Memorator Matematica

CUPRINS ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã ………………………………………………. II. Mulţimi ………………………………………………………………………. III. Relaţii binare ………………………………………………………………... IV. Funcţii ………………………………………………………………………. V. Operaţii cu numere reale …………………………………………………….. VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi …………………………………………... VII. Numere complexe ………………………………………………………….. VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea ……………………………………... IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V ……………………………………... X. Logaritmi …………………………………………………………………….. XI. Metoda inducţiei matematice ……………………………………………….. XII. Analizã combinatorie ………………………………………………………. XIII. Progresii …………………………………………………………………... XIV. Polinoame …………………………………………………………………. XV. Permutãri, matrici, determinanţi …………………………………………… XVI. Sisteme lineare ……………………………………………………………. XVII. Structuri algebrice ………………………………………………………...

3 6 9 11 12 14 16 18 24 24 26 27 29 30 32 35 36

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE I. Triunghiul …………………………………………………………………….. II. Poligoane convexe …………………………………………………………… III. Relaţii metrice în triunghi …………………………………………………... IV. Patrulatere …………………………………………………………………... V. Poligoane înscrise în cerc ……………………………………………………. VI. Cercul ……………………………………………………………………….. VII. Complemente de geometrie planã …………………………………………. VIII. Poliedre ……………………………………………………………………. IX. Corpuri rotunde ……………………………………………………………... X. Funcţii trigonometrice ……………………………………………………….. XI. Formule trigonometrice …………………………………………………….. XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice ……………………………………….. XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple ………………………………… XIV. Elemete de geometrie analiticã ……………………………………………

1

39 40 40 42 43 43 44 45 49 50 51 53 54 55

ANLIZÃ MATEMATICÃ I. Siruri ………………………………………………………………………….. II. Limite de funcţii ……………………………………………………………... III. Funcţii derivabile …………………………………………………………… IV. Asimptote …………………………………………………………………… V. Primitive ……………………………………………………………………... VI. Integrale definite …………………………………………………………….

2

59 61 64 67 68 70

ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noţiunea de propoziţie Definiţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziţie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii. Dacã o propoziţie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logici Negaţia Definiţia I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p,  p, p . Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p). p non p 1 0 0 1

Conjuncţia Definiţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p ∧ q

3

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

∧

p q 1 0 0 0

Disjuncţia Definiţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p ∨ q Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

∨

p q 1 1 1 0

Implicaţia Definiţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia. Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

non p (non p)∨q 0 1 0 0 1 1 1 1

4

Echivalenţa logicã Definiţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic, dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨p; (p→q) şi (q→p); p↔q; se citeşte: “p echivalent cu q” sau “p dacã şi numai dacã q”, “p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”. Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

non p non q 0 0 0 1 1 0 1 1

p→q q→p (p→q)∧ (q→p) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

I.3. Expresii în calculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…). Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α, obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective. Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… se numeşte tautologie. Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.

I.4. Noţiunea de predicat Definiţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date. Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

5

I.5. Cuantificatori Definiţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel puţin) un element x’∈M, astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x), (∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”. Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x). Simbolul ∀ se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor: 1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y); 2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y); Reguli de negare: 1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x)); 2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x)); 3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y)); 4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.

I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem: non(non p) ≡ p; (p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjuncţiei); ((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); (p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjuncţiei); ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei); non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan; non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q) (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia

II. Mulţimi

6

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}). Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,… Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã a∈A şi se citeşte “a aparţine lui A”. Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A) Proprietãţile egalitãţii: 1. ∀ A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria); 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:

1. 2. 3. 4.

(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B) Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B. Proprietãţile incluziunii: ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea); (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria); (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea); ∀ A, ∅ ⊂ A Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5.

A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B} Proprietãţile reuniunii: ∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea); ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa); ∀ A: A ∪ ∅ = A; ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

7

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B} Proprietãţile intersecţiei: ∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea); ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa); ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã de reuniune); ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de intersecţie); ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A \ B = {xx∈A ∧ x∉B} Proprietãţile diferenţei: ∀ A: A \ A = ∅; ∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C); ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B); ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C; ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5.

A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) Proprietãţile diferenţei simetrice: ∀ A: A ∆ A = ∅; ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea); ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A; ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea); ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C); 8

6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: (A fiind o parte a lui E, adicã A⊂E) CEA = {xx∈E ∧ x∉A} Proprietãţi: (∀A, B⊂E) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii); 2. CEA = E \ A; 3. CE∅ = E; 4. CEE = ∅; 5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului); 6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei); 7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA; 8. A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB.

II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B} Proprietãţile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem): 1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B; 2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C); 3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C); 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D) Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B. Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈N, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}. Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R. Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale. Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã. Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E 9

este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu n∈N, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero). Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A ∪ B = A + B -A ∩ B  Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Relaţii binare Relaţia binarã pe o mulţime Definiţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈M este relaţia R cu y∈M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M. Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime: 1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa. 2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb implicã bRa. 3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb implicã bRc implicã aRc. Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y)xRy}. Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã. Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea Ca = {x ∈M xRa}. Douã clase de echivalenţã Ca şi Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte. Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã. 10

Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “<” sau “≤” De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q şi R este o relaţie de ordine. Definiţia III.7. Fie M o mulţime nevidã şi “ ≤ ” o relaţie de ordin pe M. Aceastã relaţie de ordin se numeşte relaţie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈M avem sau a
IV. Funcţii IV.1. Noţiunea de funcţie Definiţia IV.1.1. Fie A şi B douã mulţimi. Prin funcţie definitã pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈A i se asociazã un unic element, notat f(a), din B. Mulţimea A se numeşte domeniu de definiţie, iar mulţimea B se numeşte codomeniu de definiţie sau domeniul valorilor funcţiei. Definiţia IV.1.2. Fie f:A→B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), a∈A. deci Gf = {(a, f(a) a∈A} Definiţia IV.1.3. Se numeşte funcţie numericã o funcţie f:A→B, pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimilor numerelor reale (deci A, B⊂R).

11

IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective Definiţia IV.2.1. Fie f:A→B o funcţie. Spunem cã f este o funcţie injectivã, dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A, x≠y, avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4. Definiţia IV.2.2. O funcţie f:A→B este o funcţie surjectivã, dacã pentru orice b∈B existã cel puţin un element a∈A, astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→B nu este surjectivã dacã ∃ b∈B avem f(a) ≠ b(∀)a∈A. De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã. Definiţia IV.2.3. O funcţie f:A→B care este simultan injectivã şi surjectivã se numeşte funcţie bijectivã. De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea funcţiilor Definiţia IV.3.1. Fie funcţiile f:A→B şi f:B→C (domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f). Fie a∈A, atunci f(a)∈B, deci existã imaginea sa prin g, adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o funcţie h:A→C unde h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈A. Funcţia h astfel definitã se noteazã g◦f (sau gf) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f. Observaţii: 1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C. 2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcţii, are sens g◦f:A→A şi f◦g:B→B. în general f◦g ≠ g◦f. Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcţii. Atunci fiecare din funcţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Funcţia inversã Definiţia IV.4.1. Fie A o mulţime oarecare. Notãm cu 1A:A→A funcţia definitã astfel: 1A(a) = a pentru ∀a∈A. 1A se numeşte funcţia identicã a mulţimii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci: 1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A→B avem f◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C→A avem 1A◦g = g Definiţia IV.4.2. O funcţie f:A→B se numeşte inversabilã dacã existã o funcţie g:B→A astfel încât g◦f = 1A şi f◦g = 1B. Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã. 12

V. Operaţii cu numere reale V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(+a)n = +an (-a)2n = +a2n (-a)2n+1 = -a2n+1 am⋅an = am+n am:an = am-n, a ≠ 0 am⋅bm=(a⋅b)m m

m

7. a :b =

a    b

m

, b ≠ 0;

m

 1 8. m =   = a − m , a ≠ 0; a a 9.(am)n = amn = (an)m; 10. a0 = 1, a ≠ 0; 11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N. Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale. 1

V.2. Identitãţi fundamentale Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem: 1. a – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2; 2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2; 3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt) 2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx + + dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2; 4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2); 6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz); 7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x); 8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2); 9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10.a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11.a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5; 13.a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14.an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1); 15.a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 2

13

16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n); 17.(1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprietãţi 1

1.

m

a = am ,a rel="nofollow"> 0;

2.

m

− 1 1 = m = a m ,a > 0 ; a a

1

3. 4.

( a)

m

m

m

m

= a, a ≥ 0 ;

a ⋅ b = m ab , a, b ≥ 0 ; m

5.

 1 1 m  = , a > 0 ;  a a  

6.

m

a ⋅ m b ⋅ m c = m abc , a, b, c, ≥ 0 ;

7.

m

a :mb =m

a , a ≥ 0, b > 0 ; b

8. m a ⋅ n a = m +n a m +n , a ≥ 0 ; 9. m a : n a = m+n a m −n , a > 0 ; 10. a = a , a ≥ 0 ; nm

n

m

11. m a n = ( m a ) n = a m , a ≥ 0 ; 12. mn a mp = n a p , a > 0 ; 13. m a p ⋅ n b q = mn a pn ⋅ b qm , a, b ≥ 0 ; n

14. m n a = mn a = n m a , a ≥ 0 ; 15. m a p : n b q = mn a pn : b qm , a ≥ 0, b > 0 ; 16. a 2 = a , a ∈ R; 17. 2 n +1 − a

1

= −a 2 n +1 = −2 n +1 a , a ≥ 0 ;

18. (2 n +1 − a ) 19. a + b =

2 n +1

20.

= −a, a ≥ 0 ; a +b + 2 ab , a, b ≥ 0

A+C ± 2

A± B =

A−C 2

;

, dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui 3

a + ab + b 2

3

3

a± b

este

a+ b

iar pentru

2

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ax + b = 0, a,b,x∈R Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã 14

3

a ±3 b

este

1. a ≠ 0, x =

−

b a

b

(soluţie unicã). S = { − a }.

2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R. Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0 x -∞

−

b a

+∞ f(X)

semn contrar lui a 0 semnul lui a Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y A(0,b)

x b

B( − a ,0)

VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã: b

1. a > 0, S =( − a , + ∞); b

2. a < 0, S = (-∞, − a ); 3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = ∅. Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã: b

1. a > 0, S = (+∞, − a ] b

2. a < 0, S = [ − a ,+∞) 3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = ∅. Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).

VI.3. Modului unui numãr real

15

 − x, daca x < 0  x =  0, daca x = 0  x, daca x > 0  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem: x =0 ⇔ x = 0 ; −x = x ; x = y ⇔ x = y sau x = − y ; x =a ⇔ R; − x ≤x ≤ x ; x +y ≤ x + y ;

− a = x = a, a ∈

x −y ≤ x + y x − y ≤ x −y

;

x − y ≤ x +y ≤ x + y

xy = x ⋅ y

;

;

x x = , y ≠0 . y y

Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul: 1. x −a =b , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor) b S b<0 ∅ b=0 a b >0 {a – b; a + b} x − a > b 2. b S b<0 R b=0 R\{a} b >0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞} x − a < b 3. b S b<0 ∅ b=0 ∅ b >0 {a – b; a + b}

VII. Numere complexe

16

Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b)a,b∈R}, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: ∀z=(a,b), ∀z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: ∀z=(a,b), ∀z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib. Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex  −1 a + bi nenul admite un invers  ( a + bi ) = 

adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.

a b  − 2 i 2 2  ; este distributivã faţã de a +b a +b  2

Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = a + ib = z . Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C. 1. z + z = 2a; 2. z - z = 2bi; 3. z ± z ' = z ± z ' ; 4. zz ' = z ⋅ z ' ; 5. zz ' = a + b = (a + bi )(a − bi) ; 2

6. 7. 8.

2

z z' z = ; z' zz n z n =(z ) ;

 z'  z'  = . z  z

VII.2. Modulul unui numãr complex ∀ z∈C z = zz

sau

z = a2 +b2

Avem apoi: 1. 2.

z =z

z +z ' ≤ z + z '

; 17

3. 4.

z − z ' ≤ z +z ' ≤ z + z ' zz ' =z z '

;

;

z' z' = , z ≠0 . z z

5.

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice rcos u = a şi rsin u = b. De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci z = 2 , u =

5π 4

şi z = 2 (cos

5π 5π + i sin ). 4 4

VII.4. Formula lui Moivre ∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinţele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + …; sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + …; C n1tgu − C n2 tg 3u + C n5tg 5u − ... tg nu = . 1 − C n2 tg 2 u + C n4 tg 4 u − ...

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u)

( ) n

u + 2kπ u + 2kπ   z k = r cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n  2kπ 2kπ 1 k = cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n (2k + 1)π (2k + 1)π − 1 k = cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n 1 n

( ) n

(

n

)

Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie: ( n 1) k = ε k şi ( n − 1) k = ω k  a + ib = ±  

a 2 + b2 + a b +i 2 b

a 2 + b 2 − a   2 

VII.6. Ecuaţia binomã

xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ) xk = A1/nωk, k = 0, n −1 , A∈R, A < 0; xk = A1/nεk, k = 0, n −1 , A∈R, A > 0; 18

xk =

n

ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ   p  cos + i sin , n n  

k = 0, n −1 , A∈C\R

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0 1. Formule de rezolvare: ∆ > 0 −b + ∆ −b − ∆ , x2 = , ∆ = b2 – 4ac; sau 2a 2a − b'+ ∆' − b'− ∆' x1 = , x2 = , b = 2b’, ∆’ = b’2 a a

x1 =

– ac.

2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II-lea: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x14 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x12x22= S4 – 4S2P + 2P2 3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2. ∆ ∆<0

P -

S -

Natura şi semnul rãdãcinilor

∆=0

-

-

Rãdãcini reale şi egale

∆>0

P>0 P>0 P<0

S>0 S<0 S>0

P<0

S<0

Rãdãcini complexe:

−b ±i − ∆ 2a b x1 = x2 = − 2a

x1, 2 =

Rãdãcini reale pozitive Rãdãcini reale negative Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã.

4. Semnul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R ∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2. x -∞ x1 x2 f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 ∆=0 X f(x)

-∞ semnul lui a

x1 = x2 0 19

+∞ semnul lui a

+∞ semnul lui a

∆<0 X f(x)

-∞

+∞ semnul lui a

5. Graficul funcţiei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã. Aceastã 2

funcţie se poate scrie şi sub forma

b  −∆  f ( x ) = a x +  + , 2a  4a 

numitã formã canonicã. ∆>0 a>0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)

y

 

b

∆ 

V  − 2 a ,− 4a 

C

O A

B

x

D 6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea 1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu realizeazã pentru x =

−b 2a

2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax 2 + bx + c are un maxim egal cu realizeazã pentru x =

−b 2a

−∆ , 4a

minim ce se

−∆ , 4a

maxim ce se

7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0 1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul crescãtoare pe intervalul

−b ,+∞) .   2a

2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul descrescãtoare pe intervalul

−b ,+∞) .   2a

20

−b  2a  

şi strict

−b  2a  

şi strict

( −∞,

( −∞,

Observaţie: Intervalele

( −∞,

−b  2a  

şi

−b ,+∞)   2a

se numesc intervale de

monotonie ale funcţiei f. Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului. 1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)2; 3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2. Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R, a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã: a b c 0 0 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 a’ b’ c’ 0 0 a’ b’ c’ Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în anumite relaţii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Condiţii necesare şi suficiente Relaţii între x1, x2, α şi β 1 α < x1 < β < x2 sau 1. f(α )f(β) < 0 x1 < α < x2 <β 1. ∆ = b2 – 4ac = 0 2. af(α) > 0 3. af(β) > 0 2 α < x1 ≤ x2 < β −b 4. α < 2a 5. β > 3

x1 < α < β < x2

4

x1 < α < x2

5

α < x1 ≤ x2

−b 2a

1. af(α) < 0 2. af(β) < 0 ceea ce atrage dupã sine ∆ >0 1. af(α) < 0 1. ∆ = 0 2. af(α) > 0 3. α <

21

−b 2a

6

1. ∆ = 0 2. af(α) > 0

x1 ≤ x2 < α

7

f(X) = 0, ∀x, x∈R

8

f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R

3.

−b 2a

1. 2. 1. 2.

∆≤0 a>0 ∆≤0 a<0

<α

Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, xn = y2.

VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea 1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor: a S ∆ ∆>0 a>0 (-∞, x1)∪(x2, +∞) (x1,x2) ∆>0 a<0 a > 0 R\{x1} ∆=0 a<0 ∅ ∆=0 a>0 R ∆<0 a<0 ∅ ∆<0 2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor: a S ∆ ∆>0 a>0 (-∞, x1]∪[x2, +∞) [x1,x2] ∆>0 a<0 a > 0 R ∆=0 a<0 {x1} ∆=0 a>0 R ∆<0 a<0 ∅ ∆<0 Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali 1. Sisteme formate dintr-o ecuaţie de gradul al doilea şi una de gradul întâi Aceste sisteme sunt de forma:

22

 ax + by + c = 0 ( S ) 2 a 1 x + b1 xy + c1 y 2 + d1 x + e1 y + f1 = 0

Se rezolvã prin metoda substituţiei. În prima ecuaţie putem presupune cã sau a≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b≠0, atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia

y=

− c − ax a c =− x − . b b b

Dacã

substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:

a c  y = − x−  b b ( S ' ) 2 a c a c     2  a x + b x − x −  + c  − x −  + d x + e  − a x − c  + f = 0 1 1 1 1 1  1  b b  b b  b b Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y. Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluţie realã. 2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluţii reale. 3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale. 2. Sisteme de ecuaţii omogene Un astfel de sistem este de forma:

 a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 ( S ) 2 a 2 x + b2 xy + c2 y 2 = d 2 Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y2 şi a2X2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea lor au acelaşi grad. Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu α şi cea de a doua cu β şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:

23

 a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 ( S ' ) ( α a2 + β a2 ) x 2 + (α b1 + β b2 ) xy + (α c1 + β c2 ) y 2 = 0 Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:

 a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 ( S ' ) 2 a 3 x + b3 xy + c3 y 2 = 0

Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x≠0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în y x y x

2

:

y c3  x   

adicã,

+ b3 y x

y x

+ a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru

= k1 şi

y x

= k2.

Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã sisteme:

 y = k1 x  y = k2 x şi (S ) ( S1 )  2 2 2 a 1 x + b1 xy + c1 y = d1 a 1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1

Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecuaţii simetrice Definiţia VIII.3.3. O ecuaţie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y şi y cu x, ecuaţia nu se schimbã. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p. Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie de gradul al doilea în necunoscutele s şi p.

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0 24

IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin 1 x

substituţia y = x +

: a(x2 +

1 1 ) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0. 2 ) ± b(x + x x

IX.2. Ecuaţia bipãtratã ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, deci x

=±

1, 2 , 3 , 4

− b ± b 2 − 4ac 2a

X. Logaritmi Definiţia X.1. Fie a∈R*+, a ≠ 1 şi b∈R*+ douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obţine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab Evident b = a log b . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obţinem logaritmi naturali. Proprietãţi: 1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0); 2. logaa = 1; 3. loga1 = 0 a

1

4. logaac = c; loga b =- logab; logax2n = 2n logax , x≠0 5.

log a m b =

1 log a b, (b > 0, m ∈ N , m ≥ 2) ; m

6. logab logba = 1; log b

c 7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: log a b = log a c

8. x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay; 9. x>0 şi y>0 ⇒ loga

x y

= logax – logay; cologax = - logay

10.a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0; 11.0 0; 01⇒ logax < 0; 12.a>1 şi 0<x
log x

a b 13. x>0, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ log y = log y ; a b n; 14.x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logax 15.x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna.

25

Operaţii cu logaritmi zecimali 1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric. 2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului. 3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele. 4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive.

X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale 1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluţia: x = ab. 2. logax > b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a S b a>1 (a , +∞) 01 (0, ab) 0
X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale 1. ax = b, a rel="nofollow">0, a≠1, b>0. Soluţia x = logab, b∈R 2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluţie realã 3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (logab, +∞) 00 (-∞, logab) a>0 b<0 R a≠1 4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (-∞, logab) 00 (logab, +∞) 26

a>0 a≠1

∅

b<0

XI. Metoda inducţiei matematice XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano Fie A o parte a lui N astfel cã: 1. 0∈A 2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem: 1. P(0) adevãratã; 2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n. În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat n≠n0.

XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã; 2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n≥n0.

XII. Analizã combinatorie XII.1. Permutãri Definiţia XII.1.1. O mulţime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonatã şi se notazã (a1,a2,…,an). Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mulţimi A cu n elemente toate mulţimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈N*, este Pn=1⋅ 2⋅ 3⋅ …⋅ n = n!; 0! = 1 (prin definiţie). Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! =

XII.2. Aranjamente

27

(n +1)! n +1

Definiţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤ n) ale unei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã Amn. Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este: Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) = Proprietãţi: Ann = Pn; Ann =

n! , (n − m)!

n≥m.

n! sau Ann= n!; Ann −1 = Ann ; An0 = 1 . 0!

XII.3. Combinãri

Definiţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤ n) ale unei mulţimi A cu n elemente toate submulţimile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã C nm . Proprietãţi: 1 n 0 0 1. Cn = n; C n = C n = C0 = 1 ; 2. C nn = C nn −m ; C nm = C nm−1 + C nm−−11 ; 3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n; m m −1 m −1 m −1 m −1 m −1 4. C n = C n−1 + C n−1 + ... + C m+1 + C m + C m −1 ; 5.

n! =C np C np−p ...C n −( p +...+p p1! p 2 !... p n ! 1

2

1

1

m −1 )

unde p1 + … pm-1 < n

XII.4. Binomul lui Newton

(x + a)n = C n x + C n x a + ... + C n x a + ... + C n a 0 n 1 n −1 k k n −k k n n n (x – a)n = C n x − C n x a + ... + (−1) C n x a + ... + ( −1) C n a unde n∈N Proprietãţi: k 1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k C n xn-kak; 0

2.

C nk +1 =

3. Tk+2 =

n

1

n −1

k

n −k

k

n

n − k k k +1 n − k k C n ; C n +1 = Cn ; k +1 k +1 n −k a n −k a ⋅ Tk+1 sau Tk+2 = − ⋅ T ; k +1 x k + 1 x k+1

n

4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1; 5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali. Relaţii importante: C n0 + C n1 + ... + C nn = 2 n ; C n0 − C n1 + ... + ( −1) n C nn = 0; C n0 + C n2 + C n4 + ... = 2 n−1 ; C n1 + C n3 + C n5 + ... = 2 n−1 ; C 2nn = (C n0 ) 2 + (C n1 ) 2 + ... + (C nn ) 2

Dezvoltãri particulare uzuale: 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; 2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 28

4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3; 5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; 6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem: 2

n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1)  n ( n + 1 ; S2 = ; S3 =  2 6  2  n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) n 2 ( n + 1) 2 ( 2n 2 + 2n − 1) S4 = ; S5 = 30 12 S1 =

O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ C S + C S + ... + C S + n 1 p +1

p

2 P +1

p −1

p p +1

1

XIII. Progresii XIII.1. Progresii aritmetice Definiţia XIII.1.1. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1,a2,a3, …,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raţia progresiei. Se noteazã ÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n≥2 (prin definiţie) an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiţie) Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = Sn =

2a 1 + (n − 1)r n 2

(a 1 + a n )n 2

Termenii echidistanţi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor echidistanţi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an. Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1. Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometrice Definiţia XIII.2.1. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere a1,a2,a3, …,an,… în care fiecare termen, începând cu a2, se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q ≠ 0) numit raţie. Se noteazã ÷÷a1,a2,a3, …an,… 29

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n≥2 (prin definiţie) an = a1qn-1, n≥2 (an în funcţie de a1, q şi n) Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =

a1

q n −1 q −1

a −a q

Sn = 11 − qn , q ≠ 1 Termeni echidistanţi de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistanţi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an. Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un 2 termen la mijloc, am+1, astfel încât a m+1 = a1 a2 m+1 . Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.

XIV. Polinoame XIV.1. Forma algebricã a unui polinom f∈C[x] este f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber. ~ Funcţia polinomialã asociatã lui f∈C[x] este ~ f :C→C f (α) = f(α) ∀α∈C; f(α) fiind valoarea polinomului f în α. Teorema împãrţirii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Împãrţirea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului f∈C[x], f≠0 la X-a este f(a). Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãrţiri r = f(a); a0 a1 … an-1 an a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor Definiţia XIV.2.1. Fie f,g∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm gf dacã ∃q∈C[x] astfel încât f=gq. Proprietãţi: 1. a f, ∀a∈C*, ∀f∈C[x]; 2. g f şi f≠0 ⇔ r = 0; 30

g f şi f≠0 ⇒ grad f ≥ grad g; a∈C* ⇒ af f; f f (refelexivitate); f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate); f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate). Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g. 2) d’ f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele. 3. 4. 5. 6. 7.

Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeşte cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m. 2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’ Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m =

f ⋅g d

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor

Definiţia XIV.3.1. Numãrul α ∈C se numeşte rãdãcinã a polinomului f dacã şi numai dacã ~ f (α ) = 0. Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f≠0⇔(X-a) f. Definiţia XIV.3.2. Numãrul α se numeşte rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f≠0 dacã şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)p+1 nu-l divide pe f. Teoremã: Dacã f∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1,x2,x3,…,xn sunt rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,…,mn atunci m m m f = a0 ( X − x1 ) ( X − x2 ) ...( X − xn ) unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + … + mn = grad f. 1

2

n

XIV.4. Ecuaţii algebrice

Definiţia XIV.4.1. O ecuaţie de forma f(x) = 0 unde f≠ 0 este un polinom, se numeşte ecuaţie algebricã. Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali. Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã). Formulele lui Viete: Dacã numerele x1,x2,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f∈C[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:

31

a1  x1 + x 2 + ... + x n = − a 0   a2 x1 x 2 + ... + x1 x n + x 2 x3 + ... + x n −1 x n = a 0   a3 x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 4 + ... + x n −2 x n −1 x n = − a0   ......................................................  a x1 x 2 ...x k + x1 x 2 ...x k −1 x k +1 + ... + x m −k +1 x m −k +2 ...x m = (−1) k k a0  .......................................................   n an x1 x 2 ...x n = (−1) a0   

XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z Teoremã: Dacã f∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate. Teoremã: Dacã un polinom f∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0, d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi peα= a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate. Teoremã: Dacã un polinom f∈Z[x], grad f≥1, admite o rãdãcinã α = (p,q) = 1 atunci p an şi q a0. În particular dacã f∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.

p 2

∈Q,

XV. Permutãri, matrici, determinanţi XV.1. Permutãri Definiţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕ se numeşte permutare de gradul n daacã ϕ:A→ A şi ϕ bijectivã.

ϕ=

1 2 .. n     ϕ (1) ϕ (2) . . σ (n) 

Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n! 32

1A = e, permutarea identicã e =

Compunerea permutãrilor

Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =

 1 2 . . n    1 2 . . n

 1 2 .. n     ϕ (τ (1)) ϕ (τ (2)) . . σ (τ (n))

∈Sn

Transpoziţii Definiţia XV.1.2. Fie i,j∈A, i≠j, τ ij∈Sn, τ ij se numeşte transpoziţie dacã:

 j, daca k = i  τ ij (k ) =  i, daca k = j  k, daca k ≠ i, j 

 1 2 . . i . . k . . j . . n  τ ij (k) =   1 2 . . j . . k . . i . . n

Observaţii: 1. (τij)-1 = τij; 2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este C n2 Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j)∈AxA, i<j, (i,j) se numeşte inversiune a lui ϕ dacã ϕ(j)<ϕ(i), m(ϕ) numãrul inversiunilor lui ϕ: 0 ≤ m(ϕ ) ≤ C n2 =

n( n − 1) ; 2

ε(ϕ) = (-1)m(ϕ) se numeşte signatura lui ϕ. Observaţii: 1. Permutarea ϕ se numeşte parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacã ε(ϕ) = - 1; 2. Orice transpoziţie este imparã; 3. ε(ϕ) = 1≤∏ i < j ≤n

ϕ(i ) −ϕ( j ) i−j

;

4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).

33

XV.2. Matrici Definiţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN→C A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:  a11  a A =  21 ...   a m1

a12 a 22 ... am 2

a1n   ... a 2 n  şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu ... ...   ... a mn  ...

elemente numere complexe. Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeşte pãtraticã de ordinul n, iar mulţimea lor se noteazã Mn(C). Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B∈Mm,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀(i,j)∈MxN. Operaţii cu matrici: 1. Adunarea Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxN este suma lor. Proprietãţi ∀A,B,C∈Mm,n(C): 1. A+B = B+A (comutativitate); 2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate); 3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0); 4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A). 2. Înmulţirea cu scalari Fie A∈Mm,n(C) şi λ∈C atunci B=λA∈Mm,n(C) unde bij=λij ∀(i,j)∈MxN este produsul matricei A cu scalarul λ. Proprietãţi ∀A,B∈Mm,n(C) şi λµ∈C. 1. 1⋅A = A; 2. λ⋅A = A⋅λ; 3. λ(A+B) = λA + λB; 4. (λ+µ)A = λA + µA; 5. λ(µA) = (λµ)A = µ (λA). 3. Transpusa unei matrici Fie A∈Mm,n(C) atunci tA∈Mm,n(C) unde taij = aji, ∀(i,j)∈MxN 4. Înmulţirea matricelor Fie A∈Mm,n(C) şi B∈Mn,p(C) atunci C=A⋅B∈Mm,p(C) unde ∀(i,j)∈MxN este produsul lor Proprietãţi: 34

n

cij = ∑ aik bkj , k =1

1. (A⋅B) ⋅C = A⋅(B⋅C) (asociativitate); 2. A⋅In = In⋅A (element neutru-matricea unitate) 1  0 I n = ...  0 

0

...

1 ... 0

... ... ...

0  0 ...   1 

3. (A+B)⋅C = A⋅C + B⋅C; 4. A⋅(B+C) = A⋅B + A⋅C.

XV.3. Determinanţi Fie Mn(C) – mulţimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:  a11  a A =  21 ...   a m1

a12 a 22 ... am 2

a1n   ... a 2 n  , A∈Mn(C) ... ...   ... a mn  ...

Definiţia XV.3.1. Se numeşte determinantul matricii A, numãrul det A = ∑ε (σ )a1σ (1) a 2σ ( 2 ) ...a nσ ( n ) σ ∈S n

det A =

a11 a 21

a12 a 22

... ...

a1n a2 n

...

...

...

...

a n1

an 2

...

a nm

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:

35

a 11

a 12 ... a 1j-1

a 1j+1 ... a 1n

a 21

a 22 ... a 2j-1 a 2j+1 ... a 2n

...

.... ... ...

... ... ...

Aij = (-1)i+j a i −11 a i-12 ... a i-1j-1

a i-1j+1 ... a i-1n

a i+11 a i+12 ... a i +1j-1 a i+1j+1 ... a i+1n ...

... ... ...

...

a n1 a n2 ... a nj-1 a nj+1

... ... ... a nm

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2: a11 a 21

a12 = a11 a 22 − a12 a 21 a 22

Determinantul de ordinul 3: a11

a12

a13

a 21 a31

a 22 a32

a 23 = a11 a 22 a33 + a 21 a32 a13 + a12 a 23 a31 − a31a 22 a13 − a11a32 a 23 − a 21a12 a33 a33

XV.4. Inversa unei matrici Fie A∈Mn(C), dacã det A≠0 existã A-1∈Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In∈Mn(C), In – matricea unitate:  A11  1  A12 −1 A = det A  ...   A1n

A21 A22 ... A2 n

... ... ... ...

An1   An 2  ...   Ann 

XVI. Sisteme lineare XVI.1. Notaţii: aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 (S)  , m – ecuaţii, n – necunoscute; .......... .......... .......... .........   am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bn 36

 a11  a A =  21 ...   a m1

a12

...

a 22 ...

... ...

am 2

...

 a11  a    a21 a  , ...  A =   ... a    a m1 1n

2n

mn

a12 ... a1n b1   a22 ... a2n b2  ,  ... ... ... ...  am2 ... amn bn 

r – rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. Compatibilitatea Sistemul (S) este compatibil determinat dacã: 1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI =

 a11   a21 ∆i=  ..   a n1

∆i , unde ∆

a12 . . b1 . . a1n   a22 . . b2 . . a2n  .. .. .. .. ..   an2 . . bn . . ann 

2. r = n < m şi rang A = r. Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0) 1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n; 2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebrice XVII.1. Monoid Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea); 37

M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor).

XVII.2. Grup Fie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea); G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru); G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate), comutativ; 5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈H ⇒ x*y∈H şi ∀ x∈H ⇒ x’∈H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,⊥), (G2,∆): Definiţia XVII.2.2. f:G1→G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.3. f:G1→G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiţia XVII.2.4. f:G1→G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. Inel Fie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã; Definiţia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,•) este monoid şi D. • este distributivã faţã de +: x•(y+z) = x•y + y•z (y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈A 38

dacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z} 3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n. Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o): Definiţia XVII.3.1. f:A→A’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(x⊥y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A. Definiţia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0 implicã x•y≠0. Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã divizori ai lui zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienţi în A. f∈A[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant); - dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞. Proprietãţi: 1. grad (f+g) ≤ max{grad f, grad g}; 2. grad f⋅g ≤ grad f + grad g. Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad f⋅g = grad f + grad g, ∀f,g∈A[X].

XVII.4. Corp Fie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã. Definiţia XVII.4.1. (K,+,• ) este corp dacã (K,+,• ) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0 -1 ⇒ ∃ x ∈K, astfel încât x•x-1 = x-1 •x = 1. Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe; 4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p (p∈N*, p >1, p – numãr prim).

39

Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥ ,*) şi (K’,∆ ,o), f:K→K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀x,y∈R. Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X], g≠0: ∀f∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r, grad r < grad g.

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Notaţii: - lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; - lungimile segmentelor importante în triunghi:  AD = ha (AD⊥BC, ha lugimea înãlţimii din A, D∈BC);  AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC));  AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC)); -

a +b+c 2

-

AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S; R – raza cercului circumscris unui poligon; r – raza cercului înscris într-un poligon; ln – latura poligonului regulat cu n laturi; an – apotema poligonului regulat cu n laturi; P – perimetrul poligonului; Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã); Atot – aria totalã, notatã şi A; V – volumul.

= p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);

I. Triunghiul Inegalitãţi gemetrice: 40

1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior; 2. a+b > c, b+c > a, a+c > b 3. a > b-c , b > c-a , c > a-b  A 4. ma <

b +c 2

5. p < ma + mb + mc < P Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC)

M

B

BD AB a ⋅c a ⋅b = ; BD = ; DC = DC AC b +c b +c

C

Observaţii: 1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al mediatoarelor; 2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor; 3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor. 4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.

XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument: 1. 2.

sin 2 α + cos 2 α = 1 ; sin α = ± 1 − cos 2 α; cosα = ± 1 − sin 2 α sin α tgα = cosα tgα 1 sin α = ; cosα = 2 ± 1 + tg α ± 1 + tg 2α

3.

π  sin  − α  = cosα 2 

4. 5.

6.

π  tg  − α  = ctgα , 2   sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cosα ; tg (π − α) = −tgα

π  sin  + α  = cosα 2  π  π  cos + α  = − sin α , tg  + α  = −ctgα 2 2     sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cosα ; tg (π + α ) = tgα

41

7.

sin( 2π − α ) = − sin α sin(2π − α ) = cosα ; tg (2π − α ) = −tgα

XIV. Elemente de geometrie analiticã XIV.1. Segmente 1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB =

( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

y −y

2 1 2. Panta dreptei AB: m AB = x − x 2 1

3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: x =

x1 + x2 y + y2 ,y= 1 2 2

4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k: x=

x1 + kx2 y + ky 2 ,y= 1 1+ k 2

XIV.2. Ecuaţia dreptei 1. Drepte paralele cu axele de coordonate: (d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox) 2. Dreapta determinatã de punctul Mo(xo,yo) şi vectorul nul a (u , v) : (d ) : r = ro + t a , t∈R, ro -vectorul de poziţie a lui Mo; r-vectorul de poziţie a unui punct M al dreptei d.

 x = xo + ut , t∈R, ecuaţiile parametrice; (d ) :   y = yo + vt 3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine); 4. Ecuaţia prin tãieturi:

x y + −1 = 0, (a, b ∈R*); a b

5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul Mo(xo,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0); 6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1,y2), B(x2,y2): y − y1 =

y 2 − y1 y − y1 x − x1 ( x − x1 ), = , ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y 2 ) sau x2 − x1 y 2 − y1 x2 − x1

42

x

y

1

x1 x2

y1 y2

1 =0 1

7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0; 8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = x

y

1

∆ = x1 x2

y1 y2

1, 1

1 ∆, 2

unde

dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare

9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2): ( d1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi ( d 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 a

b

c

a

b

c

1 1 1 d1 = d2, dacã a = b = c 2 2 2 1 1 1 d1 d2, dacã a = b ≠ c ; 2 2 2

a1

b1

d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã a ≠ b 2 2 10.Distanţa de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0 d ( M , h) =

ax0 + by 0 + c a2 + b2

11.Unghiul α determinat de dreptele: (d1 ) : y = m1 x + n1 şi (d 2 ) : y = m2 x + n2 tgα =

m2 − m1 , (m1m2 ≠ −1) 1 + m1m2

d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r: 1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2; 2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde a = − r2 =

1 4

m , 2

b= −

n 2

şi

(m2 + n2) – p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E Ecuaţia elipsei:

x2 y2 + − 1 = 0, b 2 + c 2 = a 2 a2 b2

B A’

M F

F’ 43

A

O B’ Ecuaţia tangentei în punctul M(xo,yo), M∈E: xxo yyo + 2 −1= 0 a2 b

2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈H. Ecuaţiea hiperbolei:

x2 y2 − 2 − 1 = 0, c 2 − b 2 = a 2 2 a b

y M

F’

A’

O A

F

x

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈H. xx0 yy0 − 2 −1= 0 a2 b

3. Parabola P: F(

p 2

,0), h:x = -

p 2

(h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P.

Ecuaţia parabolei P: y2 = 2px y h M x O

F

Ecuaţia tangentei în Mo(xo,yo), Mo∈P: yyo = p(x + xo)

44

ANALIZÃ MATEMATICÃ II. Limite de funcţii Notaţii: f:D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D;

II.1. Definiţii ale limitei Definiţia II.1.1.

lim f ( x) = l , l ∈ R , x→ α

dacã pentru orice vecinãtate V a lui l

existã o vecinãtate U a lui α astfel încât ∀ x∈D∩U, x≠α, sã rezulte f(x)∈V. Definiţia II.1.2. având

lim xn = α

n→ ∞

lim f ( x) = l , l ∈ R , dacã pentru orice şir (xn)n≥0, xn∈D\{α}, x→ α

rezultã

Definiţia II.1.3.

lim f ( x) = l

n→ ∞

(criteriul cu şiruri);

lim f ( x) = l , l ∈ R , dacã x→ α

∀ε>0, ∃δε >0 astfel încât ∀x∈D\

{α} şi x - α< δε rezultã f(x) - l< ε; Definiţia II.1.4.

lim f ( x) = l , dacã ls = ld = l, unde x→ α

45

l s = lim f ( x) x→ α x <α

şi

l d = lim f ( x ) x→ α x >α

.

II.2. Operaţii cu limite de funcţii f:D→R, g:D→R, α - punct de acumulare a lui D, l1,l2∈R;

lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 , x→ α

x→ α

1. lim ( f ( x) + g ( x)) = l1 + l2 ; x→α

2. lim f ( x) ⋅ g ( x) = l1 ⋅ l 2 ; x →α

3. lim af ( x) = a ⋅ l1 ; x→α

4.daca l2 ≠ 0, lim x →α

f ( x) l1 = . g ( x) l2

II.4. Continuitatea funcţiilor Definiţia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D, f este continuã în xo, dacã

lim f ( x) = f ( x0 ) , xo se numeşte punct de continuitate.

x→ x0

Definiţia II.4.2. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de prima speţã dacã existã şi sunt finite limitele laterale în α, dar funcţia nu este continuã în α. Definiţia II.4.3. Fie α∈D, α este punct de discontinuitate de speţa a doua dacã nu este de prima speţã. Teoremã. Dacã f:I→R, I – interval şi f continuã pe I, atunci J = f(I) este interval ( o funcţie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcţii derivabile III.1. Definiţia derivatei într-un punct f:E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:  f’(x0) =  fs’(x0) =

lim

x→ x0

f ( x ) − f ( x0 ) f ( x + h) − f ( x 0 ) = lim 0 x − x0 h→ 0 h x0 + h∈ E

f ( x ) − f ( x0 ) lim , fd’(x0) x→x x − x0 x<x0

0

=

lim

x→x0 x >x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

46

 f’(x0) = fs’(x0) = fd’(x0) Interpretarea geometricã: - dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A(x0,f(x0)); - dacã f este continuã în x0, fd’(x0) = +∞, fs’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de întoarcere al graficului; - dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0, cel puţin una fiind finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E: 1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x); 2. (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; 3. (f⋅g)’(x) = f’(x)⋅g(x) + f(x)⋅g’(x) 4. dacã g(x)≠0,

f  g 

'

 f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)  ;  ( x) = g 2 ( x) 

5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (gof)’(x0) = g’(y0)f’(x0); 6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠0, atunci f-1:J→I este derivabilã în y0, y0 = f(x0) şi f-1(y0) =

1 f ' ( x0 )

III.3. Derivatele funcţiilor elementare Funcţia (condiţii) C xn, n∈N* xr, r∈R, x>0

Derivata (condiţii) 0 nxn-1 rxn-1 1

x , x ≥0

logax, a≠1, a>0, x>0 ln x, x>0

,x >0 2 x 1 1 ⋅ ln a x 1 x

ax, a≠1, a>0, x>0 ex sin x cos x

ax ln a ex cos x -sin x

tg x, x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z

1 cos 2 x 1 − 2 sin x

π 2

ctg x, x ≠ kπ , k ∈ Z

47

.

arcsin x, x∈[0,1] arcos x, x∈[0,1] arctg x

1

, x ∈(0,1) 1 − x2 1 − , x ∈(0,1) 1 − x2

1 1 + x2 1 − 1 + x2

arcctg x

Formula lui Leibniz: ( f ⋅ g ) ( n ) = f ( n ) ⋅ g + C n1 f ( n−1) ⋅ g '+C n2 f ( n−2) ⋅ g ' '+...C nn−1 f '⋅g ( n−1) + Cnn f ⋅ g ( n ) = n

= ∑ Cnk f ( n−k ) ⋅ g ( k ) , f ( 0) = f k =0

III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile Teorema lui Fermat: Fie f:I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã. Teorema lui Rolle: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0. Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f:[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b) astfel încât

f (b) − f ( a ) = f ' (c ) . b −a

Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei; 2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei. Teorema lui Cauchy:

48

Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b) atunci ∃c∈(a,b) astfel încât

f (b) − f ( a ) f ' (c ) = g (b) − g ( a ) g ' (c )

IV. Asimptote IV.1. Asimptote orizontale (f:D→R) Definiţia IV.1.1. Dacã

lim f ( x) = l1

x→ +∞

sau

lim f ( x) = l2 ,

x→ −∞

l1,l2∈R, dreptele

y=l1 şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞, respectiv -∞

IV.2. Asimptote oblice (f:D→R)

f ( x) = m ≠ 0 şi lim [ f ( x) − mx] = n, m, n ∈ x →∞ x x→ + ∞ dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞. f ( x) = m' ≠ 0 şi lim [ f ( x) − m' x] = n' , m' , n'∈ Definiţia IV.2.2. Dacã lim x→∞ x x→ + ∞ dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞.

Definiţia IV.2.1. Dacã

lim

R R

IV.3. Asimptote verticale (f:D→R) Definiţia IV.3.1. Dacã , α - punct de acumulare a lui D, dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f. Definiţia IV.3.2. Dacã , α - punct de acumulare a lui D, dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f. ± ∞ lim f ( x ) = x→ α x< α

± ∞ lim f ( x ) = x→ α x> α

V. Primitive (integrale nedefinite) Definiţia V.1. Fie funcţia f:J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f, dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀x∈J. Se noteazã: ∫ f ( x) dx = F ( x ) + c Proprietãţi ale primitivelor: 1. ∫ [ f1 ( x) + f 2 ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x) dx ; 2. ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x) dx ; 3. ∫ f ( x) g ' ( x)dx = f ( x ) g ( x) − ∫ f ' ( x) g ( x )dx .

49

V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei

Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ' (t )dt = F  ϕ (t ) + c

V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei h =( f

Dacã ϕ :I→J, f:J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,  ϕ) ⋅ ϕ ' admite primitive (H) atunci ∫ f ( x )dx = H  ϕ −1 ( x ) + c .

V.3. Tabel de primitive: (I – interval, I⊂R) 1.

n ∫ x dx =

2.

α ∫ x dx =

3.

x ∫ a dx =

4.

∫

x n +1 + c, x ∈ R , n ∈ N n +1 α +1

;

x + c, x ∈ (0,+ ∞ ),α ∈ R \ {− 1} ; α +1 ax + c, x ∈ R, a > 0, a ≠ 1 ; ln a

dx = ln x + c, x ∈I , I ⊂ R ; x

5. ∫

1 1 x− a dx = ln + c, x ∈ I , I ⊂ R \ {− a, a} ; 2 2a x + a x −a

6. ∫

1 1 x dx = arctg + c, x ∈ R, a ≠ 0 ; 2 a a x +a

2

2

7. ∫ sin xdx = − cos x + c, x ∈ R ; 8. ∫ cos xdx = sin x + c, x ∈ R ; 9.

1 π   dx = tgx + c , x ∈ I , I ⊂ R \ ( 2 k + 1 ) k ∈ Z ∫ 2  ; 2 cos x  

10. ∫

11.

1 dx = − ctgx + c, x ∈ I , I ⊂ R \ { kπ k ∈ Z } ; 2 sin x

π   ∫ tgxdx = − ln cos x + c, x ∈ I , I ⊂ R \  (2k + 1) k ∈ Z  ; 2   50

12.

∫ ctgxdx = ln sin x + c, x ∈ I , I ⊂ R \ { kπ k ∈ Z}

13. ∫ 14. ∫ 15. ∫

1 2

x +a 1

2

2

2

2

2

x −a 1

a −x

(

;

)

dx = ln x + x 2 + a 2 + c, x ∈ R ; dx = ln x +

dx = arcsin

x 2 − a 2 + c, x ∈(a,+∞) sau x ∈( −∞,−a ), a > 0 ;

x + c, x ∈(−a, a ), a > 0 a

V.4. Primitivele funcţiilor raţionale 1.

n ∫ ( ax + b) dx =

2.

∫

3. 4. 5.

1 ( ax + b) n+1 + c, n ∈ N , n ≠ −1, a ≠ 0 ; (n + 1) a

dx 1 = ln(ax + b) + c, a ≠ 0 ; ax + b a

dx 1 =− + c, n ∈ N , n ≠ 1, a ≠ 0 ; n (ax + b) (n − 1)a ( ax + b) n−1 dx 1 x +b = ln + c, a ≠ b ; ∫ ( x + a )( x + b) a − b x + a dx 1 dx = ∫ + c, unde ∆ = b 2 − 4ac, a ≠ 0 ∫ 2 2 ax + bx + c a  2 b  ∆ . x +  − 2 a 4 a   ∫

Substituţiile lui Euler: 1. ax 2 + bx + c = t ± x a , daca a > 0 ; 2. ax 2 + bx + c = tx ± c , daca c > 0 ; 3. ax 2 + bx + c = t ( x − x1 ), daca b 2 − 4ac > 0 si x1 este o rãdãcinã a ecuaţiei ax2 + bx + c = 0.

VI. Integrale definite IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann)

Notaţii: f:[a,b]→R, ∆ = (a = x0, x1, x2, …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξi ≤ xi , ξi – puncte n

intermediare, σ∆(f, ξ) – suma Riemann: σ ∆ ( f ,ξ ) = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) i =1

Definiţia VI.1.1. f se numeşte integrabilã dacã existã numãrul real If cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃ηε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu ∆ <ηε şi orice puncte intermediare ξi are loc σ∆( f ,ξ) − I f <ε unde

∆ = max ( xi − xi −1 ) 1≤ i ≤ n

51

b

Se noteazã: I f = ∫ f ( x)dx a

Proprietãţi ale integralei definite: b

b

b

a b

a

1. ∫ (αf ( x) + βg ( x))dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ; a b

c

2. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ; a b

a

c

a

3. ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx ; a a

b

4. ∫ f ( x)dx = 0 . a

Formula lui Leibniz-Newton: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ) (F – primitivã a lui f)

a

Teorema de medie: b

Dacã f continuã pe [a,b], atunci ∃ξ∈[a,b] astfel încât: ∫ f ( x )dx = (b − a ) f (ξ ) a

Formula de integrare prin pãrţi: b

b

a

a

b ∫ f ( x ) g ' ( x)dx = f ( x) g ( x) a − ∫ f ' ( x) g ( x) dx

Formula de schimbare de variabilã: Dacã ϕ :[a,b]→J, f:J→R, f continuã pe J, ϕ derivabilã cu derivata continuã pe b

ϕ (b )

a

ϕ(a)

[a,b], atunci ∫ f (ϕ(t )) ⋅ ϕ' (t )dt = ∫ f ( x)dx Proprietãţi de paritate:

 0, daca f impara  Dacã f:[-a,a]→R continuã atunci: ∫ f ( x)dx =  a −a  2∫ f (x)dx, daca f para 0 a

VI.2. Aplicaţii ale integralei definite 1. Aria subgraficului Γf, f:[a,b]→R+, f continuã: y b

aria Γf = ∫ f ( x)dx

Γf

a

52

y 0

a

b

x

Aria subgraficului Γf,g, f,g:[a,b]→R şi f(x) ≤ g(x) ∀ x∈[a,b] 0

a

Γf,g

b

x b

aria Γ f , g = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx a

2. Volumul corpurilor de rotaţie, f:[a,b]→R+, f continuã: y

b

vol (C f ) = π ∫ f 2 ( x)dx a

a

b

x

z 3. Lungimea graficului f:[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã: B A b

l ( f ) = ∫ 1 + ( f ' ( x)) 2 dx a

a 4. Aria suprafeţelor de rotaţie: 53

b

b

A f = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ' ( x)) 2 dx a

54