Matematika

A abak(us) ili računaljka , stari uređaj za računanje, okvir s paralelnim tankim metalnim šipkama po kojima klize kuglice. Šipke označavaju vrijednost brojke, to jest, u slučaju decimalnih računaljki- a takve su praktički sve - decimalno mjesto. Tako kuglice na prvoj šipki predstavljaju jedinice, na drugoj desetice, na trećoj stotice i tako dalje. Kuglice opet, kojih je deset na svakoj šipki, označavaju same brojke. Brojke "isp!sujemo" pomicanjem kuglica s lijeve na desnu stranu šipke. Zelimo li, primjerice, ispisati broj 8493, na prvoj ćemo šipki udesno pomaknuti 3 kuglice, na drugoj 9, na trećoj 4 i na četvrtoj 8. Pri zbrajanju se pridružuju kuglice na istom decimalnom mjestu, a ako je njihov zbroj veći od devet, na šipki se ostavlja samo višak iznad deset, ali se na sljedećoj šipki prebacuje jedna kuglica. Pribrojimo, primjerice, broju 8493 broj 238. N a prvoj će šipki ostati l kuglica (8 + 3 = 10 + 1), na drugoj će ih biti 3 (I + 9 + 3 = 10 + 3), na trećoj 7 (l + 4 + 2 = 7) i na četvrtoj 8, pa je naš zbroj 8731. adicija .::>zbrajanje akceleracija ili ubrzanje promjena brzine gibanja nekog tijela s vremenom, brzina promjene brzine. U SI jedinicama se izražava u metrima na sekundu u sekundi (m s·2). Ako se primjerice neko tijelo ubrzava akceleracijom od 5 ms·2, to znači da mu svake sekunde brzina poraste za 5 m s·•. U praksi se gdjekad akceleracija iskazuje i drugačije, pa se tako primjerice često navodi vrijeme (u sekundama) potrebno automobilu da se ubrza od O do 100

kmh- 1• Prosječnu akceleraciju a u nekom vremenskom razmaku t mo-

žemo

izračunati

s pomoću izraza

aksiom

6

gdje su v1 i v 1 konačna odnosno početna brzina, a v1 - v 1 promjena brzine. Budu ći da je brzina vektorska ~ vel ičina (to jest veličina određena iznosom i smjerom), a vrijeme ~skalama (određena samo iznosom), o nda je i akceleracija nužno vektorska veličina . U svakodnevnom se životu najčešće susrećemo s gravitacijskom akceleracijom, to jest s ubrzanjem slobodnoga pada. To je akceleracija koja djeluje na neučvrSćeno, ispušteno tijelo. Ona se ponešto mijenja od mjesta do mjesta, iznosi oko 9,81 ms·2 , ali o ovisnosti o zemljopisnoj širini. aksiom tvrdnja za koju pretpostavljamo da je istinita, pa iz nje zatim logičkom dedukcijom izvodimo teoreme (po učke) . Primjeri aksioma: ako su dva broja jednaka trećemu, onda su i među­ sobno jednaka, te tvrdnja da dva pravca ne mogu omeđiti konačan dio ravnine. Tako je grčki matematičar Euklid postavio skup aksioma, tvrdnji od kojih - po njegovu mnijenju- nije bilo moguće zamisliti jednostavnije, pa je s pomoću njih dokazao svoje geometrijske teoreme. algebarski razlomak razlomak kod kojeg su brojevi predstavljeni slovima, primjerice a

T'

x

y

i X+ J

I algebarski se razlomci, baš kao i brojčan i , dadu pojednostavniti i rastaviti na faktore. Tako primjerice jednakost

možemo pomnožiti s b i d i tako dobiti

ad= bc algebra grana matematike koja proučava opća svojstva brojeva p redočenih simbolima, obično slovima, koji ne označavaju neki određen broj, nego neki određen skup brojeva. Algebra se služi jednadžbama koje prikazuju opće odnose među brojevima.

anketa

7 Tako primjerice algebarska tvrdnja

(x + y)2 = xz + 2xy + yz vrijedi, to jest istinita je, za sve brojeve. U to se možemo uvjeriti i pokusom, jer ako umjesto x odnosno y napišemo bilo koji broj, uvijek ćemo dobiti točan rezultat. Primjerice za x = 7 i y = 3 možemo napisati

(7 + 3) 2 = 7 2 + 2 . 7 . 3 + 32 = 100 Algebra je našla primjenu u mnogim područj ima matematike spomenimo sam o matri čn u i Booleovu algebru. (S pomoću potonje je razvijena matematička logika nužna za rad elektroničkih računala.)

algorit am matemat.ički postup~ odnosno propisani niz postupaka kojim se rješava neki problem. Algoritam se dade grafički predočiti ~dijagramom toka. ana l itička geometrija geometrija u koordinatnom sustavu koja omogućuje p redočavanje točke, krivulje, lika, ravnine i tijela alge-

barskim izrazima. U planarnoj analitičkoj geometriji (analitičkoj geometriji u ravnini) ~koordinate točaka obično se određuju s pomoću dva pravca, osi x i y, koji se pod pravim kutom sijeku u ishodištu O. To su takozvane ~Kartezijeve koordinate. Položaj točke u njima određen je udaljenostima od osi yi x. To su njezine (x, y) koordinate. Krivulje su pak određene jednadžbama. Tako primjerice jednadžba y = 2x + l daje pravac, a y = 3x1 + 2x krivulju zvanu ~parabola. Grafički se prikaz (graf) pojedinih ~funkcij a može dobiti izračunavanjem koordinata više točaka, to jest pronalaženjem točaka čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu. Te se točke zatim spajaju približno povučenim crtama. anketa metoda prikupljanja statističkih podataka. Provodi se s pomoću upitnika, usmenog ili pismenog, na koji odgovara neki d io istraživane ~populacije, zvan ~statističkim uzorkom . Primjer je takvog istraživanja ispitivanje javnog mnijenja, sklonosti prema nekom proizvodu itd.

aproksimacija

8

aproksimacija zaokruživanje ili procjena približne vrijednosti neke veličine. Tako primjerice broj 1t (pi) ima beskonačan broj znamenaka, pa ga moramo aproksimirati. To može biti, uzmimo, aproksimacija na 8 znamenaka (kad dobivamo 3, 1415927) ali i na samo jednu znamenku (pa ćemo u ovom primjeru dobiti 3). apscisa u ~analitičkoj geometriji, horiwnralna udaljenost neke točke od osi y pravokutnoga (Karrezijeva ili Descartesova) koordinatnoga sustava. Apscisa je jedna od dviju koordinata točke, to jest brojaka koje određuju njezin položaj u ravnini, a označava se prvim brojem u zagradi. Tako položaj točke A na slici označa­ vamo kao (4, 3), i velimo da su to njezine koordinate. Apscisa joj je 4, a ~ordinata 3.

apscisa y

g

aritmetika

Glavna je prednost arapskih brojaka što imaju simbol za nulu, i što im vrijednost - za razliku od rimskih - ne određuje samo simbol, nego i njihovo mjesto u zapisu broja. To je omogućilo uvođenje pozicijskog brojevnog sustava i silno olakšalo računanje. aritmetička sredina ili aritmetički prosjek prosječna vrijednost nekog skupa od n brojeva koja se dobiva dijeljenjem njihova zbroja s n. Tako primjerice aritmetička sredina pet brojeva l, 3, 6, 8 i 12 iznosi 6, jer je (l + 3 + 6 + 8 + 12)/5 = 6. Kad kažemo samo "prosjek" (prosječna vrijednost) obično pritom mislimo na aritmetički prosjek, iako postoje i drugi prosjeci (primjerice ~geometrijska sredina, ~medijan i ~mod). aritmetički niz ili progresija niz brojeva koji se među sobom razlikuju za neki određen broj, takozvanu razliku. Tako je npr. *up brojeva 2, _7, 12, 17, 22, 27 ... aritmetički niz s razlikom 5. Clanove aritmetičkog niza možemo izračunati s pomoću formule:

an = al + (n - l) d 4 3

apscisa_

_

gdje je n redni broj člana a d razlika, dok su a" i a1 n-ti odnosno prvi član niza. Za primjer izračunajmo koliki je 7. član niza kojemu je prvi član 2, a razlika 3:

• A 14,3 )

2

n 2

3

4

5

= 7, a 1 = 2 i d= 3, pa je dakle n 7 = 2 + (7 - l)· 3 =20

X

Zbroj članova arinnetičkog niza izračunavamo s pomoću formule:

l na1 +T n(n- l)d, gdje je a1 prvi član, d razlika, a n broj članova niza. apsolutna vrijednost ili modul vrijednost nekog broja, bez obzira na njegov predznak. Apsolutna vrijednost nekog broja a uvijek je pozitivna, a označava se sa lal. Tako su primjerice apsolutne vrijednosti brojeva 5 i -5 jednake, tj. 151=1-51 = 5. arapske ili indijsko-arapske brojke skup simbola (znamenaka) O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Njih su od Indijaca preuzeli Arapi, i njima se služili stoljećima prije nego su u srednjem vijeku počeli i u Europi istiskivati ~rimske brojke.

Usporedi ~geometrijski niz. aritmetika dio ma~ematike koji se bavi proučavanjem brojeva i njihovih svojstava. Cetiri su osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, rnnoženje i dijeljenje. Iz tih se operacija dalje izvode ~potenciranje (dizanje na potenciju, primjerice kvadriranje i kubiranje), vađenje korijena (primjerice drugog i trećeg), kao i računanje postotaka, razlomaka i omjera. Za zbrajanje i množenje vrijedi nekoliko osnovnih aritmetičkih zakona:

aritmetička

sredina

10

asocijativna operacija

11

Zakon asocijacije ili udruživanja On veli da se ni zbroj brojeva

negativne vrijednosti Svaki broj a ima i svoj suprotni broj -a, za

niti njihov umnožak ne mijenjaju ako promijenimo slijed računslcih operacija. (a + b) + e = a + (b + e) (a· b)· e = a· (b· e) Zakon komutacije ili zamjene On veli da brojevima možemo zamijeniti mjesta, a da rezultat ipak ostane isti. Ili, u matematičkom obliku:

koji vrijedi:

odnosno

a+(- a)= O recipročna (inverzna) vrijednost Svaki broj recipročni broj l l a pomnožen s kojim daje

a· -

1 a

a (osim nule) ima i l.

=l

asimptot a u c:>analiričkoj geometriji pravac kojemu se neka kri-

vulja sve više primiče, ali ga nikad ne dotiče. Tako su primjerice os xi os y asimptote krivulje xy= k gdje je k neka konstanta (a to je zapravo jednadžba pravokutne .::>hiperbole).

ab = ba Zakon distribucije ili raspodjele Ako više brojeva množi mo istim

brojem, pa te umnoške zbrojimo, rezultat će biti isti kao i kad sve te brojeve najprije zbrojimo, pa zatim rezultat pomnožimo sa zadanim brojem, ili, u matematičkom obliku:

asimptota y

ma + mb + mc + ... = m (a + b + e + ...) Primjer: (9·100) + (9 · 30) + (9·2)

=9·132

Kažemo da je množenje distributivno u odnosu na zbrajanje. Obrnuto ne vrijedi. Naime:

*

7 + (3. 5) (7 + 3) . (7 + 5) neutralni element broj koji svojim sudjelovanjem u nekoj matematičkoj operaciji ne mijenja njezin rezultat. Tako je primjerice nula (O) neutralni element za zbrajanje jer ne u tječe na rezultat. Ili, mate matički: a+0 = 0+a =a

Jedinica je pak neutralni element za množenje Jer nakon množenja s jedinicom rezultat ostaje kakav je i bio. a·1 = 1·a=a

X

asocijativna operacija matematička operacija kojoj krajnji re-

zultat ne ovisi o redoslijedu izvršavanja operacija. Takve su operacije primjerice zbrajanje i rnnoženje.

=7 + (2 + 4) = 13 (4. 3). 2 = 4 . (3. 2) =24

(7 + 2) + 4

Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativne operacije.

* 9 - (5 - 2) (12 : 4) : 2 * 12: (4: 2) (9 - 5) -2

Usporedi c:>komutativne operacije i c:>distributivnost.

azimut

12

azimut kutna udaljenost (smjer u odnosu na promatrača) promatrane točke u odnosu na sjever. Mjeri se s pomoću raznih vrsta ~kompasa i izražava u stupnjevima e), obično u smjeru gibanja kazaljke na satu. Tako je primjerice azimut sjevera 0°, a sjeveroistoka 45°. Azimut jedne točke (B) promatrane iz druge točke (A) možemo iščitati i iz karte. Najprije te dvije točke spojimo crtom, i zatim iz A povučemo crtu prema sjeveru. Potom kut između te dvije crte izmjerimo kutomjerom.

B

azimut

računalstvu. sjever

baza (brojevnog sustava) broj različitih brojevnih simbola (znamenaka) u nekom brojevnom sustavu. U svakodnevnom životu najviše se rabi dekadski (decimalni) brojevni sustav sa simbolima O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, to jest s bazom lO. ~Binarni sustav, sa simbolima O i l, ima bazu 2, a osobito se primjenjuje u Binarni se sustav dade lako pretvoriti u oktalni (s bazom 8 i znamenkama O, l, 2, 3, 4, 5, 6 i 7) dijeljenjem binarnog broja u tročlane skupine od desna na lijevo i njihovim pojedinačnim prevođenjem. Tako binarni broj

l

oktalni broj

l

liO ll l 001 pišemo kao

6

7

l

S li čno se binarni broj, dijeljenjem u četveročlane skupine, dade

A

azimut točke B gledane izA jest

ss•

pretvoriti u heksadecimalni {s bazom 16 i znamenkama O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E iF) i tako dalje. Takve pretvorbe omogućuju velike uštede računalne memorije.

baza (u geometriji) crta odnosno površina na kojoj prividno stoji geometrijski lik ili tijelo. baza

baza

baza podataka

14

baza podataka u računalsrvu, strukturirani (uređeni) skup podataka. Ona omogućuje raznim raču nalnim programima da se služe u njoj sadržanim podatcima no bez potrebe da znaju i gdje se oni stvarno nalaze. beskonačnost matematička vel iči na koja je veća od svake zadane veličine. Označava se simbolom oo.

bilijun broj koji pišemo kao l s 12 ništica (l 000 000 000 000

ili 10 12). U Sjedinjenim Državama, a odnedavno i u Velikoj Britaniji, tim se brojem, međutim, označava europska milijarda (l ooo oo o000 ili 109). bimodalna krivulja u statistici, c:>krivulja raspodjele s dva jasno izražena maksimuma. binarni (brojevni) sustav brojevni sustav s c:>bazom 2, koji se široko primjenjuje u elektroničkom računalsrvu. U tom se sustavu svi brojevi pišu s pomoću samo dva simbola, O i l. Kod decimalnog sustava, veličinu broja ne određuje samo simbol, nego i njegovo mjesto. To mjesto određuje kojim brojem moramo pomnožiti broj označen dotičn im simbolom. Primjerice broj 2567 možemo razložiti na 2 tisućice, 5 stotica, 6 desetica i 7 jedinica: tisućice stotice desetice jedinice (1()3) (10 2) (10 1) (10°)

2 5 6 7 Binarni broj ll Ol predstavlja zapravo zbroj l osmice, l ce, O dvica i jedne jedinice. osm1ce červrtice dvice jedinice 3 2 1 (20) (2 ) (2 ) (2 )

četvrti­

o Taj broj u decimalnom sustavu možemo prikazati kao (l · 8) + (l · 4) + (O· 2) + (l · I) = 13 Velika je prednost binarnog sustava što njime može raditi svaki uređaj sposoban razlikovati samo dva stanja- recimo uključeno­ isključeno, jak signal - slab signal, magnetizirano - razmagne-

broj

15

cizirano stanje itd. Zbog toga se njime služe praktički svi elektroni čki uređaji, kako pri pohranjivanju informacija, tako i pri njihovoj obradbi. binom algebarski izraz koji predočuje zbroj ili razliku dviju veličina (označenih slovima). Primjer su binoma izrazi x + y ili x-y. Razvoj binoma postupak kojim se neka potencija binoma pretvara u niz sastavljen od jednostavnijih članova, tj. višečlani izraz ili pelinom. Primjerice

(x + y)2 = x2 + 2.ry +l

(x + y) 3 = x 3 + 3x2y + 3xy 2 + y 3 blok-shema c:>dijagram toka brid granica između dvije strane geometrijskog tijela. broj simbol koji se koristi u brojenju i mjerenju. Postoje različite vrste brojeva, ali i brojevnih sustava. Najjednostavniji su brojevi prirodni brojevi (1 , 2, 3 itd.) kojima se služimo u svakodnevnom životu. To su svi cijeli brojevi veći od nule. Prirodni i njima pridruženi negativni brojevi, uz nulu, čine skup cijelih brojeva. Sve brojeve koje možemo prikazati kao omjer (lat. ratio) dva cijela broja zovemo racionalnim brojevima. Brojeve koje ne možemo tako izraziti zovemo iracionalnima. Njih možemo napisati samo u obliku beskrajnog niza decimala među kojima ne postoji nikakva zakonitost. Takvi su brojevi u pravilu korijeni (npr. ...fi) te razne konstante (n, e itd.). Sve te navedene brojeve zajedno zovemo c:>realnim brojevima. Osim njih postoje još i <>kompleksni brojevi. Njih možemo napisati kao a+ ib, gdje su a i b realni brojevi, a i = ...J-i. Možemo čak reći da su realni brojevi samo podskup kompleksnih brojeva, to jest oni za koje vrijedi b = O. Razne brojeve možemo pisati i u raznim c:>brojevnim sustavima. U svakodnevnom se životu udomaćio c:>dekadski sustav, a u računalsrvu c:>binarni. Znanost se, međutim, služi i drugim brojevnim sustavima.

16

brojnik

brojnik gornji član razlomka; broj iznad razlomačke crte. brzina omjer prijeđe!le udaljenosti i za to potrebnog vremena.

Kad se brzina mijenja, i promatrana udaljenost i vremenski interval moraju biti jako maleni. Kad su oni beskrajno mali, njima se bavi ~inifin itezimalni račun. Kad je brzina konstantna (stalna), ona se dade lako izračunati s pomoću formule J V=-

t

gdje je v brzina, a s put prevaljen u vremenu t. U međunarodnom mjernom sustavu (SI) brzina se izražava u metrima u sekundi (m s·1). U svakodnevnom se životu, međuti m, uvriježila jedinica kilometar na sat (km/h). Brzina je ~vektorska veličina, jer osim iznosa ima i smjer. Ako nam smjer nije važan, s brzinom računamo kao sa skalarnom veličinom.

e Celsiusova temperaturna ljestvica temperaturna ljestvica kod koje je temperaturna razlika između ledišta (O 0 C) i vrelišta vode (l OO 0 C) razdijeljena na l OO jednakih dijelova (stupnjeva). centimetar jedinica za duljinu {simbol cm); stoti dio metra. cijeli broj broj djeljiv s l bez ostatka. Cijeli brojevi mogu biti

pozitivni i negativni. ~Razlomci i ~iracionalni brojevi u pravilu su necijeli. Između svaka dva cijela broja nalazi se beskonačno mnogo necijelih brojeva. cikloida geometrijska krivulja nalik na arkadu {niz lukova). To je krivulja što je opisuje neka točka na kružnici kad se ta kružnica kotrlja po pravcu. Takva se krivulja često primjenjuje pri proučavanju gibanja vozila s kotačima po cesti ili pruzi. cilindar ~valjak cilindričan ~valjkast

crtanje funkcije pretvaranje odabranih vrijednosti nezavisnih (x) i zavisnih (y) varijabli promatrane funkcije u koordinate (x, y) točaka u ~Kartezijevu sustavu, odgovarajućom krivuljom.

te njihovo približno spajanje

19

e v

čvor točka u kojoj se sastaju putovi. U topološkoj c::>mreži, čvor može biti ili početak puta ili mjesto presjeka dvaju puteva. Također se zove i vrh.

četverokut <>geometrijski lik s četiri ravne stranice. Postoji pet vrsta pravilnih četverokuta: kvadrat, s četi ri jednake stranice, četiri jednaka, prava kuta i četiri osi simetrije; pravokutnik s četiri jednaka, prava kura i dva puta po dvije jednake stranice te dvije osi simetrije; romb s četiri jednake stranice i dvije osi simetrije; paralelogram, s dva para paralelnih jednakih stranica i rotacijskom simetrijom, te napokon trapez, s jednim parom paralelnih stranica. četverokuti nepravilni

pravokutnik

kvadrat

četverokut

D~h: romb

čvor

paralelogram

četverostrana prizma

trapez

c::>kvadar

četvrtina četvrti dio nečega; jedan od četiri jednaka dijela na koje se može razdijeliti neka cjelina. član element koji pripada nekom skupu. Tako su npr. i 25 i 2500 članovi skupa kvadrata cijelih brojeva, dok to broj 250 nije.

čvor ili uzao mjera za brzinu, najčešće se primjenjuje u pomorstvu i ponešto u avijaciji. Definiran je kao l morska ili nautička milja (oko l ,85 km) na sat.

deseterokut

21

D decimale kod decimalnog broja, sve znamenke pisane iza decimalnog zareza, sve brojke kojima njihova pozicija daje vrijednost manju od l. decimalni razlomak ~razlomak koji možemo pisati u obliku (konačnog) decimalnog broja, to jest razlomak u kojem je nazivnik neka potencija broja l O. Primjer su decimalnih razlo maka 3/10, 51/100, 23/ 1000, a pi~emo ih kao 0,3, 0,51, 0,023. Decimalni razlomci uvelike olak~avaju računske operacije s razlomcima. Sve razlomke, međutim, nije moguće točno prevesti u decimalni oblik (primjerice 1/3).

raste za l pri svakom pomaku od desna na lijevo. Tako broj 2567 zapravo znači tj.

2 . l ooo + 5 . 100 + 6 . l o + 7 . l odnosno 2000 + 500 + 60 + 7 dekadski logaritam ~logaritam s bazom deset deltoid četverokut s dva para jednakih stranica. Taj lik ima jednu os simetrije.

deltoid

decimalni zarez zarez prema kojem se određuje mjesto (pozicija), a time i vrijednost znamenaka u decimalnom broju. Lijevo od decimalnog zareza nalaze se znamenke s vrijednostima jedan i većim, a desno znamenke s vrijednostima manjim od l. U anglosaksonskim zemljama umjesto decimalnog z.1.reza piše se decimalna točka. dedukcija u logici, postupak zaključivanja od općeg prema posebnom. definicija u matematici, tvrdnja kojom je nedvosmisleno određen neki matematički pojam. Ako je definicija dobra, iz nje se dadu izvesti sva svojstva definiranog pojma. dekadski (decimalni) brojevni sustav najčešće primjenjivan brojevni sustav s bazom l O. Decimalni brojevi ne moraju sadržavati decimale. Tako su dekadski brojevi i 563, 5,63 i 0,563. Drugi brojevni sustavi (primjerice ~binarni, ~oktalni i ~heksadecimaln i) za bazu imaju drugi broj (2, 8, 16 itd.). Dekadski broj možemo zamisliti kao zbroj članova čija vrijednost ovisi o njihovoj udaljenosti od decimalnog zareza. Sve znamenke množimo s nekom cijelom potencijom broja l O, koja

demonstrirati dokazati ili objasniti na primjeru. derivacija granična vrijednost omjera prirasta zavisne i nezavisne varijable kad oba prirasta teže k nuli, drugim riječima nagib krivulje u nekoj točki, ili koeficijent smjera pravca koji dira krivulju u toj točki (dakle njezine tangente). Ako imamo funkciju y = f(x), njezinu ćemo derivaciju pisati kao

f'(x) g~je su

=

dy, dx

dy i dx beskonačno malene promjene vrijednosti veličina

JI X. deseterokut geometrijski lik (~pol igon), mnogokut s deset stranica.

determinanta

22

determinanta kombinacija elemenata (članova) kvadratne c:>matricc. Npr. determinanra matrice s dva retka i dva stupca

(2. 2) dana je razlikom umnoiaka dijagonalnih članova.

~ ~J

=

1: ~ ~ =ad-bc

Determinanre nam služe prije svega u maničnom računu za rješavanje sustava više jednadžbi s više nepoznanica. devijacija ili odstupanje c:>srednja devijacija i c:>srandardna devijacija digitalni korijen zbroj znamenaka u nekom broju, u pravilu manji od l O. Ako je, naime, zbroj znamenaka nekoga broja veći od 10, postupak se ponavlja dok ne dobijemo broj manji od lO. Tako je primjerice digitalni korijen broja 365 jednak 5, jer 3 + 6 + 5 = 14, a l + 4 = 5. Digitalni je korijen zgodno sredstvo za nezavisno provjeravanje točnosti pri kompliciranim računanji­ ma. dijagonala dužina koja u mnogokuru spaja dva nesusjedna vrha. Neka su od svojstava dijagonala: (l) U pravokurnicima su obje dijagonale jednake. (To je svojstvo korisno pri provjeravanju pravokutnosti u stolarstvu i graditeljstvu.) (2) U rombu se dijagonale sijeku pod pravim kutom. (3) Kod paralelograma presjecište dijagonala dijeli obje dijagonale na dva jednaka dijela. dijagram raspršenja dijagram koji se izrađuje da bi se utvrdilo postoji li između dvije veličine nekakva veza ili c:>korelacija, primjerice između duljine života i nacionalnog proizvoda po glavi stanovnika u raznim zemljama. Svi se rezultati prikazuju kao točke u koordinatnom sustavu, a njihove koordinate odgovaraju vrijednostima dviju varijabli. Potom se taj skup točaka ispituje te se pokušava otkriti postoji li u njihovu rasporedu nekakav vidljivi red. Ako postoji, povlači se c:>pravac regresije, to jest pravac koji je blizu svim točkama koliko je to najviše moguće.

diskretne

23

veličine

dijagram raspršenja dijagram prikazuje uspjeh iz matematike i tjelesnu težinu 30 daka u nekom razredu ocjena iz matematike

X X X X X

X X

X

dijagram prikazuje visinu i težinu 30 učenika istog razreda tjelesna visina

pravac regresije

X X X X X X X X X xXX X X X X X X XX X

X

tjelesna težina

tjelesna težina dijag ram ukazuje da nema povezanosti između ocjena iz matematike i težine učenika

dijagram ukazuje na povezanost (pozitivnu korelaciju) izmedu tjelesne v isine i težine učenika

dijagram toka ili hodogram ili blok-shema; najčešće se primjenjuje u informatici, te označava koje sve radnje treba obaviti da

bi se riješio neki problem. Te se faze upisuju u okvire i povezuju strelicama koje pokazuju logiku i redoslijed obavljanja operacije. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. dijametar c:>promjer dijeljenje ili divizija jedna od četiri osnovne aritmetičke opera-

cije; operacija suprotna c:>množenju. dimenzija u geometriji, broj mjera potrebnih da bi se odredila veličina

nekog geometrijskog skupa. Zato smatramo da točka nema dimenziju, dužina ima samo jednu (duljinu), geometrijski lik dvije {duljinu i širinu), a geometrijsko tijelo tri {duljinu, širinu i visinu).

diskretne veličine veličine koje mogu poprimiti samo određe­

ne vrijednosti, nasuprot c:>konrinuiranim veličinama koje mogu poprimiti i svaku međuvrijednost. Tako je primjerice broj ljudi diskretna veličina, dok je masa svakoga od njih kontinuirana veličin a.

disperzija

dodekaedar

25

24

dijagram toka (hodogram)

Zakon distribucije olakšava nam množenje decimalnih brojeva, jer svaku znamenku množimo posebno, a rezultate zbrojimo:

dijagram toka pronalaženja kvadratnog korijena svakog broja n s točnošću od 0,01

7. 25 = 7. (20 + 5) = 140 + 35 = 175

postupak počinje grubom procjenom vrijednosti x kvadratnog korijena broja n (ako je, primjerice, n = 20, x=4 ili x=5}

25·7 ~ 35 175

Usporedi <>asocijativne i <>komutativne operacije. dividend <>djeljenik

korigiraj

na 2 đoci­

divizija <>dijeljenje

malna mjesta

divizor <>djelitelj djelitelj ili divizor broj kojim se dijeli. Primjerice u izrazu l OO : 25 = 4, djelitelj je 25. djeljenik ili divident broj koji dijelimo nekim drugim brojem. Primjerice u 20 : 4 = 5, djeljenik je 20. dodekaedar pravilno tijelo s 12 peterokutnih stranica i 20 vrhova. On je jedan od pet pravilnih <>poliedara ili Platonovih tijela.

disperzija <>varijanca distribucija ili raspodjela u statistici, zastupljenost. pojedinih <>frekvencija (učestalosti) u nekom skupu podataka. Cesto se taj izraz rabi za raspodjelu <>kumulativnih frekvencija.

dodekaedar

distributivna operacija operacija, npr. množenje, u odredenom odnosu prema drugoj operaciji (zbrajanju) pri čemu vrijedi:

a· (b+ e)= (a· b)+ (a·c) ili, za proizvoljno odabrane brojeve: 3 . (2 + 4) = (3. 2) + (3. 4) = 18 Kažemo da je množenje distributivno u odnosu prema zbrajanju. Zbrajanje, međutim, nije distributivno prema množenju jer 3 + (2. 4)

;t:

(3 + 2) . (3 + 4)

J

dokaz,

matematički

26

dodekaedar razvijeni plašt dodekaedra

E ekonometrija ekonomska disciplina koja se bavi matemati čkom i statističkom analizom ekonomskih podataka.

dokaz, matematički niz formalno logički besprijekornih koraka kojima sc od skupa aksioma (nedokazivih, dogovorno prihvaće­ nih osnovnih pretpostavki) dolazi do teorema. Da bismo, primjerice, dokazali da neki četverokut ima 4 prava kuta, moramo dokazati (l) da je zbroj svih kutova jednak 360°; (2) da su sva četiri kuta jednaka, te napokon (3) izračunati 360°/4 = 90°.

ekscentricitet u geometriji, svojstvo c:>konika (krug, elipsa, parabola, hiperbola). On se definira kao omjer udaljenosti neke točke na krivu!ji od zadane točke (fokusa ili žarišta) i zadanog pravca (direktrise) . Ta je vrijednost .za sve ročkc na nekoj konici jednaka. Ekscenrricitet kružnice jednak je nuli; kod elipse je manji od jedan; kod parabole jednak jedinici, a kod hiperbole veći od jedan. eksplicitni oblik jednadžba pisana tako da joj lijevu stranu čini varijabla koju tražimo. Tako je primjerice jednadžbom 3

V= 4r n

domena osnovni skup brojeva u kojemu neka funkci ja ima smisla. Ona ga preslikava u drugi skup podataka (c:>kodomenu). donja granica najniža vrijednost članova nekog skupa. dubina udaljenost od vrha do dna, odnosno prednje do stražnje površine. duljina udaljenost između dvije krajnje točke nekoga tijela. Duljina je osnovna dimenzija prostora. Jedinica za duljinu u SI sustavu je metar. duodecimalni sustav brojevni sustav s bazom 12. Nekad su ga smatrali boljim od dekadskog, jer mu se baza može podijeliti na 4 faktora (2, 3, 4 i 6), dok je l Od jelj ivo bez ostatka samo s 2 i 5. dužina dio pravca omeđen dvjema

točkama.

3 eksplicitno izražena veličina V, a za druge veli čine ona ima implicitan oblik. Jednadžba se ponekad može, a ponekad ne napisati u implicitnom obliku po nekoj varijabli. To se prevoobavlja sljedećim operacijama: (l) dodavanjem (ili oduzimanjem) objema stranama jednadžbe; (2) množenjem (ili dijeljenjem) obje strane jednadžbe; (3) potenciranjem (ili korjenovanjem) obje strane jednadžbe.

đenje

Pokušajmo primjerice gornju jednadžbu napisati eksplicitno po varijabli r. Najprije ćemo obje strane pomnožiti s 3 i rako dobiti

3V = 4r 3n Nakon roga ćemo obje strane podijeliti s 4n re dobiti

eksponencijalna funkcija

28

Nakon roga još moramo samo izvaditi treći korijen s obje strane, pa smo rako došli do našeg rezulrata

~=r eksponencijalna funkcija ~funkcija oblika y = aX, to jest funkcija u kojoj se varijabla nalazi u ~eksponentu. Eksponencijalnom se funkcijom opisuje npr. rast stanovništva i kamata na glavnicu. U eksponencijalnim se funkcijama kao baza često pojavljuje konstanta e= 2,71828 ... eksponencijalni način pisanja brojeva skraćeno pisanje brojeva u obliku višekrarnika neke porencije broja l O. Takav je način pisanja posebno prikladan za rad s vrlo velikim i vrlo malim brojevima, pa je postao standardnim načinom pisanja u znanosti i tehnici. Svaki se naime broj dade prikazati kao a . l on, gdje je a broj veći od I i manji od lO, a n pozitivni ili negativni cijeli broj. Eksponent n u ovom slučaju odreduje poziciju znamenke ispred sebe u decimalnom broju. Tako 3 950 000 pišemo kao 3,95 ·l 0 6, a 0,0000000034 kao 3,4 · l0-9• ]oš je jedna prednost takvog načina pisanja u tome što pišemo samo značajne

29

epicikloida

privremeno "uči" obavljanju pojedinih operacija. Elektronička računala barataju brojevima i drugim simbolima.

element član ~skupa. elipsa skup svih točaka s jednakim zbrojem udaljenosti od dvije zadane točke (fokusa). Elipsa ima dvije osi: velika os prolazi kroz fokuse, a mala os je okomita na nju i prolazi kroz središte, smješteno na pola puta između dva fokusa. Elipsa spada među ~konike. Nju prerezuje ploha koja stožac siječe tako da je kut između te ravnine i osi srošca veći od kuta između osi i izvodnice stošca. elipsa

~znamenke.

eksponent ~potencija ekstrapolacija nastavak neke krivulje. Ekstrapolacije obično radimo da bismo procijenili vrijednost neke funkcije izvan područ­ ja mjerenja. ekvilateralan ~jednakostraničan ekvivalentan ili jednakovrijedan, onaj koji je drukčiji, ali ima istu vrijednost. Tako su 3/5 i 6/10 ekvivalentni razlomci, jer je vrijednost i jednoga i drugoga 0,6. elektroničko računalo ili kompjutor elektronički stroj za primanje, obrađivanje, pohranjivanje i izdavanje podataka, a prema

promjenjivom programu - skupu naredbi kojim se kompjutor

envelopa ili ovojnica u geometriji, krivulja koja dotiče sve čla­ nove nekog skupa ili familije krivulja. Uzmimo kao primjer skup od tri jednake kružnice koje se međusobno dotiču i tvore lik nalik na list djeteline. Takva familija krivulja ima dvije envelope: jednu malu kružnicu koja se dade smjestiti u prostor između te tri kružnice, i jednu veliku koja ih sve obuhvaća. epicikloida u geometriji, krivulja nalik na kružnu arkadu {niz lukova). Ona crta put neke točke na maloj kružnici koja se kotrlja s unutrašnje strane druge kružnice. Ako obje kružnice imaju jednak promjer, dobivamo krivulju zvanu ~kardioida.

Eratostenovo sito

30

epicik/oida

F Fahrenheitova temperaturna ljestvica temperaturna ljesrvica koja se sve do 1970-ih i službeno primjenjivala u anglosaksonskim zemljama, nakon čega ju je istisnula ~Celsiusova ljesrvica, prihvaćena u ostatku svijeta. Fahrenheirovi i Celsiusovi stupnjevi preračunavaju se prema formuli

!.E_ op =.2_ 5 -~ oC Eratostenovo sito metoda pronalaženja ~prim-brojeva, to jest brojeva koji su djeljivi (bez ostatka) samo s I i samim sobom. Najprije ispi~emo niz cijelih brojeva od 2 pa naviše. Zatim krenemo od broja 2 i križamo svaki drugi broj (ali ne i 2), te tako uklonimo sve brojeve djeljive s 2. Zatim krenemo od sljedećeg neprekriženog broja 3 i križamo svalci treći broj (ali ne i sam 3). Taj postupak dalje ponavljamo koliko želimo puta s brojevima 5, 7, ll, 13 i tako dalje. Na kraju nam ostanu samo prim-brojevi. etalon ili mjerka ili standard osnovna mjera koja definira jedinicu i prema kojoj se prave sve druge mjere. Primjer je etalona prametar ili standardni metar, šipka od slitine platine i iridija, a koja se čuva u Međunarodnom uredu za mjere i utege u francuskom gradu Sevresu. On je vrijedio kao standard sve do 1960. kad je metar definiran pomoću valne duljine svjetlosti.

+

32

gdje je tc i tF temperatura izražena u stupnjevima Celsiusa odnosno Faluenheita. faktor (nekoga broja) broj kojim se zadani broj može podijeliti bez ostatka. Tako su primjerice faktori broja 64 brojevi l, 2, 4, 8, 16, 32 i 64. faktorijel pozitivan 'cijeli broj nastao množenjem nekog broja sa svim prethodnim pozitivnim cijelim brojevima. Označavamo ga simbolom "!". Primjerice, 6! = l· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720. 6! izgovara se šest fakrorjel. Fakrorijel broja O po definiciji je jednak l. faktorizacija ili rastavljanje na faktore pisanje broja ili ~poli no ma (algebarskog izraza s više članova, u pravilu s varijablom dignutom na više potencija) kao umnoška nekoliko faktora. Tako su primjerice faktori polinoma x 2 + 3x + 2 polinomi x + l i x + 2, zato što vrijedi

x 2 + 3x + 2 = (x + I)(x + 2) S pomoć}! faktorizacija se rješavaju primjerice Qkvadrame jednadžbe. Zelimo li primjerice riješiti jednadžbu 2

x +

6x + 5 =O

njezinu lijevu stranu trebamo fakrorizirati u oblik (x + 5) (x + l)

=O

Fibonaccijev niz

32

funkcija

33

frekvencija

Odavde slijedi: X

+5=

o

ili

X

+ l = O,

pa su rješenja jednadžbe:

frekvencijskipofigon frekvencija

X=-5

X= -

l.

Fibonaccijev niz u svom najjednostavnijem obliku, niz brojeva u kojem je svaki sljedeći član jednak zbroju svoja dva prethodnika (l, l, 2, 3, 5, 8, 13 ...). Fibonaccijevi se brojevi odlikuju neobičnim svojstvima, te su našli primjenu u botanici, psihologiji i astronomiji. formula skup brojeva i simbola kojim izražavamo neko matematičko pravilo. 'Thko je formula P = r 2n matematički izraz s pomoću kojeg izračunavamo površinu kruga. fraktal geometrijski pojam s necijelim brojem dimenzija. Nešto "između" npr. jednodimenzionalne dužine i dvodimenzionalne ravnine. Fraktali se odlikuju prije svega velikom (aJi pravilnom) razvedenošću, pa se primjenjuju u računalnoj grafici, te za modeliranje geoloških i bioloških procesa, primjerice nastanka obale, grananja biljke itd. frekvencija ili učestalost broj ponavljanja nekog, osobito slučajnog događaja. Bacamo li, primjerice, dvije kocke i napravimo li zbroj rezultata, svim će brojevima od 2 do 12 biti svojstvena neka učestalost pojavljivanja. Skup svih frekvencija zovemo frekvencijskom raspodjelom ili distribucijom. Nju ob ično prikazujemo tablično, ili u obliku frekvencijskog poligona ili pak c:>histograma. Vidi sliku na sljedećoj stranici. funkcija pravilo kojim se svakom elementu u jednom skupu (c:>domeni) pridružuje neki drugi element (njegovu sliku) u drugom skupu (c:>kodomeni). Tako primjerice funkcija fix)= x + 3 svakom broju x pridružuje broj od njega veći za 3:

/(4) = 7 /(-6) = -3 Složena funkcija je sastavljena od dviju ili vi~e jednostavnih funkcija. Tako na primjer, da bismo izračunali vrijednost složene

150 140 130 120

~

rJ.

.J.

rf

110 100 90 80

r)

70

60 50 40 30 20

~ /

~

fre_ kvencijski poligon

~

rl ~

~ ~

10 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 rezultat frekvencija rezultata nakon 1000 bacanja 2 kocke

funkcije gof(x), nastale udruživanjem funkcijaf(x) = 4x i g(x) = x- 3 govori da najprije trebamo i zračunati funkciju j(x), pa njezin rezultat uvrstiti u funkciju g(x). gof(x) = g(/(x)) = g(4x) = 4x- 3

go/(2) = 5 Funkcije nalazimo u svim granama matematike, fizike i opće­ nito, skoro u svim prirodoznanstvenim disciplinama. Tako nam primjerice formula t =2n ffg govori da je u slučaju jednostavnog njihala titrajni period (vrijeme jednog njihaja) funkcija samo njegove duljine L (jer su i n i g, gdje je g akceleracija gravitacije, e:>konstante). lnverzna funkcija svakom elementu u kodomeni pridružuje određeni element u domeni. Tako je primjerice funkcija f" 1(x) = (x - 1)/2 inverzna funkcija odf(x) = 2x + l (i obratno). Stoga vrijedi: /(2) = 5 f'(5) = 2

funta

34

funkcija dijagram funkcije koji prikazuje pridrui ivanje elemenata iz kodomene svakom elementu domene funkcije f

/

.......

-- - .... .... - .. - ... .... - ..

'

- .....

--

/ domena

f

-....

/

-

-

-- --

--

.... '

-

G galon anglosaksonska mjerna jedinica za obujam. Engleski (imperijalni) galon ima 4,546litara, a američki 3,785. Galon se dijeli na četir i kvarte i osam pinti. generalizacija ili poopćavanje stvaranje p ravila na temelju većeg broja slučajeva. Tako se primjerice računanja 3+5= 5+ 3

i 1,5 + 2,7 = 2,7 + 1,5 dadu generalizirati u pravilo a+b =b+a

_/

kodom ena

funta anglosaksonska mjera za težinu (simbol lb), jednaka 454 grama. Dijeli se na 16 unci (oz). 14 fun ti daje l stone, 112 funti čin i l hundredweight (cwt), a 2240 funti jednu britansku tonu.

koje vrijedi za bilo koje brojeve a i b.

generiranje stvaranje niza brojeva, točaka i sl. iz njihova među­ sobnog odnosa ili mjesta nekoga broja u nizu. Tako primjerice opće pravilo un•l = 2un generira niz l , 2, 4 , 8 ... ,dok pravilo a = n(n + l) generira niz brojeva 2, 6, 12, 20 ... generiranje generiranje stoica rotiranjem pravca oko osi koju siječe generirajući

p ravac

os

stožac je skup svih točaka kojima prolazi generirajući pravac

geografska duljina i širina

36

U geometriji se likovi mogu generirati gibanjem točke, a tijela gibanjem krivulja. Tako se primjerice uspravni stožac stvara rotiranjem pravca, učvršćene za jednu točku osi, oko iste te osi. Kružnicu možemo generirati točkom koja slijedi put oko središta. geografska duljina i širina ~zemljopisna duljina i širina geometrija grana matematike koja se bavi svojstvima prostora, odnosno, u posebnom slučaju, ravnine, kao njegova dijela, te likovima u ravnini i tijelima u prostoru. U ~analiti čko) geometriji, geometrijski se pojmovi dadu izraziti algebarskim izrazima. geometrijska sredina ili geometrijski prosjek n-ti korijen umnoška n pozitivnih brojeva. Tako je geometrijska sredina m brojeva p i q dana izrazom m = Stoga je geometrijska sredina primjerice brojeva 2 i 8 jednaka:

..JN.

-/W = -.fl6 = 4

Geometrijska je sredina uvijek manja od ~aritmetičke. To možemo dokazati za svaka dva pozitivna broja. Treba dokazati nejednakost

Ovo je redom ekvivalentno s

b 4W > _a

(a+

(a + b) 2 - 4ab ?. O (a- b) 2 ?. O što je uvijek istina, pa je time dokazana naša početna nejednakost. geometrijska transformacija funkcija koja neki geometrijski lik ili tijelo preslikava u neki drugi lik ili tijelo ne mijenjajući mu oblik nego samo položaj, orijentaciju ili veličinu. Glavne su geometrijske transformacije ~osna simetrija, ~rotacija, ~pove­ ćanje i ~translacija.

37

gradijent ili koeficijent smjera

geometrijski lik dvodimenzijska geometrijska tvorevina omeđena dužinama krivuljama. On ima samo dvije dimenzije,

duljinu i visinu, ali ne i dubinu. Od geometrijskih likova spomenimo ~poligone. geometrijski niz niz brojeva (članova) u kojem svaki sljedeći član nastaje množenjem prethodnoga nekom konstantom. Tako je primjerice niz brojeva 3, 12, 48, 192, 768, ... geometrijski, zato što dijeljenjem dva susjedna člana uvijek dobijemo broj 4. Usporedi ~aritmetički niz.

U prirodi se mnogi jednostanični ogranizmi razmnožavaju dijeljenjem, tako da iz jedne stanice nastanu 2, pa 4, pa 8 itd. stanica, pa znači da razmnožavanje teče po geometrijskoj progresiji l, 2, 4, 8, 16, 32, ... u kojoj je kvocijent progesije jednak 2. geometrijsko tijelo geometrijska tvorevina u prostoru, omeđe­ na plohama. glavni brojevi brojevi koji odgovaraju na pitanje "Koliko?". Pišemo ih bez točke kao O, l, 2, 3 itd. Njima su suprotni redni brojevi, koje pišemo s točkom (l., 2., 3. itd.), a odgovaraju na pitanje "Koji po redu?". I glavni i redni brojevi članovi su skupa ~ci­ jelih brojeva. godina vremenska jedinica, trajanje jednog okreta Zemlje oko Sunca. gornja granica vrijednost koja nije manja od ijedne vrijednosti u nekom skupu, to jest od svake je vrijednosti veća ili joj je jednaka. gradijent ili koeficijent smjera na grafikonu, nagib pravca ili (nekog ~infmitezimalno sitnog) djelića zakrivljene krivulje. Gradijent je u svakoj točki neke krivulje dan gradijentom ~rangente u toj točki.

Gradijent označava brzinu promjene neke veličine; tako primjerice u slučaju ~grafikona prevaljenog puta daje brzinu gibanja (omjer put/vrijeme).

grafičke metode

38

grafičke

gradijent

grafikon prevaljenog puta

39 metode

gradijent krivulje B l l

y

l

l l

l

___! ____________IJl e

A

gradijent AB

-

=

lac-i lACI

vertikalna udaljenost horizontalna udaljenost X

=tg

grafič ke

metode postupci rješavanja jednadžbi i algebarskih problema s pomoću krivulja analitičke geometrije. Analitička geometrija, naime, ne omogućava samo rješavanje geometrijskih problema algebarskim postupkom, nego i obratno, algebarskih problema geometrijskim metodama. Razmotrimo primjerice sve vrijednosti koje može poprimiti x u jednadžbi ax 2 + bx +e= O

Tu jednadžbu možemo napisati i u obliku ax 2 =-e - bx

Lijevu stranu možemo shvatiti i kao desni dio jednadžbe parabole s tjemenom na osi x, a desnu kao desni dio jednadžbe pravaca, te napisati:

y

= ax2

y =- bx - e

Sjecišta su te dvije krivulje točke u kojima su obje jednakosti zadovoljene, pa time i naša početna jednadžba. Zbog toga točke u kojima se navedene dvije krivulje sijeku predstavljaju rješenja promatrane kvadratne jednadžbe.

grafičko rješavanje jednadžbe

ax'+ bx + e = O

grafikon ili graf slikovni prikaz brojčanih, primjerice statističkih podataka, ili pak ovisnosti između dviju ili više matematičkih ili drugih veličina. Grafikoni se najčešće crtaju u c::>Karrezijevu koordinatnom sustavu, određenom dvjema okomito postavljenim osima. Na svaku se od njih nanosi jedna varijabla, a grafički prikaz nastaje tako da svaka točka na tom prikazu bude određena vrijednošću jedne i druge varijable, te ona stoga prikazuje funkcijsku vezu između njih (-=:>funkcije). Tako dobivene ročke spajaju se u glatku krivulju. Vidi prikaz na slj edećoj stranici. grafikon prevaljenog puta grafikon koji opisuje gibanje tijela prikazujući prevaljeni put kao funkciju vremena. Na okomitu se os (os y) nanosi prijeđeni put, a na vodoravnu (os x) proteklo vrijeme. Nagib krivulje u nekoj točki (njezina c::>derivacija) jednaka je brzini gibanja tijela u tom trenutku. Ako je nagib grafa stalan, znači da se tijelo giba konstantnom brzinom. Ako se nagib krivulje mijenja, tijelo se ubrzava (akcelerira) ili usporava (decelerira).

grafikon

40

grupa

41 grafikon prevaljenog puta

grafikon grafički prikaz pravca

y

vrijeme

granica isto što i rub. Krivulja koja omeđuje neki geometrijski lik. Kad je riječ o <:>skupu prikazanom Vennovim dijagramom ta granica skupa zatvara sve članove skupa. X

jednadžba pravca ima oblik y = kx + l, gdje je k gradijent {nagib) pravca, tj. njegov koeficij ent smj era, a l je odsječak na osi y {vrijednost y u točki u kojoj pravac siječe os y) tako će primjerice grafikon jednadžbe y = x + 4 imati gradijent - 1 te će os sječi u točki y = 4

y

2

3

4

5

X

granična vrijednost vrijednost kojoj teži neki beskonačni niz, ali je nikad ne dostiže. Tako je primjerice granična vrijednost niza 1/2, 3/4, 7/8, 15/16 itd. jednaka l, a!i nijedan član tog niza neće nikad potpuno dostići tu vrijednost. Ci tava se matematička analiza (infinitezimalni račun) temelji baš na ideji graničnih vrijednosti.

gravitacija prirodna sila koja uzajamno privlači mase. Akceleracija Zemljine gravitacije približno iznosi 9,8 m/s 2• grupa konačni ili beskonačni skup elemenata koji se dadu povezati nekom matematičkom operacijom. Svaka grupa mora zadovoljiti stanovite formalne uvjete. Tako primjerice skup svih (pozitivnih i negativnih) cijelih brojeva tvori grupu s obzirom na zbrajanje zato što: (l) za zbrajanje vrijedi zakon asocijacije, (2) zbrajanjem dva cijela broja uvijek dobivamo cijeli broj; (3) taj skup sadrž.i i <:> neutralni element O, čije pribrajanje ne m ijenja cijeli broj kojemu je pribrojen (primjerice, O + 3 = 3), te konačno (4) svaki cijeli broj ima i svoj inverzni element (tako je primjerice inverzni element broja 7 broj - 7), za koji vrijedi uvjet da pribrojen onom početnom broju daje O. Teorija grupa je grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava grupa.

gustoća

gustoća

42

omjer mase i obujma nekoga tijela: m P =v

gdje je p gustoća, m masa i V obujam tijela. na veličina.

Gustoća

je c:>skalar-

H heksagon c:>šesterokut hektar metrička jedinica z~ površinu; l OO ara ili l O 000 četvor­

nih metara. Simbol ha. helikoida trodimenzijska krivulja nalik na oprugu ili vijak. Opisuje ju točka koja kruži oko valjka ili stošca pod nekim stalnim kutom prema njegovoj osi. hemi- prefiks koji oznaćava polovicu (polu-), primjerice u riječi hemisfera (polukugla). hemisfera c:>polukugla hiperbola geometrijska krivulja nastala presijecanjem uspravnog kružnog stošca ravninom, uz uvjet da je kuc između te ravnine i baze veći od kura između baze i plašta stošca. Sve su hiperbole ogran ičene dvjema Qasimptotama (pravcima kojima se hiperbola sve više primiče ali ih nikad ne dotiče). Hiperbola pripada familiji krivulja zvanoj c!>konike. hiperbola

koliko se kilograma kobasica može kupiti za

1000 kuna

cijena jednog kilogra· ma kobasica

hipocikloida

44

Hiperbola je krivulja koja prikazuje obrnutu proporcionalnost. To je graf dviju varijabli povezanih time što rast jedne izaziva opadanje druge. Primjer su takve ovisnosti brzina i trajanje putovanja, jer povećanje brzine skraćuje trajanje putovanja, ili pak cijena i kol ičina robe koju možemo kupiti za neki zadani iznos. hipocikloida geometrijska krivulja, sastavljena od niza lukova. Opisuje ju točka na kružnici koja se kotrlja s unutrašnje strane veće kružnice. hipotenuza najdulja stranica pravokutnog trokuta. Ona leži nasuprot pravom kutu. Važna je u Pitagorinu poučku, kao i za trigonometrijske funkcije (sinus, kosin us, tangens, ko tan gens).

hipotenuza

hvat ili sežanj

45 histogram Broj automobila na 1000 stanovnika u nekim zemljama (1989)

4961 489_1 4661

SAD Zapadna Njemačka Kanada

430 l 4261 4131 410J 372[ 3661

Švicarska Italija Švedska Francuska Velika Britanija Belgija Španjolska Japan

2901 263T

Grčka 1281

hvat ili seža nj stara jedinica za duljinu. Bilo ih je više, a posljednji je iznosio 1,896 metara. Odgovara rasponu ruku odraslog muškarca. Kako se pružanjem i skupljanjem ruku lako i brzo mjeri duljina uzice, ta se mjera ponajviše udomaćila pri mjerenju dubine mora i izmjerama zemljišta.

hipoteza nedokazana pretpostavka. Pri rješavanju nekoga problema valja najprije pretpostaviti moguće rješenje pa potom tu pretpostavku ili dokazati ili oboriti. histogram način grafičkog prikazivanja podataka s pomoću vodoravnih ili okomitih stupaca. Pri tome su svi stupci jednako široki, a duljina im je razmjerna prikazanoj veličin i . Takav dijagram olakšava brzu usporedbu podataka. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. hodogram <;>dijagram toka horizontalan ili vodoravan koji je paralelan s horizontom, to jest s površinom vode. Horizontalnost se neke površine u praksi provjerava libelom.

inverzni element

47

porast ili pad. Ako je, recimo broj stanovnika svijeta 1960. iznosio 3 milijarde, a 2000. 6,5 milijardi ljudi, onda indeks rasta svjetskog stanovništva u tom razdoblju iznosi 6,5/3 = 2, I 7.

l

indijsko-arapski brojevi r:::> arapski brojevi

ikozaedar, pravilni r:::>poliedar (geometrijsko tijelo) s dvadeset

infinitezimalni račun grana matematike koja se bavi analizom

strana.

<>kontinuiranih veličina. Riječ je najčešće o analizi promjenjivih funkcija, to jest veličina koje se pri beskonačno maloj (infinitezimalnoj} promjeni neovisne varijable mijenjaju za beskonačno malen (infinitezimalan} iznos. Integralni 1-ačtm izračunava ukupan (konačan) zbroj tih beskonačno sitnih veličina. Diferencijalni račun polazi od konačnih veličina, pa određuje njihove nemjerljivo sitne promjene. S pomoću diferencijalnog raču na mjere se, primjerice nagibi krivulja, pa se na temelju toga procjenjuje trenutna brzina i sl. Integralnim se računom izračunavaju ploština i obujam gdjekad i vrlo nepravilnih geometrijskih likova i cijela.

ILl-ILl r:::>pravilo ILI-ILI imaginarni broj broj koji se može pisati kao ai, gdje je a r:::>realni broj, a i je jednak kvadratnom korijenu od - l (drugim riječima, i 2 =-l). Imaginarne brojeve najčešće susrećemo

kao sastavnicu r:::>kompleksnih brojeva. im plikacija tvrdnja koja logički slijedi iz druge tvrdnje. Tako primjerice tvrdnja 2x = 10 implicira da je x = 5. Druga tvrdnja logično slijedi iz prve. Implikaciju u svakodnevnom govoru izražavamo "ako... onda". Implikaciju u matematici označavamo jednosmjernom strelicom ~ kad implikacija nije reverzibilna (povrativa, dvosmjerna), a dvosmjernom strelicom <::.:> kada to jest. Dvosmjerna implikacija naziva se <>ekvivalencija. p ~ q ... ako p onda q (ne vrijedi nužno i obrat)

p <::.:> q ... ako p onda q i ako q onda p.

poznate vrijednosti te iste veličine. Znamo primjerice da vrijedi 13 2 = 169 i 142 = 196. Na temelju toga možemo procijeniti da vrijednost 13Y leži negdje na pola puta između te dvije vrijednosti, tj. da je bliska broju 182,5 (to čna je vrijednost 182,25). interval razlika između najmanjih i najvećih vrijednosti u ne-

kom skupu promatranih veličina.

Primjerice: (l) ABCD je pravokutnik nale;

interpelacija procjena vrijednosti neke veličine između dvije

~

ABCD ima dvije jednake dijago-

(2) ABCD je četverokut kod kojeg su sve stranice jednake dijagonale su mu međusobno okomite;

~

(3) trokut ABC ima sve tri stranice jednake<=> u trokuru ABC svi su kutovi jednaki. (4) X< 5 <::.:>X+ 2 < 7. inch r:::>palac indeks u statistici, omjer vrijednosti neke veličine prema nekoj polaznoj vrijednosti te iste veličine, prema kojoj onda utvrđujemo

r

inverzna funkcija <>funkcija koja čini transformaciju upravo obrnutu od one što je čin i funkcija f Primjer su inverznih funkcija kvadriranje i vađenje korijena, eksponencijalna i logaritamska funkcija. inverzna tvrdnja obratna tvrdnja: primjerice tvrdnja "iz a slijedi b", inverzna je tvrdnji "iz b slijedi a". Inverzne tvrdnje nisu uvijek istinite. Tako je recimo inverzna tvrdnja od "ako je x = 3, tada je x 2 =9" tvrdnja "ako je x 2 = 9, tada je x =3", no ona nije istinita, jer x može biti i - 3. inverzni element element koji, primijenjen zajedno s promatranim elementom daje neutralni element odgovarajuće

48

involuta

operacije. Tako su primjerice 5 i-5 inverzni elementi za zbrajanje jer ako ih zbrojimo dobijemo nulu, a 4 i 0,25 inverzni elementi za množenje, jer njihovim množenjem dobijemo jedan. Inverznu matricu matrice A pišemo kao A -I, pri čemu vrijedi

AA·• = A· 1A

=

I,

gdje je I jedi nična matrica. involuta .::>spirala koju opisuje točka na kraju d uge, neelastične niti. Nit je namotana na nepokretni valjak, pa dok oko njega kruži, istodobno se i odmotava. Rij eč je dakle o spirali kod koje radius raste razmjerno s kutom. iracionalni broj broj koji ne možemo prikazati kao .::>razlomak. Iracionalni su brojevi primjerice mnogi korijeni (...f2, ..f3, fš itd.) te konstante poput broja 1t (omjer opsega i promjera kruga, približno jednak 3, 14 159). Dokaz da ...f2 nije racionalan broj (to jest da se ne može prikazati u obliku plq gdje su p i q cijeli brojevi) jedno je od velikih matematičkih dostignuća staroga svijeta. Pretpostavimo da je ...f2 racionalan, to jest da se može izraziti kao razlomak plq koji ne možemo dalje kratiti. Iz toga slijedi:

4 2

(l)

..!._ = ...f2 ~ = 2 ~ p 2 = 2q 2 ~ p2 je parni broj; q q

(2) p 2 je parni broj ~ p je parni broj ~p = 2r ~ p 2 = 4r 2; (3) p2 = 4r 2 ~ 2q2 = 4r 2 ~ q2 = 2r 2 ~ q2 je parni broj; (4) q 2 je parni broj ~ q je parni broj. (5) Ako su i p i q parni brojevi, plq se dade skratiti. Kako to proturječi polaznoj pretpostavci, iz toga slijedi da ni polazna tvrdnja (plq = ;n) nije istinita. ishod u teoriji .::>vjerojatnosti, jedan od mogućih završetaka nekog procesa. Tako primjerice odigrana nogometna utakmica ima tri moguća ishoda: pobjeda momčadi A, pobjeda momčadi B i neriješen rezultat.

49

izraz

ishodište (koordinatnog sustava) sjecište osi x i osi y. Koordinate ishodišta jesu (0,0). isključivanje ne mogućnost istodobnog zbivanja dvaju događaja. Tako primjerice kocka u jednom bacanju ne može dati i 2 i 3, pa rezultat 2 isključuje svaki drugi.

iteracija ponavljanje matematičkog postupka, redovito radi približnog rješavanja jednadžbe, uzastopnim nizom sve točnijih aproksimacija (približenja). Iteracijom, primjerice, možemo izračunati kvadratni korijen od n, polazeći od odoka procijenjene vrijednosti

xo. (l) Izračunamo n

--;-=x.;

(2) izračunamo xo + x.

0

2 (3)

izračunamo

n X

= Xy

2

Niz brojeva x 1, x 2, xy ... sve se više približava stvarnoj vrijednosti kvadratnog korijena od n. Iterativni se postupak pokazao posebno korisnim kod računanja elektroničkim računal ima, i to zbog njihove goleme brzine rada. izgled .::>vjerojatnost da će se zbiti neki slučajan događaj; broj promatranih događaja prema ukupnom broju mogućih događaja. Obi čno se izražava kao udjel ili kao postotak. Tako, primjerice, izgledi da će novčić pasti na pismo iznose 0,5 ili 50 o/o. iznimka pojava ili pojam koji odstupa od općeg pravila. Tako primjerice nijedan prim-broj - s iznimkom broja 2 - nije paran. izometrija geometrijska transformacija pri kojoj se udaljenost dviju točaka ne mijenja. izraz u matematici, skup simbola kojima se zadaju matematičke operacije ili se izriče neka matematička tvrdnja. Tako je primjerice

izraz

50

2x 2 + 3x + 5 kvadratni izraz ili polinom (to jest višečlani izraz u kojem je najviša pocencija druga, kvadratna). Posebna su vrsta matematičkih izraza <>jednakosti, co jest matematički izrazi u kojima nalazimo znak jednakosti (=).

J jard (yard) anglosaksonska jedinica za duljinu; pola hvara odnosno eri scope (0,9144 m). jedinica standardna, točno defmirana veličina, prema kojoj se mjere (s kojom se uspoređuju) sve druge istovrsne veliči n e. Postoje mnogi sustavi jedinica. Danas je praktički u čitavom svijetu prihvaćen međunarodni sustav (SI), ali su se u upotrebi održale i mnoge tradicijske, nemerri čke jedinice: milja, dan, hvat, aršin, lakat, stopa, jutro, vagon, barel i sl. osobito u anglosaksonskom dijelu svijeta. jedinična matrica matrica koja je Qneutralni element pri množenju određene vrste kvadratnih matrica. Tako je primjerice

matrica

jedinična matrica reda 2. jednakokračni trokut rrokuc kojemu su dvije stranice jednake, što znači da su mu jednaki i kutovi uz bazu. Njegova os simetrije ujedno je i visina tog trokuta.

jednakost matematički izraz koji tvrdi da je jedan matematički izraz jednak drugom matematičkom izrazu. Ta su dva matematička izraza u pravilu povezana znakom jednakosti (=).Tako primjerice jednadžba

P= r 2n tvrdi da je površi na kruga radiusa r jednaka umnošku kvadrata cog radi usa i konstance n. Drugi je primjer algebarska jednadžba

y=kx+l Ona se u anal itičkoj geometriji naziva jednadžbom pravca.

jednakostraničan

52

Ako je neka matematička jednadžba istinita za sve vrijednosti u nekoj domeni, znak jed nakosti (=) ponekad zamjenjujemo znakom identičnosti (:=),pa velimo da je "A identično B". Primjer je takvog izraza (x + y)l == x2 +

2xy + yl,

i on vrijedi za sve x i y. jednakostraničan geometrijski lik kod kojeg su sve stranice jednake duljine. Primjer su takvih likova (s četiri stranice iste duljine) kvadrat i romb. Kod j ednakoscraničnog trokuta isti su i

svi kutovi (60°). jutro ili ral tradicijska, empirijska (iskustvena) mjera za površinu zemlje, u pravilu obradive. Riječ je zapravo o "jutru oranja", to jest površini (njive) koju par volova može uzorati za jedan dan. Kasnije je dogovorena i njezina standardna vrijednost- 5775 čet­ vornih metara ili 0,5755 hektara.

K kalkulator džepni elektronički uređaj za obavljanje matematič­ kih operacija s brojevima. Svaki kalkulator zbraja, oduzima, množi i dijeli, a mnogi još i vade korijen, potenciraju i obavljaju još i trigonometrijske i statističke operacije. Podatci se u nj unose s pomoću malene tipkovnice (tastature), a rezultati se prikazuju na ekranu od tekućih kristala (LCD) ili svijetlećih d ioda (LED). karakteristika je cjelobrojni d io ~logaritma. Decimalni d io logaritma zovemo ~mantisom . karakteristika svojstvo kojim se članovi nekog skupa razlikuju od onih koji to nisu. Tako je primjerice jedna od karak teristika skupa brojeva 10, 20, 50, 80 i 100 da su svi djeljivi s 10. kardioida srcolika krivulja što je opisuje točka na nekoj kružnici kad se ova kotrlja po drugoj kružnici istog radiusa. kardioida kružnica koja se kotrlja

Kartezijeve koordinate

Kartezijeve koordinate brojevi koji označavaju položaj točke u ravnini ili prostoru, i to u odnosu na dva (u slučaju ravnine) odnosno tri (u slučaju prostora) međusobno okomita pravca (os xi os y, a u slučaju prostora, još i os z). Koordinate se označavaju brojevima stavljenima u zagrade. Tako koordinate (3,4) govore da je neka točka pomaknuta iz ishodišta (O) za 3 jedinice po osi xi za 4 jedi nice po osi y. Te su koordinate dobile ime po Reneu Descartesu, francuskom matematičaru iz 17. stoljeća {latinsko "humanističko" ime: Cartesuis = Karrezije). kilo- prefiks (predmetak) koji označava množenje s l 000. Tako je kiloherrz l 000 hereza, a kilogram l 000 grama. kilogram osnovna jed inica SI za masu; tisu ću grama. Približno odgovara masi jedne litre (kubnog decimetra) vode. kocka geometrijsko tijelo kojemu su sve strane kvadrati. Kocka

ima 6 jednakih strana i 12 jednakih bridova. Ako duljina brida iznosi a, onda je obujam kocke dan s V= a 3

a njezino oplošje s

o= 6ti .::>domena. Kod elementarnih funkcija kodomena je u pravilu skup realnih brojeva. koeficijent konstantni dio algebarskog člana, to jest broj kojim

se množi varijabla što stoji iza njega. Tako je npr. u polinomu

4x2 + 2xy- x koeficijent kvadratnog člana (x 2) jednak 4 (jer 4x2 zapravo znači 4 · x 2), koeficijent mješovitog člana (xy) jednak je 2, a linearnog člana (x) jednak je -1 (jer - l · x =- x) . U općim algebarskim izrazima koeficijenti su predstavljeni slovima koja označavaju bilo koji broj. Tako su primjerice u jednadžbi koeficijenti označeni slovima a, b i e.

koeficijent smjera .::>gradijent kolinearan koji leži na istom pravcu. kombinacija neki izbor elemenata iz nekog većeg skupa, no pri

)

kojem je nebitan njihov poredak. Tako brojeve 123, 213 i 312 smatramo istom kombinacijom tri broja uzeta iz skupa 1234. Analiza kombinacija važna je pri izračunavanj u .::>vjerojatnosti. Broj kombinacija r elemenata iz skupa od n elemenata iznosi

n! r! (n- r)! kompas instrument (uređaj) za određivanje smjera ili .::>azimu-

ta. Od svih je kompasa najjednostavniji i najrasprostranjeniji magnetski kompas. Njegov je najbitniji dio magnetska (namagnetizirana) igla koja se okreće prema sjevernom odnosno južnom Zemljinom magnetskom polu. Ti polovi leže u blizini zemljopisnih polova. Točan se položaj zemljopisnih polova može odrediti s pomoću posebnih tablica takozvanih magnetskih deklinacija (odstupanja smjera mag~tskog od geografskog pola) za pojedine točke zemaljske kugle. kompjutor .::>elektroničko raču nalo

kodomena .::>funkcije, skup u koji se preslikava osnovni skup,

ax 2 + bx +e=

komplementarni kutovi

55

54

O

komplanarnost svojsrvo točaka, krivulja ili likova da leže u istoj

ravnini. kompleksni broj broj koji se sastoji od realnog i imaginarnog člana.

Piše se kao a + ib gdje je a realni, a b imaginarni dio, dok je i imaginarna jedinica, tj. kvadratni korjen od - l. Neke se algebarske jednadžbe, primjerice x 2 + 5 = One mogu riješiti bez kompleksnih brojeva, zato što korijen negativnog broja ne može biti realan broj. komplement skup koji zajedno s promatranim skupom rvori

univerzalni skup. Tako je primjerice skup svih parnih brojeva komplementaran skupu svih neparnih brojeva u skupu svih prirodnih brojeva. komplementarni kutovi kutovi čiji zbroj daje pravi kut (90°).

komponenta ili sastavnica

komponenta ili sastavnica, jedan od c:>vektora nastao razlaganjem nekog vektora na više vektora. Zbrajanjem svih komponenti može se opet dobiti onaj početni vektor - njihova rezultanta. komutativna operacija računska operacija čiji rezultat ne ovisi o redoslijedu brojeva. Takva je operacija primjerice zbrajanje, jer 4 + 2 daje isto što i 2 + 4. Oduzimanje to nije, jer 4 - 2 = 2 nije isto što i 2 - 4 = - 2. Usporedi <>asocijativne operacije i <>distributivne operacije. konačnost svojsrvo koje se, za razliku od e:> beskonačnosti, dade izraziti nekim brojem. koncentrični krugovi (kružnice) kružnice ili krugovi sa zajedničkim središtem. konigsberški mostovi c:>problem konigsberških mostova konike ili čunjosječnice krivulje šro se dobivaju presijecanjem površine stošca ravninom. Oblik konike ovisi o nagibu ravnine, a njezini parametri (dimenzije) o mjestu na kojem siječe stožac. Ako ravni na s iječe oba dijela stošca, presjek je c:>hiperbola. c:>Parabola nastaje kad je ravnina presjeka paralelna s nekim

konstrukcija

57

56

pravcem na plaštu stošca. Sve druge ravnine daju c:>elipse, od kojih specijalni slučaj, c:>kružnica, nastaje kad je ravnina paralelna bazi. konkavnost udubljenost lika ili tijela. Konkavan je svaki lik i svako tijelo kod kojeg se može povući neka dužina između bilo koje dvije njegove točke, koja dijelom izlazi izvan njega. Trokuti ne mogu biti konkavni, ali ostali mnogokuti mogu. Konkavni su svi mnogokuti s jednim unutarnjih kutom većim od 180°. konkavnost konkavni mnogokut

l •J

konike ili čunjosječnice ovaj je nepravilni šesterokut konkavni poligon zato što u njemu nalazimo unutrašnji kut veći od 180•

paraboll ntSlaie kad je ravnina

etipsa nas-cajc

je ravnina

kud je ravnina p ata!ctna s tUikO!ena osi $tole: a

paralef~ $

nekim pravcem

Suprotnost konkavnosti je c:>konveksnost.

oboda

l

konstanta stalna, nepromjenjiva veličina, kojoj se vrijednost ne mijenja s promjenom vrijednosti c:>varijabli. Tako primjerice algebarska jednadžba f = 5x- 3 ima dvije konstante, naime 5 i 3. konstrukcija u geometriji, crtanje s pomoću šestara i jednoga brida trokuta ili ravnala, bez primjene drugih pomagala. Taj postupak potječe još od staroegipatskog zemljomjersrva (geodezije), kad se zemlja crtala s pomoću viziranja ("brid ravnala") i uzice privezane za zabijeni kolčić ("šestar"). Konstrukcija služi ne samo za crtanje, nego i za izvođenje matematičkih dokaza.

kontinuirane vrijednosti

58

kontinuirane vrijednosti beskonačan niz vrijednosti što ih može poprimiti neka veličina. To ujedno znači i da se ta veličina nikad ne može izmjeriti ili izraziti sasvim točno. Nasuprot romu, diskretne vrijednosti točno su mjerljive i možemo ih točno iskazati. Tako je, primjerice, veličina jabuke kontinuirana veliči na, dok njihov broj može poprimiti samo određene, diskretne vrijednosti. konus c:>stožac konveksnost izbočenost krivulje ili površine u odnosu na središte lika ili tijela. Tako je primjerice konveksna površina sfere. Konveksni su i svi likovi u kojima nijedan unutrašnji kut nije veći od 180°. Konveksnost možemo definirati i ovako: konveksno je svako tijelo (ili lik) u kojemu dužina povučena između bilo koje dvije njegove točke ne izlazi iz tog tijela (lika).

konveksnost

koordinata

59

koordinata u analitičkoj geometriji, broj koji definira položaj neke točke u odnosu na neku točku ili os. U c:>Kartezijevu koordinatnom sustavu koordinata označava udaljenost neke točke od ishodišta duž jedne koordinatne osi. U ravnini postoje dvije, a u prostoru tri međusobno okomite osi. Tako s pomoću dva (u slučaju ravnine) odnosno tri broja (u slučaju prostora) možemo točno odrediti položaj neke točke. U c:>polarnom koordinatnom sustavu položaj točke određen je njezinom (prostornom) udaljenošću od središta i kumom udaljenošću od zadane osi.

koordinate

Kartezijeve koordinate y 5 4

konveksni mnogokut

-

-- -

•p

l l X

1

2

3

4

5

Kanezijeve su koordinate točke P dane kao (5,3)

polarne koordinate pravilni j e šesterokut konveksan jer nijedan od nj egovih un utrašnjih kutova nije veći od 180°

y

konvergencija svojstvo reda brojeva u kojem se razlika između uzastopnih članova postupno smanjuje. Suma konvergentnog reda približava se konačnom limesu kada broj članova sume teži u beskonačnost. konverzijske tablice tablice za p retvorbu jednih jedinica u druge, primjerice međun arodnih u anglosaksonske mjere. konjugirani kutovi dva kuta koja zajedno imaju 360°.

polarne su koordinate točke Q dane kao (5,30•)

koordinatne osi

60

koordinatne osi zadani pravci prema kojima se određuje položaj neke točke. Najčešće su to pravci koji se sijeku pod pravim kutom (os x i os y) a određuju mjesto točke u ravnini. Takvi pravci određuju Kartezijev koordinatni sustav. Za određivanje položaja u prostoru služe nam tri međusobno okomite osi (os x, y i z) . korelacija odnos između dva skupa brojeva. Oni su korelirani ako je promjena veličine u jednom skupu popraćena promjenom u drugom. Ako je rast jedne veličine popraćen rastom druge, zavisne veličine, velimo da je korelacija upravna (pozitivna). Ako je pak rast jedne veličine popraćen padom druge, velimo da je njihova korelacija obrnuta (negativna). Korelaciju dviju veličina otkrivamo pregledom <)dijagrama raspršenja, u koji možemo ucrtati e:> pravac regresije. korespondencija odnos između dva skupa pri kojem su nekim ili svim članovima jednog skupa pridruženi (po jedan ili više) članova drugog skupa. Ako su primjerice članovi skupa A pripadnici neke obitelji, a članovi skupa B mjeseci u godini, onda je korespondenciju odnosom " ... ima rođendan u mjesecu... " medu njima moguće uspostaviti.

kosekans

61 korespondentni kutovi

kutovi

i ex', ll i p·, y i y', o i o' su parovi korespondentnih kutova

(l

transverzala

korespondentni kutovi kutovi koji stoje na analognim položajima na istoj strani transverzale (pravca koji presijeca dva ili više pravaca u ravnini) . Kad su presječeni pravci paralelni, korespondemni su kutovi sukladni. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. korijen vrijednost dobivena operacijom obratnom od potenciranja brojem većim od l . Možemo ga smatrati i potenciranjem na eksponent manji od 1. Ako y = x 2 , onda vrijedi x = :j}, što možemo pisati i kao y~. Na kalkulatoru korijen vadimo s pomoću tipke x 11' ili inv x'. Zelimo li primjerice pronaći treći (kubni) korijen od 27 (27 113), utipkat ćemo "27 x 11' 3". korijen jednadžbe vrijednost varijable za koju je ta jednadžba istinita. Tako primjerice jednadžba x 2 - 5x = O ima dva korijena: X=

0 i X= 5.

kad transverzala presijeca paralelne pravce, korespondentni su kutovi jednaki

kosekans rrigonometrijska funkcija kuta u pravokutnom trokutu. Definira se kao omjer hipotenuze (najdulje stranice u pravokucnem trokutu) i karete nasuprotne promatranom kutu. Kosekans kuta a piše se kao cosec a . O n je uvijek veći ili jednak jedinici. Vrijednost je kosekansa nekog kuta jednaka recipročnoj vrijednosti sinusa tog kuta, to jest:

kosin us

62

kotangens

63

kosinusov poučak trigonometrijsko pravilo koje povezuje duljine stranica i kutove u trokutu. Ono se u matematičkom obliku piše kao

l cosec a = - . -sm a

kosinus trigonometrijska <>funkcija kuta u pravokutnom trokutu. Dobiva se dijeljenjem karete na kojoj leži kut s hipotenuzom (najduljom stranicom trokuta). Kosinus označavamo kraticom cos. Ova neprava kuta u pravokutnom trokutu zajedno imaju 90°, pa ih stoga nazivamo komplementarnim kutovima. Ako ih označimo s a i {3 , lako ćemo dokazati odnose:

a a kut nasuprot stranici a.

a 2 = b2 + c2 - 2bc cos gdje su a, b i e stranice trokuta, a

e

pravilo kosinusa

sin a= cos {3 sin {3 =cos

a

T o znači da je sinus nekoga kuta jednak ko-sin usu njegova ko-mplementarnog kuta. (Prefiks ko- označava odnos, udruživanje.) Ako ti kutovi primjerice imaju 30° odnosno 60°, tada možemo pisari sin 30° = cos 60° = 0,5 sin 60°

= cos 30° = 0,8660 A

kosin us

pravilo kosinusa glasi

a'

=b + e' - 2bc cos a 1

kotangens rrigonomerrijska fUnkcija kura u pravokutnom trokutu. Dobiva se dijeljenjem prileieće karete nasuprotnom katetom. Kotangens označavamo kraticom ctg, a jednak je reciproč­ noj vrijednosti tangensa istoga kuta, to jest: l ctg a= - tg a gdje je a zadani kut. A

kota n gens

nasuprotna kateta priležeća kateta priležeća

cos /l e

kateta hipotenuza

lac i

e

priležeća

TBAf ctg {3

=

l tg {3

COS

kateta

{3

= sin {3

pri ležeća kateta

l BC l

= nasuprotna kateta = lAC l

kraćenje

64

kraćenje postupak pojednostavnjivanja razlomka dijeljenjem brojnika i nazivnika istim brojem. Podijelimo li, recimo, u razlomku 5x/25 i brojnik i nazivnik brojem pet, dobit ćemo x/5, razlomak jednak prvom, ali od njega jednostavniji. To je dijeljenje moguće i simbolima, a ne samo brojevima. Tako kraćenj em brojni ka i nazivnika razlomka xj/2y dobivamo razlomak xy/2.

kraćenje polinoma jest njegovo svođenje na najjednostavniji oblik ukidanjem (poništavanjem) svih članova kojih je zbroj jednak nuli. Tako se primjerice izraz

a + 2b + b + 2a- 2(a + b) dade skratiti u a + b. krivulja u geometriji, skup svih točaka što ih crta neka točka koja se giba po određenom pravilu. Tako je kružnica skup svih točaka jed nako udaljenih od neke točke (središta). Od drugih važnijih geometrijskih krivulja spomenimo c::>elipsu, .::>parabolu, .::>hiperbolu. Te krivulje dobivamo presijecanjem plašta stošca (konusa) ravninom pod različitim kutovima, pa ih stoga zovemo konikama. krivulja normalne raspodjele (distribucije) lako prepoznatljiva zvonolika krivulja. Ona prikazuje sasvim slučajnu raspodjelu vrijednosti velikog broja elemenata oko neke središnje vrijednosti. krivulja normalne raspodjele

65

kružni dijagram

krnja tijela tijela nastala odrezivanjem ravninom okomitom na os simetrije, vrha nekog geometrijskog tijela. Njihov se obujam dobiva oduzimanjem obujma odrezanog od obujma početnog tijela. krug dio ravnine omeđen c::>kružnicom. kružnica skup svih točaka jednako udaljenih od zajedničkog središta; savršeno okrugla krivulja. Crta se jednim potpunim okretom šestara. Udaljenost kružnice (to jest svake njezine točke) od centra ili središta zovemo radiusom ili polumjerom. Ravnu crtu koja spaja dvije točke na kružnici i prolazi kroz njezino središte zovemo dijametrom ili promjerom. Njegova duljina iznosi dva radi usa. Tetive su dužine koje spajaju dvije točke na kružnici, promjer je poseban slučaj tetive. Luk je dio kružnice između dvije točke na njoj. Tangente su pravci koji dotiču kružnicu u jednoj točki. Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. Kružni isječak je dio ravnine omeđen dvama radiusima i lukom između njih. Kružni odsječak je dio ravnine omeđen tetivom i pripadajućim lukom. Opseg kruga je duljina najvećeg mogućeg luka, to jest duljina kružnice. Omjer izmedu opsega i dijametra za sve je krugove isti, a dan je .::>iracionalnim brojem 1t (pi), s približnom vrijednošću 3,141 6, pa je opseg kruga jednak O= 1td ili O = 2r1t, gdje su d ir promjer, odnosno radius kruga. Isti broj određuje i površinu kruga, koja iznosi P = r 2 1t. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. kružni dijagram jedan od mogućih grafičkih prikaza statističkih podataka. Polazi se od kruga koji se zatim (kao torta) dijeli na kriške (isječke) čija ploština odgovara udjelu nekog dijela u cjelini. Njegovu primjenu i izradu promotrimo na primjeru nekog mjerenja prometa. Postupak ide ovim slijedom:

(l) Svaki udjel pretvorimo u postotak. (2) Budući da l OO% čini puni krug (360°), l o/o iznosi 3,6°. Stoga postotke iz (l) množimo s 3,6. (3) Tako dobivene kutove za pojedine udjele s pomoću kutom jera ucrtamo u krug.

krug i kružnica

66

kubiranje

67

Taj se shematski prikaz može učiniti preglednijim sjenčanjem, šrafiranjem i - ako je moguće - bojanjem. Na kraju mu, dakako, moramo dodati i legendu.

krug i kružnica

kružni isječak ili sektor dio kruga zatvoren dvama radiusima i lukom koji ih spaja. kružni odsj ečak ili segment dio kruga odsječen ravnom crtom ili .::>tetivom, to jest dužinom koja spaja dvije točke na kružnici. Svi trokuti kojima je jedna stranica ta tetiva, a treći vrh leži na odgovarajućem luku kružnice, pri tom trećem vrhu imaju isti kut. kružni odsječak kutovi u kružnom

odsječku

''

........ ...........

veliki luk

kružni dijagram osobni

praCenje prometa po vrstama vozila - broj vozila prošlih za pt:t minuttJ

automobili 64,3%

vrsta vozil~

broj vozila

osobni automobili 18

kutna vetičina isječa ka

postotak

18/28 . 100=64,3%

64,3% ·

3,6 •23 1~

autobusi

2128·100= 7,1%

7,1%· 3,6• 26°

kamioni

1/28 · 100= 3,6%

3,6%. 3,6= 13°

kombiji

4/28 o 100= 14,3%

14,3% · 3.6= 51°

3

31'28. 100= 10,7%

10,7%. 3,6= 391)

28

100%

360°

bicikli ukupno

_ _ -"""* /

/

/

u=P =r=6

obodni kutovi nad tetivom su jednaki

kružni vijenac dio ravnine omeđen dvjema koncentričnim kružni cama. kub broj nastao c:>kubiranjem nekog broja. Tako su brojevi l, 8, 27 i 64 ku bovi brojeva l, 2, 3 i 4.

bicikli 10.7%

kamioni 3,6%

kubiranje računska operacija u kojoj se neki broj triput množi sam sa sobom. Tako kubiranje broja 5 možemo napisati kao:

53 = 5 · 5 · 5 = I 25

kubna jednadžba

68

kubna jednadžba jednadžba trećeg stupnja, jednadžba u kojoj je najviša potencija varijable kub. kubni (prostorni) metar metrička jedinica za volumen (obujam). Odgovara obujmu kocke s bridovima od l m. Manje su mjere kubni centimetar, kubni decimetar(= litra, l) itd., izvedene na sličan način iz centimetra, decimetra itd. kugla savršeno okruglo tijelo, to jest tijelo kojemu su sve točke površine jednako udaljene od središta. Tu udaljenost zovemo radiusom kugle. Ako je taj radius r, obujam kugle dan je izrazom

kutna minuta i sekunda

69

imaju točno 90°, .::>tupi kutovi su veći od 90° ali manji od 180°, dok su e:> izbočeni kutovi veći od 180° i manji od 360°. Kutove mjerimo primjerice c:>kutomjerom. Kut od 360° je takozvani puni kut, a kut od 180° zovemo

ispruženim kutom. kut 90'

l

~

V =_i_ r31t a njezino oplošje sa

3

90'

S= 4 r2 1t kumulativna frekvencija (učestalost) u statistici: za bilo koju odabranu vrijednost u nekom skupu podataka to je zbroj učestalosti svih članova skupa manjih ili jednakih odabranoj vrijednosti. Prikažemo li kumulativnu frekvenciju grafički, dobivamo posebnu krivulju, raspodjelnu ili distribucijsku krivulju.

90'

90'

l l l l

l l l l

kumulativna frekvencija 180' -

grafikon prikazuje kumulativnu (ukupnu) prodaju novih automobl'la kroz godmu

šiljasti kut

pravi kut

-

_\i\.lL.....!...---tupi kut

••-

~'-če_n_i

k-u-t-

-

ukupan broj prodanih automobila

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mjeseci u godini

kut dio ravnine omeđen dvjema zrakama (polupravcima) koje polaze iz iste točke. Kutove izražavamo .::>stupnjevima (0 ) ili c:>radijanima, a dijelimo ih najčešće prema dijelu ravnine koji zauzimaju. Tako su e:>šiljasti kutovi manji od 90°, .::>pravi kutovi

kut e levacije kutna udaljenost od horizonta. Tako je primjerice elevacija Sunca u zoru jednaka nuli, pa se polako penje do podnevnog maksimuma da bi do zalaska opet pala na nulu. S pomoću podnevne elevacije pomorci izračunavaju zemljopisnu širinu. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. kutna minuta i sekunda malene jedinice za precizno izražavanje kutova. Kuma minuta (simbol ') šezdeseti je dio kumog stupnja (simbol 0 ), a kuma sekunda (simbol") šezdeseti dio kutne minute.

kutomjer

70

kut e/evacije

kvadratna jednadžba

71

kvadrant dio ravnine omeđen pravim kutom. Kod grafičkog prikazivanja, kvadrant je omeđen osima ~Kartezijeva koordinatnog sustava. U prvom su kvadrantu vrijednosti obje koordinate (x i y) pozitivne, dok su u trećem obje negativne. U drugom je x negativan ay pozitivan, dok je u četvrtom obrnuto.

kut elevacije

kvadrant kvadranti u koordinatnom sustovu

y

drugi kvadrant

x negativan, y

kutomjer jednostavan uređaj za mjerenje kutova u ravnini; polukrug koji na obodu ima urezanu ljestvicu sa stupnjevima. Pomoćni pribor u tehničkom crtanju.

pozitivan

------------~--------~x treći

kvadrant

x i y negativni

kutomjer

kut koji mjerimo

prvi kvadrant

x i y pozitivni

četvrti

kvadrant x pozitivan i y negativan

kvadrat geometrijski lik, četverokut s četi ri jednake stranice i četiri jednaka kuta, pravokutnik jednakih stranica. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kutom, a njihovo ih sjeci~te prepolavlja. Ako je a duljina stranice, njegova je ploština P dana izrazom P= a -a = a 2

kutomjer

kvadratna jednadžba polinomna jednadžba drugog stupnja, to jest takva u kojoj je najviša potencija nezavisne varijable 2. Opći je oblik takve jednadžbe ax 2 + bx +e=

mjereni kut iznosi 54•

kvadar geometrijsko tijelo sa šest pravokutnih strana. Takvo tijelo zovemo i četverostranom prizmom ili paralelepipedom. Građevinska opeka ima oblik kvadra.

O

U njoj su koeficijenti a, b i e realni brojevi, s time da je a različit od nule. U ~analitičkoj geometriji kvadratna se jednadžba prikazuje ~parabolom. Rješenja jednadžbe su točke u kojoj ta parabola siječe os x. Neke se kvadratne jednadžbe dadu riješiti ~faktorizacijom . Sličnim se postupkom došlo i do opće formule koja daje rješenje kvadratne jednadžbe:

kvadratni korijen X=

kvocijent

73

72

Algebarski se izrazi kvadriraju tako da im se eksponent podvo-

-b± ...Jb 2 - 4ac

struči a koeficijent kvadrira

2a

(x2)2 = x4

Ovisno o vrijednosti diskriminante, to jest izraza

b2 - 4ac

(6/) 2 = 36l

kvadratna jednadžba može imati dva različita realna korijena, dva jednaka realna korijena ili dva kompleksna korijena (rješenja). Kad vrijedi

Broj kojemu je ~kvadratni korijen cijeli broj zovemo potpunim kvadratorn. Takvi su primjerice 25, 144 i 54 756 (jer su im korijeni 5, 12, odnosno 234). Kvadrat binoma (dvočlanog izraza) može se razviti kao

b2 - 4ac >O

(a+ b)2 = a 2 + b 2 + 2ab (a - W=a 2 +b 2 - 2ab

dobivamo dva različita, realna korijena. Kad vrijedi

b2 - 4ac =O

Važna je i faktorizacija razlike kvadrata

dobivamo dva jednaka realna korijena. Napokon, kad je

x2- y 2 = (x - y)(x + y)

b2 - 4ac
2

Izraz (x +j) ne možemo jednostavno razložiti na faktore.

dobivamo dva različita, međusobno konjugirana kompleksna korijena.

kvocijent rezultat dijeljenja jednoga broja drugim.

kvadratni korijen nekoga broja jest broj koji kvadriranjem daje taj broj. Tako je primjerice kvadratni korijen od 25 jednak 5 ili -5, zato što ta dva broja, pomno7-ena sa samim sobom (kvadrirana) daju promatrani broj 25.

5. 5 = (- 5). (- 5) = 25 Kvadratni korijen označavamo simbolom --lsravljenim ispred broja, odnosno eksponentom 112 stavljenim iznad njega. Na primjer -JI6 = 16 112 = 4. Zašto je korjenovanje dizanje baš na ru potenciju shvatit ćemo iz jednakosti

allza•'z = (a•'z)2 = a• = a Vađenje korijena je naime operacija suprotna d izanju nakvadrat (~kvadriranj u).

kvadriranje računska operacija, množenje broja samim sobom, dizanje na drugu potenciju, računska operacija opisana ~poten­ cijom 2, primjerice

l

75

kvadrira (logaritmi se množe s 2) odnosno vadi drugi korijen (logaritmi se dijele s 2). Danas je logaritamsko računalo gotovo sasvim izašlo iz upotrebe jer ga je zamijenio brži, točniji a često i jeftiniji kalkulator.

L latituda

luk

~zemljopisn a

duljina i širina

linearna jednadžba jednadžba u kojoj se nalaze samo prve potencije nepoznanica (x, y, ... ), a ne sadržava ni umnoške dviju ili više nepoznanica. Na primjer

ax+by =c je linearna jednadžba s dvije nepoznanice. linearno programiranje u primijenjenoj matematici, skup postupaka z.a pronalaženje maksimuma ili minimuma nekih varijabli na temelju linearnih jednadžbi i nejednadžbi. Ti maksimumi i minimumi važni su za pronalaženje "optimalnih" (najboljih) rješenja, to jest rješenja koja daju najbolji kompromis kod više suprotstavljenih zahtjeva. litra jedinica za obujam (simboli L, l); kubični decimetar. log kratica za ~logariram. logaritam ~eksponent kojim treba potencirati neku bazu, najčešće l O (u tom slučaju govorimo o ~dekadskom logaritmu) da bi se dobio željeni broj. Tako je logaritam od 1000 jednak 3 zato što je 10 3 = 1000, a logaritam od 2 jednak je 0,30103 zato što je 2 = l Q3,oto3. logaritamsko računalo ("šiber") analogno mehaničko raču ­ nalo bazirano na svojstvima logaritama. Ono je sastavljeno od dvije logaritamske ljestvice koje klize jedna preko druge. Brojevi su na njima prikazani grafički, to jest kao određene duljine, razmjerne vrijednosti njihovih logaritama. Mnoienje se može prikazati kao zbrajanje dvaju logaritama, a oni se na logaritamskom računalu dadu zbrajati grafički, to jest nadovezivanjem ljestvica brojeva koji se množe, nakon čega se rezultat očita izravno. Slič­ no se pomoću tog računala i dijeli (oduzimanjem logaritama),

longituda ~zemljopisna duljina i širina luk u geometriji, dio krivulje ili kružnice. Kod kružnice razlikujemo tri vrste luka: polukružnicu, to jest točno polovicu kružnice, mali kružni luk, manji od polukružnice i veliki kružni luk, veći od polukružnice. Kružne lukove izražavamo u ~stupnjevim a ili u ~radij an ima, to jest mjerimo ih kutom što ga sa središtem kružnice zatvaraju točke na njegovim krajevima. Zbog toga je veličina polukružnice 180°, dok je veličina maloga kružnog luka manja, a velikoga veća od 180°, ali manja od 360°. Duljinu luka možemo izračunati prema formuli

l

s

= 360o . 2r1t

gdje su Lduljina luka, S kut što ga zatvara kut, ar radius kružnice (odnosno radius zakrivljenosti krivulje). Izraz 2r1t zapravo je opseg kruga.

matrica

77

dardnom kilogramu - plarinsko-iridijskom valjku što se čuva u Sevresu kraj Pariza.

M magični kvadrat kvadratna tablica brojeva (s jednakim brojem stupaca i redaka) u kojem zbrajanje različitih članova po redovima, stupcima i di j ago nalama uvijek daje isti rezultat. Kao jednostavni primjer navedimo:

6 l 8

7 5 3

2

9 4

u kojem nalazimo brojeve od l do 9, a zbroj je 15.

magnituda veličina bez obzira na predznak ili smjer, primjerice duljina <)vektora.

makro- prefiks koji označava jako velike razmjere ili mjerilo; suprotno od <)mikro-. maksimum <)minimum i maksimum mantisa decimalni dio c::>logaritma. Tako je primjerice vrijednost logaritma broja 347,6 iznosi 2,5411, pa mu je marisa 0,5411. Cijeli dio logaritma (u ovom slučaju 2) wvemo njegovom <)karakteristikom.

masa mjera inercije (tromosti) nekoga rijela. Masa je zapravo omjer sile koja djeluje na neko tijelo i akceleracije kojom se ono ubrzava zbog djelovanja te sile. O masi ovisi i sila koja djeluje na neko tijelo u određenoj točki Zemljine površine, no ta se sila donekle mijenja od mjesta do mjesta. Silu kojom neko tijelo djeluje na ravnu podlogu zovemo režinom. Zbog toga masu možemo mjeriti i uspoređivanjem težina promatranih tijela, dakako ako mjerenje obavljamo na istome mjestu. U SI-susravu masa se izražava u kilogramima. O n otprilike odgovara masi kubičnog deci metra vode, a definira se prema sran-

matematička indukcija formalni postupak matematičkog dokazivanja koji se svodi na dokaz da iz istinitosti neke tvrdnje za jedan član u nizu slijedi da je ona istinita i za sljedeći član toga niza, drugim riječima da iz pretpostavke P(n) slijedi P(n+ l). Pošto smo to dokazali, dovoljno nam je dokazati istinitost te tvrdnje za prvi član niza, pa smo je time dokazali i za sve njegoxe članove. brojčan im odnosima. Nju dijelimo na čistu ili teorijsku i primijenjenu matematiku. Prva se dalje dijeli na geometriju, aritmetiku, algebru, infinitezimalni račun i trigonometriju. U potonjoj pak nalazimo sraristiku, numeričku analizu, računalstva, kao i matematički aparat mehanike, astronomije, nauke o elektricitetu, optike, termodinamike i kvanene fizike.

matematika znanost o prostornim i

matrica kvadratna (n· n) ili pravokutna (m · n) tablica elemenata (brojeva ili algebarskih varijabli) poredanih u retke i stupce. Matrice predstavljaju sažeti oblik pisanja informacija o matematičkim sustavima, re mogu, između ostalog, poslužiti za rješavanje sustava više <)jednadžbi s više nepoznanica. Matricu koja ima samo jedan stupac zovemo stupčanom matricom a matricu sa samo jednim retkom retčanom matricom. Dvije se matrice množe kombiniranjem stupaca lijeve i redaka desne matrice. T o je, moguće samo ako prva matrica ima onoliko stupaca koliko druga ima redaka. Tako nastaje nova matrica čiji su elementi umnošci redaka prve matrice sa stupcima druge. Ako imamo dvije matrice

B=~

:]

medijan

78

79

milijun

Pred osnovne i izvedene jedinice stavljaju se u tom sustavu i

tada

· Lap +br AB- cp+ dr

aq +b~ cq +drj

Za množenje matrica vrijedi zakon asocijacije, tj. (AB) C

=A(BC),

ali ne mora vrijediti i zakon komutacije. jedinična

matrica matrica I koja se ne mijenja kada se s njom množi druga matrica. Tako je, primjerice, jedinična matrica s dva

stupca i dva retka:

[~ ~J inverzna matrica Pod uvjetom da lA l (Qdeterminanta od A) nije nula, kvadratna matrica A ima inverznu matricu A·l, takvu da vrijedi AA·1 = A-1A = l medijan srednji broj u uređenom skupu brojeva. Ako takvog broja nema (zato što je broj članova te grupe paran), medijan je Qsrednja vrijednost dva srednja broja. Tako primjerice u skupu 2, 3, 7, ll i 12 medijan iznosi 7, a u skupu 3, 4, 7, 9, ll, 13 to je 8 (sredina između 7 i 9). medijana Qtežišnica međunarodni sustav jedinica (SI), metrički sustav mjera prvotno razvijen u Francuskoj koncem 18. stoljeća za vrijeme Francuske revolucije. U 19. stoljeću prihvatile su ga i mnoge druge zemlje, dok je 1960. međunarodna konferencija za utege i mjere preporučila opće prihvaćanje popravljenog sustava SI (Systeme International d'Unites), sa 7 propisanih "osnovnih jedinica", od kojih spomenimo metar (m) za duljinu, kilogram (kg) za masu i sekundu (s) za vrijeme.

određeni prefiksi koji im povećavaju odnosno umanjuju vrijed. nost. Prefiks te1-a (T ) povećava vrijednost jedinice bili jun puta,

prefiks giga (G) milijardu, mega (M) milijun, kilo (k) tisuću, hekto (h) stotinu, deka (da) deset puta. Prefiks deci (d) smanjuje jedinicu deset puta, centi (e) stotinu, mili (m) tisuću, mikro (Jl) milijun, nano (n) milijardu, piko (p) bilijun, Jemto (f) bilijardu i ato (a) trilijun puta. mega- prefiks koji označava množenje s milijun. Tako je primjerice l MW (megawatt) isto što i l 000 000 W (milijun watta). memorija u Qkalkulatoru, dio za pamćenje brojeva s kojima kanimo još raditi. Na kalkulatoru obično postoje dvije tipke za rad s memorijom. Jedna sprema broj na zaslonu u memoriju, dok druga broj iz memorije prikazuje na zaslonu. metar (simbol m) SI jedinica za duljinu. Danas ga definiramo kao put što ga svjetlost u vakuumu prevali za 1/299792458 sekundi. metoda pokušaja i pogreške postupak rješavanja problema koji polazi od neke u biti proizvoljne polazne pretpostavke na temelju koje dolazi do približnog rezultata. Na temelju tog približnog rezultata, odnosno njegova odstupanja od željenog, ispravlja se ona početna polazna pretpostavka, pa se iz nje izvodi novi, točniji rezultat. Taj se postupak ponavlja sve dok se ne dobije rezultat željene točnosti. Ta se metoda zove i metoda Qiteracije (ponavljanja). metrologija znanstvena disciplina koja se bavi mjerenjima i mjernim jedinicama. mikro- prefiks (simbol Jl) koji označava jednu milijunrinku (lO-<>), to jest milijunti dio. Tako je primjerice mikrometar Jlm (znan i kao mikron, Jl) jednak milijuntinki metra ili tisućinki milimetra. mili- prefiks (simbol m) koji označava jednu tisućinku (10·3), to jest tisućiti dio. Tako je npr. milimetar (mm), tisućiti dio metra. milijun tisuću tisuća, l 000 000 ili 106 •

80

milimetarski papir

milimetarski papir papir s ucrtanom milimetarskom mrežom koja pri izradbi grafikona i nacrta uvelike olakšava unošenje točaka.

81

množenje

minimum i maksimum

milja stara mjera, od lat. milia passum, to jest "tisuću koraka" (dvostrukih, lijevom i desnom nogom). Od mnogo povijesnih milja, danas su se zadržale anglosaksonska (1,60934 km) i imernacionalna pomorska ili nautička milja (1,852 km), jednaka jednoj meridijanskoj r::>minuti (minuti zemljopisne širine). mimoilazni ili mimosmjerni pravci pravci koji se ne sijeku jer ne leže u istoj ravnini. Za svaki par mimoilaznih pravaca postoji neka najmanja udaljenost među njima. Spojnica točaka u kojima se ona postiže okomita je na oba pravca. mimoi/azni pravci kad dva zrakoplova lete na različitim visinama i po različitom kursu, n;ihove se putanje mimoilaze

/

-----rr-7/ okomica na obje putanje

l

~

-+

: /

/ /

/

moguća

""' najmanja udaljenost između zrakoplova jest duljina okomita na obje putanje

minimum i maksimum u r::>analitičkoj geometriji, maksimum je točka u kojoj r::>funkcija prestaje rasti i počinje padati, dok u minimumu prestaje padati i počinj e rasti. Obje se točke nalaze tako da se na krivulji traže točke u kojima je nagib tangente jednak nuli. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. minus simbol "-" koji označava oduzimanje odnosno negativni broj. minuta {kutna) jedinica za izražavanje kuta, 1160 kutnog stupnja. Simbol joj je"'". Minuta se dalje dijeli na 60 sekundi. minu~a (vremenska) jedinica za vrijeme, 60 sekundi. Simbol: min. Sezdeset minuta čini jedan sat.

mjerenje uspoređivanje s etalonom ili mjerkom (jasno definiranom veličinom). mjerilo na kartama i nacrtima, omjer nacrtane i stvarne veličine. Obično se izražava u obliku omjera. Tako na kartama rađenima u mjerilu l : l 000 000 svaki nacrtani milimetar označava l km (= l 000 000 mm) u prirodi. mjerka r::>etalon mješoviti razlomak razlomak koji pišemo kao kombinaciju cijelog broja i pravog razlomka (manjeg od 1). Kao primjer navedimo 3 Y:z (tri i jedna polovina), što se kao nepravi razlomak piše 712. Pri računanju, najprije računamo s cijelim a potom i s razlomljenim dijelom, pa rezultate zbrojimo. Ponekad uporaba mješovitih razlomaka dovodi do zabune, pa je bolje služiti se nepravim razlomcima. mnogokut r::>poligon množenje jedna od četiri osnovne računske (aritmetičke) operacije. Obično ga pišemo kao a · b, a x b ili ab. Množenje se dade svesti na zbrajanje. Tako nam ab zapravo govori da broj a trebamo b puta pribrojiti samome sebi. Množenje je r::>komutativno,

Miibiusova vrpca

82

~asocijativno i ~distributivno u odnosu na zbrajanje, a svi brojevi (osim O) u množenju imaju svoj inverzni element. Broj l je ~neutralni element za množenje.

Mobiusova vrpca geometrijska ploha s jednim bridom i jednom stranom. To je zapravo plosnata vrpca spojena u petlju, ali joj je kraj pri spajanju izvrnut, kao kad primjerice, zabunom pri zakapčanju izvrnemo kraj remena. Kad takvu vrpcu presiječemo uzduž, nećemo dobiti dvije petlje, nego opet samo jednu, dvaput dužu. U tehnici se u Mobiusovu traku često spaja prijenosno remenje. Tako se ono troši s obje, a ne samo s jedne strane, što mu povećava trajnost. mod najčešći element neke grupe. Tako je, primjerice, mod grupe O, O, 9, 9, 9, 12, 87, 87 njezin element 9. Treba napomenuti da nemaju svi skupovi mod. Modovi se primjenjuju, primjerice, kod oglašavanja. Ako istraživanja pokazuju da je modalna starost kupaca strojeva za rublje 25-30 godina, onda će se na reklamama pojavljivati ljudi baš te dobi. modul drugi naziv za ~apso lutnu vrijednost. mreža dva skupa obično paralelnih crta koje se sijeku pod nekim kutom. U pravokutne mreže ucrravamo grafove. lzometrijska mreža služi za dvodimenzionalno prikazivanje tijela, i to tako da duljine na grafikonu odgovaraju duljinama na tijelu. mreža sustav ~čvorova (spojeva) i ~l ukova (Rutova) kojima reku dobra, usluge, ljudi, novac ili informacije. Često ih nalazimo na topološkim kartama. mreža

N nagib isto što i ~gradij ent. najmanji zajednički nazivnik broj na koji se mogu svesti svi nazivnici zadanog niza razlomaka. ~jednički nazivnik najmanji zajednički višekratnik najmanji broj koji je ~za­ jednički višekrarnik svih brojeva u promatranom skupu.

Dobivamo ga rako da sve brojeve, elemente skupa, najprije prikažemo u obliku umnoška ~prim-brojeva te odredimo najmanji umnožak prim-brojeva koji je djeljiv svakim od promatranih brojeva. Za primjer uzmimo skup brojeva 6, 8 i 15. Tada je

6 = 2·3 8= 2·2·2 15 = 3. 5 Stoga je 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, najmanji zajednički višekracnik brojeva 6, 8 i 15. na~_veći zajednički faktor u nekom skupu brojeva, najveći broj kOJI sve članove rog skupa dijeli bez ostatka. Tako je primjerice najveći zajednički faktor skupa brojeva 36, 48 i 72 broj 12. nasuprotna stranica, u trokutu, stranica što leži sučelice nekom kutu; stranica koja nije krak promatranoga kura. nazivnik u razlomku, broj ispod razlomačke crte. Tako ga zovemo zato što razlomak nazivamo po njemu (trećina, četvrtina itd.). Broj iznad razlomačke crte zovemo ~brojnikom. negativan smjer zakreta smjer jednak smjeru kruženja kazaljki na uri. negativni broj svaki ~realni broj manji od O. Raču nanj e s njima slično je računanju s ~pozitiynim brojevima. Umnožak dva negativna broja je pozitivan broj. Svaki pozitivni broj ima

nejednakost

84

suprotni broj među negativnim brojevima, a rezultat je njihova zbrajanja jednak nuli.

niz ili progresija

85 nesimetrična

na grafikonu su prikazane frekvencije raznih tjednih plaća

srednja ~rijednost

raspodjela broj radnika

nejednakost tvrdnja da je neka veličina veća ili manja od druge, a pišemo je s pomoću simbola > ("veće od") i < ("manje od"). Nejednadžbe rješavamo tako da otkrijemo skup brojeva koji ih zadovoljavaju. Tako je primjerice rješenje nejednadžbe

raspodjela je nesimetrična u odnosu na srednju vrijednost

2x+5<1 9 10

skup svih x < 7. Iz simbola > i < izvodimo i simbole ;?: (veće ili jednako) i ::;; (manje ili jednako) kao u primjeru

x 2 ;?: 9

49 = 72 = l + 3 + 5 + 7 + 9 + ll + 13

nepravi razlomak razlomak kojemu je brojnik veći od nazivnika. nesimetrična raspodjela u statistici, raspodjela u kojoj frekvencije nisu simetrično raspoređene oko srednje vrijednosti. Tako, primjerice, male plaće zarađuju mnogi ljudi, dok je onih s velikima malo. Velike plaće, međutim, pomiču srednju vrijednost na svoju stranu, tako da se plaće čine boljima nego što stvarno jesu. Vidi prikaz na sljedećoj stranici.

neutralni element broj koji pri nekoj operaciji ostavlja druge brojeve nepromijenjenim. Takva je operacija primjerice pribrajanje nule ili množenje jedinicom: 7+ 0=7

7 ·l= 7 Lako je d okazati da u svakoj računskoj operaciji postoji samo jedan neutralni element. Pretpostavimo da u zbrajanju postoje dva različita neutralna elementa, j i i.

30

40

50

60

70

tjedne plaće u funtama

Tada vrijedi

U tom slučaju x mora biti 3 ili veći od 3, ili -3 ili manji od -3. neparnost svojstvo broja da je nedjeljiv (bez ostatka) s 2. Stoga neparni brojevi tvore niz l, 3, 5, 7, ... Svaki n 2, kvadrat broja n, možemo dobiti kao zbroj prvih n neparnih brojeva, npr.:

20

i+ j

=i

zato što je j neutralni element, ali vrijedi i t+ J

=J

iz čega slijedi l=]

što proturječi polaznoj pretpostavci. Sličan se dokaz može izvesti i za neutralni element u slučaju množenja.

nezavisna varijabla varijabla čija vrijednost ne ovisi o vrijednosti nijedne druge varijable. Ona se obično označava simbolom x, dok zavisnu varijablu označavamo simbolom y. Tipična je nezavisna varijabla vrijeme. ništica ~nula niz ili progresija u matematici, uređeni skup brojeva u kojem svaki prema svom prerhodniku stoji u nekom poznatom i nepromjenjivom odnosu. Tako je primjerice ~aritmetički niz određen nepromjenjivom razlikom vrijednosti između članova i njihovih prethodnika, kao primjerice u nizu 2, 4, 6, 8 - u kojem je razlika 2. Kod ~geometrijskog niza među članovima postoji stalan omjer, to jest svaki se sljedeći član dobiva množenjem prethodnog člana nekim nepromjenjivim brojem. Tako je u nizu 3, 6, 12, 24 svaki sljedeći član dva puta veći od prethodnog. Harmonijski niz

normalan

je niz razlomaka u kojem nazivnici tvore jerice l, 1/2, 1/3, 114.

86 aritmetički

niz, prim-

normalan .::>okomit normalna raspodjela .::>krivulja normalne raspodjele

o

nula ili ništica broj (označen znamenkom O) koji dobivamo kad

obrazac karakterističan raspored likova ili brojeva.

neki broj oduzmemo od samoga sebe, odnosno kad zbrojimo dva broja iste apsolutne vrijednosti, ali obrnutog predznaka (+ odnosno - ). Nulu napokon možemo defini rati i kao broj koji, pribrojen bilo kojem broju, ne mijenja njegovu vrijednost, odnosno kao broj koji pomnoien bilo kojim brojem ostaje nepromijenjen.

obujam .::>volumen očekivanje u statistici, najvjerojatnija, očekivana vrijednost neke sl učajne varijable, npr. rezultata fizikalnog mjerenja.

odnos .::>relacija odsječak dužina što je na nekom pravcu odsijecaju dva pravca ili jedan pravac i jedna krivulja. odsječci krivulje y

·u;

.....o

><J

·*-..,o odsječak

osi x

x

odstupanje .::>devijacija oduzimanje izuzimanje, odvajanje jednog skupa iz drugog, smanjivanje nekog skupa za drugi skup. Oduzimanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke (računske) operacije. Oduzimanje nije c:>komutativno jer

a- b -:t b- a a niti je .::>asocijativno jer a - (b- e) -:t (a - b) - e

okomica ili n ormala

89

88

oplošje

oktaedar

Primjerice

8 - 5;t:5-8 7- (4- 3) ;t: (7- 4)- 3 okomica ili normala pravac ili dio pravca okomit na neku krivulju ili plohu, to jest pravac (ili dio pravca) koji s njenom ~tan­ gen tom zatvara pravi kut (90°). U svakodnevnom živo tu okomicu na tlo, tj. vertikalu određuje mo s pomoću viska, jer sila teže djeluje pod pravim k utom na vodoravn u ravninu.

svaka je od osam strana oktaedra jed· nakostranični trokut

okomica (normala J p

oktogon ~osmerokut omjer odnos dvaju iznosa; jedan iznos izražen kao dio drugog. Tako je primjerice omjer samoglasnika prema suglasnicima u hrvatskoj abecedi 5 : 25, a omjer širine i visine kvadrata l : l. B

operacija (matem at ička ) kombiniranje veliči na, brojeva, matrica i(ili) vektora kojim nastaju druge veliči ne. Osnovne su aritmetičke operacije zbrajanje, od uzimanje, množenje i dijeljenje. S matricama možemo izvršiti sve operacije kao i brojevima, ali zato vektore možemo množiti na dva načina. Jedan je od njih ~vektorsko, a drugi ~skalarno množenje. Kod skalarnog množenja rezultat je čisti broj lišen smjera (skalar). Rezultat vektorskog množenja je opet vektor, i to okomit na ravninu u kojoj leže dva vektora koji se množe.

A PQ je okomit na AB

okomit ili normalan postavljen prema nečemu pod pravim kutom (90°). Tako primjerice pravci u prostoru koji ne leže u istoj ravnini, te se ne sijeku, imaju jedn u zajedničku okomicu, i to baš u točkama u kojima se jedan drugom najviše p ri miču. o ktaedar, pravilni pravilno geometrijsko tijelo s osam iden tič­ nih strana, jednakostraničnih trokuta. Oktaedar je jedan od pet pravilnih poliedara ili Platonovih tijela. U središtima strana nalaze se vrhovi kocke, dok možemo gledati i obratno, da se vrhovi pravilnog oktaedra nalaze u sred ištima strana opisane kocke. Zbog toga kocku i oktaedar smatramo dualnim tijelima.

l

o pisana kruž nica kružnica koja prolazi kroz sve vrhove mnogokuta (poligona). N ije moguće opisati kr užnicu oko svakog mnogokuta, ali ju je moguće opisati oko svih pravilnih mnogokuta, kao i oko svih trokuta. O d četverokuta kružnicu je m oguće opisati samo onima kojima zbroj nasuprotnih kutova iznosi 180°. oplošje zbroj ploština svih stranica geometrijskoga tijela; njegova ukupna ploština.

opseg

90

oplošje

osna simetrija ili zrcaljenje

91 opseg

32mm

oplošja nekih poznatijih geometrijskih tijefa

._________.l f·· oplo!je kocke (svo strane jednake) O = 6 pl~tina strano

o= Sa'

oplo!je paralelepipeda (kvadra) (identične sve: nasuprotne strane) O • dvije plo!tine teone sttanice + dvije plo!ti ne baze + dvije ploštine bočne strane

O • 2ab + 2ac + 2bc

/j~·

opseg ovog pravokutnika iznosi 32 + 15 + 32 + 15 =94 mm

ordinata u c:>analitičkoj geometriji koordinata y neke točke, drugim riječima, najmanja udaljenost od osi x. Tako je primjerice ordinata točke (3,4) jednaka 4. Prva koordinata neke točke x zove se c:>apscisa. ordinata

y

4 oplošje valjka O = p loština plašta + dvije ploštine baze O = 2n • (radius baze • visina} + 2n (radius baze)' O 2nrh + 2nr' O= 2nr (h+ r)

=

oplošje stošca O • ploština plašta + ploština baze O • n (radius baze • visina plašta) + n (radius baze)' O • nrl + :u1 O .. nr (l + r)

3

• (5,3)

2

l l ordin ata 2

oplošje kugle

O = 4n radius 2 O a. 4nr2

opseg duljina krivulje koja prolazi kroz sve točke koje omeđuju neki lik; u kupna duljina svih stranica nekog geometrijskog lika. Tako opseg pravokutnika dobivamo zbrajanjem sve četiri njegove stranice, a opseg kruga množenjem njegova promjera s konstantom rr. Vidi p rikaz na sljedećoj stranici. orbita, putanja ili staza kojom se neka točka giba. Taj se pojam najčešće primjenjuje u astronomiji pri opisivanju puta nebeskih tijela.

3

4

5

X

orijentacija vektora njegov smjer. Vektori suprotnog smjera a jednakog iznosa međusobno se poništavaju. ortodroma <>velika kružnica osi u matematici često isto što i <>koordinatne osi. Postoje osim toga i rotacijske osi (pravac oko kojeg neko tijelo ili lik rotira} kao i osi simetrije. Ako geometrijski lik ili tijelo zarotiramo oko njegove osi simetrije za izvjestan kut, njegov se izgled neće p romijeniti: primjerice zakrenemo li krug za bilo koji kut. osmerokut <>poligon (mnogokut) s osam stranica, oktogon. osna simetrija ili zrcaljenje .::>transformacija koja neki lik pretvara u njegovu zrcalnu sliku, to jest transformacija koja ga oko neke osi u ravnini zakreće za 180° (izvan te ravnine}. Tu os zovemo os

ostatak

92

simetrije. Postavimo li dvije takve osi okomito jednu na drugu, rezultat će biti isti kao pri .::>rotaciji za 180° oko sjecišta dviju osi. Zrcaljenje je moguće i u prostoru. U tom slučaju mjesto osi simetrije preuzima ravnina simetrije. U tom su slučaju točka predn:era i pridružena točka njegove slike jednako udaljene od te ravmne. osna simetrija

p g--·"'· X

zrcalna

y osna simetrija znaka P s obzirom na os XY je os simetrije između P i njegove slike prva os

druga os

zrcaljenje na dvije paralelne osi dovodi do translacije - lijevi se P pomakao sasvim desno, ne pretrpjevši pritom nikakve promjene oblika, veličine ili orijentacije

prva os

druga os

zrcaljenje lika P na dvije međusob· no okomite osi dovodi do rotacije za 1so• oko njihova sjecišta

ostatak pri dijeljenju dva cijela broja, najmanji broj koji bismo

morali oduzeti od djeljenika (dividenda) da bi rezultat dijeljenja bio cijeli broj. Tako ako broj l l podijelimo brojem 3, ostatak je 2, jer je 9 (= ll - 2) djeljiv s 3. Gdjekad govorimo i o decimalnom ostatku, pa u gornjem slučaju (l I : 3 = 3,6666...) decimalni ostatak iznosi 0,6666... Decimalni ostatci mogu biti konačni (primjerice O, I 25), ili periodički (0,6666... ili 0,37373737...). U drugom slučaju ostatak ima beskonačan broj decimala, ali su nam one - zbog pravilnosti ponavljanja- sve poznate, makar ih i ne možemo sve ispisati (osim simbolički) . ovalan jajolik, sličan c:>elipsi. ovojnica c:>envelopa

p palac (inch} anglosaksonska mjera za duljinu, 2,54 cm. parabola jedna od e:> konika, krivulja koja nastaje presijecanjem

uspravnog kružnog stošca ravninom paralelnom s jednom od njegovih izvodnica. Primjer je parabole grafički prikaz funkcijey =xl u Kartezijevu sustavu. Parabolu je moguće definirati i kao skup svih točaka jednako udaljenih od neke nepomične točke (fokusa ili žarišta) i nepomičnog pravca (direktrise). Parabolična zrcala (sa zrcalnom plohom nastalom rotiranjem parabole oko vlastite osi) mnogo se primjenjuju u optici, jer se zrake, koje na tako oblikovano zrcalo padaju paralelno s njegovom osi, koncentriraju u njegovu žarištu. Vrijedi i obratno: toč­ kasti svjetlosni izvor u njegovu fokusu baca uzak, paralelan snop. Prvo se svojstvo primjenjuje pri izradi teleskopa, a drugo u reflektorima. parabola

paralelni pravci i paralelne ravnine

94

paralelni pravci i paralelne ravnine usporedni pravci i ravnine, koji se pružaju jedno uz drugo na određenoj udaljenosti. paralelogram četverokut (geometrijski lik s četiri stranice) kod kojeg su nasuprotne stranice jednako duge i usporedne, a nasuprotni kutovi jednaki. Dijagonale paralelograma uzajamno se prepolavljaju. Ploština mu je jednaka umn o~ku jedne stranice i visine na tu stranicu. Kad su sve stranice paralelograma jednake, ali ne nužno i svi kutovi, dobivamo poseban slučaj koji se zove romb. Kad su kutovi pravi (90°), dobivamo pravokutnik, a kad su svi kutovi pravi i sve stranice jednake, riječ je o kvadratu. paralelogram

{l) jed nake nasu protne stran ice i nasuprotni kutovi

periodični

95

decimalni broj

parametar karakteristična konstanta u nekom matematičkom izrazu, n pr. u jednadžbi pravca y = a+ bx, parametri su a i b, ax i y su nezavisna i zavisna varijabla. parni broj broj djeljiv s 2. Parni su brojevi dakle O, 2, 4, 6 i 8, kao i svaki broj koji njima završava, primjerice 1736. Možemo reći i da je paran svaki onaj broj koji završava parnom znamenkom. Sve cijele brojeve koji nisu parni zovemo neparnima. Pascalov trokut trokutasti raspored brojeva (s brojem l u vrhu), u kojem je svaki broj zbroj para brojeva iznad sebe. Zbroj horizontalnog retka Pascalova trokuta uvijek je jednak broju 2 dignutom na potenciju koja odgovara broju retka (gledanog odozgo), s tim da najviši, j ednočlani redak smatramo nultim. Tako primjerice l+ 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + l = 64 = 26• Ti retci ujedno daju i binomnu funkcij u raspodjele, to jest vjerojatnost neke kombinacije ishoda kod zbivanja koje može imati samo dva, i to jednako vjerojatna ishoda. Pascalov trokut

l 2

l

3

3 l 6 4 l s 10 10 s l 6 IS 20 IS 6 l 7 21 3S 3S 21 7 4

{ll) dijagonale se uzaj amno prepolavljaju

[[ l

...~t----

a

periodična funkcija funkcija čije se vrijednosti ponavljaju nakon određenog perioda (razmaka). Primjer su periodičnih funkcija ~trigonometrijske funkcije kojima se vrijednosti ponavljaju nakon svakog punog kuta (360°).

...

{lill ploština paralelograma dana j e izrazom P =

a ·v

periodični decimalni broj broj s beskon ačnim nizom decimala koje se ponavljaju po nekakvom pravilu. U dekadskom sustavu dobivamo ih dijeljenjem svim cijelim brojevima osim 2 i 5 (i njihovim potencijama). Tako je 113 = 0,3333 ... , 1/6 = 0, 16666... , 2/11 = 0,0 181818 ...

96

permutacija

permutacija svaki od mogućih poredaka elemenata nekog skupa. Ukupan broj permu racija a elemenata dan je izrazom a!, gdje "! "označava ~faktorijel (prirodni broj pomnožen sa svim svoj im prethodnicima). Na primjer, permutacije prva 3 slova abecede jesu: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Vidi također ~kombinaciju. perspektiva način sagledavanja trodimenzijskog predmeta i njegova crtanja u dvodimenzijskoj ravnini. Kod crtanja u perspektivi crte koje su prema promatraču vodoravne ili okomite ostaju nepromijenjene, ali se produžeci crta koje se od njega udaljuju svi sastaju u jednoj od dvije karakteristične točke. Jedna od tih roča­ ka nalazi se lijevo, a druga desno od crteža, na udaljenosti koja ovisi o kutu pod kojim se promatra predmet crteža. perspektiva

Pitagorin poučak

97

piktogram slikovni prikaz statističkih podataka u kojem se pojedine veličine prikazuju znakovima (recimo siluetama ljudi, vojnika, ro ba, kuća itd.) piramida geometrijsko tijelo nastalo spajanjem vrhova ~poligo­ na (višekutnika), koji tvori njegovu bazu, s nad njim uzdignutom točko m - vrhom piramide. Obujam je piramide dan formulom

V= Bv

3 gdje je B ploština baze, a v visina piramide, to jest duljina okomice spuštene iz vrha na bazu. Piramide najčešće dijelimo prema obliku njihove baze, pa one mogu biti trostrane, četverostrane itd. Egipatske piramide, primjerice, za bazu imaju kvadrat. Trostrane piramide zovemo i tetraedrima. Tetraedrom (u užem smislu) zovemo pravilnu trostranu piramidu, čije su strane četiri sukladna jednakostranična trokuta.

crtanje kocke u perspektivi

piramide

peterok ut ili pentagon, peterostrani geometrijski lik. Sve dijagonale pravilnog peterokuta tvore petokraku zvijezdu ili pentagram. petlja dio krivulje koja obuhvaća dio ravnine kada krivulja sama sebe siječe. U ~dijagramu toka, pecija je naredba kojom se zapovijeda višestruko ponavljanje nekog postupka. pi (simbol n) jedna od osnovnih matematičkih konstanti. Ona je zapravo omjer između opsega kruga i njegova promjera, te ima beskonačno mnogo znamenaka. Približna vrijednost na osam decimalnih mjesta iznosi 3,14159265, no u praksi se najčešće računa s 3, 14 ili s 22/7.

trostra na piramida (tetraedar)

četverostrana

piramida

Pitagorin poučak geometrijski teorem koji tvrdi da je u pravokutnom trokutu kvadrat duljine hipotenuze (najdulje stranice, stranice nasuprotne pravom kutu) jed nak zbroju kvadrata duljina obiju kateta (preostalih stranica). U matematičkom ga obliku možemo pisati kao: c2 = a2 +

b2

gdje je e duljina hipotenuze, dok su a i b duljine jedne, odnosno druge karete.

plan

98

Pitagorin poučak vrijedi samo za pravokutne trokute

ploština

99

ploština veličina neke površine. Koristi se i izraz površina. Izražavamo je četvo rnim (kvadratnim) jedinicama, najčešće četvornim (kvadratnim) centimetrom (cm 2), četvornim metrom (m 2) i četvornim kilometrom (km 2) . Oplošje nekog geometrijskog lika zbroj je ploština svih njegovih ploha.

b

ploština b

a

Pitagorin

poučak

a'+ b'= e' a

plan <>tlocrt plašt u geometrijskom modelarstvu, razvijene i povezane sve stranice modela geometrijskog tijela, izrezani komad kartona i sl. Njihovim se savijanjem i lijepljenjem može dobiti model geometrijskog tijela. plaš t

plašt kocke

ploštine najpoznatijih geometrijskih likova

;j} z CJf -a - - aploština paralelograma = duljina baze • visina

ploština pravokutnika = duljina· visina

&

=a· v

t~

.,..___ a ____. ploština trokuta =

fl _~ .,_ a ____..

T

duljina baze· visina =

T

ov

_b_

-Đ a-

ploština trapeza

= zbroj paralelnih stranica • visina

2

a+b

-

= - 2- · v

.......

----ic <J

ploština kruga~---= radius na kvadrat· 1t = r2 n

ploha dio ravnine, omeđen bridovima, koji zatvara geometrijsko tijelo. Tako kocka ima šest identičnih kvadratnih ploha, kvadar šest pravokutnih ploha, dok tetraedar ima četiri tro kutaste plohe.

----"

ploština kružnog isječka središnji kut isječka o

360

a = 360• • r'x

•

radius2. n

podatci

100

podatci činjenice , brojevi i simboli. T im se izrazom najčešće označavaju sirove, neobrađene vrijednosti. Kad se ti podatci obrade

to jest osmisle ili interpretiraju, dobivamo informaciju.

podskup skup koji je dio nekog većeg skupa. Svaki element podskupa ujedno je element većeg skupa. Primjerice skup dječaka u skupu učenika mješovitog razreda. podskup

Vennov dijagram skupa 8, podskupa skupa A

pogreška razlika izmedu točne i iskazane ili izmjerene vrijednosti.

pokušaj u teoriji vjerojatnosti svaki poj edinačni (najmanji) pokus koji služi za ~tkrivanj e vjerojatnosti nekog procesa. Pokušaj je recimo svako bacanje kockice.

pokušaj i pogreška <>metoda pokušaja i pogreške polarne koordinate položaj neke točke u polarnim koordinatama određuje se njezinom udaljenošću od zadane, nepomične točke (ishodišta), to jest radiusom r, te njezinom kumom udaljenošću (kutom ravnina. Poliedri su napose važni u

101

populacija

k ristalografij i i kemiji, pri određivanju kristala i njihove unutarnje građe. Postoji samo pet pravilnih poliedara, to jest tijela ogran ičenih identičnim stranicama (jednakih i veličinom i oblikom). Zovemo ih i Platonovim tijelima. T o su tetraedar (strane su 4 jednakostranična trokuta), kocka (6 kvadratnih strana), oktaedar (8 jednakoscran ičnih trokuta), dodekaedar (12 pravilnih peterokuta) i ikozaedar (20 jednakostraničnih trokuta).

poligon ili mnogokut geometrijski lik s tri ili više ravnih stranica. Poligone nazivamo prema broju njihovih vrhova (kutova), koji je jednak broju stranica, pa tako imamo trokut, četveroku t, peterokut itd. Poligone kojima nijedan unutrašnji kut nije veći od 180° zovemo konveksnim poligonima. Zbroj svih unutrašnj ih kutova poligona s n stranica dan je formulom (n - 2) · 180°. Iz toga slijedi da taj zbroj raste s rastom broja vrhova. polinom višečlan algebarski izraz. U svakom je članu nezavisna varijabla podignuta na različitu potenciju. Red polinoma određuje njegova najviša potencija. Tako je 2x + l linearni polinom ili polinom prvoga reda, 3x2 + 2x + l je kvadratni polinom ili polinom drugog reda, 4x3 + 3x2 + 2x + l kubni pelinom ili pe lino m trećeg reda itd. polovica ili polovina jedan dio cjeline podijeljene na dva jednaka dijela; najjednostavniji razlomak. polukugla ili hemisfera tijelo nastalo presijecanjem kugle po velikom krugu, omeđenom <>velikom kružnicom. polumjer ili radius udaljenost od središta do bilo koje točke kružnice odnosno površine kugle. poopćavanje <>generalizacija

populacija u statistici, <>univerzalni skup iz kojeg se uzima uzorak. Iz svojstava tog uzorka procjenjuju se svojstva čitave populacije.

postotak

102

postotak prikaz ~razlom ka kao dijela broja l OO. Tako je primjerice 45 posto (45%) isto što i 45/100 ili 0,45, a 45% od 20 jest 45 160·20 = 9 Općenito govoreći, ako se neka veličina promijeni iz x 1 u x2 , onda je njezina promjena, izražena kao postotak, jednaka

IOO(x 2 -x 1)

x. Ako se, primjerice, broj ljudi u nekoj dvorani poveća s 40 na 50, postotni je prirast

I oo . I o 40

-- 25 OL

70

Želimo li pak razlomak prikazati kao postotak, moramo ga pretvoriti u razlomak s nazivnikom l OO, primjerice: _I

8

= 12,5 = 12 50L 100

' ~

pozitivan

103

Isto se tako suprotna operacija (dijeljenje) može obaviti oduzimanjem eksponenata: 5

L= y3 l

°

Svaki broj s eksponentom Ojednak je l, npr. x 0 = l i 99 = l. potenciranje množenje nekog broja samim sobom. Potencija (označen a ~eksponentom) govori nam koliko tih identičnih brojeva međusobno množimo. Tako, primjerice, kod kvadriranja, 2 označenog eksponentom 2, množi mo dva isra broja, tj. x =x · x, ili 32 = 3. 3 = 9. Kubiranje je dizanje na treću potenciju, i označavamo ga eksponenrom 3, pa imamo x 3 = x · x · x, odnosno 23= 2. 2. 2 = 8 itd. povećanje pretvorba lika u veći, ali sličan lik. Npr. pri pove-

ćavanju trokuta i drugih poligona omjer duljina odgovarajućih stranica (omjer povećanja) je stalan, a kutovi se ne mijenjaju. povećanje

Postotci nam u pravilu olakšavaju uspoređivanje razlomaka, napose ako su im nazivnici različiti. Razlomak lako možemo pretvoriti u postotak i s pomoću džepnog kalkulatora. Najprije podijelimo brojnik nazivnikom, a dobiveni decimalni broj pomnožimo sa sto.

0'

pt

7

TI =0,583333 =58,3 o/o. potencija ili eksponent broj koji označava koliko puta neki broj (bazu) moramo pomnožiti sa samim sobom. Tako je primjerice eksponent u izrazu n 2 (tj. n· n) jednak 2; dok je eksponent od 4 3 (tj. 4 · 4 · 4) jednak 3.

Za eksponenre postoje stanovita pravila. Tako brojeve iste baze možemo pomnožiti zbrajanjem eksponenata, primjerice: x 2.x5 = x7

e = centar širenja povratna točka ~šiljak pozicijska vrijednost vrijednost što je neka znamenka dobiva zbog svog mjesta u prikazu broja. Tako primjerice u dekadski pisanom broju 2465 znamenka 2 ima zbog svog mjesta vrijednost 2000, znamenka 4 vrijednost 400, dok znamenka 6 predstavlja 6 desetica i znamenka 5, pet jedinica. pozitivan veći od nule.

pozitivan smjer

104

pravokutne koordinate

105

pozitivan smjer prema dogovoru, od lijeva na desno, od dolje prema gore (npr. u koordinatnom sustavu).

Za razliku od ovog, ~pravilo ili-ili određuje vjerojatnost zbivanja barem jednog od više događaja.

pozitivan smjer zakreta smjer suprotan smjeru kruženja kazaljki na uri.

pravilo ILl-ILl u statistici, pravilo koje omogućuje pronalaženje ukupne vjerojatnosti složenog ishoda zbivanja jednog ili drugog događaja. Ako se dva događaja E1 i E2 uzajamno isključuju (što znači da se ne mogu dogoditi istodobno), a vjerojatnost je njihova zbivanja p 1 odnosno p2 , onda je vjerojatnost p da će se dogoditi ili E 1 ili E2 dana izrazom

praslika ~slika pravac ravna, beskonačna crta; crta kojom prolazi najkraći put između dvije po volji daleke točke. Pravac u ~analitičko j geometriji predstavljamo linearnom jednadžbom ili jednadžbom pravca y = ax + b, gdje je a koeficijent smjera, to jest nagib (gradijent) tog pravca prema koordinatnom sustavu. Konstanta b je odsječak na osi y, ona označava koordinate točke (O, y) u kojoj taj pravac siječe os y.

p= PI+ p2 Kad bacamo kockicu, vjerojatnost da će ispasti šestica iznosi l/6, a da će ispasti petica također 1/6. Zbog toga je vjerojatnost da će ispasti ili petica ili šestica jednaka 1/6 + 1/6 = l/3.

pravac regresije na ~dijagramu raspršenja, crta najbliža svim mjernim točkama, tj. takav da su kvadrirane udaljenosti točaka od pravca najmanje moguće.

pravi razlomak razlomak između O i l, drugim riječima razlomak u kojem je brojnik manji od nazivnika.

pravi kut kut od 90°, četvrtina punog kura (kruga).

~Asimptote te hiperbole su osi x i y.

pravilnost svojstvo geometrijskih likova i tijela kojima su svi kutovi i sve stranice jednaki. Pravilnima se nazivaju i tijela kojima je baza pravilan ~poligon.

pravokutna hiperbola

pravilo 1-1 pravilo za određivanje ukupne vjerojatnosti ishoda dva ili više neovisnih slučajnih događaja istodobno ili u slijedu. Neka su E 1 i E2 dva neovisna slučajna događaja (to jest takva da ishod jednoga ne utječe na ishod drugoga), a p 1 i pJ njihove vjerojatnosti. U tom će slučaju vjerojatnost da će se ogoditi oba ta ishoda (dakle i jedno i drugo) biti:

pravo kutna hiperbola grafički prikaz ~funkcije y

y

= l lx.

pravokutna hiperbola l y =x

X

P= P1·Pz Bacimo li, primjerice, crvenu i plavu igraću kocku, vjerojatnost da će crvena pasti na šesticu iznosi 116, a jednaka je i vjerojatnost da će i plava pasti na isti broj. Vjerojatnost da ispadnu dvije šestice iznosi stoga: pravokutna prizma isto što i ~kvadar.

pravokutne koordinate isto što i ~Kartezijeve koordinate.

pravokutni trokut

106

pravokutni trokut trokut u kojem je jedan kut pravi (90°). Najdulju njegovu stranicu, nasuprot pravom kutu, zovemo hipotenuzom, a preostale dvije stranice katetama. Po njemu se definiraju trigonometrijske fu nkcije sinus, kosinus i tangens, a važan je i zbog ~ Pitago rinog poučka. Ploština mu je jednaka polovici umno~ka duljina kateta. Pravokuran je svaki trokut kojemu je jedna stranica promjer kružnice na kojoj leži i treći vrh. T o je jedan od osnovnih geometrijskih teorema. pravokutni trokut

preslikavanje

107

pravokutnik četverokut (geometrijski lik s četiri stranice) kojemu su nasuprotne stranice paralelne i jednake duljine, a sva četiri kuta jednaka i prava (90°). Ploština (P) mu se dobiva množenjem duljine baze (a) i visine (b):

P= ab U pravokurniku su obje dijagonale jednake i njihovo ih sjecište prepolavlja. Kvadrat je poseban slučaj pravokurnika kod kojeg su sve strane jednake. Sam je pravokurnik poseban slučaj ~paralelograma.

pravokutni trokut

prazni skup skup bez članova, označava se simbolom 0 ili { }.

dokažimo da j e pravokutan svaki trokut ko · jemu je jedna stranica promjer kružnice, a treći mu vrh leži na njoj

predznak simbol koji nam govori je li neki broj pozitivan (plus, "+") ili negativan (minus, "-"). prepoloviti podijeliti na dva jednaka dijela. presjek lik koji nastaje presijecanjem tijela ravninom. presjek u teoriji skupova, najveći podskup koji istodobno pripada dvama drugim skupovima. presjek skupova

Trokuti AOC i BOC su jednakokračni zato §to je

loAI

= loB I = loci

tier su to promjeri kružnice). Iz toga slijedi:


=

-

(fl!

(

-

B ~

A

~~

=

An B

preslikavanje operacija koja pomoću nekakve ~funkcije ili ~transformacije svaki član jednoga skupa matematički povezuje s nekim članom drugoga skupa.

pretpostavka

108

preslikavanje

prim -broj ili prosti broj

109

prevaljeni put <>grafikon prevaljenog puta preslikavanje na brojčaniku uri prema funkciji n -+n +5 početak

~

približna vrijednost <>aproksimacija priležeća (susjedna) stranica u trokutu, stranica koja tvori krak promarranoga kuta. Stranicu koja nije krak promatranog kuta zovemo c:>nasuprotnom stranicom.

12 priležeća

stranica

prileleća

kraj

~

12

9

(susjedna) kateta

prim-broj ili prosti broj broj djeljiv samo s l i sa samim sobom, dakle broj kojeg je nemoguće rastaviti na faktore. Prim-brojeva ima beskrajno mnogo, a prvih l O su 2, 3, 5, 7, 11 , 13, 17, 19, 23 i 29. Broj l po defin iciji nije prim-broj. Broj 2 je jedini parni prim-broj zato što svi parni brojevi sadrže 2 kao faktor. Matematičari već tisućlj eći ma traže opća pravila (algoritme) za pronalaženje prim-brojeva. N ajstarije je od njih c:>Eratostenovo sito, a danas taj posao obavljaju moćna računala. Već je grčki matematičar Euklid dokazao da ne postoji najveći prim-broj, te da ih je stoga beskonačno mnogo. Njegov dokaz izgleda ovako: (l) Pretpostavimo da je M najveći prim broj. (2)

lzračunajmo

novi broj N tako što

ćemo

pomnožiti sve posto-

jeće prim-brojeve (uključujući i M) i pribrojiti mu

pretpostavka, .::>hipoteza; uvjerenje stečeno na temelju nepotpunog poznavanja problema. Služi kao polazište za izvođenj e konačnog dokaza.

l.

(3) N je ili pri~-broj (u .~ojem s~učaj.u M nije n~jv~~i prim-broj, pa stoga takav 1 ne postOJI, što se 1 želJelo dokazan) th se pak dade rastaviti na fakto re.

11O

prim-faktor

(4) Fakrori broja N ne mogu biti prim-brojevi manji od M pa ni sam M, jer je ostatak pri dijeljenju broja N sa svakim od njih l. Zbog roga fakror mora biti veći od M, što opet niječe ishodnu pretpostavku.

problem konigsberških most ova

111 prizme

peterostrana prizma

Taj će nas zaključak možda iznenaditi zato što očekujemo da se vrlo veliki brojevi mogu prikazati kao umnožak faktora.

prim-faktor faktor koji je c::>prim-broj, dakle najjednostavniji i najmanji fakror. Svi su prirodni brojevi, osim broja l, ili prim-brojevi ili se mogu prikazati na jedinsrveni način kao umnožak prim-faktora (prim-brojeva). prirast povećanje broja ili vel ičine. Tako je primjerice godišnji prirast svjetskog sranovništa 200 milijuna. prirodni brojevi svi cijeli brojevi brojevi koje nižemo brojanjem.

veći

od O, ali bez nule. To su

prizma tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama u kojima leže njegove baze, a čiji su svi presjeci ravninama koje su paralelne bazi međ usobno jednaki. Tako je primjerice kocka pravilna pravokutna prizma kod koje su sve strane sukladni kvadrati. Valjak je pak prizma kojoj je baza krug. prizm e

problem <>rješavanje problema problem konigsberških mostova glavolomka iz koje se rodila topologija- grana geometrije koja se bavi onim svojsrvima likova koja se ne mijenjaju ni pri njihovu iskrivljenju. U gradu Konigsbergu (današnjem Kaliningradu u Rusiji); otoci na rijeci Pregolji i obala bili su povezani sa sedam mostova. Ljudi su se godinama domišljali nad zagonetkom kako prijeći svaki most, ali samo jednom, i vratiti se na polaznu točku. Godine 1736. njemački je matematičar Leonhard Euler prikazao tu zagonetku kao topaJošku mrežu. Na njoj je otoke i obale rijeke prikazao kao čvorove (spojne točke), a mostove kao crte između njih. Analizom je te mreže uspio dokazati da je nemoguće prij eći preko svakog mosta točno jednom i vratiti se na polazište. problem konigsberških mostova

'"'\d\

~CSt

presjek je prizme jednak kroz čitavu njezinu visinu

trapezoidna prizma

D

Eulerov topološki prikaz problema

·~'

procjena rezultata

112

procjena rezultata brz i ne posve točan proračun čiji se rezultat ipak približno slaže s rezultatom preciznog računa. Ako se to ne dogodi, znači da smo negdje napravili grubu pogrešku.

113

protukutovi

protukutovi

.------

transverzala

produkt ili umnožak rezultat koji dobivamo množenjem dva broja. Tako je primjerice ab produkt brojeva a i b. program niz naredbi koje izvršava računalo pri obavljanju nekoga zadatka. Naredbe pišemo posebnim računal nim jezicima. Najjednostavniji je Basic, a napredniji su primjerice Pascal, Logo,

CiC++. projektil svako izbačeno tijelo koje se dalje giba bez vlastitog pogona, uglavnom samo pod djelovanjem gravitacije. U svakodnevnom govoru projektilom se naziva i tijelo na koje utječe otpor zraka, a često ima i vlastiti pogon.

(l

i J} su protukutovi

protukutovi

promjer ili dijametar dužina koja dijeli krug na dva jednaka dijela. Najduža tetiva kružnice, koja prolazi kroz središte. proporcional nost <>razmjernosc prosjek srednja vrijednost nekog skupa brojeva. Vidi: <>geometrijski prosjek, <>aritmetički prosjek, <>medijan i <>mod. prosti broj <>prim-broj prostorni metar <>kubni metar protukutovi nasuprotno postavljeni kutovi što ih zatvara neki pravac (transverzala) presijecajući dva ili više pravaca. Kad su pravci koje transverzala presijeca paralelni, protukurovi su jednaki.

kad transverzala presijeca paralelne pravce, protukutovi a i Jl su jednaki

115

razmjernost ili proporcionalnost

razlika aritmetičkog niza stalna razlika između bilo koja dva susjedna broja u c:>aritmetičkom nizu. Tako primjerice u nizu l, 4, 7, IO, ... razlika iznosi 3.

R

razlika ili diferencija broj dobiven oduzimanjem brojeva.

racionalni brojevi brojevi koji se dadu napisati u obliku

razlomak broj koji označava jedan ili više dijelova cjeline. Obi-

razlomka u kojem su i brojnik i nazivnik cijeli brojevi (nazivnik nije O). Kao primjer racionalnih brojeva navedimo 2, I /4, 15/4, -3/5. Broj 1t (konstanta približno jednaka 3,14159 ... , no zapravo s bezbroj nepredvidivih decimala) to nije. Takve brojeve zovemo c:>iracionalnima. Racionalni brojevi pisani u decimalnom obliku ili imaju konačan broj decimala (npr. 3/5 = 0,6) ili se decimale ponavljaju na predvidiv način (npr. 1166 = 0,01515 ...) računalo svaki uređaj koji olakšava obavljanje matematičkih operacija. Najjednostavnija je računaljka s kuglicama (c:>abak), najrasprostranjenije je računalo digitalni džepni c:>kalkulator, a najmoćnije je c:>elektroničko računalo, tzv. kompjutor.

čno

računaljka

c:>abak

radia n (simbol rad) jedinica za izražavanje kuta. Radian se defi-

nira s pomoću luka kružnice. Kut od jednog radiana zatvara luk čija je duljina jednaka radiusu. Budući da je opseg kružnice 2rn, iz toga slijedi da 2n radiana zatvara puni krug (360°). Iz toga se dade lako izračunati da l rad iznosi otprilike 5JO, te da je l o jednak n/180 ili približno 0,0175 radiana. Radiani se posebno široko primjenjuju u c:>polarnim koordinatama. radius c:>polumjer radius-vektor vektor koji određuje položaj neke točke. Početak mu je u ishodištu, a vrh u promatranoj točki. On omogućuje vektorsko opisivanje gibanja točke . ral c:>jutro rastavljanje na faktore c:>faktorizacija ravnina ravna ploha. Dvije ravnine su ili paralelne, pa se ne sijeku nikada; ili je njihovo presjecište pravac.

1) .

se piše u obliku dva broja, postavljena jedan iznad drugog, odijeljena vodoravnom crtom. Broj iznad crte zovemo brojnikom, a broj ispod crte nazivnikom. Tako broj 2/3 čitamo kao "dvije trećine", a 3/4 kao "tri četvrtine" . Takve razlomke zovemo jednostavnima. Nazivnik ne može biti nula, jer dijeljenje nulom nije definirano. Kod pravog razlomka brojnik je manji od nazivnika. Kod nepravog razlomka brojnik je veći od nazivnika, kao primjerice 3/2. Zbog toga neprave razlomke možemo pisati i kao mješovite razlomke, tj. 3/2 = l Y2 (tri polovine jednako je jedan i jedna polovina). Decimalni razlomak za nazivnik ima broj I O dignut na neku potenciju, a možemo ga pisati i kao decimalni broj. Primjerice 4/100 = 4/10 2 = 4 . J0·2 = 0,04. Znamenke desno od decimalnog zareza označuju brojnike jednostavnih razlomaka čiji su nazivnici l O, l OO, l 000 itd. Razlom ci čiji su nazivni ci produkt potencija brojeva 2 i 5 mogu se točno izraziti kao decimalni brojevi. U svim drugim slučajevima u decimalnom će se broju pojaviti decimale koje se beskrajno ponavljaju (1/3 = 0,3333 ... , 43/99 = 0,43434.. , I/7 = O,I42857I4 ... itd.). Takve brojeve, koje možemo prikazati u obliku razlomaka, zovemo racionalnima. Za razliku od njih, iracionalni brojevi (npr. -fi, n) mogu se u decimalnom obliku napisati samo kao brojevi s beskonačnim brojem decimala u čijem nizanju ne postoji nikakva zakonitost. Cijeli su brojevi oni koje možemo izraziti kao racionalne brojeve s nazivnikom jednakim l. razmjernost ili proporcionalnost odnos između dvije varijable. Ako se njihov odnos dade prikazati izrazom

y= kx

red zbroj članova niza. Redovi mogu biti konvergentni (teže nekoj konačnoj, graničnoj sumi), ili divergentni (granična im je vrijednost beskonačna). Tako je primjerice red

gdje su y i x varijable, a k konstanta, velimo da su te varijable upravno razmjerne, odnosno da stoje u upravnom razmjeru. Takav se odnos u c::>Karrezijevom koordinatnom sustavu dade prikazati pravcem. Ako se njihov odnos, naprotiv, dade prikazati jednadžbom

l l l l+ T + 4+8+ ...

k

y=x l

velimo da su varijable obrnuto razmjerne, odnosno da stoje u obrnutom razmjeru. Takav se odnos grafički dade prikazati hiperbolom. Primjer je prvog odnosa put prevaljen nekom konstantnom (stalnom) brzinom, dok drugi primjer nalazimo kod tlačenja plinova, jer povećanje obujma smanjuje tlak i obrnuto.

razred u statistici, skup podataka čija je vrijednost u nekim unaprijed zadanim granicama. razvoj u algebri pojedinačno množenje svih članova u zagradi. Tako je primjerice

ac + bc + ad + bd razvijeni oblik izraza (a+

b)(e+ d)

realni brojevi skup <>racionalnih (uključujući i cijele) i <>iracionalnih brojeva. Realni su brojevi zapravo poseban slučaj <>kompleksnih brojeva, danih izrazom a+ bi, gdje je i imaginarna jedinica, definiran kao ..J-1. Ako je b = O, broj je realan, jer nema <>imaginarnog dijela. recipročna

vrijednost neke veličine dobiva se kad u nekom razlomku brojnik i nazivnik zamijene mjesta. Tako je recipročna vrijednost od 2 (tj. 2/1) jednaka 1/2, od 2/3 je 3/2, od :t? je l/:t? itd. Množenje recipročnom vrijednošću nekoga broja isto je što i dijeljenje tim brojem. Na kalkulatorima postoji posebna funkcija koja brojeve pretvara u njihove recipročne vrijednosti. Ona se uključuje tipkom "1/x".

rimske brojke

117

116

razred

konvergentan, zato što Je njegova granična suma jednaka 2. Naprotiv, red l l l +- + - +- +

2

3

4

je divergentan, jer njegov zbroj može biti veći od bilo kojeg broja.

redak c::>matrice, vodoravni niz brojeva. Matrica ima retke i stupce. Matricu koja ima samo jedan redak zovemo retčanom matricom. redni ili ordinalni brojevi brojevi koji određuju mjesto u nekom poretku. Redni su brojevi l. (prvi), 2. (drugi) ... itd. Za razliku od njih, glavni brojevi (1, 2, 3 ...) označavaju samo veličinu. reducirati smanjiti, učiniti manjim. relacija veza, među elementima dva skupa (usporedi c::>funkcija). Od svih je relacija najvažnija relacija ekvivalencije (jednakosti, označena simbolom "=". Za nju vrijede tri pravila koja čine temelj algebre: (l) a = a (refleksivnost); (2) iz a= b slijedi da je b= a (simetričnost) ; (3) ako je a= b i b = e, onda je i a= e (tranzitnost). rezultanta vektor nastao zbrajanjem dvaju ili više vektora (e:> komponenti). rimske brojke stari europski način pisanja brojeva. Rimski način pisanja brojeva (u današnjem obliku) polazi od 7 simbola kojima su pripisane sljedeće vrijednosti: I (1), V (5), X (10), L (50), C (I OO), D (500) i M (1000). U tom sustavu ne postoji ništica (nula), a vrijednost simbola određuje samo njihova vrsta, ali ne i položaj - što su inače glavne prednosti alternativnog,

rješavanje problema

118

takozvanog indijsko-arapskog pisanja brojeva, koje je zbog toga i istisnulo rimsko. Vrijednost se rimskih brojeva određuje zbrajanjem vrijednosti navedenih simbola, a oduzimanjem kad je simbol manje vrijednosti napisan prije simbola veće vrijednosti. Brojevi od l do 10 pisani na rimski način izgledaju ovako: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. Po sličnim se pravilima pišu i veći brojevi: XVI (I 6), XL (40). Ponekad se iznad simbola piše gtica koja povećava njegovu vrijednost za l 000 puta, pa je tako X isto što i l O 000. Iako se s pomoću rimskih brojeva operacije zbraja~ nja i oduzimanja obavljaju razmjerno lako, množenje, a pogotovo dijeljenje, silno je komplicirano.

rješavanje problema postupak dobivanja odgovora na neko matematičko pitanje. Ako je riječ o nekom praktičnom ili znanstvenom pitanju, njega najprije moramo prevesti na matematički jezik, to jest stvoriti matematički model. O njemu dalje ovisi i postupak rješavanja. Najjednostavnije se do rješenja dolazi algoritmom, to jest točno definiranim niwm matematičkih operacija koji daje jednoznačno rješenje. Algoritam često nije moguće postaviti tako da daje točno rješenje, pa se stoga problem rješava s pomoću pribJižnih, no za praktične svrhe dovoljno točnih metoda. Jedna je od njih metoda pokušaja i pogreške, takozvani postupak ~iteracije. Kod njega najprije računamo polazeći od neke pretpostavke, pa onda na temelju rezultata mijenjamo pretpostavku da dobijemo točniji rezultat itd. Za brzo pronalaženje približnih rješenja u praksi se često primjenjuju različite grafičke metode. rješenje u algebri, vrijednost varijable za koju je promarrana jednadžba istinita. ~korijen jednadžbe romb geometrijsko tijelo, jednakostranični ~paralelogram. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim kurom, pri čemu se uzajamno prepolavljaju. Ploština mu je jednaka polovici umnoška duljina dijagonala. Poseban je slučaj romba ~kvadrat. To je romb s unutrašnjim kutovima od 90°.

119

rotacija

rotacija ~transformacija kojom se neki lik okrene oko neke zadane točke, takozvanog središta 1·otacije. Rotacija za 180° zove se poluokrer. Zarotiramo li u prostoru geometrijski lik oko neke osi, dobit ćemo

rotacijsko tijelo.

rotacija

rotacija lika A oko centra rotacije P

simetra/a

121

s

simetrala pravac koji dijeli kut ili dužinu na dva jednaka dijela. U potonjem je slučaju najčešće riječ o okomitoj simetrali, koja promatranu dužinu siječe pod pravim kutom. c:>bisektrisa simetrala

segment <>kružni

odsječak

dijeljenje dužine AB simetralom konstruiranom s pomoću dva luka nacrtana šestarom

segment pravca dio pravca ograničen dvjema točkama; dužina. sekans rrigonometrijska funkcija (simbol sec) kuta u pravokutnom trokutu. Dobiva se tako da duljinu hipotenuze (najdulje stranice) podijelimo duljinom druge stranice (karete) uz promatrani kut. Sekans je funkcija recipročna kosinusu, tj. l sec a = cosa

sekans

A A

B

/

simetrala (crtkana linija) prepolavlja dužinu AB

8~~~--------------~ priležeća

kateta

sec ll ~ _ 1 _ ~ hipotenuza cos ll priležeća kateta

~

lAS l

dijeljenje kuta simetralom konstruiranom s pomoću šestara

lBcf

sektor <>kružni isječak sekunda jedna šezdesetinka satne ili kutne minute. Osnovna jedinica za izražavanje vremena u mjernom sustavu SI. sežanj <>hvat simbol znak koji predstavlja neki pojam, veličinu ili operaciju. Tako primjerice skup simbola y =xl govori da je neka veličina jednaka nekoj drugoj veličini pomnoženoj sa samom sobom.

luk povučen šestarom sa središtem u B

l

o

luk povučen šestarom iz središta O simetrala (crtkana linija) prepolavlja kut

simetrija

122

simetrija svojstvo dijelova likova ili tijela da se, nakon provođe­ nja osne ili centralne simetrije ili rotacije točno preklope s polaznim tijelom ili likom.

Simetriju često nalazimo u prirodi, a najviše - u vidljivom svijetu - među živim organizmima i kristalima. Simetrija je međutim više pravilo nego izuzetak u svijetu atoma i molekula. simetrija

sinus

123 simetrija rotaciiska simetrij·a

DOCCDB BOA ADD A BD AC DB C tvadr.t ima r~ijs-~u os simet,. teM'tog reda koja prolazi kroz njegovo lltdiŠt•. okomito na ravninu u kojoj se nalazi

oo pr~wilni

osi simetrije

paralelogram

kvadrat

'tt

,

' , ___' .,.,.',___ , , '' ' ' ' ",

1-+

,'

,

JI

•

pravokutnik

t

l

l

t

, '

-~

.. ,

'

romb

•

•

os j( simetrije

--+ ·<87-·

·-[------f-

~

t

četiri osi simetrije

t

dvije osi si metrij e

•

.#

l

t

os ro:acije pe:og reda

os rotacije

neizmiernog reda

zrcalnasimetrija. ~~~ ravmna simetrije

o

kvadar ima tri ravnine simetrije

kružnica

~g~ ':·k: ,,.. ' : ....... ......

drugog reda

dvije os i simetrije

jednakostranični

trokut

ot ro1acije

ltrufnica

,. ,

....

tri osi simetrije

beskonačn o

pravilna tetvorostrana piramida ima četiri ravnino simetrije

mnogo

osi simetrij e

t ug1a irni

beskonačan

broi ravnina simeuije

sinus rrigonometrijska funkcija (kratica sin) izvedena iz pravokutnog trokuta. Sinus nekoga kuta jednak je duljini nasuprotne mu karete podijeljene s duljinom hipotenuze (najdulje stranice pravokutnog trokuta).

sinusov poučak

124

skup

125

sjecište točka u kojoj se sijeku neke krivulje; točka zajednička dvjema ili većem broju krivulja. Tako je primjerice središte kružnice sjecište svih njegovih promjera.

sinus A

sjecište nasuprotna kateta

sin

p = nasu~rotna kateta h1potenuza

~

lAC l

lA9T

sinusov poučak trigonometrijski poučak koji povezuje duljine stranica i veličine kutova u trokutu. On veli da je u trokutu omjer sinusa kuta i nasuprotne mu stranice jednak za sve kutove. Ako su stranice trokuta a, b i e, a nasuprotni su im kutovi a., f3 i y, tada poučak o sinusima možemo napisati kao

a sin

b

e

a = sin f3 = sin r

Može se dokazati da je vrijednost razlomka a/sin a. dvaput veća od polumjera kružnice opisane oko tog trokuta. sinusov poučak

e b

a sin

a

= sin

e

f3

= sin

r

sve visine trokuta prolaze kroz istu točku, koja je stoga njihovo sj ecište

skalarna veličina matematička ili neka druga veličina koja je određena iznosom, ali ne i smjerom, za razliku od c::>vektorske veli čine koja je, osim iznosom, određena i smjerom. Kao primjer skalarnih veličina navedimo temperaturu, masu i obujam. skica grubi crtež grafa kojim se samo naznačuju njegova glavna svojstva. skup bilo kakva množina definiranih članova (elemenata), pod uvjetom da su elementi raspoznatljivi i da je jasno jesu li oni ili nisu elementi tog skupa. Skup se obično označava velikim slovom, a njegovi se elementi stavljaju u vitičaste zagrade { }. Tako primjerice L može predstavljati skup svih slova u abecedi. Simbol E znači "jest element skupa", pa matematički izričaj p E L znači da je p element skupa L, dok izričaj 4 ~ L znači da brojka 4 ne spada u skup slova abecede. Postoji mnogo različitih vrsta skupova. Tako se broj elemenata konačnog skupa dade izraziti prirodnim brojem, dok to kod beskonačnog skupa nije moguće, jer je broj njegovih članova beskonačan. Prazni skup uopće nema elemenata, a označava se sim-

skup

126

bolom {}ili 0.]ednočlani skup ima samo jedan element. Primjer je konačnog skupa skup ljudi na Zemlji, beskonačnoga skup prirodnih brojeva, praznog skupa skup ljudi koji su preplivali Atlantik, a jednočlanog broj dana u tjednu koji počinju s N (nedjelja).

skup

Vennov dijagram presjeka dva skupa

slika

127

da, četvrtak, petak, subota, nedjelja}, pa možemo napisati T= S. Skupove s istim brojem članova zovemo ekvipotentnim. Imaju li dva skupa neke iste članove, kažemo da se skupovi sijeku. Primjerice presjek skupa svih pikova i skupa svih sedmica jest jednočlani skup pikovih sedmica. Skupove koji nemaju zajedničkih članova zovemo disjunktnim skupovima - takvi su recimo skupovi svih minerala i sveg povrća. Skupove koji su dio nekog većeg skupa zovemo podskupovima; tako je recimo skup svih samoglasnika podskup skupa svih slova. ?kupovi i njihovi odnosi prikazuju se ~Ven novim dijagramuna. skup rješenja skup vrijednosti koje zadovoljavaju neki sustav ~nejednadžb i, primjerice

3
~

= skup cijelih brojeva od 1 do 20

O =skup neparnih brojeva P = skup prim-brojeva presjek P i O (P n 0) sadrži sve neparne prim-brojeve

Identični skupovi imaju sve iste članove, poput recimo skupo-

va

T={skup svih dana u tjednu} i S ={ponedjeljak, utorak, srije-

3 ~n~ lO jest {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, l 0}. sličnost svojstvo dvaju ili više geometrijskih likova ili geometrijskih tijela da imaju jednak oblik, ali drukčije dimenzije; drugim riječima, da su u njima svi kutovi identičn i, ali im se razlikuju duljine analognih stranica i to za neki omjer jednak za sve stranice. Uzmimo kao primjer dva pravokutnika. Kod jednog je duljina baze 8 cm a visina 6 cm, a kod drugog je duljina baze 12 cm i visina 9 cm. Očito je da su ti pravokutnici slični zato što im je omjer baza (12: 8 ili 1,5) jednak omjeru visina (9 : 6 ili 1,5). Slični se likovi stvaraju povećanjem ili smanjivanjem. Omjer ploština (oplošja) sličnih geometrijskih likova (tijela) jednak je kvadratu omjera duljina njihovih bridova. Tako je primjerice omjer ploština navedenih pravokutnika l 08 : 48, što se dade svesti na 2,25 : l ili (l ,SZ) : l.

slika točka ili broj nastao preslikavanjem praslike iz jednog u drugi skup.

složena vjerojatnost

128

sličnost

srednja vrijednost

slučajni brojevi brojevi iz nekog skupa koji se pojavljuju nepoznatim redoslijedom. Mnogi kalkulatori i elektron ička računala imaju funkciju stvaranja sl učajnih brojeva, i ona se uključuje pritiskom na tipku RAN (prema engl. "random"). Slučajni su brojevi važni i u znanosti.

slični likovi

LJ

129

a

4

9

12 ovi su trokuti slični zato što su: (1) svi odgovarajući kutovi u njima isti (2) duljine njihovih odgovarajućih stanica stoje u istom omjeru, jer je svaka stranica većeg trokuta tri puta dulja od odgovarajuće stranice manjeg

sl učajn i događaj zbivanje čiji se ishod ne može predvidjeti. Ako, primjerice, nasumce otvorimo knjigu, ona će se slučajno otvoriti na nekoj stranici. Slično se ponaša i kuglica na ruletu, na koju od trenutka bacanja do trenutaka zaustavljanja ne djelujemo ni na koji način.

spirala krivulja u ravnini nastala kruženjem i istodobnim udaljavanjem neke točke od druge, nepokretne to čke (središta). To se udaljavanje može ravnati po raznim zakonima. Tako primjerice k.o~ ekvia~gularne i!~ logaritams~e spirale njezina tangenta s njezmrm radmsom UVIJek zatvara Jednak, nepravi kut. (Kružnicu bismo mogli proglasiti i posebnim slučajem logaritamske spirale u kojoj. tangenta i radius zatvaraju pravi kut.) Druga je vrsta spir~!e ~mvoluta. ~akve sp!rale odr~avaju logaritamski, eksponenCIJalm rast, pa slične oblrke nalawno i u prirodi, kod organizama sklonih takvom rastu - primjerice puževa. sredina Qsrednja vrijednost

povećanje

stvara slično tijelo

složena vjerojatnost vjerojatnost da će se dogoditi dva (ili više) .ne.ovis.na slučajna događaja - istodobno ili u slijedu. Isto tako 1 VJeroptnost da će se dogoditi samo jedan od njih, ili da se neće d ogoditi nijedan. . Ak? je primjer.ice p1 vjerojatnost dobitka na jednoj lutriji, a p VJeroptnost dobrtka na drugoj, složena vjerojatnost dobitka ni objema iznosi p1p2 (Qpravilo I-I), složena vjerojatnost dobitka na samo jednoj iznosi približno p 1 + p2 (Qpravilo ILI-ILI), a složena vjerojatnost dobitka ni na jednoj dana je izrazom (l - P1)(1 - Pz).

~rednja devijacija u statistici, veličina koja nam pokazuje prosJečno odstupanje većeg broja podataka od njihove <>srednje vri-

jednosti. srednja vrijednost ili sredina ili prosjek jedinstvena vrijednost, pripisana nekakvom prosječnom članu, kojom se mogu predočiti sve vrijednosti većeg broja članova nekog skupa. Aritmetičku sredinu dobivamo zbrajanjem vrijednosti svih člano­ va nekog skupa, nakon čega taj zbroj podijelimo brojem članova . Geometrijsku sredinu dobivamo množenjem svih članova nekog skupa, nakon čega izvadimo n-ti korijen gdje je n broj članova. Sr~dnj~ nam ~:ijedno.sti pomažu da primjerice velikim brojem mJerenp smanJimO mJernu pogrešku, odnosno - u statistici - da u velikom mnoštvu podataka uočimo jasnu zakonitost.

standard

130

standard ~etalon standardna devijacija ili standardno odstupanje u statistici, mjera raspršenosti podataka. Najprije se izračunaju devijacije (odstupanja) svih pojedinačnih rezultata od ~aritmetičke sredine, to jest razlika njihovih vrijednosti. Dobiveni se rezultati zatim kvadriraju te se odredi aritmetička sredina tih kvadrata. Standardna devijacija je kvadratni korijen te sume kvadrata. Ako je n broj podataka, te ako su simbolom xi označene njihove pojedinačne vrijednosti, a simbolom x njihova srednja vrijednost, standardnu devijaciju (a") možemo napisati kao

stožac ili konus ili čunj

131

govog podskupa, takozvanog ~statističkog uzorka. Statistika se zasniva na ~teoriji vjerojatnosti. Statistika je našla mnoge primjene u trgovini, politici, ali i medicini, te prirodnim i društvenim znanostima. Njome se mogu obrađivati najraznovrsniji veliki skupovi: od skupa novca u nekoj državi do skupa atoma u nekoj zvijezdi. stopa lfoot, simbol ft), anglosaksonska mjera za duljinu,

0,3048 m. U Velikoj Britaniji se koristila još prije normanske najezde. Približno odgovara duljini muškog stopala. Dijeli se na 12 palaca, a 3 stope čine l jard. stopa rasta relativna promjena neke veličine u jedinici vremena. U statistici se obično izražava kao postotak, pa govorimo primjerice o gospodarskom rastu od 3o/o godišnje.

gdje simbol L označava zbroj, to jest veli nam da treba sumirati vrijednost izraza xi- x za sve podatke X;Odredimo, primjera radi, standardnu devijaciju dobi skupa od osmero ljudi. Najprije zbrojimo njihove godine i podijelimo ih s osam, pa smo tako dobili njihovu srednju dob. Ako su, recimo, ti ljudi stari 14, 14,5, 15, 15,5, 16, 17, 19 i 21 godinu, njihova je srednja dob 132 : 8 = 16,5. Pojedine su devijacije (odstupanja od srednje dobi) stoga -2,5, - 2,0, -1,5, - 1,0, -0,5, +0,5, +2,5 i +4,5. Dignemo li te vrijednosti na kvadrat, dobit ćemo 6,25, 4,00, 2,25, 1,00, 0,25, 0,25, 6,25 i 20,25. Zbroj tih kvadrata iznosi 40,25, pa je standardna devijacija a= 2,25. statistički uzorak podskup izvađen iz nekoga većeg skupa kako

bi se njegovom analizom doznalo nešto o skupu iz kojega je uzet (to jest o čitavoj ~populaciji). Statistički se postupak svodi na uzimanje uzorka, njegovu analizu i predviđanje svojstava čitave populacije. Ta se predviđanja mogu provjeriti uzimanjem novih uzoraka. statistika matematička disciplina koja se bavi prikupljanjem i tumačenjem velikog broja podataka te njihovim pretvaranjem u jednostavniji i shvatljiviji oblik. Ponekad statistika obrađuje čitav skup, no mnogo češće o njemu sudi samo na temelju nekog nje-

stožac ili konus ili čunj geometrijsko tijelo omeđeno bazom, koja je dio ravnine unutar neke zatvorene krivulje, te plaštom, koji sve točke te krivulje spaja s jednom točkom iznad ravnine, takozvanim vrhom stošca. Pod stošcem u užem smislu najčešće podrazumijevamo poseban slučaj stošca, to jest stožac koji za bazu ima krug. Takav stožac zovemo i kružnim stošcem. Pravac koji prolazi kroz njegov vrh i središte baze zovemo njegovom osi. Ako je os okomita na bazu, stožac je uspravan, a ako s njom zatvara neki drugi kut, govorimo o kosom stošcu. Stožac može biti i krnji, ako mu je vrh odsječen ravninom paralelnom s ravninom baze. Obujam je uspravnog kružnog stošca s visinom (okomicom na bazu koja prolazi kroz vrh) h i radi usom r dan izrazom:

V= -

l

3

r 2hn

Dužinu koja spaja točku na obodu baze i vrh zovemo izvodnicom stošca. Kod uspravnog kružnog stošca s duljinom izvodnice l, ploština je plašta jednaka rln, a ploština baze yln. Zbog toga je oplošje takvoga tijela dano izrazom

S= rfn + r 21t = r (l+r)1t Stošcu je po nekim svojstvima slična ~p iramida.

stožast ili koničan

132

stožac

oplošje

=r V+rl lt

sustav jednadžbi

133

sukut kut koji s nekim drugim kutom dijeli vrh i krak. Ako zajedno s njim rvori kut od 90°, govorimo o c:>komplementarnim kutovima (komplementima), a ako zarvara 180°, riječ je o c:>suplementarnim kutovima (suplementima).

sukuti

a i 13 su sukuti

stožast ili koničan nalik na stožac ili konus. stupac okomit popis brojeva ili članova, napose u matrici. stupanj mjerna jedinica za veličinu kuta ili kružnog luka. Puni je krug razdijeljen na 360°. Kut od 180° zovemo ispruženim, a kut od 90° pravim. Stupnjevi se dijele na minute (simbol ') i sekunde ("). Svaki stupanj ima 60 minuta, a svaka minuta 60 sekundi. sukladni ili kongruentni (geometrijski) likovi ili tijela geometrijski likovi ili tijela jednakih dimenzija. Takva se tijela mogu međusobno savršeno preklopiti - makar i nakon rotacije i translacije. Kao primjer navedimo uvjete sukladnosti dvaju trokuta. (Ako je zadovoljen jedan od njih, vrijede i svi ostali.) (l) U dva su trokuta jednake sve tri stranice. (2) U dva su trokuta jednake dvije stranice i kut među njima. (3) U dva su trokuta jednaka dva kuta i stranica među njima.

ovi sukuti zajedno tvore ispruženi kut pa ih zovemo suplementarnim kutovima

sustav jednadžbi dvije ili više jednadžbe s dvije ili više nepoznanica kojima se traže zajednička rješenja. Uzmimo kao primjer slučaj dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. (I) X+ 3y = 6 (II) 3y - 2x = 4

Rješenje će predstavljati one vrijednosti x i y koje zadovoljavaju obje jednadžbe, to jest takve koje ih čine istinitima. Takve se jednadžbe rješavaju algebarskim manipulacijama kojima se privremeno uklanja jedna varijabla, pa se sustav svodi na jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom. Moguće ih je, međutim, riješiti i pomoću c:>analitičke geometrije ili c:>matrica.

svođenje

na potpuni kvadrat

134

Pokušajmo ih riješiti na algebarski način. Pomnožimo obje strane jednadžbe (l) s 2, pa ćemo dobiti

2x + 6y = 12 Pribrojimo li je jednadžbi (Il) dobit ćemo

9y = 16 nakon čega lako dolazimo do rješenja

16

y=9 Varijablu x sad lako nalazimo tako day, u bilo kojoj od dvije p olazne jednadžbe, zamijenimo njegovom sad nam p oznatom vrijednošću.

Taj sustav možemo riješiti i grafički . Obje jednadžbe, naime, možemo prikazati kao pravce. Očito je da će x i y zadovoljavati istodobn o o bje jednadžbe samo u točki koja leži na oba pravca, dakle, u njihovom sjecištu. (c::>grafičke metode) Ako su pravci paralelni ili se preklapaju, onda sustav nema rješenja odnosno ih ima beskrajno mnogo. svođenje na potpuni kvadrat način rješavanja kvadratne jed-

nadžbe njezinom pretvorbom u oblik

(x- a) 2 =b gdje su a i b konstante. Tako primjerice jednadžbu

x 2 + 6x + 5 =O u taj oblik možemo prevesti sljedećim koracima:

x 2 + 6x = -5 x 2 + 6x + 9 = -5 + 9 (x + 3) 2 = 4

Iz čega slijedi: X+3=±2 X= -3 ± 2 X=

-l ili X= -5

š

šablona posebno izrezan, zaobljen komad nekog plosnatog materijala (najčešće plastike) koji olakšava crtanje likova.

šestar sprava za crtanje kružnica i prenošenje duljina. Sastoji se od dva kraka sa šiljkom ili m inom, a koji se zakreću oko zajedničke osovine. šesterokut ili heksagon c::>poligon sa šest stranica. U prirodi napose važnu ulogu igra pravilni šesterokur, jer on stvara najčvršće rešetke. šiljak ili povratna točka točka u kojoj se sastaju dvije grane neke krivulje, i to tako da im se tangente preklope. šiljasti kut kut između 0° i 90°, koji odgovara zaokretu manjem od četvrtine punoga kuta (kruga). širina jed na od tri dimenzije trodimenzionalnog tijela.

teorem

137

T tablica skup brojeva (ili slova koja ih predstavljaju) složen u stupce i retke. a,, a,2 a lt

a22

a3, a32 ~Matrica je tablica zatvorena u uglate zagrade. One nam govore da taj skup brojeva treba promatrati kao jedinstvenu cjelinu.

1::: ::~

njima izvrši nekakva operacija - primjerice da se oni zbroje ili izračuna njihova srednja vrijednost. S pomoću tih jednostavnih koraka može se provesti i prilično složena matematička analiza. Takvi se programi široko primjenjuju pri vođenju poslovnih knjiga kao i za analizu poslovanja. Prvi se od njih, ViciCalc, pojavio 1979. Danas su najpoznatiji Locus l 2 3 i Excel.

tabulirati složiti podatke u tablicu. tangens trigonometrijska funkcija (kratica tg) definirana ~pra­ vokutnim trokutom. Tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu definira se kao omjer duljine kutu nasuprotne i priležeće katece. T o je jedan od dva moguća omjera ~kateta. Drugi je omjer ~kotangens, koji je recipročan tangensu . tangens kuta A

~31 a~

tablica množenja tablične prikazan skup svih višekratnika nekog broja. Obično se pritom misli na tablicu s devet stupaca i devet redaka za brojeve od l do 9.

l 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Svaki broj u toj tablici dobiven je množenjem brojeva na početku retka i na vrhu stupca.

tablični kalkulator kod elektroničkih računala, program koji

oponaša lise papira razdijeljen u retke i stupce. U cakav program najprije unesemo podatke, a zatim izdajemo naredbu da se nad

nasuprotna kateta

prilefeća

tg

~

_ ~ _ - cos ~ -

stranica

nasuprotna stranica _ pri ležeća stranica -

lAC l l BC l

tangenta u geometriji, pravac koji dotiče neku krivulju i u dodirnoj točki ima isti nagib (gradijent, koeficijent smjera) kao i ta krivulja. U minimumu i maksimumu funkcije koeficijent je smje~a _cangence njenog grafa jednak nuli. Vidi prikaz na sljedećoj stran1c1. teorem matematička tvrdnja koja se dade dokazati polazeći od skupa ~aksioma (osnovnih tvrdtlji. koje se smatraju istinitim i bez dokaza) i/ili iz drugih, već dokazanih teorema. Dokazivanje teorema najviši je stupanj matematičkog umijeća.

tetiva

138

tangenta

tetivni četverokut

139

tetiva svoistva tetiva

tangenta neke krivulie

1} Tetivama jednake dulj ine odgo. varaju jednaki središnji kutovi.

2} Ako se dvije tetive sijeku, umnožak je udalj enosti krajeva jedne tetive od sjecišta jednak istom umnošku za drugu tetivu.

~D

®J B

tangenta kružnice

e

Trokuti AOB i DOC su jednakokračni, jer su duljin e AO, BO, CO i DO zapravo polumjeri kružnice. Budući da je lAB l = l CD l, trokuti AOB i DOC su nužno sukladni.

tangenta na kružnicu u svakoj točki s njezinim radiusom zatvara pravi kut

3} Svi obodni kutovi nad tetivom su j ednaki. D

točke na krivulji. U specijalnom slučaju, kad je ta krivulja kružnica, a tetiva prolazi kroz središte, t u najdulju tetivu zovemo promjerom ili dijametrom. Najdulju tetivu ~elipse (pravilnog ovala) zovemo velikom ili glavnom osi, a najdulju na nju okomitu tetivu malom ili sporednom osi. Vidi prikaz na sljedećoj stranici.

.fi·

tetiva dužina koja povezuje dvije

četverokut četverokut kod kojeg sva četiri vrha kružnici. U takvom četverokutu vrijede tvrdnje:

tetivni

Kutovi ACB, ADE, AEB i AFB su svi j ednaki.

tetivni četverokut

leže na

istoj (l) Zbroj je nasuprotnih kutova uvijek 180°, te su oni stoga suplementni. (2) Svi vanjski kutovi (kutovi što ih zatvara stranica i produžetak njoj susjedne stranice), jednaki su nasuprotnim unutrašnjim kutovima.

tetraedar geometrijsko tijelo s četiri trokutaste strane; trostrana piramida. Pravilni tetraedar (tetraedar u užem smislu riječi) za strane ima jednakostranične trokute.

zbroj nasuprotnih kutova tetivnog četverokuta jednak je 180•, te su oni stoga suplementni a+ {l+ li= 1so•

r=

težina

140

težina sila kojom neko tijelo djeluje na podlogu zbog gravitacije. Težina je razmjerna masi i jakosti gravitacijskog polja. Kako je ono, primjerice, na Mjesecu 6 puta slabije nego na Zemlji, tijelo iste mase na Mjesecu ima 6 puta manju težinu (6 je puta lakše) negoli na Zemlji. težišnica ili medijana u geometriji, dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice.

transverzala

Točnost broja izražavamo brojem ~značajnih znamenki. Tako primjerice umjesto broja 409 318 možemo pisati 409 300, 409 000, 41 O 000 ili 400 000, to jest s 4, 3, 2 ili l značajnom znamenkom. Da bi se znalo koje su znamenke značajne, brojeve često pišemo kao potencije broja I O, tj. (u gornjem primjeru) kao 4,09318 ·I 0 5, jer tako znamo da li je nula na kraju značajna znamenka, ili je dodana radi oznake mjesta.

tona jedinica za masu. Menička tona ima l 000 kg, ali postoje još i dvije angloameričke tone. Engleska long ton (''duga tona") ima 1016 kg (2240 funti) , a američka sho1·t ton ("kratka tona'') ima 907 kg (2000 funti).

težišnica ili medijana

medijana {težišnica)

tlocrt crtež u mjerilu nekog predmeta gledanog odozgo, iz beskrajne udaljenosti. točka najosnovniji geometrijski element. T očka nema dimenzi-

ja, a mjesto joj u prostoru možemo opisati recimo ~Kartezijevim koordinatama. Točku je vrlo teško definirati. Grčki ju je matematičar Euklid, otac geometrije, definirao kao "ono što nema dijelova''. točnost stupanj određenosti nekog broja ili njime određene veličine.

141

Pri mjerenju i računanju najčešće moramo pristupiti ~zao­ kruživanju. Kada množimo dva broja, broj će znamenaka u umnošku biti znatno veći, npr. 3,386 · 4,998 :: 16,923228. Ako to množenje obavljamo ~kalkulatorom koji radi samo sa 6 znamenaka, on će pokazati rezultat zaokružen na 6 značajnih znamenaka: 16,9232. Tzv. ~iracionalni brojevi ne mogu se prikazati konačnim brojem znamenaka, pa se pri računanju nužno zaokružuju.

topologija grana geometrije koja se bavi onim svojstvima geometrijskih likova i tijela koja se ne mijenjaju njihovom transformacijom (smanjivanjem i povećavanjem, mijenjanjem kutova, iskrivljavanjem). Topologija se primjenjuje za rješavanje problema u kojima su važne veze među elementima a ne njihov položaj u prostoru, npr. pri proučavanju strukture molekula, praćenju evolucije i hranidbenih lanaca, proučavanju turbulencije i sl. Prvi problem riješen topološkom metodom bio je slavni ~problem konigsberških mostova, iz kojeg se kasnije razvila čitava ta znanstvena grana. Vidi prikaz na sljedećoj stranici. torus tijelo nalik na zračnicu automobila. Savijanjem valjka i spajanjem u krug dobija se oblik torusa. Zanimljiv je zato što se može razrezati duž zatvorene krivulje tako da ostane povezan. trag skup svih položaja neke točke u gibanju. transformacija ~geometrijska transformacija translacija ~geometrijska transformacija kojom se mtJenp položaj ali ne i orijentacija i veličina nekog lika ili tijela; transformacija koja ga pomiče bez zakretanja, tako da sve nove osi ostaju paralelne starima (~vektor translacije). t ransverzala pravac koji siječe dva ili više (obično paralelnih) pravaca u ravmm.

trapez

142

topologija

trigonometrija

143 trapez

t ! h

•

gornji je lik topološki

b

ploština trapeza identičan

=Th

(a + b)

donjemu

•

jednakokračni trapez

'

os simetrije

trapez geometrijski lik, četverokut s dvije paralelne stranice. Ako su duljine paralelnih stranica a i b, a udaljenost je između njih h (visina lika), njegova je ploština

P= ~ h (a+ b) Kod jednakosrraničnog trapeza bočne su stranice jednake, pa je on simetričan s obzirom na os simetrije koja prolazi polovištima njegovih paralelnih stranica.

trigonometrija dio matematike koji se bavi izračunavanjem kutova iz duljina i obrnuto, polazeći od svojstava pravokutnog trokuta. Taj trokut može ležati u ravnini, ali i na nekoj zakrivljenoj površini, primjerice površini kugle, u kojem slučaju govorimo o sfernoj trigonometriji. Za trigonometrijska računanja napose su važne ~trigo nometrijske funkcije ~sinus, ~kosinus, ~tangens i ~kotangens. One nam omogućuju da na temelju jednog šiljastog kuta i stranice ili bilo koje dvije stranice izračunamo i sve ostale kutove i stranice pravokutnog trokuta. Trigonometrija se razvila iz geodezije (zemljomjerstva) no danas je njena primjena skoro univerzalna, pa je nalazimo u građe­ vinarstvu, astronomiji, nuklearnoj fizici, pomorstvu, zrakoplovstvu, elektrotehnici i elektronici - praktički u svim područjima prirodoznanstva i tehnike.

trokut

144

tupi kut

145 trokut

trigonometrija trigonometrijske funkcije

B

j edna kostra nič ni

jedn akokrač ni trokut -

raznostranični trokut -

dvije jednake stranice i dva jednaka kuta

tri raz lič ite stranice i tri

svi kutovi jednaki (60' 1

trokut - sve su stranice jednako duge i

.

Sin n =

l sc i lAB I

=

lAci cosa= 1ABf = tg a =

lac i lACT =

ctg n =

TBCf =

lAC l

nasuprotna kateta hipotenuza priležeća kateta

šiljastokutni trokut - svi kutovi šiljasti (manji od 90'1

tupokutni trokut -

jedan kut tupi (veći o d 90'1

hipotenuza

ra zl ičita

kuta

Pravokutni t rokut i ma jedan kut od 90'. Njemu

nasuprotna stranica zove se hipotenuza.

nasuprotna kateta priležeća kateta

priležeća kateta nasuprotna kateta

trokut trostrani geometrijski lik; geometrijski lik s tri vrha i tri stranice u kojem zbroj svih kutova iznosi 180°. Možemo ih podijeliti prema odnosu duljina njihovih stranica. Tako su kod raznostnmičnogtrokuta sve tri stranice različitih duljina; kodjednakokračnog trokuta jednake su dvije, a kod jednakostraničnog trokuta sve tri stranice, baš kao i sva tri kuta (60°) . U pravokutnom trokutu jedan je kut pravi (90°). Najdulja mu se stranica (nasuprot pravom kutu) zove hipotenuzom, preostale dvije nazivamo katetama. Ploština je pravokutnog trokuta jednaka polovici umnoška njegovih kateta. P= - l ab 2

a

a ·

Ploština trokuta = _!_ av 2

Slični trokuti imaju jednake odgovarajuće kutove, ali ne

Trokuti su sukladni (kongruentni) ako im aju jednake odgova r ajuće

i stranice. Oni su istog obli·

stranice i kutove.

ka, ali različite veliči ne.

tupi kut kut veći od 90° i manji od 180°.

upisana kružnica

147

u

univerzalni skup univerzalni skup cijelih brojeva

ubrzanje c::>akceleracija udjel količinski omjer nekog dijela prema cjelini. Izražavamo ga kao razlomak ili postotak. Tako je primjerice udjel kopna u ukupnoj Zemljinoj površini 29%.

parni brojevi

umnožak c::>produkt unakrsno množenje množenje, u slučaju dva razlomka, brojnika jednog s nazivnikom drugog i obrnuto. T o se obično radi kod ekvivalentnih razlomaka. Naime, ako je alb = e/d, tada vrijedi i

ad= bc. unca anglosaksonska mjera za težinu (simbol oz), 1/16 funte ili

28,35 grama.

neparni broj evi

= =

unutrašnji kut jedan od četiri unutrašnja kuta koji nastaju kad

transverzala presiječe dva druga, obično paralelna pravca. T o je ujedno i kut unutar c::>mnogokuta. unutrašnji kut

unija skup nastao udruživanjem dvaju ili više skupova. Skup svih

njihovih elemenata. unija skupova

Vennov dijagram unije skupova A i B (A U B). . To je čitava zasjenčana površina .

jedan od četiri unutrašnja kuta četverokuta

univerzalni skup skup čiji se podskupovi razmatraju, sadrži sve

elemente bitne za određeni problem. Tako i skup neparni h brojeva l, 3, 5, 7 ... i skup kvadrata prirodnih brojeva l, 4, 9, 16 ... pripadaju univerzalnom skupu prirodnih brojeva l, 2, 3 ...

upisana kružnica kružnica koja dotiče (ali ne i siječe) sve stranice nekog mnogokuta (poligona). Središte kružnice upisane u trokutu leži na sjecištu c::>simetrala njegovih kutova.

upisani lik

148

upisana kružnica kruinica upisana u trokut

uzorak

149

smijemo zaboraviti da iz -a> - b => a< b. Tako je primjerice -20 manje od - lO, iako je 20 broj veći od 10. uvrštavanje pridavanje konkretnih vrijednosti općim brojevima algebarskog izraza. Tim postupkom ne samo da možemo doći do rješenja nekog problema, nego nam on služi i za provjeru ispravnosti pojedinih matematičkih izraza. Uzmimo, recimo, izraz

x 3 + y3 = (x + y)(x 2 + y2- xy) te pretpostavimo da je x = l i y = 2. Kad te vrijednosti uvrstimo u lijevu strane jednadžbe, dobivamo 13 +2 3 = 1 +8=9 O je središte kružnice i sjecište simetrala svih kutova u trokutu

upisani lik u geometriji, lik kojemu svi vrhovi leže na istoj kružnici. upitnik formular s pitanjima. Primjenjuje se pri statističkom ispitivanju većeg broja subjekata. uređeni par par brojeva čiji smisao ne ovisi samo o njihovoj vrijednosti, nego i o poretku. Tako su primjerice koordinate neke točke uređen par zato što točka (2,3) nije identična točki (3,2). Isto su tako uređen par i pravi razlomci, zato što njihovu vrijednost određuju ne samo brojevi, nego i njihovo mjesto koje nam govori je li neki broj tvori brojnik ili nazivnik. uređenost svojstvo nekog skupa da se u njemu uvijek, u skladu s nekim pravilom, znade mjesto pojedinog elementa, to jest da su oni poredani u skladu s nekim svojstvom. Možemo reći i da je uvođenje uređenosti u neki skup isto što i preslikavanje njegovih elemenata u skup prirodnih brojeva. Drugim riječima, kad neki skup uredimo, onda svakom njegovom elementu možemo pridružiti neki element iz skupa prirodnih brojeva. Uređenost se utvrđuje znakovima>, <, :::; i ~. Kod poretka brojeva a< b znači da se a nalazi lijevo od b na brojevnom pravcu. Na brojevni se pravac mogu poredati i negativni brojevi. Pritom, međutim, ne

a kad uvrstimo u desnu, rezultat je

(l + 2)(1 2 + 22 - l. 2)

= 3. 3 = 9

uzajamno isključivanje uvjet koji ne dopušta istodobno događanje dva događaja. Tako primjerice nije moguće da novčić istodobno padne i na pismo i na glavu, pa stoga velimo da se ta dva događaja međusobno isključuju. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od ta dva događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti da će se dogoditi ili jedan ili drugi (~pravilo ILI-ILI). Tako je vjerojatnost da pri jednom bacanju novčića padne pismo jednaka 0,5, kao i vjerojatnost da padne glava. Vjerojatnost da padne ili pismo ili glava jednaka je l, a da padne i pismo i glava jednaka je O. uzastopan u logičnom slijedu. Uzastopni su brojevi čiji se slijed može produživati u skladu s nekim logičkim pravilom. Tako su primjerice brojevi 3, 4, 5 uzastopni, baš kao i n, n + I, n + 2. uzorak ~statistički uzorak

varijabla

151

v

valjkast ili cilindričan koji ima oblik valjka (cilindra). Tako su valjkaste ko nzerve, role toaletnog papira, ali i cijevi, motke i tanke niti. vanjski kut jedan od četiri vanjska kuta što ih zatvara transverzala pri presijecanju dva (obično paralelna) pravca. Također i kut što ga, u poligonu, produžetak jedne stranice zatvara sa susjednom.

vaganje mjerenje ~težine, pa time najčešće posredno i mase. valjak ili cilindar geometrijsko tijelo nalik na okruglu cijev. Valjak se sastoji od plašta i dvije baze. Plašt je skup svih točaka jednako udaljenih od osi. Njega presijecaju i zatvaraju dvije baze. Najčešće pod valjkom podrazumijevamo uspravni valjak, to jest takav kojemu baze sijeku os pod pravim kutom. Obujam je uspravnog valjka dan izrazom

vanjski kut vanjski kutovi transverzale

V = r 2hn gdje je r radius (polumjer) baze a h visina valjka. Njegovo ukupno oplošje O izražavamo formulom

O= 2r(h+r)n koja se zapravo sastoji iz dva člana. Površina je plašta jednaka

2rhn, a površina svake baze r 2n.

'

valjak

a,

p, y, o- četiri vanjska kuta

vanjski kutovi mnogokuta

h


obujam V

= r2Jnt

oplošje plašta P = 2rhrr. ukupno oplošje O = 2r{h+r)1t

i 9 su dva vanjska kuta ovog peterokuta

varijabla veličina čija se ~vrijednost može mijenjati, to jest koja može poprimiti različite vrijednosti, nasuprot ~konstanti čija je vrijednost stalna. Tako su primjerice u algebarskom izrazu y = 4 x 3 + 2 varijable xi y, dok su 4 i 2 konstante.

varijabla ili disperzija

Varijabla može biti zavisna i nezavisna. Ako je y <>funkcija varijable x, što simbolički pišemo kao y =fix), onda je x nezavisna ay zavi sna varijabla, jer njezina vrijednost ovisi o vrijednosti varijable x. Tako primjerice funkcija y = 4.x-3 + 2, za vrijednosti nezavisne varijable x = l , 2, 3 ... daje vrijednosti zavisne varijable y = 6, 34, ll O ... Sve razmatrane (ili moguće) vrijednosti nezavisne varijable tvore skup koji zovemo t;>domenom, dok sve vrijednosti zavisne varijable teže u skupu koji zovemo t;>kodomena.

velika ili glavna kružnica

153

152

Vekrori se pišu masnim kurzivnim slovima (npr. a), ili ~stre­ licom natpisanom nad simbol (a) ili nad oznaku dužine (AB). zbrajanje vektora

/

't

/

/

varijabla ili disperzija u statistici mjera odstupanja mjerenih

/

podataka od neke središnje vrijednosti (obično <>aritmetičke sredine) .

/

/

vektor veličina koja se ne može definirati (jed noznačno odrediti)

samo svojim iznosom (vrijednošću), nego je određena i svojim smjerom (orijentacijom), pa je možemo prikazati usmjerenom dužinom . Primjer su vektorskih veličina sila, brzina i akceleracija. Veličine koje nisu odredene smjerom, nego samo vrijednošću, zovemo <>skalarima. Takve su veliči ne primjerice masa, gustoća, energija. Vektorske se veličine prikazuju vektorima. G rafički vektor prikazujemo kao strelicu (duljinu s ušiljenim krajem), to jest kao usmjerenu dužinu, čija duljina odgovara vrijednosti vektora, a smjer njegovom stvarnom smjeru u nekom koordinatnom sustavu. Vektor možemo prikazati i algebarski, kao uređen skup brojeva ili kao vektor-stupac. Tako npr. urec1ena trojka (3, 2, S) određuje usmjerenu dužinu koja polazi iz ishodišta i završava u točki s koordinatama x = 3, y = 2, z = 5, a može se zapisati i

Vektori se dadu zbrajati grafički, stavljanjem početka jednog na kraj drugog vektora, to jest s pomoću tzv. pravila paralelograma. Zbroj vektora lako je izračunati: npr. (2, 4) + (7, 3) = (2 + 7, 4 + 3) = (9, 7). Vektori su napose važni pri analizi sila, primjerice u statici, astronomiji, teoretskoj kemiji.

p

/

/

vektor translacije vektor koji opisuje pomicanje iz jedne točke

1

u drugu. vektor translacije

'

l

vektor transla cije

veličina

neko svojstvo koje se dade izraziti brojem.

velika ili glavna kružnica kružnica ucrtana na površinu kugle, kojoj je promjer jednak promjeru kugle. Na Zemlji su takve kružnice svi meridijani, a od paralela je to samo ekvator.

154

Vennov dijagram

155

vrh

Najkraći put između dvije točke na Zemljinoj površini uvijek je dio luka velikoga kruga. Njime nastoje, kad god je to moguće, ploviti brodovi i letjeti avioni. Na globusu su to ravne crte, koje to na kartama, zbog iskrivljenja, redovito nisu. Luk velike kružnice zovemo ortodromom.

višekratnik nekoga broja, svaki je broj koji je nastao njegovim množenjem. T o ujedno znači i da je svaki broj e:> faktor svog višekratnika. Tako je primjerice 18 višekratnik od 3, jer vrijedi 3. 6 = 18. <>Najmanji zajednički višekratnik je najmanji broj koji je višekratnik svih brojeva nekoga skupa.

Vennov dijagram dijagram (grafički prikaz) skupova i njihovih međusobnih odnosa.

vjerojatnost predviđena buduća učestalost (frekvencija) nekog slučajnog događaja. Obično se prikazuje u obliku razlomka ili decimalnog broja. Općenito govoreći, vjerojatnost da će se od m mogućih događaja dogoditi baš njih odabranih n jednaka je n/m. Neizbježan događaj ima vjerojatnost l; nemoguć događaj vjerojatnost O. Empirijska vjerojatnost (vjerojatnost utvrđena pokusom) definira se kao omjer između broja uspjelih pokušaja i ukupnog broja pokušaja. Bacamo li novčić, vjerojatnost da će pasti na "pismo" ista je kao i vjerojatnost da će pasti na "glavu". Omjer je vjerojatnosti jednog i drugog ishoda l: l, a matematički se vjerojatnost jednog i drugog zbivanja izražava kao 1/2 ili 0,5. Vjerojatnost da kod bacanja kocke neće pasti šestica jednaka je 5/6, a vjerojatnost da će pasti šestica 116 ili 0,1666... Bacamo li dvije kockice, vjerojatnost da će obje istodobno pasti na šesticu jednaka je umnošku vjerojatnosti da će svaka od njih pasti na šesticu, dakle (1/6)(116)=1136 (pri čemu su ishodi bacanja dviju kockica neovisni). Vjerojatnost pak da će obje pokazati isti broj jednaka je 1/6, jer je takvih brojeva šest, jer 6 i (l /36) = l l 6.

vertikala .::>okomica visina kod geometrijskih tijela i likova udaljenost između vrha i baze; duljina okomice spuštene iz vrha na bazu.

visina

visina trokuta

vrh

baza vrh

~ visina ~-ci baza dvije visine četverokuta

vrh

volumen ili obujam dio prosrora što ga zaprema neko geometrijsko ili fizičko tijelo. Prizme i valjci, imaju obujam jednak umnošku tog presjeka (ploštine baze) s vlastitom visinom. Za stožac i piramidu obujam je jednak 113 umnoška ploštine baze i visine. Obujam je kugle jednak .i. r3n, gdje je r njezin radius (polumjer). 3 vrh u geometrijskom liku ili tijelu, presjecište (spoj) stranica odnosno bridova. Vidi sliku na 157. stranici.

baza

vrijednost

156

157 vrh

volumen

/

vrh stošca

volumeni nekih poznatijih geometriiskih tijela

~====aa~====~~

volumen kocke V= (duljina stranice),

V=

a3

+

"O~

10

C

vršni kutovi

/

'

vrhovi peterokuta

volumen kvadra V = duljina· širina • visina

V =abc

t v

~ volumen valjka

volumen stošca

V= r' v"

V=

T·

V=

3

v a (radius baze)' . visina. ll

t

(radius baze)' · visina •n

1

rv:t

volumen kugle V = -} radius3 • n

vrhovi kocke

vršni kutovi kutovi što stoje jedan nasuprot drugom kad se dva pravca sijeku. Usporedi i c:>sukute.

vršni kutovi

4

v= Jr"n

vrijednost broj pridružen nekoj varijabli. Vrijednost se razlomka dobiva dijeljenjem brojnika nazivnikom. Vrijednost pak algebarskog izraza ovisi o vrijednosti pripisanoj njegovim varijablama. Tako će, recimo, ako uvrstimo x = 3 i y = 4, vrijednost izraza x 2 + y 2 biti 25.

vr~ni

kutovi su jednaki

z zadovoljavanje jednadžbe vrijednosti varijable koje zadovoljavaju neku jednadžbu zapravo su vrijednosti za koje je ta jednadžba istinita; one su zapravo njezino rješenje. Tako x = 3 ix = - 3 zadovoljavaju jednadžbu xl= 9. zagrade par oznaka u matematičkom izrazu koje nam govore kojim slijedom valja obaviti matematičke operacije. Najprije treba obaviti operaciju u zagradama, a ako ih je više, onda najprije operacije u zagradi smještenoj u zagradi. Tako nam izraz 4 · (7 + 3) govori da najprije treba zbrojiti 7 i 3, pa tek tada njihovu sumu pomnožiri s 4. zajednička mjera ili zajednički faktor ili zajednički djelitelj broj s kojim je m oguće, bez ostatka, podijeliti svaki od brojeva u nekom skupu. Tako je primjerice 3 zajednička mjera brojeva

I 5, 21 i 24. Najveća zajednička mjera je najveća među zajedničkim mjerama. zajednički nazivnik nazivnik na koji se mogu svesti svi članovi nekog skupa razlomaka, što omogućuje njihovo zbrajanje i oduzimanje. On je zajednički višekratnik nazivnika svih promatranih razlomaka, te je stoga sa svakim od njih djeljiv bez ostatka. Tako je primjerice 12 zajednički nazivnik razlomaka 2/3 i 3/4, pa se navedeni razlomci mogu pisati kao 8/12 odnosno 9/12. Sad je lako izračunati njihov zbroj (17 /12) odnosno razliku (1112) . Najmanji zajednički nazivnik jest najmanji mogući zajednički nazivnik nekog skupa razlomaka. Tako primjerice mn
159

zemljopisna duljina (longituda) i širina (latituda)

Najmanji broj, međutim, koji je djel j iv (bez ostatka) s tim trima brojevima jest 120, pa ga zovemo <>najmanjim zajedn ičkim više-. kratnikom. zaklj učak uvjerenje stečeno na temelju logičkog razmišljanja.

zaokruživanje postupak pojed nostavnjivanja (skraćivanja) nekog broja svođenjem na približnu vrijednost. To postižemo ne samo brisanjem decimala, nego - ponekad - i mijenjanjem prethodne. Tako, primjerice, 34,3583 zaokružujemo na 34,358, ali 34,3587 zaokružujemo na 34,359. Potonji postupak zovemo i

korigiranjem. Zaokruživanje može dovesti do priličnih pogrešaka, napose pri množenju zaokruženih brojeva. Ako, primjerice, dimenzije kvadras dimenzijama 3,4, 4,4 i 5,4 zaokružimo na 3, 4 i 5, pogreška će pri računanju obujma (80,784) iznositi 20,784 ili više od 25%. zatvoreni skup skup kod kojeg rezultat neke računske operacije nad svim njegovim članovi ma (elementima) također pripada tom skupu. Tako je primjerice skup parnih brojeva zatvoren u odnosu na zbrajanje i množenje, zato što je zbroj ili umnožak svaka dva parna broja također parni broj. Za razliku od njega, skup ncparnih brojeva zatvoren je u odnosu na množenje, ali ne i u odnosu na zbrajanje. zbrajanje ili adicija operacija pridruživanja dvaju ili više brojeva u zbroj ili sumu. Primjeri: 7 + 4 = ll , 2 + 3 + 8 = (2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13. Zbrajanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije (uz oduzimanje, množenje i dijeljenje). zemljopisna (geografska) duljina (longituda) i širina (latituda) koordinate na zemaljskoj kugli. Radi njihova nalaženja globus je razdijeljen na meridijane i paralele. Paralele se koncentrično šire od polova do ekvatora i označavaju zemljopisnu širinu, koja može poprimiti vrijednosti od oo (na ekvatoru) odnosno 90° sjeverno i južno (na sjevernom odnosno južnom polu). Meridijani leže okomito na njih, spajaju polove i svi su jednake duljine. Oni određuju zemljopisnu duljinu, koja se mjeri od nultog meridijana, koji prolazi kroz zvjezdarnicu u Greenwichu pored Lon-

znak računske operacije

160

dona. Duljina može poprimiti vrijednosti od oo (na nultom meridijanu) do 180° istočno i zapadno od njega. Na moru se zemljopisna širina određuje prema visini Sunca odnosno zvijezda. Zemljopisna duljina se može odrediti prema točnom trenutku izlaska ili zalaska Sunca, odnosno dostizanja najviše točke. Taj trenutak naime na čitavom svijetu nije isti, nego ovisi baš o zemljopisnoj duljini. To je određivanje bilo praktički neostvarivo sve do izuma modernog kronometra, vrlo precizne ure s pomoću koje se može s velikom točnošću odrediti razlika između mjesnog i greenwichkog vremena. znak (računske operacije ili relacije) simbol koji nam govori koju računsku operaci~ trebamo izvesti na nekom skupu brojeva itd.), kao i o odnosu među njima (prim(primjerice +, -, ·, :, jerice =, :t-, >, < itd.).

v

znamenka svi simboli od O do 9 u dekadskom sustavu. Drugi brojčani sustavi imaju i druge simbole. Tako primjerice u Q binarnom sustavu nalazimo samo znamenke O i l (takozvane bitove), dok ih heksadecimalni ima čak 16 (od O do 9, i zatim A, B,

C, D, E iF). zrcaljenje r::>osna simetrija