Media Ponderada

3.1 Una media ponderada

Una segunda medida de tendencia central: la media ponderada La media ponderada nos permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total. Considere, por ejemplo, la compañía cuyos datos presentamos en la tabla 3-8; ésta utiliza tres niveles de trabajo —no calificado, semicalificado y calificado— para la produc- ción de dos de sus productos finales. La compañía desea saber el promedio del costo de trabajo por hora para cada uno de los productos.

Tabla 3-8 Mano de obra por proceso de manufactur a

Nivel de mano de obra

Salario por hora en dólares (x)

No calificado Semicalificad o Calificado

$ 5. 0 0 7. 0 0 9.00

Horas de mano de obra por unidad producida Producto 1 1 2 5

Producto 2 4 3 3

Un simple promedio aritmético de los salarios pagados sería: Gx x= ¯ — n

[3-2]

$5 + $7 + $9 = —— 3 $21 =— 3 = $7.00/hora En este caso la media aritmética es incorrecta

La respuesta correcta es la media ponderada

Usando esta tasa promedio podríamos calcular el costo del trabajo invertido en una unidad del pro- ducto 1 como $7(1 + 2 + 5) = $56, y el de una unidad del producto 2 como $7(4 + 3 + 3) = $70. Pero estos promedios son incorrectos. Para que nuestros cálculos sean correctos, las respuestas deben tomar en cuenta que se utilizan diferentes niveles de mano de obra. Podemos determinar los promedios correctos de la siguiente mane- ra. Para el producto 1, el costo total del trabajo por unidad es ($5 × 1) + ($7 × 2) + ($9 × 5) = $64, y como se invierten ocho horas de trabajo, el costo promedio de mano de obra por hora es $64/8 = $8.00. Para el producto 2, el costo total del trabajo por unidad es ($5 × 4) + ($7 × 3) + ($9 × 3) = $68, para un costo promedio de mano de obra por hora de $68/10 = $6.80.

Otra forma de calcular el costo promedio por hora para los dos productos consiste en tomar un promedio ponderado del costo de los tres niveles de mano de obra. Para hacerlo, ponderamos el sa- lario por hora de cada nivel

mediante la proporción de la mano de obra total requerida para fabricar el producto. Una unidad del producto 1, por ejemplo, requiere 8 horas de trabajo. De este tiempo, 1/8 es de mano obra no calificada, 2/8 de mano de obra semicalificada y 5/8 de trabajo calificado. Si utili- zamos estas fracciones como las ponderaciones (o los pesos), entonces una hora de trabajo en el pro- ducto 1 cuesta en promedio: 1

2

8

8

(—— ×5$5) + (—— × $7) + 8

(—— × $9) = $8.00/hora

De manera análoga, una unidad del producto 2 requiere 10 horas de 4 mano de obra; de las cuales /10 son de trabajo no calificado, 3/10 de trabajo 3 semicalificado y /10 de trabajo calificado. Utilizando estas fracciones como ponderaciones o pesos, una hora de mano de obra en el producto 2 cuesta: Cálculo de la media ponderada

(

4

3

3

) ( —— ) ×($5$9 += —— × $7 + —— × $6.80/hora 10 10 10 ) Así, vemos que los promedios ponderados dan el valor correcto para los costos promedio por ho- ra de mano de obra de los dos productos, ya que consideran las diferentes cantidades de cada ni- vel de mano de obra que requieren los productos.

Con símbolos, la fórmula para calcular el promedio ponderado es: Media ponderada G(w × x) x¯w = —— Gw

[3-5]

donde, • •

x¯w = símbolo para la media ponderada* w = peso asignado a cada observación (1/8, 2/8 y 5/8 para el producto 1, y 4/10, 3/10 y 3/10 para el producto 2 del ejemplo)

• G(w × x) = la suma de los productos de la ponderación de cada elemento por el elemento co- rrespondiente •

Gw = suma de todas las ponderaciones

Si aplicamos la ecuación 3-5 al producto 1 de nuestro ejemplo de costo de mano de obra, encontra- mos que G(w × x)

[3-5]

——

=

(

1

) (

Gw 5

2

) (

)

—— × $7 8+ — — × $ 9 8 ———— 1 2 5 —— + —— + —— 8

8

8

$8 = —— 1 = $8.00/hora Media aritmética de datos agrupados: la media ponderada

Observe que la ecuación 3-5 establece de una manera más formal algo que ya habíamos hecho. Cuan- do calculamos la media aritmética de datos agrupados, en realidad encontramos una media aritméti- ca ponderada, utilizando los puntos medios como valores de x y las frecuencias de cada clase como pesos (o ponderaciones). Dividimos este producto entre la suma de todas las frecuencias, que es igual a la división entre la suma de todos los pesos.

De manera análoga, cualquier media calculada a partir de todos los valores de un conjunto de da- tos, de acuerdo con la ecuación 3-1 o 3-2 es, en realidad, el

SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

valor. Si los valores ocurren con frecuencias diferentes, la media aritmética de los valores (comparada con la media aritmética de las observaciones) tal vez no sea una medida

promedio ponderado de los componen- tes del conjunto de datos. Desde luego, la naturaleza de tales componentes determina qué es lo que la media está midiendo. En una fábrica, por ejemplo, podemos determinar la media ponderada de to- dos los tipos de salarios (no calificado, semicalificado y calificado) o salarios de trabajadores hom- bres y mujeres o de trabajadores sindicalizados y no sindicalizados.

de tendencia central Debe exacta. En esos casos, es hacerse la necesario usar la media distinción ponderada de los valores. entre Si se utiliza un va- lor valores promedio para tomar una diferentes decisión, pregunte cómo y se calculó. Si los valores de la muestra no aparecen observacio con la misnes individuale s en un conjunto de datos, ya que varias observacio nes pueden tener el mismo ma frecuencia, insista en que la base correcta para la toma de decisiones es la media ponderada.

*El símbolo x¯w se lee x barra sub w. La letra w se conoce como subíndice y sirve para recordar que no se trata de una media ordinaria, sino de una media ponderada, de acuerdo con la importancia relativa de los valores de x.

Ejercicios 3.3 Ejercicios de autoevaluación EA 3-3

La tienda Dave’s Giveaway tiene un aviso: “Si nuestros precios promedio no son iguales o menores que los de otros, usted se lo lleva gratis.” Uno de los clientes de Dave’s fue a la tienda un día y puso sobre el mostrador las notas de venta de seis artículos que compró a un competidor por un precio promedio menor que el de Dave’s. Los artículos costaron (en dólares) $1.29

$2.97

$3.49

$5.00

$7.50

$10.95

Los precios de Dave’s de los mismos seis artículos son $2.35, $2.89, $3.19, $4.98, $7.59 y $11.50. Dave’s le explicó al cliente: “Mi aviso se refiere a un promedio ponderado de estos artículos, nuestro promedio es menor porque nuestras ventas de estos artículos han sido: 7

EA 3-4

9

12

8

6

3

¿Está Dave’s buscando un problema o resolviéndolo al hablar de promedios ponderados? La Bennett Distribution Company, una subsidiaria de un importante fabricante de electrodomésticos, desea pronosticar las ventas regionales para el año próximo. Se espera que la sucursal de la costa del Atlán- tico, con ventas actuales de $193.8 millones, logre un crecimiento en las ventas del 7.25%; se espera que la sucursal del Medio Oeste, con ventas actuales de $79.3 millones, tenga un incremento del 8.20%, y que la sucursal de la costa del Pacífico, con ventas actuales de $57.5 millones, aumente sus ventas 7.15%. ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento pronosticado en las ventas para el próximo año?

Aplicaciones ■ 3-16 Un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener las calificaciones finales de los estudiantes que acuden a su seminario. El promedio de tareas tendrá un valor del 20% de la calificación del estudiante; el examen semestral, 25%; el examen final, 35%; el artículo de fin de semestre, 10%, y los exámenes parciales, 10%. A partir de los datos siguientes, calcule el promedio final para los cinco estudiantes del seminario. Estudia nte

Tar eas

Parcia les

Artíc ulo

1 2 3 4 5

85 78 94 82 95

89 84 88 79 90

94 88 93 88 92

Ex. semestral

Ex. final

87 91 86 84 82

90 92 89 93 88

■ 3-17 Jim’s Videotaping Service hizo un pedido de cintas VHS. Jim ordenó 6 cajas de High-Grade, 4 cajas de Performance High-Grade, 8 cajas de Standard, 3 cajas de High Standard y 1 caja de Low Grade. Cada ca- ja contiene 24 cintas. Suponga que los costos por caja son: High-Grade, $28; Performance HighGrade, $36; Standard, $16; High Standard, $18, y Low, $6. a) ¿Cuál es el costo promedio por caja? b) ¿Cuál es el costo promedio por cinta? c) Suponga que Jim’s piensa vender cualquier cinta por $1.25, ¿sería esto un buen negocio para Jim’s? d) ¿Cómo cambiaría su respuesta a los incisos a) a c) si hubiera 48 cintas por caja? ■ 3-18 La mueblería Keyes publicó seis anuncios en los periódicos locales durante el mes de diciembre. Como resultado se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias: NÚMERO DE VECES QUE UN LECTOR VIO EL ANUNCIO DURANTE DICIEMBRE FRECUENCIA

0 89 7

1 1,08 2

2 1,3 25

3 81 4

4 30 7

5 2 5 3

6 1 9 8

¿Cuál es el número promedio de veces que un lector vio un anuncio de la mueblería Keyes durante diciembre?

■ 3-19 La Nelson Window Company tiene plantas de manufactura en cinco ciudades de Estados Unidos: Orlando, Minneapolis, Dallas, Pittsburgh y Seattle. Se elaboró el pronóstico de producción para el próximo año. La división de Orlando, con una producción anual de 72 millones de ventanas, pronostica un incremento del 11.5%. La división de Pittsbrugh, con producción anual de 62 millones, debe crecer 6.4%. La divi- sión de Seattle, cuya producción anual es 48 millones, también debe crecer 6.4%. Se espera que las divisio- nes de Minneapolis y Dallas, con producciones respectivas de 89 y 94 millones cada año, tengan dismi- nuciones del 9.7 y 18.2%, respectivamente. ¿Cuál es la tasa promedio de cambio en producción para la Nelson Window Company durante el año próximo? ■ 3-20 El Servicio Postal de Estados Unidos maneja siete tipos básicos de cartas y tarjetas postales: tercera clase, segunda clase, primera clase, correo aéreo, entrega especial, correo registrado y correo certificado. El volumen de envíos durante 1977 se da en la siguiente tabla: Tipo de correo

Onzas enviadas (en millones)

Tercera clase Segunda clase Primera clase Aéreo Entrega especial Registrado Certificado

16,400 24,100 77,600 1,900 1,300 750 800

Precio por cada onza $0.05 0.08 0.13 0.17 0.35 0.40 0.45

¿Cuál es el ingreso promedio anual por cada onza de la prestación del servicio? ■ 3-21 Matthews, Young y Asociados, un despacho de asesoría financiera y administrativa, tiene cuatro tipos de profesionales entre su personal: asesores financieros, asociados principales, personal de campo y personal de oficina. Las tasas promedio que se cobran a los clientes por el desempeño de cada una de estas catego- rías profesionales son 75 dólares/hora, 40 dólares/hora, 30 dólares/hora y 15 dólares/hora, respectiva- mente. Los registros de la firma indican el siguiente número de horas cobradas el año anterior en cada categoría: 8,000, 14,000, 24,000 y 35,000, respectivamente. Si Mathews, Young y Asociados intenta for- mular una tasa de cobro promedio para estimar cuánto debe cobrar a los clientes en el año siguiente, ¿qué sugeriría que hiciera y cuál cree que sería una tasa apropiada?

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA

3-3 Con los promedios no ponderados, se obtiene Gx 31.20 x = —— = —— = $5.20 en la competencia ¯c n 6 x

31.50

= 5.25 en la tienda Dave ¯D = —— 6 Con los promedios ponderados, se obtiene G(w × x)

x¯c = —— G w

=

7(1.29) + 9(2.97) + 12(3.49) + 8(5.00) + 6(7.50) + 3(10.95) ——————— 7 + 9 + 12 + 8 + 6 + 3

= —

= $4.344 en la competencia

x¯D =

7(1.35) + 9(2.89) + 12(3.19) + 8(4.98) + 6(7.59) + 3(11.50) ———————

7 + 9 + 12 + 8 + 6 + 3

= $4.303 = en la tienda Dave

1.1

Título de sección de página correspondiente

73

Aunque en términos técnicos Dave está en lo correcto, la palabra promedio en el uso popular es equivalente al promedio no ponderado del uso técnico y es seguro que el cliente típico se molestará con la afir- mación de Dave (entienda o no el matiz técnico). G(w × x) EA 3-4 x¯w = —— =

G w

193.8(7.25) + 79.3(8.20) + 57.5(7.15) ————

193.8 + 79.3 + 57.5

=

—

2466.435

330.6 = 7.46%

MEDIA PONDERADA ANUNCIOS

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 (20 votos, promedio: 3,50 de 5)

La media ponderada (MP) es una medida de centralización. Consiste en otorgar a cada observación del conjunto de datos (X ,X ,…,X ) 1

2

N

unos pesos (p ,p ,…,p ) según la importancia de cada elemento. 1

2

N

Cuanto más grande sea el peso de un elemento, más importante se considera que es éste. La media ponderada tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo, la nota de una asignatura donde el examen final tiene un peso mayor al de un trabajo. O en el cálculo del IPC (Índice de Precios de Consumo). El IPC es un

indicador de los precios de los bienes y servicios básicos que consume la población. Para calcularlo, se otorga pesos a los diferentes bienes (pan, fruta, vivienda,…) y se calcula la media ponderada. La media aritmética es un caso particular de media ponderada, en la que todos los pesos son uno, ya que a todos los elementos se les otorga la misma importancia.

Ejercicio ANUNCIOS

La nota final de una asignatura es una media ponderada de las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final. Las notas de un alumno han sido las siguientes:

Se hace la suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la suma de los pesos.

La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14. Se puede ver en el siguiente gráfico como la nota es muy próxima a las notas sacadas en los exámenes. Esto es a causa de que los exámenes eran más importantes y tenían unos pesos mucho mayores que los de los trabajos.