Investigacion Documental Calculo Vectorial

Unidad I. Vectores en el espacio

INSTITTUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN Cálculo Vectorial ACF-0904 “Investigación Documental” Nombre del alumno: Hiram Yair Castro de los Santos. Carrera: Ingeniería Industrial Grupo: 304-G Docente: Ulises Giron Jiménez

13 de Octubre de 2019 1 HIRAM YAIR CASTRO DE LOS SANTOS

CALCULO VECTORIAL

Tabla de contenido Tabla de contenido ......................................................................................... 2 Introducción .................................................................................................... 3 Unidad I. Vectores en el espacio. ................................................................ 4 Fenómenos de la vida cotidiana que requieran el uso de vectores para su representación. ............................................................................................... 4 Ejemplos de problemas de aplicación, aplicados a la Ingeniería Industrial. ... 5 Ecuaciones paramétricas de una función a partir de una situación real ......... 8 Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. ........................................................................................................ 10 Uso de las coordenadas polares para casos reales. .................................... 10 Proponer un conjunto de curvas en el plano y en el espacio. ....................... 13 Unidad III. Funciones vectoriales de una variable real. ........................... 18 Diferentes tipos de curvas en el espacio en el entorno. ................................ 18

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CALCULO VECTORIAL

Introducción

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Unidad I. Vectores en el espacio

Unidad I. Vectores en el espacio. Fenómenos de la vida cotidiana que requieran el uso de vectores representación.

para su

Los vectores dentro de la vida cotidiana son aplicables de diferente manera por ello se destacan algunos ejemplos: Caminar: Se aplica cuando sales de un punto de partida y se decide ir a un lugar distinto, se debe decidir la dirección en la que se irá dentro de los cuales están los grados hacia donde se dirigirán y la magnitud sería la distancia recorrida desde el punto de partida. Manejar un automóvil: Se suman las velocidades y las direcciones a donde se dirigen, a demás de reconocer la distancia y los sentidos que fueron tomados para llegar a un punto establecido. Abrir una puerta: La suma de vectores con la magnitud que se abre la puerta además de la distancia y los grados hacia donde se dirige la puerta. GPS: En el gps se encuentra un punto específico del cual se señala un lugar y automáticamente mostrará el vector hacia donde se debe dirigir y la dirección que tomará así como los grados donde se dirigirá además del uso de los puntos cardinales. En los columpios: Se observan ciertos tipos de vectores; paralelos en las cadenas de los columpios ya que estos se mueven en una misma dirección, pero no necesariamente en un mismo sentido. En el Billar: Es un juego de mucha habilidad por ejemplo, para que el jugador haga ciertos tiros de alta complejidad, tendrá que realizar operaciones vectoriales mentales para predecir la dirección que tomará la bola al ser golpeada en una zona específica. Diseño de carreteras: Es una de las principales aplicaciones de los vectores en la rama del diseño de vías y carreteras, sobre todo en las curvaturas de estas edificaciones.

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Unidad I. Vectores en el espacio

Ejemplos de problemas de aplicación, aplicados a la Ingeniería Industrial. Los vectores en la ingeniería industrial sirven para resolver problemas de estática (de composición de fuerzas, por ejemplo las fuerzas que actúan sobre un puente o un edificio o las fuerzas que actúan sobre los piñones de una rueda dentada, entre otras más). Ejemplo 1: Una varilla rígida de longitud L = 1.80 m y masa M = 6 kg está unida a una articulación (punto O de la figura). La varilla se mantiene inclinada mediante un cable de acero unido a la pared. Los ángulos entre el cable, la varilla y la pared son θ1 = 60º y θ2 = 50º respectivamente. Un contrapeso m = 4 kg cuelga del extremo opuesto de la varilla. Dibuje el diagrama de sólido libre para la varilla (2 p). Calcular la tensión en el cable y las componentes rectangulares de la reacción en el punto O (2 p).

Fig. 1: Resolución de ejemplo número 1. Fuente: Aplicaciones de vectores y estática (problemas resueltos pág.2)

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Unidad I. Vectores en el espacio Ejemplo 2: Se muestra un diagrama de bloques del lazo iterativo general con el criterio acompañante y la formación del modelo de referencia, mediante optimización sucesiva, donde: es el incremento de temperatura del motor en función del tiempo, [G] es el vector de conductancias térmicas del modelo Donde: y [C] es el vector de capacitancias térmicas.

Fig. 2: Diagrama de bloques. Fuente: Aplicaciones Calculo Vectorial en Ingeniería (pág. 5)

Para conformar el criterio de comportamiento es necesario obtener, con los valores experimentales, la función de incremento de temperatura en función del tiempo. Con este propósito se determina el incremento de temperatura a intervalos regulares de tiempo (t), desde el momento de arranque hasta que se estabiliza la temperatura. Los valores de

se calculan a partir de medir la

resistencia del devanado en los intervalos deseados de t y se despeja cada caso de la expresión:

para

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Unidad I. Vectores en el espacio Ejemplo 3: Se muestra la posición instantánea de un sistema mecánico formado por cuatro varillas rígidas (sólidos “0”, “1”, “2” y “3”), concatenadas sucesivamente mediante articulaciones en sus extremos, y que se mueven de forma simultánea realizando movimientos relativos planos con un plano director común πD. Obsérvese que las posiciones de los puntos I01, I31, I20 e I23 se determinan mediante simple inspección, ya que todos ellos son centros permanentes de rotación relativa impuestos por la presencia de articulaciones. Sin embargo, las posiciones de los centros instantáneos de rotación I21 e I30 se determinan, cada una de ellas, mediante doble aplicación del teorema de los tres centros. Por otra parte, la condición de movimiento plano entre dos sólidos rígidos es recíproca. Además, se cumple que Iij Iji porque, tal como ya sabemos, las velocidades recíprocas son opuestas y, por tanto, se anulan en el mismo punto

I31 = I13

I20 = I02 1 I30 = I03

2

3

0

I23 = I32

I01 = I10

I21 = I12

 D

Fig. 3: Sistema mecánico Fuente: Apuntes web, (pág. 48)

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Unidad I. Vectores en el espacio

Ecuaciones paramétricas de una función a partir de una situación real Ejemplo 1: Un jugador de baloncesto va a lanzar dos tiros libres. El centro de la canasta está a una distancia horizontal de 4.21 m de la línea de falta y a 3.05 m sobre el suelo. En el primer intento, lanza el balón a 35º sobre la horizontal con v0=4.88 m/s. El balón se suelta a 1.83 m de altura. El tiro falla por mucho.

a) En el segundo tiro, el balón pasa por el centro de la canasta. El ángulo y el punto de lanzamiento son los mismos. ¿Con qué velocidad se lanzo?

Fig. 4: Resolución de problema. Fuente: Cinemática: Movimiento tridimensional: Tiro parabólico (pág. 14)

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Unidad I. Vectores en el espacio Ejemplo 2: Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30º con la horizontal y al llegar a su extremo queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcular: a) las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. R=Se coloca el origen de nuestro sistema de referencia en el "punto de lanzamiento" (borde del tejado) y nuestro sentido positivo del eje y hacia abajo (la gravedad g será entonces positiva) Movimiento horizontal (eje x) = 0 (MRU) =

= cte = 10 cos 30 =

=

·t=

nota:

·t

es la raíz cuadrada de 3

Movimiento vertical (eje y) = g (MRUA) = 10 nota: tomo g = 10 m/s² = =

+ g · t = 10

+ 10 t = 5 + 10 t

· t + (1/2) · g · t² = 10·

De la ecuación de x despejamos =

· t + (1/2) ·10·t^2 = 5 t + 5 t² /(

)

Sustituimos este tiempo en la ecuación de la " =5x/( =x/ Es decir

) + 5 [x / (

":

)]²

+ x²/ 15, = [x·

] / 3 + [x²] / 15

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Uso de las coordenadas polares para casos reales. Sistemas de navegación marítima: Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional como: Sistema de navegación náutico y aeroespacial: En este sistema, el rayo 0 se denomina generalmente partida 360, y los ángulos de continuar en una dirección de las agujas del reloj, en lugar de en sentido anti horario, como en el sistema matemático. La partida 360 se corresponde con el norte magnético, mientras que las partidas 90, 180 y 270 corresponden a este magnético, sur y oeste, respectivamente. Por lo tanto, un avión viajando a 5 millas náuticas al este viajará 5 unidades a la partida 90. Las antenas de radar giran cada pocos segundos barriendo un campo circular completo de 360 grados. La antena sabe en cada momento su ángulo de giro, es posible interpretar la oposición del obstáculo. Es lo que en matemáticas se conoce como coordenadas polares.

Fig.5: Radar marítimo. Fuente: http://www.magisternavis.com/Simulador%20de%20Radar.htm

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Cálculo de límites: El cálculo de límites por coordenadas polares consiste en aplicar a las variables x e y las ecuaciones de equivalencia entre la representación mediante coordenadas cartesianas y polares, según la gráfica:

Fig. 6: gráfica cartesiana Fuente:https://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/calculo-de-limites-porcoordenadas-polares-1/

Coordenadas cartesianas y polares Posteriormente, definimos el acercamiento al punto (0,0) mediante la resolución del límite en la variable r:

Al dejar la variable angular θ sin tratamiento en el cálculo, se contemplan todas las trayectorias posibles de acercamiento. Ejemplo: Calcular

mediante

límite

donde

el cambio

a

coordenadas

polares el

Resolvemos el límite aplicando el cambio de las variables cartesianas (x, y) a las variables en coordenadas polares (r,θ).

Ahora ya podemos decir que

vale 0.

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Cálculos orbitales: El movimiento de un satélite (o de un planeta) en su órbita elíptica está determinado por 3 "elementos orbitales": (1) El semi-eje mayor a, la mitad de extenso que la elipse, que nos indica el tamaño de la órbita. (2) La excentricidad e, un número de 0 a 1, proporciona la forma de la órbita. Para un círculo: e = 0, valores mayores proporcionan progresivamente anillos más achatados, hasta e = 1 donde la elipse se alarga hasta el infinito y se convierte en una parábola. Las órbitas de los grandes planetas son casi círculos: la de la Tierra, por ejemplo, tiene una e = 0.0068 (3) La anomalía media M, un ángulo que crece a una razón constante, incrementándose en 360º cada órbita: M = M(0) + 360°(t/T) Donde M(0) es el valor de M en el momento t = 0 y T es el período orbital. Determinados esos números, M se calcula fácilmente para cualquier momento t. No obstante, la posición real de un satélite está dada por la anomalía verdadera f. En las coordenadas polares (r,f) que describen el movimiento del satélite en su plano orbital, f es el ángulo polar. La ecuación de la órbita es: r= El ángulo f también se incrementa 360o cada órbita completa, pero no de forma uniforme. Por la ley de áreas de Kepler, crece más rápidamente cerca del perigeo (el punto más cercano a la Tierra) y más lentamente cerca del apogeo (el punto más distante). La información necesaria para deducir f para cualquier t está dentro de la ley de áreas, pero el cálculo real no es fácil. El proceso implica a un ángulo auxiliar, la anomalía excéntrica E , la cual, al igual que f y M se incrementa 360o cada órbita. En el perigeo, las tres anomalías son iguales a cero.

Fig. 7: Construcción geométrica angular Fuente: https://pwg.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mmotion.htm

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

Proponer un conjunto de curvas en el plano y en el espacio.

Una

función

de

la

forma:

,

en

el

plano.

, en el espacio. Es una función vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como:

Problema 1. Graficar la siguiente función: en . Solución. De las ecuaciones, se despejan los términos trigonométricos: Y Y Recordando decir,

que

y cambiando , se realiza lo siguiente

de

“θ”

por

“t”,

,

es

Lo cual, representa una ecuación de una elipse vertical con centro en el origen. Obtenido

Fig.

8: Representación

.

gráfica

del

trazado

de

una

curva,

para

la

elipseFuente:

https://temasdecalculo.com/2017/11/20/3-1-curvas-en-el-espacio-y-funciones-vectorialescalculo-vectorial/

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Problema 2. Graficar la siguiente función: ,

Fig. 9: Representación gráfica de la función vectorial . Fuente: https://temasdecalculo.com/2017/11/20/3-1-curvas-en-el-espacio-y-funciones-vectorialescalculo-vectorial/

Solución. De la función identificar que, en la ecuación de “x”

, se pueden

Y en la ecuación de “y”

Ahora, utilizando la identidad trigonométrica la variable “θ” por “t”, es decir,

, y cambiando , se reemplaza lo siguiente

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Lo cual, representa una ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen.

Fig. 10: Representación gráfica del trazado de una curva, para la elipse obtenido . Fuente: https://temasdecalculo.com/2017/11/20/3-1-curvas-en-el-espacio-y-funciones-vectorialescalculo-vectorial/

Problema 3. Representar en función vectorial la siguiente función rectangular

. Una función vectorial de

una semi elipsoide

, donde

, para .

Solución. Despejando la variable “z”:

Reemplazando

y

, se despeja “z”:

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Si z=0, se tiene que

Utilizando la fórmula general

Se reemplaza “x” por “ ” en el primer miembro

Entonces los coeficientes a utilizar son a=1, b=2, c=-24. Así que sustituyendo en la ecuación:

La primera solución es

La segunda solución es

Así que solo se tomará la primera solución. Por lo tanto el intervalo que toma todos los valores deberán estar entre , así que

Para . Límites y continuidad. Límites de una función vectorial. 1.- Si

es una función vectorial tal que

En caso de que está en el plano. Siempre que existan los límites de f y g cuando

, entonces:

. 16

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Unidad II. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. 2.- Si es una función vectorial tal que entonces: En caso de que esté en el espacio. Siempre que existan los límites de f, g y h cuando Continuidad de una función vectorial. Una función vectorial de

cuando

,

.

es continua en un punto dado por t=a si el límite existe y

Una función vectorial es continua en un intervalo I si es continuo en todos los puntos del intervalo.

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Unidad III. Funciones vectoriales de una variable real.

Unidad III. Funciones vectoriales de una variable real. Diferentes tipos de curvas en el espacio en el entorno.

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