Mehanika Kontinuuma I Relogija_cijela.pdf

Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet

MEHANIKA KONTINUUMA I REOLOGIJA

Lidija Frgić Mladen Hudec

Zagreb, 2006.

I SADRŽAJ str. OZNAKE 1.

UVOD.............................................................................................................................1 1.1. Pojam kontinuuma.................................................................................................. 1 1.2. Mjerne jedinice........................................................................................................ 3 1.3. Skalari i vektori....................................................................................................... 3

2.

TEORIJA NAPREZANJA............................................................................................ 5 2.1. Tenzor naprezanja....................................................................................................7 2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja........................... 9 2.3. Simetrija tenzora naprezanja................................................................................. 10 2.4. Statički uvjeti ravnoteže...................................................................................... 11 2.5. Transformacija tenzora naprezanja........................................................................13 2.6. Glavna naprezanja................................................................................................. 15 2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente.............................................................20

3.

TEORIJA DEFORMACIJA........................................................................................ 24 3.1. Tenzor deformacija................................................................................................25 3.2. Glavne deformacije...............................................................................................29 3.3. Oktaedarske deformacije...................................................................................... 30 3.4. Ravninsko stanje deformacija................................................................................31 3.5. Brzina deformacije............................................................................................... 32 3.6. Brzina prirasta naprezanja..................................................................................... 32

4.

TEORIJA ELASTIČNOSTI......................................................................................... 33 4.1. Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija................................................................................................................... 33 4.2. Ravninsko stanje naprezanja............................................................................... 39 4.3. Ravninsko stanje deformacija..............................................................................40

5.

REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE............................................................... 41

II 5.1. Materijali idealnih svojstava..................................................................................42 5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal..........................................................42 5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal.......................... 44 5.1.3.Viskozan fluid.............................................................................................. 45 5.2. Reološki modeli s dva elementa............................................................................ 48 5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal....................................................48 5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid................................................................ 50 5.2.3. Elastoplastičan materijal............................................................................. 53 5.3. Složeni reološki modeli više elemenata.................................................................54 5.3.1. Bingham-ov model......................................................................................54 5.3.2. Lethersich-ov model....................................................................................55 5.3.3. Schwedoff-ov model................................................................................... 57 5.3.4. Burgerov model...........................................................................................58 6.

KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA...........................................................61 6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA................................ 62 6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA.......................... 68 6.2.1. Kriterij plastičnosti......................................................................................69 6.2.2. Pravilo tečenja............................................................................................. 71 6.2.3. Pravilo očvršćavanja................................................................................... 71 6.2.4. Kriterij loma................................................................................................ 73 6.2.4.1. Von Misesov kriterij loma.............................................................73 6.2.4.2. Trescin kriterij loma...................................................................... 73 6.2.4.3. Mohr - Coulombov kriterij loma................................................... 73 6.2.4.4. Drucker-Pragerov kriterij loma..................................................... 75 6.2.4.5. Lade-Duncanov kriterij loma........................................................ 76 6.2.4.6. Hoek-Brownov kriterij loma......................................................... 77 6.2.5. Elastoplastični modeli tla............................................................................ 78 6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA...................................... 81

LITERATURA..........................................................................................................................84

III OZNAKE A

površina presjeka [m2]

ai

projekcija ubrzanja [m/s2].

ei

energija čestica

r

razmak između čestica

r

intenzitet radijus vektora

r

radijus vektor

F

intenzitet sile

F

vektor sile

Fi , A

projekcija vektora sile na koordinatne osi

N

normalna sila

T2, T3

transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3

Mt

moment uvijanja (torzije)

M2, M3

momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.

n

normala ravnine presjeka

S+ i S-

privlačna i odbojna sila između čestica

xi

projekcija radijus vektora na koordinatne osi

α

i, A

ε ij •

ε

ij

σ ij •

σ

ij

prikloni kut vektora prema koordinatnoj osi tenzor deformacija tenzor brzina deformacija tenzor naprezanja tenzor brzine prirasta naprezanja.

σ

normalno naprezanje [N/m2]

τ

posmično naprezanje [N/m2]

ρ ρi

vektor punog naprezanja

γ

gustoća [kg/m3]

projekcija vektora punog naprezanja na koordinatne osi

Značenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objašnjeno je u samom tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.

IV

1 1.

UVOD Literatura iz područja podzemne i nadzemne eksploatacije mineralnih sirovina te iz

područja izgradnje podzemnih prostorija i tunela, isto kao i literatura iz područja inženjerske geologije i hidrogeologije, poziva se na postavke i rezultate mehanike kontinuuma i reologije. Isto se tako takvi podaci mogu naći u literaturi o bušenjima na veliku dubinu i primjenama tekućina s izraženim reološkim svojstvima u naftnom rudarstvu. Sadržaj i nivo predavanja prilagođen je predznanju slušača iz podurčja matematike i fizičkih disciplina. Sadržaj predavanja je u detaljima ograničen na čvrsta tijela, iako daje neke od općih relacija zajedničkih i za čvrsta tijela i za fluide. 1.1.

Pojam kontinuuma Čvrsta tijela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, što znači da se sastoje od

molekula, atoma i subatomskih čestica koje su međusobno manje ili više pokretljive. Između čestica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o međusobnim razmacima čestica. Postoji posebna grana mehanike kontinuuma - mikroreologija - koja objašnjava fenomene promjene volumena i oblika tijela, polazeći od stvarne mikrostrukture i zakona nuklearne fizike. Normalno mjerljive veličine u tehnici daleko prelaze dimenzije unutar kojih treba voditi računa o utjecajima pojedinih čestica, pa se promjene formi i volumena mogu promatrati makroskopski, prihvaćajući materiju kao neprekidnu sredinu. Govori se tada o mehanici neprekidnih (neprekinutih) sredina ili mehanici kontinuuma i njezinoj tehničkoj primjeni makroreologiji ili jednostavno reologiji. U širem smislu tu je obuhvaćena i teorija elastičnih tijela kao poseban slučaj, isto kao i hidromehanika. Naziv reologija izveden je iz grčkog glagola ρεω (reo) što znači teći ili protjecati. Mehanika kontinuuma prihvaća ponašanje materijala kao činjenicu, kao odgovor materijala na vanjske utjecaje, bez pokušaja objašnjenja, ali na temelju eksperimentalnih podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehaničkih karakteristika materijala. Da bi se mogla uočiti uzročno posljedična veza vanjskih utjecaja i promjene oblika neka posluži (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za kristalinične strukture. U takvim tijelima elementarne čestice osciliraju oko nekog ravnotežnog položaja.

2 Pretpostavljaju se, naime, privlačne i odbojne sile između dviju čestica, koje u svakom momentu moraju biti uravnotežene. Za privlačnu silu između dviju čestica vrijedi zakon sličan općem zakonu gravitacije:

S+ =

e1 ⋅ e2

(1.1)

r2

pri čemu su: e1 , e2 - energije obiju čestica r - razmak između čestica. Odbojne sile rastu brže uz smanjivanje razmaka među česticama, po zakonu: S− =

e1 ⋅ e2 rn

;

gdje je n > 2.

(1.2)

Slika 1.1 Na slici 1.1 prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veličinu privlačnih a druga odbojnih sila između čestica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajuće sile među česticama, kao razliku navedenih krivulja S+ i S- , ovisno o njihovom međurazmaku. Rezultirajućoj krivulji mogu se dati dva objašnjenja: a) ako se izvana djeluje na česticu tlačnom silom, onda par čestica reagira smanjivanjem međurazmaka,

3 b) za razmicanje međurazmaka, tj. povećanje r, potrebna je vlačna sila. Postoji granični međurazmak iza kojeg dolazi do destrukcije materijala. Kao zaključak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj materija odgovara promjenom međurazmaka među elementarnim česticama, a to daje ukupnu promjenu geometrijske forme, odnosno deformaciju tijela. U mehanici kontinuuma se rješavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna tijela, što je vezano uz dosta složenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje može kod toga značiti sistematizacija označavanja raznih veličina i pojednostavljenje simbolike. 1.2.

Mjerne jedinice Sve fizičke veličine možemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veličinu bez obzira na to radi

li se o dužini, masi, vremenu, toplini itd. Kao rezultat mjerenja dobiva se neka brojna vrijednost (intenzitet) koji je vezan uz definiciju mjerne jedinice u kojoj se taj intenzitet izražava npr.: masa

m = 3,62 [kg] (kilograma)

vrijeme

t

dužina

d = 2,88 [m] (metara).

= 12

[s]

(sekunda)

Obvezuje nas Međunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te će sve veličine biti uvijek označavane u obveznim jedinicama. 1.3.

Skalari i vektori Nekim veličinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.: temperatura

T = 293º [K]

(stupnjeva Kelvina).

Istovremeno poznajemo, naročito u mehanici, veličine kojima uz intenzitet treba odrediti i hvatište i smjer u kojem djeluje ili orijentaciju. Takve orijentirane veličine su npr.: sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl. Vektore simboliziramo naznakom vektora radiusvektor

r

ili r

sila

F

ili F .

4

Slika 1.2 Kod računskih operacija s vektorima koristimo projekciju vektora na proizvoljno odabrani koordinatni sustav. U mehanici kontinuuma je, radi jednostavnijeg pisanja formula, relacija i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi geometrijskog prostora označavaju se: x1, x2, i x3 odnosno (1), (2) i (3). Tako se radiusvektor r razlaže na projekcije, prema slici 1.2. xi = r • cos α

i

i = 1,2,3

(1.3)

Analogno se vektor sile FA može razložiti na projekcije Fi ,A = FA ⋅ cos α

i ,A

i = 1,2,3

A = A, B, C ....

(1.4)

Već iz ovoga primjera vidi se ekonomičnost oznaka i pisanja izraza. Obratne veze, pretvaranje vektora izraženog pomoću koordinata znači izračunavanje intenziteta vektora i priklonih kutova između vektora i koordinatnih osi: r=

Σ xi2

cos α i =

i = 1,2,3 xi r

(1.5) (1.6)

Predznacima cosinusa određen je potpuno položaj (orijentacija) vektora u prostoru.

5 2.

TEORIJA NAPREZANJA Ako se tijelo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i FE nalazi u stanju ravnoteže,

mora i svaki dio toga tijela biti uravnotežen. Ako ravninom π presiječemo tijelo na dva dijela (sl. 2.1 a) i u presječenoj ravnini nadomještavamo djelovanje jednog (odbačenog) dijela na drugi unutrašnjim silama R L i R D (sl. 2.1 b)

Slika 2.1 Svaka od tih sila je očigledno jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na drugi odijeljeni dio R L = F A + FB + FC

(2.1)

R D = FD + FE

(2.2)

Uobičajena je sistematizacija koja se sastoji u postavljanju lokalnog koordinatnog sustava Ox1 x 2 x3 u težištu presjeka koji možemo orijentirati kao na sl. 2.1 c. Redukcijom (paralelnim pomakom) sile R L u ishodište O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila P i vektor glavnog momenta M , pa komponente:

projiciranjem vektora na lokalne osi dobivaju se

6

P = R L = N i + T2 j + T3 k

(2.3)

M = Mt i + M2 j + M3 k

(2.4)

pri čemu je N

normalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normale n ravnine presjeka

T2, T3

komponente transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3

M1 = M t

moment uvijanja (torzije)

M2, M3

momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.

Slika 2.2 U klasičnoj otpornosti

materijala daju se ovisnosti raspodjele unutrašnje sile po

površini poprečnih presjeka za tijela koja imaju oblik štapova. U općem slučaju tijela podjednakih dimenzija treba zamisliti da se unutrašnja sila RL dijeli na neki način po površini zamišljenog presjeka, pa na dio površine A otpada dio rezultante ΔR. Smanjujući dimenziju ΔA do vrlo malih dimenzija dA (slika 2.2) može se za svaku točku presjeka doći do granične vrijednosti

ρ = lim

∆ A→ 0

∆ R dR ; ≈ ∆ A dA

 N   m2   

(2.5)

7

Dobivena veličina ρ naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici unutarnje površine. Dimenzija naprezanja slijedi iz te definicije i osnovna jedinica prema SI mjerama je [N/m2]. U rješavanju tehničkih problema primjenjuju se i [kN/m 2] ili [MN/m2]. Principijelno je pitanje da li je formalna pretvorba l [N/m2]= l [Pa] (Pascal) adekvatna za tehničke primjene. Između tlaka tekućine koji se mjeri paskalima i barima i naprezanja u čvrstim tijelima postoji fizička razlika gotovo ista kao i između energije koja se mjeri Joulima (1 J = 1 N∙m) i statičkog momenta koji se isto tako dobiva kao N∙m. Zbog toga je uvijek razumljivije ostati kod dvostrukih dimenzija: sila/površina [N/m2]. Vektor punog naprezanja ρ treba podijeliti na dvije komponente (slika 2.3), za koje će se vidjeti da drugačije utječu na materijal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n i komponentu koja djeluje u ravnini presječne plohe. Definira se: σ = normalno naprezanje (sigma) i τ = posmično naprezanje (tau).

Slika 2.3 Komponenta totalnog naprezanja u smjeru normale na presječnu ravninu smatra se pozitivnom ako je vlačna tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n , odnosno negativnom ili tlačnom ako je suprotnog smjera. 2.1.

Tenzor naprezanja Radi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x1 x2 x3 i

iz napregnutog tijela izdvaja mali kvadar čije su stranice paralelne s koordinatnim ravninama,

8

Slika 2.4

Na kvadru se mogu uočiti tri ravnine čije su normale n1 ; n 2 i n 3 paralelne s odgovarajućim koordinatnim osima. Naravno da na svakoj od tih ravnina djeluju različiti vektori totalnog naprezanja, označeni s ρ 1 , ρ

2

i ρ 3 . Projiciranjem tih vektora u smjerove

odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako je to prikazano na slici 2.4. Kod toga uvijek prvi indeks označava plohu (zapravo smjer vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju po dva ista indeksa σ11, σ22, σ33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente τ12, τ13, τ21, τ23, τ31, τ32 posmična naprezanja. U tehničkim primjenama je uobičajeno različito označavanje σ i τ, dok se u teorijskoj mehanici kontinuuma upotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve komponente možemo jednostavno označiti kao: σ ij

σ

ij

i = 1,2,3

j = 1,2,3 i upisati u matricu:

 σ 11 τ 12 τ 13  =  τ 21 σ 22 τ 23     τ 31 τ 32 σ 33 

(2.6 )

Ukupno stanje naprezanja u jednoj točki napregnutog tijela opisuje 9 komponenata. Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budući da se svaka od komponenata definira s dvije oznake (indeksa) kojeg nazivamo tenzorom naprezanja.

9 2.2.

Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja U analizi naprezanja služimo se često metodom presjeka. U općem se slučaju u težištu

zamišljenog presjeka nekog tijela javlja dinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P i vektora glavnog momenta M (slika 2.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara sa osi x. Projekcije glavnog vektora sila P u smjeru koordinatnih osi su uzdužna sila N i poprečne sile T2 i T3, a vektora glavnog momenta M , moment uvijanja (torzije) Mt i momenti savijanja M2 i M3. Na elementarnoj površini dA ucrtane su komponente naprezanja. Kako je normalno naprezanje dano izrazom

σ

11

=

dN dA

⇒ dN = σ 11 dA

(2.7 )

ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po površini presjeka: N=

∫ ∫ dN = ∫ ∫ σ A

11

dA

(2.8)

A

Poprečne sile dobivaju se iz definicije posmičnog naprezanja

τ =

dT dA

⇒ dT = τ dA

(2.9)

pa integriranjem po površini presjeka dobivamo T2 =

∫ ∫ dT = ∫ ∫ τ

12

∫ ∫ dT = ∫ ∫ τ

13

2

A

T3 =

3

A

dA

(2.10)

dA

(2.11)

A

A

Slika 2.5

10 Kako je elementarni moment savijanja dM jednak umnošku elementarne sile σ11dA i njezinog kraka oko osi možemo napisati M2 =

∫ ∫ dM

2

∫ ∫ dM

3

=

A

∫∫ zσ

11

dA

(2.12)

A

odnosno M3 =

A

= − ∫ ∫ y σ 11 dA

(2.13)

A

U ovom slučaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvijanja možemo napisati da je jednak Mt =

∫ ∫ dM A

2.3.

t

=

∫ ∫ ( yτ

13

dA - zτ 12 dA)

A

Simetrija tenzora naprezanja Elementarni kvadar sa slike 2.6 može se na primjer projicirati na ravninu O x1 x2

Slika 2.6

(2.14)

11 Na suprotnim stranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali suprotnog smjera, budući da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencijalne veličine višeg reda može se uvjet zbroja momenata oko ishodišta Σ MO = 0 napisati u obliku: dx 2 (σ 11 A1 − σ 11 A1 ) + (σ 2

22

⋅ A2 − σ

22

⋅ A2 ) ⋅

dx1 + τ 12 ⋅ A1 ⋅ dx1 − τ 21 ⋅ A2 dx 2 = 0 2

(2.15)

Nakon kraćenja ostaje:

τ 12 ⋅ A1 ⋅ dx1 = τ 21 ⋅ A2 ⋅ dx2

(2.16)

Kako je A1 = dx2 × dx3

(2.17)

A2 = dx1 × dx3

(2.18)

slijedi da je: τ12 = τ21

(2.19)

Ovo bi se moglo pokazati za sve parove posmičnih naprezanja, pa se Zakon o jednakosti posmičnih naprezanja može općenito napisati: τij = τji

(2.20)

Tenzor naprezanja je dakle simetričan, budući da su članovi s jednakim indeksima jednaki. Treba uočiti da se vektori τij i τji na jednom bridu elementa ili sustižu ili razilaze. Korištenjem tri uvjeta ravnoteže tipa Σ Mi = 0 smanjen je broj u principu nepoznatih komponenata tenzora naprezanja s 9 na svega 6, ali je pri tome ostalo samo tri uvjeta ravnoteže koji se mogu upotrijebiti za pronalaženje 6 preostalih komponenata. Problem raspodjele naprezanja u tijelu ostaje statički neodređen!

2.4.

Statički uvjeti ravnoteže U općenitom slučaju na element kontinuuma djeluju sile vezane na masu elementa.

To su u prvom redu gravitacijske sile ili inercijske sile. Radi toga moraju komponente tenzora naprezanja dobiti neki prirast Δσij ako se koordinata xi promijeni za dxi (vidi sliku 2.7). Uvjet ravnoteže Σ F1 = 0 može se napisati u obliku: (σ 11 + ∆ σ 11 − σ 11 ) ⋅ A1 + (τ 21 + ∆ τ 21 − τ 21 ) ⋅ A2 + (τ 31 + ∆ τ 31 − τ 31 ) ⋅ A3 + f 1 ⋅ V = 0 (2.21) Kada se pokrate istoimeni članovi suprotnih predznaka, ostaje:

∆ σ 11 ⋅ A1 + ∆ τ 21 ⋅ A2 + ∆ τ 31 ⋅ A3 + f 1 ⋅ V = 0

(2.22)

12

Slika 2.7 Treba uvrstiti da je: A1 = dx2 . dx3

A2 = dx1 . dx3

A3 = dx1 . dx2 i V= dx1 . dx2 . dx3

(2.23)

∆ σ 11 =

∂ σ 11 dx1 ∂ x1

(2.24)

∆ τ 21 =

∂ τ 21 dx 2 ∂ x2

(2.25)

∆τ

∂ τ 31 dx3 ∂ x3

(2.26)

31

=

Konačno, kad se pokrati jednadžba s dx1.dx2.dx3 dobije se konačni uvjet za Σ F1 = 0: ∂ σ 11 ∂ τ 12 ∂ τ 13 + + + f1 = 0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x3

(2.27)

Ovdje je f1 projekcija sile težine ili inercije na os (1), dakle f1 = γ ⋅ ai

(2.28)

pri čemu je: γ = gustoća [kg/m3]

(2.29)

ai = projekcija ubrzanja [m/s2].

(2.30)

13 Dobiveni uvjeti ravnoteže mogu se napisati i u općem obliku: ∂ σ 11 ∂ τ 12 ∂ τ 13 + + + f1 = 0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3

(2.31)

∂ τ 21 ∂ σ 22 ∂ τ 23 + + + f2 = 0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3

(2.32)

∂ τ 13 ∂ τ 23 ∂ σ 33 + + + f3 = 0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3

(2.33)

Postoji i mogućnost skraćenog pisanja. Deriviranje po nekoj koordinati može se naznačiti samo zarezom: σ

ij , j

=

∂σ

ij

(2.34)

∂xj

U tenzorskom računu vrijedi pravilo da ponavljanje indeksa znači sumiranje po tom indeksu. Na taj način može se dobiveni uvjet ravnoteže napisati u posve skraćenom obliku:

σ

ij , j

+ fi = 0

i = 1,2,3

j = 1,2,3

(2.35)

U svakoj od triju jednadžbi ravnoteže za smjer "i" postoje tri člana s raznim "j". Ukupno se mogu napisati samo tri jednadžbe ravnoteže. 2.5.

Transformacija tenzora naprezanja Odabrane geometrijske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati

mogućnost da se isti tenzor prikaže i u koordinatom sustavu koji je rotiran u odnosu na prvobitno odabrani. Zadatak se može riješiti tako da se nađu komponente naprezanja na nekoj proizvoljno orijentiranoj plohi, polazeći od komponenata tenzora izraženom za koordinatni sustav O x1 x2 x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx1 dx2 dx3 presječen ravninom kroz tri vrha, tako da se dobije tetraedar (slika 2.8).

Slika 2.8

14 Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su označeni na slici s αi . Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine na koordinatnim ravninama projekcije te kose površine: A1 = A ⋅ cos α 1 ;

A2 = A ⋅ cos α 2 ;

A3 = A ⋅ cos α 3 ;

(2.36)

Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati: Ai = A ⋅ ai

(2.37)

Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet: a12 + a22 + a32 = 1

(2.38)

Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na lijevoj polovini slike 2.9 pokazane su komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O x1x2x3, a na desnoj komponente vektora totalnog naprezanja ρ1, ρ2 i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi.

Slika 2.9

Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr.

Σ F1 = 0

−σ

11

⋅ A1 − τ

21

⋅ A2 − τ

31

⋅ A3 + ρ 1 ⋅ A = 0

(2.39)

Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja:

ρ1 = σ

11

⋅ a1 + τ

21

⋅ a2 + τ

31

⋅ a3

(2.40)

Iz uvjeta ΣF2 = 0 odnosno ΣF3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:

ρ 2 = τ 11 ⋅ a1 + σ

22

⋅ a2 + τ

32

⋅ a3

(2.41)

ρ 3 = τ 13 ⋅ a1 + τ

23

⋅ a2 + σ

33

⋅ a3

(2.42)

15 Dobivene projekcije mogu se tek sada razložiti na komponentu koja je u smjeru normale ravnine presjeka σnn

σ

nn

= ρ 1 ⋅ a1 + ρ 2 ⋅ a 2 + ρ 3 ⋅ a 3

(2.43)

Veličinu posmične komponente τnm moglo bi se dobiti iz rezultirajućeg vektora naprezanja na kosoj plohi: τ nm =

ρ 2 − σ nn

2

(2.44)

pri čemu je 2

ρ =

ρ1 + ρ

2 2

+ ρ3

2

(2.45)

S druge strane možemo komponente naprezanja na kosoj plohi podijeliti u dvije komponente, od kojih je jedna u smjeru normale n , a druga u smjeru osi l okomite na normalu. Orijentacija osi l mora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osi n , zbroj kvadrata kosinusa mora biti jednak jedinici. 2

2

2

b1 + b2 + b3 = 1

(2.46)

Uvjet ortogonalnosti izražen preko kosinusa vektora normale glasi: a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b2 + a 3 ⋅ b3 = 0

(2.47)

Ako u ishodištu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraženim preko osi i, j, k, postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je također ortogonalan, možemo kosinuse smjera između osi n, l, m i osi i, j, k označiti s ai , aj , ak , bi , bj , bk , ci , cj , ck Koristeći pravilo sumacije izvode se opći izrazi:

σ

2.6.

nn

τ

nl

τ

nm

= σ = σ = σ

ij ij ij

⋅ ai ⋅ a j

(2.48)

⋅ ai ⋅ b j

(2.49)

⋅ ai ⋅ c j

(2.50)

Glavna naprezanja Očigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraženi u raznim

(ortogonalnim) koordinatnim sustavima daju različite vrijednosti za pojedine komponente. Tražeći ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postoje na tri

16 međusobno okomite osi g1, g2, g3 a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim osima nema posmičnih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadžba koja naravno ima tri rješenja. Rješenja te jednadžbe su glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3 koja moraju zadovoljiti jednadžbu:

σ

3 g

−σ

2 g

⋅ Iσ − σ

⋅ II σ − III σ = 0

g

g = 1,2,3

(2.51)

Kod toga su I σ, II σ i III σ invarijante tenzora naprezanja i iznose: I σ = σ 11 + σ II σ = σ

11

+σ

22

⋅σ

22

(2.52)

33

+σ

22

 σ 11 τ 12 III σ = det  τ 21 σ 22  τ 31 τ 32

⋅σ

33

+σ

33

⋅σ

11

2 − τ 12 −τ

2 23

−τ

2 31

τ 13  τ 23  σ 33 

(2.53)

(2.54)

Simbol det označava vrijednost determinante matrice komponenata tenzora naprezanja. Vrijednost invarijanti ne ovisi o prethodnom izboru položaja koordinatnih osi, nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj točki. Vrijednosti glavnih naprezanja dobiju se rješenjem kubne jednadžbe, ona su uvijek realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi: a12 + a22 + a32 = 1

(2.55)

te iz uvjeta da je projekcija totalnog naprezanja na dvije koordinatne osi jednaka projekciji glavnog naprezanja.

(σ 11 − σ g ) ⋅ a1 + τ 12 ⋅ a2 + τ 13 ⋅ a3 = 0 τ

21

(

⋅ a1 + σ

22

−σ

g

) ⋅ a2 + τ 23 ⋅ a3 = 0

(2.56) (2.57)

Uvrštavajući redom glavna naprezanja σg = σ1, σ2 i σ3 dobivaju se kosinusi smjerova svih triju glavnih osi. Grafički se mogu odnosi naprezanja na raznim plohama povučenim kroz istu točku napregnutog tijela prikazati pomoću Mohrovih kružnica naprezanja. Za prostorno stanje mogu se nacrtati tri kružnice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a središta leže u aritmetičkim sredinama parova glavnih naprezanja, slika 2.10.

17

Slika 2.10 Smisao traženja glavnih naprezanja je u pronalaženju ekstremnih naprezanja u jednoj točki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentama σij u koordinatnom sustavu i, j, k definira se preko glavnih naprezanja σ1 = σmaks , σ2 i σ3 = σmin , uz zadane odgovarajuće smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike 2.11.

Slika 2.11 Prema definiciji na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posmičnih naprezanja.

18 Iz Mohrove kružnice može se vidjeti da najveća posmična naprezanja nastaju na ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kut π/4 = 45o. Mogu se naći tri prizme kvadratnog presjeka na čijim ravninama djeluju ekstremna posmična naprezanja. Intenzitet tih posmičnih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih naprezanja.

σ1+σ 2 σ +σ σ n = 2 2 σ +σ σ l= 1 2 σ

m

=

σ 1−σ 3 2 σ −σ 3 τn = 2 2 σ −σ 2 τl= 1 2

τ

3

3

2

m

=

(2.58)

Pronalaženje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavnije u slučaju ravninskog stanja naprezanja. Tada je σ33,= τ13 = τ23 = 0 pa sekularna jednadžba dobiva kvadratnu formu, čija su rješenja:

σ

1, 2

=

σ

11

+σ 2

22

±

σ  

11

−σ 2

2

22

  + τ 122 

(2.59)

Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom: tg 2ϕ = −

2 ⋅ τ 12 σ 11 − σ 22

(2.60)

Mohrove kružnice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici 2.12.

Slika 2.12

19 Elementu s komponentama naprezanja zadanim u koordinatnom sustavu O x1 x2 odgovara na istom mjestu element koji je napregnut glavnim naprezanjima, a stranice mu imaju orijentaciju ϕ. Istovremeno se može nacrtati i element opterećen najvećim posmičnim naprezanjima (sl. 2.13).

Slika 2.13 Sva tri elementa opterećena su jednim istim tenzorom naprezanja koji je pri tome prikazan u tri različita koordinatna sustava. Tenzor naprezanja može se izraziti na razne načine, a da pri tome to predstavlja jedno isto stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog tijela. Ovo je u principu isto kao da vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave. Tenzor naprezanja je izražen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3. Pronalaženjem intenziteta i smjera glavnih naprezanja taj se isti tenzor izražava komponentama u smjerovima glavnih osi naprezanja g1 g2 g3. Može se, dakle, izjednačiti:

σ

ij

 σ 11 τ 12 =  τ 21 σ 22  τ 31 τ 32

τ 13  τ 23  σ 33 

= σ

g

0 σ 1 0  =  0 σ 2 0   0 0 σ 3 

(2.61)

Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente:

σ

ij

τ 12  σ =  11   τ 21 σ 22 

= σ

g

0 τ maks  σ σ =  1 =  m    0 σ 2  τ maks σ m 

(2.62)

20 2.7.

Dioba tenzora naprezanja na komponente Iako to do sada nije bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa

prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene u istim koordinatama: σ

ij

= σ ij' ± σ

'' ij

(2.63)

Bilo kakav tenzor naprezanja može se podijeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugačiji: - sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je, naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini, - devijatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje naprezanja). Glavna naprezanja u smjerovima osi g1, g2 i g3 dijele se, dakle, na sfernu σ devijatorsku σ

σ

g

= σ

D g

komponentu:

S g

+σ

σ

g

g = 1,2,3

D g

σ 1 =  0  0

0 σ2 0

σ

g

i

(2.64)

0   σ Sg  0  =  0 σ 3   0

 σ gS  =  0  0 

S gl

0

σ

S g

0

0 σ Sg 0

 σ 1 − σ   +  0 σ Sg   0 0 0

0   σ 1D   0 +  0 σ gS   0

0 σ2−σ 0

0   0  = σ σ 3D 

0

σ

S g

D 2

0

S i

0 0 σ3−σ

S g

+σ

D i

   S  g (2.65)

Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se izraziti prvom invarijantom naprezanja:

σ

S g

=

1 1 ⋅ I σ = (σ 1 + σ 3 3

2

+σ

3

) = 1 (σ 11 + σ 3

22

+σ

33

)

tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama.

(2.66)

21 Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima glavnih naprezanja g1, g2 i g3 (sl. 2.14)

Slika 2.14 Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posmičnih naprezanja. Ta podjela ima svoj puni fizički smisao kod izučavanja deformacija čvrstih tijela, kao što će se pokazati kasnije (str. 22). Iz tijela opterećenog u promatranoj točki glavnim naprezanjima σS i σD može se isjeći pravilni oktaedar kojeg dijagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g1, g2 i g3, što je prikazano na slici 2.15.

Slika 2.15 Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povučenoj kroz točku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje

22 posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra naprezanja:

σ τ

=σ

S okt S okt

S g

(2.67)

= 0

(2.68)

Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g3 1

mi =

i = 1,2,3

3

(2.69)

Naravno da je pri tome: m12 + m 22 + m32 = 1

(2.70)

Devijatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj plohi, koje iznosi: σ 12 + σ 22 + σ 3

ρ =

2 3

(2.71)

pa se odatle dobiva:

( )

D τ okt =

ρ2− σ

S 2

σ

D okt

(2.72)

= 0

Nakon što se uvrsti dobivena vrijednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno: D τ okt =

1 3

(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2

(2.73)

Ako se, dakle, tenzor naprezanja podijeli na sfernu i devijatorsku komponentu i promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja:

σ

S

σ

D okt

=

1 (σ 1 + σ 3 = 0

2

+σ

3

)=

1 ⋅ Iσ 3

τ τ

D okt

S

=

= 0 2 ⋅ 3

I σ2 − II σ 3

(2.74)

Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo da u stvari najopćenitije stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano na lijevom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.

23

Slika 2.16 Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fizički smisao. Pri povezivanju naprezanja s pripadnim deformacijama za realne materijale uočava se potpuno drugačije ponašanje za opterećenje materijala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na reakciju materijala na opterećenje smicanjem, dakle devijatorskom komponentom tenzora naprezanja.

24 3.

TEORIJA DEFORMACIJA Pod utjecajem vanjskih sila tijelo će se u općem slučaju pomaknuti iz svojeg

prvobitnog položaja I u položaj II. Na tijelu promatramo točku P i diferencijalnu dužinu ds koje se pomiču zajedno s tijelom. Promjenu konfiguracije, koja je pokazana na slici 3.1 može se promatrati na dva načina: a) pomoću prostornih koordinata u čvrstom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3 b) pomoću prostornog koordinatnog sustava O X1 X2 X3 koji se pomiče zajedno s tijelom, pa su to materijalne ili prirodne koordinate vezane uz tijelo.

X2 x2

II

I

ds` P` n

ds P

R

b

r

X1

0

x1

0

X3

x3

Slika 3.1 Euler je dao formulaciju za prvi način promatranja. Da bi se mogla naći deformacija konfiguracije kontinuuma izražava se koordinata u globalnom sustavu xi kao funkcija prirodne koordinate XL i vremena t: xi = xi ( X L , t )

(3.1)

Analogno je Lagrange definirao materijalnu koordinatu XL u ovisnosti o globalnoj koordinati xi i vremenu t: X L = X L ( xi , t )

(3.2)

Dužina uočenog elementa ds može se također izraziti na oba načina. U globalnim koordinatama: ds 2 = g ij ⋅ dxi ⋅ dx j = g ij ⋅

∂ xi ∂ x j ⋅ ⋅ dX L ⋅ dX M = C LM ⋅ dX L ⋅ dX M ∂XL ∂XM

(3.3)

25 te analogno u materijalnim koordinatama: ds 2 = GLM ⋅ dX L ⋅ dX M = GLM ⋅

∂XL ∂XM ⋅ ⋅ dxi ⋅ dx j = cij ⋅ dxi ⋅ dx j ∂ xi ∂ x j

(3.4)

Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformacije C LM = g ij ⋅

∂ xi ∂ x j ⋅ ∂XL ∂XM

(3.5)

cij = GLM ⋅

∂XL ∂XM ⋅ ∂ xi ∂ x j

(3.6)

Razlika između deformirane i prvobitne dužine u prostornim koordinatama izražena je relacijom:

ε ij =

(

1 ⋅ g ij − cij 2

)

(3.7)

a u materijalnim koordinatama: E LM =

1 ⋅ ( C LM − GLM ) 2

(3.8)

Promjena položaja točke naziva se pomakom, pa se tenzori deformacija mogu izraziti pomoću pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva:

ε ij =

1  ∂ ui ∂ u j ∂ u k ∂ u k  + + ⋅ 2  ∂ x j ∂ xi ∂ xi ∂ x j 

(3.9)

Istovremeno u materijalnim koordinatama imamo: E LM =

∂ uk ∂ uk  1  ∂ uL ∂ uM   + + ⋅ 2  ∂ X M ∂ X L ∂ X M ∂ X L 

(3.10)

Na kraju, ako se radi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na dimenzije tijela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u trećim članovima postaju kao diferencijalne veličine drugog reda zanemarivi: ε ij ≈ E LM ≈

3.1.

1  ∂ u i ∂ u j + 2  ∂ x j ∂ x i

 1  = (ui , j + u j ,i )  2 

(3.11)

Tenzor deformacija Ove dobivene definicije tenzora deformacija mogu se za male deformacije pokazati i

direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao što je to pokazano na slici 3.2.

26

x2 u 2C

u C C` C B` uB

u A A` u 2A A

x1

B u1B

u1A

Slika 3.2 Ako točka A kvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x1 x2 ima pomak u A (vektor!), onda su komponente tog pomaka u1,A i u2,A. Pomaci susjednih točaka B i C mogu se naći po pravilu totalnog diferencijala - uz zanemarenje viših članova: u i = u i, A +

∂ ui ∂ ui dx i + dx j ∂ xi ∂xj

(3.12)

Ovo se može primijeniti na sve četiri komponente deformacija elementa, kao što je to pokazano na slici 3.3.

C`

dx 2

C

dx 2 A

B

B`

dx1

A dx1

u 1 =(u1C -u1A) C

C 12

dx 2

A

21

B

u 2 =(u2C -u2A)

A dx 1

Slika 3.3

27 Za produljenje stranica ∆dx1 se dobiva:

∆ dx1 = u1B − u1 A

∆ dx1 =

∂ u1 dx1 ∂ x1

ε 11 =

∆ x1 = u1,1 dx1

(3.13)

Analogno za produljenje ∆dx2

∆ dx 2 = u 2 B − u 2 A

∂ u2 dx 2 ∂ x2

∆ dx 2 =

ε 22 =

∆ x2 = u 2, 2 dx 2

(3.14)

Kutevi zaokreta stranica mogu se dobiti vrlo jednostavno, naravno uz pretpostavku malih deformacija: ε 12 =

∆ u1 ∂ u1 = = u1, 2 dx 2 ∂ x 2

(3.15)

Isto se tako dobiva: ε 21 =

∆ u2 ∂ u2 = = u 2,1 dx1 ∂ x1

(3.16)

Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne predstavlja karakterističnu deformaciju. Iz slike 3.2 vidi se da se prilikom deformiranja elementa mijenjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut γ12 Iz slike 3.4 je vidljivo da je γ 12 = ε 12 + ε 21

(3.17) x2

12

12

12 12 12

21

x1

Slika 3.4 Dobivene komponente deformacija čine tenzor deformacija koji za ravninsko stanje naprezanja ima članove: ε | ε ij | 0 =  11  ε 21

ε 12  ε 22 

ε ε ij =  11  γ 21

γ 12  ε 22 

(3.18)

Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformacija za koje je dobiveno:

28

ε 11 =

∂ u1 ∂ x1

ε 22 =

∂ u2 ∂ x2

γ 12 = ε 12 + ε 21 =

∂ u1 ∂ u 2 + ∂ x 2 ∂ x1

(3.19)

Ovo se može poopćiti i napisati: ε ij =

1 (u i , j + u j ,i ) 2

(3.20)

Za prostorno stanje deformacija ostaju iste definicije, samo se tenzor proširuje:

ε ij

  ε 11 1 =  γ 21 2 1γ  2 31

1 γ 12 2 ε 22 1 γ 32 2

1  γ 13  2  1 γ 23  2  ε 33  

(3.21)

Treba napomenuti da, osim komponenata koje su ovdje simetrične, postoje i nesimetrične, odnosno antimetrične. Kada element samo rotira, a ne kliže kao što je to pokazano na slici 3.4, dolazi do rotacije elementa (vidi sliku 3.5). Kut rotacije se može pokazati kao razlika kutova ω 12 =

∂ u1 ∂ u2 i , dakle: ∂ x2 ∂ x1

1 ( u 2,1 − u1,2 ) 2

(3.22)

Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja γ12, što znači da je u1, 2 = − u 2,1

(3.23)

dobiva se: ω 12 =

1 ( u 2,1 + u 2,1 ) = u 2,1 2

(3.24) x2

12

= u1,2

21

= u 2,1

Slika 3.5

x1

29 3.2.

Glavne deformacije U tenzoru deformacija postoje dijagonalni članovi εii koji predstavljaju stvarnu

dilataciju, tj. produljenje jedinične dužine u pojedinim smjerovima. Članovi izvan dijagonale

εij su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!). ε

ij

=

γ

ij

(3.25)

2

Na isti način kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomoću sekularne jednadžbe:

ε g3 + ε g2 ⋅ I ε + ε g ⋅ II ε + III ε = 0

g = 1,2,3

(3.26)

naći glavne deformacije. Pri tome se pojavljuju invarijante tenzora deformacija I ε = ε 11 + ε 22 + ε 33 = ε 1 + ε 2 + ε 3

(3.27)

2 2 2 II ε = ε 11 ⋅ ε 22 + ε 22 ⋅ ε 33 + ε 33 ⋅ ε 11 − ε 12 − ε 23 − ε 31

(3.28)

 ε 11 ε 12 III ε = det  ε 21 ε 22  ε 31 ε 32

(3.29)

ε 13  ε 23  ε 33 

Proračun veličina glavnih deformacija kao i smjerova u kojem se te deformacije pojavljuju je analogan proračunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformacija nema klizanja. To znači da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa smjerovima glavnih deformacija zadržava sve prave kuteve, a samo mu se mijenjaju dužine stranica ( ∆ ds i = ε i ⋅ ds i ).

Slika 3.6

30 Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 može se naći kao:

θ =

∆ V ( 1 + ε 1 ) dx1 + ( 1 + ε 2 ) dx 2 + ( 1 + ε 3 ) dx3 − dx1 ⋅ dx2 ⋅ dx3 = V dx1 ⋅ dx2 ⋅ dx3

(3.30)

a odatle: θ = ε 1 + ε 2 + ε 3 = Iε 3.3.

(3.31)

Oktaedarske deformacije Kada su pronađene glavne deformacije ε1, ε 2 i ε 3 mogu se, slično kao i kod tenzora

naprezanja, naći deformacije na oktaedru, kojem su dijagonale paralelne sa smjerovima glavnih deformacija. I ovdje se može deformacija podijeliti na sferni dio εS - to se ovdje naziva izotropna deformacija i na distorzioni dio εD, tj. devijatorsku komponentu deformacija. Bez izvoda daju se konačni izrazi:

ε

S

= ε okt =

ε D = γ okt =

1 ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = 1 ⋅ Iε 3 3

(3.32)

2 3

(3.33)

(ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2

Kao objašnjenje treba reći da se ukupna deformacija dijeli na izotropnu, koja predstavlja čistu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez promjena volumena.

Slika 3.7

31 Na slici 3.7 prikazane su obje te deformacije, od kojih se prva ostvaruje bez promjena kuteva a druga bez promjena volumena. 3.4.

Ravninsko stanje deformacija U nizu slučajeva nema deformacije ε33, jer je npr. ravnina O x1 x2 tako ukliještena u

tijelu da se dvije paralelne ravnine ne mogu međusobno pomicati. Tada su ε 33 = ε 13 = ε 23 = 0

(3.34)

Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente

ε ij

  ε 11 =  1  γ 21 2

1  γ 12  2  ε 22  

(3.35)

Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je σ33 = 0, ovdje je ε33 = 0. Relacije između komponenata tenzora naprezanja mogu se, isto kao i naprezanja, prikazati pomoću Mohrove kružnice deformacija (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri tome osi ε i γ/2.

2 1

2

2

12

2

11

Slika 3.8

32 3.5.

Brzina deformacije Ako se pretpostave male deformacije, može se pojednostavljeno naći: x i = x i0 + u i

(3.36)

Odatle se brzina gibanja točke može naći kao: dxi dxi0 du i • = + = u i = vi dt dt dt

•

xi =

(3.37)

S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao: ε ij =

1 ( u i , j + u i ,i ) 2

(3.38)

Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo: .

•

ε

ij

1  d  ∂ u  d  ∂ u j   1  ∂ dui ∂ du j    =  ≅ =   i  +  +  dt 2  dt  ∂ x j  dt  ∂ xi   2  ∂ x j dt ∂ xi dt  dε ij

(3.39)

Odatle se konačno dobiva:

ε

• ij

≈

1 ( v i , j + v j ,i ) 2

(3.40)

Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija. 3.6.

Brzina prirasta naprezanja Na sličan način kao i za brzine deformacija može se pokazati da za tenzor naprezanja •

σij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja σ

ij

= σ ij ( xk , t )

Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) možemo napisati: •

σ

ij

=

dσ dt

ij

(3.41)

33 4.

TEORIJA ELASTIČNOSTI U "Otpornosti materijala" rješavali smo samo najjednostavnije slučajeve tj.

ravne štapove tako da taj dio mehanike čvrstih tijela često nazivamo "Mehanika štapova". U "Teoriji elastičnosti" također se kao i u "Otpornosti materijala" promatra promjena stanja na­ prezanja i deformacija čvrstog elastičnog tijela pod djelovanje statičkih ili dinamičkih utjecaja kojima uzroci mogu biti različiti npr. gravitacija, inercija, promjena temperature i drugo. Me­ đutim dok se u "Otpornosti materijala" u tumačenju pojedinih pojava polazi od jednostavnijih prema složenijim, i od pojedinačnih zaključaka na opće zaključke i pravila, u "Teoriji elastič­ nosti" se iz općih razmatranja i općih zakonitosti ide na rješavanje pojedinačnih slučajeva. Kao u "Otpornosti materijala", i u "Teoriji elastičnosti" se pretpostavlja da materija ima svoj­ stvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodijeljena po obujmu tijela. Kod svih je pro­ blema zajedničko da treba istovremeno zadovoljiti veći broj jednadžbi. Rješavanje problema postaje teže što je oblik konture tijela i opterećenja na konturi složenije pa se tako više ne mogu naći točna rješenja nego se zadovoljavamo približnim rješenjima numeričkih metoda (metode konačnih razlika, metode konačnih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim je slučajevima povoljnije probleme rješavati eksperimentalnim putem. Sličnost oblika jed­ nadžbi u teoriji elastičnosti i elektrici omogućuju razne analogije. Ako se utvrde karakteristike rješenja diferencijalne jednadžbe na temelju analogne električne pojave može se riješiti pro­ blem iz teorije elastičnosti. U rješavanju ravninskih problema neobično se korisnom pokazala fotoelastičnost, gdje je na modelu izrađenom od posebnog materijala u polariziranom svijetlu moguće utvrditi stanje naprezanja. 4.1

Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija Da bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformacija potrebno je neprekinutoj

deformabilnoj sredini (promatranom tijelu) dati određena fizikalna svojstva tj. odrediti veze između naprezanja i deformacija : σij = f (εij )

(4.1)

odnosno između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija:

{σ } = [ C ]{ ε } ij

ij

(4.2)

34 pri čemu je [ C] - matrica elastičnosti. Inverzna veza između deformacija i naprezanja glasi: εij = f -1 (σij ) = g (σij ) ,

(4.3)

odnosno:

{ ε } = [ S ]{σ } ij

(4.4)

ij

Općenito se komponente tenzora naprezanja u jednoj točki mogu izraziti kao funkcije komponenata tenzora deformacija: σ11= f1 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) σ33= f3 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

σ22= f2 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ12 = f4 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ23 = f5 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ31 = f6 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ21 = f7 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ32 = f8 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

τ13 = f9 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)

(4.5)

U općem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehničkih materijala može prikazati beskonačnim redom potencija: σ1 = c10 + c11ε11 + c12ε2 + c13ε33 + c14ε12 + c15ε23 + c16ε31 + c17ε112 + ...........+ c1mε31n σ2 = c20 + c21ε11 + c22ε22 + c23ε33 + c24ε12 + c25ε23 + c26ε31 + c27ε112 + ..........+ c2mε31n σ3 =c30 + c31ε11 + c32ε2 + c33ε33 + c34ε12 + c35ε23 + c36ε31 + c37ε112 + ..........+ c3mε31n τ12 = c40 + c41ε11 + c42ε21 + ...

+c46ε31 + c47ε112 + ..........+ c4mε31n

τ23 = c50 + c51ε11 + c52ε22 + ....

+c56ε31 + c57ε112 + ..........+ c5mε31n

τ31 = c60 + c61ε11 + c62ε22 +

+c66ε31 + c67ε112 + ..........+ c6mε31n

….

τ21 = c70 + c71ε11 + c72ε22 + ....

+c76ε31 + c77ε112 + ...........+ c7mε31n

τ32= c80 + c81ε11 + c82ε22 + ....

+c86ε31 + c87ε112 + ...........+ c8mε31n

τ13 = c90 + c91ε11 + c92ε22 + ....

+c96ε31 + c97ε112 + .......... + c9mε31n

(4.6)

Rješavanje problema tako izraženim vezama je isuviše složeno. Kako pri eksploataciji većine konstrukcija naprezanja i deformacije ostaju u području linearnosti izostavljaju se članovi s potencijama različitim od 1, i to je tzv. linearna teorija. Početni članovi cm 0 u gore navedenim izrazima nisu poznati. Oni se mogu mijenjati od točke do točke tijela, a uzrokuju ih različiti utjecaji: temperatura prije nego što je tijelo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi,

35 higrometrijsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su početna naprezanja jednaka nuli: cm 0 = σm 0 = 0

(4.7)

Pretpostavljamo također da su deformacije povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka deformiranja, tijelo poprima svoj prvotni oblik. Takovo tijelo od idealno elastičnog materijala kod kojeg su veze između naprezanja i deformacija linearne nazivamo Hookeovo tijelo. Danas su već razrađene nelinearne teorije elastičnosti koje uzimaju u obzir nelinearnost između naprezanja i deformacija (materijalna nelinearnost) ili nelinearnost između deformacija i derivacija pomaka (geometrijska nelinearnost). Linearna zavisnost između naprezanja i deformacija te deformacija i derivacija pomaka dovoljna je ako deformacije nisu suviše velike. Kod većine tehničkih konstrukcija deformacije ne prelaze 1% pa nas točnost rješenja po linearnoj teoriji malih deformacija može zadovoljiti. Veza između komponenata naprezanja i komponenata deformacija po linearnoj teoriji malih deformacija može se izraziti pomoću 34 = 81 koeficijenata:

 σ 11 τ 12 τ  21 σ 22  τ 31 τ 32

 c11 c  21  c31  τ 13   c 41 τ 23  =  c51  σ 33   c61 c  71  c81 c  91

c12 c 22 c32 c 42 c52 c 62 c 72 c82 c92

c13 c 23 c33 c 43 c53 c63 c73 c83 c93

c14 c 24 c34 c 44 c54 c 64 c 74 c84 c94

c15 c 25 c35 c 45 c55 c65 c75 c85 c95

c16 c 26 c36 c 46 c56 c 66 c 76 c86 c96

c17 c 27 c37 c 47 c57 c 67 c 77 c87 c97

c18 c 28 c38 c 48 c58 c 68 c 78 c88 c98

c19  c 29  c39   c 49  c59   c69  c79   c89  c99 

 ε 11 ε 12 ε  21 ε 22  ε 31 ε 32

ε 13  ε 23  ε 33 

(4.8)

Kako su posmična naprezanja na međusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o jednakosti posmičnih naprezanja):

τ

21

= τ 12 ,

τ 31 = τ 13 ,

τ 32 = τ

23

(4.9)

veze između šest komponenata naprezanja i komponenata deformacija izražavamo pomoću 62 = 36 koeficijenata:

36

 σ 11 τ 12 τ  21 σ 22  τ 31 τ 32

 σ 11   c11 σ   c τ 13   22   21 σ   c τ 23  =  33  =  31 τ c σ 33   12   41  τ 23   c51     τ 31   c61

c12 c 22 c32 c 42 c52 c62

c13 c 23 c33 c 43 c53 c 63

c14 c 24 c34 c 44 c54 c64

c15 c 25 c35 c 45 c55 c 65

c16  c 26  c36   c 46  c56   c 66 

 ε 11  ε   22   ε 33     ε 12   ε 23     ε 31 

(4.10)

U općem slučaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacijama ali i o kutnim deformacijama dok posmična naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim deformacijama. Može se pokazati da su koeficijenti matrice [C] izvan dijagonale međusobno jednaki: c m n = cn m

(4.11)

čime se broj koeficijenata smanjuje na 21. Ako su poznate komponente tenzora deformacija Hookeovog materijala pune anizotropije, uz poznavanje 21 koeficijenta mogu se odrediti komponente tenzora naprezanja. Materijal pune anizotropije je takav materijal koji ima istaknute fizikalne karakteristike (npr. modul elastičnosti E, Poissonov koeficijent ν) u tri međusobno kosa smjera (primjer za takav materijal je triklinski kristal). Kod takvog materijala nije moguće postaviti niti jednu os simetrije i niti jednu ravninu simetrije ili zrcalenja niti za raspored materijalnih diskretnih čestica niti za mehanička svojstva. Karakteristično je za takve materijale da čak i u slučaju malih deformacija, komponente naprezanja zavise od svih komponenata deformacija i obratno. Kod materijala koji posjeduju osi ili ravnine simetrije ili ravnine rotacije, broj koeficijenata se smanjuje. Matrica koeficijenata za materijal s tri ortogonalne osi simetrije (ortotropno tijelo) smanjuje se na 9:  σ 11   c11 σ   c  22   12  σ 33   c13  =   τ 12   0  τ 23   0     τ 31   0

c12 c 22 c 23 0 0 0

c13 c 23 c33 0 0 0

0 0 0 c 44 0 0

0 0 0 0 c55 0

0 0  0  0 0  c66 

 ε 11  ε   22   ε 33     ε 12   ε 23     ε 31 

Karakteristično je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim) deformacijama, a pomična naprezanja o kutnim (posmičnim) deformacijama.

(4.12)

37 Broj koeficijenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima elastične karakteristike jednake. Za izotropno tijelo s jednakim karakteristikama u tri ortogonalna smjera (npr. čelik), broj koeficijenata se smanjuje na 3 te matrica koeficijenata glasi:  σ 11   c11 σ   c  22   12  σ 33   c12  =  τ  12   0  τ 23   0     τ 31   0

c12 c11 c12 0 0 0

c12 c12 c11 0 0 0

0 0 0 c 44 0 0

0 0  0  0 0  c 44 

0 0 0 0 c 44 0

 ε 11  ε   22   ε 33     ε 12   ε 23     ε 31 

(4.13)

Samo za izotropne materijale vrijedi da normalna naprezanja ovise o normalnim deformacijama, a posmična naprezanja o posmičnim deformacijama. Može se dokazati da su samo dva koeficijenta c11 i c12 nezavisna, dok je treći c44 zavisan, a izraziti se mogu pomoću tzv. Laméovih koeficijenata elastičnosti λ i µ : c11 = λ + 2 µ ,

c12 = λ ,

c 44 = c11 - c12 = 2 µ

(4.14)

Elastične konstante materijala: modul elastičnosti E , Poissonov koeficijent ν i modul posmika G , vezane su Laméovim koeficijentima slijedećim relacijama:

ν E ( 1 + ν ) ( 1 − 2) ,

λ =

µ = G

(4.15)

Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija, jednadžba 4.2 {σ

 σ 11  σ   22   σ 33  E   = (1 + ν ) (1 − 2ν  τ 12   τ 23     τ 31 

)

ij

} = [ C ]{ ε } , glasi: ij

ν ν 0 0 0  (1 − ν )  ν (1 − ν ) ν 0 0 0   ν ν (1 − ν ) 0 0 0  0 0 (1 − 2ν ) 0 0  0  0 0 0 0 (1 − 2ν ) 0  0 0 0 0 (1 − 2ν  0

        )

 ε 11  ε   22   ε 33     ε 12   ε 23     ε 31  (4.16)

odnosno:

σ

11

=

E (1 + ν ) (1 − 2ν

)

[ (1 − ν ) ε 11 + ν ε 22 + ν ε 33 ]

(4.17)

38

σ

22

=

E (1 + ν ) (1 − 2ν

)

σ

33

=

E (1 + ν ) (1 − 2ν

)

τ 12 =

E (1 + ν ) (1 − 2ν

[ (1 − ν ) ε 22 + ν ε 33 + ν ε 11 ]

(4.18)

[ (1 − ν ) ε 33 + ν ε 11 + ν ε 22 ]

(4.19)

[ (1 − 2ν ) ε 12 ]

)

=

E E ε 12 = 2 • ε 12 = G γ 12 (1 + ν ) 2 (1 + ν )

(4.20)

τ

23

= Gγ

23

(4.21)

τ

31

= Gγ

31

(4.22)

Inverzna je veza komponente tenzora deformacija izražena pomoću komponenata tenzora naprezanja:

[ C ] − 1 { σ ij } = [ C ] -1 [ C ] { ε ij }

(4.23)

[ C ] − 1 { σ ij } = { ε ij }

(4.24)

odnosno:

{ ε } = [ S ]{σ } ij

(4.4)

ij

Poznavajući koeficijente cij matrice elastičnosti [C] mogu se inverzijom odrediti koeficijenti sij kvadratne matrice [ S ]:  ε 11   1 ε  − ν  22    ε 33  1  − ν  =   ε 12  E  0  ε 23   0     ε 31   0

−ν 1 −ν 0 0 0

−ν −ν 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1 + ν ) 0 0 0 (1 + ν ) 0 0 0 (1 + ν

        )

 σ 11  σ   22   σ 33     τ 12   τ 23     τ 31 

(4.25)

odnosno :

ε 11 =

1 (σ E

ε

=

1 (σ E

ε 33 =

1 (σ E

22

11

−νσ

22

−νσ

33

)

(4.26)

22

−νσ

33

−νσ

11

)

(4.27)

33

−νσ

11

−νσ

22

)

(4.28)

39

ε 12 =

4.2.

γ

23

=

γ

31

=

1+ ν τ 12 E

τ

γ 12 = 2 • ε 12 =

2 (1 + ν ) 1 τ 12 = τ 12 E G

⇒ γ 12 =

τ 12 G

23

(4.30)

G

τ

(4.29)

31

(4.31)

G

Ravninsko stanje naprezanja

σ3 = τ31 = τ32 = 0 ε 33 ≠ 0 ⇒

ε 11 =

1 (σ E

ε

1 (σ E

22

=

ε 12 =

ε

11

22

(4.32) =

33

1 (σ E

33

− νσ

22

−νσ

11

) = 1 (− ν σ E

22

− νσ

11

)≠

0

(4.33)

− νσ

22

)

(4.34)

−νσ

11

)

(4.35)

1+ ν τ 12 E

(4.36)

ili inverzna veza:

σ

11

=

E 1− ν

σ

22

=

E 1− ν

τ 12 =

2

( ε 11 + ν ε 22 )

(4.37)

2

( ε 22 + ν ε 11 )

(4.38)

E E (1 − ν ) ε 12 = ε 12 1+ ν 1− ν 2

(4.39)

odnosno u matričnom obliku:  σ 11  σ  = E  22  1 − ν  τ 12 

2

0 1 ν ν 1 0   0 0 1 − ν

   

 ε 11  ε   22   ε 12 

(4.40)

40 4.3.

Ravninsko stanje deformacija

ε3 = ε31 = ε32 = 0 σ

33

(4.41)

≠ 0 ⇒

ε 33 =

1 (σ E

33

− νσ

22

− νσ

11

)=

( σ 33 − ν σ

0 ⇒

22

−νσ

11

)=

0 ⇒ σ

33

= ν (σ

11

+σ

22

)

(4.42)

Transformacijama se dobivaju izrazi za deformacije:

ε 11 =

1− ν 2  σ E 

ε

1− ν E

22

=

ε 12 =

2

1+ ν τ E

 σ  12

11

−

ν σ 1− ν

−

ν σ 1− ν

22

⇒ 2ε 12 =

22

  ⇒   

11 

ε 11 = ε

⇒

2( 1 + ν ) τ E

12

22

1 E =

*

(σ

11

− ν *σ

*

(σ

22

12

=

1 E

⇒ γ

22

− ν *σ

1 G*

τ

12

) 11

(4.43)

)

(4.44) (4.45)

pri čemu je: E* =

E 1− ν

(4.46)

2

ν 1− ν

(4.47)

G* = G.

(4.48)

ν =

Inverzna veza komponenata naprezanja izraženih pomoću komponenata deformacija u matričnom obliku je:  σ 11  * σ  = E  22  *2  τ 12  1 − ν

 1 ν* 0  * 1 0 ν  0 0 1− ν 

   * 

 ε 11  ε   22   ε 12 

(4.49)

Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, što omogućuje analogno rješavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacija.

41 5.

REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE Zadatak reologije je pronalaženje analitičkih veza između komponenata tenzora

deformacija i komponenata tenzora naprezanja. Svrha je posve praktična, što znači da se dobivene veze koriste u tehnici za zaključivanje o ponašanju materijala i konstrukcija. Reologija se u prvom redu oslanja na rezultate ispitivanja mehaničkih svojstava pojedinih materijala s jedne strane, a na postavke i rezultate teorijske mehanike kontinuuma s druge strane. Stvarno ponašanje pojedinih materijala ponekad je vrlo složeno, pa su i veze deformacija i naprezanja složenije. Klasična mehanika kontinuuma poznavala je dvije vrste materijala - elastična čvrsta tijela i idealne fluide, ali su detaljnija ispitivanja pokazala da u skupini čvrstih materijala gotovo uvijek ima ili viskoznih ili drugih neelastičnih pojava, pa sadašnja reologija posebno razmatra upravo takve pojave. Uz navedena dva idealna tijela - elastično Hookeovo tijelo i Newtonov fluid - postoje i neka druga tipična ponašanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoriju elastičnosti i mehaniku fluida nastala i teorija plastičnosti, čije rezultate koristi statika čeličnih i betonskih konstrukcija. Kao posebno poglavlje u teoriji plastičnosti uvodi se plastično ponašanje nekih tijela i tla. Reologija polazi od najjednostavnijih tijela, čije se ponašanje može idealno prikazati s jednostavnim matematskim modelima (analitičkim vezama), a pri tome se takav matematski model vizualizira, tj. daje se modelu fizički smisao. Tako se na primjer ponašanje elastičnog tijela može simbolizirati ponašanjem elastičnog pera, a da pri tome to pero nema nikakve veze s promatranim materijalom i problemom koji se razmatra. Od fizičkih veličina koje treba uzeti u račun imamo: ε ij •

ε

ij

σ ij •

σ

ij

tenzor deformacija tenzor brzina deformacija tenzor naprezanja tenzor brzine prirasta naprezanja.

Za sva četiri tenzora treba posebno voditi računa o sfernoj i devijatorskoj komponenti svakog tenzora. Ako se istoimenim indeksima označe sferne komponente, a s raznoimenim devijatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadžbe:

42 •

C1 ⋅ ε

kk

•.

C5 ⋅ ε

ij

+ C2 ⋅ ε

D

•

= C3 ⋅ σ

kk

+ C4 ⋅ σ

kk •

+ C6 ⋅ ε ij D = C7 ⋅ σ

ij

D

(5.1)

kk

+ C8 ⋅ σ

D

(5.2)

ij

pri čemu se pretpostavlja: 7.

da je materijal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama

8.

da su deformacije infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile složenije)

9.

da su veze izotropne tj. da su koeficijenti C1 do C8 skalari odnosno konstante za linearne veze ili funkcije invarijanata tenzora kada su veze između naprezanja i deformacija “kvazilinearne”. Prva jednadžbi naziva se obujamska (volumetrijska) jednadžba i daje vezu između

obujamske deformacije εv i srednjeg normalnog naprezanja σS kao i njihovim derivacijama po vremenu. Druga distorzijska jednadžba predstavlja vezu između devijatorskog tenzora deformacije - distorzije i devijatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacijama po vremenu. Sa svake strane po jedan je član različit od nule samo kod osnovnih materijala. Osnovni idealni materijalu su: idealno elastičan, idealno plastičan i viskozan materijal. Karakteristična svojstva osnovnih idealnih materijala prikazuje se elementarnim mehaničkim modelima za slučaj aksijalnog naprezanja uz definiranje veza između naprezanja i deformacija. Za prikaz ponašanja materijala sa složenim mehaničkim svojstvima upotrebljavaju se reološki modeli. 5.1.

Materijali idealnih svojstava

5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal Uz

pretpostavku

idealne

linearne

veze

između

deformacija

i

naprezanja

(C1 = C3 = C5 = C7 = 0) konstitutivne jednadžbe glase: C2 ⋅ ε

kk

= C4 ⋅ σ

C6 ⋅ ε ij D = C 8 ⋅ σ

(5.3)

kk D ij

(5.4)

Uvodeći obujamski modul kompresije K kao vezu između obujamske deformacije i srednjeg normalnog naprezanja obujamsku jednadžbu možemo napisati kao:

ε

kk

=

1 ⋅σ 3⋅ K

kk

(5.5)

43

pri čemu je: E 3 ⋅ ( 1 − 2ν )

K=

(5.6)

izražen preko modula elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν. Za devijatorske komponente modul posmika G je veza između tangencijalnog naprezanja i kuta klizanja: γ ij =

τ ij

(5.7)

G

pa uz: ε ij =

γ ij

(5.8)

2

distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:

ε ij

D

=

σ

D ij

2⋅ G

.

(5.10)

Sređivanjem i razvijanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadžbe:

σ

ij

= 2 ⋅ µ ⋅ ε ij + λ ⋅ δ ij ⋅ ε

kk

δ ij = 1 za i = j;

;

δ ij = 0 za i ≠ j

(5.11)

U slučaju jednoosnog naprezanja:

σ

11

= 2 ⋅ µ ⋅ ε 11 + λ ⋅ ( ε 11 + ε

σ

12

= 2 ⋅ µ ⋅ ε 12

22

+ ε 33 )

(5.12) (5.13)

U četvrtom poglavlju detaljno su prikazane veze između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija za elastična tijela.

Slika 5.1

44 Hooke-ovo tijelo simbolički se u reološkim modelima prikazuje u formi elastičnog pera (slika 5.1). U reološkim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformaciju linearnog elementa (npr. vlačnog štapa), može se odnos deformacije i pripadnog naprezanja pokazati kao: ε =

σ E

(5.14)

Za idealno elastično tijelo pretpostavlja se da deformacija nastupa trenutno i to u konačnom iznosu, pa između komponenata tenzora brzine deformacija i brzine prirasta naprezanja postoje iste veze kao i za odgovarajuća statička stanja. Ponašanje materijala može se prikazati u obliku dijagrama (slika 5.2) koji povezuju deformaciju odnosno naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformacije i naprezanja (sile) za stalno opterećenje u trajanju t1, a za rastuće i padajuće naprezanje na slici b). Pri ovakvim se prikazima uvijek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu oscilacije.

Slika 5.2 5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal Saint Venant je predložio model idealno kruto-plastičnog materijala koji ima svojstva da ne pokazuje nikakve deformacije ε dok naprezanje σ ne dosegne izvjesnu kritičnu vrijednost: σ 〈σY

ε = 0

(5.15)

45 Nakon što je dosegnuto kritično naprezanje σy: σ = σY

ε ≠ 0

(5.16)

materijal se plastično deformira.

Slika 5.3

Slika 5.4

Veličina deformacije (slika 5.3) pri tome nije određena nikakvim odnosom s intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaciji ili deformacijama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fizički model tijela savršeno plastičnih svojstava, a sastoji se od dviju ploča koje su međusobno pritegnute i među kojima postoji Coulomb-ovo (suho) trenje: RT = f ⋅ R N

(5.17)

Sila trenja popušta kada sila F= σ ∙ A pređe graničnu silu trenja. 5.1.3. Viskozan fluid Da bi definirali Newtonov materijal treba u osnovne konstitutivne jednadžbe uvrstiti C2 = C4 = C6 = C7 = 0. Za obujamsku jednadžbu to znači da pri izvjesnoj brzini prirasta sferne komponente tenzora naprezanja postoji odgovarajuća brzina deformacija. Nakon što prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformacije pa jednadžba (5.1) glasi: •

C1 ⋅ ε

•

kk

= C3 ⋅ σ

kk

(5.18)

odnosno izražena preko modula kompresije K: •

ε

kk

=

1 • ⋅σ 3⋅ K

kk

.

(5.18)

46 Ova jednadžba odnosi se na elastičnu promjenu obujma fluida pod utjecajem hidrostatičkog pritiska. Ova veza kod plinova zamjenjuje se jednadžbom stanja, jer su promjene uslijed temperature značajnije. Distorzijska konstitutivna jednadžba glasi: •

C5 ⋅ ε

ij

D

= C8 ⋅ σ

D

(5.19)

ij

Supstitucijom poznate relacije između brzine prirasta deformacija v i , j i devijatorske komponente tenzora naprezanja σ

σ

D ij

D ij

za tekućine u jednadžbu (5.19):

∂ vi ∂ xj

= µ

(5.20 )

dobiva se: •

ε

ij

D

1 ⋅σ 2⋅ µ

=

D

(5.21)

ij

pri čemu je µ Newtonov koeficijent viskoznosti. Utjecaj sferne deformacije je vrlo malen jer se tekućine smatraju nestišljivim (K = ∞). Uvodeći srednji normalni pritisak − p = • D

•

ε

kk

= 0 tj. ε

σ

ij

= σ

ij

S

= ε

D ij

+σ

D ij

1 σ ii , uz 3

u izraz za tenzor naprezanja = δ ij ⋅ p + σ

D ij

= - δ ij ⋅ p + 2 ⋅ µ ⋅ ε

• D ij

(5.22)

pri čemu je: δ ij

 1 0 0 =  0 1 0  0 0 1

(5.23)

Ako se u diferencijalnu jednadžbu ravnoteže:

σ

ij , j

+ ρ ⋅ fi = 0

(5.24)

uvrste inercijske sile, te izrazi za ubrzanje i brzinu deformacije: f i = f i 0 + ai = f i0 +

d vi dt

(5.25)

dobiju se Navier-Stokes-ove jednadžbe gibanja viskoznog fluida: ∂ vi 1 µ + vi , j • v j = f i 0 − p, i + (v i , jj + v j ,ij ) ∂ t ρ ρ

(5.26)

47

Slika 5.5 Mehanički reološki model Newtonovog materijala prikazuje se hidrauličkim odbojnikom (slika 5.5), probušenim klipom koji se pomiče unutar cilindra ispunjenog tekućinom. Takav cilindar, kakav je približno amortizer automobila, ponaša se kao viskozno tijelo pa za linearan slučaj imamo da je: ∂ ε σ = ∂t µ

(5.27)

odnosno

ε =

σ ⋅t µ

(5.28)

Idealno viskozno tijelo povećava deformaciju tijekom vremena tako dugo dok traje opterećenje (slika 5.6). Nakon rasterećenja ostaje trajna, nepovratna deformacija.

Slika 5.6

48 5.2.

Reološki modeli s dva elementa

U reologiji treba obuhvatiti materijale sa poznatim mehaničkim-reološkim svojstvima, ma kakvi bili odnosi naprezanja, deformacija i vremena. Očigledno da se ponašanje materijala pod naprezanjima ne može opisati samo sa ova tri osnovna modela. Složeni reološki modeli su tako zamišljeni da mogu pružiti kvalitativnu sliku o ponašanju različitih materijala pod opterećenjem. Radi boljeg opisivanja mehaničkih karakteristika pojedinih materijala međusobno povezujemo dva, tri pa i više osnovnih modela “H”, St. V” i “N”. Uključivanje više elemenata koji ulaze u model ponašanja nekog materijala dovodi do potrebe određivanja većeg broja konstanata koje opisuju djelovanje svakog elementa u sklopu, a time se gubi pouzdanost konačnih rezultata npr. kod numeričkih metoda proračuna a pogotovo iznalaženja analitičkih rješenja. Postoje dva načina na koja se mogu međusobno povezati dva osnovna modela i to su: 2. paralelno jedan kraj drugoga i 3. u seriju jedan za drugim. U analizi ovih modela polazi se od činjenice da su kod paralelnog spajanja produženja svuda jednaka, dok je ukupno naprezanje jednako zbroju komponentnih naprezanja. Kod serijskog su spajanja naprezanje u svim dijelovima jednaka, dok je produženje jednako zbroju pojedinačnih. 5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal Kelvin i Voigt pretpostavljaju materijal koji polagano dosiže konačnu deformaciju, zadržava ju duže vrijeme bez daljnjeg primjetnog povećanja, a prilikom rasterećenja ta deformacija se polagano gubi i tijelo se vraća u prvobitni oblik. Takovo ponašanje materijala može se objasniti istovremenim djelovanjem elastične i viskozne komponente. U trenutku nanošenja opterećenja cijelo opterećenje preuzima samo viskozni element. U svakom trenutku deformacija oba elementa je ista: εH = ε

N

(5.29)

Popuštanjem viskoznog elementa se sve više angažira elastični element, tako dugo dok na kraju cijelo opterećenje ne preuzme elastični element u modelu. Na slici 5.7 prikazane su dvije moguće kombinacije paralelnog spajanja osnovnih modela (Hooke-ovog i Newtonovog) koji se simbolički označava kao: K = H || N

49

Slika 5.7 Za ovaj se model može ponašanje prikazati konstitutivnim jednadžbama s time da se u obujamskoj jednadžbi zanemaruje isčezavajuća viskozna promjena obujma, pa je dakle C1 = C3 = 0. U drugoj distorzijskoj jednadžbi otpada promjena naprezanja, pa je samo C7 = 0, te imamo: C2 ⋅ ε

kk

•

C5 ⋅ ε

ij

= C4 ⋅ σ

D

(5.30)

kk

+ C6 ⋅ ε ij D = C 8 ⋅ σ

D ij

(5.31)

Opće rješenje iz kojega se mogu poslije izvesti i rješenja za neke probleme raspodjele deformacija i naprezanja u viskoelastičnom kontinuumu glasi:

ε

kk

=

1 ⋅σ 3⋅ K

(5.32)

kk

µ • D 1 ⋅ ε ij + ε ij D = ⋅σ G 2⋅ G

D

(5.33)

ij

Svedeno na linearni slučaj – aksijalno opterećen štap jednadžba (5.32) nema utjecaj, dok druga daje: •

σ = E⋅ε + µ ⋅ε ;

•

ε =

dε dt

(5.34)

50

Slika 5.8 Pretpostavimo slučaj da puno opterećenje djeluje trenutno u cijelom iznosu i zadržava se kroz vrijeme t1. Iz općeg se rješenja (5.34) za linearni slučaj dobiva: •

ε+

σ E ⋅ε = 0 µ µ

(5.35)

Rješenje u eksponencijalnom obliku: E  − ×t   ⋅ 1− e µ     

σ ε (t ) = 0 E

(5.36)

kao rezultat daje asimptotsko približavanje deformacije konačnoj deformaciji koja je jednaka čistoj elastičnoj deformaciji

σ0 (slika 5.8). Ako se u trenutku t = t1 prekine opterećivanje, E

dolazi do postepenog nestajanja deformacije:

ε = ε t1 ⋅ e

−

σ0 •( t − t1 ) µ

t 〉 t1

(5.37)

5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid Na slici 5.9 je prikazan Maxwell-ov model koji se sastoji od Hooke-ovog i Newtonovog tijela povezanih u seriju i simbolički označenog: M=N–H

51

Slika 5.9 Maxwell je opisao i dao rješenja za materijal koji ima ograničena elastična svojstva a kojemu deformacije mogu rasti bez ograničenja, budući da ima karakteristike fluida. U obujamskoj konstitutivnoj jednadžbi se isto kao i u prethodnom slučaju konstatira da se obujamska deformacija ostvaruje praktički trenutno, dakle neovisno o brzini prirasta naprezanja. U distorzijskoj jednadžbi treba prikazati da se materijal ponaša kao fluid, što znači da sam tenzor brzine deformacija ovisi o devijatorskom dijelu tenzora naprezanja i o tenzoru brzina prirasta naprezanja. Ovo dovodi do konstitutivnih jednadžbi oblika: C2 ⋅ ε

kk

•

C5 ⋅ ε

ij

= C4 ⋅ σ

D

(5.38)

kk •

= C7 ⋅ σ

ij

D

+ C8 ⋅ σ

D

(5.39)

ij

i njihovog rješenja:

ε

kk

•

ε

ij

D

1 ⋅σ 3⋅ K

= =

1 • ⋅σ 2⋅ G

(5.5)

kk

ij

D

+

1 ⋅σ 2⋅ µ

D

(5.40)

ij

Za linearni element – štap može se napisati:

ε =

σ0 1 + ⋅σ 0 ⋅t E µ

(5.41) •

Pri tome se zanemaruje prirast naprezanja σ

(kod promatranja statičkih modela

pretpostavlja se da se opterećenje nanosi dovoljno polagano da ne izaziva oscilacije). Na slici 5.10 prikazan je vremenski tijek deformacija Maxwell-ovog tijela, uz pretpostavku da se cijelo opterećenje nanosi odjednom. Elastična deformacija nastaje odmah, a nakon toga se tijelo deformira tako dugo dok traje opterećenje. Nakon rasterećenja vraća se samo elastični dio deformacije, dok viskozni ostaje kao trajna deformacija.

52

Slika 5.10 Maxwell-ovo tijelo pokazuje karakteristično ponašanje prilikom nanašanje određene deformacije ε0 i zadržavanja te deformacije konstantnom (slika 5.11). Iz jednadžbe (5.41) za t = 0 početno naprezanje je σ0 = ε0 ∙E. Zbog viskoznih svojstava tijela dolazi do postepenog rasterećivanja tj. relaksacije. Ako se u vezu deformacije i naprezanja, jednadžbu (5.41) uvrsti

ε = ε0 = konstantno dobivamo:  1 1  ε 0 = σ ⋅  + ⋅ t  E µ 

→ σ (t ) = ε 0

µ

µ + t E

(5.42)

Nakon vremena t1 preostalo naprezanje iznosi: σ t = ε0

µ µ + t1 E

(5.43)

dok nakon duljeg vremena (t→∞) naprezanje u tijelu potpuno isčezava. Ovo vrijedi u potpunosti za ponašanje metala prilikom žarenja, a djelomično za beton u području malih deformacija.

53

Slika 5.11 5.2.3. Elastoplastičan materijal Serijskim spajanje elastičnog Hooke-ovog i idealno plastičnog Saint Venant-ovog tijela (slika 5.12) dobiva se tijelo svojstava kako su ga definirali Prandtl i Reuss. Simbolička oznaka takvog modela je: R = H – St. V

Slika 5.12 Za linearan odnos deformacija i naprezanja tijelo zadržava oba svojstva. Ako je naprezanje manje od kritičnog deformacije ostaju u granicama Hooke-ovog zakona

σ 〈σ

Y

ε =

1 ⋅σ E

(5.44)

Ako je naprezanje jednako kritičnom σY onda se deformacija povećava, i ne ovisi o intenzitetu naprezanja nego o deformaciji susjednih elemenata. Odnosi naprezanja i deformacija tijekom vremena za slučajeve σ < σY Naprezanje veće od kritičnog σ > σY nije moguće.

i σ = σY pokazani su na slici 5.13.

54

Slika 5.13 5.3.

Složeni reološki modeli više elemenata

U daljnjem tekstu bit će prikazano nekoliko složenih reoloških modela i razmatrat će se linearni odnos deformacija i naprezanja. 5.3.1. Bingham-ov model Kod Bingham-ovog modela (slika 5.14) paralelno spojeni St. Venant-ov i Newton-ov model, serijski su spojeni s Hooke-ovim modelom. Shematski se može označiti: B = H – (St.V || N).

Slika 5.14

55

Slika 5.15 Karakterističan dijagram deformacija i naprezanja u ovisnosti o vremenu prikazan je na slici 5.15. Ponašanje mu se može opisati u dva područja: a)

σ 〈σ

b)

σ =σ

Y

Y

ε = ε =

σ E σ

(5.45) Y

E

+

σ ⋅t µ

(5.46)

U pogledu ponašanja podsjeća na elastoplastičan materijal, ali je trajna deformacija vezana uz vremensko trajanje opterećenja. 5.3.2. Lethersich-ov model Elastični “sol” predstavlja materijal u kojem se naprezanja preko viskozne komponente prenose na čvrstu komponentu. Simbolički označen model prikazan na slici 5.16 L = N – ( H || N ) predstavlja serijski spoj Newton-ovog i Kelvinov-og modela (u dijelu literature se naziva Schofield-ov model ili model Scott Blair-a). Tijek deformacije za stalno opterećenje σ0 u trajanju t1 prikazan je na slici 5.17. Ukupna deformacija ε jednaka je zbroju Newton-ove i Kelvinov-e deformacije:

56

E − •t  σ σ  µ2  ε = ⋅ t + ⋅ 1− e  µ1 E   

(5.47)

Slika 5.16

Slika 5.17 Kao i kod drugih modela u kojima prevladava viskozna komponenta i ovdje se prilikom nanašenja određene deformacije te uz njezino zadržavanje ε = ε0 = konst. (slika 5.18), naprezanje pomalo gubi da bi se za t = ∞ asimptotski približavalo nuli prema izrazu:

57

σ =

ε0 E − •t  t 1  µ2  + ⋅ 1− e  µ1 E   

(5.48)

Slika 5.18 5.3.3. Schwedoff-ov model Po svojstvima ovaj model predstavlja tzv. plastičan gel. Pod gelovima se smatraju materijali u kojima prevladava čvrsta faza. Simbolički se može prikazati kao paralelan spoj Saint Venant-ovog i Maxwell-ovog modela, serijski spojen s Hooke-ovim modelom: S = H – [ St.V || ( H-N )]

Slika 5.19 Ispod kritičnog naprezanja (σ < σY) materijal se ponaša elastično, odnos deformacija i naprezanja je linearan (slika 5.19) dok pri kritičnom naprezanju σ = σY počinje viskozna

58 deformacija. Nakon rasterećenja povratni je samo elastični dio deformacije dok viskozna ostaje kao trajna deformacija (slika 5.20).

Slika 5.20 5.3.4. Burgerov model To je kombinacija Maxwell-ovog i Kelvin-ovog modela serijski spojenih: B = M – K = ( H1 – N1 ) - ( H2 || N2 )

Slika 5.21

59 Ukupna deformacija jednaka je zbroju: ε = εM + εK

(5.49)

odnosno E − 2 •t  σ σ σ  µ2  ε = + ⋅t+ ⋅ 1− e  E1 µ 1 E2   

(5.50)

pri čemu se E1 i µ1 odnose na Maxwell-ov, a E2 i µ2 na Kelvin-ov dio modela (slika 5.21). Tijek deformacija pri konstantnom naprezanju σ0 zadržanom kroz vrijeme t1 prikazan je na slici 5.22.

Slika 5.22 Ako se pak deformacija zadržava konstantnom ε0 = konst. kroz vrijeme t1 dolazi do relaksacije tj. postepenog gubljenja naprezanja kao što je prikazano na slici 5.23.

60

Slika 5.23

Reološki modeli za prostorno stanje naprezanja su vrlo složeni, naročito ako veze deformacija i naprezanja nisu linearne. Postoje međutim i neki jednostavniji modeli za prostorno naprezanje kao npr. model Anagnostija koji predlaže vezu sfernih dijelova tenzora naprezanja i deformacija pomoću Kelvin-ovog modela (K = H || N) (slika 5.7), a devijatorskih Maxwell-ovim modelom (M = N – H) (slika 5.9).

61 6.

KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA

Mehanika kontinuuma tlo idealizira različitim matematičkim modelima kojima se nastoji jednostavno i sveobuhvatno opisati ponašanje tla. Propisane veze zavise o fizikalnim svojstvima tla, a ova ne samo o unutrašnjoj strukturi nego i o vanjskim utjecajima. Tako se definiraju idealni materijali koji pod određenim uvjetima manje ili više odražavaju stvarno ponašanje realnih materijala. Osnovna reološka svojstva materijala s kojima se susrećemo u prirodi su: elastičnost, plastičnost i viskoznost (sl. 6.1).

Slika 6.1 Osnovni jednoosni reološki modeli Razvijene su različite teorije koje u mehanici kontinuuma pomoću konstitutivnih jednadžbi opisuju ponašanje pojedinih vrsta materijala ovisno o dominantnom svojstvu. Na osnovu podudarnosti pojedinih svojstava razlikujemo: elastične, elastoplastične, viskoelastične, viskoplastične, elastoviskoplastične materijale. Razlike u ponašanju materijala ogledaju se u ciklusu opterećenje-rasterećenje-ponovno opterećenje. Dok je kod elastičnih materijala veza naprezanja i deformacija jednoznačna (sl. 6.2a) kod elastoplastičnih materijala naprezanja ne ovise samo o veličini deformacija nego i o čitavom procesu deformiranja (sl. 6.2b). Matematički modeli opisani teorijom elastičnosti primjenjivani su prvotno i u idealizaciji tla. Kasnije su razrađeni modeli koji na osnovu teorije plastičnosti sveobuhvatnije opisuju ponašanje tla.

62

Slika 6.2 Dijagrami deformiranja idealiziranih materijala u ciklusu: opterećenje-rasterećenje-opterećenje Konstitutivne jednadžbe izražavaju ovisnost naprezanja o deformacijama, kao i o brzini prirasta deformacija. 6.1.

OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA

Konstitutivna jednadžba elastičnog anizotropnog kontinuuma, kod kojeg svaka od komponenata naprezanja σ ij tenzora σ ij ovisi o svakoj komponenti deformacija ε kl tenzora ε kl i obratno, može se izraziti e σ ij = Dijkl ⋅ ε

kl

(6.1)

ε ij = Cijkl ⋅ σ

kl

(6.2)

odnosno

gdje su Dijkl - tenzor elastičnosti , i Cijkl - tenzor podatljivosti, oba tenzori četvrtog reda. Za elastičan izotropan kontinuum veza polja naprezanja i deformacija definira se pomoću Lameovih koeficijenata λ i µ σ ij = λ ε kk δ ij +2µ ε ij

(6.3)

odnosno recipročno

ε pri čemu je:

ij

=

1 E

[( 1 + ν ) ⋅ σ

ij

− ν ⋅σ

kk

⋅δ

ij

]

(6.4)

63 = e = ∑ ε ii σ kk = I 1σ = ∑ σ

ε

kk

ii

- prva invarijanta deformacija - prva invarijanta naprezanja

a Croneckerov simbol δ ij tenzor za koji vrijedi: i= j

δ =1

i≠ j

δ =0

(6.5)

Komponente tenzora elastičnosti Dijkl za izotropan kontinuum su modul elastičnosti E i Poissonov koeficijent ν . Između E, ν , G modula posmika i K modula volumenske deformacije, koji se u inženjerskoj praksi koriste kao fizikalne konstante kojima se opisuje elastično ponašanje materijala i Lameovih koeficijenata postoje veze, tako da se svaki od koeficijenata dade izraziti pomoću ostalih 2 µ +3λ λ ⋅E Kod rješavanja problema elastičnog uz pretpostavljenu konstitutivnu vezu potrebno E = µkontinuuma λ = µ + λ (1+ ν ) ⋅ (1 2 ν ) je istovremeno zadovoljiti uvjetne jednadžbe: (i) uvjete ravnoteže λ E (ii) uvjete neprekinutosti ν = µ 2 ⋅ ( µ + λ ) µ = 2 ⋅ (1+ ν ) = G (iii) uvjete na konturi i druge. E (6.6) 3 ⋅ravnotežu (1 - 2ν ) za bilo koju točku kontinuuma, izvedene na Osnovne jednadžbe koje opisuju K=

(i) paralelopipedu diferencijalnih veličina d x1 , d x 2 i d x 3 , čije su stranice paralelne s koordinatnim osima, mogu se napisati u obliku σ

ij, j

+ Z i = 0 i, j = 1,2,3

(6.7)

što predstavlja sustav Navier - Cauchyevih diferencijalnih jednadžbi pri čemu σ ij označava normalne i posmične komponente tenzora naprezanja σ ij , a Z i zapreminske sile u smjeru x1 , x2 i x3 . U tekstu je upotrebljena Einsteinova notacija pomoću indeksa, a indeks iza zareza uz osnovnu oznaku predstavlja derivaciju po koordinatama. (ii)

St. Venantove jednadžbe kompatibilnosti deformacija

ε ij,kl + ε kl,ij + ε ik, jl + ε

jl,ik

= 0 i, j,k,l = 1,2,3

(6.8)

povezuju normalne i posmične komponente tenzora deformacija ε ij u tri ravnine. (iii) Ovisno o načinu na koji su zadani uvjeti Φ na plohi Γ , koja predstavlja konturu elastičnog kontinuuma Ω , razlikujemo: fundamentalni problem I vrste, ako su na konturi zadana naprezanja fundamentalan problem II vrste, ako su na konturi zadani pomaci. Rubni uvjeti (sl. 6.3) mogu biti zadani vrijednostima same funkcije Φ (Dirichletov rubni uvjet) na dijelu granične plohe Γ Φ prostora Ω

64

Φ =Φ ( xi ) za xi ∈ Γ Φ

(6.9)

ili derivacijom funkcije Φ ,n (Neumannov rubni uvjet) na dijelu granične plohe Γ q Φ ,n =Φ ,n ( xi ) za xi ∈ Γ q

(6.10)

Očito je da za konturu Γ elastičnog kontinuuma Ω vrijedi Γ =Γ Φ ∪ Γ q

(6.11)

te da je Φ ( xi ) zadani pomak, a Φ ,n ( xi ) zadano naprezanje na konturi Γ .

Slika 6.3 Rubni uvjeti kontinuuma Ovisno o načinu na koji su zadani rubni uvjeti, u rješavanju problema elastičnosti, uzimaju se kao osnovne nepoznate veličine ili naprezanja ili pomaci.

-

Ako su na konturi Γ poznate komponente naprezanja, supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe neprekinutosti i uz derivirane jednadžbe ravnoteže dobivamo Beltrami - Michellove jednadžbe: σ

ij, kk

+

1 σ 1 +ν

kk,ij

+( Z i, j + Z j,i ) +

ν Z k, k = 0 i, j, k = 1,2,3 1-ν

(6.12)

Za prostorne probleme treba postaviti šest uvjeta. Zadatak se pojednostavljuje uvođenjem funkcije naprezanja

65

Φ = Φ ( x 1 , x2 , x3 )

(6.13)

kao osnovne nepoznate funkcije. G. B. Airy prvi je uveo funkciju naprezanja Φ kod rješavanja ravninskih problema. Komponente naprezanja izražene su kao derivacije funkcije naprezanja σ ii = Φ , jj σ ij = -Φ ,ij + Z i ⋅ x j + Z j ⋅ xi

i, j = 1,2,3

(6.14) (6.15)

pa su uvjeti ravnoteže a priori zadovoljeni. Za prostorne probleme mogu se komponente tenzora naprezanja izraziti pomoću dvije funkcije naprezanja, dok je za ravninsko stanje naprezanja ili deformacija dovoljna samo jedna. Ispunjavanje uvjeta neprekinutosti deformacija s tako određenim komponentama naprezanja dovodi nas do Maxwell-ove parcijalne diferencijalne jednadžbe 4 ∆ Φ =0

(6.16)

pri čemu je 2 2 4 ∆ = ∂ ,ii ⋅ ∂ ,ii

dvostruka primjena Laplaceovog diferencijalnog operatora ∆ 2 . U slučaju zadanih pomaka, rješavanje se svodi na određivanje funkcije pomaka

Φ = Φ ( u1 ,u 2 ,u 3 )

(6.17)

koja zadovoljava uvjete na konturi Γ . Supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe ravnoteže dobivamo Lameove jednadžbe µ ⋅ µ i, jj +( λ + µ )e ,i + Z i = 0 i, j = 1,2,3

(6.18)

Funkcija pomaka mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu na promatranom području Ω i mora biti kontinuirana funkcija koordinata kako bi i jednadžbe neprekinutosti bile zadovoljene.

6.1.1. Elastični modeli tla Za anizotropna tla Duncan i Dunlop [1970] predlažu promjenu modula elastičnosti ovisno o kutu β što ga pravac najvećeg glavnog naprezanja zatvara s horizontalom u slijedećem obliku: E = E h - ( E h - E v ) ⋅ sin2 β E h i E v su moduli elastičnosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru.

(6.19)

66

Linearno elastično modeliranje materijala u mnogim inženjerskim problemima nije odgovarajuće za opis stvarnog ponašanja materijala, koje je u osnovi nelinearno. Postoje dvije vrste nelinearnosti: materijalna i geometrijska. Materijalna ili fizička nelinearnost proizlazi iz nelinearnosti veze između naprezanja i deformacija, dok geometrijska nelinearnost obuhvaća nelinearne veze između deformacija i pomaka kao i konačne promjene u geometriji deformiranog kontinuuma. R. L. Kondner [1963] predložio je nelinearan konstitutivan model tla (sl. 6.4) predstavljen jednadžbom hiperbole: σ 1 -σ 3 =

ε1 a +b ε 1

(6.20)

pri čemu je: σ1 - veće glavno naprezanje kod triaksijalnog ispitivanja σ3 - manje glavno naprezanje, bočni pritisak kod triaksijalnog ispitivanja ε1 - uzdužna deformacija a i b - konstante materijala čije se vrijednosti mogu odrediti eksperimentalno.

Slika 6.4 Konderov hiperbolični model tla Konstanta a prema slici 6.4 predstavlja recipročnu vrijednost inicijalnog modula E i , a b recipročnu vrijednost razlike naprezanja ( σ 1 - σ 3 ) za beskonačnu deformaciju. Kako se vidi konstanta b može se izraziti iz eksperimentalne krivulje pomoću koeficijenta loma Rf i razlike naprezanja pri slomu odnosno čvrstoće na pritisak ( σ 1 - σ 3 ) f . Ovisno o vrsti tla koeficijent Rf poprima vrijednost od 0,5 do 1,0. Veza između inicijalnog modula E i i bočnih pritisaka σ izraziti:

3

može se prema N. Janbu [1963]

67

 σ 3 E i = K ⋅ pa    pa 

n

(6.21)

gdje je: pa K n

- atmosferski pritisak - koeficijent modula primarnog opterećenja - eksponent modula

Od posebnog značaja je određivanje vrijednosti tangentnog modula elastičnosti:

Et =

∂ (σ 1 − σ ∂ε 1

3

)

=

1 Ei  1 Rf +   Ei ( σ 1 − σ

)

3 f

 ε 1 

(6.22)

2

Usvajanjem Mohr-Coulombovog uvjeta loma (vidi 6.2.4.) dobiva se: R f ( 1 − sin φ )( σ 1 − σ 3 )   σ 3 Ef = 1−  K ⋅ p a ⋅  2c cos φ + 2σ 3 sin φ   pa  2

  

n

(6.23)

Ponašanje modela u slučaju rasterećenja i ponovnog opterećenja određeno je jedinstvenim modulom E ur prema izrazu:  σ 3  E ur = K ur ⋅ p a   p  a

n

(6.24)

gdje je K ur koeficijent modula rasterećenja i ponovnog opterećenja i uvijek je veći od K . Postoji nekoliko varijanti hiperboličnog modela tla. Na osnovu laboratorijskih triaksijalnih ispitivanja kojima se određuju svojstva, vrši se izbor modela koji uključuju:

(i) (ii) (iii)

6.2.

promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost Poissonovog koeficijenta promjenljive vrijednosti i modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost modula volumenske deformacije. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA

68

Elastično ponašanje materijala može se pretpostaviti samo za djelovanje do nekog određenog ograničenog opterećenja, iznad kojeg nastaju trajne odnosno plastične deformacije. Prvi teoretski radovi o plastičnom ponašanju materijala vezani su za radove Coulomba, Rankina i Trescae. Eksperimentalnim radovima pridružili su se Saint Venant, von Mises, Hencky, Prandlt, Nadai i drugi što je rezultiralo formuliranjem klasične teorije plastičnosti tridesetih godina ovog stoljeća, objavljene u knjizi R. Hilla [1950]. Po njoj osnovna veza između naprezanja i deformacije predstavlja nepovratan proces deformiranja koji je vremenski neovisan i koji nastupa nakon što je dostignut određen nivo naprezanja. Ukupna deformacija na granici popuštanja može se prikazati zbrojem elastične i plastične komponente

ε ijep = ε ije + ε ijp

(6.25)

Analogno elastičnoj konstitutivnoj jednadžbi (6.1)

ε

ij

[ ]

e = D ijkl

−1

⋅σ

kl

(6.26)

može se napisati konstitutivna jednadžba elastoplastičnosti

[ ]

ε

ep ij

ep = D ijkl

ε

p ij

p = D ijkl

−1

⋅σ

kl

(6.27)

⋅σ

kl

(6.28)

i plastičnosti u slijedećem obliku:

[ ]

−1

p pri čemu se tenzorom plastičnosti Dijkl p

ep

e

Dijkl = Dijkl - Dijkl

(6.29)

opisuje inkrement plastične deformacije. Osnovni teoretski izrazi kojima se modelira plastično ponašanje materijala su: kriterij plastičnosti pravilo tečenja pravilo očvršćavanja p Tenzor plastičnosti Dijkl ovisi o kriteriju plastičnosti i pravilima plastičnog popuštanja. 6.2.1. Kriterij plastičnosti Plastično ponašanje materijala može se opisati skalarnom funkcijom plastičnosti

69

F(σ ij ,ε ij ,k) = f( σ ij ,ε ij ) - Y(k)

(6.30)

pri čemu uvjet plastičnosti f ovisi o tenzorskim komponentama naprezanja i deformacija, a naprezanje tečenja Y o parametru očvršćavanja (omekšavanja) k, koji uključuje prethodna stanja naprezanja i deformacija.

Slika 6.5 Ploha popuštanja u prostoru glavnih naprezanja Za elastično stanje funkcija plastičnosti F(σ ij ,ε ij ,k) manja je od nule. Uvjet plastičnosti (sl. 6.5) kojim se definira granica između elastičnog i plastičnog ponašanja materijala odnosno ono naprezanje iznad kojeg nastupaju plastične deformacije glasi: f( σ ij ,ε ij ) - Y(k) = 0

(6.31)

Za izotropan idealno plastičan materijal, kriterij plastičnosti koji ovisi samo o komponentama naprezanja može se prikazati u obliku: f( σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ) = 0

(6.32)

pri čemu su σ 1 ,σ 2 iσ 3 glavna naprezanja. Površina popuštanja f definirana jednadžbom (6.32) u koordinatnom sustavu 0 σ 1 σ 2 σ 3 predstavlja simetrično tijelo obzirom na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 , jer je eksperimentalno dokazano da popuštanje izotropnih materijala ne ovisi o hidrostatskom pritisku odnosno rastezanju. U devijatorskoj ravnini koja je okomita na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 i prolazi ishodištem, leži krivulja tečenja - presječnica površine popuštanja i devijatorske ravnine. Dvije moguće krivulje u devijatorskoj ravnini 0 s1 s2 s3 su šesterokut odnosno kružnica. Osi s1 ,s2 , s3 su projekcije glavnih

70 naprezanja σ 1 ,σ 2 ,σ 3 na devijatorsku ravninu i predstavljaju glavne vrijednosti devijatorskog dijela tenzora naprezanja sij .

Slika 6.6 Prikaz principa ortogonalnosti kod pravila tečenja

6.2.2. Pravilo tečenja Pravila tečenja opisuju vezu između inkrementalnih prirasta naprezanja i inkrementalnih prirasta plastičnih deformacija. Plastična deformacija proporcionalna je gradijentu naprezanja plastičnog potencijala Q prema izrazu:

71

d ε ijp = dλ ⋅

∂Q ∂ σ ij

(6.33)

pri čemu je koeficijent plastičnosti dλ uvijek pozitivan. Ukoliko je inkrement plastične deformacije u smjeru vanjske normale (princip ortogonalnosti) radi se o pridruženom pravilu tečenja Q ≡ F (sl 6.6). Podudarnost plohe popuštanja i plastičnog potencijala vrijedi za tzv. stabilne materijale za koje je prema Druckerovom postulatu ploha tečenja konveksna i vektor prirasta plastičnih deformacije u regularnoj točki površine tečenja ima smjer vanjske normale čime se osigurava jedinstvenost rješenja problema rubnih uvjeta. Nepridruženo pravilo tečenja javlja se u slučaju kada je Q ≠ F čime se opisuju omekšavajuća ponašanja nestabilnih materijala. 6.2.3. Pravilo očvršćavanja Pravila očvršćavanja predstavljaju kriterije za nastavak tečenja nakon što je dostignuta granica popuštanja. Iz uvjeta plastičnosti F( σ ij ,ε ijp , k) = f( σ ij ,ε ijp ) - Y(k) = 0

(6.34)

da točka u prostoru glavnih naprezanja ne može ležati izvan plohe popuštanja proizlazi da s porastom naprezanja ploha popuštanja mijenja svoj oblik i veličinu. Razlikujemo: (i) izotropno pravilo očvršćavanja (ii) kinematičko pravilo očvršćavanja. (i) Izotropno pravilo očvršćavanja pretpostavlja da se ploha popuštanja širi jednoliko iz središta prostora naprezanja (sl. 6.7a). Postoje dva osnovna načina povezivanja kritičnog naprezanja Y(k) s razvojem plastičnih deformacija: a) radno očvršćavanje kod kojeg je parametar očvršćivanja k jednak ukupnom plastičnom radu b) deformaciono očvršćavanje kod kojeg kritično naprezanje Y ovisi o efektivnoj plastičnoj deformaciji. Istraživanja se provode u smjeru objedinjavanja oba navedena načina.

(ii) Kinematičko pravilo očvrščavanja pretpostavlja translaciju plohe popuštanja uz zadržavanje prvobitnog oblika (sl. 6.7b). Složenija pravila očvršćavanja pretpostavljaju mogućnost postojanja kombiniranog očvršćavanja, izotropnog i kinematičkog.

72

Slika 6.7 Pravila očvršćavanja

6.2.4. Kriterij loma Kriterijem plastičnosti opisuje se posjedovanje mogućnosti plastičnog deformiranja materijala. Stanje naprezanja u materijalu pri kojem deformacije postaju neograničene predstavlja stanje loma i opisuje se kriterijima loma.

73

Najčešće primjenjivani kriteriji loma izraženi pomoću glavnih naprezanja σ 1 ,σ (i) Von Misesov (ii) Trescin (iii) Mohr - Coulombov (iv) Drucker - Pragerov

2

iσ

3

su:

6.2.4.1 Von Misesov kriterij loma Do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada distorzijska energija U dist =

[

1+ ν (σ 1 − σ 6E

2

) 2 + (σ

−σ

2

3

) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ]

(6.35)

dostigne kritičnu vrijednost. U slučaju jednoosnog naprezanja (σ 1 = σ Y ; σ 2 = σ 3 =0) kritična vrijednost distorzijske energije bit će jednaka Udist =

1+ν σ 3E

2 Y

(6.36)

Izjednačavanjem jednadžbi (6.35) i (6.36) dobiva se: ( σ 1 - σ 2 )2 +( σ 2 - σ 3 )2 +( σ 3 - σ 1 )2 = 2 σ

2 Y

(6.37)

Plohu popuštanja predstavlja kružni valjak koji je okomit na devijatorsku ravninu a presjek s istom daje kružnicu kao krivulju plastičnog tečenja (sl. 6.8). 6.2.4.2 Trescin kriterij loma Prema ovome kriteriju do plastičnog popuštanja materijala doći će onda kada maksimalno tangencijalno naprezanje dostigne kritičnu vrijednost (sl. 6.8). Matematički se to može formulirati kao max{ |σ 1 - σ 2 |,|σ 2 - σ 3 |,|σ 3 - σ 1 |} = σ Y

U skladu s konvencijom da je σ 1 > σ 2 > σ

3

(6.38)

ovaj se kriterij može napisati u obliku

σ 1 - σ 3 =σ

Y

(6.39)

74

Slika 6.8 Ploha popuštanja po von Misesu i Tresci Eksperimentalnim istraživanjima Tresca je dokazao da je u stanju plastičnog popuštanja materijala maksimalno tangencijalno naprezanje konstantno u svim točkama i jednako granici popuštanja materijala pri čistom smicanju. Navedeni kriteriji dobro opisuju ponašanje metala i njihovih legura. Nedostatak spomenutih kriterija je u pretpostavci da srednje normalno naprezanje σ 2 nema utjecaja na pojavu plastičnih deformacija u materijalu, što ne vrijedi prvenstveno za stijene i tla. 6.2.4.3 Mohr - Coulombov kriterij loma Po ovom kriteriju, slično kao u prethodnom, do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada maksimalno posmično naprezanje prekorači kritičnu vrijednost i glasi τ = c +σ n ⋅ tanϕ

(6.40)

pri čemu je: τ posmično naprezanje σn normalno naprezanje c kohezija ϕ kut unutrašnjeg trenja Izraz (6.40) predstavlja tangentu na najveću Mohrovu kružnicu za troosno stanje naprezanja kako je prikazano na slici 6.9. Uzevši u obzir da je σ 1 > σ 2 > σ 3 može se izraz (6.40) napisati u obliku:

75

 σ +σ 3 σ 1 -σ 3 σ 1 -σ 3 ⋅ cosϕ = c +  1 ⋅ sin ϕ  2 2 2

  ⋅ tanϕ 

(6.41)

ili nakon sređivanja σ 1 +σ 3 σ 1 -σ 3 ⋅ sin ϕ = c ⋅ cosϕ 2 2

(6.42)

Slika 6.9 Prikaz Mohr-Coulombovog uvjeta plastičnosti pomoću Mohrove kružnice Dok je kod Trescinog kriterija maksimalno tangencijalno naprezanje mjerodavno za nastanak tečenja, konstantno i predstavljeno polumjerom najveće Mohrove kružnice ( σ 1 - σ 3 ) / 2 , dotle se po Mohrovom kriteriju taj isti polumjer mijenja i funkcija je koordinata središta najveće Mohrove kružnice. Uvjet plastičnog tečenja (6.42) predstavlja u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 0 σ 1 σ 2 σ 3 nepravilnu šesterostranu piramidu kojoj je pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 os. Presjek ove piramide ravninom okomitom na hidrostatsku os daje u devijatorskoj ravnini nepravilan šesterokut (sl. 6.10). 6.2.4.4 Drucker-Pragerov kriterij loma Drucker-Pragerov kriterij tečenja predstavlja aproksimaciju Mohr-Coulombova kriterija tečenja odnosno modifikaciju von Misesovog. Utjecaj sfernog tenzora naprezanja na pojavu popuštanja u materijalu uzet je u obzir uključivanjem dodatnog člana u von Misesov kriterij tečenja i glasi

α ⋅ ( σ 1 + σ 2 + σ 3 )+

1 ( σ 1 - σ 2 )2 +( σ 2 - σ 3 )2 +( σ 3 - σ 1 )2 = k ′ 6

(6.43)

76

Slika 6.10 Ploha popuštanja po Mohr-Coulombu i Drucker-Prageru

Parametri α i k' određuju se pomoću Mohr - Coulombovih parametara čvrstoće c i ϕ . Izraz (6.43) predstavlja uspravni stožac u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 0 σ 1 σ 2 σ 3 . Ukoliko Drucker-Pragerov stožac dodiruje bridove Mohr-Coulombove šesterostrane piramide izvana, tada parametri α i k' poprimaju slijedeće vrijednosti: α =

2 sin ϕ 3 ⋅ (3 - sin ϕ )

;k ′ =

6c cosϕ 3 ⋅ (3 - sin ϕ )

dok u slučaju da stožac dodiruje plašt piramide iznutra parametri α =

2 sin ϕ 3 ⋅ (3 + sin ϕ )

;k ′ =

α

(6.44)

i k' iznose

6c cosϕ 3 ⋅ (3 + sin ϕ )

(6.45)

Kao odgovarajući za opis loma tla koriste se Mohr-Coulombov i Drucker-Pragerov kriterij. Osim navedenih potrebno je spomenuti Lade-Duncanov i Hoek-Brownov kriterij loma. 6.2.4.5 Lade-Duncanov kriterij loma Za nekoherentno tlo Lade-Duncan [1975] definirali su plohu popuštanja jednadžbom: 3 I 1σ - k ϕ ⋅ I 3 σ = 0

gdje su I 1σ i I 3σ prva i treća invarijanta tenzora naprezanja σ ij .

(6.46)

77 Konstanta oblika k ϕ funkcija je kuta unutrašnjeg trenja ϕ i određuje oblik plohe popuštanja. U prostoru glavnih naprezanja površina popuštanja ima oblik stošca, kojemu je os hidrostatički pravac (sl. 6.11). Presjek stošca ovisi o vrijednosti konstante k ϕ , koja se određuje eksperimentalno.

Slika 6.11 Ploha popuštanja po Lade-Duncanu 6.2.4.6 Hoek-Brownov kriterij loma Hoek-Brown [1982] predložili su kriterij loma za stijenski masiv (sl. 6.12) oblika: σ 1 = σ 3 + mσ c σ 3 + s σ

pri čemu su: σ1 i σ 3 σc mis -

2 c

(6.47)

veće odnosno manje tlačno glavno naprezanje jednoaksijalna tlačna čvrstoća stijene bezdimenzionalne konstante masiva kojima se definira kompaktnost stijenskog masiva

Razmatranjem jednoaksijalnog tlačnog odnosno vlačnog naprezanja konstante imaju fizikalno značenje i mogu se odrediti eksperimentalno. Za jednoaksijalni tlak kada je σ 3 = 0 uz vrijednost s = 1 glavno tlačno naprezanje izjednačava se s jednoaksijalnom tlačnom čvrstoćom stijene ( σ 1 = σ c ) . Iz toga slijedi da je za stijenski masiv bez pukotina s = 1 . Slično se za slučaj jednoaksijalnog vlaka kada je σ 1 = 0 a σ 3 = σ t može odrediti vrijednost koeficijenta m. Ovisno o raspucalosti stijenskog masiva konstante se kreću u slijedećim relacijama: 0,05 ≤ s ≤ 0,90

5 ≤ m ≤ 20

(6.48) (6.49)

78

Slika 6.12 Hoek-Brownov kriterij loma Primjena ovog kriterija omogućava uočavanje područja u kojima dolazi do vlačnog loma odnosno klizanja. 6.2.5. Elastoplastični modeli tla Cam-clay model zadovoljava navedene kriterije i pravila plastičnosti te se uz izbor odgovarajućih parametara upotrebljava za opis ponašanja različitih vrsta tla. Originalni Cam-clay model (sl. 6.13) definira: (i) Ploha popuštanja izražena jednadžbom: q = M ⋅ p ′ ⋅ ln

(ii)

pc ′ p′

Pridruženo pravilo tečenja p ′ ⋅ d ε vp + q ⋅ d ε p = M ⋅ p ′ ⋅ d ε

(iii)

(6.50)

p

(6.51)

Izotropno pravilo očvršćivanja određeno parametrom pc′ koji ujedno definira plohu popuštanja

pri čemu je: q = σ 1 -σ

3

- devijator naprezanja

79 p′ = σ

d ε vp

dε M

p

1′

+σ 2′ +σ 3

3′

- efektivno hidrostatsko naprezanje

- inkrement volumenske plastične deformacije - inkrement posmične plastične deformacije - konstanta materijala kojom se definira linija kritičnog stanja

Slika 6.13 Ploha popuštanja za originalni Cam-clay model tla Vrijednost konstante ovisi o kutu unutrašnjeg trenja prema izrazu: M=

6 sin ϕ ′ 3 - sin ϕ ′

(6.52)

1 + e d p c′ λ - κ p′

(6.53)

Prirast volumenske plastične deformacije je: d ε vp =

pri čemu je e koeficijent pora, λ volumenski modul stišljivosti, a κ modul povratne deformacije. Na osnovu originalnog modela pretpostavljen je čitav niz sličnih. Osnovna razlika između originalnog Cam-clay modela i modificiranog modela (sl. 6.14) je u obliku plohe popuštanja. Modificirani Cam-clay model definiran je eliptičnom površinom popuštanja 2 2 q + M 2 ⋅ p′ = M 2 ⋅ p′ ⋅ pc′

(6.54)

80 i pridruženim pravilom tečenja oblika d ε vp dε

p

2

=

2 M p′ - q 2p′ q

2

(6.55)

Slika 6.14 Ploha popuštanja za modificirani Cam-clay model tla

All-Tabba [1990] pretpostavlja model s dvije plohe popuštanja (sl. 6.15) unutar veće površine popuštanja pretpostavlja manju površinu popuštanja (gnijezdo).

Slika 6.15 Modificirani Cam-clay model tla s dvije plohe popuštanja Noviji modeli zahtijevaju više parametara za definiranje ponašanja modela, složeniji su od Camclay modela, ali bolje opisuju anizotropno popuštanje materijala.

81 6.3.

OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA

Vremenski neovisne konstitutivne jednadžbe ne mogu na zadovoljavajući način simulirati ponašanje realnih materijala kojima svojstva ovise o vremenu. Samo u nekim uvjetima plastične deformacije mogu biti vremenski neovisne ali općenito su ovisne. Osim pojave plastičnosti uzrok materijalne nelinearnosti vezan je uz fenomen tečenja materijala, preraspodjela naprezanja odnosno deformacija tokom vremena. Početak promatranja ponašanja materijala kao jedinstvenog modela kombinirajući efekte plastičnosti i tečenja vezan je uz radove Binghama, Henckya i Pragera. Osnove teorije elastovisko-plastičnosti postavio je Perzyna [1960]. Model prikazan na sl. 6.16 (jednoosni problem) reagira trenutno elastično, pri čemu viskoplastičan element ostaje neaktivan sve dok je σ < σ Y .

Slika 6.16 Jednoosni reološki elastoviskoplastični model Viskoplastično ponašanje javlja se nakon pojave popuštanja. Prirast naprezanja uzrokuje pojavu prirasta viskoplastičnih deformacija. Kod viskoplastičnog modela s odloženom plastičnosti ne dozvoljava se znatniji plastični tok. U elastoviskoplastičnom modelu ukupna deformacija na granici popuštanja sastoji se od elastične i viskoplastične komponente

ε ij = ε ije + ε ijvp

(6.56)

82 Analogno inkrement elastoviskoplastične deformacije možemo izraziti:

ε ij = ε ije + ε ijvp

(6.57)

Elastične deformacije mogu se izraziti slijedećim oblikom

ε ije =

sij 2G

+

1 - 2ν δ ij σ E

m

(6.58)

gdje je sij = σ ij - δ ij σ m devijatorski dio tenzora deformacija, σ m = σ kk / 3 hidrostatsko naprezanje, δ ij Croneckerov simbol prema izrazu 6.5, a G, ν i E konstante materijala. Prirast elastičnih deformacija može se napisati u obliku

ε ije =

s ij 1 - 2ν + σ m δ 2G E

ij

(6.59)

Prirast viskoplastičnih deformacija funkcija je trenutnog stanja naprezanja, a prema P. Perzynu definira se u sličnom obliku pravilom tečenja kao kod elastoplastične teorije

ε ijvp = γ v < Φ (F) >

∂Q ; za F > 0; Φ (F) ≠ 0 ∂ σ ij

(6.60)

za F ≤ 0; Φ (F) = 0

(6.61)

odnosno

ε ijvp = 0 γ

v

F Q Φ (F)

-

koeficijent plastične viskoznosti, eksperimentalno određen parametar koji kontrolira brzinu viskoplastičnog toka skalarna funkcija plastičnosti funkcija plastičnog potencijala pozitivna monotono rastuća funkcija plastičnog toka

Funkcija plastičnosti je oblika F = F ( σ ij ,ε

vp ij ) -

F 0 (k) = 0

(6.62)

pri čemu su ε ijvp viskoplastične deformacije, k parametar očvršćavanja a F 0 jednoosno kritično naprezanje. Elastično stanje je u slučaju da je F <0 . Ploha popuštanja ovisi o trenutnom stanju naprezanja i mijenja se promjenom viskoplastičnih deformacija. Kod opisa elastoviskoplastičnog modela potrebno je definirati funkciju plastičnosti F, funkciju plastičnog potencijala Q i funkciju plastičnog toka Φ (F) . U slučaju pridruženog pravila tečenja Q ≡ F , pri čemu je funkcija plastičnosti dana gore navedenim izrazom (6.62).

83

Prirast viskoplastičnih deformacija uz pretpostavku pridružene viskoplastičnosti u vektorskom obliku glasi: ∂F = γ v < Φ (F)a ε~ ijvp = γ v < Φ (F) > ∂σ

(6.63)

Vektor tečenja a predstavlja derivaciju funkcije plastičnosti F po vektoru naprezanja σ . P. Perzyna [1966], D. Owen i E. Hinton [1980] predlažu dva oblika funkcije plastičnog toka:  F -F0   F0 

Φ (F) = e M 

-1

 F - F0  Φ (F) =    F0 

N

(6.64)

(6.65)

gdje su M i N konstante, tako odabrane da što bolje simuliraju eksperimentom utvrđeno ponašanje materijala. Na osnovu Perzynove teorije elastoviskoplastičnosti H. Sekiguchi [1985] polazeći od Cam-clay modela predlaže slijedeće izraze za: – funkciju plastičnosti q p′ ln M ⋅ p ′ pc ′

(6.66)

Φ (F) = c0 ⋅ em′ F

(6.67)

F=

- i funkciju plastičnog toka

Parametri c0 i m′ odnose se na viskoplastičnost. Površina popuštanja F kod stacionarne viskoplastičnosti ovisi o trenutnom stanju naprezanja i mijenja se samo promjenom plastičnih deformacija. Olszak-Perzynova teorija elastoviskoplastičnosti pretpostavlja nestacionarnu viskoplastičnost što znači da može doći do promjene plohe popuštanja bez promjena plastičnih deformacija.

84 LITERATURA Al Tabbaa A. (1990): Permeability and stress-strain response of speswhite kaolin, Ph. D. Thesis, University of Cambridge. Bland, D.R. (1960): The theory of linear viscoelasticity, Pergamon Press, Oxford. Drucker, D.C. and Prager, W. (1952): Soil mechanics and plastic analysis or limit design, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,Vol. 10, No. 2, 157-165. Duncan, J.M. and Chang, C.Y. (1970): Nonlinear analysis of stress and strain in soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, No.SM 5, 495-498. Findlay, W.N., Lai, J.S. and Onaran, K. (1976): Crep and relaxation of nonlinear viscoelastic materijals, North Holland Publishing-Co. Hill, R. (1950): The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press, Oxford. Hinton, E. Owen, D.R. (1977): Finite element programing, London Academic Press, London. Hoek, E. and Brown, E.T. (1982): Underground excavation in rock. Institution of mining and metalurgy, London. Hudec, M.: Odabrana poglavlja iz mehanike kontinuuma, bilješke Konder, R.L. (1963): Hyperbolic stress-strain response; Cohesive soils, J. Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 89, No. SM 1. Konder, R.L. and Zelasko, J.S. (1963): A hyperbolic stress-strain formulation for sands, Proc. 2nd Panam. CSMFE, Brasil. Kostrenčić, Z.: Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb 1982. Kovačić, D. (1977): Nelinearni modeli tla, Građevinar, Vol. 29. No. 3, Zagreb. Lade, V.P. and Duncan, M.J. (1975): Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil, J. Geotechn. Engin. Div., Vol. 101 No. 10. Mohr, O. (1900): Welche Umsaende bedingen die Elastizitaetsgrenze und den Bruch eines Materials, ZS. d. Vereins Deutscher Ingenieure, Vol. 44, 1524-1572. Naylor, D.J., Pande, G.N., Simpson, B. and Tabb, R. (1981): Finite elements in geotechnical engineering, Pineridge Press, Swanse. Olszak, W. and Perzyna, P. (1970): Stationary and non-stationary viscoplasticity; Inelastic behavioutr of solis, McGraw-Hill Book Co.

85 Perzyna, P. (1960): The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Arch. Mech. Stos., Vol. 15, 113-130. Perzyna, P. (1966): Fundamental problems in viscoplasticity. Recent Advances in Applied Mechanics, Academic Press, Vol. 9, 243-377, New York. Šuklje, L. (1969): Rheological aspects of soil mechanics, John Wiley, London. Zienkiewicz, O.C., Valliappan S. and King, I.P. (1969): Elastic-plastic solution of enginnering problems; Initial stress. Finite element approach, Inter. J. Numerical method in Engineering, Vol. 1, 75-100.