Modulo De Aprendizaje Matematica Basica 2018-ii (1) (1)

3B-3 MÓDULO DE APRENDIZAJE Unidad Académica de Estudios Generales

Matemática Básica

Autores:

Dra. Mary Luz Meneses Román Dra. Ana María Holgado Quispe Dr. Sebastián Sánchez Díaz Mg. Hugo Roberto Chirinos Maldonado Mg. Petronila Reátegui Valera Lic. Mercedes Carmen Morales Ibarra Lic. Freddy Anthony Ñaupas Bendezú Lic. Rocío Coa Mamani

Lima –Perú 2018

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Módulo de Aprendizaje Matemática Básica Director Mg. Jorge Antonio Gonzales Miranda Coordinadora Dra. Mary Luz Meneses Román Autores: Dra. Ana María Holgado Quispe Dra. Mary Luz Meneses Román Dr. Sebastián Sánchez Díaz Mg. Hugo Roberto Chirinos Maldonado Mg. Petronila Reátegui Valera Lic. Mercedes Carmen Morales Ibarra Lic. Freddy Anthony Ñaupas Bendezú Lic. Rocío Esther Coa Mamani

Corrector de estilo Lic. Aram Roosell Simangas Villalobos

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INTRODUCCIÓN El módulo de aprendizaje de la asignatura de Matemática Básica, es un material de trabajo interactivo para el estudiante de la Unidad Académica de Estudios Generales de la Universidad Norbert Wiener que inicia sus estudios universitarios. El objetivo de este módulo es consolidar y complementar el aprendizaje a fin de ser competentes en la solución de problemas ya sea del contexto profesional, así como en la vida cotidiana de los estudiantes del primer ciclo. El módulo de aprendizaje ha sido elaborado para los estudiantes de todas las carreras profesionales de la Universidad Norbert Wiener en las distintas facultades, como son: Ciencias de la Salud, Ingeniería y Negocios, Derecho y Ciencia Política y Farmacia y Bioquímica. Contiene una batería de ejercicios y problemas por cada unidad de aprendizaje, que serán resueltos y presentados en el portafolio para su evaluación respectiva. El presente módulo se organiza en 4 unidades alineadas al sílabo; Primera unidad: Lógica Matemática; Segunda unidad: Teoría de Conjuntos y Sistemas numéricos; Tercera unidad: El conjunto de los Números Reales y Funciones; Cuarta unidad: Funciones de variable real. Finalmente, esperamos que este material de estudio cumpla con los objetivos propuestos entre ellos el de reforzar y consolidar los aprendizajes del estudiante en la asignatura de MATEMÁTICA BÁSICA.

Los Autores

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UNIDAD I

SEMANA 1 LÓGICA PROPOSICIONAL

Introducción Bosquejamos y desarrollamos a lo largo de esta unidad la llamada “lógica de primer orden monódico” que es un campo, en general, no polémico de la misma y aceptado universalmente como los cimientos o, por lo menos, los cimientos para adentrarse en otros. Trelles, O. (2000) I

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar: Aplica las propiedades del lenguaje lógico, elaborando un esquema básico de demostración

que facilite la expresión del propio pensamiento para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente, mostrando tolerancia y respeto a los demás. 1.2.

Contenido del tema:

La Lógica Proposicional Es una rama de la Lógica que trata del carácter verdadero o falso de los enunciados. Mediante el uso de las propiedades permite analizar y determinar si un argumento es válido o no. La lógica proposicional estudia la validez de las relaciones entre argumentos o enunciados. Enunciado Se llama enunciado a toda oración de nuestro lenguaje. Eyzaguirre, V. (1981) Ejemplos: 1. ¿Terminaste lo que estabas haciendo? 2. X es un número primo Proposición Se llama proposición a todo enunciado que se puede determinar su veracidad (V) o falsedad (F). Eyzaguirre, V (1981)

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Ejemplos: 1. p : Lima es la capital del Perú 2. q : 6 + 8 = 10 Conectivos lógicos Se llaman también operadores lógicos, son palabras que enlazan dos o más proposiciones, o cambian el valor de verdad de una proposición. (A. Bustamante, 2009) Los conectivos lógicos de mayor uso son: 

La conjunción: cuyo símbolo es , se lee“y”.



La disyunción inclusiva: representada por , se lee “o ”



La disyunción exclusiva: representada por , se lee O … o …



La condicional: cuya expresión simbólica , se lee “si... entonces”.



La bicondicional: denotada por , se lee “si y solo si”.



La negación: denotada por ~ , se lee “no es cierto”.

Proposición Simple y Compuesta a) Una proposición simple o atómica es aquella que no posee conectivos lógicos. b) Una proposición compuesta o molecular es aquella que presenta uno o más conectivos lógicos. Ejemplos: 1. Lucía duerme. (P. Simple) 2. Mi nombre es Khan. (P. Simple) 3. La lumbalgia es un dolor agudo localizado en la parte baja de la espalda. (P. Simple) 4. Si trae el anuncio entonces tendrá el 25% de descuento. (P. Compuesta) 5. Te compraré una laptop sí y sólo sí tienes buenas calificaciones. (P. Compuesta) En el siguiente cuadro se presenta el tipo de proposición, los símbolos que las representan y sus respectivos valores de verdad.

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CONECTIVO LÓGICO

SÍMBOLO

LECTURA

VALOR DE VERDAD

1

Conjunción

pq

p y q , pero, sin embargo

2

Disyunción inclusiva

pq

póq

3

Disyunción exclusiva

pq

Opóq

Es V, si ambas proposiciones son V. Es V, si por lo menos una proposición es V. Es V, solo cuando una proposición es V

p entonces q 4

pq

Condicional

p implica q

Es F, solo si p es V y q

q si p

es F.

p si solo si q 5

pq

Bicondicional

p es condición necesaria

Es V, solo si p y q

y suficiente para q

tienen el mismo valor.

Fuente: Elaboración propia TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS p

q

pq

pq

pq

pq

pq

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

Fuente: Elaboración propia Observación Si n es el número de proposiciones simples de una proposición compuesta, entonces el número total de arreglos posibles de los valores de verdad es 2 n. Ejemplos: 1. Si existen 2 proposiciones simples entonces el número de arreglos posibles es: 2 2 = 8 2. Si existen 3 proposiciones simples entonces el número de arreglos posibles es: 2 3 = 8 Agrupamiento de Proposiciones Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es:  ;  ; (  ;  ;  ) y ~

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Tautología, Contradicción y Contingencia Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el valor de verdad o resultado global de la tabla es verdadero. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos. Una proposición compuesta se dice que es una contradicción, si el valor de verdad o resultado global de la tabla es falso. Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final hay valores verdaderos y falsos. Ejemplos: 1.

Determine el valor de verdad de la proposición [ ( p  q )  p ]  q. [ (p q) 

p ]  q

p

q

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

 La proposición [ ( p  q )  p ]  q es una tautología porque el valor de verdad es V 2.

Si p  V; q  F y r  V, determine el valor de verdad de la proposición    q  ( p  t )   (  r  t ) .

Solución q(pt)(rt)   [ ( F ) ( V v  t )   (  V  t ) } {[VV (Ft)} { VV}V  La proposición    q  ( p  t )   (  r  t )  es verdadera.

1.3.

Preguntas de aplicación

1. Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones: 1.1.

La honestidad es el valor de decir la verdad, ser decente, recatado, razonable, justo, honrado y honesto.

1.2.

La bomba atómica explotó en Hiroshima en 1945.

1.3.

Terminé el doctorado en Salud Pública.

1.4.

El nuevo ministro de salud es el Dr. Aníbal Velásquez.

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1.5.

El estudiante x desaprobó el curso de Matemática Básica por segunda vez.

1.6.

El lunes reviso los resúmenes de sus trabajos.

1.7.

Según términos legales la Biodiversidad: es la variabilidad de organismos vivos de cualquier fuente, incluidos, entre otros, los ecosistemas terrestres, marinos y otros ecosistemas acuáticos y los complejos ecológicos de los que forman parte.

1.8.

El presente año la Universidad Wiener firmará alianzas estratégicas con más de cinco instituciones extranjeras.

1.9.

La Universidad Wiener renovó su certificación ISO 9001.

1.10. ¿Formamos grupo para el trabajo de investigación formativa? 2. Sean las proposiciones:

p: Miriam es odontóloga

q: Miriam va a una

conferencia Exprese verbalmente las siguientes proposiciones: 2.1. p  q

2.3 q  ~ p

2.5 p  q

2.7 ~ p  q

2.2 p  q

2.4  ( p)

2.6  ( p  q )

2.8  ( p   q )

3. Simbolice las siguientes proposiciones: 3.1.

Micaela aprobará todos sus cursos si y solo si estudia toda la semana.

3.2.

Si desapruebo desarrollo personal, el próximo ciclo solo podré llevar doce créditos.

3.3.

El segundo ciclo llevaré el curso de Estadística a menos que lleve Deporte.

3.4.

Estaré en el tercio superior si apruebo este curso con más de quince.

3.5.

El próximo año cursaré el tercer ciclo, pero llevaré cursos en verano.

3.6.

Apruebo el curso siempre que aproveche mi tiempo para estudiar.

3.7.

El Defensa Civil gastara en la reconstrucción la suma de 4 millones de soles tras la tragedia de los huaycos en Chosica. Sin embargo, esto se dio luego de recibir del Ministerio de economía este desembolso.

3.8.

El crecimiento de natalidad de Julio habría descendido en 3.8% con relación a junio, por ello el Ministro de Salud planteo medidas para revertir esta situación.

3.9.

La Bolsa de valores de Lima cotiza las acciones de las clínicas a menos que dichas clínicas no presenten la documentación requerida.

3.10. Juan terminará satisfactoriamente sus estudios de medicina siempre y cuando logre obtener muy buenas calificaciones en sus exámenes de graduación. 4. Si toda la proposición ( r   q)  ( p  s ) tiene valor de verdad falso, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)  p   q)  q

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b) ( r  q )  q ]  [ ( q  r )  s ) ] c) p  r ) [ ( p  q )   q ] 5. Dadas las proposiciones q : Estadística es un curso del segundo ciclo, p : Matemática Básica no es curso de primer ciclo y r una proposición cualesquiera; tal que la proposición  [ ( r   q )  ( r  p ) ] es verdadera. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) r  (  p   q ) b) [ r  (p  q ) ]  (q   p) c) ( r   p)  (q  p)

II.

Fuentes de información 2.1 Bibliografía: 1) Eyzaguirre, V. (1981). Matemática Básica. Perú: San Marcos. 2) Arnaz, J. (2007). Iniciación a la lógica simbólica. (3a ed.) México: Trillas. 3) Bustamante, A. (2009). Lógica y argumentación. México: Pearson Educación de México S.A. de C.V. 4) Rosales, E. (2009). Lógica y Epistemología: ejercicios y lecturas para las prácticas dirigidas (co-autor) 5) Trelles, O. (2000). Introducción a la lógica. (2da ed.). Perú: Fondo editorial PUCP 2.2. Revistas http://scielo.isciii.es/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1988-348X2016000200006 http://www.redalyc.org/pdf/4418/441849209003.pdf 2.3. Internet https://www.youtube.com/watch?v=FoagYxhtEZI https://www.youtube.com/watch?v=a5cEaETtTNo

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SEMANA 2 Equivalencias e Implicaciones Lógicas. Cuantificadores

Introducción Para la lógica son de suma importancia las tautologías y las contradicciones. Por medio de la equivalencia lógica se establecen proposiciones que son lógicamente equivalentes y que permiten reemplazar ciertas proposiciones por otras I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Determinar si dos proposiciones son equivalentes y cuándo una proposición implica a otra, reforzando sus conocimientos de simbolización y de tablas de verdad. 1.2. Contenido del tema La Equivalencia Lógica es una relación lógica que se da cuando dos proposiciones moleculares se unen a través de una bicondicional y que luego de evaluarse por las tablas de valores de verdad resulta una tautología. Eyzaguirre, V. (1981) La Implicación Lógica es una relación lógica que se da cuando dos proposiciones moleculares se unen a través de una condicional y que luego de evaluarse por las tablas de valores de verdad resulta una tautología. Eyzaguirre, V. (1981)

Principales Equivalencias Lógicas

Ley de Involución

~ (~p)  p

Ley de Idempotencia

ppp

ppp

Ley Conmutativa

pqqp

pqqp

(p  q)  r  p  (q  r) Ley Asociativa

(p  q)  r  p  (q  r) pq ~pq

Ley Condicional

~(pq) p~q

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pq  (pq)(~p~q) Ley Bicondicional

Ley Contrarecíproca

~(pq) (p~q)(~pq) p  q  (~ q )  (~ p ) p  q  (~ q )  (~ p )

La función proposicional también es conocida como enunciado abierto o proposición abierta. Una función proposicional, es un enunciado que contiene una o más variables y que toma los valores de V o F, según los valores que adopte cada variable. Eyzaguirre, V. (2008) Con letras mayúsculas se representan las funciones proposicionales y con minúsculas las variables x, y, z,..., los objetos o entes desconocidos. Si una función proposicional contiene la variable x se denota por P(x). Si contiene variables x e y se denota por P(x;y). Ejemplos: 1. P(x) : x es una universidad con certificación de calidad ISO 9001. Para x: Universidad Wiener entonces P (Universidad Wiener) es verdadero. 2. Q(z): z es divisible por 3. Para z = 51 entonces Q (51) es verdadero. Para z = 37 entonces Q (37) es falso. 3. R(y) : y2 + 3y > 4 Para y = 3 se tiene R (3) es verdadero. Para y = 0 se tiene Q (0) es falso. 4. T(x;y) : x + y > 10 Para (x = 4 ; y = 7) entonces T(4;7) es verdadera Para (x = 2 ; y = 3) entonces T(2;3) es falsa. Cuantificadores Son operadores lógicos que transforman proposiciones abiertas en concretas. Son de dos formas: 1. Cuantificador Universal “Para Todo” ,“” xDP / P(x) equivale también  xDp : P(x) Se lee: “Para todo elemento x del dominio de la proposición, se verifica P(x)”. Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera si y solo si son verdaderas todas las proposiciones particulares.

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2.

Cuantificador Existencial “Existe”, “” xDp / P(x) equivale también xDp : P(x)

Esta proposición se lee: “Existen elementos x del dominio D, tales que se verifica P(x)”. Una función proposicional cuantificada existencialmente es verdadera si y solo si al menos una de las proposiciones particulares es verdadera. Ejemplos: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1.  x

/ x2 + 2x = 3.

Observamos que se cumple para x = 1 luego la proposición es verdadera. 2.  x

/ x2 + 2x >3.

Observamos que no cumple para x = 0 luego la proposición es falsa

1.3. Preguntas de aplicación 1. Formalizar y determinar si los esquemas propuestos son equivalentes: 1.1 A: Juan estudia Ingeniería a menos que estudie odontología. B: Es falso que Juan estudie Ingeniería, aunque estudie Odontología. 1.2 A: No es cierto que Miriam, sea nominalista y realista. B: Miriam no es nominalista o es realista. 1.3 A: La música es agradable solo sí te relaja. B: La música no te relaja por eso no es agradable. 1.4 A: Desaprobé el examen porque no estudié. B: Estudié o desaprobé el examen. 2. Determinar si los esquemas forman una relación de Implicación Lógica 2.1 A: Es un buen abogado dado que no es objetivo. B: No es un buen abogado o no es objetivo. 2.2 A: O dices la verdad o es necesario que investiguemos los papeles. B: No investigamos los papeles porque dices la verdad. 2.3 A: Aprobaré el examen si y solo si estudio responsablemente. B: Estudio responsablemente o desaprobaré el examen. 3. Determinar si las siguientes proposiciones son equivalencias o implicaciones:

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3.1 ~ [ ( p  q ) → r]  ( p  q  ~

3.3 { [ p → (q  r) ]  p }  ( q  r )

r) 3.2 [ ( p   q ) → r)  ~ r] q

3.4 r  ( r  q )

4. Sea U = { xN / 4 < x  10 }, determinar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. 4.1  xU / x + 10 = 3x

4.3  xU / 2x – 7 = 4

4.2  xU / x – 1  U

4.4  xU / x + 10  6x

5. Si U = {1; 3; 5; … ; 11 }, determinar cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas.

II

5.1  xU / x + 21 = 2x

5.3  xU / x – 15 = 5

5.2  xU / (x + 2)  U

5.4  xU / x + 8  5x

Fuentes de información

2.1. Bibliografía 1) Eyzaguirre, V. (1981). Matemática Básica. Perú: San Marcos. 2) Arnaz, J. (2007). Iniciación a la lógica simbólica. (3a ed.) México: Trillas. 3) Bustamante, A. (2009). Lógica y argumentación. México: Pearson Educación de México S.A. de C.V. 4) Rosales, E. (2009). Lógica y Epistemología: ejercicios y lecturas para las prácticas dirigidas (co-autor) 5) Trelles, O. (2000). Introducción a la lógica. (2da ed.). Perú: Fondo editorial PUCP

2.2.

Internet http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711051/Apuntes/Leccion1.pdf

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SEMANA 3 Inferencias Lógicas

Introducción El emplear métodos matemáticos en física no convierte a la física en un capítulo de la matemática. Del mismo modo, la lógica no puede renunciar a su tema: la exploración formal de la verdad, investigación que se enriquece con los horizontes que le permite abordar el empleo de nuevos métodos. Trelles, O. (2000) I.

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Analiza problemas deduciendo lógicamente su validez, utilizando las equivalencias e implicaciones lógicas, mostrando tolerancia y respeto a los demás. 1.2. Contenido del tema Rosales, D (2009), define la Inferencia lógica o Argumento lógico a toda condicional de la forma:

(p1 p2 …pk)  q

Donde las proposiciones p1, p2,…,pk son llamadas Premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada “q” y llamada Conclusión la cual está después de las expresiones luego, por consiguiente, por tanto, de modo que, en consecuencia, en tanto, en suma, se infiere que, se deduce que; y antes de: ya que, dado que, puesto que, pues, si recordamos que, etc. Si una inferencia es una Tautología, es decir una implicación, entonces recibe el nombre de Argumento Válido o Inferencia Válida. Una inferencia no válida se conoce como Falacia. Análisis de una Inferencia por el Método Abreviado Primero se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente, luego se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad de este. A continuación, se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las

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demás variables tratando de hacer verdadero el antecedente. Si se verifica la hipótesis, la fórmula es no tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será invalida; si no se verifica la hipótesis, la formula será tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será válida. Ejemplo Si eres fiscal, eres abogado. Si eres profesional, eres abogado. Luego, Si eres Fiscal, eres profesional. Solución: Sea p: eres fiscal q: eres profesional Esquema lógico :[( p → q)  ( r → q)] → ( p → r) Primero Suponemos que el antecedente es verdadero (V) y el consecuente falso (F) Segundo Se determina el valor de las variables del consecuente [( p → q)  ( r → q )] → ( p → r) Se trasladan estos valores el antecedente y se asignan los valores a las demás variables: V

F

[( p → q)  (r → q)] V

V

F

V

→ F

(p → r) V

F

Se verifica la hipótesis, es decir, la inferencia correspondiente es no válida.

1.3. Preguntas de aplicación Determine si las siguientes inferencias son válidas o no, por el método abreviado: 1.

Si llevas el curso de Introducción a la Administración, eres de Administración o de Turismo. Pero no es el caso que seas de Turismo. Luego eres de Administración.

2.

Si tienes un problema legal, haz una conciliación. No haces una conciliación. Luego, no tienes un problema legal.

3.

El juez defiende la ley y la justicia, pero defendió la justicia; por tanto, si defendió la justicia, defendió la ley.

4.

Si el Ministro de salud apoya la construcción de hospitales entonces la cantidad de pacientes atendidos aumentará. Pero la cantidad de pacientes atendidos no aumentó. Por ello, el Ministro de salud no apoyó la construcción de hospitales.

5.

Si los psicólogos estudian los patrones de conducta, entonces diagnosticarán mejor a los pacientes que tienen alteraciones mentales. Pero no han sido correctamente diagnosticados los pacientes que tienen alteraciones mentales. Por lo tanto, los psicólogos estudian los patrones de conducta.

6.

Iván estudia enfermería y Juan estudia derecho. Pero Iván no estudia enfermería. Por lo tanto, Juan no estudia derecho.

7.

Si los tratamientos son severos, las epidemias serán fáciles de combatir, a menos que las epidemias no sean fáciles de combatir. En consecuencia, los tratamientos

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no son severos a menos que se combata a las epidemias. 8. Si aumentan los sueldos, entonces aumentan los precios de los productos. Si aumentan los precios de los productos, entonces la moneda se devalúa. La verdad es que aumentan los salarios, por consecuencia la moneda se devalúa 9. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas? Es decir, ¿qué proposición lógica se deduce de las premisas? 9.1. Si usted está en Lima, entonces su reloj señala la misma hora que en Piura. Usted está en Lima. Luego, _______________________________________________ 9.2. Si no nos despedimos ahora, entonces no terminaremos nuestro trabajo. No nos despedimos ahora. Por lo tanto, __________________________________________ 9.3. Si esta planta no crece, entonces o necesita más agua o necesita mejor abono. Esta planta no crece. Se concluye que, ____________________________________ 9.4. Son las siete. Si son las siete, ya comenzó la clase. Luego, _________________ 9.5. A las 9:35, tengo clase de Matemática o de Inglés I. No tengo clase de Inglés I. Por tanto, _________________________________

II.

Fuentes de información 1.1. Bibliografía 1) Figueroa, R. (2005). Matemática Básica I. Lima: América. 2) Rosales, E. (2009). Lógica y Epistemología: ejercicios y lecturas para las prácticas dirigidas (co-autor). 3) Trelles, O. (2000). Introducción a la lógica. (2da ed.). Perú: Fondo editorial PUCP. 1.2. Revistas https://media.utp.edu.co/referencias-bibliograficas/uploads/referencias/libro/381la-inferencia-en-la-comprensin-lectora-de-la-teora-a-la-prctica-en-la-educacinsuperiorpdf-BNk9F-libro.pdf 1.3. Internet https://www.youtube.com/watch?v=J1c_rU8P7GY

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UNIDAD II TEORÍA DE CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMÉRICOS

SEMANA 4 Teoría de Conjuntos. Aplicación de Conjuntos

Introducción Nuestro objetivo es ofrecer un panorama general de la teoría de conjuntos.Para ello se presentarán los más relevantes tipos de conjuntos, las operaciones fundametales que se desprenden de los misos y sus más importantes leyes. Se atiende así una necesidad de losestudiantes de las disciplinas enmarcadas en las ciencias sociales, ya que éstas l concepto de conjunto representa una herramienta de primer orden en todas las ramas de las matemáticas y la estadística. Dávila,C y Pardo,A.(2016). I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Interpreta información científica para resolver problemas aplicados a su contexto profesional, haciendo uso del lenguaje conjuntista con sentido analítico y crítico; comunica sus resultados con confianza y seguridad. 1.2. a.

Contenido del tema

Conjuntos

La idea de un conjunto, se entiende como sinónimo de grupo, o colección de objetos o elementos. A los conjuntos los denotaremos por letras mayúsculas A, B, C... etc. y a sus elementos por letras minúsculas. Así por ejemplo el conjunto A = { a , e , i , o , u } Denotaremos por el conjunto U al conjunto universal, que es el mayor conjunto definido dentro de un contexto dado, así como: Conjunto de seres humanos, conjunto de colores, conjunto de números reales, conjunto de países del mundo, etc. Conjunto finito, infinito, nulo y unitario Sea A un conjunto 1.

A es finito  A tiene un número finito de elementos

2.

A es infinito  A no es finito, es decir, A tiene un número ilimitado de elementos.

3.

A es un conjunto nulo  A no tiene elementos.

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Un conjunto nulo o vacío se denota por Ø o por { }. 4.

Un conjunto unitario es el conjunto con un solo elemento.

b.

Determinación de Conjunto por extensión y por comprensión

Un conjunto se determina

por extensión, si se menciona cada uno de los elementos.

Figueroa, R (2005) Ejemplos: 1.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}

2.

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

3.

C = {a, e, i, o, u}

Un conjunto se determina por comprensión, si se menciona los elementos con una propiedad o característica en común, se denota por A = {x / P(x)}. Ejemplos: 1.

A = { 2x / x N }

2.

B = {w / w es un día de la semana}

3.

C = {y / y es una vocal}

B.

Diagramas de un Conjunto

Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, las cuales se llaman Diagramas de Venn, tales como:

.a a . . o

. ie . u

M

P

.1 1 . . . 2. 3 4 5

. a

. .b

c

U . .d e

.f

Fuente Elaboración propia

C.

Relaciones entre Conjuntos

Inclusión Sean A y B conjuntos no vacíos. 1. Se dice que A está incluido en B, si solo si, todo elemento de A pertenece a B. Simbólicamente expresamos: A  B  x / ( x  A  x  B ) 2. Se dice que A no está incluido en B, si solo si, existe un elemento de A que no pertenece a B. Simbólicamente expresamos: A  B   x / ( x  A  x  B ) Observación : A  B se lee también: A esta contenido en B,

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A es subconjunto de B, A es parte de B.

Propiedades Sean A, B y C conjuntos no vacíos, se cumple: 1.

A  A, reflexiva.

2.

( A  B  B  C )  ( A  C ), transitiva

3.

ØA

Igualdad Sean A y B conjuntos no vacíos se tiene: 1.

A es igual a B si solo si tienen los mismos elementos.

Simbólicamente expresamos: ( A = B )  ( A  B  B  A ) 2.

A diferente de B si solo si A no está incluido en B o B no está incluido en A.

Simbólicamente expresamos: ( A  B )  ( A  B  B  A ) Subconjunto propio A es subconjunto propio de B  ( A  B  A  B ) Conjuntos comparables Si A y B son conjuntos no vacíos, se tiene: 1.

A y B son comparables  ( A  B  B  A )

2.

A y B no son comparables  ( A  B  B  A )

D. Algebra de Conjuntos Sean A  U, B  U, U conjunto universal. Se definen las siguientes operaciones: 1.

Unión de conjuntos

A

B

A  B = { xU / x  A  x  B } Fuente: Elaboración propia

2.

Intersección de conjuntos

A

B

A  B = { xU / x  A  x  B } Fuente: Elaboración propia

3.

Diferencia de A menos B

A – B = { xU / x  A  x  B }

Fuente: Elaboración propia

19 F-CV3-3B-3

Diferencia simétrica de A y B

A

A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)

B

Fuente: Elaboración propia

4.

Complemento de A

A

AC = A’ = { xU / x  A } = U – A

U AC

Fuente: Elaboración propia

5.

B

Si B  A el complemento de B respecto A CA (B) = BC = A – B

A BC

Fuente: Elaboración propia

De estas definiciones se observa que existe una analogía entre las operaciones de conjuntos y de la lógica proposicional. Dado dos conjuntos A y B respectivamente dos proposiciones p y q se tienen las siguientes analogías: Conjuntos

Proposición

AB

analogía

pq

AB

analogía

pq

AB

analogía

pq

A=B

analogía

pq

AC

analogía

~p

A–B

analogía

p~q

AB

analogía

pq

Elaboración propia

E.

Conjunto Potencia

Sea A un conjunto no vacío, se define y denota el conjunto potencia de A P(A) = { xA / x  A } Teniendo como cantidad de elementos n [ P (A)] = 2n(A) Ejemplo: Dados A= x / x es un número natural divisor de 12, B= x / x es un número natural divisor de 18 y C= x / x es un número natural divisor de 16 conjuntos, determine los siguientes conjuntos. a) (A – B)  (B – C)

b) (A  B)  C

c) A – (B  C)

Solución: Definiendo los conjuntos dados por extensión se tiene: A =  1, 2, 3, 4, 6, 12, B=  1, 2, 3, 6, 9, 18, C=  1, 2, 4, 8, 16  a) A – B=  4, 12, B – C=  3, 6, 9, 18 entonces (A – B)  (B – C) = 

20 F-CV3-3B-3

d) (B



C) – A

b) A – B=  4, 12 y B – A=  9, 18 entonces A  B =  4, 9, 12, 18, C=  1, 2, 4, 8, 16  entonces (A  B) U C =  1, 2, 4, 8, 9, 12, 16, 18  c) A =  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, B  C=  1, 2 entonces A – (B  C) =  3, 4, 6,9,12  d) B  C =  1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 16, 18 , A =  1, 2, 3, 4, 6, 12 entonces (B  C) – A =  8, 9, 16, 18 } 1.3 Preguntas de aplicación

1. Dado los conjuntos U = {1, 2, 3}, S = {1, 2}, T = {2, 3} y V = {2}, tenemos los diagramas de Venn para ilustrar las operaciones de conjuntos con S y T S  T

S

S T

S

T 1

2

2

T 1

3

3 U

SC

T–V

T

V

2

U

U

2

S

T 1

3

S–T

SS’C

3

TC

.3

TS’C

SS .2 .1 .3 1 2

U

.1 TS

.3 .2 1 2

U Fuente: Elaboración propia

2.Dados los conjuntos U= {1, 2, 3, 4,7, 9, 16, 25, 36, 49, 64}; A = {x / x  N; 1 < x  5} B = {x / x  N; 3  x  6} C = {x2 / x  N; 2  x  8}. Determine las siguientes operaciones: a) (A C)  B

b) ( A – B )  C

c) ( A  B )  C

3. Expresar mediante operaciones con conjuntos la parte sombreada de la siguiente figura.

a) A  ( B  C )  c) A  ( B  C ) 

b) A  ( B  C )  d) A  ( B  C )

e) A  ( BUC )

4. Sombrear los siguientes conjuntos, según lo solicitado:

21 F-CV3-3B-3

U

Estudiantes de la Universidad Wiener que

Los que prefieren solo una de las dos

prefieren solo el taller de Danzas

revistas

Taller de Danzas (A)

Taller de Clown (B)

Revista Business (A) Revista Actualidad Laboral (B)

Los estudiantes de Psicología que prefieren

Los estudiantes de Psicología que no

las dos infusiones.

prefieren taller de teatro o taller de declamación.

Estudiantes que prefieren infusión de Anís (A) Estudiantes que prefieren infusión de Anís

Taller de teatro (A)

Manzanilla (B)

Taller de declamación (B) Fuente: Elaboración propia

Estudiantes matriculados en las actividades integradoras del primer ciclo de Estudios Generales Estudiantes matriculados solo en uno de los

Estudiantes están matriculados en el taller de

Talleres.

clowns o bien en deportes, pero no en música.

22 F-CV3-3B-3

Estudiantes matriculados en los tres talleres.

Estudiantes matriculados solo en dos de los talleres

Estudiantes matriculados en el taller de

Estudiantes que no llevan ninguno de

música y deportes, pero no de clowns.

estos talleres.

Estudiantes que están matriculados en al

Estudiantes que están matriculados en

menos en dos talleres.

música, pero no en clowns.

Fuente: Elaboración propia

23 F-CV3-3B-3

II.

Fuentes de información 2.1 Bibliografía 1) Allen, R. (2009). Álgebra Intermedia. (6a ed.) Pearson. 2) Figueroa, R. (2005). Matemática Básica I. Lima: América. 3) Jagdish, A. (2009). Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía (5ta ed). Pearson, Prentice Hall. 4) Dávila,C. y Pardo,A.(2016). Matemática. México: FLACSO

2.2. Revistas http://www.elsevier.es/es-revista-inmunologia-322-articulo-teoria-conjuntos-aplicada-alrecuento-S0213962613000164 2.3 Internet http://www.videosdematematicas.com/algebra/operaciones%20con%20tres%20conjuntos%2 0ejercicios%20resueltos

24 F-CV3-3B-3

SEMANA 5 Cardinal de un conjunto. Aplicación de conjuntos

Introducción En el estudio de la teoría de la probabilidad y de la estadística, es preciso saber utilizar con exactitud la comunicación. Si, debido a la semántica, se hace difícil comprender una pregunta, su respuesta sería más difícil aún, sino imposible. El lenguaje exacto que en general se emplea para enunciar y resolver problemas de probabilidades es el de teoría de conjuntos. Esta teoría es bastante sencilla y en base a ella pueden realizarse fácilmente las operaciones relacionadas con la probabilidad. Larson,R. (2006).

I.

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Interpreta información científica para resolver problemas aplicados a su contexto profesional, haciendo uso del lenguaje conjuntista con sentido analítico y crítico, comunicando sus resultados con confianza y seguridad 1.2. Contenido del tema A. Cardinal de un Conjunto Es el número de elementos que tiene un conjunto, denotado por n(A) o #(A). Ejemplos: 1.

Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, entonces n(A) = #(A) = 7.

2.

Dado el conjunto B = {a, b, c, d, e}, entonces n(B) = #(B) = 5.

B. Aplicaciones de conjuntos 1.

En una encuesta realizada a un grupo de 90 jóvenes sobre la utilización de las redes sociales

(facebook, twitter y whatsapp). Se sabe que 12 jóvenes prefieren las 3 redes sociales, 56 utilizan facebook, 49 utilización twitter y 25 solo utilizan facebook. Si todos los que utilizan whatsapp también utilizan Facebook y 8 jóvenes no utilizan ninguna de estas redes sociales, ¿cuántos jóvenes utilizan facebook y whatsapp, pero no twitter?

F (56)

Solución:

T (49) W

Sea x: jóvenes utilizan facebook y whatsapp, pero no twitter Con los datos formamos el siguiente gráfico:

25

Se tiene 90 = 49 +x + 25 + 8 -- x=8

x

12

8 25 F-CV3-3B-3

La cantidad de jóvenes que utilizan Facebook y whatsapp pero no twitter son 8 Fuente: Elaboración propia

2.

Una agrupación musical tiene 96 integrantes, de los cuales 64 bailan, 40 mujeres cantan, y 27 mujeres cantan y bailan. Si 12 integrantes no bailan ni cantan, ¿cuántos varones cantan pero no bailan?

Bailan(64)

Solución:

Cantan

Varón

x

Con los datos tenemos el siguiente grafico

2 7

Mujer

Se tiene 96 – 64 = x + 13 + 12x=7 La cantidad de varones que cantan pero no bailan 7

12

13

Fuente: Elaboración propia

3.

En una encuesta realizada a 150 personas sobre preferencia de lecturas de tres revistas de

edición semanal, se tiene el siguiente resultado: 36 leen la revista A, 44 leen la revista B, 18 leen solo la revista C; 8 sólo leen las revistas A y C, 5 sólo leen las revistas A y B, 6 sólo leen las revistas B y C; y solamente 3 leen las tres revistas. a)

¿Cuántos no leen ninguna de las tres revistas?

b)

¿Cuántos leen la revista C?

c)

¿Cuántos leen solo una de las tres revistas?

U

Solución: Si distribuimos los datos del problema en un diagrama de Venn - Euler, se obtiene Los lectores son la suma de todos los números n(AUBUC)=90

a)

B

5

20 8

Indicados: ¿No leen n(U)- n(AUBUC)=?

A

3

30 6

18

150-90=60

60

C

L e e n C = n (C ) = 18 + 8 + 6 + 3 = 3 5

b) Leen solamente una revista =20 + 30 +18 =68

fuente: Elaboración propia

1.3 Preguntas de aplicación 1. De 90 profesionales de salud, se sabe que 12 son cirujanos, otorrinos y laringólogos: hay 56 que son cirujanos, 49 que son laringólogos y 25 que son otorrinos. Además, todos los otorrinos son cirujanos y 8 no son cirujanos, ni otorrinos ni laringólogos. ¿Cuántos son cirujanos y laringólogos, pero no otorrinos? 2. Al consultar a 720 personas sobre sus preferencias por dos pastillas A y B se obtuvo la siguiente información: el 65% no prefiere A, el 45% no prefiere B y el 50 % prefiere solo una de ellas.

26 F-CV3-3B-3

¿Cuántos no prefieren ninguna de las dos pastillas? 3. De un grupo de 210 estudiantes, 40 de ellos participan en el taller de teatro y 135 estudiantes participan en el taller de recolección de botellas descartables. Si 15 estudiantes participan en ambos talleres. ¿Cuántos estudiantes no participan en ninguno de los talleres mencionados? 4. Una empresa dedicada al mantenimiento de maquinaria médica tiene a su cargo 40 técnicos laboratoristas. Los hospitales Almenara, Bravo Chico y Cayetano Heredia contratan los servicios de dicha empresa,  10 de estos técnicos laboraron para el hospital Almenara;  15 técnicos trabajaron para el hospital Bravo Chico y  20 para el hospital Cayetano Heredia.  5 trabajaron para el hospital Almenara y Bravo Chico;  3 trabajaron para Bravo Chico y Cayetano Heredia y  4 trabajaron solamente para el Almenara y Cayetano Heredia.  Si 2 técnicos trabajaron para los 3 hospitales. a) Determine el número de técnicos de laboratorio que trabajaron exclusivamente para cada hospital. b) ¿Cuántos técnicos trabajaron a lo más en dos de los hospitales mencionados? 5. En la sección AC1M17 hay un total de 25 estudiantes, se sabe que 12 estudiantes llevan el curso de Oratoria y 18 estudiantes llevan el curso de Redacción. Si todos gustan de al menos uno de los cursos mencionados. ¿Cuántos estudiantes gustan solo uno de los cursos? 6. De un grupo de 100 estudiantes del centro de idiomas de la Universidad Wiener se sabe que: 20 estudian portugués, 36 estudian alemán, 25 estudian francés; 12 estudian alemán y francés, 9 estudian portugués y francés, 10 estudian alemán y portugués. Si 6 alumnos estudian los tres idiomas mencionados. ¿Cuántos estudiantes estudian portugués o alemán, pero no francés? 6. De un grupo de 82 estudiantes, 44 no llevan la asignatura de Cálculo diferencial y 36 no llevan Cálculo integral. Si 13 llevan ambos cursos. ¿Cuántos estudiantes no llevan ninguno de los cursos mencionados? 7. Una empresa realizó una entrevista a 160 personas en el distrito de San Roque con el fin de averiguar los servicios de comunicación con las que cuentan, se obtuvo los siguientes resultados: 115 personas tienen internet en casa, 96 tienen cable en casa, 91 tienen celular. 60 personas tienen internet en casa y celular, 68 tienen internet y cable en casa, 54 tienen cable en casa y celular. Si 38 personas tienen los tres servicios. ¿Cuántas personas de los entrevistados no tienen ni internet, ni cable, ni celular?

27 F-CV3-3B-3

8. Trescientos atletas se inscriben para competir en 3 disciplinas deportivas, previa aprobación del examen médico. Conociendo que 205 compiten hasta en 2 disciplinas, 140 solo en una y 15 en las tres. Determine: a) El número de atletas que no aprobaron el examen médico. b) El número de atletas que participan exactamente en dos de las disciplinas deportivas mencionadas. 9.

En un estudio de nutrición que se realizó a un grupo de 350 personas, se obtuvo la siguiente información: 165 personas desayunaron, 270 almorzaron, 280 cenaron, 125 desayunaron y almorzaron, 110 desayunaron y cenaron, 230 almorzaron y cenaron. Si 90 personas desayunaron, almorzaron y cenaron, ¿cuántas personas sólo desayunaron y cuántas no desayunaron?

II.

Fuentes de información 2.4 Bibliografía 1) Allen, R. (2009). Álgebra Intermedia. (6a ed.) México: Pearson Prentice Hall. 2) Hughes-Hallett, D., Gleason, A. (2006). Cálculo aplicado. (4aed.) México D.F.: Continental. 3) Jagdish, A. (2009). Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía (5ta ed.). México: Pearson, Prentice Hall 4) Larson, R. (2006).Cálculo de una variable. (9

a

ed.). The Pennsylvania State

University. 2.2. Revistas http://www.elsevier.es/es-revista-inmunologia-322-articulo-teoria-conjuntos-aplicada-alrecuento-S0213962613000164 http://matebacero.blogspot.pe/2013/12/teoria-de-conjuntos-aplicada-la.html 2.5 Internet http://www.videosdematematicas.com/algebra/operaciones%20con%20tres%20conjuntos%20eje rcicios%20resueltos https://www.youtube.com/watch?v=kcBoWqdgZgM

28 F-CV3-3B-3

SEMANA 6 Sistemas numéricos

Introducción En este capítulo repasamos los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que el lector ya se encuentre familiarizado con estos conceptos, pero es útil ver de nuevo cómo funcionan estas ideas para resolver problemas y modelar (o describir) situaciones prácticas. Stewart, J; Redlin, L y Watson,S. (2012) Matemáticas para el Cálculo

I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Sistematiza, procesa y resuelve problemas relacionados con los diferentes sistemas numéricos. 1.2. a.

Contenido del tema

Sistema de los Números Reales

El sistema de los números reales está formado por el conjunto de los números reales denotado por

, (ℝ ≠ 𝝓) , provisto de dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), y una relación de

orden (<) que se lee “menor que” y un axioma llamado “el axioma del supremo”. Al sistema de los números reales se denota con ( simplemente con b.

,+, . , <) pero por comodidad se denota

. Cada elemento a  ℝ se llama número real. Figueroa, R (2005)

Adición y multiplicación de Números Reales

En ℝ están definidas dos operaciones internas: Adición: a cada par (a;b) de números reales se asocia un único número real “c” que es llamado suma de “a” y “b” y se denota por: a + b = c, ( se lee “a más b”) Multiplicación: a cada par (a;b) de números reales se asocia un único número real “d” llamado producto de “a” y “b” y es denotado por: ab = d, (se lee “ a por b”). La adición y la multiplicación de números reales satisfacen los siguientes axiomas: A1 a + b = b + a , a, b 

( conmutatividad )

A2 (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c  ℝ

( asociatividad )

A3 Existe el número real “cero”, que se denota con 0, que satisface

29 F-CV3-3B-3

a + 0 = 0 + a, a  ℝ

( existencia del elemento neutro aditivo)

A4 Para cada a  ℝ, existe un número llamado “opuesto de a” que se denota por –a, tal que a + (–a) = 0. M1 ab = ba,

( existencia del inverso aditivo)

a, b  ℝ

( conmutatividad)

M2 a(bc) = (ab)c , a, b, c 

(asociatividad)

M3 Existe el número real “uno” que se denota con 1, tal que a.1 = a,a  ℝ (existencia del elemento neutro multiplicativo) M4. Para cada a  ℝ – {0}, existe un número llamado “inverso de a” que se denota por a -1, tal que

a . a-1 = 1.

(existencia del inverso aditivo)

D. a(b + c) = ab + ac, a, b, c  ℝ c.

(distributividad)

Sistema Coordenado Unidimensional

Existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de una recta, es decir, a cada número real x le corresponde un único punto P de la recta, y recíprocamente, a cada punto P de la recta le corresponde un único número real x. De este modo se identifican puntos de la recta con los números reales y denotamos P = x , o también, P(x) P 0

x

Ejemplo: P (3), Q (-4) Q

P

-4

0

3

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, es decir, se define una relación de orden, de tal manera que cada número real ocupa un lugar en la recta numérica. Ecuación: Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Arya, J (2009) Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Propiedades de Igualdad 1. a = a,  a  ,

(reflexiva)

2. Si a = b b = a,

(simétrica)

3. a = b b = c  a = c, (Transitiva) 4. a = b  a + c = b + c,  c  ℝ (aditiva, cancelativa) 5. a0 = 0a = 0 6. ab = 0  a = 0  b = 0,  a, b  ℝ 7. a² = b²  a = b  a = – b

30 F-CV3-3B-3

8. ab = ac  a  o  b = c (cancelativa -multiplicativa) Ecuación de primer grado en una variable Las ecuaciones lineales o de primer grado son aquellas, cuya forma general es ax + b = 0, donde a, b



ℝ, a ≠ 0

Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumando. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multiplicando. Ejemplo1: Resolver

x + (x + 100) + {(x + 100) + 200} = 850.

Reducimos los términos semejantes

:

3x + 400 = 850.

Pasamos 400 al otro miembro (restando)

:

3x = 850 – 400 =450

Pasamos 3 al otro miembro (dividiendo)

:

x = 450/3 x = 150

Modelación Matemática Porcentajes Tomado de Modelo de pruebas de Admisión a la Pontificia Universidad Católica del Perú.(2016)

Una tienda desea vender una nueva línea de minilaptops para la campaña navideña. Debido a la cantidad de ofertas que en dicha campaña se ofrecen, la tienda tendrá que hacer un descuento interesante al público para garantizar las ventas. ¿Cuál o cuáles de las siguientes tres opciones le permitirán obtener mayor margen de ganancia a la tienda sobre el precio de costo? 1. Establecer el precio de venta en 60% más que en el precio de costo y hacer un descuento de 20% 2. Establecer el precio de venta en 100% más que el precio de costo y hacer un descuento del 36% 3. Establecer el precio de venta en 80% más que el precio de costo y hacer un descuento del 30% Solución. Si el precio de costo es x y se adopta la opción: 1. El precio de venta será 1,60x-0,2(1,60x)=1,28x. 2. El precio de venta será 2x-0,36(2x)=1,28x. 3. El precio de venta será 1,8x-0,3(1,8x)=1,26x.

31 F-CV3-3B-3

Por ello, obtendrá un mayor margen de ganancia con la opción 1 o 2.

Regla de Tres Simple Regla de tres directa Un empleado de FCK gana en un día S/60 ¿Cuánto ganará en 2 meses? Tiempo(en días)

Sueldo (en S/.)

1

60

60

x

1.x=60(60) entonces x=S/.3600 Regla de Tres Inversa En un instituto de Epidemiología se ha observado que una colonia de 27 bacterias degradan 2 gramos de materia orgánica en 7 minutos. ¿En cuánto tiempo lo degradarán 78 bacterias? Solución Bacterias

Tiempo(en minutos)

27

7

78

x

27(7)=78x

x=2.42min

Descuento a) Pablo compró hace un mes una máquina para ejercitar su cuerpo a S/. 2,400.Ahora de regreso al centro comercial de da cuenta que ha sufrido dos aumentos sucesivos del 10% y 25%. ¿Cuál será el nuevo precio de la máquina? Solución Precio original

+10

+25

Nuevo precio

2400=N

110%(2400)

25%(110%)(2400)

2400+660

100%

100%

=660

S/.3,060

b) Vianda anuncia descuentos del 15 % y 30% en todos sus artículos. ¿Cuál es el descuento único al que son equivalentes? Solución Precio original

-15%

-30%

Descuento único

N

85%N

70%(85%N)

59.9%

100%

100%

=59.5%N

Sistemas de ecuaciones Los departamentos de logística de las empresas Cassio y Display planean comprar cierta cantidad

32 F-CV3-3B-3

de computadoras de pantallas 12 y 25 pulgadas y en diferentes cantidades. La tabla muestra el pedido que solicitarán 12”

25”

Cassio

12

9

Display

5

8

Cassio invierte $35 100 y Display $22 700 en la compra. ¿Cuál es el costo de cada computadora? Solución: X:costo de computadoras de 12” Y:costo de computadoras de 25” 12x + 9y = 35100 5x + 8y = 22700 Sacando tercia a la primera ecuación 4x + 3y = 11700

-(5)(4x + 3y = 11700)

5x + 8y = 22700

(4) ( 5x + 8y = 22700)

resulta

-20x-15y=-58 500 20x +32y = 90 800

Sumando

17y=32300 Y=$1900 4X=11700-3(1900)=6000==> x=$1500

1.3.

Preguntas de aplicación

1.

Resuelva los siguientes de ejercicios.

a.

2 [ 6  3 x 2 – (6 + 4  2) ]

b.

1 3  2

c.

8

d.

 13 

2.

3

1  2  3

2

1    3

3



4  28  34  3 1 1 2

 5     2 

3



 

  3  1   7  

3

 6 1 3



Una nutricionista cada noche debe realizar 4 mediciones del volumen contenido en un frasco de licuado. Debe reportar su medición en litros. Indica a qué conjuntos pertenece el resultado de la medición, en general: naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

3.

Leonardo sale a correr todos los días a las 5am. El lunes corrió 12 kilómetros, el martes solamente 11 kilómetros, el miércoles, el jueves y el viernes corrió 15

33 F-CV3-3B-3

kilómetros cada día. ¿Qué distancia recorrió en esos cinco días? Regla de Tres Simple Directa 4.

Para tener buena salud, mínimo se deben comer 3 naranjas a la semana. Si tres kilos de naranja cuestan 6soles ¿Cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con 50 soles

5.

Efraín es dueño de una papelería y abona una factura de S/. 820 por un pedido de 25 cajas de folios para una auditoría. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 19 cajas?

6.

El Dr. Pull indica que el corazón de un humano adulto late, en promedio, 70 veces por minuto. Martina, la enfermera es encargada de responder a la siguiente pregunta ¿Cuántas veces late el corazón de un adulto en un año aproximadamente? Regla de Tres Simple Inversa

7.

Una ambulancia tarda una hora en acabar su trayecto desde San juan hasta en centro de la ciudad a una velocidad de 90km/hora. Si aumenta su velocidad a 95km/hora ¿cuánto tardará en terminar su trayecto?

8.

Para ampliar un condominio de contratan a 12 obreros que tardan 4 meses n construir ¿Cuántos días tardarán 18 obreros?

9.

En estado de guerra un campamento de refugiados puede albergar a 5200 personas; tienen víveres para 24 semanas ¿En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 refugiados nuevos? Descuento

10. Si el 50% de una cantidad es 1600, ¿Cuánto es el 45% de esa misma cantidad? , ¿ cuál es la cantidad? 11. En una multinacional hay 260 empleados el 25% son europeos, el 12% son africanos, el 25% americanos y el resto asiáticos. ¿Cuántos asiáticos hay en la multinacional? 12. El precio de las multas por no respetar las reglas de tránsito ha subido dos veces en los últimos años, la primera de un 17% y la segunda, 14%. Pero en el último trimestre ha bajado un 10%. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida? 13. Ha llegado el recibo del agua. Pedro va a pagar, pero le aplican un recargo del 10% sobre el coste total por el exceso de consumo, le hacen un descuento del 12%, también sobre el total. ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente si la cuota era de 170 soles? Sistemas de ecuaciones 14. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones a)

  7 x + 11 y = 47  4x  5y  7

b)

34 F-CV3-3B-3

 3 x  5 y = 12  4x  3y  1

c)

 2 x  3 y = 18   3 x  4 y  10

d)

5x  6 y = 8  2x  3y  9

15. Rodrigo y sus amigos de promoción pagaron S/. 350 por 3 kebox y 5 refrescos en CFK. Si la semana anterior consumieron 6 kebox y 15 refrescos y la cuenta fue de S/.870, ¿cuánto cuesta cada kebox y cada refresco? 16. Invertir en la bolsa es rentable. Así que Gabriel enterado de esto invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 15% de beneficio y por otra inversión en un segundo producto, obtiene un beneficio del 25%. Sabiendo que en total invirtió S/.20 000, y que los beneficios de la primera inversión superan en S/. 500 a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada producto? 17. En el laboratorio de física un grupo de alumnos rompe una luna de reloj. Para devolverlo acuerdan dar una cuota de 3,5 dólares cada uno, pero uno de los integrantes se niega a pagar, razón por la cual, el resto del grupo tendrá que agregar 0,5 dólares a su cuota. ¿Cuántos alumnos formaban el grupo? 18. En la sección AC1M1 con menos de 60 alumnos la profesora de Estrategias para el aprendizaje desea que se formen grupos para la investigación formativa con el mismo número de estudiantes. Observa que si los grupos son de 5 sobra un estudiante y si los grupos son de 3 se forman 7 grupos más, pero sobran 2. Si cada grupo debe ser de más de 2 estudiantes. ¿Cuál es el mínimo de alumnos por grupo y cuantos estudiantes hay en el salón? 19. Un odontólogo realiza 7 trabajos odontológicos diarios entre extracciones y curaciones por los cuales recibe un total de S/200 al día. Si cada extracción cuesta S/. 20 y cada curación S/ 35, ¿cuántas curaciones realiza diariamente? 20. Tomado de Allen, A (2009). Álgebra Intermedia (6ta ed.) Pearson Education. Una compañía de bicicletas produce tres modelos de bicicletas: Dakar, Komodo y Aragón. La fabricación de cada bicicleta consta de tres etapas: soldadura, pintura y ensamblaje. El tiempo que se dedica a cada etapa de fabricación se indica en la siguiente tabla. Etapa

D

Dakar

Komodo

Aragón

Soldadura

2

3

4

Pintura

1

2

2,5

1,5

2

3

Ensamblaje

Durante una semana específica la compañía dispone de un máximo de 133 horas para soldadura, 78 horas para pintura y 96 horas para ensamblaje. Determine cuántas bicicletas de cada tipo deben producirse para que la compañía opere a su máxima

35 F-CV3-3B-3

capacidad. 21. Paula recibió un bono por ser la colaboradora del mes. Así que decide ir al concierto de Coldplay. La información disponible que le dan es: Se dispone de tres clases de boletos cerca, en medio y lejos. Los boletos cerca cuestan $10 más que los de en medio, mientras que los de en medio cuestan $10 más que los de lejos. El doble del costo por un boleto cerca es $20 más que el triple del costo de un asiento lejos. Calcule el precio de cada clase de boleto. 22. Un hospital ha recibido varias quejas por las largas colas que hacen los pacientes para conseguir una cita. Por ello se ha decidido implementar más computadoras. Se cuenta con un presupuesto de $280,000.Se van a adquirir computadoras personales a $500 cada una, una impresora a $2000 cada una y laptops a $5000 cada una. Logística recomienda comprar cinco computadoras personales por cada impresora y por cada laptop dos computadoras personales. Determine si se gasta todo el presupuesto. II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1) Allen, A (2009). Álgebra Intermedia (6ta ed.) Pearson Education. 2) Figueroa, R (2005). Matemática Básica. Perú: San Marcos. 3) Jagdish, A. (2006). Matemáticas Aplicadas. México: Prentice Hall. 4) Soto, E. (2010). Matemática preuniversitaria. (1a ed.) México DF. 5) Stewart, J; Redlin, L y Watson,S. (2012) Matemáticas para el Cálculo (6 a ed). México D.F 6) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México:Prentice Hall.

2.2. Revistas http://www.sinewton.org/numeros/ https://www.google.com.pe/search?rlz=1C1NHXL_esPE753PE753&ei=TPdgWqmTFo i8zQLA2Y7IDA&q=revistas+de+matematicas+para+secundaria&oq=revistas+de+mate matica&gs_l=psy-ab.1.2.0i71k1l4.0.0.0.4696.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0....0...1c..64.psyab..0.0.0....0.omd5ObWZu9A http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/sigma_aldizkaria.html 2.3. Internet http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf

36 F-CV3-3B-3

https://es.slideshare.net/regiomontano2009/gtc2el-sistema-de-los-numerosreales http://udearroba.udea.edu.co/course/view.php?id=1255

SEMANA 7 Ecuación de segundo grado en una variable

Introducción

“Si la vida fuera una ecuación matemática, nos faltarían letras en el abecedario para representar las incógnitas” Georges-Louis Leclerc. Naturalista, botánico, matemático, biólogo, cosmólogo y escritor francés (1707-1788 )

I.

Desarrollo del tema

1.1. Competencias a desarrollar Resuelve ecuaciones aplicando correctamente las definiciones y propiedades. 1.2 Contenido del tema Las ecuaciones cuadráticas también llamadas ecuaciones de segundo grado, son aquellas, cuya forma general es: ax2 + bx + c = 0, donde a  0 y a, b, c R. D =  = b2 – 4ac

Se define el discriminante de esta ecuación: Esta ecuación tiene dos soluciones:

x1 

b 

Δ

y

2a

x2 

b 

Δ

.

2a

Podemos saber la naturaleza de las soluciones, calculando el valor de  Si Δ  0 sus soluciones son reales y diferentes Si Δ  0 sus soluciones son reales e iguales (se dice que tiene una única solución) Si Δ  0 sus soluciones son no reales y conjugadas. Además se cumple que: x 1  x 2  

b a

,

x1 x 2 

37 F-CV3-3B-3

c a

.

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x2 – 5x + 2 = 0 Solución Se tiene que a = 3, b = – 5, c = 2; luego  = (– 5)2 – 4(3)(2) = 1 > 0 tiene 2 soluciones reales diferentes

x1 

x1 

 (5) 

5 1

1

x2 

y

2(3)

y

6

x2 

5 1 6

 (5) 

1

2(3)

; x1  1 y

x2 

2 3

Su conjunto solución C. S. = {1; 2/3}

1.2. Preguntas de aplicación 1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 2x2 – 5x + 3 = 0

b) 3x2 – 5x+2=0

c) x2 – 9x + 18 = 0

d) x2 + 11x + 24=0

e) x2 + x – 5 = 0

f)

9x2 –12x + 4=0

h)

16 x

j)

y  x

2

g)

4x

i)

9  12 x  4 x

 4x  1 2

2

2

 8x  1 2

2. Tomado de Nivelación de Matemáticas para ADm-Eco.2014. UPC. ( 2.1;2.2;2.3) 2.1 Luego de un análisis de mercado se concluyó que la demanda de polos H&H se modela por p= q2- 8q + 20, donde el precio está expresado en dólares y la cantidad q en cientos de unidades. Para un precio de $10,25 ¿Cuántas unidades se demandan en el mercado? 2.2 La fábrica TECLISEN estima que la utilidad semanal U en miles de dólares, está dada por el polinomio U=1,2q2 + 4q -12 donde q es la cantidad en cientos de refrigeradoras vendidas. a) Determine según el modelo, la utilidad que obtuvo la empresa si l semana pasada vendió 1500 refrigeradoras b) ¿Cuántas refrigeradoras debe vender la empresa la próxima semana, si desea obtener una ganancia de 548 000dólares? 2.3 Suponga que el ingreso que obtiene mensualmente la empresa “The sky S.A”

38 F-CV3-3B-3

dedicada a la producción y exportación de café está dada por I=800q+50q 2, donde I está en dólares y q representa la cantidad de toneladas vendidas de café. Si el mes pasado el ingreso que obtuvo la empresa fue de $16 800 ¿Cuántas toneladas se vendieron el mes pasado? 2.4 Un médico atiende un promedio de 60 pacientes semanales cobrándoles

S/. 50

soles la consulta. Si por cada incremento de S/. 5 soles en la consulta, pierde 5 pacientes, cuánto deberá cobrar para que los ingresos semanales no sean menores del que obtiene cobrando S/.50? 2.5 Una cadena de farmacias se encuentra con grandes existencias de cierto producto, los cuales deben venderse rápidamente por el vencimiento de su vigencia, el gerente sabe que si se venden a

p soles cada uno, pueden venderse x unidades,

donde x = 1000 – 20p, que precio deberá fijarse para obtener un ingreso sea de S/. 12000? Recuerde que I= precio x cantidad=p.q

II.

Fuentes de información

2.1. Bibliografía 1) Miller, Ch., Heeren, V., Hornsby, J. (2006). Matemática: razonamiento y aplicaciones. (10ª ed.) México DF: Pearson. 2) Jagdish, A (2009) Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (5a ed.) México DF 3) Nivelación de Matemáticas para Administración y Economía. (2014).Perú: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. 4) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México: Prentice Hall. 5) Jagdish, A. (2006). Matemáticas Aplicadas. México: Prentice Hall.

2.2. Revistas http://www.sinewton.org/numeros/ http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/sigma_aldizkaria.html

39 F-CV3-3B-3

2.3. Internet http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf https://es.slideshare.net/regiomontano2009/gtc2el-sistema-de-los-numerosreales http://udearroba.udea.edu.co/course/view.php?id=1255

UNIDAD III

SEMANA 9 El conjunto de los números reales y funciones

Introducción Una desigualdad se define como la relación entre dos magnitudes diferentes. Si dos magnitudes son diferentes es porque una es mayor que la otra. Fernández, H (2005)

I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Al finalizar la tercera unidad los estudiantes explican la solución de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal,

40 F-CV3-3B-3

matemático 1.2.

Contenido del tema

Relación de orden en ℝ. Notaciones ℝ+ = { x ℝ / x > 0 } Conjunto de los números reales positivos. ℝ– = { x ℝ / x < 0 } Conjunto de los números reales negativos. ℝ

= ℝ+ℝ – {0}

Axiomas 1. Si a, b ℝ+ a + b ℝ +, la suma de dos números reales positivos es positivo. 2. Si a, b ℝ +abℝ + , el producto de dos números reales positivos es positivo. Relación menor Definición. Sean a, b ℝ . Si a < b   r ℝ+ / a + r = b. Usando la definición anterior se demuestran las siguientes propiedades: 1. Si a < b b< c  a < c (Transitiva) 2. a < b  a + c < b + c,  a , b, c  ℝ (aditiva - cancelativa) 3. Si a < b  c >0  ac < bc 4. Si a < b  c < 0 ac > bc 5. a < b  –a > –b 6. Si a  0 y, b  0, a y b del mismo signo y a < b 

1



a

1 b

Relación mayor Definición.- Sean a, b  ℝ.

a>bb
Usando esta definición y las propiedades de la relación menor, se demuestran las siguientes propiedades. 1. a rel="nofollow"> b b> c  a > c, (Transitiva) 2. a > b  a + c > b + c,  c ℝ (aditiva - cancelativa) 3. a > b  c > 0 ac > bc 4. a > b c < 0  ac < bc 5. a > b  -a < -b 6. a  0, b  0, a y b del mismo signo.

Si a > b 

1 a

Relación menor o igual y mayor o igual Definiciones.- Sean a, b ℝ

41 F-CV3-3B-3



1 b

aba=bvab Las propiedades son las mismas que las de menor o mayor. Ley de Tricotomía Si a, b  R  a = b  a < b  a >b Desigualdad Definición.- Se llama desigualdad a la negación de la igualdad ~ ( a = b)  a  b  a < b v a > b Propiedades de desigualdades I.-

Adición

i)

Si a < b  c < d  a + c < b + d

ii)

Si a > b  c > d  a + c > b + d

II.- Multiplicación i)

a < b  c < d, a > 0  c > 0  ac
ii)

a > b  c > d , b > 0  d > 0  ac >bd

III.- Potencia i)

a > b, b > 0  an> bn,  n  {1,2,3 ...n}

ii)

a < b, a > 0  an< bn,  n  {1,2,3 ...n}

IV.- Ley de los signos 1. a  0  a² > 0,  a  2. ab> 0  (a > 0  b > 0) v (a < 0  b < 0) 3. ab< 0  (a > 0  b < 0) v (a < 0  b > 0) 4.

a

 0

 (a > 0  b > 0) v (a < 0  b < 0)

 0

 (a > 0  b < 0) v (a < 0  b > 0)

b

5.

a b

6. a2< b, b > 0  

b  a 

7. a2> b, b > 0  a  8. (b > 0, d > 0),

a b



b c



b a  

b

 ad
d

42 F-CV3-3B-3

a

9. (b < 0, d < 0) ,



b

c

 ad
d

Densidad de los números reales Proposición.- Sean a, b  ℝ, Si a < b  c  ℝ / a < c < b Intervalo: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Se clasifican en intervalos acotados y no acotados Los intervalos acotados pueden ser abiertos, cerrados y semi abiertos. Intervalos abiertos, cerrado y semi abierto Definición.- Sean a, b  ℝ. i) Se dice que x está en un intervalo abierto si

x a, b  a < x < b x

a

b

ii) Un intervalo es cerrado, si x a, b  a  x  b

a

 

b



iii) Un intervalo es semiabierto, si tiene cualquiera de la forma a , b   x  R / a  x  b 

a

 

a , b

b  x  R / a  x  b 

a

b

Operaciones con intervalos Ejemplo. Sean los conjuntos A = [2, 9] y B = 0,6, determine a. A  B (Se lee La Unión del conjunto A con B) b. A  B (Se lee La intersección de conjunto A con B) c. A – B (Se lee La diferencia del conjunto A de B) d. A  B (Se lee La diferencia simétrica del conjunto A y B) e. A’ (Se lee El complemento del conjunto A)

43 F-CV3-3B-3



Solución Graficamos los intervalos

2

0

  a. A  B = 0,9]

9

6



b. A  B = [2,6

d. A  B = 0,2  [6,9]

c. A – B = [6,9] e. A’ = –,2  9,+

Intervalos no Acotados a, + = {x ℝ / x > a }

a a, + = { x ℝ / x  a }

a - , b = {x ℝ /x < b}

b - , b] = { x ℝ / x  b}

b - , + = {x ℝ / - < x < } =

1.3

Preguntas de aplicación

1. Exprese cada desigualdad: a) utilizando una recta numérica, b) en notación de intervalo, y c) como un conjunto solución: a) x > -2

b) w ≤ π

c) -3 < q ≤ 3/4

e) -2 < x < 3

f) x≥ - 6/5

g)  2

44 F-CV3-3B-3

7 8

≤ k < 1

d) x > 5/2 2 3

2. Se han sugerido varias reglas para modificar las dosis de medicamento para adulto y así encontrar la dosis para niños pequeños. Sea “a” la dosis para adulto (en mg), y t la edad del niño (en años). Algunas reglas típicas son las siguientes (Regla de Cowling) y 

t

 1 a

(Regla de Friend) y 

24

2 ta 25

Para la edad aproximadamente de 10 años y una dosis de 200mg. ¿Según la Regla de Friend es menor que la dosis según la Regla de Cowling? Tomado 5)

Haeussler, E. (2014).

3. Tomado de Allen, A. (2009). Desde el 8 de octubre de 2001, muchas aerolíneas han limitado el tamaño del equipaje que los pasajeros pueden llevar consigo en los vuelos que se realizan en territorio estadounidense. La longitud “l”, más el ancho, “w”, más el grosor, “d”, del equipaje que puede acompañar al pasajero no debe exceder 45 pulgadas. a) Escriba una desigualdad que describa esta restricción; utilice las letras “l”, “w”,”d” como se describió antes. b) Si el equipaje de Héctor Zúñiga mide 26 pulgadas de largo y 12 de ancho, ¿cuál es el grosor máximo que puede tener para que pueda llevarlo consigo en el avión? 3. Plantee las siguientes desigualdades. Tomado de Knut, S. ⸹ Hammond, P.(1996) 3.1 En Zimbabwe, en 1993, elalquiler de un teléono costaba aproximadamente $120 al año y $0,167 cada paso. a) ¿Cuál es el coste total en un año en que se hicieron llamadas por x pasos? b) ¿Cuál es el menor y el mayor número de pasos que se pueden gastar si se quiere que la factura telefónica esté entre $170,10 y $186,80? 3.2 a) La temperatura de almacenamiento de las papas debe estar entre 4° y 6°C.¿Cuál es la temperatura correspondiente en grados Fahrenheit? b) Se puede garantizar que la leche se conserva fresca en botella 7 dís si se gurada a una temperatura entre 36°F y 40°F, Falla la variación de temperatura en grados celsius

II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1) Allen, A. (2009). Álgebra Intermedia (6ta ed.). México: Pearson Education 2) Fernández, H (2005). Matemáticas previas al Cálculo. (1 a ed.) Colombia 3) Jagdish, A. (2009). Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía. (5ta ed). México: Pearson, Prentice Hall 4) Knut, S. ⸹ Hammond, P.(1996) Matemáticas para análisis económico. México:

45 F-CV3-3B-3

Pearson Education S.A 5) Poblete V. Matemáticas en Medicina. Universidad de Chile 6) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México: Prentice Hall.

2.2. Revistas http://www.sinewton.org/numeros/ http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/sigma_aldizkaria.html

2.3. Internet http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf https://es.slideshare.net/regiomontano2009/gtc2el-sistema-de-los-numeros-reales

SEMANA 10 Inecuaciones

Introducción

En esta sección explicaremos resolución de inecuaciones de segundo grado lo que nos permitirá acercar las matemáticas a situaciones de la vida cotidiana. Ejemplo: Después de su guardia Evert sale con cuarenta soles del hospital con la idea de comprar tres entradas de cine. En el trayecto se gasta s/. 3 en un refresco y reserva s/. 0.50 para comprar el pan. Si cada entrada de cine cuesta 19 soles, ¿comprará el número de entradas que tiene en mente?

46 F-CV3-3B-3

I.

Desarrollo del tema 1.1 Resuelve

Competencias a desarrollar inecuaciones

aplicando

correctamente

las

definiciones,

propiedades,

argumentando la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). 1.2

Contenido del tema

Inecuaciones en Se llama inecuación a una desigualdad que contiene variables, las cuales son las incógnitas. Ejemplos:

x² + 3x > 3,

x + y 5 ,

3  x - 2  17

Para resolver una inecuación se halla el conjunto de valores de la incógnita (conjunto solución) de modo que satisfagan a la desigualdad Inecuaciones Lineales o de primer grado Figueroa, R (2005), señala que una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es de grado uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Inecuaciones de segundo grado Si el grado de la inecuación es de grado dos, se dice que la inecuación es de segundo grado o cuadrática Ejemplo 1. Hallar el conjunto solución de

2x² + x - 6  0

Solución: 2x² + x - 6  0  (x+2) (2x-3)  0, aplicando 2:

47 F-CV3-3B-3

ab 0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)  [(x+2)  0  2x-3  0]  (x+2  0  2x-3  0)  (x -2  x 

3

) (x -2  x 

3

) x 

2

2

3

x -, –2]  3 ,  

x -2

 2

2

Luego el conjunto solución es el intervalo S = -, –2]  3 ,    2

-

-2

3/2

+

Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante una circunferencia. Solución de una Inecuación por el Método de los Puntos Críticos a) Se colocan en factores el numerador y el denominador de la desigualdad b) Los factores obtenidos se igualan a cero. c) Los valores obtenidos en el paso 2 que llamaremos puntos críticos se ubican en una recta numérica, de tal manera que se determine un cierto número de intervalos. d) A partir del primer intervalo de derecha a izquierda se colocan los signos “ + ” y “–” en forma alternada. e) Si la desigualdad es “> 0” ó “≥ 0” el conjunto solución estará conformado por todos los intervalos que tengan el signo “+” y si es “< 0”

ó

“≤ 0”el conjunto solución estará

conformado por todos los intervalos que tengan el signo “–”. f)

Los puntos críticos del denominador nunca pertenecen al conjunto solución (son puntos abiertos) y los del numerador pertenecen al conjunto solución (son puntos cerrados) si y sólo si la desigualdad es “≥ 0” ó “≤ 0”. NOTA. - Los factores deben ser de la forma ax + b, siendo “a” un número positivo. Si “a” es un número negativo, bastará con multiplicar por -1 dicho factor y cambiar el signo de la desigualdad inmediatamente. Método de los puntos críticos 1.(x+2) (2x-3)  0 2.Hacer (x+2) =0 entonces x=-2 y (2x-3) = 0 entonces x=3/2 3.Ubicarlos en la recta + -

-2

+ 3/2

48 F-CV3-3B-3

+

4.Como (x+2) (2x-3)  0

Se toma la parte positiva

5. x -, –2]  3 ,    2

Ejemplo 2 Carmen aplica inyecciones, acaba de abrir su local. Atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra S/. 5 por inyección aplicada. Por cada incremento de 75centavos en la tarifa, Carmen pierde 10 clientes ¿Qué precio deberá fijar de modo que sus ingresos semanales no sean menores de los que obtiene por la tarifa de S/.5? Solución Sea X el número de incrementos de 75 centavos en la tarifa por encima de S/.5. Entonces el precio por colocar una inyección es de (5 + 0.75X) soles y el número de clientes que acuden con esta tarifa será de (100 – 10X) a la semana. Ingresos totales a la semana = (Número de clientes) . (precio de colocar la inyección) = (100 – 10X) (5 + 0.75X) soles Los ingresos correspondientes a 100 clientes son de 100 x S/.5 = S/.500. Los nuevos ingresos semanales deberían ser al menos S/.500 soles. Por tanto, (100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500 Simplificamos y factorizamos. 500 + 25x – 7.5x2 ≥ 500 25x – 7.5x2 ≥ 0 2.5x (10 – 3x) ≥ 0 Multiplicando la desigualdad por -1

2.5x(3x-10) ≤ 0

+

-

haciendo 2.5x = 0 y 10-3x = 0

-

+

0

10/3

+

Se toma la parte negativa porque el signo de la desigualdad es ≤. Entonces

x  0 ;10 / 3 

Así debería haber a lo más 10/3 incrementos de75 centavos o lo que es lo mismo S/. 2.50= 0.75 (10/3). Carmen debería cobrar una tarifa máxima de S/.5 + S/. 2,50 = S/7,50 por colocar una inyección con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles S/.5 por colocar una inyección.

a.

Preguntas de aplicación

1.Resolver las siguientes inecuaciones: a)

2x– 3(x+1) < 0

b)

x– 7(x – 12)≥0

c)

24x2+26x – 6≥0

d)

x2+13x – 48>0

49 F-CV3-3B-3

e)

( x – 2)2 (x + 2) ( x –2) + 8

x

f)

2

x  3

 x 1

2. Resolver los siguientes problemas: 1. Se va a conservar una mezcla química entre 66° y 77°. ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Celsius? a)

F 

9

C  32

5

2. Un medicamento que se usa para controlar la temperatura se inyecta vía intramuscular. Su efecto (en horas) está dado por

64 x 5x  3

 2

.¿Qué cantidad de dosis

debe inyectar la enfermera del turno tarde, para que el fármaco tenga efecto más de 4 horas y menos de 8 horas según la edad del paciente? 3. Mario y María están próximos a cumplir sus bodas de oro. Así que sus hijos les darán una fiesta sorpresa. Contratan un servicio de buffet. Cada platillo cuesta S/.225 y les hacen un descuento de S/.10 en todos los platillos después de los 200 platillos servidos. El local es acogedor y tiene una capacidad para 350 personas. ¿Cuántos platillos deben adquirir si el presupuesto que juntaron entre todos fue a lo más de S/.50 000? 4. En plena operación, el paciente sufre un infarto; para reanimarlo, el especialista deja a cargo de la enfermera la dosis de amoxicilina (mg). La enfermera le pregunta cuál es la Dosis, y el médico le responde que la dosis se encuentra a la mitad del intervalo que encuentre al resolver la desigualdad (𝑞 − 30)(𝑞 − 20) ≤ 0 5. Cada trasplante de corazón tiene un periodo de espera dada por la expresión I(x) = 100x – x2, donde x es la cantidad de semanas de espera. ¿A partir de qué semana se comienzan a perder las esperanzas de encontrar un corazón a tiempo? 6. La Directora de Asuntos Estudiantiles de una universidad, está planeando que un grupo de rock realice un concierto en el campus. El precio por concierto sería un pago único de $2440 o un pago de $1000 más el 40% de las entradas. Es probable que 800 estudiantes asistan. A lo más, ¿cuánto podría cobrar el decano por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único? Si se cobra este máximo, ¿cuánto dinero deberá dejarse para publicidad, guardias y otros gastos del concierto? 7.Una cadena de farmacias se encuentra con grandes existencias de cierto producto, los cuales deben venderse rápidamente por el vencimiento de su vigencia, el gerente sabe que si se venden a p soles cada uno, pueden venderse x unidades, donde x = 1000 – 20p, que precio deberá fijarse para obtener un ingreso mínimo de S/.

50 F-CV3-3B-3

12000? 8 En la clínica “La Salud”, el presupuesto mensual para pagar a los técnicos de rehabilitación física es S/.18 500. Si el sueldo mínimo mensual se considera en S/. 960, faltaría dinero. Pero si se reduce en S/.40 alcanzaría para pagar a todos los técnicos. ¿Cuántos técnicos de rehabilitación física tiene contratado la clínica? 9. Roger ha consumido cierta cantidad de huevos en una semana y un huevo contiene 270 mg de colesterol. Si la cantidad de colesterol consumida en huevos por Roger esa semana no es mayor que 1400 mg y los

2

del número de huevos consumidos

5

contienen más de 500mg de colesterol, ¿cuántos huevos consumió Roger? 10. Un médico atiende un promedio de 60 pacientes semanales cobrándoles

S/. 50

soles la consulta. Si por cada incremento de S/. 5 soles en la consulta, pierde 5 pacientes, cuánto deberá cobrar para

que los ingresos semanales no sean menores

del que obtiene cobrando S/.50? 11. Se va a implementar un pabellón en una planta de gas. El arquitecto Rosales desea delimitar un terreno rectangular y tiene 450 metros de cerca disponibles. Si el área delimitada debe ser como mínimo 3210 m2. Encuentra las dimensiones del terreno 12. Debido al efecto invernadero Sergio, ingeniero civil, quiere hacer un borde de ancho uniforme con gas sintético alrededor de su cabaña rectangular. La cabaña tiene una longitud de 10m y un ancho de 6m. Observa que sólo cuenta con gas para cubrir a lo más 36 𝑚2 . ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho? 13. En una ciudad, el porcentaje de estudiantes que afirman que en sus escuelas se consumen

drogas 2

puede

f (x ) = - 2 , 3 2 x + 7 6 , 5 8 x - 5 5 9 , 8 7

calcularse donde

“x”

mediante es

la

edad

la del

expresión estudiante

y

12  x  20 ¿A qué grupo de edad pertenecen los estudiantes que representan el

porcentaje más alto entre los que afirman en sus escuelas que se consumen drogas?

II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México: Prentice Hall. 2) Hughes-Hallett, D., Gleason, A., (2006). Cálculo aplicado. (4a ed.) México DF: Continental. 3) Miller, Ch., Heeren, V., Hornsby, J. (2006). Matemática: razonamiento y aplicaciones. (10ª ed.) México DF: Pearson. 4) Jagdish, A. (2009) Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía

51 F-CV3-3B-3

(5ta ed). Pearson, Prentice Hall

2.2. Revistas http://www.sinewton.org/numeros/ https://www.google.com.pe/search?rlz=1C1NHXL_esPE753PE753&ei=TPdgWqmTFoi8zQL A2Y7IDA&q=revistas+de+matematicas+para+secundaria&oq=revistas+de+matematica&gs _l=psy-ab.1.2.0i71k1l4.0.0.0.4696.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0....0...1c..64.psyab..0.0.0....0.omd5ObWZu9A http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/sigma_aldizkaria.html

2.3. Internet http://www.utj.edu.mx/matematicas/archivos/teoria.pdf https://es.slideshare.net/regiomontano2009/gtc2el-sistema-de-los-numeros-reales http://udearroba.udea.edu.co/course/view.php?id=1255

SEMANA 11 El plano cartesiano. Introducción a la estadística. Gráficos

Introducción En estadística a veces los datos no están disponibles y la estadística se puede usar para diseñar un experimento apropiado para generar esos datos. El experimento dependerá de la utilidad que se quiera obtener de los datos. Así por ejemplo si se acaba de desarrollar un medicamento reductor del colesterol y e quiere determinar su eficacia, se reclutan voluntarios, se les suministra el medicamento durante cierto periodo de tiempo y posteriormente se volverán a medir sus niveles de colesterol. El monitoreo y evolución del paciente se hace a través de gráficos, donde la línea del tiempo está representado por el eje X y los niveles de colesterol por el eje Y. Sheldon, R (2007).

52 F-CV3-3B-3

I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Analiza las relaciones entre dos o más variables para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 1.2.

Contenido del tema

A. Definición: Una relación R del conjunto A en el conjunto B, es un subconjunto del producto cartesiano A x B. Es decir: R  A x B Ejemplo 1. Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {2; 4; 6; 8} La relación R = { (x ; y)  A x B / y = x } = { (2 ; 2) ; (4 ; 4) } B. Dominio y Rango de una Relación Si R = { (x ; y)  A x B } es una relación, el dominio de la relación R está formado por las primeras componentes y el rango de la relación R está formado por las segundas componentes. Es decir: DR = { x  A / (x ; y)  R } y RR = { y  B / (x ; y)  R } Ejemplo 2. Sea R = {(1; 2); (2; 3); (2; 5)} entonces DR= { 1 ; 2 } y RR= { 2 ; 3 ; 5 } Ejemplo 3. R = { (x ; y) 

x

/ y = 2x }. La gráfica es la recta se representa

10 8 6 4 2 0 0

2

4

DR= R y RR= R

53 F-CV3-3B-3

6

PRIMERA PARTE Introducción a la estadística La estadística Es una ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas y procedimientos para recopilar, organizar y analizar datos. La finalidad y utilidad es describir, numérica o gráficamente el conjunto de datos, así como también realizar inferencias, entendidas como generalizaciones de lo observado, de manera que se pueden obtener conclusiones adecuadas. Estadística descriptiva Métodos y técnicas de recolección, caracterización, resumen y presentación que permite describir apropiadamente las características del conjunto de datos. Comprende el uso de tablas, gráficos, diagramas y criterios para el análisis. Existen diversos tipos de gráficos adecuados a los distintos datos que se desean representar. A. Variable: X Se define así a una característica que presentan los elementos de la población y que puede asumir diferentes valores cuando se realiza su medición. Ejemplo: Sea X: altura de 2 alumnos de Odontología de la universidad WIENER Donde: Xi, i= 1 a 2 X1= 1.65 m , X4 = 1.63 m. Las variables se clasifican en: I. Variable Cualitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican cualidades, características, propiedades, etc., no son numéricas (no medibles). Ejemplos: X: Control de calidad de productos de una industria. Bueno, Malo, Regular, Muy Bueno. Y: Estado Civil de una muestra de 200 personas. Soltero, Casado, Viudo, Divorciado. II. Variable Cuantitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican valores numéricos (son medibles), y se clasifican en: Variable Discreta: Es aquella que representa a datos numéricos que no se pueden fraccionar. Variable Continua: Es aquella variable que representa a datos que pueden ser fraccionados (pertenecen a los reales).

54 F-CV3-3B-3

Ejemplo: El peso (Kg.) de 6 pavos. 7,57; 8,6; 9.9; 7,40; 12; 23.5. La variable continua es la que más utilizamos (Volumen, Temperatura, Pesos, Mediciones, etc.).

B. Etapas de la Estadística Descriptiva a)

Recolección de datos

Para esta etapa tomaremos los siguientes conceptos básicos: Población: conjunto de todos los elementos de interés de un determinado estudio. Pueden ser personas, animales, objetos, conceptos, etc de los cuales sacamos conclusiones a partir de una o más características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa. Muestra: Es una parte de la población que se selecciona adecuadamente para su análisis y así obtener información de la que proviene. Una muestra será representativa si es elegida de forma aleatoria Unidad elemental. Es el objeto sobre el cual se hace la medición. También se le denomina unidad de análisis, unidad estadística, caso o elemento. Ejemplo El hotel La Hacienda es relativamente nuevo en el mercado hotelero de Cuzco. La Gerencia General desea invertir en la realización de una publicidad agresiva para incrementar la cantidad de huéspedes extranjeros por temporada en el hotel. Para ello, desea conocer que características del hotel es conveniente resaltar en la publicidad aplicando una encuesta a una muestra aleatoria de 115 huéspedes extranjeros de n total de 800 que se hospedaron entre Enero y Mayo del año pasado.

Población

800 huéspedes extranjeros que se hospedaron en el hotel la Posada entre Enero y Mayo del año pasado

Muestra

115 huéspedes que se hospedaron en el hotel la Posada entre Enero y Mayo del año pasado

Unidad elemental

Un huésped que se hospedó en el hotel la Posada entre Enero y Mayo del año pasado

b) Organización de los datos (1) Tabulación: Los datos pueden ser simple o agrupados.

55 F-CV3-3B-3

Distribución de frecuencias. Es la representación estructurada en forma de tabla, de los datos que se han recolectado sobre una variable en estudio. Permite que quienes tomen decisiones puedan extraer directamente información relevante. Frecuencias simples a.

La frecuencia absoluta ni de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen a

esa clase, es el contador b.

La frecuencia relativa fi de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a

esa clase fr e c u e n c ia a b s o lu ta

fr e c u e n c ia r e la tiv a 

n ú m e r o d e d a to s

 fi 

ni n

Frecuencias acumuladas a.

La frecuencia acumulada absoluta Ni de una clase es la cantidad de elementos que

pertenecen hasta esa clase j

Ni 

Se tiene que



n i , i  1, ..., k

i 1

lu e g o N 1  n 1 y N i  N i  1  n i , i  2 , 3 ..., k

b.

La frecuencia acumulada relativa Fi de una clase es la proporción de elementos que

pertenecen a esa clase fr e c u e n c ia a b s o lu ta a c u m u la d a

fr e c u e n c ia r e la tiv a a c u m u la d a 

n ú m e r o d e d a to s

 Fi 

Ni n

c. Frecuencias porcentuales fr e c u e n c ia p o r c e n tu a l h i  f i x 1 0 0 %

fr e c u e n c ia p o r c e n tu a l a c u m u la d a H i  F i x 1 0 0 %

Distribución de frecuencias de variables cualitativas TITULO Categorías x

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

absoluta

relativa

porcentual

ni

fi

hi

C1

n1

f1

h1

C2

n2

f2

h2

…

…

…

…

Ck

nk

fk

hk

Total

n

1

100

56 F-CV3-3B-3

Si es ordinal las

Número de

categorías deben

fi 

datos observados

ir en forma

vados en

ascendente

cada categoría

hi  f i  1 0 0

ni n

Gráfico Circular o diagrama del pastel Se debe obtener el ángulo de cada región circular que debe asociarse a cada respuesta. Para hacer esto se multiplica cada frecuencia relativa por 360 Gráfico de Barras. Muestra los datos usando varias barras de la misma anchura, cada una de las cuales representa una categoría concreta. La altura de cada barra es proporcional a una agregación específica (por ejemplo, la suma de los valores de la categoría que representa) Ejemplo Tomado de Botella-Rocamora,P. Alacreu-García,M, Martínez-Beneito, M.(2014). En una farmacia se está recogiendo información sobre el grado de satisfacción de los clientes respecto a su servicio nocturno, concretamente se pregunta cuál es la opinión de los clientes en cuanto la relación calidad-precio de este servicio nocturno. Las respuestas dadas por los clientes encuestados han sido codificadas según los códigos: 0: Muy desfavorable 1: Desfavorable 2: Favorable 3: Muy favorable 0

1

3

0

1

1

2

3

0

0

0

2

2

3

3

3

2

1

2

0

3

0

2

3

2

1

1

0

0

2

3

2

2

2

1

1

0

2

2

2

0

3

0

2

2

0

3

3

1

0

Se pide: 1. Nombre de la variable: Grado de satisfacción de los clientes respecto al servicio nocturno 2. Indica de qué tipo de variable se trata: Variable cualitativa 3. Construya la distribución de frecuencias de la variable en estudio. Comente. 4.Construya la gráfica 3.Solución Título Distribución de frecuencias de opinión de los clientes en cuanto la relación calidad precio de este servicio nocturno Grado de

ni: Número

fi: proporción

hi: porcentaje

satisfacción de los

de clientes

de clientes

de

clientes Muy desfavorable

clientes

al 100% 14

f1=14/50=0.28=

57 F-CV3-3B-3

28%

Desfavorable

9

0.18

18%

Favorable

16

0.32

32%

Muy favorable

11

0.22

22%

Total

50

1.00

100%

Fuente: CPP

Se observa que del 100% de los clientes El 32% opinan que la relación calidad precio de este servicio nocturno es favorable. El 28% opinan que la relación calidad precio de este servicio nocturno es muy desfavorable El 22% opinan que la relación calidad precio de este servicio nocturno es favorable Sólo el 18% opinan que la relación calidad precio de este servicio nocturno es desfavorable 4. Gráfico del pastel. G r á fic a c ir c u la r d e g r a d o d e a c e p ta c ió n C a te g o r ía m u y d e sfa v o r a b le d e sfa v o r a b le m u y fa v o r a b le 2 2 .0 %

fa v o r a b le m u y d e sfa v o r a b le 2 8 .0 %

d e sfa v o r a b le 18.0%

fa v o r a b le 3 2 .0 %

Fuente: CPP

58 F-CV3-3B-3

m u y fa v o r a b le

5.Gráfico de barras G r á fic a d e c lie n te s 35

P o r c e n t a je d e c lie n t e s

30

25

20

15

10

5

0 m u y d e s fa v o r a b le

d e s fa v o r a b le

fa v o r a b le

m u y fa v o r a b le

g r a d o d e a c e p t a c ió n P o r c e n ta j e e n to d o s lo s d a to s .

Fuente CPP

Distribución de frecuencias para variables cuantitativas discretas Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar la frecuencia de ocurrencia de cada valor observado de la variable discreta. Título Valores

Frecuencia

x

Frecuencia

Frecuencia

Absoluta

Absoluta

relativa

ni

acumulada Ni

Frecuencia

Frecuencia

Relativa

porcentual

fi

Acumulada Fi

hi

x1

n1

n1

f1

f1

h1

x2

n2

n1+ n2

f2

f1+f2

h2

…

…

…

…

…

nk

n1+ n2+…+nk

fk

… xk

f1+f2+…+fk=1

hk

=n Total

n

1

100

Fuente Valores de la

Número de

Tamaño de la

variable X ordena Datos observados dos en forma

fi 

muestra

en cada categoría



ni

hi  f i  1 0 0

fi  1

i 1

n

ascendente

Gráfico de Bastones o Líneas Es un gráfico que muestra la frecuencia de ocurrencia de cada valor observado de la variable discreta mediante un segmento (bastón) cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente Ejemplo La empresa tecnológica “El Círculo” quiere hacer un estudio sobre cuántas aplicaciones tenemos instaladas en los móviles. Las personas responden: 2

3

4

3

7

5

1

7

5

3

2

1

2

2

3

2

1

2

1

4 3

4

7

1

5

2

2

2

3

4

1

4

4

2

1

5

2

5

4

3

5 3

59 F-CV3-3B-3

5

1

4

1

4

5

2

1

5

1

2

2

4

7

7

2

2

5

2

4 7

Construya la tabla de distribución de frecuencias de la variable en estudio. Comente. Solución Título: Distribución de frecuencias de la cantidad de aplicaciones en móviles de un grupo de 63 personas Número de aplicaciones

ni: número

Ni: número

fi: proporción Fi:proporción hi: porcentaje Hi: porcentaje

de personas acumulado

de personas

de personas

acumulada

dedepersonas

personas

acumulado de personas

1

11

11

0,17

0,17

17%

17%

2

17

28

0,27

0,44

27%

44%

3

8

36

0,14**

0,58

14%

58%

4

10

46

0.16

0,74

16%

74%

5

11

57

=11/63=0.17

0,91

17%

91%

6

63

0,09

1

9%

100%

7 Total

63

1

100%

Fuente: Telefónica XYX

Se observa que Sólo el 9 % de las personas tiene 7 aplicaciones en su móvil. El 27 % de las personas tiene 2 aplicaciones en su móvil. Gráfico 2 (de bastones) hi% 27% 17% 14%

16%

17% 9%

Fuente: Telefónica XYX

Cuando se realiza mediciones de una variable continua, por lo general, se observan muchos valores diferentes, por ello, para presentarlos en forma de tabla primero deben agruparse en clases o intervalos Los tres pasos necesarios para definir en una distribución de frecuencias don datos cuantitativos son los siguientes. 

Determinar la cantidad de clases



Determinar el ancho ( a :amplitud)de cada clase

60 F-CV3-3B-3



Determinar los límites de cada clase Distribución de Frecuencias para variables cuantitativas continuas TITULO Intervalos

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

Frecuencia

absoluta

Absoluta

relativa

Relativa

porcentual

ni

acumulada

fi

acumulada

Ni

hi = fi*100

Fi

I 1   Mín ; Mín  a 

n1

n1

f1

f1

h1

I 2   Mín  a , Mín  2 a 

n2

n1+ n2

f2

f1 +f2

h2

…

…

…

…

fk

f1 + f2 +…+ fk=1

hk

…

… nk

I k  Mín  ( k  1 ) a ; Mín  ka 

n1 + n2 +…+ nk =n

Total

n

1

100%

FUENTE

Las Frecuencias acumuladas de las frecuencias al cien por ciento de hi son Hi=



h i x1 0 0 %

i 1

Cantidad de clases 

Se recomienda usar entre 5 y 20 clases



La idea es emplear suficientes clases para mostrar la variación de los datos, pero no tantas ya que varias contendrían muy pocos o ningún elemento



Para determinar la cantidad de clases (k) se puede usar la regla de Sturges k=1+3.322log10(n) el valor de k se redondea al entero más próximo



La regla de Sturges o es la única para determinar la cantidad de clases y no se usa para hallar una cantidad de datos. Amplitud de la clase: A



Por lo general, se usa el mismo ancho para todas las clases



Se calcula de la siguiente manera

a  A m p litu d 

v a lo r m á x im o  v a lo r m ín im o



rango

k



k

La amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo con la cantidad que tienen los datos o según la precisión con que se desea trabajar



Se usa la aproximación por exceso para asegurar que el mayor de los datos pertenezca a alguna de las clases.

61 F-CV3-3B-3

Límites de cada clase o intervalo 

Los intervalos deben ser disjuntos y deben cubrir todo el rango de variación de los datos



Los límites de cada clase se escogen de tal manera que cada dato pertenezca a una

clase y sólo a una. 

Por lo general, el límite inferior de la primera clase es el mínimo valor observado.

Marca de clase 

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo. Se obtiene calculando la semi suma de los límites de cada intervalo o clase.



La marca de clase de la clase i se denota mi

xi  m

Ls  Li

Li: límite inferior del intervalo LS: límite superior del intervalo

2

Gráficos El histograma se utiliza para representar una tabla de frecuencias de intervalos de clase. Sobre el eje horizontal se representan los intervalos de clase y sobre el eje vertical, las frecuencias de los intervalos. El gráfico consiste en un conjunto de rectángulos adyacentes cuya base representa un intervalo de clase y cuya altura representa la frecuencia del intervalo. El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de los lados opuestos de las bases de cada rectángulo. Si se quiere cerrar el rectángulo, se agregan dos intervalos: uno anterior y otro posterior al último y se prolonga el polígono hasta los puntos medios de estos intervalos. Ojiva: es la gráfica de una distribución de frecuencias absolutas o relativas acumuladas. Con ella se puede estimar el número o porcentaje de observaciones que corresponden a un intervalo determinado. Se obtiene uniendo con segmentos de recta los puntos con el límite superior de cada intervalo como abscisa y la frecuencia acumulada respectiva como ordenada. La ojiva parte del punto que tiene como abscisa el límite inferior del primer intervalo Ejemplo

Se midió el nivel de Hemoglobina en la sangre (en grs/cm3) de 30 trabajadores

de construcción civil. Los resultados fueron 11.1

12.2

11.7

12.5

13.9

12.3

14.4

13.6

12.7

12.6

11.3

11.7

12.6

13.4

15.2

13.2

13.0

16.9

15.8

14.7

13.5

12.7

12.3

13.5

15.4

16.3

15.2

12.3

13.7

14.1

62 F-CV3-3B-3

Construya la tabla de distribución de frecuencias. Solución  Rango = dato máximo –dato mínimo =16.9-11.1=5.8  k=1+3.322log(n) =1+3.322*log(30)=5.9 tomar 6 intervalos o clases  Amplitud

A=R/k= 5.8/6= 0.97 A=1de ancho DISTRIBUCIÓN DE LA CANTIDAD DE HEMOGLOBINA EN LA SANGRE (EN GRS/CM3)

Intervalo

Marca de Frecuencia clase Xi

Frecuencia

Frecuencia

frecuencia

frecuencia

absoluta ni

Absoluta

relativa

porcentual

porcentual

Número de

acumulada Ni

fi

hi

acumulada

trabajadores

Número de

proporción deporcentaje de

Hi

trabajadores trabajadorestrabajadores % porcentaje de trabajadores I 1  11 ,1;12 ,1 

11,6

4

4

0,13

13%

13%

I 2  12 ,1;13 ,1 

12,6

10

14

0,33

33%

46%

I 3  13 ,1;14 ,1

13,6

8

22

0,27

27%

73%

I 4  14 ,1;15 ,1 

14,6

2

24

0,07

7%

80%

I 5  15 ,1;16 ,1

1,.6

4

28

0,13

13%

93%

I 6  16 ,1;17 ,1

16,6

2

30

0,07

7%

100%

1

100%

Total

30 Fuente : Essalud

Se observa que del 100% de los trabajadores el 33% posee hemoglobina entre 12,1 y 13,1 gr/cm3 en la sangre. El 27% posee hemoglobina entre 13,1 a 14,1 gr/cm3

en la sangre. El 13% posee

hemoglobina entre 11,1 a 12,1 gr/cm3 y 15,1 gr/cm3 a 16,1 gr/cm3 en la sangre. Sólo el 7% posee hemoglobina entre 14,1 a 15,1 gr/cm3 y 16,7 a 17,1 gr/cm3 en la sangre. Gráfico 3. Ojiva de la cantidad de hemoglobina en la sangre (en gr/cm3) Hi 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 11,1

12,1

13,1

14,1

15,1

16,1

17,1 x

Fuente : Essalud

63 F-CV3-3B-3

Gráfico 4. Histograma de la cantidad de hemoglobina en la sangre (en gr/cm3) hi 30 20 10 5 11,1

12,1

13,1

14,1

15,1

16,1

17,1 X Fuente:

Essalud

Gráfico 5. Polígono de frecuencias de la cantidad de hemoglobina en la sangre (en gr/cm3) hi 30 20 10 5

11,1

12,1

13,1

14,1

15,1

16,1

17,1 X

Fuente: Essalud

FUNCIÓN A. Definición de Función Una función f del conjunto A  R en un conjunto BR, denotada f: A  B, es una función que sigue una regla o una ley de correspondencia, que asigna a cada elemento del conjunto A, uno y solo un elemento del conjunto B. Harshbarger ⸹ Reynolds (2006) Formalmente, F es una función de A en B sí y sólo sí:

fAB

2. Si (x ; y)  f  (x ; z)  f  y = z

El dominio de la función. Denotado por Df es el conjunto de elementos x  A, donde f(x) B. Es decir, Df = { x A / y  B ; y = f(x) }

64 F-CV3-3B-3

El rango de la función Denotado por Rf es el conjunto de elementos y B; y = f(x). Es decir, Rf = { y B / x  A ; y = f(x) } Para denotar una función se utilizan letras como. F, G, H, I, o f, g, h, etc. La expresión f(x), se lee: f de x, representa el valor de la función evaluada en x. Ejemplos: 1. Dado

los

1 3 5 7 9 11 13 15   B   0 ; ;1; ; 2 3 ; ; 4 ; ;5 ; ;6 ; ;7 ; ;8  2 2 2 2 2 2 2 2  

conjuntos

A = { 0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } y las funciones f, g, h, definidas de A en B, como siguen:

a) f : AB, tal que f(x) = 2x Tabule, determine el dominio, rango y represente sus gráficas respectivas. Solución: a) Tabulación: Para la función f(x) = 2x x

Y= f(x) = 2x

0

f(0) =2(0) = 0

1

f(1) =2(1) = 2

2

f(2) = 2(2) =4

3

f(3) = 2(3) = 6

4

f(4) = 2(4) = 8

5

f(5) = 2(5) = 10 , pero 10B

luego, La función f se puede representar por

f 

( 0 , 0 ), (1 , 2 ), ( 2 , 4 ), ( 3 , 6 ), ( 4 , 8 ) 

El dominio de f es D f = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } y el rango de f es R f = { 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 } La gráfica está representada por los puntos, de la fig. 2 Y Y

5/2 2

8

3/2

6

1

4

½

2

X 0

0 0 1 2 3 4 Fig. 2

X

0

1

2

3

Fig. 3

Fuente: Elaboración propia

65 F-CV3-3B-3

4

5

y

x

b) Para la función g(x) =

, tabulamos los valores como sigue:

2

x g(x)

0 0

1 1/2

2 1

3 3/2

Dg = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 } ,

4 2

5 5/2

Rg = { 0 ,1/2 , 1 , 3/2 , 2 ,5/2 }

Las gráficas de las funciones anteriores están dadas solo por los puntos de las figuras 2 y 3. B.

Funciones definidas en los Reales. Harshbarger & Reynolds (2006)

Si en la definición anterior, A=R, entonces la función f: R R se denomina función real de variable real. Notación f = { (x , y)  ℝ ℝ; y = f (x) } Ejemplo 2 Dada las funciones f y g de R en R, definidos por: a) f(x) = x2+1

b) g ( x ) =

x+ 2

Represente gráficamente, determinando su dominio y rango respectivamente. Solución: a)

La función y = f(x) = x2 + 1 determina la gráfica de una parábola. Como x 2 siempre es

positivo entonces la función y = f(x) = x2 +1 se abre hacia arriba. Dominio : Df = { x  ℝ; y = f(x)  ℝ } luego Df = R No existe restricción alguna para la variable x. Rango: Rf = {y  ℝ; x  ℝ; y = f(x) } Un método práctico para determinar el rango es despejar la variable x: De y = x2 + 1  x = 

y 1

donde se determina los valores de y.

Para que x sea real, debe cumplir x  ℝ

y–10 ↦y1

Luego el rango es el intervalo Rf = [1, +  Para graficar, tabulemos algunos valores en: y = x2 + 1: x y

-3 10

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

3 10

... ...

La gráfica es la parábola, curva continúa, que pasa por los puntos de la tabulación, se representa en la Fig. 4 b) Para y = g ( x ) =

x + 2 , tenemos

Dominio: Dg = {x ; y =

x  2

ℝ+ }

66 F-CV3-3B-3

y=

ℝ+ sí sólo sí x + 2  0 ↦ x – 2

x  2

Luego el dominio es el intervalo Rango: Rg = {y ℝ+ ; y = Para y =

x  2

,

x  2

Dg = [–2 , + 

}

despejamos x: x + 2 = y2↦ x = y2 – 2

De donde y ℝ, pero como el dominio x  – 2, entonces y2– 2  2 de donde el rango es: Rg = [0 , +  Para graficar, tabulamos algunos valores referenciales, dentro de su dominio:[–2, +  x –2 –1 0 2 7 y 0 1 2 3 2 La gráfica es la semi-parábola representada en la (fig. 5)

... ...

Fuente: Elaboración propia

C. Para reconocer si una gráfica representa una función, se intercepta la curva con una recta perpendicular al eje X. Si la corta solo en un punto, representa una función, si la corte en dos o más puntos no representa la función. Ejemplos:

Fig.6

y

y

3 2

2

1

1

0

x

x

(6a) Es función

y

(6b) No es función

y

3

3 2

2

1 0

1

x

x (6c) Es función

(6d) No es función

67 F-CV3-3B-3

Fuente: Elaboración propia

D. Funciones Especiales Existen algunas funciones reales que aparecen con mayor frecuencia y son usados para representar diferentes problemas, entre ellas tenemos: Función constante Es la función definida por: f = {(x,y)  ℝ ℝ / y = C } , donde C es una constante El dominio es Df =

, el rango Rf = {C}

Ejemplos : a) y = f ( x ) = 3

y

b) y = g ( x ) = - 2

y

3

2 1

2 x

1

x

-1 -2

Fuente: Elaboración propia

Función identidad Llamada también función identidad, es la función definida por: f(x) = x

f = { (x , y)   ; y = x }

o

Esta función es un caso particular de la función lineal, donde la pendiente es

m = 1.

Esta

recta intersecta a los ejes coordenadas en el origen y divide al primer cuadrante en dos regiones iguales. El dominio es Df =

= Rf y 3

y

-3

3 2 -2 1 -1 -2 -3

y=x

2

(1,1)

1

0 -1

0

1

1 2 3 -2

X

-3

Fuente: Elaboración propia

1.3

2

3

-1

Preguntas de aplicación

68 F-CV3-3B-3

x

1. Dados los conjuntos P, T y S del ejercicio anterior, defina por extensión y grafique las siguientes relaciones: a) R1 = { (x ; y)  PT / y = x + 3 }

b) R2 = { ( x ; y)  ST / x – y = 2 }

2. Determine el dominio y rango de las siguientes relaciones: a) R1 = { (2 ; 1 ) ; ( 3 ; -2) ; ( 5 ; 4 ) ; (3 ; 6) }

b) R2 = { (0 ; 1) ; (2 ; 1) ; (3 ; 0) }

c) R3 = { (x ; y)  2 / 2x + y = 7 }

d) R4 = { (x ; y)   2 / x + y = 6 }

3. Clasifique las siguientes variables de acuerdo a su tipo Variable Tiempo de servicio de los empleados de un medio de comunicación Nivel educacional de los empleados de una radio Orden de llegada de los reporteros a una entrevista Lugar de nacimiento de los empleados de una editorial Número de diarios defectuosos que salen de la línea de producción del diario “Mi país” Ingreso mensual (en nuevos soles) de los trabajadores de un empresa publicitaria. Edad

Tipo de variable

Marca de automóvil Número de personas a favor de la pena de muerte Ventas anuales (en dólares) Tamaño de bebidas (pequeño, mediano y grande) Método de pago (efectivo, cheque, tarjeta de crédito) Grado de un miembro del ejército(soldado raso, sargento, cabo, etc) 4. Se llama a concurso de trabajos de investigación. Estas son las notas obtenidas por los 100 postulantes 38

51

32

65

25

28

34

12

29

43

18

55

50

71

62

50

37

58

24

19

47

81

53

22

49

100

16

62

50

37

46

17

75

94

6

25

70

33

41

55

38

46

16

72

64

61

33

59

21

34

52

76

73

92

37

43

58

52

88

27

74

66

56

14

75

63

28

36

19

56

84

38

68

42

50

59

40

63

98

51

62

3

17

43

47

54

58

26

20

38

81

12

42

34

68

77

45

60

31

72

23

68

54

98

a) Defina Variable b) Tipo de variable

69 F-CV3-3B-3

c) Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase. d) Elabora el gráfico correspondiente e) Interprete los principales estadígrafos 10.

Los siguientes datos son obtenidos de una de las ciudades ubicadas en la frontera

de nuestro país, se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante las 52 semanas del año. 6 12 3

4 17 11

2 11 7

8 9 12

18 16 5

16 19 9

10 18 11

6 18 15

7 16 9

5 14 4

12 12 1

8 7 6

9 10 11

7 8 10

15 3 2

13 9 11

17 13 12

a) Defina Variable b) Tipo de variable c) Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase. d) Elabora el gráfico correspondiente e) Interprete los principales estadígrafos. 6. Los siguientes datos son las edades de estudiantes de un colegio que tienen alto IQ: 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y15. a.

Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

b)

¿Qué porcentaje de estudiantes tienen 12 años?

c)

¿Cuántos estudiantes tienen menos de 14 años?

7 Dada la Siguiente tabla. Elaborar el gráfico correspondiente Continente

Superficie (km2)

Porcentaje (%)

Europa

10 366,825

7

África

30 283,779

20

América

42 028,106

28

Asia

44 555,317

30

Oceanía Antártida

8.543,220

6

14.107,637

9

Total mundial

149.884,884

100

Fuente

Calendario Atlante de Agostini 2008

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/diagrama-circular/

8. La siguiente distribución se refiere a la duración en horas de un lote de 500 bombillas de luz del departamento de logística

70 F-CV3-3B-3

Duración en

Número de

horas

bombillas

300 - 500

50

500 - 700

150

700 - 1000

275

1000-1300

25

Total

500

Fuente: Recursos humanos

a) Representar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y el histograma de frecuencias

relativas

acumuladas

(cerrando

el

último

intervalo

en

1300)

b) Trazar la curva de frecuencias porcentuales acumuladas (ojiva) 9. En coordinación con los pobladores, antes de construir una presa, el cuerpo de ingenieros realizó una serie de pruebas para medir el flujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de la prueba se utilizaron para construir la siguiente distribución de frecuencias Flujo de agua

N° de

(miles de galones)

pruebas

1,001-1,050

7

1,051-1,100

21

1,101-1,150

32

1,151-1,200

49

1,201-1,250

58

1,251-1,300

41

1,301-1,350

27

1,351-1,400

11

Utilice los datos de la tabla para construir una distribución de frecuencias acumuladas y estime qué proporción del flujo ocurre a menos de 1,300 millares de galones por minuto?

II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía falta aumentar bibliografía de estadística de la UPC. 1) Botella-Rocamora,P. Alacreu-García, M. y Martínez-Beneito,M. (2014). Apuntes de Estadística en Ciencias de la Salud.España: Universidad CEU. 2) Hughes-Hallett, D., Gleason, A. (2006).

Cálculo aplicado. (4aed.) México

D.F.: Continental. 3) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.)

71 F-CV3-3B-3

México: Prentice Hall. 4) Jagdish, A. (2009) Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía (5ta ed). Pearson, Prentice Hall. 5) Sheldon, R (2007) Introducción a la Estadística. Barcelona: Reverté. 6) Anderson, Sweeney & Williams, (2008). Estadística para administración y Economía (10

ma

ed). México: Cengage Learning,

7) Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. (1ra ed). Bogotá: McGraw Hill. 2.1. Revistas https://www.sciencedirect.com/science/book/9788490224465 www.elsevier.es/es-revista-radiologia-119-articulo-la-bioestadistica-una-herramientafun... 2.3. Internet https://www.youtube.com/watch?v=uCLyO4wVzpE https://www.youtube.com/watch?v=SxX3w9PTEII https://www.youtube.com/watch?v=rUfawBvRFW8 http://www.ejemplos.co/15-ejemplos-de-grafica/ https://www.youtube.com/watch?v=LolRFGVlz5s

72 F-CV3-3B-3

UNIDAD IV SEMANA 12

Funciones de variable real

Función lineal.- Definición.- Representación gráfica.- dominio y rango Función Lineal Introducción Las funciones lineales son una de las funciones más estudiadas en las matemáticas y aplicadas a diversos campos del conocimiento. En general las funciones lineales tienen muchos usos que les dan importancia. Como por ejemplo: la graficación por computadoras, robótica, finanzas, etc. Problemas altamente ligados con las funciones lineales son los de optimización lineal, en donde dando ciertas restricciones podemos encontrar soluciones óptimas para distintos tipos de problemas, como modelos de ventas, de cultivos y muchos otros. I.

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Construye modelos matemáticos para resolver problemas de contexto, teniendo en cuenta las funciones lineales y cuadráticas y sus propiedades 1.2. Contenido del tema Allen, A (2009), define las siguientes funciones: A.

Función Lineal

Tiene la siguiente forma , y = mx + b con m, b   se sabe: 

La gráfica es una recta de pendiente m y teniendo en cuenta la pendiente m ≠ 0

Si la pendiente m > 0 entonces la función es creciente

a < b ↔f(a) < f(b)

Si la pendiente m < 0 entonces la función es decreciente a < b ↔f(b) < f(a) Y

Y m> 0

b

b X

Fuente: Elaboración Propia

73 F-CV3-3B-3

m< 0

X

La constante b es la ordenada de la intersección de la función con el eje Y. El dominio y rango de la función es el conjunto de números reales es decir. Dom (f) = R y Ran(f) = R Ejemplo 1. Dada la función f(x) = 2x + 3. Determine el dominio, rango y grafique dicha función. Solución: Tenemos que Dom (f)= R= Ran(f), como m>0 entonces la función es creciente. Calculemos la intersección con los ejes coordenados 

Con respecto al eje Y considere x=0 y=f(0) y=3 tenemos el punto (0,3)



Con respecto al eje X considere y=0 f(x)=0=2x+3x=-3/2 tenemos el punto (3/2,0)

Fuente: Elaboración propia

Ejemplo 2. Dada la función f(x) =- x + 1. Determine el dominio, rango y grafique dicha función. Resolución: Tenemos que Dom (f) = R = Ran(f), como m<0 entonces la función es decreciente. Calculemos la intersección con los ejes coordenados 

Con respecto al eje Y considere x=0 y=f(0) y=- (0)+1 tenemos el punto (0,1)



Con respecto al eje X considere y=0 f(x)=0=-x+1x=1tenemos el punto (1,0)

Fuente: Elaboración propia

Nota. Para graficar una función lineal, es necesario conocer 2 puntos de la función. Si tabulamos los 2 puntos y se traza la recta que pasa por estos puntos se obtiene la gráfica de dicha función. 

Para el ejemplo 1 consideremos los puntos (0,3) y (3/2,0).

74 F-CV3-3B-3



Para el ejemplo 2 consideremos los puntos (0,1) y (1,0).

B. Ecuación de la recta Dada la función lineal que pasa por los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) La pendiente de la recta que genera la función está dada por m 

y 2  y1 x 2  x1



y1  y 2 x1  x 2

Luego la función lineal está dada por f ( x ) = m ( x - x 1 ) + y 1 o f ( x ) = m ( x - x 2 ) + y 2

Fuente: Elaboración propia

Ejemplos: 1. Determine la función lineal y los puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa por los puntos (2;4) y (1;-1) Solución: 1ro Se eligen los puntos P=(2;4)(=(x1 ;y1) y Q=(1;-1)=(x2;y2) 2do Calculando la pendiente m 

y 2  y1 x 2  x1



1 4 1 2



5 1

 5

3ro Luego se elige un punto de paso y se reemplaza en f(x)=m(x-x1).+.y1 f(x)=5(x-2)+4 o f(x)=5(x-1)-1 - f(x)=5x-6 (Observe que da el mismo resultado eligiendo cualquiera de los dos puntos P o Q) Calculando la intersección con los ejes coordenados: 

Con respecto al eje Y considere x=0 entonces y=f(0)=5(0)-6, tenemos el punto (0,-6)



Con respecto al eje X considere y=0 f(x)=0=5x-6x=-6/5 tenemos el punto (6/5,0) y=f(x)

6/5 -6

Por tanto la función lineal está dado por

X

f(x) = 5x – 6 y los puntos de intersección con los

75 F-CV3-3B-3

ejes coordenados está dado por (0,-6) (6/5,0). 2. Determine la función lineal y los puntos de intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa por los puntos (1;1) y (2;-3). Solución: Calculando la pendiente m 

 31 2 1

Luego la función lineal está dada por



1  ( 3) 1 2

 4

f(x) = -4(x-1) + 1 ó f(x) = -4(x - 2)-3 ó f(x) = -4x +

5 Calculando la intersección con los ejes coordenados: 

Con respecto al eje Y considere x=0 y = f(0)  y =-4 (0)+5 tenemos el punto (0,5)



Con respecto al eje X considere y=0 f(x)=0 =-4x+5  x = 5/4 tenemos el punto

(5/4,0) Por tanto la función lineal está dado por f ( x ) = - 4 x + 5 y los puntos de intersección con los ejes coordenados está dado por. (0,5) y (5/4,0). C. Modelación de Funciones Costo; ingreso y utilidad Cuando una empresa produce un bien, intervienen dos tipos de costos: –

Los Costos Fijos (CF), que no dependen del número de unidades producidas o nivel de producción.

Por ejemplo: Rentas, intereses sobre préstamos, salarios, servicios. –

Los Costos Variables (CV=Cu.q) dependen de la cantidad de artículos producidos.

Por ejemplo: los costos de los materiales, envases, embalajes. –

De la suma de los costos fijos con los costos variables resulta el Costo Total (C) C = CV + CF Costo total = Costo variable + Costos fijos Cu : costo unitario (hace el papel de la pendiente) q : cantidad de unidades producidas Cf : costo fijo C = CU .q + CF

Ingreso Total: Es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producción. Ingreso Total = (Precio por unidad)(N° de unidades vendidas) Ingreso total=p.q donde: “p" es el precio de venta por unidad (hace el papel de la pendiente) "q" es el número de unidades de un producto fabricados o vendidos.

76 F-CV3-3B-3

Utilidad=ingreso – costo U = I – C= p.q – (CU.q + CF)= Observación: 1. Si U > 0 entonces hay ganancia. Si U < 0 entonces hay pérdida. 2. Volumen Mínimo de Producción (VMP)=q Se halla cuando Utilidad = 0 o el Ingreso = Costo Total 3.Punto de equilibrio (q, p) q se halla igualando el ingreso con el costo C=I ó U=0 y p se halla de reemplazar el valor q en el ingreso o en el costo. Ejemplo 1. El costo C (en dólares) de fabricar “q” llantas está dado por la ecuación C(q) = 45q + 6000. Cada llanta puede venderse en $ 60. a) Encuentre una ecuación que exprese el ingreso I por vender “q” llantas. b) Encuentre la ecuación que expresa la utilidad U por vender “q” llantas. c) Halle el punto de equilibrio PE d) En un mismo sistema de coordenadas, grafique C, I y U. Solución a) I=p. q=60q b) U=I-C U= 60q - (45q + 60) = 60q - 45q-60= 15q-60 c) U=15q-60=0

q=4

entonces reemplazando en el ingreso: p.q = 60(4)=240

PE=(q , p)=(4,240) d) Gráfica

P:C, I, U I

240 C

PE

C U

F=60

VMP=4

q

-C

F= - 60

Ejemplo 2. Un centro Industrial que fabrica zapatos tiene costos fijos de S/ 1 000 por concepto de alquiler de local, pago de electricidad y agua; el costo variable conformado por

77 F-CV3-3B-3

mano de obra y material es de S/ 12 por par de zapatos. Determine la función de costo total en términos de la producción de zapatos. Determine también el costo de producción de 50 pares de zapatos y determine la producción de zapatos con un costo total de S/ 4 000. Solución: Sea q el número de pares de zapatos producidos. Como la producción de cada par de zapatos cuesta S/ 12, entonces el costo variable por producir x pares será: C(q) = 12q Y el costo total, es la suma del costo fijo de S/ 1 000 más el costo variable: C(q) = 1 000 + 12q La representación gráfica de este modelo es la recta p=C(q)

m=12 1000 q

Fuente: Elaboración propia

La producción de 50 pares de zapatos costará C(50) = 1 000 + 12 (50) = 1 600 Si se invierten S/ 4 000 tenemos C(q) = 1 000 + 12q 4000 =1000+12q luego q=250 pares de zapatos. Ejemplo 3. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su cuerpo. Si una persona pesa 80 kg y se observa que su cerebro pesa 2 kg. A) Determine el peso aproximado del cerebro en función de su peso corporal. B) Determine el peso del cerebro de una persona, si su peso corporal es de 90 kg. Solución: Sea y = f ( x ) la función peso del cerebro (en kg), cuyo peso corporal es x (en kg). En virtud del enunciado se tiene f(x)=kx Como el peso del cerebro es 2 kg cuando la persona pesa 80 kg. 1

A) Se tiene 2= f(80)=k(80)-> k=1/40 luego la función está dada por y  f ( x ) 

x

40

B)

Si

la

y  f ( 90 ) 

persona 1

que

pesa

90

kg.

Reemplazando

en

la

función

( 90 )  2 . 25

40

Por tanto el peso del cerebro será de una persona que pesa 90 kg. es de 2,25 kg.

78 F-CV3-3B-3

se

tiene

1.3. Preguntas de aplicación 1. La regla de Cowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si a denota la dosis para un adulto (en mg) y t es la edad del niño (en años). Entonces la dosis infantil está t 1 a  24 

dado por: D ( t )   a.

2)

Tomado de: Harshbarger,R. & Reynolds,J. (2009)

Grafique la función para distintos valores de a=150gr y a =250gr y t>0 ¿Cuánto influye

este valor en el comportamiento de la función D? b.

Si la dosis de un adulto es 500mg. ¿Cuál es la edad de un niño cuya dosis pediátrica

alcanza los 125mg? 2.

Complete el siguiente cuadro Precio de venta en $ (p)

Costo unitario en $ (CU)

Costo fijo en $ (CF)

20

15

500

Ecuacion es (I, C y U)

Nº de unidades (q)

Ingreso en $ (I)

Costo total en $ (C)

2000

1000

Utilidad en $ (U)

100

20

40

50

2200

3. Un fabricante puede vender tubos de recolección de cierto tipo de sangre a $110 la unidad. El costo total está formado por costos indirectos fijos de $7500 más costos de producción de $60 por unidad. a) ¿Cuál es la utilidad o la pérdida del fabricante si se producen y venden 100 tubos de recolección? b) ¿Cuántos tubos de recolección debe producir y vender el fabricante para obtener una utilidad de por lo menos $1250? c) Si la utilidad es de $15000 ¿Cuántos tubos de recolección se han producido y vendido? 4. Una empresa que produce pastillas antidepresivas (en cientos) tiene un costo fijo mensual de 360 (en miles de dólares), y un costo variable por unidad producida de 10 (en miles de dólares). Además, se sabe que su ingreso está dado por la siguiente expresión: I (x)= - 5x 2+ 100x, (en miles de dólares), donde x, es el número de pastillas que produce y vende la empresa mensualmente. Se pide a)

El costo variable por unidad y el costo total

b)

El número de pastillas que debe producir y vender la empresa para obtener la máxima

utilidad c)

Determine la máxima utilidad

d)

Halle la cantidad de unidades para que la empresa no obtenga pérdidas

e)

Halle la utilidad o pérdida que obtendrá la empresa si produce y vende 200 pastillas

79 F-CV3-3B-3

f)

La gráfica de la función U (x)

5.Adaptado de Jagdish, A. (2009): Un paciente que está bajo una dieta estricta planea desayunar cereal, leche y un huevo cocido. Después del huevo, su dieta le permite 300 calorías para su desayuno. Una onza de leche contiene 20 calorías y 1 onza (alrededor de una taza llena) de cereal (más azúcar) contiene 160 calorías, ¿Cuál es la relación entre el número de onzas de leche y el de cereal que puede consumir? 6. Adaptado de Jagdish, A. (2009): En pruebas realizadas en una dieta experimental para patos, se determinó que el peso promedio p (en gramos) de un pato depende linealmente del número de días n después que se inició la dieta, donde 0
80 F-CV3-3B-3

N°

Librería

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Crisol Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero

Gastos ( S/.) 200 145 172 480 295 615 420 141 123 257 180 350 260 175 394 156 345 325 675 557 678 400 145 150 163 163 300 65 189 500 620 245 45 790

Útiles

N°

Librería

5 7 12 10 8 9 10 5 4 6 8 13 15 4 10 8 14 15 16 17 20 9 9 8 9 9 8 1 2 15 14 10 1 20

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Ibero Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur

Gastos ( S/.) 510 302 420 314 450 400 214 500 350 420 154 400 115 252 290 195 75 120 151 163 357 180 500 160 95 64 200 145 572 180 345 265 567 345

Útiles

N°

Librería

20 14 11 13 15 18 9 9 10 11 4 8 8 7 9 7 9 6 9 9 13 9 11 10 11 14 15 12 18 9 7 5 15 2

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Sur Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva Minerva

Gastos ( S/.) 147 168 500 136 315 410 200 645 172 680 95 105 120 121 123 157 180 200 160 656 640 456 689 679 567 789 688 300 679 564 764

Útiles 15 5 13 12 10 14 11 15 12 11 9 7 9 9 9 9 3 10 11 14 15 11 12 11 12 10 19 10 10 12 17

Halle e interprete los estadísticos de todas las variables. 11. Una gran empresa de equipos deportivos está probando el efecto de dos planes publicitarios sobre las ventas de los últimos 4 meses. Dadas las ventas que se ven aquí, ¿cuál programa de publicidad parece producir el crecimiento promedio más alto en ventas mensuales? Justifique e interprete el resultado Mes

Plan 1

Plan 2

Enero

1657,0

4735,0

Febrero

1498,0

7012,0

Marzo

3257,0

5479,0

Abril

3732,0

8589,0

81 F-CV3-3B-3

12. Los estadísticos del programa de Comida sobre ruedas, el cual lleva comidas calientes a enfermos confinados en casa, desean evaluar sus servicios. El número de comidas diarias que suministran aparece en la siguiente tabla de frecuencia. Calcular la media, mediana y la moda e interprete.

II.

Número de comidas por día

[0,5[

[5,10[

[10,15[

[15,20[

[20,25[

[25,30]

Número de días

3

6

5

8

2

3

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1) Barnett, R. (2008). Matemáticas para administración y Ciencias Sociales. (2ª ed.) México: Universidad Autónoma de México. 2) Harshbarger,R.

&

Reynolds,J.

(2009).

Matemáticas

aplicadas

a

la

administración y ciencias sociales. México: Mc Graw Hill. 3) Jagdish, A. (2009) Matemáticas Aplicadas para la administración y a la economía (5ta ed). Pearson, Prentice Hall 4) Anderson, Sweeney y Williams, (2008) Estadística para Administración y Economía (10

ma

ed.) CENGAGE Learning, México DF

2.3. Internet https://es.khanacademy.org/math/probability/data-distributions-a1/summarizingcenter-distributions/v/statistics-intro-mean-median-and-mode https://academiainternet.wordpress.com/2016/01/22/estadistica-como-calcularla-media-mediana-y-moda/

82 F-CV3-3B-3

SEMANA 13 Función cuadrática

Introducción I.

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Aplica los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas. 1.2. Contenido del tema Función Cuadrática Tiene la forma y  f ( x )  ax

2

 bx  c ; a  0 ; a , b , c   ,

La gráfica es una parábola que dependiendo del coeficiente principal 

Si el coeficiente a > 0 entonces la función es una parábola que se abre hacia arriba.



Si el coeficiente a < 0 entonces la función es una parábola que se abre hacia abajo.

y

y

x

x

Fuente: Elaboración propia



Los ejes focales de la parábola que genera la función cuadrática son paralelas al eje Y.



El dominio de la función es el conjunto de números reales es decir Dom f=R.

83 F-CV3-3B-3

El vértice de la parábola que genera la función cuadrática se denota por V = ( h ; k )



- b

Siendo h =

y

2

k = f (h ) = a (h ) + b (h ) + c

a

Ejemplos: 2

1. Dada la función f ( x ) = x - 4 x + 7 . Determine el vértice, dominio, rango y grafique dicha función. Resolución: 

Identificando los coeficientes tenemos a = 1; b = -4; c =7.



Calculemos el vértice de la parábola:   4 

h 

 2 entonces

k  f (2)  (2)

2

 4(2)  7  3

V  ( 2 ;3 )

2 (1 )



Como a =1 > 0 la parábola se abre hacia arriba.



Domf

2.

Dada la función f ( x ) = - x + 10 x - 2 7 . Determine el vértice, dominio, rango y grafique

 

y

Rangf

 3 , 



2

dicha función. Solución: 

Identificando los coeficientes tenemos



Calculemos el vértice de la parábola:  10

h 





2 (  1)

 5 entonces

k  f (5 )   (5 )

2

a = - 1 ; b = 10 ; c = - 2 7

 10 ( 5 )  27   2

.

V  (5; 2 )

Como a = -1 <0 la parábola se abre hacia abajo.

 3. Si

Dom

f

f

 

y

Ran

f





 ; 2 

es una función cuadrática el cual verifica f(2) = -6, f(-1) = -9 y f(-2) = -14

,

determine La función cuadrática Solución: a) Como f es una función cuadrática toma la forma f(x) = ax2 + bx + c, teniendo en cuenta los datos obtenemos f(2) = a(2)2 + b(2) + c =-6 f(-1) = a(-1)2 + b(-1) + c = -9 f(-2) = a(-2)2 + b(-2)+ c = -14 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene

a= - 1 ; b= 2 ; c= - 6 2

Luego la función cuadrática está dado por f ( x ) = - x + 2 x - 6

84 F-CV3-3B-3

1.3. Preguntas de aplicación 1. Adaptado de Harshbarger & Reynolds. (2009). El beneficio (en miles de dólares) de una 2

empresa está dado por B ( x ) = - 5 x + 1 0 0 0 x + 5 0 0 0 donde “x” representa la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. Encuentre la cantidad de dinero que debe pagar la empresa para que el beneficio sea máximo. De cómo respuesta la suma de dichas cantidades. 2. Tomado de Allen, A. (2009). La función N(t) = 0,0054t2-1.46t+95.11 puede usarse para calcular el promedio del número de años de esperanza de vida restante para una persona de “t” años de edad, en dónde 30
 25

t

2

 5t

¿En qué instante se produce el grado máximo de adormecimiento?

16

¿Después de cuánto tiempo no hay efecto de la anestesia? 4. Adaptado de Harshbarger & Reynolds. (2009).

Los ingresos mensuales de una empresa

que fabrica máquinas electromecánicas están dados por la función I(x)= 100x – x2, donde x es la cantidad de máquinas electromecánicas que se fabrican en el mes. a) ¿Cuántas máquinas electromecánicas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? b) Si decimos que la ganancia fue de mil soles aproximadamente, ¿cuántas máquinas electromecánicas se fabricaron? c) ¿Cuáles son los ingresos, si se fabrican cinco máquinas electromecánicas? d) ¿A partir de qué cantidad máquinas electromecánicas se comienza a tener pérdidas? 5. El director de un teatro sabe que, si cobra 30 soles por localidad, podría contar con 500 espectadores. Y que cada rebaja de 1 sol, tendría 100 espectadores más. Calcule el ingreso que se puede obtener en función del número de rebajadas de 1 sol que se realicen. 6. Adaptado de Barnett, R. (2008). Se lanza un proyectil, la longitud horizontal es d kilómetros y la altura alcanzada es h kilómetros. Si la relación entre la altura y la longitud alcanzada está dado por la ecuación h(d) = -4d2 - 8d, calcule la máxima altura alcanzada por el proyectil. 7. El consumo de oxígeno en mililitros por minuto, para una persona que camina a x kilómetros por hora, está dada por la función

f x  

5 3

x  2

5

x  10

;mientras que el

3

consumo de oxígeno para una persona que corre a x kilómetros, está dado por g(x) = 11x +

85 F-CV3-3B-3

10. a. Trace las gráficas de f y g (en un solo plano cartesiano) b. ¿A qué velocidad es idéntico el consumo de oxígeno para una persona que camina y otra que corre? II.

Fuentes de información 2.1 Bibliografía 1)

Barnett, R. (2008). Matemáticas para administración y Ciencias Sociales. (2ª ed.) México: Universidad Autónoma de México.

2)

Harshbarger & Reynolds. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración

y ciencias sociales. México: Mc Graw Hill. 3) Jagdish, A. (2006). Matemáticas Aplicadas. México: Prentice Hall 4) Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México: Prentice Hall.

2.2 Revistas https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/aie/article/download/9216/17661 https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/3699237.pdf http://www.redalyc.org/pdf/2912/291227999012.pdf 2.3 Internet https://www.youtube.com/watch?v=2G3Rt5CMeJs https://www.youtube.com/watch?v=o71lS3YWSvY https://www.youtube.com/watch?v=fZtRkeCXHsY&t=29s https://www.youtube.com/watch?v=Wd5TQTuOG2U

86 F-CV3-3B-3

SEMANA 14 Función exponencial Introducción Muchos fenómenos de la naturaleza tienen un comportamiento que puede ser modelado mediante funciones. El crecimiento Poblacional, la propagación de los virus biológicos y las áreas afectadas por un derrame petrolero contaminante en el mar así como algunos problemas de la vida diaria crecen aproximadamente como lo hacen las funciones exponenciales. I.

Desarrollo del tema 1.1.

Competencias a desarrollar

Construye modelos matemáticos para resolver problemas de contexto, teniendo en cuenta la función exponencial y sus propiedades. 1.2.

Contenido del tema

La Función Exponencial, es una función que desempeña un papel importante en la economía, finanzas y otras áreas de estudio. Sea a > 1,a≠0 fijo, la función exponencial toma la forma y = f ( x ) = a

x

con x ϵ R

Esta función tiene como dominio al conjunto de los números reales R y rango 0 ,  .(Fig. 1) .... X

0

1

2

 

3

.... Y

1

a

a

2

a

3

 

.... –1

–2

–3

1

1

1

a

2

3

a

a

 

....  0

Fuente: Elaboración propia

y = f (x ) = a

x

y a>1

y = f (x ) = a

x

y 0
Dom f=R y Rang f= 0 ,  .

Dom f=R y Rang f= 0 ,  ..

Fig.1 1 Fig.2 2

87 F-CV3-3B-3

Propiedades de los exponentes Multiplicación de potencias de igual base a 3

a

n

2

3

3

 a

m

 3

División de potencias de igual base

nm

a

23

 3

n

:a

m

a



a

 243

5

4

5

4



7

:4

4

i) Multiplicación

de

potencias

de

i)

n

a  b 

n

n

 a  b 

n

 a b

n

n

2

2

a

10

 225

2

nm

5

 4

7

57

 4

2

igual exponente ó

5  3   5  3   15 2

 a

m

División de potencias de distinta base e

distinta base e igual exponente

a b

n

3

n

:b

:5

3

n

 a : b 

n

 a     b 

 10  3  10 : 5      5 

n

a



b

n n

3

 2

3

 8

A continuación, mencionaremos las siguientes propiedades de potencias que no necesariamente involucran las operaciones anteriores: 1.Potencia de una potencia : a

p  3

2

 p

32

 p

n



m

 a

n m

6

2. Potencia de exponente negativo i)

Base entera a

n

 1      a 

3

2

n



1    3

i) 1 a

n n

2



a    b 

1



a

1 3

Base racional

n



2

 2    3

1 9

5

n

b     a 

 3     2

5



n



b a

3 2

5 5



n n

243 32

3. Potencia de exponente cero i) a 0

iii) 2 x  5 x  3   1

ii) 7 0  1

1

3

4.Potencia de base 1: 1 n  1 ejemplo 1 50  1 5.Bases iguales 6.Si a rel="nofollow">1 se cumple 7.Si 0
a

m

 a

n

 m  n

a  0, x  0

o

0  a  1, x  0

a  1, x  0

o

0  a  1, x  0

x

x

x

x

Modelación Matemática Crecimiento de Bacterias

88 F-CV3-3B-3

0

1. En un laboratorio se observa el número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos dado por 5 N ( t )  200   4

n

resuelva en cada caso:

a)

¿Cuántas bacterias están presentes al inicio del cultivo?

b)

¿Cuántas bacterias hay después de 4 minutos?

c)

¿Luego de cuánto tiempo estarán presentes 250 bacterias?

Solución: a) Determinar el número de bacterias presentes al inicio del cultivo es evaluar t = 0 en 5 N ( t ) , evaluando tenemos N ( 0 )  200  

0

 200 (1 )  200 .

 4

Luego, al inicio del cultivo hay presentes 200 bacterias. b) Determinar el número de bacterias presentes después de 4 minutos es evaluar t = 4 en 5 N ( t ) , evaluando tenemos N ( 4 )  200    4

4

 488 , 281 .

Luego, estarán presentes 488 bacterias después de 4 minutos. c) Determinar en cuantos minutos se obtendrán 250 bacterias, es resolver la siguiente 5  4

ecuación N ( t )  200 

t

5  250    4

t



250 200



5

 t 1

4

Luego, al cabo de 1 minuto estarán presentes 250 bacterias. Monto compuesto e interés compuesto El monto compuesto “S” del capital “P” al final de “n” años a una tasa de “r” compuesta anualmente, está dado por S=P(1+i)n y el interés ( I ) está dado por I = S - P

2. Debido a la situación económica, Cecilia decide invertir 1 000 soles al 6% compuesto anualmente en un negocio, determine el monto y el interés acumulado al cabo de 5 años. Solución: 5

Calculemos el monto S = 1 0 0 0 ×( 1 + 0 , 0 6 ) = 13 3 8 , 2 2 6 » 13 3 8 s o le s Calculemos el interés

I = 1 3 3 8 , 2 2 6 - 1 0 0 0 = 3 3 8 , 2 2 6 » 3 3 8 s o le s

89 F-CV3-3B-3

Crecimiento de población La población total “P” con una población inicial “I” con una tasa de crecimiento “r” y un tiempo determinado “n” está dado por P  I 1  r 

n

3. En uno de las villas de China La población de 10 000 habitantes crece a razón de 1% anual. Calcule la población dentro de 4 años. Solución: Calculemos la población total

P  1000 (1  0 . 01 )  1040 , 604 habitantes 4

Decaimiento radiactivo En general los elementos radiactivos tienen la particularidad de que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, es así que si N es la cantidad en el tiempo t, entonces

N ( t )  N 0 .e

1.3.

 t

Preguntas de aplicación

1. Un elemento radiactivo decae de modo que después de “t” días, el número de miligramos presentes está dado por N ( t )  200 .e

 0 . 05 t

. ¿Cuántos miligramos están

presentes después de diez días? 2. Se invierten 1 000 soles durante “t” años con una tasa de interés del 9 % anual compuesto trimestralmente, el valor futuro resultante será S(t)=1000(1,08)4t. ¿Qué cantidad resultará en 8 años y en cuantos años el monto ascenderá a 5 000 soles? 3. La concentración de un medicamento en un órgano en el instante t (en segundos) está dado por: C ( t )  0 . 08  0 . 12 e

 0 . 02 t

. Donde C(t) está dado en gr/cm3

a.

¿Cuál es la concentración pasado un minuto?

b.

¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0,082 gr/cm3de medicamento en el órgano?

4. Suponga que la función de demanda para una mercancía está dada por P(x)=100.e-x/10, donde “P” es el precio por unidad cuando se venden “x” unidades. a. ¿Cuál es el ingreso total por la mercancía? b.

¿Cuál será el ingreso total si se demandaran y ofertaran 30 unidades?

5. En un esfuerzo por disminuir los costos, una compañía reducirá su fuerza de trabajo a razón de 3% mensual durante de 12 meses. Si actualmente emplea a 700 trabajadores, ¿Cuántos trabajadores aproximadamente tendrán en 12 meses? 6. En los siguientes problemas encuentre el monto compuesto y el interés compuesto

90 F-CV3-3B-3

para la inversión y tasa anual dadas en cada caso: a.

Se invierte 4 000 soles durante 8 años a 6 % compuesto anualmente.

b.

Se invierte 5 000 soles durante 20 años a 4 % compuesto anualmente.

c.

Se invierte 700 soles durante 15 años a 6 % compuesto por semestralmente.

d.

Se invierte 4 000 soles durante 12 años a 5 % compuesto semestralmente.

e.

Se invierte 4 000 soles durante 15 años a 7,5 % compuesto trimestralmente.

f.

Se invierte 900 soles durante 10 años a 10 % compuesto trimestralmente.

7. Suponga que la cantidad de plástico que se reciclará aumenta 20% cada año y construya una tabla del factor por el cual aumenta el reciclado sobre la cantidad original para 0 a 3 años. a.

Para cada año, escriba una expresión para el aumento como una potencia de alguna base.

b.

¿Qué base utilizara y como se relaciona esa base con el problema?

c.

Utilice su tabla para graficar el aumento multiplicado como una función de los años y utilice su gráfica para determinar cuando el reciclado se triplica.

8. Tomado de Harshbarger,R. & Reynolds,J. (2009). El costo de un vehículo es de 6 200 soles. Si su costo se devalúa a una tasa de 15% al año, su valor dentro de “t” años puede calcularse mediante la fórmula V(t)=6200(0,85)t. Determine el valor que tendrá el vehículo dentro de 10 años. 9. Adaptado de Allen, R. (2009). De acuerdo con las proyecciones de la Oficina de Censos de Estados Unidos, el número de personas de 100 años de edad o más, aumentará de manera exponencial a partir de 1995. La función P(n)=71,24(1,045)n puede usarse para calcular el número en miles de personas, en donde “n” es el tiempo en años a partir de 1995. Utilice esta función para calcular el número de personas de 100 años de edad o más en el 2 060 y 2 070. 11 Se hizo un estudio sobre la asistencia de personas a un centro de tragamonedas “ATLAS SAC”, el número de personas por noche que asisten esta dado según la fórmula: Q (t ) 

100 1  9e

 2t

personas por noche

a.

¿Cuántas personas por noche asisten inicialmente a dicha tragamonedas?

b.

¿Cuántas personas por noche máxima pueden asistir?

c.

¿Cuántas noches de pasar para que la Asistencia sea de 98 personas?

d.

Elabore el grafico

11. Los registros de salud pública indican que t semanas después del brote de cierta clase de gripe, aproximadamente

f (t ) 

2 1  3e

 0 .8 t

enfermedad.

91 F-CV3-3B-3

miles de personas han contraído la

a. ¿Cuántas personas estaban infectados al comienzo del brote? Interprete b. ¿Después de un número grande de semanas, cuántas personas estarán infectadas? Interprete c. Bosqueje la gráfica de la función. 12. Tomado de Harshbarger,R. & Reynolds,J. (2009). Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el número de estudiantes

N (t ) 

infectados

después

de

t

días,

se

pronostica

por

3000 1  2999 e

 0 . 895 t

a. ¿Cuántos estudiantes estaban infectados cuando se detectó el virus? b. ¿Cuántos estudiantes estarán infectados después de 15 días? c. Grafique la función, indicando el nivel de saturación II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1. Allen, R. (2009). Álgebra Intermedia. (6a ed.) México: Prentice Hall. 2. Barnett, R. (2008). Matemáticas para administración y Ciencias Sociales. (2ª ed.) México: Universidad Autónoma de México. 3. Haeussler, E. (2014). Matemáticas para administración y economía. (13ª ed.) México: Prentice Hall. 4. Harshbarger,R. & Reynolds,J. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y ciencias sociales. México: Mc Graw Hill. 5. Jajdish, C. (2006). Matemáticas Aplicadas. México: Prentice Hall. 2.2. Internet https://www.youtube.com/watch?v=Atf1UtHR7uw https://www.youtube.com/watch?v=dJf5Gw6M59g https://www.youtube.com/watch?v=B_nWbAGs_J0

92 F-CV3-3B-3

SEMANA 15 Función Logaritmo. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Introducción En esta sección haremos aplicación de la función inversa de la función exponencial. La función logaritmo. I.

Desarrollo del tema 1.1. Competencias a desarrollar Construye modelos matemáticos para resolver problemas de contexto, teniendo en cuenta los logaritmos y sus propiedades 1.2.

Contenido del tema

A. Función logaritmo Decimos que “y” es el logaritmo de “x” en base “a” y escribimos y = lo g a x Se cumple y  log

a

x  x  a

a  0 y a 1

y

B. Propiedades de los Logaritmos En las siguientes propiedades b, M y N son números positivos ( a  1 ) y p es cualquier número real: (1) logaa = 1 (2) loga 1 = 0 (3) loga(ap) = p (4) loga MN = loga M + loga N (5)

( producto )

 M  lo g a    lo g a M  lo g a N  N 

(6) loga (Mp) = plogaM

, ( división)

( Potencia)

(7) lo g a M  lo g a N  M  N (8) a

lo g a p

 p

( p a ra p  0 ), p ro p ied a d

in versa

Nota 1: Logaritmos con base 10 son llamados logaritmos comunes y se escribe:

lo g 1 0 x  lo g x Fórmula cambio de base

93 F-CV3-3B-3

Si

x,

a

lo g b x 

y

b

lo g a x

son



lo g a b

números

reales

positivos

con

a  1

y

b  1,

entonces:

ln x ln b

Ejemplos: Halla el valor de x en los siguientes casos: a) log2 128 = x

b) lo g x 1 0 0 

7  x

c) lo g 3 4 3

1 2

d) log2 322 = x

C. Las gráficas de la función logarítmica y = f (x ) = a

x

y a rel="nofollow">1

y = f (x ) = a

Dom f=R y Rang f= 0 , 

x

y 0
Dom f=R y Rang f= 0 , 

Fuente: Elaboración propia

Ejemplo 1: Usando la definición de logaritmo determine el valor de b, x o N Solución: usaremos y  log log

27

9  x  9  27

x

a

x  x  a

 3

2

a)  2  3x  x 

 3

y

a  0 y a 1

3x

x  log

2

b)

3



5

0 .2 

log 0 , 2



log 5

(  1 )  log 5 

 log 5 

1

log 5

 1

log 5

c)

log

9

N 

1

 N  9

1/ 2

 N  3

log

2

3

N  2  N 

d)  N 

 3

2

1 3

D. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos miembros, y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes.

94 F-CV3-3B-3

En algunos casos, la igualdad de los exponentes da lugar a una ecuación de primer grado, en otros, la ecuación exponencial planteada conduce a la resolución de una ecuación de segundo grado. Nota: en algunos casos no es posible igualar sus bases y son resueltos aplicando logaritmos y sus propiedades Ejemplo 1: Resolver la ecuación logarítmica 6x

log

 log 10 

3x  4

6x 3x  4

log 6 x  log( 3 x  4 )  1

 10  6 x  30 x  40 ;

x  

4 3

24 x  40  x  5 / 6

Ejemplo 2: Resolver la ecuación logarítmica

ln( x  8 )  ln  2 x  2   ln( x  2 )

ln( x  8 )  ln( 2 x  2 )( x  2 )  x  8  ( 2 x  2 )( x  2 )  x  8  2 x 2x

2

 3 x  12  0  x  3 . 311

x   1 . 811 ( no es solución

2

 2x  4

)

Ecuaciones logarítmicas con una incógnita Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte de, al menos, un antilogaritmo. Para resolver ecuaciones como estas, se aplican las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 1: Resolver log2(x + 5) = 4 Aplicando la definición de logaritmo: 2

4

 x  5  16  x  5  x  11

Nota: Se debe comprobar cada valor obtenido para x en la ecuación original, ya que los valores negativos dan origen a un antilogaritmo negativo, el cual, como sabemos, está restringido solo a números reales positivos, por lo tanto, todo valor negativo se descarta como solución de la ecuación. Ejemplo 2: Resolver la ecuación log

2

log

2

( 3 x  4 )   log log

2

2

log

2  log

2

log

2

2

(3 x  4 )   1

(3 x  4 )  2

( 3 x  4 )  log

2

4  3x  4  4  x  8 / 3

E. Logaritmo Neperiano Si en y = lo g b x tomamos como base el número irracional b=e=2,718281…tenemos el caso particular de la función exponencial y = f ( x ) = e

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x

y su inversa que es la función

logaritmo y = lo g e x , conocido como el logaritmo neperiano y es denotado por

y = f ( x ) = ln x , donde ln se lee “logaritmo neperiano”. Por ser la base

e rel="nofollow"> 1

, tanto la

x

función exponencial y = f ( x ) = e , así como y = f ( x ) = ln x cumplen las propiedades enunciadas anteriormente. Nota 2: Logaritmos con base e, son llamados logaritmos naturales. ( muy utilizados en cálculo), es común escribir loge(x) = lnx Nota 3 Ln(1)=0 Nota 4 Ln(ex)=x

y

Nota 5 Ln(e)=1

eln(x)= x eln(1)= e0= 1

Ejemplo 1: La grafica de la función exponencial y = f ( x ) = e

x

y su inversa, que es el

logaritmo neperiano y = f ( x ) = ln x .

Fuente: Elaboración propia

Ejemplo 2: Debido a un concurso entre distritos, el alcalde está promoviendo el desarrollo de la zona. Para que la población aumente otorga ciertos incentivos y con ello se espera que en los próximos años crezca un 8% anual. Según esta política, ¿ cuánto tiempo tardará la población en triplicarse? Solución Para resolver este problema, aplicamos la siguiente función exponencial P(t)=P0(1+r)t 3p0=p0(1+0,08)t Resolviendo dicha ecuación se determina que

t 

ln ( 3 )

 14, 2 años

1, 0 8

Ejemplo 3: El poder adquisitivo de una cantidad inicial P0 decae según el modelo P = P0e-0.06t ,

96 F-CV3-3B-3

donde t está medidos en años. ¿Cuánto tiempo tardará en depreciarse ese capital en la mitad? Solución 1 2

p0  p0e

t 

ln ( 2 )

 0 ,06 t

 1 1, 5 5 a ñ o s

0, 06

Arqueología: La variación de la masa de cierta cantidad de carbono 14, a través del tiempo, puede calcularse, aproximadamente, aplicando la siguiente función: M(t) = M

 0 , 8 8 6 , donde M0 ( en gramos) es la masa inicial, t ( en miles de años) es el t

0

tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que queda como consecuencia de la desintegración radiactiva. Se encontró un fósil con 100 g de carbono 14 y se sabe que cuando estaba vivo, contenía 200 g de carbono 14. ¿Cuántos años de antigüedad tiene? Solución 100  200  0,886 1

 0,886 , t

t

a p lic a n d o lo g a r itm o

2 lo g

1

 t lo g 0 , 8 8 6

2 lo g t

1 2

lo g 0 , 8 8 6 t

0, 301 0, 052

 5, 7 8 8

Es decir, este fósil tiene aproximadamente 6 mil años. Matemática financiera: Una pareja de recién casados deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo su capital será $ 2.500.000? Solución En un problema de matemática financiera (interés compuesto), se utiliza la fórmula: M = Monto o capital final C = capital inicial i% = tasa de interés

 M  C (1  i )

n = tiempo o plazo

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n

$ 2 .5 0 0 .0 0 0  $ 2 .0 0 0 .0 0 0 (1  0 ,1 2 ) 2 .5 0 0 .0 0 0

n

 (1,1 2 ) , a p lic a n d o n

lo g a r itm o

2 .0 0 0 .0 0 0 ln 1, 2 5  n ln 1,1 2 n 

ln 1,1 2 ln 1, 2 5

n  2 años

Estadística: La población de un país dentro de t años está dada por la relación 2t

P ( t )  2  3 3 millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población del país sea 162 millones de habitantes?

Solución: P(t) = 162.000.000 t=x

Aplicando logaritmo y sus propiedades, obtendremos t = 6 años

Química : Calcular el ph de una solución de ácido clorhídrico (Hcl), de concentración 0,01 M ( molar) Solución: la relación que permite calcular el pH de una concentración acuosa es: 

pH = -log[ H ( Nota: [ H



]

] = 10-3 M) pH   log( 1  10

3

)

pH   (  3 ) pH  3

1.3. Preguntas de aplicación 1. Tomado de Harshbarger & Reynolds. (2009). Entre 1976 y 1998, el porcentaje de madres que se reincorporaron a la fuerza laboral al año de haber tenido a su hijo se obtiene por medio de la función N(x)=1.11 + 16,94. Ln(x), donde “x” es el número de años transcurridos desde 1970. a. ¿Cuál es el porcentaje de madres que se reincorporaron a la fuerza laboral en el 2012 según este modelo? b.

Calcule el año en el que el porcentaje llegó a 40 y 45 respectivamente.

2. Tomado de Allen, A. (2009). La tasa de mortalidad infantil (muertes por cada 1 000 nacidos vivos) en Estados Unidos ha disminuido desde antes de 1959. (Aunque en otros países ha ocurrido lo mismo, la disminución ha sido menos significativa.) La tasa de mortalidad infantil en Estados Unidos puede calcularse mediante la función f(t)=26-12,2.log(t+1), donde “t” es el número de años a partir de 1960 y 0
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3. Tomado de Allen, A (2009). A partir del año 1993, el número de homicidios en una determinada ciudad ha estado disminuyendo. El número de homicidios puede calcularse mediante la función f(t)=1997 -1576.log(t+1), donde “t” es el número de años transcurridos desde 1993. Utilice esta función para calcular el número de homicidios en dicha ciudad en el año 2015. 4. Tomado de Allen, A (2009). Para el estudio de una molécula de proteína está dada por la relación M = ln Q - ln ( 1 - Q ) . Despeje “Q” de esta relación dada. 5. Tomado de Allen, A (2009). El carbono 14 (elemento radiactivo) se utiliza con mucha frecuencia para calcular la edad de objetos antiguos, fósiles y restos animales. El carbono 14 decae exponencialmente a una velocidad de

0 , 0 12 0 5 %

por año. La

cantidad de carbono 14 que queda en un objeto después de “t” años puede determinarse mediante la función f ( t ) = V 0 ×e

0 ,0 0 0 12 0 5 t

, en donde “ V 0 ” es la

cantidad inicial que estaba presente. a. Si el hueso de un animal tenía originalmente 25 gramos de carbono 14 y cuando se encontró tenía 10 gramos de carbono 14, ¿cuál es la edad del hueso aproximadamente? b. ¿Cuál es la edad aproximadamente de un objeto que conserva

50 %

de la

cantidad original de carbono 14? 6. Tomado de Allen, A (2009). Las bacterias Escherichia coli por lo regular se encuentran en la vejiga de los humanos. Suponga que hay 2 000 bacterias en el instante cero, y que el número de bacterias presentes “t” minutos después puede determinarse mediante la función N ( t )  2000 ( 2 a.

0 . 05 t

)

¿Cuándo habrá 50 000 bacterias y cuántas bacterias habrá al cabo de 20

minutos? b.

Suponga que se cataloga como infectada una vejiga humana que contenga 120 000 bacterias. ¿Cuánto tardará en desarrollar una infección de este tipo una persona cuya vejiga contiene inicialmente 2000 bacterias?

7. Tomado de Harshbarger & Reynolds. (2009). La función de demanda por la venta de sillas de ruedas está dada por P ( n )  30 ( 3



n 2

) , donde “n” es la cantidad de

productos y P el precio por unidad. a.

¿Para qué precio por unidad será la demanda igual a 4 unidades?

b.

Si el precio es de 17,32 soles, ¿cuántas unidades aproximado a la unidad más

cercana, serán demandadas? 8. La agencia de publicidad Neutrón descubrió que cuando promueve un producto nuevo en cierto mercado de 375 000, el número de personas “N” que conocen el producto “t” días después de haber iniciado la campaña publicitaria se obtiene por

99 F-CV3-3B-3

medio de N(t)=375 000(1-e-0,077t) a.

¿Cuántas personas (aproximado al millar más cercano) lo conocen después de

una semana? b.

¿Cuánto tiempo (aproximado al día más cercano) pasará antes de que 300 000

personas conozcan el nuevo producto? 9.

Adaptado de Harshbarger & Reynolds. (2009). La ecuación de demanda de

pañales para recién nacidos es

p  600 e

q / 100

, q  0

. Si la función de costo es C(q)=

700ln(q+1) +800, q  0 . Obtener La función de beneficio cuando se producen y venden 100 pañales 10. Para una mejor organización de la salud de una población, un médico ha establecido recientemente el modelo: P ( t )  47000

 9000 ln  0 , 7 t  1  para

estimar la población que habrá dentro de 𝑡 años. ¿Cuál es la población actual de la ciudad? 11. Adaptado de Harshbarger & Reynolds. (2009). La ecuación de oferta de un fabricante para una máquina de imágenes por resonancia magnética (MRI) es: p  log( 10 

q

)

en miles de dólares por unidad donde q es el número de

2

unidades ofrecidas. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1900 unidades? II.

Fuentes de información 2.1. Bibliografía 1)

Allen, A. (2009). Álgebra Intermedia. (6a ed.) México: Prentice Hall.

2)

Barnett, R. (2008). Matemáticas para administración y Ciencias Sociales. (2ª ed.) Universidad Autónoma de México.

3)

Harshbarger & Reynolds. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y ciencias sociales. México: Mc Graw Hill.

4)

Jagdish, A. (2006). Matemáticas Aplicadas. México: Prentice Hall.

2.2. Revistas http://revistasacitametam.blogspot.pe/2009/01/logaritmos-para-hallar-antgedad-de.html https://scielosp.org/article/rpsp/1999.v5n1/1-8/es/ 2.3. Internet https://www.youtube.com/watch?v=X4gxPvlEd_Q&t=123s https://www.youtube.com/watch?v=kk9FbZIw3kchttps://www.youtube.com/watch?v=B_n WbAGs_J0

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