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MECÁNICA DE FLUIDOS II

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UPT

METODO DE METODO DE INTEGRACION INTEGRACION DIRECTA DIRECTA BAKHMETEFF BAKHMETEFF PRESENTADO POR: PRESENTADO POR:

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ARBILDO HUAMANI, BRAYAM JOSE • ARBILDO HUAMANI, BRAYAM JOSE CHIRE IQUIAPAZA, ALEXANDER LUIS • CHIRE IQUIAPAZA, ALEXANDER LUIS DEBERNARDI BORDA, VERONICA AIDA • DEBERNARDI BORDA, VERONICA AIDA PANIAGUA LUQUE, GABRIELA • PANIAGUA LUQUE, GABRIELA SALAS GALDOS, FIORELLA YAHAYRA • SALAS GALDOS, FIORELLA YAHAYRA TELLO MARTINEZ, JOSE LUIS • TELLO MARTINEZ, JOSE LUIS VALENCIA VELA, AYRTON GUSTAVO • VALENCIA VELA, AYRTON GUSTAVO

INDICE INDICE

EXAMEN PROFESIONAL • •INTRODUCCION INTRODUCCION

• •PROCEDIMIENTO DEDE PROCEDIMIENTO INTEGRACION INTEGRACION •

DE DE LASLAS EXPRESIONES •CÁLCULO CÁLCULO EXPRESIONES DE DE LOSLOS EXPONENTES EXPONENTES HIDRÁULICOS N YNMY M HIDRÁULICOS

• •PROCEDIMIENTO DEDE PROCEDIMIENTO CÁLCULO CÁLCULO • •EJERCICIOS EJERCICIOS

MECANICA DE FLUIDOS II II MECANICA DE FLUIDOS

METODO DEDE INTEGRACION DIRECTA METODO INTEGRACION DIRECTA EXAMEN

PROFESIONAL

MECANICA DE FLUIDOS II II MECANICA DE FLUIDOS

INTRODUCCION

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INTRODUCCION

El método de integración directa es el resultado de un estudio sobre muchos de los métodos existentes. Una de las hipótesis fundamentales de este método es la suposición de que los llamados exponentes hidráulicos se mantienen constantes en el tramo considerado.

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PROCEDIMIENTO DE INTEGRACION

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El procedimiento que se presenta a continuación es válido principalmente para cualquier tipo de sección transversal en canales prismáticos. De la siguiente ecuación se tiene:

Bakmeteff asumió empíricamente que:

Donde:

 K = factor de conducción (conductividad) La ecuación (2) puede escribirse como:  C = coeficiente de proporcionalidad  N = exponente hidráulico para cálculos de flujo uniforme que depende

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Donde S = Sf = pendiente de la línea de energía, es decir: (4)

En el caso del flujo uniforme

,luego:

(5) Dividiendo (4) entre (5), se tiene: (6)

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El factor de sección Z puede ser expresado como una función del tirante, y se puede suponer que: Donde:

(7)

En caso de flujo crítico se tiene:

 C = coeficiente de proporcionalidad  M = exponente hidráulico para cálculos de flujo critico que depende de la forma de la sección y del tirante. (8)

Dividiendo (8) entre (7), resulta:

Igualando (9) y (10), se obtiene: (9)

Se puede demostrar que: (10)

(11)

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Sustituyendo (11) y (6) en (1), resulta:

(12) Utilizando un cambio de variable se tiene:

(13) Luego: (14)

(15)

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Sustituyendo (13), (14) y (15) en (12), se obtiene:

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Descomponiendo la fracción en una suma algebraica de fracciones, además sumando y restando 1 al numerador del primer sumando, se tiene:

Cambiando de signo a los denominadores, las fracciones cambian de signo:

Esta ecuación puede integrarse para toda la longitud x del perfil del flujo. Debido a que el cambio de tirante en un flujo gradualmente variado generalmente es pequeño, los exponentes hidráulicos M y N se pueden suponer constantes dentro de los límites de integración.

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Cuando los exponentes hidráulicos son notablemente dependientes de y en los tirantes del tramo dado, este deberá subdividirse en otros tramos para realizar la integración; entonces, en cada tramo, los exponentes se pueden considerar constantes. Integrando la ecuación anterior, se tiene

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La primera integral de la ecuación (17) depende de u y N y se designa por:

La cual se conoce como función de flujo variado de Bakhmeteff. Los valores obtenidos para diferentes valores de u y N se encuentran en las tablas del Anexo E, fueron preparadas por Bakhmeteff en los años 1914-1915. Chow pudo transformar la segunda integral de la ecuación (17):

En la forma de la función de flujo variado, con el siguiente artificio:

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Sustituyendo (20) y (21) en (19), se tiene:

Factorizando:

Pero se sabe que:

•

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Es la misma función de flujo variado Bakhmeteff excepto que las variables u y N se reemplazan por v y J, respectivamente. Sustituyendo (18) y (22) en (17), y usando la notación para las funciones de flujo variado, se tiene:

La ecuación (23) proporciona la distancia x que existe entre la sección considerada y un punto arbitrario. Si se aplica esta ecuación entre dos secciones consecutivas (1) y (2) de características conocidas, es decir, colocando los límites de integración, la distancia L que existe entre estas dos secciones es:

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 Donde: Distancia entre las secciones consecutivas (1) y (2) de características conocidas. Relación entre el tirante de una sección cualquiera, y el tirante normal M y N = exponentes hidráulicos. = función del flujo variado, calculado por Bakhmeteff, cuyos valores se muestran en las tablas del Anexo E. v y J = variables introducidas por Ven Te Chow, siendo: Función del flujo variado, se calcula con la misma tabla de Bakhmeteff entrando con los valores de v y J en lugar de u y N.

EXAMEN PROFESIONAL

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CÁLCULO DE LAS EXPRESIONES DE LOS EXPONENTES HIDRÁULICOS N Y M

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CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DEL EXPONENTE HIDRÁULICOS N

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MECANICA DE FLUIDOS II PROFESIONAL CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DEL EXPONENTE HIDRÁULICOS N

Debido a que la conductividad K es una función de la profundidad de flujo y, puede suponerse que

A partir de una gráfica logarítmica de la ecuación anterior resulta evidente que el exponente hidráulico N correspondiente a la profundidad y es

 

 

  Ahora, al tomar logaritmos a ambos lados de la siguiente ecuación se tiene lo siguiente

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CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DEL EXPONENTE HIDRÁULICOS N  

 

 

 

 

 

Entonces remplazando

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Para una sección de canal trapezoidal que tiene un ancho b en el fondo y pendientes laterales de 1 a Z.  

 

 Esta es la ecuación general para el exponente hidráulico N

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CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DEL EXPONENTE HIDRÁULICOS N  

 

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CÁLCULO DE LA EXPRESIÓN DEL EXPONENTE HIDRÁULICOS M

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Cálculo del exponente hidráulico M De la ecuación se tiene:  

Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, se obtiene:  

Derivando respecto a y, se obtiene:  

 

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Para una sección trapezoidal, se cumple que:  

Sustituyendo: en la ecuación, se tiene  

 

:

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  Dividiendo ambos miembros de la fracción , se tiene:  

Esta ecuación indica que si (sección rectangular) , pero, para una sección trapezoidal M varia con el tirante. En la tabla, se muestra valores M para secciones rectangulares y trapezoidales y la figura permite calcular estos valores para secciones rectangulares, trapezoidales y circulares.

EXAMEN PROFESIONAL

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PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

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1.- Identificar el tramo donde se realizan los cálculos, siendo el y

inicial (Yi) el tirante de la sección de control, y el final (Yf), el tirante hasta donde se desea calcular la curva de remanso.

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2.- Calcular el tirante promedio (Yp) de los tirantes extremos:

y con el valor yp / b, calcular el exponente hidráulico M, el cual se puede calcular por medio de la ecuación:

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TABLAS PARA OBTENER M ( TENIENDO LOS VALORES DE Y/B Y Z

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De igual manera calcular el exponente hidráulico N, con la ecuación:

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3.- Calcular el tirante normal y el tirante crítico del tramo, a partir de Q, So y n.

PARA TIRANTE NORMAL

Q = (1/n) AR2/3S1/2

PARA TIRANTE CRITICO

(Q2/g)T - A3 = 0

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4.- Calcular J:

Donde N y M, son exponentes hidráulicos, calculados en el paso 2.

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5.- Definir el número de divisiones n que tendrá el tramo y calcular el incremento Δy:

La primera división tendrá como tirante y1 al tirante inicial, y como tirante y2, al tirante y1 más el incremento (y2 = y1 + Δy). Las divisiones subsiguientes, tendrán como y1, al y2 de la división anterior, y como y2, al nuevo tirante y1 más el incremento Δy. 6.- Calcular los valores de u y v, para los tirantes y1, y2 .

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7.- Calcular las funciones del flujo variado de Bakhmeteff F(u,N) y F(v,J) , para los tirantes y1, y2.utilizando las siguientes tablas.

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8.- Calcular la longitud L de la división, con tirantes y1, y2:

9.- Repetir los cálculos para la siguiente división, hasta completar con todas las divisiones del tramo. 10.- Acumular las longitudes calculadas en cada división.

EXAMEN PROFESIONAL

EJERCICIO

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Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera b = 1 m, talud Z = 1 y con pendiente de 0.0005 conduce un caudal de 0.9 m3 /s en flujo uniforme con un coeficiente de rugosidad n = 0.025. A partir de cierta sección en adelante, como se muestra en la Figura, es necesario aumentar la pendiente del canal a 0.20. A. Calcular la distancia L1 que deberá revestirse de concreto (n = 0.015) suponiendo que el material en que se excava el canal resiste hasta una velocidad de 1 m/s. B. Determinar la distancia L hasta la cual se deja sentir la influencia del cambio de pendiente. C. Calcular el perfil del flujo en el tramo revestido L1.

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 Datos: Q = 0.9 n= 0. 015 (tramo 1, revestido) b = 1 m n= 0. 025 (tramo 2, sin revestir) Z=1 = 0.0005

De acuerdo con los datos, se observa que el problema debe resolverse en forma independiente para el tramo revestido y sin revestir, pues el tirante normal es diferente, permaneciendo constante para ambos tramos el mismo tirante crítico.

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 A.- Cálculo de L1 (tramo revestido)

1. Cálculo del tirante normal :

Resolviendo la ecuación se tiene: 2. Calculo el tirante crítico : Se tiene: Resolviendo la ecuación se tiene:

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3. Tirante promedio:

4. Calculo de M y N : De manera similar al tramo 1 se calcula N,M:

5. Calculo de    

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 6. Calculo de los valores de u,v, F(u,N), F(v,J) para ambas secciones: Sec ción (2)

y

0.8 71 (1) 0.5 72 Diferencias

u

v

0.9 898 0.6 500 0.3 398

0.9 885 0.6 146  

7. Calculo de L2: Entonces se tiene :     Tomando el valor absoluto, se tiene:     8. Calculo de L:

F(u, N) 1.7 566 0.6 800 1.0 766

F(v, J) 1.8 387 0.6 495 1.1 892

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 C.- cálculo del perfil M2 en el tramo revestido: Resumiendo los valores constantes obtenidos en este tramo, se tiene:

Considerando la constante = 0, en la siguiente ecuación se tiene:   Sustituyendo valores se obtiene:

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Esta última ecuación permite calcular las distancias “x” a que se encuentra la sección considerada con respecto a un origen arbitrario. Los resultados obtenidos para diferentes valores desde y = 0.572 m a y = 0.381 m se muestran en la siguiente tabla.  

 

 

y

u= y yn

v= u

F (u, N )

F (v, J )

 

x

N/J

  L

0,3810

0,5636

0,5322

0,5810

0,5490

67,72

0,00

0,4000

0,5917

0,5615

0,6130

0,5810

67,60

0,12

0,4200

0,6213

0,5924

0,6470

0,6190

67,12

0,60

0,4500

0,6657

0,6391

0,7050

0,6800

59,62

8,10

0,4800

0,7101

0,6862

0,7640

0,7410

49,42

18,30

0,5100

0,7544

0,7335

0,8290

0,8110

32,59

35,30

0,5400

0,7988

0,7811

0,9070

0,8900

1,03

66,69

0,5720

0,8462

0,8321

0,9980

0,9940

-41,28

109,00

El perfil se obtiene graficando la columna (7) contra la columna (1), como se muestra en la siguiente figura.

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Aplicando el programa computacional HCANALES, resultados obtenidos con la planilla de cálculo.

verificamos

los

LOS PASOS A SEGUIR SON LOS SIGUIENTES…

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PASO 1.- Entrar a la pantalla inicial de HCANALES y seleccionar en la opción REMANSO el Método de cálculo de curva de Remanso, para este caso seleccionamos el método de Bakhmeteff.

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PASO 2.- Ingresar los datos en unidades del Sistema Internacional, empleando un número de tramos de acuerdo a la precisión requerida.

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Paso 3.- Pulsar en botón EJECUTAR para obtener los pares ordenados que generan la curva de Remanso y el grafico de la misma.

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FIN

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