Modulo Pre Basico Rm 2018 (1-8)

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS

SEMANA 01 ORDEN DE INFORMACIÓN 1.1. DEFINICIÓN: Son problemas cuya forma es de trabalenguas, en los cuales, la información es dada en forma desordenada y en el problema se presenta toda la información para su resolución.

1.2. TIPOS DE ORDENAMIENTO: 1.2.1. ORDENAMIENTO LINEAL: En este tipo de problemas es conveniente la utilización de un segmento de recta (horizontal o vertical) puntualizando en esta la información. Ejemplo: 1 Sabemos que Juan es mayor que José, Julio es menor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos? Resolución: Del primer dato tenemos: “Juan es mayor que José” José

Juan

Del segundo dato: “Julio es menor que Jesús” Julio

Jesús

José

Juan

Todavía no tenemos información entre Jesús y José. Por ello: Del tercer dato: “José no es menor que Jesús”, lo cual indica que José es mayor o igual que Jesús. El ordenamiento queda: Julio MENOR

Jesús

José

Juan MAYOR

Rpta: El menor de todos es Julio. Ejemplo: 2 Se tiene un edificio de cuatro pisos y en cada piso vive una persona. Diego vive un piso más arriba que Gabriel. Beto vive más arriba que Ignacio y Diego más abajo que Ignacio. ¿En qué piso vive Beto? Resolución: Aula Pre Básico

1

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 “Diego vive un piso más arriba que Gabriel”.

Diego Gabriel

Reordenando tenemos:

“Beto vive más arriba que Ignacio”

Beto Ignacio

“Diego más abajo que Ignacio”

Ignacio Diego

Beto Ignacio Diego Gabriel

4to 3ero 2do 1ero

Rpta: Beto vive en el 4to piso 1.2.2. ORDENAMIENTO CIRCULAR: En este tipo de problemas generalmente se encuentran personas alrededor de una fogata, niños jugando a la ronda, personas alrededor de una mesa, etc. Es importante en este caso asumir que todos se ubican mirando al centro del círculo, de tal forma que se puede establecer fácilmente las ubicaciones a la izquierda y/o derecha de cada persona o elemento presente en relación. Ejemplo: 3 Cuatro amigos: Álvaro, Beto, Carla y Karen se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: - Entre las dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas - Karen se sienta junto a Álvaro. Podemos afirmar: I. Carla se sienta junto a Beto. II. Álvaro se sienta frente a Beto. III. Karen se sienta junto a Álvaro. Resolución: En base a las dos condiciones y disponiéndolos: Afirmamos que: Carla se sienta junto a Beto (I) Aula Pre Básico

2

Beto Carla

Álvaro Karen Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Karen se sienta junto a Álvaro (III)

1.2.3 ORDENAMIENTO MEDIANTE TABLAS DE DOBLE ENTRADA: En estos tipos de problemas generalmente se encuentran una cantidad de sujetos, con sus características dadas en forma desordenada. El objetivo es ordenarlos por medio de cuadros donde se muestran todas las posibilidades de modo que se van descartando todas a excepción de una (la correcta), con los datos que nos proporcionan en el enunciado. Ejemplo: 4 Tres amigas Alicia, Betty y Carmen comentan acerca del color del polo que llevan puesto. - Alicia dice: “Mi polo no es rojo ni azul como el de ustedes” - Carmen dice: “Me encanta tener un polo verde como el tuyo” - Betty dice: “Me gusta mi polo rojo” ¿De que color es el polo de Carmen? Resolución: Primero se elabora un cuadro donde se observen todas las posibilidades: i) Del primer dato: Alicia nos dice que su polo no es rojo ni azul, entonces tiene que ser verde. Luego: Rojo Azul Verde Alicia x x Btty x Carmen x Se observa que si Alicia tiene polo verde, entonces ningunas de las otras tiene el polo de ese color. ii) Del tercer dato: “Betty lleva puesto un polo color rojo”.

Alicia

Rojo x

Btty Carmen

Azul x

Verde

x

x

x

x

Rpta: En conclusión Carmen tiene polo de color azul.

Aula Pre Básico

3

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018

NICA.

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01 Nivel Básico 1. Clara tiene más dinero que Isabel pero menos que Paola, quien a su vez tiene lo mismo que Mary, quien tiene menos que Jimena. Si Angélica no tiene más que Paola, entonces podemos afirmar: I) Jimena tiene más que Clara. II) Isabel tiene menos que Mary. III) Isabel es la que tiene menos. A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) Sólo I. 2. Cuatro amigos viven en la misma calle. Si se tiene los siguientes datos: - Carlos vive a la izquierda de Beto. - La casa de Beto queda junto y a la derecha de Aldo. - Aldo vive a la izquierda de Dante. Entonces, el que vive a la derecha de los demás, es: A) Beto B) Aldo C) Dante D) Carlos E) Javier 3. Se tiene una casa de 4 pisos y en cada piso vive una familia. La familia Castro vive en un piso más arriba que la familia Martinez. La familia Fernández habita más arriba que la familia Díaz y la familia Castro más abajo que la familia Díaz. Entonces, el número de piso en que vive la familia Castro, es: A) 1ero B) 2do C) 3ero D) 4to E) 5to 4. En una mesa circular hay 6 asientos simétricamente colocados, ante la cual se sientan 6 amigos a jugar casino, de la siguiente manera: Aldo no está sentado al lado de Alex ni Oliver. Daniel no está al lado de Joel ni Oliver. Alex no está al lado de Joel ni de Daniel. Nilo está junto y a la derecha de Alex. Entonces, el que esté sentado junto y a la izquierda de Daniel, es: A) Alex B) Aldo C) Oliver D) Nilo E) Joel 5. Alrededor de una mesa circular se sientan 6 personas ubicadas simétricamente, guardando las siguientes ubicaciones: - “A” está frente a “B” y al costado de “C”. - “C” está frente a “F” - “D” está entre “A” y “F” Entonces la persona “E”, que es el último, se encuentra entre: A) B y C B) B y A C) A y D D) F y A E) F y B Aula Pre Básico

4

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS 6.

El distrito 9 esta ubicado al este del distrito 11 y el distrito 12 se ubica al oeste del distrito 13. Si el distrito 11 se encuentra ubicado al oeste del distrito 12, entonces, podemos afirmar que el distrito que está ubicado más al oeste, es: A) 13 B) 12 C) 9 D) 11 E) 10

7. Cinco personas (A, B, C, D, E) se sientan numéricamente alrededor de una mesa pentagonal, una por lado. Si se sabe que: - “A” no está al costado de “B” ni de “E”. - “B” está al lado de “E” y “D” - “C” está a la derecha de “E” Entonces, el que está a la izquierda de “D”, es: A) B B) D C) E D) C E) A 8. Se tiene un edificio de 6 pisos en el cual viven seis personas: A , B , C , D, E y F, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: - “E” vive contiguo a B y C - Para ir de la casa de “F” a la de “E” hay que subir 3 pisos. - “A” vive en el 2do piso. Entonces, el que vive en el 6to piso, es: A) B B) C C) D D) E E) F 9. Sobre una mesa hay 3 naipes en hilera. - A la izquierda del rey hay un as. - A la derecha de la J hay uno de los diamantes. - A la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles. - A la izquierda del de corazones hay una jota. Luego, el naipe de más a la derecha, es: A) As de diamantes B) Rey de diamantes D) J de corazones E) Rey de corazones 10.

C) J de trébol

El volcán Temboro está ubicado al este del Sumatra. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. Entonces el volcán ubicado al oeste de todos, es: A) Temboro B) Sumatra C) Singapur D) Krakatoa E) Misti Nivel Intermedio

11.

Seis personas se ubican en una mesa circular. Mary no está sentada al lado de Alicia ni de Angélica. Alicia no está al lado de Vilma ni de Luisa. Lucía no esta sentada al lado de Vilma ni de Angélica. Rosa está junto a Alicia a su derecha. Entonces, la que está sentada a la izquierda de la persona que está sentado a la izquierda de Lucia, es: A) Angélica B) Alicia C) Vilma D) Mary E) Rosa

12.

Sabiendo que: Karen es mayor que Gladys: Rocío es menor que Alejandra; Gladys es mayor que Patty y que Alejandra, Elena es mayor que Gladys, Rocío no es la menor. Entonces, de acuerdo a los datos:

Aula Pre Básico

5

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 I. Patty es mayor que Rocío. II. Elena es mayor que Rocío. III. No es cierto que Patty sea menor que Elena. El valor de verdad respectivamente, es: A) FVF B) VFV C) VVF D) FVV

E) FFF

13. Se tiene 3 sacos de granos de maíz. El saco “A” tiene menos granos que “B”. El saco “C” tiene más granos que “A”. Además los 5/8 del total de granos de “C” es mayor que los 2/3 del total de granos de “B”. Luego, el saco que tiene más granos, es: A) B B) A C) C D) B y C E) A y B 14.

Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante, Dante está junto y a la izquierda de Erick. Entonces, el que ocupa el tercer asiento, si los contamos de izquierda a derecha, es: A) Carlos B) Erick C) Dante D) Flavio E) Toño

15.

Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. Luego, el tercer piso lo ocupa: A) Bica B) David C) Franco D) Carlos E) Enzo

AUTOEVALUACIÓN Nº 01 1. En un comedor de estudiantes, 8 comensales se sientan en una mesa circular, se identifican mediante letras mayúsculas así: H está frente a E y entre G y F, C está a la izquierda de E y frente a G; frente a F está D, éste a su vez está a la siniestra de A. Entre B y E se encuentra: A) A B) C C) F D) G E) H 2. En un examen Raúl obtuvo menos puntos que Saúl, Doris menos puntos que Raúl y Luis más puntos que Eugenio. Si éste obtuvo más puntos que Saúl, entonces, quien obtuvo más puntos, fue: A) Eugenio B) Luis C) Raúl D) Doris E) Saúl 3. Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo que Jorge y Willy vive inmediato superior a Mario. Willy vive en el piso: A) Primero B) Tercero C) Segundo D) Cuarto E) Faltan datos 4. La ciudad A se encuentra a 40 Km al norte de la ciudad B, pero 30 Km al este de C. D está a 60 Km al sur de A. E está a 20 Km al oeste de B. De acuerdo a esto la afirmación correcta, es: Aula Pre Básico

6

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS A) B está al sur-oeste de C C) E está al sur-este de A

B) C está al nor-este de D D) D está al sur-oeste de E

E) E está al nor-oeste de D

SEMANA 02 OPERADORES MATEMÁTICOS 2.1. DEFINICIÓN: Son símbolos que representan a un proceso de transformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, teniendo como regla de formación alguna combinación de operaciones básicas que se definen en cada problema. Operación matemática

a 1º Componente

5 a2 – 3ab + b2

b =

Operador matemático

Regla de formación 2º Componente

Ejemplo: 1 Sabiendo que: a * b = (a - 1). b, ¿cuál es el valor de A = ( 4 * 5 ) * 2 ? Resolución: i) (4 * 5) = (4 - 1).5 = 3 . 5 = 15 a* b ii) A = ( 4 * 5 ) * 2 = 15 * 2 = (15 - 1). 2 = 14 (2) = 28 Ejemplo: 2 Si :

m

= m2 – 2, entonces ¿cuál es el valor de

4

-

3

?

Resolución: i)

Hallamos

4

:

14 Aula Pre Básico

4

= 42 – 2 = 14;

= 142 – 2 = 194

7

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018

ii)

Hallamos

3

:

3

= 72 – 2 = 47

7



4

-

3

= 32 – 2 = 7;

= 194 - 47 = 147

2.2. OPERACIONES BINARIAS 2.2.1. DEFINICIÓN: Es una relación que hace corresponder a cada elemento del producto cartesiano A x A, un sólo elemento del conjunto A. 2.2.2. CARACTERÍSTICAS: Sea A   , una operación binaria definida en dicho conjunto es una relación que a cada par ordenado del dominio le hace corresponder una única imagen del rango distinguimos: a) Conjunto de partida: El producto cartesiano A x A b) Conjunto de llegada: El conjunto A c) El dominio: A x A d) El rango: Un subconjunto del conjunto A AxA

A

(1,2) (1,3) (2,3)

1 2 3

La regla de correspondencia de una operación binaria se representa por una tabla de doble entrada, un diagrama o con una expresión simbólica y a partir de ello damos solución a las operaciones. En una tabla de doble entrada distinguimos: Fila de entrada

Columna de entrada

۞

Aula Pre Básico

a

b

c

a

a

b

c

b

c

c

a

8

Segunda componente

Cuerpo de la tabla

(son los resultados de las operaciones) Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS c

a

a

b

Primera componente Ejemplo: 3 Si se define la tabla (),  0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0 ¿cuál es el valor de P = (3  1) + (1  1)? Resolución: i) En 3  1, se tiene: Veamos:

Segundo elemento de la operación



0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

3

0

2

2

2

3

0

2

3

2

1

0

3

Primer elemento de la operación

ii) En 1  1, se tiene:



0

0

0

2

3

1

2

3

0

2

1

1

22

2

3

0

2

3

3

2

1

0

Aula Pre Básico

r

Primer elemento de la operación

31=2

Segundo elemento de la operación

1 3

Entonces:

9

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018



Entonces: 1  1 = 3 5

P=2+3 =

2.2.3. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS Se define el conjunto A mediante el operador  , esta puede tener las siguientes propiedades: 2.2.3.1. PROPIEDAD DE CLAUSURA O CERRADURA:

a, b A ; a  b  A La operación es cerrada si el resultado de la operación es un elemento que pertenece a los elementos del conjunto de partida. Si no pertenece al conjunto de partida, se dice que la operación es abierta. Así, tenemos:





Sea : A  a ; b ; c ; d , el conjunto " A"

Según la tabla:

۞ a b c d

۞ a b c d

a a d a b

b d a b c

a a b c

b b c d a

e

c a b c d c c d a b

d b c d a d d

e

b c

Esta operación es cerrada porque todos los elementos del cuerpo pertenecen al conjunto “A”

Esta operación es abierta (no es cerrada) porque el elemento “e” no pertenece al conjunto “A”

2.2.3.2. PROPIEDAD CONMUTATIVA

a, b  A ; a  b  b  a Si el orden de operar dos elementos de A no altera el resultado de la operación. Así tenemos: Si se define en R: a☺b = ab + 3, para saber si cumple o no la propiedad, calculamos b☺a: b☺a = ba + 3 Aula Pre Básico

10

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Comprobamos los segundos miembros: (ab + 3 ) y (ba + 3) Son iguales. En otras palabras, el resultado es el mismo. Por lo tanto; la operación ☺es conmutativa.  CRITERIO DE LA DIAGONAL i) Ver que los elementos de la fila como de la columna de entrada tengan el mismo orden ii) Trazar la diagonal a partir del operador iii) Verificar que los elementos de ambos lados de la diagonal mantengan su simetría, es decir como si un lado fuera el reflejo del otro. iv) Si se da la simetría, la operación será conmutativa Si al menos para un caso la simetría no se da, la operación no será conmutativa. Así tenemos: En el conjunto A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se definen las operaciones mediante las tablas: OPERACIÓN

*

*

*

y∆

: Aplicamos el Criterio de la diagonal.

1

2

3

4

1

2

1

3

4

2

1

3

4

3

3

3

1

2

4

4

4

2

3

2

La operación es conmutativa, dado que lo que esta sobre la diagonal es el reflejo o imagen de lo que esta debajo (Espejo).

diagonal

 Sin embargo, no es necesario, que los elementos de la diagonal principal sean iguales.

 Sabemos que es conmutativa y para probarlo, efectuamos cada uno de los siguientes casos:

* 11 * * * * * *

1 * 2 = 2 * 1 = 1 Aula Pre Básico

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 1 * 3 = 3 * 1 = 3 3 * 2 = 2 * 3 = 3 2 * 4 = 4 * 2 = 4

∆:

OPERACIÓN 4 1 3 3 4

∆

Aplicamos el Criterio de la diagonal 1

La operación no es conmutativa, porque: 1 1 4 2 1 2 3

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

2 2 3 3 4 1

2

3

2

2

2

1

3

3

4

1

4

2

2

4 1

3

2

2.2.3.3. PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO (e)

 e A, a A ; a  e  a  e  a Observación: Se debe tener en cuenta que si una operación matemática tiene elemento neutro, éste es único. Por ello: En la adición el elemento neutro es el cero, dado que: a + 0 = 0+a = a

e=0

En la multiplicación el elemento neutro es la unidad, dado que: a x 1 = 1x a = a

e= 1

Ejemplo: 4 Si se define en R: a  b  a  b  5 , ¿la operación  tiene elemento neutro (e)? Resolución: Procedemos a calcular si tiene elemento neutro (e) Por definición:

Aula Pre Básico

12

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS a*ea

e * a  a

ae5  a

e  a  5  a

 e 5

 e  5

 La operación  tiene elemento neutro.  CRITERIO DE INTERSECCIÓN: i) Verificar que la operación sea conmutativa ii) Ubicar en el cuerpo de la tabla una columna igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. iii) La intersección de la columna y la fila mencionada nos dará el elemento neutro. Ejemplo: 5 ¿Cuál es el elemento neutro (e) de la siguiente tabla? ψ

a

b

c

d

a

c

d

a

b

b

d

a

b

c

c

a

b

c

d

d

b

c

d

a

Resolución: Hallando el elemento neutro (e). Aplicando el Criterio de la Intersección: ψ

a

a

c

b

d

c

a

b

d

b

e

b

c

d

d

a

b

a

b

c

c

c e

e

d

e

e  c

d a

fila

columna 1 2.2.3.4. PROPIEDAD DEL ELEMENTO INVERSO ( a )

e  A; a  A; a 1  A /

a a 1  e  a 1a

Ejemplo: 6 Si se define en Q : a  b  a  b  6 ,¿cuál es el valor de 4-1? Resolución: Aula Pre Básico

13

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 i) Hallando “e” a  e=a a+e–6=a e=6 e=6



ii) Aplicando definición de inverso a  a-1 = e

a + a –6=6  a = 12 – a -1

-1

iii) Luego hallamos

4 1

se tiene

4-1 = 12 – 4 = 8 4-1 = 8



Ejemplo: 7 Sea A    1, 0, tiene: Ж -2 -1

1;  2



y la operación

0

1

0

1

-2

-2

-1

-1

0

1

-2

-1

0

1

-2

-1

0

1

-2

-1

0

1

Ж definida en la tabla, se

Entonces, ¿cuál es el valor de ( 2)1  (1)1 ? Resolución: Primero hallamos el elemento neutro (e). Aplicando el Criterio de la Intersección:

Ж -2

-2

-1

-1

-1

0

0

0

1

1

-2

0 1 e

1 e

1 e

-2

-2

-1

-2

-1

0

-1

0

1

columna

e

e=1

fila

De la tabla se tiene: ( 2)

Aula Pre Básico

1

0

1

1

14

1

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Por lo tanto ( 2)1  11  0  1  1

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 Nivel Básico 1. Si 3 A) 4

a  b 2  a  b , entonces el valor de: 2  4 , es: B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

2. Si a % b  3a  2b  1 , entonces el valor de:  3 % 2   9 % 2  , es: A) 144

3. Si

B) 169

2x -4

A) 160 4. Si

C) 25

D) 1

= x2 + 2, entonces el valor de B) 180

C) 200

E) 9

2 2

D) 209

+

, es: 8 E) 220

a  b  5a  3b  3 , entonces el valor de:  4  6  3  2 , es:

A) 20

B) 50

C) 60

D) 80

5. Si a  b  a 2  b 3  8 , entonces el valor de: A) 700

B) 70

C) 720

E) 100

 3  1   3  2 , es:

D) 80

E) 725

6. Se define una nueva operación dentro de los enteros positivos: x 2  1  3 x  x 2 Entonces, el valor de A) 801

B) 800

10

+

37

C) 798

, es: D) 789

E) 602

7. La operación Δ está definida mediante la tabla adjunta:

 a b a c a Aula Pre b Básico a b c b c

c b c a

15

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018

El resultado de hallar: (ab)  ( bc) será: A) a B) b C) b Δ c D) a v b

E) c

8. Si: a  b  a  b - 5 , entonces el valor de A  (7 1  8 1 )  31 , es: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 9. Sabiendo que: x  y 

xy ; p  q  p 2  q 2 , entonces el valor de: xy

R   4  2 Δ  3  2  , es: A) 8

10. Si

ab 

B) 11

a#

 a  b a #

y

C) 14

D) 15

E) 30

a #  1  2  3    a  1 , entonces el valor de: 86 ,

es: A) 1

B) 13

C)

1 13

D) 14

E)

1 14

Nivel Intermedio

1 2 1 a  4b ; a % b  a 2 b  15 ; además: 4  b   5%b  , 2 3 entonces el valor de “ b ”, es:

11. Si:

ab 

A) 13

B) 3

C) 1

D) 0

E) 2

a  b  a 2 - b 2 , entonces el valor de “E”, es: E   1  0    2  1   3  2      25  24 

12. Si:

A) 25

B) 30

C) 35

D) 40

E) 45

13. Si:

Aula Pre Básico

16

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS x - 1 = 2x + 1 y:

x+ 1

= 8x + 9

Entonces, el valor de “E”, es:

E=

2

+

A) 87

14. Si:

5

B) 57

C) 68

D) 78

E) 75



a  b  a  b - 2 , entonces el valor de A  (2 1  4 1 )  5 1

A) -7

B) -5

C) 0

D) 5



1

, es:

E) 7

15. Dada la siguiente tabla, el valor de P = [(2-1  3-1)-1  2-1 ]-1, es:  1 2 3 A) 1

B) 2

1 1 2 3

2 2 3 1

C) 3

3 3 1 2 D) 4

E) 5

16. Se define : *

1

2

3

4

1

3

4

1

2

2

4

1

2

3

3

1

2

3

4

4

2

3

4

1

Entonces, el valor de “x” en: (3 * 2) * (x * x) = (2 * 4) * [3 * (4 * 3)], es: A) 2 Aula Pre Básico

B) 3

C) 4

D) 4 ó 2

17

E) 1 Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018

AUTOEVALUACIÓN Nº 02 a % b  2a

1. Sabiendo que:

2

 3b  ab

; el valor de

a Δ b  6a  3b  ab





, es:

•

17 = 4,

6% (2 Δ 3  1 )

a  b  4 ab  6 a  6b

A) 100

B) 115

C) 108

2. Si se cumple que : a es: A) 3 B) 8 3. Si:

p3 - 1 m6 - 1

A)

2

2

5. Si:

5

5



, entonces b  1

el valor de “x” en

D) 5

x

E) 4

p) - 2 (m + p) , entonces el valor de “m” en:

4

3

D)

3



6

E)

3

n = ( m2 + n2 )2, entonces el valor de

= 3 a2 ;

de

a 1

C)

4

B) 3/25

a2

E) 101

= 32 ; es:

4. Si se cumple que: m A) 8/5

a

. • C) 2 • = p (m + 18) + m (2 • B)

3

b

•

D) 120

C) 1/5

4b

= 16 b;

4

3

5

3

2

7 4

, es:

D) 3/5

E) 64/25

c

= 60 c; entonces el valor

, es: 1

Aula Pre Básico

18

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS

A) 3

B) 12

C) 20

D) 60

E) 64

SEMANA 03 RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y RAZONAMIENTO DEDUCTIVO 3.1.1. DEFINICIÓN Es el razonamiento lógico que nos permite resolver problemas a partir de casos particulares. Es decir; por medio de la observación de casos particulares (pequeños) nos conduce al caso general. Así: C A S O

C A S O

C A S O

1

2

3

INDUCCIÓN

CASO GENERAL

Ejemplo: 1 Teniendo en cuenta las figuras 1, 2, 3, ……, ¿cuántos puntos de contacto habrán en la figura 25 ?: Caso 1

Caso 2

Caso 3

… (fig. 1)

(fig. 2)

(fig. 3)

………..

Resolución: Fig. (1)

:

:

1 = 12

Fig. (2)

:

:

4 = 22

Fig. (3)

:

:

9 = 32

Fig. (n)

:

:

n = n2

Aula Pre Básico

19

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 Por lo tanto: en la fig. (25) habrán: (25)2 = 625 puntos de contacto. Rpta: El número de puntos de contacto es 625.

3.2. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO (DEDUCCIÓN) 3.2.1. DEFINICIÓN Es el razonamiento lógico que nos permite resolver problemas a partir de casos generales es decir; utilizando propiedades, leyes, teoremas matemáticos se resuelven casos particulares. Así:

DEDUCCIÓN CASO GENERAL

CASO PARTICULAR

Ejemplo: 2 ¿Qué resultado se obtiene de la suma de las cifras no repetidas de: A = 9780292 - 9780262 ? Resolución: Sabemos que: a2 – b2 = (a + b) (a – b) ………. Diferencia de cuadrados Entonces:

A = (978029 + 978026) (978029 – 978026) = (1956055) (3) = 5868165 Suma de cifras de A: 5 + 8 + 6+ 8 + 1 + 6 + 5 = 1

Rpta: La suma de las cifras no repetidas es 1. 57612

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 Nivel Básico

1. El valor de E = 21 + 2121 + 212121 +…………+ 21……..21 ; es: 23 2323 232323 23……..23 92 cifras

A) 41

B) 21

2. El valor de M  A) 2 Aula Pre Básico

C) 42

(320)(280)  400 (165)(135)  225

B) 2

C) 4

20

D) 46

E) 26

D) 3

E) 3 Aptitud Matemática

, es:

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS 3. Al efectuar: E = (333……3)2, tenemos que la suma de las cifras del resultado, es: 101 cifras

A) 809

B) 999

C) 899

D) 908

E) 909

4. La suma de cifras del resultado de: K = 555……….5 + 77……….7 + 9………9 , es: 200 cifras

A) 601

B) 602

C) 603

199 cifras

D) 604

198 cifras

E) 605

5. La suma de las cifras del resultado de L = (111……….1)2. 36 , es: 51 cifras

A) 450

B) 409

C) 459

D) 490

E) 495

6. Al efectuar Q = (222………22)2 – (222………21)2 49 cifras

49 cifras

La suma de las cifras del resultado, es: A) 195 B) 196 C) 197 (43)(21)  121

7. El valor de P  A)

2

(24)(8)  64

B)

5

C)

D) 198

E) 199

D) 2

E)5

, es: 3

8. La suma de las cifras del resultado de : N = (999……….98)2, es: 42 cifras

A) 349 B) 379 C) 329 D) 369 E) 389 9. Al efectuar Q = (111111111)2, la suma de cifras del resultado, es: A) 83

B) 79

C) 72

D) 81

E) 88

10. Al efectuar Q = (777……….78)2 – (222…..23)2, 10 cifras

10 cifras

la suma de cifras del resultado, es: A) 100 B) 105 C) 95

D) 90

E) 110

Nivel Intermedio 11. Al simplificar P  A) 4 Aula Pre Básico

246908642 123454321

B) 2

, se obtiene como resultado:

C)

D) 3

2

21

E)

3

Aptitud Matemática

12. Si

111.....11  222.....22

2n cifras

n cifras

A) 11

B) 8

13. Al efectuar R  A) 11341 14. Si

CICLO VERANO 2018 = ……………nm, entonces, el valor de (n)(m), es: C) 9

(105) (106) (107) (108)  1 ,

B) 12300

(n3 )(n4 )(n5 )(n6 )  1 =

A) 3

B) 2

15. Al deducir:

D) 7

C) 12301

E) 12341

2969, entonces el valor de “n”, es: C) 4

B) 36

se obtiene como resultado:

D) 13341

D) 5

(x - 3) (x - 4) (x - 5) (x - 6)  1

A) 28

E) 12

C) 38

E) 6

– (x + 1) (x – 10), se obtiene: D) 39

E) 29

AUTOEVALUACIÓN Nº 03 1. La suma de términos de la fila 50 en el siguiente arreglo, es: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 . . . . . . A) 9750

B) 12500

C) 25000

D) 75200

E) 125000

2. Si: 1 + 2 + 3+ …….+ 21 = abc , entonces el valor de: a + b x c , es: A) 5

B) 4

C) 6

D) 3

E) 7

3. Si se cumple: bc x bc = abc , entonces el valor de: a + b + c, es: A) 12

B) 13

C) 11

D) 14

E) 15

4. El valor de:

 48Cifras  K=

35 20



3535 2020



353535 202020

 ....... 

3535...... 35 2020......     .20 

; es:

48 Cifras

A) 33

B) 30

C) 24

D) 35

E) 42

SEMANA 04 Aula Pre Básico

PLANTEO DE ECUACIONES 22

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS

8.1. DEFINICIÓN: Plantear una ecuación es traducir el enunciado de un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático, a través de símbolos estableciendo para ello una o más ecuaciones. 8.2. MÉTODO BÁSICO PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN: Para plantear una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: a) Leer detenidamente comprendiendo el enunciado. b) Extraer datos. Ubicar la incógnita y representarla. c) Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica. d) Una vez planteada la ecuación, resolverla.

Ejemplos: FORMA ESCRITA (VERBAL) El doble de un número La mitad de un número El cuadrado de un número “a” veces tu edad La inversa de un número El triple del recíproco de A El séxtuplo de un número aumentado en 7 Un número disminuido en 5 La suma de dos números El producto de dos números El triple de la mitad de un número 8 es a x como 5 es a 7 Los 3/5 de un número es 6 El triple de un número, disminuido en 6 Se resta un número a 10 Se resta de un número 10 El doble de un número más otro El doble de un número restado de otro El número de manzanas excede al de plátanos en 8

La suma de tres números consecutivos El producto de dos números pares consecutivos El exceso A sobre B Un número excede en 7 a otro número Un número es mayor en 8, con respecto a otro Un número es menor en 12 con respecto a otro El cuadrado de la diferencia de dos números El cuadrado de un número, disminuido en 7 Un número excede a 18 A es tres veces más que B

FORMA SIMBÓLICA 2.x x/2 x2 a.x 1/x 3 . 1/A 6x + 7 x–5 x+y x.y 3 . x/2 8/x = 5/7 (3/5) x = 6 3x – 6 10 – x x – 10 2x + y y – 2x M–P=8 x + (x+1) + (x +2) x . (x + 2) A–B x–7=y A–8=B y – x = 12 (x – y)2 x2 – 7 x – 18 A = B + 3B

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04 Aula Pre Básico

23

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 Nivel Básico 1. El triple de un número, disminuido en 20, equivale al número disminuido en 8. El doble del número, es: A) 6 B) 12 C) 18 D) 20 E) 24 2. Dos números sumados dan 600.Si el triple del menor excede en 140 al mayor disminuido en 100.Entonces el número menor, es: A) 180 B) 190 C) 220 D) 160 E) 260 3. Se les debe a dos personas un total de 150 soles. La deuda mayor excede en 20 soles a la menor aumentada en 10 soles. Entonces la deuda mayor, es: A) 90 soles B) 80 soles C) 95 soles D) 100 soles E) 120 soles 4. Un comerciante quiere preparar 10 Kg de te para venderlo a 15 soles el Kg. Si va a utilizar un te de 22 soles el Kg y otro de 12 soles el Kg, entonces el número de Kg de te de 22 soles que utilizará, es: A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 4 5. Si la suma de tres números enteros pares consecutivos es 8964, entonces el número mayor, es: A) 2984 B) 2986 C) 2988 D) 2990 E) 2992 6. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. Entonces el tonel que contiene más litros, contiene: A) 40 l. B) 70 l. C) 68 l. D) 72 l. E) 76 l. 7. Si la suma de dos números es 1129 y su cociente 25, dando residuo 11, entonces el número menor, es: A) 33 B) 41 C) 42 D) 43 E) 45 8. Siendo 68 m el perímetro de un rectángulo y 12,5m uno de sus lados, entonces la longitud del otro, es: A) 20,5m B) 21,5m C) 19,5m D) 22,5m E) 23,5m 9. Si el producto de tres números enteros consecutivos es 4080, entonces el triple del número mayor , es: A) 45 B) 48 C) 17 D) 51 E) 57 10.Si el doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 497, entonces el doble del número, es: A) 70 B) 90 C) 140 D) 160 E) 180 Nivel Intermedio

Aula Pre Básico

24

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS 11.Juan y Pedro son gemelos. Alex tiene 3 años más que ellos y la suma de las tres edades es 42. La edad de Alex, es: A) 13 B)14 C) 15 D) 16 E) 17 12.En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Si esta supera por 3 cm al cateto mayor, entonces la medida de la hipotenusa, es: A) 12 cm B) 13 cm C) 14 cm D) 15 cm E) 17 cm

13.

Los alumnos de un curso alquilaron un ómnibus para una excursión en 1200 soles. Si tres chicos desistieron del viaje y cada uno de sus compañeros debió pagar 20 soles más de lo previsto inicialmente. Entonces el número inicial de alumnos, es: A) 23 B) 19 C) 18 D) 16 E) 15

14.

He pensado un número natural menor que cien; tiene la suma de sus cifras igual a 10. Si se invierten las cifras y al número así formado se le suma 3, resulta otro número 57 unidades mayor que el pensado. Entonces el número pensado, es: A) 26 B) 27 C) 29 D) 28 E) 38

15.La suma de tres números es 160. Si un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor aumentado en 15, y si a ½ de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el número intermedio, el resultado es 90, entonces la diferencia entre el mayor y el menor, es: A) 20 B) 80 C) 30 D) 50 E) 60

AUTOEVALUACIÓN Nº 04 1. En una prueba de examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas obtiene 64 puntos, las preguntas que respondió correctamente fueron: A) 42 B) 39 C) 40 D) 37 E) 38 2. Dos números consecutivos son tales que la tercera parte del mayor exceden quince a la quinta parte del menor. El número mayor es: A) 111 B) 123 C) 125 D) 109 E) 115 3. Tú tienes tres veces lo que yo tengo, él tiene tres veces más de lo que tú tienes. Si tuvieras lo que tú tienes, él y yo tenemos, tendría el triple de lo que tú tienes, más 56 soles; por lo tanto, tú tienes: A) S/.24,00 B) S/.25,00 C) S/.22,00 D) S/.28,00 E) S/.20,00 4. Gasté los tres quintos de la mitad de lo que no gaste y aun me quedan 30 soles más que los cinco sextos de lo que gaste. Lo que tenía eran: A) S/.44,00 B) S/.24,00 C) S/.64,00 D) S/.50,00 E) S/.52,00 Aula Pre Básico

25

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 5. Roxana llega tarde al cine cuando habían pasado un octavo de la película 6 minutos después llega Pedro y solo ve los 4/5 de la película. Si la película empezó a las 4:00pm entonces la hora en que terminó fue: A) 5:10 B) 5:12 C) 5:18 D) 5:20 E) 5:24 6. Se contrata una señorita por 9 meses prometiéndole pagar 8000 mil soles más un televisor. Si al cabo de 6 meses se le despide pagándosele 5000 soles más el televisor, entonces el sueldo mensual de la señorita era de: A) S/.1000 B) S/.1200 C) S/.1020 D) S/.1320 E) S/.1280 7. En un parque se observa que el número de bancas excede en 11 al número de árboles, además si se plantaran 8 árboles más y se quitaran 13 bancas, entonces el número de árboles sería el doble del número de bancas. El número de bancas, es: A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 20 8. Adriana al gastar tantas veces 5 céntimos de sol como soles tenía en su bolsillo, le quedó 38 soles. Si hubiera regalado tantas veces 50 céntimos como la mitad de soles que tenía, entonces le hubiera quedado: A) S/.45 B) S/.30 C) S/.40 D) S/.20 E) S/.25 9. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en sillas como en mesas obtuvo lo mismo. Si las mesas cuestan S/. 360 más que las sillas y si se recaudó en total S/. 9600, entonces el número de muebles que vendió, fue: A) 10 B) 13 C) 12 D) 18 E) 16 10. Un total de 1075 alumnos, se ha distribuido en salones que tienen capacidad para 43 y 22 alumnos solamente. Si todos los alumnos han sido ubicados, entonces el número de salones utilizados, es: A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

Aula Pre Básico

SEMANA 05 26

Aptitud Matemática

SUCESIONES Y SERIES

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS

5.1. SUCESIONES: 5.1.1. DEFINICIÓN: Se llama sucesión a la secuencia de términos numéricos, literales o gráficos; ordenados de acuerdo a una ley de formación o criterios lógicos.

a1 ; a2; a3 ; ............; an 5.1.2. TIPOS DE SUCESIONES: Las sucesiones pueden ser: sucesiones gráficas, sucesiones literales y sucesiones numéricas. Las sucesiones gráficas se verán en la unidad de Psicotécnico. 5.1.2.1. SUCESIÓN LITERAL: Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio, estos criterios son diversos pero lo más empleados son:  Lugar que ocupa la letras en el alfabeto  Iniciales de palabras conocidas  Formación de palabras Ejemplo: 1 ¿Qué letra continua:

T; S; N; D; ……. ?

Resolución: Se tiene iniciales de palabras conocidas: T; S; N; D TRES (3) SEIS (6) NUEVE (9) DOCE (12) Seguirá “Q” de Quince (15) Nota: A no ser las condiciones del problema indiquen lo contrario,

en las sucesiones literales no se consideran las letras “CH” y “LL” 5.1.2.2. SUCESIÓN NUMÉRICA: Es un conjunto ordenado de números en el que cada uno de ellos tiene un orden designado; es decir que a cada uno de los términos de la sucesión le corresponde un número ordinal. Veamos: Aula Pre Básico

27

Aptitud Matemática

Número Ordinal:

1°

2°

CICLO VERANO 2018 3° ....... n .........

Términos de la sucesión

t1

t2

t3 ..... tn ........

Las Sucesiones Numéricas más importantes, son:  Sucesión aritmética lineal o de Primer orden: Es aquella sucesión en la cual la diferencia entre los términos consecutivos es siempre constante, a esta constante se le llama razón diferencial. Veamos:

t1 ;

t2 ; +r

t3 ; +r

t4 ; ..........; tn +r

En general, el término enésimo (tn) de toda progresión aritmética (razón constante) se calcula mediante la expresión:

tn = t1 + (n -1) r Donde:

o

tn = an + b ; a  0; n  

t1 : primer término tn: último término ó término enésimo r : razón aritmética n : número de términos a y b: constantes cualesquiera en 

Nota: Si se sabe que: r > 0; la sucesión es creciente r < 0; la sucesión es decreciente

Ejemplo: 2 ¿Qué número continúa: 8; 11; 14; 17; 20;....? Resolución: 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; x



+3 +3 +3 +3 +3 El número que continúa es el 23. Sucesión polinomial cuadrática o de Segundo orden: Son aquellas sucesiones en el cual la razón constante aparece en segunda instancia o segundo orden y su término enésimo tiene la forma de un polinomio de segundo grado, así:

tn = an2 + bn + c

a  0; n  

Donde: a; b y c son constantes cualesquiera en  n: indica la cantidad de términos o el lugar que ocupa un término de la sucesión. Aula Pre Básico

28

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Regla práctica para hallar: a, b y c Sea la sucesión de 2° orden: t1; t2; t3; t4; ......... halle el t0 y la razón. t0

t1

1er Orden

P0

t2

t3

P1

2do Orden

t4

P2

r

r

P3 r

de donde tenemos que: r

a=

2

b = P0 – a;

;

c=

t0 Ejemplo: 3 ¿Cuál es el valor de “x” en la sucesión: 22; 7; 0; 0; 5; 12; x ? Resolución: 22 ; 7 ; 0 ; 0 ; 5 ; 12; -15

-7

+0

+8 +7

+5

+5

+7 +2

x

+5 -2

-1 -2 -3 -4 Rpta: El número que continúa es el 17. 5.1.2.3. SUCESIÓN GEOMÉTRICA: Es aquella en la cual la razón geométrica (q) se obtiene como la división de 2 términos consecutivos y generalmente se expresa como un término cualquiera que al multiplicarse por la razón constante nos resulta el siguiente. Veamos: t1 ; t2 ; t3 : t4 ; …. tn xq

xq

xq

xq

En general, el término enésimo (tn) de toda progresión geométrica (razón constante) se calcula mediante la expresión:

tn = t1.qn-1 Donde

Aula Pre Básico

t1: primer término q : razón geométrica tn : término enésimo

29

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 n : número de términos NOTA:

 En una progresión geométrica se cumple que el producto de términos extremos y equidistantes de los extremos es constante.  Si la progresión tiene un número impar de términos, entonces el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de extremos equidistantes de los extremos.

Ejemplo: 4 ¿Qué número continúa en la sucesión: 1; 1; 1; 1; 2; 24; ....? Resolución: 1 ; 1 : 1 ; 1 ; x1 x1

x1

x1 x1

2 ; 24 ;

x

x 2 x 12 x 288 x2

x6

x 24

x1 x2 x3 x4 Rpta: El número que continúa es = 24 (288) = 6912 5.1.2.4. SUCESIÓN COMBINADA: Son sucesiones donde se combina un orden aritmético y geométrico. Ejemplo: 5 ¿Qué número continúa en la sucesión: 10; 6; 3; 7; 14; 10; 5;.....? Resolución: 10 ; 6 ; 3 ; 7; -4

2

+4

14 ; 10 ; 5; x2

-4

2

x +4

4 operaciones básicas Rpta: El número que continúa es: 5 + 4 = 9 5.1.2.5. SUCESIÓN ALTERNADA: Son sucesiones donde se alterna una razón cada dos números. Ejemplo: 6 Dada la sucesión: 5; 6; 13; 13; 21; 22; 29; 33; x; y, entonces, ¿cuál es el valor de (x + y)? Resolución: +2 Aula Pre Básico

+2

30

+2 Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS +7

+9

5; 6; 13; 13; 21; 8 8 x = 29 + 8 = 37 y = 33 + 13 = 46

+11

+13

22; 29; 33;

x;

8

y

8

Rpta: x + y = 37 + 46 = 83

5.2. SERIES NUMÉRICAS 5.2.1. DEFINICIÓN: Es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha suma se le llama valor de la serie. Veamos: Sucesión: 2; 4; 8; 16

Luego: 2 + 4 + 8 + 16 = 30 Serie

Valor de la serie

5.2.2. TIPOS DE SERIES: 5.2.2.1. SERIE ARITMÉTICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión o progresión aritmética (P.A).

t1; +r En general:

t2 ;

t3; +r

t4; .......; tn +r

 t  tn  n t1 + t2 + t3 + t4 + ......+ tn =  1  2  Donde:

t1: primer término tn: último término n: núm. de términos

NOTA: Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A. de razón “r” es “S” entonces la suma de los ”n” siguientes términos de dicha P.A. viene dado por:

Sn = S + r.n2 Ejemplo: 7 Aula Pre Básico

31

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 Si la suma de los 10 primeros números impares es 100, entonces ¿cuál es el valor de la suma de los 10 números impares siguientes? Resolución: S10 = S + r.n2 S10 = 100 + 2(10)2 S10 = 100 + 200 = 300 Rpta: La suma es 300

5.2.2.2. SERIE GEOMÉTRICA: Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica. Las series geométricas pueden ser:  Serie Geométrica Finita

t1

; t2

; t3 :

xq xq En general:

t4; .....; tn xq

xq

n t (q  1) t1 + t2 + t3 + t4 + ...+ tn = 1 q 1

Donde :

t1: primer término q: razón(q 1; q 0) n: número de términos





Ejemplo: 8 ¿Cuál es el valor que se obtiene al sumar: 3, 9, 27 , 81, ………, 6561? Resolución: S = 3 + 9 + 27 + 81 + ………+ 6561 q = 3; ar = 3; n = 8 8

S = 3 + 9 + 27 + 81 + …….. + 6561 =

3(3  1) 3 1

=

3 2

 6560 

Rpta: S = 9840  Serie Geométrica Decreciente de Infinitos términos: En general:

t1 + t2 + t3 + t4 + ... = Donde: Aula Pre Básico

32

t1 1 q

t1: primer término q: razón (0 < q < 1) Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Ejemplo: 9 ¿Cuál es el valor de N = 1 +

1

+

4

1 16

+

1 64

+

1 256

+

…….? Resolución: N=1+

1 4

+

1

N=

1

1

1

+

16

1 64

+

1 256

+ ……

q=

1 4

4

=

3

4

Rpta: N = 4/3 5.2.3. PRINCIPALES SERIES Y SUMAS NOTABLES:  Suma de los “n” primeros números naturales consecutivos S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....... + n Entonces:

S=

n(n  1) 2

 Suma de los “n” primeros números impares naturales S = 1 +3 + 5+ 7 + 9 + ….... + (2n - 1) Entonces:

S = n2

Caso Particular S = 1 +3 + 5+ 7 + 9 + .…... + A Entonces:

A  1 S =  



2

2



 Suma de los “n” primeros números pares naturales S = 2 + 4 + 6+ 8 + 10 + ….….. + 2n Entonces:

S = n(n + 1)

 Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos. S = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + …..... + n2

Aula Pre Básico

33

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 Entonces:

S=

n(n  1)(2n  1) 6

 Suma de los “n” primeros cubos perfectos S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53+.....+ n3 Entonces:

n(n  1)  S=    2

2

 Suma de los “n” primeros productos consecutivos (tomados de 2 en 2). S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......+ n(n+1) Entonces:

S=

n(n  1)(n  2) 3

 Suma de los “n” primeros productos consecutivos (tomados de 3 en 3). S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + n(n+1)(n+2) Entonces:

S=

n(n  1)(n  2)(n  3) 4

 Suma de los inversos de productos binarios S=

1 1 1 1    .......... .  a1.a2 a2 .a3 a3 .a4 an 1.an +r

Entonces:

+r S=

+r

+r

1 1

1     r  a1 an  

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 05 Nivel Básico Aula Pre Básico

34

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS

1.

El término que sigue en la sucesión: 1 , 6 , 13 , 28 , 63 , 136 , ……, es: A) 289

2.

E) 780

B) 789

C) 810

D) 729

E) 871

B) 48

C) 81

D) 29

E) 36

B) 127575

C) 217855

D) 107575

E) 127585

B) 10001

C) 10800

D) 8844

E) 7569

B) 27216

C) 27162

D) 21384

E) 28162

Si: 1 + 3 + 5 + 7 + ...... + (2n - 1) = 676, entonces el valor de “n” es: A) 21

9.

D) 758

El valor de S = 103 + 113 + 123 +...+ 173, es: A) 28216

8.

C) 640

Al sumar S= (12 – 02) + ( 22 - 12) + ( 32 - 22) +...+ ( 872 - 862), se obtiene: A) 7744

7.

B) 810

El término que sigue en la sucesión. 1/625, 1/5, 5, 25, 75, 675, ……, es: A) 127500

6.

E) 271

El término que sigue en la sucesión: 1, 28, 31, 32, 33, ……, es: A) 66

5.

D) 150

El término que sigue en la sucesión: 3, 1, 1, 3, 27, ……., es: A) 669

4.

C) 186

El término que sigue en la sucesión: 40, 0, 0, 30, 90, 200, 410, ….…, es: A) 600

3.

B) 286

B) 26

C) 22  

Al simplificar el producto: E=  1  A) 1/18

B) 1/5

D) 10

1 

1 

3

4

 1  

C) 1/9

 1  

1  1 ... 1  18  

5

D) 2/5

E) 42   , se obtiene: 

E) 1/8

10. El valor de: S= 1  1  2  4  3  9  4  16  ...  14  196 , es: A) 10400

B) 11400

C) 14400

D) 11025

E) 13540

Nivel Intermedio 11. Dada la sucesión:

Aula Pre Básico

1 9

; 4;

3 7

;

3 2

; 1;...... , el número que continua es:

35

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 1 A) 2

3 B) 5

5 C) 3

D)

2 3

E) 0

12. En la P.G. 3k + 1 ; k – 3 ; 2k + 9 ;… el valor de k, es: A) 4

B) -8

C) 8

D) -3

E) -7

13. Dada la sucesión: -3; 0 ; 0 ; 0 ; 5 ; 22 ; 60 ;…, el número que continua es: A) 80

B) 78

C) 120

D) 130

E) 248

14. Dada la siguiente sucesión de 18 términos, la suma de todos ellos es: 4 ; 9 ; 14 ; 19 ;...; 79 ; 84 ; 89. A) 480

B) 784

C) 847

D) 837

E) 748

15. La suma de la serie: S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 +...∞, es: A) 1

B) 24

C) 48

D) 64

E) 65

AUTOEVALUACIÓN Nº 05 1.

El valor de “ x + y “ en la sucesión: 4, 6 , 7, 10, 10, 16, 16, 24, x, y, es: A) 62

2.

D) 69

E) 56

B) 48

C) 50

D) 55

E) 60

Si el 6to término de una P.G. es 48 y el 12avo término es 3072, entonces el 3er término de dicha progresión geométrica, es: A) 2

4.

C) 81

El número de términos de la siguiente sucesión 3; 13; 29; 51; … 7549, es: A) 45

3.

B) 48

B) 4

C) 8

D) 12

E) 6

La suma de las cifras del resultado de la serie: S = 99 + 110 + 121 + … + 693, es: A) 20 B) 21 C) 18 D) 12 E) 191

SEMANA 06 CERTEZAS, CORTES, ESTACAS Y PASTILLAS 11.1 CERTEZAS Aula Pre Básico

36

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Los ejercicios planteados son referidos a situaciones donde tenemos que dar una respuesta con seguridad (una certeza). Se debe analizar la situación menos favorable, es decir, la situación más crítica o menos deseable. Ejemplo 1: ¿Cuántos alumnos tuvieron que haber en un aula para tener la seguridad que dos de ellos cumplan años en el mismo día del mes de febrero del año 2009? RESOLUCIÓN: Si todos cumplieron años en días distintos del mes de febrero del 2009, tuvo que haber 28 alumnos (porque febrero tiene 28 días), por lo tanto, para que dos cumplieran años el mismo día debió haber como mínimo 29 alumnos. Ejemplo 2: En una caja hay 20 plumones rojos, 18 marrones, 8 negros, 10 verdes y 12 azules. ¿Cuál es el menor número de plumones que se debe sacar para tener la seguridad de haber extraído por lo menos 12 plumones del mismo color, en tres de los colores? RESOLUCIÓN: En el caso menos favorable, debemos extraer: 20 plumones rojos (están 12 rojos), 18 marrones (están 12 marrones), 8 negros, 12 azules y al final los 10 verdes, lo cuál hace un total de 68 extracciones como mínimo.

11.2 CORTES Los ejercicios planteados son de carácter recreativo, se refieren a los cortes que se deben realizar a objetos de una longitud determinada, para obtener determinados trozos (pedazos) de igual longitud. Llamaremos a la longitud total del cuerpo LT, a la longitud de cada trozo ó longitud unitaria Lu , al número de trozos NT y al número de cortes Nc. Se presentan dos casos: 11.2.1 CUERPOS CON EXTREMOS LIBRES: Llamadas también figuras abiertas, generalmente se presenta cuando se dan longitudes lineales, cuerdas, avenidas, alambres lineales, etc. Sus fórmulas son:

NT =

LT ; LU

NC =

LT -1 LU

Ejemplo 3: Si se desea partir un tronco de madera de 21 m de longitud, en trozos de 3 m cada uno, ¿cuánto se debe pagar como máximo, si por cada corte cobran S/. 7.50? RESOLUCIÓN: Aula Pre Básico

37

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 NC =

Tenemos:

LT LU

-1

Luego, se debe pagar:

=

21 m 3 m

-1= 7 -1= 6

6 x 7,50 = S/. 45,00

11.2.2 CUERPOS CERRADOS (sin extremos): Llamadas también figuras cerradas, debido a que son ejercicios relacionados con figuras geométricas como, triángulos, círculos, rectángulos, cuadrados, etc. Sus fórmulas son:

NT = NC =

LT LU

Ejemplo 4: Se tiene un aro de fierro de 15  1 m de radio. Si se quiere partir en trozos de 7,5 m cada uno, ¿cuántos cortes se deben hacer? RESOLUCIÓN: Hallemos la longitud total:

LT  2 r  2 .15 1  30 m NC 

Luego:

LT LU



30 m 7,5 m

= 4

11.3 ESTACAS Los ejercicios planteados son de carácter recreativo. 11.3.1 CUANDO LOS EXTREMOS ESTÁN LIBRES: Los ejercicios planteados se dan generalmente en avenidas, calles, pistas, etc.

NE =

LT +1 LU

(NE → Número de estacas)

Ejemplo 5: ¿Cuántos postes debemos colocar en una calle de 200 m de largo, si entre uno y otro poste debe haber una distancia de 8 m? Resolución:

L NE  200 N º de postes  T  1 m =

8m

+1

Lu1 = 26 = 25 +

Deben colocarse 26 postes.

11.3.2 CUANDO NO HAY EXTREMOS: Los ejercicios planteados se dan generalmente en perímetros o áreas de forma geométrica. La fórmula, es:

Perímetro L T = LU LU38 Aula Pre Básico NE =

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Ejemplo 6: Se va a cercar un terreno circular de 2500  1 m2 de área con alambre de púa, para lo cual deben colocarse postes. ¿Cuántos postes serán necesarios si deben colocarse a 2,5 m de distancia, entre poste y poste?. RESOLUCIÓN: Debemos hallar la longitud de su perímetro (circunferencia) r = 50  1  r 2  2500 1  r  2500  2 De donde:

LT  Perimetro  2 r  2 x 50 1 = 100m. Luego:

Ne 

LT LU



100 m 2 ,5 m

 40

11.4 PASTILLAS Se presentan casos de indagación sobre el número de pastillas (dosis), tratamiento (tiempo total de tomas) o el intervalo entre toma y toma. Para resolver este tipo de ejercicios se emplea la siguiente fórmula: 



tiempo total de tomas

NUMERO DE PASTILLAS = n x  intervalo 

entre toma y toma

 + 1 

Donde n indica el nùmero de pastillas tomadas a la vez

Ejemplo 7: ¿Cuántas pastillas tomará un enfermo, si su receta indica que debe tomar una cada 6 horas, durante 3 días? RESOLUCIÓN:

 4 días  6h

NP  n.

 

 96 h   1  6h 

 1  1.

nº pastillas = 16 + 1 = 17 Deberá tomar 17 pastillas en total Ejemplo 8: Alicia compró cierto número de pastillas y las tomó a razón de 2 pastillas cada 3 horas. Si al cabo de 4 días se terminaron las pastillas, ¿cuántas compró? RESOLUCIÓN: nº pastillas = n x

TT TU

1

 4(12h) nº pastillas = 2 x   3h

Aula Pre Básico

 = 2 (16 +1) = 34 

 1

39

Compró 34 pastillas.

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 06 Nivel Básico 1. En una caja hay 12 esferas blancas, 8 azules y 5 rojas. El mínimo número de esferas que se han de extraer para tener la seguridad de haber extraído por lo menos uno de cada color, es: A) 21 B) 23 C) 19 D) 14 E) 18 2. Si un paciente debe tomar pastilla y media cada 8 horas, entonces, el número de pastillas que tomará en 9 días, es: A) 40 B) 42 C) 32 D) 60 E) 64 3. El número de estacas que se necesitan para cercar un terreno cuya forma es un cuadrado de lado 10 m y si las estacas se colocan cada 2.5 m, es: A) 16 B) 18 C) 26 D) 22 E) 20 4. De 5 fichas rojas, 4 azules y 9 blancas, el mínimo número de fichas que se deben sacar para tener la certeza de haber extraído un color por completo es: A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 21 5. Si en una avenida de 780 m, deben plantarse árboles cada 4 m, entonces, el número de árboles a colocar, es: A) 193 B) 194 C) 95 D) 196 E) 186 6. Un tronco de árbol es seccionado en trozo de 0.20 m. Si se han efectuado 21 cortes, entonces la longitud inicial del tronco fue: A) 43 cm B) 440 cm C) 450 cm D) 445 cm E) 460 cm 7. Si Juan durante un cierto tiempo llegó a tomar, como parte de su tratamiento médico, 19 pastillas, a razón de 1 cada 8 horas, entonces el tiempo que duró el tratamiento, fue: A) 4 d B) 5 d C) 7 d D) 6 d E) 8 d 8. Hay 6 pelotas rojas, 8 azules y 12 verdes en una caja. El mínimo número de pelotas que se debe extraer para tener la certeza de haber extraído un color por completo es: A) 3 B) 24 C) 23 D) 25 E) 27 9. En un cajón tienen 4 pares de zapatos blancos y 6 pares de zapatos negros. El número de zapatos que como mínimo se deberá extraer para tener la certeza de que entre los zapatos extraídos se encuentre un par del mismo color, es: A) 17 B) 15 C) 10 D) 3 E) 14 10. En una bolsa se tiene 8 caramelos de menta, 7 de limón y 6 de fresa. El mínimo número de caramelos que se deben extraer, para tener la certeza de haber sacado dos de igual sabor es: A) 17 B) 2 C) 3 D) 4 E) 15 Aula Pre Básico

40

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Nivel Intermedio 11. María compró un frasco de píldoras y tiene que tomarlas durante 4 días a razón de 3 píldoras cada 6 horas. El número de píldoras que contenía como mínimo el frasco, si María completó el tratamiento, es: A) 48 B) 36 C) 51 D) 50 E) 39 12. En un sorteo de la FIFA, se tiene en un ánfora 9 boletos de países de América, 15 de Asia – Oceanía, y 13 de Europa. El mínimo número de boletos que deben extraerse para tener la certeza de haber extraído una boleta de un país europeo, es: A) 24 B) 25 C) 23 D) 22 E) 26 13. Se tiene en una caja, 9 fichas enumeradas del 4 al 12. el mínimo número de fichas que debemos extraer para tener la certeza de que la suma de 2 fichas sea 17, es: A) 4 B) 5 C) 7 D) 6 E) 8 14. Un sastre tiene un corte de tela rectangular, de 30m de largo y 2m de ancho. Si cada hora corta un solo pedazo de 2m de largo por 1m de ancho, entonces el tiempo que se demorará en cortar toda la tela es: A) 40 h B) 29 h C) 33 h D) 27 h E) 30 h 15. Se tiene un anillo de acero de 30m de longitud, y se va a cortar en pedazos de 5m. El número de cortes que se le van a hacer, es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 16. En un cierto depósito se tiene guantes de boxeo: 3 pares de color rojo y 3 pares de color negro. El mínimo número de guantes que debemos extraer para tener la certeza de conseguir un par útil de color negro, es: A) 4 B) 14 C) 11 D) 9 E) 10

AUTOEVALUACIÓN Nº 06 1. Si tengo 4 fichas rojas, 7 fichas azules y 10 fichas verdes en una caja, el mínimo número que debo extraer para tener la certeza de haber extraído un color por completo, es: A) 21 B) 22 C) 23 D) 20 E) 19 2. Si en el interior de una heladera, hay 9 botellas de pisco peruano y 9 de aguardiente chileno, entonces el número de botellas que se debe extraer como mínimo, para tener la certeza de haber sacado una botella de cada tipo, es: A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 Aula Pre Básico

41

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 3. Si en una pista de carrera recta se colocan postes separados, uno del otro, en 6 metros, entonces la distancia del poste número 4 al poste número 44, es: A) 248 m B) 292 m C) 240 m D) 224 m E) 296 m 4. Si Clara durante un cierto tiempo llegó a tomar, como parte de su tratamiento médico, 29 pastillas, a razón de una cada 6 horas, entonces el tiempo que duró el tratamiento es de: A) 8 d 6h B) 7d C) 5d 6h D) 6d E) 7d 6h 5. En un depósito se tienen medias de colores: 9 pares de color negro, 7 pares de color blanco y 3 pares de color azúl. El número de medias que deben extraerse al azar para obtener con certeza un par útil de color azúl, es: A) 34 B) 35 C) 28 D) 36 E) 38 6. Si a una varilla de fierro de 6 m se le hace tantos cortes como longitud tiene cada corte, entonces el número de cortes que se le han hecho y la longitud que tiene cada corte, respectivamente, es: A) 4; 4 m B) 3; 3 m C) 2; 2 m D) 2; 3 m E) 3; 4 m 7. Se cercó un jardín en forma rectangular utilizando 50 estacas. Si se colocaron 16 por cada uno de los lados más largos del jardín, entonces el número de estacas que se colocaron en cada lado más corto (si tiene que haber 1 estaca en cada esquina), fue: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 8. Un grupo de 486 alumnos van a elegir un representante estudiantil. Si se presentan 5 candidatos para el puesto, entonces el menor número de votos que puede tener uno de ellos y lograr así más que cualquiera de los otros 4, es: A) 93 B) 98 C) 92 D) 108 E) 99 9. En un cierto depósito se tienen guantes de boxeo, 4 pares de guantes rojos y 4 pares de guantes negros. El número de guantes que deben extraerse al azar para obtener con certeza un par útil de color negro, es: A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 13

SEMANA 07

ANÁLISIS COMBINATORIO 7.1. DEFINICIÓN El análisis combinatorio estudia los arreglos ó grupos que se puedan formar con los elementos de un conjunto.

7.2. PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS COMBINATORIO Aula Pre Básico

42

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Nos permite determinar el número de casos posibles que tenemos para realizar un evento: 7.2.1. PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento de adición A ocurre de “m” maneras diferentes y un evento B ocurre de “n” maneras diferentes, entonces el evento A o B (no simultáneamente) se podrá realizar de “m + n” maneras diferentes. Ejemplo: 1 Una persona desea viajar de Cuzco a Trujillo y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 4 terrestres. ¿De cuantas maneras podrá viajar? Resolución: Vía aérea

Vía terrestre Puede viajar por vía: aérea y terrestre Total = 3 + 4 = 7 maneras. CUZCO TRUJILLO 7.2.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN: Si un evento A ocurre de “m” maneras diferentes y por cada uno de éstos el evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes entonces los eventos “A” seguido de B ó A y B simultáneamente ocurren de “m x n” maneras diferentes. Ejemplo: 2 De Lima a Ica hay 5 rutas diferentes; de Ica a Tacna hay 6 rutas diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de Lima a Tacna pasando por Ica? Resolución: Por el Principio de Multiplicación: Total = 5 x 6 = 30 maneras.

Lima

Ica

Tacna

7.3. FACTORIAL DE UN NÚMERO 7.3.1. DEFINICIÓN: Aula Pre Básico

43

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que él. Se representa por n!. n

n! = n x (n – 1) ……. x 3 x 2 x 1

∈Z

+

Ejemplos 3: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 NOTA:

O.1. 0! = 1 (por convención) O.2. 1! = 1 2 5

0.3.   ! = no definido O.4. (-5)! = no definido O.5. -3! = -(3 x 2 x 1) = -6 O.6. 3!! = (3!)! = (3 x 2 x 1)! = 6! = 720 7.3.2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES: Propiedad 1: Un factorial se puede expresar en término de un factorial menor. n! = n (n - 1) ! = n (n - 1) (n - 2) ! =….. Ejemplo: 4 8! = 8 x 7! 8! = 8 x 7 x 6! Propiedad 2: Si a! = b! entonces a = b Ejemplo: 5 Simplificar P =

20! 19!



20! 18!



30! 29!

Resolución: P=

20 x 19! 19!



20 x 19 x 18! 18!



30 x 29! 29!

= 20 + (20x 19) + 30 = 430

7.4. MÉTODOS DE CONTEO 7.4.1. PERMUTACIÓN: Son los diferentes arreglos u ordenamientos (donde importa el orden) que se pueden formar con todos o parte de los elementos de un conjunto. Considerando el orden en su ubicación, existen los siguientes tipos: 7.4.1.1. PERMUTACIÓN LINEAL: Se da cuando los elementos considerados son todos distintos y se ordenan en línea recta.

Pn = n! Aula Pre Básico

donde n representa el número de objetos

44

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS Ejemplo: 6 ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 6 alumnos en una fila? Resolución: Se trata de una permutación lineal (n = 6). No importa el orden: P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 720 VARIACIÓN

Pkn 

n! ; ( n  k )!

Forma práctica:

donde: 0< k ≤ n

Pkn 

n( n  1)( n  2)... " k " factores

Ejemplo: 7 ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? Resolución: 123456 ≠ 654321 Importa el orden, luego tenemos: 9

P6  9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4  60480

7.4.1.2. PERMUTACIÓN CIRCULAR: Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estos ordenamientos no hay primer ni ultimo elemento, por hallarse en un circuito cerrado.

Pc (n)  (n  1)!

donde n representa el

número de objetos

Ejemplo: 8 ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse 6 niños alrededor de una mesa? Resolución: Pc(6) = (6 - 1)! = 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 7.4.1.3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Es el arreglo de elementos donde algunos de ellos se repiten.

Pkn1,k 2 ,....k r 

n! ; kdonde k 1! x k 2 ! x...x r!

k 1  k 2  ...  k r  n

Si se tiene “n” elementos donde hay: Aula Pre Básico

45

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 K1: elementos de una primera clase K2: elementos de una segunda clase . . Kr: elementos de una r-ésima clase Ejemplo: 9 Se tiene 4 camisas blancas, 2 azules, 1 roja, 1 verde. ¿De cuántas formas diferentes se podrá ordenar en un ropero según el color? Resolución: n = 8 camisas B B B B AA

RV 8 Luego: P4,2 

K1 = 4 K2 = 2

8! 4! x 2!



8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! 4! x 2

7.4.2. COMBINACIÓN: Es una selección o agrupación que se puede formar con parte o todos los elementos de un conjunto, y no interesa el orden.

C nk 

n! ; donde: 0< k ≤ n (n - k)! x k! “k” factores

Forma práctica: Ejemplo: 10 ¿Cuántas comisiones de 3 personas se puede formar de un grupo de 8 personas? Resolución: No importa el orden; se trata de una combinación de 8 elementos agrupados de 4 en 4. C38 

8 x7 x6 1x 2 x3

 56

comisiones.

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 07 Nivel Básico 1. Las formas que se pueden colocar en una fila, 5 libros de una colección que se compone de 12 libros, es: A) 92 400 B) 92 040 C) 95 040 D) 95 400 E) 95 004 2. Las distintas maneras que se pueden colocar 7 libros en un estante, es: A) 2 400 B) 9 040 C) 5 040 D) 5 400 E) 5 004 Aula Pre Básico Aptitud Matemática 46

 840

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS 3. Con 6 sumandos, el número de sumas distintas que se pueden efectuar con 4 sumandos, es: A) 15 B) 16 C) 14 D) 17 E) 13 4. Las maneras que podría vestirse un empresario, si tiene para vestirse 4 pantalones, 7 camisas y 3 corbatas, todas prendas distintas, es: A) 64 B) 44 C) 82 D) 7 1 E) 84 5. El número de maneras distintas que se pueden sentar 6 personas alrededor de una mesa redonda, es: A) 120 B) 110 C) 720 D) 24 E) 84 6. Si para ir de la ciudad “B“ a la ciudad “A” hay 4 caminos, y para ir de” A” a “C” hay 3 caminos, entonces el número de caminos que hay para ir de “B” a “C” pasando por “A”, es: A) 27 B) 18 C) 14 D) 16 E) 12 7. Para viajar de una ciudad a otra, existen 3 líneas de transporte aéreo o 5 líneas de transporte terrestre, entonces, el número de maneras que podemos hacer el viaje, es: A) 8 B) 11 C) 5 D) 3 E) 2 8. Las maneras diferentes que podrán sentarse 5 alumnos en una fila, es: A) 120 B) 110 C) 720 D) 24 E) 84 9. Se tiene 3 libros diferentes de Razonamiento matemático, 4 libros diferentes de Razonamiento verbal y 2 libros diferentes de Comprensión lectora. Las maneras diferentes que se pueden ubicar en un estante de manera que los libros del mismo curso permanezcan juntos, es: A) 1728 B) 1620 C) 1220 D) 1360 E) 1243 10.Dos hermanos y cinco amigos van al circo. Si los hermanos siempre están juntos, entonces el número de formas distintas que pueden sentarse en 7 asientos de una misma fila, es: A) 800 B) 1120 C) 1440 D) 720 E) 1200 Nivel Intermedio 11.Las maneras que se podrán colocar 6 libros diferentes sobre una vitrina de forma que 3 de ellos estén siempre juntos, es: A) 164 B) 144 C) 142 D) 17 1 E) 132 12.Las palabras se pueden formar con las letras de la palabra “AHORRO”, es: A) 220 B) 180 C) 120 D) 124 E) 184

Aula Pre Básico

47

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 13.Si Irene dispone de 3 cubos rojos, 1 cubo verde, 2 azules y 2 amarillos, entonces el número de juegos que se pueden formar usándolos a la vez es: A) 1220 B) 1800 C) 1420 D) 1680 E) 1684 14.Las maneras diferentes pueden sentarse 6 niños en un sofá, si este tiene solamente 4 asientos, es: A) 80 B) 110 C) 520 D) 360 E) 240 15.El número de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra “SOCORRO”, es: A) 80 B) 420 C) 520 D) 360 E) 240

AUTOEVALUACIÓN Nº 07 1. Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? A) 6 B) 4 C) 24 D) 10 E) 24

2. Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. ¿De cuántas maneras se puede vestir, si la blusa azul se la debe poner siempre con la falda celeste? A) 12 B) 8 C) 7 D) 11

E) 5

3. Milagros tiene 5 pantalones, 4 blusas y 3 pares de zapatos. maneras se podrá vestir? A) 56 B) 48

C) 52

D) 60

¿De cuántas E) 13

4. De una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5 y en otra urna 4 fichas numeradas del 6 al 9, se saca una ficha de la primera y otra de la segunda urna con estos se forma un numeral. ¿Cuántos son los valores posibles de este numeral? A) 9 B) 18 C) 20 D) 40 E) 36 5. ¿De cuántas maneras distintas 6 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata? A) 120 B) 24 C) 240 D) 720 E) 200

SEMANA 08

ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS 13.1 DEFINICIONES 13.1.1 REGIÓN PLANA Es una porción del plano limitada por una línea cerrada; esta línea que limita a la región puede ser una poligonal o una curva cualquiera. Aula Pre Básico

48

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS 13.1.2 PERÍMETRO DE UNA REGIÓN PLANA Es la medida de la longitud de la línea que delimita una región plana. 13.1.3 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Es la cantidad de unidades cuadradas que contiene una región plana.

13.2 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE REGIONES SOMBREADAS 13.2.1 REGIONES TRIANGULARES: TRIANGULO A 

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

b.h

A 

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

2

EN FUNCIÓN DEL SENO DE UNO DE SUS ÁNGULOS A 

A

a.b

2

a.b 2

sen

a2 3 4 TEOREMA DE HERON

P A=

abc 2

P(P  a)(P  b)(P  c)

Donde P, es el semiperímetro del triángulo

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 08 Nivel Básico 1) Calcule el área de la región sombreada si los radios son de 4 m, 2 m y 3 m respectivamente. Aula Pre Básico

49

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018 3 4

a) 20 m2 d) 21 m2

2

b) 25 m2

c) 24 m2 e) 22 m2

2) En el cuadrado de lado 8 cm. P; Q; R y S son puntos medios. ¿Cuál es el área de la región sombreada? P

Q

S

a) 28m2 d) 36m2

R

b) 30m2

c) 32m2 e) 24m2

3) Si ABCD es un cuadrado. ¿Cuánto mide el área de la región sombreada? M

A

N

C

8 cm

B

a) 28cm2 d) 24cm2

b) 30cm2

D

c) 25cm2 e) 20cm2

4) Si ABCD es un cuadrado. ¿Cuánto mide el área de la región sombreada? C

1 0 cm

B

a) 50cm2 d) 48cm2

b) 40cm2

A

D

c) 45cm2 e) 42cm2

5) Si ABCD es un rectángulo, donde S1 + S2 = 50 m2 ¿Cuánto mide el área de la región sombreada?

Aula Pre Básico

B

C

A

D

50

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS a) 120m2 d) 110m2

b) 100m2

c) 90m2 e) 80m2

6) Calcular el área de la región sombreada. 6

6

a) 20 d) 30

b) 25

c) 28 e) 24

7) Calcular el área de la región sombreada si el área del triángulo MPR = 88 m2. P

T

a) 12m2 d) 16m2

M

Q

N

b) 10m2

c) 11m2 e) 15m2

R

8) En la figura, el área del cuadrado ABCD es 60 m2. Hallar el área de la región sombreada.

a) 5m2 d) 8m2

B

C

A

D c) 7m2 e) 9m2

b) 6m2

9) En la figura, el área del rectángulo ABCD es 96 m2. Hallar el área de la región sombreada. B C

A a) 26m2 d) 24m2

D

b) 22m2

c) 18m2 e) 28m2

10) ABCD es un cuadrado de 10 m de lado. Hallar el área de la región sombreada. Aula Pre Básico

51

Aptitud Matemática

2

a) 25m d) 28m2

b) 32m

A

B

D

C

2

CICLO VERANO 2018

c) 30m2 e) 36m2

Nivel Intermedio 11) En la figura el área de la región sombreada es:

a) 128m2 d) 140m2

b) 180m2

c) 108m2 e) 160m2

12) Hallar el área en m2 del cuadrado ABCD, sabiendo que el área de la región sombreada es 50 m2. B

C

M

A

a) 160 d) 140

N

b) 120

D

c) 180 e) 150

13) Si el área del triángulo ABC es 36 m2. Entonces el área de la región sombreada es: B

a) 5m2 d) 4m2

A

C

b) 3m2

c) 6m2 e) 2m2

14) En un cuadrado ABCD. Halle la relación entre el área de la región sombreada y la mitad del área de la región no sombreada.

Aula Pre Básico

52

Aptitud Matemática

CIRCULO LA PRE SAN MARCOS B

a) 1/3 d) 1/4

b) 2

C

D

A

c) 1/2 e) 3/5

15) En un cuadrado ABCD. El área de región no sombreada es 35 m2. Si AP = PD. Calcule el área de región sombreada. B

C

Q

a) 20m2 d) 28m2

b) 30m2

A

P

D

c) 24m2 e) 25m2

AUTOEVALUACIÓN Nº 08 1. Tenemos un cuadrado cuyo lado mide 9 m, entonces el área de la región no sombreada, es: A) 6,75 m2 B) 3 m2 C) 10,5 m2 D) 73,25 m2 E) 60,25 m2 2. Si el lado del cuadrado mide 12 m, entonces el área de la región no sombreada, es: A) 10 m2 B) 132 m2 C) 6 m2 D) 12 m2 E) 136 m2 3. Si el lado del cuadrado mide 12 cm, entonces el área de la región sombreada, es:

Aula Pre Básico

53

Aptitud Matemática

CICLO VERANO 2018



A) 6 cm2 B) 36 cm2 C) 18 cm2 D) 9 cm2 E) 12 cm2 4. El área sombreada de la siguiente figura es:

 

A) 12 cm2 B) 14 cm2 C) 16 cm2 D) 18cm2 E) 24 cm2

3 cm

3 cm

6 cm

6 cm

5. Si el lado del cuadrado mide 4 cm, entonces el área de la región sombreada, es:

    

A) 4(3 /4) cm2 B) 8(3 /4) cm2 C) 2(3 /4) cm2 D) 26(3 /4) cm2 E) 4(3 /2) cm2 6. Si se tiene el siguiente gráfico, entonces, el área de la región sombreada, es: A) 21 m2 B) 23 m2 C) 22 m2 D) 24 m2 E) 16 m2

Aula Pre Básico

12

m

4

m

54

Aptitud Matemática