Mayo 2018

Universidad Carlos III de Madrid

Mayo de 2018 Microeconomía

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Grupo:

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Calif.

Dispone de 2 horas y 45 minutos para contestar todas las preguntas. 1. Preguntas Tipo Test. (Marque su respuesta con una “x”. Se obtienen 2 puntos si se marca la respuesta correcta, -0,66 si se marca una respuesta incorrecta y 0 puntos si no se marca respuesta alguna.) 1.1. Las preferencias lexicográ…cas %L sobre cestas de bienes en R2+ se de…nen como (x; y) %L (x0 ; y 0 ) si x > x0 ; o si x = x0 e y y 0 . Por tanto, %L no satisface el axioma A:1 (completitud) no satisface el axioma A:2 (transitividad) no satisface el axioma A:3 (monotonicidad) satisface los axiomas A:1; A:2 y A:3.

1.2. Un consumidor cuya renta monetaria es I = 4 está considerando comprar la cesta (0; 2) a los precios (px ; py ) = (3; 2): Si RM S(0; 2) = 2, entonces debe consumir menos x y más y debe consumir más x y menos y

debe consumir más x y más y la cesta (0; 2) es óptima.

1.3. Los precios fueron (px ; py ) = (1; 1) en 2017, y son (p0x ; p0y ) = (1; 2) en 2018. Por consiguiente, el índice de precios al consumo (IPC) verdadero para un consumidor con renta I = 3; y cuyas preferencias están representadas por la función de utilidad u(x; y) = minf2x; yg es 1

4 3

3 2

5 , 3

1

4 3

3 2

5 . 3

1.4. y su IPC tipo Laspeyres es

1

p 1.5. Un individuo con preferencias representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x, siendo x su salario, tiene dos ofertas de trabajo (X e Y ) con salarios que dependen de si la economía entra en recesión (R), mantiene la situación actual (M ), o inicia un ciclo alcista (A), lo que ocurre con probabilidades pR = 1=4; pM = 1=2 y pA = 1=4: La oferta X paga (xR ; xM ; xA ) = (16; 25; 36) y la Y paga (yR ; yM ; yA ) = (0; 16; 100). Por tanto, la utilidad esperada y el equivalente de certeza de su oferta de trabajo preferida, (Eu ; EC ); son (Eu ; EC ) = (4; 16) (Eu ; EC ) = (5; 25)

(Eu ; EC ) = (5; 20) (Eu ; EC ) = (6; 36);

1.6. y la cantidad máxima que el individuo estaría dispuesto a pagar por saber con certeza la evolución de la economía, M; satisface M =0 M 5

M 2 (5; 10) M 10:

1.7. La función de producción de Lolita, la vaca competitiva de Holstein que produce leche utip lizando avena (x) y cebada (y) que compra a precios px = 8 y py = 4, es F (x; y) = x2 y. A corto plazo la cantidad de avena es …ja e igual x = 2 unidades. Por tanto, a corto plazo Lolita tiene economías de escala rendimientos constantes a escala

deseconomías de escala costes medios variables crecientes,

1.8. y su oferta competitiva de leche S(p) a los precios p = 2 y p = 6 es S(2) = 0; S(6) = 3 S(2) = 0; S(6) = 12

S(2) = 4; S(6) = 6 S(2) = 4; S(6) = 12.

1.9. El índice de Lerner de un monopolio que produce el bien con costes C(Q) = 20 + Q2 si la demanda es D(P ) = maxf12 P; 0g es 1 4

1 3

1 2

2 , 3

1.10. y su bene…cio con discriminación de precios de primer grado es 2

4

6

2

8.

2. Las preferencias de un consumidor sobre alimento (x) y vestido (y) están representadas por la función de utilidad u(x; y) = 4x + ln y. (a) (10 puntos) Calcule sus funciones de demanda de alimentos y vestido, x(px ; py ; I) e y(px ; py ; I). (Veri…que la posible existencia de soluciones de esquina al problema del consumidor.) Represente grá…camente el conjunto presupuestario del consumidor y calcule su cesta óptima y su nivel de utilidad para (px ; py ; I) = (4; 1; 5). Puesto que 4

RM S(x; y) =

1 y

= 4y;

una solución interior al problema del consumidor resuelve el sistema px py px x + px y = I: 4y =

cuya solución es px I 1 ; y(px ; py ; I) = : px 4 4py Para I > px =4; estos valores son positivos, y son la solución al problema de consumidor. Para I px =4; la solución al problema del consumidor es (x; y) = (0; I=py ). x(px ; py ; I) =

Para (px ; py ; I) = (4; 1; 5) la restricción presupuestaria es 4x + y = 5; la cesta óptima es (x ; y ) = (

5 4

1 4 ; ) = (1; 1); 4 4 (1)

y la utilidad del consumidor es u(1; 1) = 4(1) + ln 1 = 4: El grá…co adjunto ilustra estos cálculos. y

4

u(x,y)=4

2

0 0

1

2

3

3x

(b) (10 puntos) A los precios y renta (px ; py ; I) = (4; 1; 5); calcule los efectos renta y sustitución sobre la demanda del bien y de un aumento de su precio a p0y = 2. A los precios y renta (px ; p0y ; I) = (4; 2; 5) las demandas de alimentos y vestido del consumidor son (

5 4

1 4 1 ; ) = (1; ): 4 4 (2) 2

Por tanto, el efecto total sobre la demanda de y es ET = y(4; 1; 5)

y(4; 2; 5) =

1 2

1=

Para calcular el efecto sustitución resolvemos el sistema 4x + ln y = 4 4 : 4y = 2 Resolviendo el sistema para y obtenemos 1 y= : 2 Por tanto, el efecto sustitución es ES = y

y(4; 1; 5) =

1 ; 2

y el efecto renta es ER = ET

ES =

4

1 2

1 2

= 0:

1 : 2

3. Las preferencias de Alberto sobre ocio (h; medido en horas) y consumo (c; medido en euros) están representadas por la función de utilidad u(h; c) = h2 c: Alberto tiene una renta monetaria de M = 36 euros y dispone de 24 horas para el ocio y el trabajo. (Denote el salario como w; y observe que pc = 1; pues el consumo se mide en euros.) (a) (10 puntos) Determine y represente grá…camente la oferta de trabajo de Alberto. La relación marginal de sustitución ocio-consumo de Alberto es RM S(h; c) = 2c=h. Por tanto, una solución interior al problema de Alberto resuelve el sistema 2c = w h c + wh = 24w + 36; cuya solución es 24 ; c(w) = 12 + 8w: w Para ! 3 esta es la solución al problema de Alberto. Para w < 3, tenemos h(w) > 24; y por tanto la solución al problema de Alberto es (h; c) = (24; 36). h(w) = 16 +

La oferta de trabajo es l(w) = 24

0 8

h(w) =

24=w

si w < 3 si w 3:

La …gura adjunta muestra la grá…ca de esta función.

w

3 8

5

l

(b) (10 puntos) Suponiendo que el salario es 8 euros/hora, calcule la variación equivalente de un impuesto del 25% sobre la renta salarial y compruebe que es mayor que lo que recauda el impuesto. Con el impuesto, si el salario es w = 8, entonces el salario efectivo es w = (1 0; 25)8 = 6. La combinación óptima ocio-consumo es (h ; c ) = (20; 60) y la utilidad del consumidor es u = (20)2 60 = 24000: La oferta de trabajo de Alberto es l(6) = 4, y la recaudación del impuesto del 25% sobre la renta salarial es (0; 25) (8) 4 = 8: Para obtener la variación equivalente resolvemos el sistema h2 c = 24000;

2c = 8; h

cuya solución es c~ ~ h

p 3 = 4 6000 p 3 = 6000 = 18; 171:

La renta monetaria que permite a Alberto esta combinación ocio-consumo se obtiene de resolver la ecuación presupuestaria ~ = c~ M

(24

p ~ ) (8) = 4 3 6000 h

24

p 3

6000 8 = 26; 054:

Por tanto, la variación equivalente del impuesto sobre la renta salarial es M

~ = 36 M

26; 054 = 9; 946 > 8:

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4. Una empresa produce un bien con trabajo (L) y capital (K) que adquiere en mercados competip 4 tivos a los precios son w y r; respectivamente. Su función de producción es F (L; K) = L (K 4). La demanda del bien es D (P ) = maxf0; 12 P=2g: (a) (5 puntos) Calcule sus funciones de demanda condicional de factores. Tenemos

4 : L Para Q > 0 las demandas condicionales de factores resuelven el sistema RM ST (L; K) =

K p 4

cuya solución es L =

r

4

L L(K

K

w r 4) = Q; =

r 2 Q ; K = w

r

w 2 Q + 4: r

Para Q = 0; la solución al problema de minimización de costes es K = L = 0: Por tanto, las funciones de demanda condicional de factores son r r 2 L(w; r; Q) = Q ; w 0 si Q = 0 pw 2 K(w; r; Q) = Q + 4 si Q > 0: r

7

(b) (10 puntos) Calcule sus funciones de costes totales, marginales y mediossuponiendo que los precios de los factores son (w; r) = (1; 4): Si fuese una empresa competitiva, ¿cuál sería su función de oferta? La función de costes totales es C(w; r; Q) = wL(w; r; Q) + rK(w; r; Q) =

0 p 2 wrQ2 + 4r0

si Q = 0 si Q > 0:

Para (w; r) = (1; 4) y Q > 0; la función de costes totales es C(Q) = 4Q2 + 16; y las funciones de costes medios y marginales son CM e(Q) = 4Q +

16 ; CM a(Q) = 8Q: Q

Calculemos la oferta de la empresa. La condición de segundo orden de maximización de bene…cios se cumple puesto que dCM a(Q) = 8 > 0: dQ La condición de cierre (Q) > (0) =

C(0) = 0;

requiere comprobar la desigualdad P

CM e(Q);

lo que implica que la empresa ofrece cero para precios inferiores al coste medio mínimo, CMe ; y ofrece la cantidad Q que resuelve la ecuación P = CM a(Q) () P = 8Q; para precios mayores. Para calcular el coste medio mínimo derivamos la función de costes medios y resolvemos la ecuación dCM e(Q) 16 = 0 () 4 = 0; dQ Q2 cuya solución es Q = 2; que genera un coste medio mínimo CMe = CMe (Q ) = 16: Por tanto, la oferta de la empresa competitiva es 8 0 si P < 16 < S(P ) = f0; 2g si P = 16 : P si P > 16: 8

8

(c) (5 puntos) Suponiendo que hay libertad de entrada al mercado y que la tecnología descrita es la única existente y puede adoptarse libremente, calcule el precio, el excedente total y el número de empresas en el equilibrio competitivo a largo plazo. En el equilibrio competitivo a largo plazo el precio es igual al coste medio mínimo, P = CMe = 16, y por tanto las empresas producen Q 2 f0; 2g. Para cubrir la demanda a este precio el número de empresas n en el mercado (es decir, que producen Q = 2) satisface la equación 16 = 2n ; 2

D(16) = 12 cuya solución es n = 2.

Puesto que los bene…cios de las empresas son cero, el excedente total (ET) coincide con el del consumidor (EC), que podemos calcular como el área del triángulo con vértices en los puntos (0; 24), (Q ; P ) = (4; 16) y (0; 16): Por tanto, el excedente total es ET = EC =

1 (24 2

9

16) 4 = 16:

(d) (10 puntos) Determine el precio y producción de equilibrio suponiendo que el mercado está monopolizado por una empresa con la tecnología descrita. Calcule la pérdida de excedente total respecto al equilibrio competitivo a largo plazo. Obtenemos la función de ingreso del monopolio calculando la inversa de la función de demanda, P (Q) = 24 (Consiramos solo niveles de producción Q La función de ingreso es, por tanto,

2Q:

12, pues la demanda es siempre inferior a 12 unidades.)

I(Q) = P (Q)Q = (24

2Q) Q:

y la función de ingreso marginal del monopolio es IMa (Q) =

dI(Q) = 24 dQ

4Q:

En el equilibrio de monopolio el nivel de producción resuelve la equación IMa (Q) = CMa (Q) , 24

4Q = 8Q:

La solución a esta ecuación es QM = 2; PM = P (QM ) = 20:

El excedente total (ET) en el equilibrio de monopolio es la suma del excedente del consumidor, ECM =

1 (24 2

20) 2 = 4;

y el bene…cio del monopolista, M

= PM QM

C(QM ) = 20 (2)

4 (2)2 + 16 = 8:

Por tanto la pérdida de excedente es TE

(ECM +

M)

= 16

10

(4 + 8) = 4:

(e) (10 puntos) Determine el precio, la producción si el gobierno regula el precio óptimamente. Calcule la pérdida de excedente total respecto al equilibrio competitivo a largo plazo que resulta en este caso. Represente la demanda y describa los equilibrios de los apartados (c), (d) y (e). La regulación del precio óptima requiere …jar el precio de manera que P (Q) = CMa (Q) , 24

2Q = 8Q;

cuya solución es QR = 2; 4; PR = P (QR ) = 19; 2: A este precio regulado el excedente del consumidor es ECR =

1 (24 2

19; 2) 2; 4 = 5; 76;

y el bene…cio del monopolista es R

= PR QR

C(QR ) = 19; 2 (2; 4)

4 (2; 4)2 + 16 = 7; 04:

Por tanto, la périda de excedente total respecto al equilibrio competitivo a largo plazo es TE

(ECR +

R)

= 16

(5; 76 + 7; 04) = 3; 2:

El diagrama adjunto representa los equilibrios de los apartados (c), (d) y (e). P

..

(QM, PM ) (QR,PR ) (Q*,P*)

20

.

10

0 0

5

10

11

Q