Integral Doble

DEDICATORIA

El reconocimiento a nuestro Padre celestial “Dios” por darnos la vida y derramarnos

su

bendición desde lo más alto de los cielos y por ser nuestro guía en el cumplimiento de nuestro sagrado deber como agentes.

AGRADECIMIENTO

Agradeces a Dios, a nuestros docentes por volcar sus invalorables conocimientos y apoyo fundamental, para desarrollarnos

en la

vida como profesionales

de la Ley También

damos gracias a nuestros padres por

comprendernos durante

ésta arduo tarea que

culminamos satisfactoriamente para el bienestar nuestra

familia y de nuestra Nación.

de

ÍNDICE

Tabla de contenido INTRODUCCIÓN..................................................................................................4 MARCO TEÓRICO...............................................................................................6 1.1

INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA........................................6

INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D................................................................7 EJERCICIOS...................................................................................................7 1.3 INTEGRALES DOBLES SE APLICA.......................................................14 1.3.1 ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN.................................................15 1.4 APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES.................16 1.5 COORDENADAS POLARES...................................................................21 1.6 Práctica de Cálculo.......................................................................................25 CONCLUSIÓN.....................................................................................................29 REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.........................................................................29

INTRODUCCIÓN En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆R2 → R2. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x. Estamos de acuerdo con la siguiente notación: Es la integral definida de la función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales. De la misma manera en que la integral de una función positiva

de una variable definida en un

intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva

de dos variables, definida

en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función

definida en una región del espacio xyz, el resultado es un

hiperbolicen, sin embargo es bueno notar que si

el resultado se puede

interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores. La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a

menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha. Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o anti derivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

MARCO TEÓRICO

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [a,b] y sea P una partición del intervalo cerrado [a,b], donde { } i i n n P x , x , x , , x , x , , x , x 0 1 2 −1 −1 = � � . Una suma de Riemann de la función f para la partición P , de notada por P R es un número real obtenido como: RP = ∑f(x i *

∆xi

)

i-1 Donde: n es el número de su intervalos de la partición P , * [ ]i i 1 i x x ,x − ∈ y i Δx es la longitud del subíntralo genérico (También llamado su intervalo i-ésimo). En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo cerrado [a,b]. 1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS Sea f :2 →� una función definida sobre la región rectangular cerrada D , dada por: D = [a,b]×[c,d ] = {( x, y)∈�2 a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} (I.3) Sea P una partición de la región D, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones x P y y P de los intervalos [a,b] y [c, d], respectivamente, como se muestra a continuación: P x = { , x , x , …, x , x , ..., xn -1, x n} entonces P = Px × Py Si la partición x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x , x −1 de longitud −1 Δ = − i i i x x x , y la partición y P tiene m+1 elementos y m subintervalos [ ] j j y , y −1 de

longitud −1 Δ = − j j j y y y , entonces la región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅m rectángulos denominados ij D , tal como se muestra en la figura.

INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D Sea f :R2 →R una función real definida sobre un rectángulo D del plano. La integral doble de f sobre D, denotada por ∫∫D F( x, y) dA , se define como: ∫∫ f (x, y )dA = Lim ΣΣ f (xi* , yi*) ΔAÜ ¡P!→O

i-l j-l

EJERCICIOS 1.

a.

b.

c. . 2. Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalúe:

3. Evaluar

siendo R la región del plano xy en el primer

cuadrante acotada por

,

4. Evaluar

,

,

siendo R la región del plano xy acotada por ,

,

,

.

.

a.

.

b.

c.

d.

e.

f. 5. Describir y graficar el sólido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral. a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy.

b. Evaluar

6. Dada la integral doble iterada EJERCICIOS Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por densidad en un punto

,

,

de la lámina es

1. a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx.

b. Evaluar .

,y

, si la .

2. Dada la integral doble iterada 3. Hallar la masa de la lámina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por, ,y

,

, si la densidad en un punto

de la lámina es

. a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx.

b. Evaluar .

4. Dada la integral doble iterada a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy.

b. Evaluar .

5. Dada la integral doble iterada 6. Sea R la región del plano xy interior a

entre las rectas

y exterior a

. Evaluar

7. Calcular el volumen del sólido que está bajo la superficie

,

. y

sobre la región plana R acotada por el paralelogramo de vértices (4,0), (6,6), (8,4) y (2,2).

R es la región comprendida entre las gráficas de . 8. Usar el cambio de variables propuesto para evaluar la integral doble

,

.

. Evaluar ésta suma expresándola previamente en una sola integral doble. 9. Representar gráficamente la región de integración señalada en la suma de las integrales dobles siguientes:

. a. b. Proyectar el sólido en el plano xz. c. Plantear la integral triple iterada que permite evaluar el volumen del sólido en el orden dydzdx. 10. Graficar el sólido cuyo volumen es calculado mediante la integral doble 11. Sea R la región en el primer cuadrante acotada por

. Evaluar

.

12. Calcular la masa de la lámina que adopta la forma de la región del plano xy acotada por las curvas la lámina en un punto

, si la densidad de de ésta es

.

13. Sea R la región en el primer cuadrante acotada por

. Evaluar

.

14. Calcular la masa de la lámina que adopta la forma de la región del plano xy

acotada por las curvas

, en el primer cuadrante, si

la densidad de la lámina en un punto

a.

de ésta es

.

, donde R es la región del plano xy entre las circunferencias

,y

, y las rectas

,y

.

b.

, donde S es la región del plano xy acotada por la circunferencia

, y la parábola

. 15. Evaluar las siguientes integrales dobles: a. Represente gráficamente la región S. b. Halle un cambio de variables

que transforme

geométricamente la región S en una región rectangular del plano uv

c. Halle el determinante Jacobiano

d. Evalúe .

.

16. S es la región del plano xy acotada por las curvas ,y

17. Evaluar

,

,

.

, donde R está limitada por las rectas .

18. Evaluar

, R está limitada por

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es, F(x,y)= 1, o F(x,y)= y, Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x. La notación "A" F(x, y)dA (1) Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares, A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden A1, A2…….An (3) sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4) Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5) Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en z= F(x, y) El término F(xk, yk) Ak Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto. La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas: "A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx

1.3 INTEGRALES DOBLES SE APLICA

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos. Vamos a explicar ahora el significado de la notación "A" F(x,y) dy dx El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x); para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b. Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y. Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos

perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen. dV=A(x)dx, Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

1.3.1 ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3),

Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos dA= dxdy situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales. 1.4 APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11) en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular a) la masa M="" (x, y)dA; (12) b) el primer momento de la masa respecto al eje x Mx="" y (x, y)dA (13a) c) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dA (13b) de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

y el momento de inercia respecto al eje y es

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y) En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A. Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v= r, su energía cinética es ½mv²=½mv².

Si un sistema de partículas de masa m1, m2,…, mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular, siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

Donde

Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk. Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento. Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia r± del eje donde 0 cuando tienden a cero la máxima dimensión del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestión se define por

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy. Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel decisivo en la teoría de la flexión de vigas cargadas, cuyo “coeficiente de rigidez” viene dado por EI, siendo E el modulo de Young, e I, el momento de inercia de una sección recta de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Cuanto mayor sea I, tanto mejor resistirá la viga a la flexión. Este hecho se utiliza en las vigas de perfil en I con cuyas alas superior e inferior están a distancias relativamente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores valores de r2 en la ecuación 20, contribuyendo así a incrementar el momento de inercia respecto al que sería si toda la masa se hallase distribuida uniformemente; por ejemplo, en una viga de de perfil cuadrado. Observación 2.- Los momentos son también importantes en estadística. El primer momento se utiliza en el cálculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de varianza (²) o de la desviación típica (). Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudes estadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-ésimo se define por

En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadística en consideración por ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk. Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, de la Mt es el t-ésimo momento. La medida r se define por

Donde M1 es el primer momento, y m="mk, el número total de individuos de la “población” considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

donde es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica miden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeños valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en (22ª), la varianza se puede escribir también así

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la fórmula

Que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b , y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 no hay que reemplazar por una función de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en los límites de integración. Así: 1.- En el caso de integrales simples tales como

No se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su valor en función de x antes de realizar la integración. 2.- En el caso de integrales dobles, tales como

Hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizan para los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar la integración. 1.5 COORDENADAS POLARES Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R: 0 " r " a, " " Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de

subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

(26)

(27) Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk½r; por consiguiente

Que después de efectuar operaciones se reduce a 27. Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tiene como límite la integral doble de F extendida a A:

(28) Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

(29) Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales. X=f(u, v), y=g(u, v) (30) Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otra región G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuación constituye la fórmula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble:

(31) Donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante

En el caso de coordenadas polares se tiene: x=r cos, y=r sen y

Por consiguiente, la ecuación 31 se adopta la forma:

" " (x, y) dx dy = " " (cos + sen ) r dr d (32) Que corresponde a la 29 El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles A=" " dx dy= " " r dr d (33) Con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividir en porciones de área DAxy= dx dy (34) Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones de áreas DAr=r dr d (35) Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero obsérvese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un cálculo elemental que se ve que DAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen) " r dr d = dAr 1.6 Práctica de Cálculo Función, la integral de una función de dos variables sobre una región representa el volumen del espacio que queda entre la gráfica (tridimensional) de la función y el plano sobre el cual la dibujamos. La integral en una cierta región de una función de dos variables se llama integral doble. Mathematica calcula integrales dobles con el mismo comando con el que calcula integrales de funciones de una variable, modificando los argumentos para especificar que queremos integrar en las dos variables. La única dificultad está en la forma de especificar en qué región queremos integrar, ya que ahora no se trata de un intervalo sino de una parte del plano. 

Cómo definir una región del plano

Esta sección no habla específicamente de Mathematica, sino de cómo delimitar una región del plano de forma precisa.

Luego será necesario usar esto para especificar en el ordenador en qué región deseamos integrar. "A es la región que contiene todos los puntos (x,y) tales que a<x
< y < 3 no tenemos más que escribir: In[2]:= NIntegrate@f@x, yD, 8x, -2, 5<, 8y, 2, 3
In [18]:= NIntegrate@f@x, yD, 8y, c, d<, 8x, h1@yD, h2@yD
En los ejercicios siguientes puedes usar la función f de los ejemplos anteriores o definir otra distinta (la forma de hacer los ejercicios no cambia). 1− Calcula la integral doble de f sobre la región que queda por encima del eje horizontal y bajo la curva x^2+y^2=4. 2− Calcula la integral de f en la región del primer cuadrante entre la recta x+y=3 y los ejes coordenados. (El primer cuadrante está formado por los puntos del plano que tienen ambas coordenadas positivas). 3− Calcula la integral de f en la región que queda entre la gráfica de la función y=−x^4 + 5 y el eje horizontal. 4− Calcula la integral de f en la región que queda entre la curva x= −y^2 + 10 y el eje vertical. 5− Calcula la integral doble de f en la región de los puntos (x,y) tales que 2 (x+1)^2 + 3(y−1)^2 = 0

CONCLUSIÓN REFERENCIA BIBLIOGRAFICA