Makalah Nilai Mutlak Print.docx

MAKALAH PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR NILAI MUTLAH (Tugas Mata Kuliah Pendalaman Materi Matematika Sekolah)

Dosen Pengampu: 1. Drs. Suharsono, M.Sc., Ph.D.

Disusun Oleh: 1. Diana Ali (NPM. 1923021026) 2. Wahyu Anggraini (NPM. 1923021023)

MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS LAMPUNG 2019

II

PRAKATA Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kami kesempatan menyelesaikan makalah ini. Makalah ini disusun agar kita semua dapat memahami materi persamaan dan pertidaksamaan linear nilai mutlak. Tujuan dari penyusunan makalah ini untuk menjadi panduan dalam pembelajaran maupun diskusi mahasiswa. Dalam penyusunan makalah ini kami pun mengalami beberapa kendala misalnya kendala dalam keterbatasan materi maupun pengembangan materi. Kami tahu bahwa makalah ini mempunyai kelebihan dan kekurangan maka dari itu kami mohon kritik dan saran yang membangun. Atas kritik dan sarannya penulis ucapkan terima kasih.

III

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i PRAKATA ...................................................................................................... ii DAFTAR ISI ................................................................................................... iii I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ......................................................................... 4 1.2 Rumusan Masalah.................................................................................... 5 1.3 Tujuan Penulisan ..................................................................................... 5 1.4 Manfaat Penulisan ................................................................................... 5 II. PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Supervisor ............................................................................. 6 2.2 Tugas, Posisi, dan Fungsi Supervisor ..................................................... 7 2.2.1 Tugas Supervisor............................................................................ 7 2.2.2 Posisi Supervisor ............................................................................ 11 2.2.3 Fungsi Supervisor .......................................................................... 13 2.3 Kewenangan dan Tata Kerja Supervisor .............................................. 18 2.4 Program Kerja Supervisor ...................................................................... 22 2.4.1 Program Supervisi Pendidikan ..................................................... 23 2.4.2 Program Pembinaan Guru ............................................................ 31 III. PENUTUP 3.1 Kesimpulan .............................................................................................. 34 3.2 Saran ......................................................................................................... 35

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 36

4

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Matematika adalah suatu ilmu yang sering kali dianggap sulit oleh para pelajar maupun dikalangan masyarakat. Walaupun demikian kehidupan kita sehari-hari tidak terlepas dari matematika, salah satunya mengenai materi nilai mutlak. Nilai mutlak adalah hal pokok dalam sebuah ilmu matematika yang mengajarkan tentang konsep jarak suatu benda kebenda yang lain. Nilai mutlak ini terbagi menjadi dua macam yaitu persamaan linear nilai mutlak dan pertidaksamaan linear nilai mutlak, adapun penjelasannya akan kami sajikan dalam makalah ini.

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, rumusan masalah dalam penulisan makalah ini sebagai berikut: 1.

Apa pengertian dari nilai mutlak?

2.

Bagaimana grafik fungsi nilai mutlak?

3.

Apakan pengertian, sifat – sifat persamaan nilai mutlak?

4.

Bagaimana penyelesaian masalah persamaan nilai mutlak?

5.

Apakan pengertian, sifat – sifat pertidaksamaan nilai mutlak?

6.

Bagaimana penyelesaian masalah pertidaksamaan nilai mutlak?

5

1.3 Tujuan Penulisan Adapun tujuan dari penulisan makalah ini sebagai berikut: 1.

Untuk mengetahui pengertian dari nilai mutlak.

2.

Untuk mengetahui grafik fungsi nilai mutlak.

3.

Untuk mengetahui pengertian, sifat – sifat persamaan nilai mutlak.

4.

Untuk mengetahui penyelesaian masalah persamaan nilai mutlak.

5.

Untuk mengetahui pengertian, sifat – sifat pertidaksamaan nilai mutlak.

6.

Untuk mengetahui penyelesaian masalah pertidaksamaan nilai mutlak.

1.4 Manfaat Penulisan Penulisan makalah ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi semua pihak baik secara langsung maupun secara tidak langsung dalam upaya meningkatkan kualitas pendidikan pada umumnya.

6

II.

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Nilai Mutlak Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini nilainya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif. Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai nilai mutlak. Jadi, Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real. Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan : │x│ = x

jika x ≥ 0

│x│ = -x

jika x < 0

Keterangan :│x│dibaca mutlak x

7

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut : Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut. Sebagai contoh:  Untuk x = 5, x ≥ 0 maka │5│= 5. Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 = 5 unit).  Untuk x = - 5, x ≤ 0 maka │-5│= - (-5) = 5. Nilai absolut dari 5 adalah 5 (jarak dari 0 yaitu 5 unit), Nilai mutlak dari -5 adalah 5 (jarak dari 0 = 5 unit).  │0│ = 0  │-1 + 8 - 3│ = │4│= 4  │-4 + 7 - 5│=│-2│ = 2 Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol. Sifat-sifat Nilai Mutlak Untuk setiap x,y ∈ R berlaku: 1.

|𝑥| = |−𝑥| Bukti : |𝑥| = √𝑥 2 = √(−𝑥)2 = |−𝑥|

2.

Terbukti

|𝑥|2 = |𝑥 2 | = 𝑥 2 Bukti : 2

2

𝑥 |𝑥|2 = (√𝑥 2 ) = { (−𝑥) 2 =𝑥 2

Jika 𝑥 2 ≥0 Jika 𝑥 2 <0

8

Diperoleh |𝑥|2 = 𝑥 2

… (1)

|𝑥 2 | = √(𝑥 2 )2 karena 𝑥 2 ≥ 0 diperoleh |𝑥 2 | = 𝑥 2

… (2)

Dari persamaan (1) dan (2)diperoleh |𝑥|2 = |𝑥 2 | = 𝑥 2 3.

Terbukti

|𝑥𝑦| = |𝑥| |𝑦| Bukti : |𝑥𝑦| = √(𝑥𝑦)2 = √𝑥 2 𝑦 2 = √𝑥 2 √𝑥 2 = |𝑥||𝑦| Terbukti

4.

|𝒙| |𝒚|

|𝒙|

= |𝒚| , untuk 𝑦 ≠ 0

Bukti : |𝒙| 𝒙 𝟐 = √( ) = √𝒙𝟐 𝒚𝟐 |𝒚| 𝒚 =

√ 𝒙𝟐 √𝒚𝟐

|𝒙|

= |𝒚| , untuk 𝑦 ≠ 0

Terbukti

2.2 Grafik Fungsi Nilai Mutlak Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu. Grafik yang dihasilkan memiliki satu buah titik puncak dan garisnya simetris, antara ruas kanan dan kiri. Perhatikan gambar grafik nilai mutlak yang diberikan seperti gambar di bawah ini.

9

Grafik Nilai Mutlak Dan seperti yang terlihat pada kasusu di atas bahwa nilai fungsi nilai mutlak selalu positif (di atas sumbu x).

2.2.1 Contoh Soal Grafik Fungsi Nilai Mutlak Contoh 1: Gambarlah grafik dari 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| Penyelesaian 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| = { −(𝑥−2)=−𝑥+2 𝑥−2 , 𝑥>2

, 𝑥≤2

Bagian 1 : 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 , 𝑥 ≤ 2 Dua titik : (2,0) dan (0,2) Bagian 2 : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 , 𝑥 > 2 Dua titik : (2,0) dan (4,2)

(0,2)

(4,2)

(2,0)

}

10

2.3 Persamaan Linear Nilai Mutlak Persamaan linear nilai mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Bentuk umum persamaan linear yaitu 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, dengan 𝑎 ≠ 0

2.3.1 Sifat – Sifat Persamaan Linear Nilai Mutlak Untuk setiap a, b, c dan x bilangan real maka i) Jika│𝑎𝑥 + 𝑏│ = 𝑐 dengan c ≥ 0, maka salah satu sifat berikut ini berlaku 𝑏

a. │𝑎𝑥 + 𝑏│ = 𝑐 untuk 𝑥 ≥ − 𝑎 𝑏

b. │𝑎𝑥 + 𝑏│ = 𝑐 untuk 𝑥 < − 𝑎 ii) Jika│𝑎𝑥 + 𝑏│ = 𝑐 dengan c < 0 maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan

2.3.2 Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak Contoh 1: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: |𝑥 − 1| = 4 Penyelesaian: |𝑥 − 1| = 4, ⇔ 𝑥 − 1 = 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 1 = −4 𝑥1 = 5

𝑥2 = −3

Jadi HP ={−3,5} Contoh 2: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: |2𝑥 − 1| − 5 = 0 Penyelesaian: |2𝑥 − 1| − 5 = 0 lebih dahulu diubah menjadi:

11

|2𝑥 − 1| = 5 ⇔

2𝑥 − 1 = 5

𝑎tau

2𝑥 = 5 + 1 2𝑥 = 6 𝑥1 = 3

atau atau

2𝑥 − 1 = 5 2𝑥 = −5 + 1 2𝑥 = −4 𝑥2 = −2

Jadi HP = {3, −2} Contoh 3: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: −5|𝑥 − 7| + 2 = −13 Penyelesaian: −5|𝑥 − 7| + 2 = −13 ⇔ −5|𝑥 − 7| = −15 ⇔

|𝑥 − 7| = 3 … … (1)

Dari persamaan (1) diperoleh |𝑥 − 7| = 3 ⇔ 𝑥 − 7 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 7 = −3 𝑥1 = 10

𝑥2 = 4

Jadi HP = {10,4} Contoh 4: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: |2𝑥 − 1| = |𝑥 + 2| Penyelesaian: 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2 atau 2𝑥 − 1 = −(𝑥 + 2) 2𝑥 − 𝑥 = 2 + 1 atau 2𝑥 − 1 = −𝑥 − 2 𝑥=3 atau 2𝑥 + 𝑥 = −2 + 1 𝑥1 = 3 atau 3𝑥 = −1 1

𝑥2 = − 3 1

Jadi HP = {− 3 , 3} Contoh 5: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: |𝑥 + 2| = 2𝑥 − 5 Penyelesaian: |𝑥 + 2| = 2𝑥 − 5 syarat 2𝑥 − 5 ≥ 0 2𝑥 ≥ 5 5 𝑥≥ 2 |𝑥 + 2| = 2𝑥 − 5 ⇔ 𝑥 + 2 = 2𝑥 − 5 atau 𝑥 + 2 = −(2𝑥 − 5)

12

𝑥 − 2𝑥 = −5 − 2 atau 𝑥 + 2 = −2𝑥 + 5 −𝑥 = −7 atau 𝑥 + 2𝑥 = 5 − 2 𝑥2 = 7 atau 3𝑥 = 3 5

𝑥2 = 1 (tidak memenuhi 𝑥 ≥ 2) Jadi HP = {7} Contoh 6: Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak berikut ini: 2 |5 − 𝑥| − 9 = 8 3 Penyelesaian: 2 2 |5 − 𝑥| − 9 = 8 ⇔ |5 − 𝑥| = 8 + 9 3 3 2 |5 − 3 𝑥| = 17 2

5 − 3 𝑥 = −17

2

atau 5 − 3 𝑥 = 17

2

− 3 𝑥 = −22 atau

2

− 3 𝑥 = 12

𝑥 = −33 atau

𝑥 = −18

Jadi HP = {−18,33}

2.4 Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variabel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong ( ). Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak. Pertidaksamaan linear nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.

2.4.1 Sifat - Sifat Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Untuk mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat

13

menentukan nilai mutlaknya. Jadi, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak lebih dari nol. Dan akan bernilai negatif kalau fungsi di dalam tanda mutlak kurang dari nol. Dalam pertidaksamaan nilai mutlak tidak cukup dengan cara tersebut. Ada beberapa pertidaksamaan aljabar yang ekuivalen dengan pertidaksamaan nilai mutlak. Ataupun dapat disebut saja sebagai sifat pertidaksamaan nilai mutlak. Sifat – sifat pertidaksamaan nilai mutlak: │x│ < a ⇔ −a < x < a │x│ ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a │x│ > a ⇔ x < −a atau x > a │x│ ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a │f(x)│ < a ⇔ −a < −a f(x) < a │f(x)│ ≤ a ⇔ −a ≤ −a f(x) ≤ a │f(x)│ > a ⇔ f(x) < −a atau f(x) > a │f(x)│ ≥ a ⇔ f(x) ≤ −a atau f(x) ≥ a

2.4.2 Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut |𝑥 − 5| < 4 Penyelesaian: |𝑥 − 5| < 4 ⇔ −4 < 𝑥 − 5 < 4 −4 + 5 < 𝑥 − 5 + 5 < 4 + 5 1<𝑥<9 HP= {𝑥|1 < 𝑥 < 9, 𝑥 ∈ R}

14

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: |𝑥| ≤ 9 Penyelesaian: |𝑥| ≤ 9 ⇔ −9 ≤ 𝑥 ≤ 9 HP= {𝑥| − 9 ≤ 𝑥 ≤ 9, 𝑥 ∈ R} Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: |𝑥| > 5 Penyelesaian: |𝑥| > 5 HP= {𝑥 < −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 5} Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: |2 − 9𝑥| ≥ 11 Penyelesaian: |2 − 9𝑥| ≥ 11 HP= {𝑥 < −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 5} Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: |2𝑥 − 1| < 𝑥 + 2 Penyelesaian: |2𝑥 − 1| < 𝑥 + 2 ⇔ 2𝑥 − 1 < 𝑥 + 2 dan 2𝑥 − 1 > −(𝑥 + 2) 𝑥<3 𝑥<3

dan 2𝑥 − 1 > −𝑥 − 2 dan 3𝑥 > −1

𝑥<3

dan

1

𝑥 > −3

1

HP= {− 3 < x < 3} Contoh 6 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: |2𝑥 + 1| < |𝑥 + 3| Penyelesaian: |2𝑥 + 1| < |𝑥 + 3| ⇔ (2𝑥 + 1)2 < (𝑥 + 3)2 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 < 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 3𝑥 2 − 2𝑥 < 8

15

2

8

𝑥2 − 3 𝑥 < 3 1 2

1

(𝑥 − 3) − 9 <

24 9

1 2

25

1

5

(𝑥 − 3) <

9

|𝑥 − 3| < 3 5

1

5

−3 < 𝑥 − 3 < 3 4

−3 < 𝑥 < 2

16

III.

PENUTUP

3.1 Kesimpulan Nilai Mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian nilai mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Nilai mutlak atau disebut juga nilai absolut menggambarkan jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real dan didefinisikan dengan : │x│ = x

jika x ≥ 0

│x│ = -x

jika x < 0

Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu. Nilai mutlak terbagi atas persamaan linear nilai mutlak dan pertidaksamaan nilai mutlak. Persamaan linear nilai mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya. Bentuk umum persamaan linear yaitu 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, dengan 𝑎 ≠ 0. Sedangkan pertidaksamaan linear nilai mutlak ialah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai positif.

17

3.2 Saran Salah satu usaha untuk meningkatkan kualitas sumber daya pendidikan melalui proses pembelajaran di sekolah. Pokok materi dalam pembelajaran pun harus ditingkatkan terutama dalam materi nilai mutlak yang menjelaskan tentang konsep suatu jarak diharapkan kedepannya lebih dapat diperluas.

18

DAFTAR PUSTAKA

Kemdikbud. (2014). Matematika SMA/MA/SMK/SMAK Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan.

https://rumus.co.id/persamaan-nilai-mutlak/ Sembiring, S. Marsito. (2014). Matematika SMA-MA/SMK-MAK wajib Kelas X. Jakarta: Yrama Widya.