Informe Conjuntos Pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ DE MENDOZA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TEMA: Conjuntos INTEGRANTES:    

García Rivera, Ruth Vin Zumaeta, Jhoner Mas Guevara, Lenin Christian Barboza Carhuajulca, Anthony

ASIGNATURA: Matemática Básica DOCENTE: Jorge Luis Farro Quesquén

CICLO: I

CHACHAPOYAS - 2018

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PRESENTACIÓN

Edificamos este presente informe, que permita ampliar los conocimientos y resolver algunas inquietudes que pueda presentarse dentro del desarrollo del curso de Matemática Básica. Este trabajo está diseñado con la intención de seguir aportando con la juventud estudiosa y talentosa de la UNTRM- Amazonas en el tema principalmente de Teoría de conjuntos De tal manera que nos permita resolver problemas que se presentan en nuestra vida cotidiana y futuro profesional. Anticipadamente entiendo que pueden existir errores involuntarios en dicho trabajo por el cual, pedimos a usted su comprensión. Nuestro agradecimiento al docente Jose Luis Farro Quesquén por brindarnos sus enseñanzas y así, ampliar nuestros conocimientos mejorando cada día nuestro intelecto en el ámbito estudiantil.

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ÍNDICE Introducción ………………………………......………………………………. pág. 4 Objetivos ………… …………………………………………………………. pág. 5 Teoría de Conjuntos ……………….………………………………………….. pág. 6 Operaciones con Conjuntos ……………………………………………………pág. 9 Anexos (Ejercicios)…..……………………………………………..…………. pág. 13 Solucionario…………………………………………………………………… pág. 16 Conclusiones ……………………..…………………………………………… pág. 25 Bibliografia ……………………….…………………………………………… pág. 26

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INTRODUCCIÓN

Desde los principios de la humanidad, la Matemática ha sido un mecanismo utilizado por el hombre con el objetivo de descubrir soluciones a los problemas más frecuentes de quienes la han aplicado en su vida. En este informe se presentará temas de Matematica Basica , el tema de teoría de conjuntos, con cuyo desarrollo estaremos aprendiendo a analizar, así como cada una de las fórmulas y aplicaciones que se nos presentará según nuestras distintas circunstancias. Se anexará ejercicios desarrollados del libro de el autor: Ricardo Figueroa Garcia de el tema de Conjuntos, mostrando nuestro entendimiento del tema y que debido a la dedicación que esto ha significado para nosotros, espero sea de su completo agrado.

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OBJETIVO GENERAL:  Reforzar y lograr mayor dominio de los temas desarrollados, así como adquirir conocimientos nuevos sobre los conjuntos que evidentemente serán de mucha ayuda en nuestra vida, tanto universitaria como profesional. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:  Aprender a aplicar los teoremas sugeridos dentro de la teoría planteada, así como también graficar y argumentar los distintos tipos de problemas según el tipo de operaciones que nos presentan.  Practicar ejercicios de aplicaciones e identificar las distintas problemáticas que se presentan en esta.  Comprender la aplicación de cada uno de los ejercicios planteados, para que así sea útil en transcurso de nuestra carrera.

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CONJUNTOS Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se denominan “elementos”.

 Determinación de conjuntos La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por comprensión.

Determinación de conjuntos por extensión Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto. Cuando el conjunto es finito se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos suspensivos B={m, u, r, c, i, e, l, a, g, o} D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

Determinación de conjuntos por comprensión Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente: {x/x cumple la propiedad}, que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad C={ x/ x es un dígito del número 345923238} D={ x/ x es un número natural menor que 10} E={ x/ x es número primo entre 0 y 20}

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 Representaciòn de Conjuntos Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de Venn y por diagramas de Caroll. Diagramas de Venn Esta representación más conocida como “diagramas de Venn”, consisten en figuras geométricas planas y cerradas; dentro de cada figura se ponen los elementos que le corresponden. Estos diagramas serán los utilizados en el desarrollo de este texto.

Diagramas de Carroll Son bastante útiles para el estudio de las propiedades de los complementos de conjuntos. Consisten en líneas perpendiculares que se cortan (una horizontal y otra perpendicular) tal que un plano cartesiano; en la parte superior e inferior de la línea horizontal se ponen los elementos que cumplen una propiedad y de manera similar al lado izquierdo y derecho de la línea vertical. De tal manera se pueden realizar las operaciones entre conjuntos.

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 CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto finito Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar. Ejemplo 7.9: A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4} Conjunto vacío Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se dice “conjunto sin elementos”; pues se sabe que un conjunto es una agrupación de objetos que cumplen una propiedad determinada. Esta confusión se aclara defiendo el conjunto vacío como aquel en que ningún elemento cumple con la propiedad conocida como “regla de elegibilidad”. Conjunto unitario El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento. Ejemplo: Los conjuntos A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005}={Juan Pablo II} y B={xN / x2–4=0}={2} son unitarios.

Conjunto binario El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos. Ejemplo:

Conjunto infinito Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar. Son Ejemplo:

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Se denota por: A U B y se lee “A unión con B”. El diagrama de Benn Euler correspondiente a la unión de A y B es:

A



a

c

b

B

El rectángulo representa al conjunto universal, en tanto que A U B es la parte sombreada: Nótese que si: a € A, entonces a € (A U B) b € B, entonces b € (A U B) c € A y c € B, entonces c € (A U B)

Luego si x es un término que puede ser de A, de B o de ambos, la unión de A y B se define: 𝐴 𝑈 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑎 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} O sea A U B es el conjunto caracterizado por la proposición 𝑥 ∈ (𝐴 𝑈 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑣 𝑥 ∈ 𝐵

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2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota: 𝐴 ∩ 𝐵 y se lee “A intersección B” El diagrama de Benn correspondiente la intersección de A y B es:

A

a

c

b

B

Donde el rectángulo representa el conjunto universal, en tanto que 𝐴 ∩ 𝐵 es la región sombreada. Nótese que si: 𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑐 ∈ 𝐴 𝑦 𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) Luego, si x es un término que pertenece a A y B, entonces la intersección de A y B se define como: 𝐴 ∩ 𝐵{𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

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3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenece al conjunto B. Se denota por: A–B Y se lee: “A diferencia de B” o simplemente “A menos B” El diagrama de Benn correspondiente a la diferencia de A y B es:

A

a

c

b

Donde A – B es la parte sombreada. Nótese que si: 𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝐴 − 𝐵) 𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∉ (𝐴 − 𝐵) 𝑐 ∈ 𝐴 𝑦 𝑐 ∈ 𝐵 → 𝑐 ∈ (𝐴 − 𝐵) Si x es un elemento que pertenece a A – B, entonces: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

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B

4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Si A y B son conjuntos tales que A⊂ B, se define el complemento de A con respecto de B, y se denotaC 𝐵 𝐴 a la diferencia B – A. Esto es: C

𝐵

𝐴 = 𝐵 − 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}

Cuya representación en el diagrama de Benn es la parte sombreada de la figura 1

B

AB

A’

A

Se define con el conjunto de elementos que no pertenecen a A; esto es: 𝐴′ = 𝑈 − 𝐴 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∉ 𝐴}

5. DIFERENCIA SIMETRICA

Dados los conjuntos A y se define diferencia simétrica de A y B, que se denota por A∆𝐵, al conjunto: A∆𝐵 es igual (A-B) U (B-A) A∆𝐵 es igual (A U B) – (A ∩ B) En el diagrama de Benn Euler, la diferencia simétrica de A y B es la parte sombreada de la figura

A

a

c

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b

B

ANEXOS (GRUPO 8) Libro: matemática Básica – R. Figueroa: 1. Sea 𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑁/0 < 𝑥 ≤ 10} y los subconjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} , 𝐵 = {𝑥 ∊ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟} , Hallar: 2. Dados los conjuntos𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/3 < 𝑥 ≤ 4} , 𝐵 = {𝑧/𝑧 = 𝑛2 , 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≤ 5} , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 30} , Hallar la suma de los elementos del conjunto (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) 1

10. Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 = 2 (𝑘 2 − 1)} , 𝑘 ∈ 𝑁, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 2 = 8𝑥}, 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 2 − 32𝑥 + 192 = 0 . Hallar el resultado de (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶

11. Si 𝐴 = {𝑎, ∅, {∅}} , 𝐵 = {{∅}, {{∅}}} ; ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas? a) (𝐵 ∪ 𝐴) − (𝐵 ∩ 𝐴) = {𝑎, ∅, {{∅}}} b) El número de elementos de 𝑃(𝐴) c) 𝑃(𝐴) ∩ 𝑃(𝐵) = {{{∅}} , ∅}

26. si: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)= 57

n( A∩ B)= 29 n(B −A)= 16 Hallar n(B) –n(A)

27. Hallar n(B−𝐴) si:

n[𝑃(𝐴∩𝐵) ]= 128 n[𝑃(𝐴−𝐵) ] = 64 n(A× 𝐵)= 182

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37. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 , simplificar: 𝐴⋂{[(𝐵⋃𝐴)⋂𝐶⋂𝐵´] ∪ 𝐴´ ∪ 𝐵´} 38. Sean A= {3; Φ}, b= {{3}; Φ; {3; Φ}} y C= {{Φ}, {3}}. Determinar la P(A)[B∩P(C)]

39. Simplificar: [(A∪B)-(C-A)] ∩ [(A∩B)-(A∩C)]

40. Si A, B, C y D son conjuntos tales que C⊂A´, A⊂B´ y C∪D=D. Simplificar: {[(A´∪ B´) ∩ (C´ ∪ D´)] ∪ [([(C∪B) ∩A] A] ∪C´) ∩B]

41. Si para conjuntos A, B, C se tiene: A⊂B y C∩A= Φ, simplificar la expresión: {[A∪ (B-C)] ∩ [B∪ (C-A)]} ∪ {(A-B) △C}

42. Si 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = Φ, simplificar: (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐴)

43. Sean A, B, C conjuntos no vacíos, tales que: (𝐵 ∩ 𝐶) ⊂ Φ, (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴 = Φ. Justificando el desarrollo, hallar: ℤ = (𝐴 △ 𝐵) ∪ (𝐴 △ 𝐶) ∪ (𝐵 △ 𝐶)

44. Usando propiedades de conjuntos, hallar 𝑅 ∪ 𝑆, donde: 𝑅 = [𝐴 − (𝐵 − 𝐷)]´ ∩ [𝐴´ △ (𝐵 − 𝐷) Y 𝑆 = [(𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐷 − 𝐴)] ∪ [𝐴 ∪ (𝐵 △ 𝐷)] 45. Si: A y B son conjuntos, demostrar que: Si (𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ [𝐵´ − (𝐴 − 𝐵)], entonces 𝐴 = Φ ∧ B = Φ 46. Demostrar usando propiedades sobre conjuntos que: (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐵 − 𝐴´ ↔ 𝐵 ⊂ 𝐴 47. Demostrar, usando elementos, que: 𝐴´ △ 𝐵´ = 𝐴 △ 𝐵 48. Usando elementos, demostrar que: [𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶] ∪ [𝐴 − 𝐵 − 𝐶] = [𝐴 − (𝐵 − 𝐶)] ∩ [𝐴 − (𝐶 − 𝐵)

49. Dados los conjuntos: A y B. demostrar que: a) Si 𝐴 − 𝐵 = Φ Y 𝐵 − 𝐴 = Φ entonces A=B b) Si 𝐴 △ 𝐵 = Φ entonces A=B 14

50. Dados los conjuntos A, B, C y D, demostrar a) Por elementos que: Si 𝐵 = 𝐶 ∩ 𝐷 entonces 𝐵 ⊂ 𝐶 b) Por elementos que: Si (𝐴 ⊂ 𝐶) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐷) entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ (𝐶 ∩ 𝐷) c) Usando propiedades que: Si 𝐴 △ 𝐵´ = 𝐵 entonces 𝐵 ⊂ 𝐴

51. Demostrar, por definición, que: 𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶] = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶)

52. Sean A, B, C conjuntos no vacíos. Usando elementos, demostrar que: 𝐵 ∈ 𝑃(𝐴) ∧ 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝐴 △ 𝐵)=𝐴 − 𝐵

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RESOLUCION 1. Sea 𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑁/0 < 𝑥 ≤ 10} y los subconjuntos: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} , 𝐵 = {𝑥 ∊ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟} , Hallar: a)(𝐴 ∪ 𝐵)′ − 𝐶 b)(𝐴 − 𝐶)′ ∩ 𝐵 c)(𝐴∆𝐵) − (𝐴∆𝐶) d)(𝐴 ∩ 𝐶)′ − (𝐵 ∪ 𝐶)′ SOLUCIÓN: 𝑈 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} 𝐴 = {2; 3; 5; 7} 𝐵 = {1; 4; 9} 𝐶 = {1; 3; 5; 7; 9} a) (𝑨 ∪ 𝑩)′ − 𝑪 {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}′ − {1; 3; 5; 7; 9} {6; 8; 10} − {1; 3; 5; 7; 9} {6;8;10} Rpta b)(𝑨 − 𝑪)′ ∩ 𝑩 {2; 3; 5; 7}′ ∩ {1; 4; 9} {1; 4; 6; 8; 9; 10} ∩ {1; 4; 9} {𝟏; 𝟒; 𝟗} Rpta c)(𝑨∆𝑩) − (𝑨∆𝑪) {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9} − {1; 2; 9} {𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟕} 𝑹𝒑𝒕𝒂. d)(𝑨 ∩ 𝑪)′ − (𝑩 ∪ 𝑪)′ {3; 5; 7}′ − {1; 3; 4; 5; 7; 9}′ 16

{1; 2; 4; 6; 8; 9; 10} − {2; 6; 8; 10} {𝟏; 𝟒; 𝟗} Rpta 2. Dados los conjuntos𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/3 < 𝑥 ≤ 4} , 𝐵 = {𝑧/𝑧 = 𝑛2 , 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≤ 5} , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 30} , Hallar la suma de los elementos del conjunto (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) SOLUCIÓN: 𝐴 = {4} 𝐵 = {1; 4; 9; 16; 25} 𝐶 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) {4} ∪ {1} {1; 4} 𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝟒 + 𝟏 = 𝟓 𝑅𝑝𝑡𝑎

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10. Sean los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 = (𝑘 2 − 1)} , 𝑘 ∈ 𝑁 , 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 2 = 8𝑥} , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 2 − 32𝑥 + 192 = 0 . Hallar el resultado de (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶 𝐴 = {4,12,24,40,60, 84…} 𝐵 = {8} 𝐶 = {8,24}

RESOLUCION (𝐵 − 𝐴) = {8} (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶 = {8}

11. Si 𝐴 = {𝑎, ∅, {∅}} , 𝐵 = {{∅}, {{∅}}} ; ¿cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas? a) (𝐵 ∪ 𝐴) − (𝐵 ∩ 𝐴) = {𝑎, ∅, {{∅}}} b) El número de elementos de 𝑃(𝐴) 17

c) 𝑃(𝐴) ∩ 𝑃(𝐵) = {{{∅}} , ∅}

RESOLUCION a). (𝐵 ∪ 𝐴) = {𝑎, ∅,{∅}, {{∅}}} (𝐵 ∩ 𝐴) ={{∅}} (𝐵 ∪ 𝐴) − (𝐵 ∩ 𝐴) = {𝑎, ∅, {{∅}}} 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑉

b). 𝑃(𝐴) = { { 𝑎}, {∅}, {{∅}}, {𝑎, ∅}, {∅, {∅}}, {𝑎, {∅}}, {𝑎, ∅, {∅}}, ∅ }

c). 𝑃(𝐴) = { { 𝑎}, {∅}, {{∅}}, {𝑎, ∅}, {∅, {∅}}, {𝑎, {∅}}, {𝑎, ∅, {∅}}, ∅ } 𝑃(𝐵) = { {{∅}}, {{{∅}}} , {{∅}, {{∅}}} , ∅ } 𝑃(𝐴) ∩ 𝑃(𝐵) = {{{∅}} , ∅}

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑉

26. si: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)= 57

n( A∩ B)= 29 n(B −A)= 16 Hallar n(B) –n(A)

45-41= 4 ∴ 𝑅𝑃𝑇𝐴 4

27. n[𝑃(𝐴∩𝐵) ]= 128 n[𝑃(𝐴−𝐵) ] = 64

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n(A× 𝐵)= 182

∴ n(B-A) 7 RPTA.

37. Teniendo la condición 𝐴 ⊂ 𝐵, podemos aplicar las leyes del algebra de conjuntos. 𝐴⋂{[(𝐵⋃𝐴)⋂𝐶⋂𝐵´] ∪ 𝐴´ ∪ 𝐵´} Absorción en los primeros corchetes. 𝐴 ∩ {[𝐵 ∩ 𝐵´ ∩ 𝐶] ∪ 𝐴´ ∪ 𝐵´} Ley de unidad. 𝐴 ∩ {∅ ∪ 𝐴´ ∪ 𝐵´} Ley de Morgan. 𝐴 ∩ {∅ ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)´} 𝐴 ∩ {∅ ∪ 𝐴´} Absorción 𝐴 ∩ ∅ Aplicando la ley de la unidad obtenemos “∅”. 38. A= {3; Φ}, B= {{3}; Φ;{3; Φ}} y C= {{Φ}, {3}} P(A)= [{3} ;{Φ}; {3; Φ}; Φ] P(C)= [{{Φ}}; {{3}}; {{Φ}, {3}}; Φ] P(A)-[B∩P(C)] [{3}; {𝛷}; {3; 𝛷}; 𝛷] − [{{3}; Φ; {3; Φ}}] ∩ [{{Φ}}; {{3}}; {{Φ}, {3}}; Φ] [{3}; {𝛷}; {3; 𝛷}; 𝛷] − [Φ] → [{3}, {Φ}, {3; 𝛷}]

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39. Teniendo en cuenta el grafico anterior, resolvemos. [(𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐶 − 𝐴)] ∩ [(𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶)] [(𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) − (𝑎)] ∩ [(𝑑) − (𝑏)] (𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) ∩ (𝑑) (𝑑) ∈ 𝑎 (𝐴 ∩ 𝐵)

40. C⊂A´, A⊂B´ y C∪D=D {[(A´∪ B´) ∩ (C´ ∪ D´)] ∪ [([(C∪B) ∩A] A] ∪C´) ∩B] [(𝐴 ∩ 𝐵´) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷)´] ∪ [(∅ ∪ 𝐶´) ∩ 𝐵] [∅ ∩ 𝐷´] ∪ [𝐶´ ∩ 𝐵] (𝐷´) ∪ (𝐶´ ∩ 𝐵)

41. 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐶 ∩ 𝐴 = ∅ {[A∪ (B-C)] ∩ [B∪ (C-A)]} ∪ {(A-B) △C} {(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)} ∪ {∅∆𝐶} Factorización y dif simétrica {𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)} ∪ {(∅ ∪ 𝐶) − (∅ ∩ 𝐶)} {𝐵 ∪ ∅} ∪ {𝐶 − ∅} 𝐵∪𝐶

→

∅

42. A

C

B

(𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐴) 𝐴∪𝐵∪𝐶 43. (𝐵 ∩ 𝐶) ⊂ Φ, (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴 = Φ. ℤ = (𝐴 △ 𝐵) ∪ (𝐴 △ 𝐶) ∪ (𝐵 △ 𝐶)

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[(𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵] ∪ [𝐴 ∪ 𝐶) − (𝐴 ∩ 𝐶)] ∪ [(𝐵 ∪ 𝐶) − (𝐵 ∩ 𝐶)] [𝐴 − 𝐵] ∪ [𝐴 − 𝐶] ∪ [𝐴 − ∅] (𝐶) ∪ (𝐵) ∪ (𝐴) 𝐴∪𝐴 𝐴 45. (𝐴 ∪ 𝐵) ⊂ [𝐵´ − (𝐴 − 𝐵)]

→ 𝐴 =Φ∧B=Φ

∅ ⊂ [𝑈 − ∅] ∅⊂𝑈

46.

(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐵 − 𝐴´ ↔ 𝐵 ⊂ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶) ∪ ∅ = 𝐵 (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶) = 𝐵 ∅∪𝐵 =𝐵 𝐵=𝐵

L.Q.Q.D

21

47.

𝐴´ △ 𝐵´ = 𝐴 △ 𝐵 (𝐴´ ∪ 𝐵´) − (𝐴´ ∩ 𝐵´) = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) (𝐴 ∩ 𝐵)´ − (𝐴 ∪ 𝐵)´ = {(𝑎, 𝑏, 𝑐) − (𝑏)} (𝑏)´ − (𝑎, 𝑏, 𝑐)´ = {𝑎, 𝑐} {𝑎, 𝑐} − ∅ = {𝑎,c} {𝑎, 𝑐} = {𝑎, 𝑐}

L.Q.Q.D

48.

[𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶] ∪ [(𝐴 − 𝐵) − 𝐶] = [𝐴 − (𝐵 − 𝐶)] ∩ [𝐴 − (𝐶 − 𝐵)] {𝑒} ∪ [{𝑎, 𝑑} − 𝑐] = [𝑎 − {𝑏, 𝑐}] ∩ [𝑎 − {𝑑, 𝑔}] {𝑒} ∪ {𝑎} = {𝑎, 𝑑, 𝑒} ∩ {𝑎, 𝑏, 𝑒} {𝑒, 𝑎} = {𝑎, 𝑒} 49.

L.Q.Q.D

a) Si 𝐴 − 𝐵 = Φ Y 𝐵 − 𝐴 = Φ entonces A=B Reemplazamos “𝐴” = ”𝐵” 𝐴−𝐵 =Φ 𝐵−𝐵 =∅

∧

𝐵−𝐴=Φ 𝐵−𝐵 =∅ 22

∅=∅

∅=∅

b) Si 𝐴 △ 𝐵 = Φ entonces A=B (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = ∅ Reemplazamos que A=B (𝐵 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐵) = ∅ ∅∪∅=∅ ∅=∅ 50. a) Si 𝐵 = 𝐶 ∩ 𝐷 entonces 𝐵 ⊂ 𝐶 𝐵 = {1} 𝐶 = {1,3,5} 𝐷 = {1,2} →𝐵 =𝐶∩𝐷 {1} = {1,3,5} ∩ {1,2} {1} = {1} b) Si (𝐴 ⊂ 𝐶) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐷) entonces (𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ (𝐶 ∩ 𝐷) 𝐴 = {1,2,3} 𝐵 = {2,4,6,8} 𝐶 = {−5; −4; −3; … ; 0; 1; 2; … … ; 5} 𝐷 = {1; 2; 3; … ; 20} →

(𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ (𝐶 ∩ 𝐷) {2} ⊂ {1,2,3,4,5}

c) Si 𝐴 △ 𝐵´ = 𝐵 entonces 𝐵 ⊂ 𝐴 𝐵´ = 𝐴 − 𝐵 𝐵⊂𝐴 (𝐴 ∪ 𝐵´) − (𝐴 ∩ 𝐵´) = 𝐵 [𝐴 ∪ (𝐴 − 𝐵)] − [𝐴 ∩ (𝐴 − 𝐵)] = 𝐵 𝐴 − 𝐵´ = 𝐵 𝐵=𝐵

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52. 𝐵 ∈ 𝑃(𝐴) ∧ 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝐴 △ 𝐵)=𝐴 − 𝐵 𝐴 = {1,2,3,4} 𝐵 = {1,2} 𝑃(𝐴) = {{1}, {2}, {1,2}, {1,3}, … } = 24 = 16 ∴ 𝐴∆𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) 𝐴∆𝐵 = {1,2,3,4} − {1,2} 𝐴∆B = {3,4} →

𝐴∆𝐵 = 𝐴 − 𝐵

{3,4} = {1,2,3,4} − {1,2} {3,4} = {3,4}

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CONCLUSIONES:  Al realizar el presente trabajo, reforzamos y logramos mayor dominio en la resolución de los ejercicios de los temas.  Aprendimos y graficar los distintos tipos de problemas que se nos presentaron en cada ejercicio desarrollado de dichos temas.

 Este trabajo nos fue de mucha ayuda para comprender mejor la aplicación de los ejercicios tratados, además de practicar las fórmulas y así ayudar a comprender mejor el tema para facilitar su aplicación.

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Humanidades, I. d. (2012). Aitmética (séptima ed.). (A. F. Editores, Ed.) Lima: LUMBRERAS.

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