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Matlab en cinco lecciones de Num´erico V´ıctor Dom´ınguez B´aguena
Ma Luisa Rap´un Banzo
Febrero de 2006
Disponible en http://www.unavarra.es/personal/victor dominguez/
r do rra Bo
Prefacio
El origen de este libro es una asignatura de libre elecci´on que uno de los autores imparti´o durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad P´ ublica de Navarra. Nuestra intenci´on original era tratar temas algo avanzados de C´alculo Cient´ıfico y utilizar Matlab como v´ıa para su aprendizaje. Los alumnos, obviamente, estaban m´as interesados en aprender Matlab y ve´ıan el Num´erico como forma de probar y ensayar las diferentes herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la formaci´on en Num´erico de nuestros alumnos nos oblig´o a relajar considerablemente el contenido matem´atico del curso y a ser m´as modestos, desde el punto de vista te´orico, en nuestros objetivos. El resultado final en su vertiente matem´atica se podr´ıa enmarcar sin problemas en un curso introductorio de C´alculo Num´erico. En cuanto a Matlab, creemos que hemos tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial. Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como el de colocar al alumno en una buena posici´on de arranque para un autoaprendizaje. El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que conviene citar nuestro propio bagaje matem´atico1 , el uso que hemos tenido que hacer de Matlab en nuestra carrera investigadora y, como ya hemos mencionado, los conocimientos de partida que ten´ıan nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante en la manip´ ulaci´on de vectores y matrices y a la programaci´on en forma vectorizada. Esta es una de las diferencias m´as acusadas con los lenguajes de programaci´on tradicionales y una implementaci´on eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorizaci´ on. Los apuntes est´an organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec´ıfico de C´alculo Num´erico. En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos en la implementaci´on de los algoritmos de la parte de Num´erico. La longitud de cada parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental (Matlab) o en la parte matem´atica. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de Matem´aticas tratando de presentarlas en la forma m´as simple posible. A lo largo de estas p´aginas el lector podr´a encontrar ejercicios, algunos de ellos resueltos, que tratan de ahondar en puntos espec´ıficos, matem´aticos e inform´aticos. Finalmente se han introducido algunas notas hist´oricas que describen brevemente la evoluci´on que han tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana, demasiado extendida, de las Matem´aticas como un mundo est´atico, monol´ıtico y perfecto donde la teor´ıa se presenta cerrada y completa. Las Matem´aticas en general y el C´alculo Cient´ıfico en particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que 1
modelado por nuestra formaci´ on cient´ıfica, com´ un en muchos aspectos.
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evolucionan con los a˜ nos, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas rescatadas a˜ nos despu´es de considerarse como v´ıas muertas. Hemos adjuntado al final una bibliograf´ıa utilizada en este texto. Nos gustar´ıa resaltar tres textos sobre los dem´as. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, de Cleve Moler, que descubrimos cuando and´abamos en la redacci´on de la Lecci´on II. Su sencillez y la buena elecci´on de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas. El segundo libro es ya un cl´asico entre los que aprendimos Matlab hace algunos a˜ nos. And´abamos entonces en la b´ usqueda de recursos en la web cuando nos encontramos con unos apuntes muy completos de libre divulgaci´on. Nos referimos al libro de Garc´ıa de Jal´on y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero. Diferentes versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evoluci´on de Matlab desde la versi´on 4.0. Por u ´ltimo, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2 ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacci´on de este texto. Debemos se˜ nalar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas. A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia libre crecer´a exponencialmente en el futuro. Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas que se ofreci´o muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indicaciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacci´on final de este texto.
Pamplona, Febrero de 2006
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V´ıctor Dom´ınguez B´aguena un Banzo Ma Luisa Rap´
http://www.wikipedia.org
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r do rra Bo A Javier Amigo y maestro.
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Cap´ıtulo 1
Introducci´ on
... and the first lesson of all was the basic trust that he could learn. It is shocking to find how many people do not believe they can learn, and how many more believe learning to be difficult.
Dune Frank Herbert
1.1.
¿Qu´ e es?
Matlab es un entorno de trabajo para el c´alculo cient´ıfico. Programado originalmente por Cleve Moler a finales de los a˜ nos 70, su finalidad original era proporcionar una forma sencilla de acceder a las librer´ıas LINPACK y EISPACK donde est´an implementadas de una forma altamente eficiente los algoritmos clave del an´alisis matricial1 . De hecho, Matlab es una abreviatura de Matrix Laboratory Su primera implementaci´on se hizo en Fortran que era, y en buena medida a´ un sigue si´endolo, el lenguaje est´andar en la implementaci´on de m´etodos num´ericos2 . Posteriormente se reimplement´o en C, que es como se encuentra en la actualidad. Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del c´alculo cient´ıfico y de las ciencias aplicadas en general, dot´andole de una gran popularidad en ambientes cient´ıficos (especialmente en Ingenier´ıa). Dichas extensiones se consiguieron en gran parte mediante la implementaci´on de toolboxes, librer´ıas escritas en el lenguaje de programaci´on propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ıan resolverse. Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes ´areas donde Matlab muestra un gran potencial: ´algebra lineal num´erica;
procesamiento de se˜ nales (an´alisis, compresi´on de datos,..);
1
por ejemplo, el m´etodo de Gauss, el c´alculo de las descomposiciones m´as habituales del ´algebra matricial num´erica (LU , LL> , QR), m´etodos iterativos,... 2 Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer lenguaje de alto nivel. Las u ´ltimas actualizaciones (Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a este veterano lenguaje de programaci´ on.
1
dise˜ no de sistemas de control; salidas gr´aficas; estad´ıstica;
r do rra Bo simulaci´on de sistemas din´amicos.
La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lenguaje dif´ıcil de entender y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado n´ umero de 3 comandos que se encuentra a disposici´on del usuario provoca que en ocasiones existan problemas no s´olo para encontrar los comandos adecuados sino tambi´en para tener una idea de qu´e posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular.
1.2.
¿C´ omo trabaja?
El lenguaje de programaci´on de Matlab es bastante m´as flexible que el de los lenguajes tradicionales. No es preciso la declaraci´on inicial de variables, ´estas se pueden introducir en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tama˜ nos sobre la marcha. Ello permite una programaci´on algo m´as desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una programaci´on cl´asica, m´as al uso, suele generar c´odigo m´as eficiente. Por otro lado, una gran cantidad de m´etodos num´ericos se encuentran implementados de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Matlab se puede utilizar como una caja negra: el usuario pregunta y el ordenador responde sin que ´este tenga que preocuparse de qu´e tipo de operaciones se han efectuado por el camino. De todas formas es conveniente tener una idea de qu´e m´etodos se est´an utilizando para as´ı ser conscientes de en qu´e condiciones van a funcionar, cu´al es en cada caso el m´etodo adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo. A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas (Built in functions) y funciones no compiladas. Las primeras est´an optimizadas, son programas ya compilados y con el c´odigo no accesible para el usuario. Como ejemplos se pueden citar operaciones fundamentales +, *,. . . .
las funciones matem´aticas b´asicas (sin, cos, exp, log,. . . )
´ algoritmos b´asicos del Algebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...) s´alidas gr´aficas (plot, surf,...)
3
A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gr´aficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf, surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,...
2
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Las funciones no compiladas est´an escritas siguiendo el lenguaje de programaci´on propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensi´on est´andar de los ficheros de Matlab4 . Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´ınea de c´odigo era traducido antes de su ejecuci´on. Ello hac´ıa que una programaci´on similar a lenguajes cl´asicos de programaci´on diera lugar a c´odigo poco eficiente. Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programaci´on vectorizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programaci´on est´andar No vectorizada
Vectorizada
y=zeros(1,1000); h=2*pi/999; for i=0:999 y(i+1)=sin(h*i); end
y=sin(linspace(0,2*pi,1000));
En la primera parte del c´odigo, encontramos una estructura t´ıpica en los lenguajes de programaci´on: el comando for. Su significado es claro: las l´ıneas comprendidas entre el for y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados en [0, 2π]. Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos equidistantes entre 0 y 2π. La funci´on seno es aplicada sobre todo el array devolviendo un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la funci´on seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una u ´nica llamada donde se requiere el c´alculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con estos valores (y por tanto tambi´en de longitud 1000). Desde el punto de vista de Matlab el segundo c´odigo es m´as eficiente. Habitualmente, la vectorizaci´on lleva consigo una reducci´ on del c´odigo a la vez que se incrementan las necesidades de memoria. Con Matlab 6.5 se inici´o un proyecto a m´as largo plazo consistente en la aceleraci´on (Performance Acceleration) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las diferencias con los lenguajes cl´asicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5 . En cualquier caso, la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona. 4
Tambi´en est´ a la extensi´ on *.mat, propia de ficheros de datos. De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecuci´on entre los dos c´odigos expuestos. 5
3
1.3.
¿C´ omo aprenderemos?
r do rra Bo
Como ya hemos se˜ nalado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad est´a fuera de los contenidos de un curso introductorio como ´este. No as´ı aprender los fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada uno est´e interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemot´ecnicos para facilitar su memorizaci´on. Las funciones de ayuda tambi´en echan una mano. Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo c´odigo desde los primeros pasos. Los esquemas num´ericos que implementaremos se encuentran pr´acticamente en cualquier curso introductorio de An´alisis Num´erico. En cada lecci´on implementaremos dichos algoritmos, introduciendo ´ordenes, estructuras de decisi´on, datos,... seg´ un sea necesario. En los apuntes se incluyen m´ ultiples ejercicios cuya realizaci´on ayudar´a al aprendizaje de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el An´alisis Num´erico b´asico. Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ıa citamos algunos de ellos, que pueden servir para ese fin.
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r do rra Bo Lecci´on I
Primeros pasos en Matlab. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
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Introducci´ on
When asked whether a programming language supports matrices, many people will think of two-dimensional arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than two-dimensional arrays -they are arrays with operations. It is the operations that cause matrices to feature so prominently in science and engineering G.W. Stewart, Matrix Algorithms
Comenzaremos en la primera parte de esta lecci´on tratando nociones b´asicas de Matlab, introduciendo el entorno de trabajo y las estructuras b´asicas de programaci´on. En segundo lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulaci´on de vectores y matrices. En la parte matem´atica estudiaremos m´etodos directos para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. En la implementaci´on de estos algoritmos repasaremos los conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte.
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Cap´ıtulo 2
Matlab: Primeros pasos 2.1.
Entorno de trabajo
En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma m´as simple, en modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante pobre, con un aspecto est´etico que en modo alguno es comparable al de programas como Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo inc´omodo. A modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad ´ y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Este y otros problemas del modo interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab. En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gr´afica, las guides de Matlab, que hacen m´as amigable la comunicaci´on con el usuario. En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes ventanas Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos;
Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el directorio en el que estamos trabajando. Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo b´ usquedas, demostraciones, etc.
´ Estas son las caracter´ısticas b´asicas que debemos considerar:
El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuaci´on. Para ejecutar se pulsa la tecla Enter.
Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓.
Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que: Se distinguen may´ usculas y min´ usculas. 9
´ I LECCION
2.1 Entorno de trabajo
r do rra Bo Figura 2.1: Pantalla Principal.
Todos los comandos de Matlab se escriben en min´ usculas y los argumentos se env´ıan entre par´entesis separados por comas.
El car´acter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma l´ınea) es ignorado por Matlab.
Si se teclea al final de una instrucci´on ’;’ ´esta se ejecuta pero el resultado no se visualiza por pantalla.
Dos comandos se pueden insertar en la misma l´ınea separados por “,” o por “;”. La diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones mientras que con “;” la operaci´on se ejecuta pero no se visualiza.
Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones >> >> >> >> >>
4+4 % mi primera operacion 3^4, 4/9 3^4; 4/9 3^4, 4/9; 3^4; 4/9;
10
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
y observa la salida. Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la potenciaci´on: >> 3^5
r do rra Bo ans=
243
El t´ermino ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la u ´ltima salida dada por Matlab (answer): >> 4+6 ans =
10
>> ans*2 ans =
20
>> ans*2 ans =
40
La ra´ız cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt. Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre 4/4+6
4/(4+6)
3^5*2
3^(5*2)
Nota. La prioridad de ejecuci´on entre operaciones matem´aticas es la habitual: primero se calcula la potenciaci´on ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en u ´ltimo lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los par´entesis. La regla es sencilla: dada una expresi´on, lo primero que se calcula es lo que est´a dentro de cada par´entesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un par´entesis hay otros par´entesis, para evaluar el primero se empezar´a con los par´entesis interiores. Los n´ umeros reales se pueden insertar tambi´en en notaci´on cient´ıfica, muy adecuada si se trata de n´ umeros grandes o muy peque˜ nos (en valor absoluto). As´ı, se tiene la siguiente regla de construcci´on: m · 10r m er 11
´ I LECCION
2.1 Entorno de trabajo Por ejemplo 0.005 −1201200000
115 · 1012 0.00031415
5e − 3 −1.2012e009
115e12 3.1415e − 004
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Existen adem´as dos n´ umeros especiales: inf y NaN. El primer signo representa la cantidad infinita (∞). El segundo es una abreviatura de “no es un n´ umero” (Not a Number) y es el resultado que se devuelve ante una operaci´on indefinida como 0/0. Este s´ımbolo se puede utilizar en ´ambitos, en principio tan extra˜ nos, como en el dibujo de superficies (v´er la Lecci´on V). En general los resultados num´ericos se presentan con cuatro cifras decimales correctas, aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisi´on1 . Si se desean las salidas con toda la precisi´on disponible se debe insertar la instrucci´on >> format long
A partir de este punto, el resultado de cualquier operaci´on se mostrar´a con 16 cifras significativas. La instrucci´on >> format short
devuelve a la forma est´andar con cuatro cifras decimales. Existen m´as opciones con format. Las siguiente l´ıneas muestran algunas de ellas: >> pi % el numero pi ans =
3.1416
>> format long >> pi
% mayor precision
ans =
3.14159265358979
>> format compact % compacto >> pi ans = 3.14159265358979 >> format bank %No fijo de cifras decimales >> pi ans = 3.14
1
Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´ıneas, los procesadores de 32 bits dominan todav´ıa el parqu´e de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores con 64 bits, duplican la precisi´ on de trabajo.
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´ I LECCION
%salidas en forma fraccionaria
% mas espaciada
r do rra Bo
>> format rat >> pi ans = 355/113 >> format loose >> pi
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
ans =
355/113
Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose.
N´ umeros complejos
La √ aritm´etica compleja se encuentra tambi´en integrada en Matlab. La unidad imaginaria ( −1) se representa en Matlab con i ´o j: >> clear i j % borramos posibles valores de i y j >> i^2 ans=
-1
>> j^2 ans=
-1
El signo i suele ser habitual en Matem´aticas mientras que en diversas ramas de la F´ısica y en Ingenier´ıa de Telecomunicaciones o El´ectrica se prefiere el s´ımbolo j (en este caso para no confundir con la intensidad de corriente el´ectrica). De ah´ı que Matlab permita ambas representaciones. Todas las operaciones matem´aticas incluyen la aritm´etica compleja en el sentido usual >> 1+i +5-6i
% suma de dos numeros complejos
ans =
6.0000 - 5.0000i
>> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i) ans =
13
´ I LECCION
2.2 Comandos de ayuda 34.00
ans =
r do rra Bo
-0.20
+
>> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado ans =
0.0030 - 0.0002i
>> abs(3+4i),
angle(2i)
% modulo y argumento
ans =
5
ans =
1.5708
2.2.
Comandos de ayuda
La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre dispuestos a echarnos una mano son: help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informaci´on esencial sobre un comando concreto.
helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitiendo as´ı una navegaci´on, estilo web, muy c´omoda. lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´ınea de todos los ficheros de ayuda.
Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la funci´on sin, podemos ejecutar >> help sin
SIN Sine. SIN(X) is the sine of the elements of X. Overloaded methods help sym/sin.m 14
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
r do rra Bo Figura 2.2: Pantalla de ayuda.
o bien
>> helpwin sin
y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Adem´as, si aparece el enlace “Go to online doc for ...”, ´este nos permite navegar entre una ayuda mucho m´as completa donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementaci´on del comando (ver la Figura 2.42 ).
Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener informaci´on de alguna de estas funciones elementales de Matem´aticas sin sec sinh exp
cos csc cosh log
tan cot tanh log10
asin asec asinh log2
acos acsc acosh sign
atan acot atanh
Mediante la instrucci´on 2
Para que esta opci´ on est´e disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab. A partir de la versi´ on 6.0 la instalaci´ on consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las librer´ıas habituales y el segundo con la documentaci´on de la ayuda.
15
´ I LECCION
2.3 Variables
r do rra Bo Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opci´on Go to online doc... >> help +
se pueden adem´as visualizar las operaciones “elementales” seg´un Matlab.
2.3.
Variables
Matlab no necesita la declaraci´on de variables como en un lenguaje tradicional. En principio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas: >> a=1; b=2; c=3; >> a-b ans =
-1
>> a*b*c ans = 16
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
r do rra Bo Figura 2.4: Ayuda on line.
6
El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras que con whos obtenemos una informaci´on m´as precisa: >> who
Your variables are: a
b
c
>> whos a Name Size a
Bytes
1x1
8
Class
double array
Grand total is 1 element using 8 bytes Para borrar una variable se utiliza la instrucci´on clear, por ejemplo, 17
´ I LECCION
2.3 Variables >> a=4; >> whos a Size
a
1x1
Bytes
Class
8
double array
r do rra Bo
Name
Grand total is 1 element using 8 bytes
>> clear a >> whos a >>
borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden >> clear all
se borran todas las variables declaradas hasta el momento. Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo >> sin=1; >> sin+1 ans=
2
De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ıa como funci´on seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar >> clear sin
Almacenamiento de variables en ficheros
Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta forma, podemos recuperarlas m´as adelante, ya sea en la misma sesi´on o en otra diferente3 . Por ejemplo >> >> >> >>
a=4+i;% numero complejo b1=cos(2); b2=sin(2); save datos a b1 b2
graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables indicadas. Para recuperar, basta ejecutar >> load
datos
3
Se entiende por sesi´ on el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el programa, todas las variables locales se pierden.
18
´ I LECCION
2.4.
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
Ficheros script y funciones
La forma m´as eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mec´anicas es utilizando ficheros script. Tareas m´as elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada y salida, requieren del uso de funciones.
r do rra Bo 2.4.1.
Ficheros script
Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesi´on de comandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente en la ventana de comandos. Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comenzamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4 >> edit prueba
Se despliega as´ı en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es la extensi´on est´andar de Matlab). Es importante saber cu´al es el directorio de trabajo5 , pues es donde se guardar´a por defecto el fichero. Tecleamos ahora en el editor a=1+i; b=1-i; disp(’a*b=’) disp(a*b) disp(’a/b=’) disp(a/b) disp(’sqrt(a)=’) disp(sqrt(a))
El comando disp (de display) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de car´acteres, se consigue con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa. Una vez que el documento est´a grabado, para ejecutar las ´ordenes que contiene basta teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos: >> prueba
Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener que teclear de nuevo todas las instrucciones.
2.4.2.
Funciones
En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en la l´ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta u ´ltima forma, que es la evoluci´on natural de los ficheros script, es m´as flexible y es en la que nos centraremos a continuaci´on. Dejaremos pendiente para la Lecci´on III la descripci´on de las funciones inline. Como antes, para crear un fichero que contenga a una funci´on se puede teclear: 4 5
Tambi´en es posible crear este fichero a golpe de rat´ on. Por defecto es C:\MATLAB6p5\work.
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´ I LECCION
2.4 Ficheros script y funciones >> edit mifuncion En el editor puedes insertar este simple ejemplo: % MIFUNCION % % Y=MIFUNCION(X) devuelve % % Y=X^2-COS(X) % function y=mifuncion(x)
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
y=x^2-cos(x); return
La funci´on se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable de salida y. Se termina la ejecuci´on de la funci´on cuando se ejecuta un return o bien se llega al final de la funci´on6 . Ahora, para calcular el valor de π 2 − cos(π) podemos ejecutar la orden: >> mifuncion(pi) ans =
10.8696
Nota. Los n´ umeros correlativos situados a la izquierda no forman parte del c´ odigo de la funci´ on. Han sido insertados con el fin de numerar las l´ıneas y as´ı facilitar los comentarios que podamos hacer sobre el programa. Una funci´on puede no tener salidas, por ejemplo, 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
% INFORMACION % % INFORMACION devuelve informacion sobre % la precision de la maquina % function informacion disp(’precision de la maquina’) disp(eps) disp (’mayor numero real’) disp(realmax) disp (’menor numero real’) disp(realmin) return
6
En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo.
20
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
o bien devolver m´ ultiples salidas: % MIFUNCION2 % % [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve % % Y1=X1+X2+X3; % Y2=X1-X2+X3; % function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3)
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
y1=x1+x2+x3; y2=x1-x2+x3; return
Observa c´omo se recogen los resultados
>> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3); >> z1 ans=
6
>> z2
ans=
2
>> z=mifuncion2(1,2,3);
% Ahora solo devuelve el primero
ans=
6
La cabecera que hemos introducido en el pre´ambulo de las funciones, es decir las l´ıneas anteriores a la declaraci´on de la funci´on y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la funci´on: >> help mifuncion2 MIFUNCION2
[Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve Y1=X1+X2+X3; Y2=X1-X2+X3; 21
´ I LECCION
2.5 Vectores y matrices
Aunque muy recomendables7 , su inclusi´on en una funci´on es opcional. La ayuda puede estar antes o despu´es de la declaraci´on de la funci´on. En cualquiera de los dos casos, Matlab despliega como ayuda todas las l´ıneas que esten precedidas con % hasta que se encuentra con la primera l´ınea no comentada.
r do rra Bo Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la funci´on y al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo. Aunque Matlab distingue entre may´ usculas y min´ usculas en sus comandos, esto no es extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para ejecutar una funci´on en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES, Operaciones y cualquier combinaci´on con may´ usculas y min´ usculas. Esto es debido a que el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinci´on8 . Versiones m´as avanzadas de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia exacta min´ usculas-may´ usculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para llamarlo. Todas las variables se env´ıan por valor, no por referencia. Es decir, si una funci´on modifica una variable de entrada, esta modificaci´on se pierde cuando finalice su ejecuci´on, recuperando el valor original. Por u ´ltimo, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso s´olo la primera funci´on es accesible desde el exterior (l´ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que el resto de funciones presentes en ese fichero son internas, es decir, utilizables u ´nicamente por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una programaci´on modular. Si un conjunto de funciones son s´olo utilizadas por una funci´on principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ´esta. Evitamos as´ı llenar la carpeta de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y m´as ficheros.
2.5.
Vectores y matrices
Dado que principalmente trabajaremos s´olo con arrays de una y dos dimensiones hablaremos en lo que sigue de los objetos matem´aticos correspondientes: vectores y matrices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con m´as dimensiones, aunque por simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pendiente para la Lecci´on IV el uso de arrays multidimensionales (tensores).
2.5.1.
Definici´ on de matrices y vectores
Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y separando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones 7
No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el c´odigo claro y legible de hoy es ilegible semanas despu´es. Las ayudas facilitan la edici´on de los programas no s´olo para un usuario externo sino para el propio programador. 8 Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre Operaciones.m
22
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
>> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1]; >> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5]; >> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2]; matrices y vectores 3 −1 1 2 4 3 4 , a2 = −1 0 1 , 5 1 2 1 5
1 b = 3 , 1
r do rra Bo
definen las 1 a= 2 4
b2 =
−1 1 −2 2 .
Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habr´a que tenerlo en cuenta por ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos. Desde una vertiente pr´actica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo de tama˜ no 20 × 10, y sus valores se van a introducir m´as adelante, se puede empezar con >> a=zeros(20,10);
A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posici´on mediante par´ entesis >> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4; >> a(4,5) ans=
9
En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posici´on no definida de la a ning´ un matriz, Matlab ir´a adaptando el tama˜ no seg´ un juzgue apropiado9 , y no dar´ error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´ıstica >> clear c % c esta borrado >> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2 c =
0
>> c(3,3)=2
4
% c pasa a ser 3 x 3
c =
0 0 0
4 0 0
0 0 2
Esta habilidad, aunque permite una programaci´on muy flexible y descuidada, debe utilizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecuci´on muy dif´ıciles de detectar. 9
Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos peque˜ nos, pero importante para grandes cantidades de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ı a Matlab de cu´anta memoria tiene que reservar.
23
´ I LECCION
2.5 Vectores y matrices
2.5.2.
Operaciones
Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, potenciaci´on, c´alculo de determinantes, inversas..., est´an ya implementadas en Matlab. No hay por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de tama˜ nos compatibles, las instrucciones
r do rra Bo a*a2
a^2
a+a2
devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de a y a2. Es importante observar la diferencia con estas l´ıneas a.*a2
a.^2
En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento a y a2 (por tanto deben tener el mismo tama˜ no) y en el segundo, una matriz cuyas entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.” indica que la operaci´on (un producto, una potencia o una divisi´on) se hace elemento a elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operaci´on matem´ atica, en este caso el producto matricial.
Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tama˜no. Observa el resultado de ejecutar a+a2
a*a2
a.*a2
Define un vector b fila o columna y ejecuta b.^3
b’
Comprueba si estas operaciones est´an bien definidas a*2
a+1
¿Qu´e hacen exactamente? ¿Por qu´e crees que no es necesario “.” en la primera instrucci´on?. Otros comandos importantes son det
inv
/
\
/.
\.
Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores “/” y “\” (slash y backslash) son ciertamente especiales: a/a2 es equivalente a a*inv(a2),
a\a2 es equivalente a inv(a)*a2
En cuanto a su relaci´on con ./ y \. es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto que ambas matrices tengan el mismo tama˜ no. Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones >> 3/5 >> 3\5
y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?. Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qu´e hace 1/b?. 24
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
Nota. El operador backslash “\” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, bajo la idea de que Ax = b
⇔
x = A−1 b.
As´ı, si b es n × 1 y a es n × n,
r do rra Bo >> x=a\b;
devuelve en x la soluci´on del sistema correspondiente. El funcionamiento real de \ dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por alguna variante del m´etodo de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin mrdivide para /) para leer en detalle c´omo procede este comando. Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices. El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo, >> a=[0 pi/3; -pi/3 0]; >> cos(a) ans =
1.0000 0.5000
0.5000 1.0000
es equivalente a
>> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)] ans =
1.0000 0.5000
2.5.3.
0.5000 1.0000
Detalles adicionales
C´ omo obtener las dimensiones de vectores y matrices
Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta informaci´on: >> a3=[1 2; 3 6; 5 -1]; >> size(a3) ans =
3
2
>> length(a3)
25
´ I LECCION
2.5 Vectores y matrices ans = 3
r do rra Bo
>> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3 >> size(a3) ans = 2
3
>> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas >> m ans = 2
>> n
ans = 3
>> length(a3) ans = 3
El comando size devuelve un vector de tama˜ no 2×1 con el n´ umero de filas y columnas del vector/matriz. El resultado es diferente seg´ un se aplique a vectores fila o columna. La orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un vector est´a clara mientras que para matrices devuelve el m´aximo entre el n´ umero de filas y el n´ umero de columnas. Matrices especiales
Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una estructura particular. Cabe se˜ nalar las siguientes ´ordenes: eye(n) es la matriz identidad de orden n; ones(m,n) es una matriz m x n de 1s;
zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros; y algunas m´as ex´oticas como hilb, invhilb, pascal, magic. 26
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribuci´on regular a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es el mayor n´ umero natural que cumple a+k*b≤ c. La instrucci´on a:c toma b = 1. linspace(a,b,n) devuelve una partici´on uniforme de [a, b] en n puntos.
r do rra Bo Por ejemplo, >> 0:10 ans=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> 10:-1:0 ans=
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
>> 0.1:0.3:1.5 ans =
0.1000
0.4000
0.7000
1.0000
1.3000
>> linspace(0,2,4) ans =
0
0.6667
1.3333
2.0000
>> linspace(2,0,4) ans =
2.0000
1.3333
0.6667
0
Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato, devuelve una fila.
2.5.4.
Acceso a partes de matrices
El manejo de partes de vectores y matrices, as´ı como la eliminaci´on de filas o columnas, cambios de tama˜ no, etc, se hace v´ıa instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda resultar algo extra˜ no al principio, un poco de pr´actica es suficiente para que el usuario se 27
´ I LECCION
2.5 Vectores y matrices
adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo en sus c´odigos. Comencemos viendo un ejemplo:
r do rra Bo
>> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; >> a(2,3) % elemento (2,3) de a ans =
6
>>a(2,:)
% fila 2 de a
ans =
4
5
6
>>a(:,1)
% columna 1
ans =
1 4 7 10
>>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0 a =
1 4 7 10
0 0 0 0
3 6 9 12
Podemos acceder a partes de una fila o columna: >> a(1,2:3)
% vector [a(1,2) a(1,3)]
ans =
0
3
>> a(2:4,3)
% vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)]
ans =
28
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
6 9 12 >> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)]
r do rra Bo ans =
0 0
3 6
En general, si p es un vector de n´ umeros enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)), ..., v(p(n))]. Por ejemplo, >> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6]; >> v(4:-1:2) ans=
0.4000
0.300
>> p=[5 1 2 3 3 3]; >> v(p)
0.2000
% no importa que esten repetidos
ans=
0.5000
0.1000
0.2000
0.3000
0.3000
Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´ıneas
>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; >> p=[1 3 2]; q=[1 2 1]; >> a(p,q)
¿Qu´e hacen exactamente?.
Igualmente es f´acil a˜ nadir filas y columnas a una matriz: >> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8] a =
1 5
2 6
3 7
>> a=[a; [1 -1 2 4]]
4 8
% adosamos una fila nueva
a = 29
0.3000
´ I LECCION
2.6 Bucles y estructuras de decisi´on
1 5 1
2 6 -1
3 7 2
% una nueva columna
r do rra Bo
>> a=[a [0; 2; 4] ]
4 8 4
a =
1 5 1
2 6 -1
3 7 2
4 8 4
0 2 4
Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´ımbolo vac´ıo []. Por ejemplo, >> a(:,2)=[]
% suprime la segunda columna
a =
1 5 1
3 7 2
4 8 4
0 2 4
Ejercicio 2.8 Programa una funci´on cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un t´ermino independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales. Esto es, una matriz con la matriz original y una u´ltima columna con el t´ermino independiente.
2.6.
Bucles y estructuras de decisi´ on
Claves en cualquier lenguaje de programaci´on, Matlab dispone de varias de ellas entre las que sobresalen for e if, un est´andar en el mundo de la inform´atica.
2.6.1.
Bucles: el comando for
En Matlab, la estructura
for j=inicio:paso:final ..... end
implementa un bucle donde las l´ıneas de c´odigo entre for y end son ejecutadas repetidamente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (v´ease la Secci´on 2.5.3) Por ejemplo, >> for j=1:3; 1
disp(j);
end
30
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
2 3 disp(j-2);
end
r do rra Bo
>> for j=6:-2:2; 4 2 0
En general, si v es un vector, for j=v ..... end
procede a ejecutar las l´ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo, >> v=[2 5 3 1];for j=v; 2
disp(j);
end
5 3 1
Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reinicializa la iteraci´on con el siguiente valor del ´ındice. Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es 1 12 · · · · · · 1 1 ··· ··· 2 3 A= .. . . . . . . . . . .
1 2n−2
1 n
1 n 1 n+1
.. .
1 2n−1
Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “for” anidados.
2.6.2.
Operadores l´ ogicos y estructuras de decisi´ on
Los operadores l´ogicos m´as b´asicos en Matlab son == igualdad, ~= desigualdad, >= mayor o igual, <= menor o igual, 31
> &
mayor, “y” l´ogico,
< |
menor, “o” l´ogico
´ I LECCION
2.6 Bucles y estructuras de decisi´on El resultado de una comparaci´on es 1 si es verdadero, 0 si es falso: >> a=1; b=2; c=3; >> a>0 ans =
r do rra Bo 1
>> a>0 & b<3 ans =
1
>> a<0
|
b<1
ans =
0
>> test= (a~=0) ans =
1
>> whos test Name
Size
test
1x1
Bytes 1
Class
logical array
Grand total is 1 element using 1 bytes
Estos “0” y “1” no son valores num´ericos sino l´ogicos como se comprueba con la u ´ltima instrucci´on10 . Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la misma longitud que el vector original: >> b=[1 2 -3 -1 2 -4];
p=(b>=1)
% entradas de b>=1
p= 1
1
0
0
1
0
En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i)≥1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con 10
Ocupan un u ´nico byte mientras que un n´ umero real utiliza ocho bytes.
32
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
>> b(p) 1
2
2
Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucci´on % elementos de b mayores o iguales que 1
r do rra Bo
>> b(b>=1) 1
2
2
que adem´as resulta muy natural (y f´acil de entender).
Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras l´ogicas a partir de vectores de n´ umeros enteros: >> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1 >> b(p) % Dara error
1];
??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. >> p=logical(p); >> b(p) ans =
2
8
10
La estructura de decisi´on, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la siguiente: if simple: si la operaci´on l´ogica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´ıneas de c´odigo comprendidas entre if y end if (x<-1 | x>1) disp(’valor absoluto de x mayor que 1’) end
if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´ıneas, comprendidas entre else y end son ejecutadas en caso de que la operaci´on l´ogica efectuada en el if sea falsa: if (x<0 & x>-10) f=x^2; % x entre -10 y 0 else f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0 end 33
´ I LECCION
2.6 Bucles y estructuras de decisi´on if de decisi´on m´ ultiple:
r do rra Bo
if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) elseif (x<sqrt(pi)) f=sin(x^2); disp(’x en [0,sqrt(pi))’) elseif (x<2*sqrt(pi)) f=(x-sqrt(pi))^2; disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’) else f=pi*cos(x^2); disp(’x en [2*pi,infinito)’) end
Esta u ´ltima instrucci´on es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la siguiente forma if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) else if (x<sqrt(pi)) f=sin(x^2); disp(’x en [0,sqrt(pi))’) else if (x<2*sqrt(pi)) f=(x-sqrt(pi))^2; disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’) else f=pi*cos(x.^2); disp(’x en [2*pi,infinito)’) end end end
Obviamente, la primera forma es m´as clara y concisa.
Nota. Con la instrucci´on switch se puede implementar una estructura de decisi´on que es esencialmente equivalente a un if anidado. Est´a disponible tambi´en el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra tambi´en con un end) mientras una condici´on sea verdadera. Por tanto, es algo m´as flexible que un for. En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse, lo hacen con end. El uso de break y continue es exactamente el mismo. 34
´ I LECCION
Cap´ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos
Por u ´ltimo, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra: sirve para referenciar el u ´ltimo elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posici´on cuarta en adelante. Ejercicio 2.10 ¿Qu´e hace el siguiente fragmento de c´odigo?
r do rra Bo 01 02 03 04 05 06
r=[]; aux=0; while aux<0.8 aux=rand(1); r=[r aux]; end r(end)=[];
Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch y while.
Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una funci´on de nombre findnonzeros que dado un vector de entrada devuelva el n´umero de elementos no nulos y un vector que contenga dichos elementos. Soluci´ on. Una implementaci´on posible es la siguiente
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
% FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=[]; % p es vacio for i=1:length(x) if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p end end n=length(p); return
Observa como se recogen los resultados de la funci´on, n y p,
>> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!! >> [n,p]=findnonzeros(a) n = 7 35
´ I LECCION
2.6 Bucles y estructuras de decisi´on
p = Columns 1 through 5 0.3000
0.1000
0.6000
0.1000
r do rra Bo
0.1000
Columns 6 through 7 0.2000
0.4000
Otra posible implementaci´on (mucho m´as elaborada y m´as propia de Matlab) es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
% FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=x(x~=0); n=length(p); return
Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente pr´actica, esta versi´on se ve m´as clara y natural que la anterior. Observa c´omo se toman los elementos no nulos del vector x (l´ınea 10).
36
r do rra Bo
Cap´ıtulo 3
M´ etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales 3.1.
M´ etodo de Gauss
El m´etodo de Gauss, tambi´en conocido como eliminaci´on gaussiana, es el algoritmo m´as sencillo para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes bien diferenciadas: i) Transformaci´on del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma soluci´on, donde la matriz es triangular superior.
ii) Resoluci´on del sistema triangular por sustituci´on regresiva. El paso i) se acomete v´ıa dos operaciones elementales:
(a) Sumar a una ecuaci´on otra multiplicada por un n´ umero.
(b) Intercambiar dos ecuaciones.
Si s´olo utilizamos la operaci´on (a) hablaremos del m´etodo de Gauss sin pivotaje, y con pivotaje parcial si tambi´en realizamos las operaciones (b)1 cuando la elecci´on de las filas que se conmutan sea una muy particular. Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se reescribe en t´erminos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar filas2 ). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma Ax = b,
A ∈ Rn×n ,
x, b ∈ Rn ,
donde A es la matriz de coeficientes, b el t´ermino independiente y x el vector de soluciones. Los elementos de A se denotar´an por aij , y con bi los de b. 1
Existe una tercera operaci´ on (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no nulas. Esta operaci´ on recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas pr´acticos se suele utilizar con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo. 2 Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las inc´ognitas). En este caso se habla de pivotaje total.
37
´ I LECCION
3.1 M´etodo de Gauss
3.1.1.
M´ etodo de Gauss sin pivotaje
El pseudoc´odigo se expone a continuaci´on M´ etodo de Gauss
r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
for i = 1 : n − 1 for k = i + 1 : n `ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj − `ki aij end bk = bk − `ki bi end end xn = bn /ann for i = n − 1 : −1 : 1 n X x i = bi − aij xj /aii j=i+1
15
end
Las l´ıneas 01--09 se corresponden con la reducci´on a la forma triangular de la matriz y las l´ıneas 11--15 con la resoluci´on del sistema triangular resultante. El elemento aii se denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en caso contrario la operaci´on en 03 est´a mal definida. El algoritmo efect´ ua O(n3 /3) productos3 y otras tantas sumas para la reducci´on a la forma triangular y O(n2 /2) sumas y productos para la resoluci´on del sistema triangular. Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensi´on del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de c´alculo (y por cuatro el costo en memoria). Ejercicio 3.1 Implementa una funci´on cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el t´ermino independiente y devuelva la soluci´on del sistema por el m´etodo de Gauss. Soluci´ on. El siguiente programa es una soluci´on del ejercicio 01 02 03 04 05
% GAUSS % % % X=GAUSS(A,B) %
Solucion del sistema Ax=b con el metodo de Gauss sin pivotaje
3
es decir, el n´ umero de multiplicaciones es n3 /3 + αn2 + βn + γ, donde α, β y γ son constantes adecuadas. Con n creciente, el primer t´ermino es el dominante.
38
´ I LECCION 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
function x = gauss(a,b) n=length(a);
r do rra Bo
% transformacion del sistema en uno triangular for i=1:n-1 for k=i+1:n l=a(k,i)/a(i,i); for j=i+1:n a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j); end b(k)=b(k)-l*b(i); end end % resolucion del sistema triangular x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0; x(n)=b(n)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio end x(i)=(b(i)-s)/a(i,i); end return
El c´odigo anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´ıamos en una programaci´on en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable. Los siguientes ejercicios ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable. Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab.
Soluci´ on. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas dos instrucciones a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n) a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:)
La segunda es m´as c´omoda de utilizar pero multiplica por dos el n´ umero de operaciones 4 en la ejecuci´on del m´etodo . 4
¿Por qu´e?.
39
´ I LECCION
3.1 M´etodo de Gauss
De forma an´aloga, el sumatorio de las l´ıneas 25-29 del c´odigo (13 del algoritmo del m´etodo de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho tambi´en matricial, de dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el c´odigo de las l´ıneas 25--29 se puede sustituir por x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i);
r do rra Bo
Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar a´un m´as hacia la consecuci´on de algoritmos matriciales. Consideremos la partici´on de A a11 c> b1 1 A= , b= d1 A11 b1
donde c1 , d1 son vectores (n − 1) × 1 y A11 una matriz (n − 1) × (n − 1). Entonces, el primer paso del m´etodo de Gauss se puede escribir b a11 c> 1 1 , b= b1 − a−1 0 A11 − (a11 )−1 c> 11 b1 d1 . 1 d1 | {z } | {z } (1) (1) A b
El segundo paso del m´etodo de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1) (de tama˜no (n−1)× (n − 1)) y el vector b(1) (de tama˜no (n − 1) × 1) y as´ı se procede sucesivamente. Implementa esta resoluci´on alternativa del m´etodo de Gauss. (Ayuda. Observa estas tres instrucciones l=a(i+1:n,i)/a(i,i)
a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n)
b(i+1:n)-l*b(i)
¿Qu´e hacen?)
Nota sobre la vectorizaci´ on
La noci´on de vectorizaci´on, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a elemento, no es nueva ni en el An´alisis Num´erico ni en la computaci´on a alto nivel. El objetivo que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matem´aticas sencillas, como productos escalares, productos matriciales, b´ usqueda de m´aximos y m´ınimos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementaci´on se optimiza tomando en consideraci´on el entorno en el que se trabaja, tanto en software como en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra subprograms). Se distinguen tres niveles. El nivel uno est´a formada por operaciones entre vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de O(n) operaciones, el nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con O(n2 ) operaciones y el nivel tres son operaciones entre matrices, O(n3 ) operaciones. En m´aquinas con m´ ultiples procesadores estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles de forma ´optima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5 . 5
Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas se retrase respecto a las dem´ as para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado con la consiguiente p´erdida de tiempo (y dinero).
40
´ I LECCION
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
Uno de los detalles m´as sencillos que hay que plantear es la estrategia de almacenamiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas, como hace C,
⇒
a11 → a12 → a13 → a21 → a22 → a23
r do rra Bo
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23
donde con la notaci´on anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones consecutivas en memoria. Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23
⇒
a11 → a21 → a12 → a22 → a13 → a23 .
Seg´ un sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6 . En esta din´amica, la resoluci´on del sistema triangular seg´ un el algoritmo expuesto en el Ejercicio 3.3 est´a mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se hacen sobre columnas de la matriz a.
3.1.2.
M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial
Para evitar que el m´etodo de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i que el elemento aii es nulo (l´ınea 03 del algoritmo), se introduce la noci´on de pivotaje. La idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–´esimo paso el pivote sea nulo, se procede a intercambiar la fila i por una fila k tal que aki 6= 0 para cierto k > i. Si esto no es posible, el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene soluci´on o tiene infinitas soluciones. Desde un punto de vista pr´actico, el m´etodo de Gauss con pivotaje procede a intercambiar siempre filas de forma que en cada paso |aki | = m´ax |a`i |, `=i,...,n
esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a ↔ b el intercambio de valores de a y b).
6
Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria cach´e, posiciones adicionales y consecutivas de memoria bajo la convicci´on de que es probable que las requiera en el siguiente paso.
41
´ I LECCION
3.1 M´etodo de Gauss M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial 01 02 03
Encontrar k ∈ {i, . . . , n} tal que |aki | = m´ax |a`i | j=`,...,n
for j = i : n aij ↔ akj end bi ↔ bk
r do rra Bo
04 05 08 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
for i = 1 : n − 1
%intercambio filas y termino independiente
for k = i + 1 : n `ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj − `ki aij end bk = bk − `ki bi end
end
Ejercicio 3.4 Implementa una funci´on con el m´etodo de Gauss con pivotaje a partir de la funci´on definida en el Ejercicio 3.2. Para este fin la instrucci´on max te puede resultar u´til. Espec´ıficamente, >> [m,i]=max(v)
devuelve en m el mayor valor del vector v y en i su posici´on, esto es, m = v(i). A˜nade tambi´en un control sobre el tama˜no de a(i, i) de forma que si ´este es pr´oximo a cero7 se termine la ejecuci´on y se devuelva un mensaje de error.
(Ayuda. La instrucci´on [m,r]=max(abs(a(i:n,i))) te devolver´a en r la posici´on del m´aximo en el vector columna abs(a(i:n,i)). Por tanto, la fila en la matriz a con el mayor valor en la columna i es i+r-1.)
El intercambio de filas de las l´ıneas 04--08 se puede implementar de varias formas. La primera es simplemente con un bucle que recorra las filas y proceda a intercambiar los valores elemento a elemento. En la segunda forma se hace de forma global mediante aux=a(i,i:n); a(i,i:n)=a(k,i:n); a(k,i:n)=aux;
La tercera forma probablemente ser´a la que resulte m´as extra˜ na pero vuelve a ser natural en Matlab. Basta hacer a([i,k],i:n)=a([k,i],i:n)
F´ıjate que tiene perfecto sentido sint´actico de acuerdo a las reglas de manipulaci´on de vectores y matrices expuestas en la primera parte de esta lecci´on. 7
¿Cu´ando se decide que un n´ umero es cero? En la pr´actica depende de los tama˜ nos del resto de elementos de la matriz.
42
´ I LECCION
3.1.3.
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial ficticio
Desde un punto de vista pr´actico no hace falta intercambiar f´ısicamente las filas de la matriz. En lugar de ello se puede utilizar un vector de ´ındices p de forma que p(i) sea la posici´on f´ısica en memoria de la fila i. Inicialmente, las filas est´an sin reordenar, es decir, se empieza declarando
r do rra Bo p=1:n;
Intercambiar las filas i y k es equivalente a intercambiar los valores de p en las posiciones iyk p([i k])=p([k i])
y se procede a hacer ceros en las filas p(i+1),. . . , p(n). El acceso la fila i se consigue con a(p(i),:)
y la b´ usqueda del m´aximo valor para el intercambio de filas con [m,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;
La fila con el m´aximo elemento en valor absoluto es la p(r). Para la resoluci´on del sistema triangular despejamos igual que en el m´etodo de Gauss, desde la n-´esima inc´ognita a la primera, con 22 23 24 25
x(p(n))=b(p(n))/a(p(n),n); for i=n-1:-1:1 x(p(i))=(b(p(i))-a(p(i),i+1:n)*x(i+1:n))/a(p(i),i); end
Desde un punto de vista estrictamente matem´atico se trata de llevar la matriz a una forma que, si bien no es triangular, una reordenaci´on adecuada de las filas la transforma en triangular. El vector p recoge en qu´e orden se deben despejar las inc´ognitas a la hora de resolver el sistema reducido. En concreto el orden viene dado por p(n), p(n-1),. . . , p(1). En cualquier caso, a(p,:) es una matriz triangular8 . Ejercicio 3.5 Implementa el m´etodo de Gauss con pivotaje parcial ficticio.
Ejercicio 3.6 Las l´ıneas 22–25 proceden a resolver el sistema triangular accediendo a los elementos por filas. Adapta el algoritmo para la resoluci´on de este sistema por columnas, tal como se hizo en el Ejercicio 3.3.
Ejercicio 3.7 Sea A una matriz inversible de tama˜no n × n y A−1 su inversa. Si ai es la columna i−´esima de A−1 , esto es, A−1 = [a1 |a2 | · · · |an ],
8
La importancia de estas t´ecnicas ha decrecido con las u ´ltimas generaciones de ordenadores, donde la manipulaci´on de enormes cantidades de memoria est´a muy optimizada.
43
´ I LECCION
3.2 Descomposiciones matriciales entonces
r do rra Bo
0 .. . Aai = ei = 1 → i. . .. 0
Utilizando alguna de las diferentes versiones del m´etodo de Gauss, implementa el c´alculo de la inversa mediante la resoluci´on de los n sistemas de ecuaciones. Observa que los n comparten la misma matriz de coeficientes.
3.2.
Descomposiciones matriciales
Uno de los aspectos que mejores resultados dio a lo largo del siglo XX, en los albores del ´ An´alisis Num´erica, fue la constataci´on de que numerosos algoritmos del Algebra Lineal, pod´ıan reescribirse como factorizaciones de matrices en producto de otras matrices con ´ caracter´ısticas muy particulares. Este es el caso del algoritmo de Gram-Schmidt, la matriz original escrita como el producto de una ortogonal por una triangular, o el caso que nos ocupa, el m´etodo de Gauss, visto como la b´ usqueda de la factorizaci´on de A como el producto de una matriz triangular inferior por una superior. La utilidad que se concedi´o a este tipo de factorizaciones fue en un primer momento m´as bien te´orica pero r´apidamente se encontr´o aplicaciones pr´acticas y su uso en la actualidad es profuso. Estudiaremos en lo que sigue la factorizaci´on LU y variantes y dejaremos para m´as adelante (Lecci´on IV) otro tipo de factorizaciones.
3.2.1.
Descomposici´ on LU
Supongamos que se dispone de una descomposici´on A = LU
donde L y U son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. En este caso, la resoluci´on del sistema lineal Ax = b es equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones triangulares Ly = b, U x = y. el primero triangular superior y el segundo triangular inferior. Puesto que el costo de resoluci´on de cada sistema es O(n2 ) operaciones (total de sumas y productos) obtenemos una ventaja decisiva en la resoluci´on del sistema.
Ejercicio 3.8 Implementa la resoluci´on de un sistema de ecuaciones Lx = b donde L es triangular inferior con 1s en la diagonal.
Si abordamos directamente la resoluci´on de la ecuaci´on A = LU , nos encontramos con un sistema no lineal con n2 + n inc´ognitas (las entradas de L y U ) y n2 ecuaciones (una por cada elemento de a). Por tanto, el sistema resultante no deber´ıa admitir soluci´on 44
´ I LECCION
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
r do rra Bo
u ´nica. Si exigimos que L tenga 1s sobre la diagonal, el n´ umero de inc´ognitas pasa a ser 2 de n y por tanto tenemos ya un sistema cuadrado (aunque no lineal). Se trata entonces de estudiar el siguiente problema: dada una matriz A de tama˜ no n × n, encontrar L y U de la forma 1 u11 u12 · · · u1n `21 1 u22 · · · u2n L = .. U = , .. . . .. , . . . . . . . `n1 `n2 · · · 1 unn
y tales que A = LU. El c´alculo de esta descomposici´on se puede llevar a cabo sin m´as que exigir que el producto LU sea igual al de A. As´ı empezamos despejando la primera fila de U (que es igual que la de A por ser `11 = 1). Una vez conocida esa fila, se puede despejar la primera columna de L, utilizando que el producto de L por la primera columna de U (que consta de un u ´nico elemento no nulo y ya es conocido del paso anterior) da la primera columna de A. Procedemos sucesivamente de esta forma, construyendo U por filas y L por columnas. Descomposici´ on LU (M´ etodo de Doolittle) 01 02
for k = 1 : n for j = k : n
ukj = akj −
03
k−1 X
`kp upj
p=1
04 05 06
end `kk = 1 for i = k + 1:n k−1 X `ip upk /ukk `ik = aik −
07
p=1
08 09
end
end
El n´ umero de operaciones del algoritmo resulta ser igual al del m´etodo de Gauss, con lo cual no hemos conseguido una ventaja significativa. Sin embargo, disponer de esta descomposici´on es especialmente u ´til si se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz pero con t´erminos independientes diferentes. Las operaciones que conllevan un mayor coste son las correspondientes al c´alculo de las matrices L y U , pero u ´nicamente hay que realizar esta descomposici´on una vez para posteriormente resolver en cada caso dos sistemas triangulares. Ejercicio 3.9 Implementar la descomposici´on LU en Matlab mediante una funci´on cuya entrada sea una matriz cuadrada y su salida sean las matrices L y U correspondientes. (Ayuda: la funci´on por tanto devuelve dos valores.)
45
´ I LECCION
3.2 Descomposiciones matriciales
r do rra Bo
Al observar el algoritmo del m´etodo, las operaciones recuerdan a las efectuadas por el m´etodo de Gauss. Esto no es tan sorprendente cuando se analizan con detenimiento los calculados realizados. Se puede ver entonces que en el c´alculo de la descomposici´on LU se est´an haciendo exactamente las mismas operaciones que al aplicar el m´etodo de Gauss. En efecto, definamos ( (1) aij = aij i, j = 1, . . . , n (k+1)
aij
(k)
(k)
= aij − `ik akj ,
k ≥ 1,
1 ≤ i, j ≤ n − k
donde `ki viene dada por el algoritmo de Doolitle (l´ınea 07). Entonces, de acuerdo con el algoritmo de la factorizaci´on LU , los elementos de la primera fila de U y de la primera columna de L vienen dados por (1)
(1)
u1j = a1j ,
`i1 =
ai1
(1)
.
a11
En el siguiente paso, se observa que
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
u2j = a2j − `21 u1j = a2j − `21 a1j = a2j `i2 =
(2)
a − `i1 a ai2 − `i1 u12 a = i2 (2) 12 = i2 . (2) u22 a22 a22
Reiterando el mismo razonamiento concluimos que
(j)
uij =
(i) aij ,
i ≤ j,
`ij =
aij
(j)
,
i > j.
ajj
Por tanto U es de hecho la matriz triangular que queda al aplicar el m´etodo de Gauss mientras que L est´a formada por los elementos que se han utilizado para hacer ceros en el proceso. Esto es, el elemento i, j de L, denotado por `ij , coincide con la constante `ij calculado en la l´ınea 03 del m´etodo de Gauss y por tanto no hay una contradicci´on de notaciones. En particular, la propiedad anterior propone una forma alternativa de calcular la descomposici´on LU de una matriz es la siguiente modificaci´on del programa del Ejercicio 3.1: 11 12 13 14 15 16 17
for i=1:n-1} a(i,i+1:n)=0; %hacemos cero la columna i for k=i+1:n} l(k,i)=a(k,i)/a(i,i); a(k,i+1:n)=a(k,i+1:n)-l(k,i)*a(i,i+1:n); end end
La matriz U estar´ıa entonces almacenada en a.
Ejercicio 3.10 Una forma compacta de devolver la descomposici´on LU es insertar L en la parte triangular inferior de a. De esta forma, tras aplicar el m´etodo, a tiene en la parte superior la matriz U , mientras que por debajo de la diagonal encontramos L (exceptuando su diagonal de 1s). Implementa esta modificaci´on. 46
´ I LECCION
3.2.2.
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
Casos particulares
M´ etodo de Cholesky En una gran variedad de problemas pr´acticos aparecen matrices sim´etricas definidas positivas. Este tipo de matrices puede descomponerse en la forma
r do rra Bo A = LL>
donde
L=
`11 `21 `22 .. .. . . . . . `n1 `n2 · · · `nn
.
Gracias a la simetr´ıa de la matriz, tanto el n´ umero de operaciones como de posiciones de memoria requeridos pueden reducirse a la mitad. El algoritmo resultante es conocido como el m´etodo de Cholesky. M´ etodo de Cholesky 01
02
for k = 1:n v u k−1 u X `2kr `kk = takk − r=1
for j = k + 1:n k−1 X `jr `kr /`kk `jk = ajk −
03 04
r=1
05 06
end
end
Ejercicio 3.11 Implementa una funci´on que tenga como entrada una matriz A y devuelva la matriz L correspondiente. Debe avisar si la descomposici´on no ha podido llevarse a cabo. Implementa tambi´en una segunda funci´on que tenga como entradas la matriz L triangular y un t´ermino independiente b y que devuelva la soluci´on del sistema (LL> )x = b.
Para ello se requiere la resoluci´on de los sistemas triangulares L> x = y.
Ly = b,
LU con permutaci´ on
El m´etodo de Gauss con pivotaje parcial es equivalente a la decomposici´on P A = LU 47
´ I LECCION
3.2 Descomposiciones matriciales
donde P es el resultado de permutar las filas (o columnas) de la identidad. Alternativamente, equivale a una descomposici´on de la forma b A = LU
r do rra Bo b = P −1 L, de forma que L b es una permutaci´on de la matriz triangular inferior9 . donde L La siguiente subrutina devuelve esa descomposici´on.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
% % % % % % %
LUPERMUTACION
[L,U]=LUPERMUTACION(A)
devuelve U triangular superior, L permutacion por filas de una matriz triangular inferior con 1s en la diagonal de forma que A=L*U
function [l,u]= LUPermutacion(a) n=length(a); p=1:n;
for i=1:n-1 [maximo,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1; p([i r])=p([r i]); for k=i+1:n l(p(k),i)=a(p(k),i)/a(p(i),i); a(p(k),i:n)=a(p(k),i:n)-l(p(k),i)*a(p(i),i:n); end end for i=1:n l(p(i),i)=1; end u=a(p,:); return
3.2.3.
Comandos correspondientes en Matlab
Todas las factorizaciones vistas con anterioridad est´an, por supuesto, implementadas en Matlab. Algunos de los comandos relacionados son 9
Esto es, es el resultado de reordenar las filas de L.
48
´ I LECCION
Cap´ıtulo 3. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
[l,u]=lu(a) devuelve u triangular superior, l permutaci´on de una triangular inferior con 1s en la diagonal de forma que a=l*u. [l,u,p]=lu(a) devuelve u triangular superior, l triangular inferior con 1s en la diagonal y p matriz de permutaci´on de forma que p*a=l*u.
r do rra Bo
r=chol(a) devuelve r triangular superior de forma que a=r’*r. Observa que con las notaciones introducidas r es precisamente la traspuesta de la matriz L, expuesta en nuestro algoritmo. El comando asume que la matriz es sim´etrica por lo que s´olo trabaja con la parte superior de la matriz.
Otra descomposici´on habitual10 es la denominada QR que devuelve Q ortogonal (es decir, Q> Q = In ) y R triangular superior de forma que A = QR. El comando encargado de esta tarea es qr. Con estas instrucciones la soluci´on de un sistema utilizando la descomposici´on LU se ejecuta con las siguientes l´ıneas [l,u]=lu(a); x=u\(l\b);
La colocaci´on de los par´entesis es esencial. Con u\l\b se calcula (u−1 l)−1 b que obviamente no tiene nada que ver con la soluci´on del sistema. No hay que preocuparse por el hecho de que las matrices sean triangulares (o permutaci´on de una triangular). Matlab, y en concreto la instrucci´on \ detecta esto y resolver´a el sistema por sustituci´on progresiva (o regresiva), sin intentar realizar la eliminaci´on gaussiana.
Nota hist´ orica11
Ideas similares a la eliminaci´on gaussiana pueden encontrarse muchos siglos atr´as, con referencias que se remontan a las matem´aticas babil´onicas y chinas. Carl Friedreich Gauss introdujo el m´etodo que lleva su nombre entorno a 1800 cuando trataba de resolver un problema de ajuste por m´ınimos cuadrados relacionado con el c´alculo de la ´orbita del asteroide Palas. Parece ser que Joseph Louis Lagrange hab´ıa utilizado ideas similares 50 a˜ nos antes para dilucidar si una forma cuadr´atica (hoy dir´ıamos matriz) era definida positiva. El matem´atico alem´an Carl Gustav Jacob Jacobi extendi´o la idea de la eliminaci´on gaussiana a matrices arbitrarias. Es rese˜ nable que la noci´on de matriz tal como la conocemos ahora era desconocida para Gauss y Lagrange. El concepto de matriz, y el ´algebra asociada (esto es, las operaciones) habr´ıan de esperar a los trabajos de James J. Sylvester (que en 1848 introdujo el t´ermino matriz) y de Arthur Cayley (que siete a˜ nos despu´es defini´o el producto matricial identific´andolo con el c´alculo de la composici´on de aplicaciones lineales y defini´o la inversa de una matriz). Importantes fueron tambi´en las contribuciones del f´ısico Hermann 10
Veremos dos algoritmos para obtener esta descomposici´on en la Lecci´on IV. Aunque para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales la descomposici´on QR es m´as estable num´ericamente que la LU, se suele optar por esta u ´ltima por tener un menor coste computacional (aproximadamente la mitad). 11 Las principales referencias utilizadas para esta nota han sido “Very Early Days of Matrix Computations”, Beresford Parlett en SIAM News, 3, no 9; “Matrix Algorithms”, G.W. Stewart; “Computer solutions of large system of equations”, G. Merant y “An introduction to Numerical Analysis”, E. S¨ uli y D. Mayers. Estas referencias est´ an completamente detalladas en la bibliograf´ıa.
49
´ I LECCION
3.2 Descomposiciones matriciales
r do rra Bo
Grassmann (introdujo la primera ´algebra vectorial no conmutativa, basada en el producto vectorial de dos vectores; consider´o tambi´en el producto de un vector fila por un vector columna que daba lugar a una matriz de rango uno), Willard Gibbs y Paul A. Dirac. La equivalencia entre la descomposici´on LU y la eliminaci´on gaussiana parece que fue probada por primera vez por Paul S. Dwyer en 1944. Curiosamente, la descomposici´on de Cholesky es anterior. Publicado p´ostumamente en 1924 en una revista de Geodesia (Andr´e-Louis Cholesky muri´o en 1918). El trabajo original trataba sobre la resoluci´on de un problema de ajuste por m´ınimos cuadrados y pas´o desapercibido hasta que fue rescatado por John Todd a finales de los a˜ nos 1940. Los primeros an´alisis sobre la estabilidad num´erica de la eliminaci´on gaussiana, es decir la viabilidad de su programaci´on, se remontan a los trabajos de Harold Hotelling, Alan Turing12 , John von Neumann y Herman Heine Goldstine. Los resultados iniciales eran descorazonadores. Harold Hotelling prob´o en torno a 1940 que el error de redondeo podr´ıa crecer como 4n donde n era el orden de la matriz. Este resultado colocaba al m´etodo de Gauss como un m´etodo inviable para la resoluci´on de grandes sistemas lineales. Turing lleg´o a resultados similares de manera informal. El an´alisis de Neumann y Goldstine ya probaba que el m´etodo era estable para matrices definidas positivas13 . James H. Wilkinson, reconocido universalmente como el padre del an´alisis moderno de estabilidad (frente a los errores de redondeo), extendi´o el an´alisis a matrices generales y mostr´o que el pivotaje mejoraba enormemente la estabilidad del m´etodo. Lo m´as curioso es que el an´alisis inicial estaba enfocado m´as hacia el c´alculo de la inversa de la matriz que al m´etodo de Gauss. Como curiosidad final, Cleve Moler, programador original de Matlab, cita14 a Wilkinson y Todd entre las personas que tuvieron una gran influencia en su formaci´on y por ende en los or´ıgenes de Matlab.
12
La vida de Alan Turing es una de las m´as tr´agicas en historia de las matem´aticas. Dotado de una inteligencia precoz, realiz´ o contribuciones importantes en l´ogica y computaci´on. Trabaj´o durante la segunda guerra mundial en Bletchley Park en el descifrado de los c´odigos alemanes encriptados con la m´aquina Enigma mediante la utilizaci´ on del primer ordenador electr´onico en el mundo (Colossus). El papel que este trabajo an´ onimo tuvo en la victoria aliada, los alemanes siempre estuvieron seguros de que su c´odigo era indescifrable, s´ olo ha empezado a reconocerse en fechas recientes. La presi´on y aislamiento a la que Turing fue sometido por su homosexualidad, llegando incluso a ser detenido por ello, le llev´o al suicidio en 1954 despu´es de haberse sometido a un tratamiento con bromuro para curarle de su enfermedad. 13 En los primeros a˜ nos se sugiri´ o incluso resoluci´on de un sistema Ax = b mediante las ecuaciones normales A> Ax = A> b (A> A es sim´etrica y definida positiva). 14 http://www.mathworks.com/company/newsletters/news notes/clevescorner/dec04.html
50
r do rra Bo Lecci´on II
Programaci´on avanzada en Matlab. M´etodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales
51
r do rra Bo
r do rra Bo
Introducci´ on
Homer: Marge? Since I’m not talking to Lisa, would you please ask her to pass me the syrup? Marge: Dear, please pass your father the syrup, Lisa. Lisa: Bart, tell Dad I will only pass the syrup if it won’t be used on any meat product. Bart: You dunkin’ your sausages in that syrup homeboy? Homer: Marge, tell Bart I just want to drink a nice glass of syrup like I do every morning. Marge: Tell him yourself, you’re ignoring Lisa, not Bart. Homer: Bart, thank your mother for pointing that out. Marge: Homer, you’re not not-talking to me and secondly I heard what you said. Homer: Lisa, tell your mother to get off my case. Bart: Uhhh, dad, Lisa’s the one you’re not talking to. Homer: Bart, go to your room. The Simpsons, Episodio 5, temporada 5, Lisa the Vegetarian
En el primer apartado entraremos en aspectos m´as avanzados en el tratamiento de vectores y matrices en Matlab, haciendo hincapi´e especial en la manipulaci´on de matrices sparse. Veremos tambi´en c´omo se pueden implementar funciones donde el n´ umero de argumentos de entrada y salida son variables. En la parte matem´atica, tocaremos la teor´ıa b´asica de m´etodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. Empezaremos con los m´etodos cl´asicos: Jacobi, Gauss–Seidel y relajaci´on de Young, para pasar luego a m´etodos m´as modernos y elaborados: el m´etodo del Gradiente y especialmente, el m´etodo del Gradiente Conjugado. En esta lecci´on nos permitiremos hacer algo de Matem´aticas. Animamos a que el lector no se asuste por ello y a que trate de entender los enunciados y las demostraciones que se ´ ofrecen. Para ello se asumen unos conocimientos m´ınimos en Algebra Lineal.
53
r do rra Bo
r do rra Bo
Cap´ıtulo 4
Matlab: programaci´ on avanzada 4.1.
Retorno a las matrices
A estas alturas el lector ya deber´ıa estar convencido sobre las capacidades de Matlab en lo que se refiere al manejo de enormes cantidades de memoria. En esta secci´on expondremos algunos comandos adicionales y entraremos con cierto detalle en la manipulaci´on de matrices sparse1 .
4.1.1.
Acceso a partes estructuradas de una matriz
En ocasiones es importante tomar partes precisas de una matriz que no son necesariamente partes de filas, columnas o simplemente submatrices (estas acciones ya se trataron en la primera lecci´on). Para este fin nos pueden servir las siguientes instrucciones diag
triu
tril
La primera toma la diagonal de una matriz mientras que la segunda y tercera toman la parte triangular superior (upper) e inferior (lower) respectivamente. Adem´as estos comandos son algo m´as flexibles de lo que pueda parecer a simple vista como veremos a continuaci´on. Empecemos introduciendo una matriz >> a=[11 12 13; 21 22 23; 31 32 33];
El resultado de los siguientes comandos es, a la luz de lo anterior, esperable >> diag(a) ans = 11 22 33
1
Aceptaremos este anglicismo en lo que sigue. En ocasiones este vocablo se traduce por matrices huecas o matrices dispersas.
55
´ II LECCION
4.1 Retorno a las matrices
>> triu(a) ans = 12 22 0
13 23 33
r do rra Bo
11 0 0
>> tril(a) ans = 11 21 31
0 22 32
0 0 33
El usuario puede especificar qu´e diagonal se escoge, o a partir de qu´e diagonal se toma la matriz triangular. La diagonal principal es la cero y las subdiagonales inferiores (respectivamente superiores) est´an numeradas consecutivamente con n´ umeros enteros negativos (respectivamente positivos). El siguiente ejemplo ilustra estas caracter´ısticas. >> diag(a,-1) ans =
21 32
>> tril(a,-1) ans =
0 21 31
0 0 32
0 0 0
>> triu(a,0) ans =
11 0 0
12 22 0
13 23 33
Ejercicio 4.1 Programa una funci´on que dada una matriz a devuelva un vector d con los elementos de la diagonal, una matriz triangular superior u con todos los elementos de a situados 56
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada
encima de la diagonal superior y l una matriz triangular inferior con todas las entradas de debajo de la diagonal principal. Ejercicio 4.2 ¿Qu´e sucede si aplicamos los comandos anteriores a matrices rectangulares?.
r do rra Bo
Con diag podemos tambi´en construir a partir de un vector una matriz diagonal >> diag([1 2])
% es lo mismo que diag([1 2],0)
ans =
1 0
0 2
>> diag([1 2],1) ans =
0 0 0
1 0 0
0 2 0
Ejercicio 4.3 ¿C´omo utilizar´ıas el comando diag para generar una matriz con la diagonal de una dada?. Nota. El comando blkdiag permite construir matrices diagonales por bloques: >> blkdiag(1,[1 2; 3 4], 5) ans=
1 0 0 0
0 1 3 0
0 2 4 0
0 0 0 5
Trasposici´ on de matrices
Dada una matriz A, la matriz traspuesta A> es la matriz resultante de intercambiar las filas con las columnas de A. Esto es, las filas de A pasan a ser las columnas de A> . Esta operaci´on se denota en Matlab con “ ’ ” : >> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a’ ans = 57
´ II LECCION
4.1 Retorno a las matrices
1 2 3
0 2 4
r do rra Bo
Obviamente, tambi´en se aplica sobre vectores:
>> b=[1;2;3]; % vector COLUMNA con tres elementos >> b’ % vemos ahora un vector FILA ans =
1
2
3
De nuevo nos encontramos con esta propiedad sobre la que ya hemos incidido: Matlab distingue entre vectores filas y columnas, y esta diferencia se hace especialmente palpable (y en ocasiones molesta) a la hora de realizar operaciones como productos matriz-vector.
Nota. En Matlab existe tambi´en el operador “.’”. Sobre matrices reales funciona exactamente igual que el comando anterior, pero no as´ı sobre n´ umeros complejos. Adem´as de trasponer, “’”, conjuga todas las entradas. Es decir, cambia el signo a la parte imaginaria de cada elemento. Matem´aticamente hablando, ´este es el operador de trasposici´on o conjugaci´on, denotado habitualmente en matem´aticas con “A∗ ”. Por contra, “.’” se limita a intercambiar filas por columnas en la matriz: >> clear i % i es ahora la unidad imaginaria >> a=[i 1-2i; 1 0.3+4i]; >> a.’ ans =
0 + 1.0000i 1.0000 - 2.0000i
1.0000 0.3000 + 4.0000i
>> a’ ans =
0 - 1.0000i 1.0000 + 2.0000i
1.0000 0.3000 - 4.0000i
Dada una matriz a, si ejecutamos a(:), obtenemos el vector columna que se construye concatenando las columnas de a. T´ecnicamente hablando, nos est´a mostrando la matriz tal como se guarda en memoria. Por ejemplo, 58
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada
>> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a(:) ans =
r do rra Bo
1 0 2 2 3 4
>> a=a’; %trasponemos a >> a(:) ans =
1 2 3 0 2 4
Esto puede utilizarse para hacer un par de trucos:
En ocasiones la entrada de una funci´on es un vector, sin importar si ´este es fila o columna. La instrucci´on
>> b=b(:);
har´a de b un vector columna, sea cual sea su formato inicial. Si lo que se desea es un vector fila, basta con trasponer >> b=b(:)’; % b=b(:).’ mejor por si b es complejo
Se puede utilizar para introducir las entradas de una matriz por columnas. A modo de ejemplo, >> a=zeros(4,3); >> a(:)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] a =
59
´ II LECCION
4.1 Retorno a las matrices 1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
r do rra Bo
>> a2=zeros(2,6); >> a2(:)=a(:) a2=
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
Nota. El comando reshape permite modificar las dimensiones de una matriz (o array en general). Es m´as flexible que el comando “:”.
4.1.2.
M´ as operaciones sobre matrices
Hasta ahora las operaciones matriciales que han centrado nuestra atenci´on son las fundamentales: suma y producto. En Matlab est´an tambi´en implementadas otras operaciones ´ comunes en el Algebra Lineal. Entre todas ellas destacamos dot: Calcula el producto escalar de dos vectores: >> dot([1 2 3],[4 5 6]) ans =
32
Devuelve el produto 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. Este comando no distingue entre vectores filas y columnas, y es aplicable siempre que tengan la misma longitud. La funci´on se puede aplicar a matrices bien por columnas, ´esta es la forma est´andar2 , o por filas. >> a=[1 2 3; 4 5 6]; a2=[1 1 1; 1 1 1]; >> dot(a,a2) % producto por columnas ans =
5
2
7
9
Recuerda la predilecci´ on de Matlab por las columnas.
60
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada
>> dot(a,a2,2) % producto por filas ans =
r do rra Bo
6 15
sum: calcula la suma de las entradas un vector. Es aplicable tambi´en a matrices, en el sentido del comando anterior >> v=[1 2 3]; a=[1 2 3; 4 5 6]; >> sum(v) ans =
6
>> sum(a)
% suma por columnas
ans =
5
7
>> sum(a,2)
9
% suma por filas
ans =
6 15
prod: Como sum pero con el producto.
max: Calcula el m´aximo en un vector. Puede devolver su posici´on en el vector. Aplicado sobre matrices funciona de la misma forma que dot o sum. Esto es, devuelve el m´aximo de cada columna por defecto, o de cada fila si as´ı se le indica >> v=[-2 -5 -3]; a=[2 3 8; -4 2 9]; >> max(v) ans=
-2
>> [p,m]=max(abs(v)); [p,m]
61
´ II LECCION
4.1 Retorno a las matrices ans = 5
2
>> max(a)
r do rra Bo ans =
2
3
9
>> max(a,[],2)
% busqueda por filas
ans =
8 9 >> [m,p]=max(a,[],2); p % posicion del maximo ans=
1 1
La raz´on por la que se utiliza [] en la l´ınea anterior es que esta instrucci´on tambi´en se puede utilizar para comparar dos arrays del mismo tama˜ no >> a1=[3 1 2; 5 3 2]; a2=[4 2 1; 1 2 3]; >> max(a1,a2) ans =
4 5
2 3
2 3
Al insertar el vac´ıo indicamos a Matlab que no existe un segundo vector y que debe proceder a buscar el m´aximo de a en su segunda dimensi´on, esto es, el m´aximo por filas.
min: Calcula el m´ınimo procediendo exactamente igual que max.
norm: norma de una matriz o vector. Se puede escoger entre varias normas.
>> v=[1 2 3];a=[1 2; 3 4]; >> [norm(v) norm(v,1) norm(v,inf)] % norma 2, 1 e infinito de v ans =
62
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada 3.7417
6.0000
3.0000
>> [norm(a) norm(a,1) norm(a,inf)] % normas matriciales ans =
r do rra Bo 5.4650
6.0000
7.0000
En la Secci´on 5.2.3 comentaremos brevemente la definici´on de estas normas.
rank: rango num´erico de una matriz. Esto es, el n´ umero m´aximo de filas o columnas 3 linealmente independientes .
cond: Calcula norm(a)*norm(inv(a)), el condicionamiento de una matriz4 . El condicionamiento da una medida de la sensibilidad del sistema a perturbaciones en el t´ermino independiente.
rcond: estimador del inverso del condicionamiento de una matriz. Es sensiblemente m´as econ´omico de calcular que cond.
Nota. Cuando el comando dot se aplica a dos vectores complejos, procede siempre a conjugar el primer vector. Es decir, matem´aticamente n X
dot(u, v)
ui v i .
i=1
As´ı,
>> u=[1+i 2+2i]; v=[2 1]; >> dot(u,v) ans =
4.0000 - 4.0000i
>> dot(v,u) ans =
4.0000 + 4.0000i
Ejercicio 4.4 ¿C´omo sumar´ıas los elementos de una matriz?. ¿C´omo encontrar´ıas el m´ınimo y el m´aximo?. ¿Y su posici´on? 3
Una matriz tiene, en general, rango m´ aximo por los errores de precisi´on de la m´aquina. Este comando hace una estimaci´ on del rango, eliminando este factor. 4 En realidad no construye la inversa de la matriz por ser costoso.
63
´ II LECCION
4.1 Retorno a las matrices
4.1.3.
Matrices sparse
r do rra Bo
Las matrices sparse son una importante clase de matrices que surge en diferentes a´mbitos del An´alisis Num´erico y de las Matem´aticas y ciencias en general (elementos finitos, teor´ıa de grafos,...). En la Figura 4.1 se puede ver un ejemplo de una matriz sparse sim´etrica donde los puntos indican las entradas diferentes de cero. Desde una ´optica puramente computacional hace falta desarrollar sistemas de almacenamiento especiales dado que la inmensa mayor´ıa de las entradas no deben ser almacenadas porque son nulas.
Figura 4.1: Diagrama de un matriz sparse 400 × 400 con 2690 elementos no nulos. Matlab provee de forma muy sencilla ese almacenamiento. Con >>a=sparse(100,100); b=sparse(100,1);
declaramos a como una matriz sparse 100×100 y un vector columna b de 100 elementos. Todas las entradas son inicialmente ceros, pero se guarda la estructura b´asica para introducir los elementos no nulos >> a=sparse(100,100) a =
All zero sparse: 100-by-100
>> a(4,4)=1; a(8,9)=-4; a(80,45)=-1; a(99,100)=4; >> a a =
64
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada
(4,4) (8,9) (80,45) (99,100)
1 -4 -1 4
r do rra Bo
Para transformar una matriz llena (convencional) en una matriz sparse podemos utilizar tambi´en este comando >> a=diag([1 2 3 4 5]); >> a=sparse(a) a =
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5)
1 2 3 4 5
Con full realizamos la operaci´on inversa: transforma una matriz sparse en una matriz llena, >> a=full(a) a =
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
La instrucci´on spalloc tiene un funcionamiento muy similar a sparse. Es u ´til si se sabe el n´ umero de elementos no nulos que tendr´a dicha matriz. Concretamente >> a=spalloc(8,7,12)
declara una matriz 8 × 7 con a lo sumo 12 elementos no nulos. Al informar de cu´antos elementos no nulos se esperan Matlab hace una gesti´on m´as eficiente de la memoria. El comando nnz (Non zeros) nos informa del n´ umero de elementos no nulos de una matriz, mientras que su esquema (pattern), como el que aparece en la Figura 4.1, se obtiene con spy: >> a=sparse(10,10); >> a(1,4)=1; a(2,8)=-4; a(3,9)=1; a(7,8)=5; >> nnz(a) ans=
65
´ II LECCION
4.2 Argumentos de funciones 4 >> spy(a)
r do rra Bo
La gr´afica se despliega en una ventana separada. Todas las operaciones que hemos visto est´an adaptadas al nuevo entorno. As´ı, los operadores :
triu
tril
diag
devuelven vectores/matrices sparse. Las operaciones *
+
.*
dot
’
est´an asimismo optimizadas. El problema de generar c´odigo eficiente no es tan simple como pudiera parecer. Por ejemplo, si se aplica la funci´on dot a dos vectores sparse es preciso saber antes qu´e entradas hay que multiplicar. De otra forma podr´ıamos estar dedicando un alto porcentaje de nuestro esfuerzo en simplemente calcular productos por cero. Afortunadamente, Matlab hace ese trabajo por nosotros. Por otro lado, aparecen una nueva serie de comandos, que devuelven matrices sparse, entre los que merece la pena destacar spdiags maneja las diagonales de una matriz de forma an´aloga a diag;
speye devuelve una matriz diagonal con unos, o similar (an´aloga a eye);
spones matriz de 1s, similar a ones;
sprand, sprandn construyen una matriz sparse con entradas aleatorias (similar a rand);
Ejercicio 4.5 Con la ayuda de Matlab averigua la sintaxis concreta de los comandos anteriores y comprueba con alg´un ejemplo c´omo funcionan.
4.2.
Argumentos de funciones
Veremos a continuaci´on c´omo se pueden programar funciones en las que tanto el n´ umero de argumentos de entrada como de salida sean variables. Esta caracter´ıstica dota de una mayor flexibilidad a la programaci´on en Matlab. Los comandos esenciales que precisamos son varargin
nargin
varargout
nargout
La instrucciones nargin y nargout informan respectivamente sobre el n´ umero de variables de entrada y el n´ umero de variables de salida (number of input arguments y number of output arguments). Una funci´on puede aceptar una serie de argumentos fijos, al estilo de las funciones que programamos en la lecci´on anterior, y un conjunto de argumentos opcionales, que pueden 66
´ II LECCION
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada
ser o no especificados por el usuario. Para su acceso se utilizan respectivamente varargin (variable input argument) y varargout (variable output argument) mediante llaves ({})5 . Mostramos a continuaci´on un ejemplo de utilizaci´on conjunta de estas nuevas instrucciones. En la cabecera se informa de qu´e hace la funci´on, dependiendo de los argumentos de entrada y salida.
r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
% DESCOMPOSICIONLU % % [L,U] = DESCOMPOSICIONLU(A) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU % % [L,U,X] = DESCOMPOSICIONLU(A,B) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang. inferior con 1s en la diagonal tal % que A=LU y la solucion del sistema AX=B function varargout=DescomposicionLU(a,varargin) [l,u]=lu(a);
% descomposicion LU
if nargin==1 & nargout==2 varargout{1}=l; varargout{2}=u; elseif nargin==2 & nargout==3 b=varargin{1}; % leemos el primer argumento opcional... varargout{1}=l; varargout{2}=u; varargout{3}=u\(l\b); % solucion del sistema end
Como puede comprobarse, la funci´on precisa de un argumento obligatorio, la matriz a, uno opcional, el t´ermino independiente, y devuelve dos o tres argumentos seg´ un se requiera. Observa los resultados que se han obtenido para varios ejemplos: >> a=[1 3; 2 4]; >> [l,u]=DescomposicionLU(a) l =
0.5000 1.0000
1.0000 0
u =
5
Las variables varargin y varargout son de un tipo especial denominado cell array. En la Lecci´on IV estudiaremos su funcionamiento con m´ as detalle.
67
´ II LECCION
4.2 Argumentos de funciones 2 0
4 1
>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a,[1 2].’)
r do rra Bo
l =
0.5000 1.0000
1.0000 0
u =
2 0
4 1
x =
1 0
>> [l,u]=DescomposicionLU(a,[1 2]) %falta un arg. de salida ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments.
>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a) %faltan arg. de entrada ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments.
Ejercicio 4.6 A partir de la funci´on anterior implementa una funci´on que opere seg´un la “siguiente cabecera” % % % % % % % % % % % % % % %
DESCOMPOSICIONLU2 R
= DESCOMPOSICIONLU2(A) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R [R,X] = DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R y la solucion del sistema AX=B [L,U] = DESCOMPOSICIONLU2(A) Devuelve U triang superior, L permutacion de una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU [L,U,X]= DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Devuelve U triang superior, L permutacion de 68
´ II LECCION % %
Cap´ıtulo 4. Matlab: programaci´on avanzada una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU y la solucion del sistema AX=B
Nota: Realizar la comparaci´on A’==A para testar si la matriz es sim´etrica. ¿Qu´e devuelve esta comparaci´on? ¿C´omo se puede utilizar para comprobar si efectivamente la matriz es sim´etrica? ¿Y para ver que es definida positiva?.
r do rra Bo 69
´ II LECCION
4.2 Argumentos de funciones
r do rra Bo 70
r do rra Bo
Cap´ıtulo 5
Matrices sparse en Matem´ aticas. M´ etodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 5.1.
M´ etodo de Gauss para matrices sparse
Esta secci´on se centra en el estudio del m´etodo de Gauss para matrices sparse. Mostraremos los problemas que presenta la aplicaci´on de este algoritmo a este tipo de matrices, especialmente el efecto relleno y algunas estrategias de reordenamiento que mitigan estos efectos adversos. Sirve asimismo para ahondar en la problem´atica de los m´etodos directos y allanar y fundamentar los m´etodos iterativos que se tratan en las siguientes secciones. Recordemos que en Matlab la resoluci´on de sistemas de ecuaciones utilizando >> x=a\b;
se basa en el m´etodo de Gauss (o alguna de sus variantes). Puede plantearse la cuesti´on de si es adecuado utilizar “\” para matrices con formas especiales como por ejemplo matrices triangulares o permutaciones de ´estas, para las que la eliminaci´on gaussiana no es necesaria puesto que las variables se pueden despejar de forma progresiva. Afortunadamente Matlab detecta estas estructuras b´asicas y resuelve de una manera ´optima el sistema. Si se consulta la ayuda para este comando se puede leer que se reconoce si una matriz es, por ejemplo, sparse o llena, sim´etrica o no sim´etrica, triangular o permutaci´on de ´esta, bandeada (los elementos concentrados en torno a la diagonal), de Hessenberg1 (con todos los elementos por debajo de la subdiagonal principal nulos), etc., y aplica el m´etodo directo m´as conveniente en cada caso. Testar si una matriz pertenece a uno de estos tipos se puede realizar en un n´ umero de operaciones despreciable respecto a las del m´etodo de Gauss. Hemos visto al final de la Lecci´on I que el m´etodo de Gauss es matem´aticamente equivalente a calcular dos matrices L y U triangular inferior y superior respectivamente con 1s en la diagonal de L de forma que A = LU. 1
Ver Lecci´ on IV
71
´ II LECCION
5.1 M´etodo de Gauss para matrices sparse
Si se dispone de esta descomposici´on, la resoluci´on del sistema de ecuaciones se reduce a la resoluci´on de dos sistemas triangulares, Ax = b,
Ly = b,
U x = y,
o en c´odigo de Matlab2
r do rra Bo [l,u]=lu(a); x=u\(l\b);
Una caracter´ıstica muy habitual del m´etodo de Gauss para matrices sparse es el efecto relleno (en ingl´es fill in), esto es, la inserci´on de nuevos elementos en el proceso. Por ejemplo, tras un u ´nico paso del m´etodo de Gauss x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∼ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
y la matriz es ahora llena. Sin llegar a esos extremos, es habitual que las necesidades de memoria se multipliquen al aplicar la eliminaci´on gaussiana. En la descomposici´on LU esto se refleja en un incremento en el n´ umero de entradas no nulas de la matriz con los problemas que ello lleva consigo (mayores requerimientos de memoria, mayor costo computacional,...). Vamos a ver como podemos reducir este molesto comportamiento con un reordenamiento adecuado de filas (ecuaciones) y columnas (inc´ognitas). Dado que en aplicaciones pr´acticas las matrices sim´etricas son muy comunes3 nos restringiremos en lo que sigue a esta familia de matrices. Con el fin de preservar la simetr´ıa, cualquier intercambio de filas debe ser seguido por el intercambio de columnas correspondientes: x 0 0 x x x x 0 0 x 0 x x 0 0 x x 0 0 0 3 0 x x 0 x 1↔ 0 0 x x x −→ x 0 0 x 0 0 0 x x 0 x 0 x 0 x x 0 x 0 x En los comandos
symrcm
symmmd
est´an implementados dos algoritmos de reordenaci´on muy populares: el algoritmo de Cuthill-McKee inverso y el algoritmo de m´ınimo grado. El primero reordena de forma que los t´erminos no nulos de la matriz tienden a estar concentrados cerca de la diagonal. El algoritmo de m´ınimo grado por su parte tiende a mover los elementos no nulos hacia el final de la matriz de forma que la estructura inicial de la matriz es esencialmente diagonal y el efecto relleno surge cuando el m´etodo de Gauss est´a ya muy avanzado. 2
Recuerda la colocaci´ on de los par´ antesis. O al menos matrices con estructura sim´etrica, esto es, a(i, j) 6= 0 ⇔ a(j, i) 6= 0. Todo lo que sigue es igualmente v´alido para este tipo de matrices. 3
72
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
r do rra Bo Figura 5.1: Resultado de reordenar las filas y columnas con symrcm y symmmd.
Este tipo de t´ecnicas tuvieron su origen en la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales mediante m´etodos num´ericos. Un buen ejemplo lo encontramos en la Figura 5.1 obtenido al aplicar estas dos reordenaciones a una matriz proveniente de la resoluci´on de la ecuaci´on de Laplace por elementos finitos. Observa como se reduce el n´ umero de entradas en las matrices L y U cuando se aplica alguno de los algoritmos anteriores (referido en la figura como nz). La descomposici´on LU debe calcularse sin pivotaje puesto que en otro caso el reordenamiento que introduce el m´etodo de Gauss con pivotaje arruina el orden introducido con los algoritmos de reordenamiento anteriores. Para ello se debe utilizar el comando >> [l,u]=lu(a,0);
El segundo argumento, que s´olo est´a disponible si la matriz a es sparse, fija un umbral para la realizaci´on del pivotaje parcial. El valor 1 es el de defecto. De esta forma, valores pr´oximos a cero obligan a que el pivotaje se produzca s´olo cuando el desequilibrio entre 73
´ II LECCION
5.1 M´etodo de Gauss para matrices sparse
el pivote y el resto de elementos de la columna sea muy acusado. Surge seguidamente la cuesti´on de estabilidad del m´etodo sin pivotaje. Afortunadamente para matrices definidas positivas o diagonal dominantes, el m´etodo de Gauss sin pivotaje es estable num´ericamente. La soluci´on del (o de los) sistemas se lleva a cabo con Soluci´ on con reordenamiento...
r do rra Bo 01 02 03 04
p=symmmd(a); [l,u]=lu(a(p,p)); x=l\b(p); x=u\x; x(p)=x;
% % % %
permutacion. vale tb p=symrcm(a); l y u son ahora "mas sparse" resolvemos los dos sistemas triangulares reordenamos las incognitas
En la l´ınea 01, el vector p recoge una permutaci´on de 1:n (n es el n´ umero de filas y columnas de a) que reduce el efecto relleno de L y U . La matriz a(p,p) es el resultado de reordenar ecuaciones e inc´ognitas. La l´ınea 04 reordena las inc´ognitas para recuperarlas en su orden original. Observa que la l´ınea 03 podr´ıa sustituirse simplemente por x=u\(l\b(p)); Nota. A partir de la versi´on 7.0, el comando symmmd que contiene el algoritmo de m´ınimo grado se ha declarado obsoleto y ser´a eliminado en futuras versiones. Se recomienda utilizar symamd. Comentarios finales
Si la matriz es adem´as sim´etrica definida positiva podemos utilizar la descomposici´on de Cholesky, A = LL>
donde L es triangular inferior con elementos sobre la diagonal estrictamente positivos. El sistema se reduce ahora a dos sistemas triangulares L> x = y.
Ly = b,
La instrucci´on correspondiente en Matlab es chol, que devuelve R triangular superior de forma que A = R> R (es decir, en la notaci´on de estos apuntes, L = R> ). As´ı, el algoritmo anterior, con reordenaci´on adecuada, queda ahora Soluci´ on con reordenamiento... 01 02 03 04
p=symmmd(a); r=chol(a(p,p)); x=r’\b(p); x=r\x; x(p)=x;
% % % %
permutacion. vale tb p=symrcm(a); r es ahora "mas sparse" resolvemos los dos sist. triang. reordenamos las incognitas
74
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
4
2 1
1
0 x x 0 0
x 0 0 x 0
0 x 0 0 x
5
3 x 0 0 0 0
1
x x x x x
0 x x 0 0
x x 0 x 0
0 x 0 0 x
x 0 0 0 0
x x 0 0 0
3 0 x x x x
x x x x x
5 0 x x x x
2
4
3 0 x x 0 0
5 0 x x x x
1
x 0 0 0 0
x x 0 0 0
3 0 x x 0 0
5 x x x x x
0 x x x x
x 0 0 0 0
x x 0 0 0
x x x x 0
r do rra Bo
x x x 0 x
4
2
4
2 1
5
3 x x 0 x 0
4
2
3
5
2
2
1
x 0 0 0 x
3
5
0 x x 0 x
0 x x 0 0
2
4
0 0 0 x x
x x 0 x x
1
x 0 0 0 0
3
5
0 x x 0 x
0 x x 0 0
2
4
0 0 0 x x
x x 0 x x
1
x 0 0 0 0
3
5
0 x 0 0 0
0 x x 0 x
x x x x x
1
x 0 0 0 0
3
1
4
2
4
0 0 0 x x
5
0 x 0 0 0
0 x x 0 0
4
0 0 0 x x
x x x x x
x 0 0 0 0
0 x 0 0 0
0 x x 0 0
0 0 0 x 0
Figura 5.2: Eliminaci´on gaussiana y su representaci´on como un grafo. Efecto del reordenamiento.
La orden x=a\b realiza todo el proceso anterior de forma autom´atica si a es sparse. Sin embargo en la forma que lo hemos expuesto podemos resolver reiteradamente sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes al disponer de la descomposici´on LU ´o LL> .
Queda m´as all´a de los contenidos de este curso explicar c´omo funcionan los algoritmos implementados en symrcm y symmmd. Se puede se˜ nalar no obstante que ambos se basan en identificar la estructura de una matriz con la de un grafo no dirigido, donde dos nodos i y j est´an conectados si y s´olo si a(i,j)6=0. El proceso de eliminaci´on gaussiana se ve como la eliminaci´ on sistem´atica de nodos y la creaci´on de nuevos enlaces entre los nodos restantes. Concretamente, si hacemos un cero con la fila i en la fila j, aparecen nuevos enlaces entre los nodos que estaban unidos con el nodo i y los conectados con j. El problema se reescribe ahora en t´erminos de retirar los nodos en el orden adecuado de forma que se minimice el n´ umero de nuevos ejes creados (Figura 5.2).
Los gr´aficos de la Figura 5.1 han sido creados a trav´es del siguiente fichero script.
% Calculamos la matriz de elementos finitos para % un problema sobre un dominio en forma de L
[p,e,t]=initmesh(’lshapeg’,’Hmax’,0.2); % malla inicial 75
x x x x x
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
[p,e,t]=refinemesh(’lshapeg’,p,e,t); % refinamiento [a,b]=assempde(’lshapeb’,p,e,t,1,0,1); % a es la matriz (sparse) y b el termino independiente
r do rra Bo
% Primera fila de dibujos [l,u]=lu(a,0); % no pivotaje figure(1) subplot(331); spy(a); title(’matriz original’) subplot(332); spy(l); title(’matriz L’) subplot(333); spy(u); title(’matriz U’)
% Segunda fila de dibujos p=symrcm(a); % reordenamiento filas y columnas [l,u]=lu(a(p,p),0); figure(1) subplot(334); spy(a(p,p)); title(’matriz permutada con symrcm’) subplot(335); spy(l); title(’matriz L’) subplot(336); spy(u); title(’matriz U’) % Tercera fila de dibujos p=symmmd(a); % reordenamiento filas y columnas [l,u]=lu(a(p,p),0); figure(1) subplot(337); spy(a(p,p)); title(’matriz permutada con symmmd’) subplot(338); spy(l); title(’matriz L’) subplot(339); spy(u); title(’matriz U’)
5.2.
M´ etodos iterativos para sistemas lineales
Cuando un sistema de ecuaciones lineales es de tama˜ no moderado4 , casi nadie duda en utilizar el m´etodo de Gauss en alguna de sus m´ ultiples variantes (incluidas las descomposiciones matriciales). Sin embargo, la utilizaci´on de m´etodos iterativos se torna imprescindible en problemas con matrices grandes, especialmente si son sparse, donde el m´etodo de Gauss presenta las siguientes dificultades: Es caro: O(4n3 /3) operaciones
Es destructivo: retoca la matriz del sistema, y esto puede tener consecuencias muy poco deseables, como hemos visto con matrices sparse. Adem´as requieren en muchas ocasiones guardar una copia de la matriz.
4
Es dif´ıcil definir qu´e se entiende por tama˜ no moderado. Ciertamente, tama˜ nos enormes en la d´ecada de los a˜ nos 70 son ahora perfectamente manejables en un peque˜ no PC.
76
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
Para obtener una soluci´on hace falta realizar todo el proceso: en pasos intermedios no se dispone de ninguna aproximaci´on de la soluci´on. Los m´etodos iterativos se introducen como un intento de salvar estas dificultades.
r do rra Bo 5.2.1.
Definici´ on
Esencialmente, un m´etodo iterativo toma un sistema lineal Ax = b
y construye una sucesi´on de vectores de forma que xm → x,
cuando m → ∞.
La forma de construir esta sucesi´on depende, obviamente de la matriz A, del t´ermino independiente y de c´omo se arranque el m´etodo num´erico (vector inicial). Existen multitud de esquemas diferentes pero la mayor´ıa comparten las siguientes desventajas: No siempre convergen en un n´ umero razonable de iteraciones, y en muchas ocasiones ni siquiera convergen.
Los resultados te´oricos sobre convergencia son a menudo pobres. Esto es, en general existe convergencia en situaciones mucho m´as generales de lo que la teor´ıa predice. Adem´as, chequear estas hip´otesis puede resultar tan costoso como resolver el mismo sistema.
El u ´ltimo punto merece cierto comentario. Los sistemas lineales provienen en general de problemas f´ısicos de los que se dispone de informaci´on a priori, entre las que se pueden encontrar las hip´otesis que aseguran la convergencia de un m´etodo iterativo. Por ejemplo, se puede saber que una matriz es definida positiva, y no hay necesidad por tanto de hacer esta comprobaci´on. Por contra, los m´etodos iterativos tienen las siguientes e importantes ventajas: Son m´etodos no destructivos. No modifican la matriz del sistema y, en general, precisan s´olo multiplicar por la matriz del sistema o por partes de ella. Suelen ser m´as estables frente a los errores de redondeo5 .
Se dispone en cada paso de una aproximaci´on de la soluci´on.
5
Carl Friedrich Gauss, que introdujo un m´etodo precursor del m´etodo conocido actualmente como m´etodo de Gauss–Seidel, comentaba en una carta a su colega Christian Ludwig que los c´alculos se pod´ıan realizar a´ un cuando “se estuviese medio dormido” o “pensando en cosas m´as importantes”. No hay que olvidar que en su ´epoca todos los c´alculos se hac´ıan a mano. En nuestros d´ıas, se plantea el mismo problema con los errores de redondeo.
77
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
5.2.2.
Detalles sobre la implementaci´ on
r do rra Bo
En un m´etodo iterativo no podemos esperar calcular la soluci´on exacta, sino hallar una aproximaci´on con una tolerancia prefijada. Por tanto debemos fijar un criterio de parada que d´e por terminado el m´etodo cuando la soluci´on se considere suficientemente buena. Esto no es grave. Los sistemas de ecuaciones lineales suelen provenir de m´etodos que calculan soluciones aproximadas de problemas f´ısicos e ingenieriles. No tiene pues sentido obcecarse en calcular la soluci´on exacta de un problema aproximado. As´ı hemos de elegir un criterio de parada que termine la ejecuci´on cuando la soluci´on es suficientemente buena. Una posibilidad es medir la diferencia entre dos iteraciones consecutivas kxm+1 − xm k
en alguna norma que queda a elecci´on del programador o del usuario. Si la diferencia es peque˜ na, se considera que estamos cerca de la soluci´on y se finaliza el m´etodo. De nuevo nos encontramos con el problema de definir peque˜ no. Por ejemplo, una diferencia de 1.4 entre dos iteraciones puede ser grande si la soluci´on tiene un tama˜ no na si kxk ≈ 1010 . kxk ≈ 10−1 o peque˜ Por ello se puede hacer un promedio entre el error absoluto y el relativo. Concretamente, si x e y son dos iteraciones consecutivas, se puede fijar el criterio 01 02 03 04 05
aux=norm(x-y); % norma 2 entre x e y if (aux<eps1+eps2*norm(x)) disp(’Convergencia alcanzada...’ .......... end
En la l´ınea 02 tenemos en cuenta tanto el error absoluto (eps1) como el error relativo (eps2). Estos valores son par´ametros que fijan el criterio de parada y pueden ser dados por el usuario. Otros criterios se basan en calcular r = b−Ax y calcular el tama˜ no. Es decir, medimos cu´anto le falta a x para ser soluci´on del sistema. El vector r recibe el nombre de residuo. Nos encontramos de nuevo con dos componentes del residuo, el primero relacionado con su tama˜ no relativo, con respecto al t´ermino independiente, y otra absoluta. Ambos se pueden controlar con 01 02 03 04 05
aux=norm(b-a*x); % residuo if (aux<eps1+eps2*norm(b)) disp(’Convergencia alcanzada...’ .......... end
Este criterio puede ser preferible si se dispone ya del residuo y no hay que calcularlo ex profeso. En muchos casos se toma simplemente eps1= 0. Por otro lado, y desde un punto de vista computacional, debemos evitar que el m´etodo entre en un bucle infinito. Es decir, fijar un n´ umero m´aximo de iteraciones de forma que si se supera, se termine el m´etodo con un mensaje de error6 . Que un residuo sea peque˜ no 6
Existe otro problema: que la soluci´ on crezca de forma que supere la cantidad m´axima representable en coma flotante (overflow). Matlab devolver´ıa inf o -inf.
78
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
o que dos iteraciones consecutivas cercanas indiquen proximidad a la soluci´on exacta no siempre es cierto, pero suele ser muy buena se˜ nal.
5.2.3.
M´ etodos iterativos cl´ asicos
r do rra Bo
El estudio y desarrollo de los m´etodos iterativos cl´asicos, tambi´en denominados afines por su forma de construcci´on, surgi´o con fuerza en los a˜ nos 50, aunque el origen de alguno de ellos se remonta al siglo XIX. El desarrollo de estos m´etodos fue paralelo al desarrollo de los ordenadores y vino muy condicionado por el tipo de problemas que se deseaban resolver. Estos problemas eran principalmente los provenientes de ecuaciones en derivadas parciales que daban lugar a matrices grandes y sparse. El uso de los m´etodos iterativos afines en nuestros d´ıas es menos habitual, habiendo sido superados por los m´etodos de tipo Krylov de los que el Gradiente Conjugado es sin lugar a dudas el representante m´as popular. De hecho, los m´etodos cl´asicos se utilizan en la actualidad como precondicionadores de los m´etodos m´as modernos y potentes, es decir, como un preproceso que acelera la convergencia de los mismos. Sin embargo su simplicidad y el modo que tienen de ilustrar el dise˜ no y funcionamiento de un m´etodo iterativo fundamentan su exposici´on en estos apuntes. Conocimientos previos
Comenzaremos introduciendo algunas normas vectoriales que nos servir´an para medir el tama˜ no de los vectores y matrices. Dado un vector x := (x1 , x2 , . . . , xn )> ∈ Rn
consideramos las normas
kxk1 := |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,
kxk∞ :=
kxk2 :=
q
x21 + x22 + . . . + x2n ,
m´ax |xi |.
i=1,...,n
Es f´acil ver que efectivamente las tres expresiones definen una norma en Rn . Las relaciones entre ellas vienen dadas por las cotas √ √ kxk2 ≤ kxk1 ≤ nkxk2 , kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ .
Observa que sin embargo estas constantes de equivalencia dependen de n. Todas ellas est´an implementadas en Matlab, como ya se vio en la Secci´on 4.1.2. Cada norma vectorial define a su vez una norma sobre las matrices kAk = sup kAxk kxk=1
denominada norma matricial inducida. En la expresi´on anterior sup es el supremo sobre todos los vectores de norma 1, que es de hecho un m´aximo (el supremo se alcanza). Se puede comprobar que kAk1 = m´ax
j=1,...,n
n X
|aij |,
kAk∞ = m´ax
i=1,...,n
i=1
79
n X j=1
|aij |.
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
La norma k · k2 tiene una expresi´on m´as complicada que dificulta su c´alculo pr´actico. En concreto p kAk2 = ρ(A> A)
r do rra Bo
donde ρ(B), denominado radio espectral, denota el mayor de los valores absolutos de los valores propios de B (ver Lecci´on IV). Si A es sim´etrica, se tiene simplemente que kAk2 = ρ(A). En cualquier caso, el comando norm de Matlab aplicado a matrices devuelve las correspondientes normas matriciales: >> norm(a,1) >> norm(a,inf) >> norm(a,2)
% norma 1 % norma infinito % norma 2. Vale tambien norm(a)
Una norma vectorial y su norma matricial inducida se relacionan mediante kAxk | {z }
norma vectorial
≤
kAk |{z}
norma matricial
kxk |{z}
.
norma vectorial
Es decir, kAk mide el m´aximo alargamiento que multiplicar por A puede producir en un vector medido en la norma k · k. Definici´ on y condiciones de convergencia
Los m´etodos iterativos lineales (o basados en iteraciones afines) comienzan considerando una partici´on de A tal que A=M −N
con M invertible. As´ı, si x es soluci´on de Ax = b,
M x = N x + b.
El m´etodo iterativo consiste en
Tomar x0 una aproximaci´on de la soluci´on. Si no se conoce se puede tomar por ejemplo el vector nulo. Resolver en cada paso m
M xm+1 = N xm + b.
(5.1)
Es f´acil ver que si la sucesi´on construida en (5.1) converge a alg´ un x, entonces el vector es la soluci´on del sistema. A´ un es m´as, se comprueba f´acilmente que xm+k+1 − x = (M −1 N )(xm+k − x) = . . . = (M −1 N )k (xm+1 − x).
Denotando por B = M −1 N se tiene el siguiente resultado
Teorema 5.1 El m´etodo iterativo converge si y s´olo si existe k tal que kB k k < 1. 80
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
r do rra Bo
Observa que en el resultado anterior no se especifica la norma utilizada. Otro detalle al que a veces se presta poca atenci´on es que la convergencia del m´etodo ocurre sea cu´al sea x0 , es decir, independientemente de c´omo se arranque el m´etodo y de cu´al sea el t´ermino independiente. Claramente si se tiene una estimaci´on buena de la soluci´on el m´etodo converger´a en menos iteraciones, pero no es una condici´on imprescindible para asegurar la convergencia7 . No es dif´ıcil ver que ρ(B) ≤ kBk
para cualquier norma inducida, y por tanto8
ρ(B) = (ρ(B k ))1/k ≤ (kB k k)1/k
∀k ∈ N.
Es m´as, se puede probar que, de nuevo para toda norma inducida, l´ım kB k k1/k = ρ(B)
k→∞
Por tanto se concluye que una condici´ on equivalente de convergencia es que todos los valores propios de B = M −1 N tengan valor absoluto menor estrictamente que 1.
Teorema 5.2 El m´etodo iterativo converge si y s´olo si ρ(B) < 1. Los resultados anteriores pueden utilizarse para probar que kxm+1 − xk ≤ C(m)ρ(B)m kx1 − x0 k
para todo m ≥ m0 y donde C(m) ≥ 1, con C(m) → 1 cuando m → ∞. La cantidad ρ(B) recibe en ocasiones el nombre de velocidad asint´ otica de convergencia. La estimaci´on anterior justifica esta denominaci´on dado que mide la reducci´on media del error esperada en cada iteraci´on.
Nota. Si M = A entonces N = 0, por tanto B = 0 y trivialmente ρ(B) = 0.
Es decir, hay convergencia en una u ´nica iteraci´on. Esta iteraci´on consiste en resolver directamente el sistema de ecuaciones. En general, uno asegura la convergencia cuando M recoge la informaci´on m´as importante de A, de forma que N = M − A tenga un tama˜ no peque˜ no comparado con M . Por otro lado, se debe tener en cuenta la definici´on del m´etodo (5.1) y que por tanto en cada iteraci´on hay que resolver un sistema de ecuaciones. As´ı, interesa que M sea sencilla desde el punto de vista de la resoluci´on del sistema lineal (por ejemplo, diagonal, triangular,...) y que simult´aneamente recoja la mayor informaci´on posible de A. 7
Esta propiedad se pierde cuando se resuelven ecuaciones y sistemas no lineales. En este caso, los m´etodos num´ericos convergen s´ olo si se arranca suficientemente cerca de la soluci´on. 8 Si λ es valor propio de B, λ2 lo es de A2 .
81
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales M´ etodos de Jacobi, de Gauss–Seidel y de relajaci´ on de Young Sea el sistema Ax = b donde
. . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . ann
r do rra Bo
A=
a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2
La familia de m´etodos que vamos a exponer se basa en considerar la siguiente descomposici´on de A A=D−L−U
donde
a11
D =
a22
..
, L =
.
ann
0 −a21 .. .
0 0 .. .
··· ··· .. .
0 0 .. .
, U =
−an1 −an2 · · · 0
0 −a12 0 0 .. .. . . 0 0
· · · −a1n · · · −a2n .. .. . . ··· 0
.
El m´ etodo de Jacobi consiste en tomar en la definici´on del m´etodo iterativo M = D y N = L + U , es decir, Dxm+1 = (L + U )xm + b.
Para calcular xm+1 hay que resolver por tanto un sistema diagonal cuyo coste es despreciable. Visto componente a componente, tenemos que si h i> (m) (m) xm = x1 , x2 , . . . , x(m) ∈ Rn n entonces
(m+1)
xi
=
i X 1h (m) aij xj , bi − aii j6=i
i = 1, . . . , n.
Para algunos tipos especiales de matrices se sabe que el m´etodo converge e incluso se dispone de informaci´on sobre la velocidad de convergencia. Una matriz es estrictamente diagonal dominante por filas si X |aii | > |aij |, ∀i j6=i
y por columnas si
|ajj | >
X
|aij |,
∀j.
i6=j
Teorema 5.3 Si la matriz es estrictamente diagonal dominante por filas o columnas el m´etodo de Jacobi converge.
Ejercicio 5.1 (matem´ atico) Probar el teorema anterior. ¿Cu´ando converger´a m´as r´apido? (Ayuda. Construir la matriz B = D−1 (L + U ). Probar que kBk∞ < 1 si es dominante por filas ´o kBk1 < 1 si es dominante por columnas. Aplicando el Teorema 5.2, se deduce el resultado.)
82
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
Para dar una descripci´on del m´etodo de Jacobi en pseudoc´odigo fijamos x = aproximaci´on inicial, eps1 = tolerancia absoluta,
mmax = eps2 =
n´ umero m´aximo de iteraciones, tolerancia relativa,
r do rra Bo
y tomamos como criterio de parada la norma eucl´ıdea de la diferencia entre dos iteraciones sucesivas del m´etodo. La elecci´on de la norma es libre, queda a elecci´on del programador (pod´ıamos tomar por ejemplo la norma 2 o la norma infinito). Una primera versi´on de nuestro algoritmo es la siguiente Jacobi 01 02 03 04
for m=1:mmax error=0; y=x for i=1:n n X x i = bi − aij yj /aii j=1 j6=i
05 06 07 08 09 10 11
end if kx − yk2 <eps1+eps2*norm(x) return end
end disp(’numero m´ aximo de iteraciones alcanzado’) return
Ejercicio 5.2 Implementa el m´etodo de Jacobi en Matlab.
Soluci´ on. Empezaremos fijando la cabecera que contendr´a la ayuda de la funci´on. Nos va a servir de qu´e estructura vamos a dar a la entrada y salida de datos. Dicho esto, la implementaci´on de este m´etodo que proponemos es la siguiente
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
% JACOBI % % X = % % %[X,IT]= % % %[X,IT]= % %[X,IT]= %
JACOBI(A,B)
aplica el metodo de Jacobi para la resolucion del sistema AX=B
JACOBI(A,B)
devuelve en IT el numero de iteraciones calculadas
JACOBI(A,B,ITMAX)
ITMAX es el numero max. de iteraciones
JACOBI(A,B,ITMAX,... EPS1,EPS2 son las tolerancias EPS1,EPS2 absoluta y relativa 83
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales % %[X,IT]= JACOBI(A,B,ITMAX,... % EPS1,EPS2,X0) arranca el metodo con X0 % function [x, varargout]=jacobi(a,b,varargin)
r do rra Bo
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
% valores por defecto n=length(a); mmax=100; eps1=1e-4; % tolerancia absoluta eps2=1e-4; % tolerancia relativa x=zeros(n,1); if nargin>2 mmax=varargin{1}; end if nargin>3 eps1=varargin{2}; end if nargin>4 eps2=varargin{3}; end if nargin>5 x(:)=varargin{4}; %x es un vector columna end % Metodo de Jacobi
for m=1:mmax error=0; y=x; for i=1:n v=[1:i-1 i+1:n]; x(i)=(b(i)-a(i,v)*y(v))/a(i,i); end error=norm(x-y); % otras normas con norm(x-y,1),norm(x-y,inf) if (error<eps1+eps2*norm(x)) break end end if (m==mmax) disp(’numero maximo de iteraciones sobrepasado’) end %salida
if (nargout>1) varargout{1}=m; 84
´ II LECCION 59 60
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
end return
r do rra Bo
Recuerda que el comando break, utilizado en la l´ınea 48 provoca la salida autom´atica del bucle, dando por finalizado la ejecuci´on del m´etodo y pasando a la parte del c´odigo encargada de devolver los resultados obtenidos. Ejercicio 5.3 Programa una nueva opci´on de salida que devuelva un vector error de longitud m − 1 de forma que error(m) sea la diferencia entre xm y xm+1 .
Observa que el c´odigo realmente dedicado al m´etodo de Jacobi se reduce a apenas diez l´ıneas (39-50) con el resto de la subrutina dedicada al control del algoritmo y a la salida y entrada de datos. Se observa adem´as que la l´ınea 43 permite implementar en una u ´nica l´ınea (44) el producto de la l´ınea 04 del pseudoc´odigo. El c´odigo anterior, sin embargo, es optimizable. El ejercicio siguiente ahonda en un aspecto en particular
Ejercicio 5.4 Otra forma alternativa de implementar el m´etodo es reemplazar las l´ıneas 42-45 por el producto x=(b-a*y+d.*y)./d
o bien
x=y+(b-a*y)./d
donde d es un vector columna que contiene la diagonal de la matriz. Observa que realizamos operaciones de m´as (multiplicamos por la diagonal para luego restar su contribuci´on), pero el costo es despreciable y la operaci´on es ahora puramente matricial. Implementa esta nueva forma y comprueba el resultado. ¿Obtienes mejoras en el redimiento del m´etodo9 ? El m´ etodo de Gauss–Seidel10 consiste en tomar M = D − L y N = U , es decir (D − L)xm+1 = U xm + b.
(5.2)
Para calcular xm+1 hay que resolver un sistema, en este caso triangular. Repasando con cuidado las operaciones, observamos que (m+1) xi
i−1 n i X X 1h (m+1) (m) = bi − aij xj − aij xj , aii j=1 j=i+1
9
i = 1, . . . , n.
Deber´as probar con matrices grandes. La orden rand te puede servir para ese fin. Una forma de asegurar la convergencia es generar matrices estrictamente diagonal dominantes. ¿C´omo se puede hacer esto?. 10 El nombre de este algorimo es muy curioso. Seg´ un diversos autores (ej. George E. Forsythe ´o Gerard Meurant), Carl Friedrich Gauss no dise˜ n´ o exactamente este m´etodo y Philipp Ludwig von Seidel, que lo estudi´o a finales del siglo XIX, desaconsejaba su uso. Gauss desarroll´o un m´etodo muy similar cuando trataba de resolver un problema de geodesia que llevaba a un sistema lineal que no era compatible determinado.
85
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales Escrito en forma algor´ıtmica, Gauss–Seidel for m=1:mmax error=0; y=x for i=1:n i−1 n X X x i = bi − aij xj − aij yj /aii
r do rra Bo
01 02 03 04
j=1
05 06 07 08 09 10 11
j=i+1
end if kx − yk<eps1+eps2*norm(x) return end
end disp(’numero m´ aximo de iteraciones alcanzado’) return
As´ı pues, la u ´nica diferencia con el m´etodo de Jacobi es que Gauss–Seidel procede a utilizar la nueva componente calculada xi tan pronto es posible mientras que Jacobi s´olo la utiliza en la nueva iteraci´on. Es por ello que Gauss–Seidel es (casi siempre) superior a Jacobi. No hay razones matem´aticas que permitan apoyar esta impresi´on. De hecho existen matrices para las que Jacobi converge y Gauss–Seidel diverge, aunque hace falta construir un ejemplo ad hoc, no es f´acil encontrar tal ejemplo, para comprobar esta afirmaci´on. Desde un punto de vista pr´actico, si Jacobi converge es altamente probable que lo haga tambi´en Gauss–Seidel y generalmente, ´este lo har´a en menos iteraciones. Teorema 5.4 El m´etodo de Gauss–Seidel converge si
la matriz es estrictamente diagonal dominante por filas o columnas; o
la matriz es sim´etrica definida positiva.
Ejercicio 5.5 Programa el m´etodo de Gauss–Seidel modificando de forma apropiada la funci´on del Ejercicio 5.2. Ejercicio 5.6 De manera similar a lo que se propuso en el Ejercicio 5.4, podemos implementar la parte central del m´etodo de Gauss–Seidel mediante x=l\(b-u*y)
o bien con el doble n´umero de operaciones con x=y+l\(b-a*y) donde
86
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
l=tril(a,0);
u=triu(a,1);
Implementa el m´etodo resultante. ¿Qu´e ventajas y desventajas observas en cada de estas implementaciones?. (Ayuda: recuerda los comandos diag, triu y tril de la Secci´on 4.1.3)
r do rra Bo Ejercicio 5.7 El m´etodo de Gauss–Seidel tiene una curiosa asimetr´ıa: la primera componente de cada xm+1 se calcula utilizando los valores de la anterior iteraci´on xm , mientras que la u´ltima componente utiliza todas las componentes de la nueva iteraci´on xm+1 . Se puede plantear el m´etodo de Gauss–Seidel inverso que es el que resulta de intercambiar los papeles de L y U en (5.2). Ahora la situaci´on es justamente la rec´ıproca. ¿Mejora la velocidad de convergencia del m´etodo?
Ejercicio 5.8 El m´etodo de Gauss–Seidel simetrizado o c´ıclico trata de solventar la asimetr´ıa se˜nalada en el ejercicio anterior. Consiste en encajar dos iteraciones, una con Gauss–Seidel y otra con el m´etodo de Gauss–Seidel inverso. Es decir, dado xm , se aplica un paso del m´etodo de Gauss–Seidel para obtener un nuevo vector xm+1/2 . Seguidamente se calcula un paso del m´etodo Gauss–Seidel inverso y as´ıse obtiene la nueva aproximaci´on xm+1 . Implementa este m´etodo. ¿Se reduce el n´umero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia? ¿Y el costo por iteraci´on? ¿Te parece rentable esta aproximaci´on?.
El u ´ltimo representante de esta familia de m´etodos cl´asicos que estudiaremos es el m´ etodo de relajaci´ on de Young. Introducido y estudiado independientemente por David M. Young (en su tesis doctoral) y Stanley P. Frankel sobre 1950, es una simple modificaci´on del m´etodo de Gauss–Seidel que trataba, como buena parte de los m´etodos propuestos en estos a˜ nos, de acelerar la convergencia de los m´etodos de Gauss–Seidel y Jacobi. La modificaci´on propuesta consiste en realizar un promedio sobre la aproximaci´on que proporcionar´ıa Gauss–Seidel y la iteraci´on anterior. Concretamente, la expresi´on es (m+1) xi
= (1 −
(m) ω)xi
i−1 n i X X ωh (m+1) (m) bi − aij xj − aij xj , + aii j=1 j=i+1
i = 1, . . . , n.
Si ω = 1 recuperamos el m´etodo de Gauss–Seidel. El objetivo es escoger ω adecuadamente para acelerar la convergencia del m´etodo. No es f´acil encontrar el valor ´optimo de ω, aunque necesariamente ω ∈ (0, 2) pues en caso contrario el m´etodo diverge. Si la matriz es sim´etrica definida positiva o tridiagonal el m´etodo de relajaci´on converge para cualquier ω ∈ (0, 2). Tambi´en converge si es estrictamente diagonal dominante (por filas o columnas). Sin embargo, salvo para matrices tridiagonales, poco se puede decir acerca de la elecci´on ´optima del par´ametro ω, y a´ un en este caso, la determinaci´on exacta del par´ametro ´optimo exige resolver un problema bastante complicado. Desde un punto de vista pr´actico, el par´ametro se estima mediante ensayo–error. De forma algo sorprendente, en problemas pr´acticos es muy habitual que ω > 1. De ah´ı el nombre que se le da a veces de Sobrerrelajaci´on (overrelaxed). 87
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
Por u ´ltimo, aunque no sea inmediato, se puede comprobar que este m´etodo encaja en el marco anterior, sin m´as que tomar M=
1 D − L, ω
N=
1−ω D+U ω
r do rra Bo
Ejercicio 5.9 Implementa el m´etodo de relajaci´on de Young a partir del m´etodo de Gauss– Seidel. Incluye como nuevo argumento de entrada el par´ametro ω. Un posible valor por defecto podr´ıa ser ω = 1 con lo que tendr´ıamos el m´etodo de Gauss–Seidel.
Ejercicio 5.10 De nuevo, la parte central del m´etodo de relajaci´on se puede implementar en la forma x=y+m\(b-a*y)
donde m es una matriz adecuada. ¿Cu´al es esa matriz?.
5.2.4.
M´ etodos de tipo gradiente
Comenzaremos recordando algunos conceptos e introduciendo algunas notaciones que facilitar´an la exposici´on de los m´etodos de tipo gradiente. Recordemos que todos los vectores se consideran como vectores columna. Dada A una matriz sim´ etrica definida positiva, la operaci´on que a cada par de vectores x, y le asigna el n´ umero real x> Ay es un producto escalar, esto es, cumple las propiedades que definen un producto escalar11 : 1. (αx + βy)> Az = αx> Az + βy> Az,
∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ Rn ;
2. x> Ay = y> Ax, ∀x, y ∈ Rn (por ser A sim´etrica); 3. x> Ax > 0,
si x 6= 0 (por ser A definida positiva).
En particular, si In es la identidad n × n,
x> In y = x> y
es simplemente el producto escalar habitual en Rn de x e y. Denotaremos x⊥y
⇐⇒
x> y = 0
y diremos en este caso que x e y son ortogonales. La misma notaci´on se puede extender al producto definido por A, de forma que x ⊥A y
⇐⇒
x> Ay = 0
y en este caso x e y se dicen A−ortogonales. 11
Es interesante observar cu´ antas propiedades del producto escalar eucl´ıdeo (el habitual en Rn ) dependen u ´nicamente de que se cumplan estas tres propiedades y por tanto son extensibles a estos casos m´as generales.
88
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
La norma asociada al producto escalar anterior se conoce como norma de energ´ıa y su expresi´on viene dada, obviamente, por √ kxkA := x> Ax.
r do rra Bo
Todas las normas son equivalentes en Rn , pero para esta norma se tiene adem´as la estimaci´on λn kxk2 ≤ kxkA ≤ λ1 kxk2
donde λ1 ≥ λ2 ≥ .... ≥ λn > 0 son los valores propios, todos reales por ser A sim´etrica y positivos por ser definida positiva. La cantidad κ(A) =
λ1 , λn
que ser´a relevante en lo que sigue, es el condicionamiento de la matriz12 . Obviamente, κ(A) ≥ 1. Construimos la funci´on F (x) = 12 x> Ax − x> b conocida como funcional de energ´ıa. Tras unos simples c´alculos, se comprueba que ∇F = Ax − b.
Por tanto, el u ´nico posible extremo de F es la soluci´on de Ax − b = 0. Adem´as, como la matriz hessiana de F es la propia matriz A, que es definida positiva, este extremo ser´a un m´ınimo. Hemos llegado por tanto a la siguiente conclusi´on: resolver Ax = b es equivalente a encontrar el m´ınimo de F
En esta observaci´on se basan los m´etodos de descenso: en lugar de resolver el sistema de ecuaciones Ax = b, nos preocupamos en buscar el m´ınimo de F . Es esencial que A sea definida positiva para que estos argumentos sean v´alidos. M´ etodos de descenso. Aspectos generales
La idea de estos m´etodos es sencilla. Dado un valor inicial consiste en ir movi´endose en trayectorias zigzagueantes hasta alcanzar el m´ınimo. Concretamente, dada una aproximaci´on, fijamos una direcci´on de desplazamiento, calculamos cuanto nos movemos, descender en el lenguaje habitual, y nos desplazamos a un nuevo punto. De esta forma construimos una sucesi´on xm que deber´ıa converger a x, siguiendo estos pasos. Calcular una direcci´on de descenso dm .
Descender una cantidad ξm , tomando como nueva aproximaci´on xm+1 = xm + ξm dm .
12
El condicionamiento se define tambi´en para matrices arbitrarias reemplazando los valores propios por los denominados valores singulares, o m´ as en general, defini´endolo como el producto de la norma de A por la norma de su inversa. En general el condicionamiento de la matriz mide la sensibilidad del sistema de ecuaciones lineales asociado a variaciones del t´ermino independiente.
89
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
Se procede as´ı hasta que hay convergencia. Dos aspectos determinan el m´etodo: qu´e direcci´on se toma y cu´anto se desciende. Tanto en el m´etodo del Gradiente como en el m´etodo del Gradiente Conjugado, que veremos a continuaci´on, se toma ξm de forma que
r do rra Bo
F (xm+1 ) = m´ın F (xm + α dm ) α∈R
es decir, se trata de minimizar, una vez escogida la direcci´on de descenso dm , el funcional de energ´ıa. Definiendo g(α) = F (xm + α dm ) podemos comprobar que
> g 0 (α) = α d> m Adm − dm (b − Axm ) | {z }
rm
y por tanto la cantidad de descenso viene dada por ξm :=
r> m dm , > dm Adm
(5.3)
(obtenido al imponer g 0 (α) = 0). El vector rm = b − Axm es el residuo de xm , que ya ha surgido en estas notas. Se puede probar f´acilmente que rm+1 = b − Axm+1 = b − Axm − ξm Adm = rm − ξm Adm .
En consecuencia, el residuo en pasos sucesivos satisface una relaci´on similar a la que cumple xm . Sin embargo, este tipo de recurrencia puede verse afectada por errores de redondeo, por lo que en ocasiones el residuo se recalcula cada cierto n´ umero de iteraciones de acuerdo a su definici´on para cancelar cualquier error de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente: M´ etodo de descenso 01 02 03 04
05 06 07
x0 inicial, r0 = b0 − Ax0 for m=0:mmax Escoger dm r > dm ξm := >m dm Adm xm+1 = xm + ξm dm rm+1 = rm − ξm Adm end
Claramente, la l´ınea 03 queda pendiente y en u ´ltima medida define el m´etodo. 90
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
M´ etodo del Gradiente Dado que −∇F (xm ) = b − Axm = rm , la direcci´on de m´aximo descenso es la del residuo. Por tanto, ´esta parece una buena elecci´on para dm . El m´etodo as´ı definido es el m´etodo del gradiente.
r do rra Bo M´ etodo del Gradiente 01 02 03
x0 inicial; r0 = b − Ax0 ; for m=0:mmax pm = Arm r> m rm > r m pm xm+1 = xm + ξm rm rm+1 = rm − ξm pm if krm+1 k ≤ epskbk break end ξm =
04
05 06 07 08 09 10
end
En el paso 06 estamos calculando el residuo de la soluci´on. El criterio de parada se toma ahora a partir del residuo. En concreto hemos escogido el basado en el tama˜ no relativo del residuo (epskbk). La norma que utilizamos es la eucl´ıdea, que es connatural al m´etodo. Ejercicio 5.11 Programa el M´etodo del Gradiente.
Soluci´ on. Una posible implementaci´on del m´etodo es la que sigue 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
% GRADIENTE % % X = GRADIENTE(A,B) % % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX) % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX... % EPS) % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX... % EPS, X0) % %[X,IT] = GRADIENTE(A,B,ITMAX... % EPS,XO) 91
Aplica el met. del gradiente para la resolucion del sistema AX=B
ITMAX: numero max. de iteraciones EPS tolerancia relativa
X0 es el valor inicial
Devuelve en IT el numero de iteraciones calculadas
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
%[X,IT,R]= GRADIENTE(A,B,ITMAX) % EPS,XO)
R es un historial del metodo: R(i) es el residuo en el paso i
function [x,varargout]= gradiente(a,b,varargin);
r do rra Bo
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
n=length(a); x=zeros(n,1); mmax=40; tol=1e-6; if nargin>2 mmax=varargin{1}; end if nargin>3 tol=varargin{2}; end if (nargin>4) x=varargin{4}; end
r=b-a*x; res(1)=dot(r,r); aux=norm(b); for m=1:mmax p=a*r; xi=res(m)/dot(r,p); x=x+xi*r; r=r-xi*p; res(m+1)=dot(r,r); % guardamos los residuos if (sqrt(res(m+1))
if (m==mmax) disp(’numero maximo de iteraciones sobrepasado’) end if nargout>1 varargout{1}=m; end if nargout>2 varargout{2}=sqrt(res(:)); end return
El vector res guarda el residuo en cada iteraci´on para as´ı tener un historial de como ha ido la convergencia. Prueba el m´etodo con un sistema donde la matriz sea sim´etrica definida positiva (nota: para toda matriz B, B > B es sim´etrica (semi) definida positiva.) 92
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
La gr´afica mostrada en la Figura 5.3 se ha construido utilizando las instrucciones n=40;a=rand(n,n); a=a*a’; %% a es sim\’{e}trica definida positiva x=ones(n,1); b=a*x; [x,it,r]=gradiente(a,b,100,1e-5); semilogy(r)
r do rra Bo
>> >> >> >>
Hemos utilizado una escala logar´ıtmica para medir la norma del residuo. Observa su fuerte comportamiento oscilatorio.
10
10
10
10
10
10
10
Residuo
4
3
2
1
0
−1
−2
0
10
20
30
40
50
60
70
Iteraciones
Figura 5.3: Historial del residuo para el m´etodo del Gradiente.
Ejercicio 5.12 En este ejercicio tratamos de nuevo aspectos de la implementaci´on en Matlab. Concretamente, ¿qu´e pasa si el usuario desea especificar el vector de arranque (x0 en la notaci´on del m´etodo) pero desea dejar el n´umero m´aximo de iteraciones y la tolerancia por defecto?. Como est´andar en Matlab, se env´ıa vac´ıo ([ ]), de forma que los argumentos intermedios se ignoran. Por ejemplo, >> x=gradiente(a,b,[],1e-5)
especificar´ıa la tolerancia pero no el n´umero m´aximo de iteraciones. Implementa las modificaciones necesarias en el programa anterior para que la funci´on soporte este est´andar. (Ayuda: La funci´on isempty puede resultarte u ´til.)
Breves notas sobre el estudio del M´ etodo del Gradiente La clave del an´alisis es la relaci´on
F (xm+1 ) − F (x) = 21 (xm+1 − x)> A(xm+1 − x) = 12 k xm+1 − x k2A | {z } em+1 93
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
donde claramente em+1 es el error entre la soluci´on exacta y la num´erica medido en la norma de energ´ıa de A. Por tanto, como F (xm+1 ) ≤ F (xm ), kem+1 kA ≤ kem kA
r do rra Bo
luego en cada iteraci´on hay una reducci´on del error en la norma de energ´ıa. Sin embargo, en ning´ un caso implica que el residuo se reduzca en cada iteraci´on, como bien podemos un es m´as, de la elecci´on hecha de ξm se sigue que comprobar en la Figura 5.3. A´ F (xm+1 ) := m´ın F (xm + α rm ) α∈R
y por tanto
h
i
kem+1 kA ≤ m´ın kx − xm − α rm kA = m´ın kem − αAem kA ≤ m´ın kI − αAkA kem kA . α∈R
α∈R
α∈R
Observa que hemos utilizado la cota kM xkA ≤ kM kA kxkA , caracter´ıstica de toda norma vectorial y su norma matricial inducida.
Proposici´ on 5.5 Sean λ1 y λn el mayor y menor valor propio de A. Entonces m´ın kI − αAkA = m´ın kI − αAk2 = α∈R
α∈R
λ1 − λ n < 1. λ1 + λ n
La convergencia se escribe de forma muy c´omoda en t´erminos del condicionamiento de la matriz κ(A) = λλn1 , deduciendo la expresi´on kem+1 kA ≤
κ(A) − 1 kem kA . κ(A) + 1
Es inmediato observar que
El factor de reducci´on del error es siempre menor que uno, luego hay convergencia para toda A sim´etrica definida positiva. Si κ(A) >> 1, la convergencia puede ser muy lenta.
Ejercicio 5.13 (puramente matem´ atico) Se puede probar que dada A sim´etrica definida positiva existe B sim´etrica definida positiva tal que BB > = B 2 = A, conocida como ra´ız cuadrada de A. Utilizando este resultado prueba la identidad kI − αAkA = kI − αAk2
utilizada en la Proposici´on 5.5.
(Ayuda: Observa que kxkA = kBxk2 . Utiliza ahora que
kI − αAkA = sup k(I − αA)xkA = sup kB(I − αA)B −1 (Bx)k2 kxkA =1
kBxk=1
y completa la demostraci´on).
94
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
Ejercicio 5.14 (demostraci´ on de la Proposici´ on 5.5) Para toda matriz sim´etrica C se cumple que kCk2 = m´ax |λj | j
con λj el valor propio j−´esimo. Por tanto
r do rra Bo kI − αAkA = kI − αAk2 = m´ax |1 − αλj |. j
Define gc (α) = |1 − c α| y traza la gr´afica de estas funciones para varios valores de c. Deduce que α = 2/(λ1 + λn ) es el valor que hace m´ınimo kI − αAk2 y que para este valor, kI − αAk2 =
λ1 − λ n . λ1 + λn
(Ayuda: al dibujar gc (α) para diferentes valores de c obtendr´as obtendr´as algo similar a esto
1
0.5
0 0
1
2
α
3
4
5
¿Cu´ales son las gr´aficas de los valores extremos?)
El Gradiente Conjugado
El m´etodo del Gradiente Conjugado trata de resolver alguna de las dificultades observadas con el m´etodo del Gradiente, como por ejemplo el comportamiento oscilatorio del residuo. Observemos que en un m´etodo de descenso, y por la elecci´on de ξm hecha en (5.3), > > r> m+1 dm = rm dm − ξm dm Adm = 0,
por lo que rm+1 ⊥ dm . Esto es, en un m´etodo de descenso el residuo del paso m + 1 es ortogonal a la direcci´ on de descenso anterior. Sin embargo, en general ya no es cierto que rm+1 ⊥ dm−1 y por tanto se pierde esta propiedad de ortogonalidad. 95
(5.4)
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
Una forma de evitar, o de mitigar, el aspecto oscilante del m´etodo del Gradiente, es exigir que la direcci´on de descenso dm satisfaga (5.4). Es decir, tomamos rm+1 = rm − ξm Adm ,
r do rra Bo
y concluimos que
d> m−1 rm+1 = 0
⇐⇒
dm−1 ⊥ Adm
⇐⇒
dm−1 ⊥A dm .
En vista de lo anterior optamos por tomar como direcci´on de descenso una perturbaci´on de la direcci´on natural rm (el residuo) en la direcci´on del descenso anterior (dm−1 ) que satisfaga la propiedad de ortogonalidad anterior. Es decir, tomamos dm = rm + τm dm−1
con τm adecuado. Exigiendo que se satisfaga (5.4) deducimos que dm ⊥A dm−1
⇐⇒
> r> m Adm−1 + τm dm−1 Adm−1 = 0
⇐⇒
τm = −
r> m Adm−1 . > dm−1 Adm−1
Como elecci´on inicial de la direcci´on de descenso tomamos simplemente r0 , el residuo de la aproximaci´on inicial. Con todo esto, la primera versi´on del m´etodo del Gradiente Conjugado es la que sigue Gradiente Conjugado - Primera versi´on 01 02 03
x0 inicial; r0 = b − Ax0 ; d0 = r0 ; for m=0:mmax pm = Adm r> m dm d> m pm
04
ξm =
05 06 07 08 09
xm+1 = xm + ξm dm rm+1 = rm − ξm pm if krm+1 k ≤ epskbk break end r > pm τm+1 = − m+1 d> m pm dm+1 = rm+1 + τm+1 dm
10
11 12 13
end disp(’Numero maximo de iteraciones alcanzado’)
Como puede verse, las modificaciones sobre el m´etodo del Gradiente son m´ınimas y est´an concentradas en las l´ıneas 04, 10 y 11. En cuanto al n´ umero de operaciones, 96
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
coincide con las del m´etodo del Gradiente: en cada paso es necesario calcular un producto matriz–vector (l´ınea 03) y tres productos escalares (04 y 10). Listaremos a continuaci´on algunas propiedades entre los residuos y las direcciones de descenso que permiten dar una expresi´on distinta del m´etodo, y deducir alguna de las propiedades de convergencia.
r do rra Bo Lema 5.6 Para todo m ≥ 0
> r> m dm = r m r m .
Por tanto
ξm =
r> m rm . d> m Adm
Demostraci´on. Como rm ⊥ dm−1 ,
> > r> m dm = rm rm + τm rm dm−1 . | {z }
(5.5)
=0
El segundo resultado es inmediato de la definici´on de ξm .
Lema 5.7 Para todo m ≥ 0 se satisfacen las siguientes relaciones i) dm+1 ⊥A dm .
ii) rm+1 ⊥ dm ,
rm+1 ⊥ dm−1 .
iii) rm+1 ⊥ rm .
Demostraci´on. Los puntos i) y ii) ya se han probado. Para probar iii) basta comprobar que > > > > > r> m+1 rm = rm rm − ξm dm Arm = rm rm − ξm dm Adm + ξm τm dm Adm−1 | {z } =0
=
r> m rm
−
ξm d> m Adm .
El resultado es ahora una consecuencia del Lema 5.6. Lema 5.8 Para todo m ≥ 0
τm+1
rm+1 r> := m+1 . > rm rm
Demostraci´on. Como
−Adm =
1 (rm+1 − rm ), ξm
se tiene
τm+1 = −
r> r> 1 r> 1 r> m+1 Adm m+1 (rm+1 − rm ) m+1 rm+1 m+1 rm+1 = = = > > > dm Adm ξm dm Adm ξm dm Adm r> m rm
donde hemos utilizado que rm+1 ⊥ rm , y en el u ´ltimo paso, la expresi´on alternativa de ξm . Los Lemas 5.6 y 5.8 dan expresiones m´as simples de los par´ametros ξm y τm . De hecho m´as econ´omicas, dado que r> m rm es conocido del paso anterior y por tanto no es preciso calcularlo de nuevo. En total dos productos escalares por iteraci´on. 97
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
Ejercicio 5.15 Modifica el algoritmo del Gradiente Conjugado con las nuevas expresiones de ξm y τm . Observa que podemos evitar en esta versi´on un producto escalar por iteraci´on. El resultado sorprendente, y que descubre parte de las buenas propiedades del Gradiente Conjugado, es que estas propiedades de ortogonalidad se extienden a todo el conjunto de residuos y direcciones generados en los pasos anteriores.
r do rra Bo Lema 5.9 Para todo m ≤ n i) dm ⊥A d` ,
∀` ≤ m − 1;
ii) rm+1 ⊥ d` ,
∀` ≤ m;
iii) rm+1 ⊥ r` ,
` ≤ m.
La tercera propiedad implica en particular la convergencia del Gradiente Conjugado en aritm´etica exacta en a lo sumo n pasos dado que no puede haber n+1 vectores ortogonales en Rn y por tanto rn+1 = 0. Sin embargo, en aplicaciones pr´acticas puede requerir m´as de n iteraciones por los errores introducidos por la precisi´on de la m´aquina. Ejercicio 5.16 Modifica el programa gradiente para implementar en una funci´on de nombre gradconjugado el m´etodo del Gradiente Conjugado. Hemos ejecutado como antes
>> n=40;a=rand(n,n); a=a*a’; x=ones(n,1); b=a*x; >> [x,it,r]=gradconjugado(a,b,100,1e-5); >> semilogy(r)
y hemos desplegado en la Figura 5.4 las normas de los residuos en cada paso. Como se
10
10
10
10
10
10
10
Residuo
4
3
2
1
0
−1
−2
0
2
4
6
8
Iteraciones
10
12
14
Figura 5.4: Historial del residuo para el m´etodo del Gradiente Conjugado
puede comprobar la convergencia es m´as r´apida y hemos reducido notablemente el molesto comportamiento oscilatorio del residuo. 98
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
An´ alisis del m´ etodo
r do rra Bo
En esta secci´on probaremos el Lema 5.9. El lector m´as interesado en la implementaci´on del m´etodo puede saltar esta secci´on sin mayor problema. Animamos, no obstante, a su lectura pues ilustra un conjunto de t´ecnicas habituales en otras familias de m´etodos iterativos. Adem´as sirve de ejemplo que demostrar el buen funcionamiento de un esquema num´erico m´as elaborado, generalmente obtenido mediante modificaciones intuitivas de algoritmos m´as simples, puede requerir un an´alisis nada trivial. Tampoco es extra˜ na la situaci´on contraria: un m´etodo puede fallar por razones no inmediatamente comprensibles. En la demostraci´on juega un papel muy importante el subespacio Km (A, r0 ) := Rhr0 , Ar0 , . . . , Am r0 i
esto es, el subespacio formado por todas las combinaciones lineales α0 r0 + α1 Ar1 + . . . + αm Am r0 ,
αi ∈ R.
Estos subespacios reciben el nombre de subespacios de Krylov y son clave en multitud de m´etodos num´ericos para la resoluci´on de sistemas lineales. Antes de proseguir haremos unos simples comentarios: 1. El subespacio tiene a lo sumo dimensi´on m + 1.
2. Si q ∈ Km (A, r0 ), entonces Aq ∈ Km+1 (A, r0 ). Es decir, AKm (A, r0 ) ⊂ Km+1 (A, r0 ). 3. Si Km (A, r0 ) = Km+1 (A, r0 ), entonces Km (A, r0 ) = Km+1 (A, r0 ) = Km+2 (A, r0 ) = ... 4. Es f´acil comprobar que rm , dm ∈ Km (A, r0 ).
La demostraci´on del Lema 5.9 se llevar´a a cabo por inducci´on sobre m. Para m = 0 es un simple ejercicio de comprobaci´on (en este caso r0 = d0 y por tanto ii) y iii) coinciden). Supongamos pues que el resultado est´a probado para m. Concretamente, supongamos que para m i) dm ⊥A d` ,
∀` ≤ m − 1 y {d0 , d1 , . . . , dm } es una base de Km (A, r0 ).
ii) rm+1 ⊥ d` ,
∀` ≤ m.
iii) rm+1 ⊥ r` ,
` ≤ m y {r0 , r1 , . . . , rm+1 } es una base ortogonal de Km+1 (A, r0 ).
Veamos que los puntos i)–iii) se satisfacen entonces para m + 1.
i) dm+1 ⊥A d` ,
∀` ≤ m:
99
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
Este resultado est´a probado ya para ` = m. Para ` ≤ m − 1, utilizamos que dm+1 = rm+1 + τm+1 dm . Por tanto, basta probar que dm ⊥A d` .
r do rra Bo
rm+1 ⊥A r` ,
El segundo es ya conocido (hip´otesis de inducci´on). Por otro lado rm+1 ⊥A r`
⇐⇒
rm+1 ⊥ Ar` .
Como Ar` ∈ K`+1 (A, r0 ) y una base de este subespacio es {r0 , r1 , . . . , r`+1 } ⊂, concluimos que Ar` = α0 r0 + α1 r1 + . . . + α`+1 r`+1
con αj ∈ R adecuados. El resultado se sigue ahora de iii) puesto que rm+1 ⊥ rk , para todo k ≤ m. Por u ´ltimo si dm+1 6= 0 entonces {d0 , . . . , dm+1 } es una base de Km+1 (A, r0 ) por ser A−ortogonales y por tanto linealmente independientes.
ii) rm+2 ⊥ d` ,
∀` ≤ m + 1
Para ` = m, m + 1 es cierto por construcci´on (v´ease Lema 5.7). Para el resto de valores ` ≤ m − 1, utilizamos rm+2 = rm+1 − ξm+1 Adm+1 .
Por inducci´on, rm+1 ⊥ d` , mientras que para el otro t´ermino observamos que (Adm+1 ) ⊥ d`
⇐⇒
dm+1 ⊥A d` ,
y ´esto es lo que acabamos de probar en el apartado anterior.
iii) rm+2 ⊥ r` ,
∀` ≤ m + 1.
Tomemos ` ≤ m. Entonces rm+2 ⊥ r`
⇐⇒ ⇐⇒
(rm+1 − ξm+1 Adm+1 ) ⊥ r` ⇐⇒ (Adm+1 ) ⊥ r` (dm+1 ) ⊥A r` .
donde hemos aplicado la hip´otesis de inducci´on en el segundo paso. Ahora, como r` ⊂ K` (A, r0 ), por el punto i) podemos escribir r` = β0 d0 + β1 d1 + . . . + β` d` .
(5.6)
El resultado se sigue de la propiedad i) ya que dm+1 ⊥A dk para k ≤ m. Finalmente, si rm+1 6= 0 entonces {r0 , . . . , rm+1 } es una base de Km+1 (A, r0 ) por ser ortogonales. 100
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
Un examen m´as cuidadoso de la demostraci´on anterior comprueba que ´esta falla en el caso de que en un paso rm+1 ´o dm+1 sean nulos. En cualquiera de estos casos Km (A, r0 ) = Km+1 (A, r0 ).
r do rra Bo
Ahora bien esto sucede si y s´olo si ha habido convergencia en el paso m (si dm+1 = 0 y por tanto rm = 0) o en el paso m + 1 (si rm+1 = 0). Esto es, si la direcci´on de descenso es la nula simplemente es porque ya hemos alcanzado la soluci´on, y viceversa, si el residuo es nulo, la direcci´on de descenso para la siguiente iteraci´on es la nula. Notas finales
El Gradiente Conjugado fue propuesto por Magnus R. Hestenes y Eduard Stiefel en 1952. Lo m´as curioso es que el m´etodo fue desarrollado de forma independiente por estos nos que dos autores. Seg´ un cuenta Marvin Stein13 , un estudiante postdoctoral en aquellos a˜ program´o el algoritmo por primera vez para Hestenes, Stiefel coincidi´o con Hestenes en una conferencia en UCLA (University of California, Los Angeles) y le coment´o a grandes trazos el m´etodo en el que estaba trabajando. Stiefel estaba impresionado sobre las buenas propiedades que mostraba este m´etodo hasta que revisando las tarjetas perforadas que conten´ıan el programa implementado cay´o en la cuenta de que se trataba del mismo m´etodo sobre el que independiente ´el estaba trabajando14 . Hemos visto que el m´etodo del Gradiente Conjugado es un m´etodo directo, en tanto en cuanto da la soluci´on en un n´ umero finito de pasos, concretamente n, el n´ umero de filas de la matriz. Sin embargo, se programa como un m´etodo iterativo, de forma que se busca la convergencia en muchas menos iteraciones. En cada iteraci´on se tiene la estimaci´on !m p κ(A) − 1 ke0 kA kem+1 kA ≤ 2 p κ(A) + 1
donde de nuevo em := xm − x es el error en el paso m−´esimo y e0 el error inicial. El resultado anterior es algo incompleto pero sirve para hacer patente la sensibilidad del m´etodo ante el condicionamiento de una matriz que, aunque menor que en el caso del m´etodo del Gradiente (por la ra´ız cuadrada), sigue siendo importante. Si la matriz tiene un condicionamiento moderado, el m´etodo del Gradiente Conjugado dar´a una soluci´on aceptable en unas pocas iteraciones. Sin embargo, esto no suele ser un caso habitual. Las matrices que surgen en la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo elementos o vol´ umenes finitos, suelen ser, adem´as de matrices sparse, mal condicionadas, por lo que el m´etodo del Gradiente Conjugado requiere de bastantes iteraciones15 . Estas razones hicieron que el Gradiente Conjugado se tomara como un m´etodo m´as, sin concederle especial relevancia y confundi´endose con la multitud de m´etodos para la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales que iban surgiendo a su alrededor. Esta 13 An´ecdota recogida por Yousef Saada y Henk A. van der Vorstb en “Iterative solution of linear systems in the 20th century” publicado en “Journal of Computational and Applied Mathematics” en el a˜ no 2000. 14 Esta coincidencia no es de todas formas un caso aislado en las Ciencias en general y en las Matem´aticas en particular. En ocasiones parece como si las ideas estuviesen flotando en el ambiente a la espera de que alguien diera el paso final de plasmarlas. 15 O(n1/3 ) en problemas en 3D, O(n1/2 ) en 2D es un comportamiento t´ıpico.
101
´ II LECCION
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
situaci´on se prolong´o durante casi 20 a˜ nos hasta que las ideas del precondicionamiento cambiaron radicalmente esta situaci´on y encumbraron al Gradiente Conjugado a su posici´on actual16 . El precondicionamiento consiste, a grandes rasgos, en cambiar el sistema por uno equivalente17
r do rra Bo Ax = b,
−1 −> −1 L | AL {z } y = L | {z b}, c B
x = L−> y
y aplicar el m´etodo al sistema By = c. Para su implementaci´on basta con conocer simplemente la matriz producto M = LL> que recibe el nombre de precondicionador de A. En general, la matriz L−1 AL−> no se construye, porque el producto por el precondicionador hace que se pierdan algunas de las buenas propiedades de la matriz original. Ahora bien, y he aqu´ı la ventaja del m´etodo, s´ olo necesitamos calcular productos por M −1 , que se reducen sistemas lineales con M como matriz de coeficientes. Obviamente, y de forma similar a como proced´ıamos con la descomposici´on de Cholesky, esto equivale resolver dos sistemas lineales con L y L> . La buena noticia es que es posible construir matrices para las que estos sistemas son f´aciles de resolver. Por ejemplo, L puede ser sparse y triangular. El m´etodo del Gradiente Conjugado rara vez se programa sin precondicionar. De hecho, el comando de Matlab con el Gradiente Conjugado implementado es pcg de preconditioned conjugate gradient. En u ´ltima medida, el ´exito del Gradiente Conjugado origin´o el nacimiento de una familia entera de m´etodos, los conocidos como m´ etodos de Krylov, que trataban de extender las buenas propiedades del m´etodo a matrices m´as generales. Por ejemplo, BiCG, BiCGSTAB, CGS, QMR, GMRES, MINRES, etc. Algunos de estos m´etodos requieren que la matriz sea sim´etrica y otros son v´alidos para matrices arbitrarias. Un precondicionador universal, es v´alido en muchos casos, es la descomposici´on de Cholesky incompleta. Va m´as all´a de los contenidos de este curso describir detalladamente en qu´e consiste pero podemos dar una idea. Se trata de, grosso modo, aplicar el m´etodo de Cholesky pero restringiendo la creaci´on de nuevas entradas. El resultado es una matriz L tal que LL> ≈ A en alg´ un sentido. Por tanto, L−1 AL−> ≈ In y su condicionamiento es moderado, o al menos mejor que el de A. En Matlab se encuentra implementada en el comando cholinc. El siguiente ejercicio ilustra el efecto del precondicionamiento en la convergencia del Gradiente Conjugado y con ello trata de convencer de la necesidad de utilizarlo en la resoluci´on de (muy) grandes sistemas de ecuaciones. Ejercicio 5.17 Las siguientes instrucciones
>> [p,e,t]=initmesh(’lshapeg’,’Hmax’,0.05); >> [a,b]=assempde(’lshapeb’,p,e,t,1,0,1);
devuelven en a una matriz sparse sim´etrica definida positiva proveniente de resolver la ecuaci´on de Poisson (una ecuaci´on en derivadas parciales) por el m´etodo de elementos finitos en un 16
La American Mathematic Society lo sit´ uo entre los diez algoritmos m´as relevantes del siglo XX, junto con, por ejemplo, la Transformada R´ apida de Fourier (FFT) o el algoritmo QR para el c´alculo de valores y vectores propios. 17 Utilizamos la notaci´ on L−> = (L−1 )> , es decir invertir y trasponer (o equivalentemente, trasponer e invertir).
102
´ II LECCION
Cap´ıtulo 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos
Metodo del gradiente
0
10
sin precondicionar precondicionado −1
10
r do rra Bo −2
10
−3
10
−4
10
Residuo
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
50
100
150
200
250
Iteraciones
Figura 5.5: Efecto del en el Gradiente Conjugado.
dominio en forma de ‘L’. La matriz tiene aproximadamente 2100 filas con 14500 elementos no nulos18 . Con el comando spy se puede ver la forma de a, su tama˜no y el n´umero de entradas no nulas. Aplica el comando pcg que contiene implementado el Gradiente Conjugado. Por ejemplo, con >>[x,flag, relres,iter,resvec] = pcg(a,b,1e-7,100);
aplicas el m´etodo con una tolerancia relativa de 10−7 y un n´umero m´aximo de 100 iteraciones. En relres se recoge el residuo relativo de la soluci´on calculada (kb − Axk/kbk), en resvec un historial del residuo en cada paso y en flag una variable que informa sobre qu´e ha sucedido en la aplicaci´on del m´etodo. As´ı flag==1 indica que se ha alcanzado el n´umero m´aximo de iteraciones sin convergencia, mientras que si flag==0 entonces ha habido convergencia. Para ver el historial de la convergencia del m´etodo se puede ejecutar >> semilogy(resvec);
Observa que es necesario o aumentar el n´umero de iteraciones m´aximas o disminuir la tolerancia para obtener convergencia. A continuaci´on vamos a utilizar un precondicionador muy sencillo basado en la descomposici´on de Cholesky incompleta. Teclea >> R=cholinc(a,’0’);
De nuevo, con los comandos habituales puedes ver tanto la forma como el n´umero de entradas no nulas de R. Modificando las instrucciones anteriores con 18
Por cierto, el logo de Matlab es la soluci´on de un problema de este tipo.
103
5.2 M´etodos iterativos para sistemas lineales
´ II LECCION
>>[x2,flag2, relres2,iter2,resvec2] = pcg(a,b,[],100,R’,R); est´as aplicando el m´etodo del Gradiente Conjugado precondicionado con R> R. ¿Disminuye el n´umero de iteraciones? (ver iter2). ¿Y el tiempo de c´alculo?. ¿Puedes ser ahora m´as exigente con la tolerancia?.
r do rra Bo Ejercicio 5.18 Con la orden helpwin lee la ayuda que proporciona Matlab para pcg. ¿Qu´e otros m´etodos iterativos est´an implementados?. Consulta tambi´en la ayuda de cholinc y luinc.
104
r do rra Bo Lecci´on III
Funciones como argumento. Recursividad F´ormulas de cuadratura. FFT
105
r do rra Bo
r do rra Bo
Introducci´ on
Hobbes clearly proves that every creature Lives in a state of war by nature; So naturalists observe a flea Has smaller fleas that on him prey, And these have smaller still to bite’em, And so proceed ad infinitum. Swift, Poetry: a Rhapsody
En esta lecci´on abordaremos dos nuevos aspectos de Matlab: el env´ıo de funciones como argumentos de otras funciones y la recursividad, esto es, la habilidad de que las funciones se llamen a s´ı mismas. Adem´as mostraremos una forma alternativa de definir funciones en la ventana de comandos. En la segunda parte hablaremos de las reglas de cuadratura cl´asicas para la aproximaci´on de integrales y veremos una implementaci´on sencilla de un m´etodo de integraci´on adaptativa. Finalizaremos con la transformada discreta de Fourier, y su c´alculo mediante la transformada r´apida de Fourier (FFT). La implementaci´on de estos algoritmos servir´a de ilustraci´on de las estrategias de recursividad, que sirven para obtener un c´odigo simple y legible.
107
r do rra Bo
108
r do rra Bo
Cap´ıtulo 6
Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad 6.1.
Funciones inline
En la secci´on 3.2 de la Lecci´on I mostramos la definici´on de funciones mediante ficheros de texto (con extensi´on *.m). Existe una forma alternativa de introducir funciones en Matlab que puede utilizarse directamente en la l´ınea de comandos o en el c´odigo de una funci´on. Por ejemplo, >> f=inline(’exp(-x)*sin(x)’,’x’);
define la funci´on f (x) = e−x sen(x). Para evaluar se procede igual >> f(2) ans =
0.1231
A efectos pr´acticos, inline es equivalente a editar una funci´on con nombre “f” y a escribir el correspondiente c´odigo. La definici´on queda en memoria pero una vez cerrada la sesi´on ´ de Matlab (esto es, al salir del programa) la funci´on se pierde. Esta es pues una importante 1 desventaja frente la funciones basada en m-files . Sin embargo puede resultar u ´til para tareas sencillas tanto en el modo comando como en el c´odigo de una subrutina. Nada impide definir funciones con m´as argumentos, >> g=inline(’x*cos(y)-y*cos(x)’,’x’,’y’);
Los u ´ltimos argumentos del comando inline definen las variables de la funci´on. Si no se especifican, Matlab trata de reconocer cu´ales son las variables y las ordena alfabeticamente: 1
En el men´ u, seleccionando File → Save workspace as se pueden grabar las variables y funciones utilizadas en la sesi´ on actual de Matlab. Otra posibilidad es utilizar la orden save indicando que queremos grabar f . En cualquier caso, ambas opciones no son muy naturales.
109
´ III LECCION
6.1 Funciones inline >> g=inline(’x^2*cos(y)-y*cos(x)*z’); >> g g =
r do rra Bo
Inline function: g(x,y,z) = x^2*cos(y)-y*cos(x)*z
De todas formas, expresar todas las variables expl´ıcitamente puede aclarar y facilitar la lectura, adem´as de especificar el orden de las variables en la definici´on de la funci´on: >> f=inline(’x*cos(k*x)’) f =
Inline function: f(k,x) = x*cos(k*x)
>> f=inline(’x*cos(k*x)’,’x’,’k’) f =
Inline function: f(x,k) = x*cos(k*x)
Las funciones anteriores no est´an vectorizadas, es decir, al aplicarlas sobre un vector o matriz no act´ uan elemento a elemento. Para ello, deber´ıa escribirse >> g = inline(’x.^2.*cos(y)-y.*cos(x).*z’); >> g([0 pi 0],[pi 0 0], [0 0 pi]) % funcion vectorizada ans = 0
9.8696
0
Otra forma, m´as sencilla, es introducir la funci´on de la forma habitual y pedir luego a Matlab que la prepare para su aplicaci´on a vectores. El comando dedicado a esta tarea es vectorize: >> g = inline(’x^2*cos(y)-y*cos(x)*z’) % funcion sin vectorizar g =
Inline function: g(x,y,z) = x^2*cos(y)-y*cos(x)*z
>> g= vectorize(g)
110
´ III LECCION
Cap´ıtulo 6. Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad
g = Inline function: g(x,y,z) = x.^2.*cos(y)-y.*cos(x).*z
r do rra Bo
Observa que tras la aplicaci´on de este comando, Matlab redefine la funci´on a˜ nadiendo “.” en los sitios adecuados.
6.2.
Funciones como argumentos
Es frecuente que en programaci´on m´as avanzada se requiera que las funciones trabajen sobre funciones. Por ejemplo, podemos plantearnos implementar una funci´on que realice la siguiente tarea dada una funci´on de una variable y dos valores dibujar la funci´on entre esos valores
En este caso, uno de los argumentos es la funci´on a dibujar. Veamos c´omo se ha implementado 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
% MIPLOT % % MIPLOT(F,A,B) % MIPLOT(F,A,B,N) %
Dibuja la funcion F entre A y B Toma N puntos entre A y B
function miplot(f,a,b,varargin)
if nargin<3 disp(’argumentos insuficientes’) end if nargin>3 n=varargin{1}; else n=200; end
x=linspace(a,b,n); % vector con n puntos entre a y b y=feval(f,x); % f debe estar vectorizada plot(x,y) return
En la l´ınea 07, f recoge la funci´on argumento, mientras que en 20 se procede a evaluar ´esta mediante feval Para enviar la funci´on existen dos posibilidades: 111
´ III LECCION
6.2 Funciones como argumentos Si enviamos una funci´on inline, basta con insertar su nombre >> fun=vectorize(inline(’exp(-x)*cos(4*x)’)); >> miplot(fun,0,2*pi,200)
r do rra Bo
Si la funci´on es propia de Matlab o est´a implementada en un fichero m-file en la carpeta de trabajo (o en alguna accesible), podemos • utilizar “@”2
>> miplot(@sin,0,2*pi,200)
• indicar el nombre de la funci´on entre comillas >> miplot(’sin’,0,2*pi,200)
Nota. La funci´on plot dibuja el vector y versus x. Concretamente, por defecto construye el pol´ıgono con v´ertices(x(i),y(i)). Si se toma un n´ umero suficiente de puntos esto basta para obtener una buena gr´afica. Este comando es una de las salidas gr´aficas m´as simples de Matlab y admite una amplia variedad de argumentos opcionales que controlan el aspecto final del dibujo. En una lecci´on posterior (Lecci´on V) veremos este comando y otros relacionados con las salidas gr´aficas.
Ejercicio 6.1 Modificar el programa miplot para que en caso de no recibir los argumentos a y b los pida por pantalla.
(Ayuda. La orden input lee datos por pantalla tras mostrar un mensaje. Necesitar´as que ahora a y b pasen a ser argumentos opcionales.)
Ejercicio 6.2 Lee la ayuda de Matlab sobre plot. Ensaya diferentes variantes, observa como se puede cambiar de forma sencilla tanto la forma de la gr´afica (l´ınea continua, l´ınea a trozos, raya-punto, s´olo puntos,...), el color,...
6.2.1.
Recursividad
Un aspecto ya habitual en muchos lenguajes de programaci´on es la recursividad, es decir, la habilidad de que una funci´on se llame a s´ı misma. Es habitual su utilizaci´on cuando se programan estrategias de tipo divide y vencer´ as, que consiste, a grandes trazos, en dividir un problema en problemas iguales pero de menores dimensiones. Quiz´as el ejemplo m´as sencillo (y cl´asico) se basa en la funci´on factorial. n! = n · (n − 1) · · · 1.
De una manera simple, podemos definir de forma recursiva n · (n − 1)!, si n > 0, n! = 1, si n = 0.
Su implementaci´on en Matlab es ahora tan sencilla como sigue
2
Matlab recomienda esta forma. El operador @ accede al handle de la funci´on que es la referencia que tiene Matlab de la funci´ on. Para mayor informaci´on, ver helpwin function handle.
112
´ III LECCION 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
Cap´ıtulo 6. Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad
% FACT % % FACT(N) devuelve n! %
r do rra Bo
function f=fact(n)
if (n<0) disp(’error. Argumento inapropiado’); f=[]; % devolvemos el vacio elseif (n==0) f=1; else f=fact(n-1)*n; % llamada a fact con n-1 end return
Obviamente, ´esta no es la forma m´as apropiada de programar la funci´on factorial que en Matlab se encuentra implementada en una funci´on con el mismo nombre3 . Es m´as, abusar de este tipo de programaci´on suele generar c´odigo poco eficiente. Adem´as el control que debe hace el ordenador de las sucesivas llamadas puede dar lugar a un costo en memoria elevado. Sin embargo es cierto que el c´odigo resultante suele ser bastante m´as simple.
3
Tienes de hecho acceso al c´ odigo, basta con ejecutar edit factorial.
113
´ III LECCION
6.2 Funciones como argumentos
r do rra Bo 114
r do rra Bo
Cap´ıtulo 7
F´ ormulas de cuadratura. Transformada r´ apida de Fourier 7.1.
F´ ormulas de cuadratura
Un problema ya cl´asico es la aproximaci´on de una integral Z
b
f (s) ds
a
cuyo c´alculo no se puede llevar a cabo por medios anal´ıticos o bien porque conlleva un costo elevado. Este tipo de problemas se ha planteado desde la antig¨ uedad, con algunas referencias que se remontan a las Matem´aticas cl´asicas en el c´alculo de ´areas y vol´ umenes de figuras curvas. Quiz´as ´este sea el origen de la denominaci´on de f´ ormula de cuadratura a cualquier expresi´on que aproxime una integral definida. La propia definici´on de integral1 se f´ormula actualmente en t´erminos del l´ımite de f´ormulas de cuadratura, concretamente f´ormulas del rect´angulo. El An´alisis Num´erico trata de analizar no s´olo la convergencia de estas f´ormulas y otras que se puedan plantear, sino especialmente la calidad de estas aproximaciones estimando el error que comenten. En u ´ltima medida, el uso local de estimaciones del error permiten dilucidar qu´e zonas del intervalo de integraci´on concentran el error cometido por nuestra f´ormula y por tanto donde debemos concentrar nuestro esfuerzo para reducir el error cometido. Obtenemos as´ı un m´etodo adaptativo, no r´ıgido, que reconoce las dificultades del problema y se adapta a ´el. En esta secci´on esbozaremos estas ideas recurriendo siempre a casos sencillos e ideas intuitivas y dejando la teor´ıa en el m´ınimo imprescindible.
7.1.1.
Primeras nociones
Desde una ´optica completamente ingenua, y a la vista de la gr´afica de la funci´on por integrar, podemos plantear su aproximaci´on por una suma de ´areas de rect´angulos que aproximen el ´area total que define f (Figura 7.1)2 . A este tipo de aproximaciones se les 1 2
Hablamos de la integral de Rienmann. Esta aproximaci´ on est´ a, de hecho, detr´as de la definici´on de la integral de Rienmann.
115
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
conoce como reglas del rect´angulo. Queda por elegir el punto que al evaluar define la altura de cada rect´angulo. Las elecciones m´as sencillas son tomar el extremo inferior de cada subintervalo, el extremo superior o, la a priori m´as l´ogica, tomar el punto medio.
r do rra Bo 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
-0.1
-0.2 0
0.5
1
1.5
0.6
2
0.6
partición Regla del punto medio
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
-0.1
-0.1
0.5
1
1.5
2
Particion Regla del trapecio
0.5
0.4
-0.2 0
2.5
-0.2 0
2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 7.1: Reglas de cuadratura: punto medio y trapecio
Si, por simplicidad, nos limitamos a trabajar con particiones uniformes, es decir, a construir rect´angulos con igual base, las f´ormulas anteriores se pueden exponer de forma simple: en primer lugar introducimos la malla n ∈ N, h =
b−a , xj = a + hj, xj+1/2 = a + h(j + 1/2) n
o partici´on asociada. Las reglas quedan ahora de la siguiente forma Q1 (f, h) := h
n−1 X
f (xj )
(Punto inferior),
f (xj ),
(Punto superior)
f (xj+1/2 ),
(Punto medio)
j=0
Q2 (f, h) := h
n X j=1
Qpm (f, h) := h
n−1 X j=0
Es dif´ıcil escapar a la sensaci´on de que la regla del punto medio goza de mejores 116
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
r do rra Bo
propiedades que las que definen el resto de elecciones3 . Esta impresi´on es correcta, como veremos m´as adelante. Un an´alisis algo m´as profundo nos descubre la regla del trapecio como una mejor manera de aproximar la integral (ver de nuevo la Figura 7.1). En este caso la integral se aproxima como suma del ´area de trapecios, como su propio nombre indica. Es un simple ejercicio comprobar que la regla obedece a la siguiente f´ormula n−1 i h1 X 1 f (xj ) + f (xn ) , Qtr (f, h) := h f (x0 ) + 2 2 j=1
(Regla del trapecio).
Parecer´ıa evidente que esta aproximaci´on es mejor que la de las f´ormulas de rect´angulo que hemos visto. Esta impresi´on es s´olo parcialmente correcta: de hecho la regla del punto medio es ligeramente mejor que la regla del trapecio, como veremos m´as adelante. En cualquier caso, la regla del trapecio sugiere que podemos desarrollar f´ormulas m´as complejas sobre cada subintervalo [xi , xi+1 ] para luego construir con ellas, simplemente sum´andolas, una f´ormula en todo el intervalo [a, b]. Es por ello que a las reglas del rect´angulo y trapecio se les llama reglas compuestas, mientras reglas que no implican subdividir el intervalo de integraci´on en intervalos m´as peque˜ nos se las conoce como reglas simples. Ejercicio 7.1 Implementa en Matlab la regla del punto medio.
Soluci´ on. Observemos primero que necesitamos cuatro argumentos de entrada: Funci´on a integrar f.
Puntos inicial y final del intervalo a,b. N´ umero de divisiones del intervalo n.
Una vez le´ıdos estos datos podemos calcular h, la distancia entre dos puntos consecutivos, construir un vector con los puntos donde hay que evaluar f , evaluar la funci´on en esos puntos (un nuevo vector de valores), sumar el vector y multiplicar por h. El programa podr´ıa ser as´ı 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
% % % % % %
PUNTOMEDIO
PUNTOMEDIO(F,A,B,N) devuelve el valor aproximado de la integral de F entre A y B con la regla del punto medio con N puntos F debe estar vectorizada
function s=puntomedio(f,a,b,n) h=(b-a)/n;
3
Quiz´as por razones de simetr´ıa. La intuici´on es una arma poderosa en todas las Ciencias y en las Matem´aticas en particular. Sin embargo en el An´alisis Num´erico puede llevar a confusiones e impresiones err´oneas. En ocasiones los m´etodos num´ericos funcionan o fallan por razones que escapan a la pura intuici´on. De todos modos, no por ello se debe desde˜ nar, sino manejarla con algo de cuidado.
117
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura 11 12 13
x=linspace(a+h/2,b-h/2,n); % calculamos puntos por evaluar y=feval(f,x); % evaluamos f en esos puntos s=h*sum(y); % aplicamos regla
r do rra Bo Ejercicio 7.2 Implementa en Matlab la regla del trapecio.
Ejercicio 7.3 Tomando un n´umero de puntos suficientemente alto y siempre que la funci´on sea regular (sea derivable un n´umero suficiente de veces) puedes tomar ese valor como el resultado exacto de la integral. Con un ejemplo arbitrario compara los resultados de la regla del punto medio y la regla del trapecio.
Nota. Existe una cuesti´on, algo tonta, sobre el par´ametro n. Lo habitual es tomar n de forma que h = (b − a)/n sea la distancia entre los puntos que se eval´ uan para construir la regla de cuadratura. Esta elecci´on hace que en la regla del punto medio la funci´on se eval´ ue en n puntos mientras que en la regla del trapecio, se haga en n + 1 puntos. En cualquier caso, y adelant´andonos a lo que sigue, el par´ametro relevante es precisamente h.
7.1.2.
Reglas simples
Tanto la regla del punto medio como la del trapecio se basan en interpolar la funci´on por un polinomio de grado 0 (constante) y grado 1 (una recta) sobre cada subintervalo e integrar dicho polinomio. Esto es, si c es el punto medio de (a, b), la regla del punto medio consiste en reemplazar la funci´on por la constante, polinomio de grado 0, que pasa por (c, f (c)) y aproximar la integral de f por la de dicha constante: Z b Z b f (c)ds = f (c)(b − a). f (s)ds ≈ a
a
An´alogamente, la regla del trapecio se basa en aproximar la funci´on por una recta p1 (s), polinomio de grado 1, que pase por (a, f (a)) y (b, f (b)) y luego dar como resultado aproximado de la integral la de p1 (s): Z b Z bh i s−a b−a b−s f (a) + f (b) ds = [f (a) + f (b)] . f (s)ds ≈ b − a 2 a |b − a a {z } p1 (s)
El estudio del error de las f´ormulas anteriores queda as´ı reducido a las propiedades de aproximaci´on de los polinomios de grado 0 y 1 correspondientes. Proposici´ on 7.1 Existen ξ1 , ξ2 ∈ [a, b] tales que Z b 1 00 f (s) ds − (b − a)f (c) = f (ξ1 )(b − a)3 , 24 a Z b b−a 1 f (s) ds − f (a) + f (b) = − f 00 (ξ2 )(b − a)3 . 2 12 a 118
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
r do rra Bo
Obviamente, nada se dice sobre cu´ales son los puntos ξ1 , ξ2 , puesto que conocer esos puntos en cada caso ser´ıa equivalente a conocer la integral para cualquier funci´on arbitraria. Es remarcable que ambas f´ormulas son exactas para polinomios de grado 1 (porque en tal caso f 00 = 0) y que el error que se puede esperar de la f´ormula del punto medio es la mitad que el de la f´ormula del trapecio y adem´as con signo opuesto4 . Siguiendo con estas ideas, podemos avanzar un paso m´as trabajando con polinomios de grado dos. Denotando por Pn (x) los polinomios de grado n, procedemos como sigue Construir p ∈ P2 (x) tal que (c = (a + b)/2) p2 (a) = f (a),
p2 (c) = f (c),
p2 (b) = f (b).
Dar como aproximaci´on
Z
b
Z
f (s) ds ≈
a
a
b
p2 (s) ds.
a
c
b
Figura 7.2: Regla de Simpson
En la terminolog´ıa habitual se habla de una regla de precisi´on 2. La f´ormula que as´ı obtenemos viene dada por Z
a
b
b − a f (s) ds ≈ f (a) + 4f (c) + f (b) . 6
(7.1)
Esta regla de cuadratura recibe el nombre de regla de Simpson y es una de las m´as utilizadas en la pr´actica. A primera vista se puede esperar que d´e el valor exacto de la integral para polinomios de grado de 2, puesto que as´ı se ha impuesto en la definici´on. Sin embargo tiene un grado de precisi´on adicional fruto de la disposici´on sim´etrica de los puntos de evaluaci´on (es decir, del hecho de que c sea el punto medio de [a, b]), lo que lleva a que la f´ormula sea exacta para polinomios de grado 3. Esto es, la regla de Simpson tiene precisi´ on 3: 4
Salvando el hecho de que en principio ξ1 6= ξ2 . Un an´alisis m´as elaborado permite probar que esta conclusi´on es esencialmente cierta.
119
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
Proposici´ on 7.2 Existe ξ3 ∈ [a, b] tal que Z b 1 (4) b − a f (a) + 4f (c) + f (b) = − f (ξ3 )(b − a)5 . f (s) ds − 6 2880 a En general, tenemos la siguiente estrategia para construir reglas de mayor precisi´on:
r do rra Bo Tomar n ∈ N, h = (b − a)/n, xj = a + jh con j = 0, . . . , n (n + 1 puntos). Construir un polinomio pn ∈ Pn (x) tal que
pj (xj ) = f (xj ).
Aproximar
Z
b
Z
f (s) ds ≈
a
b
pn (s) ds.
a
Las f´ormulas as´ı obtenidas reciben el nombre de f´ormulas de Newton-Cotes cerradas5 . Las f´ormulas de Newton-Cotes abiertas se definen de forma similar pero tomando xj+1/2 = a + (j + 1/2)h,
j = 0, . . . , n,
h=
b−a . n
Se denominan reglas abiertas porque ni a ni b se eval´ uan para aproximar la integral. Sin embargo no es conveniente recurrir a estas f´ormulas de cuadratura porque conforme aumenta el n´ umero de puntos, las f´ormulas tienden a ser m´as inestables num´ericamente. En lugar de ello, se utilizan f´ormulas compuestas, como las del rect´angulo o trapecio, definidas a partir de f´ormulas simples de pocos puntos. Volveremos a ello en pr´oximos apartados. Ejercicio 7.4 (Matem´ atico) Deducir los coeficientes de la regla de Simpson expuestos en (7.1).
(Ayuda: Todo polinomio de grado 2 se puede escribir en la forma p2 (s) = α1 (s − b)(s − c) + α2 (s − a)(s − c) + α3 (s − a)(s − b). ¿Cu´anto valen α1 , α2 , α3 si exigimos que p2 (a) = f (a), p2 (b) = f (b), p2 (c) = f (c)?. Integra p2 (x) y deduce la regla. Ten en cuenta que c = (a + b)/2.)
Ejercicio 7.5 Otra forma equivalente de definir y calcular las f´ormulas de Newton-Cotes es exigir que la f´ormula de cuadratura integre a los polinomios de m´aximo grado. En el caso de la f´ormula de Simpson, bastar´ıa con partir de xj = a + jh,
definir
Z
j = 0, 1, 2,
con h =
b−a , 2
b
f (s) ds ≈ ω0 f (x0 ) + ω1 f (x1 ) + ω2 f (x2 ).
a
y exigir que la f´ormula sea exacta para f = 1, s, s2 . Calcula as´ı los pesos de la f´ormula de Simpson. 5
El hecho de que Isaac Newton aparezca ligado a estas ideas da una pista sobre la fecha a la que se remontan estas t´ecnicas.
120
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Ejercicio 7.6 Siguiendo las ideas del ejercicio anterior, podemos deducir las f´ormulas con m´as puntos. Para facilitar el estudio realizamos el cambio de variables Z Z b b−a n f (s) ds = f (a + ht) dt n a 0
r do rra Bo Se introduce a continuaci´on la regla de cuadratura en [0, n] Z n g(t) dt ≈ n ω0 g(0) + ω1 g(1) + . . . + ωn g(n) . 0
Los pesos se determinan sin m´as que exigir que sea exacta para polinomios6 , de grado n en t. Llegamos por tanto a las condiciones Z n g(t) dt = n(ω0 g(0) + ω1 g(1) + . . . + ωn g(n)), g ∈ {1, t, . . . , tn }. 0
Esta forma directa de abordar el problema nos conduce al sistema ω 1 0 1 1 1 ··· 1 0 1 2 ··· n ω n/2 1 2 0 1 4 · · · n2 ω n /3 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. n n 0 1 2 ··· n ωn nn /(n + 1)
.
Implementa una funci´on que reciba como argumento n y devuelva los pesos de la f´ormula de Newton-Cotes cerrada de n + 1 puntos7 .
Soluci´ on. Recordemos en primer lugar que los vectores en Matlab se numeran a partir de 1, lo que exige desplazar todos los ´ındices una unidad. Dicho esto, una implementaci´on de la soluci´on de este ejercicio es como sigue 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
% % % % % % % % % % %
PESOSNEWTONCOTES
V=PESONEWTONCOTES(N)
devuelve en V los pesos de la formula de Newton-Cotes cerrada de N+1 puntos.
Esto es, la integral de f en [a,b] se aproxima por
(b-a)*(w(1)*f(x(1))+w(2)*f(x(2))+...+w(n+1)*f(x(n+1))) donde x(i)=a+(i-1)*(b-a)/n i=1,...,n+1,
6
observa que el cambio de variable lleva polinomios de grado n a polinomios de grado n La matriz del sistema recibe el nombre de Matriz de Vandermonde. Desafortunadamente es una matriz muy mal condicionada que da problemas en su resoluci´on para n moderado. Ello es consecuencia de que la base de monomios no es buena elecci´on como base de los polinomios. 7
121
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
function w=pesosnewtoncotes(n)
r do rra Bo
r=0:n; c=1; m=ones(1,n+1); for i=1:n m=[m; r.^i]; % construimos matriz del sistema c=[c; n^(i)/(i+1)]; % construimos el termino independiente end w=m\c; return
Con diferentes valores de n hemos obtenido los siguientes resultados
1 2 3 4 5 6 1/2 1/6 1/8 7/90 19/288 41/840 1/2 2/3 3/8 16/45 25/96 9/35 1/6 3/8 2/15 25/144 9/28 1/8 16/45 25/144 34/105 7/90 25/96 9/28 19/288 9/35 41/84
7 8 9 10 322/7409 248/7109 177/5551 94/3503 337/1628 578/2783 458/2607 2431/13693 49/64 −111/3391 27/224 −410/5059 585/3382 97/262 451/2089 722/1587 585/3382 −454/2835 282/4373 −406/933 49/64 97/262 282/4373 783/1097 337/1628 −111/3391 451/2089 −406/933 429/9871 578/2783 27/224 722/1587 248/7109 458/2607 −351/4331 177/5551 2284/12865 94/3503
Se puede comprobar que aparecen pesos negativos a partir de n = 8. Es decir, la f´ormula de cuadratura puede dar valores negativos para una funci´on positiva. Esta inestabilidad se vuelve m´as acusada conforme n → ∞. De hecho es muy probable que a partir de n ≈ 10 la resoluci´on del sistema lineal de Vandermonde de resultados muy poco fiables dado el mal condicionamiento de la matriz8 . En cuanto a los pesos, ´estos se pueden calcular de forma m´as estable sin m´as que elegir una base adecuada de los polinomios de n. La f´ormula para n = 3 se suele denominar en la literatura, por razones obvias, regla de 3/8. El grado de precisi´on de estas reglas (es decir, el grado de los polinomios para los que las f´ormulas dan la integral exacta) es n ´o n + 1 dependiendo si n es impar o par respectivamente. Ejercicio 7.7 Implementa una funci´on que devuelva los pesos para las f´ormulas de NewtonCotes abiertas.
7.1.3.
Retorno a las reglas compuestas
En la secci´on precedente indicamos que el uso de f´ormulas de cuadratura simple con un n´ umero de puntos elevados equidistribuidos no es recomendable dado que exhiben 8
Se puede atenuar este mal condicionamiento utilizando la descomposici´on QR (ver Lecci´on IV) para resolver el sistema lineal
122
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
r do rra Bo
una gran inestabilidad num´erica. Este hecho est´a ´ıntimamente con la inestabilidad de la interpolaci´on num´erica en estos nodos, tema al que volveremos m´as adelante (Lecci´on V). Una alternativa que proporciona mejores resultados, y que es muy sencilla de implementar, es volver a las f´ormulas de cuadratura compuestas, dividiendo el intervalo original en varios subintervalos y aplicar en cada uno de ellos una f´ormula de cuadratura simple. Por ejemplo la regla del trapecio es la f´ormula de cuadratura compuesta obtenida al dividir el intervalo de integraci´on en n subintervalos y aplicar en cada uno de ellos la f´ormula de Newton-Cotes cerrada de dos puntos: Z b b−a (f (a) + f (b)). f (s) ds ≈ 2 a
Deduciremos a continuaci´on la regla compuesta de Simpson. Tomemos en primer lugar n subintervalos, con lo que habremos de evaluar en 2n + 1 puntos. Definiendo h = (b − a)/(2n), xi = a+ih (i = 0, . . . , 2n) aplicaremos la regla de Simpson simple sobre [x2i , x2i+2 ] (longitud 2h). Aparecen as´ı tres t´erminos diferentes: Los puntos x0 (= a) y x2n (= b) son extremos de un u ´nico subintervalo.
Los puntos x2j , j = 1, . . . , n − 1, que son extremo superior de un subintervalo e inferior del siguiente ([x2j−2 , x2j ] y [x2j , x2j+2 ]). Los puntos x2j−1 que son puntos interiores de los subintervalos ([x2j−2 , x2j ]).
La f´ormula que obtenemos es
n n−1 h1 i 4X 2X 1 Qsp (f, h) := h f (x0 ) + f (x2j−1 ) + f (x2j ) + f (x2n ) . 3 3 j=1 3 j=1 3
(7.2)
La siguiente proposici´on informa sobre el comportamiento de las tres f´ormulas compuestas hasta ahora Proposici´ on 7.3 Existen ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ [a, b] tales Z b Qpm (f, h) − f (s) ds = a Z b Qtr (f, h) − f (s) ds = a Z b Qsp (f, h) − f (s) ds = a
que
h2 00 f (ξ1 )(b − a), 24 h2 − f 00 (ξ2 )(b − a), 12 h4 (4) − f (ξ3 )(b − a). 180
A la luz de este resultado se concluye que el error se divide por cuatro cuando h se divide por dos para las f´ormulas del punto medio y trapecio, y por diecis´eis en el caso de la f´ormula de Simpson. Se dice entonces que las f´ormulas tienen orden de convergencia 2 en los dos primeros casos y orden 4 para la regla de Simpson. Esencialmente, el resultado anterior informa de c´omo mejora la aproximaci´on de la f´ormula cuando aumentamos el esfuerzo computacional. Comprobamos que hay una clara ventaja de la regla de Simpson respecto a la regla del punto medio y del trapecio. No obstante, se observa que es necesario que la funci´on tenga derivada cuarta continua para alcanzar orden 4. En caso de que la funci´on no sea tan regular, es esperable que la regla de Simpson pierda orden. 123
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
Ejercicio 7.8 Deducir que la f´ormula compuesta de Simpson viene efectivamente dada por (7.2). Programar en una funci´on la regla de Simpson compuesta, siguiendo las directrices marcadas en el Ejercicio 7.1.
r do rra Bo
Ejercicio 7.9 Se trata de observar experimentalmente el orden de convergencia de las reglas del punto medio, trapecio y de Simpson, programadas en los ejercicios 7.1, 7.2 y 7.8 mediante una bater´ıa de experimentos. Para ello, definimos una funci´on mediante inline: >> f=inline(’x*cos(x)’); f=vectorize(f);
La integral exacta se puede calcular tomando un n´umero muy elevado de puntos (por ejemplo n = 10000) con la regla de Simpson, que es la de mayor precisi´on. Mide el error para diferentes valores de n y observa como decrece el error. Una buena elecci´on podr´ıa ser n = 10, 20, 40, 80, ..., esto es, multiplicando por 2 el n´umero de puntos. Deber´ıas observar que para funciones suaves el error se divide por 4 o por 16, seg´un la regla que se aplique. Testa los programas con los siguientes ejemplos i) f1 (x) = x cos(x) en [0, π]
ii) f2 (x) = xe−x en [0, 3]
iii) f3 (x) = x log(x) en [1, 2] y en [0, 2]9
iv) f4 (x) = cos2 (x) en [0, π/2], en [0, π] y en [0, 2π].
Un fichero script te puede venir bien para este ejercicio. ¿Qu´e observas con las reglas del trapecio y del punto medio en el u´ltimo caso?.
Nota. En esta serie de experimentos se observa que la regla de Simpson no alcanza el orden que la teor´ıa predice en el ejemplo iii) sobre el intervalo [0, 2]. Ello es debido a que las derivadas de la funci´on tienen una singularidad en el origen. Menos simple de explicar es la superconvergencia (convergencia mejor de lo esperado) R 2π 2 que se observa para 0 cos (x) (punto iv)).Esto es consecuencia de que el integrando, adem´as de regular, es π−peri´odico y se est´a integrando en un m´ ultiplo de su intervalo de periodicidad. En una secci´on posterior daremos una explicaci´on a este fen´omeno tan sorprendente. Ejercicio 7.10 Implementa la regla compuesta de 3/8, la siguiente a la regla de Simpson, que aparec´ıa en el Ejercicio 7.6. Compara los resultados con la regla de Simpson. ¿Qu´e observas? 9
En este caso, evaluar en 0 es una singularidad de tipo 0 · ∞. En realidad el l´ımite cuando x → 0 es cero, que se puede tomar como valor de f (0). Una forma de evitar este problema es aplicar la f´ormula en [, 2] con << 1, por ejemplo, = 10−16 . Esta breve discrepancia en el extremo de integraci´on no afecta al resultado.
124
´ III LECCION
7.1.4.
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Reglas gaussianas
r do rra Bo
En el estudio de las f´ormulas de Newton-Cotes vimos que los pesos estaban escogidos de manera que la f´ormula tuviese grado m´aximo de precisi´on aunque la elecci´on de los nodos, es decir, de los puntos en los que se eval´ ua la funci´on, estaba fijada a priori. Podemos plantearnos ahora hacer de la posici´on de los nodos una variable m´as del problema. Para ello, y con objeto de simplificar el an´alisis, nos situamos en el intervalo [−1, 1] y buscamos la f´ormula de mayor precisi´on de dos puntos: ω1 , ω2 , ξ1 , ξ2 ∈ R
Z
1
p(s) ds,
ω1 p(ξ1 ) + ω2 p(ξ2 ) =
p ∈ {1, s, s2 , s3 }
−1
Es decir, tenemos cuatro inc´ognitas, ξ1 , ξ2 (los nodos de la f´ormula) y ω1 , ω2 (los pesos), y exigimos que la f´ormula integre de forma exacta a polinomios de grado 3. En principio el problema est´a bien planteado10 . Es un ejercicio ilustrativo resolver el sistema no lineal ω1 + ω2 = 2, ω1 ξ1 + ω2 ξ2 = 0, ω1 ξ12 + ω2 ξ22 = 23 , ω1 ξ13 + ω2 ξ23 = 0.
La soluci´on a dicho sistema es
√
ω1 = ω2 = 1,
√ 3 3 ξ1 = − , ξ2 = . 3 3
En resumen, una elecci´ on de los nodos nada obvia define una regla de dos puntos con mejores propiedades de convergencia que, por ejemplo, la regla del trapecio11 . Podemos proceder de la misma forma y dada una regla de cuadratura de n nodos exigir que ´esta integre de forma exacta a polinomios de grado 2n − 1. Dada la dificultad del sistema no lineal resultante, patente ya con n = 2, se deduce que el problema debe ser atacado desde un punto de vista muy diferente. Existe una teor´ıa ya cl´asica que demuestra que existe una u ´nica regla de cuadratura que cumpla esas condiciones; los pesos ωi son siempre positivos.
El segundo punto es importante, pues asegura que los pesos no puedan crecer sin control dado que al ser positivos y al integrar de forma exacta a las constantes, ω1 + . . . + ωn = 2, situaci´on que no se daba en las f´ormulas de Newton-Cotes. 10
Tenemos cuatro ecuaciones con cuatro inc´ognitas. Sin embargo el sistema es no lineal luego la teor´ıa cl´asica de sistemas lineales no es aplicable. Podr´ıamos tener cuatro soluciones, siete soluciones, infinitas soluciones o ninguna soluci´ on... 11 Este resultado le result´ o ya muy chocante a Carl Friedrich Gauss, que fue el primero en notar que una distribuci´ on nada l´ ogica de los nodos defin´ıa una f´ormula de cuadratura de mayor grado de precisi´on.
125
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
r do rra Bo
La teor´ıa va m´as all´a puesto que es constructiva: da una forma de calcular la f´ormula (nodos y pesos) mucho m´as eficiente. En concreto, los nodos de la f´ormula de cuadratura son las ra´ıces de una familia de polinomios, los polinomios de Legendre, que se encuentra tabulada en multitud de textos cient´ıficos. Los pesos ωi se pueden calcular a continuaci´on resolviendo un simple sistema lineal. En la Tabla 7.1 se pueden ver los coeficientes de las primeras reglas gaussianas. Observa que la disposici´on sim´etrica de los nodos en el intervalo [−1, 1] y de los pesos asociados.
n n=1 n=2
ξi
ωi
0
2
√ −√ 3/3 3/3
1 1
n=3
−0.774596669 0.555555556 0.0 0.888888889 0.774596669 0.555555556
n=4
−0.861136312 0.347854845 −0.339981044 0.652145155 0.339981044 0.652145155 0.861136312 0.34785484
n=5
−0.906179846 −0.538469310 0.0 0.538469310 0.906179846
0.236926885 0.478628670 0.568888889 0.478628670 0.236926885
Cuadro 7.1: Primeras f´ormulas gaussianas
Ejercicio 7.11 (Reglas gaussianas en un intervalo arbitrario) Las f´ormulas gaussianas se dan en el intervalo de referencia [−1, 1] por comodidad. ¿C´omo se aplicar´ıan en un intervalo [a, b]?.
7.1.5.
Extrapolaci´ on de Richardson
La extrapolaci´on de Richardson es una estrategia que permite acelerar la velocidad de convergencia de un m´etodo num´erico bajo determinadas condiciones. Nos centraremos en esta secci´on en la descripci´on de esta t´ecnica aplicada a la f´ormula del trapecio. El m´etodo resultante se conoce como m´ etodo de Romberg.
126
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Proposici´ on 7.4 Existe una sucesi´on de n´umeros (b2j )j tales que para f suficientemente regular Z b m h i X (2j−1) (2j−1) 2j f (s) ds − Qtr (f, h) = (b) − f (a) + O(h2m+2 ). b2j h f a
j=1
r do rra Bo El s´ımbolo de Landau O(hM ) indica una cantidad que es menor que una constante multiplicada por hM y con dicha constante independiente de h. En otras palabras, es equivalente a escribir Z b m h i X 2j (2j−1) (2j−1) f (s) ds − Qtr (f, h) − b2j h f (b) − f (a) ≤ Cm h2m+2 a
j=1
donde Cm depende de m y de la derivada m + 1 de f pero no de h. Denotando por Z b i h I= f (s) ds, α0 (h) = Qtr (f, h) c2j := b2j f (2j−1) (b) − f (2j−1) (a) a
se observa que para h y h/2 se dispone de los desarrollos I = α0 (h) +
m X
c2j h2j + O(h2m+2 ),
j=1
I = α0 (h/2) +
m X
1 c h2j 4j 2j
+ O(h2m+2 ).
j=1
Multiplicando la segunda ecuaci´on por 4, restando la primera y despejando I obtenemos I=
m 4α0 (h/2) − α0 (h) X 1 + 3 3 | {z } j=1 |
1 4j−1
α1 (h)
(1)
En particular observamos que c2 desarrollo, por lo que
− 1 c2j h2j + O(h2m+2 ). {z } (1)
c2j
= 0, esto es hemos cancelado el primer t´ermino del
I = α1 (h) +
m X
(1)
c2j h2j + O(h2m+2 ).
(7.3)
j=2
Como consecuencia
I − α1 (h) = O(h4 )
⇔
|I − α1 (h)| ≤ C4 h4 .
Por tanto α1 (h) es una aproximaci´on de la integral con orden 4. Es m´as, α1 (h) cumple de nuevo un resultado similar al de la proposici´on anterior (ver (7.3)), por lo que podemos repetir el mismo argumento y definir12 α2 (h) = 12
16α1 (h/2) − α1 (h) . 15
α1 (h/2) se ha obtenido igual partiendo de α0 (h/2) y α0 (h/4)
127
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
Paso 0
Paso 2
Paso 3
/ α1 (h) / α2 (h) / α3 (h) n6 n6 n6 n n n n n n nnn nnn nnn nnn nnn nnn n n n n n n nn nn nn / α2 (h/2) / α1 (h/2) α0 (h/2) nn6 nn6 nnn nnn n n n n nn nn nnn nnn / α1 (h/4) α0 (h/4) 6 n n nn n n nnn nnn
α0 (h)
r do rra Bo
c o n v e r g e n c i a
Paso 1
α0 (h/8)
Figura 7.3: Diagrama del m´etodo de Romberg
Es f´acil ver que nuevamente I − α2 (h) tiene un desarrollo del error que comienza con h6 puesto que este combinaci´on ha cancelado el primer t´ermino que aparec´ıa con α1 (h). Como consecuencia, α2 (h) da una aproximaci´on de la integral de orden 6. En general se pueden definir 22j αj (h/2) − αj (h) . αj+1 (h) = 22j − 1 Cada una ellas satisfaciendo |I − αj (h)| ≤ Cj h2j+2 ,
donde Cj es independiente de h pero de j o de f . Observa que la convergencia s´olo se asegura para j fijo y h → 0. Su ventaja m´as palpable es que u ´nicamente requiere aproximaciones de la integral obtenidas con una f´ormula de cuadratura sencilla. Combinando resultados para valores distintos de h se obtiene una mejora sustancial en la aproximaci´on de la integral. Aqu´ı nos hemos centrado en la f´ormula del trapecio, pero se pueden adaptar a la f´ormula del punto medio o a la de Simpson. Es m´as, estrategias de este tipo se aplican en diversa ´areas del An´alisis Num´erico. Para ello, es esencial contar con un resultado del tipo enunciado en la Proposici´on 7.4. La extrapolaci´on sigue el sencillo diagrama de la Figura 7.3
Nota. Los resultados expuestos en esta secci´on, y en concreto la Proposici´on 7.4, explican por qu´e la f´ormula del trapecio converge mejor de lo esperado para funciones regulares y peri´odicas cuando se integra en un intervalo de periodicidad. Observa que en este caso f (2j−1) (b) = f (2j−1) (a) y por tanto no hay t´erminos en hm para ning´ un m. Esto es, el orden de convergencia es m para cualquier m, o lo que es lo mismo Z b f (s)ds − Qtr (f, h) ≤ Cm hm , ∀m ∈ N a
donde Cm que depende de la derivada m-´esima de f (y por tanto de m) pero no de h. Con ello se consigue una convergencia muy r´apida a la integral y bastar´an unos pocos puntos 128
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
r do rra Bo
para calcular la integral con una precisi´on muy fina. En la terminolog´ıa habitual en An´alisis Num´erico se dice que el m´etodo tiene un orden de convergencia superalgebraico. Es posible probar que bajo condiciones algo m´as fuertes que la existencia de todas la derivadas13 Z b f (s)ds − Q (f, h) ≤ Cr−n tr a
con r > 1 y C independiente de r y de n, con lo que el orden es de hecho exponencial.
Ejercicio 7.12 Comprueba que si aplicas un paso de extrapolaci´on a la f´ormula del trapecio compuesta obtienes el m´etodo de Simpson. Ejercicio 7.13 Implementa la extrapolaci´on de Richardson, seg´un el siguiente prototipo de funci´on 01 02 03 04 05 06 07
% RICHARDSON % % V= RICHARDSON(F,A,B,N,M) Aplica la formula del trapecio con N, 2*N,4*N,..., 2^(M-1)*N puntos Construye la matriz de extrapolacion V M x M donde V(:,i) es el resultado de aplicar el paso i-1 de Richardson.
Ejercicio 7.14 Existe una forma m´as general de definir la extrapolaci´on. Para ello precisamos que las sucesivas h decrezcan de una forma proporcional α0 (h),
α0 (rh),
α0 (r2 h), . . . , α0 (rn h).
En el caso expuesto, r = 1/2. ¿C´omo se adapta la extrapolaci´on para otras elecciones de r ∈ (0, 1)?.
7.1.6.
Integraci´ on adaptativa
Las f´ormulas anteriores adolecen de un importante defecto: todas asumen que el comportamiento de la funci´on es m´as o menos uniforme en todo el intervalo de integraci´on. La situaci´on usual es que la funci´on tenga zonas donde var´ıa de forma brusca y zonas donde su comportamiento sea considerablemente m´as suave. Intuitivamente, se entiende que las primeras zonas son las m´as problem´aticas. El siguiente paso en cualquier algoritmo num´erico es dise˜ nar m´etodos adaptativos. Estos esquemas reconocen aquellas zonas que requieren mayor trabajo (refinar, en la terminolog´ıa habitual) y aqu´ellas donde basta unas pocas evaluaciones para obtener una aproximaci´on suficientemente buena. Para abordar esta tarea debemos disponer en primer lugar de un buen estimador del error, esto es, de un postproceso que nos de informaci´on sobre el error que estamos cometiendo y que as´ı permita dilucidar qu´e partes del intervalo de integraci´on requieren mayor esfuerzo y cu´ales no. 13
Concretamente que la funci´ on sea anal´ıtica
129
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
r do rra Bo Zona regular
Zona Irregular
Zona regular
Figura 7.4: Integraci´on adaptativa
A continuaci´on expondremos una implementaci´on muy sencilla de una integraci´on adaptativa basada en la regla de Simpson. El estimador se basa en comparar el resultado obtenido, en cada subintervalo, por la regla de Simpson simple, y la compuesta con dos subintervalos. Dado que la regla de Simpson se obtiene de la regla del trapecio utilizando un u ´nico paso de extrapolaci´on (Ejercicio 7.12), obtenemos de (7.3) Z
b
f (s) ds −
a
h (1) f (a) + 4f (c) + f (b) = c2 h4 + O(h6 ) |6 {z }
(7.4)
Q1 (f )
Z
b
f (s) ds −
a
(1) c h f (a) + 4f (d) + 2f (c) + 4f (e) + f (b) = 2 h4 + O(h6 ) (7.5) 16 {z } |12
Q2 (f )
donde h = (b − a), c es el punto medio de (a, b), d y e, los puntos medios de (a, c) y (c, b). (1) El t´ermino dominante del error, para h suficientemente peque˜ no, es c2 h4 de forma que Z
b
(1)
f (s) ds − Q1 (f ) ≈ c2j h4 .
a
A priori este t´ermino no puede ser calculado, pero puede ser despejado de (7.4) y (7.5), sin m´as que sustraer a la primera identidad la segunda. As´ı obtenemos (1) 4 1 Q2 (f ) − Q1 (f ) ≈ 1 − 16 c2j h
y por tanto
16 (1) (Q2 (f ) − Q1 (f )) ≈ c2j h4 ≈ 15
Z a
| 130
b
f (s) ds − Q1 (f ) . {z } error
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
La idea de nuestro esquema adaptativo es la que sigue: dado un intervalo [a, b] y una tolerancia ε
r do rra Bo
Calculamos Q2 (f ) y Q1 (f ) como antes, y 16 est = (Q1 (f ) − Q2 (f )) 15
Si est < ε el resultado se considera bueno y se devuelve Q2 (f );
Si est > ε se aplica el argumento anterior en los subintervalos [a, c] y en [c, b] con una tolerancia de /2 y se devuelve como integral la que calculada en [a, c] y en [c, b]
Hay por lo tanto un proceso de subdivisi´on de los intervalos, de manera que la u ´nica forma, en este estado inicial, de que un subintervalo no se divida es que la integral se calcule dentro de la tolerancia prefijada. Obviamente el algoritmo anterior se programa de forma natural de manera recursiva. El papel fundamental lo juega una funci´on, que podr´ıa seguir el siguiente prototipo simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol)
donde f es la funci´on a integrar, a y b son los extremos de integraci´on, c el punto medio, fa, fb y fc los valores de f en a, b y c, integ es el resultado de aplicar la regla de Simpson en [a,b] y tol la tolerancia con la que se pide la integral. Se procede entonces siguiendo los siguientes pasos 1. Se toma h=(b-a), d=(a+c)/2, e=(c+b)/2 y se calcula fd = f (d) y fe = f (e) 2. Se calcula
integ21 = h/12*(fa + 4fd + fc) integ22 = h/12*(fc + 4fe + fb) integ2 = integ21 + integ22
3. Se calcula el estimador
16 est = (integ − integ2) 15
4. Si esttol entonces se calcula
integ21 = simpsonadatativo(f, a, d, c, fa, fd, fc, integ21, tol/2) integ22 = simpsonadatativo(f, c, e, b, fc, fe, fb, integ22, tol/2) integ = integ21 + integ22. 131
´ III LECCION
7.1 F´ormulas de cuadratura
r do rra Bo
Si hemos seguido el esquema anterior y nos vemos forzados a dividir en dos subintervalos, habremos evaluado ya f en a, c y en su punto medio d y en c, b y el correspondiente punto medio e. Tambi´en se habr´a calculado la regla de Simpson en estos intervalos. Es por ello que enviamos todos estos valores en las llamadas de la funci´on simpsonadaptativo, dado que generalmente la operaci´on m´as costosa es precisamente evaluar la funci´on. Notemos que se ha optado por devolver como aproximaci´on de la integral Q2 (f ), en lugar de Q1 (f )14 . Otra variante es devolver 16Q2 (f ) − Q1 (f ) 15
que es el primer paso de extrapolaci´on de Simpson (o el segundo del trapecio, de acuerdo al problema 7.2). La forma m´as simple de implementar el proceso anterior es introduciendo una funci´on de cabecera que prepare los datos iniciales: recibe la funci´on, el intervalo de integraci´on y la tolerancia solicitada, y calcula para arrancar la subrutina simpsonadaptativo el punto medio c, los valores de f en a, b y c y el resultado de aplicar la regla de Simpson simple en [a, b]. Por ejemplo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
% % % % % % %
SIMPSONRECURSIVO
INTEG= SIMPSONRECURSIVO (F,A,B,TOL)
Devuelve una aproximacion de la integral mediante una integracion adaptativa basada en la regla de Simpson con tolerancia TOL
function integ=simpsonrecursivo(f,a,b,tol)
c=(a+b)/2; fa=feval(f,a); fb=feval(f,b); fc=feval(f,c); integ=(b-a)*(fa+4*fb+fc)/6; %regla de Simpson integ=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol); return
Resta por programar la funci´on simpsonadaptativo, trabajo que proponemos al lector. Ejercicio 7.15 Implementa la regla de Simpson adaptativa.
Ejercicio 7.16 El m´etodo tal como est´a programado puede entrar en un bucle infinito si no se consigue integrar con la tolerancia exigida en las sucesivas subdivisiones de un intervalo. Para evitar este problema hacemos que el programa lleve control del n´umero de veces que ha subdividido un intervalo. La funci´on puede seguir la siguiente sintaxis 14
Casi nadie dudar´ıa en esta elecci´ on. Es decir, es esperable que Q2 (f ) sea mejor que Q1 (f ), as´ı que ¿por qu´e no devolver lo mejor que se tiene?. Matem´aticamente, sin embargo, el estimador del error controla el error de Q1 (f ) y no de Q2 (f ).
132
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
1.5
r do rra Bo 1
0.5
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figura 7.5: Integraci´on adaptativa de
√
2
x
[integ,subd2]=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol,subd)
donde subd2=subd+1. Si subd2 > subdmax se devuelve un mensaje de error, se deja de subdividir y se continua la ejecuci´on del programa devolviendo el u´ltimo valor calculado. El par´ametro subdmax puede dejarse como un valor por defecto que puede modificarse si el usuario especifica otro valor. Es decir, entra a formar parte de un conjunto variable de argumentos de entrada. Implementa el m´etodo resultante. Ejercicio 7.17 Por u´ltimo podemos llevar un control sobre los puntos que hemos evaluado. Para ello basta utilizar [integ,subd2,x2]=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol,subd,x)
con x2=[x d e] donde d y e son los puntos medios de [a,c] y [c,b] respectivamente. Implementa el m´etodo resultante.
(Ayuda: si al final se desea que los puntos x2 est´en ordenados se puede aplicar la instrucci´ on sort(x2) que devuelve el vector con sus componentes ordenadas de menor a mayor.)
Nota final
De un estimador se suele hablar de dos conceptos bien importantes: confiabilidad y eficiencia. Un estimador es confiable si efectivamente el error est´a por debajo de lo que el estimador calcula. Por contra, es eficiente si el estimador aproxima bien el error cometido. Nuestro estimador, en general, es poco eficiente: el error real suele estar muy por debajo de la cantidad que nos devuelve el√estimador, especialmente si el intervalo de integraci´on es grande. Por ejemplo, para f = x e integrando en [0, 2], se observa que con una tolerancia 133
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
Adaptativa Error neval 8.91e−03 7 1.41e−04 15 1.57e−06 29 2.12e−07 47 8.48e−09 77 2.64e−10 133 8.27e−12 233 2.25e−13 421
Error 8.01e−3 2.70e−3 1.03e−3 5.01e−4 2.45e−4 1.09e−4 4.73e−5 1.96e−5
Trapecio
Simpson
Error −3.67e−2 −1.06e−2 −3.81e−3 −1.82e−3 −8.67e−4 −3.81e−4 −1.64e−4 −6.76e−5
Error −1.01e−2 −3.59e−3 −1.40e−3 −6.90e−4 −3.33e−4 −1.36e−4 −6.41e−5 −2.65e−5
r do rra Bo
tol 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8
Pto. medio
R2√ umero de Cuadro 7.2: Resultados num´ericos para 0 x dx. Tolerancia exigida (tol), n´ evaluaciones (neval) y error cometido (Error). Comparativa con las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson con h fijo y el mismo n´ umero de evaluaciones
de 10−5 el error real cometido por el m´etodo adaptativo es 8.48 · 10−9 , un error 1000 veces menor en magnitud. Una forma de corregir este problema es, una vez que se ha decidido dividir el intervalo de integraci´on en dos subintervalos, no exigir una tolerancia tol/2 en cada uno de ellos, sino utilizar r ∗ tol con r ∈ [1/2, 1]. Matlab utiliza de hecho r = 1. Matlab cuenta con algunas funciones encargadas de la integraci´on num´erica: quad
quadl
dblquad
triplequad
Las dos u ´ltimas aplican reglas de cuadratura para integrales dobles y triples respectivamente. El comando quad implementa esencialmente el m´etodo de Simpson recursivo que hemos visto en esta secci´on. Por otro lado, quadl utiliza una regla de orden mayor que da mejores resultados si el integrando es m´ as regular. El c´odigo de estas funciones est´a abierto, luego se puede editar para ver los detalles de su implementaci´on.
7.2.
Transformada r´ apida de Fourier
La transformada r´apida de Fourier, o FFT, seg´ un sus siglas en ingl´es15 , es una herramienta muy potente en el an´alisis de se˜ nales peri´odicas y cuyas aplicaciones se han extendido a aspectos muy diferentes del C´alculo Num´erico. Existen diversas formas de introducir la FFT. Hemos escogido la interpretaci´on que relaciona la transformada de Fourier discreta con los coeficientes de Fourier para enlazar seguidamente con algunas aplicaciones. 15
El nombre correcto ser´ıa transformada discreta r´apida de Fourier, para distinguirla de la transformada de Fourier continua. Sus siglas en ingl´es, FFT, podr´ıan entonces provenir de Fast Fourier Transform o Finite Fourier transform. De acuerdo a lo anterior, las siglas m´as adecuadas ser´ıan FFFT (Fast Finite Fourier transform), pero nadie utiliza esta nomenclatura, seguramente por el exceso de Fs)
134
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Parte de esta secci´on, especialmente la referente a la transformada r´apida de Fourier, se ha obtenido del libro Numerical Computing with Matlab, de Cleve Moler.
7.2.1.
Transformada de Fourier discreta
r do rra Bo
Nota En esta secci´on seguiremos la notaci´on de Euler exp(iθ) = eiθ = cos θ + i sen θ,
θ ∈ R,
donde i es la unidad imaginaria. Dada una funci´on 1–peri´odica, ´esta se puede expresar en forma de serie de Fourier X
f (θ) =
fb(m) exp(2πimθ),
θ∈R
(7.6)
m∈Z
donde fb(m) es el coeficiente m-´esimo de Fourier 1
Z
m ∈ Z.
f (θ) exp(−2πimθ)dθ,
fb(m) =
0
La convergencia de la serie es un asunto algo delicado16 , pero si la funci´on tiene, por ejemplo, derivada continua, la convergencia de la serie es uniforme: s X fb(m) exp(2πimθ)| → 0, m´ax f (θ) −
θ∈[0,1]
cuando r, s → ∞,
m=−r
lo que en particular justifica alguna de las manipulaciones que haremos a continuaci´on. La identidad (7.6) se interpreta en el sentido de que la funci´on original f es suma infinita de unas frecuencias fundamentales. Observa que para cada m, exp(2πimθ),
es una funci´on 1/m-peri´odica, o dicho de otra forma, su periodo es 1/m (ver la Figura 7.6). Adem´as se tiene la relaci´on Z
∞ X
1
2
|f (θ)| dθ =
0
|fb(m)|2
(7.7)
m=−∞
que se interpreta como que la energ´ıa de funci´on original f es igual a la energ´ıa del vector infinito (. . . , fb(−2), fb(−1), fb(0), fb(1), fb(2), . . .)> . 16
Mucho se ha escrito sobre esto. En cualquier caso hay que especificar en qu´e sentido converge la serie. El sitio m´ as adecuado, matem´ aticamente hablando, es el espacio de las funciones cuyo cuadrado es integrable, que se denota por L2 (0, 1). F´ısicamente se interpreta como el espacio de las se˜ nales cuya energ´ıa es finita.
135
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
Parte Real e Imaginaria de exp(2π i mθ) para m=1,2,3 Freq.1 periodo 1 Freq 2 periodo 1/2 Freq 3 periodo 1/3
1.5
r do rra Bo 1
0.5
0
-0.5
-1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Figura 7.6: Primeras exponenciales trigonom´etricas.
Nota. Utilizando la definici´on de la exponencial trigonom´etrica, podemos expresar f = fb(0) +
∞ X
m=1
(fb(m) + fb(−m)) cos(2πm · ) + | {z } =: αm
∞ X
m=1
i(fb(m) − fb(−m)) sen(2πm · ) | {z }
(7.8)
=: βm
donde αm y βm se pueden calcular de forma alternativa mediante Z 1 Z 1 αm = 2 f (θ) cos(2πmθ) dθ, βm = 2 f (θ) sen(2πmθ) dθ. 0
0
La expresi´on (7.8) puede resultar m´as atractiva que (7.6), especialmente si la funci´on es real puesto que implica trabajar u ´nicamente con cantidades reales, sin parte imaginaria. Sin embargo, tanto el an´alisis como una notaci´on m´as compacta animan a utilizar la exponencial compleja. A´ un es m´as, en lo que sigue podemos suponer que las funciones son complejas (devuelven valores en C) y por tanto se cubre este caso de forma muy natural. Desde un punto de vista pr´actico, es poco habitual que se pueda (o que se proceda a) evaluar la funci´on en cualquier punto. En lugar de ello se dispone de un muestreo es decir, del valor de la funci´on en una serie de puntos uniformemente distribuidos. As´ı definimos xj =
j , N
j = 0, . . . , N − 1,
se eval´ ua yj := f (xj ) ,
j = 0, . . . , N − 1 136
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
y se construye el vector y=
y0 y1 .. .
.
yN −1
r do rra Bo La primera cuesti´on es
¿Es posible recuperar los coeficientes de Fourier de f a partir de y?
La respuesta obvia es no: si tomamos una cantidad finita de informaci´on es imposible recuperar (salvo en casos triviales) los coeficientes de Fourier, que en u ´ltima media son la funci´on y, por tanto, conllevan una cantidad infinita de informaci´on. Ahora bien, la situaci´on es muy diferente si disponemos de informaci´on a priori sobre la funci´on f . Si una funci´on peri´odica f es regular podemos probar que fb(k) → 0,
|k| → ∞
y de hecho de una forma muy r´apida (ver Ejercicio 7.18), por lo que unos pocos coeficientes pueden ser suficientes para reconstruir la funci´on de forma muy aproximada. Para calcular estos coeficientes utilizamos la regla del trapecio, que como hemos visto en la secci´on anterior converge muy r´apidos para funciones regulares y peri´odicas. Todo lo anterior nos conduce a Z 1 b f (k) := f (θ)exp(−2πikθ) dθ 0
f (1) = f (0) = y0
≈
N −1 i X 1 1 h1 ) + f (0) + f ( Nj ) exp(− 2πijk f (1) N N 2 2 j=1
=
N −1 1 X yj ω jk N j=0
↓
=
donde
ω := exp − 2πi . N
Lo anterior sugiere construir
N −1 1 X Yk := yj ω jk N j=0
como una aproximaci´on de fb(k). El vector Y=
y0 y1 .. .
yN −1
recibe el nombre de transformada discreta de Fourier de y que denotaremos por F y = Y. Por tanto F : CN → CN , es decir, transforma vectores de n´ umeros (en principio) complejos en vectores complejos. 137
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
Ejercicio 7.18 Sea f es peri´odica con derivada primera continua, θ=1 Z 1 1 b f (θ) exp(−2πikθ) dθ = − f (θ) exp(−2πikθ) f (k) := 2πki 0 θ=0 | {z } =0
1
r do rra Bo
1 2πki
Z
+
f 0 (θ) exp(−2πikθ) dθ.
0
Demostrar entonces que
C k donde C es independiente de k. ¿De qu´e depende C?. Prueba reiterando este argumento que si f es m´as regular el decrecimiento de fb(k) es m´as acusado. |fb(k)| ≤
Para estudiar la relaci´on entre transformada de Fourier continua y discreta precisamos del siguiente lema
Lema 7.5 Para todo k ∈ Z
N −1 1 X = exp − 2πijk N N j=0
(
1,
k = `N para alg´un ` ∈ Z,
0,
en caso contrario.
Demostraci´on. Tomemos como antes
. ω := exp − 2πi N
Entonces, la suma anterior es simplemente
N −1 N −1 1 X jk 1 X k j ω = (ω ) . N j=0 N j=0
Si k = `N , es decir, si k es un m´ ultiplo de N , ω k = exp(−2πi`) = 1 y la suma anterior es 1. En caso contrario, teniendo en cuenta que 1 + r + r2 + . . . + rm−1 =
1 − rm 1−r
obtenemos que
N −1 1 1 − (ω N )k 1 X k j 1 1 − (ω k )N (ω ) = = . N j=0 N 1 − ωk N 1 − ωk
Ahora, como ω N = 1, se sigue que la suma anterior es nula. Utilizando el desarrollo en Fourier de f e intercambiando el orden de los sumatorios17 podemos escribir N −1 N −1 N −1 i 1 X 1 X b hX 1 X 2πijk jk yj ω = f (xj ) exp − N = Yk := exp 2πi(m−k)j f (m) . N N j=0 N j=0 N m∈Z j=0
17
Manipulaciones que deben siempre justificarse y que son v´alidas si, por ejemplo, la funci´on tiene derivada primera continua.
138
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Por el lema anterior, N −1 X
exp
2πi(m−k)j N
=
j=0
1, 0,
si m = k + `N , en caso contrario,
r do rra Bo
por lo que
Yk =
1 Xb f (k + mN ). N m∈Z
De esta forma, Yk recoge no s´olo el coeficiente k−´esimo de Fourier, sino contribuciones en frecuencias m´as altas, cuya distancia al coeficiente k dista un m´ ultiplo de N . Llegado a este punto, conviene recordar que el decreciemiento r´apido a cero de los coeficientes de Fourier cuando |k| → ∞ sugiere que Yk aproxima bien al coeficiente de Fourier m´ as pr´ oximo a cero y la aproximaci´on mejora muy r´apidamente cuando N → ∞. Es decir, X b si 0 ≤ k ≤ N2 f (k)+ fb(k + mN ), m6=0 {z } | peque˜ no (7.9) Yk = X N b b f (k + mN ), f (k − N )+ si 2 < k < N . m6 = 0 | {z } peque˜ no
A la operaci´on que a cada Y le asocia el vector original y se conoce como transformada inversa de Fourier discreta y se denota F −1 Y = y.
Con argumentos similares a los utilizados anteriormente se puede ver que yk :=
N −1 X
Yj exp
2πijk N
,
j=0
obteni´endose as´ı una expresi´on muy similar a la transformada de Fourier. En particular, concluimos que F −1 existe y est´a bien definida.
Nota. En el marco continuo, ten´ıamos que Z 1 fb(m) = f (θ) exp(−2πimθ) dθ, 0
f (θ) =
X
fb(m) exp(2πimθ).
m∈Z
Obs´ervese el paralelismo entre la Transformada de Fourier Discreta, y la integral de la expresi´on superior (la primera es la aproximaci´on discreta de la segunda) y la inversa de la Transformada de Fourier Discreta con la serie de Fourier. Ejercicio 7.19 Prueba la expresi´on dada para la inversa de la transformada discreta de Fourier. 139
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
Ejercicio 7.20 Dado que vamos a calcular aproximaciones de los coeficientes centrales de Fourier, podr´ıamos plantearnos definir Yek =
N −1 X
yj ω jk ,
−N/2 < k ≤ N/2
j=0
r do rra Bo ¿Sabr´ıas ver qu´e relaci´on hay entre Yek e Yk ?.
7.2.2.
C´ alculo de la transformada de Fourier Discreta
Es f´acil dar una expresi´on matricial de la transformada de Fourier discreta en t´erminos de la matriz 1 1 1 ··· 1 1 ω ω2 · · · ω N −1 2 ω4 · · · ω 2(N −1) W := ω = exp − 2πi N , 1 ω ............................... 2 1 ω N −1 ω 2(N −1) · · · ω (N −1) Con esta matriz, la relaci´on entre y y su transformada Y se escribe simplemente Y = Fy =
1 W y. N
An´alogamente,
y = F −1 Y = W ∗ Y
donde W ∗ es la matriz adjunta 1 1 1 ··· 1 2 N −1 1 ω ω ··· ω ∗ 2 4 ω · · · ω 2(N −1) W = 1 ω ............................... 2 1 ω N −1 ω 2(N −1) · · · ω (N −1)
,
ω = ω −1 = exp
2πi N
La matriz W es una matriz de tipo Vandermonde, que ya surgido anteriormente. Adem´as es casi ortogonal: W ∗ W = N IN
donde IN la matriz identidad de orden N . En resumen, la transformada discreta de Fourier, y su transformada inversa, se reducen a calcular un producto matriz-vector. El costo, en una implementaci´on directa, conlleva la construcci´on de la matriz y realizar el producto. S´olo el producto tiene un costo de orden O(2N 2 ) operaciones (sumas y productos).
Ejercicio 7.21 Construye la matriz W ∗ . Ejercicio 7.22 Implementa la transformada discreta de Fourier. 140
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Soluci´ on. Esta es una implementaci´on que evita construir la matriz W . En su lugar calcula sucesivamente las filas, la multiplica por y para hallar el correspondiente coeficiente y calcula la siguiente fila. De esta forma se reduce la memoria utilizada pero no el n´ umero de operaciones % FT % % Y=ft(y) %
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18
devuelve la transformada de Fourier discreta la implementacion es la directa
function Y = ft(y)
y=y(:); % y es columna ahora n=length(y); w=exp(-i*2*pi*(0:n-1)/n); W=ones(1,n); Y=zeros(n,1); for j=1:n Y(j)=W*y; W=W.*w end Y=Y/n; return
Ejercicio 7.23 Implementa la transformada inversa de Fourier. Notas finales
Si f es real,
Re fb(k) = Re fb(−k),
Im fb(k) = −Im fb(−k).
Esta simetr´ıa se extiende a la transformada discreta: si y es real Im y0 = 0,
Re yk = Re yN −k ,
Im yk = −Im yN −k ,
k = 1, . . . , N − 1.
De esta forma, si ignoramos la primera componente, la parte real de Y, respectivamente imaginaria, es sim´etrico, respectivamente antisim´etrico, respecto al punto N/2. Este punto se conoce como el punto de Nyquist. Otra analog´ıa con el marco continuo es que la transformada discreta de Fourier preserva, salvo constante multiplicativa, la norma k · k2 del vector original, esto es, su energ´ıa. Concretamente (comparar con (7.7))
1 1 1 1 (W y)∗ (W y) = 2 y∗ W ∗ W y = y∗ y = kyk22 . (7.10) 2 N N N N Hay una falta de consenso en la definici´on de Transformada de Fourier discreta. Nosotros hemos tomado como definici´on de la transformada y de su inversa las dadas por N −1 N −1 X 1 X jk Yk := yj ω , yk := Yj ω −jk , ω = exp(− 2πi ). N N j=0 j=0 kYk22 = Y∗ Y =
141
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
En Matlab, la transformada de Fourier y su inversa est´an implementadas en fft e ifft. La definici´on que se toma es ligeramente diferente Yk :=
N −1 X j=0
jk
yj ω ,
N −1 1 X Yj ω −jk , yk := N j=0
). ω = exp(− 2πi N
r do rra Bo √ En otros textos se multiplica por 1/ N en ambos sumatorios con el fin de dar un aspecto m´as uniforme (en este caso la norma 2 del vector y de su transformada coinciden). En cualquier caso, la diferencia entre las diferentes transformadas es simplemente el producto por una potencia de N . Todo lo desarrollado en esta secci´on es perfectamente aplicable a funciones peri´odicas con distintos periodos, sin m´as que aplicar un cambio de variables y transformarla en 1−peri´odica.
7.2.3.
Aplicaciones a la eliminaci´ on de ruido
Una de las primeras aplicaciones surge en el an´alisis de se˜ nales y fen´omenos peri´odicos. Vamos a mostrar un (muy) simple ejemplo en la eliminaci´on de ruido de una se˜ nal peri´odica. Suponemos que la se˜ nal, dada por una funci´on regular y suave, es perturbada por un ruido que puede ser modelizado por una variable aleatoria que sigue una distribuci´on uniforme. Como la se˜ nal original es regular, sus coeficientes de Fourier decrecen r´apidamente a cero. En particular, la funci´on puede ser aproximada por una suma parcial con unas pocas exponenciales trigonom´etricas. Dicho de otra forma, la funci´on tiene unas pocas frecuencias importantes mientras que el resto tiene una aportaci´on despreciable. Tomemos por ejemplo una se˜ nal dada por la funci´on f (x) := cos(cos(12πx)) sen(2πx)
En la Figura 7.7 se muestra la funci´on y sus coeficientes de Fourier, que decrecen r´apidamente a cero. Tambi´en se muestra una evaluaci´on en 64 puntos (un muestreo) uniformemente distribuidos y la transformada de Fourier discreta resultante. Obs´ervese la relaci´on entre transformada discreta de Fourier y los coeficientes de Fourier mostrada en (7.7). En el campo discreto, tenemos un ruido r y el vector transformada de Fourier discreta R = F r. Visto en el campo transformado, esta perturbaci´on tiene un tama˜ no, relacionado con la amplitud del ruido y con el n´ umero de puntos que se han tomado de muestra. Dado el comportamiento altamente irregular, es esperable que las contribuciones en todas las frecuencias sean similares. Pero kRk22 =
1 krk22 ≤ m´ax |rj |. j=0,...,N −1 N
Por tanto, si el ruido tiene un valor m´aximo controlado, las componentes del vector transformado tienden a cero cuando N → ∞. De hecho es esperable que este decrecimiento sea uniforme en todas las componentes, es decir, 1 Rj ≈ √ N 142
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Señal continua con un muestreo de 64 puntos 1
1
0.5
0.5
r do rra Bo 0
0
-0.5
-0.5
-1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1 0
1
Coef. Fourier (en valor absoluto)
0.4
0.6
0.8
1
FT de la señal discreta (valor abs.)
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0 -40
0.2
-20
0
20
0
40
0
10
20
30
40
50
60
Figura 7.7: Coeficientes de Fourier y transformada discreta de Fourier
Ahora, si consideramos la influencia de este ruido sobre una se˜ nal y, tenemos la se˜ nal e = y + r. Se trata ahora de eliminar ese ruido observando la transformada perturbada y e Y. La estrategia que planteamos es la siguiente. En el caso de que Yej sea grande, podemos aceptar este coeficiente dado que el error relativo es peque˜ no. Por contra, si Yej es peque˜ no, el error relativo que hemos introducido es tal que la informaci´on ha quedado irremediablemente contaminada y por tanto debemos desecharla. Lo anterior sugiere una forma de depurar la se˜ nala, partiendo de un nuevo vector Z ( 0 si |Yek | es peque˜ no, (7.11) Zk = Yek en otro caso. Con la informaci´on que nos queda, reconstruimos la se˜ nal discreta original y mediante −1 F Z. As´ı tenemos el siguiente diagrama y
+ ruido
−→
e y
F
−→
e Y
(7.11) −→ Z
F −1
−→
z.
Al final de proceso, z es (deber´ıa ser) mejor aproximaci´on de y que la se˜ nal perturbada e. y En la Figuras 7.9 se muestran los resultados obtenidos con n = 64 y n = 256. Se puede observar como la se˜ nal es filtrada eliminando gran parte del ruido introducido. 143
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
0.08
0.015
0.06
r do rra Bo
0.01
0.04
0.005
0.02
0
10
20
30
0
40
0.08
8
0.06
6
0.04
4
0.02
2
0
50
100
10
x 10
0
150
20
30
40
-3
50
100
150
Figura 7.8: Ruido en un conjunto de puntos (40 arriba, 160 abajo) y su transformada discreta
7.2.4.
Transformada r´ apida de Fourier
La importancia del an´alisis de Fourier, y por ende de la transformada discreta de Fourier, fue cobrando fuerza a lo largo del siglo XX y muchos aspectos siguen demandando este tipo de t´ecnicas en el siglo actual. Pronto surgieron problemas que requer´ıan calcular la transformada de Fourier de millones de elementos, lo que colocaba el problema m´as all´a de la potencia de los ordenadores umero de de la ´epoca y los de un futuro previsible18 . En cualquier caso duplicar N , el n´ elementos de y, requerir´ıa multiplicar por cuatro la potencia del ordenador. Siguiendo el progreso de la inform´atica, esto significar´ıa una espera de 36 meses19 . 18
Hemos mostrado algunas aplicaciones simples de la transformada de Fourier que son esencialmente unidimensionales (una se˜ nal peri´ odica). Existen aplicaciones que exigen trabajar ya con se˜ nales bidimensionales. En ese caso, duplicar la precisi´ on con la que se trabaja implica multiplicar por 4 la dimensi´on del problema y por 16 la complejidad computacional del algoritmo que hemos visto. Problemas en m´as dimensiones y con n´ umeros muy elevados de variables no son extra˜ nos. 19 La ley de Moore formulada por Gordon Moore cofundador de Intel en 1965 es un ejemplo de una ley emp´ırica que se viene satisfaciendo con asombrosa regularidad en los u ´ltimos cuarenta a˜ nos. Esta ley establece que la potencia de c´ alculo y la capacidad de almacenamiento se multiplica por 2 cada 18 meses. De forma paralela han surgido otras versiones de la ley de Moore que establecen comportamientos de crecimiento exponencial en el mundo de la inform´atica.
144
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
64 puntos
Señal con ruido
FT (en valor absoluto)
1 0.4 0.35 0.5
0.3
r do rra Bo 0.25
0
0.2
0.15
-0.5
0.1
0.05
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
10
20
Truncacion de la FT
30
40
50
60
Señal filtrada
1
0.4
0.35
0.5
0.3
0.25
0
0.2
0.15
-0.5
0.1
0.05 0
0
10
20
30
40
50
-1
60
0
256 puntos
Señal con ruido
0.2
0.4
0.6
0.8
1
FT (en valor absoluto)
1
0.4
0.35
0.5
0.3
0.25
0
0.2
0.15
-0.5
0.1
0.05
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
50
Truncacion de la FT
100
150
200
250
Señal filtrada
1
0.4
0.35
0.5
0.3
0.25
0
0.2
0.15
-0.5
0.1
0.05 0
0
50
100
150
200
-1
250
0
0.2
Figura 7.9: Filtrado del ruido 145
0.4
0.6
0.8
1
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
En 1965, Jim Cooley, investigador ligado a IBM y John Tukey, de la Universidad de Princeton mostraron una forma sencilla de programar la transformada de Fourier discreta que reduc´ıa dr´asticamente el n´ umero de operaciones. La idea de partida del algoritmo es considerar el caso N = 2m. Entonces denotando ω1 := ω 2
r do rra Bo se tiene que
ω 2jk = (ω 2 )kj = ω1jk .
De esta forma, si 0 ≤ k ≤ M − 1 = N/2 − 1 Yk
N −1 M −1 M −1 1 X 1 X 1 X jk 2jk yj ω = y2j ω + y2j+1 ω (2j+1)k N j=0 N j=0 N j=0 {z } | {z } |
=
Pares
N = 2M
↓ =
=:
(0)
Impares
M −1 M −1 i 1 X 1h 1 X y2j ω1jk + ω k y2j+1 ω1jk 2 M j=0 M j=0 i h 1 (0) (1) Yk + ω k Yk . 2
(7.12)
(1)
Notemos que Yk e Yk son el resultado de aplicar la transformada de Fourier discreta a los vectores (y0 , y2 , . . . , y2M −2 )> y a (y1 , y3 , . . . , y2M −1 )> respectivamente, que son vectores de longitud M = N/2. Si M ≤ k ≤ N − 1 la relaci´on cambia levemente. Para ello, escribamos k = M + κ, donde ahora 0 ≤ κ ≤ M − 1. Entonces Yk
N −1 M −1 M −1 1 X 1 X 1 X jk 2jk yj ω = y2j ω + y2j+1 ω (2j+1)k = N j=0 N j=0 N j=0
=
M −1 M −1 i 1h 1 X 1 X y2j ω1jM ω1jκ + ω M ω κ y2j+1 ω1jκ . 2 M j=0 M j=0
Dado que
ω M = exp(−πi) = −1,
ω1M = 1;
se deduce que
1 (0) (7.13) Yκ − ω κ Yκ(1) . 2 v Denotando por w el vector resultado de enlazar los vectores v y w, las identidades (7.12) y (7.13) se puede escribir en notaci´on vectorial 1 Y(0) + ω. ∗ Y(1) Y= (7.14) 2 Y(0) − ω. ∗ Y(1) Yk =
donde Y(0) e Y(1) son las transformadas de Fourier de los vectores (y0 , y2 , . . . , y2M −2 )> y (y1 , y3 , . . . , y2M −1 )> , ω = (ω 0 , ω 1 , . . . , ω M −1 )> , 146
ω := exp(− 2πi ), N
(7.15)
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
y “.*” denota el producto elemento a elemento entre las componentes de los vectores. En cuando al n´ umero de operaciones, si f (N ) es el n´ umero de multiplicaciones, se comprueba que el total de productos es el de dos transformadas de longitud N/2 m´as N productos realizados al combinar dichas transformadas. En resumen,
r do rra Bo
f (N ) = 2f (N/2) + N.
Nada nos impide aplicar de forma reiterada el algoritmo anterior para calcular Y(0) e Y(1) si M es divisible por 2 (o lo que es lo mismo, que N sea divisible por 4). De forma natural, se puede programar el m´etodo de forma recursiva. El caso ´optimo del algoritmo en la versi´on anterior se da cuando N = 2p . El algoritmo queda de la siguiente forma FFT
N =length(y) if N==1 Y=y else Y(0) := FFT(y(0 : 2 : N − 2)) % Parte ‘‘par’’ Y(1) := FFT(y(1 : 2 : N − 1)) % Parte ‘‘impar’’ ω = exp(−2πi/N ) ω := [ω 0 , ω 1 , . . . , ω N/2−1 ]> Y(0 : N/2 − 1) = (Y(0) + ω. ∗ Y(1) )/2 Y(N/2 : N − 1) = (Y(0) − ω. ∗ Y(1) )/2 end
En tal caso, se puede comprobar que el n´ umero de productos es f (N ) = 2p (p + 1) = N (log2 (N ) + 1)
que debe compararse con el N 2 esperable de la implementaci´on directa. De ah´ı viene el nombre de Transformada R´ apida de Fourier.
Ejercicio 7.24 Implementa la transformada r´apida de Fourier.
Ayuda. No utilices fft como nombre de esta funci´on, dado que ´este es el comando de Matlab para el c´alculo de la transformada r´apida de Fourier. Entrando ya en programa, en primer lugar podemos plantearnos c´omo se va a devolver el resultado, si como un vector fila o como un vector columna. Para ello, la primera instrucci´on de nuestra subrutina podr´ıa ser y=y(:); Y=y; si se quiere trabajar s´olo con columnas, o 147
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier y=y(:).’; Y=y;
si se desea implementar para filas. F´ıjate que ya hemos introducido el vector que va a guardar la transformada de Fourier y que sus dimensiones coinciden con las del vector y. Llegado a este punto, hay que tener cuidado al programar el producto
r do rra Bo
ω. ∗ Y(1)
para que los vectores implicados, ω e Y(1) tengan igual dimensi´on. Si el vector tiene un n´ umero par de elementos, la transformada se calcula a partir de la transformada de los vectores y(1 : 2 : n) y(2 : 2 : n)
−→ −→
(y0 , y2 , . . . , yn−2 )> , (y1 , y3 , . . . , yn−1 )> ,
(Y(0) ) (Y(1) )
de acuerdo con el algoritmo (v´ease tambi´en (7.14) y (7.15)). Cuando el n´ umero de entradas de y no sea una potencia de 2 se puede utilizar el primer algoritmo que dimos (ejercicio 7.22). De esta manera tendr´ıamos la siguiente estructura
y=y(:); n=length(y); if mod(n,2)==0 ...... % expresion RECURSIVA en terminos de dos transformadas ...... else % no es divisible por 2 ...... % Algoritmo del ejercicio 7.22 end
En las l´ıneas anteriores, mod(m,n) devuelve el resto de la divisi´on de m entre n y sirve para comprobar si el n´ umero de entradas es par o impar.
Ejercicio 7.25 Implementa una funci´on recursiva que devuelva el n´umero de operaciones para el c´alculo de la FFT. Util´ızala para obtener una tabla con el n´umero de operaciones para algunos valores altos de N . Compara con el n´umero de operaciones requerido en la versi´on inicial del algoritmo dada antes. ´ Soluci´ on. Esta es una forma simple de implementar la funci´on
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
% OPERACIONESFFT(N) % % M=OPERACIONESFFT(N) % % M es el numero de operaciones de la FFT function M=operacionesFFT(N)
if mod(N,2)==1 M=N^2; else M=operacionesFFT(N/2)*2+N; end
148
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
´ Hemos testado la funci´on con 219 y 219 − 1 que es primo. Este es el resultado
r do rra Bo
>> format rat >> operacionesfft(2^19) %(2^19 approx 500.000) ans=
10485760
>> operacionesfft(2^19-1) ans =
274876858369
Observa que el n´ umero de operaciones efectuadas se reduce en un factor de 26000 si aumentamos en uno el n´ umero de elementos. Ejercicio 7.26 Implementa la Inversa de la Transformada Discreta de Fourier con nombre InvTrRaFourier.
Ejercicio 7.27 En este ejercicio observaremos la dependencia de la FFT implementada en Matlab respecto del n´umero de entradas del vector. Para ello, utilizaremos de nuevo los valores 219 − 1 y 219 propuesto anteriormente. Define dos vectores y1 y y2 con 219 − 1 y 219 componentes respectivamente, por ejemplo, mediante la orden rand. Aplica fft(y1) y fft(y2) y comprueba el tiempo que tarda en cada caso. ¿Sabr´ıas explicar por qu´e se reduce el tiempo de c´alculo?. Nota final
Las implementaciones comerciales de la FFT son ciertamente m´as complicadas que lo que hemos visto. En realidad, los m´etodos recursivos son menos eficientes que las implementaciones directas, que no hacen uso de la recursividad. En lugar de ello se opta por una programaci´on directa, m´as refinada. No s´olo se descompone la transformada en dos de longitud mitad de la original, como se ha mostrado en este algoritmo, sino que adem´as se intenta dividir por los primeros n´ umeros primos 2, 3, 5, 7,... reduci´endola a dos, tres, cinco o siete transformadas y as´ı sucesivamente. Incluso el caso de n´ umeros primos se realiza de forma m´as ´optima que el algoritmo (ingenuo) del ejercicio 7.22. Los comandos en Matlab que devuelven la transformada de Fourier y su inversa son fft e ifft. Puede consultarse la ayuda para ver algunos detalles sobre su funcionamiento e implementaci´on. Existen otras transformadas ligadas a ´esta. Por ejemplo, la transformada del coseno y la del seno, tambi´en implementadas en Matlab (dct, idct, dst y idst). . 149
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier La FFT y el producto de n´ umeros enteros Dados dos vectores u = (u0 , u1 , . . . , ur )> ,
v = (v0 , v1 , . . . , vs )>
r do rra Bo
se define el vector convoluci´on u ∗ v al vector de r + s + 1 componentes cuya entrada k viene dada por m´ın{k,r}
X
(u ∗ v)k :=
X
u` v j =
`+j=k
u` vk−` ,
(7.16)
(k = 0, . . . , r + s).
`=m´ ax{0,k−s}
Es f´acil comprobar que la convoluci´on, tambi´en llamado producto de convoluci´on, es conmutativo. Esta operaci´on es simplemente el producto de polinomios. En efecto, si consideramos los polinomios u0 + u 1 x + . . . + u r x r ,
v0 + v1 x + . . . + vs xs
entonces el coeficiente en xk del polinomios producto viene dado precisamente por (7.16). Una propiedad interesante de la transformada de Fourier discreta es que convierte la convoluci´on de dos vectores en producto de transformadas. Tomemos N = r + s. Si u y v se insertan en Rn+1 rellenando con ceros u = (u0 , u1 , . . . , ur ,
0, . . . , 0 | {z }
)> , v = (v0 , v1 , . . . , vs ,
N − r = s ceros
0, . . . , 0 | {z }
)
N − s = r ceros
tenemos que
F (u ∗ v) = N (F (u). ∗ F (v)),
donde la operaci´on anterior es el producto elemento a elemento entre los vectores. As´ı, una forma r´apida de calcular la convoluci´on de los dos vectores es seguir el siguiente algoritmo Calcular U = F (u), V = F (v) Multiplicar W = N U. ∗ V Devolver F −1 (W)
Si N = r + s es una potencia de 2 entonces el n´ umero de operaciones es del orden de O(n log2 (N )), comparado con 2N 2 que tiene la implementaci´on m´as directa. Una de las aplicaciones m´as simples del c´alculo de productos de convoluci´on est´a en el producto de n´ umeros enteros. Por ejemplo, 6031 → 1 + 3 · 10 + 0 · 102 + 6 · 103 ⇒ 1234 → 4 + 3 · 10 + 2 · 102 + 1 · 103
⇒
6031 × 1234 = 4 + 15 · 101 + 11 · 102 + 31 · 103 + 21 · 104 + 12 · 105 + 6 · 106 = 7442254.
Es decir, se trata simplemente del producto de polinomios con “10” jugando el papel de “x”, o equivalentemente, la convoluci´on entre dos vectores: 6031 → (1, 3, 0, 6, 0, 0, 0, 0) =: u ⇒ u ∗ v = (4, 15, 11, 31, 21, 12, 6)> 1234 → (4, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0) =: v
Por tanto, la FFT nos ofrece una forma muy r´apida de multiplicar dos n´ umeros enteros. 150
´ III LECCION
Cap´ıtulo 7. F´ormulas de cuadratura. FFT
Ejercicio 7.28 Implementa una funci´on que calcule el producto de dos n´umeros enteros con la transformada de Fourier de acuerdo al siguiente prototipo
r do rra Bo
% MULTIPLICACION % % % P=MULTIPLICACION(A,B) % % % % %
Devuelve el producto de A por B
A,B deben ser arrays de caracteres P es un array de caracteres con el producto A*B
Ayuda. Para que el m´etodo sea realmente eficiente necesitamos que los vectores sobre los que se va a aplicar la transformada de Fourier tengan longitud una potencia de 2. Para ello podemos insertar m´as ceros de los inicialmente previstos de forma que N sea una potencia20 de 2. Para disponer de una precisi´on en principio ilimitada, introduciremos los n´ umeros que deseamos multiplicar en una cadena de caracteres y haremos la salida en el mismo formato. Para su implementaci´on necesitaremos manejarnos con la conversi´on entre los diversos formatos de datos. Una cadena o string es simplemente un vector de caracteres y as´ı lo maneja Matlab: >> p=’esto es una prueba’ ans=
esto es una prueba
>> p(3) ans=
t
>> p(6:9) ans = es u
Har´a falta transformar un vector de caracteres a un vector de n´ umeros y viceversa. Para ello se puede utilizar los comandos str2num, num2str(STRing-to-NUMeric y NUMericto-STRing). Una vez que tengamos el vector de n´ umeros hay que darle la vuelta al vector, de forma que ’1234’ [4 3 2 1]. 20
¿Qu´e hace log2(ceil(r+s))?
151
´ III LECCION
7.2 Transformada r´apida de Fourier
Por u ´ltimo una vez multiplicados hay un paso de acarreo, es decir, un resultado de forma que [4 15 11 31 21 12 6]
4 + 15 · 101 + 11 · 102 + 31 · 103 + 21 · 104 + 12 · 105 + 6 · 106
debe transformarse en su representaci´on decimal
r do rra Bo 4 + 5 · 101 + 2 · 102 + 2 · 103 + 4 · 104 + 4 · 105 + 7 · 106 = 744224.
Nota. ¿Para qu´e preocuparse en multiplicar n´ umeros enteros? Es decir, no parece haber una necesidad acuciente de dise˜ nar algorimos para multiplicar n´ umeros de centenares o miles de cifras. Una aplicaci´on sorprendente proviene del mundo de cifrado de mensajes. El sistema de cifrado m´as popular actualmente es el RSA, propuesto por los matem´aticos21 Ron Rivest, Adin Shamir y Len Adleman en 1977, est´a basado en el conocido Teorema Peque˜ no de Fermat22 . Este teorema, muy simple, tiene que ver con los restos de la divisi´on por n´ umeros primos. El mensaje que se desea enviar se convierte en un n´ umero entero, m´as o menos largo. El cifrado y descifrado del mensaje se basa en calcular restos de divisiones por el producto de dos n´ umeros primos muy grandes. La seguridad del sistema depende directamente del tama˜ no de estos primos: mayor tama˜ no es mayor seguridad. Ello hace que se requiera calcular productos y divisiones de n´ umeros enteros enormes de forma r´apida y eficiente23 .
Nota. La convoluci´on est´a implementada en Matlab mediante el comando conv. La forma de calcular es esencialmente la expuesta en esta secci´on.
21
El nombre del algoritmo son las iniciales de sus apellidos. ´ Nada que ver con el Ultimo Teorema de Fermat, cuya demostraci´on tuvo que esperar cuatro siglos. 23 Para una informaci´ on m´ as detallada, m´ırese por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Rsa. 22
152
r do rra Bo Lecci´on IV
C´alculo simb´olico, arrays y celdas en Matlab. Valores y vectores propios. Google.
153
r do rra Bo
r do rra Bo
Introducci´ on
La physique ne nous donne pas seulement l’occasion de r´esoudre des probl`emes... elle nous fait pressentir la solution Henri Poincar´e
En la primera parte de esta lecci´on trataremos diversos aspectos instrumentales de Matlab, como el manejo de polinomios, arrays multidimensionales (tensores) y vectores de celdas. Daremos adem´as algunos esbozos sobre la manipulaci´on de expresiones simb´olicas. Aunque en este campo Matlab no es comparable a otros manipuladores simb´olicos como Maple o Mathematica, puede resultar en muchos casos suficiente. En la segunda parte trataremos el c´alculo de valores y vectores propios de Matlab. Volvemos por tanto a incidir en el manejo de vectores y matrices, y en ese sentido es un recordatorio de lo que vimos en las Lecciones 1 y 2. Con el fin de aliviar el peso te´orico de la parte matem´atica, terminaremos con un cap´ıtulo fundamentalmente divulgativo sobre Google y su algoritmo de evaluaci´on de p´aginas web Pageranktm .
155
r do rra Bo
r do rra Bo
Cap´ıtulo 8
Matlab: C´ alculo simb´ olico y estructuras de datos. 8.1.
Polinomios y c´ alculo simb´ olico
Los polinomios constituyen las funciones m´as simples en Matem´aticas y computacionalmente son importantes habida cuenta que contienen en su estructura las operaciones b´asicas en un ordenador. En esta secci´on veremos como maneja Matlab un polinomio y nos servir´a de preparaci´on para la secci´on siguiente donde veremos someramente la toolbox de c´alculo simb´olico.
8.1.1.
Polinomios
Matlab maneja un polinomio identific´andolo simplemente con un vector de n´ umeros > (en principio) reales. Concretamente, el vector fila (an , . . . , a0 ) corresponde al polinomio an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Si alg´ un coeficiente es nulo, debe incluirse. Por ejemplo, el vector (1, 0, 2)> representa el polinomio x2 + 2. Sumar y restar dos polinomios se reduce as´ı a sumar y restar dos vectores, salvando el problema de que ambos deben tener el mismo grado: >> p=[2 0 1]; % 2*x^2+1 >> q=[-1 1 -1 0 1]; % -x^4+x^3-x^2+1 >> p+q % ERROR!! ??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. >> p=[0 0 2 0 1]; >> p+q
% dos coeficientes mas % ahora OK!
ans=
-1
1
1
0
2
El producto y divisi´on de polinomios est´an implementados respectivamente en los comandos conv y deconv 157
´ IV LECCION
8.1 Polinomios y c´alculo simb´olico >> p=[2 0 1]; q=[-1 1 -1 0 1]; >> conv(p,q) ans = 2
-3
1
1
0
1
r do rra Bo
-2
>> deconv(q,p) ans=
-0.5000
0.5000
-0.2500
Ejercicio 8.1 Implementa una funci´on que calcule la suma de dos polinomios, su producto, cociente y resto seg´un el siguiente prototipo 01 02 03 04
OPERACIONESPOL(P1,P2)
[S,R,C,P]= OPERACIONESPOL(P1,P2)
S, R, C y P son la suma, resta cociente y producto de P1 y P2
(Ayuda: P1 y P2 deben ser de la misma longitud. ¿Qu´e hace la instrucci´on p1=[zeros(1,length(p2)-length(p1)) p2]
cuando length(p2)>length(p1)? Comprueba que tambi´en es v´alida cuando length(p2)
El comando polyval se encarga de la evaluaci´on de un polinomio:
>> p=[1 0 0 1 0 3]; %definimos el polinomio x^5+x^2+3 >> polyval(p,2) %evaluamos en x=2 ans = 39
>> polyval(p,[1 2 3]) %vectorizado ans = 5
39
255
Ra´ıces de polinomios
Las ra´ıces de un polinomio p son las soluciones de la ecuaci´on p(x) = 0. El Teorema 1 ´ Fundamental del Algebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces en C (alguna puede estar repetida). 1
Demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en 1799 (a los 22 a˜ nos) en su tesis doctoral. Gauss ha salido repetidamente en estas lecciones y en campos muy distintos, desde las Matem´aticas m´as aplicadas a las m´ as puras. Quiz´ as ahora se comprenda mejor por qu´e recibi´o el sobrenombre de“pr´ıncipe de las Matem´ aticas”.
158
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
En Matlab podemos utilizar roots para calcular de forma aproximada las ra´ıces de un polinomio: >> pol=[2 -3 -17 30]; % 2*x^2-3*x^2-17*x+30 >> roots(pol)
r do rra Bo ans =
-3.0000 2.5000 2.0000
>> pol2=[1 -2 2 -1]; >> roots(pol2).’ % un par complejas!! ans =
1.0000
0.5000 + 0.8660i
0.5000 - 0.8660i
Rec´ıprocamente, dado un vector que contenga las ra´ıces, podemos crear un polinomio m´onico (el coeficiente que acompa˜ na a la mayor potencia de x es 1) cuyas ra´ıces sean las dadas: >> poly([-3 5/2 2]) ans =
1
-3/2
-17/2
15
El comando poly puede emplearse tambi´en para construir el polinomio caracter´ıstico de una matriz cuadrada A, es decir, el polinomio det(A − xI)
donde I es la matriz identidad de orden n. Por ejemplo, >> A=[3 -2 2;-1 2 2;-1 1 3]; >> p=poly(A) %pol caract. (monico) p =
1
-8
19
>> roots(p).’ ans = 4
3
1 159
-12
´ IV LECCION
8.1 Polinomios y c´alculo simb´olico
En la segunda parte de esta lecci´on nos centraremos en los m´etodos num´ericos para el c´alculo de las ra´ıces de estos polinomios2 .
r do rra Bo
Nota. Un problema cl´asico3 es la determinaci´on de las ra´ıces de un polinomio. La ecuaci´on de segundo grado aparece m´as o menos resuelta en las Matem´aticas antiguas: babil´onicas, griegas, hind´ ues y ´arabes. Es un hecho muy resaltable que no exist´ıa una f´ormula para la soluci´on como la como la que conocemos hoy en d´ıa, sino que los autores describ´ıan diversas ecuaciones, habitualmente con ejemplos concretos, para luego explicar c´omo se proced´ıa a resolverlas4 a menudo con razonamientos geom´etricos que exclu´ıan cualquier resultado negativo. Fue en las matem´aticas hind´ ues donde las ra´ıces negativas fueron consideradas como v´alidas. Las matem´aticas italianas primero y europeas despu´es retoman a partir del siglo XV las ecuaciones polin´omicas. Nicolo Fontana Tartaglia, Girolamo Cardano, Fran¸cois Vi`ete, Ren´e Descartes, Gottfried Wilhelm von Leibniz, Joseph-Louis Lagrange y Leonhard Euler entre otros matem´aticos de menor renombre, estudiaron la resoluci´on por radicales de ecuaciones polin´omicas de tercer y cuarto grado con un resultado final satisfactorio: se consigui´o dar con f´ormulas que proporcionaban las ra´ıces de un polinomio de grado 4. Sin embargo fueron incapaces de encontrar una f´ormula para la ecuaci´on general de quinto grado. La cuesti´on qued´o zanjada de forma sorprendente: Niels Henrik Abel prob´o en 1824 (a los 22 a˜ nos) que no exist´ıa un f´ormula que diera las ra´ıces de cualquier polinomio de ´ltima medida, grado 5 mediante la aplicaci´on de radicales5 tomando ra´ıces en´esimas. En u se hab´ıa llegado a la conclusi´on de que era imposible la resoluci´on exacta de ecuaciones polin´omicas de grado mayor o igual que cinco. El estudio de cu´ando una ecuaci´on se pod´ıa resolver mediante radicales fue iniciado por Evariste Galois6 . Otro asunto muy diferente es la resoluci´on num´erica del problema. Se dispone de una familia de m´etodos para la resoluci´on de problemas no lineales generales (es decir, para ecuaciones de la forma f (x) = 0 donde f es una funci´on cualquiera, no necesariamente polin´omica) como los m´etodos de Newton-Raphson, secante, regula–falsi, etc. Sin embargo, dadas las particulares propiedades de los polinomios, hay m´etodos especialmente dise˜ nados para tal fin. Algunos m´etodos cl´asicos son los de Bairstow y el de Bernoulli. En los u ´ltimos a˜ nos el c´alculo de las ra´ıces de un polinomio ha quedado reducido al c´alculo 2
Las ra´ıces son los valores propios de la matriz A. La informaci´ on de estas l´ıneas se ha extra´ıdo de la web “MacTutor History of Mathematics Archive” de la Universidad de St. Andrews (Escocia). La direcci´on electr´onica es http://turnbull.mcs.stand.ac.uk/history/ 4 al-Khwarizm clasific´ o y explic´ o c´ omo resolver ecuaciones de segundo grado en 6 tomos. El desarrollo ´ del Algebra y la manipulaci´ on simb´ olica de expresiones ha conseguido que este problema pueda ser planteado en nuestros d´ıas a un alumno de primaria. 5 Paolo Ruffini hab´ıa dado una demostraci´on no del todo correcta en 1799. 6 Galois y Abel comparten algunas caracter´ısticas en com´ un, ambos murieron jovenes (Abel a los 29 a˜ nos y Galois a los 21) con buena parte de su trabajo ignorado por la comunidad matem´atica. La muerte de Galois es todav´ıa m´ as sorprendente. Franc´es y republicano convencido, lleg´o a estar en prisi´on por ello, muri´o en un duelo en 1832 en los a˜ nos convulsos posteriores a la revoluci´on francesa, aunque no est´a claro si ´este fue por motivos pol´ıticos o de otra ´ındole. En la noche anterior al duelo escribir´ıa en el margen de unas notas sobre las que trabaja: “Falta algo para completar la demostraci´ on. No tengo tiempo.”. Esta frase ha cimentado la, probablemente exagerada, leyenda de que paso la noche escribiendo Matem´aticas. Su trabajo fue rescatado del olvido por Joseph Liouville 11 a˜ nos despu´es. 3
160
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
de los valores propios de una matriz, simplemente construyendo la matriz compa˜ nera7 −an−1 −an−2 1 0 0 1 .. . 0 0 xn + an−1 xn−1 + . . . a0
r do rra Bo
· · · −a1 −a0 ··· 0 0 .. . 0 0 .. .. .. . . . ··· 1 0
Al c´alculo de los valores propios de una matriz volveremos en la segunda parte de esta lecci´on.
8.2.
Procesador simb´ olico
Retomando el hilo de la secci´on anterior, otra forma de operar con polinomios es de manera simb´olica. Para ello podemos proceder del siguiente modo: >> syms x %define x como variable simbolica >> (x^4+x^2-1)+(2*x^3+4*x^2+3) %suma de polinomios ans =
x^4+5*x^2+2+2*x^3
>> expand((x^4+x^2-1)*(2*x^3+4*x^2+3))
%expande el producto
ans =
2*x^7+4*x^6+2*x^5+7*x^4-2*x^3-x^2-3
Observa con atenci´on la primera instrucci´on. Con syms, declaramos x con una variable simb´olica y por tanto susceptible de entrar en expresiones y manipulaciones algebraicas. Las ´ordenes anteriores pueden aplicarse sobre funciones cualesquiera, no necesariamente polin´omicas: >> syms x y >> expand(cos(x+y)) ans=
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
Podemos llevar a cabo operaciones de c´alculo b´asico tales como la integraci´on o la derivaci´on: 7
De hecho, as´ı procede roots.
161
´ IV LECCION
8.2 Procesador simb´olico >> diff(x*cos(x^2))
%derivada
ans = cos(x^2)-2*x^2*sin(x^2)
r do rra Bo >> diff(x^4+x^2-1,3)
%tercera derivada
ans =
-24*x^2*cos(x^2)-6*sin(x^2)+8*x^4*sin(x^2)
>> int(exp(x)*cos(4*x),x)
%integral indefinida
ans =
1/17*exp(x)*cos(4*x)+4/17*exp(x)*sin(4*x)
>> int(exp(x)*cos(4*x),x,0,pi)
%integral definida
ans =
1/17*exp(pi)-1/17
De forma similar se pueden calcular l´ımites (limit), sumar series (symsum), >> sym k; >> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans=
1/6*pi^2
hacer desarrollos de Taylor (taylor) o transformadas integrales como las de Fourier o Laplace (fourier, ifourier, laplace e ilaplace) Observa como los resultados son s´ımbolos y no n´ umeros. En cualquier caso, el comando vpa procede a evaluar con la precisi´on solicitada (si es posible) >> vpa( 1/17*exp(pi)-1/17)
% 32 cifras por defecto
ans=
1.3023936842811332237346277906909
>> vpa( 1/17*exp(pi)-1/17,64)
% ahora con 64 cifras
ans= 1.3023936842811332237346277906908653676509857177734375000 162
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
Nota. La derivaci´on e integraci´on de un polinomio se puede hacer tambi´en con polyder y polyint que trabaja directamente sobre el vector que almacena el polinomio, es decir, no es simb´olico: >> polyder([1 4 2]) % derivada de x^2+4*x-2
r do rra Bo ans=
2
4
Ejercicio 8.2 Los siguientes comandos inciden en la simplificaci´on y manipulaci´on de expresiones simplify
factor
expand
collect
simple
Consulta la ayuda de Matlab y apl´ıcalos sobre diferentes expresiones algebraicas susceptibles de ser simplificadas.
Para la resoluci´on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante m´etodos simb´olicos, con las limitaciones que esto implica, podemos utilizar el comando solve: >> solve(’x*log(x^2+4*x-4)=0’) ans =
0 1 -5
Cuando el t´ermino independiente es cero puede omitirse: >> solve(’x*log(x^2+4*x-4)’)
De forma an´aloga, dsolve busca las soluciones de ecuaciones y sistemas diferenciales: >> dsolve(’D3y-D2y-2*Dy-cos(s)’,’s’) % y’’’-y’’-2y’-cos(s)=0 ans =
-3/10*sin(s)+1/10*cos(s)+C1+C2*exp(2*s)+C3*exp(-s)
>> dsolve(’D3y-D2y-2*Dy-cos(s)’,’y(0)=1’,’Dy(0)=2’, ’D2y(0)=3’,’s’) ans =
-3/10*sin(s)+1/10*cos(s)+1/2+9/10*exp(2*s)-1/2*exp(-s)
Ejercicio 8.3 Utiliza solve para hallar las cuatro ra´ıces de la ecuaci´on de cuarto grado x4 + ax3 + bx2 + cx + d. 163
´ IV LECCION
8.3 Tensores
r do rra Bo
Nota. Matlab es un programa m´as enfocado al c´alculo num´erico que al simb´olico. Ciertamente los resultados son presentados de una forma que est´eticamente no es comparable a Mathematica o Maple. Sin embargo se puede acceder a cualquier instrucci´on de Maple luego a priori todo lo que se puede hacer con este procesador se puede hacer con Matlab. Para llamar a un comando de Maple se utiliza el comando maple, mientras que a la ayuda correspondiente se accede con mhelp.
8.3.
Tensores
Ya hemos hablado en m´ ultiples ocasiones de la gran potencia que posee Matlab para 8 realizar c´alculos matriciales y su habilidad en el manejo de grandes cantidades de memoria. Estas habilidades se extienden a la manipulaci´on de arrays multidimensionales, que matem´aticamente se puede identificar con tensores. Un tensor es simplemente una matriz multidimensional, esto es, si una matriz se puede interpretar como una tabla de n´ umeros, un tensor (o array) tridimensional es simplemente un conjunto de n´ umeros desplegados en 3D en forma de paralelogramo. As´ı >> a=zeros(1,3,2) a(:,:,1) = 0
0
0
0
0
a(:,:,2) = 0
define un array de una fila, tres columnas y dos alturas. Abandonaremos en lo que sigue este s´ımil geom´etrico pues aporta poco. Se puede declarar un tensor simplemente dando sus valores >> a2(:,:,1)=[1 2 3;4 5 6] a2 =
1 4
2 5
3 6
>> a2(:,:,2)=[7 8 9;10 11 12] a2(:,:,1) = 1 4
8
2 5
3 6
Recuerda Matlab = Matrix laboratory
164
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
a2(:,:,2) = 8 11
9 12
3
2
r do rra Bo
7 10
>> size(a) ans =
2
>> length(a)
%maximo de las dimensiones
ans =
3
Observa la diferencia
>> a1=a(1,:,:) a1(:,:,1) = 1
2
3
a1(:,:,2) = 7
8
9
>> a2=a(:,1,:) a2(:,:,1) = 1 4
a2(:,:,2) = 7 10
>> a3=a(:,:,1) a3 =
165
´ IV LECCION
8.3 Tensores 1 4
2 5
3 6
r do rra Bo
Por tanto, de las variables que acabamos de definir u ´nicamente a3 es una matriz propiamente dicha. La forma de operar con tensores es b´asicamente la misma que con vectores y matrices. Por ejemplo: >> b=a+ones(2,3,2) b(:,:,1) = 2 5
3 6
4 7
9 12
10 13
b(:,:,2) = 8 11
>> b(:,2:3,2)=[-1 -2;-3 -4] b(:,:,1) = 2 3
3 3
4 3
-1 -3
-2 -4
b(:,:,2) = 8 3
>> b(:)’ % como se guarda en memoria... ans = 2
3
3
3
4
3
8
3
-1
-3
-2
-4
Ejemplo. Mediante las siguientes ordenes calculamos las cinco primeras potencias de la matriz a y las almacenamos en una variable tridimensional b: a=[1 2;3 4]; b(:,:,1)=a; for i=2:5 b(:,:,i)=b(:,:,i-1)*a; end
%b(:,:,i) guarda a^i
166
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
r do rra Bo
Las funciones que operan sobre escalares, tales como sin, cos, etc., funcionan con tensores exactamente del mismo modo que con vectores o matrices, realizando las operaciones elemento a elemento. Si se aplica una funci´on de las que operan sobre los elementos de un tensor como por ejemplo b´ usqueda de m´aximos o m´ınimos (max, min) o la suma y producto (sum, prod), devuelve un tensor de una dimensi´on menos, resultado de realizar la operaci´on sobre la primera dimensi´on:
>> a=zeros(2,3,2); >> a(:,:,1)=[1 2 8; 4 5 6]; a(:,:,2)=[6 2 14; 3 5 1] a(:,:,1) = 1 4
2 5
8 6
2 5
14 1
a(:,:,2) = 6 3
>> max(a)
% 1x3x2
ans(:,:,1) = 4
5
8
ans(:,:,2) = 6
5
14
>> max(max(a)) % 1x1x2 ans(:,:,1) = 8
ans(:,:,2) = 14
>> max(max(max(a))) % 1x1x1, un numero ans = 6 167
´ IV LECCION
8.4 Vectores de celdas
8.4.
Vectores de celdas
r do rra Bo
Aunque los tensores a˜ naden mayor flexibilidad a las matrices y vectores, siguen siendo estructuras r´ıgidas (todas las entradas deben ser n´ umeros reales, a(1,:,:,:) debe tener la misma dimensi´on que a(2,:,:,:),...). Matlab cuenta con una estructura que probablemente sea el paradigma de la flexibilidad en tanto en cuanto permite guardar casi cualquier tipo de dato. Es, por as´ı decirlo, un “caj´on de sastre”. Este tipo de estructura se denomina vector (matriz o tensor) de celdas o cell array. Ya nos hemos encontrado con esta estructura cuando vimos el dise˜ no de funciones cuyo n´ umero de par´ametros de entrada y/o salida era variable. Las variables varargin y varargout son realmente vectores de celdas que conten´ıan distintos tipos de datos a los que se acced´ıa mediante llaves. Un vector de celdas se maneja del mismo. A modo de ejemplo podemos crear un vector de celdas simplemente asignando valores
>> celda={7,[1 2 3;4 5 6],’una cadena de caracteres’,inline(’x+y’)}; >> whos celda Name Size Bytes Class celda
1x4
1214
cell array
Grand total is 95 elements using 1214 bytes
que es equivalente a dar cada una de sus componentes >> >> >> >>
celda{1}=7; celda{2}=[1 2 3;4 5 6]; celda{3}=’una cadena de caracteres’; celda{4}=inline(’x+y’);
Tambi´en se puede proceder, con peque˜ nas diferencias de sintaxis, de la siguiente forma >> celda(1)={7}; >> celda(2)={[1 2 3;4 5 6]};
F´ıjate en la disposici´on de las llaves en los dos ejemplos anteriores. En cualquier caso, una vez definido el vector podemos acceder a cada una de sus componentes indicando entre llaves su posici´on >> celda{1} ans =
7
>> celda{4}([1 2 4], [2 1 1/2]) ans = 3.0000
3.0000
4.5000 168
% funcion!!
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 8. Matlab: C´alculo simb´olico y estructuras de datos.
o visualizar todas ellas mediante >> celldisp(celda) celda{1} =
r do rra Bo 7
celda{2} = 1 4
2 5
3 6
celda{3} =
una cadena de caracteres celda{4} =
Inline function: (x,y) = x+y
Este tipo de estructura, aunque muy flexible a la hora de almacenar informaci´on, es sin embargo manejada con menor eficiencia por Matlab, por lo que debe hacerse un uso mesurado de ella. Los comandos varargin y varargout proporcionan un buen ejemplo de una utilizaci´on apropiada de esta estructura.
Ejercicio 8.4 Otra manera de agrupar distintos tipos de datos es utilizar estructuras (“struct”). Una estructura es un tipo de dato del que luego se pueden asignar campos distintos. Por ejemplo, la estructura Libro podr´ıa contener los campos Titulo y Autor que ser´ıan cadenas de caracteres y A~ noPublicacion y NumeroPaginas que ser´ıan n´umeros. Utiliza la ayuda de Matlab para averiguar c´omo pueden definirse estos tipos de datos mediante la orden struct.
169
´ IV LECCION
8.4 Vectores de celdas
r do rra Bo 170
r do rra Bo
Cap´ıtulo 9
C´ alculo num´ erico de valores y vectores propios. 9.1.
Introducci´ on
El estudio de los valores y vectores propios de una matriz surge ligado a una gran cantidad de problemas que se plantean en ´ambitos de muy diversa ´ındole, tales como la Ingenier´ıa, F´ısica, Econom´ıa, Estad´ıstica o Biolog´ıa. Algunos ejemplos los encontramos en el c´alculo de los modos de vibraci´on de algunas estructuras, el estudio de la evoluci´on de sistemas din´amicos, compresi´on de datos, el an´alisis de redes (grafos),... El problema que abordamos es el siguiente: dada una matriz A de tama˜ no n × n queremos encontrar los escalares λ y vectores v 6= 0 que cumplan Av = λv.
Se dice entonces que λ es un valor propio de A y que v es un vector propio asociado a λ. Se trata por tanto de buscar las direcciones invariantes bajo los productos por la matriz. Equivalentemente, los valores propios de A son aquellos valores λ para los que el sistema lineal homog´eneo (A − λI)v = 0, tiene soluciones no nulas, y estas soluciones son los vectores propios asociados a λ. Esta expresi´on nos da una manera de calcular λ: los valores propios son los valores, reales o complejos, para los que A − λI no es invertible, o equivalente, para los que det(A − λI)=0. Concluimos de esta manera que los valores propios son las ra´ıces del polinomio p(λ) := det(A − λI) = 0.
conocido como polinomio caracter´ıstico. Dado que p(λ) tiene grado n, habr´a exactamente n valores propios (aunque alguno de ellos puede estar repetido o ser complejo). Hist´oricamente los m´etodos num´ericos comenzaron trabajando sobre el polinomio caracter´ıstico para hallar los valores propios, pero pronto se comprob´o que este camino no era el m´as indicado. Uno de los hechos que motivaron este abandono radicaba en la inestabilidad num´erica: 171
´ IV LECCION
9.1 Introducci´on
Las ra´ıces de un polinomio son muy sensibles a variaciones en sus coeficientes; El polinomio a su vez puede ser muy sensible a las entradas de la matriz.
r do rra Bo
En vista de lo anterior se plante´o el problema original: ¿son los valores y vectores propios sensibles a peque˜ nas modificaciones de las entradas de la matriz?. Afortunadamente para matrices sim´etricas se tiene la ansiada estabilidad: peque˜ nas variaciones en A, producto por ejemplo de errores de medida o errores de redondeo, dan lugar a peque˜ nas modifica1 ciones en los valores propios . Para matrices arbitrarias este resultado dista mucho de ser cierto, las condiciones para asegurar la estabilidad son m´as complicadas, y podemos encontrarnos con lo que en la terminolog´ıa habitual se denomina, matrices mal condicionadas para el c´alculo de valores propios.
Ejemplo Estas l´ıneas muestran la sensibilidad de una matriz muy simple ante una peque˜ na variaci´on en una entrada. >> a=[149 50 154;-537 -180 -546;27 9 25]; >> p= poly(a) p =
1.0000
6.0000
11.0000
6.0000
>> roots(p).’ ans =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
>> b=[149 50 154;-537 -180.01 -546;27 9 25]; >> q=poly(b) ans =
1.0000
6.0100
9.2600
1.6700
>> roots(q).’ ans=
-3.5019
-2.3008
-0.2073
Ejercicio 9.1 Repite el ejemplo anterior con diferentes matrices sim´etricas y observa como el resultado es m´as estable. 1
Probado por primera vez por Hermann Weyl en 1911 en un ´area totalmente distinta.
172
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
´ Nota. Este y otros detalles no eran conocidos en los inicios del c´alculo cient´ıfico. James Hardy Wilkinson relata la siguiente an´ecdota2 . Cuando estaba programando en uno de los primeros ordenadores electr´onicos el m´etodo de Newton para la resoluci´on de ecuaciones no lineales, decidi´o testarlo con el siguiente polinomio (x − 20)(x − 19) · · · (x − 1).
r do rra Bo El m´etodo fallaba de forma reiterada, a pesar de las sucesivas revisiones del c´odigo, hasta que Wilkinson cay´o en la cuenta de que el error no radicaba en su programa sino que las ra´ıces eran tan sensibles num´ericamente que se ve´ıan afectadas por los errores de redondeo. Wilkinson demostr´o que al cambiar el coeficiente de x19 en p, que es −210, por −210 − 2−23 , las ra´ıces 16 y 17 se transforman3 en el par complejo 16.73 ±2.81i. El polinomio en cuesti´on pas´o a la historia del Num´erico con el nombre de “el p´erfido polinomio de Wilkinson”.
9.2.
Matrices semejantes
Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P invertible tal que B = P AP −1 .
En este caso,
det(B − λI) = det(P AP −1 − λI) = det(P (A − λI)P −1 ) =
= det(P ) det(A − λI) det(P −1 ) = det(A − λI),
es decir, A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y por tanto los mismos valores propios. Este resultado sugiere una estrategia para encontrar los valores propios de A: buscar matrices semejantes para las que el c´alculo de los valores propios sea sencillo. En particular, cuando B es triangular sus valores propios son simplemente los elementos diagonales. Si podemos tomar los n vectores propios linealmente independientes, la matriz P := [v1 |v2 | . . . |vn ] (su i–´esima columna es el vector vi ) es invertible. Entonces AP = P D
⇐⇒
P −1 AP = D,
donde D es una matriz diagonal con los valores propios sobre la diagonal. Si una matriz es semejante a una matriz diagonal se dice que es diagonalizable. Particularmente interesante es el caso en que P se puede tomar adem´as ortogonal. Esto es, P −1 = P > , y por tanto P > AP = D. Las matrices ortogonales son muy estables num´ericamente y posibilitan el dise˜ no de m´etodos m´as robustos frente a errores de redondeo. 2
Recogida por D. Kincaid y W. Cheney en su excelente libro “An´alisis Num´erico: Las Matem´aticas del C´alculo Cient´ıfico.” Addison-Wesley, 1994. 3 ¿C´omo asumir que las ra´ıces de un polinomio tan sencillo fueran imposibles de aproximar por un ordenador? Wilkinson dir´ıa despu´es “Speaking for myself I regard it as the most traumatic experience in my career as a numerical analyst”
173
´ IV LECCION
9.3 M´etodo de potencias
Teorema 9.1 Si A es sim´etrica, existe Q ortogonal tal que Q> AQ = D con D diagonal con los valores propios de A. En particular, los valores propios de una matriz sim´etrica son todos reales.
r do rra Bo
En las Secciones 9.4 y 9.5 de esta lecci´on se estudiar´an dos m´etodos basados en transformaciones de semejanza (producto por matrices ortogonales) que tratan de llevar una matriz sim´etrica a una forma diagonal como forma de calcular los valores propios. Estos m´etodos se pueden adaptar, con m´as o menos ´exito, a matrices arbitrarias llevando en este caso la matriz a una forma triangular o cuasitriangular.
9.3.
M´ etodo de potencias
En esta secci´on presentaremos el m´etodo de potencias y algunas variantes del mismo que proporcionan un valor propio de la matriz. Estos m´etodos combinados con t´ecnicas de deflaci´on, que consisten en construir una nueva matriz con los mismos valores propios que la original salvo el ya el calculado, permiten calcular unos pocos valores propios.
9.3.1.
Descripci´ on del m´ etodo
Asumiremos para empezar que la matriz A tiene un valor propio dominante, es decir, sus valores propios pueden ordenarse en la forma |λ1 | > |λ2 | ≥ |λ3 | ≥ . . . ≥ |λn |.
Supongamos adem´as que tenemos una base formada por vectores propios, esto es podemos tomar {vi }ni=1 vectores propios linealmente independientes (la matriz A es por tanto diagonalizable). Entonces, cualquier vector x0 puede escribirse en la forma x0 =
n X
αi vi
i=1
con αi adecuados. Multiplicando reiteradamente por A obtenemos m
A x0 =
n X
αi λm i vi
=
λm 1
α1 v1 + α2
i=1
λ2 λ1
m
v2 + . . . + αn
λn λ1
m
vn .
(9.1)
Entonces, si α1 6= 0 y m es grande
xm := Am x0 ≈ λm 1 α1 v1 ,
es decir, xm tiende a apuntar en la direcci´on del vector propio asociado al valor propio de mayor m´odulo (en el lenguaje habitual se habla del valor propio dominante). El valor propio λ1 se puede calcular, entre otras posibilidades, mediante el conocido cociente de Rayleigh: x> Axm x> xm+1 (m) λ1 := m 2 = m 2 ≈ λ1 . kxm k kxm k 174
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
Proposici´ on 9.2 Bajo las hip´otesis anteriores (m)
= λ1 + O
(m)
= λ1 + O
λ1 Si adem´as A es sim´etrica
λ1 λ2
.
2m λ1 λ2
.
r do rra Bo
λ1
m
Basado en estas ideas surge el m´etodo de potencias, que simplemente consiste en multiplicar un vector inicial por las potencias sucesivas de la matriz A. Para evitar que los vectores xm tengan componentes muy grandes o muy peque˜ nas se genera una sucesi´on de vectores normalizados, es decir, una vez multiplicado por A se procede a dividir por su norma. El algoritmo es el siguiente: M´ etodo de potencias 01
x0 6= 0
02
y0 =
03
for m=1:mmax
vector inicial
x0 kx0 k2
04
xm = Aym−1
05
> xm λ(m) = ym−1 xm ym = kxm k2
06
07
if kym − ym−1 k2 < eps
08 09 10
end
return
end
La l´ınea 06 es simplemente el cociente de Rayleigh que, como la norma escogida para normalizar es la eucl´ıdea, adopta esta expresi´on m´as sencilla. Hemos elegido como criterio de parada la diferencia entre dos vectores consecutivos. Otra posible elecci´on es |λ(m) − λ(m−1) | < eps |λ(m) |. Ejercicio 9.2 Programa el m´etodo de potencias
Soluci´ on. He aqu´ı una implementaci´on del m´etodo. 01 02 03
%POTENCIAS % %LB=POTENCIAS(A)
Devuelve en LB una aproximacion del 175
´ IV LECCION
9.3 M´etodo de potencias % % % %[LB,V]=POTENCIAS(A) % %[LB,V,NITER]=POTENCIAS(A) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX,EPS) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX,EPS,V0)
mayor valor propio de A calculado por el metodo de potencias V es el vector propio NITER son las iteraciones calculadas
r do rra Bo
04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
MMAX
No. maximo de iteraciones n
EPS es el criterio de parada
V0 vector inicial para la iteracion
function [lb,x,m]=potencias(a,varargin); n=length(a); if nargin>1 & ~isempty(varargin{1}) mmax=varargin{1}; else mmax=n*2; end if nargin>2 & ~isempty(varargin{2}) eps=varargin{2}; else eps=1e-6; end if nargin>3 & ~isempty(varargin{3}) y=varargin{3}; else y=rand(n,1); end y=y/norm(y);
for m=1:mmax x=a*y; lb=y’*x; x=x/norm(x); if norm(x-y)<eps return end y=x; end disp(’numero maximo de iteraciones superado’)
Observa la utilizaci´on de isempty que permite que el usuario especifique alguno de los par´ametros, ignorando los anteriores sin m´as que utilizar el vac´ıo []. Por ejemplo, la siguiente llamada es v´alida: 176
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
>> [lb,v]=potencias(a,[],[],v0);
% especifico el vector inicial
r do rra Bo
Ejercicio 9.3 Compara la velocidad de convergencia y el n´umero de iteraciones requerido para distintas tolerancias y vectores iniciales al tomar las matrices −1 −3 0 −1 −3 0 −1 4 −2 9 4 , 9 4 , 9 −1 . A= 4 B = −3 C= 4 −2 −1 5 0 4 5 −2 −1 5
Nota. Cuando no se conoce una aproximaci´on del vector propio asociado al valor propio dominante, se suele iniciar el algoritmo partiendo de un vector generado aleatoriamente. Podr´ıa ocurrir que para el vector inicial α1 = 0, pero la probabilidad de que se d´e este problema es (pr´acticamente) nula. En este caso, si |λ2 | > |λ3 |, salvo por errores de redondeo4 , el m´etodo proporcionar´a el valor propio subdominante λ2 y su vector propio asociado normalizado. No es necesario que la matriz sea diagonalizable para que el m´etodo de potencias converja. Tampoco que el subespacio asociado al valor propio dominante est´e generado por un u ´nico vector. En este caso, que s´olo puede darse si λ1 es un valor propio repetido, el m´etodo puede converger a distintos vectores propios normalizados dependiendo del vector inicial considerado. Si |λ1 | = |λ2 |, es decir, λ1 = ±λ2 ´o λ1 y λ2 son n´ umeros complejos conjugados, entonces el m´etodo de potencias falla. Ejercicio 9.4 Consideremos la matriz
0 1 A= 0 0
0 0 1 0
0 −24 0 50 0 −35 1 10
cuyos valores propios son 1, 2, 3 y 4.
1. Aplicar el m´etodo de potencias a la matriz A partiendo de un vector aleatorio y del vector (−20, 33, −15, 2)> .
2. Sabiendo que v1 = (−24, 26, −9, 1)> y v2 = (−12, 19, −8, 1)> son vectores propios asociados a los valores propios 1 y 2 respectivamente, ¿qu´e crees que ocurrir´a si se toma como vector inicial v1 − 3v2 = (12, −31, 15, −2)> ? 3. Observa para distintas tolerancias la diferencia entre partir del vector del apartado anterior y de (12, −31, 15, −2.0001)> .
4
El efecto de los errores de redondeo se traduce en una componente no nula en la direcci´on de v1 , incluso aunque el vector inicial no la tuviese. Se podr´ıa decir que ´este es uno de los pocos casos en los que los errores de redondeo nos pueden ayudar.
177
´ IV LECCION
9.3 M´etodo de potencias
Ejercicio 9.5 En este ejercicio vamos a comprobar que el c´alculo de los valores propios utilizando el polinomio caracter´ıstico no es el camino correcto. Teclea las instrucciones en un fichero script
r do rra Bo
n=50; d=1/n:1/n:1; [q,r]=qr(rand(n)); a=q’*d*q;
En a tenemos una matriz sim´etrica con valores propios5 {0.02, 0.04, 006, . . . , 1}. Se trata de que apliques potencias para calcular el valor propio dominante y compares el resultado con el que obtienes al calcular las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico. Compara los resultados. Cambia el valor de n y observa el efecto que tiene en matrices cada vez m´as grandes.
9.3.2.
Variantes del m´ etodo de potencias
M´ etodo de la potencia inversa
Si A es invertible y v es un vector propio asociado a un valor propio λ (que ser´a distinto de cero), entonces, Av = λv ⇐⇒ A−1 v = λ−1 v. Es decir, λ−1 es un valor propio de la matriz inversa y v es un vector propio asociado. Por tanto podemos aplicar el m´etodo de potencias a la matriz A−1 para calcular el menor valor propio en valor absoluto de A. En lugar de calcular el producto xm = A−1 ym−1 (l´ınea 04 en el m´etodo de potencias) resolveremos en cada iteraci´on el sistema6 Axm = ym−1 .
Disponemos para ello de una galer´ıa amplia de m´etodos vistos en las Lecciones I y II. Notemos adem´as que en cada iteraci´on se tiene que resolver un sistema cuya matriz es siempre la misma, as´ı que si optamos por un m´etodo directo podemos calcular la factorizaci´on LU una u ´nica vez, fuera del bucle for (l´ıneas 03--10), y resolver de forma reiterada los dos sistemas triangulares. Si por contra se opta por un m´etodo iterativo, podemos arrancar el esquema utilizando xm−1 , la aproximaci´on del vector propio calculada en la iteraci´on anterior. Ejercicio 9.6 Programa a partir del Ejercicio 9.2 el algoritmo de la potencia inversa.
M´ etodo de potencias desplazado
Si λ es un valor propio de A, entonces λ − α es un valor propio de A − αI y (λ − α)−1 lo es de (A − αI)−1 . Por tanto, si aplicamos el m´etodo de potencias a la matriz A − αI
5
El comando qr descompone A = QR con Q ortogonal y R triangular. Por tanto los valores propios de Q> AQ coinciden con los de A. La Secci´on 9.5.1 est´a dedicada al c´alculo de esta descomposici´on. 6 Recuerda que invertir una matriz para multiplicarla posteriormente por un vector es mucho m´as costoso que resolver el sistema correspondiente.
178
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
donde α es una constante conocida, podemos obtener el valor propio de A m´as alejado de α. M´as interesante desde el punto de vista pr´actico es aplicar el m´etodo de potencias a (A − αI)−1 , que nos proporcionar´a el valor propio de A m´as pr´oximo a α.
r do rra Bo
Ejercicio 9.7 Modifica el programa del Ejercicio 9.6 para implementar el m´etodo de potencias desplazado. Los argumentos obligatorios de entrada ser´an ahora A y alpha.
Comentarios finales
El m´etodo de potencias tiene una ventaja evidente: su simplicidad. Ni siquiera necesitamos la matriz en s´ı, s´olo saber multiplicar por ella. El algoritmo de la potencia desplazada se puede utilizar para el c´alculo de un vector propio si se conoce λ, el valor propio asociado. Basta para ello aplicar el m´etodo con α = λ + con << 1. Puede plantearse si esto tiene efectos perniciosos habida cuenta de que A − αI est´a muy cerca de ser singular. Wilkinson prob´o sin embargo que el efecto de esta inestabilidad se da precisamente en la direcci´on del vector propio, que a fin de cuentas es lo que nos interesa. Se puede sugerir una versi´on alternativa del m´etodo de potencias desplazada consistente en tomar un α nuevo en cada iteraci´on, por ejemplo el u ´ltimo valor calculado λ(m) . Aunque esto acelera enormemente la convergencia del m´etodo, dispara el costo por iteraci´on, ya que en cada paso hay que resolver un sistema lineal nuevo, por lo que salvo en contados casos no es recomendable. Si se conoce un valor propio λ de una matriz A de tama˜ no n, puede construirse una nueva matriz de tama˜ no n − 1 que tiene exactamente los mismos valores propios que A salvo λ. Podr´ıa aplicarse ahora el m´etodo de potencias (o cualquiera de sus variantes) a la nueva matriz para determinar un nuevo valor propio de A. Este tipo de t´ecnica, en la que no entraremos en estos apuntes, se conoce como deflaci´on. Debemos se˜ nalar que mediante esta t´ecnica los errores de redondeo se van acumulando, de modo que s´olo es factible para calcular unos cuantos valores propios. El n´ umero final depende obviamente de la propia matriz y de la precisi´on con que se van calculando los valores propios.
9.4.
M´ etodo de Jacobi
En esta secci´on estudiaremos un m´etodo que nos proporcionar´a todos los valores propios de una matriz sim´ etrica (todos son reales) mediante un esquema iterativo basado en transformaciones de semejanza.
9.4.1.
Descripci´ on del m´ etodo
El m´etodo de Jacobi transforma en cada paso una matriz sim´etrica A en otra semejante con estructura m´as diagonal mediante el producto a izquierda y derecha por matrices apropiadas. Una matriz de Givens, tambi´en llamada de rotaci´on, es una matriz de la 179
´ IV LECCION
9.4 M´etodo de Jacobi forma
1 ..
Rpq (α) =
. cos α
← fila p ← fila q
sin α 1 .
r do rra Bo
..
1
− sin α
cos α
...
1
↑ col. p
↑ col. q
(9.2)
Es f´acil ver que son ortogonales, es decir, Rpq (α)−1 = Rpq (α)> . Mediante > ARpq A1 := Rpq
(p, q y α adecuados) vamos a anular el mayor elemento extradiagonal de A. Esta operaci´on (1) s´olo afecta a las filas y columnas p, q de A. Concretamente, si denotamos por aij las entradas de A1 , a(1) = (aqq − app ) cos α sen α + apq (cos2 α − sen2 α) = pq =
1 (aqq − app ) sen(2α) + apq cos(2α). 2
Por tanto, el ´angulo α debe tomarse de modo que si aqq = app , cos(2α) = 0, 2apq , en caso contrario. tan(2α) = aqq − app
Para calcular cos α y sen α evitando el uso de un arcotangente se recurre a algunas manipulaciones trigonom´etricas que prueban que si7 θ :=
aqq − app , 2apq
entonces
cos α = √
t :=
1 , t2 + 1
sign(θ) √ , |θ| + θ2 + 1
sen α = √
t . t2 + 1
Cuando aqq = app tomamos
1 cos α = √ , 2
7
sen αm =
−sign(aqq ) √ . 2
sign (z) es el signo de z, −1 si z es negativo, 1 en caso contrario.
180
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
r do rra Bo
El m´etodo ya se vislumbra en este estado: se trata de repetir el mismo argumento con A1 para obtener una segunda matriz A2 resultado de cancelar el mayor elemento extradiagonal de A1 . De esta forma, reiterando este proceso llegamos a una sucesi´on de matrices Am que cumplen λ1 λ2 Am −→ D := cuando m → ∞. , . . . λn
Adem´as, definiendo Qm := Rp1 q1 (α1 )Rp2 q2 (α2 ) . . . Rpm qm (αm ), donde Rpk ,qk es la matriz utilizada en el paso k−´esimo Q−1 m AQm = Am −→ D.
Por tanto, las columnas de Qm son las aproximaciones (ortonormales) de los vectores propios correspondientes. El siguiente teorema prueba la convergencia de este m´etodo. Para ello necesitamos la llamada norma de Frobenius8 kAkF :=
n hX
2
|ai,j |
i1/2
i,j=1
Teorema 9.3 Sea Am la matriz en la iteraci´on m, Dm su diagonal y Bm := Am − Dm . Entonces 2 kAm kF = kAm+1 kF , kBm+1 k2F = kBm k2 − 2|a(m) pm qm |
El resultado dice en primer lugar que la norma de Frobenius de una matriz no cambia cuando se multiplica a izquierda y derecha por las matrices Rpq (α), una de ellas traspuesta. De hecho se preserva cuando se multiplica, a izquierda y derecha, por matrices ortogonales arbitrarias. El segundo resultado dice algo m´as: el peso de los elementos extradiagonales disminuye en cada paso seg´ un el elemento cancelado. Esto asegura la convergencia del proceso hasta obtener una matriz diagonal. En la pr´actica, el proceso se interrumpe cuando los elementos que est´an fuera de la diagonal son suficientemente peque˜ nos. En concreto, se suele tomar el siguiente criterio de parada !1/2 n X (m) |a(m) |aii |2 . pm qm | < eps i=1
F´ıjate que las matrices Am y Am+1 s´olo difieren en las filas y columnas pm y qm . A efectos pr´acticos no ser´a necesario formar las matrices de rotaci´on ya que basta conocer los valores de cos αm y de sen αm para construir Am+1 a partir de Am .
Ejercicio 9.8 Implementa el m´etodo de Jacobi. 8
En Matlab ser´ıa norm(a(:)) o norm(a,’fro’).
181
´ IV LECCION
9.4 M´etodo de Jacobi
Soluci´ on. La parte central del programa se puede implementar con las siguientes l´ıneas % % % % % % % % % % % % % % %
JACOBI D=JACOBI(A)
Aplica el metodo de Jacobi a A y devuelve en D los valores propios; A debe ser simetrica
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
[D,Q]= JACOBI(A)
Q es ortogonal con Q’A Q=D
[D,Q,NITER]= JACOBI(A)
NITER Numero de iteraciones calculadas
D=JACOBI(A,NMAX)
NMAX numero maximo de iteraciones
D=JACOBI(A,NMAX)
NMAX numero maximo de iteraciones
D=JACOBI(A,NMAX,EPS)
EPS es el criterio de parada
function [d,Q,m]= jacobi(a,varargin) n=length(a); if nargin>1 & ~isempty(varargin{1}) mmax=varargin{1}; else mmax=n^2; end if nargin>2 & ~isempty(varargin{2}) eps=varargin{2}; else eps=1e-5; end
Q=eye(n); for m=1:mmax d=diag(a); %Calculo del mayor elemento extradiagonal [max1,p]=max(abs(a-diag(d))); [max2,q]=max(max1); p=p(q); if max2<eps*norm(d) return % convergencia end %calculo sen y cos if abs(a(q,q)-a(p,p))<eps c=1/sqrt(2); s=-c*sign(a(p,q)); 182
´ IV LECCION
else theta=(a(q,q)-a(p,p))/(2*a(p,q)); t=sign(theta)/(abs(theta)+sqrt(theta^2+1)); c=1/sqrt(t^2+1); s=c*t; end r=[c s ;-s c]; %La rotacion solo afecta a las filas y col. p y q a([p q],:)=r’*a([p q],:); a(:,[p q])=a(:,[p q])*r; Q(:,[p q])=Q(:,[p q])*r; % guardamos Q
r do rra Bo
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
end disp(’numero maximo de iteraciones sobrepasado’); return
Observa bien las l´ıneas 32-33 que sirven para encontrar la posici´on del m´aximo elemento extradiagonal.
9.4.2.
Variantes del m´ etodo de Jacobi
Aunque el m´etodo de Jacobi ofrece la posibilidad de calcular de forma r´apida todos los valores propios, tiene una convergencia lenta incluso para matrices de tama˜ no moderado. Vamos a introducir algunas mejoras desde el punto de vista computacional, que no matem´atico. Concretamente vamos a realizar una peque˜ na modificaci´on que aunque eleva el n´ umero de iteraciones necesarias para converger (peor desde el punto de vista matem´atico) cada iteraci´on se ejecuta en menos tiempo, de forma que al final se consigue reducir el tiempo de c´alculo (mejora computacional). Para ello vamos a identificar primero d´onde se nos va el tiempo de c´alculo. Con este fin utilizaremos una de las herramientas m´as u ´tiles en Matlab: profile. Comenzamos creando una matriz sim´etrica de tama˜ no moderado: >> a=rand(120); a=a+a’;
y activamos el profile de Matlab con >> profile on
Ahora Matlab va a llevar un control sobre el tiempo que consume cada l´ınea de c´odigo9 . A continuaci´on ejecuta el programa jacobi para a con un n´ umero m´aximo de iteraciones suficientemente alto de forma que asegures convergencia. La instrucci´on >> profile report
despliega un informe donde puedes ver el tiempo que ha consumido cada parte del programa. Se observa claramente que las l´ıneas m´as costosas son aqu´ellas empleadas en la b´ usqueda del m´aximo elemento extradiagonal (observa la Figura 9.1). Es precisamente 183
´ IV LECCION
9.4 M´etodo de Jacobi
r do rra Bo
MATLAB Profile Report: Function Details jacobi
C:/Documents and Settings/Víctor/Escritorio/LibroMatlab/jacobi.m
Time: 14.75100000 s (100.0%) Calls: 1 Self time: 14.75100000 s (100.0%) Function: Time jacobi
Calls Time/call
14.75100000
1 14.75100000
Parent functions: none
Child functions: none
99% of the total time in this function was spent on the following lines: 33: for m=1:mmax
0.07643962 1% 34: 35:
13.37100000 91% 36: 0.26000000 2% 37: 38:
0.07000000 0% 39:
d=diag(a);
%Calculo del mayor elemento extradiagonal [max1,p]=max(abs(a-diag(d))); [max2,q]=max(max1);
p=p(q);
if max2<eps*norm(d)
40:
42:
0.09000000 1% 43:
return % convergencia
%calculo sen y cos
if abs(a(q,q)-a(p,p))<eps
44:
51:
0.10819591 1% 52: 53:
0.31000000 0.12000000 0.17000000 0.05000000
2% 1% 1% 0%
c=1/sqrt(2);
end
r0=[c s ;-s c];
%La rotacion solo afecta a las filas y col. p y q
54: a([p q],:)=r0'*a([p q],:); 55: a(:,[p q])=a(:,[p q])*r0; 56: r(:,[p q])=r(:,[p q])*r0; % guardamos r 57: end
Figura 9.1: Profile aplicado al m´etodo de Jacobi.
184
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
r do rra Bo
en estas l´ıneas donde debemos proponer nuestra mejora, reemplazando la b´ usqueda por alg´ un proceso m´as econ´omico. La variante que proponemos es la siguiente: recorreremos uno por uno todos los elementos situados debajo de la diagonal (como la matriz es sim´etrica esto es suficiente). Si el tama˜ no de un elemento es peque˜ no, no hacemos nada y pasamos al siguiente. Si es grande, se procede anularlo. Para dilucidar si es grande o peque˜ no comparar´ıamos con el tama˜ no de la diagonal de forma semejante a como se hace en el programa original (l´ınea 09). Una vez recorridos todos los elementos, esto es, una vez realizado un barrido en la terminolog´ıa habitual, volvemos a empezar. Cada cierto n´ umero de iteraciones, por ejemplo tras cada barrido, podemos medir el tama˜ no de los elementos extradiagonales que quedan para ver si se da por finalizada la ejecuci´on del programa. Si comprobamos que hay todav´ıa elementos diagonales muy grandes, empezamos de nuevo.
Ejercicio 9.9 Implementa la modificaci´on sugerida en el p´arrafo de arriba. Ejecuta el profile de Matlab y compara tiempos de ejecuci´on con el programa original. ¿Qu´e observas?. F´ıjate tambi´en en el n´umero de iteraciones que necesita para converger. ¿Qu´e te parece?. Nota. La instrucci´on profile es muy u ´til a la hora de depurar c´odigo dado que permite controlar qu´e partes del programa vale la pena optimizar y cu´ales no. La instrucci´on tiene varios argumentos opcionales y comandos relacionados que puedes consultar en la ayuda. Los comandos tic y toc son m´as simples pero proporcionan menos informaci´on. El primero activa el reloj y el segundo nos informa sobre el tiempo trascurrido desde que se ejecut´o tic.
9.5.
M´ etodo QR de Francis
El m´etodo QR y sus variantes son sin lugar a dudas la elecci´on m´as apropiada para el c´alculo de todos los valores propios de una matriz llena. El m´etodo es muy f´acil de entender y sencillo de implementar. Sin embargo, es dif´ıcil de comprender por qu´e funciona (el an´alisis no es nada trivial). Ya hemos visto descomposiciones matriciales del tipo A = LU con L (permutaci´on de) triangular inferior con 1s en la diagonal y U triangular superior. Una descomposici´on alternativa es A = QR
con Q ortogonal (Q> = Q−1 ) y R triangular superior. Esta descomposici´on siempre existe y puede ser calculada de varias formas distintas. El m´etodo QR de Francis consiste en grosso modo construir una sucesi´on de matrices Am (A0 = A) procediendo como sigue Am = Qm Rm
(factorizar)
Am+1 := Rm+1 Qm+1
(construir)
Para una matriz sim´etrica el algoritmo converge pr´acticamente en todos los casos a una matriz diagonal con los valores propios. M´as adelante detallaremos el algoritmo y c´omo se 9
Tener activada esta opci´ on resta algo de velocidad a los programas puesto que parte de Matlab est´a ocupada en autorevisarse. Con profile off desconectas este control.
185
´ IV LECCION
9.5 M´etodo QR de Francis
puede mejorar su implementaci´on. En cualquier caso queda claro que antes de entrar en materia debemos hablar con algo de profundidad de la descomposici´on QR de una matriz. Ejercicio 9.10 Probar que todas las matrices Am son semejantes y por tanto comparten los mismos valores propios.
r do rra Bo 9.5.1.
Factorizaci´ on QR
Quiz´as la forma m´as sencilla de calcular la descomposici´on es aqu´ella ligada al algo´ ritmo de Gram-Schmidt. Este algoritmo, uno de los cl´asicos en Algebra Lineal, se utiliza para hallar una base ortogonal de un subespacio partir de una base (o sistema generador) dada. Las operaciones, una vez reescritas adecuadamente se pueden expresar de la forma A = QR
donde las columnas de A son los vectores originales, las colunas de Q son los vectores ortonormales que generan el mismo subespacio que los vectores columna de A y R es una matriz triangular superior que indica c´omo se transforma la base original en la nueva base ortonormal. La descomposici´on tiene sentido para matrices rectangulares y en este caso las dimensiones de A y Q coinciden (si A, es m × n, tambi´en lo es Q y R es n × n). Este algoritmo es, sin embargo, muy inestable num´ericamente y rara vez se utiliza en la pr´actica10 . Existen caminos distintos que nos conducen a la descomposici´on QR. Los dos m´etodos m´as utilizados se basan en transformar la matriz original en una triangular superior multiplicando a izquierda por matrices ortogonales, ya sean rotaciones como las que aparecen en el algoritmo de Jacobi (matrices de Givens), o matrices (reflexiones) de Householder. Factorizaci´ on QR con Matrices de Householder Una matriz de Householder viene dada por Q = I − 2 u u> ,
con kuk2 =1,
donde u es un vector columna n × 1 e I es la matriz identidad de tama˜ no n. Observa que > efectivamente es una matriz, ya que u u es n × n. Es muy sencillo comprobar que es sim´etrica (Q> = Q) y que Q> Q = I, y por tanto Q−1 = Q. La factorizaci´on QR mediante transformaciones de Householder se basa en la siguiente propiedad Proposici´ on 9.4 Dado un vector columna x, si tomamos α = ±kxk2 y definimos x − α e1 u := , donde e1 = (1, 0, . . . , 0)> , kx − α e1 k2 Q := I − 2 u u> ,
entonces
Qx = (α, 0, . . . , 0)> .
10
Existe el algoritmo de Gram-Schmit modificado que dota de algo m´as de estabilidad al m´etodo original.
186
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
Generalmente se suele escoger α con el signo opuesto al de la primera componente de x para que kuk2 no sea demasiado peque˜ na. Para obtener una descomposici´on A = QR podemos proceder del siguiente modo:
r do rra Bo
1. Construimos la matriz de Householder Q1 como en la proposici´on anterior tomando como vector x la primera columna de A. Entonces α1 ∗ . . . ∗ (9.3) Q1 A = 0. .. A2 0 2. Repetimos el proceso con la matriz A2 que es (n − 1) × (n − 1) para construir la matriz de Householder Q∗2 tal que α2 ∗ . . . ∗ 0 ∗ Q2 A2 = . (9.4) . .. A3 0 Ahora basta considerar
Q2 =
1 0 ... 0
0 .. . 0
Q∗2
(9.5)
que cumple
α1 ∗ ∗ . . . ∗ 0 α ∗ ... ∗ 2 Q2 Q1 A = 0 0 . . .. .. A3 0 0
3. En el k–´esimo paso se construyen las matrices Q∗k y Qk : αk ∗ . . . ∗ " # I k−1 Qk := Q∗k Ak = 0. , , .. Q∗k Ak+1 0 donde Ik−1 es la matriz identidad de tama˜ no k − 1.
Despu´es de n − 1 pasos obtenemos la descomposici´on Qn−1 · · · Q1 A = R,
con R triangular superior.
−1 Definiendo Q := Q1 · · · Qn−1 , tenemos que Q−1 = Q−1 n−1 · · · Q1 = Qn−1 · · · Q1 . Por tanto,
A = QR
con Q ortogonal y R triangular superior.
Ejercicio 9.11 Implementa la descomposici´on QR con matrices de Householder 187
´ IV LECCION
9.5 M´etodo QR de Francis Soluci´ on. He aqu´ı una implementaci´on del m´etodo
% [Q,R]=QRHOUSEHOLDER(A) Calcula Q ortogonal y R triangular % superior tales que A=QR. % % El algoritmo esta basado en las matrices de Householder % function [q,r]=QRhouseholder(a)
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n=length(a) q=eye(n); r=a; for k=1:n u=r(k:n,k); %primera columna alpha=-sign(u(1))*norm(u); u=u-alpha*[1;zeros(length(u)-1,1)]; u=u/norm(u); qhouse=eye(length(u))-2*u*u’; r(k:n,k:n)=qhouse*r(k:n,k:n); q(:,k:n)=r(:,k:n)*qhouse; end return
Observa la manipulaci´on simple de los bloques de a, q y r.
Ejercicio 9.12 Adapta el programa para calcular la factorizaci´on QR de matrices rectangulares, es decir, matrices generales de m filas y n columnas.
(Ayuda: el for de la l´ınea 11 es ahora for k=1:min([m,n]). El resto de cambios son inmediatos sin m´as que tener en cuenta los tama˜ nos de las matrices implicadas.)
Si Q = I − 2 u u> es n × n y B n × m, entonces el producto QB puede calcularse como QB = (I − 2 u u> )B = B − 2u(u> B).
(9.6)
Es decir, en ning´ un momento se requiere construir la matriz Q y u ´nicamente necesitamos realizar dos productos matriz-vector. El n´ umero de operaciones del producto QB es ahora nm mientras que en la implementaci´on inicial el costo era n2 m. De forma an´aloga se puede calcular el producto BQ con B m × n tambi´en en mn operaciones. Ejercicio 9.13 Implementa la factorizaci´on QR utilizando las indicaciones previas. Compara con alg´un ejemplo la reducci´on del tiempo de c´alculo. Factorizaci´ on QR con matrices de Givens
La factorizaci´on QR de una matriz se puede obtener tambi´en utilizando matrices de rotaci´on, es decir, matrices de la forma (9.2). Esta alternativa es especialmente interesante si la matriz tiene sus elementos no nulos concentrados entorno a la diagonal. Para matrices 188
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
llenas el tiempo de c´alculo es pr´acticamente el doble comparado con el requerido al utilizar matrices de Householder. Es muy f´acil comprobar que para crear un cero en la posici´on (p, q) al multiplicarla a izquierda por una matriz de Givens Rp,q (α) basta elegir α de modo que −apq . a2qq + a2pq
aqq , cos α = p 2 aqq + a2pq
r do rra Bo
sin α = p
Notemos que las matrices Rpq (α)A y A s´olo difieren en las filas p y q. El m´etodo consistir´a entonces en ir transformado la matriz original (de tama˜ no n) en una matriz triangular superior del siguiente modo: en primer lugar se hacen ceros en las posiciones de la primera columna por debajo del elemento de la diagonal multiplicando por n − 1 matrices como (9.2), de modo que ∗ ∗ ... ∗ 0 ∗ ... ∗ A1 := R1n (α1n ) . . . R13 (α13 )R12 (α12 ) A = .. .. .. . {z } | . . . Q1 0 ∗ ... ∗
Obviamente Q1 es una matriz ortogonal por ser producto de matrices ortogonales. En el siguiente paso haremos ceros en la segunda columna por debajo de la diagonal y as´ı sucesivamente. F´ıjate que los elementos nulos de las columnas anteriores se preservan en los sucesivos pasos. Ejercicio 9.14 Implementa la factorizaci´on QR utilizando matrices de Givens. Soluci´ on. Podemos definir la siguiente funci´on: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
% QRGIVENS % % [Q,R]=QRGIVENS(A) Calcula Q ortogonal y R triangular % superior cumpliendo A=QR % % Utiliza el algoritmo basado en matrices de Givens %
function [q,r]=QRGivens(a) n=length(a); q=eye(n);
for j=1:n-1 for i=j+1:n if a(i,j)~=0 aux=sqrt(a(j,j)^2+a(i,j)^2); c=a(j,j)/aux; 189
´ IV LECCION
9.5 M´etodo QR de Francis s=-a(i,j)/aux; Rot=[c s; -s c]; %solo cambian las filas i y j a([i j],:)=Rot*a([i j],:); q([i j],:)=Rot*q([i j],:); end
r do rra Bo
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
end end q=q’; r=a; return
Ejercicio 9.15 Adapta el m´etodo para trabajar con matrices rectangulares.
Ejercicio 9.16 Compara el tiempo de c´alculo requerido al utilizar matrices de Householder y de Givens, con matrices llenas y matrices tridiagonales. (Ayuda: Recuerda los comandos tic y toc.)
Factorizaci´ on QR con Matlab
En Matlab podemos obtener una factorizaci´on QR mediante el comando qr. Por ejemplo, >> a=rand(4); >> [q,r]=qr(a) q =
-0.3685 -0.7715 -0.3858 -0.3466
0.7147 -0.4099 -0.2967 0.4829
-0.2407 0.4388 -0.8391 0.2131
-0.5436 -0.2102 0.2429 0.7754
-1.0282 0.6539 0 0
-0.7184 0.5720 -0.6839 0
-1.1168 0.3849 -0.4834 -0.0530
r =
-1.2078 0 0 0
La matriz a no tiene por qu´e ser cuadrada: >> a=rand(3,2); >> [q2,r2]=qr(a)
190
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
q2 = -0.6815 -0.6680 -0.2989
0.6346 -0.7428 0.2132
-0.3644 -0.0444 0.9302
r do rra Bo r2 =
-1.3726 0 0
-0.7532 0.5993 0
Comentarios sobre la descomposici´ on QR
Si A es m × n, y Q, R es la descomposici´on dada por Householder o Givens11 , tomando (con notaci´on de Matlab) Q1 = Q(:, 1 : m),
R1 = R(1 : m, :),
entonces R1 es cuadrada, Q1 tiene las columnas ortonormales y A = Q1 R1 . La factorizaci´on QR se puede utilizar para resolver sistemas lineales compatibles indeterminados mediante la aproximaci´on por m´ınimos cuadrados. Espec´ıficamente, se trata de asignar como soluci´on de Ax = b la dada por A> Ax = A> b.
Este sistema de ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones normales. Se prueba entonces que, bajo la hip´otesis de que las columnas de A sean linealmente independientes, la soluci´on anterior cumple kb − Axk2 < kb − Azk2 ,
∀z ∈ Rn .
Esto es, minimiza el residuo. En la pr´actica no se construyen las ecuaciones normales, sino que utilizando la descomposici´on QR, el problema se reduce a R1> Q> Q R x = R1> Q> 1 b, | 1{z }1 1 I
⇔
R1> R1 x = R1> Q> 1 b,
⇔
R1 x = Q> 1 b.
Recuerda que R1 es triangular y que por tanto, la resoluci´on del u ´ltimo sistema es trivial. En particular este m´etodo puede aplicarse a un sistema compatible determinado y resolver as´ı sistemas de ecuaciones lineales. El m´etodo resultante es m´as caro que el m´etodo de Gauss, ya que realiza el doble n´ umero de operaciones, pero tiene una ventaja muy importante: es estable num´ericamente y no hace falta realizar ninguna estrategia de pivotaje12 . 11
Ya hemos indicado en los Ejercicios 9.12 y 9.15 que estos m´etodos pueden aplicarse a matrices rectangulares generales. 12 La raz´on de esta estabilidad se puede vislumbrar intuitivamente: como Q es ortogonal, todas las entradas est´an entre 0 y 1.
191
´ IV LECCION
9.5 M´etodo QR de Francis
r do rra Bo
Otra aplicaci´on de la factorizaci´on QR es el c´alculo del rango de una matriz. Concretamente, el rango de A coincide con el n´ umero de filas de R distintas de cero. Asumiendo que estamos trabajando con un rango num´erico, examinaremos cu´antas filas son claramente distintas de cero. Esto merece un comentario: casi cualquier perturbaci´on de una matriz que no tenga rango m´aximo da una matriz que si lo tiene. Por esto, num´ericamente, las matrices tienen (casi) siempre rango m´aximo. Sin embargo, el hecho de estar muy cerca de una matriz que no tenga rango m´aximo tiene consecuencia perniciosas en muchas aplicaciones num´ericas. Ejercicio 9.17 Implementa la resoluci´on de sistemas lineales por m´ınimos cuadrados. Ejercicio 9.18 Introduce la siguiente matriz en Matlab 11 13 A= 22π 26π
Calcula el determinante en Matlab y deduce cu´al es su rango. Calcula la descomposici´on QR. ¿Qu´e rango le asignar´ıas a A?.
9.5.2.
M´ etodo QR de Francis
Retomamos el m´etodo QR de Francis para matrices sim´etricas. El algoritmo es simplemente el siguiente: M´ etodo QR de Francis
A = A1 matriz inicial for k=1:mmax Descomponer Ak = Qk Rk Calcular Ak+1 := Rk Qk Dk+1 =diag(Ak+1 ) n n−1 X n X X (k+1) 2 (k+1) |aii |2 ) if ( |aij | < eps j=1 i=j+1
i=1
return
end
end
El algoritmo finaliza cuando el tama˜ no de los elementos por debajo de la diagonal principal es peque˜ no respecto de los elementos diagonales, es decir, cuando consideramos que la matriz es pr´acticamente triangular. Para matrices sim´etricas, que es el caso que de momento nos ocupa, el m´etodo converge salvo en situaciones algo extra˜ nas a una matriz diagonal con los valores propios. Un hecho sorprendente es que adem´as los valores propios aparecen ordenados en la diagonal de mayor a menor m´odulo. 192
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
Ejercicio 9.19 ¿Qu´e modificaci´on har´ıas del algoritmo anterior para que tambi´en devolviera los vectores propios?. Ejercicio 9.20 Implementa el algoritmo QR de Francis utilizando cualquiera de las descomposiciones QR vistas.
r do rra Bo
Ayuda: ¿Qu´e calculamos mediante las ´ordenes tril(a,-1) y norm(a,’fro’)?
Si A no es sim´etrica pero es diagonalizable, el m´etodo converge, tambi´en bajo condiciones muy generales a una matriz quasitriangular, es decir, a una matriz de la forma D1 . . . . . . . . . . . . D2 . . . . . . . . T = , donde Dj es 1 × 1 o 2 × 2. . . .. .. Dm
Los valores propios de A son exactamente los valores propios de estos bloques 2 × 2. De hecho cada par de valores propios complejos conjugados genera un bloque Dj de orden 2. En particular, si la matriz tiene u ´nicamente valores propios reales, la matriz T es triangular. Si trabajamos con aritm´etica compleja entonces la matriz T es triangular ´ superior. Este es el conocido Teorema de Schur. Ejercicio 9.21 Adapta el m´etodo QR a matrices no sim´etricas. Observa que deber´as cambiar el criterio de parada. Ejercicio 9.22 Aplica el m´etodo QR a distintas matrices (sim´etricas, no sim´etricas, con todos los valores propios reales o con alguno complejo) para observar c´omo es la matriz l´ımite resultante en cada caso.
Nota. La descomposici´on de Schur, tanto real como compleja, se puede calcular en Matlab con schur.
9.5.3.
Comentarios adicionales
T´ ecnicas de aceleraci´ on
Una matriz es de Hessenberg si tiene la forma ∗ ... ... ∗ . H= 0 .. . . .. . . . . . 0 ...
0
∗
∗ .. . , .. . ∗
es decir, si todos los elementos por debajo de la subdiagonal principal son nulos. Toda matriz se puede llevar a forma de Hessemberg mediante producto a izquierda y derecha por matrices ortogonales. Si adem´as la matriz original es sim´etrica, la matriz de Hessenberg correspondiente es de hecho tridiagonal sim´etrica. 193
´ IV LECCION
9.5 M´etodo QR de Francis
r do rra Bo
Trabajar sobre una matriz de Hessemberg tiene importantes ventajas. En primer lugar, la factorizaci´on QR es mucho m´as econ´omica: si utilizamos matrices de Givens u ´nicamente debemos preocuparnos de cancelar los elementos situados en la subdiagonal inferior. Es m´as, si H es Hessemberg (respectivamente tridiagonal sim´etrica), y H = QR, entonces la matriz RQ es de nuevo de Hessemberg (respectivamente tridiagonal sim´etrica). En el caso de matrices tridiagonales hay claramente una reducci´on en las necesidades de memoria del m´etodo pues s´olo requerimos guardar tres diagonales de la matriz durante todo el proceso. El m´etodo QR no se programa en la pr´actica tal como lo hemos presentado. Se recurre a dos tipos de estrategias que aceleran enormemente la velocidad de convergencia. La primera es la traslaci´ on. Utilizando la notaci´on de la Secci´on 9.5.2, se tratar´ıa de en lugar de factorizar la matriz Am , descomponer Am − αm I = Qm Rm ,
para posteriormente definir
Am+1 := αm I + Rm Qm .
Es trivial comprobar que Am y Am+1 son semejantes, por lo que tendr´an los mismos valores propios. Una elecci´on adecuada de αm consigue acelerar la convergencia en zonas determinadas de la matriz. Por ejemplo, si A sim´etrica se puede conseguir que en pocas iteraciones Bn−1 0 Am → . 0 λn
En este caso, λn es un valor propio, se guarda en memoria y se empieza a trabajar con Bn−1 que es de orden n − 1. Este tipo de t´ecnica se denomina deflacci´ on. Existen algoritmos que permiten seguir la pista a los vectores propios, relacionando los vectores propios de Am con los de Bn−1 . Ap´ endice: reducci´ on a la forma de Hessenberg
Disponemos ya de las herramientas necesarias para implementar la reducci´on a forma de Hessenberg de una matriz. Para ello, consideremos la siguiente partici´on de A
α
b>
A=
c
A1
,
donde b y c son vectores columna de n − 1 componentes y A1 es (n − 1) × (n − 1). Tomemos H1 una matriz de Householder n − 1 × n − 1, que especificaremos m´as adelante, y construyamos 1 0 . H := 0 H1 194
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
Entonces HAH =
β
b> H 1
H1 c
H 1 A1 H 1
.
r do rra Bo
Si H1 se toma ahora de forma que H1 c = αe1 , se consigue cancelar todos los elementos de la primera columna situados por debajo de la subdiagonal inferior. Es m´as, si A es sim´etrica, b = c y por tanto en la primera fila de HAH s´olo los dos primeros elementos son no nulos. A continuaci´on se procede a trabajar con la matriz H1 A1 H1 de forma similar a como se hizo en la Secci´on 9.5.1.
Nota. En Matlab la funci´on hess reduce una matriz a forma de Hessenberg. Puede utilizarse de las siguientes maneras: >>H=hess(A); %H es una matriz de Hessenberg semejante a A >>[P,H] = hess(A); %Ademas P ortogonal tal que A = P*H*P’
9.6.
Valores y vectores propios en Matlab
Para determinar todos los valores y vectores propios de una matriz podemos utilizar el comando eig. Esta funci´on es de hecho una compilaci´on de funciones que se aplican dependiendo de la forma de la matriz. Este comando tambi´en sirve para resolver el problema de valores propios generalizados: dadas dos matrices cuadradas A y B encontrar escalares λ y vectores v 6= 0 tales que Av = λBv.
En ocasiones requerimos unos pocos valores propios. El comando eigs, proporciona los valores propios m´as relevantes, siendo el propio usuario el que especifique si ´estos son los mayores o menores en valor absoluto, los de mayor o menor parte real,etc. La ayuda de Matlab es bastante extensa y desde aqu´ı animamos a su consulta. Como detalle curioso este comando se puede llamar de forma que uno de los argumentos sea una funci´on que devuelva el producto por la matriz. Es decir, s´olo necesita saber multiplicar por la matriz y por tanto no es necesario disponer de ella13 . El uso de este comando es indispensable en matrices sparse no sim´etricas dado que, a´ un reduci´endola a forma de Hessenberg, las 14 necesidades de memoria son gigantescas . Para este tipo de problemas se utilizan otros tipos de m´etodos no relacionados con QR. Asociado al c´alculo de valores propios, se encuentra el c´alculo de los valores singulares, esto es, buscar P y Q ortogonales de forma que P > AQ = D,
13
Puede resultar extra˜ no, pero en muchas aplicaciones pr´acticas es m´as f´acil hallar el producto de un vector por la matriz que construirla expl´ıcitamente. 14 La descomposici´ on QR destroza la estructura sparse de una matriz.
195
´ IV LECCION
9.7 Notas hist´oricas
donde D es una matriz diagonal con elementos no negativos. Las entradas de D son los valores singulares, mientras que las columnas de P y Q contienen los vectores singulares asociados. Esta descomposici´on existe a´ un cuando A es rectangular. El comando que calcula esta descomposici´on en Matlab es svd. El algoritmo m´as utilizado para este problema es una variante del m´etodo QR conocido como Algoritmo de Golub-Kaham.
r do rra Bo 9.7.
Notas hist´ oricas15
El problema del c´alculo num´erico de los valores propios de una matriz puede remontarse a los trabajos de Carl Jacobi quien utiliz´o el m´etodo del mismo nombre en 1846. No existe un origen claro del m´etodo de potencias, sino que parece haber surgido de forma simult´anea en diversos ambientes. El m´etodo de la potencia desplazada fue introducido por Helmut Wielandt en 1944, quien sugiri´o tambi´en algunas t´ecnicas de deflacci´on para, combinadas con el m´etodo de potencias, obtener varios valores propios de la matriz. En 1958, Heinz Rutishause propuso un precursor del m´etodo QR, el m´etodo LU. El m´etodo descompon´ıa la matriz en la forma LU , para posteriormente construir U L. Se trataba de aplicar de forma simult´anea el m´etodo de potencias y para evitar que todas las direcciones degeneran hacia la direcci´on dominante, se hac´ıa una descomposici´on LU que aseguraba la independencia de los vectores. Desgraciadamente, el m´etodo era inestable num´ericamente salvo para algunos casos particulares. J. G. F. Francis y V. N. Kublanovskaya propusieron independientemente en 1961 reemplazar la descomposici´on LU por la QR dando origen al m´etodo que hemos visto. El trabajo de Francis era m´as completo y suger´ıa ya de hecho la reducci´on a forma de Hessenberg, la deflaci´on y estrategias de desplazamiento. El c´alculo estable de la descomposici´on QR tuvo que esperar a los a˜ nos 1950, cuando Wallace Givens y Alstom S. Householder propusieron sus m´etodos en 1954 y 1958 respectivamente. Householder tambi´en en 1958 y Wilkinson en 1960 estudiaron los aspectos num´ericos de la reducci´on de una matriz a su forma de Hessenberg.
9.8.
Google16
Google17 ha pasado a ser en su corta vida uno de los referentes mundiales de Internet. Su sistema de b´ usqueda de p´aginas en la red ofrece en general unos resultados bastante precisos. Una de las claves de su sistema es su m´etodo de evaluaci´on de las p´aginas, denominado Pageranktm . Este sistema eval´ ua las p´aginas web seg´ un el n´ umero de enlaces que permiten llegar a ella. 15
Las fuentes de esta secci´ on se han obtenido principalmente del art´ıculo Eigenvalue computation in the 20th Century (Gene H. Golub y Henk A. van der Vorst, publicado en Journal of Computational and Applied Mathematics 123 y Matrix Algorithms Volume II: Eigensystems, de G.W. Stewart. 16 Este cap´ıtulo se ha extra´ıdo esencialmente del libro Numerical Computing de Cleve Moler, disponible en http://www.mathworks.com/moler/ 17 Por si alg´ un despistado todav´ıa no conoce su direcci´on electr´onica, vis´ıtese http://www.google.es, http://www.google.com y muchos m´ as...
196
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
r do rra Bo Figura 9.2: Una web muy sencilla.
Concretamente, la cuesti´on sobre la que se basa este sistema de evaluaci´on es la que sigue: Si una persona navega de forma continuada durante un largo periodo de tiempo, ¿c´ ual es la probabilidad de que llegue a una p´ agina web determinada?
Esta probabilidad es la que se utiliza para evaluar las p´aginas. A priori hay dos formas de llegar a una p´agina: i) a trav´es de un enlace desde otra p´agina (probabilidad p),
ii) directamente (probabilidad (1 − p)).
Un valor habitual es p = 0.85. En la figura 9.2 vemos un (muy) simple ejemplo de una web representada como un grafo dirigido. Una flecha de i a j indica que la p´agina i tiene un enlace (un link) a la p´agina j. En este ejemplo n = 6 es el n´ umero de p´aginas que cuenta con 9 enlaces. Este grafo se puede representar matem´aticamente mediante la matriz 6 × 6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 G = (gij ) = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 donde
gij = 1,
si llegamos a i desde j.
De forma natural G es sparse, puesto que con n p´aginas uno puede esperar que el n´ umero de enlaces sea del orden de O(n) (esto es, proporcional al n´ umero de p´aginas) y no del orden O(n2 ) que se corresponder´ıa con una matriz llena. Sea cj =
n X
gij
(n´ umero de enlaces que salen de j).
i=1
197
´ IV LECCION
9.8 Google Entonces la probabilidad de llegar a i si estamos en j es gij cj |{z}
p
1−p n } | {z
+
Siguiendo un enlace desde j
Tecleando la direcci´on
r do rra Bo Esta informaci´on se puede recoger en la matriz A de tama˜ no n × n cuyas componentes vienen dadas por gij 1 − p aij = p + . cj n
Esta matriz no es sparse, pero se puede escribir
e + 1 − p en e> pG n n
donde geij = gij /cj y en es la matriz columna 1 × n en =
1 1 ··· 1
>
.
De esta forma se puede almacenar la matriz A sin necesidad de requerir grandes cantidades de memoria. Es m´as, el producto por cualquier vector se puede calcular con e + 1 − p en e> x = p G Ax = p Gx n n
x./c |{z}
+
1−p n
Div. elem. a elem.
(en · x) | {z }
en .
Prod. escalar
(0)
Si denotamos por xj la probabilidad de estar en la p´agina web j en un instante inicial, entonces la probabilidad de llegar a la p´agina web i en el paso primero es n X
(0)
(1)
aij xj =: xi
j=1
y por tanto
(1)
x1 (1) x2 ··· (1) xn
(0) x1 a11 a12 · · · a1n (0) a21 a22 · · · a2n x2 = .................. ··· (0) an1 an2 · · · ann xn
= Ax0 .
De esta forma, denotando por
(m)
(m)
> xm = (x1 , x2 , . . . , x(m) n )
a las probabilidades de estar en una p´agina web determinada en el paso m, obtenemos la relaci´on xm+1 = Axm . La idea es hacer evolucionar el sistema hasta que se estabilice. 198
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
Proposici´ on 9.5 Existe un u´nico x de componentes no negativas tal que x = Ax,
>
x en =
n X
xi = 1.
i=1
r do rra Bo
Adem´as, comenzando con x0 cuyas componentes sean positivas y sumen uno, x = l´ım xm . m
El resultado dice, en palabras llanas, que la probabilidad de que estemos en una p´agina web (esto es, x), despu´es de navegar una cantidad suficiente de tiempo18 es independiente de c´omo hemos empezado (es decir, de x0 ). Matem´aticamente hablando, dice que existe un u ´nico vector propio asociado al valor propio 1 de componentes positivas con kxk1 = 1 y que adem´as la sucesi´on xm converge a x independientemente del vector inicial escogido. Observa que la sucesi´on de vectores xm son el resultado de aplicar el m´etodo de potencias a la matriz A (sin normalizar respecto de k · k2 ) y que por su forma particular19 siempre que se parta de un vector inicial cumpliendo los requisitos de la proposici´on tendremos que xm ≥ 0 y kxm k1 = 1. Aqu´ı vemos una forma completamente directa de programar este c´alculo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
% % % % % %
PAGERANK(G)
PAGERANK(G) Calcula el indice de impacto de una WEB dada por el grafo G El grafo tiene que ser conexo, es decir, no puede haber nodos separados del resto
function y=pagerank(g)
p=0.85; % probabilidad de llegar a traves de un enlace eps=0.0001; % criterio de parada nmax=1000; % numero maximo de iteraciones n=length(g); x=1/n*ones(n,1); % vector inicial for j=1:nmax y=producto(g,x,p); if norm(x-y)<eps disp(’convergencia’) return end x=y; x=x/sum(x); end
18
Ciertamente, podr´ıamos tener que dedicar muchas horas... La matriz A cumple que todas sus entradas son positivas y que la suma de los elementos de cada fila es 1. Una matriz de esta forma se denomina matriz de Markov. Te´oricamente se sabe que el valor propio dominante de estas matrices es siempre 1. 19
199
´ IV LECCION
9.8 Google disp(’Convergencia no alcanzada’) return % Y= PRODUCTO(G,X,P) % calcula el producto a*x % notese que la matriz no llega a construirse
r do rra Bo
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
function y=producto(g,x,p) c=sum(g); c=c(:); x=x(:); n=length(x); en=ones(n,1); y=p*g*(x./c)+(1-p)/n*en*(en’*x); return
Nota. Aplicando la funci´on pagerank al ejemplo de la Figura 9.2, obtenemos este resultado x = [0.1370 0.2806 0.2636 0.1370 0.1181 0.0638]> Por orden de preferencia nos encontramos los nodos 2,
3,
1 y 4,
5,
6.
A pesar de que el nodo 3 s´olo se enlaza a trav´es del 2, la importancia de este nodo influye en su buena puntuaci´on. En problemas reales, las matrices son enormes, en Febrero de 2006 google hab´ıa catalogado 9.680.000.000 p´aginas20 . Despu´es de la evaluaci´on hay que hacer un filtrado de acuerdo a las palabras clave con las que se hace la b´ usqueda. Es posible hacer subir la evaluaci´on de una p´agina mediante la creaci´on de p´aginas web que se enlacen entre ellas y especialmente sobre una. Este tipo de t´ecnicas, denominada google bombing ha sido utilizado reiteradas veces por objetivos de diversa naturaleza, econ´omicos, pol´ıticos, de protesta.... Los algoritmos del buscador tratan de detectar este tipo de trampas y reconstruir la evaluaci´on para que sea m´as imparcial. Nota hist´ orica
Google fue fundado en 1995 por Sergey Brin y y Larry Page, el primero ingeniero el´ectrico y el segundo licenciado en matem´aticas y que contaban entonces con 23 y 24 a˜ nos. El nombre proviene del n´ umero 10100 que, aunque no oficialmente, se llama Googol21 El ambiente desenfadado y el origen matem´atico del buscador tuvo un curioso reflejo en la primera oferta p´ ublica de acciones que tuvo lugar a principios del 2004. Brin y Page sacaron al mercado una participaci´on de la compa˜ n´ıa cuyo valor era 2.718.281.828$, el n´ umero e con 10 cifras decimales22 . 20
Basta hacer la b´ usqueda de una palabra inexistente precedida de un “-” para obtener el n´ umero de p´aginas catalogadas. 21 As´ı lo denomino el matem´ atico Edward Kasner. En ingl´es existe la palabra goggles que son unas gafas de nataci´on (?). 22 Muy pocos se dieron cuenta de este “gui˜ no”. Se hizo de nuevo palpable la escasa cultura cient´ıfica
200
´ IV LECCION
Cap´ıtulo 9. C´alculo num´erico de valores y vectores propios.
r do rra Bo en general y matem´ atica en particular del mundo period´ıstico.
201
´ IV LECCION
9.8 Google
r do rra Bo 202
r do rra Bo Lecci´on V
Salidas gr´aficas en Matlab. Interpolaci´on
203
r do rra Bo
r do rra Bo
Introducci´ on
...but it had no pictures or conversations in it, “and what is the use of a book,” thought Alice “without pictures or conversation?” Lewis Carroll, Alice in Wonderland
Trataremos en este proyecto uno de los aspectos m´as potentes de Matlab: las salidas gr´aficas. Ciertamente exponer con cierto detalle todo lo relacionado con este campo es una tarea ardua y extensa. Sin embargo, y ´este es nuestro objetivo, s´ı es asumible alcanzar un conocimiento base de forma que sea el usuario quien, con la ayuda de Matlab o con manuales espec´ıficos, profundice en los aspectos puntuales que necesite. En la segunda parte estudiaremos el problema de la interpolaci´on polin´omica como una buena piedra de toque para testar las salidas gr´aficas. Como aspectos relacionados hablaremos someramente de la interpolaci´on por splines y las curvas B´ezier, que nos ofrecen un ejemplo muy sencillo de las Matem´aticas aplicadas al dise˜ no gr´afico.
205
r do rra Bo
r do rra Bo
Cap´ıtulo 10
Matlab: Salidas gr´ aficas en Matlab 10.1.
Dibujos bidimensionales
10.1.1.
El comando plot
Ya hemos observado que los comandos de Matlab cuentan con varios niveles de manipulaci´on. Los niveles iniciales son b´asicos y por tanto f´aciles de utilizar. El acceso a niveles finos exige trabajar con argumentos nuevos, m´as instrucciones y el manejo de una sintaxis m´as complicada. Esta caracter´ıstica se destaca m´as, si cabe, en los comandos relacionados con las salidas gr´aficas. Es por ello que, empezando por la instrucci´on plot, recorreremos los diferentes niveles de forma gradual. No trataremos el nivel superior, que conlleva un control absoluto del dibujo, dado que requerir´ıa una exposici´on demasiada larga. Lo que aqu´ı expondremos es suficiente en un 99 % de los casos, y en u ´ltima medida, se puede acceder a todos los aspectos de un dibujo desde la ventana gr´afica a golpe de rat´on. Primer nivel
El primer comando que trataremos es plot. Es una instrucci´on muy vers´atil y la m´as indicada para dibujar gr´aficas de funciones y curvas en el plano. Su sintaxis b´asica es >> plot(x,y)
que dibuja el vector y versus el vector x. M´as en concreto une los puntos (x(i), y(i)) mediante segmentos. Tomando un n´ umero suficientemente elevado de puntos trazamos con ello una gr´afica suave, sin esquinas visibles. Al ejecutar este comando se abre una ventana, figure en el vocabulario de Matlab, donde se traza la correspondiente figura. Si y es real, plot(y) toma x=1:n donde n es la longitud de y. Si, por otro lado, y es un vector de n´ umeros complejos, dibuja la parte imaginaria versus la parte real. Es decir, es equivalente a plot(real(y),imag(y)). Ejercicio 10.1 ¿Qu´e hacen las siguientes l´ıneas de c´odigo? >> clear i >> t=linspace(0,2*pi,9); >> plot(exp(i*t)); 207
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
r do rra Bo Figura 10.1: Ventana gr´afica.
¿Te parece natural? ¿Qu´e observas con la escala? ¿Qu´e sucede si se ejecuta axis equal?. ¿Como dibujar´ıas una circunferencia?. Segundo nivel
El comando adem´as acepta una serie de argumentos que, entre otras cosas, permiten controlar el color, el tipo de marcas sobre los puntos (x(i), y(i)) y el formato de las l´ıneas que los unen. As´ı, en su aspecto m´as general, plot(x,y,S)
dibuja y versus x, con S una cadena de caracteres que se construye con1 b g r c m y k
1
azul verde rojo cian magenta amarillo negro
. o x + * s d v ^
punto circulo : equis -. cruz -estrella cuadrado diamante triangulo (hacia abajo) triangulo (arriba)
Traducido directamente de la ayuda de Matlab.
208
linea ’solida’ punteado punto-linea linea-linea
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab < > p h
triangulo (izquierda) triangulo (derecha) estrella pentagonal estrella hexagonal
r do rra Bo
La primera columna especifica el color utilizado, la segunda la marca sobre cada punto y la tercera el patr´on que siguen las l´ıneas utilizadas para unir los puntos. Por ejemplo el siguiente fichero script x=linspace(0,4,100); y=exp(-x).*cos(2*pi*x); figure(1); plot(x,y,’.’) figure(2); plot(x,y,’r-.’) figure(3); plot(x,y,’sm--’) figure(4); plot(x,y,’hg’) figure(5); plot(x,y,’kv:’)
genera (tras el reordenamiento manual de las ventanas) la pantalla mostrada en la Figura 10.2. El comando figure abre una ventana gr´afica asign´andole un n´ umero. Si la ventana ya est´a abierta, la coloca como la ventana de salida por defecto. En particular, figure permite manejarse con varias ventanas de forma simult´anea. Para superponer varios dibujos sobre una misma ventana podemos Utilizar plot de la siguiente forma2
>> plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4)
mediante el cual dibujaremos y1 vs. x1, y2 vs. x2, etc., o si queremos dar un formato personalizado a cada dibujo podemos usar >> plot(x1,y1,’r-’,x2,y2,’b:’,x3,y3,’m-.’,x4,y4,’k--’)
Utilizar la instrucci´on hold on que activa la superposici´on en pantalla. Por ejemplo, >> >> >> >> >>
hold on %activamos superposicion plot(x1,y1,’r-’) plot(x2,y2,’r:’) plot(x3,y3,’m.-’) plot(x4,y4,’k--’)
Esta opci´on es m´as vers´atil dado que permite superponer gr´aficas construidas con diferentes comandos. La superposici´on se desconecta con hold off, de forma que un nuevo dibujo borrar´a los anteriores.
2
Se asignan distintos colores a cada una de las gr´aficas de forma autom´atica.
209
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
r do rra Bo Figura 10.2: Ventana gr´afica.
Tercer nivel
Ya en un tercer nivel, se pueden acceder a detalles concretos del dibujo, como el tama˜ no y color de las marcas, la anchura de la l´ınea, etc. Las diferentes opciones llevan nombres nemot´ecnicos que facilitan su memorizaci´on3 . Destacamos entre las m´as importantes color: color de la l´ınea.
LineWidth: anchura de la l´ınea.
Marker: selecciona la marca que se coloca en los puntos evaluados
MarkerEdgeColor: color del borde de las marcas MarkerFaceColor: color de la marca
MarkerSize: tama˜ no de la marca
Para especificar un color, se puede utilizar uno de estos caracteres {b, g, r, c, m, y, k} o bien un vector con tres componentes con valores entre 0 y 1 que especifica un color seg´ un 3
nemot´ecnicos en ingl´es, of course.
210
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
el est´andar RGB4 . Por ejemplo
r do rra Bo
>>x=0.01:0.2:2; y=sin(x)./x; >>plot(x,y,’o-.’,’color’,[0.2 0.4 0.6],’linewidth’,2,... ’markeredgecolor’,’k’,’markerfacecolor’,[0.9 0.6 0.4],... ’markersize’,9)
Ejercicio 10.2 Dibuja las funciones seno y coseno en [−2π, 2π], la primera en rojo y la segunda en azul. El ancho de l´ınea debe ser de dos puntos y deben seguir dos estilos diferentes, a tu elecci´on. Puedes empaquetar las instrucciones en un fichero script. Ser´a m´as c´omodo para editar y cambiar lo que desees. La ventana gr´ afica
Las propiedades anteriores se pueden editar directamente en la ventana gr´afica. Para ello, hay que seleccionar edit plot (v´ease la Figura 10.3) y pulsar sobre la gr´afica con un doble click. Se desplegar´a una ventana adicional con varias pesta˜ nas que informan y permiten modificar las diferentes caracter´ısticas del objeto. Si se procede igual sobre el fondo de la pantalla controlaremos m´as aspectos del propio entorno, como la escala, el ratio entre el eje OX y OY, las marcas sobre los ejes..., aspectos que trataremos seguidamente. ´ No entraremos a explicar estos detalles en profundidad. Este es un buen ejemplo donde la prueba, la experimentaci´on y el ensayo–error permiten aprender mejor y m´as r´apidamente que cualquier manual que podamos redactar. La ventaja principal de trabajar a trav´es de comandos es que podemos dotar de un aspecto determinado a nuestros dibujos sin necesidad de retocarlos en cada paso y para cada ejemplo. Esto es especialmente importante si necesitamos un n´ umero elevado de gr´aficas o bien necesitamos rehacerlas constantemente. En contrapartida deberemos manejar una mayor galer´ıa de instrucciones. Ejercicio 10.3 Ejecuta >> >> >> >>
t=linspace(-2*pi, 2*pi,200); y1=cos(t); y2=sin(t); plot(t,y1,t,y2)
Desde la ventana gr´afica modifica su aspecto para que tenga el que le hab´ıas dado en el Ejercicio 10.2.
4
Red, Green, Blue. Crea un color a˜ nadiendo partes de rojo, verde y azul (de 0 a 1) especificado por un vector de tres componentes.
211
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
r do rra Bo Figura 10.3: Edici´on de un dibujo.
212
´ V LECCION
10.1.2.
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
Comandos asociados a plot
Hay una serie de comandos que controlan el entorno donde se despliega la gr´afica. Entre los m´as elementales (o al menos, m´as f´aciles de utilizar), podemos destacar:
r do rra Bo
clf: borra la ventana actual (figure) de gr´aficos.
cla: borra el axes actual. El axes es la parte de la ventana utilizada para dibujar. Una ventana puede contener varios axes (v´ease el comando subplot tratado m´as adelante).
hold: hold on permite que sucesivas gr´aficas se vayan solapando; hold off desconecta esta opci´on (es la que est´a por defecto).
axis: un comando algo complejo. Puede controlar entre otros detalles el ratio entre los ejes OX y OY, la parte del dibujo que se muestra por pantalla, las coordenadas utilizadas, el ajuste del marco al dibujo...
xlim, ylim: especifican los l´ımites del dibujo. Se puedn utilizar para centrar el dibujo. grid: grid on muestra una malla en pantalla; grid off la desconecta.
legend: despliega una leyenda, esto es, un cuadro explicativo sobre las gr´aficas presentes. text: a˜ nade un texto en las coordenadas especificadas.
xlabel, ylabel: a˜ nade t´ıtulos (etiquetas) a los ejes OX y OY. title: coloca un t´ıtulo en la cabecera del dibujo.
whitebg: asigna un color al fondo del dibujo.
A modo de ejemplo, el siguiente conjunto de instrucciones (empaquetado en un fichero script) despliega las gr´aficas mostradas en la Figura 10.4 figure(1) % desplegamos ventana 1 clf % borramos todo x=linspace(0,5,100); f=inline(’exp(-n*x).*cos(x)’,’n’,’x’); % funciones vectorizadas hold on % solapamiento de graficas y=f(1/3,x); plot(x,y,’k--’,’linewidth’,2) y=f(1,x); plot(x,y,’r-.’,’linewidth’,2) y=f(3,x); plot(x,y,’:’,’color’,[0.0,0.0,0.5],’linewidth’,2) y=f(9,x); 213
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
r do rra Bo
plot(x,y,’-’,’color’,[0.0,0.3,0.0],’linewidth’,2) grid on % desplegamos la red xlim([-0.5,6]), ylim([-0.25,0.5]) % rango de los graficos xlabel(’Eje OX’,’fontname’, ’Comic Sans Ms’, ’fontsize’,12) ylabel(’Eje OY’,’fontname’, ’Comic Sans Ms’, ’fontsize’,12) title(’Algunas graficas de funciones’,... ’fontsize’,16,’fontname’,’Times new roman’) legend(’exp(-x/3).*cos(x)’, ’exp(-x).*cos(x)’,... ’exp(-3x)*cos(x)’, ’exp(-9x).*cos(x)’);
Algunas graficas de funciones
0.5
exp(-x/3).*cos(x/3) exp(-x).*cos(x) exp(-3x)*cos(3x) exp(-9x).*cos(9x)
0.4
0.3
Eje OY
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
1
2
3
Eje OX
4
5
6
Figura 10.4: Una muestra de dibujos.
Nota. En el comando title hemos utilizado los atributos fontname y fontsize para especificar la fuente y su tama˜ no utilizada en el t´ıtulo. Otros atributos son
fontweight: los valores posibles son light, normal, demi, bold. Especifica el trazo de los caracteres, desde fino (light) hasta negrita (bold). fontangle: sus valores son normal, italic u oblique. Fija la inclinaci´ on de la fuente. rotate: especifica el ´angulo con el que se escribe el texto. El valor por defecto, 0, es la escritura horizontal, mientras que con 90 se escribe el texto en vertical.
214
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
r do rra Bo
Estos atributos est´an disponibles para cualquier comando que se ocupe de desplegar textos en la pantalla gr´afica. Por ejemplo, xlabel, ylabel, title,... Quiz´as lo m´as dif´ıcil sea saber qu´e fuentes tenemos instaladas y su correspondiente nombre. La soluci´on m´as sencilla a esta cuesti´on es ir a la venta gr´afica, y editar las caracter´ısticas del dibujo5 . All´ı podremos ver qu´e fuentes est´an a nuestra disposici´on y su nombre correspondiente. Ejercicio 10.4 En este ejercicio trataremos de visualizar el efecto del comando axis con diferentes opciones sobre el aspecto final de un dibujo. Teclea >> clf >> x = 0:.025:pi/2;
plot(x,tan(x),’-ro’)
La funci´on tangente presenta una as´ıntota vertical6 en π/2. Teclea los siguientes comandos y observa el aspecto final de la figura. >> >> >> >> >>
axis equal axis image axis normal axis([0 pi/2 0 5]) axis tight
% vuelta al formato original % especificamos el rango de salida
¿Podr´ıas decir qu´e hace cada comando?.
10.1.3.
Comandos get y set
Los comandos get y set permiten acceder y cambiar los atributos de cualquier gr´afica. Todo objeto gr´afico, desde una simple curva hasta la propia ventana donde se despliega el dibujo tiene asociado un puntero, un handle al que se encuentra enlazado. Los valores de cada uno de los par´ametros se pueden visualizar (get) y editar (set) desde la l´ınea de comandos o desde una funci´on. Nos limitaremos de momento a dar unas ideas a grandes trazos para el comando plot. Ejecuta >> x=0:0.01:pi; >> h=plot(x,x.*cos(4*x));
La variable h es un puntero que enlaza con el dibujo desplegado sobre la ventana. Ahora se puede recabar informaci´on sobre ´este: >> get(h,’linestyle’) ans = -
5
Seleccionar editar dibujo, doble click sobre el fondo, seleccionar la pesta˜ na style e ir al men´ u desplegable font name 6 Tiende a infinito.
215
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
>> get(h,’marker’) ans =
r do rra Bo
none
>> get(h,’linewidth’) ans =
0.5000
Las ´ordenes anteriores nos informan de que el dibujo se ha trazado con l´ınea continua, sin ninguna marca y con anchura de l´ınea 0.5. Con set podemos cambiar cualquiera de estos atributos >> set(h,’linewidth’,2) >> set(h,’color’,[0.5 0.6 0.2]) >> set(h,’linestyle’,’-.’)
de forma que la gr´afica pasa a tener una anchura de 2 puntos, cambia el color y el estilo ahora es punto-raya. Si se ejecuta get(h) podemos visualizar todos los atributos del objeto gr´afico: >> get(h) Color = [0.5 0.6 0.2] EraseMode = normal LineStyle = -. LineWidth = [2] Marker = none MarkerSize = [6] MarkerEdgeColor = auto MarkerFaceColor = none XData = [ (1 by 315) double array] YData = [ (1 by 315) double array] ZData = [] BeingDeleted = off ButtonDownFcn = Children = [] Clipping = on CreateFcn = DeleteFcn = BusyAction = queue HandleVisibility = on HitTest = on Interruptible = on
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´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
r do rra Bo
Parent = [101.001] Selected = off SelectionHighlight = on Tag = Type = line UIContextMenu = [] UserData = [] Visible = on
De forma similar
h= legend(’x*cos(x)’);
devuelve en h, despu´es de desplegar la leyenda correspondiente en el dibujo, una variable que permite a continuaci´on la manipulaci´on de muchas de sus propiedades. Para ello se utiliza la instrucci´on set >> set(h,’fontsize’,11,’fontname’,’arial’,’fontangle’,... ’oblique’,’color’,[0.8 0.8 0.8])
cambia alguno de los atributos de la leyenda, como la fuente y su tama˜ no, la inclinaci´on y el color de fondo. Otro ejemplo lo da el siguiente c´odigo: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
x=linspace(0,4,1000); y=x.*log(x); figure(1); clf % borramos plot(x,y,’--’,’linewidth’,3); h2=gca; % accedemos al handle de la grafica set(h2,’xtick’,[0 0.25 0.5 1 2 4],’fontsize’,16,’ygrid’,... ’off’,’xgrid’,’on’,’linewidth’,2,’gridlinestyle’,’-.’) title(’x*log(x)’,’fontangle’,’oblique’,’fontname’,... ’Comic Sans ms ’,’fontweight’,’bold’,’fontsize’,20)
que accede a la estructura de la gr´afica (gca), que esencialmente es el marco donde desplegamos los dibujos. Las l´ıneas 07-08 edita los atributos xtick, que se˜ nala los puntos donde se colocan las marcas en el eje OX, la fuente utilizada en el dibujo, activa la malla u ´nicamente en la direcci´on OX, especifica la anchura de la l´ınes y el patr´on que sigue. El resultado se puede ver en la Figura 10.5. Todas las propiedades anteriores se pueden modificar m´as f´acilmente en la ventana gr´afica. Su manejo es f´acil e intuitivo (seleccionar, doble click, bot´on derecho del rat´on....). Con helpwin line y helpwin axes obtenemos la informaci´on de las diferentes opciones para la instrucci´on plot (y similares) y para la figura. Finalmente gca y gcf devuelven el puntero al axis y figure utilizado en ese momento (get current axis y get current figure). Si quieres ver todos sus atributos, ejecuta >> get(gca), get(gcf) 217
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
x log(x) 6
5
r do rra Bo 4
3
2
1
0
-1 0 0.25 0.5
1
2
4
Figura 10.5: Modificaci´on del entorno del dibujo.
Un ejemplo de caracter´ısticas m´ as avanzadas
Es posible asignar a un objeto gr´afico funciones que se ejecuten al realizar alguna acci´on, como cuando se crean (´ util especialmente si se redibuja constantemente) o cuando se seleccione con el rat´on. Por ejemplo con t=linspace(-6*pi,6*pi,200); h=plot(t,sin(t)./t); orden=’v=get(h,’’color’’); set(h,’’color’’,v([3 1 2]))’; set(h,’ButtonDownFcn’,orden)
asignamos al dibujo la siguiente propiedad: cuando se pulse encima de ´el con el rat´on, se ejecutar´a la instrucci´on dada en orden: >> v=get(h,’color’); set(h,’color’,v([3 1 2]))’;
La variable orden es simplemente una cadena de caracteres con esta instrucci´on. Observa como se repite ’ precisamente para insertar este car´acter y evitar as´ı la confusi´on con el s´ımbolo fin de cadena de caracteres. En u ´ltima medida, estas caracter´ısticas enlazan con las interfaces gr´aficas de Matlab (gui), donde los objetos gr´aficos pueden ser men´ us desplegables, campos de textos, items,... Matlab dispone de una gu´ıa para el desarrollo de interfaces gr´aficos con su tutorial correspondiente. Aqu´ı no entraremos en la descripci´on y uso de estas interfaces, pero animamos al lector a consultar la correspondiente ayuda mediante helpwin guide. Una vez dentro de la ayuda, aconsejamos seleccionar Go to online doc for guide y all´ı acceder a Creating GUIs. 218
´ V LECCION
10.1.4.
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
El comando subplot
Este comando permite la visualizaci´on de diferentes subventanas gr´aficas (axes) en una misma ventana. A modo de ejemplo, subplot(231)
r do rra Bo define en la figure seis zonas para volcar las salidas gr´aficas dispuestas en 2 × 3 (dos filas, tres columnas) y accede a la primera de ellas. La numeraci´on es la desplegada en la figura 10.6.
1
2
3
4
5
6
Figura 10.6: Ejemplo de numeraci´on con subplot.
Por ejemplo, las instrucciones
x=linspace(0,2*pi,150); subplot(321) plot(x,sin(x),’linewidth’,2); title(’sin(x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(322) plot(x,cos(x),’linewidth’,2); title(’cos(x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(323) plot(x,sin(2*x),’linewidth’,2); title(’sin(2x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(324) plot(x,cos(2*x),’linewidth’,2); title(’cos(2x)’,’fontsize’,14) axis tight
219
´ V LECCION
10.1 Dibujos bidimensionales
r do rra Bo
subplot(325) plot(x,sin(4*x),’linewidth’,2); title(’sin(4x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(326) plot(x,cos(4*x),’linewidth’,2); title(’cos(4x)’,’fontsize’,14) axis tight
crean la Figura 10.7.
10.1.5.
Otras salidas gr´ aficas
Se˜ nalaremos a continuaci´on otros comandos relacionados con dibujos y gr´aficas bidimensionales de manejo similar a plot plotyy: polar:
semilogx, semilogy: loglog: stem:
stairs:
permite mostrar dos dibujos en la misma gr´afica con dos ejes OY a la izquierda y a la derecha.
curvas en polares.
similar a plot pero utilizando, respectivamente, una escala logar´ıtmica en el eje OX y en el eje OY. escala logar´ıtmica en ambos ejes.
dibuja puntos uni´endolos con una linea vertical al eje OX. traza una gr´afica en forma de escalera.
bar, barh, bar3:
despliega gr´aficas en forma de barras. Muy apropiada para representar datos y estad´ısticas (estilo excel).
area:
muestra los datos en una gr´afica de forma acumulada. El color utilizado se controla mediante el comando colormap, cuyo funcionamiento veremos m´as adelante.
line:
une puntos mediante l´ıneas. Es una instrucci´on de bajo nivel cuyo funcionamiento es similar a plot. De hecho, plot se construye a partir de line.
fill:
dibuja pol´ıgonos cerrados y colorea su interior.
patch:
una instrucci´on tambi´en de bajo nivel, construye pol´ıgonos, o caras en tres dimensiones y asigna un color a la cara definida.
Comandos f´ aciles de usar
Matlab tiene implementada una serie de comandos, asociados a la toolbox de c´alculo simb´olico que vimos en la lecci´on anterior, que permiten dibujar de forma sencilla gr´aficas de funciones. No se tiene un control tan completo como con plot pero se compensa con su f´acil uso. En el apartado que nos ocupa (gr´aficas bidimensionales) son resaltables 220
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
sin(x)
cos(x) 1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
r do rra Bo 0
2
4
6
0
2
sin(2x)
4
6
4
6
4
6
cos(2x)
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
0
2
4
6
0
2
sin(4x)
cos(4x)
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
0
2
4
6
0
2
Figura 10.7: Disposici´on simult´anea de gr´aficas con subplot.
ezplot
ezpolar
La ayuda de Matlab es, en nuestra opini´on, suficiente para hacernos con su manejo.
10.2.
Gr´ aficas en 3D
Comenzaremos con curvas en el espacio para pasar y tratar con mayor profundidad las superficies en 3D. Hemos decidido incluir en este apartado las instrucciones relativas a curvas de nivel aunque hablando propiamente son dibujos bidimensionales. Su origen y su posterior interpretaci´on nos conducen de nuevo al entorno espacial.
10.2.1.
El comando plot3
Este comando sirve, grosso modo, para dibujar curvas en el espacio. Su manejo es muy ´ similar a plot, por lo que no nos detendremos demasiado en su explicaci´on. Esta es su sintaxis plot3(x,y,z,opciones)
Las opciones son esencialmente las mismas que aparec´ıan en plot. He aqu´ı un ejemplo sencillo 221
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D
r do rra Bo
clf t=linspace(0,8*pi,200); plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t,’r-’,’linewidth’,2) grid on % dibujamos la ’malla’ title(’Una curva en espiral...’,’fontsize’,18,’fontname’,... ’Comic Sans MS’,’color’,[0.675 0.000 0.000]) zlim([0,20]) xlabel(’eje OX’,’fontsize’,14) ylabel(’eje OY’,’fontsize’,14) zlabel(’eje OZ’,’fontsize’,14)
cuyo resultado se muestra en la Figura 10.8. Los comandos relacionados con los aspectos
Una curva en espiral...
30 25
eje OZ
20 15 10 5
0 30
20
30
10
20
0
10
0
-10
-10
-20
eje OY
-20
-30
-30
eje OX
Figura 10.8: Un dibujo en 3D con plot3.
accesorios del dibujo (axes, title, xlabel, grid...) funcionan exactamente igual. Adem´as aparecen algunos nuevos cuya utilidad y manejo no deber´ıa causar sorpresa:
zlabel
zlim
Para poder manipular, rotar en 3D, el objeto gr´afico basta presionar en la barra de herramientas en el bot´on se˜ nalado en la Figura 10.9 y mover el rat´on sobre el objeto con el bot´on pulsado 222
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
r do rra Bo Figura 10.9: Icono para rotar los dibujos.
10.2.2.
El comando surf
Primer nivel
El comando surf dibuja esencialmente superficies en el espacio. En su forma m´as simple se puede identificar con el dibujo de funciones de dos variables en el espacio. En este caso, el formato es surf(x,y,z)
donde x e y especifican una malla en el plano y z la altura correspondiente. El color que se da a cada punto est´a asignado por defecto seg´ un la altura en el eje Z. Queda pendiente, no obstante, c´omo construir una malla. Aunque se puede hacer a mano (Matlab ofrece en su ayuda informaci´on detallada de c´omo hacerlo), es mejor utilizar los comandos propios de Matlab, en este caso, meshgrid. As´ı, si queremos representar una superficie z = f (x, y) en un dominio rectangular utilizando los puntos de coordenadas x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , ym ), deberemos generar primero la malla formada por los puntos (xi , yj ). En Matlab simplemente tenemos que utilizar la orden [X,Y]=meshgrid(x,y)
que crea las matrices de tama˜ no m × n x 1 . . . xn .. X = ... . x 1 . . . xn
y 1 . . . y1 .. . Y = ... . y m . . . ym
Es decir, las m filas de X son copias del vector x y las n columnas de Y son copias del vector y. La malla est´a formada por los puntos (X(i,j),Y(i,j)). Por ejemplo, >> x=[0 0.33 0.67 1]; y=[-1 0 1]; >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X =
0 0 0
0.3300 0.3300 0.3300
0.6700 0.6700 0.6700
1.0000 1.0000 1.0000 223
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D
Y = -1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
r do rra Bo
-1 0 1
Ahora para representar la superficie z = f (x, y) utilizamos la orden surf(X,Y,Z) donde f (x1 , y1 ) . . . f (xn , y1 ) .. .. Z = f (X, Y) = . . . f (x1 , ym ) . . . f (xn , ym ) El dibujo de la Figura 10.10 se ha construido con el siguiente conjunto de instrucciones >>x=linspace(-2,2,40); y=linspace(-1,1,20); >>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^2-Y.^2; >>surf(X,Y,Z)
Figura 10.10: Ejemplo de una superficie creada con surf.
Se puede dibujar la superficie y asignar un color seg´ un los valores de un cuarto vector (matriz m´as bien). Desde una interpretaci´on matem´atica, se tratar´ıa de dibujar los valores de una funci´on sobre una superficie: >> x=linspace(-3,3,60); y=linspace(-3,3,60); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^2-Y.^2; T=cos(sqrt(X.^2+Y.^2+Z.^2)); >> surf(X,Y,Z,T), colorbar 224
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
r do rra Bo Figura 10.11: Otro ejemplo de surf.
despliega la gr´afica de la Figura 10.11. El comando colorbar muestra la barra de colores de la derecha que informa sobre el valor num´erico que corresponde a cada color. Tambi´en es posible dibujar superficies definidas sobre partes de un rect´angulo. Para ello, cualquier punto cuya coordenada z sea un nan (not a number), no se dibuja. Por ejemplo >> >> >> >> >>
x=linspace(-1,1,101); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=-X.^2-Y.^2; Z(sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5)=nan; surf(X,Y,Z)
despliega la superficie de la Figura 10.12). La cuarta l´ınea merece un comentario aunque instrucciones parecidas han sido tratadas ya en la Lecci´on 1. Al hacer la comparaci´on sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5, Matlab devuelve una matriz l´ogica, de 1s y 0s seg´ un el punto correspondiente est´e cerca del cero o no. La instrucci´on Z(sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5)=NaN, √ hace que los puntos situados dentro del c´ırculo de radio 1/ 2 (que es donde la expresi´on l´ogica es 1), tomen como valor NaN. De todos modos se observa la deficiente aproximaci´on de los cuadrados, propios de surf, del c´ırculo interior. Al final de esta lecci´on veremos una forma m´as elaborada para trabajar con superficies definidas sobre conjuntos m´as generales. Comandos del entorno 3D
Nos limitaremos a hablar de cinco comandos que controlan las propiedades del entorno 3D, aunque ´estos no son los u ´nicos disponibles en Matlab: 225
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D
r do rra Bo Figura 10.12: Utilizaci´on de nan en un dibujo.
colorbar:
despliega una barra de colores que informa sobre la correspondencia entre el valor num´erico y el color utilizado. Por defecto se despliega verticalmente a la derecha del dibujo, aunque puede mostrarse horizontalmente si as´ı se desea.
colormap:
especifica qu´e colores se van a utilizar en el dibujo (mapa de colores). Existe un conjunto de formatos predefinidos que listamos a continuaci´on autumn gray prism
bone hot spring
colorcube hsv summer
cool jet white
copper lines winter
flag pink default
Para cambiar a un formato basta ejecutar >> colormap(’bone’)
Se pueden tambi´en definir formatos personalizados, bien mediante la l´ınea de comandos o desde la propia ventana gr´afica.
daspect:
controla la relaci´on entre los ejes del dibujo. Baste decir que daspect([1 1 1])
fija que las proporciones de los ejes OX, OY y OZ sean iguales. Es decir, >> sphere(40); % dibuja una esfera >> daspect([1 1 1]) % relaciones 1:1:1 en los ejes
muestra la esfera como tal y no como un elipsoide. 226
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
pbaspect:
similar al anterior pero relacionado con la caja que enmarca el dibujo.
view:
especifica el punto desde el que se ve el dibujo. Tiene dos par´ametros: view(az,el)
r do rra Bo
El primero es el azimuth (´angulo de rotaci´on horizontal) y el segundo es el ´angulo de elevaci´on vertical. Ambos deben especificarse en grados. Por defecto en dibujos tridimensionales az = −37.5 y el = 30.
El comando surf: segundo y tercer nivel
En un segundo nivel de utilizaci´on del comando anterior podemos acceder a algunas opciones adicionales entre las que podr´ıamos destacar:7 ’EdgeAlpha’: se especifica un valor entre 0 y 1 que define la transparencia que tiene la rejilla o red en el dibujo (con 0 la red es transparente y por tanto no se ve).
’FaceAlpha’: como la opci´on anterior pero relativa a las caras.
LineStyle: indica el formato de la rejilla: ’-’, ’--’, ’:’,.... Igual que en plot. Con ’none’ desaparece del dibujo.
’MeshStyle’ tiene tres opciones posibles both (por defecto), row y column. Especifica c´omo despliega la red: entera, s´olo las filas o s´olo columnas, respectivamente.
’EdgeColor’: toma cuatro posible valores: un color (en el formato habitual), ’none’, ’flat’, ’interp’. Especifica qu´e color utilizar en la rejilla. Por defecto es negro, pero se puede eliminar la rejilla (’none’), se puede utilizar el color marcado por el primer v´ertice (’flat’) o bien utilizar un color definido por los colores de los dos v´ertices de cada eje (’interp’). ’FaceColor’: con los mismos valores que en la opci´on anterior. La opci´on ’interp’ fija un color interpolado sobre la cara, eliminando as´ı el aspecto de mosaico que en ocasiones adoptan las superficies. ’LineWidth’: anchura de las l´ıneas utilizadas en el dibujo de la red.
’Marker’: indica qu´e marca colocar en cada punto del dibujo. Sigue el mismo formato que plot (por defecto no coloca ninguna marca). ’MarkerEdgeColor’ ’MarkerFaceColor’: igual que en plot. ’MarkerSize’ Por ejemplo, la Figura 10.13 se obtiene con 7
siempre a nuestro juicio...
227
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D
r do rra Bo
f=inline(’x^2-y^2’); f=vectorize(f); x0=linspace(-2,2,6); y0=linspace(-2,2,4); [X0,Y0]=meshgrid(x0,y0); x1=linspace(-2,2,40); y1=linspace(-2,2,40); [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); hold on % solapamos dos dibujos surf(X0,Y0,f(X0,Y0),’facecolor’,’none’,’edgecolor’,’k’,... ’marker’,’o’, ’markersize’,6,’MarkerFaceColor’,’k’, ’linewidth’,2); surf(X1,Y1,f(X1,Y1),’facecolor’,’interp’, ’facealpha’,0.5,... ’edgecolor’,’none’); colorbar colormap(’spring’)
Figura 10.13: Algunas opciones con surf.
Ejercicio 10.5 Observa las diferencias entre estas dos salidas de la misma superficie >> >> >> >> >> >>
x=linspace(-2,2,20); y=linspace(-1,1,20); [X,Y]=meshgrid(x,y); figure(1) surf(X,Y,X.^3-Y.^2.*Y,’linestyle’,’none’) figure(2) surf(X,Y,X.^3-Y.^2.*Y,’linestyle’,’none’,’facecolor’,’interp’) 228
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
En un tercer nivel de dificultad (y de precisi´on), se puede manipular el dibujo v´ıa el handle que devuelve, de forma similar a como hac´ıamos en plot. Como ejemplo ilustrativo,
r do rra Bo
>> x1=linspace(-2,2,60); y1=linspace(-2,2,60); >> [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); >> h=surf(X1,Y1,exp(-X1.^2-Y1.^2).*cos(pi*(X1.^2-Y1.^2)/2),... ’facecolor’,’interp’,’edgecolor’,’none’);
devuelve en h, despu´es de dibujar, un puntero al dibujo. Podemos leer una propiedad determinada mediante get: >> get(h,’facecolor’) ans =
interp
o bien ver todas con >> get(h)
AlphaData = [1] AlphaDataMapping = scaled CData = [ (60 by 60) double CDataMapping = scaled EdgeAlpha = [1] EdgeColor = none EraseMode = normal FaceAlpha = [1] FaceColor = interp LineStyle = LineWidth = [0.5] Marker = none MarkerEdgeColor = auto MarkerFaceColor = none MarkerSize = [6] MeshStyle = both XData = [ (60 by 60) double YData = [ (60 by 60) double ZData = [ (60 by 60) double FaceLighting = flat EdgeLighting = none ................ ................
array]
array] array] array]
Observar´ıamos as´ı algunas de las opciones que hemos comentado y otras muchas m´as que no hemos estudiado. Para cambiar una propiedad utilizamos de nuevo el comando set: >> set(h, ’edgecolor’,[0.2 0 0],’linewidth’,1); >> set(h, ’facaalpha’,.5); 229
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D Mallados especiales
Con sphere podemos obtener el mallado de una esfera. Puede utilizarse para dibujar bien una esfera o incluso funciones definidas sobre una superficie esf´erica. Por ejemplo, mediante el siguiente fichero script hemos obtenido las representaciones gr´aficas de la Figura 10.14.
r do rra Bo [X,Y,Z]=sphere(60); subplot(121) surf(X,Y,Z,’facecolor’,[0.4 0.9 0.6]) daspect([1 1 1]) % aspecto [1 1 1] title(’La esfera’,’fontsize’,14) subplot(122); surf(X,Y,Z,16*X.^2.*Y.^3.*Z.^4) title(’16 X^2 Y^3 Z^4 sobre la esfera’,’fontsize’,14) colormap(’hot’) colorbar(’hor’) % barra de colores horizontal daspect([1 1 1]) % aspecto [1 1 1]
Figura 10.14: Esferas en 3D.
Comandos similares son ellipsoid (elipsoides) y cylinder (cilindros). Son algo m´as flexibles de lo que pueda parecer. As´ı, y aunque parezca parad´ojico, 230
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
>> cylinder(0:0.1:1,40) dibuja un cono.
r do rra Bo
Ejercicio 10.6 Lee bien la ayuda de cylinder. ¿Podr´ıas dibujar una semiesfera utilizando este comando?.
10.2.3.
Otros comandos
Comentaremos a continuaci´on otras instrucciones relacionadas con gr´aficas de objetos tridimensionales. pcolor
Proporciona un dibujo bidimensional de una superficie vista desde arriba. Es equivalente a dibujar primero la superficie con la orden surf y posteriormente cambiar el punto de vista mediante view(0,90). Puedes ver un ejemplo en la Figura 10.15.
Figura 10.15: Una superficie con surf y pcolor.
contour y contourf
Despliegan las l´ıneas de nivel del dibujo. Propiamente generan una gr´afica en 2D. La diferencia entre ellas es que la primera instrucci´on s´olo traza las curvas de nivel mientras que la segunda colorea el espacio entre ellas. Es posible a˜ nadir un texto sobre cada l´ınea de nivel utilizando clabel. Para ello basta hacer como en el ejemplo siguiente 231
´ V LECCION
10.2 Gr´aficas en 3D
x1=linspace(-2,2,60); y1=linspace(-2,2,60); [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); f=vectorize(inline(’cos(x^2-y)’)); subplot(211) % dos dibujos [c,h]=contour(X1,Y1,f(X1,Y1)); colorbar; clabel(c,h) % Inserta el texto sobre las curvas de nivel subplot(212) [c,h]=contourf(X1,Y1,f(X1,Y1),5); colorbar % 5 curvas de nivel; clabel(c,h,’fontsize’,12); % cambiamos tamano de la letra
r do rra Bo
>> >> >> >> >> >> >> >> >>
2
0. 04. 2
8 0. 6 . 0
-1
2
-0.5
6 0.
0. 6
0.2
0
9 .5 -0
9 99
0.2
1.5
0.6
-1
-0.5
-0.4 -0.6 -0.8
0.4 0.2 0
-0.2 -0.4
0 .6
0.2
-0.6
-0.2
-1.5
2
-0.2
0.6
0.2 -0.2
6 0.
-0 .2
2 -0.0.2
-2 -2
0 2 .4 -0. -0.6 -0 . 8 -0 0.5 1
-0 .8 0 0.4 - 0.06.40.2 0.2 0.6
0.8 0.6 0.4
1
0
0.4
0
-0 0 -0 .2 -0.4 -0 .6 .8
-1.5
0.6
0.2
00.2.2
.8 -0 0.20 .6 4 - 0.02.4 -0-0.
-2 -2
-1
0 .4 0.6 0.8
0.2
0. 2
0
-1
-0.2
0
-0 . -02 .5 99 0. 99 2
4
.4 8 0. .6 0 0
. 0.2 -0 -0 .6 .8 -0 -0
1
0.60.4 0.8
-0 .2 -0 -0.-0. 0 .8 6 4
El resultado es el de la Figura 10.16.
0
0.5
1
1.5
-0.8
2
Figura 10.16: L´ıneas de nivel
surfc y surfl
Ambas son variantes de surf. La primera despliega la superficie y dibuja en el plano OXY (plano inferior) las curvas de nivel. La segunda es como surf pero el color que asigna a cada punto viene determinado por un punto de iluminaci´on exterior. El resultado es el de una superficie de un color determinado iluminado desde un punto mesh, meshc, meshz y waterfall
Todos ellos dibujan u ´nicamente la malla (rejilla) del dibujo. La segunda adem´as a˜ nade las l´ıneas de nivel, de forma semejante a como proced´ıa surfc. Finalmente, waterfall es 232
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
como mesh pero a˜ nade un efecto de caida en los bordes del dibujo8 .
10.2.4.
Comandos f´ aciles de usar
Los comandos
r do rra Bo ezplot3 ezcontour
ezmesh ezcontourf
ezmeshc
ezsurf
ezsurfc
permiten trazar, de forma muy sencilla, curvas y superficies en el espacio. Su sencillez de uso (consulta la ayuda) queda lastrada con el inconveniente de que apenas se tiene control sobre el aspecto final.
10.3.
Campos vectoriales
Los comandos quiver y quiver3 despliegan en 2D y 3D campos de velocidades. Esto es, a cada punto se le asigna un vector y se dibuja.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 10.17: Campo de velocidades con quiver
Por ejemplo, la Figura 10.17 se ha obtenido con >>x=-2:0.25:2; y=x; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>ind=logical(zeros(size(X))); >>ind(X.^2+Y.^2<0.5^2)=1; >>X(ind)=[]; Y(ind)=[];
8
% % % %
Es m´as f´acil verlo que explicarlo...
233
malla del cuadrado [-2,2] x [-2,2] matriz logica de dimensi\’{o}n la de X si (x,y) esta cerca de (0,0) vale 1 eliminamos estos puntos
10.4 Dibujos sobre dominios mallados en tri´angulos >>vx=-Y./(X.^2+Y.^2); >>vy=X./(X.^2+Y.^2); >>h=quiver(X,Y,vx,vy); >>axis square
´ V LECCION
% calculamos vectores
r do rra Bo
Observa que cerca del (0,0) los vectores se hacen muy grandes. Para evitar que esto distorsione el dibujo hemos optado por no dibujar los vectores correspondientes a puntos muy cercanos al origen. Con este fin hemos utilizado una variable (en realidad una matriz) l´ogica ind que toma valor uno u ´nicamente si el punto correspondiente (X,Y) est´a cerca del origen. Una vez salvada esta dificultad, hemos procedido a dibujar el campo de velocidades resultante. El comando quiver devuelve en realidad dos punteros, uno a las l´ıneas y otro a la cabeza del vector. Sus valores opcionales son similares a los ya vistos en secciones anteriores. Ejercicio 10.7 Siguiendo con las instrucciones desplegadas arriba, observa qu´e sucede si se ejecuta set(h(1),’linewidth’,1,’color’,’r’,’linestyle’,’:’) set(h(2),’color’,’k’)
¿Podr´ıas eliminar la punta de los vectores?.
Ejercicio 10.8 Utilizando el comando quiver3, dibuja el campo de velocidades que a cada punto le asigna el vector (velocidad) dado por x y z −p , −p , −p ) 2 2 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x + y2 + z2 (Ayuda: el comando meshgrid es tambi´en el apropiado para construir mallas en 3D)
10.4.
Dibujos sobre dominios mallados en tri´ angulos
Los comandos que hemos estudiado a lo largo de la secci´on precedente est´an pensados para dibujar superficies definidas esencialmente sobre una cuadr´ıcula. Aunque en muchos casos esto es suficiente, en otras muchas ocasiones se trabaja con funciones definidas sobre conjuntos, o dominios en la terminolog´ıa habitual, mucho m´as generales. Una forma muy simple de trabajar con estos dominios es dividirlos en tri´angulos y construir la superficie solapando diferentes planos definidos sobre cada tri´angulo9 . Los resultados que se obtienen son bastante satisfactorios, puesto que los tri´angulos son m´as flexibles que los cuadril´ateros a la hora de adaptarse a los dominios. Esta divisi´on en tri´angulos de un dominio se denomina triangulaci´ on o mallado del dominio. Se dice que un mallado se hace m´as fino si el tama˜ no de los tri´angulos disminuye. Una triangulaci´on es conforme si la intersecci´on de dos lados cualesquiera del mallado es o bien vac´ıa (los tri´angulos no se tocan), o un v´ertice o un lado entero. Es decir no 9
Se utiliza el conocido resultado de que tres puntos no alineados definen un u ´nico plano. Es f´acil ver tambi´en que la superficie as´ı construida es continua
234
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab
r do rra Bo Figura 10.18: Triangulaci´on no conforme.
se admite que un lado de un tri´angulo pueda ser parte de dos lados de dos tri´angulos diferentes (v´ease la Figura 10.18). Por otro lado, una familia de triangulaciones se dice regular si los tri´angulos no se aplanan, es decir, los ´angulos de los tri´angulos no se hacen muy peque˜ nos. La siguiente cuesti´on es c´omo almacenar la informaci´on de una triangulaci´on. Si opt´aramos por guardar cada tri´angulo, con sus correspondientes v´ertices, guardar´ıamos informaci´on redundante. Por ejemplo, un v´ertice compartido por 6 tri´angulos ser´ıa almacenado 6 veces. En lugar de ello se opta por una estructura m´as elaborada pero m´as econ´omica. Se empieza almacenando las dos coordenadas de los v´ertices en dos vectores que denotaremos por x e y. En segundo lugar, apuntamos los v´ertices que corresponden a cada tri´angulo. Esto se hace mediante una matriz, que llamaremos en lo que sigue t, de tres columnas y n´ umero de filas igual al n´ umero de tri´angulos. Para saber los v´ertices que corresponden al tri´angulo i basta leer la correspondiente fila de t y sus coordenadas ser´an [x(t(i,1)),y(t(i,1))],
[x(t(i,2)),y(t(i,2))],
[x(t(i,3)),y(t(i,3))]
A modo de ejemplo, el mallado expuesto en la Figura 10.19 se guarda en las siguientes variables Triangulos 8 7 9 11 10 12 16 4 1 15
3 2 5 6 1 4 9 8 7 11
16 15 21 20 14 17 21 17 14 20
235
´ V LECCION
10.4 Dibujos sobre dominios mallados en tri´angulos
0.6 0.4
6
11
r do rra Bo
12
4
0.2
6
8
0
8
-0.2
3
-0.4 -0.6
4
25
17
20
1
12
19
20
16
15
26
13
2
14
10
15
2
18 22 13
18
24 14 16 27 23 9 19 21 7 21 5 17 28
9
3
5
-0.5
7
0
11
1
10
0.5
Figura 10.19: Ejemplo de triangulaci´on. En el gr´afico la numeraci´on de los tri´angulos se rodea con un c´ırculo. 5 6 14 2 17 18 3 18 16 8 10 14 19 14 12 13 13 5
10 12 7 11 13 15 9 13 13 16 14 15 13 18 17 18 16 19
19 20 15 15 20 20 16 19 17 17 19 18 21 19 20 20 21 21
coordenadas: x
y
236
´ V LECCION
Cap´ıtulo 10. Matlab: Salidas gr´aficas en Matlab -0.3584 0.2378 -0.3584 0.2378 -0.4603 0.3397 -0.0603 -0.0603 -0.4363 -0.4363 0.3157 0.3157 -0.1050 -0.1866 0.0614 -0.1991 0.0537 -0.0707 -0.2577 0.1306 -0.2912
r do rra Bo
0.5033 0.5033 -0.4967 -0.4967 0.0033 0.0033 0.5033 -0.4967 -0.2523 0.2590 0.2590 -0.2523 -0.0716 0.2924 0.2820 -0.2806 -0.2641 0.1204 0.0838 0.0113 -0.1031
La informaci´on anterior es suficiente para construir la malla, la triangulaci´on del dominio. Si adem´as se desea construir una superficie definida sobre ese dominio, basta a˜ nadir un vector adicional z de forma que z(j) sea el valor de la funci´on en el nodo j.
Figura 10.20: Un dominio mallado en tri´angulos. 237
10.4 Dibujos sobre dominios mallados en tri´angulos
´ V LECCION
´ Esta es una forma ya est´andar de definir y trabajar con una triangulaci´on que tambi´en sigue Matlab10 con los comandos trimesh y trisurf. El primero despliega la malla triangular especificada por t, (la matriz conteniendo los tri´angulos), x e y (que dan las coordenadas de los v´ertices),
r do rra Bo
trimesh(t,x,y)
Se puede especificar la coordenada z de los v´ertices (la altura), trimesh(t,x,y,z)
con lo que se dibuja la malla 3D correspondiente. El comando trisurf es similar, pero colorea las caras. Hablando con propiedad, estos comandos al igual que mesh y surf, representan superficies. Las opciones para manipular el aspecto final de la superficie son iguales que las de surf, incluyendo las ya vistas facecolor, facealpha, meshalpha, edgecolor,....
Nota. Un tema nada trivial es la construcci´on de un mallado sobre un dominio (poligonal) dado. Existen multitud de algoritmos que tratan este problema. En principio se plantea la construcci´on de una malla gruesa, con pocos tri´angulos y de ´area considerable, con los tri´angulos lo m´as regulares posibles (sin deformar, alargar, en demas´ıa los tri´angulos). Posteriormente, se trata de refinar la malla, es decir, dividir los tri´angulos en tri´angulos m´as peque˜ nos hasta que se alcance una precisi´on adecuada. Esta idea se esconde detr´as de aplicaciones como la interpolaci´on (aproximaci´on de una funci´on) y especialmente el m´etodo de elementos finitos, probablemente del m´etodo11 m´as utilizado en la resoluci´on de problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales. Si se desea informaci´on de c´omo se puede inicializar un malla en Matlab, as´ı como sobre el algoritmo utilizado se puede consultar el comando initmesh (incluido el tema de triangulaciones de Delaunay). Para el refinamiento puedes consultar refinemesh. . Existe otra posibilidad m´as visual, y por tanto m´as amigable para empezar a trabajar. Teclea >> pdetool
Se cargar´a un entorno gr´afico para la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales. No entraremos en este tema por ser demasiado t´ecnico. En lugar de ello, nos centraremos en la definici´on de mallados. Una vez dibujado el dominio, y mallado, se puede exportar la malla a la ventana de comandos en las variables t y p. La primera contiene en las tres primeras filas los tri´angulos que componen la triangulaci´on mientras que las coordenadas de los v´ertices est´an guardadas en las dos filas de p.
10
La toolbox pdetool dedicada a la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales sigue una variante algo m´as complicada que la expuesta arriba. 11 Propiamente hablando es una familia de m´etodos.
238
r do rra Bo
Cap´ıtulo 11
Interpolaci´ on. Curvas B´ ezier 11.1.
Interpolaci´ on polin´ omica
Un problema ya cl´asico es la construcci´on, o aproximaci´on de una funci´on conocidos unos pocos valores. Algunas referencias a este tipo de problemas se remontan al manejo de tablas trigonom´etricas y posteriormente logar´ıtmicas y exponenciales donde unos pocos valores estaban tabulados y para valores intermedios era necesario un proceso de interpolaci´on. Se habla en este caso de un problema de interpolaci´on de Lagrange. Si adem´as del valor puntual, a˜ nadimos informaci´on sobre las derivadas estamos ante una interpolaci´on de Hermite. En estos apuntes trataremos principalmente la interpolaci´on polin´omica, esto es, la construcci´on de polinomios que pasen por unos puntos predeterminados. Daremos tambi´en unos breves esbozos sobre la interpolaci´on por polinomios trigonom´etricos y la interpolaci´on polin´omica a trozos con las funciones spline.
11.1.1.
Interpolaci´ on polin´ omica de Lagrange
El problema que queremos resolver es el siguiente
Dados un conjunto de n + 1 puntos {(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn , yn )}, construir un polinomio pn de grado n tal que pn (xj ) = yj ,
j = 0, . . . , n.
El polinomio pn recibe el nombre de polinomio de interpolaci´ on de Lagrange. Habitualmente, yj son valores de una funci´on f que s´olo se puede evaluar en un conjunto finito de puntos porque o bien en el resto del intervalo es desconocida, o bien es cara computacionalmente de evaluar. Tenemos una serie de cuestiones pendientes: ¿Se puede construir siempre el polinomio de interpolaci´on pn ?. Y relacionada con esta cuesti´on, ¿el polinomio de interpolaci´on es u ´nico?. ¿Existen formas ´optimas para c´alcular este polinomio?. 239
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica
x 10
-9
5
4
r do rra Bo 3
2
1
0
-1
7.994
z6-46*z5+ 884*z4-9088*z3+52736*z2-163840*z+212992 (z-8)4*(4+(z-8)*(2+(z-8))
7.996
7.998
8
8.002
8.004
8.006
Figura 11.1: Dos formas de escribir y evaluar un polinomio.
¿C´omo aproxima pn a esta funci´on f ?. Este punto es crucial ya que se trata del error que podemos esperar de nuestra aproximaci´on.
Como cuesti´on asociada, pero no menos importante, nos deber´ıamos plantear
¿Cu´al es la mejor forma de evaluar un polinomio?. Es decir, ¿nos interesa el polinomio escrito en la manera tradicional o simplemente poder evaluarlo de forma f´acil, r´apida y estable num´ericamente?
Ejemplo En la Figura 11.1 hemos dibujado los polinomios (z−8)4 (4+(z−8)(2+(z−8))) y z 6 −46z 5 +884z 4 −9088z 3 +52736z 2 −163840z+212992 en un entorno de 8. Anal´ıticamente son el mismo polinomio pero el resultado de evaluar una u otra expresi´on puede dar un resultado muy diferente debido a los errores de redondeo. La primera expresi´on es mucho m´as apropiada desde el punto de vista computacional aunque nosotros estemos m´as acostumbrados a escribir los polinomios de la segunda manera. El algoritmo m´as estable para evaluar un polinomio es el m´etodo de Horner que est´a basado a su vez en el m´etodo de Ruffini para dividir polinomios. Concretamente utiliza que el valor de p(a) es el resto de dividir p(z) por z − a . El algoritmo es f´acilmente implementable y tiene un costo reducido.
11.1.2.
Existencia del polinomio de interpolaci´ on
Probaremos la existencia del polinomio de interpolaci´on mediante un razonamiento directo. Tomemos Pn 3 pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , 240
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
un polinomio de grado n. Obviamente, pn cuenta con n + 1 par´ametros libres que son simplemente sus coeficientes {aj }. Si exigimos que pn (xj ) = yj ,
j = 0, . . . , n,
r do rra Bo
nos encontramos con que los coeficientes satisfacen el sistema lineal 1 x0 x20 · · · xn0
1 x x2 · · · xn 1 1 1 1 x2 x22 · · · xn2 ..................
1 xn x2n · · · xnn
a0 a1 a2 .. . an
=
y0 y1 y2 .. . yn
.
(11.1)
Por tanto el problema se reduce a la resoluci´on de un sistema de ecuaciones lineales y la existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´on a que el sistema en cuesti´on sea compatible determinado. La matriz del sistema (11.1) es de tipo Vandermonde que nos ha surgido repetidas veces en estos apuntes1 . Dado que el sistema tiene el mismo n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas, se tiene que la existencia de soluci´ on para cualquier conjunto de datos es equivalente a la unicidad. Adem´as, la unicidad de soluci´on es equivalente a que la u ´nica soluci´on posible para el t´ermino independiente nulo sea el polinomio cero. Pero esto es inmediato puesto que todo polinomio no nulo de grado n tiene a lo sumo n ra´ıces. Otra forma de ver la existencia y unicidad es de tipo constructiva. Tomemos Lj (x) :=
Y x − xi (x − x0 ) · · · (x − xj−1 )(x − xj+1 ) · · · (x − xn ) = . (xj − x0 ) · · · (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) · · · (xj − xn ) i6=j xj − xi
Es f´acil ver que Lj ∈ Pn y que adem´as
Lj (xi ) :=
1, 0,
i = j, i 6= j.
Por tanto,
pn (x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + . . . + yn Ln (x)
satisface las condiciones (11.1). Una vez probada la existencia deducimos por los mismos argumentos la unicidad del polinomio de interpolaci´on. La f´ormula anterior se conoce como f´ ormula de Lagrange del polinomio de interpolaci´ on y la base del espacio de polinomios Pn formada por {Lj }j se denomina base de Lagrange del problema de interpolaci´ on.
Ejercicio 11.1 Programar una funci´on que eval´ue el polinomio de interpolaci´on seg´un la f´ormula de Lagrange en un conjunto de puntos. 1
Cada columna es el resultado de elevar a una potencia el vector [1 x0 x1 · · · xn ]>
241
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica Soluci´ on. He aqu´ı una posible implementaci´on2 % % % % % % % %
LAGRANGEP Y=LAGRANGEP(X0,Y0,X)
devuelve en Y el valor del pol. de interp. que pasa por los puntos (X0,Y0) evaluado en x mediante la formula de Lagrange
r do rra Bo
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
X0 y Y0 son dos vectores de la misma longitud, X puede ser un vector.
function y=lagrangep(x0,y0,x)
x0=x0(:).’; y0=y0(:).’; x=x(:).’; % todos vectores filas n=length(x0); if (length(y0)~=n) disp(’ERROR. Long de x0 debe ser igual a Long de y0’) return end y=x*0; % y es un vector nulo de igual dimension que x for j=1:n p=ones(size(x)); for i=[1:j-1 j+1:n] p=p.*(x-x0(i))./(x0(j)-x0(i)); end y=y+p*y0(j); end return
Hemos testado el programa anterior para interpolar la funci´on exp(sen(6x)) en [0, π] en diversos puntos uniformemente distribuidos (a igual distancia). El resultado, junto con el error cometido se muestra en la Figura 11.2.
Ejercicio 11.2 Implementa la construcci´on del polinomio de interpolaci´on mediante la resoluci´on directa del sistema dado en (11.1). ¿Qu´e observas cuando el grado del polinomio crece?.
11.1.3.
F´ ormula de Newton
Es f´acil comprobar que la f´ormula de Lagrange tiene un costo computacional elevado. Por ello es necesario explorar formas alternativas de construir el polinomio de interpolaci´on y de proceder a su evaluaci´on. 2
Observa el for de la l´ınea 20
242
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
2
exp(-x).*sin(6.*x) polinomio de grado 5 polinomio de grado 9 polinomio de grado 13
1.5 1
r do rra Bo
0.5 0
-0.5 -1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Error
1.5 1
0.5 0
-0.5
polinomio de grado 5 polinomio de grado 9 polinomio de grado 13
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 11.2: Polinomios de interpolaci´on con diferentes grados y el error cometido.
Observa que la f´ormula de Lagrange se basa en tomar como base de Pn la dada por {L0 (x), L1 (x), . . . , Ln (x)}.
En esta base, las coordenadas del polinomio de interpolaci´on son simplemente los valores que toma la funci´on en los puntos donde se interpola. Es decir, no es necesario resolver ning´ un sistema de ecuaciones lineales (la matriz del sistema ser´ıa la matriz identidad). El precio que se paga como contrapartida es una evaluaci´on m´as cara del polinomio de interpolaci´on. Podemos explorar otras bases que, aumentando el costo de la resoluci´on del sistema, ofrezcan f´ormulas del polinomio de interpolaci´on cuya evaluaci´on sea menos costosa. Planteamos as´ı utilizar la base {1, (x − x0 ), (x − x1 )(x − x0 ), . . . , (x − xn−1 )(x − xn−2 ) · · · (x − x0 )}.
Es inmediato probar que es una base de los polinomios de grado n. Dicho de otra forma, cualquier polinomio de grado n se puede escribir (de forma u ´nica) como α0 + α1 (x − x0 ) + . . . + αn (x − xn−1 )(x − xn−2 ) · · · (x − x0 ).
(11.2)
Adem´as el sistema lineal que hay que resolver para obtener los coeficientes αj es ahora triangular superior, por lo que su resoluci´on es pr´acticamente directa en O(n2 ) operaciones. 243
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica
A´ un es m´as, si pn (x) interpola a f en n + 1 puntos, a˜ nadir un punto m´as (xn+1 , yn+1 ) es simplemente corregir el polinomio anterior en la forma siguiente pn+1 (x) = pn (x) + αn+1 (x − x0 ) · · · (x − xn ), donde
r do rra Bo
yn+1 − pn (xn+1 ) . (xn+1 − xn )(xn+1 − xn−1 ) · · · (xn+1 − x0 )
(11.3)
αn+1 =
(11.4)
Es decir, el trabajo hecho para calcular el polinomio de interpolaci´on en n + 1 puntos se puede utilizar si se desea a˜ nadir un punto m´as de interpolaci´on. Estas identidades se pueden utilizar para calcular el polinomio de interpolaci´on utilizando polinomios intermedios que vayan interpolando en subconjuntos crecientes de datos. Sin embargo, un an´alisis algo m´as detallado nos va a descubrir una manera m´as apropiada de calcular los coeficientes del polinomio de interpolaci´on. Siguiendo la notaci´on cl´asica, consideraremos que los valores yj que deseamos interpolar provienen de una funci´on f a priori desconocida, es decir, yj = f (xj ),
j = 0, . . . , n.
Escribiremos entonces el polinomio que interpola en {xk , . . . , xk+m } como sigue
f [xk ] + f [xk , xk+1 ](x − xk ) + . . . + f [xk , xk+1 , . . . , xk+m ](x − xk ) · · · (x − xk+m−1 ). (11.5)
La identidad (11.3) justifica el uso de esta notaci´on es correcta. Esto es, el coeficiente de (x − xk ) · · · (x − xk+r ) no depende de m. Obviamente, si k = 0 y m = n, entonces recuperaremos el polinomio de interpolaci´on en el conjunto inicial de valores. A estas alturas f [xk , xk+1 , . . . , xk+r ] son todav´ıa simples coeficientes del polinomio de cuyo c´alculo nos ocupamos a continuaci´on. Es inmediato comprobar que si n o p interpola en (x , f (x )), (x , f (x )), . . . , (x , f (x )) , n 0 0 1 1 n n n o qn interpola en (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )), . . . , (xn+1 , f (xn+1 )) , entonces
pn+1 (x) = qn (x) +
x − xn+1 (pn (x) − qn (x)), x0 − xn+1
(11.6)
es el polinomio que interpola en los n + 1 puntos n o (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )), . . . , (xn+1 , f (xn+1 )) .
Deteng´amonos un momento a examinar el coeficiente director de cada polinomio. El coeficiente en xn de pn y qn y el de xn+1 de pn+1 son respectivamente f [x0 , . . . , xn ],
f [x1 , . . . , xn+1 ]
f [x0 , . . . , xn+1 ].
Utilizando (11.6) deducimos que
f [x0 , x1 . . . , xn+1 ] =
f [x0 , . . . , xn ] − f [x1 , . . . , xn+1 ] . x0 − xn+1 244
(11.7)
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Como f [xj ] = f (xj )
r do rra Bo
(simplemente porque el polinomio de grado 0 que pasa por (xj , f (xj )) es la constante f (xj )), obtenemos una forma recursiva de calcular los coeficientes del polinomio de interpolaci´on. El algoritmo resultante se puede representar esquem´aticamente mediante el diagrama de la Figura 11.3. En la literatura, f [xk , . . . , xk+r ] recibe el nombre de diferencia dividida de order r, mientras que la forma de escribir el polinomio expuesta en (11.2) y (11.5) recibe el nombre de f´ ormula de Newton3 . Obviamente, a partir de la f´ormula de Newton podemos expresar el polinomio que interpola a f en los puntos {x0 , . . . , xn } en la forma f [x0 ] + (x − x0 ) f [x0 , x1 ] + (x − x1 ) f [x0 , x1 , x2 ] + (x − x2 ) . . . (11.8) +(x − xn−1 )f [x0 , x1 , . . . , xn ] , que es mucho m´as apropiada desde el punto de vista computacional que la forma cl´asica. En forma de pseudoc´odigo podemos proceder del siguiente modo para evaluar el polinomio de interpolaci´on utilizando la f´ormula de Newton: Diferencias divididas 01 02 03 04 05 06
07 08 09 10 11 12 13 14
x0 , y0 % datos n = length(x0 ) − 1 D(:, 0) = y0 ; for j=1:n for i=0:n-j D(i + 1, j − 1) − D(i, j − 1) D(i, j) = x0 (i + j) − x0 (i) end end % Evaluacion del polinomio y=D(0,n) for i=n-1:-1:0 y = (x − x0 (i)) ∗ y + D(0, i) end
Con la notaci´on anterior
D(i, j) = f [xi , xi+1 , . . . , xi+j ]
de forma que j es el orden de la diferencia e i el nodo donde empieza. 3
De nuevo los nombres utilizados dan idea de la antig¨ uedad de estas t´ecnicas. Newton hall´o esta forma de escribir el polinomio cuando estudiaba las f´ormulas de cuadratura de Newton-Cotes.
245
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica
Orden 0 x0
Orden 1
Orden 2
Orden 3
/ f [x0 , x1 , x2 ] / f [x0 , x1 , x2 , x3 ] / f [x0 , x1 ] 6 6 m m ll6 m m lll mmm mmm l m m l m m lll mmm mmm lll mmm mmm / f [x1 , x2 ] / f [x1 , x2 , x3 ] f (x1 ) = f [x1 ] 6 6 m mm mmm mmm mmm m m m m mm mm mmm mmm / f [x2 , x3 ] f (x2 ) = f [x2 ] m6 m m mmm mmm m m mm
f (x0 ) = f [x0 ]
r do rra Bo x1
x2
x3
f (x3 ) = f [x3 ]
Figura 11.3: Estructura del c´alculo de las diferencias dividas.
Ejercicio 11.3 Implementa el c´alculo del polinomio de interpolaci´on mediante diferencias divididas.
Soluci´ on. Nuestra intenci´on es, si no se especifican valores donde evaluar el polinomio, que se devuelva el polinomio escrito en forma simb´olica. Es decir, declararemos x como variable simb´olica y devolveremos el polinomio en esta variable. Podemos escoger hacerlo en forma expandida o bien simplemente escrito en la forma anidada. Nosotros hemos escogido hacerlo en la segunda forma. Por otro lado y entrando ya en el tema de su implementaci´on, en el algoritmo anterior todas las entradas de los vectores y matrices implicados se numeran de 0 a n. Hay que tener en cuenta, como ya hemos hecho repetidas veces, que la numeraci´on en Matlab comienza necesariamente en 1 y por tanto los vectores y bucles ir´an de 1 a n+1. Recordemos que n+1 es la longitud del vector de datos. Aunque en teor´ıa renumerar el algoritmo es algo sencillo, hay que hacerlo con cierto cuidado. Dicho esto, una implementaci´on posible es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
% NEWTONP % % Y= NEWTONP(X0,Y0) % % % Y= NEWTONP(X0,Y0,X) %
devuelve el polinomio que interpola en (X0,Y0) escrito en forma de Newton
devuelve en Y el polinomio interpolante evaluado en X
function y=newtonp(x0,y0,varargin)
x0=x0(:).’; y0=y0(:).’; n=length(x0)-1; if (length(y0)~=n+1) disp(’long de x0 debe ser igual long de y0’) 246
´ V LECCION return
end if nargin>2 x=varargin{1}; % evaluamos x else syms x; % x es una variable simbolica end % calculo de las diferencias divididas D=zeros(n+1); % matriz n+1 x n+1 de ceros D(:,1)=y0.’; for j=2:n+1 for i=1:n-j+2 D(i,j)=(D(i+1,j-1)-D(i,j-1))/(x0(i+j-1)-x0(i)); end end % evaluacion del polinomio D=D(1,:); % tomamos las diferencias que vamos a usar y=x.^0.*D(n+1); % asi y tiene la longitud de x for i=n:-1:1 y=(x-x0(i)).*y+D(i); end return
r do rra Bo
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Ejercicio 11.4 El bucle interno en las l´ıneas 25-27 se puede vectorizar. Hazlo.
Un an´alisis m´as detenido muestra que no es necesario definir toda una matriz D sino que es posible realizar todo el proceso con un vector. Para ello observa que las diferencias D(i, j) con s´olo se utilizan dos veces, para construir D(i − 1, j + 1) y D(i, j + 1). Esto se consigue modificando las l´ıneas 03-08 del algoritmo como sigue
Modificaci´ on 03 04 05 06
07 08
D = y0 ; for j=1:n for i=n:-1:j D(i) − D(i − 1) D(i) = x0 (i) − x0 (i − j) end end
247
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica
Observa que las diferencias se sobrescriben en el vector pero de una forma tal que un valor no es borrado hasta que ya ha sido utilizado. De ah´ı que el bucle en 05 vaya hacia atr´ as. Con esta modificaci´on D(i) =f [x0 , x1 , . . . , xi ].
r do rra Bo
Ejercicio 11.5 Retoca el programa newtonp seg´un las indicaciones anteriores.
Ejercicio 11.6 El algoritmo de Neville para la evaluaci´on del polinomio de interpolaci´on se basa en la identidad (11.6). Dado el punto x donde evaluar el polinomio de interpolaci´on y partiendo de n + 1 polinomios de grado cero que interpolan los datos ({x0 , x1 , . . . , xn }) procede a calcular el valor que toman en x los polinomios de grado 1 que interpolan en dos puntos ({{x0 , x1 }, {x1 , x2 }, . . . , {xn−1 , xn }}), seguidamente los de grado 2 interpolantes en tres puntos, ({{x0 , x1 , x2 }, {x1 , x2 , x3 }, . . . , {xn−2 , xn−1 , xn }}), y as´ı sucesivamente hasta llegar al polinomio final de grado n. En todos los casos es la identidad (11.6) la que permite calcular el valor del polinomio de grado k + 1 en funci´on de dos de grado k. La evaluaci´on se puede representar en forma de estructura en ´arbol, muy similar a la que se obtiene para las diferencias divididas. ¿Podr´ıas dise˜nar y programar este algoritmo?.
Nota. Observa que el m´etodo funciona a´ un cuando los puntos x0 , . . . , xn no est´en ordenados, aunque para una evaluaci´on del polinomio m´as estable es mejor que as´ı sea. Adem´as la definici´on de las diferencias divididas no depende del orden de los puntos f [x0 , . . . , xi , . . . , xj , . . . xn ] = f [x0 , . . . , xj , . . . , xi , xn ].
De forma alternativa se puede escribir el polinomio de interpolaci´on mediante
f [xn ] + f [xn , xn−1 ](x − xn ) + . . . + f [xn , xn−1 , . . . , x0 ](x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ). (11.9)
En este caso se habla de diferencias regresivas, mientras que en el caso que hemos tratado reciben el nombre de diferencias progresivas.
Ejercicio 11.7 Modificar los algoritmos anteriores para trabajar con las diferencias regresivas. Interpolaci´ on en Matlab
La interpolaci´on polin´omica est´a implementada en Matlab con polyfit. La sintaxis es >> p=polyfit(x0,y0,n)
donde x0 e y0 son los puntos a interpolar y n es el grado del polinomio utilizado. Si n se toma igual a length(x0) − 1, devuelve el polinomio de interpolaci´on mientras que para n menor calcula el polinomio que mejor aproxima a los puntos por m´ınimos cuadrados4 . Para evaluar el polinomio se recurre a polyval. El algoritmo que utiliza Matlab es el directo, construyendo simplemente la matriz de Vandermonde y resolviendo el sistema mediante una descomposici´on QR que es m´as estable num´ericamente. Sin embargo, con un n´ umero (muy) elevado de puntos, la inestabilidad num´erica subyacente se hace palpable. 4
Es decir, calcular el polinomio de grado n, que minimiza
X i
248
(p(xi ) − yi )2 .
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Ejercicio 11.8 Interpola la funci´on cos(8πx) en [0, 1] con 20,40, 80 y 160 puntos utilizando el comando polyfit y las funciones lagrangep y newtonp y dibuja el resultado. ¿Qu´e observas?.
11.1.4.
An´ alisis del error de interpolaci´ on
r do rra Bo El error entre la funci´on y el polinomio de interpolaci´on se puede estudiar utilizando algunas propiedades de las diferencias divididas que detallaremos m´as adelante. En cualquier caso, el resultado relevante es el siguiente: si f es la funci´on regular que interpolamos en {x0 , x1 , . . . , xn } ⊂ [a, b], entonces el error en cada punto se puede escribir f (x) − pn (x) =
1 f (n+1) (ξx ) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) | {z } (n + 1)!
(11.10)
ωn (x)
donde ξx ∈ [a, b] depende de x. Vemos que hay varias contribuciones al error final: el factor 1/(n + 1)! que tiende r´apidamente a 0,
un factor que depende del crecimiento de la derivada n + 1,
un t´ermino que depende de la colocaci´on de los nodos de interpolaci´on y que puede ser muy oscilante.
En vista de lo anterior ser´ıa f´acil concluir que hay convergencia del polinomio de interpolaci´on a la funci´on si ´esta es suave. Dicho de otra manera, funci´on y polinomio se volver´ıan indistinguibles si tom´asemos un n´ umero elevado de puntos. 5 on anterior es falsa. Uno de los primeros (conDesafortunadamente , la conclusi´ 6 tra)ejemplos lo encontr´o Carl Runge a finales del siglo XIX7 . Consist´ıa en interpolar la funci´on 1 f (x) = 1 + 25x2 en el intervalo [−1, 1] en un conjunto uniforme de puntos. El resultado (desastroso) se muestra en la Figura 11.4. Una forma de reducir el error es controlar la funci´on ωn (x) para que sea lo m´as peque˜ na posible. As´ı, el problema se plantea en los siguientes t´erminos8 ¿Qu´e elecci´on de los nodos {x0 , x1 , . . . , xn } hace que m´axx |ωn (x)| sea m´ınimo?.
5 Y contraintuitivamente. ¿C´ omo entender si no que dos funciones regulares que coincidan en un n´ umero cada vez mayor de puntos no acaben siendo muy similares? 6 Matem´atico alem´ an de finales del siglo XIX. Tambi´en es conocido por ser codesarrollador del M´etodo Runge-Kutta para la resoluci´ on de problemas de valor inicial. 7´ Este fue el siglo de la fundamentaci´ on de las Matem´aticas. Se prob´o que multitud de resultados que se ten´ıan como evidentes eran falsos y fue necesario reconstruir las Matem´aticas desde su base. Por ejemplo, en el mismo siglo se mostr´ o la existencia de funciones no continuas en ning´ un punto, de funciones continuas pero no derivables en ning´ un punto, as´ı como de funciones con un n´ umero infinito de m´aximos y m´ınimos locales. Tambi´en se construyeron curvas que rellenaban el plano, curvas cerradas que englobando una ´area finita ten´ıan una longitud infinita (fractales)... Algunas de estas construcciones, originarias esencialmente en las Matem´ aticas puras han encontrado en el siglo XX aplicaciones a problemas de ´ındole esencialmente pr´actico. 8 Un problema min-max: minimizar un m´aximo.
249
´ V LECCION
11.1 Interpolaci´on polin´omica
2 1.5 1 0.5 0
r do rra Bo 2
1./(1+25.*x. ) polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20
-0.5 -1
-1.5
-2 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Error
4 3 2 1 0
-1
polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20
-2 -3
-4 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 11.4: Ejemplo de Runge. Polinomio de interpolaci´on y error cometido.
´ Este es un problema cl´asico que fue resuelto por Pafnuty Lvovich Chebyshev9 en t´erminos de una familia de polinomios conocidos como polinomios de Chebyshev de primer tipo. Para un intervalo arbitrario [a, b], la disposici´on de los n + 1 puntos de interpolaci´on que minimizan el m´axx∈[a,b] |wn (x)| es la dada por los puntos π a+b b−a kπ xk := + cos + , 2 2 2n + 2 n + 1
k = 0, . . . , n.
(11.11)
Es f´acil comprobar que la distribuci´on de puntos no es en medida alguna uniforme sino que tiende a concentrar puntos en los extremos. La elecci´on de estos puntos para la interpolaci´on no asegura la convergencia del polinomio pero s´ı permite controlar mejor uno de los t´erminos que m´as r´apido pueden crecer con n, con lo que en la pr´actica se traduce en mejores resultados10 . De hecho con esta elecci´on, 1 m´ax |ωn (x)| = n x∈[a,b] 2 9
Matem´atico ruso del siglo XIX. Estos polinomios surgieron en sus estudios en aproximaci´on de funciones por polinomios. Chebyshev hizo tambi´en importantes contribuciones en Teor´ıa de la Probabilidad. 10 Dicho de otra manera, es m´ as dif´ıcil dar con un ejemplo para el que esta disposici´on de nodos d´e un polinomio interpolante que no converja a la funci´on original.
250
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
de forma que ωn (x) → 0 cuando n → ∞ (adem´as esta convergencia es r´apida). En la Figura 11.5 observamos como ahora el polinomio interpolante para el ejemplo de Runge converge a la funci´on.
r do rra Bo
2
1.5 1
0.5 0
1./(1+25.*x.2) polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20
-0.5 -1
-1.5
-2 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Error
4 3 2 1 0
-1
polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20
-2 -3
-4 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 11.5: Ejemplo de Runge con otros nodos.
Ejercicio 11.9 Elege un intervalo arbitrario [a, b] y crea un fichero script que muestre la disposici´on de los puntos dados por (11.11). Dibuja los puntos obtenidos para diferentes valores de n. Dibuja tambi´en el polinomio ωn (x). ¿A qu´e funci´on te recuerda?. Ejercicio 11.10 (te´orico) Se trata de probar una serie de propiedades de las diferencias divididas de las que finalmente se deduce la estimaci´on del error del polinomio de interpolaci´on dada en (11.10). (1) Prueba que f (j) (x) − p(j) (x) se anula en n + 1 − j puntos para j = 0, . . . , n + 1. (2) Utilizando (1), prueba que existe ξ tal que
f [x0 , . . . , xn ] =
f (n) (ξ) . n!
(3) Fijemos y ∈ [a, b]. Entonces
f (x) = pn (y) + f [x0 , . . . , xn , y](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ). Utiliza ahora (2) para probar la estimaci´on del error dada en (11.10). 251
´ V LECCION
11.2 Extensiones adicionales
(Ayuda: El Teorema de Rolle establece que si g es derivable en [a, b] con g(a) = g(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que g 0 (c) = 0. Aplicando este resultado, concluimos que existe αj ∈ (xj , xj+1 ) (j = 0, . . . , n − 1) tal que
r do rra Bo
f 0 (αj ) − p0 (αj ) = 0.
Se puede aplicar el mismo resultado para probar que existen n − 2 puntos tales que f 00 (βj ) = p00 (βj ) y as´ı sucesivamente.)
11.2.
Extensiones adicionales
11.2.1.
Interpolaci´ on de Hermite
La interpolaci´on de Hermite incorpora las derivadas como datos adicionales. Concretamente, partimos de este conjunto de datos (x0 , f (x0 )), . . . , (x0 , f (m0 ) (x0 )) (x1 , f (x1 )), . . . , (x1 , f (m1 ) (x1 )) .............................. (xn , f (xn )), . . . , (xn , f (mn ) (xn ))
Observa que estamos asumiendo que no hay huecos en los datos. Esto, si por ejemplo la derivada de orden 2 es dato, tambi´en lo es el valor de la funci´on y su primera derivada. El n´ umero total de datos es N := (m0 + 1) + (m1 + 1) + · · · + (mn + 1),
por lo que el polinomio deber´ıa tener grado N − 1. El an´alisis de este problema no tiene mayor dificultad que el ya realizado para la interpolaci´on polin´omica de Lagrange. La clave est´a en la fuerte relaci´on entre diferencias divididas y derivada, mostrada en el Ejercicio 11.10. As´ı, se hace la siguiente interpretaci´on: f [ xk , . . . , xk ] := f (m) (xk ). | {z } m + 1 veces
La idea es ordenar los nodos y tomarlos repetidos seg´ un el n´ umero de datos que consideramos en cada punto de forma que tomaremos los N nodos {x0 , x0 , . . . , x0 , x1 , x1 , . . . , x1 , . . . , xn , xn , . . . , xn .} {z } | {z } {z } | | m0 +1
m1 +1
mn +1
Las diferencias divididas se definen de nuevo de forma recursiva (m) f (xi ) , m! f [xi , xi+1 , . . . , xi+m ] := f [xi , x1 , . . . , xi+m−1 ] − f [xi+1 , x1 , . . . , xi+m ] , xi − xm 252
si xi = xi+m ,
en otro caso,
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
y el polinomio de interpolaci´on se construye exactamente como antes, es decir, utilizando la f´ormula (11.8) con las nuevas definiciones de los nodos y de las diferencias divididas. El c´alculo de las diferencias y la evaluaci´on del polinomio en un punto en el caso de la interpolaci´on de Hermite puede describirse en lenguaje de pseudoc´odigo de la siguiente forma: Diferencias divididas para la interpolaci´ on Hermite
r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18
x0 , y0 datos n = length(x0 ) − 1 D = y0 ; for j=1:n for i=n:-1:j if x0 (i) == x0 (i − j) D(i) = D(i)/j else D(i) − D(i − 1) D(i) = x0 (i) − x0 (i − j) end end end % Evaluacion del polinomio y=D(n); for i=n-1:-1:0 y = (x − x0 (i)) ∗ y + D(i) end
En este algoritmo la tabla de diferencias divididas se almacena de forma compacta, como se sugiri´o en el Ejercicio 11.5. Observa que desde el punto de vista computacional las diferencias con respecto a la interpolaci´on de Lagrange son m´ınimas. Ejercicio 11.11 Entiende bien el algoritmo anterior. Implementa la interpolaci´on de Hermite seg´un el siguiente prototipo 01 02 03 04 05 06 07 08
HERMITEP
Y=HERMITEP(X0,Y0) Devuelve en Y el polinomio de interpolacion de Hermite X0 debe estar ordenados. Los nodos repetidos se interpretan como derivadas sucesivas en ese punto Y=HERMITE(X0,Y0,X) Devuelve en Y la evaluacion del polinomio en X
Observa que, una vez implementada esta funci´on, >> x0=[0 0 0 0 0 0]; y0=[1 1 1 1 1 1]; >> p=hermitep(x0,y0) 253
´ V LECCION
11.2 Extensiones adicionales
devuelve de hecho el polinomio de Taylor de orden 5 de f (x) = exp(x) en el cero. La orden >> simple(hermitep(x0,y0)) hace m´as evidente esta identidad.
r do rra Bo 11.2.2.
Interpolaci´ on de funciones peri´ odicas
Si una funci´on es peri´odica es natural reemplazar en el problema de interpolaci´on los polinomios por funciones peri´odicas sencillas con el mismo periodo. Por simplificar, vamos a suponer que estamos considerando u ´nicamente funciones 2π–peri´odicas, aunque las ideas que a continuaci´on expondremos se extienden f´acilmente a funciones con cualquier periodo. Concretamente, si se trata de funciones 2π–peri´odicas podemos utilizar sen(nx),
cos(nx),
n ∈ N ∪ {0}
para interpolarlas, o bien,
exp(inx),
n ∈ Z.
Ambas son equivalentes, como ya vimos en la Lecci´on 3 con la FFT, pero la utilizaci´on de exponenciales complejas facilita tanto el an´alisis como la manipulaci´on as´ı como la extensi´on de la interpolaci´on a funciones complejas Supongamos que tomamos un n´ umero impar 2n+1 de puntos de interpolaci´on equidistantes: 2kπ , k = 0, . . . , 2n. xk = 2n + 1 El problema queda as´ı definido: calcular p2n+1 (x) :=
n X
αj exp(ijx)
j=−n
tal que
n X
2πijk . yk = p2n+1 (xk ) = αj exp 2n + 1 j=−n
La resoluci´on de este problema se puede llevar a cabo con la transformada de Fourier Discreta, y por tanto es aplicable la FFT. Ejercicio 11.12 Comprueba que efectivamente se reduce todo a una transforma de Fourier discreta. (Ayuda: Observa que
2πi(2n + 1 − j)k 2πijk exp − = exp . 2n + 1 2n + 1
Por tanto el problema es equivalente a encontrar αj tales que yk = p2n+1 (xk ) =
n X j=0
2n 2πijk 2πijk X αj exp + α2n+1−j exp . 2n + 1 2n + 1
!
j=n+1
Ejercicio 11.13 ¿Qu´e pasa si se toma un n´umero par de puntos de interpolaci´on? 254
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Nota. El interpolante converge a la funci´on bajo hip´otesis mucho m´as d´ebiles que en el caso no peri´odico. Por ejemplo, basta con que la funci´on tenga derivada continua. No existen por tanto fen´omenos como el de Runge para funciones peri´odicas con condiciones m´ınimas de regularidad.
r do rra Bo 11.2.3.
Interpolaci´ on polin´ omica a trozos
Los polinomios tienen un importante inconveniente que desaconseja su utilizaci´on para la interpolaci´on en un n´ umero elevado de puntos. La Figura 11.6 ilustra esta problem´atica con un problema de interpolaci´on para el que el polinomio correspondiente exhibe un comportamiento ciertamente irracional. Ello se debe a que se obliga a que el polinomio sea pr´acticamente constante en dos zonas con un salto en medio. El polinomio es excesiva´ltima medida provoca que ´este se rompa. mente r´ıgido11 que en u
2
1.5
1
0.5
0
-0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 11.6: Rigidez polin´omica
Como forma de solventar estos problemas se opta por utilizar elementos m´as complicados pero que sean m´as flexibles. Uno de los elementos m´as populares son los splines. Un spline12 es una funci´on polin´omica a trozos que cuenta con cierta regularidad. Es decir, diferentes polinomios sobre diferentes subintervalos se unen exigiendo adem´as que la funci´on resultante sea continua y derivable hasta cierto orden. Los representantes m´as sencillos son las constantes a 11
Es un s´ımil con lo que sucede si se dobla una vara muy r´ıgida. El problema al utilizar polinomios es que basta modificar un s´ olo dato para que el polinomio se cambie en todo el dominio, en muchas ocasiones sin ning´ un control. Sin embargo, en un interpolante uno deber´ıa esperar que la modificaci´on de un punto afectara s´olo al entorno de dicho punto. 12 aceptaremos el anglicismo a partir de ahora.
255
´ V LECCION
11.2 Extensiones adicionales
r do rra Bo
trozos y las poligonales. En este u ´ltimo caso, se trata sencillamente de unir los puntos por segmentos obteni´endose una curva poligonal. Sin embargo para las constantes a trozos no podemos exigir continuidad y para las poligonales no podemos exigir derivabilidad en los puntos de contacto (tiene picos). Los splines c´ ubicos son probablemente los m´as utilizados. Partiendo de una subdivisi´on del intervalo a = x0 < x1 < · · · < xn = b, se trata de construir una funci´on sn tal que sn (x)|[xi ,xi+1 ] ∈ P3 ,
i = 0, . . . , n − 1,
es decir, sea un polinomio de grado tres en cada subintervalo, cumpliendo que sn (xi ) = yi , ,
i = 0, . . . , n,
esto es, que tome unos valores prefijados en los puntos de interpolaci´on y de modo que tanto la funci´on sn como sus derivadas primera y segunda sean continuas13 en todo el intervalo [a, b]. Por tanto tenemos que exigir que l´ım s(j) ım− s(j) n (x) = l´ n (x),
x→x+ j
j = 0, 1, 2.
x→xj
La continuidad de la primera derivada preserva la existencia de recta tangente (no hay picos) y por tanto la velocidad de recorrido de la curva, mientras que con la continuidad de la derivada segunda garantizamos que curvatura de la curva sea tambi´en continua en todo el dominio de definici´on. Dado que tenemos n subintervalos, y cuatro par´ametros sobre cada intervalo (sn es un polinomio de grado 3 en cada intervalo), disponemos de 4n variables. Por contra, los datos de interpolaci´on fijan n + 1 restricciones y las condiciones de continuidad del spline y de sus dos primeras derivadas en las interfaces de los subintervalos dan otras 3n condiciones. En total tenemos n + 1 + 3(n − 1) = 4n − 2 restricciones, por lo que el problema precisa fijar dos condiciones adicionales para poder hablar, siquiera plantear, la unicidad del spline. Estas son algunas de las elecciones habituales s00n (x0 ) = s00n (xn ) = 0, spline natural.
Datos adicionales s0n (x0 ) = y−1 , s0n (xn ) = yn+1 , spline grapado.
Condiciones de periodicidad: si los datos son peri´odicos se puede imponer s0n (x0 ) = odico. s0n (xn ), s00n (x0 ) = s00n (xn ), spline peri´
No nos detendremos a detallar como se prueba la existencia y unicidad de tales splines, ni la forma de calcularlos. Baste decir que se recurre a t´ecnicas m´as eficientes, y por tanto complejas, que la forma directa que se deduce de su definici´on. Entre las buenas propiedades de los splines destacamos que convergen a la funci´on si ´esta es continua. A´ un es m´as, si la funci´on f que se interpola es regular (de hecho basta con que su derivada cuarta sea continua) m´ax |sn (x) − f (x)| ≤ C m´ax(xj+1 − xj )4 x
j
con C una constante dependiente de f pero independiente de los puntos. 13
Si forz´aramos la continuidad de la tercera derivada tendr´ıamos globalmente un polinomio de grado tres.
256
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
r do rra Bo
Nota. Los splines tienen un origen muy natural. Exist´ıa una herramienta de dibujo, ya anticuada, que recib´ıa el nombre de spline, o trazador en castellano. Consist´ıa en una especie de regla hecha de un material flexible que se moldeaba para hacer coincidir el trazado por una serie de puntos. La curva as´ı trazada es f´ısicamente equivalente a resolver el problema de construir una curva que pase por una serie de puntos y que minimice la energ´ıa el´astica. La soluci´on matem´atica a este problema es un spline natural (polinomio c´ ubico a trozos con derivada segunda nula en los extremos) lo que justifica su denominaci´on. Se pueden definir splines de mayor grado, siguiendo exactamente la idea anterior, esto es, pegando polinomios a trozos y dando la mayor regularidad posible. Splines en Matlab
Matlab dispone de dos comandos encargados de esta tarea: ppval
spline
El primero (piecewise polynomial value) eval´ ua una funci´on polin´omica a trozos. Uno de sus argumentos es la propia estructura de la funci´on seg´ un una sintaxis propia de Matlab. La segunda instrucci´on devuelve una estructura de este tipo que contiene el spline que interpola a datos. A modo de ejemplo, he aqu´ı el spline natural que interpola a los datos desplegados en la Figura 11.714 >> >> >> >> >>
x0=linspace(0,1,21); y0=[zeros(1,6) ones(1,15)]; p1=spline(x0,y0); % spline natural x=linspace(0,1,200); h=plot(x0,y0,’o’,x,ppval(p1,x),’r’,’linewidth’,2);
Por otro lado Matlab tiene implementada una serie de funciones para trabajar con splines m´as generales en una toolbox. Al ejecutar splinetool podemos acceder a un entorno gr´afico donde testar las capacidades de Matlab en este campo.
Ejercicio 11.14 Se plantea el siguiente problema: dada una serie de puntos en el plano n o (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) construir una curva en param´etricas
x(t) := (x(t), y(t)),
t ∈ [0, T ]
(11.12)
tal que
x(tj ) = (xj , yj ).
(11.13)
Una buena elecci´on es utilizar splines. Para ello se trata de calcular dos splines cx(t) y cy(t) que satisfagan, obviamente, cx(tj ) = xj , 14
cy(tj ) = yj .
Los splines siguen conservando cierta rigidez pero se adaptan mucho mejor a los datos.
257
´ V LECCION
11.2 Extensiones adicionales
1.2
1
r do rra Bo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 11.7: Interpolaci´on con splines c´ ubicos naturales
Tenemos as´ı dos problemas de interpolaci´on desacoplados, esto es, cada uno se resuelve independiente del otro. Queda como cuesti´on pendiente la elecci´on de T en (11.12) y de los puntos tj en (11.13). Una buena elecci´on es tomar q hj := (xj+1 − xj )2 + (yj+1 − yj )2 , que coincide con la longitud del segmento que une (xj , yj ) y (xj+1 , yj+1 ), y hacer luego t0 = 0,
tk := h0 + h1 + . . . + hk−1 ,
T = tn .
Una vez ya calculados, la curva se dibuja evaluando x(t) := (cx(t), cy(t)),
t ∈ [0, T ].
Implementa un programa que siga este prototipo
01 02 03 04 05
SPLINE2D
SPLINE2D(X,Y) Traza una curva en el plano que pasa por (X(i),Y(i)) utilizando splines cubicos
Ejercicio 11.15 El comando ginput permite introducir los puntos a trav´es del rat´on. Lee bien la ayuda y modifica el programa anterior para que haga posible la lectura de los datos con el rat´on en caso de que se llame a la funci´on sin argumentos. Entre las posibilidades que ofrece est´a la de controlar qu´e tecla o bot´on del rat´on se ha utilizado. 258
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Ayuda. Deduce qu´e realiza el siguiente c´odigo...
r do rra Bo
x0=[]; y0=[]; n=length(x0); salir=0; cla xlim([0,1]); ylim([0,1]) while salir==0 [xi,yi,b]=ginput(1); if b==3 % boton derecho del raton cla if n>0 % borramos el ultimo punto x0(n)=[]; y0(n)=[]; plot(x0,y0,’ro’) xlim([0,1]); ylim([0,1]) n=n-1; end elseif isempty(b) % Se ha pulsado return: finalizamos lectura salir=1; elseif b==2 % boton central: finalizamos la lectura salir=1 else % introducimos el punto x0=[x0 xi]; y0=[y0 yi]; plot(x0,y0,’o’) n=n+1; axis([0 1 0 1]) end end
Nota. El comando gtext es similar a ginput. Despliega un texto en el punto seleccionado con el rat´on.
11.3.
Curvas B´ ezier
Las curvas B´ezier son curvas en el plano que quedan determinadas por un conjunto de puntos que marcan su recorrido, aunque estas curvas no pasan necesariamente por ´ todos los puntos. Estos forman un pol´ıgono de control en el siguiente sentido: la curva est´a contenida en el pol´ıgono formado por esos puntos e imita con cierta libertad la poligonal que dibujan. La curva se construye utilizando los polinomios de Bernstein de orden n: n j n Bj (t) = t (1 − t)n−j , j = 0, 1, . . . , n. j Es un simple ejercicio comprobar que los polinomios cumplen las siguientes propiedades:
{Bjn }nj=0 son una base de Pn . Dicho de otra forma, cualquier polinomio se puede escribir como una combinaci´on de estos polinomios. 259
´ V LECCION
11.3 Curvas B´ezier n X
Bjn (t) = 1,
∀t ∈ R.
j=0
A partir de unos puntos con i = 0, . . . , n,
r do rra Bo
xi = (xi , yi ),
se construye ahora la curva de B´ezier utilizando estos polinomios: S(t) :=
n X
Bjn (t)xj
=
j=0
n X
Bjn (t)xj ,
j=0
n X
Bjn (t)yj
,
t ∈ [0, 1].
j=0
El par´ametro t se mueve de forma que para t = 0 estamos en el punto inicial y para t = 1, en el final. N´otese que los puntos utilizados para dibujar la curva est´ an ordenados: hay un punto inicial x0 , uno final xn y a xj le sigue xj+1 ... Podemos comprobar (v´ease la Figura 11.8), que la curva se adapta a la forma que marcan los puntos. Sin embargo, u ´nicamente podemos garantizar que esta curva pasar´a por el primer y u ´ltimo punto ya que S(0) = x0 y S(1) = xn pero en general S(t) 6= xj para j 6= 0, n.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
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0.2
0
0
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0.6
0.8
1
Figura 11.8: Curvas B´ezier para algunas configuraciones de puntos.
260
´ V LECCION
Cap´ıtulo 11. Interpolaci´on. Curvas B´ezier
Ejercicio 11.16 Utilizando el c´odigo mostrado en el Ejercicio 11.15, programa las curvas B´ezier. Compara con las curvas que definen la interpolaci´on por splines y la polin´omica.
r do rra Bo
Ejercicio 11.17 Implementa la siguiente extensi´on del programa anterior: permitir que el usuario seleccione puntos y pueda moverlos o borrarlos (por ejemplo, con el bot´on derecho del rat´on) y as´ı comprobar la sensibilidad de la curva al pol´ıgono de control. Una sugerencia: una vez le´ıdos los puntos, y dibujada la correspondiente curva nos situamos de nuevo en la ventana gr´afica con ginput y leemos la selecci´on hecha por el rat´on. Ahora hay tres opciones Si pulsamos cerca de un punto, entendemos que hemos seleccionado dicho punto.
• Si se ha pulsado con el bot´on derecho lo eliminamos del dibujo, redibujamos la curva y esperamos de nuevo. • Si pulsamos cerca de un punto con el bot´on izquierdo entendemos que vamos a mover ese punto. Esperamos otra selecci´on del rat´on (otro ginput), reemplazamos el punto seleccionado por el nuevo y redibujamos.
Si pulsamos lejos de todos los puntos, entendemos que a˜nadimos un nuevo punto. Llam´emoslo y. En este punto hay un tema no trivial: c´omo ordenamos el nuevo punto y respecto a los puntos anteriores {xj }.
y
xj
θj
x j+1
x j+2
Figura 11.9: Ordenaci´on de nodos para la curva B´ezier.
Una forma de determinar15 este orden es medir el ´angulo entre los vectores u=− x−→ j y,
−→ v=− x− j+1 y
y quedarse con aqu´el para el que ´angulo θj sea mayor (v´ease la Figura 11.9). Para ello, basta utilizar que |u · v| | cos(θj )| = . kukkvk
15
Gracias a Jon Garc´ıa por sugerirnos esta soluci´on.
261
´ V LECCION
11.3 Curvas B´ezier
Escogeremos entonces j para que | cos(θj )| sea m´ınimo, y construiremos la curva B´ezier con puntos {x1 , . . . , xj , y, xj+1 , . . . , xn } {xj , xj+1 }.
r do rra Bo Nota. Las curvas B´ezier fueron introducidas por los ingenieros Pierre B´ezier y Paul de Casteljau, que trabajaban entonces en Renault y Citr¨oen. Concretamente, buscaban herramientas para el dise˜ no de parachoques de forma que la curva que diera su forma fuera controlada por una serie de puntos y que tuviera buenas propiedades geom´etricas. Los algoritmos iniciales (todav´ıa se utilizan en la pr´actica hoy en d´ıa) segu´ıan ideas un tiempo en darle la forma que hemos mostrado, m´as muy geom´etricas16 , y se tard´o alg´ matem´atica. Como resultado de este estudio surgieron las curvas B-spline, que reemplazaban a los polinomios de Bernstein por splines de grados adecuados. Las curvas B-spline son m´as flexibles que las curvas B´ezier y en su caso l´ımite incluyen a ´estas. Por lo tanto pueden interpretarse como una generalizaci´on de las mismas. Por otro lado existen formas mucho m´as eficientes de evaluar y calcular este tipo de curvas que permiten en u ´ltima media su implementaci´on en una forma m´as interactiva, de forma que el usuario mueva los puntos (cambie el pol´ıgono de control) y que la curva se redibuje constantemente.
16
La versi´on original ni siquiera hablaba de polinomios.
262
r do rra Bo
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264
r do rra Bo
´Indice de figuras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Pantalla Principal. Pantalla de ayuda. Ayuda con helpwin Ayuda on line. . . .
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4.1.
Diagrama de un matriz sparse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.
Resultado de reordenar las filas y columnas con symrcm y symmmd. Eliminaci´on gaussiana y su representaci´on como un grafo. . . . . . Historial del residuo para el m´etodo del Gradiente. . . . . . . . . . Historial del residuo para el m´etodo del Gradiente Conjugado . . . Efecto del en el Gradiente Conjugado. . . . . . . . . . . . . . . . .
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73 75 93 98 103
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.
Reglas de cuadratura: punto medio y trapecio Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama del m´etodo de Romberg . . . . . . . Integraci´on adaptativa . . . . . . . . . . . . . √ Integraci´on adaptativa de x . . . . . . . . . Primeras exponenciales trigonom´etricas. . . . . Coeficientes de Fourier y transformada discreta Ruido y su Transformada de Fourier Discreta . Filtrado del ruido . . . . . . . . . . . . . . . .
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116 119 128 130 133 136 143 144 145
9.1. 9.2.
Profile aplicado al m´etodo de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Una web muy sencilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11.
Ventana gr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ventana gr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Edici´on de un dibujo. . . . . . . . . . . . . . . . Una muestra de dibujos. . . . . . . . . . . . . . Modificaci´on del entorno del dibujo. . . . . . . . Ejemplo de numeraci´on con subplot. . . . . . . Disposici´on simult´anea de gr´aficas con subplot. Un dibujo en 3D con plot3. . . . . . . . . . . . Icono para rotar los dibujos. . . . . . . . . . . . Ejemplo de una superficie creada con surf. . . . Otro ejemplo de surf. . . . . . . . . . . . . . . 265
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10 15 16 17
208 210 212 214 218 219 221 222 223 224 225
Utilizaci´on de nan en un dibujo. . . Algunas opciones con surf. . . . . Esferas en 3D. . . . . . . . . . . . . Una superficie con surf y pcolor. . L´ıneas de nivel . . . . . . . . . . . . Campo de velocidades con quiver . Triangulaci´on no conforme. . . . . . Numeraci´on de tri´angulos . . . . . . Un dominio mallado en tri´angulos. .
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226 228 230 231 232 233 235 236 237
11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9.
Dos formas de escribir y evaluar un polinomio. . . . . . . . . . . . . . Polinomios de interpolaci´on con diferentes grados y el error cometido. Estructura del c´alculo de las diferencias dividas. . . . . . . . . . . . . Ejemplo de Runge. Polinomio de interpolaci´on y error cometido. . . . Ejemplo de Runge con otros nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rigidez polin´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolaci´on con splines c´ ubicos naturales . . . . . . . . . . . . . . . Curvas B´ezier para algunas configuraciones de puntos. . . . . . . . . . Ordenaci´on de nodos para la curva B´ezier. . . . . . . . . . . . . . . .
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240 243 246 250 251 255 258 260 261
r do rra Bo
10.12. 10.13. 10.14. 10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20.
266
r do rra Bo
´Indice general
1. Introducci´ on 1.1. ¿Qu´e es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ¿C´omo trabaja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. ¿C´omo aprenderemos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 2 4
I Primeros pasos en Matlab. M´etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales
5
2. Matlab: Primeros pasos 2.1. Entorno de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Comandos de ayuda . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ficheros script y funciones . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Ficheros script . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Definici´on de matrices y vectores . . . . . . 2.5.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Detalles adicionales . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Acceso a partes de matrices . . . . . . . . . 2.6. Bucles y estructuras de decisi´on . . . . . . . . . . . 2.6.1. Bucles: el comando for . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Operadores l´ogicos y estructuras de decisi´on
. . . . . . . . . . . . . .
9 9 14 16 19 19 19 22 22 24 25 27 30 30 31
. . . . . . . .
37 37 38 41 43 44 44 47 48
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3. M´ etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales 3.1. M´etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. M´etodo de Gauss sin pivotaje . . . . . . . . . . . 3.1.2. M´etodo de Gauss con pivotaje parcial . . . . . . . 3.1.3. M´etodo de Gauss con pivotaje parcial ficticio . . 3.2. Descomposiciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Descomposici´on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Comandos correspondientes en Matlab . . . . . . 267
. . . . . . . . . . . . . .
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II
Programaci´ on Avanzada. M´ etodos iterativos . . . . .
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55 55 55 60 64 66
iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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71 71 76 77 78 79 88
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r do rra Bo
4. Matlab: programaci´ on avanzada 4.1. Retorno a las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Acceso a partes estructuradas de una matriz 4.1.2. M´as operaciones sobre matrices . . . . . . . 4.1.3. Matrices sparse . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Argumentos de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
51
5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos 5.1. M´etodo de Gauss para matrices sparse . . 5.2. M´etodos iterativos para sistemas lineales . 5.2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Detalles sobre la implementaci´on . 5.2.3. M´etodos iterativos cl´asicos . . . . . 5.2.4. M´etodos de tipo gradiente . . . . .
III Funciones como argumento. Recursividad F´ormulas de cuadratura. FFT 6. Matlab: Funciones como argumentos. 6.1. Funciones inline . . . . . . . . . . . 6.2. Funciones como argumentos . . . . . 6.2.1. Recursividad . . . . . . . . .
105
Recursividad 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7. F´ ormulas de cuadratura. FFT 7.1. F´ormulas de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Primeras nociones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Reglas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Retorno a las reglas compuestas . . . . . . . . . 7.1.4. Reglas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5. Extrapolaci´on de Richardson . . . . . . . . . . . 7.1.6. Integraci´on adaptativa . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Transformada r´apida de Fourier . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Transformada de Fourier discreta . . . . . . . . 7.2.2. C´alculo de la transformada de Fourier Discreta . 7.2.3. Aplicaciones a la eliminaci´on de ruido . . . . . . 7.2.4. Transformada r´apida de Fourier . . . . . . . . .
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115 115 115 118 122 125 126 129 134 135 140 142 144
IV C´ alculo simb´ olico, arrays y celdas en Matlab. Valores y vectores propios. Google. 153 8. Matlab: C´ alculo simb´ olico y estructuras de datos. 157 8.1. Polinomios y c´alculo simb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 268
8.2. Procesador simb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.3. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.4. Vectores de celdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
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171 171 173 174 174 178 179 179 183 185 186 192 193 195 196 196
r do rra Bo
9. C´ alculo num´ erico de valores y vectores propios. 9.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. M´etodo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Descripci´on del m´etodo . . . . . . . . . . . 9.3.2. Variantes del m´etodo de potencias . . . . . 9.4. M´etodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. Descripci´on del m´etodo . . . . . . . . . . . 9.4.2. Variantes del m´etodo de Jacobi . . . . . . 9.5. M´etodo QR de Francis . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Factorizaci´on QR . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. M´etodo QR de Francis . . . . . . . . . . . 9.5.3. Comentarios adicionales . . . . . . . . . . 9.6. Valores y vectores propios en Matlab . . . . . . . 9.7. Notas hist´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Salidas gr´aficas en Matlab. Interpolaci´on
10.Matlab: Salidas gr´ aficas en Matlab 10.1. Dibujos bidimensionales . . . . . . 10.1.1. El comando plot . . . . . . 10.1.2. Comandos asociados a plot 10.1.3. Comandos get y set . . . . 10.1.4. El comando subplot . . . . 10.1.5. Otras salidas gr´aficas . . . . 10.2. Gr´aficas en 3D . . . . . . . . . . . 10.2.1. El comando plot3 . . . . . 10.2.2. El comando surf . . . . . . 10.2.3. Otros comandos . . . . . . . 10.2.4. Comandos f´aciles de usar . 10.3. Campos vectoriales . . . . . . . . . 10.4. Dibujos sobre dominios mallados en
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tri´angulos
203
. . . . . . . . . . . . .
11.Interpolaci´ on. Curvas B´ ezier 11.1. Interpolaci´on polin´omica . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Interpolaci´on polin´omica de Lagrange . . 11.1.2. Existencia del polinomio de interpolaci´on 11.1.3. F´ormula de Newton . . . . . . . . . . . . 11.1.4. An´alisis del error de interpolaci´on . . . . 11.2. Extensiones adicionales . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Interpolaci´on de Hermite . . . . . . . . . 269
. . . . . . . . . . . . .
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207 207 207 213 215 219 220 221 221 223 231 233 233 234
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239 . 239 . 239 . 240 . 242 . 249 . 252 . 252
11.2.2. Interpolaci´on de funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.2.3. Interpolaci´on polin´omica a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.3. Curvas B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
r do rra Bo 270
´Indice de comandos de Matlab
r do rra Bo [], 30 %, 10 |, 32 &, 32 ’, 57 .’, 58 ./, 24 /, 24 <, 32 <=, 32 ==, 32 >, 32 >=, 32 @, 110 \, 24 \., 24 ~=, 32 : def. de vectores, 27 selecci´on de submatrices, 28 abs, 13 acos, 15 acosh, 15 acot, 15 acsc, 15 angle, 13 ans, 11 area, 218 asec, 15 asin, 15 asinh, 15 atan, 15 atanh, 15 axis, 211, 213 bar, 218 bar3, 218 barh, 218
blkdiag, 57 break, 31 ButtonDownFcn, 216 celldisp, 167 chol, 49 cholinc, 100 cla, 211 clabel, 230 clear, 18 clf, 211 collect, 161 colorbar, 223 colormap, 223 cond, 63 continue, 31 contour, 229 contourf, 229 conv, 150, 155 cos, 10, 15 cosh, 15 cot, 15 csc, 15 cylinder, 228 daspect, 223 dblquad, 132 dct, 147 deconv, 155 det, 24 diag, 55 dot, 60, 63 dsolve, 161 dst, 147
edit, 19 eig, 193 eigs, 193 ellipsoid, 228
271
hilb, 26 hold, 207 i,j, 13 idct, 147 idst, 147 if, 33 ifft, 147 ifourier, 160 ilaplace, 160 inf, 12 initmesh, 236 inline, 107 input, 110 inv, 24 invhilb, 26 isempty, 91, 174
r do rra Bo
else, 33 elseif, 34 end con for, 30 con if, 33 con while, 35 en arrays, 35 eps, 20 exp, 15 expand, 161 eye, 26 ezcontour, 231 ezcontourf, 231 ezmesh, 231 ezmeshc, 231 ezplot, 218 ezplot3, 231 ezpolar, 218 ezsurf, 231 ezsurfc, 231 factor, 161 factorial, 111 feval, 109 fft, 147 figure, 207 fill, 218 fontangle, 212 fontname, 212 fontsize, 212 fontweight, 212 for, 30 format, 12 fourier, 160 full, 65 function, 20 gca, 215 gcf, 215 get, 213 ginput, 256 grid, 211 gtext, 257
help, 14 helpwin, 14 hess, 193
laplace, 160 legend, 211 length, 25 limit, 160 line, 218 linspace, 27 load, 18 log, 15 log10, 10, 15 log2, 15 logical, 33 loglog, 218 lookfor, 14 lu, 49 maple, 162 max, 42, 61 mesh, 230 meshc, 230 meshgrid, 221 meshz, 230 mhelp, 162 min, 61 mldivide, 25 mod, 146 mrdivide, 25
NaN, 12 en dibujos, 223 272
nargin, 66 nargout, 66 nnz, 65 norm, 62 num2str, 149
roots, 157 rotate, 212
r do rra Bo
save, 18 schur, 191 sec, 15 semilogx, 218 semilogy, 91, 218 set, 213 sign, 15 simple, 161 simplify, 161 sin, 10, 14, 15 sinh, 15 size, 25 solve, 161 spalloc, 65 sparse, 64 spdiags, 66 speye, 66 sphere, 228 spline, 255 splinetool, 255 spones, 66 sprand, 66 sprandn, 66 spy, 65 sqrt, 11 stairs, 218 stem, 218 str2num, 149 subplot, 217 sum, 61 surf, 221 EdgeAlpha, 225 EdgeColor, 225 FaceAlpha, 225 FaceColor, 225 LineStyle, 225 LineWidth, 225 Marker, 225 MarkerEdgeColor, 225 MarkerSize, 225 MeshStyle, 225 surfc, 230 surfl, 230
ones, 26
pascal, 26 patch, 218 pbaspect, 223 pcg, 100 pcolor, 229 pdetool, 236 pi, 12 plot, 110, 205 color, 208 LineWidth, 208 Marker, 208 MarkerEdgeColor, 208 MarkerFaceColor, 208 MarkerSize, 208 plot3, 219 plotyy, 218 polar, 218 poly, 157 polyder, 161 polyfit, 246 polyint, 161 polyval, 156 power, 15 ppval, 255 profile, 181 qr, 49, 188 quad, 132 quadl, 132 quiver, 231 quiver3, 231
rank, 63 rcond, 63 realmax, 20 realmin, 20 refinemesh, 236 reshape, 60 return, 20
273
r do rra Bo
svd, 194 switch, 35 symamd, 72 symmmd, 70 symrcm, 70 symsum, 160
tan, 15 tanh, 15 taylor, 160 text, 211 tic, 183 title, 211 toc, 183 tril, 55 trimesh, 236 triplequad, 132 trisurf, 236 triu, 55 varargin, 66 varargout, 66 vectorize, 108 view, 223 vpa, 160 waterfall, 230 while, 35 whitebg, 211 who, 17 whos, 17 xlabel, 211 xlim, 211 ylabel, 211 ylim, 211
zeros, 23, 26 zlabel, 220 zlim, 220
274