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´ CALCULO INFINITESIMAL er 1 Apellido: Curso 2008/2009, Grupo 2A 2o Apellido: Dpto. Matem´atica Aplicada Nombre: Facultad de Inform´atica Universidad Polit´ecnica de Madrid N´ umero de matr´ıcula:

27/11/2008 Tiempo: 1h 45m Calificaci´ on:

Examen eliminatorio de la primera parte del Primer Parcial

SOLUCIONES

1. (1,5 puntos) (a) Describe geom´etricamente el conjunto plano de ecuaci´ on |z − 2i| = 2. Halla sus ecuaciones cartesianas. (b) Halla todas las ra´ıces (reales y complejas) de la ecuaci´ on z 3 + i = 0, diciendo cu´ ales de ellas se encuentran en el recinto |z − 2i| < 2. Soluci´ on: (a) Es el conjunto de puntos del plano cuya distancia a (0, 2) es 2, es decir, es la circunferencia de centro (0, 2) y radio 2. Sus ecuaciones cartesianas son: x2 + (y − 2)2 = 4 ´o, desarrollando, x2 + y 2 − 4y = 0. (b) Las ra´ıces de la ecuaci´on son: z 3 + i = 0 ⇐⇒ z =

√ 3 −i =

y

q 3

ei

3π 2

= ei

3π +2kπ 2 3

 π  k = 0 ⇒ z0 = ei 2 = i  2kπ π 7π = ei( 2 + 3 ) =⇒ k = 1 ⇒ z1 = ei 6  11π  k = 2 ⇒ z2 = ei 6

La u ´nica ra´ız en el recinto |z − 2i| < 2, que es el interior 2i

de la circunferencia, es z0 = i.

z0

6 ©H © ¼ H jz z1 2

x

√ x+3 on f (x) = . 2. (0,5 puntos) Halla el dominio de la funci´ log(2 − x) Soluci´ on: El dominio se obtiene directamente de las condiciones que debe verificar x para que la funci´on est´e definida:   x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −3 El dominio es: D = [−3, 1) ∪ (1, 2) 2 − x > 0 ⇐⇒ x < 2   2 − x 6= 1 ⇐⇒ x 6= 1 3. (1 punto) Usando infinit´esimos, calcula el valor del siguiente l´ımite:

sin(x2 − 1) √ x→1 x−1 lim

Soluci´ on: Se puede hacer de cualquiera de las dos formas siguientes: µ ¶ µ ¶ sin(x2 − 1) x2 − 1 0 I (x − 1)(x + 1) 0 I (x − 1)(x + 1) √ = lim lim √ = lim = = lim = = 1 1 x→1 x→1 ln x x→1 x→1 0 0 x−1 2 ln x 2 (x − 1) x+1 = lim 1 = 4 x→1

µ ¶ 2 √ √ 2 sin(x − 1) 0 I x2 − 1 (x − 1)(x + 1) ( x − 1)( x + 1)(x + 1) √ √ √ √ lim = = lim = lim = lim = x→1 x→1 x→1 0 x−1 x − 1 x→1 x−1 x−1 √ = lim ( x + 1)(x + 1) = 4 x→1

A

4. (1 punto) Halla los l´ımites en el infinito (−∞ y +∞) de la funci´ on: f (x) =

x2 + sin x . x + e−x

Soluci´ on: Usando ´ordenes de infinitud: µ ¶ x2 + sin x ∞ + acotado x2 lim = = lim =0 x→−∞ x + e−x x→−∞ e−x −∞ + ∞ µ ¶ x2 + sin x ∞ + acotado x2 lim = = lim = +∞ x→+∞ x + e−x x→+∞ x ∞+0 (x + 1)e1/x . x3 + 1 Soluci´ on: La funci´on es continua en su dominio: D(f ) = R \ {−1, 0}. En los puntos de discontinuidad, los l´ımites son: 0+1 0+1 lim e1/x = 0 lim f (x) = lim e1/x = +∞ lim f (x) = 0 + 1 x→0− 0 + 1 x→0+ x→0+ x→0− µ ¶ 1 x+1 0 1 lim f (x) = e−1 lim 3 = e−1 = e−1 lim 2 = x→−1 x→−1 x + 1 x→−1 x − x + 1 0 3e

5. (1 punto) Estudia la continuidad (clasificando sus discontinuidades) de la funci´ on f (x) =

de donde se deduce que la discontinuidad en x = 0 es esencial y en x = −1 es evitable. 6. (2,5 puntos) El partido que gobierna en cierto pa´ıs estima que la construcci´ on de viviendas sociales en cierta ciudad le reporta en ella un n´ umero de votos proporcional al cuadrado del n´ umero de viviendas construidas, sabiendo que cuando construye 10 viviendas obtiene 200 votos. as importantes del pa´ıs un total 1000 (a) El gobierno pretende construir entre las dos ciudades m´ viviendas. Encuentra la funci´ on que proporciona el n´ umero total de votos que consigue el partido entre las dos ciudades en funci´ on del n´ umero x que construye en una de ellas. ¿Cu´ al es su dominio? aficamente la funci´ on obtenida. (b) Representa gr´ (c) ¿Qu´e distribuci´ on de viviendas que proporciona el mayor n´ umero de votos y cu´ antos son? on de viviendas que proporciona el menor n´ umero de votos y cu´ antos son? (d) ¿Qu´e distribuci´ Soluci´ on: El n´ umero de votos obtenidos por la construcci´on de x viviendas es V (x) = kx2 , siendo: V (10) = k · 102 = 100k = 200 ⇐⇒ k = 2 Por tanto, la construcci´on de x viviendas en una misma ciudad le reportan al gobierno: V (x) = 2x2 votos. (a) Si el gobierno pretende construir 1000 viviendas entre dos ciudades, en una de ellas construir´a x y en la otra 1000 − x. El n´ umero total de votos conseguidos por el partido ser´a la suma de los obtenidos en cada una de las ciudades: f (x) = V (x) + V (1000 − x) = 2x2 + 2(1000 − x)2 = 2(x2 + 106 − 2000x + x2 ) = 4(x2 − 103 x + 5 · 105 ) Aunque en realidad la variable x s´olo puede tomar valores enteros, podemos admitir que el dominio de la funci´on f es: D(f ) = [0, 1000]. y (b) La representaci´on gr´afica de la funci´on f es una par´abola 6 2 · 10 6 con la curvatura hacia arriba, con f (0) = f (1000) = 2 · 10 y, 106 por simetr´ıa, con v´ertice en x = 500 con f (500) = 106 . O

500

1000 x

(c) El mayor n´ umero de votos (2 · 106 , es decir 2 millones) lo obtiene cuando construye las 1000 viviendas en una misma ciudad. (d) El menor n´ umero de votos (106 , es decir un mill´on) lo obtiene cuando construye 500 viviendas en cada ciudad. 7. (2,5 puntos) El jefe de ventas de cierta f´ abrica vende 100 unidades de cierto producto a una peque˜ na tienda a 6 e la unidad, mientras que a una gran cadena le ofrece el mismo producto a 4 e la unidad. (a) Expresa el valor promedio de venta de cada unidad del producto en funci´ on del n´ umero de unidades que adquiere la gran cadena. on obtenida, haz un esbozo de su gr´ afica. (b) Hallando el dominio y as´ıntotas de la funci´ (c) ¿Puede llegar a ser el valor promedio de venta de 4,1 e? ¿Cu´ antas unidades debe comprar la gran cadena para que ello ocurra? ¿Podr´ıa el valor promedio llegar a 4 e? ¿Qu´e valores puede tomar el valor promedio? Soluci´ on: (a) Si vende 100 unidades a 6 e y x unidades a 4 e, el valor promedio de venta de cada unidad es: 4x + 600 100 · 6 + x · 4 = V P (x) = 100 + x x + 100 (b) Aunque, inicialmente, los valores de x s´ olo deber´ıan ser n´ umeros naturales, se puede considerar como dominio el conjunto de todos los reales positivos, D(V P ) = [0, +∞), donde la funci´on es continua y, por tanto, no tiene as´ıntotas verticales. Un esbozo de la gr´afica es: 4x + 600 lim V P (x) = lim =4 x→+∞ x→+∞ x + 100 ⇓ y = 4 es as´ıntota horizontal en +∞

VP 6 4

O

x

(c) El valor promedio puede llegar a ser 4,1 e, y ocurre cuando la gran cadena compra: V P (α) =

4α + 600 190 = 4, 1 ⇐⇒ 4α + 600 = 4, 1α + 410 ⇐⇒ α = = 1900 unidades α + 100 0, 1

La funci´on V P decrece aproxim´andose a la as´ıntota y = 4 pero nunca la alcanza, de donde se deduce que el valor promedio nunca puede llegar a ser de 4 e. El valor promedio puede tomar cualquier valor mayor que 4 e y menor o igual que 6 e.