Matematica Distractiva

Ministerul Educaţiei şi Cercetării Unitatea de Management a Proiectului pentru Învăţământul Rural

Tel: 021 305 59 99 Fax: 021 305 59 89 http://rural.edu.ro e-mail: [email protected]

Mihail ROŞU

Str. Spiru Haret nr. 10-12, etaj 2, sector 1, cod poºtal 010176, Bucureºti

ISBN 00 000-0-00000-0; ISBN 00 000-000-0-00000-0.

Program universitar de formare în domeniul Pedagogie pentru Învăţământ Primar şi Preşcolar adresat cadrelor didactice din mediul rural MATEMATICA DISTRACTIVĂ

Forma de învăţământ ID - semestrul IV

MATEMATICA DISTRACTIVĂ

Mihail ROŞU

Tu îi poţi ajuta! Tu îi poţi ajuta!

Program cofinanţat de Guvernul României, Banca Mondială şi comunităţile rurale.

2007

Toţi copiii din mediul rural Toţi copiiisădin mediulmai rural trebuie meargă departe! trebuie să meargă mai departe! 2007

Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural

PEDAGOGIA ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Matematică distractivă

Mihail ROŞU

2007

© 2007

Ministerul Educaţiei şi Cercetării Proiectul pentru Învăţământul Rural Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei şi Cercetării

ISBN 978-973-0-04788-2

Cuprins

CUPRINS Introducere........................................................................................................................ iii I.

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ” .................................................................................................... 1

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare .............................................................................. 1 1.2. Ce urmăreşte opţionalul? ...................................................................................... 2 1.3. Obiective ale opţionalului ...................................................................................... 2 1.4. Conţinuturi............................................................................................................ 7 1.5. Bibliografie .......................................................................................................... 8 II. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. III. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. IV. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. V. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. VI. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Numere naturale .................................................................................................. 9 Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................... 9 Numere naturale .................................................................................................. 10 Probleme propuse ............................................................................................... 11 Răspunsuri.......................................................................................................... 13 Bibliografie .......................................................................................................... 13 Operaţii cu numere naturale............................................................................. 14 Obiectivele unităţii de învăţare .......................................................................... 14 Operaţii cu numere naturale.............................................................................. 15 Probleme propuse............................................................................................. 16 Răspunsuri........................................................................................................ 19 Bibliografie ........................................................................................................ 20 Curiozităţi numerice.......................................................................................... 21 Obiectivele unităţii de învăţare ........................................................................... 21 Curiozităţi numerice ........................................................................................... 22 Probleme propuse.............................................................................................. 22 Bibliografie ......................................................................................................... 28 Operaţii citate ................................................................................................... 29 Obiectivele unităţii de învăţare ........................................................................... 29 Operaţii citate .................................................................................................... 30 Probleme propuse ............................................................................................ 31 Răspunsuri ....................................................................................................... 36 Bibliografie ....................................................................................................... 38 Şiruri................................................................................................................... 39 Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................ 39 Şiruri ................................................................................................................... 40 Probleme propuse............................................................................................... 41 Răspunsuri.......................................................................................................... 43 Bibliografie .......................................................................................................... 43

Proiectul pentru Învăţământul Rural

i

Cuprins

VII. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. VIII. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Matematica …….. cu chibrituri .........................................................................44 Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................44 Matematica … cu chibrituri ..................................................................................45 Probleme propuse ..............................................................................................46 Răspunsuri ..........................................................................................................50 Bibliografie...........................................................................................................52 Probleme distractive ........................................................................................53 Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................53 Probleme distractive ............................................................................................54 Probleme propuse ...............................................................................................55 Răspunsuri ..........................................................................................................58 Bibliografie ..........................................................................................................58 Bibliografie minimală ..........................................................................................59

ii

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Introducere

INTRODUCERE

Matematică distractivă. Pentru cine? De ce? Cum? Sunt numai câteva întrebări ce şi le poate pune cineva, citind titlul lucrării. Pentru cine? Întrucât cartea este destinată viitorilor profesori pentru învăţământul primar şi preşcolar, evident ei reprezintă ţinta. De ce? Pentru că în viitoarea profesie vor avea nevoie să introducă în lecţiile de matematică şi “altceva” decât textul, de multe ori arid, al manualului. Şi acest ”altceva” poate fi un element de matematică distractivă. Mai mult decât atât, în clasele I-IV, MATEMETICA DISTRACTIVĂ este o disciplină opţională la nivelul obiectului MATEMATICĂ. Cum? Răspunsul este dificil, pentru că termenul de „distractiv” este subiectiv, dependent de percepţia privitorului. Ce este distractiv pentru mine, poate foarte bine să nu fie la fel pentru altcineva. Mai mult, ce a fost distractiv la un moment dat pentru cineva, într-o altă perioadă poate să numai fie. Şi atunci, ce să facem cu această carte, mai ales că asemenea titluri mai există? Lucrarea de faţă are un substrat didactic. Ea urmăreşte să formeze la studenţi capacitatea de a-si construi singuri un demers asemănător, pentru lecţiile de matematică sau opţionalul MATEMATICĂ DISTACTIVĂ, cu focalizare pe creativitate în zona preocupărilor didactice cotidiene. După parcurgerea acestui modul, aşteptăm ca cititorul să fie capabil: − să creeze şi să valorifice situaţii noi de învăţare în context nonformal şi informal în domeniul matematicii şcolare; − să selecteze conţinuturi şi strategii didactice de natură să stimuleze interesul şi motivaţia pentru învăţarea matematicii; − să examineze critic şi să valorizeze potenţialitatea creativităţii, ca proces optimizator al învăţării şcolare. Finalizarea cursului presupune realizarea unui proiect de programă pentru un opţional de MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ (cu precizarea obiectivelor şi a conţinuturilor), însoţit de o detaliere a cel puţin două dintre conţinuturile prevăzute. Lucrarea va fi transmisă tutorelui, într-o modalitate stabilită de comun acord (email, probă scrisă etc ). Sugestii pentru acordarea punctajului: Oficiu: 10 puncte Proiect de programă: 40 puncte Detaliere un capitol un capitol: 20 puncte Detaliere conţinuturi al doilea capitol: 20 puncte Detaliere conţinuturi alte capitole: 10 puncte Ponderea acestei lucrări este de 50% din evaluarea de bilanţ.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

iii

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1 CUM SE RALIZEAZĂ O PROGRAMA PENTRU „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

Cuprins 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Obiectivele unităţii de învăţare .............................................................................. 1 Ce urmăreşte opţionalul? ...................................................................................... 2 Obiective ale opţionalului ...................................................................................... 2 Conţinuturi............................................................................................................. 7 Bibliografie ........................................................................................................... 8

1.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: − să discrimineze obiectivele unui opţional de „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”; − să recunoască acele conţinuturi ce pot materializa obiectivele propuse; − să identifice activităţi de învăţare induse de obiectivele şi conţinuturile alese.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

1

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

1.2. Ce urmăreşte opţionalul? Disciplina opţională MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ urmăreşte formarea şi dezvoltarea componentei logico-matematice a comportamentului aptitudinal al elevilor dotaţi şi motivaţi pentru învăţarea matematicii. Fiind un opţional, înseamnă că elevul are posibilitatea să îl aleagă, dintr-o ofertă mai largă, în funcţie de preocupările, capacităţile şi dorinţa sa. Ceea ce presupune că elevul ştie ce vrea şi ce poate face (deci, nu din clasa I!), iar alegerea este a lui, nu a părinţilor sau învăţătorului. Schimbând unghiul de abordare, învăţătorul are datoria (dacă vea ca acest opţional să fie o reuşită) să aleagă conţinuturi atrăgătoare pentru elevi, să selecteze strategii didacice diferite de cele din lecţii. Şi nu în ultimul rând, să îi placă şi lui matematica.

1.3. Obiective ale opţionalului

obiective cadru

Sfera opţionalului nu se suprapune celei a disciplinei şcolare MATEMATICA, dar nici nu este disjunctă de aceasta. De aceea, în stabilirea obiectivelor cadru ale opţionalului, trebuie să avem în vedere obiectivele cadru ale disciplinei şcolare MATEMATICĂ, dezvoltând nu conţinuturi noi, ci capacităţi creatoare ale elevilor. Astfel, obiective cadru ale opţionalului ar putea fi: 1. Utilizarea conceptelor specifice matematicii studiate, în contexte noi, distractive ca formă şi formative ca fond. 2.Dezvoltarea capacităţilor de comunicare, explorare/investigare şi rezolvare de probleme netipice. 3. Dezvoltarea imaginaţiei creatoare, a interesului şi a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii. Obiectivele de referinţă şi exemplificarea activităţilor de învăţare se stabilesc în funcţie de clasă, de particularităţile elevilor participanţi şi de resurse. Exemplificăm, în continuare, cu două posibile curricule, pentru clasa a III-a, respectiv a IV-a. Curriculum pentru clasa a III-a

obiective de referinţă

2

Obiectivul cadru 1: Utilizarea conceptelor specifice matematicii studiate, în contexte noi, distractive ca formă şi formative ca fond OBIECTIVE DE REFERINŢĂ I.1. Să cunoască şi să utilizeze semnificaţia poziţiei cifrelor în formarea unui număr natural mai mic decât 1 000

EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE -reprezentarea numerelor punând în evidenţă sistemul poziţional de scriere a cifrelor. -numărarea repede şi eficient a elementelor unor şiruri de numere date; • scrierea unor numere din lumea Proiectul pentru Învăţământul Rural

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

I.2. Să scrie, să citească, să compare, să ordoneze numere naturale până la 1 000 000 I.3. Să efectueze operaţii de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire de numere mai mici decât 1 000 I. 4. Să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exerciţiu cu o singură operaţie prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, în scopul depistării greşelilor I. 5. Să sorteze şi să clasifice obiecte şi desene după forma lor, să remarce proprietăţi simple de simetrie ale unor desene

I.6. Să cunoască unităţile de măsură standard pentru lungime, capacitate , masă, timp şi unităţi monetare şi să exprime legătura dintre unitatea principală de măsură şi multipli, respective submultipli ei uzuali;

Proiectul pentru Învăţământul Rural

cifrelor descoperite în “ galleria curiozităţilor” numerice; • jocuri în care se pune în evidenţă ideea de schimburi echivalente; - reprezentarea prin obiecte sau desene adecvate a numerelor studiate; • compararea şi ordonarea numerelor utilizând modele semnificative; - rezolvări de “aritmoglifuri”; - folosirea proprietăţilor operaţiilor în scopul efectuării unor “calcule rapide”; - observarea legăturilor dintre operaţii prin rezolvarea de”operaţii cifrate”; - verificarea cu ajutorul prezentărilor simbolice a operaţiilor de adunare, scădere, înmulţire, împărţire; - utilizarea axei numerelor pentru a preciza dacă un număr este “mai îndepărtat “sau “mai apropiat” de un altul - conştientizarea erorilor posibile prin propunera unor exerciţii şi probleme cu erori tipice, uşor de observat şi cu un anumit grad de relevanţă (ex. suma a două numere naturale nu poate fi mai mică decât unul dintre numere); - recunoaşterea în spaţiu şi în plan, notarea figurilor geometrice plane (dreapta, semidrepata, segmentul de dreaptă, linia frântă, , unghiul, poligoanele) - identificarea şi numirea elementelor figurilor geometrice plane (unghi, poligon) - cunoaşterea figurilor geometrice care sunt “în oglindă” (simetria faţă de o dreaptă); - utilizarea zarului în probleme de perspicacitate; - compararea măsurilor unor mărimi; - utilizarea relaţiilor dintre unităţile de măsură ale unei mărimi date pentru transformarea lor convenabilă; -utilizarea instrumentelor şi a unităţilor de măsură potrivite pentru efectuarea unor măsurători; - plasarea în timp a unor evenimente; - efectuarea de schimburi echivalente monede şi bancnote, sume de bani în lei şi valută; 3

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

Obiectivul cadru 2: Dezvoltarea capacităţilor de comunicare, explorare/investigare şi rezolvare de probleme netipice OBIECTIVE DE REFERINŢĂ II.1. Să stabilească poziţiile relative ale numerelor dintr-un tabel dat şi să plaseze numere în poziţii diferite.

EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE - scrierea perechii de numere corespunzătoare unor numere reprezentate într-un tabel - completarea căsuţelor libere dintr-un tabel corespunzătoare unor perechi de numere date;

II.2. Să rezolve şi să compună probleme tipice şi netipice cu un conţinut distractiv.

- compunerea unor probleme pe baza unor imagini date, de la numere date fără sprijin, sau de la execiţii; - verbalizarea modalităţilor de calcul folosite în rezolvarea problemelor;

Obiectivul cadru 3: Dezvoltarea imaginaţiei creatoare, a motivaţiei pentru studiul şi aplicarea matematicii OBIECTIVE DE REFERINŢĂ III.1. Să manifeste iniţiativă în a propune modalităţi diverse de abordare a unei probleme III.2. Să manifeste un comportament adecvat în relaţiile cu colegii dintr-un grup de lucru în cadrul activităţilor practice de rezolvare de probleme

EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE - transpunerea unui context problematic în probleme sau exerciţii - imaginarea unui context problematic pornind de la un exerciţiu dat; - dezvoltarea gustului de competiţie prin găsirea a cât mai multor soluţii la anumite probleme;

Curriculum pentru clasa a IV-a Obiectivul cadru 1: Utilizarea conceptelor specifice matematicii studiate, în contexte noi, distractive ca formă şi formative ca fond obiective de referinţă

4

OBIECTIVE DE REFERINŢĂ I.1. Să cunoască şi să utilizeze semnificaţia poziţiei cifrelor în formarea unui număr natural până la ordinul miliardelor inclusiv

EXEMPLE DE ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE - exrciţii de nimărare cu obiecte grupate; - exerciţii-joc de reprezentare a numerelor punând în evidenţă sistemul poziţional de scriere a cifrelor; - exerciţii-joc de reprezentare prin obiecte sau desene a oricărui număr şi Proiectul pentru Învăţământul Rural

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

I.2. Să utilizeze fracţii pentru a exprima subidiviziuni ale întregului şi să înţeleagă semnificaţia adunării şi scăderii numerelor fracţionare

I.3. Să înţeleagă semnificaţia operatiilor aritmetice şi utilizarea algoritimilor de calcul

I.4. Să estimeze ordinul de mărime a rezultatului unui exerciţiu cu o singură opreaţie prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, în scopul depistării greşelilor I.5. Să recunoască forme plane şi forme spaţiale, să identifice şi să descrie proprietăţile simple ale unor figuri geometrice. I.6. Să cunoască unităţile de măsură standard pentru lungime, capacitate, masă, suprafaţă, timp şi unităţile monetare şi să Proiectul pentru Învăţământul Rural

asocierea grupurilor de obiecte - exerciţii de numărare cu obiecte grupate ; - exercţii-joc de reprezentare a numerelor punând în evidenţă sistemul poziţional de scriere a cifrelor; - exerciţii-joc de reprezentare prin obiecte sau desene a oricărui număr şi asocierea grupurilor de obiecte cu numărul de obiecte corespinzătoare; - exerciţii de descperire a regulilor formării unui şir dat; - exerciţii de construirea unui a unui şir început; Exerciţii de completare a unor căsuţe libere cu operaţii cu numere; - execiţii-joc “operaţii cifrate”, “pătrate magice”; - exerciţii-joc calcule rapide; - exrciţii-joc, calcule mentale pe principiul”predării ştafetei; - jocuri şi trucuri matematice exerciţiijoc de realizare a unor “construcţii” operaţii cu…chibrituri, transformarea acestora în alte forme plane prin mutarea sau scoaterea unor chibrituri(realizarea unor egalităţii); - utilizarea axei numerelor pentru a preciza dacă un număr este “mai îndepărtat” sau “mai apropiat” de un altul - conştientizarea erorilor posibile prin propunrea de exerciţii şi probleme cu erori tipice uşor de observat şi cu un anumit grad de relevanţă (exemplu produsul a doua numre nenule este egal cu zero). - desenarea pe hârtie transparentă a unor figuri geometrice, decuparea lor - identificarea şi utilizarea instrumentelor de măsură potrivite – rigla gradată, echerul - verificarea corectitudinii determinării axelor de simetrie prin suprapunrea a celor două părţi simetrice. - să măsoare şi să compare lungimea, capacitatea , sau masa unor obiecte folosind unităţi de măsură nestandard adecvate, precum şi următoarele unităţi de măsură standard metrul, litrul, gramul. 5

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

exprime prin transformări pe baza operaţiilor învăţate legăturile dintre unităţile de măsură ale aceleiaşi mărimi

- determinarea perimetrelor poligoanelor prin măsurare si calcul - activităţi practice de măsurare şi comparare - plasarea în timp a unor evenimente - recunoaşterea valorii monedelor şi a bancnotelor - schimburi echivalente cu sume de bani compararea sumelor de bani.

Obiectivul cadru 2: Dezvoltarea capacităţilor de comunicare, explorare/investigare şi rezolvare de probleme netipice OBIECTIVE DE REFERINTA II.I. Să stabilească poziţiile relative ale numerelor dintr-un tabel şi să plaseze numerele in tabel II.2.Să rezolve şi să compună probleme tipice şi netipice cu un conţinut distractiv

EXEMPLE DE ACTIVITATI DE INVATARE - scrierea perechilor de numere corespunzătoare unor numere reprezentate într-un tabel - completarea căsuţelor libere dintr-un tabel corespunzătoare unor perechi de numere date - rezolvarea problemelor din lumea şah – mat ...ematicii - rezolvarea problemelor de logică - manifestarea unui interes deosebit pentru analiza şi rezolvarea unor probleme practice prin metode matematice - transpunerea unui conţext problematic în problemă sau exerciţiu - imaginarea unui context problematic pornind de la un exerciţiu dat.

Obiectivul cadru 3: Dezvoltarea imaginaţiei creatoare, a motivaţiei pentru studiu şi aplicarea matematicii OBIECTIVE DE REFERINTĂ

EXEMPLE DE ACTIVITATI DE ÎNVĂŢARE III.1. Să depăşească blocaje în - probleme logice cu niveluri de rezolvarea de probleme să caute dificultate variabile prin încercare-eroare noi căi de - rezolvări de probleme în competiţi rezolvare de grup III.2. Să manifeste disponibilităţi - rezolvări de probleme logice în gru pentru a învăţa de la alţii şi a-i - competiţii de grup în rezolvări de ajuta pe ceilalţi în rezolvarea de probleme probleme

6

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

1.4. Conţinuturi Posibile conţinuturi pentru clasa a III-a, respectiv a IV-a sunt: CONŢINUTURILE ÎNVĂŢĂRII . CLASA a III- a I. II.

NUMERELE NATURALE DE LA O LA 1 000 OPERAŢII CU NUMERE NATURALE MAI MICI SAU EGALE CU 1 000 000 III. AMUZAMENTE MATEMATICE IV. ŞIRURI V. SUME ÎNCRUCIŞATE VI. OPERAŢII CIFRATE VII. ZARUL VIII. SITUAŢII DIFICILE? IX. CURIOZITĂŢI NUMERICE X. SĂ NE AMUZĂM, GÂNDIND LOGIC XI. ELEMENTE DE GEOMETRIE XII. ARITMOGLIFURI XIII. PROBLEME REZOLVATE PRIN METODA GARFICĂ XIV. IZBÂNDA MINŢII XV. JOCURI LOGICE CONŢINUTURILE ÎNVĂŢĂRII . CLASA a IV-a

I. NUMRE NATURALE II. OPERAŢII CU NUMERE NATURALE III. MATEMATICĂ CU CHIBRITURI IV. ŞIRURI V. PATRATE MAGICE VI. OPERAŢII CIFRATE VII. APROXIMĂRI DE NUMERE VIII. ŞAH-MAT…EMATICĂ! IX. CALCULE RAPIDE X. ELEMENTE DE GEOMETRIE XI. MĂSURAREA MĂRIMILOR XII. CUM GÎNDIM ŞI REZOLVĂM PROBLEME XIII. PROBLEME DE LOGICĂ XIV. FRACŢII XV. JOCURI ŞI TRUCURI MATEMATICE

Proiectul pentru Învăţământul Rural

7

Cum se realizează o programă pentru opţionalul „MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ”

1.5. Bibliografie 1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

8

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Numere naturale

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2 NUMERE NATURALE

Cuprins

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Obiectivele unităţii de învăţare ................................................................................. 9 Numere naturale .................................................................................................... 10 Probleme propuse.................................................................................................. 11 Răspunsuri............................................................................................................. 13 Bibliografie ............................................................................................................. 13

2.1. Obiectivele unităţii de învăţare

-

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: să recunoască modalităţi de aplicare a cunoştinţelor privind numerele naturale, în contexte noi; să rezolve probleme netipice vizând numerele naturale; să identifice alte situaţii/probleme tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

9

Numere naturale

2.2. Numere naturale Numerele naturale, în diverse concentre, se studiază în fiecare clasa a ciclului primar. De aceea, o astfel de temă se poate regăsi, în forme specifice, în opţional. Sarcinile didactice pot viza capacitatea elevilor de a determina numere respectând condiţii date, potenţând o gândire combinatorică, in probleme ce admit, uneori, mai multe soluţii. Condiţiile date pot viza utilizarea doar a unor anumite cifre în scrierea numărului, alegerea celui mai mic/mare număr ce îndeplineşte aceste condiţii, depistarea unui număr ce nu apariţie unui şir dat sau determinarea numărului ce urmează în şir. De exemplu: Câte numere având cifrele reprezentând numere consecutive, poţi scrie? Rezolvare. Se formează întâi numere de două cifre reprezentând numere consecutive:12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89. Sunt 8 astfel de numere. Apoi numere de trei cifre:123, 234, 345, 456, 567, 678, 789. Sunt 7 astfel de numere (cu 1 mai puţin decât în cazul precedent). Numere de patru cifre sunt:1234, 2345, 3456, 4567, 5678, 6789. Sunt 6 astfel de numere (cu 1 mai puţin decât în cazul precedent). De aici, rezolvările ar putea merge pe două căi. O primă variantă continuă cu scrierea numerelor de 5, 6, 7, 8 şi 9 cifre, în condiţiile date, ajungând la concluzia că numărul cerut este dat de suma 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Într-o altă variantă, se observă că pentru următoarele cazuri se vor obţine cinci numere(cu unul mai puţin decât în cazul precedent) ş.a.m.d, ajungând tot la suma 8+7+6+5+4+3+2+1. Şi calculul acestei sume se poate realiza în două moduri. Primul mod este cel calculatoriu: 8 + 7 = 15, 15 + 6 = 21, ş. a. m. d. În al doilea mod, se face observaţia că dacă grupăm termenii extremi(primul şi ultimul) şi analog, cei egal depărtaţi de extremi, se obţin 4 perechi (opt numere grupate câte două) de sumă 9, deci rezultatul este 4 X 9 = 36 (numere).

10

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Numere naturale

2.3. Probleme propuse 1. Scrie numerele formate din sute, zeci si unităţi folosind de fiecare dată toate cifrele 3, 4, 8. 2. Ce numere de trei cifre se pot scrie folosind o singură dată cifrele 0, 3, si 7? 3. Scrie: a) cel mai mic număr natural de o cifră; b) cel mai mare număr natural de o cifră; c) cel mai mic număr natural de doua cifre; d) cel mai mare număr natural de doua cifre; e) cel mai mic număr natural de trei cifre; f) cel mai mare număr natural de trei cifre; g) cel mai mic număr natural de patru cifre. 4. Scrie cel mai mic număr natural de trei cifre, care sa aibă cifra zecilor 5. 5. Scrie cel mai mare număr natural de trei cifre , care să aibă cifra zecilor 5. 6. Scrie cel mai mic număr natural de trei cifre care să aibă cifra sutelor 8. 7. Scrie cel mai mare număr natural par de trei cifre care să aibă cifra sutelor 9. 8. Scrie cel mai mare număr natural imparte trei cifre care să aibă cifra sutelor 8. 9. Care este cel mai mic număr natural de trei cifre, astfel încât una dintre cifrele sale să fie 9. l0. Află numerele care îndeplinesc, în acelaşi timp, condiţiile: a) sunt scrise cu trei cifre; b) zecile si unităţile sunt reprezentate de numere identice ; c) suma numerelor reprezentate de cifrele fiecăruia este 9; d) cel mai mare este numărul reprezentat de cifra sutelor. 11. Unul din cele cinci numere din şirul ce urmează trebuie eliminate care nefiind bun. Care? 91 999

91 998

91 898

89 919

99 919

12. Determină cel mai mare, respectiv cel mai mic număr impar, de şase cifre distincte, care are cifra unităţilor 7. 13. Foloseşte cifrele numărului 923 456 câte o singură dată şi scrie cel mai mare, respectiv cel mai mic număr posibil, în aceste condiţii. 14. Scrie cel mai mic şi cel mare număr natural de cinci cifre impare, în care cifrele impare să apară fiecare cel puţin o dată. 15. Scrie cel mai mic şi cel mai mare număr natural de nouă cifre în care cifrele pare să apară cel mult de două ori fiecare.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

11

Numere naturale

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

12

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Numere naturale

Răspunsuri 1. 348, 384, 438, 483, 834, 843 2. 307, 370, 703, 730. 3. a) 0; b) 9; c) 10; d) 99; e) 100; f) 999; g) 1 000 4. 150 5. 959 6. 800 7. 998 8. 899 9. 109 10. 900; 711; 522. 11. Numărul de la mijloc 91 898 trebuie eliminat, ultimele două numere fiind răsturnatele primelor două numere. 12. Numerele căutate sunt: 102 347 respectiv 986 547 13. Numerele căutate sunt: 234 569 respectiv 965 432 14 . Numerele căutate sunt: 13 579 respectiv 97 531 15. Numerele căutate sunt: 1 23 456 789 respectiv 987 654 321

2.5. Bibliografie 1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

Proiectul pentru Învăţământul Rural

13

Operaţii cu numere naturale

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 3 OPERAŢII CU NUMERE NATURALE

Cuprins 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Obiectivele unităţii de învăţare............................................................................14 Operaţii cu numere naturale ...............................................................................15 Probleme propuse .............................................................................................16 Răspunsuri.........................................................................................................19 Bibliografie .........................................................................................................20

3.1. Obiectivele unităţii de învăţare

-

14

La sfârşitul aceste unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: să recunoască modalităţile de aplicare a cunoştinţelor privind operaţiile cu numere naturale, în contextul dat; să rezolve probleme netipice vizând operaţiile cu numere naturale; să identifice alte situaţii probleme tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Operaţii cu numere naturale

3.2. Operaţii cu numere naturale Ca şi numerele naturale, operaţiile cu acestea au o largă reprezentare în toate clasele. În această zonă, sarcinile didactice ale opţionalului pot viza aplicarea algoritmilor, utilizarea proprietăţilor, aflarea unui număr necunoscut dintr-un exerciţiu dat, stabilirea valorii de adevăr a unei relaţii, scrierea sistemică a numerelor naturale, aplicaţii ce solicită un raţionament logic. Desigur, operaţiile şi concentrele numerice în care se efectuează trebuie să fie concordante cu programa de matematică a clasei din care fac parte elevii. Sunt interesante pentru copii şi prezentări ale unor proprietăţi ale operaţiilor, necunoscute din lecţiile de matematică.

proprietăţile numărului 9

Unele particularităţi ale operaţiilor aritmetice cu numere întregi sunt legate de numărul 9. Orice proprietate a cifrei 9 pe care aţi aşezat-o poate servi ca pretext pentru cele mai variate distracţii matematice. Cunoaşteţi, de pildă, regula împărţirii cu 9: un număr se împarte la 9 dacă suma cifrelor din care este compus se împarte la 9. Deci, rezultă că suma cifrelor produsului oricărui număr cu 9 este egală cu 9 sau un număr mai mare crescător din 9 in 9. De pildă, 354 x 9 = 3186, iar 3 + 1 + 8 + 6 = 18. ( se împarte la 9 ) De aceea, când un elev din clasa a II-a se plângea că îi vine greu să memorizeze tabla înmulţirii primelor zece numere cu 9, tatăl i-a recomandat o metodă simplă, aceea de a-şi ajuta memoria cu degetele de la mână. Iată această metodă: Prin mişcarea unui deget. Aşezaţi ambele mâini pe masă şi întindeţi degetele. Fiecare deget de la stânga la dreapta va reprezenta numărul ordinal corespunzător: primul din stânga – 1, al doilea 2, al treilea – 3, al patrulea – 4, al zecelea – 10. Avem de înmulţit de pildă, oricare din primele zece numere cu 9. Pentru aceasta este suficient fără să ridicaţi mâinile de pe masă, să ridicaţi degetul care reprezintă deînmulţitul. Atunci numărul degetelor aflate în stânga celui ridicat va reprezenta numărul zecilor din produs , iar numărul degetelor din dreapta lui , numărul unităţilor. Exemplu. Avem de înmulţit 7 cu 9.Asezaţi mâinile pe masă şi ridicaţi al şaptelea deget; în stânga degetului ridicat se află şase degete, iar în dreapta trei. Aşadar, rezultatul înmulţirii lui 7 cu 9 este 63. Această înmulţire mecanică, uimitoare la prima vedere, va deveni limpede îndată ce ne vom reaminti că suma cifrelor fiecărui produs din tabla înmulţirii cu 9 este egal cu 9, iar numărul zecilor din produs este întotdeauna mai mic cu 1 decât numerele pe care le înmulţim cu 9 .Prin ridicarea degetului corespunzător subliniem tocmai acest lucru, şi prin urmare …înmulţim. Mâna omului este una din primele maşini de calculat.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

15

Operaţii cu numere naturale

3.3. Probleme propuse 1. Înlocuieşte literele cu numerele potrivite, astfel ca relaţiile date să fie adevărate: a) a x (3 x 2) = 12; b) 2 x (b x 10) = 20; c) 9 x (7 x c) = 63; d) (d x 4) x 5 = 40. 2. Care numere formate din sute, zeci si unităţi “încep “ cu 2, “ se termină” cu 5 şi au suma cifrelor mai mică sau egala cu 10? a) Scrie-le în ordine crescătoare; b) Adună primele două numere; c) Adună ultimele două numere; d) Scade din numărul cel mai mare descoperit, numărul cel mai mic. 3. Determină numerele mai mici decât 200, dar mai mari decât 100, care îndeplinesc în acelaşi timp condiţiile: • Suma cifrelor este 6; • Numerele sunt pare. a) Scrie numerele aflate în ordine crescătoare; b) Efectuează suma lor; c) Scade din numărul mai mare descoperit, numărul cel mai mic. 4. Dacă dintr-un număr m se scade 18, se obţine cel mai mic număr scris cu trei cifre distincte, care are una dintre cifre 9, iar suma celorlalte două 6. a) Care este numărul? b) Scade numărul descoperit din 1000; c) Găseşte dublul numărului descoperit. 5. Fără să efectuezi operaţiile, spune care dintre relaţiile următoare sunt adevărate (A) si care sunt false (F). Justifică! a) 4 +47 + 247 = 247 + 4 + 47; b) (4 + 241) + 365 > 4 + (241 + 365); c) 5 + 245 + 246 = 6 + 245 + 248; d) 23 452 + 8 < 8 + 23 471. 6. Află valorile literelor a, b si c ştiind că: a + b + c = 223 896 : a = 7 b : c = 9 rest 5 7. Determină toate numerele naturale de forma abc, ştiind că: abc + bca + cab = 666 8. Înlocuieşte literele cu cifre, astfel încât ALO + ALO = SURD şi numărul SURD să fie cel mai mare posibil. 9. Reconstituie înmulţirea: abc x 8 = aabb 16

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Operaţii cu numere naturale

10. De câte ori bate inima unui copil într-un an, dacă într-un minut bate, în medie, de 75 de ori ? . 11. Suma vârstelor a trei copii este de 5 ani. Cel mare are ochii albaştri. Câţi ani are fiecare? 12. Efectuează apoi spune ce constaţi: a) 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 ; b) 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89 ; c) 1 + 2 x 3 + 4 x 5 – 6 + 7 + 8 x 9; d) 1 + 2 x 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9. 13. Într-o lună oarecare, trei duminici cad la date cu numere cu soţ. Ce zi a săptămânii a fost pe 20 ale acestei luni? 14. Suma a trei numere naturale este 292. Dacă înmulţim al doilea număr cu 5, obţinem acelaşi rezultat ca atunci când îi adăugăm 320. Ştiind că al doilea număr este cu 56 mai mic decât primul, află cele trei numere. 15. Efectuează calculele: a) 2 + 2 – 2 – 2 : 2 = f) 2 + 2 + 2 – 2 – 2 = b) 2 + 2 – 2 + 2 : 2 = g) 2 x 2 x 2 – 2 - 2 = c) 2 + 2 +2 – 2 : 2 = h) 2 + 2 + 2 + 2 - 2 = d) 22 : 2 - 2 – 2 = i) 2 x 2 x 2 + 2 – 2 = e) 2 x 2 x 2 + 2 : 2 = j) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16. O pălărie de floarea-soarelui are în centru o sămânţă, pe rândul următor sunt trei seminţe, următorul rând conţine un număr de seminţe dublu rândului anterior (adică 6 = 2 x 3 ) ş.a.m.d. Câte seminţe are în total pălăria de floarea-soarelui, dacă ea conţine zece rânduri cu seminţe? 17. Găseşte metode de calcul cât mai rapide: a) 100 – 99 + 98 – 97 + 96 – 95 + …+ 4 – 3 + 2 - 1; b) 7 x 1 + 7 x 2 + 7 x 3 + …+ 7 x 100 c) 9 + 18 + 27 +…+ 900. 18. a) Câte semne de “+” sunt în următoarea egalitate: 3 + 3 + 3 + …+ 3 = 21 300? b) Câte semne de “-“ sunt în următoarea relaţie: 14 975 – 5 – 5 – 5 - …- 5 = 0? c) Câte semne de “-“ sunt în următoarea egalitate: 25 905- 5 – 5 - …- 5 = 100? 19. Află pe a, b, c din : a+a+a=b b+a+a =c c + b + a =18 20. Determină valorile numerelor a,b,c,d din egalităţile: a+a=b b+b=c c+c=d d + 15 = 31 21. Un sfert din jumătate din dublul lui 32 este: A) 4; B) 8; C)16;D)32;E)64 22. Dacă o bunică oferă fiecăruia dintre nepoţii ei 10 bomboane, unul dintre ei nu va primi nici una. Dacă oferă câte 8 bomboane, rămân 6 bomboane. Câţi nepoţi are bunica? a) 4; b) 6; c) 8; d) 10; e) 12. Proiectul pentru Învăţământul Rural

17

Operaţii cu numere naturale

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare

18

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Operaţii cu numere naturale

3.4. Răspunsuri 1. a= 2, b=1, c=1, d=2 2. a) 205, 215, 225, 235. b) 420 c) 460 d) 30 3. a) 114, 132, 150 b) 396 c) 36 4. m -18 = 159 m =177 6. a = 896 : 7 ; a = 128. Aflăm b + c = 223 - 128; b + c = 95. 7. Numerele căutate sunt: 123, 231, 321, 123 + 231 + 312 = 666. 8. Pentru că numărul SURD este cel mai mare, rezultă că numărul ALO trebuie să fie cât mai mare. Se găseşte că 936 + 936 = 1 872. Deci, A = 9 , L = 3, O = 6, S = 1, U = 8, R = 7, D = 2. 9. 143 x 8 = 1 144 10. Un an are 365 x 24 x 60 min.= 525 600 min. Inima copilului va bate de 525 600 x 75 = 3 931 000 de ori. 11. Scrii nr. 5 că sumă de trei termeni. Sunt două posibilităţi: 1 + 1 + 3 = 5 şi 1 +2 +2 = 5. Deoarece se spune că cel mare are ochii albaştri, rezultă că cei trei fraţi au 1 an, 1 an si 3 ani. 12. a) b) c) d)

13 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100; 12 - 3 - 4 + 5 - 6 + 7 + 89 = 100; 1 + 2 x 3 + 4 x 5 - 6 + 7 + 8 x 9 = 100; 1 + 2 x 3 + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

13. Deoarece trei duminici cad la date cu soţ, rezultă că în această lună sunt cinci duminici. Prima dintre ele a fost pe data de doi. Deci, aici rezultă că pe data de 20 a fost joi. 14. Ştim că: I + II + III = 292 II X 5 = II + 320 Proiectul pentru Învăţământul Rural

19

Operaţii cu numere naturale

15. a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6; g) 7; h) 8; i) 9 ; j) 10 . 16. Rândul centru 1 2 3 4 5 6 7 8 Nr. de 1 3 6 12 24 48 96 192 384 seminţe

9 768

10 total 1536 307 0

17. a) 100- 99 + 98 – 97 +96 – 95 + …+ 4 – 3 + 2 – 1 = 1 +1 + 1 + …+ 1 + 1 = 50. de 50 ori b) 7 x 1 + 7 x2 + 7 x 3 + … + 7 x 100 = 7 x (1 + 2+ 3 + …+ 100). Dar, 1 + 2 +3 +…+ 100 = 100 x 101 : 2 = 5 050 şi 7 x 5 050 = 35 350. c) 9 + 18 + 27 +…+ 900 = 9 (1 + 2 +3 +…+ 100) = 9 x 5 050 = 45 450. 18. a) 7 099 semne “ + “ (21 300 : 3 = 7 100; 7 100 - 1 = 7 099); b) 2 995 semne “– “ (14 975 : 5 = 2 995; c) 5 181 semne “ – “. 20. Rezolvăm grafic problema. Ultima relaţie devine 8 X p +15 =31, 8 X p= 31-15, 8 X p =16, p=16:8, p=2 ‚ (adică, a =2), b= 2 x a, b = 4; c = 4 x a, c = 8; d = 8 x a, d = 16 21. B = 8 (32 : 4 = 8) 22. C= 8 nimic).

(8 x 8 + 6 = 70; 70 bomboane : 10 bomboane = 7 nepoţi şi unul nu primeşte

3.5.

Bibliografie

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

20

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Curiozităţi numerice

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 4 CURIOZITĂŢI NUMERICE

Cuprins 4.1 4.2 4.3 4.4

Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................ 21 Curiozităţi numerice............................................................................................. 22 Probleme propuse ............................................................................................... 22 Bibliografie .......................................................................................................... 28

4.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să recunoască simetrii în calculele cu numere naturale; - să verifice valoarea de adevăr a curiozităţilor numerice prezentate; - să identifice alte situaţii tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

21

Curiozităţi numerice

4.2. Curiozităţi numerice Prin simetriile prezentate, curiozităţile numerice captează interesul cititorului şi motivează efectuarea unor calcule, în alte condiţii, neplăcute. În alte situaţii este implicată ingeniozitatea în a descoperi operaţiile ce trebuie efectuate cu numere date în vederea obţinerii unui rezultat dat. Formând numere şi participând la operaţii matematice, cifrele determină uneori combinaţii foarte curioase şi frumoase în felul lor, ca într-un caleidoscop. Cum se pot obţine unele dintre aceste curiozităţi numerice? De exemplu, pentru a găsi şi prezenta apoi ca o curiozitate, relaţii de tipul: a x a + b x b + c x c = d x d + e x e + f x f, căutăm în mulţimea pătratelor primelor n numere naturale (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...) valori care verifică o relaţie de tipul precizat Găsim că 12 + 52 + 62= 22 + 32 + 72, ceea ce conduce la „curiozitatea " 1 x 1 + 5 x 5 + 6 x 6 = 2 x 2 + 3 x 3 +7 x 7. Altădată, curiozităţile numerice pot proveni din alte zone. Geometria ne oferă numere pitagorice (care verifică relaţia din teorema lui Pitagora), având proprietatea că a2 + b2 = c2. Şi astfel apar „curiozităţile” : 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x 5 sau 6 x 6 + 8 x 8 = 10 x 10 ş.a.m.d

4.3. Probleme propuse 1. Observa: a)

b)

22

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1 111 1 234 x 9 + 5 = 11 111 12 345 x 9 + 6 = 111 111 123 456 x 9 + 7 = 1 111 111 1 234 567 x 9 + 8 = 11 111 111 12 345 678 x 9 + 9 = 111 111 111 123 456 789 x 9 + l0 = 1 111 111 111 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1 234 x 8 + 4 = 9 876 12 345 x 8 + 5 = 98 765 123 456 x 8 + 6 = 987 654 1 234 567 x 8 + 7 = 9 876 543 12 345 678 x 8 + 8 = 98 765 432 123 456 789 x 8 + 9 = 987 654 321 Proiectul pentru Învăţământul Rural

Curiozităţi numerice

2. Dacă înmulţeşti numerele scrise numai cu cifra 1, obţii o piramidă foarte interesantă: 1x1=1 11 x 11 = 121 111 x 111 =12 321 1 111 x 1 111 = 1 234 321 11 111 x 11 111 = 123 454 321 111 111 x 111 111 = 12 345 654 321 1 111 111 x 1 111 111 = 1 234 567 654 321 11 111 111 x 11 111 111 = 123 456 787 654 321 3. Priveşte înmulţirile: 11 x 11 = 121 101 x 101 =10 201 1 001 x 1 001 = 1 002 001 11 x 11 x 11 = 1331 101 x 101 x 101 = 10 303 001 1 001 x 1 001 x 1 001 = 1 003 003 001 4. Priveşte, cu atenţie, la adunarea şi scăderea de mai jos. Ce observi, la comparaţia cifrelor numerelor care se adună, respective se scad? 123 456 789 + 987 654 321 1 111 111 110

987 654 321 123 456 789 864 197 532

5. Un mic matematician a observat că patru numere cu zece cifre au proprietăţi neobişnuite: 2 438 195 760; 3 785 942 160;

4 753 869 120; 4 876 391 520.

Fiecare dintre aceste numere cuprinde toate cifrele de la 0 la 9, fără să se repete niciuna dintre ele. Toate patru se împart la 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. 6. Numerele 258 şi 762 împărţite la 6 + 1 ; 6 + 1 +2 ; 6 + 1 + 2 + 3 şi 6 + 1 + 2 + 3 + 6, dau acelaşi rest 6, amândouă. Verifică! 7. Observă înmulţirea: 9 x 123 456 789 = 111 111 111. Verifică! 8. Se dau şapte rânduri de numere aşezate în ordine crescătoare: 123 = 1 Proiectul pentru Învăţământul Rural

23

Curiozităţi numerice

1 234 = 1 12 345 = 1 123 456 = 1 1 234 567 = 1 12 345 678 = 1 123 456 789 = 1 Fără să schimbi ordinea cifrelor, pune între ele acele semne aritmetice, încât în urma operaţiilor respective să rezulte, în fiecare rând totalul indicat. Atenţie! Ţine cont de ordinea efectuării operaţiilor. Poţi folosi şi paranteze. Poţi considera două cifre alăturate drept un singur număr. 9. Stabileşte o regulă de obţinere a numerelor de mai jos: 9 182; 2 819;

7 284; 4 827.

10. Priveşte cu atenţie! Câteva perechi de numere scrise cu două cifre se remarcă printr-o particularitate: produsul unei perechi nu se modifică dacă inversăm ordinea cifrelor fiecărui factor. Verifică şi tu! 12 x 42 = 21 x 24; 12 x 63 = 21 x 36; 12 x 84 = 21 x 48; 13 x 62 = 31 x 26; 23 x 96 = 32 x 69;

24 x 63 = 42 x 36; 24 x 84 = 42 x 48; 26 x 93 = 62 x 39; 36 x 84 = 63 x 48; 46 x 96 = 64 x 69.

11. Iată alte trei perechi de numere ale căror produse se scriu cu aceleaşi cifre, dar în ordine schimbată: 13 x 13 =169 913 x 913 = 833 569 14 x 14 =196 914 x 914 = 835 396 Observă şi verifică şi tu!

157 x 157 = 24 649 158 x 158 = 24 694

12. Printre numerele naturale există câteva perechi la care suma şi produsul se deosebesc numai prin poziţia cifrelor. Verifică şi tu! 9 + 9 = 18; 24 + 3 = 27; 47 + 2 = 49; 263 + 2 = 265 ; 497 + 2 = 499; 24

9 x 9 = 81; 24 x 3 = 72; 47 x 2 = 94; 263 x 2 = 526; 497 x 2 = 994. Proiectul pentru Învăţământul Rural

Curiozităţi numerice

13. Pentru a scrie toate numerele de la 1 la 10 ne sunt, fireşte, suficiente cele zece cifre: 0,1,2, … , 9. Sunt suficiente, dar nu şi necesare. La nevoie ne putem servi numai de cifra 2, folosind-o exact de cinci ori pentru a scrie numerele de mai sus. Cu acest prilej ne vom folosi numai de patru operaţii aritmetice, inclusive de paranteze, dacă este nevoie. Iată, de exemplu, primele cinci numere. Pentru numerele 6,7,8,9,10 găseşte tu soluţii! 1 = 2 + 2 – 2 – 2 : 2; 3 = 2 + 2 – 2 + 3 : 3;

2 = 2 + 2 + 2 – 2 – 2; 4 = 2 x 2 x 2 – 2 – 2.

5=2+2+2–2:2 14. Folosind exemplele de mai sus, exprimă numărul 3 prin patru de 4, patru de 5, patru de 8! 15. Priveşte, cu atenţie, egalităţile! Ambii membri ai egalităţilor sunt exprimaţi prin aceleaşi cifre. Verifică şi tu! 42 : 3 = 4 x 3 + 2; 95 : 5 = 9 + 5 + 5;

63 : 3 = 6 x 3 + 3; (2 + 7) x 2 x 6 = 272 + 16.

16. Priveşte cu atenţie! Produsul dintre un număr şi suma cifrelor lui formează diverse “ornamente”. Verifică şi tu! 37 x (3 + 7) = 3 x 3 x 3 + 7 x 7 x 7; 48 x (4 + 8) = 4 x 4 x 4 + 8 x 8 x 8; 147 x (14 + 7) = l4 x 14 x 14+ 7 x 7 x 7; 148 x (14 + 8) = 14 x 14 x 14 + 8 x 8 x 8; 111 x (11 + 1) = 11 x 11 x 11 + 1 x 1 x 1; 1 x 2 x 3 x (1 + 2 +3) = 1 x 1 x 1+2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3. 17. Se ştie că 16 = 4 x 4. Iată că între cifrele 1 si 6 s-a strecurat numărul 15. S-a format un număr nou:1 156. Se observă că: 1 156 = 34 x 34. Verifică! Şugubăţul număr 15 se strecoară din nou în mijlocul numărului 1 156 formând numărul 111 556. Se observă că 111 556 = 334 x 334. Verifică! Numărul 15 continuă să cadă ca fulgii de nea şi de fiecare dată nimereşte în centrul numerelor lungindu-le. Cu toate acestea, oricât ar dura “ninsoarea 15” numerele nou formate continuă să rămână rezultatul unor produse adevărate. Verifică şi tu! 11 115 556 = 3 334 x 3 334; 1 111 155 556 = 33 334 x 33 334; 111 111 555 556 = 333 334 x 333 334 etc.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

25

Curiozităţi numerice

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

26

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Curiozităţi numerice

Proiectul pentru Învăţământul Rural

27

Curiozităţi numerice

4.4. Bibliografie 1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

28

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Operaţii cifrate

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 5 OPERAŢII CIFRATE

Cuprins

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................ 29 Operaţii citate ..................................................................................................... 30 Probleme propuse .............................................................................................. 31 Răspunsuri ......................................................................................................... 36 Bibliografie ......................................................................................................... 38

5.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să reconstituie operaţii “ codificate”, în care apar litere; - să “ codifice” operaţii cu numere naturale; - să identifice alte situaţii tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Primar

29

Operaţii cifrate

5.1. Operaţii cifrate Operaţiile cifrate prezintă o codificare a numerelor cu care se operează, prin înlocuirea lor cu litere. O aceeaşi literă reprezintă o aceeaşi cifră, iar litere diferite reprezintă cifre diferite. De cele mai multe ori, alăturarea literelor generează cuvinte, care intră în combinaţii deosebit de interesante, ce induc rezolvitorului o motivaţie intrinsecă puternică “Descifrarea” acestor operaţii contribuie la dezvoltarea calităţilor gândirii, la exersarea operaţiilor acesteia, antrenând raţionamente logice şi capacităţi combinatorice. Nu în ultimul rând, rezolvitorul îşi exersează în acest fel capacitatea de investigare, răbdarea, rezistenţa la efort intelectual de durată. De exemplu, să reconstituim următoarea adunare, stabilind valorile literelor B+ BA BAS BASM BAS BA B 2619 Rezolvare. Un posibil raţionament este următorul. Fiecare literă semnifică o cifră, deci valorile acestora pot fi 0, 1, 2,...,9, cu B diferit de 0 (pentru că este prima cifră în scrierea unui număr). Privind cifra miilor de la sumă, deducem că B nu poate fi decât 1 (dacă suma sutelor este mai mare decât 10) sau 2 (dacă suma sutelor este mai mică decât 10 ). Dacă B =1 (şi deci B + A + B=16), ar rezulta că 1 + A +1 = =16, de unde A = 14. Imposibil. Deci, B = 2. Cum B = 2(şi deci B + A + B = 6), rezultă că 2 + A + 2 = 6 (dacă suma zecilor este mai mică decât 10) sau 2 + A + 2 + 1 = 6 (dacă suma zecilor este mai mare decât 10 şi trebuie adunat cu 1 la sute). În prima variantă, 2 + A + 2 = 6 implică A = 2, ceea ce este imposibil (pentru că B are valoarea 2, iar A este diferit de B). Deci, 2 + A + 2 + 1 = 6, de unde rezultă A = 1. Cum B =2 şi A = 1, atunci suma zecilor este 2 + 1 + S +1 +2, adică 6 + S. Şi cum 6 + S >10 (vezi raţionamentul de mai sus), putem avea 6 + S =11, dacă suma unităţilor este mai mică sau 6 + S + 1 =11, dacă suma unităţilor este mai mare decât 10. În prima situaţie, 6 + S =11 implică S = 5. Calculând suma unităţilor, am avea 2 + 1 + 5 + M + 5 + 1 + 2 = 16 + M. Imposibil, 30

Proiectul pentru Învăţământul Primar

Operaţii cifrate

căci suntem în ipoteza că suma unităţilor este mai mică decât 10. Deci 6 + S + 1 = 11, de unde rezultă S = 4. Cum B = 2 , A = 1 şi S = 4, suma unităţilor este 2 + 1 + 4 + M + 4 + 1 + 2=19 de unde rezultă M = 5. Deci, valorile căutate ale literelor sunt: B = 2 , A =1, S = 4, M = 5.

5.2. Probleme propuse 1. Înlocuieşte literele cu cifre, astfel încât scăderea să fie adevărată: ŞASEDOI TREI 2. Determină literele: MAMA+ AMA MA A 10698 3. Înlocuieşte literele cu cifre: MĂR+ ĂR R PĂR 4. Înlocuieşte literele cu cifre, în aşa fel încât adunarea să fie adevărată: ŞASE+ ŞASE ZECE 5. Înlocuieşte numerele cu cifre: OPT+ DOI ________ ZECE 6. Să se afle A, C, D din: DAC+ DA C _______ 256

Proiectul pentru Învăţământul Primar

31

Operaţii cifrate

7. Înlocuieşte literele cu cifre, astfel încât adunarea să fie corectă: TREI+ ŞASE _______ ZECE 8. Înlocuieşte literele cu cifre: DOIUNU _____ UNU 9. Înlocuieşte literele cu cifre în adunare: DACĂ+ AI CARTE AI ________ PARTE 10. Reconstituie adunarea: (găseşte 8 soluţii) DOI+ DOI DOI ________ ŞASE 11. Determină pe A, B, C: AB X A ________ CCC 12. Înlocuieşte literele cu cifre: ELE+ EL E ___________ 2EE 13. Determină M, N, P din adunarea: MNP+ MNP __________ NNM 14. Înlocuieşte literele cu cifre: MEC+ MEC __________ EVE 32

Proiectul pentru Învăţământul Primar

Operaţii cifrate

15. Înlocuieşte literele cu cifre în adunare: ANIMALE + ANIMAL ANIMA ANIM ANI AN _____________ 1371317 16. Descoperă valorile lui A, B, C din adunarea: AAAA+ BBBB CCCC _______ ABBBC 17. Reconstituie înmulţirea: *4* x *** **4* ***4 ____________ ****** 18. Reconstituie împărţirea: ******* : ** = **8** *** __________ = = =** ** _________ = *** *** ____________ ==1 19. Reconstituie înmulţirea: 39*x 3* _________ **8* 1191 ___________ 1**98

Proiectul pentru Învăţământul Primar

33

Operaţii cifrate

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

34

Proiectul pentru Învăţământul Primar

Operaţii cifrate

Proiectul pentru Învăţământul Primar

35

Operaţii cifrate

5.4.

Răspunsuri

1. 2 390 785 1 605 2. 9 797 + 797 97 7 _________ 10 698 3. 195 + 95_ 295 4. 3 520 + 3 520 __________ 7 040 5. 807 + 385 _______ 1 292 6. 231 + 23 2 __________ 256 7. 7 150 + 2 435 __________ 9 585 8. 362 181 _______ 181 9. 9 838 + 81 36

Proiectul pentru Învăţământul Primar

Operaţii cifrate

38 576 ____ 81__ 48 576 10. 634 + 634 634 _____ 1 902 609 + 609 609 ________ 1827

891+ 891 891 __________ 2 673 691+ 691 691 _______ 2 073 534 + 534 534 _________ 1 602 583 + 583 583 __________ 1749 906 + 906 906 _________ 2718 768 + Proiectul pentru Învăţământul Primar

37

Operaţii cifrate

768 768 _____ 2 304 11. 37+ 3 _______ 111 12. 191 + 19 1 ________ 21 13. 497 + 497 ________ 994 14. 126 + 126 _______ 252 15. 1234189 + 123418 12341 1234 123 12 ___________ 1371317

5.5.

Bibliografie

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

38

Proiectul pentru Învăţământul Primar

Şiruri

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 6 ŞIRURI

Cuprins 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................ 39 Şiruri.................................................................................................................... 40 Probleme propuse ............................................................................................... 41 Răspunsuri .......................................................................................................... 43 Bibliografie .......................................................................................................... 43

6.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să descopere regula de formare a unui şir dat; - să completeze cu termenul sau să elimine termenul ce nu aparţine şirului; - să identifice alte situaţii tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

39

Şiruri

6.2. Şiruri Problema şirurilor poate fi abordată pe două paliere: unul cu şiruri de imagini sau şiruri care se repetă după o anumită regulă, iar cel de al doilea, cu şiruri de numere naturale fără explicitarea termenului general. De regulă, rezolvarea sarcinii presupune, în primul rând, descoperirea regulii de formare a şirului. Pentru aceasta, este necesară analizarea valorilor date, eventual depistarea unui grup care se repetă şi căutarea legăturilor dintre aceste valori. Este partea cea mai dificilă, dar şi cea mai frumoasă, cu satisfacţii interioare, pentru că explorarea a condus la o descoperire, de cele mai multe ori neevidentă. După depistarea legii de formare a şirului, se poate cere determinarea următorului termen (nescris) sau eliminarea unui termen care nu se conformează regulii şirului De exemplu, se poate cere continuarea şirului de imagini: …… Pentru aceasta, se descoperă grupul de figuri care se repetă ( ), se constată că ordinea în fiecare grup este aceeaşi şi se continuă cu figurile geometrice componente. Sarcina poate fi complicată prin prezentarea şirului de imagini. ..., în care, după determinarea grupului de figuri care se repetă, trebuie observat că locul acestora în grup se schimbă, prin permutări. Pentru şirurile numerice, descoperirea regulii este mai dificilă. De exemplu: 1, 3, 7, 15, 31, 63, … Ar trebui observat că fiecare termen (începând cu al doilea ) se obţine ca dublul termenului anterior plus 1, adică termenul general este an = 2n +1, cu n єN. Raţionamentul poate fi de tipul următor: dacă primul termen este 1, iar al doilea este 3, cum s-ar putea obţine 3, pornind de la 1? Regula ar putea fi “înmulţeşte cu 3” dar atunci termenul următor ar trebui să fie 9 şi nu este. Nu “merge”. Să fie regula “adună 2”? Dacă ar fi aşa, termenul al treilea ar trebui să fie 5 şi nu este. Nici aşa nu “merge “. Dar “înmulţeşte cu 2 şi adună cu 1”? “Merge” şi în continuare! Asta este!

40

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Şiruri

6.3. Probleme propuse 1. Completează fiecare şir cu numărul care urmează: 1. 20, 17, 14, 11, 2. 16, 15, 13, 12, 10, 9, …; 3. 3, 8, 5, 10, 7,…; 4. 1, 3, 9, 27, …; 5. 47, 38, 30, 23, 17, … 6. 5, 6, 4, 7, 3, 8, …; 7. 10, 8, 16, 13, 39, 35, …; 8. 26, 20, 4, 16, 10, 2, 14, …; 9. 30, 15, 45, 15, 60,…; 10.1, 10, 2, 9, 3,…; 11. 24, 15, 6, 3, …; 12. 13, 17, 21, 25, …,41;

13, 3, 5, 8, 10,…; 14. 1, 13, 4,16, 7,…; 15, 7, 8, 10, 13, 17,…; 16. 9, 2, 10, 2, 11, 2, …; 17. 0, 3, 8, 15, 24, …; 18. 6, 8, 10, …,30; 19. 18, 15, 12, …; 20. 5, 10, 15 …; 21. 5, 13, 21, …; 22. 2, 1, 3, 1, 4, 1, …; 23. 2, 3, 5, 8, 12, …; 24. 8, 9, 12, 13, 16, 17….

2. Completează şirul dat cu numărul care urmează: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… . 3. 0, 2, 4, 6, 8, 10,… . 4. 0, 1, 3, 6, 10, 15, 2, 28,… . 5. 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16,… . 6. Fie grupurile de câte două şiruri de numere naturale. Cu ce număr trebuie completată căsuţa liberă, pentru fiecare caz ? a) 1, 3, 8, 11, 12, 16, ; b) 97, 92, 90, 87, 78, ; 2, 5, 3, 1, 4, 6. 5, 2, 3, 9, 10. 7. Fie şirurile de numere de mai jos. În fiecare şir există un număr de pe o poziţie care nu respectă regula de formare a şirului. Elimină-l! 9, 10, 99, 10, 999, 1000, 9909, 10 000, 99 999, 100 000. 8. Elimină numărul care nu se potriveşte. 8. 5, 7, 55, 57, 555, 557, 5 055, 5 557, 55 555, 55 557.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

41

Şiruri

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţul rezolvat în continuare.

42

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Şiruri

6.4

Răspunsuri

1. 8; 2.7; 3.12; 4.18;5.81; 6.2; 7.140; 8.8; 9.15; 10.8; 11.0; 12.29; 13.13; 14.19; 15.22; 16.12; 17.35; 18.12; 19.9; 20.20; 21.29; 22.5; 23.17; 24.20. 2. 34 3. 12 4. 36 5. 26 6. a) 22; b) 68 7.

Orice număr de pe poziţie pară se obţine din cel precedent (de pe poziţia

impară) la care se adaugă o unitate, excepţie făcând 10 000 (de pe poziţia a opta); în locul acestuia trebuia să se afle 9 909 + 1 = 9 910). 8. Un număr de pe o poziţie pară se obţine din cel anterior la care se adaugă două unităţi cu excepţia numărului 5 557. În locul acestuia trebuia aşezat 5 057 (5 055 + 2 = 5 057).

6.5.

Bibliografie

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

Proiectul pentru Învăţământul Rural

43

Matematica …….. cu chibrituri

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 7 MATEMATICA … CU CHIBRITURI

Cuprins 7,1 7,2 7.3 7.4 7.5

Obiectivele unităţii de învăţare............................................................................44 Matematica … cu chibrituri .................................................................................45 Probleme propuse .............................................................................................46 Răspunsuri .........................................................................................................50 Bibliografie ..........................................................................................................52

7.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să determine transformări ale configuraţiilor date, pentru a îndeplini condiţiile date; - să utilizeze în calcule, numere scrise cu cifre romane; - să identifice alte situaţii tematice.

44

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Matematica …….. cu chibrituri

7.1.

Matematica … cu chibrituri Am păstrat titlul de mai sus, clasic în matematica distractivă, deşi elevii ar putea opera cu beţişoarele folosite în clasa I sau cu orice material similar. Menţionăm că tema poate fi abordată numai începând cu clasa a IV-a, unde se învaţă cifrele romane. Să ne amintim că scrierea cu cifre romane a primelor 10 numere naturale nenule este:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. Funcţionează aici principiul care interzice succesiunea a 4 cifre identice, astfel încât, pentru scrierea cu mai multe cifre romane, ne centrăm pe cifra reprezentând numărul mai mare: cifrele reprezentând numere mai mici, aflate în faţa ei, se scad din valoarea acesteia, iar cele de după ea, se adaugă. Astfel, pentru scrierea lui 4, nefiind permisă scrierea cu patru cifre I, se scrie 5 (V) şi înaintea lui, 1 (I). Pentru 6, 1 (I) se scrie după 5 (V). Pentru scrierea numerelor mai mari, se folosesc si alte cifre romane: L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Sarcinile unui rezolvitor al problemelor din această unitate de învăţare vizează capacitatea de a “citi” numere scrise cu cifre romane şi apoi de a descoperi “mutarea beţişorului” care face adevărata relaţie dată. De exemplu, relaţia:

V + II = II

(5 + 2 = 2)

devine adevărată dacă este mutat “beţişorul” vertical al semnului +, în dreapta semnului =, lângă celelalte doua “beţişoare”:

V – II = III

Proiectul pentru Învăţământul Rural

(5 – 2 = 3).

45

Matematica …….. cu chibrituri

7.2.

46

Probleme propuse

1.

II + I = II

2.

V - V = II

3.

XXV = I

4.

X – X = XIX

5.

VI – V = L

6.

L – II = LI

7.

VI – V = I + I

8.

V – V = XI

9.

X – X = XXI

10.

XI – IX = XXI

11.

LI – L = C

12.

C + LIII = XLVI

13.

CC + LIV = C X LV

14.

CC + XLII = CLVII

15.

D + LXVII = CDXXXII

16.

XXV = I - I

17.

II – I = I - II

18.

III – II = IV

19.

VI + I = IV Proiectul pentru Învăţământul Rural

Matematica …….. cu chibrituri

20.

LXXX = V

21. Elimină un singur chibrit pentru a obţine o relaţie de egalitate.

LXXI = LX 22. Mută două chibrituri, astfel încât relaţia să devină adevărată.

XL + X = L 23. Cu ajutorul a zece chibrituri construieşte pe masă operaţia aritmetică din figura de mai jos:

IX + I = X Arată că operaţia prezentată este corectă! 24. Aşază pe masă chibrituri ca în figura de mai jos. Realizează egalitatea prin schimbarea locului a două chibrituri.

EXT = U 25. Schimbă, în figura de mai jos, poziţia unui singur chibrit, astfel încât să rămână egalitate:

CXXX = X 26. Mută în construcţia realizată de tine pe masă ca în figura de mai jos, un singur chibrit, astfel încât să rămână egalitate:

LX – XL = CI 27. Aranjează pe masă o construcţie ca în figura de mai jos. Realizează apoi egalitate prin schimbarea poziţiei a numai trei chibrituri:

X++=+=I

Proiectul pentru Învăţământul Rural

47

Matematica …….. cu chibrituri

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţiul rezervat în continuare.

48

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Matematica …….. cu chibrituri

Proiectul pentru Învăţământul Rural

49

Matematica …….. cu chibrituri

7.4. Răspunsuri 1. Vezi figura de mai jos: (3 -1 = 2)

III – I = II 2. Vezi figura de mai jos: (5 - 4 = 1 sau 6 – 5 = 1)

V–V=I 3. Vezi figura de mai jos. Semnul “I” se citeşte “per” şi de la romani încoace înseamnă împărţire, linie de fracţie sau raport. Deci, 10 : 5 = 2.

X I V= II 4. Vezi figura de mai jos: (10 + 10 = 20)

X + X = XX 5. Vezi figura de mai jos: (6 – 4 = 2)

VI – IV = II 6. Vezi figura de mai jos: (50 + 1 = 51)

L + I = LI 7. Vezi figura de mai jos: (6 - 4 = 2)

VI – VI = I – I 8. Vezi figura de mai jos: (5 + 5 = 10)

V+V=X 9. Vezi figura de mai jos: (10 + 10 = 20)

X + X = XX 10. Vezi figura de mai jos: 50

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Matematica …….. cu chibrituri

(11+ 10 = 21)

XI+ X = XXI 11. Vezi figura de mai jos: (50 + 50 = 100)

L+L=C 12. Vezi figura de mai jos: (100 – 53 = 47)

C-LIII=XLVII 13. Vezi figura de mai jos: (200-54=146)

CC-LIV=CXLVI 14. Vezi figura de mai jos: (200-42=158)

CC-XLII=CLVIII 15. Vezi figura de mai jos: (500-67=433)

D-LXVII=CDXXXIII 16. Vezi figura de mai jos: (10:5=1+1)

XI V=I+I 17. Vezi figura de mai jos: (2 – 2 = 1 - 1)

II – II = I – I 18. Vezi figura de mai jos: (3 + 2 = 5)

III + II = V 19. Vezi figura de mai jos: (6 – 2 = 4)

VI – II = IV 20. Vezi figura de mai jos: (60 : 10 = 6)

L X I X = VI 21. Vezi figura de mai jos: (60 : 1 = 60)

L X I I = LX Proiectul pentru Învăţământul Rural

51

Matematica …….. cu chibrituri

22. Vezi figura de mai jos: ( 50 + 10 = 60)

L + X = LX 24. Şi totuşi este... egalitate (!), dacă vom privi operaţia din partea opusă. Vezi figura de mai jos (10 = 1 + 9 )

X = I + IX 25. Vezi figura de mai jos: (0 X 1 = 0)

OXI=O 26. Vezi figura de mai jos: (110 : 10 = 11)

C X I X = XI 27. Vezi figura de mai jos: (60 + 40 = 100)

LX + XL = C

7.5.

Bibliografie

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

52

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Probleme distractive

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 8 PROBLEME DISTRACTIVE

Cuprins 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Obiectivele unităţii de învăţare ............................................................................. 53 Probleme distractive............................................................................................. 54 Probleme propuse ................................................................................................ 55 Răspunsuri ........................................................................................................... 58 Bibliografie .......................................................................................................... 58

8.1. Obiectivele unităţii de învăţare La sfârşitul acestei unităţi de învăţare, studenţii vor fi capabili: - să recunoască probleme distractive utilizabile într-un opţional pentru ciclul primar; - să rezolve pe căi proprii problemele propuse; - să identifice alte situaţii tematice.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

53

Probleme distractive

8.2. Probleme distractive Conceptul de „probleme distractive” nu este foarte bine conturat, dar include în el probleme nonstandard, de logică, de perspicacitate ş.a. Acestea presupun şi amuzament, dar şi logică, „scânteie” pentru iluminare, dar şi o gândire care iese din tipare. Pot fi caracterizate prin sintagme de tipul „dificile, dar frumoase”, iar finalizarea enunţului surprinzător poate fi un zâmbet pe faţa rezolvitorului. În cele ce urmează prezentăm câteva exemplificări pentru cei mici şi nu numai. 1. Nelu are un frate şi trei surori. Câţi ani are Nela, sora sa ? Rezolvare. Primul lucru şocant pentru micii rezolvitori este numele „personajelor”: Nelu şi Nela. Uneori nici nu sesizează că sunt două persoane diferite. Apoi, derutant este faptul că se vorbeşte despre un frate şi trei surori, iar întrebarea cere tot număr de fraţi şi surori. Desigur, o analiză „la rece” înlătură cu uşurinţă dificultăţile. Dacă Nelu (un băiat) are un frate şi trei surori, atunci în familia respectivă sunt 2 + 3 = 5 copii: doi băieţi şi trei fete. Astfel că, una dintre fete (Nela) va avea doi fraţi şi două surori. 2. Mama are 6 mere. Ea dă fiecăruia dintre cei trei copii ai săi acelaşi număr de mere. Câte mere primeşte cel mai mic copil ? Rezolvare. Din punct de vedere matematic, este o problemă simplă, banală pentru un rezolvitor care a învăţat operaţia de împărţire. Deci, 6 : 3 = 2 (mere). Ce are neobişnuit ? Întrebarea, care nu este clasica „Câte mere primeşte fiecare copil?”, ci vizează punctual pe unul dintre copii (ceea ce nu schimbă esenţa rezolvării). „Furaţi” de „litera” întrebării, micii rezolvitori dau uneori răspunsuri mai interesante decât însăşi problema: cel mic nu primeşte nici un măr, pentru că nu poate mânca; primeşte un singur măr, să se joace cu el; primeşte toate merele, pentru că cel mai mic este cel mai important. Transpare în aceste răspunsuri experienţa de viaţă a micilor rezolvitori. 3. Să se afle vârstele celor 3 copii ai unei familii, dacă produsul vârstelor este 16, gemenii sunt blonzi, iar cel mic are ochi albaştri. Rezolvare. Informaţiile din final sunt şocante pentru micul rezolvitor: gemeni blonzi, ochi albaştri. Cum să afli din toate acestea, vârstele copiilor ? La o analiză mai atentă, informaţia „gemenii sunt blonzi” are ca „traducere” în limbaj-problemă faptul că doi dintre copii au aceeaşi vârstă. Că sunt blonzi este neimportant pentru problemă (doar pentru părinţii lor), aşa că ar putea fi şi bruneţi. 54

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Probleme distractive

Informaţia „cel mic are ochi albaştri” se „traduce” prin faptul că cei doi gemeni au vârstele mai mari decât cel de-al treilea. De asemenea, pentru problemă este neimportantă culoarea ochilor. Acum problema poate fi reformulată sec, în limbaj matematic: să se afle trei numere naturale care au produsul 16, ştiind că două dintre ele sunt egale, iar al treilea este mai mic decât ele. Soluţia este imediată: 4, 4, 1. 4. O carte este deschisă la întâmplare. Ce număr are pagina din dreapta , dacă suma numerelor celor două pagini pe care le privim este 85 ? Rezolvare. Interesantă este întrebarea:” Ce număr are pag din dreapta?”. Pagina din dreapta are numărul mai mare dintre cele două numere pe care le privim. Mai mult, este mai mare cu 1 decât celalalt. Acum problema poate fi reformulată în limbaj matematic: să se afle două numere consecutive, a căror sumă este 85. Problemă tipică, rezolvabilă prin metoda figurativă (cazul în care se cunosc suma şi diferenţa numerelor). Soluţia este: 43. 5. Pe un cântar stau, unul lângă altul, un tată şi fiul său, care cântăreşte 10 kg. Cântarul indică 90 kg. Tatăl ia copilul în braţe. Care va fi acum indicaţia cântarului ? Rezolvare. Interesantă ca legătură cu o situaţie de viaţă, problema conţine mai multe date inutile, ce pot deveni derutante: „fiul cântăreşte 10 kg”, „tatăl ia copilul în braţe”. De fapt, nu este o problemă, în sens restrâns, matematic, căci nu implică nici o operaţie, ci doar în sens larg, pentru că este necesar şi suficient să reţinem că indicaţia cântarului va fi aceeaşi (90 kg), indiferent de plasarea celor doi pe cântar.

8.3. Probleme propuse 1. Mihai întâlneşte pe Ionuţ jucându-se cu sora lui Elena şi-l întreabă, câţi fraţi sunt: Ionuţ răspunde: - Eu am atâţia fraţi cât şi surori. Elena zice: - Eu am de două ori mai mulţi fraţi decât surori. Câţi fraţi sunt în total? 2. - În ce clasă sunteţi voi, măi băieţi? Proiectul pentru Învăţământul Rural

55

Probleme distractive

- Toţi suntem în clasa I, în afară de 12; toţi suntem în clasa a II-a în afară de 12; toţi suntem în clasa a III-a în afară de 12; toţi suntem în clasa a IV-a în afară de12. Câţi elevi sunt în total? 3. Un tată are de 7 ori etatea fiului său, dar peste 10 ani va fi de 3 ori mai mare ca dânsul. Ce etate are fiecare? 4. Produsul vârstelor a trei fraţi este 36. Doi sunt gemeni. Cel mic are ochii verzi. Ce vârste au cei trei copii? 5. Cineva întreabă: - Câţi pomi ai în grădină? - Dacă aş avea cu trei mai puţin, atunci jumătate din acest număr ar fi cu doi mai mare decât sfertul lui. Câţi pomi erau? 6. Acum 5 ani suma vârstelor a trei copii era de 9 ani. Care va fi suma vârstelor peste 7 ani? 7. Trei colegi, Daniel Negru, Mihail Roşu, Viorel Verde, au înălţat zmee: unul negru, unul roşu şi unul verde. Daniel nu are zmeul roşu. Culoarea nici unui zmeu nu se potriveşte cu numele. Al cui este fiecare zmeu? 8. Opt colegi de clasă locuiesc în acelaşi bloc ( prevăzut cu apartamente la demisol si parter). La fiecare nivel este un singur apartament, nefiind alţi locatari sau apartamente libere. În legătură cu cei opt colegi deţinem următoarele informaţii: Bogdan este supărat pe Cătălin pentru ca acesta a uitat robinetul de apă deschis. Cristi a refuzat împreună cu părinţii să locuiască la ultimul etaj. Cutia poştală nr. 5 este al lui Andrei. Pe lângă Tiberiu trec toţi locatarii. La etajul 6 locuieşte Ioana. Mădălina nu foloseşte liftul. Când Angela ajunge la apartamentul său, mai salută doi vecini. Stabileşte la ce nivel locuieşte fiecare copil? 9. Avem trei vase cu capacitatea de 8 l.,5 l. şi respective 3 l. Primul este plin cu apa, iar celelalte sunt goale. Separa un litru de apa din vasul plin folosind cele 3 vase! 10. Cinci case în şir sunt de culorile: galbenă, brună, albastră, roşie si verde. Se cunosc următoarele relaţii: în mijloc nu este casa albastră, distanta de la casa roşie la casa albastră este egală cu distanta de la casa albastră la casa verde, vecina din stânga casei galbene este casa roşie. Stabileşte ordinea culorilor.

56

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Probleme distractive

Răspunsul va putea fi încadrat în spaţul rezolvat în continuare.

Proiectul pentru Învăţământul Rural

57

Probleme distractive

8.4. Răspunsuri 7. Numele colegilor Daniel Negru Mihai Roşu Viorel Verde

Negru

Roşu

Verde x x

8. Ştiind că blocul are un apartament la subsol, unul la parter şi alte şase apartamente la etaje (total opt nivele), putem spune că Mădălina locuieşte la subsol, Tiberiu la parter urmând în ordinea crescătoare a etajelor Bogdan, Cătălin, Andrei, Angela, Cristi, Ioana. 9. Umplu vasul de 3 l., îl răstorn în cel de 5 l. Umplu din nou vasul de 3 l, torn în cel de 5 l. până când se umple, adică 2 l. Mi-a rămas în vas 1 l. 10 . Ordinea caselor este: verde, albastră, roşie, galbenă, brună.

8.5.

Bibliografie

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „ Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a” , Ed. ALL , 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU , „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a “, Ed. ALL , 2000

58

Proiectul pentru Învăţământul Rural

Bibliografie

BIBLIOGRAFIE

1. V. G. DUMITRU, M. ROŞU, „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a III – a”, Ed. ALL, 2000 2. V. G. DUMITRU, M. ROŞU, „Matematică distractivă pentru disciplina opţională a clasei a IV- a“, Ed. ALL , 2000 3. V. G. DUMITRU, A. DUMITRU, V. FĂTU ,“Matematică pentru ciclul primar. Teste. Logică. Perspicacitate. Joc.”, Ed. ALL EDUCAŢIONAL, 1998 4. B. A. KORDEMSCHI, “Matematică distractivă”, Ed. TINERETULUI, 1959 5. I. PELERMAN, “Aritmetică distractivă”, Ed. TINERETULUI, 1959 6. M. ROŞU, Pedagogia Învăţământului Primar şi Preşcolar, “Matematică III”, Proiectul pentru Învăţământul Rural, 2006

Proiectul pentru Învăţământul Rural

59