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nt
Y como sen (0 +
x = Csen((o nt +
(229)
Si esta ecuacibn se traza sobre un eje x versus (o nty se obtiene la grb- fica que se muestra en la figura 22-3. El desplazamiento mdximo del
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CAPITULO 22 VBRACIONES
bloque a partir de su posicidn de equilibrio se define como la amplitud de vibracidn. De acuerdo con la figura o la ecuacidn 22-9 la amplitud es C. El dngulo
(/> = tan -l
B
(2211)
Observe que la curva seno, ecuacidn 22-9, completa un ciclo en el tiempo t = r (tau) cuando conT = 2tt, o
(2212) Este intervalo se llama periodo, figura 22-3. Con la ecuacidn 22-2, el periodo tambidn puede representarse como
T= 2.77 Fig. 22-3
(22-13)
Por ultimo, la frecuencia f se define como el numero de ciclos completa- dos por unidad de tiempo, lo cual es el redproco del periodo; es decir, (2214) o f'
<22
-„5)
La frecuencia se expresa en ciclos/s. Esta relacidn de unidades se llama hertz (Hz), donde 1 Hz = 1 ciclo/s = 2 TT rad/s. Cuando un cuerpo o sistema de cuerpos conectados experimenta un desplazamiento inidal a partir de su posiddn de equilibrio y se deja fibre, vibrar£ con una frecuencia natural, (o n. Siempre que el sistema tenga un grado de libertad, es decir, que se requiera sdlo una coordenada para espedficar por completo la posicidn del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio tendr£ las mismas caracteristicas que el movimiento armdnico simple del bloque y resorte que se acaban de presentar. En consecuencia, una ecuacidn diferencial de la misma “forma estdndar” que la ecuacidn 22-1 describe el movimiento, es decir,
2 2
x + (o*x = 0
(2216)
Por consiguiente, si se conoce la frecuenda natural (oni el periodo de vibracidn r, la frecuencia natural / y otras caracteristicas de vibracidn pueden establecerse con las ecuaciones 22-3 a 22-15.
22.1 VbraciOn ubre no amortiguada
Como en el caso del bloque y el resorte, la frecuencia natural a>„ de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados que tiene un grado unico de libertad se determina por el siguiente procedimiento: Diagrama de cuerpo libre.
•
Trace el diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando dste estd desplazado una pequeha cantidad de su posicidn de equilibrio. • Localice el cuerpo con respecto a su posicidn de equilibrio por medio de una coordenada inercial q apropiada. La aceleracidn del centro de masa del cuerpo aG o la aceleracidn angular del cuerpo a deberdn tener un sentido de direccidn supuesto, el cual estd en la direccidn positiva de la coordenada de posicidn. • Si se tiene que utilizar la ecuacidn de movimiento de rotacidn 'LMp = 2(jtt*)/>, entonces puede ser util dibujar ademds el diagrama cindtico puesto que grdficamente incluye los componentes m(* G)x> m(*G)y e lGayl° cua* hace que sea conveniente para visualizar los tdrminos requeridos en la suma de momentos Ecuacion de movimiento.
•
Aplique la ecuacidn de movimiento para relacionar las fuerzas de restauracion ddsticas o gravitacionales y bs momentos de par que actuan en el cuerpo con su movimiento acelerado.
Cinemdtica.
•
Exprese con cinemdtica el movimiento acelerado del cuerpo en funcidn de la segunda derivada con respecto al tiempo de la coordenada de posicidn, q. • Sustituya el resultado en la ecuacidn de movimiento y determine o)n al reordenar los tdrminos de modo que la ecuacidn resultante tenga la “forma estdndar” q + afiq = 0.
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C AP I TULO 22
V BRACIONES
EJEMPLO 22.1 Determine el periodo de oscilackm del pdndulo simple que se muestra en la figura 22-4a. La bola tiene una masa m y estd atada a una cuerda de longitud /. Ignore el tamaflo de la bola.
SOLUCI6N
(a )
Diagrama de cuerpo libre. El movimiento del sistema se relacio- nard con la coordenada de posicidn (q =)0, figura 22-46. Cuando la bola se desplaza un pequeflo dngulo 9, la fiierza de restauracion que actua en ella es creada por la componente tangencial de su peso, mg sen 9. Ademds, a, actua en la direccidn de s creciente (o 9). Ecuacidn de movimiento. Al aplicar la ecuacidn de movimiento en la direccidn tangencial, ya que implica la fuerza de restauracidn, obtenemos
= ma,\
\T
mg sen 9 = ma,
(1 )
Cinemdtica. a, = d2s/dt2 = s. Ademds, s puede relacionarse con 9 por medio de la ecuacidn s = 19, de modo que a, = 19. Por consiguiente, la ecuacidn 1 se reduce a
e 6 + ysen 0 = 0
W = mg (b)
Fig. 22-4
(2 )
La solucidn de esta ecuacidn implica el uso de una integral eliptica. Para desplazamientos pequeftos, sin embargo, sen 9 « 9, en cuyo caso
e + j-o = o
(3)
Al comparar esta ecuacidn con la ecuacidn 22-16 (x + (o2x = 0), se ve que (on = \fgfl. Segun la ecuacidn 22-12, el periodo requerido para que la bola realice una oscilacidn completa es por consiguiente
2TT
co.
^g
2
Resp.
Este interesante resultado, descubierto originalmente por Galileo Galilei mediante experimentos, indica que el periodo depende sdlo de la longitud de la cuerda y no de la masa de la bola del pdn- dulo o del dngulo 9. NOTA: la solucidn de la ecuacidn 3 la da la ecuacidn 22-3, donde (On = v«7/ y 9 se sustituye por x. Al igual que el bloque y el resorte, las constantes A y B en este problema pueden determinarse si, por ejemplo, conocemos el desplazamiento y velocidad de la bola en un instante dado.
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22.1 VbraciOn ubre no amortiguada
La placa rectangular de 10 kg que se muestra en la figura 22-5a estd suspendida por su centro de una barra cuya rigidez torsional es k = 1.5 N • m/rad. Determine el periodo natural de vibracidn de la placa cuando experimenta un pequefio desplazamiento angular B su piano.
r
(a)
SOLUCI6N Diagrama de cuerpo libre. Figura 22-5b. Como la placa se desplaza en su propio piano, el momento de restauracion torsional creado por la barra es M = kB. Este momento actua en la direccidn opuesta al desplazamiento angular 0. La aceleracidn angular $ actua en la direccidn de B positivo.
T= w
Ecuacion de movimiento.
= IQO',
-kB = l(jB
(b) Fig.
Como esta ecuacidn estd en la “forma estdndar”, la frecuencia natural es ojn = Vk/lQ.
22-5
Segun la tabla en la cubierta posterior interna, el momento de inercia de la placa con respecto a un eje que coincide con la barra es I0 = j2 m(a2 + b2). Por consiguiente,
° ii^10 kg)K°-2 m)2 + (°-3 m)2l = 01083 k g ' m 2
l =
El periodo natural de vibracidn es por consiguiente,
Resp.
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C AP I TULO
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V BRACIONES
EJEMPLO 22.3 200 mm 5 kg 100 mm A \ /mr-f k = 400 N/m
il
(a)
La barra acodada que se muestra en la figura 22-6a tiene una masa insignificante y sostiene un collarm de 5 kg en su extremo. Si la barra estd en la posicidn de equilibrio mostrada, determine el periodo de vibracidn natural para el sistema. SOLUCI6N Diagramas de cuerpo libre y cindtico. Figura 22-6b. Aqui la barra aparece desplazada un pequefio dngulo 0 de la posicidn de equilibrio. Como el resorte se somete a una compresidn inicial *st en la posicidn de equilibrio, entonces cuando experimenta el desplazamiento x > jcst el resorte ejerce una fuerza Fs = kx - kxst en la barra. Para obtener la “forma estdndar”, ecuacidn 22-16, 5ay debe actuar hacia arriba, lo cual concuerda con el desplazamiento 0 positivo. Ecuacidn de movimiento. Los momentos se sumardn con respecto al punto B para eliminar la reaccidn desconocida en este punto. Como 0 es pequefio,
kx(0.1 m) - ***(0.1 m) + 49.05 N(0.2m) = -(5 kg)fl y(0.2 m)
kx - kxit
H segundo tdrmino del lado izquierdo, -**st(0.1 m), representa el momento creado por la fuerza del resorte, la cual es necesaria para mantener el collarin en equilibrio y es decir, en x = 0. Como este momento es igual y opuesto al momento de 49.05 N(0.2 m) creado por el peso del collarin, estos dos tdrminos se eliminan en la ecua- adn anterior, de modo que
**(0.1) = ~5ay{0.2)
(1 )
Cinemdtica. La deformacidn del resorte y la posicidn del collarin pueden relacionarse con el dngulo 0, figura 22-6c. Como 9 es peque- fk), * = (0.1 m)0 y y = (0.2 m)0. Por consiguiente, ay = y = 0.20. Sustituyendo en la ecuacidn 1 obtenemos
(b)
400(0.10)0.1 = -5(0.20)0.2 Al reescribir esta ecuacidn en la “forma estdndar” obtenemos 0.2 m
y = 026
0 + 200 = 0 Comparada con * + (o„x = 0 (ecuacidn 22-16), tenemos col = 20 (on = 4.47 rad/s El periodo natural de vibracidn es por consiguiente,
2TT _ 27T
T = V ~ 447 n
= 1.40 s
Resp.
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22.1 VbraciOn ubre no amortiguada
EJEMPLO 22.4
Se suspende un bloque de 10 lb de una cuerda que pasa sobre un disco de 15 lb como se muestra en la figura 22-la. El resorte tiene una rigidez k Determine el periodo natural de vibracidn para el sistema.
k = 200 IbAt
I
10 lb (b )
SOLUCI6N Diagramas de cuerpo libre y cinetico. Figura 22-lb. El sistema se compone del disco, el cual experimenta una rotacidn definida por el dngulo 0,y el bloque, el cual se traslada en una cantidad s. El vector IQ 0 actua en la direccidn de 9 positivo, y por consiguiente, mB ab actua dirigida hacia abajo en la direccidn de s positivo. Ecuacion de movimiento. Al sumar los momentos con respecto al punto O para eliminar las reacciones O x y Oy, y habida cuenta de que lo = ^mr2,obtenemos
C +2Af 0 = 2(4) 0; 10 lb(0.75 pie) - Fs(0.15 pie) 15 lb = \( ,)(0.75 pie?'0 + ( 2 \ 32.2 pies/sV
10 b „ 2 V(0.75 pie) \32.2pies/s /
(1 )
Cinemdtica. Como se muestra en el diagrama cinemdtico en la figura 22-7c, un pequefio desplazamiento positivo 9 del disco hace que el bloque baje una cantidad s = 0.750, por consiguiente, ab = is = 0.750. Cuando 0 = 0°, la fuerza del resorte requerida para el equilibrio del disco es de 10 lb dirigida a la derecha. En la posicidn 0, la fuerza del resorte es Fs = (200 lb/pie)(O.750 pie) + 10 lb. Al sustituir estos resultados en la ecuacidn 1 y simplificar, obtenemos 0 + 3680 = 0 En consecuencia,
C O.
19.1 = 0.328 s 8
Resp.
Fig. 22-7
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CAPITULO
22
VBRACIONES
PROBLEMAS •22-1. Un resorte es alargado 175 mm por un bloque de 8 kg. Si el bloque se desplaza 100 mm hacia abajo desde su posicidn de equilibrio y se le imprime una velocidad dirigida hacia abajo de 1.50 m/s, determine la ecuacidn diferencial que describe el movimiento. Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo. Ademds, determine la posicidn del bloque cuando t = 0.22 s.
*22-8. Se suspende un bloque de 3 kg de un resorte cuya rigidez es de k = 200 N/m. Si el bloque es empujado 50 mm hacia arriba de su posicidn de equilibrio y luego se suelta del reposo, determine la ecuacidn que describe el movimiento. £Cu£les son la amplitud y la frecuencia de la vibracidn? Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo.
22-2. Cuando se suspende un bloque de 2 kg de un resorte, dste se alarga una distancia de 40 mm. Determine la frecuencia y el periodo de vibracidn de un bloque de 0.5 kg unido al mismo resorte.
•22-9. Se utiliza un cable para suspender la caja fuerte de 800 kg. Si la caja se baja a 6 m/s cuando el motor que con- trola el cable se detiene de repente, determine la tensidn maxima en el cable y la frecuencia de vibracidn de la caja fuerte. Ignore la masa del cable y suponga que es etestico, de modo que se alarga 20 mm cuando se somete a una tensidn de 4 kN.
22-3. Un bloque de 8 lb estd suspendido de un resorte cuya rigidez es k = 40 lb/pie. Si el bloque es empujado y = 0.2 pie hacia arriba de su posicidn de equilibrio y luego se suelta del reposo, determine la ecuacidn que describe el movimiento. ^Cudles son la amplitud y frecuencia natural de la vibracidn? Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo. *22-4. La rigidez de un resorte es de 800 N/m. Si se conecta un bloque de 2 kg al resorte y luego es empujado 50 mm por encima de su posicidn de equilibrio y se suelta del reposo, determine la ecuacidn que describe el movimiento del bloque. Suponga que el desplazamiento es positivo hacia abajo. •22-5. Un bloque de 2 kg se suspende de un resorte cuya rigidez es de 800 N/m. Si al bloque se le imprime una velocidad hacia arriba de 2 m/s cuando estd desplazado 150 mm hacia abajo de su posicidn de equilibrio, determine la ecuacidn que describe el movimiento. ^Cudl es la amplitud del movimiento? Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo. 22-6. Un resorte es alargado 200 mm por un bloque de 15 kg. Si el bloque se desplaza 100 mm hacia abajo de su posicidn de equilibrio y se le imprime una velocidad hacia abajo de 0.75 m/s, determine la ecuacidn que describe el movimiento. ^Cudl es el dngulo de fase? Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo.
22-10. El cuerpo de forma irregular tiene una masa m, su centro de masa en G y un radio de giro con respecto a G de kG. Si se desplaza una pequefta cantidad 0 de su posicidn de equilibrio y se suelta, determine el periodo natural de vibracidn.
22-7. Se suspende un bloque de 6 kg de un resorte cuya rigidez es de k = 200 N/m. Si al bloque se le imprime una velocidad hacia arriba de 0.4 m/s cuando estd a 75 mm por encima de su posicidn de equilibrio, determine la ecuacidn que describe el movimiento y el desplazamiento mdximo hacia arriba del bloque medido con respecto a la posicidn de equilibrio. Suponga que el desplazamiento positivo es hacia abajo.
Prob. 2210
22.1 VBRACI6N UBRE NO AMORTIGUADA
22-11. El disco tiene una masa m y estd sujeto en O por medio de un pasador. Determine el periodo natural de vibracidn si se desplaza una pequefta cantidad y se suelta.
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•22-13. La biela estd sostenida por una cufta o fiel de soporte en A y el periodo de vibracidn es TA = 3.38 s. Luego se retira y se le hace girar 180° de modo que estd sostenida por la cufta en B. En este caso el periodo de vibracidn es rB = 3.96 s. Determine la ubicacidn de d del centro de gravedad G, y calcule el radio de giro kc-
22-14. El pasador disco queO.pesa 15 lb estd por undepasador en su O y sost *22-12. La placa cuadrada tiene una masa m y cuelga de su esquina de un Determine el conectado periodo natural vibracidn si centro se desplaza un en su superficie de contacto, determine el periodo natural de vibracidn del sistema. cantidad y se suelta.
Prob. 2212
Prob. 2214
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C AP [ TULO 22
V BRACIONES
22-15. La campana tiene una masa de 375 kg, un centro de masa en G y un radio de giro con respecto al punto D de kD = 0.4 m. El badajo es una barra delgada sujeta en la parte interna de la campana en C. Si se fija una masa de 8 kg en el extremo de la barra, determine su longitud / de modo que la campana “repique silenciosa”, es decir, de modo que el periodo natural de vibraci6n del badajo sea el mismo que el de la campana. Para el cilculo, ignore la pequefia distancia entre C y D e ignore la masa de la barra.
Prob. 22-15
•22-17. La rueda de 50 lb tiene un radio de giro con respecto a su centro d la posicidn de equilibrio y se suelta. Suponga que no hay deslizamiento.
Prob
-
22 17
-
*22-16. Cuando la plataforma AB est£ vacfa tiene una masa de 400 kg, 22-18. centro Cada de masa uno de en los Gj ydos periodo engranes natural iddnticos de oscilaci6n tiene una ri =masa 2.38ms. ySiun unraa de masa y centro de masa en G2, se coloca sobre la plataforma, elcuya periodo masanatural es M y de est£oscilacidn conectadacambia a un resorte a r2 =de3.16 rigidez s. Determine k. Si la cremallera el mom autom6vil con respecto a un eje que pasa por G2.
Prob. 2218
22.1 VBRACI6N UBRE NO AMORTIGUADA
643
22-19. En la “teoria de la masa coneentrada” un edificio de un piso puede ser•22-21. modelado tal modo queuna todamasa su masa estd coneentrada enasudos techo, el cual estd soporLa de carretilla tiene dem y estdconectada columna en voladizo de masa insignificante como se muestra. Cuando se aplica una fuerza horizontal P al modelo, columna se flexiona una cantidad 8 = Pl?/V2EI, d resortes, cada uno con rigidez de k\= kla k, longitud no alargada de 2 = longitud efectiva de la columna, E es el mddulo de Young de elasticidad para ello material e I es el momento inercialade la seccidn de la de columna. Si la masa conee y longitud alargada de / de cuando carretilla estdtransversal en la posicidn determine la frecuencia de vibracidn en funcidn de estos pardmetros. equilibrio. Si la carretilla se desplaza una distancia x = xode modo que ambos resortes permanecen sometidos a tensidn (xo < I -l 0 ), determine la frecuencia natural de oscilacidn. 22-22. La carretilla tiene una masa de m y estd conectada a dos resortes, cada uno con rigidez de k\ y k 2 , respectivamente. Si ambos resortes no estdn alargados cuando la carretilla estd en la posicidn de equilibrio mostrada, determine la frecuencia natural de oscilacidn.
PL 3 12EI
Prob. 22-19
Probs. 22-21/22
22-23. de 3 kg se libremente lo largo gufas torsional de M = CO. *22-20. Un volante de masa m,con radio de giro con respecto a su centro de masa de kEl0, bianco estd suspendido dedesliza una flecha circularaque tiene de unalas resistencia horizontales lisas BC y DE, las cuales estdn “anidadas” en resortes, experimenta un desplazamiento angular de 0 y se deja libre, determine el periodo natural de oscilacidn. cada uno con rigidez de k = 9 kN/m. Si se dispara una bala de 60 g con una velocidad de 900 m/s y se incrusta en el bianco, determine la amplitud y frecuencia de oscilacidn del bianco.
Prob. 2220
Prob. 2223
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C AP [ TULO 22
V BRACIONES
*22-24. Si el carrete experimenta un pequefio desplazamiento angular de 0 y luego se deja libre, determine la frecuencia de oscilaci6n. La masa del carrete es de 50 kg y su radio de giro con respecto a su centro de masa O es de ko = 250 mm. El carrete rueda sin deslizarse.
22-26. Una rueda de masa m est4 suspendida de dos cuerdas de igual longi respecto al eje z y deja libre, se observa que el periodo de oscilaci6n es T .
z
Prob. 22-24
•22-25. La barra delgada de masa m est4 sostenida por dos cuerdas de longitud igual. Si se le imparte un pequefio desplazamiento angular de 0 con respecto al eje vertical y se suelta, determine el periodo natural de oscilaci6n.
Prob. 2225
22-27. Una rueda de masa m est& suspendida de tres cuerdas de longitud i y se deja libre, se observa que el periodo de oscilacidn es r. Determine el r
Prob. 2227
22.2 M£TODOS DE ENERGIA
*22.2 Metodos de energfa El movimiento arm6nico simple de un cuerpo, estudiado en la seccidn anterior, se debe sdlo a fuerzas de restauracidn gravitacional y eldsticas que actuan en el cuerpo. Como estas fuerzas son conservadoras, tambidn es posible utilizar la ecuacidn de conservacidn de la energia para obtener la frecuencia natural de oscilacidn o periodo de vibracidn del cuerpo. Para demostrar cdmo se hace esto, considere de nueva cuenta el modelo de bloque y resorte de la figura 22-8. Cuando el bloque se desplaza una distancia x de la posicidn de equilibrio, la energia cindtica es T = {mv 2 = \mx2 y la energia potencial es V = \kx2. Como la energia se conserva, es necesario que
T+V (22-17)
= constante {mx2 + \kx2 = constante
La ecuacidn diferencial que describe el movimiento acelerado del bloque se obtiene por diferenciacion de esta ecuacidn con respecto al tiempo, es decir,
mxx + kx 'x - 0 x(mx + kx) = 0 Como la velocidad x no siempre es cero en un sistema sometido a vibracidn,
x + o)2x = 0 oin = \fkjm
la cual es la misma que la ecuacidn 22-1. Si la ecuacidn de conservacidn de la energia se escribe para un sistema de cuerpos conectados, la frecuencia natural o la ecuacidn de movimiento tambidn se determina mediante diferenciacidn con respecto al tiempo. No es necesario desmembrar el sistema para mostrar las fuerzas internas porque no realizan trabajo.
R)sici6n de equilibrio
.t
Fig. 22-8
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C AP [ TULO 22
V BRACIONES
La suspension de un carro de ferrocarril se compone de un conjunto de resortes montados entre vibracion, que se puede determinar.
Procedimiento para el analisis La frecuencia natural de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados se determina al aplicar la ecuacidn de conservacidn de la energia por el siguiente procedimiento. Ecuacion de energia.
•
Trace el cuerpo cuando estd desplazado en una pequefia cantidad de su posicidn de equilibrio y defina la ubicacidn del cuerpo con respecto a su posicidn de equilibrio por medio de una coordenada de posicidn apropiada q.
•
Formule la conservacidn de energia del cuerpo, T + V = constante, en funcidn de la coordenada de posicidn.
•
En general, la energia cindtica debe incluir tanto el movimiento de traslacidn como el de rotacidn del cuerpo, T = 2 mvc + 2 Ig°>2> ecuacidn 18-2.
•
La energia potencial es la suma de las energias gravitacional, eldstica y potencial del cuerpo, V = vg + ve, ecuacidn 18-17. En particular, Vg deberd medirse con respecto a un piano de referencia para el cual q = 0 (posicidn de equilibrio).
Derivada con respecto al tiempo.
•
Calcule la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn de energia con la regia de la cadena del cdlculo y factorice los tdrminos comunes. La ecuacidn diferencial resultante representa la ecuacidn de movimiento para el sistema. La frecuencia natural de (on se obtiene despuds de reordenar los tdrminos en la “forma estdndar” q + ofiq = 0.
647
22.2 M£TODOS DE ENERGIA
El aro delgado que se muestra en la figura 22-9a estd sostenido por la clavija en O. Determine el periodo natural de oscilacidn para pequeftas amplitudes de oscilacidn. El aro tiene una masa m.
o
SOLUCI6N Ecuacion de energfa. En la figura 22-96 se muestra un diagrama del aro desplazado una pequefta cantidad (q =)0 de la posicidn de equilibrio. Con la tabla que aparece en la cubierta posterior interna y el teorema de ejes paralelos para determinar IQ, la energfa cindtica es
T = \ltfol = \[mr2 + mr2]#2 = mr?
O
Si se coloca un piano de referencia horizontal a travds del punto Oy r y luego en la posicidn desplazada, la energfa potencial es
(b)
La energfa total en el sistema es
Fig. 22-9
T + V = mr^O1 — mgr cos 0 Derivada con respecto al tiempo.
mr2(29)0 + mgr sen 00 = 0 mr0(2r0 + gsen0) = 0
Como 0 no siempre es igual a cero, con los tdrminos entre pa rdntesis,
6 + ^-sen 0 = 0 2r Para un dngulo pequefio 0,sen 0 ~ 0.
6 +-0-0 = 0 2r
de modo que
Resp.
Plintn
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C AP [ TULO 22
V BRACIONES
EJEMPLO 22.6 k = 200 N/m
0 Q QQI
Un bloque de 10 kg estd suspendido de una cuerda enrollada alrededor de un disco de 5 kg como se muestra en la figura 22-10a. Si el resorte tiene una rigidez k = 200 N/m, determine el periodo natural de vibracidn para el sistema.
SOLUCI6N Ecuacidn de energfa. En la figura 22-106 se muestra un diagrama del bloque y disco cuando estdn desplazados en cantidades respecti- vas s y 0 de la posicidn de equilibrio. Como s = (0.15 m)0, entonces Vb « s = (0.15 m)0. Por tanto, la energfa cindtica del sistema es (a)
T = \mbtfb + \lo^d = 1(10 kg)[(0.15 m)^]2 + j[j(5 kg)(0.15 m)2](0)2 = 0.1406(e)2 Sst + s
0.15 m 0.15 0
Si se establece el piano de referencia en la posicidn de equilibrio del bloque y se tiene en cuenta que el resorte se alarga s$ cuando estd en equilibrio, la energfa potencial es
0 . <)
Datum
s = o!l5 0
jL V = \k(sa + s)2 - Ws = 2(200 N/m)[ist + (0.15 m)0]2 - 98.1 N[(0.15 m)0]
98.1 N
La energfa total del sistema es por consiguiente, T + V = O.14O6(0)2 + 100(sst + O.150)2 - 14.7155 Derivada con respecto al tiempo. 0.28125(0)0 + 200(j st + 0.150)0.150 - 14.720 = 0 Como 5st = 98.1/200 = 0.4905 m, la ecuacidn anterior se reduce a la “forma estdndar” 0 + 160 = 0
de modo que (on = Vl6 = 4 rad/s Por tanto, 7 T
f a r _ _ r = —
2
Resp.
22.2 M£TODOS DE ENERGIA
649
PROBLEMAS *22-28. Resuelva el problema 22-10 por medio de m6to- dos de energfa. •22-29. Resuelva el problema 22-11 por medio de mdtodos de energfa.
22-34. Determine el periodo natural de vibracidn del disco de masa m y radio r. Suponga que no se desliza sobre la superficie de contacto cuando oscila.
22-30. Resuelva el problema 22-12 por medio de m6to- dos de energfa. 22-31. Resuelva el problema 22-14 por medio de mdtodos de energfa. *22-32. La m^quina tiene una masa m y est£ sostenida de manera uniforme por cuatro resortes, cada uno con rigidez k. Determine el periodo natural de vibraci6n vertical.
Prob. 22-34 22-35. Si la rueda experimenta un ligero desplazamiento angular de 0 y se deja libre del reposo, se observa que oscila con un periodo natural de r. Determine el radio de giro de la rueda con respecto a su centro de masa G. Su masa es m y rueda sobre los rieles sin deslizarse.
dd 22 Prob. 22-32 Prob. 22-35 •22-33. Determine la ecuacidn diferencial de movimiento del carrete de 15 kg. Suponga que no se desliza en la superficie de contacto cuando oscila. El radio de giro del carrete con respecto a su centro de masa es k G = 125 mm. Originalmente los resortes no est£n alargados.
Prob. 2233
*22-36. Sin un tomillo ajustable, A, el pdndulo de 1.5 lb tiene un centro de gravedad en G. Si se requiere que oscile con un periodo de 1 s, determine la distancia a del pasador O al tornillo. El radio de giro del p&idulo con respecto a O es k Q = 8.5 pulg y el tomillo pesa 0.05 lb.
Prob. 2236
650
C AP I TULO 22
V BRACIONES
•22-37. Un resorte torsional de rigidez k est6 conectado a una rueda de masa M. Si la rueda experimenta un peque- fk) desplazamiento angular de 0 respecto del eje z, determine el periodo natural de oscilaci6n. El radio de giro de la rueda con respecto al eje z es kz.
*22-40. El engrane de masa m tiene un radio de giro con respecto a su centro de masa O de k0. La rigidez de los resortes es k\ y k2, respectivamente, y no est6n alargados cuando el engrane est6 en una posici6n de equilibrio. Si el engrane experimenta un pequefio desplazamiento angular de 0 y luego se deja libre, determine su periodo natural de oscilaci6n.
z
Prob. 22-37
22-38. Determine la frecuencia de oscilaci6n del cilindro de masa m cuando se tira de 61 hacia abajo y luego se deja libre. Ignore la masa de la
22-41. La barra tiene una masa de 8 kg y est£ suspendida de dos resortes, de modo que cuando est6 en equilibrio los resortes forman un 6ngulo de 45° con la horizontal, como se muestra. Determine el periodo natural de vibracidn si la barra es jalada hacia abajo una corta distancia y luego se le deja libre. Cada resorte tiene una rigidez de k = 40 N/m.
Prob. 22-38
22-39. Determine la frecuencia de oscilaci6n del cilindro de masa m cuando se tira de 61 hacia abajo y se deja libre. Ignore la masa de las pole
Prob. 2239
Prob. 2241
651
22.3 VIBRACION FORZADA NO AMORTIGUADA
*22.3 Vibracion forzada no amortiguada Se considera que la vibracidn forzada no amortiguada es uno de los tipos mds importantes de movimiento vibratorio enel campo de la inge- nieria. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de mdquinas y estructuras. Fuerza periodica. El bloque y resorte que se muestran en la figura 22-1 la constituyen un modelo conveniente para representar las carac- teristicas vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periddica F = F0 sen (Dot. Esta fuerza tiene una amplitud de F0 y una frecuencia forzada (o 0. El diagrama de cuerpo libre del bloque desplazado una distancia * se muestra en la figura 22116. Al aplicar la ecuacidn de movimiento, tenemos
obien
F0 sen (Dot — kx = nix
m a.
Posici6n de equilibrio
F — Fo sen co^t
UimrM
(a)
x + x = —sen (Dot mm
(22-18) W = mg
Esta ecuacidn es una ecuacidn diferencial de segundo grado no homo- gdnea. La solucidn general consta de una solucidn complementaria, xCy mas u F= F q sen ( particular, xp. k La solucidn complementaria se determina al establecer el tdrmino del lado derecho de lax ecuacidn 22-18 igual a cero y resolver la ecuacidn h resultante. La ecuacidn 22-9 define la solucidn, es decir,
T
N=W
(b)
xc = C sen(u>,/ + <£)
(22-19)
Fig. 22-11
donde (Dn es la frecuencia natural, (J)n = VfcT^ecuaddn 22-2. Como el movimiento es periddico, la solucidn particular de la ecuacidn 22-18 puede determinarse si se supone una solucidn de la forma
(2220)
xp = X sen (Dot donde X es una constante. Si calculamos la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituimos en la ecuacidn 22-18 obtenemos —X(Dosen(D(jt +
k m
Fo m
(Xsen gw) = sen ow
Al factorizar sen (D0t y resolver para X obtenemos
Fo/nt X=
FJk
{k/m) -o)l 1 - {(Do/o^f
(2221)
Sustituimos en la ecuacidn 22-20, y obtenemos la solucidn particular
(22-22)
Las mesas sacudidoras o trepidantes producen vibracidn forzada y se utiliza
652
CapItulo 22 Vbraciones
La solucidn general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de frecuencias diferentes.
x = xc + xp = C sen (a>nt +
La solucidn complementaria *c define la vibracion libre, la cual depende de la frecuencia natural con = \Zkjm y las constantes C y
El compactador de suelo opera por vibracidn forzada desarrollada por un motor intemo. Es importante que la frecuencia forzadora no se aproxime a la frecuencia natural de vibracion del compactador, la cual puede determinarse cuando se apaga el motor; de lo contrario habra iesonancia y la maquina se vol- vera incontrolable.
653
22.3 VIBRACION FORZADA NO AMORTIGUADA
MF
MF =
(22-24)
Esta ecuacidn se grafica en la figura 22-12. Observe que si la fuerza o desplazamiento se aplica con una frecuencia prdxima a la frecuencia natural del sistema, es decir, o)0/(on « 1, la amplitud de vibracidn del bloque llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre porque la fuerza F se aplica al bloque de modo que siempre siga el movimiento de dste. Esta condicidn se llama resonancia\ en la prdctica, las vibraciones resonantes pueden dar lugar a esfuerzos tremendos y a la rdpida falla de las partes.* Desplazamiento periodico del soporte. Las vibraciones forzadas tambidn pueden ser originadas por la excitacidn periddica del soporte de un sistema. El modelo de la figura 22-13a representa la vibracidn periddica de un bloque provocada por movimiento armdnico 8 = 8q sen a^t del soporte. El diagrama de cuerpo libre del bloque en este caso se muestra en la figura 22-136. El desplazamiento 8 del soporte se mide con respecto al punto de desplazamiento cero, es decir, cuando la linea radial OA coincide con OB. Por consiguiente, la deformacidn general del resorte es (x - 80 sen
±FX =
ma
■k(x — SosenajQt) = m'x
obien
k k8o x + —x = — sen vyt m m
(22-25) Rasicidn de equilibrio
I
Por comparacidn, esta ecuacidn es iddntica a la ecuacidn 22-18, siempre que F0 sea reemplazada por k80. Si esta sustitucidn se hace en las soluciones definidas por las ecuaciones 22-21 a 22-23, los resultados son apropiados para describir el movimiento del bloque cuando se somete al desplazamiento del soporte 8 = 80sen ct>0i (a)
k(x -S09ena>oO
*Un columpio tiene periodo natural de vibraci6n, como se determind en el ejemplo 22.1. Si alguien lo empuja, sdlo cuando alcanza su punto mis alto, e ignora la resistencia al avance o la resistencia del viento, habri resonancia puesto que las frecuencias natural y forzadora son las mis mas.
X =
■=
=
654
r
= 16.7
C AP [ TULO 22
mm
V BRACIONES
EJEMPLO \22.7 El instrumento que se muestra en la figura 22-14 estd rigidamente montado en una plataforma P, la cual a su vez estd sostenida por cuatro resortes, cada uno con una rigidez k = 800 N/m. Si el piso se somete a un desplazamiento vertical 8 = 10 sen (80 mm, donde t estd en segundos, determine la amplitud de la vibracidn de estado continuo. ^Cudl es la frecuencia de la vibraci6n del piso requerida para provocar resonancia? El instrumento y la plataforma tienen una masa total de 20 kg.
Fig. 22-14
SOLUCI6N La frecuencia natural es
[k =
14(800 N/m) =
“'■ Vm v_4okg^ = 12-65rad/s La amplitud de la vibracidn de estado continuo se determina con la ecuacidn 22-21, con k80 al reemplazar a F0.
1 - (*>o/a>„)2
1 - [(8 rad/s)/(12.65 rad/s)]2 Resp.
Ocurrird resonancia cuando la amplitudde vibracidn X provocada por el desplazamiento del piso tienda a infinito. Esto requiere
(OQ = (on = 12.6 rad/s
Resp.
655
22.4 VIBRACION UBRE VISCOSA AMORTIGUADA
*22.4 Vibration libre viscosa amortiguada El andlisis de vibracidn considerado hasta ahora no ha incluido los efectos de friccidn o amortiguacidn en el sistema y, en consecuentia, las solutio- nes obtenidas no corresponden del todo al movimiento real. Como todas las vibraciones cesan con el tiempo, en el andlisis deberdn incluirse las fuerzas de amortiguacidn. En muchos casos la amortiguacidn se atribuye a la resistencia creada por la sustancia, agua, aceite o aire,en la cual vibre el sistema. Siempre que el cuerpo se mueva lentamente a travds de esta sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proportional a la rapidez del cuerpo. El tipo de fuerza desarrollada en estas conditiones se llama fuerza de amortiguacidn viscosa. La magnitud de esta fuerza se expresa por medio de una ecuacidn de la forma
F = cx
(22-26)
donde la constante cse llama coeficiente de amortiguacidn viscosa y sus unidades son N • s/m o lb • s/pie. El movimiento vibratorio de un cuerpo o sistema que tiene amorti- guatidn viscosa se puede caracterizar por el bloque y el resorte que se ilustran en la figura 22-15a. El efecto de amortiguacidn lo proporciona el amortiguador conectado al bloque del lado derecho. La amortigua- tidn ocurre cuando el pistdn Pse mueve a la derecha o izquierda dentro del cilindro cerrado. El cilindro contiene un fluido, y el movimiento del pistdn se retarda puesto que el tfquido debe fluir alrededor de, o a tra- vds de, un pequefio orifitio en el pistdn. Se supone que el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguacidn viscosa c. Si el bloque se desplaza una distancia x de su posicidn de equilibrio, el diagrama de cuerpo libre resultante se muestra en la figura 22-156. Tanto la fuerza del resorte como la fuerza de amortiguacidn se oponen al movimiento de avance del bloque, de modo que al aplicar la ecuacidn de movimiento se obtiene
■±>'ZFX =
kx
Posici6n de equilibrio
cx = mx (a)
mx + cx + kx = 0
(22-27)
La solucidn de esta ecuacidn diferencial homogdnea lineal de segundo grado tiene la forma
W = mg
x = e* donde ees la base del logaritmo natural y A (lambda) es una constante. El valor de A se obtiene al sustituir esta solucidn y sus derivadas con respecto al tiempo en la ecuacidn 22-27, lo cual da
mAV' + ckex„ + keX: = 0
N= W
(b ) e xt {m\ 1 + cA + k) = 0
Fig. 2215
I /
\
0
656
i
C AP I TULO 22
V BRACIONES
Como eKt nunca puede ser cero, una solucidn es posible siempre que m\2 + cA + k = 0
Por consiguiente, segun la fdrmula cuadrdtica, los dos valores de A son
(22-28)
c A2 =
2m V \2mJ m La solucidn general de la ecuacidn 22-27 es por consiguiente una combinacidn de exponenciales que implica estas dos raices. Existen tres posibles combinaciones de Ai y A2las cuales se deben considerar. Antes de analizar estas combinaciones, sin embargo, primero defi- niremos el coeficiente de amortiguacidn critica cc como el valor de c que hace que el radical presente en las ecuaciones 22-28 sea igual a cero, es decir,
obien
(22-29)
Sistema sobreamortiguado. Cuando c > cc, las rafces Ax y A2 son reales. Entonces la solucidn general de la ecuacidn 22-27 puede escribirse como
x=
+ Be^
(22-30)
H movimiento correspondiente a esta solucidn es no vibratorio. El efecto de amortiguacidn es tan fuerte que cuando el bloque se desplaza y queda libre, simplemente regresa a su posicidn original sin oscilar. Se dice que el sistema estd sobreamortiguado. Sistema crfticamente amortiguado. Sic = cC(entoncesAi = A2 = —cc/2m = ~(on. Esta situacidn se conoce como amortiguacidn critica, puesto que representa una condicidn en la que c tiene el valor mmimo necesario para hacer que el sistema sea no vibratorio. Con los mdtodos de ecuaciones diferenciales puede demostrarse que la solucidn de la ecuacidn 22-27 con amortiguacidn critica es
jc = (A + Bt)e~°*
(22-31)
22.4 VIBRACION UBRE VISCOSA AMORTIGUADA
Sistema subamortiguado. Con mucha frecuencia c < Cc, en cuyo caso el sistema se conoce como subamortiguado. En este caso, las raices Aj y A2 son numeros complejos, y puede demostrarse que la solucidn general de la ecuacidn 22-27 puede escribirse como
x = D[e (<^2w),sen(
(22-32)
donde D y
(22-33)
donde la relacidn cjcc se llama factor de amortiguacidn. En la figura 22-16 se muestra la grdfica de la ecuacidn 22-32. El limite inicial del movimiento D,se reduce con cada ciclo de vibracidn, puesto que el movimiento estd confinado dentro de los Hmites de la curva exponential. Si utilizamos la frecuencia natural amortiguada (ody el periodo de vibracidn amortiguada puede escribirse como
(22-34)
Como (od< o)ni ecuacidn 22-33, el periodo de vibracidn amortiguada, T d, serd mayor que el de vibracidn fibre, r = 2Tr/(o n.
Rg. 2216
657
658
C AP [ TULO 22
V BRACIONES
*22.5 Vibration forzada viscosa amortiguada El caso mds general de movimiento vibratorio de un solo grado de Hbertad ocurre cuando el sistema incluye los efectos de movimiento forzado y amortiguacidn inducida. El andlisis de este tipo particular de vibracidn es de valor prdctico cuando se aplica a sistemas con caracte- risticas de amortiguacidn significativas. Si se conecta un amortiguador al bloque y el resorte que se muestran en la figura 22-1 la, la ecuacidn diferencial que describe el movimiento es
mx + cx + kx = F^enc^t
(22-35)
Para un bloque y resorte que experimenten desplazamiento perid- dico de sus soportes puede escribirse una ecuacidn similar, figura 22-13a, la cual incluya los efectos de amortiguacidn. En ese caso, sin embargo, a F0la reemplaza k80. Como la ecuacidn 22-35 es no homogdnea, la solucidn general es la suma de una solucidn complementaria xc y una solucidn particular xp. La solucidn complementaria, xCy se determina al igualar a cero el lado derecho de la ecuacidn 22-35 y resolver la ecuacidn homogdnea, la cual es equivalente a la ecuacidn 2227. Las ecuaciones 22-30, 22-31 o 22-32, por consiguiente, dan la solucidn, segun los valores de \i y A2. Como todos los sistemas se someten a friccidn, en ese caso esta solucidn se amortiguard con el tiempo. Sdlo permanecerd la solucidn particular que describe la vibracidn de estado continuo del sistema. Como la funcidn forzadora es armdnica, el movimiento de estado continuo tambidn ser£ armd- nico. Por consiguiente, la solucidn particular ser£ de la forma Xp = A" sen(f>0f - <*>')
(22-36)
Las constantes X y >' se determinan al calcular la primera y segunda derivadas con respecto al tiempo y sustituirlas en la ecuacidn 22-35, la cual despuds de simplificarla resulta —X'majij sen (a;,/ - >') +
X'ccjocos^Qt ~
-X'mo% + X'k = F0 cos <£'
22.5 VIBRACION FORZADA VISCOSA AMORTIGUADA
La amplitud se obtiene al elevar al cuadrado estas ecuaciones, sumar los resultados y utilizar la identidad sen 2^' + cos2<#>' = 1, lo cual da 2
X'2 = ——= __________
Fn
(22-37)
V(& - mwl) + c ^
Si dividimos la primera ecuacidn entre la segunda obtenemos
coyo ()>' = tan 1
(22-38)
_k - me*Q.
Como oyn = \Zk/m y cc = 2rnwm entonces las ecuaciones anteriores tambidn pueden escribirse como
(22-39)
El dngulo
Fig. 2217
659
660
CAPITULO
22
VBRACIONES
El motor eldctrico de 30 kg que se ilustra en la figura 22-18 estd sostenido por cuatro resortes, cada uno con una rigidez de 200 N/m. Si el rotor se desbalancea de modo que su efecto equivalga a una masa de 4 kg situada a 60 mm del eje de rotacidn, determine la amplitud de la vibracidn cuando el rotor gira a o>q = 10 rad/s. El factor de amortiguacidn es c/cc = 0.15.
Fig. 22-18
SOLUCI6N La fuerza periddica que hace que el motor vibre es la fuerza centrifuga a consecuencia del rotor desbalanceado. Esta fuerza tiene una magnitud constante de F0 = man = mrojQ = 4 kg(0.06 m)(10 rad/s)2 = 24 N Como F = F0 sen
Como se conoce el factor de amortiguacidn, la amplitud de estado continuo se determina con la primera de las ecuaciones 22-39, es decir,
V[1 - (ojqM,)2]2 + [2{c/cc)(oja/o}n)f 24/800
V[1 - (10/5.164)2]2 + [2(0.15)(10/5.164)]2 = 0.0107 m = 10.7 mm
Resp.
661
22.6 ANALOGOS DE UN QRCUITO EL£CTRICO
*22.6 Analogos de un circuito electrico
R
Las caracteristicas de un sistema mec^nico vibratorio pueden represen- tarse por medio de un circuito eldctrico. Considere el circuito que se muestra en la figura 22-19a, el cual consta de un inductor L, un resistor R y un capacitor C. Cuando se aplica un voltaje E(t)y hace que una corriente de magnitud i fluya a travds del circuito. Cuando la corriente fluye mds alld del inductor la cafda de voltaje es L(di/dt) y cuando fluye a travds del resistor la cafda es Ri, y cuando llega al capacitor la cafda es (1/C)// dt. Como la corriente no puede fluir mds alld del capacitor, sdlo es posible medir la carga q que actua en el capacitor. La carga, sin embargo, puede relacionarse con la corriente por medio de la ecuacidn i = dq/dt. Por tanto, las cafdas de voltaje que ocurren a travds del inductor, resistor y capacitor son L (Pq/dt1, R dq/dty y q/Cy respectivamente. De acuerdo con la ley del voltaje de Kirchhoff, el voltaje aplicado es igual a la suma de las cafdas de voltaje alrededor del circuito. Por consiguiente,
d V
dq 1
AA/ V
E(t)
e (a)
(22-41)
Considere ahora el modelo de un sistema mecdnico de un solo grado de libertad, figura 22-196, sometido tanto a una funcidn forzadora general F(t) como de amortiguacidn. La ecuacidn de movimiento para este sistema se establecid en la seccidn previa y puede escribirse como (22-42) Por comparacidn, se ve que las ecuaciones 22-41 y 22-42 tienen la misma forma, y por tanto matemdticamente el procedimiento de analizar un circuito eldctrico es igual al de analizar un sistema mec^nico vibratorio. Los andlogos entre las dos ecuaciones se dan en la tabla 22-1. Esta analogfa tiene una importante aplicacidn en el trabajo experimental, ya que es m£s f£cil simular la vibracidn de un sistema mecdnico complejo por medio de un circuito eldctrico, el cual puede construir- se con una computadora analdgica, que construir un modelo mecdnico de resorte y amortiguador equivalente.
TABLA 22-1 Analogos electricos-mecanicos Elect ricos
Mecanicos
Carga el6ctrica
<7
Desplazamiento
X
Corriente el6ctrica
i
Velocidad
dx/dt
Voltaje
E(t)
Fuerza aplicada
m
Inductancia
L
Masa
m
Resistencia
R
Coeficiente de amortiguacidn viscosa
c
Recfproco de capacitancia
i/c
Rigidez de resorte
k
m
(b ) F5g. 2219
B
F (0
CAPITULO
662
VBRACIONES
22
PROBLEMAS 22-42. Si el modelo de bloque y resorte se somete a la fuerza peri6dica F = F0 cos cur, demuestre que la ecuaci6n diferencial demo vimientoes* + (k/m)x = (F0/m) cos cur, donde x se mide con respecto a la posici6n de equilibrio del bloque. <,Cu£l es la solucidn general de esta ecuacidn?
•22-45. El resorte que se muestra se alarga 6 pulg cuando se carga con un peso de 50 lb. Determine la ecuacidn que describe la posicidn del peso como una funcidn del tiempo si el peso es jalado 4 pulg por debajo de su posicidn de equilibrio y se libra del reposo cuando t = 0. El peso se somete a la fuerza periddica F = (-7 sen 2r) lb, donde t est4 en segundos.
Posici6n de equilibrio
t
F = Fq cos cat ►
Prob. 22-42
22-43. Si el bloque se somete a la fuerza periddica F = F0 COS cur, demuestre que la ecuaci6n diferencial de movimiento esy + (k/m)y = (Fo/m) cos cur, donde y se mide con respecto a la posicidn de equilibrio del bloque. £Cu£l es la solucidn general de esta ecuacidn? F = -7 sen 21 Prob. 22-45
m
I
22-46. El bloque de 30 lb est£ unido a dos resortes con rigidez de 10 lb/pie. Una fuerza periddica F = (8 cos 3r) lb, donde rest£ en segundos, se aplica al bloque. Determine la rapidez maxima del bloque despu£s de que las fuerzas de friccidn hagan que cesen las vibraciones libres.
F = FQ COS (Ot Prob. 22-43
*22-44. Un bloque de 0.8 kg de masa se suspende de un resorte cuya rigidez es de 120 N/m. Si un amortiguador genera una fuerza de amortiguacidn de 2.5 N cuando la velocidad del bloque es de 0.2 m/s, determine el periodo de vibracidn libre.
Prob. 2246
22.6 ANALOGOS DE UN QRCUITO EL£CTRICO
22-47. Se suspende un bloque de 5 kg de un resorte que tiene una rigidez de 300 N/m. Si en el bloque actua una fuerza periddica vertical F = (7 sen 8f) N, donde t est£ en segundos, determine la ecuacidn que describe el movimiento del bloque cuando se le jala hacia abajo 100 mm de la posicidn de equilibrio y se libra del reposo cuando t = 0. Considere positivo el desplazamiento hacia abajo.
663
•22-49. El ventilador tiene una masa de 25 kg y est£ fijo enel extremo de una vi excdntricamente en la flecha de modo que equivalen a una masa desbalanceada d viga es de 50 mm a consecuencia del peso del ventilador, determine la velocidad primera parte del ejemplo 22.8.
22-50. El ventilador tiene una masa de 25 kg y est£ fijo en el extremo de una vi excdntricamente en la flecha de modo que equivalen a una masa desbalanceada d viga es de 50 mm a consecuencia del peso del ventilador, determine la amplitud d aspas es de 10 rad/s. Sugerencia: consulte la primera parte del ejemplo 22.8.
22-51. £Cu41 seri la amplitud de la vibracidn de estado continuo del ventilado Sugerencia: consulte la primera parte del ejemplo 22.8.
k = 300 N/m
jffiL
\ F = 7 sen St Prob. 22-47
*22-48. El motor eldctrico tiene una masa de 50 kg y est£ sostenido por cuatro resortes que tienen una rigidez de 100 N/m. Si el motor hace girar un cual est£ montado excdntricamente a 20 mm de su centro, determine la velocidad angular tu a la cual ocurre la resonancia. Suponga que el motor sdlo direccidn vertical.
Probs. 22-49/50/51
20
*22-52. Un bloque de 7 lb est£ suspendido de un resorte que tiene una rigidez de k = 75 lb/pie. Al soporte al cual estci conectado el resorte se le imprime un movimiento armdnico, el cual puede ser expresado como 8 = (0.15 sen 21) pies, donde t est£ en segundos. Si el factor de amortiguacidn es c/cc = 0.8, determine el dngulo de fase
Prob. 2248
•22-53. Determine el factor de amplificacidn de la combinacidn de bloque, resorte y amortiguador del problema 2252.
664
C AP [ TULO 22
V BRACIONES
2254. La barra uniforme tiene una masa de m. Si en ella acttia una fuerza periddica F = F0 sen cot, determine la amplitud de la vibracidn de estado continuo.
2258. El sistema de resortes estd conectado a un cruceta que oscila verticalmente cuando la rueda gira a una velocidad angular constante de co. Si la amplitud de la vibracidn de estado continuo es de 400 mm y cada uno de los resortes tiene una rigidez de k = 2500 N/m, determine los dos posibles valores de co a que debe girar la rueda. La masa del bloque es de 50 kg. 2259. El sistema de resortes estd conectado a un cruceta que oscila verticalmente cuando la rueda gira a una velocidad angular constante de to = 5 rad/s. Si la amplitud de la vibracidn de estado continuo es de 400 mm , determine los dos posibles valores de la rigidez k de los resortes. La masa del bloque es de 50 kg.
F= F{) sen cot Prob. 22-54
2255. El movimiento de un sistema subamortiguado puede ser descrito por la grdfica que aparece en la figura 2016. Demuestre que la relacidn entre dos picos de vibracidn sucesivos estd dada por \n(xjx,,+1) = 2ir(c/cc)/
Vl—(c/cc)2, donde c/cc es el factor de amortiguacidn y a ]n(xjx„+i) se le llama decremento logaritmico. *22-56. Se observa que dos amplitudes sucesivas de un sistema vibratorio subamortiguado de resorte-bloque son de 100 mm y 75 mm. Determine el coeficiente de amortiguacidn del sistema. El bloque tiene una masa de 10 kg y el resorte tiene una rigidez de k = 1000 N/m. Use el resultado del problema 22-55.
Probs. 22-58/59
•22-57. Dos amortiguadores iddnticos se disponen paralelos entre sf, como se muestra. Demuestre que si el coefi- dente de amortiguacidn c < \Z~mk, entonces el bloque de masa m vibrard como un sistema subamortiguado.
*22-60. Determine la ecuacidn diferencial para oscilacio- nes pequeflas en funcidn de 0 para la barra uniforme de masa m. Ademds, demuestre que sic < Vmfc/2, entonces el sistema permanece subamortiguado. La barra estd en una posicidn horizontal cuando estd en equilibrio.
Prob. 2257
Prob. 2260
22.6 ANALOGOS DE UN QRCUITO EL£CTRICO
•22-61. Si el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguacidn de c = 50 N • s/m, y la rigidez del resorte es de k = 600 N/m, demuestre que el sistema est4 subamortiguado y luego determine el periodo de oscilacidn del pdn- dulo. Las barras uniformes tienen una masa por unidad de longitud de 10 kg/m.
Prob. 22-61
665
2263. El bloque, con un peso de 15 lb, se sumerge en un lfquido de modo qu (0.8|v|) lb, donde v es la velocidad del bloque en pies/s. Si el bloque es jalado ha tiempo. El resorte tiene una rigidez de k = 40 lb/pie. Considere que el desplazamien
Prob. 22-63
El sen pequefio en A tiene masa 4 determine kg y 2262. Si el bloque de 30 kg se somete a una fuerza periddica de*22-64. P = (300 5f) N, bloque /fe = 1500 N/m y cuna = 300 N • de s/m, la ecuacidn que est£ montado en la barra acodada de masa insignificante. Si vibracidn de estado continuo en funcidn del tiempo. el rotor B crea movimiento armdnico SB = (0.1 cos 15/) m, donde fest^ en segundos, determine la amplitud de vibracidn de estado continuo del bloque.
Prob. 2262
Prob. 2264
666
C AP [ TULO 22
V BRACIONES
•22-65. La barra pesa 6 lb, la rigidez del resorte es de k = 8 lb/pie y el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguacidn c = 60 lb • s/pie; determine la ecuacidn diferencial que describe el movimiento en funci6n del Angulo 0 de rotacidn de la barra. Ademds, £cu£l deberfa ser el coefidente de amortiguacidn del amortiguador si la barra ha de estar crfticamente amortiguada?
•22-69. El disco circular de 4 kg estA unido a tres resortes, cada uno de los cuales tiene una rigidez k = 180 N/m. Si el disco se sumerge en un fluido y se le imprime una velocidad hacia abajo de 0.3 m/s en la posicidn de equilibrio, determine la ecuacidn que describe el movimiento. Considere que el desplazamiento positivo se mide hacia abajo y que la resistencia del fluido que actua en el disco genera una fuerza de amortiguacidn de magnitud F = (60|v|) N, donde v es la velocidad del bloque en m/s.
B
-— 2 pies
3 pies
Prob. 22-65 2266. Un bloque de 7 kg de masa est£ suspendido de un resorte que tiene una rigidez k = 600 N/m. Si al bloque se le imparte una velocidad hacia arriba de 0.6 m/s a partir de su posicidn cuando t = 0, determine la posicidn en funcidn del tiempo. Suponga que el desplazamiento positivo del bloque es hacia abajo y que el movimiento se desarrolla en un medio que genera una fuerza de amortiguacidn F = (50|t>|) N, donde v es la velocidad del bloque en m/s. 2267. Se une un peso de 4 lb a un resorte cuya rigidez es k = 10 lb/pie. El peso es jalado hacia abajo una distancia de 4 pulg y se libra del reposo. Si el soporte se mueve con un desplazamiento vertical 8 = (0.5 sen At) pulg, donde t estA en segundos, determine la ecuacidn que describe la posicidn del peso como funcidn del tiempo. *22-68. Determine la ecuacidn diferencial de movimiento para el sistema vibratorio amortiguado que se muestra. i,Qud tipo de movimiento ocurre?
Prob. 22-69
2270. Con un modelo de bloque y resorte, como el de la figura 22-13a, pero suspendido en posicidn vertical y sometido a un desplazamiento periddico de su soporte de 8 = 80 cos corf, determine la ecuacidn de movimiento del sistema y obtenga su solucidn general. Defina el desplazamiento y medido a partir de la posicidn de equilibrio est£tico del bloque cuando t = 0. 2271. El motor eldctrico hace girar un volante excdntrico, el cual equivale a un peso desbalanceado de 0.25 lb situado a 10 pulg del eje de rotacidn. Si la deflexidn estAtica de la viga es de 1 pulg a causa del peso del motor, determine la velocidad angular del volante a la cual ocu- rrir4 la resonancia. El motor pesa 150 lb. Ignore la masa de la viga. *22-72. £CU£1 ser£ la amplitud de la vibracidn de estado continuo del motor del problema 22-71 si la velocidad angular del volante es de 20 rad/s? •22-73. Determine la velocidad angular del volante del problema 22-71 que producir£ una amplitud de vibracidn de 0.25 pulg.
Prob. 2268
Probs. 2271/72/73
22.6 ANALOGOS DE UN QRCUITO EL£CTRICO
22-
667
74. Trace el circuito eldctrico equivalente al sistema mec£nico *22-76. que seTrace muestra. el Determine circuito eldctrico la ecuacidn equivalente diferencial al que sistema describe la carga <7 en el mec£nico que se muestra. £Cu£l es la ecuacidn diferencial que describe la carga <7 en el circuito?
F = F () cos o>t .Q ,Q .Q Prob. 22-74
TT
Prob. 22-76
2275. Determine la ecuacidn diferencial de movimiento del sistema •22-77.vibratorio Trace elamortiguado circuito eldctrico que se muestra. equivalente ^Qud al tipo sistema de movimiento ocurre? C — 100 N/m, c — 200 N * s/m, m =25 kg. mec£nico que se muestra. Determine la ecuacidn diferencial que describe la carga qen el circuito.
22
Prob. 2275
Prob. 2277
668
CapItulo 22
Vbraciones
REPASO DEL CAPfTULO
Vibracion libre no amortiguada Un cuerpo experimenta vibracidn libre cuando fuerzas de restauracidn gravitacional y eldsticas provocan el movimiento. Este movimiento es no amortiguado cuando las fuerzas de fricci6nse ignoran. El movimiento periddico de un cuerpo no amortiguado que vibra libremente puede estudiarse al desplazar el cuerpo de la posicidn de equilibrio y luego aplicar la ecuacidn de movimiento a lo largo de la trayectoria. Para un sistema de un grado de libertad, la ecuacidn diferencial resultante puede escribirse en funcidn de su frecuencia natural (On.
Equilibrium position
•• i J2 zr\ 27T 1 (on x + aj nx = 0 r=— / = - =
(On T Z7T
Mdtodos de energia Siempre que las fuerzas de restauracidn que acttian en el cuerpo son gravitacionales y eldsticas, entonces tambidn puede utilizarse para determinar el movimiento armdnico simple. Para hacer esto, el cuerpo se desplaza una pequefta distancia de su posicidn de equilibrio y se escribe una expresidn para su energfa cindtica y potencial. La derivada con respecto al tiempo de esta ecuacidn puede reordenarse entonces en la forma estdndar x + (ol x = 0.
Vibracidn forzada no amortiguada Cuando se aplica la ecuacidn de movimiento a un cuerpo, el cual estd sometido a una fuerza periddica, o el soporte se desplaza con una frecuencia COQ, entonces la solucidn de la ecuacidn diferencial consiste en una solucidn complementaria y una solucidn particular. La solucidn complementaria es provocada por la vibracidn libre y puede ser ignorada. La solucidn particular es provocada por la vibracidn forzada. Ocurrird resonancia si la frecuencia natural de vibracidn o>„ es igual a la frecuencia for- zadora a*). Esto debe evitarse, puesto que el movimiento tenderd a volverse ilimitado.
Equilibrium position _—
X
P
Fo/k ~ 1 , , x2sena>o/ 1 - (fi>oM.)
REPASO DEL CAPhruLO
Vibracidn libre viscosa amortiguada Una fuerza de amortiguacidn viscosa es provocada por la resistencia al avance de un fluido en el sistema cuando vibra. Si el movimiento es lento, esa fuerza de resistencia al avance serd proporcional a la velocidad, es decir, F = cx . Donde c es el coeficiente de amortiguacidn viscosa. Al comparar su valor con el coeficiente de amortiguacidn crftica, cc = 2mion, podemos especificar el tipo de vibracidn que ocurre. Si c > cc, es un sistema sobreamortiguado; si c = cc, es un sistema crfticamente amortiguado; si c < cc, es un sistema subamortiguado.
Vibracidn forzada viscosa amortiguada El tipo mds general de vibracidn de un sistema de un grado de libertadas ocurre cuando el sistema estd amortiguado y se somete a movimiento forzado periddico. La solucidn da una idea sobre cdmo influ- yen en la vibracidn el factor de amortiguacidn, c/cc, y la relacidn de frecuencia a>o/a)n. La resonancia se evita siempre que c/cc 4= Oy wo/w„ 4= 1.
Analogos de un circuito eldctrico El movimiento vibratorio de un sistema mecdnico complejo puede estudiarse si se modela como un circuito eldctrico. Esto es posible puesto que las ecuaciones dife- renciales que rigen el comportamiento de cada sistema son las mismas.
Equilibrium position
669
APENDI CE
Expresiones matematicas A
Derivadas
Formula cuadratica 2
b ± \/b - Aac 2 a
Si ax1 + bx + c = 0, entonces x =
Funciones hiperbolicas senh x =
7
2 2
d,
sen 0 =
ex + e
,cosh x =
,tanhjc =
.
cos 0 =
, tan0 =
—, esc $ = —
A
B
. c
—, sec 0 = —
C
n
B
—, cot0 = —
B
c/v
c/m
senh JC cosh JC
d _ d x d/
.
d.
.
C/M C/U
~di~u~di V2
j du
-—(cot M) = -esc M— C/JC C/JC
B
A
.
v
, c
C
| du
-(««) = u-+v-
Identidades A trigonometricas
.
d.„
—(sec M) = tan M— C/JC
A
sen2 0 + cos2 0 = 1
d.
sen(0 ±
du M sec C/JC
.
du
-—(esc M) = -esc M cot M— C/JC C/JC
20 = 2 sen 0 cos 0 cos(0 ± (f>) = cos 0 cos
d. . -—(sen M) = COSM— C/JC
(f> T sen 0 sen <j> cos 20 = cos2 0 - sen2 0
+ cos 20
cos 0 tan0 =
±>/
, sen 0
1 - cos 20
c/ —(tanM) = sec^M— C/JC
sen 0 2
2
1 + cot 0 = esc 0
Expansiones en series de potencias
d
-—(senh M) = coshM— dx
du
dx
senh JC = JC + — +
3 !
£ .
2 ! 670
C/M
C/JC
1 + tan2 0 = sec2 0
cos JC = 1
dx
c/ C/M —(COSM) = -sen M— C/JC C/JC
cos 0
sen JC = JC
du
d
du
—(coshM) = senh m— C/JC C/JC cosh JC = 1 + — +
A P G NDICE A E XPRESIONES MATEM A TICAS
/ V x ±a
dx 2 Va + 6jc
Integrales
h f
n+l
x x dx = ------- 7 + C,n * -1 n
I
h h /j
77? = »,n(^ + fl) + c‟
a + \/-ab I jc n _a - x\/-
ab_ ,x_
JC ^JC JC
, tan + C, > 0
a
2(8a2 - \2abx + 15h2x2)V(a + fct)3 + 6jc dx =
-x dx =
+ xVc +
2
2
-1
2
xVa - x + a sen —
J x V x 2 ± a2
/ + C, a > 0 I e** ■
C
d x = -JV(a2 - V)3 + y(xVa 2 - V +
a2sen~vj + C, a > 0
J Vc2 ± a2dx = |[xVx2± a2 ± a2 ln(jc + Vc2 ± a2)] + C
Jx 2 Vx r Tfdx = ±V(x 2 ± a2)3 T yxVGTT^ - yta(x + Vx2 ± a2) + C
b
+ C, c > 0
2 Vc
) + c,
( -2cx ~ b
:s 2 enV~c \ V/? - 4ac
1
c>0
JC
2x
/ ■
dx
= -tf* + c a
xe° x dx = -j-(ax — 1) + C
J senh x d x = cosh jc + C
J x V J ^ J d x = -|V(a2 - V)3 + C
Va + hx + cx 2
x z cos(ajc) dx = — tcos(ojc )L a a 2 x 2 -2 + sen(ojc) + C
+ C
105 b 3
2
1 =■2= — T^ln + bx + cx Vc
jccos(ajc) dx = —roos(fljc) + — sen(ajc) + C
—, -2(2a - 3bx)V'(a + bx) . „ + bxdx = -----------------2 , -------------- + C
JVa
djC
cos xdx = sen jc + C
3
J^a
= Vjc2 ± a 2 + C
sen xdx = -cos jc + C
15&
J x2
2
/ / / /
+ bx2 b tVab djc 1 a+x = + C, a 2 > jc2 2 — 2 a — ~ 2a I x + bx)3 + C J y/a + bx dxn= ^V(a
2
2
1
a , x\/ab _
2
jxvz
jc dx
/v7
+ bx b
xdx 1 ,
+C
+ 6jc
J n + 1
dx 1 Ja + bx 2 2V^fw
671
J cosh xdx
= senhx + C
5
APENDICE
Analisis vectorial
B
El siguiente andlisis es un breve repaso del andlisis vectorial. Un tra- tamiento mds detallado de estos temas se da en Ingenieria Mecdnica: Estdtica.
Vector. Un vector A, es una cantidad que tiene magnitud y direc- ddn y se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo. Como se muestra en la figura B-l, A = B + C, donde A es el vector resultante y B y C son vectores componentes.
Vector unitario. Un vector unitario, uAy tiene una magnitud de una unidad “sin unidades” y actua en la misma direccidn que A. Se determina al dividir A entre su magnitud A, es decir,
A
uA
672
A
(B-l)
AP£NDICE B AMAUSIS VECTORIAL
Notation vectorial cartesiana. Las direcciones de los ejes jc, y> z positivos se definen mediante bs vectores unitarios cartesianos i, j, k, respectivamente. Como se muestra en la figura B-2, el vector Ase formula por medio de la adicidn de sus componentes JC, y> z como
673
Ak
Ayj
(B-2)
A = Ax i + Ayj + Az k La magnitud de A se determina con
Fig. B-2
A = Ax + Ay + A\
(B-3)
La direccidn de A se define en funcidn de sus angulos de direccidn de las coordenadas, a, p, y, medidos de la cola de A a los ejes JC, y, z positivos, figura B-3. Estos dngulos se determinan con los cosenos de direccidn que representan las componentes i, j, kdel vector unitario u^; es decir, de acuerdo con las ecuaciones B-l y B-2.
u
X•
.
Ax Ay Az
^ = T, + T J + T k
s•i
(B-4)
<-i
de modo que los cosenos de direccidn son Fig. B-3
Ax cos a = —— A
a COS P = — A
A, cos y = —— A
(B-5)
Por consiguiente, IM = cos ori + cos /3j + cos yk, y con la ecuacidn B-3, se ve que cosz a + cosz p + cos2 y = 1
(B-6)
Producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores A y B, que da el vector resultante C,se escribe como C=AXB
(B-7)
y se lee C es igual a A “cruz” B. La magnitud de C es C = AB sen 0 donde 9 es el dngulo formado entre la cola de A y B (0° ^ 9 < 180°). La direccidn de Cse determina con la regia de la mano derecha, por la cual bs dedos de la mano derecha se cierran ^ A a B y e l pulgar apunta en la direccidn de C, figura B-4. Este vector es perpendicular al piano que contiene los vectores A y B.
(B-8)
674
APIINDICE B
ANAUSIS
VECTORIAL
El producto cruz vectorial no es conmutativo, es decir, A X B ^ B X A . MAs bien, A X B = -B X A
(B-9) La ley distributiva es vdlida; es decir,
AX( B
+
D) = AXB +AXD
(B-10)
Y el producto vectorial puede multiplicarse por un escalar m de cualquier manera; es decir,
m(A X B) = (mA) X B = A X (mB) = (A X B)m (B-ll)
+
La ecuacidn B-7 puede utilizarse para determinar el producto vectorial de cualquier par de vectores unitarios cartesianos. Por ejemplo, para determinar i x j, la magnitud es (/)(/)sen 90° = (1)(1)(1) = 1, y su direccidn +k se determina con la regia de la mano derecha, aplicada a i x j , figura B-2. Un esquema simple que se muestra en la figura B-5 puede ser util para obtener dste y otros resultados cuando se requiera. Si el circulo se construye como se muestra, y luego se “cruzan” (se multiplican vectorialmente) dos de los vectores unitarios en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor del circulo se obtiene un tercer vector unitario positivo, por ejemplo, k X i = j. Al moverse en el sentido de las manecillas del reloj se obtiene un vector unitario negativo y por ejemplo, i X k = -j. Si A y B estdn expresados en forma de componentes cartesianos, entonces el producto vectorial, ecuacidn B-7, se evalua al expandir la determinante
Fig. B-5
C=AXB=
i Ax Bx
j Ay
k Az Bz
(B-l 2)
la cual resulta
C = (AyBz - AzBy)i - (AX BZ - AZBX)j + (AxBy - AyBx)k Recuerde que el producto vectorial se utiliza en estdtica para definir el momento de una fuerza F con respecto a un punto O, en cuyo caso M0 = r X F
(B-l3)
donde res un vector de posicidn dirigido del punto O a cualquier punto sobre la linea de accidn de F.
B
A-B = Aflcos0 (B-l 4)
AP£NDICE B AMAUSIS VECTORIAL
675
y se lee A punto. Producto “punto” El B. producto El dngulo punto 0 (escalar) se formadeentre dos vectores las colas A ydeB,Aque y da B (O°<0<18O°). un escalar, se define como El producto punto es conmutativo; es decir,
A- B = B - A
(B-15)
La ley distributiva es vdlida; es decir, A • ( B + D) = A • B + A • D
(B-16)
Y la multiplicacidn escalar puede realizarse de cualquier manera, es decir,
m(A ■ B ) = (#nA) • B = A • ( i wB ) = (A • B) # n
(B-17)
Con la ecuacidn B-14 puede determinarse el producto punto entre dos vectores cartesianos cualesquiera. Por ejemplo, i ■ i = (l)(l)cos 0° = 1 e i - j = (1)(1) cos 90° =0. Si A y B estdn expresados en forma de componentes cartesianos, entonces el producto punto, ecuacidn B-14, se determina con
A‟B — AX BX AyBy + AZBZ
(B-l 8)
El producto punto puede utilizarse para determinar el dngulo 0 for- mado entre dos vectores. Segun la ecuacidn B-14,
= cos
"'(^) B
APIINDICE B
676
ANAUSIS
VECTORIAL
Tambibn es posible determinar la componente de un vector en una direcdon dada con el producto punto. Por ejemplo, la magnitud de la componente (o proyeccidn) del vector A en la direccidn de B, figura B-6, se define por A cos 9. Segun la ecuacidn B-14, esta magnitud es
UB Fig. B-6
B A cos 0 = A • — = A - uB
(B-20)
B
donde uB representa un vector unitario que actua en la direccidn de B, figura B-6. Diferenciacion e integracion de funciones vectoriales. Las reglas para la diferenciacidn e integracidn de las sumas y productos de funciones escalares tambidn son vdlidas para funciones vectoriales. Considere, por ejemplo, las dos funciones vectoriales A(s) y B(s). Siempre que estas funciones sean uniformes y continuas con todos los valores de s, entonces
d, (A K + B)
^
dA
+
dB
(B-21)
~ ~d7
/(A + B) ds = J A ds + J B
ds
(B-22)
Para el producto vectorial,
d s Asimismo, para el producto punto,
d
dA
-(A-B)=—-S+A —
B
dB
(B-24)
APENDIC E
Regia de la cadena
c
La regia de la cadena del cdlculo se utiliza para determinar la derivada con respecto al tiempo de una funcidn compuesta. Por ejemplo, si y es una funcidn de x y *es una funcidn de ty entonces podemos determinar la derivada de y con respecto a t como sigue
y=
dy _ dy dx dt dx dt
(C-l)
En otras palabras, para determinar y consideramos la derivada comun (dyldx) y la multiplicamos por la derivada con respecto al tiempo de (dxJdt). Si algunas variables son funciones del tiempo y est4n multiplieadas entre si, entonces debe utilizarse la regia del producto d(uv) = duv + u dv junto con la regia de la cadena cuando se consideren las derivadas con respecto al tiempo. He aquf algunos ejemplos.
677
678
AP£NDICE C REGLA DE LA CADENA
EJEMPLO C-1 Si y = x 3 y x = /4, determine y, la segunda derivada de y con respecto al tiempo.
SOLUCI6N Con la regla de la cadena, ecuacidn C-1, y = 3x2x Para obtener la segunda derivada con respecto al tiempo, debemos utilizar la regla del producto, puesto que x y x son funciones del tiempo y, ademds, para 3x2 debe aplicarse la regla de la cadena. Por tanto,con u = 3 x z y v = x t tenemos y = [6*;c]jc + 3jc2[*] = 3x[2x2 + xx\ Como x = t4y entonces x = 4t3 y x = 12/2de modo que y = 3(r4)[2(4/3)2 + t\l2t2)] = 132/10 Observe que este resultado tambidn puede obtenerse al combinar las funciones y luego considerar las derivadas con respecto al tiempo, es decir, y = ^3 = (,4)3 = ,12
y = 12/11 y = 132/10
EJEMPLO C-2 Si y = x e x y determine y . SOLUCI6N Como x y e^son funciones del tiempo, deben aplicarse las reglas de la cadena y del producto. Hagamos que u = x y v = e x . y = [x+ x[exx]
La segunda derivada con respecto al tiempo tambidn requiere la apli- cacidn de las reglas del producto y de la cadena. Observe que la regla del producto se aplica a tres variables con respecto al tiempo del ultimo tdrmino, es decir, x y e x y y x . y = { [ x Y + x Y x] } + { [ k Y k + x [ e x k ] k + x S f r] } = + x ) + x \ 2 + x) ] Si x - t 2 entonces x = 2 t , x = 2, asf que en funci6n de t tenemos y = /[2(1 + t 2 ) + 4^(2 + f 2 ) ]
AP£NDICE C REGLA DE LA CADENA
EJEMPLO C-3 Si la trayectoria en coordenadas radicales se da como r = 502, donde 0 es una funcidn conocida de tiempo, determine r. SOLUCI6N En primer lugar, con la regla de la cadena y luego las reglas de la cadena y del producto donde u = 100 y v = 0 y tenemos r = 50 1 r = 1000 r = 101(0)0 + 0(0)] = 1O0 1 + 1000
EJEMPLO CSi r 2 = 603, determine r. SOLUCI6N En este caso, las reglas de la cadena y del producto se aplican como sigue. r 2 = 60* 2r'r = 18^0 2[(r)r + r(r)] = 1S[(200)0 + ^(0)] r 2 + rr = 9(20^ + &0) Para determinar r con un valor especificado de 0 el cual es una funcidn conocida del tiempo, primero podemos determinar 0 y 0. A continuacidn, con estos valores evaluamos rcon la primera ecuacidn, r con la segunda y r con la ultima.
679
Problemas fundamentales Soluciones parciales y respuestas Capftulo 12
s = J (| /3 - It + Ca) d/
F12-1. v = Vo + aji
5 = | /4 - /2 + Q/ + C2 / = 0,5 = -2, C2 = -2 t = 2, s= -20, Q = -9.67 / = 4,5 = 28.7 m
10 = 35 + ac(15) a c = -1.67 m/s2 = 1.67 m/s2 — F12-2.
Res p.
s = s Q + V(f + laj 1
0 = 0 + ISr + \ (-9.81)*2
Resp .
/ = 3.06 s Res p.
F12-3. ds = vdt
F12-8.
f,. /(* - „>
= (20 - 0.05s2)(-0.1s) En5 = 15 m, a = -13.1 m/s2 = 13.1 m/s2
s = (it 1 - z3) m 2
s = 2(4 ) - 4
«=$
2
*i=6s = 1.5(6 Sf2) = 54 m/s
= ^(0.5/3 - 8f) Res p.
a = (l.5z2 - 8) m/s2
|(108) =0 F12-10.
Cuando t = 2 s, a = 1.5 (22) - 8 = -2 m/s2 F12-5.
v = % =i (It 1 - 8( + 6) = (4/ v = o = (4r - 8) t = 2s j|,_0 = 2(02) - 8(0) + 6 = 6 m i|,=2 = 2(22) - 8(2) + 6 = -2 m 2 J|,=3 = 2(3 ) - 8(3) + 6 = 0 m
I
vdv = 0 ds
I vdv = j (10 - 0.25)d5 Js m/s Jo
ds = vdt Jo Jo s = —It1 + 80/
- 8) m/s
s = —2(20)2 + 80(20) = 800 pies
Res p.
d
~ vdt -*(-4r + «0) Ademds, Res p.
I
v = (V20s - 0.2s2 + 25) m/s En5 = 10 m,
Res p.
F12-1L
F1212.
= a
$ = 0.25s£ (0.25s) = 0.06255
F12-7.
680
3
J(4t - 2) dt v = tl - Tt + C,
4 pies/s2
-4 pies/s2
2 0| d J=4Om = 0.0625(40 m) = 2.5 m/s 0
< s / < 5 s, (3/2) = (60 m/s
a = 5s
*>1=5 s = 6(5) = 30 m/s s 10 s,
V = 17 =i (30/ - 75) = 30 m/s (i s 225 m d 75 30 m/s v tA m -m5 10 m 0 < / < 5 s, s a
2
-4 pies/s2
80 2 pies/ 0s = vdv s
a
2
v = V20(10) - 0.2(H) ) + 25 = 14.3 m/s Resp. v =
Resp
[ ds = f (-4t +SO) dt
= 2 m/s2 «—
(A$)Tot = 8 m + 2 m = 10 m
n2-6.
F12-9. v
= -32 m = 32 m <— FI2-4*
Resp
e—A
3
A t= W = £(60 = 6 m/s2
5 s < / < 10 s, „> = w = im = o 0
PROBLEMAS FUNDAMENTALS
F12-13. 0 < t < 5 s,
681
v y = y = ^ = i(6t) = 6m/s t La magnitud de la velocidad de la partfcula es v = Vv 2 x + v$ = V(8 m/s)2
dv = a dt f dv = f 20 dt Jo Jo v = (201) m/s = 20(5) = 100 m/s 5 s < / < /', (l») dv = a dt
[
+ (6 m/s)2 = 10 m/s
/?esp.
2
F12-17. y = (4/ ) m dv = f -10 dt
= X = i (4'4) = (16f3) m/s —
J100 m/sJ 5s
v
t; = (150 - 10/) m/s, 0 = 150 - 10/' /' = 15 s Ademds, Av = 0 = Area bajo la gr£fica a-t 0 = (20 m/s2)(5 s) + [-(10 m/s)(/' - 5) s] /' = 15 s 0 < t < 5 s,
y = y = i i 4'2 ) = (8f) m/s t
Cuando/ = 0.5 s, v = VvJ +
=
V(2 m/s)2 + (4 m/s)2
= 4.47 m/s
Resp.
a x = v x = j ( (16/3) = (48Z2) m/s2 a
y
= i)
y=i (80 = 8 Ws2 Cuando/ = 0.5 s,
a = Va? + a 2 y = V(12 m/s2)2 + (8 m/s2)2
F12-14. Jo Jo ds = vdt
30/rf/
14.4 m/s2 F12-18. y = 0.5a: y = 0.5* Vy = t 2 Cuando / = 4 s,
2
*6 = 15f lo 5 = (15/2) m 5 = 15(52) = 375 m 5 s < / ^ 15 s, vdt; f ds= [ (-15/ + Jyjs m Jss 225)dt d s s = (-7.5Z2 + 225/ - 562.5) m 5 = (—7.5)(15)2 + 225(15) - 562.5 m = 1125 m Resp. Ademds,
v x = 32 m/s
As = Area bajo la gr^fica v-t = i(150m/s)(15s) = 1125 m
a x = 16 m/s2
Resp.
Resp .
v y = 16 m/s
2
v = Vv + v* y = 35.8 m/s
Resp .
a x = v x = 4/ a y = Vy = 2/ Cuando / = 4 s, <
2
2
8 m/s2
2
a = VaJ + a = Vl6 + 8 = 17.9 m/s2 Resp.
F12-19. y = (/4) m
j\ - / Jo
F12-15.
v x = x = (4/) m/s
Jo
x = (l6/2) m
(1)
f dy= f Sdt Jo Jo
F12-16.
v
v y = y = (4/3) m/s
32/ dt Cuando / = 2 s, v x = 8 m/s 2
32 m/s
t=l (2) Se sustituye la ecuacidn (2) en la ecuacidn (1), y 2 =
v = Vv
4x y = 0.75(8/) = 61
a y = v y = (12/2) m/s2
x = X = % = jj(8t) = 8 m/ s -»
Resp.
x
Resp .
+ tfy = 33.0 m/s 2
a x = v x = 4 m/s Cuando / = 2 s, flx = 4 m/s2
= 48 m/s2
a = Va2 + a2 = V42 + 482 = 48.2 m/s2
682
F12-20.
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
d [4 cos 2/ i — 2 sen f j — 4/k] pies/s t t = 2 s, Cuando
F12-26. yg — y A + (VjdytAB + l ay*AB -150 m = 0 + (90 m/s)t AB + |(-9.81 m/s2)f tAB = 19.89
= {-2.611 - 1.82j - 8k} pies/s Resp. a = ^ = {-8 sen 2/1-2cos / j - 4 k} pies/s2 Cuando / = 2 s, a = [6.051 + 0.832j - 4k] pies/s2
XB = XA
+ MJab R = 0+120 m/s(19.89 s) = 2386.37 m = 239 km Resp.
Resp.
2
F12-2L
s
(v B )l = (v A ) y + 2a y (y„ - y A ) 02 = (5 m/s)2 + 2(-9.81 m/s2 )(h - 0) h = 1.27 mResp.
H2-27.— a, =dv v = “ = J(0.0625r2) = (0.1250 m/s2L10;
_d
yc = yA+ (VA )/A C + \ a/AC 0 = 0 + (5
1.25 m/s2 = 0.9766 m/s2 a = Va? + al = V(1.25 m/s2)2 + (0.9766 m/s2)2
10 s
2
m/s)/^ + 2 (—9.81 m/s )/jc = 10194 s 0Vc)y
F12-22.
= My + OytAC (v c )y = 5 m/s + (-9.81 m/s2)(1.0194 s) = -5 m/s = 5 m/s 1 V C = 2
= 1.59 m/s2
Resp.
2
V(%) + (Vc) y = V(8.660 m/s)2 + (5 m/s)2 = 10 m/s Resp. R = x A + (VA )^ AC = 0 + (8.660 m/s)(1.0194s) = 8.83 m Resp.
j F12-28. d/ = — Idt = I v
f Jo 4
600 j2B
3 = -3— s2 J 600
s = S 0 + v 0 t + \ Oct 2
s = 42.43 m v
3 = 1.5 + t^sen 30°/ + \ (-9.81)/2 / = 0.9334, v A — 12.4 m/s
Resp.
s = s 0 + VQt
ds
Jo (300/s)
10 = 0 + v A cos 30°/
S = SQ + Vtf
H2-23.
/*
= (^) m/s = 7.071 (7.071m/s m/s)2 ^/ 100 m z
0.5 m/s2
ft(f) = 0 + 2o(|)r S = So + Vot + ^aj 1 F12-24.
En s = 43.43 m, a, = -1.179 m/s2 a = Va,2 + a„2 = \/(o.5 m/s2)2 + (-1.179 m/s2)2 = 1.28 m/s2
-/?(§) = 0 + 20(f)/ -h | (-9.81)/2 / = 5.10 s R = 76.5 m x B = x A + {.V^J A B 12 pies = 0 + (0.8660 v A )t A B v A tAB = 13.856
Resp.
(15 m/s)2 = (25 m/s)2 + 2a,(300 m - 0) (1)
a, = -0.6667 m/s2 vl= vl + 2a t (sB - sj
yB = yA + (VA)ytAB + \ Oy*AB 2
F12-25.
F12-29. vj = VA + 2af(sc — s,*)
(8 - 3) pies = 0 + 0.5 V A t A B + \ (-32.2 pies/s )^ Con la ecuaci6n (1), 5= 0.5(13.856) -16.1/j* I AB = 0.3461 s v A = 40-4 pies/s Resp.
vl = (25 m/s)2 + 2(-0.6667 m/s2)(250 m - 0) v B = 17.08 m/s _ (17.08 m/s)2 _ „„„„„ _ , , (a )
« " - 7—55^—-09722 m/s
os - V(aB),2 + (aB)2 = V(-0.6667 m/s2)2 + (0.9722 m/s2)2 = 1.18 m/s2
/tap.
PROBLEMAS FUNDAMENTALS
F12-30.
tand
= ^ = M^ x2 ) =i x
0 = tanT1^*)
F12-34. r = 0.U3|,=Us = 03375 m r = 0.3r2|,=i.5s = 0.675 m/s
J=10 pies
r = 0.6(|,=i.5S = 0.900 m/s2
= tan^'(lf) = 39.81° = 39.8° 2
2
[1 + (dy/dx) }* [1 + {ix)*}** 2
Resp .
JC=1
0 pies
2
0 = 3rV |(=t5s = 2.449 rad/s2 v r = r = 0.675 m/s
15.11 pies/s2
v e = r6 = (0.3375 m)(7.348 rad/s) = 2.480 m/s
a = V(a,)2 + (a*)2 = V(6 pies/s2)2 + (15.11 pies/s2)2 2
= 16.3 pies/s F12-31.
0 = 4(3/2|,=i.5s = 7-348 rad 0 = 6(i/2|,=1.5s = 7.348 rad/s
\h\
2
\d y/dx \ 26.468 pies v 2 (20 pies/s)2 p 26.468 pies
a r = r - rB 2 Resp.
= (0.900 m/s2) - (0.3375 m)(7.348 rad/s)2
(a B \ = -0.001s = (-0.001)(300 m)(f rad) m/s2 = -
= -17.325 m/s2
0.4712 m/s2 vdv = a, ds
a g = re + 2r$ = (0.3375 m)(2.449 rad/s2)
r-v B
683
rlSQir m
/ v dv = I -0.001s ds J25 m/s JO v B = 20.07 m/s , x Vl (20.07 m/s)2 (fls)n = -------- = —— = 1-343 m/s2
p
+ 2(0.675 m/s)(7-348 rad/s) = 10.747 m/s2 v = Vt>2 + v g 2 2 = V(0.675 m/s) + (2.480 m/s) = 2.57 m/s Resp.
,,
300m
a = Va2 + a 2 e = V(-17.325 m/s2)2 + (10.747 m/s2)2 = 20.4 m/s2
2
2
= 1.42 m/s2 F12-32.
= 26 r Resp .
a,ds = v dv °t=vf s = (0.2s)(0.2) = (0.04s) m/s2 a, = 0.04(50 m) = 2 m/s2 v = 0.2 (50 m) = 10 m/s
2 2
2
= 2.01 m/s
= 6 pies/s
r = 2(1 rad/s)
=2 pies/s2
= 37.57 pies/s2 a = Va 2 + a} Resp.
0 vr v 0 = r6= (4000) pies/s
= V(-12.14 pies/s2)2 + (37.57 pies/s2)2 = 39.5 pies/s2 Resp .
V = VV + V Q
55 pies/s = Vo2 + [(4000) pies/s]2 0 = Q1375 rad/s
= 2(3 rad/s)
= (f pies)(l rad/s2) + 2(6pies/s)(3 rad/s) 2 2
a = Vo? + a = V(2 m/s ) + (0.2 m/s )
F12-33.
En 0 = 7t/4 rad, r = 2(f) = f r
pies/s2 a e = r6+ 2r6
0.2 m/s2
p 500 m 2
= 26
a r = r - rd 2 = 2 pies/s2 - (f pies)(3 rad/s)2 = -12.14
(10 m/s y On
Resp.
F12-35. r =26 r
o B ~ V(flfl) + (a B) = V(-0.4712 m/s2)2 + (1.343 m/s2):
Resp.
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
684
e *
F12-36.
0
+s A - s P 6 2
4va - v P = 0
e 6+ e 0 2
e 2
6 2
a T = r - rO = (e*0 + e 0 ) - (e 0 = = 8.77 m/s2 a0
ff/4 e (4)
4va -4 = 0 Resp.
F12-44.
=r6 + 2rd= (e 6$) + (2 (e60)0) = e e (6 + 202)
F12-37.
Resp.
r = [-0.2 (sen 0)0] m/s|e=30o = -0.2 sen 30°(3 rad/s) = -0.3 m/s
vB =
r
100i = 80j + \ B / A
/?«p.
y B/A = 100i - 80j y
= (2ft) = (30 esc 0) m
B/A = V(VjJ/>4) 2 + (VB/A)y = V(100 km/h)2 + (-80 km/h)2
r = (30 esc 0)10=45° = 42.426 m r = -30 esc 0 ctn 0 0^=45° = -(42.4260) m/s v r =r = -(42.4260) m/s V Q = rb = (42.4260) m/s
128 km/h (**/.*),1 J 80 km/h \
d=tan'lioowh)-38-7^"
0 = tan _(^A/A) F12-46. vfl = y A + vfl/j4
V = y/vr + W
2 = V(-42.4260 )2 + (42.4260 )2 0 = 0.0333 rad/s
(-4001 - 692.82j) = (6501) + y B/A
I T = 3s D + s A
*b/a = [-10501V - 692.82j] km/h y
B/A = V ( B/A)X + (VB/ydy
0 = 3v& + v A 0 = 3v D + 3 m/s F12-39.
-1 pie/s = 1 pie/s t
F12-45. y B = * A + *BfA
30 m = r sen 0 F12-38.
(1)
sA + 2sff - 2sc = 1 ACDF Por tanto, vc + vB = 0 v A + 2vb - 2v c = 0 Al eliminar %, v A + 4vb = 0 Por tanto, 4 pies/s + 4v b = 0
r = [0.2(1 + cos 0)] m|0=3Oo = 0.3732 m
v r = r = -0.3 m/s v 0 = rd = (0.3732 m)(3 rad/s) = 1.120 m/s v = Vv2 + Vg = V(-0.3 m/s)2 + (1.120 m/s)2 = 1.16m
S B = I CED
= V(1050 km/h)2 + (692.82 km/h)2 = 1258 km/h
Resp .
v D = -1 m/s = 1 m/s t
692.82 km/h \
Sg + 2 s A + 2 h = I
(^/A)J"tan ( 1050 km/h ) ~ 33 4
v B + 2 va = 0
Resp. $ = tan 1 6 + 2va = 0 v A = -3 pies/s = 3 pies/s t Resp. 3sa + sB = F12-40.
I 3va + v A = 0 3va + 1.5 = 0 vA = -0.5 m/s = 0.5 m/s t Resp. h = *s A + s F 0 = 4v A + v F 0 = 4 v A + 3 m/s
F12-41.
v A = -0.75 m/s = 0.75 m/s t
F12-47.
+ vfl/j4
(51 + 8.660j) = (12.991 + 7.5j) + y B/A *b/a Resp.
= [—7.9901 + 1.160J] m/s v B/A = V(-7.990 m/s)2 + (1.160 m/s)2 = 8.074 m/s = (8.074 m/s)(4 s) = 32.3 m
F12-42.
Resp.
(■ ^A “ Sc) + (SB - Sc) + SB = I/CDF
= e^\4 + 2(2)2) = 26.3 m/s2
sc +
v A = 1 m/s
(2)
Resp
vdv =
(40
-
505) ds
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
FI 3-4. iSFr = ma,
F12-48. y A = y B + y A/B
(1005) N = (2000 kg)fl a = (0.055) m/s2
-20 cos 45 °i + 20 sen 45 °j = 651 + y AfB y vdv = ads
a/b = —79.14i + 14.14j V A / B = V(-79.14)2
rV
+ (14.14)2 + *A/B
(20)2 (20)2
F135.
^cos 45°i + -^j-sen 45°j = 12001 + * A/B 2
F* = &(/ - /Q) = (200 N/m)(0.5 m - 0.3 m) = 40N + SFX = ma,;
2
a A/B = V(1628) + (2828) = 3.26(H)3) km/h2
Res p.
100 N - (40 N)cos 36.86° = (25 kg)a a = 2.72 m/s2 F13-6. Bloques Ay B:
F13-1. s = 50 + vtf + \ aj 2 6 m = 0 + 0 + \ a(3 s) a = 1.333
iSF* = max; 6 = 3^
m/s2
Compruebe si ocurre deslizamiento entre Ay B.
2
2F,
F13-2.
0.055ds
0 = tan-^jgS) = 36.86°
a a/b = 16281 + 2828j
Capftulo 13
pWm
/ vdv = / Jo Jo v = 2.24 m/s
Resp .
= 80.4 km/h *A =
685
ma y \
NA -
20(9.81) N cos 30c N A = 169.91 N 2FX = ma x \ T - 20(9.81) N sen 30° -0.3(169.91 N) = (20 kg)(1.333 m/s2) T = 176 N
iSFX = ma; 6 - F = ^ (2.76);
0
F = 4.29 lb < 0.4(20) = 8 lb 0a = o B = 2.76 pies/s2 F13-7.
t; = 2.43 m/s p.
Resp.
(F f)mix = I A JT A = 0.3(245.25 N) = 73.575 N. Como F = 100 N > (/y)m6x cuando t = 0, el embalaje comenzar£ a moverse inmediatamente despu& de que se aplique F. + t 2FV 0 N A - 25(9.81) N
Res
2F„ = mf; (0.3)m(9.81) =
+12Fn = man; m(32.2) = m(^) F13-8.
t; = 89.7 pies/s Res
F13-9.
+12Fn = /na„; 150 + M,
2 JJ0 0 ((120) \ 32 .2 V 400 J
N A = 245.25 N
Resp . Res
N p = 17.7 lb
,YF X = ma x\ lOr + 100 - 025(245.25 N) = (25 kg)a a = (0.412 + 1.5475) m/s2 dv = a dt
F13-10. +SF„ = ma r N csen 30° + 0.2 N c cos 30° = m
JoC v
Jo f 4s
+ t2F* = 0;
5 = (40i - 25i22)|8” J dv= J (0.41 + 1.5475)* v = 14.7
v = 5.24 m/s m/s —>
Resp .
F13-3. i2Fx = ma x;
50 0
p.
N ccos 30° - 0.2Ncsen 30° - m(32.2) = 0 v = 119 pies/s
Resp.
F13-1L 2F, = ma,; 10(9.81) N cos 45° = (10 kg)*, a, = 6.94 m/s2
(*)500 N - (5005)N = (10 kg)a a = 2
(40 - 50^) m/s vdv = ads
rV
p.
Resp.
2Fn = ma n ;
r0.Sm
T - 10(9.81) N sen 45° = (10 kg) T = 114 N Resp.
(3 m/s)2 2m
Resp.
686
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
FI3-12. 2Fn = man\
(15 m/s)2 F n = (500kg) 'J = 562.5 N 200 m 'ZF[ = ma t\ F t = (500 kg)(1.5 m/s2) = 750 N
F = VF2 + F} = V(562.5 N)2 + (750 N)2 = 938 N Res p. F13-13. a, = f - r$ 2 = 0 - (1.5 m + (8 m)sen 45°)02 = (-7.157 02) m/s2 2FZ = ma z\ T cos 45° - m(9.81) = m(0) T = 13.87 m SFr = ma/, -(13.87m) sen 45° = m(-7.15702) 0 = 1.17 rad/s Resp . FI3-14. 8 = ■7rf2|,M).5S = (n-/4) rad 0 = 27rf|t=o,5S = 7r rad/s 2
6 = 2 TT rad/s
r = 0.6 sen 0|0=w/4 rad = 0.4243 m r = 06 (cos B)o\ Q=n f4rad = 13329 m/s r = 0.6 (cos 0)0 - (sen0)02|0=„y4rad = -1.5216 m/s2 a r = r— r$ 2 = -1.5216 m/s2 - (0.4243 m)(7r rad/s)2 = -5.7089 m/s2 a 6 = rO + 2r0 = 0.4243 m(27r rad/s2) + 2(1.3329 m/s)(7r rad/s) = 11.0404m/s2 2Fr =
nA
= [50e2(‟,/6)] m = 142.48 m
r= 50(2^0) = 1 00e® e|0=„/6rad = [l00e2(”/*>(0.05)] = 14248 m/s r = 100((2 e»8)8+ e29^) rad = 100[2e2W6) (0.052) + e2(”/6)(0.01)]
= 4274 m/s2
m/s2 a 0 = r8+ 2r8 = 142.48 m(0.01 rad/s2) + 2(14.248 m/s)(0.05 rad/s) = 2850 m/s2 2Fr = ma,; F r = (2000 kg)(3.918 m/s2) = 7836.55 N 1Fe = ma e\ F e = (2000 kg)(2.850 m/s2) = 5699.31 N F = VF ? + Fg = V(7836.55 N)2 + (5699.31 N)2 = 9689.87 N = 9.69 kN F13-16. r = (0.6 cos 20) m|0=Oo = [0.6 cos 2(0°)] m = 0.6 m r = (1.2 sen200) m/s|0=Oo = [ —1.2 sen2(0°)(-3)] m/s = 0 r = 1.2(sen200 + 2cos2002) m/s^o* = -21.6 m/s2 Por tanto, a r = r - r0 2 = -21.6 m/s2 - 0.6 m(-3 rad/s)2 = -27 m/s2 a 0 = rO + 2 rO= 0.6 m(0) + 2(0)(-3 rad/s) = 0 2F* = ma e\ F - 0.2(9.81) N = 02 kg(0) F = 1.96 N Resp.
Capftulo 14
F14-L T\ + I.Ut-2 = T 2 0 + (5) (500 N)(0.5 m) - %50Q N/m)(0.5 m)2 =
Fcos 45° - Ncos 45° -0.2(9.81)cos 45° = 0.2(-5.7089) 2F0 = ma Q \ Fsen45° + Nsen45° -0.2(9.81)sen 45° = 0.2(11.0404) N = 2.37 N F = 2.72 N Resp. F13-15. r =
a r=r- rif = 4.274 m/s2 - 142.48 m(0.05 rad/s)2 = 3.918
^(10 kg)v2 v = 5.24 m/s
Resp.
F14-2. SFy = ma y\ N A - 20(9.81) N cos 30° = 0 N A = 169.91 N T\ =
+ 2t/j_ 2 T 2 0 + 300 N(10 m) - 03(169.91 N) (10 m) - 20(9.81)N (10 m) sen 30° =i(20kgy v = 12.3 m/s
Resp.
PROBLEMAS FUNDAMENTALS
F14-3.
T, + 2^.2 = T2 (600 + 2S2) N ds
0 +2
100(9.81) N(15 m)
= 1(100 kg)i>2
±(1800kg)(125 m/s)2 - [<50 000N + 20 000N>(400m)] p. = ±(1800 kgV
P = f • v = 132.08(5) = 660 W
7| +
2
=
7^
Resp.
=
T\ + 2t/j_ 2 7^ j(10 kg)(5 m/s)2 + 100 Ns' + [10(9.81) N] s' sen 30° 4(200 N/m) (s') 1 = 0 s' = 2.09 m s — 0.6 m + 2.09 m = 2.69 m
F14-6.
Resp.
TA + 'ZUA-B = 7fl
= KsfestosH
F147.
iSFx = ma x; 30$ = 20a a = 1.2 m/s2
F14-11. +12Fy =ma y ;
T - 50(9.81) = 50(0) T = 490.5 N Fmi = T • v = 490.5(1.5) = 735.75 W F„„, = — = 735,75 = 920 W cnt e 0.8 F14-12.
Resp .
2s A + sP = I
Resp .
a,* = -3 m/s = 3 m/s 1 2Fy = ma y; T A -m.5N = (50 kg)(3m/s2) T A = 640.5N ^sai = T - v = (640.5N/2)(12) = 3843 W Pa\ 3843 Pml = — = —— = 4803.75 W = 4.80 kW Resp. e 0.8 F14-13. TA + VA=TB + VB 0 + 2(9.81)(1.5) = \(2)( V b) 2 + 0 v B = 5.42 m/s
V = V Q + dj
Resp. 2
.
v = 0 + 1.2(4) = 4.8 m/s P = F-v = F (cos 6)v = 30(J)(4.8) = 115 W
F14-8.
Resp.
2aA + dp2 = 0 2fl^ +6=0 2
Considere la diferencia de la longitud de la cuerda AC - BC, la cual es la distancia que Frecorre. 0 + 10 lb(V(3 pies)2 + (4 pies)2 ) - 3 pies
v B = 16.0 pies/s
Resp.
0. 8 F14-10. 'ZFy = ma ; N - 20(9.81) cos 30° = 20(0)
N = 169.91 N = may; F - 20(9.81) sen 30° - 0.2(169.91) = 0 F = 132.08 N
v = 8.33 m/s F145.
^sai = T B "* B = (200 lb)(3 pies/s) = 1.091 hp Fsa] 1.091 hp Pm= — = —^Ji = l-36hp y
Res
v = 12.5 m/s F14-4.
687
((5.42) \ L
L
+ t = ma„\ T - 2(9.81) = 2(- yy J T = 58.9 N
/top.
F14-14. 7U + K* = 7* + VB
Resp . + 2FX = max; 10 j = 20a a = 0.55 m/s2 —► vdv = ads tv /*5m / vdv = / 0.5 5ds Jo Jo v = 3.536 m/s
\mAv\ + mghA = \m B vl + mg/i*
[2(2 kg)(l m/s)2] + [2 (9.81) N(4 m)] =
[2(2 kg)vj] + [0]
v B = 8.915 m/s = 8.92 m/s
/top.
+ TSF„ = ™2„; Ng - 2(9.81)N
= pk! ,(«)
P = F-v = 10(5)(3.536) = 177 W (+t)2Fy = 0; F14-9.
T\ — 100 lb = 0 T\ = 100 lb (+t)2Fy =
Resp .
0; = 99.1 N 100 lb + 100 lb - T2 = 0 T2 = 200 lb
Resp.
= \ + F15-2.
mgyi + 2 (+t) m(v\)y
ks2 +
2 / F y dt = m(vi) y
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
688
-,2
J ti
F14-15. Ti + VI = T2 + V 2 i(2)(4)2 + i(30)(2 - l)2
0 + N(4s) + (100 lb)(4 s)sen 30° - (150 lb)(4 s) = 0 N = 100 lb
2 + [0] = [0] + [0] + [0] = i (2)(v) - 2(9.81)(1) + 5 (30) (V5 - l)2 v = 5.26 m/sResp.
[-75 lb(5 pies + 5)] + [2(|(1000 lb/pie)$2) F14-16. TA + VA = TB + VB + |(1500 0.25 pie)2] s = sA = Sc 0 +A (4)(2.5lb/pie)(5 - 0.5)2 + -5(2.5) = 0.580 pie Resp. = 5(^H +2(4)(1 -05)2 v B = 16.0 pies/sResp. Ademds, F14-17. T 1 + V1 = T 2+ V2 s B = 0.5803 pie - 0.25 pie = 0.330 pie Resp. F14-18. \ mvi + mgyi + \ ks\ T A+V A = TB + V B 1
(X) m{Vi) x + 2 [ Fxdt = m(v2) x Jt\ 0 + (100 lb)(4 s)cos 30° - 0.2(100 lb)(4 s) = {^S\ug)v v = 57.2 pies/s Resp. F15-3. Tiempo para que se inicie el movimiento. + TSF, = 0; N - 25(9.81) N = 0 N = 245.25 N U*F X =
mv} + (| ks A + mgy A)
20f2
0;
= \mv B + (| ks B + mgy B)
(X) m(Vi) x + 2 /
|(4 kg)(2 m/s)2 + | (400 N/m)(0.1 m - 02 m)2 + 0 = l(4kg)t£ +
- 03(245.25 N) = 0 t = 1.918 s f t2
Jn
F xdt = m(v2)x
^(400 N/m)(V(0.4 m)2 + (03 m)2 - 02 m)2 + (4(9.81) N](-(0.1m +03m)) v B = 1.962 m/s = 1.% m/s
Resp.
Capftulo 15 F15-1.
0 + f 7J0t 2dt - (035(245.25N))(4s - 1.918 s)
J 1.918s
= (25kg)V
(+) m(v x) x + 2 [ Fxdt = m(Vi) x Jn
v=
(0.5 kg)(25 m/s) cos 45° - J F xdt = (0.5 kg)(10 m/s)cos 30°
10.1 m/s
Resp.
m(v{) x + 2 f F x dt - m(vi) x Jn (1500 kg)(0) + [^(6000N)(2s) + (6000N)(6s - 2 s)J = (1500 kg) v
F15-4.
(X)
v=
20 m/s
Resp.
F15-5. Vehfculo deportivo utilitario y remolque, m(v x) x> + 2 [ Fx >dt = m(v 2)y Jn 0 + (9000 N)(20 s) = (1500 kg + 2500 kg)v v = m/s Resp. Remolque,
I
m(vi) y + 2 f Fx „dt = m(v 2)y Jn 0 + 7(20 s) = (1500 kg)(45.0 m/s) 7 = 3375 N = 3375 kN
F x dt = 4.509 N-s
f„2 (+t) m(vx )y +'Zl F ydt = m(v 2) y J t\ - (05 kg)(25 m/s)sen 45° + J Fydt = (0.5 kg)(10 m/s)sen 30° Iy= J Fydt = 11.339 N-s / = J Fdt = V(4.509N• s)2 + (11.339N-s)2 12.2 N • s
Resp.
45.0
Resp.
m A(v A)i + mB(vB)
1
= +
m>4(t;fl)2
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
F15-6.
Bloque B:
F15-11. (t) m AMi + m B (vB )i = (m A + mfl)^ 0+ 10(15) = (15 + 10)^ V2 = 6 m/s T\ +V\=T2 + V2
(+1) mv\ + I F dt = mV2 0+ 8(5) - 7X5) = 3^(1) T = 7.95 lb Bloque A: (X) mvi + f F dt = mv 2 0 + 7.95(5) -yxt(10)(5)=^(l)
Resp.
\(mA + mB)i% + (Ve)2 = \ (mA + mfl)v| + (Ve)3 |(15 + 10)(62) +0 = 0 + §[lo( 103) Js‟mAc ■Wx = 0.3 m = 300
fik = 0.789
Resp.
(i) m A (v A)x + m8(%)i = m A {v A) 2 + m B( v B )2 (20(H)3) F15-7.
689
mm F15-12. (i) 0 + 0 = m p (vp )x — m c vc 0 = (20 kg) (v p ) x — (250 kg)t>c
kg)(3 m/s) + (15(10*) kg)(—1.5 m/s) = (20(103) kg)(v>l)2 + (15(10*) kg)(2 m/s) (va)2 = 0.375 m/s
->
f
(v p) x = 12.5 vc
Resp.
t2
(1) P = vc + V P/C (Vp)J + (Vp) y j = -vc i + [(400 m/s) cos 30°i V
+ (400 m/s) sen 30°j]
(i) m(v B)i + 2 / F dt = m(v B )2 J t\ 3
(15(10 ) kg)( - 1.5 m/s) + ^prom(0-5 S)
Resp.
(v p) xi + (v p) yi = (346.41 - t>c)i + 200j = (15(103)kg(2 m/s)
(v p) x = 346.41 - 1>C (v p )y = 200 m/s
prom
F15-8.
F15-9.
Resp . 0(+)+m 0 p=[(v 10(^) + 15(vb)2c)Jx = (m p + mc)t^ 5[l0(f)] + (1) p )i]2x + mc[(t> Tl + Vl = T 2 + V 2 \m A (v A )\ +j%Wi 0 = (5 + 20)^ + (V e )x = \m A (v A )l + \m B(v B )\ + V2 = 1.6 m/s Resp. (V e) 2 0 + 0 +i[5(l03)](0.22) T\ + Vi = =T 23(10)(tu)2 + V 2 + iMMi + 0 5(va)I + 7.5 (t>*)2 2 = (2) \m100 A {v A )\ + (vg)i = \ m A (v A )\ + M2I(5)(5) Al resolver las ecuaciones (1) y (2), + 5(9.81)(1.5) = \(5)M\ (v m/sm/s —► Jtesp. B ) 2 ==2.31 (^>4)2 7.378 (^>4)2 = “ 3.464 m/s = 3.46 m/s«— Jtesp. (i.) + m B(v B) 2 = (m^ + m B)v 5(7.378) + 0 = (5 + 8)v t; = 2.84 m/s
F15-10.
(v p) x = 320.75 m/s v c = 25.66 m/s
105(10*) N = 105 kN
v P = V (v p)2 + (vp )j = V (320.75 m/s)2 + (200 m/s)2 = 378 m/s ( F15-13. (!) e
V
B)I
~(
V
Resp.
A )2
Mi - Mi (9 m/s) (1 m/s) (8 m/s) - (-2 m/s)
0. 8
H5-14. (i) m A (vA )t + m B(v B)i = m A(v A )2 + m^v B) 2 [15(H)5) kg](5 m/s) + [25(10*))(-7 m/s) = [lSao^kgKt^ + [25(103)](t>8)2 15(tu)2 + 25(vb)2 = -100
(1)
Con la ecuaci6n del coeficiente de restituci6n,
(X )
( VB )I “ (^>4)2
Mi - Mi 0. 6
(VB )2 “ (^4)2
5 m/s - (-7 m/s) ( VB )2 ~ (^>4)2 =7.2 Al resolver, M2 = 0.2 m/s -* (^4)2 = “7 m/s = 7 m/s *—
(2) Resp . Resp .
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
690
,/[(v*)2]>A 0 = tan 1 r/ \Mx/
F15-15. T 1 + Vl = T 2 + V 2 \m(v A f\ + mg(h A ) i = \ m(vA f2 + mg(h A )2 1(312 slug)(5 pies/s) + (301b)(10pies)
10
m/s \
m/s/ Resp.
F15-18. 'Zm(v x)i = 'Zm(v x) 2
0 + 0 = 322 (!) + 322 (VBx)2
= \{$2Sto*)(VA?2 + 0
(VBxh = -0.1818 pie/s Hm(v y)\ = 2,m(vy )2
(v A )2 = 25.87 pies/s <— (L) m A {vA )2 + m B(v B )2 = m A(v A)3 + m B(v B )3
322 (3) + 0 = 0 + f[2 (V B^)l
slug)(25.87 pies/s) + 0
(vBy)i = 0.545 pie/s
= (3&slug)(tu)3 + (mslu8)(vfi)3
(1)
= 0.575 pie/s
(vb)s " (v A ) 3
Resp.
F15-19. H 0 = Snivel;
it)
(v A )2 - (v B) 2
H 0 = [2(10)(i)](4) - [2(10)(|)](3)
(v B )3 - (v A )3
0. 6
25.87 pies/s - 0 (V B) 3 - (V A )3 = 15.52(2) Al resolver las ecuaciones (1) y (2), obtenemos (v B ) 3 = 11-3 pies/s «— ( VA )3 = “ 4.23 pies/s = 4.23 pies/s F15-16.
( tan 1 _ nn . V 12.99
= 37.6°
2
30(^3 + 80(i>*)3 = 775.95
=
Despubs de la colisidn: 7\ + SU\-2
—>
= 28 kg* m2/st) F15-20. H P = 'Zmvd; H P = [2(15) sen 30°](2) - [2(15) cos 30°](5) = -99.9 kg* m2/s = 99.9 kg* m2/s^ F15-2L (//*)! + zjM zdt = (HJ 2
Resp.
= T2
1(322)“ 0.2(5) (^) = 0 (^>4)2 = 15(2)(1.5) + 5(1.5)(3) = 5v(1.5) v = 5 m/s
465 pies/s !&£)<«$ " 0.2(I0)(-i) = 0 (v B ) 2 = 1.794 pies/s 1= 2 322 (VA)I + 0 = 312(1.465) + ^(1.794) (Vjdi = 5.054 _ ( VB )2 - Mi _ 1.794 1.465 6 (t>x)i - («s)i 5.054 - 0 = Q0652 US-17.
FI5-22.(IIz\ + 2JMzdt = (Hz)2
Resp .
r4s 0+ Resp.
(+t) /«[(%),], = m\(v b)2 \ y [(^t)2]y = [(«fc)i]> = (20 m/s)sen30° = 10 m/s t
J (10r)(f)(1.5)rff = 5v(1.5)
v = 12.8 m/s F15-23. (//J, + 2 J M zdt = (H z) 2 0+
-5s /
Resp.
0.9t 2dt = 2t>(0.6)
Jo
Mi ~ ((«i,)2]x v=
31.2 m/s
Resp.
F15-24. (H+ sjM zdt = (H^ 2
(i)
[Ml]* " Ml 0 “ [MJ,
0+
r4s /
8 tdt + 2(10)(0.5)(4)= 2[10v(0.5)]
Jo
0 75 = (20 m/s)cos 30° - 0 [(**>)i\ x = ~ 12.99 m/s = 12.99 m/s<- (v„h 2
= V[(»t)A + {(v„h]l = V(12.99 m/s)2 + (10 m/s)2 = 16.4 m/s
Resp.
v = 10.4 m/s
Res p.
691
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
Capftulo 16 F16-1.
2
(a/>)„ = co r = (8.886 rad/s)2(0.2 m) = 15.79 m/s2 a p =
0 = (20
rev)(^) 2
(30 rad/s)
V(a P )} + (a P ) 2
407rrad
= V(1.257 m/s2)2 + (15.79 m/s2)2 = 15.8 m/s2Resp.
to2 = O)Q + 2ac(6 — 0O) = 02 + 2ac[(407r rad) 2
= 3.581 rad/s = 3.58 rad/s2 a) = OJQ + aj 30 rad/s = 0 + (3.581 rad/s2); t = 8.38 s
0 ]
F16-6. ap = a A
= (4.5 rad/s2) (Sggf) = 1.5 rad/s2
Resp.
w
F16-2. j§ = 2(0.0050) = (0.010)
=
a
( fl)o + B* = 0 + (1.5 rad/s2)(3 s) = 4.5 rad/s 0 B =
= (0.005 02)(O.O10) = 5O(lO^)05 rad/s2
“=
fe)
Resp .
Cuando 0 = 20 rev(27r rad/1 rev) = 40tt rad,
(0 B ) o + (o> B )ot + \ aB^ e B = 0 + 0 +
a = [50(l0"*)(40ir)3] rad/s2
|(1.5 rad/s2)(3 s)2 e B = 675 rad
= 99.22 rad/s2 = 99.2 rad/s2 FI 6-3. co = 401/2 150 rad/s = 4 01'2 0 = 1406.25 rad
F16-7. vfl = y A + to X r B/A -V B ] = (3i)m/s
dt = di
i*-r
+ (cok) X (-15 cos 30°i + 1.5 sen 30°j) -v B j = [3 - <0^1.5 sen 30°)]i - o>(1.5cos30°)j 0 = 3 o)(1.5 sen 30°) (1) —v B = 0 — fi)(1.5 cos 30°) (2) OJ = 4 rad/s v B = 5.20 m/s Resp. F16-8. \ B = v A + to X r B/A
d e o i = \e'* 1/2 40 t = j(1406.25)1/2 = 18.75 s Resp .
F16-4. co = f, = (l.St 2 + 15) rad/s
“ = of = (30
vc = (o Br D = (4.5 rad/s)(0.125 m) = 0.5625 m/s Resp. s c = 0 B rD = (6.75 rad)(0.125 m) = Q84375 m = 844 mm Resp.
Resp.
rad s
/
2
(v B )xi + (v B ) yi = 0 + (-10k) X (-0.61 + 0.6j) + (vfl)yj = 61 + 6j (v B ) x = 6
2
a = [1.5(3 ) + 15] rad/s = 28.5 rad/s a = 3(3) rad/s = 9
m/s y (v B ) y = 6 m/s v B = V (v B) 2
2
+ (v B) 2
rad/s . v = (or = (28.5 rad/s)(0.75 pie) = 21.4 pies/s Resp. a 2
2
= ar = (9 rad/s )(0.75 pie) = 6.75 pies/s
Resp.
F16-5. to dco = a dO
jcodco=Jo.„. coda) = I 0.50 dO sd p O.2502!! 2 I = (0.70710) rad/s Cuando0 = 2 rev = rad, to O
= [0.7071(4tt)] rad/s = 8.886 rad/s v P = cor = (8.886 rad/s)(0.2 m) = 1.78 m/s Resp. (aP), = a/-=(O.50rad/s2)(O.2m)|<,=4„rad = 1.257 m/s2
F16-9.
= V (6 m/s)2 + (6 m/s)2 = 8.49 m/s Resp. y B = y A + X t BJA (4pies/s)i = (-2pies/s)i + (-
692
F16-10.
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
v A = “> OA X r A = (12 rad/s)k X (0.3 m)j = [—3.6i] m/s v B = v A + (oAB X r B/A v B i = (“3.6 m/s)i + (w>u?k) X (0.6 cos 30°i - 06 sen 30°j) m v B i = [<»Afl(0.6 sen 30°)
-3.6]i +
ft>>4fl(0.6cos30o)j 0=^fl(0.6sen30°)
-3.6
(1)
v B = ^^(0.6 cos 30°) F16-1L
(2)
F16-16. El Cl puede localizarse por medio de tri£ngulos semejantes. 0.5 - r C / C, r C/ C i r c/ci = 01667 m 1.5 1.5 % 9 rad/s Resp r c/ci 0.1667 . Adem4s, r 0 / C i = 0.3 - r C /ci = 0.3 - 0.1667 = 0.1333 m. Vo = <*>r0/ci = 9(0.1333) = 1.20 m/s Resp. F16-17. v B = ior Bj A = 6(0.2) = 1.2 m/s r
(o AB = 12 rad/s v B = 6.24 m/s t v c =
B fCi
=
0.8 tan 60° = 1.3856 m
=
v B + BC X tc/ B v c\ (“601) pies/s + (-wflCk) X (-2.5 cos 30°l + 2.5 sen 30°j) pies vd = (60)* + 2.165ft>scj + 1.25( DBC i 0 = —60 + 1.25a> B c Vc = 2.165 (o BC co BC = 48 rad/s Resp. M
T
_ 0.8
1.2
VB
03
r
Bc
B /ci
0.8660 rad/s
1.3856
= 0.866 rad/s
Resp .
Entonces,
Vc = 104 pies/s \ B = \ A
Vc = to B c r cici ~ 08660(1.6) = 1.39 m/s Resp.
+ a> X r B/A
F16-12.
1.6 m
C/CI -
-v B cos 30° i + v B sen 30° j = (-3 m/s)j + (-a>k) X (-2 sen 45°i - 2cos45°j)m 0.8660yfii + 0.5vfij = — 1.4142oa + (1.4142a) - 3)j 0.8660v B = —1.4142ft) 0.5VB = 1.4142ft) - 3 a) = 5.02 rad/s v B = 8.20 m/s
F16-18. v B = (o AB r B jA = 10(0.2) = 2 m/s =
r
=
Vc <*>CD C/D ft)Co(0.2) —* r
B/ci = co« 30° = 04619 m
r
qci = 0.4 tan 30° = 02309 m
vB 2 r
Resp.
B /ci
4330 rad/s
0.4619
= 4.33 rad/s
Resp .
Vc = rC/CI
F16-13.
(o AB =
r
= | = 2 rad/s
rqa = Vl.52 + 22 = 2.5
Resp .
m
= taiTl(£) = 53.13° (a
F16-19. w
r
Vc = A B cfCi = 2(2.5) = 5 m/s 0 = 90° -
r v B = (*>aB B/A = 12(0.6) = 7.2
/tesp. ^
Resp.
m/s 1
vc = 0
/tesp.
12 7.2 » a Vo Af r = --------= —r = 6 rad/s B /ci 1-2 V
(o BC F16-15.
V ro o/ci 0.3 TAICI
2
<*cd(0.2) = 4.330(0.2309) ft)CD = 5 rad/s
Resp .
A/CI *
20 rad/s
Resp.
r
VA
2 rad/s
A/ C/
z B = a A + a X r B/A
'* B / A a B i = —5j + (ak)x(3i - 4j) - 22(3i - 4j) a B i = (4a - 12)i + (3a + ll)j a B = 4a — 12 0= 3a: + 11
Resp .
a: = -3.67 rad/s2 2
a B = -26.7 m/s
Resp. /tesp.
2
= V0.3 + 0.6 = 0.6708 m
F16-20. Si A — ao +a X — ft)
t = tan“„(i) = 26.57°
Resp.
= 1.81 + (-6k) X (0.31) - 122(0.3j) =
Va = <*>rAici = 20(0.6708) = 13.4 m/s
Resp.
0 =90° -
Resp.
{3.61 - 43.2j) m/s2
Resp .
PROBLEMAS FUNDAMENTALS
F16-21.
a
A - *B + a X *A/fl ~ w r A/B
0.8660ac = 0 0.5ac = 0.8ajJC AC = 0
31 = a Bj + (-ak) X 0.3j - 202(0.3j) 31 = 0.3a! + (a B - 120)j 3 = 0.3a a = 10 rad/s2
/fes/7.
Capftulo 17
*A = *0+ a X rA/0 - (o2tjyo 2
= 3i + (-10k) X (-0.61) - 20 (-0.6j) = {243i + 6j) m/s2 r
F17-L /fes/?.
3
N A + N B - 100(|) - 100(9.81) = 0
''a/c/ 0.3333 m
1.5 t>A 3 ^a/c/
0.3333
Q+'ZMc =0; AU0.6) + 100(| )(0.7) - AW0.4) - 100(f)(0.7) = 0
9 rad/s
+ « X - (JlAjc
1.51
N A = 430.4 N = 430 N
- (a A) n\ = -0.75i + (a c)nJ + (-ak) X 0.5j - 92(0.5j) - (a A) n j = (0.5a - 0.75)i + [(a c)„ - 40.5 ]j
1.51
FT7-2.
1.5 = 0.5a - 0.75 a = 4.5 rad/s2 Resp.
F1623.
v B = (o r Bj A = 12(0.3) = 3.6 m/s VB 3.6 ,, =3_ U > BC =-------- = -r-z rad/s rB/a
aB = a X rB j A - (oh B iA = (-6k) X (0.3i) - 122(0.3i) = {-43.2i - 1.8j) m/s = + a BC X rC/fl “ ^BC rCjB a c i = (-43.21 - 1.8j) (1.2afiC - 1.8)j a c = -54 m/s2 = 54 m/s2 *— 0= 1.2aflC - 1.8 a sc = 1.5 rad/s2 v B = (o r Bj A = 6(0.2) = 1.2 m/s —► B/ci = 0.8 tan 60° = 1.3856 m
r
1. 2
B/ci 1.3856
N B = 610.6 N = 611 N Resp. 2F, = m(a c )y; 80(9.81) sen 15° = 80a a = 2.54 m/s2 Resp. SFy = m(a c)/y N A + Afe - 80(9.81) cos 15°= 0 (1) C +2A/G = 0; AU0.5) - A^(0.5) = 0 (2) N A = NB = 379 N /fes/7.
a = 19.3 pies/s2
Resp.
t.1F x = m(a 0 )x -A x + lo(|) = ^(19.32)
Resp.
A x = 61b
Resp . Resp.
+ t SFy = m(a G )y \ A y - 20 + 10(f) = 0 A y = 12 lb Resp. FT7-4. F A = p s N A = 0.2N A
F B = p s N B = 02N B
i.2Fx = m(a G )x \ 0ZNA + 0.2 N B = 100a
(1)
N A + N B - 100(9.81) = 0
(2)
C +2MC = 0; 0.8660 rad/s
a B - a X r BjA - uhfy,4
= (-3k) X (0.2j) - 62(0.2j) = [0.61 - 7.2j] m/s
#c = as + a sc X rC/fl “ W^C/B a c cos 30°l + ac sen 30°j = (0.61 - 7.2j) + (aBc k X 0.8i) - 0.86602(0.8i) 0.8660flci + 0.5flCj = (0.8aflC 7.2)j
(2) Resp.
+ |2Fy = m(a G)y\
F1624.
(1)
H7-3. Q + ZM A =I.(M k) A, t0(|)(7) = J^»(3.5)
+ (aflCk) X (1.21) - 32(1.2i) a c i = -541 +
r
Resp.
+ tSFy = m(a G )y \ =
aa=
Resp .
+ SF* = m(a c)x \ 100(|) = 100a a = 0.8 m/s2 —►
Afci 0.5 - rAjCi
F1622.
2.2 afiC = 9 rad/s2
693
0.2A4(0.75) + i^(0.9) + 0.2Nfl(0.75) -Afe(0.6) = 0 Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), N A = 294.3 N = 294 N
(3)
N B = 686.7 N = 687 N a = 1.96 m/s2 Resp. Como N A es positiva, la mesa se deslizar£ antes de volcarse.
7o = /
694
F17-5.
(a c )t = ar = <*( 1.5 m) m(a c\\ 100 N = 50 kg[<*(1.5 m)] a = L33 rad/s2
Resp.
= m(a c) n ; T AB + T CD - 50(9.81) N = 50kg(37.5 m/s2) Tab + T CD = 2365.5 C +2MG = 0; 7cd(1 m) - 7^1 m) = 0 Tab = T CD = 1182.75 N = 118 kN C+2Mc = 0; Dy(0.6) - 450 = 0 D y = 750 N
Resp. Resp.
(oc)n = = ^(0.6) = 21.6 m/s2 (ac), = ar = <*(0.6) 750 - 50(9.81) = 50[<*(0.6)] a = 8.65 rad/s2
C + SMc =0; Dx(0.4) + 750(0.1) - F ab (0.4) = 0 D x = 446.25 N = 446 N F AB = 633.75 N = 634 N I 0 = mk G = 100(0.52) = 25 kg* m2 C +2A/C = loot\ -100(0.6) = -25<* a = 2.4 rad/s2 co = (O Q + aj co = 0 + 2.4(3) = 7.2 rad/s
Resp. (1) (2) Resp. Resp.
Resp.
C +2)MC = -91 = -2.25a a = (41) rad/s2 duo = a dt [ d(o= [ \t dt
Jo Jo (O = (212) rad/s co = 2(4^ = 32 rad/s (a G ), = ar G = <*(0.15)
Resp.
(a c ),. = o>2rc = 62(0.15) =5.4 m/s2 /G = I G + m
n
+2M0 = /G<*; = |(30 X0.92) = 8.1 kg* 50(|)(0.3) + 50(j)(0.3) = 4.05<* 2 m <* = 5.185 rad/s2 = 5.19 rad/s2
Resp.
+ t2Fn = m(a G) n\ 300(|) (0.6)-“30(9.81) 30(9.81)(0.45) = 8.1<* °n + 50(f) = 30(30) 2 <*n ==1.428 rad/s 1.43 rad/s2 O 1164.3 N = =1.16kN
Resp. Resp.
fEF„ = m(a m(acU O a + 300(|) - 30(16.2) ±>2F, = G)t \ O t + 50(f) = 30(5.185(0.3)] O n = 306 N Resp. O = 6.67 N G),; + tt2F, = m(a 2
l 0 =\ mr2 = j (50) (0.32) = 225 kg • m2
F17-8.
G
2 2 + 30(0.32) F17-12. (aGmd ), = = ±(30)(0.3 = ) «(0.45) 2 = r •=m2 C = 4.05 (^c)n °^kg G 6 (0.45) = 16.2 m/s2 /o =
C + 2AfG = /G«;
t^F n = m(aG)n\ F AB + T> X = 50(21.6)
(15(9.81) N](0.15 m2)<* + 2F„ = m(a = kg* 30(5.4) = 162 N /tap. G)n; m) = (1.35 2 <*t2F, = 16.35 Resp. + = m(arad/s G),; O, - 30(9.81) +12F, = m(a G=\\30(5.872(0.15)] - Ot + 15(9.81)N = (15 O,kg)[16.35 = 320.725 N =2(0.15 321 Nm)] Resp. rad/s F17-10. (a G\ =ar G = <*(0.3) O, = 110.36 N = 110 N Resp. 2 2 (a )n =
+ t2F, = m(aG),\
F17-7.
IGa\
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
(tfc)n = oj2r = (5 rad/s)2(1.5 m) = 37.5 m/s2 2F, =
F17-6.
=
Resp.
Resp. O, + 300(f) - 30(9.81) 2= 30(1.428(0.45)] 2
F17-11. I G = ±pil = ^(15 kg)(0.9 m) = L0125 kg* m O = 73.58 N = 73.6 N (0 t)n = 0)2 rG = 0 G
(a G )t = <*(0.15 m)
Resp.
36a - 3.6(aG)y = 35.316 (1) 2 2 T 2 = \ IQCO = \ (12.8)o> = 6.4o>2 s = Or = 20(27t)(0.6) = 247T m T\ +
2
=
7^
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
F17-13. I Q = £1ml2 = n(60)(32) = 45 kg-m2 + t2Fy =
695
F17-18. i2F m(a CD 0 G)x; 0 = 12(aG)x (aG)x = 0 C +ZM A = (M k ) A x== = a x = 12(a ) (0.3) - £(12)(0.6)2a G yG f A (ac)y j = a^i *-12(9.81)(0.3) G aa+ rG/i4 - (iP^
m(aG)y; 2
80 - 20 = 60aG a G = 1 m/s t C +SA/C = /Ga; 80(1) + 20(0.75) = 45a a = 2.11 rad/s2 F17-14. C+'ZM A = (M k U -200(0.3) = -madO.3) - 4.5a 30aG + 4.5a = 60 a G = ar = a(0.3) a = 4.44 rad/s2 a G = 1.33 m/s2 —►
Resp.
+ (-ok) X (0.31) - 0 (*c?), j = («a)* - 0.3 j a J4 = 0
/fesp.
(1) (2) Resp.
F17-15. +1 'ZFy = m(a G) y\ N - 20(9.81) = 0 JV = 196.2 N
-0.3a
+ 2FX = m(aG)x; 05(196.2) = 20aG a 0 = 4.905 m/s2 —► Resp. C +2A/0 = I 0 a; 0.5(196.2)(0.4) - 100 = -1.8a a = 33.8 rad/s2 Resp. F17-16. <*+ZMA = (MkU 20(9.8 l)sen30° (0.15) = 0.18a + (20aG)(0.15) 0.18a + 3aG = 14.715 a G = ar = a(0.15) a = 23.36 rad/s2 = 23.4 rad/s2
Resp.
a G = 3.504 m/s2 = 3.50 m/s2
Resp.
N - 200(9.81) = 0 N = 1962 N i2Fx = m(aG)x; = 200aG
Capftulo 18
(2) Jfesp. Resp.
F18-2. T x = 0 F18-1. I G = mk,I = 80(0.42) = 12.8 kg-m2 7i =0 T 2=\ + I 7c072
= 1 (s3 slUg)(2.5
F17-17. +UF y = m(a G) y\
T - 02(1962)
2 Al resolver0las + 50(24 ecuaciones TT) = (1) 6.4o> y (2) a = 24.5 rad/s2 = 2 {a G )y -7.36 m/s = 7.36 m/s21 w = 24.3 rad/s
(1)
C +ZM A = (M k U 450 - Q2(1962)(l) = 18a + 200aG(0.4) (2) (a A )t =0 a A = (a A) n *G = aA + « X rC j A — aPr Gj A a Gi = - a A\ + ak X (0.4J) - o>2(-0.4j) a G i = 0.4ai + (0.4o>2 - a^j = 0.4a (3) Al resolver las ecuaciones (1), (2) y (3), a = 1.15 rad/s2 a G = 0461 m/s2 T = 485 N Resp.
= 12.9400 slug-pie2 De modo que Tr=\l&& = \ (12.9400 slug • pie2)<^ = 6.4700^ T\ + 2(/j_ 2 = 7^ T\ + [-WyG + A/0] = T 2 0 + [-(50 lb)(2.5 pies) + (100 lb-pie)( f)] = 6.4700O4
o>2 = 2.23 rad/s
Resp.
696
F18-3.
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
(%)2 —
r
G/CI ~ w2(2-5)
F18-6. v0 = (or = oj(0.4)
I G = £ ml2 = ± (50)(52) = 104.17 kg • m2 T, =
I Q = mko = 20(0.32) = 1.8 kg'in2
0
TA = 0
T 2 = \ m{v G)l + = \(50)[ O>2(2.5)] 2 + ^(104.17)^ = 208.33ft£ Up = Ps P = 600(3) = 1800 J U w = -Wh = -50(9.81)(2.5 - 2) = -245.25 J T\ + 2t/i_2 = 7^ 0 + 1800 + (-245.25) = 208.33(4 (o2 = 2.732 rad/s = 2.73 rad/s T = \mVo 2 + 2 = \ (50 kg)(0.4ft>)2 -H ^ [50 kg(0.3 m)2]o>2 F18-4.
T 2=\ mvQ + \ lea)2 = j(20)[o>(0.4)]2 + ^(1.8)g>2 = 2.5ft>2 U M = M0 = M\ /tesp.
= 6.25o> J O, T =\l cla? = \ [50 kg(0.3 m)2 + 50 kg(0.4 m)2]a>2 = 6.25a)2 J So = Or = 10(27T rad)(0.4 m) = 87r m T\ + S(/i_2 = T 2 Ti + P cos 30° s 0 = T 2 0 + (50 N)cos 30°(87t m) = 6.25ft>2J co = 13.2 rad/s Resp. kg • m2 T t = 0
Res p.
I G =\mr2 = \ (30)(0.32) = 1.35 kg- m2 T, = 0 T 2 =\m(v0 )l + \ic<4 = i(30)[o>2(0.3)]2 + 5(1.35)o)| = 2.025a)2 iy f), = Wyi = 0 (Vg)2 = -Wyi = -30(9.81)(0.3) = -88.92 J 0+ 0 = 2.025(4 + (-88.29) ft>2 = 6.603 rad/s = 6.60 rad/s Resp .
+ md 2 = n(30)(32) + 30(0.52) = 30 kg - m2
T 2 =\l&> 2 = 2 (30)o>2 = 15ft>2 $i = Ori = 87T(0.5) = 4-77 m s 2 = F18-5. 0r2 = 87r(1.5) = 127rm
F18-8. Vq — cor 0/ci = w(0.2) l 0 = mko = 50(0.32) = 4.5 kg - m2 T, = 0 Ti = 5 m(v 0)\ + \loc£
U Pi = P2S2 = 20(1277) = 24077 J
= 1(50)[o)2(0.2)]2 + 1(4.5M =
U M = MO = 20[4(2t7)] = I6O77 J T\ + 217,_2 = 7^ 0 + 12077 + 240t7 + I6O77 = 15a;2 OJ = 10.44 rad/s = 10.4 rad/s
co = 31.62 rad/s = 31.6 rad/s F18-7. V Q = cor = a; (0.3)
7, + v, = r2 + v 2
= i(30)M0.5)]2 + \(22.5)a? = 15ft>2 I 0 = IG
O,
T\ + 2t/j_ 2 = 7^ 0+ 2500 = 2.5a?
2
2 Ic =± m p=± (30)(3 ) = 22.5 2 T 2 =\ mvc + \ IG<°2
'( T )- 5 0 ©- 2 5 ”'
3.25o)| (Vg), = Wn = 0 Resp.
(Vg)2 = -Wyi = —50(9.81)(6 sen 30°) = -1471.5J T, + V t = T 2 + V 2 0+0 = 3.25a)| + (1471.5) ft>2 = 21.28 rad/s = 21.3 rad/s Resp .
(Ve)2 =
{(150)(3 sen 45°)2 = 337.5 J
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
F18-9.
697
% = wrG =
(Vg)i = Wyi = 30(9.81)(0.75 sen 45°) = 156.08 J (vg), =
h= r, + V, n(60)(3 = T22+)v=20+ 45 0kg• = 90(4 m2 T,+ =[-624.39 + 337.5] o>2 =
-W55 = 0 (vf), = {*4 = o
01.785 rad/s = 1.79 rad/s T2 = 5 m(vG ) 2 + { /o<4 = i(60)M1.5)]2 + i(45)^ . = 90M2 vO,G = <*>r G = 6>(0.75)
(V e)i = \ ks2 = j(300)(1.5 - 15 cos 45°)2 = 28.95 J Ti + Vi = T 2 + F2 0+ (156.08 + 0) = 11.25ft)2
Resp
+ (0 + 28.95) ft)2 = 3362 rad/s = 3.36 rad/s
Resp.
F18-12. (Vg )i = -Wyi = -[20(9.81) N](l m) = -196.2 J (Vg)2 = 0
2 2 2 ITG == ]5 (30)(=1.5 ) =+5.625 kg-m { 1(A 5 [45 60( 1.5 )]<4T,= 90(4 (Vg), 2 =0 = Wn = 0 T 2=\ m(vc )l + 5 /0(4 = {(30)[o>(0.75)]2 + 5(5.625 (V g)2 = -Wft = -60(9.81)(1.5 sen 45°) )w| = 11.25(4 = -624.30 J O, (V,)j = {*4 ==0{[5.625 + 30(o.752)](4 = T =jIqc4
(K)i = {*4 = 5(100 N/m)^V(3 m)2 + (2 m)2 - 0.5 = 482.22 J (V e) 2 = \ks\ = \ (100 N/m)(l m - 0.5 m)2 = 12.5 J Ti =0
2
T2=±IAa? = 12[U 20kg)(2m)2]ft^
11.25(4 (Vg)i = Wn = o (^)2 = = -30(9.81X0.75)
= 13.3333ft)2 Ti + Vi =T2 + V 2 0+ [-196.2 J + 482.22 J]
= -220.725 J (V e)i = \k£ = 0 (V e) 1 = 2 ks\ = ^(80)(V22 + 1.52 - 0.5)2 = 160 J Ti + Vi
F18-10. = T 2 + V2 0+ 0 = 11.25o>2 + (-220.725 + 160) a>2 = 2323 rad/s = 2.32 rad/s
= 13.3333ft^ + [0 + 12.5 J] ft)2 = 4.53 Resp.
rad/s
Capi'tulo 19
Resp . r (%)2 = <*2 G/CI = W2(0.75)
F19-1. C. +7c)ft)i + 2 f M 0dt = /Gft)2 Jtx
h = il (30)(l.52) = 5.625 kg -m2 T x = 0 T 2 = \m(v c)2 + 2 = ^(30)M0.75)]2 + ^(5.625)a>2 = 11.25a>\
ft)2 =
0+ r^ dt=Ho,)% •/o 11.85 rad/s = 11.9 rad/s
Resp.
F19-2. C +(H A )t + 1 f M A dt = (H a )2 Jt, 0 + 300(6) = 300(0.42)o>2 + 300[w(0.6)](0.6) ft)2 =11.54 rad/s = 11.5 rad/ i.
m(Vi) x + 2 f F xdt = Jtx
0 + F f (6) = 300[11.54(0.6)] Fy = 346 N
F18-11.
Resp.
C +SM0 = 0; 9 F19-5. (1.) m^),],
m[(v 0)x]2
SOLUCIONES PARCIALES Y RESPUESTAS
698
F19-3.
.4,(0-45) = 0 A, = 20 N + 2 y* F xdt =
r vCA+(//<:), = °>A “ac)(015) + 2 fA/ci M cdt= = (H 2 Jt,
0 + (150 N)(3 s) + Fyi(3 s) = (50kg)(0.3^)
0 + [20(5)](0.15) = 10K(0.15)](0.15)
Mg d/ —
+ [10(0.12)]om (o A = 46.2 rad/s
0 + (150 N)(0.2 m)(3 s) - ^(0.3 m)(3 s)
Resp.
= [(50 kg)(0.175 m)2H a>2 = 37.3 rad/sResp. F A = 36.53 N Ademds, Ici 0* 1 + S J M C i dt = Ici<*>2 F19-4.
0 + [(150 N)(0.2 + 0.3) m](3 s) = [(50 kg)(0.175 m)2 + (50 kg)(0.3 m)2]^ a>2 = 37.3 rad/s
I A = mk\ = 10(0.082) = 0.064 kg-m2 l B = mkg = 50(0.152) = 1.125 kg-m2 =
fe)“ s
=
(of)" 8
F19-6.
= 2"s
Resp.
( + t) m[(vG)i], + Fydt = m[(v c)2 ] y 0 + N a (3 s) - (150 lb)(3 s) = 0 N A = 150 lb
C+ i + ^ f M Adt = I A (
C + (#c/)i + 2 f M CIdt = (H ci )2 0 + (25 lb*pie)(3 s) 5s
[0.15(150 lb)(3 s)](0.5 pie) = [M slug(1.25 pies)2]o>2 + (50
/ F(0.1)dt = 0.064[2(wfl)2] [ Fdt = 500 - 1.28(ft>*)2 Jo
slug)[a>2(l pie)](l pie) o>2 = 3.46 rad/s (!)
M Bdt — 0 + f F(0.2)dt = 1.125(o>fl)2 Jo
/• 5s
Fdt = 5.625(o>fl)2
Al J igualar las ecuaciones (1) y (2), 500 - 1.28(O>S)2 = 5.625(&>a)2 O = 72.41 rad/s = 72.4 rad/s
(2)
Resp.
Resp.
Respuestas a problemas seleccionados Capftulo 12 1
12-1. v = VQ + 2ac (s-s0)
t = Os t = V2s
a c = 0.5625 m/s2 V = Vq + a ct * = 26.7 s
12-2.
v = 0 + 1(30) = 30 m/s s = 450 m
12-3. 12-5.
12-23. t = 3s j = 22.5 pies dv = a dt v = (612 - 2/3^2) pies/s ds = vdt s = (213 - \t 5^ + 15) pies
12-6. 12-7.
v = 13 m/s
12-27. 12-29.
12-30. As = 2 m Sj = 6 m V>m = a333 m/s (.Vrap) prom 1 Ttl/s V>m = 0.222 m/s (Vrop)prom = 2.22 m/s
12-31. 12-33.
12-15.
d = 517 pies d = 616 pies
12-17.
h=5t' - 4.905(t')2 + 10 h = 19.81*' - 4.905(f')2 - 14.905 *' = 1.682 m
12-34.
h = 4.54 m
12-35.
s = 1708 m ^prom 22.3 m/s
12-37.
12-19. a\l=4 = 1.06 m/s2 12-21. 2
11.9 m
a = (-40e-2') m/s2 10(l -e_2r(g )m+ 2k \gg++fc% kv 12 ) g + kv 1 2*m'
„mfix
12-26.
12-13.
12-18.
12-25.
/j = 127 pies v = -90.6 pies/s = 90.6 pies/s i
As = 76 m t = 8.33 s dv 12-9. dt = — a v = V2 kt + Vq 12-10. s A = 3200 pies 12-11. a = -24 m/s2 As = -880 m S T = 912 m
12-14.
12-22.
SAB\t=4s = 152 pies (,s T ) A = 41 pies ( ST )B = 200 pies Seleccione la rafz mayor que 10 m s v = 0.250 m/s v = (20e~2') m/s
rrM1 + W) 2k v = 4.11 m/s a = 4.13 m/s2 v = 1.29 m/s 4=6S = “27.0 pies v = 4.50f2 - 21.01 + 22.5 Los instantes en que la partfcula se detiene son f = 1 s y r = 5 s. 5tot = 69.0 pies . - *( l-e-) ■kv ■ oe fvf +kv\ \ vf - v) t t ± I n 2 entre la motocicleta y el autom6vil Distancia 5541.67 pies g t = 77.6s sm = 3.67(10)3pies a = 80 km/s2 t = 6.93 ms ^prom 10 m/s * ^prom 6 m/s * pelota A h = vnt' -|f'2 v
v A = Vo - gt' v
v A = (31 - 31) pies/s b y = Is B se detiene
= 4 3
t * ~ 8*) pies/s t = 0s
h = Vo(t‟ -t) g2 V B = V Q - g(t' - t) 2% + gt f
(/' - /)=
2g
699
700
12-38. 12-39. 12-41*
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
Va = 2 g> 1 V B =Jgt t v = 11.2 km/s v = 3.02 km/s 1 v = -301 + I5t 2 m/s En reposo cuando / = 0 y / = 2 s s lol = 30 m
Vprom = 15 m/s 12-42. 12-45. 12-46. 12-49.
1251. 12-53. 12-54. 12-55. 12-57.
12-58. 12-59. 12-61*
12-62. 12-63. 12-65.
1266. 12-69.
12-70. 12-71*
S T = 980 m
v = ^cos f / a=— s e n J / Vm&x = 16.7 m/s v = 3t 2 -6t + 2 a = 6t — 6 4=»* = 1350 m 5 = ( |/ 2 ) my5 = (12/ - 180) m a = 0.4 m/s2 y a = 0 / = 9.88 s /' = 8.75 s •4=8.75 s = 272 m
v = (V0.I52 + 10$) m/s y v = (V-30s + 12 000) m/s s' = 400 m s' = 2500 2 pies 5 = 917 m 5 = 2/ 5 = 20/ - 50 5 = 2 -t + 60/ - 450 vm te = 36.7 m/s 5' = 319 m v = 4i*P y v = 2Z2 - 18/ + 108 5 = f/5'2 y 5 = f/3 - 9/2 + 108/ - 340 v = Vo.Q4$2 + 45 pies/s v = V2O5 - 1600 pies/s / = 16.9 s = 0.8/, v = 24.0 a = 0.8, a = 0 t; = (0.4/2) m/s v = (8/ -40) m/s /' = 16.25 s 4=16.25 s = 540 m /' = 133 s, s = 8857 m v = 36.1 m/s a = 36.5 m/s2
3 [ZJ_ x
° 4 V 36 V/ = 2c/ 12-74. 0 = 80.2 m/s2 (42.7,16.0,14.0) m 12-75. ax = ±4rcos2/ ay = -4r sen 2/ 12-77. v = {-10 sen 2/i + 8 cos 2/j) m/s a = {-20 cos 2/i - 16 sen 2/j} m/s2 v = 9.68 m/s a = 16.8 m/s2 12-78. v = 10.4 m/s a = 38.5 m/s2 12-79. vx = 3.58 m/s, v y = 1.79 m/s = 0.32 m/s2 = 0.64 m/s2 i 12-81* r* = {21.211 - 21.21J} m rc = {28.98i - 7.765J} m (Vflc)prom = {3.88i + 6.72J} m/s 12-82. 5 = 9 km A r = 671 km Vprom = 4.86 m/s — i^rap)prom 6.52 m/s 2 2 2 12-83. t; = Vc * + b a = ck2 12-85. Vy = v x — 2oo v x v a= 2.69 = a pies/s V
y
x ~ M0 ( x ^ ■*<**)
a = 0.0200 pies/s2 12-86. vx = Vo [l + (l c) 2 cos2 (f *)]^ ^ =^£(cos|JC)[1 + (fc)W (f 12-87. Va = 6.49 m/s / = 0.890 s 12-89. v A cos 0 = 20 vA sen 0 = 23.3 0 = 49.4° v A = 30.7 pies/s Vb = 76.0 pies/s 6 = 57.6° x = 222 m y = 116 m 1291. s = 8.68 pies s = 34.4 pies
y=
0
+
VQ sen 6\t\ +
\ (-g)/i
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 12-93.
y =_ x=
1 0 COS\
6 A0
+
Vo sen $2t2 +
+
cos 0i t\
X = 2 - 30 sen 0 0 Al - 1.2 =+0 Resuelva mediante V Q COS 02 h 4.905( 12-94. 12-95. 12-97.
2 VQ sen (0t - 0j) prueba y error. g(cOS 02 + COS 0i) d 6 A = 7.19° y 80.5° = 94.1 m v 76.7 pies/s 6A = 30.5°AvA- = 23.2 m/ssh == 14.7 pies 22.9 pies
20
= 0 + v A cos 30° t
10 = 1.8 + vA sen 30° (/) + i(—9.81)(r)2 v A = 28.0 m/s d = 166 pies Como H > 15 pies, el baldn de futbol pasa sobre el poste de meta. h = 22.0 pies 12-98. 0 = 15 sen 0,4 + (-9.81) t 12-99. 8 = 1 + 15 sen$ A t + | (-9.81)/2 12-101.0A = 51.4° d = 7.18 m vA = 18.2 m/s 12-102.t = 1.195s 12-103. d = 12.7 m 0! = 25.0° ^ 2 = 85.2° ^ 12-105. 3 = 7.5 + 0 + \ (-32.2)1?
0 = 7.5 + 0 + j(-32.2)^ 21 = 0 + ^(0.5287) 12-106.
12-107.
V A = 39.7 pies/s •Sx = (s 0 ) x + (uo)xr s = 611 pies Va = 19.4 m/s tAB = 4-54 s p = 208 m
12-109.
12-110. 12-111. 12-113. 12-114. 12-115.
v = 38.7 m/s v = 63.2 pies/s a = 0.488 m/s2
12-117. t = 7.071 s v = 5.66 m/s a t = v = 0.8 m/s2 = 0640 m/s2 a = 1.02 m/s2 12-118. v = 1.80 m/s a = 1.20 m/s2 12-119. a = 15.1 pies/s2 A j = 14 pies 12-121. p = 3808.96 m a = 0.511 m/s2 12122. a = 0.309 m/s2 12-123. 0 = 2.75 m/s2 12-125. v = (25 - I*3'2) m/s Cuando el automdvil llega a C t = 15.942 s 0 = 1.30 m/s2 12-126. a = 0.730 m/s2 12-127. a = 7.85 pies/s2 12-129. p = 79.30 m a = 8.43 m/s2 0 = 38.2° 12-130. a = 6.03 m/s2 12-131. a = 0.824 m/s2 12-133. v = (V400 - 0.25s2) m/s t = 2 sen"1 (i) Cuando t = 2 s, s = 33.7 m 0, = 8.42 m/s2 0„ = 5.84 m/s2 0 = 10.2 m/s2 12134. 0,* = 4.44 m/s2 12-135. 0fl = 0.556 m/s2 12-137. v = {3^ + 6/j + 8k} m/s v = 18.8 m/s a = {6/1 + 6j} m/s2 0 = 13.4 m/s2 p = 51.1 m 12-138. v = 3.68 m/s 0 = 4.98 m/s2 12-139. v = 3.19 m/s 0 = 4.22 m/s2 12-141. dv = a dt, v = 7.20 m/s 0„ = 1.037 m/s2,0= 1.91 m/s2
70 1
702
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
12-142. d = 106 pies a A = 9.88 pies/s2 a B = 1.28 pies/s2 12143. a = 3.05 m/s2 12-145. p = 449.4 m, a„ = a = 26.9 m/s2 12-146. a = 0.897 pies/s2 12-147. a = 8.61 m/s2 12-149. v A = 2Vs 2 a + 16 s A = 14.51 m d = 17.0 m (a„)A = 181.17 m/s2 (<*/i) b = 12.80 m/s2 a^ = 190 m/s2 afl = 12.8 m/s2 12-150. f = 2.51 s a A = 22.2 m/s2 afl = 65.1 m/s2 12-151. t = 10.1 s v = 47.6 m/s a = 11.8 m/s2 12-153. * = 0 + 6.128T y = 0 + 5.143/ -+ | (-9.81)(f2) y = {0.839* 2 - 0.131* } m a, = 3.94 m/s2 a„ = 8.98 m/s2 12-154. = 0 v, = 7.21 m/s a„ = Q555 m/s2 a, = 2.77 m/s2 12-155. am4x = pV 12-157. 0 = (f3) rad r = r = 0
6 = 2554 rad/s (9 = 5.536 rad/s2 v = 0.766 m/s a = 2.57 m/s2 12-158. a = 3.66 pies/s2 12-159. v = 30.1 m/s a = 85.3 m/s2 12-161. Vp/ = 293.3 pies/s a P i = Q00122 pies/s2 v = 464 pies/s a pr = 43 200 pies/s2 a = 43.2(103) pies/s2 12-162. a = 14.3 pulg/s2 12-163. vr= a sen 0 6
ve = ( b - a cos 0 ) 0
a r = (2a cos 0 - b)0 2 + a sen 0 0 a e = (b - a cos 0)6 + lab 2 sen 0 12-165. v r = 0 VQ = 120 pies/s v = 120 pies/s a r = -48.0 pies/s2 Q Q = 60.0 pies/s2 a = 76.8 pies/s2 12-166. v = 2a0 a = 4a^ 12-167. v = lab _____________
a = 2aV4^4 + 0 2 12-169. v r = 0 ^ = 400(0) 0 = 0075 rad/s ar = -2.25 pies/s2 a Q = 0 a = 2.25 pies/s2 12-170. v r = 1.50 m/s u* = 0.450 m/s a r = 0.410 m/s2 a Q = Q600 m/s2 12-171. v = {-116ur - 163uJ mm/s a = {-5.81ur 8.14uz} mm/s2 12-173. v r = 2149 m/s = 3.722 m/s v = 4.30 m/s ar = -23.20 m/s2 a 0 = 11.39 m/s2 a = 25.8 m/s2 12-174. v r = 0 = 0.8 m/s = 0.0932 m/s ar = 0.16 m/s2 a 6 = 0 a z = -0.00725 m/s2 12-175. v = 8.49 m/s a = 88.2 m/s2 12-177. r = (-200 sen 2d 0) m/s d = 0302 rad/s 12-178. d = 0378 rad/s 12179. vr = -250 mm/s a r = -9330 mm/s2 12-181. vr = 0 V Q = 1.473 m/s v z = -0.2814 m/s a r = -0.217 a 0 = 0 az = 0 a = 0.217 m/s2
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
12-182. a = 7.26 m/s2 12-183. 12-185.
v = 4.16 m/s a = 33.1 m/s2 v r = 5.405 m/s v* = 5.660 m/s v = 7.83 m/s = -5.998 m/s2 = 38.95 m/s2
12-186.
Vq = 18.3 pies/s a r = -67.1 pies/s2 12-189.
12-190.
12-191.
12-193.
12-194.
12-195. 12-197.
a e = 66.3 pies/s2 v r = 82122 mm/s Vq = 164.24 mm/s v = 164 mm/s
CJ <s > II
= 600 pies/s
ts >
12-187.
a = 39.4 m/s2 tV = ad V Q = <200 2 <2r = —<200
12-203. v B = \ m/s t 2va = v c 12-205. v B = *v A v A =2l pie/s t a A = 0.5 pie/s 1 v B = 1 pie/s t v B = 12 pies/s t v A = -2vd 2v c 12-206. -v D + v B = 0 t = 5.43 12-207. s V Q = 2.21 m/s t t = 12-209. 1.07 s v A = Q605 m/s v B = 5.33 m/s s B = 1.20 pies/s 1 s B = 1.11 pies/s2 t y = 16 — + 64 12-210. B xA v B = —/ , v A Vx?A + 64 v B = 1.41 m/s t 12-211. v c = (6 sec 0) pies/s —> Vfl/A = 112 m/s 12-213. 0V = 50.3° = 18.6 m/s
0V = 66.2°
a r = -651.2 mm/s2 dQ = 147.82 mm/s2 a = 668 mm/s2
12-214. 12-215.
= 32.0 pies/s v 0 = 50.3 pies/s
12-217.
a r = -201 pies/s2 <20 = 256 pies/s2 tv = 32.0 pies/s t>0 = 50.3 pies/s a r = -161 pies/s2 a e = 319 pies/s2 1800 • 600 • 7T 77 tv - 2 o V Q - 0 tv = -24.2 pies/s v 0 = 25.3 pies/s tv = -306 m/s = 177 m/s
12-218. 12-219.
12-221.
a r = -128 m/s2 = 67.7 m/s2 v P = 6 m/s /
12-198. 12-199.
2v// = -t^ = 4 pies/s <— 12-201.vB = 20 m/s T t>£ = 2.14 m/s T
3 VA + v M = 0
v A = 1.67 m/s t = 0.5 m/s t 12-202.
12-222.
vfl/c = {7.51 + 17.01J} m/s (afl),{-2cos60°I + 2sen60°j} m/s2 «fl/c = [0.94861 - Q1429j] flfl/c = 0.959 m/s2 6 a = 8.57° tty* = 19.9 m/s 0 = 74.0° 0 = 9.58° 1V/C = 19.9 m/s 0 = 9.58° -20 sen 30° = -30 + (v B/ 20 COS 30° = (V B fydy v B / A = 26.5 mi/h 0 = 40.9° -1200 sen 30° + 1333.3 cos 30° = (a B/A )} 1200 cos 30° + 1333.3 sen 30° = (a B/A ) y <*b/a = 1.79(103) mi/h2 0 = 72.0° Vb/a = 26.5 mi/h e v = 40.90° ^ a B j A = 1955 mi/h2 $ a = 0.767° ^
703
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
704
12-223. Vjy B = 21.7 pies/s 0 = 18.0° F t = 36.9 s 12225. 2lB/a = {2392.951 - 3798.15j} mi/h2 B / A = 4489 mi/h2
229. yA/B = (vsen0 - t>)i + vcos0j
V A / B = vV2(l - send) 230. v r/m = 16.6 km/h, 0 = 25.0° ^ 231. vb = 6.21 m/s f = 11.4 s
13-23. 13-25.
t> = 30 m/s 7(1 Q ~ dp = 0 7 = 1131 N = 1.92 kN Ax = 0 Ay = 2.11 kN
13-26.
< *E
13-27. 13-29.
1313-
0.7 2 5 m/s 7 ■■ 132 kN 2 2 12 + V Skg A + (12) m -A s=B 13.7 7 = 1.63 kN 30. 7 = 130 kN 31. a A = 0.195 m/s21 7 = 769 N
2 4
33. F s = 4(Vl + s 2 - l) v = 14.6 pies/s eVU 1334. d V Q wm (a), (b) a c = 6.94 m/s2 13-35. (c) ac = 7.08 m/s2 0 = 56.5° ^ N cos 0 - fi s N sen 0 — mg 13-37. N sen 6 + } JLS N cos 0 = ma 13-
13-1.
a = 06667 m/s2
13-2. 13-3. 13-5.
2
= 18.1 kN a = -0.505 m/s v = 22.4 m/s
/sen0 + U.COS0'
13-6.
40.55 - F = 10a F + 14.14 = 6a a = 3.42 m/s2 F = 6.37 N ac = 2.5 pies/s2 t 7 = 162 lb
13-7. 13-9.
F = 85.7 N F = 7.50 kN
13-41. 13-42.
13-10. 13-11. 13-13.
a = 00278 m/s2 a = 1.66 m/s2 a = 1.75 m/s2 a = 361 pies/s2 7 = 5.98 kip 7Ca = T CB = 27.9 kN 5 = 12.9 m
13-45.
13-14. 13-15. 13-17. 13-18. 13-19.
a^ = 32.2 pies/s2 s = 64.4 pies F = 13.1 lb
(a) x = 0 (b) x = 0.955 m 13-21. N = mg cos 0 -7 + N sen 0=0 B B
(?)-» mg cos 0(sen 0 - /x* cos 0) 13-22.
P = 2 mgl — ----------------\cos0 - /XjSen 0,
13-38. 13-39.
t = 1.08 s t = 42.1 min Vmd X = 2-49 km/s N B = 18.27 lb a B = 5.68 pies/s2 2 a A = 21.22 pies/s vx = d (m A + m B) N = 0, entonces x = d para la separaci6n. a = (2.19 - 0.2v) m/s2 v = 10.95(1 - e^) = 10.95 m/s mg
13-43.
13-46. 13-47.
V r
,Jvl
~ 2«'o( 2 grl
m&x 2gr0 V2gib 2 3^0 V2g
(re)
? )
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
v2
13-49. 13-50. 13-51. 13-53. 13-54. 13-55. 13-57.
13-58. 13-59. 13-61.
13-62. 13-63. 13-65.
13-66. 13-67. 13-69.
13-70. 13-71. 13-73.
13-74. 13-77.
13-78. 13-79.
705
13-81. PA -- 354.05 m = N Vm&x = 24.4 m/s v min = 12.2 m/s v = 9.90 m/s an = 0 " l5 v = 10.5 m/s a, = -4.905 m/s2 p = 188 m v = 41.2 m/s N = 19 140.6 v = 22.22 m/s2, an = 1.395 m/s2 T CD = mg sen 0 N = 19.3 kN a =
T 2 - ”n/S
13-82.
v = 31.3 m/s NB = 840 N = 0 = 78.1° 13-83. N = 33.8 lb, a = 59.8 pies/s2 T = 414 N a, = -9.81 sen 0 a tds = v dv $ = 37.2° a, = 3.36 m/s2 i/ 13-85. ar = 0 T = 361 N 6 = 26.7° p = 0.120 m T = 1.82 N N B = 0.844 N p, s = 0.252 at; ==22.1 m/s 42 m/s2 e V = Vgr F = 210 N a n = g N = 2 mg 13-86. F r —2 N 6 = 17.8° T = 51.5 kN = Fo 16 N L = 50.8 kN = r -2 N 13-87. F r = 360 km = e 36 N F $ = -26.57° = F 11.6 N z p = 223.61 m 13-89. a=r = -2.4 m/s2 F f = 1.11 kN N = 6.73 kN ae = 1.2 m/s2 Nb = 1.20 N N = 11.2 N =AB = 0.6 N F a, = 6.35 m/s2 13-90. F z 18.6 N 0 = 0° = mta = 18.6N 13-91. (/y p = 10.0 m (/y mix = 20.6 N a, = -9.81 sen 0 1 2 2 13-93. N = 17.34m v = 98.1 m /s N = 1.02 kN e = ii2° Vmfn = 25.4 pies/s v B = 12.8 pies/s
13-94. 13-95. 13-97.
a r = -14.715 m/s2 6 = 7.00 rad/s 0 = 5.70 rad/s r = 816 mm ar = -8.928 m/s2
ae = F= NP = = 13-98. F 13-99. F = 13-101. ar =
-03359 m/s2 3.46 N = 7.73 N 7.71 N -00155 lb -4.235 pies/s2
ae = N= F= 13-102. F r =e F = Fz = = 13-103. N 13-105. a r = aQ = F= N= 13-106. F =
-1.919 pies/s2 0.267 lb 0.163 lb -131 N -38.4 N 215 N 2.86 kN 34.641 m/s2 20 m/s2 7.67 N 12.1 N 7.82 N
13-107. FOA = 12.7 N 13-109. * = 84.3° a ( = 12 m/s2
706
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
13-110.
v r = 2.50 m/s v e = 2 m/s N = 113 lb a r = -4 r c cos 6 0q
13-111.
317 Mm < r < 640 Mm r > 640 Mm 13-135. v A = 6.11 km/s = -237 km/s
13-113.
N = 9.66 N F = 19.3 N N = 10.4 N F OA = 20.9 N r0 = 11.1 Mm V A „ = 1964.19 m/s kv A = 814 m/s v p = 7.76 km/s 0,4 = 452 km/s T = 335 hr Vg = 7.71 km/s = 463 13-114. km/s % = 6899.15 m/s ^ = 7755.54 m/s AVp = 856 m/s v A = 4.52 km/s Vq = 23.9(103) pies/s = 7.30(103) 13-115. pies/s / = 1.69 h 166.73(10~12)(5.976)(1024) 13-117. ^ " V (800 + 6378X103) 7.45 km/s v 0 = 30.8 km/s } = 0.502(I0“12) cos 0 + 6.11(10"12) 13-118.
V
13-137. v
5.16 km/s
Capftulo 14 14-1. N = 1307 lb T = 744 lb U T = 18.0(l03) pies-lb s = 1.05 pies v = 0.365 14-2. 14-3. pie/s 14-5.
[ El cambio de rapidez deber^ ocurrir en el perigeo. 13-119.
14-6.
13-121.
147.
v = 3.58 m/s d = 192 m s = 7.59 14-9. pulg 0 + 150 cos 30°(0.2) + [ - j(300)(0.22) ] + [^OOXO^2)] = i(2y 14-10. v = 4.00 m/s 14-1L s = 178 m 14-13. fik = 0.255 F A = 31b F B = 2464 lb 14-14. N B = 1.54 pies/s 14-15. v A = 0.771 pie/s 13 m s =1m 3.41 14-17. 0+jT ' ds - 20(0.05) = v = 3.77 m/s
13-122. 13-123.
13-125.
13-126. 13-127.
v
13-129.
6(l06)
6
9(l0 ) '2(66.73) (10~12) (0.7) [5.976( 1024) ] N 13-130. 13-131. 13-133.
13-134.
rO.2 m -/ 900s2 ds
Vp = 1A1 km/s v a = 3.94 km/s t = 46.1 min v A = 3.44 km/s h = 101.575(109) m2/s r P = 14.6268(106) m T = 119 h r = 317 Mm r = 640 Mm
14-18. 14-19. 14-21. 14-22.
6( 106 )
tf,
14-23.
= V c h = s
14-25.
.05 pie
1.11 pies/s = 1.37 m/s 47.5 m 179 mm = 24.0 pies/s = 7.18 lb = 16.0 pies/s = 1.18 lb = 7.22 pies/s = 27.1 lb = 17.0 pies/s = 133 lb = 18.2 pies/s = 30.0 m/s
= vB sN cos 30° = 0 + 30.04/ B
vc Nc vB N B
vc Nc
V D V
I(i.5y
89. 90. v = 32.3 pies/s
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
5 sen 30° + 4 = 0 + 0 + ^(9.81 )(2 5 = 130 m 14-26. 5 = 1.35 m 14-27. v B = 31.5 pies/s d = 22.6 pies v c = 54.1 pies/s 14-29. F s = 1284.85 lb k = 642 lb/pie V2 = 18.0 pies/s 1430. h A = 22.5 m h c = 12.5 m 14-31. R = 2.83 m Vc = 7.67 m/s 14-33. N = 693.67 N F f = 173.42 N x = 2.57 m 1434. v = 8.64 m/s 14-35. /o = 2.77 pies 1437. 5 = 3675 m N = L25 kN v B = 5.42 m/s 14-38. F = 367 N 14-39. v B = 14.9 m/s, N = 1.25 kN 14-41. v* = - 2 cos 0) N = mg( 3 cos 0-4) e = 4i.4° 14-42. Pprom = 200 kW 14-43. potencia de entrada = 420 hp 1*45. /> = 5200(600)(^^)^ = 8.32( H)2) hp 14-46. v = 63.2 pies/s 14-47. Pmdx = 119 hp 14-49. v y = 02683 m/s t = 7.454 s P = 12.6 kW 14-50. P mdx = 1.02 hp t = 30.5 s 14-51. Pent = 19.5 kW 14-53. ac = 0.8333 m/s2 P = 3618.93 N Pent = 113 kW (Pent)prom = 56.5 kW 14-54. v = 22.3 pies/s 14-55. v = 56.5 pies/s 14-57. F = 1500(vg) v = 18.7 m/s 14-58. PMl = 42.2 kW
707
Ak= g a+ =2gA 1414-59. v =V 13.1 91. m/s = Vp 8.57 14-61. fllb/pies 7.20 pies/s2 2 Afc = —(p + p fl 14- = v P Pent = Vc 93. 2.05+hp 2A 14-62. 5^ =ec0=+0.460 14-
2/2) 3
63. P = ^(lO (v A)*])2W= 14-65. 1-42 m/s T = 1968.33 N v P = Pc 18 m/s P QA5,4 = 35.4 = 617.5 kW 14-66. mm P = 8.31/MW 14-67. P =94. 141.12 d =kW 1.3414-69. m F = 308.68 N t; = 14V Apotencia = 11.0 m/s 4.86 m/s 95. 14-70. de entrada = 1.60 kW 14-71. potencia de entrada = 2.28 kW 1473. 0 + 6(2) = 0 + i(5)(12)(x)2 x = 159 pulg 14-74. v = 1.37 m/s 14-75. v = 1.37 m/s 14-77. 0 + (2)(f) (50) (V(0.05)2 + (0.240)2 - 0.2l2 = 1(0.025)^ v = 2.86 m/s 14-78. h = 416 mm 14-79. v2 = 106 pies/s 14-81. 0 + ^(200)(4)2 + |(100)(6)2 = /*(3) /i = 133 pulg 14-82. V2 = 2.15 m/s 14-83. Vc = 2.09 m/s 14-85. Energfa potencial eldstica final = 103.11 J v = 6.97 m/s 14-86. Vc = 7.58 m/s 7 = 156 kN T = 2.90 kN 14-87. h = 24.5 m Ak = 0 Nc = 16.8 kN
708
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
14-97. (lg),4 = 110 362.5 J (vs)B = 0 (v,)„ = 0 (v,)a = 1500(150 /„)= A) = 141 m 14-98. x = 453 mm 1499. vB = 32.1 pies/s 14-101. (Vf), = {a f)m ar 1g (K,)2 = 0 = V|(1T - 2 )gr 14-102. x = \ r
15-22. 15-23. 15-25.
14-103. v c = 15-26. 15-27. 15-29.
7 = 6 mg 14-105. v A = 11 111.1 m/s v B = 34.8 Mm/h 14-106. s A = 129 pies
15-30. 15-31. 15-33.
Capftulo 15 15-1.
15-7.
3^2 (10) + (-5 sen 45°)( t = 0.439 s v = 16.1 m/s s = 48.4 m I = 90.0 lb -s (0^ = 2 m/s t (0,4)2 = 1.27 m/s t (vfl)2 = 1.27 m/s 1 7 = 43.6 N F = 19.44 kN T = 12.5 kN Vm&x = 90 m/s
15-9.
0+ /
15-2. 15-3. 15-5.
15-6.
15-10. 15-11. 15-13.
0 15-34. 15-35. 15-37.
15-38. 15-39. 15-41.
/•10 s
30(l06)(l-eHU')rfr = 0.130(l09)t>
v = 0.849 m/s t = 4.64 s v = 21.0 pies/s
0 + 2(7 cos 30°)(0.3) - 600(0.3) = (g|)(5) T = 526 lb 15-14. v = 4.50 m/s 15-15. T = 520.5 N 15-17. 0 + 12(103)(3) - F(1.5) =0 + 0 F = 24 kN ^(lO3)^) - 7(1.5) = 0 7 = 24 kN 2C t' C ta 15-18. V2 = ---------------------,5 = --------irm irm 15-19. (v x) 2 = 91.4 pies/s <— 15-21. 40(1.5) + 4{(30)4 + 10(6 - 4)] - [10(2) + 20(4 - 2) + 40(6 - 4)] = 40^ V2 = 12.0 m/s( —►)
15-42. 15-43. 15-45. 15-46. 15-47. 15-49.
15-50. 15-51.
v = 26.4 pies/s v = 8.07 m/s $ = 48.1°^ 63 000(0) + 30(10s)(30) = 63 OOOti v = 14.3 m/s 33 000(0) + Fo(30) = 33 000(14.29) F D = 15.7 kN v = 4.14 m/s = 21.8 m/s v = 136.35 pies/s
8471b pr o Fprom m = 12.7 kN 1.92 m/s 2 = 02 0.5 m/s T x = 20.25 kJ 72 = 3375 kJ A7 = 16.9 kJ 0 = 0.6 pie/s 0 =
vA = 0.667 m/s
=
2.887 m/s
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 15-53.
15-54. 15-55. 15-57.
(&)(10) + 0 v = 3.33 pies/s / = 0.518 s t = 0.518 s 5 = Q863 pie t = 0.226 s (v Ah
15-58.
(%
W)v
15-73.
K
(VB ) 2
v( + e ) 2 \ 1 2 v( + e) l
)2 15-59. 15-61.
15-62. 15-63. 15-65.
15-66. 15-67.
15-69.
15-70.
( v c) 2
4
(v A)i = 19.7 pies/s (^a)2 = 9.44 pies/s *~ (vb)i = 15.3 pies/s <= 9.13 pies /i = 21.8 mm (va)2 = 2.40 m/s (*>j?)2 = 5.60 m/s •^mix 1.53 m ^prom = 1.68 kN (v P )2 = 0.940 m/s (v^y = 1112 pies/s (vx)2 = 8 pies/s V2 = 13.7 pies/s 0 = 54.3° ^ h = 1.92 pies e = 0.261 jFdt = 199 klb *s (v Ah = 0 ( VB )3 = 13.9 pies/s •W = 1-41 pies = 13.900 pies/s > = 6.34° v Ay = 11.434 pies/s t = 0.3119 s = 12.510 pies/s s = 190 pies v A = 16.9 pies/s (tu)3 =
(V B ) 3 =
(1 + .)= 6 = cos 15-71.
1-
e = 0.75 A E = 9.65 kJ
V 2 * 3
(1 + e) 4 15-75. (vfl)3 = 3.24 m/s 16 e 15-77. (t£)x = 21.65 m/s«— = (v‟ B )y = 5 m/st ^ = 22.2 m/s 6 = 13.0° 15-78. V 'B = 31.8 pies/s 15-79. (v A )2 = 4.60 m/s (vfl)2 = 3.16 m/s = 0.708 m 15-81. (VA )2 = 9.829 pies/s (v A )i = 44 pies/s (v B )2 = 43.51 pies/s (vfl)i = 29.3 pies/s 15-82. v A = 5.07 m/s 0 A = 80.2° 5* v' B = 7.79 m/s «— 15-83. (vB)2 = 2.88 pies/s (v A )2 = 1.77 pies/s 15-85. 15vU cos
v(l - e) 2
v(l + e)
709
1-
(1 - COS0)
43.9°
4 2
710
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
15-93.
v = 17.76 pies/s t = 0.910 s
15-94.
H 0 = 6.76(l06) kg - m2/s
15-95.
H B = 70.9 slug- pies2/s
15-97.
2(0.4 (3) (0)] +
15-98. 15-99. 15-101.
15-102. 15-103. 15-105.
15-106. 15-107. 15-109. 15-110. 15-111.
dt Jo
v = 6.15 m/s / = 1.34 s v 2 = 4.60 pies/s Ti = 20.3 N V\ = 0.7958 m/s d' = 0.414 m T V2 = 0.9610 m/s i>2 = 4.31 m/s 6 = 33.2° V2 = 19.3 pies/s (^2)0 = 45 pies/s V2 = 45.1 pies/s UF = 2641 pies lb v = Vt>o2 + 2 gh V2 = 1.99 m/s Up = 8.32 N-m v e = 552.78 m/s -> v p = 394 km/h v = 86.3 m/s Ff = 19.6 lb Nf = 174 lb
15-123. 15-125. 15-126. 15-127. 15-129.
1
21.6 N 15-130. 15-131. 15-133.
15-134. 15-135.
Fx = 9.87 lb Fy = 4.93 lb
tiempo 2 para vaciar el tanque t 0 m/s2 a = 0125 v = 4.05 m/s a x = 2.11 m/s2 a 2 = 2.40 m/s2 Fd = 11.5 kN m = 57.6(l03) kg dm e 1216 kg/s ~dt~ a = Q104 m/s2 mv
15-137.
d m dt
v = d v v m
0.9689 slug/s
Q = 0.217(l0-3) m3/s T = 40.1 kN Q = 100 pies3/s v = 56.59 pies/s
= Q2360 slug/s dt d = 2.56 pies m2 15-119. g2 F = 302 lb 2 2 TT d* g Spw ^ 8G 15-121. F a = 1696.46 lb Fb = 1357.17 lb V A = VB = 63.66 pies/s dm A dm B 96.894 slug/s dt dt 15-118.
2[0.4(3) v]
v = 10.19 pies/s
15-113.
15-114. 15-115. 15-117.
15-122.
M D = 10.7 kip • pie Dy = 5.82 kip Dx = 254 kip Fx = 19.5 lb Fy = 1.96 lb a = 16.9 m/s2 t v = 330 m/s m = 10.5(lO3) kg a = Q0476 m/s2 F = 22.4 lb T = 9.72 N io_
15-138. 15-139. 15-141.
W)
- ( m ' \ Km'x + M )' m _
s F = v p. A vm &x = 2068 2 pies/s m = 37 600 kg Vd/ c = 0.237 m/s
fl = 0.1
F = 3.55 kN
Repaso 1 Rl-L y = -0i0766*2 Vy = 24525 m/s v = 8.37 m/s 0 = 17.0° ^ a, = 2.88 m/s2 a n = 9.38 m/s2 Rl-2. p = 9.32 m Rl-3. A s = 834 mm v = 1.12 m/s a = Q450 m/s2
40s
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS Rl-5. (v b jj 1)x = 3.692 pies/s v A = 158 pies/s Vb = 0.904 pie/s Rl-6. (v P )2 = 27.0 pies/s 1 (v M ) 2 = 13.4 pies/s i s = 261 pies Rl-7. h = 4.82 pies Rl-9.480 = [800 + 2(300)]a a = 0.343 m/s2 480 = (800 + 300)a a = 0.436 m/s2 Rl-10. t = 8 s s = 320 pies Rl-11. VB = 333 pies/s t Vb/c = 13.3 pies/s t Rl-13. v = dr fdt, v = 9.68 m/s a = dv/dt, a = 16.8 m/s2 Rl-14. s = Q0735 pie Rl-15. v h = Q379 m/s -> Rl-17. t = 0.669 s v A = 4.32 m/s t = 0.790 s v A = 5.85 m/s Rl-18. v B j A = 28.5 mi/h 0 = 44.5° ^ = 3.42(l03) mi/h2 0 = 80.6° Rl-19. QB ) A = 3.35(l03) mi/h2 e = i9.i° Rl-21. k = 360 lb/pie A:' = 600 lb/pie v = 20.4 pies/s Rl-22. v = 0.969 m/s Rl-23. v = 1.48 m/s
■“
- dsX T )
v = 5.38 pies/s Rl-26. v = 5.32 pies/s 0 = 11.95° Rl-27. N = 277 N F = 13.4 lb Rl-29. t = 2 s para que el embalaje comience a moverse = 10.1 pies/s Rl-30. V2 = 2.13 pies/s Rl-31. N = 24.8 N F = 24.8 N Rl33. r = 1.298 s, 5 = 7.127 m t = 7.702 s, 5 = -36.627 m
711
r = 9 s, 5 = -30.50 m Slot = 56.0 m v^ =9 = 10 m/s Rl-34. v = 14.1 m/s Rl-35. 5 = 5.43 m Rl-37. 0 + lOOsen 60°(0.5 - 0.3) + 20(9.81)(0.5 - 0.3) - f(15)(0.5 - 0.3)2 j(25)(0.5 - 0.3)2 = f(20)v 2 c Vc = 2.36 m/s Rl-38. v c = 2.34 m/s Rl-39. = 1.54 m/s = 462 m/s Rl-41. v A = \flgh
(V„h =iV2iA(l +e)
Rl-42. (t^3 = 0.125 m/s Rl-43. F, = 4.90 lb Rl-45. V2 = 75 m/s x = 3m Rl-46. wm4x = "f Rl-47. x = cos 0o (l “ e-"*) m
Xmte = —Vq COS 0O v2 Rl-49. 3 sen 40° = 77- 50 v = 9.82 m/s a t = 2.30 m/s2 Rl-50. ^ = 27.2 pies/s
Capftulo 16 16-L w = 4 rad/s v = 2 pies/s a, = Q5 pie/s2 a„ = 8 pies/s2 a = &02 pies/s2 16-2. vp = 48.7 pies/s 0 = 8.54 rev 16-3. a, = or; 20 = a(2) a = 10.0 rad/s2 = co 35.4 rad/s 0 = 35.3 rev 16-5.(o c = (o D = 80 rad/s co E = o) F = 64 rad/s (o B = 89.6 rad/s 16-6. v A = VB = 40 mm/s vw = 34.6 mm/s
712
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
16-7. 16-9. 16-10. 16-11. 16-13.
16-14. 16-15. 16-17. 16-18. 16-19.
16-2 L
16-22.
16-23. 16-25.
16-26. 16-27. 16-29.
= 211 rad/s (o c = 47.5 rad/s OJ B = 31.7 rad/s Vp = 18.8 pies/s (Op = 0.75 rad/s t = 7.083 s (o s = 266 rad/s a s = 18.8 rad/s2 a t = 1 pie/s2 a n = 84.5 pies/s2 a A = 60.8 rad/s2 a) s = 256 rad/s co B = 64 rad/s t = 100 s v A = 70.9 pies/s v B = 35.4 pies/s (a) A = 252 pies/s2 (a) B = 126 pies/s2 a) = 11 rad/s V A = 22 pies/s (a A )t = 12.0 pies/s2 (<* A )„ = 242 pies/s2 v B = 22.0 pies/s (a B ), = 9.00 pies/s2 = 322 pies/s2 (o c = 224 rad/s a A = 39.27 rad/s2 (o A = 117.81 rad/s (o c = (o B = 29.45 rad/s (o D = 11.8 rad/s % = 21.2 pies/s ac = 106 pies/s2 a> B = 528 rad/s 0 B = 288 rad {r B )mdx = (r A)wdx = 50V2mm (r B)min = Wm/n = 50 mitl (
16-35. vD = {4.8i + 3.6j + 1.2k} m/s aD = {-36.0i + 66.6j + 40.2k} m/s2 1637. x = 4 cos 6 y = 4 sen 0 j = 1.5 cot# 16-38. a) = — sen2 6
16-39. 16-41.
16-42. 16-43.
16-45.
16-46. 16-47. 16-49.
16-50. 16-51. 16-53.
16-54. 16-30. 16-31. 16-33.
16-55. 16-57. 16-58. 16-59. 16-61.
16-34.
v = a = x = V c = < * B C V
(? ):
sen 26 sen2 0
wrcos 0 -6>2 r sen 6 0.6 cos 6 + 0.3 V2 sen 6 = -3.00 m/s = 10.0 rad/s
VA
f r(2x* —
V
2 L*V A = Q6 cos 0 m = 3 m/s <— = 52.6 m/s2 <— B = 5.45 rad/s = = -21.0 rad/s2 (O 0.0808 rad/s = = 3 cos 6 pies = 15 pies/s *— a = = 260 pies/s2 < = 26 pies/s t * = 150 pies/s2 1 C 00841 rad/s = 2(3)(5) cos V 0 C sen ey 0 (34 15w - 30 cos = ac 15(o>2cos 6 + a sen = 6) (34 - 30 cos 6)* ■240 pies/s = = 20 rad/s = 2 V pies/s —► 4 rad/s = 4 C pies/s —► D = 9.20 m/s —* O 3.111 rad/s = C 0.667 pie/s — D ► V =0 E = 3.00 rad/s = F 12.0 rad/s O E F 6 = s =
VB
4sen20 + 0.75
225 (o 2 sen2 6 (34 - 30 cos 6f
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
°>A = 330 rad/s!) : B v G = 330 pulg/s e = 55.6° 0> - ; V R-r Vo = U - > -*
16-62. 16-63. 16-65.
16-66. 16-67. 16-69.
vA = vA = co BC '■ °>C DE vE = CO v=B1= vA = vD = &B : D ( ODE '■ vE = vc = co =: v0 =
16-70. 16-71. 16-73.
16-74. 16-75. 16-77.
16-82. 16-83. 16-85.
= 6.90 rad/s 41.4 pies/s t ).577 rad/s 1.15 pies/s t 1.15 pies/s i 4 pies/s = 6.928 rad/s =0 4 pies/s *— 9 m/s <— 5.33 rad/s!) 2.4 m/s <—
vr = 1.65 m/s —> v P = 0.075(o E CO 90 rad/s = A COE 86 rad/s = (o A 53.3 rad/s = 0.075 CO E = 4.8
16-78.
16-79. 16-81.
2.5 pies/s *= 0.7141 rad/s
(O R — (Oc = = (V D)x i.V D) (OCy : vD c = VC = vc = r
64 rad/s 30 rad/s 8.00 pies/s t = 4.00 pies/s = 4.00 pies/s = 4.00 rad/s 293 pies/s 1 240 pies/s 1.33 pies/s — ► = 0.8 m 9.20 m/s 2.5 pies/s <— 1.04 m/s = 10.39 rad/s 7.20 m/s
O/Cl vA = 16-86. v A = 16-87. vc = 16-89. ( OBC : vB = (°AB = 6 rad/s!) vE ■ = 4.76 m/s $ = 40.9° ^ 16-90. 16-91.
% = 6.00 m/s <— v B = 29.7 m/s
16-93. r^d = 0.5657 m o) AB = 5.303 rad/s co B c = 5.30 rad/s 16-94. v E = 2 pies/s <— 16-95. a> = 5.33 rad/s v 0 = 2 pies/s <— 16-97. (o BC = 0.300 rad/s OJ BE = 2.00 rad/s v H = 18.0 pies/s 16-98. (o s = 57.5 rad/st) (o OA = 10.6 rad/s!) 16-99. = 15.0 rad/s o) R = 3.00 rad/s 16-101. r B j CI = 3.025 pies rqci = 0.1029 pie ( D BC = 1.983 rad/s (o CD = 0.0510 rad/s 16-102. v c = 0897 m/s / 16-103. v D = 0.518 m/s \ 16-105. TBjci = 1*2 m r c/ci = 1039 m = 2 rad/s % = 1.04 m/s —► 16-106. V Q = 8.69 m/s $ = 22.9° V 16-107. vD = 5.72 m/s 0 = 36.2° ^ 16-109. (a B) x = 1.897 m/s2 (flfl)y = -1.214 m/s2 a B = 2.25 m/s2 0 = 32.6° ^ 16-110. 0 = 2.02°
a D = 10.0 m/s2 16-111. a A = 4.83 m/s2 0 = 84.1° 7^ 16-113. o>w = 1.20 rad/s a AB = 0.4157 rad/s2 a w = 0.231 rad/s2 16-114. co = 2 rad/s J a = 7.68 rad/s2!) 16115. a c = 66.5 pies/s2 —* 16-117. r B jci = 1.732 pies = 2.309 rad/s = 3.945 rad/s2 a A = 13.2 pies /s2 <16-118. a c = 6.96 pies /s2 6 = 18.8°
713
130. aB = 7.5 rad/s2 137. (arcl)^ = {1.51 - 30j} m/s yc = {0.61} m/s ac = {-l-2j}m/s2 145. a)BC = 0.720 rad/st) vA/B = -1.92 pies/s «ac = 2.02 rad/s2 *) a B fA = -400 pies/s2
714
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
2 1616-119. a AB 131. = 3.70 a B =rad/s 7.5 rad/s } 2 1616-121. v133. aD =m/s {lA\4a —►EDi - 1.414a££j} pies/s2 afl B = 1.8 r
16-
1616-
1616-
16-
= =B/ci {2.8280;^^} 0.25 mpies/s rqci 2 a ED = -Q1768 rad/s2 a a=CD 0.4330 = 0.177 m co— rad/s27.2 BD — 0.177 rad/s2 rad/s a^ =Vc 0 = 3.118 m/s a = 2 134. BC co 347 1 rad/s J a^c CD =rad/s 2 2 a=C165 o = m/s 10.9 0rad/s = 66.9° *) 135. ^ y B = {0.6i + 2.4j} m/s 2 2 afl = {-14.21 8.40J} 122. = +41.6 rad/sm/s !) 2 ac = 38.2 m/s 0 = 39.4° ^ 123. a B = 1.43 rad/s2 125. rqci = 0.4 m r B/ci = 0.6928 m wac = 5 rad/s = 11.55 rad/s «ac = 160 rad/s2 a AB = 173 rad/s2 126. v B = 4v —> Vyj = 2V^v^45° 2t^ ,
=1
7 A ? a A= — ^ 16-
16-
127. a.4 = 0.500 pie/s2 1 ac = 63.5 pies/s2 0 = 87.7° ^ 129. co B c = 0 v B = v c = 1.8 m/s (ac)n = 3.6 m/s2 1 («c)/ = 3.6 m/s2 -> a BC = 12 rad/s2 (a B) t = 10.8 m/s2 a AB = 36 rad/s2 ^
146. v B = 130 138. = 1.18 pies/s rad/s 5 = 2 2 a B = 0.620 15.4 pie/srad/s 16147.139. COQC = = 3.22 {-2.501 + 2.00J} pies/s rad/s J = 7.26 a A = {-3.00i rad/s2 ^+ 1.75j} pies/s2 16141. 149. y(aa), { —2.898i m/s2 (a B-)Q7765j} m/s B = =3 n = 2 "cde 60 m/s = 5o^a rad/s = 5 rad/s 16142. (vrei)*y co CD 6.93 rad/s m/s a^a z' ==-5.196 2 = 2.5 rad/s OCCD = 56.2 rad/s21) 16143. 150.OJ (vrelCD)x= ,z =10{27i rad/s+ 25j} m/s = 2 ocd (a rad/s {0.61 ^ - 0.38J} m/s2 rci),24 yz = 16151. (vrel)^z = {27i + 25j} m/s (arei)xyZ = {2.41 - 0.38j} m/s2 16153. a) = {0.2k}rad/s co = {0.04k }rad/s2 Kel)xyz = {29j} m/s (arei)xyz = {4.31 - 0.2j} m/s2 16154. (yrd)xyz = {-31 j} m/s (arci)xyz = {-10.31 + 2.2j} m/s2 16155. = {-17.21 + 12.5j} m/s n A = {3491 + 597j} m/s2 16157. va = {—10.01 + 17.32j} pies/s aa = {-39.64i - 11.34J} pies/s2 H = 1.5k fl = 0.4k vc = {-7.00i + 17.3j} pies/s i*c = {—38.81 - 6.84J} pies/s2 16158. O )C D = 0.866 rad/st) OCCD = 3.23 rad/s21) 16159. co AB = 2.60 rad/s aAB = 2.50 rad/s2 1616-
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
Capftulo 17 17-1.
Adx)
17-2. 17-3.
Iy
=
\ma 2 \mr2
x2 dx
I10“ = —a2 *z 1 II £
17-7. 17-9.
17-34. 17-35.
1 m r mm 057.7
17-5.
17-6.
17-33.
Jo
17-37.
17-38. 17-39. 17-41.
7Tp Iy 9
17-11. 17-13. 17-14. 17-15. 17-17. 17-18. 17-19. 17-21.
Iy = Yim <s l* ri II
17-10.
h I o I _ a
y = I
-- 118 slug* pie : 84.94 slug • pie2 = 222 slug • pie2 1.78 m = 4.45 kg • m2 : \ ma2 \ m x (0.5)2 + jo m 2 (0.5)2 - ^ m3 (0.25)2 5.64 slug • pie2 2 0.402 slug • pulg 2 3.25 g * m [-^ (10)(0.452) + 10(0.2252)]
(15)(0.12) + ^(O^2)] oI I 0 = 5.27 kg *m2 g 17-22. I0 = 0.276 kg* m2 17-23. I0 =+ 0.113 kg* m2 I 17-25. Recipiente: a = 5.19 m/s2 o Sistema: a = 4.73 m/s2 1 4.73 m/s2 I Qmd} 111 m/s 17-26. aox = 16.35 m/s2 I 17-27. aceleraci6n F AB 231 lb CD x rapidez constante F = F = 200 lb 17-29. AB CD I 70(9.81)(0.5) + 120(9.81)(0.7) 2^ (1.25) = -120(3)(0.7) r N A = 568 N N B = 544 N 17-30. a = 3.96 m/s2 17-31. Como la friccidn requerida F f > (Ff) m&x = li k UB = 0.6(14 715) = 8829 N, no es posible para levantar las ruedas delanteras del suelo.
17-42.
17-43.
75) - 0.7ATfl(0.75) - A^(6) = 0 N A = 640 lb N B = 910 lb a = 13.2 pies/s2 a = 17.3 pies/s2 traccidn en las ruedas traseras t = 17.5 s traccidn en todas las ruedas t = 11.3 s a = 3.33 pies/s2 N B = 2122 lb N A = 778 lb F = 23.9 lb a = 96.6 pies/s2 N B = 9.40 kN N c = 4.62 kN N D = 7.56 kN a = 0.8405 m/s2 A x = 672.41 N A y = 285.77 N a = 2.01 m/s2 Como c < 0.3 m, el embalaje no se volcar£. Por tanto, se desliza. D x = 83.3 N F BA - 568 N D y = 731 N N a =0 P = 2.00 kN N B = 3692 N a G = 4.99 m/s2 T = 375 kN N A = 114 kN N B = 1.31 kN N A = 17.4 kN 250(1.5) + 150(0.5)
= 312 (^X^nuSx) + IK20)!1) hm&x = 3.16 pies 17-45.
17-46. 17-47. 17-49.
17-50.
715
NA
2481 b 4001 b = 20.7 pies/s2
F A = 257 lb N A = 400 lb 17-51. a = 4 m/s2 -> = 1.14 kN N A = 327 N 17-53. N c = 613.7 N Fc = 187 N 17-54. FAB = 122 kN F CD = 564 N 17-55. Fcd = 9.17 lb (flG), = 32.2 pies/s2
716
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
17-57. a = 0.2778 rad/s2 t = 6.71 s 17-58. M P = 2025 N • m N P = 7.38 N VP = 3.75 N 17-59. P = 39.6 N N A = NB = 325 N 17-61. a = 1.852 rad/s2 t = 8.10 s 17-62. F0 = 6.14 lb 17-63. a = 14.7 rad/s2 a G = 4.90 m/s2 17-65. a = -26970 sen 6 0 = 30.1° 17-67. rP = 267 pies A x = 0 17-69. a = 25.13 rad/s2 T B = 1.21 kN 17-70. a = 3.22 rad/s2 F A = 70.7 lb 17-71. t = 2.19 s 17-73. a = 1.3 Og/l O x = 0.325mg O y = 0.438mg 17-74. FA = 219 N
17171717-
1717-
17-
17-75. A x = 0
A y = 289 N a = 23.1 rad/s2 17-77. a = 0 C, = 0
1717-
1717-
16-
Cn = 5781 N Nb = 2.89 kN Ax = 0 17-78.
Ay = 2.89 kN Nb = 1.05 kN Ax = 1.20 kN
17-79.
Ay = 951 N Ax = 4.5 lb
17-81.
Ay = 6.5 lb F CB = 193 N a = 19.3 rad/s2 t = 3.11 s
17-82. 17-83.
a = 0.146 rad/s2 Ax = 150 N Ay = 253 N a = 12.1 rad/s2 F = 30.0 lb
171717-
17-
1716-
171717-
85. a = 12.57 rad/s2 P = 192 N 86. a = 14.2 rad/s2 87. a) = 17.6 rad/s 89. F AB = 183 N a = 16.4 rad/s2 N c = 44.23 N 90. ti) = 2.48 rad/s 93. a = 13.85 rad/s2 (a c )x = 2.012 m/s2 (a G )y = 0.6779 m/s2 Fy = 20.12 N JV = 91.32 N Como F f < (Ff)^ = fi sN = 0.5(91.32) = 45.66 N, entonces el disco semicircular no se desliza. 94. a G = 16.1 pies/s2 a = 5.80 rad/s2 95. a = 5.54 m/s2 t a = 0.293 rad/s2 97. F = 1.17 lb N = 29.34 lb a G = 5.44 pies/s2 a = 4.35 rad/s2 98. 0 = 46.9°
99. a G = 12.9 pies/s2 a = 2.58 rad/s2 101. FA = 61.32 N N A = 926.2 N a = 5.01 rad/s2 102. a = 5.01 rad/s2 103. a = 1.30 rad/s2 105. a = 15.6 rad/s2 a G = 6.24 m/s2 N A = 981 N FA = 24.0 N 106. a = 0.692 rad/s2 107. a = 1.15 rad/s2 109. N = 10.0 lb a = 125.58 rad/s2 a A = 167 pies/s2 110. a = 0
a = 0.309(lO-3) rad/s2 111. a = 73.27 rad/s2 t = 0.296 s 113. N c = 67.97 N a = 5.66 rad/s2 a G = 4.06 m/s2
18. v c = 16.9 pies/s T 22. o>2 = 1.25 rad/s 37. 0 + 2[ 15(1.5 sen 45”)] = 2[| (|(^)(3)2)^fl] + 1(4)[6 - 2(3 cos 45°)]2 + 0 coAB = 4.28 rad/s
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
181718-
2 19.114. a B v=c 0.755 = 11.8m/s pies/s T 2 21.1 a = 7.55 U wrad/s = 127.44 JT J = 45.3 o>2 = 2.91 N rad/s
181718-
1617-
115. nmin = 0.0769
1818181818-
171717-
1717-
17-
117. (a G)x = 2.5 m/s2 -> (o c )y = 0 = 10 m/s2 —► or = 35.4 rad/s2 118. a = 9.60 rad/s2 a G = 1.44 m/s2 <— 119. a G = 2.22 m/s2 «- a = 29.2 rad/s2 121. a = 3.89 rad/s2 a G = 1749 m/s2 N = 735.75 N iy = 131.15 N 122. a = 9.51 rad/s2 123. a G = 1.5 m/s2 »■ a = 3 rad/s2
181817-
18181818-
18181818-
Capftulo 18 18-
18-3. 18-5.
2. 7 = 283 pies -lb co = 1.88 rad/s 2
0 + (50)(9.81)(1.25) = \ [(50)(1.75) ]o>1 (o 2 = 2.83 rad/s
18-6. a. = 18-7.
18-11.
k cV m v B = 2.58 m/s P = 141 N 18-9. 5/> = 16.67 pies co = 4.51 rad/s 18-10. co = 0.836 rad/s 0 = 0.934 rev
18-13. SA = 0.6667s G N A = 509.7 N s G = Q859 m 18-14. = 1.32 rad/s
18-15. vA = 3.52 m/s i 17.
v B = 1.76 m/s t 18U M = 17.22 J U w = -12.49 J co = 3.62 rad/s
181818-
717
23. v c = 19.6 pies/s 38. = 695 pies/s 25. U = 1387.34 39. 0 =w Q934 rev N co 10.52rad/s 41iO=(^)(6) ](2)2 + |(12)(4 - 2)2 26. co = 7.81 = 0 + ^(12)(4 +rad/s 6sen 0 - 2)2 - 50(3 sen 0) 0 = 25.4° = 27. 2 1*07 42. co = 41.8 rad/s rad/s 29. a> T\ = = 39.3 708.07 pies • 43. rad/s lb U = 18.750 U Ff + 1(3 sen 45°) W A 45. 0 + 4(1.5 sen 45°) = -40.5020 = 5.18 rev = »)(3) ](f)2pies/s + ^)(«c)2 + 0 30. v B = 5.05 v G 0=O 13.3 pies/s 31. = 1.66 rad 46. 307 pies/s - 1500(2.5) = \ (Wf)(%)2 v A = 33. v0c+=1500(5.629) 47. a>pies/s = 1.74 rad/s 14.2 49. 0 + 2[f(350)(*i)2] <•)"-V T © + l)2] - 50(9.81)(1) = 0 + 2[1(350)(^ /0 = 299 mm 50. k = 232 N • m/rad 35. 2.83rad/s rad/s 51. co co ==3.92 53. (Vg)2 = -22.0725 J V 2 = -8.5725 J C02 = 309 rad/s 54. co = 7.98 rad/s 55. k = 10.5 kN/m 57. V2 = Yk k = 814 N • m/rad
55.
=
39.8°
718
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
181818181818181818-
58. (wgc)2 — 0 (<» AB )2 = 0.597 rad/s 59. Vp = 20.7 m/s 61. A s s = -4 pies s = 2.44 pies 62. to = 1.82 rad/s 63. OJAB = 370 rad/s 65. I = 7.727 pies to = 2.82 rad/s 66. w = 5.28 rad/s 67. o) AB = 221 rad/s 69. 0 + 0 = 0 + i (*>(3.3541 - 1.5)2 - 98.l(-^) k = 42.8 N/m
Capftulo 19 19-
5. v c = 12.64 pies/s L = 3.92 slug • pies/s
19-
6. JlUdt = 0.833 kg- m2/s
1919-
7. w = 0.0253 rad/s 9. lQ = 0.78125 k g - m 2 to = 70.8 rad/s 10. (o A = 36.5 rad/s v = 5.48 m/s 11. tofl = 127 rad/s 13. T c = 140.15 lb T b = 359.67 lb P = 120 lb 14. t = 5.08 s 15. rP = 1.39 pies 17. IQ = 0.02 k gm 2 N = 49.05 N (v 0) 2 = 4.6 m/s t = 0.510 s 18. % = 1.39 m/s to = 9.49 rad/s 19. to = 116 rad/s 21. toj = 0.065625/ I = 79.8 N-s
19-
1919191919-
191919191919-
RepasojFdt 2 = 15.2 kN -s R2-1. v A = 6.667 pies/s a>/> = 20 1930. VQ = 0.557 m/s rad/s % = 3.333 pies/s 1931. o>2 = {-31.8k} rad/s toD = 6.67 rad/s 1933. (I A )G = 19.14kg-m2 (o B = 10.9 rad/s 1834. k c = 0.122 m 1935. to = 0.175 rad/s 1937. (7^! = 3.444 slug • pie2 (/J2 = 1*531 slug • pie2 (toj2 = 675 rad/s 1838. to2 = 5.09 rev/s 1939. to = 0.244 rad/s vm = 3.05 pies/s 1941. (/jj = 98.55 kg - m 2 (7^2 = 81.675 kg- m 2 to2 = 2.41 rad/s to3 = 2.96 rad/s 18-
1919-
191918-
19-
1819-
22. y = \l
23. to = 20 rad/s 25. IQ = 075 kg • m2 (%)ac = «(1.118) to = 9 rad/s
/prom = 12.7 N 1919-
19-29. 0 + [yVdfj(3.5> = 175(2.25)2(60)
26. v = 19.4 pies/s 27. M= 103 lb -pie
19-
42. a>2 = \(0\
43. V2 = 0.195 m/s 45. to} = 1.146 rad/s I G = 11.25 kg- m 2 IA = 24.02 kg- m 2 to2 = 1.53 rad/s 46. v = 5.96 pies/s 47. to = 26.4 rad/s 49. toj = 3.431 rad/s to3 = 5.056 rad/s to4 = 6.36 rad/s 50. to2 = 17.92 rad/s 0>//)2 = 16.26 pies/s i /1 = 4.99 pies
51. 0 = 17.9° 53. (vP )2 = 7.522 pies/s I c = 20.96 slug-pie2 to3 = 0.365 rad/s (V/>)3 = 3.42 pies/s 54. (v^ = 336 pies/s —>
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
R2-2.
R23. R25.
(o P = 24 rad/s (o D = 5.33 rad/s (02 = 381 rad/s d = 2 pies (02 = 682 rad/s v B l = -11.4 pies/s a A = 12.5 m/s2 <—
4
R26. R27. R29. R210. R211. R2R213. 14. R215. R217. R218. R219. R2R221. 22.
4 3(Rg-
(°AB
r) a>i = 40 rad/s V2 = 3.46 m/s a>2 = 13.3 rad/s a = 12.6 rad/s2
to = 0 Vc = 32.2 pies/s v D = 32.2 pies/s F = 0 (o = 0 (°de = 132 rad/s Vc = 2.75 m/s t = 1.32 s (o = 2.19 rad/s!) ( OCD = 4.17 rad/s a c = 1.20 rad/s2 (o = 7.20 rad/s V A = v B = 2.40 pies/s = 0.400 pie/s2 a B = 17.3 pies/s2 Vc = 12.7 pies/s cj\ r S= 2^ (2Vl ~ W' r) vD = 2 m/s (o B = 6.67 rad/s 2 mg
R223.
R227. R226. R229. R230. R231.
R2-49. a
r V c F g VG
R2-50.
= 297 N = 344 N >1, = 1.63 N
Capitulo 20
R225.
R2-33. rc/_c = 1.464 pies ( OAB = 1.47 rad/s!) a = 1.80 rad/s2 = 4.93 rad/s2!) R2-34. a = 2.66rad/s2!) R2-35. (o = 1.08 rad/s v B = 439 pies/s R2-37. 7 = 59166.86 N A/ = 51.2 kN - m N = -29.6 kN V =0 R2-38. (o = 30.7 rad/s R2-39. (o = 0.0708 rad/s R2-41. / = 0.194 s (o B = 5.00 rad/s % = 5.00 pies/s T R2-42. 0 = 4.45° R2-43. a A = 56.2 pies/s2 1 a* = 40.2 pies/s2 0 = 53.3° JP* R2-45. = 5.236 rad/s2 6 S = 10.472 rad a D = 2.09 rad/s2 0 D = 0.667 rev R2-46. (O C D = 6.33 rad/s R2-47. t = 10.4 s F8
R(M + 2m) Af + 2m (o = 3.89 rad/s 0 + S(0.6)(4) = [(31^) (0.45 )2 + (^)(0.9)2]^ a>2 = 12.7 rad/s a m = 1.45 m/s2 A*, = 1.94 m/s2 5gsen 0 / ("5 Ir 2gsen 0 )2 3r
(w c) 2
20-1. to = (o x i + (t>y j + (o s k a = 0 + (d>xl + G>yj) X ((t», k) a = (o y (O s \ — (o x (o s j 20-2. *> = {5.66j + 6.26k} rad/s « = {-3.39i} rad/s2 20-3. = {7.61i - 1.18j + 2.54k} m/s aA = {10.41 - 51.6j - 0.463k} m/s2 205. (o = -8.944 rad/s (o = {-8.0j + 4.0k} rad/s ((*> I )XYZ — {321} rad/s2 a = {321} rad/s2
719
= 2.00 lb
38. (o BC = {0.7691 - 2.31J + 0.513k} rad/s yB = {-0.333J} m/s 42. ac = {19.351 - 27.9j - 21.6k} m/s2 46. v„ = {-5.701 + 1.20j1.60k} m/s 49. (va/b)^ = {13.861 - 8.00k} m/s (aa/b)^ = {17.581 - 17.54k} m/s2 v„ = {13.91 + 40.0j - 8.00k} m/s a A = {-62.41 + 115j 17.5k} m/s2
720
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
= {-0.2251} m/s 8,4 = {—0.1351 - 0.1125j - 0.130k} m/s2
+( V \rch 2 + r Bh xJ 9. o> = {6j + 15k} rad/s a = {-901 + 1.5J + 3k} rad/s2 yB = { -901 - 15j + 6k} pies/s a* = {2431 - 1353j + 1.5k} pies/s2 2010. vfl = {4101 - 15j + 6k} pies/s a* = {2931 - 1353j + 1.5k} pies/s2 2011. oj = { 8.00J} rad/s a = {64.0i} rad/s2 = {-0.9051} m/s a,* = {7.24j - 7.24k} m/s2 1913. oj = {-0.8i - O.lj + 0.6k} rad/s2 yA = {-8.66i + 8.00j - 13.9k} pies/s a^ = {— 24.8i + 8.29j - 30.9k} pies/s2 2014. co B = {5j + 5k} rad/s 1915. ojfi = {7.5j + 2.5k} rad/s 2017. yA = {—201} m/s = {—5i - 400j} m/s2 yB = { -124i - 15j + 26.0k} m/s a* = {5691 - 2608j - 75k} m/s2 2018. yB = {4876i - 15j + 26.0k} m/s st B = {10691 - 2608j - 75k} m/s2 2019. Vj4 = {10i + 14.7j - 19.6k} pies/s = {-6.121 + 3j - 2k} pies/s2 2021. v B = 6.00 pies/s a) x = 0.6667 rad/s (o y = 0.3333 rad/s (o z = 0.8333 rad/s yB = {6.00j} pies/s oj = {0.667i + 0.333j + 0.833k} rad/s 1922. afl = {-6.50j} pies/s2 « = {—0.722i + 0.889j - 0.278k} rad/s2 2023. v B = 4.71 pies/s <* AB = {1-171 + 1.27J - 0.779k} rad/s 2025. ((o AB )x = 1.667 rad/s (<°AB)y = 4.167 rad/s ( VAB )Z = 3 333 rad/s v B = -25 pies/s yB = {-201 + 15k} pies/s 1926. a* = {-11291 + 847k} pies/s 2027. yB = {lj} m/s
20-
29. 39. 43. 50. ((o=AB)x = -2.133 vycc rad/s (<*>AB) {-7.141 vg -= y = =
{-1.001 {-1.791 1.94j {-5.201
--
+-
2
2 0.3902 5.00j+rad/s 1.40j 1.44j 3.58k} + 0.800k} (
2019202020-
18-
2
2 2 vcA == aac 47. ag ={0.8391 v{5.751 {2.25k} = {-2.71 {-28.81 --109j m/s 3.15j++ -24.1k} 0.354k} 6k} - m/s m/sm/s 5.45j + 32.3k} m/s c=
ac {-721 - 13.5j + —4.51} 7.8k} 30. 5L 45.Vg a=A(v^g)^ 41. == {-13.9k} {-5.201 ==-{1.20j m/s {1.44j + 16.5k} -m/s1.60k} m/s m/s as= m/s {5.751 - HOj + 2
2
, 2 (' = { —l-8j} m/s m/s2 v„ = {— 23.1k} (• 31.C/A)xyz a/b)^ ym/s ={-0.320j {10k} - pies/s 0.240k} B= v33. c = { —4.51 - 1.8j} m/s 5.701 v B = 1.875 + 1.20J m/s (o-x 1.60k} = m/s a A = {-1.441 2 3.74j 1.50 rad/s - 0.240k} (oy = 0.225m/s
rad/s (o z = 0.450 rad/s
2020-
34. a B = -6.57 m/s2 35. oj = {1.501 + 2.60j + 2.00k} rad/s yc = {10.4i 7.79k} pies/s
20-
37. (o x = 0.204 rad/s (Oy = 0.612 rad/s (o z = 1.36 rad/s vB = 0.333 m/s
ojfiC = {0.2041 - 0.612J + 1.36k} rad/s y B = { -0.333J} m/s
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
20-53- fo/A* = {-3j + 5.196k} m/s (aB /A ) = {4.098i + 1.098k} m/s2 vs = {-17.81 - 3j + 5.20k} m/s afl = {3.051 - 30.9j + l.l()k} m/s2 20-54. vc = {2.80j - 5.60k} m/s ac = {-561 + 2.1j} m/s2 20- 55. vc = {2.80j - 5.60k} m/s ac = {-561 + 2.1j - 1.40k} m/s2
Capftulo 21 21-
2 2 2 (2/j + 3 a ) 2 03 mr
213. 215. 216. 217.
2. I T. = + 4*2)
f (r2 + 3a2) pa 2h 2 „x y h y I< h h
za 1HL 12“ ma 2 „ 20 132 24 mr
Imr 1 12
24 ^
= m2 = = 80 kg • m2 12 128 k g - m 2 kg 176 kg • 21m 2 = 72 9. 2 : ■ kg • m xy yz 24 kg*m 2 21-10. x : I 24 kg*m 2 yy = 4.08 kg • z m2 : 1.10 21-1L Ir kg* m2 2 0.785 I z = 1.26 kg kg* *m2 m2 1.36 21- Por simetria y =kg* 0.5 pie 2 13. m 0.380 x = -0667 pie kg • m2 slug • pie2 /*- = 0.0272
2114. 2115. 2117.
hly= 0.0155 slug • pie2 2 h 0.0427 slug • pie 2 1.25 slug • pie I z = 3.54(10 ) kg • m2 Ixy = [0 + 0.4(2)(0)(0.5)] + [0 + 0.6(2)(0.3)(0.5)] + [0 + 05(2)(0.6)(0.25)] = 0330 kg *m2
721
21-18. I xx = Q626 kg*m 2 f - 0.547 kg* ' 2 y m y 109 kg m2 kg**m 21- Iz = Q429 T = 0.0920 p ie * 19. 21- lb 22. Hc = {002071 - 0.00690j + 0.0690k} slug-pie2^ l x , = 21- I,, = B.55 kg *m2 Iy = 0.100 kg* m2 (o z = 2.58 rad/s H A 23. 21- = 26.9 kg • m2/s = {-006251 - 0.119j + 0.106k} rad/s H x = 25. 26. 21- 0.3375 kg • m2/s Hy = 0 H z = 1.6875 kg • m2/s Hg = {0.33751 + 27. 21- 1.6875k} kg *m 2 / s H0 = {21.91 + 1.69k} kg • m2/s T = 78.5J 29. H0 = {21.91 + 0.5625j + 1.69k} kg *m 2 / s T = 81.3 J = {—2000i - 2500j + 22 500k} kg *m2/s I x 2130. = 0.3235 slug • pie2 I y = 0.2588 slug • pie2
2131. 2133. 2134. 2135. 2137. 2138. 2139. 2141. 42. 2143. 2145.
I z = 006470 slug • pie2 o> = {-2.161 + 5.40j + 7.20k} rad/s u0 = -0.2331 + 0.583j + 0.778k w = {-0.9541 + 2.38J + 3.18k} rad/s = -0.233i + 0.583j + 0.778k T = 0.0920 pie • lb u 0 = {0.141 j - 0.990k} lo = {8.57IJN *s o> = {-28.lj + 80k} rad/s H0 = {144i + 144j + 1056k} kg *m 2 / s T = 3.17 kJ
2Mr = (Ix0)x - lxy0)y - Ixz6)z) - ClZ (Iy (Oy ~ IyZ (Oz ~ Iyj[ W,) + Cly(l (O - I (O ~ l (Oy) Iy (lj (Oy + I z fly (0 Z HM r =9.64 Ir W, z
z
zx
x
zy
N B (o , x = 09.98 (Oy = —(O N cos 0 (o 7 = (o sen 6 0 3g tan 0
V L(2 sen 0 + 1)
722
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
21-46.
21-47.
B x = -250 N A v = B= 0 B z = 24.5 N Iyz 2 7vc SMr 2M V
21-49.
21-50. 21-51. 21-53.
zx 2 V
T G
2M, = 0 (0.1 cos 30°)(2) - (0.1 sen 0 F )m F - (0.2 sen 0 D )m D = 0 e D = 139° m D = 0.661 kg 0 F = 40.9° m F = 1.32 kg M = 81.0 N-m M Y = -218 lb-p ie Mz = 0 M x = 100 lb • pi e OJ, co p sen 6 co n os 00 co x = —aj s co p ccos
(Oy = 0
21-54.
21-55. 21-57. 21-58. 21-59.
21-62.
io z = (o s (o p sen 0 M x = — f ml2 (o s (o p c os 0 My = ^ ml2 (o p2 s en 20 M7 = 0 mL (0\ 2 „y 12 a (O2 E 0 2 x mL co i (02 Ez — Ez
12 a _ mg
2 F = 30 N N = 135 kN M = 27.5 N-m I z = 34938 slug • pie2 Iy, (Oy = 0, (o z = 6 rad/s <».X T = 21.0 lb pi e T = 23.4 lb -pi e BY = 0 A z = -41.2 N Ax = 0 B z = 139 N a = 69.3° 0 = 128° y = 45° No
21-63. 21-65.
2166. 2167. 2169. 2170. 2171. 212173. 75. 2177. 2178. 2179. 2181.
N w = 77.7 [(ST)(0-2)2](2)(100) lb My Mr = ■ M ■ z
A
0
m r 0 16 = = 53.4 N g 26 sen2 or + l) 2 cos a( 16 cos a — I = 3.63(l03) rad/s (o p = -4.905 rad/s ojp = 13.5 rad/s o 3.00 rad/s v = 88.89 m/s (o s = 222.22 rad/s M x = 2 kN *m H c = 17.2 Mg • m2/s cf> = 12.8 rad/s H Q = 0.352 kg • m2/s if/ = 35.1 rad/s H c = 2.10 Mg *m2/s H G = 4.945 (lO6) kg* m2/s 0 = 66.59° ^ = 81.7 rad/s if/ = 212 rad/s Como I>/z,e 1 movimiento es de precesidn regular. F
Capftulo 22 22-1.
12.4 lbpi e
y+5(>.\y = 0 B = 0.1 m A = 0.2003 m y = 0.192 m 22-2. / = 4.98 Hz r = 0201s 22-3. / = 2.02 Hz y = -02 cos 12.7/ C = 0.2 pie 22-5. B = 0.150 A = -0.1 x = -0.1 sen (20/) + 0.150 cos (20/) C = 0.180 m 22-6. y = 0.107 sen (7.00/) + 0100 cos (7.00/)
723
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
2210. 2211. 2213. 2214. 2215. 2217.
2T T
2 T T
gd
Ti = ^ Mk2&
3 r 2
27 7
g I A = 0.2894mgd d = 146 mm k G = 0.627 m r = 0.401 s I = 0.457 m F sp = 28.80 IQ = 0.7609 slug • pie2 0 + 15.3760 = 0 / = Q624 ' ■ -U Mr2 + 2mk0' Hz h r
2218. 2219. 2221.
S AB = (I ~ M — *o = (l~ W + x «w = v®
ml?
oj n = 76.7 rad/s C = 230 mm 2 12ga _ 2tTL rr
2222. 2223. 2225.
2226. 2227. 2229. 22-
22-35. 30.
2231. 2233. 2234.
l
22-37. V
V
7
a V 12g k =— fc Z
277 V L k =— fc
\ mr 2 60 + mg(r )(sen 0)0 = 0 ' r = 0.401 s V = 50 1 T = Q192187502 0 + 26.00 = 0
' ■ W! 2
r It g - 4tt2 R ~ 2 TT V «
2238.
f=~fc
77 V m
2239. 2241.
v?
3> +
2& sen2 0m 2.81s
0
jc = A sen co n t + 5 cos co nt +
2242. 2243. 2245. 2246. 2247. 2249. 2250. 2251. 2253. 2254. 2257. 22-58. 22-59. 22-61.
y = A sen to„/ + fi cos to„/ +
Fol k
cos to/
1 : \/c (?) — mo? ) F0 2 )cos wr
>>o
Vo _ (F 0/k)a) c c o co n =o8.025 rad/s . y = (0.0186 . sen 8.02/ + Q333 cos 8.02/ 0.0746 sen 2/) pies (Vp)m&x = 2.07 pies/s y = (361 sen 7.75/ + 100 cos 7.75/ 350 sen 8/) mm k = 4905 N/m co n = 14.01 rad/s to = 14.0 rad/s C*7>)m4x = 14.6 mm (x p )m&x = 35.5 mm co n = 18.57 rad/s MF = 0.997 3F o
2 (mg + Lk) — mLo? 2 cy
c < v5 to = 12.2 rad/s to = 7.07 rad/s k = 417 N/m k = 1250 N/m ton = 8.923 rad/s u)d = &566 rad/s = 0.734 s
724
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
22-62. 22-63. 22-65.
y P = 0.111 sen (5t -0.588) m y = 1.550 + 5400 + 2000 = 0 (o n = 11.35 rad/s
22-66. 22-67. 2269.
k8o
0.803[eHX859/sen (9.23f + 1.48)]
{cd P )c = 3-92 lb - s/pie y = [-0.0702[e-3-57'sen(8.54r)]] m y = (-0.0232 sen 8.97f + 0333 cos 8.97* + Q0520 sen At) pies oj n = 11.62 rad/s Cc = 92.95 (o d = 887 rad/s A = 0.0338 y = 33.8[e-75,sen(8.87r)] mm
22-70. y = A sen co nt + B cos co n t +
—- cos corf
(£ - ^ )
22-71. OJQ = (o n = 19.7 rad/s 22-73. F = 0.006470a;,)2 sen
22-77. Lq + Rq + —q = 0
/■
Indice A Aceleracidn (a), 7-8,34,36,53-54,68, 88,104-167,313,317,363-376, 380-381,393,394-453,552-556, 568. Vea tambiin Aceleraci6n angular analisis de movimiento relativo y, 88,363-376,380-381,393,568 atraccidn gravitacional y, 107-108, 156-157 constante, 8,315 cuerpos rfgidos, 313,315,317, 363-376,380381,394-453 cuerpos rfgidos tridimensionales, 552-556,568 curva hoddgrafa, 34 derivadas con respecto al tiempo, 68,552-556,568 direccidn y, 553,568-569 ecuaciones de movimiento, 105-167, 409-453 ejes rotatorios, 380-381 fuerza (F) y, 104-167,394-453 instantanea, 7,34 magnitud de, 36,363,365 momentos de inercia (I) y, 395-408 movimiento curvilfneo y, 34,36, 53-54,68 movimiento piano general y, 363-376,393,440-453 movimiento rectilfneo y, 7-8 partfculas, 7-8,34,36,53-54,68,88, 104-167 procedimiento para el analisis, 365 promedio, 7,34 rotacidn alrededor de un eje fijo, 317.425439,453 rotacidn alrededor de un punto fijo, 552 rotacidn y, 363-376,380-381,410-412 segunda ley del movimiento de Newton y, 105-106 traslacidn y, 313,363367,409, 412-425 Aceleracidn angular (cr), 68,315,317,395, 425-426,551-556 constante, 315 cuerpos rfgidos tridimensionales, 551556 derivadas con respecto al tiempo, 552556 magnitud y, 425426 momentos de inercia y, 395 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 315,317,395,425-426 partfculas, 68 rotacidn alrededor de un eje fijo, 315.317.425426 rotacidn alrededor de un punto fijo, 551-552 Amortiguador, 655 Amplitud, 633-634
Analisis de movimiento absoluto (dependiente), 81-86,103, 329-336,392 cuerpos rfgidos, 329-336,392 partfculas, 8186,103 procedimientos de, 82,329 Analisis de movimiento dependiente, vea Analisis de movimiento absoluto Analisis de movimiento relativo, 87-91, 103,300,337-350,363-390,393, 535,566-577 aceleracidn (a) y, 88,363-376, 380-381,568 cuerpos rfgidos tridimensionales, 566-577 desplazamiento (rotacidn) y, 337 ejes rotatorios, 377-390,393,535, 566-577 ejes trasladantes, 566-577 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 337-350,363-390,393,535 partfculas, 87-91,103,300 posicidn y,377,567 procedimientos para, 88,340,365, 382,569 traslacidn y, 87-91,103,337350, 363-376,392-393,535 velocidad (v) y, 338-339,378-379,567 Analisis vectorial, 672676 Analogos de circuitos el£ctricos, 661,669 Angulo de nutacidn (0), 614-615,621-622 de precesidn (<£), 614-615,621-622 de rotacidn (tfr), 614-615,621-622 direccional («/>), 144145 Angulos de Euler, 614-616,621-622 Anillos cardanicos, 619 Apogeo, 160
Caballo de fuerza (hp), unidad de, 192 Cantidad de movimiento, 220-297, 301-302,494-533,589-592,628 angular, 262-276,297,496-533, 589-592,628 dnatica de una partfcula, 220-297, 301-302 conservacidn, 236-247,268,296, 517520,533 cuerpos rfgidos tridimensionales, 589-592,628 diagramas, 223-224 flujo continuo y, 277-281,297 impacto y, 248261,296-297, 521-530,533 lineal, 222-247,296,495, 498-500 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 494-533 principios de impulso y, 221-247, 266-281,296-297,501-516,532, 592
procedimiento para el analisis, 237, 268,518 propulsidn y, 282-286,297 sistemas de partfculas, 228,236-247, 264-265 voltimenes de control, 277-295 Centro de masa (G), 113,590,593 cantidad de movimiento angular, 590 cuerpos rfgidos tridimensionales, 590,593 energfa cindtica y, 593 sistema de partfculas, 113 Centrodo, 353 Cinematica, 2-103,298-300,310-393, 534-535,548-577 analisis de movimiento relativo, 87-91,103,300,337350,363-390, 393,566-577 centro instantaneo (Cl), 351-362,393 cuerpos rfgidos tridimensionales, 548577 derivadas con respecto al tiempo (/), 6770,552-556,567-569 ejes rotatorios, 377390,393,535 graficas para soluciones, 1926,100 movimiento absoluto (dependiente), analisis, 81-86,103,329-336,392 movimiento continuo, 5-18 movimiento curvilfneo, 3339,52-80, 101-102,299 movimiento de un proyectil, 40-44, 101 movimiento erratico, 19-32 movimiento piano, 310-393,534-535 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 310-393,534-535 movimiento tridimensional general, 557565,577 partfculas, 2-103,298-300 principios de, 3-4 procedimientos para el analisis, 9, 37,41,55,70,82,88,319,329, 340,353,365,382,569 rectilfnea, 532,100,299 rotacidn, 312,314321,392,552-556 rotaci6n alrededor de un eje fijo, 312,314-321,392,535 rotacidn alrededor de un punto fijo, 549556,577 traslacidn, 312-313,392,535,552-556 velocidad cero, 351-362,393 Cinematica rectilfnea, 5-32,100,299 aceleracidn (a) 7-8 cinematica de una partfcula, 5-32, 100,299 desplazamiento (A), 5 graficas para soluciones, 19-26,100 movimiento continuo, 5-18 movimiento erratico, 19-32 posicidn (s), 5,8 procedimiento para el analisis, 9 velocidad (v),6,8
725
726
INDICE
Gndtica,3,104-167,168-219,220-297, 300302,394-453,454-493, 494-533,535537,578-629. Vea lambten Mecanica espacial aceleracidn (a) y, 104-167,394-453 conservacidn de la cantidad de movimiento, 236-247,268,296, 517-520,533,537 coordenadas cilindricas, 144-154, 167 coordenadas normales, 131-143 coordenadas rectangulares, 114-130 coordenadas tangenciales, 131-143 cuerpos rigidos tridimensionales, 578-629 diagramas de cuerpo libre, 109-111, 167,410-412 ecuaciones de movimiento, 105-167, 300,409-453,600-613,629 eficiencia y, 192-200,219 energfa (E) y, 174-192,202-219, 300-301,454493,536,592-595, 628-629 flujo continuo y, 277-278,297 fuerza (F) y, 104167,168-173, 201-204,219,394-453 impacto y, 248-261,296-297 impulso y cantidad de movimiento, 220-297,301302,494-533,537, 589-592,628 inercia (/), 110-111,167,395-409, 453,579588,628 leyes de Newton, 106-109 movimiento giroscdpico, 614-619, 629 movimiento originado por una fuerza central, 155-165,167 movimiento piano, 394-453,454-493, 494-533 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 394-453,454-493,494-533, 535-537 movimiento sin par de torsidn, 620623,629 partfculas, 104-219,300-302 potencia y, 192-200,219 principio de, 3 procedimiento para el analisis, 114115,132,145,175,206,224, 237,251,268,279,397,414,427, 441,604 propulsidn, 282-286,297 trabajo (U) y, 168-219,300-301, 454493,536 trayectorias, 156-162 volumenes de control, 277-295 Coeficiente de restitucidn, 249-250,297, 521,523 Componentes cilfndricos de movimiento, 6674 Cono corporal, 551-552,622 espacial, 551-552,622
Conservacidn de la cantidad de movimiento, 236-247,268,2%, 517520,533 angular, 268,517-520,533 lineal, 236-247,296,517-520,533 movimiento piano de un cuerpo rigido, 517-520,533 procedimientos para el analisis con, 237,268,518 sistemas de partfculas, 236-247,268, 296 Conservacidn de la energfa, 205-209,219, 477-489,493,645-651,668 dn£tica de partfculas, 205-209,219 energfa potencial (V) y, 205-209, 219.477489,493 fuerzas conservadoras y, 205-209, 219.477478,645 movimiento piano de un cuerpo rigido, 477-489,493 procedimiento para el analisis, 206, 479,646 sistema de partfculas, 206 vibracidn y, 645-651,668 Continuidad de masa, 278 Coordenada radial (r), 66-67 transversal (0), 66-67 Coordenadas, 5,35-39,66-74,81-82, 8788,114-154 analisis de movimiento dependiente y, 81-82 analisis de movimiento relativo y, 87-88 dlfndricas, (r, 0, z), 66-74,144-154 dnematica de una partfcula, 5,35, 66-70,81-82,87-88 dn6tica de una partfcula, 114-154 de posicidn (s), 5,9,81-82 ecuaciones de movimiento y, 114-154 ejes trasladantes, 87-88 normales, 131-143 origen fijo (O), 5 polares, 66-68,70 radiales (r), 66-67 rectangulares (x,y, z), 35-39,114-120 tangenciales, 131-143 transversales (0), 66-67 Coordenadas cilindricas (r, q, z), 66-74, 144154,167 angulo direccional (ip), 144-145 ecuaciones de movimiento y, 144-154,167 fuerza de friccidn tangencial (F)y, 144 fuerza normal (N) y, 144 movimiento curvilineo, 6674 procedimiento para el analisis, 70-145 Coordenadas normales, 52-58,131-143 ecuaciones de movimiento para, 131-143 movimiento curvilineo, 52-58 procedimientos para el analisis, 55, 132
Coordenadas rectangulares (x,y, z), 3539,114-120,590-591 componentes de cantidad de movimiento angular, 590-591 ecuaciones de movimiento y, 114-120 movimiento curvilineo, 3539 notacidn escalar, 35-36 procedimiento para el analisis, 37, 114115 Corriente de fluido, flujo continuo de, 277-281,279 Cuerpos compuestos, 401 Cuerpos rigidos, 310-393,394-453, 454493,494-533,535-547, 548-577,578-629 aceleracidn (a) y, 394-453 analisis de movimiento absoluto (dependiente), 329-336,392 analisis de movimiento relativo, 337350,363-390,393,566-577 centro instantaneo (Cl), 351-362, 393 cinematica, 311-393,534-535, 548-577 cindtica, 394-453,454-493,494-533, 535-537,578-629 conservacidn de la cantidad de movimiento, 517-520,533,537 diagramas de cuerpo libre, 410-412 ecuaciones de movimiento, 409-453, 535-536,600-613 ejes rotatorios, 377-390,393,566-577 ejes trasladantes, 566-577 energfa (E) y, 454-493,536 fuerza (F) y, 394-453 impulso y cantidad de movimiento, 494533,537,592,628 inercia y, 395-408,579588,628 movimiento piano, 310393,409-453 movimiento piano general, 312, 329-393,440-453,491,535 procedimiento para el analisis, 319, 329,340,353,365,382,414,427, 441,569,604 rotacidn, 312,314321,337-339,392, 410-412 rotacidn alrededor de un eje fijo, 312,314-321,392,425-439,453, 535 sistemas de, 458 trabajo (U) y, 454493,536 traslacidn, 312-313,337-350, 392393,409,412-425,453,534 tridimensionales, 548-577,578-629 velocidad cero, 351-362,393 Cuerpos rigidos tridimensionales, 548-577,578-629 analisis de movimiento relativo, 566-577 cantidad de movimiento angular, 589592 cinematica, 548-577
INDICE
dndtica, 578-629 derivadas con respecto al tiempo (f), 552-556,568-569 ecuaciones de movimiento, 600-613, 629 ejes rotatorios, 552-556,566-577 ejes trasladantes, 552-556,566-577 energfa cindtica, 592-599 impulso y cantidad de movimiento, 592,628 inercia y, 579-588,628 marcos de referencia direccionales, 553 movimiento general, 557-558,577 movimiento giroscdpico, 603-604, 614619,629 movimiento sin par de torsidn, 620623,629 principio de trabajo y energfa, 593, 628-629 procedimientos para el andlisis, 569, 604 rotacidn alrededor de un punto fijo, 549556,577 sistemas rotatorios, 552-556 sistemas trasladantes, 552-556 Curva hoddgrafa, 34
Direccidn, 33,35-36,352-353,365, 425426,460,553,568-569 aceleracidn (a) y, 36,363,365,553, 568-569 constante, 568 cuerpos rfgidos tridimensionales, 553.568569 magnitud y, 33,35-36,352-353,365, 425426,460,553 marcos de referencia para cambios, 553.568569 movimiento curvilfneo, 33,35-36 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 352-353,365,425-426, 460 partfculas, 33,35-36 rotacidn alrededor de un eje fijo, 425-426 trabajo de un momento de par y, 460 Directriz, 157
D Deformacidn, 177,248-251,521-523 dndtica de una partfcula, 177, 248-251 coeficiente de restitucidn, 249-250, 521,523 deslizamiento y, 177 impacto excdntrico, 521-523 impacto y, 248-251,521-523 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 521-523 periodo, 248 Desacelaracidn, partfculas, 7 Deslizamiento ecuaciones de movimiento, 440-451 friccidn originada por, 177-178 Desplazamiento (A) 5,33,314,316,459,653 angular (de), 314,316 de cuerpos rfgidos, 314,316,459 hacia abajo, 459 partfculas, 5,33 peso (W) y, 459 soporte periddico, 653 vertical, 459 vibracidn, 653 Diagramas dndticos, 109 de cuerpo libre, 109-111,167, 410-412 Diferenciacidn de funciones vectoriales, 676 Dindmica,3-4 principios, 3-4 procedimiento para solucidn de problemas, 4
Ecuaciones de Euler, 602-603 Ecuaciones de movimiento, 105-167,300, 409-453,535536,600-613,629 atraccidn gravitatoria, 107108 dndtica de una partfcula, 105-167, 300 coordenadas cilfndricas, 144-154 coordenadas normales, 131-143 coordenadas rectangulares, 114-130 coordenadas tangenciales, 131-143 cuerpos rfgidos tridimensionales, 600-613,629 de rotacidn, 410-412,600-601 de traslacidn, 409,412425,453, 600 deslizamiento y, 440-451 diagrama cindtico, 109 diagramas de cuerpo libre para, 109- 111,167,410-412 ejes giratorios simdtricos, 603-604 fuerza central, 155165,167 marco de referencia inercial, 110111,167 momentos de inercia (/) y, 440-451 movimiento piano de un cuerpo rigfdo, 409453,535-536 movimiento piano general, 440-453 procedimientos para el andlisis, 114115,132,145,414,427, 441,604 rotacidn alrededor de un eje fijo, 425-439,453,602-603 segunda ley de Newton, 105-106 sistemas de partfculas, 112-113 trayectorias, 155-162 Eficiencia (e), 192-200,219 mecdnica, 192-193 potencia (P) y, 192-200,219
727
Eje arbitrario, momento de inercia con respecto aun, 583 binormal (b), 54,131 de rotacidn instantdneo, 551-552 Ejes giratorios simdtricos, vea Movimiento giroscdpico Ejes rotatorios, 377-390,393,535, 552-556,566-567 andlisis de movimiento relativo, 377390,393,535,566-577 cuerpos rfgidos tridimensionales, 552-556,566-567 derivadas con respecto al tiempo, 552-556 ejes trasladantes, 566-577 movimiento piano de un cuerpo rigido, 377-390,393,535 traslacidn y, 377-390,393 Ejes trasladantes, 8788,103,552-556, 566-577 andlisis de movimiento relativo, 566-577 cuerpos rfgidos tridimensionales, 552556,566-577 derivadas con respecto al tiempo para sistemas, 552-556 ejes rotatorios y, 566577 partfculas, 87-88,103 Empuje, 282-283 Energfa (£), 174-192,201-219,300-301, 454493,536,592-595,628-629, 645-651,668 cindtica, 174,201,219,455-458,491, 592595,628-629 cindtica de una partfcula, 174192, 201-219,300-301 conservacidn, 205209,219,477-489, 493,645-651,668 cuerpos rfgidos tridimensionales, 592-595,628-629 fuerza conservadora y, 201-204,219, 477-478,645 interna, 177 mecdnica, 192-193,219 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 454493,536 potencial (V), 201-204,219,477-489, 493 principio de trabajo, 174-192,219, 462468,493 procedimiento para el andlisis, 175, 206,463,479 sistema de partfculas, 176-182 trabajo (W) y, 174-192,201-219, 300-301,454-493,536 vibracidn y, 645-651,668 Energfa cindtica, 174,201,219,455-458, 491,592-595,628-629 centro de masa (G) y, 593 cuerpos rfgidos tridimensionales, 592-595,628-629 de traslacidn, 457,491
728
INDICE
eje de punto fijo, 593 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 455-458,491 movimiento piano general, 457,491 partfculas, 174,201,219 principio de trabajo y energfa, 593, 628-629 rotatoria, 457,491 sistema de cuerpos rigidos, 458 Energfa potencial (V), 201-209,219, 477-489,493 conservaci6n de la energfa, 205-209, 219,477-489,493 eldstica, 202,219,477,493 fuerzas conservadoras, 201-204,219, 477-478 fuerzas de resorte, 202,219,477 funcidn potencial, 203-204 gravitatoria, 201202,219,477, 493 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 477-489,493 partfculas, 201-204,219 peso (W0 y, 201-204,477 procedimiento para el analisis, 206, 479 Equilibrio estdtico, 109 Estdtica, 3 Excentricidad (e), 157-159,167 Expansidn de series de potencias, 670
Factor de amplificacidn (MF), 652-653, 659 Flujo continuo, 277-281,297 dnemdtica de una partfcula, 277281,297 flujo de masa, 278,282-284 flujo volumdtrico, 278 principio de impulso y cantidad de movimiento, 277-281,297 procedimiento para el analisis, 279 volumen de control, 277-281 Foco,157 Fdrmula cuadrdtica, 670 Formulacidn escalar, cantidad de movimiento, 262.267 vectorial, cantidad de movimiento, 262.267 Frecuencia forzadora, 651 natural (circular), 632,634,645-646 Friccidn 115,144,177-178 deslizamiento y calor originados por, 177-178 fuerza, 115,144 Fuerza (F), 104167,168-192,201-209, 218-219,221224,228,263-265, 394-453,458-459,477478,492, 645,651-653,655
aceleracidn (a) y, 104-167,394-453 aceleracidn de una partfcula, 104-167 amortiguacidn viscosa, 655 oentrfpeta, 131-132 conservacidn de la energfa, 205-209, 219.477478,493,645 conservadora, 201-209,219,477-478, 645 constante, 171,218,458 desbalanceada, 105-106,107 ecuaciones de movimiento, 106-154, 409-453 energfa potencial (V), 201-204,219, 477-478 externa, 228,264 friccidn, 115,177178 gravitatoria (G), 107-108,156-157 impulso y cantidad de movimiento lineales y, 221-224,228 interna, 112-113,264 momentos, 263-265 movimiento piano de un cuerpo rigido, 394-453,458-459, 477-478,492 movimiento piano general, 440-453 normal (N), 144 periddica, 651-653 peso (WO, 171,201204,219,459 procedimiento para el analisis, 114-115,132 relaciones de la cantidad de movimiento angular, 263265 resorte, 115,172-173,218,459 resultante, 109,263 rotacidn alrededor de un eje fijo, 425-439,453 rotacidn y, 410-412 tangencial/de friccidn (F), 144 trabajo (£/)de, 168-192,218, 458459,492 traslacidn y, 409,412-425 variable, 170,458 variable, trabajo (U), 170,458 velocidad cero (nada de trabajo), 459 vibracidn y, 645,651-653,655 Fuerza conservadora, 201-209,219, 477-478,645 conservacidn de la energfa, 205-209, 219.477478,645 energfa potencial (V), 201-204,219, 477-478 trabajo por desplazamiento de un peso, 201-204 vibracidn libre no amortiguada, 645 Fuerza de resorte, 115,172-173,202, 218219,459,477 cuerpos rigidos, 459 ecuacidn de movimiento, 115 energfa potencial eldstica, 202,219, 477
partfculas, 115,172-173,202,218-219 trabajo, 172-173,218,459 Funciones hiperbdlicas, 670
G Generacidn de calor, deslizamiento y, 177-178 Grdficasu-s, 24,25 Grdficasa-/, 19-23 Grdficas s-t, 19-23 Grdficas v-s, 24-25 Grdficas v-t, 19-23 Grdficas, soluciones cinemdticas rectilfneas con, 19-26,100
Identidades trigonomdtricas, 670 Impacto, 248-261,296-297,521-530,533 central, 248250,251,297 cindtica de una partfcula, 248261, 296-297 coeficiente of restitucidn, 249-250, 297 deformacidn y, 248-251,521-523 eldstico, 250 excdntrico, 521530,533 lfnea de,248,521 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 521-530,533 oblicuo,248,251,297 pldstico, 250 procedimiento para el andlisis, 251 separacidn y, 523 Impulso, 220-297,301302,494-533 angular, 266-271,297 cindtica de una partfcula, 220-297, 301-302 diagrama, 223-224 externo, 228,236 flujo continuo, 277281,297 impacto, 248-261,296-297 intemo, 236-237 lineal, 222-235,494-533 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 494533 principios de cantidad de movimiento, 221-247,266-281, 296-297,501-516,532 propulsidn, 282286,297 volumenes de control, 277-295 Impulso y cantidad de movimiento angulares, 262-276,297,496-533, 589-592,628 cantidad de movimiento con respecto a un punto arbitrario, 590 cantidad de movimiento con respecto a un punto fijo, 590 centro de masa (G), 590 cindtica de una partfcula, 262-276, 297 componentes rectangulares de cantidad de movimiento, 590-591
INDICE
conservacidn de la cantidad de movimiento, 268,517-520,533 cuerpos rfgidos tridimensionales, 589-592,628 formulacidn escalar, 262,267 formulacidn vectorial, 262,267 impacto excdntrico, 521530,533 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 496-500 movimiento piano general, 499,532 principio de, 266-276,297,501-516, 592 procedimiento para el andlisis, 268, 503,518 relaciones del momento de una fuerza, 263-265 rotacidn alrededor de un eje fijo, 498.532 sistema de partfculas, 264-265 traslacidn, 498,532 Impulso y cantidad de movimiento Kneales, 221-247,296,495-4%, 498-533 conservacidn de la cantidad de movimiento, 236-247,517-520 diagramas, 223 fuerza (F), 221-224,228 fuerza externa, 228 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 4%, 498-500 movimiento piano general, 499,532 principio de, 221-227,501-516,532 procedimientos para el andlisis, 224, 237,503 rotacidn alrededor de un eje fijo, 498.532 sistemas de partfculas, 228,236-247, 296 traslacidn, 498,532 Inercia (/), 110111,167,395-409, 440-451,453,579-588,628 aceleracidn angular (a) y, 395 dndtica de una partfcula, 110-111, 167 cuerpos compuestos, 401 cuerpos rfgidos tridimensionales, 579-588,628 ecuaciones de movimiento, 440-451 elementos de volumen (V0,396-397 marco de referencia, 110-111,167, 409 momento de, con respecto a un eje arbitrario, 583 momentos, 395-408,579588,628 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 395-409,453 procedimientos para el andlisis, 397 producto de, 579-582,628 radio de giro, 401 tensor, 582-583 teorema de ejes paralelos, 400-401, 581-582 teorema del piano paralelo, 582
Integracidn de funciones vectoriales, 676 Integrales, 671
L Leyes de Kepler, 161 Leyes de Newton, 106-109 masa y peso de un cuerpo, 108 atraccidn de la gravedad, 107-108 cindtica y, 106-109 segunda ley del movimiento, 105-106 equilibrio estdtico, 109 Lfnea de impacto, 248,521 Lfneas de accidn, 352
Magnitud, 6,33,35-36,352-353,363,365, 425426,460,492,553 aceleracidn (a) y, 36,363,365 aceleracidn angular (a), 425-426 centro instantdneo (Cl) de velocidad cero, 352-353 constante, 460,492 cuerpos rfgidos, 352353,363,365, 425-426,460,492 cuerpos rfgidos tridimensionales, 553 direccidn y, 33,3536,352-353,365, 425-426,460,553 movimiento curvilfneo, 33,35-36 partfculas, 6,33,35-36 rapidez como, 6,33 rotacidn alrededor de un eje fijo, 425-426 trabajo de un momento de par, 460, 492 velocidad (v) y, 6,33,35-36,352-353 Masa (m), 108,282-284,620. Veatambiin Centro de masa (G) axialmente simdtrica, 620 cuerpo, 108 ganancia, 283-284 pdrdida, 282283 propulsidn, 282-284 Mecdnica, 3 Mecdnica espacial, 155-165,282-295, 579583,620-623,629 momentos y producto de inercia, 579-583 movimiento sin par de torsidn, 620-623,629 drbita circular, 159 drbita elfptica, 159-161 propulsidn, 282-295 trayectorias, 156-162 volumen de control de partfculas, 282-295 Momento de par (A/), 460-461,492 Momentos de inercia, 395-408,579-588, 628 Movimiento angular, 314,316-319 armdnico simple, 632
729
continuo, partfculas, 5-18 de un proyectil, 40-44,101 errdtico, partfculas, 19-32 general, cuerpos rfgidos tridimensionales, 557-558,577, 602 horizontal, 40-41 sin par de torsidn, 620-623,629 tridimensional, partfculas, 54 vertical, 40-41 Movimiento con respecto a un punto fijo, 549-556,577,590,593 aceleracidn (a) en, 552 aceleracidn angular (a), 551-552 cantidad de movimiento angular, 590 cuerpos rfgidos tridimensionales, 549-556,577,590,593 derivadas con respecto al tiempo, 552-556 energfa cindtica y, 593 rotacidn, 549-556,577 rotacidn finita, 550 rotacidn infinitesimal, 551 teorema de Euler, 550 velocidad (v), 552 velocidad angular (a>), 551 Movimiento curvilfneo, 33-39,52-80, 101-102,299 aceleracidn (a), 34,36,53-54,68 cinemdtica de una partfcula, 33-39, 53-80,101-102,299 coordenadas cilfndricas (r, 0, z), 6674 coordenadas normales, 52-58 coordenadas polares, 66-68,70 coordenadas rectangulares (.t, y, z), 35-39 coordenadas tangenciales, 52-58 derivadas con respecto al tiempo, 6770 desplazamiento (A), 33 posicidn (s), 33,35,67 procedimientos para el andlisis, 37, 55,70 tridimensional, 54 velocidad (v), 33,3536,52,67 Movimiento giroscdpico, 603-604, 614-619,629 dngulos de Euler, 614-616 diseflo de un giroscopio (giro), 617 ecuaciones de movimiento, 603-604 efecto giroscdpico, 616-617 ejes de rotacidn simdtricos de, 603-604,614-615 horizontal, 40-41 Movimiento originado por una fuerza central, 155-165,167 atraccidn de la gravedad (G), 156-157 Leyes de Kepler, 161 drbita circular, 159 drbita elfjptica, 159-161
730
INDICE
trayectoria de partfculas, 155-156 trayectorias, 156-162,167 velocidad areal, 155,161 Movimiento piano, 310-393,394-533, 534547 aceleraci6n (a) y, 394-453 andlisis de movimiento absoluto (dependiente), 329336,392 andlisis de movimiento relativo, 337-350,363-390,393 cinemdtica, 310-393 componentes angulares, 314-319 energfa (E) y, 454-493 fuerza (F) y, 394-453 general, 312,329-393,440-453,491 impulso y cantidad de movimiento, 494-533 procedimientos para el andlisis, 319, 329,340,353,365,382,414,427, 441 repaso, 534-547 rotacidn alrededor de un eje fijo, 312,314-321,392 trabajo (U) y, 454-493 traslacidn, 312-313,392 Movimiento piano general, 312,329-336, 337-350,363-376,392-393, 440453,491,499,521 aceleracidn (a), 363376,393 andlisis de movimiento piano absokito, 329-336,392 andlisis de movimiento relativo, 337-350,363-376,393 ecuaciones de movimiento, 440-453 energfa cindtica, 457,491 impulso y cantidad de movimiento, 499,532 procedimiento para el andlisis, 329, 365,441 velocidad (v), 337-350,393
N Notaci6n escalar, 675-676 vectorial cartesiana, 673
O 6rbita circular, 159 elfptica, 159-161 6rbitas, 159-161
P Partfculas, 2-103,104-167,168-219, 220-297, 298-309 aceleracidn (a), 7-8,34,36,53-54, 68,88 andlisis de movimiento dependiente (absoluto), 81-86,103 andlisis de movimiento relativo, 87-91,103,300 atraccidn gravitatoria, 107-108, 156-157
dnemdtica de, 2-75,298-300 dnemdtica rectilfnea, 5-32,100, 299 dndtica de, 3,104-167,168-219, 220297,300-302 conservacidn de la cantidad de movimiento, 236-247,268,296 desplazamiento (A), 5,33 dindmica de, 23,298-309 ecuaciones de movimiento, 104167, 300 eficiencia (e) y, 192-200,219 energfa (E) y, 174-192,202-219, 300-301 flujo continuo y, 277-278,297 fuerza (F), 104167,168-173, 201-204,219 impacto, 248261,296-297 impulso y cantidad de movimiento, 220-297,301-302 movimiento curvilineo, 33-39,52-80, 101-102,299 movimiento de un proyectil, 40-44, 101 posicidn (s), 5,8,33,35,67,81-82, 87 potencia (P) y, 192-200,219 procedimientos para el andlisis, 9, 37,41,55,70,82,88,114-115, 132,145,175,206,224,237,251, 268,279 propulsidn, 282-286,297 segunda ley del movimiento de Newton, 106-108 volumenes de control, 277-295 Perigeo, 160 Peso (WO, 108,171,201-204,219,459, 477 atraccidn de la gravedad, 108 conservacidn de energfa, 201-204, 219,477 desplazamiento (A) de cuerpos rigidos, 459 energfa potencial gravitacional (VO, 201204,477 trabajo (U) de, 171,459 Rjsicidn, 5,8,33,35,67,81-82,87,313, 314.316.377.567 andlisis de movimiento dependiente y, 81-82 andlisis de movimiento relativo, 87, 377.567 angular, 314,316 coordenada, 5,81-82 cuerpos rigidos, 313,314,316, 377 cuerpos rigidos tridimensionales, 567 de equilibrio, vibracidn, 632 ejes rotatorios, 377 movimiento curvilineo, 33,35, 67 movimiento rectilineo, 5,8
partfculas, 5,8,33,35 rotacidn alrededor de un eje fijo, 314,316 tiempo (f),como una funcidn,
8 traslacidn, 313 velocidad (v) como una funcidn,
8 Potencia (P), 192-200,219 eficiencia (e), 192-200,219 procedimiento para el andlisis, 194 unidades, 192 Precesidn retrdgrada, 622 Principio de trabajo y energfa, 174-192, 219,462-468,493,593,628-629 cuerpos rigidos tridimensionales, 593,628-629 energfa cindtica y, 593,628-629 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 462-468,493 partfculas, 174192,219 procedimientos para el andlisis, 175, 463 Principios de impulso y cantidad de movimiento, 221-247,266-281, 296-297,501-516,532 angulares, 266276,297,501-516 cindtica de una partfcula, 221-247, 266-281,296-297 flujo continuo y, 277-281,297 lineal, 222-247,2%, 501-516 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 501516,532 procedimientos para el andlisis, 55, 132,224,503 Producto cruz o vectoriales, 673-674 de inercia, 579-582,628 punto (escalar), 675-676 Propulsidn, 282-286,297 Punto arbitrario, cantidad de movimiento angular, 590
R Radio de giro, 401 Rapidez, 6,33. Vea tambidn Velocidad (v) promedio, 6 Regla de la cadena, 677-678 Rotacidn alrededor de un eje fijo, 312, 314-321,392,425439,453,457, 491,498,532,535,602-603 aceleracidn angular (a), 315,317, 425426,535 cuerpos rigidos tridimensionales, 602-603 desplazamiento angular (de), 314, 316 ecuaciones de Euler, 602-603 ecuaciones de movimiento para, 425439,453,602-603 energfa cindtica, 457,491
INDICE
impulso y cantidad de movimiento, 498,532 magnitud, 425-426 movimiento angular, 314,316-319, 535 posicidn angular, 314,316 procedimiento para el andlisis, 319,427 velocidad angular (a>), 314,316 Rotacidn, 312,314-321,329-339,363390, 392-393,410-412,457,491, 549-556,577,600-604 aceleracidn (a) y, 363-376,380-381 andlisis de movimiento absoluto (dependiente), 329-336,392 andlisis de movimiento relativo, 337-339,363-390,393 cuerpos rfgidos tridimensionales, 549-556,577,600-601 derivadas con respecto al tiempo, 552-556 desplazamiento, 316,317,337 ecuaciones de movimiento, 410-412, 600-604 eje fijo, 312,314-321,392,457,491, 602603 eje instantdneo, 551-552 ejes giratorios simdtricos, 603-604 energfa cindtica, 457,491 finita, 550 infinitesimal, 551 movimiento tridimensional general, 602 posicidn y, 377 procedimientos para el andlisis, 329,340,365,382 punto fijo, 549556,577 traslacidn y, 377-390,393 velocidad (v), 338-339,378-379
S Separacidn por impacto excdntrico, 523 Sistemas sobreamortiguados, 656 subamortiguados, 657 Sistemas crfticamente amortiguados, 565 ejes trasladantes de, 87-88,103 movimiento tridimensional, 54 sistemas de, 112-113,176-182,206, 228,236-247 trabajo (U) y, 168-219,300-301 trayectorias, 156-162 velocidad (v), 6,8,33,35-36,52,67, 8788,110,155,161 Sistemas de partfculas, 112113,176-182, 206,228,236-247,264-265 cantidad de movimiento angular, 264-265 conservacidn de la energfa, 206 conservacidn de cantidad de movimiento lineal, 236-247 ecuaciones de movimiento, 112-113
impulso y cantidad de movimiento lineales para, principio de, 228 principios de trabajo y energfa, 176-182 procedimientos para el analisis, 206, 237
Teorema de ejes paralelos, 400-401,581-582 de Euler, 550 del piano paralelo, 582 Tiempo (0,8,67-70,552-556,568, 577 aceleracidn (a), 68,552-556,568 analisis de movimiento relativo, 567-568 cuerpos rfgidos tridimensionales, 552-556,577,568 derivadas, 6770,552-556,567-569 movimiento curvilfneo de una partfcula, 67-70 posicidn (s) como funcidn de, 8 velocidad (v) y, 8,67,552-556, 567 Trabajo (i/), 169-219,300-301,454-493, 536 dndtica de una partfcula, 169-219, 300301 de friccidn originado por deslizamiento, 177-178 energfa (£)y, 174-192,201-218, 300301,454-493,536 fuerza (F) de un, 169192,218, 458-459,492 fuerza constante, 171,218,458 fuerza de resorte, 172-173,218 fuerza variable, 170,458 fuerzas conservadoras y, 201-209, 219 momento de par (A/), 460-461,492 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 454493,536 peso (W), 171,201-204,219,459 principio de energfa, 174-192,219, 462468,493 procedimiento para el analisis, 175,463 sistema de partfculas, 176-182 velocidad cero y (nada de trabajo), 459 Trabajo extemo, 177 Traslacidn, 8791,103,312-313,337-350, 363-376,392393,409,412-425, 453,457,491,498,532,534,600 aceleracidn (a), 88,313,363-376 andlisis de movimiento relativo, 87-91,103,337-350,363-376,393 cuerpos rfgidos tridimensionales, 600 curvilinea, 312,413 ecuaciones de movimiento, 409, 412-425,453,600
731
energfa cindtica y, 457,491 impulso y cantidad de movimiento, 498,532 movimiento piano de un cuerpo rfgido, 312-313,337-350,363-376, 392393,457,491,498,532,534 partfculas, 8791,103 procedimiento para el andlisis, 414 rectilfnea, 312,412-413 vectores de posicidn, 313,337 velocidad (v)y, 313,338-339 Trayectoria de partfculas, 110,131-132, 155156,167 curva, 131-132 movimiento originado por una fuerza central, 155-156 referencia inercial, 110,167 Trayectoria parabdlica, 159 Trayectorias, 155162,167 velocidad areal, 155,161 drbita circular, 159 excentricidad, 157-159,167 drbita elfptica, 159-161 vuelo fibre, 156158,167 leyes de Kepler, 161 trayectoria parabdlica, 159 vuelo propulsado, 158,167
V Vector unitario, 672 Velocidad (v\ 6,8,33,35-36,52,67, 87-88,110,155,159,161,313,314, 316,337-350,351-362,378-379, 393,551-556,567 andlisis de movimiento relativo, 87-88,338-339,378-379,393,567 angular (
732
INDICE
movimiento rectilineo, 6,8 posicidn (s) como una funcidn, 8 procedimiento de andlisis, 353 promedio, 6,33 rotacidn alrededor de un eje fijo, 314,316 rotacidn alrededor de un punto fijo, 551552 rotacidn y, 338-339,378-379 tiempo (/), en funcidn del, 8 traslacidn y, 313,338-339 Velocidad cero, 351-362,393,459 centro instantdneo (Cl), 351-362,393 nada de trabajo por, 459 Velocidad instantdnea, 6,33,351-362,393 centro instantdneo (Cl) de velocidad cero, 351362,393 cuerpos rigidos, 351-362,393 partfculas, 6,33 Vibracidn amortiguada, 631 forzada, 631 forzada amortiguada viscosa, 658659,669 forzada no amortiguada, 651-654 libre, 631 libre amortiguada viscosa, 655-657, 669 no amortiguada, 631
Vibracidn libre no amortiguada, 631-651, 668 frecuencia natural (circular), 632, 634.645646 fuerzas conservadoras, 645 mdtodos de conservacidn de energfa, 645-651 movimiento armdnico simple, 632 procedimiento para el andlisis, 635, 646 Vibraciones, 630-669 amort iguadas, 631 amplitud, 633-634 andlogos de circuito eldctrico, 661, 669 desplazamiento periddico del soporte, 653 factor de amplificacidn (MF), 652653,659 forzadas, 631 forzadas amortiguadas viscosas, 658659,669 forzadas no amortiguadas, 651-654, 668 frecuencia natural (circular), 632, 634.645646 fuerzas periddicas, 651-653 libres,631
fibres amortiguadas viscosas, 655657,669 fibres no amortiguadas, 631-651,
668 mdtodos de energfa para conservacidn de, 645-651,668 movimiento armdnico simple de, 632 posicidn de equilibrio, 632 procedimiento para el andlisis, 635,646 sistemas crfticamente amortiguados, 565 sistemas sobreamortiguados, 656 sistemas subamortiguados, 657 Volumen (V), momentos de inercia y, 396-397 Voltimenes de control, 277-295 cinemdtica de partfculas, 277-295 empuje, 282-283 flujo continuo, 277-278 flujo de masa, 278,282-284 flujo volumdtrico, 278 gananciade masa (m), 283-284 pdrdida de masa (m), 282-283 propulsidn y, 282-295
W Watt (W), 192
Propiedades geometricas de elementos lineales y de area LJbicaci6n del centroide
y
-d;
Ubicaci6n del centroide
Momento de inercia de drea
y
L= 20 r
4 =i r 4 (0-i s en 20) I x=\r\0 +^sen20)
senf le
Segmento de arco circular
Area de un sector circular
L-7tr
/ =1 Kr* „x -\ nr Area de un cuarto de cfrculo
Arcos de un cuarto de cfrculo y de un semicfrculo
r a -) / .A=^h(a + b) 4 = i . » AT
I-
f -A
ab
Iy Jtr
Area semicircular
Area trapezoidal
8
-j /„ = I KT*
a —•;!
/
/ Area semiparabdlica
Area exparabdlica
t
—f —
1 _ 1- -------
c
A= bh
'x'y= k hbi
Area rectangular
A = : bh ',4“‟
Area triangular
Centro de gravedad y momento de inercia de masa de solidos
*xx
=I
yy
=I
zz = \mr 2 !
Semiesfera Ija -1 yy — 0.259m? I a = \m?
Ixx =I yy = ^"J (4r 2 + h 2 ) I a = f^nir 2
!
Ixx=Iyy = \mr 2 I a = \m? I zV =\mr 2
X X = J2
niijl ,
yy=fzmal / a=A m < a2 + b2 )
f c
Varilla delgada /
==
/
I
xx= I yym=2 \
W=
Ix=m f 2
T5 ' '**' = V =5
fe =
0
xx
Estadecimosegunda edicion de Ingenieria Mecanica: Dinamica, ofrece una presentacion clara y completa de la teorfa y las aplicaciones de la ingenieria mecanica. El texto ha sido mejorado significativamente en relacion con la edicion anterior, de manera que tanto el profesor como el estudiante obtengan el apoyo didactico que requieren y encuentren mas ameno el material. Novedades de esta edicion
Modificaciones en el contenido. Cada seccion del texto se reviso con sumo cuidado, y en muchas areas el material se volvio a escribir con el fin de explicar de mejor manera los conceptos. Problemas fundamentales. Esta seccion ofrece a los lectores aplicaciones simples de los conceptos vistos en el capftulo, con el fin de desarrollar sus habilidades para resolver ciertas dificultades antes de intentar solucionar los problemas estandar que le siguen. Problemas conceptuales. Son problemas que involucran situaciones conceptuales relaciona- das con la aplicacion de los principios de mecanica presentados en el capftulo. Fotograffas adicionales. Se han agregado mas de 60 fotograffas de aplicaciones reales que ilustran los ejemplos que se presentan a lo largo del libro. Problemas nuevos. Son alrededor de 800, que equivalen al 50% del total; entre ellos aplicaciones en biomecanica e ingenieria aeroespacial y petrolera. Para mas information visite: www.pearsoneducacion.net/h ibbeler
IS BN 978-607442-560-4
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