Libro Topografia 2019

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Words: 114,020
Pages: 666

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TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

JORGE MENDOZA DUEÑAS

2019

Incluye: • Topografía y Geodesia (versión digital). • Manejo del Google Earth y su interacción con el Autocad y excel (versión digital). • 12 planos sobre diseño geométrico de carreteras (DWG).

www.ingnovando.com

TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

Derechos reservados Autor - Editor © MG Jorge Mendoza Dueñas Calle Sara Sara No 153 Maranga - San Miguel Lima - Perú. Cel. 997895058 Prof. Universidad Nacional de Ingeniería, Lima - Perú Prof. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Lima – Perú Colaborador: Fernando Gonzales Pinedo (diseño y diagramación).

Primera edición, febrero 2019 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-01780 ISBN Nº 978-612-004110-9

Se terminó de imprimir en febrero 2019 en : Editores Maraucano E.I.R.L. Av. Tingo María 635 Breña Lima- Perú.

Generalidades

3

Prólogo En la edición primigenia del Texto Topografía Práctica, tuvimos el alto honor de presentar el prólogo escrito, por nuestro insigne profesor emérito de la UNI, el ING. CARLOS JIMÉNEZ MONTAÑÉS, y asimismo el privilegio de ser presentado este modesto trabajo en el Colegio de Ingenieros del Perú como el texto que incluía por primera vez un programa (Software) titulado“El pequeño programa Topográfico del Prof. Mora”, ahora en esta nueva edición mejorada y actualizada por uno de mis mejores discípulos, El ING. JORGE MENDOZA DUEÑAS siento una profunda satisfacción y un gran privilegio resaltar la encomiable labor realizada por nuestro distinguido discípulo sobre todo por los conocimientos actualizados, que son puestos a disposición de las nuevas generaciones y que si bien es cierto los principios y conceptos Ingenieriles generalmente son inalterables, las formas y/o los procedimientos, si son variables a través del tiempo, principalmente en esta disciplina llamada GEOMÁTICA O TÉCNICA TOPOGRÁFICA MODERNA, porque está íntimamente ligada al desarrollo tecnológico de equipos de mediciones lineales y/o angulares. Otra de las características de esta nueva edición es la forma fácil, dinámica y entretenida para el aprendizaje del conocimiento de esta disciplina, que nos demuestra una vez más el manejo eficiente y eficaz en la elaboración de un texto para la enseñanza universitaria por este brillante profesional que ya nos tiene acostumbrados por sus textos escolares y universitarios, por eso mi agradecimiento y augurios de éxitos. Socrates: “Cuida tu Pericles de Atenas, que yo os’ cuidaré de los Atenienses” Esto trae a la memoria de mis épocas juveniles cuando escuchaba a mis maestros decir. “LA ESCUELA NO SE PIERDE, CUANDO SE TIENE DISCÍPULOS”.

Samuel A. Mora Quiñones

Prólogo del Autor A diferencia de la primera edición, esta última publicación desarrolla también las técnicas y métodos más importantes de la planimetría, así como la presentación y manejo de los equipos topográﬁcos correspondientes. En opinión de los colegas revisores del manuscrito, el presente material, ofrece: Calidad didáctica, modernización, dado que la automatización se encuentra siempre presente, y por supuesto aporte tecnológico. La primera edición de este libro fue publicado con la coautoría del Ingeniero Samuel Mora Quiñones, mi profesor, hoy colega y lo más importante: AMIGO. Debo confesar que parte del contenido de esta edición le pertenece, no obstante aparecer en la portada tan solo el nombre del suscrito, decisión que agradezco y que es digno de total admiración. Los equipos topográﬁcos ilustrados en este material son propiedad del Laboratorio de Topografía y Fotogrametría de la UNI, en cuyo personal encontré siempre, el apoyo incondicional en cuanto a la disposición, traslado y manejo de los diversos aparatos. A ellos quiero hacer público mi eterno agradecimiento por tan importante aporte. Protagonistas de esta publicación, son también los DOCENTES del Departamento de Vialidad y Geomática de la UNI, quienes con sus recomendaciones y críticas han logrado mejorar las bondades de este texto. No puedo dejar de citar a los ALUMNOS de la Universidad Nacional de Ingeniería y de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, quienes con sus constantes preguntas, y ambición de conocimientos hacen que la docencia universitaria sea un privilegio. Quiero agradecer a todos los LECTORES de mis diversos títulos, tanto del Perú como de los países vecinos, pues mediante sus correos electrónicos, incrementan en mí el ánimo de proseguir escribiendo. Sería ingrato, no agradecer a mis PADRES, pues parte de lo que hoy soy, es consecuencia de la formación que ellos cultivaron siempre en mí. A MI HIJA, gracias por vuestra comprensión y paciencia, pues en el proceso de elaboración y edición de un libro, se requiere de total concentración, sacriﬁcio que recae directamente en ella; gracias a ti, pues con tus palabras dulces y tiernas alimentan en mí la pasión por escribir.

Jorge Mendoza Dueñas

ÍNDICE

CAPÍTULO 1: GENERALIDADES Concepto de topografía ...................................................................................................................... Breve reseña histórica ........................................................................................................................ Instrumentos importantes en la topografía......................................................................................... Instrumentos complementarios en la topografía ................................................................................ División básica de la topografía......................................................................................................... Importancia de la topografía en la ingeniería .................................................................................... ................................................................................................................ Entes importantes en la topografía.....................................................................................................

9 11 12 13 13 14 15 18

CAPÍTULO 2: TEORÍA DE OBSERVACIONES Introducción ....................................................................................................................................... Teoría de probabilidades .................................................................................................................... Observaciones de igual precisión....................................................................................................... Observaciones de diferente precisión ................................................................................................ Errores en las operaciones matemáticas ............................................................................................ Correcciones en las operaciones matemáticas ...................................................................................

29 32 35 44 45 46

CAPÍTULO 3: ALTIMETRÍA Conceptos fundamentales .................................................................................................................. Clases de nivelación........................................................................................................................... Nivelación directa o geométrica ........................................................................................................ Nivelación indirecta ........................................................................................................................... Nivelación trigonométrica ..................................................................................................... Nivelación barométrica .......................................................................................................... Red de nivelación............................................................................................................................... Curvas de nivel.................................................................................................................................... ............................................................................................................................... Sección transversal.............................................................................................................................

54 55 59 84 84 86 87 92 97 106

CAPÍTULO 4: EL TEODOLITO Ejes principales de un teodolito ......................................................................................................... Componentes clásicos de un teodolito ............................................................................................... Objetivo fundamental de un teodolito................................................................................................ Organización de los limbos ................................................................................................................ Micrómetro ........................................................................................................................................ Puesta en estación de un teodolito ..................................................................................................... ............................ Teodolitos repetidores ............................................................................................................

115 116 117 118 119 123 127 127

690

Principios básicos de geodesia y cartografía

Teodolitos reiteradotes ........................................................................................................... Ángulos verticales con el teodolito .................................................................................................... Ajustes y comprobaciones del teodolito ............................................................................................ Regla de Bessel .................................................................................................................................. El teodolito electrónico ......................................................................................................................

132 136 140 149 151

CAPÍTULO 5: MEDIDA DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES Medida de ángulos ............................................................................................................................. Ángulos horizontales ......................................................................................................................... Ángulo vertical................................................................................................................................... Medida de direcciones ....................................................................................................................... Variación de la declinación magnética ............................................................................................... Inclinación magnética ........................................................................................................................ Metodos para medir ángulos horizontales ......................................................................................... Método de ángulo simple ....................................................................................................... Método de repetición.............................................................................................................. Método de reiteración............................................................................................................. Relación entre el ángulo acimutal y el acimut de los lados que la componen ...................................

157 158 159 160 166 173 175 175 175 179 183

CAPÍTULO 6: LA BRÚJULA Clases de brújulas.................................................................................................................................. Uso de brújula en la geodesia ............................................................................................................ Levantamiento con brújula ................................................................................................................

192 201 207

CAPÍTULO 7: MEDICIÓN DE DISTANCIAS Tipos de distancia............................................................................................................................... Alineamiento ...................................................................................................................................... Medida de distancias .......................................................................................................................... Trabajos elementales con jalones y cinta ........................................................................................... Levantar una perpendicular a un alineamiento ...................................................................... Trazar desde un punto dado, una paralela a un alineamiento ................................................ Alinear dos puntos no visibles entre sí .................................................................................. Prolongar un alineamiento a través de un obstáculo .............................................................. Intersección de alineamientos ................................................................................................ Medir la distancia de dos puntos accesibles con interferencia de obstáculos ........................ Medir la distancia de dos puntos, siendo uno de ellos inaccesibles....................................... Medir la distancia de dos puntos inaccesibles .......................................................................

211 211 214 221 221 225 227 230 232 232 233 235

CAPÍTULO 8: EQUIPOS EN LA MEDICIÓN DE DISTANCIAS Cintas de medición............................................................................................................................. El distanciómetro ............................................................................................................................... Libreta electrónica ............................................................................................................................. Estación total...................................................................................................................................... Controlador de campo ........................................................................................................................ Cinta láser ..........................................................................................................................................

237 245 257 257 261 263

CAPÍTULO 9: REDES DE APOYO PLANIMÉTRICOS Métodos planimétricos con cinta métrica y teodolito ........................................................................ Método de radiación .............................................................................................................. Método de intersección de visuales ....................................................................................... Método de la poligonal ..........................................................................................................

267 267 270 273

CAPÍTULO 10: TAQUIMETRÍA Métodos más usados en taquimetría .................................................................................................. Método estadimétrico............................................................................................................. Método de la estación total .................................................................................................... Aplicaciones de la taquimetría ........................................................................................................... Nivelación trigonométrica ..................................................................................................... ................................................................................................................ Construcción de curvas de nivel ............................................................................................

315 315 323 324 324 335 355

CAPÍTULO 11: AJUSTE EN LOS CIRCUITOS TOPOGRÁFICOS, APLICANDO EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Principios de mínimos cuadrados ...................................................................................................... Observaciones condicionales ............................................................................................................. Aplicación 1: Red de nivelación ............................................................................................ Aplicación 2: Compensación de ángulos de igual precisión ................................................. Aplicación 3: Compensación de ángulos de diferente precisión ...........................................

383 391 392 403 404

CAPÍTULO 12: ANÁLISIS DE ERRORES ACCIDENTALES EN LAS MEDICIONES TOPOGRÁFICAS (ANGULARES Y LINEALES) Errores accidentales en las mediciones angulares ............................................................................. Errores accidentales en la medición de distancias ............................................................................. Relación entre el error angular y lineal ..............................................................................................

411 417 431

CAPÍTULO 13: METODOS PLANIMÉTRICOS Y SUS ERRORES ACCIDENTALES Método de radiación .......................................................................................................................... Método de intersección directa .......................................................................................................... Método de resección (Pothenot) ........................................................................................................ Estación excéntrica ............................................................................................................................

437 440 446 458

CAPÍTULO 14: DISEÑO GEOMÉTRICO DE CARRETERAS Diseño del trazo horizontal ................................................................................................................ Diseño del trazo vertical .................................................................................................................... Cubicación .........................................................................................................................................

468 505 535

CAPÍTULO 15: PRINCIPIOS BÁSICOS DE GEODESIA Y CARTOGRAFÍA Concepto de geodesia ........................................................................................................................ La esfera celeste ................................................................................................................................. Sistema de referencia ......................................................................................................................... ................................................................................................................. ....................................................................... Sistema de posicionamiento global GPS ........................................................................................... Métodos en las observaciones satelitales ............................................................................................

539 547 556 576 603 628 655

7

1

Generalidades

Capítulo

La Topografía se encarga de representar en un plano, una porción de tierra relativamente pequeña de acuerdo a una escala determinada.

Con ayuda de la topografía, es posible representar en un plano una o varias estructuras artificiales de acuerdo a una escala establecida.

108

Generalidades

Con la topografía podemos determinar la posición de un punto sobre la superficie de la tierra, respecto a un sistema de coordenadas.

Apoyándonos en la topografía podemos replantear un punto desde un plano en el terreno.

Gracias a la topografía se puede realizar el trazo de los ejes de una futura construcción.

Generalidades 9

11

¡ ¢£ ¡

Generalidades

12 10

Generalidades 11

13

14 12

Generalidades

Generalidades 13

15

Consiste en realizar el proceso constructivo de la obra de acuerdo al plano elaborado por el consultor.

Es el proceso por el cual se realiza un conjunto de operaciones y métodos para representar gráﬁcamente en un plano una porción de tierra, ubicando la posición de sus puntos naturales y/o artiﬁciales más importantes.

Generalidades

16 14

2017

Generalidades 15

17

Son los que se realizan con el objeto de definir y fijar los límites de áreas y propiedades, como también para la identificación de estos límites.

18 16

Generalidades

Generalidades 17

19

Generalidades

20 18

En matemática cuando se quiere determinar la posición de un punto, basta ubicar sus coordenadas respecto a un origen.

La posición del punto “A” es: (x,y)

Ahora, bien, es posible ubicar un sub-sistema de coordenadas; así.

La posición del punto P se puede determinar gracias al subsistema (x' – y')

En topografía cada punto topográfico representa el origen de un sub-sistema de coordenadas y gracias a él se podrá determinar la posición de otros puntos.

Gracias al punto topográfico “A”, se podrá determinar la posición de los puntos 1,2,3 y 4.

Generalidades 19

21

EXTENSIÓN DEL USO DE LA TOPOGRAFÍA

Fig. c : Con los ángulos planos se hace uso de la trigometría plana.

Fig. d : Con los ángulos esféricos se hace uso de la trigonometría esférica.

La topografía tiene la aplicación en una porción pequeña de tierra, vale decir en un plano.

Generalidades

22 20

hectómetro

Hm

100

decámetro

Dm

10

hectómetro cuadrado

Hm

decámetro cuadrado

Dm

Generalidades 21

30 m

3 cm

23

Terreno

Plano

Una escala de 1/1000, nos indica que 1 metro en plano representa 1000 metros en el Terreno y 3 cm en el plano representa 30 metros en el terreno.

Generalidades

24 22



Generalidades 23

25

LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA

=

=

Método Práctico ESCALA

LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA

1 / 50

50 x 0,2 / 1 000 = 0,01 m = 1 cm

1 / 100

100 x 0,2 / 1 000 = 0,02 m = 2 cm

1 / 200

200 x 0,2 / 1 000 = 0,04 m = 4 cm

1 / 500

500 x 0,2 / 1 000 = 0,10 m = 10 cm

1 / 1 000

1 000 x 0,2 / 1 000 = 0,20 = 20 cm

1 / 2 000

2 000 x 0,2 / 1 000 = 0,40 = 40 cm

1 / 5 000

5 000 x 0,2 / 1 000 = 1,00 m

1 / 10 000

10 000 x 0,2 / 1 000 = 2,00 m

1/20 000

20 000 x 0,2/1000 = 4,00 m

1/50 000

50 000 x 0,2/1000 = 10,00 m

1/100 000

100 000 x 0,2/1000 = 20,00 m

26 24

Generalidades

θ

Generalidades 25

27

Componentes de un Plano Topográfico Un plano puede tener diversos componentes, sin embrago los más importantes se muestran a continuación. Norte

N

Localización Contenido Gráﬁco

Cuadro de datos Técnicos

Leyenda

Sistema y tipo de proyección cartográfica

Membrete Escala Gráfica

Mostrando otro formato de plano Norte

N

Localización Contenido Gráﬁco

Cuadro de datos Técnicos Leyenda

Escala Gráfica

Membrete Sistema y tipo de proyección cartográfica

Generalidades

28 26

Esacala gráﬁca 1/200

A efectos de ilustrar nuestros formatos presentamos a continuación un ejemplo.

25

2

Teoría de Observaciones

Capítulo

Se quiere medir el área del rectángulo.

En la figura, es fácil notar que la longitud mide 3 veces un metro: 3 metros (medición directa).

Teoría de observaciones

30 28

Teoría de observaciones

31

29

Teoría de observaciones

32

30

Teoría de observaciones

33

31

Teoría de observaciones

34

32

Teoría de observaciones

35

33

σ

σ

A) Media ( )

+ + +

33

B) Desviación ()

33)

C) Error medio cuadrático de una observación (Desviación típica o estándar): σ

σ σ

Teoría de observaciones

36

34 σ

σ±

Σ

≤≤

σ±

Σ

>

≤ ≤ Analizando el ejemplo ilustrativo de la página 31

Σ

Σ

Σ

Teoría de observaciones

37

35

σ±

Σ

=±

⇒

σ

          

± σ σ

± σ ± ±

Teoría de observaciones

38

36

= σ σ

σ σ σ

σ =

=

+ + + +

=

= Σ

=

=

=

Teoría de observaciones

39

37

=±

=

⇒ = ±

× × × × ×

Σ ×

σ±

σ

×

Σ

=±

σ ×

×

σ

Teoría de observaciones

40 38

Solución

+ +

σ

3.

Solución

V2

Vi = X i X

×

×

×

Medida (m)

Σ ×

σ ±

Σ

=±

×

σ ± σ

Número

L

Vi

Vi2

×

×

×

×

×

×

×

×

Σ ×

Teoría de observaciones

41

39

Σ

σ±

×

=±

σ ±

θ

θ

θ

σ

σ

Teoría de observaciones

42

40

Solución

Analizando la nivelación del grupo 01 Pto

V(atrás)

V(adelante)

Cota

Ci

Cota Compensada

Ci

Cota Compensada

Pto

V(atrás)

V(adelante)

Ci

Cota Compensada

Cota

Analizando la nivelación del grupo 02 Pto

V(atrás)

V(adelante)

Cota

Teoría de observaciones

43

41

¡

θ

θ

Σ

∆ ∆ ∆θ

¡¡

Teoría de observaciones

44

42

⇒θ

⇒θ

⇒θ

= =

= =

+ + + + + +

Teoría de observaciones

45

43

= ±

Σ Σ

⇒

⇒

⇒

= ± + +

Teoría de observaciones

46 44

= ± +

=

= ±

=

=

∂ × ∂

+

∂ × ∂

Teoría de observaciones

47

45

= ± + +

= ±

= ± = ±

Σ θ⇒

=

=

Σ

Σ

=

=

⇒ ⇒ ⇒

Teoría de observaciones

48 46

4.

Solución

Solución

+ + + +

     +   +         + +

+ + + +

X(m)

  +   +      + +

Peso

Σ

σ ±

×

×

× Σ ×

5.

Cota Q

×

×

σ±

Longitud (km)

PV2

×

Recorrido

V2

V

Σ

=

×

σ ×

=

=

Teoría de observaciones

49

47

θ θ×

= =

π θ× θ×

θ

 ∂   ∂   ∂θ × θ  +  ∂ × 

θ

θ

⇒

∂  π   ∂  π  =  θ⋅ ×  θ  +  θ⋅ ×     ∂    ∂θ 

= =

=

= + +

π

 π    × θ  + [θ × × ] ×     ×  + [ × × × ] × π     

=

 ∂   ∂   ∂ ×  +  ∂θ × θ 

=

 θ ×  + [ θ × × θ ]

=

[ ×] +  ×  ×

 



π   

Teoría de observaciones

50 48

Li

Pi

V2

V

PV2

Σ

8.

PL

=

Σ = Σ

= =

1° observación

2° observación

1° observación

2° observación

3° observación

Σ Σ

= ±

= ±

Solución

= ±

1° observación

1° observación

Medición (m)

Medición (m)

V

2° observación

2° observación

Medición (m)

V

V

3° observación

Medición (m)

V

Medición (m)

V

Teoría de observaciones

51

49

Σ

=

Σ = Σ

= =

= ±

Σ Σ

= ±

= ±

= ± + = ± + = ±

52

Teoría de observaciones

50

σ = ± =

Σ

= −

σ = ±

Σ = ± −

σ σ =

Σ

= −

σ

Σ = ±

−

σ

σ σσ

63 63

33

Capítulo

Alimetría

54 66

Altimetría

Altimetría 67

55

5668

Altimetría

Altimetría

57

69

58 70

Altimetría

Altimetría 71

59

AGO-2016 Disco de metal Vista de planta

En la ﬁgura superior, es fácil entender que con ayuda del equialtímetro es posible obtener directamente la cota en “B”(101,00 m).

El plano o superﬁcie horizontal que pasa por el instrumento es perpendicular a la vertical o plomada que pasa por el centro del aparato, de lo cual se deduce que hay un solo plano horizontal para cada estación.

Altimetría

6072

Dicha operación se realiza con ayuda de los tornillos de las patas del trípode, hasta centrar aproximadamente el nivel circular.

Se realiza el centrado de la burbuja con ayuda de los tornillos nivelantes.

Altimetría

61

73

Con ayuda del tercer tornillo se realiza el calado de la burbuja.

Altimetría

62

74

Cuando el equipo tiene un nivel de burbuja partida (parábola): En este caso se realiza el centrado de la burbuja con ayuda del tornillo basculante.

Altimetría

75

63

Altimetría

64

76

(Fig. B) (Fig. A)

Fig. a

Altimetría

65

77

Fig. b

Altimetría

66

78

Altimetría

67

79

⇒

68

Altimetría

80



Altimetría

69

81



Altimetría

70

82

En el presente ejemplo ilustrativo, se tomó tres puntos de cambio; en la práctica el número de dichos puntos lo elegirá el ingeniero.

Altimetría

71

83

Σ Σ  Σ  Σ   

ΣΣ Σ Σ

Altimetría

72

84

=

Con lo cual se da por aceptada la nivelación

Altimetría

73

85

Σ Σ

Σ

¡

¢ Con lo cual se da por aceptada la nivelación

Altimetría

74

86

Altimetría 87

75

Ci ai

dt

EC

Altimetría

76 88

ΣΣ

×

×

Σ

Altimetría

77

89

Σ

Σ Σ



Altimetría

78

90

× ⇒ ×

Al nivelar en un circuito cerrado dos puntos muy alejados; es posible cometer una serie de errores, cuya presencia ocasionaría un error de cierre altimétrico mayor que el máximo tolerable, lo cual obligaría al topógrafo a repetir posiblemente todo el trabajo.

Los puntos que definen los sub-circuitos, deberán ser estacados con mucho cuidado de modo que posteriormente sean fácilmente ubicable y no altere el valor de su cota en ningún momento. En cada sub-circuito se debe calcular su error de cierre altimétrico y cada uno de ellos debe ser menor que el máximo tolerable respectivo. Es posible que en uno de los sub-circuitos el error de cierre sea mayor que el tolerable; de ser así, el topógrafo deberá repetir el trabajo tan solo en el sub-circuito comprometido.

Altimetría

79

91

± + + + +

Altimetría

80

92

+

Altimetría

81

93

+

    +  ⇒      

82 94

Altimetría

Altimetría

83

95 do

Perpendicularidad entre el hilo horizontal del retículo y el eje vertical

ro

Paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el eje directriz del nivel tubular

2

3

Altimetría

84

96

α ∆

Altimetría 97

85

  

  

115

V=

tura

Lec

257

Altimetría

86

98

α

∆∆

∆ ∆

Altimetría

87

Red de Nivelación Cuando un conjunto de circuitos cerrados dependen unos de otros, es decir, están enlazados entre sí, constituyen en global una Red de Nivelación. En tal situación es preciso ajustar los desniveles entre cada dos puntos para que por uno o por otro camino resulten iguales. ver pag. (392) Cota B = 143,621 m BMA = 100,000

Cota B = 143,631 m ∆ = -56,369 m

∆ = +43,621 m

A

BMC = 200,000

C

B

En el presente ejemplo se cuenta con los BMS A y C; se quiere determinar la cota de B. Para dicho efecto se realizan dos nivelaciones por dos caminos diferentes. Respecto tramo 1: La cota de B es 143,621 m Respecto tramo 2: La cota de B es 143,631 m Comoquiera que la cota de B debe tener un solo valor, es preciso realizar un ajuste total.

BMA = 100,000 m Cota B = 69,380 m

A

∆= ∆ = -30,612

Cota D = 167,243 m 67, 243 m

B

D ∆ = -110,952

Cota B = 69,372 m

C

Cota D = 167,238 m

7 ,06 -13 = ∆

BMC = 180,324 m

Cota D = 167,257m

En el presente ejemplo se cuenta con los BMS A y C; se quiere determinar la cota de los puntos B y D; para dicho efecto se realizan nivelaciones por cinco caminos diferentes. Respecto tramo 1: La cota de B es 69,380 m Respecto tramo 2: La cota de B es 69,372 m Respecto tramo 3: La cota de D es 167,243 m Respecto tramo 4: La cota de D es 167,238 m Respecto tramo 5: La cota de D es 167,257 m Para obtener un solo valor tanto para la cota de B y D, es preciso realizar un ajuste total de la red de nivelación.

Altimetría

88

111

Altimetría 112

89

Altimetría

90

113

Libreta 1 Pto

V. atras

V. adelante

22,12254

22,12073

Cota d (m) 112,66740 860

Libreta 2

Pto

V. atras 67,68663

V. adelante

67,68462

Cota d (m) 112,66740 860

Altimetría

91

114

Ejemplo ilustrativo

En el gabinete:

Libreta de campo

Pto L(+)

L()

Cota (m) d (m)

Pto Σ

L(+)

L()

Cota (m)

d (m)

Altimetría

92

115

Altimetría

116

93

Representa una depresión, las curvas cambian de mayor a menor altitud, de modo que la de menor altitud es una curva cerrada dentro de los demás.

Se puede considerar como una porción de hoyo; está representada por curvas en forma de U, toda el agua que caiga correrá formando corrientes por las quebradas en dirección hacia las cotas más baja.

94

117

Altimetría

Altimetría

118

95

96

119

Altimetría

Altimetría

97

120

Altimetría

98

121

Altimetría

122

99

Altimetría

100 123

Como muestra el siguiente gráfico, todo perfil longitudinal consta de dos partes: El gráfico propiamente dicho y la guitarra (datos numéricos: cotas distancias pendientes etc).

Altimetría

124

101

Altimetría

102 125

890 885 880 875 870 865

A

1 2 3 4 5 6

895

7

890

8

9

10

B

885 880 875 870

870 875 880 885 890

895

Altimetría

103

126

104

127

Altimetría

Altimetría

105

128

106

129

Altimetría

Altimetría

130

107

Altimetría

108

131

Altimetría 132

109

α

Altimetría

110

133

Altimetría

111

134

×

Altimetría

112

135

Pto

V. Atrás

Σ

V. Adelante

Cota

ΣΣ

Solución:

Pto

V. Atrás

V. Adelante

= Cota

V. Atrás

V. Adelante

Pto

Cota

=

Pto

Cota(m)

×

× =

di (m)

Ci (m)

Cota Comp. (m)

10.

Altimetría

113

136

∆ ∆

     

⇒

     

∆ ∆

     

⇒

     

     

∆ ∆

⇒

     

Altimetría

114

137

     

      ∆

     

∆

⇒

     

      ∆

     

Fig. a

135

4

El Teodolito

Capítulo

116

140

El Teodolito

El Teodolito 141

117

118

142

El Teodolito



El Teodolito 143

119

Fig. a

Fig. b

° °

° + ° − °

°

El Teodolito

120

144

+    +   

Fig. a

El Teodolito

121

145

Fig. b

+ ° + = °

Fig. c

+ +

=

° + ° °

El Teodolito

122

146

Fig. d

Fig. e

El Teodolito

123

147

+

° + ° °

Fig. a

Fig. b

Fig. c

El Teodolito

124

148

El Teodolito

125

149

El Teodolito

126

150

El Teodolito

151

127

128

152

El Teodolito

El Teodolito

129

153

El Teodolito

130

154

El Teodolito

131

155

Fig. a

Fig. b

132

156

El Teodolito

El Teodolito

157

133

El Teodolito

134

158

Fig. a

Fig. b

El Teodolito

135

159

Fig. c

Fig. d

El Teodolito

136

160

α

El Teodolito

137

161

β

α + ( ° − β ) α + (   − β )

αβ

Para cada lectura del ángulo vertical es imprescindible centrar la burbuja del nivel tubular eclímetral. Se recomienda medir el ángulo vertical con las dos posiciones del anteojo (directo e invertido) para eliminar o reducir el error por índice del limbo respectivo.

138

162

El Teodolito

El Teodolito

139

163

El Teodolito

140

164

El Teodolito

141

165

El Teodolito

142

166

El Teodolito

167

143

El Teodolito

144

168

θ ≠

θ

El Teodolito

145

169

El Teodolito

146

170

El Teodolito

147

171

×

El Teodolito

148 172

El Teodolito

149

173

Punto

Lecturas acimutales

Visado Anteojo directo (A.D.) Anteojo invertido (A.I.)

° + °

Punto Visado

Lecturas acimutales A.D.

A.I.

Promedio

Ángulo

El Teodolito

150

174

2.

Punto Lectura Vertical Visado Anteojo directo (A.D.) Anteojo invertido (A.I.) 42° 27' 317° 31'

Explicación esquemática del trabajo de campo 1.

El Teodolito

151

175

El Teodolito

152 176

El Teodolito

153

177

El Teodolito

154 178

φ=

φ=

°

∆φ φ +

  ∆φ =   φ  

φ φ

El Teodolito

155

179

El Teodolito

156 180

177

5

Medida de Ángulos y Direcciones

Capítulo ∞

Medida de Ángulos y Direcciones

158

182

π

∞

π

Medida de Ángulos y Direcciones

183

159

Medida de Ángulos y Direcciones

160 184

Fig. a

Fig. b

θ

Azimut

Azimut

Medida de Ángulos y Direcciones

185

161

α θ γ β

θ

α

Medida de Ángulos y Direcciones

162

186

Fig. a

Fig. b

En adelante por convención, se denotará Polo Norte Magnetico Terrestre al cual apunta al norte del imán: PNM y al opuesto PSM.

Medida de Ángulos y Direcciones

163

187

Fig. c

Fig. d

Fig. e

Fig. f

164

188

Medida de Ángulos y Direcciones

δ δ δ

∆δ ∆δ ∆δ

Medida de Ángulos y Direcciones

189

165

ω ω ω

∆ ∆ ∆

Medida de Ángulos y Direcciones

166

190

δ

δ

δ

δ

Medida de Ángulos y Direcciones

167

191

VARIACIÓN SECULAR DE LA DECLINACIÓN (1914-1993) EN EL OBSERVATORIO MAGNÉTICO DE TEOLOYUCAN MÉXICO

ω ∞

∆ ∆ δ

δ

δ ∞

δ

δ

− °

∞ ∆δ

δ

δ

∆δ

Medida de Ángulos y Direcciones

168

192

Medida de Ángulos y Direcciones

169

193

ESTADOS UNIDOS MEXICANOS MAPA ISOGÓNICO 1995

MAGNETOGRAMA DE UN DÍA TEMPESTUOSO JICAMARCA PERÚ (FUENTE: INSTITUTO GEOFÍSICO DEL PERÚ)

Medida de Ángulos y Direcciones

170

194

δ

δ

δ

∆δ

δ δ

δ

δ

∆

Medida de Ángulos y Direcciones

171

195

ω ω

δ

δδ ∆δ δ δ δ

δ

ω

La convergencia de meridianos para un mismo lugar es constante, dado que es indenpendiente del tiempo. Esto se debe a que la meridiana geográfica y de cuadrícula son fijos respecto al tiempo.

δ ω

Medida de Ángulos y Direcciones

172

196

δ

∆δ

δ

δ

δ

δ

δ

∆δ

∆ ∆

∆

∆

ω

ω

Medida de Ángulos y Direcciones

197

173

174

198

Medida de Ángulos y Direcciones

ω

Medida de Ángulos y Direcciones

199

175

β α

θ

α

=

Medida de Ángulos y Direcciones

176

200

Medida de Ángulos y Direcciones

201

177

=

° = °

) 23

Medida de Ángulos y Direcciones

178

202

=

θ ±

=

° + °

Medida de Ángulos y Direcciones

203

179

=

°

=

° °

Medida de Ángulos y Direcciones

180

204

Si tto t t 427máximo t t . Pr tanto

Medida de Ángulos y Direcciones

181

205

Ejemplo 1 Lectura Estación

A

PV

Directa

Lectura reducida Inversa

Directa

Inversa

Promedio

Promedio

Serie

Estación

Ejemplo 2 Lectura Estación

A

Lectura reducida

PV

Directa

Inversa

Directa

Inversa

Promedio

Promedio

Serie

Estación































Medida de Ángulos y Direcciones

182

206

Medida de Ángulos y Direcciones 207

183

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO ACIMUTAL Y EL AZIMUT DE LOS LADOS QUE LA COMPONEN azimut

azimut

azimut



=



+ 

=

azimut

−

°

+

°



+

azimut



=

°



+

°

−

°

azimut

Medida de Ángulos y Direcciones

184

208

< ° = ° + ° + °

°

−

° −

° −

° −

° −

× × ⇒

Medida de Ángulos y Direcciones

185

209

Medida de Ángulos y Direcciones

186

210

Medida de Ángulos y Direcciones

187

211

Σ

Σ ¡

¢ £

¤ ¥

Medida de Ángulos y Direcciones

188

212



Medida de Ángulos y Direcciones

189

213

θ

¦ §¨ ©

θ θ

θ

¡ ¢

£ ¤

=

∆¡ ∆

 ¥ − ¥ ¥  =    − 

©

Medida de Ángulos y Direcciones

190

214

δ

∆δ

δ δ ∆δ

δ δ ∆δ

δ

δ

δ

δ

¡

¢

£

¢ ¢ ¡¢ ¢

211

6

La Brújula

Capítulo

La Brújula

192

216

La Brújula

193

217

La Brújula

194

218

La Brújula

219

195

La Brújula

196

220

La Brújula

221

197

198 222

La Brújula

223 La Brújula

199

200

224

La Brújula

La Brújula

225

201

La Brújula

202

226

α

La Brújula

203

227

β

La Brújula

204 228

α

La Brújula

205

229

β

La Brújula

206

230

La Brújula

207

231

Fig. a Fig. b

≅

El levantamiento con brújula de bolsillo sirve para reconocimiento o levantamiento preliminar.

El ángulo BAC no se mide directamente, sino se calcula a partir de una o diferencia de rumbos o acimuts.

Brújula La

208 232

1° Paso.- 2° Paso.-

Libreta de campo Estación PV

Rumbo D

Rumbo I

Rumbo promedio

229

7

Medición de Distancias

Capítulo

=

( )

Medición de Distancias

210

234

 

= ×    + 

Medición de Distancias

235

211

Es la longitud de la línea recta que une dos puntos del terreno. Es la longitud de la proyección de la distancia inclinada sobre la horizontal; se le llama también distancia reducida al horizonte.

Es la línea resultante de la intersección del terreno con un plano vertical que pasa por dos puntos establecidos.

Medición de Distancias

212

236

Medición de Distancias

213

237

Medición de Distancias

214

238

×

  =   °  

Medición de Distancias

239

215

216

240

Medición de Distancias

Medición de Distancias

241

217

Medición de Distancias

218

242

Medición de Distancias

220 244

Medición de Distancias

245

221

222

246

Medición de Distancias

Medición de Distancias

247

223

224

248

Medición de Distancias

Medición de Distancias

249

225

Desde el punto C, se baja una perpendicular al alineamiento AB; para luego medir la longitud l.

226

250

Medición de Distancias

Desde un punto del alineamiento AB, se levanta una perpendicular al mismo; luego se ubica un punto D a una distancia l del mencionado alineamiento.

La paralela buscada es la línea recta que pasa por CD.

Medición de Distancias

251

227

Sean A y B puntos pertenecintes a un alineamiento que nos interesa trazar; sin embargo entre ellos se presenta un obstáculo que impide la visibilidad mútua.

Se traza una línea auxiliar fuera del obstáculo.

Medición de Distancias

228

252

=

Medición de Distancias

253

229

230

254

Medición de Distancias

Dado AB ; se quiere prolongar dicho alineamiento a través del obstáculo.

Por A se levanta una perpendicular AC de longitud conveniente.

Medición de Distancias

255

231

232

256

Medición de Distancias

El ayudante (oscuro) provisto de un jalón debe moverse en la dirección del alineamiento AC hasta que el operador ubicado en B lo ubique simultáneamente. El punto visible para ambos operadores es la intersección buscada.

Se quiere medir la distancia entre dos puntos A y B separados por un obstáculo intermedio.

Medición de Distancias

233

257

Fig. a

Fig. b

Medición de Distancias

234

258

=

Medición de Distancias

259

235

236

260

Medición de Distancias

=   =    

  =    

257

8

Equipos en la Medición de Distancias

Capítulo

Clase de precisión 1 I ±0,2 II ±0,5 III ±1,0

2 ±0,3 ±0,7 ±1,4

Longitud en metros / tolerancia en mm 3 5 8 10 20 30 50 100 ±0,4 ±0,6 ±0,9 ±1,1 ±2,1 ±3,1 ±5,1 ±11,0 ±0,9 ±1,3 ±1,9 ±2,3 ±4,3 ±6,3 ±10,3 ±20,3 ±1,8 ±2,6 ±3,8 ±4,6 ±8,6 ±12,6 ±20,6 ±40,6

238 262

Equipos en la Medición deDistancias

Equipos en la Medición de Distancias

263

239



Equipos en la Medición de Distancias

240

264

×

Equipos en la Medición de Distancias

265

241

Equipos en la Medición de Distancias

242

266

  =  ×  

⋅ α α

Equipos en la Medición de Distancias

243

267

α×

××

=

−

 − ( )   ⇒   ( ) 

=

( − ) ⋅ ⋅

Equipos en la Medición de Distancias

244

268

=

( − ) ⋅ ( × − ) ⋅ ( × )

×

=

−

( )

=

− ( ) ( ) = − ( )

Equipos en la Medición de Distancias

269

245

λ

Equipos en la Medición de Distancias

246

270

λ λ

λ

=

λ +

λ

⋅

=  ∆θ  = ⋅   π 

∆θ ∆θ = ω π

∆θ

Equipos en la Medición de Distancias

271

247

λ

λ λ λ λ

λ θ

θ λ

 θ   °  ( ) = ⋅λ =   ⋅ ⇒  °   ° 

Equipos en la Medición de Distancias

248

272

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Equipos en la Medición de Distancias

273

249



  

 





 

 

Equipos en la Medición de Distancias

250

274

×

⇒

Equipos en la Medición de Distancias

251

275



⋅

Equipos en la Medición de Distancias

252

276

×

+

Equipos en la Medición de Distancias

253

277

Equipos en la Medición de Distancias

254

278

Equipos en la Medición de Distancias

279

255

Comprobación y ajuste de la constante del instrumento (Fuente: Topcon)

A) Recorrido de la onda dentro del prisma.-

Equipos en la Medición de Distancias

256

280

Equipos en la Medición de Distancias

281

257

258

282

Equipos en la Medición de Distancias

Con la estación total, podemos medir ángulos horizontales y verticales así como distancias inclinadas; su procesador interno le permite calcular y mostrarnos inmediatamente la proyección horizontal y vertical de la distancia medida, así como las coordenadas de los puntos medidos, dependiendo del caso.

La estación total permite medir y calcular la altura de ciertas estructura así como replantear puntos en el terreno con gran precisión.

Equipos en la Medición de Distancias 283

USB, luego copiarlo a una computadora, o caso inverso, los datos de un proyecto ubicados en una memoria USB pueden ser transferidos a la estación total para el posterior replanteo de los puntos.

259

260 284

Equipos en la Medición de Distancias

Equipos en la Medición de Distancias

285

261

Equipos en la Medición de Distancias

262

286

¡

¡

×

××

×

××

×

××

Equipos en la Medición de Distancias

263

287

DATOS TÉCNICOS

PLUS

A5

A3

Fuente: Leica Geosystems

264

288

Equipos en la Medición de Distancias

285

9

Redes de Apoyo Planimétricos

Capítulo

Redes de Apoyo Planimétricos

266

290

Redes de Apoyo Planimétricos

291

267

Redes de Apoyo Planimétricos

268

292

Fig. a

Fig. b

Redes de Apoyo Planimétricos

269

293

∆⋅ ∆ ⋅

∆∆

∆ ∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

270

294

Redes de Apoyo Planimétricos

271

295

Fig. a

Fig. b

Redes de Apoyo Planimétricos

272

296 Fig. c

Fig. d

 θ ° −  − + 

  =    θ 

  =    θ 

Fig. e

Redes de Apoyo Planimétricos

273

297

θ

 θ ° −  − + 

∆ ∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

274 298

Redes de Apoyo Planimétricos 299

azimut azimut

275

,

azimut azimut

Redes de Apoyo Planimétricos

276

300

Redes de Apoyo Planimétricos

277

301

Σ Σ

2. Cálculo de la azimut de los lados de la poligonal.-

> ° = + − °

< ° = + + °

Redes de Apoyo Planimétricos

278

302

3.- Cálculo de coordenadas parciales.- ∆ ⋅⋅

∆ ⋅

4.- Cálculo del error de cierre lineal.-

ε Σ∆ ε Σ∆

ε=

(ε ) + (ε )

'

5.- Cálculo del error relativo (ER).-

=

( )

ε

Redes de Apoyo Planimétricos 303

279

ε

= −

ε

= −

ε

× ×

ε ε ∆

∆

∆

∆

∆

∆

Redes de apoyo planimétricos Redes de Apoyo Planimétricos

304 280 Ejemplo ilustrativo 1

Determine las coordenadas de los puntos B; C; D y E, sabiendo que el teodolito con el cual se trabajó tiene una precisión de cinco segundos, A = (100 000; 100 000) m. ZAB = 137°03’46’’ Punto

Ángulo promedio medido

L(m)

Lado

A

146°01’55’’

108,805

AB

B

36°26’12’’

96,753

BC

C

155°38’15’’

106,709

CD

D

74°01’52’’

31,858

DE

E

127°51’53’’

85,912

EA

S

540°00’07’’

ZAB = 137°03’46’’

Nota

Solución: u

El Error relativo no deberá ser mayor de 1/10 000

Análisis de cierre angular: Teóricamente; el error máximo permitido:

Comparando: EC = 07’’ < 11,8’’ Lo cual indica que la medición angular es aceptable. u

Compensación de ángulos: A continuación procedemos a repartir el “exceso angular” en cada valor medido. Una opción podría ser distribuir: Lo cual significa restar a cada ángulo 1,4 . Otra opción es el uso de tan solo números enteros, la desición queda a criterioo del Ingeniero, En nuestro caso: Punto

Ángulo medido

C

Ángulo compensado

A

146°01’55’’

-1’’

146°01’54’’

B

36°26’12’’

-1’’

36°26’11’’

C

155°38’15’’

-2’’

155°38’13’’

D

74°01’52’’

-1’’

74°01’51’’

E

127°51’53’’

-2’’

127°51’51’’

S

540°00’07’’

-7’’

540°00’00’’

Redes de apoyo planimétricos

305 Redes de Apoyo Planimétricos u

281

Calculando del azimut de los lados de la poligonal, w

w

w

w

u

Comprobando: w

u

Cálculo de las coordenadas parciales: Lado

Z

d(m)

Dx = dsen Z

Dy = dcos Z

AB

137°03’46’’

108,805

74,118

-79,656

BC

353°29’57’’

96,753

-10,954

96,131

CD

329°08’10’’

106,709

-54,742

91,598

DE

223°10’01’’

31,858

-21,795

-23,236

EA

171°01’52’’

85,912

13,394

-81.862

P = 430,037

ex = 0,021

ey = -0,025

S u

Cálculo de error de cierre lineal: Ü

u

Cálculo del error relativo:

Ü

Redes de apoyo planimétricos

306 282

Redes de Apoyo Planimétricos

Dado que (1/13 000) < (1/10 000); se da por aceptado el trabajo de campo. u

Compensación de errores lineales: -

-

u

L(m)

Cx

Cy

AB

108,805

-0,005

0,006

BC

96,753

-0,005

0,006

CD

106,709

-0,005

0,006

DE

31,858

-0,002

0,002

EA

85,912

-0,004

0,005

Compensando las coordenadas parciales: Coordenadas parciales

Lado AB BC CD DE EA S u

Lado

Dx 74,118 -10,954 -54,742 -21,795 13,394 +0,021

Compensación

Dy -79,656 96,131 91,598 -23,236 -84,862 -0,025

Cx -0,005 -0,005 -0,005 -0,002 -0,004 -0,021

Cy 0,006 0,006 0,006 0,002 0,005 +0,025

Coordenadas parciales compensadas Dx Dy 74,113 -79,650 -10,959 96,137 -54,747 91,604 -21,797 -23,234 13,390 -84,857 0,000 0,000

Cálculo de coordenadas absolutas: Lado AB BC CD DE EA

Dx 74,113 -10,959 -54,747 -21,797 13,390

Dy -79,650 96,137 91,604 -23,234 -84,857

Explicando xB = 100,000 + 74,113 = 174,113 xC = 174,113 + (-10,959) = 163,154 xD = 163,154 + (-54,747) = 108,407 xE = 108,407 + (-21,797) = 86,610

E(m) 100,000 174,113 163,154 108,407 86,610 -

N(m) 100,000 20,350 116,487 208,091 184,857

Punto A B C D E

yB = 100,000 + (-79,650) = 20,350 yC = 20,350 + 96,137 = 116,487 yD = 116,487 + 91,604 = 208,091 yE = 208,091 + (23,234) = 184,857

Tener presente que los ángulos finales de cada vértice y las distancias finales entre ellos, cambian en virtud a la compensación lineal y obtención de coordenadas parciales compensadas; en nuestro caso: Punto A B C D E

lado AB BC CD DE EA

Ángulo 146°01’46’’ 36°26’04’’ 155°38’19’’ 74°02’13’’ 127°51’38’’

Distancia (n) 108,797 96,760 106,717 31,858 85,907

Este (m) 100,000 174,113 163,154 198,407 86,610

Norte (m) 100,000 20,350 116,487 208,091 184,857

Recordar que la medición de ángulos internos proviene de una poligonal antihoraria, presentamos a continuación otro formato, no obstante obedecer al mismo sistema de cálculos.

ÁNGULO INTERNO OBSERVADO

146⁰01'55"

36⁰26'12"

155⁰38'15"

74⁰01'52"

127⁰51'53"

540⁰00'07"

EST - P.V.

AB

BC

CD

DE

EA

∑

COMPENSACIÓN

- 7"

-2

-1

-2

-1

-1

540⁰00'00"

127⁰51'51"

74⁰01'51"

155⁰38'13"

36⁰26'11"

146⁰01'54"

ÁNGULO INTERNO COMPENSADO

171⁰01'52"

223⁰10'01"

329⁰08'10"

353⁰29'57"

137⁰03'46"

AZIMUT

430.037

85.912

31.858

106.709

96.753

108.805

-0.025

-84.862

-23.236

91.598

96.131

-79.656

NORTE

0.021

13.394

-21.795

-54.742

-10.954

74.118

ESTE

PROYECCIONES

0.025

0.005

0.002

0.006

0.006

0.006

NORTE

-0.021

-0.004

-0.002

-0.005

-0.005

-0.005

ESTE

COMPENSACIÓN

0.000

-84.857

-23.234

91.604

96.137

-79.650

NORTE

0.000

13.390

-21.797

-54.747

-10.959

74.113

ESTE

PROYECCIONES COMPENSADAS

184.857

208.091

116.487

20.350

100

NORTE

86.610

108.407

163.154

174.113

100

ESTE

COORDENADAS ABSOLUTAS

Redes de Apoyo Planimétricos 307 283

CONTENIDO

PROYECTO

ESPECIALIDAD

PLANTA

POLIGONAL LIBRO

PERIMÉTRICO

Calle

EA

E

UBICACION

CD DE

B C D

JUAN PEREZ RODRIGUEZ

PROPIETARIO

155°38'19" 74°02'13" 127°51'38"

AB BC

A

ÁNGULO 146°01'46" 36°26'04"

LADO

PTO

POLIGONAL

174,113 163,154 108,407 86,610

96,760 106,717 31,858 85,907

ESCALA

LIMA

P-01

LAMINA

184,857

20,350 116,487 208,091

100,000

NORTE (m)

1 / 2500

ENERO -2017

Juan C. Gonzales

CERCADO PROFESIONAL

CADISTA.

DTO.

PROV.

DPTO.

LIMA

100,000

108,797

PUNTO DE CONTROL PLANIMÉTRICO

ESTE (m)

DISTANCIA (m)

284 308 Redes de Apoyo Planimétricos

Graﬁcando:

Redes de Apoyo Planimétricos 309

285

2 Determinar las coordenadas de los puntos B; C; D y E, sabiendo que el teodolito con el cual se trabaja tiene una precisión de cinco segundos. Pto.

Ángulo promedio medido

L (m)

Lado AB

A

192°11’04’’

98,353

B

274°59’07’’

306,45

BC

C

268°24’50’’

76,223

CD

D

253°01’30’’

293,180

DE

E

271°23’36’’

74,866

EA

Pto.

Este (m)

Norte (m)

A

276952,651

8670505,707

P

276955,857

8670423,375

Además:

C

D

E

B

A 87°49’30’’

P

Redes de Apoyo Planimétricos

286 310

Solución: Conociendo las coordenadas de los puntos A y P procedemos a cacular el azimut AP. ZAP = 177°46’12’’ Graﬁcando:

N

ZAP = 177°46’12’’

E

B

A 87

°49

’30

’’

ZAB = 265°35’42’’

P

En adelante, el problema se resuelve adoptando el mismo procedimiento del ejemplo anterior. Análisis de cierre angular Según el cuadro:

ΣÁNGULOS = 1260°00’07’’ Luego

EC = +7’’ EC < EMAX (medición angular aceptable)

Error de cierre lineal (ver cuadro) ε

ε

ε

ε Error relativo Perímetro = 849,072 m (ver cuadro)

ε

Dado que ER <

(Poligonal aceptable)

ÁNGULO EXTERNO OBSERVADO

192⁰11'04"

274⁰59'07"

268⁰24'50"

253⁰01'30"

271⁰23'36"

1260⁰00'07"

EST - P.V.

AB

BC

CD

DE

EA

∑

COMPENSACIÓN

- 7"

- 1.4"

- 1.4"

- 1.4"

- 1.4"

- 1.4"

1260⁰00'00"

271⁰23'34,6"

253⁰01'28,6"

268⁰24'48,6"

274⁰59'5,6"

192⁰11'2,6"

ÁNGULO EXTERNO COMPENSADO

253⁰24'39.4"

162⁰01'4.8"

88⁰59'36.2"

0⁰34'47.6"

265⁰35'42"

AZIMUT

849.072

74.866

293.18

76.223

306.45

98.353

-0.015

-21.375

-278.859

1.339

306.434

-7.554

NORTE

0.01

-71.75

90.51

76.211

3.102

-98.063

ESTE

PROYECCIONES

0.015

0.001

0.005

0.001

0.005

0.002

NORTE

-0.010

-0.001

-0.003

-0.001

-0.004

-0.001

ESTE

COMPENSACIÓN

0.000

-21.374

-278.854

1.340

306.439

-7.552

NORTE

0.000

-71.751

90.507

76.210

3.098

-98.064

ESTE

PROYECCIONES COMPENSADAS

ESTE

8670527.081 277024.402

8670805.934 276933.895

8670804.594 276857.685

8670498.155 276854.587

8670505.707 276952.651

NORTE

COORDENADAS ABSOLUTAS

Redes de Apoyo Planimétricos 311 287

CONTENIDO

PROYECTO

ESPECIALIDAD

PLANTA

POLIGONAL LIBRO

PERIMÉTRICO

AURELIO QUIROZ

PROPIETARIO

Calle

UBICACION

PUNTO DE CONTROL PLANIMÉTRICO

ESCALA

LIMA

LIMA

NORTE (m) 8670505.707

P-01

LAMINA

8670527.081

8670805.934

8670804.594

8670498.155

1 / 4000

ENERO -2017

Juan C. Gonzales

CERCADO PROFESIONAL

CADISTA.

DTO.

PROV.

DPTO.

277024.402

74,867 88°36'24"

EA

276933.895

E

276857.685

76,222 293,173

91°35'12"

DE

106°58'28"

CD

C D

ESTE (m) 276952.651 276854.587

98,355 306,455

85°01'01"

AB BC

A B

DISTANCIA (m)

ÁNGULO 167°48'55"

LADO

PTO

POLIGONAL

288 312 Redes de Apoyo Planimétricos

Redes de Apoyo Planimétricos

313

289

Redes de Apoyo Planimétricos

290

314

> ° = ° + ° − °

=

> ° = ° + ° − °

> ° = ° + ° − °

> ° = ° + ° − °

∆ ∆

Σ

≅

> ° = ° + ° − °

= =

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos 315

= ε

291

−

ε ∆

= ε

∆

−

ε

(ε ) + (ε )

ε=±

Σ

ε

∆

=

  

= −

ε

ε

  

×

= −

× = −

ε

=

  

  

(

)

(−

)

×

×

×

= −

×

×

×

∆

106⁰39'20"

229⁰30'30"

230⁰20'10"

127⁰35'00"

TU

UV

VM

MN

Error

320⁰10'20"

RT

SR

EST - P.V.

ÁNGULO A LA DERECHA

+30"

104⁰45'20"

157⁰10'20"

106⁰50'10"

57⁰19'40"

130⁰40'20"

AZIMUT CALCULADO

104⁰44'50"

350⁰30'00"

AZIMUT MEDIDO

COMPENSACIÓN

- 6"

- 6"

- 6"

- 6"

- 6"

127⁰34'54"

230⁰20'04"

229⁰30'24"

106⁰39'14"

320⁰10'14"

+00"

104⁰44'50"

157⁰09'56"

106⁰49'52"

57⁰19'28"

130⁰40'14"

350⁰30'00"

ÁNGULO A LA AZIMUT DERECHA COMPENSADO COMPENSADO

282.935

48.322

42.600

75.704

63.806

52.503

-44.54

-12.34

40.87

-41.58

51.783

NORTE

18.752

40.775

63.723

48.395

-8.665

ESTE

PROYECCIONES ESTE

-0.030

0.040

194.201 362.980

238.736 344.228

251.071 303.453

210.200 239.730

251.783 191.335

NORTE

PRE COORDENADAS ABSOLUTAS

194.231

200.000

NORTE

362.940

200.000

ESTE

COORDENADAS MEDIDAS

0.030

0.005

0.005

0.008

0.007

0.006

NORTE

-0.040

-0.007

-0.006

-0.011

-0.009

-0.007

ESTE

COMPENSACIÓN

-44.530

-12.330

40.879

-41.576

51.789

NORTE

18.745

40.769

63.712

48.386

-8.672

ESTE

PROYECCIONES COMPENSADAS

194.231

238.761

251.091

210.212

251.789

200.000

NORTE

362.940

344.195

303.426

239.714

191.328

200.000

ESTE

COORDENADAS ABSOLUTAS

292 316 Redes de Apoyo Planimétricos

Redes de Apoyo Planimétricos 317

293

Ejemplo de aplicación 2 Determinar las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E, sabiendo que la estación total con la cual se trabajó, tiene una precisión de cinco segundos. Error relativo tolerable: 1/10 000. P

Q B A Est. - PV

Ángulo

Distancia

Q-A

222°53’37’’

39,992

A-B

125°49’02’’

507,894

C

D

P-Q

B-C

242°53’24’’

1487,535

C-D

191°31’39’’

548,826

D-E

189°20’26’’

405,318

E-R

173°31’13’’

252,490

R-S

118°58’42’’

E

R

S

Puntos de control Pto.

E

N

P

596918,958 8523715,259

Q

597951,333 8523648,917

R

599730,308 8521329,633

S

600579,897 8521200,437

Solución: Teniendo como información las coordenadas de los puntos de control, es posible calcular los azimuts PQ y RS. Lado

Azimut

P-Q

93°40’36,69’’

R-S

98°38’47,96’’

Error de cierre lineal (ver cuadro) ε

ε

ε

ε = 0,173 m Error relativo Perímetro = 3242,055 (ver cuadro)

Análisis de cierre angular Tenemos siete ángulos: n = 7

ε

, Según el cuadro: EC = 6,11’’ EC < EMAX (medición angular aceptable)

Dado que ER <

(Poligonal aceptable)

242⁰53'24"

191⁰31'39"

189⁰20'26"

173⁰31'13"

118⁰58'42"

BC

CD

DE

ER

RS

Error

125⁰49'02"

AB

-8.27"

98⁰38'39.69"

159⁰39'57.6"

166⁰08'44.69"

156⁰48'18.6"

145⁰16'39.6"

82⁰23'15.69"

136⁰34'13.6"

222⁰53'37"

QA

AZIMUT CALCULADO

93⁰40'36.69"

ÁNGULO A LA DERECHA

PQ

EST - P.V.

98⁰38'47.96"

93⁰40'36.69"

AZIMUT MEDIDO

COMPENSACIÓN

125⁰49'3.18" 82⁰23'18.05"

+00"

+ 1.18" 118⁰58'43.18" 98⁰38'47.96"

+ 1.18" 173⁰31'14.18" 159⁰40'4.78"

+ 1.18" 189⁰20'27.18" 166⁰08'50.6"

+ 1.18" 191⁰31'40.18" 156⁰48'23.4"

+ 1.19" 242⁰53'25.19" 145⁰16'43.2"

+ 1.18"

+ 1.18" 222⁰53'38.18" 136⁰34'14.8"

93⁰40'36.69"

3,242.055

252.490

405.318

548.826

1487.535

507.894

39.992

ÁNGULO DISTANCIA AZIMUT A LA COMPENSAD0 HORIZONTAL DERECHA COMPENSADO

-236.759

-393.529

-504.470

-1222.653

67.275

-29.043

NORTE

87.73

97.043

216.148

847.279

503.419

27.493

ESTE

PROYECCIONES ESTE

NORTE

ESTE

COORDENADAS MEDIDAS

0.105

0.137

8521329.738 599730.445 8521329.633 599730.308

8521566.497 599642.715

8521960.026 599545.672

8522464.496 599329.524

8523687.149 598482.245

8523619.874 597978.826

8523648.917 597951.333 8523648.917 597951.333

NORTE

PRE COORDENADAS ABSOLUTAS

-0.105

-0.008

-0.013

-0.018

-0.048

-0.016

-0.001

NORTE

-0.137

-0.011

-0.017

-0.023

-0.063

-0.021

-0.002

ESTE

COMPENSACIÓN

-236.767

-393.542

-504.488

-1222.701

67.259

-29.044

NORTE

87.719

97.026

216.125

847.216

503.398

27.491

ESTE

PROYECCIONES COMPENSADAS

8521329.633

8521566.400

8521959.942

8522464.430

8523687.131

8523619.873

8523648.917

NORTE

599730.308

599642.589

599545.563

599329.438

598482.222

597978.824

597951.333

ESTE

COORDENADAS ABSOLUTAS

R

E

D

C

B

A

Q

PTO

294 318 Redes de Apoyo Planimétricos

Redes de Apoyo Planimétricos 319

S

295

C

D

E

R

600000

A

598000

Q

B

599000 8521000

8522000

8523000

N

P

587000

Redes de Apoyo Planimétricos

296

320

Redes de Apoyo Planimétricos

297

321

=

− = = −

≅

∆ ∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

298

322

Redes de Apoyo Planimétricos

323

299

300 324

Redes de Apoyo Planimétricos

Redes de Apoyo Planimétricos

301

325

=

( − ) + ( − )

=

− −

∆

∆

ε

ε

Σ

ε

=



ε

Redes de Apoyo Planimétricos

302 326

θ

 θ  − + 

∆ ∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

303

327

θ

 θ  − + 

¡¢ £ ¤

Σ ¥

∆ ∆

∆ ∆

Σ

Σ ¢ £

Redes de Apoyo Planimétricos

304

328

∆

∆

Σ

εε

Σ

Σ Σ

¡ ¡ ¡ ¢

Redes de Apoyo Planimétricos

305

329

×

=

− − =

= −

Σ

∆ ∆

∆ ∆

Σ

ε

ε

ε = ( ) + ( ) =

=

Σ

×

Σ

ε ( − ) × = − ×

=        ε    

∆

∆

ε ( − ) = − × = − ×

Redes de Apoyo Planimétricos

306

330

Σ

=

¡

=

ε

ε

ε = ( ) + ( ) =

Σ

Σ

∆ ∆

Σ

¢ =

=  £       ε    

¢ =

Redes de Apoyo Planimétricos

307

331

∆ ∆

= ( ∆ + ) + ( ∆ + )

= () +() −()()°

¡

¢¡

¡

Redes de Apoyo Planimétricos

308

332

=

=

∆ ∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

309

333

Σ

ε

ε

ε = ( ) + ( ) =

∆ ∆

=

= ( ) ε

=

∆

∆

∆

∆

Redes de Apoyo Planimétricos

310 334

∆ ∆ ∆ ∆

αβ

= ° α =

=

= ° −

=

− = ° −

α

= ° β =

β

Redes de Apoyo Planimétricos

311

335

β

θ β θ

θ

∆ ⋅

=

∆ ⋅

Σ

∆

− = −

Σ

∆

= ( ) + ( ) =

=

=           

=

Redes de Apoyo Planimétricos

312

336

= −

ε × = − ×

× ×

= −

ε × = − ×

× ×

∆ ∆



∆

∆





( )( ) °

=

=

( ) ( ) °

= ×

=

=

=

( ) ( ) °

( )( ) β

= ×

Redes de Apoyo Planimétricos

313

337

=

( )( ) °

− = −

=

= ×=× =

( − ) + (

− ) = ( )

=

335

10

Taquimetría

Capítulo

=

 =   

Taquimetría

316

340

×

×

Taquimetría

317

341



=  

  



=   = 

=× ×

Taquimetría

318 342

×

× ×

×

α ⋅ α

Taquimetría

319

343

⋅⋅α

⋅α

⋅

⋅⋅αα

⋅⋅α

⋅⋅ α

⋅⋅α ⋅⋅α ...............

⋅α ⋅⋅αα

⋅α

Taquimetría

320

344

δ δ

 (α + δ )   −   α 

βδααδ

= (° + α ) β

° − (α + δ ) (α + δ ) = = ( ° + α ) α − (α + δ ) − α = α

 (α + δ )   −   α   ( α + δ)   −   α 

δ

α

δ

α

δ

Taquimetría

321

345

α

δ

α

δ

= ±

( ) + ( )

×

± (

) + (

)

×

=

⇒

=

⇒

Taquimetría

322

346

=±

( ) + ( )

⇒ ⇒

= ± ( ) + ( )

Taquimetría

323

347

⋅⋅α ⇒

= ± ( ) + ( )

⇒

α

Taquimetría

324 348

α

α 3 km.

Taquimetría

325

349

⇒

α

Taquimetría

326

350

× ×

α

( × ° )

× ×

⇒

⇒

Taquimetría

327

351

×

α

⋅α

Taquimetría

328

352

( )

( )

− ⋅

 − ( ) ×  +   

( )

Taquimetría

329

353

( ) ⋅

DH 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 4 000

C(m) 0,017 0,067 0,151 0,269 0,421 0,601 1,076

DH 4 500 5 000 5 500 6 000 6 500 7 000 7 500

C(m) 1,362 1,682 2,035 2,422 2,843 3,297 3,784

Solución:

( )   ⋅ =    

Taquimetría

333

357

α

δ α ⇒

 ( ° + ° )   −   °  = ± ( ) + ( )

= ± ( ) + ( ) + ( )

α

α ⇒

= ± ( ) + ( ) + ( )

⋅⋅α ⋅⋅

α

⋅⋅α ⋅⋅

 (α + δ )   −  α  

 ( ° + ° )   −   ° 

Taquimetría

334 358

 ( ° + ° )   −  °  

δ = ° α = °

   = 

 ( ° + ° )   −  °  

= ± ( ) + ( )

α ⇒

= ± () + ( ) + ( )

α

= ± () + ( ) + ( )

α

⇒

δ = ° α = °

   = 

Taquimetría

335

359

⇒

   = 

α

δ = ° α = °

= ± ( ) + ( ) + ( )

⇒

= ± ( ) + ( ) + ( )

Taquimetría

336

360

1° Elección de la red de apoyo o poligonal.-







2° Determinación del croquis de los detalles a levantar.-

Taquimetría

337

361

×

α

Taquimetría

338

362 α

α

Taquimetría

363

339

Taquimetría

340

364

α

Taquimetría

341

365













Taquimetría

342 366

El plano final queda determinado con la representación de los detalles, según las exigencias pertinentes (nombre, medidas, cotas, etc) En nuestro ejemplo.

Taquimetría 367

343

B. Método de la Estación Total. B.1. Método del ángulo y distancia.- Consiste en anotar y/o guardar como información los ángulos y distancias medidas en el campo.

Procedimiento: 1.

Elección de la Red de Apoyo o poligonal.- La elección de la red de apoyo, se estudió en la Pag. 289

2°

Determinación del croquis de los detalles a levantar.- Se dibuja in situ la geometría y posición aproximada de los detalles naturales y artificiales (dicho gráfico se debe plasmar en la libreta de campo). Esta operación involucra la denotación de los puntos a levantar (asignación de nombres a los puntos de relleno). Es recomendable que esta actividad sea encabezada por un topógrafo de comprobada experiencia, dado que la presencia de dicha persona tanto en el campo como en el gabinete será vital para la resolución de problemas.

Taquimetría

344 368 3°

Se determina la mínima longitud a tomar en cuenta en el campo.- Para ello es preciso la escala a la cual se representará el levantamiento en el plano. Si la escala elegida es 1 / E .es aceptable la siguiente expresión L = 0,0002xE Donde: L = Mínima longitud a tomar en cuenta en el campo,; tener presente que el valor obtenido está expresado en metros; si por ejemplo E = 10 000;la mínima longitud L será 2 m.

4°

Relleno desde el primer punto de control. - Se hace estación en un punto de la poligonal. - Se dirige la visual hacia uno de los puntos vecinos de la poligonal. - Se hace 0°00’00’’ en dicha dirección. - Se suelta el bloqueo de la alidada y se dirige la visual hacia el primer punto a levantar, se toman como datos: .

El ángulo horizontal

.

Las distancias DH y DV

- Se suelta el bloque de la alidada y se dirige la visual hacia el segundo punto a rellenar, tomando como datos, los mismos parámetros que el punto antecesor. - La misma operación se realiza con los demás puntos por levantar desde la misma estación.

Proyecto : ......................................... Lugar : ......................................... Fecha : ......................................... Estación

Punto visado Ang. horizontal

Operador : ......................................... Instrumento : ......................................... DH(m)

DV(m)

A

= 1,41 m

Cota 500.000

B

0°00’00’’

A1

39°23’21’’

162.912

13.314

A2

76°28’42’’

226.713

17.080

Taquimetría 369

Estación

345

Punto visado

Ang. horizontal

DH(m)

DV(m)

A

= 1,41

500.000 B

0°00’00’’

A1

39°23’21’’

162,912

13,314

A2

76°28’42’’

226,713

17,080

B

= 1,506

523,231 C

0°00’00’’

B1

25°25’42’’

248,571

18,848

B2

298°39’04’’

148,918

12,694

C

= 1,398

510,610 D

0°00’00’’

C1

12°01’03’’

238,010

21,279

C2

33°16’26’’

168,389

16,470

D

= 1,602

530,420 E

0°00’00’’

D1

26°01’11’’

193,736

20,942

D2

53°54’55’’

166,943

18,529

E

= 1,427

Cota (m)

521,232 A

0°00’00’’

E1

282°26’28’’

206,511

30,446

E2

323°03’59’’

37,168

5,562

E3

331°41’31’’

187,300

29,674

346 370

6°

Taquimetría

Paralelo al levantamiento taquimétrico, se puede asignar otra brigada que se encargue de tomar las medidas con cinta métrica; sin embargo el croquis a usar debe tener las mismas denotaciones que las usadas en taquimetría.

7°

Generar la grilla (sistema de coordenadas rectangulares), de acuerdo a la escala elegida.

Trabajo de gabinete

Taquimetría 371 347

A

E

B

Se representa gráficamente la poligonal respectiva.

D

657.915 174.860 199.104

545.100 193.234

D E

886.458

399.042 755.130

C

A B

NORTE 700.000

ESTE 100.000

PUNTO

C

COTA

521.232

530.420

510.610

523.231

500.000

348 372 Taquimetría

E1

E3

A

E

E2

A2

A1

D1

B

D2

C1

C2

D

B1

B2

C

E

D

C

B

A

ESTACIÓN

238.010

37.168

323°03'59" 331°41'31"

E2 E3

187.300

206.511

0°00'00" 282°26'28"

A

166.943

53°54'55" D2

E1

193.736

0°00'00" 26°01'11"

168.389 E

33°16'26"

C2

D1

0°00'00" 12°01'03"

D

298°39'04" B2

C1

248.571 148.918

0°00'00" 25°25'42"

C

226.713

76°28'42"

A2

B1

162.912

0°00'00" 39°23'21"

DH

B

ANG. HOR.

A1

P.V.

Se ubican gráficamente los puntos a rellenar, con ayuda de los ángulos horizontales y distancias respectivas.

Taquimetría 373 349

E1

E3

A

E

E2

Se borra u oculta los trazos realizados.

A2

A1

D1

B

D2

C1

C2

D

B1

B2

C

350 374 Taquimetría

E1

E3

A

E

E2

A2

A1

D1

B

D2

C1

C2

D

B1

B2

C

Se procede a unir los puntos pertenecientes al relleno, de acuerdo al croquis realizado.

Taquimetría 375 351

PABELLÓN C

1

PABELLON A

ESTRUCTURA

Ocultando la poligonal obtenemos el plano final.

PABELLON P

ESTRUCTURA 2

352 376 Taquimetría

Taquimetría 377

353

B.2. Método de coordenadas.- Consiste en anotar y/o guardar en la memoria del equipo las coordenadas de los puntos rellenados

Procedimiento: 1.

Elección de la Red de Apoyo o poligonal.- La elección de la red de apoyo, se estudió en la Pag. 273

2°

Determinación del croquis de los detalles a levantar.- Se dibuja in situ la geometría y posición aproximada de los detalles naturales y artificiales (dicho gráfico se debe plasmar en la libreta de campo). Esta operación involucra la denotación de los puntos a levantar (asignación de nombres a los puntos de relleno). Es recomendable que esta actividad sea encabezada por un topógrafo de comprobada experiencia, dado que la presencia de dicha persona tanto en el campo como en el gabinete será vital para la resolución de problemas.

Taquimetría

354 378 3°

Se determina la mínima longitud a tomar en cuenta en el campo.- Para ello es precio la escala a la cual se representará el levantamiento en el plano, Si la escala elegida es 1/E, aceptable la siguiente expresión: L = 0,0002 x E, donde: L = Mínima longitud a tomar en cuenta en el campo; tener presente que el valor obtenido está expresado en metros; si por ejemplo E = 10 000; la mínima longitud L será 2 m.

4°

5°

Relleno desde el primer punto de control.-

Se hace estación en un punto de la poligonal.

-

Se ingresa al menú particular del equipo que se está utilizando.

-

Se dirige la visual hacia uno de los puntos vecinos de la poligonal (espalda).

-

Se suelta el bloqueo de la alidada y se dirige la visual hacia el primer punto a levantar, para luego medir y guardar las coordenadas de dicho punto.

-

Se suelta el bloqueo de la alidada y se dirige la visual hacia el segundo punto a rellenar, tomando como datos, los mismos parámetros que el punto antecesor. La misma operación se realiza con las demás puntos por levantar desde la misma estación.

Trabajo de gabinete.- Se realiza la transferencia de información de la estación total a la computadora, obteniendo como resultado final, las coordenadas de los puntos levantados. B2

B A

A1

C

B1 C2 A2 C1

E3

D2 D1

E1

E2

E

D

Posteriormente se siguen los mismos pasos descritos en el método

Taquimetría

355

379

356

380

Taquimetría

En el proceso de reconocimiento de terreno, llevar a cabo un croquis de la zona, donde planimétricamente se representen estructuras artificiales y naturales importantes, tales como: Edificaciones, reservorios, carreteras, caminos, cercos, taludes, quebradas, divisorias de aguas, etc.

Taquimetría

381

357

Apoyándose en los puntos de control, proceder a levantar los puntos pertenecientes al croquis realizado. Para ello es recomendable asignar nombres estratégicos a los puntos por levantar y anotarlos en el croquis.

358

382

Taquimetría

Realizar el levantamiento masivo de puntos; se recomienda llevar un orden establecido, en tal sentido es preferible que los puntos por levantar formen un conjuntos de líneas o cuadrículas. Es imprescindible levantar los puntos donde se presentan cambios de pendientes. Al igual que en el segundo paso es muy importante la designación de nombres a los puntos por levantar.

Taquimetría

383

359

En esta etapa es de vital importancia la presencia de la persona que estuvo a cargo del croquis en el proceso de campo, dado su relación directa con el terreno. Los pasos que se recomiendan seguir son las siguientes: Se unen mediante líneas rectas los puntos considerados importantes en el dibujo del croquis realizado en el proceso de campo.

360

384

Taquimetría

Taquimetría

361

385





L

Taquimetría

362

386

Taquimetría

387

363

388

Taquimetría

364

Taquimetría

365

389

Las curvas de nivel no deben cruzar las edificaciones.

Trabajo correcto :

Trabajo incorrecto :

Los triángulos formados se encuentran al exterior de la edificación.

Los triángulos formados se encuentran dentro y fuera de la edificación.

Taquimetría

366

390

Taquimetría

367

391

Taquimetría

368

392

Taquimetría

369

393

Taquimetría

370

394

Taquimetría

395

Trabajo correcto :

Trabajo incorrecto :

371

El eje principal divide la malla en: triángulos a la derecha y triángulos a la izquierda.

Los triángulos sombreados no se encuentran ni a la derecha ni a la izquierda del eje principal.

Taquimetría

372

396

Taquimetría

373

397

374

398

Taquimetría

Taquimetría

375

399

Trabajo correcto :

Trabajo incorrecto :

La interpolación se realiza independientemente en cada una de las tres zonas.

Se han realizado interpolaciones que involucran simultáneamente a dos zonas.

Taquimetría

376 400

Taquimetría

377

401

α α

⋅

× α

⋅

×× °

⋅α

α

⋅

α

⋅

⋅

Taquimetría

378

402

¡

¢

Taquimetría

379

403

∆ ⋅ ∆ ⋅

∆ ⋅ ∆ ⋅

α ⋅α ⋅α

Taquimetría

380

404

α

⋅ × α ⋅

α

× α

⇒

Taquimetría

381

405



∆ ∆

¦ ¡

¡

∆

∆

⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

¢ £

( − )

= ° α

⋅ α

( − ) = ° ° − α

⋅ α

¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥¤ ¥⋅

£

α

391

11 Capítulo

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

384

408

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

ε ε ε ε ε ε ε

ε ε

ε

φ = ε + ε + + ε =

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 385 409

φ

∂φ = ∂

∂φ = ∂

+ +

+

⋅      −      =  −      

×××××      −  =      −  

386

410

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

ε    ε

ε

φ = ε + ε   + + ε =

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 387 411

∂φ = ∂

∂φ = ∂

∂φ = ∂

+ + + + + +

     −      =  −            − 

××××× × × × × ×

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

388

412

     −      =  −           −  

εεε εεε

εεε

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 389 413

ε ε

ε

φ = ε + ε + + ε =

∂φ = ∂

∂φ = ∂

∂φ = ∂

+ + + + + +

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

390

414





 

    −     =  −          − 



    −      =  −           −  

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 391 415

+ + = °

+ + + = °

∆ + ∆ + ∆ =

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

392

Aplicación 1: Red de Nivelación Ejemplo 1. En la siguiente Red de Nivelación, calcular la cota del punto P. Considerar la desviación estándar igual en ambos tramos.

∆ = -20,012 m

∆ = +12,672 m

A

L = 2 km

L = 1 km

P

B

Cota A = 100,000 m Cota B = 132,674 m Solución. ● Las flechas en cada línea indican el sentido del recorrido (dato de campo). ● La denotación “D” indica el desnivel entre dos bancos. ∆ = cota P - cota A

P

A ● En cada tramo existe un error llamado V1, V2, ..., Vn.

● Ecuaciones de condición (obedeciendo el sentido de las flechas)

Tramo 1:

P = 100 + (12,672 + V1)

à V1 = P - 112,672

Tramo 2:

P = 132,674 + (-20,012 + V2) à V2 = P - 112,662

● Condición del método de mínimos cuadrados

= mínimo

Donde: P1 y P2 son los pesos en cada tramo

si = desviación estándar en el tramo i i

Li = distancia en el tramo i

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

393

● En nuestro caso.

si = s1 = s2 = s = dato

● Dado que F es mínimo

=0

P = 112,665 m Ejemplo 2. Se muestra una Red de Nivelación; se pide calcular las cotas de los puntos B y C; sabiendo que la desviación estándar es la misma en todos los tramos.

A

La longitud de todos los tramos mide 1 000 metros.

2,179

∆ = +1

A = 100,000 m

m

B

∆ = -7,8

43 m

∆ = -7,324 m

∆ = -4

,870 m

C

,172

15 ∆=+

D = 120,032 m m

Solución. ● Las flechas en cada línea indican el sentido del recorrido (dato de campo).

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

394

● La denotación “D” indica el desnivel entre los bancos.

∆ = cota Q - cota P P

Q

A

● En cada tramo existe un error llamado V1, V2, V3, V4, V5; ...; Vn

B

9 + V1

7 +12,1

-7,843 +

V4

-7,324 + V3

D = 120,032

A = 100,000 -4,870

+ V2

C

72 +

+15,1

● Ecuaciones de condición (obedeciendo el sentido de las flechas)

Tramo 1:

B = 100 + (12,179 + V1)

à

V1 = B - 112,179

Tramo 2:

100 = C + (-4,870 + V2)

à

V2 = 104,870 - C

Tramo 3:

C = B + (-7,324 + V3)

à

V3 = C - B + 7,324

Tramo 4:

B = 120,032 + (-7,843 + V4) à

V4 = B - 112,189

Tramo 5:

D = C + (15,172 + V5)

V5 = 104,86 - C

à

● Condición del método de mínimos cuadrados

● En nuestro caso:

B ● Dado que F es mínimo:

V5

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

3B - C = 231,692

● Dado que F es mínimo:

,

,

,

3C - B = 202,406 ● Dos ecuaciones con dos incógnitas

B = 112,185 m

C = 104,864 m

Ejemplo 3 ● En las siguiente red de nivelación, se pide la cota de los puntos B, D y E. Cota A = 100,000 m Cota C = 138,777 m

B

=1 8,6 42 m L

km ,8 1 =

∆ = -4,603 m L = 2,0 km (2σ)

∆

) (σ

∆

L=

(σ

km 2,0 L= 35 m 24,8 ∆=)

D

E

10,8 32 m 1,8 k (2σ) m

(2σ) ∆ = -14,0 21 m L = 1,32 km

A

∆=

L

= 2 (σ 0,1 ) 42 =2 m ,4 km

(2σ) ∆ = -24,765 m L = 1,8 km

km 2,4 = 7m L ,94 ) 3 1 (σ ∆=

C

395

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

396 Solución

B 20

+1 8, 64 2

+

-4,603 + V6

V

1

,1

-14,021

A = 100,000 m

42

+

V

2

+ V5

-24,765 + V7

+ V4

+10 ,832 +

835 -24,

V8

E

7+

4 3,9

V3

+1

D ● Ecuaciones de condición.

Tramo 1:

B = 100 + (18,642 + V1)

à V1 = B - 118,642

Tramo 2:

138,777 = B + (20,142 + V2)

à V2 = 118,635 - B

Tramo 3:

138,777 = D + (13,947 + V3)

à V3 = 124,830 - D

Tramo 4:

100 = D + (-24,835 + V4)

à V4 = 124,835 - D

Tramo 5.

100 = E + (-14,021 + V5)

à V5 = 114,021 - E

Tramo 6:

E = B + (-4,603 + V6)

à V6 = E - B + 4,603

Tramo 7:

E = 138,777 + (-24,765 + V7)

à V7 = E - 114,012

Tramo 8:

D = E + (10,832 + V8)

à V8 = D - E - 10,832

● Condición del método de mínimos cuadrados.

● Dado que F es mínimo

,

,

C = 138,777 m

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

397

79B - 9E = 8346,157

● Dado que F es mínimo

=0

103D - 15E = 11147,760 ● Dado que F es mínimo

-243,302 B - 304,128 D + 1186,406 E = 68440,014

● Tres ecuaciones con tres incógnitas.

B = 118,637 m

D = 124,835 m E = 114,017 m

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

398 Ejemplo 4.

En la siguiente Red de Nivelación, calcular las cotas de los puntos: B; D; E; F; G y H.

(σ)

B

,764 ∆ = -32

A

∆= 15, 216 L= 4k m

L = 5 km ∆

(σ)

L=

∆ = -3 9,133 L=6 km

G

F

(σ) 362 , -46 m 8k

=1 4,9 63 4k m

∆=

L=

H

E

∆=

) (σ 39m ,0

∆=

24

5 L=

(σ)

26 ,8 L= 6 k 06 m

km

L = 10 km L = 5 km ∆ = -52,631

D

C

(σ)

G

2σ

L = 1 km

2σ

∆ = 0,111

1 km

1 km ,821 ∆=1

L=

H

2σ

Cota A = 100,000 m Cota C = 113,552 m

2σ

L=

∆ = 4,310

E

∆

L = 1 km

F

610 = 2,

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados Solución. 4+ -32,76

B

V1

63

,21

,9

15

14

6+

V6

A

399

+V

33 +

62

V4

G

F

6,3

5

-4

+V

-39,1

2

H

E m

39

,0 24

+V

26

,80

8

6+

V7

L = 5 km

D

C

-52,631 + V3

0,111 + V 12

F

E

G

V9

4,310 + V10

0+ 2,61

12

H

11

1 + V1

1,82

1

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

400

● Ecuaciones de condición.

Tramo 1:

B = 100 + (-32,764 + V1)

à V1 = B - 67,236

Tramo 2:

B = 113,552 + (-46,362 + V2)

à V2 = B - 67,190

Tramo 3:

D = 113,552 + (-52,631 + V3)

à V3 = D - 60,921

Tramo 4:

D = 100 + (-39,133 + V4)

à V4 = D - 60,867

Tramo 5:

100 = F + (14,963 + V5)

à V5 = 85,037 - F

Tramo 6:

G = B + (15,216 + V6)

à V6 = G - B - 15,216

Tramo 7:

113,552 = H + (26,806 + V7)

à V7 = 86,746 - H

Tramo 8:

E = D + (24,039 + V8)

à V8 = E - D - 24,039

Tramo 9:

F = G + (2,610 + V9)

à V9 = F -G - 2,610

Tramo 10: H = G + (4,310 + V10)

à V10 = H - G - 4,310

Tramo 11: H = E + (1,821 + V11)

à V11 = H - E - 1,821

Tramo 12: F = E (0,111 + V12)

à V12 = F - E - 0,111

● Condición del método del mínimos cuadrados:

● En nuestro caso:

● Dado que F es mínimo

23B – 10G = 721,678

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados ● Dado que F es mínimo

14D - 6E = 342,864 ● Dado que F es mínimo

14E - 5H - 5F - 4D = 86,496 ● Dado que F es mínimo.

3F - G - E = 87,758

● Dado que F es mínimo

,

3G - B - F - H = 8,296

● Dado que F es mínimo

401

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

402

8H - 3G - 3E = 191,885

● Seis ecuaciones con seis incógnitas

B = 67,218 m

D = 60,887 m

E = 84,926 m

F = 85,039 m

G = 82,433 m

H = 86,745 m

Problema Propuesto 1 En la siguiente red de nivelación, se pide las cotas de B, C y D. La precisión en cada tramo es la misma, cota A = 100,000 m +15,182 m 0,5 km

A

+22,111 m

B

-18,978 m

0,5 km -18,322 m

D

0,5 km

C

0,5 km

-37,308 m 1,0 km

Problema Propuesto 2 Calcular las cotas de todos los vértices, luego del ajuste respectivo.

1 km 12,48 m 2σ

B

D m 4k 5m 7,6 -1 σ

2k m -14 ,24 2σ m

C

+16,21 m σ

D

BM = 110,47 m

7 km +14,22 m σ BM = 102,83 m

2k m -6,9 01 m 2σ

3 km m -7,52 σ

F

m

5k

E

7m -8,8 σ

6 km

1 km -9,23 m J σ

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 403 428

= + + =

λ ⇒

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

λ

λ λ λ

λλλ

⇒

λ

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

404

429

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

λ ⇒

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

⇒

⋅λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

⋅λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

⋅λ

⇒

=

λ

λ λ λ

λ λ λ

⇒

λ λ  λ λ  + +  = ⇒ λ =  

=

= = ⋅ ⋅ ⋅

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 405 430

= ⋅ + ⋅

+ =

λ ⇒

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

λ

λ λ λ

λ λ λ

⇒

λ

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

406

431

Σ

= +

+ =

λ λ

⇒

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

⇒

λ λ

⇒

=

λ − λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 407 432

=

λ λ λ − λ = =

− λ − λ =   λ = λ = − λ + λ = 

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados

408

433

= + + + + + + =

λλ λλ

⇒

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

⇒

λλ

⇒

=

∂ = ∂

⇒

λλ

⇒

=

λ + λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

−λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

∂ = ∂

⇒

λλ

⇒

=

λ + λ

∂ = ∂

⇒

λλ

⇒

=

λ + λ

∂ = ∂

⇒

λ

⇒

=

λ

λ + λ

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 409 434

λ + λ λ + λ = =

−λ λ =

=

λ + λ λ + λ = =

=

λ

λ

λ λ λ

λ

λ

λ

λ

λ ×λ

λ

λ

×λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ ×λ

λ λ

×λ λ

λ

λ

λ

λ

419

12 Capítulo

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

412

436

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

⋅α

α

   

 ⋅α   ⋅α

α α

=

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 413 437

α α

= ° − α α αα

αα ⋅⋅α

α⇒ α⇒ ⇒

  ( ) 

=

ε ε

414

438

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

ε ε ε ε

ε + ε

ε + ε

εε ε εε

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 415 439

   +      

416

440

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

   +      

⋅

⋅

= ( ) + ( ) + ( ) + ( )

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 417 441

= +

=

( )

+ ( ) + ( )

u 5u sigui σ=± + ⋅     

σ

σ = ± + ( ⋅ )

⋅σ

418

442

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

×

π × °

⇒

= ( ) + (

)

=

⇒

ε +ε εε

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 419 443

= × −

⋅ = ⋅

 +   

= ± + + +

 + ×  



= ± ( ) + ( )

 + × 

=

ε + ε ×−

⇒



⋅

⋅ ⇒

   +   



420

444

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

± + + +

± + + +

= ±

ε + ε

+

ε ε

=

⇒

× −





= ±

 +  =  + ×  

⋅ = ⋅ ⇒

± + + + ±



+ = ±

±

⇒

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 421 445

α α

αα

αα

α=

α + + + + + + + + + ++

+

⋅

( + + + ) ⋅

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

422

446

+ + +

⋅ ⋅ + + +

=

⇒

=

+

+ ⇒

+ + +

× × + + +

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 423 447

424

448

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 425 449

θ

θ θ

° °

θ

θ θ θ

° °

θ

426

450

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

°   °

θ

θ   θ   θ

+ + +

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 427 451

428 452

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 429 453

±

+

⇒

σ

σ ⋅



   

σ

σ ± +

σ

++

++ + −

σ

±°× π ×

°

++

+ +

++

++ +−

+ +

430

454

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

+ +

( − ) ( − ) ( − )

φ

∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ∂ ∂ − ∂ − ∂ −

⋅⋅ ⋅⋅

⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − − − −

 − − −  + + +  − − − 

   −   −   −    + + +         −   −   − 



  

   + + +   − − − 

× 

 + + +   − − − 

( ) ×

×

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 431 455

+ + + +

σ

σ σ σ

⋅

⋅

432

456

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

σ

σ σ σ π  σ

 ×  °  

σ σ

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 433 457

σσ σ

σ σ σ

Hay que tratar de utilizar equipos y métodos con los cuales obtengamos precisiones semejantes tanto angular como lineal; si bien es cierto, será casi imposible encontrar la igualdad; con criterio y técnica es posible obtener errores similares.

434

458

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

σ

σ





Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 435 459

Fig. 1

436

460

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)

Fig. 2

σα

σα σα

σα σα

445

13

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

Capítulo

α

αα

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

438

462

α α α π   α  α ×  °  

α

⋅ ⋅ α

∂ ∂ ⋅ + ⋅ α ∂ ∂α

α⋅ ⋅ α α

±

[ + α ⋅ ] + [ ⋅ + α ⋅ α ]

⋅ ⋅ α

∂ ∂ ⋅ + ⋅ α ∂ ∂α

α⋅ ⋅ α α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

463

439

±

[ + α ⋅ ] + [ ⋅ + α ⋅ α ]

α

α

⋅ α

∂ ∂ ⋅ + ⋅ α ∂ ∂α

α⋅ ⋅ α⋅α ⋅ ⋅α ⋅ ⋅α ±

[ ⋅ ] + [ ⋅ α ] = ± [ × ] +  × 

° × π   °

⋅ α

∂ ∂ ⋅ + ⋅ α ∂ ∂α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

440

464

α⋅ α⋅α ⋅ ⋅α ⋅ ⋅α ±

[ × ] + [ × α ] ⇒

α β

⋅ ⋅

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

465

441

θ °

° °

⋅ ⋅

−     − 

⋅ ⋅

( −) + ( − )

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

442

466

αβ

α β σ

Fig. a

Fig. b

σ σ θ

σ ± σ + σ σ ± σ

σ σ

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

467

443 σ

σ

σ

Fig. c

σ

Fig. d

σ σ θ θ σ θ

= σ = σ

Fig. e

Fig. f

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

444

468

⋅σ θ

θ θ θ

σ

π  ⋅  ° ×  °    °     

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

469

445

σ

θ

+ = +

π  ⋅  °    ×  °  °     

+

+

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

446

470

α

β

Fig. a

Fig. b

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

471

447

αβ

Fig. a

Fig. b

θ θαβ

⋅ β + ) + ( + ) ⋅ α ⋅ (

⋅ α + ) + ( + ) ⋅ β ⋅ (

θθ

Fig. c

α θ β θ

Fig. d

448

472

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

 θ    ⋅  α   θ    ⋅  β 

⋅ ⋅

⋅ ⋅

α β

α β

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

473

449

θ θαβ

⋅ β + ) + ( + ) ⋅ α ⋅ (

θ θ

⋅

⋅

⋅ α + ) + ( + ) ⋅ β ⋅ (

⋅

⋅

α θ β θ

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

450

474

θαβ

θαβ

− β

θ − γ

Σ

⋅ + ⋅ + ⋅ Σ

⋅ + ⋅ + ⋅ Σ

(

− ) ( − ) ⋅ + ( − ) ⋅ ⋅ + Σ Σ Σ

− α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

475

− ⋅ β − ⋅ γ − ⋅ α β γ α

+ +

451

− ⋅ β β

− ⋅ γ γ

− ⋅ α α

(

−) ( − ) ⋅ + ( − ) ⋅ ⋅ + Σ Σ Σ

+ +

×

 + 

  ×  =  +    

×

⋅

⇒

×

εε

Métodos Planimétricos ysus Errores Accidentales

452 476

± + + +

ε ±

θ Σ

+

εα× εβ× εγ×

α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

477

453

α β

Fig. a

Fig. b

Fig. c

θ

θ

−

−

 − θ −    − 

θ ( − ) ⋅ θ ⋅ θ −

− ( − ) θ ⋅ θ

− ( − ) ⋅ +

− ( − )

( − )

⋅ θ

−

( − )

⋅ −

θ

−

(

− )

⋅ −

(

− )

⋅

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

454

478

θ

θ

θ θ θ

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

479

455

θ θ

∆

− )

⋅ −

−

(

−)

( )

⋅ −

⋅

( ) ⋅

( )

θ×⋅×⋅

θ

(

∆

−

( )

⋅ −

( )

⋅

θ×⋅×⋅

θ

( )

⋅ −

( )

⋅

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

456

480

θ× ⋅× ⋅

×

θ

( )

⋅ −

( )

⋅

θ× ⋅ × ⋅

π °

×

π °

θ θ

⇒

⇒

∂φ = ∂

θ θ

⇒

φ = + + =

×

φ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⇒

× ⇒

θ θ

⇒

×

θ θ

×

π °

α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

481

457

∂φ = ∂

α β

Σ

β

±

Σ ( ) =± (Σ )( − )





Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

458

482

α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

483

459

θ θ

θ

⋅ α

⋅ ⋅

α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

460

484

θ

θ

⋅ (α + α )

αθ

⋅ ⋅

θ α

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

485

461

θ

− −

θα

⋅ ⋅

α

α

⋅ ⋅

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

462

486

α α α α α

θ

⋅    ⋅

θ

⋅ (° )

θ

Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales

487

αα

θ

⋅ (° )

463

ααα

θ

θ

αθ

θ

α θ

⋅ ⋅

⋅ (° )

⋅ ⋅

14

Diseño Geométrico de Carreteras

Capítulo

Una carretera es una faja de terreno, destinado al tránsito de vehículos. La comodidad, seguridad economía y compatibilidad con el medio ambiente dependerá del diseño de la misma; es por ello que el diseño de una carretera es considerada como el elemento fundamental en la creación de la vía. De hecho, la calidad de vida de las personas tiene naturaleza dual, pues está sujeta a la presencia de los pueblos donde habitan y una carretera que las interconecte; así pues, el detonante económico y social de las ciudades se encuentra en función directa de la presencia y características técnicas de la carretera. Desde el punto de vista topográfico, la formulación de un camino, está compuesto por cinco etapas : -

El reconocimiento de terreno. Es un análisis general del terreno que involucra el entorno de los pueblos o ciudades potencialmente favorecidas.

-

Elección de la ruta a considerar. Si bien es cierto, existe un punto de partida y otro de llegada, la ruta a tomar, puede sufrir desviaciones por la presencia de los llamados puntos obligados de paso, los cuales aparecen por diversas razones: topográficas, climatológicas, ambientales, políticas, etc.

-

Trazo preliminar. Considerando la ruta elegida y con ayuda de equipos, instrumentos y métodos topográficos, se lleva a cabo el trazo de la línea de gradiente.

-

Trazo geométrico definitivo. Consiste en el diseño del trazo horizontal y vertical del eje de la vía.

-

Replanteo. Es trasladar al terreno el trazo horizontal y vertical indicado en los planos.

Antes de dar inicio al desarrollo del presente capítulo, es preciso confesar la ausencia de algunos temas, tales como: curva de transición, desarrollo del sobreancho, longitud de transición del peralte, rasante; no obstante queda el compromiso por parte del Autor de completar dicha información en la próxima edición.

Jorge Mendoza Dueñas 466

490 Diseño Geométrico de Carreteras

VELOCIDAD DE DISEÑO Se le llama también velocidad directriz; y se define como la máxima velocidad que puede adquirir un vehículo sin alterar la seguridad del conductor (de habilidad media) así por ejemplo: Imagínese usted manejando un auto en la autopista con velocidad de 20 km/h; obviamente por la geometría y tipo de carretera, este valor no le va a significar peligro, salvo caso fortuito. Si usted acelera e incrementa la velocidad lentamente y supera los valores de 30, 40 ó 50 km/h; es fácil sospechar que dichas velocidades no van a inquietar su seguridad; sin embargo después de superar los 100 km/h; es seguro que su atención a conducir tendrá que ser más riguroso. Esto significa que dicho valor: 100 km/h, es el límite máximo, con la cual usted podrá manejar con seguridad en condiciones normales (velocidad directriz). No obstante, si mentalmente nos trasladamos a una trocha carrozable, carente de capa de rodadura y con presencia de una topografía accidentada, no será difícil concluir que manejar a 100 km/h corresponderá tan solo a un sueño fantasioso. En efecto, superar la velocidad de 30 ó 40 km/h, implica peligro; por tanto la velocidad directriz en dichas condiciones se ve reducida a dichos valores.

De todo lo expuesto concluimos, que la velocidad de diseño depende en gran medida de dos factores: - El tipo de carretera (volumen de tránsito). - La topografía del terreno. Por otro lado debemos confesar que el costo de una carretera está supeditado en gran parte al valor de la velocidad directriz, es por ello que la elección de dicho parámetro, debe ser producto de un estudio riguroso.

491 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 467

Nota Para efectos de presentar el cuadro que nos proporcionará la elección de la velocidad de diseño; nos permitiremos mostrar algunos conceptos extraidos de las normas peruanas DG - 2014.

CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS DE ACUERDO A LA DEMANDA A)

Autopistas de Primera clase Carretera de IMDA (Índice medio diario anual) mayor de 6 000 veh/día, de calzadas divididas por medio de un separador central mínimo de 6,00 m, cada una con dos o más carriles, con control total de los accesos (ingresos y salidas) que proporciona flujo vehicular completamente contínuo.

B)

Autopistas de Segunda clase De IMDA entre 6000 y 4001 veh/día, de calzadas separadas, cada una con dos o más carriles; con control parcial de accesos.

C)

Carreteras de Primera clase Son aquellas con IMDA entre 4 000 - 2 001 veh/día de una calzada de dos carriles.

D)

Carreteras de Segunda clase Son aquellas de una calzada de dos carriles que soportan entre 2 000 - 400 veh/día.

E)

Carreteras de Tercera clase De una calzada que soportan menos de 400 veh/día.

F)

Trochas carrozables Son vias transitadas, que no alcanzan las características de una carretera, que por lo general tienen un IDMA menos a 200 veh/día. La superficie de rodadura puede ser afirmada o sin afirmar.

Tipos de carreteras según condiciones orográficas Carretera

Condiciones orográficas (P %)

Denominación

Tipo 1

0 - 10

Plana

Tipo 2

11 - 50

Ondulada

Tipo 3

51 - 100

Accidentada

Tipo 4

Mayor de 100

Escarpado

Ilustración

492 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge 468 Mendoza Dueñas

Elección de la velocidad del diseño (DG - 2014) Clasificación Autopista de primera clase Autopista de segunda clase Carretera 1ra. clase Carretera 2da.clase Carretera 3ra. clase

Plana (km/h) 80 - 140 80 - 130 80 - 110 60 - 90 40 - 80

Ondulada (km/h) 80 - 130 80 - 130 70 - 110 50 - 90 30 - 70

Accidentada (km/h) 60 - 110 60 - 110 50 - 100 40 - 80 30 - 60

Escarpado (km/h) 60 - 100 60 - 100 50 - 90 40 - 70 30 - 50

DISEÑO DEL TRAZO HORIZONTAL Por motivos didácticos, iniciaremos nuestra explicación, mostrando el eje de una carretera carente de curvas, vale decir, línea recta.

Como verá, siempre existirá un punto de inicio y otro de llegada; sin embargo normalmente se hace necesario localizar un punto perteneciente a dicha carretera; para ello imperan dos métodos: el primero mediante sus coordenadas (generalmente UTM); el segundo, mediante las estacas o llamadas también progresivas.

ESTACAS O PROGRESIVAS Son puntos o monumentos referidos al eje del camino, convencionalmente se encuentran separados cada 20 metros.

493 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 469

Nota Normalmente las carreteras presentan tramos rectos, llamados “tangentes” y trechos curvos; para efectos de diseño, este último es presentado matemáticamente por un arco de circunferencia. ELEMENTOS DE LA CURVA HORIZONTAL

PC

: principio de curva : principio de tangente ó fin de curva

LC

: longitud de la curva

PT

T

: subtangente

PI

: punto de intersección de las tangentes

E

: externa

∆

: ángulo de deflexión

C

: cuerda larga

R

: radio de la curva horizontal

M

: distancia de la ordenada media

ELECCIÓN DEL RADIO DE LA CURVA HORIZONTAL No existe fórmula que permita calcular el radio óptimo; no obstante es recomendable adoptar el radio más amplio posible, sin embargo es común por la topografía del terreno, encontrarse con curvas muy cerradas “radios pequeños”; al respecto se recomienda elegir radios no menores a las mostradas en la siguiente tabla:

494 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

470

Radios mínimos Los valores de la siguiente tabla son solo referenciales; para efectos de diseño es preciso ajustarse a las normas de cada país; a manera de ejemplo, se muestra los radios mínimos para áreas urbanas según la norma DG 2014 Velocidad directriz (km/h)

Radio normal (m)

30

35

40

60

50

100

60

150

70

215

80

280

90

375

100

495

110

635

FÓRMULAS QUE GOBIERNAN LA CURVA HORIZONTAL Para aplicar las siguientes fórmulas, es imprescindible conocer el ángulo de deflexión y el radio de la curva.

A) FÓRMULAS PRIMARIAS

B) FÓRMULAS COMPLEMENTARIAS

495 Geométrico de Carreteras Diseño

Diseño geométrico de carreteras 471

Ejemplo de aplicación 1.- Una curva circular presenta un ángulo de deflexión D = 101º; mientras que el radio elegido es 60 metros. Calcular la subtangente T y la longitud de la curva LC. Solución Datos :

T = 72,79 m

 = 101° R = 60 m LC = 105,77 m

Nota Respecto al estacado del eje de la carretera, convencionalmente rige: -

En tramos tangentes: Estacado cada 20 metros. En curvas circulares: Estacado cada 10 metros.

Ejemplo de aplicación 2. Considerando que la curva circular corresponde a las características del problema anterior, se pide estacar el eje de la carretera, en el siguiente croquis. Solución: Es preciso entender que la progresiva de un punto, corresponde a la distancia acumulada respecto a la estaca 0 + 00 m. Cálculo de PC. Obviando el kilometraje. PC = PI – T = 320,46 – 72,79 PC = 247,67

PI

Jorge 472 Mendoza Dueñas Cálculo de PT.

496 Diseño Geométrico de Carreteras Estacando el tramo circular: cada 10 m.

Como quiera que PT; es la distancia acumulada hasta dicho punto. Obviando el kilometraje. PT = PC + LC = 247,67 + 105,77 PT = 353,44 m Estacando el primer tramo tangente: cada 20 m.

Estacando el tramo tangente: cada 20 m.

Finalmente :

Nota Es recomendable adoptar como sugerencia: en tramos tangentes, las estacas son múltiplos de 20; mientras que en tramos circulares, múltiplos de 10.

497 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 473

LÍNEA DE GRADIENTE._ Es un conjunto de líneas quebradas que tiene como elemento común: la pendiente.

Planta

Perfil Si la línea de gradiente constituyese exactamente el eje de la vía; el movimiento de tierras a realizar sería mínimo; por tanto desde este punto de vista, estaríamos al frente de la ruta más económica. Sin embargo dicha hipótesis no es viable, pues es imposible que el conductor de un vehículo modifique la dirección de su velocidad bruscamente y en forma contínua, de ser así se encontraría violando la ley de la inercia.

Planta

498 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

474

Observación En realidad es imposible unir dos puntos distanciados por varios kilómetros con un conjunto de líneas rectas de igual pendiente. Por ello se hace lícito permitir la presencia de una línea de gradiente con varias pendientes, aunque no es recomendable que dicho cambio sea contínuo. 2%

2%

2%

4%

2%

2%

2%

4%

4%

3%

4%

4%

Cambio de pendiente permitido Planta

2%

6%

5%

3%

-1%

-2%

-4%

4%

Cambio de pendiente no permitido Planta

Pendientes máximas A modo de ilustración, se presenta a continuación las pendientes máximas según la norma DG 2013. Demanda

Autopistas

Vehículos/día

> 6.000

Características

Primera clase

Tipo de orografía Velocidad de diseño:

1

2

Carretera 6.000

3

- 4001

Segunda clase 4

1

2

3

Carretera

4.000 - 2.001 Primera clase 4

1

2

3

Carretera

2.000 - 4 00

< 400

Segunda clase 4

1

2

3

Tercera clase 4

20 km/h 30 km/h

60 km/h 70 km/h 80 km/h

5,00

5,00

6,00

6,00

7,0 0

7,00

6,00

6,00

7,00

7,00

7,00

7,00 7,00

5,00

5,00

6,00

6,00

6,00

7,00

6,00

6,00

7,00

5,00

5,00

5,00

5,00

6,00

6,00

6,00

6,00

6,00

5,00

90 km/h

4,50

5,00

5,00

5,00

5,00

6,00

5,00

100 km/h

4,50

4,50

4,50

5,00

5,00

6,00

5,00

110 km/h

4,00

4,00

4,00

120 km/h

4,00

4,00

4,00

130 km/h

3,50

2 9,00

10,00 12,00

3

4

8,00

9,00

10,00 12,00

9,00

8,00

9,00

10,00 10,00

8,00

9,00

8,00

8,00

8,00

8,00

7,00

8,00

9,00

8,00

8,00

8,00

8,00

6,00

7,00

7,00

6,00

6,00

40 km/h 50 km/h

1 8,00

6,00

6,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,0 0

7,00

6,00

6,00

6,00

6,00

6,00

TRAZO DE UNA LÍNEA DE GRADIENTE Para llevar a cabo la presente actividad, es necesario la presencia de la topografía del terreno; ya sea en un plano (curvas de nivel) o física (in situ); al desarrollo del trazo en un plano, se le denomina método indirecto, mientras que al segundo: método directo; no obstante ser el primero el más recomendable.

499 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 475

TRAZO HORIZONTAL DEL EJE: Método indirecto Trazo de una línea de gradiente en un plano 1.

Es necesario contar con un plano a curvas de nivel donde se establezca el punto de inicio y llegada.

0

89

900 Llegada

Inicio

890

El presente plano tiene las siguientes características: - Equidistancia vertical en curvas de nivel: 2 metros. - Escala de plano: 1/2 000 2.

En una línea de gradiente, cada pendiente estará representada por una longitud L (en el plano).

PLANTA

PERFIL

Jorge Mendoza Dueñas

500 Diseño Geométrico de Carreteras

476

Analizando el triángulo:

Análogamente:

Con lo cual es posible elaborar el siguiente cuadro:

L (m)

P (%)

400

0,5

200

1

133,33

1,5

100

2

80

2,5

66,67

3

57,14

3,5

50

4

44,44

4,5

40

5

36,36

5,5

33,33

6

30,78

6,5

28,57

7

26,67

7,5

25

8

Como quiera que la escala de nuestro plano es 1/2 000; tendremos (para L = 400 m):

x (cm)

P (%)

20

0,5

10

1

6,67

1,5

5

2

4

2,5

3,3

3

2,9

3,5

2,5

4

2,2

4,5

2

5

1,8

5,5

1,7

6

1,5

6,5

1,4

7

1,3

7,5

1,2

8

De lo analizado: La fórmula general para determinar la distancia “x” en centímetros para un plano de escala 1/2 000 y una equidistancia vertical de 2 m es: (cm)

Ejem: para P = 4 % (ver tabla)

Terreno

Plano

Donde x; constituye la abertura del compás. x = 0,2 m x = 20 cm

Diseño geométrico de carreteras

501 Diseño Geométrico de Carreteras

477

Ilustración A.

Si elegimos como pendiente 7%, tendremos que proceder a calibrar la abertura del compás hasta una longitud de 1,4 cm; dado que nuestro plano se presenta a escala 1/2 000 y la equidistancia vertical 2 m (curvas de nivel).

B.

Haciendo centro en el punto de inicio (A), se traza un arco de radio 1,4 cm cortando a la siguiente curva en el punto 1.

A

1

Jorge Mendoza Dueñas

502 Diseño Geométrico de Carreteras

478 C.

Conservando la misma abertura y haciendo centro en el punto 1, se vuelve a trazar un arco, cortando a la siguiente curva en el punto 2.

A

D.

1

2

Análogamente, obtendremos el punto 3.

A

1

2

3

Diseño geométrico de carreteras

503

Diseño Geométrico de Carreteras E.

479

Observemos la formación de la línea de gradiente.

F.

2

1

A

3

Esta operación se repite, tratando de no cambiar la pendiente.

¿Y cuándo cambiar la pendiente? Cuando la pendiente es muy pequeña. En la siguiente imagen se muestra el trazo de una línea desde la curva (cota 904) hasta la siguiente (cota 906); observe que dicha línea por ser diminuta, no llega a cortar a la siguiente curva; lo cual obliga a incrementar la abertura del compás, vale decir aumentar el valor de la pendiente.

6

90 904

A.

900

Jorge Mendoza Dueñas

504 Diseño Geométrico de Carreteras

480

B.

Cuando la pendiente es excesiva En la siguiente imagen se muestra el trazo de una línea desde la curva (cota 890) hasta la siguiente (cota 892); observe que dicha línea corta a la curva (cota 892) en dos puntos, lo cual es ilícito, dado que solo está permitido una sola intersección; esto implica una disminución en la abertura del compás, vale decir reducir el valor de la pendiente. 890

890 892

Ejemplo típico En el desarrollo del presente capítulo, tomaremos como herramienta de trabajo, el trazo de una carretera con las siguientes características técnicas: •

Clasificación por demanda: tercera clase.

•

Clasificación según condiciones orográficas: tipo 3.

•

Velocidad directriz: 40 km/h

•

Datos iniciales: -

Planos a curvas de nivel -

Escala : 1/2 000

-

Equidistancia vertical : 2 m

-

Punto de partida: inicio

-

Punto final: llegada

Taller Nº 1 Haciendo uso del plano AA1 (ejemplo típico): Escala 1/2 000; equidistancia vertical: 2 metros; se pide trazar la línea de gradiente desde el punto “inicio” hasta el punto “llegada”. Visitar la página web: www.ignovando.com A manera de ilustración: nosotros nos hemos permitido trazar la línea de gradiente, según se expone en el plano AA2. En dicha lámina se muestra cuatro pendientes diferentes: Naranja : + 4% Turquesa : - 6% Azul : - 8% Verde : - 4%

505 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 481

Trazo de alineamiento del eje de una carretera Un alineamiento es una línea recta que puede estimarse como el promedio visual de un tramo de línea de gradiente. Dicho alineamiento representará el eje de la futura carretera.

Planta: El alineamiento es una línea recta, proveniente de la media (aprox,) del conjunto de segmentos que componen la línea de gradiente

Planta: La presencia de los alimentamientos 1 y 2, generan el origen del punto de intersección PI.

Observación El caso ideal se presenta cuando el alineamiento generado se ciñe lo más posible a la línea de gradiente, con lo cual se optimiza el futuro movimiento de tierras.

Taller Nº 2 Haciendo uso del plano AA2, se pide trazar los alineamientos según la línea de gradiente mostrada. Nosotros hemos trazado los alineamientos, tal como se aprecia en el plano AA3.

Jorge Mendoza Dueñas 482

506 Diseño Geométrico de Carreteras

PRINCIPALES TIPOS DE CURVAS HORIZONTALES 1.

Curva simple. Es un arco de circunferencia que une dos tangentes consecutivas.

2.

Curva compuesta. Está formada por dos curvas circulares simples, tangentes entre si, de distintos radios y cuyos centros se encuentran en el mismo lado de la curva. PCC : Punto de curva compuesta

507 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 483

El trazo anterior equivales a :

Donde :  = 1 + 2

3.

Curva policéntrica. Está formada por una curva compuesta y una curva simple del mismo sentido, unidas consecutivamente.

Jorge Mendoza Dueñas 484

508 Diseño Geométrico de Carreteras

Equivalente a :

4.

Curvas reversas. Está formada por dos curvas simples de sentidos contrarios, unidas por una tangente.

509 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 485

LONGITUD DE TRAMOS EN TANGENTE A.

Longitud máxima en tangente Para evitar monotonía o problemas de cansancio en el conductor, los tramos rectos (tangentes) deben presentar límites máximos. La fórmula recomendada:

B.

LMAX = 16,70 x Vd

Vd : velocidad de diseño

Longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido La longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido, está dada por la siguiente expresión. LMIN = 2,79 x Vd Si dicha longitud es inferior a la mínima, se recomienda reemplazar las dos curvas por una sola de radio mayor, o que la tangente sea reemplazada por un arco circular, convirtiéndose en el caso de una curva circular policéntrica.

C.

Longitud mínima entre dos curvas de sentido contrario (reversas) LMIN = 1,39 x Vd La longitud mínima tangente, debe ser tal que permita por lo menos el desarrollo del peralte.

Vd : velocidad de diseño

Jorge Mendoza Dueñas

510 Diseño Geométrico de Carreteras

486

Observación La norma peruana DG-2014 contempla el siguiente cuadro

Vd (km/h)

LMIN.S(m)

LMIN.O (m)

LMAX (m)

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

42 56 69 83 97 111 125 139 153 167 180

84 111 139 167 194 222 250 278 306 333 362

500 668 835 1 002 1 169 1 336 1 503 1 670 1 837 2 004 2 171

LMIN.S : longitud mínima entre dos curvas de sentido contrario. LMIN.O : longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido. LMAX

: longitud máxima en tangente

Vd

: velocidad de diseño

Taller Nº 3 Dado el plano AA3; se pide: A.

El trazo de las curvas horizontales, tratando que éstas se ciñan a la línea de gradiente y sean tangente a cada alineamiento.

B.

Medir las distancias existentes entre los PIS; así como los ángulos de deflexión.

C.

Calcular los elementos de cada curva horizontal (T y LC).

D.

Acotar gráficamente los elementos de las curvas horizontales.

E.

Calcular las progresivas del trazo horizontal y representarlas gráficamente.

Diseño geométrico de carreteras

511 Diseño Geométrico de Carreteras

487

Solución propuesta por el Autor: A.

Según los alineamientos del plano AA3; y con un método enteramente grá ico, se han trazado las tres curvas horizontales, tal como se aprecia en el plano AA4; obteniendo como radios: R1 = 80,273 m R2 = 145,034 m R3 = 64,516 m Por otro lado, según recomendación del presente libro (pag. 470), para una velocidad directriz de 40 km/h; el radio mínimo normal es 60 metros; con lo cual deducimos que nuestros radios superan el mínimo admisible.

B.

El plano AA5, muestra las distancias existentes entre los PIS; así como los respectivos ángulos de de lexión.

C.

Cálculos de los elementos de las curvas: T y LC.

Cuva 1 R = 80,273 m

T1 = 65,471 m

 = 78°24’4,35’’

Lc1 = 109, 842 m

Cuva 2 R = 145,034 m

T2 = 284,050 m

 = 125º 54’ 10,22”

Lc2 = 318,701 m

Cuva 3

D.

R = 64,516 m

T3 = 308,516 m

 = 156º 22’ 37,86”

Lc3 = 176,084 m

Con ayuda de los cálculos antecesores, así como del plano AA5; es posible presentar el plano AA6, donde se muestra gráficamente el acotamiento de cada curva horizontal.

512 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 488 E. Cálculo de las progresivas importantes:

• Cálculo de PT2: Según plano AA6: LC2 = 318,701 m

• Cálculo de PC1 progresiva inicio = 0 + 00

PT2 = PC2 + Lc2 = 391,034 + 318,701 = 709,735 m

plano AA6: Longitud (Inicio - PC1) = 107,170 m

Progresiva PT2 = 0 + 709,735 m

Luego, progresiva

PC1 = 0+ 107,170 m

• Cálculo de PT1:

• Cálculo de PC3: Del plano AA6:

Según plano AA6: Lc1 = 109,842 m

Longitud (PT2 - PC3) = 236,257 m

PT1 = PC1 + Lc1 = 107,170 + 109,842 = 217,012 m

PC3 = PT2+236,257 = 945,992 m

Progresiva

PT1 = 0 + 217,012 m

• Cálculo de PC2

Progresiva

PC3 = 0 + 945,992 m

• Cálculo de PT3:

Del plano AA6:

Según plano AA6: LC3 = 176,084 m

Longitud (PT1 - PC2) = 174,022

PT3 = PC3 + Lc3

PC2 = PT1+174,022 = 391,034 m

PT3 = 945,992 + 176,084 = 1 122,076 m

Progresiva

PC2 = 0 + 391,034 m

Progresiva

PT3 = 1 + 122,076 m

Con los cálculos obtenidos, se presenta el estacado del eje principal (cada 20 m en tramo tangente y cada 10 m en tramo circular). Ver plano AA7.

Diseño geométrico de carreteras 489

513 Diseño Geométrico de Carreteras

TRAZO HORIZONTAL DEL EJE: Método directo Trazo de una línea de gradiente en el terreno Para llevar a cabo el trazo de una línea de gradiente directamente en el campo, es preciso hacer uso de equipos de nivelación topográfica: eclímetro, nivel, teodolito, estación total, etc. La elección del equipo a utilizar, está sujeta al tipo de proyecto a realizar. Para el caso particular de carreteras, es práctico y suficiente apoyarse en el eclímetro. Método práctico para el trazo de línea de gradiente utilizando eclímetro

Paso 1. Medir la altura del operador desde la base de sus pies hasta el nivel de sus ojos.

Paso 3. Monumentar en el terreno el punto A (partida) y el punto B (llegada).

Vista en planta

Paso 2. Trasladar la altura “h” obtenida en el paso 1 al jalón por usar, plasmándolo mediante una marca.

Paso 4. Graduar el eclímetro con la pendiente de partida. En el presente ejemplo se va asumir como pendiente: P = 2%.

514 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge 490 Mendoza Dueñas Paso 5. Trazo de un arco con centro en A y radio 20 metros; se traza un arco, gracias a la ayuda de un cordel y el jalón.

Paso 7. Desplazar el jalón a través del arco hasta que la visual del eclímetro coincida con la marca en el jalón; originado así el punto 1.

1

Paso 6. Con el operador de pie en “A” y haciendo uso del eclímetro graduado con la pendiente de partida, se visa el jalón ubicado en un punto del arco trazado.

Paso 8. Para la obtención del punto 2; se repite la operación desde el paso 5 hasta el 7, pero teniendo como estación el punto 1. Este proceso se repite para los demás puntos.

Nota En el supuesto caso que sea imposible ubicar la marca en el jalón; se hace necesario cambiar la pendiente en el eclímetro. Finalmente se obtiene la línea de gradiente que une los puntos A y B.

Planta

515 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 491

Ubicación de los PIS en el terreno Con apoyo del sentido visual, se trazan rectas tratando de representar la media de la línea de gradiente para cada dirección. La intersección de los alineamientos definirán la posición de los PIS, los cuales deben ser monumentados con la importancia debida.

Con ayuda de una estación total, se mide en el campo los ángulos de deflexión y las longitudes de los lados de la poligonal.

516 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 492 Conceptos fundamentales

Grado de curvatura (G).- Es el ángulo en el centro correspondiente a un desarrollo de arco de 20 metros.

R (metros) G(grados sexagesimales)

Grado de curvatura para un arco de 10 metros (G10).- Es el ángulo en el centro correspondiente a un desarrollo de arco de 10 metros.

Propiedades geométricas 1.

2.

517 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 493

Estacado en una curva circular (cada 10 metros) En el siguiente gráfico, se muestran los arcos de la curva circular con sus respectivos ángulos centrales.

q0 : primer arco de la curva circular. q : 10 m (arco típico). qF : último arco de la curva A continuación, se muestran los ángulos de deflexión respecto al punto PC.

De donde :

n: número de arcos típicos

De los dos últimos gráficos: Finalmente: q0 q

qF

518 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 494 Taller Nº 4

Se muestra en el gráfico, los puntos de partida (A), llegada (B), así como los dos únicos PIS de un camino. Gracias al apoyo de una estación total, se midieron las longitudes de la poligonal y los ángulos de deflexión.

Se pide (para la curva 1) calcular: -

El grado de curvatura

-

La tangente “T” y la longitud de curva horizontal “LC”

-

Las progresivas PC1 y PT1.

-

q0 y qF

-

d0 ; d ; dF

-

Además, elaborar el cuadro: progresiva vs deflexión acumulada (d acumulado).

Solucionando: •

•

G = 5,72958’’

• T = 85,842 m

LC = 162,172 m

519 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 495

PC1 = 743,27 – T = 743,27 – 85,842 PC1 = 0 + 657,428 m

PT1 = PC1 + LC = 657,428 + 162,172

PT1 = 0 + 819,600 m

•

Según el gráfico: q0 = 2,572 m qF = 9,600m

•

•

Considerando:

q0 = 2,572 m

d0 = 0° 22’ 6,28’’

q = 10 m

d = 1° 25’ 56,62’’

qF = 9,600 m

dF = 1° 22’ 30,36’’

Graficando los ángulos de reflexión:

520 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 496

Cuadro de deflexiones Progresiva

q

d parcial

d acumulado

PC1= 0 + 657,428

0

0º

0º

0 + 660

2,572

0º22’6,28’’

0º 22’ 6’’

0 + 670

10

1º 25’ 56,62’’

1º 48’ 3’’

0 + 680

10

1º 25’ 56,62’’

3º 14’ 0’’

0 + 690

10

1º 25’ 56,62’’

4º 39’ 57’’

0 + 700

10

1º 25’ 56,62’’

6º 05’ 54’’

0 + 710

10

1º 25’ 56,62’’

7º 31’ 51’’

0 + 720

10

1º 25’ 56,62’’

8º 57’ 48’’

0 + 730

10

1º 25’ 56,62’’

10º 23‘ 45’’

0 + 740

10

1º 25’ 56,62’’

11º 49’ 42’’

0 + 750

10

1º 25’ 56,62’’

13º 15’ 39’’

0 + 760

10

1º 25’ 56,62’’

14º 41’ 36’’

0 + 770

10

1º 25’ 56,62’’

16º 07’ 33’’

0 + 780

10

1º 25’ 56,62’’

17º 33’ 30’’

0 + 790

10

1º 25’ 56,62’’

18º 59’ 27’’

0 + 800

10

1º 25’ 56,62’’

20º 25’ 24’’

0 + 810

10

1º 25’ 56,62’’

21º 51’ 21’’

PT1 = 0 + 819,600

9,600

1º 22’ 30,36”

23º 13’ 51’’

Como se verá la deflexión acumulada ha sido redondeada al segundo, pues estos valores se ingresarán al teodolito para efectos de replanteo. Por otro lado: Dicho valor (23º 13’ 46”) no coincide con d acumulado (23º 13’ 51”), no obstante, es simple deducir que el error o diferencia es: cinco segundos; el cual es aceptable según la precisión del teodolito a usar en el replanteo.

Replanteo del eje horizontal A)

Replanteo de los PCs y PTs - Replanteo del PC1 .– ubicada la estación total en PI1, se dirige la visual al punto A; conociendo el valor de la tangente “T”; se procede a replantear y monumentar el punto PC1.

521 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 497

- Replanteo del PT1.- Ubicada la estación total en PI1, se dirige la visual al punto PI2; conociendo el valor de la tangente “T”; se procede a replantear y monumentar el punto PT1.

B)

Replanteo de las estacas en la curva horizontal 1; utilizando teodolito, jalones y cinta métrica (método de deflexión). En el presente método se va a considerar arco

cuerda

- Estacionar el teodolito en PC1. - Dirigir la visual al punto PI1 y hacer 0º 00’ 00” en dicha dirección.

- Con ayuda del cuadro de deflexiones, girar la alidada el ángulo correspondiente a la primera deflexión acumulada (en nuestro ejemplo: 0º 22’ 6”).

Jorge Mendoza Dueñas 498

522 Diseño Geométrico de Carreteras

Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en PC, trazar en el terreno un arco de radio q0 (en nuestro ejemplo: 2,572 m). Dicho arco se intersectará con el alineamiento d = 0º 22’ 6’’ en la estaca 0 + 660.

Con el teodolito en PC, girar la alidada hasta completar el siguiente ángulo de deflexión acumulado (según cuadro de deflexiones: =1º 48’ 3”).

Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 660, trazar en el terreno un arco de radio 10 m. dicho arco se intersectará con el alineamiento d = 1º 48’ 3” en la estaca 0 + 670.

523 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 499

El mismo procedimiento se realiza para las siguientes estacas.

Última estaca (PT).- Con el teodolito en PC, girar la alidada hasta completar el valor del último ángulo de deflexión acumulado (en nuestro ejemplo: 23º 13’ 51”)

-

Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 810 (para nuestro ejemplo), trazar en el terreno un arco de radio 9,600 m (para nuestro ejemplo). Dicho arco se intersectará con el alineamiento d = 23º 13’ 51” en la estaca PT’.

Teóricamente: PT y PTI representan al mismo punto (PT). La longitud existente entre ellos (x), no deberá ser mayor que el máximo tolerable.

¿Cómo calcular el máximo valor de x (tolerable) Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones de la República del Perú.

524 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 500

Fase de trabajo

Tolerancia horizontal (ER)

Georreferenciación

1: 100 000

Puntos de control (polígonos o triángulos)

1: 10 000

Puntos del eje, (PC), (PT), puntos en curvas y referencias.

1: 5 000

ER: error relativo Para nuestro caso: ER = 1/5 000 En nuestro ejemplo: LC 162 m

x 0,03 m

x = 3 cm

Lo cual significa que “x” no debe superar los 3 cm, de lo contrario será necesario repetir el proceso de replanteo en dicha curva. C)

Replanteo de las estacas en el tramo tangente A - PC1, utilizando teodolito, jalones y cinta métrica. Estacionar el teodolito en “A” para luego dirigir la visual a PI1.

Con ayuda de una cinta métrica y haciendo cero en “A”, trazar en el terreno un arco de radio 20 m. Dicho arco se intersectará con el alineamiento A - PI1 en la estaca 0+20.

525 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 501

Repetir el procedimiento anterior, pero haciendo cero (con la cinta métrica) en la estaca 0+20.

El mismo procedimiento se realiza para las siguientes estacas. Última estaca (PC1). - con ayuda de la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 650 (para nuestro ejemplo), trazar en el terreno un arco de 7,428 m de radio, dicho arco se intersectará con el alineamiento A - PI1, en la estaca PCI1.

Teóricamente PC1 y PCI1 representan el mismo punto (PC1). La longitud exsistente entre ellos (x) no deberá ser mayor que el máximo tolerable. Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones de la República del Perú, el valor máximo tolerable para tramos tangentes, es de 5 cm. Finalmente el error acumulado concluye en la estaca PC, dado que este último es considerado punto de control.

Jorge Mendoza Dueñas

502

526 Diseño Geométrico de Carreteras

GEORREFERENCIACIÓN: Significa monumentar puntos de control a lo largo del camino y establecer en ellos coordenadas UTM (Universal Transversal de Mercator), generalmente en el Datum WGS84, provenientes de la traslocación de un hito geodésico oficial. Se les llama también puntos GPS. Dichos puntos deberán estar ubicados en lugares estratégicos cercanos, así como accesibles al eje de la vía y que no se vean afectadas por las obras o por el tráfico vehicular y peatonal. ¿Qué distancia debe existir entre los puntos GPS? En realidad se deben establecer dos puntos GPS por zona. Ejemplo

Se recomienda que dicha distancia no supere los 3 km; excepcionalmente 5 km. Por otro lado; es preciso confesar que dichas coordenadas UTM, deberán ser transformadas a topográficas para efectos de ser consideradas en las mediciones de campo, de no ser así, las poligonales levantadas, arrojarán errores de cierre lejos del máximo permitido.

LEVANTAMIENTO DE LAS POLIGONALES DE CONTROL Las poligonales a formar deberán partir y culminar en los puntos GPS (Expresados en coordenadas topográficas); de este modo se podrá controlar su precisión angular y lineal. Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones del Perú; el error relativo no deberá ser mayor a 1/10 000.

527 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 503

Ejemplo:

Nota Los vértices de la poligonal, no necesariamente deben coincidir con los PIS del eje del camino. PUNTOS DE CONTROL ALTIMÉTRICO Se debe monumentar BMS en lugares cercanos y accesibles al eje de la vía y que no se vean afectados por las obras o por el tráfico vehicular y peatonal. Las cotas de dichos puntos de control deben estar enlazadas por dos BMS oficiales como mínimo. Ejemplo:

Los BMS deben estar separados aproximadamente 500 metros.

Jorge Mendoza Dueñas

504

528 Diseño Geométrico de Carreteras

En cada circuito (nivelación geométrica), el error máximo tolerable, estará controlado por la siguiente expresión: EMAX : (metros) k = Longitud del circuito en kilómetros Asimismo, los vértices de la poligonal de control planimétrica, deben tener cotas enlazadas con los BMS establecidos, producto de una nivelación geométrica.

SECCIONAMIENTO Consiste en levantar (Taquimetría) puntos pertenecientes a rectas ficticias perpendicular al eje de la vía en cada estaca o progresiva.

La distancia “d” depende del objetivo del proyecto, puede ser: 20, 30, 40, 50 metros (o más) a cada lado del eje. La distancia “x” no es constante y depende enteramente de la orografía del terreno, así como la experiencia y criterio del topógrafo. El seccionamiento se puede realizar con el apoyo de una estación total (ubicados en los vértices de la poligonal) o un eclímetro y distanciómetro simultáneamente.

529 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 505

DISEÑO DEL TRAZO VERTICAL Para llevar a cabo el diseño del trazo vertical, es preciso contar con el trazo definitivo del eje horizontal, con lo cual es de suponer que las estacas de dicho eje están definidas. Así mismo es imprescindible la presencia del perfil longitudinal del terreno, para ello se hace necesario el uso del plano topográfico (curvas de nivel) o el apoyo de una nivelación geométrica, con el objetivo de obtener la cota de cada estaca. Es necesario resaltar que el trazo del diseño vertical, no se realiza aisladamente del trazo horizontal.

Taller Nº 5 Con ayuda de los planos AA1 y AA7; se pide: A._

Determinar las cotas de cada estaca.

B._

Representar gráficamente el perfil longitudinal del terreno. Escala (H: 1/4 000; V: 1/400)

Solución propuesta por el Autor: A._

Apoyándonos en los planos AA1 y AA7, obtenemos el plano AA8; gracias al cual presentamos el siguiente cuadro. Progresiva

Cota de terreno

Progresiva

Cota de terreno

0+00

196,000

0+200

192,449

0+20

196,451

0+210

192,642

0+40

194,832

0+217,012

192,140

0+60

193,943

0+220

192,327

0+80

193,867

0+240

192,634

0+100

192,264

0+260

196,121

0+107,17

191,232

0+280

197,938

0+110

191,162

0+300

197,916

0+120

191,072

0+320

194,873

0+130

190,224

0+340

196,487

0+140

190,876

0+360

202.467

0+150

190,864

0+380

205,250

0+160

191,141

0+391,035

206,861

0+170

191,940

0+400

206,340

0+180

193,143

0+410

206,031

0+190

193,09

0+420

206,038

530 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 506

B.

Progresiva

Cota de terreno

Progresiva

Cota de terreno

0+430

207,222

0+760

227,310

0+440

208,851

0+780

230,035

0+450

209,874

0+800

231,694

0+460

211,024

0+820

232,428

0+470

212,202

0+840

232,282

0+480

213,142

0+860

232,215

0+490

213,550

0+880

232,783

0+500

214,198

0+900

233,467

0+510

215,284

0+920

233,824

0+520

216,403

0+940

233,683

0+530

217,991

0+945,992

233,436

0+540

218,454

0+950

232,841

0+550

219,239

0+960

232,457

0+560

220,143

0+970

232,842

0+570

220,624

0+980

233,284

0+580

220,112

0+990

234,041

0+590

220,239

1+00

234,658

0+600

220,342

1+10

236,046

0+610

219,639

1+20

237,874

0+620

217,934

1+30

239,420

0+630

216,241

1+40

240,408

0+640

215,065

1+50

241,391

0+650

216,425

1+60

242,425

0+660

218,141

1+70

243,756

0+670

218,828

1+80

244,651

0+680

219,383

1+90

244,998

0+690

220,321

1+100

245,761

0+700

221,391

1+110

246,603

0+709,735

222,702

1+120

247,855

0+720

223,990

1+122,076

247,984

0+740

225,872

Gracias al cuadro antecesor, es posible dibujar el perfil longitudinal del terreno, tal como se expone en el plano AA9, sin embargo, cabe resaltar que es común presentar dicho perfil con la siguiente escala. H(1/2 000) y V (1/200). Nosotros, estamos esquematizando el plano AA9 con escala diferentes, por razones de espacio.

531 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 507

Perfil longitudinal de la subrasante El diseño geométrico vertical de una subrasante deberá realizarse procurando conservar el equilibrio entre el volumen de corte y relleno, para ello es preciso contar con el perfil longitudinal del terreno. Ilustración:

En el presente ejemplo, longitudinalmente, la subrasante está conformada por una línea recta, (tangente vertical), sin embargo en tramos más extensos, es necesario apoyarse también en líneas curvas (curva vertical), es en tal sentido que las curvas parabólicas se convierten en el modelo favorito los camineros. Curva vertical. Es aquel elemento que permite el enlace gradual entre dos tangentes verticales consecutivas. La curva que mejor se ajusta es la parábola de 2º grado. En el presente ejemplo, se muestra una sucesión de 2 líneas rectas verticales (subrasante) las cuales se intersectan en el punto PI (Punto de Inflexión de la curva vertical). Las dos rectas dan origen a la curva parabólica de segundo grado, que en conjunto permitirán el tránsito confortable de los vehículos.

532 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

508

Tipos de curvas verticales A.

Por su forma

A.1.

Cóncava: Cuando la concavidad está dirigida o inclinada hacia arriba (fig 1).

A.2.

Convexa: Cuando la concavidad, está dirigida o inclinada hacia abajo (fig 2).

fig. 1

fig. 2

B.

Por la longitud de sus ramas La longitud de la curva vertical, está definida por la longitud de su proyección horizontal y no por la longitud de su arco.

B.1.

Simétrica: La longitud de la rama izquierda es igual a la de la derecha. No necesariamente el valor de las pendientes de sus tangentes, deberán ser iguales (fig. 3).

B.2.

Asimétrica: La longitud de la rama izquierda no es igual a la longitud de la rama derecha (fig. 4).

fig. 3

fig. 4

533 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 509

Elementos de la curva vertical

PCV PTV PIV LV a

: principio de curva vertical : principio de tangente vertical : punto de intersección vertical : longitud de curva vertical : ángulo de pendiente de la tangente de entrada.

b g i1 i2

: ángulo de pendiente de la tangente de salida : ángulo de deflexión vertical : pendiente de la tangente de entrada : pendiente de la tangente de salida

Nota Los cálculos que a continuación se presentan, son válidos tan solo para curvas simétricas. Cálculo de la ordenada “y” para la primera mitad de la curva vertical

i = Diferencia algebraica de i1 e i2.

i = i1 - i2

Cálculo de la ordenada y; para la segunda mitad de la curva vertical

i = Diferencia algebraica de i1 e i2. i = i1 - i2

534 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge 510 Mendoza Dueñas

Ejemplo 1. Una curva vertical simétrica dispone de la siguiente información: Progresiva del PCV = 1 + 320;

Cota del PIV = 1 500 m;

Se pide; calcular la curva vertical en abscisas de 10 metros. Solución: Graficando:

a.

Cálculo de cotas en la tangente de entrada

•

Cota de PCV hPC = 4,2 m Cota PCV = 1 500 - 4,2 Cota PCV = 1 495,80 m

i1 = 6%;

i2 = - 2%;

LV =140 m

535 Diseño Geométrico de Carreteras •

Diseño geométrico de carreteras 511

Cota de 1 h1 = 3,6 m Cota 1 = 1 500 - 3,6 Cota 1 = 1 496,4 m

•

Cota de 2 h2 = 3,0 m Cota 2 = 1 500 - 3,0 Cota 2 = 1 497,0 m

•

Cota de 3 h3 = 2,40 m Cota 3 = 1 500 - 2,40 Cota 3 = 1 497,60 m

•

Cota de 4 h4 = 1,80 m Cota 4 = 1 500 - 1,80 Cota 4 = 1 498,20 m

•

Cota de 5 h5 = 1,20 m Cota 5 = 1 500 - 1,20 Cota 5 = 1 498,80 m

536 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

512

•

Cota de 6 h6 = 0,60 m Cota 6 = 1 500 - 0,60 Cota 6 = 1 499,40 m

b.

Cálculo de cotas en la tangente de salida.

•

Cota de 7 h7 = 0,20 m Cota 7 = 1 500 - 0,20 Cota 7 = 1 499,80 m

•

Cota de 8 h8 = 0,40 m Cota 8 = 1 500 - 0,40 Cota 8 = 1 499,60 m

537 Diseño Geométrico de Carreteras •

Diseño geométrico de carreteras 513

Cota de 9 h9 = 0,60 m Cota 9 = 1 500 - 0,6 Cota 9 = 1 499,40 m

•

Cota de 10 h10 = 0,80 m Cota 10 = 1 500 - 0,80 Cota 10 = 1 499,20 m

•

Cota de 11 h11 = 1,00 m Cota 11 = 1 500 - 1,00 Cota 11 = 1 499,00 m

•

Cota de 12 h12 = 1,20 m Cota 12 = 1 500 - 1,20 Cota 12 = 1 498,80 m

•

Cota de PTV hPT = 1,40 m Cota PTV = 1 500 - 1,40 Cota PTV = 1 498,60 m

538 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 514

c.

Cálculo de la ordenada “y” para la mitad de la curva vertical. i = i1 - i2 = 6 - (-2) i = 8%

•

Ordenada y1: (x = 10 m)

•

y4 = 0,457 m

y1 = 0,029 m •

Ordenada y2: (x = 20 m)

Ordenada y4: (x = 40 m)

•

Ordenada y5: (x = 50 m)

y5 = 0,714 m y2 = 0,114 m •

•

Ordenada y6: (x = 60 m)

Ordenada y3: (x = 30 m) y6 = 1,029 m •

Ordenada yPI: (x = 70 m)

y3 = 0,257 m yP1 = 1,400 m

539 Diseño Geométrico de Carreteras d.

Diseño geométrico de carreteras 515

Cálculo de la ordenada “y”, para la segunda mitad de la curva vertical

•

Ordenada y12: (x = 10 m)

•

y12 = 0,029 m •

Ordenada y11: (x = 20 m)

y8 = 0,714 m •

y11 = 0,114 m •

Ordenada y10: (x = 30 m)

y10 = 0,257 m •

Ordenada y9: (x = 40 m)

y9 = 0,457 m

Ordenada y8: (x = 50 m)

Ordenada y7: (x = 60 m)

y7 = 1,029 m •

Ordenada yPI: (x = 70 m)

yPI = 1,400 m Podrá usted observar que gracias a la simetría de la curva vertical; las ordenadas ubicadas a la derecha del PIV; son iguales a sus similares localizados a la izquierda del mismo punto.

540 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

516 e._

Cálculo de las cotas en la curva vertical Pto.

Progresiva

Cota en tangente

Ordenada y

Cota en curva

PCV

1+320

1 495,800

0,000

1 495,800

1

1+330

1 496,400

0,029

1 496,371

2

1+340

1 497,000

0,114

1 496,886

3

1+350

1 497,600

0,257

1 497,343

4

1+360

1 498,200

0,457

1 497,743

5

1+370

1 498,800

0,714

1 498,086

6

1+380

1 499,400

1,029

1 498,371

PIV

1+390

1 500,000

1,400

1 498,600

7

1+400

1 499,800

1,029

1 498,771

8

1+410

1 499,600

0,714

1 498,886

9

1+420

1 499,400

0,457

1 498,943

10

1+430

1 499,200

0,257

1 498,943

11

1+440

1 499,000

0,114

1 498,886

12

1+450

1 498,800

0,029

1 498,771

PTV

1+460

1 498,600

0,000

1 498,600

Cota en curva = cota tangente - ordenada y Graficando

541 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 517

VISIBILIDAD DE CARRETERAS. La distancia de visibilidad se define como la longitud contínua de carretera que es visible hacia adelante por el conductor de un vehículo que circula por ella. Distancia de visibilidad de parada (DP) Es la distancia necesaria que requiere el conductor de un vehículo que viaja a la velocidad directriz, para que pueda detenerse antes de llegar a un obstáculo fijo en su línea de circulación.

V: Velocidad directriz (km/h) i: Pendiente del eje longitudinal f: Coeficiente de fricción longitudinal i(+) → Para pendiente ascendente i(-) → para pendiente descendente Coeficiente de fricción longitudinal para pavimentos húmedos: condición más desfavorable. V(km/h)

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

f

0,44

0,40

0,37

0,35

0,33

0,32

0,315

0,31

0,305

0,30

Debemos confesar que el coeficiente 0,694 indicado en la fórmula, representa un valor intermedio, dado que la expresión real de dicho sumando es vt/3,6; donde v, es la velocidad directriz y t el tiempo total de percepción y reacción del conductor; dicho tiempo va desde 2 hasta 3 segundos; nosotros estamos considerando 2,5 segundos. Ejemplo. Calcular la distancia de visibilidad de parada para un vehículo que viaja a 60 km/h, en los casos: a)

Subida (i = 6%)

b)

Bajada (i = - 6%)

c)

Horizontal (i = 0%)

542 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 518

Resolviendo: a.

f = 0,35

Según nuestra tabla: v = 60 km/h

b.

c. Como es de esperar, el caso más desfavorable y por tanto donde se requiere mayor longitud para que el vehículo se detenga; se presenta en el viaje de bajada. Distancia de visibilidad de paso o adelantamiento (Da) Es la distancia necesaria para que un vehículo pueda adelantar a otro que viaja por su misma vía a menor velocidad, sin peligro de colisión con un tercer vehículo que venga en sentido contrario y haga visible en el momento de iniciarse la maniobra de adelantamiento.

En el momento que el vehículo 1 inicia la operación de adelantamiento, el conductor observa en el otro carril, la presencia del móvil 3; para que el primero sobrepase al vehículo 2 y a su vez no colisione con el vehículo 3; la distancia mínima necesaria de separación entre 1 y 3 deberá ser Da Según el manual de diseño geométrico para carreteras DG 2014 (Normas Peruanas) V(km/h)

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Da(m)

110

170

230

290

350

410

470

530

580

650

700

760

820

V: velocidad directriz.

543 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 519

Criterio para el cálculo de la longitud de la curva vertical

•

Elección del punto PCV .- Según criterio técnico del especialista, se elegirá un punto de inicio PCV, el cual, se recomienda pertenezca a una de las estacas del trazo horizontal.

•

Cálculo de la curva vertical (LV) .- Esta longitud no deberá ser menor que ninguna de las obtenidas según los criterios que se exponen a continuación. Se recomienda que dicha longitud, sea múltiplo de 10 m ó 20 m.

•

Elección del punto PTV .- Dado el punto PCV y la longitud LV, es simple obtener el punto PTV, el cual se recomienda, debe pertenecer en lo posible a una de las estacas del trazo horizontal.

a.

Por criterio de grado de pendiente: El parámetro de curvatura “k”, equivale a la variación de la longitud de la curva vertical por cada 1% de variación de pendiente.

LV = k . i i = Diferencia algebraica de i1 e i2 i = i1 - i2 (valor absoluto) La Ing. Mercedes Rodríguez, recomienda según la AASHTO, el valor de k mínimo, tal como muestra la siguiente tabla: Velocidad (km/h) KMIN en curvas convexas

KMIN en curvas cóncavas

50

65

80

95

110

9

15

24

46

73

11

15

21

43

80

544 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

520

Ejemplo:

Curva convexa: Apoyándonos en la tabla y asumiendo una interporlación lineal: k =13 Además:

i = i1 - i2 = 6 - (- 4) = 10

Luego: LV = k . i LV = 13 x 10 LV = 130 m b.

Por criterio de estética: El valor de la longitud de curva vertical debe ser numéricamente mayor o igual al de la velocidad directriz en km/h. V : Velocidad directriz en km/h LV : (metros)

LV ≥ V

Ejemplo: Si la velocidad directriz de una carretera es 60 km/h; su longitud de curva vertical no debe ser menor de 60 metros. c.

Por criterio de comodidad: Válido solo para curvas verticales cóncavas: LV (metros)

i = i1 - i2 (valor absoluto)

v = velocidad directriz (km/h) Ejemplo: i = i1 - i2 = - 5 - (7) i = 12 (valor absoluto)

LV = 110 m

545 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 521

d.

Por criterio de su forma geométrica

d.1.

En curvas convexas: Las curvas verticales serán proyectadas de modo que permitan, cuando menos, la distancia de visibilidad de parada y de paso. No obstante, por presentar la distancia de paso una longitud muy extensa, en la práctica solo se considera la distancia de visibilidad de parada, reservando el uso de ambas distancias tan solo para carreteras de gran importancia.

•

Considerando la distancia de visibilidad de parada (DP) Para DP > LV

LMIN DP i LV •

Para DP < LV

: longitud mínima de curva vertical : distancia de visibilidad de parada : diferencia algebraica de pendiente en % (Valor absoluto). : longitud de curva vertical

Considerando la distancia de visibilidad de paso (Da) Para Da > LV

Da

Para Da < LV

: distancia de visibilidad de paso.

Ejemplo: Asumiendo que la mayor longitud obtenida con los criterios antecesores es 180 metros y que la velocidad directriz es 60 km/h; verificar el mencionado valor con el presente criterio.

546 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 522 Considerando la distancia de visibilidad de parada: • •

DP = 76,21 m DP = 87,36 m

Para i = 6% Para i = - 4%

Considerando la distancia de visibilidad de paso: •

Para V = 60 km/h

•

Asumiendo Da > LV

Da = 290 m

El más desfavorable: DP = 87,36 (bajada) Además: i = |6 - (-4)| = 10%

LMIN = 485,4 m

Asumiendo DP > LV

•

Con lo cual Da = 290 m

LMIN = 485,4 m

Deducimos que la presente hipótesis es falsa.

LMIN = 134,32 m Con lo cual; DP = 87,36

LMIN = 134,32

•

Asumiendo Da < LV

Deducimos que la presente hipótesis es falsa. •

Asumiendo DP < LV

LMIN = 889 m Deducimos que la presente hipótesis es correcta.

LMIN = 188,91 m Con lo cual: DP = 87,36 < Lmin = 188,91m Deducimos que la presente hipótesis es correcta.

d.2.

Finalmente: la longitud de curva vertical a considerar tendrá que ser mayor a 889 metros, podemos elegir: LV = 890 m ó 900 m. Ello significa que el valor de 180 metros obtenido con los criterios antecesores, es insuficiente.

En curvas cóncavas: Se tomará como factor primordial, la distancia de visibilidad nocturna, solamente. Para DP > LV

Para DP < LV

LMIN : longitud mínima de curva vertical DP

: distancia de visibilidad de parada

i

: diferencia algebraica de pendiente en % (valor absoluto).

LV

: longitud de curva vertical

547 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 523

Ejemplo: Asumiendo que la mayor longitud obtenida con los criterios antecesores es 180 metros y que la velocidad directriz es 60 km/h; verificar el mencionado valor con el presente criterio.

Considerando la distancia de visibilidad de parada: •

Para i = - 3%

DP = 85,93 m

•

Para i = + 4%

DP = 77,98 m

El más desfavorable: DP = 85,93 m Además: i = |-3 - (-4))| = 7% •

Asumiendo DP > LV

Con lo cual DP = 85,93

LMIN = 111,75

Deducimos que la presente hipótesis es falsa. •

Asumiendo DP < LV

Con lo cual: DP = 85,93 < LMIN = 122,84 m Deducimos que la presente hipótesis es correcta. Finalmente; la longitud de curva vertical a considerar, tendrá que ser mayor a 122,84 metros. Luego la longitud propuesta: 180 metros es correcta.

548 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas 524

Pendiente en carreteras Es la inclinación longitudinal del eje de la vía respecto al horizonte.

a)

Pendiente mínima.- Es el menor valor que se le debe asignar a la pendiente longitudinal de una carretera. No se debe permitir en ningún tramo, el diseño o replanteo del eje de la vía con pendiente cero. La pendiente mínima se fija para facilitar el drenaje superficial longitudinal y no debe ser menor que 0,5%.

b)

Pendiente máxima.- Es el mayor valor que se permite asignar a la pendiente longitudinal de una carretera. La pendiente máxima es función del tipo de vía así como de la orografía del terreno. En el Perú, El Manual de Diseño Geométrico para Carreteras DG 2014 contempla la siguiente tabla.

Demanda

Autopistas

Vehículos/día

> 6.000

Características

Primera clase

Tipo de orografía Velocidad de diseño:

1

2

Carretera 6.000

3

- 4001

Segunda clase 4

1

2

3

Carretera

4.000 - 2.001 Primera clase 4

1

2

3

Carretera

2.000 - 4 00

< 400

Segunda clase 4

1

2

3

Tercera clase 4

20 km/h 30 km/h

60 km/h 70 km/h 80 km/h

5,00

5,00

6,00

6,00

7,0 0

7,00

6,00

6,00

7,00

7,00

7,00

7,00 7,00

5,00

5,00

6,00

6,00

6,00

7,00

6,00

6,00

7,00

5,00

5,00

5,00

5,00

6,00

6,00

6,00

6,00

6,00

5,00

90 km/h

4,50

5,00

5,00

5,00

5,00

6,00

5,00

100 km/h

4,50

4,50

4,50

5,00

5,00

6,00

5,00

110 km/h

4,00

4,00

4,00

120 km/h

4,00

4,00

4,00

130 km/h

3,50

2 9,00

10,00 12,00

3

4

8,00

9,00

10,00 12,00

9,00

8,00

9,00

10,00 10,00

8,00

9,00

8,00

8,00

8,00

8,00

7,00

8,00

9,00

8,00

8,00

8,00

8,00

6,00

7,00

7,00

6,00

6,00

40 km/h 50 km/h

1 8,00

6,00

6,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,0 0

7,00

6,00

6,00

6,00

6,00

6,00

Notas: 1) 2)

En caso que se desee pasar de carreteras de Primera o Segunda Clase, a una autopista, las características de éstas se deberán adecuar al orden superior inmediato. De presentarse casos no contemplados en la presente tabla, su utilización previo sustento técnico, será autorizada por el órgano competente del MTC.

Diseño geométrico de carreteras

549 Diseño Geométrico de Carreteras

525

La Norma en mención establece que; .

En zonas superiores a los 3 000 msnm; los valores máximos a la tabla se reducirán en 1% para terrenos montañosos o escarpados.

.

En autopistas, las pendientes de bajada podrán superar hasta en un 2% los máximos establecidos en la presente tabla.

Taller N° 6 Apoyándose en el plano AA9 y con los conocimientos respecto al trazo de curva vertical para subrasante; se pide, dibujar el perfil longitudinal de la subrasante, bajo la siguiente condición: cota de subrasante de inicio = 195,816 m Solución propuesta por el Autor: Analizando el plano AA9; trazamos dos alineamientos verticales, bajo la condición de compensar el corte y relleno; cortándose en el punto PIV. Llegada (cota = 247,788 m)

Inicio (cota = 195,816 m)

i

1

=

-3

,7

i 2= 3

4%

6,1

%

PIV

Nótese que según la tabla de la pag. 532, la pendiente máxima permitida es 10%, nuestros valores son menores. Elegimos el punto: principio de curva vertical (PCV = 0 + 80). Si asumimos curva vertical cóncava simétrica, con LV = 180 m, tendremos PTV = 260, tal como se muestra en el plano AA10. Analizando la curva vertical del plano AA10.

Llegada

Inicio i1 = -3,73% PCV

PTV PIV 180 m

i 2=

4%

6,1

550 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

526

Verificando el valor de la longitud de curva vertical, según las normas mostradas en el presente libro. •

i = |-3,73 - (6,14)|

39,98 m < 180 m ………….. ok

i = 9,87 d)

Por criterio de su forma geométrica

•

Asumiendo DP > LV

• V = 40 km/h Teniendo presente que la distancia de parada más desfavorable se obtiene en el viaje de bajada:

DP = 45,13 m a)

LMIN = 6,21 m

Por criterio de grado de pendiente:

Pero: DP = 45,13

LV = k x i Para V = 60 km/h

k

11

•

62,1 …… No conforme

Asumiendo DP < LV

LV = 11 x 9,87 LV = 108,57 m < 180 m…….. ok b)

Por criterio de estética: Si v = 40 km/h

LMIN = 72,32 m

LV ≥ 40 km/h 40 m < 180 ………….. ok c)

Por criterio de comodidad:

Dado que: DP = 45,13 m < 72,32 m ……… ok •

Finalmente LV = 180 m es mayor que las longitudes admisibles. Luego:

LV =180 m

Diseño geométrico de carreteras

551 Diseño Geométrico de Carreteras

527

DISEÑO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DEL CAMINO Antes de dar inicio al análisis de la sección transversal; es preciso presentar los elementos que contribuyen a la estabilidad del vehículo. 1.-

Peralte: Es la inclinación transversal que presenta la calzada con la finalidad de contrarrestar el efecto de la fuerza centrífuga. El valor del peralte es función del radio, velocidad, orografía del terreno y coeficiente de rozamiento transversal.

Planta

Corte A-A

Apoyándose en el Manual de Diseño Geométrico de Carreteras (DG - 2014); presentamos a continuación los valores de peralte máximo. Peralte Máximo (p)

Pueblo o ciudad Atravesamiento de zonas urbanas Zona rural Accidentado)

(T.

Plano,

Ondulado

Zona rural (T. Accidentado ó Escarpado) Zona rural con peligro de hielo

2.-

Normal

Ver Figura

6,0%

4,0%

302.02

8,0%

6,0%

302.03

Absoluto

ó

12,0 %

8,0%

302.04

8,0 %

6,0%

302.05

Bombeo: Es la inclinación o pendiente que se da a la calzada respecto al eje de la vía en el tramo tangente. Esto se realiza con el fin de evacuar las aguas provenientes de las lluvias o inundaciones a las cunetas laterales. El bombeo depende de la importancia de las precipitaciones y del tipo de pavimento.

Planta

Corte A-A

Jorge Mendoza Dueñas

552 Diseño Geométrico de Carreteras

528

A continuación nos permitiremos exponer los valores de bombeo que contempla el Manual de Diseño Geométrico de Carreteras DG 2014. Tipo de superficie

Bombeo (%) Precipitación < 500 mm/año

Pavimento asfáltico y/o concreto

2,0

2,5

Tratamiento superficial

2,5

2,5 – 3,0

3,0 – 3,5

3,0 – 4,0

Afirmado

Elementos de la sección transversal La sección transversal del camino, está compuesta por: -

Precipitación >500 mm/año

La calzada Las bermas Las cunetas laterales Los taludes de corte y relleno Ancho de faja de dominio

Sección en tangente

Sección en curva

553 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 529

La calzada. Se llama también superficie de rodadura; es aquella zona reservada a la circulación de vehículos. Está constituida por lo menos por dos carriles y cada carril tendrá el ancho suficiente para permitir la circulación de una sola fila de vehículos. El ancho y número de carriles dependerá del tipo u orden de carretera y de la velocidad directriz. El mínimo ancho de carril, teniendo en cuenta la presencia de camiones, es de 3,00 metros con un estándar fuera de poblado de 3,5 ó 3,60 m. Las bermas. Ubicadas en el lado lateral adyacentes a la calzada. Su función principal es la de servir de confinamiento lateral a la capa de rodadura; así como controlar la humedad y posibles erosiones de la calzada. También se puede usar como estacionamiento provisional en caso de emergencia. Es de mucha utilidad en los trabajos de mantenimiento. El ancho de cada berma es función del tipo de carretera y la velocidad directriz. Las bermas deberán tener un ancho que les permita cumplir al menos la función de protección del pavimento, por tal razón la dimensión mínima será 0,50 m; aunque puede tener 1,0; 1,5; 2,0; 2,50 metros. Cunetas. Son zanjas abiertas construidas paralelas a las bermas. Su función es recoger el agua que cae sobre el pavimento, las bermas y los taludes; transportándolos hasta el punto más cercano de descarga. Sus dimensiones se determinan en base a cálculos hidráulicos. Generalmente son de sección triangular, sin embargo la sección trapezoidal es la más eficiente. Taludes. Son las superficies laterales inclinadas que limitan la explanación. •

Taludes de corte. El talud empieza inmediatamente después de la cuneta

fig. 1

El talud varía de acuerdo a la calidad del terreno encontrado y la altura del mismo. Para ello se requiere de un estudio que analice las condiciones específicas del lugar, especialmente las geológicas y geotécnicas; pues su valor define prácticamente el costo de la obra, dado que el movimiento de tierras implica un costo unitario elevado.

554 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge Mendoza Dueñas

530

Valores referenciales Talud (H : V) Roca Fija

Roca Suelta

Menor de 5,00 m

1 : 10

5,00 - 10,00 m Mayor de 10,00 m

Clasificación de materiales de corte

h

Material suelto Suelos Gravosos

Suelos limoarcillosos o arcilla

Suelos Arenosos

1:6-1:4

1:1-1:3

1:1

2:1

1 : 10

1 : 4 -1 : 2

1:1

1:1

*

1:8

1:2

*

*

*

h: altura de corte ( * ) Requerimiento de banquetas. Banqueta. Es una faja o terraza ubicada en un nivel superior a la calzada, su presencia se justifica cuando la altura del talud es excesiva comprometiendo la estabilidad del mismo por el tipo de suelo existente. El ancho de la banqueta deberá ser tal que permita el paso de maquinaria de construcción y conservación. (fig. 2). •

Taludes de relleno o terraplén. El talud empieza inmediatamente después del borde de la berma. El talud varía en función de las características del material a ser empleado en la conformación del relleno. (fig. 3).

fig. 2

fig. 3

Diseño geométrico de carreteras

555 Diseño Geométrico de Carreteras

531

Valores referenciales Talud (V : H) Tipo de material

Altura del relleno Menor a 5 m

De 5 m a 10 m

Mayor de 10 m

1 : 1,5

1 : 1,75

1:2

Arenas limpias

1:2

1 : 2,25

1 : 2,5

Enrocados

1:1

1 : 1,25

1 : 1,15

Material común arcilloso

Derecho de vía o faja de dominio Es la faja de terreno destinada a la construcción, mantenimiento, futuras ampliaciones de la vía si la demanda de tránsito así lo exige, servicios de seguridad, servicios auxiliares y desarrollo paisajístico. Dentro del ámbito del derecho de vía, se prohíbe la colocación de publicidad comercial exterior, en preservación de la seguridad vial y del medio ambiente. Ancho mínimo de faja dominio, según el Manual del Diseño Geométrico para Carreteras DG 2014 Clasificación

Ancho s mínimos (m)

Autopistas Primera Clase

40

Autopistas Segunda Clase

30

Carretera Primera Clase

25

Carretera Segunda Clase

20

Carretera Tercera Clase

16

Explanación.- Es la zona de terreno realmente ocupada por la carretera, en la que se ha modificado el terreno original.

Jorge Mendoza Dueñas 532

556 Diseño Geométrico de Carreteras

Secciones transversales típicas La sección transversal para una estaca es el resultado del diseño técnico realizado por el proyectista: talud, bombeo ó peralte, cuneta, etc. Permítanos presentar a continuación un ejemplo de sección típica (diseño). Gracias al perfil longitudinal de la subrasante y del terreno, es posible concatenar la cota de la subrasante con la del terreno para una estaca a través del eje de la carretera obteniendo los siguientes casos:

atural

n Terreno

Estaca “a”

Corte o excavación (corte cerrado)

Estaca “b”

Relleno o terraplén

Estaca “c”

Estaca “d”

Corte en ladera

Mixto o a media ladera

557 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 533

Taller N° 6 Haciendo uso del plano AA10 y AA8; se pide dibujar las secciones transversales de todas las estacas a nivel de terreno y subrasante, bajo las siguientes características técnicas: Talud en corte : H / V = 1/3 Talud en relleno Ancho de calzada Ancho de berma Sección de cuneta

: V / H = 1 / 1,5 :7m :1m :

Solución propuesta por el Autor: Por motivos de espacio, tan solo se van a considerar las secciones transversales de las primeras estacas.

Procedimiento: -

En el plano AA8; trazar una línea recta en cada estaca (perpendicular al eje en dicho punto). La longitud de dicha línea, está sujeta al ancho de la explanación. En el presente caso se está considerando 24 metros (12 m a cada lado del eje)

-

Gracias a las líneas trazadas, es posible obtener un cuadro similar al siguiente para cada estaca.

Jorge Mendoza Dueñas

558 Diseño Geométrico de Carreteras

534

Progresiva 0 + 40.

Distancia

Cota

Izquierda

Lado

12,0

194,00

Izquierda

4,40

194,00

Centro

0,00

194,83

Derecha

8,70

196,00

Derecha

12,00

196,50

-

Con dicho cuadro procedemos a graficar la sección transversal del terreno para la mencionada estaca.

-

Analizando el plano AA10, deducimos que la cota de la subrasante para la estaca 0 + 40 es 194,326 m (punto A).

A(194.326 m)

-

Graficando la sección típica de la subrasante según las características técnicas y haciendo coincidir el eje de dicha sección con el punto “A”:

A

-

En los planos AA11 y AA12, se presentan las secciones transversales de las doce primeras estacas.

559 Diseño Geométrico de Carreteras

Diseño geométrico de carreteras 535

CUBICACIÓN Consiste en calcular el volumen de tierra, tanto de corte como de relleno. Para dicho efecto, es preciso, primero calcular el área de la sección transversal en cada estaca; para dicho cálculo existen varios métodos, sin embargo hoy en día con el uso de la computadora, el valor de dichas áreas es obtenida casi al instante y simultáneamente para todas las progresivas.

AC : Área de corte AR : Área de relleno Para determinar el volumen de tierra a cortar o rellenar, nos basaremos en el siguiente principio.

V=AxL V : volumen

Para secciones iguales

Para secciones diferentes

Jorge Mendoza Dueñas

536

560 Diseño Geométrico de Carreteras

En consecuencia: a)

Para dos secciones consecutivas de corte

Ejemplo

VCORTE = 608 m3 El volumen, siempre se redondea al metro b)

Para dos secciones consecutivas de relleno:

Ejemplo

VRELLENO = 251 m3

561 Diseño Geométrico de Carreteras c)

Para dos secciones consecutivas; una de corte y la otra mixta

Ejemplo

• •

VCORTE = 119 m3

VCORTE = 31 m3 d) Para dos secciones consecutivas, una de relleno y la otra mixta.

Ejemplo

Diseño geométrico de carreteras 537

562 Diseño Geométrico de Carreteras

Jorge 538 Mendoza Dueñas

• VRelleno = 230 m3 • VCORTE = 37 m3

Taller N° 7 Con apoyo de los planos AA11 y AA12, se pide: cubicar el volumen de corte y relleno, desde la progresiva 00 + 00 hasta 0 + 150. Solución propuesta por el Autor:

Progresiva

Distancia parcial

Relleno

Área (m²) Corte

Volumen (m³)

km 0+00

0

2,44

2,11

Relleno

Corte

0+20

20

0,42

3,40

29

55

0+40

20

0,23

5,39

7

88

0+60

20

0,00

4,29

1

97

0+80

20

0,00

11,32

0

156

0+100

20

1,49

5,39

7

167

0+107,17

7,17

7,42

1,18

32

24

0+110

2,83

7,87

0,73

22

3

0+120

10

9,04

0,00

85

2

0+130

10

14,40

0,00

117

0

0+140

10

10,29

0,29

123

1

0+150

10

9,18

1,25

Total

97

8

520

601

563

15

Principios básicos de geodesia y cartografía

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Capítulo

CONCEPTO DE GEODESIA Es la ciencia que se encarga de estudiar la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo el campo gravitatorio exterior a la Tierra, así como la superficie del fondo del oceáno y sus variaciones temporales. Los resultados obtenidos en virtud a la geodesia, sirven de base para la geomática, incluso para las misiones militares y programas espaciales. Si se observa la superficie de la Tierra la vemos como si fuera plana, sin embargo a grandes longitudes notamos la curvatura, Fig. 2 por lo tanto podemos decir que la Tierra es una superficie cerrada Fig. 3.

DIVISIÓN DE LA GEODESIA H

H

H

Fig. 1 La superficie “NIVELADA” de la Tierra sobre una distancia corta

A

Fig. 2 La superficie “NIVELADA” de la Tierra sobre una distancia mayor

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

564 540 LINEAS DE VISTA NIVELADAS

DIRECCIONES LOCALES DE LA GRAVEDAD SOBRE VERTICALES LOCALES

SUPERFICIE DE LA TIERRA “NIVELADA”

Fig. 3: La Tierra es una superficie cerrada

Geodesia geométrica: Los datos de observación están compuestos por ángulos y distancias referidos a un elipsoide de referencia, plasmándose en coordenadas, los cuales pueden expresarse de diferentes formas. Geodesia Dinámica: Está basada en las medidas del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones, mareas (oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud. Astronomía Geodésica: Las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre y mediciones realizadas, provienen de observaciones astronómicas. Geodesia Satelital : Las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre y mediciones realizadas, provienen gracias a observaciones satelitales artificiales.

SUPERFICIE TOPOGRÁFICA: Es el relieve terrestre, con sus montañas, valles y otras formas terrestres continentales y marítimos.

Principios básicos de geodesia y cartografía 541

565 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

GEOIDE: Se define como la superficie equipotencial del campo gravitacional terrestre que coincide con las aguas del mar en su estado normal de equilibrio. Si nuestro planeta estuviese constituido tan solo por masas de agua y sin movimiento de rotación, el geoide adoptaría la forma de una esfera.

Planeta Tierra (Achatada en los polos)

Si insertamos un cuerpo sólido al volumen antecesor tal como se aprecia, la masa total sufrirá cierta deformación, producto de la atracción del cuerpo sólido hacia las partículas del agua.

Planeta Tierra (Constituida solo por agua)

Al añadirle el movimiento de rotación respecto a su eje polar, se genera una ligera acumulación de masa de agua sobre el Ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar se hace un poco mayor que en los polos.

PLANETA TIERRA Achatada en los polos

En realidad el globo terrestre, además de agua, está compuesto por masas sólidas distribuidas no uniformemente. Si nos ceñimos a la definición de geoide: superficie equipotencial; la distancia radial R, tiene que variar dado que su masa no es homogénea en todos los puntos de la zona sólida. Por último, podemos complementar la definición de geoide como la superficie equipotencial definida por los mares en calma prolongada por debajo de los continentes, en donde la gravedad en todo punto es perpendicular.

Principios básicos de geodesia y cartografía

566 542

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Es necesario mencionar que el geoide, por tener una figura irregular, no es expresable matemáticamente.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES La geoide es una superficie equipotencial al nivel medio del mar

ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: Es un volumen geométrico que proviene de una elipse que gira alrededor de su eje menor

Elipse b

Elipsoide

a

b

a

Eje de rotación

Principios básicos de geodesia y cartografía 543

567 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Los parámetros que definen todo elipsoide de revolución, y las relaciones entre ellos, son los siguientes:

Semieje mayor

a

Semieje menor

b

Aplanamiento

f =

1a Excentricidad

2a Excentricidad

a-b a

e=

a2 - b2 a

e' =

a2 - b2 b

Notas adicionales sobre el elipsoide: El elipsoide de revolución se forma tomando una elipse y girándola sobre su eje menor. Permítase que esta elipse sea como se ilustra en la figura

Z P1

P

b A

F2

0

F1

a

B

X

P2 F1, F2 = Focos de la elipse

O = centro de la elipse

OA = OB = a = semieje mayor

OP1 = OP2 = b = semieje menor

P1 y P2 es el eje menor de la elipse

Mientras que P es un punto cualquiera de la elipse.

Por la propiedad de una elipse tenemos: F2P + F1P = constante Si P lo desplazamos a B y luego a A, encontramos que:

F2P + F1P = 2a

... (1) ... (2)

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

568 544

Si ahora dejamos que P vaya a P1, y nótese que F2P1 = F1P1, debemos tener de la ecuación (2) que: F2P1 = F1P1 = a, el semieje mayor, como se muestra en la siguiente figura.

Z P1 (P) b α A

F2

a

F1

B

X

P2 Ahora podemos definir algunos parámetros fundamentales de esta elipse. Achatamiento,

............. (3)

Primera excentricidad,

............(4)

Segunda excentricidad,

............(5)

A continuación citaremos algunos de los elipsoides usados:

ELIPSOIDE Parámetro

HAYFORD

WGS84

a

6 378 388,000 m

6 378 137,000 m

b

6 356 911,946 m

6356 752,314 m

e2

0,006 722 67

0,006 694 38

e’2

0,006 768 17

0,006 739 497

569 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 545

El elipsoide, en la geodesia aparece debido a la necesidad de expresar matemáticamente la superficie de la Tierra, pues ya sabemos que el geoide carece de dicha facultad; así pues el elipsoide es el cuerpo geométrico que se aproxima en mayor medida a la forma real de la TIERRA.

Geoide

ONDULACIÓN GEOIDAL (N) Es la separación vertical entre el geoide y una referencia

ALTURA ORTOMÉTRICA (H)

Es la separación vertical entre el geoide y la superficie topográfica

ALTURA ELIPSOIDAL ( h ) Es la separación vertical entre el elipsoide y la superficie topográfica .

Elipsoide

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

570 546

DESVIACIÓN DE LA VERTICAL: Se le llama también desviación astrogeodésica y viene a estar dado por el ángulo formado entre la normal al geoide (vertical local) y la normal al elipsoide en un punto.

Línea de vista nivelada

Superficie topográfica

Elipsoide

Geoide Normal al Geoide

Normal al Elipsoide

Desviación de la vertical

PUNTO DATUM: Llamado también punto fundamental o punto origen. Es aquel punto donde se hace coincidir la vertical al geoide con la normal al elipsoide (desviación de la vertical igual cero).

Normal al elipsoide

Perpendicular al geoide

Punto Datum

ográfica ficie top Super E SOID ELIP IDE GEO

Principios básicos de geodesia y cartografía 547

571 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

LA ESFERA CELESTE La tecnología anterior al Sistema de Posicionamiento Global, para efectos de georreferenciación, es la Astronomía de Posición. Dicha tecnología aprovecha el movimiento angular constante de los astros para generar efemérides de los mismos; sin embargo la gran restricción de ese entonces era la medición de distancias, lo cual hoy está solucionado, sin embargo la medición angular estaba resuelto con el uso del teodolito. Esto significa que el trabajo de campo estaba conformada solamente por medidas angulares, obviando las medidas lineales, es en tal sentido que se propuso proyectar imaginariamente todos los astros a la cara interna de una esfera concéntrica a nuestro planeta : La esfera celeste.

ESFERA CELESTE Es un globo imaginario concéntrico a la Tierra, de radio infinito, en cuya cara interna se considera ubicado los astros. Veamos de donde proviene la esfera celeste.

PNE PN

Vertical del observador

R Ecuador celeste

Ecuador terrestre

z(cenit)

=

∞

PS Esfera terrestre

n(nadir) PSE Esfera celeste

Como se verá la esfera celeste tiene varias particularidades, éstas son: a)

El centro de la esfera celeste es el centro de la Tierra.

b)

El radio de la esfera celeste es infinito.

c)

El ecuador celeste es la prolongación del Ecuador terrestre.

d)

La Tierra se considera inmóvil.

e)

La esfera celeste gira de este a oeste con respecto a un eje (PN-PS)

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

572 548 Este último se explica a continuación:

PN

Si asumimos que el astro está fijo en la esfera, se podrá observar que dicho astro gira junto con la esfera, cumpliendo la regla de la mano derecha con el dedo pulgar apuntando hacia el PS (esfera girando de este a oeste).

z

W

n

E

mano derecha PS

z

Recomendación Por conveniencia óptica se suele dibujar el cenit en la parte superior del papel respecto al lector.

PN

PS n

Elementos de la Esfera Celeste:

1.

Cenit (z): Es aquel punto en el cual la vertical superior respecto a un observador intercepta a la esfera

2.

Nadir (n): Es aquel punto en el cual la vertical inferior respecto a un observador intercepta a la esfera

3.

Polo Norte Elevado (PNE o PN): Es la prolongación del polo norte terrestre con la esfera celeste.

celeste.

celeste.

Principios básicos de geodesia y cartografía 549

573 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

4.

Polo Sur Elevado (PSE o PS): Es la prolongación del polo sur terrestre con la esfera celeste.

5.

Círculo Vertical: Es aquel círculo máximo que pasa por el cenit y nadir de un observador.

6.

Círculo Horario: Es aquel círculo máximo que pasa por el PN y PS.

z PN

Q Círculo vertical

Círculo horario

Q

PS n

7.

Ecuador Celeste (Q - Q): Es la prolongación del Ecuador terrestre con la esfera celeste.

8.

Horizonte Celeste (N - S - E - W): Es el círculo máximo perpendicular al círculo vertical. Observador z Ecuador celeste

PN

Q

Horizonte celeste del observador

W

S

N E Q

PS n

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574 550

Meridiano del Lugar u Observador: Meridiano de un lugar, es aquel círculo máximo que pasa por el CENIT y NADIR del dicho lugar así como de los polos elevados (PN y PS). PN

PN

n

Meridiano del lugar u observador

z

PS

PS

z PN

Meridiano de A o del observador

Recomendación Para mejor ubicación del meridiano en el papel, se recomienda dibujar la esfera celeste con el meridiano en el plano del papel.

A

PS

9.

Bóveda Celeste: Es la semiesfera que está encima del horizonte. El observador del lugar solo verá los astros que están encima del horizonte, vale decir en la bóveda celeste. z Bóveda Celeste

Horizonte

Principios básicos de geodesia y cartografía 551

575 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

10. Vertical Primo: Es aquel círculo vertical perpendicular al meridiano del lugar y al horizonte.

cenit

PN

Vertical primo Horizonte

W

N

S E

PS

nadir n

11. Eclíptica: Es aquel círculo máximo en cuyo perímetro recorre al Sol. 12. Punto Vernal (g): Llamado también equinoccio de primavera, es la intersección de la eclíptica con el Ecuador cuando el Sol recorre de sur a norte.

13. Punto Libra (W): Llamado también equinoccio de otoño, es la intersección de la eclíptica con el Ecuador cuando el Sol recorre de norte a sur.

PS

Eclíptica

ε

Sol Ω

Q

Q γ

ε PN

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576 552

COORDENADAS ASTRONÓMICAS Son aquellas que determinan la posición de un punto o de los astros en la esfera celeste. Cada uno de los sistemas coordenados tienen un plano fundamental a partir de un dirección dada de 0° a 360° y un radio vector cuyo ángulo se mide de 0° a 90° y como origen el centro de la esfera celeste. Estudiaremos a continuación cuatro tipos de coordenadas astronómicas:

I.

Coordenadas Horizontales: Elementos:

A) Azimut (Z): Es el ángulo diedro medido en el horizonte. Parte del punto sur cardinal en sentido horario hasta llegar al círculo vertical que contiene al astro.

B) Altura (h): Es el ángulo vertical medido desde el horizonte a la visual del astro.

D) Distancia Cenital (z): Es el ángulo vertical medido desde el cenit hasta la visual del astro:

cenit

Meridiano del observador

z h

Horizonte del observador

N

S Z

nadir

Principios básicos de geodesia y cartografía 553

577 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

II. Coordenadas Geográficas: Elementos: A) Longitud (λ): Ángulo diedro medido en el Ecuador. Parte del meridiano de Greenwich hacia el este de él, hasta llegar al círculo horario que contiene el punto. λ(+)→E

0 ≤ l ≤ 360° B) Latitud (ø): Es el ángulo medido en el meridiano del observador. Parte del Ecuador hacia el polo elevado hasta llegar al punto. ø (+)→N

PN

Meridiano de observador

Meridiano de Grennich

Punto

φ Q

Q λ

E

W

PS Como se dijo anteriormente; para efectos prácticos, es recomendable colocar el cenit del lugar en la parte superior de la esfera; y con el meridiano del lugar en el plano del papel. Girando la esfera se tiene:

φ

z 90 − φ

Q

PS

PN

Q n

Meridiano del observador

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578 554

III. Coordenadas Ecuatoriales: Elementos:

A) Declinación (δ): Es el ángulo medido en el círculo horario. Parte desde el Ecuador hasta llegar al punto o astro. δ (+)→N

B) Ángulo Horario (t ó AH): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador. Parte en el meridiano superior hasta llegar al círculo horario que contiene al astro. El ángulo horario es positivo cuando se barre desde el meridiano hacia su oeste. Como se verá para cada meridiano existe un ángulo horario diferente, por lo cual se dice que esta coordenada es relativa.

0 ≤ t ≤ 360° C) Ascensión Recta (AR): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador. Parte desde el punto vernal hasta llegar al círculo horario que contiene al astro. La ascensión recta es positiva cuando se barre desde el punto vernal hacia su este. Como se podrá apreciar la ascensión recta toma el mismo valor para cualquier meridiano, motivo por el cual se dice que esta coordenada es absoluta.

Nota: El sistema de coordenadas ecuatoriales; convencionalmente se ha dividido en dos subsistemas. 1. Coordenadas Ecuatoriales Locales: Conocidas: ü Declinación (δ) ü Ángulo Horario (t)

2. Coordenadas Ecuatoriales Absolutas: Conocidas: ü

Declinación (δ)

ü

Ascensión Recta (AR)

579 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 555 Astro

E

z

Q PS

Meridiano del lugar

W

δ ta

Observaciones

ARa

Distancia Polar = p γ

En el caso particular de la figura:

PS

W

Q

n

IV. Coordenadas Eclípticas: Para entender el significado de estas coordenadas, es necesario saber: 1, El punto vernal (γ): Es aquel que se origina cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de sur a norte.

Astro

E

PN

ε

π

βa λa

2. El punto de libra (Ω): Es aquel que se origina cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de norte a sur.

E γ W

ε PS

Elementos:

A. Latitud Astronómica (βa): Es el ángulo medido en el círculo polar eclíptico.

Se mide desde la eclíptica hasta llegar al astro.

B

Longitud Astronómica (λa): Es el ángulo diedro medido en el círculo de la eclíptica. Parte desde el punto vernal hacia su este hasta llegar al círculo polar eclíptico que contiene al astro.

π

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

580 556

SISTEMA DE REFERENCIA La posición de un punto puede quedar definido dependiendo del tipo de sistema elegido, así como de los objetivos que se persigue, en tal sentido distinguiremos dos sistemas genéricos. £

El sistema de referencia terrestre; el cual se considera fijo a la Tierra y se utiliza para determinar las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre o sus proximidades, tal como los satélites artificiales que distan en promedio 20000 km.

£

El sistema de referencia espacial; tal como su nombre lo indica, se encuentra fijo al espacio, lo cual lo convierte en un sistema inercial (libre de aceleración) donde los cálculos Newtonianos son totalmente permitidos, este sistema es el apropiado para analizar el movimiento de cuerpos externos a la Tierra, tales como los planetas, estrellas, etc.

Sistema de Referencia Terrestre. A)

z

Sistema de Atronómico Local Un punto P; queda definido respecto a los ejes x; y; z;. Eje “Z”: sentido contrario al vector gravedad en “P” Eje “Y”: tangente a la superficie equipotencial que pasa por “P” y en la dirección norte. Eje “X”: tangente a la superficie equipotencial que pasa por “P” y en la dirección este.

P

y(Norte)

x(Este) g

Principios básicos de geodesia y cartografía 557

581 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Este sistema es válido solo para zonas muy limitadas, los ejes de coordenadas obedecen a direcciones diferentes para cada punto de estación; por tanto no es válido para efectuar un levantamiento de coordenadas, dado que es único para cada punto, constituye más bien un sistema instrumental para referir las observaciones.

y’ 4

3 2

A

x’ En topografía es aceptable incrementos de coordenadas para cada punto y tratarlos conjuntamente, como si estuvieran en el mismo sistema de referencia; sin embargo para cálculos geodésicos no es válido.

B)

sistema Geodésico Local. El sistema geodésico local, está compuesto por:

£

Un elipsoide de referencia.

£

Un punto datum.

Elipsoide Geoide

Punto datum Inmediaciones del punto datum

Generalmente el elipsoide elegido se adapta muy bien al geoide en las inmediaciones del punto datum, pero a medida que nos alejamos, su adaptación se desvanece.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

582 558

Perpendicular al elipsoide

Perpendicular al geoide Eje de rotación de la Tierra

Punto datum

nómica, toman los mismos valores que la latitud y longitud geodésica en el punto datum.

è Generalmente el elipsoide

Eje del elipsoide Centro de la Tierra

è La latitud y longitud astro-

Elipsoide Geoide Latitud astronómica Latitud geodésica

de referencia casi nunca se encuentra centrado y su eje no es coincidente con el eje de rotación de la Tierra.

Centro del elipsoide

Desventajas del Sistema Local: è

Este sistema es enteramente planimétrico, no es tridimensional; las cotas altimétricas se desarrollan a partir de otros caminos.

è

Las zonas limítrofes sufren confusiones en sus redes geodésicas, dado que comúnmente se presentan diferencias inaceptables.

è

Los elementos de los diversos datum no guardan relación.

Sistemas Locales antes de la Segunda Guerra Mundial: Antes de 1940, cada país técnicamente avanzado había desarrollado su propio sistema en base a sus conveniencias económicas y militares, normalmente no había sistemas comunes (si existían éstas eran escasas) dado que ello era contrario a los intereses militares de cada país. La figura muestra la cantidad de sistemas geográficos locales en Asia Suroriental; si bien es cierto cada sistema era de mucha utilidad para su respectivo país o región, éstos se veían impotentes al no poder determinar las coordenadas de puntos vecinos o por lo menos limítrofes respecto a su sistema.

Principios básicos de geodesia y cartografía 559

583 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Algunos sistemas locales de hoy: è

El Datum Norteamericano: referido al elipsoide 1866 de Clarke, el origen es rancho inmóvil de Meades; el sistema incorpora Canadá, México, Estados Unidos de Norteamerica, asimismo contempla parte de América Central.

è

El Datum Europeo: referido al elipsoide Internacional (Hayford), el origen está situado en Potsdam – Alemania, este Datum se conoce con el nombre ED50 (Datum Europeo 1950); El origen actual está ubicado en Munich y se llama ED-70 (Datum Europeo 1979 ó Datum Munich).

è

El Datum Cabo: Referido al Elipsoide modificado en 1880 de Clarke y tiene su punto de origen en el FF-Elsfontein, cerca de Elizabeth Portuario. Este Datum fue basado en el trabajo de los astrónomos: Sir Thomas Maclear (1833- 1870) y Sir David Gill (1879 – 1907).

è

El Datum Geodetic Australiano 1984 (AGD84): Se basa en el elipsoide nacional australiano a = 6378 160.00 m y f = 1/298,25. El origen es la estación Geodetic de Ichnston.

è

El Datum Bogotá: Tiene su punto de partida en el observatorio astronómico de Botogá y está referido al elipsoide internacional (Hayford).

è

El Datum Campo Inchauspe: Tiene su origen en el punto astronómico Inchauspe, cerca de la ciudad de Pehuajó en la provincia de Buenos Aires, Argentina. El elipsoide asociado fue el internacional (Hayford).

è

El Datum Provisional Sudamericano 1956 (PSAD-56): Tiene su punto de partida en la Canoa – Venezuela con el elipsoide internacional (Hayford).

è

El Datum Sudamericano 1969 (SAD69): Tiene su origen en Chua – Brasil (Lat. 19° 45’, Long. 48° 06’) y está referido al elipsoide sudamericano 1969.

no

Eje de la Tierra

è Se piensa que la mejor

solución era escoger el Datum de un área y ajustar todos los sistemas locales a él.

Geoide

tum ica Da mer a rte

tum o Da rope Eu

No

Elipsoide Clarke

Elipsoide Internacional Centro de la Tierra

è Mientras que en cada

caso el elipsoide elegido es un ajuste adecuado en el área de origen, ni uno ni otro proporciona un buen ajuste para la Tierra entera.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

584 560

SISTEMAS DE LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Argentina Afganistán África Del Sur Alaska (Excepto Las Islas De Aleutian) Albania Alberta Alemania (antes de 1990) Antartida Antigua, Islas De Sotovento Arabia Saudita Argelia Australia Austria Bahamas (Excepto La Isla Del Salvador Del San) Bahrein Baltra Bangladesh Barbados Barbuda Belice Belgica Bolivia Bosnia Botswana Brasil Brunei y Malasia de Este (Sarwak y Sabah) Burkina Faso Burundi Camerún Canadá Canadá del este (Terranova, Brunswich nuevo, Nueva Escocia y Quebec) Canarias

NOMBRE DEL DATUM

ELIPSOIDE

CAMPO INCHAUSPE 1969 1969 SUDAMERICANO (SAD69) HERAT DEL NORTE CABO NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 S-42 (PULKOVO 1942) NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 EUROPEO 1950 ISLA DEL ENGAÑO ÁREA ASTRO DEL CAMPO ISLA ASTRO 1943 DE ANTIGUA NAHRWAN EUROPEO 1950 EL ABD 1970 DE AIN VOIROL 1874 SÁHARA DEL NORTE 1959 VOIROL 1960 1968 GEODETIC AUSTRALIANO 1984 GEODETIC AUSTRALIANO EUROPEO 1950 EUROPEO 1979

Internacional 1924 Sudamericano 1969 Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1866 GRS 80 Krassovsky 1940 Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 Nacional Australiano Nacional Australiano Internacional 1924 Internacional 1924

NORTEAMERICANO 1927

Clarke 1866

EL ABD 1970 DE AIN 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) INDIO NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 EUROPEO 1950 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD 56) 1969 SUDAMERICANO (SAD69) HERMANNSKOGEL ARCO 1950 CORREGO ALEGRE 1969 SUDAMERICNAO (SAD 69)

Internacional 1924 Sudamericano 1969 EVEREST (La India 1956) Clarke 1866 Clarke 1866 Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924

TIMBALAI 1948

Everest (Sabah Sarawak)

ADINDAN PUNTO 58 ARCO 1950 ADINDAN NINNA NORTEAMERICANO 1983 NORTEAMERICANO 1983

Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 GRS 80 GRS 80

NORTEAMERICANO 1927

Clarke 1866

PICO DE LAS NIEVES

Internacional 1924

Internacional 1924 Sudamericano 1963 Bessel 1841 Clarke 1880 Internacional 1924 Sudamericana 1969

585 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 561

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

NOMBRE DEL DATUM

ELIPSOIDE

Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924

Chile Chile – Chile meridional (cerca de 43º S) Chile – Chile norteño (cerca de 19° S)

ROMA 1940 EUROPEO 1950 OBSERVATORIO DE BOGOTÁ 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD56) 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) NORTEAMERICANO 1927 POINTE NOIRE 1948 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 TOKIO NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 HERMANNSKOGEL NORTEAMERICANO 1927 S-42 (PLKOVO 1942) S-jtsk 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD56) 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD56)

Chile meridional (cerca de 53° S)

CHILENO DEL SUR PROVISIONAL 1963

Internacional 1924

Chipre Da Cunha (TDC) de Tristan Diego García Dinamarca Djiboui

EUROPEO 1950 TRISTAN ASTRO 1968 ISTS 073 ASTRO 1969 EUROPEO 1950 FARO DE AYABELLE 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD 56)

Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1880

1969 SUDAMERICANO (SAD69)

Sudamericano 1969

VIEJO EGIPCIO 1907 EUROPEO 1950 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 NAHRWAN MASSAWA EUROPEO 1950 ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERIA DE GRAN BRETAÑA 1936 HERMANNSKOGEL EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 ESTONIA: SISTEMA COORDINADO 1937 ADINDAN

Helmert 1906 Internacional 1924 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1880 Bessel 1841 Internacional 1924

Cerdeña Colombia Colombia Británico Congo Conus Corea Del Sur Costa Rica Croatía Cuba Checoslovaquia

Ecuador Ecuador (Excepto Las Islas De las Islas Galápagos). Egipto El Salvador Emiratos Árabes Unidos Eritrea (Etiopia) Escocia Eslovenia España Estados Unidos Del Este ESTADOS Unidos Occidentales Estonia Etiopia

Internacional 1924 Sudamericano 1969 Clarke 1866 Clarke 1880 Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 (Namiibia) Clarke 1866 Krassovsky 1940 Bessel 1841 Sudamericano 1969 Internacional 1924 Internacional 1924

Internacional 1924

Airy 1830 Bessel 1841 (namibia) Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 Ckarje 1779

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

586 562

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Europa Occidental Faial Filipina (Excepto La Isla De Mindanao) Finiandia Forme Las Islas (ENW) Francia Gabón Ghana Graciosa Grecia Groenlandia (Península De Hayes) Groenlandia Del Sur Gibraltar Guam Guatemala Guinea Guinea -Bissau Guyana Hawail Herzegovina Serbia Holanda Honduras Hong Kong Hungria Indonesio Inglaterra Irán Iraq Irlanda Isla De Bahrein Isla De Cayman Isla De Chatham (Zealand Nuevo) Isla De Espíritu Santo Isla De Falkland Del este Isla De Gizo (Islas Nuevas De Georgia)

NOMBRE DEL DATUM

ELIPSOIDE

EUROPEO 1950 INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA

Internacional 1924

LUZON

Clarke 1866

EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 ESTELA ENIWETOK 1960 EUROPEO 1950 MPORALOKO LEIGON INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA EUROPEO 1950

Internacional 1924 Internacional 1924 Hough 1960 Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1880

NORTEAMERICANO 1927

Clarke 1866

QORNOQ EUROPEO 1950 GUAM 1963 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 DABOLA BISSAU 1956 SURAMERICANO PROVISIONAL (PSAD56) 1969 SURAMERICANO (SAD 69) VIEJO HAWAIANO NORTEAMERICANO 1983 HERMANNSKOGEL EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 HONG KONG 1963 S-42 (PULKOVO 1942) INDONESIO 1974 EUROPEO 1950 ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE GRAN BRETAÑA 1936 EUROPEO 1950 EUROPEO 1950 EUROPEO 1950 IRLANDA 1965 EL ABD 1970 DE AIN LC. 5 ASTRO 1961 NORTEAMERICANO 1927

Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1866 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1880 Internacional 1924

Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Airy Modiﬁcada Internacional 1924 Clarke 1866 Clarke 1866

ISLA ASTRO 1971 DE CHATHAM

Internacional 1924

SANTO (DOS) 1965 COLINA 1943 DEL ZAPADOR

Internacional 1924 Internacional 1924

DOS 1968

Internacional 1924

Internacional 19424

Internacional 1924 Internacional 1924

Internacional 1924 Sudamericano 1969 Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 (Namibia) Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924 Krassovsky 1940 Indonesio Internacional 1924 Airy 1830

587 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 563

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Isla De Gusalcanal Isla De Johnston Isla De Kerguelen Isla De la Ascensión Isla de los Turcos Isla De Mahe Isla De Marcus Isla De Masirah (Omán) Isla De Pascua Isla De Pitcaim Isla De Tem Isla Del Engaño Isla del hombre Isla Del Salvador Del San Isla Del Sur De Georgia Islas de Virginia Islandia Islas De Aleutian Islas de Aleutian – a este de 180° W Islas de Aleutian al oeste de 180° W Islas De América Samoa Islas de Bangka y de Belitung (Indonesia) Islas De Bermudas Islas de Carolina Islas De Cocos Islas de Corvo y de Flores (Azores) Islas de Efate y de Erromango Islas de Escocia y de Shetland Islas De las Islas Galápagos Islas de Jamaica Islas De Mascarene Islas De Phoenix Islas De Santa Maria (Azores) Islas de Shetland Islas de Sotavento Islas de Terceira Islas De Viti Levu (Las Islas Fiji) (Mvs) Islas Del Salvamento Isla Graciosa

NOMBRE DEL DATUM

ELIPSOIDE

GUX 1 ASTRO ISLA 1961 DE JOHNSTON ISLA 1949 DE KERGUELEN ISLA 1958 DE LA ASCENSIÓN NORTEAMERICANO 1927 MAHE 1971 ESTACIÓN ASTRONÓMICA 1952 NAHRWAN ISLA 1967 DE PASCUA PITCAIRN ASTRO 1967 ISLA DE ASTRO TERN (FRIG) 1961 ISLA DEL ENGAÑO ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE GRAN GRAN BRETAÑA 1936 NORTEAMERICANO 1927 ISTS 061 ASTRO 1968 PUERTO RICO HJORSEY 1955 NORTEAMERICANO 1983

Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1866 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1880

NORTEAMERICANO 1927

Clarke 1866

NORTEAMERICANO 1927

Clarke 1866

Airy 1830 Clarke 1866 Internacional 1924 Clarke 1866 Internacional 1924 GRS 80

AMÉRICA SAMOA 1962

Clarke 1866

BUKIT RIMPAH

Bessel 1841

BERMUDAS 1957 KUSAIE ASTRO 1951 ANA 1 ASTRO 1965 OBSERVATORIO METEOROLÓGICO 1939 BELLEVUE (IGNICIÓN) ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE GRAN GRAN BRETAÑA 1936 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) NORTEAMERICANO 1927 REUNIÓN CANTÒN ASTRO 1966 SAO BRAZ. EUROPEO 1950 ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE GRAN GRAN BRETAÑA 1936 ISLA ASTRO 1943 DE ANTIGUA FORTALEZA THOMAS 1955 ISLA ASTRO 1958 DE MONTSERRAT INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA

Clarke 1866 Internacional 1924 Nacional australiano

VITI LEVU 1916

Clarke 1880

SELVAGEM GRANDE 1938 INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA

Internacional 1924

Internacional 1924 Internacional 1924 Airy 1830 Sudamericano 1963 Clarke 1866 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Airy 1830 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 Internacional 1924

Internacional 1924

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

588 564

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Isla Faial Islas Situado a mitad del camino Israel Italia Iwo Jima Jamaica Japón Jordania Kalimantan (Indonesia) Kauai Kazakhstan Neia Kuwait La India Latvia Lesotho Libano Liberia Luxemburgo Magadascar (Tan) Malasia Maldivas Malawi Malol Malta Manitoba Marruecos Maui México Micronesia Mindanao Montserrat Namibia Nepal Nevis Nicaragua Nigeria Nigeria Noruega Nueva Zelandia

NOMBRE DEL DATUM

INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA ASTRO SITUADO A MITAD DEL CAMINO 1961 EUROPEO 1950 EUROPEO 1950 FARO “E” 1945 DE ASTRO NORTEAMERICANO 1927 TOKIO EUROPEO 1950 GUNUNG SEGARA VIEJO HAWAIANO NORTEAMERICANO 1983 S-42 (PULKOVO 1942) ARCO 1960 EUROPEO 1950 INDIO S-42 (PULKOVO 1942) ARCO 1950 EUROPEO 1950 LIBERIA 1964 EUROPEO 1950 OBSERVATORIO 1925 DE ANTANANARIVO KETAU 1948 GAN 1970 ARCO 1950 ADINDAN EUROPEO 1950 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 MERCHICH VIEJO HAWAIANO NORTEAMERICANO 1983 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 KUSAIE 1951 LUZON ISLA ASTRO 1958 DE MONTSERRAT SCHWARZECK INDIO FORTALEZA THOMAS 1955 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 PUNTO 58 MINNA EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 DATO GEODETIC 1949

ELIPSOIDE

Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1866 Bessel 1841 Internacional 1924 Bessel 1541 Clarke 1866 GRS 80 Krassovsky 1940 Clarke 1880 Internacional 1924 Everest (La India 1956) Krassovsky 1940 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Everest (Malay y Cantan) Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1880 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924 Clarke 1866 Clarke 1880 Bessel 1841 (Namibia) Everest (La India 1956) Clarke 1880 Clarke 1866 GRS 80 Clarke 1880 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924

589 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 565

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Oahu Okinawa Omán Ontario País de Gales Países Bajos Paquistán Paraguay Perú Pico Polonia Porto Santo e islas de Madeira Portugal Puerto Rico Qatar República dominicana República de Maldives Rumania Rusia Sao Jorge Sao Miguel St. Kitts Senegal Sicilia (Italia) Sierra Leone 1960 Singapur Singapur del Oeste Siria Singapur del Oeste Singapur Somalia Sri Lanka St, Isla De Helena Sudán Suecia Suiza Sumatra (Indonesia) Suriname (ZAN) Swazilandia Tailandia

NOMBRE DEL DATUM

VIEJO HAWAIANO NORTEAMERICANO 1983 TOKIO OMÁN NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE GRAN GRAN BRETAÑA 1936 EUROPEO 1979 INDIO CHUA ASTRO 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD 56) 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA S-42 (PULKOVO 1942) PORTO SANTO 1936 EUROPEO 1950 PUERTO RICO NACIONAL DE QATAR NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 GAN 1979 S-42 (PULKOVO 1942) S-42 (PULKOVO 1942) INTERRUPTOR BAJO 1948 DE GRACIOSA SAO BRAZ FORTALEZA THOMAS 1955 ADINDAN EUROPEO 1950 SIERRA LEONE 1960 ASIA DEL SUR KERTAU 1948 EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 KERTAU 1948 ASIA DEL SUR AFGDOYE KANDAWALA DOS 71/4 DE ASTRO ADINDAN EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 EUROPEO 1950 EUROPEO 1979 DJAKARTA (BATAVIA) ZANDERIJ ARCO 1950 INDIO 1954 INDIO 1975

ELIPSOIDE

Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 Clarke 1880 Clarke 1866 GRS 80 Airy 1830 Internacional 1924 Everest (La India 1956) Internacional 1924 Sudamericano 1969 Internacional 1924 Sudamericano 1969 Internacional 1924 Krassovsky 1940 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1866 Internacional 1924 Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924 Krassovsky 1940 Krassovsky 1940 Internacional 1924 Internacional 1924 Clarke 1880 Clarke 1880 Internacional 1924 Clarke 1880 Fischer Modiﬁcado 1960 Everest (Malay y Cantan) Internacional 1924 Internacional 1924 Everest (Malay y Cantan) Fisher Modiﬁcado 1960 Krassvsky 1940 Everest (La India 1830) Internacional 1924 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Bessel 1841 Internacional 1924 Clarke 1880 Everest (La India 1830) Everest (La India 1830)

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

590 566

SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES ZONA DE USO

Taiwán Tanzania Tasmania Territorios y Saskatchewan Del Noroeste Trinidad y Trinidad y Tobago Túnez Uruguay (YAC) Venezuela Vietnam Yukon Yugoslavia (antes de 1990) Zake Zambia Zimbabwe Zona del Canal

C)

NOMBRE DEL DATUM

Hu-tzu-shan ARCO 1960 1966 GEODETIC AUSTRALIANO 1984 GEODETIC AUSTRALIANO NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 NAPARIMA, BWI 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) CARTHAGE EUROPEO 1950 YACARE 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL (PSAD 56) 1969 SUDAMERICANO (SAD 56) INDIO 1960 NORTEAMERICANO 1927 NORTEAMERICANO 1983 HERMANNSKOGEL ARCO 1950 ARCO 1950 ARCO 1950 NORTEAMERICANO 1927

ELIPSOIDE

Internacional 1924 Clarke 1880 Nacional Australiano Nacional Australiano Clarke 1866 GRS 80 Internacional 1924 Sudamericano 1969 Clarke 1880 Internacional 1924 Internacional 1924 Internacional 1924 Sudamericano 1969 Everest (La India 1830) Clarke 1866 GRS 80 Bessel 1841 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1880 Clarke 1866

Sistema Astronómico Global Esta constituido por un sistema cartesiano tridimensional, el cual cumple con las siguientes características :

Centro de masa

El origen es el centro de masa de la totalidad de la Tierra, incluyendo los océanos y la atmósfera (geocentro).

Principios básicos de geodesia y cartografía 567

591 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Z

Eje de rotación Terrestre

PN

PS

El eje “z”, pasa por el eje de rotación de la Tierra.

Z Plano Ecuatorial

PN

HEMISFERIO NORTE

H E M ISFE R I O S U R

PS

El Ecuador es un plano perpendicular al eje de rotación y divide a la Tierra en dos zonas : Hemisferio Norte y Sur

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

592 568

Z Meridiano Internacional de referencia (Greenwich)

O ECUADOR

A X PS

La intersección del meridiano internacional de referencia y el Ecuador (A), forma con el punto “o”, el eje “x”.

z

Elipsoide de Referencia

PN

O y

ECUADOR x PS

El eje “Y” se forma en el Ecuador y parte del punto “O” perpendicular al eje “X” obedeciendo la regla de la mano derecha.

Observación â La posición de un punto queda determinada con las coordenadas cartesianas x; y; z. â La posición de un punto queda determinada con las coordenadas astronómicas geo-

gráficas: f; l; W.

Principios básicos de geodesia y cartografía 569

593 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Meridiano astronómico de un punto P . Es aquel plano paralelo al eje de rotación de la Tierra que contiene al vector gravedad que pasa por dicho punto.

Latitud astronómica (f) . Es el ángulo medido en el plano del meridiano astronómico que forman la tangente a la dirección de la línea de la plomada en “p” y el plano del Ecuador. ( 0° ≤ f ≤ 90° ). f(+) Norte

Longitud astronómica (l) . Es el ángulo diedro medido en el plano del Ecuador. Parte del meridiano de Greenwich hacia el este de él, hasta llegar al meridiano que contiene al punto P. ( 0° ≤ l ≤ 360° ). l(+) Este.

Potencial gravitatorio (W) . Está definido por la superficie equipotencial que pasa por el punto “P” Eje de rotación de la Tierra

z

g Vertical Astronómica que pasa por P.

P

y

no dia i r Me de ch i nw e e Gr

W W

A

Línea de λ = constante

φ λ

x

B

ECUADOR

Superficie equipotencial que pasa por P (WP).

Las coordenadas f y l; se pueden determinar de forma absoluta mediante observaciones astronómicas; mientras que el campo gravitatorio W no se puede determinar de forma absoluta; pero si la diferencia de potencial respecto al geoide, empleando para ello la altura ortométrica. Sin embargo, las observaciones más precisas se obtienen de forma relativa, es decir, referidas al sistema astronómico local y de alta precisión; ello implica transferir mediciones efectuadas en el sistema astronómico local al global mediante observaciones adicionales y fórmulas complicadas; lo cual obliga a buscar sistemas menos complejos.

Principios básicos de geodesia y cartografía

594 570

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

D) Sistema Elipsoidal Global. Consiste en un caso mejorado del sistema astronómico global. Así pues la posición de un punto “P” quedará definida por sus tres coordenadas.

Latitud geodésica (f)

Longitud geodésica (l) Altura elipsoidal (h)

z Elipsoide de Revolución

Plano Meridiano que contiene la Normal AP

Gre enw ich

P

Meridiano d e

h

φ A

y

λ x

Como verá usted, la superficie de referencia que reemplaza a la equipotencial es el elipsoide de revolución. La ventaja de este sistema radica en que el elipsoide se basa en un modelo matemático definido y por ende las coordenadas de un punto “P” serán fácilmente expresables matemáticamente. Por otro lado es preciso destacar que latitud y longitud no son exactamente igual a sus homólogos astronómicos, existe casi siempre una diferencia. Un punto “P” puede quedar definido de dos formas:

2.

En términos de sus coordenadas geodésicas ( f ; l ; h )

En términos de sus coordenadas cartesianas ( x ; y ; z )

Sistemas de referencia espaciales. Respecto a los sistemas de referencia terrestre, las coordenadas de un punto fijo en el espacio variarían constantemente en virtud a la rotación terrestre. Es por ello que para determinar la posición de los astros lejanos que como tal, pueden ser considerados fijos, se hace uso de las coordenadas astronómicas, gracias a la llamada esfera celeste, cuyo estudio no está incluido en el presente texto.

595 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 571

Movimiento del eje de rotación terrestre La dirección del eje de rotación terrestre, cambia con el tiempo respecto a la propia superficie terrestre. El polo describe a lo largo del tiempo una trayectoria libre que es una curva más o menos circular de radio 6 metros y período aproximado de 430 días, provocado por el carácter deformable de la Tierra. Superpuesta a ésta trayectoria libre, se encuentra una serie de oscilaciones provocadas por la influencia gravitatoria del Sol y la Luna con una magnitud de 60 centímetros.

Este movimiento del polo afecta directamente a las coordenadas de los puntos sobre la superficie terrestre, dado que el sistema de referencia irá cambiando. Lo más indicado es tomar como eje z de referencia al origen o centro de los círculos de movimiento libre, quedando así determinado el eje de un modo convencional. Si las coordenadas de los puntos se refieren al polo convencional, tendremos coordenadas absolutas, si se refieren al polo instantáneo, tendremos coordenadas instantáneas. No hay teoría científica que pueda predecir el movimiento del polo, así que se monitorea contínuamente mediante observaciones. Esta materialización se realiza con observaciones astronómicas lo que da lugar al establecimiento de tres polos diferentes. 1.

Polo C.I.O. (Convencional International Origen). Definido como la posición media del polo entre 1900 y 1905

2.

Polo B.I.H. (BUREAU International de L’Heure) creada en 1912; encargada del mantenimiento de la hora y de la posición del origen de longitudes (posición media del observatorio astronómico de Greenwich). La determinación de la latitud de sus observatorios, generó el polo BIH que proporciona estimaciones más frecuentes (medias de 5 días) y precisiones de 1 metro en la determinación del movimiento del polo.

3.

Polo I.P.M.S. (International Polar Motion Service). Generado a partir de determinaciones de latitud astronómica en 80 estaciones y con precisión de un metro en la determinación del movimiento del polo.

NOTA En 1984, la B.I.H. estableció un nuevo sistema de referencia terrestre, basada en las coordenadas cartesinas geocéntricas de las estaciones fundamentales, donde técnicas espaciales habían sido aplicadas, este nuevo sistema coincide con el polo C.I.O. astronómico si se tiene en cuenta las precisiones en la determinación del CIO, lo cual permite dar continuidad a las coordenadas determinadas antiguamente.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

596 572 4.

Polo I.E.R.S. (International Earth Rotation And Reference Systems Service). Creado en 1987, reemplazando a la BIH y a la IPMS para, entre otras cosas, monitorear el movimiento del polo, basándose en técnicas espaciales de forma continua

MARCO DE REFERENCIA : Es la materialización de un sistema de referencia convencional a través de observaciones, es decir, se trata de un conjunto de puntos (lugares localizados en la superficie terrestre) con coordenadas y velocidades conocidas en ese sistema de referencia convencional y que sirven para materializar en el espacio el sistema de referencia. MARCO DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL (ITRF) El sistema de referencia terrestre internacional convencional se materializa a través de las coordenadas de una serie de estaciones distribuidas por todo el mundo en ese sistema de referencia, constituyendo el ITRF (Internacional Terrestrial Reference Frame), establecido y mantenido por la IERS. La historia de los diferentes ITRF comenzó en 1984, y, a partir de ahí se han obtenido las soluciones 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 2000, 2005 y, recientemente la 2008, estas soluciones difieren unas de otras debido a la incorporación constante de nuevas estaciones, nuevas observaciones en las estaciones ya existentes, mejora en la precisión de las mismas o nuevos métodos de procesamiento.

Estaciones que forman el ITRF2000 simbolizadas según el número de técnicas espaciales diferentes que utilizan.

Principios básicos de geodesia y cartografía 573

597 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

SISTEMA DE REFERENCIA GEODÉSICO GLOBAL WGS84 ( WORLD GEODETIC SYSTEM 1984) : Es un sistema geocéntrico elipsoidal, fundado y monitoreado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos de Norte América, obtenido exclusivamente a partir de los datos de la constelación de satélites GPS. Es compatible con el Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRF). WGS84, identifica cuatro parámetros : Semieje mayor = a = 6 378 137,00 m Aplanamiento = 1/f = 298,257223563 Constante de gravitación geocéntrica = GM = 3 986 004,418 x 108 m3/s2 Velocidad angular media de la Tierra = ω = 7 292 115 x 10-11 rad/s La orientación del eje Z, está definida por el Polo I.E.R.S. ; el eje x, por el meridiano origen definido por el I.E.R.S.

Actualización WGS84 Nombre

DatumÉpoca

Observaciones

Cambio

WGS84

1984

Primera realización, establecido por el Departamento de Defensa en 1987, usando observaciones Doppler. También conocido como WGS84 (1987), WGS84 (original), WGS84 (tránsito). Para fines de topografía, WGS84 original, es idéntico al NAD83 (1986). WGS84, está conectado al ITRF90 por una transformación Helmert de siete parámetros.

N/A

WGS84 (G730)

1994

Actualización realizada por el Departamento de Defensa el 0.70 m. 06/29/1994, basada en observaciones GPS. G significa GPS y 730, es el número de semana GPS; basado en ITRF91.

WGS84 (G873)

1997

Actualización realizada por el Departamento de Defensa, el 0.20 m. 01/29/1997, basada en observaciones GPS. G significa GPS y 873, es el número de semana GPS; basado en ITRF94.

WGS84 (G1150)

2001

Actualización realizada por el Departamento de Defensa, el 0.06 m. 01/20/2002, basada en observaciones GPS. G significa GPS y 1150, es el número de semana GPS; basado en ITRF2000.

WGS84 (G1674)

2005

Actualización realizada por el Departamento de Defensa, el 0.01 m. 02/08/2012, basada en observaciones GPS. G significa GPS y 1674, es el número de semana GPS; basado en ITRF2008.

Parámetros de transformación : Parámetros de transformación entre WGS84 (G1674) y actualizaciones pasadas WGS84, así como algunas realizaciones ITRF.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

598 574 Desde

A

Época

T1 m

T2 m

T3 m

D ppb

R1 mas

R2 mas

R3 mas

Precisión m

WGS84(G1150)

WGS84(G1674)

2001.0

-0.0047

0.0119

0.0156

4.72

0.52

0.01

0.19

0.0059

ITRF2008

WGS84(G1674)

2005.0

0

0

0

0

0

0

0

0.10

ITRF2000

WGS84(G1150)

2001.0

0

0

0

0

0

0

0

0.10

ITRF94

WGS84(G873)

1997.0

0

0

0

0

0

0

0

0.10

ITRF91

WGS84(G730)

1994.0

0

0

0

0

0

0

0

0.10

ITRF90

WGS84(original)

1984.0

0.060

-0.517

-0.223

-11.0

18.3

-0.3

7.0

0.01

m = metro; 1 mas = 0,001”; ppb = partes por billón. WGS84 y ITRF »

Actualización Antigua: conocida comúnmente como DOPPLER Tránsito, y proporciona coordenadas de la estación con una precisión de alrededor de un metro.

»

Nuevas Actualizaciones: de WGS84, basados en los datos de GPS, como G730, G873 y G1150. Etas nuevas actualizaciones WGS84 son coincidentes con ITRF la altura de 10 centímetros. Para estas actualizaciones no hay parámetros oficiales de transformación.

WGS84, NAD83 y ITRF WGS84 original, está de acuerdo escencialmente con NAD83 (1986). El Datum de Norteamérica de 1983 (NAD83) se utiliza en todas partes de América del Norte, excepto México. Este dato se realiza en el Estados Unidos contiguos y Alaska (Placa de Norteamérica) a través de las CORS Nacionales (estaciones de referencias de funcionamiento continuo) que proporciona la base para la obtención de transformaciones rigurosos entre la serie ITRF y NAD83, asi como una gran variedad de aplicaciones científicas. A partir de noviembre de 2011, la red CORS contiene más de 1800 estaciones, aportados por más, de 200 organizaciones diferentes, y la red continúa en expansión. La última realización de NAD83 se llama tecnicamente NAD83 (2011/PA11/MA11) época 2010.00 que constituye el marco para la definición del sistema de referencia espacial nacional (IEN). En Canadá NAD83 se vigila también a través del Sistema de Control Activo de Canadá. Así, las dos organizaciones encargadas de la vigilancia y realizar cambios en el NAD83 son el Servicio Geodésico Nacional (NGS), http://www.ngs.noaa.gov y los Recursos Naturales de Canadá (NRCan), http://www.nrcan.gc.ca. y los recursos naturales de Canadá (NRCan), http://www.nrcan.gc.ca. Datum mexicana de 1993 De México Instituto Nacional de Estadística, Geográfica, e Informatica (INEGI), http://www.inegi. org.mx, la agencia federal responsable de la geodesia y la cartografía del país, adoptó el marco geocéntrico ITRF92, época 1988.0, como base por su definición de referencia. La realización del datum se logra a través de la red Geodésica Nacional Activa (RGNA) una red de 14 estaciones de receptores GPS permanentes. Recientemente, adoptaron ITRF2008, .epoch 2010.0, como la nueva base para la definición mexicana Datum.

599 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 575

WGS84, ITRF y SIRGAS El sistema de referencia Geocéntrico para América del Sur 1995 (SIRGAS 1995) se estableció para apoyar un marco geodésicoy cartografía unificada para el continente sudamericano. La mayoría de los países de América del Sur y el caribe participaron en esta empresa con 58 estaciones de referencia que se extendió posteriormente a América Central y del Norte. El marco de referencia adoptado era ITRF94, epoch 1,995,42. El Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas 2 000 (SIRGAS 2 000) fue realizado por un marco de 184 estaciones observadas en el 2 000 y ajustados en el ITRF2000, época 2 000.40 SIRGAS 2000 incluye vínculos con mareógrafos y reemplaza SIRGAS 1995 para América del Sur, mientras que la expanción de SIRGAS hacia Centroamérica. El nombre fue cambiado en 2001 para su uso en toda América Latina. hay varias páginas web con información sobre SIRGAS, tales como: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/sirgas. WGS84, ITRF y ETRS89 El ETRS89 (sistema Europeo de Referencia Terrestre de 1989) se basa en (TRF89, época 1989.0 y monitoreado por una red de cerca de 250 estaciones de seguimiento GNSS permanentes conocidos como la Red Permanente EUREF (EPN). El IAG Subcomisión EUREF es responsable del mantenimiento del Sistema Europeo de Refererencia Terrestre (ETRS89). Visite el sitio web EUREF: http://www. euref.eu. La Oficina Central EPN se ecuentra en el Observatorio Real de Belgica. http://www.epncb. oma.be. WGS84, ITRF y GDA94 El Datum Geocéntrico de Australia de 1994 (GDA94) se refería originalmente al marco ITRF92, en época 1994.0 GDA94 es controlada por la Red Australiana regional GNSS (ARGN) que actualmente está compuesta por una red de 15 estaciones GPS de seguimiento permanente en Australia y sus territorios, con las 8 estaciones en Australia conocidos como la Red Fiducial australiano (AFN). La organización responsable de la supervisión GDA94 es Geoscience Australia. http://www.auslig.gov.au.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

600 576

PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS Proyección cartográfica es la representación de la superficie elipsoidal en un plano. Es imposible llevar a cabo la proyección cartográfica sin evitar la presencia de algunos tipos de distorsiones. Sin embargo se han elaborado proyecciones que mantienen alguna propiedad de la superficie elipsoidal “sin distorsión” a costa de distorsionar las otras propiedades; ello obedece al objetivo que se persigue.

PROPIEDADES DE LAS PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS Proyección Equidistante Tiene la cualidad de mantener la distancia real entre dos puntos situados sobre la superficie del Elipsoide. No obstante, es necesario aclarar que no es posible generar una proyección que conserve la distancia en todas las direcciones para todos los puntos del mapa. En realidad la mayoría de las proyecciones cumple el principio de equidistancia para algunas líneas o puntos. Por ejemplo en la proyección de Mercator, la equidistancia se presenta en el Ecuador, (ver figura A).

Proyección Conforme Tiene la cualidad de conservar los ángulos formados por dos líneas, tanto en el elipsoide como en el plano cartográfico; sin embargo es importante puntualizar que no existe ninguna proyección conforme que mantenga dicha propiedad en todo el elipsoide. Este tipo de proyecciones conserva la forma de las figuras pero no el tamaño de éstas. Por último es preciso acotar que una proyección conforme, se refiere a la conservación de ángulo, no de azimuts o rumbos. La proyección de Mercator es un ejemplo de estas propiedad; en el elipsoide, los paralelos y meridianos se cortan perpendicularmente; en el plano cartógrafico proyectado conservan dicho ángulo perpendicular, (ver figura A)

ECUADOR

A

B

Meridianos

A

Meridianos

B

Paralelos

Paralelos Figura A. En el presente caso, la línea ecuatorial es común al elipsoide y al cilindro, en virtud a ello, la distancia AB, no sufre distorsión alguna. Así mismo los meridianos y paralelos son perpendicular antes y después de la proyección.

601 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 577

Proyección Equivalente. Tiene la propiedad de conservar la superficie (área) del elipsoide en el plano proyectado, a costa de distorsionar la forma de las figuras. Un ejemplo típico de ello está representado por la proyección cilíndra equivalente, en el cual los puntos del elipsoide se proyectan paraleo al Ecuador.

TIPOS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA I.

Proyección cartográfica en un plano

1.

Proyección Gnomónica

B

Consiste en una proyección geométrica a un plano tangente al elipsoide en cualquier punto como “A” con el centro de proyección ubicado en el centro del elipsoide.

A C

Se clasifica en: Polar:

Plano tangente a la Tierra en un Polo

Ecuatorial:

Plano tangente a la Tierra en el Ecuador.

Oblicua:

Plano tangente a la Tierra en un punto distinto al Polo y al Ecuador.

2. Proyección Estereográfica. Es similar a la proyección gnomónica, con la diferencia que el centro de proyección se encuentra en un punto de la superficie del elipsoide (centro de proyección diametralmente opuesta al punto de tangencia).

B

A C

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

602 578

3. Proyección Ortográfica. Es una proyección geométrica sobre un plano o tangente, con líneas de proyección paralelas entre si y perpendiculares al plano tangente.

B

B’ A’ A C D E

C’ D’ E’

Observación: A diferencia de una esfera, tanto el cono como el cilindro pueden desarrollarse o transformarse en un plano sin distorsionarse, y por consiguiente son utilizados en las proyecciones cartográficas

CILINDRO

CONO

PLANO

PLANO

Principios básicos de geodesia y cartografía 579

603 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

PROYECCIÓN CILÍNDRICA Proyección de MERCATOR Consiste en circunscribir un cilindro hueco al elipsoide de referencia, tangente al plano Ecuatorial. El eje de cilindro es coincidente con el eje de rotación de la Tierra.

Eje del cilindro

Eje de rotación de la Tierra Ecuador

Cilindro tangente al elipsoide en el plano ecuatorial Groenlandia

Ecuador

Desarrollando el Cilindro

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

604 580 Análisis

Groenlandia

Groenlandia es una isla muy cercana al polo norte con un área de 2.1 millones de km2. Sudamérica es un continente ubicado en el hemisferio sur pero no muy cercano al polo sur, con un área 17,8 millones de km2 (mucho más extensa que Groenlandia). La proyección de MERCATOR muestra a Groenlandia con una superficie mucho mayor que Sudamérica (14 veces su área original).

Sudamérica

CARACTERÍSTICAS -

Es una proyección conforme.

-

El Ecuador se representa mediante una línea recta sin deformaciónn (escala verdadera)

-

Los meridianos se proyectan en líneas rectas paralelas al eje del cilindro.

-

Los paralelos se proyectan en líneas rectas paralelas al Ecuador y desigualmente espaciados.

-

Los paralelos y meridianos se cortan en ángulos rectos.

-

La proyección de Mercator, va exagerando el tamaño de las figuras a medida que nos alejamos del plano ecuatorial.

Observación: Este tipo de proyección es ventajoso en la navegación, pues el piloto de un barco puede mantener fijo el timón siempre y cuando el rumbo sea constante.

N50°

θ W70°

N10° W30°

Círculo máximo Loxodrómica

W50° S10° S30° S50°

Meridiano 1

Meridiano 2

Meridiano 1

N30°

Meridiano 2

θ Loxodrómica

Principios básicos de geodesia y cartografía 581

605 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR Consiste en circunscribir un cilindro hueco a un elipsoide, tangente a un Meridiano (meridiano origen), el eje del cilindro es transversal (perpendicular) al eje de la Tierra. Eje del cilindro

Eje de rotación terrestre

Eje de rotación terrestre

PN

Meridiano origen o central

Ecuador

Eje del cilindro

PS

Ecuador

θ

4 4’

3’

3

2 2’

5 1

5’

Cilindro

7 6 6’

7’

A medida que el ángulo q crece, la distorsión de la proyección en área y distancia aumenta exageradamente; en virtud a ello, convencionalmente se ha establecido como ángulo “q” máximo: 3 grados sexagesimales para un meridiano central.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía Zona de influencia

Meridiano central

Convencionalmente si; no obstante, ello no impide incrementar el

Ecuador 3°

Meridiano central

3°

No aplica

¿La proyección transversal de MERCATOR, es aplicable para ángulos menores o igual a 3° solamente?

No aplica

606 582

valor del ángulo q, si las circunstancias lo ameritan.

¿Cuántas zonas de influencia existen? Dado que el ángulo central de influencia corresponde a un ángulo de seis grados sexagesimales (3° a cada lado del meridiano central), existen 60 cilindros tangentes, cada uno a un meridiano central diferente (sesenta zonas de influencia). ¿Cuáles son los sesenta meridianos centrales?

Antimeridiano de Greenwich

Convencionalmente se ha establecido que el meridiano central principal sea el meridiano de Greenwich; a partir de él, se trazan los 60 meridianos centrales convencionales: en realidad el meridiano de partida (zona) corresponde al antimeridiano de Greenwich (el otro lado del observatorio de Greenwich.)

Observatorio de Greenwich Plano Ecuatorial

λ=180°

λ=0

Esquemáticamente, presentamos a continuación, la ubicación de las 60 zonas. Meridiano (lado opuesto de Greenwich)

Meridiano de Greenwich

Zona Zona Zona Zona Zona Zona 28 29 30 31 32 33

Zona Zona 1 2

...

-180° -174° -168°

...

Zona Zona 59 60

...

-18° -12° -6°

6°

12° 18°

...

168° 174° 180°

0

Lado oeste respecto a Greenwich

Ecuador

Lado este respecto a Greenwich

607 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 583

CARACTERÍSTICAS l

Es una proyección conforme.

l

Tanto el meridiano central como el Ecuador, se representan como lados rectos.

l

No hay distorsión en el meridiano central (es una línea recta).

l Las distancias a lo largo del meridiano central son verdaderas. l Los meridianos son ligeramente cóncavos con respecto al meridiano central. l

Los paralelos son líneas curvas cóncavos con respecto al polo más cercano.

l

La distorsión aumenta a medida que nos alejamos del meridano central.

l

La distorsión también aumenta cuando nos alejamos del Ecuador hacia los polos, pero en menor medida.

l

Esta proyección es recomendable en regiones cuya extensión es mucho mayor en la dirección norte-sur respecto a la dirección este-oeste.

PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM) Es un sistema similar a la proyección transversal de MERCATOR, la diferencia radica en que el cilindro transversal al eje de rotación de la Terra, corta al elipsoide secantemente a lo largo de dos elipses (líneas estándar) paralelas al meridiano central.

Zona de influencia correspondiente al meridiano central. Zona externa del elipsoide respecto al cilindro

Línea estándar

Meridiano central

Línea estándar

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

608 584

¿Cuál es el radio del cilindro? Elipsoide

El radio del cilindro, obedece a la siguiente propiedad.

LE LC

La intersección geométrica del cilindro con el elipsoide, se realiza tal que la distorsión del meridiano central del elipsoide respecto al cilindro es cuantitativamente 0,9996. Lc = 0,9996 . (LE)

Cilindro

Sección Meridiano central Factor de Escala Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico.

A’ A

Lp Lo

LP = (KESCALA) Lo LP

B’

B

Donde:

Plano cartográfico

: longitud proyectada al plano catográfico.

Lo

: longitud medida en el elipsoide de referencia.

Elipsoide de referencia

KESCALA : factor de escala

Analizando el factor de escala en la presente proyección cartográfica (UTM) 1

2

Elipsoide Meridiano Central

Elipsoide

Lo

2

3

Analizando la zona de influencia correspondiente a un meridiano central.

Lp

Sección 3-3

Elipsoide

Lp

Cilindro

Cilindro 1

Sección 2-2

Sección 1-1

3

El elipsoide se ubica dentro del cilindro. La proyección de Lo aumenta (Lp) Lp = K . Lo K>1

Lo

Lo

Cilindro El elipsoide se ubica fuera del cilindro. La proyección de Lo disminuye (Lp) Lp = K . Lo K<1

El elipsoide se ubica dentro del cilindro. La proyección de Lo aumenta (Lp) Lp = K . Lo K >1

Lp

Principios básicos de geodesia y cartografía 585

609 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía En Resumen :

Línea Estándar

K>1

K>1 K<1

Nota

Línea Estándar

La linea estándar no es exactamente una recta

Observación: Esta proyección tiene su rango de validez entre la latitud 84° Norte y 80° Sur. En las áreas polares es conveniente el uso de la proyección estereográfica.

84°

84° N

Meridiano Central

Ecuador

80°

80° S

Observación: Dado que la proyección cartográfica UTM, es una modificación de la Proyección Transversal de Mercator (intersección secante en reemplazo del encuentro tangente), se conservan los 60 meridianos convencionales y por tanto las sesenta zonas.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

610 586

3

7

5 13

38

-1

4

-14

0

-15

6

-156

5

56

55

14

7

14

4

54

9

-11

11

4

12

-11

-111

13

-108

14

-102

-96

15 -90

16 17

18

-72

36 33

30

27

35 24 21

34

33

18

32

12

15

6 9

-6

0

3

-3

28

29

30

31

-12

--6

27 -18

-15

26 -24

-21

-30

-27

-36 -33

2

-4

-39

5 -4

23

39

36

-48

22

42

-54

21

45

24

-60

20

19

51

25

-51

63

-57

66

69

57

48

38

-66

75

72

60

54

39

Meridiano de Greenwich

81

78

42

-63

87 84

44

43

41 40

37

-87

93

90

45

-84

96

N+

46

-81

99

47

-78

102

48

105

108

-75

111

114

49

-69

117

120

50

-105

6

123

12

51

-99

9 12

2

52

-93

1

8

13

Zona del territorio Peruano

14

13

5

8

Antimeridiano de Greenwich

13

7

-15

-177 177 -171 171 -165 165 -174 -180 174 8 6 159 -1 168 -162 162 1 1 60 5 156 53 2 9 5 3 8 4 15 57 0

53

7 -12 -123 0 -12 -12 9 6 10 -1 32

-

1 -14

-14

-159

Principios básicos de geodesia y cartografía 587

611 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía El Perú abarca tres zonas : 17, 18 y 19.

-84°

-78°

Zona 17

-81° l l l

-72°

Zona 18

-75° La zona 17, tiene como meridiano central: -81° La zona 18, tiene como meridiano central: -75° La zona 19, tiene como meridiano central: -69°

-66°

Zona 19

-69°

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

612 588

CARACTERÍSTICAS Es una proyección conforme No hay distorsión en las líneas de intersección o estándar Las distancias a lo largo de las líneas estándar, son verdaderas Los meridianos cercanos al meridiano central son casi rectos (ligeramente cóncavas con respecto el meridiano central). Los paralelos son líneas curvas cóncavos con respecto al polo más cercano. La distorsión aumenta a medida que nos alejamos del meridiano central. La distorsión o escala también aumenta cuando nos alejamos del Ecuador hacia los polos, pero en menor medida. Esta proyección es recomendable en regiones cuya extensión es mucho mayor en la dirección norte – sur que en el este – oeste.

ORIGEN CONVENCIONAL DE COORDENADAS UTM A manera de ilustración se tomará como ejemplo una sola zona, sin embargo es preciso acotar que la presente convención es válida para todas las zonas. Para el hemisferio Norte

0m

Ejemplo 1: El punto “A” tiene las siguientes coordenadas UTM N= 450 000 m E= 600 000 m Zona 16 N (norte) Ubicar gráficamente su posición.

Meridiano central

»

Norte

La coordenada norte tiene su origen en el Ecuador y su valor de inicio es cero metros. La coordenada este tiene su referencia en el meridiano central y su valor de partida es 500 000 m.

E=500 000 m

»

A=

Zona 16

Ecuador Este

N=0+450 000 E=500 000+100000

A 0m

500 000 m

a)

100 000 m

Ecuador

450 000 m

Principios básicos de geodesia y cartografía 589

613 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Ejemplo 2: El punto “A” tiene las siguientes coordenadas UTM.

N=0+2 000 000 E=500 000 − 160 000

A=

Zona 35

N= 2 000 000 m 2 000 000 m

0m

500 000 m

E= 340 000 m Zona 35 N (norte) Ubicar gráficamente su posición.

Ecuador

160 000 m

Para el hemisferio Sur

La coordenada este tiene su referencia en el meridiano central y su valor de partida es 500 000 m.

N=10 000 000 m

Meridiano central

»

Norte

La coordenada norte tiene su referencia en el Ecuador y su valor es 10 000 000 m.

E=500 000 m

»

Ecuador Este

Ejemplo 3: El punto “A” tiene las siguientes coordenadas UTM. N= 8 000 000 m E= 560 000 m Zona 18 S (Sur) Ubicar gráficamente su posición.

Zona 18 S

10 000 000 m

Ecuador 500 000 m

b)

60 000 m

2 000 000 m A=

N=10 000 000 - 2 000 000 E=500 000+60 000

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

614 590

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS UTM A GEODÉSICAS 1.

2.

Datos a ingresar NORTE

=

ESTE

=

ZONA

= P

DATUM

=

Parámetros de los elipsoides

b a

ELIPSOIDE Parámetro

a)

HAYFORD

WGS84

a

6 378 388,00 m

6 378 137,00 m

b

6 356 911,946 m

6 356 752,314 m

e2

0,006 722 67

0,006 694 38

e’2

0,006 768 17

0,006 739 497

c

6 399 936,608

6 399 593,626

Cálculo de Parámetos Elementales

, ,

Donde e2 = cuadrado de la primera excentricidad

615 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía b) Cálculo de f1 (Radianes)

c)

Cálculo de la latitud f (Radianes)

d) Cálculo de la longitud l »

Cálculo de l. (Grados sexagesimales) l0 = P . 6 - 183°

»

Cálculo de Dl (Radianes)

»

Cálculo de l (Grados sexagesimales)

Principios básicos de geodesia y cartografía 591

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

616 592 Ejemplo 1:

Transformar las coordenadas UTM del Punto B a geodésicas. Datum: WGS84 - Hemisferio Sur Norte = 6 452 437,347 Este = 745 286,987 Zona = 23 N1

R1

e1

T1

C1

D1

63841 62, 133

6353410,688

0,00167922

0,392415591

0,0048401 47

0,038436546

M1

U

f1

P

-3548982,246

-0,557363265

-0,559627569

0,000738684032

Q

S

-0,00000056065 4,61245825x10-10

f

f (RADIANES)

f (GRADOS)

f (MINUTOS)

f (SEGUNDOS)

-0,000464622

-0,559162947

-32

2

15,6369

lo

JJ

XX

 l (RAD)

- 45

0,038419608206

0,000000013791577

0,0453

l (GRADOS)

l (MINUTOS)

l (SEGUNDOS)

-42

24

8,9009

Ejemplo 2: Transformar las coordenadas UTM del Punto B a geodésicas. Datum: WGS84 - Hemisferio Norte Norte = 3 532 634,862 m Este = 367 324,721 m Zona = 54

Nota

Para efectos de cálculos, si el punto citado se encontrase en el hemisferio norte, a la coordenada norte será necesario incrementarle 10 000 000; en nuestro caso: N = 13 532 634,862.

Principios básicos de geodesia y cartografía 593

617 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía N1

R1

e1

T1

C1

D1

6384116,905

6353275,66

0,00167922

0,388331772

0,004854385

-0,020790404

M1

U

f1

P

3534048,481

0,555017936

0,557277032

0,000216120452

Q

S

-0,00000004790 1,14948057x10-11

Df

f (RADIANES)

f (GRADOS)

f (MINUTOS)

f (SEGUNDOS)

0,000135302

0,55714173

31

55

18,7310

lo

JJ

XX

 l (RAD)

141

-0,020787735853

-0,000000000632388

-0,0245

l (GRADOS)

l (MINUTOS)

l (SEGUNDOS)

139

35

47,8182

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A UTM 1.

Datos a ingresar f = l = DATUM =

2.

Parámetros de los elipsoides

b a

ELIPSOIDE Parámetro

HAYFORD

WGS84

a

6 378 388,00 m

6 378 137,00 m

b

6 356 911,946 m

6 356 752,314 m

e2

0,006 722 67

0,006 694 38

e’2

0,006 768 17

0,006 739 497

c

6 399 936,608

6 399 593,626

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

618 594 Cálculo de la zona Sea :

b)

Meridiano central λo

a)

P = Zona

Cálculo del Meridiano Central l0 l0 = P . 6 - 183° Grados sexagesimales

c)

B

Cálculo de Dl l = l - l0

3.

Cálculo de E (ESTE) a)

t = tg f n2 = e’2 . cos 2 f c

n

b) c) 4.

E = 500 000 + 0,9996. E

Cálculo de N (NORTE) a)

b)

AM = a . (A0 . f - A2 . sen2f + A4 . sen 4f - A6 . sen 6f)

c) d)

NORTE = 10 000 000,00 + 0,9996 N

A o

Principios básicos de geodesia y cartografía 595

619 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Ejemplo 1: Transformar las coordenadas geodésicas del Punto A a UTM. Datum: WGS84 f

= -10° 27’ 3,6’’

l = -100° 14’ 20,4’’ Solución: lo = -99° ZONA = 14 P

lo

l

t

n2

N(RADIO)

14

-99°

-0,021624629

-0,184454597

0,007

6 378 839,577963340

E’

E

364 392,6487

A0

364 392,6487

A2

0,99832

0,003

AM

N'

N

-1 155 739,619

-1 156 005,7227

8 844 456,680

Respuesta: E = 364 392,649 m N = 8 844 456,680 m Zona = 14 Hemisferio Sur Ejemplo 2: Transformar las coordenadas geodésicas del Punto B a UTM. Datum: WGS84 f = 30° 27’ 22,32” l = 63° 59’ 9,60” Solución: lo = 63° ZONA = 41

A4

2,639 x 10-6

A6

3,41805 x10-9

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

620 596 P

lo

l

t

n2

N(RADIO)

41

63

0,017208946

0,58801578

0,005

6383629,175478610

E’ 594 661,7352

A0

E 594 661,7352

0,99832

AM

N'

N

3370686,041

3 371 099,0926

13369750,653

A2

A4

A6

0,003

2,639 x 10-6

3,41805 x 10-9

Respuesta: E = 594 661,735 m

Nota

N = 3 369 750,653 m

Para el hemisferio norte; el presente método incrementa en 10 000 000 el valor de las coordenada norte, en metros.

Zona = 41 Hemisferio Norte

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A CARTESIANAS

ich nw

Ecuador x

A

h N

Meridiano de

Gre e

z

y

φ

h λ

N

Principios básicos de geodesia y cartografía 597

621 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

z

y A y x

x

z

Ecuador

Datos Latitud geodésica: f l Longitud geodésica: l l Altura elipsoidal: h

Z = [ N ( 1 -e2)+h ] sen f

l

Donde:

Fórmulas: X = ( N + h ) cos f cos l e2: cuadrado de la 1° excentricidad. Y = ( N + h ) cos f sen l Ejemplo:

b)

Datos:

N= 6 380 252,174 m

Datum WGS 84 f=18° 20’ 30,756’’ S

c)

Cálculo de las coordenadas cartesianas

l=77° 43’ 17,432’’ W

x = 1 288 569,772 m

h= 3 250,24 m

y = -5 920 592,089 m

Solución a)

Cálculo del radio de curvatura en el primer vertical.

Elipsoide WGS 84 a = 6 378 137,0 m e2= 0,006 694 381

z = -1 995 359,886 m

Principios básicos de geodesia y cartografía

622 598

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Transformación de coordenadas cartesianas a geodésicas DATOS

2

l

Coordenada cartesiana X

l

Coordenada cartesiana Y

l

Coordenada cartesiana Z

2

FÓRMULAS

e2: cuadrado de l° excentricidad. e’2: cuadrado de la 2° exentricidad.

Ejemplo:

,

Datos: Datum WGS 84

,

x = 1 288 569,753 m y = -5 920 592,005 m

Luego:

f = -18° 20’30,765 S’’

z = -1 995 360,148 m Solución a)

Elipsoide WGS84

l = -77° 43’ 17,432”

a= 6 378 137,0 m

,

b= 6 356 752,3 m e2 = 0,006 694 381 e’2 = 0,006 739 497 b)

Cálculos

h=3 250,24 m

Principios básicos de geodesia y cartografía 599

623 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ENTRE SISTEMAS En el siglo XX, gran parte de los países, hacía uso de los sistemas locales, considerando elipsoides de referencia acoplados estratégicamente al punto datum de su territorio, así por ejemplo Venezuela eligió el elipsoide Internacional de Hayford, ubicando como origen o punto datum , La Canoa (PSAD-56; Provisional South American 1956). Dicho fenómeno causaba problemas en territorios limítrofes, por lo que se generó la idea de crear un sistema global único para todo el planeta. Hoy en día con el uso del sistema de posicionamiento global, se utiliza el elipsoide geocéntrico WGS84, y con ello, el sistema del mismo nombre; no obstante gran parte de los países emplea su propio sistema local en su base cartográfica, a pesar de obtener en el campo información según el sistema WGS84, ello significa la presencia de un modelo matemático que permita transformar las coordenadas de campo WGS84 al sistema local.

Dátum geodésico Clásico

φ−

ϕ

Estación Laplace

Φ, Λ − φ, λ

Estación Laplace Φ, Λ − ϕ, λ Φ−

∆Ζ

∆X

ϕ

ϕ

ϕ

Dátum geodésico moderno

Marco de referencia global X, Y, Z - ϕ, λ, h

ϕ

ϕ

Fuente de la imagen: Carlos Pattillo B. y María Elena Pezoa

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

624 600 Uno de los modelos más usados es el de Bursa – Wolf.

Un requisito fundamental en dicho modelo en la transformación de coordenadas, es presentar la posición de un punto en el sistema cartesiano. (x, y, z). La forma general de transformar las coordenadas cartesianas es mediante el uso de siete parámetros. Las tres traslaciones entre los orígenes: Dx; Dy, Dz (metros). Las tres rotaciones entre los ejes: Rx, Ry, Rz. ( segundos sexagesimales). La diferencia de escala S (partes por millón = ppm).

z Rz

z’

z

B

r

Ry y’

x R x A

y

x’

x Sea: A = sistema cartesiano “A” B = sistema cartesiano “B” XA YA = coordenadas cartesianas de un punto P en el sistema A ZA XB YB = coordenadas cartesianas de un punto P en el sistema B ZB Dx Dy Dz

= vector traslación

y

Principios básicos de geodesia y cartografía 601

625 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Luego:

Resolviendo:

Determinación de los parámetros de transformación Para calcular los parámetros de transformación, es preciso realizar trabajo de campo, en el cual se deben elegir puntos de control cuyos datos son las coordenadas en ambos sistemas; cuanto mayor sea el número de puntos comunes en un área específico, mayor será la precisión obtenida, dado su mejor ajuste probalístico. Sin embargo es de suponer que dichos parámetros deben ser actualizados constantemente, según el marco de referencia utilizado compatibilizando la información con el paso del tiempo y el movimiento de las placas tectónicas. En el siguiente ejemplo, nos vamos remitir al estudio realizado por el Ing. César Leiva G. publicado por el Departamento de Geodesia – IGM –Quito – Ecuador, para el cálculo se utilizaron 42 puntos comunes en los dos sistemas y se aplicó el método paramétrico mediante mínimos cuadrados. Ejemplo numérico 1: en Ecuador Sistema “A”: PSAD 56 Sistema “B”: WGS 84

Dx = -60,310 m Dy = 245,935 m Dz = 31,008 Rx = -12,324’’ = -5,974843 806 Ry = -3,755’’ = -1,820 475 373

10-5 rad 10-5 rad

10-5 rad

Rz = 7,370’’= 3,573 076 83 , d = +0,447 ppm = = 0,000 000 447

Nota En el modelo Bursa – Wolf, para transformar coordenadas del sistema B al sistema A, se utilizan los mismos parámetros (A a B), pero con signos cambiados. Aplicando para el punto

S 32,0170

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

626 602

Solución: Transformando a coordenadas cartesianas

XA = 1 213 072,311 m YA = -6 255 614,095 m ZA = -351 494,127 m Transformando de PSAD 56 a WGS 84

Finalmente WGS84 Transformando coordenadas cartesianas (WGS84) a coordenadas Geodésicas (WGS84)

S

Observaciones: 1.

En la actualidad existen otros modelos que permiten mejorar la precisión, para lo cual se utilizan mayor número de parámetros de transformación.

2.

La transformación entre sistemas también es aplicable para proyecciones cartográficas (2D), en el cual pueden ser modelados por cuatro parámetros ( dos traslaciones, una rotación y un factor de escala).

3.

Los parámetros de transformación son diferentes para territorios diferentes, esto obedece a varias razones: las velocidades de los puntos toman diferentes valores y direcciones para cada instante, el movimiento debido a las placas tectónicas es diferente para cada punto, entre otros.

4.

El concepto de transformación de coordenadas entre sistemas, también es aplicable para sistemas geocéntricos, y el modelo Bursa – Wolf, genera buena precisión para dicho efecto.

5.

La transformación de coordenadas local al global (WGS84), solo deben utilizarse para aplicaciones de muy baja precisión, un punto PSAD56 transformado, no puede ser utilizado como base para una visación satelital.

Principios básicos de geodesia y cartografía 603

627 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

TRANSFORMACION DE COORDENADAS UTM A TOPOGRÁFICAS Factor de escala (KESCALA) Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico.

A’ A

Lp

Lo

LP=(KESCALA) Lo

B’

B

Donde:

Plano cartográfico

LP: longitud proyectada al plano cartográfico. Lo: longitud medida en el elipsoide de referencia.

Elipsoide de referencia

KESCALA: factor de escala.

Radios principales de curvatura del elipsoide en un punto “P” En la siguiente imagen se muestra un punto “P” ubicado sobre la superficie del elipsoide. El meridiano que pasa por “P” (sección meridiana o elipse meridiana) se confunde con el plano del papel.

Meridiano de “P” Centro del Elipsoide

PN P

Círculo Ecuatorial

o

PS

Radio de curvatura del meridiano en el punto “P” (r) : ZGeodésico = 0° Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por “P” en dicho punto. Meridiano de “P” PN

Ecuador

P

ρ 0’

φ

0

PS

Así pues, la latitud geodésica f, es el ángulo limitado por la normal r con el plano ecuatorial.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

628 604

Radio de curvatura de la primera vertical en el punto “P” (GRAN NORMAL N): Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por “P” en dicho punto. Plano perpendicular a la sección Meridiana que pasa por “P” Ecuador

PN 90-φ

N

P

0’’

PS

Radio medio de curvatura (r) En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica de R y N respecto al punto en mención.

Factor de escala de un punto (Kescala) Llamado también módulo de anamorfosis lineal puntual, este factor permite proyectar un diferencial de longitud en torno al punto en estudio sobre el plano cartográfico. En realidad, en un ámbito general, dicho factor depende de la ubicación del mismo y de la dirección en el cual se quiere proyectar; sin embargo en una proyección conforme, el factor de escala es independiente de la dirección. En el punto A:

r : Radio de curvatura del meridiano en el punto A. N : Radio de la gran normal en “A” f : Latitud geodésica en A

Principios básicos de geodesia y cartografía 605

629 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Para una proyección cartográfica UTM: PTO

COORDENADAS GEODÉSICAS

COORDENADAS UTM

LATITUD

LONGITUD

NORTE

ESTE

ZONA

f

l

N

E

#

A

El factor de escala KESCALA de un punto se puede expresar del siguiente modo: , Donde:

q = 0.000001 (X)

e’2 : Cuadrado de segunda excentricidad.

X = |500 000 – ESTE|

N : Radio de la gran normal en “A”. Ko : Factor de escala en el Meridiano Central = 0,9996 f

o

: Latitud geodésica en A

Ejemplo 1.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto “A”. f = -11°43’33,46” l = -76° 14’12,91”

Meridiano central

h=0

è

365 205,9239 m

Solución: Transformando a coordenadas UTM : E = 365 205,9239 m N = 8 703 453,0211 m è

Cálculo de “X” :

500 000 m

Datum: WGS84

x = |500 000 – 365 205,9239| x = 134 794,0761 m è

Cálculo de N :

x

Dado que el Datum de referencia es WGS84 a = 6378137,0 e2 = 0.006694381

è

a

e2

f

(1 – e2 . sen2 f)1/2

N(m)

6 378 137,0

0,006694381

-11º 43’ 33,46’’

0,999861742

6 379 018,95

Cálculo de P : N

2 N2 . K2o

e’2

1 + e’2 . cos2 f

P

6 379018,95

8,1318x1013

0,006739497

1,006461137

0,012376753

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

630 606 è

Cálculo de K : X

q

p . q2

0.00003 . q4

K

134 794,0761

0,134794076

0,000224879

9,90386 x 10-9

0,999824799

K = 0,999 824 799 Ejemplo 2.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto “B”. f = -11°44’15,35” l = -76° 15’06,35” h=0 Datum: WGS84 Solución: è

Transformando a coordenadas UTM : E = 363 593,723 m N = 8 702 158,921 m

è

Cálculo de “X” : x = |500 000 – 365 593,723| x = 136 406,277 m

è

Cálculo de N : Dado que el Datum de referencia es WGS84 a = 6 378 137,0 e2 = 0,006 694 381

è

è

a

e2

f

(1 – e2 . sen2 f)1/2

N(m)

6 378 137,0

0,006694381

-11º 44’ 15,35’’

0,999861471

6 379 020,677

Cálculo de P : N

2 2 N2 . Ko

e’2

1 + e’2 . cos2 f

P

6 379 020,677

8,13187 x 1013

0,006739497

1,006460592

0,01237674

X

q

p . q2

0.00003 . q4

K

134 406,277

0,136406277

0,00023029

1,03862 x 10-8

0,999830208

Cálculo de K :

K = 0,999 830 208

Principios básicos de geodesia y cartografía 607

631 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

¿Cómo se obtiene Ko = 0,9996 para la proyección cartográfica UTM? Se sabe que la proyección cartográfica UTM, proviene de un cilindro secante al elipsoide de referencia en donde el radio del primero corresponde a un factor de escala en el meridiano central Ko = 0,9996 (Linea automecoica). Según el artificio de Tissot, dicho valor implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso, para una latitud media de 40° ó -40°.

e

K = Factor de escala en un punto “A”. (UTM extremo del huso) Ko = Factor de escala en el meridiano central de la zona de huso. K’ = Factor de escala en un punto “A” (según la proyección cartográfica transversal de Mercator TM) e = Deformación unitaria en el punto “A” (extremo del huso)

Ilustrando: A) Proyección T.M. Para latitud f = 40° Meridiano central

φ = 40°

A K’ = 1 + ε

B) Proyección UTM

°

Cilindro

Factor escala = 1 Meridiano central

Para latitud f = 40°

φ = 40° A K

Cilindro

Ko = 1 Meridiano central

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

632 608

e

Artificio de Tissot: Del comcepto: K = Ko . K’

e Finalmente:

Para cuantificar el valor de Ko; citaremos los siguientes ejemplos Ejemplo 1

A)

Para l = -78° y *

f = -40°

K’ = 1,0008078457956 1 + e = 1,0008078457956 e = 0,0008078457956

*

Artiricio Tissot: K = Ko . K’

Redondeando al 4to decimal. Ko = 0,9996 B)

Para l = -72° *

y

f = 40°

K’ = 1,0008078457956 e = 0,0008078457956

*

Ko = 0,9996

Ecuador

Principios básicos de geodesia y cartografía 609

633 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Ejemplo 2 A)

Para l = 144° *

y

f = 40°

K’ = 1,0008078457956 e = 0,0008078457956 Ecuador

Ko = 0,9996 B)

Para l = 150° *

y

f = -40°

K’ = 1,0008078457956 e = 0,0008078457956

*

Ko = 0,9996

Cálculo de la distancia de cuadrícula entre A y B Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al plano cartográfico, se generan los puntos A’ y B’.

LC

Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano; su cálculo está gobernado por la fórmula aplicada al plano cartesiano y – x.

B

A

La longitud de la línea recta que une dichas proyecciones, toma el nombre de distancia de cuadrícula (Lc).

A’

B’

N

NB NA

B

A

EA

LC

EB

E

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

634 610 En nuestro ejemplo 1 y 2: Punto A:

è

è

Punto B:

EA = 365 205,924 m

EB = 363 593,723 m

NA = 8 703 453,021 m

NB = 8 702 158,921 m

Aplicando la fórmula:

LC = 2 067,338 m

Cálculo de la distancia geodésica entre A y B Distancia Geodésica, es la longitud entre los puntos A y B medida en la superficie del elipsoide de referencia (Lo)

LC

LO B

A

La distancia Geodésica, se puede calcular apoyándonos en el factor de escala de los puntos extremos que limita la mencionada línea.

A’

Sea: KA : factor de escala del punto A. KB : factor de escala del punto B. KESCALA : factor de escala promedio. Según el concepto de factor de escala:

En nuestro ejemplo: è Punto A:

KA = 0,999824799 è Punto B:

KB = 0,999830208

Donde: Lo : distancia geodésica Lc : distancia de cuadrícula KESCALA : factor de escala promedio.

è Además:

LC = 2067,338 m è Cálculo de Lo:

Lo = 2 067,695 m

B’

635 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 611

Factor de Elevación (KELEVACIÓN) Cuando se realiza la medición de distancia entre dos puntos en el terreno, comúnmente se obtiene como resultado, la distancia geométrica (inclinada) entre ambos puntos; no obstante ser la distancia reducida al horizonte (distancia topográfica) la utilizada en los cálculos topográficos.

Superficie topográfica LT2

B

LT

A

LT1

A

LT

B

hB hA

Lo Elipsoide de referencia

LT : Distancia topográfica entre A y B respecto al punto A. 1 LT : Distancia topográfica entre A y B respecto al punto B. 2 LT : Distancia topográfica promedio entre A y B.

Elipsoide de referencia

Lo, es la proyección de la distancia topográfica (LT) sobre el elipsoide de referencia.

Lo = KELEV . LT

Donde : LT

: distancia topográfica entre A y B.

Lo

: distancia geodésica entre A y B.

KELEV : factor de elevación entre A y B. hA

: altura elipsoidal de “A”.

hB

: altura elipsoidal de “B”.

R

: radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud promedio de A y B.

M

: flecha central.

LT h

Elipsoide de referencia

M Factor de elevación (KELEVACIÓN), es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el terreno (distancia reducida al horizonte) sobre el elipsoide de referencia.

Lcuerda R

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

636 612 DEMOSTRACIÓN è Semejanza de triángulos:

nos hemos apoyado en un modelo Geoidal EGM – Perú, obteniendo: hA = 3 450,359 m hB = 3851,302 m

Donde:

, è Cálculo de R:

fA = -11° 43’ 33,46”

Luego:

fB = -11° 44’ 15,35” fPromedio = -11° 43’ 54,41”

Para llevar: Lcuerda al Elipsoide (Lo), es necesario adicionar:

A modo de ejemplo: LCuerda 10 000 m S 1 mm LCuerda 5 000 m

S 0,1 mm

Luego : R = 6 338 070,397 m è Cáculo de M:

M = 0,070 m è Cálculo de Factor Elevación (KELEVACIÓN):

Lo cual conlleva a deducir que para trabajos de ingeniería con distancias menores o igual a 5 km; podemos despreciar S Finalmente:

Factor de elevación:

,

,

,

,

KELEVACIÓN = 0,999424304567 è Cálculo de distancia topográfica (LT):

Sabiendo: Lo = 2 067,695 m Ejemplo 3.- Considerando que los puntos “A” y “B” son los mismos presentados en el ejemplo 1 y 2. Calcular el factor de elevación; sabiendo que la altura ortométrica es : HA = 3 419 m HB = 3 820 m Calcular también la distancia topográfica entre A y B. Solución: En primer lugar, es preciso transformar las alturas ortométricas a elipsoidales. En el presente ejemplo

, ,

LT = 2 068,886 m

637 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 613

Factor combinado (K) Es el producto proveniente entre el factor de elevación y el factor de escala. K = (KELEVACIÓN) (KESCALA) K : factor combinado entre A y B. KELEVACIÓN : factor de elevación entre A y B. KESCALA : factor de escala entre A y B. El factor combinado K, permite transformar la distancia topográfica existente entre dos puntos a distancia de cuadrícula, directamente: LC = K . LT LC : longitud de cuadrícula. K : factor combinado. LT : longitud Topográfica. Ejemplo 4.- Considerando los ejemplos anteriores: KESCALA = 0,999 827 503 (promedio) KELEVACIÓN = 0,999424 304567 (promedio) LC = 2067,338 Se pide: Calcular el factor combinado. Calcular la distancia topográfica. Solución: A) PRIMER MÉTODO è Cáculo del factor combinado:

K = (0,999827503) (0,999424304567) K = 0,999251907304 è Cálculo de la distancia topográfica:

, ,

LT = 2068,886 m

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

638 614 B) SEGUNDO MÉTODO è Considerando los datos de los ejemplos 1, 2 y 3 :

PTO

UTM N(m) 8703 453,021 8 702 158,921

A B

E(m) 365 205,924 363 593,723

ZONA 18 18

h(m) 3 450,359 3 851,302

LC = 2 067,338 m è Calculando el Factor Combinado para cada punto :

PTO A B

UTM Kescala

Kelevación

Kcombinado

0,9998247986607 0,999830208023

0,99945591 0,999392723

0,999280804 0,999223035

è Calculando el Factor Combinado Promedio entre A y B : ,

,

K = 0,999251919274 è Calculando la Distancia Topográfica entre A y B : , , LT = 2 068,886 m

Si comparamos el resultado obtenido (LT) respecto al calculado en el primer método; deducimos que son iguales. Analizando la influencia del desnivel entre 2 puntos 1)

Dh = 400,94 m h1

h2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 450,359

3 851,302

2 067,330

2 068,886

2 067,695

Principios básicos de geodesia y cartografía 615

639 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía 2)

3)

4)

5)

Dh = 300,94 m h1

h2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 550,359

3 851,302

2 067,330

2 068,902

2 067,695

h1

h2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 650,359

3 851,302

2 067,330

2 068,918

2 067,695

h1

h2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 750,359

3 851,302

2 067,330

2 068,935

2 067,695

h1

h2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 750,359

3 851,302

2 067,330

2 068,951

2 067,695

Dh = 200,94 m

Dh = 100,94 m

Dh = 0,943 m

Como es de suponer, al ampliar la influencia del desnivel en las distancias (Cuadrícula, Topográfica y Geodésica), la única longitud que sufre dicha influencia es la Topográfica. En tal sentido se recomienda tomar desniveles no muy pronunciados (máximo 400 metros). ¿Qué pasa si en lugar de considera h; se toma H? 1)

2)

3)

DH = 401 H1

H2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 419

3 820

2 067,330

2 068,875

2 067,695

H1

H2

Lcuadrícula

Ltopográfica

LGeodésica

3 519

3 820

2 067,330

2 068,892

2 067,695

H1

H2

Lcuadrícula

Ltopográfica

LGeodésica

3 619

3 820

2 067,330

2 068,900

2 067,695

DH = 301

DH = 201

Principios básicos de geodesia y cartografía

640 616 4)

5)

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía DH = 101 H1

H2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 719

3 820

2 067,330

2 068,875

2 067,695

H1

H2

Lcuadrícula

Ltopográfica

Lgeodésica

3 619

3 820

2 068,941

2 068,921

2 067,695

DH = 1

Comparado los cuadros obtenidos con alturas ortométrica respecto a los obtenidos con alturas Elipsoidales, se deduce que en las longitudes Topográficas se presenta una diferencia promedio de 1 cm (en el presente caso). Se recomienda en lo posible trabajar con alturas Elipsoidales. ¿Es posible despreciar el valor M? si analizamos el caso de dos puntos con las siguientes coordenadas. PTO

UTM N(m) 9 325 972,63 9 331 417,29

A B

E(m) 703 664,90 690 827,99

è Calculando M :

M = 1,151 m

è Calculando (Lc) :

Lc= 13 948,696 m

è Considerando M :

Kcombinado = 0,999730976244

ZONA 17 17

h(m) 2 089,369 2 358,932

Ltopográfica = 13 952,45 m è Despreciando M : (M = 0)

Kcombinado = 0,99973115791 Ltopográfica = 13 952,447 m

En el presente ejemplo, se observa que en 14 km (aprox.) de distancia Topográfica, existe tan solo una diferencia de 3 mm al despreciar el valor de M. Si consideramos que la máxima longitud a tomar es 5 km. La diferencia antes indicada será aún mucho menor. Finalmente concluimos que es posible despreciar el valor de M. ¿Será lícito considerar el Radio de Curvatura del Meridiano correspondiente a la Latitud promedio de A y B equivalente al Radio promedio entre ambos puntos? l

Considerando los datos del ejemplo anterior,

l

Cálculo de los Radios de curvatura del Meridiano en cada punto. Para f A à

RA = 6 336 156,536

Para f B à

RB = 6 336145,127

Principios básicos de geodesia y cartografía

641 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Para

à

617

R = 6 336 150,83 m

è Calculando el radio medio entre A y B :

, Considerando que para una distancia Topográfica de 14 km, la diferencia de resultados en cuanto al cálculo del Radio es de tan solo 1 cm; se concluye que basta calcular el Radio promedio entre A y B para efectos de encontrar el factor de elevación. Observación: En adelante para obtener el Factor Combinado entre dos puntos, será suficiente calcular independientemente el Factor Combinado de cada punto para luego promediarlo.

Medida de Direcciones La dirección de una línea AB, está determinada por el ángulo horizontal (q) que forma respecto a un sistema de coordenadas establecidas convencionalmente. Comúnmente la dirección de una línea de referencia se determina mediante el Azimut o Rumbo. N

B

θ W

E

A S

Azimut (z) : Es el ángulo horizontal horario formado por el norte y la línea de referencia. N

ZAB W

E

A B S

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

642 618

Meridiano Geográfico de un punto A (MG) El M.G. de un punto del elipsoide de referencia, es la elipse que pasa por dicho punto y por los polos norte y sur de dicho elipsoide.

Meridiano de cuadrícula de un punto A. (M.C.) El M.C. de un punto perteneciente al plano cartográfico UTM, es la línea recta que pasa por dicho punto y que es paralela al meridiano central u origen de la zona correspondiente. Hay que recordar que el meridiano central de la zona, es el único elemento que se proyecta sobre el cilindro cartográfico UTM, mediante una línea recta.

NC

Norte de cuadrícula Meridiano central de la zona

NC Hemisferio norte A

Ecuador E Hemisferio sur

Meridiano de cuadrícula en “A”

Plano cartográfico de la zona

Principios básicos de geodesia y cartografía 619

643 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Convergencia de Meridianos (g) Es el ángulo plano que forma el norte verdadero (Geográfico) con el norte de cuadrícula en un punto. Dicho ángulo es constante a través del tiempo en dicho punto. g, es positiva cuando el norte de cuadrícula se ubica al este del norte geográfico y negativa cuando se encuentra al oeste. NG

NC

NC

γ(+)

NG

γ(−)

A

A

SIGNO DE "g” EN CADA CUADRANTE DE UNA ZONA O HUSO UTM : Meridiano central de la zona 84°

γ(−)

Hemisferio Norte

γ(+)

Ecuador

γ(+)

γ(−)

Hemisferio Sur 80

FÓRMULA QUE GOBIERNA LA CONVERGENCIA DE MERIDIANOS EN UN PUNTO : g : convergencia de meridianos en un punto. ,

t = tg f n2= e´2 . cos2 f

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

644 620 Ejemplo 1.- Calcular la convergencia de meridianos del punto ubicado según las siguientes coordenadas UTM.

Ejemplo 3.- Calcular la convergencia de meridianos del punto ubicado según las siguientes coordenadas UTM.

ESTE = 277 076,003 m

E = 743 223,742 m

NORTE = 5342 624,724 m

N = 3 421 032,614 m

ZONA = 24 (hemisferio norte)

ZONA = 40 (hemisferio Norte)

DATUM : WGS84

DATUM : WGS84

è Aplicando la fórmula:

è Aplicando la fórmula.

g = - 2° 14’ 14,3219”

g = + 1° 18’ 26,3821”

Ejemplo 2.- Calcular la convergencia de meridianos del punto ubicado según las siguientes coordenadas UTM.

Ejemplo 4.- Calcular la convergencia de meridianos del punto ubicado según las siguientes coordenadas UTM.

E = 277 076,003 m

E = 743 223,742 m

N = 8637 242,342 m

N = 7 321 037,021 m

ZONA = 24 (Hemisferio Sur)

ZONA = 19 (Hemisferio Sur).

DATUM : WGS84

DATUM : WGS84

è Aplicando la fórmula:

è Aplicando la fórmula:

g = +0° 26’ 15,1973”

g = -0° 58’ 56,2194”

Azimut de Cuadrícula El azimut de cuadrícula es aquel que se obtiene sobre la proyección del cilindro transversal de Mercator. El Azimut de cuadrícula está compuesto por: A) Azimut Plano: t Es aquel ángulo medido desde el Norte de cuadrícula, en sentido horario hacia la línea recta que une los puntos A y B.

NC NC

B

Su cálculo obedece a las mismas reglas establecidas en topografía.

t

A EC

Principios básicos de geodesia y cartografía 621

645 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Ejemplo: Datum WGS84 UTM PTO

N(m)

E(m)

ZONA

B

8 703 453,021

365 205,924

18

A

8 702 158,921

363 593,723

18

Graficando :

NC t A

B

E=500 000 m

Ecuador N=10 000 000 m

Calculando : t = 51° 14’ 46,02’’ B) Azimut Geodésico Proyectado : T La línea recta entre los puntos A y B ubicados en el elipsoide; se proyecta en el cilindro transversal de Mercator como una línea curva cóncava hacia el Meridiano Central. Ecuador

B A

B

A

E=500 000 m

N=10 000 000 m

El ángulo medido en sentido horario desde el Norte de cuadrícula hasta la línea tangente en “A”, se le llama Azimut Geodésico proyectado de A.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

646 622

Ecuador NC T B A

Meridiano central

Corrección por Curvatura (T – t) : Es la diferencia de los Azimuts de cuadrícula antes expuesto y debe ser aplicado en los lados de partida y llegada de una poligonal Geodésica. Ecuador

NC

NC B

T t

T-t

T-t

B A T

,

t

segundos

Donde: 2

e’ : cuadrado de la segunda excentricidad. N : radio de curvatura de la primera vertical en el punto “A”. Ko : factor de escala en el Meridiano Central = 0.9996 f

: latitud geodésica en el punto A.

Principios básicos de geodesia y cartografía 623

647 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía è Aplicando a nuestro ejemplo anterior (T - t)AB »

N = NB – NA = 1294,1

»

X1 = |500 000 – 363 593,723| = 136 406,277

»

X2 = |500 000 – 365 205,924| = 134 794,076

»

fA = -11° 44’ 15,35” ,

»

»

P = 0,01237673944

»

(T – t)AB = (- 1 294,1) (2 x 136 406,277 + 134 794,076) x 0,01237673944 x 6,8755x10-8 (T – t) AB = - 0,45”

Corrección por curvatura.

è Calculando el Azimut Geodésico proyectado (T)

T = t + (T – t) En nuestro caso: T = 51° 14’ 46,62” + (-0,45”) T = 51° 14’ 46,17”

Azimut Geográfico o verdadero : ZG El Azimut geográfico de una línea AB, se calcula del siguiente modo:

ZG = T + g

NC

NG

ZG »

En nuestro ejemplo : en el punto A. g = 0° 15’ 16,8685’’

T

γ

B

T = 51° 14’ 6,17’’ »

Calculando el Azimut geográfico de la linea AB. ZG = T + g ZG = 51° 14’46,17’’ + 0° 15’ 16,8685’’ ZG = 51° 30’ 3,04’’

A

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

648 624

Cálculo de coordenadas Cálculo de Coordenadas UTM de un Punto “B”, conociendo las Coordenadas UTM de un punto “A”, el Azimut Plano AB y la distancia de cuadrícula entre ambos. Ejemplo: COORDENADAS UTM N(m) E(m)

PTO A

8 702 158,921

NC

1 1°

2’’

6 6,

4’4

5

t

=

AB

A ZAB = tAB = 51° 14’ 46,62” Lc (A y B) = 2 067,338 m

è Calculando las Coordenadas UTM del punto B :

NB = NA + LC . cos tAB NB = 8 702 158,921 + 2 067,338 cos (51° 14’ 46,62”) NB = 8 703 453,021 m EB = EA + LC . sen tAB EB = 363 593,723 + 2 067,338 sen (51° 14’ 46,62”) EB = 365 205,924 m

ZONA

363 593,723

18

B

Principios básicos de geodesia y cartografía 625

649 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Cálculo de Coordenadas Topográficas de los puntos A y B, conociendo las Coordenadas UTM de A y B. Hay que tener presente que las coordenadas topográficas son relativas, es decir, un punto materializado físicamente puede ser representado por diversas coordenadas. N

N

N’ 2°

A(6; 8) m

8

8,192 m A(15,735; 18,192) m



(0; 0)

6

E

(10; 10) m

E

5,735 m E’

Las coordenadas topográficas del punto A son diferentes, sin embargo ambos reprersentan el mismo punto físico CASO A: Considerando la convergencia de meridianos. Ejemplo: Datum WGS84 COORDENADAS UTM PTO

N(m)

E(m)

ZONA

h

A

8 702 158,921

363 593,723

18

3 851,302

B

8 703 453,021

365 205,924

18

3 450,359

è Calculando el Factor Combinado para cada punto:

UTM PTO

Kescala

Kelevación

Kcombinado

A

0,9998302082023

0,999392723

0,999223035

B

0,9998247986607

0,99945591

0,999280804

è Calculando el Factor Combinado promedio entre A y B :

K = 0,999251919274

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

650 626 è Calculando la distancia Topográfica entre A y B :

,

, LT = 2 068,886 m

è Calculando la correción de Azimut por Curvatura (T - t) :

, è Azimut plano tAB = 51° 14’ 46,62’’ è Azimut Geodésico proyectado : T

T = t + (T – t) T = 51° 14’ 46,62” + (-0.45”) T = 51° 14’ 46,17” è Cálculo de la convergencia de Meridianos en “A” :

g = 0° 15’ 16,8685” è Cálculo del Azimut geográfico de la línea AB.

ZG = T + g ZG = 51° 14’ 46,17” + 0° 15’ 16,8685” ZG = 51° 30’ 3,04” è Cálculo de las Coordenadas Topográficas del punto B :

Como quiera que las coordenadas topográficas son relativas, es posible asignar al punto de partida (A), valores inspiradas en nuestra imaginación ; no obstante es prácticamente común asignarle como coordenadas topográficas al punto A, los mismos valores que las UTM. Luego: NB = NA + LT. cos ZG (AB)

EB = EA + LT. sen ZG (AB)

NB = 8 702 158.9,21 + 2068,886. cos (51° 30’ 3.04’’)

EB = 363 593,723 + 2068,886. sen (51° 30’ 3,04”)

NB = 8 703 446,809 m

EB = 365 212,869 m

Finalmente:

PTO

COORDENADAS TOPOGRÁFICAS N

A B

8 702 158,921 8 703 446,809

E

363 593,723 365 212,869

Principios básicos de geodesia y cartografía 627

651 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía CASO B: Sin considerar la convergencia de meridianos. Ejemplo: Datum WGS84

COORDENADAS UTM PTO

N(m)

E(m)

ZONA

h

A

8 702 158,921

363 593,723

18

3 851,302

B

8 703 453,021

365 205,924

18

3 450,359

è Calculando el Factor Combinado para cada punto:

UTM PTO

Kescala

Kelevación

Kcombinado

A

0,9998302082023

0,999392723

0,999223035

B

0,9998247986607

0,99945591

0,999280804

è Calculando el Factor Combinado promedio

entre A y B :

K = 0,999251919274 è

Calculando la distancia Topográfica entre A yB: , ,

è Cálculo de las Coordenadas Topográficas del

punto B :

La diferencia con el caso A, radica en el azimut, dado que ahora se considera el azimut geodésico. Luego: NB = NA + LT. cos TAB

LT = 2 068,886 m è Calculando la correción de Azimut por

NB = 8 702 158.9,21 + 2068,886. cos (51° 14’ 46,17’’)

Curvatura (T - t) :

NB = 8 703 453,993 m

,

EB = EA + LT. sen TAB

è Azimut plano tAB = 51° 14’ 46,62’’ è Azimut Geodésico proyectado : T

T = t + (T – t) T = 51° 14’ 46,62” + (-0.45”) T = 51° 14’ 46,17” è Cálculo de la convergencia de Meridianos

en “A”: En este caso se va a considerar un norte común (norte de cuadrícula), por tanto: g = 0°

EB = 363 593,723 + 2068,886. sen (51° 14’46,17’’) EB = 365 207,128 m Finalmente: COORDENADAS TOPOGRÁFICAS PTO N E A B

8 702 158,921 8 703 453,993

363 593,723 365 207,128

652 628

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL GPS EL GPS (Global Positioning System) es un sistema de navegación creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, basado en un conjunto de satélites que giran en orbitas respecto a la Tierra con el objetivo de determinar la posición de un punto en cualquier parte de nuestro planeta, gracias a la presencia de un receptor. Los estudios de investigación del GPS, datan de los años 50 del siglo XX, hoy en día es prácticamente de uso masivo, no existe actividad que no involucre esta tecnología. Aunque el GPS se creó con fines militares (navegación de aviones militares, direccionamiento de misiles, posicionamiento de tropas, localización de barcos de combate militar en tiempo real, etc.) hoy, las aplicaciones para usos civiles son innumerables: taxis, aviones, barcos, trenes, la minería, la construcción, el marketing, la política, la medicina, etc. No hay duda que la imaginación del hombre seguirá creando aplicativos basados en la tecnología GPS.

CONSTELACIONES DE SATELITES PARA FINES DE GEORREFERENCIACIÓN En el exterior de nuestra atmósfera terrestre, existen miles de satélites, orbitando alrededor de la Tierra, cada uno con un objetivo específico; sin embargo los satélites con fines de georreferenciación se cuentan tan solo por decenas. En la actualidad existen varias constelaciones destinados para este fin. Se estima que cada satélite supera ampliamente los cien millones de dólares. Constelación GPS o NAVSTAR La constelación de satélites NAVSTAR (GPS). Actualmente está compuesto por 32 satélites (30 activos y 2 de reserva), cada uno de ellos gira en torno a la Tierra con una frecuencia de 2 veces por día y una velocidad aproximada de 13 300 km/h.

653 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

20180 km

Principios básicos de geodesia y cartografía 629

Satélite

Estos satélites se encuentran distribuidos en seis orbitas elípticas casi circulares y diferentes. Estos seis planos están igualmente espaciados entre si en 60°. La posición que ocupan los satélites en sus respectivas orbitas facilita que el receptor GPS reciba, de forma constante y simultánea las señales de por lo menos 6 u 8 de ellos independientemente del sitio donde nos encontremos situados. El sistema está a cargo del Departamento de Defensa de los Estados Unidos de Norteamèrica.

Constelación GLONASS o RUSA ( Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema) La constelación de satélites GLONASS. Actualmente está compuesto por 31 satélites (24 activos, 3 de repuesto, 2 en mantenimiento, 1 en servicio y otro en pruebas), cada uno de ellos gira en torno a la Tierra con período de 11 horas 55 minutos y una velocidad aproximada de 13 400 km/h.

19 100 km

Satélite

654 630

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

Estos satélites se encuentran distribuidos en tres orbitas elípticas casi circulares y diferentes.

La posición que ocupan los satélites en sus respectivas orbitas facilita que el receptor GPS reciba, de forma constante y simultánea las señales de por lo menos 5 de ellos independientemente del sitio donde nos encontremos situados. El sistema está a cargo del Ministerio de Defensa de la Federación Rusa. Constelación Galileo La constelación de satélites GALILEO (UNIÓN EUROPEA). Actualmente está compuesto por 18 satélites, y se proyectan a 30 ( 24 activos y 6 de reserva) para el año 2020, cada uno de ellos gira en torno a la Tierra con un período de 14 horas y una velocidad aproximada de 13 200 km/h.

23 222 km

Satélite

655 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 631

Estos satélites se encuentran distribuidos en tres órbitas elípticas casi circulares y diferentes.

El sistema está a cargo de la Unión Europea y la Agencia espacial Europea; a diferencia de las dos constelaciones anteriores, los cuales están monitoreados por instituciones militares, la constelación Galileo está a cargo de instituciones civiles. Constelación Beidou Bideou es un sistema de navegación chino, que consta de dos etapas : La primera generación, BeiDou-1, la cual funcionó desde el 2000, con una constelación de 3 satélites en órbita geoestacionaria y es un sistema de posicionamiento por satélite local dando servicio a China y a sus países vecinos, actualmente ya no se encuentra operativo. La segunda generación, BeiDou-2 (Compass), actualmente en construcción, su inicio data del año 2000 y empezó a operar el año 2012 con cobertura local ( china y las regiones vecinas) se prevé que para el año 2020, deberá contar con 35 satélites, de los cuales 27 se encontrarán en una órbita media (MEO), cinco en órbita geoestacionaria (GEO) y tres en órbita geosincrónica inclinada (IGSO) . Una vez completado, el proyecto se convertiría en un equivalente del Sistema estadounidense de Posicionamiento Global (GPS), el ruso Glonass y el europeo Galileo, con cobertura total para nuestro planeta.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

656 632

GEORREFERENCIACIÓN DE UN PUNTO P, APLICANDO LA TECNOLOGÍA GPS 1. Explicación Gráfica. Matemáticamente, el método de Pothenot, aparece en el siglo XVII; y según los conocimientos de la topografía, bastará tres puntos de coordenadas bidimensionales conocidas, ubicamos el teodolito en P, para luego visar los tres puntos antes mencionados, los cuales físicamente se materializan como hitos o puntos de control , Los datos de campo, están representados por los ángulos α y β; el cálculo es historia conocida.

B (xB; yB) A (xA; yA) B (xC; yC) β

α

P En el caso del sistema de posicionamiento global, los tres puntos (A, B y C, y más puntos), están compuestos por satélites artificiales cuyas coordenadas son conocidas, mientras que el punto P, puede estar representado por cualquier punto de la superficie terrestre e incluso por nosotros mismos. ¿ Pero cómo visar los satélites ? . En realidad son los satélites los que nos visan (por decirlo de cierta forma), dado que éstos emiten ondas en todas direcciones bajo frecuencias establecidas, dichas ondas trasladan información, tales como las coordenadas de los satélites, el instante de salida de la onda, entre otros datos; si contamos con un dispositivo sincronizado bajo la misma frecuencia de la onda portadora del satélite, estaremos en la posibilidad de decodificar dicha información, siempre y cuando tengamos un reloj capaz de captar el instante de llegada de la onda.

Receptor GPS Navegador

Receptor GPS Diferencial

657 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 633

Supongamos un punto P sobre la superficie de la Tierra cuyas coordenadas se desea conocer y la presencia de un satélite GPS. Nótese que la distancia entre P y el satélite S1, es d1

S1 d1 P

Esfera 1 d1

S1

Es posible trazar imaginariamente una esfera con centro en el satélite S1 y radio d1; Nuestro punto P, se encontrará en algún lugar de la superficie de la esfera.

S1 Si hacemos un análisis similar respecto a un segundo satélite, hay que tener presente que la distancia entre P y el satélite 2 es diferente al de S1.

d1 P

S2 d2

Si trazamos dos esferas con centro en cada uno de los satélites, la ubicación del punto P, se reduce a la intersección de ambas esferas ( una circunferencia).

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

658 634

Intersección Circunferencia C

Esfera 1

Esfera 2 d2

d1

S1

S2

S1

S2 d2

d1

Sin analizamos la presencia de un tercer satélite, tendremos : d1, d2, d3.

d3

S3

P

Si trazamos tres esferas con centro en cada uno de los satélites, la posición del punto P se reduce tan solo a la ubicación de dos puntos, producto de la intersección de la circunferencia C y la esfera 3.

Intersección esfera 1 y esfera 2

Esfera 1

Esfera 2 d2

d1

Intersección de las tres esferas (dos puntos)

S1

S2

S3 d23

Esfera 3

Principios básicos de geodesia y cartografía 635

659 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

De lo explicado, deducimos que midiendo la distancia a tres satélites, limitamos nuestra posición a tan solo 2 puntos, de los cuales uno de ellos nos arrojará un valor incoherente, con lo cual nos quedamos únicamente con una posición; sin embargo para obtener directamente una sola respuesta, es necesario el uso de un cuarto satélite. 2. Explicación Matemática.Adoptaremos un sistema de referencia geocéntrico tridimensional Según la representación gráfica :

S1(x1; y1; z1)

z

Satélite 1 : S1 (x1; y1; z1),

Satélite 2 : S2 (x2; y2; z2), Satélite 3 : S3 (x3; y3; z3),

Satélite 4 : S4 (x4; y4; z4),

r1

Para los cuatro satélites

r0 (0; 0; 0)

Luego: ....... (1) ....... (2)

x

....... (3) ....... (4) Si hacemos; (1) - (2); (2) - (3) y (3) - (4), tendremos:

Tres ecuaciones con tres incógnitas (x0; y0; z0), Tener presente:

d1

P(x0; y0; z0) y

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660 636 Ejemplo:

Se muestran las coordenadas cartesianas geocéntricas de cuatro satélites : SATÉLITE

X (m)

Y (m)

Z (m)

S1

12 000 000,00

11 000 000,00

10 000 000,00

S2

-10 000 000,00

10 000 000,00

9 000 000,00

S3

9 000 000,00

-12 000 000,00

11 000 000,00

S4

3 000 000,00

-14 082 203,15

10 084 016,22

Si la distancia de cada satélite a P, es la que se muestra: TRAMO

DISTANCIA (m)

S1- P

11 180 339,89

S2- P

12 529 964,09

S3 - P

20 639 767,44

S4 -P

21 330 036,24

Se pide, las coordenadas cartesianas del punto P. Solución. Cálculos previos : SATÉLITE

r2 (m2)

S1

3,65 x 1014

S2

2,8 x 1014

S3

3,46 x 1014

S4

3,08996 x 1014

r2 = x2 + y2 + z2

Luego : 22 000 000 x0 + 1 000 000 y0 + 1 000 000 z0 = 5,8 1013

-19 000 000 x0 + 22 000 000 y0 - 2 000 000 z0 = 1,02 1014

6 000 000 x0 + 2 082 203,150 y0 + 915 983,780 z0 = 3,2987 1013 Expresando matricialmente : 22 000 000

1 000 000

1 000 000

5,8 1013

-19 000 000

22 000 000

- 2 000 000

1,02 1014

6 000 000

2 082 203,150

915 983,780

3,2987 1013

Aplicando el método matricial de Gauss, obtenemos : 1

0,045454545

0,045454545

2636363,636

0

1

-0,049701789

6652087,475

0

0

733190,696

5,13203 1012

661 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 637

De donde : x0 = 2 000 020,077 m y0 = 6 999 979,087 m z0 = 6 999 579,223 m En el escenario de tener más de cuatro satélites (n) , lo cual es normal, obtendremos n-1 ecuaciones para tres incógnitas, en tal caso es preciso realizar el ajuste respectivo ( puede aplicarse el método de mínimos cuadrados), finalmente nos quedaremos con tres ecuaciones y tres incógnitas.

COMPONENTES DEL SISTEMA GLOBAL DE NAVEGACIÓN POR SATÉLITE (GNSS) Existen tres conjuntos de componentes denominados segmentos, éstos son : Segmento espacial. Segmento de control. Segmento del usuario 1. Segmento espacial.- está compuesto por todos los satélites, destinados para este fin, girando alrededor de la Tierra con velocidad angular constante, aunque es afectado por la presencia del Sol, la Luna, etc. en virtud a ello, se hace conocida sus coordenadas (efemérides), información imprescindible en la georreferenciación de un punto. A la fecha existen varias constelaciones : GPS (NAVSTAR), GLONASS, GALILEO, BEIDOU y MICHIBIKI. La mayor parte de estas constelaciones fueron citadas líneas arriba. 2. Segmento de control.- consiste en un sistema estaciones localizados alrededor del mundo, cuyo objetivo es controlar desde Tierra las constelaciones GNSS. A continuación vamos a proceder a citar el segmento de control NAVSTAR, el cual se encuentra dirigido por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos de Norteamérica. Existen dos tipos a)

Estación Maestra: Ubicado en Falcon AFB – Colorado Spring. Su función principal, es calcular los efemérides de todos los satélites de la constelación Navstar con alta precisión y por tanto la posición exacta de cualquiera de los satélites GPS en un momento determinado. La estación Maestra envía las efemérides y correcciones de reloj a cada satélite. Cada satélite envía posteriormente subconjuntos de estas informaciones a los receptores de GPS mediante señales de radio. Además controla y asegura el eficiente funcionamiento de los satélites NAVSTAR.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

662 638 b)

Estaciones de monitoreo: controlan el estado y posición de los satélites. Reciben las señales transmitidas por los satélites y a partir de ellas obtienen información para poder calcular las efemérides de los satélites. Esta información es transmitida a la estación maestra de control que es la encargada de calcular las efemérides y obtener así la posición de los satélites con una precisión muy buena. Asi mismo recopila datos metereológicos. A la fecha existen 15 estaciones de monitoreo, de las cuales cuatro de ellas, son las más importantes Diego García, Isla Ascensión, Kwajalein, Hawái.

FUENTE : www.GPS.gob

3.- Segmento usuario.-Está compuesto por un dispositivo que decodifica la información satelital GPS, aí como un software de procesamiento, cuyo producto final, son las coordenadas del mismo. Su costo es relativamente módico, dependiendo de la precisión y los objetivos que se persiga, a no ser que se requiera coordenadas precisas y exactas para trabajos de topografía y/o geodesia, en cuyo caso, los receptores alcanzan cifras de varias decenas de miles de dólares. Hoy en día la inteligencia del hombre hace que cada día aparezcan nuevos aplicativos, donde la base fundamental es el GPS, usamos el waze para controlar nuestro tiempo de viaje, nuestro celular, como hardware de los diversos aplicativos que nos ofrece, los aviones no funcionarían si ayuda del GPS, la minería a tajo abierto, optimiza sus operaciones de movimientos de tierra gracias al GPS; no existe actividad que pueda prescindir de la tecnología GPS sin ver reducida su eficiencia; sin embargo las

663 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 639

aplicaciones existentes del GPS constituyen una pequeña muestra del gran océano de aplicaciones que en realidad podemos descubrir; todo depende de nuestra creatividad.

¿Y cómo es que se conocen las coordenadas de dichos satélites, si éstos se encuentran en movimiento? Hay que recordar que a 20 000 km de altitud respecto a la superficie terrestre, los satélites se desplazan en el vacío, por tanto no encuentran ninguna oposición a su movimiento. Si bien es cierto los satélites orbitan la Tierra por efecto de la fuerza centrípeta originada por la fuerza gravitatoria terrestre, también es cierto que la primera ley de Newton manifiesta su presencia, pues el valor de la velocidad de cada satélite permanece constante. Siendo así, es posible establecer una función entre la posición de un satélite respecto al tiempo, para luego extrapolar la posición del mismo para cada instante futuro, de este modo se pueden generar almanaques y efemérides que permitan pronosticar la ubicación de cada satélite para cada día del año y para cada instante de cada día. Por otro lado es preciso informar que cada satélite envía como información las efemérides de todos los satélites de su constelación

¿Cómo se mide la distancia entre un satélite y el receptor GPS? Dado que las ondas de radio son electromagnéticas, es conocida su velocidad en el vacío: 300 000 km/s. Por tanto basta determinar el tiempo de viaje de la onda de radio desde el momento en que sale despedida desde el satélite hasta el instante de llegada en el receptor. Es precisamente este último instrumento el encargado de calcular la distancia aplicando la fórmula: d = c(Dt); Donde:

d, es la distancia Dt, es el tiempo de viaje de la onda de radio. c, velocidad de la luz en el vacío.

Es preciso mencionar que el intervalo de tiempo “Dt” es del orden de las centésimas de segundo la cual obliga al uso de relojes de alta tecnología, es por ello que los satélites disponen de relojes atómicos con precisiones de 10-11 a 10-14 segundos (su costo es del orden de centenas de miles de dólares). Sin embargo no es posible utilizar el mismo tipo de reloj en receptores GPS, pues esto los convertiría en equipos tan costosos que sería imposible su distribución al mercado mundial. Por tal razón el reloj del satélite y el reloj del receptor nunca se encuentran sincronizados perfectamente. Esto induce un error en el cálculo del tiempo y por lo tanto en la determinación de la distancia. Por ello la distancia así medida se llama pseudodistancia. Por tanto para calcular la posición de un punto en el espacio se debe conocer el error de tiempo (sincronización). Determinado el error de tiempo, es fácil conocer las pseudodistancias y obtener sus valores reales. Este error es determinado efectuando mediciones a un cuarto satélite.

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664 640

B

P

A C En la imagen superior, P es el punto cuyas coordenadas son obtenidas aplicando el método de trilateración, analizado en la página 470, para ello es necesario hacer uso de las distancias reales existentes entre los satélites y el punto P; Sin embargo en la práctica las distancias obtenidas están acompañadas de errores ( error de sincronización), motivo por el cual con la participación de cuatro satélites, se obtienen la coordenadas de los puntos A, B y C, generando una superficie de incertidumbre. Para que el reloj del receptor se sincronice con el reloj atómico de los satélites, dicho receptor varía el tiempo medido hasta que los puntos A, B y C, concurran en un punto, el cual se acercará a P, dependiendo de la posición de los satélites respecto a dicho punto. Por último, es preciso aclarar, que los relojes atómicos ubicados en los satélites, sufren el principio de la relatividad (Teoría de Einstein), lo cual significa que dichos relojes se adelantan respecto a los que se encuentran en tierra, sin embargo ello no es inconveniente para nosotros los usuarios, dado que los propios satélites se encargas de la correcciones respectivas.

ALMANAQUE Y EFEMÉRIDES. Almanaque Almanaque es la información que almacena en cada momento todo receptor GPS proveniente de los mensajes enviados por los satélites. La información está constituida por valores o parámetros que permiten predecir la órbita y la posición de todos los satélites activos, pero de forma aproximada. Cada satélite transmite un almanaque para todos los satélites. Los datos de estos almanaques son válidos durante varios meses. El cuadro que se expone a continuación, muestra el azimut y ángulo de elevación de cada satélite con un período de cinco minutos respecto al punto cuyas coordenadas geodésicas son φ = -12º01’20” y λ = -77º03’46”, para el 07 de febrero del año 2017.

665 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 641

Efemérides de transmisión Son datos recibidos por el receptor GPS, provenientes de cada satélite. Estos datos indican la posición de los satélites y su información es mucho más completa y precisa que los obtenidos en los almanaques. Cada satélite transmite solo sus propias efemérides aproximadamente cada 30 segundos estos parámetros permiten determinar con bastante exactitud la posición de los satélites en un instante dado. Por otro lado, el receptor GPS, utiliza la información de las efemérides de varios satélites simultáneamente para realizar cálculos con el fin de determinar su posición.

666 642

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

Cuando se activa el GPS, lo primero que hace es tener en cuenta los datos del almanaque y la hora de su reloj interno para predecir que satélites van a estar disponibles en la constelación respectiva. Entonces intentará conectar solo con esos satélites presuntamente disponibles con el objeto de captar la información de sus efemérides, esto permite ahorrar tiempo a la hora de determinar su posición, dado que sino obtiene la información del almanaque, tendría que buscar uno a uno todos los satélites y algunos de ellos podrían estar en la otra cara del planeta, donde serían completamente inaccesibles.

Efemérides Transmitidas (Broadcast).Son prediciones de la posición de los satélites basadas en datos de observaciones de las estaciones de control terrestre , normalmnte se actualizan cada hora, tienen una precisión de un metro aproximadamente. Dicha información llega al GPS conjuntamente con el mensaje de navegación en las visaciones satelitales.

Efemérides precisas Son datos recibidos por los receptores GPS ubicados en las estaciones de control pertenecientes al Centro Nacional de Geodesia ( NGS- National Geodetic Survey), que representan la órbita real de cada satélite, son calculadas a posteriori y constantemente actualizadas, se publican vía internet, generalmente están disponibles después de la toma de datos. Se dividen en : Efemérides precisas ultrarápidas (IGU).- se pueden obtener seis horas después de culminar la visación, tienen una precisión de 25 cm aproximadamente. Efemérides precisas rápidas (IGR).- se pueden obtener al culminar el primer a segundo día de visación, tienen una precisión de 5 a 10 cm aproximadamente. Efemérides finales (IGS).- Se pueden obtener después de los trece días de efectuado la visación, tienen una precisión de 5 cm aproximadamente. Gracias a la red de control GNSS de Polonia ASG-EUPOS, cuya dirección se muestra : http://www.asgeupos.pl/webpg/graph/dwnld/gpscalendar_EN.html , podemos obtener las efemérides precisas de la constelación GPS y GLONASS.

DILUCIÓN DE LA PRECISIÓN DOP (DILUTION OF PRECISION) Llamado también GDOP (dilución geométrica de precisión) El DOP es un valor adimensional que describe la solidez de la figura observable constituida por el tetraedro compuesto por el receptor y los satélites a la vista. Su valor ideal es cero (aunque es muy difícil su obtención), pero aumenta si la geometría empeora, pudiéndose producir una situación en la que habiendo suficientes satélites a la vista, deba suspenderse la observación porque el DOP supera el valor admisible que puede ser seis.

667 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía PDOP MALO

Principios básicos de geodesia y cartografía 643 Norte

h=0°

h=20°

h=40°

h=60°

P h: ángulo de elevación Proyección de los satélites en el horizonte

Cuando los satélites se encuentran contiguos, el área de incertidumbre de las coordenadas buscadas es muy grande y por tanto su DOP es muy alto. PDOP BUENO

Norte

h=0°

h=20°

h=40°

h=60°

P

h: ángulo de elevación Proyección de los satélites en el horizonte

Cuando los satélites se encuentran distribuidos simétricamente (aproximadamente), el área de incertidumbre de las coordenadas buscadas es pequeño y por tanto su DOP es muy bajo. Se recomienda que el ángulo de elevación h (máscara de elevación) no sea menor a 10 grados sexagesimales.

Componentes del DOP PDOP es la incertidumbre en la precisión debido a la ubicación geométrica de los satélites (3D). Este a su vez se clasifica en: HDOP dilución de precisión horizontal. VOP dilución de precisión vertical. TDOP es la incertidumbre en la posición debido a la falta de sincronización de los relojes.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

668 644 Observación: 1. 2.

El DOP, comúnmente se obtiene a partir de los almanaques del receptor. Cuando existe un gran número de satélites respecto al punto en estudio, se espera una dilución geométrica aceptable, es decir un valor bajo, aunque no siempre es así, pues puede presentarse en algún momento la presencia de muchos satélites pero focalizados en una misma zona. La presencia de obstáculos (edificios árboles, montañas) incrementa el valor del DOP, pues reduce la participación de algunos satélites.

3.

Los obstáculos impiden la transmisión de las señales de algunos satélites, luego la dilución geométrica será pobre,

Clasificación del DOP DOP

Clasificación

Descripción

0

Ideal

Es el más alto nivel de confianza, pero difícil de obtener.

1-3

Excelente

El nivel de confianza se considera suficientemente exacto, aplicables para mediciones de alta precisión.

4-6

Bueno

Representa un alto nivel de confianza y es aplicable para mediciones ordinarias.

7-8

Moderado

Las mediciones bajo estas circunstancias pueden ser tomadas en consideración, sin embargo es recomendable mejorar la calidad del trabajo.

9-20

Justo

21-50

Pobre

Representa un bajo nivel de confianza, Las mediciones deben ser eliminadas o servirán solo para indicar una estimación aproximada de la posición. En este nivel, las mediciones son inexactas.

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

645

Retraso Ionosférico Dado que los satélites se encuentran a 20000 km de altitud respecto a la superficie terrestre, las ondas de radio que emite atraviesa el espacio con velocidad de 300 000 km/s, sin embargo dicha velocidad se ve afectada al encontrarse con la atmósfera terrestre (espesor aproximada de 1 000 km), principalmente con la ionósfera, ocasionando un error en el cálculo de la distancia.

Dicho error se soluciona cuando en el mismo instante desde el satélite se emiten dos señales Teóricamente ambos deben llegar al mismo tiempo al receptor GPS, pero en la práctica existe un desfase, dicha diferencia representa en retraso ionosférico. En la actualidad existen receptores GPS capaz de leer ondas de frecuencias L1 y L2, a éstas se les llama GPS de doble frecuencia, sin embargo también se encuentran receptores que tan solo pueden leer una sola frecuencia, obviamente entre una y la otra existe amplia diferencia económica.

Una vez atravesada la ionósfera, queda todavía la tropósfera en la cual las fuentes de error más importantes son la variación de temperatura del aire seco y la presencia de vapor de agua. La primera tiene mucha mayor influencia (alrededor del 90%), pero el gradiente térmico puede determinarse con relativa facilidad, con lo que se eliminaría de igual manera el error cometido por este factor. Aunque la influencia del vapor de agua es mucho menor, es muy difícil determinar la distribución del mismo en la ionósfera, y por tanto corregir esta fuente de imprecisión.

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669 646

Influencia de la altura instrumental del receptor en las mediciones GPS En realidad, la altura instrumental del receptor GPS, para una persona que requiere ubicarse aproximadamente, no importa, dado que con una gruesa precisión de metros, tendrá solucionado su problema de ubicación ; Sin embargo para trabajos geodésicos y topográficos de precisión, se hace importante considerar la altura instrumental. Por tal razón nos vamos a referir a la altura instrumental. CFE

ARP

CFE In Altura

Marca

a clinad

Altura vertical

ARP

Altura Instrumental

ARP ( antenna reference point).- Está materializado mediante la intersección del eje de simetría de la antena con la parte inferior de la misma. CFE (centro de fase eléctrico de la antena).- es aquel punto receptor de las ondas provenientes de los satélites. Dicho punto es ligeramente diferente para cada frecuencia. Siendo así, es fácil entender que lo primero que se obtiene son las coordenadas cartesianas del CFE.

CFE

z

z

r1

r2

Hito

x

x y

y

670 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 647

Clasisficación de Puntos Geodésicos A continuación, nos permitiremos presentar un extracto de la Norma Técnica Geodésica del Perú publicada por el Instituto Geográfico Nacional , en diciembre del año 2015. Con el objeto de unificar un marco de referencia geodésico, todos los trabajos de georreferenciación estarán referidos a la Red Geodésica Geocéntrica Nacional (REGGEN). Los puntos geodésicos en el territorio nacional se clasifican de la siguiente manera:

Punto Geodésico Orden “0” Este orden es considerado a nivel continental, y están destinados para estudios sobre deformación regional y global de la corteza terrestre, de sus efectos geodinámicos y trabajos en los que se requiera una precisión a un nivel máximo de 4,00 mm; estos puntos servirán para la densificación de la Red Geodésica Nacional.

Punto Geodésico Orden “A” Este orden debe aplicarse para aquellos trabajos encaminados a establecer el sistema geodésico de referencia continental básico, a levantamientos sobre estudios de deformación local de la corteza terrestre y trabajos que se requiera una precisión a un nivel máximo de 6,00 mm.

Punto Geodésico Orden “B” Este orden se destina a levantamientos de densificación del sistema geodésico de referencia nacional, conectados necesariamente a la red básica; trabajos de ingeniería de alta precisión, así como de geodinámica y trabajos que se requiera una precisión a un nivel máximo de 8,00 mm. Los trabajos que se hagan dentro de esta clasificación deben integrarse a la red geodésica básica nacional y ajustarse junto con ella.

Punto Geodésico Orden “C” Este orden debe destinarse al establecimiento de control suplementario en áreas urbanas y rurales, al apoyo para el desarrollo de proyectos básicos de ingeniería y de desarrollo urbano-rural, así como a trabajos que se requiera una precisión a un nivel máximo de 10,00 mm

Puntos de apoyo (PFCH) Estos son puntos geodésicos característicos de los puntos geodésicos de orden “C”, no son monumentados y se destinarán a los puntos de fotocontrol de trabajos básicos de ingeniería en áreas urbanas, rurales y de desarrollo urbano – rural, el nivel de precisión de estos puntos no serán mayores a 10,00 mm. El trabajo de campo para establecimientos de puntos geodésicos deben cumplir los siguientes requerimientos: a.

Puntos geodésicos de orden “0” Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “0”, se utilizará el método relativo estático, apoyado con no menos de seis puntos geodésicos del mismo orden a nivel continental, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 4 000 km al punto geodésico que se quiere instalar, con un intervalo de registro no mayor a 15 segundos, considerando el tiempo continuo mínimo en el cambio de dos ciclos de la luna (14 días), con una elevación de la máscara no mayor a diez (10) grados sobre el horizonte (preferiblemente a cero grados) y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

671 648 b.

Puntos geodésicos de orden “A” Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “A”, se utilizará el método relativo estático, apoyado con no menos de tres puntos geodésicos de orden “0” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 500 km al punto geodésico que se quiere instalar, con un intervalo de registro no mayor a 15 segundos, considerando el tiempo continuo mínimo en el cambio de un ciclo de la luna (7 días), con una elevación de la máscara no mayor a diez (10) grados sobre el horizonte y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.

c.

Puntos geodésicos de orden “B” Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “B”, se utilizará el método relativo estático, apoyado con no menos de tres puntos geodésicos de orden “0” ó tres puntos geodésicos de orden “A” ó tres puntos geodésicos de orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 250 km al punto geodésico que se quiere instalar, con un intervalo de registro no mayor a 5 segundos, considerando el tiempo continuo mínimo en el cambio de dos séptimos de ciclo de la luna (2 días), con una elevación de la máscara no mayor a diez (10) grados sobre el horizonte y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.

d.

Puntos geodésicos de orden “C” Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “C”, se utilizará el método relativo estático, estos se obtendrán con apoyo de por lo menos un punto geodésico, ya sea de orden “0”, orden “A” u orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 100 km al punto geodésico que se quiere establecer, considerando el tiempo continuo de observación no menor a 900 registros o épocas (de coincidencia con la base), a no menor de un (1) segundo ni mayor de cinco (5) segundos de sincronización (con la base), con una elevación de la máscara no mayor a quince (15) grados sobre el horizonte y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.

e.

Puntos de apoyo (PFCH) Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de apoyo (PFCH), podrán obtenerse por técnicas diferenciales del Sistema Satelital de Navegación Global anteriormente descritas, estos se obtendrán con apoyo mínimo de un (1) punto geodésico de orden “0”, ó un (1) punto geodésico de orden “A” ó un (1) punto geodésico de orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 100 km al punto geodésico que se quiere apoyar. Considerando el tiempo de observación igual que los puntos geodésicos de orden “C”.

Principios básicos de geodesia y cartografía 649

672 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

EL TIEMPO La medición del tiempo puede efectuarse solamente con la consideración de determinados movimientos: Así por ejemplo, si se tiene a disposición un movimiento exactamente uniforme, basta la medición del espacio recorrido para hacer la determinación del tiempo, dado que la proporcionalidad entre espacio y tiempo es exacta. Clasificación de la escala de tiempo de acuerdo al fenómeno periódico 1.

Movimiento de rotación de la Tierra. a) b) c)

3.

Tiempo sideral Tiempo solar. Tiempo universal.

Sistema solar. a) b)

Tiempo dinámico terrestre Tiempo dinámico baricentro.

Oscilación atómica a) b) c)

1.

2.

Tiempo atómico internacional. Tiempo universal coordinado Tiempo GPS

Movimiento de rotación de la Tierra Por efecto de la rotación de la Tierra y por ende de la esfera celeste, los ángulos horarios de los puntos fijos sobre la esfera, varían igualmente en el mismo intervalo de tiempo, y en intervalos distintos, varían cantidades proporcionales al tiempo. Es natural , por lo tanto, tomar como medida de intervalo de tiempo, al ángulo que en dicho intervalo es descrito por el círculo horario de un punto determinado del cielo, que conviene suponer situado sobre el ecuador celeste y que será el índice móvil de la esfera. Entonces podemos definir el tiempo como el ángulo horario de un punto de la esfera celeste.

Ángulo Horario de un astro (t ó AH): es el ángulo diedro medido en el Ecuador celeste. Parte en el meridiano superior hasta llegar al círculo horario que contiene al astro.

Como se verá para cada meridiano existe un ángulo horario diferente, por lo cual se dice que esta coordenada es relativa. z

Meridiano del observador

A B

PN

t Cuando la estrella se encuentra en el punto A, el ángulo horario respecto al meridiano del observador es 0°, cuando está en B, es t y cuando se ubica en C, su ángulo horario es 180°.

Círculo horario de la estrella en “B”

C

Q

r ado Ecu este cel

PS

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673 650

El punto vernal (γ): se le llama también punto de Aries o equinoccio de primavera, es aquel que se origina cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de sur a norte.

El punto de libra (Ω): se le llama también equinoccio de otoño, es aquel que se origina cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de norte a sur. PN

Elíptica (trayectoria que recorre el Sol)

A

Punto de Libra

Ω

Sol

t

γ Punto Vernal PS

Ascensión Recta (AR): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador celeste. Parte desde el punto vernal hasta llegar al círculo horario que contiene al astro. Como se podrá apreciar, la ascensión recta toma el mismo valor para cualquier meridiano, motivo por el cual se dice que esta coordenada es absoluta. CENIT

Meridiano del observador

A

Estrella PN B AR

Punto Vernal

Ecu ad or ce les t

e

C

t Círculo horario de la estrella en “B”

γ PS

Q NADIR

674 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 651

Escala de tiempo: es el intervalo de tiempo entre dos fenómenos consecutivos. Para ello se hace imprescindible la presencia de un punto fijo, esto se puede lograr a través de un fenómeno astronómico, como el punto vernal (γ). a)

Tiempo sideral: es el ángulo horario de un estrella o del punto vernal respecto a un meridiano.

Día sideral: es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones sucesivas de una estrella por la parte superior de un mismo meridiano. El día sideral no corresponde exactamente a una vuelta completa de la Tierra sobre su eje con respecto al espacio inerte, porque la posición del equinoccio de primavera está afectada por la precesión. La diferencia diaria es 0,0084 segundos con un día sideral más corto. El día sideral comienza en el instante de la culminación superior de la estrella y está dividido en 24 horas sidéreas, la hora sidérea en 60 minutos sidéreos, el minuto sidéreo en 60 segundos sidéreos.

Día solar verdadero: es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos culminaciones sucesivas superiores del Sol (centro) en el meridiano.

La culminación superior se denomina también mediodía verdadero, la culminación inferior medianoche verdadera. Por tanto, el tiempo solar verdadero de un lugar es el ángulo horario del centro del Sol respecto al meridiano del lugar. b)

Tiempo solar Medio: Es el tiempo marcado por el Sol ficticio que se mueve uniformemente hacia el este en el Ecuador. Este intervalo de tiempo (365,2422 dias medios) se le llama año trópico y viene a ser el intervalo entre dos pasajes sucesivos del Sol por el punto vernal 1 día medio sidéreo = 1 día medio solar − 3m56,4s

Tiempo civil: es el tiempo astronómico (sidéreo y solar verdadero) aumentado en 12 horas; es decir, el día empieza a medianoche.

Nota El tiempo civil (sidéreo y solar verdadero), es local, dado que depende del lugar de observación C)

Tiempo universal (T.U.): es el tiempo civil respecto al meridiano de Greenwich . El objetivo fue uniformizar la hora mundial y organizar las diversas efemérides de los astros.

TU0.- Es el TU proveniente de las observaciones de una estación particular (B), dicho valor se

encuentra afectada por la influencia de la localización dependiente de la actual posición polar. La reducción del polo terrestre convencional (CTP) causa un cambio ∆∆P en la longitud y afecta al tiempo.

TU1.- es la escala fundamental de tiempo en astronomía de posición y geodesia satelital, dado que

define la orientación real del sistema convencional terrestre con respecto al espacio. UT1 es también una escala de tiempo básica para la navegación . UT1 contiene sin embargo, todas las variaciones de la rotación de la Tierra y en consecuencia no es una escala de tiempo uniforme.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

675 652

UT1 = UT0(B) + ∆∆P UT2 .- Es el TU1 corregido de la variaciones estacionales, así como de los cambios periódicos del movimiento de rotación de la Tierra.

2.- Sistema solar. Se puede encontrar una escala de tiempo estrictamente uniforme que gobierne los movimientos de los cuerpos en un campo gravitatorio; es decir, el argumento independiente de las ecuaciones de movimiento para un cuerpo en un particular marco de referencia y de acuerdo con una particular teoría gravitacional (Newtoniana o Relativista). El marco de referencia más próximo a un sistema inercial al que se tiene acceso a través de la teoría gravitacional, tiene su origen en el baricentro del sistema solar. a) Tiempo dinámico terrestre (TDT).- Representa una escala de tiempo uniforme para el movimiento en el campo gravitacional de la Tierra; tiene el mismo ritmo que un reloj atómico situado en el centro de la Tierra. Para describir el movimiento de un satélite artificial, es suficiente el TDT. b) Tiempo dinámico baricentro (BDT).- Se deriva de los movimientos orbitales del baricentro del Sistema Solar. El BDT, es muy importante en el VLBI (La interferometría de base muy larga) donde observatorios de la Tierra registran señales de radio extragalácticas. En el concepto de relatividad general, un reloj moviéndose con la Tierra, experimenta variaciones periódicas hasta de 1,6 milisegundos, originadas por el movimiento anual dentro del campo de gravedad del 50%. Por otro lado, comparando con el BDT, el TDT es independiente de las teorías dinámicas planetarias. El tiempo dinámico ha sido usado como el argumento para las efemérides astronómicas desde el 1º de enero de 1984.

3.

Oscilación atómica El reloj atómico : En 1949 se puso en funcionamiento el primer reloj atómico basado en la frecuencia de resonancia de la molécula de amoniaco, pero no era más preciso que un reloj con oscilador de cuarzo; en los años 50 apareció el primer reloj de haz de cesio; en 1958 se empezó a usar para medir el tiempo de forma experimental, y en 1960 se instala el primer máser de hidrógeno. La exactitud de los nuevos relojes fue tan espectacular que entre 1960 y 1965 se comienzan a instalar patrones y estándares del tiempo -aparece también el reloj de rubidio- y el SI -Sistema Internacional de Unidades- define en 1967 el segundo como “la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, a nivel del mar (con campo magnético cero)”. El número de oscilaciones fue escogido para que su duración fuera lo más similar posible al segundo de efemérides establecido en 1900.

676 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía a)

Principios básicos de geodesia y cartografía 653

Tiempo atómico internacional (TAI) Procede del promedio del tiempo suministrado por unos 180 relojes atómicos, repartidos por unos 50 laboratorios y departamentos del tiempo, situados en distintos países del mundo. El TAI está definido por el IERS como una escala continua de tiempo relacionado por definición con el TDT por : TDT = TAI + 32,184 s El intervalo de tiempo fundamental del TAI es el segundo SI definido en la 13 conferencia general del Comité de Pesas y Medidas de 1967.El día SI abarca 86400 s y el siglo juliano 36525 días. Debido a que el TAI es una escala continua de tiempo, no mantiene la sincronización con el día solar (UT), la rotación se mueve más lentamente. Para muchas aplicaciones y en particular para la navegación, se requiere una escala de tiempo que considere una unidad de tiempo altamente uniforme tanto como sea posible adaptada al TU1, y considere a la rotación de la Tierra.

b)

Tiempo universal coordinado (TUC). Corresponde al TAI incrementado o reducido en n segundos (leap seconds) TUC = TAI – n(1s) Dependiendo la situación predominante, n puede ser cambiado a una determinada fecha, así la época UTC se adapta al UT1 aumentando o disminuyendo los llamados lapsos de segundos. La unidad de UTC sigue siendo el segundo del SI. La diferencia DUT1, entre ambos tiempos no deberá exceder de 0,9 segundos. TUC – TU1 = DTU ≤ 0,9 s DTU1, es distribuido por el IERS, y debe ser tomado en consideración en todos los cálculos relativos al sistema de ejes de referencia de la Tierra. En la mayoría de los países, las señales de tiempo divulgadas corresponden al Tiempo Universal Coordinado UTC.

c)

Tiempo GPS (TGPS). El Sistema de Posicionamiento Global (GPS), utiliza su propia escala particular de tiempo GPS. Ambas escalas de tiempo tuvieron épocas iguales de tiempo el 5 de enero de 1980; Sin embargo el tiempo GPS difiere del TUC por casi un número entero de segundos, debido a que el tiempo GPS no está incrementado por lapsos de segundos. La unidad de tiempo GPS es el segundo del Sistema Internacional; sin embargo el tiempo GPS es únicamente obtenido a partir de los relojes que forman parte de sistema de control del GPS. Es de aquí en adelante que la escala de tiempo es independiente y puede mostrar ligeras diferencias cuando se compara con el TAI. La relación entre el tiempo TUC y GPS es divulgado en los mensajes de los satélites GPS. TGPS – TUC = n – Co n

: número entero en segundos.

Co : corrección.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

677 654

UNIDADES DERIVADAS DEL TIEMPO USADAS EN GPS Día Juliano (JD).- Es el número de días que tiene como referencia el 1 de enero del año 4 713 a.c., a partir del cual se vienen contando los días por orden correlativo. Datos de ingreso : YY MM DD TUC YY = Año MM = Mes DD = Día TUC = Hora universal coordinado Condición

y=

m=

MM ≤ 2

YY-1

MM + 12

MM > 2

YY

MM

JD = entero[(365,25 )y] + entero[(30,6001)(m+1)]+DD+ TU/24 +1 720 981,5 Ejemplos: Para el 6 de enero de 1 980 a las cero horas de TU : JD = 2 444 244,5 Para el 1 de enero del 2000 a las 12 horas de TU : JD = 2 451 545 Para el 25 de enero del 2017 a las cero horas de TU: JD = 2 457 778,5 Para el 02 de agosto del 2017 a las cero horas de TU: JD =2 457 967,5 Día Juliano Modificado (MJD).- Día Juliano menos 2 400 000,5 días solares medios. Día del Año (DOY).- número del día dentro del año calculado en el intervalo 1-365 ó 1-366 para años bisiestos. Día GPS.- es el día juliano a partir del 6 de enero de 1980, a las cero horas de TUC, es decir a partir de JD = 2 444 244,5. Día GPS = JD - 2 444 244,5 Ejemplo: Día GPS para el 25 de enero del 2017 = 2 457 778.5 - 2 444 244,5 = 13 534 Día GPS para el 02 de agosto del 2017 = 2 457 967.5 - 2 444 244,5 = 13 723 Semana GPS.- son las semanas transcurridas a partir del 6 de enero de 1980, a las cero horas de TUC, es decir a partir de JD = 2 444 244,5. Semana GPS = entero [( JD - 2 444 244,5 )/7] Semana GPS para el 25 de enero del 2017 = entero [(2 457 778,5 - 2 444 244,5)/7]= 1933 Semana GPS para el 02 de agosto del 2017 = entero [(2 457 967,5 - 2 444 244,5)/7] = 1960 Día de semana.- es la numeración de días dentro de cada semana en la que corresponde el 0 para el domingo y el 6 para el sábado. Se recomienda practicar haciendo uso del calendario publicado en la siguiente dirección. http://www.asgeupos.pl/webpg/graph/dwnld/gpscalendar_EN.html

678 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 655

Métodos en las Observaciones Satelitales. I.

MÉTODOS CON POSTPROCESO Se instala uno o varios receptores (GPS) en puntos específicos para luego realizar las observaciones satelitales, una vez culminado el trabajo de campo, se lleva a cabo la transferencia de información del receptor a la computadora, obteniendo como resultado digital un archivo conteniendo la información, el cual deberá ser procesado por algún software específico para así obtener las coordenadas buscadas.

CAMPO 1.

GABINETE

Método autónomo Consiste en el uso de un solo receptor, éste recibirá las señales de los diversos satélites y los almacenará en su memoria según el intervalo de tiempo configurado. Finalmente después del post proceso se obtendrá el promedio de todas las coordenadas obtenidas provenientes de las observaciones satelitales. Al valor de las coordenadas obtenidas se les llama autónomas o navegadas, dado que éstos se encuentran acompañados de los diversos errores analizados paginas atrás, tales como la falta de sincronización de los relojes, la acción de la ionósfera, las efemérides, la disponibilidad selectiva (si lo hubiese), por tanto es de esperar que las coordenadas encontradas englobe un error de varios metros o incluso decenas de metros.

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

679 656 2.

Método o modo diferencial – estático (DGPS) Se basa en el empleo de dos receptores : el receptor BASE (A), ubicado en un punto de coordenadas conocidas, y el receptor ROVER (B), instalado en un punto cuyas coordenadas se requiere conocer. Es importante que las observaciones se realicen simultáneamente. El vector desplazamiento entre ambos receptores es conocido como línea base y es recomendable que no supere los 100 km.

Línea - base

A

B

Es importante que los satélites sean comunes a ambos receptores

Receptor GPS Base

Receptor GPS Rover

Es recomendable el uso de receptores con rastreo de doble frecuencia (L1 yL2), dado que los satélites emiten las llamadas frecuencias L1 y L2.

680 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 657

Sabemos que el motivo del uso de las frecuencias es eliminar gran porcentaje del error proveniente por la presencia de la ionósfera. El principio se fundamenta en la siguiente explicación: a. Con el receptor BASE: aplicando el método autónomo, es posible obtener las coordenadas navegadas (en el post proceso), sin embargo, como quiera que dichas coordenadas son conocidas, se hace fácil deducir el error de posición que acompaña a las coordenadas navegadas. b. Con el receptor ROVER: considerando que la distancia entre ambos receptores se hace ínfimo en comparación a la existente entre cada receptor y los satélites, se hace lícito adoptar como corrección de posición, el error obtenido con el receptor base. Es así que el cálculo de la posición en el receptor ROVER se realiza de forma relativa gracias al conocimiento de los incrementos de coordenadas de un receptor con respecto a otro tomado como referencia. La desviación obtenida puede variar desde (5 mm+1 ppm) hasta (10 mm+1 ppm). Imagen 1

Imagen 2

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681 658

Las imágenes 1 y 2 muestran las coordenadas navegadas graficadas por épocas, obtenidas por dos receptores GPS instalados en los puntos A y B respectivamente, bajo la observación de los mismos satélites. La nube de puntos en ambas imágenes resultan muy similares, de lo cual se deduce que los errores (coordenadas navegadas) tanto en la base como en el rover, son comunes para ambos.

Coordenadas conocidas (x; y; z)

Coordenadas por conocer (x’; y’; z’)

B

A 9h00 m05s (x 1; y1; z1) - (x; y; z) = E1 9h00 m10s (x 2; y2; z2) - (x; y; z) = E2 9h00 m15s (x 3; y3; z3) - (x; y; z) = E1 . . . . . . . . .

. . .

. . .

. . .

Tiempo de visación mínimo para línea base.- Aplicable para el método diferencial estático con receptores GPS de doble frecuencia; el tiempo mínimo de observaciones satelitales depende de los siguientes factores: la distancia de la línea base, el número de satélites visibles, la geometría satelital (GDOP), la ubicación de la antena, el nivel de actividad ionosférica, los tipos de receptores utilizados, los requerimientos de precisión, el software de post-proceso, el tipo de efemérides y las velocidades del sitio. Según investigaciones realizadas por el Autor del presente libro, conjuntamente con el Ing. David Condor García y la empresa SERVIG XCVI S.A.C, el tiempo mínimo de visado obedece a la siguiente función. y = 0,000022x3 - 0,007834x2 + 2,660074x + 8,346236 Donde: x es la distancia en kilómetros. y es el tiempo en minutos.

682 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Principios básicos de geodesia y cartografía 659

Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (1km hasta 100 km) Distancia de línea base (km)

Tiempo mínimo (minutos)

x

y

1

11

5

22

10

35

20

59

50

125

100

219

Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (10 km hasta 45 km) Distancia de línea base (km)

Tiempo mínimo (minutos)

x

y

10

35

15

47

20

59

25

71

30

82

35

93

40

104

45

115

Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (1 km hasta 10 km) Distancia de línea base (km) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo mínimo (minutos) y 11 14 17 19 22 25 27 30 32 35

Principios de geodesia y cartografía Principios Básicosbásicos de Geodesia y Cartografía

683 660 Observación:

Con ayuda de un receptor BASE, es posible el uso de varios receptores ROVER, obteniendo así las coordenadas de varios puntos. El requisito radica en la simultaneidad de las observaciones tanto en la BASE como en los ROVERTS.

5 (móvil) 4 (móvil)

1 (móvil) Base

3 (móvil) 3.

2 (móvil)

Método o modo diferencial – estático (línea base mayor a 100 km) Este método es aplicable para distancias grandes o trabajos de gran precisión y su proceso es similar al anterior. La diferencia radica en el uso de varios receptores BASE, con sus respectivas coordenadas dato. Esto permite la aparición de una red planimetría sujeta a los ajustes respectivos lo cual genera valores de óptima calidad. Usando receptores de doble frecuencia, operando entre 50 y 500 km y en iguales condiciones de número de satélites y tiempo de observación pueden alcanzar precisiones del orden de 0,1 mm +1 ppm. Base 4

Base 1

Rover

Base 3

(Vista en planta)

Base 2

684 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía 4.

Principios básicos de geodesia y cartografía 661

Método Diferencial Cinemático Consiste en el uso de dos receptores GPS tan igual que el método diferencial, uno de ellos Base instalado en un punto de coordenadas conocidas, mientras que el receptor ROVER se ubica en un punto de coordenada por conocer, solo que esta vez el tiempo de permanencia de este último receptor no sobrepasa el minuto. De este modo es posible obtener las coordenadas de varios puntos en corto tiempo. Obviamente no es de esperar la misma precisión que en el método estático, pero si de taquimetría se trata, este método resulta ideal. El requisito fundamental radica en la correcta posición estática del receptor móvil en cada punto a estacionar, para dicho efecto se hace uso de un bastón cuyo extremo superior va montado el receptor GPS. El principio del método diferencial es el que gobierna el presente método, pues se considera que el desfase entre las coordenadas autónomas y la coordenada real en el punto base, es la misma al método estático. Sin embargo una de las grandes ventajas es el uso simultáneo de varios receptores móviles con tan solo una base.

5.

Método dinámico Es muy similar al cinemático, solo que esta vez el receptor móvil se encuentra en constante movimiento y según la configuración establecida, almacenará la información en su memoria de datos. En realidad la toma de datos en el receptor móvil puede efectuarse cada cierto tiempo o distancia constante. Este método es ideal en levantamientos de carreteras, canales e incluso trabajos de batimetría, siempre y cuando entre el cielo y el receptor no exista obstáculos que se interpongan, tales como edificios, árboles, muros, etc. El post proceso es tan igual que el método estático.

II. MÉTODOS EN TIEMPO REAL Tiempo Real.- En topografía y geodesia, podemos definir, tiempo real como la obtención de las coordenadas finales de un punto prácticamente en el instante del levantamiento de campo. A diferencia del método de post proceso, en donde se corrigen las posiciones, en tiempo real se corrigen las distancias existentes entre el receptor y cada satélite (método diferencial); esto es fácil de explicar: teniendo como información, las coordenadas de la estación base y cada satélite, se puede calcular la distancia “verdadera” entre el receptor base y cada satélite en cada instante (época), dicha distancia “verdadera” es comparada con la distancia calculada (d=vt) y la diferencia entre ambas corresponde al error para ese satélite en ese instante, valor que cambiado de signo es aplicado a la distancia calculada por el receptor rover a ese satélite en ese instante.

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685 662

Finalmente para cada juego de distancias corregidas, se calcula la posición del punto rover correspondiente a ese instante. ¿Cómo se realiza dicha operación en tiempo real? El error calculado en la base se traslada al rover gracias al uso de antenas de radio, tanto en el receptor base como en el móvil. Dichas radios son usadas como instrumentos de comunicación para informar el desfase de distancias en la base para ser ajustados en el receptor móvil. En la actualidad existen varias técnicas en el uso del GNSS en tiempo real. a)

Método diferencial RTK (tiempo real cinemático) Este método aplica el principio del método en tiempo real explicado líneas arriba. Esta técnica exige la disponibilidad de por lo menos una estación base, con las coordenadas conocidas y está dotada de un receptor GNSS y un módem de radiotransmisor. La estación genera y transmite las correcciones diferenciales a las estaciones móviles que usan los datos para determinar precisamente sus posiciones. El formato de las correcciones diferenciales es definido por la Radio Technical Comittee for Maritime Service (RTCM). Los radiotransmisores operan en las fajas de frecuencia VHF/UHF, y la observación fundamental usada en el RTK es la medida de la fase de la portadora. En el caso del uso del módem de radio, la técnica RTK se restringe a líneas de base cortas (hasta 10 km), debido al alcance limitado del UHF.

b)

NTRIP (Red de Transporte de Formato RTCM a través del Protocolo de Internet) Está técnica aparece el año 2004, con el objetivo de extender la cobertura RTK así como mejorar el medio de transmisión. Para dicho efecto, se hace uso del INTERNET, como herramienta fundamental en el medio de transmisión de correcciones RTK. El sistema NTRIP consta de tres componentes : 1º Servidor NTRIP.- Está conformado por la o las estaciones de rastreo permanente GPS cuyas correcciones son enviadas a la unidad central (servidor). 2º Caster NTRIP .- Es un servidor de internet, este recoge los datos y los distribuye al usuario o cliente previamente identificado. 3º Clientes NTRIP .- Está conformado por el o los receptores GPS rover, los cuales reciben la información proveniente de Caster vía internet normalmente mediante un teléfono móvil, el cual hace la función de modem. La distancia entre el servidor (base) y el cliente (rover), es tal que el principio de la presencia de satélites comunes entre ambos se cumpla.

Principios básicos de geodesia y cartografía 663

686 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

Servidor NTRIP

c)

Caster NTRIP

CLIENTE NTRIP

SBAS (Sistema de Aumentación Basado en Satélites). Es un sistema de corrección de las señales que los Sistemas Globales de Navegación por Satélite (GNSS) transmiten al receptor GPS del usuario utilizando satélites de comunicación Inmarsat geoestacionarios sobre el Ecuador cubriendo grandes áreas. Dado que el método diferencial es el que gobierna en esta tecnología, se hace necesario la presencia de receptores GPS instalados permanentemente en puntos de coordenadas conocidas (Estación de Monitoreo Continuo), de los cuales unos de ellos funciona como Master, recibiendo y procesando los datos de los demás. OmniSTAR, que es una empresa que aplica esta tecnología, presta sus servicios en todo el mundo ofreciendo varios tipos de información en tiempo real : “VBS”, posicionamiento con precisión inferior a un metro. “XP”, posicionamiento con precisión inferior a 20 cm. “HP”, posicionamiento con precisión inferior a 10 cm. Satélite GNSS

Estación de monitoreo continuo

Satélite SBAS

Estación Master

Usuario

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687 664

Señal de los satélites Los satélites GNSS, emiten dos tipos de ondas : L1 y L2 y son portadoras de códigos tal como se muestra a continuación:

Satélite GNSS

L1

L2

Mensaje de navegación

C/A P

P Mensaje de navegación

L2C

C/A (COARSE/ADQUISITION) : puede ser leído por todos los receptores GPS y posee un a precisión que fluctúa de 3 a 10 metros; cada satélite cuenta con un código C/A diferente propio de ese satélite. P (PRECISE) : de uso militar, su precisión métrica L2C : de precisión similar al C/A, pero con mejores características. Mensaje de navegación : incluye información sobre efemérides de los satélites, estado de sus relojes atómicos, datos ionosféricos, etc. Por otro lado, dependiendo del tipo de receptor, también se puede obtener la MEDIDA DE FASE : Esta técnica permite obtener distancias mucho más precisas que el método de pseudo-distancias.

d = n.λ + x n : ambigüedad

Satélite GNSS nλ d

λ : longitud de onda (conocida) x : ángulo de fase (fracción de λ) El receptor GPS, calcula el valor de n así como x, expresado en grados.

x

688 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía

TIPOS DE RECEPTORES 1.

Navegadores.- se caracterizan por decodificar tan solo la señal C/A de la onda portadora L1, su precisión es del orden de los 10 metros.

2.

Submétricos.- tienen las mismas características que los navegadores, la diferencia radica en que incrementan notablemente su precisión gracias a que son capaces de trabajar en modo diferencial ( base y rover); su precisión es del orden del metro.

3.

Monofrecuencia de Código y Fase.- estos equipos toman datos de la portadora L1 en sus dos modalidades código C/A y fase, además de trabajar en modo diferencial tanta estático como en RTK, su precisión es del orden de 1 cm + 2ppm

4.

Doble Frecuencia : Toman observables de las dos portadoras emitidas por los satélites, realizando medidas de código C/A y P en L1, de código P y L2C en L2, y medidas de fase en L1 y L2. Trabajan también en modo diferencial tanta estático como en RTK, su precisión es del orden de 5 mm + 1 ppm.

Principios básicos de geodesia y cartografía 665

666

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