Masinski Fakultet Priprema Za Prijemni 2

Ìàøèíñêè ôàêóëòåò Ïðèïðåìà çà ïðèjåìíè èñïèò 2013. ãîäèíå

Òåñò 2 1. Èçðàç (À)

√ √ √ √ ( 2 + 8 + 18 = 50)2

242

(Á)

240

(Â)

142

(Ã)

jå jåäíàê:

421

(Ä)

262.

Ðåøå»å:

√ √ √ √ √ ( 2 + 2 2 + 3 2 + 5 2)2 = (11 2)2 = 121 · 2 = 242

2. Èçðàç

(a2 −b2 −c2 +2bc) : (a+b−c), àêî ñó a, b, c ðåàëíè áðîjåâè è a+b 6= c, èäåíòè÷êè

jå jåäíàê: (À)

a+b−c

(Á)

a−b+c

(Â)

a−b−c

(Ã)

a+b+c

(Ä)

−a + b + c.

Ðåøå»å:

(a2 − (b2 − 2bc + c2 )) : (a + b − c) = (a2 − (b − c)2 ) : (a + b − c) = (a − (b − c))(a + (b − c)) = =a−b+c a+b−c

3. Ïîëèíîì

x3 − 2x2 + ax + b

jå äå§èâ áèíîìîì

x+1

áåç îñòàòêà, à áèíîìîì

x−1

ñà

îñòàòêîì 2, àêî jå: (À)

a = 1, b = 4

(Á)

a = 2, b = 3

(Â)

a = 0, b = 3

(Ã)

a = 0, b = 4

(Ä)

a = 1, b = 3.

Ðåøå»å:

Àêî äàòè ïîëèíîì îáåëåæèìî ñà

p(x) = x3 − 2x2 + ax + b,

âèäèìî äà £å íà îñíîâó

Áåçóîâîã ñòàâà âàæèòè:

p(−1) = 0 è p(1) = 2.

Òî çíà÷è äà jå:

−1 − 2 − a + b = 0 è 1 − 2 + a + b = 2.

Ðåøàâà»åì

ñèñòåìà jåäíà÷èíà:

( −a + b = 3 a+b=3 äîáèjàìî äà jå

a=0

è

b = 3.

4. Ñòðàíèöà êâàäðàòà óïèñàíîã ó jåäíàêîñòðàíè÷íè òðîóãàî ñòðàíèöå

1

a

jå jåäíàêà:

(À)

√ a( 3 + 3)

(Á)

a(2 −

√

3)

(Â)

√ a(3 2 − 3)

(Ã)

√ a(2 3 − 3)

(Ä)

√ 2a( 3 − 3).

Ðåøå»å:

Ñòðàíèöà

DE

êâàäðàòà je ïàðàëåëíà ñà ñòðàíèöîì

AB

òðîóãëà

ABC ,

ïà jå çàòî

òðîóãàî CDE jåäíàêîñòðàíè÷àí, jåð jå ñëè÷àí òðîóãëó ABC.

Âèñèíó òðîóãëà ABC îçíà÷èìî ñà

h, à ñòðàíèöó òîã òðîóãëà ñà a.

Ñòðàíèöó êâàäðàòà

îçíà÷èìî ñà x. Ïðèìå£ójåìî äà ñó òðîóãëîâè CDF è CAG ñëè÷íè, ïà ñó √èì îäãîâàðàjó£å

x a a 3 : (h − x) = : h. Çíàìî äà âàæè h = , ïà 2 2 √ √ √2 √ √ √ a(h − x) xa 3 a 3 x 3 a 3 − 2x xh = , = a( − x), = , x( 3 + 2) = a 3, 2 2 2 2 √2 √ 2 √ a 3 3−2 ·√ , ñëåäè äà jå: x = a(2 3 − 3). x= √ 3+2 3−2 ñòðàíèöå ïðîïîðöèîíàëíå:

jå:

5. Ïðàâà ÷åòâîðîñòðàíà ïèðàìèäà âèñèíå H , ÷èjà jå îñíîâà êâàäðàò ñòðàíèöå a, ïðåñå÷åíà jå ñà ðàâíè ïàðàëåëíî îñíîâè íà ðàñòîjà»ó ôóíêöèjà îä (À)

x

a (H − x) 2

x

îä îñíîâå. Òàäà ïîâðøèíà ïðåñåêà êàî

èçíîñè:

(Á)

a2 (H − x) H

(Â)

a2 (H + x)2 H

(Ã)

a (H + x)2 2 H

(Ä)

a2 (H − x)2 . 2 H

Ðåøå»å:

Ïðåñåê ðàâíè è ïèðàìèäå ìîæåìî îáåëåæèòè ñà

x.

2

P1 .

Èçðàçè£åìî ãà ïðåêî

a, H

è

Íà îñíîâó ñëè÷íîñòè òðîóãëîâà âàæè:

a b a bH a(H − x) : H = : (H − x), (H − x) = , aH − ax = bH , b = . 2 2 2 2 H a2 (H − x)2 ïîâðøèíà jå: P1 = . H2

6. Êîëèêî ðåøå»à èìà jåäíà÷èíà (À)

1

(Á)

0

(Â)

2

(Ã)

3

(Ä)

1

1

x 2 + x 4 = 12

Òðàæåíà

ó ñêóïó ðåàëíèõ áðîjåâà?

4.

Ðåøå»å: 1

2 x 4 = t, óç √ óñëîâ äà jå x ≥ 0. Òàäà jåäíà÷èíà èìà îáëèê: t +t−12 = 0. 1 −1 ± 1 + 48 , t1 = 3, t2 = −4. Ñëó÷àj x 4 = −4 jå íåìîãó£ çáîã Ðåøàâàìî jå: t1,2 = 2 1 ïî÷åòíîã óñëîâà. Ó äðóãîì ñëó÷àjó: x 4 = 3, x = 34 , x = 81, îäàêëå âèäèìî äà ïîñòîjè

Óâåäèìî ñìåíó:

ñàìî jåäíî ðåàëíî ðåøå»å. 7. Êîëèêî ðåøå»à èìà jåäíà÷èíà (À)

6

(Á)

1

(Â)

2

(Ã)

3

(Ä)

log2 x + log4 x + log1 6x = 7

ó ñêóïó ðåàëíèõ áðîjåâ?

0.

Ðåøå»å:

1 1 log2 x + log2 x = 7, 2 4 1 1 7 4 (1 + + ) · log2 x = 7, log2 x = , log2 x = 4, x = 2 , x = 16. Âèäèìî äà ïîñòîjè 7 2 4 4 Ðåøàâàìî jåäíà÷èíó óç óñëîâ äà jå

x > 0. log2 x +

ñàìî

jåäíî ðåàëíî ðåøå»å.

8. Êâàäðàòíà jåäíà÷èíà ÷èjè ñó êîðåíè

x1 =

1 √ 10 − 72

è

x2 =

1 √ 10 + 6 2

jå:

28x2 −10x+1 = 0 (Á) 28x2 +20x+1 = 0 (Â) 28x2 −20x+1 = 0 (Ã) 18x2 −20x+1 = 0 2 (Ä) 8x + 20x + 1 = 0.

(À)

Ðåøå»å:

3

c b x1 + x2 = − è x1 x˙ 2 = . √a √a 1 20 1 10 + 6 2 + 10 − 6 2 √ + √ = Äàêëå, x1 + x2 = = 100 − 72 28 10 − 6 2 10 + 6 2 1 1 1 1 √ · √ = = . Òàêî¢å: x1 x ˙2 = 100 − 72 28 10 − 6 2 10 + 6 2 Êîåôèöèjåíòè èìàjó âðåäíîñò: a = 28, b = −20, c = 1, ïà jåäíà÷èíà 28x2 − 20x + 1 = 0. Íà îñíîâó Âèåòîâèõ ôîðìóëà âàæè:

9. Çáèð íàjâå£å è íàjìà»å âðåäíîñòè ôóíêöèjå

f (x) = −x2 + 6x − 5

èìà îáëèê:

íà ñåãìåíòó

[2, 5]

jå

jåäíàê: (À)

0

(Á)

3

(Â)

2

(Ã)

4

(Ä)

5.

Ðåøå»å:

Ôóíêöèjà òà÷êà

f (x)

x=3 18 − 5 = 4.

jå êîíêàâíà, èìà ìàêñèìóì ó òà÷êè

ïðèïàäà ñåãìåíòó

Ôóíêöèjà ñå÷å

x-îñó

[2, 5],

ó òà÷êàìà

ìàêñèìàëíà âðåäíîñò

x1,2 =

âðåäíîñòè ôóíêöèjå íà ñåãìåíòó

−6 ±

−6 b = = 3. Ïîøòî 2a −2 ôóíêöèjå jå f (x) = −9 +

xmax = −

√ 36 − 20 , x1 = 1, x2 = 5, −2

ïà ñó ñâå

[2, 5] ïîçèòèâíå, èëè jåäíàêå íóëè. Çàïðàâî x = 5 ôóíêöèjà äîñòèæå âðåäíîñò f (x) = 0, øòî jå »åíà íàjíèæà âðåäíîñò. Çáèð íàjâå£å è íàjìà»å âðåäíîñòè ôóíêöèjå jå: 4 + 0 = 4. 4

ó òà÷êè

10. Òðè ðàçëè÷èòà áðîjà ÷èjà ñóìà èçíîñè 93, ÷èíå ãåîìåòðèjñêó ïðîãðåñèjó. Èñòà òà òðè áðîjà ïðåäñòàâ§àjó ïðâè, äðóãè è ñåäìè ÷ëàí íåêå àðèòìåòè÷êå ïðîãðåñèjå. Òàäà jå ïðîèçâîä òà òðè áðîjà: (À)

3275

(Á)

3225

(Â)

3115

(Ã)

3175

(Ä)

3375.

Ðåøå»å:

Òðàæåíå áðîjåâå £åìî îçíà÷èòè ñà

x1 , x2 , x3 .

›èõîâ çáèð jå:

x1 + x2 + x3 = 93.

Ïîøòî îíè èñòîâðåìåíî ïðåäñòàâ§àjó ÷ëàíîâå àðèòìåòè÷êîã è ãåîìåòðèjñêîã íèçà,

x2 = x1 + d, x3 = x1 + 6d, x2 = x1 q, x3 = x1 q 2 . Ñëåäè: x1 q = x1 +d, x1 (q −1) = d à òàêî¢å x1 q 2 = x1 +6d, x1 (q 2 −1) = 6d. Çàê§ó÷ójåìî 6d d = 2 , îäàêëå äîáèjàìî: q 2 − 6q + 5 = 0, q1 = 5, q2 = 1. Àêî jå q = 1 äà jå q−1 q −1 îíäà jå x1 = x2 = x3 , øòî jå ó ñóïðîòíîñòè ñà óñëîâîì äà ñó áðîjåâè ðàçëè÷èòè. Àêî jå q = 5, îíäà jå x1 + 5x2 + 25x3 = 93, x1 = 3, x2 = 15, x3 = 75. Òðàæåíè ïðîèçâîä jå: x1 x2 x3 = 3375. ìîãó ñå çàïèñàòè íà ñëåäå£è íà÷èí:

11. Èçðàç (À) (Ã)

sin2 x − sin2 y

jå èäåíòè÷êè jåäíàê:

sin(x + y) sin(x − y) (Á) sin(x + y) cos(x − y) (Â) cos(x + y) sin(x − y) cos(x + y) cos(x − y) (Ä) sin(x + y) cos(x + y).

Ðåøå»å:

sin2 x − sin2 y = sin2 x(sin2 y + cos2 y) − sin2 y(sin2 x + cos2 x) = = sin2 x cos2 y + sin2 x cos2 y − sin2 x sin2 y − sin2 y cos2 x = = (sin x cos y − sin y cos x)(sin x cos y + sin y cos x) = sin(x − y) sin(x + y).

12. Ñâà ðåàëíà ðåøå»à òðèãîíîìåòðèjñêå jåäíà÷èíå (À) (Ä)

(2k + 1)π(k ∈ Z) π + kπ(k ∈ Z). 6

(Á)

π + kπ(k ∈ Z) 4

(Â)

sin x = cos x

ñó:

kπ(k ∈ Z)

(Ã)

π + kπ(k ∈ Z) 3

Ðåøå»å:

Àêî jåäíàêîñò

sin x = cos y

ïîäåëèìî ñà

cos x,

π + mπ, m ∈ Z . 2 π tgx = 1, ïà jå ðåøå»å: x = + kπ, k ∈ Z 4 x 6=

5

äîáèjàìî:

sin x = 1, cos x

óç óñëîâ

13. Çáèð êâàäðàòà ðåøå»à jåäíà÷èíå (À)

159

(Á)

131

(Â)

112

(Ã)

218

x4 − 17x3 + 65x2 + 17x − 66 = 0

(Ä)

jå:

185.

Ðåøå»å:

−17 x1 + x2 + x3 + x4 = − = 17 è 1 65 = 65. Àêî êâàäðèðàìî ïðâó x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x 4 + x3 x4 = 1 Íà îñíîâó Âèåòîâèõ ôîðìóëà âàæè:

jåäíàêîñò

äîáèjàìî:

(x1 + x2 + x3 + x4 )2 = 289, (x1 + x2 )2 + 2(x1 + x2 )(x3 + x4 ) + (x3 + x4 )2 = 289 x21 + x22 + x23 + x24 + 2(x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) = 289 x21 + x22 + x23 + x24 + 2 · 65 = 289, x21 + x22 + x23 + x24 = 289 − 130 = 159.

1 − 2i 1−i 1 3 − (Ä) . 3 8

14. Ðåàëíè äåî êîìïëåêñíîã áðîjà (À)

−

1 2

(Á)

3 2

(Â)

1 2

(Ã)

jå:

Ðåøå»å:

Àêî äàòè êîìïëåêñíè áðîj îçíà÷èìî ñà

1 − 2i 1 + i 1−i+2 3−i z= · = = , 1−i 1+i 1 + 1) 2 3 Re(z) = . 2

z,

îíäà âàæè:

3π −8 ≤ α ≤ 2π è tan α = , îíäà jå sin α 2 13 1 1 3 8 3 − (Á) (Â) − √ (Ã) − (Ä) . 2 2 3 8 233

15. Àêî jå (À)

jåäíàêî:

Ðåøå»å:

sin α 8 = − , àêî êâàäðèðàìî jåäíàêîñò, äîáèjàìî: cos α 13 sin2 α 64 = cos2 α 169 64 8 2 169 sin α = 64(1 − sin2 α), ñëåäè äà jå: sin2 α = , sin α = ± √ . 233 233 Ïîøòî jå êðàê óãëà

16. Ïðàâà

q

ñå÷å ïðàâó

α

ó ÷åòâðòîì êâàäðàíòó, ðåøå»å jå:

p : y = −x + 7

ó òà÷êè 6

M (1, 6)

sin α = − √

8 233

ïîä ïðàâèì óãëîì. Àêî ïðàâà

q

ñå÷å (À)

x-îñó

11

(Á)

ó òà÷êè

3

(Â)

2

îíäà jå

N (x∗ , 0) −5

(Ã)

(Ä)

x∗ =?

5.

Ðåøå»å:

Ïðàâà èìà

q

jåäíà÷èíó

y − y∗ = k(x − x∗ ).

Êîåôèöèjåíò ïðàâöà ïðàâå Ïðàâà

q

èìà jåäíà÷èíó

›åí ïðåñåê ñà

x-îñîì

q

äîáèjàìî íà ñëåäå£è íà÷èí:

y = x + 5.

äîáèjàìî êàäà óçìåìî äà jå

y = 0.

17. Àêî jå äóæèíà èâèöå ïðàâèëíîã òåòðàåäðà jåäíàêà (À)

a

2

√

3

(Á)

√ a2 3 4

(Â)

p jå kp = −1. 1 1 k = − = − = 1. kp −1

Êîåôèöèjåíò ïðàâöà ïðàâå

√ a3 2 12

(Ã)

√ a2 2 √ 3

(Ä)

a,

Ðåøå»å jå

x∗ = −5.

îíäà jå »åãîâà ïîâðøèíà:

√ a2 6 . 4

Ðåøå»å:

Òåòðàåäàð èìà ÷åòèðè ñòðàíå, ïà jå »åãîâà ïîâðøèíà:

18. Çáèð (À)

x è y êîîðäèíàòå öåíòðà êðóãà 11 (Á) 31 (Â) 12 (Ã) 18 (Ä) 5.

√ √ a2 3 P =4· = a2 3. 4

çàäàòîã jåäíà÷èíîì:

x2 + y 2 − 10x + 17 = 0

jå:

Ðåøå»å:

Ó jåäíà÷èíè êðóãà

x2 + y 2 + px + qy − m = 0 âèäèìî äà jå p = −10, q = 0.

öåíòðà êðóãà ðà÷óíàìî íà ñëåäå£è íà÷èí:

p −10 xc = − = − = 5, 2 2 q yc = − = 0 2

7

Êîîðäèíàòå

›èõîâ çáèð jå

19. Àêî ñå ïðàâå (À)

−

1 2

(Á)

3 5

xc + yc = 5.

5x + 6y = −2 (Â)

−

3 5

(Ã)

è

7x + 18y = 2

−

2 5

(Ä)

ñåêó ó òà÷êè

M (x, y)

îíäà jå

x+y

jåäíàêî:

3 . 2

Ðåøå»å:

Êîîðäèíàòå òà÷êå M ñå äîáèjàjó ðåøàâà»åì ñèñòåìà jåäíà÷èíà: ( 5x + 6y = −2 . Ðåøèìî ñèñòåì ïîìî£ó äåòåðìèíàíòè: 7x + 18y = 2 5 6 = 90 − 42 = 48, çàòèì: ∆= 7 18 −2 6 = −36 − 12 = −48 è ∆x = 2 18 5 −2 = 10 + 14 = 24. Äîáèjàìî äà jå: ∆y = 7 2 24 1 −48 = −1 è y = = , ñëåäè äà jå: x= 48 48 2 1 1 x + y = −1 + = − . 2 2

20. Ðåàëíè äåî ðåøå»à jåäíà÷èíå (À)

−

1 2

(Á)

3 2

(Â)

−

3 5

(Ã)

−

2 5

|z| − z = 1 + 2i (Ä)

−

jå:

3 . 2

Ðåøå»å:

Àêî ñå pêîìïëåêñíè áðîj

z çàïèøå ó îáëèêó z = x + iy , à ìîäóî êîìïëåêñíîã áðîjà êàî 2 + y 2 , jåäíà÷èíà £å èìàòè èçãëåä: |z| = x p x2 + y 2 − (x + iy) = 1 + 2i. Àêî p óïîðåäèìî ðåàëíå è èìàãèíàðíå äåëîâå ó jåäíà÷èíè, äîáèjàìî:√

x2 + y 2 − x = 1

−y = 2. Âèäèìî äà jå y = −2, ïà jå çàòî: x2 + 4 = 1 + x. Óçèìàjó£è ó îáçèð óñëîâå: 1 + x ≥ 0 è x2 + 4 ≥ 0 äîëàçèìî äî jåäíàêîñòè: x2 + 4 = 1 + 2x + x2 , 2x = 3, îäàêëå äîáèjàìî äà jå ðåàëíèî äåî êîìïëåêñíîã áðîjà: 3 x= . 2 è

8