Laplace 17-05-2020.pdf

Transformada de Laplace Departamento de Matem´aticas Universidad de Pamplona (a) Asignatura : ecuaciones diferenciales. (b) Tiempo : 4 horas. (c) Objetivo : que el estudiante identifique y obtenga la transformada de Laplace de algunas funciones conocidas .

Introducci´ on La transformada de Laplace es una transformada integral. Una de las aplicaciones de la transformada se encuentra en la soluci´on de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace permite convertir una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea en una ecuaci´on algebraica. El m´etodo consiste en transformar la ecuaci´on diferencial en la incognita y(t) en una ecuaci´on algebraica en la incognita Y (s) que est´a relacionada con y(t) . La ecuaci´on en Y es f´acil de resolver. La funci´on y(t) se recupera mediante un proceso de inversi´on.

1.

Transformada de Laplace

Sea f una funci´on real, continua a trozos, definida en el intervalo [0, ∞). Supongamos que para ciertas constantes M, a, existe para f una acotaci´on del tipo |f (t)| ≤ M eat . Una funci´on con estas propiedades se dice que es una funci´on admisible o de orden exponencial. Si f es admisible existe la integral Z ∞ F (s) = f (t)e−st dt 0

para todos los s > s0 . La funci´on definida anteriormente denotada por L(f ) recibe el nombre de transformada de Laplace de f . La aplicaci´on L, que hace corresponder a cada funci´on admisible f su transformada F (s), recibe el nombre de transformci´on de Laplace . Ademas, la funci´on f (t) dada en la igualdad anterior se llama la transformada inversa de F (s) y se denota por L−1 (F ), es decir, f (t) = L−1 (F (s)) . De las igualdades anteriores se sigue L−1 (L(f )) = f

y

1


L L−1 (F ) = F.

1.1.

Ejemplos

1. Sea f (t) = 1 para todo t. Entonces ∞

Z F (s) = L(1) = 0

 1 1 1 −st = 1 − l´ ım e = 1e−st dt = − e−st |∞ 0 t→∞ s s s

siempre que s > 0. 2. Sea f (t) = eat para todo t. Entonces

at

∞

Z

eat e−st dt = −

F (s) = L(e ) = 0

 1 (a−s)t ∞ 1  1 e |0 = 1 − l´ım e(a−s)t = , t→∞ a−s s−a s−a

siempre que s > a o a − s < 0 . 3. Sea f (t) = t para todo t. Entonces Z

∞

F (s) = L(t) =

te−st dt.

0

Desarrollamos la integral por partes. Sean u = t y dv = e−st dt. Entonces Z

∞

te

−st

0

2.

te−st ∞ 1 dt = − | + s 0 s

Z

∞

e−st dt =

0

1 . s2

Dos propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad. La transformaci´on de Laplace es lineal (sobre la intersecci´on de los dominios de definici´on), es decir, L(αf + βg) = αL(f ) + βL(g) donde α y β son constantes.

Primer teorema de traslaci´ on. Si L(f (t)) = F (s), entonces L(eat f (t)) = F (s − a) y eat f (t) = L−1 (F (s − a)) donde s − a > k para algun k.

2

2.1.

Algunas funciones y sus transformadas

1. Si f (t) = tn . Entonces L(tn ) =

n! sn+1

(n = 0, 1, ...)

2. Si f (t) = cos ωt . Entonces L(cos wt) =

s2

s + w2

s2

w + w2

3. Si f (t) = sen ωt . Entonces L(sen wt) =

4. Si f (t) = cosh at (coseno hiperbolico) . Entonces L(cosh at) =

s2

s − a2

5. Si f (t) = senh at (seno hiperbolico) . Entonces L(senh at) =

2.2.

s2

a − a2

Ejemplos

Encuentre la transformada de Laplace . Suponga que a, b, ω, θ, k son constantes 1. (a − bt)2 . Soluci´ on. Desarrollando (a − bt)2 = a2 − 2abt + b2 t2 . Aplicando linealidad se obtiene    L (a − bt)2 = L a2 − 2abt + b2 t2 = a2 L {1} − 2abL {t} + b2 L t2 . Entonces

 a2 2ab 2b2 − 2 + 3. L (a − bt)2 = s s s

2. cos2 ωt. Soluci´ on. Recordando la identidad trigonometrica cos2 ωt =

1+cos 2ωt . 2

Entonces 

2

L cos ωt = L



1 + cos 2ωt 2

3



1 1 = + 2s 2



s 2 s + 4ω 2



3. sen(ωt + θ). Soluci´ on. Recordando la identidad trigonometrica sen(ωt + θ) = sen ωt cos θ + cos ωt sen θ Aplicando linealidad L {sen ωt cos θ + cos ωt sen θ} = cos θL {sen ωt} + sen θL {cos ωt} Entonces  L {sen(ωt + θ)} = cos θ

w 2 s + w2



 + sen θ

4. Transformada inversa. Dada F (s) = L(f ) = constantes. Encontrar f (t).

s 2 s + w2

1 (s+a)(s+b)



, donde a, b son

Soluci´ on. Por fracciones parciales se tiene 1 A B = + . (s + a)(s + b) s+a s+b Aplicando definici´on de inversa y la propiedad de linealidad se obtiene       A B 1 1 −1 −1 −1 f (t) = L + = AL + BL s+a s+b s+a s+b Como  L e−at =

1 s+a

y

 L e−bt =

1 . s+b

Se sigue f (t) = Ae−at + Be−bt , donde A =

−1 a−b

yB=

1 . a−b

5. Teorema de traslaci´ on. Encontrar L {ke−at cos ωt}. Soluci´ on. Del teorema de traslaci´on se tiene    −at s+a L ke cos ωt = k (s + a)2 + ω 2

2.3.

Ejercicios

Hallar la transformada de Laplace en cada caso. 1. f (t) = cos(ωt − α). 2. f (t) = sen(ωt − α). 3. Teorema de traslaci´ on. f (t) = e−t (sen 2t − 2 cos 2t). 4

4. f (t) = sen2 ωt. 5. f (t) = sen hωt(seno hiperb´olico ). 6. f (t) = cos hωt(coseno hiperb´olico ). 7. f (t) = 1 + e−t . 8. Teorema de traslaci´ on. Encontrar L {110e−3t sen 2πt}. 9. Transformada inversa. Dada F (s) = L(f ) = tante. Encontrar f (t). 10. Transformada inversa. Dada F (s) = L(f ) =

1 L2 s2 +n2 π 2

s+10 s2 −s−2

, donde L es cons-

. Encontrar f (t).

11. Transformada inversa y traslaci´ on. Dada F (s) = L(f ) = contrar f (t). 12. Transformada inversa. Pruebe que L−1 es lineal.

Referencias [1] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics . 10th Edition. [2] P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, DifferCurso.

5

2s−1 s2 −6s+18

. En-