Metodo De La Secante

Método de la Secante Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función Del Método de Newton-Raphson, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la primera derivada. El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante. El método de la secante no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante. Este método, a diferencia del de bisección y Newton, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

x , es decir un intervalo en “ x ” xn1 , xn  , los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y , los puntos Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje

 f xn1  , f  xn  , por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a la función f  x n 1  y x n , f  x n   .

a obtener son son  x n 1 ,

F(x)

y

x

Se debe considerar que los puntos

x n 1

debe estar a la izquierda y el punto

xn

y

xn

deben de contener a la raíz, por lo que el punto

xn1

a la derecha de la raíz.

Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el eje de la “ x ”, genera el siguiente punto de acercamiento

x n 1

intervalo propuesto  x n 1 , x n  , como se muestra en la Figura.

, el cual quedara ubicado entre el

y

F(x)

x

Interesa llegar a la raíz por medio del corte del eje “ x ” de la recta secante, entonces tomando en cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto de tal forma que se llegue a la raíz tenemos entonces los puntos x n 1 , x n  y sacamos sus imágenes

 f xn1  , f  xn  (esto se hace

para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “ x ”

y

xn 2

F(x)

x

Interesa llegar a la raíz por medio del corte del eje “ x ” de la recta secante, entonces tomando en cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto de tal forma que se llegue a la

raíz tenemos entonces los puntos  x n 1 , x n  2  y sacamos sus imágenes  f  x n 1  , f  x n  2  (esto se hace para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “ x ”

y

xn 3

F(x)

x

Podemos ver que con la tercera recta secante aproximadamente se acerco a la raíz. Entonces estos pasos se hacen sucesivamente hasta llegar a la aproximación de la raíz.

El método de la secante parte de dos puntos  x n 1 , x n  y sus dos imágenes

 f xn1  , f  xn  (y no

sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta secante) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

m f

/



f  x n   f  x n 1  x n  x n 1

Como el Método de la Secante se Parece al Método Newton por la búsqueda de la raíz a través del corte de una recta, entonces podemos escoger la formula de newton y sustituir en f

/

x n  la expresión

anterior de la pendiente

xn1  xn 

x n 1  x n 

f xn   f / xn 

xn1  xn 

f xn 

 f xn   f xn1     xn  xn1  

f x n x n  x n 1  ; Fórmula para el método de la Secante f x n   f x n 1 

Primero hay que definir algunos conceptos como:

xn

Es el valor actual de

x (valor derecho del intervalo en “ x ” )

x n 1

Es el valor anterior de

x n 1

Es el valor entre

x n 1

x (valor izquierdo del intervalo en “ x ”) y

xn

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentre la aproximación a la raíz. Concluyendo con lo anterior tenemos que: La técnica que utiliza esta fórmula recibe el nombre de Método de La Secante. Comenzamos con las dos aproximaciones iníciales P0 y P1 , la aproximación P2 es la intersección del eje de las “x” y la línea que une ( P0 , f(P0) ) y ( P1 , f(P1) ). La aproximación P3 es la intersección del eje “x” y la línea que une ( P1 , f(P1) ) y ( P2 , f(P2) ), y así sucesivamente

El método de Newton o el método de la secante a menudo se usan para refinar las repuestas conseguidas con otra técnica, como el Método Bisección, dado que el Método de Newton requiere de una buena aproximación inicial, pero por lo general da una convergencia rápida, sirve perfectamente para el propósito antes mencionado. ALGORITMO DEL METODO DE LA SECANTE Paso 1 : Tener un punto inicial que encierre a la raíz (𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ) Paso 2: Calcular la aproximación a la raíz por el corte con el eje de las “ x” de la Recta Secante

• 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − Paso 3: Calcular el Error del método

𝑓(𝑥𝑛 ) (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ) 𝑓(𝑥𝑛 )−𝑓(𝑥𝑛−1 )

Error = |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1 |

Paso 4: Calcular 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 •

Si 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 , se encontró la raíz con el número de cifras consecutivas especificada.

•

Si 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 > 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 , Regresar al paso 2 para cambiar el intervalo tomando en cuenta 𝑥𝑛+1 y luego iniciar otra iteración hasta que 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ó 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

EJEMPLO Aplique el método de la secante para encontrar la raíz en el intervalo

f x   x  0.8  0.2 sin x  con una tol  1*10 5

0

, 1.5708 de la función

1era Iteración (n=1): Como la tolerancia contiene 5 decimales ( 1*10

5

=0.00001), trabajaremos el método agregando 2

decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento

f  p  no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos

los cálculos los haremos con 7 decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma en cuenta

1*10 5 para el error. Aplicando la fórmula de la secante para encontrar el primer corte del eje de las “x” de la recta secante con los primeros puntos

0

, 1.5708 tenemos: ( xn1  0 y xn  1.5708 ) xn1  xn 

f xn xn  xn1  f xn   f xn1 

X n 1  1.5708 

1.5708  0.8  0.2 * sin 1.57081.5708  0 1.5708  0.8  0.2 * sin 1.5708  0  0.8  0.2 * sin 0

X n 1  0.9167202 Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton

Error  X n  X n1  1.5708  0.9167202  0.65407984 , No es menor que la 1*10 5 , como no se cumple que

xn  xn1  tol  0.65407984  1*10 5 se hace otra iteración.

Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento: n

x n 1

xn

1

0

1.5708

xn 1

ERROR

0.9167202 0.65407984

2da Iteración (n=2): Como el error no es menor o igual que la tolerancia, tenemos que hacer otra interacción, hay que redefinir un nuevo intervalo, los datos que tomamos para el nuevo intervalo y encontrar el siguiente corte con el eje de las “x”, es el primer corte con el eje de las “x” y otro punto, esto son ( 1.5708 , 0.9167202 ) para esta iteración. Entonces el nuevo punto es ( 1.5708 , 0.9167202 ), note que para este intervalo x n 1  x n ¿importara colocar el intervalo de esa forma ¿……?¿.. Claro que no importa….. No importa cómo se coloquen, siempre van a calcular el valor correcto de la pendiente, entonces lo que hay que hacer viendo la tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo siguiente: n

x n 1

xn

1

0

1.5708

2

X n 1  0.9167202 

1.5708000

xn 1

ERROR

0.9167202 0.65407984

0.9167202

0.9167202   0.8  0.2 * sin 0.9167202 0.9167202  1.5708 0.9167202   0.8  0.2 * sin 0.9167202   1.5708  0.8  0.2 * sin 1.5708

X n 1  0.9615513 Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton,

Error  X n  X n1  0.9167202  0.9615513  0.04483113 , No es menor que la 1*10 5 , como no se cumple que

xn  xn1  tol  0.0.4483113  1*10 5 se hace otra iteración.

Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:

n

x n 1

xn

1

0

1.5708

0.9167202

0.6540798

0.9167202

0.9615513

0.0448311

2

1.5708000

xn 1

ERROR

3era Iteración (n=3): Como el error no es menor o igual que la tolerancia, tenemos que hacer otra interacción, hay que redefinir un nuevo intervalo, los datos que tomamos para el nuevo intervalo y encontrar el siguiente corte con el eje de las “x”, es el segundo corte con el eje de las “x” y otro punto, esto son (0.9167202, 0.9615513) para esta iteración. Entonces el nuevo punto es (0.9167202, 0.9615513 ), note ahora que para este intervalo x n 1  x n …. No importa cómo se coloquen, siempre van a calcular el valor correcto de la pendiente, entonces lo que hay que hacer viendo la tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo siguiente:

X n 1  0.9615513 

x n 1

xn

xn 1

0

1.5708

0.9167202

0.6540798

1.5708000

0.9167202

0.9615513

0.04483113

0.9167202

0.9615513

ERROR

0.9615513  0.8  0.2 * sin 0.96155130.9615513  0.9167202  0.9615513  0.8  0.2 * sin 0.9615513  0.9167202   0.8  0.2 * sin 0.9167202 

X n 1  0.9643461 Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton,

Error  X n  X n1  0.9615513  0.9643461  0.00279479 , No es menor que la 1*10 5 , como no se cumple que

xn  xn1  tol  0.0.0279479  1*10 5 se hace otra iteración.

Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento: n

x n 1

xn

xn 1

1

0

1.5708

0.9167202

0.6540798

ERROR

2

1.5708000

0.9167202

0.9615513

0.0448311

3

0.9167202

0.9615513

0.9643461

0.0027948

4ta Iteración (n=4): Si se hiciera esta iteración paso a paso, el nuevo intervalo para iteración seria (0.9615513, 0.9643461), entonces lo que hay que hacer viendo la tabla para redefinir el punto en esta iteración es lo siguiente: n

x n 1

xn

xn 1

1

0

1.5708

0.9167202

0.6540798

ERROR

2

1.5708000

0.9167202

0.9615513

0.0448311

3

0.9167202

0.9615513

0.9643461

0.0027948

4

0.9615513

0.9643461

Seguimos haciendo las iteraciones hasta que

xn  xn1  tol , completando el método tenemos lo

siguiente: n

x n 1

xn

xn 1

1

0

1.5708

0.9167202

0.6540798

ERROR

2

1.5708000

0.9167202

0.9615513

0.0448311

3

0.9167202

0.9615513

0.9643461

0.0027948

4

0.9615513

0.9643461

0.9643339

1.2201E-05

5

0.9643461

0.9643339

0.9643339 3.1464E-09

La solución o la aproximación a la raíz es xn 1 de la 5ta iteración x  0.9643339