Mayo 2017

Universidad Carlos III de Madrid

Mayo de 2017 Microeconomía

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Grupo:

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Calif.

Dispone de 2 horas y 45 minutos para contestar todas las preguntas. 1. Preguntas Tipo Test. (Marque su respuesta con una “x”. Se obtienen 2 puntos si se marca la respuesta correcta, -0,66 si se marca una respuesta incorrecta y 0 puntos si no se marca respuesta alguna.) 1.1. De acuerdo con las preferencias % sobre cestas de bienes en R2+ ; (x; y) % (x0 ; y 0 ) si y solo si x x0 e y y 0 . Por tanto, % no satisfacen el axioma A:1 (completitud) no satisfacen el axioma A:2 (transitividad) no satisfacen el axioma A:3 (monotonicidad) satisfacen los axiomas A:1; A:2 y A:3. 1.2. Las preferencias de un consumidor están representadas por la función de utilidad u(x; y) = 2x+y. Los precios son (px ; py ) = (1; 1): Por tanto, los signos de los efectos renta (ER) y sustitución (ES) sobre la demanda del bien x de un incremento del precio de x a p0x = 3=2 son ES < 0; ER = 0

ES = 0; ER > 0

ES = 0; ER < 0

ES = 0; ER = 0:

1.3. Si x e y son complementarios perfectos, un impuesto al consumo del bien x reduce la demanda x y aumenta la demanda de y aumenta la demanda x y reduce la demanda de y reduce las demandas x y de y reduce la demanda x y no altera la demanda de y. 1.4. Los precios de los bienes x; y fueron (p2015 ; p2015 ) = (2; 1) en 2015 y (p2016 ; p2016 ) = (1; 2) en x y x y 2016. Por tanto, el índice de precios al consumo (IPC) tipo Laspeyres para un individuo cuya cesta de bienes en 2015 fue (x; y) = (1; 1) es: 1 2

3 2

1 1

2.

1.5. Si las preferencias del consumidor de la pregunta anterior están representadas por la función de utilidad u(x; y) = minfx; yg, entonces el IPC verdadero de este individuo es: 1 2

3 2

1

2.

1.6. Las preferencias sobre loterías de un consumidor están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = ln x. Identi…que la utilidad esperada y el equivalente de certeza de la lotería l = (x; p) que paga los premios x = (1; 2; 16) con probabilidades p = ( 21 ; 31 ; 16 ): Eu(l) = ln 2; EC(l) = 4

Eu(l) = ln 2; EC(l) = 2

Eu(l) = 2 ln 2; EC(l) = 2

Eu(l) = 2 ln 2; EC(l) = 4:

1.7. Si una empresa produce una cantidad positiva al precio de equilibrio competitivo a corto plazo, p, entonces su coste marginal es mayor o igual que su coste medio su coste medio es menor o igual que p su coste medio variable es no decreciente su coste marginal es decreciente. Las preguntas 8, 9 y 10 se re…eren a Lolita, la vaca competitiva de Holstein que produce leche utilizando avena (A) y heno (H), que p compra a precios pA y pH , respectivamente, de acuerdo con la función de producción Q = minfA; Hg: 1.8. La demanda condicional de heno de Lolita, H(pA ; pH ; Q); es Q2 pH

Q

Q p A pH

Q2 .

1.9. Lolita produce leche con costes (pA + pH ) Q

pH 2 Q pA

pA Q + pH Q2

1.10. y tiene deseconomías de escala economías de escala

coste marginal constante coste medio decreciente.

2

(pA + pH ) Q2 ,

2. Las preferencias de un consumidor sobre alimento (x) y vestido (y) están representadas por la p función de utilidad u(x; y) = x y. (a) (15 puntos) Calcule sus funciones de demanda de alimentos y vestido, x(px ; py ; I) e y(px ; py ; I). (Veri…que la posible existencia de soluciones interiores y de esquina al problema del consumidor.) Represente grá…camente el conjunto presupuestario del consumidor y calcule la cesta óptima y la nivel de utilidad para (px ; py ; I) = (2; 1; 6). Solución: Puesto que

p

RM S(x; y) =

y

x p

=

2 y

2y ; x

una solución interior al problema del consumidor resuelve el sistema 2y px = x py px x + px y = I: Resolviendo el sistema obtenemos x(px ; py ; I) =

2I I ; y(px ; py ; I) = : 3px 3py

Como u(0; y) = u(x; 0) = 0 y u(x; y) > 0 para (x; y) esquina.

0; para I > 0 no hay soluciones de

La restricción presupuestaria para (px ; py ; I) = (2; 1; 6) es 2x + y = 6; la cesta óptima es (x ; y ) = ( y la utilidad del consumidor es

2 (6) 6 ; ) = (2; 2); 3 (2) 3 (1)

p u(2; 2) = 2 2 = u

El grá…co adjunto ilustra estos cálculos.

y

6

4

2

u(x,y)=u* 0 0

1

2

3

3

4

x

(b) (10 puntos) Si a los precios y renta (px ; py ; I) = (2; 1; 6); el gobierno introduce un impuesto al consumo de vestido de un euro por unidad, ¿cuánto recaudaría? Calcule la variación equivalente de este impuesto y veri…que que es mayor que la recaudación del impuesto. Solución: El impuesto aumenta el precio del vestido a p0y = 2: Para este precio, las demandas de alimentos y vestido del consumidor son (

2 (6) 6 ; ) = (2; 1); 3 (2) 3 (2)

y la recaudación del gobierno sería T = 1(1) = 1 euro. Para calcular la variación equivalente, calculamos la utilidad del consumidor a los nuevos precios, p u(2; 1) = 2 1 = 2; y resolvemos el sistema p x y = 2 2y = 2; x 2

cuya solución es x = y = 2 3 : Sin el impuesto, coste de la cesta (x; y) es 2

C = xpx + ypy = 2 3 (2 + 1) : Por tanto, la variación equivalente es VE =I

C=6

2

2 3 (2 + 1) ' 1; 24 > 1 = T:

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3. (15 puntos) Elena estudia en la Carlos III. Su bienestar depende de su ocio semanal (h; medido en días), su consumo semanal (c; medido en euros) y su cali…cación media (y 2 [0; 10]). Sus preferencias están representadas por la función de utilidad u(h; c; y) = 5h + c + y: Su cali…cación media depende de cuantos de los 4 días semanales de que dispone dedica al estudio, x 2 [0; 4]; de p acuerdo con la formula y = 5 x. (Los 3 días restantes asiste a clase.) Obviamente, Elena dedica al ocio los días de la semana que no dedica al estudio, 4 x. La única renta de que Elena dispone para …nanciar su consumo es una asignación de sus padres de w y euros semanales. Utilice estas restricciones presupuestarías para calcular la utilidad de Elena en función del número de días de estudio semanales v(x). A partir de este cálculo, describa el problema de maximización de Elena y determine cuantos días dedicará al estudio en función de w; x(w): Utilice la función x(w) obtenida para calcular el ocio y consumo semanales de Elena, h(w), c(w); así como su nota media, y(w). p p Solución: Puesto que h + x = 4; y = 5 x y c = wy = 5w x; podemos escribir la utilidad de Elena en función del número de días que dedica al estudio x como v(x) = u(4

p p x; 5w x; 5 x) = 5 (4

p p x) + 5w x + 5 x:

El problema de Elena es max v(x):

x2[0;4]

Una solución interior resuelve la ecuación 5 5 + p (w + 1) = 0; 2 x

v 0 (x) = cuya solución es

(w + 1)2 : 4 Como se debe cumplir la restricción x 4; la solución al problema de Elena es ( (w+1)2 si w 3 4 x(w) = 4 si w > 3; x =

y su ocio, consumo y nota media son h(w) =

c(w) =

y(w) =

(

4 0

(w+1)2 4

5 2 w (w

+ 1)

10w 5 2

(w + 1) 10

5

si w 3 si w > 3; si w 3 si w > 3; si w 3 si w > 3:

4. La demanda de un bien es D(p) = maxf180 5p; 0g: Existen dos tecnologías alternativas, A y B; que permiten producir q > 0 unidades con un coste total C A (q) = 8 + 2q 2 y C B (q) = 3 + 3q 2 , respectivamente, mientras que C A (0) = C B (0) = 0: (a) (15 puntos) Halle las funciones de oferta de empresas competitivas con las tecnologías A y B y calcule el equilibrio competitivo suponiendo que hay 20 empresas de tipo A y 30 empresas de tipo B. Solución: Oferta de las empresas con la tecnología A. La condición de cierre requiere p min CMeA (q): La función de coste medio es CMeA (q) = 8q + 2q: Como dCMeA (q) = dq

8 + 2 = 0 , q A = 2; q2

tenemos min CMeA (q) = 8: Obtenemos la oferta de la empresa resolviendo la ecuación CMaA (q) = p , 4q = p: Puesto que para p < 8 tenemos q = p=4 < 2 no satisface la condición de cierre, la oferta de la empresa es ( p si p 8 4 sA (p) = 0 si p < 8: Oferta de las empresas con la tecnología B. La condición de cierre requiere p La función de coste medio es CMeB (q) = 3q + 3q: Como dCMeB (q) =3 dq

min CMeB (q):

3 = 0 , q B = 1: q2

tenemos min CMeB (q B ) = 6: Obtenemos la oferta de la empresa resolviendo la ecuación CMaB (q) = p , 6q = p: Puesto que para p < 6 tenemos q = p=6 < 1 no satisface la condición de cierre, la oferta de la empresa es ( p si p 6 B 6 s (p) = 0 si p < 6: La oferta de mercado es 8 < 10p 20sA (p) + 30sB (p) = S(p) = 5p : 0

si p 8 si 6 p < 8 si p < 6:

En el equilibrio competitivo oferta y demanda coinciden 180

5p = 10p ) p = 12; q = 120; qA = 3; qA = 2: 6

(b) (5 puntos) Determine el precio y el número de empresas con la tecnología A y B en el equilibrio competitivo a largo plazo. (Las funciones de coste dadas son las de largo plazo.) Solución. En el equilibrio competitivo a largo plazo solo sobreviven las empresas con tecnología B, las más e…cientes, ya que min CMeA (q) = 8 > 6 = min CMeB (q): Puesto que las empresas tienen bene…cios nulos, el precio de equilibrio competitivo a largo plazo es p = 6 y la demanda es D(6) = 216: Puesto que la escala óptima de las empresas con tecnología B es q B = 1; el número de empresas de cada tipo es nA = 0 y nB =

D(6) 150 = = 150: B q 1

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5. Una empresa farmacéutica debe decidir si realizar una inversión para desarrollar una nueva vacuna contra una enfermedad común en algunos países en desarrollo. El coste de desarrollar la vacuna es de 700 millones de euros, y su coste medio variable de producción y distribución es 10 euros. Por tanto, la función de costes totales de la empresa es C(q) = 700 + 10q si decide desarrollar la vacuna, donde q viene expresada en millones de unidades, y C(0) = 0 si decide no hacerlo: La demanda potencial de la vacuna, en millones de unidades, al precio de p euros por unidad es D(p) = maxf60 p; 0g. (a) (10 puntos) Determine si la empresa desarrollará la vacuna. (Observe que la empresa tendría una patente y, por tanto, monopolizaría el mercado.) Solución: Calculemos el equilibrio de monopolio suponiendo que la empresa desarrolla la vacuna. La empresa produce la cantidad q que resuelve el problema max P (q)q q>0

C(q);

donde P (q) es la demanda inversa, que podemos obtener a partir de D(p) como P (q) = 60 q para q 2 [0; 60] (para q > 60 no está de…nida). La condición de primer orden que identi…ca la solución a este problema es P 0 (q)q + P (q) = C 0 (q); es decir ( 1)q + (60

q) = 10:

Resolviendo esta ecuación obtenemos q =

60

10 2

= 25 millones de unidades

y p = P (q ) = 60

q = 35 euros/unidad.

El bene…cio de la empresa en el equilibrio de monopolio es =p q

C(q ) = 35 (25)

700

Por tanto, la empresa no desarrollará la vacuna.

8

10 (25) =

75 millones de euros:

(b) (10 puntos) Determine el impacto sobre el bene…cio de la empresa y el excedente del consumidor, así como el coste para el estado de una subvención a la empresa de 10 euros por cada vacuna que venda. (Mantenga la notación p para el precio que se paga por la vacuna y tenga en cuenta que la empresa recibe p + 10 euros por cada vacuna que venda.)

Solución: Con la subvención, si la empresa desarrolla la vacuna produciría la cantidad q que resuelve el problema max(P (q) + 10)q q>0

C(q);

La condición de primer orden que identi…ca la solución a este problema es ahora P 0 (q)q + (P (q) + 10) = C 0 (q); es decir ( 1)q + (60

q + 10) = 10:

Resolviendo esta ecuación obtenemos qs =

60 = 30 millones de unidades 2

y ps = P (qs ) = 60

qs = 30 euros/unidad.

El bene…cio de la empresa en el equilibrio de monopolio es ahora = (ps + 10)qs

C(qs ) = (30 + 10) (30)

700

10 (30) = 200 millones de euros:

Por tanto, con la subvención la empresa desarrollaría la vacuna. El excedente del consumidor que generaría este programa sería EC =

1 (60 2

p ) q = 450 millones de euros.

El coste del programa sería de 10q = 300 millones de euros: Por tanto, la subvención generaría un excedente neto del coste del programa igual a 200 + 450

300 = 550 millones de euros.

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