Limit Dan Turunan Fungsi.doc

LIMIT FUNGSI

1 Teorema

[f(x) + g(x)] = xlim f(x) + lim g(x) 1. xlim →a →a x →a

[f(x) − g(x)] = xlim f(x) − lim g(x) 2. xlim →a →a x →a

4. 5.

lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x)

x →a

x →a

f (x) lim  g(x)  =    x →a

x →a

lim f (x) x →a lim g(x) x →a

dengan

lim g(x) ≠ 0

x →a

c .f(x) = c. lim f(x) , c = konstanta 3. xlim →a x →a

6.

lim [f(x)]

n

x →a

n

= lim f(x)   x →a 

2 Bentuk Tak Tentu Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :

0 0

6 3

, 40 .

5 0

, ∞∞ , ∞ − ∞ ,1∞

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu. 3 Limit Fungsi Aljabar

f (x ) = f (a ) Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim x→a x 2 + 2x ) = (32 + 2 (3)) = 9 + 6 = 15 Contoh : 1. lim( x→ 3 2.

lim 5x x ++ 7x = 2

x→ 0

02 + 0 5( 0 ) + 7

= 70 = 0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu :

3.1 Bentuk

(

0 0

)

, ∞∞ , ∞ − ∞ dan 1∞ .

( 00 )

Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan : 1

1. Karena x→a, maka (x−a) → 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x − a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) ≠ 0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 1.

lim x x−25−x9+ 6 = lim ((xx−− 33)()(xx−+ 23)) = lim xx−+ 23 =

2.

lim xx3 −+4xx 2−+52xx =

2

x→ 3

x→ 3

3

x→ 3

x ( x 2 + x − 5)

2

1 6

= lim xx2 −+4xx−+52 = 2

2

x (x −4x+2)

x→0

=

3− 2 3+ 3

02 + 0− 5 0 − 4 ( 0)+ 2 2

x→0

=

5 2

3.

lim x →1

x 2 +3 − 5x −1 x 2 −x

x 2 +3 − 5x −1 x 2 −1

= lim x →1

1−4 4+ 4

(

)

3.2 Limit Bentuk

=

=

−3 2 ( 2 +2 )

−3 8

x 2 +3 + 5x −1 2

x +3 + 5x −1

) = lim

( x 2 +3) −( 5x −1)  x 2 +3 + 5x −1  x →1 ( x 2 −1)   

( x −1)( x −4 )   x 2 +3 + 5x −1 x →1 ( x −1)( x +1)   

= lim

x 2 −5x +4  x 2 +3 + 5x −1  x →1 ( x 2 −1)   

lim (1+1)

(

= lim

 x →1 ( x +1)  

=

( x −4 )  x 2 +3 + 5x −1 

= − 83

( ) ∞ ∞

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel a pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : xlim x = 0. →∞

Contoh : 1. lim

x→ ∞

3

2

6x − 2x + 5x

lim

12x3 + 7x2 − 8x x → ∞

2. lim

x→ ∞

3. lim

x→ ∞

3

2

6x + 7x − 3x 2x4 − x3 + 4x2 4

2

5x − 3x + 2 2x3 + 4x2 − 7

6 x3 x3

+

5x x3

12x3 x3

+

7 x2 x3

−

8x x3

6 x3 x4

+

7 x2 x4

−

3x x4

= lim

x → ∞ 2x 4 x4

= lim

2 x2 x3

+

5x 4 x4

x → ∞ 2x3 x4

− +

x3 x4

+

4 x2 x4

3x2 x4

+

2 x4

−

7 x4

−

4x2 x4

= lim

x→ ∞

2 x

+

12 +

7 x

−

8 x2

7 x2

−

3 x3

= lim

x→ ∞

= lim

5 x2

6−

6 x

2−

5−

x→ ∞ 2 x

+

+

1 x

3 x2 4

x2

+

4 x2

+

2 x4

−

7

x4

=

=

6− 0+ 0 6 1 = = 12 + 0 − 0 12 2

=

0+ 0− 0 0 = =0 2− 0+ 0 2

5− 0+ 0 5 = =∞ 0+ 0− 0 0

Kesimpulan: Jika f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + ..... + an 2

g ( x ) = b0 x m + b1 x m−1 + ..... + bm

maka: 1. lim x →∞

f (x) g(x)

2. lim x →∞

f (x) g(x)

3. lim x→ ∞

f (x) g(x)

4.

a0 b0

=

untuk n = m

= 0 untuk n < m = ∞ atau -∞ untuk n > m

lim 62xx5 −+2xx 3−+78xx 2 = 26 = 5

4

3

1 3

x →∞

(kesimpulan (1))

x −2 x +3 x 5. xlim 12 5 2 = 0 →∞ x +12 x + x

(kesimpulan (2))

3 x + 6 x −2 6. lim 6 4 3 = ∞ 2 x →∞ x + 7 x − x

(kesimpulan (3))

10

7

8

7

4

3.3 Limit Bentuk ( ∞ − ∞ ) Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !   f(x) − g(x)  

lim

x →∞

f (x) + g(x) f (x) + g(x)

2. Bentuknya berubah menjadi

  = lim   x →∞

f (x) −g(x) f (x) + g(x)

( ) ∞ ∞

3. Selesaikan seperti pada (2.4.2) Contoh: 1.

lim

x→∞

x 2 + 6x + 2 − x 2 − 4x + 1 =  x2 + 6x + 2 − x2 − 4x + 1   

lim

x →∞

lim

(x2 +6 x +2)−(x2 −4x +1) x2 +6 x +2 + x2 −4x +1

x →∞

∴ lim

x→∞

2.

lim

x →∞

10x −1 2x2 − x − x2 − 4x +1

2x2 − x −

=

x2 +6 x +2 + x2 −4x +1 x2 +6 x +2 + x2 −4x +1

= lim

x →∞

10 1+ 1

x2 + 3x = lim

x →∞

=

10 2

 =  

pangkat tertinggi pembilang 1, 10x −1 = pangkat tertinggi penyebut 1,

x2 +6 x +2 + x22 −4x +1

sebab

x

=x

=5

2x2 − x −

 x2 + 3x2   

2x2 −x + x2 +3x 2x2 −x + x2 +3x

 =  

3

(2x2 −x)(x2 +3x)

lim

2x2 −x + x2 +3x

x →∞

x2pangkat −4x tertinggi = ∞ pembilang 2, 2 pangkat penyebut 1. 2x −x + x2 +3tertinggi x

= lim

x →∞

Secara umum: ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r =

lim

x→∞

1)

3. 4. 5.

b −q 2

a

jika

a=p

2) ∞ jika

a>p

3) -∞ jika

a
−3 − (−5)

lim

4x2 − 3x + 1 − 4x2 − 5x − 2 =

lim

4x 2 + 7x − 1 − 3x 2 + x − 8 = ∞

lim

4x 2 − 2x + 3 − 5x 2 + 4x − 7 = −∞

x →∞

x→∞

x →∞

2 4

=

=

1 2

(1 ) ∞

3.4 Limit Bentuk Definisi :

2 4

(

lim 1 +

n→∞

)

1 n n

= e = 2,718281.....

n bilangan asli

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

(1 + 1. xlim →∞

)

1 x x

(

= lim 1 + x→∞

)

1 x x

1

(

= lim 1 − x→∞

)

1 −x x

=e

x bilangan real

1

− 2. lim (1 + x ) x = lim (1 − x ) x = e x→0

x→0

Contoh : 1.

lim(1 +

2.

lim 1 +

3.

x→ ∞

(

x →∞

)

4 x x

)

1 x 2x

( )

= lim 1 + x→ ∞

(

1 x x 4

= lim  1 + x →∞

( )

 = lim  1 + x→ ∞ 

1 1 2x  2  2x

)

1 1   lim (1 − 3x ) x = lim (1 − 3x ) −3x  x →0 x →0  

1 x 4

(

x 4

 =  lim 1 + x →∞ −3

[ ( ) ] =

4

 1+  = lim x→ ∞ 

)

1 1 2 2x

1 x 4

x 4

4

4

1   = e2 

1   =  lim (1 − 3x ) −3x  x →0 

−3

= e −3

4. Limit Fungsi Trigonometri Teorema : 4

sin x x 1. lim x = lim sin x = 1 x→ 0 x→ 0 tan x = lim tanx x = 1 2. lim x→ 0 x x→ 0

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: lim sin ax x → 0 bx

ax x → 0 sin bx

= lim

= lim

x→ 0

tan ax bx

ax x → 0 tan bx

= lim

tan ax x → 0 tanbx

= lim

sin ax x → 0 tan bx

tan ax x → 0 sin bx

= lim

= lim

=

a b

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi,

f (x ) = f (a ) maka: lim x→a Contoh :

( sin 2x + cos x) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1 1. lim x→ 0 2.

lim

x →1 π 2

sin x −cos x 2 sin x +3 cos x

sin 1 π−cos 1 π 2 2 2 sin 1 π+3 cos 1 π 2 2

=

=

1−0 2 +0

=

1 2

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu : 4.1 Limit Bentuk

0 0

, ∞ − ∞ ,0. ∞ ) .

( )

sin 3x = 1. xlim → 0 tan 4x

0 0

3 4

1− cos 2x x →0 3x. sin x

2. lim 3.

(

1−(1−2 sin2 x) 3x. sin x x →0

= lim

sin x −sin a lim x −a x →a x →a

lim

2 sin2 x x →0 3x sin x

= lim

2 cos 1 (x +a). sin 1 (x −a) 2 2 x −a

= 2 cos

1 2

2 sin sin x . sin x x →0 3x

= lim

= lim 2 cos 1 (x + a). 2 x →a

=

2 .(1) 3

=

2 3

sin 1 (x −a) 2 (x −a)

[]

(a + a). 12 = cos a

4.2 Limit Bentuk ∞ − ∞ Limit bentuk ( ∞ − ∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk

( ). 0 0

Contoh : 1 lim (sec x − tan x) = lim ( cos − x

x →π 2

x →π 2

2 cos 1 ( π+x) sin 1 ( π−x) 2 2 2 2 sin( π−x) x →π 2 2

= lim

= 2 cos 12

sin x ) cos x

1−sin x cos x x →π 2

= lim

= lim 2 cos x →π 2

1 2

(

π 2

)

+x .

sin π. sin x 2 π x →π sin( 2 −x ) 2

= lim

sin 1 ( π−x) 2 2 sin( π−x) 2

( 2π + 2π ).[12 ] = cos 12 π = 0

4.3 Limit Bentuk ( 0. ∞) 5

Limit bentuk ( 0.∞) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk

( ). 0 0

Contoh : ( −1)(sin 1 π 2 x →1 cos 1 πx 2

lim (x −1). tan 1 πx = lim 2

x →1

   −1  sin  1 π 2 

(

1 2

)

π =−

1 1π 2

  (x −1)  sin 1 πx = = lim  1 2  x →1 sin π(1 −x)  2  

(x −1) sin 1 πx 2 x →1 sin( 1 π− 1 πx) 2 2

(

= lim

)

= −2 π

5 Limit Deret Konvergen Definisi :Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) :

−1 < r <

1. a 1−r

Teorema : S =

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama r : rasio, yaitu

r=

U2 U1

Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut : a) 2 + 1 + 21 + 41 + ..... Jawab :

a)

S=

a 1− r

b) 3 − 1 + 13 −

=

2 1− 21

1 9

+ .....

= 21 = 4

b)

2

S=

a 1− r

=

3 1− ( − 13 )

= 34 = 3

9 4

2. Hitung limit berikut :

(

1+ a) nlim →∞

1 4

Jawab :

+

1 16

+...+

)

n→ ∞

(

n

∑2.3−i n →∞

b) lim

lim 1 + 41 +

a)

b)

1 4n

1 16

i =1

+ ... +

1 4n

)=

a 1− r

n

2  +....+ 2n  =  +2 ∑2.3−i = lim 9 n →∞ i =1  3 3  i =1 lim

=

1 1− 41

a 1 −r

=

=

4 3

2 3

1−2 3

=

2 3 1 3

=2

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 .....

b) 0,242424 ..... =

a 1−r

=

0,6 1−0,1

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

a 1−r

=

0,24 1−0,01

Jawab :

a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....

=

0,6 0,9

=

=

6 9

=

0,24 0,99

=

24 99

2 3

=

8 33

6

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! Jawab : S = 12 ⇒

a 1− r

= 12

...... (1)

U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4

= 4⇒

ar 1− r 2

( )( ) = 4 a 1− r

r 1+ r

( )

...... (2)

Dari (1) dan (2) : 12 1 r+ r = 4 ⇒ 8r = 4 ⇒

Persamaan (1) : Rasio =

1 2

a 1− r

= 12 ⇒

a 1− 21

12r = 1+ r r = 12

4 ⇒ 12r = 4 + 4r

= 12 ⇒ a = 6

dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu ! Jawab : D

R

C

S

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 5√2 x 5√2 = 50 cm2. 50 = 21 Rasio luas = 100 Q

A

Jumlah semua bujursangkar =

a 1− 5

=

150 1− 21

= 200 cm 2

5√ 2

5√ 2

B

5 P 5 6. Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

f ( x ) = f (a ) Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim x→a

Definisi : .

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1.

f(a) terdefinisi (ada)

2.

lim f ( x ) terdefinisi ada x →a

3.

lim f ( x ) = f (a ) x→a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a. Perhatikan gambar berikut : y

1.

f(x) kontinu di x = a, sebab

f(a)

f(x)

7 a

x

y

2.

f(x) diskontinu di x = a, sebab tidak ada

f(x) f(a)

x

a

y

3.

f(x) diskontinu di x = a, sebab ≠ f(a) f(x)

f(a)

x

a

Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x) = x 2 + x − 3 kontinu di x = 1 Jawab :

1) f (1) = 12 + 1 − 3 = −1 → f(1) terdefinisi

(

)

f(x) = lim x 2 + x − 3 = 12 + 1 − 3 = −1 → lim f ( x ) terdefinisi 2) xlim x →1 →1 x →1

f ( x ) = f (1) Jadi fungsi f ( x ) = x 2 + x − 3 kontinu di x =1. 3) lim x →1 2. Selidiki apakah fungsi Jawab :

1)

f (x) =

f ( 3) =

x2 − 9 x− 3

32 − 9 3− 3

=

0 0

kontinu di x = 3 (tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3 8

3. Selidiki apakah fungsi

 xx −−24 , untuk x ≠ 2 f ( x) =   4, untuk x = 2 2

Jawab :

1)

f(1) = 4 (terdefinisi) x3 − 1 x →1 x −1

2) lim f(x) = lim x →1

kontinu di x = 2

(x − 1)(x2 + x + 1) x −1 x →1

= lim

(

)

= lim x2 + x + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 x →1

(terdefinisi)

f ( x) ≠ f (1) , berarti f(x) diskontinu di x = 1 3) lim x →1

9

TURUNAN FUNGSI 1. Pengertian dan Sifat Turunan

L f(x+h) y = f(x) L1

x

x+ h

f(x)

Gambar 4.1. Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y = f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

f ( x + h) − f ( x) . h h→0

m L = lim m L1 = lim h→0

f ( x + h) − f ( x ) dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang dinotasikan dengan h h →0

Bentuk lim

dy df , y’ , , atau f’(x). dx dx Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis singgung kurva fungsi tersebut. Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu. Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak

f ( x) = x

, yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah

ini.

Gambar 4.2. 10

Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi

f ( x) = x

(0,0). Pembuktian bahwa fungsi

tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik

f ( x) = x

tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

f (0 + h) − f (0) |h|− |0| h = lim = lim = lim 1 = 1 h h h→ 0+ h→ 0+ h→ 0+ h h→ 0+ lim

dan

f ( 0 + h ) − f ( 0) |h|−|0| −h = lim = lim = lim (− 1) = −1 , + + h h h→ 0 h→ 0 h→ 0 h h→ 0+ lim

−

maka

f (0 + h) − f (0) f ( 0 + h ) − f ( 0) ≠ lim , h h h →0 + h→0− lim

f ( 0 + h ) − f ( 0) tidak ada. h h →0

sehingga f ' (0) = lim Contoh:

a. Tentukan garis singgung kurva b.

y =x2

Tentukan apakah di x = 0 fungsi

di titik (2,4)

y =x 2

mempunyai turunan ?

Penyelesaian: a. Gradien garis singgung kurva

y =x 2

di titik (2,4) adalah

f (2 + h) − f (2) ( 2 + h) 2 − 2 2 = lim = lim (4 + h) = 4 . h h h →0 h →0 h →0

m = f ' (2) = lim

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah y − y 0 = m( x − x0 ) ⇔ y − 4 = 4( x − 2) ⇔ y = 4 x − 4 f (0 + h) − f (0) h2 − 02 = lim = lim h = 0 , maka h h h →0 h →0 h →0

b. Karena f ' (0) = lim

y =x 2

mempunyai turunan di x

= 0. Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan,

maka kita akan

mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan. Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi. 1.

Aturan perkalian dengan konstanta. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka d [cf ( x)] =c d f ( x) dx dx

2.

Aturan jumlah. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka 11

d [ f ( x ) + g ( x )] = d f ( x ) + d g ( x ) dx dx dx

3.

Aturan selisih. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka d [ f ( x ) − g ( x )] = d f ( x ) − d g ( x ) dx dx dx

4.

Aturan hasil kali. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka d [ f ( x ) g ( x) ] = f ( x ) d g ( x ) + g ( x) d f ( x) dx dx dx

5.

Aturan hasil bagi. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

d  f ( x)  = dx   g ( x) 

g ( x)

d d f ( x) − f ( x) g ( x) dx dx [ g ( x )] 2

Bukti: 1.

Aturan perkalian dengan konstanta. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka

d [ cf ( x)] = lim cf ( x + h) − cf ( x) = lim c( f ( x + h) − f ( x)) dx h h h →0 h →0 f ( x + h) − f ( x ) d = c lim = c [ f ( x)] h dx h →0 2.

Aturan jumlah. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

d [ f ( x) + g ( x)] = lim [ f ( x + h) + g ( x + h)] − [ f ( x) + g ( x)] dx h h →0 [ f ( x + h) − f ( x )] + [ g ( x + h) − g ( x )] = lim h h →0 [ f ( x + h) − f ( x )] [ g ( x + h) − g ( x )] = lim + lim h h h →0 h →0 d d = f ( x) + g ( x) dx dx 3.

Aturan selisih. Untuk latihan

4.

Aturan hasil kali. Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka

12

d [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x + h) g ( x + h) − f ( x) g ( x) dx h h →0 f ( x + h)[ g ( x + h) − g ( x)] + g ( x)[ f ( x + h) − f ( x)] = lim h h →0 f ( x + h)[ g ( x + h) − g ( x)] g ( x)[ f ( x + h) − f ( x )] = lim + lim 5. Aturan hasil bagi. h h h →0 h →0 [ g ( x + h) − g ( x)] [ f ( x + h) − f ( x)] = lim f ( x + h) lim + g ( x ) lim h h h →0 h →0 h →0 d d = f ( x) g ( x) + g ( x ) f ( x) dx dx Untuk latihan. Selanjutnya di bawah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan. Nomor 1 2

Fungsi y = k, k konstanta y = xn

3

y = ln x

Turunan fungsi y’ = 0 y’ = nxn-1 1 y’ = x

Bukti:

f ( x + h) − f ( x) k −k = lim =0 h h→0 h →0 h

1.

y = k ⇒ y ' = lim

2.

y = x n ⇒ y ' = lim

f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) n − x n = lim h h h →0 h →0

= lim

x n + nx n −1h +

n ( n −1) n − 2 2 x h + ... + h n − x n 2

h

h →0

= lim

h[nx

n −1

n ( n −1) n − 2 + x h + ... + h n −1 ] 2

h

h →0

= lim [nx n −1 + h →0 n −1

s

n ( n −1) n − 2 x h + ... + h n −1 ] 2

= nx

f ( x + h) − f ( x ) ln( x + h) − ln x = lim h h h →0 h →0

y = ln x ⇒ y ' = lim

3.

x+h x = lim h h →0 h ln[1 + ] 1 x = lim ln(1 + h ) h = lim x h h →0 h →0 x 1  = ln  lim [(1 + h ) h ] x  x h →0  1 1 = ln e x = x ln

Contoh: 1.

Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3).

2.

Carilah turunan fungsi: 13

y = x 8 +12 x 5 − 4 x 4 +10 x 3 − 6 x + 5

a. b.

x2 + x −2

y=

x3 + 6

Penyelesaian: perkalian h( x ) = xg ( x ) aturan   →h' ( x ) = 1.g ( x ) + xg' ( x )

1.

⇒ h' ( 3 ) = g ( 3 ) + 3 g' ( 3 ) = 11

2. y' =

a.

( )

( )

( )

( )

d 8 d 5 d 4 d 3 d d x + 12 x −4 x + 10 x − 6 ( x) + ( 5) dx dx dx dx dx dx

= 8 x 7 + 60 x 4 −16 x 3 + 30 x 2 − 6 b. x2 + x − 2

y= y' =

3

x +6 u ' v − uv '

y' =

v2

=

aturan pembagian

    → y ' =

u , u = x 2 + x − 2, v = x 3 + 6 v

(2 x + 1)( x 3 + 6) − ( x 2 + x − 2).3 x 2 ( x 3 + 6) 2

− x 4 − 2 x 3 + 6 x 2 +12 x + 6

( x 3 + 6 )2

2. Aturan Rantai. Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x) Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka dy dy du = . dx du dx Bukti: h( x + t ) − h(t ) f ( g ( x + t )) − f ( g ( x )) = lim t t t →0 t →0  f ( g ( x + t )) − f ( g ( x )) g ( x + t ) − g ( x )  = lim  .  g ( x + t ) − g ( x) t t →0  

h' ( x ) = lim

f ( g ( x + t )) − f ( g ( x )) g ( x + t ) − g ( x) . lim g ( x + t ) − g ( x) t t →0 t →0 f ( g ( x ) + p) − f ( g ( x )) g ( x + t ) − g ( x) = lim . lim p t p →0 t →0 = f ' ( g ( x )) g ' ( x ) = lim

Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kita akan dapatkan rumusrumus di bawah ini. Nomor 1 2

Fungsi y = ex y = ax, a ≠ 1

Turunan fungsi y’ = ex y’ = ax ln a

3

y = alog x, a >0, a ≠ 1

y’ =

1 x ln a

14

Bukti: aturan rantai y = e x ⇒ x = ln y   →1 =

1. 2.

Untuk latihan

3.

Untuk latihan

1 . y' ⇒ y' = y = e x y

3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit. Contoh : a.

Jika x2 + y2 = 25, carilah

b.

Jika x = 2t +1

dy dx

y = t2 + t tentukan

dy . dx

Penyelesaian: a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2 + y2 = 25 terhadap x, maka akan kita peroleh:

(

)

d 2 d x + y2 = ( 25) dx dx

( )

( )

d 2 d 2 x + y =0 dx dx Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh

( )

( )

d d dy dy y2 = y2 = 2y dx dy dx dx

Oleh karena itu 2x + 2y

dy = 0, sehingga dx

dy x =− dx y

b. Jika variabel x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita peroleh dx dy = 2 sedangkan = 2t +1 . dt dt Karena yang akan kita cari adalah

dy dy dy dt = . = dt dx dt dx dx dt

=

dy maka dx

2t +1 . 2

4. Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai. Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini. Nomor 1

Fungsi y = sin x

Turunan fungsi y’ = cos x 15

2

y = cos x

y’ = - sin x

Bukti:

f ( x + h) − f ( x ) sin( x + h) − sin x = lim h h h →0 h →0

1. y = sin x ⇒ y ' = lim

= lim

2 cos

h →0

2x + h h sin 2 2 h

2x + h = 2 lim cos lim 2 h →0 h →0

h 2 . 1 = 2 cos x.1. 1 h 2 2 2

sin

= cos x f ( x + h) − f ( x ) cos( x + h) − cos x = lim h h h →0 h →0

2. y = cos x ⇒ y ' = lim

= lim

− 2 sin

h →0

2x + h h sin 2 2 h

2x + h = −2 lim sin lim 2 h →0 h →0

h 2 . 1 = −2 sin x.1. 1 h 2 2 2

sin

= − sin x Contoh: 1. Carilah turunan fungsi: a.

y = tan x

b.

y = cot x

c.

y = sec x

d.

y = csc x

e.

y = arcsin x

f.

y = arctan x

g.

y = arc sec x

2. Carilah turunan fungsi: a. y = sin 4 (e x + ln x) b. y = e x sin 2 ( x 2 +1) Penyelesaian: 1. a.

y = tan x =

sin x aturan pembagian cos x cos x − sin x.(− sin x)     → y ' = = sec 2 x 2 cos x cos x

b.

y = cot x =

cos x aturan pembagian − sin x (sin x) − cos x.(cos x )    → y ' = = − csc 2 x 2 sin x sin x

16

c.

y = sec x =

1 0.(cos x) − 1.( − sin x) aturan pembagian     → y ' = = sec x tan x cos x cos 2 x

d.

y = csc x =

1 0.(sin x) − 1.(cos x) aturan pembagian     → y ' = = − csc x cot x sin x sin 2 x

e.

y = arcsin x ⇒ x = sin y →1 = y ' cos y ⇒ y ' =

aturan rantai

1

1 1 = cos y 1− x2

x

y

aturan rantai

y = arctan x ⇒ x = tan y    → 1 = y ' sec 2 y ⇒ y ' = cos 2 y =

f.

1− x

1 + x2 y

g.

2

1 1+ x2

x aturan rantai

y = arc sec x ⇒x =sec y      → 1 = y ' sec y tan y

y ' = cos y cot y =

1

1

x x 2 −1

x y

2.

x 2 −1

1rantai y = sin 4 (e x + ln x ) aturan   → y = u 4 , u = sin(e x + ln x), u = sin v, v = e x + ln x

a.

dv 1 du d dv 1 = ex + , = (sin v) = v' cos v = (e x + ) cos(e x + ln x) dx x dx dv dx x 4 du du 1 1 y' = . = 4u 3 (e x + ) cos(e x + ln x) = 4(e x + ) cos(e x + ln x ) sin 3 (e x + ln x) du dx x x

b. aturan rantai dan perkalian

y = e x sin 2 ( x 2 +1)  → y' =

de x d sin 2 ( x 2 +1) sin 2 ( x 2 +1) + e x dx dx

= e x sin 2 ( x 2 +1) + e x .2 sin( x 2 +1). cos( x 2 +1).2 x = e x sin 2 ( x 2 +1) + 2 xe x .2 sin( x 2 +1) cos( x 2 +1) = e x sin 2 ( x 2 +1) + 2 xe x sin 2( x 2 +1)

a. Turunan Tingkat Tinggi Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah d  dy  d 2 y = D 2 f ( x) .  = dx  dx  dx 2

Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan y ( n) =

dny dx

n

= D ( n ) f ( x) .

Contoh:

17

1. Carilah

d2y dx 2

dari :

a.

x2 + y2 = 25

b.

y = ln t, x = et

c.

y = e t 2 + t , x = ln (et +1)

2.

Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini: a.

y = e kx

b.

y = ln x

Penyelesaian : 1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh Karena

d2y dx

2

=

dy x dy =− . dari x2 + y2 = 25, yaitu dx y dx

d  dy  d  x  −   =  dx  dx  dx   y

Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh

y.1 − x. − x y. dx − x. dy d  x y.2 + x 2 y dx dx  −  = − =− =− dx  y  y2 y2 y3 Jadi

d2y dx 2

=−

y.2 + x 2 y3

2.a. y = ln t, x = et

dy dy dy dt = . = dt dx dt dx dx dt

1 =

t = 1 t te

et

d  dy  dy    dx  d d 2 y d  dy   dx  dt dt =  = . = 2 dx  dx  dx dt dx dx dt

=

1+ t

− dx d  dy  d  1  e t + te t 1+ t 2 t 1+ t . = e t maka d 2 y Oleh karena  dx  =   = − 2 2t = − 2 t dan t = t e =−  dt  te  dt  dt t e t e 2 t dx e t 2 e 2t b. y = e t

2

+t

, x = ln (et +1)

dy dy = dt dx dx dt

=

2 (2 t + 1)e t + t

et

=

( 2 t +1)(e t +1)e t

2

(e t + 1)

d dy  dy    dx  d d 2 y  dx  dt = = 2 dx dx dx dt 18

=

2 2 2 2(e t + 1)e t + (2 t + 1)e t + t + 2 t (2 t + 1)(e t + 1)e t

et

= 2(e t +1) 2 e t

2 −t

( e t +1)

+ ( 2 t +1)(e t +1)e t

2

2 + 2 t ( 2 t +1)(e t +1) 2 e t −t

3. a. y = e kx ⇒ y ' = ke kx ⇒ y ' ' = k 2 e kx ⇒ y ' ' ' = k 3e kx ⇒... ⇒ y ( n) = k n e kx b. y = ln x ⇒ y ' =

1 1 (−1) 2 (−1) 2 ( −1) n −1 (n) ⇒ y ' ' = ( −1) 2 ⇒ y ' ' ' = = ⇒ ... ⇒ y = x x 1 .2 x 3 2! x 3 ( n − 1)! x n

19