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Infinito, causalidad y paradoja

Infinito, causalidad y paradoja Alexander R. Pruss

1 3

Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford. Promueve el objetivo de excelencia de la Universidad en investigación, becas y educación al publicar en todo el mundo. Oxford es una marca comercial registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros países. © Alexander R. Pruss 2018 Los derechos morales del autor han sido afirmados Primera edición publicada en 2018 Impresión: 1 Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada en un sistema de recuperación o transmitida, en cualquier forma o por cualquier medio, sin el permiso previo por escrito de Oxford University Press, o según lo expresamente permitido por la ley, por licencia o bajo los términos acordados. con la organización de derechos reprográficos adecuada. Las consultas relacionadas con la reproducción fuera del alcance de lo anterior deben enviarse al Departamento de Derechos, Oxford University Press, a la dirección anterior. No debe circular este trabajo de ninguna otra forma y debe imponer esta misma condición a cualquier adquirente. Publicado en los Estados Unidos de América por Oxford University Press 198 Madison Avenue, Nueva York, NY 10016, Estados Unidos de América Datos de catalogación en publicación de la Biblioteca Británica Datos disponibles Número de control de la Biblioteca del Congreso: 2018939478 ISBN 978–0–19–881033–9 Impreso y encuadernado por CPI Group (Reino Unido) Ltd, Croydon, CR0 4YY Oxford proporciona enlaces a sitios web de terceros de buena fe y solo con fines informativos. Oxford renuncia a cualquier responsabilidad por los materiales contenidos en cualquier sitio web de terceros al que se hace referencia en este trabajo.

Contenido Lista de Figuras

xi

Expresiones de gratitud

xiii

1. Infinito, paradoja y matemáticas 1 1. Paradoja y finitismo causal

1

2. Algunas notas matemáticas y lógicas 3. Modalidad

7

3.1 Posibilidad y necesidad metafísicas 7 3.2 Principios de reordenamiento

7

4

3.2.1 Derrotabilidad

7

3.2.2 Poderes causales 9

10

4. Finitismo: una hipótesis alternativa 4.1 Tiempo y finitismo

10

4.2 Paradojas no causales: ¿una ventaja? 4.3 Matemáticas: una desventaja

11

13

4.3.1 Infinitos números primos

13

4.3.2 Infinito potencial 15 4.3.3 ∗Si-entoncesismo 15

17

4.4 Infinitos futuros

18

5. ∗Definiendo lo finito y lo contable 5.1 Lo finito

18

5.2 Modelos aceptables para los axiomas de la aritmética. 20 6. Evaluación

23

Apéndice: ∗Contando cosas futuras

23

2. Regresiones infinitas

25

1. Cómo violar el finitismo causal 25 2. Regresos causales infinitos

26

3. Tipo (i): regresiones no causadas 27 3.1 Crueldad

27

3.2 Regresiones viciosas y el principio de Hume-Edwards 29 3.3 Regresos y bucles explicativos

30

4. Tipo (ii): Causalidad que atraviesa una infinidad de pasos

32

5. Tipo (iii): Causa externa que causa directamente cada elemento 33 5.1 Opciones

33

5.2 Regresa con sobredeterminación externa

35

6. ∗Analogía con el axioma de regularidad 7. Evaluación

37

36

37

Apéndice: ∗Dos tipos de violaciones del finitismo causal

vi contenido 3. Supertareas y paradojas deterministas

40

1. Introducción 40 2. La lámpara de Thomson revisada 40 2.1 Introducción

40

2.2 Finitismo causal

40

2.3 Análisis no estándar

41

2.4 Relatividad especial

42

2.5 La solución de Benacerraf y el principio de razón suficiente 2.6 Dos contrafactuales 2.7 Evaluación

43

44

46 46

3. Grim Reapers 3.1 Introducción

46

3.2 Finitismo causal

47

3.3 La objeción de la conclusión absurda 3.4 Una objeción de reordenamiento

48

49

3.5 La objeción mereológica 50 3.5.1 Fusión

50

3.5.2 Emergencia necesaria de totalidades orgánicas 3.6 Iluminación sin causa 3.6.1 Objeción

52

52

52

3.6.2 El principio causal es verdadero 53 3.6.3 ¿La iluminación de la lámpara realmente no tiene causa?? 3.6.4 Una correlación misteriosa 3.7 Tiempo discreto 3.8 Evaluación

55

55

56

4. Universos infinitos newtonianos

56

54

4.1 Un argumento contra el finitismo causal y una respuesta 4.2 Vara de Smullyan

56

58

4.3 El condicional 60

5. Otra vida eterna 60 6. Viajes en el tiempo y bucles causales 6.1 Abuelos y alternadores

61

61

6.2 Viaje en el tiempo y causalidad hacia atrás sin bucles causales

7. Evaluación

63

63

4. Loterías paradójicas

64

1. Introducción 64 2. Loterías de feria contablemente infinitas

64 64

2.1 Antecedentes

sesenta y cinco

2.2 Sorpresa esperada

66

2.3 Un juego de adivinanzas

66

2.4 Simetría

66

2.4.1 Simetría y loterías

68

2.4.2 ∗Simetría y utilidad esperada 2.5 manipulación bayesiana

71

2.5.1 La paradoja

71 74

2.5.2 ∗Un punto de cambio?

contenido vii 75 77

2.5.3 ∗Aditividad y conglomerabilidad contables 2.6 Mejorando las posibilidades de todos 3. Construyendo loterías paradójicas 3.1 Equidad y paradoja

79

79

3.2 Secuencias de lanzamiento de monedas de la suerte 3.3 Que es construir una lotería justa contable infinita 3.4 ∗Lanzamientos de monedas y el axioma de la elección 3.5 Paseos al azar 4. Objeciones 86

85

79 81 83

4.1 Loterías infinitas y distribuciones uniformes. 4.1.1 El problema 86

86

4.1.2 Respuesta I: Sin distribuciones continuas 87 4.1.3 Respuesta II: Medición de datos de precisión infinita 4.1.4 Respuesta III: El uso del axioma de elección

88

88

4.2 ∗Un estado cuántico no normalizable 89 4.3 Limitaciones de nuestro razonamiento 5. Evaluación 91

90

5. Teoría de la probabilidad y la decisión 1. Introducción 93 2. Adivinar con una cantidad finita de errores

93 93

93 95 2.3 Haciendo mucho mejor de lo que uno puede 96 2.4 ∗Construcción de estrategia que garantiza como máximo un número finito de errores 98 2.5 Una versión sincrónica multipersonal 98 2.5.1 Un anuncio angelical 98 2.5.2 Una objeción y una modificación 100 2.5.3 ∗Haciendo robusta la paradoja 101 2.6 ¿Una parodia? 102 2.6.1 La historia 102 2.6.2 Evaluación de la parodia 103 3. Manzana de Satanás 106 3.1 La historia 106 3.2 Versión sincrónica 107 3.3 Versión diacrónica 108 3.4 Objeción: puntuaciones, deseos y promesas 108 3.5 Evaluación 110 4. La paradoja de Beam 111 4.1 ∗La formulación matemática 111 2.1 Haciendo un poco mejor de lo que se puede 2.2 Una contradicción

112

4.2 ∗Versión sincrónica

4.3 ∗Futuro infinito diacrónico versión 113 4.4 ∗Versión de supertask diacrónica

114 4.5 Evaluación de la paradoja de Beam 5. Evaluación de paradojas de la teoría de la decisión

114 114 Apéndice: ∗ Prueba del teorema de la Sección 2.1 115

viii contenido 6. La máquina del axioma de elección 1. Introducción menos técnica 2. ∗El axioma de elección para colecciones contables de reales 3. ∗Paradojas de ACCR 3.1 Juegos de adivinanzas 3.2 Conjuntos no medibles

117 117 119 120 120 120

3.3 Paradoja de Banach-Tarski 4. ∗Un argumento a favor del ACCR 5. ∗Una máquina de elección 5.1 Matemáticas extrañas y paradojas 5.2 Monedas y libros holandeses 5.3 Cómo construir una máquina de elección 5.3.1 Ángeles 5.3.2 Una máquina de cuatro dimensiones 5.3.2.1 Fabricación de la máquina 5.3.2.2 Uso de la máquina 5.3.2.3 Infinitismo causal y verificación de la correspondencia de la máquina 5.3.3 Una máquina tridimensional 5.3.4∗∗¿Se necesita aire acondicionado? 5.3.5 Suerte 6. Evaluación Apéndice: ∗∗Detalles de la reordenación de Coin-Toss

7. Refinamiento, alternativas y extensiones

121 122 125 125 129 130 130 131 131 133 134 136 136 137 137 138

140 1. Introducción 140 2. Refinamiento 140 2.1 Individualización de eventos y tropos 140 2.2 Historias generadas por relaciones causales parciales 142 2.3 Una mirada más cercana a los Grim Reapers 143 2.4 Objeciones al finitismo causal que implica una causalidad parcial 147 2.5 Ausencias y omisiones 148 3. Algunos competidores del finitismo causal 150 3.1 Finitismo 150 3.2 Sin regresiones infinitas 151 3.3 Sin infinitos pasados 151 3.4 Sin magnitudes intensivas infinitas 153 3.4.1 La teoría básica 153 3.4.2 Algunas magnitudes intensivas infinitas 154 3.4.2.1 Centro de masa y momentos de inercia 154 3.4.2.2 Vida mental 154 3.4.2.3 Agujeros negros 155 3.4.2.4 Partículas 155 3.4.3 Magnitudes intensivas de Huemer 156 3.4.3.1 Velocidad, lámpara de Thomson y hotel de Hilbert 156 3.4.3.2 ∗Vara de Smullyan 157 3.4.3.3 Mentes inmateriales 158 3.4.4 Evaluación 159 3.5 Sin espacio 159 contenido ix 4. ¿Por qué es cierto el finitismo causal? 161 4.1 La pregunta 161

4.2 Algunas sugerencias explicativas 5. Más ampliaciones 5.1 Bucles causales 5.2 Relaciones explicativas 6. Evaluación general

10. Conclusiones

161 162 162 164 165 167 167 167 167 167 168 168 169 169 170 172 172 172 174 174 176 177 178 180 181 181 181 181 182 183 184 184 184 184 186 188 191 192 193

Referencias

195

Índice

201

8. Tiempo y espacio discretos 1. Introducción 2. Finitismo causal y discreción 2.1 El argumento básico 2.2 ¿Del tiempo discreto al espacio discreto? 3. Dos tipos de discreción 3.1 Subdivisibilidad y fijeza 3.2 Perfeccionamiento del cuadro aristotélico 3.2.1 Una objeción a la discreción aristotélica 3.2.2 Discreción interna y externa 4. Física 4.1 Una objeción al finitismo causal 4.2 Causalidad y física 4.3 Colapso cuántico 4.3.1 Algunos antecedentes 4.3.2 Causalidad 4.3.3 Regreso al tiempo discreto 5. Campos y espacio discreto 6. Evaluación

9. Una primera causa 1. Introducción 2. Una causa no causada 2.1 El argumento rápido 2.2 Hacia un ser necesario 2.3 Apoyo al principio causal 2.4 El argumento de Kalam¯ 3. ¿Compatibilidad con el teísmo? 3.1 Teísmo 3.2 Motivación divina 3.3 Conocimiento divino 3.4 Acción divina 3.5 Límites de la posibilidad metafísica 4. Evaluación

Lista de Figuras Todas las ilustraciones de este volumen han sido compiladas por el autor. 1.1 Lámpara de Thomson 1.2 Correspondencia entre números naturales e incluso números naturales

1 5

1.3 Notación de intervalo

6

2.1 Las dos formas de violar el finitismo causal: regresión (izquierda) e infinito cooperación (derecha) 25 2.2 El testimonio de los expertos en unicornios 28 2.3 ¿Una regresión teísta no viciosa?

33

2.4 Aquí, I1 = {a1, a2, a3}, L1 = {e, a1, a2, a3} y M2 = {a4, a5, ...}

38

3.1 Algunas activaciones representativas de Grim Reaper 3.2 Algunas activaciones de Grim Reaper revertidas representativas

47 48

3.3 Vara de Smullyan con densidad decreciente exponencialmente y por lo tanto tirón cuasi-gravitacional exponencialmente decreciente 4.1 Un caso afortunado donde la lotería funciona, siendo el ganador el número 2 4.2 Una poligonal de una matriz bidimensional

58 79 80

6.1 La cartera de apuestas (i) - (ii) que debería estar feliz de pagar con un dólar para. El volumen de cada esfera es 1/100 del del cubo. 126 6.2 La cartera de apuestas (i) - (ii) que debería estar feliz de pagar con un dólar porque si el argumento funciona 127 6.3 La cartera de apuestas (i) - (ii) que debería aceptar de forma gratuita 128 6.4 Un trozo de una máquina de elección

132

7.1 Tableros de Benardete

147

7.2 Cuatro violaciones paradigmáticas de (8)

163

Expresiones de gratitud Estoy especialmente agradecido con Ian Slorach, quien me dio muchos comentarios y críticas muy perspicaces y útiles, tanto en los argumentos que escribí en mi blog antes de comenzar a escribir este libro como mientras escribía material en el repositorio de GitHub del borrador del libro. También estoy particularmente agradecido a Miguel Berasategui, Blaise Blain, Trent Dougherty, Kenny Easwaran, Richard Gale, Alan Hájek, James Hawthorne, Robert Koons, Jonathan Kvanvig, Arthur Paul Pederson, Philip Swenson y Josh Rasmussen. Estoy muy agradecido a los demás lectores de mi blog, así como a mi público en la Universidad de Baylor, la Universidad Católica de América, la Universidad de Oklahoma y el taller "Nuevos teístas" por su paciencia mientras probaba versiones de estos argumentos, y por su comentario crítico. Además, Estoy muy en deuda con varios lectores anónimos de este manuscrito cuya lectura cuidadosa ha dado como resultado una gran mejora del libro. Las obscuridades restantes son mi propio logro. Finalmente, estoy muy agradecido con Christopher Tomaszewski por su cuidadoso trabajo en la indexación de este volumen.

infinito, paradoja y matemáticas

1 Infinito, paradoja y matemáticas 1. Paradoja y finitismo causal Una lámpara está encendida a las 10:00. Su interruptor se alterna infinitamente a menudo entre las 10:00 y las 11:00, digamos a las 10:30, 10:45, 10: 52.5, y así sucesivamente. Ninguna otra causa afecta el estado de la lámpara además del interruptor. Por lo tanto, después de un número impar de conmutaciones, la luz se apaga y después de un número par está encendida. ¿Qué estado tiene la lámpara a las 11:00? Parece que no hay respuesta a esta pregunta. Sin embargo, entonces la lámpara está encendida o apagada (Fig. 1.1). Esto se conoce como la paradoja de la lámpara de Thomson (Thomson 1954). Las posibles respuestas a una paradoja como ésta se dividen en tres campos generales: lógicamente revisionista, metafísica y conservadora. Las respuestas lógicamente revisionistas resuelven la paradoja invocando una lógica no clásica, digamos una en la que la lámpara puede estar encendida y apagada al mismo tiempo, y puede utilizar la paradoja como apoyo para tal revisión. La metafísica resuelve la paradoja al defender una tesis metafísica sustantiva y general, como que el tiempo es discreto, que no hay infinitos reales, o que es metafísicamente imposible mover algo (digamos, un interruptor) a velocidades cuyo límite es el infinito (cf. Huemer 2016, 12.10.3), una tesis que explica por qué la historia es imposible . Las respuestas conservadoras, por otro lado, se niegan a revisar la lógica o postular tesis metafísicas sustantivas, y vienen en dos variedades. Las respuestas conservadoras particularistas sostienen que la historia particular (y sus variantes menores) es imposible, por ejemplo, precisamente porque es paradójica. Las respuestas conservadoras desactivadoras sostienen que la historia tal como se da es posible y no hay paradoja en ella. Una respuesta particularista a la paradoja de la lámpara de Thomson es simplemente que la historia tal como está dada es imposible, ya que si la historia fuera posible resultaría en una contradicción: la lámpara estaría apagada y apagada. que la lámpara está encendida (o apagada, para el caso) a las 11 am: simplemente no podemos predecir el estado que tendrá la lámpara a partir de la información proporcionada.

10:00

10:30

10:45

10: 52,5

11:00

Figura 1.1 Lámpara de Thomson.

En igualdad de condiciones, las respuestas conservadoras a una paradoja son preferibles a las metafísicas, mientras que las respuestas metafísicas son preferibles a las lógicamente revisionistas. No obstante, otras cosas no tienen por qué ser iguales.

Por ejemplo, si bien una respuesta conservadora dada puede no invocar una tesis metafísica, puede comprometer inesperadamente a uno con tal tesis, y luego se pierden los beneficios del conservadurismo. Por ejemplo, la solución de Benacerraf está en tensión con el principio de razón suficiente. Porque incluso si no hay ninguna contradicción en que la lámpara esté encendida a las 11 am, parece que no hay explicación de por qué está encendida en ese momento (y si está apagada, no hay explicación para eso). Además, si se dan una serie de paradojas y cada una puede resolverse mediante una respuesta conservadora diferente, no obstante, podría ser preferible resolverlas todas de una sola vez mediante una única y elegante hipótesis metafísica que explique por qué ninguna de las historias paradójicas es válida. posible. Porque es razonable preferir explicaciones unificadas de los fenómenos. En este volumen, presentaré una serie de paradojas del infinito, algunas antiguas como La lámpara de Thomson y otras nuevas, y ofreceré una respuesta metafísica unificada a todas ellas mediante la hipótesis del finitismo causal, que dice a grandes rasgos que nada puede ser afectado. por infinitas causas. En particular, se descarta la historia de la lámpara de Thomson ya que el estado final de la lámpara se vería afectado por una infinidad de conmutaciones. Y además de defender la hipótesis como la mejor resolución unificada de las paradojas, ofreceré algunos argumentos directos contra las regresiones infinitas. No es el propósito de este libro considerar todas las paradojas del infinito —que sería una tarea infinita— o incluso todas las que se han descubierto hasta ahora. Más bien, considero un número suficiente para motivar el finitismo causal.1 La disponibilidad de una elegante solución metafísica obvia la necesidad de recurrir al revisionismo lógico. Pero tendremos que estar constantemente en busca de soluciones conservadoras a las paradojas. No obstante, en conjunto, el finitismo causal proporcionará una resolución superior. Además, tendremos que considerar hipótesis metafísicas en competencia que resuelvan algunas o todas las paradojas. Sin embargo, resultará que cada una de las hipótesis en competencia adolece de una de las siguientes deficiencias: es más amplia de lo que debería ser, no resuelve todas las paradojas que resuelve el finitismo causal o adolece de ser ad hoc. Se pueden distinguir dos formas de resolver una paradoja: se puede resolver mostrando cómo un conjunto de afirmaciones aparentemente incompatible es realmente compatible o mostrando cómo una suposición aparentemente plausible ya no es plausible después de un examen, o se puede eliminar argumentando que la una situación paradójica no puede ocurrir.2 En algunos casos, matar una paradoja no es una opción sostenible. Por ejemplo, las paradojas del movimiento de Zenón pueden resolverse, por ejemplo, mostrando que hacen suposiciones sobre el tiempo o el movimiento que podemos rechazar, o pueden eliminarse manteniendo que el

1

Para una encuesta más completa, vea Oppy (2006).

2

Agradezco a un lector anónimo por esta distinción.

infinito, paradoja y matemáticas movimiento es imposible. Zenón, por supuesto, quería acabar con las paradojas, pero desde entonces la mayoría de los filósofos han preferido resolverlas. paradoja y finitismo causal Si matar o resolver a los miembros de una familia de paradojas es intelectualmente preferible depende de los detalles de la situación. Por ejemplo, cuando las paradojas ocurren en situaciones de las que tenemos observaciones empíricas aparentes (flechas volando y corredores más rápidos alcanzando a los más lentos, como en el caso de Zenón), matar la paradoja rechazando la realidad de las situaciones puede conducir a una inaceptable escepticismo, ritmo Zeno. Por otro lado, cuando las paradojas ocurren en situaciones que pensamos meramente intuitivamente que son metafísicamente posibles, matar las paradojas rechazando la posibilidad metafísica de las situaciones puede ser mucho más sostenible, ya que nuestras intuiciones sobre la posibilidad metafísica probablemente no sean tan confiables como nuestras observaciones empíricas. Podemos tener una cierta preferencia intuitiva por resolver una paradoja en lugar de matarla. Pero a menos que las paradojas se basen en un razonamiento lógicamente inválido, será intelectualmente preferible matar a todos los miembros de una familia de paradojas de una manera unificada en lugar de resolverlos de diferentes maneras. Una razón de esto es el simple hecho de que para resolver una paradoja basada en un razonamiento lógicamente válido tenemos que rechazar una premisa plausible y, por lo tanto, para resolver una serie de tales paradojas tenemos que rechazar una serie de premisas plausibles. Pero normalmente es preferible hacer una suposición única, especialmente si hay alguna razón independiente para hacer la suposición más allá de la necesidad de resolver paradojas, que rechazar una serie de premisas plausibles. La estrategia principal del libro, entonces, será como la de Zenón: en lugar de optar por una serie de soluciones diferentes para diferentes paradojas, todas serán eliminadas a través del supuesto único del finitismo causal. Pero mientras que la tesis del no movimiento que defiende Zenón es una que tenemos muy fuertes razones empíricas para rechazar, la tesis del finitismo causal es compatible con nuestras observaciones (aunque defender esto requerirá algo de trabajo para interpretar la física moderna). Durante la mayor parte del resto del presente capítulo, después de algunas notas de antecedentes importantes tanto técnicas como filosóficas, consideraré una hipótesis alternativa prominente, el finitismo total, y argumentaré que para salir de las paradojas, debe estar casada con un teoría particular del tiempo, la teoría del bloque creciente, y que en todo caso provoca serias dificultades para la filosofía de las matemáticas. En el tema de la filosofía de las matemáticas, también ofreceré una aplicación intrigante del finitismo causal (y también del finitismo) al problema de definir lo finito y lo contable. En el capítulo 2, consideraré las regresiones infinitas, lo que nos dará alguna razón para aceptar el finitismo causal independientemente de las paradojas que puede matar. Luego, en los capítulos siguientes discutiremos varios tipos diferentes de

paradojas causales: paradojas no probabilísticas, loterías paradójicas, otras paradojas probabilísticas y teóricas de decisión y paradojas vinculadas con el axioma de elección de la teoría de conjuntos. A veces también consideraremos lo que se verá como una pregunta análoga: si el viaje en el tiempo y la causalidad hacia atrás son posibles. Luego ofreceré formas de refinar la tesis aproximada del finitismo causal a la luz de los datos aducidos, y argumentaré que varias alternativas al finitismo causal son insatisfactorias.

Finalmente, consideraré dos posibles consecuencias del finitismo causal. El hecho de que una teoría tenga consecuencias más allá de lo que pretendía explicar da alguna razón para pensar que la teoría no es ad hoc. Al mismo tiempo, tales consecuencias hacen que la teoría sea más vulnerable a la refutación, ya que puede haber argumentos en contra de las consecuencias. La primera consecuencia aparente es que el tiempo, y quizás también el espacio, es discreto. Si esto es cierto, es intrínsecamente interesante, pero también perjudicial para el finitismo causal, ya que parece entrar en conflicto con gran parte de la física desde Newton. Consideraremos si la discreción del tiempo sigue realmente y si el tipo de discreción que apoya el finitismo causal está de hecho en conflicto con la física, y argumentaremos que el finitismo causal puede ser coherente con la física moderna. La segunda consecuencia es más clara. Si el finitismo causal es verdadero, entonces no puede haber secuencias causales infinitas hacia atrás y, por lo tanto, debe haber al menos una causa no causada. También hay alguna razón para tomar esta causa no causada como un ser necesario. Ahora bien, la teoría más destacada sobre la que existe un ser necesario causalmente eficaz es el teísmo. Por lo tanto, el finitismo causal presta cierto apoyo al teísmo. Curiosamente, esto nos obligará a considerar si el teísmo a su vez no debilita el finitismo causal. De vez en cuando usaré la conveniente frase "infinitismo causal" para la negación del finitismo causal. Así, aproximadamente, el infinitismo causal sostiene que es posible que algo tenga una historia causal infinita. (Tenga en cuenta que el infinitismo causal no dice que en realidad haya una historia causal infinita). Por tanto, el objetivo del libro es defender el finitismo causal o, de forma equivalente, argumentar contra el infinitismo causal. Permítanme terminar esta sección señalando que no considero que la lámpara de Thomson sea una versión particularmente convincente de una paradoja que motiva el finitismo causal. Habrá más discusión al respecto en el Capítulo 3, Sección 2. Pero es un sustituto útil para muchas de las paradojas más complicadas que consideraremos.

infinito, paradoja y matemáticas

2. Algunas notas matemáticas y lógicas Necesitaremos algo de terminología técnica y simbolismo como trasfondo general del libro, y esto se presentará en esta sección. Además, el libro contiene algunas secciones técnicas marcadas con “∗ ” y secciones muy técnicas con “∗ ∗ ”. Estos se pueden omitir sin pérdida de continuidad. Tenga en cuenta que se puede suponer que cualquier subsección de algo marcado con uno de estos marcadores tiene al menos ese nivel de tecnicismo. Tenga en cuenta también que el Capítulo 6 es técnico o muy técnico en su conjunto, además de una introducción y un resumen menos técnicos. Comience con la noción de conjuntos como colecciones de objetos abstractos o concretos. El enunciado x ∈ A significa que x es un miembro de A. Decimos que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B siempre que cada miembro de A sea un miembro de B, y que A sea un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B que no incluye todos los miembros de B. Para cualquier conjunto B y cualquier predicado F (x) escribimos {x ∈ B: F (x)} para el subconjunto de B que consta de todas y solo las xs tal que F (x) (a veces, cuando el contexto aclara B, simplemente escribimos {x: F (x)}). algunas notas matemáticas y lógicas Podemos comparar los tamaños cardinales de los conjuntos de la siguiente manera. Si hay una manera de asignar un miembro diferente de B a cada miembro diferente de un conjunto A (es decir, si hay una función uno a uno de A a un subconjunto de B), entonces decimos que A ≤ B, es decir, la cardinalidad de A es menor o igual que la de B. Por ejemplo, si B es el conjunto de números reales entre 0 y 1 inclusive, y A es el conjunto de enteros positivos, entonces para cada miembro n de A puede asignar el miembro 1 / n de B (tenga en cuenta que si nym son miembros diferentes de A, entonces 1 / n y 1 / m son miembros diferentes de B). Decimos que A tiene menos miembros que B, y escribimos A
Una forma en que los conjuntos infinitos difieren de los finitos es que si A y B son conjuntos finitos con A un subconjunto propio de B, entonces A siempre tiene menos miembros que B. Pero los conjuntos infinitos tienen subconjuntos propios del mismo tamaño que ellos.2 Por ejemplo, si B es el conjunto {0, 1, 2, ...} de números naturales, entonces el subconjunto apropiado A = {0, 2, 4, ...} de naturales pares tiene el mismo tamaño que B, como se puede ver al unirlos uno por uno como en Figura 1.2. Por otro lado, así como los conjuntos finitos difieren entre sí en tamaño, Georg Cantor descubrió que también lo hacen los infinitos, si el tamaño se define como antes. Sin embargo, la diferencia de tamaño entre conjuntos infinitos es más difícil de generar. Simplemente agregar un nuevo miembro a un conjunto infinito no crea un conjunto infinito más grande. Pero dado un conjunto A, también podemos formar el conjunto de potencias PA de todos los subconjuntos de A. Y resulta que PA siempre tiene estrictamente más miembros que A; esto ahora se conoce como Teorema de Cantor.3 0

0

1

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Figura 1.2 Correspondencia entre números naturales e incluso números naturales.

Si A es finito y tiene n miembros, entonces PA tendrá 2n miembros (porque podemos generar todos los miembros de PA considerando las 2n combinaciones posibles de respuestas sí / no a las preguntas "¿Incluyo a en el subconjunto?" a varía sobre los miembros de A), y n <2n. Pero la afirmación cantoriana se aplica también a conjuntos infinitos: en general, A
2∗ ∗ Para ser precisos, esto solo es cierto para todos los conjuntos infinitos de Dedekind. Si el axioma de elección contable es falso, entonces puede haber conjuntos infinitos que no sean infinitos de Dedekind (Jech 1973, p. 81). Pero los ejemplos estándar de conjuntos infinitos, como los números naturales o reales, siguen siendo infinitos de Dedekind. Por simplicidad, escribiré como si todos los conjuntos infinitos fueran Dedekind-infinito. 3He aquí una prueba. Está claro que PA tiene al menos tantos miembros como A, ya que para cada

miembro x de A, el singleton {x} es un miembro de PA. Entonces, todo lo que necesitamos mostrar es que A no tiene al menos tantos miembros como PA. Para una reductio, suponga que hay una función f que asigna un miembro diferente f (B) de A

infinito, paradoja y matemáticas En particular, no hay un conjunto más grande. Porque si A fuera el conjunto más grande, entonces PA sería aún más grande, lo que sería una contradicción. Los conjuntos que son finitos o del mismo tamaño que el conjunto de números naturales {0, 1, 2, ...}, que se denotarán con N, se denominan contables. Un ejemplo de un conjunto incontable es PN. Otro es el conjunto R de números reales, que de hecho tiene el tamaño PN. Una notación útil para ciertos conjuntos de números reales viene dada por [a, b], (a, b), [a, b) y (a, b] (véase la figura 1.3). Cada uno de ellos denota un intervalo desde a a b, con los corchetes indicando que el punto final está incluido en el intervalo y el paréntesis indicando que no. Por lo tanto, [a, b] es el conjunto de todos los números reales x tales que a ≤ x ≤ b, (a, b) es el conjunto de todos los reales x tal que a <x
Los miembros de mi Departamento se llevan bien

el sujeto gramatical de (1) es una pluralidad, los miembros de mi Departamento. La forma verbal que concuerda con esa pluralidad, "obtener", está en una conjugación plural. El sujeto de la oración no es un objeto singular como el conjunto de los miembros de mi Departamento o algún tipo de suma mereológica o fusión de los miembros, porque eso requeriría un verbo singular, y no tendría sentido decir que ese objeto singular “se llevan bien”. Podemos cuantificar sobre pluralidades. Podemos, por ejemplo, decir que para cualquier pluralidad de miembros de mi Departamento, las xs, hay una pluralidad, las ys, de personas en otro Departamento de manera que cada una de las xs es amiga de al menos dos de las ys. Se piensa ampliamente que la cuantificación plural evita el compromiso ontológico con los conjuntos. También evita dificultades técnicas con objetos que no forman un conjunto. No hay un conjunto de todos los conjuntos, pero tiene sentido cuantificar pluralmente y decir que todos los conjuntos son objetos abstractos.

Figura 1.3 Notación de intervalos. a cada miembro B diferente de PA. Sea D el

conjunto de todos

los miembros x de A asignados por f a algún

conjunto B tal que

x no sea miembro de B, es decir, D. Sea x = f (D). Tenga en cuenta que x es miembro de D si y solo si hay un subconjunto = x no es miembro de segundo. El único candidato posible para un subconjunto B de A tal que f (B) = x es D, ya que f asigna xa D y asignará algo diferente de xa un B diferente de D. Por lo tanto, x es un miembro de D si y solo si x no es miembro de D, lo cual es una contradicción.

modalidad Asumiré que las pluralidades tienen sus elementos rígidamente. Es decir, si x0 es una de las x, entonces en cualquier mundo posible donde existan las x, x0 existe y es una de las x.

3. Modalidad 3.1 Posibilidad y necesidad metafísicas Las hadas y el agua hechas de átomos de carbono tienen algo en común: no existen. Pero ahí termina la similitud. Porque aunque ninguno de los dos es real, el hada es posible, mientras que el agua hecha de átomos de carbono no lo es. El tipo de posibilidad en cuestión aquí no es meramente lógico. No se puede probar ninguna contradicción a partir de la existencia de un hada, pero tampoco se puede probar ninguna contradicción a partir de la existencia de agua a base de carbono. En cada caso, se necesita trabajo empírico para saber que el artículo no existe. Hay muchas teorías sobre la naturaleza de la modalidad.4 Los argumentos de este libro no están vinculados a ninguna teoría en particular, sino más bien a juicios intuitivos sobre casos. Estos juicios intuitivos sobre casos pueden en sí mismos imponer restricciones sobre qué teoría de la modalidad es plausible, aunque, por supuesto, el lector también encontrará que su teoría de la modalidad afecta lo que debe pensar sobre los casos. Esa es una de las razones por las que ofrezco tantos casos paradójicos en este libro: algunos casos pueden atraer a algunos lectores y otros a otros.

3.2 Principios de reordenamiento Si metafísicamente es posible tener un caballo y dos burros en una habitación, intuitivamente también es posible tener dos caballos y un burro en una habitación. Lewis (1986, Sección 1.8) intentó formular un "principio de reordenamiento" que justifica inferencias como esta (ver Koons 2014 para algunas formulaciones más rigurosas). La idea básica detrás de los principios de reordenamiento es que:

4 En Pruss (2011) defiendo una explicación de la modalidad de los poderes causales, pero nada en el presente libro depende de esa defensa.

infinito, paradoja y matemáticas (2) Dado un mundo posible con una cierta disposición de elementos espaciotemporales no superpuestos, cualquier "reordenamiento" de estos elementos que cambie las cantidades, posiciones y orientaciones a alguna otra combinación de cantidades, posiciones y orientación que sea geométricamente coherente y la no superposición también es metafísicamente posible. Los principios de reordenamiento irrestrictos no encajan con el finitismo causal. Simplemente multiplique el número de pulsaciones de botones y pasará de una lámpara de noche normal que se apaga por la noche y se enciende por la mañana a la lámpara paradójica de Thomson. E incluso si restringimos los cambios en la cantidad para que sean finitos, una secuencia causal infinita hacia adelante inocente puede transformarse en una infinita hacia atrás.

No obstante, muchos de nuestros argumentos a favor del finitismo causal dependerán de consideraciones de reordenamiento. ¿No es una trampa? Para ver nuestro camino hacia una respuesta negativa, observe que los principios de reordenamiento irrestrictos conllevan muchos compromisos metafísicos pesados. Descartan el teísmo clásico, ya que en el teísmo clásico Dios es un ser necesario, y una situación que podría coexistir con Dios podría reorganizarse, por ejemplo, multiplicando mucho los males y quitando bienes, en una situación que no podría coexistir con Dios (cf. Gulesarian 1983). Dan un argumento a favor de la posibilidad de un universo que consta de una sola nuez que nace en algún momento y, por lo tanto, de la posibilidad de que algo provenga de la nada. Descartan las teorías aristotélicas de las leyes y la causalidad en las que el ejercicio de los poderes causales necesita sus efectos en ausencia de causas contrarias. No se sientan bien con la esencialidad de los orígenes evolutivos para los tipos biológicos naturales y con la esencialidad de los orígenes para los individuos. E incluso descartan ciertas teorías colocationistas de objetos materiales. Los colocationistas dirán que dondequiera que tengas una estatua de arcilla también tienes un trozo de arcilla, ¡pero un principio de reordenamiento irrestricto debería permitirte tener la estatua de arcilla sin el trozo! Incluso los filósofos de inclinación humeana que se sienten incómodos con el teísmo y la esencialidad de los orígenes y no tienen problemas con las cosas que nacen ex nihilo necesitan restringir el reordenamiento sobre bases metafísicas. Por ejemplo, Lewis (1986, p. 89) dijo que todos los reordenamientos son posibles "si el tamaño y la forma lo permiten". La preocupación es que podría resultar que los objetos materiales no puedan interpenetrarse, por lo que no se puede reorganizar un mundo con un caballo al lado de una vaca en un mundo en el que ocupan la misma ubicación. Esta restricción aparentemente puramente geométrica de hecho necesita depender de la metafísica de los objetos materiales en cuestión. Quizás, de hecho, un caballo y una vaca no podrían ocupar la misma ubicación, pero tenemos buenas razones para pensar que varios bosones, como los fotones, pueden ocupar la misma ubicación. ya que dos bosones pueden tener el mismo estado cuántico (Dirac 1987,

p. 210). De modo que a lo que llega la restricción de que "el tamaño y la forma lo permitan" depende de la metafísica de los objetos, es decir, de si se pueden colocar. Por lo tanto, los principios de reordenamiento como (2) deben restringirse de alguna manera para que no pasen por alto demasiada metafísica. Una forma de hacer esto es extender la estrategia de Lewis dando una lista de limitaciones metafísicas específicas como su "tamaño y forma lo permiten". Pero es difícil ver cómo podríamos estar justificados al pensar que nuestra lista de restricciones está completa. Una mejor manera es estipular que los principios de reordenamiento son anulables, en el entendimiento de que es mejor si los derrotadores de los principios de reordenamiento se basan en principios en lugar de ad hoc. El teísmo, las visiones aristotélicas de la causalidad, la esencialidad de los orígenes o el finitismo causal podrían proporcionar derrotadores de principios para casos particulares de reordenamiento. Pero si uno descartara la lámpara de Thomson diciendo que esta reordenación particular de la situación común de la lámpara de noche es imposible, sería ad hoc. Si, en cambio, pudiéramos descartar la lámpara de Thomson, así como una serie de otras paradojas por medio de un único principio general, a saber, el finitismo causal, sería muy preferible. Y es esta la estrategia del presente libro. modalidad Al mismo tiempo, siempre hay un costo por introducir otro principio metafísico como el finitismo causal que derrota casos particulares de reordenamiento. Pero el costo es superable. No quiero que los argumentos de este libro sean rehenes de un principio de reordenamiento particular. Más bien, quiero confiar en la plausibilidad intuitiva de los reordenamientos particulares de los que haré uso.

Una cuestión crucial al formular un principio de reordenamiento es qué propiedades se transmiten junto con los objetos a medida que se reorganizan. Puedo reorganizar una habitación con un burro rebuznando en una habitación con dos burros rebuznando. Pero no puedo reorganizar una habitación con un burro solitario en una habitación con dos burros solitarios. Una cosa estándar para decir es que las propiedades que pueden llevar los elementos que se reorganizan son las propiedades intrínsecas: la soledad no es intrínseca, pero el rebuzno podría serlo. Pero es notoriamente difícil definir una propiedad intrínseca (ver Weatherson y Marshall 2014). Sin embargo, existe una elección controvertida que requerirán muchos de nuestros argumentos, y esta es una imagen de los objetos y sus actividades con una naturaleza causal que se acompaña de su reordenamiento. Cuando uno reorganiza un interruptor de lámpara de un lugar en el espacio-tiempo a otro, el interruptor reordenado continúa teniendo los mismos poderes causales, y cuando se coloca en el mismo contexto relevante (por ejemplo, una lámpara), estos poderes causales tendrán los mismos efectos. Si las propiedades intrínsecas son las que pueden llevarse junto con

infinito, paradoja y matemáticas los reordenamientos, entonces considero que los poderes causales son propiedades intrínsecas. Esta es una imagen muy intuitiva de los poderes causales. No obstante, está en conflicto con las opiniones humanas ampliamente difundidas sobre los hechos causales que se superponen a la disposición global de la materia en el universo. Tomo este conflicto para proporcionar un argumento en contra de la visión de Hume. La posibilidad de reorganizar las cosas en el mundo mientras se mantienen fijos los poderes causales de las cosas es intuitivamente más segura que las teorías humeanas de la causalidad. Uno de los puntos fuertes de hacer un juicio caso por caso sobre las posibilidades de reordenamiento de objetos poderosos en lugar de postular un único principio general es que cada uno de esos juicios puede ser evaluado por separado por un lector humeano. El lector puede decidir una de tres cosas sobre una aplicación particular de reordenamiento: (i) la aplicación es incompatible con el humeanismo y lo suficientemente plausible como para proporcionar evidencia significativa contra el humeanismo; o (ii) la aplicación es incompatible con el humeanismo pero no muy plausible, por lo que el humeanismo proporciona pruebas significativas en contra de esta aplicación; o (iii) la aplicación puede hacerse coherente con el humeanismo, por ejemplo, al suponer muchos sucesos de fondo análogos suficientes para fundamentar leyes causales que se aplican también al caso reordenado. Dejo esos juicios al lector.

finitismo: una hipótesis alternativa

4. Finitismo: una hipótesis alternativa 4.1 Tiempo y finitismo Finitismo sostiene que solo puede haber un número finito de cosas (incluidas tanto sustancias como eventos). El finitismo, sin embargo, permite infinitos potenciales. Por tanto, una colección de soldaditos de juguete a la que se añadirá un nuevo soldadito de juguete cada día sería potencialmente infinita, ya que para cualquier número n, eventualmente tendría más de n elementos. Pero según el finitismo no hay infinitos reales. Siempre hay una cantidad finita de cosas. El finitismo tiene una historia filosófica impresionante, que se remonta al menos a las respuestas de Aristóteles a las paradojas de Zenón, 5 y siendo la ortodoxia filosófica generalmente aceptada en la Edad Media. El resultado exacto del finitismo depende de con qué teoría del tiempo se combine. El eternalista piensa en las cosas pasadas, presentes y futuras como ontológicamente iguales, y cree que (salvo alguna catástrofe) nuestros tatara-tataratataranietos existen y el gran caballo de guerra de Alejandro, Bucéfalo, también existe. Por supuesto, los tataranietos y Bucéfalo no existen actualmente. Pero, no obstante, realmente existen. El teórico del bloque creciente considera que la realidad no se extiende al futuro, sino que incluye el pasado y el presente.6 Por tanto, nuestros tatara-tatara-tatara-nietos no existen (aunque podría ser cierto que existirán), pero Bucéfalo sí. El presentista, por otro lado, solo acepta entidades existentes actualmente como existentes. Además, tomaré todas estas tesis sobre el tiempo para afirmar que son necesariamente ciertas. El finitismo más el eternismo implica directamente el finitismo causal: si solo puede haber un número finito de cosas, y eso incluye el pasado, el presente y el futuro, entonces, por supuesto, nada puede verse afectado por infinitas causas. Así, cualquier paradoja descartada por el finitismo causal será descartada por el finitismo más el eternismo. Pero, lamentablemente, el finitismo más el eternismo también implica que el futuro debe ser finito, que no puede haber infinitos sucesos futuros. Pero seguramente es posible tener un futuro infinito lleno de diferentes eventos o sustancias, digamos con un nuevo soldado de juguete que se produce todos los días para siempre. Por tanto, el finitismo es inverosímil dado el eternalismo. Dado el presentismo, por otro lado, el finitismo es compatible con infinitas secuencias de causas, siempre que en ningún momento en particular haya infinitas causas. Por lo tanto, el finitismo más el presentismo no hace nada para descartar las infinitas alternancias del interruptor en La lámpara de Thomson. Si bien las otras

5 Por supuesto, de una manera degenerada, Parménides era un finitista, ya que pensaba que solo podía haber una cosa. 6También hay una variante de Diekemper (2014) que incluye solo el pasado. Esa variante no será útil para el finitista, y me ceñiré a la versión canónica que incluye el presente.

infinito, paradoja y matemáticas paradojas aún no se han discutido, muchas de ellas también tendrán el carácter diacrónico de la lámpara de Thomson y, por lo tanto, no serán tocadas por el finitismo presentista.

Esto deja bloque creciente más finitismo. Si es necesariamente cierto que una causa es anterior o simultánea con su efecto, entonces el finitismo en bloque creciente implica un finitismo causal y, por lo tanto, puede descartar todas las paradojas que puede hacer el finitismo causal. Dada la combinación de (a) teoría de bloques en crecimiento, (b) finitismo y (c) la tesis de que las causas son temporalmente anteriores o simultáneas a sus efectos, obtenemos nuevamente el finitismo causal y, por lo tanto, podemos descartar todos los paradojas que el finitismo causal puede descartar. La mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja es adoptar un bloque creciente junto con la tesis de que las causas son anteriores o simultáneas a sus efectos. Desafortunadamente, existe un poderoso argumento en contra de la teoría de bloques en crecimiento debido a Merricks (2006). Muchas personas tienen pensamientos sobre qué fecha u hora es, pensamientos que se pueden expresar en oraciones como: "Ahora es 2012" o "Ahora es mediodía". Si la teoría del bloque en crecimiento es cierta, muchos de estos pensamientos están en el pasado y la mayoría tiene un contenido que es objetivamente falso. Según la teoría del bloque creciente, el "ahora" es la vanguardia de la realidad, el límite entre lo real y lo irreal. El pensamiento expresado por “Es ahora 2012” es cierto si y solo si 2012 está a la vanguardia de la realidad. Pero 2012 no está a la vanguardia de la realidad. Además, mi pensamiento actual de que estamos en 2018 no tiene mejor evidencia que el pensamiento de "Ahora estamos en 2012" que fue en 2012. Dado que la mayoría de los pensamientos de este tipo, con el tipo de evidencia habitual para ellos, son falsos, Debería ser escéptico sobre si estamos en 2018. Y eso es absurdo. El presentismo escapa a este argumento al negar que existen los pensamientos pasados. Las versiones con focos móviles del eternismo, en las que hay algo así como un "foco en movimiento" objetivo que ilumina el "ahora", también están sujetas a esta objeción: la mayoría de los pensamientos "Es ahora t" no están iluminados por el foco, y sin embargo " ahora ”implica tal“ iluminación ”. Pero el eternalismo de la teoría B (por ejemplo, Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, en lugar de una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o estar "iluminado"), es no sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. El presentismo escapa a este argumento al negar que existen los pensamientos pasados. Las versiones con focos móviles del eternismo, en las que hay algo así como un "foco en movimiento" objetivo que ilumina el "ahora", también están sujetas a esta objeción: la mayoría de los pensamientos "Es ahora t" no están iluminados por el foco, y sin embargo " ahora ”implica tal“ iluminación ”.

finitismo: una hipótesis alternativa Pero el eternalismo de la teoría B (por ejemplo, Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, en lugar de una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o estar "iluminado"), es no sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. El presentismo escapa a este argumento al negar que existen los pensamientos pasados. Las versiones con focos móviles del eternismo, en las que hay algo así como un "foco en movimiento" objetivo que ilumina el "ahora", también están sujetas a esta objeción: la mayoría de los pensamientos "Es ahora t" no están iluminados por el foco, y sin embargo " ahora ”implica tal“ iluminación ”. Pero el eternalismo de la teoría B (por ejemplo, Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, en lugar de una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o estar "iluminado"), es no sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. en los que hay algo así como un "foco móvil" objetivo que ilumina el "ahora" también están sujetos a esta objeción: la mayoría de los pensamientos "ahora es t" no están iluminados por el foco y, sin embargo, "ahora" implica tal "iluminación ”. Pero el eternalismo de la teoría B (por ejemplo, Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, en lugar de una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o estar "iluminado"), es no sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. en los que hay algo así como un "foco móvil" objetivo que ilumina el "ahora" también están sujetos a esta objeción: la mayoría de los pensamientos "ahora es t" no están iluminados por el foco y, sin embargo, "ahora" implica tal "iluminación ”. Pero el eternalismo de la teoría B (por ejemplo, Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, en lugar de una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o estar "iluminado"), es no sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, más que una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o ser "iluminado"), no está sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. Mellor 1998), que afirma que el "ahora" es un mero indicio, más que una expresión de una propiedad cambiante objetiva (como estar a la vanguardia de la realidad o ser "iluminado"), no está sujeto a la objeción. Por tanto, la mejor apuesta del finitista en la eliminación de la paradoja requiere adoptar una teoría del tiempo particularmente vulnerable. Ahora consideramos más ventajas y desventajas del finitismo frente al finitismo causal como una salida a las paradojas.

4.2 Paradojas no causales: ¿una ventaja?

infinito, paradoja y matemáticas Imagine el hotel de Hilbert, un hotel con infinitas habitaciones numeradas 1, 2, 3, .... Puedes divertirte mucho con eso. Ponga una persona en cada habitación y luego cuelgue el letrero: “No hay vacantes. Siempre hay espacio para más. ”8 Cuando un cliente nuevo pide una habitación, simplemente colóquelo en la habitación 1 y dígale que le diga a la persona en la habitación que se mueva a la siguiente habitación y que pase la misma solicitud. Incluso puede tener un número infinito de personas que abandonen el hotel y aún lo tengan lleno. Si todas las personas en las habitaciones impares se van, puede decirle a cada persona en las habitaciones pares que se trasladen a una habitación cuyo número sea la mitad de su número de habitación. 8

La sugerencia de la señal proviene de Richard Gale.

Si bien las historias que conté involucraban causalidad, eso fue solo por la viveza. Para ver la paradoja, todo lo que necesitamos notar es que los huéspedes pueden moverse (incluso sin causa, si eso es posible) para hacer espacio para un nuevo huésped, y que cada segundo huésped puede irse, mientras el hotel recupera rápidamente su plenitud. La raíz de estas paradojas es que una colección infinita se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto adecuado (véase la figura 1.2, arriba). Si el finitismo es cierto, entonces, por supuesto, podemos descartar todas esas paradojas. Esto proporciona un argumento simple a favor del finitismo: si el finitismo no es cierto, entonces el Hotel de Hilbert es posible. Pero el hotel de Hilbert es absurdo y, por tanto, imposible, por lo que el finitismo es cierto. Pero si bien el hotel de Hilbert es indudablemente extraño, lo extraño y lo absurdo (o imposible) son diferentes, como lo demuestra la extrañeza del ornitorrinco. De Hilbert's Hotel podríamos concluir que el infinito es más espacioso de lo que pensábamos anteriormente. Uno podría pensar que se puede probar una contradicción absoluta a partir del hotel de Hilbert. Por ejemplo: (3) La colección de habitaciones pares es más pequeña que la colección de todas las habitaciones. (4) Las dos colecciones se pueden poner en correspondencia uno a uno (sala n coincidente para valores pares de n con sala n / 2). (5) Dos colecciones que se pueden poner en correspondencia uno a uno son del mismo tamaño. (6) Si A es más pequeño que B, entonces A no es del mismo tamaño que B. (7) Entonces, las dos colecciones son y no son del mismo tamaño. Suponiendo que "más pequeño" y "mismo tamaño" se utilizan de forma unívoca en todo el texto, hay dos formas de rechazar el argumento. Primero, se puede rechazar (3). Por supuesto, para conjuntos finitos, un subconjunto adecuado es más pequeño

finitismo: una hipótesis alternativa que su superconjunto adecuado. Pero no deberíamos esperar que esto sea cierto en infinitos casos. Después de todo, los casos infinitos son diferentes de los finitos. Alternativamente, se puede rechazar (5) (por supuesto, aquí no se puede estipular "tamaño" como se hizo en la Sección 2). La cuestión de cómo calibrar qué es absurdo y qué es simplemente extraño es difícil. Si bien no veo mucho costo por rechazar (3) o (5), otros lo harán. No obstante, en el caso que nos ocupa hay una razón muy fuerte para rechazar el finitismo y, por lo tanto, aceptar la posibilidad de algo como el Hotel de Hilbert. Una paradoja relacionada es la siguiente. Intuitivamente, hay más enteros positivos que números primos. Pero ahora imagina una colección infinita de hojas de papel, con un lado rojo y un lado verde. Es tan claro como cualquier cosa que el número de lados rojos es igual al número de lados verdes. Ahora suponga que los lados verdes están numerados71, 2, 3, ..., y supongamos que el lado rojo de una hoja de papel que tiene n en su lado verde contiene una inscripción del n-ésimo número

hay infinitamente muchos de ellos8). Entonces el número de lados rojos es igual al número de primos, y el número de lados verdes es igual al número de enteros positivos, y como el número de lados rojos es igual al número de lados verdes, concluimos que el número de primos es igual al número de enteros positivos, lo que contradice la suposición de que hay más enteros positivos que primos. Negar la posibilidad de un infinito real mata la paradoja. Pero también se puede resolver la paradoja diciendo que el argumento es una reductio ad absurdum de la intuición inicial de que hay más enteros positivos que números primos. Y negar la posibilidad de un infinito real solo mata la paradoja a costa de socavar esta intuición inicial de una manera diferente. Porque si los infinitos reales son imposibles, entonces no parece tener sentido decir que hay más enteros positivos que números primos, ya que ni la pluralidad infinita puede existir realmente. Ahora consideraremos un argumento contra el finitismo en una línea similar.

4.3 Matemáticas: una desventaja mos Un argumento de base matemática plana contra el finitismo es: “Hay infinitos números primos. Así que el finitismo es falso ". (Note también cómo este argumento

7 La “tinta” tendrá que ser de tipo no molecular, ya que para que quepan números muy largos en la página, los números tendrán que hacerse cada vez más pequeños. 8La prueba clásica es una reductio ad absurdum. Si hay un número finito de primos, sea p el producto

de todos ellos. Entonces p + 1 es más grande que cada primo. Además, p + 1 no es divisible por ningún primo, ya que produce el resto uno cuando se divide por cualquier primo. Pero un número que no es divisible por ningún primo es primo. Entonces p + 1 es un primo más grande que todos los primos, lo cual es absurdo.

infinito, paradoja y matemáticas no parece afectar el finitismo causal, ya que los números parecen ser causalmente inertes). Pero tal vez cuando el finitista nos dijo que no podía haber una infinidad real de cosas, ¿estaba pensando en cosas concretas como habitaciones y no abstractas como números? Sin embargo, esto no es plausible. Porque mientras que los argumentos del finitista se formulan en términos de cosas concretas, las intuiciones sobre el tamaño que sustentan argumentos como (3) - (7) se aplican igualmente en el caso de lo abstracto. El hecho de que haya tantos números pares como números naturales es en sí mismo contradictorio, y el hotel simplemente lo hace más vívido. Así, el finitista no puede permitirse restringir su visión a entidades concretas, ya que al hacerlo deja paradojas sin respuesta que intuitivamente son exactamente del mismo tipo que las que ella resuelve. Además, la distinción entre objetos abstractos y concretos no es particularmente clara y, a menos que se aclare, es difícil decir por qué exactamente uno pensaría que las colecciones infinitas de cosas concretas son un problema pero las colecciones infinitas de cosas abstractas no lo son. Por ejemplo, una aclaración de la noción de concreción en la literatura la dan Pruss y Rasmussen (2018), quienes dicen que una entidad es concreta si y solo si es posible que la entidad cause algo. Si esto es correcto, en piensa que hay infinitos números primos, necesitaría responder por qué es que la posesión de poderes causales descarta los infinitos. Después de todo, aunque las habitaciones del hotel Hilbert presumiblemente tienen la posibilidad de causar cosas (por ejemplo, una pared puede causar dolor en un puño), nada en la paradoja dependía de las posibilidades causales de las habitaciones. También se podría decir que Hilbert's Hotel es imposible porque las habitaciones posiblemente tengan color. Por tanto, no es prometedor oponerse al argumento plano de los números primos sobre la base de una distinción entre abstracta y concreta. Sin embargo, una mejor opción es señalar que el argumento depende de una interpretación platónica de la oración "Hay infinitos números primos". Pero el platonismo no es la única posición en la filosofía de las matemáticas. Hay otras opciones. Pero no todas las otras opciones están disponibles para los finitistas. La finitista trabaja bajo la discapacidad especial de que no sólo piensa que la infinitud de los objetos matemáticos no existe, sino que piensa que nada con la estructura relevante —un aspecto central de esa estructura es la infinitud— posiblemente podría existir. Por tanto, el matemático es alguien que estudia situaciones imposibles. Pero si bien siempre ha sido una maravilla que algo tan enrarecido y abstracto como las matemáticas deba ser aplicable al mundo real, es un verdadero milagro que el estudio de cosas realmente imposibles sea de tanta relevancia para nosotros. ¿Cómo podría ser la reina de las ciencias naturales el estudio de estructuras imposibles? Considere también que las matemáticas involucran demostraciones de axiomas. Ciertos axiomas son controvertidos y, por lo tanto, no siempre se asumen. Por lo

finitismo: una hipótesis alternativa tanto, en algunos contextos, los matemáticos se desviven por señalar que no asumieron el axioma de la elección en una demostración. La razón para excluir los axiomas de los supuestos para una prueba es doble. La primera razón proviene de preocupaciones epistémicas acerca de la verdad del axioma. Dado que no estamos seguros de que el axioma de elección sea cierto, es más seguro no asumirlo. El segundo es teórico: incluso si el axioma dado fuera cierto, estaríamos interesados en saber cómo sería si tuviéramos un sistema que no cumpliera con ese axioma. Pero la finitista se supone que ha establecido, so pena del absurdo, que no puede haber infinitas cosas. Si eso está realmente establecido, entonces no tenemos una razón epistémica para excluir el axioma de la finitud —que hay solo un número finito de cosas— de los axiomas usados en nuestro trabajo matemático. Y si el axioma de finitud es necesariamente cierto, entonces la pregunta de cómo sería si un sistema no lograra satisfacer el axioma es más una pregunta de un lógico o filósofo que una pregunta para que el típico matemático se pregunte. Si bien algunos matemáticos de hecho estudian colecciones alternativas de axiomas para la teoría de conjuntos, los matemáticos típicos están felices de asumir axiomas de la teoría de conjuntos que encuentran intuitivos. Asimismo, si el axioma de finitud fuera necesariamente cierto, entonces la mayoría de los matemáticos en activo deberían asumirlo y estudiar sus consecuencias, en lugar de dedicarse al estudio del contrafáctico per imposible de lo que sucedería si hubiera infinitos. La práctica matemática resultante sería muy

sabiduría de esta atrevida propuesta dados los frutos que ha traído la práctica matemática actual.

La infinitud de los números primos, aunque sorprendente, quizás no sea la mayor dificultad para los finitistas. Un finitista puede adoptar el punto de vista de que los números naturales, y los subconjuntos infinitos de los mismos, como los números primos, pueden considerarse potencialmente infinitos, no en el sentido de que exista un potencial para generar el conjunto completo, sino en el sentido de que no sin importar cuántos miembros del conjunto se hayan generado, se puede agregar otro (ver Craig 1979, p. 200 y Oppy 2006, pp. 263-264). Esto podría incluso hacerse de una manera amigable para los nominalistas: no importa cuántas cajas tenga uno con un número primo de naranjas en cada una, se podría crear otra caja con un número primo diferente de naranjas.9 Pero tenemos un problema más grave. Porque las matemáticas no se limitan a afirmaciones sobre conjuntos infinitos particulares de números naturales. También habla de conjuntos de conjuntos de números naturales. Considere, por ejemplo, el 9Esta formulación no solo es compatible con el finitismo, sino que lo presupone, asumiendo que solo hay un número finito de cajas. Porque si tuviéramos un número infinito de tales casillas, podría darse el caso de que todos los números primos estuvieran representados entre las cuentas de casillas naranjas. 12 Agradezco a Blaise Blain esta sugerencia.

infinito, paradoja y matemáticas conjunto de potencias PN del conjunto de números naturales N. Este es el conjunto de todos los conjuntos de números naturales (es decir, el conjunto de todos los conjuntos cuyos miembros son números naturales). Este conjunto de potencias es infinito, pero el teorema de Cantor nos dice que es un conjunto incontable y, por lo tanto, no puede ser generado por una secuencia de suma sucesiva del tipo que podría usarse para generar el conjunto de todos los números primos. Los conjuntos como ese tampoco son raros en matemáticas: la práctica matemática cotidiana se dedica a la abstracción sobre la abstracción, estudiando felizmente conjuntos de conjuntos de conjuntos en múltiples niveles. Se podría intentar identificar conjuntos de números naturales con métodos para generar un conjunto por adición sucesiva.12 Pero como hay incontables infinitos conjuntos de números naturales, tendrá que haber incontables infinitos métodos de este tipo. Y eso violaría directamente el finitismo. Y por la razón cantoriana, no se puede hablar simplemente de un método para generar métodos: hay demasiados métodos para que el conjunto de métodos se genere simplemente agregando uno más a la vez, de la misma manera que el conjunto de números primos de cajas de naranjas pueden ser. ∗ if-thenism Obviamente, el finitismo socava el platonismo matemático. Para un ejemplo concreto de cómo el finitismo puede socavar otra visión plausible en la filosofía de las matemáticas, consideremos la filosofía de las matemáticas si-entoncesista que sostiene que los descubrimientos de las matemáticas son condicionales necesarios tales como: “Necesariamente si estos axiomas se aplican a un sistema, entonces en ese sistema hay infinitas entidades que cuentan como números pr No se afirma que estos axiomas sean válidos para un sistema y, por lo tanto, no se afirma que en realidad hay infinitas cosas. Pero una proposición p implica una proposición q siempre que en todo mundo posible donde p sea verdadero, q también lo sea, o, de manera equivalente, siempre que no haya un mundo donde p sea verdadero pero q no lo sea. Por tanto, una proposición imposible implica toda proposición, ya que no hay mundo donde una proposición imposible sea verdadera. Pero el finitista afirma que es imposible que haya un número infinito de cosas. Por tanto, cualquier axioma que implique que hay infinitos números primos implica todas las proposiciones. Por lo tanto, dado el finitismo, no solo es cierto que necesariamente si los axiomas de la aritmética son verdaderos, entonces hay infinitos números primos, sino que también es cierto que necesariamente si los axiomas de la aritmética son verdaderos, entonces ocurre una imposibilidad y, por lo tanto, necesariamente si el los axiomas de la aritmética son verdaderos, luego hay círculos cuadrados y triángulos redondos. El si-entoncesista finitista podría querer distinguir entre necesidades. Quizás exista una necesidad metafísica —la necesidad de decir que el agua es H2O y que nada puede ser su propia causa— y una necesidad estrictamente lógica, es decir, la

finitismo: una hipótesis alternativa demostrabilidad en un sistema lógico. A los matemáticos no les interesa la afirmación de que es metafísicamente necesario que si los axiomas se mantienen, entonces hay infinitos números primos. Más bien, su interés está en la afirmación de que el condicional es lógicamente necesario, que se puede probar la existencia de infinitos números primos a partir de estos axiomas. Esto empuja al si-entoncesista a una versión del logicismo que sostiene que los descubrimientos de las matemáticas tienen que ver con la demostrabilidad lógica. Se sostiene ampliamente que el logicismo ha sido desacreditado por los teoremas de incompletitud de Gödel (Hellman 1981). Pero la versión del logicismo que ha sido directamente desacreditada es aquella que identifica la verdad matemática con la demostrabilidad, dado que Gödel demostró que en todo sistema lógico (recursivo) que contenga suficiente aritmética habrá verdades indemostrables. La versión del logicismo en discusión es diferente. No se afirma que las verdades matemáticas sean proposiciones demostrables. Más bien, la versión actual del logicismo sostiene que lo que los matemáticos descubren es simplemente que algunas oraciones (digamos, ciertas oraciones condicionales materiales) pueden ser probadas. El tema real de las matemáticas desde este punto de vista son las pruebas o demostrabilidad en lugar de la verdad matemática. Pero esto es realmente inverosímil. Por lo general, nos interesan las pruebas no por el hecho metamatemático de que algo puede probarse, sino por el hecho de saber que lo que puede probarse, tal vez un condicional, si el entoncesismo es correcto, es de hecho. cierto. Seguramente es la verdad de los condicionales matemáticos lo que los hace aplicables, y la prueba no es más que una herramienta para aprender acerca de la verdad. Además, la demostración no es la única técnica utilizada por los matemáticos. Muchos se dedican a la experimentación numérica. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach dice que todo entero par mayor que dos es la suma de dos primos. Esto ha sido verificado por computadora, que todo entero par mayor que dos hasta 4 × 1018 es la suma de dos primos (Silva 2015). Hay un argumento inductivo sencillo (en la ciencia, no en las matemáticas, el sentido de "inductivo") de esto de que todos los enteros pares mayores que dos son así. Sin embargo, no hay un argumento inductivo

experimentos para que sea demostrable que todos los números enteros tienen esa propiedad.10 De hecho, el científico informático Donald Knuth se tomó en serio la

10Para cualquier n para la cual la conjetura de Goldbach es verdadera, es demostrable que la conjetura de Goldbach es verdadera para n: todo se necesita para demostrar una gran cantidad de multiplicaciones largas para verificar que dos sumas primarias en las que se descompone son de hecho primos. Por lo tanto, existe un argumento inductivo de que para cada n, se puede demostrar que la conjetura de Goldbach se cumple para n. Pero de la afirmación de que la conjetura de Goldbach es demostrable para cada n particular no parece derivarse de la afirmación de que se puede demostrar que se cumple para todo n.

infinito, paradoja y matemáticas posibilidad de que la conjetura de Goldbach sea cierta pero no demostrable. 11 Podemos entender mejor la experimentación numérica si consideramos que las matemáticas son una búsqueda de la verdad en lugar de la demostrabilidad. En otras palabras, en el espíritu del si-entoncesismo podemos suponer que las matemáticas se tratan de implicación o de demostrabilidad. El primero explota (todas las verdades están implícitas en axiomas que implican infinitos) si el finitista tiene razón en que los infinitos reales son imposibles, mientras que el segundo es insatisfactorio en general.

4.4 Infinitos futuros Para tener una teoría que sea del todo plausible, el finitista tiene que permitir la posibilidad de infinitos futuros. Seguramente es posible que una moneda sea lanzada infinitamente a menudo, digamos, o que alguien viva una cantidad infinita de días (digamos, en una vida futura). Para que el finitismo permitiera la posibilidad metafísica de tales escenarios, tuvimos que acoplar el finitismo con una teoría del bloque creciente del tiempo (o presentismo, pero, como se señaló, eso no ayuda con suficientes paradojas) en lugar del eternismo. Pero al menos algunas de las paradojas de contar que motivan el finitismo se pueden ejecutar de una manera diacrónica hacia el futuro. Tomemos primero la paradoja sobre números naturales y primos que hice vívidos con trozos de papel de colores. Supongamos ahora que todos los días durante un período infinito de tiempo se producirá una nueva hoja de papel, verde por un lado y rojo por el otro. Supongamos, además, que el lado verde de la n-ésima hoja de papel tendrá escrito n, y el lado rojo tendrá escrito el n-ésimo primo. Seguramente tiene sentido hablar de cuántos eventos de algún tipo sucederán en un futuro infinito.12 Ahora podemos ejecutar este argumento: (8)

El número de lados verdes producidos será igual al número de lados rojos producidos.

(9)

El número de lados verdes producidos será igual al número de enteros positivos anotados.

(10) El número de lados rojos producidos será igual al número de números primos anotados. (11) Todos los enteros positivos y todos los primos se anotarán. (12) Entonces, el número de enteros positivos es igual al número de primos.

11Ver Knuth (2002). Un problema similar surge con la Hipótesis Riemann Zeta (RZH), y el lógico Martin Davis ha especulado que RZH es un buen candidato para ser indemostrable (Jackson 2008, p. 571). 12 Especialmente si los eventos son producidos por algún proceso determinista, como en este caso podemos imaginar que es el caso.

finitismo: una hipótesis alternativa Quizás un teórico de bloques en crecimiento negará que las afirmaciones sobre contar eventos u objetos futuros, al menos cuando ese número es infinito, tengan algún sentido. Pero eso sería una reductio ad absurdum del cargo. Seguramente tiene mucho sentido decir que si lanzara una moneda al aire infinitas veces, probablemente saldría cara infinitamente a menudo. En cualquier caso, de hecho, podemos encontrar sentido al contar cosas futuras dado el presentismo o el bloqueo creciente. Los detalles técnicos se dan en el Apéndice de este capítulo. Por tanto, las cosas futuras pueden contarse incluso si no suponemos su existencia real. Las paradojas del conteo infinito, por lo tanto, solo se eliminan suponiendo el finitismo cuando ese finitismo también requiere números finitos de objetos futuros, y eso no es un finitismo plausible.

5. ∗ Definiendo lo finito y lo contable 5.1 Lo finito La definición matemática estándar de un conjunto finito es que S es finito si y solo si S tiene la misma cardinalidad que el conjunto {0, 1, 2, ..., n} para algún número natural n. Una dificultad con esta definición es que presupone el concepto de un número natural, y uno puede preocuparse razonablemente de que los números naturales sean precisamente los números que cuentan los elementos en un conjunto finito. Por supuesto, podemos establecer axiomas explícitos que satisfacen los números naturales, digamos los axiomas de Peano. Pero los números naturales no son la única estructura matemática que satisface estos axiomas. Por ejemplo, los números hipernaturales satisfacen los mismos axiomas (cf. Robinson 1996), y sin embargo incluyen números que desde nuestro punto de vista intuitivo son infinitos, y según el primer teorema de incompletitud de Gödel, cualquier conjunto similar de axiomas no podrá caracterizar completamente los números naturales. .13 Otra dificultad es que la noción de igualdad de cardinalidad depende de correspondencias uno a uno, lo que depende de la teoría de conjuntos de fondo, y nuevamente tenemos el problema de que cualquier teoría de conjuntos de fondo puede extenderse. Alternativamente, podríamos intentar caracterizar un conjunto finito como uno que se vuelve más pequeño cuando se elimina un elemento, es decir, un conjunto cuyos elementos no se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los de un subconjunto adecuado. 14 Esta definición también depende de la teoría de conjuntos de antecedentes para la noción de “correspondencia uno a uno”.

13 La aritmética de segundo orden caracteriza los números naturales, pero solo en relación con una teoría de conjuntos de fondo (cf. Shapiro 1985, p. 735). 14 Como se señaló anteriormente, esto solo define un conjunto finito de Dedekind, pero dada una versión débil del axioma de elección, es equivalente a la definición habitual basada en números naturales.

infinito, paradoja y matemáticas Uno puede estar satisfecho con las definiciones anteriores, pero el finitismo causal hace posible una definición metafísica en lugar de teórica de conjuntos. Dado el finitismo causal, cualquier pluralidad de objetos que tenga un efecto conjunto debe ser finito. Luego observe que si las ys son una pluralidad finita de objetos, y hay una relación R tal que para cada x0 entre las xs hay una y0 entre las ys tal que x0 está en R a y0 y nada más entre las xs está en R a y0, entonces las x son también una pluralidad finita.

∗ definir lo finito y lo contable

Ahora podemos ofrecer esta definición: (13) Hay un número finito de xs si y solo si posiblemente hay ys tales que (a) posiblemente las ys estén todas en la historia causal de un solo elemento y (b) posiblemente haya una relación R tal que para cada x0 entre las xs hay una y0 entre las ys tal que x0 se sitúa en R a y0 y nada más entre las xs se sitúa en R a y0. Suponiendo el finitismo causal, podemos argumentar que si las x satisfacen el lado derecho de (13), hay un número finito de ellas. La condición (a) y el finitismo causal garantizan que hay un número finito de y en algunos mundos posibles. Pero como los elementos de una pluralidad no varían entre mundos posibles donde existe esa pluralidad, y dado que la finitud depende intuitivamente sólo de los elementos de una pluralidad, se sigue que hay un número finito de ys en cada mundo posible donde existen ys. La condición (b) garantiza entonces que en algún mundo posible no hay más xs que ys y, por lo tanto, solo hay un número finito de xs allí. Y por el mismo razonamiento que antes, se deduce que en realidad solo hay un número finito de x. Lo contrario depende de algunas tesis plausibles sobre lo que es posible. Es plausible que, si hay un número finito de xs, es posible tener un número finito de seres mentales, los ys, de modo que cada uno de los ys piense exactamente en una de las xs y cada una de las xs esté pensada exactamente por uno de los ys. También es plausible que podamos exigir además que los seres mentales produzcan un solo efecto juntos, tal vez una declaración de comité sobre las x. Entonces, si dejamos que R sea la relación "en la que se piensa", el lado derecho de (13) quedará satisfecho. Por tanto, dado el finitismo causal, (13) es verdadero, y como el finitismo causal es una afirmación sobre lo que es necesariamente el caso, el argumento se puede ejecutar en cualquier mundo, y por tanto (13) es necesariamente cierto. Por tanto, dado el finitismo causal, (13) es intencionalmente correcto. Si es una buena definición es otra cuestión. Y como beneficio adicional, una vez que tenemos una definición metafísica de lo finito, podemos obtener una definición metafísica de lo contable. Una relación de orden total es transitiva (si a ≤ byb ≤ c entonces a ≤ c), antisimétrica (si a ≤ byb ≤ a entonces a = b), y total (a ≤ bo b ≤ a para todos ayb) relación. Entonces: (14) Hay innumerables xs si y solo si es posible tener una relación de ordenamiento total ≤ en las xs tal que para cualquier b entre las xs solo hay un número finito de a entre las xs tales que a
infinito, paradoja y matemáticas identidad. Pero la trivialización no está completa. Porque mientras que el enunciado del finitismo causal es trivialmente cierto, lo que no es trivialmente cierto es que la definición de lo finito satisface nuestras creencias intuitivas sobre lo finito. Se puede hacer algo similar con el finitismo en lugar del finitismo causal. De hecho, dado el finitismo, podemos eliminar la condición (a) en (13). Pero hemos visto que el finitismo no es satisfactorio.

5.2 Modelos aceptables para los axiomas de la aritmética Uno de los problemas más profundos de la filosofía de las matemáticas es cómo nuestras mentes se conectan con las realidades matemáticas. ¿Qué hace que nuestra palabra "siete" se conecte con un objeto matemático en particular y nuestra frase "el conjunto de números primos" se conecte con otro objeto matemático en particular? Una versión de la dificultad es el famoso problema de identificación de Benacerraf (1965). Hay una infinidad de conjuntos de entidades matemáticas que podrían desempeñar el papel del conjunto de números naturales, de modo que las mismas verdades matemáticas se aplicarán a todos ellos. Por ejemplo, podríamos identificar los números naturales 0, 1, 2, 3, ... con la secuencia ∅ , {∅ }, {∅ , {∅ }}, {∅ , {∅ }, {∅ , {∅ } }}, ..., donde el primer elemento de la secuencia es el conjunto vacío y cada elemento de la secuencia es el conjunto de todos los elementos anteriores, y luego defina las operaciones aritméticas en consecuencia. Alternativamente, podemos identificar los números naturales con la secuencia ∅ , {∅ }, {{∅ }}, {{{∅ }}}, ..., y definir las operaciones aritméticas en consecuencia. En ambas definiciones, habrá infinitos números primos, se mantendrá el último teorema de Fermat y, en términos generales, todas las verdades aritméticas verdaderas en uno de estos escenarios serán verdaderas en el otro, porque habrá un isomorfismo (técnicamente, equivalencia elemental) entre ellos. . Pero si bien el problema de identificación de Benacerraf es desconcertante para la filosofía de las matemáticas, no es un gran problema para el matemático trabajador típico. Al matemático trabajador típico no le importa qué construcción de los números naturales se utilice, porque todos dan lugar a las mismas verdades aritméticas. La teórica de los números que trabaja puede decir que está feliz de que su teoría de los números se interprete en cualquiera de estos modelos de la teoría de conjuntos de los números naturales. Los modelos son todos equivalentes, por lo que no importa cuál elijamos. Sin embargo, existe un problema de identificación que corta más profundamente que el de Benacerraf. Del primer teorema de incompletitud de Gödel (Boolos y Jeffrey 1995, p. 188) junto con el teorema de solidez, aprendemos que axiomas consistentes (recursivamente especificables) suficientes para hacer aritmética subdeterminan verdades aritméticas, de modo que para tales axiomas habrá una oración s eso es cierto en algunos modelos de los axiomas y falso en otros. No es cierto que todos los modelos relevantes de la teoría de conjuntos sean isomorfos, por

lo que no podemos decir alegremente que no importa cuál elijamos. Hay una infinidad de modelos que no son isomórficos entre sí.15 Todavía hay un retiro disponible para el matemático que trabaja. Puede decir que confía en sus axiomas favoritos, digamos los axiomas de Peano de la teoría de números o los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, y todo lo que le interesa es la cuestión de qué se puede demostrar a partir de estos axiomas. Pero el hecho de estar incompleto no lo deja a uno fuera del apuro tan fácilmente. Porque la demostrabilidad es en sí misma una noción matemática, y las demostraciones de Gödel de sus teoremas de incompletitud procedieron mostrando que se pueden codificar oraciones y demostraciones como números naturales. ∗ definir lo finito y lo contable Un ejemplo simple es usar un alfabeto y un conjunto de símbolos de 90 caracteres o menos, y luego codificar cada letra y símbolo como una secuencia de dos dígitos entre 10 y 99 (A = 10, B = 11, C = 13, etc.) y codificar una secuencia finita arbitraria de letras y símbolos como un número decimal que consta de cadenas de estas secuencias de dos dígitos (por ejemplo, ABCA = 10111310). La propiedad de ser una fórmula u oración bien formada se vuelve equivalente a una propiedad del número de codificación que se puede poner en el lenguaje de la aritmética, y la propiedad de ser una prueba de alguna oración se vuelve equivalente a una relación aritmética entre la codificación del número. la supuesta prueba y el número que codifica la sentencia final. Una lección de la codificación es que la cuestión de qué puede demostrarse a partir de algunos axiomas (especificables de forma recursiva) en sí es una cuestión aritmética. Así, si tenemos una subdeterminación del modelo de la aritmética, corremos el peligro de tener una correspondiente subdeterminación de lo que puede demostrarse a partir de qué, y el retroceso a la demostrabilidad no ayuda. Uno podría esperar que el peligro no se produzca, porque quizás todos los modelos de aritmética que concuerdan con nuestros axiomas favoritos —digamos, los axiomas de Peano— también estarán de acuerdo en lo que puede demostrarse a partir de qué. Sin embargo, el segundo teorema de incompletitud de Gödel perfora esa esperanza. Porque de acuerdo con el Segundo Teorema de Incompletitud, una axiomatización consistente (recursivamente especificable) suficiente para hacer aritmética no puede probar que es consistente, es decir, no puede probar un enunciado aritmético que sea equivalente al enunciado de que la axiomatización es consistente. De Second Incompleteness se deduce que existe un modelo de axiomas según el cual los axiomas no son consistentes. Pero si los axiomas son de hecho consistentes, también existe un modelo — intuitivamente, un modelo correcto — según el cual los axiomas son consistentes. En otras palabras, los modelos de los números naturales no están de acuerdo sobre qué axiomatizaciones son o no

15

A continuación, se repiten las aplicaciones de Primera incompletitud y Solidez.

infinito, paradoja y matemáticas consistentes. Pero la cuestión de qué axiomatización es coherente o no es precisamente una cuestión de qué se puede probar a partir de qué. Porque una axiomatización es consistente si y solo si una contradicción explícita (digamos, que 0 = 0 y 0 = 0) no se puede probar a partir de ella. Por lo tanto, asumiendo que nuestra axiomatización es consistente, sus modelos discrepan sobre si se puede probar una contradicción a partir de ella y, en particular, discrepan sobre la demostrabilidad. Tampoco podemos decir que aquello en lo que los modelos discrepan sea matemática o filosóficamente poco interesante. Porque, como vimos, en lo que los modelos discrepan es en una de las preguntas más interesantes de las matemáticas y su filosofía: si nuestros axiomas favoritos de la aritmética son consistentes. Si no tenemos una forma de conectar nuestros pensamientos sobre los números (o, de manera equivalente, las oraciones) con una familia de modelos de aritmética que concuerden en la cuestión de la consistencia, tenemos que decir que la cuestión de la consistencia es literalmente una tontería, y que no parece plausible.16

La retirada a lo que puede demostrarse a partir de los axiomas no escapa, pues, al problema de los modelos aritméticos en desacuerdo. Podríamos ser capaces de resolver el problema diciendo que nuestro interés en la teoría de números no está en descubrir qué es verdad de los números naturales ni en descubrir qué es demostrable sobre ellos, sino simplemente en generar pruebas. Este parece ser un retiro costoso que socava las motivaciones de la curiosidad matemática. Sin embargo, la explicación causal finitista de lo finito de la sección 5.1 avanza hacia la solución del problema de la subdeterminación de la aritmética. Para motivar esto, comience con el pensamiento intuitivo de que existen los números naturales "genuinos" y, por lo tanto, que existe la demostrabilidad "genuina", es decir, la demostrabilidad por medio de pruebas que pueden codificarse como naturales genuinos. números. Pero hay modelos de aritmética llamados “no estándar”, que se suman a los números naturales aritméticos que desde nuestro punto de vista “genuino” son infinitos, pero que no obstante satisfacen los Axiomas de Peano. 17 Estos números naturales infinitos pueden entonces considerarse como codificaciones de "pruebas infinitas".18 Y no es de extrañar que la demostrabilidad dependa de las infinitas pruebas permitidas, si las hay. 19 Este pensamiento intuitivo

16Por supuesto, se podría agregar a los axiomas de Peano la afirmación de que los axiomas de Peano son consistentes. Pero entonces el mismo argumento del Segundo Incompleto se aplicará a los Axiomas de Peano complementados con la afirmación de que son consistentes: los axiomas complementados subdeterminarán si los axiomas complementados son consistentes, asumiendo que de hecho lo son. 17 La aritmética no estándar de Robinson (1996) probablemente será más familiar para los filósofos, pero no ejemplifica la variación relevante con respecto a la demostrabilidad. 18Cf. la frase "prueba no estándar" en Kunen (1980, p. 146). 19Es famoso que Leibniz pensó que había infinitas pruebas y, de hecho, basó una explicación de la diferencia entre contingencia y necesidad en la diferencia entre lo que tiene infinito y lo que tiene prueba finita. Sin embargo, Leibniz pensó que había una noción absoluta de prueba infinita, mientras que la lección de Second Incompleteness es que las pruebas infinitas que existen variarán entre modelos.

sugiere que para salir del problema, necesitamos una forma de limitar nuestros números y pruebas para que sean finitos. Y vimos en la sección 5.1 que el finitista causal (o el simpliciter finitista) puede dar cuenta de lo finito. Ahora podemos especificar que solo contamos como aceptables aquellos modelos M de aritmética que tienen esta propiedad: (15) Para cualquier número natural n de M, solo hay un número finito de números naturales de M menores que n, donde “finitamente muchos” se entiende metafísicamente según la explicación de la Sección 5.1. Esto no resuelve el problema de identificación de Benacerraf: si un modelo satisface (15), también lo hará cualquier modelo isomorfo a él. No determina todos los axiomas de la teoría de conjuntos, ya que se pueden tener modelos no equivalentes de teoría de conjuntos que compartan los mismos números naturales. Pero en lo que puede ayudar es en el aspecto más radical del problema de la subdeterminación, el problema de los modelos que discrepan sobre los números naturales y, por tanto, sobre la demostrabilidad. Porque es una tesis metafísica bastante plausible, una tesis aparentemente no afectada por los teoremas de la incompletitud, que dos modelos cualesquiera de la aritmética de Peano que satisfacen (15) son isomorfos y, por lo tanto, al menos concuerdan en su demostrabilidad. Por supuesto, podemos conectar cualquier explicación metafísica de lo finito en (15). Pero la explicación finitista causal que se acaba de dar está convenientemente disponible. Evaluación Dados algunos supuestos adicionales, el finitismo implica el finitismo causal y, por lo tanto, tiene todos los beneficios del finitismo que excluyen la paradoja. Pero el finitismo es una extralimitación. Los absurdos afirmados como apoyos del finitismo pueden tomarse razonablemente como simples indicadores de la extrañeza del infinito. El finitismo causal es una tesis más modesta y esa es una razón para preferirla. Además, el finitismo pone en peligro las matemáticas. No solo no se realizan estructuras matemáticas ampliamente estudiadas como los números naturales, sino que dado el finitismo son cosas imposibles, como una molécula de agua con tres átomos de hidrógeno o una roca autocausada. El finitismo causal no tiene tales problemas. Es compatible con una infinidad de entidades platónicas causalmente inertes, y es compatible con la existencia de una infinidad de entidades concretas que, digamos debido a su disposición espacio-temporal, no pueden cooperar causalmente entre sí. A continuación, si uno tiene motivos para aceptar el eternismo —la realidad plena de los eventos y objetos pasados y futuros—, entonces debe rechazar el finitismo. Porque es metafísicamente posible tener un universo que continuará por un futuro

infinito, paradoja y matemáticas infinito para generar nuevas entidades, y dado el eternismo, esta posibilidad es incompatible con el finitismo. En este capítulo, también vimos una aplicación interesante del finitismo causal: permite una definición metafísica de lo finito. Esa aplicación muestra que existe algún beneficio teórico del finitismo causal para la filosofía de las matemáticas y, por lo tanto, proporciona alguna evidencia del finitismo causal. En el resto del libro, espero aumentar el nivel de evidencia a uno que considere bastante convincente, principalmente resolviendo una serie de paradojas interesantes.

Apéndice: ∗ Contar cosas futuras Podemos dar una definición precisa de lo que significa decir que habrá n cosas (objetos, eventos, etc.) de algún tipo K, incluso para n infinito, sin ningún compromiso con la existencia real de cosas futuras. Para simplificar, asumiré que K es un tipo tal que si una cosa es alguna vez K, siempre es K. (Si queremos contar miembros de algún tipo de etapa, como los estudiantes, simplemente podemos reemplazar un tipo de etapa K0 con el tipo de etapa K0-enalgún-tiempo-futuro-u-otro.) La definición que daré funcionará tanto en el presentismo dado como en el bloque creciente. Para continuar, sea F el conjunto de todos los conjuntos de tiempos que contienen al menos un tiempo futuro. Suponga que S ∈ F.Entonces S es un conjunto de tiempos con al menos un tiempo futuro que es miembro de S. A continuación, digamos que una x existente en el presente ocupa exactamente temporalmente S siempre que x existiera, exista o existirá en absoluto y solo los tiempos en S. El concepto de ocupación temporal exacta tiene sentido tanto en el bloque creciente como en el presentismo. Nuestro método para contar los K futuros será contar cuántas cosas hay que ocupan exactamente temporalmente cada S en F, y luego sumar eso en todos los valores de S ∈ F. Para ser más precisos, suponga que para algún tiempo futuro t en S, hay una cardinalidad n (cero, finita o infinita) tal que en t lo siguiente será cierto: (dieciséis)Actualmente hay exactamente n Ks que ocupan exactamente S.

Si es así, en cualquier otro momento futuro t en S, (16) también será cierto. En otras palabras, si hay cardinalidad n que satisface (16) en un momento t en S, esa misma cardinalidad la satisfará en otros momentos en S. Para cada uno de los K que existirá en t y que ocupará exactamente temporalmente S también existen en t y también ocupará S exactamente temporalmente, y viceversa, por lo que la cuenta de Ks que ocupan S exactamente temporalmente no puede cambiar entre los tiempos en S. En este caso, definiré nK (S) como igual an, y lo anterior El argumento muestra que nK (S) no depende de la elección del tiempo futuro t en S. La otra posibilidad es que en ningún momento t en S haya una cardinalidad n satisfactoria (16). Por ejemplo, si K es el conjunto de tipos y S es el conjunto de todos los tiempos, entonces

no habrá tal cardinalidad ya que no hay cardinalidad de la colección de todos los conjuntos. 20 En ese caso, diré que nK (S) no está definido. Ahora tenemos una forma de contar el número de K que existirán. Si para algún conjunto S de tiempos que contiene al menos un tiempo futuro la cantidad nK (S) no está definida, decimos que no existe cardinalidad de Ks que existirá. Pero si nK (S) siempre se define, entonces decimos que la cardinalidad del número de Ks que existirá es la suma de nK (S) cuando S se extiende sobre los miembros de F.21 Vale la pena señalar entre paréntesis que la construcción anterior tiene otro uso interesante. Lewis (2004) preguntó si un presentista puede hacer afirmaciones como "Hubo, hay o alguna vez habrá exactamente n vacas", y dio una técnica de traducción complicada de tiempo anidado para que un presentista haga tales afirmaciones para números finitos n, pero señaló que su técnica falla por infinitas cardinalidades n. Mi técnica anterior, sin embargo, permite a un presentista hacer un conteo de tiempo cruzado con cardinalidades tanto finitas como infinitas. Todo lo que se necesita es eliminar el requisito de que los conjuntos S en F contienen al menos un tiempo futuro, y luego, en lugar de decir que en algún tiempo futuro t en S la cardinalidad n satisfará (16), diríamos que en algún tiempo t en S, la cardinalidad n cumplió, cumple o satisfará (16).

2 Regresiones infinitas 1. Cómo violar el finitismo causal El finitismo causal dice que no puede haber infinitas causas detrás de un efecto (la redacción es deliberadamente vaga; nos esforzaremos por lograr una mayor precisión en el capítulo 7). Hay dos formas intuitivas de violar esto: (a) una regresión causal infinita, o (b) un número infinito de causas que cooperan juntas para producir un solo efecto. (Fig. 2.1.) De hecho, resultará ser un teorema que estas son las dos únicas formas de violar el finitismo causal. El finitismo causal dice entonces que las violaciones de tipo (a) son imposibles al igual que las violaciones de tipo (b). En este capítulo, me centraré en los argumentos en contra de las regresiones causales, es decir, las violaciones de tipo (a). Procederé dividiendo las regresiones causales típicas en tres 20Por

definición, solo los conjuntos tienen cardinalidades. Pero la colección de todos los conjuntos no

es un conjunto, como se desprende de la paradoja de Russell. Porque si fuera un conjunto A, entonces por el axioma de separación podríamos formar el subconjunto Russell R = {x ∈ A: x ∈ / x} de todos los miembros de A que no son miembros de sí mismos. Entonces, R sería el conjunto de todos los conjuntos que no son sus propios miembros, por lo que tendríamos R ∈ R si y solo si R ∈ / R, una contradicción. 21 Si queremos ser más precisos, podemos hacer que la cardinalidad del número de Ks sea igual a la cardinalidad del conjunto {{S} × nK (S): S ∈ F}, donde pensamos en la cuenta nK (S ) como ordinal.

infinito, paradoja y matemáticas tipos principales y argumentaré en contra de cada subtipo. Los argumentos difieren en fuerza, pero será más sencillo suponer que no son posibles regresiones causales que simplemente que no son posibles regresiones causales de un tipo particular. Con todo, tendremos un buen caso en contra de las regresiones y, por lo tanto, alguna evidencia del finitismo causal en general. Los argumentos de este capítulo no se centran en paradojas, Dada una formulación teórica de grafos plausible del finitismo causal, y dada una versión del axioma de elección de la teoría de conjuntos, en el Apéndice de este capítulo se demuestra que (a) y (b) son las únicas dos formas de violar el finitismo causal .

Figura 2.1 Las dos formas de violar el finitismo causal: regresión (izquierda) y cooperación infinita (derecha).

tipo (i): regresiones no causadas

Por lo tanto, las violaciones del infinitismo causal se presentan en dos variedades: regresiones infinitas como (b) y casos en los que infinitas causas trabajan juntas para un solo efecto. Quizás sorprendentemente La lámpara de Thomson, con la que comenzó el libro, es del segundo tipo. Cada movimiento del interruptor contribuye causalmente al estado final de la lámpara. Pero no hay regresión hacia atrás, porque aunque cada cambio de interruptor es seguido por un número infinito de cambios adicionales, está precedido como máximo por un número finito.

2. Regresos causales infinitos Las regresiones causales infinitas parecen dividirse en tres tipos principales: (i) regresa sin nada fuera de la regresión que causa los elementos en la regresión, (ii) regresa con algo fuera de la regresión que actúa a través de los elementos en el progreso como causas intermedias, (iii) regresa con algo fuera de la regresión que causa directamente todos los elementos de la regresión. Un ejemplo de una regresión de tipo (i) lo da la explicación no teísta del universo de la regresión causal infinita de Hume (1779): el estado presente es causado por uno anterior, que es causado por uno aún anterior, y así sucesivamente. Las regresiones de tipo (i) se distinguen de los tipos (ii) y (iii) por no ser causadas. Un ejemplo paradigmático de regresión de tipo (ii) es el caso de la caída de una manzana que provoca el aterrizaje de una manzana en el suelo en un universo con tiempo continuo donde un número infinito de estados intermedios de caída de manzanas actúan como causas intermedias. (Para un análisis más detallado de tales casos, consulte el Capítulo 8.) En algunos escenarios teístas surge una regresión de tipo (iii). Tomás de Aquino pensó que, aunque de hecho Dios creó un mundo con un pasado finito, podría haber creado un mundo con un pasado infinitamente largo.22 Además, pensaba que Dios era directamente la causa principal de todos los eventos del mundo. Formalmente, son posibles otras opciones. Por ejemplo, uno podría imaginar una regresión infinita donde los elementos pares son causados directamente por un elemento externo y los impares funcionan como causas intermedias. O uno podría tener una regresión similar al tipo (iii) pero donde solo una colección inicial infinita de causas es causada por el elemento externo. Pero es plausible que si los tres tipos principales son imposibles, los casos más recónditos también lo serán. Por ejemplo,

22Santo Tomás de Aquino (1920, I.46.2) sostiene que no se puede probar que el pasado es finito, y que no se debe intentar "dar ocasión a los incrédulos de reír". Si tiene razón en eso, este libro podría al menos proporcionar algo de comedia al lector.

regresiones infinitas si los elementos pares son causas intermedias, al eliminar los elementos impares, obtenemos una regresión de tipo (ii).

Además, mis argumentos aquí son sólo una parte de mis argumentos generales a favor del finitismo causal. Más casos de historia causal infinita que podemos descartar, lo más probable es que piense en ello como un argumento inductivo, que todas las historias causales infinitas son imposibles. Ahora consideramos los tres tipos de regresiones en orden.

3. Tipo (i): regresiones no causadas 3.1 malicia Algunas regresiones son viciosas. Explicar por qué la tierra no cae diciendo que está sobre el lomo de una tortuga es dejar sin respuesta la pregunta de por qué la tortuga no cae. Agregar a la historia una secuencia infinita de tortugas, una debajo de la otra, es afirmar una regresión viciosa. Del mismo modo, los infinitistas del ritmo como Klein (1998), creer en una proposición sobre la evidencia de otra proposición, y creer en la segunda debido a una tercera, y así sucesivamente ad infinitum, es tener una regresión de justificación viciosa. Pero no todas las regresiones son viciosas. Por lo que sabemos, hay hoy y habrá mañana, y para cada día habrá un próximo. Está el número 0, el número 1, el número 2 y así sucesivamente (así como el número -1, el número -2, etc.). Si uno tiene evidencia de p, tiene evidencia de que p es verdadero, y que es cierto que p es verdadero, y que es cierto que es cierto que p es verdadero, nuevamente ad infinitum. Parece haber una forma muy obvia de dividir los casos que seleccioné anteriormente. Los casos viciosos son regresiones de dependencia, regresiones donde cada elemento depende del siguiente: la posición de la tierra depende de la tortuga y así sucesivamente, la justificación de una proposición depende de otra, y así sucesivamente. Los virtuosos no son regresiones de dependencia; puede haber dependencia, pero en una dirección inversa (la evidencia de p normalmente no depende de la evidencia de la verdad de p, sino viceversa). La causalidad es una especie de dependencia. Por tanto, las regresiones causales infinitas son viciosas. Y, plausiblemente, las regresiones viciosas son imposibles. Pero nos estamos moviendo demasiado rápido. Porque, poniendo entre corchetes las consideraciones finitistas causales, parece posible tener una regresión de justificación no viciosa, y la justificación implica una especie de dependencia. Sea pn la proposición de que hay al menos n unicornios en el universo. Para simplificar, suponga que pn es verdadero para todo n, por lo que hay infinitos unicornios. Supongamos además que hay infinitos observadores de unicornios expertos, y que el enésimo de ellos me testifica que pn es cierto. Entonces, mi creencia de que hay al

tipo (i): regresiones no causadas menos un unicornio se justifica por mi creencia de que hay al menos dos, lo que a su vez se justifica por mi creencia de que hay al menos tres unicornios, y así sucesivamente (figura 2.2). Este caso se diferencia de una regresión viciosa de la justificación en la que la justificación entra, por así decirlo, de la nada (¿o del infinito?). Pues en nuestro caso, toda la justificación toca fondo de una manera nada paradójica en el testimonio de los observadores. Aún así, es una secuencia infinita de relaciones de justificación,

Experto 1

Experto 2

Experto 3

Experto 4

Figura 2.2 El testimonio de expertos en unicornios.

pn+ 1 para todos los n. Este es un caso de sobredeterminación a nivel de los pasos en la regresión: pnestá justificado por el testimonio del enésimo perito así como por pn + 1. Se pueden fabricar casos similares de sobredeterminación en el caso de causalidad. Supongamos que hay infinitas luces, numeradas 1, 2, ..., cada una equipada con su propio interruptor y detector de luz, y configuradas de modo que la lámpara n se encienda si se presiona su interruptor o si se activa el detector de luz o ambos. . Además, el detector de luz de la lámpara n apunta a la lámpara (n + 1) y, por lo tanto, enciende la lámpara n-ésima si la lámpara (n + 1) está encendida. Suponga que se presionan simultáneamente todos los interruptores. Entonces la primera lámpara está encendida porque detecta que la segunda está encendida y la segunda está encendida porque detecta que la tercera está encendida, ad infinitum. Pero también está sobredeterminado que estén encendidos debido a los interruptores, y no parece haber nada cruel en el caso. Quizás, sin embargo, en casos de sobredeterminación no deberíamos decir que tenemos dependencia de cada uno de los elementos sobredeterminantes. Más bien, dependemos de la disyunción de los sobredeterminadores. Si es así, entonces no tenemos regresiones. Por ejemplo, la justificación de p1 depende de la justificación de p2 desvinculada del testimonio del perito 2, pero esta disyunción no obtiene su

regresiones infinitas justificación de p3 desvinculada del testimonio del perito 3. De manera similar, el estar encendido de la lámpara n depende del evento disyuntivo de la lámpara n + 1 encendida o el interruptor de la lámpara n presionado. Y quizás este evento disyuntivo no debería tomarse como dependiente del evento disyuntivo de la lámpara n + 2 encendida o el interruptor de la lámpara n + 2 presionado. Si esta sugerencia tiene éxito, entonces el caso no es de hecho un caso de regresión de dependencia. Por otro lado, si estos casos de sobredeterminación son auténticamente regresiones de dependencia no viciosas, entonces deberíamos debilitar el principio de que todas las regresiones de dependencia son viciosas. Más bien, deberíamos decir que aquellas regresiones de dependencia que no tocan fondo en algo fuera de la regresión son viciosas. En el caso causal, las regresiones de tipo (i), las regresiones no causadas, serán viciosas. Y es plausible que no haya regresiones viciosas.

3.2 Regresiones viciosas y el principio de Hume-Edwards Existe una intuición bastante sólida de que mostrar que una teoría postula una regresión viciosa es una objeción decisiva a la teoría. Esa intuición está en el corazón de muchos argumentos filosóficos bien conocidos, como el Tercer Ser Humano23 o la regresión de Bradley (Bradley 1893). Pero si fueran posibles regresiones viciosas, entonces el hecho de que una teoría postule tal regresión no debería ser una objeción decisiva a la teoría. Entonces tenemos razones para pensar que las regresiones viciosas son imposibles. Podríamos simplemente tomar la imposibilidad de las regresiones viciosas como fondo, pero también podríamos tratar de derivar esa imposibilidad de un Principio de Razón Suficiente (ver Pruss 2006, Della Rocca 2010 y Pruss 2017 para las defensas del Principio), sobre la base de que las regresiones viciosas implican algo que no se explica, a saber, por qué se produce la regresión completa, por qué, digamos, no cae todo el pilar infinito de tortugas que sostienen la tierra. Esto encaja particularmente bien con la intuición de que las regresiones viciosas son aquellas que no tocan fondo en algo.24 fuera de la regresión. Porque es precisamente cuando se da una regresión que no toca fondo de esta manera, no hay explicación de la regresión como un todo. Sin embargo, hay una objeción a esta línea de pensamiento. Es famoso que Hume (1779) pensó que una regresión causal se explicaría por sí misma. Afirmó que si todos los elementos de una colección se explicaran causalmente, se explicaría toda la colección. En la literatura, esto se denomina Principio de Hume-Edwards4 (HEP) 23

Platón (1996, 132a-b) da una versión que implica una regresión de la amplitud, en lugar de las humanidades. 24Orapluralidad de cosas. En nuestro caso de la lámpara de entrada de detectores de luz con interruptores sobredeterminantes, la regresión toca fondo en la pluralidad de interruptores. 4 Véase Edwards (1959).

tipo (i): regresiones no causadas y, a primera vista, parece muy plausible. Pero luego, en una regresión, cada elemento se explica por un elemento anterior, por lo que Hume concluyó que de ese modo se explica toda la colección. Sin embargo, se puede argumentar que la HEP es falsa en el caso de regresiones causales infinitas. Para ver esto, suponga que el tiempo es denso: entre dos tiempos, hay otro tiempo. Ahora imagine que una partícula llega a existir por alguna causa de tal manera que en todo momento, estrictamente después del mediodía, la partícula existe, pero al mediodía y en momentos anteriores la partícula no existe. La existencia de la partícula en cualquier momento t después del mediodía puede explicarse causalmente por medio de la existencia de la partícula en un tiempo intermedio t entre el mediodía y t y la propensión de la partícula a mantener su existencia. Pero sería absurdo concluir que la existencia de esta partícula en todo momento después del mediodía ha sido explicada por una historia que nunca mencionó la causa al mediodía (cf. Pruss 1998). Ahora tenemos dos opciones con respecto a HEP. La primera opción, y creo que la más plausible, es decir que la plausibilidad inicial de HEP se basaba en que uno no había pensado lo suficiente en los casos infinitos. En un caso finito, si cada elemento de una colección tiene una explicación causal, habrá al menos una explicación fuera de la colección, so pena de circularidad explicativa. Entonces es

juntos, explicarán toda la colección. Sin embargo, en un caso infinito, podría haber explicaciones puramente internas.25 Y no es plausible que tengamos una explicación de toda la colección. También hay un movimiento más audaz que se podría hacer en su lugar. HEP es inicialmente plausible. Podemos retenerlo sin ninguna calificación siempre y cuando neguemos la posibilidad de retrocesos infinitos. Por lo tanto, tenemos un argumento, de HEP más el hecho de que las regresiones infinitas no son explicativas, para la imposibilidad de las regresiones infinitas. Pero este argumento no es muy convincente, ya que HEP no es muy convincente en infinidad de casos.

3.3 Regresos y bucles explicativos Los bucles explicativos son intuitivamente problemáticos y varios autores (por ejemplo, Dummett 1986, Pruss 1998 y Meyer 2012) han notado similitudes entre los bucles explicativos y las regresiones infinitas (aunque en el caso de Meyer 2012, para defender los bucles explicativos). Supongamos que siempre ha habido gallinas y huevos, y cada gallina proviene de un huevo mientras que cada huevo proviene de una gallina. Entonces la pluralidad

25

Rowe (1970) parece haber notado por primera vez la existencia de una diferencia crucial entre casos finitos e infinitos.

regresiones infinitas de huevos es explicativamente anterior a la pluralidad de pollos, digamos, debido a este principio plausible: (1) Si cada una de las y tiene al menos una de las x explicativamente antes de ella, entonces las x son explicativamente antes de la y. Pero exactamente por la misma razón, la pluralidad de pollos es, explicativamente, anterior a la pluralidad de huevos. Así tenemos circularidad en la prioridad explicativa: los pollos son explicativamente antes que los huevos y los huevos son explicativamente antes que los pollos. Ahora, plausiblemente: (2) No es posible tener una circularidad en el orden de explicación cuando el tipo de explicación se mantiene fijo. 26 El caso de las gallinas y los huevos viola (2), ya que en ambas direcciones la explicación viene dada por una causalidad eficiente. Por lo tanto, la regresión infinita hacia atrás de pollos y huevos es imposible. Pero lo mismo es cierto para cualquier regresión infinita hacia atrás. Si a1 es causado por a2 que es causado por a3 y así sucesivamente, entonces podemos

y los pares “huevos”, y el argumento prosigue.7 Por lo tanto, las regresiones causales infinitas son imposibles. La parte más problemática del argumento es (1). Por ejemplo, suponga que las y son todos los descendientes de Carlomagno, y las x son Carlomagno y todos sus descendientes. Entonces, cada una de las ys tiene una x explicativamente antes, a saber, Carlomagno. Pero si bien es claramente correcto decir que Carlomagno es, explicativamente, anterior a sus descendientes, no es claramente correcto afirmar que la pluralidad mayor es anterior a la menor. Se puede descartar el contraejemplo de Carlomagno más descendientes añadiendo a (1) la condición de que las xs y las ys no tienen entidades en común. Eso será suficiente para llevar nuestra aplicación a la regresión de los pollos y huevos. Pero ahora consideremos este caso: A causa B que causa C. Sean las xs A y C, y las ys consisten solo en B. Una vez más, no es claramente correcto decir que las xs son anteriores a las ys: uno de las x no es anterior a ninguna de las y. Sin embargo, el siguiente refinamiento también se ocupa de este caso:

26Dudo que la salvedad sea necesaria, pero algunos piensan que sí. Por ejemplo, en la visión humeana de las leyes, los eventos particulares fundamentan las leyes, pero las leyes explican de manera nominal los eventos particulares. Esto genera una circularidad explicativa, pero los tipos de explicación en las dos direcciones son diferentes: fundamentada y subsunción nómica, o metafísica y científica (Hicks y van Elswyk 2015). Aquellos que piensan que la salvedad no es necesaria, pensarán que esto es una refutación del humeanismo. Los habitantes de Hume pensarán que este es un argumento a favor de la salvedad.

tipo (i): regresiones no causadas (3) Suponga que (a) cada una de las ys tiene al menos una de las xs explicativamente antes, (b) las xs y las ys no tienen entidades en común, y (c) cada una de las xs es anterior a al menos una de las ys . Entonces, las x son explicativamente anteriores a las y. Sin embargo, la sustitución de (1) por (3) no proporciona un argumento directo contra la regresión infinita de pollos y huevos hacia atrás. Supongamos que Little es el último de los pollos y no tiene huevos. Entonces (3) no nos permite concluir que los pollos son anteriores a los huevos, ya que uno de los pollos, a saber, Little, es anterior a ninguno de los huevos. No obstante, el argumento se puede rescatar. Porque, seguramente: (4) Si es posible una regresión infinita hacia atrás de gallinas y huevos, entonces también es posible una regresión infinita bidireccional de gallinas y huevos. Después de todo, seguramente es posible que, además de la regresión hacia atrás, Little tenga un huevo, y ese huevo se convierta en una gallina, y así sucesivamente. Pero si tenemos una regresión infinita bidireccional de gallinas y huevos, entonces cada huevo tiene una gallina antes y cada gallina es anterior a algún huevo, por lo que las gallinas son anteriores a los huevos y, de manera similar, los huevos son anteriores a las gallinas. , en violación de (2). Por lo tanto, (3) y (4) juntos producen un argumento contra las regresiones infinitas hacia atrás. Si bien hay algo de fuerza en este argumento anti-regresión, esa fuerza se ve disminuida por la necesidad de tener dos condiciones en (3) además de la condición básica (3) (a), ya que (3) suena algo ad hoc. Este argumento parece estar en contra de todo tipo de regresiones. Pero es más contundente contra las regresiones no causadas, como la cadena hacia atrás no creada de pollos y huevos. Porque lo que parece más objetable sobre los bucles causales es el intento de elevarse 7

Este argumento se basa en las ideas de Pruss (1998).

por las botas de uno. Un bucle causal con una causa general fuera del bucle parece menos problemático.

4. Tipo (ii): Causalidad que atraviesa una infinidad de pasos Un tipo de regresión infinita de causas es una regresión infinita de causas intermedias entre una causa inicial y un efecto final. El aterrizaje de la manzana en el suelo se debe a que la manzana se desprendió de la rama. Pero en una interpretación plausible de la física newtoniana —aunque consideraremos alternativas en el capítulo 8— en

regresiones infinitas el medio hay infinitas causas intermedias: la manzana está a la mitad, la manzana está a un cuarto del camino, y así sucesivamente. En esta sección ofreceré un argumento metafísico en contra de tales casos proveniente de ideas de Robert Koons.8 Algunos casos de causalidad son derivados. Si presiono un botón que enciende las luces y alerta a los ladrones, presionar el botón hace que los ladrones sean alertados. Pero esta es una instancia derivada de la causalidad: la presión del botón provoca la alerta de los ladrones al hacer que la luz se encienda y por la luz que hace que los ladrones sean alertados. Entonces podemos ofrecer este principio de derivación plausible: (5) Las instancias derivadas de causalidad deben fundamentarse en última instancia en instancias fundamentales de causalidad. El principio (5) crea un problema serio para historias como la de la manzana. El hecho de que la manzana esté a la mitad es una causa intermedia de que esté en el suelo, por lo que el hecho de que la manzana se desprenda de la rama no es la causa fundamental de que la manzana esté en el suelo. De hecho, si entre dos elementos en la secuencia de estados de manzana hay otro, no habrá ningún caso fundamental de causalidad en la secuencia. Cada caso de causalidad en la secuencia pasará por una causa intermedia. Y es inverosímil pensar que la causalidad dentro de la secuencia se basará en alguna causalidad fundamental fuera de la secuencia. Por tanto, la historia de la manzana viola el principio (5), al igual que otras secuencias causales densas, secuencias en las que entre cada par de elementos hay una causa intermedia. De manera más general, los escenarios en los que algo causa un efecto a través de una secuencia causal infinita hacia atrás de causas intermedias violan el principio de derivación. Supongamos que tenemos una causa e a través de una secuencia infinita hacia atrás ..., c − 3, c − 2, c − 1 de causas que conducen a c0 = e. Entonces a que a causa cn se deriva de a que causa cn − 1 y cn − 1 que causa cn, por lo que no hay nada en la secuencia que a cause de forma no derivada.

8

Escuché estas ideas en nuestro seminario conjunto sobre metafísica neo-aristotélica en el otoño de 2008.

tipo (iii): causa externa que causa directamente cada elemento La única manera de reconciliar este tipo de secuencia con el principio de derivación y la intuición de que la causalidad a través de una causa intermedia es derivada parece ser suponer que a causa no derivativamente, y por lo tanto directamente, todo el c − n. Por lo tanto, c − n será causado directamente tanto por a como por c− (n + 1). Además, c− (n + 1) debe ser ajeno a la causa de c − n por a, ya que de lo contrario la causa de a de c − n será derivada. Por lo tanto, este es un caso de sobredeterminación de c − n tanto por a como por c− (n + 1), y es un tipo (iii) retroceso. Además de la plausibilidad intuitiva del principio de derivación, una razón para aceptarlo es que si negamos el principio de derivación, obtenemos una regresión infinita de base metafísica: un caso derivado de causalidad basado en uno o más casos derivados de causación, ad infinitum. . Además, si pensamos que la causalidad no se basa en fenómenos distintos de la causalidad, no habrá nada fuera de esta regresión de base que fundamenta todos los elementos en la regresión. Así, curiosamente, el principio de derivación nos permite mostrar que una regresión causal con un primer elemento implica una regresión de base verdaderamente viciosa sin un primer elemento.

5. Tipo (iii): Causa externa que causa directamente cada elemento 5.1 Opciones Esto nos deja con un último tipo principal de regresión. Este es un caso en el que existe una causa externa que causa directamente todos los elementos de la regresión. Hasta ahora se han mencionado dos ejemplos de este tipo de regresión. La primera fue una regresión no causal que implicó una sobredeterminación justificativa. El segundo fue una sugerencia teísta de que Dios podría crear un universo con un pasado infinito, con Dios directamente causando cada elemento en el mundo. Consideremos el modelo teísta (figura 2.3). Habrá una secuencia infinita de causas creadas ..., c − 3, c − 2, c − 1, siendo Dios directamente la causa de cada c − n. Entonces, c − n

regresiones infinitas

Figura 2.3 ¿Una regresión teísta no viciosa?

tiene dos causas aparentemente inmediatas, Dios y c− (n + 1). Por simplicidad, tomaré c− (n + 1) para incluir en sí mismo todas las criaturas que están trabajando juntas para producir c − n (por lo tanto, los elementos en la regresión pueden ser pluralidades o sumas mereológicas). Ahora hay cuatro opciones, dependiendo de cuál, si alguna, de las dos causas es causalmente suficiente para explicar c − n. Ser suficiente para explicar causalmente no es lo mismo que ser causalmente suficiente. Por ejemplo, una función de onda y un acto de medición pueden ser suficientes para explicar causalmente por qué se detectó un electrón en una ubicación particular x, pero en la mecánica cuántica indeterminista la función de onda y el acto de medición no son causalmente suficientes para ese efecto particular, ya que la función de onda y el acto de medición podrían haber dado lugar a que el electrón fuera detectado en una ubicación diferente a x (la suficiencia causal, como yo uso la frase, implica que la causa determina el efecto). Por otro lado, la función de onda por sí sola (o el acto de medición por sí solo) ni siquiera es suficiente para explicar causalmente el resultado. Suponga que la actividad causada por Dios es suficiente para explicar causalmente c − n y c− (n + 1) también. Entonces este es básicamente un caso de sobredeterminación. En esta imagen, tenemos algo estructuralmente similar a la regresión de sobredeterminación justificativa que discutimos en la Sección 3.1. Aquí, necesitamos entender la “sobredeterminación” en un sentido extenso, compatible con la causalidad que es indeterminista. Por lo tanto, si un proceso aleatorio tiene la posibilidad de resultar en el envenenamiento fatal de Smith y otro tiene la posibilidad de resultar en el estrangulamiento de Smith, y ambos procesos se disparan y causan sus efectos, podría ser que la muerte de Smith fue "sobredeterminada" por los dos procesos , porque cada proceso es suficiente para explicar causalmente la muerte de

Smith, aunque ninguno de los procesos determina el resultado, ya que ninguno de los procesos es una causa suficiente (ni los dos juntos son suficientes). A continuación, suponga que Dios (o Su actividad causal) es suficiente para explicar causalmente c − n pero c− (n + 1) no lo es. Si c− (n + 1) va a desempeñar algún papel aquí, debe ser parte de una causa sobredeterminante (en el sentido débil anterior) de c − n, ya que Dios es suficiente para explicar causalmente c − n. Por lo tanto, todavía habrá sobredeterminación: habrá algo de d (quizás una pluralidad) tal que Dios sea suficiente para explicar causalmente c − n, y c− (n + 1) más d sean suficientes para explicarlo causalmente también. (Tenga en cuenta que d incluso podría ser Dios). De manera similar, si c− (n + 1) es suficiente para explicar causalmente c − n pero Dios no lo es, también habrá algún tipo de sobredeterminación aquí. Eso deja una última opción, donde ni c− (n + 1) ni Dios son suficientes para explicar causalmente c − n, pero trabajan juntos para explicar c − n. Aquí tenemos una regresión viciosa: c − 1 es causado por Dios y c − 2, y c − 2 es causado por Dios y c − 3, y así sucesivamente. En esta regresión, solo una de las dos causas en la regresión tiene una causa en el nivel anterior, ya que Dios no tiene causa. Sin embargo, es una regresión brutal. El caso es similar a éste: imagina un piso infinito, y supón que Jim derrama un recipiente infinito de aceite sobre él. En el piso hay infinitas personas en movimiento, la primera moviéndose porque la segunda la impactó en un piso donde Jim derramó aceite, la segunda impactando a la primera porque la tercera la impactó en un piso en el que Jim derramó aceite, en, etc. Esta es una regresión de impactos tan cruel como lo sería si todas las personas estuvieran flotando en un vacío sin aceite, aunque solo uno de los dos elementos en cada nivel de la regresión (es decir, el movimiento de una persona) es causada por el nivel previo de regresión. Las razones para negar las regresiones no causadas se aplican igualmente a este tipo de regresiones.

5.2 Regresos con sobredeterminación externa Por lo tanto, las regresiones de tipo (iii) se dividen en dos opciones: o tenemos (iiia) un caso de algo así como sobredeterminación (aunque quizás de tipo indeterminista) o (iii-b) una regresión viciosa de una estructura no sobredeterminante. Ningún tipo de regresión se discute mucho en la literatura. En este punto hay que señalar un punto débil en el argumento de este capítulo contra las regresiones causales. No tengo un argumento directo muy convincente contra los casos de sobredeterminación de regresiones infinitas. Se trata de regresiones en las que cada elemento tiene una explicación causal última, es decir,

regresiones infinitas en términos de la causa externa, que junto con los elementos de la regresión sobredetermina el efecto. En cierto sentido, estas regresiones no son viciosas. No obstante, hay alguna razón intuitiva para pensar que si es posible sobredeterminar infinitas regresiones causales, también lo son las no sobredeterminantes. Y el argumento general de este libro a favor del finitismo causal como una explicación bastante simple de lo que sale mal en todas las paradojas causales del infinito da una razón para negar la posibilidad de estos casos también. Sin embargo, incluso si no hay un argumento muy convincente contra el escenario de sobredeterminación, hay una razón intuitiva para ser escéptico al respecto. Pues suponga que tenemos una regresión causal ..., c − 3, c − 2, c − 1, con cada elemento causando el siguiente, y suponga que hay un elemento d fuera de la regresión tal que d causa directamente cada uno de los c − n, y c − n está sobredeterminado por d y c− (n + 1) (la imagen se verá como la figura 2.3, pero con d en lugar de Dios). Si esto es posible, también debería ser posible tener un escenario como el anterior donde las relaciones causales mencionadas anteriormente entre c − n y entre d y c − n son todas las relaciones causales que existen. Supongamos eso. Entonces cada instancia de la influencia causal de d está sobredeterminada por dy por algo distinto de d. Pero algo que causa sólo de una manera sobredeterminada es causalmente oioso, y debería ser posible eliminar las influencias causalmente oioso. Así, intuitivamente, debería haber un mundo posible como el descrito pero sin d, o (si d es un ser necesario) sin d tener ningún papel causal relevante. En un mundo así, tenemos una regresión causal sin causa. Pero esa es una regresión de tipo (i), y hay razones para pensar que eso es imposible. Hay un tecnicismo aquí. Dada la esencialidad de los orígenes, hay alguna razón para pensar que si se elimina la influencia causal de d, el c − n ya no podría existir. Si es así, entonces deberíamos decir que hay un mundo posible con una regresión causal de c ∗ n que son muy parecido al c − n excepto que sus orígenes causales no incluyen d. (Compare: Podría decirse que Sócrates no podría existir si sus padres no lo hicieran, pero en su lugar podría existir alguien muy parecido a Sócrates). Y eso es todo lo que se necesita para el argumento.

Este no es un argumento muy fuerte. Al eliminar la influencia de d del mundo, uno elimina lo que hace que la regresión no sea viciosa, y eso da una razón para dudar de la posibilidad de eliminar d. Aún así, la intuición sobre la posibilidad de eliminar algo cuya influencia está sobredeterminada tiene algo de fuerza, y si uno combina este argumento con el argumento indirecto de que es más simple y elegante negar

uniformemente todas las regresiones causales infinitas, obtenemos una fuerte consideración.

6. ∗ Analogía con el axioma de regularidad El axioma de regularidad en la teoría de conjuntos es una parte estándar de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). Formalmente, el axioma dice que todo conjunto a contiene un miembro b tal que ningún miembro de b es miembro de a (es decir, a ∩ b = ∅ ). De ello se deduce, por ejemplo, que ningún conjunto puede ser miembro de sí mismo (porque si a ∈ a, entonces el miembro único de {a} tiene un elemento en común con {a}, a saber, a), así como que hay ningún conjunto de todos los conjuntos (ya que sería un miembro de sí mismo). Además, la regularidad descarta las regresiones de miembros infinitas ... ∈ a − 3 ∈ a − 2 ∈ a − 1 ∈ a0. Porque si tuviéramos tal regresión, entonces podríamos formar el conjunto a = {an: n ≤ 0}, y observar que cada miembro an de a tiene un miembro en común con a, a saber, an − 1, contrario a la Regularidad. La intuición detrás de la Regularidad parece estar basada en la idea de que un conjunto se basa (al menos parcialmente) en sus miembros. Supongamos ahora que un conjunto a es un ejemplo contrario a la regularidad. Entonces cada miembro b de a tiene una de dos propiedades: o b se tiene a sí mismo como miembro ob tiene algún otro miembro de a como miembro. Es absurdo suponer que algo podría estar basado en uno mismo, eso sería como ser causado por uno mismo.27 Eso deja la otra opción, que cada miembro de a se basa en al menos otro miembro de a. La intuición detrás de Regularidad sostiene que este tipo de relación de base es absurda, al menos en el caso en que la relación de base está constituida por la pertenencia a un conjunto. Pero podría decirse que aquí no hay nada especial en la pertenencia a un conjunto. Parece plausible que así como deberíamos descartar un conjunto de objetos, cada uno de los cuales tiene una pertenencia a un conjunto basada en al menos uno de los otros, deberíamos descartar todos los casos de un conjunto de objetos, cada uno de los cuales está basado (incluso solo parcialmente). en uno de los otros. Pero hacer eso es descartar una regresión de conexión a tierra de objetos, ..., x − 3, x − 2, x − 1, x0, donde xn − 1 base a xn para todo n ≤ 0. Porque si tenemos tal regresión de conexión a tierra, entonces el conjunto {xn: n ≤ 0} tiene la propiedad de que cada miembro de

27 Descartes pensó que Dios era una causa propia, aunque esta no era una visión dominante en la tradición monoteísta occidental. Es una visión generalizada que Dios es un se, pero es razonable tomar esto para expresar independencia ontológica en lugar de auto-fundamento.

regresiones infinitas ese conjunto está conectado a tierra en algún otro miembro ya que xn está conectado a tierra en xn − 1. Es más plausible pensar que existe al menos una analogía entre causalidad y fundamento (Schaffer 2016). Dado esto, las razones para rechazar las regresiones de base por analogía generan razones (quizás más débiles) para rechazar las regresiones causales. Evaluación Una violación del finitismo causal debe incluir una regresión causal infinita o un número infinito de cooperadores causales o ambos. Varias de las paradojas que consideraremos en los capítulos siguientes implicarán una cooperación causal infinita, mientras que este capítulo se centró en las regresiones causales infinitas. Los ejemplos paradigmáticos de regresiones causales son de tres tipos. Primero, tenemos la regresión infinita sin causa, similar a la explicación atea del universo de Hume por una regresión infinita de causas. Es plausible rechazar las regresiones viciosas como imposibles, y las regresiones causales no causadas son viciosas. En segundo lugar, tenemos una regresión infinita —de hecho, paradigmáticamente, una secuencia causal densa— de causas instrumentales, con una primera causa que actúa a través de estas causas instrumentales. Tal regresión es incompatible con la idea de que las relaciones causales se basan en relaciones causales fundamentales. En tercer lugar, tenemos el caso más complicado. Aquí tenemos una regresión infinita y un elemento fuera de la regresión que causa cada elemento de la regresión. Algunas versiones de esta situación implican una crueldad explicativa como en el primer tipo de regresión, y se pueden argumentar en contra de una manera similar. Pero hay una versión particularmente molesta que involucra la sobredeterminación, donde cada elemento de la regresión está sobredeterminado por una causa externa y el elemento anterior en la regresión. Aquí el argumento es más débil: sugiero que hay buenas razones para tener una visión uniforme de todas las regresiones y sostener que todas son imposibles. Este argumento se fortalecerá en los capítulos siguientes, sin embargo,

Apéndice: ∗ Dos tipos de violaciones del finitismo causal Digamos que un nexo causal es un grafo dirigido cuyos nodos son relaciones causales, con los nodos unidos con flechas correspondientes a relaciones de causalidad parcial o contribución causal (dejamos abierta la posibilidad de que un nodo esté conectado con una infinidad de nodos). Si cyd son dos nodos en un nexo causal, digamos que c
Ahora decimos que la historia de un elemento e es un nexo causal H que contiene e como nodo y es tal que todos los demás nodos c de H satisfacen c <e. Un nexo causal se realiza siempre que todos los nodos del nexo existan realmente y las flechas correspondan realmente a obtener relaciones de causalidad parcial. Un nexo causal es posible siempre que sea metafísicamente posible que se realice. El finitismo causal puede tomarse como una afirmación de que toda historia posible tiene solo un número finito de nodos.

10

En el Capítulo 7, Sección 5.1, consideraremos una generalización de esto.

El axioma de la elección dependiente es una versión más débil particularmente plausible del axioma de la elección. Sostiene que si tenemos una relación R en algún conjunto S tal que para cada x ∈ S hay ay ∈ S con xRy, entonces hay una secuencia infinita contable x1, x2, ... tal que xnRxn+1para todos n. Intuitivamente, eliges el primer elemento de la secuencia, luego el siguiente, y así sucesivamente. Teorema. Suponga el axioma de la elección dependiente. Entonces, un historial H de un elemento tiene infinitos nodos si y solo si: (a) tiene un nodo que tiene flechas apuntando hacia él desde una infinidad de nodos, o (b) tiene una secuencia infinita hacia atrás··· - → c3 - → c2 - → c1 - → c0 donde todos los cn son distintos. Las condiciones (a) y (b) no son, por supuesto, exclusivas. Y está claro que si se cumple alguna de las condiciones, entonces H tiene infinitos nodos. Para probar lo contrario, suponga que H tiene un número infinito de nodos pero (a) es falso. Por tanto, cada nodo de H tiene, como mucho, un número finito de flechas apuntando hacia él. Para completar la demostración, debemos demostrar que hay una regresión como en (b). Digamos que una ruta desde el nodo a al nodo b en un grafo dirigido es una secuencia finita de nodos x1, ..., xn tal que una = x1 y segundo = xn y hay una flecha de xi a xi+1para todo i (el caso trivial es donde x1 = xn = a = b). Entonces la longitud de la ruta es n - 1. Suponga que la historia H es una historia de e. Entonces, suponga que la profundidad d (a) de un nodo a sea la longitud del camino más corto desde a hasta e (figura 2.4). Digamos que un antepasado de un nodo b es cualquier nodo a = b desde el cual hay un camino hacia b de profundidad estrictamente decreciente, es decir, un camino a = x1 - → ...− → xn = b tal que d (xi) > d (xi +1) para todo i (por lo tanto, d (xi) = d (b) + n - i, ya que la profundidad de los nodos sucesivos en una ruta solo puede diferir en uno). Si además d (a) = d (b) + 1, entonces diré que a es un padre de b.

regresiones infinitas Luego sea In = {a: d (a) = n} para n ≥ 0. Observe que cada conjunto In es finito (esto se puede demostrar por inducción usando el hecho de que una unión finita de conjuntos finitos es finita y cada nodo tiene solo un número finito de flechas apuntando a él por la negación de (a)), que los In son disjuntos, y que su unión son todos los nodos de H. Sea Ln = {a: d (a) ≤ n} y Mn = { a: d (a) ≥ n}. Entonces Ln ∪ Mn+1son todos los nodos de H para cualquier n, y Ln es finito, siendo una unión de los n + 1 conjuntos finitos Ii para 0 ≤ i ≤ n. Finalmente, sea N el conjunto de los nodos de H que tienen infinitos ancestros. Primero afirmo que e ∈ N, de modo que N no está vacío. Porque cada nodo c de H distinto de e tiene un camino hacia e, ya que H es una historia. Entonces existirá una ruta de c a e de longitud mínima, y es fácil ver que esa ruta tendrá una profundidad estrictamente decreciente, de modo que c es un antepasado de e. Pero hay infinitos nodos c distintos de e en H (ya que asumimos que H tiene infinitos nodos), entonces e ∈ N.

Figura 2.4 Aquí, I1 = {a1, a2, a3}, L1 = {e, a1, a2, a3} y M2 = {a4, a5, ...}.

evaluación Ahora afirmo que para cualquier n ≥ 0 y cualquier b ∈ En ∩ N, hay un nodo a ∈ En+1∩ N tal que H tiene una flecha de a a b. Porque b tiene infinitos antepasados y, por tanto, infinitos antepasados en Mn+2(desde Ln+1es finito y Ln+1∪ Mn+2son todos los nodos de H). Cada antepasado tiene un camino ab de profundidad estrictamente decreciente. Ese camino debe cruzar el conjunto finito en+1inmediatamente antes de terminar en b. Por tanto, b tiene un número infinito de antepasados, cada uno de los cuales es un antepasado de un padre de b. Dado que b solo tiene un número finito de padres, ya que cada nodo tiene solo un número finito de flechas que van hacia él, se deduce que al menos uno de los padres de b tiene infinitos ancestros y, por lo tanto, al menos uno de los padres de b está en N. Pero todos los de b los padres están en+1, por lo que la prueba de la reclamación está completa. La afirmación muestra que cada miembro de N tiene al menos un padre en N. Ahora defina la relación R en N por xRy si y solo si y es un padre de x. Esta relación satisface las condiciones para el axioma de elección dependiente, por lo que hay una secuencia infinita c1, c2, ... tal que cnRcn+1, es decir, cn+1es un padre de cn para todo n. Esta es la regresión infinita deseada (dado

que las profundidades de todos los miembros de la secuencia son diferentes, los elementos de la secuencia son diferentes).28

28

Esta prueba se basa en las sugerencias de Will Brian y Daniel Herden sobre cómo probar el lema de König utilizando el axioma de elección dependiente.

3 Supertareas y paradojas deterministas 1. Introducción En este capítulo consideramos varias paradojas centradas en procesos deterministas (aunque ocasionalmente consideramos una variante indeterminista). La primera, la lámpara de Thomson, ya se presentó en el capítulo 1, pero ahora se analizará con más detalle. Dará alguna evidencia del finitismo causal, pero no mucha. A continuación, se considerará la paradoja de Grim Reaper, que será mucho más convincente. Ambas paradojas involucran supertareas: tareas que tienen un número infinito de eventos que ocurren dentro de un intervalo finito. Entonces se dará un argumento newtoniano contra el finitismo causal, pero veremos que las consideraciones newtonianas en general apoyan el finitismo causal (la física newtoniana es falsa, por supuesto, pero los argumentos solo usarán la posibilidad metafísica de tal física). Finalmente,

2. La lámpara de Thomson revisitada 2.1 Introducción Recuerde que la lámpara de Thomson tiene un interruptor de palanca que cambia su estado entre encendido y apagado. A las 10:00 a. M., La lámpara se apaga y su interruptor se alterna infinitamente y contablemente entre las 10:00 a. M. Y las 11:00 a. M. En la versión habitual del escenario, las alternancias se agrupan a las 11:00, ocurriendo, digamos, a las 10:30, 10:45, 10: 52.5, y así sucesivamente. Nada más cambia el estado de la lámpara. Esta es una supertarea: un escenario en el que se hacen infinitas cosas en una cantidad de tiempo finita. La paradoja surge ahora cuando preguntamos si la lámpara está encendida o apagada a las 11:00. Ninguna respuesta parece satisfactoria.

2.2 Finitismo causal Como se señaló en el Capítulo 1, el finitismo causal da una clara resolución a la paradoja. Dado que un número infinito de causas no puede depender de una sola

la lámpara de Thomson revisitada El escenario es simplemente imposible. Para trasponer este punto a un argumento a favor del finitismo causal, digamos que: (1) Si es posible que una infinidad de causas influyan en una cosa, es posible que influyan en esa cosa de la forma en que la historia de Thomson Lamp dice que lo hacen. Pero: (2) No es posible organizar las causas como en la historia de la lámpara de Thomson. (3) Por tanto, no es posible que una infinidad de causas se relacionen con una sola cosa; es decir, el finitismo causal es cierto. Sin embargo, debemos considerar respuestas alternativas a la paradoja.

2.3 Análisis no estándar Uno quisiera decir: Si la lámpara está encendida o apagada a las 11:00 depende de si “el infinito es par o impar”.29 Pero no tiene sentido decir que el infinito es par o impar. Después de todo, ∞ = ∞ + ∞, lo que sugeriría que isiete, pero también∞ = ∞ + ∞ + 1, lo que sugeriría que ∞ es impar. Pero esto fue demasiado rápido. Podemos hacerlo mejor con infinitos. El análisis no estándar es una forma matemáticamente rigurosa de manejar la aritmética con cantidades infinitas e infinitesimales al extender los números reales a los números “hiperrealistas”, que son una construcción teórica de conjuntos a partir de los reales.30 Incluso existe un principio de transferencia que garantiza que las cantidades hiperrealistas obedezcan a los análogos de todas las reglas estándar de la aritmética, siempre que se tenga cuidado de traducir los conceptos en consecuencia. En particular, si N es infinito, es falso que N = N + N, ya que por las reglas ordinarias de la aritmética, si N es distinto de cero, podemos dividir ambos lados por N y obtener la falsedad 1 = 1 + 1. Los números reales ordinarios R son de Arquímedes en el sentido de que para cada número real r existe un entero n tal que r
Mi hijo dijo algo como esto cuando le conté la paradoja por primera vez. ∗ La construcción depende del axioma de elección, o al menos de un caso especial del axioma del

ideal primo booleano.

supertareas y paradojas deterministas aritmética de enteros; y para cada hiperreal r, existe un único hiperinteger m tal que m ≤ r <m + 1. Si r es un infinito positivo, entonces, por supuesto, un hiperinteger n tal que r
Dados los hiperrealistas, podemos intentar resolver la lámpara de Thomson diciendo que el número de conmutadores será un hiperinteger infinito N, y la lámpara estará encendida o apagada dependiendo de si N es par o impar. De hecho, ahora tiene sentido decir si N es par o impar. Pero hay otro problema. En la configuración habitual, el enésimo cambio se produce entre 60 y 60 minutos después de las diez en punto. Si N es un hiperintegro infinito tal que hay N conmutaciones, entonces la N-ésima alternancia ocurriría 60 - 60 / 2N minutos después de las diez en punto. Dado que N es infinito, 60 / 2N es infinitesimal, donde un número α es infinitesimal siempre que α = 0 y | α |
2.4 Relatividad especial Los cambios de alternancia en la lámpara de Thomson deben suceder cada vez más rápido sin límite: la cantidad de tiempo disponible para que el interruptor se alterne es el espacio temporal entre alternancias, y eso se hace cada vez más pequeño, convergiendo a cero en el límite. Si el interruptor necesita moverse una cantidad fija en cada caso, esto significa que la velocidad del movimiento del interruptor aumenta sin límite y, en particular, eventualmente excede la velocidad de la luz, en violación de la Relatividad Especial. Por tanto, tenemos una buena razón independiente para rechazar la historia de la lámpara de Thomson, independientemente de hipótesis como el finitismo causal.

la lámpara de Thomson revisitada Esto es correcto, pero es solo una buena razón para rechazar la afirmación de que la historia de Thomson Lamp es cierta. No es una buena razón para rechazar la afirmación de que la historia es metafísicamente posible. Un mundo gobernado por la física newtoniana, sin ningún límite de velocidad absoluto, ciertamente parece metafísicamente posible.31 Además, podemos imaginar escenarios muy similares a la Lámpara de Thomson donde no hay violaciones de un límite de velocidad absoluto. Por ejemplo, podríamos imaginar un mundo donde hay θ partículas que tienen la propiedad de que cuando

juntos son invariablemente aniquilados en un estallido de energía. Entonces podríamos imaginar que a las 10:00 a.m. un objetivo pegajoso no tiene partículas, y un emisor de partículas se acerca gradualmente al objetivo entre las 10:00 a.m. y las 11:00 a.m., disparando una partícula θ a las 10:30, 10:45, 10: 52.5, y así sucesivamente, a suficiente velocidad subluz como para que cada partícula pueda alcanzar el objetivo antes de que se dispare la siguiente sin exceder la velocidad de la luz.32La primera partícula se pega al objetivo. Cuando el segundo golpea, tanto él como el primero son aniquilados. Luego, el tercero se pega. Como resultado, tenemos una alternancia entre el objetivo que contiene una partícula θ y el objetivo que no contiene una partícula, como en la paradoja original. En el futuro dejaré al lector modificaciones de paradojas tan fáciles y, por lo tanto, no me preocuparé mucho por las objeciones relativistas.

2.5 La solución de Benacerraf y el principio de razón suficiente Benacerraf (1962) sostiene que no es absurdo si la lámpara está encendida o apagada al final del experimento. Ambos resultados son compatibles con la historia dada. Ninguno da lugar a una contradicción. La historia no determina cuál de los dos resultados sucederá, pero la subdeterminación no es una paradoja. Este es el comienzo de una resolución, pero no es una resolución completa. Después de todo, hay al menos alguna razón para creer en el Principio de Razón Suficiente (PSR) 5 que sostiene que todo hecho contingente tiene una explicación. Pero en la solución de Benacerraf nada explica por qué la lámpara tiene el estado que tiene al final del escenario. Una solución que requiere negar el PSR tiene cierto costo.

31Puede ser que en ese mundo no haya luz: podría ser que la naturaleza de la luz esté ligada a las leyes relativistas que la gobiernan. Pero incluso si en ese mundo no hubiera luz y, por lo tanto, no hubiera lámparas, podría haber algo que se comportara funcionalmente como una lámpara, y eso es todo lo que se necesita para la paradoja. 32Por ejemplo, suponga que la distancia inicial al objetivo es de un metro y el emisor se mueve hacia el objetivo a un metro por hora, mientras que las partículas se disparan a cuatro metros por hora. Luego, a las 10:30, el emisor está a medio metro del objetivo y la partícula alcanzará el objetivo en 7,5 minutos, mucho antes de la próxima emisión a las 10:45. En la próxima emisión, el emisor estará a un cuarto de metro del objetivo y la partícula alcanzará el objetivo en 3,75 minutos, lo que es mucho antes de la próxima emisión. 5 Ver, por ejemplo, Pruss (2006), Della Rocca (2010) y Pruss (2017) para las defensas.

supertareas y paradojas deterministas Sin embargo, dependiendo de cómo leamos la historia original, quizás podamos encontrar una solución compatible con el PSR. Supongamos que los extraterrestres vienen y desconectan instantáneamente la lámpara justo a las 11:00 de tal manera que la lámpara se apaga entonces (o encender instantáneamente la bombilla, si lo preferimos). En ese caso, no hay violación del PSR y, sin embargo, esto puede ser compatible con mi historia original. La compatibilidad del caso alienígena con la historia original depende de cómo leamos la afirmación de que nada más que un botón cambia el estado de la lámpara. Porque no está claro que la actividad de los extraterrestres cuente como un cambio del estado de la lámpara. Porque los extraterrestres no vinieron a buscar una lámpara encendida y en su lugar la apagaron. De hecho, por cada intervalo de tiempo en el que la lámpara estaba encendida, había un intervalo de tiempo posterior en el que la lámpara estaba apagada, simplemente por el cambio de botón y no por la intromisión de extraterrestres. Y luego, a las 11:00, vinieron los extraterrestres y apagaron la lámpara. Sin embargo, el proponente de una paradoja tiene una tarea más fácil que el resolutor. Como señalamos en la subsección 2.3, no se puede resolver una paradoja cambiando su historia en un relevant relevante camino. Pero el proponente de una paradoja es libre de calificar la paradoja de formas adicionales para hacerla más paradójica. En este caso, simplemente estipulamos que nada más que alternar afecta causalmente el estado de la lámpara, y descartamos a los extraterrestres independientemente de tener que tomar alguna decisión sobre la semántica del “cambio”. (Y las intuiciones detrás de la premisa crucial (1) deben permanecer). Pero quizás haya otra forma de resolver la paradoja sin negar el PSR. Parece compatible incluso con la historia revisada de que existe una ley de la naturaleza que dice que siempre que una lámpara se ha encendido precisamente a las 10:30, 10:45, 10: 52,5, etc., entonces su estado a las 11:00 es el contrario a su estado antes de las 10:30. Una ley de la naturaleza puede hacer el trabajo de los extraterrestres. Este escenario muestra que la historia de la lámpara revisada (y original) no viola automáticamente el PSR. Si este escenario es posible depende de si se puede tener una ley de la naturaleza que determine de manera no causal el estado de la lámpara a las 11:00. En algunos puntos de vista aristotélicos, por ejemplo, las leyes de la naturaleza son simplemente declaraciones sobre las regularidades en la disposición de los poderes causales en la naturaleza, y la fuerza explicativa de las leyes de la naturaleza se deriva de la actividad causal de estos poderes. El escenario revisado, al limitar las influencias causales a las combinaciones de botones, también descarta una explicación basada en la ley. Pero ahora la paradoja se vuelve bastante pesada. Para responder a Benacerraf, el autor de la paradoja ha tenido que suponer una controvertida tesis metafísica, el PSR.

la lámpara de Thomson revisitada Ahora tenía que apoyarse aún más en una controvertida tesis sobre las leyes de la naturaleza. En lugar de ser una paradoja, la historia podría verse como una evidencia en contra de la conjunción del PSR con la visión aristotélica de las leyes. Es cierto que a Benacerraf todavía le cuesta algo si tiene que rechazar al menos una de las dos polémicas tesis, pero el coste no es tan grande. Además, cuantas más condiciones agreguemos a la paradoja, más difícil será defender algo como (1), es decir, que si infinitas causas pueden afectar algo, pueden hacerlo de la forma en que la paradoja dice que lo hacen.

2.6 Dos contrafactuales Sin embargo, hay otra forma de pensar en la paradoja, sin hacer referencia al principio de razón suficiente. Empiece con dos pensamientos. Si toma la situación descrita y cambia el tiempo de una de las pulsaciones de botón, mientras mantiene el orden de pulsación de botón sin cambios, digamos que mueve la pulsación de botón 10:15 a 10:12 o 10:17, esto no debería cambiar el resultado en 11:00. La contribución causal de la pulsación de un botón solo depende de la posición temporal de la pulsación del botón en la secuencia de pulsaciones del botón, en lugar de la hora exacta: (4) Para cualquier secuencia de cambio de tiempos de pulsación de botones dentro del período de 10:00 a 11:00 (ambos no incluidos) que mantiene el mismo o el mismo, implementar esa secuencia en lugar de la real no habría afectado el estado de la lámpara a las 11:00.

El segundo pensamiento es este: (5) Para cualquier botón presionado en la secuencia real, quitar ese botón habría cambiado el estado de la lámpara a las 11:00. Pero (4) y (5) no pueden ser ambos verdaderos. Imagine cambiar los tiempos de las pulsaciones de los botones de la siguiente manera: la pulsación del botón 10:30 se desplaza a las 10:45, las 10:45 a las 10: 52,5, las 10: 52,5 a las 10: 56,25, etc. Para (4), esto no cambiaría el estado de la lámpara a las 11:00. Pero este cambio tiene el efecto neto de eliminar la pulsación del botón 10:30, y para (5), esto cambiaría el resultado a las 11:00. Este cambio se puede describir de dos formas: de una forma como un cambio que satisface las condiciones en (4) y de otra como la eliminación de una pulsación de botón en particular. Y así, los dos contrafactuales dan resultados opuestos, a pesar de tener antecedentes equivalentes. Pero la única forma en que podemos tener ambos: (6) Si p se mantuviera, q se mantendría y (7) Si p se mantuviera, r se mantendría

supertareas y paradojas deterministas donde qyr son lógicamente contradictorios mientras pyp son lógicamente equivalentes es si p (y por tanto p) es imposible. Pero si la historia de la lámpara de Thomson es posible, también lo es este cambio de tiempos de pulsación de botones. Sin embargo, incluso este argumento basado en hechos contrarias a la realidad no es muy convincente. La historia original parece compatible, digamos, con la existencia de una ley de la naturaleza según la cual cada vez que se presionan botones a las 10:30, 10:45, 10: 52.5, etc., el resultado es que la lámpara está encendida a las 11: 00, pero cuando se presionan a las 10:45, 10: 52.5 y 10: 56.25, la lámpara se apaga a las 11:00. En este caso, (4) es simplemente falso: hay formas de cambiar las pulsaciones de botones sin cambiar su orden que no cambian el resultado y, entre paréntesis, el "sin cambiar su orden" no funciona a menos que el botón las prensas tienen algo más que las distingue además de su posición temporal. Alternativamente, podría haber una ley de la naturaleza que garantice que cada secuencia infinita y numerable de pulsaciones de botones entre las 10:00 y las 11:00 hace que la lámpara se encienda a las 11:00. Entonces, la historia original no garantiza (4) y (5). Se puede intentar argumentar que si un número infinito de causas que trabajan juntas es posible, deberían poder trabajar juntas de una manera que produzca una lámpara de Thomson para la que ambos contrafácticos son verdaderos, pero esto parece polémico. Alternativamente, se podría argumentar a favor de una explicación aristotélica de las leyes de la naturaleza basadas en los poderes de las cosas. En una imagen aristotélica, (4) y (5) parecen bastante plausibles dada la historia de la lámpara de Thomson. El argumento anterior que invoca una ley de la naturaleza para socavar los dos contrafácticos requiere una ley no aristotélica, una que no se base en los poderes de las cosas, ya que hemos especificado en la historia de la lámpara de Thomson que las únicas causas son las pulsaciones de botones. Aún así, el argumento a favor de (4) y (5) incluso en una imagen aristotélica puede depender demasiado de una

intuición de que los cambios de prensas no deberían cambiar el resultado, pero las retiradas de prensas deberían.

2.7 Evaluación La paradoja de la lámpara de Thomson no implica ninguna contradicción real por sí misma. Sólo si se añaden algunas hipótesis más, como el Principio de razón suficiente o los contrafácticos (4) y (5), uno se encuentra con dificultades. E incluso estas dificultades parecen depender de una explicación aristotélica de la causalidad. El finitismo causal no tiene dificultades para descartar la historia de la lámpara de Thomson fuera de los tribunales, pero dadas las suposiciones adicionales necesarias para que la historia sea realmente paradójica, la cantidad de evidencia que la historia proporciona para el finitismo causal es pequeña.

la lámpara de Thomson revisitada Además, como será generalmente el caso en estas paradojas, el escéptico sobre el finitismo causal también puede simplemente bloquear el argumento a favor del finitismo causal al negar el condicional (1) de que si el finitismo causal es falso, entonces se puede ejecutar la historia paradójica. Sin embargo, el condicional es intuitivamente muy plausible, al menos sin que se agreguen más condiciones a la historia de Lamp, como (4) y (5). Si un número infinito de causas pueden trabajar juntas, no parece haber ninguna razón por la que no puedan organizarse de la manera alterna indicada por la paradoja, aunque en el Capítulo 7, Sección 3.5 consideraremos una forma alternativa de descartar la paradoja. (y el siguiente) invocando la discreción del tiempo, la idea de que un intervalo finito de tiempo (digamos, una hora) solo puede contener un número finito de veces. Aún así, la historia de la lámpara proporciona alguna evidencia del finitismo causal. Por ejemplo, hay alguna razón para aceptar tanto la PSR como la imagen aristotélica de las leyes.

3. Grim Reapers 3.1 Introducción La lámpara de Thomson implicó una supertarea cuyos eventos se agruparon en el extremo superior del intervalo temporal. Podríamos revertir esto y suponer una secuencia infinita de conmutadores en ..., 10: 03.75, 10: 07.5, 10:15 y 10:30, con la lámpara apagada antes de las 10:00. Una vez más, podríamos preguntar si la lámpara está encendida o apagada a las 11:00. Esta versión de la lámpara de Thomson no tiene ninguna ventaja sobre la original. Así como el original puede (en ausencia de una explicación aristotélica de las leyes) ser resuelto simplemente suponiendo una ley arbitraria de la naturaleza que determina el resultado o negando el principio de razón suficiente, lo mismo es cierto aquí. La paradoja de la Parca, sin embargo, le da un giro a la historia. En nuestra versión no violenta de la paradoja,33 Suponemos que la lámpara está apagada a las 10:00, y que nada puede (o al menos lo hace7) encenderla, excepto que una Parca presione el interruptor, y

33

En algunas versiones anteriores, Reaper tenía la tarea de matar a alguien.

7

Los lectores teístas pueden preocuparse de que necesariamente Dios pueda encender cualquier lámpara del mundo.

supertareas y paradojas deterministas

10:00

11:00 10: 07.5

10:15

10:30

Figura 3.1 Algunas activaciones representativas de Grim Reaper.

nada en absoluto puede (o al menos lo hace) apagarlo una vez que está encendido. Un Grim Reaper es una máquina que tiene una alarma configurada para una hora determinada. En ese momento, el Grim Reaper se activa y mira la lámpara. Si la lámpara está encendida, no hace nada y vuelve a dormirse. Sin embargo, si la lámpara está apagada, Reaper la activa instantáneamente.34 Supongamos ahora que hay una infinidad de Parcas (es decir, faroles), con tiempos de activación en ..., 10: 03.75, 10: 07.5, 10:15 y 10:30 (figura 3.1). Entonces la lámpara se enciende a las 11:00. Porque si se apagó a las 11:00, entonces debió haber salido a las 10:30. Pero si estuviera apagado a las 10:30, entonces el Reaper de las 10:30 lo habría encendido, por lo que habría estado encendido a las 11:00. Pero si la lámpara se enciende a las 11:00 y se apaga a las 10:00, ¿cómo se enciende? Solo un Reaper puede encender la lámpara. Así lo hizo un Reaper. ¿Pero cual? Digamos que fue el que se activó a las 10: 07.5. Entonces la lámpara debe haberse apagado a las 10: 03.75. Pero entonces el Reaper que se activó a las 10: 03.75 habría encendido la luz. Entonces el 10: 07.5 Reaper no pudo haber sido el que encendió la luz. Y exactamente el mismo argumento funciona para todos los demás Reapers. Ninguno de ellos encendió la luz, pero uno de ellos debe haberlo hecho, lo cual es una contradicción. Tenga en cuenta que hay algo más sucediendo aquí que en la historia de la lámpara de Thomson. En La lámpara de Thomson, hasta que enriquecimos la historia con el PSR o algunos contrafácticos, todo lo que teníamos era que no podíamos decir por la historia si la lámpara iba a estar encendida o apagada. En la historia de Grim Reaper, surge una contradicción si la lámpara está encendida o apagada a las 11:00.

3.2 finitismo causal El finitista causal puede descartar la paradoja de la siguiente manera. La actividad de cada Reaper de decidir (sobre la base de la observación del estado actual de la lámpara) si encender la lámpara es causalmente anterior al estado final de la lámpara

34Si la acción instantánea preocupa a los lectores por razones de Relatividad Especial, dejamos que los lectores elaboren sus historias favoritas con partículas similares a las de la Sección 2.4. Ver Koons (2014) para una de esas historias.

parcas a las 11:00. Por lo tanto, hay infinitas cosas que impactan causalmente en un estado objetivo, contrario al finitismo causal. Y a excepción de las preocupaciones sobre el infinito, debería ser posible organizar los Reapers como se describe. Cada Reaper es posible, después de todo, y seguramente cada uno podría activarse en cualquier momento entre las 10:00 y las 11:00. Por tanto, podemos ejecutar un argumento de una forma familiar: 35

(8)

Si el finitismo causal es falso, entonces la historia de Grim Reaper es posible.

(9) Pero la historia es imposible. (10) Entonces, el finitismo causal es cierto.

3.3 La objeción de la conclusión absurda Antes de pasar a considerar resoluciones y variantes de la paradoja, demos un paso más en la dialéctica. Uno podría cuestionar (8) precisamente por el éxito del argumento que muestra lo absurdo que se sigue de Grim Reaper. La historia es imposible, se sostiene, simplemente porque de ella se deriva una imposibilidad (cf. Shackel 2005). En particular, la historia sería imposible incluso si el infinitismo causal fuera cierto. La objeción del absurdo es una respuesta muy poderosa al argumento del finitismo causal, y tendremos que preocuparnos por las variantes a lo largo del libro. En respuesta, podemos destacar razones para pensar que (8) es cierto. Tenga en cuenta que lo absurdo de la conclusión extraída de la historia de Grim Reaper es muy sensible a la disposición de los tiempos de activación en el intervalo de tiempo. No hay nada de absurdo en la historia de la Parca Inversa, donde los Segadores se activan a las 10:30, 10:45, 10: 52.5, y así sucesivamente (Fig. 3.2). El Reaper de las 10:30 enciende la luz, los últimos Reaper no hacen nada y todo está bien. Y agregar un solo 10:00 (o 9:59, si uno tiene preocupaciones sobre la acción instantánea) Reaper a la historia original para obtener la historia de Grim Reaper prefijada hace que el absurdo de la historia desaparezca: el Reaper de las diez en punto enciende el light y los posteriores no hacen nada. Entonces, si la razón por la cual la historia de Grim Reaper fue imposible es solo la conclusión absurda particular de la historia, las historias de Grim Reaper invertidas y prefijadas deberían ser posibles. Ahora imagine la manada de Grim Reapers alrededor de las 9:30 am, y suponga que cada uno tiene un dial que se puede configurar para ajustar su tiempo de activación. Entonces (a) es imposible establecer los diales en los valores de la historia original de Grim Reaper, pero (b) cualquier grupo finito de diales se puede establecer en los valores de esa historia, y (c) uno puede establecer todos los diales como en las historias Invertidas y Prefijas. Esto 35 Los detalles del impacto de los Grim Reapers en el estado final serán considerados cuando intentemos refinar la tesis del finitismo causal en el Capítulo 7, Sección 2.3.

supertareas y paradojas deterministas parece incorrecto. Los objetos físicos, como los diales, por lo general, deberían poder mezclarse, moverse y recombinarse de formas menores. Es una marca en contra de una teoría que hace imposible la historia de la Parca, pero posibles las Invertidas y Prefijas. Aquí hay otro argumento de que si la historia de Grim Reaper invertida es posible, también debería serlo la historia original de Grim Reaper. Porque dada la historia invertida, en ausencia de escrúpulos finitistas, deberíamos poder suponer adicionalmente un número infinito de manipuladores con libre albedrío indeterminista. 36 ajustando los diales de los Grim Reapers alrededor de las 9:30. Todos podrían optar por dejar los diales en paz. Pero seguramente es 10:00

11:00 10:30

10:45

10: 52,5

Figura 3.2 Algún representante invirtió las activaciones de Grim Reaper.

sería posible que todos ellos configuraran los diales en los ajustes de la historia original. Porque cada manipulador individual podría ajustar el dial de su Grim Reaper al ajuste que tendría que tener en la historia original. Pero dado que los manipuladores son independientes e indeterminísticamente libres, lo que hacen otros manipuladores no afecta lo que uno de ellos puede hacer. Así que no debería haber ninguna dificultad en que todos ellos establezcan sus Grim Reapers en los valores necesarios para la paradoja original. De lo contrario, tenemos que suponer alguna extraña fuerza metafísica que impida algunos escenarios. Se podría intentar decir que la historia de la Parca Inversa es posible, pero solo si los diales no están disponibles para que infinitamente los manipuladores puedan jugar de forma independiente. Pero esto es inverosímil. Y el análogo de la historia Prefixed Grim Reaper es aún más difícil de defender. Para convertir una historia de Grim Reaper prefijada en una historia de Grim Reaper en toda regla, todo lo que necesitamos es un botón de desactivación en el Grim Reaper de las 10:00 y un modificador, o incluso un proceso aleatorio, capaz de presionar ese único botón. Que una historia de Grim Reaper prefijada sea posible, pero que sería imposible agregar el botón de desactivación y el modificador a la historia es completamente inverosímil. El finitismo causal, por otro lado, destruye todas las historias variantes, por la misma razón que la original: el estado final de la lámpara depende de una infinidad de eventos. Por tanto, podríamos plantear el argumento de (8) de la siguiente manera. Si el finitismo causal es falso, entonces las historias de Grim Reaper invertida y

Si uno piensa con Hume que la libertad requiere determinismo, entonces llámelo “cuasi-libre albedrío”. 36

parcas prefijada son posibles. Pero si la historia de Grim Reaper invertida o prefijada es posible, también lo es la historia de Grim Reaper.

3.4 Una objeción de reordenamiento Supongamos que el eternismo es verdadero, de modo que los eventos y objetos futuros son completamente reales. Entonces, mientras el finitismo sea falso, debería ser posible tener un número infinito de causas, incluso dado el finitismo causal. Después de todo, un universo que continúa para siempre, con una secuencia causal infinita hacia adelante, debería ser posible. Por ejemplo, no hay ninguna dificultad en que un Grim Reaper se active al mediodía de cada día en un futuro infinito. Dado esto, ¿por qué no podemos reorganizar los tiempos de activación sin problemas de Grim Reapers en tiempos paradójicos? Es cierto que el problema es más complicado que la activación de los tiempos de reordenamiento que consideramos en la Sección 3.3. Allí, imaginamos que los Grim Reapers existían antes de las 10:00 am y tenían diales donde se podían establecer combinaciones sin problemas de tiempos de activación. Ese experimento mental en particular tal vez no pueda generalizarse aquí. La mera existencia de un número infinito de Parcas ajustables antes de las 10:00 a. M. Parece constituir un historial causal infinito para el estado de la lámpara a las 11:00 a. M., Incluso si todas las horas de activación están programadas para después de las 11:00 a. M. El hecho de que cada uno de los infinitos diales esté configurado después de las 11:00 am contribuye causalmente a que la lámpara se apague a las 11:00 am. En su lugar, suponga una historia poco paradójica en la que un Grim Reaper llega a existir cada día de un futuro infinito, programado para estallar al mediodía de ese día. El reordenamiento sugiere que si esto es posible, entonces debería ser posible que todos los Grim Reapers aparezcan antes de las 10:00 a.m. y que sus diales estén configurados como en la paradoja original.

En el Capítulo 1, Sección 3.2, sostuve que los principios de reordenamiento deben tomarse como derrotables y los mejores candidatos para derrotadores son los principios metafísicos. El finitismo causal es un principio de este tipo, y la invocación de la reordenación en el argumento de una secuencia futura de Parcas diarias tiene, por tanto, un derrotador razonable. Además, tenga en cuenta que la reorganización no es solo una cuestión sencilla de cambiar los diales. También es cuestión de cambiar cuando nazcan los Grim Reapers. En general, es intuitivamente menos probable que el reordenamiento temporal preserve la posibilidad que el reordenamiento espacial, el movimiento de los diales, etc. Por ejemplo, algunas versiones de los argumentos cosmológicos de Kalam comienzan defendiendo la suposición de que el pasado debe ser finito. Cualesquiera que sean los méritos de estos argumentos, argumentar que el pasado podría ser infinito porque el futuro podría ser infinito y una infinidad de eventos dirigidos hacia

supertareas y paradojas deterministas el futuro podrían reorganizarse en uno dirigido hacia el pasado simplemente no parece muy convincente. Así, El mismo punto se aplica a una variante (compatible con la negación del eternismo) en la que suponemos un multiverso con una infinidad contable de universos isleños aislados causalmente, cada uno de los cuales contiene un Grim Reaper, con el Grim Reaper del enésimo mundo establecido para 60/2n minutos después de 10. : 00 am hoy. Un principio de reordenamiento irrestricto permitiría mover a todos estos Segadores a un solo mundo paradójico. Pero los reordenamientos que transforman objetos causalmente aislados en cosas dentro de un único nexo causal parecen más problemáticos, y deberían ser derrotados con más facilidad, que la verdad que simplemente reorganizan las cosas dentro de un único nexo causal. Vale la pena señalar que el finitista completo está mejor con respecto a los argumentos de reordenamiento: niega todos los infinitos reales y es aún más difícil reorganizar lo finito en infinito. Pero, como expuse en el Capítulo 1, hay buenas razones para rechazar el finitismo.

3.5 La objeción mereológica Hawthorne (2000) ha sugerido que en la historia original la fusión —la suma mereológica u objeto agregado formado por todos los Grim Reapers— tiene un efecto que ninguno de los Reapers tiene. En nuestro contexto, diríamos que la fusión enciende la luz, aunque ningún Reaper lo haga. Pero cuando un Reaper ve que la luz ya está encendida, no hace nada. Podemos suponer que ni siquiera toca el interruptor. El argumento que dimos implica que la luz está encendida en cada uno de los momentos de activación. Así que ninguno de los Reapers hace nada. Y sin embargo, misteriosamente, la luz debe encenderse como resultado de su actividad conjunta. Es cierto que no hay nada de absurdo en que una fusión tenga un efecto que ninguna parte fundamental tiene. Ninguna partícula de una roca rompe la ventana, pero la roca sí. Sin embargo, cuando la roca rompe la ventana, cada partícula en ella hace su propia pequeña contribución, y debido a lo grande que es el número de

para un impacto significativo. En el caso de los Reapers, sin embargo, se estipula que los Reapers individuales no hacen literalmente nada más que observar. Se supone que las fusiones no son más que la suma de sus partes, por lo que la fusión no debería tener ningún poder causal que no sea el derivado de las partes. (Quizás la objeción de Hawthorne pueda cambiarse para trabajar con un tipo diferente de todo, un todo orgánico. Según una serie de teorías de totalidades orgánicas, digamos, Merricks (2001), un todo orgánico puede tener poderes causales que van cualitativamente más allá de lo causal. poderes de las partes. Consideraremos esta opción en la Sección 3.5.2.)

parcas Sin embargo, hay una respuesta que invoca la teoría contrafactual de la causalidad de Lewis (1973). Saquen a los Grim Reapers del mundo Grim Reaper, para que tengamos un mundo normal donde la lámpara se apaga a las 10:00 y permanece apagada. Luego tenemos el contrafactual: (11) Si los Grim Reapers se activaran a ..., 10: 07.5, 10:10, 10:15 y 10:30, la lámpara habría estado encendida en todo momento después de las 10:00. Según la teoría de Lewis, tal dependencia contrafáctica entre eventos que no se superponen es una dependencia causal. Esto arroja un argumento de que el evento informado por el consecuente depende causalmente de lo informado por el antecedente. Pero el evento reportado por el antecedente parece ser precisamente la fusión de eventos de activación de Grim Reaper. Sin embargo, deberíamos considerar que esto es una reducción ad absurdum de la conjunción de la teoría de Lewis con la tesis de que la historia de Grim Reaper es posible. Porque está claro que los Grim Reapers no pueden ni individual ni colectivamente hacer que la lámpara esté encendida. Por supuesto, podría ser el caso de que si la historia de Grim Reaper se mantuviera, los Reapers individualmente inmóviles harían que la lámpara estuviera encendida (un poco más a favor de este condicional se dirá en la Sección 3.6.3). Pero como el consecuente es imposible, es razón para negar la posibilidad del antecedente. Aquí hay otra forma de hacer vívida la contraintuitividad de la historia de Hawthorne. Supongamos que la lámpara tiene dos botones, uno rojo que hace que la lámpara se encienda en rojo y otro verde que hace que se encienda en verde. Digamos que un Grim Reaper es, respectivamente, par o impar siempre que se active 60/2n minutos después de las 10:00 para, respectivamente, un n par o impar. Y ahora suponemos que los Parcas pares están programados solo para presionar el botón rojo mientras que los impares están programados solo para presionar el verde. Y ambos tipos de Grim Reapers no hacen nada si la lámpara ya está encendida, independientemente del color. En la versión bicolor de la historia, al igual que antes, la lámpara está encendida todo el tiempo después de las 10:00 y siempre está encendida del mismo color. ¿Pero de qué color es ese? Ambos son igualmente compatibles con la historia. Ahora bien, cada Reaper es una causa determinista: su comportamiento está completamente especificado. Entonces, si la fusión de los Reapers hizo que la lámpara se encendiera, entonces tenemos una de dos cosas asombrosas. O bien, una fusión de causas deterministas es una causa indeterminista, o bien la fusión hace que la luz se encienda, pero se nos garantiza la ocurrencia de un evento sin causa, es decir, el evento de que la luz sea roja o el evento de la luz ser verde. La colocación de eventos no causados ya cuenta en contra de una teoría (consulte la Sección 3.6.2), pero poder

Garantizar la ocurrencia de un evento sin causa haciendo algo (por ejemplo, activar a los Grim Reapers) es aún más extraño.

supertareas y paradojas deterministas Finalmente, también se podría sostener que cuando obtienes un número infinito de Parcas dispuestas como en la paradoja, necesariamente obtienes un todo orgánico adicional que enciende la luz, y es por eso que la historia original, que no tenía tal unidad orgánica en ella. -es imposible. Pero hay dos tipos de historias en la literatura metafísica sobre cómo los todos necesariamente pueden surgir de las partes. La primera historia trata de fusiones. Algunos sostienen que necesariamente o toda pluralidad de cosas tiene una fusión (universalismo mereológico), mientras que otros piensan más débilmente que esto sucede necesariamente siempre que uno tiene una pluralidad de cosas que satisfacen alguna condición adicional, como estar en contacto físico mutuo. Pero estas son fusiones, y las fusiones no son más que la suma de las partes. Se supone que son un almuerzo gratis metafísicamente hablando. Y lo que es metafísicamente un almuerzo gratis no hace más que las partes y no es un todo orgánico. La segunda historia es que siempre que un montón de cosas tienen el tipo correcto de interdependencia mutua o exhiben el tipo correcto de homeostasis, forman un todo orgánico (1995 habla de que las cosas tienen una “vida” juntas). Esta historia es bastante plausible, pero inaplicable al caso que nos ocupa. Aparte de su objetivo común, los Reapers no tienen el tipo correcto de interdependencia para formar un todo homeostático. Por lo tanto, no es plausible que surja necesariamente un todo orgánico dada la disposición de Reapers.

3.6 Iluminación no causada ¿Qué pasa si uno simplemente dice que aunque la luz debe estar encendida en todo momento después de las 10:00 am, no hay nada que la provoque? Esto compromete a uno con la posibilidad de eventos contingentes que tienen un comienzo pero no una causa, contrario al Principio Causal de que los eventos que tienen un comienzo tienen una causa, es decir, que nada puede venir de la nada. A pesar de la plausibilidad intuitiva del Principio Causal, se ha negado ampliamente desde que Hume (1779) sugirió que podemos imaginar que los objetos nazcan de la nada. Mi respuesta tendrá dos partes. Primero, revisaré brevemente algunas razones familiares para aceptar el Principio Causal (hay mucha más discusión sobre algunos de los puntos y objeciones en Pruss 2006; también, un argumento adicional para un Principio Causal basado en una variante de la paradoja de la Parca será figurar en el Capítulo 9, Sección 2.3). En segundo lugar, consideraré cuán plausible es tomar específicamente el evento de encendido de la lámpara en la paradoja como una excepción al principio causal.

parcas El principio causal es muy plausible en sí mismo. No deberíamos negar principios tan plausibles sin una muy buena razón. Como prólogo, observe que ciertamente podemos formular una oración de lógica de primer orden estrictamente coherente desde el punto de vista lógico que dice que un objeto x (para simplificar, consideraré que los eventos son un tipo de objeto en esta sección) surgió de la nada: ∃t (∀u (u
Pero en el capítulo 1, sección 3, he argumentado que esa coherencia estrictamente lógica no es lo mismo que posibilidad, aunque, por supuesto, es una condición necesaria para la posibilidad. De manera similar, no podríamos resolver afirmativamente la cuestión de si algo puede ser autocausado al señalar que ∃ x (Causas (x, x)) es una oración estrechamente coherente de lógica de primer orden. Se han propuesto dos razones principales para negar el principio causal. Primero, el hecho de que podamos imaginar una situación es una buena razón para pensar que la situación es posible. Pero se afirma que podemos imaginar un ladrillo surgiendo de la nada. Después de todo, no parece difícil de imaginar: no hay nada y luego hay un ladrillo. De hecho, es bastante difícil de imaginar. Porque es realmente difícil imaginar nada. Si a las personas se les pide que se imaginen estar en una habitación sin nada (además de ellos mismos) en ella, lo que imaginan es una habitación vacía de las características notables de las habitaciones, como sillas y computadoras. Por lo general, no se imaginan a sí mismos jadeando por aire y muriendo en el vacío. Tampoco se imaginan flotando en la habitación debido a la ausencia de un campo gravitacional. Y es muy probable que no imaginen que la habitación está completamente oscura, debido a la ausencia de luz. Puedo, por supuesto, poner más esfuerzo en mi imaginación e intentar imaginar una habitación oscura y sin aire sin un campo gravitacional. Tengo algunas dudas de que haya tenido éxito en este ejercicio imaginativo. ¿Realmente puedo imaginar la ausencia de un campo gravitacional? Los campos gravitacionales, y a fortiori sus ausencias, no parecen ser sujetos aptos para la imaginación. (Por supuesto, uno puede imaginarse algo que represente un campo gravitacional, tal vez una extraña niebla ondulada). Sospecho que, en el mejor de los casos, lo que estoy imaginando es solo una habitación oscura que estoy etiquetando mentalmente como sin aire y sin campos gravitacionales. Y si me dedico al esfuerzo adicional de imaginar una habitación verdaderamente vacía, vacía no solo de aire, campos gravitacionales y luz, sino también de seres mitológicos invisibles de todo tipo, de campos físicos hipotéticos, Pero, por supuesto, la posibilidad de etiquetar mentalmente una habitación imaginada como vacía da muy poca evidencia de la posibilidad de una habitación vacía. También se podría etiquetar una imagen mental de una persona con la etiqueta "Este es un soltero casado".

supertareas y paradojas deterministas Sin embargo, imaginar un objeto que llega a existir sin una causa es incluso más difícil que imaginar una habitación vacía. Porque no solo uno debe imaginar la ausencia de una causa en la localidad del objeto, uno debe imaginar que no hay causas

producir el objeto a través de la causalidad a distancia, y tampoco causas no físicas. Esto va mucho más allá de la competencia de la imaginación. Sospecho que al final el argumento de la imaginación se reduce a una simple invocación de una intuición: parece posible que un objeto nazca de la nada. No niego que tales intuiciones den evidencia. Pero la intuición es contrarrestada por la intuición ampliamente compartida de que nada puede surgir de la nada. Una segunda línea de pensamiento es que la ciencia nos da razones para pensar no solo que las cosas pueden suceder sin causa alguna, sino también que suceden sin causa alguna. Aquí hay dos subargumentos. El primer argumento se basa en pares partículaantipartícula que surgen brevemente como fluctuaciones cuánticas. Sin embargo, esto no debe considerarse como un caso de algo que surge de la nada. Porque el estado cuántico de vacío del que surge el par es algo con una propensión —que puede caracterizarse probabilísticamente— a la producción de tales pares de partículas. La actualización de esta propensión parece un proceso causal. El segundo subargumento se basa en la idea de que la cosmología moderna (y los otros argumentos a favor del finitismo causal, podríamos agregar) nos da razones para pensar que el pasado es finito. Cuando uno combina esto con argumentos filosóficos en contra de una causa eterna (ya sea infinitamente antigua o atemporal) del universo como Dios, obtiene un argumento de que algo llegó a existir sin causa, a saber, el universo. Este argumento tampoco es muy convincente. Para defender el argumento, uno no solo necesitaría argumentar que Dios no existe, una tarea abrumadora en sí misma, aunque el problema del mal está al menos disponible como argumento (aunque ver Dougherty y Pruss 2014 para una de las muchas respuestas), sino también habría que argumentar en contra de hipótesis no teístas sobre otras causas eternas de las que podría haber venido el universo. 37

La objeción a mi argumento a favor del finitismo causal fue que la iluminación de la lámpara no tiene causa. ¿Pero la iluminación de la lámpara realmente no tiene causa? Claramente, si no hubiera habido Parcas allí, la lámpara no se habría encendido. Según la explicación de la causalidad de Lewis (1973), la existencia de tal relación contrafactual es suficiente para la causalidad. Dada esa teoría, la existencia de los Grim Reapers hace que la lámpara esté encendida. De manera similar, en las teorías

37Es

tentador invocar el indeterminismo cuántico como tercer argumento para los eventos no causados.

Pero los eventos cuánticos indeterminados todavía son causados por el sistema físico en el que ocurren.

parcas manipulacionistas de la causalidad (por ejemplo, Woodward 2003), la posibilidad de manipular algo por medio de una correlación es suficiente para la causalidad. Pero al configurar los diales de los Grim Reapers ajustables a los tiempos paradójicos en lugar de configurarlos todos en algún momento después de las 11:00 am, podemos controlar si la luz estará encendida a las 11:00 am. Así, en una explicación manipulacionista de la causalidad, Incluso aparte de tales teorías de causalidad, es plausible que los contrafácticos

una ley de la naturaleza que hace que un estado se produzca cuando el otro lo hace, o debido a una relación causal entre los estados. Pero podemos especificar que el mundo de Grim Reaper no contiene leyes adicionales de la naturaleza además de las involucradas en la actividad individual de Grim Reaper. Por tanto, es plausible que seamos empujados a una relación causal. Pero está claro que el hecho de que la lámpara esté encendida no hace que los Grim Reapers existan o se activen, por lo que los Reapers harían que la lámpara se encienda o habría una causa común, y en cualquier caso, el encendido de la lámpara se debe a la causa. .

Aquí hay otra forma de pensar en esto. En mundos como en la paradoja original, según la objeción en cuestión, la lámpara se enciende sin causa justo después de las 10:00. En mundos normales donde los tiempos de activación de Grim Reaper se establecen para una hora posterior, la lámpara permanece apagada después de las 10:00. ¿Por qué existe esta misteriosa correlación de modo que poner los diales de los Grim Reapers en los tiempos paradójicos de alguna manera "hace" que la lámpara se encienda de manera no causal? En lugar de plantear conexiones tan misteriosas entre distintas existencias (para hacernos eco de Hume), ¿no es preferible aceptar el finitismo causal? Porque no será de extrañar que obtengamos resultados extraños cuando consideramos lo que sucedería en el caso de Grim Reaper si el caso de Grim Reaper es imposible. Y de acuerdo con el finitismo causal, la historia de Grim Reaper, independientemente de cómo estén configurados los diales, es imposible.

3.7 Tiempo discreto Como la lámpara de Thomson, la paradoja de la Parca también se puede descartar si el tiempo tiene que ser discreto. Discutiremos la discreción del tiempo con mayor detalle en el capítulo 8. En este punto, sin embargo, quiero explorar una sugerencia especulativa de que la paradoja de la Parca puede realizarse en un escenario discreto. Supongamos que la lámpara ha existido durante una cantidad infinita de tiempo, y que un Reaper se activó hoy, otro ayer, otro el día anterior, y así sucesivamente. Entonces parece que tenemos la misma estructura que en la historia original, pero los Reapers están espaciados en el tiempo de tal manera que el tiempo aún puede ser discreto.

supertareas y paradojas deterministas Pero ahora considere cómo sería el argumento de que esto es una paradoja en este escenario. La lámpara siempre ha estado encendida, ya que si no estuvo encendida hace n días, entonces se habría encendido hace n + 1 días. Y tampoco ninguno de los Grim Reapers activó la lámpara. Sin embargo, ¿dónde está la paradoja? La paradoja original era que la lámpara se encendía pero nada la encendía. Sin embargo, en el caso de una lámpara eterna, estar eternamente encendida sin que nada la encienda parece mucho menos problemático. Pero ahora imagina un escenario en el que no hay Parcas, pero hay una lámpara sin causa que siempre ha estado apagada. Entonces, en ese escenario, todavía tenemos el siguiente contrafactual: (12) Si hubiera un Grim Reaper activándose cada día anterior, la lámpara siempre habría estado encendida.

Y exactamente por las razones discutidas en la Sección 3.6.3, hay buenas razones para pensar que podríamos elaborar la historia de Grim Reaper de tal manera que esta dependencia contrafáctica del estado de la lámpara en los Reapers sería causal. Pero, por supuesto, la dependencia no puede ser causal, por las razones discutidas en la Sección 3.5. Así que hay algo paradójico dado el supuesto de que la lámpara siempre ha estado encendida. El problema es particularmente agudo si incluso los estados de cosas contingentes eternos, como que la lámpara esté encendida, deben tener una causa. Nuestros Grim Reapers son faroleros. Pero también podemos suponer una secuencia infinita de oscurecedores de lámparas. Supongamos ahora que alguna causa c provocó que la lámpara siempre estuviera encendida. Si hubiera habido una secuencia infinita de oscurecedores de lámparas en lugar de una secuencia infinita de encendedores, entonces algo habría tenido que hacer que la lámpara siempre hubiera estado apagada. Pero, ¿cómo habrían evitado los oscurecedores de la lámpara que c hiciera que la lámpara se encendiera y forzado algo para que se apagara?38

3.8 Evaluación La paradoja de la Parca mejora significativamente en la lámpara de Thomson. Nos da una buena razón para creer una hipótesis como el finitismo causal que nos permite descartar la historia fuera de los tribunales. Probablemente, la objeción más fuerte al argumento es la objeción de que el absurdo de la paradoja es en sí mismo la razón por la que debe descartarse la historia. Sin embargo, esto no descarta variantes como la historia de la Parca invertida, y tenemos buenas razones para pensar que si la 38Supongo aquí que si tiene que haber una causa de que la lámpara esté encendida, debe haber una causa de que esté apagada. Pero quizás solo los estados de cosas positivos necesitan tener causas. En ese caso, podemos suponer que la lámpara tiene un interruptor que alterna entre dos colores, rojo y azul, y tenemos una secuencia infinita de enrojecedores versus una secuencia infinita de azules, en lugar de los faroleros y los oscurecedores de lámpara.

parcas historia de la Parca invertida es posible, también lo es la historia de la Parca. El finitismo causal, sin embargo, descarta no solo a la Parca, sino también a tales permutaciones. Sin embargo, tendremos que considerar en el capítulo 7 si es posible que alguna otra hipótesis no funcione mejor que el finitismo causal, y tendremos que refinar allí el finitismo causal.

4. Universos newtonianos infinitos 4.1 Un argumento contra el finitismo causal y una respuesta Aquí hay un argumento rápido contra el finitismo causal. La física newtoniana es posible. Claramente, es posible tener un universo infinito, con infinitas canicas. Pero en un universo newtoniano, cada objeto con masa ejerce una fuerza gravitacional sobre todos los demás objetos. La aceleración es proporcional a la suma de las fuerzas. Así, la aceleración de cada objeto es causada por infinitas influencias gravitacionales, contrariamente al finitismo causal.

supertareas y paradojas deterministas infinitos universos newtonianos Sorprendentemente, este argumento puede convertirse en un argumento a favor del finitismo causal. Si el infinitismo causal es cierto, el escenario anterior es posible. Pero si el escenario anterior es posible, también debería ser posible disponer los objetos masivos de cualquier otra forma geométricamente coherente, manteniendo la física newtoniana. Aquí hay uno de esos arreglos. Imagina el espacio dividido por la mitad por un plano infinito ("el plano central"), y llama a las mitades las mitades "izquierda" y "derecha". Imagina que hay una canica sentada en el plano central, la mitad izquierda del universo está vacía,39 y la mitad derecha tiene una disposición de masas que tiene una densidad aproximadamente uniforme a gran escala. Por tanto, todas las grandes regiones esféricas de la mitad derecha del espacio contienen aproximadamente la misma relación de masa a volumen. Dado este escenario, la canica experimentará una atracción gravitacional de todas las masas de la derecha. Este tirón será infinito 40 y por tanto resultará en una aceleración infinita de la canica hacia la derecha. Suponga que las otras masas se mantienen aproximadamente en su lugar por otras fuerzas, y que hay un pasillo estrecho para que la canica se mueva hacia la derecha. Entonces, la canica se moverá hacia la derecha, pero no importa qué distancia finita se mueva hacia la derecha, seguirá experimentando una fuerza infinita hacia la derecha. Por supuesto, una vez que se mueve hacia la derecha, experimentará una fuerza hacia la izquierda de masas ahora a su izquierda. Pero esa fuerza será finita.41 Como resultado, la canica tendrá que acelerar continuamente infinitamente, y eso es imposible; una aceleración infinita continua daría como resultado un movimiento infinito, pero ¿dónde estaría la canica después de que se moviera una distancia infinita hacia la derecha? Entonces, el escenario conduce al absurdo. Sin embargo, si

39 O casi vacío, con masas esparcidas cada vez más a medida que uno se aleja del plano central, si una mitad del espacio completamente vacía es imposible, digamos porque el espacio es relacional. 40∗ La fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, por lo que el tirón de masas más alejadas se disipará. Sin embargo, la masa total contenida dentro de una esfera en la mitad derecha del espacio será proporcional al cubo del radio de la esfera. Imagine entonces una esfera de espacio en la mitad derecha del espacio con la canica en su borde, con la esfera teniendo un gran radio R. Según el teorema de la cáscara de Isaac Newton (Schmid 2012), dada una densidad exactamente uniforme, la fuerza gravitacional será la misma como la fuerza de una masa igual concentrada en el centro. Dada una densidad aproximadamente uniforme, como en nuestro caso, la conclusión seguirá siendo aproximadamente cierta. Dado que la masa total es (4/3) πR3ρ donde ρ es la densidad y la distancia a nuestra canica es R, la fuerza hacia la derecha sobre la canica será mayor o igual a aproximadamente Gm (4/3) πR3ρ / R2 = (4/3) GπmRρ, donde m es la masa de la canica. Pero justo a la derecha de la canica hay esferas de radio R arbitrariamente alto con densidad aproximada ρ. De ello se deduce que la fuerza hacia la derecha es infinita. 41 Podemos aproximar las masas a la izquierda de la canica mediante una colección finita de planos planos infinitos, y la fuerza gravitacional de un plano plano infinito con densidad de área finita es finita (Hofmann-Wellenhoff y Moritz 2006, p. 135).

el infinitismo causal es cierto, el escenario es posible. Entonces, el finitismo causal es cierto. Así, las consideraciones newtonianas no solo no dañan el finitismo causal, sino que lo apoyan. La imposibilidad de un universo newtoniano lleno uniformemente a la derecha con una cantidad infinita de masa, junto con una aplicación plausible de reordenamiento, nos da razones para pensar que cualquier escenario con infinitas masas que interactúan gravitacionalmente es imposible, y esto a su vez nos da una razón para creer en el finitismo causal.

4.2 Vara de Smullyan Para otro argumento newtoniano, imagine un terreno infinito plano y perfectamente impenetrable, con la gravedad tirando hacia abajo uniformemente en todas partes. 42 En el suelo hay una varilla perfectamente rígida con un extremo justo donde estás, y que no tiene otro extremo: la varilla se estira hasta el infinito. El terreno es impenetrable. Suponga que la barra tiene una masa de un kilogramo. Esto es posible siempre que su densidad disminuya con la distancia desde el inicio: el primer metro de la caña puede pesar medio kilogramo, el segundo un cuarto, el tercero un octavo y así sucesivamente.43 La paradoja surge cuando agregamos que coloca el dedo debajo de la varilla, cerca del extremo de la varilla, e intenta levantar la varilla y luego levanta suavemente el dedo. Si tuvieras una caña que pesara un kilogramo y tuviera un centímetro de largo, podrías levantarla de esa manera con un buen trabajo de equilibrio. Pero si la caña tuviera un metro de largo y trataras de levantarla levantando la punta con un dedo, fallarías. El extremo más alejado de la varilla permanecería en el suelo, y el extremo cercano subiría, con la varilla girando y deslizándose de su dedo. Sin embargo, si la caña es infinitamente larga, sorprendentemente podrás realizar la hazaña. Dado que la varilla es infinitamente larga, será imposible que gire hacia abajo desde su dedo: cualquier ángulo hacia abajo, no importa cuán pequeño sea, haría que penetrara el terreno impenetrable (Fig. 3.3). Dado que puede aplicar una fuerza suficiente para levantar un kilogramo con un dedo, podrá levantar la barra infinitamente larga. Se levantará perfectamente paralelo al suelo. Eso es paradójico. Para ver la paradoja más claramente, tenga en cuenta que siempre que la densidad no disminuya demasiado rápido en el primer metro más o menos, en cualquier punto del levantamiento un gran par desequilibrado, tal vez

42

Recuerde que la atracción gravitacional de un plano infinito de densidad de área finita uniforme es

finita (Hofmann-Wellenhoff y Moritz 2006, p. 135). 43

Esta es una versión modificada de la varilla de Smullyan (Smullyan 2008) sin requerir una fuerza infinita para levantarla.

supertareas y paradojas deterministas incluso un par infinito (esto es compatible con finito masa total44) - intenta girar el lado largo de la varilla hacia el suelo. Sin embargo, la varilla permanece paralela al suelo.

Figura 3.3 Varilla de Smullyan con densidad exponencialmente decreciente y, por lo tanto, fuerza cuasi gravitacional exponencialmente decreciente.

infinitos universos newtonianos Pero el par en el pivote es causado por un número infinito de casos de fuerza gravitacional: la fuerza gravitacional en el primer metro de la varilla, la fuerza gravitacional en el segundo metro, y así sucesivamente. Esto viola el finitismo causal. De hecho, de manera más general, el finitismo causal hace que sea imposible tener una varilla infinita hecha de infinitas partes, cada una de las cuales está sujeta a una fuerza. Además, parece que la incapacidad de las infinitas piezas de la varilla para penetrar en el suelo hace que la varilla permanezca estacionaria (pero vea la discusión de las tablas de Benardete en el Capítulo 7, Sección 2.3 para algunas complicaciones). Existe la preocupación de que este último argumento demuestre demasiado, debido a una extensión zenónica. Tome una varilla de un metro de longitud y sujétela por un extremo. Luego, el par alrededor del final es causado por la fuerza gravitacional en el primer medio metro, el siguiente cuarto de metro, el siguiente octavo metro, y así sucesivamente. Por tanto, parece que el finitismo causal descarta incluso una vara finita. Pero eso es demasiado rápido. Una barra finita en el mundo real estaría hecha de un número finito de partículas, por lo que sólo habría un número finito de fuerzas gravitacionales con las que lidiar. Pero, ¿y si tuviéramos una varilla de un metro de largo que no estuviera hecha de partículas? Después de todo, la física clásica hablaba de varillas continuas rígidas. Sin embargo, el argumento zenoniano anterior sobre las fuerzas gravitacionales más el finitismo causal todavía parece descartar tal vara. Y, sin embargo, la física clásica parece posible. Una respuesta es esta. En el caso finito, no deberíamos pensar en el torque total sobre el final como causado por un número infinito de componentes reales. Por el bien de la computación, dividimos las barras conceptualmente en infinitas partes. 44

∗ Si la densidad de la varilla a la distancia x es proporcional a 1 / (x + 1) 2, la masa total será finita,

pero el par alrededor del extremo será proporcional a

xdx/ (x + 1) 2 = ∞. Por otro lado, si la densidad a

la distancia x es proporcional a 2 − x, el par total será finito.

Pero en realidad una vara continua no tendría partes —sería un “simple extendido” o de lo contrario estaría subdividida a la manera aristotélica. La subdivisión aristotélica haría que la vara en realidad solo tenga un número finito de partes reales, pero cada parte puede dividirse en dos. Quizás los límites de las partes reales estén constituidos por discontinuidades en una cosa extendida, por lo que un finitista causal aristotélico podría insistir en que cualquier barra rígida exhibiría solo un número finito de discontinuidades. Sin embargo, esto conduce a un problema adicional. ¿Qué pasa si nuestra barra infinita original es uno de esos objetos rígidos continuos sin partes? (Nota: incluso si solo tiene un número finito de partes, entonces suponiendo que las partes son contiguas, una de las partes será infinita, por lo que podemos trabajar con el caso más simple donde el todo es infinito). En ese caso, el finitismo causal no sería parece aplicarse, por la misma razón por la que argumentó que no se aplicaría a la varilla finita sin partes. Pero puede haber razones adicionales para sospechar de los infinitos objetos sin partes en un entorno físico clásico. Para entender cómo los objetos finitos sin partes interactúan clásicamente con fuerzas externas, es posible que necesitemos características globales como los centros de masa. Pero si es posible una varilla rígida sin partes unidireccionalmente infinita que interactúe de forma clásica, entonces también debería ser posible una varilla rígida sin partes bidireccional-infinita (es decir, que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, sin extremos) de densidad uniforme que interactúe de manera clásica. Pero una varilla isotrópica

centro de masa. Todos los puntos están a la par. Si el finitismo causal requiere un rechazo por separado de infinitos objetos sin partes en un entorno de física clásica, eso no parece un gran costo.

4.3 El condicional La dificultad en muchos argumentos de este libro radica en la transición de un reclamo de posibilidad a otro. Hay arreglos no paradójicos de cantidades infinitas de materia en el espacio newtoniano, digamos aquellos en los que el arreglo de la materia es cada vez menos denso cuanto más se aleja uno de algún punto fijo, y la disminución en la densidad es suficiente para asegurar que la fuerza gravitacional total esté en todas partes. finito. El argumento anterior a favor del finitismo causal nos obliga a decir que si estos arreglos newtonianos no paradójicos son posibles, también es posible el arreglo paradójico (distribución uniforme en la mitad del espacio). Sin embargo, no necesito defender el condicional si solo quiero rechazar el argumento de que la posibilidad de la física newtoniana implica infinitismo causal. Pues nuestras paradojas newtonianas muestran que el principio de que toda

supertareas y paradojas deterministas disposición de masa matemáticamente coherente puede estar dotada de leyes newtonianas es falso. Pero en ausencia de tal principio, el finitista causal tiene la posibilidad de decir que es metafísicamente imposible que los arreglos con un número infinito de masas estén dotados de leyes newtonianas.

5. Otra vida eterna Si después de cada día de vida hay otro día de vida, tienes la vida eterna. Y si tienes vida eterna, tu vida no podría ir más lejos de lo que será. Pero si el finitismo causal es falso, podría: después de tu vida eterna, podrías tener otra vida eterna. La forma más fácil de ver esto es con supertasks. Su funcionamiento se acelera en un factor de dos, por lo que tiene el primer día de su vida eterna en doce horas de tiempo externo. Luego se acelera en otro factor de dos, por lo que tiene el segundo día de su vida eterna en seis horas de tiempo externo. Y así. Como resultado, ha vivido su vida eterna, con cada día de tiempo interno seguido de otro día de tiempo interno, todo en 24 horas de tiempo externo. Pero luego puedes tener otra vida eterna después de esas 24 horas. ¿Qué tiene que ver el finitismo causal con esto? Bien, es plausible que nuestras vidas estén necesariamente interconectadas causalmente de tal manera que nuestro estar vivo en los primeros días contribuye causalmente a que estemos vivos en los días posteriores; esta interconexión causal está ligada a que la vida sea la vida de un solo individuo. Sin embargo, si tuvieras dos vidas eternas, una tras otra, entonces tu existencia durante la segunda vida eterna tendría entre sus causas tu existencia durante cada uno de los días de la primera vida eterna. Pero eso requeriría un infinitismo causal. 19

Estoy particularmente agradecido con Ian Slorach por sus comentarios sobre las múltiples versiones de esta sección.

viajes en el tiempo y bucles causales También se puede ejecutar este argumento sin acelerarlo. Podemos dar una descripción matemáticamente coherente de una secuencia de tiempo que incluye dos vidas eternas. Solo suponemos que la dimensión temporal está modelada por dos copias de una línea de tiempo ordinaria, con cada punto de la segunda línea de tiempo después del primero. Marcando los miembros de la segunda copia con asteriscos, esto se ve así: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...; ..., −3 ∗, −2 ∗, −1 ∗, 0 ∗, 1 ∗, 2 ∗, 3 ∗, .... Ahora supongamos que alguien tiene una vida que incluye los tiempos 0, 1, 2, 3, ... (así como todos los tiempos intermedios), y luego todos los tiempos de la secuencia de tiempo con asterisco. Esa persona tiene una vida eterna, y luego otra. Pero de

nuevo esto requiere infinitismo causal si cada día de la segunda vida ha de estar conectado causalmente con todos los días de la primera. Una línea de tiempo tan duplicada es muy extraña. Pero es difícil ver por qué se podría descartar la posibilidad de ello, aparte de algunas consideraciones finitistas o causales finitistas sobre los eventos en él.

6. Viajes en el tiempo y bucles causales 6.1 Abuelos y alternadores Existe una similitud entre los argumentos basados en paradojas para el finitismo causal y algunos argumentos basados en la paradoja del abuelo contra el viaje en el tiempo. El argumento del abuelo dice que si pudieras viajar atrás en el tiempo, entonces sería posible que regresaras y mataras a tu abuelo antes de que conociera a tu abuela (correspondiente), pero eso sería absurdo, por lo que viajar en el tiempo hacia atrás es imposible. Tanto los argumentos del finitismo causal como los del viaje en el tiempo están sujetos a la misma dificultad, la objeción de la conclusión absurda (ver Sección 3.3 arriba). En el caso del viaje en el tiempo, la objeción dice que en lugar de tomar el absurdo de matar a su abuelo como evidencia contra la posibilidad de un viaje en el tiempo, uno simplemente debería negar el condicional: (13) Si es posible viajar en el tiempo, entonces es posible que mates a tu abuelo antes de que conozca a tu abuela. sobre la base de que tal asesinato es absurdo.45 He argumentado en contra de la respuesta de conclusión absurda mostrando que hay variantes de la historia de Grim Reaper que tienen las siguientes dos propiedades: (a) no son innatamente paradójicas en la forma en que lo es la historia original de Grim Reaper, por lo que la respuesta de conclusión absurda falla para ellos, y (b) si

historia. El mismo movimiento es posible en el caso del abuelo y, de hecho, sospecho que es parte de la prevalencia de la intuición de que la historia del abuelo es un argumento contra los viajes en el tiempo. Para aclarar la analogía, consideremos una variante de la historia del abuelo que se hace similar a la paradoja de la Parca. Tenemos a nuestro viejo amigo la lámpara con interruptor de palanca. Esta lámpara aparece de repente en una habitación oscura 45Tanto la versión específica del argumento del abuelo que estoy usando como esta respuesta difieren del argumento y la respuesta dados en el artículo clásico de Lewis (1976). Lewis considera un argumento basado en poderes —lo que sería posible que usted hiciera— y su respuesta es que lo que es posible que usted haga depende del contexto contextual. El presente argumento no se trata de poderes, sino de posibilidades metafísicas.

supertareas y paradojas deterministas a las 10:00 am. A las 11:00 am una máquina del tiempo lo envía de regreso a las 10:00 am, para que aparezca en el cuarto oscuro mencionado anteriormente. La lámpara encarna así un bucle causal. Hasta ahora no tenemos ninguna paradoja a menos que los bucles causales cuenten per se como paradojas (recuerde la discusión de las regresiones en el capítulo 2 y observe que si una regresión infinita es absurda, entonces seguramente a fortiori también lo es un bucle causal). Pero ahora imagina un conmutador travieso, que como un Grim Reaper tiene un tiempo de activación, pero los conmutadores, en lugar de verificar el estado de la lámpara, simplemente siempre alternan el estado de la lámpara al activarse. En la versión paradójica de la historia, solo hay un conmutador cuya hora de activación es a las 10:30 am. Además, suponemos que nada más que un conmutador puede afectar el estado de la lámpara; en particular, el viaje en el tiempo no afecta el estado. Ahora tenemos una paradoja. A las 10:31 am, la lámpara tiene el mismo estado en el que la puso el conmutador. Este estado no cambia entre entonces y las 11:00 am. Luego, la lámpara retrocede, por lo que tiene el mismo estado a las 10:00 am. Nada lo afecta, entonces, hasta que el conmutador se pone a trabajar. Entonces, el estado de la lámpara antes de que el conmutador comience a funcionar es el mismo que el estado de la lámpara después de que el conmutador haya trabajado en ella, lo cual es absurdo. Nuevamente, podemos argumentar que si el viaje en el tiempo es posible, la historia de Mischievous Toggler es posible. Pero la historia es imposible, por lo que viajar en el tiempo es imposible. Una vez más, la objeción de la conclusión absurda aparece como una negación de la afirmación de que si el viaje en el tiempo es posible, también lo es la historia de Mischievous Toggler. Ahora hay una analogía directa de nuestras historias invertidas y prefijadas. Podemos suponer que si un conmutador se activa cuando la lámpara no está encendida, es decir, antes de las 10:00 o después de las 11:00, no hace nada. Podemos agregar a la historia de Mischievous Toggler una gran cantidad de alternadores adicionales configurados para tiempos fuera de ese intervalo. Y ahora tenemos una variante de Double Toggler, donde hay dos conmutadores configurados para activarse en diferentes momentos entre las diez y las once en punto, digamos uno a las 10:30 y otro a las 10:45, y un montón de conmutadores adicionales configurados en horarios fuera de ese intervalo. No hay nada contradictorio en la historia de Double Toggler. La lámpara está en un estado a las 10:00, luego en otro estado de 10:30 a 10:45, y luego vuelve al estado original hasta las 11:00. Pero una vez que aceptamos la variante Double Toggler, deberíamos aceptar la historia original de Single Toggler. Porque sería realmente misterioso si el dial del segundo conmutador tuviera que ajustarse dentro del intervalo entre las diez y las once en punto si el primer conmutador tuviera un tiempo de activación entre las diez y las once, pero ninguno de los demás lo hizo. Imagínense los conmutadores que tienen libre albedrío indeterminista y deciden de forma independiente. Suponga que todos menos los dos últimos han decidido establecer sus tiempos de activación fuera

del intervalo de diez a once. No deberíamos suponer que una fuerza misteriosa requiere que los dos restantes establezcan sus diales fuera del intervalo crítico o ambos establezcan la evaluación ellos hacia adentro. Así que, en cambio, deberíamos pensar que, así como la historia de Single Toggler es imposible, también lo es la historia de Double Toggler. Ésta es una buena razón para negar la posibilidad de una lámpara cuya vida sea un bucle causal y, más en general, para negar la posibilidad de un viaje en el tiempo y una causalidad hacia atrás de un tipo que conduzca a bucles causales.

6.2 Viaje en el tiempo y causalidad hacia atrás sin bucles causales La historia de Mischievous Toggler se puede descartar simplemente suponiendo que los bucles causales son imposibles. Si la causalidad por omisión contara como parte de un ciclo causal, lo mismo será cierto para la historia original del Abuelo. Porque entonces no podrías viajar atrás en el tiempo a un lugar del espacio-tiempo donde tendrías el poder de matar a tu abuelo antes de que conociera a tu abuela, ya que incluso si no ejerciste ese poder, como por supuesto no lo hiciste , ya que usted realmente fue concebido, su abstención de matarlo es causalmente anterior a su existencia, pero su existencia es causalmente anterior a su abstención de matarlo. ¿Deberíamos, entonces, tomar la paradoja para descartar todos los viajes en el tiempo y la causalidad hacia atrás o solo el tipo de viaje en el tiempo y la causalidad hacia atrás que involucra bucles causales? La pregunta es paralela a la pregunta de si la historia de Grim Reaper debería llevarnos a descartar todos los infinitos o solo aquellos que funcionan juntos de manera causal. En el capítulo 1, sostuve que no deberíamos descartar todos los infinitos, porque hacerlo crea dificultades en la filosofía de las matemáticas. No tengo un argumento filosófico igualmente poderoso para limitar la restricción del viaje en el tiempo a los casos de bucle causal, aunque puede haber argumentos teológicos basados en casos como la profecía (ver Pruss 2007) y la oración por eventos pasados.

7. Evaluación El argumento más poderoso a favor del finitismo causal en este capítulo es el argumento de Grim Reaper. Es más convincente que la lámpara de Thomson, que requiere controvertidas hipótesis auxiliares para convertirse en una paradoja real. También hay argumentos de apoyo basados en construcciones newtonianas, así como en intuiciones sobre la vida eterna. El finitismo causal (al menos cuando se formula apropiadamente, esto se refinará en el Capítulo 7) los resuelve todos, matando las paradojas (en la terminología del Capítulo 1, Sección 1). Esa es una buena razón para creer en el finitismo causal.

4 Loterías paradójicas 1. Introducción Imagine una lotería con un número infinito de boletos numerados 1, 2, 3, ..., y suponga que la lotería es justa en el sentido de que todos los boletos tienen la misma probabilidad de ganar, sin ningún boleto privilegiado sobre cualquier otro. Después de revisar algunos antecedentes, veremos que tales loterías conducen a una serie de fascinantes paradojas que discutiremos. La cuestión de cómo se puede llevar a cabo una lotería de este tipo es difícil; es difícil imaginar, por ejemplo, elegir un boleto uniformemente de una urna infinita de manera justa. Pero ofreceré construcciones que muestran que si el infinitismo causal es cierto, entonces es posible una lotería justa contable infinita. Las paradojas nos darán razones para pensar que una lotería justa numerablemente infinita no es posible y, por lo tanto, que el infinitismo causal no es cierto. En el camino, también discutiremos loterías paradójicas que no son justas. La fuerza de los argumentos de este capítulo depende de cuán plausible se encuentre la idea de que nuestros modos de razonamiento probabilístico deberían funcionar en casos infinitos.

2. Loterías de feria contablemente infinitas 2.1 Antecedentes Observe que en una lotería justa con más de n boletos, la probabilidad de que cualquier boleto en particular gane es menor que 1 / n. Por lo tanto, en una lotería justa con un número infinito de boletos, la probabilidad de que cualquier boleto en particular, digamos 842, gane será menor que 1 / n por cada número natural positivo n, ya que la lotería tiene más que cualquier número finito n de boletos. . Sin embargo, las probabilidades nunca son números negativos: deben estar entre 0 y 1. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un boleto en particular es un valor p tal que 0 ≤ p <1 / n para cada n> 0. El único número real que satisface este la condición es cero en sí misma.46

46Porque si p fuera diferente de cero, entonces tendríamos 1 / p> n para cada número natural n. Por tanto, 1 / p sería mayor que cualquier número natural. Pero no hay un número real mayor que todo número natural (esto se conoce como la propiedad de Arquímedes de los números reales): tal "número" tendría que ser infinito.

loterías justas contables infinitas Digamos que un infinitesimal positivo es un valor que es mayor que cero y aún menor que 1 / n para cada número natural positivo n (de manera equivalente, es

menor que todo número real positivo). Entonces podemos definir un α infinitesimal negativo como un valor tal que −α es un infinitesimal positivo y un infinitesimal como cualquier cosa que sea un infinitesimal positivo o negativo. Los infinitesimales no son números reales. No obstante, es posible extender los números reales de una manera matemáticamente rigurosa para agregar infinitesimales de una manera que preserve todos los hechos aritméticos estándar. Tales sistemas extendidos incluyen los hiperrealistas (Robinson 1996), los surrealistas (Knuth 1974) y las series formales infinitas de Laurent (Mendelson 2008, p. 219). 47 Tenga en cuenta que cuando sumamos infinitesimales a un sistema aritmético, también necesitamos sumar números infinitamente grandes. Porque si α es un infinitesimal positivo, de modo que α <1 / n para todos los enteros positivos n, entonces 1 / α> n para todos los enteros positivos n, entonces 1 / α es infinito. Si permitimos la posibilidad de probabilidades infinitesimales, es posible que no deseemos decir que la probabilidad de un boleto en particular en una lotería de feria infinita es cero. Más bien, podríamos decir que la probabilidad es cero o infinitesimal. De ahora en adelante diré que x es casi igual ay siempre que x - y sea cero o infinitesimal, y que una proposición o evento es casi seguro siempre que su probabilidad sea casi igual a 1. Por lo tanto, es casi seguro que uno perderá en una lotería de feria infinita si uno tiene un solo boleto, o cualquier número finito de boletos, para el caso. Existe alguna razón intuitiva para preferir la vista infinitesimal de la probabilidad de ganar en una lotería justa infinitesimal a la vista de probabilidad cero. Por ejemplo, intuitivamente es más probable que gane uno de los boletos 1 y 2 que el boleto 1. En la vista de probabilidad cero, ambos eventos tienen probabilidad cero, mientras que en la vista infinitesimal podemos decir que la probabilidad de que 1 o 2 gane es 2α, que es mayor que la probabilidad infinitesimal α de que 1 gane. Ahora es el momento de pasar a algunas paradojas de loterías justas contables infinitas.

2.2 Sorpresa esperada Suponga que ingresa a una lotería justa con un millón de boletos, numerados del uno al millón, y obtiene el boleto número dos. Es un número de boleto sorprendentemente pequeño. La mayoría de las personas obtienen un número de "tamaño representativo", como 712718 (el número que obtuve cuando le pedí a random.org que me diera un número del uno al millón). 47∗

Las construcciones de los hiperrealistas y surrealistas utilizan versiones del axioma de elección. La

serie Laurent infinita formal no lo requiere.

loterías paradójicas Ahora suponga que ingresa a nuestra lotería de feria infinita y obtiene el boleto número dos. Eso es sorprendente (¡infinitamente más!). Pero si el boleto número dos es sorprendente, ¿qué boleto no sería sorprendente? ¿No sería sorprendente obtener 712718 o incluso 10712718? Estos números siguen siendo increíblemente pequeños en la escala del uno al infinito. De hecho, cualquier número que obtenga será sorprendentemente pequeño. Después de todo, obtener un número tan pequeño como 10712718 sería increíblemente sorprendente en una lotería con, digamos, 1010712718 boletos. Pero nuestra lotería infinita tiene infinitos más boletos que eso, por lo que 10712718 es extremadamente sorprendente. Y el mismo argumento se

ser sorprendentemente pequeño en el sentido de que era increíblemente poco probable que obtuvieras un número tan pequeño. Pero puede ejecutar este argumento con anticipación, por lo que racionalmente debe esperar obtener un número que lo sorprenderá por su pequeñez. Eso es paradójico (Hansen sf). No es paradójico esperar sorprenderse cuando no sabes qué característica de un evento te sorprenderá. Cada año, verá una serie de cosas en las noticias que lo sorprenderán, por lo que puede esperar sorprenderse. Pero algo está o estará racionalmente mal si esperas sorprenderte de una manera muy particular en una ocasión particular, digamos esperando ser sorprendido al mediodía del próximo jueves obteniendo una medalla olímpica. En el caso de la lotería infinita, sin embargo, espera sorprenderse de una manera muy particular: espera sorprenderse de lo pequeño que es el número que obtiene. Sin embargo, nada sale mal racionalmente. Esta no es una paradoja muy convincente. El costo de decir que en contextos infinitarios nuestras emociones de sorpresa se comportarán de manera extraña es bastante bajo. Después de todo, no está nada claro que la sorpresa sea el tipo de cosas que deberían regirse por la racionalidad. Pero pasemos a las paradojas que tratan más directamente de la racionalidad.

2.3 Un juego de adivinanzas Un entero positivo N se elige mediante una lotería justa infinita y no se le revela. Ahora estás obligado a jugar el siguiente juego para cada entero positivo n: adivinas si N es mayor que n; si adivinas correctamente, obtienes un dólar; de lo contrario, pierde un dólar. Dado que tienes que jugar infinitos juegos, esto tomará una eternidad, o al menos será una supertarea. Para cualquier n en particular, claramente debe adivinar: "Sí, N> n". Después de todo, la probabilidad de que N ≤ n sea casi cero para cualquier n finito. Pero es seguro que si sigue esta estrategia para cada n, entonces ganará exactamente N - 1 veces (es decir, para n = 1, 2, ..., N - 1), y perderá infinitas veces. Eso es malo.

loterías justas contables infinitas En otras palabras, una lotería justa infinita produciría un Libro Holandés infinito muy simple contra un agente racional: una serie de apuestas, cada una de las cuales es claramente racional de tomar, pero que juntas dan una pérdida segura. Esto es paradójico.

2.4 Simetría Supongamos que usted y yo recibimos un boleto de una lotería de feria infinita contable. Hay dos formas de completar esta suposición. Primero, si uno puede elegir un solo boleto de una lotería de feria contable infinita, puede elegir dos (por ejemplo, elige uno y vuelve a ejecutar la lotería con solo los boletos restantes). En este caso, se garantiza que nuestros números de entradas son diferentes. En segundo lugar, se podrían ejecutar de forma independiente dos loterías justas contables infinitas. En ese caso, es posible pero es casi seguro que no lo serán. No importará para ninguno de mis argumentos a continuación qué opción elija uno. En cualquier caso, luego miro mi boleto, con sorpresa y noto lo pequeño que es el número. Me doy cuenta de que hay infinitos números más grandes y solo un número finito de números más pequeños (o iguales). Así que estoy casi seguro de que el número de su boleto es mayor. Pero estás en el mismo barco: te sorprende lo pequeño que es tu número y estás casi seguro de que el mío es mayor. Y ambos podemos predecir de antemano que cada uno tienen tales probabilidades. Hay algo muy paradójico en esto.48 Una forma de resaltar la paradoja es esta. Sea p la proposición de que mi número es menor y sea q la proposición de que su número es menor. Entonces estás en una posición epistémica tan buena con respecto a q como yo con respecto a p. Sin embargo, pyq son lógicamente incompatibles. Intuitivamente, es más probable que ninguno de los dos tenga razón que el otro. Cuando me doy cuenta de que es más probable que ninguno de los dos tenga razón que el otro, no debería asignar una probabilidad mayor a p que 1/2. Sin embargo, debería estar casi seguro de p, ya que una vez que sepa el número que obtuve, estoy casi seguro de que el suyo es mayor. O considere esta rareza. Vas a recibir una secuencia de cien boletos de una lotería de feria infinita contable. Cuando obtenga el primer boleto, estará casi seguro de que el próximo boleto tendrá un número mayor. Cuando obtenga el segundo, estará casi seguro de que el tercero será más grande que él. Y así. Por lo tanto, a lo largo de la secuencia, estará casi seguro de que el próximo boleto será más grande. Pero seguro que en algún momento te equivocarás. Después de todo, es increíblemente poco probable que se clasifiquen cien boletos de una lotería en orden 48 Esta es una variante debida a Bartha (2011) de la paradoja subyacente al argumento de Freiling (1986) contra la hipótesis del continuo.

loterías paradójicas ascendente. Para aclarar el punto, suponga que la forma en que se selecciona la secuencia de boletos es la siguiente. Primero, se eligen cien boletos a través de una lotería de feria contable infinita, ya sea la misma lotería, en cuyo caso se garantiza que serán diferentes, o loterías independientes, en cuyo caso es casi seguro que todas serán diferentes. Luego, se barajan los cien billetes y se los da uno por uno. No obstante, el argumento anterior no se ve afectado por el barajado, ya que el barajado no afecta la equidad de las elecciones: en cada punto, estará casi seguro de que el siguiente boleto que obtenga tendrá un número mayor, Sin embargo, si toma cien números y los mezcla, es muy poco probable que estén en orden ascendente. Por lo tanto, estará casi seguro de algo y, sin embargo, es muy probable que se equivoque en varios casos, de hecho, en aproximadamente la mitad de los casos. E incluso cuando esté casi seguro de ello, podrá seguir este argumento, ver que en muchos de los juicios de que el siguiente número es mayor, estará equivocado y, sin embargo, esto no afectará su casi certeza de que el el siguiente número es mayor. Esto es bastante paradójico.

∗ simetría y utilidad esperada La razón para plantear las paradojas de simetría anteriores para loterías justas contablemente infinitas es en ayuda de un argumento de que las loterías justas contables infinitas son imposibles. Más adelante en este capítulo, argumentaré que si el infinitismo causal es verdadero, deberíamos poder tener loterías justas infinitas contables, por lo que el infinitismo causal debe ser rechazado. Pero existe una paradoja de simetría muy similar que no involucra historias causales infinitas y, por lo tanto, no se ve afectada por el finitismo causal. Chalmers (2002) ofrece esta versión de dos sobres de la paradoja de San Petersburgo: Se me presentan dos sobres, A y B. Me dicen que cada uno de ellos contiene una cantidad determinada por el siguiente procedimiento, realizado por separado para cada sobre: se lanzó una moneda hasta que llegó arriba, y si venía adelante en el enésimo ensayo, 2n se coloca en el sobre. Este procedimiento se realiza por separado para cada sobre. Me entregan el sobre A y me ofrecen las opciones de conservar A o cambiarme a B. ¿Qué debo hacer?

Por supuesto, la paradoja surge cuando observamos que al abrir el sobre A, se encuentra una cantidad finita de dinero. Pero el valor esperado en el sobre B es (1/21) · 21 + (1/22) · 22 + (1/23) · 23 + ··· = ∞, que supera cualquier cantidad finita que encontraste en el sobre A. Entonces no importa lo que encuentre, debe cambiar. Pero ahora tenemos una paradoja seria cuando notamos que podría razonar con anticipación: sabe que lo que sea que encuentre en el sobre A, será una buena idea intercambiar, por lo que también podría intercambiar antes de averiguar qué está en el sobre A, lo cual es verdaderamente absurdo. (Para aumentar el absurdo, si olvidara qué cantidad estaba en el sobre A, tendría motivos para cambiarlo). La solución de Chalmers a la paradoja es admitir que una vez que encuentra una cantidad finita de dinero, tiene motivos para intercambiar, pero para negar que se

loterías justas contables infinitas sigue que debe intercambiar antes de averiguar qué hay en el sobre A. Porque, señala Chalmers, el razonamiento aquí se basa en dominancia: no importa cuál sea la cantidad en el sobre A, el valor esperado del sobre B es mejor que eso. Y el razonamiento de dominancia no siempre es correcto. Pero la paradoja de San Petersburgo de dos sobres corta más profundamente de lo que Chalmers se da cuenta. Conduce a un odioso libro holandés de dos personas. Suponga que la casa le da el sobre A de Chalmers mientras que su mejor amigo recibe el sobre B, ambos gratis. Ambos abren los sobres en habitaciones separadas. La casa ahora les ofrece a cada uno de ustedes este trato independiente: si paga un dólar más el doble de la cantidad en su sobre a la casa, la casa le dará la cantidad que contenga el otro sobre. Dado que un dólar más el doble de la cantidad en su sobre sigue siendo una cantidad finita, el valor esperado infinito de la cantidad del otro sobre lo supera. Así que aceptarás el trato y tu mejor amigo también lo hará. Pero un momento de reflexión muestra que la casa termina entregándote a ti y a tu amigo el doble de la cantidad en cada sobre, mientras usted y su amigo entregan a la casa el doble de la cantidad en cada sobre más dos dólares. En otras palabras, el cobro de transacciones sale de la casa por delante exactamente en dos dólares, sin importar lo que haya en los sobres.

En otras palabras, la paradoja de San Petersburgo de dos sobres se puede utilizar para generar un Libro holandés colectivo contra usted y su amigo. Es plausible que cuando se puede generar un libro holandés, deba haber una falta de racionalidad entre las víctimas. Pero es difícil ver algún fracaso aquí. Y el fracaso que Chalmers identifica en la paradoja original no está presente aquí. No hay razonamiento de dominancia. Usted y su amigo no están razonando de antemano que deberían ir a por las ofertas. Más bien, el razonamiento ocurre una vez que usted y su amigo saben lo que hay en los sobres. Pero de la misma manera no hay historias causales infinitas en ninguna de las versiones de la paradoja. Los sobres se llenan sobre la base de un número finito de lanzamientos de monedas. Quizás haya un poco de preocupación por el escenario improbable (probabilidad cero) en el que la moneda termina saliendo colas para siempre, 4 pero nada en la historia depende causalmente de ese escenario. De modo que ni la negación del dominio de Chalmers ni la negación del finitismo causal ayudan aquí. Tenga en cuenta, también, que la paradoja de los dos sobres de Chalmers y mi fortalecimiento de la misma pueden ejecutarse en el caso de la lotería justa contable infinita: supongamos que las cantidades en los sobres las establecen dos loterías independientes. Las paradojas resultantes están estrechamente relacionadas con las paradojas de simetría que acabamos de discutir. La aceptación del finitismo causal no es de ayuda en las nuevas paradojas, y uno podría esperar que la resolución correcta para las nuevas paradojas ayude a resolver las otras paradojas de simetría de

loterías paradójicas lotería justa infinita contable también, dañando así el argumento a favor del finitismo causal. Sin embargo, existe una solución para las paradojas de San Petersburgo de dos sobres que no ayuda con las paradojas de la simetría de la lotería mencionadas anteriormente. Las paradojas de San Petersburgo son generadas por la maximización de la utilidad esperada. Empíricamente, los razonadores humanos reales tienden a mostrar una aversión al riesgo que no maximiza la utilidad esperada, y muchos teóricos de la decisión han argumentado que no son irracionales al hacerlo (para una excelente descripción reciente de la aversión al riesgo, ver Buchak 2014). Y Weirich (1984) ha propuesto el rechazo de la maximización de la utilidad esperada como precisamente la solución a la paradoja original de San Petersburgo. Pero es importante señalar que las paradojas de San Petersburgo todavía se pueden ejecutar sobre un supuesto más general que la maximización de la utilidad esperada. Específicamente, lo que necesitan las paradojas es algo como este principio: (1) Para cualquier probabilidad p> 0 y cualquier utilidad finita M, hay una utilidad finita N tal que la probabilidad p de N es mejor que la certeza de M. Dada la maximización de la utilidad esperada, podemos ver que (1) será verdadera tomando N> p − 1M. Pero algunas alternativas a la maximización de la utilidad esperada permitirán que (1) sea cierta. Y siempre que (1) sea cierto, podemos generar un caso similar al de San Petersburgo, junto con sus variantes de dos envolventes, utilizando supuestos aparentemente no problemáticos. Para corregir cualquier utilidad positiva finita M1. Por (1), sea M2 una utilidad finita tal que la probabilidad 1/22 4

Agradezco a Robert Koons por plantear esta advertencia.

de M2 es mejor que un dólar más certeza de 2M1. Por (1) nuevamente, sea M3 una utilidad finita tal que la probabilidad 1/23 de M3 sea mejor que un dólar más la certeza de 2M2. Y así.49 Observe que 0 <M1 <M2 <.... Ahora lanza nuestra moneda y deja que n sea el número de lanzamiento en el que primero salimos cara. Ponga un certificado de regalo de utilidad Mn en el sobre correspondiente. Suponga que abre un sobre y encuentra Mn allí. Entonces probabilidad 1 / 2n + 1 de

49

∗ ∗ Tal como se formuló, el argumento usa el axioma de elección dependiente, pero si todas las

utilidades son numéricas podemos eliminar las opciones involucradas dejando que Mn sea 2 más el mínimo de todos M de manera que la probabilidad 1 / 2n de M sea mejor que la certeza de 2Mn − 1 + $ 1. 6 Al menos entre corchetes el caso donde N es infinito. Pascal (1858, p. 304) pensó que valía la pena pagar cualquier precio finito por cualquier posibilidad distinta de cero de unión eterna con Dios.

loterías justas contables infinitas METROLa probabilidad 1n + 1 es mejor que un dólar más la certeza de 2 / 2n + 1 de al menos Mn + 1 más una probabilidad distinta de cero de otras golosinas, soMn, y el otro sobre ofrece intercambiar sobres será un buen negocio, incluso si tiene que devolver Mn y pagar un dólar extra. Para salir de la paradoja colectiva de San Petersburgo de dos sobres del Libro holandés, debemos rechazar (1). Y si los libros holandeses son en verdad una señal de irracionalidad, debemos salir de la paradoja, por lo que la estructura de la racionalidad debe ser tal que fuerce racionalmente el rechazo de (1). Afortunadamente, tenemos una razón independiente para rechazar (1). Suponga que está condenado a diez años de la peor tortura que los médicos sádicos pueden pensar. Entonces, un benefactor capaz de sacarte de la prisión te ofrece la posibilidad de elegir entre (a) liberación de la tortura y (b) probabilidad 1/10100 de alguna utilidad finita N.Es muy plausible que no importa cuán grande sea N, 6 no obstante ( a) es el mejor trato. Rechazar (1) obliga a uno a decir que hay un límite superior finito para las utilidades 50 o rechazar la maximización de la utilidad esperada y cualquier otro esquema que pudiera conducir a las paradojas de San Petersburgo. Sin embargo, rechazar (1) no daña en absoluto el tipo de razonamiento de simetría paradójica que consideramos anteriormente en los casos de loterías justas contablemente infinitas, aunque solo sea porque (1) se trata de utilidades, mientras que las paradojas de la lotería se trata de credenciales. Por lo tanto, todavía tenemos razones para rechazar tales loterías y el argumento a favor del finitismo causal está intacto. Además, la versión contable infinita de la lotería justa de la paradoja del libro holandés de dos sobres no hace uso de (1). Para considerar. La cantidad en cada sobre se establece mediante una lotería de los números enteros positivos. Encuentra n en su sobre. Entonces, está casi seguro de que el otro sobre contiene al menos 2n + 2. Ahora es claramente racional pagar 2n + 1 a cambio de una certeza cercana de obtener al menos 2n + 2 (y si eso no está claro, tenga en cuenta que también es casi seguro que el otro sobre contiene al menos 222n + 1, y seguramente es racional pagar 2n + 1 a cambio de una certeza cercana de esa enorme cantidad). Seguramente pueden pasarse por alto los riesgos de pérdida finita que es casi seguro que no ocurran. Entonces, racionalmen su sobre contiene a cambio de lo que contiene el otro sobre, y también lo hará su amigo, y la casa estará por delante dos dólares. Si bien las paradojas de San Petersburgo dependen de pequeñas probabilidades de que las utilidades 50 Agradezco a un comentarista seudónimo ("totalmente inútil") en mi blog por señalar esta posibilidad.

loterías paradójicas tremendamente grandes tengan un valor grande, según (1), aquí tenemos un caso en el que la certeza cercana de una cantidad mucho mayor supera la certeza de una cantidad mucho menor. De modo que la versión de lotería justa contable infinita de la paradoja de dos sobres del Libro holandés nos da una razón para rechazar loterías justas contablemente infinitas, mientras que rechazar (1) no ayuda.

2.5 manipulación bayesiana Supongamos que eres perfectamente racional y acabo de lanzar cien monedas sin que veas el resultado. Afirmo que si está completamente seguro de la exactitud de mis declaraciones y puedo ejecutar una lotería justa infinita y una lotería no paradójica, puedo convencerlo de que casi con certeza todas las monedas cayeron cara simplemente diciéndole cosas verdaderas. Pero un agente perfectamente racional no debería estar sujeto a una manipulación tan completa de creencias por parte de un informante veraz. La posibilidad de tal manipulación es absurda y, por lo tanto, las loterías justas infinitas son absurdas. Así es como podría proceder mi manipulación. Siendo perfectamente racional, asigna una probabilidad inicial de 1/2100 a la tesis de que todas las monedas cayeron cara. Ahora les informo que en una hora les anunciaré un número entero positivo. La forma en que generaré el número será la siguiente. Si todas las monedas salieron cara, generaré un entero natural positivo mediante un procedimiento no paradójico que tiene probabilidad 1 / 2n de producir el número n (tenga en cuenta que (1/2) + (1/22) + (1/23) + · ·· = 1, por lo que las probabilidades suman correctamente uno). 51 Pero si al menos una moneda cae cruz, ejecutaré una lotería justa infinita y usaré esto para generar un número entre 1, 2, 3, .... Anunciaré el número en ambos casos, pero en ningún caso anunciaré qué método utilicé para generarlo. Así que suponga que me oye anunciar un número n, digamos 15101. Sea H la hipótesis de que todas las monedas cayeron cara. Ahora podemos preguntar qué efecto tiene su nueva evidencia En, a saber, que el número anunciado es n, en su credibilidad inicialmente muy escasa en H. Para hacer eso, tenemos que ver qué tan probable es En en la hipótesis H y en la negación de H. Si una pieza de evidencia es mucho más probable en H que en la negación de H, entonces la evidencia apoya H. Además, el grado en que la evidencia En apoya H depende de la probabilidad de que la evidencia sea de H que de la negación de H. 51 Una

forma de hacer esto sería a través de una supertarea si resultan ser posibles a pesar de los

argumentos del Capítulo 3: lanzo una moneda justa y el número que genero es el número del lanzamiento en el que primero obtengo cara, mientras que si Nunca salga cara (que tiene probabilidad cero) Simplemente anuncio el número uno. La probabilidad de que primero salga cara en el enésimo lanzamiento es igual a la probabilidad de sacar primero n - 1 cruz y luego una cara, es decir, (1/2) n − 1 · (1/2) = 1 / 2n. Otra forma es elegir uniformemente un número real x en el intervalo (0, 1) y sea n un entero positivo único tal que x ∈ [2 − n, 2 − n + 1]. (La longitud del último intervalo es (1/2) n.)

loterías justas contables infinitas

Ahora bien, si H es verdadero, entonces el número 15101 fue generado por nuestro procedimiento no paradójico, de modo que la probabilidad de obtener exactamente 15101 es 1/215101. Por otro lado, si H es falso, entonces el número 15101 fue generado por la lotería de feria infinita. Pero la probabilidad de obtener un número de boleto en particular en una lotería de feria infinita es casi cero, es cero o infinitesimal. Pero aunque 1/215101 es increíblemente pequeño, sigue siendo infinitamente más grande que un infinitesimal, sin mencionar que cero. Así que era infinitamente más probable que hubiéramos generado el número 15101 dado H que dada la negación de H. Del teorema de Bayes se deduce que una vez que observamos E15101, la probabilidad de H será casi uno.52 Más precisamente, el teorema de Bayes dice que: PAG(EH) PAG(H | E) = | +||∼ ∼ PAG(H), PAG(EH) P (H)PAG(MIH)PAG( H) para cualquier hipótesis H y cualquier evidencia E, donde P (A | B) es la probabilidad condicional de A dado B. Podemos reescribir el lado derecho como:

. Entonces, si la probabilidad previa P (H) de una hipótesis no es cero ni infinitesimal mientras que la razón P (E | ∼ H) / P (E | H) es cero o infinitesimal, entonces P (H | E) será 1 / (1 + α) donde α es cero o infinitesimal, y es fácil verificar que se deduce que P (H | E) será casi uno. En el caso que nos ocupa, la probabilidad previa P (H) es 1/2100, mientras que P (E15101 | ∼ H) es cero o infinitesimal y P (E15101 | H) = 1/215101. Por lo tanto, la relación P (E15101 | ∼ H) / P (E15101 | H) es cero o infinitesimal y, por lo tanto, la probabilidad posterior P (H | E15101) de H dada la evidencia de E15101 es casi uno. Este argumento funciona igualmente bien con cualquier número en lugar de 15101, por lo que no importa qué número anuncie, su credibilidad de que las cien monedas que caigan cara terminarán siendo casi una. Si la posibilidad de este tipo de manipulación epistémica no es lo suficientemente mala, hay consecuencias prácticas desafortunadas. Suponga que es perfectamente racional y le ofrezco la siguiente apuesta. Si todas las cien monedas son cara, te pago 52

Esta paradoja es una variante de Dubins (1975).

loterías paradójicas un dólar, pero si alguna de ellas es cruz, me pagas mil dólares. Sería una idea terrible que aceptara esta apuesta, por lo que la rechaza. Pero ahora te informo qué número generé usando el procedimiento anterior, digamos 15101. Si eres racional, entonces por el argumento anterior estarás casi seguro de que todas las monedas cayeron cara, por lo que tu recompensa esperada para el juego será ser: (1 - β) · $ 1 - β · $ 1000 donde β es la probabilidad cero o infinitesimal que ahora asigna a la hipótesis de que

(1 - β) · $ 1 es $ 1 menos como mucho un infinitesimal, por lo que la recompensa esperada es $ 1 menos como mucho un infinitesimal, lo que definitivamente vale la pena. Pero, por supuesto, en la mayoría de las carreras de este escenario habrá cruz entre los cien lanzamientos. Entonces, si pasamos por el escenario anterior repetidamente, perderá en promedio cerca de mil dólares,53 actuando racionalmente todo el tiempo. Una vez que se dé cuenta de cómo funciona esto, tendrá motivos para taparse los oídos antes de que anuncie el número que generé. Sin embargo, siempre que pueda anunciar ese número en voz alta, tengo un nuevo juego de estafa. Por un pago de $ 900, me ofrezco a abstenerme de anunciar el número (o, lo que es más conveniente para mí, me ofrezco a no molestarme en elegirlo), lo que le permitirá rechazar racionalmente la apuesta. Le recomendamos que pague. Porque si no paga, en lugar de perder $ 900 por ejecución, perderá cerca de $ 1000. Así, en situaciones como esta, es racional que un agente perfectamente racional que no tiene por qué temer la pérdida de racionalidad pague por no recibir información para tomar mejores decisiones. Y eso es absurdo. Por supuesto, un agente puede rechazar racionalmente información que espera que la haga menos que racional (digamos, información sobre el género de un candidato), e incluso sería razonable pagar para no obtenerla (por ejemplo, pagar a un empleado para que haga currículums ciego al género). E incluso un agente perfectamente racional puede tener una preferencia racional por no saber ciertas cosas, ya sea por razones instrumentales como evitar los saboteadores o por razones no instrumentales como evitar el conocimiento de los detalles de la vida íntima de los padres. Pero el caso que nos ocupa no es como esos. La razón por la que pagas $ 900 para no recibir información es precisamente para tomar una mejor decisión, pero no hay peligro de volverse irracional como resultado de la información que uno está pagando por no obtener. De hecho, es precisamente porque uno permanecería racional, tan racional que

53

Más precisamente, (1 - 2−100) · $ 1000 - 2−100 · $ 1, que es $ 1000 menos una pequeña fracción de un centavo.

loterías justas contables infinitas aceptaría una apuesta que un agente humano común rechazaría, que uno paga en este caso paradójico. Puede parecer que las ganancias potenciales son demasiado triviales en comparación con las pérdidas para que te engañen. ¿Debería arriesgar mil dólares para ganar un dólar? Pero recuerde que, dada la información disponible, la probabilidad de perder los mil dólares es como mucho infinitesimal. Y, de hecho, es racional aceptar pequeños riesgos de grandes pérdidas para ganar un dólar. Por ejemplo, suponga que hay dos estaciones de servicio con precios ligeramente diferentes. Una gasolinera está a media cuadra más lejos, pero terminaría pagando un dólar menos. Parece racional conducir media cuadra para pagar un dólar menos. Pero por cada cuadra adicional que conduzco, hay una pequeña (pero ni nula ni infinitesimal) posibilidad adicional de morir en un accidente automovilístico, algo mucho peor que la pérdida de mil dólares. Y si la inflación hace que un dólar parezca demasiado trivial para que valga la pena pensar en él, simplemente amplíe mi estafa: si gana, gana diez dólares, y si pierde, pierde diez mil. A menos que tuviera mucha prisa, definitivamente conduciría media cuadra más para ahorrar diez dólares, aunque existe un pequeño riesgo de un accidente fatal mientras maneja esa media cuadra.

∗ ¿un punto de cambio? Recientemente, Howson (2014) ha propuesto una interesante solución a la versión de Dubins (1975) de la paradoja, y se generaliza a nuestro entorno. La paradoja anterior asumió que cuando conocemos una pieza de evidencia E, digamos que el número elegido fue 15101, actualizamos nuestra credibilidad para H a P (H | E). Howson propone lo que podríamos llamar una especie de satisfacción epistémica. Sea X el número anunciado. Elija un punto de conmutación arbitrario k, que no sea demasiado pequeño. Cuando se observe que X es menor o igual que k, actualice la credibilidad de H (la hipótesis de que las cien monedas cayeron cara) a P (H | X ≤ k). De lo contrario, actualice la credibilidad de H a P (H | X> k). Ahora, como antes, según el teorema de Bayes, P (H | X ≤ k) será casi uno, porque la relación P (X ≤ k | ∼ H) / P (X ≤ k | H) será casi cero, ya que si H no es verdadera, entonces generaremos el número usando la lotería justa infinita contable, y esa tiene probabilidad cero o infinitesimal de producir un número menor o igual que k. Entonces, si X ≤ k, entonces, al igual que antes, obtendremos una fuerte confirmación de ∼ H. Pero si X ≤ k, así es intuitivamente como debería ser. Después de todo, dado H, no esperaríamos que X fuera tan pequeño (y eso funciona sin importar lo que sea k).

loterías paradójicas Por otro lado, se puede demostrar que P (H | X> k) estará dentro de un infinitesimal de PAG(H) . PAG(H) + 2kP (∼H) Este será un número muy pequeño dado que en nuestro ejemplo P (H) = 2−100. Entonces, en este enfoque, cuando encontramos que X no es demasiado grande (es decir, ≤ k), concluimos que obtuvimos todas las caras, como deberíamos intuitivamente, y cuando X es más grande, concluimos, nuevamente como deberíamos, que las colas aparecieron al menos una vez. No obstante, la propuesta es inverosímil. Primero, suponga que en lugar de aprender cuál es el valor de X, simplemente aprendemos que es mayor que k. Dado que para cada valor particular de X mayor que k, nuestra credibilidad para H se ajustaría a P (H | X> k), y dado que es muy probable que cuando sepamos que X> k deberíamos actualizar nuestra credibilidad para H a P (H | X> k), parece muy plausible que al saber que X> k, debamos actualizar nuestra credibilidad a P (H | X> k). Sin embargo, esto tiene una consecuencia lamentable. Supongamos que a continuación aprendemos cuál es el valor de X. En ese punto, nuestra evidencia es igual que en nuestra discusión anterior y, por lo tanto, según la regla de Howson, nuestra credibilidad en H debería ser P (H | X> k). Por tanto, aprender el valor de X no nos proporciona información relevante sobre H, una vez que ya sabemos que X> k. Pero eso está equivocado. Supongamos, por ejemplo, que aprendemos que X = k + 1. Una vez que hemos actualizado en X> k, el espacio de posibles valores de X es {k + 1, k + 2, ...}. Si H es verdadera, entonces X fue elegido por una lotería no paradójica que asignó el doble de probabilidad a cada número que a su sucesor. Si H es falso, entonces X fue elegido por una lotería justa contable infinita.

Considere también que una vez que hemos actualizado X> k, nuestra situación se parece intuitivamente a la original, pero con un cambio. Porque presumiblemente no solo actualizamos H condicionando en X> k, sino que para mantener las cosas consistentes condicionamos todo en X> k. Sea Y = X - k. Sea P1 la asignación de probabilidad después de actualizar en X> k. Entonces, si H es falso, Y fue elegido

loterías justas contables infinitas por una lotería justa infinita contable con valores en {1, 2, ...}. Si H es verdadero, Y fue elegido por una lotería no paradójica con valores en {1, 2, ...}, donde P1 (Y = n) = 2 − n. Así que tenemos una situación como la inicial, pero con Y en lugar de X, y la única diferencia es que ahora P1 (H) es del orden de magnitud de 2 − k, en lugar de ser 2−100. Por tanto, deberíamos aplicar la regla de Howson una vez más. Supongamos, entonces, que lo que aprendemos es que Y = 1. Entonces, como 1 ≤ k, tendremos Y ≤ k, y por lo tanto actualizaremos la credibilidad de H a P1 (H | Y ≤ k), que será casi 1 mediante una aplicación del teorema de Bayes como antes. Por lo tanto, cuando actualizamos por primera vez sobre X> k, y luego aprendemos que X = k + 1 (que es equivalente a aprender que Y = 1), nuestra credibilidad en H llega a casi 1. Pero nuestra evidencia relevante total en este punto es que X = k + 1, y la regla de Howson exige una credibilidad diferente en este caso. Luego, suponga que después de aprender que X> k, aprendemos que X> k + 1. Bueno, si aprender que X> k condujo a la credibilidad posterior P (H | X> k) en H, aprender que X> k + 1 debería conducir a la credibilidad posterior P (H | X> k + 1) en H. Seguramente, se ha aprendido algo relevante, y necesitamos actualizar nuestra credibilidad al respecto. Pero Howson no puede decir esto. Supongamos que primero aprendemos que X> k + 1 y nuestra credibilidad en H va a P (H | X> k + 1) .Nexte supongamos que aprendemos del hecho X = k + 2 En ese punto, la ecuación X = k + 2 resume nuestra evidencia total, y por lo que nuestra credibilidad en H estaría dada por la regla de Howson como P (H | X> k). Pero P (H | X> k)> P (H | X> k + 1). Por lo tanto, la afirmación de que X = k + 2 sería evidencia contra H después de haber aprendido que X> k + 1. Pero eso sería erróneo. Es la lotería no paradójica, 54 ∗ aditividad contable y conglomerabilidad En el marco de la teoría clásica de la probabilidad, el Teorema de Good (Good 1967) garantiza que nunca paga a un agente perfectamente racional que no tiene ninguna razón para temer la pérdida de racionalidad rechazar información gratuita para tomar mejores decisiones. Nuestras paradojas, sin embargo, no contradicen el teorema de

54Howson

(2014) también sugiere un método diferente de actualización que implica suavizar en lugar de un corte brusco. Los detalles de eso deberían resolverse antes de evaluar cómo le va con las objeciones anteriores.

loterías paradójicas Good, ya que la teoría clásica de la probabilidad asume una aditividad contable de probabilidades, que es violada por loterías justas contablemente infinitas. De hecho, las paradojas que acabamos de discutir se deben fundamentalmente a la falta de aditividad contable en las probabilidades de la lotería. Una función de probabilidad P es aditiva contable siempre que siempre que E1, E2, ... sean eventos disjuntos, entonces P (E1∨ E2∨ ...) = P (E1) + P (E2) + .... La teoría matemática clásica de la probabilidad asume que todas las funciones de probabilidad son contablemente aditivas. Pero en la lotería contable infinita, nosotros no tienen aditividad contable. La razón por la que no tenemos aditividad contable difiere dependiendo de si la probabilidad de que un boleto en particular gane es cero o infinitesimal. Si la probabilidad es exactamente cero, entonces carecemos de aditividad contable porque 1 = P (E1 ∨ E2 ∨ ...) si En es la probabilidad de que se elija el boleto n (es seguro que se elegirá un boleto u otro) mientras que P (E1 ) + P (E2) + ... = 0 + 0 + ... = 0. Si, por otro lado, P (En) = α para algún α infinitesimal (positivo), entonces las cosas son más complicadas. Los sistemas estándar para la construcción de infinitesimales no definen en general una suma numerable infinita de infinitesimales, al menos en nuestro caso donde los sumandos son los mismos. 55 Por lo tanto, la ecuación requerida P (E1 ∨ E2 ∨ ...) = P (E1) + P (E2) + ... no se mantiene, ya que aunque el lado izquierdo está definido, el lado derecho no es . En nuestro caso de lotería infinita, podemos ver intuitivamente por qué no deberíamos poder tener una suma significativa. Por considerar nuestra suma infinita: α + α + α + α + ... = (α + α) + (α + α) + ... = 2α + 2α + ... = 2 (α + α + ...). Si el valor de esta suma es x, entonces x = 2x. Pero si x no es cero, entonces podemos dividir ambos lados por x para obtener 1 = 2, por lo que x debe ser cero. Sin embargo,

55∗

Para series formales de Laurent, siempre se puede agregar término por término, siempre que todas

las sumas término por término converjan. Pero no convergerán cuando los sumandos sean todos iguales y distintos de cero.

loterías justas contables infinitas x no puede ser cero, ya que debe ser al menos tan grande como α y, por lo tanto, se sigue una contradicción al suponer que la suma tiene un valor.56 La falta de aditividad contable en el caso de una lotería infinita es responsable de un fenómeno conocido como no conglomerabilidad. Una función de probabilidad P es conglomerable con respecto a una partición E1, E2, ... (una partición es una colección de eventos disjuntos por pares, de manera que su disyunción es el espacio completo de posibilidades) siempre que no haya un evento A y un número real tal que para todo i tenemos P (A | Ei) ≤ ay, sin embargo, P (A)> a. La conglomerabilidad es una propiedad muy plausible. Suponga que está seguro de que ocurrirá algún evento en la partición. Si también sabe con certeza que cualquier evento en esa partición que aprenda ocurre, su probabilidad para A será como máximo a, entonces, ¿cómo podría su probabilidad racional para A ser mayor que a? La conglomerabilidad está estrechamente relacionada con el muy plausible Principio de Reflexión de van Fraassen, que dice que si uno está racionalmente seguro de que tendrá una cierta credibilidad racional, ya debería tener esa credibilidad ahora (van Fraassen 1984). Pero típicamente, donde no hay aditividad contable, hay una falta de conglomerabilidad (Schervish, Seidenfeld y Kadane 1984). En el caso del infinito

lotería justa, podemos ver la falta de conglomerabilidad directamente. Sea E el evento de que el boleto elegido será par y O el evento de que será impar. Por aditividad finita, P (E) + P (O) = 1, por lo que al menos uno de los dos eventos debe tener una probabilidad de al menos 1/2. (Intuitivamente, ambos tienen probabilidad exactamente 1/2, pero no la necesito para el argumento). Suponga que P (E) ≥ 1/2 (el argumento en el caso donde P (O) ≥ 1/2 será ser muy similar). Luego, considere la partición proporcionada por los siguientes conjuntos: mi1 = {2, 1, 3} mi2 = {4, 5, 7} mi3 = {6, 9, 11} E4 = {8, 13, 15} ...

56Es cierto que no podemos reagrupar todas las sumas infinitas. Específicamente, no podemos reagrupar series condicionalmente convergentes. Pero intuitivamente, cuando todos los sumandos son positivos, y este es un teorema en el caso de los sumandos de valor real, deberíamos poder reagruparnos al contenido de nuestro corazón. Y el punto aquí es solo alimentar la intuición.

loterías paradójicas Observe ahora que cada conjunto En contiene exactamente un número par y dos impares. Por lo tanto, por la justicia de la lotería, P (E | En) = 1/3. Por lo tanto, P (E | En) <1/2 para todo n, pero por el supuesto de P (E) ≥ 1/2, y se viola la conglomerabilidad. Cuando no existe la conglomerabilidad, se obtienen resultados extraños, como razonar hasta llegar a una conclusión inevitable y pagar para no recibir información (Kadane, Schervish y Seidenfeld 1996), tal como vimos en la Sección 2.5. Y el rompecabezas de simetría de la sección 2.4 es también un rompecabezas de no conglomerabilidad. Tomando la versión original de dos boletos, la probabilidad de que el número de mi boleto sea mayor que el tuyo es inicialmente dentro de un infinitesimal de 1/2. Pero la probabilidad condicional de que el número de mi boleto sea mayor que el tuyo dado cuál es mi número de boleto, sea el que sea, es como mucho infinitesimal, por lo que se viola la conglomerabilidad. Una posible respuesta a mis paradojas anteriores es que la no conglomerabilidad necesita ser aceptada cuando se trata de loterías justas contables infinitas, y la no conglomerabilidad simplemente tiene una serie de consecuencias paradójicas. Pero el costo de aceptar la no conglomerabilidad es alto, a saber, muchas consecuencias paradójicas. Es mejor considerar que la no conglomerabilidad en estas loterías es tanto una paradoja por derecho propio como la raíz matemática de varias otras paradojas.

2.6 Mejorando las posibilidades de todos Supongamos que tengo una lotería justa con cinco boletos y un ganador. Puedo mantenerme dentro de estos parámetros y mejorar las posibilidades de ganar de la mayoría de las personas. Por ejemplo, puedo hacer que el primer boleto tenga cero posibilidades de ganar y luego aumentar las posibilidades de los otros boletos de 1/5 a 1/4. Pero el siguiente principio es muy plausible: (2) En una lotería donde se otorga un premio alSi hay un ganador, es imposible cambiar las probabilidades de victoria para mejorar las posibilidades de ganar de todos. En la probabilidad clásica, (2) es un teorema (en el caso especial de muchos jugadores contables, es una consecuencia inmediata de la aditividad contable). Aún

probabilidades infinitesimales, uno podría sospechar de (2). Por ejemplo, suponga que una lotería tiene innumerables boletos, un boleto correspondiente a cada número real entre 0, inclusive, y 360, exclusivo. Se hace girar una ruleta y el número ganador viene dado por el ángulo en grados entre las posiciones inicial y final de la ruleta. Además, la ruleta gira de tal manera que el número ganador se distribuye uniformemente en [0, 360).

loterías justas contables infinitas Ahora suponga que modificamos cómo se genera el número ganador de la siguiente manera. Una vez que la ruleta se detiene, doblamos el ángulo y luego lo reescribimos para que todavía esté dentro de [0, 360). Por ejemplo, si el ángulo donde se detiene la ruleta es de 195 grados, lo duplicamos para dar 390 grados, y luego notamos que 390 grados representa el mismo ángulo que 30 grados, por lo que nuestro ganador es 30 grados. Pero ahora el boleto número 30 tiene dos formas de ganar: gana si la ruleta se detiene a 15 grados y cuando la ruleta se detiene a 195 grados. Lo mismo es cierto para todos los demás boletos. Entonces, nuestra modificación a la lotería duplicó las posibilidades de victoria de todos, aunque todavía era el caso de que solo ganaba un boleto. El probabilista clásico está de acuerdo con lo que acabo de decir, pero dice que esto es compatible con (2). Porque la probabilidad de que la rueda giratoria se detenga en un ángulo exacto en particular es cero, y cuando uno dobla cero, uno todavía tiene cero, lo cual no es una mejora. Sin embargo, si uno piensa que la probabilidad de un resultado no es cero sino infinitesimal, entonces debe admitir que el procedimiento anterior ha aumentado la probabilidad de que todos ganen. Me inclino a pensar que (2) es suficientemente plausible para que este argumento nos lleve a la conclusión clásica de que cada número tiene probabilidad cero. Pero, en cambio, algunos podrían ser llevados a rechazar (2). Dado que (2) es altamente plausible, alguien que lo rechace debería intentar hacer que ese rechazo sea más aceptable. Un enfoque razonable es decir que nuestras intuiciones no son sensibles a diferencias infinitesimales en probabilidad. Por lo tanto, puede ser posible mejorar infinitamente las posibilidades de victoria, pero nada más. Por lo tanto, deberíamos reemplazar (2) con esta afirmación más débil: (3) En una lotería donde se otorga un premio a exactamente un ganador, es imposible cambiar las probabilidades de victoria de modo que la probabilidad de victoria de cada individuo sea mayor en un incremento no infinitesimal. Es muy difícil de negar (3). Pero si son posibles loterías justas innumerables, entonces deben ser rechazadas. Supongamos que tenemos una lotería de feria contable infinita con boletos 1, 2, 3, .... Ahora considere una segunda lotería con los mismos boletos, pero donde la probabilidad de que el boleto número n gane es 1 / 2n. Dentro de la teoría clásica de la probabilidad, esta es una lotería completamente no paradójica y fácil de construir.14 Pero ahora observe que en la segunda lotería, cada boleto tiene una probabilidad no infinitesimalmente mayor de ganar. Porque el boleto n tiene una probabilidad α infinitesimal de ganar en nuestra feria contable infinita 14

Ver nota 8, arriba.

loterías paradójicas

lotería, pero una probabilidad no infinitesimal de 1 / 2n en nuestra segunda lotería, por lo que el aumento en las probabilidades de ganar es 1 / 2n - α> 1 / 2n - 1 / 2n + 1 = 1 / 2n + 1, y por lo tanto no es infinitesimal. Por lo tanto, las loterías justas contables infinitas contradicen (3) y, por lo tanto, son imposibles. La paradoja de violar (3) es diferente de la precedente en que no parece estar tan estrechamente relacionada con la no conglomerabilidad.

3. Construyendo loterías paradójicas 3.1 Equidad y paradoja Todas las paradojas anteriores surgen de una consecuencia crucial de la equidad en una lotería justa contable infinita: para cualquier conjunto finito de billetes, la probabilidad de que el billete ganador sea miembro de ese conjunto es cero o infinitesimal (es decir, casi cero). Esto, a su vez, se deriva de la aditividad finita de probabilidades y del hecho de que cada boleto tiene como máximo una probabilidad infinitesimal de ganar. De manera más general, estipularé que una lotería es paradójica siempre que haya un número infinito de billetes y cada billete tenga como máximo una probabilidad infinitesimal de ganar. Los argumentos dados hasta ahora en este capítulo justifican el uso de la palabra “paradójico” y nos dan buenas razones para pensar que las loterías paradójicas son imposibles. Sin embargo, ahora argumentaré que si el infinitismo causal es cierto, entonces es posible tener una lotería paradójica. Una o dos (dependiendo de si uno piensa que la construcción en la siguiente subsección es una trampa) de las construcciones incluso producirán una lotería justa e infinita.

3.2 Secuencias de lanzamiento de monedas de la suerte Dado el infinitismo causal, lanza una moneda justa indeterminista infinitamente a menudo, ya sea en una supertarea o en un pasado infinito. Los lanzamientos de monedas en la vida real pueden ser deterministas, por lo que el "lanzamiento de monedas" puede necesitar ser un sustituto de algún experimento cuántico. (A veces omitiré la palabra “indeterminista”.) Numere todos los giros con los enteros positivos (por ejemplo, si hizo un giro al día sobre un pasado infinito, numere el giro de hoy 1, el de ayer 2, y así sucesivamente). Aquí hay algo que podría suceder: un solo lanzamiento da cara (Fig. 4.1). Si tienes la suerte de que esto haya sucedido, entonces sea n el número asociado con el giro que dio cara. Este número n entonces es el número elegido por la lotería. Y la elección es justa: todos los lanzamientos están a la par, por lo que ningún número tiene privilegios. Tenemos lo que Norton (2018) llama "independencia de etiqueta".

construyendo loterías paradójicas THTTT . . . 1 2 3 4 5. . .

Figura 4.1 Un caso afortunado donde funciona la lotería, siendo el ganador el número 2.

Por supuesto, este método para generar una lotería normalmente falla. La ley de los números grandes garantiza que, con una probabilidad de uno, en promedio la mitad de los lanzamientos de monedas serán cara. Pero en las loterías de la vida real, también es posible que el proceso falle. El organizador puede estar a punto de sacar un boleto de un sombrero, pero un tornado se lo lleva. Cuando decimos que una lotería es justa, queremos decir que, condicionalmente, el éxito de la lotería, todos los resultados están a la par. Y en este sentido, cuando tenemos suerte y tenemos exactamente una cara en la secuencia infinita, realmente tenemos una lotería justa contable infinita. La diferencia es que en los casos de la vida real, el fracaso de la lotería es poco probable, mientras que en este caso, el éxito es poco probable. No obstante, si bien esta construcción simple realmente genera una lotería cuando tiene éxito, la falta de confiabilidad de la construcción hace que las paradojas sean menos reveladoras. Por ejemplo, el argumento de la manipulación en la Sección 2.5 se vuelve menos impresionante si tengo que ser extremadamente afortunado para poder manipularlo, ya que solo si tengo mucha suerte podré sacar el resultado de una lotería justa infinitamente contable. . De hecho, tal vez sea plausible pensar que un agente perfectamente racional podría fallar en circunstancias tan raras. Se podría intentar hacer que la construcción funcione más a menudo repitiéndola hasta que tenga éxito. Desafortunadamente, resulta que incluso si ejecutamos la construcción con una frecuencia infinita y constante, todavía no podemos esperar que tenga éxito. En la probabilidad clásica, la probabilidad de éxito seguirá siendo cero (Norton y Pruss 2018), ya que una disyunción contable de resultados de probabilidad cero tiene probabilidad cero. Otra forma de hacer uso de la repetición y la suerte para generar una máquina de lotería infinita es la siguiente. Lanza un número infinito de monedas, pero colócalas en una matriz bidimensional, con infinitas filas, cada una de una infinidad de lanzamientos. No mires los resultados de los giros. En su lugar, envíe un robot para atravesar la matriz en una supertarea, en forma de zigzag, como en la figura 4.2. El robot determina si es el caso de que cada fila contenga exactamente una cabeza y nos informa de ello. Si el robot da una respuesta negativa, es decir, si alguna fila contiene un número de cabezas distintas de una, entonces nuestro intento de hacer una máquina de lotería ha fallado. Pero si el robot devuelve una respuesta positiva, el robot se dirige al comienzo de la primera fila de la matriz. Las monedas que se encuentran en la matriz junto con el robot constituyen ahora una máquina de lotería. Para operarlo, el robot se coloca a la izquierda de la primera fila, y luego

loterías paradójicas

Figura 4.2 Un recorrido de una matriz bidimensional.

se indica que se mueva hacia la derecha hasta llegar a las cabezas, informe la posición de las cabezas y, finalmente, se mueva al principio de la siguiente fila. Una vez que se construye la máquina de lotería, puede generar tantos billetes de lotería justos contables infinitos como queramos, lo que permite todas las paradojas, incluidas las que dependen de múltiples loterías. Por supuesto, tuvimos que tener la suerte de que cada fila contuviera exactamente una cara, y la probabilidad de tal suerte era cero. Pero una máquina que necesita suerte para construirse sigue siendo una máquina construible. Y, para ser honesto, cualquier máquina infinita requiere algo así como mucha suerte para construir: uno necesitaría tener mucha suerte para tener los recursos materiales para una máquina infinita, así como para nunca cometer un error al construirla. Es interesante que la existencia y el funcionamiento de la máquina constituida por la matriz de monedas y el robot no viola el finitismo causal: el robot solo tiene que atravesar un número finito de colas para llegar a caras en cada fila. Pero para generar las paradojas de las loterías justas contablemente infinitas, necesitamos saber que tenemos tal lotería en la mano. Y el paso de "control de calidad", en el que el robot de supertarea comprobó por primera vez que todas las filas de la matriz se ajustan a los requisitos, dependía del infinitismo causal. En la Sección 3.4, consideraré una forma más compleja de generar una lotería justa contable infinita. Ese método más complejo dependerá de la posibilidad de explotar causalmente el axioma de la elección en lugar de simplemente tener una suerte improbable. En el capítulo 6, argumentaré que si el infinitismo causal es verdadero, entonces tal explotación causal es posible. Pero, primero, reflexionemos sobre lo que es construir una lotería justa contable infinita.

3.3 Qué es construir una lotería de feria infinitamente contable Las loterías justas contablemente infinitas violan el axioma de aditividad contable dentro de la teoría clásica de la probabilidad. Esto hace que sea difícil decir qué es construir tal lotería, ya que no se pueden hacer uso de construcciones probabilísticas estándar. Resolveré este problema invocando la simetría.

construyendo loterías paradójicas Intuitivamente, algunos procesos estocásticos, considerados como procesos causales físicos reales, son simétricos. Por tanto, el espacio de resultados del proceso tiene un conjunto natural de simetrías, que son funciones uno a uno de sobre sí mismo, con la propiedad de que si σ es una simetría y A es un subconjunto de, entonces el evento del resultado es en A y el caso de que el resultado esté en σA = {σ (ω): ω ∈ A} están a la par estocásticamente. Si tenemos una medida de probabilidad P , entonces una condición necesaria para que A y B estén a la par estocásticamente es que P (A) = P (B). Pero esta condición necesaria puede no ser suficiente. Por ejemplo, en la probabilidad clásica, si está lanzando un dardo uniformemente al azar a un objetivo circular continuo, entonces las probabilidades de que el dardo golpee el centro exacto del objetivo y de que el dardo golpee la línea horizontal que atraviesa el centro exacto son igual: ambos son cero. Pero no obstante, intuitivamente, las dos posibilidades no están a la par: parece infinitamente más probable que el dardo golpee la línea horizontal que pasa

centrar. Además, los conjuntos A y B pueden estar a la par pero no medibles en probabilidad clásica.57 Hay teorías de probabilidad no clásicas que permiten hacer tales comparaciones; por ejemplo, funciones de Popper y probabilidades infinitesimales (estos dos enfoques son básicamente equivalentes, según Krauss 1968 y McGee 1994), o probabilidades comparativas (Fine 1973). Pero todos tienen sus defectos técnicos, 58 y es mejor que la noción de simetría de un proceso estocástico y la noción interrelacionada de conjuntos de resultados a la par no estén vinculadas a ninguna explicación en particular. Por lo tanto, simplemente tomaré las nociones de un conjunto de simetrías del espacio de resultados de un proceso estocástico y de conjuntos de resultados que están a la par como no analizados más a fondo, sino como interrelacionados.59 Como ejemplo de simetrías de un proceso causal, considérese una secuencia infinita y contable de lanzamientos de moneda justos, independientes e indeterministas, todos a la par físicamente. Entonces podemos tomar un resultado de este proceso, es decir, una secuencia de caras o colas, y reordenarlo de alguna manera fija. Por ejemplo, quizás cada lanzamiento de número impar se intercambia con el siguiente lanzamiento de número par, de modo que TTHTTHHH ... se asigna a TTTHHTHH .... Tal reordenamiento de los elementos en la secuencia es intuitivamente una simetría del sistema, y los conjuntos de resultados que difieren

57 Por ejemplo, imagina una ruleta que elige uniformemente un punto en un círculo. Sea A un subconjunto no medible del círculo, y sea B cualquier rotación de A (incluso A): entonces A y B está n a la par, pero ninguno tiene una probabilidad. 58 Por ejemplo, consulte Pruss (2013a y 2015). 59Cf. Bartha y Johns (2001) para un enfoque de simetría relacionado.

loterías paradójicas por tal reordenamiento son intuitivamente probabilísticamente a la par. En particular, esperaríamos que la probabilidad de obtener tal o cual frecuencia de caras entre los lanzamientos pares sea igual a la probabilidad de obtener esa frecuencia entre los lanzamientos impares. Una simetría diferente que nos será particularmente útil en el caso de una secuencia de lanzamientos de monedas es la inversión de un conjunto de resultados. Supongamos que nuestros lanzamientos de monedas están numerados de alguna manera. Luego, dado cualquier conjunto S de números, y dada una secuencia ω de resultados de lanzamiento de moneda, podemos definir σSω como la secuencia ω con cada resultado de un lanzamiento de moneda cuya posición en la secuencia de lanzamientos está en S cambiando al valor opuesto, de colas a cabezas y de cabezas a colas. En otras palabras, si ω = (ω1, ω2, ...) es una secuencia de lanzamientos de monedas y σS (ω) = (ω1 , ω2 , ...), luego ωi = ωi si y solo si i ∈ / S. Por ejemplo, σ {1,4,5} (TTHTTHHH ...) = HTHHHHHH .... Intuitivamente, cada σS es una simetría de una secuencia de lanzamientos de monedas justas e indeterministas, porque probabilísticamente hablando, no haría ninguna diferencia si, después de generar los lanzamientos de moneda, tuviéramos que pasar y voltear mecánicamente cada moneda correspondiente a un número en S, siempre que se haya especificado S sin depender de los resultados de los lanzamientos de la moneda.60 Ahora podemos especificar con mayor precisión lo que quiero decir al generar una lotería justa contable infinita a partir de un proceso estocástico. Partimos de un proceso estocástico con un espacio de resultados y un conjunto de simetrías G tal que

probabilísticamente a la par para un subconjunto A de y σ ∈ G. Luego encontramos una función f que asigna a cada miembro ω de un entero positivo f (ω) tal que para cualquier entero positivo nym, hay una simetría σ en G tal que σEn = Em, donde Ei = {ω: f (ω) = i}. Nuestro procedimiento para ejecutar la lotería es ahora el siguiente: ejecuta el proceso estocástico, inserta el resultado into en f y anuncia el entero positivo f (ω) como el número ganador. Por lo tanto, f (ω) es el número ganador de la lotería en la ubicación ω en el espacio de resultados, y Ei es el evento de que el boleto i sea el ganador. Entonces la equidad está asegurada por el requisito de que para cualquier par de números enteros positivos nym, los eventos En y Em se correspondan bajo una simetría del espacio de resultados y, por lo tanto, estén a la par.

60 Evidentemente, sería injusto decir que entregamos todas y solo las monedas que son caras, ya que eso garantizaría que solo tenemos cruz.

construyendo loterías paradójicas En lo anterior, asumí que por cada resultado del proceso estocástico podemos generar un ganador. Pero también se podría suponer que existe un subconjunto propio U de y que la función f está definida solo en U, mientras se mantienen todas las demás condiciones. En este caso, si el proceso original llega fuera de U, no se genera lotería. Pero si aterriza en un punto ω dentro de U, tenemos suerte y podemos tomar f (ω) para ser el ganador de la lotería. En este caso, tenemos una construcción de lotería incompletamente confiable. En la Sección 3.2, tuvimos una construcción particularmente poco confiable. Para simplificar, trabajemos con la variante de una sola fila. Para encajar esta construcción en un marco basado en simetría, generaremos una lotería cuyos resultados son enteros arbitrarios en lugar de solo positivos, y suponemos que los lanzamientos de monedas están indexados por todos los números enteros, con la extensión obvia de nuestro marco. Una familia obvia de simetrías para el proceso de lanzamiento de una moneda está dada por los desplazamientos τn, donde n es un número entero y τn (ω) es la secuencia ω desplazada por n. Sea el conjunto de todas las secuencias bidireccionalmente infinitas de caras o cruces, es decir, todas las funciones del conjunto de todos los números enteros (positivos y negativos) Z a {H, T}, que se cree que se generan mediante un número infinito de lanzamientos de moneda justos e indeterministas. Sea U el subconjunto de todas las secuencias que son cabezas en todas menos una posición. Para ω ∈ U, sea f (ω) la posición de las colas únicas. Entonces, si myn son dos enteros cualesquiera, τm − n {ω: f (ω) = n} = {ω: f (ω) = m}, ya que ω tiene sus colas únicas en la enésima posición si y solo si un el desplazamiento de ω por m - n tiene sus colas únicas en la m-ésima posición. Por lo tanto, tenemos una manera de construir una lotería justa contable infinita, aunque muy incompletamente confiable, ya que solo funciona si el proceso original genera una secuencia en U, y eso es extremadamente improbable.

3.4 ∗ Lanzamientos de monedas y el axioma de la elección Una construcción más técnica de una lotería infinita depende del axioma de elección de la teoría de conjuntos en lugar de la suerte. Comience con una secuencia infinita de lanzamientos de monedas libres independientes, ya sea en una supertarea o en un pasado infinito, y suponga que los números del lanzamiento están numerados 1, 2, 3, .... Denotaremos un giro de cara con un 1 y un giro de cruz con un 0, por lo que podemos modelar la situación con el espacio de estados de todas las secuencias (ω1, ω2, ...) do

loterías paradójicas uno. Una ejecución particular de los lanzamientos de monedas genera una secuencia particular de ceros y / o unos. Sea σn una función que toma una secuencia (ω1, ω2, ...) e invierte el valor del enésimo elemento de la secuencia. Por lo tanto, σn ((ω1, ω2, ...)) = (ω1, ω2, ..., ωn − 1, 1 - ωn, ωn + 1, ωn + 2, ...). En general, asumiré que si ω denota una secuencia en, entonces ωn es el enésimo elemento de la misma. Las funciones σn son intuitivamente simetrías del proceso que genera la secuencia de lanzamientos de monedas. Si n es cualquier número entero positivo, U cualquier subconjunto de, y σnU = {σn (ω): ω∈ U}, entonces el hecho de que la secuencia de lanzamiento de moneda sea miembro de U esté estocásticamente a la par con la secuencia de ser miembro de σnU. Sea 0 el subconjunto de aquellas secuencias que tienen solo un número finito de unas en ellas. Existe una correspondencia uno a uno entre 0 y los números naturales N.Para ver esto, tenga en cuenta que, dado

, tendremos ω = (ω1, ..., ωn, 0, 0,

...) para algunos n. Entonces sea ω ∗ el número natural que se puede escribir en binario ωnωn − 1 ... ω1. Por ejemplo, si ω = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, ...), entonces ω ∗ es el número cuya expansión binaria es 11010 (o, de manera equivalente, 011010 o 0011010, no no importa cuántos ceros finales de ω incluyamos), es decir, el número decimal 2 + 8 + 16 = 26. Por lo tanto, podemos interpretar los miembros de 0 como números naturales escritos al revés en binario. Escribe a⊕b para la suma módulo 2 de dos números ayb de {0, 1}. Entonces 0⊕0 = 1⊕1 = 0 y 0⊕1 = 1⊕0 = 1. Si ω y ω estás adentro, entonces deja . Para cualquier subconjunto U de y cualquier ω ∈ , escriba ω ⊕U . Podemos pensar en U como un "giro" de ωo U, respectivamente, por ω. Si , entonces girar by es equivalente a aplicar un número finito de transformaciones σn, es decir, aquellas transformaciones σn donde n corresponde a una entrada distinta de cero en ω. Más precisamente, si n1, n2, ..., nk son los índices distintos de las posiciones distintas de cero en ω, entonces σnk (ω ))). Dado que las combinaciones de simetrías serán simetrías, las operaciones de giro serán simetrías de nuestro proceso estocástico. Ahora, defina una relación de equivalencia ∼ on diciendo que ω ∼ ω si y solo si . Esto es lo mismo que decir que ω y ω de acuerdo excepto en lo más finitamente

construyendo loterías paradójicas muchos lugares, y está claro que se trata de una relación de equivalencia. Dejar [ ser la clase de equivalencia de ω. Según el axioma de elección, suponga que g es una función que asigna a cada clase de equivalencia A algún miembro g (A) en A. Ahora estamos listos para describir una lotería justa numerablemente infinita. Por simplicidad, las etiquetas del ticket serán los miembros de 0, que corresponden a los números naturales (y por lo tanto a los enteros positivos) por codificación binaria hacia atrás. Dada una secuencia ω de nuestro proceso estocástico de lanzamiento de moneda, sea f (ω) = ω ⊕ g ([ω]). En otras palabras, f (ω) es una secuencia que tiene un 1 precisamente en aquellos lugares donde ω difiere del representante especialmente elegido g ([ω]). Dado que ω ∼ g

se deduce que f (ω) tiene sólo un número finito de unos, y por tanto f . Nuestra lotería funciona de la siguiente manera: se genera una secuencia infinita ω de giros en un pasado infinito o mediante una supertarea, y el boleto ganador es f (ω). Queda por mostrar que si μ y ν son dos elementos cualesquiera de 0, entonces {ω: f (ω) = μ} y {ω: g (ω) = ν} son equivalentes bajo cierta simetría. Para ver esto, tenga en cuenta que

, y por lo tanto, todo lo que necesitamos mostrar es que: (ν ⊕μ) ⊕{ω: f (ω) = μ} = {ω: f (ω) = ν}.

Para mostrar esto, observe que ⊕es conmutativo, asociativo y que cada miembro de es su propio inverso, es decir, α ⊕α = 0, donde 0 es la secuencia que siempre es cero, y que el mapa que envía ω a ω

= ν ⊕μ ⊕ω es una biyección de sí mismo que es

su propia inversa. Observe también que [ Entonces:

], ya que

.

loterías paradójicas Por lo tanto, {ω: f (ω) = ν} y {ω: f (ω) = μ} son equivalentes bajo un giro por ν ⊕ μ, que es un miembro de 0, y por lo tanto son equivalentes bajo una simetría de nuestro original Proceso estocástico. Por lo tanto, tenemos la construcción de una lotería justa contable infinita.

3.5 Paseos aleatorios Un robot se mueve a lo largo de una línea infinita. En cada paso de su carrera, lanza una moneda justa indeterminista. En cruz se mueve un paso a la izquierda y en cara un paso a la derecha. Suponga que el robot ha pasado por una secuencia infinita de pasos, que se extiende hacia atrás en una supertarea invertida61 o un pasado infinito. Si numeramos las posiciones en la línea con números enteros, se puede tomar la posición actual del robot para obtener el resultado de una lotería. La lotería es paradójica. Esto se debe a que la función de probabilidad del robot se extiende a lo largo del tiempo, y durante una cantidad infinita de tiempo se extenderá para garantizar que la probabilidad de que esté en una posición determinada sea cero o infinitesimal.

Un poco más rigurosamente, sea pk (x) la probabilidad de que en el k-ésimo paso el robot esté en la posición x, donde k = 0 corresponde al último paso, k = −1 al anterior, y así sucesivamente. Fije un número natural muy grande N. Entonces, la función de probabilidad p0 dependerá de p − 2N. Fije un número entero x0 y preguntemos qué tan grande puede ser p0 (x0). El mayor valor de p0 (x0) es cuando p − 2N asigna probabilidad 1 a x0 y 0 a todos los demás: aunque es poco probable que un robot que comienza en la posición x0 vuelva a estar en x0 después de 2N de pasos, será más Es poco probable que un robot que comienza en cualquier otro lugar esté en x0 después de 2N pasos.620 Ahora, si p − 2N (x0) = 1, y por lo tanto todas las demás probabilidades en el paso −2N son cero, entonces la única forma en que el

61Por ejemplo, un paso dado a las 11:00:00, otro a las 10:30:00, otro a las 10:15:30, y así sucesivamente, en contraposición a una supertask hacia adelante donde se da un paso a, digamos, 10:00 : 00, otro a las 10:30:00, otro a las 10:45:30, y así sucesivamente. Norton (2018) critica la versión de supertask hacia adelante de esta historia. 62πn (n / e) n. Por lo tanto, f (N) es asintótica a 2−2N (2πN) −1 2 (2N / e) 2N / (N / e) 2N = (2πN) −1 2,

que converge a cero.

construyendo loterías paradójicas robot puede volver a estar en x0 en el paso 0 es si se arrojaron exactamente N caras y N colas. Sea f (N) la probabilidad de que en 2N lanzamientos de una moneda justa, se lancen exactamente N caras. Acabamos de demostrar que no importa lo que sea p − 2N, p0 (x0) ≤ f (N). Y este argumento funciona para todo número natural N. Pero de los hechos sobre la distribución binomial se deduce que f (N) converge a 0 cuando N va al infinito.21 Por lo tanto, para cualquier número real r> 0, si N es lo suficientemente grande, tienen f (N) ≤ r, y por lo tanto, p0 (x0) ≤ r. Por tanto, p0 (x0) debe ser cero o infinitesimal. Y esto es cierto para cada x0. Por tanto, cada número de billete tiene una probabilidad cero o infinitesimal, por lo que hemos construido una lotería paradójica. El escenario anterior asumió que el espacio podría ser infinito. Esa suposición no es esencial. En cambio, podríamos suponer una partícula u otro objeto que tiene una propiedad, por ejemplo, giro o carga, que cambia aleatoriamente hacia arriba o hacia abajo con probabilidades iguales y que no tiene límite superior o inferior.

4. Objeciones 4.1 Loterías infinitas y distribuciones uniformes Sin embargo, existe un serio problema en el uso de loterías paradójicas como argumento a favor del finitismo causal, ya que parece que una puede engendrar las loterías paradójicas sin historias causales infinitas. Supongamos que tenemos un proceso, digamos, una ruleta, que genera uniformemente un número real en el intervalo [0, 1). Podemos usar el resultado de una sola ejecución de este proceso para impulsar las construcciones que acabamos de dar. Las construcciones de las Secciones 3.2 y 3.4 solo requerían una secuencia infinita numerable de lanzamientos de monedas. Pero toma nuestro número real aleatorio. Si el n-ésimo dígito después del punto decimal es par, entonces considere que el n-ésimo lanzamiento de moneda es cara; de lo contrario, considere que el enésimo lanzamiento de moneda es cruz.

20 ∗ Esto

se deriva del hecho de que la distribución binomial de probabilidad 1/2 alcanza su punto máximo en la media.

√ 21 ∗ Tenemos f (N) = 2 −2N

= 2−2N(2N)! / (N!)/ 2. Por la fórmula de Stirling, n! es asintótico a /

loterías paradójicas objeciones Dada esta secuencia infinita de lanzamientos de monedas estimados, parece que uno puede generar una lotería exactamente como antes, pero sin usar ninguna secuencia causal infinita.63

Una solución es que, además de aprender de las paradojas de que las secuencias causales infinitas son imposibles, también aprendemos que es imposible tener un proceso causal que genere uniformemente un número real en un intervalo.64 Esto requeriría que rechacemos básicamente todas las distribuciones continuas, ya que todas las demás distribuciones continuas pueden usarse para generar distribuciones uniformes. 65 En particular, no podríamos tener nada como hilanderos continuos, dardos lanzados a objetivos continuos o procesos de desintegración radiactiva en los que el tiempo de desintegración varía sobre números reales. Esto no es tan loco. El finitismo causal hace al menos plausible que el tiempo sea discreto (véase el capítulo 8). Un tiempo discreto es infinitamente subdivisible o no. Aristóteles pensó que era infinitamente subdivisible: entre dos puntos de tiempo cualesquiera puede que en realidad no haya otro tiempo, pero no obstante, otro tiempo es posible. El tiempo infinitamente subdivisible podría ser suficiente para permitir que una desintegración radiactiva genere una distribución continua. Porque si bien las infinitas veces en las que un átomo podría desintegrarse no existen todas, tal vez haya un continuo de posibles momentos en los que podría desintegrarse, y si se desintegrara, eso haría que uno de estos posibles momentos sea real. Pero no está 63Hay

un problema menor acerca de qué hacer en los casos de números que tienen dos expansiones decimales diferentes. Por ejemplo, 0.50000 ... = 0.49999 ... .Siempre podemos elegir la expansión decima que termina en una cadena infinita de ceros en lugar de una que termina en una cadena infinita de nueves. . Esto afectará a lo más infinitesimalmente las probabilidades relevantes, porque la probabilidad de que uno acierte a un número decimal que tiene dos expansiones diferentes es cero o infinitesimal, ya que todos esos números son racionales, y la probabilidad de que la elección uniforme acierte a un número racional es como mucho infinitesimal. Por tanto, ignoraré esta complicación. 64Esto introduce una complicación dialéctica menor en el sentido de que utilicé una ruleta para generar una lotería no paradójica en la que la probabilidad del boleto n era 2 − n. Pero también podría haber usado una supertarea (lanza monedas hasta que salgas cara y sea n el número del lanzamiento en el que saliste cara por primera vez), y nuestro infinitista causal no podría objetar muy bien. Aún tendríamos una reductio ad absurdum contra el infinitismo causal. 65∗ Suponga que una variable aleatoria X, dentro de la probabilidad clásica, tiene una distribución continua, de modo que la función F (x) = P (X <x) es continua. Considere ahora la variable aleatoria Y = F (X). Considere cualquier y ∈ (0, 1). Sea x el número real más pequeño tal que F (x) = y (esto existe debido a la continuidad de F y dado que F tiene límites 0 y 1 en −∞ y + ∞ respectivamente). Entonces Y
claro que incluso esto generaría un continuo de tiempos de degradación potenciales en oposición a, digamos, solo un número contable de tiempos candidatos. Pero también existe una gran posibilidad de que el tiempo tenga que estar compuesto por intervalos básicos, no subdivisibles. Si es así, entonces será imposible un proceso de descomposición en tiempo continuo, descartando los procesos de descomposición y los hiladores que generan una distribución continua. Además, es plausible que el espacio sea lo suficientemente parecido al tiempo que si el tiempo tiene que ser discreto, también lo es el espacio, y si el tiempo tiene que ser discreto con intervalos no subdivisibles, el espacio es similar (ver Capítulo 7, Sección 2.2). Y eso descartaría que se utilicen procesos de lanzamiento de dardos para generar una distribución continua.

tos de precisión infinita Además, hacer uso de una distribución continua para generar un número infinito de lanzamientos de monedas parece requerir un número infinito de medidas. Para verificar si el primer dígito después del punto decimal de nuestra variable aleatoria X es par o impar, se requiere medir X con una precisión mejor que ± 0.05, y para verificar si el siguiente dígito es par o impar requiere una precisión mejor que ± 0.005, y pronto. Para simplificar, digamos que estamos trabajando con la construcción "afortunada" de la Sección 3.2. Luego, necesitamos verificar el equivalente de la afirmación de que exactamente una moneda cayó cara, es decir, debemos verificar que exactamente un dígito de X después del punto decimal sea par. Esto parece requerir hacer mediciones cada vez más precisas, presumiblemente en una supertarea, y luego cotejar los datos obtenidos en estas mediciones para saber si exactamente un dígito es par. Podríamos, quizás, suponer una ley de la naturaleza o propensión causal del sistema que asegure directamente algún efecto, digamos que suena una campana, siempre que cada dígito de X después del punto decimal sea par, de modo que haya una sola causa, siendo X tal que exactamente un dígito después del punto decimal es par, de ese efecto. O tal vez podría haber un ser divino que simplemente anuncia si este es realmente el caso. Sin embargo, esto no funcionará en un contexto de mecánica cuántica donde los hechos sobre el valor de X son causados por las mediciones, y donde un valor infinitamente preciso puede no tener ningún sentido; por ejemplo, una posición infinitamente precisa requeriría una no -Distribución del impulso normalizable. Entonces, si estamos dispuestos a decir que todas las mediciones de datos continuos tienen que ser similares a los casos de la mecánica cuántica, tenemos una forma de mostrar que las loterías paradójicas generadas a través de selecciones aleatorias continuas tendrían que involucrar un número infinito de mediciones y, por lo tanto, serían descartado por el finitismo causal.

loterías paradójicas Hay otro movimiento más que podemos hacer en el caso de la construcción confiable de la Sección 3.4, aunque ciertamente no en la construcción "afortunada" menos impresionante de la Sección 3.2. La construcción confiable de loterías justas contables infinitas a partir de lanzamientos de monedas invocó el axioma de elección, a saber, la afirmación de que si S es un conjunto de conjuntos no vacíos, hay una función que elige un elemento de cada elemento de S. Sin embargo, es crucial para la construcción que las construcciones no sean simplemente construcciones matemáticas, sino que exhiban algo que, dado el infinitismo causal, podría ser un proceso causal genuino. Y con ese fin, no es suficiente que haya un conjunto de opciones de forma abstracta. Más bien, es necesario que haya un proceso causal que implemente la función de elección. En nuestras construcciones, necesitábamos un proceso que, al ingresar una secuencia particular de caras y colas, produjera como salida el miembro elegido de la clase de equivalencia que contiene esa entrada. Pero es plausible que las objeciones

tal proceso necesitaría tener una complejidad infinita — necesitaría hacer coincidir la secuencia de entrada con las clases de equivalencia, y luego producir el representante correcto preseleccionado de la clase. Por lo tanto, el proceso necesitaría tener acceso a un representante preseleccionado para cada una de las clases de equivalencia, quizás almacenado en una memoria infinita. Dado el infinitismo causal, aquí no habrá dificultades. Pero dado el finitismo causal, no está nada claro que esto se pueda hacer. Hablaremos más sobre el axioma de elección y sus implicaciones en el capítulo 6. Además, el simple hecho de reconocer que dos secuencias pertenecen a la misma clase de equivalencia requiere examinar un número infinito de miembros de las secuencias, lo que puede violar el finitismo causal.

4.2 ∗ Un estado cuántico no normalizable John Norton (2018) ha considerado una construcción mecánica cuántica de una lotería justa contable infinita. Un estado mecánico cuántico | ψ normalmente se representa como una superposición, es decir, suma (o, más generalmente, integral), de estados de base ortogonal | φn: ∞

|= norte= 1

| norte

donde | φn tiene norma 1 y

| cn | 2 es finito. Si entonces tenemos un O

observable que seguramente tendrá valor n en el estado | φn, entonces una medición de O en el estado | ψ tiene probabilidad | cn | 2 de producir n. Norton ahora imagina una sistema en una no normalizable estado, uno dónde . Tal sistema puede no ser nómicamente posible, pero no obstante puede ser un sistema físico metafísicamente posible, al igual que una violación de la conservación de la energía mate sería un evento físico que es nómicamente imposible pero metafísicamente posible. Si esto es correcto, entonces también debería ser posible tener un sistema donde los coeficientes cn sean iguales a 1 para todo n. Dado que la razón de | cn | 2 a | cm | 2 (cuando cm = 0) da la razón de la probabilidad de que una medición de O produzca n y la probabilidad de que dé m, si todos los coeficientes son iguales, las probabilidades son todas iguales, y tenemos una lotería justa contable infinita. Esta construcción no parece implicar un número infinito de causas: la causa de la medición de O que da su resultado es el estado único | ψ y el proceso de medición. Por supuesto, el estado | ψ se puede expresar matemáticamente como la suma de los infinitos estados | φn, pero estos últimos estados no existen en realidad, por lo que no parece que haya infinitas cosas en la historia causal. Si lo anterior es correcto, entonces podemos tener loterías paradójicas sin infinitismo causal, y el argumento de que necesitamos un finitismo causal para bloquear las loterías falla. Norton señala, sin embargo, que existen múltiples problemas técnicos con la construcción del estado no normalizable. Además de discutir problemas específicos con las realizaciones físicas de la configuración, Norton señala que

norte

no

espacio de estado sobre el cual se define la física cuántica. Considere que el fracaso del estado de suma para ser miembro de ese espacio de Hilbert es un problema de construcción tan serio como lo sería considerar un escenario newtoniano donde hay una partícula en coordenadas (1, 1, 1 .... No solo está prohibido nominalmente que una partícula esté en (,,), sino que la física newtoniana simplemente no tiene sentido asignado a esas coordenadas. Del mismo modo, la física cuántica no asigna ningún sentido a |. = De hecho, las matemáticas de los espacios de Hilbert no asignan ningún sentido a esta suma. Una suma infinita se define como el límite de sumas parciales finitas, pero las sumas parciales

loterías paradójicas = | n no tiene ningún límite ya que N va al infinito. Por supuesto, podemos incrustar el espacio de Hilbert en un espacio matemático más grande con respecto a cuya topología convergen las sumas parciales. Pero no parece que el espacio matemático más grande tenga ningún significado físico, de modo que especificar que el sistema está en un estado que está en ese espacio puede ser simplemente una tontería física, tanto como sería una tontería física suponer que un estado cuántico es un no vector, como el número 7.66

Un sistema físico debe definirse de manera que asigne algo así como oportunidades a diferentes formas para que el sistema evolucione. Entonces, podríamos extender nuestro espacio de Hilbert para incluir estados no normalizados como = | n y luego intente agregar significado físico a la extensión especificando que las razones de posibilidades de las mediciones continúan correspondiendo a razones de cuadrados de valores absolutos de coeficientes. Pero hay dos problemas con esto. Primero, no está claro que hayamos especificado un sistema físico cuando simplemente hemos dado proporciones de posibilidades en lugar de las posibilidades reales. En segundo lugar, la especificación simplemente asume, sin ningún argumento, que es metafísicamente posible tener un sistema que ambos (a) incluya el estado = | ny (b) se rige por la regla de que las razones de posibilidades son iguales a las razones de los cuadrados de los valores absolutos de los coeficientes. Y asumir esto es esencialmente asumir que son posibles loterías justas contables infinitas. La Mecánica Cuántica Ortodoxa no hace nada aquí para hacer plausible la suposición. Por lo tanto, aunque la construcción del estado no normalizado es inteligente y no parece utilizar el infinitismo causal, no nos da razón para pensar que se pueden construir loterías paradójicas sin violaciones del finitismo causal.

4.3 Limitaciones de nuestro razonamiento Quizás, sin embargo, las dificultades con las loterías paradójicas, así como las paradojas de la racionalidad consideradas en el Capítulo 5, simplemente muestren que nuestras habilidades de razonamiento son incapaces de lidiar con ciertos tipos de situaciones infinitas. Tal vez haya situaciones en las que no haya una probabilidad bien definida después de la condicionalización en la evaluación la evidencia, o tal vez la condicionalización, no es el camino adecuado a seguir. Esto no debería ser una sorpresa: nuestras habilidades de razonamiento evolucionaron para lidiar con problemas en el ecosistema terrestre que no involucran infinitos. Sin embargo, esta es una línea de pensamiento arriesgada. La ciencia moderna utiliza en gran medida las matemáticas infinitarias, especialmente en forma de ecuaciones diferenciales. Si nuestro razonamiento se vuelve poco confiable cuando 66∗ ∗ Podemos tomar el espacio de Hilbert H de estados cuánticos y extenderlo matemáticamente al espacio topológico no Hilbert más grande H ∪ {7} cuya topología es generada por la topología de H más el singleton {7}. Incluso podemos extender el espacio topológico resultante para que sea un espacio vectorial, incrustándolo en un espacio más grande que tenga las propiedades necesarias de un espacio vectorial. Pero esto todavía no le da ningún significado al estado físico del sistema siendo el número 7.

aparecen infinitos en escena, no podemos confiar en la ciencia, lo cual es una conclusión inaceptable. Quizás, sin embargo, se podría distinguir entre el razonamiento deductivo sobre infinitos, como en el caso de las matemáticas, y el razonamiento empírico probabilístico, como en las paradojas anteriores. Y podría ser que, como cuestión de hecho contingente, nuestro mundo sea de naturaleza finitaria, y los infinitos solo tienen que ocurrir en las idealizaciones matemáticas. Sin embargo, incluso si nuestro mundo es de naturaleza finitaria, si se trata de un hecho meramente contingente, necesitamos razones empíricas para rechazar varias hipótesis infinitarias si son metafísicamente posibles. Y entonces necesitaríamos poder razonar probabilísticamente sobre hipótesis infinitas para rechazarlas. Por lo tanto, incluso si viviéramos en un universo finitario, necesitaríamos ser capaces de pensar tanto de manera deductiva como inductiva sobre hipótesis infinitarias metafísicamente posibles. Además, incluso aparte del caso especial de los infinitos, la línea de pensamiento que limita nuestro razonamiento a los tipos de escenarios que surgieron en nuestra historia evolutiva amenaza con socavar demasiado. Si bien podría ser que el razonamiento en las ciencias modernas sea similar al tipo de razonamiento en el que participaron nuestros antepasados cuando se esforzaron por escapar de los depredadores y capturar presas, el contexto en el que se aplica el razonamiento es muy diferente. Para confiar en la ciencia, debemos tener la seguridad de que nuestro razonamiento no se limita a los estrechos contextos en los que evolucionó. Además, si un escenario imaginable es metafísicamente posible, un agente podría pensar consistentemente que está en tal escenario, o al menos pensar que tiene una probabilidad distinta de cero de estar en tal escenario, y los acertijos sobre qué hacer o pensar en ese caso podría convertirse en un rompecabezas para ella. Finalmente, la paradoja de que si es posible una lotería justa numerablemente infinita, entonces uno puede aumentar las posibilidades de ganar de todos, y no simplemente infinitesimalmente, parece ser más que una paradoja sobre la racionalidad y las probabilidades epistémicas, sino una paradoja sobre las posibilidades objetivas, y por tanto, no puede verse afectado por la respuesta de limitación sobre el razonamiento. Por supuesto, uno podría tomar la respuesta de limitación de manera suficientemente amplia como para socavar todas las intuiciones sobre cosas más allá de nuestra experiencia. Pero eso conduciría al escepticismo en la metafísica, la ciencia e incluso las matemáticas (piense en las intuiciones sobre los axiomas de la teoría de conjuntos).

loterías paradójicas

5. Evaluación Las loterías justas contablemente infinitas son paradójicas en mi sentido técnico de que cada resultado tiene una probabilidad infinitesimal o nula. Hay múltiples formas de ver q La lotería que es paradójica en este sentido es imposible. Conduce a sorpresas esperadas, acertijos de simetría, manipulación bayesiana de agentes racionales y la posibilidad de mejorar las posibilidades de ganar de todos. Por tanto, deberíamos rechazar la posibilidad de loterías paradójicas. Sin embargo, es muy plausible, a la luz de varias construcciones diferentes, que si es posible tener infinitos procesos causales, también es posible tener loterías paradójicas. Por tanto, los procesos causales infinitos son imposibles y tenemos un argumento a favor del finitismo causal. Una vez más, un desafío a esta línea de pensamiento podría provenir de la idea de que quizás estos procesos causales particulares son imposibles, e imposibles porque dan lugar a tales paradojas, pero otros procesos causales infinitarios están perfectamente bien. Sin embargo, esto pone límites de grano fino irrelevantes sobre las causas de los sistemas que posiblemente se puedan instanciar. Y, en particular, es muy poco plausible que uno pueda tener una historia causal infinita y, sin embargo, sería imposible tener un proceso de caminata aleatoria como el de la Sección 3.5. El segundo desafío principal es que las loterías justas contables infinitas aparentemente pueden ser generadas por procesos de distribución continuos aparentemente inocentes, aparentemente sin historias causales infinitas. Debido a problemas relacionados con el axioma de elección, esto solo afecta la construcción “afortunada” de la Sección 3.2. Además, el finitista causal que quiere confiar en loterías paradójicas puede señalar preocupaciones sobre la posibilidad de distribuciones genuinamente continuas y mediciones infinitamente precisas. Quizás el desafío más fuerte, sin embargo, es la afirmación de que el razonamiento inductivo como el nuestro adolece de limitaciones significativas en contextos infinitarios. Una versión debidamente formulada de esta tesis puede resolver la mayoría de las paradojas de este capítulo. (Una posible excepción es la paradoja de que uno puede aumentar no infinitesimalmente las posibilidades de ganar en una lotería). Pero el finitismo causal tiene una ventaja sobre esta solución: también está respaldado por intuiciones metafísicas sobre regresiones infinitas (Capítulo 2) y resuelve paradojas. que no involucran racionalidad (Capítulo 3).

5 Teoría de la probabilidad y la decisión

1. Introducción En este capítulo consideraremos varias paradojas en la teoría de la probabilidad y la decisión que no dependen de loterías infinitas justas (o paradójicas), para ver qué apoyo dan al finitismo causal. Comenzamos con algunas convincentes paradojas diacrónicas y sincrónicas de adivinar el dado. Por ejemplo, resultará que si uno tiene acceso a información acerca de un número infinito de tiradas pasadas, y el infinitismo causal es verdadero, entonces uno debería poder asegurarse de que normalmente adivina correctamente las tiradas. Sin embargo, también será necesario evaluar una configuración de "parodia" independiente e interesante en la que el infinitismo causal no parece estar en cuestión. Finalmente, consideramos dos paradojas que están peor resueltas por el finitismo causal: la manzana de Satanás y la paradoja de Beam. Estos resultarán tener múltiples variantes. En algunas variantes, en realidad no dependerán del infinitismo causal y, por lo tanto, el finitismo causal no ayuda a resolverlas. Pero estas variantes también harán que las paradojas sean más fáciles de resolver de otras maneras, mientras que las variantes que parecen más convincentes pueden, de hecho, resolverse con el finitismo causal. La evidencia del finitismo causal proporcionada por la paradoja de Apple y Beam de Satanás no es muy significativa, pero necesitamos evaluar las paradojas para asegurarnos de que no debiliten el caso general del finitismo causal al limitar artificialmente la utilidad del finitismo causal.

2. Adivinar con muchos errores 2.1 Haciendo un poco mejor de lo que se puede Todos los días, durante un pasado infinito, se ha lanzado un dado justo e indeterminista, cada vez de forma independiente y sin memoria de tiradas pasadas, y no tienes información sobre tiradas futuras. El experimento llega a su fin algún día específico en el futuro. Antes de cada vez que se lanza el dado, se le pide que adivine si el dado mostrará un seis. Si obtiene la respuesta correcta, obtendrá un regalo. Si se equivoca, recibirá una descarga eléctrica desagradable. Además, los resultados de las tiradas de dados son causalmente independientes de sus conjeturas.

teoría de la probabilidad y la decisión

No importa cuánta información tenga sobre los resultados pasados de los lanzamientos de dados, siempre que esté completamente seguro de que el dado es justo y cada tirada es independiente, su estrategia óptima es: (1) Siempre No: Siempre adivine "No un seis". Para adivinar "Seis" le da una probabilidad de 5/6 de la descarga, mientras que adivinar "No un seis" le da solo una probabilidad de 1/6. Pero si el infinitismo causal es cierto, entonces podría tener acceso a todas las tiradas pasadas, y si tiene eso, entonces hay una estrategia que es mejor que Siempre No. Digamos que un número apareció “casi siempre” (o en “ casi todos ”rollos) siempre que apareciera en todos, pero en un número finito de casos. Entonces nuestra mejor estrategia es: (2) Casi siempre No: si casi siempre salió un seis, adivine "Seis"; si aparecieron infinitos números distintos de seis, adivine "No un seis". Estrategia Casi siempre No es mejor que Siempre No. Porque es tan bueno como Siempre No en aquellos casos en los que la secuencia infinita de tiradas contiene un número infinito de no seis. En esos casos, ambas estrategias siempre recomiendan adivinar "No un seis". Pero en los casos ciertamente improbables en los que la secuencia infinita de rollos contiene solo un número finito de no seis, seguir Siempre No da como resultado una descarga eléctrica casi siempre. Por otro lado, Casi siempre No da como resultado obtener un premio casi siempre. Por lo tanto, para algunas secuencias, Almost Always No funciona mejor que Always No y para las otras es equivalente. De ahí que sea la mejor estrategia de las dos. Esto produce un argumento rápido a favor del finitismo causal. En nuestro escenario: (3) No se puede usar información pasada sobre los lanzamientos de un dado sin memoria para obtener una mejor estrategia de adivinación que la mejor estrategia que no usa información pasada. (4) Si el infinitismo causal es verdadero, se puede usar información pasada sobre los lanzamientos de un dado sin memoria para obtener una mejor estrategia de adivinación que la mejor estrategia que no usa información pasada. (5) Por tanto, el infinitismo causal es falso. La premisa (3) es una generalización de la negación de la falacia del jugador. La falacia del jugador estándar sostiene que si se ha producido algún resultado con frecuencia, es menos probable que vuelva a aparecer. Pero, por supuesto, un dado no recuerda que ha surgido de cierta manera, por lo que la falacia es una falacia. Generalizamos el punto para decir que la información pasada no ayuda cuando uno sabe con certeza que los dados no tienen memoria y son justos. La premisa (4) es verdadera ya que dado el infinitismo causal, uno podría tener la información

adivinar con un número finito de errores necesaria para hacer funcionar Casi siempre ningún (por ejemplo, uno podría configurar un dispositivo que se encienda si y solo si hubiera infinitos no seis). El finitismo causal, entonces, nos dice que aunque Casi siempre No puede ser una estrategia matemática superior, no se puede implementar en la práctica, por lo que no hay problema de racionalidad.

Hay otra forma de ver que Casi Siempre No es mejor que Siempre No. No importa qué secuencia de tiradas ocurra, Casi Siempre No es al menos tan bueno. Pero también tiene la ventaja de garantizar que uno acertará infinitamente a menudo. Porque si hay infinitos no seis, Casi Siempre No, al igual que Siempre No, asegura que tienes la razón infinitamente a menudo. Pero si solo hay un número finito de no seis, Casi siempre No hará que uno tenga la razón casi siempre, y por lo tanto, infinitamente a menudo, mientras que Siempre No hará que uno esté equivocado en todos los casos, excepto en un número finito de casos. De hecho, es en sí mismo paradójico que haya una estrategia de adivinanzas para un dado justo y sin memoria que garantice tener la razón infinitamente a menudo, o incluso garantice tener la razón alguna vez. Uno podría preocuparse de que llegue un matemático realmente inteligente y genere una estrategia que garantice un número infinito de conjeturas correctas, pero que no dependa del infinitismo causal, una estrategia que requiere información solo sobre un número finito de conjeturas, y si es así, entonces el argumento a favor de la causalidad el finitismo tendría poca fuerza. Pero resulta que no existe tal estrategia. De hecho, ni siquiera existe una estrategia basada en una cantidad finita de información pasada que garantice que alguna vez tienes la razón (aunque, por supuesto, es muy probable que lo tengas). Esto se deduce del siguiente resultado, una vez que notamos que la información sobre qué números exactos no son seis es irrelevante 67 y por lo tanto podemos codificar las secuencias relevantes de lanzamientos como ceros, para cuando se lanzó un no seis, y como unos, para cuando se lanzó un seis. Teorema. Para cada secuencia de números naturales n0, n1, n2, ... y funciones fk de nktuplas de números en {0, 1} a {0, 1}, hay una secuencia ..., c−2, c − 1, c0 de números en {0, 1} tales que para todo k ≤ 0 tenemos fk (ck − nk, ..., ck − 1) = ck.

El teorema dice que para cualquier estrategia de adivinación (fk) k≤0 para ceros y unos donde en el paso k tenemos información sobre los nk resultados pasados, hay

67 Más precisamente, cualquier estrategia que garantice al menos una suposición correcta y que haga uso de información sobre la que aparecieron números particulares distintos de seis puede ser reemplazada

por una estrategia. que no hace uso de esta información y que garantiza al menos una suposición correcta. Para ver esto, sea la estrategia obtenida tomando en cada etapa los datos pasados, reemplazando todos los que no sean seis distintos de 1 por 1, e introduciendo eso en s, y usando s para decidir si adivinar "Seis" o "No un seis". Si se garantiza que s producirá al menos una suposición correcta, también lo será s ∗ .

teoría de la probabilidad y la decisión una secuencia ck de ceros y unos tal que la estrategia siempre falla. La demostración del Teorema se da en el Apéndice de este capítulo.

2.2 Una contradicción Casi siempre No genera una paradoja de la teoría de la decisión. Pero parece que también podemos generar una absoluta contradicción en líneas similares. La estrategia Casi siempre nada tiene la propiedad de garantizar que usted tenga la razón infinitamente. Esta propiedad no depende de que el dado sea justo o sin memoria, ni del hecho de que el dado se lance antes de que usted adivine. Por lo tanto, esta propiedad debe permanecer incluso si alguien coloca el dado frente a usted después de que adivine. Supongamos, entonces, que adoptas Casi siempre No, pero un enemigo que te desea mal entonces coloca el dado frente a ti en una configuración

diferente del que adivinó (seis si adivinó no seis, y no seis si adivinó seis). Dado el infinitismo causal, todo esto parece posible: tienes una estrategia bien definida y el enemigo también. Pero esto es una contradicción. Casi siempre No garantiza que tengas la razón infinitamente a menudo, mientras que la estrategia simple pero efectiva de tu enemigo asegura que nunca tengas la razón. Sin embargo, es muy plausible que si el infinitismo causal es cierto, entonces la estrategia Casi Siempre No se puede implementar sin importar cuál sea la estrategia de colocación del dado. Y la estrategia de tu enemigo se puede implementar sin importar qué estrategia de adivinación se use en su contra. Quizás, sin embargo, aquí uno pueda responder de la misma manera que algunos responderían a la Parca: la historia es contradictoria y, por lo tanto, imposible. Ahora puede surgir una dialéctica similar a la del Capítulo 3, Sección 3.3, con respecto a la plausibilidad de reordenamientos de estrategias que no conduzcan a la contradicción (digamos, la estrategia de la otra parte, ahora un amigo, colocando el dado precisamente como uno). ha adivinado) en estrategias que conducen a la contradicción. Sin embargo, me centraré en las versiones de la paradoja de la teoría de la decisión en este capítulo, en lugar de la versión basada en la contradicción, a fin de ampliar el número de tipos de paradojas que conducen al finitismo causal. Las paradojas de la teoría de la decisión no implican una contradicción absoluta, sino una violación del principio (3) de la inutilidad racional de la información pasada en casos de experimentos independientes, y parece menos plausible rechazar la configuración debido a tal violación que porque de una absoluta contradicción.

2.3 Haciendo mucho mejor de lo que uno puede La mejora de Almost Always No en Always No es suficiente para producir (4), pero no es particularmente impresionante. Después de todo, es solo en el escenario extremadamente improbable en el que solo hay un número finito de no seis en los

adivinar con un número finito de errores que Casi Siempre No supera a Siempre No, un escenario tan raro que su probabilidad clásica es cero.68 Uno podría objetar que se pierde poca intuición si (3) se reemplaza con: (6) No se puede usar información pasada sobre las tiradas de un dado sin memoria para obtener una estrategia de adivinación significativamente mejor que la mejor estrategia que no usa información pasada. Una estrategia que funciona mejor en un caso extremadamente raro no es significativamente mejor. Pero ahora tenga en cuenta que uno puede hacerlo incluso mejor que Almost Always No. El pensamiento detrás de Almost Always No era que hay un conjunto S de secuencias de rollos tales que (7) se puede decir en base a información pasada infinita que la secuencia infinita de rollos cae en C,

y (8) una vez que sepa que una secuencia de tiradas está en C, puede asegurarse de que solo haya un número finito de errores en su adivinación. El conjunto que Almost Always No aprovechó fue C6, el conjunto de secuencias de rollos que son casi todos seises. Podemos mejorar en Casi siempre No agregando a la estrategia casos especiales para otros conjuntos que satisfagan (7) y (8). Por ejemplo, podemos sumar D, el conjunto de todas las secuencias de rollos de modo que casi todos los impares son seis y casi todos los pares no son seis. Podemos decir sobre la base de datos pasados si la secuencia de lanzamientos que uno está observando es un miembro de D, y luego uno puede adivinar de acuerdo con D: adivinar seis para los lanzamientos impares y no seis para los pares. unos. Agregar esta regla a Casi siempre No significa que lo haremos mejor que Siempre No tanto para las secuencias en C6 como para las secuencias en D. Sin embargo, nuevamente, la mejora es insignificante, ya que la probabilidad clásica de que una secuencia dada de tiradas sea miembro de Se puede demostrar que D es cero. La estrategia se puede ampliar. Podemos llegar a un conjunto V de conjuntos disjuntos de secuencias de rollos de modo que cada miembro C de V satisfaga (7) y hay una estrategia TC que cuando se sigue garantiza que solo habrá un número finito

68∗

Suponga que los rollos están numerados. Sea Un el evento de que todas las tiradas anteriores al

número n sean seis. Entonces P (Un) = (1/6) (1/6) (1/6) ... = 0. Sea U el evento de que solo hay un número finito de no seis. Entonces U = n Un. Por aditividad contable, si P (Un) = 0 para todo n, entonces P (U) = 0. E, intuitivamente, incluso si no tenemos aditividad contable, no pensaríamos que U tendría una probabilidad mayor que un infinitesimal.

teoría de la probabilidad y la decisión de errores si la secuencia de rollos está en C. Entonces tenemos la siguiente estrategia: (9) Aún mejor: si casi todas las tiradas no son seis o la secuencia de tiradas no encaja en ningún miembro de V, adivina “No es un seis”; de lo contrario, sea C el miembro de V que contiene la secuencia y adivine según TC. Casi siempre No tenía V = {C6}, donde TC6 era la estrategia de adivinar siempre "Seis", y nuestra versión ligeramente mejorada tenía V = {C6, D}, donde TD era la estrategia de conjetura alterna. Yuvay Gabay y Michael O'Connor (ver Hardin y Taylor 2008) utilizaron el axioma de elección básicamente 69 para demostrar que se puede hacer un conjunto V lo suficientemente grande como para que cada secuencia de tiradas caiga en algún miembro de V y que haya una estrategia TC para cada miembro C de V que garantice como mucho un número finito de errores. Luego, se puede modificar la estrategia para garantizar que si casi todas las tiradas no son seis, siempre se adivina "No un seis". (Consulte la Sección 2.4.) Si hacemos eso, Even Better será equivalente a Always No si casi todas las tiradas no son seis, pero para todas las demás secuencias de tiradas será mejor, ya que Even Better solo cometerá un número finito de errores. , mientras que Siempre No hará infinitos. Esto ciertamente cuenta como una mejora significativa en el sentido de (6). Porque, excepto en el caso extremadamente improbable de que todos los lanzamientos sean distintos de seis (la probabilidad clásica de ese caso es cero), mejoramos de un número infinito de descargas eléctricas a un número finito.

Entonces, dado el infinitismo causal, podemos aprovechar los datos pasados para hacerlo significativamente mejor que Siempre No. Eso es absurdo, por lo que deberíamos rechazar el infinitismo causal. Sin embargo, hay un cabo suelto. La estrategia Aún mejor depende del axioma de elección, específicamente en la elección de la estrategia SC para cada miembro C de V.Los detalles de esta dependencia se darán en breve para el lector con mentalidad técnica, pero existe una preocupación real sobre si una estrategia "Generado" por el axioma de elección podría implementarse causalmente. En el capítulo 6, argumentaré, sin embargo, que tales estrategias pueden implementarse causalmente si el infinitismo causal es verdadero (también defenderé la verdad de una versión del axioma de elección suficientemente fuerte para las matemáticas del presente argumento). Ese argumento cerrará el cabo suelto de la presente reductio ad absurdum contra el infinitismo causal.

69Su

entorno implicó adivinar los colores de los sombreros. Véase también Thorp (1967) para una solución anterior pero algo diferente.

adivinar con un número finito de errores

2.4 ∗ Construcción de estrategia que garantice como máximo un número finito de errores Sea una colección de sucesiones infinitas hacia atrás ..., a − 2, a − 1, a0 de números de {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea ∼ la relación de equivalencia (relación transitiva, simétrica y reflexiva) en donde x ∼ y si y solo si xey difieren en un número finito de lugares como máximo. Sea V el conjunto de todas las clases de equivalencia [x] = {y: y ∼ x} para x ∈ . Según el axioma de elección, hay una función de elección para S, es decir, una función f en V tal que f (C) es un miembro de C para cada C ∈ V. También podemos imponer una condición adicional a f: si C ∈ V tiene la propiedad de que ningún miembro de C contiene infinitos seis, entonces f (C) no tiene seis en absoluto. Para hacer esto, para tal C, simplemente reemplace cada ocurrencia de 6 en f (C) con una ocurrencia de 1. Solo habrá un número finito de reemplazos, por lo que permaneceremos dentro de la clase de equivalencia C. Ahora, para cualquier C ∈ V, la estrategia TC es muy simple: si f (C) es 6 en el enésimo lugar, adivine “Seis” antes del enésimo lanzamiento; de lo contrario, adivine "No un seis". Cada miembro de C difiere, como mucho, en un número finito de lugares de f (C), por lo que esta estrategia dará como resultado solo un número finito de errores. Además, la condición adicional impuesta a f asegura que las secuencias que constan de casi sólo seis conducen a adivinar "No un seis".

2.5 Una versión sincrónica multipersonal Infinidad de personas perfectamente racionales lanzan un dado independiente y justo. Las cosas están ordenadas para que no puedan ver cómo salen los rollos y, sin embargo, se les pide a cada uno que adivine si su rollo salió seis. Si una persona adivina correctamente, recibe una golosina; de lo contrario, recibe una descarga eléctrica. Es obvio lo que debe hacer cada persona: debe adivinar "No un seis". Pero dado el infinitismo causal, un ángel podría saber cómo salieron todos los rollos. Y es posible que casi todos los rollos, es decir, todos, pero como mucho, un número finito, salgan seis. En ese caso, suponemos que el ángel anuncia a todos que casi todos los rollos salieron seis. También suponemos que todas las personas están seguras de que los dados son independientes y justos, y que el ángel solo dice la verdad. Si usted es uno de los rodillos de troquel, entonces antes del anuncio planeaba adivinar "No es un seis". ¿Deberías cambiar tu suposición?

teoría de la probabilidad y la decisión Hay argumentos convincentes para ambas opciones. A favor de cambiar a "Seis" está el simple pensamiento de que sólo un número finito de sacar algo más que seis, por lo que parece abrumadoramente probable que haya sacado un seis. ¿Qué tan probable es, después de todo, que usted sea una de las pocas excepciones? No más probable que cualquier otra persona, y seguramente es poco probable que haya ganado una lotería infinita contable con solo un número finito de ganadores. Además, si todo el mundo cambia a "Seis", sólo se administrarán una cantidad finita de descargas eléctricas, mientras que si todo el mundo se queda con "No un seis", casi todo el mundo se sorprenderá. Parece, por tanto, que la respuesta correcta debería ser que todo el mundo debería cambiar a "Seis". Por supuesto, hay casos famosos en los que todos hacen lo que les conviene, lo que resulta en un peor resultado general. El más famoso es el Dilema del Prisionero. Se capturan dos prisioneros, cada uno incapaz de comunicarse con el otro. Si ambos guardan silencio, solo se les pueden imputar cargos menores y cada uno recibirá un año de cárcel. En cambio, si uno calla y el otro informa (“defectos”), el callado recibirá diez años de cárcel y el delator quedará en libertad. Pero si ambos informan, entonces cada uno será condenado a nueve años de cárcel, ya que se probarán los principales cargos en su contra, pero su información hará que el veredicto sea más favorable. Ahora, el punto crucial sobre el dilema del prisionero es que no importa lo que haga el otro prisionero, si lo único que está en juego es evitar la cárcel, por lo tanto, ni la moralidad está en juego ni habrá dilemas en el futuro; es mejor desertar. Porque si el otro prisionero deserta, la propia deserción acortará la sentencia en un año, mientras que si el otro prisionero guarda silencio, la propia deserción lo quitará por completo. Pero si cada uno hace esta cosa aparentemente más racional, ambos terminan en la cárcel durante nueve años, lo que es un resultado mucho peor que si ambos permanecen en silencio. Entonces, si cada uno hace lo que es más racional, el resultado general es peor para cada uno que si cada uno guarda silencio. que es un resultado mucho peor que si ambos permanecen en silencio. Entonces, si cada uno hace lo que es más racional, el resultado general es peor para cada uno que si cada uno guarda silencio. que es un resultado mucho peor que si ambos permanecen en silencio. Entonces, si cada uno hace lo que es más racional, el resultado general es peor para cada uno que si cada uno guarda silencio. Ahora bien, es controvertido si es racional o no desertar. Pero si se concede la racionalidad de la deserción, entonces sí tenemos el resultado de que el hecho de que cada persona haga lo que está en su propio interés puede producir un daño general. Esta conclusión es bastante intuitiva. Obtenemos una estructura similar en la Tragedia de los Comunes. Si todos pastan sus ovejas en los comunes, los comunes serán sobrepasados y habrá pocos beneficios para cada persona. Pero cada persona sigue ganando al pastorear sus propias ovejas en los comunes: pastorear en un bien común agotado es mejor que no hacerlo en absoluto, o eso dice la historia. Sin embargo, observe que en estos casos estándar, la acción de cada persona afecta a otras personas. Informar a un compañero de prisión cambia la sentencia del otro, y pastorear las ovejas disminuye la hierba disponible para las ovejas de otras personas.

adivinar con un número finito de errores Otra familia de casos en la que todos actúan racionalmente en su propio interés es perjudicial es cuando las personas ignoran los factores relevantes. Si todo el mundo sabe que el cianuro previene el cáncer, pero no sabe que lo previene matando al paciente, entonces todo el mundo actúa racionalmente en su propio interés, resulta en la extinción de la humanidad. Sin embargo, es muy plausible que cuando las acciones de las personas afectan solo a su propio bienestar, la evaluación racional de cada persona de lo que es bueno para ella debe alinearse con

teoría de la probabilidad y la decisión

su evaluación de lo que sería bueno que hicieran todos a la luz del bienestar de todos. Entonces, dado que cada persona puede ver que, en general, las cosas irían mejor si todos adivinaran "Seis", esto nos da una buena razón para pensar que eso es lo que es individualmente racional. Por otro lado, existe un fuerte argumento de que uno debe ceñirse a la suposición "No es un seis". Porque uno no debe cambiar su conjetura racional al recibir información epistémicamente irrelevante. La información sobre las tiradas de otras personas es irrelevante cuando los dados son independientes. Por lo tanto, uno no debe cambiar su suposición al aprender: (10) Entre otras personas además de usted, casi todos sacaron seis. (Por supuesto, es crucial que estés seguro de que los dados son justos e independientes. Sin esa certeza, (10) te convencería de que los dados son injustos). Pero (10) es lógicamente equivalente a: (11)

Casi todos sacaron seis.

Porque tu tirada no puede afectar si infinitamente muchas personas además de ti sacaron un no seis. Dado que (10) no debería cambiar lo que es racional adivinar, tampoco debería cambiar el equivalente (11). Los argumentos anteriores muestran que en la situación descrita, uno debería pasar a adivinar "Seis" y que no debería pasar a adivinar "Seis". Suponiendo que no haya dilemas racionales reales posibles — casos en los que uno debería hacer algo racionalmente y uno debería abstenerse de hacerlo — esto es imposible. Entonces, algo es imposible en nuestro escenario. El finitismo causal proporciona una elegante explicación de lo que es. El anuncio del ángel, para ser absolutamente confiable, tendría que responder causalmente a las infinitas tiradas de dado. Pero eso es imposible dado el finitismo causal. O, para ponerlo en la forma habitual de nuestro argumento, si el infinitismo causal es cierto, el escenario de lanzamiento de dados anterior es posible. Pero si es posible, es posible que se requiera racionalmente que uno adivine “Seis” y que se requiera racionalmente que no lo haga. Pero eso es imposible, entonces el infinitismo causal es falso y, por tanto, el finitismo causal es verdadero.

Uno de los argumentos para cambiar a "Seis" después del anuncio del ángel se basó en la idea de que si el número de no seis es finito, juzgará que es muy poco probable que sea miembro del grupo de no seis. Este argumento en particular, sin embargo, puede necesitar algunos refinamientos. Muy plausiblemente, si un subconjunto N de rodillos se produce de una manera que no está sesgada a favor de ningún rodillo, digamos, dejando que sea el subconjunto de todos los que no sacaron seis, y se anuncia la cardinalidad de N, entonces cuando esa cardinalidad es infinitamente más pequeña que la cardinalidad de todo el

adivinar con un número finito de errores conjunto de rodillos, su credibilidad de que es miembro de N debería ser muy pequeña. De ello se deduce que si se anuncia una cardinalidad finita particular para el conjunto de no seis, debe cambiar su suposición a "Seis". Pero esa no es la historia

que N es finito, y "finito" no denota una cardinalidad particular (hay infinitas cardinalidades finitas, a saber, 0, 1, 2, ...). No obstante, creo que es muy intuitivo que la credibilidad de que estás en N aún sea cero o al menos casi cero.70 Aún así, por el bien de los lectores impresionados por esta preocupación, se puede modificar el caso de la siguiente manera. Primero estipulamos que la cardinalidad del número de rodillos no es meramente infinita, sino que es un infinito incontable, digamos la cardinalidad c del continuo, que es infinitamente muchas veces mayor que el infinito contable ℵ0 de los números naturales.71Entonces, supongamos que en lugar de que el número de rodillos que salieron distintos de seis sea finito, es infinito numerable, y el ángel anuncia que hay ℵ0 no seis. Entonces, incluso si uno tiene reparos sobre la diferencia entre un anuncio de que la cardinalidad es menor y un anuncio de una cardinalidad particular menor, uno debería concluir aquí que la credibilidad de que uno sacó un número distinto de seis se volverá casi cero. Todos los demás argumentos se adaptan perfectamente a esta versión modificada de la historia. En particular, la observación crucial de que (12) y (13) son lógicamente equivalentes puede sustituirse por la observación de que las dos afirmaciones siguientes son lógicamente equivalentes: (12) Entre otras personas, excepto ℵ0, todos salieron seis. (13) Todas menos ℵ0 personas sacaron seis. Porque, así como una sola tirada no afecta si hay finitos o infinitos seises, una sola tirada no afecta si hay ℵ0 o no. ∗ fortaleciendo la paradoja 70∗ Ian Slorach me señala que los problemas relacionados con un anuncio de "finito" están relacionados con la conglomerabilidad (consulte el Capítulo 4, Sección 2.5.3). Para cualquier cardinalidad finita particular, si esa cardinalidad se anunciara para N, su credibilidad debería ser casi cero. Pero se requiere conglomerabilidad para concluir de esto que si simplemente se anuncia que la cardinalidad es finita, entonces su credibilidad debería ser casi cero, y en este tipo de situaciones infinitas no podemos esperar conglomerabilidad. Estoy de acuerdo en que la conglomerabilidad sería necesaria si la inferencia de que la credibilidad de que uno está en N es casi uno se hiciera a partir del hecho de que, dada una cardinalidad finita particular, la credibilidad de que uno está en N sería casi cero. 71 Podríamos decir que un conjunto infinito B es infinitamente muchas veces más grande que un conjunto infinito A si B puede dividirse en un número infinito de subconjuntos, cada uno de los cuales es mayor que alguna cardinalidad fija κ que es mayor que la de A. Y los números reales, cuya cardinalidad es el continuo, se puede dividir en infinitos subconjuntos de cardinalidad del continuo, digamos los intervalos ..., [−1, 0), [0, 1), [1, 2), [2, 3),. .., y la cardinalidad del continuo es mayor que la cardinalidad de los números naturales.

teoría de la probabilidad y la decisión La versión interpersonal de la paradoja de adivinar hasta ahora sólo funciona en el caso muy improbable —¡pero posible! - en el que casi todas las personas obtienen un seis. Pero así como usamos el Axioma de elección para hacer que la versión secuencial de una persona funcione sin importar cómo salgan los dados, uno puede hacer lo mismo aquí. Dejo que el lector decida si esto hace que la paradoja sea más convincente: no estoy seguro de que se gane nada con la complicación adicional.

El método es prácticamente el mismo que antes. Uno define la relación de equivalencia sobre posibles resultados (donde un resultado puede considerarse como una función de las personas al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}) diciendo que dos resultados son equivalentes siempre que difieran en a lo sumo, un número finito de lugares. Una función de elección que elige un resultado particular f (A) en cada clase A de resultados equivalentes es fija. Luego, tan pronto como se lanzan los dados, el ángel verifica en qué clase A de resultados equivalentes se encuentra el resultado real, y luego anuncia f (A). Ahora se garantiza que casi todas las tiradas coincidan con el resultado f (A). Nuevamente, tenemos buenos argumentos de que cada agente debe adivinar de acuerdo con f (A). Sin embargo, saber que el resultado de todas las tiradas es equivalente af (A) no te dice nada sobre tu propia tirada, Esta estrategia garantiza que casi todas las conjeturas serán correctas y, sin embargo, cada conjetura depende solo de las otras tiradas. Sin embargo, existe una falta de analogía entre los casos sincrónico y secuencial. En el caso secuencial, afirmé que era sorprendente que, dada la información sobre una cantidad infinita de datos pasados, fuera posible incluso garantizar una única respuesta correcta (consulte el Teorema en la Sección 2.1). En el caso sincrónico desordenado, que uno pueda garantizar algunas respuestas correctas cuando a cada uno se le proporciona información sobre las tiradas de los demás, no es tan sorprendente. Por ejemplo, con dos personas tirando dados, y cada uno averiguando la tirada del otro, uno puede garantizar que al menos uno adivina correctamente: por ejemplo, suponga que Alice adivina de acuerdo con la tirada de Bob ("Seis" si seis y "No un seis" de lo contrario) mientras que Bob adivina en oposición a la tirada de Alice ("Seis" si no un seis y "No un seis" si es seis). Luego, cuando salen igual, Alice lo hace bien; cuando ruedan de manera diferente, Bob lo entiende; y así siempre exactamente uno lo hace bien. Pero observe que los resultados generales esperados de esta estrategia son una descarga y una golosina, mientras que ambos adivinar "No un seis" tiene la expectativa de 0.33 descargas y 1.67 golosinas, por lo que la estrategia es en general inferior a seguir con "No un seis" .

2.6 ¿Una parodia? Pero parece haber una parodia de nuestro razonamiento. Al igual que antes, suponemos que infinitamente innumerables personas lanzan un dado pero no ven el resultado, y deben adivinar si sacaron un seis. Una vez más, se sorprenden si lo hacen

adivinar con un número finito de errores mal, y un regalo si lo hacen bien. Además, cada persona es un completo extraño para los demás. Claramente, si esa es toda la historia, todos deberían adivinar "No un seis". Ahora bien, es casi seguro, es decir, tiene una probabilidad de uno o uno menos un infinitesimal, que infinitamente muchos de los rollos serán seises e infinitos no serán seis. Supongamos que esto sucede. Antes de que alguien tenga la oportunidad de hacer alguna conjetura, un ángel divide a las personas en grupos de tres, donde cada grupo de tres contiene exactamente dos seis (personas que sacaron un seis) y un no seis,72 cada uno de esos tríos en una habitación separada. Todos están seguros de que el ángel ha hecho esto. Si estás en una de las habitaciones, sabes que de las tres personas en la habitación, exactamente dos salieron seis. ¿Cómo debes adivinar? Hay un buen argumento de que no aprendiste nada. Ya sabías que te transportarían a una habitación con dos completos desconocidos, y eso es exactamente lo que sucedió. Al no haber aprendido nada, debe atenerse a "No un seis". Por otro lado, hay algo absurdo en que las tres personas en la sala adivinen “No es un seis” cuando es seguro que dos de ellos obtuvieron seis. Dentro de cada habitación, seguramente es mejor que las tres personas adivinen “Seis”. Así que una vez más tenemos un buen argumento de que cada persona debe adivinar "Seis" y que cada uno debe adivinar "No un seis". Sin embargo, existe una diferencia crucial entre la historia de reordenamiento y nuestra historia anterior sobre adivinar casi todos los rollos. En nuestra historia anterior, abrazar el finitismo causal mató la posibilidad de la paradoja. Sin embargo, en la presente historia no está claro que se trate de una historia causal infinita. Por ejemplo, considere un mundo en el que se concibe exactamente un nuevo ser humano (que por simplicidad asumiré es el comienzo de su existencia) al comienzo de cada año, comenzando con el año 1, y nadie muere nunca. A los 30 años, cada humano lanza un dado. Una vez que ha lanzado un dado, el ángel se lo quita, sin que el humano vea el resultado, y la persona se queda dormida sin sueños. El ángel ahora distribuye a las personas en las habitaciones de forma secuencial, realizando un seguimiento de los lanzamientos de dado secuenciales y llenando una habitación tan pronto como dos seis y un no seis estén disponibles. Cuando se llena una habitación, las personas que se encuentran en ella se despiertan, sin señales de cuánto tiempo ha pasado, 7 y luego tienen la oportunidad de adivinar si sacaron un seis. Completar este proceso llevará una cantidad infinita de tiempo. Pero casi con certeza (la excepción es el caso improbable de que casi todo el mundo saque un seis o casi todo el mundo saque un no seis) solo se necesitará una cantidad de tiempo finita para colocar a una persona en una habitación. El finitismo simpliciter más el eternismo descartará el escenario, al descartar la posibilidad de infinitos sucesos futuros, pero el finitismo causal es compatible con el escenario. Tenemos, pues, una 72Suponga que los seis son s1, s2, ... y los no seis son n1, n2, ...; entonces el ángel puede formar grupos correspondientes a los conjuntos {s1, s2, n1}, {s3, s4, n2}, {s5, s6, n3}, ....

teoría de la probabilidad y la decisión parodia: una historia aparentemente paradójica por el mismo tipo de razones que nuestras anteriores historias de adivinanzas, pero sin dependencia alguna del infinitismo causal. ndo la parodia Para ver cuán poderosa es la parodia, necesitamos ver cuán estrechamente analógicos son los argumentos para quedarse con "No un seis" y para cambiar a "Seis" en el caso de reordenamiento con el caso de casi todos los seis. En la Sección 2.5.1, consideramos dos argumentos que, después de descubrir que casi todo el mundo sacó seis, debería pasar a adivinar “Seis”. El primero fue intuitivo: también podrías ser cualquiera de las personas, y es muy poco probable que lo 7

Saber cuánto tiempo pasó sería una pista para saber si uno sacó un seis o no.

sé uno de los pocos que no sacó seis. Este argumento es muy análogo a la idea de que si dos de las tres personas en su habitación son de seis, tiene 2/3 de posibilidades de ser de seis. Pero en lo que respecta a esto, este último pensamiento está equivocado. Tome una variante donde hay un millón de personas, y donde el ángel le ha prometido previamente a usted, y solo a usted, ponerlo en una habitación donde hay dos sixers y un non-sixer. Entonces, si bien sigue siendo cierto que de las tres personas en la habitación exactamente dos son seis, no debe concluir que tiene una probabilidad de 2/3 de ser seis. Es cierto que su probabilidad de ser un sixer aumenta de manera insignificante, ya que al ser puesto en una habitación así, ahora aprende con certeza que hay al menos dos sixers y al menos uno no sixer, mientras que antes solo pensaba que esto era extremadamente probable. a decir verdad. Pero, aparte de esa información, no se ha aprendido nada relevante, ciertamente nada que aumente su probabilidad a 2/3. Pero quizás en el caso infinito podemos decir que el único que no tiene seis años es igualmente probable que sea cualquiera de las tres personas en la habitación, ya que el caso es completamente simétrico entre las tres personas. En el caso finito no existe tal simetría. Su presencia en la habitación está garantizada por el ángel, mientras que las otras dos personas son elegidas al azar. De manera similar, el caso en el que casi todos obtienen seis fue simétrico entre los participantes. En ambos casos, entonces, las consideraciones intuitivas de simetría sugieren que debería cambiar a "Seis". Pero las consideraciones de simetría tienen algunas debilidades en el caso de la parodia original. Sugerí que el caso de la parodia podría ejecutarse sin infinitismo causal haciendo que el ángel asigne a las personas a las habitaciones mediante un orden determinado por el orden de concepción y los resultados de la tirada. Ahora bien, si supiera las fechas de concepción de las tres personas, eso le daría información

adivinar con un número finito de errores significativa sobre quién sacó seis y quién no. De hecho, lo más probable es que la persona de mayor edad en la sala sea la que haya sacado un no seis. Porque el ángel revisa la lista de sixers, comenzando por el más antiguo, dos veces más rápido que la lista de no sixers, ya que el ángel tiene que poner dos sixers en una habitación por cada no sexto, y además los sixers son en promedio más muy espaciados en edad. Entonces, si supiera todas las verdades necesarias relevantes, la situación ya no sería simétrica para usted. Para mantener la simetría, no debe tener ningún dato que lo distinga de otras personas con respecto al orden de concepción. Pero eso significa que su posición en el orden de concepción es, al menos desde su punto de vista, el valor de una lotería justa contable infinita. Ahora tenemos dos historias plausibles aquí. En primer lugar, tenemos una tesis de esencialidad del tiempo de origen que asegura que no podría haber tenido una posición diferente en el orden de concepción de la que tenía. En segundo lugar, podría haber tenido igualmente cualquiera de las infinitas posiciones en el orden de concepción. Dada la esencialidad de la tesis del tiempo de origen, es una verdad necesaria que usted llegó a existir en el momento en que lo hizo, y que las otras personas en su habitación llegaron a existir en el momento en que lo hicieron. Esto es análogo al caso original donde existe una simetría entre los rodillos de la matriz, incluso después de fijar sus identidades y edades. Por supuesto, todavía hay una simetría epistémica en el caso de la parodia. Pero cuando una simetría epistémica se debe a la ignorancia de las verdades necesarias, hay buenas razones para preocuparse por la exactitud de la asignación de probabilidad de uno, ya que en tal caso uno está asignando probabilidad epistémica no unitaria a verdades necesarias relevantes, lo que hace que las probabilidades de uno ser relevantemente inconsistente, y no es sorprendente ni paradójico que esto lleve a extrañas consecuencias. Por otro lado, si igualmente podría haber tenido alguna de las infinitas posiciones en el orden de concepción, entonces el proceso que condujo a la orden de concepción implementó una lotería justa infinitamente contable (tal vez el ganador sea el primero en ser concebido) y vimos en el Capítulo 4 que tales loterías son imposibles. Se podría intentar ordenar los rodillos de matriz de alguna otra forma imparcial que no sea por orden de concepción. Pero hacer eso parece requerir ignorancia de las verdades necesarias o loterías justas contables infinitas.73

73∗ El problema de la Bella Durmiente (Elga 2000) es similar a nuestra parodia sobre una esencialidad de la interpretación del tiempo de los orígenes, en que en La Bella Durmiente es esencial que el agente ignore qué día de la semana es cuando se despierta, y es una verdad necesaria que hoy es martes si, de hecho, hoy es martes. Se puede esperar que la ignorancia de verdades necesarias tan relevantes conduzca a resultados extraños. Sin embargo, en La Bella Durmiente la ignorancia de las verdades necesarias no es esencial para la historia. Si bien la historia estándar implica una selección entre despertares el lunes y martes versus despertarte solo el lunes, de modo que el conocimiento de la verdad necesaria de que ahora es martes le dice a uno cómo fue la selección,

teoría de la probabilidad y la decisión En nuestro caso de adivinanzas interpersonales, el segundo argumento para cambiar se basó en un principio de universalización que, aproximadamente, si una acción que no afecta a otros es autointeresadamente racional, su generalización debería producir los mejores resultados generales. Este argumento no se generaliza al caso de la parodia. Porque, casi con certeza, si todo el mundo cambia a "Seis", infinitamente muchas personas se sorprenderán e infinitamente muchas recibirán un regalo. Y será exactamente lo mismo en general si todos se quedan con "No un seis": infinitas descargas e infinitas golosinas. Por supuesto, la mejor consecuencia para los agentes en su habitación se obtendrá si los tres ocupantes cambian a "Seis". Pero el principio de universalización es menos plausible cuando se restringe de manera arbitraria a los habitantes de la habitación. Entonces, de los dos argumentos para cambiar en el caso de la parodia, uno está dañado por la esencialidad del tiempo de origen y el otro se basa en un principio de universalización menos plausible. ¿Qué pasa con el argumento para quedarse con "No un seis"? Nuestro argumento original era que la proposición de que casi todo el mundo saca seis es lógicamente equivalente a la proposición de que casi todo el mundo, excepto usted, saca seis, y dado que el último es evidentemente irrelevante (dada la certeza sobre la equidad de la configuración), el primero debe serlo. . Este argumento no se aplica en el caso de la parodia.

Sin embargo, hay un argumento adicional que se puede dar para ceñirse a "No un seis" en el caso de la parodia. Primero, está el pensamiento plausible de que no aprendes nada relevante al ser puesto en la habitación con los dos extraños. Después de todo, usted ya sabía que podría ser colocado en una habitación así (asumiendo que hay infinitos seis e infinitos no seis), y las identidades de las personas en la habitación no le brindan información relevante. Sin embargo, este argumento es deficiente. Porque dada la esencialidad del tiempo de origen, y dado que el ángel distribuye a las personas en sus habitaciones en orden de llegar a la existencia, si conocieras todas las verdades necesarias relevantes, volverías a evaluar tus probabilidades. Pero debemos ser cautelosos con nuestros juicios probabilísticos cuando ignoramos las verdades necesarias relevantes, ya que entonces nuestras probabilidades están destinadas a ser inconsistentes. Con todo, los argumentos a favor de ambos lados del dilema en la historia de la parodia son más débiles que en la historia de casi todos los seis, y son diferentes a ella a pesar de las similitudes superficiales. No sé cuál es la solución correcta al problema de la parodia. Sin embargo, aquí hay una opción. La historia involucra una lotería justa infinitamente contable implícita en un orden aleatorio, y esas son imposibles por las consideraciones del Capítulo 4, o la ignorancia de verdades necesarias como el momento del origen. Para las paradojas de las conjeturas, era crucial que no se le pudiera exigir racionalmente a uno que hiciera algo y que se abstuviera de hacerlo. Pero tal vez este principio sólo

adivinar con un número finito de errores se aplique a seres perfectamente racionales, o al menos a seres perfectamente racionales con respecto a las características relevantes de la situación. Quizás al igual que algunos (p. Ej., Santo Tomás de Aquino; ver Dougherty 2011, Capítulo 4) piensan que puedes meterte en un dilema moral real a través de la imperfección moral, digamos, al hacer promesas incompatibles a diferentes personas, puede meterse en un dilema racional real a través de la imperfección racional. Y quizás la ignorancia de las verdades necesarias relevantes, como el año en el que uno se originó, hace que sea imposible ser perfectamente racional sobre un área de pensamiento.

3. Manzana de Satanás 3.1 La historia Arntzenius y Hawthorne (2004, Sección 3) dan esta situación paradójica: Satanás ha cortado una deliciosa manzana en infinitos trozos, etiquetados con números naturales. Eve puede tomar las piezas que elija. Si toma sólo un número finito de las piezas, no sufre penalización. Pero si toma infinitas piezas, entonces es expulsada del Jardín por su codicia. De cualquier manera, puede comerse los pedazos que haya tomado.

(Las piezas, por supuesto, deben volverse cada vez más delgadas). Hay dos versiones de esto: una versión sincrónica donde Eva decide simultáneamente qué piezas tomar y una versión diacrónica donde se presenta a Eva, una por una, con una opción binaria si tomar una pieza determinada.

teoría de la probabilidad y la decisión manzana de satanás

3.2 Versión sincrónica Primero toma la versión sincrónica. Aquí, Eve necesita indicar qué subconjunto de piezas desea comer. La razón por la que la paradoja aparece aquí es que parece que para cada rebanada es mejor incluir esa rebanada en su subconjunto indicado, sin importar lo que haga con las otras rebanadas (mejor ser expulsada del jardín con una rebanada extra que sin ella). Esto sugiere un argumento de dominio: para cada porción, debería elegir incluir esa, porque no importa qué otras elecciones haga, es mejor incluirla. Como señalan Arntzenius y Hawthorne (2004), este tipo de razonamiento de dominancia funciona en el régimen finito. Si para cada uno de un número finito de porciones es mejor incluir eso en su selección, sin importar lo que elija sobre las otras porciones, entonces debería elegir todas las porciones. La razón es esta. En un caso finito, habrá al menos una opción óptima (puede haber más de una, en caso de empate). Si esa opción óptima no incluye una porción, entonces no sería óptima ya que habría una mejor opción, una que incluyera esa porción. En general, el argumento de dominancia establece que si hay una solución óptima, incluye todos los cortes. Pero en la manzana de Satanás el antecedente del condicional es falso. Para cada perfil al que le falte una porción de la manzana, incluir esa porción sería una mejora. Y el perfil que incluye todas las rodajas es batido por el perfil que no incluye ninguna: mejor quedarse en el paraíso que comerse la manzana entera. Por tanto, ningún perfil es óptimo. Hay otra razón por la que el argumento de la dominancia es problemático. Combina los casos sincrónico y diacrónico haciendo que parezca que Eva está haciendo un número infinito de elecciones, una por porción. Pero, en cambio, está haciendo una sola elección entre una infinidad de opciones. Por supuesto, sería bueno tener una solución óptima al problema. Hay algo inquietante en el hecho de que para cada solución hay una mejor. Sería bueno si el finitismo causal descartara tales escenarios. Por desgracia, no sé cuán creíble se puede hacer esto. Una posibilidad sería argumentar que los agentes deliberan entre múltiples razones, y estas razones compiten causalmente en el agente, y una de las razones termina siendo la ganadora; por ejemplo, esta es la imagen de Kane (1999) de la libertad humana. Pero entonces parece que la elección de Eva tendría que ser el resultado de un proceso causal con infinitas razones como antecedentes, habiendo una razón correspondiente a cada porción. Creo que esta respuesta al problema sincrónico falla por dos razones. Primero, múltiples razones podrían corresponder a un solo estado del agente. Es plausible atribuir a alguien que cree que la luna es redonda y gris la creencia de que la luna es redonda así como la creencia de que es gris. Pero no necesitamos pensar que la mente

almacena las tres creencias por separado. Podría ser que haya un solo estado mental que fundamenta la exactitud de las tres atribuciones de creencias. Asimismo, un agente puede tener muchas razones y un solo estado mental que fundamenta la

razones. En ese caso, puede haber solo un factor causal involucrado, a saber, ese estado mental. En segundo lugar, incluso si cada razón corresponde a un factor causal diferente, parece que sólo una razón —la victoriosa, la que produjo la acción— está realmente en la historia causal de la acción. Las razones en competencia fueron contraexplicativas: en lugar de contribuir a la acción, la obstaculizaron. Puede haber alguna otra forma para que el finitismo causal resuelva el problema sincrónico. Pero también podemos estar de acuerdo con Arntzenius y Hawthorne (2004) en que no existe ninguna paradoja. Este es solo un caso en el que no hay una opción óptima (esta es una forma de resolver en lugar de matar la paradoja, en la terminología del Capítulo 1, Sección 1). Y de todos modos no deberíamos esperar un finitismo causal para resolver todos los problemas que implican el infinito. 3.3 Versión diacrónica La versión diacrónica es más paradójica. Arntzenius y Hawthorne (2004) dividen el caso dependiendo de si Eve puede comprometerse de antemano a un patrón particular de decisiones futuras. Si puede unirse, el problema es equivalente al sincrónico: solo necesita elegir un perfil de cortes y unirse a él. Todavía tenemos la dificultad de que no existe la mejor opción, por supuesto, pero quizás eso no sea una paradoja real. Pero el caso realmente difícil es donde Eve no puede atarse antes de tiempo. Aquí, Arntzenius y Hawthorne tienen que admitir que será racional que Eve tome cada rebanada, incluso si esto la condena. Sin embargo, la versión diacrónica puede descartarse claramente por el finitismo causal. Porque la expulsión de Eva del Jardín tendría que ser causada por una infinidad de factores causales, presumiblemente dispuestos en una supertarea. Entonces, incluso si el finitismo causal no ayuda con el problema sincrónico, mata la paradoja diacrónica. También podemos imaginar una versión sincrónica multipersonal que tenga las mismas características. Infinidad de personas están en el paraíso y tienen la opción de comerse una manzana. Si infinitamente muchos lo comen, todos son expulsados. Si finitamente muchos comen, todos se quedan. ¿Que deberían hacer? Nuevamente, es mejor que cada uno coma una manzana, sin importar lo que hagan los demás. Pero si todos comen una manzana, pasa algo terrible. Una vez más, el finitismo causal acaba con la paradoja al hacer que la historia sea imposible.

teoría de la probabilidad y la decisión

3.4 Objeción: puntuaciones, deseos y promesas Era crucial para la resolución finitista causal de la paradoja diacrónica que la recompensa dependiera causalmente de un número infinito de eventos. Pero los beneficios no tienen por qué depender causalmente de los antecedentes. Supongamos que jugamos a un juego de adivinanzas en el que lanzo una moneda que no puedes ver y luego te pago un dólar si adivinas correctamente. En ese caso, la recompensa depende causalmente de que yo compruebe si el resultado coincide con la condición de victoria. Pero luego modificamos el juego. Lanzo una moneda y adivinas cómo salió, y obtienes la victoria, y solo la victoria, si acertaste. No obtienes dinero y ni siquiera te das cuenta de que ganaste. Todo lo que tienes es la manzana de Satanás es la victoria pura y simple. En ese caso, la recompensa no depende de que nadie pueda comprobar cómo cayó la moneda. Si vale la pena perseguir la victoria por sí sola, también lo es una buena puntuación en un juego, incluso sin el conocimiento de esa puntuación. Uno puede seguir corriendo una milla rápidamente incluso cuando no espera saber cuánto tiempo tardó en correr. Pero esto nos permite modificar la manzana de Satanás. Por ejemplo, podemos suponer un juego en el que comer rebanada n te hace ganar 1/2 n puntos, pero comer un número infinito de rebanadas te hace perder 100 puntos. Sin embargo, aquí existe una dificultad intuitiva. La victoria no es muy divertida si nadie se entera de que ganó, y del mismo modo, una puntuación alta no vale mucho si nadie se entera de que la obtuvo. Y averiguar la puntuación dependería de la infinidad de decisiones. De hecho, hay buenas razones para dudar de que la victoria y la puntuación generen algún beneficio real para un agente, en sí mismos. Considere este juego solitario: supongo que es "par" o "impar". Si en el momento de mi conjetura el número de mosquitos en el mundo coincide con mi conjetura, obtengo dos puntos. De lo contrario, pierdo un punto. Puedo jugar esto una y otra vez, ganando aproximadamente cada segunda vez. Si es bueno para mí ganar en un juego, sigo acumulando beneficios. Entonces, por razones de interés personal, debería jugar este juego todo el tiempo. Incluso podría configurarme para jugarlo por defecto: anuncio estipuladamente que mis respiraciones alternan entre conjeturas “pares” e “impares”. Acumularé beneficios todos los días, todas las noches. Pero eso es una tontería. Pero quizás el agente obtiene pocos beneficios en este juego tonto porque está desequilibrado (se necesita poco esfuerzo para tener una puntuación esperada positiva) y tal vez haya rendimientos decrecientes al reproducir un juego, de modo que incluso un número infinito de victorias tiene muy poco beneficio. Sin embargo, también es plausible que no haya ningún beneficio en el juego, que no tengamos ninguna razón para jugarlo. Aquí, sin embargo, hay una manera de resolver el conflicto entre la intuición de que uno puede razonablemente jugar solo por la puntuación, incluso cuando sabe que

no encontrará la puntuación, y la intuición de que no tiene sentido el juego de adivinanzas de mosquitos. Quizás sea esencial para un juego que sea el tipo de práctica en la que normalmente podríamos averiguar la puntuación (o al menos una buena aproximación a ella). Puede haber casos individuales en los que uno se beneficie o resulte perjudicado por una puntuación desconocida; tal vez, en su carrera matutina alrededor de la cuadra sin que usted lo sepa, batió el récord mundial de una carrera de 400 metros y, de ser así, lo intimidó. Pero estos casos son plausiblemente parásitos en juegos del mismo tipo, o muy similares, donde las puntuaciones son cognoscibles, a diferencia de la manzana de Satanás gamificada. Además, incluso si vale la pena tener el puntaje por sí mismo, es poco probable que el mapeo entre puntajes y utilidades, es decir, medidas de bienestar, sea simple y no será un tema de mera estipulación. Podríamos hacer una variante de fútbol donde estipulemos que un gol marcado en el último minuto de un partido cuenta mil puntos. Pero un equipo que ganó por mil a cero no estaría mil veces mejor que un equipo que ganó por uno a cero, no importa cuánto tratemos de estipular esto. Y aunque una victoria abrumadora vale más que una leve victoria contra los mismos oponentes, no

más valioso que ganarlo por 82 a 15. Tampoco está claro que correr una milla en 4.000002 segundos sea peor para uno que correrlo en 4.000001 segundos, especialmente si uno no sabe la hora. A la luz de esto, no hay garantía de que sea realmente posible configurar un juego con utilidades que produzcan una gamificación exitosa de Satan's Apple, un escenario en el que elegir infinitas porciones da a uno la peor puntuación, pero agregar una porción siempre es beneficioso . Cualquier utilidad que obtenemos de la mera puntuación de un juego es sin duda finita, y no está claro que la conversión de puntuaciones a utilidades pueda ser tan fina como para producir incrementos de utilidad arbitrariamente pequeños. Finalmente, incluso si realmente hay beneficios de juegos tontos con puntajes desconocidos como la versión gamificada de Satan's Apple, quizás la existencia de paradojas en juegos puros, juegos donde el puntaje solo es el valor, no es tan sorprendente. Estos juegos puros no son algo que contribuya en una parte significativa al bienestar humano, y así como uno podría pensar que nuestras intuiciones acerca de las probabilidades son insensibles a las diferencias infinitesimales (cf. Capítulo 4, Sección 2.6), también podría pensarse que nuestra las intuiciones sobre la racionalidad pueden no aplicarse a los juegos puros. En cualquier caso, donde hay beneficios "concretos", como el placer saludable y la evitación de dolores nocivos, como en la versión original con una manzana sabrosa y un jardín agradable, las paradojas parecen más significativas. Una variante de la generación de utilidades de forma no causal es hacerlo mediante deseos. Parece que vale la pena tener el deseo satisfecho, incluso si uno nunca se entera de la satisfacción. Un pintor puede desear que su pintura se cuelgue en la

teoría de la probabilidad y la decisión Galería Nacional. Ella se beneficia de que esté colgada allí incluso si nunca se entera de que está allí. Así como consideramos usar puntajes de juegos para potenciar la manzana de Satanás, podríamos intentar hacer que las utilidades activen los deseos. Podríamos imaginar a un agente que tiene un deseo abrumadoramente fuerte de no comer un número infinito de rodajas de manzana, pero que sin embargo desea cada rodaja en particular, de tal manera que siempre es mejor tener una rodaja más, pero tener infinitas es peor que cualquier escenario con un número finito. Se pueden dar respuestas similares a la versión deseada como a la versión de la partitura. Primero, no está claro si la satisfacción de un deseo por sí misma, en ausencia de un bien independiente del deseo que se desea y en ausencia de conciencia de la satisfacción del deseo, es valiosa. En segundo lugar, puede ser que el valor de la satisfacción inconsciente sea un parásito del valor de la satisfacción consciente, de modo que solo sean valiosos los tipos de deseos en los que se puede descubrir la satisfacción. En tercer lugar, no está claro que la mera satisfacción del deseo pueda ser lo suficientemente detallada para ejecutar la paradoja. Y, finalmente, no está claro que la mera satisfacción del deseo cuente lo suficiente como para hacer que la paradoja sea seriamente problemática; de nuevo, quizás las intuiciones sobre la racionalidad no sean sensibles a ligeras diferencias en la utilidad.

3.5 Evaluación Podemos resolver la manzana diacrónica original de Satanás por medio del finitismo causal. La versión sincrónica se puede resolver de manera diferente, y las versiones no causales basadas en la paradoja del haz en los juegos, los deseos y las promesas no parecen convincentes. No sé si cada variante de la manzana de Satanás puede resolverse mediante una combinación de finitismo causal con otras herramientas. Pero el hecho de que algunas versiones puedan resolverse con finitismo causal, y otras versiones conocidas se resuelvan con otras herramientas que no resuelven la versión que se resuelve con finitismo causal, nos da alguna razón para aceptar el finitismo causal, aunque no tanto como si podríamos resolver todas las versiones de manera uniforme con un finitismo causal. Aún así, es algo impresionante que el finitismo causal ayude con la versión más convincente de la paradoja.

4. La paradoja de Beam Beam (2007) ofrece una paradoja de apuestas más complicada en la que debe aceptar cada una de una colección infinita de ofertas, pero aceptar todas las ofertas garantiza una pérdida neta. Una vez más, esta paradoja tiene la característica de que puede implementarse de múltiples formas, algunas de las cuales pueden resolverse sin

finitismo causal, pero la versión más preocupante parece resolverse mejor mediante el finitismo causal.

4.1 ∗ La formulación matemática Empiece por observar que existe una permutación π de los enteros positivos tal que: π (n)

=-

norte= 1 norte Esto se sigue del hecho de que / n solo es condicionalmente convergente, y una serie condicionalmente convergente se puede reorganizar para que tenga el valor que se desee.

Sea X un punto elegido uniformemente al azar en el intervalo (0, 1). Defina an = (−1) π (n) +1. Suponga que los dólares miden la utilidad. Por cada n, a cambio de recibir (1/2) π (n) dólares, un agente racional jugará este subjuego: (i) Si X <1 / π (n), obtenga (1 - 1 / π (n)) an; (ii) De lo contrario, obtenga - (1 / π (n)) an. El valor esperado de este juego es

Por lo tanto, uno debería jugar racionalmente el subjuego sin importar lo poco que se le pague por hacerlo, incluso cuando se le paga (1/2) π (n) dólares. Suponga que acepta el trato para cada n. Calculemos su resultado neto para un valor dado de X. La serie incondicionalmente convergente

representa cuánto se le pagará solo por jugar los subjuegos. Sea An (X) = {n ≥ 1: π (n) <1 / X} y Bn (X) = {n ≥ 1: π (n) ≥ 1 / X}. Entonces, para n ∈ An (X), se aplicará la regla (i) y para n ∈ Bn (X), se aplicará la regla (ii). Además, el conjunto An (X) es finito sin importar lo que sea X ∈ (0, 1), e incluso en una serie condicionalmente convergente se pueden reorganizar un número finito de términos. Por brevedad, omitiendo la dependencia de X, su recompensa de los subjuegos será:

teoría de la probabilidad y la decisión

norte∈An

n Bn

norte∈An

= + norte∈An

norte∈Bn

π (norte) +π (norte) norte∈An

norte∈Bn

=

-

+

π

(norte) norte∈An

=

norte= 1

-

-

norte∈An

=

-

-

1≤m <1 / X

dolares Pero es igual a 1 o 0, dependiendo de si hay un número par o impar de términos en esa suma. En cualquier caso, perderá al menos $ 99 jugando, y dado que se le habrá pagado $ 1 por jugar, su pérdida neta será de al menos $ 98. Por lo tanto, si hace lo que se requiere racionalmente, tiene la garantía de perder al menos $ 98. El ingrediente crucial de la paradoja es que en tales casos de convergencia condicional, la suma de los valores esperados de los subjuegos, que es 1, no es igual al valor esperado de la suma de los valores, que está entre -99 y -100. Ahora hay tres versiones de la paradoja dependiendo de cómo se implemente el juego. Las dos primeras versiones corresponden a las dos versiones de Satan's Apple: hay una versión sincrónica donde el agente elige un único perfil de apuestas para el juego en su conjunto, y una versión diacrónica de supertask donde el agente decide las apuestas una a una, con una recompensa final al final. Pero también hay una tercera versión en la que las apuestas se realizan a un ritmo que no es de supertarea, digamos una por minuto, durante una cantidad de tiempo infinita.

4.2 ∗ Versión sincrónica En la versión sincrónica del juego, el agente elige un subconjunto de subjuegos para jugar. Para cualquier conjunto A finito de subjuegos a jugar, su recompensa esperada será n A dólares, es decir, precisamente la cantidad que se le paga por jugar los subjuegos, ya que el valor esperado de jugar cada subjuego individual es exactamente cero. Por tanto, cuanto mayor sea el conjunto A, mejor para el agente. E incluir un subjuego más en el subconjunto siempre tendrá un impacto positivo en la recompensa

esperada. Pero incluir todos los subjuegos dará como resultado la certeza de perder al menos $ 98 en saldo. La paradoja del rayo La estructura aquí es muy similar a la versión sincrónica de Satan's Apple. La principal diferencia es que la certeza de beneficiarse de cada segmento se sustituye por un beneficio esperado de la misma. Al igual que en la versión sincrónica de la manzana de Satanás, el finitismo causal no parece ayudar. Sin embargo, al igual que en la manzana de Satanás, se puede argumentar que aquí no hay paradoja, solo un caso sin óptimo.

4.3 ∗ Versión diacrónica infinita futura En la versión diacrónica de futuro infinito, a un agente que vive infinitamente se le pregunta regularmente si desea jugar. Cada vez que racionalmente debería jugar. Sin embargo, se garantiza que su recompensa total de por vida será negativa. El finitismo causal tampoco ayuda en este caso, ya que el finitismo causal no descarta tales infinitos futuros. Sin embargo, existe un problema de valor con esta versión de la paradoja. Si bien cuantifiqué los pagos en dólares, no puede ser solo una cuestión de ganar o perder dinero, ya que en la versión diacrónica sin supertarea nunca se gastaría el dinero, ya que la historia dura para siempre. Una forma natural de darse cuenta de esta versión de la paradoja es pensar que simplemente disfruta o siente dolor por las recompensas a medida que llegan, en una cantidad proporcional a la recompensa. Sin embargo, es un error pensar que las utilidades disfrutadas con el tiempo en general suman para producir una utilidad general. Supongamos, por ejemplo, que el día n, si n es par, obtiene un placer de magnitud 1 / n y si n es impar, obtiene un dolor de magnitud 1 / n. Es tentador pero erróneo decir que el valor total de todos estos placeres y dolores es justo = 1 (n / n. Mientras todo lo que estemos viendo son los valores de los dolores y placeres, y no, digamos, de los recuerdos de ellos, el orden en el que recibes los dolores y placeres debería ser irrelevante. puede volverse más claro si suponemos, para aclarar el efecto de la memoria, que al final de cada día, los recuerdos de los placeres y dolores se borran, para que una racha de placeres no se aburra y una racha de dolores no conduce a la desesperación. Entonces realmente parece que la permutación de los días no debería cambiar el resultado general. Pero no deberíamos ser tan rápidos ya que aquí hay algo muy contrario a la intuición. Si las permutaciones no cambian el resultado general en ausencia de memoria y otras características relevantes para el orden, entonces no es mejor en general recibir un dolor fijo en los días cuyo número es divisible por cuatro y un placer fijo en los otros días que en el otro. camino alrededor. Se podría pensar que seguramente es mejor recibir el placer en los días no divisibles por cuatro, ya que entonces cualquier secuencia sucesiva de cuatro días incluirá tres días de placer y uno de dolor que a la inversa. Pero en ausencia de recuerdos y otras características

teoría de la probabilidad y la decisión de la vida relevantes para el orden, es arbitrario si dividimos la vida en cuádruples consecutivos de días o en alguna otra colección de cuádruples disjuntos. Y el escenario donde “solo” los días divisibles por cuatro obtienen el placer también se puede dividir en cuadruples con tres días de placer y uno de dolor: 4, 8, 16, 1; 20, 24, 28, 2; 32, 36, 40, 3; 44, 48, 52, 5; ... Sostengo que aquí no hay una paradoja real.

La razón por la que parece paradójico es porque, por lo general, el orden de la vida sí importa; es lamentable recordar que los últimos cuatro días fueron en su mayoría dolorosos. Ahora, de manera famosa y crucial para la historia de Beam, puedes reorganizar los términos en la suma = 1 (n / n para obtener cualquier número real que desee. Dado que la configuración de la historia no incluye ninguna característica relevante para el orden, como la memoria (si lo hiciera, sería una historia relevante y diferente), en tal caso no podemos Identificar la utilidad general sobre una vida futura infinita con una suma tomada en algún orden particular. La versión futura infinita de la historia de Beam es, por lo tanto, un caso en el que no hay una utilidad significativa que pueda adjuntarse sumando las utilidades diarias, y quizás sin ninguna utilidad general significativa, sin embargo, la paradoja de la racionalidad — la paradoja de que uno perdería en general al hacer lo racional cada día— requeriría una utilidad general obtenida sumando las utilidades diarias.

4.4 ∗ Versión de supertask diacrónica La versión diacrónica de la supertarea de la paradoja viene en dos versiones. Una versión es como la versión diacrónica sin supertask en que las recompensas se disfrutan mientras se juega el subjuego en lugar de después. En ese caso, la respuesta dada en la versión diacrónica sin supertarea también se aplica: el valor de toda la secuencia de pagos no es igual a la suma de los valores. Pero hay una versión particularmente preocupante, que es donde hay una garantía de que el valor de toda la secuencia de pagos es igual a la suma de los valores, por ejemplo, porque los términos de los subjuegos garantizan que recibirás una cantidad de dinero igual a la recompensa total una vez finalizada la supertarea. En esta versión, tenemos el problema de que es racional aceptar cada oferta, pero, al igual que en el caso de Satan's Apple, es malo aceptarlas todas. Sin embargo, esta versión particularmente preocupante es manejada cuidadosamente por el finitismo causal, ya que requiere que el pago final hecho al agente se vea afectado por los resultados de una infinidad de juegos.

4.5 Evaluación de la paradoja de Beam Hay varias versiones de la paradoja de Beam. Solo uno de ellos se resuelve por el finitismo causal, pero es el particularmente problemático. Las otras versiones pueden resolverse sin invocar el finitismo causal. Nuevamente, como en el caso de la

manzana de Satanás, obtenemos alguna evidencia del finitismo causal, pero no tanto como lo haríamos si pudiéramos resolver todas las versiones de manera uniforme mediante el uso del finitismo causal.

5. Evaluación de paradojas de la teoría de la decisión El finitismo causal da una resolución de algunas paradojas de adivinación intra e interpersonales muy interesantes, y de las variantes más problemáticas de la manzana de Satanás y del apéndice: ∗ prueba del teorema de la sección La paradoja de Beam. No resuelve las otras versiones de Satan's Apple o de la paradoja de Beam, ni el rompecabezas de reordenamiento de la "parodia" en la Sección 2.6, pero estos pueden manejarse de otras formas. Obtenemos evidencia del finitismo causal, aunque no tan fuerte como lo haríamos si pudiéramos resolver todas las variantes utilizando el finitismo causal. Sin embargo, debido a que son las versiones más problemáticas de las paradojas las que se resuelven mediante el finitismo causal, la consideración de estas paradojas nos da evidencia a favor del finitismo causal.

Apéndice: ∗ Prueba del teorema de la Sección 2.1 Sea el espacio de sucesiones infinitas hacia atrás de ceros y unos que escribiremos como c = (..., c−2, C−1, c0). Orden con ordenamiento lexicográfico de derecha a izquierda (por ejemplo, (..., 0, 0, 0, 1, 0) <(..., 0, 0, 0, 0, 1)). Sean nk y fk como en el enunciado del teorema. Fijar k ≤ 0. Afirmo que hay un elemento c más pequeño (con respecto al orden lexicográfico de derecha a izquierda) de tal que para todo k ≤ i ≤ 0 satisfacemos la restricción Fyo(Cyo−ni, ... , Cyo−1) = cyo. Para ver esto, primero tenga en cuenta que hay al menos un elemento c que satisface estas restricciones. Podemos definir tal elemento por recursividad finita. Sea ci = 0 para i
teoría de la probabilidad y la decisión norte∗= mínimo {i - ni: n ≤ i ≤ 0}. Es fácil verificar que si c satisface las restricciones de los requisitos, entonces sí ∗(c) Además, πk∗(c) ≤ c, entonces para cualquier miembro de - k∗que satisface las restricciones, hay un miembro más pequeño de k∗eso lo hace. Dado que solo hay un número finito (de hecho, 2|k∗| +1)

miembros de k∗, se deduce que hay un miembro más pequeño de k ∗satisfaciendo las

restricciones requeridas, y ese miembro también debe ser el miembro más pequeño para satisfacerlas. Denote el miembro más pequeño de satisfacer las restricciones por c (k). Observe que c (0) ≤ c (-1)≤ c (-2)≤ ... (dado que si c satisface las restricciones para un valor de k, también lo hace para los más grandes). Fijar n ≤ 0. Entonces πn conserva el orden lexicográfico no estricto de derecha a izquierda, por lo que πn (c (0)) ≤ πn (c ( -1)) ≤ πn (c (-2)) ≤ .... Por tanto, la secuencia πn (c (-metro)), para m ≥ 0, es una secuencia monótona no decreciente en el conjunto finito n. Por lo tanto, la secuencia debe ser eventualmente constante; para m lo suficientemente grande, debemos tener πn (c (-metro)) = πn (c (-(metro+yo))) para todo i ≥ 0. Se deduce que los n + 1 elementos más a la derecha de c ( -metro) será constante para lo suficientemente grande m. Dado que esto es cierto para n arbitrario, ahora podemos definir una secuencia límite por ck = limm→ ∞(C(-metro)) k. Siempre se alcanza el límite puntual.

Ahora fije k ≤ 0. Entonces, si tomamos m ≥ | k | para ser lo suficientemente grande, tendremos ci = ci (-metro) siempre que k ∗ ≤ i ≤ 0. Dado que c (-metro) satisface Fyo(ci(-−nmetroyo), ..., ci(-−1metro)) = ci(−m) para −m ≤ i ≤ 0, se sigue tomando m suficientemente grande que: Fyo(Cyo−ni, ... , Cyo−1) = cyo para k ≤ i ≤ 0. Y esto completa la demostración.

6 La máquina del axioma de elección 1. Introducción menos técnica Considere un conjunto S cuyos miembros son conjuntos no vacíos. Por ejemplo, tome el set S = {{1, 2}, {1, 4}, {−3, 4, 5, 111}, {0}}. Entonces debería ser posible "elegir" un miembro de cada conjunto en S. Más precisamente, debería haber una función f definida en S que dado un miembro A de S seleccione un miembro f (A) de A. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, podríamos establecer f ({1, 2}) = 2, f ({1, 4}) = 4, f ({−3, 4, 5, 111}) = 111, y f ({0}) = 0. Esta elección se hizo mediante una regla: para cada miembro de S, elija el miembro más grande de ese miembro. Pero hay muchas otras formas de elegir un miembro de cada miembro de S, y algunas de ellas no tienen una regla brevemente descriptiva como la anterior. El axioma de elección (AC) dice que para cualquier conjunto S cuyos miembros son conjuntos no vacíos, hay una "función de elección" que para cada miembro A de S "elige" un miembro f (A) de A. Esto es obviamente cierto en muchos casos. Por ejemplo, si cada miembro A de S es un conjunto de enteros positivos, podríamos dejar que f (A) sea el miembro más pequeño de A (también hay otras opciones). Si cada miembro A de S es un conjunto de números enteros, podríamos dejar que f (A) sea el miembro de A más cercano a 0, con vínculos entre −xyx rotos a favor del número positivo (o negativo) (de nuevo, hay muchas opciones). Si cada miembro S es un intervalo de la forma (a, b) con a
∗ Se usa inducción matemática sobre el número de miembros de S.

el axioma de la máquina de elección

(dos opciones en el primer miembro de la lista, es decir, en {1, 2}; dos opciones en el segundo; cuatro en el tercero; y sólo una opción en el último). Si tuviéramos que agregar más miembros a S, intuitivamente solo aumentaríamos el número de funciones de elección, dándonos más opciones. No obstante, esta intuición va más allá de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Paul Cohen demostró de manera famosa que si los otros axiomas de la teoría de conjuntos son consistentes, entonces AC no puede probarse a partir de ellos, mientras que el anterior Kurt Gödel demostró que si los otros axiomas son consistentes, entonces AC no puede refutarse sobre su base (ver Jech 1973).75 Sin embargo, existen dos tipos de razones para sospechar de AC. Primero, uno podría tener una visión filosófica de las funciones como algo así como reglas para el mapeo y, por lo tanto, pensar que las funciones deberían ser, en cierto sentido, describibles o construibles. Si uno tiene tal punto de vista, entonces en los casos en los que podemos dar una regla explícita para la función de elección, como en el ejemplo donde tenemos un conjunto de conjuntos de enteros positivos y especificamos que siempre elegimos el miembro más pequeño, uno será esté feliz de admitir que hay una función de elección. Pero cuando no se puede dar tal descripción, uno pensará que no hay función de elección. En segundo lugar, existen algunas paradojas que se pueden probar con CA. La más famosa de ellas es la paradoja de Banach-Tarski (Wagon 1994), que dice que una bola matemática sólida puede descomponerse en cinco subconjuntos que se pueden mover y rotar para formar dos bolas sólidas del mismo radio que la original. En el capítulo 5 consideramos otra paradoja, a saber, que al emplear AC podemos llegar a un procedimiento de adivinación que aprovecha infinitas tiradas anteriores para hacer finito el número de errores. La mayoría de los matemáticos que trabajan dejan de lado esas preocupaciones y están felices de usar AC en sus matemáticas, y muchos teoremas matemáticos fundamentales y no controvertidos fuera de la teoría de conjuntos se prueban usando AC. En este capítulo, daré una exposición más precisa de algunas de las paradojas matemáticas de AC y mostraré que dependen de una versión más débil de AC, el axioma de elección para conjuntos contables de reales (ACCR). A continuación, argumentaré que ACCR es realmente cierto. El argumento dependerá de la posibilidad de un multiverso infinito, que viola el finitismo pero es compatible con el finitismo causal, así como de consideraciones de procesos estocásticos 75∗ Si los axiomas son inconsistentes, entonces AC se puede probar y refutar a partir de ellos. Y según el teorema de incompletitud de Gödel, si son consistentes, entonces no se puede probar que sean consistentes.

causalmente independientes. Luego argumentaré que si uno puede calcular causalmente los valores de una función de elección a través de una “Máquina ACCR”, entonces podemos hacer paradojas de racionalidad convincentes a partir de las paradojas de AC. Por ejemplo, mostraré que en escenarios de lanzamiento de monedas, dadas las suposiciones plausibles de simetría, se puede generar un Libro en holandés usando ACCR mediante un razonamiento paralelo a la paradoja de Banach-Tarski. Finalmente, argumentaré que si el infinitismo causal es cierto, uno debería poder construir una máquina ACCR para cada situación en la que se necesita calcular una función de elección ∗ el axioma de elección para colecciones contables de reales

por una de nuestras paradojas. Por tanto, tenemos un argumento de forma familiar: si se cumple el infinitismo causal, entonces puede haber Máquinas ACCR; si puede haber Máquinas ACCR, resultan múltiples paradojas; entonces, el infinitismo causal es falso. Además, la máquina ACCR llena un vacío en nuestra construcción de una lotería justa contable infinita en el Capítulo 4, Sección 3.4 y la paradoja de adivinar el dado en el Capítulo 5, Sección 2. Existe una similitud estructural entre la posición que defiendo sobre la ACCR y la posición que defiendo en el libro frente al infinitismo. El infinitismo es cierto: es posible tener un número infinito de objetos. Pero el infinitismo causal es falso. De manera similar, ACCR (y muy probablemente AC completo) es cierto pero no puede ser causal: una máquina ACCR es imposible. Ahora pasemos a los tecnicismos, que el lector sin mentalidad técnica puede omitir.

2. ∗ El axioma de elección para colecciones contables de reales La versión de AC que me interesará dice que si S es un conjunto de conjuntos disjuntos por pares no vacíos (es decir, si A = B son miembros de S, entonces A ∩ B = ∅ ) tal que cada miembro de S es un conjunto contable de números reales, entonces S tiene una función de elección. A esto lo llamaré “ACCR” (AC para Cobros Contables de Reales). ACCR incluye varias restricciones sobre el aire acondicionado completo. Primero, cada miembro de S debe ser contable: no se requieren elecciones entre incontables alternativas. En segundo lugar, cada miembro de S es un conjunto de números reales. En tercer lugar, los conjuntos están separados por pares.

el axioma de la máquina de elección Si ACCR es verdadero, entonces cualquier conjunto S que satisfaga las condiciones de ACCR tiene cardinalidad como máximo c, la cardinalidad del continuo, es decir, c = R. Porque si ACCR es verdadero, entonces una función de elección para S proporciona un mapa uno a uno de S a (un subconjunto de) los reales. Este hecho será importante para la construcción de una máquina Choice o, más precisamente, una máquina ACCR. Se obtiene una reformulación equivalente de ACCR si se reemplazan números reales en el enunciado de ACCR con miembros de cualquier otro conjunto que pueda probarse en ZF (sin elección, por supuesto) que tienen la misma cardinalidad que el conjunto de los reales. Porque si siempre tenemos una función de elección para subconjuntos contables no vacíos por pares disjuntos de R, entonces dada una colección A de subconjuntos contables no vacíos por pares disjuntos de S, donde S = R, podemos dejar que ψ sea uno- función a uno de S sobre R ("sobre" significa que cada elemento de R es el resultado de aplicar ψ a algún miembro de S), y luego considere la colección no vacía por pares-disjunta de subconjuntos contables de R dada por UNA = {ψ [U]: U ∈ A}, donde ψ [U] = {ψ (x): x ∈ U}. Por ACCR hay una función de elección f para A. Es fácil comprobar que luego podemos definir una función de elección f para A dejando f (U) = f (ψ [U]). Por tanto, el axioma de elección para subconjuntos numerables no vacíos por pares-disjuntos de R implica uno para tales subconjuntos de S; lo contrario se demuestra de manera similar.

Por ejemplo, se obtiene una formulación equivalente si se reemplaza el conjunto de números reales con cualquier intervalo fijo no degenerado de números reales, digamos [0, 1), ya que se puede demostrar que cualquier intervalo no degenerado tiene la misma cardinalidad que el conjunto de reales.3 Asimismo, se pueden reemplazar números reales por miembros del conjunto 2ω de todas las secuencias cero-uno numerables infinitas (o, si se prefiere, cara / cruz), ya que como es bien sabido 2ω = c, 4 así como por los miembros de el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω de todos los resultados infinitos contables de una tirada de dado, ya que ese conjunto tiene la misma cardinalidad (se puede codificar una tirada de dado como una secuencia de tres dígitos binarios). Ahora esbozaré tres paradojas conocidas de AC y observaré que solo requieren ACCR.

3. ∗ Paradojas de ACCR 3.1 Juegos de adivinanzas En el Capítulo 4, Sección 2.4, di una construcción paradójica que se remonta a una idea de Gabay y O'Connor que muestra que dada una secuencia infinita hacia atrás (y solo hacia atrás) de tiradas de dados, uno puede fabricar una estrategia que garantice que permite que uno adivine tiradas de dado con sólo un número finito de errores. La estrategia aplica el axioma de elección a una cierta colección de conjuntos de secuencias infinitas contables de tiradas. Estos conjuntos son clases de equivalencia bajo la relación ∼ de diferir solo en un número finito de lugares. Cada clase de equivalencia tiene solo un número numerable de miembros, ya que dada una secuencia única, solo hay muchas secuencias numerables que se diferencian de ella en un número finito de lugares.5 Por lo tanto, la paradoja incorporada en la estrategia solo involucra a ACCR.

3.2 Conjuntos no medibles Es famoso que, dada la CA, es posible probar que hay un subconjunto no medible de la línea real, un subconjunto que no tiene una "longitud" definible. Una función μ es una medida en un conjunto U 3

Por ejemplo, la función tan (π (x - 1/2)) es una función uno a uno de (0, 1) a R. Por lo tanto

(0, 1) = R. Por lo tanto

=. Se sigue del teorema de Schröder-Bernstein

(Lang 2002, p. 885), que no requiere Elección, que R = [0, 1). 4 Cualquier número real en [0, 1) se puede escribir únicamente como 0.x1x2x3 ... en el sistema decimal, sujeto a la convención de que preferimos una cadena infinita de ceros finales a una cadena infinita de nueves finales. Por lo tanto, cualquier número real define un miembro único de 2ω, es decir, la secuencia cuyo n-ésimo elemento es 1 si xn es impar y es 0 si xn es par. Por lo tanto, . Por el contrario, cualquier secuencia x1, x2, ... de ceros y unos define un número decimal diferente 0.x1x2x3 ... (la única vez que dos secuencias de dígitos diferentes pueden definir el mismo número decimal es si una de ellas termina con una cadena de nueves finales, y eso no sucede aquí), así que

. Por Schröder – Bernstein, 2ω = [0, 1) = c. Podemos demostrar que la clase de equivalencia [N de la siguiente manera. Para dos números cualesquiera aα y] de una secuenciab en {1, 2, 3, 4, 5, α = 6}, sea (... φ (, aa -,2segundo,) abe el miembro único−1, a0) tiene el mismo cardinalidad como de {0, 1, 2, 3, 4, 5} igual a a - b módulo seis. Para cualquier β = (..., b−2, b−1, b0) ∈ α, sea

β

∗ sea

el

número cuya representación en base seis está al frente). A la inversa, para cualquier número natural ... φ (a−2, b−2norte) φ (, habrá una membera única−1, b−1) φ (a0, b0) (habrá infinitos cerosβ de [α] tales que β∗=norte.

el axioma de la máquina de elección Por tanto, tenemos una biyección entre [α] y N. ∗ paradojas de accr

siempre que esté definido en un σ-álgebra de subconjuntos de U (es decir, un conjunto F de subconjuntos de U que está cerrado bajo complementos y uniones contables) y satisface los axiomas: (i) 0 ≤ μ (A) (ii) μ (A1 ∪ A2 ∪ ...) = μ (A1) + μ (A2) + ... para cualquier secuencia disjunta por pares contable A1, A2, .... Para que una medida μ de los reales R sea una "longitud", necesitamos dos restricciones más. Primero, μ se define en todos los intervalos y μ ([a, b]) = b - a si a ≤ b, y segundo, tenemos invariancia de traslación: μ (x + A) = A para cualquier conjunto A para el cual μ es definida y cualquier x real, donde x + A = {x + y: y ∈ A}. Es fácil comprobar que la prueba estándar mediante la cual se construyen conjuntos no medibles como conjuntos Vitali (Rudin 1987, págs. 53-4) solo aplica AC a un conjunto que satisface las condiciones para ACCR. Esa prueba muestra que hay un subconjunto de R, e incluso un subconjunto de [0, 1], que no tiene longitud, si se supone que la longitud satisface las condiciones anteriores. Esto es en sí mismo algo paradójico. También tiene la consecuencia problemática de que si un dardo se dispara de manera uniforme y aleatoria en un intervalo [0, 1], entonces hay un subconjunto de ese intervalo tal que no hay una probabilidad significativa de que el dardo caiga en ese subconjunto, si es necesario probabilidad de ser una medida aditiva contable, como se hace de manera estándar (y con una buena razón: ver Easwaran 2013).

3.3 Paradoja de Banach-Tarski Los subconjuntos de reales sin longitud son suficientemente malos. Pero todavía hay cosas más paradójicas. La paradoja de Banach-Tarski establece que si B es una bola (sólida) en el espacio tridimensional R3, entonces B se puede descomponer en cinco subconjuntos que se pueden volver a ensamblar en dos bolas del mismo tamaño que B. Más precisamente, hay cinco conjuntos separados por pares B1, ..., B5 de puntos en R3 tales que B = B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 ∪ B5, y movimientos rígidos (combinaciones de rotaciones y traslaciones) g2, g3, g4 y g5 tales que B es igual a B1 ∪ g2B2 , con

B1 y g2B2 disjuntos, y g3B3 ∪ g4B4 ∪ g5B5 es una copia disjunta de B, con g3B3, g4B4 y g5B5 también disjuntos.76 Aquí sería bueno incluir una imagen de la descomposición. Pero no se puede hacer. La descomposición necesariamente tiene que involucrar conjuntos no medibles "desordenados" que no se pueden dibujar. Una descomposición en conjuntos mensurables tendría que preservar el volumen total, y es precisamente el punto de la paradoja que se puede duplicar el volumen. La prueba de la paradoja de Banach-Tarski usa AC. Pero si examinamos cuidadosamente la demostración en Wagon (1994), podemos ver que la demostración solo necesita ACCR, ya que solo aplica AC a una cierta colección de subconjuntos contables disjuntos de una bola, y una bola tiene la misma cardinalidad que la real. números.7

4. ∗ Un argumento a favor de ACCR A pesar de las paradojas, hay buenas razones para pensar que la ACCR es cierta. Lo que necesito argumentar es que si S es un conjunto de conjuntos contables disjuntos por pares de (0, 1) (que tiene la misma cardinalidad que R), entonces hay una función f en S tal que f (A) ∈ A para todo A ∈ S. Para evitar la trivialidad, suponga que S = ∅ . Imagine ahora un multiverso que consta de universos islas, uno por miembro de S. Suponga que una partícula ψ es una partícula con la siguiente propiedad. Una vez que surge, vive durante un período de tiempo aleatorio cuya duración se distribuye uniformemente en el intervalo (0, 1). Justo cuando muere, genera una nueva partícula ψ (tal vez se distingue de la partícula madre por una carga o giro diferente) con su propia vida útil aleatoria independiente. Además, en cada universo insular, una sola partícula ψ aparece al comienzo del tiempo, y cada universo insular tiene una secuencia de tiempo futuro infinita. En cualquier momento hay como máximo una partícula ψ en cualquier universo insular, y cualquier partícula ψ se generó a partir de una secuencia de partículas ψ que se originan en la primera. Finalmente, Para cualquier universo insular, deja ψ(u) sea el conjunto de longitudes de vida de las partículas ψ en u. Para un conjunto A de números en (0, 1), decimos que un universo insular u coincide con A siempre que ψ(u) = A.

76Para una historia y una cuenta popular, vea Wapner (2007). Para una excelente descripción de las matemáticas de la paradoja y cuestiones relacionadas, véase Wagon (1994).

Cantor-Schröder-Bernstein, es suficiente para demostrar que7 Claramente c ≤ B si B es una bola, ya que una bola contiene un segmento de línea. Además, R3 tiene cardinalidad c. Pero R3 tiene la misma cardinalidadB. Entonces por

el axioma de la máquina de elección Ahora afirmo que, dadas las suposiciones anteriores: (1) Lo siguiente es metafísicamente posible: para cada miembro A de S existe exactamente un universo insular u coincidente. Dado (1), existe un argumento para la existencia de una función de elección. En primer lugar, observe que se sostiene ampliamente que los objetos puramente matemáticos no pueden existir meramente de manera contingente, y las funciones de elección para colecciones de conjuntos de números reales son puramente matemáticas. 77 Por tanto, si pudiéramos demostrar que es posible que exista una función de elección para S, se deducirá que existe realmente una función de elección para S. Ahora, suponga que estamos en un multiverso que satisface la condición en (1). Entonces, para cualquier A ∈ S, podemos definir f (A) como sigue. Hay un universo de islas único a juego u. Entonces sea f (A) la duración de la vida de la primera partícula ψ en u. Entonces f

UNA, por lo que tenemos una función de

elección. Por tanto, si el escenario que (1) afirma ser posible fuera real, habría una función de elección. Dado que el escenario es posible, en realidad existe una función de elección. como (2ω) 3, ya que R tiene la misma cardinalidad que 2ω. Pero hay un mapa uno a uno fácil de (2ω) 3 a todos los 2ω: simplemente deje f ((a1, a2, ...), (b1, b2, ...), (c1, c2, ...)) = (a1, b1, c1, a2, b2, c2, ...). ∗ un argumento a favor de la acumulación

Por lo tanto, para defender la ACCR, queda defender (1). Para hacer eso, quiero basarme en el siguiente principio: (2) Suponga que Pi son procesos estocásticos físicos causalmente independientes para cada valor de i en algún conjunto de índices matemáticos I, y cada Pi genera una salida que puede cuantificarse como un objeto matemático (digamos, una secuencia de números que cuantifica alguna cantidad física ). Sea "Xi" una abreviatura de "la cuantificación matemática de la salida de Pi". Suponga que para cada i, Qi (x) es una fórmula matemática sin variables libres además de i y x. Entonces si tenemos , también tenemos ∀ i ∈ I (Qi (Xi)), 77Los filósofos también piensan ampliamente que hay conjuntos que no son puramente matemáticos y que tienen seres contingentes como miembros. Estos conjuntos pueden existir en algunos mundos pero no en otros.

donde el diamante indica posibilidad causal, y ∀ x ∈ A (F (x)) abrevia ∀ x (x ∈ A → F (x)). Normalmente, intercambiar el orden de un operador de posibilidad y un cuantificador universal es una falacia. Por ejemplo, cada número natural n es tal que posiblemente existan exactamente n caballos, pero no podemos inferir de esto que posiblemente cada número natural n sea tal que existan exactamente n caballos. Pero lo que (2) afirma es que podemos intercambiar un operador de posibilidad causal y un cuantificador universal cuando hacemos afirmaciones sobre los resultados de procesos estocásticos físicos independientes. Por ejemplo, si se lanza una cantidad infinita de dados, entonces para cada n, es causalmente posible que el n-ésimo dado muestre el número 3. Y de la misma manera es causalmente posible que todos los dados muestren el número 3. De lo contrario, intuitivamente, Tendría que haber algún tipo de dependencia o coordinación entre los dados descartando que todos los dados muestren el número 3. De manera similar, para todo n es posible que el n-ésimo dado muestre uno más el resto después de dividir n por seis, e igualmente, por independencia, es causalmente posible que para todo n, el n-ésimo dado muestre uno más el resto después de dividir n por seis (es decir, que la secuencia de dados arroje 2, 3, 4, 5, 0, Tenga en cuenta que la restricción de que Qi (x) es una fórmula matemática evita que Qi (x) haga afirmaciones físicas sobre los resultados de los otros procesos físicos Pj, lo que permitiría contraejemplos. El sentido de independencia en este argumento es un sentido causal. Un ejemplo paradigmático de independencia de este tipo es donde los procesos estocásticos ocurren en aislamiento causal entre sí, digamos en universos insulares causalmente aislados. Normalmente, en la teoría de la probabilidad decimos que una colección finita de variables aleatorias X1, ..., Xn es independiente si y solo si para cada secuencia A1, ..., An de conjuntos medibles, PAG(X1 ∈ A1 & ... & Xn ∈ An) = P (X1 ∈ A1) ··· P (Xn ∈ An). Y luego decimos que una colección infinita de variables aleatorias es independiente si y solo si cada subcolección finita de ella es independiente. Se sabe que la caracterización probabilística es insuficiente para caracterizar la independencia genuina. Fitelson y Hájek (2017) argumentan que esta caracterización

cuando estamos tratando con eventos de probabilidad cero. Aquí hay un ejemplo de tal fracaso. Lanzo simultáneamente un número infinito de monedas. Estas monedas se comportan como las monedas justas independientes, con una excepción. Si todas las monedas menos la primera (en algún sistema de numeración) salen cara,

el axioma de la máquina de elección simultáneamente hacen que la primera moneda caiga cruz. (Sí, esto viola el finitismo causal, pero es solo una bomba de intuición). Lo único que perturba la independencia es esta intervención causal adicional. Pero esta intervención solo ocurre si los infinitos lanzamientos posteriores al primero van a ser cara, y la probabilidad de que eso suceda es cero. Entonces, la probabilidad de la perturbación es cero, y las modificaciones a los procesos que solo tienen una probabilidad de que ocurra cero no afectan los valores de ninguna probabilidad incondicional, y por lo tanto no afectan la independencia probabilística. Sin embargo, aunque tenemos independencia probabilística, claramente no tenemos independencia causal. En este ejemplo, tendríamos una violación de la conclusión de (2). Supongamos que los dos resultados de un lanzamiento de moneda se cuantifican como 0 (cruz) o 1 (cara), y que Qi (x) diga que x = 1. Entonces, para todo i, es causalmente posible que Qi (Xi), es decir, que el i-ésimo lanzamiento es cara, pero no es causalmente posible que para todo i tengamos Qi (Xi), es decir, que todas las monedas caigan cara. Y es precisamente la violación de la independencia causal la que resultó en la violación de (2). Es por eso que en (2) necesitamos independencia causal y no solo independencia probabilística. Ahora, dado (2), obtenemos (1). Porque sea g una función uno a uno de S a todos los universos de islas. Sea I = S. Entonces, para A ∈ S, sea XA la secuencia de tiempos de vida de las partículas ψ en el mundo f (A). Supongamos que QA (x) dice que x es una secuencia tal que el conjunto de sus elementos es igual a A. Por lo tanto, QA ((x1, x2, ...)) dice que {x1, x2, ...} = A. Ahora, cualquier conjunto contable de números en el intervalo (0, 1) puede ser el conjunto de vidas útiles de las partículas ψ en el universo insular g (A). Por lo tanto, QA (XA) es causalmente posible para cada A ∈ S. Por lo tanto, por (2), es causalmente posible que para todo A ∈ S tengamos QA (XA). Pero lo que es causalmente

posible

también

es

metafísicamente

posible.

Entonces,

es

metafísicamente posible que para todos A ∈ S tengamos QA (XA). Pero decir que QA (XA) es otra forma de decir que el universo insular f (A) coincide con A, por lo que tenemos (1) como deseamos, lo que completa nuestro argumento a favor de ACCR. El argumento anterior presupone que los conjuntos construidos a partir de números reales no pueden existir meramente de manera contingente y, por lo tanto, si pudiera existir una función de elección (las funciones son solo conjuntos de pares ordenados), entonces realmente existe una función de elección. Uno podría cuestionar esta suposición. Por ejemplo, quizás la metafísica correcta de los conjuntos sea aristotélica más que platónica y, por tanto, los únicos conjuntos que existen son los que pueden obtenerse por abstracción de las cosas realmente existentes (Pruss ms).

Según tal punto de vista, en el mundo donde (1) se cumple, existe una función de elección, pero puede que no exista en el mundo real. Si es así, el argumento de ACCR falla. Pero las paradojas que discutiremos que involucran a ACCR podrían ejecutarse en un mundo posible donde la función de elección requerida

el axioma de la máquina de elección

existe, y no sería menos paradójico. Por lo tanto, incluso si este argumento a favor de la ACCR falla de esta manera, esto no ayuda a escapar de la paradoja.

5. ∗ Una máquina de elección 5.1 Matemáticas extrañas y paradojas Cuando se le explicó la paradoja de Banach-Tarski, el célebre físico Feynman (1985, p. 85) dijo que no le molestaba porque la paradoja no podía funcionar para una naranja real. La paradoja depende esencialmente de una bola que es un continuo. Las naranjas, sin embargo, están hechas de un número finito de partículas discretas y, por tanto, no admiten un desmontaje paradójico. De manera análoga, nuestras otras paradojas de Elección no se realizan en nuestra realidad física. Sin embargo, las paradojas se vuelven apremiantes si presentan problemas de racionalidad, incluso cuando las situaciones a las que conciernen no son físicamente realizables dada la constitución real de nuestro mundo. La racionalidad como tal no debe estar ligada a un mundo en particular (cf. Capítulo 4, Sección 4.3). Ya he argumentado en el capítulo 4 que las estrategias de adivinar el dado de Gabay y O'Connor producen una paradoja de la racionalidad. ¿Qué pasa con las otras paradojas matemáticas? De hecho, no tenemos ninguna posibilidad de apostar en conjuntos de lanzamientos de dardos no medibles. Pero podríamos pensar que lo hacemos, y debería haber una respuesta sensata a la pregunta de cómo debemos actuar cuando lo hacemos, si tales situaciones son posibles. Si tales situaciones no son posibles, por otro lado, no debería sorprendernos si obtenemos respuestas que no parecen sensatas. Después de todo, en general, no deberíamos esperar una respuesta sensata a la pregunta de cómo debería apostar si cree en algo metafísicamente imposible. Después de todo, ¿cómo debería apostar a un lanzamiento de moneda si cree que la moneda tiene una probabilidad de 1,7 de caer cara y una probabilidad de -0,3 de caer cruz? La realizabilidad metafísicamente posible de situaciones de apuestas basadas en las paradojas es, por tanto, más un problema que los acertijos puramente matemáticos. Como acertijos puramente matemáticos, solo nos enseñan que la realidad matemática es extraña, lo que no debería sorprendernos mucho. El juego de adivinar los dados y el problema de la falta de medición se prestan directamente a los escenarios de apuestas. Pero es solo si podemos tener un proceso causal que encarne una función de elección que podemos realizar la estrategia paradójica en la paradoja de adivinar el dado, y solo si se puede hacer que una recompensa dependa de si un dardo aterriza en un lugar no -Conjunto medible que uno puede tener una paradoja de apuestas convincente. Pero para hacer eso, necesitamos algo así como una máquina de elección. El resultado de Banach-Tarski es una pieza matemática particularmente curiosa. Para que resulte convincente como una paradoja, podemos vincularlo a un escenario

∗ una máquina de elección

de apuestas. Suponga que un punto se elige al azar y de manera uniforme en una región cúbica del espacio, con cuatro especia distinguidas subregiones en forma de bola que consisten en bolas, cada una de las cuales tiene un volumen 1/100 del volumen del cubo completo. Una cartera de apuestas será una lista finita de regiones del espacio de resultados (la región cúbica del espacio) junto con la recompensa si el resultado se encuentra en la región dada. Suponga que es un agente racional. Entonces debería estar feliz de pagar un dólar por una cartera de apuestas donde: (i) paga $ 1000 si el punto está en la primera región en forma de bola, y (ii) obtienes $ 1200 si el punto está en la segunda región en forma de bola. (Figura 6.1.) Para su pago esperado es (1/100) · $ 1200 + (1/100) · (- $ 1000) - $ 1 = $ 1. El siguiente principio de reordenamiento es muy plausible en el caso de una selección aleatoria uniforme: (3) Si un agente racional está dispuesto a pagar x por una cartera de apuestas X, y la cartera de apuestas X difiere de X al reemplazar una de las regiones de resultado A en X por una región de resultado A que difiere de A solo por un movimiento rígido, con el mismo pago como lo tenía A, entonces el agente está feliz de pagar x por X.

el axioma de la máquina de elección Figura 6.1 La cartera de apuestas (i) - (ii) por la que debería estar feliz de pagar un dólar. El volumen de cada esfera es 1/100 del del cubo.

También tenemos este principio de equivalencia indiscutible: (4) Si un agente racional está feliz de pagar x por una cartera de apuestas X, y la cartera de apuestas X es equivalente a X en el sentido de que tiene el mismo pago total en cada punto del espacio de resultados, entonces el agente está feliz de pagar x para X. Por ejemplo, una forma de obtener una cartera equivalente es tomar alguna región R en X que tenga un pago y, y reemplazarla por una lista de regiones R1, ..., Rn, cada una con un pago y, donde Ri son disjuntos y R = R1 ∪ ... ∪ Rn.78 Suponga que B1, ..., B5 son cinco subconjuntos de la primera región con forma de bola que pueden reorganizarse en dos bolas del mismo tamaño, según el teorema de Banach-Tarski. Para (4), si estaba feliz de pagar $ 1 por nuestro escenario inicial, estará feliz de pagar $ 1 por una cartera equivalente donde en lugar de tener que pagar $ 1000 por un resultado en la primera bola, tendrá que pagar $ 1000 por un resultado en cada una de las regiones B1, ..., B5. Pero ahora podemos formar una serie de carteras de apuestas donde las regiones B1, ..., B5 se mueven rígidamente, una a una, de tal manera que al final llenan disjuntamente la tercera

78Se podría decir que las carteras no son simplemente equivalentes, sino que son la misma cartera. Sin embargo, si pensamos en las carteras como funciones desde conjuntos de regiones hasta pagos, técnicamente las dos carteras son diferentes, aunque prescriben los mismos pagos respectivos en todas las circunstancias posibles.

∗ una máquina de elección

Figura 6.2 La cartera de apuestas (i) - (ii) por la que debería estar feliz de pagar un dólar si el argumento funciona.

y cuartos regiones en forma de bola. Mientras los pagos no cambien, en (3) todavía estará dispuesto a pagar un dólar por la cartera. El resultado será equivalente a pagar un dólar por esta cartera: (i) paga $ 1000 si el punto está en la tercera o cuarta región en forma de bola, (ii) obtiene $ 1200 si el punto está en la segunda región con forma de bola. (Figura 6.2.) Entonces, para (4), estará feliz de pagar un dólar por esta cartera. Esto significa que está feliz de pagar $ 1 por una cartera cuyo pago esperado es (1/100) · $ 1200 + (2/100) · - $ 1000 = - $ 8. Eso es absurdo. Si uno lo desea, puede fabricar un libro holandés utilizando este método, un conjunto de carteras de apuestas, cada una de las cuales sería racional en aceptar, pero donde seguramente perderá cada vez. Por ejemplo, seguramente también aceptaría gratis este escenario: (i) obtiene $ 900 si el punto está en la primera, tercera o cuarta región en forma de bola, (ii) paga $ 2500 si el punto está en la segunda región con forma de bola. (Figura 6.3.)

el axioma de la máquina de elección La recompensa para este escenario es (3/100) · $ 900 + (1/100) · - $ 2500 = $ 2. Pero ahora tenemos tres escenarios que aceptaría racionalmente: (i) - (ii) por un dólar, (i) - (ii) por un dólar y (i) - (ii) gratis. Si acepta los tres, entonces en la primera región en forma de bola, obtendrá $ 900 - $ 1000 - $ 2 = - $ 102, en el segundo $ 1200 + $ 1200 - $ 2500 - $ 2 = - $ 102, en el tercero y cuarto $ 900 - $ 1000 - $ 2 = - $ 102,

Figura 6.3 La cartera de apuestas (i) - (ii) que debería aceptar de forma gratuita.

y en cualquier otro lugar pagaría dos dólares sin premio. Como resultado, pase lo que pase, perderá al menos dos dólares. Si pudiéramos implementar escenarios de apuestas reales basados en nuestras extrañas historias matemáticas, de hecho obtendríamos paradojas para la racionalidad. Pero esto requiere una forma de implementar pagos basados en si los resultados caen en un conjunto "generado" con el axioma de elección. Y parece que necesitamos una máquina de elección para implementar tales recompensas.

5.2 Monedas y libros holandeses Quizás no le impresione tanto la versión de apuestas de la paradoja de Banach-Tarski, porque no cree que haya formas de elegir puntos de manera genuina y uniforme en el espacio tridimensional de una manera que sea invariable bajo movimientos rígidos. Si es así, también puedo dar una paradoja que implica lanzar una moneda al aire. Considere el espacio de secuencias numerables infinitas de caras y cruces, correspondientes a los resultados de lanzar un número infinito de monedas

∗ una máquina de elección

independientes, justas e indeterministas. Las monedas son todas iguales, por lo que nuestro razonamiento sobre los lanzamientos de monedas debe ser invariable bajo permutaciones de monedas. Más precisamente, suponga que π es cualquier permutación de los números naturales N, y defina π ∗ ((α0, α1, ...)) = (απ (0), απ (1), ...). Para un subconjunto A de, como de costumbre, sea π ∗ A = {π ∗ (α): α ∈ A}. Por tanto, deberíamos ser indiferentes entre escenarios de apuestas equivalentes bajo π ∗ para cualquier permutación π de N.79 La invariancia de lo que es racional predecir sobre los resultados de los lanzamientos de monedas bajo permutaciones de monedas es fundamental para la idea intuitiva de que los lanzamientos de monedas son independientes y justos. Pero resulta que tiene algo así como una descomposición paradójica por razones matemáticas que están estrechamente relacionadas con la paradoja de Banach-Tarski. Para ser más precisos, hay un subconjunto D de con la propiedad de que P (D) = 0, es decir, hay probabilidad cero 80 que la secuencia de lanzamientos de monedas aterriza dentro de D, y subconjuntos disjuntos A1, A2, A3, A4 de - D (donde A - B = {x ∈ A: x ∈ / B}) tal que - D = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 y existen permutaciones ρ y τ de los números naturales tales que: ρ ∗ A2 = A2 ∪ A3 ∪ A4 y τ ∗ A4 = A1 ∪ A2 ∪ A4 La prueba usa ACCR y se bosquejará en el Apéndice de este capítulo.

De lo anterior se deduce que: - D = A1 ∪ ρ ∗ A2 y - D = A3 ∪ τ ∗ A4.

79O quizás podamos tener preferencias infinitesimales entre ellos, es decir, si estamos tratando con pagos finitos limitados, podríamos estar dispuestos a pagar infinitesimalmente más por uno que por otro. Por ejemplo, tal vez deberíamos pensar que es infinitesimalmente menos probable que todas las monedas con números pares caigan cara que si todas las monedas con números primos cayeran cara (aunque ver Williamson 2007), aunque hay una permutación π que mapeará un conjunto de resultados para el otro. Sin embargo, tales preferencias infinitesimales no afectarán el Libro holandés que construiré, ya que se basa en diferencias no infinitesimales. 80 Si uno prefiere una configuración no clásica para la teoría de la probabilidad donde todas las opciones obtienen una probabilidad distinta de cero, podemos tomar P (D) como infinitesimal y hacer revisiones menores al resto del argumento.

el axioma de la máquina de elección Ahora considere este principio de apuestas muy plausible para juegos basados en una secuencia infinita numerable de lanzamientos de monedas independientes, justos e indeterministas, un principio análogo a (3): (5) Si un agente racional está dispuesto a pagar x por una cartera de apuestas X, y la cartera de apuestas X difiere de X al reemplazar una de las regiones de resultado A en X por una región de resultado π ∗ A para alguna permutación π, con la misma pago como lo tenía A, entonces el agente está feliz de pagar x por X.81 Permutar las monedas por π no debería hacer una diferencia en una cartera de apuestas. En el caso de permutaciones que se mueven alrededor de un número finito de monedas, (5) corresponde a la propiedad de intercambiabilidad de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Por ejemplo, dada una colección de diez monedas, la probabilidad de que haya exactamente tres caras entre las monedas 1, 2, 3 y 4 es la misma que la probabilidad de que haya exactamente tres caras entre las monedas 4, 5, 6, y 7, existiendo una permutación de las monedas que intercambia 1, 2, 3 y 4 por 4, 5, 6 y 7, respectivamente. En (5) esto se extiende a infinitas permutaciones y se formula en términos de apuestas en lugar de probabilidad. Ahora, un agente racional pagaría $ 1.00 por una cartera en la que gana $ 1.25 si la secuencia de resultados cae en - D. Después de todo, la probabilidad de que la secuencia no encaje en - D es cero, por lo que es casi seguro que obtendrá $ 0.25 por juego. Aplicando (5) y la descomposición −D = A1∪ ρ ∗ A2 (sea π = ρ − 1 y A = ρ ∗ A2 en el contexto de (5)), concluimos que el agente también pagaría $ 1.00 por una cartera donde ella gana $ 1.25 si los resultados caen en A1 ∪ A2. Y aplicando (5) y la descomposición - D = A3 ∪ τ ∗ A4 (sea π = τ − 1 y A = τ ∗ A4) nos permite concluir que ella pagaría $ 1.00 para jugar un juego en el que gana $ 1.25 si los resultados caen en A3 ∪ A4. Pero si juega ambos juegos, entonces pagará $ 2.00 por juego. Si los lanzamientos caen en A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ella ganará $ 1.25; si caen en D, ella no ganará nada. Entonces, en general, perderá al menos $ 0.75 por juego. Por lo tanto, está sujeta a un libro holandés.

5.3 Cómo construir una máquina de elección

81Podemos estipular además, si lo deseamos, que la felicidad en ambos casos no es infinitesimal, es decir, que el agente considera que los escenarios tienen un valor no infinitesimalmente positivo. Cf. nota 10, arriba.

∗ una máquina de elección

El método más simple de generar una Máquina de Elección es colocar un ángel en el escenario del multiverso descrito en la Sección 4, un ser no limitado por la física que observa todos los universos insulares (aquí es donde estará involucrado el infinitismo causal) y puede leer valores de la función de elección a partir de las distribuciones de la vida útil de las partículas ψ en ese universo.

Supuse tales seres en argumentos anteriores, pero en esos argumentos era más fácil ver cómo mecanizar la situación. Por ejemplo, en el Capítulo 5, consideré los ángeles que pueden anunciar si ocurrió un número infinito de algún tipo de evento. No es tan difícil imaginar una mecanización de eso. Por ejemplo, podríamos suponer un detector para ese tipo de evento que desplaza una aguja indicadora dieciséis grados la primera vez que detecta el evento, ocho grados la próxima vez, cuatro la próxima vez, y así sucesivamente. (Esto se puede hacer en una supertarea según sea necesario.) Suponiendo una física continua, se han producido infinitos eventos del tipo dado si y solo si la aguja indicadora se ha movido treinta y dos grados completos (32 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + ...). Será un ejercicio útil para ver si uno puede imaginar algo que pueda contar como un proceso físico, incluso si está sujeto a leyes de la naturaleza distintas de las nuestras, que implemente una función de elección. Si podemos hacer eso, nuestros argumentos basados en ACCR desde el infinitismo causal hasta las paradojas se fortalecen.

5.3.2.1 Fabricación de la máquina Sin duda, es posible un espacio tridimensional. Pero una versión de la teoría de cuerdas postula un espacio-tiempo de once dimensiones: diez dimensiones espaciales y una dimensión temporal. Sería sorprendente que el espacio tridimensional fuera posible pero uno de diez dimensiones no lo fuera y, a la inversa, si uno de diez dimensiones fuera posible, pero uno tridimensional no lo fuera. . De manera más general, considero que tenemos buenas razones para pensar que por cada entero positivo n, es posible que el espacio tenga dimensión n. En particular, es posible tener un espacio de cuatro dimensiones. Hay un pequeño problema aquí. Quizás la propiedad de la espacialidad esté estrechamente relacionada con las leyes de la naturaleza que realmente tenemos. Einstein (2015, p. 176), por ejemplo, especuló que el espacio-tiempo es "una cualidad estructural" del campo gravitacional. Pero, de manera plausible, un campo gravitacional es algo que no podría existir con leyes de la naturaleza distintas a las nuestras, así como es esencial para el agua que una molécula de agua esté compuesta de exactamente tres átomos. Por supuesto, es metafísicamente posible tener agua ∗ , una sustancia diferente al agua con un comportamiento macroscópico muy similar pero un número diferente de átomos por molécula, y sería posible tener un campo gravitacional ∗ que se comporte de manera similar a un campo gravitacional pero no es un campo gravitacional. Si esto es correcto, y si el espacio-tiempo es idéntico al campo gravitacional, y si el espacio está necesariamente ligado al espacio-tiempo, entonces puede que no sea posible tener una dimensionalidad del espacio diferente a

el axioma de la máquina de elección la nuestra. Pero en ese caso, seguramente sería posible tener “espacio ∗ ”, algo con una dimensionalidad diferente al espacio pero análogo al espacio en su rol en la realidad física. Para evitar el desorden y porque la sugerencia anterior no me convence de que el espacio tiene esencialmente la cantidad de dimensiones que tiene, 82 Omitiré el asterisco y simplemente diré que el espacio de cuatro dimensiones es posible.

Asumir el infinitismo causal y trabajar en un mundo con un espacio-tiempo continuo de cinco dimensiones, es decir, cuatro dimensiones espaciales y una dimensión temporal, y todas las dimensiones cuantificables mediante números reales. Suponga que S es una colección de conjuntos contables disjuntos por pares de números reales en el intervalo (0, 1); todas las demás situaciones de elección pueden reducirse a esto mediante una biyección apropiada. En la Sección 4 ya se argumentó que ACCR es cierto. Esto tiene una consecuencia útil: la cardinalidad de S es menor o igual que la del continuo. Porque existe una función de elección para S, y esta será una función uno a uno de S a (0, 1). Si la cardinalidad de S es menor o igual que la del continuo, podemos encajar en nuestro universo una máquina tridimensional para cada miembro de S, simplemente colocando las máquinas en diferentes hiperplanos tridimensionales en el espacio de cuatro dimensiones. . Imagínese un grupo de infinitas máquinas tridimensionales, que serán partes de la máquina de cuatro dimensiones completa, con una máquina tridimensional para cada miembro de S. Llamaré a cada una de estas máquinas una "rebanada". Cada rebanada consiste en una cadena infinita de submáquinas finitas, que llamaré "bloques", dispuestos en una secuencia con un primer bloque (el "bloque principal", lo llamaré), un segundo, y así sucesivamente (Fig. 6.4). Cada uno de los bloques tiene una perilla donde se puede establecer cualquier número en (0, 1). Los bloques también tienen cada uno dos entradas cableadas, α y β, y dos salidas cableadas, γ y δ, cada una capaz de recibir o transmitir una codificación de un número en (0, 1), digamos, una codificación en algún análogo de una eléctrica. pulso de una longitud proporcional a ese número. Finalmente, cada bloque tiene una salida inalámbrica capaz de omnidireccionalmente, a lo largo de las cuatro dimensiones, Cada bloque tiene las siguientes propiedades funcionales: (i) Cuando entra una señal de valor a a través de la entrada cableada α, si a es igual al ajuste de la perilla en el bloque, entonces la señal se transmite a través de la salida δ; de lo contrario, se retransmite a través de γ. (ii) Cuando entra una señal a través de la entrada cableada β, se emite una señal inalámbrica de valor igual al ajuste de la perilla del bloque.

82 Prefiero la visión de que el espacio se entiende funcionalmente, y un mundo con otras leyes pero donde algunos determinables juegan un papel suficientemente similar al que juega la ubicación en nuestro mundo es un mundo con espacio.

∗ una máquina de elección

Figura 6.4 Un trozo de Choice Machine.

Además, supongo que la entrada cableada β es capaz de conectarse a un número infinito de salidas, y cuando una señal proviene de cualquiera de ellas, se activa la señal inalámbrica. Los bloques están cableados en cada segmento de la siguiente manera para cada n: (iii) La salida γ del bloque n está conectada a la entrada α del bloque n + 1. (iv) La salida δ del bloque n está conectada a la entrada β del bloque 1. Luego, un cable (que llega a la cuarta dimensión) conecta las entradas α del bloque 1 en cada uno de los cortes a la entrada global de la máquina. La máquina de cuatro dimensiones funciona de la siguiente manera. Se envía una entrada global a la entrada α del bloque principal de cada segmento. En cada segmento, la entrada se transmite a lo largo de la secuencia de bloques hasta que encuentra una configuración de perilla coincidente, si la hay. Si es así, se envía una señal al bloque principal en el segmento, que luego emite su ajuste de perilla de forma inalámbrica. Ahora decimos que la máquina de cuatro dimensiones completa coincide con el conjunto S para el que queremos una función de elección, siempre que (a) no haya dos perillas configuradas con el mismo valor en la máquina, y (b) haya una función de uno a un mapa f de S a todos los cortes de la máquina, de modo que si A ∈ S, entonces el conjunto de valores de perilla en el segmento f (A) es igual al conjunto A. El razonamiento de independencia causal de la Sección 4 nos dice que es posible tener una máquina de este tipo que coincida con S. Todo lo que tenemos que hacer es suponer que los ajustes de los botones son aleatorios y causalmente independientes y que tuvimos la suerte de tener una coincidencia. Sin embargo, la aleatoriedad no es necesaria (consulte la Sección 5.3.5). 5.3.2.2 Uso de la máquina Ahora, si la máquina coincide con el conjunto S, entonces puede usarse para calcular los valores de una función de elección para S de la siguiente manera. Dado un miembro A de S, seleccione cualquier valor x en A. Envíe este valor a la entrada global de Choice Machine. Esta señal luego se propagará a las entradas α de todos los bloques principales y luego a las entradas α de otros bloques,

el axioma de la máquina de elección hasta que llegue a un bloque cuyo mando esté ajustado en x. Hay exactamente un bloque con una perilla configurada en x, y cuando la señal alcanza la entrada α de ese bloque, se dirige a la entrada β del bloque principal en el segmento correspondiente, que luego emite de forma inalámbrica su valor de perilla. El valor de este mando es el valor de la función de elección aplicada al conjunto A que contiene x. El conjunto de valores de la perilla para ese segmento será igual a A y, por lo tanto, el valor de la perilla del bloque principal será un miembro de A. Una complicación es esta. La máquina puede tardar mucho en responder, ya que la señal puede tardar mucho en propagarse a lo largo de los bloques del segmento relevante hasta el bloque cuyo valor de perilla coincide con la entrada. Como resultado, la máquina no se podrá utilizar para adivinar tiradas de dados secuenciales en la paradoja de Gabay-O'Connor, ya que no importa cuán corto sea el retardo de transmisión entre bloques, siempre y cuando no sea cero, no hay garantía de que una respuesta se obtendrá antes del siguiente rollo. Podemos solucionar este problema modificando la paradoja para suponer que tiene una cantidad de tiempo finita arbitrariamente larga para adivinar cada tirada antes de hacerla. Alternativamente, podemos acelerar la máquina, por ejemplo, asegurándonos de que el retardo de transmisión del bloque n al bloque n + 1 sea 1/2 n unidades de tiempo, y que el

La salida δ y la entrada β del bloque principal es la misma sin importar qué tan lejos estén los bloques. Esto requiere que no exista una analogía con el límite de velocidad de la luz que tiene nuestro mundo, o que los bloques sucesivos y las conexiones entre ellos se reduzcan exponencialmente a medida que aumenta el número de bloques. Uno también puede sentirse un poco incómodo por el hecho de que debe elegir un valor x en A para usar la máquina. Por supuesto, no importa qué valor se elija en A, la salida de la máquina será la misma: el valor de la perilla del bloque principal en el mismo segmento. Pero, aún así, si estamos haciendo una Máquina de Elección, no deberíamos tener que elegir nosotros mismos. Afortunadamente, esto no importa para nuestras aplicaciones. Porque en todas nuestras aplicaciones, lo que necesitamos es una función de elección f para el conjunto de clases de equivalencia bajo una relación de equivalencia ∼, y lo que realmente necesitaremos calcular es solo f ([x]) para una x particular, donde [ x] es la clase de equivalencia de x. Entonces se da la x. Por ejemplo, en la paradoja de adivinar Gabay-O'Connor, se nos da una secuencia pasada de tiradas, digamos ..., a − 8, a − 7, a − 6, y necesitamos evaluar la función de elección en el clase de equivalencia en la que caerá la secuencia. Por supuesto, no conocemos a − 5, a − 4, a − 3, a − 2, a − 1, a0, pero dado que las secuencias que difieren en un número finito de lugares son equivalentes, todo lo que tenemos que hacer es dejar de conectar la secuencia ..., a − 8, a − 7, a − 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1 en la entrada de nuestra máquina de elección. Para hacer eso, por supuesto, necesitaremos codificar secuencias de tiradas en números en (0, 1) (por ejemplo, codificarlas en una secuencia de dígitos después del punto decimal). Es probable que esto necesite una

∗ una máquina de elección

supertarea. Y luego necesitaremos decodificar la salida de manera similar, determinando los dígitos del valor de salida. El caso de conjuntos no medibles, Banach-Tarski, y mi paradoja del libro holandés de adivinar monedas puede ser más complicado, pero todos estos casos implican al final tener que comprobar si algún punto cae en un conjunto generado por ACCR. 5.3.2.3 Infinitismo causal y verificación de la correspondencia de la máquinaEl uso del infinitismo causal en nuestra Máquina de Elección es sutil. Si bien una supertarea puede estar involucrada en la codificación, digamos, una secuencia infinita de lanzamientos de monedas, una vez que se realiza la codificación, solo un número finito de bloques está involucrado en la emisión de la salida. No obstante, la no activación del número infinito de salidas δ de otros bloques es esencial para que la máquina tenga una salida bien definida. El hecho de que la salida sea lo que es depende causalmente de que los otros bloques no coincidan con su entrada con el valor de su perilla. Este tipo de dependencia negativa con causas iniciales positivas se discutirá un poco más en el Capítulo 7, Sección 2.5. Pero hay un lugar en el que se producirá un uso menos sutil del infinitismo causal. Porque para generar paradojas del infinito basadas en la racionalidad, no es suficiente tener una Máquina de Elección para S disponible. Las aplicaciones requieren que el agente sepa que tiene una máquina que coincide con S.14 Si la máquina de elección se genera mediante ajustes aleatorios de perillas, el conocimiento de que una máquina de elección coincide con S tendrá que depender 14

Estoy muy agradecido con Ian Slorach por señalarme esto.

en un número infinito de eventos aleatorios. Si esta dependencia es causal, y quizás aparte de los casos controvertidos en los que el conocimiento está mediado por el testimonio divino (ver Capítulo 9, Sección 3.4), es difícil ver cómo podría ser otra cosa que causal, tenemos una clara violación del finitismo causal. . Sin embargo, esto plantea la cuestión de cómo se podría verificar la coincidencia de una máquina con S. Por ejemplo, si la máquina se generó mediante un proceso aleatorio, ¿cómo sabemos que la configuración aleatoria de las perillas funcionó para hacer que la máquina calcular una función de elección para S? Después de todo, es muy poco probable que funcione. Se podría plantear un ángel que pueda decir de un vistazo que la configuración de la perilla coincide con S. El ángel necesitaría verificar las siguientes características de la situación: (i) Cada segmento es correcto: el conjunto de sus valores de perilla es un miembro de S. (ii) No hay duplicados: no se produce ningún valor de mando en dos bloques diferentes. (iii) La máquina está completa: cada miembro x de un miembro de S es el valor de la perilla de algún bloque de algún segmento.

el axioma de la máquina de elección ¿Podríamos verificar esto de una manera más mecánica, quizás con más suposiciones sobre lo que es físicamente posible en nuestro universo (4 + 1) dimensional? La parte (i) es la más sencilla. En todas las aplicaciones que necesitamos, S es el conjunto de clases de equivalencia bajo alguna relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia se puede enumerar dado cualquier miembro de ella; las clases de equivalencia en todos los casos están dadas por equivalencia bajo la acción de algún grupo contable ( digamos, el grupo de cambios a un número finito de resultados de tiradas). Por tanto, podríamos suponer que hay una máquina en el hiperplano de cada corte que viaja de un bloque a otro, verificando que los valores de la perilla enumeran una clase de equivalencia completa, y haciéndolo en una supertarea para asegurar un tiempo de finalización finito. Si hay una falla, explota toda la máquina. Por lo tanto, si no ocurre una explosión en el tiempo requerido, (i) se ha verificado. Las partes (ii) y (iii) son más difíciles. Sin embargo, podemos suponer que hay un continuo (Kx) x∈ (0,1) de tipos de campos (electromagnéticos, magnéticos, fignéticos, etc.), cada uno indexado por un número diferente x en (0, 1), de tal manera que se pueda generar cualquier combinación de este tipo de campos: por ejemplo, se puede generar precisamente un campo K0.24 y un campo K1 / √π al mismo tiempo. Además, los campos no interactúan entre sí. Supongamos ahora que cada bloque tiene un botón de autocomprobación que hace que emita omnidireccionalmente (en las cuatro dimensiones) un pulso del campo Kx, donde x es el valor de la perilla del bloque. Además, cada bloque tiene un receptor calibrado para que si recibe un pulso de campo Kx que no fue transmitido por sí mismo, explote toda la máquina. Ahora debemos suponer que la máquina de verificación que viaja a lo largo del corte presiona el botón de autoprueba en cada bloque. Si hay un duplicado del bloque, la máquina explota. La no explosión produce (ii). A continuación, suponga un segundo continuo disjunto de tipos de campos indexados por los números x en (0, 1), que tampoco interactúan entre sí o con los campos Kx originales. Además, suponga que inicialmente se ha generado un campo de tipo Kx correspondiente a cada miembro x de un miembro de S, y que un blo tiene una disposición para neutralizar un campo de tipo Kx en las proximidades del dispositivo. Damos el tiempo suficiente para que todas las neutralizaciones surtan efecto, y luego un detector hará explotar toda la máquina si alguno de los campos Kx no ha sido neutralizado. Rendimientos no explosivos (iii). Por supuesto, está la cuestión de cómo se sabe que el sistema de verificación, todos los emisores de campo y todo, está en su lugar. Quizás podamos suponer que los agentes racionales para los que estamos ejecutando las paradojas son capaces de crear infaliblemente cualquier sistema físico especificado con precisión. O tal vez aquí necesitamos un ángel que informe sobre la configuración de la verificación, por lo que tal vez no hemos avanzado demasiado de la “máquina” angelical.

∗ una máquina de elección

La descripción anterior utilizó una máquina de cuatro dimensiones para facilitar al lector la visualización de las rebanadas como máquinas reales. Pero podríamos imaginar un mundo en el que son posibles máquinas bidimensionales complejas. 83 En un mundo así, incluso podríamos hacer una máquina bidimensional para cada bloque, y luego las rebanadas podrían ensamblarse en una máquina tridimensional. ∗ ∗ ¿se necesita aire acondicionado? Los cuatro problemas considerados dependían de la CA. Pero, ¿podría uno, quizás, recrear los mismos problemas sin depender de AC? Si uno pudiera hacer eso, sería plausible que uno pudiera recrearlos causalmente sin Choice Machines. Sin embargo, hay buenas razones para pensar que Choice no puede eliminarse. Solovay (1970) ha demostrado que si la teoría de conjuntos ZF es compatible con la existencia de cardinales inaccesibles, también es compatible tanto con el axioma de elección dependiente (DC) como con la hipótesis de que todos los conjuntos en Rn (para todos n) son medibles según Lebesgue . Por lo tanto, si ZF es compatible con cardenales inaccesibles, y se asume ampliamente que es84—Entonces se necesita algo más allá de ZF para probar la existencia de conjuntos no medibles. Además, se pueden usar los tres escenarios para probar la existencia de conjuntos no medibles, al menos asumiendo DC (que es necesaria para tener la medida de Lebesgue). La paradoja de Banach-Tarski muestra que no todos los conjuntos en R3 son medibles según Lebesgue, ya que si lo fueran, también lo serían los conjuntos involucrados en la descomposición paradójica, y entonces el volumen de una bola sería igual al volumen total de dos bolas del mismo tamaño. . 85 El escenario de reordenamiento del lanzamiento de una moneda de la Sección 5.2 muestra que la medida correspondiente a que las monedas sean independientes, justas y distribuidas de manera idéntica no hace que todos los subconjuntos sean medibles. Pero esa medida es isomorfa a Lebesgue

83

Dewdney (2001) ofrece un relato ficticio convincente de un mundo bidimensional complejo. Hay un gran cuerpo de teoría matemática que va más allá de ZFC y presupone un cardinal inaccesible: la teoría de la cohomología de Grothendieck, que utiliza universos de Grothendieck que requieren la existencia de un cardenal inaccesible (Artin, Grothendieck y Verdier 1972). 85De hecho, en este caso, uno puede eliminar la coherencia entre ZF y los cardenales inaccesibles del argumento; véase Wagon (1994, Teorema 13.2). 84

el axioma de la máquina de elección evaluación medir en [0, 1] (como de costumbre, use la correspondencia entre secuencias de lanzamientos de monedas y expansiones binarias de números), por lo que se deduce que hay un conjunto de Lebesgue no medible. Por último, los escenarios de adivinar el dado también generan un conjunto no medible. Porque, dada la independencia, no puede haber una función medible de resultados pasados a resultados futuros que funcione mejor que el azar para adivinar resultados futuros, y si hay funciones no medibles, hay conjuntos no medibles.

En lo anterior, sugerí que simplemente podríamos tener suerte para que la vida útil de las partículas ψ satisfaga (1) o las perillas de las rebanadas satisfagan la condición de coincidencia, cuyas restricciones son necesarias para que nuestra configuración sea una máquina ACCR exitosa. Pero una de las cosas útiles de ser capaz de generar funciones de elección causalmente fue generar una lotería justa contable infinita utilizando la construcción más compleja del Capítulo 4, Sección 3.4. La ventaja de esa construcción sobre la construcción tan simple y afortunada del Capítulo 4, Sección 3.2, fue que esta última requería mucha suerte: requería un resultado de probabilidad cero para que ocurriera. Si necesitamos una suerte similar para generar nuestra máquina ACCR, entonces esa ventaja para la construcción más compleja se pierde. Pero hay una diferencia. La construcción afortunada del lanzamiento de una moneda requería suerte: solo si el conjunto de monedas se arreglaba al azar de la manera afortunada (es decir, con solo una cara en cada fila), la construcción daba como resultado una lotería. En el caso de la máquina ACCR, no importa cómo la vida útil de las partículas ψ o las perillas en los cortes lleguen a satisfacer las restricciones requeridas. La suerte es una de las formas en las que eso podría suceder. Pero hay otras opciones posibles. Tal vez podríamos estar en un universo donde existe una ley de la naturaleza infinitamente compleja que requiere que las vidas o las perillas tengan los valores precisos que tienen, valores que de hecho satisfacen las restricciones. O tal vez haya una ley de la naturaleza que requiera la satisfacción de las limitaciones como tal. O tal vez podría haber un ser sobrenatural que elegiría hacerlos satisfacer las limitaciones. en absoluto.86

86Hay razones para pensar que el PSR apoya el finitismo causal (ver Capítulo 2, Sección 3.2, y Capítulo 3, Secciones 2.5 y 3.6.2). Si es así, es probable que el oponente del finitismo causal niegue el PSR y, por lo tanto, es dialécticamente aceptable hacer uso de la negación del PSR en un argumento a favor del finitismo causal.

6. Evaluación Una serie de paradojas matemáticas siguen dado AC, y estas paradojas pueden operacionalizarse en paradojas de la teoría de decisiones dadas las Máquinas de Elección, así como, en algunos casos, la entrada de una secuencia infinita de lanzamientos de monedas. Es plausible que si el infinitismo causal es verdadero, todas las construcciones involucradas aquí son metafísicamente posibles y, por lo tanto, tenemos razones para rechazar el infinitismo causal.

Las dependencias causales infinitas están involucradas de dos maneras con las paradojas operacionalizadas. Primero, son esenciales tanto para el funcionamiento como para la verificación de la corrección de una máquina de elección. En segundo lugar, en la paradoja de adivinar el dado y la paradoja operacionalizada del libro holandés del lanzamiento de una moneda, tenemos que ser capaces de tomar una secuencia infinita de lanzamientos de monedas como entrada. Hay otra forma de salir de cada una de estas paradojas. Cada paradoja se basa en algún supuesto principio de racionalidad. Por ejemplo, la versión de la paradoja de adivinar que utilizó la construcción de Gabay-O'Connor en el capítulo 4 implicaba una generalización del rechazo de la falacia del jugador, es decir, requería la afirmación de que uno no puede hacerlo mejor, o al menos significativamente mejor, haciendo uso de información pasada sobre dados sin memoria. La paradoja de adivinar lanzamientos de monedas independientes asumió un principio sobre la transformación de pagos permutando monedas equivalentes. Principios como estos podrían ser desafiados. Pero rechazar el infinitismo causal da una solución más elegante y unificada a todas las paradojas que el rechazo de una serie de principios individualmente plausibles.

Apéndice: ∗ ∗ Detalles del reordenamiento del lanzamiento de monedas Para dar los detalles del reordenamiento reivindicado en la Sección 5.2 usaremos métodos estándar de Wagon (1994). Sea F2 el grupo libre en dos generadores. Este es un grupo infinito numerable y, por lo tanto, hay una biyección φ de F2 a N. Podemos definir una acción de grupo de F2 en, el espacio de secuencias contables de lanzamiento de monedas, como sigue. Para cualquier elemento g de F2, hay una permutación g † de N definida por g † (n) = φ (g · φ -1(n)) como la multiplicación por un miembro del grupo permuta el grupo. Entonces sea gω = g † ∗(ω) para ω ∈, de modo que (gω) n = ωφ (g· Φ−1(norte)). Para cualquier g ∈ F2, sea g el conjunto de puntos fijos bajo g, es decir, g = {ω ∈ : gω = ω}. Ahora afirmo que para cualquier h ∈ F2 tenemos P

0 si g no es la identidad e.

el axioma de la máquina de elección Solo necesitamos probar P (g) = 0, ya que P , dado que la medida de probabilidad en es invariante bajo permutaciones. Suponga que ω∈ g y g = e. Entonces gω = ω. Entonces para todo n tenemos gnω = ω. Escribir ω = (ω0, ω1, ...). Entonces gnω = (ω (gnorte)†(0), ω (gnorte)†(1), ...). De ello se deduce que ω (gnorte)†(0)= ω0. Ahora defina an = (gn) † (0). Entonces los an son todos números distintos. Para ver esto, suponga que an = am. Entonces φ (gnφ-1(0)) = φ (gmφ-1(0)). Dado que φ es una biyección, se deduce que gnφ-1(0) = gmφ-1(0). Cancelando los multiplicandos correctos, obtenemos gn = gm, y entonces gn-metro = e. Por tanto, n = mo g tiene un orden finito. Pero el único elemento g de un grupo libre que puede satisfacer gk = e para k distinto de cero es la identidad, entonces n = m. Por tanto, de hecho, los an son todos distintos. ω Así que si ∈ g, debemos tener ωa0 = ωa1 = ... para un número infinito de valores diferentes de an, dependiente solo de g. Pero la probabilidad de que una secuencia infinita particular de lanzamientos de moneda (definida para g y h fijas) salga igual es cero. Entonces P (g) = 0. Y por lo tanto P Deja D hgramo. Como F2 es contable, por la aditividad contable de las probabilidades clásicas, se sigue que P (D) = 0. Y - D no contiene puntos fijos para ningún elemento de F2 que no sea e. Según Wagon (1994, Teorema 4.2), hay miembros α y β de F2 y subconjuntos disjuntos B1, ..., B4 de F2 cuya unión es toda de F2 y que satisfacen:

apéndice: ∗ ∗ detalles de la reordenación del lanzamiento de una moneda

segundo2 = α (B2 ∪B3 ∪ B4) y segundo4 = β (B1 ∪B2 ∪B4). Definir la relación de equivalencia

re diciendo eso ω ∼ ω si y solo si ω = gω para

algunos g ∈ F2. Cada clase de equivalencia contiene solo un número numerable de miembros de, y tiene la misma cardinalidad que los reales, por lo que según ACCR, sea M un conjunto de

opciones para el conjunto de clases de equivalencia bajo ∼, es decir, un conjunto que contiene exactamente un miembro de cada clase de equivalencia .87 Entonces METRO ⊆- D y para cada

, hay un único

ω METRO tal que ω ∼ . Sea Ai

= BiM = {gω: g ∈ Bi & ω ∈ M}. Observa primero que UNA4. Para arreglar cualquier ω ∈ - D. Entonces hay un

=1

UNA2

UNA3

g F2 tal que ω = gω. Este g es un miembro de Bi

METRO tal que

para algunos i. Pero luego gω = ω será miembro de Ai para el mismo i. A continuación, tenga en cuenta que los Ai están separados. Supongamos que ω es miembro tanto de Ai como de Aj. Necesitamos demostrar que i = j. Pero hω para algunos ω y ω en M así como en g ∈ Bi y h ∈ Bj. Entonces . Dado que M contiene exactamente un elemento de cada clase de equivalencia, tenemos ω = ω. Así, , y entonces h ω. Entonces ω es un punto fijo de h-1gramo, y desde ω ∈ / D, debemos tener h-1gramo = e y por tanto g = h. Pero dado que los conjuntos B1, ..., B4 son disjuntos y g ∈ Bi y h ∈ Bj, se sigue que i = j. Por tanto, los conjuntos A1, ..., A4 son disjuntos. Ahora, observe que α (A2 ∪ A3 ∪A4) = α (B2 ∪B3 ∪B4) M = B2M = A2 y β (A1 ∪A2 ∪A4) = β (B1 ∪B2 ∪B4) M = B4M = A4. Dejando ρ = (α-1) † y τ = (β-1)†, tenemos: ρ∗UNA2 = A2 ∪ A3 ∪ A4 y τ∗UNA4 = A1 ∪ A2 ∪ A4, que es lo que pretendíamos conseguir.

87

Si f es una función de elección, entonces podemos dejar M = {f (A): A ∈ S} donde S es el conjunto de clases de equivalencia.

7 Refinamiento, alternativas y extensiones 1. Introducción Comenzamos discutiendo algunas cuestiones de gran detalle necesarias para refinar el finitismo causal. ¿Las causas son de grano fino o grueso? ¿Cuentan las ausencias? ¿Con respecto a qué relación causal se descartan las historias infinitas? Entre las cuestiones de los detalles, ahora volveremos a examinar cuidadosamente la paradoja de la Parca para ver si de hecho está descartada por el finitismo causal. No se aprobará ninguna versión refinada particular del finitismo causal, pero se señalarán una serie de puntos de decisión para futuras investigaciones. A continuación, consideraremos alternativas a la hipótesis finitista causal que también matan muchas o todas las mismas paradojas: finitismo (ya discutido en detalle en el Capítulo 1), sin regresiones, sin infinitos pasados, sin magnitudes infinitas intensivas de Huemer y sin espacio en tiempo espacial. La última de estas opciones ofrece una respuesta a una pregunta interesante que consideramos por sí sola: suponiendo que el finitismo causal es verdadero, ¿por qué es cierto? Finalmente, consideramos dos posibles extensiones del finitismo causal, una para descartar bucles causales y la otra para descartar infinitas historias explicativas.

2. Refinamiento 2.1 Individualización de eventos y tropos El finitismo causal dice que nada tiene un número infinito de elementos en su historia causal. Tres tipos principales de elementos son candidatos plausibles para colocarse en relaciones causales: eventos, sustancias y tropos (o propiedades particulares, como la palidez de mi rostro). Pero tanto los sucesos como los tropos presentan un problema especial para el finitismo causal si se individualizan con suficiente precisión. Supongamos que un día caluroso de verano en Texas me incomoda. Si podemos individualizar los eventos con suficiente precisión, podemos multiplicar las causas ad infinitum. Por ejemplo, suponga que es exactamente 38,42◦ Celsius. Entonces me siento incómodo por ser exactamente 38,42◦. Pero al mismo tiempo, también me incomoda que haga calor, que sea más de 38◦, que sea más de 38,31◦, que esté

refinamiento alrededor de 38,4◦, etc. Parece que hay infinitas causas de mi malestar, contrariamente al finitismo causal.

Es probable que tengamos el mismo problema con los tropos, suponiendo que tengan un lugar en nuestra ontología. El aire a mi alrededor tiene la propiedad particular de estar a 38.42◦, y este tropo o propiedad particular me causa malestar. Pero el aire también tiene la particular propiedad de ser caliente, de tener más de 38◦, de ser de más de 38,31◦, de rondar los 38,4◦, etcétera, y cada una de estas me provoca malestar. Hay cuatro movimientos disponibles para salir de esta dificultad. Primero, simplemente podemos aceptar teorías dispersas de eventos y tropos que impiden la multiplicación. Por el lado de los eventos, la forma habitual de tener una teoría dispersa es seguir a Davidson (1963) y considerar que los eventos se individualizan groseramente. Por lo tanto, el evento de que sea exactamente 38,42◦ es el mismo que el evento de que esté caliente y el evento de que esté alrededor de 38,4◦, pero estos eventos simplemente se describen de manera diferente. Por el lado de los tropos, se puede negar la existencia de tropos como que el aire tiene más de 38◦, e insistir en que los únicos tropos que hay son fundamentales, tal vez como que el aire está exactamente en 38.42◦, o que el aire tiene tal- y-propiedades microfísicas tan precisas. Este movimiento no requiere cambios en el finitismo causal, En segundo lugar, podemos permitir eventos detallados y / o abundantes tropos, pero supongamos que de la multitud de estos elementos detallados, solo algunos realmente entran en relaciones causales. Si el evento de su ser exactamente 38.42◦ ocurre, entonces también lo hacen los eventos distintos de su ser alrededor de 38.4◦ y su ser más de 38.31◦, pero quizás de estos sólo el evento de su ser exactamente 38.42◦ es causalmente eficaz, y de manera similar en el caso de los tropos. En tercer lugar, podríamos permitir que toda la multitud de elementos detallados entren en relaciones causales, pero insistimos en que lo hagan de una manera coherente con el finitismo causal. Por ejemplo, quizás me siento incómodo cuando la temperatura es de al menos 34,3◦. Si es así, entonces podría ser que mi incomodidad se deba a que sea al menos de 34,3◦ y no a que sea exactamente de 38,42◦. Por otro lado, puede haber un nivel particular d10 de incomodidad tal que el hecho de que tenga exactamente el nivel d10 sea causado por ser exactamente 38.42◦, y puede haber niveles vagos de incomodidad causados por rangos de temperatura vagos. Así, entre las causas granuladas de manera diferente, sólo una (o como mucho un número finito) es causal de un efecto de una granularidad particular. Estos tres movimientos son formas diferentes de negar la multiplicación infinita de causas coubicadas. Y hay razones para negar esta multiplicación y, por tanto, optar por uno de estos movimientos. Una razón es simplemente que tenemos buenas

refinamiento, alternativas y extensiones razones para pensar que el finitismo causal es verdadero, mientras que la multiplicación infinita de causas es incompatible con el finitismo causal. Una segunda razón es el pensamiento de que no deberíamos ser capaces de descubrir una infinidad de causas físicas sin un trabajo científico realmente serio; tal vez el nexo causal del mundo físico sea de naturaleza infinita, pero ese hecho no debería ser obvio. Pero si aceptamos la multiplicación, se ha descubierto una infinidad de causas físicas con solo pensar en un pequeño número de hechos monótonos sobre las temperaturas y el malestar. Sin embargo, si a uno no le gusta ninguno de estos tres movimientos, existe la cuarta opción: modificar el finitismo causal. Una forma de hacer esto es decir que las historias causales fundamentales — Las historias generadas por relaciones causales fundamentales, las que no se basan en otras relaciones causales, deben ser finitas. Por ejemplo, aunque estar alrededor de 38,4◦ me incomoda, lo provoca en virtud de que 38,42◦ me provoca malestar, por lo que el primer caso de causalidad no es fundamental. Por supuesto, muchos de los ejemplos de causalidad en las paradojas bajo consideración probablemente tampoco fueran fundamentales. Por ejemplo, en La lámpara de Thomson, accionar el interruptor solo puede hacer que la luz se encienda o apague en virtud de algunos casos microfísicos de causalidad. Sin embargo, es plausible que en todas las paradojas que consideramos —ya diferencia del caso del calor que causa mi malestar— la multiplicación infinita de casos no fundamentales de causalidad tenga un paralelo con una multiplicación infinita de casos fundamentales de causalidad. Esto nos da un punto de decisión complejo para un refinamiento del finitismo causal: ¿permitimos eventos detallados como causas y, de ser así, modificamos el finitismo causal para enfocarnos en las causas fundamentales o descartamos infinitos de causas detalladas en otro? ¿camino? La cuestión de la fundamentalidad constituye un punto de decisión de interés independiente: ¿Restringimos las relaciones causales de las que habla el finitismo causal a las fundamentales?

2.2 Historias generadas por relaciones causales parciales La caracterización aproximada y sencilla del finitismo causal que he utilizado hasta ahora es que las historias causales deben ser siempre finitas. Intentemos hacer esta tesis más precisa. Es razonable considerar que la historia causal de un elemento z es la colección de elementos causalmente antes de z. Pero, ¿qué es exactamente esta relación de prioridad causal y cuáles son sus relaciones? Tenga en cuenta que para descartar regresiones, que es una de las tareas del finitismo causal (véase el capítulo 2), la prioridad causal debe ser una relación transitiva: si y es anterior a zyx es anterior a y, entonces es mejor que x sea anterior. a z.

refinamiento Una opción natural para explicar la prioridad causal es estipular que y es causalmente anterior a z si y solo si y causa z. Sin embargo, la noción de causa adolece del infame problema de selección (Hesslow 1988). Normalmente cuando se nos pregunta qué provocó el incendio forestal, diríamos algo así como que fue la fogata del campista. Pero un extraterrestre de un planeta sin mucho oxígeno podría decir igualmente razonablemente que fue el alto contenido de oxígeno de nuestra atmósfera lo que causó el incendio. Lo que cuenta como la causa parece depender demasiado del contexto. Además, las afirmaciones de transitividad suenan dudosas si la prioridad causal solo es la causalidad. Supongamos que la campista encendió la fogata porque tenía hambre. Entonces el hambre provocó la fogata. Y el hambre fue causada por los procesos metabólicos anteriores del campista. Pero suena incorrecto decir que los procesos metabólicos anteriores del campista causaron el incendio forestal. El problema de la transitividad se resuelve fácilmente. En lugar de decir que y es causalmente anterior a z si y solo si y causa z, podemos decir que y es causalmente

es una cadena de causas desde y hasta z, es decir, hay una secuencia y0, ..., yn tal que yi causa yi + 1 para cada i y y = y0 mientras que z = yn. Aun así, la causalidad parcial en lugar de la total es suficiente para algunas de nuestras paradojas (y las otras quizás puedan modificarse para utilizar la causalidad parcial). Por ejemplo, tome la paradoja del Capítulo 5, Sección 2.5, donde un ángel anuncia que entre los infinitos dados, solo un número finito mostró algo más que seis. Para aplicar el finitismo causal, noté que los infinitos estados de los dados causaron el anuncio del ángel. Pero ningún estado de los dados fue una causa completa del anuncio del ángel. De hecho, ningún estado de los dados hizo ninguna diferencia en el anuncio del ángel: si el dado hubiera salido de otra manera, con todos los demás dados fijos, todavía habría solo un número finito de no seis. Parece que hay una causa completa, y esa es una causa plural: la totalidad de todas las tiradas. Pero esa causa plural es solo una, Quizás esto sea demasiado rápido. Tal vez haya infinitas causas completas: el estado de todos los dados excepto el primero, el estado de todos los dados pero el segundo, el estado de todos los dados pero el tercero, etc. Pero no debemos confiar en eso. Quizás lo que tenemos es simplemente una interacción directa de todos los dados tomados junto con la mente del ángel. Y también necesitamos el finitismo causal para descartar tales casos. Por tanto, es mejor trabajar con un concepto más débil que el de causalidad para definir la prioridad causal. La causalidad parcial o contribución causal es una noción de este tipo. Por tanto, podríamos decir que x es causalmente anterior a y siempre que exista una cadena de causas parciales de xay. Usaré los términos “causalidad parcial” y “contribución causal” indistintamente, aunque la investigación futura podría encontrar diferencias sutiles para distinguirlos.

refinamiento, alternativas y extensiones Así, si seguimos esta sugerencia, el finitismo causal será la tesis de que no hay historias infinitas generadas por prioridad causal, definidas en términos de cadenas de causalidad parcial. Esto conduce a un segundo punto de decisión: ¿el finitismo causal se aplica solo a la causalidad total o también a la causalidad parcial o contribución causal? Aquí, creo que la respuesta debería ser afirmativa. Además, un análisis detallado de la paradoja de la Parca puede sugerir que necesitamos una relación aún más débil que la causalidad parcial.

2.3 Una mirada más cercana a los Grim Reapers Recuerde la historia de Grim Reaper del Capítulo 3, Sección 3. La lámpara se apaga a las 10 am. En una secuencia infinita de tiempos t1, t2, ... estrictamente entre las 10 y las 11 de la mañana se activan los Parca. Cuando se activa un Reaper, comprueba si la luz está encendida. Si está encendido, no hace nada. Si está apagado, gira el interruptor para encender la lámpara. He argumentado que la historia se vuelve paradójica cuando t1> t2> ... (p. Ej., Si el enésimo segador se activa 30 / n minutos después de las 10 a. M.), Pero que deberíamos descartar la historia sin importar cómo estén dispuestas las tn en el fundamenta que es una violación del finitismo causal.

Pero ahora considere una configuración donde los tiempos de activación se ordenan de la manera opuesta, de modo que t1 t2> ..., ningún Reaper enciende la lámpara. ¿Dónde hay aquí una causalidad infinita? Parece, entonces, que el finitismo causal no descarta el escenario de la Parca y sus primos como se afirma, y por lo tanto la utilidad filosófica del finitismo causal se reduce significativamente. Hay al menos seis soluciones para esto, cada una de las cuales conduce a un refinamiento diferente del finitismo causal. La primera solución es notar que lo que tenemos es una infinidad de elementos que cada uno tiene el poder de encender la lámpara. Podríamos extender el finitismo causal para descartar no solo la cooperación infinita real, sino también los casos en los que un número infinito de cosas cada una tiene el poder de contribuir a algún efecto (donde el efecto se identifica de una manera que no requiere la esencialidad de los orígenes, tal vez por características cualitativas y ubicación espacio-temporal), incluso si en realidad no lo hacen. Esta es una opción atractiva a considerar, ya que descarta a algunos primos más de la historia de Grim Reaper. Por ejemplo, tome la paradoja de Grim Reaper pero

refinamiento simplemente retire la lámpara y especifique que si un Reaper no ve ninguna lámpara, no hace nada; así, cada Reaper se despierta, no hace nada y vuelve a dormirse. Sería extraño si uno pudiera tener el número infinito de Segadores dispuestos como en la paradoja sin la lámpara, pero sería imposible agregar la lámpara. El enfoque de poder tiene la ventaja de permitirnos descartar directamente esta historia, ya que tenemos una infinidad de elementos que tienen el poder de encender cualquier lámpara que esté allí. Sin introducir poderes, es posible que tengamos que decir, en cambio, que la historia está descartada porque si fuera posible, sería posible agregar una lámpara, y eso estaría descartado por el finitismo causal. La segunda solución es ampliar el alcance de la relación de causalidad parcial para incluir lo que hace cada Grim Reaper por el estado final de la lámpara. En una encuesta internacional de chistes, el siguiente chiste morboso de Gurpal Gosall fue calificado como el más divertido: Dos cazadores están en el bosque cuando uno de ellos se derrumba. No parece estar respirando y sus ojos están vidriosos. El otro tipo saca su teléfono y llama a los servicios de emergencia. Él jadea, “¡Mi amigo está muerto! ¿Que puedo hacer?". El operador dice “Cálmate. Puedo ayudar. Primero, asegurémonos de que esté muerto ". Hay un silencio, luego se escucha un disparo. De vuelta al teléfono, el chico dice "OK, ¿ahora qué?" (Wiseman 2002)

El disparo puede haber causado la muerte o no, pero la aseguró. En la acción moral, asegurar tiene muchas de las mismas consecuencias normativas que hacer. Pero por su disparo, el cazador se convirtió en el equivalente moral de un asesino, tanto si el compañero ya estaba muerto como si no. Tenga en cuenta, también, que disparar al compañero no era la única forma de asegurarse de que estaba muerto. La otra forma —probablemente legalmente más segura, pero aún moralmente deprimida— sería adoptar el plan de comprobar si su compañero estaba muerto y dispararle si y sólo si no lo estaba.

Ahora, el verbo "asegurar" sugiere agencia. Pero también podemos usarlo en casos no relacionados con la agencia: “La avalancha a las 11 am aseguró que Smith estaba muerto al mediodía, pero para averiguar la disposición de su patrimonio era importante averiguar si Smith estaba muerto antes de las 11 am. " Podemos reconocer el aseguramiento como una especie de relación causal que puede ser agencial o no. Dados estos antecedentes, podríamos entender la relación de causalidad parcial o contribución causal que genera las historias causales que según el finitismo causal son finitas para incluir no solo casos de lo que podríamos llamar causalidad real sino también casos de aseguramiento parcial o contributivo. Y los Grim Reapers se involucran en eso, incluso si no hacen nada más que verificar si la lámpara está encendida. Son como el cazador asesino legalmente más cauteloso que comprueba si su compañero está muerto y dispara solo si no lo está. Incluso podemos entender tal garantía parcial o contributiva como de naturaleza indeterminista: imagina que el

refinamiento, alternativas y extensiones cazador asesino dispara a su compañero de una manera que no garantiza la muerte, pero sí tiene éxito. Hay algo incómodo en hacer que la historia causal de que la lámpara esté encendida a las 11 am incluya Grim Reapers que no tocaron el interruptor. Si es así, entonces quizás el término "historia causal" no sea el mejor para elegir. Quizás se podría decir en cambio "nexo causal hacia atrás". La tercera solución es extender el finitismo causal para prohibir no solo la dependencia causal sino también la dependencia contrafáctica basada en la causalidad de un número infinito de elementos positivos distintos (sustancias o eventos) de manera que si no hubiera sucedido ninguno de estos eventos, el evento causado no habría ocurrido. sucedió. Distinguimos esto de la dependencia contrafáctica fundamentada lógica (o metafísicamente): que mida seis pies de altura es contrafácticamente dependiente de que mida más de tres pies de altura (si no tuviera al menos tres pies de altura, no tendría seis pies de altura) , y en un número infinito de otras propiedades similares, pero el contrafáctico se basa más lógicamente que causalmente. Y también distinguimos la dependencia contrafáctica fundamentada causalmente de la dependencia contrafáctica de elementos negativos; que estoy escribiendo esto depende contrafácticamente de un número infinito de ausencias de brujas que podrían haber impedido mi escritura. Y luego decimos que el hecho de que la lámpara esté encendida depende en contra de la realidad de un número infinito de Segadores, y por lo tanto la historia está descartada por el finitismo causal. Quizás, de hecho, la dependencia contrafáctica fundamentada causalmente es una especie de causalidad; de ser así, entonces no hemos extendido realmente el finitismo causal, sino que simplemente lo hemos aclarado. La cuarta solución está inspirada en algunos comentarios de Philip Swenson. Podríamos decir que un elemento cuenta como una incidencia causal en un evento siempre que en realidad contribuyó causalmente (o causó parcialmente) el evento o habría contribuido causalmente a (o causado parcialmente) si el evento habría sucedido de no ser por otra cosa que sucedió. . Cada Grim Reaper habría contribuido causalmente a que la lámpara estuviera encendida al final del experimento, pero para los anteriores. Y ahora nuestro finitismo causal necesita descartar historias infinitas de impactadores causales.

La quinta solución es considerar que existe una noción intuitiva de una relación transitiva de prioridad causal que no se analiza más a fondo o no se puede analizar más. Es intuitivamente convincente que la paradoja de la Parca, y nuestras otras paradojas, se descarten si prohibimos que los elementos tengan un número infinito de elementos causalmente antes de ellos. Pero como muestra la discusión anterior, es difícil explicar en qué consiste la prioridad causal. Por lo tanto, ¡la sugerencia es que no lo deletreemos!

refinamiento La sexta solución es esta. El estado final del universo a las 11 am se ve afectado causalmente por cada uno de los infinitos actos de observación de la lámpara. Cada Grim Reaper observa el estado de la lámpara y, en consecuencia, presiona o no el botón de la lámpara. No presionar el botón ciertamente afecta el estado final del universo. Si un Reaper hubiera presionado el botón, el universo habría estado en un estado diferente a las 11 am. El botón podría tener, por ejemplo, una huella digital de Reaper (¡o una huella de hueso!); el cambio en la posición del brazo del Reaper significaría que el campo gravitacional que se extiende a la velocidad de la luz sería para siempre diferente; y así sucesivamente.1 Es posible que no queramos que el finitismo causal simplemente descarte un número infinito de ausencias causadas por omisión (discutiremos las ausencias en la Sección 2.5). Pero una causa positiva puede actuar mediante una ausencia. Por ejemplo, un método para matar a un animal es privarlo de aire; sin embargo, es clara y literalmente una instancia de algo positivo, digamos, estrangulación, que causa otra cosa, a saber, la muerte. Los casos en los que un número infinito de eventos positivos —en este caso, las observaciones— afectan las cosas por medio de ausencias (digamos, al presionar un botón) pueden descartarse mediante una lectura literal y no extendida del finitismo causal. La historia de Grim Reaper es así: el estado final del universo se ve afectado causalmente por cada una de las observaciones; si alguna observación hubiera salido de manera diferente, el estado final del universo, no con respecto a si la luz está encendida o apagada, sino en respecto a las cosas más sutiles, habría sido diferente. un método para matar a un animal es privarlo de aire; sin embargo, es clara y literalmente un ejemplo de algo positivo, digamos, estrangulamiento, que causa otra cosa, a saber, la muerte. Los casos en los que un número infinito de eventos positivos —en este caso, las observaciones— afectan las cosas por medio de ausencias (digamos, al presionar un botón) pueden descartarse mediante una lectura literal y no extendida del finitismo causal. La historia de Grim Reaper es así: el estado final del universo se ve afectado causalmente por cada una de las observaciones; si alguna observación hubiera salido de manera diferente, el estado final del universo, no con respecto a si la luz está encendida o apagada, sino en respecto a las cosas más sutiles, habría sido diferente. un método para matar a un animal es privarlo de aire; sin embargo, es clara y literalmente un ejemplo de algo positivo, digamos, estrangulamiento, que causa otra cosa, a saber, la muerte. Los casos en los que un número infinito de eventos positivos —en este caso, las observaciones— afectan las cosas por medio de ausencias (digamos, al presionar un botón) pueden descartarse mediante una lectura literal y no extendida del finitismo causal. La historia de Grim Reaper es así: el estado final del universo se ve afectado causalmente por cada una de las observaciones; si alguna observación hubiera salido de manera diferente, el estado final del universo, no con respecto a si la luz está encendida o apagada, sino en respecto a las cosas más sutiles, habría sido diferente. Los casos en los que un número infinito de eventos positivos —en este caso, las observaciones— afectan las cosas por medio de ausencias (digamos, al presionar un botón) pueden descartarse

refinamiento, alternativas y extensiones mediante una lectura literal y no extendida del finitismo causal. La historia de Grim Reaper es así: el estado final del universo se ve afectado causalmente por cada una de las observaciones; si alguna observación hubiera salido de manera diferente, el estado final del universo, no con respecto a si la luz está encendida o apagada, sino en respecto a las cosas más sutiles, habría sido diferente. Los casos en los que un número infinito de eventos positivos —en este caso, las observaciones— afectan las cosas por medio de ausencias (digamos, al presionar un botón) pueden descartarse mediante una lectura literal y no extendida del finitismo causal. La historia de Grim Reaper es así: el estado final del universo se ve afectado causalmente por cada una de las observaciones; si alguna observación hubiera salido de manera diferente, el estado final del universo, no con respecto a si la luz está encendida o apagada, sino en respecto a las cosas más sutiles, habría sido diferente. Esta sexta solución es atractiva, pero puede que no permita modificaciones a la paradoja. Podríamos imaginar un mundo en el que los Reapers no dejen huellas dactilares en el botón, donde los campos gravitacionales no se propaguen a partir de los movimientos de sus brazos, etc. O un mundo donde todo se destruye a las 11 de la mañana (incluso el interruptor) excepto la lámpara que brilla o no brilla. No estoy seguro de si este objetivo de la solución funciona, pero mi incertidumbre depende de una visión controvertida del tiempo. Siguiendo a Kant (1907) (ver también Carrier 2003), se puede pensar que la dirección del tiempo está constituida por relaciones causales. Desde este punto de vista, puede muy bien seguirse que si el acto de observación de un Reaper no es de ninguna manera causalmente anterior al estado del universo a las 11 a. M., Entonces tampoco se puede decir que su ubicación temporal sea anterior a las 11 a. M. Para ilustrar las seis soluciones, apliquémoslas a la paradoja Boards de Benardete (Benardete 1964, págs. 237-237), que puede considerarse como una variante intemporal de la paradoja de la Parca. Veremos que los cinco primeros funcionan en ese caso, pero el último tiene más dificultad. Hay infinitas tablas impermeables perpendiculares 1

Cf. Lewis (1979).

0

1 1 dieciséis 8

1 4

1 2

1

Figura 7.1 Tableros de Benardete.

al eje x, digamos en las coordenadas 1, 1/2, 1/4, y así sucesivamente. Las tablas son infinitamente delgadas o sus tamaños son tales que permiten un espacio entre ellas

refinamiento (por ejemplo, la tabla en 2 − n tiene un espesor de 2 − n − 2). Una partícula puntual se mueve a lo largo del eje x negativo en dirección positiva. Esa partícula no puede pasar de x = 0 porque para ir a cualquier distancia más allá de x = 0, tendría que cruzar infinitas tablas. Pero, ¿qué tablero detuvo la partícula? Parece que ninguno lo hizo: el tablero en x = 1/2 no lo hizo, ya que la partícula nunca lo alcanzó; tampoco lo hizo el tablero en x = 1/4, y así sucesivamente (Fig. 7.1). Pero podemos decir que un número infinito de tablas cada una tenía el poder de evitar que la partícula alcanzara, digamos, x = 1/2. Asimismo, podemos decir que una infinidad de tableros consiguieron que la partícula no llegara a esa coordenada. Tenemos una dependencia contrafactual de los poderes de detención de un número infinito de tableros: si ninguno de los tableros hubiera estado allí (o hubieran sido permeables), la partícula no se habría detenido. Cada tablero habría contribuido a la detención de la partícula de no ser por los demás. Además, la prioridad causal de un número infinito de elementos es tan plausible en este caso como en el caso de Grim Reaper. Por lo tanto, la configuración está descartada por las cinco versiones mejoradas del finitismo causal. Sin embargo, la sexta solución, que no requirió ninguna reformulación del finitismo causal como tal, no parece generalizar a los Consejos de Benardete. No parece haber análogo a los actos de observación en el caso de las Juntas de Benardete. Entonces, si optamos por esa sexta solución, tenemos que admitir que existe una paradoja causal que el finitismo causal como tal no descarta directamente. Aunque podría descartarlo indirectamente, si el finitismo causal obliga al espacio a ser discreto, una cuestión que exploraremos en el capítulo 8. Esto produce un tercer punto de decisión: ¿Necesitamos debilitar aún más la relación causal para que el finitismo causal acabe con las paradojas de Grim Reaper y Benardete's Boards, y si es así, cómo?

2.4 Objeciones al finitismo causal que implica una causalidad parcial Pero ahora debemos tener cuidado de no hacer que el finitismo causal se acerque demasiado al finitismo. Supongamos que tomamos la causalidad parcial como la relación relevante. Entonces, plausiblemente: (1)Si X causa y e y es parte de z, entonces x es una causa parcial de z. Pero consideremos ahora una secuencia causal directa no paradójica: x1 causa x2, x2 causa x3, y así sucesivamente. Sea z la fusión de todos los xi. Entonces cada xi es una causa parcial de z por ser la causa de xi + 1 que es parte de z. Entonces z tiene infinitas causas parciales. Pero no deberíamos descartar secuencias causales de reenvío no paradójicas. El mismo argumento se puede ejecutar en términos de contribución causal.

refinamiento, alternativas y extensiones Esto no refuta necesariamente la afirmación de que la relación causal relevante para el finitismo causal es la causalidad parcial. Quizás deberíamos rechazar (1) en su lugar. Después de todo, es plausible que tal secuencia causal directa sea posible. Incluso es plausible que haya un mundo donde tal secuencia causal directa constituye toda la realidad concreta y donde x1, x2, ... son simples. Pero no es plausible que una fusión de simples pueda ser causada incluso parcialmente por cada uno de los simples que la componen, ya que eso se parecería demasiado a la autocausa. Sin embargo, z, la fusión de xi, sería precisamente una fusión de simples causada parcialmente por todas las partes simples si (1) fuera verdadera. Alternativamente, podríamos respaldar (1) pero negar que existan fusiones tan infinitas como la fusión de todos los xi, ya sea por un escepticismo general sobre las fusiones o por un escepticismo sobre las fusiones infinitas. Uno podría pensar en las partes de una fusión como "causas materiales" aristotélicas. Entonces, negar fusiones infinitas sería una extensión natural del finitismo causal (ver Sección 5.2). Aquí hay una preocupación relacionada. Suponga que hay un número infinito de universos desconectados causalmente, y suponga que en el universo n hay un objeto xn que causa un objeto yn. Considere la fusión Y de todos los yn. Entonces, la historia causal de Y incluye infinitos objetos: x1, x2, .... ¿Deberíamos tomar el finitismo causal para descartar el escenario anterior? Si el finitismo causal descarta un número infinito de universos desconectados causalmente, entonces estamos bien encaminados hacia el finitismo como tal. Sin embargo, existen al menos dos formas de mantener el finitismo causal sin negar la posibilidad de un multiverso infinito. El primero es, una vez más, convertir los comentarios anteriores en un argumento contra las fusiones irrestrictas. Quizás los todos deben tener algún tipo de organicidad o al menos una interconexión causal, o quizás los todos infinitos sean imposibles. La segunda forma es negar que xn sea un elemento de la historia causal de Y. Si bien hay casos en los que la causa de una parte es una causa parcial, cualquier oficial alemán que ordenó una parte inicial de la invasión de Polonia fue una causa parcial. de la Segunda Guerra Mundial: en general, la causa de una parte no tiene por qué ser una causa parcial. La invasión del Día D no fue una causa parcial de la Segunda Guerra Mundial, aunque fue una causa de muchas batallas que son parte de la Segunda Guerra Mundial. Tampoco una científica loca que hizo que a mi cuerpo le brotara una cola sería una causa parcial de mí, a pesar de que ella sería una causa de una parte de mí. Por lo tanto, quizás deberíamos decir en cambio que la causa de Y es, más bien, la fusión X de todos los xn, y el individuo xn no son elementos de la historia o nexo causal, aunque sean causas de partes de Y. Por tanto, tenemos un punto de elección: ¿descartamos infinitas fusiones además de infinitas cadenas causales o analizamos cuidadosamente la relación causal relevante para descartar contraejemplos provenientes de tales fusiones?

refinamiento

2.5 Ausencias y omisiones Alguien que se asfixia muere por falta de oxígeno. ¿Deberíamos incluir tales ausencias en las historias causales?

La respuesta natural es que si las ausencias son causas, es mejor que se incluyan en las historias causales. Pero la preocupación sobre esto es que casi todos los eventos tienen infinitas causas. Un contribuyente causal a mi escritura de este libro es la ausencia de un ataque destructor de la tierra por parte de extraterrestres bípedos hace diez años. Otro contribuyente es la ausencia de tal ataque por extraterrestres triples, y otro es la ausencia de tal ataque por cuadrúpedos. Hay infinitas ausencias de invasiones extraterrestres genocidas que han contribuido a este libro, por lo que el finitismo causal no tiene esperanzas de ser cierto si incluimos las ausencias. Una solución es simplemente estipular que sólo los elementos positivos cuentan para el finitismo causal. La otra solución es generar historias causales por medio de casos fundamentales de la relación causal relevante, como ya se sugirió en la Sección 2.1. Y es inverosímil que la relación causal de cada uno de los infinitos elementos de la forma la ausencia de un ataque destructor de la tierra por extraterrestres n-pedales hace diez años con mi escritura de este libro sea fundamental. Quizás lo fundamental sea el aporte de alguna ausencia más general, como la ausencia de cualquier ataque devastador previo al presente, o quizás la ausencia de algún evento que impida significativamente mi normal funcionamiento, o similares. O quizás haya pocas o ninguna ausencia involucrada en algún caso fundamental de la relación causal relevante. Tenemos, pues, un punto de elección: ¿se aplica el finitismo causal a la causalidad por ausencias? Tenga en cuenta que incluso si el finitismo causal no descarta la causalidad por un número infinito de ausencias, probablemente debería descartar un número infinito de eventos positivos que contribuyen a un evento al causar una omisión o ausencia intermedia, como argumentamos en una de las soluciones. en la Sección 2.3. Existe una diferencia entre una ausencia que es una causa y un evento positivo que causa por omisión. Cuando la caída de una guillotina provoca la muerte de alguien, se trata de un evento positivo que provoca la muerte por ausencia de oxígeno en el cerebro. Un número infinito de guillotinas que provocan una sola muerte debe descartarse por finitismo causal. También puede preocuparse que la muerte en sí misma sea una ausencia de vida. También habrá un punto de elección aquí: ¿Se aplica el finitismo causal a la causalidad de una ausencia? De lo contrario, podríamos descartar un número infinito de guillotinas que causen una sola muerte al señalar que, en ese caso, el número infinito de guillotinas también causaría un movimiento de la cabeza, o la consiguiente descomposición, o similares. Pero es mejor aplicar el finitismo causal directamente a la causa de una ausencia.

refinamiento, alternativas y extensiones Otra posibilidad es que incluso si no vemos el finitismo causal como una prohibición de la causalidad por un número infinito de meras ausencias, podría prohibir la causalidad por un número infinito de privaciones. Haldane (2007) ha argumentado que incluso si las meras carencias no pueden ser causas, las privaciones pueden serlo. Es incorrecto decir que la falta de alas de Smith hizo que llegara tarde a una reunión, incluso si hubiera llegado a tiempo si tuviera alas, pero podría ser correcto que la falta de piernas de Smith hizo que llegara tarde a la reunión. . Esto podría encajar muy bien con una de las soluciones al problema de Grim Reaper. Por

podría ser que cuando algo tiene el poder (o al menos la disposición) para hacer algo en una condición de activación, como cuando cada Grim Reaper tiene el poder (y la disposición) para encender la lámpara con la condición de que la lámpara esté apagada, entonces cuenta como privado del ejercicio de ese poder cuando la condición está ausente.

3. Algunos competidores del finitismo causal 3.1 Finitismo Es hora de considerar otras hipótesis que descarten paradojas del infinito. El primero de ellos ya se consideró en el Capítulo 1: el finitismo. El finitismo es más simple que el finitismo causal y eso lo convierte en un competidor atractivo. Además, tiene la ventaja de descartar paradojas no causales del infinito. Sin embargo, como vimos, también descarta demasiadas cosas: es difícil reconciliarlo con hechos matemáticos como la existencia de infinitos números primos u otros números. Además, la simplicidad del finitismo es algo engañosa. Porque es sólo cuando está casado con otras tesis metafísicas que el finitismo descarta las paradojas que hemos considerado. Si el presentismo es cierto, entonces el finitismo solo nos dice que no hay una infinidad presente de elementos, y eso no es suficiente para descartar muchas de las paradojas causales de este libro. Para descartarlos, el finitismo necesita el eternismo o una teoría del tiempo en bloque creciente. Dado el eternismo, el finitismo descarta los infinitos pasados, presentes y futuros. Pero la teoría resultante es muy contradictoria: descarta la posibilidad de una colección futura infinita de eventos. Esto significa que el finitismo, para hacer su trabajo de cazar paradojas y evitar la refutación por referencia a eventos futuros, debe estar unido a una teoría del tiempo en bloques cada vez mayor. Ahora bien, mientras que el finitismo en sí mismo es una teoría simple, el finitismo más el bloque creciente es más complejo y hereda las conocidas dificultades del bloque creciente. Por ejemplo, primero, las teorías de bloques en crecimiento postulan una simultaneidad absoluta: todos los eventos en el borde de ataque del bloque en crecimiento son absolutamente simultáneos. Si bien con algunos trabajos

refinamiento esto puede conciliarse con las predicciones empíricas de la teoría de la relatividad (Smith 1993, sección 7.2), todavía está en tensión con la metafísica que surge más naturalmente de la relatividad, una metafísica en la que no existe una simultaneidad metafísicamente absoluta. En segundo lugar, en el Capítulo 1, Sección 4.1, hemos discutido el argumento de Merricks (2006) de que el bloque creciente conduce a un escepticismo absurdo sobre si este tiempo está presente. El finitismo no es, por tanto, un buen competidor del finitismo causal. Está en tensión con las matemáticas, y necesitaríamos agregarle la creciente teoría del bloque del tiempo que aumenta la complejidad y vulnerabilidad general de la teoría. Consideremos ahora algunos competidores más.

refinamiento, alternativas y extensiones

3.2 Sin regresiones infinitas Como se vio en el Capítulo 2, existe un apoyo intuitivo para negar la existencia de regresiones causales infinitas independientemente de las diversas paradojas. Además, negar la existencia de regresiones causales infinitas acabará con una serie de paradojas. Por ejemplo, la forma natural de entender las paradojas de adivinar un dado del capítulo 5 implica una regresión infinita. En el tiempo 0, su conocimiento de las tiradas en los tiempos ..., −4, −3, −2, −1 se debe en parte a su conocimiento en el tiempo −1 de las tiradas en los tiempos ..., −4, −3 , −2, que a su vez se debe en parte a tu conocimiento en el tiempo −2 de las tiradas en los tiempos ..., −4, −3, y así sucesivamente. Sin embargo, las supertareas de la variedad Lámpara de Thomson en realidad no implican una regresión infinita: antes de cada accionar el interruptor, solo hay un número finito de cambios. Además, existen paradojas que involucran un número infinito de causas que trabajan juntas, pero aparentemente no de una manera regresiva, como en el juego de adivinanzas interpersonal en el Capítulo 5, Sección 2.5. Entonces, si bien una tesis sin regresión hará mucho del mismo trabajo que el finitismo causal, no hace suficiente trabajo.

3.3 Sin infinitos pasados Existe una intuición aristotélica cuyo lema es que los infinitos completos son imposibles (por ejemplo, ver Craig 2009). No se puede atravesar un infinito. La infinidad de días futuros es ciertamente posible, pero incluso si hay una vida infinita después de la muerte, nadie podrá decir nunca con sinceridad: "He completado una vida infinita". Así, la intuición no descarta un futuro infinito. Es natural leer la intuición aristotélica como una negación de la posibilidad de infinitos pasados. Un infinito pasado se completa, se acaba. El mundo lo ha atravesado. Y eso es imposible según el aristotélico. Si las causas deben ser temporalmente anteriores a sus efectos, entonces la imposibilidad de los infinitos pasados implica inmediatamente el finitismo causal: si hay una historia causal infinita, entonces en el momento del efecto hay un pasado infinito. Pero es plausible que las causas también puedan ser simultáneas con sus efectos, como en el famoso ejemplo de Kant (1907) de una bola de hierro presionando simultáneamente un cojín. Si la causalidad simultánea es posible, entonces el argumento anterior para el finitismo causal de la imposibilidad de infinitos pasados falla en el caso de un número infinito de elementos que causan algo simultáneamente, cuando toda esta causalidad

algunos competidores del finitismo causal ocurre en el último momento del tiempo. Sin embargo, es extremadamente plausible que si un número infinito de elementos pueden causar algo simultáneamente en el último momento del tiempo, pueden causar simultáneamente algo en un momento que es sucedido por un momento posterior. Así que todavía tenemos un fuerte argumento desde la imposibilidad de los infinitos pasados hasta el finitismo causal si debilitamos el supuesto de que las causas son anteriores a sus efectos al supuesto de que las causas son anteriores o simultáneos a sus efectos.

Desafortunadamente, incluso la suposición más débil puede ser falsa. Primero, quizás algo temporal podría tener una causa atemporal. El teísmo clásico sostiene que Dios es atemporal y, sin embargo, creó un mundo con el tiempo. En segundo lugar, aparte de los casos en que la causalidad hacia atrás da lugar a círculos causales, la causalidad hacia atrás —donde la causa es posterior al efecto— parece ser metafísicamente posible, incluso si puede ser descartada contingentemente por las leyes de la física. Sin embargo, si las causas no necesitan ser anteriores o simultáneas con sus efectos, entonces la negación de los infinitos pasados es insuficiente para descartar todas las paradojas que debemos descartar. Por ejemplo, considere el juego de adivinanzas que involucra a un número infinito de personas en el Capítulo 5, Sección 2.5. Lo que era crucial era la disponibilidad de información sobre una infinidad de tiradas. Cómo se organizan los rollos en el tiempo es irrelevante. La historia funcionaría igual de bien, por ejemplo, si cada tirada ocurriera en un universo insular separado, sin que hubiera una sola serie temporal que recorra todos los universos insulares. De hecho, si las causas no tienen que ser anteriores o simultáneas con sus efectos, entonces es muy plausible que sea posible viajar en el tiempo. Pero si es posible viajar en el tiempo, entonces debería ser posible vivir la vida al revés, siendo concebido y nacido en el futuro (externo) y viviendo en el pasado. La forma más fácil de obtener esa posibilidad es suponer que el tiempo es una serie de momentos discretos. Entonces, nuestra persona que vive al revés viaja en el tiempo de cada momento al anterior, en lugar de "viajar en el tiempo" de cada momento al siguiente, como lo hacemos todos normalmente. Pero si una vida tan atrasada es posible, entonces la negación de los infinitos pasados es insuficiente para descartar la posibilidad de atravesar una serie infinita. Pues imagina a alguien que, según nuestro tiempo externo, ahora existe y existirá siempre. Pero ella vive su vida al revés. Esta persona, por lo tanto, en este punto se puede decir que ha vivido una vida infinita. Y si este es su momento de muerte, entonces ha completado esa vida infinita, contrariamente a la intuición aristotélica de que no hay infinitos completos. Entonces, si las causas no tienen que ser anteriores o simultáneas con sus efectos, la misma intuición aristotélica que empujó a uno a negar los infinitos pasados también empuja a uno más allá de esa negación. De hecho, lo empuja a uno al finitismo causal, porque como vimos en el caso de la vida al revés, lo que es

refinamiento, alternativas y extensiones problemático para las intuiciones es la existencia de infinitas causas, no su disposición temporal. Pero una vez que llegamos aquí y admitimos que debemos aceptar el finitismo causal, vale la pena preguntarse si debemos negar los infinitos pasados como tales. El finitismo causal parece suficiente para hacer justicia a muchas de las intuiciones sobre el recorrido de una secuencia infinita. Y es la mezcla de causalidad lo que parece dar lugar a paradojas reales. Por lo tanto, podemos considerar que el finitismo causal es la mejor manera de hacer justicia a las intuiciones detrás de la negación de los infinitos completos. Lo completo aquí puede entenderse como lo que está a la mano (¡para decirlo en términos heideggerianos!), Lo que en cierto sentido es utilizable, es decir, lo que está listo para ser una causa, y en este sentido, si el finitismo causal es cierto, hay no puede haber infinitos completos.

3.4 Sin magnitudes intensivas infinitas En un libro reciente, Huemer (2016) ha examinado una colección de paradojas del infinito que se superponen a la colección considerada en este libro y empleó la misma estrategia de encontrar una hipótesis metafísica que descarte paradojas. En su caso, la hipótesis era que no puede haber magnitudes intensivas infinitas. Las magnitudes que interesan a Huemer son todas magnitudes naturales, los tipos de magnitudes que se pueden encontrar en las explicaciones científicas (cf. Huemer 2016, págs. 135–7). Por ejemplo, si m es la masa de un objeto en gramos y h es el volumen del objeto en pulgadas cúbicas, entonces m + 2h no se encuentra entre las magnitudes naturales que interesan a Huemer. Por otro lado, magnitudes como carga, masa y el volumen son magnitudes naturales. Ahora, estas magnitudes naturales se dividen en dos tipos. Una magnitud extensa es aquella que se puede definir sumando valores de alguna magnitud natural. Por ejemplo, la masa o carga total de un objeto es la suma de las masas o cargas de las partes. Las magnitudes que no se definen como tales sumas son intensivas. Huemer permite que algunas magnitudes extensivas sean infinitas, pero las intensivas nunca pueden serlo. Por tanto, en principio es posible que el universo contenga una cantidad infinita de masa, ya que la masa total del universo es una magnitud extensa. Esto es algo bueno: encaja con la intuición de que el universo podría ser infinito y le permite a Huemer rechazar el finitismo, tal como lo hace este libro. Por otro lado, no es posible que el universo tenga una densidad infinita según Huemer, ya que la densidad es una magnitud intensiva, Es necesaria la restricción de la teoría a magnitudes naturales. Porque si permitimos magnitudes no naturales, el finitismo sigue inmediatamente. Porque si el finitismo es falso, entonces el recuento logarítmico de los objetos existentes es

algunos competidores del finitismo causal infinito, donde el recuento logarítmico de Fs es el logaritmo del número de Fs, pero no se define como una suma. Afortunadamente, el recuento de registros de los objetos existentes no entra en explicaciones científicas.88 Esto le permite a Huemer descartar una serie de paradojas argumentando que las realizaciones plausibles de estas paradojas implicarán una magnitud intensiva infinita. Por ejemplo, la distancia total movida por el interruptor de palanca en la lámpara de Thomson será infinita. Eso está bien, ya que la distancia total recorrida es una magnitud extensa. Pero la velocidad del movimiento del interruptor de palanca también será infinita, ya que estará dada por D / T donde D es la distancia total

Y aunque tanto D como T son extensivos, D / T no lo es, por lo que la lámpara de Thomson implica una magnitud intensiva infinita y, por lo tanto, es imposible. La resolución de Huemer de las paradojas tiene múltiples problemas. Primero, argumentaré que, según la explicación de Huemer de la intensidad, hay varios ejemplos de magnitudes naturales intensivas que pueden ser infinitas, asumiendo que el finitismo es falso. En segundo lugar, las restricciones de Huemer contra los infinitos intensivos no acaban de hecho con todas las paradojas a las que las aplica, porque algunos de los infinitos intensivos en cuestión no son naturales. En tercer lugar, discutiré la posibilidad de seres inmateriales que se escapen de las restricciones de Huemer.

3.4.2.1 Centro de masa y momentos de inercia El centro de masa de una pluralidad de objetos es una magnitud natural (valorada por vectores). Pero si el finitismo es falso, seguramente es posible tener una pila de panqueques de igual tamaño y masa, con la pila infinita en la dirección ascendente (supongamos que es el eje z) y finita en todas las demás direcciones. La coordenada z del centro de masa de la pila de panqueques será entonces infinita. Pero los centros de masa no son extensos: son promedios ponderados de posiciones más que sumas. Por tanto, si el finitismo es falso, es posible tener una magnitud natural infinita que no sea extensiva. Se podría objetar que las magnitudes huemerianas deben ser escalares en lugar de vectores. Si es así, simplemente ejecute mi argumento en una dimensión. Uno podría tener un universo con una sola dimensión espacial, y el centro de masa en tal universo podría ser un escalar (medido en relación con un punto cero privilegiado, digamos). Y podemos simplemente imaginar una secuencia de partículas masivas yendo al

88 Supongo que el número de Fs puede considerarse una suma y, por lo tanto, es extenso: es la suma de una unidad por F.Esto es un poco incómodo, pero Huemer tiene que decir algo así ya que el número de objetos de algún tipo natural entra en explicaciones científicas —por ejemplo, la biología de poblaciones estudia el número de organismos de un tipo— y sería incómodamente cercano al finitismo tener que decir que ningún tipo natural puede tener infinitas cosas.

refinamiento, alternativas y extensiones infinito en una dirección pero no en la otra, lo que resultaría en una posición tan infinita del centro de masa. 3.4.2.2 Vida mental A Jim no le gusta tener cabello, y asigna una utilidad a tener n cabellos que son proporcionales a 1 / n, sin que el cabello se vuelva infinitamente útil. Jim y se arranca todos los cabellos como resultado de su asignación de utilidad. La explicación de por qué Jim se arrancó todos los pelos es que su utilidad subjetiva para ese estado de cosas era infinita. Pero la utilidad subjetiva para un estado de cosas es una magnitud natural: entra en explicaciones en economía y psicología. Además, la utilidad subjetiva para un estado de cosas no es, en general, una magnitud extensiva. Por tanto, hay una magnitud intensiva natural infinita, al contrario de Huemer. Los seres humanos son objeto de estudio científico y, sin embargo, son capaces de hacer que todo tipo de magnitudes sean explicativamente relevantes y, por lo tanto, naturales en el sentido necesario para la explicación de Huemer. Quizás, sin embargo, Huemer podría argumentar que la psicología no es una ciencia fundamental, y que solo las magnitudes infinitas fundamentales no extensivas son imposibles. Pero esto socava las propias aplicaciones de Huemer de su teoría a las paradojas. Las velocidades, densidades y resistencias generales de los materiales no son parte de la física fundamental. En el mejor de los casos, son partes de una física de nivel superior aproximadamente newtoniana. Sin embargo, Huemer necesita considerar tales magnitudes como intensas y descartadas por su teoría, a pesar de su no fundamentalidad.

3.4.2.3 Agujeros negrosHuemer (2016, p.159) rechaza los agujeros negros debido a los infinitos involucrados. Aquí presumiblemente tenemos que distinguir entre los agujeros negros como tales y los agujeros negros descritos por la Teoría de la Relatividad. Según la astronomía bien establecida, hay agujeros negros, por ejemplo, uno supermasivo en el centro de la galaxia Vía Láctea ubicado en la fuente de radio Sagitario A ∗ . Sin embargo, si estos objetos se describen correctamente en la teoría de la relatividad es otra cuestión. Si Huemer no ha de disputar la evidencia observacional, tiene que sostener que los infinitos intensivos que se obtienen en la descripción relativista del objeto en Sagitario A ∗ los objetos son una señal de la incorrección de la descripción y, de hecho, de la imposibilidad metafísica de esa descripción. la descripción es correcta. Esa es una movida costosa. 3.4.2.4 Partículas La densidad es una magnitud natural para Huemer (ver, por ejemplo, Huemer 2016, p. 211). Esto inmediatamente descarta las partículas puntuales que tienen una masa distinta de cero. Los electrones tienen masa, por lo que Huemer tiene que pensar que o no tienen dimensiones significativas o que su tamaño es distinto de cero.3 Esto impone una restricción significativa a la física

algunos competidores del finitismo causal basada en partículas. Significa que la física fundamental basada en partículas puntuales con masa no solo es falsa, sino que posiblemente no podría ser verdadera. Curiosamente, Huemer también puede tener que rechazar partículas con masa que tengan un tamaño distinto de cero. La razón para considerar las densidades como magnitudes naturales es que entran en explicaciones en la ciencia (no fundamental). Asimismo, los gradientes de densidad entran en explicaciones científicas. Aquí hay una descripción de "Centrifugación de gradiente de densidad": Podemos aprovechar la dependencia de la velocidad de sedimentación del disolvente y la densidad de las partículas […] centrifugando las partículas a través de un medio de densidad que aumenta gradualmente. Esto se logra estableciendo un gradiente de densidad entre una región de alta densidad en la parte inferior del tubo de centrifugación y una región de baja densidad en la parte superior […]. (Sheehan 2009, Sección 7.5.2, énfasis en el original)

Un gradiente de densidad es la tasa de cambio de densidad a medida que uno se mueve por el espacio. Claramente no es una magnitud extensa. Pero ahora, de forma plausible, si puede haber partículas de tamaño distinto de cero y masa distinta de cero, puede haber partículas de tamaño distinto de cero, extensión espacial bien definida y densidad uniforme distinta de cero ρ. Si ponemos una partícula de este tipo en el vacío y consideramos un camino desde el vacío hasta la partícula, a lo largo del camino encontraríamos un cambio instantáneo en la densidad de cero a ρ. Esto daría como resultado un gradiente de densidad infinito a lo largo del camino. Por lo tanto, la negación de magnitudes infinitas intensivas se encontrará con problemas tanto con partículas puntuales como con partículas extendidas de masa distinta de cero. Asimismo, tendrá problemas con las transiciones discontinuas de densidad, por ejemplo, entre dos materiales uniformes no particulados de diferente densidad. Y lo que se aplica a la densidad de masa y al gradiente de densidad de masa se aplicará a la densidad de carga y los gradientes de densidad de carga: por lo tanto, habrá problemas con partículas puntuales y extendidas de carga distinta de cero. 3

Estoy agradecido con Ian Slorach por inculcarme la importancia de esto.

La mejor apuesta de Huemer sería probablemente insistir en que las partículas fundamentales no pueden tener una extensión espacial bien definida. En algunas interpretaciones de la Mecánica Cuántica eso podría ser cierto, pero esta es una de las consecuencias contraintuitivas de la Mecánica Cuántica. Es un costo para Huemer no solo tener que insistir en que esta consecuencia contradictoria es cierta, sino que es necesariamente cierta.

refinamiento, alternativas y extensiones 3.4.3.1 Velocidad, lámpara de Thomson y hotel de HilbertEl interruptor de palanca de la lámpara de Thomson se mueve una distancia infinita. Esto es extenso. Pero la velocidad general es la distancia total recorrida dividida por el tiempo y, por lo tanto, es intensiva. Por tanto, la lámpara de Thomson implica un infinito intensivo. Sin embargo, Huemer no descarta todos los infinitos intensivos, sino solo los naturales, los que entran en las explicaciones. La velocidad instantánea definitivamente entra en las explicaciones científicas. Quizás la velocidad instantánea, la magnitud del vector velocidad, también lo haga. Pero no está nada claro que la velocidad general o promedio89 es una magnitud natural. Es tentador decir que el hecho de que un objeto se haya movido una distancia D en un período de tiempo T se explica porque tiene una velocidad promedio de s tal que D = sT. Pero parece más correcto decir que la explicación de por qué el objeto se movió D en T es que D es igual a la integral de la velocidad instantánea durante el período de tiempo. Después de todo, no deberíamos decir que un ascensor tiene 300 kilogramos porque contiene cuatro personas cuya masa promedio es de 75 kg, sino que el ascensor tiene 300 kilogramos porque esa es la suma de las masas de las personas en it: no es necesario dividir el total entre 4 para obtener el promedio y luego multiplicar por 4 nuevamente para obtener la explicación. Además, hay una razón por la que específicamente Huemer no debería considerar la velocidad general como una magnitud natural intensiva. Imagínese una partícula en un mundo no relativista que se acelera exponencialmente de modo que en el enésimo segundo viaja 2n metros. La velocidad media o general de esta partícula durante todo el tiempo futuro será infinita. Huemer (2016, p. 160) sugiere que puede que tenga que haber un límite máximo para la velocidad de los objetos de acuerdo con las leyes de la naturaleza, pero esto simplemente no es plausible. Hacerlo haría que la mecánica newtoniana fuera metafísicamente imposible, porque si tuviéramos un disco newtoniano cuya circunferencia se moviera a la máxima velocidad, podríamos paramos en el disco, extender un palo más allá de la periferia y la punta del palo se movería a una velocidad mayor. (cf. Leibniz 1989, pág. 237). Además, ciertamente parece metafísicamente posible tener una mente inmaterial o un mago que pueda teletransportar instantáneamente un interruptor de una posición a otra.

Huemer tiene otros movimientos aquí. La cantidad de trabajo invertido en accionar el interruptor es infinita, lo que, según él, generará un agujero negro (Huemer 2016, p. 198). Huemer, sin embargo, cree que los agujeros negros como se entienden en la 89∗ ∗ Los dos son iguales suponiendo que el movimiento sea lo suficientemente suave. Si un objeto se mueve del tiempo 0 al tiempo T y su vector de posición en el tiempo t es x (t), entonces asumiendo que la

posición es diferenciable y la derivada es integrable, la distancia recorrida será velocidad general será velocidad en el tiempo t.

| dt, por lo que la

| dt. Pero la velocidad media será la misma, ya que

| es la

algunos competidores del finitismo causal Relatividad General son imposibles ya que involucran densidades y curvaturas infinitas, y concluye de esto que la Relatividad General es falsa (Huemer 2016, p. 159). Esto crea un dilema para Huemer. Si la relatividad general es cierta, la teoría de Huemer falla por su propia admisión. Pero si la relatividad general es falsa, ¿qué garantía hay de que una cantidad infinita de trabajo produciría un agujero negro? Y, en cualquier caso, la afirmación de que tendría que estar involucrada una cantidad infinita de trabajo es dudosa. Podríamos suponer, por ejemplo, 3.4.3.2 ∗ Vara de Smullyan Recuerde cómo el finitismo causal descartó la vara de Smullyan, la barra rígida semiinfinita balanceada en un extremo a cierta distancia por encima de una superficie plana infinita porque no puede girar hacia abajo en ningún ángulo, por pequeño que sea (Capítulo 3, Sección 4.2). Huemer (2016, p. 184) tiene una resolución diferente. Habrá infinitas fuerzas involucradas. La varilla, que es infinitamente pesada, tendrá que doblarse a menos que tenga una resistencia infinita a la flexión. Por la misma razón, perforará el plano sobre el que está suspendido a menos que ese plano tenga una fuerza infinita. Pero las fortalezas son intensivas y, por lo tanto, no pueden ser infinitas.

Sin embargo, la historia se puede modificar fácilmente para evitar fuerzas infinitas. Suponga que la densidad en cada metro de la varilla, comenzando en el extremo finito, es la mitad de la densidad en el metro anterior. Entonces, la masa total de la barra es finita, las fuerzas gravitacionales son finitas y el par de torsión gravitacional alrededor del pivote o cualquier punto de la barra también será finito. Pero incluso con fuerzas finitas existe el problema de la rigidez de la barra. Consideremos este problema con un poco más de detalle que Huemer. En el mundo real, una varilla isotrópica sólida de sección transversal circular de diámetro D y longitud finita L fijada en un extremo con una fuerza de carga perpendicular F en el otro extremo exhibe (al menos aproximadamente 3

πD E(ver Nielsen y Landel 1994, p. 38). Por tanto, siempre que la fuerza no sea cero y el módulo de Young sea finito, la deflexión no será cero. Pero cualquier desviación doblará la varilla, y el resultado presumiblemente será que a cierta distancia del pivote, la varilla estará apoyada en el suelo (opción (d) en Huemer 2016, p. 184). Por lo tanto, si bien el problema de Huemer de fuerzas infinitas puede evitarse, la varilla necesitaría tener un módulo de Young infinito para evitar doblarse incluso bajo fuerzas finitas. Huemer ahora puede decir que el módulo de Young es una cantidad intensiva y, por tanto, no puede ser infinito. Por supuesto, podría conceder que la solución de Huemer funciona para la vara de Smullyan. Pero las cosas no están tan claras. Primero, no es plausible que el tipo de proporcionalidad de la desviación a las fuerzas pequeñas 3 que el 3 πD Eencarna la fórmula es metafísicamente necesaria. y para fuerzas lo suficientemente pequeñas como para estar en el régimen lineal) una deflexión de 3

Es posible tener un mundo de física clásica donde en lugar de respuestas de flexión lineales a fuerzas pequeñas, hay una respuesta de umbral de modo que para fuerzas lo suficientemente pequeñas, no hay flexión en absoluto, y la flexión solo comienza

refinamiento, alternativas y extensiones una vez que la fuerza alcanza algún umbral. Por ejemplo, la ley de deflexión podría decir que la deflexión es 0 si F ≤ F0 donde F0 se determina de alguna manera nómica a partir de las dimensiones de la varilla y es L3

para F ≥ F0.

Así, pequeños retoques a la paradoja y las leyes hacen fracasar las resoluciones huemerianas. Pero la resolución finitista causal, donde la magnitud del torque y los grados de rigidez eran irrelevantes, no se ve afectada. En segundo lugar, no está claro por qué el módulo de Young en lugar de su recíproco es de hecho la magnitud natural. Podemos pensar en el módulo de Young para un material determinado por la relación límite entre la fuerza de compresión y la deformación (véase Nielsen y Landel 1994, p. 36): F/UNA mi = lim

,

L→ L0 + (L - L0) / L0

donde tenemos un cilindro vertical de material con altura inicial L0 y una cara superior del área A y se aplica una fuerza F perpendicularmente hacia abajo a la cara superior del cilindro para aplastarlo a la altura L. Por lo tanto, E es una medida de la resistencia del material. Pero se podría haber definido igualmente bien algo como la propensión E a comprimir: mi = lim (L - L0) / L0, F → 0 + F / A y luego la deflexión de la varilla en voladizo estaría dada por 643EπDFL43. Luego, para obtener una rigidez perfecta, todo lo que necesitaríamos es que E sea cero. No hay razón para pensar que E en lugar de E es la magnitud natural, y pensar que ambas son magnitudes naturales ofende la parsimonia. Además, si ambos son magnitudes, entonces por la misma razón deberíamos pensar que tanto la densidad como el recíproco de la densidad son una magnitud natural, lo que prohibiría absurdamente que una región del espacio esté vacía, como lo haría el recíproco de la densidad del espacio vacío. sea infinito.90 3.4.3.3 Mentes inmaterialesEn relación con la lámpara de Thomson, ya mencioné la posibilidad de que una mente inmaterial accione un interruptor físico. Pero también se pueden ejemplificar algunas de nuestras paradojas por medio de mentes inmateriales telepáticas únicamente. Por ejemplo, si bien nuestra encarnación inicial de la paradoja de la Parca implicaba que se encendiera una lámpara, también podríamos reemplazar la lámpara por una mente y las Parcas por otras mentes, cada una de las cuales es capaz de dar a la primera mente una idea de que la primera la 90

Estoy particularmente agradecido con Ian Slorach por sus comentarios sobre múltiples versiones de mi discusión sobre la vara de Smullyan.

algunos competidores del finitismo causal mente nunca podría estar sola. Muchas de las paradojas actuales se pueden ejecutar así. Huemer, por otro lado, tiene que descartar la posibilidad misma de interactuar con mentes inmateriales o argumentar que cuando estas mentes están organizadas

Sea para una de las paradojas, todavía habría infinitas magnitudes intensivas. Argumentar a favor de una tesis tan controvertida como la imposibilidad de las mentes inmateriales sobre la base de las paradojas del infinito parece exagerar, especialmente dada la alternativa del finitismo causal que no tiene problemas con las mentes inmateriales, pero descarta los arreglos causales infinitos paradójicos de tales mentes. Quizás se podría argumentar que las mentes inmateriales dispuestas paradójicamente tendrían magnitudes intensivas infinitas. Pero esa es una tarea difícil.

La inteligente resolución de Huemer a veces es inestable con modificaciones menores a las paradojas. Además, no está claro que las magnitudes que necesita para ser intensivo sean lo suficientemente naturales. Y parece haber magnitudes que son intensivas pero que plausiblemente pueden ser infinitas. Quizás se pueda argumentar que algunas de estas magnitudes no son naturales, pero es difícil argumentar simultáneamente que no son naturales y argumentar que las que Huemer necesita para ser naturales son naturales. El finitismo causal es una solución superior.

3.5 Sin espacio Otro enfoque de las paradojas es negar que pudiera haber espacio en el espaciotiempo para las entidades postuladas por las paradojas causales del infinito. Varias de las paradojas hacen uso de un pasado infinito. Entonces, primero, necesitamos: (2) Es imposible que el tiempo retroceda infinitamente. Esto por sí solo es insuficiente, ya que todas las paradojas que hacen uso de un pasado infinito también se pueden ejecutar en un pasado finito utilizando una supertask. Para ello, necesitamos una tesis de discreción: (3) Es imposible que haya una infinidad de instantes entre dos instantes de tiempo. También necesitamos descartar una causalidad temporalmente atrasada o un futuro infinito. Porque si puede haber un futuro infinito y es posible una causalidad temporalmente hacia atrás, entonces podemos simplemente ejecutar nuestras paradojas temporalmente hacia atrás. Por ejemplo, las paradojas secuenciales de adivinar el dado del capítulo 5 se pueden ejecutar asumiendo que usted percibe las

refinamiento, alternativas y extensiones tiradas futuras pero no las pasadas y debe adivinar la pasada inmediata. Por tanto, necesitamos: (4) Es imposible que la causalidad vaya del futuro al pasado. Pero la paradoja multipersonal de adivinar un dado infinito en el Capítulo 5, Sección 2.5 no requiere una infinidad de causas encadenadas en el tiempo; una infinidad de causas al mismo tiempo es suficiente. Además, es plausible que sea posible una causalidad simultánea. Además, si la causalidad simultánea es posible, entonces debería ser posible que al menos algunas de las paradojas que involucraron supertareas o pasados infinitos

arreglo de causas. Por ejemplo, tome el Grim Reaper. Supongamos que hay una lámpara y una secuencia de Grim Reapers, cada una capaz de encender la lámpara de forma instantánea y remota. Los Reapers están dispuestos de izquierda a derecha en una línea, en las coordenadas ..., 1/4, 1/2, 1, o tal vez ..., −3, −2, −1. Cada Reaper se activa en t0 y comprueba si alguno de los Reaper a su izquierda está encendiendo la lámpara en t0. Si no hay ninguno, lo enciende. Estas paradojas pueden ser un poco menos impresionantes que sus versiones diacrónicas, pero no obstante tienen fuerza. Finalmente, es intuitivamente plausible que si el tiempo debe ser discreto, también debe serlo el espacio. Intuitivamente, si el espacio es continuo, uno debería poder moverse continuamente a través del espacio, pero eso requeriría que el tiempo fuera continuo en lugar de discreto. Todos estos pensamientos hacen que sea muy probable que la resolución sin espacios de las paradojas también esté comprometida con: (5) Necesariamente, el espacio es discreto y de extensión finita. Pero suponer que el espacio es discreto y finito en extensión solo ayuda a evitar las paradojas que involucran infinitos simultáneos si suponemos: (6) Necesariamente, todas las causas están en el espacio. De lo contrario, uno podría ejecutar las paradojas utilizando causas no espaciales, por ejemplo, mentes incorpóreas capaces de hacer que sucedan eventos mentales indeterministas y, por lo tanto, capaces de ejecutar paradojas de dardos. Además, debemos suponer algo como: (7) Dos entidades fundamentales causalmente eficaces distintas no pueden estar presentes en la misma ubicación espacio-temporal.91

91

La restricción a las entidades fundamentales es evitar contraejemplos como el bulto y la estatua hechos a partir del bulto, los cuales podrían considerarse causalmente eficaces, por ejemplo, gravitacionalmente.

algunos competidores del finitismo causal Si no tenemos una razón principal para negar infinitos causales y permitimos que dos entidades fundamentales causalmente eficaces distintas se coloquen, sería ad hoc no permitir un número infinito. Y si pudiera haber un número infinito, entonces podríamos ejecutar paradojas causales del infinito usando causas colocadas (digamos, fantasmas todos presentes en el mismo lugar al mismo tiempo). Por lo tanto, para que la respuesta sin espacio haga el mismo trabajo que el finitismo causal se requiere un gran número de tesis: (2) - (7). El finitismo causal es un postulado mucho más simple. Además, alguna reflexión muestra que tuvimos que plantear todas estas tesis precisamente para descartar infinitas historias causales, es decir, para establecer el finitismo causal. Es preferible simplemente aceptar el finitismo causal en sí mismo, a menos que tengamos argumentos independientes para las tesis anteriores. Por supuesto, hay algunos argumentos independientes para algunas de las tesis. Puede ser que las paradojas de Zenón apoyen las tesis de la discreción sobre el espacio y el tiempo, por ejemplo. Por otro lado, sin embargo, hay alguna razón empírica para negar (7). Porque los fotones y otros bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico y, por tanto, estar colocados. Y

refinamiento, alternativas y extensiones ¿Por qué es cierto el finitismo causal?

incluso si la física última resulta postular campos en lugar de partículas, 7 parece muy probable que pueda haber más de un campo en una ubicación determinada: parece posible que un universo esté inundado tanto por un campo electromagnético como por un campo gravitacional. Por tanto, no hemos encontrado una alternativa satisfactoria al finitismo causal.

4. ¿Por qué es cierto el finitismo causal? 4.1 La pregunta Si tengo razón, entonces el finitismo causal es cierto. Pero, ¿por qué es verdad? ¿Qué “fuerza metafísica” impide que se congreguen infinitas causas en la historia causal de algún evento? Después de todo, seguramente, para cualquier número finito n, es posible tener n causas trabajando juntas. ¿Por qué solo para n finitos? La pregunta explicativa difiere de la justificativa. Si los argumentos hasta ahora tienen éxito, entonces está justificado pensar que solo un número finito de elementos es posible en las historias causales, pero no tenemos una explicación de por qué existe tal restricción. La pregunta explicativa es profundamente interesante desde el punto de vista filosófico. Pero no es necesario que la respondamos aquí. Imagínese que un metafísico haya recopilado una gran cantidad de argumentos a favor de la verdad necesaria del platonismo. Sería realmente bueno si pudiera darnos una explicación de por qué el platonismo es verdadero que vaya más allá de la afirmación de que es necesariamente cierto o de que tal o cual es la naturaleza de la predicación. La explicación deseada, presumiblemente, explicaría por qué existen entidades platónicas como las propiedades y los números. Sería un desarrollo filosófico apasionante. Pero la incapacidad de dar tal explicación probablemente haría muy poco para desafiar los argumentos del filósofo a favor del platonismo. Del mismo modo, no es necesario dar una explicación de por qué el finitismo causal es verdadero para sostener los argumentos del libro.

4.2 Algunas sugerencias explicativas Cada proyecto explicativo se detiene en alguna parte. El principal proyecto explicativo de este libro se detiene en el finitismo causal. No defiendo aquí una teoría sobre la "fuerza" metafísica que impide infinitas historias causales. Pero puedo discutir brevemente dos respuestas especulativas. Una opción para explicar por qué el finitismo causal es verdadero viene dada por la historia sin habitación encapsulada por las tesis (2) - (7). La falta de espacio es entonces la fuente de la "fuerza" metafísica que impide la cooperación causal infinita. Pero esta no es una explicación unificada. La tesis simple y elegante del finitismo causal está siendo explicada por un gran número de tesis sobre tres temas diferentes:

tiempo, espacio y causalidad. Además, al menos una de las tesis, a saber, la negación de

7

Agradezco a Ian Slorach por plantear esta preocupación.

la colocación de entidades fundamentales causalmente eficaces es probablemente falsa, como vimos. Y tendríamos un nuevo conjunto de preguntas explicativas: ¿Por qué (2) - (7) son verdaderas? Una segunda opción buscaría una explicación del finitismo causal en la naturaleza de la relación causal. A partir del resultado del Apéndice del Capítulo 2, podemos ver que el finitismo causal es la conjunción de dos tesis: la cooperación causal infinita es imposible y las regresiones causales son imposibles. Pero supongamos ahora que la relación causal relevante —digamos, causalidad parcial, contribución causal o influencia causal— resulta ser transitiva. Entonces, cada elemento de una regresión causal que conduzca a un efecto e estará en esa relación causal con e. Entonces podemos decir que así como está en la naturaleza de, digamos, causalidad parcial que sea transitiva, también está en la naturaleza de ser parcialmente causada que una cosa sólo pueda tener esa relación con un número finito de otras. Por supuesto, eso plantea otra pregunta explicativa: ¿Por qué la naturaleza de ser parcialmente causada es así? Pero uno debe detenerse en algún lugar del proyecto explicativo si se quiere escribir un libro finito. Y, por tanto, hay espacio para futuras exploraciones.

5. Más ampliaciones 5.1 Bucles causales Como vimos en los capítulos 2 y 3, existen paralelismos sugerentes entre arreglos causales infinitos y bucles causales. Sería muy bueno si se pudiera unificar el rechazo de los bucles causales con el rechazo de los arreglos causales infinitos y, de hecho, proporcionaría evidencia adicional para ambas tesis. Podemos efectuar tal unificación.92 Para ser concreto, suponga que una gallina que viaja en el tiempo puso un huevo en el pasado que se convirtió en esa misma gallina. Luego (causalmente) antes de la gallina, había un huevo, antes del cual había una gallina, que fue precedida por un huevo, y luego por una gallina, y así ad infinitum. Eso suena muy parecido al tipo de regresión causal que niega el finitismo causal. Pero no es exactamente lo mismo,

92

∗ Compare también cómo el axioma de regularidad (ver Capítulo 2, Sección 6) no solo descarta las

regresiones de membresía de conjuntos hacia atrás, sino también los ciclos de membresía.

refinamiento, alternativas y extensiones porque estas infinitas afirmaciones causales tienen que ver con una sola gallina y un huevo, y eso involucra dos cosas en lugar de infinitas. Lo que podemos hacer en este punto, sin embargo, es formular una generalización teórica de grafos tanto del finitismo causal como de la negación de los bucles causales. Piense en un nexo causal como una pluralidad de nodos —la relación de relaciones causales— junto con líneas dirigidas entre los nodos, donde el nexo contiene la línea dirigida x - → y siempre que x sea al menos una causa parcial de y. (No estoy asumiendo ni excluyendo que la causalidad parcial sea transitiva). Si x1, ..., xn es una secuencia finita de nodos tal que xi - → xi + 1 es una línea dirigida en un nexo causal, entonces digamos que x1, ..., xn es una secuencia monótona que culmina con xn. más extensiones A veces, para mayor claridad, escribiré la secuencia x1 - → ··· - → xn. Tenga en cuenta que si hay bucles causales, no hay garantía de que las xi sean distintas. Ahora podemos formular una tesis unificada que subsume tanto el finitismo causal como la negación de los bucles causales: (8) Ningún nexo causal posible contiene un nodo y que es la culminación de infinitas secuencias monotónicas. Aquí hay cuatro ejemplos paradigmáticos de violaciones de (8) (Fig. 7.2). Autocausalidad: Si c es autocausado, entonces c culmina las secuencias monótonas repetidas c - → c, c - → c - → c, c - → c - → c - → c, y así sucesivamente. Alternancia: En el ciclo causal de la gallina (c) y el huevo (e) que viajan en el tiempo, la gallina culmina las siguientes secuencias monotónicas repetidas: e - → c, c - → e - → c, e - → c - → e - → c, y así. Regreso: Hay un nodo y que culmina un número infinito de secuencias monótonas de la siguiente forma: y − 1 - → y, y − 2 - → y − 1 - → y, y − 3 - → y − 2 - → y − 1 - → y, y así sucesivamente. Cooperación inmediata: Un solo nodo y tiene infinitas líneas directas distintas que apuntan a él: x1 - → y, x2 - → y, x3 - → y, y así sucesivamente. La paradoja de la adivinación interpersonal del Capítulo 5, Sección 2.5 tiene esta estructura. Podemos considerar que las flechas aquí son las relaciones que decidamos que son las que definen el finitismo causal en términos. El tema principal de este libro no es el viaje en el tiempo o los bucles causales, sino el infinito. Por tanto, la extensión del finitismo causal para descartar bucles causales es algo que dejo como opcional. No obstante, la rigidez de las analogías entre descartar historias causales infinitas y bucles causales es muy sugerente, y descartar cada una refuerza el caso para descartar la otra.

También podríamos preferir hablar de prioridad causal en lugar de causalidad parcial. Dejo que el lector realice los cambios necesarios.

y

y

y

y

Figura 7.2 Cuatro violaciones paradigmáticas de (8).

5.2 Relaciones explicativas Aristóteles (1984, p. Physics II.3) distinguió cuatro tipos de causas: eficiente, material, formal y final. Cada uno de estos correspondía a un tipo diferente de explicación. El finitismo causal de este libro se refiere a la causalidad eficiente, aunque en la sección 2.2 consideramos brevemente una extensión de la causalidad material bajo la apariencia de un principio de que ningún objeto puede ser una fusión de infinitas partes. De manera más general, el finitismo causal material podría ser un finitismo mereológico, una negación de la posibilidad de que algo tenga infinitas partes;93 el finitismo causal formal negaría la posibilidad de infinitas definiciones adecuadas; y el finitismo causal final negaría la posibilidad de que una acción o evento tenga infinitos objetivos. Y podríamos generalizar aún más y decir simplemente que ninguna cosa o proposición puede tener infinitas explicaciones parciales, y así obtener un finitismo causal no solo para las cuatro causas de Aristóteles, sino también para cualquier otra relación explicativa que pueda haber descuidado. Hay una serie de dificultades con una generalización tan completa. Aquí hay cuatro algo representativos. Primero, considere algún enunciado aritmético universal, a saber, que todos los números naturales tienen alguna propiedad P, digamos, la propiedad de ser pares o impares. Parece que esta verdad universal se basa en un número infinito de verdades particulares: 0 tiene P, 1 tiene P, 2 tiene P, y así sucesivamente.

93Cf.

Aristóteles (1934, p. Libro VI).

refinamiento, alternativas y extensiones En segundo lugar, asumiendo que el finitismo es falso (como he argumentado en el Capítulo 1), este escenario también es posible: hay infinitos caballos y ningún caballo es morado. Entonces la proposición de que ningún caballo es morado tiene infinitas proposiciones de la forma hi no es morado explicarlo parcialmente. En tercer lugar, alguien que cree que vivirá para siempre puede estar racionalmente motivado promoviendo su bienestar mañana, pasado mañana, etc., teniendo así infinitas causas finales para su acción. Cuarto, suponga que el tetradimensionalismo es cierto e imagine un árbol que crece una nueva rama todos los días por la eternidad. El árbol, considerado como un objeto de cuatro dimensiones, tiene entonces infinitas ramas como partes. Estas dificultades no son insuperables. En el caso de que todos los números naturales tengan P, podemos negar que se haya dado una explicación genuina. Quizás una explicación genuina de por qué cada número natural es menor que un número primo u otro implicaría dar una prueba finita de este hecho, y si P es una propiedad que por razones gödelianas no puede probarse que la tengan todos los números naturales, entonces hay simplemente no hay explicación de por qué cada número tiene P.94 El caso de los caballos no morados es más difícil. Sin embargo, podríamos argumentar que una explicación parcial es parte de una explicación completa. Pero la única forma de hacer la evaluación general proposiciones hola no es morado

Ser parte de una explicación completa es agregar

la proposición infinita de que cada caballo es uno de h1, h2, ..., y tal vez las proposiciones infinitas son imposibles, ya que están compuestas por una infinidad de constituyentes. Por lo tanto, ninguna de las explicaciones individuales es siquiera una explicación parcial. El caso del bienestar futuro es quizás el más fácil de manejar: de hecho, no participamos en un número infinito de actos de pensamiento motivadores dirigidos hacia el futuro, por lo que el agente probablemente esté motivado por un solo acto de pensamiento que se cuantifica universalmente en los días futuros. Podemos describir esto en términos de la posesión de infinitas causas finales, pero esa descripción de hecho no da una explicación correcta de la acción, siendo la explicación correcta mucho más unificada. (En el Capítulo 9, Sección 3.2 también discutiremos el caso más difícil de las razones de Dios). El árbol infinito es difícil. Una opción es decir que en el caso de totalidades orgánicas, el todo es completamente explicativo antes que las partes y las partes no son explicativamente antes que el todo. Así, quizás, mientras que el finitismo explicativo debería descartar fusiones infinitas, no debería descartar infinitos

94Esta

sugerencia violaría versiones del Principio de Razón Suficiente (PSR) que afirman que todas las verdades tienen explicaciones. Pero algunas defensas filosóficas del principio de razón suficiente se aplican solo a proposiciones contingentes (por ejemplo, Pruss 2006).

totalidades orgánicas. Otra opción es optar por alguna variedad de tridimensionalidad. No obstante, está lejos de ser claro que todas las variantes de tales objeciones al finitismo explicativo puedan responderse. Por ejemplo, en el Capítulo 9, Sección 3.3, veremos que los teístas tienen razones para rechazar el finitismo explicativo para ciertos tipos de explicaciones constitutivas. Además, no está claro que la explicación en general sea un género suficientemente unificado para justificar una generalización del finitismo causal al finitismo explicativo.

6. Evaluación general El finitismo causal sostiene, aproximadamente, que las historias causales son finitas. Algunos de nuestros puntos de elección se relacionan con la relación causal que genera historias causales, con muchas opciones disponibles, tales como: causalidad total, causalidad parcial o contributiva real, aseguramiento real o contributivo, dependencia contrafactual fundamentada causalmente, causalidad potencial parcial o contributiva, impacto y prioridad causal no analizada. De estos, el aseguramiento real o contributivo y la dependencia contrafactual fundamentada causalmente parecen ser los mejores en general, aunque también hay algo que decir sobre la variedad potencial. Si optamos por la causalidad real parcial o contributiva, por otro lado, entonces nuestro argumento general se ve debilitado por una aparente incapacidad para explicar la paradoja de las tablas de Benardete, y algunas versiones de la paradoja de la Parca (aquellas en las que no hay huellas digitales, ondas gravitacionales, etc.); aún así, hay muchas otras paradojas que la teoría puede manejar. Con todo, aquí hay puntos de elección que hemos identificado para el finitismo causal: (9)

¿Aceptamos eventos detallados como causas y, de ser así, modificamos el finitismo causal para enfocarnos en causas fundamentales o descartamos infinitos de causas detalladas de otra manera?

(10) ¿Restringimos las relaciones causales de las que habla el finitismo causal a las fundamentales? (11) ¿El finitismo causal se aplica solo a la causalidad total o también a la causalidad parcial o contribución causal? (12) ¿Necesitamos debilitar aún más la relación causal para hacer que el finitismo causal acabe con las paradojas de la Parca y las Tablas de Benardete, y si es así, cómo?

refinamiento, alternativas y extensiones (13) ¿Descartamos infinitas fusiones además de infinitas cadenas causales o analizamos cuidadosamente la relación causal relevante para descartar contraejemplos provenientes de tales fusiones? (14) ¿Se aplica el finitismo causal a la causalidad por ausencias (variante: privaciones)? (15) ¿Se aplica el finitismo causal a la causalidad de una ausencia (variante: una privación)? Aquí hay mucho espacio para futuras investigaciones. El finitismo causal es una familia de teorías. Es muy plausible que alguna teoría de esta familia explique las paradojas causales del infinito mejor que sus competidores. Los argumentos generales a favor del finitismo causal nos dan razones para pensar que alguna teoría de esta familia es verdadera, pero identificar esa teoría con precisión es un problema en el que animo a trabajar a los lectores comprensivos. Además, las extensiones del finitismo causal son una vía prometedora para la exploración. Una extensión que descarta los bucles causales es muy natural. Las extensiones a otras formas de explicación son más difíciles. Además, incluso con todo el espacio para la investigación futura, el finitismo causal tiene implicaciones interesantes y no triviales que exploraremos en los capítulos 8 y 9. En estos capítulos volveré a las formulaciones más toscas del finitismo causal que ocurrieron anteriormente en el libro. lo que ilustrará el hecho de que la mayoría de las aplicaciones son independientes de muchos de los detalles de las preguntas sobre cómo se va a refinar la tesis.

8 Tiempo y espacio discretos 1. Introducción Es plausible que su existencia en épocas anteriores cause su existencia en épocas posteriores. Por lo tanto, por cada instante de tiempo durante el año pasado, su existencia en ese instante causó su existencia presente. Si el finitismo causal es cierto, se sigue que solo hubo un número finito de instantes de tiempo durante el año pasado. El argumento se generaliza y, por tanto, el tiempo es discreto: entre dos puntos de tiempo cualesquiera, sólo hay un número finito de puntos de tiempo. En este capítulo, examinaremos este tipo de argumento desde el finitismo causal hasta la discretividad del tiempo, sus consecuencias y su análogo espacial, así como la naturaleza del discretismo involucrado. Será de particular interés si el argumento nos da una reductio ad absurdum contra el finitismo causal, sobre la base de que el tiempo o el espacio podrían ser continuos. Sin embargo, veremos que el argumento del finitismo causal a la discreción no es tan sólido como parece al principio.

Mostraremos que es posible distinguir el discretismo causal del discretismo espacial y reconciliar esta distinción con la física. El finitismo causal proporciona alguna evidencia de un tiempo y un espacio discretos, pero nada más.

2. Finitismo causal y discreción 2.1 El argumento básico Si un objeto está cayendo, es plausible que para cada tiempo pasado t en su caída, el hecho de que el objeto esté donde estaba en t, con cualquier velocidad que tuviera entonces, haga que esté donde está ahora. Los ejemplos se pueden multiplicar. De hecho, ya sea en el contexto de la mecánica clásica, la teoría de la relatividad o la mecánica cuántica, es muy plausible que el estado presente del universo sea causado por su estado pasado en cada tiempo pasado. Incluso si el pasado es finito, mientras el tiempo sea continuo en el sentido débil de que entre dos tiempos cualesquiera hay otro tiempo, se sigue que se viola el finitismo causal. Por lo tanto, el finitismo causal más una física como la nuestra parece requerir que nos tomemos tiempo para ser discretos. Y lo que es peor para el finitismo causal es que las formulaciones estándar de las tres teorías físicas implican un tiempo continuo.

2.2 ¿Del tiempo discreto al espacio discreto? Además, si el tiempo es discreto, es muy plausible que el espacio también lo sea. Porque si el tiempo es discreto mientras que el espacio no lo es, los objetos no podrían moverse continuamente a través del espacio.

tiempo y espacio discretos

Tendrían que dar saltos, estar en un lugar a la vez, y luego en el siguiente momento discreto estar en un lugar que no sea adyacente al lugar original. Pero es muy plausible que los objetos a veces se muevan por el espacio sin saltar así.

3. Dos tipos de discreción 3.1 Subdivisibilidad y fijeza Aristóteles sostuvo que el tiempo no se subdivide infinitamente sino que es arbitrariamente subdivisible.95 Para dos momentos cualesquiera t0 y t1 de tiempo (para Aristóteles, estos serían términos de movimiento o cambio), incluso si en realidad no hay un tiempo estrictamente entre t0 y t1, podría haber habido un tiempo allí. Este es el primer tipo de visión de la discreción: el tiempo es discreto pero arbitrariamente subdivisible. ¿Por qué podría uno pensar esto? Primero, el punto de vista hace justicia a la intuición ordinaria de que cualquier intervalo de tiempo puede subdividirse. En segundo lugar, Aristóteles veía el tiempo como la medida del cambio. En una interpretación plausible, los instantes son el término de los cambios. Incluso si, de hecho, no hay un término de cambio entre t0 y t1, algo podría haber comenzado o terminado de cambiar después de t0 y antes de t1. Si eso sucediera, un término de su cambio habría constituido un tiempo entre t0 y t1. Una segunda visión del tiempo discreto diría que el tiempo es una secuencia fija, y el espaciamiento más pequeño en esa secuencia no se puede reducir. En efecto, hay átomos de duración. La visión aristotélica naturalmente va de la mano con una visión en la que el tiempo discreto es desordenado, con un espaciado desigual entre instantes que depende de los caprichos de dónde caen los términos del cambio. La vista de secuencia fija naturalmente va de la mano con una imagen de tiempos igualmente espaciados. Es plausible especular que cualquier tipo de discreción que tenga el tiempo también lo tenga el espacio. Pero no esperaríamos que el espacio tuviera puntos espaciados uniformemente como en una cuadrícula. Una cuadrícula regular en el espacio induciría una dirección preferida, y es plausible que el espacio no la tenga. Piense, por ejemplo, en los tres ejes "especiales" en ángulos rectos entre sí señalados por una cuadrícula cúbica. Por otro lado, un espacio discreto "desordenado", donde los puntos están dispersos de manera desigual, podría carecer de una dirección preferida a gran escala.

95Aristóteles sostiene que un todo finito no puede estar compuesto por un número infinito de partes finitas (Aristóteles 1934, Libro VI), y aplica esto al tiempo. También sostiene que cada movimiento puede subdividirse y que el tiempo es la medida del movimiento (Aristóteles 1957, Libro IV), por lo que debe sostener que el tiempo siempre es subdivisible.

La imagen "regular" de la discreción del espacio hace que la rotación sea problemática. Si el espacio fuera siempre una cuadrícula regular, la geometría de un objeto cambiaría necesariamente si girara una pequeña cantidad. Por ejemplo, suponga que el espacio es una cuadrícula cúbica y considere un objeto que ocupa las ocho esquinas de una celda cúbica en esa cuadrícula. Podríamos rotar ese objeto en un múltiplo de 90 grados alrededor de un eje que pasa por los centros de dos tipos de discreción. dos caras opuestas en el cubo, o por un múltiplo de 120 grados alrededor de un eje que pasa por dos vértices opuestos. Pero no podríamos rotar el objeto, digamos, 45 grados sobre cualquier eje sin distorsionar severamente su tamaño y forma. Y parece que debería ser posible que los objetos roten en el espacio sobre ejes arbitrarios sin cambiar la geometría interna. Sin embargo, este argumento contra la imagen cuadriculada del espacio se encuentra con un problema. Dada la relatividad general, nuestro espacio-tiempo es curvo. En un espacio-tiempo curvo, bien puede ser imposible que los objetos giren o se muevan sin cambios ligeros en las distancias entre sus componentes. Los cambios son mínimos en el caso de objetos en campos gravitacionales moderados y eso puede ser suficiente para apaciguar nuestras intuiciones sobre la rotación. Pero si el espacio es una cuadrícula, entonces un objeto que se extiende por una región suficientemente grande —a saber, un amacroscópico— puede rotar con solo cambios menores en su geometría general. Entonces, si la relatividad general puede reconciliarse con la intuición de rotación invocando la aproximación, también puede hacerlo una imagen de cuadrícula. Por otro lado, en una imagen aristotélica, no hay necesidad de hacer ninguna reconciliación: los puntos del espacio dispuestos desordenadamente podrían girar junto con el objeto, manteniendo la geometría interna. Esto nos da alguna razón para preferir la imagen aristotélica en el caso del espacio, e indirectamente también en el caso del tiempo. También es importante hacer la nota histórica de que, aunque Aristóteles piensa que los puntos del espacio y los momentos del tiempo o "ahora" son discretos, no cree que constituyan la totalidad del espacio o el tiempo. Más bien, insiste en que “dos puntos tienen siempre una línea entre ellos, y dos ahora un espacio de tiempo [kai tôn nun ton chronon]” (Aristóteles 1934, p. Libro VI, se omiten las intrusiones del traductor). Esto podría usarse para dar una segunda forma de distinguir entre visiones de discreción, independiente de la que se acaba de discutir: ¿el espacio o tiempo discreto está constituido por los puntos o hay algo limitado por los puntos como piensa Aristóteles? Pero si bien la cuestión de si hay períodos de tiempo entre ahora es importante, es independiente de la adjudicación del finitismo causal, ya que si hay o no tales períodos intermedios,

3.2 Perfeccionamiento del cuadro aristotélico

tiempo y espacio discretos Sin embargo, hay un argumento en contra de la versión aristotélica de la discreción. Incluso dado el finitismo causal, debería ser posible que aparecieran infinitas cosas durante el último año, siempre y cuando las cosas estén configuradas de manera que no puedan cooperar causalmente. Pero en un cuadro aristotélico en el que no hay una secuencia temporal fija, parece muy posible que las infinitas cosas pudieran haber llegado a existir en infinitos momentos diferentes. Pero siempre que algo llega a existir, hay un tiempo en el cuadro aristotélico. O imagine un número infinito de átomos radiactivos que no interactúan entre sí, cuyos tiempos de desintegración tienen una distribución de desintegración exponencial. Luego, durante cualquier período de tiempo

después de la configuración inicial, con probabilidad se desintegrarían un número infinito de átomos.96 Así, parece posible que haya infinitos tiempos diferentes durante un período finito, contrariamente a la discreción del tiempo, asumiendo que no hay una secuencia de tiempo predefinida, sino que los tiempos coinciden con el término de los eventos como piensa el aristotélico. Por supuesto, un aristotélico también podría utilizar estos experimentos aunque, combinados con el finitismo causal, como una reducción ad absurdum de la posibilidad de una infinidad de objetos pasados en cualquier espacio-tiempo, incluso si estos objetos pasados no son causalmente eficaces. Esto seguiría siendo compatible con la posibilidad de que existan infinitos objetos repartidos en un infinito de diferentes espaciotiempos, o un futuro infinito de objetos, o un infinito de objetos atemporales y eso sería suficiente para escapar de los argumentos matemáticos contra el finitismo del Capítulo 1. , Sección 4.3. Pero no está claro que se trate de una reductio muy plausible. interna y externa Hay otra opción aristotélica, y es hacer una distinción entre la discreción del tiempo interna y externa. En una metafísica aristotélica, los eventos involucran sustancias en una de cuatro formas: una sustancia llega a existir, una sustancia deja de existir, una sustancia cambia accidentalmente o una sustancia ejerce la causalidad (produciendo cualquiera de los tres eventos precedentes). En un cuadro aristotélico, por lo tanto, es muy natural tomar los instantes de tiempo para estar fundamentalmente ligados a sustancias particulares y corresponder a la entrada y salida de las sustancias de la existencia, los cambios accidentales de las sustancias y los ejercicios de las sustancias de causalidad. Son, pues, instantes del tiempo interno. Por lo tanto, en la metafísica aristotélica, el tiempo puede verse fundamentalmente como una característica de sustancias particulares más que del mundo en su conjunto. Luego, se puede intentar introducir un tiempo compartido correlacionando los tiempos 96∗

Para cualquier intervalo no vacío no infinitesimal I de veces después de la configuración inicial y cualquier átomo, existe una probabilidad distinta de cero y no infinitesimal de que el átomo decaiga durante I. En ausencia de interacción, estas probabilidades son independientes. Por lo tanto, según la Ley de los números grandes, con probabilidad unitaria, un número infinito de átomos decaerán durante I.

internos de la sustancia. Por ejemplo, existe una idea aristotélica tradicional de que la causalidad intersustancial es simultánea. Si una sustancia s en el tiempo t hace que una sustancia s en su tiempo interno t entre o salga de la existencia o se cambie accidentalmente, entonces podemos introducir un único tiempo externo correspondiente a t y t. Efecto, estaríamos mejoripulando que los tiempos internos t y t de las sustancias s ys son simultáneos. Si todo va bien, en particular, No hay garantía a priori de que las cosas vayan bien y generen un tiempo compartido que encaje bien con el ordenamiento de los tiempos internos. Puede haber mundos metafísicamente posibles donde los tiempos internos no encajan lo suficientemente bien. También podría darse el caso de que los inadaptados ocasionales, como un caso ocasional de dos tipos de discreción al revés causalidad, podría acomodarse de alguna manera planteando un tiempo compartido que armonice la mayoría de los tiempos internos. Pero cuando las cosas funcionen, entonces tendremos una secuencia de tiempos externos compartidos. Cada (o cada típico, si hay inadaptados ocasionales) tiempo interno de una sustancia corresponderá a un tiempo externo, ya que los tiempos internos corresponden a interacciones causales que llevaron a la introducción de un tiempo externo. Además, todo tiempo externo corresponde al tiempo interno de una sustancia u otra. Pero típicamente los tiempos externos no se corresponden con los tiempos internos de todas las sustancias. Después de todo, en un momento externo dado, algunas sustancias ya habrán dejado de existir y otras aún no habrán llegado a existir. Ni siquiera hay garantía de que un tiempo externo corresponda a un tiempo interno en cada sustancia que existe entonces. Si Bob es una sustancia, puede haber un tiempo externo T que corresponda a algún tiempo interno t de la sustancia Sally pero que no corresponda a ningún tiempo interno de Bob, incluso si tanto Bob como Sally existen omnitemporalmente. Más bien, T puede caer estrictamente entre dos de los tiempos internos de Bob, digamos t1 y t2. En tal caso, puede ser que lo correcto para decir acerca de lo que Bob está haciendo en T es decir que está cambiando entre su estado en t1 y su estado en t2. Así, 97 Alternativamente, uno podría quizás interpolar entre las propiedades de Bob en t1 y t2 sobre la base de respuestas a contrafactuales como: Si Bob tuviera un tiempo correspondiente al tiempo t de Sally, ¿cómo sería Bob en ese momento?

97Una dificultad: ¿Qué pasa si Bob no está cambiando de un determinado a otro, sino simplemente entre tener una propiedad y no tenerla? Por ejemplo, quizás Bob se está despertando y se está volviendo consciente. En ese caso, la imagen de arriba sugiere que entre los dos instantes Bob no es ni inconsciente ni consciente, sino que cambia entre los dos estados. Pero si decimos que no es consciente ni inconsciente, parece que estamos violando la Ley del Medio Excluido. Sin embargo, esta violación puede escaparse. Porque podríamos decir que Bob no es ni (no consciente) -en-T ni consciente-en-T, sino (en-el-proceso-de-hacerse-consciente) en-T. La ley de los medios excluidos garantiza que para cualquier C, Bob es C-en-T o no C-at-T. Pero no ser C-at-T no es lo mismo que ser (no C) -at-T.

tiempo y espacio discretos Hay muchos detalles que trabajar en esta imagen del tiempo, pero es plausible que una historia del tiempo genuinamente aristotélica, basada en el cambio, vaya a tener este tipo de forma. Así, el discretista aristotélico tiene una respuesta a nuestro argumento a partir de la aparente posibilidad de una infinidad de objetos con términos de cambios que no encajan en un conjunto finito de instantes. La respuesta es que solo el tiempo interno está garantizado para ser discreto. El tiempo externo no tiene por qué ser discreto. Pero es el tiempo interno el que es metafísicamente más fundamental: el tiempo externo es simplemente una construcción matemática a partir de tiempos internos, y las atribuciones de propiedades a una sustancia en tiempos externos que no corresponden a ninguno de los tiempos internos de la sustancia se derivan de atribuciones de propiedades en tiempos internos. En particular, entonces, por esta razón, una sustancia no entra en relaciones causales ni como agente ni como paciente en momentos externos que no corresponden a tiempos

Bob no tiene un tiempo interno correspondiente a un tiempo externo T, entonces en T Bob no causa nada, ni siquiera su existencia futura. Y, por tanto, una secuencia no discreta de tiempos externos no tiene por qué violar el finitismo causal.

4. Física 4.1 Una objeción al finitismo causal Las formulaciones estándar de las principales teorías de la física desde Newton en adelante, ya sea modelan el tiempo con los números reales o modelan el espacio-tiempo como una variedad continua con coordenadas locales correspondientes a cuadriplicados de números reales. Además, esto no es simplemente una característica accidental de las teorías. La continuidad involucrada es esencial para las ecuaciones diferenciales en las que se expresan las leyes de la física. Por supuesto, se podría producir una teoría basada en un espacio y un tiempo discretos que produzca consecuencias empíricas tan similares a la teoría de Newton que no podríamos hacer ningún experimento para diferenciarlas. Pero la formulación discreta podría resultar mucho más complicada. Y la sencillez siempre forma parte del atractivo de las principales teorías. Esto apoya la segunda premisa de la siguiente gran objeción al finitismo causal: (1) Si el finitismo causal es cierto, el tiempo es discreto. (2) El tiempo no es discreto. (3) Entonces, el finitismo causal no es cierto. Pensar en este argumento llevará al finitista causal a dos opciones. El primero será abrazar una física especulativa que no esté comprometida con la continuidad del tiempo o del espacio-tiempo, cuestionando así los fundamentos de (2). Si bien gran parte de la

física desde Newton hasta tiempos recientes ha supuesto que el tiempo y el espacio son continuos, ahora existen opciones discretistas físicamente activas. Para una excelente encuesta de opciones, consulte Hagar (2014). No tengo nada que agregar a esto. Sin embargo, exploraré un segundo enfoque, que consiste en interpretar la importancia causal de la física cuántica de una manera que sea compatible con el finitismo causal pero que no cambie sustancialmente la física de la teoría. El resultado acepta (2) pero niega (1).

4.2 Causalidad y física Las formulaciones formales de teorías físicas típicas no usan la palabra “causa”. Esto podría llevar a uno a suponer que el concepto de causalidad ya no es necesario. Pero eso sería un error. Después de todo, no es posible describir lo que hace el físico experimental en el laboratorio sin un vocabulario causal. Se pulsan botones, se observan los resultados, etc. (cf. Anscombe 1971). Pero la falta de vocabulario causal en las teorías abre opciones.

tiempo y espacio discretos

Cuando una teoría física describe la evolución en el tiempo de un sistema, es natural que los amigos de la causalidad interpreten la causalidad en esta evolución suponiendo que los estados anteriores del sistema causan los posteriores. Esta lectura de la física es fundamental para el argumento del finitismo causal a la discreción del tiempo. Pero no necesitamos leer la física de esa manera. Es trivialmente fácil reconciliar el tiempo continuo, el finitismo causal y una física que no usa la palabra “causa”. Comience con un pensamiento loco: la causalidad ocurre solo una vez al año. Por conveniencia, tomaré un año para ser un intervalo semiabierto (n, n + 1] de veces, que incluye un último momento pero no el primero, y donde tomo años para ser unidades de tiempo, y supongo que números enteros como n o n + 1 corresponden a los últimos momentos de cada año. Para cada año (n, n + 1], hay un estado no instantáneo sn del universo durante ese año. Entonces podríamos suponer que sn causa sn + 1 que causa sn + 2 y así sucesivamente. Y no hay causalidad que no sea entre estos estados de un año. Alternativamente, podríamos suponer que en cada momento t hay un estado instantáneo del universo, ut. Además, la mayoría de los estados instantáneos ut del universo son causalmente inertes, con la excepción de que t es un número entero n. Por tanto, los únicos estados causalmente eficaces son los últimos estados instantáneos de cada año. Entonces suponemos que (a) cada uno de estos estados instantáneos de fin de año un causa directamente todo el estado "temporalmente gordo" sn del universo durante el año siguiente (n, n + 1], incluido el estado de punto final un + 2, o (b) cada estado de fin de año un, donde n es un número entero, causa directamente cada uno de los infinitos estados instantáneos ut para t en (n, n + 1] (con la causalidad de un a ut cruzando una brecha temporal de longitud t - n). Ambas historias involucran causalidad a través de la distancia temporal. El estado del universo a lo largo del año (2016, 2017) o al final de ese año causa no solo el estado del universo al comienzo del 1 de enero de 2017, sino que también causa el estado del universo en marzo de 2017 Y no causa el estado del universo en marzo al causar estados en enero y febrero, lo hace directamente. Dado que las teorías de la física no hablan de causalidad, esto no afecta a las teorías ni a su importancia empírica. Sin embargo, postular una instancia de causalidad por año también socavaría el argumento de que dar sentido a lo que hace el físico experimental en el laboratorio requiere postular la causalidad. Lo haremos mejor con respecto al sentido común si suponemos que los “tics” causales no son anuales sino

física en una escala más fina, particularmente una escala más fina que la del sentido humano del tiempo. Además, hay una objeción obvia de sentido común a la teoría de un tic causal por año. Explicamos causalmente el estado del universo en julio por medio del estado del universo en junio. Pero según la historia dada, los estados en junio y julio son simplemente efectos comunes del año anterior o en su último momento, y no hay causalidad de junio a julio. Pero empeora. No solo no hay causalidad entre junio y julio, sino que tampoco hay explicación. Se pueden hacer predicciones sobre julio sobre la base de junio, pero el verdadero trabajo explicativo se realiza en el año anterior o en su último momento.

Esta objeción se puede adaptar sin importar cuán cortos sean los tics entre instancias de causalidad, pero es menos convincente intuitivamente cuando los ticks son cortos. De hecho, sería un costo significativo, y demasiado reminiscente del ocasionalismo, negar que el lluvioso junio explicara los altos niveles de agua en julio, y decir que ambos son causados por los eventos del año anterior. Pero a medida que las garrapatas se acortan cada vez más, especialmente si deben llegar al tiempo de Planck, el costo intuitivo es mucho menor. Podemos decir que el lluvioso junio explicó los altos niveles de agua en julio, aunque no podemos decir que el estado del mundo en un cuarto de tiempo de Planck después de un tic explique el estado del mundo medio tiempo de Planck después. Esto último es contradictorio, pero ya tenemos de la Mecánica Cuántica que la realidad es extraña a pequeñas escalas espaciales, La lección aprendida de este escape trivial del argumento del finitismo causal al tiempo discreto es que el finitismo causal requiere discreción en el orden de causalidad, pero la discreción en el orden de causalidad es lógicamente compatible con la continuidad en el orden del tiempo. No obstante, el enfoque de las garrapatas causales es poco elegante y ad hoc en el sentido de que las garrapatas causales no se basan en la física, son un complemento arbitrario. La objeción de la física al finitismo causal tiene dos versiones: la más fuerte dice que la física del mundo real implica tiempo continuo y la más débil dice que sería posible tener una física con tiempo continuo. La naturaleza ad hoc del escape anterior no es un gran problema dada la versión más débil de la objeción. No debería sorprendernos si alguna física falsa (digamos, la física newtoniana), para ser causal, requiriera posturas metafísicas ad hoc. Afortunadamente, la solución periódica ad hoc del tick causal no es siempre el único escape del argumento del finitismo causal al tiempo discreto. Usaré la mecánica cuántica para ilustrar cómo una física no newtoniana podría permitir que uno reconcilie el tiempo continuo con una causalidad discreta sin ser ad hoc. Luego ofreceré una interpretación de la Mecánica Cuántica en la que el tiempo es discreto de manera irregular, más como en la teoría aristotélica del tiempo discreto que en la teoría de secuencia regular. No es mi objetivo describir cómo son las cosas, sino

tiempo y espacio discretos simplemente esbozar cómo la física podría reconciliarse con el finitismo causal. Decidir entre las opciones es una buena tarea para futuras investigaciones.

4.3 Colapso cuántico La mecánica cuántica tiene dos partes centrales. Primero, está la ecuación de Schrödinger. Se trata de una ecuación que rige la evolución de la función de onda a lo largo del tiempo y, en la medida en que esta evolución se rige por la ecuación de Schrödinger, es completamente determinista: los estados futuros de la función de onda están totalmente determinados por los estados pasados. Sin embargo, a pesar del determinismo al nivel de la función de onda, tenemos una razón empírica muy fuerte para pensar que la física determinista de la función de onda no determina los resultados de las observaciones. Se pueden preparar dos electrones con la misma función de onda, enviados a través del mismo campo magnético y, sin embargo, la

muéstrelos yendo en diferentes direcciones, y todo lo que podemos predecir a partir de la función de onda son probabilidades de diferentes observaciones. Tales predicciones están vinculadas a una segunda parte de la mecánica cuántica: la regla de Born, que proporciona una especificación matemática de cómo obtener probabilidades de observaciones particulares a partir de la función de onda. El problema de la interpretación de la mecánica cuántica es cómo hacer que estos dos componentes funcionen juntos. Podemos dividir las interpretaciones de la mecánica cuántica en cuatro familias: (i) Mantenga la ecuación de Schrödinger sin excepciones y explique las observaciones únicamente en términos de la función de onda. (ii) Mantenga la ecuación de Schrödinger sin excepciones, pero explique las observaciones en términos de características físicas del mundo que van más allá de la función de onda. (iii) Mantenga la ecuación de Schrödinger sin excepciones, pero explique las observaciones en términos de características no físicas del mundo que van más allá de la función de onda. (iv) Haga excepciones indeterministas a la ecuación de Schrödinger para dar cuenta de la limitación de la observación. La primera familia de interpretaciones parece la más parsimoniosa e incluye como su instancia principal la interpretación de los mundos múltiples de Everett (1957). Según la interpretación de Everett, la función de onda evoluciona de forma determinista, pero lo que describe es un multiverso ramificado. En situaciones en las que nos parece que hay una subdeterminación de las observaciones por la función de onda, lo que realmente sucede es que el mundo se divide en una rama donde se realiza una observación y otra rama donde se realiza otra.

física Sin embargo, existen serios problemas en la interpretación de Everett sobre cómo dar sentido a las probabilidades en la regla de Born. Supongamos una situación física en la que solo hay dos posibles observaciones y la regla de Born especifica que una de ellas tiene una probabilidad de 2/3 y la otra 1/3. 98 El universo, incluido el experimentador, se divide en dos en la medición, un experimentador observa un resultado y el otro el otro. Ontológicamente esto es simétrico: hay dos observaciones hechas por dos experimentadores. Entonces, ¿cómo puede una de las dos observaciones contar como más probable? Por supuesto, existe una bibliografía sobre este difícil tema (por ejemplo, Greaves 2006), pero a pesar de las defensas del punto de vista, nos da una buena razón para buscar alternativas. El representante más conocido de la segunda familia es la física determinista de Bohm (1952), que además de la función de onda postula partículas que viajan a lo largo de trayectorias determinadas por la función de onda. El resultado de las observaciones, entonces, no es una función de la función de onda sino de las posiciones de las partículas. La física aquí es determinista, pero no obstante, se pueden recuperar estadísticamente las predicciones probabilitísticas de la regla de Born dada una suposición especial sobre las propiedades estadísticas.

de la distribución inicial de las partículas. Existen algunas dificultades conceptuales sobre cómo dar sentido a tales probabilidades. Estas dificultades parecen no ser mayores, pero tampoco menores, que las relativas a cómo dar sentido a las probabilidades en la termodinámica clásica con la física determinista de partículas newtonianas. Los principales representantes de la tercera familia son complementos dualistas de la interpretación de Everett. Existe, como en Everett, un multiverso determinista. Pero el problema de la recuperación de probabilidades del multiverso determinista se resuelve planteando mentes no físicas que viajan de forma indeterminista a través del multiverso determinista. Por lo tanto, cuando uno establece un experimento que tiene una probabilidad de 2/3 de conducir a una observación y una probabilidad de 1/3 de otra, lo que sucede es que hay una probabilidad de 2/3 de que una mente viaje hacia arriba por una rama y un 1 / 3 posibilidades de que una mente viaje por la otra rama. Estas interpretaciones se subdividen aún más según el número y la dinámica de las mentes. En el punto de vista de muchas mentes, hay infinitas mentes, y siempre que ocurre una ramificación, infinitamente muchas toman cada rama (Albert y Loewer 1988). De modo que hay infinitas mentes que corresponden al cuerpo del experimentador (podríamos considerar que los cuerpos están delineados por la función de onda). En las visiones de una sola mente, hay como máximo una mente por cuerpo, y las mentes viajan a través del multiverso de forma independiente o 98

∗ Por ejemplo, la medida del giro de un sistema en estado | abajo.

tiempo y espacio discretos están nómicamente restringidas de modo que todas las mentes están siempre en la misma rama del multiverso.99 La cuarta familia son las interpretaciones del colapso. Una función de onda que es compatible con una multiplicidad de observaciones, por ejemplo, observar un electrón en un lugar u observarlo en otro, se colapsa en una función de onda que es compatible con una sola observación. El colapso es un proceso indeterminista cuyas probabilidades son tales que producen predicciones que se ajustan a la regla de Born. Esta familia se divide en dos subfamilias, según las condiciones que desencadenan el colapso. En una subfamilia, la interpretación de von Neumann, el colapso es provocado por la observación misma. Por otro lado, se desencadena estocásticamente o determinísticamente por algunas otras condiciones físicas, generalmente las que se correlacionan con eventos en niveles de energía o escala de tamaño más allá de los que se encuentran en las interacciones cuánticas típicas.

Las interpretaciones de Everett y Bohm que son los principales representantes de las familias

tiempo continuo que no es ad hoc en la forma en que lo era mi teoría anual de garrapatas causales. Simplemente no existen puntos de transición naturales para introducir la causalidad. Sin embargo, el multiverso ramificado dualista y las interpretaciones de colapso de (iii) y (iv) tienen el potencial de encajar mejor con la causalidad discreta. Podemos suponer que la función de onda (o, más precisamente, la realidad física que describe la función de onda) y el estado previo de las mentes provocan de manera indeterminista que las mentes tomen una u otra rama en las interpretaciones del multiverso dualista. Y podemos suponer que cada caso de colapso es una instancia de causalidad. Entonces hay razones para esperar que las ocurrencias de la causalidad sean temporalmente discretas, al menos en un universo finito (o quizás en un subsistema finito de un universo infinito). Tenga en cuenta que en las interpretaciones de ramificación, todo lo que necesitamos es que haya discreción dentro de cada rama desde el principio en adelante. En la versión del multiverso ramificado, podemos suponer que no hay causalidad dentro de la evolución temporal de la función de onda. Por lo tanto, o la función de onda, considerada como una entidad extendida temporalmente, es en sí misma una 99La objeción estándar a la versión de viaje independiente es que, según este punto de vista, es probable que las mentes se hayan extendido tanto por el multiverso que es poco probable que nos encontremos con una mente, y por lo tanto los cuerpos con los que nos encontramos son predominantemente zombis sin sentido (Albert 1992, p. 130). La versión restringida se encuentra en Barrett (1995) y evita este problema. También existe una variante aristotélica en la que el multiverso es atravesado no solo por mentes sino por todas las formas, incluidas las de sustancias sin mente, incluso las inanimadas (Pruss 2018).

física causa no causada de los viajes de las mentes o de los colapsos, o bien hay alguna otra causa que causa la totalidad de la función de onda extendida temporalmente. Es contradictorio que la evolución de la función de onda sea causal, que la función de onda se produzca en bloque. No obstante, el lenguaje causal ordinario se puede tomar para referirse a la causalidad involucrada en las mentes que son causadas para tomar una rama u otra, o la función de onda está causando el colapso. En las versiones de colapso, por otro lado, podemos tomar cada instancia de colapso para causar todo el estado extendido temporalmente de la función de onda hasta el próximo colapso. Y entre colapsos, la evolución de la función de onda seguirá siendo causal. Siempre que suceda lo suficiente, esto preservará las intuiciones sobre la eficacia causal del trabajo de laboratorio y la vida cotidiana. Todas estas lecturas discretas de causalidad de interpretaciones de la Mecánica Cuántica tienen las mismas consecuencias empíricas que las interpretaciones subyacentes. Lo único adicional que se hace con esta lectura es la introducción de una descripción de dónde ocurre la causalidad en la física. Las soluciones anteriores pueden tener dificultades en infinitos universos cuánticos o multiversos. Pero dado que la Mecánica Cuántica parece implicar una acción instantánea a distancia en casos de entrelazamiento, el finitismo causal también puede obligar a los sistemas cuánticos a ser finitos para evitar infinitos causales.

El multiverso ramificado dualista y las interpretaciones del colapso de la Mecánica Cuántica permiten así casos discretos de causalidad intercalados con una evolución determinista acausal de la función de onda de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Según estas interpretaciones, la causalidad se organiza de forma discreta pero el tiempo es continuo. Pero ahora resulta que también hay una forma de recuperar el tiempo discreto si el multiverso o universo es finito. El truco es tomar como tiempos reales solo esos

en el que se producen ramificaciones o colapsos y tomar solo los valores de la función de onda en esos momentos para reflejar la realidad física. En las teorías de colapso, entonces tendremos dos opciones: la función de onda en el momento del colapso es la función de onda pre-colapsada o post colapso. Dado que, de nuevo, mi objetivo es simplemente esbozar cómo podrían ser las cosas, para ser más concreto adoptaré la opinión de que en cada momento de colapso la función de onda se encuentra en el estado post colapso. Siempre que el tiempo de la siguiente ramificación o colapso y el valor de la función de onda100 Justo antes de que sea una función determinista 100∗ ∗ La ecuación de Schrödinger es la ecuación diferencial parcial iHˆ (x, t) que es de primer orden en la coordenada de tiempo, por lo que resolverla requiere solo el valor de la función de onda a la vez, y

tiempo y espacio discretos o estocástica del valor de la función de onda en el momento de ramificación o colapso anterior, no es necesario suponer que los valores de la función de onda entre los tiempos de ramificación o colapso corresponden a algo físicamente real. Estos valores pueden tomarse simplemente como una ficción matemática, siendo los valores físicamente significativos de la función de onda los que se encuentran en el momento del colapso. Si queremos, podemos introducir tiempos matemáticos ficticios entre los tiempos reales de ramificación o colapso por conveniencia matemática. Si esto se adjunta a la teoría GRW, será una versión de la ontología flash de Bell (1987), con una semántica que permite hacer afirmaciones sobre lo que está sucediendo en tiempos sin flash, es decir, la función de onda tiene valores en ellos. La imagen resultante nos da instantes de tiempo que están espaciados irregularmente. Su espaciamiento se puede explicar mediante la función de onda en los instantes y la ecuación de Schrödinger. En vistas de ramificación dualista, el espaciado de los instantes se puede leer a partir de la función de onda. Esto produce un desorden aristotélico del espaciamiento, pero con los instantes fijos a diferencia de Aristóteles. En la vista de colapso, sin embargo, los instantes no son fijos. Si los colapsos anteriores hubieran sido diferentes, es probable que los colapsos posteriores ocurrieran en otros momentos, por lo que no hay nada fijo en los instantes, y la imagen es aún más parecida a la de Aristóteles. Esta es una imagen no relativista. En cualquier caso, no se sabe cómo hacer que la Mecánica Cuántica funcione con la Relatividad General, y las imágenes que ofrecí son solo modelos de juguete de cómo uno podría tener una causalidad discreta junto con un tiempo continuo o discreto.

5. Campos y espacio discreto Suponiendo un espaciotiempo plano, el valor del campo electromagnético en un tiempo ty una ubicación x depende de los valores del campo electromagnético en el tiempo t −t en una bola centrada en x con radio t / c, donde c es la velocidad de ligero. Por tanto, si el espacio es continuo, el valor del campo en cualquier punto depende de un número infinito de valores del campo en cualquier tiempo pasado. Si esta dependencia es causal, como parece ser, tenemos una violación del finitismo causal.

ningún valor para las derivadas de tiempo. Usar un método similar con una ecuación de segundo orden como la de las leyes de Newton requeriría atribuir la realidad física tanto a los valores como a sus derivadas en el tiempo.

campos y espacio discreto Si el espacio es discreto, el problema desaparecerá ya que solo habrá un número finito de puntos dentro de una bola de tamaño finito. Por tanto, tenemos otro argumento del finitismo causal al espacio discreto. Y si el espacio es discreto, es plausible que también lo sea el tiempo. Pero aclaremos un poco las suposiciones del argumento. Primero, el argumento requiere un realismo sobre los valores del campo en el espacio vacío. Uno podría pensar que hay objetos cargados, imanes, conductores y cosas por el estilo, pero no sea realista sobre el campo electromagnético, sosteniendo que es una ficción matemática útil para dar cuenta de la acción de los objetos. Desde este punto de vista, los objetos actúan directamente unos sobre otros a una distancia espacial y temporal como si hubiera un campo electromagnético mediando esa acción. En segundo lugar, el argumento requiere que los hechos sobre los valores del campo electromagnético en el espacio vacío sean causalmente eficaces. Considere un caso simplificado. Comience con un espacio vacío y sin campo electromagnético. Los objetos cargados A1 y A2 aparecen repentinamente en reposo en las ubicaciones x1 y x2, respectivamente, en el tiempo t, con una distancia d de x1 a x2. En el tiempo t + d / c, cada objeto experimenta una fuerza electrostática del otro objeto. Podríamos ser instrumentistas sobre el campo electromagnético entre los objetos. Pero también podríamos mantener la intuición de que el campo media causalmente entre los objetos. Sin embargo, en lugar de pensar que el campo lo hace poco a poco, podríamos suponer que los objetos x1 y x2 en el tiempo t trabajan juntos para causar directamente la totalidad del campo electromagnético sobre la región tetradimensional entre el tiempo t y el tiempo t + d / c (o sobre la intersección de esa región con la unión de los conos de luz centrados en (x1, t) y (x2, t)). Este campo electromagnético provoca entonces el movimiento de los objetos en el tiempo t + d / c. Los valores del campo electromagnético en tiempos intermedios, digamos, en t + d / 2c, son causalmente ineficaces. Un mayor desarrollo de esta explicación quizás podría casarlo con la historia de causalidad cuántica discreta en la Sección 4.3.2. en t + d / 2c— son causalmente ineficaces. Un mayor desarrollo de esta explicación tal vez podría casarlo con la historia de causalidad cuántica discreta en la Sección 4.3.2. en t + d / 2c— son causalmente ineficaces. Un mayor desarrollo de esta explicación tal vez podría casarlo con la historia de causalidad cuántica discreta en la Sección 4.3.2. Hay otra manera de salir del argumento de campo del finitismo causal al espacio discreto. Supongamos que pensamos en el campo electromagnético como una entidad extendida espacialmente simple. El campo no está formado por pequeños fragmentos de campo aquí y allá. Es un campo único a través de todo el espacio, sin partes. Tiene valores en diferentes lugares, pero estos valores no deben considerarse basados en propiedades de partes localizadas del campo. En cambio, se basan simplemente en una única propiedad distributiva global altamente determinada (cf. Parsons 2000) del

tiempo y espacio discretos campo: su valor global, que puede ser representado matemáticamente por una función desde los puntos del espacio hasta los valores, pero no obstante es un único determinante fundamental. .101 En ese caso, la historia causal del hecho de que el campo tiene tal o cual valor en el tiempo t no necesita incluir un número infinito de causas en el tiempo t −t. Simplemente puede depender del estado global del campo en el tiempo t −t.8

En otras palabras, el argumento de campo del finitismo causal al espacio discreto no es muy fuerte. Podemos tomarlo como un argumento a favor de una gran disyunción. Si el finitismo causal es verdadero, entonces tenemos espacio discreto, o no realismo sobre los campos, o campos causalmente ineficaces en el espacio vacío, o globalismo sobre los campos.

6. Evaluación El finitismo causal hace algo plausible que el tiempo, y quizás también el espacio, sea discreto. Esta discreción puede ser fija y regular, fija y desordenada o flexible y probablemente desordenada. Sin embargo, aunque el finitismo causal hace plausible esta discreción, no la fuerza. Es posible interpretar la física de una manera que haga que el orden causal sea discreto aunque el espacio y el tiempo sean realmente continuos. El finitismo causal hace que la física discretista sea más atractiva y, por tanto, debería animar a los físicos a explorar esa opción. Pero no obliga al discretismo sobre el tiempo o el espacio. En el Capítulo 7, Sección 3.4, consideré la explicación de Huemer de muchas de las mismas paradojas que discutí. Uno de los problemas con la explicación de Huemer fue que imponía restricciones significativas tanto a la física actual (por ejemplo, el rechazo de los agujeros negros como los describe la Relatividad General) como a cualquier física hipotética. Hay dos formas de entender la física. El método aristotélico clásico es que la física es una explicación de la causalidad natural. Si se entiende la física de esta manera, entonces el finitismo causal también impone restricciones significativas, especialmente al requerir que las cadenas causales sean discretas, es decir, que tengan un número finito de vínculos entre dos puntos cualesquiera, incluso si el tiempo no tiene que ser discreto. 101Compare

esto: la ubicación de un objeto A del tamaño de un punto en el espacio euclidiano se puede

representar matemáticamente como una función f del conjunto {1, 2, 3} a números reales, donde f (n) es el valor de la enésima coordenada. Pero deberíamos pensar en la ubicación de A como más fundamental que los valores de f en los tres puntos de Para una discusión crítica de las propiedades distributivas, véase McDaniel (2009). {1, 2, 3}: este último es una mera representación de una ubicación que incluye todas las coordenadas. 8

La discreción del requisito de causalidad es algo que Aristóteles aceptó, pero no obstante, es una restricción. La otra forma de entender la física es verla como una descripción de las leyes que describen la evolución del universo, siendo las leyes neutrales en cuanto a causalidad. Según esta comprensión de la física, que parece encajar particularmente bien con la práctica de la física teórica moderna, la causalidad pertenece a la interpretación filosófica de la física y, por lo tanto, el requisito de discreción es una restricción metafísica no para la física sino para la filosofía de la física. La restricción de Huemer, por otro lado, era una restricción filosófica en la física misma, en cualquier comprensión de la física. Es más razonable que la metafísica restrinja la filosofía de la física. Al mismo tiempo, es difícil ver una interpretación causal plausible de una cosmología con una historia pasada infinita que no violaría el finitismo causal. Por tanto, el finitismo causal restringe la cosmología al prohibir infinitas historias pasadas. Esta restricción, sin embargo, no requiere ningún cambio en nuestra mejor cosmología actual, ya que esa cosmología asigna una edad finita a nuestro universo (comenzando con un Big Bang hace menos de 14 mil millones de años), mientras que Huemer rechazó la mejor descripción física actual de los agujeros negros. .

9 Una primera causa 1. Introducción Comenzamos mostrando que el finitismo causal implica muy rápidamente la existencia de una primera causa, y luego sostengo de manera más controvertida que hay una buena razón para considerar esta primera causa como un ser necesario. Esto da como resultado un argumento cosmológico similar al argumento de Kalam. La teoría más prominente de una primera causa necesariamente existente es el teísmo, luego considero la coherencia de la teoría de este libro con el teísmo. Porque si bien muchos teístas se sentirán complacidos por el finitismo causal que proporciona una reivindicación de un argumento cosmológico, existe una tensión entre el teísmo y los argumentos de este libro. Primero, consideramos una objeción de Jonathan Kvanvig de que el finitismo causal contradice la tesis plausible de que Dios toma decisiones sobre la base de una infinidad de factores. Las consideraciones sobre la relación entre los pensamientos y sus contenidos, así como la doctrina del teísmo clásico de la simplicidad divina vienen al rescate. En segundo lugar, consideramos la causalidad entre los eventos contingentes y el conocimiento que Dios tiene de ellos, que amenaza con violar el finitismo causal si hay una infinidad de eventos contingentes. El teísmo clásico, sin embargo, motiva a uno a rechazar la idea de que la relación entre los eventos y el

tiempo y espacio discretos conocimiento de Dios es causal. En tercer lugar, varios de los argumentos del libro se han basado en la idea de que ciertos conocimientos —por ejemplo, acerca de cómo resultaron infinitos muchos lanzamientos de dados— requieren una conexión causal. Pero entonces Dios puede saber estas cosas o no. Si no puede, se viola la omnisciencia. Si puede, entonces la omnisciencia se salva, pero o se viola el finitismo causal o parece existir la posibilidad de que Dios comunique su conocimiento de una manera que subvierte algunos de los argumentos a favor del finitismo causal. Para resolver este problema, se argumenta que hay razones para extender el finitismo causal a lo que podríamos llamar finitismo cuasi-causal. Varios de los argumentos del libro se han basado en la idea de que ciertos conocimientos —digamos, acerca del número infinito de tiradas que resultaron— requieren una conexión causal. Pero entonces Dios puede saber estas cosas o no. Si no puede, se viola la omnisciencia. Si puede, entonces la omnisciencia se salva, pero o se viola el finitismo causal o parece existir la posibilidad de que Dios comunique su conocimiento de una manera que subvierte algunos de los argumentos a favor del finitismo causal. Para resolver este problema, se argumenta que hay razones para extender el finitismo causal a lo que podríamos llamar finitismo cuasicausal. Varios de los argumentos del libro se han basado en la idea de que ciertos conocimientos —digamos, acerca del número infinito de tiradas que resultaron— requieren una conexión causal. Pero entonces Dios puede saber estas cosas o no. Si no puede, se viola la omnisciencia. Si puede, entonces la omnisciencia se salva, pero o se viola el finitismo causal o parece existir la posibilidad de que Dios comunique su conocimiento de una manera que subvierte algunos de los argumentos a favor del finitismo causal. Para resolver este problema, se argumenta que hay razones para extender el finitismo causal a lo que podríamos llamar finitismo cuasi-causal. entonces se viola la omnisciencia. Si puede, entonces la omnisciencia se salva, pero o se viola el finitismo causal o parece existir la posibilidad de que Dios comunique su conocimiento de una manera que subvierte algunos de los argumentos a favor del finitismo causal. Para resolver este problema, se argumenta que hay razones para extender el finitismo causal a lo que podríamos llamar finitismo cuasi-causal. entonces se viola la omnisciencia. Si puede, entonces la omnisciencia se salva, pero o se viola el finitismo causal o parece existir la posibilidad de que Dios comunique su conocimiento de una manera que subvierte algunos de los argumentos a favor del finitismo causal. Para resolver este problema, se argumenta que hay razones para extender el finitismo causal a lo que podríamos llamar finitismo cuasi-causal.

2. Una causa no causada 2.1 El argumento rápido Hay un argumento rápido del finitismo causal a una primera causa: (1) Nada tiene una historia causal infinita. (2) No hay bucles causales.

(3) Algo tiene una causa. (4) Por tanto, existe una causa no causada. Para ver que esto es válido, suponga que a0 es algo que tiene una causa, digamos a1. Para una reductio, suponga que todas las causas son causadas. Como toda causa es causada, a1 tiene una causa a2, que tiene una causa a3, y así sucesivamente. Además, por (2), las ai son todas distintas, lo que implica que a0 tiene una historia causal infinita, contraria a (1). Entonces debe haber una causa no causada.102 De hecho, el argumento establece algo un poco más fuerte que que hay al menos una causa no causada. Muestra que todo elemento causado a0 tiene un elemento no causado (una primera causa de a0) en su historia causal. (Aunque tenga en cuenta que si la causalidad resulta no ser transitiva, entonces una "primera causa" de a0 no tiene por qué ser en realidad una causa de a0: solo debe estar al comienzo de una cadena causal que conduce a a0). La secuencia causal hacia atrás que comienza con a0 volverá a alguna primera causa de a0. La pluralidad de todos los elementos no causados tiene entonces la propiedad de que cada cadena causal se remonta a algún miembro de esa pluralidad.

2.2 Hacia un ser necesario Todas las premisas de nuestro argumento cosmológico distintas del finitismo causal (es decir, (1)) son intuitivamente muy plausibles. Además, no hay un Principio Causal o un Principio de Razón Suficiente entre estas premisas, como en muchos argumentos cosmológicos (por ejemplo, ver Pruss2012). La razón por la que tal principio es entre las premisas es que nuestra conclusión es modesta: hay una causa no causada. Hemos visto que podemos agregar que tal causa se encuentra en la cabeza de cada cadena causal, pero incluso esta conclusión es bastante compatible con el hecho de que algunas o todas estas causas no causadas sean contingentes, ya sean elementos menores como un ladrillo sin causa o una causa importante. unos como el Big Bang. Esto está lejos de ser un argumento a favor de la existencia de Dios. Pero el argumento se volvería más impresionante si pudiéramos añadir un principio causal como el siguiente:

102∗

∗ El argumento tal como está redactado aquí usa el axioma de elección dependiente ya que para cada

ai, necesitamos elegir un ai + 1. Sin embargo, podemos hacer uso de (1) para evitar cualquier uso de Choice. Dado que la historia causal de a0 es finita, existe un mapa uno a uno φ entre los miembros de esa historia causal y los enteros {1, ..., n} para algunos n. Entonces podemos reemplazar la elección arbitraria de ai + 1 con una elección especificada de la causa c de ai que tiene el valor más pequeño φ (c).

una primera causa (5)Cada elemento contingente tiene una causa.103 Porque entonces cualquier causa no causada tendría que existir necesariamente, y tenemos la afirmación más impresionante de que hay un ser necesario a la cabeza de cada cadena causal. Por supuesto, incluso esta afirmación está significativamente por debajo del teísmo. Por ejemplo, la afirmación es compatible con que la primera causa sea un Big Bang que ocurra necesariamente, o que haya una causa no causada.

una mayor pluralidad de eventos físicos o entidades que están a la cabeza de cada cadena causal. No obstante, la existencia de un ser necesario causalmente eficaz sería en sí misma una conclusión bastante interesante, 104 y se necesitarían más investigaciones para descubrir la naturaleza de tal ser o tales seres.

2.3 Apoyo al principio causal El Principio Causal (5) es intuitivamente bastante plausible, lo suficientemente plausible como para aceptarlo en ausencia de derrotadores. Ya consideramos a los principales derrotadores de una versión diferente del Principio Causal en el Capítulo 3, Sección 3.6.2, y los derrotadores también son los principales disponibles para el presente Principio Causal. También es interesante notar que la paradoja de la Parca también se puede utilizar para apoyar el presente Principio Causal. Supongamos que los elementos contingentes pueden llegar a existir sin causa. Supongamos que estamos en un mundo donde el tiempo tiene la siguiente propiedad de subdivisibilidad: para tiempos distintos t1 y t2, existe un tiempo u posible estrictamente entre ellos. 105 Repitiendo esta línea de pensamiento, concluimos106 que hay una secuencia infinita de tiempos posibles u0, u1, ... tal que u0 está estrictamente entre t1 y t2 y un está estrictamente entre t1 y un − 1 para n ≥ 1. Al igual que en el Capítulo 3, Sección 3, suponga que una lámpara está apagada en t0, solo se puede activar presionando un interruptor y no se puede desactivar. Pero mientras que antes imaginamos Grim Reapers que se establecieron para un momento en particular, ahora imaginamos Instant Grim Reapers (IGR) que se activan tan pronto como aparecen. Cuando aparece un IGR junto a la lámpara, comprueba si la lámpara está encendida. Si está apagado, lo enciende instantánea e infaliblemente. De cualquier manera, tan pronto como esté hecho, saltará lejos de la lámpara.

103 Si los elementos que surgen en el tiempo deben ser contingentes, esto es más fuerte que el Principio Causal del Capítulo 3, Sección 3.6. 104 Pruss y Rasmussen (2018) es un libro completo dedicado a defender esta conclusión. 105No me preocuparé por los detalles de la ontología de tiempos posibles. Quizás los tiempos posibles estén dados por números en algún sistema de medición temporal. 106 ∗ ∗ Aquí se utiliza el axioma de la elección dependiente.

Si los elementos contingentes pueden llegar a existir sin causa, también pueden hacerlo los IGR. Sería ad hoc permitir que algunos elementos contingentes, pero no IGR, aparezcan sin causa. Además, los IGR deberían poder aparecer en cualquier momento posible (que entonces sería real) después de t1, y en particular en un para cualquier número natural n. Además, si un IGR surge sin causa alguna en un momento cerca de la lámpara, parecería ser completamente independiente de si los IGR surgieron cerca de la lámpara, siempre y cuando los otros no estuvieran bloqueando el espacio cerca de la lámpara, lo cual no es así. ya que saltan lejos de la lámpara cuando terminan. Los estallidos sin causa deben ser independientes entre sí, salvo preocupaciones sobre el espacio en el espacio. Dada esta independencia, debería ser posible que un IGR aparezca en un para cada número natural n.107 Pero ahora tenemos la clásica paradoja de la Parca una vez más. La lámpara no se puede desactivar una vez activada, y solo un IGR lo habría hecho

lo activó. Pero ningún IGR podría haberlo activado exactamente por las mismas razones que en la paradoja clásica: si el IGR que comenzó a existir en un lo encendió, entonces el que comenzó a existir en un + 1 (ya que un + 1
2.4 El argumento de Kalam¯ Nuestro argumento cosmológico a favor de una primera causa necesaria tiene una característica central en común con las versiones de Kalam del argumento cosmológico (Craig 2009), que se remonta a la filosofía islámica medieval. Como el argumento de Kalam, nuestro argumento niega la existencia de secuencias infinitas hacia atrás. Pero los detalles son bastante diferentes. El argumento de Kalam se opone a las secuencias

107

Esto es similar al argumento para un axioma de elección limitado en el Capítulo 6, Sección 4.

una primera causa que son temporalmente hacia atrás-infinitas, mientras que el presente argumento niega todas las secuencias causalmente hacia atrás-infinitas.

3. ¿Compatibilidad con el teísmo? 3.1 Teísmo En el capítulo 1, defendí el finitismo y, por tanto, la posibilidad de un infinito real. Por otro lado, ahora he ofrecido un argumento cosmológico para una primera causa necesariamente existente. La teoría más destacada acerca de un ser necesario que es una causa primera es que es Dios, un ser perfecto necesariamente existente, por lo que los argumentos de este libro apoyan la existencia de tal ser. Pero, ¿son los argumentos de este libro compatibles con la existencia de tal ser?

3.2 Motivación divina Considere este argumento, que me sugirió Jonathan Kvanvig: (6) Si Dios existe, la creación del cosmos por parte de Dios se basa en infinitas razones. (7) Una acción realizada sobre la base de una razón es causada por esa razón. (8) Entonces, si Dios existe, el finitismo causal es falso.

compatibilidad con el teísmo?

Hay al menos dos caminos hacia (6). El primer camino es pensar en la infinidad de escenarios posibles que realmente compiten por la actualización. 108 No debemos tomar las razones que favorecen escenarios distintos a los que Dios actualizó como razones sobre las cuales Dios eligió como lo hizo. Esas razones militaban en contra de lo que hizo y no contribuyeron causalmente a su decisión real. 109 En cambio, contra-contribuyeron, y puede ser que el finitismo causal no necesite descartar infinitas contra-contribuciones. El segundo camino es uno que me sugirió Jonathan Kvanvig. Hay infinitas razones que favorecen la actualización de nuestro propio mundo. Pero la omniracionalidad divina implica que Dios actúa sobre todas las razones que favorecen la actualización de nuestro mundo.110Y eso da (6). Es particularmente plausible que existan infinitas razones que favorezcan la actualización de nuestro mundo si hay un número infinito de bienes g1, g2, ... en el mundo, digamos una infinidad de buenos días futuros. Pues entonces el hecho de que el mundo incluya buenas gn es una razón a favor de actualizar este mundo. Es difícil, por tanto, negar (6). En cambio, negaré (7), siguiendo una línea ya esbozada en el Capítulo 5, Sección 3.2. Podemos entender una razón como un contenido mental o un pensable que favorece una acción. Por tanto, una razón es algo abstracto. Pero además de los contenidos mentales o pensables, están los pensamientos simbólicos que realizan estos contenidos. No son las razones consideradas como pensables abstractos las causas de las acciones de un agente. Más bien, son los pensamientos simbólicos los que realizan estos pensamientos que son las causas de las acciones de un agente. Los argumentos a favor de (6) hicieron verosímil que hay infinitos pensamientos sobre la base de los cuales Dios creó como lo hizo. Sin embargo, (7) sólo es plausible si se toman las razones como pensamientos simbólicos de los pensables. ¿Puede seguir adelante (6) mientras toma constantemente "razones" para ser los actos tomados? Es dudoso. Se pueden realizar múltiples pensamientos en un solo acto de pensar. Como se señaló en el Capítulo 5, Sección 3.2, cuando uno cree que la luna es redonda y gris, también cree que es redonda y gris. Asimismo, se pueden realizar múltiples razones en un solo acto de pensar. Además, la doctrina de la simplicidad divina implica que todos los pensamientos de Dios se encuentran en un solo acto. La solución de relacionar todos los pensables con un acto de pensamiento no es arbitraria, sino parte integral del teísmo clásico. Además de esto, no está del todo claro si debemos pensar en la relación entre las acciones divinas y las razones divinas como una relación causal. Leibniz dice que cada mundo posible tiene “el derecho a reclamar la existencia en la medida de la perfección que encierra” (Rescher 2013, Sección 54). 109 Se utilizó un argumento similar en el Capítulo 5, Sección 3.2. 110O al menos todos los no excluidos. Consulte Pruss (2013b) para obtener más información. Pero es poco probable que todos, excepto un número limitado, estén excluidos. 108

una primera causa

3.3 Conocimiento divino Parece posible que haya un número infinito de eventos contingentes no determinados por Dios, incluso si el finitismo causal es cierto. Por ejemplo, quizás algunas o todas las personas vivirán para siempre (p. Ej., En la otra vida) y continuamente tomarán decisiones libres indeterminadas. Mientras cada elección dependa únicamente de una secuencia pasada finita, no es necesario que haya violación del finitismo causal. Pero si existe un Dios omnisciente, conocerá los resultados de estas infinitas opciones. Además, es plausible que nadie, ni siquiera Dios, pueda determinar las elecciones libres. Por lo tanto, el conocimiento de Dios debe ser una especie de reacción a las elecciones libres y, por lo tanto, un número infinito de elecciones libres causa un solo evento, digamos que Dios conoce la conjunción de las proposiciones que informan los eventos. Hay varias respuestas posibles a este argumento. Los teístas abiertos niegan que Dios conozca las futuras acciones libres. Uno podría combinar esto con la doctrina de que no puede haber infinitos pasados o presentes (cf. Capítulo 7, Sección 3.3), y así, en un momento dado, Dios solo conoce un número finito de acciones libres, ya que solo un número finito de acciones libres ha ocurrido en cualquier momento. En el lado opuesto del espectro teológico, tenemos compatibilistas teológicos como los calvinistas y algunos tomistas que sostienen que Dios determina causalmente todos los elementos contingentes, incluida la libre elección de los agentes. Desde este punto de vista, Dios podría conocer un número infinito de eventos contingentes tomando, y sabiendo que está tomando, una única decisión eficaz para producir toda la infinitud de eventos contingentes. La decisión de Dios puede ser causalmente anterior a su conocimiento, pero eso no debe violar el finitismo causal. Pero estos son puntos de vista extremos y problemáticos. El teísmo abierto rechaza la doctrina de la omnisciencia de Dios tal como se ha entendido tradicionalmente en las tradiciones judía, cristiana e islámica. Además, mediante el razonamiento inductivo ordinario, conocemos erróneamente algunas acciones libres futuras de los agentes. Uno puede saber, sobre la base del desempeño pasado de una persona, que elegirá libremente mantener una promesa, por ejemplo. Entonces, dado que el teísmo abierto no deja lugar para que Dios sepa infaliblemente tales verdades futuras, nos quedan dos opciones problemáticas (cf. Kvanvig 1996). O Dios tiene conocimiento falible o hay algunas cosas que nosotros (faliblemente) sabemos que Dios no sabe en absoluto, ya sea falible o no. Si Dios tiene conocimiento falible, entonces, de la misma manera, tiene creencias falibles y, por lo tanto, es posible que Dios esté equivocado, lo cual es profundamente problemático. Por otro lado, el compatibilismo teológico encuentra serias dificultades con el problema del mal. Porque si Dios puede determinar las elecciones libres, entonces Dios puede hacer que todos escojamos libremente lo correcto, y es particularmente difícil justificar que permita el mal. Además, si nuestras elecciones las determina

compatibilidad con el teísmo? Dios, entonces parece que Dios nos determina a hacer el mal a veces, y eso en sí mismo parece incompatible con la perfección moral. Por supuesto, hay respuestas de teístas abiertos (por ejemplo, Taliaferro 1993) y compatibilistas teológicos (por ejemplo, varios de los autores en Alexander y

objeciones, y va más allá del alcance de este libro debatirlas. No obstante, los argumentos son lo suficientemente convincentes como para tomar en serio la posición intermedia de que Dios no determina las acciones libres y, sin embargo, tiene un conocimiento exhaustivo de lo que se hará y lo que no se hará libremente. En esta posición intermedia, la infinidad de acciones libres futuras son explicativamente anteriores al conocimiento que Dios tiene de ellas. Pero aun así, esto es solo una violación del finitismo causal siempre que esta prioridad explicativa sea de naturaleza causal. Sin embargo, no tiene por qué serlo. Hay una razón independiente en el teísmo clásico para negar que las acciones de las criaturas puedan causar estados mentales divinos: tal causalidad de criatura a Dios parece violar la aseidad divina. Pero si la relación explicativa entre la acción libre de las criaturas (y tal vez los eventos estocásticos de las criaturas) y Dios no es causal, ¿cuál es? Ésta es una pregunta difícil y que nos lleva más allá del alcance del libro. Sin embargo, esbozaré un modelo altamente especulativo, que es un análogo teológico al modelo cartesiano de percepción. En el modelo cartesiano de percepción, nuestras impresiones sensoriales se muestran en algo que podríamos llamar el teatro de la mente. Sin embargo, no debemos suponer que la mente al observar las impresiones sensoriales siempre forma más representaciones de estas impresiones sensoriales, porque si siempre hiciera eso, tendríamos una regresión viciosa de las impresiones.111 Más bien, la mente, sin tener más representaciones de las impresiones sensoriales causadas en ella, percibe directamente las impresiones sensoriales que están en el escenario del teatro mental. Las impresiones sensoriales son explicativamente anteriores a nuestras percepciones de una manera constitutiva más que causal: nuestro acto de percibir la salinidad está constituido por una actividad de la mente más una impresión sensorial salada. Si bien soy escéptico sobre si el modelo cartesiano proporciona una historia correcta sobre nuestra percepción, podemos usarlo para modelar el conocimiento de Dios del mundo, al tomar a Dios como análogo al alma y los eventos del mundo como el contenido del escenario. . (No necesitamos el escenario en sí en el modelo). Entonces, los eventos del mundo no causan impresiones o pensamientos en Dios. Más bien, son explicativamente anteriores a las creencias divinas de una manera constitutiva: las creencias de Dios sobre los eventos contingentes están constituidas por los eventos sobre los que se tratan junto con la actividad de la mente de Dios.

111 En la introspección, también puede haber impresiones de impresiones, pero estas también se exhibirán en el teatro.

una primera causa Esto requiere el rechazo de una extensión del finitismo causal a ciertos tipos de explicaciones constitutivas. Y hay una razón independiente en el teísmo clásico para optar por un modelo como este. El teísmo clásico respalda la simplicidad divina. Pero la simplicidad divina implica que Dios no tiene propiedades intrínsecas accidentales. Pero, necesariamente, Dios cree todas y solo las verdaderas proposiciones. Por lo tanto, la propiedad de Dios al creer que p, donde p es una verdad contingente, es una propiedad de la que Dios carecerá en los mundos donde p no es verdadera y, por lo tanto, es una propiedad accidental. Por tanto, no puede ser una propiedad intrínseca. Por lo tanto, el teísta clásico tiene que decir que las creencias de Dios sobre las

externo a Dios. Y es particularmente elegante tomar los hechos sobre los que se tratan las creencias como esos elementos, lo que nos da el modelo anterior (cf. Pruss 2008). Por lo tanto, una vez más, mientras que el finitismo causal produce una dificultad prima facie para el teísmo, el teísmo clásico da una motivación independiente para una solución.

3.4 Acción divina Pero más allá del conocimiento y la fe divinos, está la cuestión de la acción divina. Por ejemplo, si Dios conoce p, seguramente puede anunciar p, ya que es todopoderoso, nadie puede impedirle hablar.11 Y ahora tendremos un dilema para el finitista causal. Supongamos que Dios conoce un número infinito de eventos, y anuncia un hecho que depende esencialmente de ese conocimiento. Por ejemplo, tal vez él anuncia que del número infinito de dados lanzados, todos menos un número finito salieron seis, para recordar un ejemplo del Capítulo 5. Entonces, o el anuncio de Dios es o no es causado por el número infinito de eventos. Si el anuncio de Dios es causado por un número infinito de eventos, tenemos una violación del finitismo causal. Pero si el anuncio de Dios no es causado por él, el escenario que acabamos de dar no está descartado por el finitismo causal. Sin embargo, tales anuncios divinos son suficientes para muchas de las paradojas de la probabilidad y la racionalidad que se usaron para defender el finitismo causal. Por tanto, el finitismo causal no hace el trabajo que necesita para sacarnos de la paradoja. En respuesta, muerdo una bala al negar que Dios siempre pueda hacer tal anuncio. Para suavizar el golpe, tenga en cuenta primero que hay preguntas que tienen una respuesta pero donde incluso un ser perfecto no puede dar esa respuesta correctamente. Por ejemplo, nadie puede responder correctamente a la pregunta: (9)

¿Cuál es un ejemplo de una entidad a la que ningún acto de habla se refiere individualmente?

Pero es muy probable que haya muchas respuestas correctas; seguramente la mayoría de las 1080 o más partículas del universo nunca se mencionan individualmente en un

compatibilidad con el teísmo? acto de habla. Incluso hay preguntas de sí o no que no se pueden responder correctamente: (10) La próxima vez que responda una pregunta, ¿la respuesta será negativa? (Rescher 2005, pág.17) Si el hablante dice "Sí", responde falsamente, y si dice "No", también responde falsamente. Pero si se abstiene de responder, siempre que haya algo que diga, habrá una respuesta correcta. Para un tercer ejemplo, si soy tan contrario que no puedo hacer lo que acabo de escuchar que se predice que haré, entonces nadie puede darme una respuesta correcta a la pregunta: (11) ¿Estoy a punto de aplaudir? 11

Agradezco a Miguel Berasategui por plantear esta inquietud.

Pero la pregunta (12) ¿Un número infinito de dados mostraba no seis? difiere de las preguntas anteriores en que es posible que un ser distinto de Dios la responda. De hecho, sobre bases probabilísticas, una respuesta sensata de cualquier persona común que no haya visto los dados pero que sepa que hubo infinidad de tiradas es: "No". Pero Dios no puede basar sus respuestas en bases meramente probabilísticas, ya que al hacerlo correría el riesgo de responder falsamente, y es imposible que un ser perfecto responda falsamente (cf. Kvanvig 1996). No obstante, se pueden encontrar otras preguntas que Dios no puede responder correctamente, pero que una criatura en principio podría responder correctamente. Por ejemplo: (13) ¿Cuál es un ejemplo de una entidad a la que ningún acto de habla divino se refiere individualmente? Quizás, por ejemplo, Dios nunca habla de Seabiscuit con nadie, y Seabiscuit es un ejemplo de tal entidad. Así que bien puede haber una respuesta correcta, pero es una respuesta que Dios no puede dar, aunque las criaturas sí. O suponga que Dios me prometió mantener algo completamente en secreto para usted, y la promesa está completamente en vigor. Le preguntas a Dios: (14) ¿Qué le prometiste a Pruss que me mantendría en secreto? Siendo moralmente perfecto, Dios no puede responder esta pregunta. Sin embargo, hay una respuesta, y los hechos relevantes no se verían afectados por la respuesta de Dios a la pregunta. Y así como hay preguntas que un ser perfecto no puede responder, hay anuncios verdaderos que un ser perfecto no puede hacer. Mi respuesta cuestiona la afirmación

una primera causa de que Dios podría anunciar respuestas a preguntas como (12) incluso si supiera las respuestas y, por lo tanto, elude el dilema sobre la relación causal entre el anuncio de Dios y los eventos de los que se trata. Aún queda una versión general de la pregunta publicada por el dilema. Cuando Dios hace anuncios sobre algunos hechos contingentes no determinados por Dios, ¿el anuncio de Dios es causado por los hechos contingentes? Pero tanto una respuesta positiva como una negativa pueden adaptarse al finitismo causal. Supongamos primero que el anuncio de Dios es causado por hechos contingentes. Entonces tenemos una respuesta simple y fácil a por qué los anuncios de Dios no pueden usarse para ejecutar paradojas como las que he dado en este libro: tales anuncios serían una violación del finitismo causal tanto como los anuncios no divinos o los resultados de las máquinas. sería. Pero en cualquier caso, la respuesta causal tiene un problema independiente del finitismo causal: las consideraciones de aseidad dan a uno alguna razón para dudar de que los eventos de las criaturas puedan causar acciones divinas. A continuación, suponga que el anuncio de Dios no es causado por hechos contingentes. Aquí el finitista causal tiene una opción. Una opción es que Dios no puede hacer esos anuncios sobre asuntos infinitos que conducen a la paradoja, pero

anuncios. Si bien sería ad hoc si simplemente descartáramos todas las paradojas una por una sin invocar un solo principio de cobertura como el finitismo causal, en el caso de la participación de Dios quizás esto no sea ad hoc. Porque quizás la perfección de Dios no le permitiría colocar a una persona en una situación en la que existe una paradoja de la racionalidad. Dios mismo es un ser racional, los seres racionales están hechos a imagen de Dios, y actuar irracionalmente es actuar en cierto sentido contra Dios. Por lo tanto, quizás Dios no podría poner a una persona en una posición en la que la racionalidad requiera dos cursos de acción incompatibles. Pero la opción que parece mejor puede ser decir que la relación entre la materia contingente y el anuncio de Dios es una relación explicativa análoga a una causal. Es una relación de dependencia contrafáctica que se basa en parte en una causalidad, ya que los eventos mundanos involucrados en el anuncio de Dios (un sonido que retumba en el aire o un pensamiento en la mente de una criatura) son presumiblemente causados por Dios.12 Nuevamente, aquí solo puedo esboce algo que sea una vía para futuras investigaciones interesantes. Podría decirse que las relaciones explicativas se presentan en al menos dos variedades. Primero, hay explicaciones constitutivas o fundamentadas. En esos casos hay una relación muy íntima entre explanans y explanandum. El explanandum aquí se sostiene en virtud del explanans. El cuchillo está caliente porque sus moléculas tienen alta energía cinética; eso es lo que lo hace caliente, lo que fundamenta su calor. Donald Trump es presidente en virtud de haber sido elegido válidamente. Los hechos informados por el explanandum y explanans, en cierto sentido intuitivo, no están realmente separados. Al menos en los casos típicos de explicaciones constitutivas, el

compatibilidad con el teísmo? explanans implica el explanandum. Si tomamos la solución constitucional externa al problema del conocimiento divino que se da en la Sección 3.3, no deberíamos extender el finitismo causal a este tipo de explicaciones. Pero, en segundo lugar, hay explicaciones que normalmente también apoyan los contrafácticos, pero donde los hechos informados por el explanans y el explanandum están realmente separados. Por lo general, no hay vinculación de explanans a explanandum. Un caso paradigmático de este tipo de explicación se basa en la causalidad eficiente. Pero la causalidad puede no ser el único caso de este tipo. Podríamos llamar a las relaciones subyacentes a este tipo de explicación "cuasicausales". Si hacemos eso, entonces podemos extender el finitismo causal al finitismo cuasi-causal, descartando infinitas historias cuasi-causales, y podemos decir que los anuncios de Dios de estados de cosas contingentes cuando estos estados de cosas no están determinados por Dios son cuasi -causado por estos estados de cosas. Sobre esta solución, el finitismo cuasicausal será la visión general defendida por los argumentos de este libro. Tomando la ruta de la cuasi-causalidad, entonces, podemos negar que Dios pueda hacer los anuncios paradójicos, porque eso violaría el finitismo cuasi-causal, y deberíamos aceptar el finitismo cuasi-causal como una extensión natural del finitismo causal. Esta parece ser la mejor solución a la tensión entre el teísmo y las paradojas relevantes. 12

Pero vea Pearce (2017).

3.5 Límites de la posibilidad metafísica La existencia necesaria de un ser perfecto impone límites a lo posible. Por ejemplo, si tal ser existe, es imposible que haya males no redimidos tan malos que sería incorrecto que un ser perfecto los permitiera. Pero tales límites también limitan la aplicabilidad de los tipos de argumentos de reordenamiento que se han utilizado mucho en este libro. Por ejemplo, en el Capítulo 3, Sección 3.3, expuse que si es metafísicamente posible tener infinitos Parcas con tiempos de activación establecidos de alguna manera no paradójica (digamos, a las 10:00, 10:30, 10:45 y así sucesivamente), entonces debería ser posible establecer los tiempos de activación de forma paradójica. Ahora considere mundos que, aparte de Dios, contienen dos personas, Smith y Jones, y una máquina, un Grim Punisher. Smith golpea libremente a Jones en la cara de una manera que no causa dolor o lesiones graves, y nunca hace nada malo. The Grim Punisher luego impone a Smith una cierta longitud de dolor de muelas moderado como castigo por este ataque. El Grim Punisher tiene un dial que controla cuánto tiempo durará el dolor de muelas impuesto. Claramente, es posible un mundo en el que el dial se establezca en un período de tiempo moderado proporcional a la lesión de Jones, digamos un minuto. Pero dado el teísmo, no parece posible tener un

una primera causa mundo en el que el dial esté fijado en mil millones de años, al menos no sin introducir algo más en la historia, como los beneficios para Smith de sufrir mil millones de años de dolor de muelas. El teísmo, por tanto, requiere el rechazo de la idea de que siempre serán posibles modificaciones matemáticamente coherentes de posibles arreglos. Pero esa idea parece importante para muchos de los argumentos de este libro. Sin embargo, es muy plausible dado el teísmo que los límites plausibles que el teísmo impone a las modificaciones de arreglos se basarán en uno de dos aspectos de la perfección divina. (Para una descripción de la omnipotencia compatible con los tipos de límites que discutiré, véase Pearce y Pruss 2012.) El primer límite es que todo menos Dios es creado por Dios. Esto limita las posibilidades de las entidades no creadas a una, a saber, Dios, pero como ninguno de los argumentos principales depende de entidades no creadas, los argumentos no tienen obstáculos. La segunda limitación impuesta por la perfección moral de Dios. Esto limita un ejemplo de sufrimiento. Pero para que sea una opción real, es mejor que el teísmo sea compatible con las cantidades masivas de sufrimiento que se encuentran en el mundo real, y por lo tanto, los límites de los ejemplos que involucran sufrimiento deberían no ser tan onerosos como uno podría pensar al principio. Aún así, habrá preocupaciones en el caso de los ejemplos del Capítulo 5 que, real o potencialmente, involucren una cantidad infinita de dolor. Sin embargo, incluso si esto hace que los juegos sean incompatibles con el teísmo, se pueden modificar para hacer posible que un ser perfecto los permita. Por ejemplo, en el juego de adivinanzas de un solo jugador, supuse que el juego se ha jugado durante una cantidad infinita de tiempo y que cada vez 13

Cf. el argumento modal del mal de Gulesarian (1983).

adivinó mal que recibió una descarga eléctrica. Al adivinar estrategias que no garantizan acertar casi siempre, esto implica una cantidad infinita de dolor total. Y es esencial para la historia que exista una posibilidad real de adoptar tal estrategia. Sin embargo, es posible modificar el ejemplo para evitar preocupaciones morales. Podríamos suponer, por ejemplo, que la cantidad de dolor causado por la conmoción es lo suficientemente pequeña como para que el placer de la excitación del juego, sin importar si uno gana o pierde, supera el daño. 112 Por supuesto, tal modificación hace que la recompensa total sea infinita, pase lo que pase. Pero la emoción del juego no depende de la decisión de uno sobre cómo apostar, o eso podemos suponer, y los

112O podríamos suponer que el jugador elige libremente jugar cada vez para salvar a un amigo del daño. Entonces, Dios puede estar justificado al permitir que el juego continúe porque el jugador crece en virtud al jugarlo, a pesar del dolor sufrido.

compatibilidad con el teísmo? beneficios, incluso los beneficios infinitos, que no dependen de la decisión tomada no deberían afectar la racionalidad de la decisión: pueden ser entre corchetes.113 ¿Podría haber otros límites que el teísmo impone a los mundos posibles, más allá de los que provienen de Dios como creador y perfectamente moralmente bueno? Tal vez, pero es plausible que no pueda haber demasiados límites ya que entre las perfecciones de Dios está, al fin y al cabo, su poder infinito que debería dejar en su lugar muchas opciones (Pruss 2016). En cualquier caso, haríamos bien en recordar que el finitismo causal y cuasi-causal en sí mismo impone una limitación a los reordenamientos. Como se señaló en el Capítulo 1, Sección 3.2, lo que queremos evitar son las limitaciones ad hoc sobre los reordenamientos. Las limitaciones teístas, al igual que la limitación debida al finitismo causal, son de principio y no ad hoc.

4. Evaluación El finitismo causal implica la existencia de al menos una primera causa. Dada un Principio Causal para los seres contingentes, se sigue que cualquier primera causa es un ser necesario. Argumentar desde una primera causa necesaria al teísmo sería una tarea importante, una tarea intentada por teólogos naturales como Aquino (1920) y Clarke (1803), pero más allá del alcance de este libro. No obstante, el teísmo es la teoría existente mejor desarrollada de una primera causa necesaria. Por lo tanto, si el teísmo fuera incompatible con el finitismo causal, eso haría menos plausible el finitismo causal. He argumentado que el teísmo puede reconciliarse con el finitismo causal, especialmente si el teísmo se entiende de una manera clásica. Sin embargo, es posible que tengamos que extender el finitismo causal al finitismo cuasi-causal. Quizás la principal alternativa al teísmo aquí sería la afirmación de que el evento del Big Bang es una primera causa necesariamente obtenida. Defender esta afirmación obligaría a uno a negar la intuición de que las leyes de la naturaleza y la disposición inicial de la materia podrían haber sido muy diferentes de cómo son en realidad.

113

Si no se puede poner entre corchetes, entonces una teología universalista fuertemente igualitaria en la que todos reciben una dicha infinita igual en la otra vida socavaría todas las decisiones ordinarias al asegurar la misma recompensa pase lo que pase, pero no parece ser así (uno podría usar utilidades hiperrealistas para explicar por qué no (véase Herzberg 2011).

10 Conclusiones Se ha examinado una gran cantidad de paradojas del infinito. Las paradojas difieren ampliamente. Algunos involucran procesos deterministas y otros indeterministas. Una (la lámpara de Thomson) es paradójica ya que amenaza con violar el principio de razón suficiente. Otros amenazan con contradicciones. Sin embargo, otros amenazan con violar los principios de racionalidad, algunos epistémicos y otros prácticos. Pero hay una cosa que todas las paradojas tienen en común: un número infinito de elementos son, en cierto sentido, causalmente anteriores a un solo elemento. Uno siempre puede salir de cualquiera de las paradojas individuales simplemente diciendo que la situación que describe es imposible porque conduce a la paradoja. Pero esto no es satisfactorio. Primero, el movimiento tiende a violar casos plausibles de reordenamiento, porque hay configuraciones similares que no involucran una paradoja. En segundo lugar, el movimiento termina dando una amplia variedad de explicaciones de por qué las configuraciones son imposibles, y sería preferible una explicación unificada. El finitismo causal proporciona una explicación tan unificada al negar la posibilidad de una historia causal infinita para un solo elemento. El finitismo causal recorre una línea entre el finitismo simpliciter y lo que podríamos llamar infinitismo irrestricto, en el que la división finito / infinito no marca por sí misma una diferencia de posibilidad, ya sea en situaciones causales o no causales. El finitismo, cuando se combina con la teoría del bloque creciente del tiempo o con el eternismo, puede resolver todas nuestras paradojas, pero el costo de esa resolución es alto. Primero, el finitismo implica que las matemáticas modernas se preocupan por situaciones imposibles. En segundo lugar, el finitismo más el eternismo contradice la afirmación plausible de que los infinitos futuros son posibles. Y mientras que el finitismo más el bloque creciente evita las paradojas que motivan el finitismo causal y permite un futuro infinito, conduce al escepticismo sobre lo que es ahora. Por otra parte, Además de resolver paradojas, hemos visto que el finitismo causal hace justicia a las intuiciones comunes sobre la crueldad de las regresiones causales infinitas. Y, como beneficio adicional, nos brinda una explicación metafísica potencialmente interesante de lo finito y lo contable con una aplicación a la filosofía de las matemáticas. El finitismo causal debe considerarse como una familia de puntos de vista, dependiendo de las relaciones de prioridad causal que se utilicen para definirlo. Se necesitan más investigaciones para especificar más el finitismo causal, así como para considerar análogos o extensiones plausibles del finitismo causal. Por ejemplo, se podría argumentar que así como nada puede tener infinitas causas, nada puede tener conclusiones

los análogos entre historias causales infinitas e historias causales circulares, y el finitismo causal pueden extenderse para excluir ambos. Existe un argumento inicialmente plausible del finitismo causal a la tesis de que el tiempo (y probablemente también el espacio) son discretos. Sin embargo, hay interpretaciones empíricamente adecuadas de la causalidad en física en las que las secuencias causales son discretas pero el tiempo no. Si estas interpretaciones son inverosímiles, entonces el finitismo causal empuja hacia el discretismo temporal. Por otro lado, definitivamente se sigue del finitismo causal junto con la negación de la posibilidad de bucles causales que debe haber una causa no causada. Es necesario investigar si esta causa no causada es algo natural, como el Big Bang, o algo sobrenatural, como Dios. Al mismo tiempo, mientras que los argumentos a favor del finitismo causal tienen una similitud con partes de los argumentos de Kalam a favor de la existencia de Dios, ¯ existen dificultades especiales, que creo que se pueden superar, que deben enfrentarse para alguien que combina el finitismo causal con el teísmo. Pruss y Rasmussen (2018) han argumentado que los teístas y los no teístas podrían estar de acuerdo en que existe un ser necesario e investigar la naturaleza de este ser juntos. El argumento inspirado en Kalam¯ del Capítulo 9 debería ayudar a motivar aún más esta investigación conjunta.

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referencias

Índice abstracta 4, 6, 13-14, 185 ACCR 119-25 acción 99, 105, 108, 143, 164-5, 170n2, 171, 176, 179, 184–7, 190 divino 185, 188–9 grupo 135, 138 instantáneo 47n8, 48, 177 moral 144 ángeles 98-104, 106, 130-1, 135-6, 143 Anscombe, GEM 172 Santo Tomás de Aquino 26, 106, 192 Propiedad de Arquímedes de números reales 41, 64n1 Aristóteles 10, 87, 164, 168–9, 178, 180. Véase también metafísica, Aristotélico aritmética 16, 20–2, 41, 65, 164 axiomas de 16, 20. Ver también Peano Axioms Peano 22 segundo orden 18n16 atemporalidad 152, 170 Axioma de elección 3, 14, 18n17, 25, 38, 41n2, 65n2, 83–4, 88–9, 97–8, 101, 117–39, 183n6 5n3 contables para colecciones contables de reales 119-25 paradojas de 117-39 Axioma de aditividad contable 81 Axioma de elección dependiente 38–9, 70n5, 136, 182n1, 183n5. Véase también Axioma de elección Axioma de finitud 14 Axioma de regularidad 36, 162n8 Axioma de separación 24n23 axiomatización 21 axiomas 14-18, 20-2, 121 de la teoría de conjuntos 22, 91, 117-18. Ver también axiomas de Zermelo-Fraenkel Benacerraf, Paul 1–2, 20, 43–4 Problema de identificación de Benacerraf 20, 22 Benardete, José 146. Ver también paradoja, Tablas de Benardete Big Bang. Ver eventos, Big Bang event Agujeros negros 155, 157, 180 Boolean Prime Ideal axioma 41n2

Cantor, Georg 5. Véase también el teorema, cardinalidad de Cantor. Ver conjunto, cardinalidad cardenales. Véase también conjunto, cardinalidad inaccesible 136 causalidad 12, 27–8, 32–3, 36, 54, 142–3, 145, 149, 152, 161, 165–6, 172–4, 176–7, 180– 2, 187, 190 Aristotélico 8, 44, 46, 148, 164, 170, 180 hacia atrás 3, 63, 152, 159, 170-1 por ausencias 149, 166 finitismo causal 1-4, 7-11, 13, 18-19, 22-3 , 25, 27, 35, 37–42, 46–50, 54–7, 59–61, 63, 68–70, 81, 86–90, 92–6, 100, 103, 107–8, 110-11, 113-15, 118, 124, 135, 137n18, 140–52, 157, 159–67, 169–70, 172–4, 176–82, 184–90, 192–4 infinitismo causal 4, 26, 48, 57, 60–1, 64, 68, 79, 81, 87n23, 88–90, 93–6, 98, 100, 103– 4, 118-19, 130-2, 134-8, 160, 177 bucles causales 31-2, 40, 61-3, 140, 162-3, 166, 181, 194 nexo causal 37, 50, 141, 145, 162–3 poderes causales 7n5, 8–9, 14, 44–5, 51, 61n20, 63, 144, 147, 150, 192 Principio causal 52–4, 182 –4, 192 prioridad causal 142–3, 146–7, 163, 165, 193 regresiones causales 25–7, 29, 31, 33, 35–7, 151, 162, 193 relaciones causales 35, 37, 55, 140, 141-3, 145–9, 162, 165–6, 171, 189, 193 teoría contrafactual de 51, 54 derivadas 32–3, 142 determinista 51 discreta 174, 177–80 eficiente 30, 164, 190 final 164–5 primera causa 37, 181 –92. Véase también Dios, teísmo formal 164 fundamental 32-3, 37, 141-2, 160, 162, 165 Humean 9 indeterminista 34, 51, 177 teorías manipulacionistas de 54 material 148, 164 microfísico 142 parcial 37, 142-5, 147-8, 162-3, 165-6 cuántico 176-7, 179. Ver también física, Mecánica cuántica cuasicausal 181, 190, 192 autocausa 23, 36n9, 148, 163 simultánea 151, 159, 170 Chalmers, David 68-9 cambio 43-4, 168 accidental 170 instantáneo 155

índice

cambiar (Cont.) tiempo como medida de 168, 171 mecánica clásica 167 termodinámica clásica 176 compatibilismo teológico 186 concreta 4, 13-14 conglomerabilidad 75-7, 79, 101n4 contingencia 22n22, 43, 52, 56, 91, 122, 124, 152, 164n10, 181–3, 186–7, 189–90, 192 distribuciones continuas 87– 8, 92 continuum 87, 101, 119, 125, 132, 135. Véase también conjunto, incontable hipótesis del continuo 67n3 aditividad contable 75-7, 81, 87n24, 96n2, 121, 138 Craig, William Lane 15, 151, 184 credenciales 70-2, 74-6, 100-1. Véase también probabilidad, epistémica. posterior 75 teoría de la decisión 3, 93-116, 137 densidad 57-8, 60, 153, 155, 157-8 gradiente 155 infinito 153, 155 de tiempo 29 uniforme 57n14, 59, 155 satisfacción del deseo 110 determinismo 48n10, 174 disposiciones 136, 150 argumentos de dominio 68-9, 107 Dummett, Michael 30 Libros holandeses 68–9, 70–1, 118, 128–30, 134, 138 infinito 66 Einstein, Albert 131 emergencia necesaria 52 ecuaciones 75–6 diferencial 91, 172 diferencial parcial 178n6 Schrödinger 174-5, 177-8. Ver también física, Mecánica cuántica de segundo orden 178n6 clases de equivalencia 84, 88–9, 98, 120, 134-5, 139 esencialidad de los orígenes 8, 35, 144 esencialidad del tiempo de origen 104 Eternismo. Ver el tiempo, teoría eterna de la eternidad 6, 164 atemporalidad 152, 170 vida eterna 40, 60–1, 63 omnitemporalidad. Ver omnitemporalidad atemporalidad 54

eventos 9-10, 26, 30n6, 40, 46, 51, 61, 65-6, 76–7, 81, 83, 96n2, 131, 145, 149–50, 161, 164, 170, 176, 186, 187, 189–90 Evento de Big Bang 180, 182, 192, 194 contingente 52, 181, 186–7 disjunto 75–6 disyuntivo 28 detallado 141–2, 165 futuro 10, 17– 18, 23, 49– 50, 103, 150 individuación de 140–2 infinitamente muchos 49–50, 108, 131, 188 mental 160 pasado 23, 63 físico 89, 183 positivo 146, 149 cuántico 54n11 aleatorio 122, 135 estocástico 187 sin causa 51-3, 54n11, 184 probabilidad cero 124 explicación 1–2, 4, 27, 29–30, 37, 43–4, 100, 108, 154, 156, 161–2, 164–6, 173–5, 190, 193 causal 29, 34-5, 173 constitutivo 187, 190 económico 154 circularidad explicativa (bucles) 2932 prioridad explicativa 30, 187 relaciones explicativas 164-5, 187, 190 externo 29 fundamento 30n6, 190 infinito 140 interno 30 metafísico 30n6 nómico 30n6 de regresiones 29 del universo 26, 37 parcial 164-5 psicológico 154 científico 30n6, 153, 155-6, 193 auto-29 unificado 161, 165 Último teorema de Fermat 20 Feynman, Richard 125 campos 135– 6, 161, 178–80 electromagnético 135, 178–9 gravitacional 53, 131, 146, 161, 169 magnético 174 físico 53 finitismo 3, 10-19, 22-3, 48-50, 61, 103, 11819, 140, 148, 150, 153–4, 164, 170, 184, 193 causales. Ver causalidad, finitismo causal explicativo 165 bloque creciente 11 mereológico 164 presentista 10 Libre albedrío indeterminista 48, 62 cuasi48n10 funciones 5, 26, 81, 83–4, 87n24, 88, 95, 102, 117-18, 120, 122, 124, 127n9, 175, 179 opción 88, 98, 102, 117-19, 122, 124-5, 130-2, 137, 139n19 constructible 118 medible 137 no medible 137 uno a uno 119, 120n3, 124, 132-5 Popper 82 probabilidad 75-6, 85-6 estocástico 178

índice función de onda 34, 174–8. Ver también física, Fusión de la mecánica cuántica. Ver mereología, suma mereológica geometría 168–9 interno 169 Dios 8, 26, 33–5, 36n9, 46n7, 54, 70n6, 152, 165, 181-2, 184-92, 194. Véase también teísmo aseidad de 36n9, 187, 189 omnisciencia de 181, 186 perfección de 190-2 Gödel, Kurt 16, 20. Ver también teorema, teoremas de incompletitud de Gödel Conjetura de Goldbach 16-17 gráficos 25, 37, 162 dirigido 38 puesta a tierra 9, 30n6, 32–3, 36–7, 45, 107, 142, 164, 171, 174, 179, 190 ampliamente lógico 145 causal 145, 165, 190 yo- 36 grupo 135 acción 138 contable 135, 138 libre 138 permutación 138 Creciente teoría de bloques del tiempo. Ver el tiempo teoría del bloque creciente de Hilbert's Hotel 12, 14, 156–7 Regla de Howson 74-5 Huemer, Michael 1, 140, 153–9, 180 Hume, David 26, 29, 37, 48n10, 52, 55. Ver también leyes de la naturaleza, teoría humeana del principio de Hume-Edwards (HEP) 29 si-entoncesismo 15-17. Véase también infinitismo matemático. Ver finitismo infinito 1–2, 12, 17, 23, 27, 35, 41, 47, 50, 58–9, 63, 65, 86, 90–1, 107–8, 134, 142, 144, 150–5, 158–60, 163, 165–6, 170–1, 185, 193 reales 13

causal 160, 177. Véase también causalidad, causal finitismo completado 151-2 contables. Ver conjunto, futuro contable 17-18, 113, 150-1, 170, 187, 193 intensivo 154-6 pasado 140, 150-2, 186 potencial 10, 15

simultáneo 160 incontable. Ver conjunto, incontable Parcas instantáneas (IGR) 183–4. Véase también paradoja, Grim Reaper integrales 89, 156 justificación epistémico 27–8 Argumento cosmológico de Kalam 50, 181, ¯ 184, 194 Kant, Emmanuel 146, 151 conocimiento 73, 88, 105n8, 109, 134-5, 151 divino 181, 186–8, 190 Knuth, Donald 17, 65 Lema de König 39n11 Ley de Excluidos Medio 171n3 Ley de Grandes Números 80, 170n2 leyes de la naturaleza 44–6, 55, 88, 131, 152, 156, 158, 172, 180, 192 Teoría aristotélica de 8, 44-6 causal 9 Teoría humeana de 30 infinitamente compleja 137 Newtoniana 60, 178n6. Ver también física, 42n3 relativista newtoniano Leibniz, Gottfried 22n22, 156, 185n7 Lewis, David 7-8, 24, 51, 54, 61n20, 146n1 lógica 37, 14, 16, 17n14, 45, 53, 67, 100-1, 105, 145, 174 primer orden 53 respuestas lógicamente revisionistas a la paradoja 1–2 no clásica 1 Logicismo 16 loterías paradójico 64–92 Máquinas 189 Axioma de elección Máquina 117–39 constructible 81 Cuatro dimensiones 131–6 Castigador siniestro 191 Parca. Ver la paradoja, Grim Reaper infinito 81 lotería 80-1. Ver también paradoja, lotería tridimensional 132, 136 tiempo 62. Ver también tiempo, viajar

magnitudes extensivo 153-5 fundamental 154 infinito intensivo 140, 153-9 natural 153-6, 158 matemáticas 4–7, 13–18, 20–3, 41, 60–1, 65, 75, 77, 88–91, 94–5, 98, 111–12, 118,

índice 121n6, 122n8, 123, 125–9, 136n16, 137, 150, 170–1, 175, 178–9, 191, 193. Véase también infinitario 91 definición matemática 18 ficción matemática 178-9 idealización matemática 91 inducción matemática 38, 115, 117n1 límite matemático 42, 87n24, 90, 115, 158 objeto matemático 14, 20, 122-3 práctica matemática 14-15 metamatemática 16 filosofía de 3, 14-15, 20, 23, 63, 193 mereología suma mereológica infinita 148, 164–6 finitismo mereológico 164 suma mereológica 6, 34, 50–2, 147–8 universalismo mereológico 52 Merricks, Trenton 11, 51, 150 metafísica 8, 52, 91, 150, 180 Aristotélico 8, 32n8, 44-6, 59, 124, 148, 151-2, 168-71, 174, 176n5, 178, 180 de objetos materiales 8 de conjuntos 124 Platónico 14-15, 23, 124, 161 mentes 19-20, 107, 176-7, 187, 190 la mente de ángel 143 encarnada 160 la mente de Dios 187. Véase también Dios inmaterial 156, 158–9, 176 interpretación de muchas mentes de Quantum Mecánica 176 modalidad 710 potencias causales explicación de 7n5 teoría de 7 multiverso 50, 122, 130, 176 ramificación 175-7 determinista 176 dualista 177 finito 177 infinito 118, 148, 177 cuántico 177 siendo necesario 4, 8, 35, 181–4, 192, 194. Ver además Dios, teísmo necesidad lógica 16 metafísica 7, 16, 157 estrictamente lógica 16, 22n22 Newton, Isaac 4, 57n14, 172, 178n6. Véase también física, newtoniana. números 1, 10–11, 13, 22, 27, 65–7, 71–4, 77– 9, 82–3, 87n22, 90, 94–5, 96n2, 98, 101, 117, 120n5, 122–4, 132, 135, 137–8, 161, 183n4 Avogadro 50 contables 87 decimal 21, 84, 87n22, 120n4 codificación 21 finito 1819, 24, 64, 69, 84, 117, 161 hiperinteger

41-2 hipernatural 18, 42 hiperreal 41-2, 65, 192n15 infinito 18, 42 , 65 infinitesimal 41–2, 64–5, 72–3, 76–7, 130. Ver también probabilidad, números enteros infinitesimales 5, 12-13, 16-17, 41, 65-6, 70, 71n8, 79, 83-6, 111, 117-18, 131, 173, 182n1 Ley de los grandes 80, 170n2 natural 5– 6, 13, 15, 17-18, 20-3, 64, 71, 84, 86, 95, 101n5, 106, 120n5, 123, 129, 164, 183 primo 12-17, 20, 129n10, 150, 164 racional 87n22 real 5-6, 41-2, 64-5, 71n8, 76, 78, 86-7, 101n5, 114, 119-22, 132, 172, 179n7 surrealista 65 teoría de 20, 22 omnitemporalidad 171 totalidades orgánicas 512, 165 infinito 165 sobredeterminación 28, 33–7 paradoja 1–37 (passim), 140, 142–3, 147, 150– 4, 159–60, 166, 180, 189–90, 193 Paradojas del axioma de elección 117–39 Banach-Tarski 118, 121, 125, 127, 129, 134, 136 Beam's 93, 111-15 Tableros de Benardete 59, 146-7, 165-6 adivinanzas de monedas 129-30, 163 respuestas conservadoras a 12 de la teoría de la decisión 3, 93-116, 137 Gabay-O'Connor 97, 120, 125, 133–4, 138 Abuelo 40, 61–3 Grim Reaper 40, 46–56, 61–3, 96, 140, 143–7, 149–50, 158, 160, 165–6, 183–4, 191 en universos newtonianos infinitos 56–60 respuestas lógicamente revisionistas a 1–2 lotería 64–92 respuestas metafísicas a 1–2 Mischievous Toggler 62–3 Parca invertida 48–9, 56 Russell 24n23 San Petersburgo 68–71 Manzana de Satanás 93, 106–15 Vara de Smullyan 58–60, 157–8 simetría 68–70 Lámpara de Thomson 1–2, 4, 7–8, 10, 26, 40–7, 55–6, 63, 142, 151, 153–4, 156, 158, 193 Paradojas de Zenón 2-3, 10, 59, 160 Parménides 10n6 partículas 29, 43, 47n8, 50, 54, 59, 86, 90, 125, 154-6, 161, 175-6, 188 antipartículas 54 fundamental

índice 156 punto 147, 155 partículas θ 42-3 partículas ψ 122, 124, 130, 137 Pascal, Blaise 70n6 Peano Axioms 18, 20–2 física 3–4, 130–1, 152, 158, 161, 167, 172–8, 180, 194 determinista 175 fundamental 154-5 Newtoniano 32, 40, 42, 56-60, 63, 90, 154, 156, 172, 174, 176, 178n6 partícula 155, 176 filosofía de 180 Mecánica cuántica 90, 172, 174–6 Platón 29n2 pluralidades 6–7, 19, 29n3, 30–1, 34, 52, 154, 162, 182-3 finito 18 infinito 13 posibilidad 16, 48, 50, 52–3, 57, 60, 71–2, 81, 87, 92, 164, 171, 184, 193 causal 123 distinto de coherencia lógica estrecha 53 metafísica 3, 7, 17, 23, 37, 40, 42, 61n20, 89–91, 122, 124–5, 131, 137, 152, 155–6, 170, 191-2 nómico 89-90, 176 de un real infinito 13 de bucles causales 63, 194. Véase también causalidad, bucles causales de infinitos futuros 17, 103, 150, 170. Véase también infinito, futuro de Dios 181. Véase también Dios, teísmo de los seres inmateriales 154, 158–9. Ver también Dios, mentes, inmaterial de infinitas historias causales 37, 193 de un infinito multiverso 118, 148. Ver también multiverso de regresiones infinitas 30 de la física newtoniana 60. Véase también física, Newtoniano de la paradoja 103. Ver también paradoja de las loterías paradójicas 92. Ver también paradoja, lotería de infinitos pasados 151, 170. Véase también infinito, pasado

de viajes en el tiempo 61, 63, 152. Véase también tiempo, viajes de atravesar una serie infinita 152 de regresiones viciosas 29. Ver también regresión, vicioso operador 123 físico 135

powerset 5, 15 presentismo. Ver tiempo, teoría presentista del principio de razón suficiente (PSR) 2, 29, 43–4, 46–7, 137, 164n10, 182, 193 privaciones 149, 166 probabilidad 64–5, 67, 69–72, 74–8, 80, 82, 86, 87n23, 89–91, 102, 104– 5, 121, 130, 170, 175–6, 188 Bayesiano 71–2, 74–5, 92 clásico 75, 77–8, 80–2, 87n24, 96–7, 138 condicional 72, 77 epistémico 91, 105 función 75–6, 85–6 infinitesimal 65, 72– 4, 76, 78–9, 82, 85–6, 87n22, 91–2, 96n2, 102, 110, 129 medida 81, 138 no clásica 82, 129n11 posterior 72 anterior 72 racional 76 teoría 75, 78, 81, 123, 129n11 incondicional 124 cero 65, 69, 71n8, 72– 4, 76, 77–81, 85–6, 87n22, 91, 96–7, 124, 129–30, 137–8 procesos 80, 86–9, 103, 105, 124, 171n3 causal 54, 81-2, 87-8, 92, 107, 125 distribución continua 92 determinista 17n15, 40, 193 indeterminista 176 infinitamente complejo 89 metabólico 142 físico 123, 131 desintegración radiactiva 87, 169-70 aleatorio 34, 49, 92, 135 estocástico 81-5, 118, 123 simétrico 81-5 pruebas 14, 16, 20, 22 finito 22 infinito 22 demostrabilidad 16-17, 20-2 propiedades 9, 11, 17, 21-2, 36, 41-2, 61, 76, 81, 86, 90n25, 95, 98, 122, 129-30, 140-1, 145, 161, 164, 171, 179, 182, 187 accidental 187 Arquímedes 41, 64n1 distributivo 179 funcional 132 intrínseco 9, 187 microfísico 141 de espacialidad 131. Véase también espacio

propiedades (Cont.) estadística 175 subdivisibilidad 183 cuantificación 123 plural 6 Mecánica cuántica 90, 172, 174–6

índice desintegración radiactiva 87, 169–70 principios de reordenamiento 7, 9, 50, 57, 126 sin restricciones 8, 50 reducción al absurdo 5n4, 13, 18, 51, 87n23, 98, 167, 170, 182 Principio de reflexión 76 regresión 62, 140, 142, 163 hacia atrás 26, 31 Bradley Regresión 29 causal 25-37 (passim), 151, 162, 193 dependencia 27 –8 explicativo 29 fundamento 33, 36 infinito 2–3, 25–39, 62–3, 92, 151 justificación 27–8, 34 no vicioso 27–8, 33, 35–6 membresía del conjunto 36, 162n8 Tercer ser humano Regresión 29 sin causa 27–32, 35 cruel 27– 37 (passim), 187 relaciones 18-19, 38-9, 143, 163, 181, 190 antisimétricas 19 causales. Ver causalidad, relaciones causales contrafactuales 54, 190 equivalencia 84, 98, 102, 120, 134-5, 139 explicativo 164-5, 187, 190 justificación. Ver justificación, epistémica reflexivo 98 total 19 transitivo 19, 142, 146 Teoría de la relatividad 150, 155, 167 Generales 157, 169, 178, 180 Especial 42-3, 47n8 Hipótesis de Riemann Zeta (RZH) 17n13 Russell, Bertrand. Ver paradoja, Russell secuencias 15, 21, 32–3, 44–5, 50, 63, 67, 79–84, 88–9, 113–14, 123–4, 137, 143, 160, 163, 168 causal 4, 7, 32, 37, 49, 87, 147–8, 182, 194 contables 45 densos 32, 37 finitos 21, 37–8, 162, 186 infinitos 10, 20, 27, 32– 3, 38–9, 45–6, 49, 56, 80, 82–7, 94–8, 115, 120–2, 129–30, 132–4, 137–8, 143, 147–8, 152, 154, 183– 4 monótona 162–3 teoría del 174 tiempo 61, 122, 169–72 serie convergente 76n13, 111–12 Laurent 65, 76n12 conjunto 4–6, 12, 15, 18, 20, 23–4, 36, 38, 41, 77, 79, 81–4, 88, 96–8, 100, 102, 107, 112, 115, 117–24, 127–9, 133–6, 138–9, 162n8, 179n7 cardinalidad 5–6, 18, 23–4, 100–1, 119–22, 132, 139 contables 3, 6, 18–23, 50, 87, 101, 119, 121–2, 124, 132, 138, 193 Dedekind-finite 18n17 Dedekind-infinite 5n3 vacío 5, 20 finito 5-6, 12, 18-23, 38-9, 79, 101, 112, 115,

117, 171, 193 infinito 5–6, 12, 15, 101n4 medible 121, 123, 136 no medible 82, 120– 1, 125, 134, 136–7 powerset 5, 15 Russell 24n23 incontables 6, 15, 42, 101 teoría de conjuntos 3, 14, 18, 20, 22, 25, 36, 83, 91, 117-18, 136 Axiomas de Zermelo-Fraenkel de. Ver Axiomas de Zermelo-Fraenkel espacio 57, 125–6, 129, 131, 147, 155, 160–1, 168–9, 179, 183 como relacional 57n13 continuo 131–2, 160, 167, 172, 178, 180 discreto 4, 87, 147, 160, 167–9, 172, 178–80, 194 vacío 158, 179–80 Euclidiana 121, 179n7 finito 160 tetradimensional 131-2 vista funcional de 131n13 Hilbert 89–90 infinito 86 Newtoniano 60. Ver también física, puntos Newtonianos de 169 muestra (en probabilidad) 74, 76, 81-3, 115, 126–7, 129, 138 vector 90n25 espacio-tiempo 7, 9, 23, 63, 131, 140, 144, 159– 60, 170, 172. Ver también el tiempo curvado 169 once-dimensional 131 cinco-dimensional 132 plano 178 supertareas 40–63, 66, 71n8, 79–81, 83, 85, 87n23, 88, 108, 112-14, 131, 134-5, 151, 159 invertidos 85 simetría 66–71, 77, 81–5, 92, 104–5, 118 testimonio epistémico 105 ontológico 175 27–8 divino 135 teísmo 4, 8, 181–2, 184–92, 194. Véase también Dios clásica 8, 152, 181, 185, 187–8, 192 abierta 186 teorema 25, 38, 76n13, 77, 95, 102, 115, 118, 136n17, 138 Banach-Tarski. Ver paradoja, Banach-Tarski 72, 74–5 de Bayes Cantor's 5, 15 Los últimos 20 de Fermat Teoremas de incompletitud de Gödel 16, 18, 20-2, 118n2

índice Bueno 75 Caparazón de Isaac Newton 57n14 Schröder – Bernstein 5, 120n3 Solidez 20 veces 1–2, 10–11, 17, 23–4, 29, 41–52, 54–5, 61–2, 85, 87, 103–6, 110, 113, 122, 131– 3, 135–6, 143–4, 146, 150–3, 156, 159, 161, 167–80, 182n2, 183–4, 191 como medida del cambio 168, 171 comienzo del colapso 122 178. Ver también física, Quantum Mecánica continua 26, 87, 131–2, 160, 167, 167–80 (passim) derivadas con respecto a 178n6 dirección de 146 discreto 1, 4, 46, 55–6, 87, 152, 160, 167–80, 194 teoría eterna de 10-11, 17, 23, 4950, 103, 150, 193 externo 60, 152, 170-2 ficticio 178 teoría cuatridimensionalista de 164 teoría del bloque creciente de 3, 10-11, 17-18, 23, 150, 193 infinito 55, 85, 103, 112, 122, 159, 192 infinitesimal 169, 170n2 instantes de 43, 47–8, 156, 159–60, 167– 8, 170–1, 177–8, 183 interno 60, 170–2 vidas 113, 124, 130, 137 paradójico 54–5 Planck 174

posible 87, 183 teoría presentista del espacio-tiempo 10-11, 17, 23-4, 150. Ver la atemporalidad del espacio-tiempo 54 viajes 3, 40, 61-3, 152, 162-3, 170 tropos abundante 141 individuación de 140-2 verdad 16-17, 98, 164n10 contingente 187 futuro 186 matemático 16, 20 necesario 104-6, 161 particular 164 universal 164 indemostrable 16. Ver también teorema, teoremas de incompletitud de Gödel universo 8–9, 23, 26–7, 33, 37, 49, 132, 135, 137, 153–4, 161, 167, 173, 175, 180, 188 isla causalmente aislada 50, 122–4, 130, 148, 152 causa de 54. Ver también Dios estado final de 146 finito 91, 177 Grothendieck 136n16

infinito 153, 177 infinito Newtoniano 56–60 cuántico 177 servicios públicos 109-11, 113-14, 154 esperado 68-71 finito 69-70 hiperreal 192n15 infinito 154 maximización 69-70 subjetivo 154 van Fraassen, Bas 76 van Inwagen, Peter 52 vectores 90, 154, 156 espacio vectorial 90n25 Módulo de Young 157–8 Zenón de Elea. Ver paradoja, paradojas de Zenón Axiomas 20, 36, 118-19, 136 de ZermeloFraenkel