Informe

ALGEBRA LINEAL

.

2.2. Objetivos Específicos. 

1. TEMA:

Plantear un sistema de ecuaciones lineales a un problema de distribución

2. OBJETIVOS.  

2.1. Objetivo General. 

ecuaciones asociado a un problema de

Plantear un sistema de ecuaciones lineales

para

dos

de temperatura. Calcular las temperaturas en una placa. Plantear y resolver el sistema de

aplicaciones,



resolver cada uno de los sistemas y

economía. Determinar los valores para los que los ingresos y gastos son iguales en el

verificar su respuesta mediante el uso 

de Matlab.

1

problema de economía. Aprender el método de Gauss-Jordán.

ALGEBRA LINEAL

.



Resolver cada uno de los problemas

múltiplos

mediante un software de cálculo

superior a los renglones debajo de él 

(Matlab.) 3. SUSTENTO TEORICO.

adecuados

renglón

Cubrir el renglón superior y repetir el proceso

3.1. Eliminación de Gauss Jordan.

del

anterior

con

la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la

En matemáticas, la eliminación

de Gauss-

matriz se encuentra en la forma de

Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich

escalón) 

Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del

Comenzando con el último renglón no

álgebra lineal para determinar las soluciones de

cero, avanzar hacia arriba: para cada

un sistema de ecuaciones lineales, encontrar

renglón obtener un 1 delantero e

matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones

introducir ceros arriba de éste sumando

se resuelve por el método de Gauss cuando se

múltiplos

obtienen sus soluciones mediante la reducción

renglones correspondientes

correspondientes

a

los

del sistema dado a otro equivalente en el que Una variante interesante de la eliminación de Gauss es

cada ecuación tiene una incógnita menos que

la que llamamos eliminación de Gauss­Jordan, (debido

la anterior. El método de Gauss transforma la

al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste

matriz de coeficientes en una matriz triangular

en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno

superior. El método de Gauss-Jordan continúa

al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos

el proceso de transformación hasta obtener una

finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada

matriz diagonal.

reducida.

3.2. Algoritmo de eliminación de Gauss-

4. PROCEDIMIENTO:

Jordan. 

EJERCICIO 1

Ir a la columna no cero extrema

Distribución de calor. Se tiene una placa

izquierda 

rectangular cuyas orillas se mantienen a cierta

Si el primer renglón tiene un cero en

temperatura.

esta columna, intercambiarlo con otro

delantero,

encontrar

la

el siguiente diagrama. Hay que encontrar

Luego, obtener ceros debajo de este elemento

interesa

temperatura en los puntos interiores. Considere

que no lo tenga 

Nos

aproximaciones para los puntos T1 a T9, o sea,

sumando

la temperatura de los puntos intermedios. 2

ALGEBRA LINEAL

.

Suponga que la temperatura en un punto

HIPOTESIS: La temperatura en un punto interior es el promedio de la temperatura de los cuatro puntos que lo rodean: arriba, a la derecha, abajo y a la izquierda. A partir de la suposición formaremos las ecuaciones para cada temperatura (T1, T2,T3 …. T9).

interior es el promedio de la temperatura de los cuatro puntos que lo rodean: arriba, a la derecha, abajo y a la izquierda.



Para T1 tenemos:

T1= 4T1-T2-T4=150 

Para T2 tenemos:

T2= 4T2-T3-T5-T1=100

a) Con esta suposición, establezca un sistema 

de ecuaciones, considerando primero el punto

Para T3 tenemos:

T1, después el punto T2, etc. Reescriba el T3=

sistema de manera que todas las variables se encuentren de un lado de la ecuación. Por

4T3-T6-T2=150

ejemplo, para T1 se tiene:



Para T4 tenemos:

Que se puede escribir como: T4= Encuentre la matriz de coeficientes y la matriz

4T4-T1-T5-T7=50

aumentada. Describa el patrón que observe en



la forma de la matriz de coeficientes. Dicha matriz se llama matriz de banda.

Para T5 tenemos:

T5=

¿Puede ver de dónde viene el nombre?

4T5-T2-T6-T8-T4=0 SOLUCION:



3

Para T6 tenemos:

ALGEBRA LINEAL

.

T6=

Nuestra matriz de incógnitas será “I”, mientras que los términos independientes serán “Z”

4T6-T3-T9-T5=50 

Para T7 tenemos:

T7= 4T7-T4-T8=50 

Para T8 tenemos:

T8= 

4T8-T5-T9-T7=0 Para T9 tenemos:

T9= 4T9-T6-T8=50 Una vez que tenemos todas las ecuaciones del diagrama procedemos a armar una matriz con los datos de cada ecuación, a esta matriz la llamaremos M

Descripción de la matriz: La matriz tiene la mayor cantidad de ceros en sus extremos, en las diagonales que siguen tenemos en primer lugar una diagonal formada por menos uno (1), la siguiente diagonal está formada por ceros (0), la siguiente diagonal está formada por una combinación de números (-1 -1 0) y finalmente en la diagonal central está formada por el cuatro (4). También se puede observar que la parte interna de la matriz está formada por (-1 0 y 4). En matemáticas una matriz se le llama matriz banda cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando 4

ALGEBRA LINEAL

.



una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y más

Procedemos a hacer 1 el segundo término de la segunda fila.  (f2/15)*-1

diagonales en cada uno de sus costados. Este tipo de combinación en una matriz se conoce como matriz de banda. b) Resuelva el sistema usando el comando en Matlab que corresponda, (rref). Observe que



solución se obtiene.

Planteamos la matriz ampliada.



Cambiamos f1 por f2 y f2*(-1)

a

hacer

ceros

los

elementos de la segunda columna.  (f2+f3)  (f2*4)+f4  (f2+f5)

RESOLUCION DE LA MATRIZ: 

Procedemos



Procedemos a hacer 1 el tercer elemento de la tercera fila.  (f3/(56/15)



Procedemos a hacer ceros a los elementos de la primera columna.  (f1*4)-f2  f1+f4



Procedemos

a

hacer

ceros

elementos de la tercera columna.  f3*(1/15)+f4

5

los

ALGEBRA LINEAL

.

 f3*(4/15)+f5  f3 + f6

 

Procedemos a hacer 1 el cuarto

 Procedemos

a

hacer

ceros

a

hacer

ceros

los

elementos de la quinta columna.  f5*(225/209)+f6  f5*(60/209)+f7  f5+f8

elemento de la cuarta fila.  f4/(209/56)



Procedemos

Procedemos a hacer 1 el sexto elemento de la sexta fila.  f6/(2415/712)

los

elementos de la cuarta columna.  f4*(15/14)+f5  f4*(5/56)+f6  f4+f7





Procedemos

a

hacer

ceros

elementos de la sexta columna.  f6*(17/178)+f7  f6*(225/712)+f8  f6+f9

Procedemos a hacer 1 el quinto elemento de la quinta fila.  f5/(712/209)

6

los

ALGEBRA LINEAL

.



Procedemos

a

hacer

ceros

los

elementos de la octava columna.  f8*(597/542)-f9



Procedemos a hacer 1 el séptimo elemento de la séptima fila.  f7/(930/251) 

Procedemos a hacer 1 el noveno elemento de la novena fila.  f9/(1978/581)



Procedemos

a

hacer

ceros

los

elementos de la séptima columna.  f7*(176/161)+f8  f7*(68/2415)+f9 

Procedemos

a

hacer

ceros

los

elementos restantes y obtenemos el resultado.



Procedemos a hacer 1 el octavo elemento de la octava fila.  f8/(4069/1213) T1=475/7 T2=500/7 T3=475/7 T4=50 T5=50 T6=50 7

ALGEBRA LINEAL

.

T7=107068/3331

50

T8=142857/5000

0

T9=107068/3331

50

RESOLUCION MEDIANTE MATLAB:

50

>> % Introducimos la matriz a la que la

0

denominaremos M.

50

>> M=[4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;0 -1 0 -1 4

>> % Para poder resolver la matriz vamos a

-1 0 -1 0;0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;0 0 0 -1 0 0 4 -1

realizar una matriz ampliada.

0;0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;0 0 0 0 0 -1 0 -1 4]

>> MZ=[M Z] MZ =

M= 4

-1

0

-1

0

0

0

0

0 150

4

-1

0

-1

0

0

0

0

0

-1

4

-1

0

-1

0

0

0

0 100

-1

4

-1

0

-1

0

0

0

0

0

-1

4

0

0

-1

0

0

0 150

0

-1

4

0

0

-1

0

0

0

-1

0

0

4

-1

0

-1

0

0

50

-1

0

0

4

-1

0

-1

0

0

0

-1

0

-1

4

-1

0

-1

0

0

0

-1

0

-1

4

-1

0

-1

0

0

0

-1

0

-1

4

0

0

-1

50

0

0

-1

0

-1

4

0

0

-1

0

0

0

-1

0

0

4

-1

0

50

0

0

0

-1

0

0

4

-1

0

0

0

0

0

-1

0

-1

4

-1

0

0

0

0

0

-1

0

-1

4

-1

0

0

0

0

0

-1

0

-1

4

50

0

0

0

0

0

-1

0

-1

4 >> % Finalmente usamos el comando rref para

>> % Introducimos nuestra matriz de términos

obtener el valor de cada una de las

independientes Z.

temperaturas.

>> Z=[150;100;150;50;0;50;50;0;50]

>> rref(MZ) ans =

Z=

Columns 1 through 9

150

1.0000

100

0

150 8

0

0 0

0

0

0

0

ALGEBRA LINEAL

.

0

1.0000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0 0 0

0

0

T1= 67.8571

0

0

0

T3= 67.8571

0

1.0000

0

0

T5= 50.0000 T6= 50.0000

0

0

1.0000

0

T7= 32.1429 T8= 28.5714

0 0

0

0 0

1.0000 0

T9= 32.1429

0

0

1.0000 0

0

T4= 50.0000

0

EJERCICIO 2 0

0

0

0

0

0 0

1.0000

0

0

0

T2= 71.4286

0

1.0000 0

0

0

Resolver el siguiente planteamiento, haciendo 0

0

0

0

uso de Matlab:

1.0000

Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón, electricidad y acero, y que el rendimiento de cada sector se distribuye entre los diferentes sectores como en la tabla 1,

Column 10

donde las entradas de una columna representan fracciones de la producción total de un sector.

67.8571 71.4286 67.8571 50.0000 50.0000 50.0000 32.1429

La segunda columna de la tabla 1, por ejemplo,

28.5714

muestra que la producción total de electricidad

32.1429

se divide como sigue: un 40% de carbón, un

Entonces los valores de temperatura son:

50% de acero y el restante 10% de electricidad. (El sector eléctrico trata este 10% como un 9

ALGEBRA LINEAL

.

gasto en que incurre para hacer funcionar su

De esta forma tenemos que la primera fila de la

negocio.) Ya que debe tomarse en cuenta la

tabla

producción total, las fracciones decimales de

paga por) el 40% de la producción del sector

cada columna deben sumar 1.

eléctrico (pe) y el 60% de la producción del

Los precios (es decir, valores en moneda) de la

sector acero (ps). Con esto tenemos que el

producción total de los sectores de carbón,

sector carbón debe gastar .4pe dólares por su

electricidad y acero se denotara como pc, pe y

parte de producción de electricidad, y .6ps por

ps, respectivamente. Si es posible, encuentre

su parte de producción de acero. Entonces los

los precios de equilibrio que permiten a los

gastos totales del sector carbón son de .

ingresos de cada sector igualar sus gastos.

4pe+.6ps. 

indica que el sector carbón recibe (y

Tenemos que los ingresos deben ser iguales a los gastos, teniendo así: pc=.4pe+.6ps

La segunda fila de la tabla muestra que el sector eléctrico gasta .6pc en carbón, .1pe en electricidad, y .2ps en acero. Entonces, el requisito ingreso/gasto para electricidad es: SOLUCION

pe= .6pc+.1pe+.2ps

Tenemos que;

Por último, la tercera fila de la tabla nos dice

Sector Carbón = pc

que el sector acero gasta .4pc de carbón, .5pe

Sector Electricidad = pe

de electricidad y .2ps en acero, teniendo así la

Sector Acero = ps

ecuación:

Un sector observa una columna para ver a

ps= .4pc+.5pe+.2ps

donde va su producción. Mientras que observa una fila para ver que



necesita como entradas.

Procedemos a igualar a cero cada una de las ecuaciones y a ordenar:

10

ALGEBRA LINEAL

.

pc-.4pe-.6ps=0 pe- .6pc-.1pe-.2ps=0 ps-.4pc-.5pe-.2ps=0 Escribimos pe-.1pe como .9pe 

Escribimos ps- .2ps como .8ps

Procedemos a hacer ceros los elementos de la segunda columna.  F2*0.34+f3  F2*0.4+f1

Ordenamos cada uno de los términos: pc - .4pe - .6ps = 0 -.6pc + .9pe - .2ps = 0 -.4pc - .5pe + .8ps = 0



Por ultimo hacemos 1 el tercer elemento de la tercera fila y obtenemos

RESOLUCION DE LA MATRIZ: 

los resultados.  F3/(124/165)

Primero rescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz: Pc= -31/33 Pe= -28/33 Ps= 1



Hacemos ceros los elementos de la primera columna.  F1*0.6+f2  F1*0.4-f2

RESOLUCION MEDIANTE MATLAB: Resolvemos el sistema de ecuaciones con la ayuda de matlab: >> % creamos la matriz con cada uno de los



Procedemos a hacer 1 el segundo

coeficientes de las ecuaciones:

elemento de la segunda fila.  F2/0.66

>> M=[1 -.4 -.6 0;-.6 .9 -.2 0;-.4 -.5 .8 0] M=

11

ALGEBRA LINEAL

.

1.0000 -0.4000 -0.6000

0

Si se toma ps como 100 millones de

-0.6000

0

dólares (1), entonces el carbono es

0

pc=94 y el sector eléctrico pe=85.

0.9000 -0.2000

-0.4000 -0.5000

0.8000

De acuerdo a los resultados obtenidos, >> % resolvemos la matriz con el comando

los ingresos y gastos de cada sector

rref

serán iguales si:

>> rref (M) 

La producción de carbón se valora en



94 millones. La producción



millones. La producción de acero en 100

ans = 1.0000 0 0



0

-0.9394

0

1.0000 -0.8485

0

0

0

en

85

millones.

0

La solución es:

5. REGISTRO DE RESULTADOS.

Pc= -0.9394= -.94

5.1. DISTRIBUCION DE CALOR:

Pe= -0.8485= -.85

Para este problema se obtuvieron los siguientes

Ps= es libre = 1

valores de temperatura.

T1= 67.8571 

eléctrica

T2= 71.4286

El vector precio de equilibrio para la

T3= 67.8571

economía tiene la forma:

T4= 50.0000 T5= 50.0000 T6= 50.0000 T7= 32.1429

Cualquier selección positiva para el sector de acero ps se convierte en una selección de precios de equilibrio.

12

ALGEBRA LINEAL

.



Los resultados del segundo problema son iguales calculadas analíticamente y mediante Matlab.

5.2. ECONOMICO: Para este problema obtuvimos que se da un



equilibrio entre los ingresos y gastos cuando:

De acuerdo a los resultados obtenidos, los ingresos y gastos de cada sector serán iguales sí; La producción de carbón se valora en 94 millones, la

Pc=

producción eléctrica en 85 millones y la

-0.9394=

producción de acero en 100 millones.

-.94 Pe=



-0.8485=

Un sistema de ecuaciones se puede resolver fácilmente por el método de

-.85

eliminación de Gauss-Jordan.

6. CONCLUSIONES: 

7. BIBLIOGRAFIA:

Las temperaturas obtenidas en el problema de distribución de calor son

Libros:

el promedio de las temperaturas que lo

[1] LEY, DAVID. “Algebra Lineal Y sus Aplicaciones”, PEARSON EDUCACION, México, 2007.

rodean a este punto.

Documentos Electrónicos:



Las

temperaturas

analíticamente

son

calculadas iguales

a

las

calculadas mediante el software de



http://galois.azc.uam.mx/mate/propaga



nda/GAUSSJORDAN.pdf http://www.gridmorelos.uaem.mx/~mcr



uz//cursos/mn/JORDAN.pdf http://personales.unican.es/camposn/sis

Matlab.



temas_carlos_0910.pdf La temperatura en el centro de la placa es de 50 grados. 13

ALGEBRA LINEAL

. 

  

Característica de Matlab MATLAB nace como una solución a la necesidad de mejores y más poderosas herramientas de cálculo para resolver problemas de cálculo complejos en los que es necesario aprovechas las amplias capacidades de proceso de datos. MATLAB es un entorno técnico de altas prestaciones para cálculo numérico y visualización.  Análisis numérico  Cálculo matricial  Procesamiento de señales  Gráficos En un entorno fácil de usar, donde los problemas y las soluciones son expresados como se escriben matemáticamente, sin la programación tradicional. El nombre MATLAB proviene de ``MATrix LABoratory'' (Laboratorio de Matrices). MATLAB fue escrito originalmente para proporcionar un acceso sencillo al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que juntos representan lo más avanzado en programas de cálculo matricial. MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es una matriz que no requiere dimensionamiento. Esto permite resolver muchos problemas numéricos en una fracción del tiempo que llevaría hacerlo en lenguajes como C, BASIC o FORTRAN. MATLAB ha evolucionado en los últimos años a partir de la colaboración de muchos usuarios. En entornos universitarios se ha convertido en la herramienta de enseñanza estándar para cursos de introducción en álgebra lineal aplicada, así como cursos avanzados en otras áreas. En la industria, MATLAB se utiliza para investigación y para resolver problemas prácticos de ingeniería y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y procesamiento de señales. MATLAB también proporciona una serie de soluciones específicas denominadas TOOLBOXES. Estas son muy importantes para la mayoría de los usuarios de MATLAB y son conjuntos de funciones MATLAB que extienden el entorno MATLAB para resolver clases particulares de problemas como:  Procesamiento de señales  Diseño de sistemas de control  Simulación de sistemas dinámicos  Identificación de sistemas  Redes neuronales y otros. Probablemente la característica más importante de MATLAB es su capacidad de crecimiento. Esto permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de MATLAB son:  Escritura del programa en lenguaje matemático.

14

Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el cálculo matricial. Implementación de aritmética compleja. Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES. Desarrollo del algoritmos de junto con el MATLAB, el toolbox le da todo lo que usted necesita para desarrollar nuevos algoritmos para el análisis estadístico. Usted puede usar las funciones de trazando de Statistics Toolbox, o crea su propio trazo usando los rasgos de Gráficos de MATLAB.