Incrementos Y Diferenciales

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES Semana V Alumno: Curso: Grupo:

JAMIL ANGEL PANCA JUAREZ CÁLCULO III A MOQUEGUA – PERÚ 2018

¿Qué es el Incremento de una función? • Variación que sufre una variable al pasar de un valor a otro. • Se simboliza por la letra griega delta “∆” • El incremento de la función es:

∆𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)

¿Qué es la diferencial de una función? • Es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = f(x) con respecto a cambios en la variable independiente. • El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

• Normalmente, se emplea la derivada de la función para hallar la diferencial.

Graficas de los incrementos y diferenciales Incremento (∆y)

Diferencial (dy)

Parte Práctica

EJEMPLOS

Ejemplo 1. Determinar el incremento y la diferencia de la función f(x) = 2x2 – x para x = 1 y dx = 0.01 ∆y ∆𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) ∆𝒚 = 𝒇 𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏 − 𝒇(𝟏) ∆𝒚 = 2(1.01)2 – 𝟏. 𝟎𝟏 − 2(1)2 – 𝟏 ∆𝒚 = 1.032 −1 ∆𝒚 = 0.0302

dy 𝒚 = 2x2 – x d𝒚 = (4x −1) ∗ dx d𝒚 = ((4∗1) −1) ∗ 0.01 d𝒚 = 0.04 −0.1

d𝒚 = 0.03

Ejemplo 2. Mediante diferenciales, calcular el valor aproximado de 25.2 Paso 1: Utilizar un valor ya conocido y menor a 25.2, para formar la función

f(X)

Paso 2:

Remplazar los datos en la

siguiente formula:

𝑦=

La función sería 𝑓 𝑋 =

𝑋, Si X = 25 y

𝑦=

dX = ∆X = 0.2, la diferencial seria: 𝑓 𝑋 = 𝑑𝑦 =

𝑑𝑦 =

𝑦 = 5.02

𝑑𝑋

0.2

2 ∗ 25

𝑑𝑦 = 0.02

25 + 0.02

𝑦 = 5 + 0.02

𝑋

2∗ 𝑋

𝑋 + 𝑑𝑦

Respuesta:

Por lo tanto, aproximadamente 25.2 es 5.02

Ejemplo 3. Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 3 cm y aumentan 0.002 cm cada uno El incremento del volumen es aproximadamente igual al diferencial del volumen. 𝑑𝑉 ≈ ∆𝑉 Donde, el volumen e una función del lado. 𝑉 = 𝑓 𝐿 = 𝐿3 𝑑𝑉 = 3 ∗ 𝐿2 ∗ 𝑑𝐿

Sustituimos los valores L = 3 cm y dL = 0.002 cm, obtenemos entonces: 𝑑𝑉 = 3 ∗ 3

2

∗ (0.002)

𝑑𝑉 = 3 ∗ 9 ∗ 0.002 𝑑𝑉 = 0.054 Respuesta:

El incremento aproximado de volumen es de 0.054 cm3

BIBLIOGRAFIA • •

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