Irisan Kerucut Dan Koordinat Polar

Irisan Kerucut dan Koordinat Polar Universitas Indonesia

I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUT • Irisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut tegak dengan bidang datar. • Irisan Kerucut terbagi empat, yaitu : ▫ Berbentuk lingkaran → Kalkulus 1

▫ Berbentuk parabola ▫ Berbentuk elips ▫ Berbentuk hiperbola

Telah dibahas di

• Gambar 1

Definisi Irisan Kerucut (yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola) ●

Irisan Kerucut (disebut Konik) adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai perbandingan tetap.

●

keterangan:  Titik tertentu = titik api (fokus)  Garis tertentu = garis arah (direktriks)  Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)

 Jika 0 < e < 1, irisan yang terbentuk adalah Elips  Jika e = 1, irisan yang terbentuk adalah Parabola  Jika e > 1, irisan yang terbentuk adalah Hiperbola

●

Kurva suatu Konik simetris terhadap suatu garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktriks. • Garis ini disebut sumbu mayor atau sumbu konik.

●

Puncak (verteks) adalah perpotongan antara kurva suatu konik dengan sumbu mayornya.  Parabola memiliki 1 puncak  Elips dan Hiperbola memiliki 2 puncak

PARABOLA • Definisi Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

•

direktriks

Dari syarat : |PF| = |PL|

Dengan mengkuadratkan kedua ruas dan menyederhanakan, diperoleh :

Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0) 1. 2. 3. 4.

y2 = 4px y2 = -4px x2 = 4py x2 = -4py

parabola terbuka ke kanan parabola terbuka ke kiri parabola terbuka ke atas parabola terbuka ke bawah

Keterangan : p > 0, p ∈ R p = jarak fokus ke titik puncak parabola

Contoh : • Carilah fokus dan direktris parabola dengan persamaan y2 = 12x • Jawab : Oleh karena y2 = 4 (3) x , kita lihat bahwa p = 3 Jadi fokus berada di (3,0) ; dan direktris adalah garis x = -3

RUMUS

y2=4px

y2=-4px

x2=4py

x2=-4py

Koordinat fokus

(p,0)

(-p,0)

(0,p)

(0,-p)

Garis arah

x = -p

x=p

y = -p

y=p

Sumbu simetri

y=0

y=0

x=0

x=0

Titik Latus Rectum

(p,2p) (p,-2p)

(-p,2p) (-p,-2p)

(2p,p) (-2p,p)

(2p,-p) (-2p,-p)

4p

4p

4p

Panjang Latus Rectum 4p

PARABOLA y2 = 4px y titik laktus rektum

(p,2p) F(p,0) (p,-2p)

direktriks x= -p

titik laktus rektum

x panjang laktus rektum = 4p

PARABOLA y2 = -4px y (-p,2p)

x

F(-p,0)

(-p,-2p) direktriks x= p

PARABOLA x2 = 4py y

(2p,p)

(-2p,p) F(0,p)

x 0

direktriks y = -p

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D  D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda  D = 0 garis menyinggung parabola  D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung

PARABOLA x2 = -4py y direktriks y=p x

0

(-2p,-p) F(0,-p)

(2p,-p)

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1) Parabola Persamaan Garis Singgung y2 = 4px y2 = -4px x2 = 4py x2 = -4py

yy1 = 2p(x+x1) yy1 = -2p(x+x1) xx1 = 2p(y+y1) xx1 = -2p(y+y1)

Persamaan Garis Normal Ditentukan dari persamaan garis singgung y – y1 = m(x-x1) (m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)

Contoh Soal 1.

Berdasarkan persamaan parabola berikut, buatlah sketsa yang memperlihatkan kurva parabola, fokusnya, direktriksnya dan titik-titik laktus rektumnya: a) x2 = -12y b) y2 = 8x c) 3x2 - 9y = 0

2. Carilah persamaan parabola yang melalui titik (-2, 4) jika puncaknya berada di titik asal dan sumbunya berhimpit dengan sumbu-x. Buatlah sketsanya ! 3. Tentukan persamaan garis singgung parabola 2y2 + 36x = 0 yang sejajar dengan garis 4x - 3y + 5 = 0 ! Tentukan juga titik singgungnya dan garis normal parabola di titik singgung tersebut !

ELIPS • Definisi Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. o Dua titik tetap itu disebut fokus elips. o Nilai tetapnya adalah konstanta positif, disimbolkan 2a.

• Elips dan parabola bersifat simetris terhadap pusat (pusat)nya, sehingga sering disebut irisan kerucut terpusat (central conic).

•

(1)

•

(2)

• Ketika Persaman (1) dan (2) diselesaikan untuk mendapatkan c dan k, diperpleh : c = ea dan k = a/e Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k =a/e > a . Jadi untuk kasus elips fokus F terletak dikiri puncak A dan direktris x = k terletak di kanan A. Sebaliknya , jika e > 1 , maka c = ea > a dan k = a/e < 1. Untuk kasus hiperbola, direktris x = k terletak di kiri A dan fokus F terletak di kanan puncak A. Dua situasi tsb diberikan pada gambar berikut :

Sekarang mis. P=(x,y) suatu titik pada elips, maka syarat |PF| =e|PL| menjadi :

dengan menguadratkan kedua ruas dan mengumpulkan suku diperoleh persamaan :

Persamaan Baku Elips Untuk elips, 0<e<1 shg (1-e ) positif. Untuk menyederhanakan • cara penulisan, mis. b= a, maka persamaan yang diturunkan diatas akan berbentuk : yang disebut pers. baku elips. Karena c = ea, bilangan-bilangan a,b, dan c memenuhi hubungan Phytagoras seperti terlihat pada gambar .

Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0) 1.

x2 y 2 2 + 2 =1 a b atau

(elips horisontal )

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 2.

x2 y 2 2 + 2 =1 b a a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2b 2 berlaku

(elips vertikal)

a 2 > b 2 dan a 2 = b 2 + c 2

RUMUS Titik puncak Titik sb pendek Fokus Panjang sb pjg Panjang sb pdk e Direktriks Panjang LR Titik LR

ELIPS HORISONTAL (-a,0) dan (a,0) (0,-b) dan (0,b) (-c,0) dan (c,0) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a) LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)

ELIPS VERTIKAL (0,-a) dan (0,a) (-b,0) dan (b,0) (0,-c) dan (0,c) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c) LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)

ELIPS HORIZONTAL y

B2(0,b)

A1(-a,0)

F1(-c,0)

F2(c,0)

x A2(a,0)

B1(0,-b) x= -a/e

x= a/e

ELIPS VERTIKAL y x= a/e A2(0,a)

F1(0,c) B1(-b,0) F2(0,-c)

B2(b,0)

0

x

A1(0,-a)

x= -a/e

Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1) Elips x2 y 2 2 + 2 =1 a b x2 y 2 2 + 2 =1 b a

Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 + 2 =1 a b xx1 yy 1 2 + 2 =1 b a

Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola

HIPERBOLA • Definisi Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. o Dua titik tetap itu disebut fokus elips. o Nilai tetapnya adalah konstanta positif, disimbolkan 2a.

Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0) 1.

x2 y 2 2 - 2 =1 a b atau

(hiperbola horisontal )

b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2b 2 2.

y 2 x2 2 - 2 =1 a b b 2 y 2 - a 2 x 2 = a 2b 2 berlaku c2 = a2 + b2

(hiperbola vertikal)

RUMUS Titik puncak Fokus Titik sb minor Panjang sb mayor Panjang sb minor e Direktriks Panjang LR Titik LR Pers. Asimtot

HIPERBOLA HORISONTAL (-a,0) dan (a,0) (-c,0) dan (c,0) (0,-b) dan (0,b) 2a 2b c/a x=-a/e dan x=a/e 2b2/a LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a) LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a) y=(-b/a)x dan y=(b/a)x

HIPERBOLA VERTIKAL (0,-a) dan (0,a) (0,-c) dan (0,c) (-b,0) dan (b,0) 2a 2b c/a y=-a/e dan y=a/e 2b2/a LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c) LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c) y=(-a/b)x dan y=(a/b)x

Bentuk Siku Empat Dasar Hiperbola

• Tentukan titik puncak A dan A • Tentukan titik sumbu minor B dan B • Gambarkan siku empat dasar yang melalui titik1

2

1

2

titik tersebut seperti gambar berikut : A2

B2 A2

A1

B1

B2

B1 A1

Hiperbola horisontal

Hiperbola vertikal

HIPERBOLA HORISONTAL y = (b/a) x y = - (b/a) x B2 F1

A1

A2

B1

x = -a/e

x = a/e

F2

HIPERBOLA VERTIKAL

F1

y = - (a/b) x

y = (a/b) x A2

y = a/e

B1

B2 A1

y = -a/e

F2

Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1) Hiperbola x2 y 2 2 2 =1 a b y 2 x2 2 2 =1 a b

Persamaan Garis Singgung xx1 yy 1 2 2 =1 a b yy 1 xx1 2 2 =1 a b

Persamaan Garis Normal Sama dengan perhitungan PGN pada parabola

Contoh Soal 1.

Berdasarkan persamaan parabola berikut, buatlah sketsa yang memperlihatkan kurva parabola, fokusnya, direktriksnya dan titik-titik laktus rektumnya: a) x2 = -12y b) y2 = 8x c) 3x2 - 9y = 0

2. Carilah persamaan parabola yang melalui titik (-2, 4) jika puncaknya berada di titik asal dan sumbunya berhimpit dengan sumbu-x. Buatlah sketsanya ! 3. Tentukan persamaan garis singgung parabola 2y2 + 36x = 0 yang sejajar dengan garis 4x - 3y + 5 = 0 ! Tentukan juga titik singgungnya dan garis normal parabola di titik singgung tersebut !

TRANSLASI SUMBU Penyederhanaan Persamaan Dengan Metode Translasi

    

Hiperbola

Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan konstanta di ruas kanan. Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by). Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y. Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1. Translasikan u = x + a dan v = y + b.

Contoh : 4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0 4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164 4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164 4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144 4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36

 x  2 2   y  4 2 9

4

1

Translasi u = x – 2 dan v = y – 4 u2 v2 =1 merupakan persamaan hiperbola horizontal 9 4

ROTASI SUMBU ● Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi Gunakan substitusi x = u cos θ – v sin θ y = u sin θ + v cos θ dengan

A-C cot 2θ = B

Contoh • Lakukan penyederhanaan untuk persamaan berikut setelah rotasi 3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 • Jawab: Dari persamaan, diperoleh: A= 3, B = 10, C = 3, D = 8 Sehingga Cot 2θ = (A-C)/B = (3-3)/10 = 0 Maka: Tg 2θ = ∞ 2θ = 900 θ = 450 Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2

Dengan substitusi: x = u cos θ – v sin θ x = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v) y = u sin θ + v cos θ y = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v)

3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0 ↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0 ↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0 ↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0 ↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 +8=0 ↔ 8u2 – 2v2 = -8 ↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)

PERSAMAAN PARAMETRIK KURVA DI BIDANG • Mengenali kurva di bidang yang dinyatakan dalam persamaan parametrik. • Menyatakan kurva di bidang dalam persamaan parametrik. • Menghitung turunan dan integral dengan menggunakan persamaan parametrik.

Mengapa Persamaan Parametrik • Elips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan grafik dari suatu fungsi. Jadi elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan y = f(x). Namun dengan menggunakan parameter t, elips dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik. x = f(t), y = g(t), dengan t , untuk suatu interval.

Persamaan elips dan Hiperbola • Elips dan Hiperbola dengan persamaan cartesius x2 y2 1. 2  2  1 a b x2 y2 2. 2  2  1 a b

dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik 1. x = a cos t, y = b sin t, t π] 2. x = a cosh t, y = b sinh t, t

Contoh : • Persamaan parabola y = x2 dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = t , y = t2 , dengan t Sebaliknya , persamaan parametrik x = t + 1 , y = t2 + 1 Dapat dinyatakan dalam persamaan cartesian dengan cara mengeliminasi t, t = x – 1 y = (x – 1) 2 + 1 = x2 – 2x + 2 , yang merupakan persamaan sebuah parabola.

Beberapa Istilah • Pasangan persamaan x=f(t), y =g(t) dengan t , 1. disebut parametrisasi. 2. Jika I=[a,b], maka P[x(a),y(a)] disebut titik awal kurva, sementara titik Q[x(b),y(b)] disebut titik akhir kurva 3. Jika titik awal sama dengan titik akhir, maka kurva dikatakan tertutup 4. Jika setiap titik pada kurva hanya dilalui satu kali, maka kurva tersebut dikatakan kurva sederhama

tdk sederhana, tdk tertutup

sederhana, tdk tertutup

tdk sederhana, tertutup

sederhana, tertutup

Latihan • Buktikan bahwa kedua persamaan parametrikberikut merupakan persamaan setengah lingkaran bagian kanan : 1. x = , y = t , 2. x = cos t , y = sin t , , Gambarlah kurva setengah lingkaran tersebut , dengan menandai titik awal dan titik akhirnya.

Sikloid Sebuah sikloid adalah kurva yang ditelusuri oleh sebua titik P pada pelek roda apabila roda ini menggelinding tanpa tergelincir sepanjang sebuah garis lurus.

Mis. jari-jari roda = a, karena |ON|= busur PN = at, maka

dan

Jadi persamaan sikloid adalah

Kalkulus untuk Kurva yang Terdefinisi secara Parameter • Misalkan f dan g dapat didifferensialkan secara kontinu dengan f ’(t) pada Maka persamaan parametrik x = f(t) , y = g(t) menyatakankan y sebagai sebuah fungsi dari x yang dapat diturunkan

Contoh : 1. • Carilah dua turunan yang pertama dy/dx dan d2y/dx2 untuk fungsi yang ditentukan oleh x = 5 cos t , y = 4 sin t, 0 < t < 3 Dan hitunglah turunan-turunan itu pada t = Jawab :

pada t =

2. • Hitungla (a). dan (b). 2 dx dgn x = 2t – 1 dan y = t2 + 2 Jawab : Dari x = 2t – 1 kita peroleh dx = 2 dt. Ketika x = 1, t = 1 dan ketika x = 3 , t = 2

3. Hitunglah luas A di bawah satu busur sikloida dan panjang busur L .

Jawab :

Untuk menghitung L kita ingat kembali rumus panjang busur :

Jadi

SISTEM KOORDINAT POLAR Sistem koordinat polar terdiri dari sumbu polar (berupa • setengah garis yg berimpit dengan sumbu x positif pada bidang R2 ) dan titik asal O. P(r,θ)

Setiap titik P pada bidang Kemudian dinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r, Dan besar sudut yang dibentuk

r θ

oleh ruas garis OP dan sumbu polar ( dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam ).

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Kartesius • Jika P=P(r,) , maka P dapat dinyatakan dalam koordinat cartesius sebagai P=P(x,y) dengan x = r cos dan y = r sin Sebaliknya, jika P=P(x,y), maka P dapat dinyatakan dalam koordinat polar P=P(r, ) dgn r2 = x2 + y2 dan tg = y/x dengan penapsiran nilai yang tepat untuk x = 0

Persamaan Kurva dalam Koordinat Polar • Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari R dapat dinyatakan secara sederhana dalam koordinat polar sebagai r=R ,0 Persamaan setengah garis y = x dengan x > 0, dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai ,r>0

GRAFIK PERSAMAAN POLAR Persamaan Kutub

Persamaan Cartesian

Garis

r = d / cos θ r = d / sin θ

x=d y=d

Lingkaran

r = 2a cos θ

Pusat (a,0), jari-jari = a (x-a)2 + y2 = a2 Pusat (0,a) , jari-jari = a x2 + (y-a)2 = a2

r = 2a sin θ

Konik

r = ed / (1 + e cos θ) r = ed / (1 + e sin θ)

d memotong sumbu x d memotong sumbu y 0<e<1 elips e=1 parabola e>1 hiperbola

Soal • Gambarlah ( pada bidang ) daerah yang terletak 1. Di dalam lingkaran r = 4 dan juga didalam lingkaran r = 8 cos . 2. Didalam lingkaran r = 4 dan di luar lingkaran r = 8 cos . 3. Diluar lingkaran r = 4 dan didalam lingkaran r = 8 cos .

KALKULUS DENGAN KOORDINAT POLAR • Rumus kemiringan garis singgung di θ pada r = f(θ)

f( θ) cos θ + f ' (θ) sin θ m= - f( θ) sin θ + f ' (θ) cos θ

• Persamaan garis singgung di kutub dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0 • Luas bidang pada koordinat kutub: 

1 2 A    f    d 2