Introduccion A La Teoria De Las Probabilidades-pugachev

uel 1·u ldo, mayor que el nivel e, al estar nusente In señal íitll, cs. Igual a ln integral de 111 densidad condicional do probabilidad (3.2.22) extendida.

§ 3.2. Pu"rlones

c()ndiclonal~tt

a l a ioua determinada por la desigualdad q¡

(~)

9!>

dt di•lrtbuclón

>

e:

~ f(i)dz. «<•~>•

Pa.1 = P(•1>clS=O)=

(3.:!.25~

Pasemos ahora al cálculo Je la probabilidad de que se cometa un crrorYn l resolver el problema de la revelación de los soñnlcs. Para esto apliquomos' lo fórmula de la probabilidad completa. El •• deLector puede tomar una docisión falsa cuando hl\y una de dos hipótesis que forman un grupo completQ doacontecimientQs iocompaLibles: la hipótesis E, consiste en que la sefial úUl está presente; su probabilidad es iguol a ,e; In hipótesis Ei consiste en que la sel'la l útil está ausente; su probabilidad es igu¡¡l " q 1 - P.· Las probabil ida1les Fig. 3 .2.:~. condicionales de un error, tonioodo estas dos hipóUlsís. se determinan {IOt l as íúr1m1las (:~.2.24) y (3.2.2~). SusL1t.uycnrlo ootas oxpre:1iones un la fórmula de la p-robnbilida
=

Pm. ~ 111'

= /'

((Z)> e 1S=O)=

~

/(:-sO)o'2 + q

f

(l!.2.~li)

/(s)d:,

«<

<1<2).,..

L11 probabilidad do que el ¡in¡hlcrua de la rovclncióu s~ resuelva corrcctu· 111e11te so determiuará comC> In probabilid ad do que se produzca el acou\cci111i e nt1> contrario t3. 2.27) ]J,. cvrr. -= 1 - l'crr. Para hacor eálculo.s completos, examinernus un cuso rnás concrct.o de In rcccpción de dos impulsos, ~u¡xiniendo que los impul>tO$ de ruido sean magnit11d1•" aleaturias independientes, norm:tlmenle distribui1las, con iguales dispersionc.; D y esperanzas mnlcm,íticAS iguales a cero. En calidad de funcicín e¡: (z) Lomt'moe la función lincnl lj> (:,, •2) = b:.,.

ª'' +

En e~te cnso la fórmula (3.2.
= J' (q> (Z) -~ e 1 S'"' -'º)-=

lJ

a.z1 bl2....Zc

2~0

(i 1-.c1)f ..Hti -i~)Z

•-

UJ

dz1 tl:z.

Ln iono. do in~l"Jc.ión so m11c.,h·n en la fig. 3.2.3. Parn calcnlur la i11Wgrnl.

~usl.il11y:11nos las variables ''" 1:11 ruodo quu en la.s nucvus \'ariahlcs "'' 1•: In

de intcgr~ción se limit e sulameoto respecto a unn de las variables, digamo~ con l'llllpCcl.o a u 1 mionl.ras r¡ne rrspi:cto a u2 se oxlio11cl11 de -oo hast.'\ r.s lúcil co1nprendei· que 11ara cstQ bnsta dirigir ~1 ojo u 1 ¡lcrpcndi<:ularuu•Jlto a la rcct11 a z1 bz 2 ,;;;; e y el rjn 1t2 11aralelamonto; a esta roc1>1. Enl.ouccs, C•llllrt <'S fácil de ~upQMr, Ja,, 111rnvui; variable¡¡ u1 y ": se 1let.ermi11d1·1\n por l as fúr11111 l 11~ (ln el!c11l11 ~e las nnc\'lts val"iublcs no tiene importuncio)

1.0111<

+""·

+

u, ~

ª'• + bi2. +

Ut -=: b.t1

0%2•

90

Cap. 3 Ma¡rnllud"" aleatorias l'llr.torin!n

Ot'spcjando : 1 y

=• eu estas ecuaclonc:!. ob~endreruos au 1 + b11 2 •1= a~ + b2 />1q - a 11z

ª'+b• . .El hcobiono
~Lu

1Jz 1

t.J•unsformnción os igunl n

1

¡j;.1

Oi 1

a

-1 -

~tffl;

b

a•+b• az + .b •

u:,

h

1> a~+/,:&

+

1.

..,, _

1t~+b\I.

7íü"; iiu: ,,z b~ C:ou t:il s usliluci1í11 ele 1as variablll!I, los lírnitos de iutagrac;ión se dotouninarán por 111 dosl¡¡u&Jdnd 111 .;;; e, 1'~ deeir, In intcgraci<ín ~& efectuará do - oo bosta e eon r.~pr.111-0 a ,., y ele -oc 11asta +oo COJI n>S11nctu a u,. Como resultado, la Iórnnrla parn la pmb11bilid111l c.ondiciunal de pérdida do Je .se.6a! tomará la forntrt J> (s?+"•gn 21J(4&.rllt) ~

e

=

~

'Jn/J (a\.-'.- bS)

du,

'"1-'"¡-t11:r: 27lí1•+h1¡

I! -

=

du, =

(.-Q.t~-'""'g l /J(n•~·')

1

= ,v.,.,. ¡;;:;

)

_.,.

1,

e

-• l 4

'

1

t= 2

d111lllc (JI (u) e~ lt1 fitución s In >iusenlt• In seiial tílll:

,., ( c - at/-b.<~ ) + "' VD (aj-f-b") '

~robobilidacl

( 3 _2 , 28)

do 11larma fals11 al estar

( e ) . (3.2.29) . . = P(cf(Z)>c i S = Ü) = ~- ,. vo ca•+bi) a.2 ..\. En las condicione~ del ejcml>lo anteTfor hallar el procedi-

Pu r Ej~mplo

miento óptimo de tr11 t.amiento de Jo. señal roclhid11 por el detector, que a~gure la probab,11idod mlnima de que se cometa un error y, por consi2Ulent.e, 111 probabilidad máx.lm• de una resolución eorreo\11. Con olra.s palaDr$5, hallar ln (unción 'P. y el nivel de umbral e 11. condición do que se garantlc-e la probabilidad

mínimo. do un orror. Para resolver esoo problema, aprovecharemos el booho de que

~ f (z-sO) dz+ ) f (:-G°) dz = 11(:)><

'l'(•)<;(c

..Jf

.

(z--s0 ) dz = 1,

- oo

y l'SCribiremos la f6rroula (3.2.26) en la forma

Porr. ~ P-

Í '11(<1>c

ÍP/ (s- •º)- q/ (a)I d:.

(3.2.30¡

§ 3 . 2. Funciones


co11dicio11ala

97

-Do·11quí está claro que la _probohilidad de un error Porr. t iene el valor ~ojmo cuando la Int egral es mbtma. Por lo tanto, el problema se reaucc ·a lñ .élección de la función qi (z) y la magnitud e-de modo u.!, que la integral en (3.2..30) tenga· el 'olayor valor J>.<>Slble. Es oviden~ que e3ta integral aumenta al añadir. a la iona de lntevactón tales parces del éSpacto del vec1.9r : en lnil cuáles. la fu'n ción ¡subintegral es positiva, y disminuye al añadir -a la zona de integtációí;l tales partes ··del .espacio en las que la fundvn subiutegu.1 os negaliva. Por consigy.leote ,, ,eet.it lntegtal tione el valor máXirno e;n el caso el\ que la zona de integraCión.coin•cid e con aquella •1ona del espaciQ'··del vector : on l a cual la !lincfón slibintegral ·· es •positiva, es decir, cuando la desigualdad

e (3.2.31) ·cquívalo a la de.,igualdad p/ (z - $ 0} - qf (•) > O o bion

f (i -$0 ) /(i)

':/

(3. 2.32)

>-¡-

Su¡>Qngamoe aborn que 9 C'-l es una función 11.rhitraria·, dgurosamenlo crEciente. Entonces de (3.2.32) so deriva que

11 ( / (zf -(:)sU) )

> 9 (.1.). p

(3.2.33)

Comparaudo esl.8. d"-SiguaJdad con (3.2.3l ), ''emos que l a función umbral e se pueden determinar por las fórmulas ip(,)= 0 (

/ (;~()),

c=0

qi (!) y

(f),

el

(3.2.34)

En este caso la desigualdad (a.2.31) será equivalenw a Ja desigualdad (3.2.32) y Ja f,robablllda
.,.

f (: I

e= In 1- .

•º) «>

("l '> '.-15) • ·- "

P

En el ce so psrticul ar cuando se trata de impul sos de ruido indepcudienles nor maJ m~nte r eputidos con esperanzas mat emá\icos lgnale! a eel'Q e iguales dispeC$iOnes D,

f (r ) =

(Z:i)~' 5ñ exp

{

"

~ rf} 2~) 1-1

y la primera lórm1Jla d<} (3.2.35) toma la forma

crl•l = -

n

n

n

i= l

i- t

i..: t

2~ ~ f(:; -s?)' - zfl == ~ ~ •?z1- 2~ ~

(.-n2.

(ll.2.;l6)

Pues bien, en este caso la íund(in óptima cp {z) es Ct1nción lineal do l os i mpulsos recibidos, es decir , el detector óptimo es un sistoma llncftl. El mismo resultado se obtend rá en el ca!o de \ID ruido arbitrario normalmente repartido. La relació n de las densida des co ndiciooeles de pl'Qbebilidad de la suñal que se rec:lbe al estar presente la s1>.ñal útil y al estar ésta ausente se llama relact6n d~ 11erosim tli111d. Así pul!l<, el siswma do revelación óptima debo calcular la relación Je verosimilitud o cualq uier función creciP.nto do esta relación y 7 - 0~)3 8

Cap. 3 Ma11nitudts nkaluritrll 1-.,c/orfaks

98

compararla con el umbral c. Para determinar el umbral por la segunda fórmula (a.2.34), es nec:esario eonoeer Ja probabilidad de prose.o cia de Ja señal útil •' en la soñt\l recibida s. Sin embargo, en la práctica est.a probabilidad es de ordinario desconocida. Por eso ol problema de revelación se rc.suelve frecuentemente por otro pro~dimiooto, a eabcr, partiendo do la condición de probabilidad winlma de p6rdida dela sefial JIPer. ·dada la prob¡Lbllldad do alarma falsa Pa. t ... a. Para hallar la Iunoióu óptima ip ¡:) y el umbral e con los cuales la probahiiidad do pt\rdida de la sella! es mU1iU1a y lo. probabilidad do alarma falSA tiene cl Yalor dado a:, se puede aplicar el m&todo de mult.iplicado:res indefinidos de LBgrange. Entone<--~ el l?roblema se reduce a la det.ermuiación de la función 'I' (i) partiendo de Ja coocl1ei6n de que la magnitud

1'1 =1'per.-l-A.Pa.r sea mí nima, donde í. es ol multiplicador imlciiuido que se halla de Ja condición 1!0 que ps.t. =c. después de detennlnar 111 función q> (:). Este problema se l'\ISUelva igual que el de determinaci<ín de la funeióu qi (•) pai·líendo do la eondic.ión de que la probabil idad comple&11 do errores soo mínillla. Como resultado hallaramos


l(;c.t )

c=O(i.).

13.2.37)

L• ~uuda de estas fórmulas determina el umbral e por JDrdio de la magnitud ineognila A. que, a su vez, se baila partiendo de Ja. condieión de que Pa.t. = a . Eo luglll' dn esto se puedo determinar el umbrnl e directamente de la condición Po.e. c. dejando la magnitud >. lnd et<:rtninada. Eu efecto, haciendo uso de la fórmula (3.2.25) e igualando l a probabilidad de alarma falsa a La magnitud a;, obtendremos. para la detormlnnc16n d1•l 1lmbral e, la ec:u11ci611

=

J/

(i)

d~=a:.

(3.2.38)

et(•)>•

En pRrticular, al revelar la señal en dos impul~ indopcndient.es u,,rmalmente repartidos con esperanzas maoomáticas iguales 11 cen> e iguales dispersiones D, para determinar P•·I · se puede (!Jllp)ear la íórmula (3.2.29) del ejemplo anterior. pucst-0 quo la función 6pi ima cp (z} según (3.2.36} es en est.e caso lineal. Comparando la expresi6n do la runeión cp (:,, "1) del ejemplo anterior con (3.2.36). vemos que en.,¡ caso en cuesti6n 4 ~ $flD, b = 4/D. Su.sUtuyendo estas expre-

siones en (3.2.29), hallamos

/la.1. "".f-Cll

(eV Ml'~(•g)h) ·

,lguo.J~ndo

esta expresión a la magnitud a, obtenemos la ecuación para dot-0rminar ol umbral

11>

(e V (stJ•!c~l") =~-a.

(3.2.39¡

Sea v el yvJor del argumento de la función do Laplaee para el cual ésta es igual n 1/2 - a:, es deelr. cJ> (v} t/2 - a:. Comparando esta iguoltlad con (3.2.89), hallamos

=

(3.2.4.0) ~hora !¡len, en estq Cl$O el umbral e se determina directamente por la f6r111ula (3.2.,0) y ln segunda 16rioula ·do (3.2.37) se hace innecesaria.

§ S .3. Leyes de di.tribu.ci61' de las funciones

99

§ ,a.3. Leyes de distribución de las funciones de magnitudes aleatorias En los p.coblemas prácticos se necesita frecuentemeµte )laJla.r .~as leyes de distribución de magnitudes aleatorias. que repres~ntajl las funciones de otras .magnitudes aleatorios que tienen leyes de distri, bución conocidas. Supongamos que la magnitud aleatoria Y representa la función. uniívoca- dada de la magnitud aleatoria X: Y=

(x) y la probabilidad c 0ndic~onal de este valor con respecto al acontecimiento X = x es Igual a la unidad. Por consiguiente, la densidad condicional de probabilidad de la función aleatoria Y con respecto a la X representa una función delta (3.3.2} /2 (y 1 x) = Ó. (y - cp (x)). Sustituyendo esta expresión en (3.2.10), hallemos la densidad conjunta de la probabilidad de las magnitudes aleatorias X y Y: f (x, y) = !1 (x) 6 (y - q> (x)). (3.3.3} Pues bien, si la distribución bidimensional está dispuesta totalmente en cierta curva (lo que corresponde al hecho de que para cada valor x de la magnitud X la magnitud Y tiene el único valor posible), entonces la densidad de probabilidad del vector aleatorio (X, Y) se expresa con ayuda de la función delta impulsiva por la fórmula (3.3.3). Ahora, para hallar la densidad de probabilidad f 2 (y) de la magni~ud aleatoria Y P.S suficiente emplear la fórmula (3.1.19). Entonces obtendremos "" (3.3.4) /dy) = /1 (x) ó (y-

J

Esta fórmula es la fórmula geueral que dotermina la ley de distribución de una función unívoca dctcrminndn de la magnitud aleatoria X. Examinemos ahora ol caso de la dependencia continua recíprocamente unívoca entre las magn.itudes aleatorias X, Y. Esto quiere decir que la función

100

uno, de la magnitud Y sino que, a su vez, a cada valor de la magnitud Y le corresponde también un valor, y sólo uno, de la magnitud X. En la fig. 3.3.1. se muestra la curva y =

}'ig. 3.3.2.

Fig. 3.3.L

Suponiendo que la función

fdy) =

'") /1 (u)~ (y-q¡ (u)) du.

(3.3.5)

"'

Hagamos la sustitución de las varia.bles V=

(3.3.6)

cp (u,).

Considerando esta igualdad como una ecuación con respecto a u para el valor dado v, observamos que esta ecuación tiene la única solución en la zona de los valores posibles d.e la magnitud aleatotia X (fig. 3.3.:1.). Con otras pal abras, en el caso eo cuestión, existe la .funéiói¡ iriv!)rsa unívoca (3.3.7) u =1j) (v). De aquí hallamos (3.3.8) du = l (v) 1 dv,

w'

donde las diferen.c iales du y dv son positivas. Sustituyendo las exllre.siones (3.3 ..6) y (3.3.8) en la . fórmula (3.3.5) y teniendo en cuenta qué, .al, ~ustitui~ 'las variables (3.3.6), el intervalo (i1, x2) pasa al intervalo (Y1r y'2 ), obtehdremos ~.

j Is('~ (_v)) 1'1>' (v)l 6·(y -

fz(y) =-

11¡

v) dv.

(3.3.9)

§ 3.3. w11t1 dt dutribunpn tk 1,,.

fu11d~ntt

'De aqu!, en virtud de la propiedad conocida de la función delta '(2.2.6), hallamos /2 (y) = f 1 (lji (g)) l 'lf (y) 1 . -(;:J.3.10) . .EJcmplo 3.3.1. L a mognltud aleatorln Y es función lineal de la magnitua al'oatorta X:

Y=a X +ó.

, Hallar

(3.3. tl)

densidad de probabilidad conocieudo la deMidad do probabiliaad / 1 (z) de la magnitud aleatori11 X. En el caso en cuestión, la función q> y la función inverso .¡, se determinan re3pecti"ameote por las Córmul~ 8u

y -

q: (z) -

+ b,

az

"'li' (y) = (// - b)/a.

z

Sustituyendo la úl tima eicprreión 011 (3.3.10), obtendremos lo fórmula parn la deusidad de probabilidad do In fnnciún lincul do la 1t1t\¡¡nitud ~lo•loria: i '1 (¡¡) " Tilf /s

(

y- b) .

- a-

(3.3.12)

Eo p•lrticul a r, cuaudo (x-m)<

/1 (z) ..,. ~e--roo

al hn

d o la fórmula bailada tendremos ((y -b)f
2n::.

!2

Asl pues, la fw1ción lineal do una m11gnitud nl1>J1to1fa no1·1nnlrnonle r~purtida t ambién 41.'!tá disltibuida normalmente. Ejemplo 3.3.2. Sea Y =aSPllólX.

donde X es la magnitud aleatoria normalmenl(y) =

!

111·c8c11¿ ( I YI<•)

y su derivada

'f' (11)•

1

6l

Vo•-u•

.

Sustltuyoodo esta oxprc.'lión en (3.3.10) y Uniendo en onenta quo O>/ IT

ft (;r.) "' {

si

1z 1-<. :rl2m,

O si 1z 1>11/i(I),

obtendremos

/,(y) =

{

l

si 1~, ,.., .,

O

si

n Va• - y•

IYl>n.

(~.3.t~)

tO'i El gráfico do esta densidad de probabilidad se muestra en la fig. 3.3.3. Tal ley de distribución se llama ley del arco seno. Esta ley se encuentra frecuontemente en los problemas prácticos como ley de distribución de los errores debido a las excentricidades de los limbos en los ··gonióu1etros f,fYJ y otros instrumentos de medida. ' Ejemplo 3.3.3. Para mostrar oomo se aplica la fórmula (3.3.4) en eJ caso general, cuando la función cp (:z) 110 es monótona on el inte:\lalo de lus \lalores posibles de la magnitud a.leat-Oria X, ex.aminemos el caso cuando Y=senX,

-a

a

y

y la rnagoi\ud nlcat-Oria X está uniformemente repartida en ol intervalo ::J::rt:

x) =

I1 (

Fig. 3.3.3.

{1(l:rt s~ lxl_,,,; ,.., O s1 1:r1 n .

>

Según (3.3.4} la densidad de probabilidad de la magnitud aleatorialY(se_determina por la fórmula 1t

/ 2

(y) = :n

J

_,,

o (y-sun x) dx .

Para cakular esta integral, d.ividamos Ja zona de integración en tres partes

-1(

l'ig. 3.3.4. tales, que la función Y=SOll :r=q>(r.)

sea monótona en cada una de ellas. Entonces obtendremos

f2 (y)=~

-~

[

.\

-n

cS (y -senz}d:r +

~

n

-nn

NZ

J O(y - senx)d:r+ ~ 6(y-sen:r)dxJ.

Hallamos las funciones inversas :cara cada parle de integración. De la fig. 3.3.4 se deduce que 'lj>, (y) = -n - are sen y si -1 .,;; y .¡;; O, "1i (y) = are sen y si - 1 .,;; 11 ,;;;; 1. "13 (y) = n - are son y si O ~ u .,.;; 1.

108

§ 3.3. Ltgu d• dlt1rlbució11 dt las /unclo11u

Hallem0$

l~s

derivadas de las funciones i nversas par a eada parte:

,¡.¡ - 1lli Cv>= -(t-ll'l- 112• l~Í (V) =(f-¡¡2)-1 12.

Suetit11yendo en las integrales las variables· respecttvnmeilto :i: = "'' ('11), :i: ... 'ljl 2 (11). :i . . ip3 (11), teniendo en cuflllta que. en esto c11so s~n :i: t¡, y aplicando las expresiones obtenidas para 11>> (:i:) , •ti (:r) ,y ~i (:i:), tendremos

=

=

f:
o

[J

1

6 (y- 'l) (i-•1'>- l /2¿ll+

_,

ó (¡¡ - T))(1 - TJ' )-l/ 2dti+

- 1

1

+ j cS(y -

t

i~

11)(1- 11'>- 112 d11J =

o

De aqul pal'a

J

[2

J"-

112

d11J.

-1 1y 1

<

1 hallamos /,(y)

Fuera del intervalo J y J < t, la den.sidad de probabilidad / 2 (y) es igual a cero, puesto que para 1 11 J > 1 Is lunci6n suhintegral en el último tnterválo es idénticamente Igual a cero en el intervalo de lntegraei6n. Ahora bien. la densidad do probabilidad de Ja magnitud aleatoria Y se determiDR por la 16rmula

/ 2(Y) = {

:-tVi-yZ si si

luJ< 1, 1y1 >J.

Ejemplo 3.3.4. La magnHud aleatoria X estii repartida unilormemo.nte en el intervalo (O, 1). Rallar laJoy do distribución de la magnitud aleatoria Y = X'. En vista de la monotonía de la función v cp (z) en el intervalo (0, 1), b don.sid8d do probo.bilidad de la uiagnitud aleatoria Y se puede determinar por la f6rmula (3.3.tO). Dado quo

=

x = 1~ (v)= VV. lji' (Y) =1 /2

para O < :r

<

1,

VY

y ft(:i:)= 1

ballarno~

( ) { 1 /2 -Vii si 1) < ¡¡ < 1, f2 y O si y<. O, V> 1. Ejemplo 3.3.5. Ln magnitud aleatoria X está repartida 1111iforrnemonte

0 11

el intervalo (- i , 1). Hallar la ley de distribución do la magnitud aleatoria Y-X'. En 11Ste caso la dependoneia ent re las magnitud es aleatorias no es reciproeament.e unívoca en la iona de los valores posibles de la magnitud X. Por eonsiguientc, no se puede aprovechar la fórmula (3.3. 10) y hay que reeumr a la. fórmula general {3.8.4). Puesto quo la magnitud aleator ia X está distribuida uniformemente on el intervalo (-1, 1), entonces, según la f6rmula (S.S.,). obtendremos 1

/ 2 (y)={

J6 - t

(y-z1) d:i.

104

Cap. iJ Jl1 ar:nttudes aleato,fos 1;ectorialcs

La lundón y = :>: es mouótona en cada uno da los intervalos (-1. O) y (0, 1). Por lo tanto, en el inoorvalo (-i , O) tenemos que % = 1P1 (y) = - -VY. .¡.; (y) = - 112-VY, y en el intorvalo (0, 1) .,,. (y) = 112-VU: :r •h (yl = Vil. Por eso , dividamos la zona de i ntegración en dos partes y cumplamos en la primera i11tcgrnl la sustitución d e las variables x = ip1 (1¡) y en la segunde , z = •l>z (1¡). Entonces obtendren1os 2

=

o 1r

.l2
_,

t

6(¡¡-1¡) 2

dT]

-v;¡

1r d11 +2 J 6 (y-1J) 2

-v;¡ =

o

1

1 \

= -:¡

i

6(¡¡-1¡)

111¡

1

l/lj = Z l/y

si 0


Por consiguiunte, la densidad de prohnbilidudJ de la magnitud aleatoria Y se determina 11or la fórmula

J2 (•)={

tril/Y 0

y

si Sr

O
y1 .

Ejemplo 3.a.6. Hallar la loy de distribución de la :roñal dó salida Y del olement.o no lineal en el ejem(llo 2 . 2. 1. Según Jos datos, la señal do salida Y ~.stó limitada en magnitud absoluta por el número a y es igual a l a se1i al de eutr.ada X cuando eoste último tiene el valor l•n Jos líroites (-a, u), es decir 11 si .Y>a. Yo: 1p (X)= X si IXJ..,;: a, { •i X

-a

<-a.

Tenicudo un cueuta que Ja señal de entrada X está uniformemento reparlida en el intervalo -2,Su 1

fi(y )= -¡;;

'·t j

<x<

1,5a, sogún In fórmula (3.3. 4), obtonemos

6(y - r¡>(x))clx=

- :!, (ta

,,, 4~

a

-e

[

)

Ó(y+u)d-<+

I -n

- 2 , ~a.

1

1,r.a

6 (y-x)d:i:+

J 6(y-a)dx] ~

a

3

i

.

= 44 11(!1+11)-1 (y-a)t+s li + 8 6 (y -a). ·: ..D.e un moQ..o absolutamen~e semeJante se d·e tetmina l a ley de d i~tripuci6r;i. ae.l .vector ale¡¡~oriQ y q1,1e represen.ta l a función de simple ·~alüación del .vector aleatorio X cuya densidad de proba-bilidait es·· conócida .· Supongamos qué las com¡ioneo.tes Y 1, .' •. , Y m del vector aleatorio Y son fu nciones de simple ' 'aluación de las componentes X¡, ... , Xn del vector aleatorio X: YJ = cp1 (X1 , • •• , Xn~ (/ = 1, •.. , m). (3.3.14)

§ 9 .3. Leyes de distribuciim de las /u11clones

Es necesario hallar la densidad de probabilidad t~ (y1,, •• . • ,-' y,n) del vector aleatorio Y, conociendo la densidad de probabilidad / 1 (xtt ... , xn) del vector ·aleatorio X. Para .resolver el problema planteado, hallamos pr.imeramente la densidad condicional de probabilidad del v~ctor aleatorio Y ·éón respecto a X . Puesto que para cualesquiera ' valores x 1 , • •• Xn 'd e las magnitudes aleatorias X 1 , • • • , X 11 cada una de las magnitudes aleatorias Y1 , • . . , Y m tiene, en virtud de las f6.rmulas (3.3.14j, solamente uu único valor y l a proba~ilidad de., est.e valor e:;¡ igµal a- la unidad,. entonces la d!)nsidad cohdiciónal de probabilidad· d'ei ·v ector aleatorio Y con respecto a X representa el producto de lasfunciones derta

/z (y,, · · · , Ym 1x,, ·. ·, x,,) =

n"'

;.;,1

Ó (Y1-'fJ (X¡, ••• , Xn)).

(3.3 .iS)

La "densidad conjunta de probabilidad de los vectores aleatorios X y Y, según la f6.rmula (3.2.19), es igual a f (x,. · · .. :e,., Yi. ... , Ym) = m

=fi(x,, .. .,xn)

lJ i3(Y1 i= I


(3.3.16)

Integrando esta igualdad con r~pecto a x 11 , • ., Xn y cambiando· la designación de la variable de integración, hallaremos, según la fórmula (3.1.19), fa densidad buscada de probabilid11d del voctor aleatorio Y: i2 (y¡, . .. , y,...,)=

=

""

""

j .. . Jt.

ll11 )

(11.i.

nO

(y¡-
(3.3.:17) Ahora supongamos que el número m de las magnitudes aleatorias Y 1 es igual al número n de las magnitudes aleatorias X 1 y que· la dependencia entre las magnitudes aleatorias X 1, •• ., Xn y Y 1 , • • ., Yn. os recíprocamente univoca. Este quiere decir que el sistema de ecuaciones v¡ =

q>J

(u 1 ,

•• .,

un)

(j = 1, . . . n)

(3.:3.18}

tie11e la solución. única en la zona de l os valores posililes de las magnitudes X 1, • • • Xn: u¡ = 'ljl ¡ (1J 11 •• ., v,.) (t = 1, .. ., n). (3.3.19) Al llevar a cabo en (3.3.17), para m. = n, Ja sustitución de l as. variaLles de integración valiéndose de las fóru1ulas (3.3.18). (3.3.19),. de acuerdo con la regla de :;ustitución de las variables en una integral

106

múltiple obtendremos /2 (¡¡¡ ..... Yn) = X

) · ;/ )

fr

ft('IJ.>1 (vi, · ·., v,,), .. ·, 'l\Jn (rJ1, ··.,!In)) X

O(y¡-v1) 1

;=t

.donde

8('ip ., .. ., "'"' it (u¡, . . ., v,.)

~
(3.3.20)

illjl1 (u11 . · · , "") iJv 1

°'1>1 (L'(•

011>1 lvh .. ., L'n)

Olj>z (u¡, ••. , u,.) ilv1

Olp.(v1, .. .,u11 )

81~,

· · · 1 Vn) iJv2

Dvu

Í)L•3

,11¡1,. (VJ> •.. , vn) iJ•~n (v., . .. , On

ª"•

íJtJn

(v1, •..• v,.)

i)lj>,. (vt> .... v,.)

º"•

ilvn

·es el jacobiano de las funciones (3.3.19) y B, la zona en el espacio •• ., v,. en la cual las fórmulas (3.3.18) transforman a todo el espacio de las variables U¡, •• ., u,. (en el caso particular, B puede coincidir con todo el espacio de las va1·iables v 11 •• ., v~). La integración en la fórmula ·(3.3.20) se puede cumplir aplicando la propiedad fundamental (2.2.6) de la función delta. 'Como resultado obtendremos

.de las variables v1 ,

/2 (y.,

· · · , Yn) =

"( = /( 1 'lr1 Yt.

) ·•( ))l<J(1p¡, .. .,1p,.)j . . ., y.,' . . " ~·n Yt. .. ., Yn il(y¡, .. .,yn) J'

(;)..3.21)

Aquí, al calcular el jacobiano, los argumentos v,, ... , v11 de los 'funciones ip1 (v¡, ... , v,.) deben ~er sustituidos por l as variables -correspondientes y 1, •• ., Yn· La fórmula (3.3.21) es válida. para todos los valoras Yt> .. ., y,. en la zona B. Fuera do la zoo.a B la ;densidad _de ,probabilidad / 2 (Yt> . . ., y11 ) es igual a cero. • Ejem¡ilo-;3.3.7. llallar las leyes de distribución d'e las coordenadas polares ,-Oe,.uil ;pllcl;l.to ,aléatorip <situado· Qn el plano, si las coordenadas rectangulares del

mismo tienen la densidad conjunta de probabiliqad / 1 .(x, y). . .. Designemos las coordenadas •polares (91 radio vector y el ángulo poi.ar) ¡:>or ..R . y O, O-<
-.con .el jacobiano : ~:; ~ = R. Aprovechando las dependencias obtenidas, presentemos Ja. expresión para la· densidad conjllllta do probabilidad de las ·~.fdenadas pola.res h (r, rp) en la forma • .

/,(r, rp)=/1 (x, y)

j 88(~;, ~) l=r/1 (rcosrp, rsen rp).

(3. 3.22)

a.

§ 3 .9. l4v<1

dislrlbución d• /u fum:lontJ

107

Por intcgnción de la última igualdad con respecto a cp y r couespondiento, hallamos la densidad do probabilidad del radio vector y del ángulo polar: 2n

t,;(r) = r

'"' (cp)-

J{ 1

)

rsencp)dq>,

(rC08q>,

r

I (3.3.23)

fi (r cos lj), r sen q>) r dr.

J

Si la densidad conjunta de probabil idad de las coordenadas rectangulares depende solamente del radio vootor. es decir, { 1 (z, y) =- / 1 (1/~ -

h (r). eotonces de (3.3.23) obtenemos

fr {r) = 2tcrh (r),

!

(3.3,24)

00

,.., (q>) =

rh (r\ dr = COOSt.

(3.3.25)

En el caso particular de una distribución normnl cfrculnr en el plano, cuando j

h (r) = inJJ ~

••

- 20

D ,

d& (3.3.24) y (3.J.25) hallamos

(3.9.26)

r•

l,l(r)=-lr , - 2D, 1

'·~ (cp) = :!:t .

(3.3.:t7)

Por c:onPiguiente, el radio vector del punl-0 aleatorio e,stá reparlido p-0r la ley de Rayleigh y la Jase está repartida uniformemente. Ejemplo 3.3.8. Hallar Ja ley do distribución de la amplitud y do l a fase de las oscilaciones a rmónicas nleatorias de frecuencia determinada X (r) =- U sen oot Z cos oor, (3.3.28)

+

si los coeficientes U, Z son independientes, normalme11le repartidos con iguales di spersiones D y con esperan us matemáticas iguales a cero. En el caso dado se puedo nproveohar directamente los resultados obtenidos eo el ejemplo anterior. En e!eclo, presentemos (3.8.28) en la forma X (1) = A seo (), (3.3.29) donde A = U1 z!, = arclg (Z/ U).

+

V

+

z.

Entouel!S la dent.3.30)

Por lo t~nto. la amplitud A de una 011Cilación armón ica aleatoria está distribu ida 'Jl(>r la ley de Rayleigh y la fose <J> está uniformemente repartida de modo

l08

Cap. 3 Ma¡¡nitud•s aleatoria• 1>er.torlale$

,,.

que 11

(l D f"a=

t

-w

•

t

(3.3.~·I)

/~ (
Por eso, en los problemas conc~rnientes a la radioté<:oic3, dondu es nt'ccsario examinar lrocuentemente las señales que representan o~cilaciones armónicas con amplitud y fase aleatorias, es la ley de Rayleigh la que se suele tomar oo calidad do IRy do distribución de la amplitud. EjeÍllplo 3.3.9. Hallar la ley de distribución de Ja suma de las magnitudes aleatorias (3.3.32) Z =X + Y, conociendo Ja hiy de distribución de los sumandos. Al sn.~tituir en (3.3.32) las magnitudes aleat.:>rias por

s>J~

valores posibles,

obtendremos

(3.3.33) z = z + y = 1f (x, y) Esla ecuación tfone le. solución única respec.to a cualquiera de las variables, :i;, IJ· Despejando en ella, por ejemplo, :i; hallamos :r = ; - y = 1j> (z, y). C'..omo en el caso dado tenemos u11a sola función i¡:, cnwnco.~ el jacohiano es igual a ~,/az = 1. Por e.so, aplicando la fórmula (a.a.t7), en el caso en <>1>estión teuuremos 00

JJ

1: (z).,,.=

(¡ (x, y) 6 (:-:r.-¡¡) d:i; dg =

-oo -oo

=

1

00

/¡(:r, z-z)dx-=

J

j¡(z - ¡¡.y)cly.

(3.:J.$4)

-oo

La segunda integral en esta fórmula se obtiene si en la ecuación (3.3.33) se despeja y en vez do :r. L11 fórmula (3. 3.3~) determina la ley de distribución de lo suma de l as magnitudes aleatoria~ X e Y tanto dependientes como independientes. C'..onviene seña.ln1· un importante caso particular cuando los sumandos X e Y son inde· pendientes. En este caso /1 (;¡;¡ ¡¡) = k (:r) l (y), (3.3.35) donde k (x) es la densidad de probabilidad do fa magnitud aleatoria X, 1 (!/} es la densidad de probn)iilidil.d de In mngñitud 'a)eat()ria Y. En este caso partícula~ la substitución de ia expresión (3.3.35) ch la fórmula (3.3.34) da comi> resultado

/~(:)=

..J

_..,

k(z-y)l(y¡dy=

J k(:i;)l(z-.tjd:r.

(3.3.36)

La integral de tal tipo se llama.de ordinario c<mvoluc!ón de las funciones k y l. Ahora bien, la densidad de probabiUdad de Ja suma de \1os magnitudes aleatorias independientes ropresonta la eonv9lución de las densidodes de probabilidad de los sumandos. La operación concerniente a la detl)rmínación d~ la loy de distribuc.ión de la suma .según las leyes de dis\ribución de Jos sumandos indep
§ 3.1. Momentos de un vector al•atorla

109

.recibido en la Teoda de Probabilidades el nombre de adi.cl6n. o co'¡11posicj6p da las leyes de dist ribución. Es evidente que de un modo absolutamente análogo se puedo obtener la ley de distribución de la suma de un número cuaJqui.era .de magnitudes aleato. r ias. En lo que se refiero ·a los sumandos 'independienteg, se puede procede( 'también del modo siguieot~: hallar la composición de las leyes de dist~ibución. de los dos primoros sumandos, luego h11llar Ja composición .de la ley de distrih.ll:' cióo de l a suma (lo los dos primeros y Ja ley meoCionada del tercer sumando, ·etc.

§ 3.4. Momentos de un vector a le atorio

Se llama momento de orden r+s de un vector aleatorio (X, Y) a la esperanza mate,mática del producto X"Y':

a,.

=

(3k1~

i'4 [X'Y'I

para cual esquiera .r y s enteros no negativos. Es evidente que en el vector aleatorio bidimensional existen k 1 momentos del orden dado k, es decir, t antos cuantos son los procedimientos que se p ueden emplear para partir un número entero positivo k en dos sumandos enteros no negativos. Para calcular los momentos de un vector aleatorio, valgiímonos de l a fórmula general para l a esperanza matemática de la función unívoca arbitraria , real o compleja, de l as magnitude11 aleatorias X, Y. En virtud de l a definición de la esperanza m atemática como valor medio probabilístico pesado; para determinar dicha esperanza de la magnitud aleatoria q> (X, Y) conviene multiplicar cada valor posible cp (x, y) de esta última por el elemento· de probabilidad correspondiente f (x, y) dx dy e integrar el resultado obtenido con respecto a todos los val.ores posibles x, y de las magnitudes aleatotias X, Y . Como resultado obtendremos

+

"' ""

M[(J'(X,' Y)J= ~

\ q;'.(x, y)'f(x, y)dxdy.

(3.4.2)

-oo -<»

Es fácil comprobar que en el caso en que la [unción q> depende sol amente de u no de los argumentos, la fórmula (3.4.2) da el mismo r esultado que (2.3.4). En efecto, si, por ejemplo, q> (X, Y) .... q> (X) no depende de Y, l a fórmula (3.4.2) da como resu ltado:

J J lf!(~:)f{x, y)dx dy =

00

Jlf[q>(X)l=

"'

=

Jq> (x) dx J f (x. y) dy . -oo

(3.4.3)

- oo

Pero, en virtud de (3.1.18), la integral de l a densidad conjunta de probabilidad de las magnitudes X, Y con respecto a y es igual

ttú

Cap. IJ Ma¡:r.twd« akatorias r;ectnrlults

..J

a la densidad de probabilidad de la magnHud X: /(:e, y)dy=f1 (x).

Por eso la fórmula (3.4.:J) se puede escribir en la forma

1ll ltp (X)] =

..J

q; (x) /,(r) dx,

lo c1uo demuestra la afirmacióu enunciada. Así pues, como era de esperar, la esperanza matemática de la magnitud aleatoria q> (X) calculada por diversos procedimientos con ayuda de diferentes densidades de pr obabilidad, ligadas con la magnitud aleatoria X , siempre resulta la misma. Suponiendo en la fórmula (3.4.2)

.....

a,. =

J Jx' y'f (x, y) dx, dy.

- oo

-

(3.4.4)

0)

811 particular. esta fórmula da los momentos a, 0 y a 0 , tlo las magnitudes aleatorias X y Y tomadas por separado. A.hora bien, los 1noment:os del vector aleatorio (X, Y); en los cuales uno do los índices es igual a cero, coinciden con los momentos de las componentes correspondientes del vector mencionado:

donde a~ y a~ son el momento de orden r de la magnitud aleatoria X y el momento de orden s de la magnitud aleat oria Y respectivamente. En particular, los momentos a 10 y a.01 :;¡011 iguales a las esperanzas matemáticas de las magnitud·es al eatorias X y Y rci¡pec,tiva, mente. De un modo semc¡aow se determinan "los momentos .ceutr&les s del vector aleatorio. Se denomina momento central de orden r del vector aleatorio (X, Y) a l n esperanza matemática del producto (Xº)'(yo)': .

+

(3.4 .5} dond e Xº .= X - m.,, Yº = Y - m¡¡ son las magnitudes aleatorías centrndas correspondient(ls. Para calcular estos momentos, supongamos ..;1 1e en l a fórmula (3.4.2) qi

(z, y) = (z -

m,,)' (y -

m~) ·.

.~

9.4. M()met1lo8·dtt

u11

vtttor aleatorio

Entonces obtendremos

µ,, =

1) ...

00

-oo

-GO

(x-m,,)'(y - mv)"f(x , y)d;cdy.

(3.4.6}

Suponiendo que en esta fórmula uno de l os indices r, ses igual a cero. obtendremos los momentos centrales de las componen-tes del vector ·aleatorio µ,o = fl~ , µo•= f.1.~·

En particul ar, los momentos centrales de ,segundo orden µz 0 y l'oa repre:ieutan hts dispersiones de las magpitudes aleatorias. X y Y~ µ20 = µ;' = D.,, µ02 = µr t:: D,,. Para los Cines prácticos tiene gran· importancia aquella parte. de la Teoría de Probabilidades que se limita a l a investigaéión de los momentos de primer y segundo orden de las magnitudes a leatorias. En lo que toca a la ley normal de distribución de la magni.tud aleatoria escalar, como hemos visto, para determinar por completo la ley de distribución es suii~iente conocer el primer momento de la magnitud aleatoria, es decir, la esper anza matemática, y el segundo momento central, es decir, la dispersión. Para las leyes de distribución distintas de la normal esta tesis puede no ser válida. Puede ocurri r que n o sea bastante ,el conocimiento de la esperanza matemática y de la dispersión p ara caracterizar por completo la ley de distribución. Pero, no obstante, l a dispersión caracteri za l a fluctuación de una .magnitud aleatoria. Esto ofrece la p osibilidod do limitarse en muchos problemas prácticos a la determinación de los momentos de primer y ¡:;egundo orden de l a magnitud aleotoria, haciendo caso omiso de la l ey de distribución. Para el vector aleatorio bidimensional existe, además de los momentos de segundo orden µ 20 y µ 02 , todavía el momento de segundo orden µ 11 • Este momento, que tiene unn importancia especial para los fines prácticos, se llama momento de correlaci6n o momento de enlace de las magnitudes al eatorias X, Y. Designaremos el momento de correlación de la.'l magnitudes aleatoriAs X, Y por kxy· Suponien do en la fór mula (3.4.6) r = s = 1, obtendremos par a el momento de correl11ci6n de lns magnitudes a leatorias X, Y In fórmu la siguionte: lrxM = ~LlJ = Nf [XºYºJ =

)"" J"" (x -

m,,,)(y - m 11)/(x, y)dxdy .

(3.4.7)

- oo - oo

E l ntOQl('nto do correlación de dos magnitudes aleatorias can1cteriza hasta cierto grado, no por completo, la dependencia entre est as magnitudes aleatorias. En efecto, el momento do correlación

Cap. 9 M agnitu4es alcaforias

t!2

ve~toriaLes

11s el análogo teórico del momento de correlación estadístico [§ 1.2, la fórmula (1.2.22)]. En el § 1,2 la intuición nos ha sugerido que el momento de correlación estadístico distinto de cero indica la existencia de cierta dependencia entre las magnitudes aleatorias. Por eso, es natural esperar que lM magnitudes aleatorias soan dependientes, si el momento de correlación de las mismas es distinto de cero. Las magnitudes aleatorias X y Y se llaman correlacionadas siempre que su momento de correlación sea distinto de cero. Las magnitudes aleatorias se denominan no ·correlac~onadas si su momento de correlación es igual n cero. Demostremos que las magnitudes aleatorias independientes nunca están correlacionadas. En efecto, supongamos que X y Y sean i ndependientes. Entonces su densidnd conj unta de probabilidad es igual al producto de sus de11sidades de probabilidad, y podemos escribir 00

kxy =

00

J J (x-mx) (y-m

11 )

-oo

-

/i(x) /2 (y) dx dy =

!IO

= ( J (x-m:r) / 1 (x) dx)

00

(

J (y -

mv) / 2 (y) dy) . (3.1.8)

l'cro cada una de eslas integrales es igual a cero como momcnlo central de primer orden de fa magnitud aleatoria correspondiente. Por consiguiente, el momento de correlación de las magnitudes ongamos que la distcibu·cj,6n\"de')a ·m,agnitud aleator!-a X es ·simétr-i ca con respecto al origen de· coordenadaS. En este caso m,, = O, y a un mismo valo.r de la magnitud Y le corresponden dos valores de la magnitud X iguales en w.agnitud abi¡oluta y de signos contrarios para lo~ cuales la densidad a·e prol)abilidad. tiene un mismó valor. Por eso, a cada elemento pósf~ivo de la integral (3.4.7) le corresponde un elemento 11egativo ig¡.tal,e¡i.magil:iiud. absol!l.ta. Por lo tanto1·en este caso, el momento ~e· correl¡icil!~ k,.11 es igual a cero, es decir, las magnitudes aleatorias X y Y no están correlacionadas. Ahora bien, aqui las magnitudes X

l13

Y. Y n o están correlacionadas a pesar de que entre ellas existe la dependen cia fUDcional. Se puede demostrar una afirmación todavía más general: si l!l distribución conjunta de las magnitu des aleatorias X, Y es simétrica por lo menos respecto a una de las rectas paralelas a los ejes de .c oordenadas y que po.sán pór el punto (m.,, m ), entonces el momento onde u n elemento negativo de igual magnitud abSóluta. _ A.si pues, para l as magnit,udes ·aleatoria~ con moment o:i. fi~itos ae segundo .orden, la noción de no corr elativ idad ·~más amplia que' I'a de in dependencia. Cuando decimos que las magnitudes aleatorias no están correlacionadas, superponemos en ellas limitacié>nes consi·ae~ rablemente menores que en el caso cu8.lldo decimos que ellas son independientes. La exigencia de independencia de las magnitudes es más rigurosa que la de no correlati vidnd. E n algunos casos es más conveniente examinar el momenlo de correlación normal o, como éste suele llaolarse, el coeficiente de correlación. Se don omina coefictenle de correl.actón de las magnitudes aleatorias X y Y la relación del momento de correlación de las mismas a la media geométrica de sus dispersiones : k"V

kzv

rxy= VoxDy - º"-ªu '

(3.4.9)

Ejemplo 3.4 .1 . Hallar el momento de eorrelacióo de !ns componontcs do un vect.or aleatorio rc.P.artido uoüormemeote en un rectángulo. Como la distribución conjunta de las com¡>Qnentes del vector aleatorio dispuesLo en el plano es sim~t.ríca con respecto a los ejes de coordenadas, entonces es evidente que m~ = m11 = {), kxv = O. De esto se puede convencerse llevando a cabo la coropro1>"ción directa. Por consiguiente, (vé&Be el ejemple, 3.2.1). laa componentes del vector aleatorio (X, Y) no solamente están no conelaclonadu sioo que son también i ndependieotee. Ejemplo 3.4.2. Hallar el momento de correlación de las componenl.es de un vector aleatorio unüormemente reparUdo en la eli)lSC. En virtud de la simetría de la distribución de probabilidades del vector aleatorio, esté. elaro que m,, = mv O, k,.11 =- O. Sin embareo. en el ejemplo 3.2.2 hemos descubierto que X e Y son dependientes. Asl -eucs, IA.s magnitudes aleatorias X, Y son dependientC3 pero no est&n oorrolac1onndas.

=

Si en la dofinición de la esperanza matemática y de la d isp.e rsión de una magnitud aleatoria, enunciada en el § 2.3 !las fórmulas (2.3.2) y (2.3.!>)I la densidad de probabilidad de l a magnitud aleatoria X se s ustituye por la dens idad condicional de probabilidad de X con respecto a cierto acontecimiento .tt o con respect o a otra magnitud aleatoria Y, obtendremos la d efinición de la esperanza matemática condicional y de la dispersiún condictonal de X con respecto a A o Y. Designaremos la esperan za matemática y la dispersión condicionales de la magnitud aleatoria X con r especto al aconteci miento A por • - tt88

Co.p.

a Ma¡;nltude.•

aleatorias 1;ectorlale..

lif IX 1 AJ y D IX 1 Al respectivamente. De un modo análogo designaremos la esperanza matemática y la dispersión condicionales de la magnitud aleatoria X con respecto a la magnitud Y correspondientemente por M [X 1 Yl y D IX 1 YJ. De un modo absolutamente igual que para un vector aleatori() bidimensional se determinan los momentos de un vector aleatorio con un número cualquíera de componentes. Le dejamos al lector que por sí mismo escriba las fórmulas generales y nos limitaremos a los momentos de primer y segundo orden. Los momentos. de primer orden do un vector aleatorio n-dimcnsional X representan las esperanzas matemáticas mx 1 , ••• , m"n de las componentes X., .... Xn . Esto da lugar a que la esperanza matemática del vect.or aleatorio X se defina como vector mx cuyas componentes son l as esperanzas matemáticas m,, 1 , • • • , m,.n de l1;1s componentes X 1, • • • , Xn correspondientes clel vector aleatorio X. Los momentos centrales de segundo ordcu del vector aleatori() n-dimensional X representan las dispersiones D,.1 , • •• , D,.,. y todo.s los momentos de correlación k;, 1,.2 , le"'"" ... , kx,._1' ,.11 de sus compommtes X 1, • • • , Xn. Suponiendo, para abreviar, que

kw = D"v' kvµ = kxvxµ(v, ~t= 1 , ... , n; V
(3.4.10)

obtendremos nt momentos centrales del vector aleatorio X que se pueden considerar como elementos de la matriz cuadrada *). ku kt2 • • • k1n 11 K = k21 k22 · • • k211 =JI kvµ knikn2 · · · knn

llv, µd, . .. , n•

(3.4.11)

Esta matriz se llama matriz de correlación uel veclor aleatorio X. Ahora bien, si se limita a los momentos do primer y de segundo orden del vector aleatorio X, éste se caracterizará por el vector de esp~ran~a matemática m., y por la matriz de correlación K. El momento de correlación de dos magnitudes aleatorias no deperide··evidenternente del orden en el que se toman estas magnitude5 (3.4.12) Así pues, los elementos de la matriz de correlación dispuestos con· respecto a la diagonal principal son iguales une> a 9tro, es decir, la matriz de correlación es simétrica.

sim~~r.icamente

•¡ So llam;! .matrli a un cuadro de números dispuestos en renglones v columnas. Si el númti.ro de renglon~s es'tgoal al de c<>lumnas, la matrir. se llama cuadrada. Si el número de renglones ne> ~s igua1 til de columnas, la ·matriz se llama reetai;igular. ·

f:tS

§ 3.5. Fund6rt característica 46 un r>ector altatorlo

§ 3.5. Función caracter ística de un vector aleatorio

La función característica de un vector ale·atoiio X con las ·componentes X., ... , X.,. se determino. por lil fórmula

· g(A.i. • . . , A.11 ) =M [exp {t(A. 1X1+ ••• +A.nXn)}J.

(3.5.1)

Cuando n = 1, de esta fórmula se deduce la definición de la función característica, de una magnitud aleatorla escalar, enunciada. en el § 2.4. Aplicando la fórmula (3.4 .2) (más exactamente, su general.i~a­ ción referente al vector aleatorio n-d imensional) para el cálculo· de la esperanza m atemática, obtendremos la siguiento·expresión para la función caract.erí.l;t.icn del vector aleatorio X:

J ... J exp 00

g (?-.i, . . • , A.n) =

- oo

{i (A.1x 1+

. .. + A.~••n)} X

- ao

X

f (x1 ,

••• ,

Xn) dx, ... dx,..

(3.!i.2)

Dado que la densidad de probabilidad de un vector aleatorio, debido a sus 11ropiedo.des princi1>ales (3. 1.15) y (3.1.16), es una función integrable no negativa, se puede presentar dicha densidad por l a . integral de Fourier /(x1 1

••• ,

Xn) = (i!)n

r... r

dJ..t ... di..,.

-oo

5.. · )/(~¡,

. · ·,

~n) X

-oo

-00

xexp{ip. 1 (~1 - x1+···+A.n(~n-Xn)J}de1 .. • d~,.

(3.G.3)

1-'ero en virtud de (3.5..2)

j ··· - oo

r/(~t. ··. ,

Sn)cxp{iP.dsi--X1)+ · · .+A.n (su-Xn)J}

-oo

X

+ ... +

X ds1 ••• d~n = exp { - i (A1X1 A.,.xn)} g (J.. 1, ... , An). Por eso la fórmula (3.5.3) se puede presentar en la forma

f (X¡ .

. . . . Xn )

=

(:.!~)»

00

00

-oo

-oo

J ... 5 exp {-

i(A1X1

+ ... + ArrXn.)} X

X g (A.¡, • · • 1 t .n) d'l-.1

. .• dA.n.

(3.5.4)

Esta fór mula enuncia l a densidad de probabilidad del vector aleatorio por medio de la funci ón caraclerística del mismo. Ahora bien, la función característica puede servit de característica probabilística completa de un vector aleatorio. Conc;icicndo la función característica, se puede hallar, por la fórmula (3.5.4), la 8*

116

Cap. 3 Magnitudes aleatorias <'tctorialu

densidad de probabilidad del vecwr aleatorio y, por consiguienta, la función de distribución del mismo. Las fórmulas (3.5.2) y (3.5.4) muestrau que la funaión característica del vector aleatorio es la transform ación de Fourier de su densidad de probabilidad y esta última es la transformaci ón inversa de Fourier de la función característica. Conociendo la función característica del vector aleatorio, se puede determinar fácilmente los momentos del mismo. En efecto, al derivar la fórmula (3.5.2) k 1 veces con respecto a A.,, k 2 veces con respecto a ~. etc, k,. veces con respecto a A,., obtendremos*)

~1+ ...1t +hng().1' ~

. . . , /..,.) Jt.

o).¡' {})'21 ..• 8~-n·

X exp {i (A. 1x1

" +. . . +1'n

""J

.= i •

- oo

. • .

"° )·•

__,, ~ X ;.r; ¡ • • •• x nn.

_..,

+ ... + AnXn)} f (xi. . . ., x,,) dx, . .. Xn) dx , ... dxn. (3.5.5)

Suponiendo quo aquí A. 1 = ;,2 = ... = }.,,.

(et•+· .. +~ g 11

t

""~'oí..~·

¡k1+. .• +J
(kit . . ., k.,

=

= O,

obtendremos

(í..1o •• ., An) ]

. '. d'>J;."

o

(3.5.6)

1, 2, . ..),

donde el cero significa que, una vez efectuada la derivación, hay que admitir que /, 1 = ?..2 = . . . An = O. De un modo absolutamente semejante se puede ex¡mis.a r los momentos centrales del vector aleatorio mediante la iunción característica del mismo. Con a~ruda de las fu ociones carncter.ísticas se puede resolver el problema de determinación de las leyes de distribución de las funciones de las magnitudes aleatorias, examinado en el § 3.3. Examinemos primeramente una magnitud aleatoria escalar Y enlazada con otra magnitud aleatoria escalar X por la dependencia funcional y ='P (X), (3.5.7) donde q¡ es una función unív.oca !ll'bitraria. En virtud de la definición, la función característica de la magnitud aleatoria Y se expresa por la fórmula

o bien

..

ga(i..)~ ~ ~X)/i(z:)dx,

(3.5.8)

•) Clar.9 está que la f4r.mula (3.5.2) se puede derivar .sol~~ente en el C!iSO de que )as integrales, obten1d6!! como resultado de la der1vae1on, se conver¡an úniforme'aiei:i~· es decir, si' ·e·J'.isten los momentos correspondientes del vector

~~·

'

H7

§ 9.5. Funcl6n caracterf$ttca de un wctor olealorio

.¡aonde ft (x) es la densidad de probabilidad de la magnitud al eato-1i'ia X. Al tomar la transformación invérS'a de 'Fourler, hallaremos, ,según la fórmula (2.4.3), l a densidad de probabilidad de la magnitul!, aleatoria Y: 00

!2 (y) ""' 2~

Je-l1..ug2 (A.) dA..

(3.5.9)

-oo

De uo modo análogo se h allan, con ayuda de l as funciones característ icas, las leyes de distribución de l as funciones vectoriales de las magnitudes aleatorias. Si las co~ponentes del vector aleator io Y son las fwlciones univocas conocidas de las componentes del vector aleatorio X: Y-'= QJ11 (X., .. ., Xn) (k = 1, •.. , >n), (3.5.tO) entone~

la función característica del vector aleatorio Y se define por la fórmula

Kz (A.t, • • · , A.,,,) =

..J J..

- oo

exp {i IJ..iipt(x.,

.. ., Xn) + ...

-oo

+ J..,,.q¡,,. (xi. •.• , .Zn}J} f,(x.,

... , .Zn) dx1

•••

dx,.,

(3.5. 11)

donde f 1 (xtt ... , xn) es la densidad de probabilidad del vector aleatorio X. Al tomar l a transformación inversa de Fourier, hallaremos la densidad de probabilidad del vector aleatorio Y: 00

t~ (Ys.

• • ·, Yrn) =

(2 ~)m

..

J ·.. J exp { -

i(A.1!11

+ .. · + AmYm)} X

-oo

X Ka (A.,, • • ·, A.,,.) clA.1 • · • dA.m.

(3.5. 12)

Las fórmulas (3.5.11) y (3.5.12) resuelven por completo el problema pl anteado. Ejemplo 3.5.t. Hallar la ley do distribución de la suma de dos magnltudea aleatorias independientes uniformemente repartidas cuyas esperanzo maternátleu son iguales a e.ero. En esto caso ténemos una sola magnitud aleatoria escalar Y que roptG19nta la suma de las componentes del vector aleatorio bidimensional X:

Y= X,+

X1.

Las densidades de probabilidad de las magnitudes aleatorias X, y X r se determinan correspondlontemonto por las fórmulas 1 1 ( )- { 1/212 si 1;r, l <; o, ' O si 1;rl 1 a,

z, -

1/2b si h,(.>:.)= { O si

>

l z 1 l < b. jz2

I>

b.

H8

L~cloriales

Cap. 3 M ag11itiidts aleatorias

La donsidad oonjuota de ¡irobabilidad do las magnitudes aleatorias X, y X 2 es igual al producto de las densidades de probabilidad de las mismas. Aplicando la fÓl'm11la (3.5.H), hallamos la función característica de la magnitud aleato· ria Y: •

/!y (l.)=

b

..!b J dx1

)

-a

-b

eil.(x 1+"•l tb:2 =

J =Tab •

J

•

1

b

l)..:(¡

dJ:

-a

sen A.a sen j.,b abl..2

e'f.x• dx.,

J

•

-b

Luego, según la fórmalu. (3.5.12), hallamos la densidad de probabilidad de la mAgnitud aleatoria Y:

..,

fd11)=

~(!/)

t = 21111b

.. f .l

.:oo

2~

J . -v.ugy

{Á) cli>.=

- oo

e

- i~Y

sen 1..a·sen }.b áJ..= 1,.2

00

-a-b - la-61

O

la - 61 a+6 y

1

=21iai}

\

J

__;_ s.

cos?..¡¡.senl..a·sen/.;b áJ ?,.2

A-

- oo

Fíg. 3.5.1.

:lJ\ab

sen Áy·se11 Áa·sen Ab A.

d1'..

!'ero la última integral es igual a cero oomo integral en límites simétricos de la fnnci6n impar. Al mismo tiempo, l a prin1ora integral, como Integral en límites simétricos de la función par, es igual a la integral doblada en los límites desde O basta oo. Por oonsiguiente, /,(y)= n~b

.J

cos i,y . se~¡.a·Sl•n M d1' =

o 00

= 4:ab

J[cos(a- b+y)t.-cos(a-b-y)l,cf>..

De aqili,

11:Pli~ndo

-cos (a+b+11). A-cos(a+b-y) A) 12'' la fórmula conocida

he.liamos 1

/2(Y)= Sab ( la·+b+Yl+la+b ·-yl-[a-b+y 1-la-b-y( ).

El gráfico de esta densidad de probahilídad se muestra en la fig. 3.5.1.

§ 8.6. T.t.y n orrndl b/;llmc111lo11al dt dulrLbu
119

§ 3.6. Ley norma l bidimensional de distdbucl6o

La densidad de probabiUdad del vector aleatorio (X, Y) bidi· mensiona l normalmente repartido se enuncia, en el caso general. por la fórmula

---

f(:r:, y)aa V•u~-cJ, exp { -{-lc:u (z- a)'+

+

2c12 (z-a)(¡¡-b)

+en (y-b)2J} ,

(3.G.i)

donde lns magni~udes e, .. c 22 y ei 1c22 - e!, son positivas. Hallemos la ley de distribución y las leyes condicionales de distribución de las componentes X y Y de este vector aleatorio. Según (3.1.18), la densid11d de probabiUdnd de la magnitud alealorin X se expresa por la fórmul:I

/,(x) -=-

Y• 11~~·-ii=

r

cxp {-{-1c11(x-a)2

+

-oo

+ 2c:z (:r:-a) (y-b) + en (y -

b):I} dy ...

= V •11•u2n

•f1 oxp { - .!.c11 (z-a)' \ X

..

{-{-¡2c,i(z-a)v+c~u2 1}

.

X

_}

exp

J

2

dv.

(3.6.2)

Para el cálculo de la integral obtenida apliquemos Ja fórmula eo

I e"'_,..,~ dt = -~e

.,s

.= .

41

<"·6.3>

-oo

cuya deducción se expone eu el suplerueuto !(fórmula (1)1. En vi rtud de Ol!tA fórmula.

r.. -+

_

exp {

f2c,dx-a) v+ c211Pt} dv = = , / 2.:i exp { c}, (z-a~}. V cu 2t1:

(3.6.4)

Susti\uyendo esta exp!'e$ión en (3.G.2), obt.en
f, (x) =J./
cllc:;:cr. (z-a)'} .

(3.6.5)

Com parondo esta fórn111l11 con l a expresión (2.5. 12) de la dcusidDd de probaliilidaJ normal unidiruensionnl, vamos que la componen-

120

Cap. 3 M ag11itudea alea!Qrlar vectoriales

te X del vector aleatorio bidimensional normalmente repartido (X, Y) también está distribuida normalmente; en este caso la espe.ranza matemática y la dispersión de dicha componente se determinan por las fórmulas

m ,,=a,

Dx

(3.6.6)

En virtud de la simetría, la densidad de probabilidad f 2 (y) de la magnitud aleatoria Y se expresa por la fórmula análoga a (3.6.5):

el( {- CuCaz·-cf, I 2 (Y ) =-,V/ C11Ci2-C~. 2cun P 2cu

(

y

-b)2} •

(3.6.7)

Al comparar esta fórmula con (2.5.12) resulta que la esperanza matemática y la dispersión de la magnitud aleatoria Y Re definen por las fórmulas (3.6.8) Pata determinar la densidad condicional de probabilidad de la magnitud aleatoria X con respecto a Y, apliquemos la fórmula (3.2.8). Sustituyendo en ella las expresiones (3.6.1) y (3.6.7), después de simplificar obtendremos

/1=(z !y)= =

·v~

exp

{-ir

C11

(z-a)ª+ 2c1z(X-a}(y-b) + ::: (y-b) 2 ] }

o bien 11(.e1 Y)= V ~~ exp { -

'~1

[

x -a+

;;~ (y-b) ]2}.

(3.6.9)

Ú:na fórmula semejante se obtiene para la densidad condicional de probabilidad de la magnitud aleatoria Y:

/2{ylz)=V;: exp

{-e~ [y-b+ ;:: (z-a)J2}.

(3.6.10)

Comparando las fórmulas (3.6.9) y {3.6.10) con la expresión general (2.5.12) de la densidad de probabilidad normal unidimensional, .llegamos a la conclusión de. que la ley condicional de diStribución de cada com,Ponente del vector aleatorio normalmente repartido es también normal con ·respecto a la otra componente; con ello, las esperanzas matemáticas condicionales y las dispersiones condicionales de las componentes X, Y del vector aleatorio (X, Y) se definen

12t

§ 9.6. Le¡¡ 11orm4l bidimensio11al de dUtrlbuctón

por las fórmulas

M(Xiy)=a- ~:~ (y- b), D(Xlyl=c~i' M[YlxJ=b-~(x-a) . D(Ylx)=-Cz-i1- . \Ci2

l. . ¡·

(3.6.11)'

. Al comparar las expresiones (3.6.5) y (3.6.7) de la,.s densidades.de probabilidad no condicionales con l as (3.6.9) y (3.6·.10) de las densidades dé probabilidad condicionales· de l as componentes de. un vector aleatorio normalmente repartido, se· desprende que eSias .~omp-0néntes son por lo común magnitudes aleatorias dependientes. Y soJamente en caso en que c12 =O, las componentes de un vector aleatorio bidimensional normalmente repartido son indepen!lientes. Démos la interpretación geométrica de los resultados obtenidos. La ecuació·n c11 (x - a) 2 2c12 (x - a)(y - b) c 22 (y - b)' = 2k2• (3.6.12). cualquiera que sea el valor k, es la ecuación de la curva central de -segundo orden con centro en el punto (a, b). Como el discriminante D = c 11c22 - e~. es positivo, entonces esta curva representa una elipse. Si se considera k como parámetro, a la ecuación (3.6.12) le corresponde una familia de elipses concéntricas semejantes. En todos los puntos de la elipse correspondiente al valor dado del parámetro k la densidad de probabili.d ad f (x, y) tiene un mismo valo1"

+

+

igual a V~ e-11.•. Al alejarse del centro de dispersión, es decir, al aumentar el parámetro k; la densidad de probabilidad disminuye .. Debido a esto, la distribución de los valores posibles de un vector aleatorio bidimensional se puede representar geométricamente pol"' una famHia de elipses concéntricas semejantes cuya .espesura dismi· nuye, al alejarse del centro de dispersión, proporcionalmente a la magnitud e-1ti. Tal cuadro de la dispersión en el plano, subordinada a la l ey normal, se llama díagrama de dtsperst6n . L a ecuación x=a- ;;~ (y'-b), (3.6.13)· que represenla gráficamente la dependencia de la esperanza matemática condicional de la magnitud X del valor y de la magnitud Y es, como es sabido de la teoría general de l as curvas de segundo orden, la ecuación del diámetro de una elipse (3.6.12) conjugada con la dirección del eje x. Este diámetro divide en dos partes iguales a todas. las cuerdas de la elipse y corta a la elipse en los puntos en los cuales. las ta ngentes a ésta son paralelas al eje x (fig. 3.6.1). De un modo absolutamente análogo la recta

y = b-.:J.!.(x-a), Cz2

(3.6 .14)

que refleja la esperanza matemática condicional de la magnitud Y

Cap. 3

122

"1axnUud~1

akatqrltJ.t rutorln/,.

en función del valor x de la magnitud X, es el diámetro clel diagrama ·de 1lispersión conjugado con la dirección del eje y. Esta recta divide .eu 1los partes iguales o todas las cuerdas de la elipse, paralelos al eje y, y corta a Ja elipse en los puntos en los Y q r cuales l as tangent.es a esta últ.ima son paralelas al eje y (fig. 3.6.1). La recta (3.6.13) que representa l n dependencia de Ja esperanza matemática condicional de la magn itud X del valor y de la magnitud Y se llama linea de regresión de l a magnitud aleatoria X a Y. Análogamente la recta (S.6.i 4) so Uama línea de Pig. 3.1.i.1. regresión de la magn itud aleatoria Y a X. Como es sabido de La teoría de las curvas de segundo orden, los ángulos de inclinación de los ·(•je~ del diagrama de d ispersión (3.6.12) con respecto a los de coor·d('n;idns se de terminan por la fórmula t<> 2A -- 2.!L ..... cu-cu.

(3.6.15)

De aqui se ve que las componentes de un vector bidimensional norma lmente repartid o son independientes precisamente cuando, y solaniente cuando, los ejes del diagrama de dispersión son paralelos a los ejes de coordenados. Hallemos ahora el momento de correlación de las componentes X , Y del vector bidimensional , aleatorio norma lmente repartid o (X, Y). Sustituyendo en la fórmula (3.4.7) la expresión (3.6.1.) .Je la densidad normal de probabilidad, teniendo en cuenta que l as -esperanzas matcmáLicas de las magnitudes aleat orias X y Y son iguales a a y b respectivamente, y cambiando las variables 1• = x - a, v = y - b, obtendremos k "V -= 1/c11c11-ci-: 2'"\ X

..

..,

X

J J uvexp { - -}[cuu'+ 2c13u11+c21v~1} dudv. -oo

-

(3.6.16)

(IQ

l?ara cumplir primeramen te la integración con respecto a 11, añadiremos los tér111inos en el exponente que contienen v hasta que se -0btenga un cuadr ado perfecto. Para esto conviene adicionar y restar -en el exponente la magnitud cJ, u1 . E ntonces obtendremos

k:xy -

.. Vcu~~-cl, J -oo

en

¡¿ exp

{-

cuc~;c¡, u'} du X

§ 9 .6. Ley normal bidimef1SÍOlloJ de di•trihllcl6n

..A.l sust.ituir las variables t tendremos

=

v

+ c,i u

X

J (t -

C22

123

en la integral interior,

00

:::

u) exp { ~~t~} dt

-oo

o, valiéndose de las f6rmuJas (2.5.2) y (2.5.3),

Ahora, aplicando la f órmula (2.5.4), obtendremos k

_ xu-

-V2ñtf.

., /cuca - ch cu

-v

Despu.;s de efectuar las mos dcfi11iti vamcnte

2ncu

-;;;;- V(c11c22-cf~)3 .

simpliíica·~iones

correspondientes, obtendre(3.(i.17)

k:r:y=

Esta fórlltula muestra que las componentes de un vector aleatorio hidimensional normalmente repartido están no correlacionadas si, y sólo si c12 = O. Pero ahteriormente vimos que la igualdad c12 = O es necesaria y suficiente para que las componentes de un vector aleatorio bidimensio1111l normálmente repartid<> sean independientes. Ahora bien, las componentes de un vector aleatorio bidimensional normalmente repartido están no correlacionadas precisamente si, y sólo si , son independientes. La segunda fórmula de (3.6.6), la segunda fórmula de (3.6.8} y la fórmula (3.6.17) se pueden considerar como ecuaciones con las incógnitas c11> c12 y c2 2 • P ara resolver estas ecuaciones, multiplicaremos miembro a miembro las segundas fórmulas de (3.6.6) y (3.6.8) y de la fórrnula obtenida restaremos la fórmula (3.6.17) ~levada al cuadrado. Como resultado obtendremos DxDll -k!~ =

f Ct JC22 -

• .

C1t

(3.6.18)

Dividiendo por esta fórmula, miembro a miembro, la segunda fórmula de (3.6.8), la segundn fórmula de (3.G.6) y la fórmufa (3.G.17),

C1tp. IJ Ma¡!.11i/ud;:s aleatortas vedtwlalts

124

después de simplificar, obtendremos Du

Cu= D,,p~- kh C12

=-

DxD:x:.. k';,v D,,,

C22=

J1

'

D,,,Dy - k~v .

'

f

(3.(i. Hl)

1 )

Así pues, basta conocer las dispersiones y el momento de correlación de las componentes de un vector aleatorio bidimensional normalmente distribuido para determinar por compl eto todos los coeficientes en la expresión de la densidad de probabilidad del mismo. Es evidente que no es suficiente conocer solamente las dispersiones D"' y Dv para determinar la densidad conjunta de probabilidad de las magnitudes aleatorias X, Y. Por consiguiente, como muestra el ejemplo de las magnitudes aleatorias normalmente repartidas, no basta conocer l as densidades de probabilidad de las magnitudes aleatorias, tomadas por separado, para determinar su densidad conjunta de probabilidad. Sustituyendo las expresiones (3.6.19) en la fórmula (3.6.1) y teniendo en cuenta que las magnitudes a y b representan l as esperanzas matemáticas de las magnitudes aleatorias X, Y respecti vamente, obtendremos t

f(x, y)= 2lt YD X D y - ki:Cl/ X X

exp { -

Du (r- m,,,) 1 - 2kxv (z-mx) (y-m 11)+Dx (y-m11) 2 } . Z(DxDv-khl •

{3.6.20)

§ 3.7. Magnitudes aleatorias complejas Ha¡¡ia. ahor~ hem¿s examinado solan1eute las magnitudes aleatoreales, ,lo que ~ suficiente para las aplicaciones prácticas. Sin 4m.bargo, durante la determinación de las funciones características de las· magnitudes aleatorias reales ya hemos encontrado las magni~u¡ies aleatorias .complejas Y = el1'X y Z = et(¡.,, X1+· · · +¡.nXn). Así pullS, en la Teoría de las Probabilidades conviene examinar no solamente las magnitudes ale¡1torias reales sino también las complejas. En los capitulos ulteriores, al estudiar la teoría de funciones aleatorias, tendremos que calcular las esperanzas matemáticas, dispersiones y momentos de correlación de l as magnitudes aleatorias complejas. Por eso deberemos extender las nociones de esperanza matemática, dispersión y momento de correlación a las magnitudes aleatorias complejas. Se llama magnitud aleatoria compleja a tal magnitud aleatoria cuyos valores posibles son números complejos. La magnitud aleator~as

§ 3.7. Magn.lludu altat<Jrla• compleja.•

ria oompleja Z se puede representar en l a forma Z = X+ iY,

12:">

(3.7.1)

=

Donde X y Y son magnitudes aleatorias reales e t V - 1. A un conjunto cualquiera de valores posibles x, ¡¡ de Las magnitudes aleatorias X, Y l e correspon de un número complejo z = x + ly que es un valor posible de la magnitud aleatoria compleja z. Considerando l a magnitud aleatoria compleja como función do dos magnitudes aleatorias reales X , Y, se puede aprovechar la fórmula (3.4.2) para el cálculo de la esperanza matemática de la inagnl· tud aleatoria Z. Como resultado oblendremos

.....

il{(Z ) = )

) (x-ly)f(x, y)dxd¡¡=

-oo -oo ...

~

00

J J xf(x, y)dxdy+i ~ l yf(x, y)dxdy

-oo - oo

o bien

-OQ

-co

M [ZJ = M [XJ + iM IYJ.

(3.7.2)

P ues bien, la esperanza m atemática de una magnitud aleatoria compleja es igual al n ú mero complejo cuyas partes real e i maginaria son iguales respectivamente a las esperanzas matemáticas de l as partes real e imaginaria de esta magnitud. Al hacerse extensiva la noción de dispersión a las magnitudes ale11t.orias complejas, es natural que se t iende a conservar la propiedad pl'incipal de la dispersión: la positividad esencial. De acuerdo eon esto, se llama d ispersión de la m agnitud aleatori a compleja Z = X iY a la esperanza matemática del cuadrado del módulo de la correspond iente magnitud aleatoria centrada: D lZI = M [ 1Z - m, 12 1 = M 1 1ZO 12 ). (3.7.3)

+

zo

Teniendo en cuenta que 1 1 s = (Xº)~+ (Yº) 2 , se puede escribir D [Z) = M l(Xº) 2 (Yº)' I.

+

Pero, como veremos en el párrafo siguiente, la esperanza matemática de l a suma de magnitudes aleatorias es siempre igual a l a suma de s us esperanzas matemáticas (el teorema de adición d e esperanzas matemáticas). Por eso D [Z) = M ((Xº)'l M [(Yº) 2 1.

+

El primer sumando del segundo m iembro representa la dispersión de la magnitud aleatoria X y el segundo s umando, la dispersión de l a magnitud alea t oria Y . Por consiguiente, D !ZI = D lXI D lYJ. (3.7.4)

+

120

Cap. 11

Ma11n l1ud~1 al~atoria•

wr.Jorlal.,

Ahora Lien, la dispel'Sión de una magnitud aleatoria cou1pleja esigual a la suma do las dispersiones de las partes real e imaginaria de la misma. De la definición del momento de correlación (3.4. 7) de una mnguitud aleatoria rea l se deduce que el momeuto do correlación
se determina por la fór1uula k,.v

=

M

IX6Y0 J.

(3.7.13)

En el caso par.ticular cunndo so trata de las mngnitudes aleatorias reales X y Y, est a deíinición del momento de correlación coincide con la dada en el § 3.4. El momento de correlación de las magnitudes aleatorias complejas se puede expresar por medio de Jos momentos de correlación de las partes reales e imaginarias de las mismas. En efecto, de acuerdo con el teorema de adición do las esperanzas matemáticas M

[XºYºI=M [(X1+ iX!) (}'~-iY~)J =

+

= 111 tX~Y11 M [X~l'~J +M { tX~Y~j - JI f iX~Y~I · Pero, como veremos en ol párrafo siguiente, la magnitud constante se puede sacar del signo de esperanza matemática. l'or eso, sacando del silzno de esperanza matemática la unidad imaginaria i, obtendremos M

IXºYºJ =

M

rx1Y:1 + M rx:v:1+ iM r x:)'~I- iM [X~F;¡

o bien (3.7 .7)

Hemos deducido las fórmulas (3.1.4) y (3.7.7), valiéndonos de cie.r tas propiedades de las esperanzas matemáticas que se est8'blecerán en '81 párrafo siguiente. Está claro que luego, no debemos aplicar las fórmulas (3.7.4) y (3.7.7) al demostrar las propiedades de las esperanzas matemáticas. Para evitar la confusión, convengamos en que en lo sucesivo exam¡naremos, como regla, las magnitudes aleatorias reales y siem_pre ind,clU'emos especialmente cuando se t rate de las magnitudes aloatorlas complejas.

§ 8.8. PropiedadeG de las e$peran:M matemáticas

127

§' 3.8. Propiedades áe las esperanzas matemáticas

Estudiemos a.hora las propiedades. fundamentales de las esperanzas matemáticas. En .este caso, para la universalidad, consideremoS· que las magnitudes aleatorias que se examinan y todos los números.· .que se encuentran pueden ser t11nto realeS 1¡omo complejos. Esto nos. éoncederá el derecho d~ aplicar iodas las fórlJ1ulas obtenidas a la,smagnitudes· aleatorias complejas, lo que necesitaremos en Jos capítulos sucesivos al estudiar l a teoría de las funciónes aleatorias .. La esperanza matemática de cualquier, magnitud no aleat.ori'a: es igual a la propia .magnitud M (e]

=e,

(3.8. 1')1

En efecto, la magnitud llo aleatorja e tiene un solo valor posible cy la probabilidad de que tome este valor es igual a la unidad. l)or eso, aplicando la fórmula (2.3.1-4), obtendremos precisamente Ja fórmula (3.8.1 ). La esperanza matemática del producto de una magnitud no aleatoria por una aleatoria es igual a l producto de la primera magnit\ldi por l a esperanza matemática
=

cM IZJ.

(3.8.2)>

Con otras palabras, la magnitud no aleatoria se puede sacar doL signo do esperanza matemática. En efecto, MlcZJ=

j j c (x + iy)f(x,y)dxdy= =ac r j (x + iy)f(x, y)dx dy = d11Zl-

-co -oo

-oo

-!);,)

La esperanza matemática de la suma de las magnitudes aleatorias. es igual a la suma de sus esperanzas matemáticas M

rx + Y] = M

[XI

+M

[Y).

(3.8.3)'

Primeramente demostraremos estu propiedad para l as magnitudes aleatorias re<Jlcs. En este ca~o , en virtud de la fórmula (3.4.2)> M[X + YJ=

.... J)

(z -t-y) f (x , y)dxcly=

=

j j xf (x, y)dxdy+ r j yf(x, y)dxdy.

-oo -oa

-oo -oo

i28

Co¡>. 3 Ma¡¡nitud,. nleatorltu Vtctoriak1

Ac.¡uí ol prírncr sumando representa la espera.oza matemática do la magnitud aleatoria X y el segundo, lo. esperanza matemática de l a magnitud aleatoria Y. Así pues, para las magnitudes aleatorias reales la fórmula (3.8.3) queda demostrada. Supongamos ahora que X y Y sean magn itudes alea torias complejas: X= X1 iX 2, Y= Y1 tY2. (3.8.4) donde X,, X 2 , Y 1 y Y 2 son magnitudes aleatorias reales. En virtud de (3. 7. 2) tenemos

+

M IX

+ Yl =

M IX1

+

+ Y + i (X2 + Y2 )1 = IX1 + Y 11 + iM IX 2 + Yil· 1

(3.8.S) Puesto que para las JI1agnitudes aleatorias reales la fórmula (3.8.3) ya ha sido demostrada, entonces = M

+ Y,l + Y21

M [X1 M IX2

= M = M

rx,J + M IY1l. IX 2 l

+M

IY2 1.

Sustituyendo estas expresiones en (3.8.5) y volviendo a aplicar la fórmula (3. 7 .2), obtendremos lvf IX+ YI = M lXd M 1Y1l + t{M (X 2 1 + M IY2 1} = ""'JVf !Xi!+ iM IX 2 l + M IY1 J + iM !Y2 l = = /11 IX 1 + tX 2 l + M IY1 iY3 J - M IXl + M IYI, (3.8.6)

+

+

que es lo que se trataba de demostrar. Asl pues, la fórmula (3.8.3) está uemostrada para cualesquiera magnHudes aleatorias. Valiéndose del método de la inducción matemática, esta propiedad de las esperan~as matemáticas puede hacerse extensiva a cualquier número de magnitudes aleatorias reales o complejas Z 1, Z:, . .. , Zn: n

n

vcl

v=al

M I ~ Z,,]= ~ M[Z..J.

(3.8.7)

Las fórmulas (3.8.3) y (3.8.7) enuncian el t eorema de adición de l as esperanzas matemáticas: La esperanza matemática de la suma de ·magnitudes aleatorias es igual a la suma de sus esperanzas mate,máticas. La esperanza matemática de un11 función lineal de h1s aleatorias (3.8.8) es igual a la misma función de las esperanzas matemáticas de estas magnitudes: n

mu= , .L: a,,m, V + b. _,

(3.8.!l)

§ 8.8. Propiedo.de.s d.e. lo.s c.
En efecto, según las propiedades deducid.as de las espera uzas matemáticas 1t

n

v= t

\'=1

M IU! = M [ ~ avZv+ b) = ~ M [a..,Zv) + Jf [b) =

n

2J

v~t

a,,,M JZ,,J +b

q1.1e es lo que demuestra la fórmula (3 .8.9) Supongamos ahor a que X e Y son dos magnitudes a leatorias arbitrarias, escalares o ve~toriales, con componentes roales (las magnitudes aleatori as complej~s siempre se pueden ·considj)rer comq vectores aleatorios b idimensionales ·con componentes rea les). Sea cp (X, Y) la función unívoca de las magnitudes aleat ohas X ; Y. Según la definfoión (3.4,2)

J"" J"" cp(x,y)f(:r;,y)dxdy,

M[q¡(X,Y)J=

donde f (x, y) es la densidad conjunta de probaliilidad de las m
J J q> (.r., y)/, (.1:) f2 (YI x)
.M 111• (X, n i =

""

-oo -oo

=

J"" r Jcp(x, y)/2(Y!,;)dy] /

1

(x)dx.

- oo

- w

La in tegral interior reprl'senta la espe.ran1.a mnt.emálica conclicional de l a función 1p (x, Y) de la magnitud aleatoria Y parn el valor cln
""

J 1p(x, y)f (ylx}dy=M'[x, Y)lxr. 2

Por

(3.8 .10)

con~igu iento,

}\f l

Y) I =

r

M lcp (x, Y} 1x i /1(x) dx.

(3.8.11)

La magni tud 1V [<¡> (x, Y) 1xi dopende del valor x de la mag11 it111l alent.oria X. I'or eso la magnitud M [q> (X, Y) 1 X 1 ropresc: nt u lA función de la magnitud aleatoria X : ;'\tf [cp (X, Y) 1 X] = ~'( X). La integral en la fórmnla (:.\.8.11.) representa la esperanza mntemúo-o s3H

i30

Cap. 3 .Magnftudu altatorla• vtctortalt1

tica de esta función:

J"' Mlq¡(x, Y)lxJ/s(x)dx=M[M[q¡(X, Y) IXJJ. - oo

Por lo tanto, M [q> (X, Y) l = M [M' [

I XI).

(3.8.12)

Esta fórmula demuestra que la esperanza motemática de la función de dos magnitudes alentorias (escalar es o vectori11les) se puede calcul ar no a la ve1. sino consecutivamente: primeramente se halla la esperanzu matemática condicional, considerando fijado el valor de una ele las magnitudes aleatorias, y luego se baila la esperanza matemática de la así obtenida función de esta magnitud aloatori n. Esta propiedad de las esperanzas matemáticas se utiliza frecuentemente en la.'l aplicaciones prácticas. Ejemplu S.8. 1. ll:allat· la esperanza matemática dol prodm:to de lns componoutcs X, Y do 11n vector aleatorio bidimensional normalmente repartido. Según la fórmula (3.8.12) bailamos primerain~nte la esperanza matomát1ca con· dicional del producto XY para el valor fijado :i: de la magnitud aleawria X. Eu virtud do (3.11.21, al caleuJar esta esperanza matemática r.onrlicional , el valor z de In mugnilud a eatoria X so puede sacar del signo de la espernnzn mutomátiro. Entonce,, 11bt.cnd1·emos M [:i:Y I :i:[ = z:M IY I zJ.

Sustituyendo n.qul la exprosi6n de la espernnui watemáticR condicional do la magnitud aloaloria Y dr. (3.6.il), obtenlda on el § 3.6, hallaremos

r

M fzY I ::t) = ..: b-!il. {z- a)J . C:t:

S11sLituyC11llo oqul x por la magnitud aleatoria X, obtendrnmvs la función de la iuognitud aleatoria X: lj;(X)=M iXYJ X)=X

[b- !1!.. (X-4)]. e,.

Luego, por la lúrmula (3.8.i2). hallaremos

M [XYf=M [M[XYJ XJJ~M [

xr

b- ::: {X-a>]]

o bien, aplicando las propiedades de las esperanzas matemáticas, determinadas m6s arriba,

= =

En ol § 3.6 vimos quo M fXJ .,. a y en el § 2.3 se demostró que M [X'l cx 2 ml,+ D:r ff6rmula (2.3.H)J. Por eso, teniendo en cuenta que mx =a y"aplícando la formula (3.6.G) pnra Dx• obtendremos definitivamente

=

ab

§ 3.9. Propledadu de U.. di1per1lO(l(S

t31

o bien, aplicando la fórmula (3.6. t 7) para el momento de correlación de ¡._, componentes, Af [XY) -

ab

+ kxg ~ m,.mg + kxir

Hemos deducido esLa fórmula para el caso en que X y Y repreaentan las componentllll del vector aleatorio normalmente repartido, para ilustrar la aplicac1ón
§ 3. 9. Propiedades de las dispersiones y de los momentos de correl ación

Ahora vamos a estudiar las prQpiedades de las. disper5io~es y de los momentos de corrol aci6n de lai ·m agrutudes aleatoriás. Eu este caso, como en el párrafo anterior, consideraremos que, en l<>.. gen,er.n.J., todas las magnitudes aleato:rlas y los números que se 'examina!\ pueden ser complejos. Esto es necesario para el estudio de la teoría
1e ¡tD I XI.

Análogameute se demuestro que el momento de correlación de las magnitudes alcat.orias (3.9.2) U= aX, V= bY, donde ti y b son números complejos arbitrarios y X y Y son magnitudes Rleatorins, se determina por la fórmula k.,. = ab kx¡r (3.9.3)

Si las magnitudes a leatorias U y V representan funciones lineales do las mngnitncle.s a lentori'1s Xi, .. ., Xn, n

_,

n

U=~ avXv+b, V=~ CvX.,, + d,

(3.Ü.4)

v=I

g.

Cap. 8 Ma11niludcs auatorltU L>eclOrlak.~

enLonces l n di1>persión Je la magnitud aleatoria U y el momento de correlació11 de las 1nag11it.udes aleatorias U y V se determinan por lns fórmulas: n

D,L =

~ a,,ñ.1,k,,11 •

(3.9.5)

"'·"1-- l

"

kuc = }~ avC1-1k...,",

(3.H.IJ)

v. µ=-1

do11clo k. 11 El~ d inome uto de c.orreh1cil¡11 de l as magn itudes aleatorias X,,, X,, (cunnd.o µ, = v, la magnitucl k•.., representa la dispe1'si6n de la m11gnitud aleatoria X..,). f::n eiecto, n

D (Ut = M'!IUº l2 t=M l l ~ a.X~l'l = v=t

....,. M l

n

n

~ ~.. xt.~I =

~

JA.. V=" l

n

a..,,4',.M [X~Xtl =

Y. fl..:9 1

~ V, µ .c J

a,4°11 k,,..

De uu cuo) toman la ÍOL' lll(\

"

Du= ~ l ª• 12 D., v-c

"

k..o = ~ a,~.D..,

(3.!l.7) ('.l.9.B)

\-::S.l

donde D.., = k,.., es la d ispersión do la mogni\ud aleatoria X.., (v =1, .. ., 11). En l as aplicaciones prácticas tione importancia un caso particular más, r eferente a la fórmula (3.9.5), cuando la magnitud U repr~ senta ln su ma de las magnitud e.~ alt!ntorias X,, .. ., Xn· n

U=~ X..,

(3. 9. 9)

\!:t i

E$ evidoute qui.' en est.e Cll.l!o a, = 1 (v fórmula ('3.9.5) tomará ltt forma

= 1,

n), IJ -=O y la

ti

D[UJ =

~ kw.·

(3.9.10)

v,µ- 1

Ahora bion, la dispersión de la .~urn a
133

§ 3.9. Pr,,piedadu rk llu dts¡•
Eu el caso particular, cua ntlo las magnitudes X¡, .. ., X están correlacionadas, Ja fórmu la (3.9.10) toma la forma

no

n

DiUI=

l.; D,.

(3.9.H)

v~t

Así puos, la dispersíón de la suma de l as magnitudes aleatorias no correl acionadas e~ igual a la suma de las dis persiones de los sumandos. Teniendo en cuen t a que D [ UI = a;., y D v = a~, donde <Ju, a,. . .. , a,. son las desviaciones enadrtíUcas medias de las magnit udes aleatorias U, X,. ... , X ,., respectivamente , podemos e11cribir la fórmula (3.9.11) en fa. forma n

a~ = 2j ,~1

a!.

(:3.9.12)

Las fórmulas (3.9.7), (3.0.8), (3.9.11) y (3.ll.12) :>011 aplicnl.Jles para cualesquiera magnitudes aleatorias no correl acio11ad11s. Eu particular, son válidas para las maguitudos aleatorias inde¡1endieotcs . Calculemos ahora la csptiranza matemáti ca del producto de lns magnitudes X o Y para !as n11Jg11itude.'i aleatorias ijfbitrarias X e Y (el momento inicial mixto dti segundo orueu). Heprescutando las magniL11des aleatorias centradns, en virtud de las 1iropiedades de 111s esporonzas matemátic,nl:!, obtendrtiioos·

M IXYI

=

M [(m.x

+ xo

)(m¡¡

+ Yº)I = in..,iñv + M[X f··r.

o bien

(3.9.13) En el caso particular, cuando se iratn de las mngnitudl'S aleatoria.':\ no correlacionadas reales X o Y, la fórmula (3.9:13) toma la

forma M IXYJ

= m..,mv.

(:·Ul.14)

Esto ti~ til así llamado teorema de multiplicación de las esperanzas matemáticas: la esperan za matemática del producto de dos mugnitudes aleatorias no correlaciouadas reales es igual al producto do las esperanzas rnatemáticM do las mismas. A Jüerencin del teo rema de adición, el de multiplicnción es válido solnmeute vara las magniturl os aleatorias no correl acionadas reales. En ¡rnrticnlor, es válido tamb ién para las mngniinrlcs nleatorías renles ínrlepen
(3.9.'i!'i)

134

Cop. 3 M •lfnltudu alealuriM vu1orloú1

Para la demostración nos valemos de la propiedad de la dispersión no negativa. Para cualesquiera magnitudes aleatorias X, Y y números no aleatorios a y b, la dispersión de la niagnitad aleatoria a X - b Y no puede ser negativa: D laX - /JYI ;;;::, O. (3.9.16) Aplic11ndo lo fórmula (3.9.5) y teoiendo on cuenta que en el caso dado n = 2, a1 = ci, a2 = - b, obtendremos

D [aX -bYJ =la l~ Dx+I b¡: D11 - abkx11 -abkvx· (3.9.17) Observe1uos ahora que lc11 ., =M [yoX0J=kx11 , (3.ll.18) es decir, al cambiar el orden de l as magn itudes aleatoria:; complejas, el inomcnto de correlación pasa a la mngui tud conjugada compleja. 'fe11iendo esto cu co1\Sideraeión y sustit uyendo la expresión (3.9.17) en (3. !l.16). obtendremos 1111ra cunlosquiera a y b (3.9.19) Ahora, aprovechando que a y b sou arbitrarias, hagamos

a= k,.11 , Entouce:s,

b

=

D,.

(3.9.20)

a desigualdnrl (il.9.19) Lomará la forma

ll<x11 11 D~ + D~Du - Dx 1kxu r~ -D" 1kxy12 ::;.. O o bien (3.!l.21)

De 11qui se ve que 11ara D,. >O

Dz.Dy -

'""V 11 ;;;. o,

de donde se deduce l a desigualdad {l.9.15). Cuando D,. = O, la magnitud aleatoria centrada Xº es igual a cero con la probabilidad equivalente a la unidad, debido a lo cual kxy ... M [XºYºJ = O, es decir, también (3.9.15) se satisface. Sustituyendo en la desigualdad (3.9.15) las ralees de lai; dispersiones por las desviaciones cuadráticas medias, podemos escribirla en la forma k:t11 I ~ ª"'ªv· (3.9.22) De las desigual dades (3. 9.15) y (3.9.22), así como de l a definición del coeficiente de correlación {3.4.9) se desprende que pro·11 cualesquiera magnitude~ aleatorias el coeficiente de correlación no excede en pmódulo a la unidad: 1r,,u1~1 .

(3.9.23)

{I 8.9. Propi<dodtt de liu tluptralonu

135

De los cálculos citados se ve que el signo de igualdad en las fórmulas (3.9.16), (3. 9.19), (3.9.21) y , por consiguiente, también en las (3.9.1!'.i), (3.9.22) y (3.9.23) es válido si, y sólo si, l a dispersión' de la magnitud aX - bY, para los valores elegidos de l os coeficientes a y b, es igual a cero. Pero esto, a su vez, es posible solamente cuando la magnitud cent rada aX 0 1 - bY º 1 con probabilidad equivalente a la \midad es Igual a ~ro. Ahora bien, en todas las fórmu las escritas el signo de igualdad es válido s i y sólo si, entre las magnitudes X e Y existe dependencia funcional lineal del tipo

(3.9.24) Esto permite obtener cierta idea de qué es lo que oaracteriia el coeficient e de correlación r,, 1,,. El coeficiente de correlación caca.eteriza, por decirlo así, el grado de aproxi mación de la dependellcia entre las magnitudes aleatorias a la dependencia fu ncional lineal. En el caso de dependencia lineal el módulo del coeficiente de corrolación e~ exactamente igual a la unidad: 1 r.,v 1 = 1. Sl l rxv 1 = O, no puooe existir dependencia lineal entre las magnitud.es aleatorills . Los valores de 1r"!I1 comprendidos entre ol cero y l a unidad dotorm inl\n hasta quó punto la dependencia entre lns magn itudes aleat ori as es próxima a l a depend encia funcional lineal. Ejemplo 8.9. t. 1-hllar la esperanzo matemática y 1" dieporsiún de la freouencia de tm acontocimieotn pam n prueba~ incl e¡1011dienLeS realizadas en Iguales oonclieionC5 . Designemos ror X,, el número do vocl'S que sucede el aconteei mionto A oomu resitltado de la v-ésirna pruebo. Cnlculemos la esporanza mntcniállca y la dispersión de ln magnitud iileatoria Xv. Esta ma¡n1l11d tiene dos valores posibles: O y 1, euyos probabilidades son q = i - p y p, respectivamente. Por lo tant o, aplic:ando la fórmula (2.3.14), ob\.endNrno.'I mxv = O g 1 •p = p (v = 1, 2, ••. , n).

+

Así pues, la espnranzo. matemática del número do veces q\le se produce un &con· t eeimieuto al efectuar un solo experimento es siempre Igual a la probabilidad de esto acontecimiento. Apro,•echando la fórmula (2.:1.15}, liallamos la dlapersl6n de la mngnltud ale.atoria Xv D,,.., =(0 m,...)'I q+(t-m,,..,)' p=p1 q+q2 p= pq (p+p) = pq (v = 1, ~ ••. . , n ).

Según Ja dnfi nielón, Ja freeuencla U do un acontecimiento A repr~ent~ la relación del númern de veces que sucedo el acontecimiento A. ol cual. evidentemenw. es i¡¡11Al al número do vecOIJ que se prod11ce lí.~t.e on cada una do las pr11~h11.~. al 11úmoro total de. experimentos realit.ados:

" u-.!. ~ x ... "¿i Esta fórmula muestra que la Crecuencla del acontecimiento A es una combinación llDeal de las magnitudes al entorios itHlependientes X, • .. ., X,. que Tcpresontan los números dn veces que ocu trn el acontecimiento A on cada una de las pruebas

realirndn~. Pur consigui«Hte , pura rlctorminm· Jn cspQmnia 1uatemáticn do la frecuencia U se puede hacer uso de la [órmuln (3.8.9). Ten iendo en cuenta quo nn esf.e CRSo torio• los copficient.es ªv son iguales a 1/ri v e l término iutlepertd iente b ~.s igunl a cero. nbl.1.1mhomos · n

fl

m.u = .!..n.4.J ~ 111-;( =!. '1 p ~ p. n.4.J V

v-- 1

(::J.9.25)

'\"= l

s\sí PHl'S. In esperan?.a mRt{'m:ltir.a de 11\ fre~uencin dr. un acout.ecimieuto es

igu11l 11 la probabilidnrl de este último. Para determinar la dispersió n de la

fr1~c.1w11ci11, upliquemos IR f6rmula (3.9. 7). C'..omo rr.sultado obten
" " o,, ,..J.. Y.º"=~ '1 P't= !!L. n"' L.J n tl ·

-..

"~= l

v

1:1.9.26)

v~L

De lo• res uhndos obtenid(ls se puede sacar la deducción ¡míctic.a siguiente: In espurn 11zA rnktCmótico rlo la frecu encia, cualquiera que sea el número do Ptll"· bas, es ig\wl n In prob~bi.lidad del acont.Qelwiento. y la dis persión de Ja froouonci11 ti~ndo a ~<,ro ul uumcntar ilin1itadamente el núuwro de e.q> pruebas <:!1 lo suficiente grnod(I, proíctica111eule lo~ v11lo1·"~ posibles de la frecuencia de pt·od ucciú11 de un acontccimi~nto están cornprnndidos en límites tan est.rechns como se qu ier~ . Por oso, al ser grande el núnH!ro lk PX.l>erirnuntos, podemos tomor la frecuencia cou que !;e produce un ~c.onlccimic111.11 vor la probabilidad del ~contfcim·ionto. La expresicín (3.9. 26) J>ara la di s p1!rsió11 do la frecuencia nos pormitn retim9r d<.> un modo apt·oxiinado la ¡1ref.isiio11 ron que la írecueocia s"' ncerca a la probabilidad. l'arn obtonor quo la frt-c11t111c.ia ilc un <1co11tt1cim.iento sn aproxime de un mo1lo suficin11te1oe11to exart.o u 1:1 probabilidad dol mismo, prác lic.ame11le bastan algu uas tleccnas du pruoba s (70-100) sie mpre q1w la ¡>mbabilidad del acontecimiento no sea próxi rna :11 cero o a Ja unilla1J. Los resultados nl>t(lnitlos son um1 cunsec.uenda dicecla dlJ la defin ición v las propiedades de las probabilidades de neonteeimieotos, osí C(lmo d11 la ti.~rfo de8arwllnda sobro l a bns~ de estas dofinicionos y propiedades. Asi imes, de las leyos dn la 'J'eorín de las Probabil idadus se deduce la propiedad de est,abilidad ele los fr•!cuoncias de acontocimicnto~ quo se observa en Ja priiclica. Pol'con~i­ !tlli.::ntc, los cnn~eptos ¡me~tns como baso de la TeOl'ía d e las ProhMbilidancs n•rn Ja po$ibilidad de descnbir correctamente lns propiedades de los fenómenos aleatorios· !recuentos que .S<• obscrvao en Ja práctica. J>or eso la •r eoría de las Prn·babilid!ldes se puede ajltícar a lvs problemas de la prl\ctica, estando en este caso seguro~ de que las deducciones obtenidas con ayuda de esta Teoría S-On exactas. E je1¡1plo S.9.2. Examinemos ahora una magnitud aleatoria X. Supongun1os que se realizan n expcrime11tos independientes on iguales c.ondiciones ':! que· en cada u no do éstos se rcgistrn ol valor que toma la magnitud aleatoria X. Luego , según los datos obtonídos como r-0s0Ttado de las pruebas, se calcula e l valr¡r ¡nQdio aritmétie<> de la mag11itud X. Designemos por X,, ol valor que la Diílgnitud aloatoría X to111,1 ou la 11-ésims prueba . Es evidentl.\ quo orat~ rle quo los exper-imentos hayan sido ofoctuatlos, de liut.110, 1Js t<.> va lor os llna magnitud aleatoria, debido 8 lo cual ul valor menio •l'itm<\tico ne la magn itud X, al l leV•I' a cal><> n experimentos,

tambi~n es unn inagu itud afoHoria. Según los datos del µroblem11 , X., ... , Xn son magnitudes aleatot-ias independientes con igual e•-µ~ranza mat:emática m.,

§ IJ.JO. Veúrminación dt

101

momentos

137

e íguoJ dispct!i6n D". Aplicando lus fórmulas (:1.8.!l} y (3.9.7). bailemos la es~ran~a rnalomática y la dispel':!i6u del valor medio aritmétlco de la magnitud aleatoria X al dcctuat· " expt•rimu11tos: n n

mu·=-k- 2: 111,.vmol

m,.,

Du=~,; ~

D,. =

~".

1

(3.9.27}

v=l

Del ciemplo examiu11.do se tles¡ironde que la es11oranz11 matemática del valor modio aritmético de una magnitud aleatoria, cualquiera <.1uc sea el número de inde)lendientes, es igu11l a la esperanza matemática de esta magnitud, y la dispersion do la media 11rltmética l!S inversamente proporcional 1tl número de experimentos realizado~ n. Por lo tanl11 al ser el número de. o¡¡perimentus n lo suficicnt.c grande, l tt.~ dc:1viaciones précUcamenle posibles del valor medio 11rltmétlco 1le una mag11i1 ud uleatoria cun 1·especto a isu esperan ta matemátira estarán r,omprendidus on límit~is tan estl'echos como so quiera. Bslo do la posibilidad do detern1inur las OSJleranzas matemáticas de la;; magnitudes ulualol'ias Hegún los resultados ele las pmehas, tomando su~ valores. medios arltmóticos, cuimdo el n{irut1ro de exporimentos tis lo suíícieule grande, poi· l as esporun211~ matemáticos. Y <'omo lo~ mnmento~ do lns magnitudes aleatorias son las ospo1·n11zas matcmiitirn~ il<· ch•rl~!! fouciouos do 11SIM mag11itud~s. 011\,or1e11~ cualosquit•m m<>mt>ntos 1\0 lu~ magnitutlc¡¡ aleatorias S(' pueden determinar corno Jos valores medio.~ cor respondie11IC'.S. s1 eJ número d~ oxrorimant.os es lo suCicio11111 graud.,. En particular, las di•pcrsione!I eslu1lís~icru1 Je las u1agnit.11d l'11diPntc3 morucnf.os dr c urrcfod611 ostullístkos. j'll\r los mo mentos do correlaci611. CXJl~riwontos

L11s tesis deducidas en los ejemplos considerados son los Loorewas wús seocillos dt! u11u gra11 cantitlacl ele teo1·omus que onLran en 111 parte especial de la Teoría de las Probabilidades _que se Hamo t:orrienLomente ley de grandes núm.eros. La ley de grnudes números dtiLcrmin¡¡ por vía teórién, partiendo d11 los conce11tos fundnmeutales lle In Teoría de l as Probabilidades, las 1.1ropiecladcs t.lo lol! fenómenos aleatorios !recuentes que so observun 11n la práctica. Ahor a bien, la ley de grandes números fundamenta la validez de !ns tesis principalo." ale 111 Teoría de la~ Probabil id udes y la posibilithid de Ja aplicación práctica de esta teoría.

§ 3.10. Drtermi 11acltí11 de lo!' momentos do lni1 fu11cio11es de ln11 mngnitudci1 alcat:o rias En la práctica sm·go frccul.'11Lemc11tc el problema lle daLcmniuar los 1nomentos de una maguitud aleatoria Y cuando vienen dadas l as características probabillsticas de otra waguitud alcnLoriu X con In cual l n nrngnitud Y osti ligudu (lor unn clopendon1;io f1111cio11al t.leterrninarla: y = q¡ (X). (3.10.1)

dond e rp es 1111a íuncióri un ívoca complctamonte determinada. En los dos párrafos anteriores est11 problema foc resneho pura el caso de una fu nción lineal c.p. En el caso general, paro determinar los momonto.s rlo In magnitud alontoriu Y, es necesario conocer Ju ley de
138

Cap. 3 Ma¡!n.itudes akatnrias vocwriales

bución de la magnitud aleatoria X . .Entonces, todos los momentos de la mngnitud aleatorio Y que nos interesan. pueden ser determinados por las fórmulas (2.3.4) y (3.4.2). gxaininemos primeramente el caso de las magnitudes escalares X e Y. Según la definición, el momento de la magnitud aleatoria Y de ordcn k es la osperania matemática de la magnitud aleatoria yk, a~=M(Yk]=Af(
ª'

00

=

J


(3.10.3)

(k = 1, 2, ••• ).

- oo

Abora bien, los moJUentos de la rnag:nitud aleatoria Y, enlazada por una dependencia funcional (3.10.1) con la magnitud aleatoria X, se determinan en principio sencillamente siempre que se conozca la densidad de probabilidad de la magnitud X. Supongamos ahora que Y es el vector aleatorio cuyas componentes Yi. ... , Y,,, son funciones unívocas cleterrninadas de l as componentes X,, ... , Xn del vector aleatorio X: Y1t =
En este caso, aplicando la fórmula (3.4.2) (más exactamente, su generalización extendida a lo~ vectores aleatorios ¡1olidimensiooales) para calcular los momentos del vector Aleatorio obtendremos

a~•... .. k,,.=M !Y~' ... Y~,?'I = =M [
J.. . J
..

-eo

-QO

1

(x., ... , x,,) ..•

e¡>~"' (xi , . •. ,

Xn) X

X/ (xlt ••. , x,,)dx1 ••• dxn (k, , .. . , k,,. = 1, 2, ... ).

(3.10.5)

Las fórmulas (3.10.3) y (3.10.5) son las fórmulas exactas para calcular los momentos de la magnitud aleatoria Y según l a densidad de. probabilidad preasig,nada de la magnitud aleatoria argwnento X Ejemplo 3.10.1. Hallar.la es¡ioraoza rrui.temiítica y la di spersióJl rlc lll seilal de salida do un elemento no 'lineal cnrente do inercia, sí la soñal de entuda ro· pr esenta la suma de una señal útil determinada 1yde111 perturbación X. La sefial de salida Y del elemonto que se considera se espresa por la f6rmula y= q> (s +X),

§ a.JO. Detcrmtnación ik lo.•

mom~11t0$

1S9

donde cp es la ~Ión no lineal Ulltvou (caracterlstica del elemento no lineal). A!I pues, las señalos de entrada y do salida de este elemento están ligadas por la depeudcucia funcional del tipo (3.10.1). Pat11 aplicar la fórmula (3.10.3), con .,1 Iin de calcular la cspNanza matemática y la di!persiún de lo magnitud aleatoria Y, es necesario con11cer la donsi1lad de prnbabilidad f (:•) d<' In magnitud aleutoria X. Entonces la fórmula (3.10.3) dará

.,,

m11 =ctf=

J rp(8+:z:)f(z)lk:,

-~

af-= ~

q>2 (1+:z:) f(z)dx.

-m

Lue¡o, la dispersión de la magnitud aleatoria Y so puede determioat por la fórmula (2 .3.it) que expresa la dlspérslón por medio de l os momentos iniciales

ª'

y

a,i:

Du=ct~ - (af)2: t:n los problemas de In nutomáti1~a la magnitud m11 reprosent·a de ordin11rio la porte útil do ln señul de saliclu
Las fórmulas (3.10.3) y (3.10.5) son complicadas para la a¡1licacióo práctica, a pesar de que son en principio sencillas. Por eso es natural que surja la pregunta: ¿se podría sustituir estas fórmulas exactas pero complicadas por otras más sencillas aunque sean aproximadas? Resulta que en muchos problemas prácticos se puedo hacer esto con ayuda de la linealización de las funciones. En los§§ 3.8 y 3.9 vimos que si las funciones IP (X) y qi1, (Xi. ... • . . , Xn) son lineales con respecto a sus argumentos, los momentos de esta.-s funciones se expresan por fórmulas muy elementales que se deducen de las propiedades de las esperanzus matemáticas, dispersiones y momentos do correlación. Para una determinación aproximada do las esperanzas matemáticas, dispersiones y momentos de correlación de las funciones no lineales derivables unívocas continuas de las magnitudes aleatorias, descompongamos estas funciones en la serie de Taylor en la vecindad de las esperanzas matemáticas ~... .. , mxn de las magni tudes aleatorias X 1, • • • , Xn y omitamos en las serie.'> obtenidas todos los términos s uperiores al primer grado. Entonces obtenclreroo!! Y v =
C11p . •3 Magnitudes aleatorie<s vectoriale.<

140

magn itudes aleatorias Y 1 , • • • , Yn l as expresiones aproximndas siguientes : ('\/=1, .. . , m), (3.10 .7) myv ~
~

vµ ,_,

"

""' ( ilq;,. ) .t:J é).r.,. ,;-=rn /t , l=-'i

'

-

( 8
• ~ xt=11li

k"' ht

(v, 11=1, ... , m)

(3.10.8)

x1

Puest.o que estas fórmula~ son avroxiinadas, surge la cuestión acerc<J de l os límites de su aplicnción práctica. Para resolver esta cuestión conviene observar quo por ser las fórmulas (3.8.9) y (3.9.6) exactas

o

o F'ig. 3.10.1.

Fig. 3.10.2.

para las funciones lillcalcs, par11 las funciones uo lineales serán tanto más cxact¡¡s cuanto más próximas sean estas funciones a las lineales ei1 el campo de los vnlol'cs prácticamente posibles de las mognitudcs-argwncn tos X 1 , • • • , X,. . Por consiguiente, las fórmulas (3.10 . 7) y (3.1.0.8) son aplicables en aquel caso en que las funcione~ <j>1, ••• ,