Integrales Curvilineas O De Linea

INGENIERIA METALURGICA

INTEGRALES CURVILINEAS O DE LINEA INTRODUCCION f : [ a , b ] → R , es

Si

una

función

continua

en

[ a , b]

entonces

b

∫ f ( x ) dx=F ( b )−F (a)

donde

a

F ´ ( x )=f ( x ) ∀ x ∈ [ a , b ]

integral indefinida, es decir

que, la integral se realiza sobre el intervalo cerrado [ a , b] . Ahora generalizaremos esta integral, en nde la función f sea continúa sobre la curva C : α⃗ (t) y a esta integrales le llamaremos integrales curvilíneas o de línea y denotaremos ❑

por

∫ fds , S

es decir:

Consideremos una curva regular es su imagen de

curva

α. ⃗

Sea

⃗ α : [ a , b ] → R3 , tal que:

f : C ⊂ R3 → R , una función definida sobre la

C ⊂ R3 . Cuya representación grafica haremos de la siguiente manera.

Consideremos una partición del intervalo Tal que

a=t 0
por medio de los puntos: subintervalo tal que

⃗ α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R3

[ t i−1 , ti ]

,

[ a , b] ,

P= {t 0 , t 1 ,t 2 , … ,t n }

estos puntos determinan una paren la curva C

α ( α )=⃗ ⃗ α ( t 0 ) , α⃗ ( t 1 ) , ⃗ α ( t 2 ) ,… , α⃗ ( t n ) =⃗ α ( b ) . Ahora en cada i=1,2,3, … , n ,

tomamos un punto arbitarario

α ( t 'i ) =(x 'i , y'i , z 'i )∈ C , en seguida foremos la suma ⃗

ti '

n

∑ f ( x 'i , y 'i , z ' i)∆ Si i=1

ANALISIS MATEMATICO III

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∆ Si

, donde

|∆ Si|

es la longitud del arco de la curva C de

❑ ⃗ α ( t i−1 ) a ⃗ α (t i )

y sea

la máxima longitud de arco correspondiente a la partición considerada.

DEFINICION:

|∑ n

Si existe un número L tal que

∀ ε>0, ∃δ >0

y

i=1

para toda

n

❑

' ' ' f ( x i , y i , z i ) ∆ Si =L ∫ f ( x , y , z ) dS= ∆lim ∑ S →0

|

C

partición

|

i

i=1

|∆ Si|< δ

con

|

f (x 'i , y 'i , z ' i) ∆ Si− L <ε ,

, entonces existe la integral curvilínea de f con

respecto a la longitud del arco

∆ Si

y lo representaremos por:

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL CURVILINEA

1. Consideremos una curva regular α (¿¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) ⃗ α ( t )=¿

tal que

α : [ a , b ] → R3

definida por

3 ⃗ α ( [ a , b ] ) =C ⊂ R

α es la imagen de ⃗

si

3

f : C ⊂ R → R , una función continua sobre C, entonces: α b

b

f ( x , y , z ) dS=∫ f ( ⃗ α ( t ) ) .‖⃗ α ' (t )‖dt=∫ f (¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) .‖⃗ α ' (t)‖dt a

a

❑

∫¿ C

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t ¿ ¿ t ¿ ¿ t ¿ ¿ α '1 ¿ ‖α⃗ ' (t)‖=√ ¿

Donde:

Esta integral recibe el nombre de integral curvilínea de primera especie. ( x 2+ ¿ y 2 + z 2) dS ❑

Ejemplo: calcular la integral curvilínea

∫¿

donde la curva es

C

C : α⃗ ( t )=( cost , sent , t ) , 0 ≤t ≤2 π .

definida por Solución:

Como:

C : α⃗ : [ 0,2 π ] → R3 es una curva regular definida por:

α ( t )=( cost , sent , t ) ⇒ ⃗ ⃗ α ' ( t )=(−sent , cost ,1 ) ⇒‖⃗ α '( t)‖= √ 2 α ' (t )‖dt ⇒ dS= √2 dt , entonces Como dS=‖⃗ 2π

2π

2 2π (x + ¿ y + z )dS=∫ ( cos t + sen t+t ) √ 2 dt=√ 2∫ (1+t)2 dt= √ (3+ 4 π 2) 3 0 0 2

2

2

2

2

2

❑

∫¿ C

OBSERVACION: cuando se tiene una curva plana

y=φ( x) ,

a≤x ≤b

y

f (x, y)

Es una función continua, entonces la integral curvilínea se calcula mediante la fórmula. x, f (¿¿ φ( x )) √ 1+ φ '( x )dx b

f ( x , y ) dS=∫ ¿ a

❑

∫¿ C

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2. Consideremos una curva regular α (¿¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) ⃗ α ( t )=¿

Si

Tal que

3

P ,Q , R :C ⊂ R → R

3 ⃗ α :[a ,b]→R

definida por

3 ⃗ α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R

es la imagen de

α . ⃗

son funciones continuas sobre C, entonces:

α α α (¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ))α '3 ( t ) ' (¿ ¿ 1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ) )α 2 ( t ) + R ¿ P(¿ ¿1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ) ) α '1 (t ) +Q ¿ dt ¿

b

P ( x , y , z ) dx+Q ( x , y , z ) dy + R ( x , y , z ) dz =∫ ¿ a ❑

Estas integrales reciben el nombre ∫ ¿ de integrales de segunda especie. C

❑

Ejemplo: calcular la integral curvilínea cuadrante de la circunferencia t2 =

∫ ydx + xdy

, donde C es el

C

x=Rcost ,

y=Rsent

desde

t 1 =0

1°

hasta

π 2 .

Solución: Sea:

2 ⃗ α : ( [ a , b ] ) =C ⊂ R

tal que

α ( t )=( Rcost , Rsent ) ⃗

para

0 ≤t ≤

π 2

la curva

parametrizada ⇒ x =−Rsent dt {x=Rcost y=Rsent { y=Rcost dt cos 2 t dt=R 2 ❑

π 2

C

0

sen 2 t π /¿ 2 =R 2 ( 0−0 ) =0 2 0 π 2

∫ ydx + xdy=∫ Rsent (−Rsent )dt + Rcost . Rcost dt=R2∫ ¿ 0

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P( x , y )

OBSERVACION: si a≤x ≤b

y=φ( x) ,

y

Q(x , y )

son funciones continuas e

es la ecuación de una curva plana C, entonces la

integral curvilínea se calcula mediante la fórmula: ❑

b

C

a

∫ P ( x , y ) dx+ Q ( x , y ) dy =∫ [ P ( x , φ ( x )) +Q ( x , φ ( x ) ) . φ ' (x )] dx

3. Si la curva

α ( ) (¿¿ 1 t , α 2 ( t ) , α 3 ( t )) C : α⃗ ( t )=¿

regular, entonces una partición

para

t ∈ [ a ,b ]

a=t 0
que C, resulta ser la unión de las curvas regulares

Donde

una curva seccionalmente existe para

[ a , b ] tal

C=C1 ∪C2 ∪ … ∪ Cn ,

C1 :⃗ α 1 ( t ) , t ∈ [ a , t 1 ] ,C 2 : ⃗ α 2 ( t ) , t ∈ [ t 1 ,t 2 ] ,C n :⃗ α n ( t ) , t ∈ [ t n−1 ,b ] , y sea

f :C ⊂ R3 → R , una función definida en C, entonces se tiene que: x, y , z f (¿ ¿)dS ❑

∫¿ C1

n

f ( x , y , z ) dS=¿ ∑ ¿ i=1 ❑

f ( x , y , z ) dS +…+¿ ∫ ¿ Cn ❑

f ( x , y , z ) dS+¿∫ ¿ C2 ❑

f ( x , y , z ) dS=¿∫ ¿ C1

❑

∫¿ C

ANALISIS MATEMATICO III

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∫ ydx +2 xdy

Ejemplo: encontrar la integral curvilínea

, si C es el contorno de

C

un rombo en sentido inverso al de las agujas del reloj y cuyos lados son las rectas x y x y x y x y + =1, + =−1, − =1, − =1 3 2 3 2 3 2 3 2 Solución:

C=C1 ∪C2 ∪C3 ∪ C 4 ,

Sea

x y tomemos C1 : 3 + 2 =1

ahora

parametrizando

α 1 ( t )=( 3−3t , 2t ) ,0 ≤ t ≤ 1 ⃗ x y C2 : − =−1 2 2

, Parametrizando se tiene:

α 2 ( t )=( 3 t , 2−2 t ) , 0 ≤ t ≤1 ⃗ x y C3 : + =−1 , Parametrizando se tiene: 3 2 α 3 ( t )=( 3 t−3,−2 t ) , 0 ≤ t ≤1 ⃗

x y C 4 : − =1 3 2

, Parametrizando se tiene:

α 4 ( t )= ( 3t ,2 t−2 ) , 0 ≤t ≤ 1 ⃗ ❑

❑

C1

C2

❑

❑

C3

C4

ydx +2 xdy =∫ ydx+ 2 xdy +¿ ∫ ydx +2 xdy +∫ ydx +2 xdy +∫ ydx +2 xdy ❑

∫¿ C

ANALISIS MATEMATICO III

INGENIERIA METALURGICA 1

1

1

[ 2t (−3 )+2 ( 3−3 t ) 2 ] dt+∫ [ ( 2−2 t ) (−3)+2 (−3t ) (−2) ] dt +∫ [ 2t (−3 )+2 ( 3 t−3 ) (−2)] dt +¿∫ [ ( 2t−2 ) 3+6 t ( 0

0

0

1

¿∫ ¿ 0

1

1

1

1

¿∫ (12−18 t )dt +∫ (18 t−6) dt+∫ (12−18 t) dt +∫ (18 t−6)dt 0

0

0

0

1

¿∫ 12dt=12 t / 1=12 0 0

FORMULA DE GREEN. Para la fórmula de Green se considera curvas cerradas simples seccionalmente regular, parametrizada en sentido anti horario, que constituirán la frontera (o borde) de una región acotada R del plano, como en la figura.

C

La fórmula de Green es un resultado que expresa una integral doble sobre R como una integral de línea a lo largo de la curva cerrada C que construye

R

Todo esto lo expresamos en el siguiente teorema.

ANALISIS MATEMATICO III

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TEOREMA DE GREEN. Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos, orientados en sentido contrario al de las agujas de un reloj (esto es, C recorre una vez de manera tal que R quede siempre a la izquierda) si M, N, ∂M ∂N y son continuas en una región abierta que contiene a R, entonces: ∂y ∂x

∂ N ∂M − ∂x ∂ y (¿ ¿) dA ❑

M ( x , y ) dx + N (x , y) dy=∬ ¿ R Daremos una demostración solamente para una región que es a la vez ❑ verticalmente simple y horizontalmente simple. Luego la región R se describe ¿ ∫ C en las dos formas. PARA VERTICAL SIMPLE:

Y C2: f2(x)

R

C1: f1(x)

a

0

b

X

C=C1 +C2, R verticalmente simple.

❑

la integral de linea∫ M ( x , y ) dx puede escribirse como C

❑

❑

❑

b

C

c1

c2

a

a

∫ M ( x , y ) dx=∫ M ( x , y ) dx +∫ M ( x , y ) dx=∫ M ( x , f 1 ( x ) ) dx +∫ M ( x , f 2 ( x ) ) dx b

b

=

∫ [M ( x , f 1 ( x ) ) −M ( x , f 2 ( x ) ) ]dx a

, por otra parte, tenemos:

ANALISIS MATEMATICO III

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b

∂M ∫ ∂ y dy=∫ M ( x , y ) / ff 2 (( xx )) dx f (x) a 1 ¿ ¿ b ∂M dA=∫ ¿ ∂y a 1

❑

∬¿ R

b

b

¿∫ [ M ( x , f 2 ( x ) )−M ( x , f 1 ( x ) ) ] dx=−∫ [ M ( x , f 1 ( x ) ) −M ( x , f 2 ( x ) ) ] dx a

a

En consecuencia se tiene:

❑

❑

C

R

∫ M ( x , y ) dx=−∬ ∂∂My dA

…….. (1)

En forma similar para el caso: HORIZONTAL SIMPLE

Y d C`2:

C`1:

g2(y)

g1(y)

R

C

0

x

C=C1 + C2, R es horizontal simple.

❑

❑

❑

c

C

C1

C2

d

d

∫ N ( x , y ) dy=∫ N ( x , y ) dy +∫ N ( x , y ) dy =∫ N ( g 1 ( y ) , y ) dy +∫ N ( g 2 ( y ) , y ) dy c

ANALISIS MATEMATICO III

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N [¿ ( g 2 ( y ) , y )−N ( g1 ( y ) , y ) ]dy d

¿∫ ¿

, por otra parte tenemos.

c

∂N dx ∂x [ N g2 ( y ) , y ) −N ( g1 ( y ) , y ) g2 ( y)

d

d

∫ ¿ dy=∫ N ( x , y)/ g2 ( y ) dy=∫ ¿ dy g1 ( y ) c c g ( y) ¿ ¿ ¿ d ∂N dA=∫ ¿ ∂x c 1

❑

∬¿ R

En consecuencia.

❑

❑

C

R

∫ N ( x , y )=−∬ ∂∂ Nx dA

…………………..(2)

Ahora sumamos (1) y (2) obteniéndose: Luego:

❑

❑

❑

❑

C

R

R

R

∫ M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dx=−∬ ∂∂My dA +∬ ∂∂Nx dA=∬ ( ∂∂ Nx − ∂∂My ) dA

Ejemplo: Mientras esta bajo la acción de una fuerza

→ F

( x , y )= y 3 →i( x3 +3 xy 2) →j,

en una

partícula de una vuelta a la circunferencia de radio 3 que se muestra en la → figura, usar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

ANALISIS MATEMATICO III

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Solución:

→

→

❑

W =∫ F( x , y ) d r¿ ∫ ( y 3 , x3 +3 xy 2 ) .(dx , dy) c

C

❑

❑

C

D

¿∫ y 3 dx+ ( x 3 +3 xy 2 ) dy=∬ 3 x 2 dxdy

(Por el ejercicio anterior.

Pasando a coordenadas polares r=3, 0 ≤θ ≤ 2 π 3 r 2 cos2 θ. rdr 3 2π 3 ¿ dθ= r 4 cos 2 θ/ 3 dθ ∫ ∫ 4 0 0 0 ¿ ¿ 2π

3 x dxdy =∫ ¿ 2

0

❑

w=∬ ¿ R

2π

[

]

243 243 sen 2 θ 2 π 243 243 π ¿ cos2 θdθ= θ+ / = [2 π +0]= ∫ 4 0 8 2 8 4 0

TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada con vector normal unitario es una curva cerrada simple C, suave a trozos, si

→ F

,

→ N

,

cuyo contorno

es un campo vectorial

cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta D, que contiene S y C entonces. → F

→

→

¿ . N d s. ¿ → r¿ rot ¿ ❑

¿∬ ¿ S Consideremos una superficie S limitada por una curva cerrada simple. Se .d ¿ divide S en N sub-regiones ¿ tan pequeñas que pueden considerarse planas con ❑

∫¿ C

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∆ S1 , ∆ S 2 ,… … … … , ∆ S n ,

áreas

en los puntos (xi, yi, zi) de →

definición del rotacional de (9.15) de:

εi

Donde

→

N

→

N

→

de la

❑

. ∆ x F ∆ S i=∮ →F. d →r+ ε i ∆ S i N Ci

∆ S1 →0 y →N es el vector normal unitario

0, cuando

∆ S1

asociado con

→

∆ S1

(ver figura). La suma sobre la superficie total S da: ❑

→

→

N

∑ N . ∆ x F ∆ S1=∑ ∮ F . d r +∑ εi ∆ Si i=1

i=1 C i

i=1

Ahora consideremos el límite de esta expresión cuando Ci

de cada

∆ Si

N → ∝.

la frontera

consiste en pedazos que son o parte de la frontera C o

parte de las fronteras de las dos sub-regiones adyacentes. Las integrales de línea a lo largo de curvas fronteras adyacentes se cancelan, pues los vectores d →r tienen direcciones opuestas, asi queda sobre la integral de línea a lo largo de C por consiguiente. lim ¿ ¿

N

∑

N →∝

i=1

→

→

❑

→

→

❑

→

→

. ∇ x F ∆ S i=∬ N ∇ F. ds=∬ ∇ x F . d s. N s

S

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lim ¿ ; asicuando N → ∝ ¿ N →∝

N

❑

→

→

❑

→

¿ ∑ ∮ F( t ) . d r¿ ∮ F .d i=1 C1

→ r

C

r ❑

→

→

→

∇ x d F ¿∬ S. d F + S

lim ¿

N

∑ εi ∆ S i → ; para el terminorestante

¿

i=1

❑

∬¿ S

|

|

N

N

N

i=1

i=1

∑ ε i ∆ S i ≤ ∑|ε i|∆ S i ≤|εm|∑ ∆ Si=εm S , donde εm =max {ε 1 } pero εm → 0 i=1

lim ¿ → 0 ¿

N

caundo N →∝ , ∆ S i ,→ 0 , entonces N → ∝∑ ε i ∆ S i i=1

❑

→

→

❑

∴∬ ∇ F d s¿ ∮ →F. →r , d →s¿ →N ds S

C

Ejemplo: comprobar el teorema de Stokes para donde S es la superficie del paraboloide

⃗ F ( x , y , z ) =2 z ⃗i+x ⃗j+ y 2 ⃗k 2

z=4−x − y

2

,

y C es la traza de S

en el plano XY. Solución: z=g ( x , y )=4−x 2− y 2 , como el vector normal

⃗ N

es orientado hacia arriba

−∂ z ⃗ ∂ z ⃗ ⃗ ⃗ N =( i− j+ k ) ∂x ∂y ⃗ N =2 x i⃗ +2 y ⃗j+ ⃗k

|

i⃗ rot ⃗ F= ∂ ∂x 2x

⃗j ∂ ∂y 2y

|

⃗k ∂ =2 y i⃗ +2 ⃗j+ ⃗k ∂z 1

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¿ 4 xy + 4 y (¿+1) dxdy ❑

(2 y i⃗ +2 ⃗j+ ⃗k )(¿2 x i⃗ +2 y ⃗j+ ⃗k )dA=∬ ¿ C

❑

rot ⃗ F .⃗ N . ds=∬ ¿ S

❑

∬¿ S

√ 4− y 2

2

∫

−√ 4 − y

( 4 xy + 4 y +1 ) dxdy=∫ [ 2 x2 y +( 4 y +1)] / 2

−2

¿ ¿

√ 4− y 2 −√ 4− y 2

2

¿∫ ¿ −2

(¿ +2 √ 4− y 2) dy=

[

8 y √ 4− y 2 3

]

−8 ( y 4− y 2 ) 2 + y √ 4− y 2+ arctg / 2 =4 π 3 2 −2 2

¿∫ ¿ −2

Para la integral de línea, parametrizando la línea: C : a⃗ ( t )=2 cos ( t ) i⃗ +2 sen ( t ) ⃗j+0 ⃗k , 0 ≤t ≤ 2 π t ,0 −2 sen t ,2 cos ¿ dt ¿ ¿ ( 0,2cos t , 4 sen2 t ) . ¿ 2π ' ⃗ F ( α⃗ (t ) ) ⃗ α ( t ) dt=∫ ¿ 0

❑

⃗ F . d r⃗ =∫ ¿ C

❑

∮¿ C

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2t

(

sen 2 t 2 =4 π 2π 0

)

2 t+ 1+cos ¿ dt =

¿ ¿

2π

( 0+ 4 cos 2 t +0 ) =2 ∫ ¿ 0

2π

¿∫ ¿ 0

BIBLIOGRAFIA: Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III. 6ta Edición. Ed. Edukperu. Lima – Perú. 2012

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