Libro Laboratorio 1

María Teresa Macías Luna

La serie Laboratorio de matemáticas tiene el propósito de que desarrolles tus habilidades y competencias matemáticas de la manera más sencilla y agradable.

Matemáticas

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¡Involúcrate con las matemáticas! Esperamos que te agraden tanto como nosotros disfrutamos al preparar este primer libro de la serie.

Laboratorio de Matemáticas

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A través de interesantes problemas y desafíos, las situaciones didácticas del libro le devuelven a esta ciencia su original espíritu lúdico y el de ser útil para la vida, carácter que favorece tu desarrollo como persona con valores y actitudes positivas para que convivas y participes con los demás.

Laboratorio de

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EDITORIAL ESFINGE, S. DE R.L. DE C.V. Esfuerzo 18-A Col. Industrial Atoto Naucalpan, Estado de México C.P. 53519 Tel. 5359 1111 Fax: 5576 1343 www.esfinge.com.mx [email protected]

María Teresa Macías Luna

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Laboratorio de Matemáticas

1 María Teresa Macías Luna

Editorial Esfinge, S. de R.L. de C.V. Esfuerzo 18-A, Industrial Atoto Naucalpan Edo. de México

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Dirección editorial: Rosa María Núñez Coordinación editorial Ciencias: Leoncio Montiel Diseño de portada: Mario Estrada Diagramación: Mario Estrada

Laboratorio de Matemáticas 1 Derechos reservados: © 2008, María Teresa Macías Luna © 2008, Edi­to­rial Es­fin­ge, S. de R.L. de C.V. Es­fuer­zo 18-A Colonia In­dus­trial Ato­to Nau­cal­pan de Juárez Edo. de Mé­xico, C.P. 53519 ISBN

La pre­sen­ta­ción, dis­po­si­ción y de­más ca­rac­te­rís­ti­cas de es­ta obra son pro­pie­dad de Edi­to­rial Es­fin­ge, S. de R.L. de C.V. Queda pro­hi­bi­da la re­pro­duc­ción o trans­mi­sión to­tal o par­cial, me­dian­te cual­quier sis­te­ma o mé­to­do elec­tró­ni­co o me­cá­ni­co de re­cu­pe­ra­ción y al­ma­ce­na­mien­to de in­for­ma­ción, sin la au­to­ri­za­ción es­cri­ta de la edi­torial. Primera edición: 2008

Impreso en México Printed in Mexico

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Índice

Página Presentación al alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Presentación al profesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Cómo se recomienda usar el fichero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Números fraccionales y decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Patrones y fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Patrones y fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Movimiento en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.8 Diagramas y tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Problemas aditivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Problemas multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Problemas multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Rectas y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5 Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Justificación de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.8 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bloque 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1 Problemas multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Estimar, medir y calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Porcentajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.7 Diagramas y tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.8 Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.9 Noción de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Bloque 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1 Números con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Potenciación y radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Relación funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.4 Figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.5 Justificación de fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.6 Estimar, medir y calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7 Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Bloque 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.1 Problemas aditivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2 Relación funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3 Estimar, medir y calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4 Nociones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.6 Medidas de tendencia central y de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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Presentación al alumno L

a serie Laboratorio de matemáticas ha sido realizada pensando en ti, para que aprendas matemáticas de la manera más agradable en un aula especial. En este libro encontrarás fichas de trabajo que involucran maravillosas situaciones didácticas que pretenden devolverle a esta ciencia el espíritu de ser útil para la vida y formativa para los jóvenes que como tú, les encanta enfrentarse a retos interesantes y desafíos personales. Pero, sobre todo, buscamos devolverle ese espíritu lúdico, es decir, el aprender jugando con otros… Aquí encontrarás actividades que te permitirán saber más cosas de los números, de geometría, del tratamiento de la información… además de las que ya sabes. También podrás hacer hermosos diseños, trazos geométricos y otros modelos matemáticos con ayuda de instrumentos de dibujo; podrás calcular y medir con diferentes instrumentos de medida y cálculo, desde las partes de tu cuerpo hasta los más modernos instrumentos como la calculadora y computadora. Constantemente podrás jugar con fichas de dominó, con tangramas, fichas de colores, barajas, regletas, y otros juegos multimedia que seguramente te divertirán junto con tus compañeros… Todo ello pensando en ti, para que seas tú, para que continúes desarrollándote como persona con valores y actitudes positivas que te permitan convivir y participar con los demás y que valores los aportes de los que han hecho posible esta hermosa ciencia. Te invitamos a que te involucres con las matemáticas, y ojalá te agraden tanto como nosotros disfrutamos al preparar esta serie. Portada tabla del 100.pdf

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8:33:43 AM

María Teresa Macías Luna

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BViZb{i^XVh KXYcX[\c(''

x+ 3 = 3 x+ 2 = 2 3x = 9

x+ 3 = 5

2 x – 2 = –1

x – 3 = –4

-2 3 2x – 1 = –5

x = 3 –7 + x = –10 –1 x – 1 = –1 5x = –10

5x = –10 x – 2 = –3 3x = –9

x– 3 = 0

x + 2 = –1 x + 2 = 3 5x = –15 x+ 4 = 5

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–4x = –4 x – 5 = –5 2x = 4

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x = –1 3

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EDITORIAL ESFINGE, S. DE R. L. DE C. V. Esfuerzo 18-A Col. Industrial Atoto Naucalpan, Estado de México C.P. 53519 Tel. 5359 1111, Fax 5576 1343 www.esfinge.com.mx [email protected]

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0 1 2 1 -1 1 5x = –10 x – 3 = 0

x+ 2 = 2

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Dominó algebraico

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Presentación al profesor L

a serie Laboratorio de Matemáticas tiene propósitos esencialmente formativos. Se busca que los adolescentes al resolver las actividades propuestas: • Desarrollen competencias matemáticas para la vida: a) Plantean y resuelven problemas matemáticos. b) Argumentan sus propias ideas matemáticas. c) Comunican sus propias ideas matemáticas. d) Manejan técnicas matemáticas: usan y manejan con soltura la calculadora, los instrumentos de dibujo y medición y además manejan de manera inteligente la operatoria. • Asuman actitudes y valores para la vida: Se busca que paralelamente que aprendan matemáticas, los estudiantes asuman una actitud positiva hacia esta disciplina y de colaboración y crítica en el proceso de resolución de problemas y actividades con sus compañeros, tanto en su ámbito social y cultural como en otros. La actitud positiva hacia las matemáticas consiste en despertar y desarrollar en los alumnos la curiosidad y el interés por investigar y resolver problemas de su vida cotidiana, la creatividad para formular conjeturas, la flexibilidad para modificar su propio punto de vista y la autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas; asimismo, consiste en asumir una postura de confianza en su capacidad de aprender y de resolver problemas. La participación colaborativa y crítica resulta principalmente del trabajo continuo en equipo dentro del salón de clases y de actividades escolares colectivas en las que se requiera que los alumnos formulen, comuniquen, argumenten y muestren la validez de enunciados matemáticos, poniendo en práctica tanto las reglas matemáticas como socioculturales del debate que los lleven a tomar las decisiones más adecuadas a cada situación. • Adquieran conocimientos matemáticos que sirvan para la vida a través de tres ejes de desarrollo: a) En el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del álgebra a través de tres usos de las literales; en especial se busca que los estudiantes vean el gran potencial que brinda el pensamiento algebraico para modelar diferentes situaciones del mundo cotidiano, en otras ciencias y en la propia matemática. b) En el eje Manejo de la información se resuelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpretación de datos provenientes de otras ciencias, y de diversas fuentes como los medios de comunicación masiva. Este trabajo se apoya fuertemente en nociones matemáticas tales como porcentaje, probabilidad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales. c) En el eje Forma, espacio y medida se favorece de modo especial el desarrollo de la competencia de argumentación. Por ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las razones por las que un trazo en particular es válido o no, tomando como base las propiedades de dicha figura. Lo mismo ocurre si se trata de determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes. En este eje se aprovecha también el uso de la forma, espacio y medida en la elaboración y apreciación de diseños artísticos. Las actividades diseñadas en esta serie tienen el propósito de contribuir al desarrollo de los anteriores propósitos educativos a través de su tarea docente con éxito. Esta tarea actualmente se concibe desde dos puntos de vista: La evaluación de los propósitos anteriores no puede ser realizada usando solamente problemas rutinarios, sino que requiere situaciones donde el alumno ponga en práctica diversas estrategias para entender y resolver problemas no rutinarios. Estas situaciones son las que encontrará en esta serie. Otro aspecto muy importante de la evaluación de estos aspectos tienen que ver con la aplicación que haga el estudiante de lo que está aprendiendo en la vida cotidiana. ¡Deseamos que cumpla su cometido! María Teresa Macías Luna

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Cómo se recomienda usar el fichero Presentación inicial de la actividad El profesor o profesora empieza la clase con la presentación de la actividad 1,2,3,4,…157,158,159. Esta presentación la puede hacer con ayuda de acetatos, transparencias, power point, o verbalmente aprovechando el título de la actividad: El circo romano, los 100 metros planos, los Beatles, Renta de videos, etcétera, tratando de involucrar a los estudiantes en esta situación.

RETO

El reto En este apartado de algunas actividades el profesor o profesora propone un problema no rutinario cuya solución no es muy clara, sino que requiere de un proceso de pensamiento y una síntesis del conocimiento adquirido. Los alumnos emplearán diversas estrategias (ensayo y error, uso de tablas y gráficas, analogía, uso de modelos concretos, trabajar hacia atrás, modificar el problema, etcétera) para entender y resolver el problema. Se trata que los talentos matemáticos emerjan.

Materiales manipulativos Con el fin de volver más amenas y comprensibles las relaciones entre las matemáticas se ha incluido en este paquete Laboratorio de matemáticas distintos materiales manipulativos para trabajar conjuntamente en algunas fichas.

1

Organización del grupo El profesor o profesora organiza a sus alumnos para que trabajen la actividad inicial (sin considerar aún el reto o la tarea) en equipos (normalmente de 4 y a veces en parejas), salvo en aquellas actividades que serán desarrolladas individualmente y están señaladas con el logo.

1 CD Se invita a los alumnos a desarrollar actividades en el CD interactivo. El número en este icono se refiere a la actividad en el CD.

TAREA

La tarea Este apartado de algunas actividades, se perfila hacia el diseño de problemas y proyectos cortos por parte del alumno, quien deberá recopilar información contenida en diversas fuentes para resolver problemas de la vida cotidiana. Para ello se recomienda que los alumnos lleven un registro de estas tareas en un cuaderno especial. El profesor dará algunas pistas sobre dónde se puede encontrar la información y hará observaciones concretas sobre estos proyectos y tareas al día siguiente que dejó la tarea, o bien dedicarle un día especial a la revisión de tareas (por ejemplo un viernes).

Conclusiones en plenaria Como resultado de la participación de los alumnos, el profesor o profesora coordinará las conclusiones de cómo resolvieron los problemas y ejercicios propuestos en la actividad inicial, haciendo precisiones pertinentes sobre los conocimientos y habilidades correspondientes a la actividad.

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¿Cuánto es multiplicado por

¿? ?

Deuda pública ¿Cuántos símbolos tienen para el cero?

¿Cuánto es MXVIII multiplicado por CLXIII?

Simplemente deja mos el espacio en blanco.

Hay que contar por decenas y salvar un árbol.

El sistema se basaba en el cálculo de palillos o varitas de árbol Lo siento, voy al Coliseo. Más tarde te digo.

Con ustedes... La primera y única calculadora desechable.

¡Bah! Juegos de computadora. *Al-gebr we l muka bala *ÁAlgebra en español

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posición, número de símbolos, etc.) y establezcan semejanzas o diferencias con respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales. 2. Comparen y ordenen números fraccionarios y decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes, la recta numérica, los productos cruzados u otros recursos. 3. Represente sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa. 4. Construyan figuras simétricas con respecto a un eje e identifiquen cuáles son las propiedades de la figura original que se conservan. 5. Resuelvan problemas de conteo con apoyo de representaciones gráficas.

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001

Los números naturales

La partición perfecta

Apartado 1.1

1

Las tiras de la derecha se obtuvieron al partir una tira de 31 cm de largo. Tienen la característica de que con ellas se puede formar otra tira cuya longitud, en centímetros enteros, es menor que 32. Constrúyelas de cartulina.

16 cm

1. ¿Cuáles tiras unirías para formar otra de 11 cm? 8 cm

2. ¿Cuáles tiras unirías para formar otra de 12 cm?

4 cm

2 cm

1 cm

Construye estas tiras en cartulina con las medidas indicadas.

Las tiras también pueden ayudarte a entender el sistema posicional de base 2 (sistema binario).

3. Dibuja las tiras necesarias para formar otras de 17, 27 y 29 unidades.

4. Usa las tiras para escribir, en base 2, los siguientes números: a) 14 = 8 4 2 1

RETOS

c) 15 = 8 4 2 1

b) 6 = 8 4 2 1 2

2

2

5. ¿Cómo representarías, en base 2, el número 26? 26 =

2

6. ¿Qué número representa el numeral binario 111011 2 ? 111011

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2

=

Bloque 1

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002

Los números naturales

Apartado 1.1

Un juego de números Nuestro sistema de numeración decimal es posicional y permite escribir cualquier cantidad por muy grande que sea, con pocas cifras, además de realizar cálculos con ellos.

1. Busca en tu paquete Laboratorio de matemáticas las tarjetas numéricas y colócalas abajo de manera que en cada columna haya el mismo número representado de cuatro maneras diferentes:

RETO

2. Trata de encontrar en esta sopa de números las siguientes cantidades:

a) Mil uno b) Un millón cien c) Veinte millones veinte mil nueve d) Siete mil millones setenta e) Trescientos mil trescientos f) Un millón uno g) Nueve millones nueve mil uno h) Veinte mil nueve Nota: Los números pueden formarse diagonal, horizontal o verticalmente.

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3. ¿Cuáles son las reglas que se siguen para expresar los números de manera oral? Coméntalo.

TAREA

Escribe en tu cuaderno las características del sistema de numeración decimal. Además, explica la diferencia entre el sistema escrito y el oral.

Significado

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y uso de los números 

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003

Los números naturales

Apartado 1.1

Sistema binario

Es una idea muy antigua. Diderot nos recuerda que le libro YeKim, escrito hace 25 siglos a.C. trataba ya de arimética binaria. En el siglo xvii, Leibniz la propuso sin éxito. No hallaría su aplicación hasta la aparición de la electrónica. Sólo necesita dos cifras 0 y 1 que puede aplicarse a los transistores como la ausencia de corriente (0) y el paso de corriente (1).

1. Convertir el número binario 1 100 101 al sistema decimal. Comenta cómo lo hiciste. 27

26

25

24

23

22

21

20

1

1

0

0

1

0

1

= ____________________

2. Convierte el número 2008 al sistema binario: 2008= ____________________________





Existe un precedimiento muy rápido para transformar un número del sistema decimal a otro sistema. Consiste en dividir un número dado por la nueva base tantas veces como sea posible y reunir los restos empezando por el final. Por ejemplo convertir 813 a la base 2 406 203 101 50 25 12 6 3 1 2 813 2 406 2 203 2 101 2 50 2 25 2 12 26 23 013 006 003 1 10 05 0 0 1 1 0 1 0 1 Así el número 81310= 11001011012

3. Escribe en el sistema de numeración decimal los números:

101012=

101013=

2114=

1378=

15811=

4. Escribe el número cien de base 10 a los sistemas de numeración de la base que se indican.

base 2: ____________ base 3: ____________ base 4: ____________ base 5: ___________ base 6: ___________



base 7: ____________ base 8: ____________ base 9: ____________ base 11: ____________

RETOS



5. Escribe las tablas de sumar y de multiplicar en los sistemas de base 2, 3, 5, 11 y calcula las siguientes operaciones base 2 base 3 base 5 base 11 1102+11012= 21023+10223= 32415+3445= 49711+99811= (11012)(1002)= (2013)(1022)= (3445)(232)= (23611)(7611)=

6. Una profesora observa en el pizarrón la igualdad 3(4)=10. Antes de borrarla piensa que quizá está escrita en un sistema de numeración no decimal. ¿Es esto posible? ¿Cuál sería la base de dicho sistema?

10O Fichero de matematicas_1.indd 10

TAREA

¿Existe algún sistema en el que se cumplan las siguientes igualdades simultáneamente? a) 3+2=10 y 3(4)=15 b) 2+3=5 y 2(3)=11

Bloque 1

10/10/08 07:46:39

004

Números fraccionarios y decimales

Los dados de fracciones

Apartado 1.2

2

1. Cada jugador lanzó un dado de fracciones. Ganan los que obtengan fracciones equivalentes. Éstos fueron los resultados que se deben mostrar en una recta numérica. ¿Te gustaría ayudarles? ¡Adelante! Escribe la fracción en el punto que le corresponde en la recta numérica: Nota: De ser necesario, representa estas figuras en el geoplano y calcula sus áreas. Considerando esta cara cuadrada como la unidad.

a) María

0

1

b) Tere

0

1

c) José

0

1

d) Judith

0

1

e) Olga

0

1

f) Pedro

0

1

g) Elia

0

1

h) Silvia

0

1

i) Bernabé

0

1

j) Raúl

0

1

RETO 2. ¿Quiénes obtuvieron resultados iguales?

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 11

y uso de los números 

11 10/10/08 07:46:40

005

Números fraccionarios y decimales

Apartado 1.2

Recipientes graduados

De ser necesario consigue una probeta para mostrar tus respuestas.

1. Escribe la fracción impropia y el número mixto que correspondan a la cantidad de líquido en los tubos de ensayo. a)

b)

c)

d)

2. Escribe la fracción impropia y el número mixto que correspondan a cada punto:

0

1

0 4

4 4

0

F

C

G

2

8 8

16 8

H

3

4

12 4

16 4

E

3

4

24 8

32 8

3. Usa los números que a continuación se muestran para formar los números mixtos y las fracciones impropias; que están representados en la recta numérica siguiente.

RETOS a) 1 3 4

b) 2 3 4 5

=

0

D

8 4

1

0 8

2

1

2

=

3

c) 1 2 3 7

=

4

TAREA

En tu cuaderno escribe las siguientes fracciones impropias o como números mixtos: 3 2 60 11 6 23 7 1 ,3 , , , 2  , ,5 y represéntalos en una recta numérica. Escoge el cero y la 3 13 8 9  5  3 7 unidad adecuada.

12 Fichero de matematicas_1.indd 12

Bloque 1

10/10/08 07:46:41

006

Números fraccionarios y decimales

El juego hexagonal

Apartado 1.2

3

Busca en tu paquete Laboratorio de matemáticas las piezas del juego hexagonal para desarrollar las siguientes actividades.

Responde primero y luego ubica la respuesta en la recta numérica: 1. Si

= 1, entonces

2. Si

3. Si

= 1, entonces

=

= 0

1

2

0

1

2

=

1 1 de 1 unidad, dibuja una figura que represente 1  unidades: 2 2

0

4. Si

=

1 de 1 unidad, entonces 2

1 = , entonces 2

5. Si

2

=

0

1

2

0

1

2

0

1

2

=

1 = , entonces 2

6. Si

1

=

TAREA La siguiente figura es un hexágono regular y vale la unidad. ¿Qué fracción del hexágono representa cada una de las siguientes figuras? Represéntalas en la recta numérica siguiente. Escoge una unidad adecuada:



Significado

Fichero de matematicas_1.indd 13

A

y uso de los números 

B

C

D

E

13 10/10/08 07:46:43

007

Números fraccionarios y decimales

Apartado 1.2

Competencia de natación

Consigue un cronómetro para medir los siguientes tiempos.

1. Un nadador, A, hizo 10.04 segundos en los primeros 50 metros. Otro nadador, B, hizo 10.14 segundos. ¿Quién hizo menos tiempo?

2. Ubica los dos números anteriores en la siguiente recta numérica:

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.05

11

11.5

3. Ubica en la recta numérica los siguientes grupos decimales: a) 0.25, 0.5, 0.75, 1.25, 0.55, 1.55

origen



0

1

2

1

2

b) 0.3, 0.5, 0.8, 1.4, 1.6, 0.45, 0.65, 1.95

origen



0

c) 2.5, 3.25, 4.5, 5.25, 2.8, 4.8, 5.9



2

3

4

5

RETO

6

4. Busca en tu paquete Laboratorio

de matemáticas las 28 fichas de dominó de fracciones equivalentes y juega con ellas en equipos de 4 personas.

14 Fichero de matematicas_1.indd 14

Bloque 1

10/10/08 07:46:44

008

Patrones y fórmulas

Sucesiones

Apartado 1.3

4

Construye piezas cuadradas de cartulina para desarrollar las siguientes actividades.

1. Observa la siguiente sucesión de figuras, ¿qué figura sigue? Dibújala.

1

2

3

4

5

a) ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 1? ¿y en la figura 3?

6

¿y en la figura 2?

¿y en la 4?

b) ¿Cuántos cuadrados debería tener la figura 6 que sigue la misma secuencia? c) ¿Cuántos cuadrados deberá tener la figura 20 que sigue la misma secuencia? d) Describe cómo llegaste al resultado.

2. Completa la siguiente tabla: Figura

1

2

3

4

5

Núm. de cuadros

1

3

5

7

9

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n

Nota: la letra n representa el lugar que ocupa cualquier término de la sucesión. a) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite encontrar el número de cuadrados de una figura cualquiera n que sigue la misma secuencia: ¿Cómo lo supiste? n+2

2n

2n – 1

2n + 1

b) Usa la expresión algebraica que construiste para determinar cuántos cuadrados debería haber en la figura: 87



177



201



1000

Las expresiones como n + 2, 2n, 2n – 1, 2n +1 reciben el nombre de expresiones algebraicas en donde la letra, en este caso n, puede tomar diferentes valores.

TAREA

Inventa una sucesión de figuras o números que sigan un patrón que tú elijas. Por ejemplo la expresión algebraica 3n da los siguientes 10 primeros términos 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Significado

Fichero de matematicas_1.indd 15

y uso de los números 

15 10/10/08 07:46:45

009

Patrones y fórmulas

Estructura triangular

Apartado 1.3

5

Consigue palillos para realizar la siguiente actividad.

1. Angélica formó varios triángulos con palillos. Dibuja la figura que sigue y contesta las preguntas:



figura 1

figura 2

figura 3

figura 4

a) ¿Cuántos palillos hay en la figura 1? b) ¿Cuántos palillos debería haber en la figura 4 que sigue la misma secuencia?

¿y en la figura 5?

c) ¿Cuántos palillos debería haber en la figura 20 que sigue la misma secuencia? d) Describe cómo llegaste al resultado.

2. Completa la siguiente tabla: Figura

1

2

3

4

5

Núm. de palillos

3

5

7

9

11

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n

Nota: la letra n representa el lugar que ocupa cualquier término de la sucesión. a) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar el número de palillos de una figura cualquiera n que sigue la misma secuencia?

3n – 1

3n – 2

n+2

2n – 1

2n + 1

b) Usa la expresión algebraica que elegiste para determinar cuántos palillos debería haber en la figura: 77



93



205



1 005



10 000

TAREA

Inventa una expresión algebraica para crear una sucesión de figuras o números y escribe los 10 primeros términos de la sucesión.

16 Fichero de matematicas_1.indd 16

Bloque 1

10/10/08 07:46:46

010

Patrones y fórmulas

Apartado 1.3

La fórmula de Pick 1

Busca en tu paquete el geoplano cuadriculado.

Hay una fórmula interesante para calcular el área de polígonos dibujados en una cuadrícula o en el geoplano. Usaremos la letra c para representar el número de puntos de la cuadrícula que se encuentran en el contorno del polígono y la letra i para representar el número de puntos interiores del polígono. ¿Cuál es el área del polígono de la derecha?

c = 7, i = 8

1. A continuación te mostraremos polígonos con exactamente 4 puntos en su contorno, es decir, con c = 4. Completa la tabla. ¿Puedes describir una regla general que relacione al número i con el área de los polígonos? Número de puntos interiores i

Área A

0

1

1

2

2

Pista: Inscribe los polígonos en rectángulos como se muestra aquí.

3

2. Dibuja polígonos con c = 5 y con diferente número de puntos

4

interiores; luego, completa la tabla. ¿Qué observas? Número de puntos interiores i

4 i

Área A

0 1 2 3 4 5 i

3. ¿Qué crees que ocurrirá al dibujar polígonos con c = 6 y con diferentes números de puntos interiores?

¿Cómo se comporta el área de un polígono si aumentamos un punto en el borde (c = 7)?

RETO

4. Usa los resultados anteriores para completar la siguiente tabla:

Número de puntos en el contorno (c)

4

Regla para encontrar el área con i puntos interiores

i+1

5 i+1

6

7

10

100

c

1 2

1 1 Pista: ¿Cuál es la relación entre 4 y 1; 5 y 1 ; 6 y 2; 7 y 2 ....; es decir entre c y la cantidad que se le suma a i? 2 2 Significado y uso de las literales

17

Fichero de matematicas_1.indd 17

10/10/08 07:46:46

011

Patrones y fórmulas

Apartado 1.3

La fórmula de Pick 2 1. Usa la regla que describiste en la ficha anterior para calcular el área de cada uno de los siguientes polígonos: a)

b)

c)

d)

e)

g)

i)

Polígono

h)

j)

a

f)

k)

b

c

l)

d

e

f

m)

g

h

n)

i

j

k

l

m

n

Área

En caso de que no hayas logrado construir la fórmula de Pick, puedes consultar ésta: Una fórmula es una regla general normalmente expresada de forma algebraica.

A=i+

c -1 2

“El área de un polígono es igual al número de puntos del contorno de la figura entre dos, más los puntos interiores menos uno”.

donde A representa el área del polígono; i representa el número de puntos interiores del polígono; c representa el número de puntos en el contorno del polígono.

18 Fichero de matematicas_1.indd 18

Bloque 1

10/10/08 07:46:47

012

Patrones y fórmulas

Más fórmulas

Apartado 1.4

6

1. Dibuja, recorta y pega en el recuadro un rectángulo de cartulina de 5 cm de largo por 3 cm de ancho y contesta las siguientes preguntas:

Longitud de los lados largos = Longitud de los lados cortos = Perímetro del rectángulo =

cm. cm. cm.

a) Si aumentara al doble cada lado, ¿cuál sería su perímetro?

b) Si disminuyera a la mitad cada lado, ¿cuál sería su perímetro? c) ¿Y si aumentara al triple? d) ¿Cómo calcular el perímetro de cualquier rectángulo?

2. La figura muestra un rectángulo con un largo x y un ancho y medidos en centímetros. Contesta lo siguiente:

Total de longitud de lados largos =

cm.



Total de longitud de lados cortos =

cm.



Perímetro del rectángulo =

cm.

y

x

3. ¿Cuál sería la fórmula para calcular el perímetro (P) de un rectángulo de lados x y y? 4. Utiliza la fórmula para calcular el perímetro de los rectángulos que tengan las siguientes medidas y constrúyelos en cartulina: Largo (cm)

3

8

14

16.5

4

m

Ancho (cm)

2

5

6

2.5

b

n

y

a

Perímetro (cm)

RETO

5. Escribe una fórmula para el

perímetro P de cada figura. Las unidades están dadas en centímetros. 2p q

x q

x

y x

a

b b

2p

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 19

y uso de las literales 

19 10/10/08 07:46:48

013

Patrones y fórmulas

Apartado 1.4

Partes sombreadas Busca en tu paquete Laboratorio de matemáticas los modelos algebraicos x2, x y 1 para desarrollar las siguientes actividades.

1. En la siguiente figura se encuentran 3 cuadrados de lado x cm. Completa la tabla: 1

2

2x

1

1 3 x

x

x

x Cuadrado 1

Cuadrado

x

x Cuadrado 2

Área del cuadrado (cm2)

Área no sombreada (cm2)

Cuadrado 3 Área sombreada (cm2)

Fórmula para el área sombreda (cm2)

1

A=

2

A=

3

A=

Usa las fórmulas que encontraste para calcular el área sombreada en cada cuadrado considerando que x = 10 cm, y = 1.75 cm y z = 5 cm.

RETO

2. La siguiente figura muestra 3 rectángulos de largo a mm y ancho b mm. Completa

la tabla y construye las fórmulas para encontrar el área A mm2 de la parte sombreada en cada rectángulo.

Rectángulo 1

Rectángulo 2

Rectángulo 3 g

e d

b

e

b

g

g

g

g

b f

c

g

f

g

g a

a

Rectángulo

Área del rectángulo (mm2)

Área no sombreada (mm2)

a Área sombreada (mm2)

Fórmula para el área sombreda (mm2)

1

A=

2

A=

3

A=

20O Fichero de matematicas_1.indd 20

Bloque 1

10/10/08 07:46:49

014

Movimientos en el plano

El espejo

Apartado 1.5

7

Utiliza un espejo para probar tus respuestas.

1. Imagina que colocas un espejo sobre cada línea, como se muestra en la ilustración de la derecha. Contesta. a)

B

B

B

B

C C

L

A

L

A

b) ¿La figura A’ B’ C’ D’ E’ es reflejo de la otra? B B

A

B

A

B

A

L B

C

A

C

A

c) ¿La figura A’ G’ B’ C’ D’ E’ F’ es reflejo de la Aotra? F

C

F

A

D

G

G

D

G

G

E

B

B

E

B

B

D

E

C

D

E

E

L

D

E

D

F

A

F

C

C

L

A

C

C

C

A

C

C

A

¿La figura A’ B’ C’ es reflejo de la otra?

L L

D

E’

D

E’

2. Traza la figura simétrica a la dibujada. Considera la línea punteada como eje de simetría.

¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto a la original?

3. De cada uno de los siguientes incisos, dibuja la imagen reflejada:

¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura reflejada respecto a la original? a)

d)

Transformaciones

Fichero de matematicas_1.indd 21

b)

c)

e)

21 10/10/08 07:46:50

015

Movimientos en el plano

Apartado 1.5

Puntos simétricos

1. Encuentra la imagen reflejada de cada uno de

2. Encuentra la imagen reflejada de cada uno de

los puntos A, B, C, D, E, F y G con respecto al eje de simetría. ¿Qué observas? A

F E

B

los puntos A, B, C, y D con respecto al eje de simetría. ¿Qué encuentras?

G

A

Un punto y su reflejo están a la misma distancia del eje de simetría.

C D

B C D

3. Construye, con regla y compás, los puntos simétricos de A, B, C y D con respecto al eje de simetría. Une con un segmento los puntos simétricos. ¿Qué observas? a)

A

b)

B

c)

d) C

D El eje de simetría y el segmento que une puntos simétricos son perpendiculares.

4. Utiliza un compás y una regla para construir la imagen reflejada de cada segmento AB. Luego mide la longitud de cada pareja de segmentos. ¿Qué observas? A

a)

b)

B L

L

A

c)

A

B B

L

Al reflejar una figura se consevan las medidas de sus lados.

RETO

5. En la figura de la derecha, el punto A’ es la imagen reflejada de A. Encuentra el eje de reflexión y luego dibuja toda la figura reflejada. Luego mide los ángulos que se indican de cada figura. ¿Qué observas?

22 Fichero de matematicas_1.indd 22

A

Bloque 1

10/10/08 07:46:52

016

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 1.6

La pantalla 1. Observa el dibujo y completa una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base: Base

2

4

8

16 32 64

Altura

2. Completa: a) A doble base corresponde altura. b) A triple base corresponde altura. c) A cuádruple base corresponde altura. d) ¿Las cantidades de la base son directamente proporcionales con las cantidades de la altura? ¿Por qué? Factor de proporcionalidad

×5

3. Observa el ejemplo y completa las tablas:

Base

1

3

4

2

10

Altura

4

12

16

8

40

7

×5

11

13

23

×4

Factor fraccionario

¿Las cantidades de la base son proporcionales a las cantidades de la altura? ¿Por qué? ¿Cómo enunciarías esta propiedad? Si un término de la secuencia Base se obtiene multiplicando por un número otro término de la misma secuencia, entonces…

4. Observa el ejemplo y completa las secuencias de la misma forma:

No. de bolsas

1

3

4

2

5

No. de chocolates

5

15

20

10

25

13

23 85

×5

165

Tenemos que 4 × 25 = 20 × 5 ¿Las cantidades del número de bolsas son proporcional a las cantidades de chocolate? ¿Por qué? ¿Cómo enunciarías esta propiedad? Si dos secuencias son proporcionales y elegimos dos cantidades cualesquiera de números correspondientes ocurre que ...

RETO Anålisis

5. Si un vehículo recorre 285 km con 24.5 L de gasolina, ¿cuántos km recorrerá con 47 L?

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 23

23 10/10/08 07:46:52

017

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 1.6

El robot a escala

8

1. Dibuja este robot a escala 1 es a 2, es decir, a la mitad en la siguiente retícula de puntos; coloréalos como gustes: Figura original

C

A

U

B

T

F

D

S

P

E

Q

K

R

L

2. Anota las nuevas medidas: Lado original

Lado copia

AU = 6u

A’U’ = 3u

AB =

A’B’ =

BC =

B’C’ =

FG =

F’G’ =

CD =

C’D’ =

PQ =

P’Q’ =

ST =

S’T’ =

TU =

T’U’ =

H

G I

O J

M

Ñ N

Figura copia A’

¿Cómo resultó la figura? ¿Cómo se pueden obtener las medidas de la figura copia a partir de las medidas de la figura original?

En este caso el número 0.5 recibe el nombre de constante de proporcionalidad

24 Fichero de matematicas_1.indd 24

Bloque 1

10/10/08 07:46:54

018

Relaciones de proporcionalidad

Repartos

Apartado 1.7

9

Consigue monedas y billetes de juguete para resolver los siguientes problemas.

1. Tres amigos compraron un billete de lotería en $10 y contribuyeron así: Rogelio puso $2; Amelia, $3 y Pepe, $5. Tuvieron la fortuna de ganar $1 000 y ahora tienen que repartir esta cantidad en partes directamente proporcionales de acuerdo con lo que cooperaron. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Rogelio:



Amelia:



Pepe:

Verifica tus resultados a)

1 000 × 100

=

b)



1 000 × 100

=



1 000 × 100

c)

2. Se van a repartir $34 000 en partes directamente proporcionales a familias de 2, 3, 5 y 7 miembros. ¿Cuánto le corresponde a cada familia de acuerdo con el número de miembros?

=

Familia de 2 miembros de 3 miembros de 5 miembros de 7 miembros

Verifica tus resultados a) 34 000 × 17

=



b) 34 000 × 17

=



c) 34 000 × 17

=



d) 34 000 × 17

=

3. Reparte $4 500 en partes directamente proporcionales a: a) 8, 4,

3

b) 6, 2, 1

4. Dos albañiles cobraron $14 325 por un trabajo que hicieron juntos, pero uno ha trabajado durante 8 días y el otro trabajó solamente 7 días. ¿Cuánto debe recibir cada uno si el reparto es directamente proporcional?

RETO reciba los

Anålisis

5. Reparte $21 000 entre dos

personas de modo que la primera 2 de lo que recibe la segunda: 5

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 25

25 10/10/08 07:46:55

019

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 1.7

Herencias 1. Una herencia de $105 000 se debe distribuir entre 4 familias de 3, 5, 2 y 4 hijos respectivamente, en forma directamente proporcional al número de hijos. ¿Cuánto le corresponde a cada familia?



2. Se debe repartir un terreno de 950 m2 en dos partes tales que una de ellas 2 sea de la otra. ¿Cómo debe ser el 3 reparto?

3. Se debe repartir cierta cantidad de dinero para apoyar a ejidatarios de acuerdo con la superficie a sembrar. Los terrenos son de 3, 2 y 5 hectáreas. Si al primero le dieron $48 000, ¿cuánto le corresponde a cada terreno y cuál es la cantidad total que se repartió?

RETO

4. Tres hijos recibirán una herencia de $88 200. Según las condiciones del testamento, por cada $100 que reciba el primero; el segundo recibirá $80 y el tercero

reciban los otros dos juntos. ¿Cuánto recibe cada uno?

1 de lo que 3

TAREA

Se ha comprado una casa y un terreno en 2 Acapulco por $1 350 000. El terreno ha costado de 7 la casa. ¿Cuánto se pagó por cada inmueble?

26 Fichero de matematicas_1.indd 26

Bloque 1

10/10/08 07:47:01

020

Diagramas y tablas

Apartado 1.8

El torneo de basquetbol El primer diagrama representa el número de juegos de 4 equipos que disputan el primer lugar del torneo de basquetbol; el segundo diagrama muestra el número de juegos para 8 equipos. En el espacio dibuja el diagrama para saber cuántos juegos habrá en el torneo para 16 equipos:

El deporte es salud

1. ¿Cuántos juegos habrá en el torneo con… a) 4 equipos?

Representación

Fichero de matematicas_1.indd 27

b) 8 equipos?

de la información 

c) 16 equipos?

d) 32 equipos?

27 10/10/08 07:47:02

021

Diagramas y tablas

La hormiga

10

Apartado 1.8

B

Consigue una caja de zapatos para modelar esta problema.

La hormiga se encuentra en el vértice A del paralelepípedo y quiere llegar caminando hasta el vértice opuesto, H, pero sólo puede hacerlo A por las aristas sin pasar dos veces por el mismo vértice y sin regresar nunca. Por ejemplo, un camino simple es ABCH: no pasa por un mismo vértice dos veces y no regresa.

C

D

G H

F

1. ¿Cuáles son todos los caminos posibles para que

E

la hormiga llegue de A a H?

Completa el siguiente diagrama:

B

A D

F

A

RETO

2. ¿Cuáles son todos los caminos posibles para que la hormiga llegue de A a D, dadas las mismas condiciones de la situación anterior?

B

F

E

C

Construye una pirámide pentagonal para modelar este reto. D

28 Fichero de matematicas_1.indd 28

Bloque 1

10/10/08 07:47:03

Queremos una pizza ta maño fa miliar. La mitad con cebolla, un octavo de anchoas; dos tercios de aceitunas; con nueve quinceavos de kg de peperoni, cinco octavos de kg de ja món y mucho queso de cinco novenos de la mitad de la parte de la cebolla…

Y además, que el precio sea proporcional a nuestros ingresos.

¿Bueno? Pizzas Peperoni...

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. 2. Resuelvan problemas que impliquen efectuar multiplicaciones con números decimales. 3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que utilizan el cálculo del perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. 4. Resuelvan problemas de proporcionalidad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o fraccionario y problemas de reparto proporcional.

Fichero de matematicas_1.indd 29

10/10/08 07:47:05

022

Problemas aditivos

El mapa

Apartado 2.1

11

Este mapa muestra la distancia entre varios puntos en la región de Tlapa de Comonfort. 1. ¿Cuál es la distancia en kilómetros del camino AGF? 7 km 8

F

2. ¿Cuál es la distancia en kilómetros del

3 km 4

camino FED?

3. ¿Cuál es la distancia en kilómetros del

G

4. ¿Cuál es la distancia en kilómetros del camino EBC?

5. ¿Cuáles distancias pudiste calcular

2 km 3

3 km 4

7 km 8

camino BCD?

E

A

D

1 km C 3 1 B 4 km 2 km 3

fácilmente? ¿Por qué?

6. ¿Qué distancia resulta más corta BC, DE o BE? Justifica la respuesta.

7. Estima el resultado de las siguientes sumas de fracciones. Luego resúelvelas para encontrar el resultado exacto. a)

3 7 + = 8 8

b)

3 3 1 + + = 4 8 2

c)

6 3 2 + + = 7 7 7

d)

5 2 5 + + = 9 9 9

e)

1 5 + = 3 4

f)

1 1 1 + + = 2 4 8

g)

5 1 + = 8 6

h)

5 3 + = 6 8

8. Estima el resultado de las siguientes sumas y luego resúelvelas para encontrar el resultado exacto 1 1 a) 7  + 3  = 2 4

5 1 b) 5  + 4  = 6 3

1 7 c) 5  + 2  = 2 10

2 1 d) 6  + 6  = 3 4

2 1 e) 5  + 8  = 3 2

3 3 f) 2  + 5  = 4 8

RETO

1 , 1, 2 2 1 1  , 2, 2  y 3 en los círculos, de manera que 4 2 la suma a lo largo de cada lado del triángulo 1 sea 4 : 2

9. Escribe los números

TAREA

Registra en la tabla el número de horas o fracciones de hora que dedicas a estudiar, comer, bañarte, jugar y ver televisión. Después, en tu cuaderno, convierte a decimales las fracciones: Hora o fracción Estudiar Comer Bañarse Jugar Televisión Total

30O Fichero de matematicas_1.indd 30

Bloque 2

10/10/08 07:47:06

023

Problemas aditivos

Apartado 2.1

Deportes Otros deportes 1 8

A los estudiantes de la Secundaria Técnica No. 1 de Acapulco les gusta practicar deportes. Esta gráfica circular muestra cómo se reparten sus preferencias: 1. ¿Qué fracción de estos alumnos prefiere nadar?

Natación 1 6

Basquetbol

2. ¿Qué fracción de estos alumnos practican el futbol?

Futbol 1 3

3 8

3. ¿Cuál es la diferencia entre las dos fracciones anteriores? 4. ¿Cuál es la diferencia entre la fracción de los alumnos que prefieren basquetbol y los que prefieren natación?

Preferencias de los alumnos de la Secundaria Técnica No. 1 de Acapulco.

5. ¿Entre cuáles deportes se dio la menor y la mayor diferencia en preferencias?

1 1 de litro de leche en una jarra vacía y sacar de litro. Carmen, en cambio, 4 2 1 1 quiere echar de litro y sacar . 2 4 ¿Quién de los dos puede hacer lo que pretende? Justifica tu respuesta.

6. David quiere echar

7. Resuelve mentalmente las siguientes fracciones. Explica el procedimiento que seguiste. a)

7 2 - = 6 6

b)

10 4 - = 9 9

c)

13 8 - = 7 7

d)

5 2 - = 6 3

e)

2 5 - = 3 9

f)

3 3 - = 2 4

g)

9 3 - = 10 5

h)

7 1 - = 12 3

8. Estima el resultado de las siguientes restas y luego resuélvelas para encontrar el resultado exacto. 4 1 a) 8  - 4 = 5 3

5 1 b) 2  - 1  = 9 3

7 3 c) 8  - 2  = 8 4

2 1 de la cosecha y un camión va a llevarse de ella. ¿Puede 3 2 hacerlo? ¿Dónde se queda la mayor parte? 3 4 10. Un pintor ha pintado de piso y su ayudante . 12. Coloca los dígitos dentro 6 8 de los recuadros para obtener ¿Quién trabajo más? ¿Qué parte del piso falta por la respuesta correcta: pintar?

9. En una finca se han recogido sólo

RETO

5 11. Un ciclista ha recorrido de una etapa y otro ha 11 5 recorrido de la misma. ¿Quién va en primer 13 lugar? ¿Cuál es la diferencia hasta este punto de la etapa?

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 31

y uso de las literales 

2 9 4 1 9 3 3 5 2 7 5 1

-

= 2 

2 9

-

= 6 

1 5

31 10/10/08 07:47:07

024

Problemas aditivos

Apartado 2.1

La calculadora

1. ¿Cuál es la secuencia de teclas que debes oprimir para que aparezca en la pantalla el número 60.05, si se tiene el número 63.7? Dibújalas:

OFF

MC

M+

M-

/

%

7

8

9

x

-

4

5

6

C

1

2

3

AC

0

.

=

2. Efectúa mentalmente las siguientes operaciones; después veríficalas en

+

tu calculadora: a) 99.999 + 1 =



b) 0.0099 + 0.9 =

d) 0.0099 + 1 =



e) 0.009 + 0.001 =

c) 9.009 + 0.991 = f) 1 - 0.999 =



3. Encuentra un orden para oprimir las teclas de cada calculadora, con el fin de obtener cada uno de los siguientes resultados. Escríbelo en tu cuaderno. a)

b)

c)

63.6

d)

1.2

4

6

2

3

8

5

0

.

+ =

.

=

3

e)

360.8

-

1.8

OFF

% 7

8

a) 7.058 4 5

x

% 7

8

9

x

6

-

4

5

6

-



C

1

2

3

0

. =

+



AC

C

1

2

AC

0

. =

c) 0.329

3

e) 16.1377

+



2.3

5

9

.

5

2

3

4

5

1

.

7

9

6

1

3

+ =

-

.

=

2

3

+ =

-

.

=

OFF

9

38.4

8

MC M+ MMC M+ MMC M+ M/ cada decimal / / 4. Redondea al lugar de posición indicado: OFF

f)

MC

M+

M-

/

OFF

MC

M+

M-

/

OFF

MC

M+

M-

/

% 7

8

9

x

% 7

8

9

x

% 7

8

9

x

6

-

-

-

C

1

2

AC

0

. =

OFF

% 7

8

9

4

5

6

C

1

2

3

AC

0

. =

x

4 5 - b) 10.516

+ d) 183.007

3

+

f) 100.001

4

5

6

C

1

2

3

AC

0

. =

+

4

5

6

C

1

2

3

AC

0

. =

+

5. Estima cada suma o diferencia; redondea a la unidad o a la decena (la posición mayor): a) 5.2 segundos + 4.87 segundos + 5.22 segundos b) 3.4 segundos + 4.71 segundos + 2.66 segundos + 3.52 segundos c) 36.68 segundos - 16.29 segundos d) 64.58 segundos - 13.29 segundos

6. Resuelve el siguiente problema. Primero estima el resultado y luego da el resultado exacto. Claudia compró un carro a crédito. En un año hizo los siguientes gastos: $10 000.00 de enganche; 12 letras de $1 875.00 cada una; $886.25 de tenencia; $273.20 de placas; $520.00 de impuesto anual; $185.00 por la licencia para conducir; $986.70 del seguro por daños a terceros, robo e incendio; $160.00 al mes por pensión, $70.00 de gasolina a la semana; $20.00 a la semana a cuidadores; $145.00 al mes por lavado y engrasado; $350.00 por propinas e infracciones y, cada dos meses, $185.00 por cambio de aceite y afinación. ¿Cuánto ha pagado durante el año?

RETO



32 Fichero de matematicas_1.indd 32

Bloque 2

10/10/08 07:47:09

025

Problemas aditivos

Los Beatles

Apartado 2.1

12

Silvia quiere grabar algunas canciones de lo Beatles en MP3. 1. En la tabla siguiente se muestra el tiempo que duran algunas de las canciones de Los Beatles: Canción

Duración (min.)

A hard day’s night

2.47

I am the walrus

4.57

And I love her

2.45

Help!

2.28

Yellow submarine

2.62

Let it be

4.02

Ticket to ride

3.10

The long and winding road

3.60

¿Cuántos minutos duran las tres primeras canciones? ¿Cuántos minutos más dura “Let it be” que “Ticket to ride”? ¿Cuántos minutos duran las ocho canciones?

2. Suma o resta mentalmente: 0.4 + 0.7 =



0.3 + 0.3 + 0.5 =



1.3 - 0.9 =



1.5 - 0.2 =

0.6 + 0.6 =



0.6 + 0.5 + 0.2 =



0.8 - 0.6 =



0.9 - 0.7 =

0.9 + 0.2 =



0.9 + 0.1 + 0.8 =



2.6 - 0.4 =



2.7 - 0.5 =

3. Encuentra los dígitos omitidos:

. 7

+ 1 . 4





+ 2

. 8 . 4

+

3 . 7 + 1 4 . 5

4 . 1

RETO

2

7 8.



.1 3.

5

7 . 2



4 . 9

7 -

5

3

5 8

4

- 2 5



1 1

6 4

- 6 3 1

1

4. Completa la adición y la sustracción. Escribe sin repetir un número de 0 a 9 en cada recuadro: 1

. 0 6 0 . 9 3

6 1

0 - . 9 4 0 . 6 5 3 6 . 1 8 0 4

TAREA

Plantea y resuelve problemas a partir de estos datos: tres aparatos eléctricos de $300, $500 y $800, respectivamente, y dos accessorios de $100 y $150, 19 billetes de $100.

5. Juanito tiene monedas de 5, 10, 20 y 50 centavos.

¿De cuántas formas puede completar $1.00? Escribe algunas en tu cuaderno.

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 33

y uso de las operaciones

33 10/10/08 07:47:10

026

Problemas aditivos

Envíos por paquetería

Apartado 2.1

13

Una compañia envía paquetes iguales a la ciudad de Guadalajara. 1 4

1. Un paquete pesa 3  kg. a) ¿Cuánto pesarán 2, 3, 4, 5 y 17 paquetes iguales a éste? Completa la siguiente tabla: A

1

2

3

4

5

17

1  4

3

B

×

b) ¿Son proporcionales estas dos secuencias? c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? d) ¿Cuánto pesarán 53 paquetes iguales al primero?

2. Unos sobres que contienen revistas comerciales se van a enviar por paquetería.

E MANEJES DO CON CUIDA

Cada sobre pesa

1 kg. 9

a) ¿Cuánto pesarán 3, 5, 7, 9, 11, 17, 25 y 37 sobres iguales al primero? Completa la siguiene tabla: X

1

Y

1 9

3

5

7

9

11

17

25

37

×

b) ¿Son proporcionales estas dos secuencias? c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

RETOS

2 de la distancia de una 3 población. Si la distancia total es de 9 kilómetros, ¿cuántos kilómetros

3. El auto de la mensajería se descompuso a

recorrió el auto antes de descomponerse?

4. Otro auto de mensajería tiene un tanque de 104 litros de gasolina. ¿Cuántos litros 1 hay en el tanque si la aguja indica aproximadamente ? 3

TAREA

El auto de mensajería tiene un tanque de 180 litros. ¿Cuánta gasolina 2 se necesita para llenarlo si la aguja marca aproximadamente ? 3

34 Fichero de matematicas_1.indd 34

Bloque 2

10/10/08 07:47:12

027

Problemas multiplicativos

Apartado 2.2

Telas finas

Consigue hojas cuadradas para modelar los siguientes problemas.

1. Doña Doría es una experta costurera. Ella compró un pedazo de tela fina con las siguientes medidas: 3 4 m por m. 4 5 a) ¿Qué fracción del metro cuadrado compró la señora?

3 m 4

b) Si el metro cuadrado de tela fina cuesta $375.50, ¿cuánto debe pagar la señora por el pedazo que

4 m 5

compró?

2. Considera que los siguientes cuadrados miden un metro cuadrado de tela. Calcula la fracción del pedazo sombreado: a)



b)

1 1 × = 4 2

c)

3 1 × = 4 2



d)

3 1 × = 5 3



5 3 × = 6 4



3 4

3. La siguiente tabla muestra dos secuencias proporcionales donde el factor de proporcionalidad es ; complétala: A

1 5

5 3

B

3 20

15 12

Pay de requesón y yogur 1 taza de requesón 2 1 de taza de yogur 3 1 eces picadas 1 4 tazas de nu ón 1 as de jugo de lim 1 2 cucharadit de perejil picado 1 cucharada 1 diente de ajo picado 2 ras. friar durante 2 ho

3 5

RETO

5 7

9 11

13 15

×

3 4

4. Un cocinero necesita sólo la mitad de la

cantidad de la receta del pay de requesón y yogur. Encuentra la cantidad de cada ingrediente. Haz una tabla que muestre dos secuencias proporcionales para la mitad y el doble de estas cantidades.

jar en Mezclar bien. De

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 35

y uso de las operaciones 

35 10/10/08 07:47:14

028

Problemas multiplicativos

Apartado 2.2

Fábrica de cobre

En la ciudad de Monterrey se produce acero y cobre. 1 2

1. Una fábrica de cobre produce 3  toneladas de cobre cada hora. 1 1 1 1 a) ¿Cuánto producirá en 1  , 6  , 5  y 8  horas? 4 2 2 4 Completa la siguiente tabla: Horas

1

Toneladas

1 3  2

1  4

1

6

1  2

1  2

5

1  4

8

× Nota: Las respuestas también se pueden dar en el equivalente decimal.

b) ¿Son proporcionales estas dos secuencias? c) ¿Cuál es factor de proporcionalidad? 1 4

2. La fábrica de cobre reduce su producción en el mes de diciembre a 2  toneladas cada hora. 1 1 3 1 ¿Cuántas toneladas se producen en 2  horas, 3  horas, 5  horas y en 7  horas? 2 4 4 2

3. Resuelve y simplifica: 5 1 a) 1  × 1  = 8 2 1 d) 1 × 8 =  2 1 1 g) 2  × 1 = 3  4

RETO

1 1 × 2  = 4  3 1 e) 1  × 4 = 6 4 1 h) 2 × 10  = 2  7

1 1 c) 1  × 3 = 5  3 1 2 f) 4  × 2  = 6 5 3 1 i) 1  × 2 = 8  5

b) 1

4. La fábrica de cobre produce dos

tipos de cobre: refinado, a un ritmo de 1 3 1  toneladas por hora; no refinado, a un ritmo de 2  4 4 toneladas por hora. ¿Cuántas toneladas de cobre no 3 refinado más que de cobre refinado se hacen en 7 4

TAREA

Encuentra los dígitos escon-

didos:

2 

1

× 2 = 5

2 

1

3  5

×3=6

horas de trabajo? 5 15 × = 8 4 32

36 Fichero de matematicas_1.indd 36

4

×

1 1 = 3 4

Bloque 2

10/10/08 07:47:16

029

Problemas multiplicativos

Apartado 2.2

La tienda La señora Mejía compró en la tienda varios productos de cocina para surtir su despensa semanal. 1. Completa el siguiente cuadro que tiene el empleado de la tienda. Precio de Precio 1 kg Arroz

$23.00

Carne

$90.00

Café

$72.00

Azúcar

$21.40

Frijol

$32.50

Harina

$23.20

Jamón

$76.00

Lenteja

$32.80

Manteca

$56.00

Maíz

$21.60

1 2 kg

1 4 kg

3 4 kg

100 g

2. Calcula las siguientes “notas de caja” considerando la anterior lista de precios: 1 3 2 kg azúcar  

1 2 4 kg arroz  

1 2 kg harina

3 4 kg harina

1 1 2 kg frijol  

1 4 kg jamón

100 g café

200 g manteca

1 2 kg maíz

1 4 kg carne

1 1 2 kg maíz  

Total $

Total $

200 g café Total $

3. Completa el siguiente cuadro que tiene el empleado de la tienda. Precio de 100 g de: Azúcar

$2.15

Arroz

$2.30

Café

$7.20

Manteca

$5.60

Jamón

$7.60

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 37

Precio de: 1 kg

y uso de las operaciones 

1 2 kg

1 4 kg

3 4 kg

37 10/10/08 07:47:17

030

Problemas multiplicativos

Pasteles al horno

Apartado 2.2

14

Pa st el er ía In n

Alberto trabaja en una pastelería horneando diferentes tipos de pastel y tiene programados sus tiempos como se ve en la tabla.

Tipo de pastel

Tiempo

Pequeños de 1 nivel

1 hora 2

Pequeños de 2 niveles

3 hora 4

1. ¿Cuántos pasteles pequeños de 2 niveles se pueden hacer en la 1 pastelería Inn en 7  horas? 2 3 ¿Y en 6 ? ¿Y en 15 horas?  4 Completa la siguiente tabla: Núm. de pasteles pequeños

1

Tiempo (h)

3 4

16 1 7  2

3 64  

Pista: Para encontrar el valor correspondiente a 7

×

15

1  2

Medianos de 2 niveles

2

1 horas 4

Grandes de 3 niveles

3

3 horas 4

basta dividir este número entre el factor de proporcionalidad.

3  4

2. ¿Cuántos pasteles grandes de 3 niveles se pueden hacer en 7 horas? ¿Y en 10 ? a) Completa la siguiente tabla: Núm. de pasteles grandes

1

Tiempo (h)

3 3  4

11 1 11 4  

1 26 4  

15

×

b) ¿Son proporcionales estas dos secuencias? c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

3. Haz una estimación para determinar si los cocientes serán mayores o menores que 1. Escribe mayor que 1 o menor que 1: 1 1 a) 2  ÷ 1  3 4



1 1 d) 4  ÷ 4  3 2

5 e) 8  ÷ 10 8

b)

7 1 ÷ 1  8 6

4. En la siguiente tubería siempre se divide el agua en dos partes iguales. ¿Cuántos litros de agua llegarán en cada tubo a las casas?

20 L → 3

38 Fichero de matematicas_1.indd 38

Tuberías de las casas

RETO

1 1 ÷3  2  4



c) 3



f) 4

1 3 ÷ 8  4

TAREA

¿Cuál es la fracción de queso que queda después de dividirlo en tres partes iguales, luego una de estas tres en dos y, finalmente, una de las dos en cuatro partes iguales y tomo una de éstas? Bloque 2

10/10/08 07:47:20

031

Problemas multiplicativos

Nomograma

Apartado 2.2

15

El ingeniero García diseñó una curiosa forma de multiplicar números decimales entre 0.3 y 1.8 y la denominó el “nomograma”. 1. Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones; Factor después comprueba tus 1.4 resultados usando el nomograma. Para ello, coloca una regla o un papel doblado sobre los puntos 1.3 de los números que funcionan como factores. Recuerda que, como todo modelo físico, el resultado es aproximado. Observa el siguiente ejemplo:

2.00 1.9

1.4

Producto 1.8 1.7

Factor 1.3

Ejemplo: 1.4 × 1.3 = 1.82 1.8

1.7

1.6

1.5

1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 Significado

Fichero de matematicas_1.indd 39

y uso de las operaciones 

3.30 1.8 3.20 3.10 3.00 2.90 1.7 2.80 2.70 2.60 1.6 2.50 2.40 2.30 1.5 2.20 2.10 2.00 1.4 1.90 1.80 1.70 1.3 1.60 1.50 1.2 1.40 1.30 1.1 1.20 1.10 1.0 1.00 0.90 0.80 0.9 0.70 0.8 0.60 0.50 0.7 0.40 0.6 0.30 0.5 0.20 0.4 0.10 0.3

0.9 × 1.4 = 1.7 × 0.3 = 1.1 × 0

=

1.1 × 0.6 = 1.2 × 1.7 = 1.8 × 1.2 = 1.5 × 1.3 = 1.6 × 1.6 = 1.7 × 0.4 = 1.5 × 1.8 = 1.6 × 1.2 = 1.3 × 1.8 = 0.9 × 1.5 = 0.7 × 0.3 = 1.3 × 0.4 = 1.4 × 1.8 = 1.4 × 1.4 = 1.6 × 0.9 = 0.8 × 1.8 =

39 10/10/08 07:47:21

032

Problemas multiplicativos

Modelos de área

16

1. A continuación se muestra una manera de ilustrar la multiplicación

d) ¿Qué fracción del cuadrado tiene doble color (la intersección)?

de dos decimales. a) Recorta de una hoja cuadriculada un cuadrado de 100 cuadritos (1 unidad).

b) Colorea como se muestra a continuación:

Apartado 2.3

c) Ahora colorea como se muestra a continuación:

e) En otro cuadrado de 10 × 10 dibuja como se muestra a continuación.

0.3 0.6

0.6 × 0.3 =

6 3 18 × = 10 10 100

2. Explica cuál multiplicación de dos decimales se ilustra a continuación: 3 × 10

=

3. A continuación se muestra la multiplicación de dos decimales. ¿Cuáles son? ¿Cuál es el producto?

RETO

5. En papel

cuadriculado muestra cómo multiplicar: 1.7 × 2.3 = 2.1 × 1.4 =

1 1 × = 1 000 1 000

1.5 × 2.3 =

4. Escribe la multiplicación para cada figura: a)

b)

a) Explica en cada caso cómo funciona este modelo.

c)

0.8

0.9

0.6

0.4

40O Fichero de matematicas_1.indd 40

0.5

0.5

Bloque 2

10/10/08 07:47:22

033

Problemas multiplicativos

Apartado 2.3

Triángulos 1. ¿Cuáles son todos los triángulos que tienen a AB como lado común y a AE como la misma altura? Completa ABC, ABD.

A

Las medidas de las bases de los triángulos se muestran en la siguiente tabla: Base

Medida en u



BC



0.32 u



BD



0.49 u



BE



0.75 u



BF



1u



BG



1.4 u



BH



1.75 u

B

C

D

E

F

G

H

Altura AE = 0.7 u.

2. ¿Cuál es el área de cada triángulo? Organiza la información en la siguiente tabla Triángulo

Base

Altura

Área (u2)

ABC ABD

3. En los triángulos anteriores y al calcular sus áreas, ¿qué elemento de la fórmula del área del triángulo permanece constante? ¿Cuál es su medida?

4. ¿Qué elementos varían? ¿Cuáles son sus valores? 5. Con respecto a la base del triángulo naranja ABF, ¿las bases de los triángulos ABD, ABC y ABE son mayores, menores o iguales? ¿Y las áreas?

6. Con respecto a la base del triángulo ABF, ¿las bases de los triángulos ABG y ABH son mayores, menores o iguales? ¿Y las áreas?

7. Compara las áreas de todos los triángulos. ¿Cuál tiene mayor área? ¿De qué depende?

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 41

y uso de las operaciones 

41 10/10/08 07:47:23

034

Problemas multiplicativos

Apartado 2.3

La calculadora

Investiga como utilizar la memoria de tu calculadora para desarrollar las siguientes actividades.

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones en la calculadora: a) 8.95 × 0.73 = b) 8.95 × 3.15 = c) 8.95 × 0.47 = d) 8.95 × 5.12 = e) 8.95 × 0.03 = f) 8.95 × 8.11 = g) 8.95 × 0.01 = h) 8.95 × 9.16 =

2. ¿Cuál es el factor constante en todas las multiplicaciones? 3. ¿En qué casos el producto es menor que el factor constante? 4. ¿En qué casos el producto es mayor que el factor constante? 5. Calcula el área de cada círculo (A = πr2) (redondea o trunca a décimos el valor decimal de π):

0.7 cm

2.8 cm

3.1 cm

3.7 cm

6. ¿Cuál es el factor constante en todas las multiplicaciones? 7. ¿En qué casos el producto es menor?

¿En cuáles es mayor?

¿de qué depende?

RETO



8. Haz las siguientes operaciones en tu calculadora:

a) 365.258 × 0.527 = b) 6 × π = c) 0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999 + 0.99999 = d) 8.3741 × 5.125 - 3.8276 = e) 45.8847 + 0.9999 = f) ¿Cuál número es mayor: π × π ó 3.14 × 3.14? ¿Por qué?

42 Fichero de matematicas_1.indd 42

TAREA

Explora tu calculadora para averiguar qué otras operaciones puedes hacer. Escribe en tu cuaderno tus hallazgos.

Bloque 2

10/10/08 07:47:23

035

Problemas multiplicativos

Apartado 2.3

Mediatrices En la figura de la derecha aparecen dos círculos del mismo radio con centros en los puntos A y B, respectivamente, que se encuentran situados entre la recta I. Estos dos círculos se cortan en los puntos P y Q que determinan la recta m. Como vemos, las recta l y m son perpendiculares y se cortan en el punto O. Además, los segmentos AO y OB tienen la misma longitud. La recta m es la mediatriz del segmento AB. Escribe una definición de mediatriz.

m Q O

A

P

l B

1. Encuentra el punto medio de los siguientes segmentos:

a) b) B C D

A

2. Traza la mediatriz de cada segmento:

a) A

b) B

B

A

3. Traza la mediatriz del segmento y marca 3 puntos P, Q, R sobre ella. Une los extremos del segmento con los puntos P, Q y R respectivamente.

A



a) ¿Qué figuras obtuviste?



b) Si las distancias de cada extremo del segmento dado al punto marcado de la mediatriz fueran iguales, ¿qué tipo de figura se formaría?



B

c) Construye un rombo.

RETO

4. Traza las tres mediatrices de los tres lados del siguiente triángulo y colorea de rojo el punto donde se intersecan las 3 mediatrices: A

B

TAREA

Investiga cómo se llama el punto donde se intersecan las 3 mediatrices de un triángulo. C Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 43

43 10/10/08 07:47:25

036

Rectas y ángulos

Apartado 2.4

Bisectrices Dado un ángulo, a la semirrecta que lo divide en dos partes iguales la llamamos la bisectriz de dicho ángulo. La bisectriz de un ángulo tiene la propiedad de que las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz a los lados del ángulo son iguales.

B Bisectriz O

C

1. Para construir la bisectriz de un ángulo, primero

estudia la figura a) y luego traza la bisectriz de los otros dos ángulos. Explica el procedimiento que seguiste.



a)

b)

BOA

A AOC �

COB

Distancia de C a OB = Distancia de C a OA

B

O

c)

B O

P

C

Q A

D O A

RETO

2. Traza las tres bisectrices de los tres ángulos de cada triángulo. Colorea de rojo el punto donde se intersecan las tres bisectrices. Traza los tres mediatrices de los tres lados de cada triangulo. ¿En qué casos coinciden las bisectrices con las mediatrices?

TAREA

Investiga cómo se llama el punto donde se intersecan las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo.

44 Fichero de matematicas_1.indd 44

Bloque 2

10/10/08 07:47:26

037

Rectas y ángulos

Apartado 2.4

Construcciones geométricas

17

1. Traza un segmento AB de 3 cm. Después traza su mediatriz y, posteriormente, una circunferencia con diámetro AB. ¿Puedes trazar un triángulo isósceles de lado AB?

2. Traza un cuadrado cuya diagonal sea igual al



segmento AB. Recuerda que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí y se cortan por su punto medio. Traza la bisectriz de los ángulos interiores del cuadrado. ¿Qué observas al comparar las bisectrices de los ángulos con las diagonales del cuadrado?

3. Traza una circunferencia que pase por los vértices del cuadrado que acabas de dibujar.

RETOS

4. Realiza lo siguiente:

a) Traza dos perpendiculares a la recta, una que pase por X y la otra por Y. b) Construye un rectángulo con lados iguales a XY. c) Traza el círculo que pasa por los cuatro vértices del rectángulo. d) Construye un cuadrado cuyos lados sean iguales al XY.

X

Y

e) Traza el círculo que pasa por los cuatro vértices del cuadrado.

Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 45

45 10/10/08 07:47:26

038

Figuras planas

Apartado 2.5

Triángulos y cuadrados Sí y además tiene 3 radios.

Oye, mana, fíjate qué interesante es ese chico.

1. Observa los siguientes trazos para construir un triángulo equilátero.

¿Puedes explicar o justificar por qué se trata de un triángulo equilátero? A

o

o

o

o B

2. De acuerdo con lo anterior, traza los siguientes triángulos equiláteros dado el radio del círculo.

Explica cómo puedes obtener un hexágono regular en cada caso.



Radio = 1.5 cm

Radio = 2.5 cm

3. Observa los siguientes trazos para construir un cuadrado. ¿Puedes explicar o justificar por qué se trata de un cuadrado?

a

a

A

a

B

TAREA

De acuerdo con lo anterior, traza en tu cuaderno los cuadrados correspondientes dados los siguientes radios del círculo: 3.5 cm y 5 cm. ¿Cómo puedes obtener un octágono regular inscrito en las circunferencias en cada caso?

46 Fichero de matematicas_1.indd 46

Bloque 2

10/10/08 07:47:27

039

Figuras planas

Hexágonos regulares

Apartado 2.5

18

Observa los siguientes trazos para construir un hexágono regular dada la longitud de sus lados. ¿Puedes explicar o justificar por qué se trata de un hexágono regular? 1

2

3 C

A

B

A

4 C

D B

A

F

5

G

6

E B

A

B

1. De acuerdo con lo anterior, traza los siguientes hexágonos regulares dado el lado.

Explica cómo puedes obtener un dodecágono regular en cada caso.



Lado = 2 cm

Lado = 3 cm

Observa los siguientes trazos para construir un hexágono regular dado el radio de un círculo. ¿Puedes explicar o justificar por qué se trata de un hexágono regular? 1

1 2

a

2

3

3

a

a 4

a 5

4

6

5 6

2. De acuerdo con lo anterior, traza los hexágonos regulares dado el radio del círculo:

Radio = 1.5 cm

Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 47

Radio = 2 cm

47 10/10/08 07:47:28

040

Figuras planas

Apartado 2.5

La estrella de 5 picos Observa los siguientes trazos para construir un pentágono regular: 1

2

o

A

o

3

C D

4

O

1

2

5

6 3

O

O

O

1. De acuerdo con lo anterior, traza los siguientes pentágonos dado el radio del círculo

Explica cómo puedes obtener un decágono regular en cada caso. Radio = 1.5 cm

Radio = 2.5 cm

Observa los siguientes trazos:

A

72º O

B

72º O

O

2. Utiliza tu transportador, tu compás y tus escuadras para reproducir la figura anterior y coloréala:

48 Fichero de matematicas_1.indd 48

Bloque 2

10/10/08 07:47:29

041

Justificación de fórmulas

Triángulos y romboides

Apartado 2.6

19

1. Triángulo rectángulo en general. Traza un triángulo rectángulo en cartulina. Recórtalo. Construye otro igual. Observa que puedes yuxtaponer ambos de diversos modos. Comprueba que se forma un rectángulo.

b

b

Área del rectángulo = Área del triángulo =

a

a

2. Explica por qué las siguientes fórmulas son equivalentes. Si es necesario, recurre al recorte de papel. A=



b×a 2

A=

b × a 2

A=b×

a 2



altura h

3. Romboide. Construye un romboide en cartulina. Recórtalo. Traza su altura. Córtalo por ella. Se aísla un triángulo rectángulo. Pásalo al lado opuesto y sobreponlo al resto del romboide. Aparece una nueva figura que ya conoces:

b



Área del romboide =

4. Triángulo cualquiera. Construye un triángulo cualquiera en cartulina. Recórtalo. Traza otro igual. Colócalos como se muestra para formar un romboide.

Área del romboide =



Área del triángulo =

h

h

b

b

h

RETO

5. Área del triángulo por la paralela

media. Traza un triángulo. Por el punto medio de un lado traza una paralela a la base. Observa que esta paralela pasa por el punto medio del otro lado. Por este punto D, traza una paralela al lado AC, y por el punto E, una paralela al lado BC. Comprueba que los cuatro triángulos obtenidos son iguales. Observa que la paralela ED es igual a AF y FB; es decir, es igual a la “mitad de la base”. Aplica esta propiedad para justificar la fórmula para determinar el área del triángulo. Utiliza recortes de papel.

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 49

b C E A

D

F

B

Área del triángulo =

49 10/10/08 07:47:30

042

Justificación de fórmulas

Apartado 2.6

Rombos

1. Rombo. Dibuja y recorta en cartulina dos rombos iguales. Corta uno de ellos por sus diagonales. Aparecen cuatro triángulos rectángulos; colócalos como se muestra en la figura de la derecha para obtener un rectángulo del doble de área que el rombo. Si sus dimensiones son las diagonales del rombo: D y d; ¿cuál es la fórmula para determinar el área?

D D

d

d

Área del rombo =

2. Otra forma de llegar a la fórmula del rombo en la siguiente: recorta un rombo de cartulina. Traza sus diagonales. Córtalo por ellas. Coloca las piezas como se muestra a la izquierda. Observa que la figura resultante es un rectángulo. Su base es una diagonal del rombo, y su altura, la mitad del otro.

d D

d 2 D

Área del rectángulo =



Área del rombo =

3. Otra forma de llegar a la misma fórmula es la siguiente: recorta un rombo sólo por una diagonal. Coloca los dos triángulos isósceles para obtener un romboide. Observa que su base es una diagonal del rombo y su altura es la mitad de la otra.

Área del romboide =



Área del rombo =

RETO

D 2

D d d

4. Encuentra el área de cada región coloreada: 2 cm

1.5 cm 5 cm 3 cm

10 cm

50O Fichero de matematicas_1.indd 50

2 cm 4.24 cm

3

cm

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm 4.24 cm

Bloque 2

10/10/08 07:47:32

043

Justificación de fórmulas

Trapecios

20 b

1. Traza y recorta dos trapecios iguales. Colócalos como se muestra a la derecha para obtener un romboide cuya área es el doble de la del trapecio. Observa que la base del romboide es igual a la suma de las bases del trapecio. La altura es la del trapecio.

Área del romboide obtenido =



Área del trapecio =

B

h

2. Otra forma de obtener la fórmula del área del trapecio es la siguiente: traza y recorta un trapecio. Toma la mitad de un lado y traza una línea que una el vértice opuesto con el punto medio determinado. Corta según esta línea. El triángulo restante colócalo como se muestra en la figura. Aparece un triángulo PQR cuya superficie es igual a la del trapecio. Observa que su base es igual a la suma de las bases del trapecio y su altura es la misma.

B Q h b

h

B+b

b

P

Apartado 2.6

B

R

Área del triángulo equivalente al trapecio =



Área del trapecio =

3. Otra forma. Toma los puntos medios de los lados

b

de un trapecio. La línea que los une es paralela a las bases. Traza esta línea. Por los puntos medios indicados traza perpendiculares a la base mayor, corta por ellas con las tijeras. Observa que quedan dos triángulos. Colócalos como se muestra para obtener un rectángulo equivalente cuya base es precisamente igual a la paralela media del trapecio.

Área del rectángulo obtenido =



Área del trapecio =

RETO

h B h B+b 2

d

4. Explica cómo obtener la fórmula

del área del trapezoide isósceles (cometa) apoyándote en la ilustración.

D

D

d 2

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 51

51 10/10/08 07:47:33

044

Justificación de fórmulas

Apartado 2.6

Áreas de polígonos regulares

21

1. Traza y recorta un pentágono regular: b) El área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos:

a) Divide el polígono en triángulos:

c) Pero 5l es igual al perímetro del pentágono 5l = P. Por tanto: A=

a

El área del triángulo magenta es: l×a 2

l×a l×a + 2 2 l×a l×a l×a + + + 2 2 2 Área del pentágono =

Área del pentágono =

Esta fórmula es válida para cualquier polígono regular, sólo que no utilizarás el perímetro de un pentágono, sino el del polígono de que se trate.

2. Otra forma de obtener la fórmula es la siguiente: traza un hexágono regular y recórtalo. Descomponlo en triángulos, considerando los radios y recórtalos. Con las piezas forma un romboide como se muestra a la izquierda. Observa que la base se forma con las bases de tres de los triángulos; equivale a medio perímetro del polígono. La altura es la de uno cualquiera de los triángulos, o sea, la apotema del polígono.

a p 2

a

Área del romboide obtenido = Área del polígono regular =

RETO

3. Fórmula del área de un polí-

gono regular de número impar de lados. Traza un heptágono regular y recórtalo. Descomponlo en triángulos, considerando los radios, y recórtalos. Con las piezas forma un trapecio. Observa que la suma de las bases B + b es igual al perímetro del polígono y que la altura del trapecio es la apotema del polígono.

Área del trapecio =



Área del polígono regular =

52 Fichero de matematicas_1.indd 52

b

a

a B

Bloque 2

10/10/08 07:47:34

045

Relaciones de proporcionalidad

La T

22

1. Reproduce en cartulina el siguiente

3 cm

rompecabezas, pero más grande, de modo que lo que en el original mide 3 cm en el realizado por ti mida 5 cm.

2 cm

Medidas Iniciales

2

Medidas ampliadas

Medidas Iniciales

5

Medidas ampliadas

Pieza C Medidas Iniciales

2

1

2

2 cm

C 2 cm

2 cm

Pieza B 3

B 1 cm

Puedes auxiliarte con las siguientes tablas. Pieza A

3 cm

A

Dibuja pieza por pieza y luego ármalo según el modelo. ¿Pudiste hacerlo sin dificultades?



Apartado 2.7

3

6 cm

5

D

Pieza D Medidas Iniciales

2

Medidas ampliadas

2

6

2 cm

Medidas ampliadas

2. Tres personas hicieron ampliaciones y reducciones de rompecabezas. Éstas son las tablas donde iban a registran sus datos pero no las concluyeron. ¿Te gustaría ayudarles? ¡Adelante!

Érika

Rafael

Judith

Medidas iniciales

Medidas reducidas

Medidas iniciales

Medidas reducidas

Medidas iniciales

Medidas ampliadas

5

4

7

6

5

13

10

9

7

15

14

11

7

17

19

11

RETO

3. ¿Cuáles deben ser las medidas

del rompecabezas de arriba si se desea reducirlo de manera que lo que mide 2 en el dibujo mida 0.3 cm?

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 53

TAREA

Haz un rompecabezas como el de arriba, de manera que lo que mide 3 cm, en tu dibujo mida 7 cm.

53 10/10/08 07:47:35

046

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 2.7 4 cm

Ampliación y reducción

3.6 cm

A

1. Pepe Ramos hizo este rompecabezas y dice que puede ampliarlo o reducirlo multiplicando por un número decimal.

6 cm

Pieza A

6 3.

2 cm

Pieza B 4

3.6

Medida inicial (cm)

6

× 2.3

Medida ampliada (cm)

Pieza C Medida inicial (cm)

3 cm C

2. Ampliación (× 2.3 )

Medida inicial (cm)

cm 3.6

cm

Por ejemplo, dice que si multiplica cada dimensión por 2.3 se ampliará y si la multiplica por 0.3 lo reducirá ¿Tendrá razón Pepe? Compruébalo con piezas de cartulina.

B

3.6

D 2 cm 3.6

6

× 2.3

Medida ampliada (cm)

Pieza D 3.6

3

Medida inicial (cm)

2

× 2.3

Medida ampliada (cm)

3

3.6

2

× 2.3

Medida ampliada (cm)

3. Reducción (× 0.3 ) Pieza A Medida inicial (cm)

Pieza B 4

3.6

× 0.3

Medida reducida (cm)

Pieza C Medida inicial (cm) Medida reducida (cm)

RETO

Medida inicial (cm)

6

Fichero de matematicas_1.indd 54

3.6

6

× 0.3

Medida reducida (cm)

Pieza D 3.6

3

Medida inicial (cm)

2

× 0.3

3

3.6

2

× 0.3

Medida reducida (cm)

4. ¿Cuál debe ser el factor decimal para reducir las dimensiones del rompecabezas original a una cuarta parte? Compruébalo y dibuja el nuevo rompecabezas.

54

3.6

TAREA

Haz un rompecabezas como el de arriba, de manera que lo que mide 4 cm en el dibujo mida 1.5 veces más.

Bloque 2

10/10/08 07:47:35

047

Relaciones de proporcionalidad

El castillo del rey Arturo

Apartado 2.8

23

1. El dibujo original se ha ampliado en una escala 4:1. Ahora amplía este segundo dibujo en una escala 1.5:1. ¿Cuál es la escala de ampliación que se aplicó al tercer dibujo con respecto al primero?

Original

Inicia con estos trazos

Análisis

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 55

55 10/10/08 07:47:37

048

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 2.8

El camión A cada dimensión de este dibujo se le debe multiplicar por 2 y luego dividir el resultado entre 2. 2 Reprodúcelo abajo con las nuevas dimensiones. ¿Equivale a aplicarle la escala ? 2 Al multiplicar cada dimensión por 2 quedó así: Primera copia

Original

Al dividir cada dimensión anterior entre 2, queda así: Segunda copia

56 Fichero de matematicas_1.indd 56

Bloque 2

10/10/08 07:47:38

Pero profesor, ud. dijo ayer que x era igual a 2...

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas que implican efectuar divisiones con números decimales. 2. Resuelvan problemas que implican el uso de ecuaciones de las formas: x + 1 = b; ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. 3. Resuelvan problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. 4. Resuelvan problemas que implican el cálculo de cualquiera de los términos de las fórmulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Expliquen la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras. 5. Interpreten y construyan gráficas de barras y circulares de frecuencias absolutas y relativas. 6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para tomar decisiones.

Fichero de matematicas_1.indd 57

10/10/08 07:47:39

049

Problemas multiplicativos

Cuadrado mágico

Apartado 3.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1. Completa los siguientes cuadrados mágicos: 1. 3 - 0.25

4. 0.1 × 15

7. 1.25 + 0.5

2. 10 × 0.1

5. 100 × 0.02

8. 1000 × 0.003

2 5 + 3. 2 + 10 100

6. 3 - 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9. 0.5 × 2.5

¿Cuál es la suma mágica?

9

1 0.7 + 0.55

4 10 × 0.3

7 1.7 + 0.05

2 0.5 × 5

5 100 × 0.02

8 3 × 0.5

3 2.4 - 0.15

6

100 100

9 2 5.50

¿Cuál es la suma mágica?

2. Completa: a)

3.5 3.5 10 = × = 0.7 0.7 10 7

b)

1.4 1.4 = × 0.02 0.02

=

c)

.48 .48 1 000 = × = 0.006 0.006 1 000

d)

1.08 1.08 = × 0.09 0.09

=

e) 0.7 2.8 = 0.7 ×

g) 0.02 1.6 = 0.02 ×

RETOS

2.8 ×

= 7 28

1.6 ×

= 2 160

f) 0.006 0.42 = 0.006 ×

h) 0.09 7.20 = 0.09 ×

140 2

0.42 ×

7.20 ×

=

=

3. Un satélite viaja a la velocidad de 40 434.667 km en 1.5 h.

¿Cuántos kilómetros recorre en 1 hora? Justifica el algoritmo de la operación que realizaste.

58 Fichero de matematicas_1.indd 58

Bloque 3

10/10/08 07:47:41

050

Problemas multiplicativos

La tira calculadora

24

Apartado 3.1

1 64

.015625 .03125 1 .046875 Algunas veces los ingenieros tienen que trabajar con 16 .0625 5 fracciones y decimales, y se tienen que auxiliar de una tabla 64 3 .078125 32 .09375 7 de equivalencias como la que se muestra a la derecha: 1 64 .109375 8 .125 9 164 1. Usa la tabla para encontrar las siguientes equivalencias: 5 .140625 32 .15625 11 3 64 .171875 53 1 19 16 = b) = c) = a) .1875 13 64 8 32 7 64 .203725 32 .21875 15 1 64 .234375 4 d) 0.75 = e) 0.1875 = f) 0.390625 = .25 17 64 9 .265625 32 .28125 19 2. Contesta: 5 64 .296875 16 .3125 21 64 11 .328125 a) ¿0.61 es aproximadamente igual a cuál fracción de la tabla? 32 .34375 23 3 64 .359375 53 8 .375 ? b) ¿Cuál de estas fracciones es más parecida a 25 64 64 13 .390625 32 .40625 27 7 4 3 2 1 64 .421875 16 .4375 5 4 3 2 29 15 64 .453125 32 .46875 31 1 ¿Por qué? 64 .484375 2 .5 33 64 17 .515625 3. Utiliza la tabla para ejecutar las divisiones con decimales: 32 .53125 35 9 64 .546875 16 .5625 37 1 1 5 1 a) ÷ = b) ÷ = 64 19 .578125 4 8 16 32 32 .59375 39 5 64 .609375 8 .625 41 1 1 3 1 64 21 c) ÷ = d) ÷ = .640625 2 8 4 2 32 .65625 43 11 64 .671875 16 .6875 45 7 1 9 1 23 64 .703125 e) ÷ = f) ÷ = 32 8 4 16 8 .71875 47 3 64 .734375 4 .75 49 4. Una pieza de metal mide 0.1325 m de largo 64 25 .765625 5 32 .78125 51 y otra pieza mide m de largo. ¿Cuál es más 13 64 32 .796875 16 .8125 53 larga? 64 27 .828125 32 .84375 55 7 5. Inventa otro procedimiento para hacer operaciones con 64 .859375 8 .875 fracciones y decimales. 57 29 64 .890625 32 .90625 59 Ejemplo: 15 64 .921875 16 3 1 3 0.75 .9375 61 × = × 0.25 = → 4 0.75 4 4 4 4 84 31 .953125 32 .96875 63 64 .984375 1 4 1 3 1 a) × = b) × = 1. 1 32

3 64

RETOS



2

5

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 59



y uso de las operaciones 

8

5

59 10/10/08 07:47:42

051

Problemas multiplicativos

Apartado 3.1

Conversiones Estudia el recuadro de la izquierda.

Medidas de longitud Unidad: metro (m) 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm



1 cm = 10 mm



1 Dam = 10 m



1 Hm = 100 m



1 km = 1000 m

2



1 cm2 = 100 mm



2 1 Hm2 = 1 Ha = 10 000 m 1 km2 = 1 000 000 m2

Medidas de volumen Unidad: (m3) 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 3

1 cm3 = 1 000 mm



Medidas de peso Unidad: gramo (g)

m

3.075 km =

m

1 L = 100 cL



1 L = 1000 mL



DL = 10 L



HL = 100 L



KL = 1000 L

m2 Ha

82.1 m2 = 0.5 m2 = 1 1  Ha = 2

dm2 cm2 m2 en

3.5 m3 =

dm3

0.015 m3 =

dm3

0.8 m3 =

dm3

6. Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de en 1 Tm = 2 1 2 kg = 2 5 000 kg =

Medidas de capacidad Unidad: Litro (L) 1 L = 10 dL

dm2

dm3

1g = 1000 mg



.

4.005 m3 =



Fichero de matematicas_1.indd 60

m

5. Completa:



60O

cm

m

.

7. Completa:

1000 kg = 1 Tm

0.8 m =

m

4. Las unidades de área aumentan y disminuyen de

1g = 100 cg



mm

km

3.05 m2 = 1 Ha = 2 20 000 m2 =

1g = 10 dg

1000g = 1 kg

cm

3 000 m =





1.5 km = 1 3 Hm = 2 2.5 m =

3. Completa:

1 dm2 = 100 cm2



200 cm =

en

1 m2 = 100 dm2 1 m2 = 10 000 cm2



dm

2. Las medidas de longitud aumentan y disminuyen de

Medidas de área Unidad: (m2)

30 cm =

40 cm = 1 Dam = 2

1 dm = 10 cm



1. Completa las igualdades siguientes:

.

2.5 kg =

kg g

1 kg = 4 4.015 kg = 1

Tm

g g g

8. Las unidades de peso aumentan y disminuyen de en

.

9. Completa: 2.1 L = 1 DL = 2 600 cL =

cL

400 L =

HL

50 dL = L 1 L cL L= 4 10. Las unidades de capacidad aumentan y disminuyen de en . L

Bloque 3

10/10/08 07:47:43

052

Ecuaciones

Apartado 3.2

El juego del cuadrado 1. Escribe un número cualquiera en las casillas azules. Efectúa las operaciones que se indican en cada cuadro: +

=

+

=

+

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

¿Qué descubriste? Coméntalo con tus compañeros.

2. Escribe el número que debes sumar en ambos miembros de la ecuación. Resuelve y comprueba cada solución. a - 34 = 7 a - 34 + 34 = 7 + a = Comprobación:

k - 7 = 68 k - 7 + 7 = 68 + k = Comprobación:

n - 29 = 87 n - 29 + 29 = 87 + n = Comprobación:

x - 9 = 24 x - 9 + 9 = 24 + x = Comprobación:

y - 43 = 19 y - 43 + 43 = 19 + y = Comprobación:

m - 17 = 151 m - 17 + 17 = 151 + m= Comprobación:

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) c - 61 = 62

RETOS

b) w - 56 = 56

4. Resuelve los siguientes problemas. Usa ecuaciones para encontrar

las respuestas: a) La población de una ciudad aumentó en 15 700 personas durante 2007, para hacer un total de 375 856. ¿Cuántas personas había en 2006?

c) y - 7 = 77

d) b - 23 = 123

TAREA

Encuentra una secuencia para oprimir una vez las teclas 3, 8, 5, - , = , + , y obtener la respuesta que aparece en la pantalla.

OFF

%

C AC

Dibuja dicha secuencia:

MC

M+

M-

/

7

8

9

x

4

5

6

1

2

3

.

=

0

+

b) La asistencia a un juego de futbol realizado esta semana fue de 25 687 personas menos que las 85 975 de la semana pasada. ¿Cuál fue la asistencia de esta semana?

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 61

y uso de las literales 

61 10/10/08 07:47:44

053

Ecuaciones

Dibujo sorpresa

Apartado 3.2

25

En los hexágonos se esconde una figura, para descubrirla procede de la siguiente manera: 1. Resuelve las ecuaciones del paquete encabezado con la palabra Rojo. 2. Ilumina de dicho color los hexágonos que contengan los resultados del inciso anterior. 3. Procede de manera similar con los demás paquetes.



2x 4c x 2n h

Rojo + 1 = 9 - 1 = 7 + 9 = 16 + 6 = 12 - 3 = 15

16



16 16 16

16

5 5

16

16 16

16 5 12

13

5

17

17

9

17 9

17

5

5

5

5

12 12

5 5

17

17

17

17

11

5

5

5 5 5

5

5

5

5 5

9 9

5

5

12

5

9

5

11

5 9

9 9

9

5

5

9 9

9

5

5

6 5

5

5

5

5

1

5

5 5

21

21 6

9

5

5

5

6 9

9

5

5

15

1

9 5

5

5 5

31 1

6 12

5

12 5

17

17

31

5

10

31

5

5

10

31

3 31

17

12

17

17

13

3

9 10

3

3

3

5

10

10

3

9 9

2 2

7 3

3

13

16 17

17

2

16

17

17 17

13 17

16

3

12 9

10

2

3

7

12

18

2 7

7

3

2

18

2

12

10 18

18

7

3 2

2

16

17

2

13

16

12

2

2

5

7 4

12

2

2

12

8

2

2

18

2

13

18 18

4

2 2

16

16

Fichero de matematicas_1.indd 62

2 13

12

12

4 4

18

8 18

4

18

12

12 12

8

8

12 12

12

8

8

12 12

12

12

Café 6f + 16 = 46 a + 6 = 18 7q - 1 = 62 4m + 5 = 69 3i - 2 = 49

12 12

12

12 5

18

4

14

16

8



12 16

12

8

4

16

5

18

4

16

5

14

Azul z - 2 = 12 j + 7 = 15 3k - 2 = 28 s - 30 = 1 3d = 39

16 16

14

14 14

16

5

16

5



16

5

16

16

5 5

16

16

16

62

5 16

16

16

Amarillo 2y + 4 = 6 3e + 1 = 19 r - 9 = 12 g -13 = 2 n - 9 = 2

5

5

Bloque 3

10/10/08 07:47:45

054

Ecuaciones

Apartado 3.2

Verificación de medidas Es muy fácil maestro, aquí está.

Tienen que hallar la x ...

... sabiendo que el perímetro del triángulo es 10.5 cm

1. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la longitud desconocida. Modela cada problema con hilo: 18 m

a)

17.8 m

b) x

6.52 m

8.53 m

c) 7.3 m

x

25.4 m x

d) 8.2 m

9.5 m

12.8 m

x

RETOS

26.7 m

2. Encuentra el valor desconocido y luego calcula el perímetro de cada figura:

Rectángulo

Trapecio isósceles

26.27 m x

25.18 m

30.79 m

20.51 m

Expresa el perímetro de cada

figura. n h

x

30.94 m

Trapecio isósceles

8m

21.93 m x

21.72 m

TAREA n

26.27 m

8m

Longiud total: 98.5 m

29.47 m

8

8

h h

h k

8 a

10

a

a

10

a

x

30.72 m 31.48 m

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 63

y uso de las literales 

63 10/10/08 07:47:46

055

Figuras planas

Apartado 3.3

Construcción de triángulos 1. Construye un triángulo dados un lado y dos ángulos. Luego compáralo con el de tus compañeros. ¿Resultaron iguales o diferentes? B M N

b

75°

45°

A

C

A

b

C

2. Construye un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido entre ambos. Luego compáralo con el de tus compañeros. ¿Resultaron iguales o diferentes? b

N

c

B c

A

A

b

C

M

3. Construye un triángulo dados los tres lados. Luego compáralo con el de tus compañeros. ¿Resultaron iguales o diferentes? c

c

b

b

a B

a

C

4. Construye un triángulo isósceles dados la altura y el ángulo del vértice: N C

h C

h

h C

64 Fichero de matematicas_1.indd 64

A M B

A

M

B

Bloque 3

10/10/08 07:47:47

056

Figuras planas

Construcciones

Apartado 3.3

26

Realiza las construcciones que se piden. En cada caso compara tus figuras resultantes con las de tus compañeros. ¿Fueron iguales? ¿Fueron diferentes?

1. Construye un triángulo dados dos lados que miden 4 cm y 3 cm; la mediana del lado que mide 3 cm es de 5 cm:

2. Construye un triángulo isósceles cuya base mide 3.5 cm y uno de sus lados iguales mide 4.5 cm:

3. Construye un triángulo isósceles cuya base mide 4 cm y uno de sus ángulos iguales mide 50º:

4. Construye un triángulo que tiene un ángulo de 40º, su bisectriz mide 6 cm y su altura mide 3.5 cm:

Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 65

65 10/10/08 07:47:48

057

Figuras planas

Apartado 3.3

Construcciones 1. Construye un triángulo equilátero conociendo el lado a. Traza AB = a y, con centro en A y B y radio = a, describe los arcos cuya intersección C se une con A y con B:

2. Construye un triángulo equilátero conociendo su altura h y el lado AB: B

A a

h

3. Construye un triángulo conociendo los tres lados a, b, c: a b

4. Construye un triángulo conociendo dos lados a y b, y el ángulo comprendido entre ellos, m = 108º: m

c

a

5. Construye un triángulo conociendo el lado a y los ángulos adyacentes m = 80º y n = 45º m

n

a

b

6. Construye un triángulo conociendo dos lados a y b, y el ángulo opuesto al lado a que mide 45°: a b

m

66 Fichero de matematicas_1.indd 66

Bloque 3

10/10/08 07:47:49

058

Estimar, medir y calcular

Apartado 3.4

El geoplano

1. Juan y Pedro juegan a calcular áreas en un geoplano como el que se muestra a continuación. ¿Cuál es el área de cada triángulo? Considera las unidades que se muestran. 1u 1u2

2. Encuentra el área de cada figura que se muestra en el geoplano:

3. Encuentra el área y el perímetro de cada figura para completar la tabla. Auxíliate con la cuadrícula: A

B

Figura

Perímetro

Área

A B

C

D E

C D E

RETO solución. u2

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 67

4. ¿Cuál es el área del triángulo del geoplano? Comenta tu estrategia de

TAREA

Inventa y representa en el geoplano cinco figuras diferentes que tengan la misma área.

67 10/10/08 07:47:50

059

Estimar, medir y calcular

Apartado 3.4

Jardines con cuadrados 1. En la siguiente cuadrícula dibuja figuras utilizando cuadrados como el que se muestra, con los perímetros indicados: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 f) 22

cm cm cm cm cm cm

2 cm 2 cm

2 cm 2 cm

2. Calcula el área de cada figura y exprésala en metros cuadrados. Puedes consultar la tabla de la ficha 51.

68 Fichero de matematicas_1.indd 68

Bloque 3

10/10/08 07:47:51

060

Estimar, medir y calcular

Apartado 3.4

Parques triangulares y cuadrados

1. Coloca dos veces estas seis piezas. Recórtalas y forma con ellas un cuadrado y un triángulo.

27

Pégalos en el espacio vacío. Calcula el área del cuadrado y el triángulo, y exprésalos en kilómetros cuadrados de áreas verdes. Puedes consultar la tabla de la ficha 51.

4.95 cm

4.95 cm

3.5

cm

4.95 cm

3.5

3.5

4.9

m

3.5

3.5

5c

m

5c

cm

cm

7.

4.9

cm

cm

0

cm

3.5

3.5

4.95 cm

3.5

cm

4.95 cm

7.0 cm

cm

cm

4.95 cm

Escala 1 : 100 000 Medida

Fichero de matematicas_1.indd 69

69 10/10/08 07:47:52

061

Estimar, medir y calcular

Apartado 3.4

10 516 km2 de áreas verdes 1. El cuadrado que se muestra a continuación representa un área de 16 km2. Dibuja un triángulo, un romboide, un trapecio y un pentágono que tengan áreas de 16 km2. Expresa el área de 16 km2 en m2, Hm2 y Dam2 . Puedes consultar la tabla de la ficha 51.

16 km2 =

70O Fichero de matematicas_1.indd 70

m2

16 km2 =

Hm2

16 km2 =

Dam2

Bloque 3

10/10/08 07:47:52

062

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 3.5

Sombras reveladoras 1. ¿Cuál será la altura del poste de luz? ¿Cómo la calculaste?

n=

Con ayuda de las sombras, los .. astrónomos de la Antiguedad diseñaron calendarios tan precisos que hoy día nos asombran...

n

1.80 5m

.5m

2. Encuentra la altura. ¿Cómo la encontraste?

n=

k= k

n

1.5 m

2m 7m

9m

p=

p

k= k

3m

1.70m 12 m

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 71

2m

4m

4m

18 m

4m

71 10/10/08 07:47:55

063

Relaciones de proporcionalidad

Resuelvo problemas

Apartado 3.5

28

1. Alicia compró 3 revistas atrasadas por $6.30 ¿Cuánto cuesta cada revista? Para hallar el precio por unidad puedes usar una proporción, como se describe a continuación:

1er paso

2do paso

Escribe las cantidades como razón: $ ← precio ← unidades

3er paso Resuelve la proporción:

Escribe una proporción. Usa 1 para el número de unidades en la segunda razón: $

=

Cada ejemplar cuesta =

2. Calcula el precio por unidad (tasa) de cada uno.

15 revistas por $4.50



12 meses por $132





12 naranjas por $4.50



7 latas por $12.50

3 horas por $1.35

2 toronjas por $3.75

3. De cada pareja de ofertas, encierra la mejor compra: a) 3 kg de arroz por $6.25

b) 25 bolsas de papel por $4.00

c) 50 m de tela por $850.00

2 kg de arroz por $5.60 48 bolsas de papel por $7.50 20 m de tela por $350.00

RETOS

4. Simplifica cada razón:

a)

2 128 vueltas = 32 minutos

b)

576 alumnos = 24 maestros

c)

143 jugadores = 11 equipos

72 Fichero de matematicas_1.indd 72

TAREA

Toma las dimensiones de tu casa y haz un dibujo a escala. 1 cm equivale a 3.5 m:

Bloque 3

10/10/08 07:47:56

064

Porcentajes

¡Ofertas tentadoras!

Apartado 3.6

¡OFERTA! $8

PRE

5.0

CIO

1. ¿Cuál es el precio normal del producto de la derecha? 2. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento?

NO

RM

0

AL

25sc%uento

3. ¿A cuánto equivale el 25% de $85.00?

de de

4. Calcula el valor de n: a) 75% de 24 = n; n =



b) 100% de 24 = n; n =

c) 20% de 30 = n; n =



d) 25% de 44 = n; n =

e) 75% de 32 = n; n =



f) 150% de 18 = n; n =

g) 50% de 76 = n; n =

5. Calcula mentalmente: a) 10% de 750 =



b) 15% de 100 =



c) 50% de 700 =

d) 20% de 300 =



e) 20% de 200 =



f) 125% de 400 =

$9

$1

4.5

8 % 5

+7

im

.00

pu

$2

es

0

35

0.0

0

to

-10% 6. ¿Cuál será el costo total

7. ¿Cuál será el costo total

de este estéreo si hay que incluir un impuesto de 7% sobre la venta?

de esta oferta, si hay un descuento de 10% sobre el precio de la venta?

8. ¿Cuál será el costo total de este artículo, si el costo de envío es del 1.5% y el impuesto de 4% sobre el precio de venta?

9. Usa la estrategia de la multiplicación por potencias de 10 para calcular el tanto por ciento de cada número siguiente: a) 10% de 28 = d) 100% de 47 =



g) 10% de 15 000 = j) 15% de 120 =

Análisis

de la informaión 

Fichero de matematicas_1.indd 73

b) 1% de 9 =





c) 10% de 25 =



e) 10% de 250 =



f) 1% de 1 000 =

h) 200% de 75 =



i) 300% de 50 =

k) 15% de 180 =



l) 15% de 50 =

73 10/10/08 07:48:19

065

Porcentajes

Jornada laboral

Apartado 3.6

29

1. Los obreros trabajan, en promedio, 8 horas al día. ¿Qué tanto por ciento del día trabajan?

2. Calcula cada tanto por ciento: a) ¿Qué tanto por ciento de 10 es 7? b) ¿Qué tanto por ciento de 30 es 65? c) ¿Qué tanto por ciento de 600 es 27? d) ¿Qué tanto por ciento es $70 de $50? e) ¿Qué tanto por ciento es $200 de $15? f) ¿Qué tanto por ciento es 225 de 75?

3. En una fábrica de ropa, 70 de 210 empleados trabajan media jornada.

¿Qué tanto por ciento es esto?

4. El viernes pasado, 75 de los 300 empleados de una fábrica trabajaron

horas extras. ¿Qué tanto por ciento es esto?

5. Calcula el tanto por ciento de aumento o disminución, al tanto por ciento más cercano: a) A Fidel le aumentaron el sueldo, de $675 a $850. b) En un grupo de una secundaria hubo una disminución del promedio de asistencia, de 45 a 41 alumnos. 1 c) En la fábrica de hilados y tejidos se redujo el horario de trabajo semanal de 40 a 37  horas. 2 d) El año pasado, cada equipo de futbol jugó 38 partidos; este año habrá sólo 32.

RETOS

Resuelve los siguientes problemas:

6. Un examen de matemáticas tiene 75 puntos en total. ¿Qué tanto por ciento representan 67 puntos?

7. Un examen de física tiene 120 puntos en total. Se necesita una calificación de 70% para aprobar. Si Miguel obtuvo 80 puntos, ¿aprobó? ¿Por qué?

74 Fichero de matematicas_1.indd 74

Bloque 3

10/10/08 07:48:20

066

Porcentajes

Apartado 3.6

El examen de admisión Patricia presentó un examen de admisión a una escuela de bachillerato. Observa la ilustración. 1. ¿Qué porcentaje de respuestas correctas obtuvo? 2. ¿Cuántas respuestas correctas obtuvo? Examen de admisión

3. ¿Cuál crees que sea el total de respuestas?

Nombre: Patricia Campos Respuestas correctas: 52 Porcentaje de respuestas correctas: 80%

4. Resuelve: a) 25% de n = 12; n =



b) 20% de n = 15; n =



c) 75% de n = 48; n =

d) 60% de n = 42; n =



e) 40% de n = 56; n =



f) 5% de n = 8; n =

g) 50% de n = 17; n =



h) 6% de n = 12; n =

j) 55% de n = 25; n =



k) 15% de n = 30; n =

i) 80% de n = 17; n =



l) 70% de n = 40; n =

5. Doña Carlota paga $1 850 cada mes por la renta de un departamento. Si es 75% de su sueldo mensual, ¿cuánto gana mensualmente?

6. La familia Pérez gasta $1 500 al mes en la colegiatura de sus hijos. Esta cantidad es el 45% de sus ingresos mensuales. ¿A cuánto ascienden los ingresos mensuales de la familia Pérez?

6 % de un examen de 96 preguntas.  9 ¿Cuántas preguntas respondió?

7. Arturo respondió 66

RETOS

8. Resuelve el siguiente problema: Si una jarra tiene 100 ml de agua, que es el 20% de su capacidad, ¿cuánta agua habrá en la jarra cuando esté llena en un 90%?

¡Cuida el agua! Sólo el 2% del agua en el mundo es potable.

TAREA

Resuelve con tu calculadora:

135 es el 85% de: 28.75 es el 75% de:

Análisis

de la informaión 

Fichero de matematicas_1.indd 75

75 10/10/08 07:48:23

067

Porcentajes

El descontón

Apartado 3.6

30 $23

Las matemáticas también ayudan para orientar al consumidor a utilizar racionalmente su capacidad de compra en las promociones comerciales. Observa la ilustración de la derecha

5.0

0

$23

5.0 0

$75.00

Ahora 15%

1. ¿Cuál es el precio de lista de la

Ahora 20%

descuento

Ahora 15%

descuento

descuento

camisa?

2. ¿Cuál es el precio con descuento de la camisa? 3. Encuentra el precio con descuento de los pantalones y las botas.

0 12:34

20%

DVD Normal: $850.00

descuento Computadora estudiantil Normal: $8 150.00

10%

descuento

30%

descuento

MP3 Normal: $1 370.00

25%

descuento

MP3 Normal: $1 140.00

DVD: MP3 botón rojo: MP3: Computadora estudiantil:

4. Encuentra el descuento y el precio de venta. Redondea al centavo más cercano, si es necesario. a) Precio normal: $260

b) Precio normal: $9.85



Descuento: 25% Descuento: 4%



Precio de venta:

c) Precio normal: $12.95

Precio de venta: d) Precio normal: $5 850



Descuento: 2.5% Descuento: 12.5%



Precio de venta:

e) Precio normal: $25 700

Precio de venta: f) Precio normal: $47 380



Descuento: 6% Descuento: 18.5%



Precio de venta:

76 Fichero de matematicas_1.indd 76

RETOS 5. Completa la siguiente tabla: Terrenos con 13.75% de descuento Precio original

Precio rebajado

$110 500.00 $212 700.00 $315 000.00

Precio de venta:

Bloque 3

10/10/08 07:48:26

068

Diagramas y tablas

Apartado 3.7

Los mejores anotadores

1. Completa la tabla de frecuencia para el número de anotaciones en un partido de básquetbol:

31

Miguel hizo 15 puntos; Arturo, 11; José, 13; Carlos, 12; Marco, 13; Mario, 15; Adrián y Pepe, 13, e Ismael y Beto, 11. Tabla de frecuencia para el número de anotaciones Núm. de puntos

Número de veces que aparecen Conteo

Frecuencia

11

a el canal Tabla de frecuencia par a son preferido por per Número de personas Núm. de Frecuencia canal Conteo

12 13 14 15 16

2. Usa las tablas de frecuencias de la derecha y contesta las preguntas correspondientes: a) ¿Cuál fue el canal preferido por más personas? b) ¿Cuál fue el canal menos preferido por las personas? c) ¿Cuál fue la diferencia del número de personas entre el canal preferido y el menos preferido?

d) ¿Cuántas familias tienen menos de 3 carros?

11

III

3

13

IIII

5

5

IIII IIII IIII II

17

2

IIII IIII III

13

4

II

2

7

IIII

5

Tabla de frecuencia par a el número de carros por familia Carros por Número de familia familia Conteo Frecuencia 4 0 3 I 1 2 IIII I 6 1 IIII IIII IIII II 17 0 IIII IIII 10

e) ¿Cuántas familias tienen al menos un carro? f) ¿Cuál es el mayor número de carros por familia?

g) ¿Cuántas familias fueron encuestadas?

3. Enuncia una característica sobre la que puedas hacer una encuesta o un estudio estadístico de: a) 15 compañeros de grupo. b) 10 miembros de tu familia.

Representación

Fichero de matematicas_1.indd 77

de la información 

77 10/10/08 07:48:27

069

Diagramas y tablas

Apartado 3.7

El reportero 1. Pregunta a 10 compañeros cuál es su cantante favorito y anota los datos en la tabla de frecuencia absoluta y relativa: Nombre del cantante

Conteo

Frecuencia Relativa Absoluta

¿Cuál fue el cantante preferido? La estadística nos da métodos científicos para recoger, ordenar y representar gran cantidad de datos sobre hechos de resultado imprevisto; hacer un estudio de los mismos y sacar conclusiones.

2. Pregunta a 10 compañeros de tu grupo en qué mes nacieron. Anota los resultados en la siguiente tabla de frecuencias.

Nombre del mes

Conteo

Frecuencia Absoluta

Relativa

¿En qué mes fueron más frecuentes los nacimientos?

78 Fichero de matematicas_1.indd 78

Bloque 3

10/10/08 07:48:32

070

Gráficas

Los favoritos

Apartado 3.8

32

En un programa de televisión se preguntó a cierto número de personas cuál era el nombre de su equipo de futbol favorito.

Los resultado se muestran en la siguiente gráfica de barras: No. de personas 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Para encontrar cuántas personas prefirieron al equipo Guadalajara, localiza el número que le corresponde a esta barra.

Equipos favoritos

1. ¿Cuántas personas le van al equipo de la UNAM? 2. ¿Cuántas prefieren al Cruz Azul? 3. ¿Cuál equipo fue el favorito?

Respeta las preferencias de los demás.

4. ¿Cuál fue el menos preferido? 5. ¿Cuántas personas más escogieron al Guadalajara que al UNAM? 6. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? 7. ¿Cuántas personas no tienen como favorito al América? 8. ¿Cuántas personas no tienen como favorito al Cruz Azul?

Representación

Fichero de matematicas_1.indd 79

de la información 

79 10/10/08 07:48:36

071

Gráficas

Apartado 3.8

Pictogramas y gráficas Pictograma Es la más sencilla de construir; basta con determinar la figura y cuántas unidades representa. = 1 000 reses

= 100 kg de oro

Gráfica de sectores circulares Este tipo de gráfica contiene datos en forma de porcentaje. Cada uno de los porcentajes se multiplica por 3.6 con lo cual se obtiene el número de grados correspondiente: 20% 20 � 3.6 = 72 72º

10% 10 � 3.6 = 36 36º

40% 40 � 3.6 = 144 144º

30% 30 � 3.6 = 108 108º

1. Haz en tu cuaderno una gráfica de sectores con los siguientes datos: baladas, 22%; clásica, 16%, rock, 34%; tropical, 28%.

2. Representa los datos de la siguiente tabla en un diagrama de barras: 3. Usa los datos de la tabla para hacer

Las 10 ciudades más pobladas (1990)

una gráfica circular. Divide y colorea los porcentajes correspondientes.

México

18 800 000

Nueva York

18 000 000

Los Ángeles

12 300 000

Tokio

11 600 000

Shanghai

11 000 000

Suspenso

20%

Buenos Aires

9 900 000

Comedia

15%

Beijing

9 200 000

Aventura

45%

París

8 700 000

Ranchera

10%

Moscú

8 600 000

Otras

10%

Londres

6 700 000

Tipo de película que prefieren 100 alumnos

Venta y

4. La gráfica representa, en millares de pesos, las ventas de

80

refrescos de dos sabores distintos, de 2000 a 2005. Según esta gráfica:

70 Ventas A

60 50

a) ¿Qué refresco se ha vendido más durante estos años, el A

40

Ventas B

o el B?

30

b) ¿En qué año fue mayor la diferencia de ventas?

20

c) ¿En qué año la diferencia de ventas fue mínima?

10 0

x

2000 2001 2002 2003 2004 2005 Año

80O Fichero de matematicas_1.indd 80

Bloque 3

10/10/08 07:48:36

072

Gráficas

Gráficas circulares

Apartado 3.8

33

1. Usa la gráfica circular para completar la siguiente tabla: Programación de radio

Pop 25%

Rock 35%

Metal 20%

Re

gg

Programación de una día

Rap 10%

ae to 10 n %

Tipo de música

Porcentaje

Número de horas

Rock Pop Metal Reggaeton Rap

2. Usa la gráfica circular para contestar las preguntas:

Presupuesto familia Díaz

a) ¿Qué porcentaje del presupuesto es para comida Renta 25%

Comida 25%

y renta? b) Si el presupuesto de la familia Díaz es de $14 000,

Otros 5% Colegiatura 20%

c) ¿Cuánto debe pagar por transporte y otros?

RETOS

Fichero de matematicas_1.indd 81

Recreación 5%

3. Haz una gráfica circular sobre cómo se distribuye el tiempo en un día para hacer 4 actividades escolares: Actividad

Representación

Transporte 25%

¿cuánto debe pagar por la colegiatura?

de la información 

Porcentaje

Horas

81 10/10/08 07:48:38

073

Nociones de probabilidad

Apartado 3.9

El experimento 1. Raúl hizo el experimento de lanzar un dado

Número

para observar el número que sale. ¿Qué tipo

Frecuencias Frecuen cias absolutas relativas

1

15

15 100 = 0.15

2. ¿Qué número puede salir?

2

18

18 100 = 0.18

Raúl lanzó el dado 100 veces y fue anotando los 100 números que salieron. En la tabla de la derecha se muestran las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas correspondientes:

3

19

19 100 = 0.19

4

16

16 100 = 0.16

5

19

19 100 = 0.19

6

13

13 100 = 0.13

de experimento es?

Observa que los números de veces que salió cada número están aproximados.

3. ¿Cuál es el promedio de las frecuencias absolutas? En efecto: 16.66 6 100 40 40

El número sería 16.6, el cual es muy próximo a las frecuencias absolutas de la tabla. Observa que los valores de las frecuencias relativas son también números próximos. 0.15 + 0.18 + 0.19 + 0.16 + 0.19 + 0.13 1.0 = 6 6

4. Si Raúl aumentara el número de tiradas, por ejemplo a 1 000 ¿qué crees que ocurriría?

5. Toma un dado y haz 50 tiradas. Anota los números que vas obteniendo. Construye en tu cuaderno la tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas correspondientes.

6. Reúne en una tabla tus resultados con los de otros compañeros. Analicen los resultados obtenidos. Si el dado con el que jugaste está bien construido y las condiciones de tirada son semejantes, 1 entonces la frecuencia con que aparecerá cada número será del total de tiradas que se hagan. 6 Si el número de tiradas es muy grande, la frecuencia relativa de cada número será de un número 1 = 0.16. Se puede concluir que todos los números del dado tienen la misma muy próximo a 6 probabilidad de salir.

7. Utliza la calculadora para calcular las frecuencias relativas de los ejercicios 5 y 6.

RETOS

8. Marca dos caras de un dado con el 1, dos con el 2, y dos con el 3. ¿Cuál crees que puede ser la probabilidad de obtener cada uno de estos números?

82 Fichero de matematicas_1.indd 82

TAREA

Toma una moneda y haz 50 tiradas. Anota el número de veces que sale “águila” o “sol”. Construye la tabla de frecuencias absolutas y de frecuencias relativas correspondientes.

Bloque 3

10/10/08 07:48:39

074

Nociones de probabilidad

Las tres monedas

Apartado 3.9

34

Olga hizo el experimento de tirar una moneda tres veces seguidas, y consideró el suceso x: qué salgan 2 “águilas” y 1 “sol”. 1. ¿Cuáles son los casos posibles?

2. En el ejemplo anterior, calcula la probabilidad de los siguientes eventos: a) P (2 “soles”, 1 “águila”) =



b) P (por lo menos, 1 “sol”) =

c) P (3 “águilas”) =



d) P (no salir “águila”) =

e) P (4 “soles”) =



f) P (como máximo, 1 “sol”) =

3. Si tiras 4 monedas, ¿cuántos elementos tienen el espacio muestral? Haz un diagrama de árbol en tu cuaderno y luego calcula la probabilidad de los siguientes eventos. a) P (2 “águilas”, 2 “soles” ) = b) P (como máximo, 3 “águilas”) = c) P (por lo menos, 1 “sol”) = d) P (no salir “águila”) = e) P (no salir “sol” ) = f) P (5 “soles”) = g) P ( 3 “soles”, 1 “águila”) =

4. Sea el experimento “tirar un dado dos veces seguidas”, y el evento A “obtener 8 puntos”. ¿Cuál es la probabilidad de A? P (A) =

Haz un diagrama de árbol en tu cuaderno.

5. Si la experiencia fuera “tirar 3 dados”, ¿cuántos casos posibles pueden presentarse? a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 cincos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga el 6? c) ¿Son éstos dos eventos contrarios?

Análisis

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 83

83 10/10/08 07:48:40

075

Nociones de probabilidad

Apartado 3.9

¿Águila o sol?

Alejandra y Carlos juegan a “echar un volado” para determinar quién se queda con un regalo. 1. ¿Es legítima esta manera de determinar el ganador? ¿Por qué?

2. Registra en tu cuaderno el número de veces que obtienes “sol” al lanzar una moneda en 10 ocasiones y en 400 ocasiones (participa todo el grupo). Encuentra la probabilidad frecuencial en cada caso. ¿Qué observas? A continuación se presentan los resultados de probabilidad frecuencial de obtener “águila” en una serie de lanzamientos. En 10 lanzamientos P (águila) = 0.600 En 500 lanzamientos P (águila) = 0.560 En 1 000 lanzamientos P (águila) = 0.523

Probabilidad teórica 1 P (águila) = = 0.5 2

3. Compara ambas probabilidades. ¿Qué observas? 4. Expresa la probabilidad de cada evento siguiente como fracción, como decimal y como porcentaje: Evento

En fracción

Con números decimales

En porcentaje

TAREA

Salir 4 al lanzar un dado

Investiga cuántos casos posibles hay al lanzar 5 monedas.

Salir 7 al lanzar un dado Salir 2 al lanzar un dado

RETOS

5. Un restaurante ofrece 5 tipos de sopa, 4 de ensalada, 7 de guisados, 3 de postres y 6 de bebidas.

a) ¿Cuántos menús diferentes se pueden servir?

b) ¿Cuál es la probabilidad teórica de que una persona pueda pedir un determinado menú?

84 Fichero de matematicas_1.indd 84

Bloque 3

10/10/08 07:48:42

Hola, doña Circunferencia, ¿estrenando vestido?

Hola, señora Concéntrica. Sí, compré 2 metros de encaje y π metros cuadrados de tela.

¿Y cómo va su embarazo?, ¿qué prefiere:: niño o niña? Para que vaya preparando el traje.

Medimos igual de estatura, pero... ¿qué comes que estás tan delgado?.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Identifiquen, interpreten y expresen relaciones de proporcionalidad directa algebraicamente o mediante tablas y gráficas. 2. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y de potencias de números decimales. 3. Construyan círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas. 4. Justifiquen y usen las fórmulas para calcular el perímetro o el área del círculo.

Fichero de matematicas_1.indd 85

10/10/08 07:48:44

076

Números con signo

El juego del tablero

Apartado 4.1

35

Observa que, en el tablero, las fichas rojas se colocan en el lado izquierdo para representar números negativos y las fichas azules en el lado derecho para representar números positivos. Modela con fichas de colores rojas y azules las siguientes actividades. 1. Escribe el número representado en el tablero:









2. Representa sólo con fichas rojas o azules los números que se indican:

+5



-11

+3

-5

3. Si una ficha roja neutraliza a una ficha azul y viceversa, ¿qué número está representado en el tablero?





RETOS



0

86 Fichero de matematicas_1.indd 86





4. Representa con círculos rojos y azules los números que se indican (hay varias formas).

-1

-2

-3

Bloque 4

10/10/08 07:48:45

077

Números con signo

Apartado 4.1

El ascensor Dos señores se encuentran en el piso 0 y se dirigen a diferentes pisos. 1. El señor A se dirige al piso 3 y el señor B al piso -3. a) ¿Cuántos pisos subió el señor A? b) ¿Cuántos pisos bajó el señor B? c) ¿Recorrieron el mismo número de pisos?

2. Escribe el valor absoluto de cada entero: a) -3=

b) 17=

c) -20=

d) 15=

e) 0=

f) 20=

g) -16=

h) -100=

i) -175=

3. Sobre la siguiente recta numérica marca puntos correspondientes a los números +2, +3, +4, -1 y sus simétricos:



-5

-4

-3

-2

-1

+1

0

+2

+3

+4

+5

4. Cuál es el simétrico de: a) -5



b) -9



c) 11



d) 7



5. El simétrico de un número positivo es: 6. El simétrico de un número negativo es: 7. Efectúa los siguientes ejercicios: a) 5 + 4=

b) 8 - 3 =

c) 4 + 4=

d) 5- 4=

e) 8-3 =

f) 4 - 4 =

g) 5 - 4 =

h) - 8--3=

i) 4-4 =

j) -5 - -4 =

k) + 8-- 3 =

l) 4-- 4 =

m) -5 + -4 =

n) - 8-3 =

ñ) - 4+- 4 =

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 87

y uso de los números 

87 10/10/08 07:48:52

078

Números con signo

Apartado 4.1

El recorrido numérico

1. Colorea de rojo el recorrido donde se ubican los números negativos ordenados de menor a mayor:

Inicio

−62 −64

−75 −76

−59 −57

−54

−30

−75 −57

−25 −28

−20

−70

−72

−32

−29

−74

−71 −55

−32 −15

−18

−61 −29

−3 Final

2. De los números del ejercicio anterior, ¿cuál es el de menor valor absoluto? 3. ¿Cuál es el de mayor valor absoluto?

RETOS

4. Realiza las siguientes operaciones:

TAREA

¿El cero es mayor o menor que

a) |5 × 3| =

b) |5| × |-3| =

-5?

c) |5| × |-3| =

d) |-5| × |-3| =

Escribe > ó <, según corresponda:

e) |-5| × |-3| =

a) 8



8

b) -20



0

¿Qué observas?

c)

5



3

d)

8



9

5. Halla un número con signo tal que su valor absoluto sea 18. ¿Cuántas soluciones existen?

e) -12

-10

f) -15

12

g) -8

-9

h)

0

-1



88 Fichero de matematicas_1.indd 88

Bloque 4

10/10/08 07:48:53

079

Potenciación y radicación

El millonario excéntrico Rico MacPaco tiene un hijo: Paquín. Cada semana le da de “domingo” diferentes cantidades de acuerdo con cierta regla: 1. Descubre la regla que sigue Rico MacPaco y encuentra el ahorro total de Paquín al cabo de 34 semanas: Ahorro

Semana

Semana

7

21

8

22

9

23

10

24

11

25

12

26

13

27

14

28

15

29

16

30

17

31

18

32

19

33

20

34

Ahorro

Apartado 4.2

36 “Domingos” de Paquín Semana Semana Semana Semana Semana Semana

1: 2: 3: 4: 5: 6:

$1.00 $4.00 $9.00 $16.00 $25.00 $36.00

Ahorro parcial hasta la 6ª semana: $91.00

Mantén el hábito del ahorro.

2. Podrías utilizar una calculadora para obtener el ahorro de cada semana y el ahorro total. Ahorro semanal: Ahorro total hasta la semana 34:

RETOS

3. El siguiente esquema muestra parte

Tatarabuelos

del árbol genealógico de Javier. ¿Cuál potencia representa la cantidad de tatarabuelos que tiene Javier? Papá

Bisabuelos

Mamá

Papá

Papá

Mamá Mamá

Abuelos Padres

Javier

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 89

y uso de los números 

89 10/10/08 07:48:55

080

Potenciación y radicación

Apartado 4.2

La calculadora

3 300 = ? Busca un número que, multiplicado por sí mismo, sea el más cercano al número dado.

1. Presionar las siguientes sucesiones de teclas: 5

6

×

5

6

=

3136

5

7

×

5

7

=

3249

5

8

×

5

8

=

3364

La parte entera de

3 300 es 57.

Si la calculadora tiene una tecla evalúa la raíz

, al presionarla

3 300 con decimales.

2. Multiplica 3.464 por sí mismo, ¿cuál es el producto? Los números naturales que tienen una raíz cuadrada exacta, como es el caso de los números 16 y 25, se conocen como cuadrados perfectos.

3. Utiliza la tabla de raíces cuadradas y contesta: a) 11 =

b) 17 =

c) 19 =

4. Escribe verdadero o falso según corresponda: a) 11 está entre 3 y 4



b) 150 está entre 13 y 14

c) 31 está entre 5 y 6



d) 100 está entre 10 y 11

e) 300 está entre 14 y 15



f)

14 está entre 4 y 5

g) En los ejercicios anteriores (a-f), ¿cuál o cuáles son cuadrados perfectos?

5. ¿Cuál es la parte entera de cada una de las cantidades que aparecen en el recuadro de la derecha? 5

a) $5.75 c) $12.85



$ 12.8

b) $775.50

$ 5.75

d) $315.20

$ 7 7 5 . 50 $ 315.20

6. ¿Cuál es la parte entera de 12 ≈ 3.464? En efecto, la parte entera de la raíz cuadrada de 12 es 3.

TAREA

Utiliza la calculadora para encontrar la parte entera y la decimal de la raíz cuadrada de los siguientes números: a) 183

90O Fichero de matematicas_1.indd 90

b) 1 422

c) 5 472

Bloque 4

10/10/08 07:48:56

081

Potenciación y radicación

Apartado 4.2

Diseños con cuadrados 1. Observa el cuadrado de la derecha: a) ¿Cuál es su área?

L=?

b) ¿Cuál es la medida de sus lados?

A = 36 cm2

2. A continuación tienes cuatro cuadrados con su área respectiva. Calcula la medida de sus lados: a)

b)

c)

98 cm2

d) 105 cm2

72 cm2 L=

L=

L=

63 cm2

L=

3. Las áreas de cuatro cuadrados son: 81 mm2, 144 mm2, 625 mm2 y 510 mm2. Dibuja los tres cuadrados en los que el lado mide un número exacto de milímetros:

A =1 758 cm2 A = 980 cm2 A = 389 cm2 A = 96 cm2

4. Completa la siguiente tabla: Cuadrado

Área

Lado

A B C D

D

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 91

C

B

A

y uso de las operaciones 

6. Busca en tu paquete Laboratorio de matemáticas las 28 fichas del dominó de potencias, el de potencias y raíces y luego juega con 3 compañeros.

RETO

91 10/10/08 07:48:57

082

Relación funcional

Apartado 4.3

Variaciones En todos estos rectángulos la base tiene la misma medida. La altura varía de acuerdo con la regla 0.5x = y. ¿Cuál cantidad representa x y cuál y?

1 2

1. Completa los datos de la tabla:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Rectángulo

Base

Altura

Superficie (base x altura)

1

0.5

0.5 cm

0.25 cm2

2

0.5

1 cm

3

0.5

2 cm

4

0.5

3 cm

5

0.5

4 cm

6

0.5

5 cm

7

0.5

6 cm

8

0.5

7 cm

9

0.5

8 cm

10

0.5

9 cm

2. Comprueba si la razón de dos distintas alturas de los rectángulos de arriba forman proporción con la razón de las superficies correspondientes. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad?

3. En un mercado se anuncia lo siguiente:

¿Qué magnitudes están relacionadas? ly n sa Ba j o e

3 kg

sa gra

$90.00

RETOS

ly n sa Ba j o e

sa gra

¿Son directamente proporcionales?

1 1/2 kg

$45.00

4. La tabla de la derecha muestra

relaciones entre magnitudes directamente proporcionales. Forma la proporción correspondiente y halla el término desconocido.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

92 Fichero de matematicas_1.indd 92

Explica tu respuesta:

Capacidad 3.5 L

Longitud

90 L

x

y

168 m

35 L

z

21 m

Bloque 4

10/10/08 07:48:59

083

Relación funcional

Un viaje en taxi

Apartado 4.3

37

Una niña sube con su papá a un taxi y le pregunta al conductor cómo funciona el taxímetro. El conductor le explicó lo siguiente: “Cuando se sube un pasajero enciendo el taxímetro, el cual marca $6.50, que es la bajada de bandera por los primeros 200 metros. Después de eso, cada 200 metros el taxímetro va sumando $0.70.” Metros recorridos (después de los primeros 200 met ros)

1. El papá de la niña pagó $22.60. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido el taxi?

Precio

200 m



400 m

$0.70



600 m

$1.40



$2.10

La niña elaboró la siguiente tabla que muestra la relación entre los metros recorridos después de los 200 metros, y el precio a pagar:

800 m



1 000 m

$2.80



Analiza la tabla y contesta:

2 000 m

$3.50



4 000 m

$7.00

$14.00

a) ¿Cómo fue haciendo los cálculos la niña?

b) ¿Por qué crees que de 1 000 metros pasa directamente a 2 000 m? c) ¿Y de 2 000 a 4 000? d) ¿Es correcto el cálculo de la niña?

SÍ

NO

¿Por qué?

e) Ella piensa, mirando la tabla: “4 000 metros más de los 200 iniciales son $14.00 más $6.50. O sea, $20.50”. ¿Cómo puede haber razonado para determinar que recorrieron menos de 5 000 metros?

f) Al tratar de saber cuánto habían recorrido en el taxi, considerando que habían pagado $22.60 por el recorrido, llegó a la conclusión de que habían recorrido más de 4 000 metros pero menos de 5 000 m. ¿Cuántos kilómetros recorrieron exactamente?

2. Agrega otros valores a la tabla calculando el valor de algunos viajes en taxi. Por ejemplo, el precio de recorrer 6 800 metros (sin olvidar que los primeros 200 metros cuestan $6.50).

RETOS

Ca mina o usa tu bicicleta.

3. ¿Aproximadamente cuántos kilómetros recorrió el taxi si se pagaron $75.00?

TAREA

Inventa un problema a partir de los datos de la tabla y resuélvelo. Significado

Fichero de matematicas_1.indd 93

y uso de las literales 

93 10/10/08 07:49:01

084

Relación funcional

Apartado 4.3

Tablas y expresiones algebraicas Completa las siguientes tablas e indica, en cada caso, si los pares de valores son directamente proporcionales o si no guardan ninguna relación de proporcionalidad directa. 1. Une con una línea la expresión algebraica correcta que le corresponda a las relaciones directamente proporcionales:

b = 3a b=3+a m=n+1 m = 3n

x

2

3

y

8

18

x

2

y

10

20

x

3

5

y

24

a

3

b

4

6

6 50

98

8

12

30

50

9 48

72

5

7

8

9

15

21

m

3

4

9

n

2

3

8

k

2

3

4

l

30

20

15

l = 15k + 3 y = 5x

7

13 88

12 30

y = 4x - 5 y = 8x

RETOS

15

25 20

5

10 10

2. Calcula la constante de proporcionalidad y, con ayuda de ella, completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales: A

2

5

6

B

1.6

4

4.8

8

10

15 3

3. ¿Cuál será la expresión algebraica que corresponde a esta situación?

94 Fichero de matematicas_1.indd 94

Bloque 4

10/10/08 07:49:01

085

Figuras planas

Apartado 4.4

Los platos griegos La pintura griega tuvo sus orígenes en la cerámica, en la decoración de ánforas y platos. Al comienzo, los diseños eran elementales y seguían formas geométricas (siglo ix y viii a. de n.e.). 1. Completa, diseña y colorea los platos rotos. Utiliza tu juego de geometría. 2. ¿Se podrá trazar otra circunferencia que pase por A y B? B

A

A

B

Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 95

95 10/10/08 07:49:03

086

Figuras planas

Las tres hermanas

Apartado 4.4

38

1. Traza la circunferencia que pasa por los tres puntos rojos que representan las casas de las tres hermanas:

2. Encuentra el diámetro de este diseño circular y explica cuál fue el procedimiento que seguiste para encontrarlo:

96 Fichero de matematicas_1.indd 96

Bloque 4

10/10/08 07:49:11

087

Justificación de fórmulas

Apartado 4.5

Alrededor del círculo

La medida del contorno de un polígono es su perímetro. La medida del contorno de un círculo se denomina circunferencia.

El diámetro de estos círc

ulos mide 160 mm

3 lados

1. Observa en la ilustración de la derecha que

4 lados

el número de lados de cada polígono regular aumenta. Completa la siguiente tabla: Perímetro Número Perímetro de del Diámetro ÷ lados polígono diámetro 3

452 mm

160 mm

2.83

4

474 mm

160 mm

2.96

6

480 mm

160 mm

8

498 mm

160 mm

12

502 mm

160 mm

6 lados

8 lados

12 lados

2. Si construyeras un polígono regular de 24 lados dentro de un círculo, ¿cuál sería la relación perímetro ÷ diámetro? La circunferencia de un círculo es un poco más que 3 veces la longitud del diámetro. diámetro

3. Para encontrar la medida de la circunferencia (c), multiplica π (se lee “pi”) por el diámetro (d). Usa 3.14 como una aproximación del valor de π.



14.5 cm



Fórmula

Sustitución

c = π × d

c=

Multiplica

4. Encuentra la circunferencia. Usa 3.14 para el valor del número π; puedes usar una calculadora: 7.4 m

Formas

geométricas 

Fichero de matematicas_1.indd 97

170 mm

75 mm

3.2

cm

97 10/10/08 07:49:12

088

Justificación de fórmulas

¿Cuál es el área?

Apartado 4.5

39

Julio inventó un método para encontrar el área de un círculo. Para ello necesita papel cuadriculado, un compás o una simple tira de papel y una calculadora. 1. Observa la ilustración de la derecha. ¿Qué figura se forma tomando como base los radios del círculo?

2. Si el radio mide 3 cm, ¿cuál es el área del cuadrado?

3. En general, si el radio mide r cm, ¿cuál es el área del cuadrado?

4. ¿Cuántos cuadrados como el de la derecha cabrán aproximadamente en la superficie del círculo?

El área de un círculo es más o menos 3 veces el área del cuadrado que se forma con el radio (r2). La letra griega π (pi) representa el número exacto para multiplicar por r2.

5. Para encontrar el área (A) de un círculo, multiplica π (aproximadamente 3.14) veces el radio por el radio: Fórmula: A = π × r × r o A = π • r2



17.5 cm



Sustitución: Resultado:

6. Usa un compás para dibujar un círculo en una hoja de papel cuadriculado (cada cuadrito debe medir 1 cm2). Cuenta los cuadros que se encuentran totalmente dentro del círculo. Estima el área de los cuadrados que se encuentran parcialmente dentro del círculo. ¿Cuál es el área del círculo?

7. Calcula el área usando la fórmula:

98 Fichero de matematicas_1.indd 98

Bloque 4

10/10/08 07:49:13

089

Estimar, medir y calcular

La historia de la rueda

Apartado 4.6

40

1. El hombre de la Antigüedad usó troncos para mover enormes bloques de piedra. Encuentra la circunferencia de un tronco de 47.5 cm de diámetro.

2. Más tarde inventó la rueda haciendo cortes transversales a los troncos y utilizando palos como ejes. Encuentra la circunferencia de una rueda que mide 60 cm de radio.

3. En Babilonia diseñaron carrozas y ampliaron el uso de la rueda. Encuentra la circunferencia de una rueda que mide 0.35 m de radio.

4. En el Viejo Oeste se popularizó el uso de carretas. Encuentra la circunferencia de una 1 rueda que mide 17 pulgadas de radio.  2

rueda

5. En el siglo

se popularizó el uso de la bicicleta y fue más evidente el uso de las matemáticas para comprender cómo trabaja. Completa la siguiente tabla: xx

Diámetro del engrane menor

×

8

×

8

×

3

×

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 99

engrane mayor 22 cm

rpm del engrane menor

150

engrane menor 8 cm

pedal cadena

=

Diámetro del engrane mayor

×

rpm del engrane mayor

=

22

×

40

=

22

×

=

22

×

65

99 10/10/08 07:49:15

090

Gráficas

Apartado 4.7

Boleto de entrada 1. Para entrar a un cine se tiene que pagar $5.00 por persona. ¿Cuánto debe pagar una familia de 7 miembros? Completa la siguiente tabla: Número de personas

1

2

3

4

5

6

7

Costo total de entrada en $

Se pueden usar parejas de números para mostrar el costo: (1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25), y se les llama pares ordenados. El primer número en cada par indica el número de personas y el segundo indica el costo.

2. Escribe el par ordenado para cada punto de la gráfica:

y

A (

)

E

(

)

B (

)

F

(

)

C (

)

G (

)

D (

)

H (

)

6 5

E

A 4 3 G 2 1 H 0

B C F

D

1 2 3 4 5

x

3. En la siguiente cuadrícula marca cada punto: M (–2, 3)

Q (2, 3)

N (0, –4)

R (3, 3)

Ñ (–3, 2)

S (–3, –3)

O (4, 0)

T (0, 4)

P (–1, –3)

U (3, 1)

RETOS



4. Inventa una figura

geométrica de 7 lados. Pídele a un compañero que reproduzca la figura dandole las coordenadas correspondientes a los 7 vertices de la figura.

100OO Fichero de matematicas_1.indd 100

y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3

4

x

–1 –2 –3 –4 Bloque 4

10/10/08 07:49:19

091

Gráficas

El teatro

Apartado 4.7

41

1. En un teatro se cobra $75 la entrada por persona. Completa la tabla de valores para mostrar cuánto costará la entrada por 1, 2, 3,..., 8 personas. Escribe una regla para la tabla. Después haz la gráfica que muestre los pares ordenados de la tabla. y Personas x

Costo y

1

75

Asiste al teatro.

525

2

450

3

375

4

300

5

225

6

150 75 0

8

x

1 2 3 4 5 6 7 8 Peso de concreto (kg)

7

2. Calcula la regla que relaciona cada pareja

Regla =

240 200 160 120 80 40

de las siguentes magnitudes directamente proporcionales:

0

1

2

3

4

5

6

Superficie de losa (m2)

3. Sigue la regla para hallar cada número que falta y traza la gráfica. ¿Qué observas? a) Regla: y = 3x x

b) Regla: y = 2x y

x

y

x

1

0

5

3

2

10

5

4

15

y

y 75

6

10

50

4

5

25

2 1 2 3 4 5

Representación

x

de la información 

y

y

8

15

Fichero de matematicas_1.indd 101

c) Regla: y = 5x

1 2 3 4

x

5

10

15

x

1O1 10/10/08 07:49:22

092

Gráficas

Apartado 4.7

Tablas y gráficas 1. Completa la siguiente tabla de valores: Peso jamón

Precio

1.5 kg

$45

3 kg

x

y

$135

15 kg

z

2. Escribe proporciones que puedes formar con los datos de la tabla de la izquierda y resuélvelas:

3. Haz la gráfica de la tabla de valores: $ 140 120 100 80 60 40 20

Hay que verificar los pesos y medidas de los productos que compra mos.

kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4. Las siguientes son relaciones entre magnitudes directamente proporcionales. Plantea la proporción correspondiente y halla el término desconocido: Capacidad

Longitud

3.5 L

21 m

9L

x

y

140 m

35 L

z

5. Haz la gráfica de la tabla de valores: 140 120 100 80 60 40 20

1O2 Fichero de matematicas_1.indd 102

5

10

15

20

25

30

35

40

Bloque 4

10/10/08 07:49:23

¿Cuál es la media proporcional, la moda y la mediana del número de personas a quienes les gustan las matemáticas?

Pues yo creo que menos del 2%, ¿no?

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Resuelvan problemas aditivos que impliquen usar números con signo. 2. Expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiparables o no equiparables. 3. Resuelvan problemas que impliquen una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades. 4. Resuelvan problemas que impliquen interpretar las medidas de tendencia central.

Fichero de matematicas_1.indd 103

10/10/08 07:49:25

093

Problemas aditivos

Carga eléctrica

Apartado 5.1

42

De dos esferas, una tiene carga eléctrica positiva y la otra carga eléctrica negativa. Estas cargas son opuestas; significa que la carga positiva atrae a la negativa y viceversa. El resultado es que la carga se anula; es decir, se produce una carga neta 0.

+ -

+ -

+

+

CUIDADO CON LAS DESCARGAS

Observa las ilustraciones de la derecha:

+ -

1. ¿Cuál es la carga resultante de una positiva y una

- +

negativa?

-

- -

2. ¿Cuál es la carga resultante cuando hay tres positivas y una negativa?

3. ¿Cuál es la carga resultante cuando hay dos positivas y cinco negativas? 4. Usa una línea para unir las sumas iguales: (+7) + (+2)

(-2) + (-1)

(+3) + (+1)

(+6) + (-5)

(+5) + (+6)

(+5) + (+4)

(-9) + (+6)

(+7) + (-5)

(+10) + (-2)

(-3) + (-5)

(-10) + (-1)

(+13) + (-2)

(+7) + (+4)

(+1) + (0)

(+5) + (+2)

(-3) + (+7)

(-5) + (-1)

(-7) + (+2)

(-9) + (+11)

(-6) + (10)

(-8) + (+10)

(+5) + (-10)

(-6) + (-2)

(-3) + (+4)

(-13) + (-6)

(-10) + (10)

(-20) + (+1)

(-12) + (+6)

(-10) + (-9)

(-3) + (+3)

(-7) + (+7)

(-4) + (-1)

(-8) + (-2)

(+8) + (-1)

(-20 + (-2)

(+9) + (-3)

(-9) + (-9)

(-3) + (+10)

(-10) + (+8)

(-6) + (-4)

(+6) + (+1)

TAREA

Recorta dos tiras de cartulina y traza una recta de –10 a 10 en cada una. Para encontrar la suma de 4 y –5, mueve la tira A y busca que el cero de esta tira coincida con el 4 de la tira B. La suma aparece debajo del –5 de la tira A: -10

-9

-8

-7

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

A

B

suma

Utiliza tus tiras para encontrar estas sumas: a) -6 + (-8)

1O4 Fichero de matematicas_1.indd 104

b) 6 + (-8)

c) 6 + 8

d) –6 + 8

Bloque 5

10/10/08 07:49:26

094

Problemas aditivos

Más carga eléctrica

43

Observa la ilustración de la derecha y contesta las siguientes preguntas:

+ - +

1. ¿Cuál es la carga resultante de las esferas?

+



2. Supón que quieres obtener una carga de

Apartado 5.1

+

+1. ¿Qué esferas debes quitar?

3. Si quitas las dos esferas con carga negativa, ¿cuál será la carga resultante?

4. ¿Cómo explicarías las siguientes operaciones?: a) (+2) – (-1) = +3



b) (+2) – (+1) = +1

5. Resuelve: a) (-11) – (-11) =

b) (-11) – (-11) =

c) (+5) – (+10) =

d) (+25) + (+35) =

e) (-12) – (+16) =

f) (-19) – (+18) =

g) (-10) – (+13) =

h) (+17) – (-15) =

i) (-11) + (-11) =

j) (-14) – (-16) =

k) (-11) – (-8) =

l) (+16) – (+18) =

m) (-8) – (-5) =

n) (-24) – (+18) =

ñ) (-11) + (+11) =

TAREA

Vas a utilizar las tiras que hiciste en la ficha anterior. Para encontrar +2 - (-1) mueve +2 de la tira A sobre el -1 de la tira B. Busca el 0 de la tira B y lee la respuesta sobre la tira A.

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

A 8

9

10

B

(+2) - (-1) = 3 Usa este dispositivo para calcular: a) (3) – (-5), b) (-8) - (-9), c) (-5) - (-6), d) (-39 – (-3).

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 105

y uso de las operaciones 

1O5 10/10/08 07:49:27

095

Relación funcional

Apartado 5.2

En esta gráfica, el médico registró las temperaturas de un enfermo que acudió a revisión médica. Observa que la gráfica resultante no es una línea recta y no inicia en el origen (0, 0).

Temperatura (ºC)

El médico 39.5 39 38.5 38 37.5 37 36.5

1. ¿Qué magnitudes relacionan?

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30



Tiempo (horas)

2. Este tipo de correspondencias entre magnitudes no son directamente proporcionales. ¿Por qué? Explica:

3. Inventa situaciones que relacionen cada pareja de magnitudes y que sean proporcionales: Precio → Tiempo: Fuerza → Longitud: Elabora una tabla de valores y su gráfica correspondientes en tu cuaderno.

4. Tres litros de leche cuestan $15.60. ¿Qué magnitudes se relacionan? 5. Con los datos de la pregunta anterior elabora una tabla de valores y dibuja su gráfica correspondiente en tu cuaderno. Es decir, presenta la información en forma tabular, grafica y deduce la fórmula algebraica de esta relación.

6. Completa la siguiente tabla: Número de boletos

Precio

1

17.50

2

Elabora la fórmula algebraica de esta relación y haz la gráfica correspondiente en tu cuaderno.

3

6. Un industrial relacionó dos magnitudes: Peso del café natural → Peso del café procesado, con la siguiente regla: 0.65x = y. Completa la tabla y haz una gráfica lineal: 0.65x = y

Peso café natural 500 g 2 000 g 2 500 g 3.5 kg

1O6 Fichero de matematicas_1.indd 106

Peso café procesado

g 1 350 1 200 1 050 900 750 600 450 300 150 0

500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500

g

Bloque 5

10/10/08 07:49:28

096

Relación funcional

El corredor

Apartado 5.2

44

La distancia que un corredor recorre, a razón de 10 km/h, se puede representar de tres maneras distintas:

Practico deportes para conservar la salud.

a) Ecuación: d = 10t b) Tabla:

c) Gráfica:

Tiempo (h)

0

0.5

1

2

3

Distancia (km)

0

5

10

20

30

Distancia (km)

40 30 20 10

Origen

0

1

2

Tiempo (h)

3

1. ¿Qué características tiene esta variación directamente proporcional? 2. Dada la siguiente tabla, ¿varía y directamente con respecto a x? Si es así, encuentra el valor de k, escribe la ecuación y dibuja la gráfica correspondientes en tu cuaderno:

x

1

2

3

4

y

7

14

21

28

3. Una mujer de 30 años pesa actualmente 70 kg. Piensa y contesta: a) ¿A los 15 años pesaba 35 kg? b) ¿A los 60 años pesará 140 kg? c) ¿Por qué esta relación entre tiempo y peso no es directamente proporcional?

4. Observa la ilustración de abajo. ¿Son directamente proporcionales las magnitudes longitud y precio? Completa la tabla:

Longitud (m)

Precio ($)

50 150

555

300 1 850 1 320

Significado

Fichero de matematicas_1.indd 107

y uso de las literales 

1O7 10/10/08 07:49:31

097

Estimar, medir y calcular

Apartado 5.3

Figuras famosas 1. Determina el área de la parte oscura de las figuras siguientes: b)

2. 82 8

m

a)

4m Astroide A=

4m Lúnula A=

c)

4m d)

28

m

8 2.

B

A

C

AC = 20 cm BC = 5 cm A=

A=

TAREA

Toma una cartulina en forma de cuadrado y observa que, al cortarla como se muestra en la figura, el área del cuadrado se conserva: a

b

b

ab

= a

1O8 Fichero de matematicas_1.indd 108

a2

+

+

b2

ab

Bloque 5

10/10/08 07:49:32

Estimar, medir y calcular

45

A copia 5 46 cm2

Medida

Fichero de matematicas_1.indd 109

cm

41

0.5 cm cm

2 cm 1.

A original 5 11.5 cm2

24

cm

1 cm 1 cm 1 cm

1.4 1

las dimensiones indicadas. Coloréalo y luego calcula el área de la figura original y el área de la figura que hiciste al doble.

3 cm

3 cm

1. Reproduce este diseño al doble de

4.

cm

El barco

Apartado 5.3

3. 6

098

2 cm

1 cm

1 cm

1O9 10/10/08 07:49:33

099

Nociones de probabilidad

La urna

Apartado 5.4

46

En una urna hay 3 bolas: 1 azul, 1 roja y 1 amarilla. Se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna. Se repite esta operación 3 veces. 1. Si el evento A es: “Obtener tres bolas de colores

distintos”. ¿Cuántos casos posibles hay?

2. Encuentra la probabilidad

a)

P (3 azules) =



b)

P (3 rojas) =



c)

P (1 amarilla y 2 azules) =

?

Si el número de bolas de cada color fuera distinto, la probabilidad de que saliera un determinado color no sería la misma.

3. En la urna hay 10 bolas: 3 verdes, 4 rojas, 2 azules y 1 café. Sea el experimento extraer una bola, anota su color y devolverla a la urna. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola verde?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola azul? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola café?

4. Observa la ruleta de la derecha. Escribe cada probabilidad en su forma simple: b) P (amarillo o rojo)

c) P (azul) =

d) P (azul o gris) =

e) P (amarillo) =

f) P (amarillo o azul)

g) P (gris ) =

h) P (verde o amarillo) =

i) P (negro) =

j) P (verde o rojo) =

k) P (verde) =

l) P (negro o azul) =

110O Fichero de matematicas_1.indd 110

?

a) P (rojo) =

? Bloque 5

10/10/08 07:49:34

100

Relaciones de proporcionalidad

La caja de chocolates

Apartado 5.5

47

En un grupo de tercer grado de secundaria se ha organizado un concurso de ortografía; a los alumnos premiados se les repartirán 60 chocolates en partes iguales. 1. Completa la siguiente tabla: Número de alumnos premiados

Número de chocolates

1 alumno

2. ¿Cuál es la ecuación que relaciona ambas magnitudes?

2 alumnos

a) Si los alumnos premiados son el doble de 3, les

3 alumnos 4 alumnos

corresponden

chocolates a cada uno.

5 alumnos

b) Si los alumnos premiados son el triple de 4, les corresponden

chocolates a cada uno.

c) Si los alumnos premiados son el doble de 5, les corresponden

chocolates a cada uno.

3. De una llave de agua salen 25 L/s y llena un depósito en 6 h. a) ¿Qué magnitudes se relacionan? b) ¿Estas magnitudes son inversamente proporcionales? c) ¿Por qué?

4. Completa la siguiente tabla de variación; observa que se puede resolver de dos maneras: Razón de dos cantidades de la primera magnitud

25 x = 50 6 x= x=

(6) (25) 50 150 =3 50

Razón inversa de las cantidades correspondientes de la segunda magnitud Velocidad (L/s)

Velocidad (L/s)

25

6

50

x

y

18

5

z

×2

RETOS

5. Dos engranes tienen 42 y 90

dientes cada uno. Si el más grande se sustituye por otro de 105 dientes, ¿cuántos dientes debe tener el más pequeño para que se

÷5

÷2 ×5

mantenga la misma razón?

6. ¿Estas magnitudes son inversamente proporcionales?

Análisis

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 111

111 10/10/08 07:49:35

101

Relaciones de proporcionalidad

Apartado 5.5

Los rectángulos

2 cm

Considera todos los rectángulos que aparecen en la figura con área igual a 12 cm2.

6 cm 1 cm 12 cm

1. ¿Sus bases y alturas varían inversamente?

¿Por qué? 3 cm

2. Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la ecuación bh = 12.



4 cm

3. Completa las tablas de valores y haz las gráficas correspondientes. Variación inversa 12 bh =12 ⇒ h = b Construye una tabla de valores de b y h. Base (cm)

1 2

1

Altura (cm)

24

12

2

3

4

Variación directa d = 5t Construye una tabla de valores de d y t. Tiempo (h)

0

1

2

Distancia (km)

0

5

10

12

Representa en un diagrama cartesiano las parejas de valores obtenidos y completa la curva imagen de esta relación

Distancia (km)

Altura (cm)

24 20 16 12

20 15 10 5 1

2

4 1

2

3 4 Tiempo (h)

5

Observa que una variación directa: • Es una parte de una recta. • La recta pasa por el origen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

RETO

5

25

0

8 0

4

Representa en un diagrama cartesiano las parejas de valores obtenidos y completa la recta imagen de esta relación:

84 28

3

Base (cm)

4. Considera todos los triángulos con área igual a 15 cm2.

bh (2) (15) Dibuja la gráfica de la ecuación = 15 ⇒ h = . 2 b ¿Es una variación inversa o directa? Base (cm)

1

2

3

4

8

Altura (cm)

Haz la gráfica correspondiente.

112 Fichero de matematicas_1.indd 112

Bloque 5

10/10/08 07:49:36

102

Medidas de tendencia central y de dispersión

Los cronistas deportivos “Ocho alumnos compitieron en la Gran Carrera de los 200 metros planos. Los resultados se muestran en la tabla que aparece en la pantalla de su televisor...” 1. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué tiempo hizo L. Vázquez? b) ¿Quién hizo 45.3 segundos?

Apartado 5.6

48

Competidor F. García G. Macías R. Martínez C. Godínez L. Vázquez M. Juárez A. Maldonado Z. Romero

Tiempo (seg.) 42.7 38.2 45.3 35.4 39.8 43.7 41.6 37.1

c) ¿Quién hizo el mayor tiempo? d) ¿Quién hizo el menor tiempo?

2. Encuentra la media. Puedes auxiliarte con una calculadora. a) 18.6, 19.4, 21.6, 17.9, 20.3



b) 15, 21, 18, 24, 31, 27, 19

c) 46.8, 48.9, 43.7, 41.24



d) 19, 29, 17, 32, 15, 26, 12

e) 24.6, 25.9, 25.4, 24.8, 25.3



f) 118.2, 123.6, 131.6, 126.8

g) 18, 28, 16, 21, 14, 26, 10



h) 28, 31, 19, 42, 37, 16, 12

3. Éstos son algunos cronistas de futbol. En la tabla se muestra el número de partidos narrados por cada uno en una temporada: Nombre

Número de partidos narrados

E. Bermúdez

18

F. Alonso

18

Raúl Sarmiento

5

R. Orvañanos

12

Emilio Fernando Alonso

18

Cristian Martinolli

9

4. ¿Cuál es el número de partidos narrados que más veces se repitió? El número que aparece con más frecuencia es la moda. En este caso, 18 es la moda. Si ordenas los números 18, 18, 5, 12, 18 y 9, de menor a mayor, obtienes: 5 9 12 18 18 19 3 datos 3 datos 12 + 18 2 = 15

Análisis

de la información 

Fichero de matematicas_1.indd 113

La mediana es el valor que está en medio, cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Observa que si no hay un entero en ese lugar, entonces la mediana se calcula entre los dos valores intermedios.

113 10/10/08 07:49:37

103

Medidas de tendencia central y de dispersión

Apartado 5.6

Rango, media, mediana

1. Encuentra el rango, la media, la mediana y la moda de los siguientes conjuntos de datos: Rango

a) 85, 90, 75, 85, 90

Media

Mediana

Moda

b) 40, 38, 24, 36, 30, 36 c) 24, 17, 26, 32, 26, 19 d) 120, 96, 104, 84, 104 e) 6, 3, 8, 4, 7, 6 f) 12, 18, 18, 14, 20 g) 74, 65, 83, 93, 95, 95, 74

2. Miguel hizo una tabla para registrar la temperatura ambiente en una semana: Día

Domingo

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

°C

33

24

21

25

19

24

22

Completa: a) Rango

b) Media

c) Mediana

d) Moda

3. Raquel registró los días que hizo deporte por 6 meses: Mes

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Enero

Febrero

Núm. de días de deporte

7

23

14

8

7

10

Completa: a) Rango

b) Media

c) Mediana

d) Moda

4. Marisela registró en una tabla las horas trabajadas durante 6 semanas. Semanas

1

2

3

4

5

6

Horas de trabajo

32

23

28

32

19

40

Completa: a) Rango Posición

b) Media Salario

c) Mediana

RETO

d) Moda

5. En la tabla de la izquierda se muestra el salario mensual en dólares (S) de algunos jugadores de béisbol.

Pitcher

S6 700.00

Catcher

S5 500.00

Primera base

S4 850.00

Segunda base

S5 500.00

Shortstop

S4 200.00

b) ¿Cuál es la moda?

Tercera base

S7 850.00

c) ¿Cuál es la mediana?

114 Fichero de matematicas_1.indd 114

a) ¿Cuál es el promedio del salario mensual en dólares de estos jugadores?

Bloque 5

10/10/08 07:49:38

Notas



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115 10/10/08 07:49:39

Notas



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116 10/10/08 07:49:39

María Teresa Macías Luna

La serie Laboratorio de matemáticas tiene el propósito de que desarrolles tus habilidades y competencias matemáticas de la manera más sencilla y agradable.

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