Numeros Reales

MATEMÁTICA I

NÚMEROS REALES TEORÍA Y PROBLEMAS

CARLOS ARÁMBULO OSTOS

NÚMEROS REALES TEORÍA Y PROBLEMAS CARLOS ARÁMBULO OSTOS

Prohibida, por cualquier medio, La reproducción total o parcial de esta obra.

ii

PRESENTACIÓN

i

ii

CONTENIDO Números reales........................................................................................1 Ecuaciones Lineales..............................................................................15 Ecuaciones Cuadráticas.....................................................................16.3 Desigualdades.......................................................................................17 Desigualdades Lineales.........................................................................30 Desigualdades Cuadráticas................................................................40.1 Intervalos................................................................................................50 Valor Absoluto........................................................................................55 Máximo Entero.......................................................................................62 Problemas Diversos...............................................................................75

iii

iv

i

NÚMEROS REALES 1. INTRODUCCION Los números reales son ya familiares para usted; no son más que aquellos números que se usan ordinariamente en la mayoría de las medidas. La masa, la velocidad, la temperatura y la carga de un cuerpo se miden mediante números reales. Los números reales se pueden representar mediante expresiones decimales finitas o infinitas. Cualquier decimal finito se puede escribir en forma infinita agregando ceros: 3  0,375  0,375000000 . . . 8

Cualquier decimal periódico es infinito, tal como

7  0,31818181818 ......., 22

representa un número racional, que es el cociente de dos enteros. Recíprocamente, todo número racional se representa mediante una expansión decimal periódica (como la expresada antes). El desarrollo decimal de un número irracional (uno que no es racional), tal como: 2 = 1, 414213562. . .  = 3,141592653589793. . . e = 2.7182818279 ..... es infinito y no periódico. Es familiar la representación geométrica de números reales como puntos sobre el eje real . Cada número real se representa por un solo y sólo un punto de , y cada punto de  representa un solo y sólo un número real. 1.1

NÚMEROS REALES Definición: Llamaremos números reales al sistema formado por un conjunto , una relación de igualdad “=” que se lee “es igual a”, una relación de orden que se denota por “<” y que se lee “es menor que” y dos operaciones : la adición ( suma ) “+” y la multiplicación (producto) “ g”; donde la expresión “x = y” se lee “x es igual a y” lo que significa que x e y son dos símbolos para el mismo número real. Propiedades de los números reales: " a, b, c ��: i) ii)

a=a

(Reflexiva).

a = b, entonces b = a

(Simétrica)

iii) Si a = b y b = c, entonces a = c

1

(Transitiva)

Daremos a continuación unas cuantas leyes en el sistema de los números reales, que enunciaremos como axiomas, en base de las cuales haremos un estudio demostrativo de hechos importantes que enunciaremos como teoremas. Los números reales satisfacen los axiomas o leyes siguientes: De Clausura, Conmutativa, Asociativa, del Neutro, del Inverso y Distributiva. Si : a gb ��, entonces:

1.- Leyes de clausura:

A1): Nos indica que la suma de dos elementos de  , es también, un elemento de  . M1) ab ��: El producto de dos elementos de  , es otro elemento de

. Conclusión: El conjunto  es cerrado con respecto a la suma y al producto, es decir, este axioma nos expresa que al sumar y multiplicar dos números reales, sus resultados también son números reales. 2.-

Leyes Conmutativas : Si : a, b ��, entonces: A2)

a + b  b + a : Nos indica que el orden en que se sumen dos elementos de  no afecta dicha suma.

M2) ab  ba : El orden en que se multipliquen dos elementos de  no afecta su producto. 3.- Leyes Asociativas: A3)

Si a, b, c ��, entonces :

a + (b + c) = (a + b) + c

M3) a(b.c) = (ab)c Es decir, el modo en que se agrupan los elementos de  , para realizar una operación ya sea de adición o multiplicación, no afecta el resultado final. 4.-

Existencia y Unicidad del Neutro :

A4) Ley Cero : Existe uno y sólo un elemento llamado “cero” o elemento neutro aditivo y que se denota por ”0” ��, tal que para todo a en  . a+0=0+a=a

2

M4)

Ley de la Unidad : Existe uno y sólo un elemento llamado “uno” o elemento neutro multiplicativo y que se denota por "1"  , diferente de cero, tal que para todo a en  , a . 1 = a = 1 . a

5.-

Existencia y Unicidad del Inverso : A5) Ley del Inverso Aditivo : Para cada a en  existe uno y sólo un elemento, que se denota por “– a”, tal que , a + (-a)  0  -a + a M5) Ley del Inverso Multiplicativo : Para cada a en  , diferente de 0, existe uno y sólo un elemento ,también diferente de cero, que se denota por " a-1 " , tal que, a.a -1  1  a -1.a.

6.-

Ley Distributiva : Para todos los a, b, c ��, entonces : a(b + c)  ab + ac

y

(a + b)c  ac + bc.

Axiomas de Orden : Estos axiomas los veremos a partir del estudio de las desigualdades. 7.-

O1 : Ley de Tricotomía: Para dos elementos cualesquiera a, b, c � �, una y sólo una de las siguientes relaciones es verdadera: i) a < b,

ii) a = b,

iii) b < a

8.-

O2 :Ley Transitiva : Si a, b, c ��, a < b y b < c, entonces a < c.

9.-

O3 :Ley Aditiva: Si: a, b, c ��, y a < b, entonces : a + c < b + c Es decir, si a ambos miembros de una desigualdad se les suma una misma cantidad, el sentido de la desigualdad se mantiene.

10.- O4 : Ley Multiplicativa : Si a, b, c � �, a < b y 0 < c , entonces : ac < bc Es decir, si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. 11.

- L : Axioma del Extremo Superior o Axioma del Supremo : Todo conjunto no vacío de números reales y acotado superiormente tiene una cota superior. Se le conoce también como el axioma de la mínima cota superior, axioma que nos asegura que los números reales incluyen a los números irracionales.

3

1.2

PROPIEDADES: En

el

siguiente

conjunto

de

Teoremas,

estudiaremos

algunas

consecuencias importantes de los 6 primeros axiomas o leyes precedentes. La demostración de cada teorema se basa únicamente en estos axiomas. 1.2.1 TEOREMA ( Ley de Cancelación): i) Para la suma: Sean: a, b, c � � si a + c  b + c � a  b ii) Para el producto: Sean a, b, c ��, si ac = bc y c � 0 � a = b Demostración: i) Si : a + c = b + c

(Hipótesis)

 a + c + (- c) = b + c + ( - c)  a + ( c + (- c)) = b + ( c + (- c))

... (A3)

 a+0=b+0

... (A5)



a=b

... (A4)

ii) Si ac = bc

.. (1)

Si c �0  $ c–1 / c . c–1 = 0  De (1) : (ac) . c–1 = (bc) . c–1

... (M5) ... (T: 1.2.1)

 a(c . c–1)= b(c . c–1)

… (M3)

 a.1=b.1 a=b 

... (M5)

1.2.2 TEOREMA : "a ��: a . 0 = 0 = 0 . a Demostración : Lo demostraremos de dos maneras : A) Método I : Como : x + 0  x , "x �� Si x=0 �

0+0 0

... (A4) ... (A4)

� a . (0 + 0) = a . 0 multiplicando ambos miembros por a (ley cancelativa) a.0+a.0=a.0 a.0+a.0=a.0+0 Además:

a.0=0 a.0=0.a

4

... (D) ... (A4) ... (T: 1.2.1) ...(M2)

B) Método II: a.0=a.0+0

NEUTRO ADITIVO

... (A4)

= a . 0 + ( a + (– a) )

INVERSO ADITIVO

... (A5)

= (a . 0 + a)+ (– a)

ASOCIATIVA

... (A3)

= (a . 0 + a . 1) + ( – a) NEUTRO MULTIPLICATIVO

... (M4)

= a (0 + 1) + (– a)

DISTRIBUTIVA

= a . 1 + (– a)

NEUTRO ADITIVO

… ( A4)

= a + (– a )

NEUTRO MULTIPLICATIVO

... (M5)

=0

INVERSO ADITIVO

... (A5)

�

a.0=0

l.q.q.d.

Además : a . 0 = a . 0 1.2.3 TEOREMA :

... (D)

CONMUTATIVA

... (M2)

" a ��: – a = (–1) a

Demostración : A) Como : 1+ (–1) 

= 0

... (A5)

a(1+ (–1) ) = a . 0

... (T: 1.2.1)

 a . 1 + a (–1) = 0 

... (D, T : 1.2.2)

a + (–1) a

= 0

... (1)

( M4, M 2 )

Además : a + (–a)

= 0

... (2)

( A5 )

De (1) y (2): a + (–a)= a + (–1) a 

(Transitiva) ( T : 1.2.1)

– a = (–1) a

También podemos demostrarlo de la siguiente manera : Como: a + (–1) a

= a + (–1)a

( Reflexiva)

= 1 . a + (–1) a = 1 + (–1) a

... ( D )

= 0.a

... ( A5)

 a + (–1) a = 0 Además:

... ( M4)

a + (– a) = 0

De (1) y (2): a + (–a) = a + (–1)a

... ( 1 )

(T : 1.2.2)

... ( 2 )

... ( A5) (Transitiva)

–a = (–1)a

5

(T : 1.2.1 )

1.2.4 COROLARIO : "a,b ��: a( -b)  -(ab)  ( -a)b Demostración : i) a . (- b) = a (–1)b

( T: 1.2.3)

= a (–1)  b

… (M3)

= (–1) ( ab)

 ii)

–a

… (M2,M3)

a (– b ) = – ( ab)

…(I)

( T: 1.2.3)

= (–1) a

(T : 1.2.3)

(–a) b = (–1) ab

(T : 1.2.1)

= (–1)( ab)



…( M3)

(– a )b = – ( ab)

... (II)(T : 1.2.3)

a(-b)  -(ab)  (-a)b

De ( I ) y ( II ) :

Esta propiedad es muy útil y será utilizada para resolver desigualdades, por el método práctico, cuando la variable posea coeficiente negativo. Propiedad que nos indica que si un producto de dos factores está precedido por un signo negativo, éste afecta sólo a uno de ellos, o en general afectará a un número impar de factores. Por ejemplo: – (x + 2) (1 – x ) = (x + 2) – (1 – x) = (x + 2) (x – 1) 1.2.5 TEOREMA :

" a ��, -( -a)  a

Demostración: Sea b  -a ��



...(1)

a + b  a + ( -a ) 14 2 43

(T: 1.2.1i)

�0

 a+b=0 Como : b ��, existe –b

  (único) /

... (2)

(A5)

b + (– b) = 0 ... (3)

( A5)

De (2) y (3) : a + b = b + (– b )

(Transitiva)

a=–b (1) en (4):

... (4)

a = – (–a)



(T:1.2.1i) (Sustitución)

– (–a) = a

(Simétrica)

6

1.2.6

TEOREMA : "a, b �� , (-a)(-b)  ab Demostración: Como:

(–a) (–b) = (–a) (–b)

(Reflexiva)

= ( (–1)a ) (–b) = a [ (–1) (–b) ]

(T: 1.2.3) (M2, M3)

= a (– (–b) )

(T: 1.2.3)

= ab

(1.2.5)

(–a) (–b) = ab



�¹� , si a 1.2.7 TEOREMA : "a

0 entonces, a -1

0

Demostración: Supongamos que $a �0 ��/ a -1  0 , luego , si : a -1  0 a . a -1  a . 0 123 { 1 =

(T: 1.2.1)

0

(M5, T: 1.2.2)

Lo cual, es un absurdo, puesto que es una contradicción del axioma M4, ya que 1 �0 Luego, se debe tener que si a �0 implica que a -1 �0 1.2.8 TEOREMA : Sean a, b números reales cualesquiera, donde: i) Si : a ¹ 0



b ¹ 0 , entonces,

ii) Si: ab ¹ 0 , entonces,

ab ¹ 0

a¹0 

b¹0

Demostración: Procederemos, para la demostración, por reducción al absurdo. i) Supongamos que existen a , b   , diferentes de cero / a b = 0 Si a ¹ 0  $ a-1 ¹ 0  a-1 (a b) = a-1. 0

(

)

a-1.a b  0  123

(T: 1.2.1ii) (T: 1.2.2, M3 )

1

1.b=0b=0

(M4)

lo cual contradice la hipótesis de que b ¹ 0 , luego , lo supuesto ab = 0, es incorrecto, entonces, lo correcto es que ab ¹ 0.

7

ii) Supongamos que : Si a = 0



a=0

 ab = 0.b

b=0

 ab = 0, lo cual contradice la hipótesis de

que ab ¹ 0. Similarmente si b=0  ab = 0. Luego, lo supuesto es falso ya que nos lleva a una contradicción. Por consiguiente:

a¹0



b¹0

8

DIFERENCIA

Y

DIVISIÓN

A continuación presentaremos dos operaciones que no están incluidas explícitamente

en

las

axiomas

de

los

números

reales

enunciadas

anteriormente, a saber, la diferencia (resta) y la división (cociente). Estas dos operaciones están incluidas implícitamente y se definen como sigue:

Diferencia: 1.2.9 Definición:

" a , b  , a – b = a + (– b)

Es decir, la diferencia “a – b“ se define como la adición del número real “a” con el inverso aditivo del número real “b” , es decir , – b.

División: 1.2.10 Definición:

" a , b  , b ¹0 ,

Es decir la división

"

a b

"

a = ab- 1 b

se define como el producto del número real “a”

con el inverso multiplicativo del número real “b” , es decir , b -1 . Notación: La división de a y b con b ¹ 0 se denota por :

a  a/b b

1.2.11 Nota: El 0 no tienes inverso multiplicativo, por lo tanto la división por 0 no está

definida;

es decir, cada vez que se tenga un cociente,

entonces, una restricción natural es que siempre consideraremos, en todo el

desarrollo del curso y en estudios posteriores de las

Matemáticas, que el divisor sea diferente de cero. 1.2.12 Teorema: para " a , b  

 b ¹ 0 , si

a = 0 entonces a = 0 b

Demostración: Si b – { 0 }, $b–1 �� – { 0 } / b . b–1 Por hipótesis:

…(1)

a = 0 � ab–1 = 0 b

…(D:1.2.10)

 a(b . b–1. b) = 0 . b

…(T: 1.2.1 ; M3)



a.1=0

…(M5; T: 1.2.2)



a=0

,

9

si

a 0 b

…(M4)

10

ÁLGEBRA DE LOS NÚMEROS REALES Demostraremos ahora, como, mediante el uso de los axiomas y teoremas enunciados del sistema de los números reales, se logran ciertas reglas y métodos del Álgebra, conocidos desde nuestros estudios iniciales de Matemáticas. (Nota: No mencionaremos explícitamente el uso de los axiomas dados) Ejemplos: 1.- Suma de quebrados homogéneos: a b a+b +  c c c

" a, b, c    c ¹ 0 , demuestre que Demostración : Como:

a b a+b +  c c c

a b a+b +  a . c -1 + b . c -1  ( a + b ) c -1   c c c

2.- Suma de quebrados heterogéneos: ‫��ٹ‬ a ,b ,c " ,d

bd

Demostración : Como :

a c ad + bc +  b d bd

0 , demuestre que : Si

 b≠ 0

bd ≠ 0



d≠0

a c +  ab - 1 + cd- 1  ab - 1.1 + 1. cd- 1  ab - 1. dd- 1 + bb - 1cd- 1 b d

(

)

(

)

(

-1 -1 -1 -1 -1 -1 = ad b d + bc b d  ( ad + bc ) b d

(

(

)

)

-1 -1 -1 = ( ad + bc ) b d .1  ( ad + bc ) b d (bd)(bd)

=

( ad + bc ) ( bb- 1dd- 1 ) ( bd)

= ( ad + bc ) ( bd)



-1



-1

-1

-1

)

 ( ad + bc ) ( 1.1) ( bd )

-1

ad + bc bd

a c ad + bc +  b d bd

3.- Demuestre que " a, b, c, d  , (a + b) (c+ d) = ac + ad + bc + bd Demostración : (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) �

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

11

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Demostrar que:

0=–0

Demostración : Como "a ��,

a+0=a

luego, si a = 0: también :

(A4)

0+0=0

... (1)

a + (–a) = 0

(A5)

luego, si a = 0: 0 + (–0) = 0 De (1) y (2):

0 + 0 = 0 + (– 0)

(Transitiva)

0=–0

 2) Demostrar que:

...(2)

(T: 1.2.1i)

1-1  1

Demostración : Como "a ��- {0} :

a . a -1  1

Si a = 1:

1. 1-1  1

Además: "a ��,

1.a=a

luego, si a = 1 :

1.1=1

De (1) y (2) :

1. 1-1  1.1

(M5) ... (1) (M4) ... (2) (Transitiva)

1-1  1



(a )

3) Demostrar que si a �0 ��, entonces

-1

-1

a

Demostración: Hagamos b  a-1 �0,

( )

a �0 � b -1  a-1

( )( )

Como "b ��- {0} : 1 = b.b–1 = a-1 a -1

-1

1  a-1 . a

Además:

(a )(a ) -1

De (1) y (2):



-1

(a )

-1 -1

-1

= a–1.a

 a -1

12

-1

... (1)

(M5)

... (2)

(M5) (Transitiva)

(T: 1.2.1i)

4) Sean a, b números reales, a �0, b �0,

entonces:

( ab )

-1

 a -1b -1

Solución: a,b ��- {0}, entonces, ab �0 � ab ��- {0}

Como:

-1  ab . (ab)  1 , es decir (ab)–1 es único, basta demostrar que:

(

)

(ab) a -1 . b -1 = 1

(

)

(

)

-1 -1 -1 -1 Como: (ab) a . b  a a . b b

(

)

(M3)

)

(M5)

-1 -1 � b = � �aa b �

(

-1 = 1. b b

(

)

-1 -1 = 1. bb  bb

(

(ab) a -1 . b -1



)

=1

( ab )

(M2)

(M2, M3) (M5)

-1

 a-1b-1

5) Sean a, b ��, demostrar que: i) – (a + b) = – a – b ii) – (a – b) = b – a Demostracion : i)

– (a + b) = (–1)(a +b) = (–1)a + (–1)b = –a + (–b) 

ii)

– (a + b) = – a – b

(A6) (T:1.2.3) (D: 1.2.9)

– (a – b) = (–1) [a – (b)] = (–1)a + (–1)(–b)



(T:1.2.3)

(T:1.2.3, D: 1.2.9) (A6)

= (–1)a + b

(T:1.2.6)

= b + (–1)a

(M2) (T:1.2.3)

– (a – b) = b – a

13

6) Sean a, b, c ��, entonces : i) (a – b) + (b – c) = a – c ii) (a + b) – (b + c) = a – c Solucion: i)

(a – b) + (b – c) = a + (– b) +b + (– c) = a + (– c) + (b + (– b))

 ii)

(A2, A3)

= a + (– c) + 0

(A5)

= a + (– c)

(A4)

(a – b) + (b – c) = a – c

(a + b) – (b + c) = a + b + (– 1)(b + c) = a + b + (– 1)b + (– 1)c = a + [b + (– b)] + (– c) = a + 0 + (– c) = a + (– c) 

(D:1.2.9)

(a + b) – (b + c) = a – c

7) Si bc �0 , demostrar que:

(D: 1.2.9) (T: 1.2.3) (A6) (A5, T:1.2.3) (A5) (A4)

a.c a  b.c b

Demostracion: ac  ac(bc)-1 bc

(D: 1.2.10)

= acb-1c -1

(Problema N° 4)

= ab-1(c . c -1 )



(M2, M3)

= ab-1 . 1

(M5)

= ab-1

(M4)

ac a  bc b

(D: 1.2.10)

14

-1

�a � b �b �  a , ��

8) Demostrar que:

si ab ≠ 0

Demostración : 0޹ ޹ Si ab ‫�ٹ‬

a

0

b -1

0, entonces:

�a � -1 �b �  ab ��

(

)

-1

( )

= a -1 b -1

(D: 1.2.10) -1

(Problema N° 4)

= a -1b

(Problema N° 3)

= ba-1

(M2)

-1

�a � b �b �  a ��

 9) Demostrar que:

i) El elemento neutro de la suma es único. ii) El elemento neutro de la multiplicación es único. Demostracion: i) Supongamos que exista otro elemento neutro aditivo tal como x ≠ 0, a + x = a, "a ��

entonces:

Como 0 ��: 0 + x = 0

... (1)

Como 0 es neutro: x + 0 = x

... (2)

De (1) y (2):



x=0

Lo cual contradice a, x ≠ 0  lo supuesto es falso, es decir no existe otro elemento neutro aditivo. ii) Sea x ≠ 1, otro inverso multiplicativo, luego: a . x = a , "a �� Si a = 1 ��, entonces 1 . x = 1

... (1)

Como 1 es el neutro multiplicativo: x . 1 = x

... (2)

De (1) y (2): 

x=1

15

a, b ��, entonces a y b son pares.

10) Demostrar que si a2 = 2b2 , Demostración:

Sabemos que si: a2 es par  a es par Si: a2 = 2b2

... (I)

... (1)  a2 es par  a es par  a = 2k, k ��

... (2)

(2) en (1) : (2k)2 = 2b2  4k2 = 2b2  b2 = 2k2  b2 es par  b es par. \ a y b son pares. 11) Demostrar que "x,y,z �R / x + y + z  0 y xyz �0 , se cumple que: x z y x y z + + + + +  -3 y x z z x y Demostración : A) Método I: 0 ޹ x޹ 0, y Si xyz ���

Si: x + y + z  0

�

(1) + (2) + (3) : 3 +

0,z

0 y �x + y + z 0 y z  � 1+ +  0 � x x x x � x z �x + y + z 0  � + 1+  0 � y y y � y �x + y + z 0 x y  � + +1 0 � � z z z z

... (1) ... (2) ... (3)

y z x z x y y z x z x y + + + + +  0 � + + + + +  -3 x x y y z z x x y y z z

B) Método II: x z y x y z Sea: S = y + x + z + z + x + y

 S=

=

�x z � �z y � �y x � � + �+ � + �+ � + � �y y � �x x � �z z �

x+z z+y y+x ( x + y + z) - y + ( x + y + z) - x + ( x + y + z) - z + + = y x z y x z

Por dato: Luego, en S :

x+y+z 0 S 

… ()

0-y 0-x 0-z + + = y x z

S = –1 + (–1) + (–1)

16



- y - x -z + + y x z

S = –3

C) Método III: Si : x + y + z = 0 � ( x + y + z ) ( xy + yz + xz )  0 � ( xy + yz + xz )  0 � ( x + y + z ) xy + ( x + y + z ) yz + ( x + y + z ) xz  0 �� x + ( y + z) � y + ( x + z) � ( x + y ) + z� � �xy + � � �yz + � � �xz  0 � ( x + y ) xy + xyz + xyz + ( y + z ) yz + xyz + ( x + z ) xz  0 � ( x + y ) xy + ( y + z ) yz + ( x + z ) xz  -3xyz

�

…()

Si xyz ޹ 0�

1 xyz

De (  ) :

1 1 �  ( x + y ) xy + ( y + z ) yz + ( x + z ) xz �  -3xyz  � � xyz xyz

0

( x + y ) xy + ( y + z ) yz + ( x + z ) xz  -3 xyz

xyz

xyz



x+y y+z x+z + +  -3 z x y

12.- Dado tres números reales a, b, y c tales que a b c ¹ 0 y a + b + c = 0, 2 1 1 �1 1 1 � 1 probar que: � + + �  2 + 2 + 2 b c �a b c � a Solución: Por productos notables: 2

1 1 1 1 1 1 1 1 �1 1 1 � 1 +2 �+2 � �a + b + c �  a2 + b2 + c 2 + 2 a � b a c b c � � =

1 1 1 2 + 2+ 2+ ( a + b + c) 2 a b c abc

=

1 1 1 2 + 2+ 2+ ( 0) 2 a b c abc

2

1 1 1 1 1 1� � � �a + b + c � = a2 + b2 + c 2 � �

17

13.- Sean los números a, b, c > 0 que están en progresión geométrica. 1 1� �1 a2b2c 2 � 3 + 3 + 3 �es igual a: b c � �a

Entonces podemos afirmar que:

A) a + b + c 3

D)

3

a3 b3 c 3 B) + + c a b

3

a3 b3 c 3 + + b c a

E)

a3 b3 c 3 C) + + c a a

a3 b3 c 3 + + b c b

Solución: Si a, b y c están en progresión geométrica, entonces, si: ∺ a:b:c: b c  ó ac  b 2 a b

Entonces :

... ( 1 )

1 1 � a2b2c 2 a2b2c 2 a2 b2c 2 2 2 2 �1 a b c + Sea : P = + + �a3 b3 + c 3 �= b3 c3 � � a3 b2 � c 3 ( ac ) a2b2 P= + + ac b c 2

�

( )

2 3 b2 De ( 1 ): P = b c + b2 b



... ( 2 ) 2

+

a2 � ac c

P = c3 + b3 + a3

1 1� 2 2 2 �1 Efectuando en (2) ; si : P = a b c � 3 + 3 + 3 � b c � �a

B) Otra solución:

�b3c 3 + a3c 3 + a3b3 � b3c 3 + ( ac ) + a3b3 P= ab c � � a3b3c 3 abc � � De ( 1 ): 3

2 2 2

 P=

( )

b3 c 3 + b2

3

( ac ) b

+ a3b3



(

b3 c 3 + b 3 + a 3

(b ) b 2

)

�

P = a3 + b 3 + c 3

yz - x 2 xz - y 2  14) Si x ¹ 1, y ¹ 1, x ¹ y, , demuestre que ambas fracciones 1- x 1- y son iguales a x + y + z

18

Demostración: yz - x 2 xz - y 2   k Sea: 1- x 1- y Luego:

... ( 1 )

yz - x 2  k � yz - x 2  k ( 1 - x ) 1- x xz - y 2  k � xz - y 2  k(1 - y) ii) 1- y i)

... ( 2 ) ... ( 3 )

yz - xz - x 2 + y 2  k ( 1 - x ) - k ( 1 - y )

(2)–(3): 

( y - x ) z + ( y - x ) (y + x) = k [1 – x – 1 + y]

 (y - x) (z + y + x)  k (y - x)

... (  )

Puesto que : y ¹ x  y – x ¹ 0 , entonces de ( 15) Probar que si

a c  b d

�

k=x+y+z

(ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + d2) 2 � �i) a  kb � ab  kb ... (1) � � ii) c  kd � cd  kd2 �

a c  k Demostración : Si: b d

a)

 ):

2

�

… (4)

2

a2 c 2 �a � �c � De (1), (1) : � �  � �  k 2 � 2  2  k 2 b d �b � �d � 2

� (5) en (4):

...(3)

(2) + (3) : ab + cd = kb2 + kd2 = k(b2 + d2) � (ab + cd)2 = k2(b2 + d2)2

b)

...(2)

a2 + c 2  k2 2 2 b +d

(ab + cd)2 =

a2 + c 2 2 b + d2 2 2 b +d

(

... (5)

)

(ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + d2)

19

2

FÓRMULAS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN OBJETIVOS Usted deberá ser capaz de: a) Despejar de una fórmula una variable dada. b) Resolver problemas de aplicación. FÓRMULAS Una fórmula es un resultado de tipo general, expresado por medio de símbolos matemáticos, que se utiliza para efectuar un cálculo. A continuación daremos algunos ejemplos: 1.- V  V ( R ) 

4 3 R , que expresa el volumen de una esfera en términos de 3 su radio.

2.- C 

5 ( F - 32 ) , fórmula que expresa la temperatura Celsius o Centígrada C 9 en términos de la temperatura Fahrenheit F.

3.-

1 1 1  + , R R1 R2

fórmula que permite determinar la resistencia eléctrica neta R si dos resistores con resistencias, R 1 y R2 , se conectan en paralelo en un circuito eléctrico.

4.-

1 1 1  + , f p q

fórmula utilizada en una lente biconvexa que tiene una distancia focal de f centímetros y se coloca un objeto a una distancia de p centímetros de la lente, donde p > f , entonces la distancia q de la lente a la imagen, está relacionada con p y f mediante la fórmula dada.

5.- S = rg + r2 , que expresa el área S de un cono en términos de la generatriz g y del radio de la base r.

20

Supóngase que en éste último ejemplo, queremos hallar la generatriz “g” y que conocemos el área S y el radio r. Nuestro conocimiento de las ecuaciones nos permite aislar a g en uno de los miembros o, dicho de otra manera, “despejar g en la fórmula”. Ejemplo 1: Despeje “g” en S = rg + r2 Solución: Si: S = rg + r

2

Ejemplo 2: Despeje f en

1 1 1  + f p q

Solución:

Si:



S – r = rg 2



S - r 2 g r

1 1 1  + f p q

... (I)

A) Método I :Como el m.c.m. de los denominadores es : mcm (p, q, f) = pqf , entonces, primero multipliquemos a la ecuación ( I ) por pqf: �1 1 � 1 pqf .  pqf . � + �  f �p q �  pq = (q + p)f

pq = pqf .

f



1 1 + pqf . = qf + pf p q

pq p+q

B) Método II : Trabajemos solo con el miembro derecho de la ecuación (I), sacando el m.c.m. de sus denominadores p y q: mcm (p, q) = pq, luego, si: 1 1 1 q+p p+q 1 p+q  +   �  f p q pq pq f pq



f

pq p+q

Ejemplo 3: El peso específico  de un cuerpo está dado por la fórmula 

A , donde A es el peso en el aire y W es el peso en el agua. A-W

Determine el peso en el aire. 

A A-W

A) Método I: Si:  

A A-W

Solución:

Si:

 A – W = A



... ( I )  . (A - W) 



A – A = W 

A



W  -1

21

A . (A - W) (A - W )

( – 1)A = W

B) Método II: De ( I ), si   

W 1  -1  1-  A  

A A-W



1 A-W A W W    1 A A A A

A   W  -1

�



A

W  -1

Aplicaciones a Circuitos Eléctricos 1.- Si entre los extremos de un cable hay una diferencia de potencial eléctrico de 100 voltios y la corriente es de 20 amperios. ¿ Qué diferencia de potencial es necesaria para disponer de una corriente de 22.5 amperios en el mismo cable ? (UNI 1965) A) 89.0

B) 112,5

C) 225,0

D) 450.0

E) 550,5

Solución: Sabemos, por la ley de Ohm, que si V (en voltios) es la diferencia de potencial eléctrico entre los terminales de un conductor eléctrico, cuya resistencia constante es R (en ohmios), y I (en Amperios) es la intensidad de corriente que circula por dicho conductor, entonces, se cumple que: V= RI �

V1 = RI1

... (1)

V2 = RI2 I2 V I1 1

(2) �(1) :

V2 R I 2 = V1 R I1

Por dato:

V1  100v, I1  20Amp � 22.5 �100voltios �� V2  I2  22.5Amp 20 �

�

V2 =

V2 = 112,5 voltios

22

... (2)

2.- La ley de Ohm en teoría de electricidad establece que I =

E , donde I es la R

corriente (en amperios), E es la tensión o voltaje (en ohms). En un circuito dado E = 100 y R = 50. Si se cambian E y R en la misma proporción, ¿ Qué cambio en E y R hará que I se duplique ? Solución: Sea “ x “ la cantidad en el cambio en E y R para que I se duplique. Se sabe que: (1) en (2): 2

I

E R

I1  2I 

... (1)

E+x R+x

... (2)

E E+x  R R+x

Por proporciones:

E + x - (R + x) E- R 2E - R = = R +x R+x R

� ( R + x ) ( 2E - R )  R ( E - R ) � R+x 

R ( E - R) 2E - R

� x

Si: E = 100 y R = 50 � x 

R(E - R) - RE -R � x  2E - R 2E - R -50 �100 100 2 �100 - 50 3

�

x-

100 3

3.- La resistencia eléctrica Rs equivalente a dos resistencias R1 y R2 en serie está dada por Rs = R1 + R2. La resistencia

resistencias en paralelo está dado por

Rp equivalentes a las dos

1 1 1  + . Rp R1 R2

Se halla que dos resistencias en serie son equivalentes a una resistencia de 90 ohmios. Cuando las resistencias se conectan en paralelo, se halla que la resistencia equivalente es un tercio de la mayor de las resistencias originales. Hallar las resistencias originales. Solución: Sean R1 y R2 las resistencias originales tal que R1 < R2

... (1)

Para la conexión en serie: R1 + R2 = Rs = 90

23

... (2)

B) Para la conexión en paralelo:

1 1 1  + Rp R1 R2

�

Por dato: Rp 

1 R2 3

1 R1 + R2  Rp R1R2 ... (4)

De (2) : R2  90 - R1  90 - 30

4.- La fórmula Rp 

R1R2 R1 + R2

�

Rp 

� (3) en (4) : �

R1R2 R1 + R2

... (3)

1 RR R2  1 2 � R1  30W 3 90

R 2  60W

se usa en la teoría de la electricidad para

encontrar la resistencia total Rp, cuando dos resistencias R1 y R2 están conectadas en paralelo, coImo se ilustra en la figura siguiente. Despejar R1 en términos de Rp y R2. Solución:

�

�

Si : Rp 

R1R2 R1 + R2

1 R1 + R2 R1 R   + 2 Rp R1R2 R1R2 R1R2 1 1 1  + Rp R2 R1

�

1 1 1 R 2 - Rp   R1 Rp R2 R2Rp

24

�

R1 

R2Rp R2 - Rp

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) ¿Es el conjunto de los números naturales pares cerrado respecto a la adición, sustracción, multiplicación? 2) ¿Es el conjunto de los números naturales impares cerrado respecto a la adición, sustracción, multiplicación? 3) ¿Es la operación de sustracción en los números naturales una operación conmutativa o asociativa? 4) Demostrar que para números enteros se cumple que: a) El producto de dos números pares es un número par. b) El producto de dos números impares es un número impar. c) Si n �� y n2 es par  n es par. d) Si n �� y n2 es impar  n es impar. 5) Demostrar que ningún número racional tiene su cuadrado igual a 2. 6) Demostrar que no existe p ��/ p 3  2 . 7) Demostrar que un entero positivo no puede tener raíz cuadrada racional a menos que sea cuadrado perfecto. 8) Usando las propiedades fundamentales de los números reales, demostrar: a) a( b + c + d) = ab + ac + ad b) a – ( b – c) = (a – b) + c c) Si a + b + c + d = [(a + b) + c] + d 

a + b + c + d = a + [b + (c + d)]

d) Si abcd = [(ab) c]d  abcd = a [b(cd)] 9) Demostrar que el inverso aditivo – a es equivalente a “a restado de 0” , ó que 0 – a = – a 10) Demostrar que: – (– a) = a 11) Demostrar que: 0.a–1 = 0 12) Demostrar que:

a + a = 2a

13) Demostrar que:

(2a – b ) + (a + b) = 3a

14) Utilizando los axiomas de los números reales, demuestre que: i) 3 + 4 = 7

ii) 5 + 6 = 11

iii) 3 . 2 = 6

iv) 5 . 5 = 25

15) Si definimos: a1=a y an =an–1.a donde n��/ n>1, demostrar que a3. a4 = a7

25

16) Demostrar que " a ��,

i) (– a)2 = a2

ii) (– a)3 = –a3

17) Demostrar que: i) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ii) (x + a)(x – b) = x2 + (a – b)x – ab iii) (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + ab 18) Demostrar que: i) (a + b) (a + b) = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ii) (a – b) (a – b) = (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab iii) (a + b) (a – b) = a2 – b2 iv) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 19) Demostrar que: i) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

ii) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

20) Demostrar que: i) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ii) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) iii) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) +3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc 21) Demostrar que: i) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

ii) (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

22) Demostrar que: i) iii)

a -a a   , b b -b

-a a  , -b b

si b �0

si b �0

ii) iv)

a c ad - bc -  , b d bd

a c ac .  b d bd

v)

si bd �0 a c ad �  b d bc

23) Al “Factorizar” escribimos 24x2 – 32x = 8x(3x – 4) ¿Del empleo de que ley básica es esto una ilustración? 24) Supóngase que hubiera una ley distributiva de la adición con respecto a la multiplicación. ¿Qué otra forma tendría x + yz? Demuéstrese, empleando números específicos, que esta ley no es correcta. 25) Simplificar: i) (a2 + b2)2 – (a2 + 2ab + b2)(a2 – 2ab +b2) ii) (a + b)3 + (a – b)3 + 3(a + b)2(a – b) + 3(b – a)2(a + b) iii) (2a + b)2 + (2a - b)2 – 4(4a2 – b2)2

26

1.3 ECUACIONES LINEALES 1.3.1 Son expresiones algebraicas que tienen su origen en un polinomio de primer grado o lineal en una variable x, tal como: P(x) = ax + b ,

a, b �� y

a≠0.

Ejemplo: P(x) = x – 2 

; P(x) =

2 x + 6 , etc

La solución de esta ecuación lineal con una sola variable, es encontrar un valor de la variable x tal que P(x) = 0. Es decir, resolver una ecuación, tal como ax + b = 0, entendemos hallar el número que al reemplazar a x, hace de los dos miembros de la ecuación un mismo número.

El resultado de esta ecuación lineal ax + b = 0, lo enunciamos en la forma del teorema siguiente: 1.3.2 TEOREMA: Si a, b y x están en � y si a ≠ 0, entonces ax + b = 0, si y ��

sólo si x = – a–1b. Es decir: ax + b = 0

x = – a–1b

Demostración: i) Si ax + b = 0

  

ax + b + (–b) = 0 + (–b) ax + 0 = –b ax = –b



a–1ax = a–1(– b)

 (a . a–1)x = – a–1b –1  1 . x =x–=a––1a b b

ii) Si x = – a–1b

 

ax = a(– a–1b)

 = – (aa–1)b = – (1)b = – b

ax + b = (– b) + b = b + (– b) = 0

ax + b = 0 

27

Cuando tengamos que resolver una ecuación lineal específica, el proceso usual no es seguir el proceso del teorema 1.3.2, sino más bien emplear el método utilizado en la demostración. Para la solución se condensa todo en un solo paso sin necesidad de enunciar la razón de cada paso. Ejemplo: Resolver la ecuación lineal: 4x – 11 = – x – 5 Solución: Si x es solución de 4x – 11 = – x – 5, entonces: i) 4x – 11 = – x – 5 ��

�� 5x = 6

4x + x – 11 + 11 = – x – 5 + x + 11 

x

6 5

Luego x = 6/5 es una solución y es la única solución posible. Usamos la equivalencia lógica para indicar que los pasos son inversibles. ii) Falta demostrar que x = 6/5 es una solución, se sustituye este valor en la ecuación dada, lográndose así una identidad. Otro método de probar esto consiste en invertir los pasos de la primera parte de la solución, o sea que si x = 6/5, entonces 4x – 11 = – x – 5. Si x = 6/5 � 5x = 6 � 5x + (– x) + (–11) = 6 + (– x) + (–11) � 4x – 11 = – x – 5 Nota : Al usar la equivalencia lógica sólo es necesario hacer la parte i), para hallar la solución.

28

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Se divide un número por 6 y luego se resta 3 del resultado, obteniendo finalmente 4. El número original es: a) 27

b) 42

c) 45

d) 54

e) 60

Solución: Sea x el número original, luego, según el enunciado, podemos establecer que: x x x -3  4 �  4+3 �  7 6 6 6

�

x = 42

Otra Solución : Podemos hallar la solución partiendo de la parte final hacia la parte inicial, lo que recibe el nombre de la ley del cangrejo. El número pedido será:

( 4 + 3 ) . 6 = 42

2.- Esther entró a un ascensor en un edificio muy alto, en busca de su amigo. Subió 3 pisos, bajo 5 pisos, subió 7 pisos y bajó 9 pisos. Se encontró entonces en el piso 23. ¿ En qué piso estaba Esther cuando entró al ascensor ?

a) 1

b) 19

c) 23

d) 25

e) 27

Solución:Sea x el número de piso en que se encontraba Esther al entrar al ascensor, luego: x + 3 – 5 + 7 – 9 = 23 x – 4 = 23 

x = 27

3.- Un tanque está lleno hasta la tercera parte de su capacidad. Cuando se añaden cuatro galones de líquido al tanque, se llena hasta la mitad de su capacidad. La capacidad del tanque, en galones, es : a) 8

b) 12

c) 20 29

d) 24

e) 48

Solución:

Sea V la capacidad del tanque, luego, del dato se tiene que:

V V V V 3V - 2V � +4 - 4 �  4 3 2 2 3 6 �

V  4 V = 24 gal 6

30

REGLA DEL PRODUCTO NULO Enunciaremos, a continuación un teorema que se utiliza mucho en la resolución de ecuaciones por el “método de factorización”. Teorema : Para dos números reales cualesquiera a y b , si ab = 0 entonces, a = 0 ó b = 0 y , si a = 0 ó b = 0 , entonces, ab = 0 . Es decir, sean a, b  ,

si ab = 0  a = 0  b = 0

Demostración: 

i ) Supongamos que a ≠ 0  (a–1a)b = a–1 . 0



a - 1 ≠ 0, luego, si

ab = 0

1. b = 0  b = 0

... ( 1 )

Luego hemos demostrado que si ab = 0 � a ≠ 0  b = 0 Si b ≠ 0  b–1 ≠ 0 , luego si  a(b–1 . b) = 0



ab = 0

b–1. ab = b–1 . 0

 a.1=0  a=0

... ( 2 )

Luego hemos demostrado que si ab = 0 � b ≠ 0  a = 0 De ( 1 ) y ( 2 ): si ab = 0  a = 0  b = 0 ii) Si a = 0  b = 0 De ( I ) y ( II ), Nota:



ab = 0 . b = 0

ab = 0



a=0

... ( I )



ab = a .0 = 0



b = 0

... ( II )

Este teorema es usado para resolver ecuaciones cuadráticas por el método de la factorización y para ello debe de haber un cero en un miembro de la ecuación y un producto en el otro. Las soluciones se obtienen entonces igualando a 0 cada factor.

Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones: 1) x 2 - x - 12  0 Solución : Si: x 2 - x - 12  0



( x - 4) ( x + 3)  0 ,

x-4 0 � x+3 0

entonces , x  4 � x  -3



Las soluciones son – 3 y 4 . El conjunto solución es { –3 , 4 } 2) x 2 + x  20 Solución : 

x 2 + x  20

 x 2 + x - 20  0

x+5 0 � x-4 0





x- 5

Entonces, el conjunto solución es: C.S.  { -5, 4}

31

( x + 5) ( x - 4 )  0 

x4

3) 2x 2 - 11x  21 Solución : Si : 2x 2 - 11x  21  2x 2 - 11x - 21  0  (2x + 3)(x - 7)  0  2x + 3  0 � x - 7  0 

x-

3 �x7 2

�3 � - , 7�  C.S = � � � � �2 4) (x + 1)(x - 1)  5(x - 1) Solución : Si : (x + 1)(x - 1)  5(x - 1)  x 2 - 1  5x - 5  x 2 - 5x + 4  0   5)

(x - 1)(x - 4)  0

 x 1 � x  4

C.S.  { 1, 4 }

3x - x 2 x x+2 Solución: Si :

3x - x 2  x  3x - x 2  x(x + 2)  x 2 + 2x , x+2

 2x 2 - x  0 , x ≠ –2  x(2x - 1)  0 , x ≠ –2  x=0  x

� 1� 1 0, � , x �- 2  C.S. = � � � � 2 � � 2�

6) 2x 2 - 5x - 12  0 Solución:

Si : 2x 2 - 5x - 12  0  (2x + 3)(x - 4)  0

 2x + 3  0 � x - 4  0



x-

3 �x4 2

� 3 �  C.S.  �- , 4 � � 2 7) 4x 2 - 13x + 3  0 Solución: 

Si: 4x 2 - 13x + 3  0  (4x - 1)(x - 3)  0

4x – 1 = 0  x – 3 = 0

x



�1 �  C.S.  � , 3 � �4

8) x 2 - x  6 32

1 4



x=3

si x ≠ –2

Solución: Si x 2 - x  6   x–3=0



x+2=0

x 2 - x - 6  0  (x - 3)(x + 2)  0  x = 3  x = –2

 C.S.  { - 2, 3 } 9) x 4 - 13x 2 + 36  0 Solución: Si : x 4 - 13x 2 + 36  0 

(x 2 - 9)(x 2 - 4)  0

 (x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)  0  x = –3, x = 3, x = –2 y x = 2  C.S.  { - 3, -2, 2, 3 } 10) x 4 - 29x 2 + 100  0 Solución:

Si : x 4 - 29x 2 + 100  0 

( x 2 - 25) ( x 2 - 4)  0

 (x + 5) (x - 5) (x + 2) (x - 2) = 0  x = �5 , �2  C.S.  { - 5, - 2, 2, 5 } 11) x 4 + 5x 2 - 36  0 Solución:

Si : x 4 + 5x 2 - 36  0 

2 (x + 9)(x2 - 4)  0 123

(+)

 x 2 - 4  0  (x + 2)(x - 2)  0  x  � 2  C.S.  { - 2, 2 } 12) x 4 - 5x 2 - 36  0 Solución:

Si : x 4 - 5x 2 - 36  0



2 2 (x {- 9)(x + 4)  0

(+)

 x 2 - 9  0  (x + 3)(x - 3)  0  x  �3  C.S.  { - 3, 3 }

1.3.5 Teorema : " a,b ��, a2 = b2 si y sólo si a = – b

o

a=b

Demostración : Si a2 = b2 , entonces , a2 – b2 = 0 , luego, 33

(a + b)(a – b) = 0 � a + b = 0 Es decir , a2 = b2 �

o

a – b = 0 , entonces

a=–b

o

a=b

a=–b

o

a=b

Nota: Este teorema , también es utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas mediante el método de formar cuadrados perfectos o completar cuadrados, para lo cual tendrá presente que: i) (x + b)2 = x2 + 2bx + b2

ii) (x – b)2 = x2 – 2bx + b2

Ejemplos : Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1.- Resolver: x2 – 6x – 16 = 0 2 2 2 Solución: Si : x2 – 6x – 16 = 0 � x - 2(3)x + 3 -3 - 16  0

� (x – 3)2 = 25 = 52

�

x–3=–5

�

x=–2



x–3=5



x=8

2.- Resolver: x2 + 4x – 12 = 0 Solución: Si : x2 + 4x – 12 = 0 � � (x + 2)2 – 16 = 0

�

x 2 + 2(2)x + 22 -22 - 12  0

(x + 2)2 = 16 = 42

�

x+2=–4



x+2=4

�

x=–6



x=2

3.- Resolver :

4 4 - -8  0 x2 x

4 4 Solución : Si : 2 - - 8  0 x x 2

2 � 2 � � �x - 1� 9  3 � � � 2  -2  x

24 x

�

2

2 � �2 � � � ( 1) + 12 - 12 - 8  0 �x �- 2 �x � �� �� 2 - 1  -3 x

� x = –1



2 -1 3 x

1  x 2

1.4 ECUACIONES CUADRÁTICAS 34

1.4.1 Son expresiones algebraícas que tienen su origen en un polinomio de segundo grado, tal como: P(x) = ax2 + bx + c , a, b, c �� y a ≠ 0 La solución de esta ecuación son los valores de x tal que P(x) = 0. 1.4.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN: Los métodos utilizados para resolver ecuaciones de segundo grado son: I) Método de la Factorización. II) Método de Completar Cuadrados. III) Fórmula General de la Cuadrática. I) MÉTODO DE LA FACTORIZACIÓN .- Se emplea en el caso de que el polinomio cuadrático pueda escribirse como el producto de dos factores lineales. El conjunto de las soluciones se obtiene simplemente determinando el valor de x para el cual cada factor lineal se hace igual a cero. Ejemplo a) Resolver: 4x2 – 13x + 3 = 0 Solución : 4x2 – 13x + 3 = 0 �� (4x – 1)(x – 3) = 0 �� ��

4x – 1 = 0 ó x – 3 = 0 x = 1/4

x=3

ó

b) Resolver: x + 1 – 2x–1 = 0 Solución : x + 1 – 2x–1 = 0 ��

x + 1-

2 0 x

��

x2 + x - 2 0 x

�� x2 + x – 2 = 0 , x ≠ 0 �� (x + 2)(x – 1) = 0 �� x + 2 = 0 ��

x=–2

ó

x–1=0

ó

x=1

II) MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS.- Este método se basa en tener un trinomio cuadrado perfecto, tal como: i) x2 + 2bx + b2 = (x + b)2

ii) x2 – 2bx + b2 = (x – b)2

35

es decir, para obtener un binomio cuadrado, como segundo sumando de éste, se coloca la mitad del coeficiente del término lineal del trinomio dado y luego se suma y resta el cuadrado de esta mitad, considerando además, que el coeficiente del primer término del trinomio sea la unidad. Ejemplos : En los siguientes ejercicios, utilice el método de completar cuadrados para resolver las ecuaciones cuadráticas, utilizando el teorema T: 1.3.5 Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x 2 - 4x  21 Solución: Si: x 2 - 4x  21

... ( I )

4  2 = 2  22 es la cantidad a agregar,  (x - 2)2  21 + 22  25

entonces, de ( I ) : x 2 - 4x + 22 - 22  21 2 2  (x - 2)  5  x – 2 = 5

x=7





x – 2 = –5



x = –3

2) x 2 - 2x - 8  0 Solución: Si :

2 2 2 x 2 - 2x - 8  0  x - 2x + 1 - 1 - 8  0

2  2 = 1  12 2 2  (x - 1)  9  3

es la cantidad a agregar



x –1 = 3



x – 1 = –3



x=4



x=–2

3) x 2 - 3x + 2  0 Solución: Si :

x 2 - 3x + 2  0

... ( I )

2

3 ��� ( )2 � � �3 � � es la cantidad a agregar. 2 �2 �

2

 De (I) :

2

�3 � �3 � x 2 - 3x + � �- � �+ 2  0 �2 � �2 �

36

2



� 3� 9 �x - 2 �- 4 + 2  0 � �

2

2

2

1 � 3� 9 � 3 � �1 �  �x - �  - 2   �x - �  � � 4 � 2� 4 � 2 � �2 �  x-

3 1  2 2



x-

3 1 2 2





x=2

x=1

4) x 2 + x - 1  0 2

Solución : Si :

x + x -1 0 2

2

�1 � �1 �  x + x + � �- � �- 1  0 �2 � �2 � 2

2

( )2 � �1 � 1 ��� �2 � 2 �� 2

2 2 5 �5� � 1� 1 � 1� 1  �x + �- - 1  0  �x + �  + 1   � � � 4 � � 2� 4 � 2� 4 �2 �

 x+

1 5  2 2



x+

1 5 2 2

 x

-1 + 5 2



x

-1 - 5 2

5) Completar cuadrados en el polinomio P(x) de segundo grado. Solución : 2 2 �2 c� �2 b �b � �b � �b � c � x + x + �= a � x + 2 � �x + � �- � �+ � P(x) = ax + bx + c = a � a� � a �2a � �2a � �2a � a � �

2

2 2 � � b � b - 4ac � x + P(x) = a � � � 2a � 4a2 � � � �

... ( I )

Esta última expresión puede expresarse como: � 2 � b � � b - 4ac � a x + � P(x) = � � � � 2a � � � 2a �

2 �� �� �� ��

� � � b � b b2 - 4ac � b2 - 4ac � � + �x + � �x + � = a� � 2a � � 2a � 2a 2a � � � � � � � � � - b� xP(x) = a � � � �

�� -b + b2 - 4ac � b2 - 4ac � � �x � � � � 2a 2a � �� � �

III) FÓRMULA GENERAL DE LA CUADRÁTICA.37

… ( II )

ECUACIÓN CUADRÁTICA: ax2 + bx + c = 0 1.4.3 Discriminante: De ( II ) apreciamos que un polinomio cuadrático con coeficientes reales es factorizable sobre el campo de los números reales siempre que b2 – 4ac > 0. Es decir, la naturaleza de la factorización la b 2 – 4ac, que recibe el nombre de

determinamos de la cantidad

discriminante del polinomio cuadrático. ∆ = b2 – 4ac

:

Discriminante

1.4.4 Solución de la Ecuación Cuadrática: Si hacemos: P(x) = 0, lográndose así una ecuación cuadrática, las raíces de ax2 + bx + c = 0 (según II), serían: x´=

b2 - 4ac , 2a

- b-

es decir, si ax2 + bx + c = 0

- b + b2 - 4ac x´´= 2a ��

x=

- b � b 2 - 4ac 2a

... (1.4.4A)

En el caso que el coeficiente del término lineal sea par , es decir b = 2p, entonces, de 1.4.4A : x=

- 2p � (- 2p)2 - 4ac - 2p � 4(p2 - ac) - 2p �2 p 2 - ac = = 2a 2a 2a

Es decir, si: ax + 2px + c = 0 � 2

- p � p2 - ac x= a

... (1.4.4B)

1.4.5 Propiedades de las Raíces de la Ecuación Cuadrática: ax2 + bx + c = 0 i) Suma de las raíces x´+x´´=

- b-

* Conclusión :

b2 - 4ac - b + b 2 - 4ac b + =2a 2a a

�

x´+x´´= -

b a

La suma de las raíces es igual a menos el cociente del

coeficiente del término lineal entre el coeficiente del término cuadrático. Ejemplo: Calcular el valor de k para que las sumas de las raíces de la ecuación 2kx2 = (12k + 1)x +12 sea igual a 7. (UNI: Sexta práctica. Lima, 28-09-1979).

38

Solución : Como : 2kx2 – (12k + 1)x –12 = 0 � a = 2k , b = – (12k + 1) � x´+ x´´ -

-(12k + 1) 12k + 1  2k 2k

... ( 1 )

Por dato: x´ + x´´ = 7

... ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ): 7=

12k +1 � 14k = 12k +1 �� 2k = 1 2k

��

k=

1 2

ii) Producto de las raíces. � - b� x´. x´´ = � � � � =

(

� b2 - 4ac � - b + b 2 - 4ac � � � � (- b)2 b 2 - 4ac � � � � � = � � � � 2a 2a � � � � � 4a2

b2 - (b2 - 4ac) 4ac c = 2 = 4a2 4a a

�

x´.x´´=

)

2

c a

* Conclusión : El producto de las raíces es igual al cociente del término independiente entre el coeficiente del término cuadrático Ejemplos: 1) Demostrar que las raíces de la ecuación ax2 + bx + a = 0 son recíprocas una de otra. Solución : Si las raíces son recíprocas, luego: x´ = 1/x´´ ó x´. x´´ = 1 Si ax2 + bx + a = 0 � x´. x´´ =

c a  1 a a

�

x´. x´´ = 1

2) Una de las raíces de la ecuación ax2 – bx + 2a = 0 es 4. ¿Cuál es la otra raíz? Solución : Sea una de las raíces dadas, tal como x´ = 4. Por propiedad: Si ax2 – bx + 2a = 0 � ó x´. x´´ =

2a 2 2 � = 2 � x´´= = a x´ 4

1.4.6 Naturaleza de las Raíces de la Ecuación Cuadrática:

39

x´´=

1 2

i) ∆ > 0 : se obtienen 2 raíces reales y diferentes. ii) ∆ = 0 : se obtienen 2 raíces reales e iguales, o una raíz de multiplicidad doble. Iii) ∆ < 0 : se obtienen 2 raíces complejas conjugadas. 1.4.7 Formación de la ecuación a partir de sus raíces: A)

Se plantea el producto de 2 binomios que tienen como primer término la incógnita siendo los segundos términos las raíces con signo cambiado. Este producto así obtenido se iguala a cero.

B)

Se calcula la suma “S” y el producto “p” de las raíces y se reemplaza en la siguiente ecuación normalizada: x2 – Sx + p = 0

3.- Formar la ecuación de segundo grado que tienen por raíces: y

x´= 1+ 2

x´´ = 1-

2

Solución : Calcularemos “S” y “p” S = x´+ x´´ = 1 +

2 +1–

P = x´. x´´ = (1 +

2 )(1 –

�

2 =2

De 1.4.6

2 ) = 1 – 2 = –1

De 1.4.6

x2 – 2x – 1 = 0

4.- La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c  0

es :

2

�b � �a � B) � �- 2 � � �a � �c �

2

�b � �a � E) � �+ 2 � � �a � �c �

�a � �a � A) � �- 2 � � �b � �c � �b � �c � D) � �- 2 � � �a � �a �

2

2

2

2

�a � �a � C) � �+ 2 � � �b � �c �

2

Solución: Sean: x1 y x2 las raíces de la ecuación : ax 2 + bx + c  0

... (I)

2 2 Se pide determinar: S  x1 + x 2  S  ( x1 + x 2 ) - 2x1x 2 2

De (I), por propiedad, podemos establecer que: ii) x1x 2 

i) x1 + x 2  -

... (1) b a

y

c luego, al reemplazar estas expresiones en (1 ), logramos que : a 40

2

� b � �c � S� - �- 2 � �  � a � �a �

2

�b � �c � S  � �- 2 � � �a � �a �

5.- La suma de los cubos de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 es : 3

A)

bc �b � - 3� � 2 a �a �

D)

3bc �b � + � a2 � �a �

3

B)

bc �b � + 3� � 2 a �a �

E)

bc �b � - � a2 � �a �

3

3

C)

3bc �b � - � a2 � �a �

3

Solución: Sean: x1 y x2 las raíces de la ecuación : ax 2 + bx + c  0

(

... (I)

2 3 3 Se pide determinar: S  x1 + x 2  S  ( x1 + x 2 ) (x1 + x 2 ) - 3x1x 2

De ( I ) : i) x1 + x 2  -

b a

ii) x1x 2 

y

)

c a

... (II) ... (1)

2 3 3 � b� � �b � � b �� �c � �bc � 3bc �b � S  3  + 3 � � �� � � � � 2 � S  2 - � � (1) en (II): � a �� � a � �a � � �a � �a � � �� a �a � � �

6.- Si r y s son las raíces de la ecuación : ax2 + bx + c = 0 , el valor de : 1 1 + 2 es : 2 r s A) b2 - 4ac

B)

b2 - 4ac 2a

C)

b2 - 4ac c2

D)

b2 - 2ac c2

E) b2 + 4ac

Solución : Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Si las raíces de la ecuación (I) son r y s i) r + s = -

b a

…(1)

y

... (I)

entonces, ii) r s 

c a

(r + s)2 - 2r s 1 1 r 2 + s2 se pide el valor de : V  2 + 2  2 2 = (r s)2 r s r s 2

� b � �c � b2 - 2ac �- a �- 2 �a � b2 - 2ac � � �� a2 (1) y (2) en (II) : V  =  V  2 c2 c2 �c � �a � a2 ��

41

... (2) ... (II)

7.- Si: x 2 + px + q  0 determinar las raíces de la ecuación, para que las raíces sean precisamente “ p” y “q”, dé el valor de A) – 2

B) – 1

Solución :

C) –

q . p

1 2

D)

1 2

E) 2

x 2 + px + q  0

Dada la ecuación

... ( I )

A) Método I: Si las raíces de la ecuación dada en (I) son x = p y x = q, luego, la ecuación es : (x - p)(x - q)  0 2  x - (p + q)x + pq  0

... ( II )

De (I) y (II) : i) – (p + q) = p De (2),

... ( 1 )

y

ii) pq = q

si :

pq = q



q=0



si :

q=0



De ( 2 ) :

p

si :

p=1



De ( 2 ) :

q

p=1

De (1) , Si q = 0

 –(p + 0) = p  –p = p  2p = 0 

Luego, p = q = 0



De (1) , si

De (I): x 2 + 0.x + 0  0

p=0

 x2 = 0  x = 0

p = 1  – (1 + q) = 1  1 + q = –1  q = –2

Luego, para p = 1 y 

... ( 2 )

( x + 2 ) ( x - 1)  0

q = –2,

De (I): x 2 + x - 2  0

x1  - 2  q



y

x2  1  p

B) Método II : Si : x 2 + px + q  0 Por dato : 

x1  q � x 2  p

i) x1 + x 2  ii) x1x 2 

q 1

8.- Dada la ecuación

p 1



p + q = –p



pq = q

 

q = –2p p=1

…()

y q = –2

ax 2 + bx + c  0 , entonces la ecuación que tenga por

soluciones los inversos aditivos de la ecuación es : A) ax2 + bx + c = 0

B) ax2 – bx + c = 0

D) ax2 – bx – c = 0

E) cx2 + ax + c = 0

42

C) ax2 + bx – c = 0

Solución: Dada la ecuación ax2 + bx + c = 0

... ( I ) b a

Si sus raíces son x1 y x2 , entonces: i ) x1 + x 2  se busca otra ecuación cuyas raíces sean x´

y

y ii) x1 x 2 

 -x1 Además, por dato : x�

� x�  -x 2

y

si

x´´ , entonces , la

� � x 2 - ( x� + x� x� 0 ) x + x�

ecuación pedida será:

c a

... (II) , luego :

�b� � + x�  -(x1 + x 2 )  - � - � a) x� �a�



�b � � x� + x� �� �a �

... ( )

c a



� x� x� 

c a

... ()

� � x�  ( - x1 ) � ( -x 2 )  x1x 2  b) x� 2 ( ) y () en (II) : x -

b c x+ 0 a a



ax2 – bx + c = 0

9.- Formar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de la suma y diferencia de las raíces de : 2x 2 + 2(m + n)x + m2 + n2  0 Solución : Dada la ecuación: 2x 2 + 2(m + n)x + m2 + n2  0

... (I)

Si sus raíces son x1 y x2 , entonces : i) x1 + x2 = -

2(m + n) 2

�

x1 + x2 = – (m + n)

2 2 ii) x1x2 = m + n 2

… (1) ... (2)

Si se pide una ecuación cuadrática, cuyas raíces son x´ y x´´ , entonces, la ecuación será: x2 – (x´ + x´´)x + x´ x´´ = 0 Donde, por dato:

... (II)

a) x´ = (x1 + x2)2

... ()

b) x´´ = (x1 – x2)2

… ()

2 2 Entonces: iii) x´ + x´´= (x1+x2)2 + (x1 – x2)2 = 2( x1 + x 2 ) = 2(x1+x2)2 – 4x1x2 2 2 De (1) y (2): x´ + x´´= 2[ –(m+n)]2 – 4. m + n = 2(m2+2mn+n2) – 2(m2+n2) 2

� x´ + x´´ = 4mn 2

� [2(m + n)]2 - 4(2)(m2 + n2 ) � iv) x´x´´ = (x1 + x2) (x1 – x2) = [ –(m+n)] . � � � � 2 � � 2

2

2

x´x´´ = (m + n)2 . (2mn – m2 – n2) = (m + n)2 (–1)(m2 – 2mn + n2) 43

= (–1)(m + n)2(m – n)2 = (–1)(m2 – n2)2 Reemplazando en (II), resulta: x2 – 4mnx + (–1)(m2 – n2)2 = 0 �

x2 – 4mnx – (m2 – n2)2 = 0

10.- Un profesor de Álgebra dicta una ecuación de segundo grado a sus alumnos. Uno de ellos se equivoca en el término independiente y obtiene como soluciones 9 y 3. Otro alumno se equivoca en el coeficiente del término de primer grado y obtiene como soluciones – 7 y – 5 ¿Cuál fue la ecuación dictada?. Solución : Resolveremos, esta ecuación de dos formas distintas. A) Método I : Por teoría sabemos que si x  x1 y x  x 2 son las raíces de una ecuación de segundo grado, entonces, esta ecuación es : x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

... ( I )

i) Si x1 = 9 y x2 = 3 , entonces, de ( I ) :

x2 – (9 + 3)x + 9.3 = 0

 x 2 - 12x + 27  0 como el primer alumno se equivoca en el término independiente, entonces, parte de la ecuación correcta es : x2 – 12x

... ( 1 )

ii) Si x1 = –7 y x2 = –5, entonces, de (I) : x2 – (–7 –5)x + (–7)(–5) = 0 

x 2 + 12x + 35  0 como el otro alumno se equivoca en el término de primer grado, entonces, parte de la ecuación correcta es : x2 + 35

... ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ) , entonces , la ecuación dictada fue: x 2 - 12x + 35  0 B) Método II : Sea la ecuación dictada x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

... ( I )

i) El primer alumno se equivoca en el término independiente, entonces , el término lineal es correcto y si x1 + x2 = 9 + 3 = 12 

x1 + x2 = 12

... ( 1 )

ii) El otro alumno se equivoca en el término de primer grado, entonces, el término constante es correcto x1x2 = (–7)(–5) = 35  ( 1 ) y ( 2 ) en ( I ) :

x1x2 = 35

... ( 2 )

x 2 - 12x + 35  0

es la ecuación pedida.

11.- Dar el menor valor de “ x” en la ecuación siguiente:

( x + 1) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 )  -3 A)

1 - 21 2

B)

1 - 13 2

C)

1 - 21 4 44

D)

1 + 13 2

E)

1 + 21 4

Solución : Ordenando convenientemente el producto indicado en la

( x + 1) ( x - 2 )( x + 2 ) ( x - 3 )  -3

ecuación dada logramos que :

(x

)(

)

- x - 2 x 2 - x - 6  -3

... ( I )

Hagamos :

x2 - x  y

... ( 1 )

( 1 ) en ( I ) :

( y - 2 ) ( y - 6 )  -3



2

2  y - 8y + 15  0

y 2 - 8y + 12  -3



( y - 3) ( y - 5)  0





y = 3, y = 5

La menor raíz , y también la mayor raíz , la obtendremos con el mayor valor obtenido para “ y ” , es decir , cuando y = 5, entonces de ( 1 ) : x2 - x  y  5



2

� 1 � 21  �x - �  � 2� 4



x-

Si : x - x  y  3 2



x-

2  x -x+

1 13 � 2 2

1 21 � 2 2



x

1 21 � 2 2

2

1 1 3+ 4 4 x



1 1  5+ 4 4

1 + 21 2

x

luego, el mayor valor de x es :

x2 - x +



x2 - x - 5  0



� 1 � 13 �x - 2 �  4 � �

1 � 13 2

2

�x + 2 � �x + 2 � 12.- Resolver : 5 � -3 � � �- 2  0 �x - 2 � �x - 2 � A) -

7 6

B) -

6 7

... ( I )

C) 1

Solución : Hagamos el cambio de variable siguiente:

D)

6 7

E)

x+2 t x-2

7 6

... ( 1 )

Al remplazar la expresión ( 1 ) en la ecuación ( I ) obtenemos : 5t 2 - 3t - 2  0

... (II)



( t - 1) ( 5t + 2 )  0

luego de ( III) , obtenemos las soluciones t  1 � t  Si :

i) t = 1  De ( 1 ) :

2 5

x+2 1  x+2  x-2 x-2

45

... (III)



x �f

ii) t  -

2 5



De ( 1 ) :

7x  - 6



Solución :

Sea:

x-



6 7

x t x -1

... ( I )



x  t2 x -1



... ( 1 )

t 2 - 6t - 40  0

( 1 ) y ( 2 ) en ( I ) :

... ( 2 )

( t - 10 ) ( t + 4 )  0

t  10 � t  - 4 , pero de ( 1 ) : t  0 x  t  10 x -1

luego, de ( 1 ) , si :



5x + 10  -2x + 4



x x -6 - 40  0 x -1 x -1

13.- Resolver :



x+2 2 x-2 5

x  100x - 100



 99x  100

x  100 x -1

x



100 99

14.- ¿Que valor debe tener “c”, en la ecuación : x 2 - 8x + c  0 para que una raíz sea inversa de la otra ? A) –1

B) – 0,125

C) 0,125

D) 1

Dada la ecuación : x 2 - 8x + c  0

Solución :

E) 8 ... ( I )

Si x1 y x 2 son raíces de la ecuación ( I ) y por el enunciado del problema: x1 

1 x2

De ( I ) :



x1x 2  1

x1x 2 

c 1



... ( 1 ) x1x 2  c

De (1 ) y ( 2 ) , por propiedad transitiva :

15.- t 2 / 3 - 3t1/ 3 - 10  0 Solución:

46

... ( 2 ) c=1

( )

La ecuación podemos expresarla como : t1/ 3

2

- 3t1/ 3 - 10  0

t1/ 3  x

Hagamos el cambio variable siguiente:

... ( I ) ... ( 1 )

Al remplazar ( 1 ) en ( I ) , se logra la ecuación : x 2 - 3x - 10  0 

( x - 5) ( x + 2)  0 De ( 1 ) :

16.-

x  5 � x  -2

 

t1/ 3  5

t  125 � t1/ 3  -2



t=–8

1 1 7 +  x x - 1 12 C.V.A. = � – { 0 , 1 }

Solución : Si :

1 1 7 +  x x - 1 12



x - 1+ x 7  x ( x - 1) 12

 24x - 12  7x 2 - 7x 

x



12 ( 2x - 1)  7x ( x - 1)

 7x 2 - 31x + 12  0  3 7



x=4

47

( 7x - 3 ) ( x - 4 )  0

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Resolver, aplicando el Teorema del producto nulo, las siguientes ecuaciones: a) (2x – 1) (2x + 1) = 0

b) (2x – 3)(3x – 2) = 0

c) (4x – 3)(3x – 2) = 0

d) (5x – 2)(2x + 3) = 0

e) x(x – 1)(x + 2) = 0

f) x(x + 2)(x – 3) = 0

g) (y – 4)(2y + 5)(y + 6) = 0

h) (x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0

2.- Factorizando, resolver las ecuaciones siguientes: a) x2 + 6x + 8 = 0

b) x2 + 7x + 10 = 0

c) x2 – 4x + 5 = 0

d) x2 + 2x – 8 = 0

e) x2 – 3x – 28 = 0

f) t2 – 6t = 16

g) x4 – x3 – 2x2 = 0

h) 5x2 + 13x + 6 = 0

i) 3x2 – 11x + 6 = 0

j) 3x2 + x – 2 = 0

k) 5x2 – 8x + 3 = 0

l) 2r2 – 5r – 12 = 0

m) 2m2 + 2m – 3 = 0

n) 6(t – 3) = (t – 3)(t – 2)

3.- Completando cuadrados, resolver las ecuaciones: a) x2 – 2x – 1 = 0

b) x2 + 2x – 4 = 0

c) x2 – 6x + 7 = 0

d) x2 + 2 5 x + 5 = 0

e) x2 – 0.1x + 0.05 = 0

f) x2 – x – 5 = 0

g) x2 + 6x + 7 = 0

h) x2 + 2x + 2 = 0

i) 2x2 – 6x – 1 = 0 4.- Hallar el conjunto de las soluciones de la ecuación dada: a) – 3x2 + 4x – 3 = 0

b) 5x2 + 3x – 2 = 0

c)

x2 + 5 – 6x–2 = 0

d) x2 + 2x + 8 = 0

e)

2x2 – 3x + 1 = 0

f) 3y3 – 5y2 – 2y = 0

5 1 + 0 2x + 3 x - 6 4 1 1 +  2 i) x + 5 x - 5 x - 25

14 1 1 x+2 x-4 4 2 3  j) 2 x -1 x -1 x +1

g)

k)

h)

3x + 2 4x - 5 13 - 8x 2 1 2x + 7 2x - 7 4x 2 - 49

48

5.- Determinar el valor de m de modo que la ecuación: 2ax + 4 3ax + 2 +  2a + 2 , se reduzca a una de primer grado y dar como x-2 x+2 resultado el valor de

17x + 3m . -11

6.- Hallar las raíces de 2x2 + ax + c = 0 , si se sabe que el producto de las raíces es 2. 7.- ¿Es siempre posible poner una ecuación de la forma x 4+ax3+bx2+cx+d = 0 en la forma (x2 + mx)2 + p(x2 + mx) + d = 0 ? 8.- Dar la suma de los cuadrados de las raíces en la siguiente ecuación: x4 – 4x3 + 6x2 – 4x – 3 = 0 (Usar el método del problema N° 7) � p2 � 2 p2 1 q + x + p(1 + q)x + q(q 1) +  0 , tiene las raíces 9.- Si la ecuación: � � 2� 2 � iguales, calcular: E 

p2 . q

10.- Un profesor de la UNI, escribe en la pizarra una ecuación de segundo grado. Por deficiencias y la distancia de la pizarra, uno de los alumnos se equivoca en el término independiente y obtiene las soluciones 7 y 3; otro alumno se equivoca en el coeficiente del término lineal y obtiene por raíces – 8 y – 2. ¿Cuál fue la ecuación escrita? Dar la solución. 11.- En la siguiente ecuación x2 + px + q = 0, determinar las raíces para que las raíces sean precisamente p y q. 12.- Dadas las ecuaciones:

x2 – 5x + m = 0

... ( a )

x2 – 7x + 2m = 0

... ( b )

hallar el valor de “m” sabiendo que una raíz de “ b “ es el doble de una raíz de “ a “. 13.- Formar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de la suma y diferencia de las raíces de: 2x2 + 2(m + n)x + m2 + n2 = 0. 14.- Si  y  son las raíces de ax2 + bx + c = 0, formar la ecuación cuyas raíces sean 2 + 2 y - + - . 15.- Las raíces de ax2 + bx + c = 0, están en la relación m : n.

49

Calcular : E 

m n b + + . n m a

16.- ¿Qué relación debe existir entre los parámetros “p” y “q” para que la expresión:

x 2 + px + q , sea igual a 2 y “x”. x 2 + qx + p

2 17.- Hallar el mayor valor positivo de la ecuación: x +

1 1 - a2 - 2  0 . 2 x a

18.- Dar el menor valor de “x” en la ecuación siguiente: (x + 1)(x + 2)(x – 3)(x – 2) = 5 19.- Si x1 , x2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 . Halle los números b tal que la ecuación cuyas raíces son: (x 1 + h) y (x2 + h) carecen de término lineal.

50

DESIGUALDADES E INECUACIONES 1.- OBJETIVOS Después de la clase el alumno será capaz de: 1.- Explicar la metodología a seguir en el proceso de solución de inecuaciones. 2.- Identificar las principales propiedades de las desigualdades. 3.- Determinar la solución de inecuaciones simples. 4.- Explicar el claro carácter práctico de las desigualdades. 5.- Formular inecuaciones de primer y segundo grado a fin de resolver problemas de aplicaciones de índole práctico. 6.- Expresar sus soluciones en términos de intervalos. 2.- INTRODUCCIÓN Anteriormente hemos visto que para dos números cualesquiera , en el conjunto �, existen relaciones de orden; acostumbrándose designar relaciones con el símbolo “ < ”. Como ejemplo podemos citar la ley de tricotomía de los números, que para dos elementos cualesquiera a, b ��, una y sólo una de las siguientes relaciones es válida: i) a < b

ii) a = b

iii) a > b

Una expresión de la forma: a < b , b > a , "a,b ��, se llama desigualdad o inecuación. Las desigualdades son quizás tan importantes en las aplicaciones de las matemáticas como las ecuaciones. En efecto, ya que por ejemplo en la medición de los elementos de nuestro mundo físico lo que se obtiene no es una medición absolutamente exacta, lo cual es casi imposible; dependiendo dicha precisión de los instrumentos de medida de que se dispone y tales instrumentos pueden hacerse solamente dentro de ciertos rangos especificados, dependiendo del grado de exactitud que se requiera, nunca exactamente. Como por ejemplo, la medida de la deformación de una viga, la velocidad de desintegración de los isótopos del carbono, la dificultad (resistencia) al paso de la corriente eléctrica,

51

que ofrece un dispositivo

electrónico o eléctrico, también , por ejemplo, en los sistemas operativos, se estudia cuál es el rango de variación de una cierta producción, pero con tal de seguir obteniéndose un resultado óptimo, etc. También, posteriormente, veremos que las desigualdades son esenciales para aclarar conceptos fundamentales tales como el de límite, que es la base del cálculo y del desarrollo de gran parte del presente texto. Es por eso necesario sentar las bases, mediante ciertas definiciones y teoremas, para un buen entendimiento básico de las desigualdades. Además del símbolo < conviene usar > , � , y < , �. a > b se lee “a es mayor que b” y tiene el mismo significado que b < a; a � b significa “a es mayor que b ó a es igual a b”; y “a � b “ significa “a es menor que ó igual a b” 1.5.1 Definición: Si a, b ��, decimos a < b ssi b > a. 1.5.2 Definición: Un número real “a” es positivo si a > 0. Un número real “a” es negativo si a < 0. Nota: Si el símbolo que representa a un número está precedido del signo menos, tal como – a, el estudiante no podrá asumir que dicho número es negativo. Por ejemplo, si a = – 0.5 , entonces – a = – ( – 0.5) = 0.5 , es un número positivo. 1.5.3 Definición: Se dice que dos números tienen el mismo signo si ambos son positivos ó ambos negativos; y que tienen signos diferentes si uno es positivo y el otro es negativo. 1.5.4 Definición: Si a, b ��, entonces: a) a > b significa que a – b es un número positivo p, y decimos que “ a es mayor que b” . Como b��, entonces – b ��, a > b � a + (– b) > b + (– b) (A: 03) �

p=a–b> 0

b) a < b significa que a – b es un número negativo q, y decimos que “a es menor que b”. Como b��, luego – b��, si a < b � a + (– b) < b + (– b) (A: 03) 52

�

q = a – b < 0.

Por ejemplo:

1 � 4� 1 4 - � - � >�= 1 > 0 , puesto que � � 5� � 5 � 5 5

y

– 4 < – 2 , puesto que – 4 – (– 2) = – 2 < 0 . Podemos observar, que los signos de desigualdad, > y < , apuntan siempre hacia el número menor. Por ejemplo:

7 > 2 , 1 < 4.

1.5.5 Teorema: (La propiedad Transitiva de las Desigualdades). " a, b, c ��, si a > b y b > c � a > c Demostración: a > b � a - b = p > 0� � �+ : b > c � b - c = q > 0� �

a–b+b–c=p+q=r> 0

� a–c> 0 � a> c

(T: 1.5.4)

1.5.6 Teorema: " a, b, c ��, a < b � a + c < b + c Demostración: Si a < b � a – b = q < 0, un número negativo. Además: a – b = a + c – (b + c) = q < 0

(T: 1.5.4b)

� a+c
* Conclusión: Podemos sumar (restar) el mismo número real “c” a (de) ambos miembros de una desigualdad y conservar el sentido de la desigualdad. Debe notarse que no existe ninguna restricción a c, puesto que puede ser positivo o negativo. 1.5.7 Teorema: Si a < b y c < d,

�

a+c < b+d

Demostración: Lo haremos de dos maneras: A) Si a < b � a + c < b + c c < d � b+c < b+d

... (1)

(T: 1.5.6)

... (2)

(T: 1.5.6)

De ( 1 ) y ( 2 ) : a + c < b + d B) Si a < b

�

a–b=p <0

c < d � c–d=q < 0

(T: 1.5.5) ... (1)

(T: 1.5.4b)

... (2)

(T: 1.5.4b)

(1) + (2) : a + c – ( b + d) = p + q < 0 � a + c < b + d

(T: 1.5.4b)

* Conclusión: Podemos sumar miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, obteniéndose otra desigualdad del mismo sentido. 1.5.8 Teorema: Si a < b y c > 0,

� ac < bc , a, b, c ��,

53

Demostración: Si a < b � b – a = p > 0 � (b – a)c = pc >0 �

bc – ac > 0

bc > ac

��

(D: 1.5.3)

ac < bc

* Conclusión: Se puede multiplicar a ambos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo sin cambiar el sentido de la desigualdad. > < 1.5.9 Teorema: Si a < b,

entonces – a > – b.

Demostración: Si a < b �� a + (– (a + b) < b + (– ( a + b)

(T: 1.5.6)

� a + (– a) + (– b) < b + (– b) + (– a)

(A: A3)

� 0 + ( – b) < 0 + ( – a)

(A: A5)

�– b < – a

(A: A4)

�� – a > – b

� a < b �� – a > – b * Conclusión: Si cambiamos de signo a ambos miembros de una desigualdad, el sentido se invierte. 1.5.10 Teorema: Si a < b, y c < 0 � ac > bc Demostración: Si c < 0

� – c > 0 � a(–c) < b(–c)

– ac < – bc

�

(T: 1.5.8)

– (– ac) > – (– bc) � ac > bc

(T: 1.5.9)

* Conclusión: Si a ambos miembros de una desigualdad las multiplicamos por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. 1.5.11 Teorema: Si a ≠ 0 ,

a2 > 0 y a = 0 �� a2 = 0

Demostración: Si a ≠ 0, por tricotomía, a < 0 ó a > 0. i) Si a < 0 � a . a > 0 . a (T: 1.5.10) ii) Si a > 0 � a . a > 0 . a (T: 1.5.8) iii) Si a = 0 � a . a = 0 . a

�

�

a2 = 0

54

}

� a2 > 0 a2 > 0

� a2 > 0

... (1)

... (2)

De ( 1 ) y ( 2 ), se logra que "a ��, a2 ≥ 0, resultado que frecuentemen- te se aplica en el análisis, por eso lo enunciaremos como el teorema siguiente. 1.5.12 Teorema: "a ��, a2 ≥ 0 y "a �� – { 0 } , a2 > 0 1.5.13 Teorema: Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d � ac < bd Demostración: Si 0 < a < b � b > 0 y c < d Si 0 < c < d � c ≥ 0

�

� bc < bd

c=0 ó c>0

... (1)

(T: 1.5.8)

... (2)

i) Si c = 0, tendremos que demostrar que a . 0 < bd � 0 < bd , lo cual es cierto porque b > 0 y d > 0 � bd > 0

��

0 < bd

ii) Si c > 0, como 0 ≤ a < b � 0 = 0 . c ≤ a . c De ( 1 ) y ( 2 ) : 0 ≤ ac < bc < bd � ac < bd * Conclusión: Si todos los miembros de dos desigualdades del mismo sentido son positivos, y las desigualdades se multiplican miembro a miembro, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. Escolio: No se puede dividir desigualdades de un mismo sentido, ya que el resultado no se puede predecir. Es decir, si: 0
0
Ejemplo: Si

�

0

a c

b d

2<4

3<6

1<6

1<2

_____________

_____________

2/1 < 4/6

2 < 5/2 _______________

3/1 < 6/2

2 rel="nofollow"> 2/3 1.5.14 Teorema: Si a ≠ 0

4 < 10

4/2 < 10 / (5/2)

3=3 �

2<4

a–1 ≠ 0

Demostración: Procediendo por el absurdo, si a–1 = 0

�

es falso ya que: 1 = 1 2 > 0 (T: 1.5.11)

� 1>0

a–1. a = 0 . a

� 1 = 0, lo cual

� 1 ≠ 0 lo que nos lleva

a una contradicción \ a–1 ≠ 0 1.5.14 Teorema:

I) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab > 0. II) Si a y b tienen diferentes signo, entonces ab < 0.

55

Demostración: I) Si a y b tienen el mismo signo, puede ocurrir que: � a.b > 0.b

i) a > 0 y b > 0

�

(T: 1.5.8 ó T: 1.5.13)

ab > 0

ii) Si b < 0 y a < 0 � – b > 0, además a < 0 � a(– b) < 0.(– b) � – ab < 0 � – (– ab) > 0 � ab > 0

(T: 1.5.8) (T: 1.5.9)

II) Si a y b son de diferentes signos, puede ocurrir que: i) Si a > 0 y b< 0

�

b.a < 0.a �

ii) Si a < 0 y b > 0

�

(T: 1.5.8)

ab < 0 a.b < 0.b

�

(T: 1.5.8)

ab < 0

NOTA: Esta es la regla de los signos para la multiplicación. 1.5.16 Teorema: A) Si ab > 0 �� [ (a > 0

b > 0)

(a < 0

b < 0)]

B) Si ab < 0 �� [ (a > 0

b < 0)

(a < 0

b > 0)]

Demostración: A) Si ab > 0 i) Si a > 0, como ab > 0 � a.ab > a.0 � a2b > 0, y como a2 > 0 , "a ��, � b > 0 \

ab > 0

�

a>0

si \

� a2b < 0 �

b<0

a<0

�

b<0

ab > 0

�

a<0

como a2 > 0

(T: 1.5.15)

b>0

ii) Si a < 0, luego, –a > 0 y como ab > 0, –a.ab > (– a).0 – a2.b > 0

(T: 1.5.8)

(T: 1.5.8) (T: 1.5.9) (T: 1.5.15)

b<0

B) Si ab < 0 i) Supongamos que: a > 0 � a.ab < a.0 � a2.b < 0 como: a2 > 0

�

b<0

\

�

a>0

ab < 0

(T: 1.5.15) b<0

ii) Sea a < 0 � – a > 0 � (– a)ab < (– a).0 � a2(– b) < 0 como: a2 > 0 \

ab < 0

� –b<0 �

b>0

�

a<0

56

(T: 1.5.15) (T: 1.5.9) b>0

NOTA: La demostración en sentido contrario está demostrado en el teorema anterior. 1.5.17 Teorema: a–1 tiene el mismo signo que a. i) Si a > 0 � a–1 > 0

ii) Si a < 0 � a–1 < 0

Demostración: i) Si a > 0

� a = a.1 = a.a.a–1 = a2. a–1 > 0 � (a2 > 0

a–1 > 0)

(T: 1.5.16A)

si a > 0 � a–1 > 0 ii) Si a < 0 , como a = a2a–1< 0 �� a2 > 0 � a–1 < 0

(T: 1.5.16B)

� si a < 0 � a–1 < 0

1.5.18 Teorema: A)

a >0 b

�� [(a > 0 � b > 0) � (a < 0 � b < 0)]

B)

a <0 b

�� [(a > 0 � b < 0) � (a < 0 � b > 0)]

Demostración : A) Si Si B) Si Si

a > 0 � a.b–1> 0 �� (a > 0 � b–1 > 0) � (a < 0 � b–1< 0) b a > 0 �� (a > 0 � b > 0) � (a < 0 � b < 0) b

(T: 1.5.16A) (T: 1.5.17)

a < 0 � a.b–1 < 0 �� [(a > 0 � b–1< 0) � (a < 0 � b–1> 0)] (T: 1.5.16B) b a < 0 �� [(a > 0 � b < 0) � (a < 0 � b > 0) b

(T: 1.5.17)

* Conclusión : El cociente de dos números reales es positivo cuando ambos términos de dicho cociente ( numerador y denominador) tienen el mismo signo. El cociente será negativo cuando los términos del cociente son de diferente signos.

57

A continuación enunciaremos y demostraremos un teorema que generalmente causa dificultad, a muchos estudiantes, en sus aplicaciones. 1.5.19 Teorema: Si a y b tienen el mismo signo, entonces, si: A) 0 < a < b �� a–1 > b–1 > 0 ó 0 < b–1 < a–1 B) a < b < 0 �� 0 > a–1 > b–1 ó

b–1 < a–1 < 0

Demostración : � a > 0 � a -1 > 0 � A) 0 < a < b � � � b > 0 � b -1 > 0 �

� � �� a–1. b–1 > 0 �

....(T: 1.5.17)

Si : 0 < a < b � 0.a–1. b–1 < a.a–1. b–1 < a–1. b–1. b �

0 < 1. b–1 < a–1. 1 �� 0 < b–1 < a–1

Luego, si 0 < a < b �

a–1 > b–1 > 0

B) a < b < 0 � a–1 < 0 , b–1 < 0 � a–1. b–1 > 0

…(T: 1.5.15)

luego, si a < b < 0 � a.a–1. b–1 < a–1. b–1. b < 0 . a–1. b–1 � 1. b–1 < a–1. 1 < 0 �

b–1 < a–1 < 0 � 0 > a–1

> b–1 1.5.20 Teorema:

Si a ≥ 0 y b ≥ 0 , entonces a2 > b2 �� a > b

Demostración : a2 > b2 � a2 – b2 > 0 �� (a + b)(a – b) > 0 �� [(a + b > 0 �� [( a > – b

a–b>0) a > b)

(a<–b

b≥0 � –b≤0≤a � De (1): [( �

a > b)

(a + b < 0

(

…(T: 1.5.16A)

a < b) ]

� a≥–b � a

…(1) –b

a < b)] �� [ (a > b)

a2 > b2 �� a > b.

( )] �� a > b

También: a2 ≥ b2 ��

1.5.21 Teorema: Si b ≥ 0, entonces a2 > b Demostración : i) Como b ≥ 0 �

a – b < 0 )]

b ≥ 0,

58

�� a >

a≥b

b �a<– b

a2 > b = ( b )2 �� a > b , si a > 0

... (T: 1.5.20)

ii) Si a < 0 � – a > 0 � a2 = (– a)2 > b = ( b )2 �� – a > � De (i) y (ii)

a2 > b �� (a >

b

Si b < 0, a2 > b

(T: 1.5.20)

a<– b � a<– b)

También, si b ≥ 0, a2 ≥ b �� (a ≥ b 1.5.22 Teorema:

b

a ≤ – b)

�� a ��.

Demostración : Como "a ��: a2 � 0 Del dato:

(T: 1.5.22) 0 > b � a2 � 0 > b

� a2 > b �� a �� 1.5.23 Teorema: Si b > 0, entonces a2 < b �� – b < a <

b

Demostración : Si b > 0 �

b > 0, luego: a2 < b = ( b )2

�� a2 – ( b )2 < 0

� (a + b )( a – b ) < 0 �� [(a + b > 0 � a – b < 0) � (a + b < 0 � a – b > 0)] >- b �a < b ) � (a <- b �a > b ) �� (a 14444444444 24444444444 3 14444444444 24444444444 3 I

Si b > 0 �

��

II

b > 0 � – b < 0, luego:

[(– b < a <

b)

( )] , �

– b
b

�� a2 < b,

b rel="nofollow">0 1.5.24 Teorema:

Si b ≤ 0 , a2 < b � a ��

Demostración : Si b ≤ 0 y a2 < b � a2 < b ≤ 0

� a2 < 0

59

...( 1 )

Pero: a2 ≥ 0 " a ��

...( 2 )

lo cual nos indica que ( 1 ) es una contradicción, lo que nos da a ��. 1.5.25 Teorema:

Si 0 ≤ a ≤ b �� 0 ≤

a ≤

b

Demostración : i) Si 0 ≤ a ≤ b �

a ��,

b �� � a = ( a )2 , b = ( b )2

\ a≤b � a–b≤0 �

� ( a + b )( a –

�� [( a ≥ – b �

b) ≤ 0

a ≤

�� [( "a, b �� � a ≤ �� [( a ≤ ii) Si 0 ≤

a ≤

b ) � ( )] b

( a )2 – ( b )2 ≤ 0 �a + b �0 � a � � � � � � �a + b �0 � a -

��

b) � ( a ≤– b � b) � (

�

� 0 ≤

a ≥

a ≤

a ≥

b �0 � � � � � b �0� � b )]

b )]

b

� 0 ≤ ( a )2 ≤ ( b )2

(T: 1.5.20)

0≤ a ≤ b Ejemplo: Determinar el conjunto de soluciones para la desigualdad siguiente: 2x + 3 ≥ 5 Solución:

2x + 3 ≥ 5 �� 0 < 5 ≤

2x + 3

�� 25 ≤ 2x + 3 �� 22 ≤ 2x �� x ≥ 11

1.5.26 Teorema:

Sea b < 0, entonces

a > b �� a ≥ 0

Demostración : i) Como "a ��,

a ≥ 0

ii) Si a ≥ 0 , entonces :

0>b �

a ≥ 0 >b �

También: Si b < 0 ,

60

a ≥ 0 >b �

a >b

a >b a ≥ b �� a ≥ 0

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Demostrar que a < b si solo si b – a > 0 Demostración :

a
��

a + ( – a ) < b + (– a )

��

b – a > 00< b – a

��

2) Demostrar que a < b si solo si existe un número c positivo tal que a + c = b. Demostración :

Si a < b

��

b – a > 0 , luego b – a ��, hagamos:

c = b – a �� a + c = b + a + ( – a) = b + 0 = b ��

a+c=b

3) Si a y b, son dos números cualesquiera reales y distintos, demostrar que existe un número real entre a y b. Sugerencia: Si a < b � $ c ��/ a < c < b. Demostración : Si a ≠ b � a < b ó a > b Si a < b � a + a < a + b � 2a < a + b

... ( 1 )

a + b < b + b � a + b < 2b

... ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ) (Propiedad Transitiva): 2a < a + b < 2b

�

a<

a+b
donde

a +b = c �� 2

4) Demostrar que si : a < b y b < 0, entonces a2 > b2 ; a, b �� 0 < a < b , entonces

1 1 < , a, b ��. (UNI Ciclo 78 – I , 14/4/78) b a

Demostración : i) Si a < b y b < 0 , entonces a2 > b2 ; a, b ��

� a.a > a.b � a 2 > ab � � a2 > ab > b2 � a2 > b2 Si a < b � 2� a.b > b.b � ab > b � �

61

ii) Si : 0 < a < b �

� Si a < b �

5) Demostrar:

1 � � -1 a > 0 � a  > 0� � a � � 1 1 � >0 � � �� a b � � 1 -1 �b > 0 � b  > 0 � b �

1 1 a� < b� ab ab

1 >0 ab

1 1 < b a

�

i) Si a > 1 , entonces a2 > a , y ii) Si 0 < a < 1 , entonces a2 < a

Demostración : i) Si a > 1 � a > 0 \ a . a > 1 . a \

ii) Si 0 < a < 1 � a > 0

6) Si

a a' < , b>0, b b'

�

a2 > a

0.a
b´ rel="nofollow"> 0 entonces

0 < a2 < a

�

a a + a' a' < < b b + b ' b'

Demostración : i) Sea m 

a b

� a = bm

m=

y

a a' < b b'

+ b´m < a + a´ � � m( b + b´ ) < a + a´ � ii) Sea n =

a´ b´

�

De ( 1 ) y ( 2 ) :

m<

a + a´ b + b´

m<

...(1)

a a´ a < =n �
� a + a´ < bn + �

a´ � b´m < a´ b´

+ b´m < a + a´

= b´n y

a + a´ < bn +

� m<

�

= (b + b´ )n

a + a´
a + a´
... (2) �

62

a < bn

a a + a´ a´ < < b b + b´ b´

a b c < < , demostrar que: m n p

7) Si m, n, p son números positivos, y

a a +b +c c < < m m +n +p p Demostración : i) Sea:

a b c a r � r= < < m n p m

nr < b , pr < c �

�

r<

b n

r<

y

c , lo cual nos da: p

nr + pr < b + c �

+ nr + pr < a + b

+c + nr + pr < a + b + c

� (m+n+p)r
ii) Sea :

c a b c a = r´ � < < = r´ � < r´ p m n p m

� a < mr´ ,

b < nr´

�

…( 1 ) y

b < r´ n

a + b + c < mr´ + nr´ + c

� a + b + c < mr´ + nr´ + pr´

�

a + b + c < (m + n + p)r´

a +b +c c < r´= m +n +p p

...( 2 )

a a +b +c c < < m m +n +p p

De ( 1 ) y ( 2 ):

�

8) Demostrar que si r rel="nofollow"> 0 y a < b

a<

a + br
Demostración : Si a < b

y r>0

a(1 + r) < a + br

� ar < br �

a<

� a + ar < a + br a + br 1+ r

... ( 1 )

Si a < b � a + br < b + br � a + br < b(1 + r) � De ( 1 ) y ( 2 ):

a<

a + br
... ( 2 )

a + br
9) Probar que si: a1 < a2 < a3 < ... < an Demostración :

63

a1 <

a1 + a2 + a3 + ... + an < an n

Si a1 < a2 � a1 < pero: a2 < a3 �

a1 + a2 < a2 2

�

a1 + a2 < a3 2

a1 <

(Problema N° 3) a1 + a2 < a3 2

�

a1 + a2 < 2a3

�

a1 + a2 + a3 < a3 3

De () en (): a1 <

�

a1 + a2 + a3 < a3 < a 4 3

� a1 + a2 + a3 + a4 < 3a4 + a4 = 4a4 � De (  ) en (  ) :

a1 <

... (  ) a1 + a2 + a3 < 3a3 ... (  )

... (  ) � a1 + a2 + a3 < 3a4 a1 + a2 + a3 + a4 < a4 4

... (  )

a1 + a2 + a3 + a 4 < a4 4

Prosiguiendo sucesivamente, los pasos descritos, se logra en general que:

a1 <

a1 + a2 + a3 +... + an < an n

10) a) Demostrar que a2 + b2 > 2ab , " a,b ��, a ≠ b , a ≠ 0 , b ≠ 0. Demostración: Si a ≠ b � a – b ≠ 0 � a – b > 0 ó a – b < 0 � (a – b)2 > 0

� a2 – 2ab + b2 > 0 �

a2 + b2 > 2ab

b) "a,b � R, demuestre que a2 + b2 � 2ab Demostración: Si " a,b �� � (a–b) �� entonces " (a–b) ��, (a–b)2 �0

...(T,1,5,12)

� a2 - 2ab + b2 �0 � a2 + b2 � 2ab La igualdad se cumple solo si y solo si a = b, lo cual se puede verificar fácilmente, si: a2 + b2 = 2ab � a2 – 2ab + b2 = 0 � (a – b)2 = 0 � a–b=0 � a=b

11) Demostrar que si a, b �� , ab > 0 �

64

a b + �2 b a

Demostración: �

a, b ��: (a – b)2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab, ab > 0 �

a2 – 2ab + b2 ≥ 0

1 1 2 1 a2 b 2 >0 � (a + b2 ) � (2ab) � + �2 ab ab ab ab ab

a b + �2 b a

12) Probar que a +

1 �2 , a

�

"a ��, a > 0

Demostración : a 1 + �2 1 a

Si en el ejercicio anterior hacemos b = 1 �

a+

�

1 �2 . a Es decir todo número positivo, más su recíproco es siempre > 2 y será igual a 2 si el número es igual a 1, puesto que si a +

1 2 a

� a2 + 1

= 2a � a2 – 2a + 1 = 0 � (a – 1)2 = 0 � a = 1.

2 13) Demostrar que: x +

9 �6 , x2

Si x ≠ 0 y x �� �

Demostración : 2

x2 3 - 2 + 2 �0 3 x

3

3 �� x

�� y

2

�3� �3� �x � �x � � � �- 2 � � � �x � �+ � � � � �0 �3� �3� � � �x �

�

x2 3 + �2 3 x2

�

14) Si c > 0 , d > 0 , 2d ≠ 3c, demostrar que: Demostración :

x

2

�x 3� �� �3 - x � � �0 � � �

donde x ≠ 0

x2 +

d 3c > 1. 3c 4d

Si: c > 0 y d > 0 �

65

9 �6 x2

2d >0 3c

(x ≠ 0)

2

� 2d 3c � 3c > 0 �� � � � � 3c �> 0 2d 2d � �

2d �� � 3c

�

�

2d 3c -2+ >0 3c 2d

15) Demostrar que:

2d 3c > 23c 2d

�

x2 + 2 x2 + 1

�

d 3c > 13c 4d

�2

Demostración : Como:

x2 + 2 x2 + 1



(x 2 + 1) + 1 x2 + 1

 x2 + 1 +

1 x2 + 1

�2

(Problema N° 12)

La igualdad se verifica para x = 0. 16) "x �� y n par, demostrar que:

xn 1 � 2n x +1 2

Demostración : "x ��:

(xn – 1)2 ≥ 0 � x2n + 1 – 2xn ≥ 0

� x2n + 1 ≥ 2xn

2xn 1 xn � � 2n Además: x2n + 1 ≥ 0 � 1 � 2n x +1 2 x +1

�

xn 1 � 2n x +1 2

17) Si a, b, c > 0, demostrar que: a 2 + b2 + c2 > ab + ac + bc , a menos que a = b = c. Demostración : Si a ≠ b �

( a – b )2 > 0 �

a2 + b2 > 2ab

... (1)

Si a ≠ c �

( a – c )2 > 0 �

a2 + c2 > 2ac

... (2)

Si b ≠ c �

( b – c )2 > 0 �

b2 + c2 > 2bc

... (3)

(1) + (2) + (3) :

2(a2 + b2 + c2 ) > 2(ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc

Se logra la igualdad si a = b = c. 18) Demuestre que " x, y �R,

(x + y)2 �2(x 2 + y 2 )

Demostración: A) Método I : Por el ejercicio N° 10, si: 66

x, y �R :

x 2 + y 2 � 2xy

� 2(x 2 + y 2 ) �(x + y)2

�

� x 2 + y 2 + x 2 + y 2 �x 2 + y 2 + 2xy (x + y)2 � 2(x 2 + y 2 )

B) Método II : " x,y ��, (x – y) �� � (x – y)2 �0 � 0 �(x – y)2 � (x + y)2 + 0 �(x + y)2 + (x – y)2 � (x + y)2 �2(x2 + y2) 2 2 19) Sea { x, y } , si x + y  1 , determine el mínimo valor de m tal que:

| x + y |  m. Nota: a) 1

Solución:

b)

a2  a 2

c)

d) 2

3

{ x,y} ��,

Por el ejercicio anterior, si:

e) 3

(x + y)2 �2(x 2 + y 2 )

y como: x 2 + y 2  1 � (x + y)2 �2.1 � (x + y)2 �2 � � | x + y | � 2 . Ahora, si |x+y| �m ,

( x + y)

2

� 2

�2 , m Υ� � mmin \ 2

20) Demuestre que " t ��, | cost + sent | � 2 Este ejercicio N° 19 es muy importante para la demostración de una propiedad trigonométrica, referida al rango de la función. Notemos que la ecuación

x 2 + y 2  1 es la

ecuación de una circunferencia unitaria (de radio 1) centrada en el origen de coordenadas. Sea P un punto de la circunferencia tal que la �  t entonces las � sea AP medida del arco AP coordenadas de P son P(cost, sent) es decir que: x = cos t, y = sen t, t�� donde si: x2 + y2 = 1 entonces: cos2 t + sen2 t  1 luego, según el ejercicio: |x+y| = | cos t + sen t |  2 21) Si t ��, demuestre que : | cos t – sen t |  2 67

Solución: Como " t �� | cos t + sen t |  2

... (1)

Además, si t �� � – t �� , luego, de (1): | cos (–t) + sen (–t) |  2 � | cos t + (–sen t) |  2 � | cos t – sen t |  2 Como " a ��, |a| = |–a| � | cos t – sen t | = | –( cos t – sen t) |  2 � " t ��, 22) Si x,y ��+

| sen t – cos t |  2

y

x 2 - 6x + y 2  -8, entonces demuestre que:

si

3( x + y ) �� �

2, 3 + 2 � �

Demostración: Si: x 2 - 6x + y2  -8, , entonces: ( x - 3 ) + y 2  1 , entonces 2

por el ejercicio anterior: |x – 3 + y|  2 � - 2 �x - 3 + y � 2

23) Si 0 < a < b

3( x + y ) �� �

\

� 3 - 2 �x + y �3 + 2

a < ab <

�

2, 3 + 2 � �

a+b
Demostración : Si a < b �� a <

a+b
Si 0 < a < b �

0.a < a.a < ab

(a – b)2 > 0 � (a + b)2 > 4ab �

(Problema N° 3) � a2 < ab �

a2 + b2 > 2ab

��

a + b > 2 ab

De ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) :

a < ab <

�

... ( 1 ) a < ab

... ( 2 )

a2 + 2ab + b2 > 4ab ab <

a+b 2

…( 3 )

a+b
En general, la media geométrica de n números positivos no es mayor que la media aritmética de los mismos números positivos. Se obtiene la igualdad estricta en el caso de que todos los números sean iguales, es decir: MG �MA Para n sumandos:

n

a1.a2 .a3 ...an �

a1 + a2 + a3 + ... + an n

24) Si a ≠ b ≠ c > 0 , demostrar que: (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc

68

Demostración : Si a ≠ b ≠ c > 0 , MA > MG Para a y b �

(Problema N° 19)

a+b > ab 2

� a + b > 2 ab

... ( 1 )

Para b y c

�

b + c > 2 bc

... ( 2 )

Para a y c

�

a + c > 2 ac

... ( 3 )

Si:

(1)x(2)x(3):

(a + b)(b + c)(a + c) > 8 ab . bc . ac

(a + b)(b + c)(a + c) >� 8abc 25) Demostrar que (x + y + z)3 > 27xyz ,

si x ≠ y ≠ z > 0

Demostración : Como la : MA > MG, aplicándolo para 3 números diferentes y positivos �

x+y+z 3 > xyz 3

3

�x + y + z � � 3 � > xyz � �

�

(x + y + z)3 > 27xyz

�

26) Si se conoce la suma de las dimensiones de las tres aristas de un paralelepípedo rectangular, calcular aquel que tenga máximo volumen. Demostración : Sean a, b y c las dimensiones de las aristas. Por dato: S = a + b + c Además: V = abc ,

donde V es el volumen

Como : MG ≤ MA ,

(Problema N° 23), entonces 3

y ocurre para a = b = c =

3

a+b+c abc � 3

S3 S3 �  V � , luego Vmáx 27 27

S V� 3

S , es decir si se trata de un cubo. 3

27) Demostrar que cualquier par de números positivos a, b (a ≠ b) se tiene que: n+1

abn <

a + nb n +1

69

Demostración : Apreciamos que en la cantidad subradical de

n+1

abn hay

n+1 factores y siendo su índice n+1, luego es la media geométrica de los (n + 1) factores, porque:

Luego: MG < MA

�

n+1

abn  n+1 a.b.b.b...b 14 2 43 . n

6 4 4 7n 4 4 8 a + b + b + b + ... + b n+1 abn < n +1 n+1

abn <

a + bn n +1

28) Sin usar desarrollos decimales, determinar la apropiada relación de orden >, = ó < entre los números:

17 - 13 y

19 - 15

Solución : 17 - 13



��

19 - 15

17 + 15



19 + 13

�� ( 17 + 15 )2  ( 19 + 13 )2 �� 32 + 2 255  32 + 2 247

255



247 luego el signo apropiado es >, y el

análisis precedente puede convertirse en prueba, invirtiendo los pasos y 17 - 13 >

deduciendo el resultado deseado:

19 - 15 .

29) Demostrar que "a,b ��: a2 + ab + b2 ≥ 0. ¿Cuándo sucede que a2 + ab + b2 = 0 ? Demostración : 1°) Sea a ≥ 0 y b ≥ 0

�

ab ≥ 0 , a2 ≥ 0 ,

b2 ≥ 0

sumando ordenadamente, se obtiene: a 2 + ab + b2 ≥ 0 2°) Si a ≥ 0 y b ≤ 0 � a ≥ 0 ≥ b � a3 ≥ b3

�

a≥b

... ( I )

� a–b≥0

� a3 – b3 ≥ 0 � (a – b)( a2 + ab + b2 ) ≥ 0

Luego el segundo factor de este primer miembro, tiene necesariamente que ser: a2 + ab + b2 ≥ 0

... ( II )

70

De ( I ) y ( II ):

se demuestra que: a2 + ab + b2 ≥ 0 2

2 � b � 3b Otra forma de solución: a + ab + b = � a + �+ �0 , "a,b �� � 2� 4

2

2

Se cumplirá la igualdad si a = b = 0 30) Demostrar que: a2b2 + b2c2 + a2c2 ≥ abc(a + b + c), "a,b,c �� Demostración : "a,b ��:

(a – b)2 ≥ 0

� a2 + b2 ≥ 2ab

� a2c2 + b2c2 ≥ 2abc2

b2 + c2 ≥ 2bc

� a2b2 + a2c2 ≥ 2a2bc

a2 + c2 ≥ 2ac

� a2b2 + b2c2 ≥ 2ab2c

También:

2(a2b2 + b2c2 + a2c2) ≥ 2abc(a + b + c),

Sumando:

a2b2 + b2c2 + a2c2 ≥ abc(a + b + c)

31) Si a, b, c > 0, demostrar que: 2(a3 + b3 + c3) > bc(b + c) + ca(c + a) + ab(a + b) Demostración : "a �b �� � (a – b)2 > 0 �

a2 + b2 > 2ab � a2 – ab + b2 > ab

Además: a + b > 0 � (a + b) (a2 – ab + b2 ) > ab (a + b) �

a3 + b3 > ab(a + b)

... ( 1 )

Asi mismo, logramos que:

b3 + c3 > bc(b + c)

... ( 2 )

a3 + c3 > ac(a + c).

.. ( 3 )

Si sumamos ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ), obtenemos: 2(a3 + b3 + c3) > bc(b + c) + ca(c + a) + ab(a + b) 32) Demostrar que: an–1 + an–2b + an–3b2 + … + a2bn–3 + abn–2 + bn–1 ≥ 0, "a,b ��≥ 0 y n ��+ Demostración : Vemos que la suma dada podemos expresarla como el cociente notable siguiente: S 

an - bn a -b

... ( 1 )

71

Si a > b > 0

S

� a - b > 0 � (a - b)-1 > 0 � � � � � � � (an – bn)(a – b)–1 > 0 � an > b n � a n - b n > 0 � �

an - bn > 0 � S > 0 a-b

Si a = b � S = nan–1 Si a = b = 0

�

S=0

33) Demostrar que: a) x > 0 , y > 0 , x > y b) x < 0 < y

�

� x � x2 - y2

x–1 < 0 < y–1

(UNI: 1ª Práctica Ciclo 80-1 , Lima, 31 de Octubre de 1980) Demostración : a) Si x > y > 0 \

(

� �x - y > 0 � � �x + y > 0 �

�

x+y - x-y

)

2

b) Si x < 0 < y

x+y >0

�0 � x + y + x - y �2 x + y . x - y

� 2x �2 (x + y)(x - y) �0 �

x-y >0

�

x � x2 - y2

�x < 0 � x -1 < 0 � � � � 0 < y � 0 < y -1 �

l.q.q.d. x–1 < 0 < y–1

34) ¿Cuáles condiciones deberá satisfacer el número d > 0 para que siendo R > r > 0, sea válida la desigualdad: 0 <

d2 + R2 - r 2 �1 ? 2dR

Solución: R �r > 0 � R > 0 � � Si � � � 2dR > 0 �d > 0 � 2d > 0 Luego, si: 0 <

d2 + R2 - r 2 �1 � 0 < d2 + R2 – r2 ≤ 2dR 2dR

� 0 < d 2 + R 2 – r2

d2 + R2 – r2 ≤ 2dR �

d2 + R2 – 2dR ≤ r2

� (d – R)2 ≤ r2 � – r ≤ d – R ≤ r � R – r ≤ d ≤ R + r �

R–r ≤d ≤R+r 72

* Si R ≥ r > 0 � R2 ≥ r2 � R2 – r2 ≥ 0 � R2 + d2 – r2 ≥ d2 ≥ 0, "d ��+ 1 4 4 35) Demostrar que si x + y = 1, entonces x + y � 8 Demostración : Como x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 También: "x,y ��: 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2

( Página 69, Problema 18)

Si x + y = 1 � 2(x2 + y2) ≥ ( 1 )2 � x2 + y2 ≥

xy

1 2

xy

1 4

1 2

1 4

� (x2 + y2)2 ≥ Como "x,y ��+ MG ≤ MA �

... ( 1 )

... ( 2 )

x+y xy � 2

( xy )

( 2 ) + ( 3 ): (x2 + y2)2 – 2(xy)2 ≥

2

( Página 69, Problema 23)

1 1 � –2(xy)2 ≥ 16 8

1 1 1 � de ( 1 ) : -  4 8 8

36) Demostrar que si 0 < a < b < c , entonces

... ( 3 ) 1 x4 + y4 � 8

a3 - b 3 > a-c c(a - b)

Demostración : Si 0 < a < b < c �

( 1 ) . ( 2 ) . ( 3 ): �

� � a3 < b 3 � a 3 - b3 < 0 � a < b � � � a - b < 0 � (a - b)-1 < 0 � � � 0 < c � c > 0 � c -1 > 0 �

...(2) ...(3)

c–1(a – b)–1(a3 – b3) > 0 � [c(a – b)] –1 (a3 – b3) > 0 a3 - b 3 >0 c(a - b)

... (I)

Además: 0 < a < b < c � a < c � a – c < 0 �� 0 > a – c De ( I ) y ( II ):

...(1)

a3 - b3 > a-c c(a - b)

(Propiedad Transitiva)

37.- Demostrar que para cualesquier números a, b, c, d:

73

... (II)

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2) (b2 + d2)

(Desigualdad de Cauchy)

Demostración : "x,y ��: (x – y)2 ≥ 0 � x2 – 2xy + y2 ≥ 0 � 2xy ≤ x2 + y2 Hagamos:

x  ad� � en ( 1 ): y  bc �

... ( 1 )

2(ad) (bc) ≤ (ad)2 + (bc)2

Sumando: (ab)2 + (cd)2 :

(ab)2 + 2(ab)(cd) + (cd)2 ≤ (ab)2 + (ad)2 + (bc)2 +(cd)2

�

(ab + cd)2 ≤ (a2b2 + a2d2 ) + (b2c2 + c2d2 )

�

(ab + cd)2 ≤ a2(b2 + d2 ) + c2 (b2 + d2 )

�

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2) (b2 + d2)

38) Demostrar que "n �� :

1

n +1- n <

2 n

� n - n -1

Demostración: i)

n +1- n 

n + 1- n

1



n +1+ n

"n �� : 0 < 1 � n < n + 1 � � 2 n<

n +1+ n �

ii)

n - n -1 

n < n +1

�

1

1

n +1+ n

n +1- n <

De (1) y (2): n - (n - 1)

De (3) y (4):

1

De (I) y (II): " n �N :

2 n 1

2 n

2 n

n <

1 2 n

<

39) Demuestre que:

74

... (I)

n > n -1 � n + n > n + n -1 1 n + n -1

< n - n -1

n +1- n <

... (2)

... (3)

n + n -1

"n ��: 0 > -1 � n + 0 > n - 1 � � 2 n > n + n -1 �

<

n + n < n +1+ n

1



n + n -1

... (1)

n +1+ n

1 2 n

< n - n -1

... (4) ... (II)

2 n +1- 2 m <

1 m

1

+

m +1

1

+

m+2

+ L +

1

< 2 n - 2 m -1

n

Demostración: Del problema anterior se sabe que: 1 n +1 - n < < n - n- 1 2 n Luego, si hacemos n = p y multiplicamos la desigualdad por 2 logramos que: 1 2 p +1- 2 p < < 2 p - 2 p -1 ... ( I ) p Ahora, si hacemos sucesivamente, en ( I ), p = m, m+1, ...,n logramos que: 1 < 2 m - 2 m -1 i) Si p = m : 2 m + 1 - 2 m < ... ( 1 ) m 1 < 2 m +1- 2 m ii) Si p=m+1: 2 m + 2 - 2 m + 1 < ... ( 2 ) m +1 1 < 2 m + 2 - 2 m +1 iii) Si p=m+2: 2 m + 3 - 2 m + 2 < ... ( 3 ) m+2 





n) Si p=n : 2 n + 1 - 2 n < Sumando:

1 n



< 2 n - 2 n -1

... ( n )

(1) + (2) + (3) + ... + ( n )

� 2 n +1- 2 m < 40)

1 m

+

1 m +1

+

1 m+2

+ L

+

1 n

< 2 n - 2 m -1

1 1 4 Si 0 < p < q demuestre que: p + q > p + q Demostración: Si 0 < p < q � (q – p)2 > 0 � – (q – p)2 < 0 � (q + p)2 – (q – p)2 < (q + p)2 � 4pq < (q + p)2 � (q + p)2 > 4pq 1 Si 0 < p < q � pq(q + p) > 0 � pq q + p > 0 ( ) 1 (1) . pq q + p : ( ) �

1 1 2 . (q + p) > pq ( q + p ) pq ( q + p ) . 4pq

q+p 1 1 4 > 4 � + > p q p+q pq q + p

41) Si 0 < p < q demuestre que:

2 1� 1 1� < � + � � � � � p +q 2� p q� 75

.. (1)

Demostración: A) Método I: Si aceptamos que la desigualdad dada es correcta y realizamos las simplificaciones algebraicas convenientes, llegamos a una identidad, luego, siguiendo el proceso inverso, la desigualdad quedará demostrada. 0 < p < q

Si: �

( p - q)

�

( p + q)

( p - q)

<0 � 2

- ( p - q)

2

<

2

> 0 � - ( p - q) < 0 2

( p + q)

� i) p + q > 0 � � De (1), si 0 < p < q � � � ii) pq > 0 � �

De (2) y (3):

�

... (1)

2

+0

� �

� 4pq < ( p + q)

2

... (2)

1 > 0 1 p+q � > 0 ...(3) 2 ( p + q ) pq 1 > 0 pq

1 1 2 4pq � < ( p + q) � 2 ( p + q ) pq 2 ( p + q ) pq

2 p+q < p+q 2pq

�

2 1 �p + q � 2 1 �1 1 � < � < �+ � � � p+q 2 �pq � p+q 2 �p q �

42) Si 0 < p < q demuestre que:

3 1 �1 2 � � �+ � p + 2q 3 �p q �

Demostración: Si 0 < p < q � q – p > 0 � (q – p)2 > 0 � 0 < 2(q – p)2 � 0 + 9pq < 2(q – p)2 + 9pq � 9pq < 2q2 – 4pq + 2p2 + 9pq � 9pq < 2p2 +5pq + 2q2 9pq < (2p + q)(p + 2q) 1 Si 0 < p < q � 3pq(p + 2q) > 0 � 3pq p + 2q > 0 ( ) 1 (1) . 3pq p + 2q : ( ) �

1 1 . 9pq < 3pq ( p + 2q) 3pq ( p + 2q) (2p + q)(p + 2q)

3 1 �2 1 � 3 < 1 �2p + q � � � �+ � � � p + 2q 3 � pq � p + 2q 3 �q p �

43) Encontrar el mínimo número M tal que "x ��: – 19 + 12x – 2x2 �M Solución :

76

... (1) ... (2)

Si : – 19 + 12x – 2x2 �M

... (I)

Completando cuadrados en la expresión (I) logramos que: – 2(x – 3)2 – 1 �M

... (II)

"x ��, (x – 3)2 �0 � –2(x – 3)2 �0 � –2(x – 3)2 – 1 �– 1

... (III)

De (II) y (III): M �–1 es decir, que: M � [ –1, �� y el mínimo valor de M será: M = –1 B) Método II : De (I) : 2x2 – 12x + (M + 19) �0

... (1)

Esta expresión es válida "x �� �� D �0 De (1) : (–12)2 – 4(2)(M + 19) � 0 � 18 – (M + 19) � 0 � 18 – M – 19 � 0 � M � –1 � M � [ –1, �� , luego el manor valor es: M = –1 44) Hallar el número máximo conm la propiedad de que "x ��: m � x2 –4x + 49 Solución : Sea “k” el número máximo buscado, es decir que : (x 2 –4x + 49) � [ k, �� - � , k ] , lo cual podemos expresarlo en el siguiente esquema: y m ��

Si m � x2 – 4x + 49  m � (x – 2) + 45

... (I)

"x ��, (x – 2)2 � 0  (x – 2)2 + 45 � 45

... (II)

De (I) y (II) 

- � , 45 ] : x2 – 4x + 49 � 45 y m � 45  m � �

mmáx = 45 = k

B) Método II : Si : x2 – 4x + (49 – m) � 0 "x ��  D = (– 4)2 – 4(49 – m) � 0  4 – (49 – m) � 0  4 – 49 + m � 0  m � 45  m � [ 45, �� mmáx = 45 45.- Sean a, b, c y d números positivos. Demuestre que entre las desigualdades a + b < c + d, (a + b)(c + d) < ab + cd, (a + b)cd < ab(c + d) existe al menos una falsa.

77

Solución:

Si de las tres desigualdades existe al menos una falsa, podemos suponer que al menos una de ellas podría ser cierta.

Así por ejemplo, supongamos que para a, b, c y d números positivos se cumple que: i) a + b < c + d  a + b – c – d < 0 ... ( 1 ) ii) (a + b) (c + d) < ab + cd  ac + ad + bc + bd < ab + cd  ac + ad + bc + bd – ab – cd < 0 ... ( 2 ) Iii) (a + b)cd < ab(c + d)  acd + bcd < abc + abd  acd + bcd – abc – abd < 0 ... ( 3 ) Sea P(x) un polinomio mónico de cuarto grado que tiene las raíces reales a, b, –c, y –d. Es decir que: P(x)=(x – a)(x – b)(x + c)(x + d) = x 4 + a1x 3 + a2 x 2 + a3 x + a 4 Entonces, por propiedades de las raíces: a) a + b – c – d = –a1

Como de (1): a + b – c – d < 0

� –a1 < 0 � a1 > 0 b) ab + cd – ac – ad – bc – bd = – a2 0 c) abc + abd – acd – bcd = – a3 � a3 > 0 �

acd + bcd - abc - abd < 0

d) abcd = a4 > 0

78

De (2): –a2 < 0 � a2 >

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Si x > 0, y > 0, x ≠ y, demostrar que:

x y

2) Si a >0, b > 0, 5a ≠ 3b, demostrar que:

+

y x

>2

5a 3b + >2 3b 5a

3) Demostrar que si el producto de dos cantidades es igual a uno, su suma es mayor que dos. 4) Demostrar que si 0< a < b, entonces p�� � a1 p < b1 p 5) Demostrar que si 0< a < 1, entonces p�� � 6) Demostrar que si

a �a1 p < 1

a > 1, entonces p�� � 1 < a1 p �a

7) Sin usar aproximaciones decimales, determinar cuál de los símbolos >, =, < habrá de ponerse en lugar de . i)

7- 8 

3-2

iii)

29 - 22 

ii) 15 - 5  2 3 - 2

19 - 14

iv) 15 - 5  3 - 2

8) Demostrar que la media armónica ( MA ) no excede a la media geométrica; ¿cuándo son iguales? 9) Demostrar que: xn+1 + yn+1 ≥ xyn + yxn , "x,y ��> 0 10) ¿Es la proposición a, b, c, d > 0 � (ab + cd) (ac + bd) ≤ 4abcd, verdadera o falsa? 11) Probar que si a, b, c, d son números positivos, entonces: ab + cd ≤

(Desigualdad de Cauchy)

a2 + c 2 . b2 + d2

12) Si: a1, a2, a3, ..., an–1, an

y

b 1, b2, b3, ..., bn–1, bn

son 2n números

� (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)2 ≤ ( a12 + a22 +... + an2 ) ( b12 + b22 +... + bn2 ) 13) Demostrar que: (ab + xy) (ax + by) > 4abxy 14) Demostrar que: a3b + ab3 < a4 + b4 15) Demostrar que: 6abc < bc(b + c) + ca(c + a) + ab(a + b) 16) Demostrar que: 27(a4 + b4 + c4) > a + b + c 17) Demostrar que: (a + b + c + d) (a3 + b3 + c3 + d3 ) > (a2 + b2 + c2 + d 2 ) 2 18) ¿Cuál de las siguientes expresiones es mayor x 3 ó x2 + x + 2, para valores positivos de x? 19) Si x > a, demostrar que: a3 + 13b2a > 5ba2 +9b3 79

20) Hallar el valor máximo de x para 7x2 + 11 > x3 + 17x 21) Hallar el valor mínimo de x si x2 – 12x + 40 < 24x – 8 – 9x2 22) Si: 1 < k < n, probar que:

n + k + n - k < n -1+ n +1

23) Demostrar que si a, b, c > 0, entonces: a3 + b3 + c3 ≥ 3abc 24) Si: a2 + b2 = 1 , x2 + y2 = 1 � ax + by < 1 25) Si: a2 + b2 + c2 = 1 , x2 + y2 + z2 = 1 Demostrar que. ax + by + cz < 1 26) Si 0 < p < q, demuestre que:

3 1 �1 2 � < �+ � p + 2q 3 �p q �

80

1.6 INTERVALOS Los intervalos son los conjuntos de números reales, que con más frecuencia se utilizan en el Análisis, en los cuales sus elementos satisfacen ciertas desigualdades. Clasificación: Los intervalos pueden ser: A) Intervalos Finitos o Acotados. B) Intervalos Infinitos o No Acotados. A) Intervalos Finitos : Llamados así, porque los extremos de estos intervalos son números reales. Entre estos, tenemos los intervalos cerrados, abiertos, semicerrados y semiabiertos. Sean a, b  � tales que a ≤ b. 1.6. A1) Definición: El intervalo cerrado, cuyos extremos son a y b, es el conjunto de todos los números “x” tales que: a ≤ x ≤ b, y se denota como [a, b] al siguiente conjunto: [a, b] = { x  R / a ≤ x ≤ b }: Intervalo cerrado. Es importante notar que los puntos terminales (a) y (b) deben ser elementos del conjunto. Al representar geométricamente en la recta numérica un conjunto de este tipo de intervalo, indicaremos por círculos negros los puntos terminales del intervalo.

donde [a, b] , en realidad es el conjunto solución de las desigualdades : a ≤ x  x ≤ b.

* Conclusión: Decir que x  [a, b]  a ≤ x ≤ b. 1.6. A2) Definición: El intervalo abierto, cuyos extremos son a y b, es el conjunto de todos los números “x” tales que: a < x < b, es decir, en este intervalo no están incluidos los extremos. a, b = { x  � / a < x < b } : Intervalo abierto.

81

Su representación gráfica en la recta numérica, estará indicada en los puntos terminales por círculos en blanco.

donde a, b equivale a la solución de a < x

* Conclusión: Decir que x  a, b 

 x < b.

a<x
También el intervalo abierto se denota como: ] a, b [ Los intervalos semicerrados y semiabiertos , se obtienen combinando los dos casos anteriores y estos son: 1.6. A3) Definición: Los intervalos semicerrados se definen como: i) [a, b = { x  � / a ≤ x < b } : Intervalo abierto por la derecha. 1.6. A4) Definición: Los intervalos semiabiertos se definen como: ii) a, b] = { x  � / a < x ≤ b } : Intervalo abierto por la izquierda. Estos intervalos también se denotan, respectivamente, como: [a, b[ y ]a, b]

Los números o símbolos a y b en cada una de las definiciones anteriores, se llaman puntos extremos izquierdo y derecho del intervalo, respectivamente. B) Intervalos Infinitos : Son aquellos intervalos donde solamente uno de esos extremos es un número real. Si a, b  �, se definen así: 1.6.B1) [a , ∞ = { x  � / a ≤ x } = { x  � / a ≤ x < ∞ } 1.6.B2) a , ∞ = { x  � / a < x } = { x  � / a < x < ∞ } 1.6.B3) – ∞ , b = { x  � / x ≤ b } = { x  � / – ∞ < x ≤ b } 1.6.B4) – ∞ , b = { x  � / x < b } = { x  � / – ∞ < x < b }

82

El conjunto � de todos los números reales, toda la ta numérica, se denota al intervalo – ∞ , ∞. Es decir que: �= – ∞, ∞ = { x / x  �} Debe notarse que a pesar de que los símbolos “∞“ aparecen en la notación de los intervalos infinitos o no acotados, conviene prevenir sin embargo, que no son números reales, sino símbolos que se utilizan para denotar números “muy grandes” tanto positivos como negativos. Nota: i) El intervalo [a, a] consiste solamente de un solo número a. Así, un conjunto que consiste de un solo número real es un intervalo. ii) El intervalo a, a es el conjunto vacío, f, pues no hay números reales entre a y a. Así, el conjunto f es un intervalo. Como los intervalos son conjuntos (de números reales), podemos realizar las operaciones conocidas del álgebra de conjuntos. Ejemplo. Determinar los siguientes conjuntos: 1) 2, 5] I

[3, 7 I – � , 3 ]´

2) ( – � , � I

[3, 4] ) U ( [2, � I

[0, 3 )

Solución: A) Analíticamente: 1) 2, 5] I

[3, 7 I – � , 3 ]´

= ( 2, 5] I

[3, 7) I � – – � , 3 ] )

= [3, 5] I 3 , � = 3, 5] 2) ( – � , �  I [3, 4] ) U ( [2, �  I

[0, 3 ) = ( � I [3, 4] ) I

= [3, 4] U [2, 3 = [2, 4] B) Gráficamente:

x � 3,5

x � 2,4

PROBLEMAS RESUELTOS 83

[2, 3

1.- Demostrar: 1 1 1 � , 2x + 3 11 7

a) Si x  2, 4, entonces

b) Si x – x0  [ –a , a] , entonces x  [ x0 – a , x0 + a ] Demostración : 1.a) Si x  2, 4  2 < x < 4

(D: 1.6.A2)

 4 < 2x < 8  7 < 2x + 3 < 11 

1 < 1 <1 11 2x + 3 7

(T: 1.5.14)

1 1 1 � , 2x + 3 11 7

(D: 1.6.A2)

1.b) Si x – x0  [ –a , a]  –a ≤ x – x0 ≤ a

(D: 1.6.A1)

x0 – a ≤ x ≤ x0 + a

x  [ x0 – a , x 0 + a ]



(D: 1.6.A1)

2) Si [a, b]   c, d  , demostrar que: c < a y b < d . Solución : Si x  [a, b]  a ≤ x ≤ b

(D: 1.6.A1)

Si tomamos un x particular tal como x = a  a  [a, b]   c, d   a   c, d  c < a < d

(D: 1.6.A2)



c
... (1)

Similarmente: b  [a, b]   c, d   b   c, d   c < b < d  De (1) y (2) :

c
b
(D: 1.6.A2) ... (2)

b
Ahora veremos tipos de problemas donde comúnmente, el estudiante comete ciertos errores, en acotaciones. 3) Hallar el valor de N, tales que para todo x  – ∞ , 4 se cumple: N ≤ x2 – 9 < M . Solución : Estos tipos de problemas se presentarán especialmente cuando se trate de hallar el rango de funciones, cuando la variable x adopta valores negativos y positivos y se requiere elevar al cuadrado. En estos casos es

84

conveniente expresar el intervalo dado en una forma equivalente, es decir, si: x  – ∞ , 4 

x<4  

x<0



 0 ≤ x < 4

x2 rel="nofollow"> 0



0 ≤ x2 < 16

 x2 – 9 > –9  –9 ≤ x2 – 9 < 7 \

–9 ≤ x2 – 9 < �  x2 – 9  [ –9 , �

Además: x2 – 9  [ N, M \

N = –9

4) Demostrar que si : x  [0, 7], entonces 4x – x2  [ –21 , 4] Solución : Este problema es similar al anterior. 

Hagamos: y = 4x – x2

y = 4 – (x – 2)2

... (1)

Luego, si x  [0, 7], busquemos obtener la expresión (1)  0 ≤ x ≤ 7 

–2 ≤ x –2 ≤ 5, nótese de (1) que necesitamos elevar x –

2 al cuadrado, y (x – 2) toma valores desde –2 a 5, es decir, llega en un instante a adquirir el valor de cero cuando x = 2, entonces, si: –2 ≤ x –2 ≤ 5  0 ≤ (x –2)2 ≤ 25

 –25 ≤ –(x –2)2 ≤ 0

 –21 ≤ 4 –(x –2)2 ≤ 4  De (1): –21 ≤ 4x – x2 ≤ 4  4x – x2  [–21 , 4] 1 , 1� � 5) Hallar los valores de A y B, tales que para todo x  � 2 �, se cumple: A �x + 2 �B . x+3

(UNI: 1976)

Solución : Resolveremos este problema de dos maneras, y comparemos los resultados obtenidos. A) Método I : 1 , 1� � Si x  � 2 �

1 �x �1 2

�5 �x + 2 �3 �2 � �7 �x + 3 �4 �2 De (2):



... (1) ... (2) 1 � 1 �2 4 x+3 7

De (1) y (3), (1).(3) :

... (3)

(T: 1.5.19)

5 �x + 2 �6 8 x+3 7

(T: 1.5.13)

A5 8 85

B 6 7

\

()

y

B) Método II: Este método es el que más usaremos a través de todo el texto. (x + 2 + 1) - 1 (x + 3) - 1 Como: x + 2    1- 1 x+3 x+3 x+3 x +3 2 1 �- 1 De (3): - �7 x+3 4 

5 �x + 2 �3 7 x+3 4



\

... (I)

1 - 2 �1 - 1 �1 - 1  5 �1 - 1 �3 7 x+3 4 7 x+3 4

A5 7

B 3 4

y

...()

Comparando () y () se aprecia que hemos obtenido resultados diferentes, a pesar de haber seguido todos los teoremas correctamente, entonces estamos en la incertidumbre de escoger correctamente los valores pedidos. Nótese que los valores obtenidos por el proceso B son menores que los valores hallados por el proceso A, donde la parte B nos da la menor cota superior y la mayor cota inferior. Ahora bien, nótese que cuando x crece de 1/2 a 1, la expresión (1) crece de 5/2 a 3, y la expresión (3) decrece de 2/7 a 1/4, y si nosotros multiplicamos (1) y (3) en cruz, obtenemos: 5 �x + 2 �3 � � 2 � � 1 � 1 �2 � � 4 x + 3 7� 5 �2 �x + 2 �3 �1 2 7 x+3 4

5 �2  5 2 7 7 1 �3  3 4 4

�

� � �

�

5<3 7 4

5 �x + 2 �3 , que es el mismo resultado del 7 x+3 4

método “B”. \

A5 7

y

B 3 4

* Conclusión : Para estos tipos de problemas aplicaremos, en adelante, el método B.

86

6) Determinar el mayor valor de M de modo que si: x   4 – M, 4+M  

x � 1,3 .

(UNI: Ciclo 72-I. Lima, 6-5-1972)

Solución : Si x   4 – M, 4+M  Por definición:

x �0

... ()

4–M<x<4+M  x ≥ 0, luego para obtener

x de ésta doble

desigualdad, en (), requerimos que los extremos sean positivos o sea: 4–M≥0 

– 4 < M ≤ 4  M   – 4, 4 ] De () : Pero:



 4 + M > 0  M ≤ 4  M > – 4

M=3 ó



4 -M < x < 4 +M \

x � 1,3

... () x � 4 - M, 4 + M

4 -M 1 ,

4+M  3

M=5

... ()

De () y () : M = 3

7) Si (x – 1)  –9, –5 � entonces -

1 ¿ a qué intervalo pertenece? 3x + 7

Solución : Si : (x – 1)  –9, –5  –9 < x –1 < –5  –8 < x < –4

 –24 < 3x < –12



(D: 1.6.A2) –17 < 3x + 7 < –5

1 1 1  5 < –(3x +7) < 17  17 < -(3x + 7) < 5 -

1 � 1,1 3x + 7 17 5

87



1 <- 1 <1 17 3x + 7 5

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Demostrar que la intersección de dos intervalos cerrados es vacío o bien un intervalo cerrado. 2) Demostrar que si la intersección de dos intervalos cerrados es no vacía, entonces la reunión de estos intervalos es un intervalo cerrado. 3) Demostrar que la intersección de dos intervalos abiertos es un intervalo abierto. 4) Demostrar que si la intersección de dos intervalos abiertos es no vacía, entonces la reunión de estos intervalos es un intervalo abierto. 5) Demostrar: si x < 3, entonces x2 – 4  [ –4 , ∞  6) Demostrar: si x  [ –4 , 6] 7) ¿Si x  [3, 4] 

� - 49 ,18 �  x2 – x – 12  � 4 �

2x - 3 a qué intervalo pertenece?

8) Si x2 + 4  [16, 20] , hallar en que intervalo está x. 9) Si 2x + 3  [ 7, 11 ], encontrar el menor valor de N que satisface la desigualdad siguiente:

x + 5 �N . x-7

1, 3 � x + 2 �M � 10) Si x  � 2 2 �encontrar el mayor M que satisface la desigualdad x - 2 2x + 3 < 3 � x � 13 , 9 11) Demostrar que 3 < x-2 2 12) Determinar el menor B y el mayor A tal que: x  [1, 4], 6x 3 + x 2 + 6x + 1 �B i) A � 3(x 3 + x) 2x �B ii) A � x-5 13) Si z 

x - 1 , hallar los intervalos de x y z. x-2

14) Si x – 2.5 1, 2 , entonces: ¿

2x + 3 � 24 , 4 ? 7 x -1

15) Determinar los siguientes conjuntos:

88

0,11 - 2,10 a) � � c) -8, � I

b)

-�,8 I

2,10´

{  3,5 I

-3,3 } U -3,3

d) -2,2 U 1,7

�

�

16) Si A = { x  � / x = 3 }, B = {x  � / x = 5 }, determinar (A´ U B´)´ 17) Si se sabe que: 1,732 � x � 1,733 2,7181 � y � 2,7183 Acotar: x + y, x – y, xy, x/y . 18) Hallar el más grande número M tal que: " x  �, 1 + 7x – x2 ≤ M 19) Hallar el menor número “m” entero tal que: si

x-2 <m , si x > 3. 3-x

4 �x 2 - x + 1 �5 20) Probar que: , si 1 ≤ x ≤ 2 11 2 x4 + 1 21) Resuelva la desigualdad: (x – 3)3 – 2(x – 3)2 > 0 22) Resolver la inecuación:

x � 3 -1 x -1 x + 2

89

Teorema :

Para a,b ��, a2 + b2  0 � a  b  0

Para la demostración de este teorema debemos demostrar que si: i) Si a2 + b 2  0 � a  b  0 ;

ii) Si a  b  0 � a2 + b2  0

Demostración: i) Si a2 + b2  0 , a2  - b2

... ( 1 )

Como a � , entonces : a 2

...( 2 )

0

(1) en (2) : – b2 �0 � b2 �0 � b2 = 0 � b2 < 0 � b = 0 � b �f �

... (  )

b=0

Reeplazando () en (1) : a2  -0 2  0 �

a=0

... (  )

2 2 De () y () : a = b = 0, luego, si a + b  0 � a  b  0

ii) Si :

... ( I )

a  b  0 � a 2 + b 2  02 + 0 2 = 0 + 0 = 0

� a  b  0 � a2 + b 2  0

... ( II )

a 2 + b2  0 � a  b  0

De (I) y (II): Ejemplos 1.- Hallar

x e y si: x 2 + y 2  2(x - y - 1)

Solución :

Si:

x 2 + y 2  2(x - y - 1)

� x 2 - 2x + 1 + y 2 + 2y + 1  0 � x - 1= 0

� y +1 = 0

� �

( x - 1) x =1

2

� x 2 + y 2  2x - 2y - 2 + ( y + 1)  0 2

� y =- 1

2.- Si {x, y } �� y además: x 2 + 2y 2 + 11  2(2y + 3x) , dé el valor numérico x2 + y2 de: C = . xy + 2 A) 1 Solución:

B) 2 Si:

C) 3

D) 4

x 2 + 2y 2 + 11  2 ( 2y + 3x ) �

x 2 + 2y 2 + 11  4y + 6x

90

E) 5

( x - 3)

� x 2 - 6x + 9 + 2y2 - 4y + 2  0 � � x- 3 =0 � C

� y - 1= 0 � x = 3

x 2 + y 2 32 + 12 10   2 xy + 2 3.1 + 2 5

2

+ 2 ( y - 1)  0 2

� y =1

C �= 2

3.- Para qué valores reales de x e y se verifica la igualdad: x 2 + y 2 - 2x - 4y  - 5 Solución:

Si:

x 2 + y 2 - 2x - 4y  - 5 �

x 2 - 2x + 4 + y 2 - 4y + 4  0 � ( x - 1) + ( y - 2 )  0 2

�

2

x=1

�

�

x -1 0 � y - 2  0

y=2

4.- Hallar las soluciones reales del sistema: x+y+x=2

...( 1 )

2xy – z2 = 4

...( 2 )

Solución : Como el sistema es de dos ecuaciones con tres incógnitas, eliminemos una de las variables, digamos z . Así tenemos, De ( 1 ) : z = 2 – x – y

... ( 3 )

(3) en (2): 2xy – (2 – x – y)2 = 4

� 2xy – (4 + x2 + y2 – 4x + 2xy – 4y) = 4

� – x2 – y2 +4x + 4y – 8 = 0

� x2 – 4x + 4 + y2 –4y + 4 = 0

� (x – 2)2 + (y – 2)2 = 0

� x–2=0 y

x=2

� De (3):

z=2–2–2= –2

y–2=0

y=2

y �

z = –2

5 .- Aclarar para que valores reales de x e y se cumple la igualdad:: 5x2 + 5y2 +8xy + 2y – 2x +2 = 0 Solución : Al observar la igualdad dada, notamos que aparece un término xy además de los términos x2, y2, x , y, así como también, un término independiente;

91

entonces, esto sólo ocurrirá si tenemos un trinomio cuadrado, luego, descompongamos convenientemente la igualdad dada. Si : 5x2 + 5y2 +8xy + 2y – 2x +2 = 0

... ( I )

� (4x2 + y2 + 1 + 4xy –4x – 2y) + (x2 + 4y2 + 1 + 4xy +2x + 4y +1) = 0 � (2x + y – 1)2 + (x + 2y + 1)2 = 0 � 2x + y – 1 = 0

y

� 2x + y = 1

... (  )

... (II)

x + 2y + 1 = 0 y

... (  )

x + 2y = –1

Resolviendo el sistema, dadas por las ecuaciones (1) y (2), logramos que: i) 2(  ) – (  ) : 2(2x + y) – (x + 2y) = 2( 1 ) – ( –1 ) x=1

� 3x = 3 �

ii) (  ) – 2(  ) : 2x + y – 2(x + 2y) = 1 – 2 ( –1 ) � – 3x = 3 �

y = –1

También, la expresión dada en (I), podemos expresarla como : (x2 – 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + (4x2 + 8xy + 4y2) = 0 � (x – 1)2 + (y + 1)2 + [ 2(x + y) ]2 = 0

... (III)

Al aplicar la propiedad asociativa, de la adición, a la expresión (III), podemos concluir que: x–1=0 ,

y+1=0

y

2(x + y) = 0

lo cual lo sustentaremos con el siguiente teorema, obteniendo así que: x=1

y = –1

y

Teorema : Para a, b, c ��, a2 + b2 + c2 = 0 � a = b = c = 0 Demostración : i) Si : a2 + b2 + c2 = 0

... ( 1 )

entonces, de ( 1 ) : a2 + b2 = – c2

... ( 2 )

a, b ��, a2 + b2 � 0

... ( 3 )

( 2 ) en ( 3 ) : – c2 � 0 � c2 � 0 � c2 = 0 � c2 < 0 � c = 0 � c �f �

... (  )

c=0

(  ) en ( 1 ) : a2 + b2 + c2 = 0 � a2 + b2 = 0 y por el teorema anterior : a2 + b2 = 0

a=0

b=0 92

�

��

... (  )

Entonces, de (  ) y (  ), si : a2 + b2 + c2 = 0 � a=0 � b=0 � c=0 ii) Si a = b = c = 0 � a2 + b2 + c2 = 02 + 02 + 02 = 0 + 0 + 0 = 0 luego, si a = b = c = 0 Teorema :

a, b, c �¹

Si

� a2 + b2 + c2 = 0 y

a

0 , entonces

" x ��, ax 2 + bx + c < 0 � a < 0 � b2 - 4ac � 0 Demostración : Si:

ax 2 + bx + c < 0 , a �0

2 � b �b � 2 � � � a� x + x +� � � �� � a 2a � � �

2 2 � �b � �� � b� � b2 � � � � � � + c <0 � a � x+ � +c < 0 �� � � 2� � � � � �� � � 2a � 2a 4a � � �

2

2

� b� � b� � b2 b2 � � � a� � x + + c < 0 a x + < - c � � � � � 4a � � � 2a � � 2a � � 4a 2

� b� b2 - 4ac � � a� x + < � � � � � 2a � 4a

... (  )

2

� b� � b 2 - 4ac Si a < 0 � � x + > � � � � 2a � � 4a2

... ( I )

Si la desigualdad (I) debe cumplirse "x ��, entonces sólo es necesario que

b2 - 4ac � 0 � b2 - 4ac � 0 2 4a

Es decir que: " x ��, ax2 + bx + c < 0 � a < 0 � b2 – 4ac � 0 El análisis para a>0 no da como solución " x ��, sino, da un subconjunto, 2

� b� b2 - 4ac � � > � x + < puesto que de (), si: a 0 � � � � � 2a � 4a 2 i) Si b2 – 4ac > 0 , entonces : – �

-

b2 - 4ac b < x+ < 2 4a 2a

... (II) b 2 - 4ac 4a 2

b + b2 - 4ac - b + b 2 - 4ac < x < 2a 2a

ii) Si b2 – 4ac < 0 2

� b� � b2 - 4ac � De (II) : � < 0 � x �� x + < � � � � 2a � � 4a2

93

(T: 1.5.24)

Ejemplo :

¿Para qué valores de a, la desigualdad x 2 - 8x + 20 < 0 se verifica " x ��? ax 2 + 2(a +1)x + 9a + 4

- , -2 � A) ��

1 - ,- � C) �� 2

- , -1� B) ��

- ,2 � D) ��

-1, �� E) �

0 Puesto que: x 2 - 8x + 20  ( x - 4 ) + 4 �4 � 2

Solución :

Entonces: ax2 + 2(a + 1)x + 9a + 4 < 0

... (1)

y si esta desigualdad debe verificarse "x �� y sólo : Si

a <0

�

D  b2 - 4ac �0

�

a <0

�

D� 2 ( a + 1) � � �- 4a ( 9a + 4 ) �0

�

a <0

�

4 a 2 + 2a + 1 - 9a 2 - 4a �0

�

a <0

�

8a2 + 2a - 1 �0

�

a <0

�

( 2a + 1) ( 4a - 1) �0

�

a <0

�

2a + 1 < 0 � a �-

\ a� � - � ,-

Teorema :

2

(

)

1 2

1 � 2

Para a,b,c �¹ y a

0 , entonces

ax2 + bx + c > 0, " x �R , � a > 0 � b2 – 4ac < 0 Demostración : Si, a �0 completando cuadrados como el teorema anterior lograremos que: 2

� b� b2 - 4ac � ax2 + bx + c > 0 , � a � x + > � � � � � 2a � 4a

... (  )

2

� b� b2 - 4ac � Si a > 0, entonces: � x + > � � � � � 2a � 4a2

... (II)

Para que esta desigualdad (II) se cumpla " x �� es necesario y suficiente que b2 – 4ac < 0 si a > 0 Es decir que:

" x ��, ax2 + bx + c > 0 � a > 0 � b2 – 4ac < 0

94

El análisis para a < 0 no da como solución todo el conjunto de los reales, 2

puesto que de (), si a < 0 �

i) Si b – 4ac > 0 � – 2

� b� b2 - 4ac � � x + < � � � � � 2a � 4a 2

b2 - 4ac b < x+ < 2 4a 2a

2 � - b + b - 4ac < x < 2a

...()

b2 - 4ac 4a2

2 - 4ac - b 2a

ii) Si b2 – 4ac < 0 , de () : x �� Ejemplos : 1.- Resolver: x 2 + x +1 > 0 Solución :

En este ejercicio

a = b = c = 1, entonces a > 0 � D = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = – 3 < 0 � " x �� 2

� 1� 3 También, si: x 2 + x +1 >0 � �x + �+ > 0 � "x �� � 2� 4

(T: 1.5.22)

2.- Si a > 0, y = ax 2 + (1 –2a)x + a, hallar el conjunto de valores de a tal que " x ��, y > 0. - , A) ��

1 � 4

Solución :

1 , C) �� 4

- ,4 � B) ��

Apliquemos el teorema anterior

2 Si " x ��, y  ax + ( 1 - 2a ) x + a > 0

�

a>0 �

D = b2 - 4ac �0

�

a>0 �

D = ( 1- 2a) - 4a.a �0

�

a>0 �

( 1- 2a) - ( 2a) �0

�

a>0 �

( 1- 2a + 2a) ( 1- 2a - 2a) �0

2

2

2

95

1 , D) �� 2

2, E) ��

�

( 1) ( 1- 4a) �0 �

a>0 �

� a�

a>0 �

1 �4a �

a>0

1 4

¨ \

a޹

1 , 4

2x 2 - ax + 1 3.- Si f(x) = 2 . Hallar todos los valores reales de “ a “ para los x + 2x + 2 cuales – 1 < f(x) < 3 , " x �� Solución : � –1<

– 1 < f(x) < 3 , " x ��

Como:

2x 2 - ax + 1 < 3 , " x �� x 2 + 2x + 2

... (I)

donde : x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 � 1 > 0, " x �� 2 2 2 entonces de (I) : - ( x + 2x + 2) < 2x - ax +1 < 3 ( x + 2x + 2)

�

- x 2 - 2x - 2 < 2x 2 - ax +1 � 2x 2 - ax +1 < 3x 2 + 6x + 6

� 3x 2 + ( 2 - a) x + 3 > 0 � x 2 + ( a + 6) x + 5 > 0 2

2

�

D1 = ( 2 - a) - 4.3.3 � 0 � D 2 = ( a + 6) - 4.5 � 0

�

( 2 - a) � 62 � ( a + 6) � ( 2 5 )

�

- 6 � 2- a � 6 � - 2 5 � a +6 � 2 5

2

... (II)

2

2

� - 4 �- a �8 � - 2 5 - 6 �a � 2 5 - 6 �

a � -4, 2 5 - 6

Falta insertar una gráfica También si a = – 4, se cumple que:

( 3x

2

) (

+ 6x + 3 > 0 � 3 ( x + 1) > 0 � x 2 + 2x + 5 > 0 � 2

x � – 1 � x �� � x �� – { – 1 } 96

( x + 1)

2

+4 > 0

)

4.- Sea A = { a � � / � es el conjunto solución de la desigualdad : ax2 – 6x + a2 > 2ax – 3x2 – 1},

determinar, por extensión, el conjunto

A. (UNI: Examen Sustitutorio. Ciclo: 80 – II. Lima, 11 de Agosto de 1981) ax2 – 6x + a2 > 2ax – 3x2 – 1

Solución :

�� (a + 3)x2 – 2(a + 3)x + a2 + 1 > 0 " x �� ( �Conjunto solución) ... () � a + 3 > 0 � ∆ = [ –2 (a + 3)]2 – 4(a + 3) (a2 + 1) � 0 � a > – 3 � 4(a + 3)2 – 4(a + 3)(a2 + 1) � 0 � a > – 3 � 4(a + 3) (a + 3 – (a2 + 1)) � 0 (a + 3) � a > – 3 � 1442443(2 + a – a2) � 0

... (1)

(+)

De (1): 2 + a – a2 � 0 � a2 – a – 2 � 0 � (a – 2)(a + 1) � 0 �

a > –3

�

a �2

�

a � –1 ‫ڳ‬-�>3 a

1

a

2

Si a + 3 < 0, de (1): a2 – a – 2 < 0 � (a – 2)(a + 1) < 0 � –1 < a < 2

�

a < –3

�

a�

También: a = – 3 �A, ya que de () : 0x2 – 2(0)x + (–3)2 + 1 = 10 > 0 a �{ - 3 } U � -3, -1] U [ 2, ��

�

5.- Hallar todos los valores reales de m para los cuales el polinomio

(m

2

)

- 1 x 2 + 2 ( m - 1) x + 1 es positivo para todos los valores reales de x.

2 2 Solución : Si: ( m - 1) x + 2 ( m - 1) x +1 > 0 , " x �� 2 2 � m2 - 1>0 � � 2 ( m - 1) � � �- 4 ( m - 1) �0

97

� m2 >1 � 4 ( m - 1) � m - 1- ( m + 1) � �0 � � �

( m > 1 � m <- 1) � 4 ( m - 1) ( - 2) �0 �

( m > 1 � m <- 1) � m - 1 �0 m >1 �

m ��� 1,

Apreciamos, además, que si en el trinomio dado hacemos m = 1 se logra que: 0.x 2 + 2( 0) x +1 > 0 � 1 > 0 . Entonces, todos los valores de m se determinan 1 ó m por la desigualdad m �Υ�

 1,

.

6.- ¿Con qué valores de a la desigualdad A) -�,-2

B) -6,-4

x 2 + ax - 1 < 1 se verifica con toda x? 2x 2 - 2x + 3

C) -6, -2

D) -6, 4

-2,6 � E) �

Solución: " x ��: 2x2 – 2x +3 > 0 puesto que: D = 22 – 4(2)(3) = – 20 < 0 2

� 1� 5 También: 2x – 2x + 3 = 2 � x- � + > 0 , entonces, si: � � � � � 2� 2 2

x 2 + ax - 1 < 1 � x 2 + ax - 1 < 2x 2 - 2x + 3 2 2x - 2x + 3 2

� x 2 - ( a + 2) x + 4 > 0

2

� ( a + 2) - 4.1.4 < 0 � ( a + 2) < 42 � - 4 < a + 2 < 4 � - 6 < a < 2 �

a � -6,2

7.- ¿ Con qué valores de a el sistema de desigualdades - 6 <

2x 2 + ax - 4 <4 x 2 - x +1

se verifica con toda x? Solución: " x ��: x2 – x +1 > 0 puesto que: D = 12 – 4(1)(1) = – 3 < 0 2

� 1� 3 3 ó también como: " x ��: x2 – x +1 = � x- � + � > 0 , entonces, si: � � � � � 2� 4 4 - 6<

2x 2 + ax - 4 2 2 2 < 4 � - 6 ( x - x +1) < 2x + ax - 4 < 4 ( x - x +1) 2 x - x +1

- 6x 2 + 6x - 6 <2x 2 + ax - 4 � 2x 2 + ax - 4 <4x 2 - 4x + 4 � 8x 2 + ( a - 6) x + 2 >0 � 2x 2 - ( a + 4) x + 8 >0 98

2

2

� D = ( a - 6) - 4 ( 8) ( 2) <0 � D = ( a + 4) - 4 ( 2) ( 8) <0 �

2

2

( a - 6) < 82 � ( a + 4) < 82

� - 8 < a - 6 <8 � - 8
a � -2,4

8.- ¿ Para cuáles valores de a se satisface el sistema de desigualdades - 3<

x 2 + ax - 2 < 2 cualesquiera que sean los valores de x? x 2 - x +1

Solución: " x ��: x2 – x + 1 rel="nofollow"> 0, entonces: - 3 ( x 2 - x +1) < x 2 + ax - 2 < 2 ( x 2 - x +1) � - 3x 2 + 3x - 3 < x 2 + ax - 2 � x 2 + ax - 2 < 2x 2 - 2x + 2 � 4x 2 + ( a - 3) x +1 > 0 � x 2 - ( a + 2) x + 4 > 0 2

2

D = ( a - 3) - 4.4.1 < 0 � D = ( a + 2) - 4.4.1 < 0 2

2

� ( a - 3) < 42 � ( a + 2) < 42 � - 4 < a- 3 < 4 � - 4 < a +2 < 4 � - 1< a < 7 � - 6 < a < 2 � - 1< a < 2

�

a � -1,2

9.- Obtener los dos únicos límites numéricos entre los que puede estar comprendido el parámetro k, con la condición de que se satisfaga la doble inecuación - 3 <

x 2 - kx +1 < 3 para cualquier valor de x. x 2 + x +1

99

2

� 1� 3 Solución: Como: " x ��: x + x + 1 = � x+ � + > 0 la doble � � � � � 2� 4 2

2 2 2 inecuación equivale a : - 3 ( x + x +1) < x - kx +1 < 3 ( x + x +1)

� - 3x 2 - 3x - 3 < x 2 - kx +1 � x 2 - kx +1 < 3x 2 + 3x + 3 �

4x 2 +( 3 - k ) x + 4 > 0 � 2x 2 + ( 3 + k ) x + 2 > 0

Si las ecuaciones deben satisfacerse " x �� 2

2

�

D1 = ( 3 - k ) - (4)(4)(4) < 0 � D 2 = ( 3 + k ) - (4)(2)(2) < 0

�

( k - 3) < 82 � ( k + 3) < 42

2

2

� - 8 < k - 3 < 8 � - 4 < k +3 < 4 � - 5 < k < 11 � - 7 < k < 1 � -5 < k < 1

\

k � -5,1

100

DESIGUALDADES LINEALES O DE PRIMER GRADO Tienen su origen en un polinomio lineal, P(x) = ax + b tal que P(x)

0.

Se resuelven empleando las propiedades de las desigualdades estudiadas anteriormente. Ejemplo, resolver: 2x + 5 ≤ – x + 14 Solución : Si 2x + 5 + x + (–5) ≤ – x + 14 + x + (–5) �

2x + x + 5 + (–5) ≤ x + (–x) + 9 + 5 + (–5)

�

(2 + 1)x + 0 ≤ 0 + 9 + 0

�

3x x≤≤ 93

�

I ) Sistemas de Desigualdades o Inecuaciones con una Incógnita Es un conjunto de inecuaciones que se satisfacen simultáneamente para un rango de valores de la incógnita. Ejemplo, resolver:

2 - 4x 3x + 3 >- x - 3 � >x- 1 6 4

Solución : i)

2 - 4x > - x - 3 � 2 – 4x > – 6x – 18 � 2x > –20 � x > –10 6

… (1)

ii)

3x + 3 > x - 1 � 3x + 8 > 4x – 4 � – x > –12 � x < 12 4

… (2)

De ( 1 ) y ( 2 ): –10 < x < 12 ��

x �� - 10,12 �

II) Sistemas de Desigualdades o Inecuaciones con dos o más incógnitas Se resuelven según los pasos siguientes: 1) Se despeja una misma incógnita de todas las inecuaciones 2) Se comparan entre si los segundos miembros 3) Se realizan los pasos 1 y 2 tantas veces como sea necesario, hasta obtener un sistema de inecuaciones con una incógnita.

101

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, para valores enteros de x e y, si: 50x – y > 48

... (1)

y – 40x > 152

... (2)

y – 30x < 372

... (3)

Solución: De (1) : y < 50x – 48

.... (4)

De (2) : y > 40x 152

.... (5)

De (3) : y < 30x + 372

... (6)

De (4) y (5) : 40x + 152 < y < 50x – 48 � 50x – 48 > 40x + 152 �

�

10x > 200

x > 20

... ()

De (5) y (6): 40x + 152 < 30x + 372 �� 10x < 220 �� x < 22 De () y ():

20 < x < 22

x = 21

�

x ��.

� y < 1002

Si x = 21, en (4):y < 50(21) – 48

... ()

en (5) : y > 40(21) + 152 � y > 992

... ()

en (6) : y < 30(21) + 372 � y < 1002

... ()

De (), (), (): �

,

... ()

992 < y < 1002 y ��

y = 993, 994, ... , 1001

102

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO ORDEN Son expresiones algebraicas que tienen su origen en un polinomio de segundo grado tal como:

P(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 , b, c ��

La solución de esta desigualdad son los valores de x tal que P(x)

0 , cuya

solución depende de la naturaleza de su discriminante (1.4.3), se presentan 3 casos: CASO I.- Cuando : ∆ = b2 – 4ac > 0 Ejemplos: a) Resolver: x2 – x – 6 > 0

∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)( –6) = 25 > 0 � x2 – x – 6 > 0 �� (x – 3)(x + 2) > 0

�

- � < x <- 2 U 3 < x < �

b) Resolver: x2 – 2x < 0

∆ = (– 2)2 – 4(1)(0) =4 > 0 � x2 – 2x < 0 �� x(x – 2) < 0

�

0<x<2

103

CASO II.- Si: ∆ = b2 – 4ac = 0 Ejemplos : a) Resolver : x 2 - 2 2x + 2 > 0

(

Solución : D  -2 2

)

2

- 4(1)(2)  0

x 2 - 2 2x + 2 > 0 �� (x –

2 )2 > 0

�

x2 + 2x + 1 < 0 �� (x + 1)2 < 0 �

x�

{

x ��- - 2

}

b) Resolver : x2 + 2x + 1 < 0 Solución :

∆ = (2)2 – 4(1)(1) = 0 (T: 1.5.24)

CASO III.- Si : ∆ = b2 – 4ac < 0 Para a, b, c reales demostrar que ax2 + bx + c es negativo para

Teorema :

todo x real si, y solo si a > 0 y b2 – 4ac > 0 Demostración : 2

b2 � b � Sea y = ax + bx + c = a �x + + c � 4a � 2a � 2

� si y < 0 , " x �� � a > 0 � c � a >0 � c <

b2 <0 4a

b2 � a > 0 � 4ac < b2 4a

Es decir : " x �� y = ax2 + bx + c < 0 �� a < 0 � ∆ = b2 – 4ac < 0 Ejemplos : a) Resolver : x2 + 2x + 5 < 0 Solución : ∆ = 22 – 4(1)(5) < 0 Si : x2 + 2x + 5 < 0 � (x + 1)2 + 4 > 0 � " x ��, puesto q

ue

" x ��, (x + 1)2 � 0 � (x + 1)2 + 4 � 4 > 0 � x2 + 2x + 5 < 0 , " x ��

104

b) Resolver : x2 + 4x + 13 < 0 Solución : ∆ = 42 – 4(1)(13) = – 36 < 0. Si : x2 + 4x + 13 < 0 � (x + 2)2 < – 9 � x �f

105

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- El peso específico  de un cuerpo está dado por la fórmula  

A , A-W

donde A es el peso en el aire y W es el peso en el agua. Demostrar, para cuerpos con peso específico mayor que 3, que

2 A<W
Solución: Resolveremos este problema de dos maneras distintas: I) Por dato  rel="nofollow"> 3 y además:   �

A � A-W

A A - 3(A - W) -3 >0  >0 A-W A-W

A > 3, A-W 3W - 2A >0 A-W

�

... (1)

Utilizando el teorema T: 1.5.18, tendremos, entonces que: � (3W – 2A > 0

A–W>0)

(3W – 2A < 0

�

(3W > 2A

A > W)

(3W < 2A

�

(W >

2 A 3

W
(W <

2 A< W
W rel="nofollow"> A)

W�

A � (A – W) = A � A – W = A � A – A = W A-W

� A ( + 1) = W � W  Por dato:  > 3 > 0, � 0 < � 1 > 1-

�

A < W)

2 A<W
�

II) Si :  

2 A 3

A – W < 0)

1 2 rel="nofollow">  3

A>W>

2 A 3

A( - 1) � 1� � W  A� 1- �  � �

1 1 1 1 1 1 < � 0 > - > - � 0 + 1 > 1- > 1 3  3  3

A>0 �

��

... (2)

� 1� 2 A > A� 1 - �> A � � 3

2 A<w
106

2.- En el problema anterior, demostrar que

1 1 A < W < A , para los cuerpos 5 3

que tienen pesos específicos entre 1.25 y 1.50. � 1� 1- � Solución : Como W  A � � � Además: 1.25 <  < 1.50

� -

�

4 1 2 <- <5  3

1 1 1 < 1- < 5  3

�

�

1-

(Problema anterior) 5 3 2 1 4 << � < < 4 2 3  5

4 1 2 < 1- < 15  3

� 1� 1 1 A < A� 1 - �< A 5 � � 3

�

1 1 A<W< A 5 3

�

3.- La altura h (pies) sobre el suelo de un cohete”estratosférico”, t segundos después del despegue está dado aproximadamente por h = 425t – t 2, si se desprecia la resistencia del aire. Hallar el intervalo de tiempo durante el cual el cohete está más arriba de 10,000 pies. Solución : Si h = 425t – t2 rel="nofollow"> 10,000

�

– (425t – t2) < – 10,000 2

� t2 – 425t < – 10,000

2

�

2

� 425 � �425 � t� � < � �- 10,000 � 2 � �2 �

2

2

425 � �425 � � 425 � �425 � �425 � � � t< � �- (100)2 � � t<� + 100 � - 100 � � � � � � 2 � �2 � � 2 � �2 � �2 � 2

2

2

425 � �425 + 200 � �425 - 200 � � � 425 � 625 �225 �375 � � � t<� � � � � � � 2 � �t - 2 � < 4 � 2 � � 2 � � � � � �2 �

� -

375 425 375
�

25 < t < 400 seg

107

4.- Se va a doblar en forma de rectángulo un alambre de 14 pulgadas de largo, ¿Qué condición debe satisfacer el lado más corto si la diagonal del rectángulo ha de medir menos de 5 pulgadas? Solución : Sean “x” e “y” las dimensiones del rectángulo tal que, y < x. La longitud del alambre debe ser igual al perímetro del rectángulo, luego: 2(x + y) = 14 � x + y = 7

... (1)

x = 17 – y

... (2)

Si “d” es la diagonal del rectángulo, luego: d < 5 . Además, si :

�

x2 + y2 = d < 5

x2 + y2 < 25

... (3)

� 49 – 14y + y2 + y2 < 25

(2) en (3) : (7 – y)2 + y2 < 25

2

� 2y2 – 14y < – 24 2

�

� 7 � 49 �y - 2 � < 4 - 12 � �

�

� 7 � �1 � �y - 2 � < �2 � � � ��

2

2

2

�

2

� 7 � 49 - 48 1 �1 �  �� �y - 2 � < 4 4 �2 � � �

�

Si : y < x � y + y < x + y

De (I) y (II) :

2

� 7 � �7 � y2 – 7y < – 12 � �y - � < � �- 12 � 2 � �2 �

�

-

1 7 1 < y- < 2 2 2

�

� 2y < x + y = 7 �

3
y<

7 = 3,5 2

... (I)

... (II)

3 < y < 3,5

5.- Se corta un cuadrado de dos pulgadas de lado, de cada esquina de una pieza rectangular de aluminio, y la pieza restante se dobla hacia arriba para formar una caja abierta. Se requiere que la caja mida 4 pulgadas más de largo que de ancho y que su volumen esté entre 24 y 42 pulg 3? ¿Qué condición debe satisfacer el ancho de la caja?

Solución : 108

Sea “x” el ancho de la caja y V su volumen. Por dato: 24 < V < 42

... (1)

La figura así formada, será un paralelepípedo y su volumen será el producto de sus dimensiones, es decir: V = 2x (x + 4) (2) en (1):

... (2)

24 < 2x (x + 4) <42

� 12 < x(x + 4) < 21 � 12 < x2 + 4x < 21 � 16 < x2 + 4x + 4 < 25 � 16 < (x + 2)2 < 25 � 4<x+2<5 �

2<x<3

6.- Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para cercarlo posee un alambre de 160 mts de longitud. ¿Qué rango de valores puede tener el radio si su área no ha de ser menor que 700 m2? Solución : De la figura, el perímetro del sector debe ser la longitud del alambre, luego:

l = 2R + L = 160 m

... (1)

� L = 2(80 – R)

... (I)

Sea S el área del sector: S ........... L � R2L RL � S  �S  � 2 R .......... 2R � 2R 2 (I) en (II) : S 

... (II)

1 R ( l - 2R ) �700 � 1 R. 2(80 – R) � 700 2 2

� R(80 – R) ≥ 700 � 80R – R2 ≥ 700 � R2 – 80R ≤ –700 � (R – 40)2 ≤ 900 � – 30 ≤ R – 40 ≤ 30 � 40 – 30 ≤ R ≤ 40 + 30 � 10 ≤ R ≤ 70

�

R � [10, 70]

7) Un circuito eléctrico contiene una batería que proporciona E volts, en serie con una resistencia de R ohms, como se muestra en la figura. Entonces, la corriente de I amperios que fluye en el circuito satisface la ley de Ohm, E = RI. 109

Si 25 < R < 50, ¿ Cuál es el rango de valores posibles de I ?

Solución: Por dato:

E R

i) E = RI � I =

ii) 25 < R < 50 � Como: E < 0 � (1) en (2):

... (1) 1 1 1 < < 50 R 25

E E E < < 50 R 25

... (2)

E E 100 100
2< I <4

1 1 1 1  + + de la resistencia total R en un circuito R R1 R 2 R3

8.- Dada la fórmula

eléctrico que contiene tres resistencias R1, R2 y R3 , conectadas en paralelo. Si 10 �R1 �20 ,

20 �R 2 �30

y

30 �R 3 �40 encuentre el rango de

valores para R. Solución: Si: 10 �R ‫ޣ‬1 �20 �

1 20

1 R1

20 �R ‫ ޣ‬2 � 30 �

1 30

1 R2

1 20

... ( 2 )

30 �R ‫ޣ‬3 � 40 �

1 40

1 R3

1 30

... ( 3 )

( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ):

1 10

... ( 1 )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + � + + � + + 20 30 40 R1 R 2 R3 10 20 30 6+4+3 1 6+3+2 � � 120 R 60

�

13 1 11 � � 120 R 60

110

�

60 120 �R � 11 13

9.- Una bobina uniforme de alambre que tiene una resistencia eléctrica de 10 ohmios va a cortarse en dos partes y las dos partes van a conectarse luego en paralelo. Sea R1 la resistencia de una de las partes. ¿ Qué rango de valores puede tener R1 si la resistencia equivalente a las dos bobinas en paralelo no ha de exceder a 1.6 ohmios ? Nota: la resistencia R equivalente a dos resistencias R1 y R2 en paralelo está dada por

1 1 1  + R R1 R2

10) Determine el intervalo al que pertenece la razón geométrica si los lados de un triángulo están en progresión geométrica. Solución : Sea “a” uno de los lados de los triángulos y “q” la razón geométrica. Supongamos que : c = aq y b = aq 2. Por condición de existencia de los lados

de

un

triángulo

podemos

expresar que: b – c < a < b + c � aq2 – aq < a < aq2 + aq , �a : q2 – q < 1 < q2 + q 2 � 1� � � q - �< 5 � 2� 4

� �

-

� q2 – q < 1 � 1 < q2 + q

�

2 � 5 <� 1 � � q+ � 4 � 2�

5 < q- 1 < 5 � q + 1 > 5 2 2 2 2 2

� 1-

5 < q < 1+ 5 � q > 5 - 1 2 2 2

�

5 - 1 < q < 5 +1 2 2

...(1)

Como: a > 0 � b = aq > 0 � c = aq2 > 0 � a>0 �q>0 ( 1 ) I ( 2 ) : q�

... (2) 5 - 1, 5 +1 2 2

111

CONJUNTO DE SOLUCIONES DE LAS DESIGUALDADES Se entiende por conjunto solución de una desigualdad, como el conjunto de valores de la incógnita (rango de valores) para los cuales es cierta una desigualdad dada. Hemos desarrollado las principales propiedades de las desigualdades, en la sección precedente, ahora estamos interesados en combinar los resultados obtenidos y determinar que operaciones pueden efectuarse con una desigualdad para llegar al conjunto de soluciones. Daremos los siguientes teoremas importantes: 1-5-26 Teorema : El conjunto de soluciones de una desigualdad tal como: f(x)

g(x) no se altera sumando un polinomio p(x) a ambos

miembros; esto es: f(x) + p(x)

g(x) + p(x)

NOTA: Nosotros buscaremos siempre, que el polinomio p(x) sumado, sea tal que haga nulo uno de los miembros de la desigualdad original, y así, luego de algunas simplificaciones algebraicas, poder expresar en otra equivalente para poder aplicar por lo general los teoremas a.5.16 y 1.5.18 y principalmente la “regla práctica de los signos” , regla que nos proporcionará soluciones rápidas y sencillas. Ejemplo : Resolver la siguiente desigualdad:

x - 2 x +1 < x + 2 x -1

Solución : x - 2 x +1 < x + 2 x -1

��

x +1 x - 2 > 0 �� x -1 x + 2

(x + 1)(x + 2) - (x - 2)(x - 1) >0 (x + 2)(x - 1)

��

x 2 + 3x + 2 - x 2 + 3x - 2 > 0 �� (x + 2)(x - 1)

6x x > 0 �� >0 (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1) x �� 2 >0 x +x-2

x ��

2

� 1� 9 �x + 2 �- 4 � �

112

>0

2 � � 1� 9 �� � x > 0 �� x + �� 2� 4 �

� � �

2 � � 1� 9 � �� � x > 0 ��x + � > � � 2� 4 � �

2 � � � 1� 9 x < 0 � �x + � - < 0 � � � 2� 4 � �

2 � � 1� 9 � x < 0 ��x + � < � � � 2� 4 � �

� � 1 3� � 1 3 �� � x > 0 ��x + > � x + < - � � 2 2� � 2 2 � � ��  x > 0 �(x > 1 � x < -2)

3 1 � x < 0 �- < x + < � 2 2 �

3� 2� �

 x < 0 �- 2 < x < 1

Sólo da solución: x > 0 � x > 1 � ( x > 0 �x < –2 )

De (1) y (2) :

x > 1 � x �f

... (1)

–2<x<0

... (2)

x ��2,0 -��� U 1,

1.5.27 Teorema : El conjunto de soluciones de una desigualdad f(x)

g(x) no

se altera multiplicando ambos miembros por un factor p(x) que sea un número positivo "x ��; esto es: p(x) > 0 "x �� � f(x)

g(x) @ p(x) f(x)

p(x) g(x)

Ejemplo: Determinar el conjunto de soluciones para la desigualdad: 4x + Solución : Si 4x +

25 > 20 x

25 > 20 , vemos que x ≠ 0, luego p(x) > 0 x

�� 4x3 + 25x > 20x2 �� 4x3 – 20x2 + 25x > 0 �� x (4x2 – 20x + 25) > 0 �� x (2x – 5)2 > 0 �� ( x > 0 � (2x – 5)2 > 0 ) 5� � �� �x > 0 � x � � �� 2� �

�5 � x ��� 0, - � � �2

113

Ejemplo : Determinar el conjunto de soluciones para la siguiente desigualdad:

1 >1 x +3

Solución : Resolveremos este ejercicio de dos maneras: A) Si

1 >1 � x+3

�1 > 0 � x+3>0 � �x + 3 � 0 < x+3 <1 �

... (1) ... (2)

De (1) y (2) : 0 < x + 3 < 1 �� – 3 < x < –2 ��

B)

x �� - 3, -2 �

1 1 x+2 > 1 �� 1 < 0 �� <0 x+3 x+3 x+3 �� [(x + 2 > 0

x + 3 < 0)

(x + 2 < 0

�� [(x > –2

x < –3 )

(x < –2

x + 3 > 0)] x > –3)]

x�

–3 < x < –2

� –

3 < x < –2

�� 4.-

x �� - 3, -2 �

Entre que valores debe estar comprendido m para que

–2

quede

comprendido entre las raíces de la ecuación: 48x 2 + 16 ( m - 1) x + m2 - 4  0

Solución :

Podemos resolver por:

A) Método I :

“ Completar cuadrados “

2 2 Si : 48x + 16 ( m - 1) x + m - 4  0

(1) �12 �

( 2x )

2

m2 - 4 �m - 1 � + 2� 2x +  0 ( ) � 12 �3 �

114

... (1)

2

�

3 �

�3 �

12

2

(

4 ( m - 1) - 3 m2 - 4 2

2

2 m - 1� �m - 1 � m - 4  � 2x +  � � � �



)

36 2

m - 1 � m2 - 8m + 16 �m - 4 �� 2x + m - 1  �m - 4  � 2x +   � � � � 3 6 3 � 36 � � 6 � i) Si: 2x +

m -1 m-4 m - 4 m -1  � 2x  3 6 6 3

ii) Si: 2x +

m -1 m-4 m - 4 m -1 � 2x  3 6 6 3

Como: x2 < –2 < x1 �

� x1 

- ( m + 2)

� x2  -

m- 2 m +2 <- 2 <4 12

� 2 – m < – 8 � 24 > m + 2 � 10 < m � m < 22 � 10 < m < 22

�

� � m �10,22

115

12 m-2 4

...() ...()

PROBLEMAS RESUELTOS x3 - 2 x3 - 4 < 2 1) Resolver: 2 x +1 x +2 (UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Mayo de 1972) Solución : Como : x2 + 1 > 0 � x2 + 2 > 0 " x �� � (x2 + 1) (x2 + 2) > 0 �

x3 - 2 x3 - 4 � (x3 – 2) (x2 + 2) < (x3 – 4) (x2 + 1) < 2 2 x +1 x +2 � x5 + 2x3 – 2x2 – 4 < x5 + x3 – 4x2 – 4

� x3 + 2x2 < 0 �� x2 (x + 2) < 0 �� x2 > 0 � x + 2 < 0 x �� – { 0 } � x < –2 � x < –2 ��

x � �– �, –2 �

2) Enunciando cada una de las propiedades consideradas, demostrar que si x < 0 entonces x + 1 < 2 . x

(UNI: Lima, 6 de Mayo de 1972)

Demostración : Si

x < 0 � x – 1 < –1 < 0 � (x – 1) < 0

� (x – 1)2 > 0 � x2 – 2x + 1 > 0 � x2 + 1 > 2x Si

x < 0 � x–1 < 0 � x–1(x2 + 1) < 2x . x–1 �

3) Resolver:

x + 1 <2 x

x 2 + 2 > x 2 +1 x 4 +1 x4 + 2

(UNI: Lima, 6 de Mayo de 1972)

Solución : Resolveremos este problema por 2 maneras distintas. � x 4 +1 �1 > 0 � � (x4 + 1) (x4 + 2) > 0 A) Como : x �� : x � 0 � � 4 � x + 2 � 2 > 0 � 4

Luego, si :

x 2 + 2 > x 2 +1 �� (x4 + 2) (x2 + 2) > (x4 + 1) (x2 + 1) x 4 +1 x4 + 2

� [ (x4 + 1) + 1 ] . [ (x2 + 1) + 1 ] > (x4 + 1) (x2 + 1) � (x4 + 1) (x2 + 1) + (x4 + 1) + (x2 + 1) + 1 > (x4 + 1) (x2 + 1) � x4 + x2 + 3 > 0 , x �� 116

Porque: � x 2 �0 � � � x4 + x2 + 3 �0 + 3 > 0 � x4 + x2 + 3 > 0, x �� � �4 "x � x �0 � 2

�2 1� 11 � " x �� o también : x + x + 3 > 0 �� � x + � >� � � � � 2� 4 4

2

B) Sabemos que : � x 2 + 2 > x 2 +1 > 0 � � " x ��: 2 > 1 � � 4 1 1 � x + 2 > x 4 +1 > 0 � 4 > 4 � � x +1 x + 2 �

... ( a ) ... ( b)

x 2 + 2 > x 2 +1 � " x �� Multiplicando (  ) por (  ) : 4 x +1 x4 + 2 4) Hallar todos los números reales que satisfagan la desigualdad siguiente: x +1 > 1 x +1 x 2 +1 Solución : " x ��: x2 + 1 > 0 A) i) Si : x + 1 > 0 � (x + 1)(x2 + 1) > 0 , entonces :

x +1 > 1 x +1 x 2 +1

� (x + 1)2 > (x2 + 1) Si x > –1 � x2 + 1 + 2x > x2 + 1 � 2x > 0 � x > 0 , si x > –1 � x > 0 � x � �0 , ��

ii) Si x + 1 < 0 �

x +1 > 1 �� (x + 1)2 < (x2 + 1) x +1 x 2 +1 x2 + 2x + 1 > x2 + 1

� 2x < 0 � x < 0 si x < –1 x � �– � . –1 �

\ ( i ) U ( ii ) : x � �– � . –1 �U �0 , �� B) Si

(x +1)2 - (x 2 +1) x +1 > 1 x +1 - 1 > � �� >0 0 x +1 x +1 x 2 +1 (x 2 +1)(x +1) x2 + 1

117

2x x 2 + 2x +1- x 2 - 1 x > 2 > 0 � (x 0 +1)(x +1) > 0 � 2 { x +1 (x +1)(x +1) (+)

[(x> 0 y x+1> 0) ó (x < 0 y x+1 < 0)] [ ( x > 0 y x > –1 ) ó ( x < 0 y x < –1 ) ]

x > 0 � x ��0 , �� ó x < –1 � x � �– � . –1 � x � �– � . –1 �U �0 , �� 5) Dados los conjuntos A y B: 2 � � A = x �� / x 2 - x �0 ; B = � x �� / x x + 1 < 0� . � �. Hallar A I B� 2 4 � � � �

{

}

(

)

(UNI. Examen Parcial. Lima, 22 de Mayo de 1972) Solución : Para el conjunto “A” : 2

� 1� x x 1 1 1 � 0 � x2 - + � � x �0 + x- � � � � � � 2 2 16 16 � 4 � 16 2

� –

1 1 1 �x – � 4 4 4

A = { x �� / 0 � x �

... (T: 1.5.23) � 0 � x �

1 2

1 } 2

... (  ) 2

� 1� < 0 Para el conjunto “B” : x � x+ � � � � � � 4� 2

� 1� 1 1 1 � x+ > 0 , " x �– �0 � � Si x �– x+ � � � � � 4 4 4 � 4� 2

� 1� � Si x � < 0 x+ � � � � � � 4�

... (T: 1.5.16B)

�

� B = { x ��/ x < 0 } � B´ = { x ��/ x � 0 } De (  ) y (  ) :

118

x<0 ... (  )

A I B´ = { x ��/ 0 � x �

1 } 2

� 0� x �

6) Dados: A = { x ��/ x2 – 6x + 9 > 0 } Hallar:

AI

1 2

y B = { x ��/ x + 3 < 0 }

B

(UNI: Primera Práctica. Lima, 30 de Septiembre de 1972) Solución : Para “A” : x2 – 6x + 9 > 0 � (x – 3)2 > 0 � " (x – 3) �0 �� � " x �3 A = { x ��/ x �3 } �

A = { x ��/ x = 3 } ó x � { 3 }

Para “B” : x + 3 < 0 � x < – 3 B = { x ��/ x � – 3 }

� B = { x ��/ x < – 3 } �

\

AI

B = { x ��/ x = 3 } ó x � { 3 }

7) Hallar el conjunto solución de:

1 <3 x - 6x + 9 2

Solución : 1 1 < 3 , además (x – 3)2 > 0 � x �3 < 3 �� (x 3)2 x - 6x + 9 2

�

1 1 >0 < < 3 �� (x – 3)2 > 1 2 2 (x - 3) (x - 3) 3 1

� x–3> x >3 +

3 1 3

ó ó

1

x–3 <– 1

x >3-

x � - �,3 -

... (T: 1.5.21)

3

3 1

U 3+

3

8) Resolver la siguiente desigualdad :

1 3

,�

2 < x +2 <1 x- 2 x- 2

Solución : 2 < x +2 <1 � 2 < x+2 � x+2 < 1 x- 2 x- 2 x-2 x-2 x-2 119

� x + 2 – 2 >0 � x + 2 – 1 < 0 � x + 2 - 2 > 0 � x + 2 - x + 2 <0 x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 �

x > 0 � 4 < 0 �� x >0 � 1 < 0 x-2 x-2 x-2 x-2

�

x > 0 � x–2 <0 � x <0 � x–2 < 0 � x < 2 x-2

� x<0 � x<2 �

x<0

x � �– �, 0 �

9) Hallar el menor número N tal que " x ��, se cumple: 3 – x2 – x4 � N. Solución : Como : 3 – x2 – x4 = 3 +

1 1 13 1 – ( x4 + x + ) = – (x2 + )2 4 4 4 2

Además : " x ��: x2 > 0 � x2 +

1 1 1 1 � � (x2 + )2 � 2 2 2 4

� – (x2 + �

... ( 1 )

1 2 1 ) �– 2 4

13 1 13 1 13 1 � – (x2 + )2 � – – (x2 + )2 � 3 4 2 4 4 4 2

De ( 1 ) y ( 2 ) : 3 – x2 – x4 � 3 �

...( 2 )

N=3

2

2x - 3x + 3 > - 1 10) Resolver la desigualdad: (x - 2)(2x + 3) 2 Solución : 2 2x 2 - 3x + 3 > - 1 � 2x 2 - 3x + 3 + 1 > 0 � 6x - 7x > 0 A) Si: (x - 2)(2x + 3) 2 2 2(2x 2 - x - 6) 2x 2 - x - 6

�� [ (6x2 – 7x > 0 �2x2 – x – 6 > 0) �(6x2 – 7x < 0 �2x2 – x – 6 < 0) 2 2 � � 7� � 49 � 1 � 49 � � � � � � �� � x> � x > � � � � � � 16 � � � � 4� � � � 12 144 � � � �

2 2 � � 7� � 49 � 1 � 49 � � � � � � x < � x < � � � � � � � 16 � � � 4� � � � 12 144 � � � �

� � 7 � 7 7 7� � �� � x> � x<� � � � � � 12 12 � 12 12 � �

� � 1 7 1 7� � � x- > � x - >- � � � � � 4 4 � � 4 4� �

� 7 7 7 7 1 7� <x< �- < x - < � � � � � � � � 12 12 12 4 4 4� � � 7 � � �� � x > � x < 0� � � � � � 6 � � � �

� � � � 3� 7 3 � � �� � x > 2 � x <- � 0 < x < �< x < 2 � � � � � � � � � � � � � 2 � 6 2 120

� � 3 � x <� x > 2� � � � � � � � 2

\

x � - �,-

� 7� � 0<x < � � � � � � 6�

3 7 U 0, U 2, � 2 6

B) Usaremos la solución práctica: Si

2 x(6x - 7) x(6x - 7) 2x - 3x + 3 > - 1 �� > 0 � f(x) = >0 (x - 2)(2x + 3) 2 (x - 2)(2x + 3) (x - 2)(2x + 3)

i) Hallamos los puntos de corte de f(x) / f(x) =

N � x �� / N = 0 �D = 0 D

ordenándoles en forma creciente, es decir, si: a) N = x(6x – 7) = 0 � x = { 0 , 7/6 } b) D = (2x + 3)(x – 2) = 0 � x = { –3/2 , 2 } ii) Hacemos el análisis en cada intervalo formado por los puntos de corte. iii) La solución pedida será aquel intervalo / f(x) > 0.

1°) Si : x < -

N : x <0, 6x - 7 <0 � 3 � � � � D :2x + 3 <0, x - 2 <0 2 � � f(x) =

\ 2°) Si : -

(- )(- ) (+) = = (+)>0 � f(x) = 0 (- )(- ) (+)

x � �– �, -

3 � 2

� N : x <0, 6x - 7 <0 3 <x<0 � � � � D :2x + 3 >0, x - 2 <0 2 � � f(x) =

(- )(- ) (+) = = (- ) <0 � f(x) < 0 (+)(- ) (- )

121

... ( )

3°) Si : 0 < x <

7 6

� N : x >0, 6x - 7 <0 � � � � D :2x + 3 >0, x - 2 <0 � � f(x) =

\ 4°) Si :

(+)(- ) (- ) = = (+) >0 � f(x) > 0 (+)(- ) (- )

x � �0,

7 � 6

... ( )

� N : x >0, 6x - 7 >0 7 <x<2 � � � � D : 2x + 3 >0, x - 2 <0 6 � � f(x) =

(+)(+) (+) = = (- ) <0 � f(x) < 0 (+)(- ) (- )

� N : x >0, 6x - 7 >0 5°) Si : x > 2 � � � � D : 2x + 3 >0, x - 2 <0 � � f(x) =

\ ( ) U ( ) U ( ) :

(+)(+) (+) = = (+) <0 � f(x) > 0 (+)(+) (+)

x � �2 , ��

x � �– �, -

... ( ) 3 7 �U �0, �U �2 , �� 2 6

11) Hallar todos los números reales que satisfagan la desigualdad siguiente, y dar el intervalo solución, e ilustrar en la recta numérica: 1 – x – 2x 2 � 0. (UNI: Primera Práctica. Lima, 2 de Noviembre de 1974) Solución : 2

� 1� x 1 1 1 2 1 – x – 2x2 � 0 �� x + - �0 �� � x+ � � � � � 2 + 16 � 2 2 � 4� �� -

3 1 3 1 �� –1 � x � �x + � 4 4 4 2

�� x � [ –1 ,

1 ] 2

12) Dados los conjuntos A y B, hallar A I B . A = { x ��/ x2 – x – 2 � 0 }

y B = { x ��/ x2 – 4x – 5 � 0 } (UNI:1974)

Solución :

122

2

� 1� 1 3 1 3 9 �� x - � � x - �“A” : x – x – 2 � 0 �� � x- � � � � � � 2 2 2 2 � 2� 4 2

� x � 2 � x � –1 � A = { x �� / x � �� , –1 ] U [ 2 , � �} “B” : x2 – 4x – 5 � 0 �� (x – 2)2 � 9 �� –3 � x – 2 �3 �� –1 � x � 5

\

B = {x �� / –1 � x � 5 } �

A I B = { x ��/ x � [ 2 , 5 ] U { –1 }

13) Resolver: (x – a)(x – b)(x – c) > 0 para a < b < c. (UNI: Primera Práctica. Lima, 5 de Mayo de 1977) Solución : Usaremos el método práctico : Sea f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) > 0 . Puntos de corte : x = { a, b, c }

� x - a <0 � � � x - b < a - b < 0 � f(x) = (–) (–) (–) = (–) < 0 1. ) Si : x < a � � � � x - c 0 � � x - b <0 � f(x) = (+) (–) (–) = (+) > 0 2. ) Si : a < x < b � � � � x - c 0 � x � �a, b �

... (  )

0 c - a >0 � � x - b > c - b > 0 � f(x) = (+) (+) (+) = (+) > 0 4. ) Si : x > 0 � � � � x- c >0 � � � f(x) > 0 � x � �c, �� () U ():

x ��a, b �U �c, ��

123

... (  )

14) Si x > 0 , b > 0 y a ≠ 0 demostrar que: a + x , está situado entre 1 y a . b+x b (UNI: Primera Práctica. Lima, 5 de Mayo de 1977) Solución : Si a �0 � a < 0 ó a > 0

... (Tricotomía)

i) Si a < 0 � a < 0 < b � a < b � a + x < b + x Como : x > 0 � b > 0 ( 2 ) en ( 1 ) :

1 >0 b+x

� x+b> 0 �

a +x <1 b +x

... ( 1 ) ... ( 2 ) ... (  )

ii) Si a > 0 � 1) 0 < a < b

ó

2) 0 < b � a

1) Si : 0 < a < b � es idéntico al caso i). 2) Si : b < a � 0 < b + x < a + x � 1 <

a+x b+x

... (  )

También : b < a � x > 0 � bx < ax � bx + ab < ax + ab � (a + x) b < (b + x) a � De (  ) y (  ) :

1<

a+x a < b+x b

…()

a+x a < b+x b

2 15) Resolver: x + 3x + 2 < x - 2 x- 2 x +2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 5 de Mayo de 1977) Solución : x 2 + 3x + 2 < x - 2 �� x 2 + 3x + 2 – x - 2 < 0 x +2 x- 2 x +2 x- 2 2

2

�� (x + 2)(x + 3x + 2) - (x - 2) < 0 (x - 2)(x + 2)

��

��

x 3 + 4x 2 +12x <0 x2 - 4

��

x(x 2 + 4x +12) <0 x2 - 4

x� (x + 2)2 + 8� x � � �� < 0 , porque: (x + 2)2 + 8 > 0 " x �� < 0 2 2 x - 4 x - 4

�� [ ( x > 0 � x2 – 4 < 0 ) � ( x < 0 � x2 – 4 > 0 ) ] �� [ ( x > 0 � x2 < 4) � ( x < 0 � x2 > 4) ] �� [ ( x > 0 � –2 < x < 2 ) ] � [ ( x < 0 � ( x > 2 � x > – 2 ) ] �� 0 < x < 2 � x < – 2 x � �– � , – 2 �U � 124

��

16) Resolver la siguiente desigualdad :

7x + 21 � x + 3 x +5

(UNI: Primera Práctica. Lima, 23 de Septiembre de 1977) Solución : Si :

7x + 21 � x + 3 �� 7x + 21 - x + 3 �0 x +5 x +5 2

� 1� � 25 � 7x + 21- x - 8x - 15 x +x- 6 x+ � � � �� �0 �� �0 �� � � 2� 4 �0 x +5 x +5 x +5 2

2

2 � � � 1� 25 � �� � � �� � x + � � x + 5 > 0 � � � � 4 � � � 2 � � � �

2 � � � 1� � 25 � � � x + � � x + 5 < 0 � � � � � 2� � � 4 � � � �

� � 1 5 1 5� � �� � x + � � x + �- � �� x >� � � � 2 2 � 2 2� � �� � 2 x 3) x 5� ( x ->���-�-<�-‫�ڣ‬ � �

� �5 � 1 5 5�� � - �x + � � x <- 5� � � 2 2 �2 � � �

[ 3 x 2

x

5]

( - 5 < x �- 3 � x > 2) � ( f )

x � �– 5 , – 3 ] [ 2 , �� 17) Resolver la siguiente desigualdad :

x 2 +1 � x - 5 x- 2

(UNI: Examen Parcial. Lima, 11 de Noviembre de 1977) Solución : 2 2 Si : x +1 � x - 5 x +1 - (x - 5) �0 x- 2 x- 2 2 2 �� x +1- x + 7x - 10 �0 x- 2

x �[

x 2 +1- (x - 5)(x - 2) �0 x- 2

7x - 9 �0 x- 2

9 ,2 � 7

125

18) Encontrar el menor valor de B y el mayor valor de A para que A �

x +7 � B si x � [ –1 , 3 ] . x + 4x + 4 2

(UNI: Examen Sustitutorio. Lima, 29 de Enero de 1978) Solución : 6 �x + 7 �10 � Si x � [ –1, 3 ] �� –1 � x � 3 � � � � 1 �x+2 ‫���ޣ‬ 5 � ��

... ( 1 ) 1 (x+2)2

25

1 1 1 1 � �1 �� � 2 �1 2 25 (x + 2) 25 x + 4x + 4

... ( 2 ) ... ( 3 )

1 x +7 �6 �1 ( 1 ) �( 3 ) (en cruz): 10 � � 2 25 x + 4x + 4 ��

2 x +7 � 2 �6 � 5 x + 4x + 4

19) Resolver:

B=6

5 � 1 2x - 1 x- 2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 14 de Abril de 1978) Solución : Si :

x- 3 5 � 1 5 1 �0 �� �0 �� (2x - 1)(x - 2) 2x - 1 x- 2 2x - 1 x- 2

� � � �� � x 3 � 0 � (2x 1) (x 2) > 0 � 144424443144 424443 � � [ x - 3 �0 �(2x - 1)(x - 2) > 0 ] � � � � � � � � x >-�<-�‫<ڣ‬-�<-��� 3 x 3 ( (2x 1) 0 (x 2) 0) � � � �

( (2x 1) 0 (x 2) 0) � �

� � � � 1 � � � � � x <�>�>�<�‫��<�<ڣ‬ 3 � x x 2 x 3 � � � � � � � 2 � � � � �

2)

� � (x � � �

[ x �3 � x > 2 ] � [ ( x �3 � x �3 �

1 <x<2 � 2

20) Hallar la solución de :

1 x 2

(x

1 <x<2 �f ] 2

1 x � � , 2 �U [ 3 , �� 2

x - 2 �3x + 2 x +4 x +2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 14 de Abril de 1978) Solución .

126

1 2

x

� � � 2)� � � � � �

3x + 2 � x - 2 - 3x + 2 �0 � (x - 2)(x + 2) - (x + 4)(3x + 2) �0 Si: x - 2 � x +4 x +2 x +4 x +2 (x + 4)(x + 2) �

x 2 - 4 - 3x 2 - 14x - 8 - 2(x 2 + 7x + 6) � � 0 �0 x 2 + 6x + 8 x 2 + 6x + 8 2

� 1� � 25 � x+ � x + 7x + 6 � � � � 2 �0 � � 2 � 4 �0 x + 6x + 8 (x + 3)2 - 1 2

2 2 � � � � � 7� � 25 � 7� � 25 2 2 � � � � � � x + � 0 � (x + 3) 1 > 0 � x + � 0 � (x + 3) 1 < 0 � � � � � � � � � � � � � � � � 2 4 2 4 � � � � � � � � 2 � � � 7� � 25 2 � �� � x + � � (x + 3) > 1 � � � � � � � 2� 4 � � � �

2 � � � 7� � 25 2 � � � x + � � (x + 3) < 1 � � � � � � � 2� 4 � � � �

� � � 7 5 7 5� � � � �� x + � � x + �� x + 3 > 1 � x + 3 <1 ( ) � � � � � � � 2 2 2 2� � � �5 � 7 5 � - �x + � �- 1 < x + 3 < 1 � � � 2 2 �2 � � 1 x 6) 2 x ( x ->>-�-��-�->�-<�-‫ڣ‬-� (x �

4) � �

( x �– 1 � x �– 6 )

[ 6 x

1

4

2]

x

� ( – 4 < x �– 2 )

x � �– � , – 6 ] U �– 4 , – 2 �U [ –1, ��

21) Resolver :

x- 1 � 1 x 2 - 4x + 8 x - 1

(UNI: Primera Práctica. Lima, 14 de Abril de 1978) Solución : x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 � 4 > 0 , " x ��. i) Si x – 1 > 0 �

x- 1 1 � � (x – 1)2 � x2 – 4x + 8 x - 4x + 8 x - 1 2

� si x > 1 � x2 – 2x +1 � x2 – 4x + 8 �� 2x � 7 � x � � si x > 1 � x � ii) Si x – 1 < 0 �

7 7 � x � [ , �� 2 2

x- 1 1 � � (x – 1)2 � x2 – 4x + 8 x - 4x + 8 x - 1 2

� x2 – 2x +1 � x2 – 4x + 8

127

7 2 ... (  )

� si x < 1 � 2x � 7 � x � � si x < 1 � x �

\

7 � x < 1 � x � �– �, 1 � 2

() U ():

22) Hallar la solución de:

7 2

x � �– �, 1 �U [

... (  )

7 , �� 2

x +14 < x + 5 x- 2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Octubre de 1978) Solución : Si �

x +14 < x + 5 �� x +14 - (x + 5) < 0 �� x +14 - (x - 2)(x + 5) <0 x- 2 x- 2 x- 2 x +14 - x 2 - 3x +10 <0 x- 2

��

- (x 2 + 2x - 24) <0 x- 2

��

(x +1)2 - 25 >0 x- 2

� �� � (x +1)2 - 25 > 0 � x - 2 > 0� (x +1)2 - 25 < 0 � x - 2 < 0� � �� � � �� [ (x +1> 5 � x +1 <- 5) � x > 2] � [- 5 < x +1 < 5 � x < 2 ] � � � - 6 < x < 4 �[ 0,1] x < 2� ( x > 4 � x <- 6) � x > 2� � � �� 1 4444444444442444444444444 43� 144444444444244444444444 43�

x >4 � - 6 <x <2

\

x ��– 6 , 2 �U �4 , ��

2 23) Si f(x)  2x2 - ax + 1 . Hallar todos los valores reales de “a” para los cuales x + 2x + 2

–1 < f(x) < 3, "x ��. (UNI: Examen Parcial. Lima, 21 de Mayo de 1979) Solución :

128

Como : –1 < f(x) < 3

2 –1 < f(x)  2x2 - ax + 1 < 3 x + 2x + 2

... ( 1 )

Además : x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0 De ( 1 ) : – (x2 + 2x + 2) < 2x2 – ax + 1 < 3(x2 + 2x + 2) � – x2 – 2x – 2 < 2x2 – ax + 1 � 2x2 – ax + 1 < 3x2 + 6x + 6 � 3x2 + (2 – a)x + 3 > 0 � x2 + (6 + a)x + 5 > 0

... ( 2 )

Si : a > 0 , " x ��, ax2 + bx + c > 0 �� b2 – 4ac < 0 ( D < 0) De ( 2 ) : (2 – a)2 – 4 (3) (3) < 0 � (6 + a)2 – 4 (1) (5) < 0 � (2 – a)2 < 36 � (6 + a)2 < 20 � – 6 < 2 – a < 6 � – 20 < 6 + a < 20 � – 8 < – a < 4 � – 2 5 – 6 < a <2 5 – 6 � – 4 < a < 8 � – 2 5 – 6 < a <2 5 – 6 a ��– 4 , 2 5 – 6 �

24) Resolver la inecuación: 3x5 – 6x4 + 9x3 – 18x2 + 3x – 6 � 0 (UNI: Primera Práctica. Lima, 18 de Enero de 1980) Solución : Si: 3x5 – 6x4 + 9x3 – 18x2 + 3x – 6 � 0 � x5 – 2x4 + 3x3 – 6x2 + x – 2 � 0 Por Ruffini : 1 x–2 1

–2

3

–6

1

–2

2

0

6

0

2

0

3

0

1

0

� x5 – 2x4 + 3x3 – 6x2 + x – 2 =

4 2 (x - 2)(x +43x +1) 144444 244444 43 � 0

(+)

x 2 �0� � Además: " x ��: � x4 + 3x2 + 1 � 1 > 0 , " x �� 4 x �0� � 2 (x 4 +43x +1) 244444 43 > 0 De (  ) � x – 2 � 0 � 144444

x ��

� x � 2 � x �� �

x � �– �, 2 ]

129

... (  )

25) Resolver:

x- 2 < x . 2 2 x - 16 x - 4x + 6

(UNI: Primera Práctica. Lima, 31 de Octubre de 1980) Solución : x- 2 < x <0 �� x2 - 2 - 2 x x 2 - 16 x 2 - 4x + 6 x - 16 x - 4x + 6 �

- 6(x 2 - 5x + 2) <0 � (x 2 - 16)(x 2 - 4x + 6)

x 2 - 5x + 2 >0 (x 2 - 16)(x 2 - 4x + 6)

... ( 1 )

Pero x2 – 4x + 6 = (x – 2)2 + 2 � 2 > 0 De ( 1 ) :

x 2 - 5x + 2 >0 x 2 - 16

[ (x2 – 5x + 2 ) > 0 � x2 – 16 > 0 ] � [ x2 – 5x + 2 < 0 � x2 – 16 < 0 ] 2 � � � 5� � 17 2 � �� � x > � x > 16 � � � � � � � 2� 4 � � � �

2 � � � 5� � 17 2 � � � x < � x < 16 � � � � � � � 2� 4 � � � �

� � 17 5 5 17 � � � � � � � i) x > + � x < � ( x > 4 � x <- 4) � � � � � 2 2 2 2 � � � � � � � 17 5 � 17 5 � � � � � ii) � + < x < + � 4 � x < 4 � � � � � � 2 2 2 2 � � � De (i) : 17 + 5 x Υ-�, 2

U

, 4

... (  )

,4

... (  )

De (ii) : x�

De (  ) U (  ) : x � - �,- 4

U

5-

17 2

5-

,4 U

17 2

17 + 5 ,� 2

26) Si a > 0, y = ax2 + (1 – 2a)x + a. Hallar el conjunto de valores de a tal que: y > 0, " x ��. (UNI: Primera Práctica. Ciclo 80-1, Lima, 31 de Octubre de 1980) Solución : 130

Si y > 0 , " x �� � D = b2 – 4ac < 0

\

... (Pág. 37.4)

D = (1 – 2a)2 – 4aa < 0 � (1 – 2a)2 – (2a)2 < 0

�� (1 – 2a + 2a ) (1 – 2a – 2a ) < 0 �� 1. (1 – 4a ) < 0 �� 1 – 4a < 0 � 1 < 4a

��

a>

1 4

�

aΥ

1 , 4

27) Resolver: (x + 2)4 (x2 – 5) < 0 Solución : Si : (x + 2)4 (x2 – 5) < 0 como (x + 2)4 > 0 " x �– 2 � (x2 – 5) < 0 si x �– 2 �� si x �– 2 � x2 < 5 �� si : x �– 2 � – 5 < x <

5 �

x � �– 5 ,

5 �– { –2 }

x 2 - 1(x - 1)2(x 3 - 13x +12) �0 (x + 4)3(x 3 + 8x 2 + 4x - 48)

3

28) Resolver la desigualdad:

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo: 80-II. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : Por Ruffini, tenemos que: x3 – 13x + 12 = (x – 1) (x – 3) (x + 4) x3 + 8x2 + 4x – 48 = (x – 2) (x + 4) (x + 6) La desigualdad propuesta se puede expresar como : 3

x 2 - 1(x - 1)2 (x - 1)(x - 3) (x + 4)

�0 �

(x + 4)3 (x - 2) (x + 4) (x + 6) (x 2 - 1)(x - 1)(x - 3) �0 (x + 4)(x - 2)(x + 6)

3

x 2 - 1(x - 1)3 (x - 3) �0 (x + 4)3 (x - 2)(x + 6)

... ( I )

(T: 1.5.29, 1.5.30)

Como : x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) En ( I ) :

(x +1)(x - 1)2 (x - 3) �0 (x + 4)(x - 2)(x + 6)

... ( II ) x=1

Si x =1 � De ( II ) : 0 � 0 �

(es una solución)

Si x �1 � x – 1 �0 � (x – 1)2 > 0 De ( II ) : Sea F(x) =

(x +1)(x - 3) �0 (x + 4)(x + 6)(x - 2)

Por la ley de los signos : 131

... ( III )

x +1 <- 5 < 0 � � � � x - 3 <- 9 < 0 � � (- )(- ) x + 4 <- 2 < 0 � F(x) = Si x < – 6 � � � = (–) < 0 � (- )(- )(- ) � x +6 <0 � � � � x - 2 <- 8 < 0 � Si para

x <– 6

� F(x) < 0 , luego en todos los demás intervalos los

signos saldrán alternados, siendo la solución pedida: F(x) > 0 ��

x � �– 6 , – 4 �U [ – 1 , 2 �U [ 3 , ��

29) Hallar todos los valores reales de x que satisfaga la desigualdad: 3

x + 5 (x +1)4(x + 2) 5 x 2 - 7x +12 4 8 - x �0 6 x + 7 (x - 8)3(x 3 - 8)(x 2 - 14x + 48)

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo: 81-I. Lima, 16 de Octubre de 1981) Solución : Aplicando los teoremas: T: 1.5.27, 28, 29 y 30, la desigualdad dada se puede expresar a otra equivalente: (x + 5)(x +1)4(x + 2)(x 2 - 7x +12) 4 8 - x �0 6 x + 7 (x - 8)(x 3 - 8)(x 2 - 14x + 48) Como : �

i)

x �8

4

8 - x �0 ,

6

... ( I )

(T: 1.5.29,30)

x +7 > 0 � 8 – x � 0 � x + 7 > 0 x >– 7

... ( 1 ) ;

... ( 2 )

Si x �8, de ( I ): el denominador se anula � x = 8 no es solución

... ( 3 )

De ( I ) vemos que : x = – 1 es una solución

... ( 4 )

Si : x �1 � x + 1 �0 � (x + 1)4 > 0 , x �8 � 8 – x �0 �

8- x >0 ,

luego la desigualdad ( I ) se convierte en : (x + 5)(x + 2)(x 2 - 7x +12) � �0 (x - 8)(x 3 - 8)(x 2 - 14x + 48) �

(x + 5)(x + 2)(x - 4)(x - 3) �0 (x - 8)(x - 2)(x 2 + 2x + 4)(x - 6)(x - 8)

... (  )

Como : x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x +4) y

x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 � 3 > 0 � x2 + 2x + 4 > 0 , " x ��

132

De (  ) : (x + 5)(x + 2)(x - 3)(x - 4) (x + 5)(x + 2)(x - 3)(x - 4) �0 � f(x) = �0 (II) 2 (x - 8) (x - 2)(x - 6) (x - 2)(x - 6) Por la regla de los signos: De (II) : Puntos de Corte : { – 5, – 2, 2, 3, 4, 6 }

x + 5 < 0, x + 2 <- 3 < 0 � � � x - 3 <- 8 < 0, x - 4 <- 9 < 0 Si x < – 5 � � � � x - 2 <- 7 < 0, x - 6 <- 11 < 0 � � En (II)

\

f(x) =

(- )(- )(- )(- ) (+) = = (+) > 0 � f(x) > 0 si x < – 5 (- )(- ) (+)

Luego la solución será " x �� / f(x) � 0 , del esquema tenemos, luego que: x � [ – 5 , – 2 ] U �2 , 3 ] U [ 4 , 6 � De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) y ( 5 )

\

x � [ – 5 , – 2 ] U { – 1 } U �2 , 3 ] U [ 4 , 6 �

133

... ( 5 )

REGLA PRACTICA DE LOS SIGNOS A continuación resolveremos algunos ejercicios sencillos sobre inecuaciones, que nos permitirá inducir a partir de estas soluciones una metodología de solución a otros ejercicios de mayor complejidad. Resolver las siguientes inecuaciones. 1.- Resolver: ax – b > b para 0 < a < b Solución : � b� x- � > 0 ... (I) Si : ax – b > 0 � a � � � � a�

Método I :

Como a > 0, luego, de (I) : x – Método II : De (I), si a –

b b b > 0 � x > ... (1) � x �� , �� a a a

b b =0 � x= , valor que llamaremos punto a a

de corte, valor que que no puede tomar x puesto que no tendría sentido la expresión (I), luego, por el axioma de tricotomía sólo puede ocurrir que: i) x >

b a

ax – b > 0

... (2)

� ii) x <

b a

ax – b < 0

... (3)

Podemos representar en un esquema el cambio de signo de la expresión “ax – b” …()

b Se requiere que ax – b > 0 , lo cual sucede según el esquema si x �� , �� a 2.- Resolver: x2 – (a + b)x + ab > 0 , a < b Solución : Método I : Por aplicación del teorema: T: 1.5.16 Si x2 – (a + b)x + ab > 0 � (x – a)(x – b) > 0

... (I)

i) Si: x – a > 0 � x – b > 0 � x > a � x > b � x>b

... (1)

� x ��b , �� 134

... (II)

ii) Si : x – a < 0 � x – b < 0 �

x
... (2)

� x ��– �, a �

... (III)

De (II) y (III) , (II) U (III): x ��– �, a �U �b , �� Y el signo de la expresión: (x – a)(x – b) lo apreciamos en el siguiente esquema: ... (  )

Método II : Por puntos de corte. De (I), si: (x – a)(x – b) = 0

� x = a � x = b valores que llamaremos

puntos de corte. Valores que no puede tomar x puesto que la expresión (I) no tendría sentido, luego, por el axioma de tricotomía tendríamos que trabajar en tres zonas de la recta numérica. Sea : f(x) = (x – a)(x – b) i) Si:

x
�

� x - a <0 � � f(x) = (–)(–) = (+) � f(x) < 0 � � x - b
0 <x- a � ii) Si: a < x < b � � � � � x- b <0

iii) Si : x rel="nofollow"> b �

� f(x) = (+)(–) = (–) � f(x) < 0

x - a >b- a >0 � � � � x- b >0 �

� f(x) = (+)(+) = (+) � f(x) > 0

Como queremos hallar el conjunto de valores de x tal que el producto sea positivo, luego, la solución será, de i) y iii): x ��– �, a �U �b , �� 3.- Resolver: (x – a)(x – b)(x –c) > 0, a < b < c Solución : Usaremos el método práctico. Sea: f(x) = (x – a)(x – b)(x –c) > 0 Puntos de corte: si f(x) = 0 � x = a, b, c en los puntos de corte.

135

i) Si :

� x - a <0 � � � � x - b
x
� f(x) = (–)(–)(–) = (–) < 0 � f(x) < 0… ( 1 ) � 0<x- a � � � � x- b <0 � � � � x - c
ii) Si : a < x < b

� f(x) = (+)(–)(–) = (+) rel="nofollow"> 0 � f(x) > 0

…(2)

� x � �a , b �

…()

� 0 0 � f(x) < 0 iv) Si :

x>c �

…(3)

� x- a >c - a >0 � � � x- b >c - b >0 � � � x- c >0 � �

� f(x) = (+)(+)(+) = (+) > 0 � f(x) > 0

…(4)

� x ��c , ��

…()

Como se busca la solución para f(x) > 0, lo cual ocurre en (ii) y (iv), luego, la solución se da en (  ) y (  ), es decir que: x � �a , b �U �c , ��lo cual lo podemos expresar en el siguiente esquema:

... (  )

Conclusión : De los tres ejercicios resueltos y de los esquemas mostrados en (  ), (  ) y (  ) podemos expresar 4.- Dada la ecuación: 2x2 – mx + (6 – m) = 0, hallar m para que la ecuación tenga raíces complejas. A) �– � , –12 �

B) �–12 , 4 �

136

C) [–1 . 1 ]

D) �4 , � �

E) �

Solución : Para que la ecuación: 2x 2 – mx + (6 – m) = 0 posea raíces complejas debe cumplirse que: D = b2 – 4ac < 0, entonces, si se tiene la ecuación: 2x2 – mx + (6 – m) = 0, debe cumplirse que: D = (–m)2 – 4(2)(6 – m) < 0 � m2 – 48 + 8m < 0 � m2 + 8m – 48 < 0 � (m + 12)(m – 4) < 0 � � –12 < m < 4 � m � �–12 , 4 � Ejemplos : 1.- Hallar el menor número entero tal que:

x 2 + 5x - 10 >1 x 2 + 2x - 8

Solución : 3x - 2 x 2 + 5x - 10 –1>0 � 2 >0 � 2 x + 2x - 8 x + 2x - 8

3x - 2 ( x + 4) ( x - 2) > 0 , luego,

aplicando el método práctico de los signos a la desigualdad, se tiene que: � x � - 4, 2 3

2.- Resolver :

( x + 3) ( 4 - x) ( - 3x + 2) ( x 2 +1)

(x

2

2

+ 6x + 9) ( x - 1) ( 2 - 5x )

U �2 , ��

�0

Solución : La expresión dada podemos expresarla como: � - ( x - 4) � - ( 3x - 2) � ( x + 3) � ( x 2 +1) ( x + 3) ( x - 4) ( 3x - 2) ( x 2 +1) � � � � �0 � – �0 2 4 � 5x 2 x + 3 x 1 5x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( x2 + 6x + 9) ( x - 1) � � �

( x - 4) ( 3x - 2) ( x 2 +1) ( x - 4) ( 3x - 2) � � � �0 0 3 ( x - 1) ( 5x - 2) ( x + 3) ( x - 1) ( 5x - 2)

� x � –3

Aplicando la regla práctica de los signos: � � x � 2 , 2 �U �1 , 4 � 5 3� 137

�� � –1 �" �� �\ �� ��U I ���f l � �

-n 1 1.5.27 a Definición : Si n �� , entonces: a  n , n ≠ 0, a�� a

1.5.27 b Teorema : a �� , a ≠ 0 y m, n ��, entonces:

am  am - n . an

1.5.27 c Definición : a �� , a0 = 1 , a ≠ 0 1.5.27 d Definición : Sean a, b > 0, n ��, si bn = a , entonces: b  a1 n  n a

( )

mn m 1.5.27 e Definición : Si b > 0 y m ��, n ��, entonces b  b

1n

Ejemplo: Demostrar que a > 0, m ��, n ��, �

(b ) m

1n

( )

 b1 n

m

138

Demostración : Sea: x  a1 n � a = xn y am = (xn)m = (xm)n

(a ) m

n

( )

 xm  a1 n

1.5.27 f

�

m

Definición :

n

am  am n , a �R, a > 0 , n, m �N

Ejemplo: Demostrar que :

m

n � a�  � �

n

am

Demostración : Como : m

n

a  a1 n �

m

n � a�  � a1 n �  am n  n am � � � �

Teorema : Si a ≠ 0 � a2n > 0 y a = 0 � a2n = 0

1.5.28

Demostración : i) Como : a2n = (an)2

… (1)

Sea : b = an � " b ≠ 0 � b2 = (an)2 > 0

… (2)

(T: 1.5.11)

De (1) y (2) : a2n = (an)2 > 0 � a2n >0

si a ≠ 0

ii) Si a = 0 � a2n = a . a2n–1 = 0 . a2n–1 = 0 � a2n = 0 si a =0 Conclusión : " a �� : a2n ≥ 0 Teorema : Si a2n+1 > 0 �� a > 0 ó a2n+1 ≥ 0 �� a ≥ 0

1.5.29

a2n+1 < 0 �� a < 0 ó a2n+1 ≤ 0 �� a ≤ 0 Demostración : Como : a2n+1 = a2n . a i) Si: a2n+1 > 0 �� a2n . a > 0 �� a > 0 ii) Si: a2n+1 < 0 �� a2n . a < 0 �� a < 0 Conclusión : Toda cantidad

elevada a potencia impar tiene el

mismo signo que su base. Este teorema es útil cuando tengamos que resolver una desigualdad que tengan potencias impares, bastará eliminar dichas potencias y dejar sólo las bases. Ejemplo:

139

Si: (x – 7)3 (x + 3)5 (x + a)9 < 0 �� (x – 7) (x + 3) (x + a) <0 Ejemplo: Sea {a, b} � R, luego:

3

-a > 0 �� ab < 0 b

(UNI: Examen Parcial. Ciclo: 80-II. Lima, 28 de Mayo de 1981) Solución : Si

3

-a > 0 � b2 3 -a > b2.0 � b 3 -a > 0 b b

(

�� b 3 -a b(–a) > 0

1.5.30

)

3

> 0 �� b3 (–a) > 0 � b2[b(–a)] > 0 ��

ab < 0 �� –ab > 0 �� – (–ab) < 0 ��

Teorema : Si :

i)

2n +1

a > 0 �� a > 0 2n +1

ii)

a < 0 ��

a<0 Demostración : Como:

2n +1

(

a2n  a2n 2n +1  an 2n +1

)

2



(

2n +1

an

)

2

>0

" a ��

Luego, si: i)

2n +1

2n

1 2n +1 > 0 � a1 2n+1.a 2n+1 > 0.a2n 2n+1 a > 0 �� a

� a(1+ 2n) (2n+1) > 0 � a1 > 0 � a > 0 ii)

2n +1

... (I) 2n

1 2n +1 < 0 � a1 2n+1.a 2n+1 < 0.a 2n 2n+1 a < 0 �� a

� a(1+ 2n) (2n+1) < 0 � a1 < 0 � a < 0

... (II)

De (I) y b(II) : Conclusión : El signo de una expresión con radicales de índice impar es el mismo que el signo de la cantidad subradical Es decir, si tenemos que resolver una desigualdad sólo con índices impares, se logrará el mismo resultado si eliminamos las raíces.

140

Ejemplos : 1) Resolver:

5

2-x

3

x + 1 7 x 2 - 9 �0 �� (2 – x)(x + 1)(x

2

– 9) ≥ 0 – (2 – x)(x + 1)(x2 – 9) ≤ 0 � (x – 2)(x + 1)(x2 – 9) ≤ 0 (x – 2)(x + 1)(x + 3)(x – 3) ≤ 0 � (x + 3) (x + 1)(x – 2) (x – 3) ≤ 0 P. C. = { –3, –1, 2, 3 } �x +3 < 0 �x +1 < 0 � si x < -3 � � �x - 2 < 0 � �x - 3 < 0 (x + 3) (x + 1)(x – 2) (x – 3) = (–) (–) (–) (–) = ( + ) > 0 , si x < –3 Por la regla de los signos:

x � -3, -1 U  2,3 

2.- Resolver :

2x - 5 <3 x- 6

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo: 80-I. Lima, 14 de Noviembre de 1980) Solución : Si :

2x - 5 <3 x- 6

–3<

2x - 5 <3 x- 6

� – 3 < 2x - 5 � 2x - 5 < 3 � 2x - 5 + 3 > 0 � 3 – 2x - 5 > 0 x- 6 x- 6 x- 6 x- 6 � 2x - 5 + 3 ( x - 6) � 3 ( x - 6) - ( 2x - 5) > 0 � 5x - 23 > 0 � x - 13 > 0 x- 6 x- 6 x- 6 x- 6

� � ( x < 23 � x > 6 ) I 5 �

�

23 � ( x < 6 � x > 13 ) � x < x > 13 5

x � - � , 23 U 13, � 5 141

3.- Resolver la ecuación: ax – c = b |x| , si a, b y c son constantes positivas y diferentes. Solución : Si : ax – c = b |x| , si a, b, c ��+

... ( 1 )

i) De (1) podemos determinar que x � 0 , puesto que si x = 0, entonces, en ( 1 ): a(0) – c = b |0|= b(0) = 0 0 – c = 0 c = 0 lo cual no es cierto. Por dato c es una constante positiva. ii) Como : x � 0 � | x | > 0 � b| x | > 0 , b > 0

... (2)

� De (1) y (2), si ax – c = b | x | > 0 � ax > c � x > c , luego. x > 0 a c puesto que si a y c > 0 � > 0 � x > 0 � | x | = x � en (1): a ax – c = bx � ax – bx = c � (a – b)x = c � x =

142

c a- b

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Resolver:

3x + 6 > x +1 + 2x + 5 .

(UNI. Lima, 6 de Mayo de 1972)

� x + 1 �0

3x + 6 > 0

� x �– 1

� x> –2 �

� 2x + 5 � 0

� x �–

5 2

�� x � [ – 1 , ��

3x + 6 > x +1 + 2x + 5

��

(

3x + 6

)

2

>

(

x +1 + 2x + 5

)

2

... (T:1.5.20)

� 3x + 6 > x + 1 + 2 x +1 2x + 5 + 2x + 5 ��

3x + 6 > 3x + 6 + 2 (x +1)(2x + 5)

� 0 > 2 2x 2 + 7x + 5 ��

2.- Resolver:

2x 2 + 7x + 5 < 0 � x � �

x 2 + 4x < 5x - 1

(UNI: Primera Práctica. Ciclo: 78-II. Lima, 20 de Abril de 1979) Solución : Como : 0 � a <

b �� 0 � a < b

... (1)

� a � 0 y b >0

(T: 1.5.25)

... (2)

Restricciones: De (2) :

x2 + 4x � 0 � 5x – 1 > 0 � (x + 2)2 � 4 � 5x > 1 � ( x + 2 �2 � ( x �0

� x + 2 �– 2 )

� x �– 4 )

x>

� x>

� x>

1 5

1 1 � x � � , �� 5 5

De (1) : x2 + 4x < (5x – 1)2 �� x2 + 4x < 25x2 – 10x + 1 �� 24x2 – 14x + 1 > 0 �� x 2 -

143

1 5

7 1 x+ >0 12 24

... (I)

2

2

2

� 7� � 1 �7 � � � 7� 49 1 � �� � �� � x+ >� x> 2� � � � � � � � � � 24 � 24 � � � � � 24 � 24 24 � 24 2

2

� 7� � 7� � 25 49 - 24 � �� � �� � x> x> � � � � 2 � � � � � 24 � � 24 � 242 24 �� x -

7 5 > 24 24

�� x >

1 2

�

� x<

x-

2

�5 � � =� � � � � � 24 �

7 5 <24 24

1 12

... (I I)

De (I) y (II) : 1 x � � , �� 2

3.- Resolver la Desigualdad:

2

x - x - 2 - 2 �(x - 4) 2- x +4

(UNI: Primera Práctica. Ciclo: 78-II. Lima, 20 de Abril de 1979) Solución : Este problema podemos resolverlo, usando los teoremas: T: 1.5.25 ó T: 1.5.26, ya que la expresión dada es equivalente a tener: a �b , en el cual no conocemos el signop de b es decir, si b �0 ó b < 0, para saber que teorema utilizar en la solución. Para no estar en el análisis de estas dos alternativas: x – 4 �0 ó x – 4 < 0 es más conveniente y útil determinar las restricciones de x debido al radical, y a partir de ésta, si es posible, averiguar el signo de (x – 4). Como :

a �0 � a � 0

... (T: 1.5.25)

Las restricciones serán : i) x2 – x – 2 �0

�

ii) x + 4 �0

�

iii)

x2 - x - 2 - 2 2-

x +4

�0

Luego : 2

� 1� � 1 9 i) x – x – 2 �0 � � x- � �2 + = � � � � 2� 4 4 2

� x–

1 3 � 2 2

� x–

1 3 �– 2 2

� x � 2 � x � – 1 � x � �– �, –1 ] U [ 2 , �� 144

... (1)

ii) x + 4 � 0 � x � – 4 � x � [ – 4 , ��

... (2)

iii) a)

x2 - x - 2 – 2 � 0

� 2 – x +4 > 0

b)

x2 - x - 2 – 2 � 0

� 2 – x +4 < 0

� a)

x2 - x - 2 � 2

� 2>

x +4

x2 – x – 2 � 4 � 4 > x + 4 2 � 1� � 1 � � 0>x � x- � �6 + � � � � 2� 4

� �

2

� 1� 25 � x- � � � � � � � 2� 4

�

� 1 5 1 5� � x - � � x - �- � �� x <0 � � � 2 2 � 2 2�

�

( x �3

� x<0

� x � – 2 ) � x <0 x � �– � , – 2 ]

b)

... (a)

� 2 < x +4

x2 - x - 2 – 2 � 0

x2 – x – 2 � 4 � 4 < x + 4 �� x2 – x � 6 � 0 <

�� x

2

� 1� 25 � x- � � � � � � � 2� 4

�� 5 1 5 �x – � 2 2 2

��

–

��

– 2 �x �3

� x>0

� x>0

� x>0 x ��0 , 3 ]

( a ) U ( b ) : x � �– � , – 2 ] U �0 , 3 ]

... (b)

... ( 3 )

De ( 1 ) I ( 2 ) I ( 3 ) :

x �[ – 4 , – 2 ] U [ 2 , 3 ] Luego, si : – 4 � x � – 2 � – 8 �x – 4 �– 6

ó

2 �x �3 ó – 2 �x – 4 �– 1 � x – 4 < 0

145

En ambos intervalos, obtenemos que : x – 4 < 0 , luego estamos en el caso que : a >b

� b<0

�� a � 0

Por consiguiente la solución será:

4.- Resolver:

x 2 - 6x 8- x

x

... (T: 1.5.26)

" x �[ – 4 , – 2 ] U [ 2 , 3 ]

� 3 x - 10

Solución : Como el signo de

2n+1

b es el mismo que el signo de b, esta-

ríamos en el caso del problema anterior si

a >‫ٳ‬b�

(b

0 ó b

0) .

Luego, procediendo similarmente, planteamos las restricciones siguientes: i) x � 0

ii) x2 – 6x � 0

iii)

x 2 - 6x 8- x

x

�0

� i) Si : x � 0 � x � [ 0 , ��

... (1)

ii) Si : x2 – 6x � 0 � x (x – 6) � 0 , como : x � 0

... de (1)

� x – 6 � 0 � x � 6 � x � [ 6 , �� iii) a)

x 2 - 6x –

x �0

� 8–x > 0

b)

x 2 - 6x –

x �0

� 8–x < 0

De (a) :

x 2 - 6x �

x

... (2) ó

� 8>x

� x<8 � x2 – 7x � 0 � x < 8 � x(x – 7) � 0 � x < 8 De (1) : x � 0 � x – 7 � 0 � x � 7 � x < 8 �

x2 – 6x � x

x �[ 7 , 8 � De (b) :

x 2 - 6x �

x

... (a)

� 8<x

x2 – 6x � x � 8 < x � x2 – 7x � 0 � x > 8 ( +) } � x>8 x (x - 7) �0 De (1) : x � 0 � x – 7 � 0

� x > 8 � x �7 �x > 8 � x �f

(a) U (b) :

x �[ 7 , 8 �

... (b) ... (3)

146

De : (1) I (2) I (3) : �

Si : 7 � x < 8 � – 3 � x – 10 < – 2 < 0 � x – 10 < 0

� �

x �[ 7 , 8 �

b=

3

x - 10 < 0 � Si: a > b � b < 0 �� a > 0 x �[ 7 , 8 �

La solución será, entonces:

5.- Resolver la desigualdad:

... (T: 1.5.26)

2 2-

10 | x | - 16 - x 2 3-

+ x - 9 �0 x- 8

x- 2

(Nota: |x| = x, si x ≥ 0) (UNI: Primera Práctica. Ciclo: 79-II. Lima, 18 de Enero de 1980) Solución : Estableceremos las restricciones debido al radical: i) iii)

x- 2 �0 2 2-

ii)

10 | x | - 16 - x 2 3-

x- 2

�0

10 | x | - 16 - x 2 � 0

iv) si:

x- 9 � x �8 x- 8

De (i) : x – 2 � 0 � x � 2 � x � [ 2 , �� Si x � 2 > 0 � x > 0 � | x | = x

... (1)

(de la nota)

De (ii) : 10x – 16 – x2 � 0 � x2 – 10x + 16 � 0 � (x – 5)2 � 9 – 3 � x – 5 � 3 � 2 � x � 8 � x �[ 2 , 8 ] De (iii) : a) 2 2 – 10x - 16 - x 2 � 0 � 3 – x - 2 > 0 b) 2 2 –

10x - 16 - x 2 � 0 � 3 –

De a) 2 2 � 10x - 16 - x 2

� 3>

x- 2 < 0 x- 2

�� 8 � 10x – 16 – x2 � 9 > x – 2 �� x2 – 10x � – 24 � 11 > x

� x < 11 �� ( x – 5 �1 � x – 5 � – 1 ) � x < 11 �� ( x � 6 � x � 4 ) � x < 11 �� (x – 5)2 � 1

147

... (2) ó

x � �– �, 4 ] U [ 6 , 11 � ... (3)

De (b) : 2 2 � 10x - 16 - x 2 � 8 � 10x – 16 – x2 � x2 – 10x � – 24

� 3 <

x- 2

� 9 < x–2 � x > 11

� x > 11 � –1 � x – 5 �1 � x > 11 � (x – 5)2 � 1

� x > 11 � x � f

� 4 � x �6

De (iv) : x – 8 �0 � x �8

... (4)

... (5)

De (1) I (2) I (3) I (4) I (5) : x � [ 2, 4 ] U [ 6 , 8 �

... (I)

� x - 9 <- 1 < 0� x- 9 � > 0 , luego este factor no altera De (I) : � � �� b= � � x - 8 <0 x- 8 � � el resultado de la desigualdad propuesta, porque: a �0 � si b > 0 \

a + b �b > 0 �

148

a +b> 0

1.7 VALOR ABSOLUTO En esta sección estudiaremos, definiremos y proporcionaremos propiedades de la

expresión literal: “valor absoluto” de un número real a cualquiera;

concepto muy utilizado en el Análisis Matemático de los números reales; pero el estudiante debe tener presente y comprobará progresivamente en su estudio de los ciclos siguientes que no sólo es aplicable en el estudio de los números reales, sino que también, es de gran importancia en las aplicaciones prácticas de la ingeniería, como por ejemplo en la Ingeniería Electrónica, que es utilizado en la conversión del voltaje alterno en continuo, en casi todos los circuitos electrónicos, los cuales necesitan de una fuente de alimentación. A esta conversión se le denomina rectificación de media onda o de onda completa y a los dispositivos, rectificadores. Si a ��, entonces, por el axioma de tricotomía, tenemos exactamente que una y sola una de las siguientes relaciones: a < 0 ó a = 0 ó a > 0 es verdadera. Entonces uno de los dos, a ó –a es positivo. El que es positivo se llama el “valor absoluto” de a. El valor absoluto de 0 es 0.

1.7.1 Definición : El valor absoluto de un número real a, denotado por | a |, se define mediante la siguiente regla: ii) Si a � 0 , entonces | a | = a

i) Si a < 0 , entonces | a | = – a

Esta definición se expresa en los libros, generalmente, como: ... ()

- a, si a < 0 � |a|= � � � � a, si a �0

... ()

lo cual nos permite concluir que : el valor absoluto es siempre un número positivo.

Ejemplos ilustrativos:

149

En los ejemplos siguientes se expresan algunos casos especiales de la definición. La notación de valor absoluto | a | Utilizando la definición de valor absoluto, tenemos que: 

| 4 | = 4 puesto que 4 > 0 ... de ()



|  | =  puesto que  > 0 ... de ()



| –2 | = –(–2) = 2 puesto que –2 < 0 ... de ()



|

3 –2 | = ??

Como: 0 < 3 < 4 �

3< 4 �

3 <2 �

3 –2 <0

Luego de la definición, dada en (), se tiene que : | 

3 –2 | = – ( 3 – 2 ) = 2 –

|2–

3|=2–

3

3 , porque 2 –

3 >0

De los dos últimos ejemplos notamos que: 2 - 3 

3 - 2 . En general se

tiene que: | a | = | –a | para todo número real a. De los ejemplos ilustrativos de la definición D: 1.7.1 nos permite concluir que: i) El valor absoluto de un número real no negativo es ese mismo número. ii) El valor absoluto de un número real negativo es su inverso aditivo. Eliminación del Signo de Valor Absoluto En la definición de valor absoluto dada, el estudiante tendrá presente en todo instante que “a”, en | a |, puede representar cualquier expresión algebraica, así como por ejemplo: a = 2x – 3 , a = x 2 – 4, a = 16 – x 4, a = x2 + 1, a = – x 2 – 4 , etc y lo que deseamos es dar una expresión equivalente en la que no aparezca el signo del valor absoluto. En forma práctica el estudiante tendrá presente que s si la expresión que está dentro de la barra, del valor absoluto, (| |) es positiva, se elimina las barras y se escribe la expresión dada; en caso contrario (es decir, si es negativa) a la expresión dada se le elimina las barras anteponiéndole el signo negativo, es decir, el inverso aditivo de –a. Ejemplos ilustrativos: En los ejemplos siguientes, expréselas en otras expresiones equivalentes en donde no figure el símbolo de valor absoluto. 150

1. | 2x – 3 | Solución : En este caso a = 2x – 3 , luego: i) Si a = 2x – 3 < 0, entonces, | a | = | 2x – 3 | = – (2x – 3). Es decir que: 3 si x < , entonces, | a | = | 2x – 3 | = – 2x + 3 2

... ()

ii) Si a = 2x – 3 � 0 , entonces, | a | = | 2x – 3 | = 2x – 3. Es decir que: 3 si x � , entonces, | a | = | 2x – 3 | = 2x – 3 2 � � - 2x + 3, si x < � � De () y () podemos expresar que: | 2x – 3 | = � � � 2x - 3, si x � � �

... () 3 2 3 2

2. | x2 – 4 | Solución : En este caso a = x 2 – 4 , luego, de la definición D: 1.7.1 podemos expresar que: � - (x 2 - 4), si x 2 - 4 < 0 � x 2 < 4 � - 2 < x < 2 � � 2 � |x –4|= � � � � 2 2 � x ‫ڳ‬-4, ޳�-‫ ޣ‬si x 4 0 x2 4 x 2 x 2 � � 4 - x 2 , si - 2 < x < 2 � � 2 � es decir que: | x – 4 | = � � � � 2 � x ‫ڳ‬-�4, si x 2 x 2 � 3. | 16 – x4 | Solución : � - (16 - x 4 ), si 16 - x 4 < 0 � (4 + x 2 )(4 - x 2 ) < 0 � 4 - x 2 < 0 � � � | 16 – x4 | = � � � � 4 4 2 2 2 � �16 - x , si 16 - x �0 � (4 + x )(4 - x ) �0 � 4 - x �0 � x 4 - 16, si x 2 > 4 � � � |16 – x4| = � � � |16 – x4| = � � � � 16 - x 4 , si x 2 �4 �

� x 4 - 16, si x <- 2 � x > 2 � � � � � � � 4 � �16 - x , si - 2 � x �2

4. |x2 + 1| Solución : En este caso a = x2 + 1, luego, de la definición D: 1.7.1 podemos expresar que: |x2 + 1| = x2 + 1, puesto que x2 + 1 > 0 * 151

* Como : " x ��, x2 � 0 � x2 + 1 � 1 y 1 > 0 � " x �� x2 + 1 > 0 5. | –x2 – 1| Solución : En este caso a = – x 2 – 1 < 0 **, luego, de la definición D: 1.7.1 podemos expresar que: | –x2 – 1| = – (–x2 – 1) = x2 + 1 � | –x2 – 1| = x2 + 1 ** " x ��, x2 � 0 � x2 + 1 � 1 < 0 � – (x2 + 1) �–1 < 0 � –x2 – 1 < 0 ** Consecuencias de la definición : Es fácil apreciar que | a | tiene las siguientes propiedades: i) | a | = | –a |

ii) | a | � a

iii) | a | � –a

iv) | a | � 0

observe que : – | a | � a � | a | Propiedades Fundamentales del Valor Absoluto: Las tres propiedades fundamentales del valor absoluto de números reales son: 1) | a | � 0 y | a | = 0 si y sólo si a = 0. 2) | a . b | = | a | | b | 3) | a + b | = | a | + | b | propiedades que enunciaremos , posteriormente, como teoremas y que serán de mucha utilidad en la solución de variados ejercicios de aplicación.

Distancia entre dos Puntos en una Recta Numérica Si a es un entero, entonces es la coordenada de un punto A en una recta coordenada (o recta numérica), y el símbolo | a | indica el número de unidades entre A y el origen, sin importar el sentido (o dirección). El número | a |, no negativo, se llama valor absoluto de a. En la figura adjunta se observa que para el punto con coordenada –3 se tiene que | –3 | = 3. Similarmente, | 3 | = 3. En general, si a es negativo, se cambia su signo para obtener | a | = – a ; si a es no negativo, entonces | a | = a.

152

Teoremas del Valor Absoluto 1.7.1 Teorema : " a ��, | a | � 0 y | a | = 0 �� a = 0

Demostración : A) Utilizando la definición de valor absoluto: A1) Si a es no negativo, a � 0, entonces, |a| = a � 0 � |a| � 0

... ()

A2) Si a es negativo, a < 0, entonces, |a| = – a > 0 � |a| > 0

... ()

De () y () , podemos expresar que: " a ��, | a | � 0 B) Ahora demostraremos que | a | = 0 �� a = 0 B1) Si | a | = 0 � a = 0 i) Si a � 0 � | a | = a � | a | = 0 (dato) � a=0

... ( 1 )

ii) Si a < 0 � | a | = – a � | a | = 0 (dato) � –a=0 � a=0

... ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ), | a | = 0 � a = 0

... ( I )

B2) Si a = 0 � | a | = 0 Si a = 0 � a � 0 � | a | = a = 0

� | a | = 0, es decir que

si a = 0 � | a | = 0

... (II)

De (I) y (II): | a | = 0 �� a = 0 Ejemplo: Resolver la ecuación: | x3 – 9x | = 0 Solución : Como: | a | = 0 �� a = 0 , luego: | x3 – 9x | = 0 �� x3 – 8x = 0 � x(x2 – 9) = 0 � x(x + 3)(x – 3) = 0 � x = 0 , x = – 3, x = 3. 1.7.2 Teorema : " a ��- {0} , | a | > 0 , es decir, si a �0 �� | a | > 0 Demostración : Si a �0 , entonces, por el axioma de tricotomía (O 1) se tendrá que: i) Si a<0 � |a|=-a>0 � |a|>0� � � � | a | > 0 , si a �0 ii) Si a>0 � |a|= a>0 � |a|>0 � � 1.7.3 Teorema : " a,b ��, | ab | = | a | | b | Demostración : Por definición: �ab, si ab �0 | ab | = � � � - ab, si ab < 0 �

... (I)

153

vemos que se presentan 4 casos: Caso 1 : Si a �0 � | a | = a (Definición)� � � � | a | | b | = ab � b �0 � | b | = b � Caso 2 : Si : � a �0 � | a | = - a� � � � � � | a | | b | = (–a)(–b) = ab � b �0 � | b | = - b � � � De los casos 1 y 2 : | a | | b | = ab Caso 3 : Si : a > 0 � | a | a� � � � � | a | | b | = (a)(–b) = –ab b < 0 � | b |  -b � Caso 4 : a < 0 � | a |  -a � � � � � | a | | b | = (–a)(b) = –ab b > 0 � | b | b � De los casos 3 y 4 : | a | | b | = –ab En (I) logramos que: | ab | = | a | | b | a  a 1.7.3 Corolario : " a �� y " b �0, b b Demostración : a = | ab–1| = | a | | b–1| b

(Teorema anterior)

... (I)

Como b �0 | b |b � � � -1 b > 0 � | b -1 |  1  1 � b |b| � � b-1 < 0 � | b-1 |  -b -1 1  1 � -b | b | � � | b | - b �

En (I)

a  a g 1  a g1  a b b b b

� � � � �

� " b �0

154

| b -1 |  1 |b|

a  a b b

1.7.4 Teorema : " a ��, | a2 | = a2 = | a | 2 Demostración : Como " a ��, a2 � 0 (Teorema 1.5.5) � | a2 | = a2

... (1)

i) Si a � 0 � | a | = a � | a | 2 = a2 ii) Si a < 0 � | a | = –a � | a | 2 = (–a)2 = a2 Luego de i) y ii), en ambos casos: | a2 | = a2

... (2)

De (1) y (2), por transitividad : | a2 | = | a | 2

\

| a2 | = a2 = | a | 2

1.7.5 Teorema : " a ��, –| a | � a � | a | Demostración : La expresión propuesta es equivalente a: –| a | � a y a � | a | i) Si a � 0 � | a | = a � –| a | = –a � 0 � a = | a | � –| a | � 0 � a = | a |

... (1)

ii) Si a < 0 � | a | = –a > 0 > a � | a | > a

... (2)

De (1) y (2) : –| a | � a � | a |

" a ��

1.7.6 Teorema : " a ��, | –a | = | a | Demostración : Haremos la demostración de dos maneras. A) Como: | –a | = | (–1)a | = | –1| | a | (Teorema 1.7.2) | –1| = – ( –1) = 1 (Definición de valor absoluto) En (1) :

| –a | = | a |

B) Si a �� � a < 0 ó a � 0 � -a > 0 � -a  -a � � � i) Si a < 0 � � � \ | –a | = | a � a  -a (Definición)� � -a �0 � -a  - (-a)  a � � � ii) Si a �0 � � �� � a a � �

155

| –a | = | a |

... (1)

1.7.7 Teorema : " a, b ��, | a + b | � | a | + | b | (Desigualdad Triangular) Demostración : A) Como: | a + b | 2 = ( a + b)2 (Teorema: 1.7.4) ... (1) = a2 + 2ab + b2 = | a | 2 + 2ab + | b | 2 Además: ab �| ab | = | a | | b |

(Teorema: 1.7.4) (Teorema: 1.7.5)

� | a | 2 + 2ab + | b | 2 � | a | 2 + 2| a | | b | + | b | 2 = (| a | + | b |)2 De (1) y (2) : | a + b | 2 � (| a | + | b |)2 � |a+b| � |a|+|b|

(Teorema: 1.5.20)

1.7.8 Corolario : " a, b ��, | | a | – | b | | � | a – b | Demostración : Como : a = (a – b) + b � | a | = | (a – b) + b | � | a – b | + | b | � | a | – | b | �| a – b |

(Teorema 1.7.7) ... (1)

También : b = (b – a) + a � | b | = | (b – a) + a | � | b – a | + | a |

(Teorema 1.7.7)

� | b | – | a | � | b – a | ... (2)

(Teorema 1.7.6)

De (1) y (2) apreciamos que de los dos números | a | – | b | y | b | – | a |, uno de ellos es el positivo, luego será : | | a | – | b | |. En (1) :

| | a | – | b | |� | a – b |

156

RESULTADOS BÁSICOS UTILIZADOS EN LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES QUE INVOLUCRAN VALORES ABSOLUTOS Antes de discutir ecuaciones y desigualdades de este tipo, daremos algunos Teoremas básicos. b �0 � � � y 1.7.9. Teorema : | x | = b �� � � � x =- b ó x =b � � Demostración: i) Como : | x | � 0 y además | x | = b � | x | = b � 0 � b � 0 si : | x | = b � | x | 2 = b2 � x 2 = b2 � x 2 – b2 = 0 �x + b  0 � x  -b � - x  b � � (x + b)(x – b) = 0 � � ó �x - b  0 � x  b � � -x  b � -x  b � x  b � � � ó ii) Si : b � 0 y � � � |x|=b �x  b � x  b  b � x  b � � Ejemplos : Resolver las siguientes ecuaciones:

1 3 1) x -  2 2

��

� 3 � b = >0 � 2 � � � y � � � � � x - 1 =- 3 ó x- 1 = 3 � 2 2 2 � 2

��

� 3 >0 � � 2 � � � y � � � � � x =- 3 + 1 =- 1 ó x = 3 + 1 = 2 � 2 2 2 2 �

Luego, la ecuación propuesta tiene dos soluciones: x = –1 y x = 2 � {–1,2}

157

2) | x – 1 | = 3x + 9

� 3x -޳�+ 9 0 x 3 � � �� � y � � x - 1 = - (3x + 9) ó x - 1 = 3x + 9 � � x �- 3 � � � �� � y � � x =- 2 ó x =- 5 � � \

es la

x = –2

solución

de

la

ecuación

propuesta. � x - 1 �0 � � y 3) 2| x – 2 | = x – 1 �� � � � 2(x - 2) = - (x - 1) ó 2(x - 2) = x - 1 � � � � x �1 � � � � �� � y � � � � x =5 ó x =3 � � 3 Luego, la ecuación tiene dos soluciones :

4) | 3x + 2 | = 3x + 2

5 y 3. 3

��

� 3x + 2 �0 � � y � � � 3x + 2 = - (3x + 2) ó 3x + 2 = (3x + 2) � �

��

� �x � � � � y � � � � � x =� �

\

2 3 2 ó x �� 3

� - 2,� , x �� �3

158

es el conjunto solución.

1.7.10 Teorema : | x | < b �� ( b > 0 � –b < x < b) 1.7.11 Teorema : | x | �b �� ( b �0 � –b �x �b) Demostración : Tenemos que demostrar el teorema en ambos sentidos. i) Como b � | x | � 0 además, si : | x | � b �� –b � – | x |

� – | x | �x �| x |

�� – b � – | x | � x � | x | � b �� – b � x � b ii) Si : – b � x � b � b � 0 � (1) � � � � (2) � � \

x ‫��=�ޣ‬ 0 x x ‫�ޣ‬-=�> 0 x

x

b x

b

x

b

x

b

| x | �b

Interpretación geométrica:

Ejemplos : Resolver las siguientes desigualdades: 1) | x – 2 | < 1 �� –1 < x – 2 < 1

(Condición: b = 1 > 0)

�� 1 < x < 3 �� x � � 1,3 � 2) | x + 5 | < 2x – 3 Si : 2x – 3 > 0

� � � � �

Si :

3 x > 2

�

– (2x – 3) < x + 5 < 2x – 3 – 2x + 3) < x + 5 < 2x – 3 – 2x + 3) < x + 5 – 3x < 2 2 x >– 3 x>8

� x + 5 < 2x – 3

� –x < –8 � x>8 �

8, x � ��

3) | x2 – 4 | < – 2x + 4 Solución : –2x + 4 > 0 �– (–2x + 4) < x2 – 4 < –2x + 4 � –2x > –4 � ( 2x – 4 < x2 – 4 � x2 – 4 < –2x + 4) �

x<2

�

x<2

� (x2 – 2x > 0 � x2 + 2x < 8) � ( (x – 1)2 > 1 � (x + 1)2 < 9)

159

� x - 1> 1 � � ó � - 3 < x +1 < 3 x<2 �� � � x - 1 <- 1 � � x >0 � � � ó x<2 �� � � x <0 � �

� - 4 <x <2

x > 2 � - 4 < x < 2 � x �f � � � � ó x<2 �� � � x <0 � - 4 < x <2 � - 4 < x <0 � �

� –4 < x <0 � –4 <x< 0

x<2

1.7.12 Teorema : | x | > b �� x < –b

ó

�

x �� -4,0 �

x>b

Demostración : �x = x � x > b � � �� i) Si : x 0 � � � �x > b � �x = - x� � � ii) Si x < 0 �� � –x > b � x < –b �¨ �x > b � � � Es evidente, que si : b < 0 � | x | > b � " x �� ya sabemos que : | x | � 0 > b � | x | > b , " x �� 1.7.13 Teorema : " a ��,

a2  a

Demostración : Como : | a | � 0 y | a | 2 = a2 Además : a2 

( a) 2

a 

2

(Teorema: 1.7.4)

= a , si a � 0

( a)

2

 a

�

a2  a

1.7.14 Teorema : x, b ��, | x | = | b | �� (x + b) (x – b) = 0 o también podemos expresar que: | x | = | b | �� (x = – b � x = b) Demostración: Si | x | = | b | �� | x |2 = | b |2 �� x2 = b2 �� x2 – b2 = 0 �� (x + b)(x – b) = 0

160

(T: 1.7.4) ... (I)

�� x + b = 0 � x – b = 0 Entonces, | x | = | b | �� x = – b � x = b

... (II)

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones 1. | x + 6 | = | 2x + 2 | Solución : Si : | x + 6 | = | 2x + 2 | � De (II) : (x+6+2x+2)(x+6– (2x+2)) = 0 � (3x + 8)(4 – x) = 0 � 3x + 8 = 0 � 4 – x = 0 �

8 3

x=–

x=4

2. | x2 – 2 | = | 6 – x2 | Solución : Si | x2 – 2 | = | 6 – x2 | �� (x2 – 2 + 6 – x2)( x2 – 2 – (6 – x2)) = 0 � 4(2x2 – 8) = 0 � 8(x2 – 4) = 0 �� x2 – 4 = 0 � x2 = 4 � | x | = 2 �

x  �2

3. | x2 – 2x | = | x – 12 | Solución : Si | x2 – 2x | = | x – 12 |

... (I)

�� (x2 – 2x + x – 12)( x2 – 2x – ( x – 12)) = 0 �� (x2 – x – 12)(x2 – 3x + 12) = 0 i) Si : x2 – x – 12 = 0 � (x – 4)(x + 3) = 0 � x = 4 � x = –3 ii) Si : x2 – 3x + 12 = 0 * � x �f puesto que D = (–3)2 –4(1)(12) = –39 < 0 2

� 3� 39 39 2 x- � * x2 – 3x + 12 = � �+ 4 � 4 > 0 , " x �� � " x ��, x – 3x + 12 > 0 � 2� 1.7.15 Teorema : Para x, b ��, | x | < | b | �� (x + b)(x – b) < 0 Demostración : Si : | x | < | b | � 0 � | x | < | b | �� | x |2 < | b |2 �� x2 < b2 �� x2 – b2 < 0 �� (x + b)(x – b) < 0 1.7.16 Teorema : Para x, b ��, | x | � | b | �� (x + b)(x – b) � 0

161

REGLA PRACTICA PARA RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO < > �� Resolver : 3| x + 1| + | x – 8 | = 19 , | x + 2 | – | | x2 – 1| �| 3 – x | Muchas veces, cuando tengamos que resolver ecuaciones o desigualdades en la cual la expresión propuesta contiene muchas barras de valor absoluto, como en los ejemplos citados en los cuales no podemos utilizar directamente los teoremas relativos al valor absoluto, para la solución es conveniente averiguar los cambios de signos de la expresión dentro de las barras; esto sucederá por intervalos, que estarán definidos por medio de cotas , donde las cotas vienen a ser los puntos de corte, que se logran igualando a cero cada expresión entre barras. Estos valores así hallados lo ubicamos en la recta numérica en forma ascendente o creciente, haciendo de esta manera un análisis por intervalos, encontrados de esta manera la solución pedida. Ejemplo : Resolver 3| x + 1| + | x – 8 | = 19 Solución : i) Cálculo de los puntos de corte: Se resuelve | a | = 0 �� a = 0 Luego, si : x + 1 = 0 � x = –1 x–8=0 � x=8 ii) Luego, los intervalos son : x � �– �, –1 �U [–1 , 8 �U [ 8 , ��

� �x + 1 < 0 � x + 1  -(x + 1) a) Si : x < –1 � � �x - 8 < -9 < 0 � x - 8  -(x - 8)

... (1)

(1) en (I) : Si x < –1 � –3(x + 1) – ( x – 8) = 19 � –3x – 3 – x + 8 = 19 � –4x = 14 � x = – 7 , 2

si x < –1 �

162

x=–

7 2

� x = –7 2

� �x + 1 > 0 � x + 1  (x + 1) b) Si : –1 �x < 8 � � �x - 8 < 0 � x - 8  -(x - 8)

... (2)

(2) en (I) : 3(x + 1) – ( x – 8) = 19 � 3x + 3 – x + 8 = 19 � 2x = 8 � x = 4 � [–1, 8 � �

x=4

c) Si : � �x + 1 > 0 � x + 1  x + 1 x �8 � � �x - 8 �0 � x - 8  x - 8 (3) en (I) : 3(x + 1) + (x – 8) = 19 � 3x + 3+ x – 8 = 19 � 4x = 24 � x = 6 � [ 8 , ��� x � f

Luego, la solución será:

x=–

7 2

x=4

163

... (3)

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Demostrar que : | a | – | b | � | a – b | (UNI: Primera Práctica. Lima, 30 de Setiembre de 1972) Solución : Como: a = (a – b) + b � | a | = |(a – b) + b| �| a – b | + | b |

...(T: 1.7.7.)

|a|–|b| �|a–b| 2.- Demostrar que si a, b, c ��, entonces | a | – | b | – | c | � | a – b – c | (UNI: Primera Práctica. Lima, 30 de Setiembre de 1972) Solución : Como: a = (a – b – c) + (b + c) � | a | = | (a – b – c) + (b + c) | � | a | �| a – b – c | + | b + c |

... (1)

(T: 1.7.7)

... (2)

(T: 1.5.5)

Pero : | b + c | �| b | + | c |(T: 1.7.7) | a – b – c | + | b + c | �| a – b – c | + | b | + | c | De (1) y (2):

|a|–|b|–|c| �|a–b–c|

3.- Probar que: a) Si | 2x + 4 | < 8, entonces x ��–6 , 2 � b) Si x ��–2 , 2 �, entonces | 2x + 7 | < 11 (UNI: Primera Práctica. Lima, 30 de Setiembre de 1972) Solución : a) Si | 2x + 4 | < 8 �� –8 < 2x + 4 < 8

... (T: 1.7.10)

�� –12 < 2x < 4 �� –6 < x < 2 x �� -6,2 � b) Si x ��–2 , 2 ��� –2 < x < 2

... (D: 1.6.A2)

–4 < 2x < 4 �� 3 < 2x + 7 < 11 2x + 7 < 11

4.- Resolver la ecuación: ax – c = b | x | , si a, b, c son positivos y diferentes.

164

Solución : Como: b > 0 � b = | b | � b | x | = | b | | x | = | bx |, luego, si: ax - c �0 � � ax–c = b | x | = |bx| �� | bx | = ax – c �� �y � bx  -(ax - c) ó bx  ax - c � � ax �c y (bx + ax = c ó ax – bx = c) c Si a > 0 � x � a c x � a

y

x(a+b) = c ó (a – b) x = c)

c ó x c � � y c �x  a-b� � a+b �

... (I)

c Como: a y c > 0 � x � > 0 � x > 0...() a De (I): c i) Si x � a

y x=

c � x �f a+b

1> 1 >0 � c c Porque: 0 < a < a + b � x � > a a+b a a+b � x>

c a+b

y x=

c ii) Si x � a

c a+b

y x=

� x �f

c a-b

1) a - b < 0 < a � Como: b > 0 � – b < 0 � a – b < a � ó � 2) 0 < a - b < a � De (1): a – b < 0 < a � x=

1 <0< 1 � c c < 0 < a-b a a-b a

c <0 a-b

� x < 0 ... ()

De () y ():

x �f

1 1 De (2): 0 < a – b < a � 0 < < a a-b

� c < c =x a a-b

x 165

c a-b

b d 5.- Si a y c ��, tal que a � c, a > 0 , c > 0 y que: – < x < – , resolver: a c | ax + b | = | cx + d | Solución : Si a > 0 y –

b < x � –b < ax � ax + b > 0 � |ax + b| = ax + b a

... (1)

d � cx < –d � cx + d < 0 � |cx + d| = –(cx + d) c

... (2)

Si c > 0 y x < –

Si : | ax + b | = | cx + d | �� ax + b = – (cx + d) (De (1) y (2)) ax + b = –cx – d �� ax + cx = –b – d �� (a + c)x = – b – d Como a, c > 0 � a + c > 0 �

x  -b+ d a+c

6.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) | x2 – 4 | = – 2x + 4

b) | x2 + 3 | = | 2x + 1 |

(UNI: Segunda Práctica Calificada. Lima, 5 de Diciembre de 1970) Solución : a) | x2 – 4 | = –2x + 4 �� –2x + 4 > 0 y { x2 – 4 = – (–2x + 4) ó x2 – 4 = 2x – 4} �� –2x �–4 y [x2 – 2x = 0 ó x2 + 2x – 8 = 0 ] �� x �2 y [ x(x – 2) = 0 ó (x + 4)(x – 2) = 0 ] �� x �2 y ( x = {2, 0} ó x = {–4, 2} x = {–4, 0, 2}

son las soluciones a la ecuación dada.

b) | 2x + 1 | = | x2 + 3 | �� | 2x + 1 | = x2 + 3, ya que: x2 �0 " x �� � x2 + 3 �3 > 0 �� | x2 + 3 | = x2 + 3 , luego : | 2x + 1 | = x2 + 3 �� 2x + 1 = –(x2 + 3) ó 2x + 1 = x2 + 3 x2 + 2x + 1 = –3 ó x2 – 2x + 1 = –1 (x +1)2 = –3 ó (x – 1)2 = –1 x �f

ó

x �f

Porque: " a ��: a2 �0 > –1 > –3 x �f

x �f

166

x �f

\

�

ó

1 � � � �U � �� ( – ,1 2, ). Determinar el menor número M, tal que: x

7.- Si

x - 7 �M . 2x + 5 Solución : Si

1 � 1 � 1 [1, 2] � 1 � �2 �( �– �, 1 �U �2, ��) � x x x

13 � �--‫ޣ‬-x �� -7 - 6 � 2 1 � � � x 1 � 2 � 6 �2x ‫�� ޣ‬ +5 7 �

6 1 7

(x 7)

1 2x + 5

13 2

1 6

...(1) ...( 2 )

( 1 ) �( 2 ) 6 � x - 7 � 13 � – 7 2x + 5 12

- x - 7 � 13 � 2x + 5 12

x -7 � 13 2x + 5 12

donde | – a | = | a | �M = 13 12 8.- Resolver: | 2x – 1 | < | x + 3 | (UNI: Segunda Práctica. Lima, 15 de Diciembre de 1970) Solución : | 2x – 1 | < | x + 3 | �� | 2x – 1 | 2 < | x + 3 | 2 � (2x – 1) 2 < (x + 3)2 �� 4x2 –4x+1 < x2 +6x+9 �� 3x2 – 10x – 8 < 0 �� (3x + 2)(x – 4) < 0 �� ( 3x + 2 > 0 � x – 4 < 0 ) �� ( x > – 2 � x < 4 ) 3 (–

2 <x<4) 3

� ( 3x + 2 < 0 � x – 4 > 0 )

� ( x < –2 �x > 4 ) 3

�

\

x �f

x � - 2 ,4 3

9.- Sean : A = { x �� / | x – 2 | 2 – 2| x – 2 | – 15 > 0 }

167

{

B = x ��/

}

1 ��1 ,1� x+4 � 13 � � �

Determinar : A I B Solución : A:|x–2|

2

�� ( | x – 2 | – 1)2 > 16

– 2| x – 2 | – 15 > 0

�� | x – 2 | – 1 < – 4 �� | x – 2 | < –3 �� x �f �� x �f

ó |x–2|–1> 4

ó |x–2| >5

ó (x–2>5 ó x–2<–5) ó

( x > 7 ó x < – 3)

\ A = { x �� / x � �– �, – 3 �U �7 , �� B=

1 � �1 ,1� �� � 13 � x+4 � �

... (I)

1 � 1 � �� � 1 1 x + 4 �13 13 x+4

�� –3 �x �9 ... (II) B = { x �� / x � [ –3 , 9 ] } De (I) y (II) : A I B = { x �� / x � �7 , 9 �

10.- Sean: A = { x �� / 2 �| x | 2 + | x | } 15 B = { x �� / | x | 2 + | x | � } 4 Hallar ( A) I ( B) donde

A = Complemento de A.

(UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Mayo de 1972) Solución : Si : A = { x �� / 2 �| x | 2 + | x | } ��

A = { x �� / | x | 2 + | x | < 2 }

1 9 �� - 3 < x + 1 < 3 A: | x | 2 + | x | < 2 �� ( | x | + )2 < 2 4 2 2 2 �� – 2 < | x | < 1 �� – 2 < | x | � | x | < 1 �� " x �� � – 1 < x < 1 �� – 1 < x < 1 A = { x �� / x � �–1, 1 �}

... (I)

168

Para hallar

B también se puede hacer como el proceso seguido para

lo cual se deja al estudiante, pero también se puede hallar B y luego

A,

B, es

decir: 15 B: | x | 2 + | x | � 4 –

�� ( | x | + 1 )2 �4 �� –2 �| x | + 1 �2 2 2

5 � 3 �� 5 |x| � | x | �– 2 2 2

� | x | �3

2

�� x �� � – 3 �x � 3 2 2

{ {

}

�� B = x ��/ x �� - 3,3� � � 2 2� � � �

{

}

� - 3,3� B = x ��/ x �� � � 2 2�

3 U 3 ,� B = x ��/ x � -�, 2 2

}

…(II)

\ ( A) I ( B) = f

11.- Hallar

� 2x + 1 - x A siendo: A = �x � / x �

� 2�

(UNI: Primera Práctica. Lima, 30 de Setiembre de 1972) Solución : Vemos que: x �0 “A” :

2x + 1 - x �2 � x

2x + 1 - x 2x + 1 - 3x �0 – 2 �0 � x x

... (I)

1 Si: | 2x + 1 | = 0 � 2x + 1 = 0 � x = 2 1 i) Si x < - � 2x +1 < 0 � |2x +1| = –(2x +1)..() 2 () en (I) :

-(2x + 1) - 3x �0 � -5x - 1 �0 x x � 5x + 1 �0 x

1 Si x < - : [(5x + 1 �0 � x > 0) � (5x + 1 �0 � x < 0)] 2 1 1 � 1 � Si x < - : [ ( x �x > 0) � (x �x < 0) ] 2 5 5

169

1 x > 0 � x �5

� x < - 1 � ( x > 0 � x �- 1 ) � x �- 1 ... (1) 2 5 5 � x � �– �, –1/5 �... () 1 � ii) Si x � 2x + 1 �0 � | 2x + 1 | = 2x + 1... () 2 () en (I):

- +

2x + 1 - 3x � 0 �� x

+ -

1- x � 0 x

1 � Si x �[ (x > 0 � 1 – x �0) � (x < 0 � 1 – x �0) ] 2 1 � Si x �[ x �1 � x < 0 ] 2 � - 1 ,0 x � [1 , ��U � 2

... ()

() U (): A = { x �� / x � �– �, 0 �U [1 , ��} �

A = { x �� / x � [ 0 , 1 �}

12.- Calcular

1 x + 1 > x – 1.

(UNI. Primera Práctica. Lima, 30 de Setiembre de 1972 Solución : Como: " x ��: | x | �0 � | x | + 1 �1 > 0 � | | x | + 1 | = | x |+1 1 x +1 > x – 1

��

1 x +1 > x – 1

� 1 > (| x | + 1)(x – 1) ... (I)

Si: i) x < 0 � |x| = –x, en (I): 1 > (–x + 1)(x – 1) � 1 > –(x – 1) (x – 1) � (x – 1)2 > – 1 � " x ��, ((x – 1)2 �0 > –1 � (x – 1)2 > –1) � Si x < 0 � x �� � x < 0 � x � �– �, 0 � 170

... (1)

ii) x �0 � | x | = x, en (I): 1 > (x + 1)(x – 1) � 1 > x2 – 1 � x2 < 2 Si x �0 � – 2 < x <

2 x �[ 0 ,

De (1) U (2) :

2 �

... (2)

x ��� - , 2�

x x -3 13.- Resolver la desigualdad: x 2 + 4 > x 2 + x + 4 (UNI. Examen Parcial. 30 de Octubre de 1972) Solución : Como : x2 + 4 �4 > 0 � | x2 + 4 | = x2 + 4 2

1 � 15 15 Además: x + x + 4 = � �x + 2 � + 4 � 4 > 0 , luego: � � 2

x > x -3 �� x (x2 + x + 4) > (x2 + 4)(x – 3) x2 + 4 x2 + x + 4 x3 + x2 + 4x > x3 – 3x2 + 4x – 12 � 4x2 > –12 � x2 > –3 �

x ��

(x2 �0 > –3, " x ��)

14.- Resolver la siguiente desigualdad: | 2x2 – 3 | � 4x + 3 (UNI. Primera Práctica. 3 de Noviembre de 1973) Solución : | 2x2 – 3 | � 4x + 3 �� 4x + 3 �0 � – (4x + 3) �2x2 – 3 �4x + 3 � x �- 3 � [ – (4x + 3) �2x2 – 3 � 2x2 – 3 �4x + 3 ] 4 � x �- 3 � [ 2x2 + 4x �0 � 2x2 – 4x �6 ] 4 3 � x �[ x2 + 2x �0 � x2 – 2x �3 ] 4 3 � x �[ (x + 1)2 �1 � (x – 1)2 �4 ] 4 3 � x �[ (x + 1 �1 � x + 1 �–1) � –2 �x – 1 �2 ] 4 171

3 � x �[ ( x �0 � x �–2 � –1 �x �3 ] 4 3 � x �( 0 �x �3 ) 4 � 0 �x �3 x � [ 0 , 3 ]

15.- Determinar x de modo que se tenga:

x+4 > x2 - 2 x + 4x + 4 x + 4 2

(UNI. Primera Práctica. 3 de Noviembre de 1973) Solución : Como : x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 > 0 " x �–2 �� � | x2 + 4x + 4 | = x2 + 4x + 4 > 0 También: x2 + 4 > 0, luego, si : x+4 > x2 - 2 x + 4x + 4 x + 4 2

�� (x2 + 4)(x + 4) > (x2 + 4x + 4)(x – 2)

�� x3 + 4x2 + 16 > x3 – 2x2 + 4x2 – 8x + 4x – 8 � 2x2 + 8x + 24 > 0 � x2 + 4x + 12 > 0 � (x + 2)2 > –8 � x �� Si x �– 2 � x �� �x �� – { – 2 }

16.- Hallar el valor de :

5x + 4 - 4 + 4x , si x � �0 , 3 � x

Solución : Si x � �0 , 3 �� 0 < x < 3 � �4 < 5x + 4 < 19 � 5x + 4 > 0 � 5x + 4  5x + 4 � �4 < 4x + 4 < 16 � 4x + 4 > 0 � 4x + 4  4x + 4

V=

5x + 4 - 4 + 4x 5x + 4 - (4 + 4x) 5x + 4 - 4 - 4x x = = = =1 x x x x �

V=1

17.- Demostrar que la siguiente expresión tiene un valor constante: 5x - 20 - 3x - 20 , si x � �–3 , –2 � x (UNI. Primera Práctica. Lima, 9 de Junio de 1974)

172

Solución : Si x � �–3 , –2 � � –3 < x < –2 � - 35 < 5x - 20 <- 30 < 0 � 5x - 20 = 20 - 5x � � � � - 29 < 3x - 20 <- 26 < 0 � 3x - 20 = 20 - 3x � � K= �

5x - 20 - 3x - 20 20 - 5x - ( 20 - 3x) - 2x = = = –2 x x x

K = –2

18.- Hallar el mayor número N con la propiedad que: x 2 + 6x +14 x 3 + 27

�N , si x � [–2 , 2]

(UNI. Primera Práctica. Lima, 8 de Junio de 1974) Solución : Como: x2 + 6x + 14 = (x + 3)2 + 5 > 0 � | x2 + 6x + 14 | = (x + 3)2 + 5 Si x � [–2 , 2] � 1 �++ x 3‫�ޣ‬+� 5 6 � –2 �x �2 � 2 � � �+ 8 ‫��ޣ‬x3 8 19 � �

( x 3) x3

2

27

5

30

...(1)

35

...(2)

1 1 �1 De (2): 35 � 3 x + 27 19

... (3) 2

( x + 3) + 5 De (1) y (3) : 6 � 1 � 3 �30 � 1 19 35 x + 27 �

2 6 � x + 6x +14 �6 � 19 7 x 3 + 27

x 2 + 6x +14 3

x + 27

�6 � 19

N=

6 19

19.- Si  es un número positivo arbitrario, encontrar un número positivo  tal que | (2x2 – x –3) – 3 | <  , si | x – 2 | <  , y x > 0. (UNI. Primera Práctica. Lima, 2 de Noviembre de 1974) Solución : | (2x2 – x –3) – 3 | = | 2x2 – x – 6 | = | (x – 2)(2x + 3) | = | x – 2 | | 2x + 3 | Como x > 0 � 2x + 3 > 3 > 0 � | 2x + 3 | = 2x + 3 \

|x–2|<

x 2x + 3

... (1)

Además, si | x – 2 | < 

... (2) 173

De (1) y (2) : elijo:

d=

x 2x + 3

" x>0

x +2 x - 4 20.- Resolver la desigualdad: x + 8 � x - 3 (UNI. Primera Práctica. Lima, 2 de Noviembre de 1974) Solución : � x + 8, si x + 8 > 0 � x > - 8 Como: | x + 8 | = � � � - (x + 8), si x + 8 < 0 � x <- 8 � Consideremos 2 casos : i) Si x < –8 �

x +2 x +2 �x - 4 �x - 4 � x 3 x- 3 x +8 - ( x + 8)

� x - 4 + x + 2 �0 � x - 3 x +8 �

( x + 8) ( x - 4) + ( x - 3) ( x + 2) �0 ( x - 3) ( x + 8)

x 2 + 4x - 32 + x 2 - x - 6 �0 2x 2 + 3x - 38 �0 �� ( x - 3) ( x + 8) ( x - 3) ( x + 8)

como x + 8 < 0 �

... (1)

2 1 <0 , de (1): 2x + 3x - 38 �0 , si x + 8 < 0 x +8 x- 3

� [(2x2 + 3x – 38 �0 � x – 3 > 0) � (2x2 + 3x – 38 �0 � x – 3 < 0)] 2 2 � � � � � � � 3� � � 3� � 313 313 � x < 3� � � � � � � � � � x + � � x > 3 � x + � � � � � � � � 4 � 16 � 4 � 16 � � � � � � � � � � � � � �

� � 3� � 3� � � x+ � � 313 �� x+ � � � ��� � � 4� 4 � 4� �

313 � x < 3� �� � 4 �

� 313 � � � x + 3 � 313 � x < 3� � � 4 4 � 4 � � 313 - 3 � x� � x �� 4 �

313 + 3 � x < 3� �� � 4 �

� 313 + 3 � � �x � 313 - 3 �� x < 3 � � 4 4 � � x � 313 - 3 4

174

� -

313 - 3 �x < 3 4

� x � 313 - 3 �Si x < –8 � � � � 4 � ii) Si x > –8 � x + 8 > 0 �

313 - 3 �x < 3� � � � x �f � 4 � 1 >0 x +8

� | x + 8 | = x + 8, luego:

x + 2 � x - 4 � x + 2 - x - 4 �0 � - (5x - 26) �0 (x + 8)(x - 3) x +8 x - 3 x +8 x - 3 � 5x - 26 �0 x- 3 �� [ (5x – 26 �0 � x – 3 < 0 ) � (5x – 26 �0 � x – 3 > 0 ) � 26 � � 26 � � x � � x < 3� �� x� � x > 3� � � � � � 5 � � 5 � 26 x �f �3 < x � 5

� �

26 x � �3 , ] 5

21.- Resolver :

5 � 1 2x - 1 x - 2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 2 de Noviembre de 1974) Solución : 5 � 1 2x - 1 x - 2

�

5 � 1 2x - 1 x- 2

� 5| x – 2 | �| 2x – 1 |

... (I)

Puntos de corte: i) x – 2 = 0 � x = 2 � 2x – 1 = 0 � x = 1 / 2 1) Si : x <

2x - 1 < 0 � | 2x - 1| = - (2x - 1) 1 � � � � � 2 �x - 2 < 0 � | x - 2 | = - (x - 2)

... (a)

(a) en (I) : –5(x – 2) �–(2x – 1) � 5(x – 2) �2x – 1 �� 3x �9 � x �3

Si : x <

1 � � � x 3 2

2) Si

1 2

... ()

2x - 1 > 0 � | 2x - 1| = 2x - 1 � 1 <x<2 � � � � 2 �x - 2 < 0 � | x - 2 | = - (x - 2)

...(b)

x<

(b) en (I) :

175

11 1 –5(x – 2) �2x – 1 � 7x �11 � x � , si x � � , 2 � 7 2 � x � �1 , 11 ] 2 7

... ()

2x - 1> 0 � | 2x - 1|= 2x - 1 � 3) Si : x > 2 � � � � �x - 2 > 0 � | x - 2 | = x - 2

... (c)

(c) en (I) : 5(x – 2) �2x – 1, si x > 2 3x �9 � x �3, si x > 2 � x �3 � x � [ 3 , �� () U () U () :

x � - �, 11 7

22.- Hallar el valor de la fracción:

U [3, � -

{ 21}

8x + 94 - - 3x + 94 , x � [–6 , –4 ]. x

(UNI: Primera Práctica. Lima, 2 de Setiembre de 1975) Solución : Si x � [–6 , –4 ] � –6 �x �–4 � 0 < 46 �8x + 94 �62 � 8x + 94 = 8x + 94 � � � � 0 < 106 �- 3x + 94 �112 � - 3x + 94 = - 3x + 94 � �

f=

8x + 94 - - 3x + 94 8x + 94 - (- 3x + 94) 11x = = = 11 x x x

f = 11

�

23.- Resolver la desigualdad:

x +3 < 4x + 3 x +1

(UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Setiembre de 1975) Solución : x +3 x +3 < 4x + 3 �� 4x + 3 > 0 � –(4x + 3) < < 4x +3 x +1 x +1 Si : x > –

x +3 3 � –(4x + 3) < x +1 4

Si : x > –

3 � 1 x+1> >0 4 4

\

� x + 3 < 4x +3 x +1

–(4x + 3)(x + 1) < x + 3 � x + 3 < (4x + 3)(x + 1)

176

... ()

� x > – 3 � [ (4x2 + 8x + 6 > 0 � 4x2 + 6x > 0) ] 4 2 � 2 � 1 �� 3� 9� � � � x > –3 � � x + 1 > x + > (� ) � � 4 � 16 � 2 4 � �

� � � 3 3 � � x > –3 � � " x �� �� x + > � x + 3 <- 3 � � � � 4 4 4 4� 4 � � � � � � � x > –3 � � " x �� � � x > 0 � x <- 3 � � � � � 2� 4 � � � � � x > –3 � � x > 0 � x <- 3 � 2 � � 4 x �f

� x>0

x � �0 , �� x +3 3 24.- Resolver: x +16 � x - 4 (UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Setiembre de 1975) Solución : i) Si . x – 4 > 0 � x > 4 � x + 16 > 0 � | x + 16 | = x + 16

\

x +3 3 (x – 4) | x + 16 | = (x – 4) (x + 16) > 0 , luego: x +16 � x - 4

�� (x + 3) ( x – 4) �3(x + 16) �� x2 – x – 12 �3x + 48 �� x2 – 4x �60 � x2 – 4x + 4 �60 + 4 � (x – 2)2 �64 � x – 2 �8 � x – 2 �– 8 � x �10 � x �–6 , si x > 4

\

x � [10 , ��

... ( )

� x +16 > 0 � x +16 = x +16 ii) Si : –16 < x < 4 � � � � x - 4 < 0 � (x +16)(x - 4) < 0 � �

x +3 � 3 �� x + 3 � 3 x- 4 x +16 x +16 x - 4

�� (x + 3)(x – 4) �3(x +

16) �� x2 – x – 12 �3x + 48 �� (x – 2)2 �64 �� –8 �x – 2 �8 –6 �x �10 si –16 < x < 4 � x � [–6 , 4 � � x +16 < 0 � x +16 = - (x +16) > 0 iii) Si : x < –16 � � � � x - 4 <0 � 177

... (  )

\ �

(x + 16) (x – 4) > 0

x +3 � 3 x +3 � 3 �� x- 4 x +16 - (x +16) x - 4

�� – (x + 3)(x – 4) �3(x + 16) �� –x2 + x + 12 �3x + 48 �� x2 +2x +36 �0 � (x + 1)2 �– 35 � x � f

... (  )

x � [–6 , 4 �U [ 10 , ��

() U () U ():

25.- Sabiendo que : b > 0 y | x – a | < 2b, probar que:

b � �1 , 1 � x - a + 3b 5

(UNI: Primera Práctica. Lima, 13 de Setiembre de 1975) Solución : Si | x – a | < 2b �� –2b < x – a < 2b –2b + 3b < x – a + 3b < 2b + 3b �� 0 < b < x – a + 3b < 5b

... (1)

1 x - a + 3b Si b > 0 � > 0, de (1) : 1 < <5 b b b � 1 < < 1 �� x - a + 3b 5

1 � 1 ,1 x - a + 3b 5

2 x 2 - 16 x 26.- Resolver : = x- 1 x +4

(UNI: Primera Práctica. Lima, 13 de Setiembre de 1975) Solución : Observamos que: | a | � 0

" a ��, luego el primer miembro de la

igualdad es positivo lo mismo que el numerador del segundo miembro, por consiguiente, necesariamente para verificarse la igualdad, debe cumplirse que : x + 4 > 0 � | x + 4 | = x + 4, además: 2

|x |=x

2

�

2 x 2 = x - 16 x- 1 x +4

�

x2 = x + 4 x - 4 x +4 x- 1

� si x – 1 �0 � x2 = | x – 4 | | x – 1 | = | (x – 4) (x – 1) |

� | x2 – 5x + 4 | = x2

� x 2 �0 �( x 2 + 5x + 4 = x 2 ) � � � � � �� � � � � � 2 2 � x - 5x + 4 = - x � � �

�� x2 �0 � ( 5x = 4 � 2x2 – 5x + 4 = 0 ) 178

2 � 4 � 5� 7� � � � �� x �0 � x = � � x = � � � 5 � � 4� 16 � �

2

�� x2 �0 � (x = 4 5 x=

� x ¿? f ) , si x �1

4 5

x- 2 x 27.- Resolver la desigualdad: x 2 + 4 �x 2 + 2 (UNI: Examen Parcial. Lima, 4 de Setiembre de 1976) Solución : Como : x2 �0 � x2 + 4 �4 > 0 � | x2 + 4 | = x2 + 4, luego : x- 2 � x x- 2 � x �� 2 �� (x – 2)(x2 + 2) �x(x2 + 4) 2 x2 + 4 x + 2 x + 4 x2 + 2 � x3 – 2x2 + 2x – 4 �x3 + 4x � 2x2 + 2x + 4 �0 2

� 7 � x2 + x + 2 �0 � � � x + 1� �+ 4 �0 � � 2� 2

� 1� 7 7 " x ��, porque � x+ � �+ 4 � 4 > 0 � � 2� 1 28.- Resolver : x + �6 x (UNI: Primera Práctica. Lima, 5 de Mayo de 1977) Solución : x + 1 �6 �� x

x 2 +1 x

�6 ��

x 2 + 1 �6 , donde x2 + 1 > 0 x

como | x | > 0 " x �� �0 �� x2 + 1 �6 | x |

... (I)

i) Si x < 0 � | x | = – x , en ( I ) : x2 + 1 �6(– x) �� x2 + 6x + 1 �0 �� (x + 3)2 �8 �� – 8 �x + 3 � 8 �� – 3 – 2 2 �x �2 2 – 3 si x �0 x � [– 3 – 2 2 , – 3 + 2 2 ] ... (  )

179

ii) Si x > 0 � | x | = x , en (I) : x2 + 1 �6x �� x2 – 6x + 1 �0 � (x – 3)2 �8 �� – 8 �x – 3 � 8 �� 3 – 8 �x �3 + 8 , si x > 0 x �[ 3 – 2 2 , 3 + 2 2 ]

... (  )

Luego : (  ) U (  ): x � [– 3 – 2 2 , – 3 + 2 2 ] U [ 3 – 2 2 , 3 + 2 2 ] 29.- Resolver : ( | x – 1 | + | x – 2 | ) ( | 1 – x | – | 2 – x | ) �x2 – 6 (UNI: Examen Parcial. Lima, 26 de Mayo de 1977) Solución : Como " a ��: | a | = | –a | � | 1 – x | = | – (1 – x) | = | x – 1 | , también: | 2 – x | = | x – 2 |, entonces, si: ( | x – 1 | + | x – 2 | ) ( | 1 – x | – | 2 – x | ) �x2 – 6 �� ( | x – 1 | + | x – 2 | ) ( | x – 1 | – | x – 2 | ) �x2 – 6 �� | x – 1 | 2 – | x – 2 | 2 �x2 – 6 �� (x – 1)2 – (x – 2)2 �x2 – 6 �� x2 – 2x + 1 – x2 + 4x – 4 �x2 – 6 �� x2 – 2x – 3 �0 �� (x – 1)2 �4 �� ( x – 1 �2 � x – 1 �– 2 ) �� ( x �3 � x �– 1 )

30.- Si

�

x � �– � , – 1] U [ 3 , ��

2 �� 1 � x +3 �N � ,6 �determinar el menor valor de N, para que cumpla: x � 5 � x +6

Solución : Si

2 �� 1 � 1 � 2 � 6 �� 1 � x � 5 � ,6 ��� x � 5 � 5 x 6 2

Además : De ( 1 ) :

�� 1 � x � 10 3

... ( 1 )

x + 3 = 1- 3 x +6 x +6

... ( 2 )

1 + 6 � x + 6 � 10 + 6 �� 1 � 1 � 3 16 x +6 19 3

�� - 9 � - 3 � - 3 � 1- 9 � 1- 3 � 1- 3 19 x +6 16 19 x +6 16 180

x = 13 16

��

10 � x + 3 � 13 � 19 x +6 16

x + 3 �13 x +6 16

\

31.- Resolver la siguiente desigualdad: | x – 2 | 2 – 3| x – 2 | – 4 < 0 Solución : Si : | x – 2 |

2

– 3| x – 2 | – 4 < 0

� ( | x – 2 | – 4 ) (| x – 2 | + 1 ) < 0

... ( 1 )

Como : | x – 2 | �0 � | x – 2 | + 1 �1 > 0 " x �� � |x–2|+1>0 entonces de (1): | x – 2 | – 4 < 0 � | x – 2 | < 4 �� – 4 < x – 2 < 4 �� –2 < x < 6 �

x � �–2 , 6 �

32.- Hallar el conjunto solución de :

3 �x - 1 x- 3

Solución : Como:

3 � x - 1 �� 3 �(x – 1) | x – 3 | , si x �3 x- 3

... ( I )

i) Si x – 3 < 0 � | x – 3 | = – (x – 3) en ( I ) : 3 �(x – 1) (– (x – 3)) � 3 �–(x – 3) (x – 1) �� 3 �– (x2 – 4x + 3) �� x2 – 4x + 6 �0 �� (x – 2)2 + 2 �0 � x �f

porque: (x – 2)2 + 2 �2 > 0 , " x ��

ii) Si x – 3 > 0 � | x – 3 | = x – 3, en ( I ) : 3 �(x – 1) (x – 3) �� 3 �x2 – 4x + 3 �� x2 – 4x �0 �� (x – 2)2 �4 �� x – 2 �2 � x – 2 �– 2 �� ( x �4 � x �0 ) , si x > 3 x � [ 4 , �� 33.- Hallar el menor valor de M que satisfaga la siguiente desigualdad: 2x +1 - 1 x- 2 2

� M para x � [ 4 , 7 ]

(UNI: Primera Práctica. Lima, 14 de Abril de 1978) Solución : 2(x - 2) + 5 1 2x +1 - 1 5 - 1 5 +3 = = 2+ = x- 2 2 x- 2 2 x- 2 2 x- 2 2 Además, si : x � [ 4 , 7 ] �� 4 �x �7 �� 2 �x – 2 �5

181

... (1)

�� 1 � 1 � 1 �� 1 � 5 � 5 5 x- 2 2 x- 2 2

�� 5 � 3 + 5 � 4 2 2 x- 2

De ( 1 ) : 5 � 2x +1 - 1 � 4 � 2 x- 2 2 34.- Resolver:

M=4

2x +1 - 1 �4 � x- 2 2

x- 1 � 1 x- 1 x - 4x + 8 2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 4 de Abril de 1978) Solución : Observamos que : x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 > 0 � | x2 – 4x + 8 | = x2 – 4x + 8, " x �� �

x- 1 x- 1 � 1 �� 2 � 1 ...( 1 ) x 1 x- 1 x - 4x + 8 x - 4x + 8 2

como: | x – 1 | > 0 " x �1 , de ( 1 ): |x – 1|2 �x2 – 4x + 8 � (x – 1)2 �x2 – 4x + 8 �� x2 – 2x + 1 �x2 – 4x + 8 7 2x �7 �� x � 2

35.- Resolver :

\

7 x � �– � , � 2

x- 1 � 1 x- 1 x - 4x + 2 2

(UNI: Segunda Práctica. Lima, 29 de Abril de 1978) Solución : Como : |x2 – 4x + 2| |x – 1| > 0 � |x – 1|2 �|x2 – 4x + 2| ��

|x2 – 4x + 2| �(x – 1)2

�� [(x – 1)2 > 0 � – (x – 1)2 �x2 – 4x + 2 �(x – 1)2 ] � " x �1 �� � –x2 + 2x – 1 �x2 – 4x + 2 �x2 – 2x + 1 � x �1 � 2x2 – 6x + 3 �0 � 2x – 1 �0 2 � � 3� � 3 � x � 1� � � � x � 1 � x � � � � � 2� 4 2� � �

� � � x ‫ٳ‬-‫ڣ‬+ 1 ‫��ٳ‬ x � � � � �

3 2

3 2

x

3 2

� � 1, 3 - 3 � 3+ 3, � �U � x �� � � � 2 2 � � � 2 182

3� � � � � 2�

x

1� � 2� �

� 2, si 0 < x < 1 1+ x - 1- x � � = 36.- Demostrar que : �2 x � , si x �1 � �x

Justificar los pasos.

(UNI: Examen Parcial. Lima, Junio de 1978) Solución : i) 1 + x = 0 � x = – 1

Puntos de corte:

ii) 1 – x = 0 � x = 1 � 1+ x �0 � 1+ x = 1+ x a) Si –1 �x < 1 , x �0 � � � � 1- x > 0 � 1- x = 1- x � � f(x) =

1+ x - 1- x 1+ x - (1- x) 2x = 2 , si x �0 = = x x x

� Si –1 �x < 1 � x �0 � x � �0 , 1 �� f(x) = 2 � 1+ x �2 > 0 � 1+ x = 1+ x � � b) Si x �1 � � 1- x �0 � 1- x = - (1- x) � � � f(x) = 1+ x - (- (1- x)) = 1+ x +1- x = 2 , si x � [ 1 , �� x x x 37.- Resolver la siguiente ecuación: |x 2 + 6x + 1| = 2x + 6 (UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Octubre de 1978) Solución : |x2 + 6x + 1| = 2x + 6 �� [2x + 6 �0 �� [ x �–3 � �� [ x �–3 � �� [ x �–3 � �� [ x �–3 �

� (x2 + 6x + 1 = 2x + 6 � x2 + 6x + 1 = – (2x + 6))] (x2 +4x + 4 = 9 � x2 + 8x + 16 = 9) ] (x + 2)2 = 9 � (x + 4)2 = 9 ] (x + 2 = 3 � x + 2 = –3) �(x + 4 = 3 � x + 4 = –3)] (x = 1 � x = –5 ) � ( x = –1 � x = –7 ) ]

��

38.- Resolver :

� x = [–1,1] ��

x +1 � 1 x x- 1

(UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Octubre de 1978) 183

x = �1

Solución : Si x – 1 �0, luego :

��

x +1 � 1 x x- 1

x +1 x - 1 �1 �� x

� x > 0,

+ 48 64474 2 x - 1 �1 > 0 x

(x +1)(x - 1) �1 �� x

x2 - 1 �1 x

... ( I )

Si : |x2 – 1| = 0 �� x2 – 1 = 0 � x = �1 � x > 0 �

i) Si 0 < x < 1 � 0 < x2 < 1 ��

\ En ( I ): ��

x2 – 1 < 0

| x2 – 1| = – (x2 – 1)

- ( x 2 - 1) 2 2 �1 � – (x – 1) �x �� x + x �1 x

2 � 1� �� 5 �� - 5 - 1 �x � 5 - 1 � x + � 4 � 2� 2 2 2 2

x � �0 ,

� 0<x<1 5 - 1� � 2 � �

... (  )

ii) Si x > 0 � x2 – 1 > 0 � | x2 – 1| = x2 – 1 2 En ( I ) : x - 1 �1 � x2 – 1 �x �� x2 – x �1 x

2 � 1� 5 �� � � � �� � x � 5 +1 � x �1- 5 � � �x>1 � x � � � � � � � 2 2 � � 2� 4 �

�5 + 1 x � � 2 , �� � �

\

() U ():

x ��0 ,

184

5 - 1� �U 2 � �

�5 + 1 � , �� � �2

... (  )

39.- Hallar el conjunto solución de : |x2 – 1| – |x + 3| �|x – 1| (UNI: Primera Práctica. Lima, 6 de Octubre de 1978) Solución : �x 2 - 1 = 0 � x 2 - 1 = 0 � x = �1 � � � Puntos de corte : � �x + 3 = 0 � x + 3 � x = - 3 � � � x - 1 = 0 � x - 1 � x =1 � � |x2 – 1| – |x + 3| �|x – 1| � x 2 - 1 > 8 > 0 � x 2 - 1 = x 2 - 1� � � � � � � x + 3 < 0 � x + 3 = - (x + 3) � i) Si : x < –3 � � � � � � � � � � x 1 < 0 � x 1 = (x 1) � � � �

... (I)

... ()

() en ( I ) : x2 – 1 + x + 3 �–(x – 1) �� x2 + 2x + 1 �0 � (x – 1)2 �0 �� [ (x + 1)2 < 0 � (x + 1)2 = 0 ] � ( f

� x = –1) � x = –1

� Si x < –3 , x = –1 � x � f � x + 3 �0 � x + 3 = x + 3 � � � � � 2 2 2 � � � x 1 > 0 � x 1 = x 1 ii) Si : –3 �x < –1 � � � � � � � x - 1 < 0 � x - 1 = - (x - 1)� � � � �

... ( 1 )

... (  )

(  ) en ( I ) : x2 – 1 – (x + 3) �–(x – 1) �� x2 �5 � – 5 �x � 5 � si : –3 �x < –1 � – 5 �x � 5 �� – 5 �x �–1 � x 2 - 1 �0 � x 2 - 1 = - (x 2 - 1) � � � x +3 > 0 � x +3 = x + 3 iii) Si –1 �x �1 � � � � � � x - 1 < 0 � x - 1 = - (x - 1) � �

... ( 2 )

... (  )

(  ) en ( I ) : –(x2 – 1) – (x + 3) �–(x – 1) � x2 + 3 �0 � " x �� � –1 �x �1 � x �� � –1 �x �1

185

... ( 3 )

� x 2 - 1 �0 � x 2 - 1 = x 2 - 1� � � � � � � � � � x + 3 > 0 � x + 3 = x + 3 iv) Si x �1 � � � � � � � x - 1 �0 � x - 1 = x - 1 � � � � �

...(  )

(  ) en ( I ) : x2 – 1 – (x + 3) �x – 1 , si x �1 � x2 – 2x + 1 �4 �� (x – 1)2 �4 �� – 4 + 1 �x � 4 + 1 Si : x �1 � 1 –

\

4 �x � 4 + 1 � –1 �x �3

... ( 4 )

(1) U (2) U (3) U (4):

x � [– 5 , –1 �U [–1, 1 �U [1 , 3 ] �

� 5 ,3 � x �� �

40.- Probar que si | x | < r para todo número real r > 0entonces x = 0. (UNI: Primera Práctica. Lima, 20 de Abril de 1979) Solución : Si | x | < r �� – r < x < r

... (1)

(T: 1.7.10)

a +b Además sabemos que si : a < b �� a <
... (2)

x=0

41.- Probar que : a4 + b4 + c4 + d4 � 4| abcd | donde a, b, c, d son números reales. (UNI: Primera Práctica. Lima, 20 de Abril de 1979) Solución : (a2 – b2)2 �0 " a, b�� (T: 1.5.12) � a4 + b4 �2a2 b2

… (1)

Asimismo:, " c, d �� � c4 + d4 �2c2 d2

… (2)

También : ( |ab| – |cd|)2 �0 � |ab| 2 – |cd| 2 �2|ab| |cd| � a2 b2 + c2 d2 �2 |abcd|... (3)(T: 1.7.2, T: 1.7.4) Sumando : (1) + (2) : a4 + b4 + c4 + d4 �2 (a2 b2 + c2 d2) De (3) y (4) : a4 + b4 + c4 + d4 �2.2| abcd | �

a4 + b4 + c4 + d4 �4| abcd |

186

... (4)

42.- Resolver la desigualdad: |x – 4| – |x – 2| �|x – 1| (UNI: Primera Práctica. Lima, 20 de Abril de 1979) Solución : Si : |x – 4| – |x – 2| �|x – 2| �|x – 1|

... ( 1 )

Puntos de corte: x – 4 = 0, x – 2 = 0, x – 1 = 0 � x = { 1, 2, 3 } x - 4 <0 � � � x - 2 <0 i) Si x < –1 � � � � � x - 1< 0 � � En ( 1 ) : –(x – 4) – (– (x – 2)) �–(x – 1) –x + 4 + (x – 2) �–x + 1) , si x < 1 � x �–1 , si x < 1 � x � �– �, –1 ]

... (  )

x - 4 <0 � � � x - 2 <0 ii) Si 1 �x < 2 � � � � x - 1 �0 � � En ( 1 ) : –(x – 4) – (– (x – 2)) �(x – 1) � –x + 4 + x – 2 �x – 1 � x �3, si 1 �x < 2 � x � f

... (  )

x - 4 <0 � � � x - 2 �0 iii) Si 2 �x < 4 � � � � x - 1> 0 � � En ( 1 ) : –(x – 4) – (x – 2) �(x – 1) –x + 4 – x + 2 �x – 1 � x � 7 , si 2 �x < 4 3 � x �[ 7 , 4 � 3

... (  )

x - 4 <0 � � � x - 2 �0 iv) Si x �4 � � � � x - 1> 0 � � En ( 1 ) : (x – 4) – (x – 2) �(x – 1) x – 4 – x + 2 �x – 1 � – 1 �x , si x �4 � x �[ 4 , � �

... (  ) 7 x � �– �, –1 ] U [ , � � 3

De (  ) U (  ) U (  ) U (  ) : 187

43.- Probar que : | |x| – |y| | �

x2 - y2

(UNI: Primera Práctica. Lima, 20 de Abril de 1979) Demostración : Supongamos que " x, y �0 : x �y � |x| �|y| Además : 2 |y| �0 � 2 |y| |x| �2 |y| |y| � 2|xy| �2y2 � 2|xy| – y2 �y2 � –2(|xy| – y2) �–y2 � –2|x| |y| + y2 �–y2

� x2 – 2|x| |y| + y2 �x2 – y2

� |x| 2 – 2|x| |y| + |y| 2 �x2 – y2 � (|x| – |y|) 2 �x2 – y2 Además si : x �y � x2 �y2 � x2 – y2 �0 � | x2 – y2 | = x2 – y2 (|x| – |y|) 2 �| x2 – y2 | �� | |x| – |y| | �

x2 - y2

44.- Probar que si x �y �z entonces |y| �|x| + |z| (UNI: Examen Parcial. Lima, 21 de Mayo de 1979) Solución : Podemos considerar dos casos: I) Que x, y, z tengan el mismo signo, es decir : i) Si x �y �z < 0

�

� |x| �|y| �|z| > 0

ii) 0 �x �y �z ... ()

� 0 �|x| �|y| �|z|

De () : �z > 0 � � � � �x � y

�

� � � � |x| + |z| > |y| x + z �y + z � �

� y �z � � � � � �0 < x �

x + y �x + z� �� |y| < |x| + |z| � y < x + y� �

�

y +z >y

De () :

II) Que x, y, z tengan diferentes signos: Como: x �y �z , y deben ser de diferentes signos, por tricotomía. y=0

� y>0

� �y � z � �� i) Si y = 0 � x < 0 = y �z � � |y| �|x| + |z| � � �0 < x � �

188

... ()

�y � z � � � � � � � ii) Si y > 0 x 0
y

|x| <

1 x

(UNI: Primera Práctica. Lima, 18 de Enero de 1980) Solución : Como : " a ��, |a| �0 Luego de :

\

|x| <

1 1 >|x|>0 � >0 � x >0 x x

� |x|=x

... (1)

1 �� 1 � 2 x< x < 1 �� – 1 < x < 1 x x

... (2)

De (1) y (2) : 0<x<1

... ()

Trabajando con la otra inecuación : + 8 644744 x2 x < 2 � x>0 x- 4 x - 16 144424443 +

Como el primer miembro de la desigualdad es positiva, en el segundo miembro necesariamente el numerador debe ser positivo para que su cociente con una cantidad positiva sea positiva, es decir : x > 0 � | x | = x , la desigualdad equivale a: x x 1 x2 x2 � � x< < < , x �4 (x + 4)(x - 4) (x + 4)(x - 4) x +4 x- 4 x- 4 Como: x > 0 � x + 4 > 4 > 0 � | x + 4 | = x + 4

\

x<

�� x (x + 4) < 1 � x2 + 4x < 1 � (x + 2)2 < 5 �� –

189

1 x +4 5 <x+2<

5

� –

5 –2<x<

� 0<x<

Luego de () y () :

46.- Resolver:

x � �0 ,

5–2

5 – 2 si x > 0 ... ()

5–2 �

2x - 5 <3 x-6

(UNI: Segunda Práctica. Lima, 14 de Noviembre de 1980) Solución : 2x - 5 2x - 5 < 3 � –3 < <3 x-6 x-6

... (I)

i) Si x = – 6 < 0 , de (I): � –3(x – 6) > 2x – 5 > 3(x – 6) � –3x + 18 > 2x – 5 > 3x – 18 � –3x + 18 > 2x – 5 � 2x – 5 > 3x – 18 23 > 5x � 13 > x � x<

23 5

� x < 13 , si x – 6 < 0 � x < 6

x<

ii) Si x – 6 > 0 �� x > 0 �

23 5

... ()

De (I) :

–3(x – 6) < 2x – 5 < 3(x – 6)

� –3x + 18 < 2x – 5 < 3x – 18 � –3x + 18 < 2x – 5 � 2x – 5 < 3x – 18 23 < 5x � 13 < x � x>

23 5

� x > 13 , si x – 6 > 0 � x > 6

x<

x � �– �,

23 5

23 �U �13 , �� 5 190

... ()

De () U () : 47.- Resolver : | | x | – 1 | < | x | (UNI: Segunda Práctica. Lima, 14 de Noviembre de 1980) Solución : Como : 0 �| x | < b �� x2 < b2

(T: 1.7.15)

� 0 �| | x | – 1 | < | x | �� (| x | – 1 )2 < x2 � | x | 2 – 2 | x | + 1 < x2 �� 1 < 2| x | � �� x >

1 �� 2

x � �– � . –

1 <|x| 2

1 1 �U � , �� 2 2

48.- Resolver la ecuación: | | x2 – 1 | – x | = x (UNI: Segunda Práctica. Ciclo 80-2. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : Como: | a | �0 � | a | = b � b �0, en este b = x � x �0

... (1)

Luego: | | x2 – 1 | – x | = x �� ( | x2 – 1| – x)2 = x2 �� ( | x2 – 1| )2 – 2x| x2 – 1| + x2 = x2 � | x2 – 1| ( | x2 – 1| – 2x ) = 0 � | x2 – 1| = 0 � | x2 – 1| – 2x = 0 �� x2 – 1 = 0 � | x2 – 1| = 2x �� x2 = 1 � (x2 – 1 = 2x � x2 – 1 = –2x ) �� x = �1 � [ (x – 1)2 = 2 � (x + 1)2 = 2 ] x = �1 � [ x = 1 �

2

� x = –1 � 2 ]

... (2)

Pero de (1) x �0 � de (2) : x={

2 – 1, 1, 1 +

2 }

49.- Resolver la desigualdad : |10 – 3x – x2 | � | x2 + x – 6 | (UNI: Segunda Práctica. Ciclo 80-2. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : Como : | a | = | –a | , " a �� � |10 – 3x – x2 | = | x2 + 3x – 10 | � | x2 + x – 6 | � | (x + 5)(x – 2) | �| (x + 3)(x – 2) |

191

� |x + 5| |x – 2| �|x + 3| |x – 2| � |x – 2| ( |x + 5| – |x + 3| ) �0 � |x –2| �0 � |x + 5| – |x + 3| �0 " x �� � |x + 5| �|x + 3| �� (x + 5)2 �(x + 3)2 � x2 + 10x + 25 �x2 + 6x + 9 x �� � 4x �16 � x �– 4 x �� � x �– 4 �

x � [ – 4 , ��

50.- Encontrar el conjunto solución de la desigualdad: x 2 - 16 8(x + 4) �0 + x- 3 9 - x2 (UNI: Segunda Práctica. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : x 2 - 16 8(x + 4) � 0 �� + x- 3 9 - x2 x 2 - 16 x- 3 � –

�

x 2 - 16 x- 3

�–

8(x + 4) 9 - x2

8(x + 4) x2 - 9

... ()

8(x + 4) 8(x + 4) x 2 - 16 � � 2 2 x - 9 x - 9 x- 3

... ( I )

De ( I ) apreciamos que se presentan dos casos : i) x2 – 9 > 0 De () : | a | �0

ii) x2 – 9 < 0

ó �

8(x + 4) �0 x2 - 9

� si: x + 4 �0 � x2 – 9 < 0 � x �– 4

� – 3 < x < 3 , x �f

Por lo tanto, sólo ocurre (i): luego de () � X + 4 �0 si x2 – 9 > 0 i) Si x2 – 9 > 0, de (I) : – 8 (x + 4) �(x2 – 16)(x + 3) �8 (x + 4) Como : x + 4 � 0

� x+4>0

� x+4=0

... ()

� x = – 4 es una

solución de (). Si x + 4 > 0 � (x + 4)–1 > 0 ; de () : x2 – 9 > 0 �–8 �(x – 3)(x + 3) �8 � x2 – 9 > 0 � –8 �x2 – 9 �8 �� 1 �x2 �17 � 1 �| x | � 17

192

Si x2 > 9 � [ ( x > 3 � x < – 3) � (– 17 �x �–1 � 1 �x � 17 ) ] Además : x �–4

x � [–4 , –3 ��3 ,

17 ]

� x 2 - 16 � x2 � � x ��, = 51.- Si : A = � �, encontrar A – AC � � x 2 x 4 � � � � C

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo 80-2. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : x2 x 2 - 16 = x- 2 x- 4

x- 4 >0 � � { |x – 4| = x – 4 � | x2 | = x2 , x �2 x>1

x2 (x - 4)(x + 4) (x - 4) (x + 4) = = = |x + 4| � x2 = |x+4| |x – 2| x- 2 x- 4 x- 4

�

� x2 = | (x + 4)(x – 2) | = | x2 + 2x – 8 | �� x2 = x2 +2x – 8 � x2 = – (x2 +2x – 8) �� x = 4 �AC � 2x2 +2x = 8 � x2 + x = 4 2

� 1� 17 � � � x = - 1� 17 < 4 � x �f = x+ � � � � � � 2� 4 2

\

AC = { x / x �f } � A = � � A – AC = A I (AC)C = A I A = A = �

52.- Para x ��, encontrar la suma de las raíces de la ecuación: | 3 – x | + 24 = 10

x- 3

(UNI: Primera Práctica. Curso introductorio. Ciclo 80-II. Lima, 09-12-1980) Solución : Sea “S” la suma de las raíces. Como : | –a | = | a | y | a | = | 3 – x | + 24 = 10 �

(

x- 3

)

2

– 10

x- 3

��

a2 =

(

(

x- 3

x - 3 + 24 = 0 ��

193

)

2

| a | , luego :

)

(

2

+ 24 = 10 x- 3 - 4

)(

x- 3

)

x- 3 - 6 = 0

i)

x - 3 – 4 = 0 ��

x- 3 = 4 x = 19

x - 3 = 16 � � � � �� | x – 3 | = 16 � � ó � � x - 3 = - 16 � � � x - 3 – 6 = 0 ��

ii)

x = –13

x- 3 = 6

x - 3 = 36 � � � � �� | x – 3 | = 36 � � ó � � x - 3 = - 36 � � � � S = 19 + (–13) + 36 + (–33) = 12 �

53.- El conjunto solución de la desigualdad

x = 39 x = –33 S = 12

x + 2 – | x | + 1 > 0 es :

(UNI: Primera Práctica. Lima, 9 de Diciembre de 1980) Solución : a �0 �� a �0 � | a | �0, luego:

Sabemos que: |

x + 2 – |x| | �0 � |

� |

x + 2 – |x| | + 1 �0 + 1 > 0

x + 2 – |x| | + 1 > 0 " x ��, tal que :

� x + 2 �0 � x �– 2 54.- Si a �� y

x + 2 �0

x � [– 2 , ��

�

| 13 - a | - 2a ��, ¿cuál de las siguientes desigualdades no

es satisfecha por “a”? A) a–1 < a

B) a + a–1 < 2

C) 5a + 10 > 9a + 6

(UNI: Primera Práctica. Lima, 9 de Diciembre de 1980) Solución : Si

a �� � a < 0 , luego

� | 3 – a | < 2a

| 13 - a | - 2a ��, si | 3 – a | – 2a < 0

�� 2a > 0 � – 2a < 3 – a < 2a ��

a > 0 � (– 2a < 3 – a � 3 – a < 2a )

��

a>0 �

(a>–3

� a>1)

�� a > 0 � a > 1 � a > 1 �

194

a � �1 , � �

a) Si a > 1 �

1 1 <1 2 (Problema 12 resuelto de desigualdades a pág. 29)

b) Si a > 1 > 0 � a +

c) Si 5a + 10 > 9a + 6 �� 10 – 6 > 9a – 5a �� 4 > 4a �� 1 > a � a < 1 lo cual contradice a a > 1. 55.- El conjunto solución de la desigualdad x 2 x - 1 > | x – x2| es : (UNI: Primera Práctica. Lima, 9 de Diciembre de 1980) Solución : Por restricción de

x- 1 > 0 � x – 1 > 0 � x > 1 � x > 0

�x = x � � � � �1- x = x - 1 Luego, si : x2 x - 1 > | x – x2| �� x2 x - 1 > |x| |1 – x| �� x2 x - 1 > x(x – 1)

... ()

Como : x2 x - 1 > 0 , " x > 1, de () : x > 2

� 1� 3 � x >x–1 � � x- � >� � � � � 2� 4

� x �� � x > 1

2

�

x- 1

x � �1 , ��

56.- El conjunto solución de la desigualdad | |x| +|x – 3| | � 3 es: (UNI: Primera Práctica. Lima, 9 de Diciembre de 1980) Solución : Como : |x| + |x – 3| > 0 � | |x| + |x – 3| | = |x| + |x – 3| �3 Resolveremos por 2 métodos : A) Por puntos de corte : |x| = 0 � x = 0 |x – 3| = 0 � x = 3

� x = - x � � i) Si x < 0 � � � �x - 3 = 3 - x

�

De (1):

195

... (1)

– x + 3 – x �3 � – 2x �0 � x �0, si x < 0 x � f ... () �x = x � ii) Si 0 �x < 3 � � � �x - 3 = 3 - x

� De (1):

x + 3 – x �3 �� 3 �3 " x � [ 0 , 3 � � x = x � iii) Si x �3 � � � � �x - 3 = 3 - x

... ()

� De (1):

x + x – 3 �3 � 2x �6 � x �3 , si x �3 � x = 3 Luego : de () U () U () :

... ()

x �[ 0 , 3 ]

B) Si : |x| + |x – 3| �3 � 0 �|x – 3| �3 – |x| � i) 3 – |x| �0 � |x| �3 �� – 3 �x �3

... ()

ii) |x – 3|2 �(3 – |x| )2 �� (x – 3)2 �(3 – |x| )2 �� x2 + 9 + 6x �9 + x2 – 6|x| � – 6x �– 6|x| � x �|x| � x = |x|

� x > |x|

� x ��+ � x �f De () I () :

� x ��+

... ()

x �[ 0 , 3 ]

57.- Sea { a, b, c } � ( �– { 0 } ), demostrar que:

bc ac ab + + � a +b +c a b c

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo 80-II. Lima, 15 de Mayo de 1981) Solución : Sabemos que : M.A �M.G A) Luego, para : bc ac y a b

bc ac + � �, se tiene que . a b 2

bc ac + a b � 2 Es decir :

bc ac � = a b

c2 =

bc ac + a b �|c| 2

c

2

�

bc ac a b

= |c|

... (1)

196

bc ab + También : a c �|b| 2

... (2)

ac ab + b c �|a| 2

... (3)

De (1) + (2) + (3) : bc ac ab + + a b c �

� |a| + |b| + |c| � |a + b + c|

bc ac ab + + � a +b +c a b c B)

También

podemos

demostrar

esta

desigualdad,

haciendo uso del problema N° 26 ( página 34) del capítulo de Desigualdades, es decir : a2b2 + b2c2 + a2c2 �abc(a + b + c)

… (1)

haciendo: |x| = x para a, b, y c, luego de (1) |ab|2 + |bc|2 + |ac|2 �|abc| ( |a| + |b| + |c| ) 2

�

� �

2

ab + bc + ac

2

� |a| + |b| + |c|

abc ab

2

abc

+

bc

2

abc

+

ac

2

abc

� |a| + |b| + |c| � | a + b + c |

bc ac ab + + � a +b + c a b c

58.- Sea { x, y } � �. Luego: |x| + |y| = |x + y| , xy �0 Demostración : Si : |x| + |y| = |x + y| �� ( |x| + |y| )2 = ( |x + y| )2 = (x + y)2 |x|2 + 2|x| |y| + |y|2 = x2 + 2xy + y2 �� 2|x| |y| = 2xy xy �0 �� |x| |y| = |xy| = xy �� xy = |xy| �0 ��

59.- Si A = { x �� / |x2 –3x – 6| > |6 + x| } 197

B = { x �� / | |x – 1| + x | >

- x } . Encontrar AC U BC

Solución : Como | a | > | b | �� a2 > b2 De “A” : |x2 –3x – 6| > |6 + x| �� (x2 –3x – 6)2 > (6 + x)2 �� (x2 –3x – 6)2 – (6 + x)2 > 0 �� (x2 –3x – 6 + 6 + x) (x2 –3x – 6 – 6 – x) �� (x2 – 2x)(x2 – 4x – 12) > 0 � x 2 - 2x < 0 � x 2 - 4x - 12 < 0 � � �� � ó � � � � x 2 - 2x > 0 � x 2 - 4x - 12 > 0 �

... (i) ... (ii)

� x2 – 4x – 12 > 0 � (x – 1)2 > 1 � (x – 2)2 < 16 �� (–1 < x – 1 < 1 � –4 < x – 2 < 4 ) �� ( 0 < x < 2 � –2 < x < 6 )

Si : x2 – 2x < 0

� x � �0 , 2 �

... ()

� x2 – 4x – 12 > 0 � (x – 1)2 > 1 � (x – 2)2 > 16 �� [ (x – 1 < –1 � x – 1 > 1 ) � ( x – 2 < –4 � x – 2 > 4 ) ] �� [ ( x < 0 � x > 2 ) � ( x < – 2 � x > 6 ) ]

Si : x2 – 2x > 0

� x � �– �, –2 �U �6 , ��... () De : () U () : A = { x �� / x � �– �, –2 �U �0 , 2 �U �6 , ��} AC = { x �� / x � [ – 2 , 0 ] U [ 2 , 6 ] } De “B” : | |x – 1| + x | >

... (I) ... ()

- x Como :

- x �0

� –x �0 �� x �0

... () � x – 1 �– 1 < 0 � |x – 1| = – ( x – 1) � |x – 1| = –x + 1 � |x – 1| + x = 1 � | |x – 1| + x | = 1 ... () () en () : 1 >

- x � 1>–x

� x > –1

... (f) De () I (f) : – 1 < x �0 � B = { x �� / x � �–1 , 0 �} � BC = { x �� / x � �– �, –1] U �0, ��} … (II) 198

(I) U (II) :

AC U B C = �

� | x 2 - 2x - 48 | ( | x 2 - 2x | - | x - 12 | ) � x �£ / 60.- Sea el conjunto B = � � | x- 2|- 6 � �

� � 0� � � �

Determinar por extensión, B. Solución : Como | a | �0 " a �� De “B” : x ��. Luego : x � B ��

| x 2 - 2x - 48 | ( | x 2 - 2x | - | x - 12 | ) | x- 2|- 6

�� | x2 – 2x – 48| �0

�

�0

| x 2 - 2x | - | x - 12 | �0 | x- 2|- 6

| (x - 8)(x - 6)43| 4244444 �� 1444444 �0 " x ��

��

�x 2 - 2x - x - 12 �0 � x - 2 - 6 <0 � � � � � � � � � x 2 - 2x - x - 12 �0 � x - 2 - 6 >0 � �

... (i) ... (ii)

Si : i) | x2 – 2x | �| x – 12 | � | x – 2 | < 6 �� (x2 – 2x)2 �( x – 12)2 � – 6 < x – 2 < 6 �� (x2 – 2x)2 – ( x – 12)2 �0 � – 4 < x < 8 �� (x2 – 2x + x – 12) (x2 – 2x – x + 12) �0 � – 4 < x < 8 2 2 � � � 1� � 3� 49 � 39 � � � � � � � � � x x + � � � � � � 4 �� � 4 �� 0 � – 4 < x < 8 � � 2� � � � 2 � � � �� � � 144444424444443�

(+) " x ��

2 � 1 7 1 7� � 1� � 49 � �� �� � x- � � x - �- � � x- � � � � �– 4 < x < 8 � � � 2 2 2 2� � 2� � 4

�� ( x �4 � x �–3 )

� (–4<x<8) x ��– 4 , – 3 ] U [ 4 , 8 �

199

... ()

Si : ii) | x2 – 2x | – | x – 12 | �0 � | x – 2 | – 6 > 0 �� | x2 – 2x | �( x – 12 ) � | x – 2 | > 6 �� (x2 – x – 12)(x2 – 3x + 12) �0 � ( x – 2 < – 6 � x – 2 > 6 ) 2 2 � �� � 1� � 3� � 39 � 49 � � � � � � x- � x - �+ � � � �- 4 �� � � 2� �� � � � � � 4� �0 � ( x < – 4 � x > 8 ) 2 � � � � �1 � � 44444424444443�

(+)

2

� 1� 49 7 1 7 �� � �� �x - � �x- � � � � � 4 2 2 2 � 2�

�(x<–4 �x>

8) �� –3 �x �4

� ( x < – 4 � x > 8 ) � x �f

... ()

También como : | x2 – 2x + 48 | = 0 �� | (x – 8)(x + 6) | = 0 �� x = 8 , x = – 6. Pero x = 8 anula el denominador, luego sólo x = – 6 � B

... ()

De () U () U () : B = { x �� / x � { – 6 } U �– 4 , – 3 ] U [ 4 , 8 �} 62.- Hallar todos los valores de x que satisface la desigualdad: | 3x3 – 2x2 – 7x – 2 | � | x3 + 6x2 – 9 – 14 | Solución : Como : | a | �| b | �� a2 �b2 � a2 – b2 �0 �� (a + b) (a – b) �0 Sea : a = 3x3 – 2x2 – 7x – 2

y

... (T: 1.7.16) ... (I)

b = x3 + 6x2 – 9 – 14

Luego: � a + b = 4(x 3 + x 2 - 4x - 4) = 4 � x 2 (x +1) - 4(x +1)� = 4(x +1)(x + 2)(x - 2) � � � � � a - b = 2(x 3 - 4x 2 + x + 6) = 2(x - 2)(x +1)(x - 3) = ... por Ruffine � � En (I) : (a + b)(a – b) = 8(x + 1)2(x – 2)2(x + 2)(x – 3) �0

... (II)

i) Si x = – 1, 2 � De (II) : 0 �0 satisface (II), si x � { – 1, 2 } son soluciones de (II) ii) Si x �–1 , 2 � x + 1 �0 � x – 2 �0 � (x + 1)(x – 2) �0 � (x + 1)2(x – 2)2 > 0

\

De (II) : (x + 2)(x – 3) �0 � x2 – x – 6 �0 � x2 – x �0 200

... ()

2 � 1 5 1 5� � 1� 25 � � � � x- � � x - �- � � x- � � � � � � 4 � � 2 2 � 2 2� � 2�

� ( x �3 � x �– 2 ) � x � �– � , –2 ] U [ 3 , � �

... ()

De : () U () : x � �– � , –2 ] U [ 3 , � �U { – 1, 2 } 63.- Si : AC = { x �� / x � �–1, 0 ] } si : |x| > x ; y B = { x �� / | |5x + 7| – |x – 1| – 17 | < 2x – 3 } . Hallar A – B Solución : AC = { x �� / x � �–1, 0 ] } si : |x| > x Recordemos por lógica, que la expresión dada: “ q si p “ � p � q � : p �q

... (1)

donde: p : | x | > x � q : x � �–1, 0 ] : p : | x | �x � | x | < x ó | x | = x

�

donde : i) | x | < x � x �f , ya que " x ��: | x | �x (consecuencia de la definición) ii) | x | = x � x �0 (Definición de Valor Absoluto) Luego : : p: |x|<x � |x|=x � x f

� x �0 � x �0

: p : x �0 � x � [ 0 , �� q : x � �–1, 0 ]

\

\

: p �q = x ��– �, –1 ] U [ 0 , ��

AC = { x �� / : p �q � x � �–1, 0 �}

� (AC)C = { x �� / : x � �–1, 0 �}

… (1)

Pero : (AC)C = A y x �M = : (x �M) � x �M = : [ : (x �M) ] = x �M De (1) y (2):

A = { x �� / x ��–1, 0 �}

| |5x + 7| - |x - 1| - 1743| 2x - 3 Si: B = { x �� / 14444444442444444444 < 1442443 b x Como : | x | < b �� b > 0 � –b < x < b Si b = 2x – 3 > 0 � 2x > 3 � x >

3 3 � x �� , � � 2 2

201

...(2) … (I) ... ()

... (T: 1.7.10) ... (1)

� � 29 � 5x + 7 > > 0 � 5x + 7 = 5x + 7� � � 3 2 � � x> � � � � � � 1 2 � � x 1 > > 0 � x 1 = x 1 � � � � 2 � �

... ()

() en () : B : | (5x + 7) – (x – 1) – 17 | < 2x – 3 � | 4x – 9 | < 2x – 3 �� – (2x – 3) < 4x – 9 < 2x – 3 �� – 2x + 3 < 4x – 9 � 4x – 9 < 2x – 3 6x > 12 � 2x < 6 � x > 2 � x < 3 x � �2 , 3 �

... (2)

De : (1) I (2) : B = { x �� / x � �2 , 3 �}

... (II)

De : (I) y (II) : A – B = A I BC = x � �–1 , 0 �I x � �2 , 3 � A – B = { x �� / x � �–1 , 0 �}

64.- Resolver la desigualdad: 4

x | x | - 1 - 12 x + 2 +1

-

| 1- x | - 3 | x - 1| +4

+

9 - x �0

(UNI: Segunda Práctica. Ciclo: 81-I. Lima, 16 de Octubre de 1981) Solución : Como :

a �0 �� a �0

... (T: 1.5.25)

Las restricciones debido a los radicales serán: i)

9 - x �0 �� 9 – x �0 �� 9 �x �� x �9

ii) También : ��

x | x | - 1 - 12 | x +2 | + 1 x | x | - 1 - 12 | x +2 | + 1

– �

| 1- x | - 3 | x - 1| + 4 | 1- x | - 3 | x - 1| + 4

202

... (1)

�0 … ()

Apreciamos que el cociente del segundo miembro de () es � 0, porque: �1- x - 3 �0, " x �� � a �0 � � � � �x - 1 �0 � x - 1 + 4 > 0, " x ��

como : " a ��,

(74444 +) 64444 4 48 x || x | - 1| - 12 || 1- x | - 3 | |1444 x +42444 2 | +43 1 �0 �0 � De () |1444 x - 41| +4 43 2444

... ()

(+)

(+)

� x | |x| – 1| – 12 �0 , porque : " x ��: | x + 2 | �0 � | x + 2 | + 1 �1 > 0 � x | |x| – 1| �12 > 0

... () � x > 0

En () : x | x – 1 | �12 � | x – 1 | � � i) x – 1 �

12 x

ii) x – 1 �–

12 , (x>0) x

12 x

� x2 – x �– 12

� x2 – x �12 2

ó

... (2) � | x | = x

� 1� � 49 � � x- � � � � � � 2� 4

�

2

� 1� � 47 � x- � �<0 � � � � 2� 4

� 1 7 1 7� � � x- � � x�- � � x � f � 2 2� � 2 2 � ( x �4

� x �– 3 ) , si x > 0 x �4

� x + 2 �6 > 0 � x + 2 = x + 2� � � � � � x - 1 �3 > 0 � x - 1 = x - 1 � De (3) : x �4 � � � � � � � � � 1 x = x 1 = x 1 � � � () en () : x(x - 1) - 12 | x - 1- 3 | � x + 2 +1 x - 1+ 4

x(x - 1) - 12 | x - 1- 3 | � � x + 3 1442443 x +3 (+)

� x - 4 �0 � x - 4 = x - 4 � x(x - 1) - 12 �x - 4 Si x �4 � � � � x + 3 �7 > 0 x 2 - x - 12 �x - 4 � 203

... (3)

... ()

� x2 – 2x �8 � (x – 1)2 �9 � ( x – 1 �3 � x – 1 �–3 ) � x �4

� x �–2

... (4)

De: (1) I (2) I (3) I (4): x �[ 4 , 9 ]

65.- Si A = { x �� / B = { x �� /

x |x| > 0 si y sólo si, <0}; y | x |- 3 2x - 1 x+ | x | � 2 } . Hallar : A I B | x | - �x �

(UNI: Examen Parcial. Ciclo: 81-I. Lima,2 de Noviembre de 1981) NOTA :

�x ��� � �x � < x < �x � + 1 , " x �� – �+0

Solución : Como : * “p sssi q “ = p �� q � ( p � q ) � ( q � p ) � ( : p �q ) � ( : q �p )

\

p �� q � ( : p �q ) � ( : q �p ) � : ( p �q ) � (p �q)

Sea : p =

x > 0 �� ( x > 0 �| x | > 3 ) � ( x < 0 �| x | < 3 ) x- 3

p: [ x>0 �( x> 3 �x <–3) ] � ( x<0 �– 3<x< 3)

x ��3 , ��U x ��–3 , 0 �

\ Sea q :

|x| <0 2x - 1

p:

x ��–3 , 0 �U �3 , ��

��

| x | > 0 � 2x – 1 < 0 x �0

� x<

q : x � �– �, De (1) y (2) :

… (1)

1 2

1 �– { 0 } 2

p �q = x ��–3 , 0 � p �q = x � �– �,

1 �U �–3 , 0 �– { 0 } 2

204

… (2) ... ()

1 � : ( p �q ) = x � [ , 3 ] U { 0 } 2 De () U () :

De B :

... ()

A = { x �� / x ��–3 , 0 ] U [

1 ,3]} 2

x+ | x | �2 | x | - �x �

... ( 3 )

Si : i) x < 0 � | x | = – x � | x | + x = 0 � De (3) :

0 �2 | x | - �x �

� 0 �x , " x �� si x < 0 � x � �– �, 0 �

... ( )

ii) Si x > 0 � | x | = x + De ( 3 ) : | x | – �x � �0 � | x | ��x � � x � �0

En ( 3 ) :

... (  )

x +x 2x x �2 � �2 � �1 | x | - �x � | x | - �x � | x | - �x �

�x � x - (| x | - �x �) x �0 � | x | - �x � �0 ... (NOTA) – 1 �0 � | x | - �x � | x | - �x � 144424443 ( +)

� Si �x � �0 � 0 �x < 1 , x � �+0 � x � �0 , 1 � (  ) U (  ) : x � �– �, 0 �U �0 , 1 � � x � �– �, 1 �– { 0 } B = { x �� / x � �– �, 1 �– { 0 } } A I B = { x �� / x � �–3 , 0 �U [

1 , 1 �} 2

��� –1 �" �� �\ $ �� ��U I ���f l � �

205

+ � ��� : �0

... (  )

PROBLEMAS PROPUESTOS 01) Demostrar que : i) | x | �| x – a | + | a |

ii) | x – y | �| x – z | + | y – z |

iii) | x + y + z – ( a + b + c ) | � | x – a | + | y – b | + | z – c | 02) Demostrar que si a, b, c, d ��, entonces : | a | – | b | – | c | – | d | �| a – b – c – d | 03) Si | a + b | = | a | + | b |, qué se puede afirmar de los números a y b. 04) Demuestre que : a) | x – 4 | < 1 �

1 1 < <1 3 x- 2

b) Si | x – 2 | < r � | x2 – 4 | < (r + 4) | x – 2 | c) Si | b – a | < r | a | � | b | > (1 – r ) | a |, 0 < r < 1 05) Resolver las siguientes funciones : a) x + 2 | x – 2 | = 2

b) x + 2 | x – 2 | = 0

c) 2 | x – 2 | = x – 1

d) | x – 1 | – |2x| = 3

e) | x | + 2 | x – 1| – 3 | x – 2 | = 4

f ) | 2x – 9 | + | 3x – 5 | = x + 4

g) | |x – 8| – |3x – 2| | = | x2 + 3x – 2 |

h) | |x2 – |3x – 1| | – |x2 – |x – 3||| = 3

i) | |x2 – 2x – 48| – |x2 + 3x – 10| = 0

j) | x | + | x – 1| = 5

06) Resolver las siguientes desigualdades lineales : a) 6 |2x + 3| �25x + 40

b) |3x – 1| �2x – 1

c) 3x + 5 < 8 |x + 4|

d) | |x| – 1| �|x| – 1

e) |ax – b| < | |x| – a| donde a < 0 < b

f ) | mx + 2n | > |mx| / mn > 0

g) |x – 9| �| 5 – 3x + 2 |x + 2| |

h) | |x + 2| – |1 – 3x| < |x – 3|

i) | |x – 5| + |x + 3| – |3 – x| | > |x – 8| j) | 5 – x–1| < 3 k) |2x – 1| �3

l)

1 <1 | 2x - 3 |

07) Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas: a) |2x2 – 3| �4x + 1

b) 3x2 + 5x – 8 > | 2x + 3 |

c) x2 + |x + 3| �8x – 5

d)

e) |x2 – 2x + 1| > 2

f) |x2 – 1| > x – 3

x 2 - 4x - 8 �|3x + 4| 2x - 1

g) |x2 – 2x – 3| + |x2 + 2x – 12| �x – 3 h) |x2 – 3| �1

206

i) |ax2 – b| > | 2|x| – a| donde a < 0 < b i) |x2 – 1| < |3x2 – 2| 08) Resolver las siguientes desigualdades: a) 2 |x – 2| – |x + 1| < 2

b) |x| + |x – 1| + |x – 2| < 3

c) |x4 – 3x – 2| > –1

d)

e)

|x| 1 � 1+| x | x

2x + 3 1 � x- 4 | x +2 |

f) |2x – 8| � -

|x|+2 | x +2 | + 1

12 �8 x

g) x |2 – x| – x2 |x2 – 4| < 0

h) x +

i) | |x2 – 5| – |x2 – 8| | � 3

j)

| x 3 - x 2 | - | x 2 - 5x | <0 | x 3 - 6x 2 | - | x 2 - 3x |

l)

x- 2 x2 - 4 < 2 x- 9

k)

| x- 2| | x- 6|- 1 > | x +3 | - 4 | x|- 1

m)

x +3 3 � x +16 x- 4

n)

x- 2 �2 x +3

o)

x +1 1 � x x- 1

p)

2x - 5 x- 6

1 �1 q) (x +1)(x - 2)

< 3

3x 2 + 5x | 3x | + 6 r) � 4 5

09) Encontrar el menor número M con la propiedad de que " x �� a) 10 – 4x – x2 � M

b) |4x – 9| – x2 � M

10) Encontrar el mayor número m con la propiedad de que " x �� a) x2 – 4 |x + 2| – 6 � m

b) 3x2 + 5|x – 3| + 8 � m

11) Determine un número racional m tal que : a)

x +6 - 3 �m , si x ��1 , 4 � 2x

b)

� x +4 1 3� �m , si � � , � � x- 2 4 4� � �

c)

� x +2 1 3� �m , si " x � � , � � x- 2 2 2� � �

d)

x- 2 �m , si x � [ 4 , 6 ] x +4

12) Hallar el menor número M, tal que : � | x |- 2 1 3� �M , " x � � , � � x +2 2 2� � � � � 2x - 6 x ��/ <4� 13) Si A = � � � y B = { x � � / |3x + 2| � |2x – 1| + |x + 3| } � � x- 1 � �

207

a) A I A

Hallar :

� � x �£<+ /0 14) Si A = � � � �

b) AC I B

x2 - 2

x

1- x

c) B U (B – A)C

� � 1�encontrar AC = A � � �

� � x x- 4 � � x �� / > 0 15) Si A = � �. Hallar AC 2 � � 16 - x � � 16) Si A = { x � � /

8- | x 2 - 1| � (x 2 - x - 6) �0 } , dar por expansión el

conjunto A. � � x |x| x ��/ <0 � a� 17) Si A = � � � � x �[ – 5 , 0 ] U { 5 } . � | x |- a x- a � � � Hallar “a”. 18) Sean las proposiciones siguientes: A1) Sea x ��. Luego, |x – a| � { a – x } si x � a , a �� A2) Para cada número real x , | x + 1| > | x | A3) Si A = { m ��/ existe un número real x con la propiedad

x- 1 >m }

entonces : AC = { m �� / m � 0 } U { m �� / existe un número real x con la propiedad m �

| 1- x | }

¿Cuáles de las proposiciones anteriores son verdaderas o falsas y porqué? (UNI: Examen Parcial. Ciclo 80-II, Lima, 28 de Mayo de 1981). 19) Resolver la desigualdad | x4 –10 | � | x2 | 2 + 8x2 (UNI: Primera Práctica. Lima, 17 de Setiembre de 1975) 20) Resolver: a) | x2 – 5x – 15 | < | x + 3 | b) 2| 3x – 9 | – 3| 4 – 2x | – | x + 2 | > 1 c) | |x – 2| + 5 | > 2 – | x + 1 | d) – 1 < e)

| x- 2| �x x

3 - | x - x2 | <1 3 - |x|

21) Resolver :

| a - x | - 2a x - 1 4x - x 3

= –x

208

22) Resolver : x +

12 �8 x

23) Determinar N de modo que se cumpla:

x- 2 x +4

� N , para x � [ 4 , 5 ]

24) Resolver : | | x4 | + 2 | � 2|x|2 25) Resolver : x2 7x < 2 i) | x|- 6 | x - 36 |

x2 5x < 2 ii) | x |- 4 | x - 16|

209