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Caderno de exercícios M T MATEMÁTICA A .º ANO

A

INCLUI: Sínteses com exemplos Mais de 400 exercícios propostos Respostas

ANTÓNIO PAMPULIM CRISTINA VIEGAS SÉRGIO VALENTE

EDIÇÃO DO PROFESSOR

Tema

1

Cálculo Combinatório 4 4 4 4

2. Introdução ao cálculo combinatório Cardinal de um conjunto. Conjuntos equipotentes Princípio geral da multiplicação Princípio geral da adição Arranjos com repetição de n elementos, p a p (nA’p) Extrações com reposição Permutações. Conceito de fatorial Arranjos de n elementos, p a p (nAp) Extrações sem reposição Combinações de n elementos, p a p (nCp) Conjunto das partes de um conjunto

7 7 8 8 8 9 10 12 12 14 14

3. Triângulo de Pascal e binómio de Newton Triângulo de Pascal Propriedades das combinações Binómio de Newton

18 18 18 18

Tema

1. Propriedades das operações sobre conjuntos Propriedades que envolvem a relação de inclusão Propriedades das operações de interseção e união Leis de De Morgan Relação da diferença de conjuntos com a interseção e o complementar Propriedades que envolvem o produto cartesiano

2

4 4

2. Derivadas de funções reais de variável real e aplicações Derivadas de funções reais de variável real (revisão) Função derivada Teoremas Derivada de segunda ordem de uma função Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crítico Pontos de inflexão e concavidades de funções duas vezes diferenciáveis Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem Traçado de gráficos Resolução de problemas

Probabilidades

1. Definir espaços de probabilidade Experiência aleatória Espaço amostral ou universo dos resultados Acontecimento Espaço dos acontecimentos Axiomática de Kolmogorov. Espaço de probabilidade. Propriedades Acontecimentos equiprováveis Regra de Laplace

22 22 22 22 23

2. Definir probabilidade condicionada Probabilidade condicionada Probabilidade da interseção de dois acontecimentos Teorema da probabilidade total Acontecimentos independentes. Propriedades

27 27 29 30 32

23 24 24

3

Funções Reais de Variável Real

1. Limites e continuidade Limites de sucessões Limite da soma, produto, quociente e potência de sucessões convergentes Propriedades envolvendo limites infinitos (escrita abreviada) Indeterminações Teoremas de comparação para sucessões Teorema das sucessões enquadradas Limites de funções (revisão) Teoremas de comparação para funções Teorema das funções enquadradas Teorema de Bolzano-Cauchy ou teorema dos valores intermédios Teorema de Weierstrass

Tema

Tema

Índice

4

36 36 36 37 37 38 39 40 41 42 43 45

46 46 47 48 48 49 50 51 52 53

Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

1. Juros compostos e número de Neper Resolução de problemas envolvendo juros compostos n

1 Sucessão de termo geral un = a1 + n b e número de Neper 2. Funções exponenciais Função exponencial de base a : monotonia, limites e propriedades algébricas

56 56 57 59 59

n

k Limite da sucessão de termo geral un = a1 + n b Limite notável Derivada da função exponencial (ex)

3. Funções logarítmicas Função logarítmica de base a : monotonia, limites e propriedades algébricas Resolução de equações e inequações envolvendo logaritmos Derivadas das funções exponenciais e das funções logarítmicas Limites notáveis

Tema

4. Resolução de problemas e modelos exponenciais Resolução de problemas Modelos exponenciais

5

2. Limites e derivadas de funções trigonométricas Limites de funções trigonométricas Derivadas de funções trigonométricas 3. Osciladores harmónicos e a segunda lei de Newton Modelos periódicos Oscilador harmónico Sistema formado por uma mola e por um ponto material colocado na respetiva extremidade

Tema

61 62 62 63 63

66 66

67 67 73

77 77 79

81 81 82

88 88 91 94

Primitivas e Cálculo Integral

1. Noção de primitiva Conceito de primitiva Propriedades fundamentais Regras de primitivação

2. Noção de integral 102 Conceito de integral 102 Monotonia do integral 102 Teorema fundamental do cálculo integral 103 Fórmula de Barrow 104 Propriedades dos integrais 105 Integral de uma função não positiva 107 Integral de uma função onde pode ocorrer um número finito de mudanças de sinal 108

65

Trigonometria e Funções Trigonométricas

1. Fórmulas trigonométricas Fórmulas trigonométricas Equações e inequações trigonométricas. Resolução de problemas

6

60

98 98 99 100

Tema

Resolução de equações e inequações envolvendo exponenciais

7

Números Complexos

1. Introdução aos números complexos. Operar com números complexos 110 Números complexos na forma a + bi , a, b å R 110 Igualdade de números complexos 110 Adição e multiplicação de números complexos 112 Potência de um número complexo 112 Representação de um número complexo num referencial ortonormado 113 Módulo de um número complexo 114 Conjugado de um número complexo 115 Divisão de números complexos. Inverso de um número complexo não nulo 115 2. Forma trigonométrica de um número complexo Argumento de um número complexo Exponencial complexa Forma trigonométrica de um número complexo Operações com números complexos na forma trigonométrica

118 118 120 120

3. Raízes de um número complexo Raízes de um número complexo Equações do segundo grau

123 123 125

122

4. Operar com números complexos e transformações geométricas. Condições em C e sua representação no plano complexo 126 Operações com números complexos e transformações geométricas 126 Condições em C e sua representação no plano complexo 127

Respostas

129

Tema

1

Cálculo Combinatório

1. Propriedades das operações sobre conjuntos Propriedades que envolvem a relação de inclusão Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Têm-se as seguintes propriedades: 1. A ƒ B § A © B = A

2. A ƒ B § A ∂ B = B

3. O ƒ A

4. A ƒ B § B ƒ A

5. A ƒ B ± A © C ƒ B © C

6. A ƒ B ± A ∂ C ƒ B ∂ C

Propriedades das operações de interseção e união Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Têm-se as seguintes propriedades: Propriedades

Interseção

União

Comutativa

A©B=B ©A

A∂B=B ∂A

Associativa

(A © B ) © C = A © (B © C)

(A ∂ B ) ∂ C = A ∂ (B ∂ C)

Idempotência

A©A=A

A∂A=A

Elemento neutro

A©U=A

A∂O=A

Elemento absorvente

A©O=O

A∂U=U

Distributivas

A © (B ∂ C) = (A © B ) ∂ (A © C) A ∂ (B © C) = (A ∂ B ) © (A ∂ C)

Leis de De Morgan Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . Têm-se as seguintes propriedades: 1. A © B = A ∂ B

2. A ∂ B = A © B

Relação da diferença de conjuntos com a interseção e o complementar Tem-se A\B = A © B .

Propriedades que envolvem o produto cartesiano Sejam A e B conjuntos contidos num universo U e seja C um conjunto contido num universo V . Têm-se as seguintes propriedades: 1. 1A ∂ B2 * C = 1A * C2 ∂ 1B * C2

4

2. C * 1A ∂ B2 = 1C * A2 ∂ 1C * B2

1. Considera, no universo U = f - 6, 9 g , os conjuntos: A = 5 x å U : 3x2 - 5x - 28 ≥ 0 6

B = ex å U : `

x - 1 ` < 3f 2

Determina cada um dos seguintes conjuntos. Apresenta as tuas respostas utilizando a notação de intervalos de números reais. 7 7 a) A c- 6, - d ∂ f4, 9g b) B g- 4, 8f c) A © B d- 4, - d ∂ f4, 8f 3 3 7 d) A ∂ B f- 6, 9g e) B f- 6, - 4g ∂ f8, 9g f) B \ A d - , 4c 3 2. Considera:

š
o polinómio p1x2 tal que p1x2 = 3x3 + x2 - 19x + 5 ;

3n - 1 š
a sucessão 1un2 de termo geral un = . n+1 Sejam, no universo R , os conjuntos:

A = 5 a å R : o resto da divisão de p1x2 por x - a é igual a - 10 6

B = 5 u1, u2, u3 6

a) Representa em extensão os conjuntos A e B . A = e - 3, 1, b) Para cada número real c , seja C = e c, 1,

Indica o valor de c , tal que:

5 f 3

;

5 B = e 1, , 2 f 3

5 , 3f . 3

b1) A © C = A c = - 3 b2) B ∂ C = C c = 2

3. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . Justifica que A © B = A se e só se A ∂ B = A . 4. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Sabe-se que A ∂ B ƒ C . a) Completa: a1) A © C = A a2) B ∂ C = C b) Justifica que: b1) A \ B ƒ C b2) A ∂ B ƒ C § C = U

5. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Sabe-se que A ∂ B ƒ C e A © B = O . Justifica que: a) C ƒ A b) B ƒ A c) C \ A ƒ B

5

Tema 1 | Cálculo Combinatório

6. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . Simplifica as seguintes expressões. a) B ∂ 1 B ∂ A2 U

b) A © 1B © A2 A © B c) A © 1B © A 2 O d) e) f) g) h)

f 1A © B2 © B g ∂ A A ∂ 1B © A 2 A ∂ B

A

f 1A © B2 ∂ B g © B O 1B © A2 ∂ 1B © A 2 B f A © 1B © A 2 g ∂ A U

7. Indica se cada uma das igualdades seguintes é verdadeira, para quaisquer conjuntos A , B e C , subconjuntos de um dado universo U . Caso contrário, apresenta um contraexemplo. a) A ∂ 1B \ A2 = B Falsa

b) A © B © C = A ∂ B ∂ C Verdadeira

8. Considera os conjuntos A = 5 - 3, 0, 1 6 e B = 5 - 2, 2 6 . a) Representa em extensão o conjunto A * B .

A * B = 5 1 - 3, - 22, 1 - 3, 22, 10, - 22, 10, 22, 11, - 22, 11, 22 6

b) Existirá alguma função de A em B cujo gráfico seja A * B ? Justifica a tua resposta.

Não. Por exemplo, o objeto - 3 teria duas imagens: - 2 e 2.

9. Considera os conjuntos A = 5 2, 3, 5 6 e B = 5 1, 4, 6 6 .

a) Seja C = 5 1x, y2 å A * B : x < y 6 . Representa em extensão o conjunto C .

5 12, 42, 12, 62, 13, 42, 13, 62, 15, 62 6

2 b) Seja D = 5 1x, y2 å A * B : y = x - 3 6 . Representa em extensão o conjunto D .

5 12, 12, 13, 62 6

c) Seja E = 5 1x, y2 å A * B : 0 x - y 0 = 1 6 . Considera, em referencial o.n. xOy , o quadri-

látero cujos vértices são os pontos associados aos elementos de E . Determina a área desse quadrilátero. 5 10. Sejam A , B e C conjuntos contidos num universo U . Justifica que: a) A \ B * C = 1 A * C2 ∂ 1B * C2 b) 1A * B2 ∂ 1 A * B2 = U * B c) A * C = B * C § A = B d)

1 A * C2 ∂ 1 B * C2 = A * C § A ƒ B

11. Sejam A e B conjuntos contidos num universo U . Prova que A * B = O § A = O › B = O .

6

2. Introdução ao cálculo combinatório

Cardinal de um conjunto. Conjuntos equipotentes š
Dado um conjunto A , finito, dá-se o nome de cardinal de A ao número de elementos de A . O cardinal de A representa-se por #A . Tem-se #O = 0 . š
Dados conjuntos A e B , tem-se que #A = #B se e somente se existe uma bijeção de A em B . Diz-se, então, que A e B são equipotentes. Propriedades Sejam A e B conjuntos finitos não vazios. Tem-se: 1. #1A * B2 = #A * #B 2. A © B = O ± #1A ∂ B2 = #A + #B

12. Considera o conjunto: U = 5 - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4 6 Seja A = U x å U : "|x| å N0 V . a) Determina #A . 5 b) Seja B um subconjunto de U tal que A © B = O e #1A ∂ B2 = 8 .

Indica o valor de: b1) #B 3

b2) #1 A © B 2 1 c) Seja C um subconjunto de U tal que #1A * C2 = 20 .

Indica o valor de #C . 4 13. Sejam A e B subconjuntos de um dado universo U . a) Mostra que:

a1) #A = #1A © B2 + #1A © B 2

a2) B ƒ A ± #1A \ B2 = #A - #B b) Sabe-se que #U = 16 , #1A * A 2 = 48 e #A > #A .

Determina quantos elementos tem o conjunto A . 12

7

Tema 1 | Cálculo Combinatório

Princípio geral da multiplicação (generalização da propriedade 1) Se, para realizar uma tarefa, forem necessárias k etapas, se existirem n1 maneiras de realizar a primeira etapa, se, para cada uma delas, existirem n2 maneiras de realizar a segunda etapa, e assim sucessivamente, até à k-ésima etapa, então a tarefa pode ser realizada de n1 * n2 * … * nk maneiras diferentes.

Exemplo: Numa certa pastelaria estão à venda quatro tipos de bolos: bolas de Berlim, pastéis de nata, queques e queijadas. Três amigos, a Ana, a Bárbara e o Carlos, vão lanchar a essa pastelaria e decidem comer um bolo cada um. A Ana não gosta de queques. O Carlos só gosta de bolas de Berlim e de pastéis de nata. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os bolos? Resposta: 3 * 4 * 2 = 24

Princípio geral da adição (generalização da propriedade 2) Se, para realizar uma tarefa, existirem k opções que se excluem duas a duas, e se existirem n1 maneiras de realizar a primeira opção, n2 maneiras de realizar a segunda opção, …, nk maneiras de realizar a k-ésima opção, então a tarefa pode ser realizada de n1 + n2 + … + nk maneiras diferentes.

Exemplo: A Lurdes vai a uma festa. Ela pode levar um vestido ou pode levar uma blusa e uma saia. A Lurdes tem quatro vestidos, seis blusas e cinco saias. De quantas maneiras diferentes pode a Lurdes ir vestida para a festa? Resposta: 4 + 6 * 5 = 34

Arranjos com repetição de n elementos, p a p 1nA'p2 Ao número de sequências de p elementos, não necessariamente distintos, escolhidos num conjunto de cardinal n , dá-se o nome de arranjos com repetição de n elementos, p a p . Tem-se nA'p = n p .

Exemplo: Quantos códigos de cartão multibanco é possível formar? Resposta:

10

A'4 = 104 = 10 000

continua

8

continuação

Extrações com reposição Dados n objetos, existem exatamente nA'p formas distintas de efetuar p extrações sucessivas de um desses objetos, repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.

Exemplo: Uma caixa contém nove bolas, numeradas de 1 a 9. Com o objetivo de construir um número com cinco algarismos, efetuam-se cinco extrações sucessivas de uma bola, repondo-a na caixa após cada extração. A primeira bola extraída fornece o algarismo das unidades, a segunda bola fornece o algarismo das dezenas, e assim sucessivamente. Quantos números diferentes é possível construir? Resposta: 9A'5 = 95 = 59 049

14. Lançou-se um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, e um dado octaédrico, com as faces numeradas de 1 a 8, e registaram-se os números das faces que ficaram voltadas para cima. Quantos são os resultados possíveis para esta experiência? 48 15. Considera os conjuntos A = {2, 3, 5, 7} , B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {2, 4, 8} . Em referencial o.n. Oxyz , considera os pontos tais que as abcissas pertencem ao conjunto A , as ordenadas pertencem ao conjunto B e as cotas pertencem ao conjunto C . Quantos são esses pontos? 60 16. Seja D o conjunto dos números naturais maiores do que 10 e menores do que 99. Determina quantos são os elementos de D em que o produto dos dois algarismos é um número natural par. 56 17. Determina o número de sequências diferentes que se podem formar inserindo quatro missangas num fio, sabendo que estão disponíveis missangas vermelhas, verdes e azuis (para cada uma destas cores, há mais de quatro missangas disponíveis). 81 18. Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extrai-se um cartão do saco, regista-se o algarismo nele inscrito e repõe-se o cartão no saco. Efetua-se este procedimento três vezes. Os três algarismos registados formam um número. A primeira extração corresponde ao algarismo das centenas, a segunda ao das dezenas e a terceira ao das unidades. a) Quantos números é possível formar? 343 b) Dos números que é possível formar, determina quantos: b1) têm exatamente dois algarismos pares; 108 b2) são ímpares. 196

9

Tema 1 | Cálculo Combinatório

Permutações. Conceito de fatorial Dado um conjunto de cardinal n , a cada maneira de ordenar os seus n elementos dá-se o nome de permutação desses n elementos. O número de permutações de n objetos é n * 1n - 12 * … * 2 * 1 = n! (lê-se n fatorial). Tem-se a seguinte convenção: 0! = 1 .

Exemplo: De quantas maneiras diferentes se podem sentar cinco pessoas num banco corrido com cinco lugares? Resposta: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

19. Quantos arco-íris se poderiam formar se as suas sete cores pudessem permutar entre si? 5040

20. Seis jovens, a Ana, a Beatriz, o Carlos, a Dália, o Eduardo e a Filipa vão concorrer a um sorteio de seis viagens, a saber, a Barcelona, Berlim, Londres, Madrid, Paris e Roma. Supondo que cada jovem vai ganhar uma viagem, de quantas maneiras diferentes pode resultar este sorteio? 720 21. A Sandra quer arrumar doze livros de aventuras numa prateleira de uma estante, que tem o tamanho exato para o efeito. Desses doze livros, cinco são da coleção Uma Aventura, de Ana Maria Magalhães e Isabel Alçada, quatro são da coleção Os Cinco, de Enid Blyton, e os restantes três são de uma coleção de Júlio Verne. Determina de quantas maneiras diferentes podem os doze livros ficar dispostos na prateleira, se: a) não houver restrições; 479 001 600 b) na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne; 119 750 400 c) na extremidade esquerda ficar um livro de Júlio Verne e na extremidade direita ficar um

livro de Enid Blyton; 43 545 600 d) os dois livros do meio forem ambos da coleção Uma Aventura; 72 576 000 e) os quatro livros do meio forem os da coleção Os Cinco; 967 680 f) os livros de cada coleção ficarem juntos; 103 680 g) os livros de Júlio Verne ficarem juntos; 21 772 800 h) o livro Os Cinco na Ilha do Tesouro não ficar ao lado do livro Uma Aventura em Lisboa;

399 168 000 i) os dois livros do meio forem de coleções diferentes. 341 107 000

10

22. Uma seleção de hóquei em patins é constituída por dez jogadores. Admite que, na seleção de hóquei em patins de um certo país, estão quatro jogadores do clube A, três jogadores do clube B e os restantes três jogadores pertencem a outros tantos clubes. Os dez jogadores vão posar para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros.

Indica quantas fotografias diferentes se podem tirar, se: a) os quatro jogadores do clube A ficarem no meio; 17 280 b) os quatro jogadores do clube A ficarem juntos, bem como os três jogadores do clube B; 17 280 c) os sete jogadores dos clubes A e B ficarem juntos, ficando cada jogador do clube B entre

dois do clube A. 3456 23. Num debate participam oito convidados, havendo dois representantes por cada uma de quatro organizações. O debate vai ser moderado por uma pessoa que já se encontra sentada num dos lados de uma mesa retangular. Os oito participantes no debate vão sentar-se nessa mesa, quatro à esquerda do moderador e quatro à sua direita. De quantas maneiras se podem dispor esses oito participantes, de modo que os elementos da mesma organização fiquem juntos? 384 24. Completa cada uma das seguintes igualdades: a) 15! = 15 * 14! b) 16! * 17 = 17!

5! = 4! 5 9! d) =9 8! 7! e) = 42 5! c)

25. Resolve, em N , as seguintes equações: a)

b)

n2 n2 =1+ 12 5! 6!

1n + 12! - n! = 0,9 18 1n + 12! + n!

26. Utilizando o método de indução matemática, prova que, para qualquer número natural n , se tem: n

a) a

k=1

k-1 1 =1n! k!

n b) 1n + 12! ≥ 2

11

Tema 1 | Cálculo Combinatório

Arranjos de n elementos, p a p (nAp ) Ao número de sequências de p elementos distintos, escolhidos num conjunto de cardinal n 1n ≥ p2, dá-se o nome de arranjos de n elementos, p a p . Tem-se:

n! Ap = n * 1n - 12 * … * 1n - p + 12 = twwwwuwwwwv 1n - p2! p fatores

n

Exemplo: Quantos códigos de cartão multibanco, que tenham todos os algarismos diferentes, é possível formar? Resposta: 10A4 = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

Extrações sem reposição Dados n objetos diferentes, existem exatamente nAp formas distintas de efetuar p extrações sucessivas de um desses objetos, não repondo o objeto escolhido após cada uma das extrações.

Exemplo: Uma caixa contém nove bolas, numeradas de 1 a 9. Com o objetivo de construir um número com cinco algarismos diferentes, efetuam-se cinco extrações sucessivas de uma bola, sem a repor na caixa após cada extração. A primeira bola extraída fornece o algarismo das unidades, a segunda bola fornece o algarismo das dezenas, e assim sucessivamente. Quantos números diferentes é possível construir? Resposta: 9A5 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15 120

27. Oito atletas vão fazer uma corrida. De quantas maneiras diferentes se poderão colocar três deles no pódio? 336

28. Uma empresa fabrica dois tipos de pratos para colocar aperitivos. Num dos tipos, os pratos estão divididos em três setores diferentes e, no outro tipo, em quatro setores diferentes. Em ambos os tipos, cada setor é pintado de uma cor, não se repetindo cores num mesmo prato. As cores utilizadas para os pratos do primeiro tipo são o azul, o branco, o castanho, o preto e o verde e para os pratos do segundo tipo são o amarelo, o branco, o preto, o roxo, o verde e o vermelho. Determina o número de pratos diferentes que esta empresa pode fabricar. 420 12

29. Seja P = {2, 3, 5, 7} . Considera o conjunto A dos números naturais compreendidos entre 10 e 1000 cujos algarismos pertencem ao conjunto P . a) Determina o cardinal de A . 80 b) Determina quantos elementos de A têm os algarismos todos diferentes. 36 c) De entre os elementos de A considerados na alínea anterior, determina quantos são

múltiplos de 2 ou de 5. 18 d) Determina quantos elementos do conjunto A têm dois ou três algarismos iguais. 44

30. Um saco contém sete cartões, numerados de 1 a 7. Extraem-se, sem reposição, três cartões e dispõem-se da esquerda para a direita pela ordem de saída, formando um número. a) Quantos números é possível formar? 210 b) Dos números que é possível formar, determina quantos: b1) têm exatamente dois algarismos pares; 72 b2) são ímpares. 120

31. O código de acesso a um determinado serviço de internet é constituído por cinco letras e dois algarismos. Admite que os dois algarismos estão sempre situados nas duas últimas posições. Admite, ainda, que podem ser usadas as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos. Determina quantos códigos diferentes se podem formar: a) se não houver restrições; 1 188 137 600 b) não repetindo letras e não repetindo algarismos; 710 424 000 c) que não contenham vogais e em que os dois algarismos sejam iguais; 40 841 010 d) em que as três primeiras letras sejam vogais e apenas possam ser utilizados os algaris-

mos 3, 5 e 7; 760 500 e) que não contenham consoantes e em que as letras sejam todas diferentes; 12 000 f) em que a soma dos dois algarismos seja um número ímpar maior do que 12. 142 576 512

32. Seja A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Considera o conjunto B dos números naturais compreendidos entre 5000 e 10 000 cujos algarismos pertencem ao conjunto A . a) Determina o cardinal de B . 1715 b) Dos elementos de B , quantos têm os algarismos todos diferentes? 600 c) Dos elementos de B , quantos têm pelo menos dois algarismos iguais? 1115

33. Seja M o conjunto dos números naturais maiores do que 1000 e menores do que 5666. a) Quantos elementos de M têm os algarismos todos diferentes? 2331 b) Quantos elementos de M não têm dois algarismos consecutivos iguais? 3375 c) Quantos elementos de M são capicuas? 47

34. Com os algarismos 2, 3, 5 e 7, quantos números naturais se podem escrever que tenham no máximo quatro algarismos, nunca repetindo algarismos em cada número? 64

13

Tema 1 | Cálculo Combinatório

35. Numa paragem de um autocarro estão 12 pessoas: seis homens e seis mulheres. Dois dos homens são idosos. Para um autocarro que apenas tem dez lugares sentados disponíveis. Os dois idosos são as primeiras pessoas a entrar e vão sentar-se. Seguidamente, sentam-se as seis mulheres. Finalmente, sentam-se mais dois homens. De quantas maneiras diferentes podem ficar ocupados os dez lugares sentados, respeitando estas condições? 21 772 800 36. Sejam A e B os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7} . a) Quantas funções têm o conjunto A por domínio e o conjunto B por conjunto de

chegada? 64 b) Quantas funções, de entre as da alínea anterior, são injetivas? 24

Combinações de n elementos, p a p (nCp )

Ao número de subconjuntos com p elementos de um conjunto de cardinal n 1n ≥ p2 n A n! . dá-se o nome de combinações de n elementos, p a p . Tem-se nCp = p = p! p! 1n - p2!

Exemplos:

1. De um baralho completo de 52 cartas, extrai-se um conjunto de quatro cartas, que se entrega a um jogador. Quantos conjuntos diferentes pode esse jogador receber? 52

Resposta: 52C4 =

A4 52 * 51 * 50 * 49 = = 270 725 4! 4*3*2*1

2. Na figura está representado um tabuleiro com 15 casas, dispostas em cinco filas verticais (A, B, C, D e E) e em três filas horizontais (1, 2 e 3). Pretende-se dispor seis fichas iguais no tabuleiro, de modo que cada ficha ocupe uma única casa e que cada casa não seja ocupada por mais do que uma ficha. De quantas maneiras diferentes é possível dispor as seis fichas no tabuleiro?

A

B

C

D

E

1 2 3

15

Resposta: 15C6 =

A6 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 = = 5005 6! 6*5*4*3*2*1

Conjunto das partes de um conjunto Dado um conjunto A , ao conjunto de todos os subconjuntos de A dá-se o nome de conjunto das partes de A . O conjunto das partes de A representa-se por P 1A2 . Se um conjunto A tem cardinal n 1n å N02, então o conjunto das partes de A tem cardinal 2n .

Exemplo: Seja V = 5 a, e, i, o, u 6 . Quantos são os subconjuntos de V que têm pelos menos dois elementos? Resposta: 25 - 11 + 52 = 26 (à totalidade dos subconjuntos de V , retira-se o conjunto vazio e os cinco conjuntos que contêm um único elemento).

14

37. Cada equipa de voleibol é constituída por doze jogadores: seis efetivos e seis suplentes. O treinador de uma certa equipa vai escolher os seis efetivos para iniciar um jogo. Quantas escolhas diferentes pode fazer? 924 38. Considera cinco pontos pertencentes a uma circunferência. a) Quantas cordas existem com extremos nestes pontos? 10 b) Quantos triângulos existem com vértices nestes pontos? 10

39. A Maria vai organizar um lanche. Para isso, vai a uma pastelaria onde se vendem 14 tipos diferentes de bolos.

a) Se a Maria comprar seis bolos diferentes, quantas escolhas pode fazer? 3003 b) A Maria optou por comprar seis bolos iguais. Vai dispô-los num prato dividido em dez

setores, cada um com a sua cor. De quantas maneiras diferentes pode a Maria dispor os seis bolos no prato? 210 40. A direção de uma coletividade tem de se fazer representar por três dos seus sete membros, numa cerimónia oficial. Os sete membros da direção são a Ana, a Sofia, a Lurdes, o Mário, o Agostinho, o Paulo e o Artur. a) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas? 35 b) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Ana esteja incluída? 15 c) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas em que a Sofia e o Artur não

estejam simultaneamente? 30 d) Quantas comissões diferentes poderão ser constituídas, de tal modo que os dois sexos

estejam representados? 30 41. O João tem uma caixa para guardar lápis e canetas. A caixa está dividida em dez compartimentos diferentes. Cada compartimento só pode ser ocupado por um único lápis ou por uma única caneta. O João vai lá guardar cinco lápis, todos iguais, e cinco canetas, todas diferentes. Quantas disposições diferentes poderão ocorrer? 30 240 42. Cada chave do euromilhões é constituída por cinco números (de entre os números naturais de 1 a 50) e por mais dois números, as estrelas (de entre os números naturais de 1 a 12). Quantas chaves diferentes podem ocorrer no euromilhões?

C5 * 12C2 = 139 838 160

50

15

Tema 1 | Cálculo Combinatório

43. Dez amigos, cinco raparigas e cinco rapazes, decidiram organizar-se para disputar um torneio de ténis. Para esse efeito, vão criar cinco equipas mistas, A, B, C, D e E, de dois jogadores cada uma. a) De quantas maneiras diferentes se podem distribuir os dez amigos pelas cinco equipas?

14 400 b) Admite agora que as equipas já estão formadas. Supondo que cada equipa vai jogar

um único jogo com cada uma das outras, determina o número de jogos que comporá o torneio. 10 44. Cinco irmãs possuem, em conjunto, nove pares de brincos. Três desses pares são iguais e os restantes seis são diferentes entre si e diferentes dos três primeiros. As cinco irmãs vão sair para uma festa e cada uma delas leva um par de brincos. Quantas escolhas diferentes podem fazer, se decidirem que três delas levam os três pares iguais? 300 45. Doze crianças vão-se mascarar para uma festa de Carnaval. Dispõem de cinco máscaras de palhaço (todas iguais), de quatro máscaras de arlequim (também todas iguais) e de três máscaras de príncipe medieval (todas diferentes). De quantas maneiras diferentes se podem distribuir as doze máscaras pelas doze crianças? 166 320

46. Quantos são os números naturais de sete algarismos em que exatamente três deles são iguais a 5 e os restantes quatro são todos diferentes? 99 120 47. Uma turma do 12.º ano tem 20 alunos. a) Os 20 alunos da turma vão distribuir-se por quatro equipas (A, B, C e D) para dispu-

tarem um torneio de futsal. Cada equipa é constituída por cinco jogadores. Determina o número de maneiras diferentes de distribuir os 20 jovens pelas quatro equipas. Apresenta a tua resposta na forma a * 10n , com a arrendondado às centésimas e n natural. 1,17 * 1010 b) Uma livraria decidiu oferecer um livro, entre dois títulos disponíveis, a cada aluno desta

turma. b1) Quantas escolhas diferentes podem os 20 alunos fazer? 1 048 576 b2) Pertencem a esta turma dois irmãos. Se eles não escolherem o mesmo livro, quantas

escolhas diferentes podem os alunos fazer? 524 288 48. De quantas maneiras se podem colocar seis bolas distintas em nove caixas distintas, podendo haver mais do que uma bola por caixa, mas não mais de quatro em cada caixa? 531 000

16

49. Determina de quantas maneiras é possível selecionar cinco cartas de um baralho completo (52 cartas), de forma que: a) quatro sejam figuras e a outra seja um ás;

1980 b) no conjunto das cinco cartas, existam

exatamente duas figuras e existam exatamente três cartas de espadas, podendo também existir cartas que não sejam figuras, nem sejam de espadas (exemplo: {dama de espadas, 10 de espadas, 6 de espadas, valete de copas, 5 de ouros}). 53 820 50. Considera um prisma hexagonal reto. a) Quantas retas distintas passam por dois vértices do prisma e não contêm qualquer

aresta do prisma? 48 b) Das retas identificadas na alínea anterior, quantas são paralelas às bases? 18 c) Um vértice de uma base e dois vértices da outra base são vértices de um mesmo triân-

gulo. Quantos desses triângulos existem? 180 d) Pretende-se pintar as faces do prisma de modo que duas faces com arestas comuns não

tenham a mesma cor, mas faces paralelas tenham a mesma cor. Sabendo que existem seis cores disponíveis, de quantas maneiras diferentes é possível pintar o prisma? 360 51. Determina o perímetro de um polígono regular, sabendo que tem 20 diagonais e que o comprimento de cada lado é 3. 24 52. Seja d 1n2 o número de diagonais de um polígono com n lados 1n ≥ 42. Mostra que d 1n + 12 - d 1n2 = n - 1 .

53. Um conjunto tem 4096 subconjuntos. Quantos desses subconjuntos têm exatamente seis elementos? 924

17

3. Triângulo de Pascal e binómio de Newton

Triângulo de Pascal Dá-se o nome de triângulo de Pascal à seguinte disposição dos valores de nCk : 0

C0

1

1

1

C0

2

2

C0

3

4

…

3

C0 4

C0 …

C1

C1

C2

3

C1

C3

4

C2

4

C3

…

…

1

1 ou seja,

3

C2

4

C1

1 2

1

C4

…

1 …

…

2 3

3

4 …

1 1

6 …

4 …

1 …

…

Propriedades das combinações (ao lado de cada propriedade destaca-se a sua interpretação, em termos do triângulo de Pascal) Sejam n e k pertencentes a N0 , com n ≥ k . Tem-se: 1. nC0 = nCn = 1 (o primeiro e o último elemento de cada linha são ambos iguais a 1) 2. nCk = nCn - k (em cada linha, elementos a igual distância dos extremos são iguais) 3. nCk + nCk + 1 = n + 1Ck + 1 (cada elemento, que não esteja num dos extremos de uma linha, é igual à soma dos dois elementos colocados imediatamente acima, um à esquerda e o outro à direita) 4. nC0 + nC1 + nC2 + … + nCn = 2n (na linha que contém os elementos da forma nCk , a soma desses elementos é igual a 2n)

Binómio de Newton n

Tem-se que 1a + b2 = nC0 a n b0 + nC1 a n - 1 b1 + nC2 a n - 2 b2 + … + nCn a0 bn = a nCk an - k bk . n

k=0

Neste desenvolvimento, o termo de ordem p + 1 é dado por nome de termo geral do desenvolvimento.

n

n-p

Cp a

Exemplo: 12x + 32 = 3C0 12x2 * 30 + 3C1 12x2 * 31 + 3C2 12x2 * 32 + 3C3 12x2 * 33 = 3

3

= 8x3 + 36x2 + 54x + 27

18

2

1

0

bp . Dá-se-lhe o

54. A soma de todos os elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é igual a 1024. Relativamente a essa linha, indica: a) os dois primeiros elementos; 1 e 10 b) o número de elementos; 11 c) o maior elemento. 252

55. Considera duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem alguns elementos: … …

33 649

42 504

100 947 134 596

…

245 157

346 104

…

Determina o valor de a e o valor de b . 56. Dos dois primeiros e dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal, sabe-se que a soma desses quatro elementos é igual a 26. Determina o terceiro elemento dessa linha. 66 57. Determina n e p tais que nCp = 2017C81 - 2016C80 . n = 2016 ; p = 81 58. Considera a linha do triângulo de Pascal que contém os elementos da forma

18

Cp .

Determina o número de elementos dessa linha que são maiores do que 4000. 9 59. Seja k o quarto elemento de uma certa linha do triângulo de Pascal e seja s a soma dos quatro primeiros elementos desta linha. Mostra que a soma dos quatro primeiros elementos da linha seguinte é 2s - k . 60. O sexagésimo elemento de uma certa linha do triângulo de Pascal é igual ao trigésimo nono elemento dessa linha. Determina o valor do antepenúltimo elemento da linha seguinte. 4950 61. Seja n um número natural. Mostra que a soma dos n primeiros elementos da linha do triângulo de Pascal que contém os elementos da forma nCp é igual à soma de todos os elementos das linhas anteriores. 62. Desenvolve cada uma das seguintes potências: a) 15x + 22 b) 13x + 12 c) 1x - 42 d) a2x -

5

3

125x3 + 150x2 + 60x + 8

4

81x4 + 108x3 + 54x2 + 12x + 1 x5 - 20x4 + 160x3 - 640x2 + 1280x - 1024

6

1 80 160 3 20 2 4 1 b 64x6 - 64x5 + x4 x + x x+ 3 27 27 81 729 3

19

Tema 1 | Cálculo Combinatório

63. Determina os números naturais a e b tais que a + b"3 = Q 2 + "3 R . a = 362 ; b = 209 5

3 64. Determina as soluções da equação 12x + 12 = 16x4 + 30x3 + 19x2 + 5x + 1 . - , - 1 , 0 2 4

9

1 65. Determina o quinto termo do desenvolvimento de a3a - a b . 30 618 a16 4

8

3 66. No desenvolvimento de a2x + 3 b existe um monómio cuja parte literal é x . x Determina o seu coeficiente. 48 384 2

67. Determina o coeficiente do monómio de grau 6 da forma reduzida de 1x2 + 6x + 92 . 17 010 5

68. Determina, para cada alínea, o número natural n que verifica a respetiva equação. 10

a) a

10

k=0 12

b) a

12

k=0

10 - k

12 - k

Ck * 6

14

c) a

14

k=0 n

k

Ck * 5

= Q "7 R 24

28 - 2k

Ck * 3 k

n

14

=n

d) a Ck * 42 = "9 n

n

* 3 = 2 30

5

k=0

40

10

16

69. Seja n um número natural. 2n

Justifica que a

p=0

20

2n

Cp 1- 22 = 1 . p

Tema

2

Probabilidades

1. Definir espaços de probabilidade

Experiência aleatória Experiência cujo resultado não é possível prever, antes de a realizarmos, na medida em que este depende do acaso.

Espaço amostral ou universo dos resultados Conjunto de resultados que é possível obter quando se realiza uma experiência aleatória. O espaço amostral é habitualmente designado pela letra E ou pela letra W (do alfabeto grego).

Exemplo: Se a experiência aleatória for lançar um dado com as faces numeradas de 1 a 6, o espaço amostral E é 5 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 .

Acontecimento Qualquer subconjunto do espaço amostral.

š
7Yedj[Y_c[dje
Y[hje (E): acontecimento que se realiza de certeza, quando se efetua a experiência aleatória. š
7Yedj[Y_c[dje
_cfeii‡l[b (O): acontecimento que de certeza não se realiza, quando se efetua a experiência aleatória. š
7Yedj[Y_c[dje
[b[c[djWh0 acontecimento formado por um único elemento do espaço amostral. š
7Yedj[Y_c[dje
Yecfeije0
acontecimento formado por mais do que um elemento do espaço amostral. š
7Yedj[Y_c[djei
_dYecfWj‡l[_i0 acontecimentos cuja interseção é vazia, ou seja, acontecimentos cuja realização simultânea é impossível. š
7Yedj[Y_c[djei
Yedjh|h_ei0 acontecimentos cuja interseção é vazia e cuja união é o espaço amostral; a realização de um equivale à não realização do outro. Exemplo: Relativamente à experiência aleatória do lançamento de um dado com as faces numeradas de 1 a 6, têm-se os seguintes exemplos de acontecimentos: š
Acontecimento certo (E): sair número maior do que 0. š
Acontecimento impossível (O): sair número negativo. š
Acontecimento elementar: sair o número 4 – {4} š
Acontecimento composto: sair número múltiplo de 3 – {3, 6} š
Acontecimentos incompatíveis: sair o número 1 e sair número primo – 5 1 6 © 5 2, 3, 5 6 = O š
Acontecimentos contrários: sair número par e sair número ímpar – 5 2, 4, 6 6 © 5 1, 3, 5 6 = O e 5 2, 4, 6 6 ∂ 5 1, 3, 5 6 = E continua

22

continuação

Espaço dos acontecimentos Conjunto cujos elementos são os acontecimentos associados à experiência aleatória. Quando o espaço amostral E é finito, considera-se habitualmente que o espaço dos acontecimentos é P (E) , conjunto de todos os subconjuntos de E .

Axiomática de Kolmogorov. Espaço de probabilidade Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. FheXWX_b_ZWZ[ é uma função P que a cada acontecimento A associa um número real, P (A) , tal que: Axioma 1: P 1A2 ≥ 0 (qualquer que seja o acontecimento A) Axioma 2: P 1E2 = 1 Axioma 3: A © B = O ± P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1B2 (quaisquer que sejam os acontecimentos A e B) No caso em que o espaço amostral E é finito, é habitual considerar que qualquer subconjunto de E pertence ao espaço dos acontecimentos. Neste caso, P é uma função cujo domínio é

P (E) , conjunto dos subconjuntos de

E.

Dizemos, então, que o terno (E, P (E), P) é um [ifW‚e
Z[
fheXWX_b_ZWZ[.

Propriedades Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.

Tem-se, para quaisquer acontecimentos A e B 1A ƒ E e B ƒ E2:

š
P 1A2 å f0, 1g š
P 1O2 = 0

š
P 1 A 2 = 1 - P 1A2

š
B ƒ A ± P 1A \ B2 = P 1A2 - P 1B2

š
B ƒ A ± P 1B2 ≤ P 1A2 (monotonia da probabilidade) š
P 1A2 = P 1A © B2 + P 1A © B 2

š
P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1B2 - P 1A © B2

'$
Considera a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos quatro reis de um baralho de cartas. Sejam e , c , o e p os quatro resultados possíveis desta experiência (e – sair o rei de espadas; c – sair o rei de copas; o – sair o rei de ouros; p – sair o rei de paus). a) Indica o espaço amostral E . E = 5e, c, o, p6

P (E) . P 1E2 = 5 O, 5e6, 5c6, 5o6, 5p6, 5e, c6, 5e, o6, 5e, p6, 5c, o6, 5c, p6, 5o, p6, 5e, c, o6, 5e, c, p6, 5e, o, p6, 5c, o, p6, 5e, c, o, p6 6

b) Indica o espaço de acontecimentos,

c) Define em extensão o acontecimento «sair um rei de naipe preto». 5e, p6

23

Tema 2 | Probabilidades

($
Um saco contém três bolas, numeradas de 1 a 3. Extraem-se, ao acaso e sucessivamente, duas bolas do saco, repondo a primeira bola antes de retirar a segunda, e registam-se os respetivos números. a) Indica o espaço amostral E . E = 5 11, 12, 11, 22, 11, 32, 12, 12, 12, 22, 12, 32, 13, 12, 13, 22, 13, 32 6 b) Define em extensão os seguintes acontecimentos: b1) sair o mesmo número nas duas extrações;

5 11, 12, 12, 22, 13, 32 6

5 11, 22, 12, 12 6 b3) sair o número 3 uma única vez; 5 11, 32, 12, 32, 13, 12, 13, 22 6 b4) sair o número 3 pelo menos uma vez. 5 11, 32, 12, 32, 13, 12, 13, 22, 13, 32 6 b2) saírem os números 1 e 2;

c) Determina o número de acontecimentos compostos. 29 - 11 + 92 = 502

)$
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade. Sejam A e B dois acontecimentos pertencentes a P (E) . Sabe-se que P 1 A 2 = 0,4 , P 1B2 = 0,5 e P 1A ∂ B2 = 0,8 .

Determina:

a) P 1A2 0,6

d) P 1 A ∂ B 2 0,7

b) P 1 B 2 0,5

e) P 1A © B 2 0,3

c) P 1A © B2 0,3

f) P f A ∂ 1A © B2 g 0,7

*$
Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade. Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. Prova que:

a) P 1A ∂ B2 + P 1 A © B 2 = 1

b) P 1 A ∂ B 2 - P 1A ∂ B2 = P 1 A 2 - P 1B2

c) P 1A \ B2 + P 1B \ A2 = P f 1A ∂ B2 \ 1A © B2 g d) P 1A2 + P 1B2 ≥ P 1A ∂ B2

Acontecimentos equiprováveis Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.

Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. Diz-se que A e B são [gk_fhel|l[_i se P 1A2 = P 1B2 .

Regra de Laplace Dada uma experiência aleatória, cujos casos possíveis sejam em número finito e equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis.

Exemplo: Relativamente à experiência aleatória do lançamento de um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6, tem-se que a probabilidade de sair um número múlti2 1 plo de 3 é = . 6 3

24

+$
O João comprou um caixa com 22 bombons, tendo 12 recheio de menta e 10 recheio de avelã. Os bombons têm todos o mesmo aspeto exterior. O João vai retirar, ao acaso, alguns bombons da caixa. a) Se o João retirar um único bombom, qual é a probabilidade de ele ter recheio de menta? b) Se o João retirar dois bombons, qual é a probabilidade de ambos terem recheio de

avelã?

6 11

15 77

c) Se o João retirar três bombons, qual é a probabilidade de haver pelo menos um de cada

recheio?

60 77

,$
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sabe-se que todos os acontecimentos elementares são equiprováveis. Seja A um acontecimento 1A ƒ E2, tal que #A = 12 e P 1A2 = 0,6 . a) Determina #E . 20

b) Seja B um acontecimento 1B ƒ E2 tal que P 1A ∂ B2 = 0,8 e P 1A © B2 = 0,25 .

Determina #B . 9 -$
Numa certa cidade existem duas praças ligadas por quatro ruas paralelas. Duas pessoas partem, à mesma hora, uma de cada praça, dirigindo-se para a outra praça. Se cada uma destas duas pessoas escolher, ao acaso, a rua por onde vai caminhar, qual é a probabilidade 1 de elas se cruzarem? 4 .$
A Joana está a aprender a escrever num teclado sem olhar para ele. A professora vai tapar, ao acaso, cinco das teclas referentes às 26 letras. a) Qual é a probabilidade de a professora tapar três consoantes e duas vogais? Apresenta

a resposta na forma de dízima, arredondada às centésimas. 0,20 b) Qual é a probabilidade de a professora tapar pelo menos uma vogal? Apresenta a res-

posta na forma de dízima, arredondada às centésimas. 0,69 /$
Numa festa onde todos os participantes são jovens, encontram-se mais três raparigas do que rapazes. Vai ser escolhido, ao acaso, um dos jovens presentes na festa para receber um 3 prémio. Sabe-se que a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga é igual a . Os jovens 5 participantes na festa vão tirar uma fotografia. De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de tal modo que as raparigas fiquem todas juntas? 1 828 915 200 '&$
Considera um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. As faces com número par estão pintadas de azul, as faces com os números 3 e 5 estão pintadas de amarelo e a face com o número 1 está pintada de branco. Lança-se o dado duas vezes. Em cada lançamento, regista-se a cor e o número da face que fica voltada para cima. Calcula a probabilidade de, nos dois lançamentos: 11 a) saírem faces de cores diferentes; 18 1 b) saírem faces de cores diferentes e um dos números ser múltiplo do outro; 3 1 c) saírem faces da mesma cor e os números serem divisores de 30. 4

25

Tema 2 | Probabilidades

''$
Numa corrida de 100 metros vão participar oito atletas. Nesta prova vão estar presentes três corredores da equipa Os Gazelas. Os oito participantes na corrida vão ser distribuídos ao acaso pelas oito pistas. Qual é a probabilidade de: a) os corredores da equipa Os Gazelas ocuparem três

das pistas 1, 2, 4, 6 e 8?

5 28

b) dois corredores da equipa Os Gazelas ocuparem as pistas 1 e 2 e o outro não ocupar

a pista 3?

5 56

c) os corredores da equipa Os Gazelas ficarem em pistas adjacentes?

3 28

'($
Um saco contém 40 bolas, numeradas de 1 a 40. Sete bolas são brancas e as restantes são pretas. Extraem-se, ao acaso, seis bolas, uma a uma, sem reposição. a) Calcula a probabilidade (apresenta as respostas na forma de dízima, arredondadas às

centésimas) de: a1) as bolas extraídas serem todas da mesma cor; 0,29 a2) pelo menos uma das bolas extraídas ser branca; 0,71 a3) o menor número saído ser o 10. 0,04 b) Num concurso, uma aposta consiste em escolher seis números, de entre os números

naturais de 1 a 40. Cada aposta custa 1 €. Um apostador tem prémio se acertar nos seis números saídos. Qual é a quantia mínima que um jogador terá de gastar para que 1 a probabilidade de ganhar o prémio seja superior a ? 1 919 191 euros 2 ')$
Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso três vértices de um paralelepípededo, eles 4 definirem um plano que não contenha uma face? 7 '*$
Nove amigos, três raparigas e seis rapazes, vão dar um passeio de automóvel. Todos podem conduzir. Eles vão distribuir-se por três automóveis diferentes, três amigos em cada veículo. Admitindo que os nove amigos se distribuem, ao acaso, pelos três automóveis, qual é a probabilidade de, em cada automóvel, os seus ocupantes serem todos do mesmo 1 sexo? 28 '+$
Dez automóveis vão ser colocados no porão de um navio. Seis dos veículos são de um modelo e os restantes quatro são de outro modelo. Os dez automóveis vão ser dispostos numa única fila. Se a disposição dos automóveis for feita ao acaso, qual é a probabilidade 1 de os veículos de cada modelo ficarem juntos? 105 ',$
Sejam m e n números naturais, com m ≤ n . Considera o conjunto A = 5 1, 2, 3, …, n 6 . Seja P (A) o conjunto dos subconjuntos de A . Escolhendo ao acaso um elemento de P (A) , qual é a probabilidade de ele conter o número m ? 12

26

2. Definir probabilidade condicionada

Probabilidade condicionada Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.

Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, com P 1B2 0 0 . A probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B representa-se por P 1A | B2 . Tem-se P 1A | B2 =

P 1A © B2 . P 1B2

Exemplo 1: De um saco contendo as 13 cartas do naipe de copas de um baralho, extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam A e B os acontecimentos: A: a primeira carta é o ás B: a segunda carta é uma figura (rei, dama ou valete)

P 1B | A2 designa a probabilidade de a segunda carta ser uma figura, sabendo que a primeira é o ás. Ora, depois de se ter extraído o ás, ficaram 12 cartas no saco, das quais três são figuras. 3 1 Temos, assim, 12 casos possíveis e três casos favoráveis, pelo que P 1B | A2 = = . 12 4 Exemplo 2: Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Sejam A e B os acontecimentos: A: sai número maior do que 3 B: sai número par

P 1A | B2 designa a probabilidade de o número saído ser maior do que 3, sabendo que é par. Ora, se o número saído é par, temos três casos possíveis (2, 4 e 6), dos quais dois são maiores do que 3 (4 e 6). 2 Temos, assim, três casos possíveis e dois casos favoráveis, pelo que P 1A | B2 = . 3

'-$
Uma caixa contém quatro bolas brancas e quatro bolas pretas, indistinguíveis ao tato. Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. Considera os seguintes acontecimentos: B1: a bola retirada em primeiro lugar é branca B2: a bola retirada em segundo lugar é branca 3 Qual é o valor de P 1B2 | B12 ? 7 27

Tema 2 | Probabilidades

'.$
Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém 12 bolas, numeradas de 1 a 12. Considera os acontecimentos: A: a bola extraída tem número par

B: a bola extraída tem número superior a "50

1 Qual é o valor da probabilidade condicionada P 1B | A2 ? 2

'/$
Um saco contém um certo número de fichas brancas. Lança-se um dado cúbico perfeito e colocam-se, no saco, tantas fichas azuis quantas o número saído nesse lançamento. Em seguida, extrai-se, ao acaso, uma ficha do saco. Considera os acontecimentos: A: sai o número 4 no lançamento do dado B: a ficha retirada do saco tem cor branca Sabe-se que P 1B | A2 =

2 . 3 Quantas fichas brancas estavam inicialmente no saco? 8 (&$
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.

Sabe-se que P 1A2 = 0,3 , P 1B2 = 0,4 e P 1A ∂ B2 = 0,6 .

1 Qual é o valor da probabilidade condicionada P 1B | A2 ? 3

('$
A Ana e a Beatriz são duas irmãs que vivem na mesma casa. A experiência evidencia que, em cada ano: š
a probabilidade de a Ana se constipar é 0,55; š
a probabilidade de a Beatriz se constipar é 0,45; š
a probabilidade de as duas irmãs não se constiparem é 0,4. Sabe-se que, no ano passado, a Beatriz se constipou. Qual é a probabilidade de, no ano passado, a Ana também se ter constipado? 8 Apresenta a tua resposta na forma de uma fração irredutível. 9 (($
Numa caixa A existem seis bolas: três brancas, duas azuis e uma verde. Numa caixa B existem 11 bolas. Algumas destas bolas são brancas, sendo as restantes azuis. a) Realiza-se a seguinte experiência aleatória:

š
extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e colocam-se na caixa B; š
em seguida, extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa B e observa-se a sua cor. Admite que, no final da experiência, a probabilidade de sair uma bola azul é dupla da probabilidade de sair uma bola branca. a1) Justifica que uma das bolas que transitaram da caixa A para a caixa B foi a bola

verde. 8 a2) Quantas bolas azuis ficaram na caixa B depois da transferência das duas bolas (da

caixa A para a caixa B)? 4

28

b) Admite agora que se colocam as 17 bolas num saco e, em seguida, se extraem ao acaso,

sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. Sejam os acontecimentos: X: a primeira bola retirada é branca Y: a segunda bola retirada é branca Sabe-se que P 1Y | X2 =

3 . 8 Determina o número de bolas brancas que estavam inicialmente na caixa B. ()$
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A , B e C três acontecimentos 1A ƒ E , B ƒ E e C ƒ E2, todos com probabilidade não nula. Sabe-se que A ƒ C e que os acontecimentos B e C são incompatíveis. P 1A2 Prova que P 1A ∂ B | C2 = . P 1C2

(*$
Seja E o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. 1 Sabe-se que P 1A | B2 = e que P 1A ∂ B2 = 3P 1A © B2 . 2 Mostra que os acontecimentos A e B são equiprováveis.

Probabilidade da interseção de dois acontecimentos Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.

Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, ambos com probabilidade não nula. Tem-se:

P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B | A2

e

P 1A © B2 = P 1B2 * P 1A | B2

ou seja, a probabilidade da interseção de dois acontecimentos é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, sabendo que o primeiro aconteceu.

Exemplo: De um saco que contém as 13 cartas do naipe de copas de um baralho, extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas. Sejam A e B os acontecimentos: A: a primeira carta é o ás B: a segunda carta é uma figura (rei, dama ou valete)

P 1A © B2 designa a probabilidade de a primeira carta ser o ás e a segunda ser uma figura. Tem-se P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B | A2 =

1 1 1 * = . 13 4 52

29

Tema 2 | Probabilidades

(+$
Uma caixa A tem três bolas brancas e sete bolas pretas. Uma caixa B tem seis bolas amarelas e três bolas verdes. Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair um número superior a 4, extrai-se ao acaso uma bola da caixa A; caso contrário, extrai-se ao acaso uma bola da caixa B. Qual é a probabilidade de, no final da experiência, sair uma bola branca? Apresenta a tua resposta na forma de dízima. 0,1 (,$
Numa empresa, metade dos trabalhadores são do sexo feminino. a) A terça parte das trabalhadoras dessa empresa são licenciadas. Escolhendo, ao acaso,

um funcionário da empresa, qual é a probabilidade de esse funcionário ser uma mulher 1 licenciada? 6 b) Um quarto dos trabalhadores da empresa são homens licenciados. Escolhendo, ao acaso, 1 um homem que trabalhe nessa empresa, qual é a probabilidade de ele ser licenciado? 2 (-$
Uma escola tem vinte turmas, sendo uma delas o 12.º A. Esta turma tem 24 alunos, a terça parte dos quais são do sexo feminino. Escolhe-se, ao acaso, uma turma da escola e, em seguida, selecionam-se, também ao acaso, três alunos dessa turma. Qual é a probabilidade de serem escolhidos dois rapazes e uma rapariga do 12.º A? Apresenta a resposta na forma 6 de fração irredutível. 253

Teorema da probabilidade total Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade.

B

Sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2, com P 1B2 0 0 e P 1 B 2 0 0 .

A

B

Então, P 1A2 = P 1B2 * P 1A | B2 + P 1 B 2 * P 1A | B 2 .

Mais geralmente: Sejam B1 , B2 , … , Bn acontecimentos que formam uma partição de E (isto é, acontecimentos disjuntos dois a dois, cuja união é o espaço amostral E).

B1

B2

B3

…

A

Bn

Suponhamos que P 1Bi2 0 0 , para 1 ≤ i ≤ n . Então, para qualquer acontecimento A 1A ƒ E2, tem-se: P 1A2 = P 1B12 * P 1A | B12 + P 1B22 * P 1A | B22 + … + P 1Bn2 * P 1A | Bn2

Exemplo: Um minimercado recebe garrafas de azeite de dois fornecedores, X e Y. Em cada garrafa, o azeite pode ter, ou não, uma acidez inferior a 1%. Num certo dia, estão expostas numa prateleira desse minimercado apenas garrafas de azeite, das quais a terça parte provém do fornecedor X.

continua

30

continuação

Das garrafas expostas: š
em 36% das provenientes do fornecedor X, o azeite tem uma acidez inferior a 1%; š
em 45% das provenientes do fornecedor Y, o azeite tem uma acidez inferior a 1%. Escolhendo, ao acaso, uma garrafa dessa prateleira, a probabilidade de, nessa garrafa, o azeite ter uma acidez inferior a 1% é dada por: P 1A2 = P 1B2 * P 1A | B2 + P 1 B 2 * P 1A | B2

em que: š
A designa o acontecimento «o azeite da garrafa escolhida tem uma acidez inferior a 1%»; š
B designa o acontecimento «a garrafa escolhida provém do fornecedor X». Portanto, P 1A2 =

1 2 * 0,36 + * 0,45 = 0,42 . 3 3

(.$
Num saco estão três dados cúbicos, cada um deles com as faces numeradas de 1 a 6. Esses três dados têm igual aspeto exterior, mas um deles é viciado. 1 Sabe-se que a probabilidade de se obter a face 6 no dado viciado é e que as outras cinco 3 faces têm igual probabilidade de sair. Retira-se, ao acaso, um dado do saco e lança-se esse dado. Qual é a probabilidade de sair o número 4? Apresenta a resposta na forma de fração 7 irredutível. 45 (/$
Uma caixa A tem três bolas verdes e cinco bolas roxas. Uma caixa B tem seis bolas verdes e três bolas roxas. Uma caixa C tem duas bolas verdes e oito bolas roxas. Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Se sair a face 1, extrai-se ao acaso uma bola da caixa A; se sairem as faces 2 ou 3, extrai-se ao acaso uma bola da caixa B; se sair face com número superior a 3, extrai-se ao acaso uma bola da caixa C. a) Qual é a probabilidade de, no final da experiência, sair uma bola verde? Apresenta a

tua resposta na forma de dízima, arredondada às milésimas. 0,385 b) No final da experiência, saiu uma bola verde. Qual é a probabilidade de ter saído 2,

no lançamento do dado? Apresenta a tua resposta na forma de dízima, arredondada às milésimas. 0,289 )&$
Foi realizado um teste de matemática numa turma de uma escola secundária. Sabe-se que: š
60% dos alunos da turma são raparigas; š
80% dos alunos da turma tiveram nota positiva no teste; š
dos alunos que tiveram nota negativa no teste, 75% são raparigas. Escolhe-se, ao acaso, um aluno desta turma. Qual é a probabilidade de esse aluno ter tido nota positiva nesse teste, sabendo que é do 3 sexo feminino? Apresenta a resposta na forma de fração irredutível. 4 31

Tema 2 | Probabilidades

)'$
Numa equipa portuguesa de futebol, 40% dos jogadores são estrangeiros. Da totalidade de jogadores da equipa, 56% têm mais de 25 anos. Considerando apenas os jogadores portugueses desta equipa, dois em cada cinco têm, no máximo, 25 anos. Escolhe-se, ao acaso, um jogador desta equipa. Qual é a probabilidade de esse jogador ser estrangeiro e ter mais de 25 anos? Apresenta a 1 resposta na forma de fração irredutível. 5

Acontecimentos independentes Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade e sejam A e B dois acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. A e B dizem-se _dZ[f[dZ[dj[i se P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B2 .

Propriedades Seja (E, P (E), P) um espaço de probabilidade. 1. Sejam A e B dois acontecimentos. Se pelo menos um deles tiver probabilidade igual a zero, então A e B são independentes. 2. Sejam A e B dois acontecimentos com probabilidade diferente de zero. Tem-se:

š
A e B são independentes se e só se P 1B | A2 = P 1B2 .

š
A e B são independentes se e só se P 1A | B2 = P 1A2 . Portanto, dois acontecimentos com probabilidade não nula são independentes se e só se o conhecimento de que um deles se realizou não tem influência na probabilidade de realização do outro. 3. Se dois acontecimentos A e B são independentes, então também são independentes os seguintes pares de acontecimentos: A e B ; A e B ; A e B .

Exemplo: Lança-se um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 e retira-se, ao acaso, uma bola de uma caixa contendo oito bolas, numeradas de 1 a 8. A probabilidade de saírem dois números superiores a 4 é P 1A © B2 , em que: š
A designa o acontecimento «o número saído no lançamento do dado é superior a 4»; š
B designa o acontecimento «o número da bola extraída da caixa é superior a 4». Como os acontecimentos A e B são independentes, tem-se: P 1A © B2 = P 1A2 * P 1B2 =

32

2 4 1 * = 6 8 6

)($
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2.

3 1 Sabe-se que A e B são independentes, que P 1A © B2 = e que P 1 A 2 = . 8 4 1 Determina a probabilidade do acontecimento B . 2 ))$
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. 5 1 Sabe-se que P 1A ∂ B2 = , que P 1A | B2 = e que P 1A2 = 2P1B2 . 8 2 Justifica que os acontecimentos A e B são independentes.

)*$
Uma urna U contém quatro bolas azuis e oito bolas brancas. Uma urna V contém seis bolas azuis e dez bolas brancas. Considera a experiência que consiste na extração, ao acaso, de uma bola de cada urna. a) Qual é a probabilidade de a bola extraída da urna V ter cor branca, sabendo que a bola

extraída da urna U tem cor azul?

5 8

b) Qual é a probabilidade de a bola extraída da urna U ter cor azul e a bola extraída da

urna V ter cor branca?

5 24

c) Qual é a probabilidade de as duas bolas extraídas terem cores diferentes?

11 24

)+$
Uma caixa A contém doze bolas, das quais três são verdes. Uma caixa B contém nove bolas, das quais algumas são verdes. Ao extrair, ao acaso, uma bola de cada caixa, a probabilidade de sair pelo menos uma bola 2 verde é . 3 Qual é o número de bolas verdes que existem na caixa B? 5 ),$
As peças fabricadas por uma fábrica são submetidas a um controle de qualidade, o qual se compõe de dois testes independentes, A e B. Se uma peça não cumprir os requisitos em pelo menos um dos testes, é rejeitada. Escolhendo uma peça ao acaso, a probabilidade de ela 3 4 passar no teste A é e a probabilidade de ela passar no teste B é . Qual é a probabili5 4 2 dade de a peça ser rejeitada? 5 )-$
A Ana e a Bárbara são atletas lançadoras de dardo. Elas vão participar numa competição. Para atingirem a final, terão de ultrapassar a marca de 55 metros. A probabilidade de a Ana ultrapassar a marca de 55 metros é 0,8 e a probabilidade de a Bárbara ultrapassar esta marca é 0,85. a) Qual é a probabilidade de pelo menos uma das atletas se apurar para a final? 0,97 b) Qual é a probabilidade de apenas uma das atletas se apurar para a final? 0,29

).$
Lança-se um dado cúbico equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Sejam A e B os acontecimentos: A: sai número ímpar B: sai número menor do que 3 Averigua se A e B são, ou não, independentes. A e B são acontecimentos independentes. 33

Tema 2 | Probabilidades

)/$
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. Sabe-se que P 1A ∂ B2 = P 1A2 + P 1 A 2 * P 1B2 .

Justifica que os acontecimentos A e B são independentes. *&$
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos independentes 1A ƒ E e B ƒ E2. Mostra que P 1A ∂ B2 - P 1A ∂ B 2 = 2P 1 A © B2 - P 1 A 2 .

*'$
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Seja A um acontecimento 1A ƒ E2.

Justifica que os acontecimentos A e E são independentes. *($
Seja E o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B acontecimentos 1A ƒ E e B ƒ E2. Sabe-se que P 1A2 0 0 , que P 1B2 0

1 e que P 1A ∂ B2 = P 1A2 * P 1B2 + P 1B2 . 2 Mostra que os acontecimentos A e B não são independentes.

34

Tema

3

Funções Reais de Variável Real

1. Limites e continuidade

Limites de sucessões

š
Diz-se que um número real a é limite da sucessão 1un2 quando, para todo o número real positivo d , existe uma ordem p å N tal que An å N, n ≥ p ± 0 un - a 0 < d . š
Diz-se que a sucessão 1un2 tem limite + ' quando, para todo o número real positivo L , existe uma ordem p å N tal que An å N, n ≥ p ± un > L . š
Diz-se que a sucessão 1un2 tem limite - ' quando, para todo o número real positivo L , existe uma ordem p å N tal que An å N, n ≥ p ± un < - L .

1 - 2n . '$
Considera a sucessão 1un2 definida por un = 3n + 1 2 a) Mostra, recorrendo à definição, que lim un = - . 3 b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão pertencem à vizi2 nhança de raio 0,001 de - . A partir de 555, exclusive. 3

($
Considera a sucessão 1vn2 definida por vn = 0,1n2 - 200 .

a) Mostra, recorrendo à definição, que a sucessão 1vn2 tende para + ' .

b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão 1vn2 são maiores do

que 1000. A partir de 109, exclusive. )$
Considera a sucessão 1wn2 definida por wn = 50 - 2n3 .

a) Mostra, recorrendo à definição, que a sucessão 1wn2 tende para - ' .

b) Determina a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão 1wn2 são menores

do que - 1500. Nove.

*$
Considera a sucessão 1un2 definida por un = 2n + 1- 12 n . n

Mostra que a sucessão 1un2 tende para + ' e determina quantos termos da sucessão são inferiores a 1000. 666

Limite da soma, produto, quociente e potência de sucessões convergentes š
Dadas duas sucessões convergentes, 1un2 e 1vn2 , a sucessão:

– 1un + vn2 também é convergente e lim 1un + vn2 = lim un + lim vn ; – 1un * vn2 também é convergente e lim 1un * vn2 = lim un * lim vn .

continua

36

continuação

š
Dada uma sucessão convergente 1un2 de termos não nulos e limite não nulo e uma sucessão 1vn2 , a sucessão a

vn vn lim vn b é convergente e lim a b = . un un lim un

š
Dada uma sucessão convergente 1un2 e um número racional r , a sucessão de termo r r r r r geral 1un2 é convergente e lim 1un2 = 1lim un2 (desde que 1un2 e 1lim un2 tenham significado).

+$
Sejam 1un2 e 1vn2 duas sucessões tais que lim un = 2 e lim vn = - 4 . Determina: a) lim

un + vn u2n

-

1

b) lim 1un * vn2 3 - 2

1 2

Propriedades envolvendo limites infinitos (escrita abreviada)

š
+ ' + 1+ '2 = + '

š
+ ' + l = + ', l å R

r

š
- ' + 1- '2 = - '

š
- ' + l = - ', l å R š
¿ ' * l = ¿ ', l å R +

š
+ ' * 1¿ '2 = ¿ '

š
¿ ' * l = ◊ ', l å R -

š
- ' * 1¿ '2 = ◊ '

š


š
1+ '2 = + ', r å Q +

l = ¿ ', l å R + ou l = + ' ¿ 0

š


š
1- '2 = + ', p é par p

š
1- '2 = - ', p é ímpar p

š


l = 0, l å R ¿'

l = ◊ ', l å R - ou l = - ' ¿ 0

,$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = n2 + 2n e seja 1vn2 a sucessão de termo geral 2 vn = 3 + . Determina: n+1 a) lim un + ' b) lim vn 3 c) lim 11 - 2n - un2 - ' d) lim f un * 11 - vn2 g - ' e) lim

un vn + '

f) lim

vn - 3 0 1 - un

g) lim

1 -' 3 - vn

h) lim

vn 0 1 - un

Indeterminações Numa situação de cálculo do limite da soma, produto ou quociente de duas sucessões, 1un2 e 1vn2 , se o conhecimento dos limites de 1un2 e 1vn2 não é suficiente para obter o u limite de 1un + vn2 , de 1un * vn2 ou de a n b , diz-se que existe uma situação de
_dZ[j[hvn c_dW‚€e. ?dZ[j[hc_dW‚[i0

š
1+ '2 + 1- '2

š


' '

š
' * 0

š


0 0

37

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

-$
Determina, caso existam, os limites seguintes. 2 3 a) lim 110n - 0,01n + 102 - ' b) lim Q "n - "n + 2 R 0

n2 - 1n - 12 e) lim 3n + 2

2n - 1 2 d) lim 3n + 2 3 g) lim

"2n2 + 1 "2 3 3n + 2

h) lim

n+1 1 2n - 1 2 1 j) lim 8 3n 3n+2 m) lim

2

2 3

f) lim

"n2 + 1 - 2n -1 n+3 "n + "n2 3

k) lim

1 + "n

n

22n + 3n 1 n+1 2 + 4n + 1 4

1-k

n) lim a 2 k=0

2 c) lim Q "n + 2 - n R 0

+'

2n - 1 0 3n2 + 2

i) lim a

n+1 2n * b 1 2 n +1 2

1 2

n

o) lim a

4

n

l) lim ca b + a b

k=1

3 2

-n

+ "2d 1

1 + 2k 1 n2 + 1

Teoremas de comparação para sucessões 1. Dadas sucessões convergentes 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem, então lim un ≤ lim vn . 2. Dadas sucessões 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem e lim un = + ' , então lim vn = + ' . 3. Dadas sucessões 1un2 e 1vn2 , se un ≤ vn a partir de certa ordem e lim vn = - ' , então lim un = - ' .

Exemplo: Determinar lim a

n

3n + 1 b . 2n - 7

Tem-se: An å N4,

3n + 1 3n + 1 - 1 3n + 1 3 ≥ , ou seja, A n å N4, ≥ . 2n - 7 2n - 7 + 7 2n - 7 2

Então, A n å N4, a

3n + 1 3 3 b ≥ a b e, dado que lim a b = + ' , concluiu-se que 2n - 7 2 2

n

n

n

n

3n + 1 lim a b = + ' (teorema 2) . 2n - 7

.$
Determina, recorrendo a teoremas de comparação, os limites seguintes. a) lim 1n + tg n2 + ' 2

38

2-n b) lim -' 3 - cos n

n

5n + 1 c) lim a b +' n+3

n

2n + 3 /$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = e seja 1vn2 uma sucessão convergente tal n+1 An å N, vn ≤ un . Justifica que a sucessão 1vn2 não pode ter limite igual a 3. '&$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = n + cos n e seja 1vn2 a sucessão de termo geral vn = sen n - n . Mostra, recorrendo aos teoremas de comparação, que lim un = + ' e lim vn = - ' . 2n2 + 1 ''$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = e seja 1vn2 uma sucessão tal que n+2 An å N, un + vn ≤ 0 . Determina lim vn . Justifica. - ' '($
Seja 1un2 uma sucessão de termos negativos que tende para - ' . Sabe-se que a sucessão v 1vn2 é tal que An å N, n ≥ 1 . Determina lim vn . Justifica. - ' u n

n

')$
Seja un = a

k=1

2

2k + n . Determina lim un . + ' n

Teorema das sucessões enquadradas Se 1un2 e 1vn2 são duas sucessões convergentes com o mesmo limite, a , e se uma sucessão 1wn2 é tal que, a partir de certa ordem, un ≤ wn ≤ vn , então 1wn2 é convergente e lim wn = a .

Exemplos:

n + cos n . 2n n - 1 n + cos n n + 1 n-1 n+1 1 A n å N, ≤ ≤ . Como lim = lim = , o teorema das 2n 2n 2n 2n 2n 2 n + cos n 1 sucessões enquadradas permite concluir que lim = . 2n 2

1. Determinar lim

n

2. Determinar lim a

k=1

n

a

k=1

2n + 1 . n2 + k

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 = + +…+ 2 n2 + k n2 + 1 n2 + 2 n +n n

n

n

2n + 1 2n + 1 2n + 1 Então, a 2 ≤a 2 ≤a 2 . Dado que: k=1 n + k k=1 n + 1 k=1 n + n n

š
a

k=1 n

š
a

k=1

2n2 + n 2n2 + n 2n2 2n + 1 2n + 1 = * n = e lim = lim =2 n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n n2 2n2 + n 2n2 + n 2n2 2n + 1 2n + 1 = * n = e lim = lim =2 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 n

o teorema das sucessões enquadradas permite concluir que lim a

k=1

2n + 1 =2 . n2 + k

39

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

'*$
Determina, recorrendo ao teorema das sucessões enquadradas, os limites de cada uma das sucessões cujo termo geral se indica. a) un =

2n + cos 12n2 2 n+1

b) vn =

n 1 2n - sen n 2

c) wn = a

n

2n - 5 b 0 3n + 1

1 - 2n e seja 1vn2 uma sucessão tal que '+$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = n+1 An å N, vn + 2 ≤ 0 ‹ vn ≥ un . Justifica que a sucessão 1vn2 é convergente e indica o valor do seu limite. - 2

',$
Seja 1un2 uma sucessão de termos negativos e tal que A n å N, n * un + 1 > 0 . Justifica que a sucessão 1un2 é convergente e indica o valor do seu limite. 0 n

2n + 1 . k + n2 Determina lim un . 2

'-$
Seja un = a

k=0

2n

n2 + k . 3 k = n 2k + n Determina lim un . 1

'.$
Seja un = a

'/$
Mostra que A n å N,

n! n! 1 n ≤ n e determina lim n . 0 n n

Limites de funções (revisão) B_c_j[
i[]kdZe
>[_d[ Dada uma função real de variável real f e um número real a que seja ponto aderente ao domínio de f , diz-se que b é limite de f 1x2 quando x tende para a quando, para toda a sucessão 1xn2 de elementos do domínio de f que tende para a , a correspondente sucessão 1f 1xn22 tende para b . No caso de o domínio de f não ser majorado (respetivamente, minorado), na definição anterior, admite-se que a seja + ' (respetivamente, - '). Dada uma função real de variável real f de domínio não majorado (respetivamente, não minorado), diz-se que b é limite de f 1x2 quando x tende para + ' (respetivamente, - ') quando, para toda a sucessão 1xn2 de elementos do domínio de f que tende para + ' (respetivamente, para - ') , a correspondente sucessão 1f 1xn22 tende para b .

(&$
Seja f a função definida por f 1x2 = segundo Heine, lim f 1x2 e x"2

40

x2 - 4 x . Determina, recorrendo à definição de limite

lim f 1x2 . lim f 1x2 = 0 ;

x " +'

x"2

lim f 1x2 = + '

x " +'

('$
Seja f a função, de domínio R , representada graficamente ao lado.

y

Define duas sucessões 1un2 e 1vn2 tais que a definição de limite segundo Heine permita provar que não existe lim f 1x2 . x " -1 1 1 un = - 1 - n e vn = - 1 + n

f 1 x O

1

(($
Calcula, caso existam, os limites seguintes. a)

c)

e)

g)

i)

2x2 + x - 1 1 2 2 12x + 12

b)

lim

"2x + 5 - 3 1 6 x2 - 2x

d)

lim

x2 - 1 Não existe 2 1x - 12

f)

lim

x " +'

x"2

x"1

0 1 - 3x 0 + 4x x " +' 0x - 30 lim

lim

x"3

7

h)

2x2 + x - 1 -1 x3 + 1

lim

x " -1

"x2 + 1 - 3x

lim

lim

x"0

-2

x + "x

x " +'

x - 1 + "x + 1 3 2 x2 + x

0 1 - 3x 0 + 4x x " -' 0x - 30 lim

-1

x2 - 3x Não existe 0 6 - 2x 0

Teoremas de comparação para funções 1. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D e sendo a å R um ponto aderente a D :

š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim g 1x2 = + ' , então lim f 1x2 = + ' . x"a

x"a

š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se lim f 1x2 = - ' , então lim g 1x2 = - ' . x"a

x"a

2. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D , não majorado:

š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se

lim g 1x2 = + ' , então

x " +'

lim f 1x2 = - ' , então

x " +'

lim f 1x2 = + ' .

x " +'

lim g 1x2 = - ' .

x " +'

3. Dadas funções reais de variável real f e g de domínio D , não minorado:

š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se š
se Ax å D, f 1x2 ≥ g 1x2 e se

lim g 1x2 = + ' , então

x " -'

lim f 1x2 = - ' , então

x " -'

lim f 1x2 = + ' .

x " -'

lim g 1x2 = - ' .

x " -'

41

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

()$
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que A x å R \ 5 1 6, f 1x2 ≤ Determina lim f 1x2 . Justifica. - '

x-3 . 2 11 - x2

x"1

(*$
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que A x < 2, f 1x2 ≥ Determina

lim

x " -'

f 1x2 . Justifica. + '

1 - 2x2 . x-2

(+$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x3 1cos x - 32 . Determina

lim

x " -'

f 1x2 e

lim

x " +'

f 1x2 . Justifica.

lim

x " -'

f 1x2 = + ' ;

lim

x " +'

(,$
Seja f a função, de domínio R \ 5 0 6 e contradomínio g - ', 1 g , representada graficamente ao lado. As retas de equações x = 0 e y = 0 são as assíntotas ao gráfico da função.

f 1x2 = - '

y f

O

Seja g uma função tal que:

Ax å R \ 5 0 6, g 1x2 ≤ f 1x2

Determina lim g 1x2 . Justifica. - ' x"0

(-$
Sejam f e g duas funções de domínio R - . Sabe-se que: š
a reta de equação y = - 2x + 1 é assíntota ao gráfico da função g ;

š
Ax å R - , f 1x2 ≥ g 1x2 . Determina

lim

x " -'

f 1x2 . Justifica. + '

Teorema das funções enquadradas Dadas funções reais de variável real f , g e h de domínio D e sendo a å R um ponto aderente a D , se Ax å D, g 1x2 ≤ f 1x2 ≤ h 1x2 e se lim g 1x2 = lim h 1x2 = b , com b å R , x"a x"a então lim f 1x2 = b . x"a

Exemplo:

Se a função f , de domínio R , é tal que A x å R, x + 1 ≤ f 1x2 ≤ x2 + x + 1 , então: š


lim

x " +'

f 1x2 = + ' , porque

lim

x " +'

1x + 12 = + ' (teorema 2)

š
lim f 1x2 = 1 , porque lim 1x + 12 = lim 1x2 + x + 12 = 1 x"0

x"0

x"0

(teorema das funções enquadradas) Nota Todos os teoremas enunciados são válidos considerando os limites laterais em a e também se aplicam se as hipóteses forem verificadas na restrição das funções a uma vizinhança de a no caso de a ser um número real, ou em intervalos não majorados (respetivamente, não minorados) no caso dos limites quando x " + ' (respetivamente, x " - ').

42

x

(.$
Determina os limites seguintes, recorrendo ao teorema das funções enquadradas. a)

c)

lim c 1x - 32 sen

x"3

lim

x " -'

1 d 0 x-3

b)

2x 2 3x + cos x 3

d)

lim

x " +'

lim

x " +'

"x + sen x 1 2"x + 1

2

"sen x + 5 + x 1 2 2x + 1

(/$
Sejam f , g e h três funções de domínio R \ 5 - 3 6 . Sabe-se que: š
f 1x2 =

š
g 1x2 = x2 + 7x + 6 ;

x2 - 9 ; x+3

š
Ax å Dh, f 1x2 ≤ h 1x2 ≤ g 1x2 . Determina

lim h1x2 . Justifica. - 6

x " -3

)&$
Sejam f , g e h três funções de domínio R + . Sabe-se que: š
a reta de equação y = - 1 é assíntota ao gráfico da função g ; š
a reta de equação y = - x + 2 é assíntota ao gráfico de h ;

š
A x å R + , f 1x2 ≤ g 1x2 ; Determina

lim

x " +'

f 1x2 . Justifica. - 1

š
A x å R + , xf 1x2 ≥ h 1x2 .

Teorema de Bolzano-Cauchy ou teorema dos valores intermédios Dada uma função real de variável real f , contínua num intervalo I = fa, bg , com a < b , se k pertence ao intervalo fechado de extremos f 1a2 e f 1b2 , então existe c å I tal que f 1c2 = k . Em particular, se k pertence ao intervalo aberto de extremos f 1a2 e f 1b2 , então existe c å ga, bf tal que f 1c2 = k . Esquematicamente, tem-se: f contínua em fa, bg f 1a2 < k < f 1b2 ou f 1b2 < k < f 1a2

¶ ± E c å ga, bf : f 1c2 = k

Tem-se também que, se f 1a2 * f 1b2 < 0 , então f tem pelo menos um zero em ga, bf .

Exemplos: 1. Provar que a equação 0,5x - x3 = 1 tem solução no intervalo g - 2, - 1 f .

Seja f a função definida por f 1x2 = 0,5x - x3 . A função é contínua em f - 2, - 1 g e tem-se: f 1- 22 = 0,5 * 1- 22 - 1- 22 = - 1 + 8 = 7 e f 1- 12 = 0,5 * 1- 12 - 1- 12 = - 0,5 + 1 = 0,5 3

3

Então, 1 å g f 1- 12, f 1- 22 f e, portanto, o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir que E c å g - 2, - 1 f : f 1c2 = 1 , ou seja, a equação 0,5x - x3 = 1 tem solução no intervalo g - 2, - 1 f . continua

43

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real continuação

x+1 2. Provar que os gráficos das funções f e g definidas por f 1x2 = x3 e g 1x2 = se x+2 intersetam num ponto cuja abcissa pertence ao intervalo g 0, 1 f . Vamos mostrar que a equação f 1x2 = g 1x2 tem solução em g 0, 1 f .

Seja h a função definida por h 1x2 = f 1x2 - g 1x2 . A função h é contínua em f 0, 1 g e tem-se:

1 1 2 1 h 102 = f 102 - g 102 = 0 - = - e h 112 = f 112 - g 112 = 1 - = 2 2 3 3 1 1 Dado que - ≤ 0 ≤ , ou seja, h 102 ≤ 0 ≤ h 112 , o teorema de Bolzano-Cauchy 2 3 permite concluir que Ex å g 0, 1 f : h 1x2 = 0 e, portanto, E x å g 0, 1 f : f 1x2 = g 1x2 .

)'$
Estuda quanto à continuidade as funções f e g definidas por: x-3

se - 3 < x < 3 "9 - x2 f 1x2 = ' 0 se x = 3 2 x - 6x + 9 se x > 3 2x2 - 5x - 3

"x - 1 g 1x2 = μ x-2

x - 2 - "2 - x

se x ≥ 2 se x < 2

"x2 + 3 - 2 se x 0 1 1-x . )($
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 = | k se x = 1 1 Determina k sabendo que a função f é contínua. k = 2

))$
Seja h a função definida por h 1x2 = x4 + 2x3 - 1 . Resolve os dois itens seguintes sem recorreres a uma calculadora, a não ser para efetuares cálculos numéricos. a) Prova que a função tem pelo menos um zero no intervalo g 0, 1 f . b) Prova que o zero cuja existência garantiste em a) é o único zero que pertence a esse

intervalo.

c) Determina h a b e indica um intervalo de amplitude

1 2

1 a que pertença o zero da fun2

1 1 11 ; intervalo d , 1c . ção referido na alínea b). h a b = 2 16 2

)*$
Seja f uma função, de domínio R , contínua no intervalo f - 1, 4 g . Tem-se f 1- 12 = 3 e f 142 = 9 . Seja g a função definida por g 1x2 = x2 - f 1x2 . Prova que a equação g 1x2 = 2 tem solução no intervalo g - 1, 4 f .

)+$
Seja a um número real diferente de 0 e seja f a função definida por f 1x2 = x3 - x2 + x + a2 . Mostra que a função f tem pelo menos um zero no intervalo de extremos a e - a . ),$
Seja f uma função contínua, de domínio f - 2, 5 g e contradomínio f - 1, 3 g . Seja g a função definida por g 1x2 = f 1x2 - x . Prova que a função g tem pelo menos um zero.

44

)-$
Seja f uma função contínua, de domínio f - 2, 5 g , tal que f 1- 22 = 6 e f 152 = 2 . Prova que a afirmação «A função f não tem zeros no intervalo g - 2, 5 f .» não é necessariamente verdadeira. ).$
Sejam a e b números reais tais que a < b e seja h uma função contínua, de domínio f a, b g , tal que Ax å Dh , h 1x2 å g a, b f . Mostra que Ec å g a, b f : h 1c2 = c .

)/$
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 = kx2 - k . Mostra que o gráfico da função f interseta a reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares num ponto cuja abcissa pertence ao intervalo g - 1, 1 f . *&$
Seja g uma função contínua, de domínio f a, b g . Sabe-se que g 1a2 * g 1b2 < 0 . 1 Considera a função f = g . Justifica que a afirmação «O domínio da função f não pode ser f a, b g .» é verdadeira. *'$
Seja f uma função contínua em R , tal que: š
Ax å R, 1f + f 2 1x2 = x ;

š
para um determinado número real a , tem-se f 1a2 < a - 1 . Mostra que a equação f 1x2 = x - 1 é possível em g f 1a2, a f .

Teorema de Weierstrass Qualquer função real de variável real contínua num intervalo fa, bg , sendo a < b , admite mínimo e máximo absolutos.

*($
Seja f uma função contínua cujo domínio é um intervalo f a, b g , não vazio. Justifica que o contradomínio da função f não pode ser R + . *)$
Sejam a e b dois números reais positivos tais que a < b e sejam f e g duas funções contínuas de domínio f a, b g e contradomínio R + . f 1x2 Justifica que a função h , definida por h 1x2 = , tem mínimo e máximo absolutos. g 1x2 **$
Seja g uma função contínua em f a, b g , sendo a < b . Justifica que existe k å R tal que a equação g 1x2 = k é impossível. x3 + 3 se - 6 ≤ x ≤ 1 x2 + 1 *+$
Considera a função f definida por f 1x2 = μ . Justifica que o x-1 se 1 < x ≤ 6 2"x + 3 - 4 teorema de Weierstrass permite concluir que a função tem máximo e mínimo absolutos. 45

2. Derivadas de funções reais de variável real e aplicações Derivadas de funções reais de variável real (revisão) Dada uma função real de variável real f e um ponto x0 do seu domínio, considera-se f 1x2 - f 1x02 lim , se existir e for finito, como sendo a jWnW
_dijWdj~d[W
Z[
lWh_W‚€e
Z[
x " x0 x - x0

f de
fedje x0 , designa-se por Z[h_lWZW
Z[

f

de
fedje
x0 e representa-se por f '1x02 . f 1x2 - f 1x02 x " x0 x - x0

f ' 1x02 = lim

Quando existe derivada de f em x0 , diz-se que f é
Z_\[h[dY_|l[b
[c x0 ou que f é Z[h_l|l[b [c x0 . Se f é diferenciável em todos os pontos de um conjunto A , diz-se que f é Z_\[h[dY_|l[b
[c

A
. Diz-se que uma função é Z_\[h[dY_|l[b se for Z_\[h[dY_|l[b
de
Zec‡d_e.

f 1x0 + h2 - f 1x02 . h"0 h

Esta definição de derivada de f no ponto x0 é equivalente a f '1x02 = lim

*,$
Seja f a função definida por f 1x2 = x4 - 3x + 1 . Determina f '112 , recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto. f '112 = 1 *-$
Acerca de uma função g , sabe-se que g 122 = - 3 e que g'122 = 4 . Determina lim

h"0

g 12 + h2 + 3 h2 + 2h

. 2

*.$
Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que é diferenciável em a e que f 1a2 = 1 . Indica, justificando, o valor de lim f 1x2 . 1 x"a

Geometricamente, o declive da reta tangente ao gráfico de uma função diferenciável num ponto é o valor da derivada da função na abcissa desse ponto, como se apresenta em seguida. Dada uma função real de variável real f , diferenciável num ponto x0 , e dado um referencial o.n., a reta que passa no ponto P0 1x0, f 1x022 e tem declive igual a f '1x02 diz-se h[jW
jWd][dj[
We
]h|\_Ye
Z[ f de
fedje
P0 . Uma equação desta reta é y = f ' 1x02 1x - x02 + f 1x02 .

46

*/$
Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 2 sabendo que f '122 = - 3 e que f 122 = 1 . y = - 3x + 7 +&$
A reta de equação 2x + 3y = 4 é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1. 2 2 Determina, justificando, f 112 e f '112 . f 112 = ; f '112 = 3 3

Função derivada Dada uma função real de variável real f , designa-se por \kd‚€e
Z[h_lWZW de f a função de domínio D = 5 x å Df : f é diferenciável em x 6 que a cada x å D faz corresponder f '1x2 . Derivadas de referência e regras de derivação (nos pontos em que as funções estão definidas e existe derivada):

š
k' = 0 š
Q "x R' =

1

n

n " xn - 1 n

,nåN

š
1f * g2' = f ' * g + f * g' š
1f + g2' = g' * f '1g2

š
x' = 1

š
1xa2' = a xa - 1, a å Q

š
1k f 2' = kf ', k å R

š
1f + g2' = f ' + g'

f' 1 ' š
a b = - 2 f f

f ' f ' * g - f * g' š
a b = g g2

+'$
Determina f '1x2 , sendo f a função definida por: a) f 1x2 = 2x + 3

x2 + x - "2 6x2 + x + 1 2

c) f 1x2 = 1x + 3x2 2

5

110x + 152 1x2 + 3x2

b) f 1x2 =

x3 - 2x 4x3 - 9x2 + 6 2 2x - 3 12x - 32

d) f 1x2 = "x * 1x + 12

4

2

5x2 + 1

2"x x3 7 2 +($
Seja f a função definida por f 1x2 = - x + 7x - 1 . Mostra que há duas retas tangentes 3 2 ao gráfico de f que são paralelas à bissetriz do primeiro quadrante e escreve a equação reduzida de uma dessas retas.

+)$
Seja g a função definida por g 1x2 =

2x e seja f a função representada graficamente. 3-x A reta r é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1. y 2 f O

Determina:

a) g 112 , g'1x2 e f '112 g 112 = 1

g'1x2 =

6

13 - x2

2

d) 1g + f 2' 112 - 6

r 1

3

x

b) 1f * g2'112 2

c) a b 112

3 e) 1f 2' 112 - 12

3 ' f) Q "g R 112

1 ' f

1 4

e f '112 = - 1

4

47

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

Teoremas š
Seja f uma função real de variável real cujo domínio contém um intervalo não vazio I = ga, bf . Se f atinge um extremo relativo em x0 å I e se f é diferenciável em x0 então f '1x02 = 0 . š
Seja f uma função real de variável real f , contínua num intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b e diferenciável em ga, bf .

– se Ax å ga, bf, f '1x2 > 0 1respetivamente, Ax å ga, bf, f '1x2 < 02 , então f é crescente (respetivamente, decrescente) em I* .

– se Ax å ga, bf, f '1x2 ≥ 0 1respetivamente, Ax å ga, bf, f '1x2 ≤ 02, então f é crescente em sentido lato (respetivamente, decrescente em sentido lato) em I* . – se Ax å ga, bf, f '1x2 = 0 , então f é constante em I . * Os resultados são válidos se a derivada anular num número finito de pontos.

+*$
Estuda quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos as funções definidas por: a) f 1x2 = 2x - 4x + 5 3

b) g 1x2 =

2

x2 x2 - 1

3 c) h 1x2 = 1x - 12 1x - 32

++$
No referencial da figura ao lado está representada graficamente parte de uma função polinomial de grau 3 que é a função derivada de uma função f . Pela observação do gráfico de f ' , indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f e os valores de x para os quais a função atinge extremos, indicando o seu tipo.

y f'

1 O

1

x

Derivada de segunda ordem de uma função Dada uma função real de variável real f , diferenciável num intervalo I tal que a função derivada f ' é diferenciável em a å I , designa-se a derivada 1f '2' 1a2 por
Z[h_lWZW
Z[
i[]kdZW
ehZ[c
Z[

f

de
fedje
a e representa-se por f ''1a2 . Uma função real de variável real f diz-se ZkWi
l[p[i
Z_\[h[dY_|l[b num intervalo I se f ''1a2 existir para todo a å I . Nesse caso, designa-se por f '' a função que a cada x å I faz corresponder f ''1x2 . A derivada de segunda ordem também pode ser designada por i[]kdZW
Z[h_lWZW.

48

+,$
Determina f ''1x2 , sendo f a função definida por: 2x - "2x3 + 3 6"2x - p p 6x2 - 2 1 c) f 1x2 = 2 x + 1 1x2 + 12 3 a) f 1x2 =

b) f 1x2 = 13 - 2x2

3

d) f 1x2 = "x + 1 2

72 - 48x 1

1x + 12"x2 + 1 2

+-$
No referencial seguinte está representada graficamente parte da função f '' , função derivada de ordem 2 da função f . y f ''

a

b

O c

x

d e

Da observação do gráfico, indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f ' .

Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crítico J[eh[cW Dados uma função real de variável real f , duas vezes diferenciável num intervalo I = ga, bf , a < b , e um ponto c å ga, bf tal que f '1c2 = 0 , se f ''1c2 > 0 1respetivamente, f ''1c2 < 02 então f atinge um mínimo (respetivamente, máximo) relativo em c .

+.$
Seja f uma função duas vezes diferenciável em R tal que f '112 = 0 e f ''112 > 0 . O que podes dizer acerca de f 112 ? A função f atinge um mínimo relativo em 1.

+/$
Sejam a e b números reais.

Considera uma família de funções f , tais que f '1x2 = ax3 + bx2 - 4 .

Mostra que todas as funções desta família para as quais 2a + b - 1 = 0 , com a < - 1 , atingem um extremo em 2 e indica se o extremo é máximo ou é mínimo. ,&$
Seja f uma função polinomial de grau 4. No referencial seguinte estão representadas partes das funções f ' e f '' . y f ''

1 O

1

f' x

Identifica os valores de x para os quais a função f atinge um extremo e indica se o extremo atingido é máximo ou é mínimo. Justifica. A função atinge mínimos em - 2 e em 3. 49

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

Pontos de inflexão e concavidades de funções duas vezes diferenciáveis J[eh[cW Seja f uma função diferenciável num intervalo I . O gráfico de f tem a YedYWl_ZWZ[
lebjWZW
fWhW
Y_cW em I se e só se a
\kd‚€e
Z[h_lWZW, f ' , \eh
Yh[iY[dj[ em I . O gráfico de f tem a YedYWl_ZWZ[
lebjWZW
fWhW
XW_ne em I se e só se a \kd‚€e
Z[h_lWZW, f ' , \eh
Z[Yh[iY[dj[
em I . Se a função f é duas vezes diferenciável num intervalo I de extremo esquerdo a e extremo direito b , e se, para todo x å ga, bf , f ''1x2 > 0 1respetivamente, f ''1x2 < 02 , então o gráfico da função f tem a YedYWl_ZWZ[
lebjWZW
fWhW
Y_cW
(respetivamente, para baixo) no intervalo I . Estes resultados são válidos se a segunda derivada se anular num número finito de pontos. Se a função f é duas vezes diferenciável num intervalo I e se o gráfico da função f tem a YedYWl_ZWZ[
lebjWZW
fWhW
Y_cW
(respetivamente, para baixo) no intervalo I , então, para todo x å I , f ''1x2 ≥ 0 1respetivamente, f ''1x2 ≤ 02.

Dados uma função f de domínio D e c å D , diz-se que o ponto 1c , f 1c22 é fedje
Z[
_d\b[n€e
do gráfico de f se existirem números reais a e b , a < c e b > c , tais que fa, bg ƒ D e a concavidade do gráfico de f no intervalo fa, cg tem sentido contrário à concavidade do gráfico de f no intervalo fc, bg . Também se diz, neste caso, que o gráfico da função f tem ponto de inflexão em c . Dada uma função f duas vezes diferenciável num intervalo I , se o gráfico de f tem ponto de inflexão em c , então f ''1c2 = 0 .

,'$
No referencial seguinte está representada parte da função função f .

f ' , função derivada da

y f'

a

b

O c

d e

x

Da observação do gráfico, indica, justificando, o sentido das concavidades do gráfico da função f e as abcissas dos pontos de inflexão. ,($
Seja f uma função duas vezes diferenciável. Sabe-se que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em R - e tem a concavidade voltada para baixo em R + . Indica, justificando, o valor lógico da afirmação: «f '112 < f '152». A afirmação é falsa.

50

,)$
No referencial seguinte está representada parte da função f e a reta r que é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. y

r f

a

O

b

c

d

x

Da observação do gráfico, indica, justificando, os intervalos de monotonia da função f ' . ,*$
No referencial seguinte está representada graficamente parte de uma função f . y

O

f

x

Justifica que o gráfico seguinte não pode ser o gráfico da função f ' . y

O

x

,+$
Seja f uma função duas vezes diferenciável em R e seja f ''1x2 = 1x2 - 2x2 1x2 + 12 1x - 32 . 2

Indica, justificando, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função f . ,,$
Estuda quanto ao sentido das concavidades e existência de pontos de inflexão o gráfico de cada uma das funções f definidas por: a) f 1x2 = x - 3x + 1 4

2

b) f 1x2 =

x3 x-1

Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem Sejam fixados um instante para origem das medidas de tempo, uma unidade de tempo (o segundo, por exemplo), uma reta numérica r com unidade de comprimento (que pode ser, por exemplo, o metro) e um intervalo I (não vazio nem reduzido a um ponto).

continua

51

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real continuação

Nestas condições, dada uma função posição, p , de um ponto P que se desloca sobre a reta r durante o intervalo de tempo I e dados dois instantes t1 e t2 do intervalo I , com t1 < t2 , a WY[b[hW‚€e
cƒZ_W de P no intervalo de tempo ft1, t2 g é a taxa média de variação de p' entre t1 e t2 , ou seja, é

p'1t22 - p'1t12 na unidade m/s2 (m s-2) e, dado t2 - t 1

t å I , a WY[b[hW‚€e
_dijWdj~d[W de P no instante t na unidade m/s2 (m s-2) é a derivada de segunda ordem de p em t , ou seja, é p''1t2 , caso exista.

,-$
A ficha técnica de um certo automóvel indica que este automóvel pode ir de 0 a 100 km/h em 2,8 segundos. Qual é a aceleração média nesta situação? Apresenta o resultado em m/s2, com os metros arredondados às décimas. 9,9 m/s2 ,.$
Com a resistência do ar da atmosfera e a gravidade terrestre, a velocidade terminal de um paraquedista que cai na vertical com braços abertos (maior resistência) em queda livre é de cerca de 195 km/h (54,2 m/s). Demora 3 s para chegar a metade dessa velocidade, 8 s para chegar a 90% e 15 s para alcançar 99% da referida velocidade. Determina, em relação à situação descrita, a aceleração média nos 3 primeiros segundos, entre os 3 e os 8 segundos e entre os 8 e os 15 segundos. Apresenta o resultado em m/s2, com os metros arredondados às décimas. 9,0 m/s2 , 4,3 m/s2 e 0,7 m/s2 . ,/$
Uma partícula desloca-se sobre uma reta numérica, cuja unidade é o metro. A abcissa (nessa reta) da posição da partícula no instante t , em segundos, é dada, em metros, por p 1t2 = 2t3 - 6t2 + 9 . a) Determina a aceleração da partícula no instante t = 2 . 12 m/s2 b) Determina a aceleração da partícula no instante em que a velocidade é 48 m/s. 36 m/s2 c) Determina a posição da partícula quando a aceleração é igual a 24 m/s2.

Está na posição inicial (abcissa igual a 9).

Traçado de gráficos O estudo de uma função no que diz respeito ao domínio, intervalos de monotonia e existência de extremos, e o estudo analítico do seu gráfico relativamente ao sentido das concavidades, à existência de pontos de inflexão, pontos de interseção com os eixos coordenados e assíntotas, permite fazer um esboço do gráfico da função.

-&$
Faz um estudo que permita esboçar o gráfico de cada uma das funções definidas por: a) f 1x2 = c) h 1x2 =

52

x4 - x3 + x + 2 2

x-2 x2 - 5

b) g 1x2 =

3x 2x2 + 1

d) j 1x2 =

x2 - 1 x+2

Resolução de problemas n

-'$
Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = a

k=1

n

"2n2 + k

.

a) Determina u3 e, sem recorreres à calculadora, justifica que

9

"21

é inferior a u3 . u3 =

9

"21

b) Mostra, recorrendo a teoremas de comparação, que lim un = + ' .

c) Acerca de uma função f , de domínio R , sabe-se que lim f 1un2 = 1 . +

Justifica que o gráfico de f não pode ter uma assíntota oblíqua.

-($
Seja k um número real e seja f a função definida por f 1x2 = μ

7 - 2x 2

se x ≤ 3

kx2 - 3kx + x - 3 se x > 3 x2 - 9

2 . 3 2 b) Seja k = e seja g a restrição da função f ao intervalo f 2, 4 g . 3 b1) Justifica que a função g tem mínimo e máximo absolutos. a) Mostra que f é contínua se e só se k =

b2) Sem recorreres à calculadora, esboça o gráfico da função g e determina o míni-

mo e o máximo absolutos cuja existência se afirma na alínea anterior. 3 1 y O máximo é g 122 = e o mínimo é g 132 = . g 1 2 2 O 1

x

-)$
Acerca de uma função real de variável real g , de domínio R , sabe-se que: š
g 1- 22 * g 102 < 0 ;

š
a reta de equação x = - 1 é assíntota ao gráfico de g . Tendo em consideração esta informação, um aluno concluiu:

«Então, a função g tem pelo menos um zero no intervalo g - 2, 0 f porque g 1- 22 e g 102 têm sinais contrários.» Ao ouvir esta afirmação, um outro aluno contrapôs: «Não concordo. Penso que da informação do enunciado o que se conclui é que a função não tem zeros no intervalo g - 2, 0 f porque a função não é contínua em f - 2, 0 g .» Será que algum destes alunos está a pensar corretamente? -*$
Seja k um número real e seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x4 + kx - 3 . 11 Justifica que, se k å g - ', 4 f ∂ d , + ' c , a equação f 1x2 = 2 tem pelo menos uma solu2 ção no intervalo g - 2, 1 f . -+$
Seja f uma função diferenciável cuja derivada tem pelo menos um zero. Mostra que não pode existir mais do que um zero de f maior do que o maior zero de f ' . -,$
Seja a å R e seja f uma função duas vezes diferenciável em a .

Mostra que f ''1a2 = 0 não é condição suficiente para que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em a . 53

Tema 3 | Funções Reais de Variável Real

--$
Seja k um número real e seja f a função, de domínio R , definida por: f 1x2 = Determina k de modo que:

k2 x3 kx2 x + -1 6 6 3

a) a função f atinja um máximo em 1;

1 3

b) o gráfico da função f tenha um ponto de inflexão em 1.

2 3

-.$
Uma partícula desloca-se sobre uma reta numérica, cuja unidade é o metro. A abcissa, nessa reta, da respetiva posição da partícula no instante t 1t ≥ 02 é dada por p 1t2 = 2t3 - 15t2 + 24t + 4 . a) Determina a aceleração da partícula no instante em que a velocidade é 60 m/s. 42 m/s2 b) Determina a posição da partícula e o número de metros que já percorreu quando a

aceleração é nula. A partícula está 1,5 m à direita da origem do eixo, ou seja, 2,5 m à esquerda da posição inicial; percorreu 24,5 m. -/$
Faz o estudo necessário para esboçares o gráfico da função f definida por: a) f 1x2 = b) f 1x2 =

"x2 - 1 x 2x2 0x + 20

.&$
Seja f a função definida por f 1x2 =

1 . Considera o gráfico da função f num referencial x2 o.n. e seja P 1x, y2 , com x > 0 , um ponto do gráfico de f e seja Q a imagem do ponto P pela reflexão de eixo Oy .

Considera os retângulos que têm um lado contido no eixo Ox e de que P e Q são vértices. Determina, de todos esses retângulos, as dimensões do que tem menor perímetro. 1 e 2 .'$
De todos os triângulos isósceles f ABC g , sendo AB = BC = 4 , determina o comprimento do lado f AC g do que tem maior área e classifica esse triângulo quanto aos ângulos. AC = 4"2 ; é um triângulo retângulo. .($
Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 = x3 - 3x2 - 1 e g 1x2 = x2 - 5 . a) Mostra que, no intervalo f 0, 2 g , a função f é decrescente e a função g é crescente.

O que podes concluir acerca da monotonia da função f - g nesse intervalo? b) Justifica que os gráficos das funções f e g se intersetam num único ponto de abcissa

pertencente ao intervalo g 1,1; 1,3 f e, utilizando uma calculadora gráfica, determina um valor aproximado às décimas das coordenadas desse ponto.

54

Tema

4

Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

1. Juros compostos e número de Neper

Resolução de problemas envolvendo juros compostos Aplicando a um capital inicial, C0 , juros compostos à taxa de r% por um período de tempo T , o capital disponível ao fim de n períodos de tempo T , com n å N , é dado por: Cn = C0 a1 +

n

r b 100

Exemplo: Aplicando a 1500 euros juros compostos à taxa anual de 2,1%, o capital disponível ao n 2,1 b = 1500 * 1,021n . fim de n anos é dado por Cn = 1500 a1 + 100

1. O António vai depositar 60 000 euros à taxa anual de 4% durante os próximos cinco anos. a) Qual é o lucro obtido no primeiro ano de depósito? 2400 euros b) O António contou à Beatriz que o depósito lhe ia dar um ganho de 2400 eu-

ros no final do ano. A Beatriz concluiu então que, ao fim dos cinco anos, o António ia ter 72 000 euros na sua conta. Concordas com a Beatriz? Não exatamente. O António vai ter 72 999,17 euros. c) Quanto mais receberia o António se prolongasse o depósito por mais um ano? 2919,97 euros d) Qual teria de ser a taxa anual para o lucro obtido no primeiro ano ser igual ao montan-

te que obtiveste na alínea anterior? Apresenta a taxa em percentagem, com três casas decimais. 4,865% 2. Determina o capital acumulado por 10 000 euros depositados durante 20 anos à taxa de 1,8% ao ano, com a garantia de que esta taxa não se altera. 14 287,48 euros 3. Determina o capital acumulado por 100 000 euros durante 20 anos, sabendo que nos primeiros 10 anos a taxa anual é 1,5%, nos cinco anos seguintes a taxa anual é 2% e nos últimos cinco anos a taxa anual é 2,4% . Apresenta o resultado em euros, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, fizeres arredondamentos, conserva três casas decimais. 144 625 euros 4. Determina o capital acumulado por 2500 euros depositados à taxa semestral de 0,8% durante 5 anos. 2707,36 euros 5. Determina a taxa anual aplicada a um depósito de 12 500 euros que aumentou 24% em doze anos. Apresenta a taxa em percentagem, arredondada às décimas. 1,8% 6. Uma propriedade rural está a desvalorizar 5% ao ano. O seu valor atual é 500 000 euros. a) Determina o valor da propriedade daqui a um ano e daqui a dois anos.

475 000 euros, 451 250 euros b) Escreve uma expressão que permita obter o valor da propriedade decorridos n anos,

56

admitindo que a taxa de desvalorização se mantém. 500 000 * 0,95n

Dado um número real r , um número natural n e um capital C0 , disponível no início de um determinado período de um ano, dividindo esse ano em n períodos iguais de medida temporal T e aplicando ao capital inicial C0 juros compostos à taxa r de % durante esses n períodos, o capital disponível no fim do ano é dado por: n n

r b Cn = C0 a1 + 100n

Exemplo: Aplicando a 2000 euros juros compostos à taxa nominal de 1,8%, sendo o juro capitalizado mensalmente, o capital disponível decorrido um ano é dado por: C12 = 2000 a1 +

12

1,8 b 100 * 12

7. O António dispõe de 50 000 euros que vai depositar numa instituição bancária. Determina o capital que obtém ao fim de um ano à taxa nominal de 2,4% se o juro for aplicado de forma proporcional: a) semestralmente;

b) a cada mês;

51 207,20 euros

c) minuto a minuto.

51 213,29 euros

51 241,52 euros

8. O Bernardo fez um depósito há muitos anos. Sabe que os juros são capitalizados trimestralmente (em março, junho, setembro e dezembro) mas não se recorda da taxa nominal (anual) que negociou com a instituição bancária. Consultou os dois últimos extratos bancários, pelo que sabe que em setembro o depósito valia 20 225,23 euros e em dezembro ascendia a 20 376,92 euros. Ajuda o Bernardo a determinar a taxa nominal contratada com a instituição bancária. Apresenta o resultado em percentagem, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, fizeres arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 3%

n

1 b e número de Neper Sucessão de termo geral un = a1 + n O número representado pela letra e designa-se por número de Neper e é o limite da n n 1 1 sucessão de termo geral un = a1 + b , ou seja, lim a1 + b = e . n n O número e é um número irracional cujo valor arredondado às milésimas é 2,718.

Exemplos: 3n - 2

1 1. lim a1 + n b

n 3

1 1 = c lim a1 + n b d * lim a1 + n b

-2

3

=e *1

-2

=e

3

continua

57

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas continuação

2. lim a

n-2

3n b 5n + 5

= lim a

n

3n 3n b * lim a b 5n + 5 5n + 5

-2

= lim a

n

3 25 1 25 = lim a b * e * =0* =0 5 9 9e

n

3n b * lim 5n

3 n *a b 5 1 a1 + n b 1

-2

=

9. Determina o limite de cada uma das sucessões cujo termo geral se indica. 3n

a) a1 +

1 nb

d) a1 +

1 nb

b) a1 +

e3

3 - 2n

e- 2

1 - 2n

4n + 4 g) a b 3n

58

e) a

2n + 3

1 nb

e2

n

n+1 n b e n

0

2n h) a b 0 3n + 3

c) a1 +

f) a

1 nb

-n

e- 1

n

2n b +⬁ n+1 2-n

2n i) a b 5n + 2

+⬁

2. Funções exponenciais

Função exponencial de base a : monotonia, limites e propriedades algébricas Seja a um número real positivo, diferente de 1. A função, de domínio R , definida por f 1x2 = ax é designada por função exponencial de base a .

š
Tem contradomínio R + .

š
É contínua.

š
É decrescente se 0 < a < 1 e é crescente se a > 1 . š
Se 0 < a < 1 , então š
Se a > 1 , então

lim ax = 0 e

x " +'

lim ax = + ' e

x " +'

lim ax = + ' .

x " -'

lim ax = 0 .

x " -'

0
a rel="nofollow">1

y

y

y = ax

y = ax a 1

1 a O

1

x

O

x

1

Tem-se também, para quaisquer números reais x e y e sendo a e b números reais positivos, as propriedades algébricas seguintes: y 1 š
ax * ay = ax + y š
1ax2 = axy š
x = a- x a x x ax ax a x-y x x š
y = a š
a b = 1ab2 š
x = a b b a b No contexto do nosso estudo, a função, de domínio R , definida por f 1x2 = ex , ou seja, a função exponencial de base e será designada apenas por função exponencial e pode ser representada por exp : exp 1x2 = ex .

10. Escreve os números seguintes na forma de potência de expoente natural. 4

a) 2

-4

1 a b 2

1 b) a b 4

-2

4

2

3 c) a- b 4

-1

1

4 a- b 3

11. Escreve os números seguintes na forma de raiz. 1 3

"4 3

a) 4

-

1 b) a b 3

1 2

"3

2

c) 43 "42 3

12. Escreve os números seguintes na forma de potência de base natural. -3

1 a) a b 4

1

43

b)

1 -2 3 Å3

"a4 , a å N a3 3

c)

4

59

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

13. Sejam c e k números reais não nulos e seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = c * 3kx . Apresenta valores para c e k , de modo que a função f : a) seja crescente e o ponto de coordenadas (0, 2) pertença ao gráfico da função; c = 2 e k > 0 b) seja decrescente e o ponto de coordenadas (0, 1) pertença ao gráfico da função; c = 1 e k < 0 c) seja crescente e o ponto de coordenadas (0, – 2) pertença ao gráfico da função. c = - 2 e k < 0

14. Seja a um número real tal que 3 - a é um número positivo e seja f a função definida x por f 1x2 = 13 - a2 . Determina o conjunto dos valores de a para os quais a função f é crescente. g- ', 2f k2 - 2 é um número positivo. Determina o conjunto dos k x k2 - 2 b é decrescente. valores de k para os quais a função g definida por g 1x2 = a k g - "2, - 1 f ∂ g "2, 2 f 16. Determina os seguintes limites. x 1 x -x 2 1 a) lim 3 + 2 +' b) lim c a b + 4 - x d + ' 5 x " +⬁ x " -⬁ 15. Seja k um número real tal que

c)

lim

x " +⬁

2x

"3

x+1

+'

d)

lim 13- x * 2x2 0

x " +⬁

17. Escreve os números seguintes na forma de uma potência. a)

2p * 4"3

2

"2

p + 2"3 - 1 2

b)

Q 3"2 R

"3

"6

* 2"24 2"6

2"6

18. Sejam k e s números reais. Sabendo que 2k = 5 , 2s = 3 e 3s = 4 , determina: s 3 k+s -s 1 k+1 2k a) 2 15 b) 2 c) 2 10 d) 2 25 e) 23 "3 3 s sk 2 3 s - sk 1 s f) 6 12 g) a b h) 3 i) 2 4 j) 3 2 5 25 9 16 2

Resolução de equações e inequações envolvendo exponenciais Exemplos: 1. 4x + 1 = "8 § 1222 x

x+1

2. 3x - 31 - x = 2 § 3x -

x

3x

= 1232 2 § 22x + 2 = 2 2 § 2x + 2 =

3 3 = 2 § y - y = 2 § y2 - 2y - 3 = 0 § 3x 3 =y x

§ y = - 1 › y = 3 § 3 = - 1 › 3x = 3 § x = 1 x

tuv

equação impossível

3. 53x - 2 ≥ 25x § 53x - 2 ≥ 52x § 3x - 2 ≥ 2x § x ≥ 2 x

x+1

1 1 4. a b ≥ a b 9 3

60

3x § x=-4 2

2x

x+1

1 1 § a b ≥a b 3 3

§ 2x ≤ x + 1 § x ≤ 1

19. Resolve as equações seguintes e apresenta o conjunto-solução. 1 2 x x x-1 a) 9 = "3 e f b) 1000 = 0,01 e - f c) 5 + 5x + 1 = 130 526 4 3 1-x

d) x * 2 2-x

g) 2

= 4x 5- 1, 06

x-1

e) 9

= 108 - 3x 536

x+1

f) 4 = 3 * 2 x

- 8 51, 26

+ 3 = 2x 526

20. Resolve as inequações seguintes e apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos. x 3x 1 g1, 1 3 x+1 x x+1 a) 4 > "2 g- 4, + 'f b) 0,25 ≤ 8 c- , + ' c c) a b < + 'f 5 2 2 x x d) 4 > 2 g- ', 0f ∂ d , + ' c

1 2

2

x

1-x

g) 3 + 3 x

x+1

≥4 g- ', 0g ∂ f1, + 'f

x j) 14 - 22 a

x2 - 5

e) 81 ≥ 27 h) 3

5 c- , 3d 3

f)

2x - 1 ≥ 0 f0, 3f 3-x

x x - x2 * 3x ≥ 0 i) 3 ≥ 4 g- ', 0g f - "3 , "3 g x

1 1 1 c- 1, d k) x a b ≤ 4x g- ', - 2g ∂ f0, + 'f x - 3b ≥ 0 2 3 2

n

kb Limite da sucessão de termo geral un = a1 + n n

k Sendo k um número real, tem-se lim a1 + b = ek e, em geral, se 1un2 é uma sucessão n que tende para + ' ou para - ' , então: lim a1 +

k b un

un = ek

Dos resultados anteriores, conclui-se que: x

x

k k lim a1 + b = lim a1 + b = ek x " +' x x " -' x

21. Determina, caso exista, o limite de cada uma das sucessões que a seguir se definem pelo termo geral. a) a1 + f) a

n

2 2 nb e

b) a1 -

n

lim a1 -

x " +⬁

g) a2 +

e- 2

c) a1 +

2n

2n + 1

n

2 n + 2 -3 b e4 d) a b e n+5 n+3 n

e) a

1 - 3n

2n + 1 b 2n - 3

e- 6

n

5 2-n 2-n b + ' h) a b Não i) a b 0 n+1 n + 3 existe 3n + 1 limite. 22. Determina cada um dos seguintes limites. a)

n2 - 9 1 b n2

n+1

2 nb

2x - 1

3 b x+2

e- 6

b)

1

d)

x lim + 11 + x2 e

x"0

lim a

x " -⬁

x-3

2x - 1 b 2x + 3

e- 2

c)

lim a1 +

x " +⬁

x

x-1 b e x2 - 1

1

e)

lim - 12 + x2 x + 1 e

x " -1

61

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

Limite notável

ex - 1 =1 x"0 x lim

Exemplos: 1. lim

x"0

3 e3x - 1 3 e3x - 1 3 = * lim = *1= 2x 2 3x " 0 3x 2 2 0

x2 + 3x 0 2. lim x + 3 = x " -3 e -1 =-3*

lim x * lim

x " -3

x " -3

x+3 =-3* ex + 3 - 1

1 1 =-3* =-3 y 1 e -1 lim y y"0

1 ex + 3 - 1 lim x " -3 x + 3

=

y=x+3

23. Determina os seguintes limites. a)

d)

g)

lim

e2x - 1 2 5x 5

b)

lim

e2x - e2 2e2 x-1

e)

lim

xe2x - e2 - 3e2 1-x

h)

x"0

x"1

x"1

lim

x"0

1 - e2x 2 2 x + 3x 3

lim

c x Qex - 1R d 2

lim +

"ex - 1 +' x

c)

lim

x"0

2

x " +⬁

x"0

ex - e2x -1 x

f) lim

ex - e -e 1 - ex - 1

i) lim

e"x - 2 - 1 1 4 x-4

x"1

x"4

Derivada da função exponencial 1ex2 A função exponencial é diferenciável em R e exp'1x2 = exp 1x2 , ou seja, 1ex2 = ex . '

Se u designa uma função, a aplicação da regra da derivada da função composta permite concluir que 1eu2' = u' eu .

Exemplo: 1ex + e- 3x2' = ex + 1- 3x2' e- 3x = ex - 3e- 3x

24. Determina f '1x2 , sendo f a função definida por: e 3 -x a) f 1x2 = x e + 2 ex 2 -x f '1x2 = 3x e - x3e- x + 2 x

e0,1x b) f 1x2 = 2 x +1 e0,1x 10,1x2 - 2x + 0,12 f '1x2 = 2 1x2 + 12

2

2 x c) f 1x2 = x e 2

x f '1x2 = e 12x - 22

25. Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f definida por f 1x2 = xex no ponto de abcissa 1. y = 2ex - e 26. Estuda, quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavidades do gráfico e existência de pontos de inflexão, as funções f definidas por: 62

a) f 1x2 = 11 - x2 e

x

b) f 1x2 = e

- x2

c) f 1x2 = xe

-

1 x

3. Funções logarítmicas

Função logarítmica de base a : monotonia, limites e propriedades algébricas Seja a um número real positivo, diferente de 1. A função f : R " R + definida por f 1x2 = ax (função exponencial de base a) é uma função bijetiva. A sua inversa é a função bijetiva f - 1 : R + " R , definida por f 1x2 = loga 1x2 e designada por logaritmo de base a . ax = y § x = loga 1y2

Portanto, Ax å R, loga 1ax2 = x e Ax å R + , alog

a

1x2

=x.

0
a rel="nofollow">1

y

y y = loga(x)

1 O

1 x y = loga(x)

a 1

O

1

a

x

š
A função loga :

– é contínua e é injetiva; tem um único zero 1loga 1x2 = 0 § x = 12 ;

– é decrescente se 0 < a < 1 e é crescente se a > 1 .

š
Se 0 < a < 1 , então

lim loga 1x2 = - ' e lim loga 1x2 = + ' .

x " +'

x"0

š
Se a > 1 , então lim loga 1x2 = + ' e lim loga 1x2 = - ' . x " +'

x"0

Em particular, o logaritmo de base 10 designa-se por logaritmo decimal e representa-se por log e o logaritmo de base e designa-se por logaritmo neperiano e representa-se por ln . Para quaisquer números reais positivos x e y e qualquer número real z , sendo a e b números reais positivos diferentes de 1, são válidas as propriedades algébricas seguintes: x š
loga 1x2 + loga 1y2 = loga 1xy2 š
loga 1x2 - loga 1y2 = loga a b y 1 š
loga a b = - loga 1y2 y

š
loga 1xz2 = z loga 1x2

š
loga 1x2 =

logb 1x2 logb 1a2

27. Determina o domínio de cada uma das funções reais de variável real f definidas por: 1 2 a) f 1x2 = 1 + log2 11 - 3x2 d - ', c b) f 1x2 = log 125 - x 2 g - 5, 5f 3 2 2 c) f 1x2 = ln 1x + 12 + ln 1x + 12 R \ 5 - 16 d) f 1x2 = log 1 0 1 - x 0 - 32 g - ', - 2f ∂ g4, + 'f e) f 1x2 = log3 13 - x2 + log3 11 - x2 g - ', 1f

f) f 1x2 = log3 a

3-x b g - ', 1f ∂ g3, + 'f 1-x 63

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

28. Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 =

2 - 3x - 1 e g 1x2 = 1 - 3ln 1x - 22 . 4 Tomando para conjuntos de chegada de f e g os respetivos contradomínios, caracteriza a função inversa de f e a função inversa de g . 1 Df = d - ', c, D'f = R e f - 11x2 = 1 + log3 12 - 4x2 2 1-x Dg = R , D'g = g2, + 'f e g - 11x2 = e 3 + 2 -1

-1

-1

-1

29. Seja a um número real tal que a - 2 é um número positivo e diferente de 1 e seja f a função definida por f 1x2 = loga - 2 1x2 . Determina o conjunto dos valores de a para os quais a função f é decrescente. g2, 3f 30. Seja f uma função contínua, de domínio R e contradomínio g 0, 1 f . Determina o domínio e o contradomínio da função g definida por g 1x2 = ln 1f 1x22 . Dg = R e D'g = g - ', 0f 31. Determina, caso existam, os limites seguintes. a) c)

lim log2 1x2 - '

x"0

lim

x"1

log0,1 1x - 12 x

b) 2

+'

d)

lim log1 1x2 - '

x " +⬁

lim

x " +⬁

e

2 - log 1x22 2 3log 1x2 + 1 3

32. Escreve o número 7 na forma de: a) logaritmo de base 3; log3 1372

b) potência de base 2; 2log

c) logaritmo de base e ; ln 1e72 2 + log3 122

18

b) e

2ln 152

172

d) potência de base 10. 10log

33. Determina, sem recorrer à calculadora. a) 3

2

c) log5 a

25

172

d) log 12 * 4

1 b -2 25

4

-2

2 0

34. Simplifica as expressões seguintes. -x a) log3 19 * 3 2 2 - x

b) ln a

2 b x-3 2 "e

ex

1 - log3 Q "x2 + 1 R

c) 9

3

9 x2 + 1

35. Determina, recorrendo a propriedades dos logaritmos, o valor exato de: a) log3 162 - log3 122 8

b) log4 1322 +

1 log4 182 3 3

36. Escreve na forma de um logaritmo.

ln 192 + loge 142 ln 162 2 37. Seja a um número real positivo, diferente de 1, e sejam u e v números reais tais que loga 1u2 = 5 e loga 1v2 = 3 . Determina: 1 4 a) loga 1uv2 15 b) loga 1u 2 20 c) loga a b - 3 v a) log 142 + 2 log 14002

b) 2log3 142 - 1 log3 a

d) logv 1u2

e) log"a 1v2 6

5 3

16 b 3

c)

f) loga a

38. Admite que ln 122 = a e ln 162 = b . Exprime, em função de a e/ou b : a) ln 1122 a + b

b) ln 1362 2b

2

c) ln 132 b - a

"v au b - 5 3

d) ln 1242 2a + b

39. Sejam c um número real e k um número real positivo, diferente de 1, e seja f a função bijetiva, de domínio R + , definida por f 1x2 = c + logk 1x2 . Determina c e k , sabendo que o ponto de coordenadas 11, - 12 pertence ao gráfico de f e que o ponto de coordenadas 1- 2, 42 pertence ao gráfico de f - 1 . c = - 1 e k = 1 4 64

40. Determina, caso existam, os seguintes limites. 1 a) lim f log4 12x + 12 - log4 1x2 g b) 2 x " +⬁ c)

e)

lim

x"0

ln 1x2 -' x+1

lim S log1 1log2 1x22 T + '

x " 1+

2

d)

f)

lim f log2 1x - 22 - log2 1x2 - 42 g - 2

x " 2+

lim

f ln 1ex + 22 - x g

lim

log 12x + 12 1 log 1x2

x " +⬁

x " +⬁

(subtrai e soma log 1x2 ao numerador)

0

Resolução de equações e inequações envolvendo logaritmos Exemplos:

1. 2x = 6 § x = log2 162

2. log 1x - 32 = log 13x + 12 § x - 3 = 3x + 1 ‹ x - 3 > 0 ‹ 3x + 1 > 0 § 1 § x=-2‹x>3‹x>- § x=-2‹x>3 3 Portanto, a equação log 1x - 32 = log 13x + 12 é impossível.

3. log2 1x2 - log2 14 - 2x2 ≤ 1 § log2 1x2 ≤ log2 14 - 2x2 + log2 122 §

§ log2 1x2 ≤ log2 18 - 4x2 § x ≤ 8 - 4x ‹ x > 0 ‹ 8 - 4x > 0 § § x≤

8 8 ‹ x å g 0, 2 f § x å d0, d 5 5

41. Resolve as equações seguintes e apresenta o conjunto-solução. a) 3 = 8 x

5 log3 182 6

c) log8 1x2 =

1 526 3 e) log2 1x + 12 + log2 1x - 12 = log2 132 526

g) log 12x - 12 = 2log 13x2 - log 15x + 22 526 i) log6 1x + 42 - log6 1x - 12 = 1 526 2x

k) 3

= 5x + 1 e log 9 152 f 5

b) ln 1x2 = - 1 5e- 1 6

2 d) log 1x - 22 = log 11 - 2x2 5- 36

f) log6 1x2 + log6 1x - 52 = 2 596

h) log3 1x2 + log9 1x - 82 = 2 596

j) 2ln 1x2 = ln 152 + ln 1x + 1,22 566 2x

l) x

3 = x3 e 1, f 2

42. Resolve as inequações seguintes e apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos. 3 5 a) log2 12x - 32 ≤ log2 1x2 d , 3d b) log 1 1x - 12 ≤ log 1 14 - x2 c , 4c 2 2 3 3 12 2 , 3d ∂ f4, + 'f c) 2log4 1x - 12 - 1 ≤ 0 f - "3, - 1 f ∂ g 1, "3 g d) log 17x - 122 - 2log 1x2 ≤ 0 d 7 1 - ln 1x2 2 2 1 e) ≥ 0 g0, eg f) log 1 1x - 22 > log 1 1x + 32 d , 2c ∂ g2, + 'f x 4 e -1 2 2 w

g) log2 12 - x2 - 1 ≤ log4 15 - x2 f- 4, 2f

h) xlog 1 13 + x2 + 3x ≤ 0 g - 3, 0g ∂ f5, + 'f 2

65

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

Derivadas das funções exponenciais e das funções logarítmicas š
1ax2' = ax ln 1a2

1 š
ln' 1x2 = , x > 0 x

š
log'a 1x2 =

1 x ln 1a2

43. Determina uma expressão da função derivada da função f , sendo: a) f 1x2 = 2 + log2 1x2 x

2x ln 122 +

1 xln 122

b) f 1x2 =

c) f 1x2 = 3

32x + 1 2 * 32x + 1 ln 132

log2 1x2

3log 1x2 log2 132 x 2

44. Seja f a função definida por f 1x2 = xlog3 1x2 . Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f : a) no ponto de abcissa 1;

b) que é paralela ao eixo das abcissas.

y = log3 1e2 x - log3 1e2

y=-

log3 1e2 e

45. Determina uma expressão para a função derivada de cada uma das funções f que a seguir se definem, começando por aplicar propriedades algébricas dos logaritmos. 5 4 4 1 1 a) f 1x2 = ln f x 1x + 22 g b) f 1x2 = ln Q "5x - 2 R x+x+2 5x - 2

46. Estuda, quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavidades do gráfico e existência de pontos de inflexão, as funções f definidas por: x 2 a) f 1x2 = x ln 1x2 b) f 1x2 = ln 1x2

Limites notáveis lim

x " +'

Exemplos: 1.

ex =+' e xk

⬁ 10,1x2 e0,1x ⬁ e0,1x = lim * lim 3 3 x " +⬁ x x " + ⬁ 10,1x2 x " +⬁ x3

lim

ln 1x2 =0 x

lim

x " +' 3

=

y = 0,1x

ey * 0,001 = + ⬁ * 0,001 = + ⬁ y " + ⬁ y3 lim

⬁

2.

3.

lim

x " +⬁

x ⬁ x 1 1 = ln 122 * = lim = ln 122 * + = + ⬁ x " + ⬁ 1 2 1 2 1 2 0 log2 x ln x ln x lim x x " +⬁ ln 122

lim 1xex2 =

⬁*0

x " -⬁

⬁

lim

x " -⬁

x ⬁ = e- x y = - x

lim

y " +⬁

-y = ey

1 lim

y " +⬁

y

e y

=-

47. Calcula, casos existam, os limites seguintes. ln 1x2 e2x a) lim +' b) lim 0 2 x " + ⬁ 3x x " +⬁ x + e d)

66

lim

x " +⬁

e2x + 2ex 1 2e2x + x 2

e)

lim

x " +⬁

f ln 1x2 - x g

1 =0 +⬁

x lim + Qxe R + ' 1

c)

-'

f)

x"0

lim

x " +⬁

log3 1x2 log3 152 log5 1x2

4. Resolução de problemas e modelos exponenciais Resolução de problemas 48. Seja g a função real de variável real definida por: g 1x2 =

ln 1x22 x

a) Determina, recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, a derivada

da função g no ponto 1. 2 b) Estuda a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações

das assíntotas que identificares. x = 0 e y = 0 c) Estuda a função g quanto à monotonia, existência de extremos, sentido das concavi-

dades do gráfico e existência de pontos de inflexão. 49. Seja f a função definida por:

f 1x2 = ln 1ex + 22

Resolve os itens seguintes por processos analíticos. a) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações

das assíntotas que identificares. y = x (em + ') e y = ln 122 1em - '2

b) Seja A o ponto pertencente ao gráfico de f cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa.

Determina as coordenadas do ponto A . 1ln 122, ln 1422

c) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa ln(2) . c1) Determina a equação reduzida da reta t . y =

3 1 x + ln 122 2 2

c2) Seja O a origem do referencial e sejam B e C , respetivamente, os pontos de inter-

seção da reta t com o eixo das ordenadas e com o eixo das abcissas. 9 Determina a área do triângulo f OBC g . 1ln 1222 2 (u.a.) 4 d) Considera a circunferência de centro no ponto O e que passa pelo ponto A . Considera que as coordenadas de A são 1ln(2), ln(4)2 . Seja D o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox . Determina, com aproximação às centésimas, a área do setor circular DOA . Em cálculos intermédios, conserva, no mínimo, três casas decimais. 1,33 (u.a.) 50. Seja c um número real diferente de zero e seja a um número real positivo, diferente de um. Seja f a função definida por f 1x2 = c loga 1x2 e seja t a reta tangente ao gráfico de f que passa na origem do referencial. Determina a abcissa do ponto de tangência. e

51. Seja f a função definida por:

f 1x2 = "ln2 1x2 - 1

Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora. 1 a) Determina o domínio da função f . d0, d ∂ fe, + 'f e b) Estuda a função f quanto à monotonia e existência de extremos. c) Seja k um número real positivo. Mostra que existem dois pontos no gráfico de f que

têm ordenada k e que o produto das abcissas desses pontos é igual a 1. 67

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

52. Sejam f e g as funções definidas por f 1x2 = 2x - 4 e g 1x2 = 2- x + 5 . a) Os gráficos das funções f e g intersetam-se no ponto P .

Determina as coordenadas do ponto P . (3, 4) g b) Considera a função h definida por h = . f b1) Determina o domínio da função h . R \ 526 b2) Estuda a função h quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = 2 e y = 0 (em + ') b3) Estuda a função h quanto à monotonia e existência de extremos. Na tua resposta,

deves indicar o(s) intervalo(s) em que a função é crescente, o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente e os extremos relativos que existam. 53. Seja f a função, de domínio g 1, + ⬁ f , definida por: 3 + ln 1x - 12 se 1 < x ≤ 2 f 1x2 = | e2 - x - x2 + 3 se x > 2 x-2 a) Mostra que a função f não é contínua em x = 2 . b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = 1 e y = - x - 2 (em + ') c) Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa

pontos tais que:

3 e sejam P , Q e R três 2

š
o ponto P é o ponto em que a reta t interseta o eixo das abcissas; š
o ponto Q é o ponto em que a reta t interseta o eixo das ordenadas; š
o ponto R pertence ao terceiro quadrante; š
o quadrilátero f OPQR g , sendo O a origem do referencial, é um paralelogramo. Determina as coordenadas do ponto R . Q - ln Q "2 R , - ln 122 R 54. Seja f a função, de domínio R \ 5 0 6 , definida por: x

se x < 0

f 1x2 = | 1 + e x ln 12x2 se x > 0 1 x

Resolve os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. a) Mostra que o gráfico da função f tem uma única assíntota e define-a por uma equação.

y=

1 1 x - (em - ') 2 4

b) Há uma reta tangente ao gráfico de f num ponto de abcissa positiva que tem declive

igual a 2. Escreve a equação reduzida dessa reta. y = 2x -

e 2

c) Considera, num referencial o.n. xOy , uma representação gráfica da função f . Exis-

tem dois pontos no gráfico da função f tais que a diferença entre a sua ordenada e a respetiva abcissa é igual a 1. Recorrendo a uma calculadora, determina a distância entre esses dois pontos. Apresenta o resultado arredondado às décimas. Em cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. 6,6 (u.c.) 68

xex + 2x - e se x ≤ 1

55. Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = | "x - x

se x > 1

x-1

No referencial abaixo está parte do gráfico da função f . Responde aos itens seguintes utilizando exclusivamente processos analíticos. a) O gráfico da função

f interseta a reta de equação 5 y = x - e em dois pontos de abcissa menor do que 1. 2 Determina a abcissa de cada um desses pontos. 0 e - ln 122

y

x O

b) Mostra que, tal como o gráfico sugere, a função f não tem

limite quando x tende para 1. f 112 = 2 e

lim f 1x2 = -

x " 1+

1 2

c) O gráfico da função f tem duas assíntotas não verticais.

Uma é a reta de equação y = - 1 . Escreve a equação reduzida da outra assíntota não vertical ao gráfico da função. y = 2x - e 56. Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = | Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

e1 + x + ex - 1 se x ≤ 0 ln 1x + 12 x

2

se x > 0

a) Mostra que h 1- 12 * h 1e - 12 < 1 .

b) Comenta a afirmação seguinte: «Como h 1- 12 * h 1e - 12 < 0 , o teorema de Bolzano-

-Cauchy permite concluir que h tem pelo menos um zero no intervalo g - 1, e - 1 f .»

No teu comentário deves indicar se a argumentação apresentada está correta e deves «defender» a tua opinião. c) Estuda a função h quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações

das assíntotas que identificares. y = ex - 1 (em - ') e y = 0 (em + '). 57. Seja g a função definida por g 1x2 = e

3 + ln 13 - x2 se x < 2 se x ≥ 2 ex - 2 + 2

a) Mostra que a função é contínua no ponto 2 e averigua se é diferenciável nesse ponto. b) Estuda a função quanto à monotonia e existência de extremos relativos. c) Determina o conjunto-solução da condição ln 12 - x2 + 4 ≤ g 1x2 . c

2e - 3 , 2c e-1

d) Seja B o contradomínio da restrição da função g ao intervalo

h : f 2, + ⬁ f " B a função definida por h 1x2 = ex - 2 + 2 .

f 2, + ⬁ f e seja

Caracteriza a função h - 1 (função inversa de h). h - 1 : f3, + 'f " f2, + 'f , h - 1 1x2 = 2 + ln 1x - 22

58. Seja f a função definida por f 1x2 =

ln 1x2 . x-1

a) Determina o domínio da função f . g0, 1f ∂ g1, + 'f b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico e escreve equações

das assíntotas que identificares. x = 0 e y = 0 1 c) Resolve a condição f 1x2 ≥ e apresenta o conjunto-solução usando a notação de x-1 intervalos. g0, 1f ∂ fe, + 'f n n+1 e 1 2 d) Seja un a sucessão de termo geral un = a b . Determina lim f 1un2 . e-1 n+2 2a e) Seja a å Df . Mostra que f f 1a2 - f 122 g * 1a - 12 = ln a a b . 2

69

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

59. Seja f uma função duas vezes diferenciável em R . No referencial seguinte está representada parte da função f ' . y 1+ln(4) f' 1 O

A x

2

Tendo em consideração a informação que a representação gráfica de f ' apresenta ou sugere, responde aos itens seguintes. a) Estuda a função f quanto à monotonia e sentido das concavidades do gráfico. Justifica. b) Determina lim

x"2

f '1x2 - 1 1 . ln a b 2 x-2

60. Considera, num referencial o.n. xOy , a representação gráfica da função f , de domínio f - 1, 2 g , definida por f 1x2 = 1x + 12 ln a desloca ao longo do gráfico de f .

4-x b - 2 , o ponto A 12, 02 e um ponto P que se x+2

Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo f AOP g é mínima. Determina a área desse triângulo recorrendo a uma calculadora gráfica. Na tua resposta, deves: š
apresentar uma expressão da área do triângulo f AOP g em função da abcissa do ponto P ; š
reproduzir o gráfico da(s) função(funções) que tiveres necessidade de visualizar na calculadora; š
indicar o valor pedido arredondado às décimas.

1,3 (u.a.)

61. Considera a função f definida em R por f 1x2 = e2x - x2 . a) Determina o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos A e B de abcissas,

respetivamente, - 1 e 0. 2 - e - 2 b) Justifica a existência de um ponto C do gráfico de f em que a reta tangente tem

declive igual ao da reta AB . c) Determina, utilizando a calculadora gráfica, um valor, aproximado às centésimas, da

abcissa de um ponto C nas condições da alínea anterior. - 0,67 ou - 0,08 d) Estuda o gráfico da função f quanto ao sentido das concavidades do gráfico e existên-

cia de pontos de inflexão.

70

62. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes.

Admite que f 1x2 é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado x metros à direita do poste da esquerda, sendo f a função definida por: f 1x2 = e1 - 0,5x + e0,5x - 1

Resolve os itens seguintes por processos analíticos, recorrendo à calculadora para cálculos numéricos, se for necessário.

f (x) x

a) Determina a altura do poste da esquerda. Apresenta o resultado em metros, arredon-

dado às décimas. 3,1 metros b) Qual é, em metros, a diferença das alturas dos dois postes se a distância entre eles for

igual a 4 metros? 0 metros c) Determina a distância entre os dois postes, sabendo que a diferença das suas alturas é

1,5 metros. 5 metros Apresenta o resultado em metros, arredondados à unidade. Sempre que em cálculos intemédios fizeres arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

d) Determina o conjunto dos valores de k para os quais a equação f 1x2 = k tem duas

soluções não negativas. g2, e + e - 1 g 63. O volume de vendas de um produto depende, entre vários fatores, do seu preço de venda. Admite que o número de milhares de litros de um determinado sumo vendidos mensalmente pela empresa Sossumo é dado por Q 1x2 = 1,4 + e4 - x , para x > 0 , sendo x o preço de venda de cada litro, em euros. a) O que representa Q 11,52 no contexto da si-

tuação descrita? Representa, em milhares, o número de litros que a empresa vende num mês, ao preço de 1,5 euros por litro.

b) Seja a a solução da equação Q 1x2 = 10 . Indica o significado de a no contexto da

situação descrita. É o preço de venda de cada litro de sumo que proporciona a venda mensal de 10 000 litros. c) O custo de produção de cada litro de sumo é 50 cêntimos.

Escreve uma expressão que defina, em função de x , o lucro mensal proporcionado pela venda deste sumo. L 1x2 = 1000 11,4 + e4 - x2 * 1x - 0,52 d) Para uma outra qualidade de sumo, o número de milhares de litros vendidos mensal-

mente é dado por N 1x2 = 1 + e4,2 - x , para x > 0 , sendo x o preço de venda de cada litro, em euros. 3,4 euros É possível, praticando o mesmo preço de venda de cada litro de sumo, vender igual número de litros das duas qualidades.

Por processos analíticos, determina o preço de venda do litro de sumo para o qual se vendem tantos litros de uma qualidade de sumo como da outra. Apresenta o preço em euros, arrendondado às décimas.

71

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

64. A pressão atmosférica P , numa certa unidade, é dada em função da altitude h , em quilómetros, por P 1h2 = 30 * 10 - 0,056 * h . a) Calcula a pressão atmosférica a 1800 metros de altitude, na unidade considerada, com

aproximação às décimas. 23,8 b) Segundo este modelo, a que altitude se encontra um avião, sabendo que a pressão no

seu exterior é de 8 unidades? 10,251 km Apresenta o resultado em quilómetros, arredondado ao metro. No mínimo, a 13 896 metros. c) Se foi feito um registo de pressão inferior a 5 unidades, qual é a altitude mínima a que

esse registo pode ter sido feito? Apresenta a resposta em metros, arredondada às unidades.

d) Mostra que existe k å R tal que P 1h + 12 = kP 1h2 , qualquer que seja o valor de h .

Determina o valor de k com aproximação às centésimas e interpreta-o no contexto da situação. k ) 0,88 ; a pressão atmosférica diminui 12% por cada quilómetro de aumento de altitude.

65. A Esperança dispõe de 20 000 euros e quer comprar um automóvel. Em novo, o automóvel que pretende custa 24 800 euros. A Esperança vai investir os 20 000 euros num negócio que garante a taxa mensal de 0,6% e, de acordo com um vendedor, o modelo que a Esperança pretende comprar desvaloriza 0,8% ao mês. Daqui a quantos meses poderá a Esperança comprar esse automóvel? 16 meses

66. Um fabricante de automóveis vai lançar no mercado um novo modelo. As vendas começaram a decorrer um mês antes de os automóveis estarem disponíveis para entrega nos concessionários e, de acordo com um estudo realizado, o número de veículos deste modelo que terão sido vendidos, x meses depois de o modelo estar disponível para entrega, é dado, aproximadamente, por: v 1x2 =

4000 , 0 ≤ x ≤ 12 1 + 4e - 0,2x

Admite que este modelo ficou disponível para entrega no dia 1 de janeiro. Resolve os itens seguintes por processos analíticos. a) Determina quantos veículos estavam vendidos quando o modelo ficou disponível para

entrega. 800 b) Em que mês é que as vendas atingiram o milhar e meio? No decorrer de maio. c) Por processos analíticos, determina o valor de x para o qual o ritmo de vendas come-

çou a diminuir. Apresenta o valor arredondado às unidades. 7

72

67. O momento sísmico, M0 , é uma medida da quantidade total de energia que se transforma durante um sismo. Só uma pequena fração do momento sísmico é convertida em energia sísmica irradiada, E , que é a que os sismógrafos registam. A energia sísmica irradiada é estimada, em joules, por E = M0 * 1,6 * 105 . 2 A magnitude, M , de um sismo é estimada por M = log 1E2 - 2,9 . 3 a) O sismo sentido em abril de 2017 na ilha de S. Miguel, nos Açores, teve magnitude 4,3.

Determina o momento sísmico, M0 , para este sismo. Apresenta a resposta na forma a * 10n , com n inteiro relativo e com a entre 1 e 10, arredondado às unidades. 4 * 105

b) Mostra que dados dois sismos tais que a diferença das respetivas magnitudes é igual a

4 , a energia sísmica irradiada por um é 100 vezes superior à energia sísmica irradiada 3 pelo outro.

Modelos exponenciais Se uma função f representar a evolução de uma grandeza (que pode ser, por exemplo, a massa de uma substância radioativa, a dimensão de uma população ou a temperatura de um sistema) em função do tempo, a equação f ' = k f traduz que a taxa de variação num dado instante é diretamente proporcional à quantidade de grandeza presente nesse instante. Prova-se que toda a solução da equação f ' = k f é uma função definida por uma expressão da forma f 1x2 = cekx .

š
Decaimento da massa m de uma substância radioativa:

m 1t2 = m0e - kt , k å R + , m0 é a massa no instante t = 0 ; designa-se por semivida de uma substância radioativa o tempo necessário para que uma massa se reduza a metade.

š
Evolução de uma população P :

P 1t2 = P0e1N - M2 t , P0 é a população no instante t = 0 , N e M são, respetivamente, as taxas médias de natalidade e de mortalidade, por habitante.

š
Temperatura , T , de um sistema:

T 1t2 = Ta + 1T0 - Ta2 e - kt , k å R + , T0 é a temperatura no instante t = 0 e Ta é a temperatura ambiente.

73

Tema 4 | Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

68. Mostra que a função f definida por f 1t2 = 20e - 0,01t é solução da equação diferencial f ' = - 0,01f . 69. Uma massa de 50 gramas de rádio-226 existente numa amostra num instante t0 = 0 desintegra-se ao longo do tempo. Em cada instante t , a taxa de variação instantânea da massa, m'1t2 , é diretamente proporcional à massa, m(t) , existente nesse instante. Sabendo que, ao fim de um ano, a massa de rádio-226 na amostra é m(1) = 49,975 gramas, determina: a) a massa de rádio-226 existente na amostra decorridos 2 anos.

Apresenta o valor em gramas, arredondado às centésimas. 49,95 g b) o número de anos necessários para que a massa de rádio-226 existente na amostra se

1 da massa inicial. Apresenta o resultado em anos, arredondado às unidades. 4 2772 anos reduza a

70. O rádio-223 sofre desintegração radioativa. A semivida deste isótopo é, aproximadamente, 11,3 dias. a) Mostra que a massa de rádio-223 existente numa amostra, decorridos t dias depois de

um instante inicial t0 = 0 , é dada, aproximadamente, por m 1t2 = m0e - 0,06t , sendo m0 a massa no instante inicial. m 1t + 12 arredondado às centésimas e interpreta esse valor no b) Determina o valor de m 1t2 contexto descrito. 0,94; a cada dia, a massa de rádio-223 reduz-se a 94%. 71. Seja m 1t2 a massa de rádio-228 existente numa amostra, decorridos t anos depois de um instante inicial t0 = 0 . Sabe-se que

m 1t + 5,752 = 0,5 . m 1t2

a) Interpreta o valor 5,75 no contexto descrito. A semivida do rádio-228 é 5,75 anos. b) Determina a quantidade de rádio-228 existente inicialmente numa amostra, sabendo

que, decorridos 23 anos, a massa de rádio-228 na amostra era igual a 12 gramas. Apresenta o resultado em gramas, arredondado às unidades. 192 gramas 72. Uma substância desintegra-se de tal forma que uma massa inicial de 12 mg se reduz a 4 mg em meia hora. Sabe-se também que a taxa de variação instantânea da massa em cada instante t , M'1t2 , é proporcional à massa M 1t2 existente nesse instante. a) Mostra que, considerando a massa inicial indicada, a massa M , em mg, desta substân-

cia, ao fim de t horas, é dada por M 1t2 = 4 * 3 - 2t + 1 .

b) Designando a taxa de desintegração média num dado intervalo

I = f t 1, t 2 g

por

M 1t22 - M 1t12 , compara a taxa de desintegração média na primeira e na segunda t2 - t1 1 hora. vf1, 2g = * vf0, 1g 9 c) Determina a taxa de desintegração ao fim de uma hora e meia e ao fim de três horas. 8 8 M'11,52 = - ln 132 1mg>h2 e M'132 = ln 132 1mg>h2 9 243 d) Determina uma expressão de M''1t2 , estuda o respetivo sinal, descreve como varia a taxa de desintegração desta substância e explica o significado deste resultado no contexto descrito. M''1t2 = 16 1ln 1322 2 * 3 - 2t + 1 vft , t g = 1

2

in Caderno de Apoio, 12.° ano

74

73. A população da cidade de Torres Vedras era de 41 790 habitantes em 1920 e de 47 917 habitantes em 1930. Admite que a taxa de crescimento populacional num dado instante t é diretamente proporcional à dimensão da população nesse instante (lei de Malthus). a) De acordo com este modelo, qual terá sido a

população em 1925? 44 749 b) Em 1940, a população era de 52 143 habitantes.

Qual é a percentagem de erro do modelo em relação ao valor real em 1940? Apresenta a percentagem arredondada às unidades. 5% 74. Durante um certo período, a população de um dado país é dada, em milhões de habitantes, por P 1t2 , onde t é o tempo, em anos, decorrido desde o dia 1 de janeiro de 1960. A taxa de mortalidade anual é, aproximadamente, de 1,5 para cada 100 habitantes e a taxa de natalidade de 2 para cada 100 habitantes. Todos os anos chegam ainda ao país cerca de 100 000 novos imigrantes. a) Calcula P 1t + 12 em função de P 1t2 . P 1t + 12 = 1,005P 1t2 + 0,1

b) Supondo que as mortes e nascimentos se distribuem uniformemente ao longo do tem-

po, ou seja, que as taxas de mortalidade e natalidade por habitante em determinado período de tempo Dt > 0 (medido em anos) são diretamente proporcionais a Dt , calcula P 1t + Dt2 em função de P 1t2 . P 1t + Dt2 = P 1t2 + 0,005DtP 1t2 + 0,1Dt

P 1t + Dt2 - P 1t2 , para Dt suficientemente pequeno, Dt 1 1 P 1t2 + . mostra que a função P satisfaz a equação diferencial P'1t2 = 200 10

c) Fazendo a aproximação

P'1t2 =

d) Determina uma expressão para a função Q definida por Q 1t2 = P 1t2 + 20 depois de

estabelecer uma equação diferencial satisfeita por esta função, sabendo que em 1960 a 1

população do país é de 35 milhões de habitantes. Q 1t2 = 55e200

t

e) Determina uma expressão para a função P . Neste regime, ao fim de quanto tempo t

duplicará a população? P 1t2 = 55e 200 - 20 ; aproximadamente 99 anos.

in Caderno de Apoio, 12.º ano

75. A temperatura, em graus Celsius, de um líquido t minutos depois de ser colocado a arrefecer, numa sala em que a temperatura é constante, é dada por T 1t2 = 20 + 55e - 0,155t . Determina: a) a temperatura do líquido no instante em que foi colocado a arrefecer; 75 °C b) quanto tempo tem de esperar quem quiser beber este líquido a uma temperatura não

superior a 55 ºC. Apresenta o resultado em minutos, arredondado às unidades. Pelo menos 3 minutos. c) a temperatura ambiente. 20 ºC

76. Um copo com água acabada de ferver (portanto, à temperatura de 100 ºC) é deixado a arrefecer numa sala à temperatura ambiente de 25 ºC. Sabendo que ao fim de três minutos a temperatura da água atinge 72 ºC , ao fim de quanto tempo atingirá a temperatura de 55 ºC? Apresenta o resultado em minutos, arredondado às unidades. 6 minutos

75

Tema

5

76

Trigonometria e Funções Trigonométricas

1. Fórmulas trigonométricas

Fórmulas trigonométricas Tem-se, para quaisquer amplitudes x e y :

š
sen 1x + y2 = sen x cos y + sen y cos x š
sen 1x - y2 = sen x cos y - sen y cos x š
cos 1x + y2 = cos x cos y - sen x sen y š
cos 1x - y2 = cos x cos y + sen x sen y š
sen 12x2 = 2 sen x cos x

š
cos 12x2 = cos2 x - sen2 x Exemplos: 1. sen

5p 3p 2p p p p p p p = sen a + b = sen a + b = sen cos + sen cos = 6 6 12 12 12 4 6 4 4 =

"2 "3 1 "2 "6 "2 "6 + "2 * + * = + = 2 2 2 2 4 4 4

p p 3 2. Pretende-se determinar cos a - ab , sabendo que a å c , pd e que sen a = . 5 3 2 2

9 16 3 Tem-se sen2 a + cos2 a = 1 , pelo que cos2 a = 1 - a b = 1 = . 5 25 25 p 4 Como a å c , pd , vem cos a = - . 5 2 Tem-se, então: p p p cos a - ab = cos cos a + sen sen a = 3 3 3 =

1 4 "3 3 4 3"3 3"3 - 4 * a- b + * =+ = 5 5 2 2 10 10 10

3. Pretende-se determinar cos 12b2 , sabendo que sen b =

1 . 3

Tem-se cos 12b2 = cos2 b - sen2 b = 1 - sen2 b - sen2 b = 1 - 2 sen2 b = 2

1 7 1 =1-2*a b =1-2* = 9 9 3

77

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

'$
Tendo em conta que

p p 7p 7p "6 + "2 é igual a + , determina o valor de sen . 4 12 12 3 4

($
Determina o valor de sen

5p p 1 sen . 12 12 4

p 3"3 )$
Seja a å c0, d tal que cos a = . 2 14 p 1 Calcula o valor de cos a + ab . 7 6

"21 "21 p p e seja b å c0, d tal que sen b = . *$
Seja a å c , pd tal que tg a = 2 2 2 11 1 Calcula o valor de cos 1a - b2 . 55 "3 p 1 - 2"2 +$
Seja a å c , pd tal que sen a = . Calcula o valor de sen 12a2 + cos 12a2 . 3 2 3 ,$
Determina o valor de sen aarcsen

5 1 29 + arccos b . 35 7 5

-$
Prova as seguintes igualdades (para todos os números reais para os quais elas têm significado). a)

b)

sen 1a + b2 - sen 1a - b2 = tg b cos 1a + b2 + cos 1a - b2 sen a cos a 2 sen 1a + b2 + = sen b cos b sen 12b2

c) sen 12q 2

1 + tg2 q = tg q 2

2 d) 1cos a - sen a2 = 1 - sen 12a2

e) 1 +

f)

g)

1 - sen 12a2 2 cos a = cos a + sen a cos 12a2

sen3 x - cos3 x 1 1 2 sen x - cos x = 1 + 2 sen 2x sen x x x = 2 cos 2 sen 2

h) cos 13x2 = 4 cos x - 3 cos x 3

.$
a) Prova que, para qualquer número real x , se tem

1 + cos 12x2 = cos2 x . 2

b) Utiliza a igualdade da alínea anterior para mostrar que cos

78

3p #2 - "2 = . 8 2

Equações e inequações trigonométricas. Resolução de problemas Recorda que:

š
sen x = sen a § x = a + 2kp › x = p - a + 2kp, k å Z š
cos x = cos a § x = a + 2kp › x = - a + 2kp, k å Z š
tg x = tg a § x = a + kp, k å Z Exemplo: sen x cos x =

p 1 1 1 § 2 sen x cos x = 2 * § sen 12x2 = § sen 12x2 = sen § 6 4 4 2 5p p + 2kp, k å Z § § 2x = + 2kp › 2x = 6 6 5p p + kp › x = + kp, k å Z § x= 12 12

/$
Resolve, em R , as seguintes equações. a) cos x cos

p p "2 p 3p - sen x sen = x = + 2kp › x = + 2kp, k å Z 8 8 8 8 2

b) sen x + "3 cos x = 1 x = -

p p + 2kp › x = + 2kp, k å Z 6 2 2p c) 3 sen x - "3 cos x = "12 x = + 2kp, k å Z 3 5p d) sen x + cos x + "2 = 0 x = + 2kp, k å Z 4 7p 11p e) 2 sen x - 2 cos x - "6 = 0 x = + 2kp › x = + 2kp, k å Z 12 12 f) 1 - sen 15x2 = asen g)

2

3x 3x p kp - cos b x = kp › x = + , k å Z 8 4 2 2

p 1 1 + = 4 x = ¿ + kp, k å Z 2 2 4 sen x cos x

h) cos 12x2 + 3 cos x + 2 f cos 12x2 + 2 sen x g = 0 x = p + 2kp › x = ¿ 2

2p + 2kp, k å Z 3

'&$
Para cada uma das equações seguintes, determina as soluções que pertencem ao intervalo f - 2p, 2p g . a) 2 sen a

p 3 2p p 4p 5p - xb - cos x = - , - , e 3 3 3 3 6 2

b) sen x cos x =

"3 11p 5p 5p 2p p p 7p 4p ,- ,- ,- , , , e 6 3 6 3 6 3 6 3 4

c) cos 12x2 + 3 sen x = 2 -

11p 3p 7p p p 5p ,- ,- , , e 6 2 6 6 2 6

79

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

''$


2 a) Mostra que, para qualquer a pertencente a R , se tem cos 12a2 = 2 cos 1a2 - 1 . 2 b) Tendo em conta a alínea anterior, resolve, em R , a equação 2 cos 1x2 - 1 = sen ax -

x=

5p 2kp 5p + ›x=+ 2kp, k å Z 24 3 8

p b. 8

1 '($
Resolve, em g 0, p f , a condição 0 sen x cos x 0 < . 4 5p 7p 11p p Apresenta o conjunto-solução na forma de união de intervalos. d 0, c∂d , c∂d , pc 12 12 12 12 ')$
Sejam A , B e C os três ângulos de um triângulo. Mostra que cos 1A2 cos 1B2 + cos 1C2 = sen 1A2 sen 1B2 .

'*$
Seja a a amplitude comum aos dois ângulos iguais de um triângulo isósceles.

Sabendo que o comprimento de cada um dos dois lados iguais é "2, mostra que a área do triângulo é igual a sen 12a2 .

'+$
De um triângulo retângulo, sabe-se que a hipotenusa mede 4 e que um dos ângulos agudos 5p tem radianos de amplitude. Determina a área do triângulo. 2 12 5p radianos. 6 Determina o perímetro do triângulo, sabendo que a sua área é igual a 9. 12 + 6 #2 + "3

',$
De um triângulo isósceles, sabe-se que a amplitude de um dos seus ângulos é

'-$
De um triângulo f ABC g , sabe-se que ABW C = 165° , AB = 2 e AC = #18 - "3 . Determina BC . Sugestão: designa BC por x e, aplicando a lei dos cossenos, obtém uma equação do 8 - "6 - "2 segundo grau, tendo também em conta que 165° = 180° - 15° . 2 '.$
Considera, num referencial o.n. xOy , a circunferência trigonométrica. Seja a a amplitude, em radianos, de um ângulo orientado cujo lado origem coincide com p o semieixo positivo Ox a0 < a < b . 4 Seja P o ponto de interseção da circunferência trigonométrica com o lado extremidade desse ângulo. Seja Q o ponto do eixo Ox que tem a mesma abcissa do ponto P e seja R o ponto do eixo Oy que tem a mesma ordenada do ponto P . Considera as circunferências de centro na origem do referencial e que passam por Q e por R . Justifica que a área da coroa circular limitada por estas duas circunferências é igual a p cos 12a2 .

80

2. Limites e derivadas de funções trigonométricas Limites de funções trigonométricas š
As funções seno e cosseno são contínuas em R e a função tangente é contínua em todo o seu domínio. sen x š
Tem-se o seguinte limite notável: lim =1 x"0 x Exemplos: Como as funções seno e cosseno são contínuas em R , tem-se:

"3 p p 1 lim Q "12 sen x + 4 cos x R = "12 sen + 4 cos = "12 * +4* =3+2=5 p 3 3 2 2 x" 3

Como a função tangente é contínua em todo o seu domínio, tem-se: lim 12 + 5 tg x2 = 2 + 5 tg

p x" 4

sen x Tem-se lim x - p x"p

p =2+5*1=2+5=7 4

=

lim

y=x-p y " 0

- sen y sen y sen 1p + y2 = lim = - lim y = - 1 y y y"0 y"0

'/$
Calcula os seguintes limites: a)

d)

lim

p x" 4

lim

x"p

p 1sen x + cos x 2 "2 b) 4x x-p 0 1 - cos x

e)

lim

cos 1x + p2 1 -p x+p

lim

x +' 1 + cos x

f)

lim

6x - 3 sen x 3 x

c)

x"0

x"p

c)

x lim sen x + '

x " p-

lim

p x" 2

x 0 tg x

(&$
Calcula os seguintes limites: a)

d)

g)

lim

3x + sen x 4 x

b)

lim

x2 + 3x sen x 3

e)

lim

sen 18x2 2 4x

x"0

x"0

x"0

sen 1x - 32 1 j) lim x"3 2x - 6 2

h)

x"0

lim

x"0

lim

x"0

1 - cos 12x2 2

x

6x 1 2 sen 13x2

x 2 1 k) lim 2 x " 3p 3p - x

2

f)

i)

lim

8x + 2 sen x 2 5x

lim

sen 16x2 6 x

lim

sen 16x2 2 sen 13x2

x"0

x"0

x"0

cos

l)

lim

p x" 3

3x - p 1 sen 16x2 2

81

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

('$
Em cada uma das alíneas seguintes está definida uma sucessão pelo seu termo geral. Para cada sucessão, calcula o respetivo limite. 3 4 n+1 n sen sen n 3 4 2n 5 2 4 a) an = 2 b) bn = c) cn = n sen d) cn = a b sen ca b d n 2 4 6 3 4 3 2 n 5n (($
Seja f a função definida em g 0, p f por f 1x2 =

x sen x . 1 - cos 12x2

a) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = p

p 5p d , a equação f 1x2 = 1 tem pelo menos uma solução. 6 6

b) Justifica que, no intervalo c ,

x2 se x < 0 1 - cos x p se x = 0 ()$
Seja g a função definida em d - 2p, c por μ a 2 bx + tg x se x > 0 x

1a, b å R2

a) Determina a e b , sabendo que a função g é contínua. a = 2 e b = 1 b) Determina uma equação para cada uma das assíntotas ao gráfico de g . x = - 2p e x = c) Justifica que, no intervalo c-

p 2

p 2p , 0d , a equação g 1x2 = g a b tem pelo menos uma solução. 3 4

x (*$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 2 cos2 a b - x . 2 a) Mostra que A x å R, f 1x + 4p2 = f 1x2 - 4p . b) O gráfico da restrição da função f ao intervalo f - 2p, 2p g interseta a bissetriz dos

quadrantes pares em dois pontos. Designemos esses pontos por P e Q . Seja R o ponto do primeiro quadrante tal que o triângulo f PQR g é equilátero. Determina as coordenadas do ponto R . Q "3 p, "3 p R p p c) Justifica que a função f tem, no intervalo c , d , pelo menos um zero. 3 2 f 1x22 + d) Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = x . Determina uma equação para cada uma das assíntotas ao gráfico da função g . x = 0 e y = - x

Derivadas de funções trigonométricas Tem-se que as funções seno e cosseno são diferenciáveis em R e que a função tangente é diferenciável em todo o seu domínio. Têm-se também as seguintes regras de derivação: 1 š
1sen x2' = cos x š
1cos x2' = - sen x š
1tg x2' = cos2 x

š
1sen u2' = u' cos u

š
1cos u2' = - u' sen u

š
1tg u2' =

u' cos2 u

(u designa uma função)

continua

82

continuação

Exemplos:

š
Se f 1x2 = sen 13x2 , então f '1x2 = 3 cos 13x2 .

š
Se f 1x2 = sen x - x cos x , então f '1x2 = cos x - f cos x + x 1- sen x2 g = x sen x .

(+$
Determina, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, o valor de: a) f ' 12p2 , sendo f 1x2 = sen x ; 1

b) g' a b , sendo g 1x2 = cos x . -

p 4

"2 2

(,$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = sen 13x2 .

a) Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, determina f ' a b . - 3

p 3

b) Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de

abcissa

p . y = - 3x + p 3

(-$
Em cada uma das alíneas seguintes está uma expressão que define uma função. Para cada uma delas, determina uma expressão, o mais simplificada possível, que defina a respetiva derivada. a) 2 + x + sen x 1 + cos x

b) 4 - 3x + 5x - 6 cos x

d) sen x cos x cos 12x2

e)

2

- 3 + 10x + 6 sen x

x6 x4 - + 2x - 4 + x tg x 3 2 x 2x5 - 2x3 + 2 + tg x + cos2 x 2 j) sen x sen 12x2 sen x x cos x - sen x m) x x2 sen x 1 p) 1 + cos x 11 + cos x2 2 g)

h)

k) n) q)

c) x cos x cos x - x sen x

2 sen x + 3 cos x f) tg x - x tg2 x 5 2 cos x - 3 sen x 5 x + cos x x2 + 4 sen x i) 2 2 1 - sen x x + 2 cos x 2 4 4 3 sen x - sen3 x 3 cos3 x l) sen x + cos x - sen 14x2 x cos x + x sen x x + cos x x cos x o) 2 2 cos x 1 + sen x cos x 11 + sen x2 sen x 2"cos x r) sen 13x - 12 3 cos 13x - 12 "cos x

s) cos a

x6 - 3x2 x3 x2 b t) tg a b 6 3 x3 cos2 a b x6 - 3x2 5 1x - x 2 sen a b 3 6 x cos 12x2 cos 12x2 - 2x sen 12x2 v) 2 2

u) cos a b 2

1 x

1 2 sen a x b x2

(.$
Seja f a função, de domínio g - 2p, + ' f , definida por: 1 sen 12x2 se - 2p < x < 0 2 f 1x2 = | sen 13x2 - sen x se x ≥ 0 x+

a) Mostra que f '102 = 2 .

83

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

b) Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 2p . b1) Determina a equação reduzida da reta r . y = 2x - 4p b2) Seja P o ponto do gráfico de f , de abcissa menor do que zero, tal que a reta tangen-

te ao gráfico da função nesse ponto é paralela à reta r . Determina as coordenadas do ponto P . 1- p, - p2 (/$
Seja f a função, de domínio g - p, p f , definida por f 1x2 =

x - sen x . 1 + cos x

a) Averigua se f é uma função par, se é uma função ímpar ou se não é par nem ímpar.

f é uma função ímpar.

b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = - p e x = p

c) Estuda a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

f é crescente em g- p, pf .

p )&$
Sejam f e g as funções, de domínio d - , p c , definidas por: 2 f 1x2 = "3 + 3x - 2 cos x

g 1x2 = 2"3 + 4x - 4 cos x

Os gráficos das funções f ' e g' intersetam-se num ponto. Seja a a abcissa desse ponto. Seja r a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a . Seja s a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a . Os pontos de interseção das retas r e s com os eixos coordenados são vértices de um quadrilátero. p2 Calcula a sua área. 48 Sugestão: a área pretendida é a diferença entre as áreas de dois triângulos. )'$
Sejam a e b números reais positivos. p Seja h a função, de domínio c , pd , definida por h 1x2 = a sen x + b cos x . 2 a) Estuda a função h quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. b) Recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy e à alínea anterior, justifica que a função h

tem um único zero. c) Seja C o ponto do gráfico de h cuja ordenada é 0.

p e p , respetivamente. 2 Prova que se a = b , então o ponto C pertence à reta PQ .

Sejam P e Q os pontos do gráfico de h de abcissas

p )($
Seja f:d0, d " R a função definida por f 1x2 = sen2 x . 2 Seja r a reta que passa na origem do referencial e é tangente ao gráfico de f . Seja A o ponto de tangência e seja a a abcissa do ponto A . a) Mostra que a é solução da equação tg x = 2x . b) Seja B o ponto pertencente ao eixo Ox cuja abcissa é a .

sen3 a Prova que a área do triângulo f OAB g é dada por . 4 cos a

84

p ))$
Seja f a função, de domínio c- , pd , definida por f 1x2 = μ 2 a) Estuda a função f quanto à continuidade. f é contínua.

x + cos x 2

se x ≤ 0

p 2 sen a - xb se x > 0 6

b) Estuda a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. c) Justifica que, no intervalo c-

p , 0d , a função f tem um e um só zero. 2

d) Seja a o zero da função f considerada na alínea anterior.

Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a .

Mostra que a ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo Oy é cos a - sen 12a2 . 3 + ln 1x - 12 se 1 < x < 2 x + cos 1x - 22 se 2 ≤ x ≤ 8 a) Estuda a função f quanto à continuidade. f é contínua.

)*$
Seja f a função, de domínio g 1, 8 g , definida por f 1x2 = e

b) Estuda a função f quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. x = 1 c) Estuda a função f quanto à monotonia no intervalo f 2, 8 g . f é crescente em [2, 8]

1 d) Seja 1un2 a sucessão de termo geral un = 2 - n sen a b . Determina o valor de lim f 1un2 . - ' n

3 . Sejam P e Q 2 os pontos de interseção da reta t com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas, respetivamente. Seja R o ponto pertencente ao terceiro quadrante tal que o quadrilátero f OPQR g é um paralelogramo. Determina as coordenadas do ponto R . Q - ln Q "2 R, - ln 122 R

e) Seja t a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa

ex - x - a se x ≤ 0 3p )+$
Seja g a função, de domínio d - ', d , definida por g 1x2 = | 3p 2 2x - sen 12x2 se 0 < x ≤ 2 em que a é um número real. a) Determina o valor de a , sabendo que a função g é contínua. 1

b) Utiliza o teorema de Bolzano-Cauchy para justificar que, no intervalo c ,

ção g 1x2 = g 1- 12 tem pelo menos uma solução.

p p d , a equa6 2

c) Estuda a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. y = - x - 1 d) Seja P o ponto do gráfico de g cuja abcissa é ln a b . Seja r a reta tangente ao gráfico

2 3 de g no ponto P . Existe, no gráfico de g , um ponto A cuja abcissa pertence ao

p intervalo c0, d e tal que a reta tangente ao gráfico de g nesse ponto é perpendicular à 2 p reta r . Determina a abcissa do ponto A . 3 ),$
Seja f a função, de domínio g 0, p f , definida por f 1x2 = x2 - 4 cos x . Estuda a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.

85

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

p p )-$
Seja g a função, de domínio d - , c , definida por g 1x2 = tg x - x . 2 2 Estuda a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. ).$
Considera, em referencial o.n. xOy , a circunferência trigonométrica.

y 1

Considera que um ponto P se desloca sobre a circunferência, no segundo quadrante, sem coincidir com os pontos de coordenadas 10, 12 e 1- 1, 02 .

P

Q ␣ O

Para cada posição do ponto P , seja:

1

R x

š
a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo . p lado extemidade é a semirreta OP aa å d , p cb ; 2 š
Q o ponto da circunferência trigonométrica, situado no primeiro quadrante, que tem a mesma ordenada do ponto P ; š
R o ponto pertencente ao eixo das abcissas tal que as retas OP e QR são paralelas. a) Seja f a função que a cada valor de a faz corresponder a área do paralelogramo

f OPQR g .

a1) Mostra que f 1a2 = - sen 12a2 . a2) Determina o valor de a para o qual a área do paralelogramo é igual a 1.

"3 3p tal que f 1a2 = . 4 2 Determina, para esse valor de a , o perímetro do paralelogramo. 4

3p 4

a3) Existe um valor de a inferior a

b) Seja S o ponto de coordenadas 1- 4, 02 . Seja g a função que a cada valor de a faz

corresponder a área do trapézio f PQRS g .

y 1 P

Q ␣

S

b1) Mostra que g 1x2 = 2 sen a - sen 12a2 .

O

1

R x

b2) Determina o perímetro do trapézio de área máxima. 7 + "13

86

)/$
Considera, em referencial o.n. xOy , a circunferência trigonométrica. Considera que um ponto P se desloca sobre a circunferência, no primeiro quadrante, sem coincidir com os pontos de coordenadas 11, 02 e 10, 12 .

y B t 1 P

Para cada posição do ponto P , seja: š
a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo . p lado extemidade é a semirreta OP aa å d0, c b ; 2 š
t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto P ;

O

␣ 1

A

x

š
A o ponto de interseção da reta t com o eixo das abcissas; š
B o ponto de interseção da reta t com o eixo das ordenadas. Seja f a função que a cada valor de a faz corresponder a área do triângulo f OAB g . 1 . a) Mostra que f 1a2 = sen 12a2 b) Determina o valor de a para o qual é mínima a área do triângulo f OAB g , bem como

o valor dessa área. a =

p ; área = 1 4

*&$
O tabuleiro de uma ponte suspensa tem pequenas oscilações. Num certo dia, mediu-se a oscilação desse tabuleiro durante dois minutos. Admite que, durante esses dois minutos, a distância de um ponto A do tabuleiro a um ponto B , situado no topo de um dos pilares da ponte, é dada, em metros, por: 1 1t é medido em minutos e pertence a f 0, 2 g 2 d 1t2 = 10 + p cos 1pt2 + t sen 1pt2 As questões que se seguem dizem respeito ao intervalo de tempo durante o qual se mediu a oscilação do tabuleiro da ponte. a) No instante em que foi iniciada a medição, qual era a distância entre A e B ?

Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas. 10,3 m b) Estuda a função d quanto à monotonia e responde às seguintes questões:

Em que instante foi atingida a distância máxima entre A e B ? Qual foi essa distância? Em que instante foi atingida a distância mínima entre A e B ? Qual foi essa distância? A distância máxima foi atingida no instante 0,5 e foi de 10,5 m. A distância mínima foi atingida no instante 1,5 e foi de 8,5 m. c) Recorrendo à calculadora gráfica, determina durante quanto tempo é que a distância

entre A e B foi inferior a 9,5 m. Apresenta a resposta em segundos, arredondada às unidades. 48 segundos *'$
Uma mola está fixada por uma extremidade ao teto de uma sala e tem uma esfera na outra extremidade. A esfera oscila verticalmente. Admite que a distância, em metros, da esfera ao chão da sala, t segundos após um certo instante inicial, é dada por d 1t2 = 1 + 0,4 e - 0,02t sen t 1t ≥ 02. a) Indica, justificando, o valor de

ção descrita.

lim d 1t2 = 1

lim d 1t2 e interpreta esse valor no contexto da situa-

t " +'

t " +'

b) Durante os primeiros dez segundos, quantas vezes é que a distância da esfera ao chão

da sala foi igual a 1 metro? 4

c) Mostra que d'1t2 = 0 § tg t = 50 . d) No intervalo g 0, 3 f , a função d tem um máximo relativo. Utiliza a equivalência da

alínea anterior para determinares, com aproximação às centésimas, o valor de t para o qual esse máximo é atingido. 1,55

87

3. Osciladores harmónicos e a segunda lei de Newton Modelos periódicos Têm-se as seguintes propriedades: 1. Qualquer função, de domínio R , definida por uma expressão do tipo a sen 1bx + c2 + d , ou do tipo a cos 1bx + c2 + d , com a 0 0 e b 0 0 , tem contradomínio f d - 0 a 0, d + 0 a 0 g e 2p é periódica, com período positivo mínimo igual a . 0b0

2. Qualquer função definida por uma expressão do tipo a tg 1bx + c2 + d , com a 0 0 e p b 0 0 , e cujo domínio é e x å R : bx + c 0 + kp, k å Z f , tem contradomínio R e é 2 p periódica, com período positivo mínimo igual a . 0b0

Exemplos:

p p š
A função f , de domínio R , definida por f 1x2 = 4 sen a x + b + 2 tem contradomínio 6 3 f - 2, 6 g e é periódica, de período positivo mínimo igual a 12. p 1 + k, k å Z f , definida por g 1x2 = 2 tg apx + b - 1 4 4 tem contradomínio R e é periódica, de período positivo mínimo igual a 1.

š
A função g , de domínio e x å R : x 0

*($
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 6 sen apx a) Determina o contradomínio da função f . f- 9, 3g

5p b-3 . 6

b) Determina o período positivo mínimo da função f . 2 c) Determina os zeros da função f que pertencem ao intervalo f 0, 4 g . 1,

5 11 , 3, 3 3

d) Determina as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função f com a reta

2 2 . a , - 6b 3 3 e) Esboça o gráfico da função f no intervalo f 0, 4 g . de equação x =

y 1 O

4 x

-6

f) Seja T o período positivo mínimo da função f . Considera o quadrilátero f PQRS g

tal que: š
os pontos P e Q pertencem ao gráfico da função f ; š
a abcissa x do ponto P pertence ao intervalo f 0, 1 g ; š
a abcissa do ponto Q é x + T ; š
R e S são, respetivamente, as projeções ortogonais dos pontos Q e P no eixo das abcissas;

88

š
o quadrilátero f PQRS g tem área 6. 5 Determina o valor de x . 6

*)$
Considera a função g , de domínio R , definida por g 1x2 = 10 cos 12x + c2 + 5 , onde c p 3p d. designa um número real, pertencente ao intervalo c , 2 2 a) Determina o contradomínio da função g . f- 5, 15g b) Determina o período positivo mínimo da função g . p c) Determina o valor da constante c , sabendo que g' a b = - 10 .

p 7p 6 2 p 3p 13p 7p d) Determina os zeros da função g que pertencem ao intervalo f 0, 2p g . , , , 12 4 12 4 e) Seja T o período positivo mínimo da função g . Sejam A e B dois pontos de ordenada positiva, tais que: š
A e B pertencem ao gráfico da função g ; š
as suas abcissas pertencem ao intervalo f 0, 2p g , sendo A o ponto com menor abcissa; š
AB = T ; š
a área do triângulo f AOB g é igual a 5p Determina a abcissa do ponto A . 12

15p . 2

x 5p **$
Considera a função h definida por h 1x2 = a tg a + b + b , onde a e b designam núme3 12 ros reais, com a 0 0 . a) Determina o domínio e o contradomínio da função h . Dh = e x å R : x 0 p + 3kp, k å Z f ; D'h = R 4 b) Determina o período positivo mínimo da função h . 3p c) Determina os valores das constantes

a e b , sabendo que a reta de equação y = 2x + 1 - 2p é tangente ao gráfico da função h no ponto de abcissa p . a = 3 ; b = 4

d) Seja T o período positivo mínimo da função h .

Mostra que T também é período da função h' . *+$
Quando o João está em repouso, inspira e expira de forma regular. Considera que, nessas circunstâncias, o volume de ar nos pulmões do João, t segundos após o início de uma inspiração, é dado, em dm3, aproximadamente por: v 1t2 = 0,45 - 0,37 cos

pt 2 Em todas as respostas, apresenta o volume de ar em dm3 e o tempo em segundos. a) Que volume de ar existe nos pulmões do João, no instante inicial?

E um segundo depois? No instante inicial: 0,08 dm3 ; um segundo depois: 0,45 dm3. b) Qual é o período da função v ?

Qual é o seu significado, no contexto da situação descrita? O período é 4. c) Quanto tempo demora uma inspiração? 2 segundos d) Qual é o volume de ar inspirado, em cada inspiração? 0,74 dm3 e) Nos primeiros 4 segundos, durante quanto tempo é que o volume de ar nos pulmões do

João é superior a 0,265 dm3? 2,7 segundos Apresenta a resposta arredondada às décimas.

89

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

*,$
A profundidade da água do mar à entrada de um porto de pesca varia com a maré. Admite que, num certo dia, a profundidade da água do mar à entrada desse porto é dada, em metros, por: p p h 1t2 = 6 + 2 cos a t + b 6 3 onde a variável t designa o tempo, medido em horas, decorrido desde as 0 horas desse dia. a) Qual é a profundidade da água do mar, nesse dia e nesse local, quando ocorre uma

maré alta? 8 m b) Ao longo desse dia ocorreram duas marés altas. A que horas ocorreu a primeira maré

alta? 10 h c) Ao longo desse dia ocorreram duas marés baixas. A que horas ocorreu a segunda maré

baixa? 16 h d) São 15 h 30 min desse dia e um barco já está preparado para ir à pesca. Porém, para

poder sair do porto, esse barco precisa que a profundidade da água, à entrada do porto, seja, no mínimo, de 5 metros. A que horas poderá esse barco sair do porto? 18 h *-$
No Funchal, o tempo que decorre do nascer ao pôr-do-sol, no dia de ordem n de cada ano, é dado, em horas, aproximadamente por f 1n2 = 12,16 + 2,16 sen 10,017n + 4,8932 . Por exemplo, no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorre do nascer ao pôr-do-sol é f 1342 ) 10,59 horas , ou seja, 10 horas e 35 minutos (aproximadamente). a) No dia 26 de maio de um certo ano, o ocaso do Sol ocorreu às 21 h 8 min. A que horas

ocorreu o nascer do Sol? Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). Admite que, nesse ano, o mês de fevereiro teve 28 dias. 7 h 3 min b) Em alguns dias do ano, o tempo que decorre do nascer ao pôr-do-sol é inferior a

10 h 30 min. Em quantos dias é que tal acontece? 77 dias Nota: recorre às capacidades gráficas da calculadora para resolveres este problema. *.$
A Terra descreve uma órbita elítica em torno do t Terra Sol. O Sol está num dos focos da elipse. Na figura está representado um esquema dessa órx d bita (o periélio é o ponto da órbita mais próximo Periélio do Sol). Sol O ângulo orientado, de amplitude x (medida em radianos), representado na figura, tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa na Terra. Seja t o tempo, medido em anos, que a Terra demora a descrever o arco correspondente a esse ângulo e seja d a distância da Terra ao Sol, em milhões de quilómetros. Tem-se: t =

1 1 x - 0,0167 sen x2 2p

d = 149,6 - 2,4983 cos x

a) Determina o valor de t , quando x = p . Interpreta o resultado obtido, no contexto da

situação descrita. t =

1 2

b) Determina a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol. Apresenta os va-

lores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas. Distância máxima: 152,1 milhões de quilómetros; distância mínima: 147,1 milhões de quilómetros. 90

c) Utiliza os valores obtidos na alínea anterior para determinares o eixo maior e a distân-

cia entre os focos desta elipse. Eixo maior: 299 ; distância entre os focos: 5. Apresenta os resultados em milhões de quilómetros, arredondados às unidades. d) No dia 4 de janeiro de 2017, pelas 14 horas, a Terra passou no periélio.

Determina a distância a que a Terra se encontrava do Sol às 20 horas do dia 25 de fevereiro desse ano. Apresenta o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. 148,1 milhões de quilómetros. Notas: š
sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, quatro casas decimais; š
considera 1 ano = 365,24 dias; š
recorre às capacidades gráficas da calculadora para resolveres este problema.

Oscilador harmónico Dá-se o nome de eiY_bWZeh
^WhcŒd_Ye a um sistema constituído por um ponto que se desloca numa reta numérica, num determinado intervalo de tempo I , de tal forma que a respetiva abcissa, como função de t å I , é dada por uma expressão da forma: x 1t2 = A cos 1wt + f2 , onde A > 0 , w > 0 e f å f0, 2pf À constante A dá-se o nome de Wcfb_jkZ[. À constante w dá-se o nome de fkbiW‚€e. À constante f dá-se o nome de \Wi[. Tem-se que a função x é periódica de
f[h‡eZe T =

2p . w

Ao inverso do período dá-se o nome de \h[gk…dY_W. A frequência é designada por f . Tem-se, portanto, f =

1 . T

Exemplo: Considera que um ponto P se desloca numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 10 g (tempo medido em segundos), de tal forma que a respetiva abcissa, como função de t å I , é dada por: p p x 1t2 = 2 cos a t + b 4 3 p Relativamente a este oscilador harmónico, tem-se: a amplitude é 2; a pulsação é ; 4 p 2p 1 a fase é ; o período é p , ou seja, 8; a frequência é . 8 3 4

91

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

*/$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 10 g (considera que o tempo é medido em segundos). 5p p A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 6 cos a t + b . 8 4 a) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico. p 5p Amplitude: 6 ; pulsação: ; fase: . 8 4 b) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico. 1 . Período: 16 ; frequência: 16 +&$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 20 g (considera que o tempo é medido em segundos). p p A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 8 cos a t + b . 6 3 a) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico. p p Amplitude: 8; pulsação: ; fase: . 6 3 b) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico. 1 Período: 12; frequência: . 12 c) Determina a abcissa do ponto P no instante zero. 4 d) Determina os instantes em que a abcissa do ponto P é igual a - 4.

2, 6, 14 e 18 (segundos)

e) Determina o número de vezes que o ponto P passa pela origem. 4 vezes f) Determina os instantes em que a distância do ponto P à origem é máxima.

4, 10 e 16 (segundos)

g) Determina os intervalos de tempo em que o ponto P tem abcissa negativa.

Nos intervalos g1, 7f e g13, 19f .

h) Determina, utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, o valor de x'112 . i) Determina os intervalos de tempo em que a velocidade do ponto P é positiva.

Nos intervalos g4, 10f e g16, 20g .

+'$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 8 g (considera que o tempo é medido em segundos), constituindo um oscilador harmónico de 1 amplitude A e frequência igual a . 4 Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t . Sabe-se que x 102 = - A e x 122 = 6 . a) Determina o período, a pulsação, a fase e a amplitude deste oscilador harmónico.

Período: 4 ; pulsação:

p ; fase: p ; amplitude: 6 . 2

b) Mostra que A t å f 0, 6 g , x 1t + 22 = - x 1t2 . c) Determina os instantes t tais que x'1t2 =

"3 p 4 10 16 22 x 1t2 . , , e 3 3 3 3 2

+($
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 18 g (tempo medido em segundos). A expressão analítica da função f que dá a abcissa do ponto P , como função de t å I , é do tipo A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e f å f 0, 2p f . O gráfico de f é: y

1 O

92

10 5

15

t

4p 3

5 para t = 5 e para t = 12 . 2 2p 4p 5 t+ b a) Determina a expressão analítica da função f . f 1t2 = cos a 7 7 2 b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador harmónico. 2p 4p 5 1 Amplitude: ; pulsação: ; fase: ; período: 7 ; frequência: . 7 7 7 2 +)$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 30 g (considera que o tempo é medido em segundos). p p A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 12 sen a t + b . 5 6 a) Mostra que se trata de um oscilador harmónico. Tal como a figura sugere, a função f tem máximo igual a

b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador har-

mónico. Amplitude: 12 ; pulsação: +*$


p 5p 1 ; fase: ; período: 10 ; frequência: . 5 3 10

a) Prova que M cos 1wt2 + N sen 1wt2 = "M + N cos 1wt - y2 , 2

onde y é tal que cos y =

M

"M + N 2

2

2

e sen y =

N

"M2 + N2

.

b) Escreve cada uma das expressões seguintes na forma A cos 1wt + f2 , com A > 0 e

f å f 0, 2p f .

b1) "2 cos 1wt2 + "2 sen 1wt2 2 cos awt +

7p b 4

b2) cos 1wt2 - sen 1wt2 "2 cos awt + b

p 4

b3) - cos 1wt2 - "3 sen 1wt2 2 cos awt + b4) - cos 1wt2 + sen 1wt2 "2 cos awt +

2p b 3

5p b 4

c) Escreve cada uma das expressões seguintes na forma A cos 1wt + f2 , com

f å f 0, 2p f , apresentando o valor de f arredondado às milésimas.

A>0 e

c1) 12 cos 13t2 + 5 sen 13t2 13 cos 13t + 5,8882

c2) 3 cos 1pt2 - 4 sen 1pt2 5 cos 1pt + 0,9272

++$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 12 g (considera que o tempo é medido em segundos). p p A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = "2 cos a tb - "2 sen a tb . 8 8 a) Prova que se trata de um oscilador harmónico. b) Indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador har-

mónico. Amplitude: 2 ; pulsação:

p p 1 ; fase: ; período: 16 ; frequência: . 8 4 16

c) Determina o instante em que a velocidade do ponto P atinge o seu valor máximo. 10 segundos.

+,$
Um ponto P desloca-se numa reta numérica no intervalo de tempo I = f 0, 20 g (considera que o tempo é medido em segundos). A abcissa do ponto P , no instante t , é dada por x 1t2 = 2 cos 13,2 t2 + sen 13,2 t2 . a) Prova que se trata de um oscilador harmónico, escrevendo x 1t2

na forma A cos 13,2 t + f2 , com A > 0 e f å f 0, 2p f (apresenta o valor de f arredondado às centésimas). x 1t2 = "5 cos 13,2 t + 5,822

b) Determina a frequência deste oscilador harmónico (apresenta a tua resposta arredon-

dada às centésimas). 0,51

93

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

Sistema formado por uma mola e por um ponto material colocado na respetiva extremidade Seja P um ponto material de massa m colocado na extremidade de uma mola (cuja outra extremidade se encontra fixa). Vamos considerar que, em resultado da força exercida pela mola, o ponto P se desloca sobre uma reta numérica, na qual vamos tomar para origem o ponto de equilíbrio (ponto que corresponde à posição do ponto P quando a mola não está comprimida nem estendida). De acordo com a lei de Hooke, a força exercida pela mola sobre P é proporcional à distância a que P se encontra do ponto de equilíbrio. Designando por k a constante de proporcionalidade, a abcissa x 1t2 do ponto P satisfaz a equação diferencial m x''1t2 = - k x 1t2 . k Esta equação é equivalente a x''1t2 = - a x 1t2 , onde a = . m Qualquer solução da equação diferencial x''1t2 = - a x 1t2 pode ser escrita na forma x 1t2 = A cos Q "a t + f R , com A > 0 e f å f0, 2pf .

Exemplo: Consideremos que um ponto material P de masd sa 10 g, colocado na extremidade de uma mola, se O P desloca numa reta numérica, orientada da esquerx(t) da para a direita, onde uma unidade corresponde a 1 cm e a origem coincide com o ponto de equilíbrio. A força exercida pela mola é proporcional à distância d a que o ponto P se encontra do ponto de equilíbrio. Admitamos que a constante de proporcionalidade é igual a 40 (na unidade física correspondente às unidades de massa, comprimento e tempo consideradas). Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (considera que o tempo é medido em segundos). Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t . k 40 Tem-se, então x''1t2 = - a x 1t2 , com a = m = =4 . 10 Vem: x 1t2 = A cos Q "4 t + f R = A cos 12 t + f2 , com A > 0 e f å f 0, 2p f .

Admitamos agora que x 102 = 3 e que x'102 = 2 (isto é, admitamos que, no instante 0, o ponto P se encontra 3 centímetros à direita do ponto de equilíbrio e que a sua velocidade, nesse instante, é de 2 cm/s). Vem:

š
x 102 = 3 § A cos f = 3

š
como x'1t2 = - 2A sen 12 t + f2 , tem-se x'102 = 2 § - 2A sen f = 2 § A sen f = - 1 De A cos f = 3 e A sen f = - 1 , resulta que A2 cos2 f = 9 e A2 sen2 f = 1 . Vem, então:

A2 cos2 f + A2 sen2 f = 9 + 1 ± A2 f cos2 f + sen2 f g = 10 ± A2 = 10 ± A = "10

continua

94

continuação

Determinemos agora o valor de f . Como cos f > 0 e sen f < 0 , vem f å d De "10 cos f = 3 , vem cos f =

3

3p , 2p c . 2

. "10 3p 3 Como f å d , 2p c e cos f = , vem f ) 5,96 . 2 "10 Portanto, x 1t2 = "10 cos 12t + 5,962 .

Neste oscilador hamónico, tem-se: amplitude = "10 ; pulsação = 2 ; fase ) 5,96 .

+-$
Um ponto material P de massa 2 g, colocado na extremidade de uma mola, desloca-se numa reta numérica, orientada da esquerda para a direita e onde uma unidade corresponde a 1 cm. Admite que a origem desta reta numérica coincide com o ponto de equilíbrio. d P x(t)

O

A força exercida pela mola é proporcional à distância d a que o ponto P se encontra do ponto de equilíbrio, sendo, neste caso, a constante de proporcionalidade igual a 72 (na unidade física correspondente às unidades de massa, comprimento e tempo consideradas). Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (o tempo é medido em segundos). Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t .

a) Traduz esta situação por uma equação diferencial, da forma x''1t2 = - a x1t2 .

x'' 1t2 = - 36x 1t2

b) Tem-se x 1t2 = A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e f å f 0, 2p f . Indica o valor de w .

w = "36 = 6

c) Admite que, no instante 0, o ponto P se encontra 4 centímetros à esquerda do ponto

de equilíbrio. Traduz simbolicamente este facto. x 102 = - 4

d) Tendo em conta a alínea anterior, mostra que se tem A cos f = - 4 . e) Determina x'1t2 . x' 1t2 = - 6A sen 16t + f2

f) Admite que, no instante 0, a mola está a contrair-se e que o módulo da velocidade do

ponto P , nesse instante, é de 18 cm/s. Traduz simbolicamente este facto. x' 102 = - 18

g) Tendo em conta as duas alíneas anteriores, mostra que se tem A sen f = 3 . h) Tendo em conta que A cos f = - 4 e que A sen f = 3 , determina o valor de A . A = 5

i) Determina x 1t2 . Apresenta o valor de f arredondado às décimas. x 1t2 = 5 cos 16t + 2,52 j) Indica a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico.

Amplitude: 5 ; pulsação 6 ; fase: 2,5 . k) Determina o período e a frequência deste oscilador harmónico. Apresenta os valores

arredondados às milésimas. Período: 1,047 ; frequência: 0,955 .

95

Tema 5 | Trigonometria e Funções Trigonométricas

+.$
Uma mola está fixada a uma parede por uma extremidade, tendo uma esfera na outra extremidade. Tal como a figura ilustra, o ponto P representa o centro da esfera e o ponto Q representa a extremidade da mola que está fixada na parede. d (t) Q

P

r

Após ser alongada na horizontal, a mola inicia um movimento oscilatório, em consequência do qual o ponto P se desloca ao longo da reta r . Num certo instante, inicia-se a contagem do tempo (medido em segundos). p p A distância, em centímetros, do ponto P ao ponto Q é dada por d 1t2 = 10 + 8 sen a t + b . 6 3 A variável t designa o tempo que decorre desde o instante em que se inicia a contagem do tempo. Considera que t å f 0, 20 g . a) Qual é a distância do ponto P ao ponto Q , no instante em que se inicia a contagem

do tempo? Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. 16,9 cm b) Determina os instantes em que o ponto P está à distância de 6 cm do ponto Q .

5, 9 e 17 c) Recorendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, mostra que, entre o sétimo e o oitavo se-

gundos, após o início da contagem do tempo, há pelo menos um instante em que a distância do ponto P ao ponto Q é igual a 2,5 centímetros. d) Determina a distância mínima e a distância máxima do ponto

P ao ponto Q .

Distância mínima: 2 cm; distância máxima: 18 cm. e) O ponto de equilíbrio é o ponto da reta r cuja distância ao ponto Q é a média das

distâncias referidas na alínea anterior. Considera a reta r como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto de equilíbrio e onde uma unidade corresponde a 1 cm. Seja x 1t2 a abcissa do ponto P no instante t . Escreve x 1t2 na forma A cos 1wt + f2 , com A > 0 , w > 0 e f å f 0, 2p f , e indica a amplitude, a pulsação, a fase, o período e a frequência deste oscilador harmónico. p p 11p 11p x 1t2 = 8 cos a t + b ; amplitude: 8 ; pulsação: ; fase: ; período: 12 ; 6 6 6 6 1 frequência: . 12

96

Tema

6

Primitivas e Cálculo Integral

1. Noção de primitiva

Conceito de primitiva Seja f uma função real cujo domínio é um intervalo I . Diz-se que uma função F é uma primitiva de f em I se F é diferenciável em I e, para qualquer x å I , F'1x2 = f 1x2 . Diz-se que f é primitivável em I quando f admite uma primitiva nesse intervalo.

Exemplos:

š
A função F , de domínio R , definida por F 1x2 = x2 é uma primitiva da função f , de domínio R , definida por f 1x2 = 2x , pois, para qualquer número real x , F'1x2 = 1x22' = 2x = f 1x2 .

š
A função G , de domínio R , definida por G 1x2 = sen x é uma primitiva da função g , de domínio R , definida por g 1x2 = cos x , pois, para qualquer número real x , G' 1x2 = 1sen x2' = cos x = g 1x2 .

'$
Sejam F e f as funções, de domínio R , definidas por F 1x2 = 1x - 12 ex e f 1x2 = x ex. a) Verifica que Ax å R, F'1x2 = f 1x2 .

b) Completa a seguinte frase, de forma a obteres uma proposição verdadeira:

Como Ax å R, F'1x2 = f 1x2 , diz-se que F é uma primitiva de f , em R .

($
Indica uma função F , de domínio R , que seja uma primitiva da função f , de domínio R , definida por f 1x2 = 3x2 . F 1x2 = x3 (por exemplo) )$
Seja g a função, de domínio R + , definida por g 1x2 = x ln 1x2 . Seja G uma primitiva da função g . G 1x2 - G 1e2 Determina lim . e x-e x"e 2x + 4 . Seja F uma primitiva da *$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 2 x +1 função f . Sabe-se que o ponto A 11, 52 pertence ao gráfico da função F . Seja r a reta tangente ao gráfico de F no ponto A . Determina a equação reduzida da reta r . y = 3x + 2 +$
Seja f uma função ímpar primitivável em R . Seja F uma primitiva de f . Mostra que F é uma função par. Sugestão: começa por mostrar que A x å R, f F 1x2 - F 1- x2 g ' = 0 .

98

Propriedades fundamentais Fhefh_[ZWZ[
' Seja f uma função primitivável num intervalo I . Seja F uma primitiva de f nesse intervalo. Então, as primitivas de f , nesse intervalo, são as funções definidas por F 1x2 + c, c å R . A expressão F 1x2 + c, c å R pode ser representada por Pf ou por

e f 1x2 dx .

Exemplos:

š
P 12x2 = e 2x dx = x2 + c, c å R

š
P 1cos x2 = e cos x dx = sen x + c, c å R

Fhefh_[ZWZ[
( Seja f uma função primitivável num intervalo I . Seja a å I e seja b å R . Então, existe uma única primitiva F , de f , em I , tal que F 1a2 = b .

Exemplo: p p 1 . Seja I = d - , c . Seja f a função, de domínio I , definida por f 1x2 = 2 2 cos2 x Tem-se: š
f é primitivável em I ;

š
qualquer primitiva de f , em I , é definida por uma expressão do tipo tg 1x2 + c , com cåR . p Seja F a primitiva de f , em I , tal que F a b = 5 . 4 p p Tem-se F a b = 5 § tg a b + c = 5 § 1 + c = 5 § c = 4 . 4 4 p Portanto, a primitiva de f , em I , tal que F a b = 5 é a função definida por 4 F 1x2 = tg 1x2 + 4 . Fhefh_[ZWZ[
)
b_d[Wh_ZWZ[
ZW
fh_c_j_lW‚€e

š
P 1f + g2 = P 1f 2 + P 1g2 ou š
P 1kf 2 = k P 1f 2, k å R

e f f 1x2 + g 1x2 g dx = e f 1x2 dx + e g 1x2 dx ou e k f 1x2 dx = k e f 1x2 dx, k å R

Exemplos:

š
P 12x + cos x2 = P 12x2 + P cos x = x2 + sen x + c, c å R š
š


e 3 cos x dx = 3 e cos x dx = 3 sen x + c, c å R e 14ex + 5 cos x2 dx = e 4ex dx + e 5 cos x dx = 4 e exdx + 5 e cos x dx = 4ex + 5 sen x + c, cåR

99

Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral

,$
Considera a função f : R " R definida por f 1x2 = e - x 11 - x2 .

a) Verifica que, para cada número real c , a função F definida por F 1x2 = x e

-x

+ c é uma

primitiva da função f .

b) Determina c de modo que F 112 = 0 . -

1 e

-$
Sejam F e G as funções, de domínio R , definidas, respetivamente, por F 1x2 = "x2 + 3 e G 1x2 = ln 1x2 + 32 . a) Mostra que F é uma primitiva da função f , de domínio R , definida por

f 1x2 =

x "x2 + 3 . x2 + 3

b) Mostra que G é uma primitiva da função g , de domínio R , definida por

g 1x2 =

2x . x +3 2

5x "x2 + 3 + 4x . x2 + 3 Determina e h 1x2 dx . 5 "x2 + 3 + 2 ln 1x2 + 32 + c, c å R

c) Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 =

Regras de primitivação No que se segue, c designa um número real.

š
P 1k2 = kx + c 1k å R2 xa + 1 š
P 1 xa2 = +c a+1

š
P 1 u' . ua2 =

š
P 1ex2 = ex + c

š
P 1u' . eu2 = eu + c

1 š
P a b = ln 0 x 0 + c x

u' š
P a b = ln 0 u 0 + c u

š
P 1sen x2 = - cos x + c

1a å R \ 5 - 1, 0 62

ua + 1 +c a+1

š
P 1u' . sen u2 = - cos u + c

š
P 1cos x2 = sen x + c

š
P 1u' . cos u2 = sen u + c

.$
Determina as seguintes primitivas: a) P 152

b) P 1 4x + 32

c) P 16x - 8x + 12

d) P a

e) P a

x4 + 1 b x2

f) P a"x -

h) P a

x2 + 1

1 b x5

2 4 g) P Q 5 "x + 9 "x R 3

5

"x

2

3 b 2

i) P s 1x - 12

b

x - "x x + "x

/$
Determina as seguintes primitivas: a) P f 5 15x + 32

9

g

100

5

d) P f 6x 1x - 82

13

2

2 3 2 c) P f 13x + 4x - 12 1x + 2x - x - 32 9 10 e) P f 5x 1x + 32

b) P f 2x 1x - 52

14

g

6

g

2

g g

3 2 f) P f 1x + 32 1x + 9x + 27x + 302 2

17

g

t

g) P £

Q "x + 2 R

h) P Q 2"2x + 1 R

11

§

"x

j) P Q x"x + 1 + 6x 2

2

3 " 3 "x3 + 2 R k) P ° 1 + x "x + x ¢ 2 "x Ç

x 2 x 3 9 m) P f 1e + 3x 2 1e + x 2 g

x 6 n) P 12 1e + x 2

p) P 1cos x sen x2

q) P 1cos x sen x2

5

s) P a

f

i) P 3x

"17 ex + x72

f

7

"1x2 + 102 7 g 5

x x l) P f e 15e - 42

5

g

o) P a r) P a

7

g

ln 1x2 x b cos x

"sen x

b

1 1 b 2 4 sen x 4 cos2 x

'&$
Determina as seguintes primitivas: x 3 2 a) P 14e - 8x + 12x 2

b) P 13 e

d) P 12 e

e) P a

-x

2

g) P f 11 + tg x2 e 2

j) P f e

sen3 x

tg x

g

3x - 2

2

c) P 1x e

3 x4 + 1

4x2 + "x x e x

h) P 12 e

1 - cos x

2

+ "x

sen x2

b

f) P 1e

sen x

i) P f e

2

cos x2

sen x cos x

cos 12x2 g

sen 12x2 sen x g

''$
Determina as seguintes primitivas: a) P a

3 x - 2b

b) P a

3 4 - b 3x 2x

c) P a

5 3x - b 3x 5

d) P a

2 3 x + x2 b

e) P c

1x - 52 x d

f) P a

6x b 3x2 + 5

g) P a

x2 - 2 b x - 6x - 5

h) P a

e2x - 2e- 4x b e2x + e- 4x

i) P a

1 b x ln 1x2

j) P a

x - sen x b x2 + 2 cos x

k) P 11 + 2 tg x2

l) P c

1 + 2 tg x d cos x 11 + tg x + tg2 x2

3

m) P f tg 13x2 g

n) P c

2

2

cos 12x2 d 1 + sen 12x2

o) P c

sen x + sen 12x2 + 2 sen 12x2 cos2 x

2 cos x + sen x b 3

c) P f 4x - 6 sen 13x2 g

cos x + cos2 x + cos4 x

d

'($
Determina as seguintes primitivas: a) P a

1 - sen x b 2

d) P °

1 + cos 4

x 2

b) P a

¢

e) P 1cos x - sen x2 4

4

3

f) P 1cos x2 3

101

2. Noção de integral

Conceito de integral Dado um referencial cartesiano ortonormado e uma função f contínua e não negativa num intervalo fa, bg , dá-se o nome de _dj[]hWb
Z[ f [djh[ a e b à área, na unidade quadrada associada à unidade de comprimento desse referencial, da região do plano delimitada pelas retas de equações x = a e x = b , pelo eixo Ox e pelo gráfico da função. O integral de f entre a e b representa-se por

y

f

∫abf (x) dx O

ea f 1x2 dx .

a

x

b

b

Exemplos: š


e1 2 dx é a área da região do plano delimitada pelas retas 5

y

de equações x = 1 e x = 5 , pelo eixo Ox e pelo gráfico da função f , definida por f 1x2 = 2 .

f

2

Portanto, e1 2 dx é a área do retângulo representado na figura ao lado. 5

Assim,

O

1

5

x

e1 2 dx = 4 * 2 = 8 . 5

1 š
3 a x + 1b dx é a área da região do plano delimitada 2 2 4

f

y

pelas retas de equações x = 2 e x = 4 , pelo eixo Ox e 1 pelo gráfico da função f , definida por f 1x2 = x + 1 . 2 4 1 Portanto, 3 a x + 1b dx é a área do trapézio representa2 2 do na figura ao lado.

1 O

2

x

4

4

2+3 1 Assim, 3 a x + 1b dx = *2=5. 2 2 2

Monotonia do integral Sejam f e g funções contínuas e não negativas num intervalo fa, bg . Se, para todo o x pertencente a fa, bg , se tem g 1x2 ≤ f 1x2 ,

ea g 1x2 dx ≤ ea f 1x2 dx . b

b

Exemplo: Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções, f e g .

y

f g

Tem-se, para todo o x pertencente a f a, b g , g 1x2 ≤ f 1x2 . Portanto, tem-se

ea

b

g 1x2 dx ≤

ea f 1x2 dx . b

O

102

a

b

x

')$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 3 . a) Representa, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f , bem como as retas de

equações x = - 1 e x = 5 . b) Assinala a região cuja área é c) Determina

e- 1 f 1x2 dx

e- 1 f 1x2 dx . 5

5

'*$
Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = x - 1 . a) Representa, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função g , bem como as retas de

equações x = 2 e x = 4 . b) Assinala a região cuja área é c) Determina

'+$
Determina

e2 g 1x2 dx .

e2 g 1x2 dx . 4

4

e- 2 12x + 42 dx . 1

9

',$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = mx + 8 , onde m designa um número real negativo. 8 1 Sabe-se que e2 f 1x2 dx = 33 . Determina o valor de m . 2 '-$
Determina

e- 3 "9 - x2 dx . 3

Sugestão: tem em conta que x2 + y2 = 9 § y = ¿ "9 - x2 , ou seja, a circunferência cuja equação é x2 + y2 = 9 é a união de duas semicircunferências, sendo uma o gráfico da função definida por y = "9 - x2 e sendo a outra o gráfico da função definida por y = - "9 - x2 . 9p 2

'.$
Considera, em referencial o.n. xOy , a semicircunferência definida pela condição: 1x - 52 + 1y - 52 = 4 ‹ y ≤ 5 2

2

Seja g a função, de domínio f 3, 7 g , cujo gráfico é essa semicircunferência. Determina

e3 g 1x2 dx . 7

20 - 2p

'/$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x2 . 25 ≤ f 1x2 ≤ 5x - 6 . a) Mostra que Ax å f 2,1; 2,9 g , 5x 4 2,9 b) Utilizando a alínea anterior, determina o valor de e2,1 f 1x2 dx , arredondado às unidades. 5

Teorema fundamental do cálculo integral Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo fa, bg , com a < b . Seja Fa a função definida em fa, bg por Fa 1x2 =

ea f 1t2 dt . x

Então, Fa é a primitiva de f que se anula para x = a . Portanto,

1 eax f 1t2 dt2' = f 1x2 .

De acordo com a regra de derivação de uma função composta, tem-se:

1 eag f 1t2 dt2' = f 1g 1x22 * g'1x2 1x2

continua

103

Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral continuação

y

Exemplo 1:

Seja f 1t2 = 2t + 1 e seja F 1x2 =

e2 f 1t2 dt . x

f

f(x)

De acordo com a figura ao lado, tem-se: F 1x2 =

e2 f 1t2 dt = x

f 1x2 + f 122 2x + 1 + 5 * 1x - 22 = * 1x - 22 = 2 2

2x + 6 * 1x - 22 = 1x + 32 1x - 22 = x2 + x - 6 2 Como 1x2 + x - 62' = 2x + 1 , vem que F é uma primitiva de f . =

5

x

∫2 f (t)dt

Como F 122 = 22 + 2 - 6 = 0 , vem que F se anula para x = 2 .

O

Exemplo 2:

x

2

t

Tem-se, para qualquer número real x maior ou igual a 1: x 1 e ln 1t2 + 32 dt2' = ln 1x2 + 32 1

Exemplo 3: Tem-se, para qualquer número real x maior ou igual a 2: 1 e x et sen2 t dt2' = ex sen2 1x32 1x32' = ex sen2 1x32 3x2 3

3

3

8

Fórmula de Barrow ea f 1x2 dx = f F 1x2 g ba = F 1b2 - F 1a2 . b

Sendo F uma primitiva de f , tem-se

Exemplo: 6

e3

6

3

x3 63 3 216 27 x dx = c d = - = = 72 - 9 = 63 3 3 3 3 3 3 2

(&$
Sejam f e g as funções, de domínio f 1, + ' f , definidas por: f 1x2 =

e1

x

ln 1t2 dt

Mostra que A x å f 1, + ' f , f f 1x2 - g 1x2 g ' = 0 . ('$
Seja f a função, de domínio R , definida por:

g 1x2 = x ln 1x2 - x

1 + sen x

e0

ln 1e + t2 - 12 dt .

Determina o declive da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa p . - 1 (($
Calcula o valor de cada um dos seguintes integrais: a)

3 3 e1 2x 1x2 + 12 dx e

d) 3

1 p

g) 3 3 0

104

2496

b)

2 e0 9x2 "9 - x3 dx e

x+1 x dx e

e) 3

sen x dx 1 cos2 x

h)

e

e

2

52

c) 3

1

1 + ln 1x2 dx e x ln 1x2

p

1

1 x e dx e - "e x2

f) e 2 sen 12x2 cos x dx 0

e04 cos 12x2 sen x dx "2 - 1 p

3

2 3

()$
Em cada uma das alíneas seguintes está definida uma função f . Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico dessa função e determina a área da região limitada por esse gráfico, pelo eixo Ox e pelas retas cujas equações são dadas. p p "2 - 1 ; x= 4 8 12

a) f 1x2 = x - 2x + 2 ; x = 0 ; x = 6 48

b) f 1x2 = cos 12x2 ; x =

c) f 1x2 =

d) f 1x2 = e ; x = 0 ; x = ln 142 3

2

1 x ; x=1 ; x=e 1 p p e) f 1x2 = tg x ; x = ; x = ln Q "2 R 4 3

x

f) f 1x2 = sen x ; x = 2

p p p + 3"3 - 6 ; x= 24 6 4

(*$
Para cada uma das alíneas seguintes, desenha, em referencial o.n. xOy , a região limitada pelas linhas definidas pelas equações dadas e determina a área dessa região. a) y = x , y = "x

b) y = 5 - x , y = x + 3

2

2

(+$
Sejam f e g as funções, de domínio f 2, 4 g , definidas por: f 1x2 =

5"2 a g 1x2 = "5x - 2

3 x-1

(a designa um número real)

Sabe-se que Ax å f 2, 4 g , g 1x2 ≥ f 1x2 .

Considera, em referencial o.n. xOy , os gráficos das funções f e g . Sabe-se que a área da região do plano limitada por esses gráficos e pelas retas de equações x = 2 e x = 4 é igual a 5 ln 132 .

Determina o valor de a . ln 192

p p (,$
Seja f a função, de domínio c- , d , definida por f 1x2 = cos x . 4 4 Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f . Sejam A e B pontos com a mesma ordenada, pertencentes ao gráfico da função f e tais que a área do triângulo f OAB g é igual a 0,4. O ponto A tem abcissa positiva e o ponto B tem abcissa negativa. a) Determina, com aproximação às milésimas, a abcissa do ponto A .

Nota: equaciona o problema e, recorrendo à calculadora gráfica, determina a solução da equação, com a aproximação pedida. 0,443 b) Utiliza o resultado da alínea anterior para determinares a área da região do plano

limitada pela reta AB e pelo gráfico da função f . Apresenta a resposta arredondada às centésimas. 0,06

Propriedades dos integrais B_d[Wh_ZWZ[
Ze
_dj[]hWb Sejam f e g funções contínuas e não negativas em fa, bg . Têm-se as seguintes propriedades:

š


ea

b

ff 1x2 + g 1x2 g dx =

ea f 1x2 dx + ea g 1x2 dx b

b

š


ea k f 1x2 dx = k ea f 1x2 dx b

b

1k å R2

continua

105

Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral continuação

Exemplo:

e1 3x2 dx + 3 e1 11 + 2x - x22 dx = e1 3x2 dx + e1 3 11 + 2x - x22 dx = 4 4 4 4 = e1 13x2 + 3 + 6x - 3x22 dx = e1 16x + 32 dx = 3 e1 12x + 12 dx = 3 f x2 + x g 1 = 4

4

4

4

= 3 * 120 - 22 = 3 * 18 = 54 9edl[d‚€e

Tem-se a seguinte convenção:

Exemplo: 2

a

b

2

e2 x dx = - e1 1

eb f 1x2 dx = - ea f 1x2 dx

2

x3 7 8 1 x dx = - c d = - a - b = 3 1 3 3 3 2

H[bW‚€e
Z[
9^Wib[i Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo I . Então, dados quaisquer pontos a , b e c de I , tem-se:

ea f 1x2 dx = ea f 1x2 dx + ec f 1x2 dx b

c

b

y

Exemplo:

y = ln (x)

e2 ln 1x2 dx = e2 ln 1x2 dx + e4 ln 1x2 dx 7

4

7

O

2

4

x

7

(-$
Sejam a e b números reais tais que a < b . Sejam f e g funções contínuas e não negab b tivas em f a, b g . Sabe-se que ea f 1x2 dx = 8 e que ea g 1x2 dx = 2 . Determina o valor de

b ea f 4 f 1x2 + g 1x2 g dx .

34

(.$
Sejam a e b números reais tais que a < b . Sejam f e g funções contínuas e não negativas em f a, b g . Sabe-se que Ax å f a, b g , g 1x2 ≤ f 1x2 .

Considera, em referencial o.n. xOy , os gráficos das funções f e g . Justifica que a área da região do plano limitada por esses gráficos e pelas retas de equações b x = a e x = b é igual a ea f f 1x2 - g 1x2 g dx . (/$
Seja f uma função, de domínio R , não negativa e tal que Indica o valor de

e4 f 1x2 dx . 1

e1 f 1x2 dx = 10 . 4

- 10

1

2 )&$
Determina 3 x dx . - 2 e )'$
Seja f uma função, de domínio R , não negativa e tal que Determina o valor de

3 3 e1 f f 1x2 + x g dx + e1 5 f 1x2 dx .

e3 f 1x2 dx = - 6 . 1

40 c

e3 -e

1 dx + 3 )($
Seja c um número real positivo. Determina o valor de 3 x +e 0 c 106

1 dx . 2 x+e

se x < 0 se x ≥ 0

ex ))$
Seja f função, de domínio R , definida por f 1x2 = e 2x + 1 4 1 Determina e- 1 f 1x2 dx . 21 - e p )*$
Seja g a função, de domínio c0, d , definida por g 1x2 = | 2

sen x se 0 ≤ x < cos x se

p 4

p p ≤x≤ 4 2

Determina a área da região delimitada pelo eixo das abcissas e pelo gráfico da função. 2 - "2 )+$
Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = |

3x2

se x < 1

ln 1x2 se x ≥ 1 3+ x

Determina a área da região delimitada pelo eixo das abcissas, pelo gráfico da função h e pela reta de equação x = e2 . 3e2 ),$
Determina 3 3p 11 + sen 0 x 0 2 dx . 2p

-

2

7p + 15 6

Integral de uma função não positiva Dado um referencial cartesiano e uma função f contínua num intervalo fa, bg , tal que Ax å fa, bg, f 1x2 ≤ 0 dá-se o nome de _dj[]hWb
Z[

f

[djh[

a

[

b ao simétrico da área da região do plano delimitada pelas retas de equações x = a e x = b , pelo eixo Ox e pelo gráfico da função. A propriedade da monotonia do integral, o teorema fundamental do cálculo integral, a fórmula de Barrow, a relação de Chasles e a linearidade do integral mantêm-se válidas neste tipo de funções.

Exemplo:

Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = x2 - 4 .

f

1 e- 1 1x2 - 42 dx = c x - 4xd = a- 11 - 11 b = - 22 .

3

Tem-se:

y

1

3

-1

3

3

3

22 é o simétrico da área da região do plano delimi3 tada pelas retas de equações x = - 1 e x = 1 , pelo eixo Ox e pelo gráfico da função f . 22 Portanto, a área da região colorida na figura é . 3 Assim, -

1

-1

x

O

)-$
Seja f a função, de domínio R , definida por f 1x2 = 0 x 0 - 3 .

P -3

a) Representa graficamente a função f num referencial o.n. xOy .

y O

Q

f

3x

R -3

b) Sejam P e Q os pontos de interseção do gráfico da função f com o eixo das abcissas.

Seja R o ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo das ordenadas. Determina a área do triângulo f PQR g . 9 c) Tendo em conta a alínea anterior, indica o valor de

3 e- 3 f 1x2 dx .

-9 107

Tema 6 | Primitivas e Cálculo Integral

).$
Determina o valor de cada um dos seguintes integrais: 36

a) 3

4

1

d) 3 1 e

1 a - 3"xb dx - 400 2 ln3 1x2 1 x dx - 4

b)

e)

e1 1e - ex2 dx 5

ep

2p

4

5e - e5

1-x 142 x dx ln - 3

c) 3

1

sen x dx - 2

f)

ep cos x dx p

-1

2

)/$
Seja g a função, de domínio R , definida por g 1x2 = x2 - 4x . Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função g . Determina a área da região do plano limitada pelo eixo Ox e pelo gráfico desta função. *&$
Seja h a função, de domínio R , definida por h 1x2 = x2 - x - 6 . Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função h . Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico desta função com o eixo Ox . Seja P o ponto pertencente ao semieixo positivo Oy tal que a área da região do plano limitada pelo gráfico da função h e pelas retas AP e BP é igual a 25. 5 Determina a ordenada do ponto P . 3 x2 + 2x - 8 se - 3 ≤ x < 0 *'$
Seja f a função, de domínio f - 3, e - 1 g , definida por f 1x2 = | 1 -9 se 0 ≤ x ≤ e - 1 x+1 Considera, em referencial o.n. xOy , o gráfico da função f . Determina a área da região do plano limitada pelo gráfico da função f , pelo eixo Ox e pelas retas de equações x = - 3 e x = e - 1 . 9e + 14

Integral de uma função onde pode ocorrer um número finito de mudanças de sinal Seja uma função f contínua num intervalo fa, bg . Admitamos que existe uma sequência de números reais c0 , c1 , … , ck + 1 , com a = c0 < c1 < … < ck < c k + 1 = b , tal que, em cada intervalo fcj , cj + 1 g , a função f não muda de sinal. Define-se, então,

ea f 1x2 dx b

como sendo

ea

c1

f 1x2 dx +

ec

c2 1

f 1x2 dx + … +

ec

b k

f 1x2 dx .

A propriedade da monotonia do integral, o teorema fundamental do cálculo integral, a fórmula de Barrow, a relação de Chasles e a linearidade do integral ainda se mantêm válidas neste tipo de funções.

*($
Determina o valor de cada um dos seguintes integrais: a)

e- 3 1x2 - 12 dx 3

p

12

b) 3 3 p 11 - tg x2 dx - ln Q "3 R 2

p

6

*)$
Determina o valor de

108

p e0 cos x dx e interpreta geometricamente o valor obtido.

0

32 3

Tema

7

Números Complexos

1. Introdução aos números complexos. Operar com números complexos Números complexos na forma a + bi , a, b å R Podemos representar um número complexo z na forma a + bi , a, b å R . A a dá-se o nome de parte real de z e representa-se por Re 1z2 . A b dá-se o nome de parte imaginária de z e representa-se por Im 1z2 . Ao número complexo i dá-se o nome de unidade imaginária e tem-se i2 = - 1 .

Tem-se: Números complexos

a Números reais b Números imaginários a Puros b Não puros c c

Dado um número complexo z , tem-se:

š
z é real § Im 1z2 = 0

š
z é imaginário § Im 1z2 0 0

š
z é imaginário puro § Im 1z2 0 0 ‹ Re 1z2 = 0 Exemplos: 1. Seja z = 2 + 3i . Tem-se:

š
Re 1z2 = 2 , ou seja, a parte real de 2 + 3i é 2;

š
Im 1z2 = 3 , ou seja, a parte imaginária de 2 + 3i é 3.

2. Seja w = - 4i , ou seja, w = 0 - 4i . Tem-se:

š
Re 1w2 = 0 , ou seja, a parte real de - 4i é 0;

š
Im 1w2 = - 4 , ou seja, a parte imaginária de - 4i é - 4. 3. Seja x = 5 , ou seja, x = 5 + 0i . Tem-se:

š
Re 1x2 = 5 , ou seja, a parte real de 5 é 5;

š
Im 1x2 = 0 , ou seja, a parte imaginária de 5 é 0. Dos três números anteriores 12 + 3i , - 4i e 52, dois são números imaginários 12 + 3i e - 4i2 e um é um número real (5). Dos dois números imaginários, um deles é imaginário puro 1- 4i2.

Igualdade de números complexos Tem-se: a + bi = c + di § a = c ‹ b = d 1a, b, c, d å R2

Exemplo: - 1 + bi = a - 7i § a = - 1 ‹ b = - 7

110

1. Indica a parte real e a parte imaginária de cada um dos seguintes números complexos: a) 3 + 4i d) -

b)

2 "3 7 - i 5 8

"2 - p i

1 +i 2

f) - i

e) 9i h) -

g) 7

c)

1 5

2. Para cada um dos seguintes números complexos, indica se ele é real ou se é imaginário. No caso de considerares que é imaginário, indica se é imaginário puro. a) 4 + i Imaginário

b) 9 - 9i Imaginário

d) 6 Real

e) - 4i Imaginário puro

g)

1 + 3"5 Real 2

h)

c) 8i Imaginário puro f) 6 - "3 Real

1 i Imaginário puro 5

4 i , em que a designa um número real. 3 8 4 Determina a , sabendo que Re 1z2 + Im 1z2 = . 5 15

3. Seja z = a +

4. Seja w = x + 3 + 1x + 42 i , em que x designa um número real positivo. Determina o valor de x , sabendo que Re 1w2 * Im 1w2 = 30 . 2

5. Seja z um número complexo tal que:

Re 1z2 < 0 ‹ Im 1z2 < 0 ‹ Re 1z2 = 2 Im 1z2 ‹ Re 1z2 * Im 1z2 = 50

Determina z . - 10 - 5i 6. Seja A = 5 - 2, 1, 3 6 e seja B = 5 z å C : z = 1a - 32 + 1a + 22 i ‹ a å A 6 . a) Define o conjunto B em extensão. B = 5- 5, - 2 + 3i, 5i6

b) Indica quais são os elementos de B que são imaginários e, de entre estes, qual é imagi-

nário puro. - 2 + 3i e 5i são imaginários, sendo 5i imaginário puro. 7. Seja A = 5 z å C : z = x + 1x3 - 4x2 i ‹ x å R 6 . a) Determina os valores de x para os quais os elementos do conjunto A são números

reais. - 2, 0 e 2 b) Justifica que qualquer elemento de A que não é real também não é imaginário puro.

8. Considera o conjunto A = 5 - 1, 0, 1 6 . Seja f : A " R a função definida pela tabela ao lado. Seja B = 5 z å C : z = x + f 1x2 i ‹ x å A 6 .

Indica qual é o elemento de B que é um número: a) imaginário puro; 3i

x

-1

0

1

f 1x2

0

3

6

b) imaginário não puro; 1 + 6i c) real. - 1

9. Seja A = 5 z å C : f Re 1z2 - 2 g f Im 1z2 + 3 g = 0 6 . a) Indica o elemento do conjunto A que é um número real. 2 b) Indica o elemento do conjunto A que é um número imaginário puro. - 3i c) Indica três elementos do conjunto A que sejam números imaginários não puros.

2 + 5i , 2 - 3i , 1 - 3i (por exemplo) 111

Tema 7 | Números Complexos

10. Sejam a e b números reais tais que a + "12 i = 2a - 3 + b"3 i . Seja z = a + bi . Determina z . 3 + 2i 11. Determina os números reais x e y tais que: a) 2x + y + 1x - 2y2 i = 1 - 7i x = - 1 e y = 3 b) x + x i = - y + 1y + 162 i x = 2 e y = - 2 3

3

x x+1 + x i , em que x designa um número real diferente de 0 e de - 1. x+1 Seja w = 3a - 2bi , em que a e b designam números reais.

12. Seja z =

Sabe-se que Re 1z2 = Im 1z2 e que w = z . 1 1 Seja v = a + bi . Determina v . - + i 3 2

Adição e multiplicação de números complexos Podemos adicionar e multiplicar números complexos como se fossem polinómios em i e ter em conta que i 2 = - 1 .

Exemplos:

š
1- 2 + 5i2 + 13 - 6i2 = - 2 + 3 + 5i - 6i = 1 - i

š
1- 2 + 5i2 * 13 - 6i2 = - 6 + 12i + 15i - 30i2 = - 6 + 27i - 30 * 1- 12 = 24 + 27i

Potência de um número complexo (expoente pertencente N0)

Define-se zn , com z å C e n å N , da seguinte forma: z1 = z e, se n > 1 , zn = z * … * z

tuv

Define-se ainda z0 , com z å C \ 506 , do seguinte modo: z0 = 1 .

n vezes

As regras das potências mantêm-se válidas em C . Tem-se:

š
i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = - 1 , i 3 = - i , i 4 = 1 , … š
i 4n + p = i p , com n e p pertencentes a N0 Exemplos: š
i 23 = i 4 * 5 + 3 = i 3 = - i

š
i 40 = i 4 * 10 + 0 = i 0 = 1

A fórmula do desenvolvimento de uma potência de um binómio (fórmula do binómio de Newton) mantém-se válida em C .

Exemplo:

12 + 3i2 = 24 + 4 * 23 * 13i2 + 6 * 22 * 13i2 + 4 * 2 * 13i2 + 13i2 = 4

1

2

1

3

= 16 + 4 * 8 * 3i + 6 * 4 * 9i2 + 4 * 2 * 27i3 + 81i4 = = 16 + 96i - 216 - 216i + 81 = - 119 - 120i

112

4

13. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados. a) 18 + 9i2 + 1- 3 + i2 5 + 10i

b) 1- 6 + 4i2 + 1- 4 - i2 - 2i - 10 + i

c) 14 - 5i2 - 16 - 2i2 - 2 - 3i

d) 8 - a

e) a

f) 2 * 1- 3i2 - 6i

3 1 5 8 1 11 8 - 3ib + a - ib - a ib - i 5 6 4 2 15 12 3

1 1 15 1 + i - ib 2 2 2 2

g) 8i * 1- 7i2 56

h) - 3 14 + 9i2 - 12 - 27i

k) 13 + 8i2 13 - 8i2 73

l) a

i) - 6i 18 - 9i2 - 54 - 48i

j) 15 - 2i2 13 + 4i2 23 + 14i

m) 12 - 3i2 13 - i2 - 3i 13 + 10i2 3 - 40i 2

3 5 33 + 4"3 i + "3 ib a + "12 ib 8 4 2

14. Determina os números reais x e y que verificam cada uma das seguintes igualdades. a) 2i 1x + yi2 - 12 - 3i2 = - 10 + 9i x = 3 e y = 4

b) 15 - 4i2 1x - yi2 + 2i 16 - i2 = 5 1- 4 + i2 x = - 2 e y = 3

15. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados. a) 2i - 3i 3

4

b) i 14i - 32 - i

- 3 - 2i

5

- 4 - 4i

c) i

27

- i 3 1i - 2i 132 1 - i

90 37 + 7i 13 - 9i 15 5 + 13i e) 19i 17 + 2i 422 14i 28 + 3i 352 f) 11 + 4i2 - 17i - 8i 2 - 40 - 44i 19 + 42i 2 2 4 2 3 5 g) 11 + 2i2 12 - 3i2 63 + 16i h) 11 - 2i2 - 7 + 24i i) 11 + 3i2 11 + 3i2 11 - 3i2 100 000

d) 3i - 5i 7

f 11 + i2 5 g 11 - i2 10 2

j)

3

10

1024

k) 12 + i2 13 + i2 * 8

8

5

-6

11 + i2

5

- 50 + 50i

Representação de um número complexo num referencial ortonormado Dado um plano munido de um referencial ortonormado direto e sendo a e b números reais, ao ponto de coordenadas 1a , b2 dá-se o nome de afixo do número complexo z = a + bi . Neste contexto, esse plano é designado por plano complexo ou plano de Argand.

Eixo imaginário Afixo de a + bi

b

a

O

Eixo real

Ao eixo das abcissas dá-se o nome de eixo real. Ao eixo das ordenadas dá-se o nome de eixo imaginário. Im (z)

Exemplo:

B

Na figura estão representados, no plano de Argand, os afixos dos seguintes números complexos: š
2 + i (ponto A)

š
2i (ponto B)

š
- 3 (ponto C)

š
- 1 - 3i (ponto D)

A

1

C

O

1

Re (z)

D

continua

113

Tema 7 | Números Complexos continuação

Módulo de um número complexo Dado um número complexo z = a + bi , dá-se o nome de módulo de z , e representa-se por 0 z 0 , à medida da distância, no plano de Argand, entre a origem e o afixo de z .

Im (z) b

Tem-se 0 z 0 = "a2 + b2 .

Z

|z | a Re (z)

O

Um número complexo diz-se unitário se o seu módulo for igual a 1.

Exemplos: š
0 2 0 = 2

š
0 - 6 0 = 6

š
0 8i 0 = 8

š
0 - 7i 0 = 7

š
0 3 - 4i 0 = "32 + 1- 42 = 5 2

š
Os números complexos 1, i , - 1 e - i são unitários. 1 "3 "3 = 1 . 1 + i também é unitário, pois a- b + a b 2 2 Å 2 2 2

š
O número complexo -

2

Propriedades Sejam z e w números complexos. Tem-se:

š
0 z w 0 = 0 z 0 0 w 0

š
`

0z0 z `= w 0w0

š
0 z + w 0 ≤ 0 z 0 + 0 w 0 š
0 z 0 = 0 § z = 0 (desigualdade triangular)

Im (z)

š
se Z é o afixo de z e W é o afixo de w , então ZW = 0 z - w 0 .

Z O

16. Representa, no plano de Argand, os afixos dos seguintes números complexos (designando--os pelas letras indicadas). š
A " 5 + 2i

š
B " 4 - i

š
C " 3i

š
E " - 1 - 4i

š
F " - i

š
G " 2

W

| –w |z

Re (z)

Im (z) C 1

D

O F

š
D " - 6

G 1

E

17. Indica o módulo de cada um dos seguintes números complexos. a)

"6 "6

b) - p p

c) 8i 8

d) -

5 5 i 3 3

18. Calcula o módulo de cada um dos seguintes números complexos. a)

"7 + 3i 4

d) 3i - Q 2"2 + 4i R 3

b) - 8 - 6i 10 e) 12 - i 2 + 5i "10

c)

"15 8 -i 7 7

2

19. Seja z um número complexo não nulo e seja P o afixo de z . Seja w um número complexo tal que: š
o seu afixo Q pertence à mediatriz do segmento de reta f OP g ; š
o perímetro do triângulo f OPQ g é igual a 20 (O designa a origem do referencial); š
o módulo de w é igual a 7. Determina o módulo de z . 6 114

A Re (z) B

20. Determina os números complexos z tais que 0 z2 + 2iz 0 = 0 . 0 e - 2i 21. Seja z um número complexo. Justifica que: a) 0 z - 4z 0 = 0 z 0 0 z + 2 0 0 z - 2 0 3

b) 0 z 0 = 0 z 0 2

2

22. Sejam z e w números complexos. Justifica que 0 z - w 0 ≤ 0 z 0 + 0 w 0 .

Conjugado de um número complexo Dado um número complexo z = a + bi , dá-se o nome de conjugado de z ao número complexo z = a - bi .

Exemplos: š
3 + 4i = 3 - 4i

š
- 2 - i = - 2 + i

š
5i = - 5i

š
7 = 7

Propriedades Sejam z e w números complexos. Tem-se:

š
z + w = z + w š
Re 1z2 =

š
z * w = z * w

š
z = z

z+z z-z e Im 1z2 = 2 2i

š
se z 0 0 , então: š
z é um número real se e só se z = z ; š
z é um número imaginário puro se e só se z = - z .

š
0 z 0 = 0 z 0

š
z z = 0 z 0 2

Divisão de números complexos. Inverso de um número complexo não nulo O quociente de z por w 1w 0 02 pode ser obtido multiplicando ambos os termos da fração

z zw zw z pelo conjugado do denominador a = = b. w w w w 0w0 2

w w 1 = = . Em particular, tem-se que o inverso de w 1w 0 02 é w w w 0w0 2

Exemplos: š


18 + i2 11 - 2i2 8 - 16i + i + 2 10 - 15i 8+i = = = = 2 - 3i 5 1 + 2i 11 + 2i2 11 - 2i2 1+4

š


3+i 3+i 3 3+i 1 1 = = = = + i 3 - i 13 - i2 13 + i2 9 + 1 10 10 10

Propriedades Sejam z e w números complexos, com w 0 0 . Tem-se:

š
`

0z0 z `= w 0w0

z z š
a b = w w

115

Tema 7 | Números Complexos

23. Indica o conjugado de cada um dos seguintes números complexos: a) 9 + 5i 9 - 5i

b) - 10 - "3 i - 10 + "3 i

c) -

d) p i - p i

e) 8 8

f)

3 3 i i 2 2

"5 + "2 "5 + "2

24. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados. a)

7 7 - 3i + - 3i 7 2 2

d) 12 + 3i2 a5 +

1 23 + 14 i ib 2 2

f) 11 + 3i2 1- 8 + 6i2 100 2

b) 8 + 5i - 1 - 3 + i 2 11 + 4i e) 14 + 9i2 14 + 9i2 - a"5 -

c) 2 19 + i2 + i 1i - 42 19 - 6i

1 1 827 ib a"5 - ib 9 3 3

20

g) a Q "2k - 1 + i R Q "2k - 1 + i R 420 k=1

25. Para cada número real x , considera o número complexo z = x2 - 6 + 4xi - 1x + x3 i2 . Determina o(s) valor(es) de x para o(s) qual(quais): a) z é um número real; - 2, 0 e 2 b) z é um número imaginário puro. 3

26. Determina os números reais x e y tais que: a) 2 + yi + 13x - 4i2 = 8 - 9i x = 2 e y = 5

+ 2 1x - 3yi2 = 3 i51 Q "3 + 2i R Q "3 + 2i R x =

7 1 e y=2 2 2 c) x + yi + 1x - yi2 = x - 3 + 2 * 12 + 5i2 x = 1 e y = - 5 b) i

22

d) 1x + yi2 + 8y - 12i = 8 + 1x + yi2 1x + yi2 x = - 3 e y = 2 2

27. Determina, na forma a + bi 1a, b å R2, as soluções das seguintes equações: a) 3 z + 9 = 6i - 3 - 2i

b) z + 2 z + 5i = 12 4 + 5i

2 2 c) z + 4z - 1z 2 = 8 1- 1 + 2i2

28. Considera o número complexo w = - 4 + 3i .

- 2 - 4i

Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos w e w . Seja z = a + 6i , em que a designa um número real positivo e seja R o afixo de z . Determina o valor de a , sabendo que a área do triângulo f PQR g é igual a 36. 8 29. Seja z um número complexo. Justifica que 1- z2 = - z . 30. Seja z um número complexo diferente de zero. Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos z e z . Justifica que a origem do referencial pertence à mediatriz do segmento de reta f PQ g . 31. Sejam z e w números complexos. Mostra que 0 z + w 0 = 0 z + w 0 . 32. Seja z um número complexo. Mostra que: 2 a) 1z + z 2 - 1z - z 2 = 4 0 z 0 2

b) c)

116

2

1 0z0 + 0z0 22 = 4 z z 2 0 z + i 0 = 0 z 0 2 + 2 Im 1z2 + 1

33. Seja z um número complexo cujo afixo pertence à bissetriz dos quadrantes pares. Justifica que o afixo do número complexo zi também pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 34. Seja z um número complexo tal que z = zi . Justifica que o afixo de z pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. 35. Seja z um número complexo tal que Re 1z2 0 Im 1z2 . Sejam P e Q , respetivamente, os afixos dos números complexos z e zi . Justifica que a mediatriz do segmento de reta f PQ g é a bissetriz dos quadrantes ímpares. 36. Sejam z e w números imaginários, não puros, cujos afixos pertencem a uma circunferência c centrada no ponto O , origem do referencial. Seja P o afixo de z e seja Q o afixo de w . Sabe-se que o segmento de reta f PQ g é um diâmetro da circunferência c . Sejam R e S os afixos dos números complexos z e w , respetivamente. Justifica que: a) os pontos R e S pertencem à circunferência c ; b) o segmento de reta f RS g é um diâmetro da circunferência c .

37. Determina, na forma a + bi 1a, b å R2, o inverso de cada um dos seguintes números complexos: 2 1 1 e) 3i a) 1 - i b) 2 + 4i c) "2 - 2i d) + i f) - i 1 5 4 3 1 1 1 1 - i + i - i "2 1 36 48 5 3 + i 2 2 10 5 i i 6 3 25 25 2 38. Sejam z e w números complexos tais que 0 z 0 = 0 w 0 = 1 1 Mostra que z + w = 4 1 z + w 2 .

1 . 2

39. Seja z um número complexo não nulo. 1 1 2 Re 1z2 Mostra que z + = . z 0z0 2

40. Efetua as seguintes operações e simplifica o mais possível os resultados. a)

e)

6i 18 12 + i 2 + 3i 13 13 5 - 6i - 7i 2 - 8i 3 1 + 2i + 3i 2 - 4i 3 3 19 i 10 10

b)

5 - 4i 4 5 - - i 3 3 3i

f)

26 37 8 26 8i i g) 5 - i - i + 21 i 1 - 2i + 2i - + 5 5 5+i 2-i 13

c)

3 + 5i 9 2 - i 1 + 3i 5 5

41. Considera, para cada número real x , o número complexo z = Determina o valor de x para o qual:

d)

2+i 2 1 - + i - 3 - 4i 5 5

x + 2i - 11 - 5i2 . 1-i

a) z é um número imaginário puro; 4 b) z é um número real. - 12

z-i 42. Seja z um número complexo não nulo tal que é um número real. Mostra que z é z+i imaginário puro. 117

2. Forma trigonométrica de um número complexo Argumento de um número complexo Argumento de um número complexo não nulo é a medida da amplitude (em radianos) de um ângulo generalizado cujo lado origem é o semieixo positivo das abcissas e cujo lado extremidade é a semirreta que tem origem no ponto O e que passa no afixo de z .

Im (z)

Z ␣

O

Re (z) Im (z) 3␲ — 4

Z

Exemplo: 3p 5p e são argumentos do número complexo z = - 1 + i . 4 4

5␲ – — 4

O

Re (z)

Dados dois argumentos de um mesmo número complexo, eles diferem de 2kp , para um certo número inteiro k . Assim, sendo a um argumento de z , tem-se que a expressão geral dos argumentos de z é a + 2kp, k å Z .

Exemplo: A expressão geral dos argumentos de - 1 + i é

3p + 2kp, k å Z . 4

Chama-se argumento principal de um número complexo não nulo ao argumento que pertence ao intervalo g- p, pg . Designa-se por Arg 1z2 o argumento principal de z . Im (z)

Exemplo:

Arg 1- 3i2 = -

p 2

Seja z um número complexo unitário 1 0 z 0 = 12.

O –3i

Re (z) ␲ –— 2 Im (z) sen ␣

Tem-se, então, que a é um argumento de z se e só se z = cos a + i sen a .

␣

A expressão cos a + i sen a é habitualmente abreviada por cis a .

Exemplo: Seja z =

1 "3 i. 2 2

z é um número complexo unitário, pois 0 z 0 = p p p Tem-se: z = cos a- b + i sen a- b = cis a- b 3 3 3 p - é um argumento de z . 3

118

"3 1 a b + ab =1 . Ç2 2 2

Z

2

O cos ␣ 1 Re (z)

43. Na figura está representado, no plano complexo, um ponto P , afixo de um certo número complexo z .

Im (z) P

O ângulo orientado representado na figura tem por lado origem . o semieixo real positivo e por lado extremidade a semirreta OP .

5␲ — 18 O

Re (z)

5p radianos. 18 a) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao 5p intervalo f 0, 2p f . 18 5p b) Escreve a expressão geral dos argumentos de z . + 2kp, k å Z 18 c) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo: 41p 77p 31p c1) f 2p, 4p f c2) f 4p, 6p f c3) f - 2p, 0 f 18 18 18

A sua amplitude é

44. Considera, no plano complexo, um ponto X no semieixo real negativo, um ponto Z no segundo quadrante e WZ= p um ponto W no primeiro quadrante, tais que XO 5 W W = 5p (ver figura ao lado). e ZO 8 Sejam x , z e w os números complexos cujos afixos são os pontos X , Z e W , respetivamente.

Im (z) Z X

5␲ — 8

␲ — 5 O

W

Re (z)

a) Indica o argumento principal de x . p

4p 5 73p c) Indica o argumento de w que pertence ao intervalo f - 2p, 0 f . 40 b) Indica o argumento de z que pertence ao intervalo f 0, 2p f .

45. Para cada um dos seguintes números complexos, representa o seu afixo no plano de Argand e, tendo apenas em conta essa representação, indica o seu argumento principal. a) 2 + 2i

b) - 2i

c) - 2 - 2i

d) - 2

p p + i sen . 7 7 p a) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo f 0, 2p f . 7 p + 2kp, k å Z b) Escreve a expressão geral dos argumentos de z . 7 c) Indica o argumento do número complexo z que pertence ao intervalo: 15p 29p 13p c1) f 2p, 4p f c2) f 4p, 6p f c3) f - 2p, 0 f 7 7 7

46. Seja z = cos

47. Indica o argumento principal de cada um dos seguintes números complexos. a)

1 "3 p i + 3 2 2

b) -

"3 1 5p + i 2 2 6

c) -

1 "3 - 2p i 3 2 2

d)

"3 1 - p - i 6 2 2

48. Seja z um número complexo unitário e seja q um seu argumento. 3 4 4 Sabe-se que q å g p, 2p f e que tg q = . Escreve z na forma a + bi 1a, b å R2. - - i 5 5 3 49. Será que todos os números complexos não nulos que têm os seus afixos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares têm o mesmo argumento principal? Justifica a tua resposta. 50. Sejam a e b dois argumentos de um mesmo número complexo, tais que a > b . a-b Justifica que p designa um número natural par. 119

Tema 7 | Números Complexos

Exponencial complexa Seja a um número real. Define-se eia da seguinte forma: eia = cos a + i sen a = cis a . A expressão eia designa-se por exponencial complexa de ia .

Exemplos: i

p

š
e 3 = cis

p p p 1 "3 = cos + i sen = + i 3 3 3 2 2

š
eip = cis p = cos p + i sen p = - 1 + 0i = - 1

Propriedades:

š
eia * eib = eia + ib

š


eia = eia - ib eib

Forma trigonométrica de um número complexo Im (z)

Seja z = a + bi um número complexo não nulo. Seja a um argumento de z . Tem-se cos a = sen a =

Z

b

a e 0z0

b , donde vem z = 0 z 0 1cos a + i sen a2 = 0 z 0 eia . 0z0

|z | ␣ a Re (z)

O

A esta forma de escrever um número complexo não nulo dá-se o nome de forma trigonométrica. b Se a 0 0 , tem-se tg a = . a

Exemplos: p

š
2e 6 = 2 acos i

i

p

"3 1 p p + i sen b = 2 a + ib = "3 + i 6 6 2 2

š
3e 2 = 3i š
4 - "48 i = 8e

š
- 5 = 5eip p -i 3

š
6 = 6ei0

. De facto, tem-se:

š
0 4 - "48 i 0 = $42 + Q - "48 R = "16 + 48 = 8 ; 2

Im (z)

š
sendo q um argumento de 4 - "48 i tem-se

"48 = - "3 ; 4 š
como o afixo de 4 - "48 i pertence ao quarto quadrante p e tg q = - "3 , vem que um valor possível para q é - . 3 tg q = -

O

4 ␲ Re (z) –— 3

_ – √48

Propriedade (igualdade de números complexos na forma trigonométrica) Para r1 , r2 å R + e para q 1 , q 2 å R , tem-se: r1 eiq = r2 eiq § r1 = r2 ‹ q 1 = q 2 + 2kp, k å Z 1

120

2

51. Escreve cada um dos seguintes números complexos na forma ei q (apresenta sempre o argumento principal). p

a) cos

p p i + i sen e 7 7 7

b)

"2 "2 i 4p + i e 2 2

c) - i e

-i

p

p 2

d) cos

p p -i - i sen e 5 5 5

52. Escreve cada um dos seguintes números complexos na forma trigonométrica (apresenta sempre o argumento principal). i

a) 4 4ei0

e) 3 + 3i 3"2e

i

p 4

b) 7i 7e

p 2

f) - 2 + "12 i 4e

i

2p 3

c) - 12 12eip

g) - "3 - i 2e

-i

5p 6

d) - 9i 9e

-i

p 2

53. Escreve cada um dos seguintes números complexos na forma x + yi 1x, y å R2. a) 6e d)

i

p 2

"8e

b) 5e

6i p i 4

2 + 2i

e) 2e

i

3p 2

p i 3

- 5i

c) 3e

1 + "3i

f) 3e

ip

-3

7p i 6

-

3"3 3 - i 2 2

54. Para cada um dos seguintes números complexos, determina-o na forma x + yi 1x, y å R2 e, em seguida, escreve-o na forma trigonométrica (apresenta sempre o argumento principal). 1 + i "2 - i 4 e 2 2i

3p

p

a)

b)

-i - 2i "2 e 4 i+1

2 + i "2 i 4 e 3-i 2 p

c)

d) 1i - 22 - 9i 2"2 e 3

55. Considera o número complexo z = #"6 + "3 - #"6 - "3 i .

i

3p 4

Determina, na forma a + bi 1a, b å R2 e na forma trigonométrica, o número complexo z2 . 2"6 e

-i

p 4

56. De um certo número complexo z , sabe-se que: š
0 z 0 = 4

š
Im 1z2 < 0

š
Im 1z2 = - "3 Re 1z2

Escreve z na forma trigonométrica. 4 e

-i

p 3

57. Seja z = "52 eia , em que a é o número real pertencente ao intervalo f - p, 0 g tal que tg a =

2 . Escreve z na forma x + yi 1x, y å R2. - 6 - 4i 3

i a - qb p p 1 58. Seja z = e 2 , em que q é um número real pertencente ao intervalo d - , c . cos q 2 2 Mostra que se tem: p

a) z = tg q + i

59. Seja z =

b) 2 + z = 2

1 f 1 + i sen 12q 2 g cos2 q

i - tg q p p , em que q é um número real pertencente ao intervalo d - , c . i + tg q 2 2

Mostra que z = e2iq . 60. Determina r å R + e q å f 0, 2p f tais que r eiq = 5 acos

13p 13p 3p b . r=5‹q= + i sen 5 5 5

61. Determina r å R + e q å f 3p, 5p f tais que r eiq = - 6 + "12 i . r = 4"3 ‹ q =

29p 6

121

Tema 7 | Números Complexos

Operações com números complexos na forma trigonométrica Para r, r1, r2 å R + e para q, q 1, q 2 å R , tem-se:

š
- r eiq = r ei 1p + q2 š


r1 eiq

1

iq 2

r2 e

=

r1 i 1q e r2

1

š
1r1 eiq 2 1r2 ei q 2 = 1r1 r22 ei 1q + q 2

š
r eiq = r ei 1- q2

1

2

1

š
1r eiq2 = rn einq , pelo que 0 zn 0 = 0 z 0n 1n å N2

- q 22

n

62. Considera os números complexos z = 6 e

i

3p 5

e w = 3e

i

11p 15

.

Escreve na forma trigonométrica os seguintes números complexos: w 1 a) - z b) z c) zw d) e) z z 8p 3p 4p i -i i 2p 3p 1 i 15 1 -i 5 6e 5 6e 5 18 e 3 e e 2 6 63. Considera os números complexos z1 = "2 e 3

i

5p 36

Seja w = 1z12 + 1z22 . 6

2

e z2 ="12 e 12

i

5p 18

f) w

5 i

243 e

11p 3

.

6

a) Escreve o número complexo w na forma a + bi 1a, b å R2 e na forma trigonométrica. 4 b) Escreve, na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b å R2, o número complexo w .

64. Escreve, na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b å R2, os seguintes números complexos: 1 a) a"3 - 2i - b - 16"3 - 16 i i 5

b)

a

- 2i * e

i

p 6

- 1 - "3 i

8

b -1+ 2

"3 i 2

65. Seja z = 3 - 4i e seja w = 2 eia , a å f 0, 2p f .

Determina os valores de a para os quais - 3w 1z - i32 é imaginário puro.

3p 7p e 4 4

66. Seja a um argumento de um número complexo z , não nulo. z z Mostra que - = 2 sen 12a2 i . z z 67. Seja z =

1 "3 i . Mostra que z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 = 0 . 2 2

68. Mostra que An å N, a-

"3 1 + ib 2 2

12n + 3

- a-

"3 1 - ib 2 2

12n + 3

69. Determina r å R + e q å f 2p, 4p f tais que r eiq * 8 e

= 2i . i

3p 7

= - "8 - "8 i . r =

79p 1 e q= 2 28

70. Seja z = r eiq ar å R + e q å cp, Q "2 + "2 i R z3 = 16 e

i

7p 4

3p d b . Determina r e q , sabendo que 2 7p . r=2 e q= 6

71. Resolve, em C , as seguintes equações. Apresenta as soluções não nulas na forma trigonométrica. 122

a) 0 z 0 z = - 16 3

b) z = 9 z 3

c) z = - 8 0 z 0 z 5

d) z = 3i 1 z 2 3

2

3. Raízes de um número complexo

Raízes de um número complexo Dado um número natural n ≥ 2 e um número complexo w , diz-se que z é uma raiz de índice n de w se zn = w . Se w = r eiq 1r > 0 e q å R2, existem n raízes de índice n de w 1z0, z1, … , zn - 12, tendo-se zk = "r e

i

n

q + 2kp n

, k = 0, 1, …, n - 1 .

Propriedade: Os afixos das raízes de índice n de r eiq 1r > 0 e q å R2 dispõem-se ao longo de uma n circunferência de centro na origem e raio igual a "r . Se n > 2 , esses afixos são vértices de um polígono regular de n lados. Tal deve-se ao facto de os argumentos das raízes de índice n de r eiq 1r > 0 e q å R2 estarem em 2p progressão aritmética de razão . n

Exemplo: As raízes de índice 5 de 32i são os números complexos z tais que z5 = 32i . i

p

Como 32i = 32 e 2 , tem-se que as cinco raízes de índice 5 de 32i são dadas por p

"32 e 5

i

2

+ 2kp

= 2e

5

2e

i

p 10

i

p + 4kp 10

i

, k = 0, 1, 2, 3, 4 , ou seja, são:

p

, 2e 2 , 2e

i

9p 10

, 2e

i

13p 10

, 2e

i

Im (z)

17p 10

No plano de Argand, os afixos destas cinco raízes de índice 5 de 32i dispõem-se ao longo de uma circunferência de centro na origem e raio 2, sendo vértices do pentágono regular representado na figura ao lado.

72. Determina as raízes cúbicas de 64 e

i

6p 5

2 Re (z)

O

i

, apresentando-as na forma trigonométrica. 4 e

2p 5

i

, 4e

16p 15

i

, 4e

26p 15

81 81"3 3"3 3 3 3"3 + i, - + i, + i , apresentando-as na forma x + yi 1x, y å R2. 2 2 2 2 2 2 3"3 3 3 3"3 - i, i 74. Resolve, em C , as seguintes equações. Apresenta as soluções não nulas na forma trigo2 2 2 2 nométrica.

73. Determina as raízes quartas de -

a) z = 3

c) z + 64 e 3

3p

p

i i 16 i0 ip 2 2 2 e , 2 e , 2 e , 2 e z

i

3p 5

i

8p

i

= 0 e 15 , e

6p 5

i

, e

28p 15

i

b) z - zi = 0 0 , e 5

p 8

i

, e

5p 8

2 3 d) 1z + 92 1z - 82 = 0 3 e

i

p 2

i

, e

9p 8

i

, 3e

i

, e

3p 2

13p 8

i

, 2 ei0 , 2 e

2p 3

i

, 2e

4p 3

123

Tema 7 | Números Complexos

75. Determina as raízes quadradas de - 21 + 20i , apresentando-as na forma x + yi 1x, y å R2. 2 + 5i , - 2 - 5i p

1 i5 76. De um número complexo w sabe-se que uma raiz sexta é e . Determina, na forma 3 trigonométrica, as restantes raízes sextas de w . 8p 13p 6p 23p 28p 1 i 15 1 i 15 1 i 5 1 i 15 1 i 15 e , e , e , e , e 3 3 3 3 3 2p -i 77. Considera o número complexo w = 8 e 3 . Determina as raízes quadradas do número w , apresentando-as na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b å R2. complexo - 4w p 7p "3 1 1 i 6 "3 1 1 i e = + i , e 6 =- 4 -4 i 2 4 4 2 78. Considera os números complexos z = 5 - "6 i e w = - "6 + 5i . Determina as raízes z+w 1 * , apresentando-as na forma trigonométrica. cúbicas do número complexo p 3p 17p "2 5 - "6 i i i e 12 , e 4 , e 12 79. Considera os números complexos: z1 = e

i

11p 12

, z2 = e 6 , z3 = "2 + "2i i

p

i "2 "2 4 z1 =+ i e 1a, b å R2. a) Determina na forma trigonométrica e na forma a + bi 2 2 z2 "3 1 b) Determina z2 na forma a + bi 1a, b å R2. + i 2 2 z3 "6 + "2 "6 - "2 1 2 c) Determina + i z2 na forma a + bi a, b å R . 2 2

d) Seja z =

3p

z1 z3 "6 "6 1 2 z2 + z2 . Determina z na forma a + bi a, b å R . 2 + 2 i

e) z

é uma raiz quarta de w . Determina w na forma trigonométrica e na forma a + bi 1a, b å R2. 9 ei p = - 9

f) Sejam P e Q , respetivamente, os afixos de z e de w . Determina a área do triângulo

" f OPQ g . 9 6 4

80. Seja w = r eiq um número complexo não nulo. Seja n um número natural maior do que 1. Sejam z0, z1, …, zn - 1 as raízes índice n de w . Mostra que: a) as raízes índice n de w estão em progressão geométrica de razão e

2p i n

;

b) z0 + z1 + … + zn - 1 = 0 c) z0 * z1 * … * zn - 1 = 1- 12

n-1

w

81. Seja w um número complexo não nulo. Sabe-se que "3 + i é uma raiz de índice 5 de w . a) Determina, na forma trigonométrica, as raízes quintas de w . i

p

i

2e 6 , 2e

17p 30

i

, 2e

29p 30

i

, 2e

41p 30

i

, 2e

53p 30

b) Determina o perímetro do pentágono regular cujos vértices são os afixos das raízes

124

quintas de w . p p Apresenta o resultado na forma a sen . 20 sen 5 5

82. Seja a um número real maior do que 1. Sabe-se que: š
os afixos de a e de - a são os extremos do eixo maior de uma elipse; š
os afixos das raízes quartas de a são os focos e os restantes vértices dessa elipse. Determina a . "4 3

83. Os afixos das raízes de índice 6 de um número complexo z são vértices de um polígono de área 6"3 . Um dos vértices desse polígono pertence à bissetriz do segundo quadrante. Determina z na forma a + bi 1a, b å R2. 64i

Equações do segundo grau Dada uma equação do segundo grau, ax2 + bx + c = 0 1a, b, c å R2, se o binómio discriminante b2 - 4ac for negativo, a equação tem duas soluções em C , que são dadas por: z1 =

- b - i " 0 b2 - 4ac 0 2a

e

z2 =

- b + i " 0 b2 - 4ac 0 2a

Note-se que z1 e z2 são conjugados um do outro.

84. Determina, em C , as soluções das seguintes equações: a) z - 6z + 18 = 0 3 + 3i e 3 - 3i 2

b) 5z + 2z + 2 = 0 2

1 3 1 3 + i e - - i 5 5 5 5

c) z + "3z + 7 = 0 2

"3 5 "3 5 + i e - i 2 2 2 2

85. Considera o polinómio x3 + 6x + 20 . Verifica que - 2 é uma raiz do polinómio e determina, em C , as restantes as raízes do polinónio.

125

4. Operar com números complexos e transformações geométricas. Condições em C e sua representação no plano complexo

Operações com números complexos e transformações geométricas Sejam z e w números complexos. Adição

Z+W

Im (z)

Sendo Z o afixo de z e W o afixo de w , adicionar os números complexos z e w corresponde a aplicar a Z a 22" translação associada ao vetor OW . Conjugado

Z W

O

Re (z)

Z

Im (z)

O afixo de z pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma reflexão em relação ao eixo real.

O

Re (z) – Z

Simétrico

Z

Im (z)

O afixo de - z pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma reflexão em relação à origem.

O

Re (z)

–Z

Produto por um número real positivo Sendo r um número real positivo, o afixo de rz pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma homotetia de centro na origem e razão r . Produto por e

3Z

Im (z) Z O

Re (z)

iq

O afixo de eiqz pode ser obtido aplicando ao afixo de z uma rotação de centro na origem e amplitude q . Em particular, o afixo de iz pode ser obtido aplicando ao p afixo de z uma rotação de centro na origem e amplitude . 2

Im (z)

iZ

Z O

86. Na figura está representado, no plano de Argand, o afixo de um número complexo z . Determina, por meio de transformações geométricas, o afixo de cada um dos seguintes números complexos: a) z + 2 p i 4

g) e z

b) z - i

c) z + 1 - 3i

d) z

h) - iz

i) - z - i

j)

z +2 i

Re (z)

Im (z)

O

Z

1

Re (z)

e) - z

f) iz

k) - 2z

l) 11 - 2i2 z

87. Considera os seguintes números complexos: z = 7 + i e w = 2 + 6i . Sejam P e Q os afixos dos números complexos z e w , respetivamente. Seja O a origem do referencial. Seja R o ponto pertencente ao primeiro quadrante tal que o quadrilátero f OPRQ g é um paralelogramo. Escreve, na forma a + bi 1a, b å R2, o número complexo que tem por afixo o ponto R . 9 + 7i 126

88. Considera os seguintes números complexos: z = 4 + 3i e w = zi . Sejam P e Q os afixos dos números complexos z e w , respetivamente. Seja O a origem do referencial. 2"

22"

a) Indica a amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores OP e OQ . 90° 22"

b) Seja R o ponto do plano que é igual a P + OQ .

Escreve, na forma x + yi , o número complexo que tem por afixo o ponto R . 1 + 7i c) Determina a área do quadrilátero f OPQR g . 25

89. Seja z um número complexo diferente de zero. Considera, no plano complexo, o ponto P , afixo de z . Seja Q o afixo do número complexo iz . Sabe-se que a área do triângulo f OPQ g é 8 (O é a origem do referencial). Determina:

a) 0 z 0 4

b) 0 z + z 0 + 0 z - z 0 2

2

64

Condições em C e sua representação no plano complexo Para cada tipo de condição apresentada, indica-se a respetiva representação no plano complexo.

š
Re 1z2 = a " Reta paralela ao eixo imaginário que interseta o eixo real no ponto de abcissa a .

š
Im 1z2 = b " Reta paralela ao eixo real que interseta o eixo imaginário no ponto de ordenada b . š
0 z - z1 0 = r 1r > 02 " Circunferência de centro no afixo de z1 e raio r .

š
0 z - z1 0 = 0 z - z2 0 " Mediatriz do segmento de reta cujos extremos são os afixos de z1 e de z2 . š
Arg 1z2 = a 1a å g- p, pg 2 " Semirreta de origem na origem do referencial e que é o lado extremidade do ângulo generalizado de amplitude a cujo lado origem é o semieixo positivo real. š
Arg 1z - z12 = a 1a å g- p, pg 2 " Semirreta que é imagem da semirreta anterior pela 22" translação associada ao vetor OZ1 (sendo Z1 o afixo de z1).

90. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguintes condições. a) Re 1z2 = - 2

b) 2 ≤ Re 1z2 ≤ 4

c) z + z = 8

d) Im 1z2 = 3

e) - 3 ≤ Im 1z2 < - 2

f)

g) 2 < Re 1z2 < 4 ‹ - 2 ≤ Im 1z2 ≤ 3

2z - 2z =-4 i h) 0 - 3Re 1z2 0 ≤ 6 ‹ 0 i Im 1z2 0 ≤ 3

91. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguintes condições. a) 0 z - 11 - 2i2 0 = 3 d) 0 z - 12 + i2 0 < 2 g) a `

b) 2 0 z - 3 + i 0 + 5 = 9

e) 0 z - i 0 ≤ 3 ‹ 0 z + 1 0 ≤ 3

z ` ≥ 1 › Re 1z2 ≥ 1b ‹ 0 z 0 ≤ 4 2

c) 0 2z 0 = 6

f) 0 z + 1 + i 0 ≤ 2 ‹ Re 1z2 = - 1

h) 1z - i2 1z - i2 = 9

127

Tema 7 | Números Complexos

92. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguintes condições. a) 0 z - 12 - 2i2 0 = 0 z - 1- 4 + 4i2 0

c) 0 z + 2 + 2i 0 ≥ 0 z 0 ‹ 0 z 0 ≤ 3 ‹ Re 1z2 * Im 1z2 ≥ 0

b) 0 z - 3 + 4i 0 < 0 z + 3 + i 0

93. Representa, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por cada uma das seguintes condições. p a) Arg 1z2 = 3 p p b) - ≤ Arg 1z2 ≤ 6 2 c) 0 Arg 1z2 0 ≤ Arg 13 + 3i2 ‹ Re 1z2 ≤ 4 d) Arg 18i2 ≤ Arg f z - 13 + 2i2 g ≤

3p ‹ Im 1z2 ≤ 4 4

e) 0 ≤ Arg 1z + 12 ≤ Arg Q 1 + "3 i R ‹ 0 z - 4 - 3i 0 ≥ 0 z 0 f) a

p 3p ≤ Arg 1z2 ≤ ‹ 1 ≤ 0 z 0 ≤ 3b › 1 0 z 0 ≥ 0 z - 2 - 2i 0 ‹ 0 ≤ Re 1z2 ≤ 2 ‹ Im 1z2 ≤ 42 2 4

94. Define, por uma condição C , cada uma das regiões representadas. a)

b)

Im (z)

Im (z) 1

1 O

1

O

Re (z)

1

Re (z)

95. Considera os seguintes números complexos: z1 = 5 + 6i

z2 = 13 + 12i

a) Determina a distância, no plano complexo, entre o afixo de z1 e o afixo de z2 . 10 b) Determina o valor de

z1 - i

"2 e

p i 12

-

5"3 i + z2 + . 13 - 9i 2 2 4

c) Determina a área do polígono cujos vértices são as raízes de índice 4 de z1 . 122 d) Na figura estão representados, no plano complexo:

š
o ponto A , afixo do número complexo z1 ;

Im (z)

š
o ponto B , afixo do número complexo z2 ;

t

š
o ponto P , ponto médio do segmento de reta f AB g ; š
a circunferência de centro em A e que passa por P ;

P

š
a circunferência de centro em B e que passa por P ; š
o diâmetro da circunferência de centro em B paralelo ao eixo imaginário;

A Re (z) O

š
a reta t , tangente às duas circunferências no ponto P .

128

B

Define, por uma condição em C , a região colorida, incluindo a fronteira. f Re 1z2 ≥ 0 ‹ Im 1z2 ≥ 0 ‹ 0 z - 15 + 6i2 0 ≤ 0 z - 113 + 12i2 0 ‹ 0 z - 15 + 6i2 0 ≥ 5 g › › f0 z - 113 + 12i2 0 ≤ 5 ‹ Re 1z2 ≤ 13 g (por exemplo)

ISBN 978-972-47-5486-4

9 789724 www.leya.com

www.texto.pt

754864