Matematicas Financieras Diapos

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Corte 3

Amortización Uno de los aspectos más importantes de las finanzas es la amortización, porque es la forma más fácil de pagar una deuda, su objetivo es la financiación de un proyecto. Una manera de visualizar mejor el flujo de caja y el comportamiento de la deuda a través del tiempo, es mediante el uso de la tabla de amortización. La amortización de una obligación o deuda se define como el proceso mediante el cual se paga la misma junto con sus intereses, en una serie de pagos y en un tiempo determinado.

Amortización con cuotas uniformes Cuotas uniformes son los pagos iguales y periódicos que acuerdan el prestamista y el prestatario en el mismo momento en que se contrata el crédito. Ejemplo: Realizar una tabla de amortización para una deuda de $6.000.000 en 14 pagos trimestrales con una tasa de interés del 12% NT.

Amortización con cuotas uniformes y extra pactada Cuotas extras pactadas son aquellas en las que el prestamista y acreedor en el mismo instante en que se contrata el crédito, determinan las fechas en las que se van a efectuar las cuotas extras. Ejemplo: Resolver el ejercicio anterior, suponiendo que los trimestres 3 y 9, se hacen abonos extraordinarios de $200.000 y $500.000 respectivamente.

Amortización con cuotas extras no pactadas Estas cuotas no aparecen en la ecuación inicial por no haberse pactado. Se pueden presentar dos situaciones: 1.

Reliquidar el valor de la cuota con el ánimo de conservar el plazo inicialmente pactado

2.

Cancelamiento de la obligación antes del plazo previsto.

Ejemplo: Una deuda de $10.800.000 se va a cancelar en 10 pagos bimestrales con un interés 20% E.A., si al momento efectuar el pago No. 3, se realiza un abono extra no pactado de $3.000.000, se pide: a)

Realizar la tabla si con el abono extra se solicita la reliquidación de la cuota,

b)

Realizar la tabla si la cuota extra se abona al capital sin reliquidar la cuota.

Amortización con período de gracia El periodo de gracia se refiere en que una vez establecida la obligación financiera, al prestatario se le concede un tiempo determinado antes de efectuar el primer pago. Existen dos formas de préstamos con período de gracia: a) Periodo de gracia muerto, y b) periodo de gracia con cuota reducida Periodo de gracia muerto: Es aquel tiempo en el que no hay pagos de intereses ni abono a capital, pero los intereses causados se acumulan al capital principal, produciéndose un incremento en la deuda por acumulación de los intereses durante el periodo de gracia. Periodo de gracia con cuota reducida: Es aquel en el cual se cobra únicamente los interés que se causan, pero no se realizan abonos a capital, evitándose con esto el incremento del valor del préstamo, debido que los intereses se van pagando a medida que se causan. Ejemplo: Se adquiere un préstamo por la suma de $10.000.000, pagadero en 6 cuotas cuatrimestrales al 15% NT. Elaborar la tabla de amortización, si la primera cuota se paga en el mes 12, y a) en el período de gracia no se pagan intereses ni se abona a capital; y b) en el periodo de gracia se pagan los intereses.

Amortización mediante abono constante a capital con intereses vencidos •Esta   forma de amortización, consiste en amortizar el capital recibido en préstamo a través de un valor constante al final de cada período, es importante anotar que la cuota es variable, pero el abono o amortización al capital es fijo. Por lo tanto, la amortización se calcula dividiendo el valor de la deuda entre el número de pagos que se van a realizar; por consiguiente se tiene:

Ejemplo: Una persona solicita a una entidad bancaria un préstamo por $20.000.000, el cual pagará durante 2 años con amortización constante a capital e intereses del 20% NT. Elaborar una tabla de amortización.

Realizar una tabla de amortización para una deuda de $10.000.000 en 12 pagos mensuales iguales vencidos con una tasa de interés del 12% NM, 2 cuotas extras de $800.000 en los bimestres 4 y 6, y un periodo de gracia de un semestre así: durante los primeros 2 meses el deudor no debe pagar nada (periodo de gracia muerto) y del mes 3 al 6 debe pagar los intereses del periodo (periodo de gracia con cuota reducida). Ahora, suponga en el mes 11, el deudor hace un abono extraordinario por voluntad propia de $1.500.000. Usted debe a) reajustar la tabla de amortización suponiendo que la cuota ordinaria permanece constante; y b) reajustar la tabla de amortización suponiendo que se reliquida la cuota.

Gradientes o series variables • Se denomina gradiente a una serie de flujos de caja (ingresos o desembolsos) periódicos que poseen una ley de formación, que hace referencia a que los flujos de caja pueden incrementar o disminuir, con relación al flujo de caja anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje.

• • • •

Los flujos de caja deben tener una ley de formación. Los flujos de caja deben ser periódicos. Los flujos de caja deben tener un valor un valor presente y futuro equivalente. La cantidad de periodos deben ser iguales a la cantidad de flujos de caja.

Creciente Gradientes

Aritmética Decreciente

Creciente Geométrica Decreciente

Vencida Anticipada Vencida Anticipada Vencida Anticipada Anticipada Vencida

Gradiente Aritmético O Lineal Es la serie de flujos de caja periódicos, en la cual cada flujo es igual al anterior incrementado o disminuido en una cantidad constante en pesos y se simboliza con la letra G y se le denomina variación constante. Cuando la variación constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la variación constante es negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente.

Aritmético Creciente

Aritmético Decreciente

Valor presente de un gradiente aritmético creciente: Es un valor ubicado en un período determinado, que resulta de sumar los valores presente de una serie de flujos de caja que aumenta cada período en una cantidad constante denominada gradiente (G).

El valor de un torno se cancela en 18 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $30.000, y el valor de la primera es de $220.000. Si la tasa de interés es del 3,5% mensual, hallar el valor del torno. RTA/. $5.901.028

¿Cuál será el valor de un artículo que se financia en 36 cuotas mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $40.000, si la primera cuota tiene un valor de $150.000 y se paga el mismo día de la negociación? La tasa de interés es del 3% mensual. RTA/. $16.297.640

Valor futuro de un gradiente aritmético creciente: Es un valor ubicado en un período donde se encuentra el último flujo de caja de la gradiente aritmética creciente.

En una institución financiera que reconoce una tasa de interés del 15% semestral, se hacen depósitos semestrales, que aumentan cada semestre en $20.000, durante 12 años. Si el valor del primer depósito es de $300.000, calcular el valor acumulado al final del año doce. RTA/. $76.606.065

Valor presente de un gradiente aritmético decreciente: Es un valor localizado en el presente equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que disminuyen, cada uno respecto al anterior, en una cantidad constante (G)

Una vivienda se está cancelando con 120 cuotas mensuales que decrecen en $20.000 cada mes, siendo la primera cuota $3.900.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 2,5% mensual, calcular el valor de la vivienda. RTA/. $122.553.581

Valor futuro de un gradiente aritmético decreciente: Consiste en determinar un valor futuro equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que disminuyen cada periodo en un valor constante (G), el valor futuro se encuentra ubicado en el período donde se encuentra el último flujo de caja

Una persona realiza depósitos en una institución bancaria que disminuyen en $15.000 cada mes, si se devenga un interés del 2,5% mensual, ¿cuál será el valor que se tendrá acumulado al cabo de 12 meses, si el depósito del primer mes es $600.000. RTA/. $7.200.000

Gradiente Geométrico Es una serie de flujos de caja periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o incrementado en un porcentaje fijo.

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Geométrico Creciente

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Geométrico Decreciente

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Valor presente de un gradiente geométrico creciente: Es el valor que se ubica en el presente, equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que aumenta cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10% cada mes. Si el valor de la primera cuota es $850.000 y se cobra una tasa de interés del 3% mensual, calcular: a) El valor de la obligación, b) El valor de la cuota 18. RTA/. $46.694.335 Una persona desea comprar un apartamento que tiene un valor de $65.000.000, se le plantea el siguiente plan: 20% de cuota inicial, 24 cuotas que aumentan cada mes en el 1,5%, y un abono extraordinario en el mes 18 por valor de $5.000.000, si la tasa de financiación es del 2,8% mensual, calcular el valor de la primera cuota. RTA/. $2.418.171

Valor futuro de un gradiente geométrico creciente: Es un valor ubicado en un período donde se encuentra el último flujo de caja de la gradiente geométrico creciente.

Calcular el valor futuro equivalente a 18 pagos que aumentan cada mes en el 2% si se cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $2.500.000. RTA/. $68.546.703

Se hacen depósitos trimestrales que crecen en un 4% durante 3 años, en una institución financiera que paga el 7,5% trimestral, si se desea tener disponible $5.000.000 al final de los 3 años, determinar el primer pago. RTA/. $224.144

Valor presente de un gradiente geométrico decreciente: Es el valor que se ubica en el presente, equivalente a una serie de flujos de caja periódicos que disminuyen cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo (j).

Calcular el valor presente de 18 pagos semestrales que disminuyen cada semestre en el 2,5%, siendo el primer pago de $650.000. La tasa de Interés es del 24% NS. RTA/. $4.113.182

Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente: Es un valor ubicado en un período donde se encuentra el último flujo de caja de la gradiente geométrico decreciente.

Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una institución financiera si se hacen 12 depósitos trimestrales que decrecen en un 4%, siendo el primer depósito de $3.200.000 y se devenga una tasa de interés del 6% trimestral. RTA/. $44.783.575

Métodos de decisión • Las decisiones de inversión son muy importantes pues implican la asignación de grandes sumas de dinero y por un plazo largo (García, 1998). Tales decisiones pueden significar el éxito o fracaso de una empresa o persona. • En la mente de cualquier inversionista, cuando está frente a una decisiones de inversión, estará el interrogante: ¿Convendrá la inversión? • Una inversión conviene siempre que se pueda recuperar el capital invertido y que sobre éste se generen beneficios que satisfagan las expectativas de rendimiento. • Las técnicas usadas para evaluar alternativas de inversión son: Valor Presente Neto (VPN), Tasa Interna de Retorno (TIR) y Relación Beneficio-Costo (RB/C)

Tasa de descuento • La tasa de descuento es el precio que se paga por los fondos requeridos para cubrir la inversión de un proyecto (Zapag, 2000). El valor de la inversión inicial de un proyecto tiene un costo, cualquiera sea la fuente de donde provenga, que es la tasa de descuento. • Un proyecto de inversión convencional o normal está constituido por una inversión inicial y por beneficios futuros. La tasa de interés que se utiliza para trasladar los ingresos y/o egresos al momento cero, es la que denominamos tasa de descuento.

Valor Presente Neto (VPN) • El valor presente neto es una cifra monetaria que resulta de comparar el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos. • Si se tiene una inversión inicial P y unos flujos netos de efectivo (FNE), el flujo de caja sería el siguiente:

Criterios para seleccionar alternativas usando el VPN Si VPN > 0, la alternativa se debe aceptar

Si VPN = 0, la alternativa es indiferente

Si VPN < 0, la alternativa se debe rechazar

¿Qué muestra el VPN? 1.

Si el VPN es igual a cero, el inversionista gana lo que quería ganar después de recuperar la inversión.

2.

Si el VPN es mayor que cero, el inversionista gana más de lo que quería ganar. El VPN le muestra en pesos del presente, cuanto más ganó sobre lo que quería ganar.

3.

Si el VPN es menor que cero, esto no indica ninguna pérdida, sino la cantidad de dinero en pesos de hoy que faltó para que el inversionista ganara lo que quería ganar.

Ejemplo 1 A dos inversionistas, en forma independiente, se les plantea la posibilidad de emprender un proyecto de inversión, que requiere de una inversión inicial de $1.000 y que arrojaría los siguientes flujos netos de efectivo, al final de cada año, tal y como lo muestra el flujo de caja. ¿Qué decisión debe tomar cada inversionista?

La tasa de oportunidad del inversionista A es 20% anual y la del inversionista B es 30% anual. La pregunta que se hace cada inversionista individualmente es: ¿me conviene invertir en este proyecto?

Ejemplo 2 Pedro compra un camión de carga hoy por $30.000.000 para arrendárselo a una empresa de transporte durante un año por $800.000 mensuales, libres de gastos de mantenimiento. Si al final del año le proponen comprarle el camión por $25.000.000 y su tasa de oportunidad es del 3.0% mensual, ¿debe aceptar el negocio? VPN = $4.502.299,80 (No conviene)  ¿Cuál debe ser el precio mínimo del camión al final del año para que Pedro acepte el negocio? $31.419.203

Tasa Interna de Retorno - TIR Podemos definir, entonces, la TIR como la tasa de interés que hace el VPN = 0 o, también, la tasa de interés que iguala el valor presente de los flujos descontados con la inversión.

Tasa Interna de Retorno - TIR Al analizar el VPN pudimos observar que su resultado dependía fundamentalmente de la tasa de descuento. Esto lo apreciamos al desarrollar el ejemplo de los dos inversionistas. Un mismo proyecto era recomendable para el inversionista A y no lo era para el inversionista B. La selección del proyecto depende, entonces, de la tasa de descuento cuando utilizamos el método del VPN. En el ejemplo de los dos inversionistas pudimos apreciar que el inversionista A exigía un rendimiento del 20% y el proyecto le entregaba eso y $28.16 más, medidos en pesos del momento cero, o sea, que el proyecto le entregaba un rendimiento mayor. El inversionista B exigía un rendimiento del 30% y el proyecto no se lo podía entregar. Probablemente, si el inversionista A exigiera un rendimiento mayor (pe 21%), el proyecto se lo podría dar. La TIR indica hasta cuánto podría el inversionista A aumentar su rendimiento exigido, para ello se buscará aquella tasa que haga el VPN = 0 y para que esto sea así, la diferencia entre el valor presente de los flujos de efectivo descontados y la inversión, debe ser también igual a cero, o sea, el valor presente de los flujos descontados debe ser igual a la inversión.

Ejemplo 1 El señor Pedro le compró a ORBE LTDA un lote de terreno por valor de $20.000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: una cuota inicial de $5.000.000, un pago de $3.500.000 dentro de 4 meses, un pago de $5.500.000 dentro de 6 meses y un pago de $10.000.000 dentro de 12 meses. Calcule la tasa de financiación.

Significado de la TIR • Cuando se realiza una operación, generalmente se cree que la tasa de interés obtenida (TIR) representa el rendimiento o costo sobre la inversión inicial. La TIR es la tasa de interés pagada sobre los saldos de dinero tomado en préstamo o la tasa de rendimiento ganada sobre el saldo no recuperado de la inversión.

Criterios para la selección de alternativas usando la TIR • Si TIR > TO, el proyecto se debe aceptar. • Si TIR = TO, es indiferente emprender el proyecto. • Si TIR < TO, el proyecto se debe rechazar.

Tasa Verdadera de Rentabilidad (TIR Modificada) El proceso matemático de cálculo de la TIR supone que los flujos que libera el proyecto son reinvertidos a la misma TIR y esta suposición es irreal cuando la TIR es mayor o menor que la tasa de oportunidad del inversionista. Precisamente, por esta suposición se llama a la TIR, tasa interna de retorno, debido a que no considera factores económicos externos al proyecto. Ejemplo: Unos alumnos universitarios aportan $20.000.000 para instalar al frente de su universidad un negocio de computadores. Al realizar su estudio económico, esperan recibir beneficios netos cada año de $6.000.000 durante 5 años. El monto de los beneficios anuales los pueden reinvertir a una tasa del 10% anual, calcular: a. La TIR del proyecto. b. La verdadera tasa de rendimiento de los alumnos

Tasa interna de retorno no periódica (TIR.NO.PER) Es la función financiera que calcula la tasa interna de retorno anual generada por un proyecto de inversión cuyos flujos netos de efectivo no tienen por que ser periódicos. Ejemplo: Se hizo una inversión por $900.000 el 11 de febrero de 2016 y se recibieron los siguientes beneficios: Fecha

Valor

06/04/16 $280.900 10/06/16 $154.786 11/09/16 $223.650 23/12/16 $300.560 La TIO es del 18%

Relación Beneficio-Costo • Este método también tiene en cuenta el cambio del valor del dinero a través del tiempo. • Se define como la relación entre los beneficios y los costos o egresos de un proyecto. • Ejemplo: Suponga un proyecto, que espera rentar a una tasa del 10%, y que tiene el siguiente flujo de efectivo: Periodo 0 1 2 3 4

FNE -2.000 1.200 -1.800 2.900 1.700

Criterios de decisión • Si la RB/C es mayor que 1, se debe aceptar. • Si la RB/C es igual a 1, se debe ser indiferente. • Si la RB/C es menor que 1, se debe rechazar. NOTA: Éste también es un modelo matemático y normativo. Para evaluar la justificación de alternativas, ya sea para rechazar o aceptar éstas, la RB/C coincide con los métodos anteriores.

Ejercicios 1.

Un activo que tiene un valor de contado de $20.000.000, se va a financiar con 10 cuotas mensuales iguales $2.568.677, cargándole una tasa de interés del 3% mensual. Usted consigue con su acreedor comenzar a pagarle las cuotas 3 meses después de celebrada la negociación. Calcular la tasa de interés que le cobraron realmente. Rta/. 3.46% mensual

2.

A José Luis le proponen invertir hoy $25.000.000 con la expectativa de recibir dentro de 8 meses $16.500.000 y $11.350.000 dentro de 24 meses. Sí él acostumbra hacer inversiones a una tasa de interés del 16,50% efectiva anual. ¿Qué decisión debe tomar? Rta/. No aceptar

3.

Un agricultor compró una máquina cortadora de arroz en $45.500.000. Los gastos de mantenimiento del primer año son de $2.000.000 con un crecimiento anual del 3.0% y espera operarla 1.500 horas/año durante 5 años. El valor de mercado de la hora de máquina durante el primer año es de $8.000, con un aumento del 10% por año. Si su tasa de oportunidad es del 20% efectiva anual, calcular el valor de venta de la máquina al final del quinto año para que la inversión sea rentable

REFERENCIA: para que la inversión sea rentable, el VPN debe ser como mínimo igual a cero. Rta/.

$23.517.194,42

Ejercicios 4.

Se compra una vivienda por $250.000.000 y en el primer mes se le hacen reparaciones por $10.000.000. Se arrienda a partir del segundo mes y durante 5 años. El valor del arrendamiento se incrementa cada año en un 2%. Se espera que la vivienda se pueda vender en el último mes de arrendamiento por $200.000.000. Sí la tasa de oportunidad del inversionista es del 2,50% mensual, calcular el valor del arriendo mensual durante el primer año, para que la inversión sea rentable. REFERENCIA: para que la

inversión sea rentable, el VPN debe ser como mínimo igual a cero. Rta/. $6.941.679,98