Metodos Numericos Chapra 5ta Edicion Solucionario P1.14

CAPÍTULO 1 P1.13 Un tanque de almacenamiento contiene un líquido con profundidad y, donde y = 0 cuando el tanque está lleno a la mitad. El líquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin de satisfacer las demandas. Se suministra el contenido a una tasa senoidal de 3Q sen2(t). Para este sistema, la ecuación (1.13) puede escribirse como: (

)

Emplee el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamaño de paso de 0.5 d. Los valores de los parámetros son A = 1200 m2 y Q = 500 m3/d. Suponga que la condición inicial es y = 0. P1.14 Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13, suponga que el flujo de salida no es constante sino que la tasa depende de la profundidad. Para este caso, la ecuación diferencial para la profundidad puede escribirse como: (

)

(

)

Use el método de Euler para resolver cuál sería la profundidad y, desde t = 0 hasta 10 s, con un tamaño de paso de 0.5 s. Los valores de los parámetros son A = 1200 m2, Q = 500 m3/d, y = 300. Suponga que la condición inicial es y = 0.

Figura P1.13.a Solución P1.14 El método de Euler consiste en encontrar iterativamente la solución de una ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales conocidos. Requiere por lo tanto de un valor inicial, un incremento , y una ecuación diferencial. Reemplazando los valores A,Q y (

)

Desarrollo: En la ecuación diferencial se reemplazan los valores de t e y dados inicialmente, obteniendo multiplicamos por el incremento .

que

para crear la tabla

Para el siguiente el valor de y se inicia sumando el

valor anterior de Generalizando:

y con su

. Se repite el ciclo.

T1.14 Datos tanque de almacenamiento mediante

método de Euler. t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0

0.0000 -0.1250 0.2492 0.6966 0.9371 0.8239 0.5285 0.3691 0.5268 0.8880 1.1386 1.0588 0.7384 0.4808 0.5253 0.8397 1.1385 1.1460 0.8592 0.5495

-0.250

-0.1250

0.6658 0.8946 0.4811 -0.2263 -0.5909 -0.3186 0.3154 0.7227 0.5000 -0.1596 -0.6409 -0.5152 0.0890 0.6288 0.5997 1.5162 -0.6267 0.4045

0.3329 0.4734 0.2405 -0.1135 -0.2955 -0.1598 0.1577 0.3614 0.2500 -0.0798 -0.3204 -0.2576 0.3144 0.2998 -0.2868 0.2022

Análisis de los datos. Al observar la interacción de las variables t e y con el método de Euler, podemos ver que en el tiempo de 10 [s] se tiene una profundidad de 0.5495 [m], La interacción de esas variables la podemos ver con MATLAB.

en la ecuación: (

)

Para obtener la tabla T1.14, iniciamos con los datos que entrega el problema con y=0[m] en t=0[s] se nos pide encontrar y en t=10[s] con un incremento de 5

Figura P1.13. Gráfico Matlab del tanque.

[s].

METODOS NUMERICOS CHAPRA 5TA EDICION

Autor: @PTRRZA