de bloques.

203

luego: BL = 0.3m; con lo que se obtiene una sección transversal de ancho de plato 7m y profundidad total 2m.

204

2. Diseñar el canal trapecial del ejercicio 1 por aproximaciones sucesivas.

QD ⋅ n

=

20 ⋅ 0.02

S

= 20

En el gráfico de la figura 6.8, con b/y = 2 y m = 2, se obtiene que KF = 0.96 y KL = 0.76, de modo que según las fórmulas (7.12a) y (7.12b):

0.78 = 2.03m; 0.96 ⋅ 1000 ⋅ 0.0004 0.464 y= = 1.53m. 0.76 ⋅ 1000 ⋅ 0.0004 y=

0.0004

suponiendo b = 4m; 2

⎛ 4 ⋅ y + 2 ⋅ y2 ⎞ 3 ⎟⎟ = 20 (4 ⋅ y + 2 ⋅ y 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 4 + 4.472 ⋅ y ⎠ da como solución yn = 2.08m; A = 16.97m2 ; v = 1.18m/s >1.14 m/s; luego, este valer no es adecuado.

De los dos valores se escoge el menor (y = 1.53m) y con él es posible determinar b, según la relación b/y supuesta

b = 4 ⋅ 1.53 = 6.12m

Suponiendo b = 6m: 2 3

⎛6⋅y + 2⋅y ⎞ ⎟⎟ = 20 (6 ⋅ y + y 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 6 + 4.472 ⋅ y ⎠

Ahora se procede a calcular las propiedades geométricas de esa sección:

da como solución yn = 1.81m; A = 17.41m2; v = 1.15m/s>1.14 m/s

P = 6.12 + 2 ⋅ 1.53 ⋅ 1 + 2 2 = 12.96m A 14.04 R= = = 1.084m P 12.96

2

A = 6.12 ⋅ 1.53 + 2 ⋅ (1.53) = 14.04m 2 2

Suponiendo b = 7m; 2

y se determina el caudal:

⎛ 7 ⋅ y + 7 ⋅ y2 ⎞ 3 ⎟⎟ = 20 (7 ⋅ y + 7 ⋅ y 2 ) ⋅ ⎜⎜ ⎝ 7 + 4.472 ⋅ y ⎠

2

Q=

2

se obtiene y = 1.70m; A = 17.68m ; v =1.13m/s< 1.14m/s y se llegaría a la misma solución que en el caso anterior. Ahora bien, no debe pensarse que esta es una solución única, pues por lo general existen varias soluciones posibles; por ejemplo, si se tanteara con b = 10m se obtendría:

Es por tanto, necesario repetir el proceso utilizando un valor de b/y mayor hasta lograr un gasto coincidente con el gasto de diseño; así, suponiendo b/y = 6, se obtiene KF = 0.98 y KL = 0.77,

0.78 = 1.99m; 0.98 ⋅ 1000 ⋅ 0.0004 0.464 y= = 1.51m. 0.77 ⋅ 1000 ⋅ 0.0004 y=

yn = 1.44m; A = 18.55m2; v =1.08m/s< 1.14m/s. que también es aceptable e incluso pudiera ser una sección preferible, aunque:

b 10 = = 6.9 (es algo elevado) y 1.44

Se escoge y = 1.5 1, de donde resulta que b = 9.06m, y se puede obtener:

3. Diseñar un canal trapecial, usando el criterio de la fuerza cortante, para conducir un caudal de 20m3/s con una pendiente de 0.0004. Considerar n = 0.02. El terreno está formado por partículas no cohesivas muy angulosas de 6mm de diámetro. En este problema no se conoce el talud y debe calcularse. Sabiendo que se trata de partículas muy angulosas de 6mm del diámetro se obtiene en el gráfico de la figura 6.11 que el ángulo de reposo

φ = 32 0 ,8 , así como m> cot 32°, 8 = 1.56, por lo que se toma m = 2. A continuación se procede a determinar el τCRIT en el fondo. Esto puede obtenerse en el gráfico de la figura 6.15 con diámetro 6mm, y considerando que se trata de agua con cierto contenido de sedimentos: τCRIT-FONDO = 8.7Pa. Para el cortante crítico del lado, usando la fórmula (6.24):

Kτ = 1−

1 ⋅ (14.04) ⋅ (1.084) 3 ⋅ 0.0004 = 14.82 < 20m 3 / s 0.02

sen 2 (cot −1 2) = 0.595; sen 2 (32 0 ,8)

τ CRIT − TALUD = K τ ⋅ τ CRIT − FONDO = 0.595 ⋅ 0.78 = 0.464kgf / m 2 = 4.55Pa Ahora se procede a tantear diferentes b/y. Suponiendo b/y = 4:

A = 18.24m2; P = 15.81m; R = 1.154m; Q = 20.06

≈ 20 m3/s.

De modo que ya se ha obtenido suficiente aproximación en los cálculos, basta ahora fijar el bordo libre, por ejemplo, 0.29m, que es un 19% del tirante y da una sección de talud 2:1, ancho de fondo 9m y profundidad total 1.8m. 4. Calcular la sección trapecial de MRH que conduzca 20 m3/s con una pendiente de 0.001 si n = 0.03 y 620. Se selecciona α0 = 60° que es la mejor sección trapecial y es admisible por ser menor que 62°. m = cot 60° = 1

3

b = 2 ; R = y (condiciones de MRH); y 3 2 2 1 3 2 A= ⋅y + ⋅ y2 = ⋅ y2 = 3 ⋅ y2 3 3 3 Sustituyendo la expresión de R y de A en la ecuación de Manning, así como los valores de Q, n y S:

205

206

φ =

2

20 =

1 ⋅ 3 ⋅ y2 0.03

por tanto, Q0 =

⎛ y ⎞3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0.001 ⎝2⎠

Sabiendo que A0 =

donde puede despejarse el valor de y:

b=

2 3

⋅ d 0 y que R = 2

1 ⋅ d0 4

2

de donde puede despejarse el valor del diámetro d0 = 1.78. Este valor se ajusta a un diámetro adecuado d0 = 1.8m.

⋅ 2.9 = 3.35m 3

, ancho de plato b = 3.35 m y

tirante y = 2.9 m. Para tener la sección completa debe agregarse el bordo libre de acuerdo con los criterios estudiados. 5. Determinar las dimensiones de un canal de MRH, revestido de material asfáltico con n = 0.02, capaz de conducir 20 m3/s por una pendiente de 0.001, si el terreno es arenoso con φ = 320. Suponer que la velocidad admisible para el material asfáltico es de 1.5m/s. Como el ángulo de reposo del material es inferior a 600 se escogerá el talud en función de

φ.

m ≥ cot 32 0 = 1.6 ; por tanto m = 2. Las relaciones correspondientes a una sección de MRH de talud fijo serán:

[

4

1 ⎡π ⎤3 2 ⎤ ⎡1 9.1 = ⋅ ⋅ d 0 ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ d 0 ⎥ ⋅ 0.01 ; 0.016 ⎢⎣ 4 ⎦ ⎦ ⎣4

Los cálculos dan como resultado una sección trapecial con talud m = 1

]

y = 2 ⋅ 1 + 2 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ y = 0.47 ⋅ y ; 2⋅b 2 2 de modo que A = (0.47 ⋅ y ) ⋅ y + 2 ⋅ y = 2.47 ⋅ y R=

π

se sustituyen estas expresiones y los valores de Q0, n y S en la fórmula de Manning:

3

2 8 ⎡ ⎤ 20 ⋅ 0.03 ⋅ 2 3 ⎥ ⎢ y= = 2.9m ⎢ 3 ⋅ 0.001 ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥

y por tanto

5 = 9.1m 3 / s . 0.55

Es necesario recalcular el gasto a sección llena: 2

Q0 =

1 ⎡π ⎤3 ⎤ ⎡1 ⋅ ⎢ ⋅ (1.8) 2 ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ (1.8)⎥ ⋅ 0.01 = 9.33m 3 / s 0.016 ⎣ 4 ⎦ ⎦ ⎣4

Ahora: Q/Q0 = 5/9.33 = 0.53 y en el gráfico 7.7 se obtiene que y/d0 = 0.58 y que v/v0 = 0.82.

Q0 9.33 = 3.67 m / s = A0 ⎛ π 2⎞ ⎜ ⋅1.8 ⎟ ⎠ ⎝4 de modo que v = 0.82 ⋅ 3.67 = 3.0m / s

Como v0 =

7. Se desea hacer pasar 0.1m3/s por una conducción circular de hormigón (n = 0.013) y con una pendiente de 0.0019, de forma que la velocidad no exceda 0.75m/s. Determinar qué diámetro usar de entre los siguientes disponibles: 0.4m; 0.5m; 0.6 m y 0.9m. ¿Cuál será el tirante? Suponiendo que el gasto llene la tubería se requeriría un diámetro tal que 2

0.1 =

Sustituyendo las expresiones de A y R y los valores de Q, n y S en la ecuación de Manning: 2

1 ⎛ y ⎞3 20 = ⋅ (2.47 ⋅ y 2 ) ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0.001 0.02 ⎝2⎠

1 ⎡π ⎤3 2 ⎤ ⎡1 ⋅ ⋅ d 0 ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ d 0 ⎥ ⋅ 0.0019 0.013 ⎢⎣ 4 4 ⎦ ⎦ ⎣

de donde se obtiene que d0 = 0.414m. Esto indica que debe usarse un diámetro superior a ese valor para que la alcantarilla trabaje como conducción libre. Tanteando con d0 = 0.5m: 2

y despejando y:

Q0 =

3 8

2 ⎤ ⎡ 20 ⋅ 0.02 ⋅ 2 3 ⎥ ⎢ y= = 2.18m ⎢ 2.47 ⋅ 0.001 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣

1 ⎡π ⎤ ⎡1 ⎤3 ⋅ ⋅ (0.5) 2 ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ (0.5)⎥ ⋅ 0.0019 = 0.164m 3 / s 0.013 ⎢⎣ 4 ⎦ ⎣4 ⎦

Para verificar si la velocidad es adecuada: Q/Q0 = 0.1 /0.164 = 0.61 y con ese valor se tiene que y/d0 = 0,64 y v/v0 = 0.91. Aplicando la ecuación de continuidad: v0 = Q0/A0 = 0.835m/s; luego v = 0.91 ⋅ 0.835 = 0.76m / s , que es mayor que el valor de 0.75 puesto como condición del proyecto.

se obtiene que b = 0.47 ⋅ (2.18) = 1.02 ≈ 1 . Y ahora, determinando el bordo libre:

Es necesario tantear con un diámetro mayor, es decir 0.6 m. Análogamente se obtiene que Q0 = 0.268m3/s y v0 = 0.95m/s.

1.05 ⋅ 2.18 ≤ y + BL ≤ 1.30 ⋅ 2.18; 2.289 ≤ y + BL ≤ 2.834

de aquí se escoge un valor adecuado, como por ejemplo: BL+ y = 2.5m, lo que implica que BL = 0.32m (15% de y). Queda finalmente como sección diseñada un trapecio con talud m = 2, bordo libre de 0.32m, ancho de fondo b = 1m, tirante y = 2.18m y profundidad total de 2.5 m. 6. Se quiere colocar una tubería circular de acero (n = 0.016) que conduzca 5m3/s para un 60% del diámetro por una pendiente de 0.01. ¿Qué diámetro debe utilizarse y cuál será la velocidad de circulación? Con y/d0 se obtiene en el gráfico 7.7 que Q/Q0 = 0.55;

207

Para la relación Q/Q0 = 0.1/0.268 = 0.373 se obtiene en el gráfico 7.7 que y/d0 = 0.47 y que v/v0 = 0.77, de lo cual resulta que v = 0.77 ⋅ 0.95 = 0.73m / s que es un valor adecuado para las condiciones impuestas. Así que puede dejarse como diámetro el de 0.6 m, al cual le corresponde un tirante de 0.47 ⋅ 0.6 = 0.28m .

7.9 Ejercicios propuestos. 1. Diseñar un canal para que conduzca 15m3/s, y que será construido en un suelo gravilloso no coloidal, con partículas redondeadas de diámetro medio de 30mm. El agua es limpia y la pendiente topográfica es de 0.0016. La sección es trapecial.

208

2. Un canal ha sido excavado en un terreno no cohesivo compuesto de partículas angulares de 10mm. La sección del canal es trapecial y deberá tener un talud de 2:1. Si la pendiente del terreno es 0.00 12, diseñar las dimensiones de dicho canal para que evacue 2m3/s sin peligro de erosión.

2. Solamente se consideran canales de pendiente suficientemente suave como para admitir que el tirante d y la profundidad de circulación y son prácticamente iguales o, lo que es igual, que el cos θ que aparece en las fórmulas puede tomarse igual a 1; esto, además, significa que no se produce aeración del flujo.

3. ¿Cuál es el caudal que circula en una tubería de 0.5m de diámetro, n = 0.015 y So = 0.002 cuando el tirante es de 0.3m? ¿Qué tirante ocurre y cuál es la velocidad de circulación en la tubería anterior cuando circulan 0.35m3/s? ¿Qué pendiente debe dársele a esa tubería si se quiere que el caudal de 0.35m3/s llene la tubería a un 75% del diámetro?

3. Las fórmulas corresponden a canales prismáticos. Sin embargo, en el transcurso del capítulo, se observará que hay métodos de cálculo que son aplicables, con un adecuado nivel de confianza en sus resultados, a canales no prismáticos.

4. Se desea revestir un canal con lámina de polietileno para eliminar las pérdidas, y será protegido con grava gruesa. El caudal es 10 m3/s y So = 0.0001. Determine la sección triangular de MRH. Se sabe que φ = 500. ¿Qué pendiente hay que darle al canal para que la velocidad sea de 1m/s? 5. Se desea construir una canaleta trapecial de material plástico (n = 0.012) de 100m de longitud y que cubra un desnivel de 5cm. Se dispone para fabricarlo de láminas de 3m de ancho de material rígido y resistente. ¿Qué dimensiones hay que darle para que sea capaz de conducir el máximo gasto posible? ¿Cuál es el valor del gasto máximo? R/ b =1m; y = 0.866m; QMAX = 1.39m3/s. Nota: Las respuestas de los primeros cuatro ejercicios dependen de los valores que suponga el estudiante y de las consideraciones que a haga para el cálculo.

4. Se considera que los coeficientes de distribución de velocidad α y β son constantes a lo largo del canal y suficientemente próximos a la unidad como para aceptar el valor de 1 para ambos, sin cometer errores sustanciales. Si los valores de α y β se determinan con certeza, pueden ser incorporados a las fórmulas del régimen gradualmente variado, y no se alteran los procedimientos seguidos para su cálculo. 5. Se supone que la rugosidad es la misma a todo lo largo del canal e independiente del tirante. Hacer otras consideraciones es, hasta el presente, un refinamiento sin fundamento, ya que los valores de n, por ejemplo, deben obtenerse de tablas, fotos o comparación con otros canales, y las imprecisiones en que inevitablemente se incurre opacan cualquier nivel de definición o diferenciación más exacta entre las rugosidades de diferentes secciones. Evidentemente, hay casos en que es imprescindible considerar la variación del coeficiente de rugosidad, como cuando se modifica un tipo de recubrimiento o se analiza un cauce normal de un río, y el cauce de avenida del mismo río.

8.2 Ecuación elemental del régimen permanente y gradualmente variado. Entre dos secciones 1 y 2 de un canal con régimen gradualmente variado (Fig. 8.1), es posible plantear la ecuación de Bernoulli:

RÉGIMEN GRADUALMENTE VARIADO En este capítulo se estudiará el régimen permanente y gradualmente variado, que, como se explicó en el capítulo 1, es aquel en que las condiciones de circulación, si bien no varían en el tiempo, varían de sección a sección, aunque de forma gradual, por lo cual entre dos secciones cercanas las líneas de corriente son prácticamente paralelas y, por tanto, puede considerarse que en cualquier sección ocurre una distribución hidrostática de presiones. Los estudios teóricos del régimen permanente y gradualmente variado se remontan a principios del siglo XIX; el hidráulico J.B. Belanger publicó posiblemente el primer trabajo sobre esta materia en 1828; importantes aportes hicieron también J.Ch. Bresse, Bakhmeteff y Charles Jaeger, además de los estudios clásicos de Bernoulli, Poncelet, Boussinesq, Saint Venant y otros.

8.1 Suposiciones básicas. Los estudios teóricos mencionados se basan en un conjunto de suposiciones básicas, admitidas como válidas hasta ahora: 1. La pendiente de la rasante de energía en una sección es la misma que corresponde al flujo uniforme que tuviera igual tirante y velocidad, por lo que puede calcularse utilizando cualquiera de las fórmulas ya estudiadas, correspondientes al régimen uniforme. Por ejemplo, la de Manning:

⎛ ⎞ ⎜ v⋅n ⎟ S=⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝R ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

v1 v = z 2 + y 2 + 2 + hf 1− 2 ---------- (8.1) 2⋅g 2⋅g

Ahora bien, como

hf = S e ⋅ ΔX ---------- (8.2) Se + Se2 Se = 1 ---------- (8.3) 2 además a partir de la primera suposición: 2

⎛ ⎞ ⎜ v ⋅n ⎟ Se1 = ⎜ 1 2 1 ⎟ ---------- (8.4a) ⎜ R 3 ⎟ ⎝ 1 ⎠ y

⎛ ⎜ v ⋅n Se2 = ⎜ 2 2 2 ⎜ R 3 ⎝ 2

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ------------ (8.4b) ⎠

De esta forma puede replantearse la ecuación de Bernoulli como:

z 1 + y1 +

2 2 Se + Se2 v1 v = z2 + y2 + 2 + 1 ⋅ ΔX ---------- (8.5) 2⋅g 2⋅g 2

pero haciendo

o la de Chezy:

⎛ ⎜ v S=⎜ 1 ⎜ ⎝C⋅R 2

2

2

z 1 + y1 +

2

2

y1 +

2

v1 v = E 1 ; y 2 + 2 = E 2 ---------- (8.6) 2⋅g 2⋅g

y

z1 − z 2 = S 0 ⋅ ΔX ---------- (8.7)

La experiencia ha dado un carácter totalmente aceptable a esta suposición, aunque no ha sido demostrada de manera incontrovertible. Es indudable que dichas suposiciones se acercan más a la realidad en caso de flujo acelerado, cuando la velocidad va aumentando, que en el caso de flujo que va perdiendo velocidad, pues esto puede deberse no solo al efecto de la fricción, sino también a pérdidas importantes por otras razones, entre las cuales están los remolinos que pueden aparecer en la circulación.

209

queda:

S 0 ⋅ ΔX + E1 = E 2 + S e ⋅ ΔX ---------- (8.8) Esta ecuación también puede presentarse en otras formas, que no son más que variantes de la (8.5)

210

E1 −

Se1

ΔX =

Se ⋅ ΔX + S 0 ⋅ ΔX = E 2 + 2 ⋅ ΔX ---------- (8.9) 2 2 E 2 − E1 S0 − Se

---------- (8.10)

pero que son las formas usuales de la ecuación elemental del régimen permanente y gradualmente variado, de las cuales se parte para estudiar los diferentes métodos del cálculo de dicho régimen.

8.3 Ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado. En una sección cualquiera, como se conoce, puede plantearse que la carga total es:

H = z + d ⋅ cos θ + α ⋅

v2 ---------- (8.18) 2⋅g

Si se deriva esta ecuación con respecto a un eje X, colineal con el fondo del canal, según aparece en la figura 8.2, se obtiene:

∂H ∂z ∂d ∂ ⎛ v2 ⎞ ⎟ ---------- (8.19) = + cos θ ⋅ + α ⋅ ⎜⎜ ∂x ∂x ∂x ∂x ⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠

H

Fig. 8.1 Ecuación de Bernoulli para régimen permanente gradualmente variado Es necesario señalar que algunos autores determinan el valor de S e en forma diferente a la presentada en las fórmulas (8.3) y (8.4) de acuerdo con el siguiente desarrollo:

Fig. 8.2 Ecuación diferencial del RPGV

2

⎛ v⋅n ⎞ S e = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ---------- (8.11) ⎝ R3 ⎠ v1 + v 2 ---------- (8.12) v= 2

Ahora bien, como puede observarse en la figura 8.2:

∂H = −S e ---------- (8.20) ∂x

El signo negativo se debe a que el valor de la carga total H decrece según el flujo avanza en el sentido del eje X.

n1 + n 2 ---------- (8.13) 2 R + R2 ---------- (8.14) R= 1 2

Además, en la figura:

n=

∂z = −S 0 ---------- (8.21) ∂x

Alternativamente puede encontrarse que, según otros autores, el valor de R , en vez de calcularlo según (8.14), se determina por:

R=

La explicación del signo negativo es similar, puesto que se ha partido de un esquema en que la cota del fondo disminuye en el sentido del eje X. Por otra parte, puede expresarse que:

A ---------- (8.15) P

∂ ⎛ v 2 ⎞ ∂ ⎛ v 2 ⎞ ∂d ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟= ---------- (8.22) ∂x ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠ ∂d ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠ ∂x

donde:

A1 + A 2 ---------- (8.16) 2 P + P2 ---------- (8.17) P= 1 2

A=

A partir de lo anterior y sustituyendo las expresiones (8.20), (8.21) y (8.22) en la ecuación (8.19):

− S e = −S 0 + cos θ ⋅

Aunque cualquiera de los caminos para determinar S e es válido, en el resto de este capitulo se utilizarán las fórmulas (8.3) y (8.4).

211

∂d ∂ ⎛ v 2 ⎞ ∂d ⎟⋅ ---------- (8.23) + α ⋅ ⎜⎜ ∂x ∂d ⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠ ∂x

y despejando el valor de

∂d . ∂x 212

∂d = ∂x

S0 − Se cos θ + α ⋅

∂ ⎛ v ⎞ ⎜ ⎟ ∂d ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠ 2

⎛ ⎜ Q⋅n S0 = ⎜ 2 ⎜ A ⋅R 3 n ⎝ n

---------- (8.24)

∂d representa la pendiente de la superficie del agua y, por tanto, si esta ecuación En esta última expresión ∂x diferencial pudiera revolverse matemáticamente, su solución seria una ecuación que describiría la superficie libre del agua. Nótese que la superficie estaría trazada en un plano cuyas abscisas estarían medidas a lo largo del fondo del canal. Si

∂d = 0 , la superficie del agua es paralela al fondo del canal, en cuyo caso el tirante corresponde con el ∂x

valor del tirante normal.

canal o, lo que es igual, que el tirante va disminuyendo en la dirección del flujo.

∂d fuera positivo, indicaría que la pendiente de la superficie del agua es más suave que la del fondo y, Si ∂x por tanto, que el tirante crece en la dirección del flujo. Esto se ilustra en la figura 8.3. La ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado (8.24) puede adoptar otras formas, a partir de que θ sea pequeño, y por tanto y se aproxima a d:

S0 − Se ---------- (8.25) ∂ ⎛ v2 ⎞ ⎟⎟ 1 + α ⋅ ⎜⎜ ∂y ⎝ 2 ⋅ g ⎠

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ---------- (8.28) ⎠

donde: An y Rn – área mojada y radio hidráulico, calculados para la profundidad normal del canal con el gasto Q A y R – área mojada y radio hidráulico, calculados para la profundidad de circulación real en la sección considerada Recordando la expresión del número de Froude (NF) y la formula de régimen crítico:

NF =

∂d es negativo, corresponde a una superficie de agua con pendiente más fuerte que la del fondo del Si ∂x

∂y = ∂x

⎛ ⎜ Q⋅n Se = ⎜ 2 ⎜ ⎝A⋅R3

2

⎞ ⎟ ⎟⎟ ---------- (8.27) ⎠

v g⋅D

=

Q

---------- (8.29)

A⋅ g⋅D

queda:

NF =

1 A⋅ D

⋅

Q

---------- (8.30)

g

pero

Q g

= A C ⋅ D C ---------- (8.31)

donde: AC y DC - área mojada y profundidad hidráulica, respectivamente, calculadas con un tirante igual al crítico. Por lo tanto:

NF =

AC ⋅ DC A⋅ D

---------- (8.32)

Reformulando la ecuación (8.26):

⎛s ⎞ 1 − ⎜⎜ e ⎟⎟ S ∂y = S0 ⋅ ⎝ 0 2⎠ ---------- (8.33) ∂x 1 − NF y sustituyendo los valores de Se, S0 y NF expresados en las ecuaciones (8.27). (8.28) y (8.32): 2

Fig. 8.3 Significado del signo

2 ⎞ ⎛ ⎜ A ⋅Rn3 ⎟ 1− ⎜ n 2 ⎟ ⎟ ⎜ ∂y ⎝ A ⋅ R 3 ⎠ ---------- (8.34) = S0 ⋅ 2 ∂x ⎛ A ⋅ DC ⎞ ⎟ 1− ⎜ C ⎜ A⋅ D ⎟ ⎝ ⎠

∂d ∂x

Ya se ha demostrado que:

∂ ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ = − NF 2 ∂x ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠

2

Es común designar a A ⋅ R 3 como Y y a A ⋅ D como Z, y la ecuación (8.34) toma la forma: 2

y considerando que α = 1, queda otra forma de la ecuación diferencial:

∂y S 0 − S e ---------- (8.26) = ∂x 1 − NF 2

Por otra parte, según la ecuación de Manning:

⎛Y ⎞ 1− ⎜ n ⎟ Y ⎠ ∂y ---------- (8.35) = S0 ⋅ ⎝ 2 ∂x ⎛ ZC ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ Z ⎠ En caso de trabajar con la ecuación de Chezy en lugar de con la de Manning:

213

214

Yn =

2

Q C⋅ S

---------- (8.36)

1

Y = A⋅R2 Otra forma de la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado es: 2

⎛ Q ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ Q ⎟ ∂y = S 0 ⋅ ⎝ n ⎠ 2 ---------- (8.38) ∂x ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ QC ⎠

Finalmente, en el caso de canales rectangulares y muy anchos, puede plantearse: a) cuando se emplea la ecuación de Manning

⎛y ⎞ 1 − ⎜⎜ C ⎟⎟ ⎝ y ⎠

3

1

Y = A ⋅ R 3 o Y = A ⋅ R 2 ---------- (8.42) Q ---------- (8.43) ZC = g Z = A ⋅ D ---------- (8.44) 2

⎛ Q ⎞ ⎟ 1 − ⎜⎜ Q ⎟ ∂y = S 0 ⋅ ⎝ n ⎠ 2 ---------- (8.38) ∂x ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ QC ⎠ 2

1

5. Canales anchos rectangulares: a) empleando Manning:

⎛y ⎞3 1 − ⎜⎜ n ⎟⎟ y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.39) ∂x ⎛ yC ⎞ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠

---------- (8.40)

∂ ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ ∂d ⎜⎝ 2 ⋅ g ⎟⎠

---------- (8.24)

2. Considerando θ pequeño

∂y = ∂x

---------- (8.41)

10

S0 − Se cos θ + α ⋅

Q C⋅ S

1 ⋅ A ⋅ R 3 ⋅ S 2 o Q n = C ⋅ A ⋅ R ⋅ S ---------- (8.45) n Q C = A ⋅ g ⋅ D ---------- (8.46)

Si se resumen las formas más usadas para expresar la ecuación diferencial del régimen permanente y gradualmente variado, se tiene: 1. Forma general

∂d = ∂x

o Yn =

Qn =

b) cuando se usa la ecuación de Chezy

⎞ ⎟⎟ ⎠

S

donde:

10

⎛y ⎞3 1 − ⎜⎜ n ⎟⎟ y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.39) ∂x ⎛ yC ⎞ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y ⎠ ⎛y 1 − ⎜⎜ n ⎝ y

Qn

2

QC - gasto calculado por la fórmula del régimen critico suponiendo que el tirante existente es el crítico.

∂y = S0 ⋅ ∂x

donde:

Yn =

donde: Q - gasto real que circula; Qn - gasto calculado a partir de alguna de las fórmulas de régimen uniforme, suponiendo que el tirante existente es el tirante normal;

3

⎛Y ⎞ 1− ⎜ n ⎟ Y ⎠ ∂y ---------- (8.35) = S0 ⋅ ⎝ 2 ∂x Z ⎛ ⎞ 1− ⎜ C ⎟ ⎝ Z ⎠

S0 − Se ---------- (8.25) ∂ ⎛ v2 ⎞ ⎟⎟ 1 + α ⋅ ⎜⎜ ∂y ⎝ 2 ⋅ g ⎠

b) empleando Chezy: 3

⎛y ⎞ 1 − ⎜⎜ n ⎟⎟ y ∂y = S 0 ⋅ ⎝ ⎠ 3 ---------- (8.40) ∂x ⎛ yC ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎜⎜ ⎝ y ⎠ 8.4 Características de las curvas superficiales. Para el estudio de las curvas superficiales o perfiles de flujo del RPGV es necesario tener en cuenta dos aspectos:

3. Tomando α = 1

∂y S 0 − S e ---------- (8.26) = ∂x 1 − NF 2

La pendiente del fondo del canal. El valor del tirante real del agua con respecto al crítico y al normal.

4. Otras formas de la ecuación

Pendiente del fondo del canal La forma de la superficie del agua depende en gran medida del valor de la pendiente del fondo del canal y deben considerarse cinco casos posibles en dependencia de ese valor y su relación con la pendiente crítica (recuérdese que la pendiente crítica es aquella que provoca un régimen uniforme con profundidad normal

215

216

igual al valor de la profundidad critica). Estos cinco casos posibles son: canal con pendiente adversa, canal con pendiente horizontal, canal con pendiente subcritica, canal con pendiente crítica y canal con pendiente supercrítica. Canal con pendiente adversa. Se denominan así los canales cuyo fondo se eleva gradualmente en la dirección del flujo (S0 < 0). En estos casos no existe la profundidad normal, ya que el régimen uniforme no puede llegar a producirse, puesto que la componente del peso del fluido tiene el mismo sentido que la fricción y no pueden equilibrarse. Las curvas superficiales que se originan en estos canales se identifican por la letra A. Canal con pendiente horizontal. En estos canales, en los cuales S0 = 0, tampoco puede hablarse de la profundidad normal, ya que esta es teóricamente infinita. Las curvas superficiales que aparecen en estos casos se denominan del tipo H. Canal con pendiente subcritica (o suave). Este caso se refiere a canales en los que el nivel del fondo decrece en la dirección del flujo, pero de forma tal que, S0 < SC. En estos canales si existe la profundidad normal y esta es mayor que la crítica (yn > yC). Las curvas superficiales que se presentan en estos canales se nombran S. Canal con pendiente crítica. Se trata del caso en que para el gasto analizado la profundidad normal y la critica son coincidentes (yn = yC) y, por tanto, la pendiente del fondo es la crítica correspondiente al gasto que circula (S0 = SC); a las curvas superficiales en ellos se les denomina del tipo C. Canal con pendiente supercrítica (o fuerte). Corresponden a canales con pendiente relativamente fuerte (S0 > SC), pero dentro de los marcos en que pueden aceptarse como válidas las hipótesis básicas en que se sustentan las ecuaciones del régimen gradualmente variado. En estos casos sucede que yn < yC y las curvas superficiales que ocurren se les denomina F.

Valor del tirante real con respecto al crítico y al normal La forma de la curva superficial que aparece en un canal está en dependencia de su ubicación con respecto a las profundidades normal y crítica y es conveniente definir tres zonas de posible ocurrencia de cada curva superficial. Zona 1: aquella que se encuentra por encima tanto de la profundidad crítica como de la normal (si es que esta existe); de esto se deduce que mientras en el caso de canales de tipo C, F y S existe la zona 1, en el caso de canales de tipo A o H no tiene sentido hablar de la zona 1. Zona 2: comprendida entre la profundidad normal y la profundidad crítica (ya sea yn > yC o yC > yn). Evidentemente en el caso de canales del tipo C, al ser ambas profundidades coincidentes, la zona 2 está restringida a la línea de yn = yC. Zona 3: región más próxima al fondo del canal, por debajo tanto de la profundidad normal como de la crítica.

Denominación de las curvas superficiales

Fig. 8.4 Denominación de las curvas superficiales

8.5 Rasgos básicos de las curvas superficiales. Todas las curvas superficiales que ocurren en el RPGV presentan cinco rasgos fundamentales, a partir de los cuales puede ser previsto cualitativamente el comportamiento de la superficie del agua en una conducción libre. Para estudiar estos rasgos debe analizarse una cualquiera de las ecuaciones, que sea válida para todo tipo de canal, y ese análisis se basará en la ecuación (8.26), pues si bien las ecuaciones (8.39) y (8.40) son más sencillas en su forma, no son válidas para canales de pendiente adversa u horizontal, en los cuales la profundidad normal no tiene un valor finito real. Para iniciar este estudio, obsérvese, con respecto al signo del denominador, que cuando la profundidad de circulación es inferior a la profundidad crítica, el régimen de circulación es supercrítico con un NF > 1 y en caso contrario el régimen es subcrítico y por tanto NF< 1. De modo que: 2 Si y > yC , 1-NF > 0 Si y = yC , 1-NF2 = 0 Si y < yC , 1-NF2 < 0 . Con respecto al signo del numerador, debe tenerse en cuenta que cuando la profundidad de circulación en una sección dada se encuentra por encima de la profundidad normal, la pendiente de la rasante de energía es menor que la correspondiente al régimen uniforme que a su vez coincide con la pendiente del fondo, o sea: Si y > yn , S0 – Se > 0 Si y = yn , S0 – Se = 0 Si y < yn , S0 – Se < 0 En resumen

A partir de lo anterior existen dos factores que deben tenerse en cuenta para denominar una curva superficial: la pendiente del fondo que define el tipo A, H, S, C o F y la zona de ocurrencia de la curva: zonas 1, 2 o 3 (Fig. 8.4). De ese modo cada curva superficial puede ser denominada por la letra del tipo y el número de la zona, así es que puede hablarse de las siguientes curvas superficiales: A2 H2 S1 S2 C1 F1 F2

A3 H3 S3 C3 F3

y > y C ⇔ 1 − NF 2 > 0

y > y n ⇔ S0 − Se > 0

y = y C ⇔ 1 − NF 2 = 0 .

y = y n ⇔ S0 − Se = 0

y < y C ⇔ 1 − NF 2 < 0

y < y n ⇔ S0 − Se < 0

Ahora pueden analizarse las condiciones que derán lugar a los cinco rasgos básicos de las curvas superficiales en el caso del RPGV.

Forma de las curvas superficiales en la zona 1 En los canales donde exista zona 1, si por alguna razón el nivel del agua se ve forzado a elevarse por encima del tirante normal y del crítico:

y > y n ⇒ S 0 − S e > 0; y > y C ⇒ 1 − NF 2 > 0

217

218

Forma de las curvas superficiales en la zona 3

y la ecuación (8.26) es siempre positiva:

∂y S0 − Se (+) = = (+) = ∂x 1 − NF 2 (+)

Cuando el tirante es obligado a ubicarse por debajo de las profundidades normal y crítica, puede analizarse, siguiendo el mismo procedimiento anterior que:

lo cual indica, según se estudió anteriormente, que el tirante aumenta en dirección aguas abajo, formándose lo que se suele denominar curva de remanso (Fig. 8.5), típica de canales que desembocan en un estancamiento tal como el mar, un lago, un embalse, etc., o cuando se coloca una compuerta u otro obstáculo en el curso del canal.

Si y < y n ⇒ S 0 − S e < 0 ;

y < y C ⇒ 1 − NF 2 < 0 y, por tanto, el signo de la ecuación (8.26) es positivo, lo cual indica que se trata de una curva superficial creciente o, lo que es igual, que el tirante va aumentando paulatinamente en dirección aguas abajo. Estas curvas (Fig. 8.7) ocurren a la salida de compuertas o en canales donde se produce un cambio de pendiente a partir de una más fuerte.

Forma de las curvas superficiales en las cercanías de yC Cuando el nivel del agua está próximo a yC, ya sea al inicio o al final de la curva superficial, el número de Froude es muy cercano a 1 y por tanto el denominador de la ecuación (8.26) es infinitamente grande, es decir: Fig. 8.5 Curvas superficiales en la zona 1. Ejemplos

Forma de las curvas superficiales en la zona 2 Esta zona existe en todos los canales, aunque en el caso de los canales de pendiente crítica al estar restringida a la línea yn = yC, puede considerarse que no existe tal curva, pues se trata de régimen uniforme (a la vez que crítico). Si el tirante se ve forzado a ubicarse entre las profundidades normal y crítica (cualquiera, que sea la relación entre estas), sucede que: Si y > y n ⇒ S 0 − S e > 0 y y < y C ⇒ 1 − NF < 0;

Si y → y C ⇒ 1 − NF → 0 ⇒ 2

∂y →∞ ∂x

Esto indica que la superficie del agua en la vecindad de yC varía muy rápidamente y de manera perpendicular a la línea de profundidad crítica (Fig. 8.8). Si se pasa de un tirante mayor que el crítico a uno menor, ocurre una caída (hidráulica o libre). En caso de pasar de un tirante menor que el crítico a uno mayor, ocurre una discontinuidad y la curva no llega a desarrollarse en su totalidad, pues se provoca un salto hidráulico antes de que esta llegue a la yC, En estas zonas en la vecindad de yC, no debe hablarse del régimen gradualmente variado, puesto que la rápida variación del tirante invalida las hipótesis de flujo paralelo en que se sustenta la teoría del RPGV.

2

Si y < y n ⇒ S 0 − S e < 0 y y > y C ⇒ 1 − NF > 0; 2

Forma de las curvas superficiales en las cercanías de yn

y, como se observa que en cualquier caso los signos del numerador y el denominador de la ecuación (8.26)

A medida que el valor de la profundidad normal se aproxima al de la yn (ya sea al principio o al final de la curva superficial) el régimen se va acercando al régimen uniforme y por tanto:

son diferentes,

Si y → y n ⇒ S 0 − S e → 0 ⇒

∂y es negativo y se trata de una curva superficial decreciente; es decir, el tirante va ∂x

disminuyendo en dirección aguas abajo en forma gradual. Estas curvas (Fig. 8.6) son típicas de canales donde se pasa de un tramo a otro con pendiente más abrupta o en las cercanías de una caída libre o de una caída hidráulica.

∂y →0 ∂x

lo que quiere decir que el tírante va aproximándose al normal de forma asintótica. Tal es el caso (Fig. 8.9) de las curvas de remanso S1, las curvas en la zona 2 y las curvas F3. Para resumir, los cinco rasgos fundamentales de las curvas superficiales del RPGV son: a) en la zona 1 las curvas superficiales son crecientes; b) en la zona 2 las curvas superficiales son decrecientes; c) en la zona 3 las curvas superficiales son crecientes; d) cuando el tirante se aproxima a yC lo hace perpendicularmente; e) cuando el tirante se aproxima a yn lo hace asintóticamente. En la figura 8.10 aparecen indicadas las diferentes curvas superficiales que se pueden presentar en el RPGV.

Fig. 8.6 Curvas superficiales en la zona 2. Ejemplos

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220

Fig. 8.9 Curvas superficiales en la cercanía de yn. Ejemplos Fig. 8.7 Curvas superficiales en la zona 3. Ejemplos

8.6 Análisis del perfil del flujo.

.

Mediante el análisis del comportamiento del perfil de flujo según las curvas superficiales, puede estudiarse el comportamiento del flujo en un canal dado, cuando por él circula un determinado caudal. Para una mejor comprensión se verán cuatro casos por separado: canal prismático de pendiente constante; canal prismático con un cambio de pendiente; canal prismático con varios cambios de pendiente y canal no prismático.

Canal prismático de pendiente constante Este caso puede estudiarse directamente, determinando la profundidad normal y la critica en el canal en cuestión para el gasto dado y conociendo alguna condición de borde, ya sea aguas arriba o aguas abajo de este, para determinar cualitativamente la forma de la curva superficial que se originará sobre la base del análisis de los cinco rasgos fundamentales.

Canal prismático con un cambio de pendiente Se trata ahora de un canal prismático en el cual la pendiente del fondo cambia en un punto intermedio del trazado, se hace más fuerte o más suave, y puede incluso pasar de S a F o viceversa. (aunque no necesariamente). En la figura 8.11 aparecen los diferentes casos posibles. Es importante tener en cuenta que cuando la profundidad de circulación se aproxima a la crítica la forma de la curva no se puede determinar con precisión, pues el régimen pasa a ser rápidamente variado y las hipótesis del RPGV pierden, hasta cierto punto, su validez y teóricamente, cuando el tirante alcanza ese valor, la curva superficial tiene una tangente perpendicular a la línea de yC en el punto en cuestión. Debe prestarse especial atención a los casos en que aun habiendo cambio de pendiente esta no cambia su tipo, sino que sencillamente pasa a ser más o menos subcritica o más o menos supercrítica . Fig. 8.8 Curvas superficiales en la cercanía de yC. Ejemplos

Canal prismático con varios cambios de pendiente En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varia de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control o de tirante fijo y conocido, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo.

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Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de tres tipos: sección de control aguas arriba, sección de control aguas abajo y secciones de control artificiales.

c) aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de carga aguas arriba de la compuerta se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo;

Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual a la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede "ahogarse”

d) aguas abajo de la compuerta aparece una S3, que comenzando con un valor igual a la abertura de compuerta se desarrolla en dirección aguas abajo aproximándose perpendicularmente a la profundidad critica (obsérvese que esta curva no llega a desarrollarse realmente en toda su extensión, pues en algún punto se produce un salto hidráulico que la interrumpe y eleva el tirante hasta un valor conjugado en la curva ubicada por encima);

Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcritica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de tina caída o la provocada par algún elemento artificial en el canal). Secciones de control artificiales. Son las que se presentan por la existencia de elementos en la trayectoria del canal (por ejemplo un vertedor, en el cual la carga sobre él, más la altura del umbral, permiten definir el tirante aguas arriba). Otro caso usual es la presencia de una compuerta; en la cual, un vez fijada su abertura, los niveles aguas arriba y aguas abajo están interrelacionados, de modo que si uno se conoce el otro queda fijado y es condición de borde para la otra curva superficial. En el caso de ocurrir saltos hidráulicos, debe recordarse que las profundidades aguas arriba y aguas abajo del salto están relacionadas por la ecuación de fuerza específica, ya que ambas profundidades son conjugadas, y conociendo una la otra queda fijada y sirve como condición de borde para alguna curva superficial. Hasta este momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. Véase como ejemplo el canal de la figura 8.12, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control (SC), donde los niveles son fijos o bien pueden conocerse o calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida. Identificar y trazar a partir de las SC, las curva, superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Analizar los casos en que existen varias alternativas (especialmente en caso de ocurrir saltos hidráulicos).

e) en el tramo de pendiente adversa se tiene una A2, que termina en el tirante crítico (que es la SC de dicha curva f) en la vecindad de las secciones B y C se producen saltos hidráulicos, que originan diferentes curvas superficiales en dependencia de los valores de los tirantes y que no pueden precisarse mientras no se calculen cuantitativamente las curvas (las posibles soluciones se indican en la figura 8.13). Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas (F1 y S3). El resultado del perfil de flujo se muestra en la figura 8.13.

Canal no prismático Estos canales son de difícil estudio, ya que la profundidad normal y la crítica varían de sección a sección y por tanto las secciones de control son más difíciles de ubicar, y si, además, las variaciones son bruscas y las hipótesis en que se sustentan las fórmulas del RPGV pierden validez, los estudios hechos sobre esta base no reflejan el comportamiento real del flujo. En muchos casos de conducciones naturales no prismáticas, estas se modelan como una secuencia de conducciones prismáticas con cambios bruscos cada cierto tramo, lo cual simplifica el tratamiento del problema.

En el ejemplo de la figura 8.12 las secciones de control están:

Las mayores dificultades se presentan en rápidas naturales o ríos con meandros donde el flujo no puede ser tratado como unidimensional y ni siquiera admite un tratamiento bidimensional.

En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente supercrítica y por tanto y = yC.

En la figura 8.14 se muestra un caso de canal no prismático.

A la entrada de la compuerta, donde la profundidad del agua es tal que asegura bajo dicha compuerta la circulación del caudal Q de diseño; esta profundidad puede calcularse a partir de la ecuación de gasto bajo una compuerta:

Q = C g ⋅ A ⋅ 2 ⋅ g ⋅ ΔH A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje "ahogada") . En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad normal, por cuanto se presenta una caída libre. Una vez fijadas las secciones de control se pueden determinar las curvas superficiales que ocurren: a) aguas arriba de la sección A, se desarrolla una H2; b) aguas abajo de la sección A, tiene lugar una F2, que iniciándose en la yC se desarrolla en forma decreciente y tiende asintóticamente a la yn de ese tramo;

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Fig. 8.10 Diferentes curvas superficiales en el RPGV

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Fig. 8.13 Curvas superficiales en un canal prismático con cambios de pendiente

Fig. 8.11 Diferentes casos de canales prismáticos con cambios de pendiente

8.7 Ejercicios propuestos 1. Trazar el perfil del agua, de forma cualitativa en los canales que se muestran en la figura 8.15. 2. Analizar la variación del perfil del agua según aumenta la abertura de la compuerta en el canal de la figura 8.15a 3. Analizar la variación del perfil del agua según varía el nivel de esta al final del canal en la figura 8.15b. Nota. Las respuestas dependen de los valores que suponga el estudiante y de las consideraciones que haga para el cálculo.

Fig. 8.12 Canal prismático con cambios de pendiente. Ejemplos

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Fig. 8.14 Canal no prismático con RPGV

Fig. 8.15 Canales.

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