Modulo I Matematica I

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CARRERA: GERENCIA DE NEGOCIOS ASIGNATURA

MATEMÁTICAS I << MAE -0501>> Objetivo general: Capacitar al estudiante para que alcance las habilidades y destrezas (incrementar sus competencias) requeridas en el manejo de los temas de Matemáticas I.

MATEMÁTICAS I DATOS GENERALES UV: 4 Requisitos para cursar la asignatura: NINGUNO Objetivos específicos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Reconocer y obtener múltiplos de un número. Calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números. Reconocer si un número es divisor de otro. Reconocer si un número es divisible por 2, 3 o 5. Hallar todos los divisores de un número. Diferenciar números primos y compuestos. Calcular el máximo común divisor de dos o más números. Resolver problemas de m.c.m. y de m.c.d.

Módulos de aprendizaje: Módulo I: Múltiplos de un número natural Módulo II: Números enteros Módulo III: Números irracionales Módulo IV: Polinomios Módulo V: Factorización de polinomios Módulo VI: Ecuaciones

Competencias: Área de matemática:  Identifica los criterios de divisibilidad, múltiplos y divisores para un número dado.  Conoce las estrategias para el cálculo de M.C.D. y m.c.m.  Diferencia un número primo y un número compuesto.  Aplica criterios de divisibilidad en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas. Área de las TIC´s:  Comprende y extrae información útil y relevante.  Utiliza los recursos digitales.

Módulo VII: Plano cartesiano Módulo VIII: Rectas Módulo IX: Funciones logarítmicas y exponenciales

ICONOGRAFÍA

En el desarrollo del contenido de cada uno de los módulos de aprendizaje se encontrarán algunos iconos que sugieren actividades o acciones que dinamizan el proceso de aprendizaje. A continuación, se describen cada una de sus utilidades:

Enlaces web: Este icono servirá para mostrar enlaces web de información de interés, así como videos y libros relacionados directamente con la temática.

Datos de interés: Este apartado se encontrará relacionado con el texto del documento, servirá para conocer datos, estadísticas, tips y comentarios que refuercen el contenido estudiado.

Actividad de aprendizaje: Son las actividades de aprendizaje que se irán realizando periódicamente se avanza en el contenido.

Ejercicios matemáticos: Son tareas relacionadas con la temática y con las competencias que se esperan desarrollar. Solo lo encontrarás en módulos del área de matemáticas en la parte de Anexos. Conceptos técnicos: Se presentan en el transcurso del contenido y muestra los conceptos técnicos de algunos elementos dentro de la temática.

Anexos: Se presentan al final del módulo, donde se encontrarán actividades y ejercicios prácticos relacionados a la temática.

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS I MÓDULO I

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL Introducción: La Matemática contribuye a la formación integral de las personas, desarrolla aptitudes operacionales y destrezas intelectuales, estructurando el pensamiento para que seamos capaces de: observar, anali zar, reflexionar, identificar estrategias de solución a problemas, lo que nos ayudará a comprender mejor las situaciones reales presentadas en nuestro entorno y realizar opciones pertinentes en el momento que la requiera., así como para la solución de problemas matemáticos y de otras áreas y campos del saber. Durante este Módulo se trabajará con las relaciones de divisibilidad entre los números naturales. Se conocerán los criterios de divisibilidad, así como las propiedades de los múltiplos y divisores pa ra la resolución de problemas. Se estudiarán los números primos y compuestos, y cómo hallar múltiplos y divisores. Se trabajará de forma colaborativa y participativa, esto significa que la fuente de conocimiento surgirá de la interacción entre compañeros y compañeras a través de la realización de las diferentes actividades propuestas. Para que el trabajo sea óptimo, se seguirán las pautas y orientaciones indicadas en cada una, a través de la consulta al catedrático y enlaces proporcionados como fuentes de información.

ORGANIZACIÓN DE LA CLASE Temática del módulo I: Múltiplos:

Pág. 5

 Tabla de los múltiplos de un número  Número par      

Actividad sugerida N° 1 Divisores de un número natural Propiedades de los divisores de un número Actividad sugerida N° 2 Criterios de divisibilidad Actividad sugerida N° 3 Números primos Actividad sugerida N° 4 Números compuestos Factorizar un número Actividad sugerida N° 5

Máximo Común Divisor:  M.C.D.

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Actividad sugerida N° 6

Mínimo Común Múltiplo:  m.c.m

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Actividad sugerida N° 7

Anexos:  Anexo I  Anexo II

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Bibliografía

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Descripción actividades para módulo I: Actividades: La consecución de los objetivos se alcanzará mediante las actividades previstas. Las actividades a efectuar en el módulo I son:  1 Foro con valor 2%  1 Tarea con valor de 2%

Tareas: Con la realización de los ejercicios aprenderá a trabajar en equipo y en concreto a:  Exponer de forma clara los conceptos e ideas.  Analizar y valorar los puntos de vista de los demás.  Aprenderá cómo usar su equipo y su conexión a Internet para ayudarse con su estudio: Utilizar las TIC para producir y transmitir información.

Ver las actividades sugeridas en Anexos I del módulo I: pág.17

Foro: “El estudio de las Matemáticas” Generar en los alumnos/as una actitud positiva respecto al estudio de la matemática, a través de una enseñanza aplicada, contextualizada, útil e interesante, para evitar las frustraciones y la posible deserción de sus estudios. 1. ¿Cuáles son las principales preocupaciones al momento de estudiar matemática? 2. Reflexionan sobre la importancia de las matemáticas en sus vidas.

Ver ejercicios que complementan la parte práctica del foro: “El estudio de las Matemáticas” en Anexos II del módulo I: pág. 19

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MÓDULO I: MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

MÚLTIPLOS Un número natural A es múltiplo de otro B, cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número C. A= B * C Dado un número natural obtenemos un múltiplo de él al multiplicarlo por otro número natural. Ejemplo: 10 = 2*5 → 10 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 5. 18 = 2*9 → 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.

Los primeros múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar.

Tabla de los múltiplos de un número Múltiplos del número 2

Múltiplos del número 3

2·0 =0

2·1= 2

2·2= 4

2·3 =6

2·4= 8

3 · 0= 0

3· 1=3

3·2=6

3·3=9

3 · 4 =12

2 · 5 =10

2 · 6 =12

2 · 7 =14

2 · 8 =16

2 · 9 =18

3 · 5 =15

3 · 6 =18

3 · 7 =21

3 · 8 =24

3 · 9 =27

Múltiplos del número 5 5·0=0

5· 1=5

5 · 2 =10

5 · 3 =15

5 · 4 =20

5 · 5 =25

5 · 6 =30

5 · 7 =35

5 · 8 =40

5 · 9 =45

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MÓDULO I: MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

Número Par Un número a ≠ 𝟎 es par si y solo si a es múltiplo de 2, que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un número natural. Los números que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1. Números Pares = {2, 4, 6, 8, … } Numeros Impares = {1, 3, 5, 7, … } Actividad sugerida 1 Tipo: Selección múltiple Indicaciones: Seleccionar la opción correcta para cada uno de los siguientes incisos. 1. Como 20 es múltiplo de 4 y de 5... a) 4 + 5 es múltiplo de 20. b) todos los múltiplos de 20 son múltiplos de 4 y 5. c) 4 / 5 es una división exacta.

2. Sabemos que 24 es múltiplo de 3. a) Entonces, también lo es de todos los múltiplos de 3. b) Entonces, cualquier múltiplo de 24 será múltiplo de 3. c) Entonces, 24 − 3 es múltiplo de 24. Tipo: Práctico Indicaciones: Escriba en orden, 1. 2. 3. 4. 5.

Los múltiplos de 3 que hay entre 11 y 39. Los múltiplos de 5 que hay entre 123 y 148. Los múltiplos de 7 que hay entre 120 y 165. Los múltiplos de 2 que hay entre 781 y 795. Los múltiplos de 11 que hay entre 526 y 580.

Divisores de un Número Natural Los divisores de un número son los valores que dividen al número exactamente. Dado un número A, si la división A/B con B ≠0 es exacta (el residuo

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MÓDULO I: MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

es cero), entonces se dice que B es divisor de A. También se puede decir que A es divisible por B o que A es un múltiplo de B. Esto nos resulta útil, por ejemplo, a la hora de agrupar una cantidad de objetos en partes iguales sin que nos sobre.

A los divisores también se les llama factores

La división se suele expresar en estas notas de clase con la siguiente notación: A/B A: B A÷B

Ejemplo: 12 / 4 = 3 → 4 es divisor de 12

4 · 3 = 12 → 12 es múltiplo de 4

Propiedades de los divisores de un número  Todo número "A", distinto de 0, es divisor de sí mismo.  El 1 es divisor de todos los números. Actividad sugerida 2 Tipo: Selección múltiple Indicaciones: Seleccionar la opción correcta para cada uno de los siguientes incisos. 1. ¿Cuál de los siguientes números no es divisor de 90? a) b) c) d) e)

2 10 15 30 4

2. De los siguientes números seleccione cuál es el divisor de 20. a) b) c) d) e)

11 3 2 18 12

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Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

3. De los siguientes números seleccione cuál es el divisor de 18. a) b) c) d) e)

12 5 8 6 7

4. Si A es divisor de B, entonces... a) B es múltiplo de A. b) A / B es exacta. c) A * B es divisor de B. 5. Como 4 es divisor de 20... a) 4 es divisor de 40. b) todos los divisores de 20 son divisores de 4 y 5. c) 4 / 20 es una división exacta. 6. 3 es divisor de... a) 48 y, por tanto, lo es de 48 / 3. b) 48 porque 48/3 es exacta. c) 48 porque 48 · 3 es múltiplo de 3. 7.- El 1... a) es divisor de cualquier número distinto de cero. b) sólo tiene por divisores a sí mismo y al cero. c) es divisor de todos los números, incluido el cero. Tipo: Práctico Indicaciones: Escriba el número de divisores de los siguientes números: -

24

- 1,960

-

347

-

704

-

582

-

204

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Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

Criterios de divisibilidad Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par Ejemplo: 24, 238, 1,024,...

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3 Ejemplo: 564

5 + 6 + 4 = 15 → 15 es múltiplo de 3

2,040 2 + 0 + 4 + 0 = 6 → 6 es múltiplo de 3

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Ejemplo: 45, 515, 7,525, 230,...

Actividad sugerida 3 Tipo: Verdadero y falso Indicaciones: Siguiendo los criterios de divisibilidad, compruebe si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1,480 es divisible por 2

(

)

739 es divisible por 2

(

)

3,264 es divisible por 3

(

)

534 es divisible por 2 y por 3

(

)

7 es divisor de 112

(

)

4 es divisor de 62

(

)

24 es múltiplo de 6 y de 8

(

)

35 no es múltiplo de 5

(

)

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Tipo: Selección múltiple Indicaciones: Seleccione la opción correcta para cada inciso. 1. 120... a) no es divisible entre 5. b) es divisible entre 5 porque 20 lo es. c) es divisible por 5 porque acaba en 0. 2. 51... a) es divisible por 2, porque la suma de sus dígitos (5 + 1) lo es. b) es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos (5 + 1) lo es. c) es divisible por 6, porque lo es por 2 y por 3. 3. 344... a) es divisible por 4, porque acaba en 4. b) es divisible por 2, pero no por 4. c) es divisible por 4, porque 44 es múltiplo de 4.

Números primos Un número primo es un número natural diferente de 0 y 1 que tiene exactamente dos divisores: él mismo y la unidad. Ejemplo: 5, 7, 13, 59, ...

a) El 7 es número primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15.

El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

¿Cómo averiguar si un número es primo? El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número K es primo, es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor 10

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propio. Para ello vamos dividiendo el número K entre 2, 3, 4, 5, ..., K-1. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número K es primo. O bien sólo hay que dividir entre 2, 3,4, 5,..., √𝑘. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √𝑘 ... Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15.0665..., basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 , 13 y 15 .

Actividad sugerida 4 Tipo: Selección múltiple Indicaciones: Seleccionar la respuesta correcta para cada inciso. 1. El primer número primo es... a) 0 b) 1 c) 2 2. 7 es primo porque... a) solo es divisible por 1 y 7. b) solo es divisor de 1 y 7. c) porque está entre 6 y 8 que no son primos. 3. Un algoritmo que permite hallar números primos es... a) La criba de Eratóstenes. b) El método de Eratóstenes. c) La criba de Euclides. Tipo: Completación Indicaciones: Complete lo que a continuación se le solicita.  Los primos que hay entre 12 y 29  Los primos que hay entre 200 y 250

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Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

Números compuestos Un número compuesto es el que tiene más de dos divisores.

Ejemplo: 70

70 es número compuesto, sus divisores son 1, 2, 5, 7 10, 35, 70 Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. Factorizar un número Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.

Solución: 432 = 2 4 · 3 3

Solución: 2,520 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7

Actividad sugerida 5 Tipo: Selección múltiple Indicaciones: Seleccionar la opción correcta. 2. Un número compuesto es... a) el que posee dos divisores exactamente. b) el que posee más de dos divisores. c) el que posee más de dos divisores, siendo el cero uno de ellos.

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3. Un número primo es... a) todo aquel que sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. b) todo aquel que sólo tiene dos divisores: él mismo y el cero. c) todo aquel que sólo tiene dos divisores y el número 1, que sólo tiene un divisor. 4. El número 2... a) es compuesto porque es divisible por 2. b) es primo porque sólo es divisible por él mismo y la unidad. c) es primo porque es el número natural más pequeño y mayor que 1. 5. La factorización en números primos de 24 es: a) 24 = 22 · 6 b) 24 = 4 · 6 c) 24 = 23 · 3 d) 24 = 23 . 3 6. El número 13 es primo porque... a) sólo es divisible por de 1 y 13. b) no tiene divisores distintos de 1. c) sólo es divisor de 1 y 13.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Máximo Común Divisor (M.C.D) Como su nombre indica, es el mayor de los divisores comunes a varios números. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. 3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd. 4. En el caso de que no se repita ningún factor, el M.C.D. de esos números es 1, y se dice que los números son "primos entre sí".

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Por ejemplo, El 18 y el 25 son primos entre sí.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

Solución: 72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5 m. c. d. (72, 108, 60) = 2 2 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60

Otros ejemplos: 1) Hallar el M.C.D. de 36, 60 y 72, descomponemos los tres en factores primos: a) 36 = 22·32 b) 60 = 22·3·5 c) 72 = 23·32 Solución: Vemos que los únicos factores que se repiten en las tres descomposiciones son el 2 y el 3. Los escogemos con los menores exponentes al que están afectados, por lo que el M.C.D. será 2 2·3 = 12. M.C.D. (36, 60, 72) = 12 2) Hallar el M.C.D. de 18 y 25: a) 18 = 2·32 b) 25 = 52

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Solución: No hay ningún factor repetido, luego: M.C.D. (18, 25) = 1 Los números 18 y 25 son primos entre sí.

Actividad sugerida 6 Tipo: Selección Múltiple Indicaciones: Seleccione la opción correcta. 1. Dos números primos entre sí... a) son dos números primos cualesquiera. b) son dos números primos y cuyo m.c.d. es igual a 1. c) son dos números primos o compuestos cuyo m.c.d. es igual a 1. 2. 7 y 21... a) son primos entre sí, porque 7 es primo. b) no son primos entre sí, porque, aunque 7 es primo, 21 no lo es. c) no son primos entre sí, porque m.c.d. (7, 21) ≠ 1. 3. El M.C.D. (7, 21) =... a) 21 porque 21 es divisible por 7 b) 7 porque 21 es divisible por 7 c) 3 porque 21 es divisible por 7 y 21: 7 = 3 4. El M.C.D. (11, 55) = a) 11 porque 11 es divisor de 55 b) 55 porque 55 es múltiplo de 11 c) 5 porque 55: 11 = 5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero. 15

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Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo: 1. Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60: 72 = 2 3 · 3 2 108 = 2 2 · 3 3 60 = 2 2 · 3 · 5 Solución: m.c.m. (72, 108, 60) = 2 3 · 3 3 · 5= 1080 1,080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60. 1,080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

Actividad sugerida 7 Tipo: Selección Múltiple Indicaciones: Seleccionar la opción correcta. 1. M.C.D. (15, 28) = 1. Entonces, ... a) m.c.m. (15, 28) = 15 · 28. b) m.c.m. (15, 28) = 28, que es el mayor de los dos números. c) m.c.m. (15, 28) = 1, ya que son primos entre sí. 2. Sin hacer cálculos podemos decir que m.c.m (24, 48) =... a) 48 porque 48 es múltiplo de 24. b) 24 porque 24 es divisor de 48. c) 48 porque 48 es el mayor de los dos números.

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Tipo: Práctico Indicaciones: Resuelva los siguientes problemas. 1. Jesús y Ángela son médicos en un hospital. Los turnos de noche de él son cada 8 días y los de ella cada 6 días. Si hoy han coincidido en el turno, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir los dos doctores en el turno de noche? 2. En un tramo de carretera recto y bastante largo hay tres semáforos. El primero se pone en rojo cada 3 minutos, el segundo cada 6 minutos y el último cada 12 minutos. Si los tres semáforos coinciden a las 13:15 horas, ¿sabría dar la hora exacta de la próxima coincidencia? 3. El Señor Arturo va a preparar hot dogs, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de pan. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los panes en paquetes de 4. ¿Cuál es el menor número que tiene que comprar de cada uno?

ANEXOS MÓDULO I Anexo I: Tarea de Módulo I Tipo: Práctico Indicaciones: Realice lo que se solicita en cada uno de los incisos. 4. Explique que son los múltiplos de un número y como obtenerlos: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. Explique que son los divisores de un número y como obtenerlos: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

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3. Escriba los números que sean: a) Múltiplos de 3 menores que 36: b) Múltiplos de 4 menores que 60: c) Múltiplos de 100 menores que 1000: d) Múltiplos de 7 que estén comprendidos entre 30 y 90:

6. Escriba 5 múltiplos de los números que se indican y TODOS los divisores Número 15 20 30 9

Múltiplos

Divisores

7. Complete con la palabra adecuada: 60 es................ de 5 11 es............................. de 33 60 es................ de 120

100 es............................. de 25

16 es................ de 8

7 es............................. de 63

8. Dados los números: 15, 10, 1, 25, 5, 8, 20, 45, 2, 12, indique cuáles son: a) Divisores de 50:

b) Múltiplos de 3:

9. Tache aquellos números que no sean:  Divisores de 5 = 1, 3, 5  Divisores de 25 = 1, 3, 5, 10, 20, 25  Divisores de 9 = 1, 2, 3, 6, 9  Divisores de 48 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48  Divisores de 11 = 1, 3, 11  Divisores de 100 = 1, 2, 4, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100

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Tipo: Selección Múltiple 1. De los siguientes números marque el que es divisible por 3. a) 10103 b) 202 c) 312 d) 518 2. De los siguientes números marca real que no es divisible por 5. a) 5130 b) 304 c) 125 d) 270 3. De los siguientes números marca el que no es divisible por 11. a) 2607 b) 2574 c) 3030 d) 121

Anexo II: Foro: “El estudio de las Matemáticas” Ejercicios prácticos. Objetivos de ejercicios  Generar en los alumnos/as una actitud positiva respecto al estudio de la matemática, a través de una enseñanza aplicada, contextualizada, útil e interesante, para evitar las frustraciones y la posible deserción de sus estudios.  Desarrollar en los alumnos/as las capacidades de estudiar, de trabajar en equipo, de ser creativos, de tomar decisiones.

Problema N° 1 Doral H dedicada al financiamiento de automóviles publica el siguiente anuncio:

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Remate, Vehículo Marca HONDA ODYSSEY EX L Año 2014 Oferta mínima $ 26,972 Millaje 29,075 Motor 6 cilindros, Gasolina Transmisión automática Tracción FWD Ubicación: Honestead, Florida Como el valor mínimo inicial no interesó mucho al público, este fue rebajado en $ 3,500. Al iniciarse el remate el primer postor ofreció $5,000 sobre el nuevo valor mínimo; el segundo ofreció $2,000 más que el primero; el tercero ofreció $3,000. Más que el segundo. Finalmente, se adjudica el remate del auto a un cuarto postor, que paga un total de 35,177. a) ¿Qué valor tiene el auto al inicio del remate? b) Si se lo adjudicara el tercer postor, ¿cuánto pagaría por el automóvil? c) ¿Cuánto más que el tercer postor ofreció el nuevo dueño del auto?

Problema N° 2 En el diseño del tornillo se muestra el plano para fabricarlo debe calcular, en pulgadas las medidas indicadas con X e Y

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MÓDULO I: MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL Número natural, criterios de divisibilidad, números primos, factorización de números, M.C.D y m.c.m.

BIBLIOGRAFÍA Fajardo Alberto, Caballero Gabriel Arturo y Zerón Carlos Manuel. (2012). Matemática I. 1ª. Ed. San Pedro Sula, editorial Diez. Montano Gloria (2009) Precálculo, 4ª Ed. Tegucigalpa, Guaymuras Arya Jag dish C y Lardner Robin W. (2009) Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía, 5ta Ed. México, Pearson Budnick Frank S. (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales, 4ta Ed. México, McGraw-Hill

REFERENCIAS WEB Salman Amin Khan, Precálculo https://es.khanacademy.org/math/precalculus

recuperado

enero

2015,

Marcelo López, Gustavo Jara, Patricio Saavedra, Curso de Precálculo, recuperado enero 2015, http://www.educagratis.org/moodle/course/view.php?id=229

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