Material Dia 1 Logica-ejercicios-a

NIVELATORIO PRECALCULO LOGICA La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. La lógica es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas. Esto se puede lograr definiendo en forma estricta cada uno de los conceptos. •

PROPOSICION

Es una unidad semántica que solo puede ser verdadera o solo puede ser falsa Se representan generalmente simbólicamente con letras y en orden alfabético Ejemplos:

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS • Indique si cada enunciado es o no una proposición: a) 7415 es un número par. b) ¿Qué hora es? c) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2. d) ¡Pare, por favor! e) El atardecer en la playa es romántico. f) La edad de Gloria es 17 años. g) Bogotá es la capital Colombia. h) Cartagena es considerado Patrimonio Cultural de la Humanidad. i) Mi familia y yo viajaremos a la playa en fin de año. j) Ayer estuvo soleado pero hoy llueve torrencialmente. k) Mi palabra se siente levantada por un caballo lírico que salta. l) El mejor gobierno es el que gobierna menos.

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS Indique cuál de los siguientes enunciados no es una proposición: a) Hubo escasez de lluvias. b) Mi correo electrónico es [email protected] c) 5(3+4)=36. d) 3 es un número par. e) Turismo.

Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) El sabor del color azul es dulce. b) 314159 es un número primo. c) x2+2x+1= 0. d) Disparen al ladrón. e) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años.

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VALOR DE VERDAD

Es el valor de verdad de una proposición es la calidad de veracidad que describe adecuadamente la proporción. Esta puede ser falso o verdadero Generalmente se asocia el verdadero al numero 1 y el valor falso al numero 0, similar a la notación de numeración binaria. •

TABLA DE VERDAD

Es la representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición y depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica

NIVELATORIO PRECALCULO En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas, no tan simples o elementales, mas aun surge la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lógicos. • No te encontré en tu casa. • Fui al banco y estaba Este operador lógicocerrado. cambia el valor de verdad • Tengo unaproposición: moneda desicinco o una de diez de una a escentavos una proposición centavos. verdadera, ¬a es falsa; si a es una proposición • Elfalsa, carro¬a dees Juan o es azul o es negro. verdadera. • Si me gano la lotería, entonces me compro una casa. • Estudio en la UNAB si y sólo si me esfuerzo. • NEGACION Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad

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CONJUNCIÓN

Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a ∧ b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por:

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DISYUNCIÓN

Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a ∨ b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por:

Esta disyunción puede ser inclusiva cuando permite una u otra proposición, o puede ser exclusiva cuando no permite la posibilidad que existan una u otra proposición.

NIVELATORIO PRECALCULO otras proposiciones relacionadas con la •Existen CONDICIONALL condicional a→b, las cuales se denominan: recíproca, Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, inversa y contrarrecíproca (o contrapositiva). representada simbólicamente por a → b, es una nueva La Recíproca,cuyo es representada simbólicamente por: b→a. proposición, valor de verdad está dado por: La Inversa, es representada simbólicamente por: ¬a→¬b. La Contrarrecíproca, es representada simbólicamente por: ¬b→¬a.

Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a→b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

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BICONDICIONAL

Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a ↔ b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por:

Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a ↔ b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición a ↔ b será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes.

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS Indique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a) Si 2(3+5)=16 entonces 5(6+1)=35. b) Si (4+5)=20 entonces (6+7)=12. c) Si (9+5)=14 entonces (6+5)=11. d) Si 9(4+2)=54 entonces 9(4+1)=14. e) Si 3(4+5)=28 entonces 7(6+5)=37. Una recíproca de la proposición “Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde” es: a) Si Carlos se levanta tarde, entonces llega impuntual. b) Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta tarde. c) Si Carlos no llega impuntual, entonces no se levanta tarde. d) Carlos llega impuntual, si no se levanta tarde.

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS

La traducción en el lenguaje formal de la proposición “Si tu eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”, siendo las proposiciones: m: Tú eres inteligente. n: Tú actúas con prudencia. p: Tú eres un ignorante en la materia. es:

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS Considere las proposiciones simples: a: Si utilizo mis habilidades matemáticas. b: Resuelvo bien los ejercicios. c: Hago un buen deber. La traducción de a → ( b ∧ c ) es: Si utilizo mis habilidades matemáticas entonces resuelvo bien los ejercicios y hago un buen deber

Una traducción al lenguaje formal de “Mis padres me compran un carro si me porto bien y apruebo este curso”, siendo las proposiciones simples: m: Mis padres me compran un carro. n: Si me porto bien. p: Y apruebo este curso. es: ( n ∧ p ) → m a) Verdadero

b) Falso

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TAUTOLOGIA

es un término que proviene de un vocablo griego y que hace referencia a la repetición de un mismo pensamiento a través de distintas expresiones. Una tautología, para la retórica, es una afirmación redundante. Es habitual que las tautologías sean consideradas como un error en el lenguaje o una falta de estilo. Un ejemplo muy común de tautología se pueden apreciar en las siguientes oraciones: “Voy a subir arriba a buscar un libro y vuelvo”, “Tengo que salir afuera para regar las plantas”. Siempre que se sube es hacia arriba; del mismo modo, salir implica trasladarse fuera de un lugar, por lo cual dichas aclaraciones carecen de sentido y resultan innecesarias.

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CUANTIFICADORES

En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando. Por ejemplo, si consideramos la función proposicional: P(x) = x es menor que dos Esto podría particularizarse así: “Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

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CUANTIFICADORES

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales. Para notar la particularización y la generalización, se utiliza la siguiente simbología, respectivamente:

que se lee: “existe un x que pertenece a R (a los reales), tal que equis es menor que dos” Mientras que se lee: “para todo x que pertenece a R (a los reales), se cumple que equis es menor que dos” El símbolo ∀(para todo…) se denomina cuantificador universal, y el símbolo ∃(existe al menos un…) se denomina cuantificador existencial. Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad.

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TIPOS DE CUANTIFICADORES

 CUANTIFICADOR UNIVERSAL

∀

(para todo…): se utiliza para afirmar que TODOS los elementos de un conjunto, cumplen con una condición o propiedad determinada. Esto se expresa como:

 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

∃

(existe al menos un…): se utiliza para indicar que existen uno o más elementos en el conjunto A que cumple(n) con una condición o propiedad determinada.

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TIPOS DE CUANTIFICADORES

 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO

∃!

(existe un único…): se utiliza para indicar que existe exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o propiedad determinada.

 NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

NIVELATORIO PRECALCULO EJERCICIOS Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:

a. b. De las siguientes proposiciones cuantificadas. simbolizar la proposición y la negación de dicha proposición. a. Todos los números naturales son pares.

b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.