On-line Udzbenik Statistika

STATISTIKA ZA PRAVNIKE

Prof.dr.sc. Nihada Mujić Mr.sc. Jelena Legčević Mr.sc. Martina Mikrut

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009

STATISTIKA ZA PRAVNIKE Autori: Prof.dr.sc. Nihada Mujić Mr.sc. Jelena Legčević Mr.sc. Martina Mikrut

Recenzenti: Prof.dr.sc. Ivana Barković Prof.dr.sc. Jasna Horvat

Lektorica: Nataša Balaban, prof.

ISBN 978-953-6072-47-7

2

Sadrţaj 1.

Pojam i predmet proučavanja statistike

2.

Izvori podataka i metode prikupljanja podataka

3.

Faze rada statističke metode

4.

Statističko tabeliranje

5.

Grafičko prikazivanje nominalnih i redoslijednih nizova

6.

Relativni brojevi kvalitativnih nizova

7.

Numerički nizovi

8.

Grafičko prikazivanje numeričkih nizova

9.

Srednje vrijednosti

10.

Aritmetička sredina

11.

Medijan

12.

Mod

13.

Mjere disperzije

14.

Standardizirano obiljeţje

15.

Analiza vremenskih nizova

16.

Indeksna metoda

17.

Individualni indeksi stalne baze

18.

Veriţni indeksi

19.

Preračunavanje individualnih indeksa

20.

Srednje vrijednosti vremenskih nizova

21.

Skupni indeksi

22.

Linearni trend

23.

Regresija i korelacija

24.

Metoda uzoraka 3

4

“Statistički način mišljenja jednog će dana za svakodnevni život graĎana postati jednako neophodan kao znanje čitanja i pisanja.”

H.G.Wells (1866. – 1946.)

5

Definicija statistike 

Preko 100 definicija pojma “statistika”



“Nijedna definicija ne znači mnogo tako dugo dok nismo proučili ono na čemu radimo – a tada je svaka definicija gotovo nepotrebna”; Mainland



Statistika je znanstvena disciplina koja se bavi prikupljanjem, analizom i tumačenjem podataka masovnih pojava



U svakodnevnom govoru, riječ statistika koristi se i za već prikupljenje i ureĎene podatke, brojčane pokazatelje, koji su objavljeni u obliku tablica, grafikona i sl.

6

Statistika u svakodnevnom ţivotu Pojam statistike ne odnosi se isključivo na statističke podatke, već uz način proučavanja pojava koje nas okruţuju, a u svakodnevnom ţivotu susrećemo se s njom kroz: 

Prosjek ocjena



Stopu inflacije



Postotak porasta nezaposlenih



Prosječnu starost stanovnika RH



...

7

Podjela statistike  Deskriptivna

statistika

Temelji se na potpunom obuhvatu statističkog skupa, koristi brojčane (numeričke) i grafičke metode kako bi opisala populaciju (N)  mjere centralne tendencije, mjere disperzije, mjere asimetrije, mjere zaobljenosti...  Inferencijalna

statistika

Temelji se na dijelu (uzorku (n)) jedinica izabranih iz statističkog skupa, radi donošenja zaključaka o parametrima populacije  procjene parametara, testiranje hipoteza, neparametrijski testovi (hi-kvadrat test)... 8

Predmet proučavanja statistike 

Varijacije (različitost, promjenjivost) i kovarijacije (sličnost, povezanost, meĎuovisnost) podataka koji prikazuju različite pojave u prirodi i društvu ili su rezultat mjerenja



Zakonitosti koje se javljaju u masovnim pojavama



Masovne pojave su skupine istovrsnih, ali ujedno i varijabilnih elemenata koje imaju jedno ili više zajedničkih svojstava i nazivamo ih statističkom masom ili statističkim skupom

9

Definiranje statističkog skupa 

Statistički skup potrebno je definirati:



ŠTO: Pojmovno



GDJE: Prostorno



KADA: Vremenski  u jednom trenutku  u intervalu



Opseg statističkog skupa je broj njegovih elemenata



Skup moţe biti konačan (jer ima konačan opseg) i beskonačan (jer ima beskonačno mnogo članova)

10

Elementi statističkog skupa 

Sastav

statističkog

pojedinačnom

skupa

slučaju

–

ovisi

o

ovisi

o

pojavama koje se istraţuju

STATISTIČKA JEDINICA

STATISTIČKA MASA

1.) osoba

1.) stanovništvo, studenti

2.) stvar

2.) knjige,vozila

3.) ustanove i poduzeća

3.) bolnice, sudovi, škole

4.) usluge

4.) u zdravstvu,

5.) dogaĎaji

5.) roĎenje, nezgode

6.) djelovanje

6.) krivična djela, djela socijalne zaštite

11

Statističko obiljeţje 

Svojstvo po kojemu jedinice statističkog skupa meĎusobno nalikuju i meĎusobno se

razlikuju

(npr.

spol,

dob,

visina,

ocjene...) 

Statističko obiljeţje naziva se i varijabla



Pojavljuje

se

u

različitim

oblicima

ili

stupnjevima 

Obiljeţja mogu biti: 

KVALITATIVNA (izraţavaju se opisno)



KVANTITATIVNA (izraţavaju se brojčano)

12

Statističko obiljeţje Kvalitativna obiljeţja mogu biti: Nominalna Atributivna (spol, zanimanje) Geografska (mjesto roĎenja, mjesto studiranja)

Redoslijedna (ocjena, školska sprema, stupanj zadovoljstva studiranjem)

Kvantitativna (numerička) obiljeţja mogu biti: Prekidna ili diskontinuirana (broj studenata na godini, broj počinjenih kaznenih djela)

Neprekidna ili kontinuirana (visina, teţina, duljina, cijena) 13

14

Podaci prema izvoru 

Podaci

su

osnova

svake

statističke

analize 

Pribavljanje podataka ovisi o cilju i

predmetu istraţivanja, prirodi pojava, raspoloţivim resursima... Prema izvoru, podatke dijelimo na:  Sekundarni podaci: podaci prikupljeni u skladu s nekim ciljem i na odreĎen način, opseg i vrsta ne izviru neposredno iz potreba danog istraţivanja

 Primarni podaci: podaci koji se prikupljaju u skladu s ciljem istraţivanja, za sve članove skupa ili dio njih

15

Sekundarni podaci 

Sekundarni dostupni,

podaci a

su

njihovo

u

pravilu

lako

pribavljanje

nije

povezano uz velike troškove, no ponekad

su nedovoljni 

Mogu biti interni i eksterni: INTERNI PODACI

EKSTERNI PODACI

-Računovodstvo - Referada - Knjiţnica ...

-Statistički uredi -Zavodi za istraţivanje trţišta -Drţavne institucije ... 16

Primarni podaci Metode prikupljanja podataka dijele se na:  Osobno– F2F (uz pomoć papirnatog upitnika PAPI ili računala CAPI)  Telefonsko (uz pomoć računala CATI)  Poštansko (klasična pošta ili fax)

 Internet (web, mail, chat, …)  Opaţanja (mjerenje) Ili ovisno o tome gdje se anketira npr.

 Upitnicima u kućanstvu  Anketiranje na centralnoj lokaciji... Za sve metode i mjesta postoje prednosti i nedostatci, potreban je odabir metode s

najpovoljnijim odnosom uloţenog i dobivenog 17

18

Faze rada statističke metode  Statističko

promatranje

 Grupiranje

ili klasifikacija

 Statistička

analiza

 Tumačenje

rezultata

19

Statističko promatranje S

obzirom na vrijeme: Periodično Jednokratno Tekuće

S

obzirom na obuhvat: Sveobuhvatno (iscrpno) Reprezentativno (uzorak)

20

Grupiranje ili klasifikacija 

UreĎivanje izvornih podataka na temelju utvrĎenog pravila



Veliki broj podataka ureĎuje se grupiranjem prema odreĎenom pravilu razvrstavanja podataka



Broj podataka u jednoj grupi naziva se frekvencijom grupe, koja moţe biti apsolutna ili relativna



Zbroj svih frekvencija čini opseg skupa

21

Grupiranje ili klasifikacija  Formiranje

grupa:

Iscrpno Isključivo

 RasporeĎivanje

podataka u

grupe ili razrede koji mogu biti: Jednaki ili nejednaki Zatvoreni ili otvoreni

22

Statistička analiza 

UreĎivanjem izvornih podataka na temelju utvrĎenog pravila kreira se statistički niz



Statistički niz = suma frekvencija svih grupa statističkog skupa,čine ga grupe poredane po odreĎenom principu...

23

Vrste statističkih nizova (skupova): Vrste statičkih nizova s obzirom na grupiranje:

a)

 NEGRUPIRANI

Xi: X1, X2, X3,..., XN

 GRUPIRANI

statističke tablice

Negrupirani statistički niz - podaci su zapisani slijedom kojim su i prikupljani Xi: X1, X2, X3,...., XN studenti prema ocjeni iz statistike: 5, 5, 5, 5, ..., 5

24

b)

Grupirani statistički niz podaci se prikazuju u tablicama distribucije frekvencija

STATISTIČKE SKUPINE - modaliteti obiljeţja (redovi) FREKVENCIJE - broj jedinica modaliteta obiljeţja (stupci)

Spol xi

Broj studenata fi

M

40

Ţ

60

Ukupno

100

25

Statistički nizovi Vrste statičkih nizova s obzirom na obiljeţje:



NOMINALNI NIZ - prema veličini frekvencija, abecedno,nomenklaturno



REDOSLIJEDNI NIZ – prema intenzitetu



NUMERIČKI NIZ – prema vrijednosti num. obiljeţja



VREMENSKI NIZ – kronološki

26

Tumačenje rezultata 

Statistički ispravno



U skladu s pravilima struke



Nuţno izbjeći manipulaciju rezultatima

27

28

Statističko tabeliranje



Postupak svrstavanja podataka u tablice

prema odreĎenom pravilu



Cilj tabeliranja je olakšati praćenje i analizu podataka



Tablice mogu biti izvještajne (veliki broj redova i stupaca, kao tablice DZS-a) i analitičke (u pravilu manjih dimenzija)

29

Elementi statističke tablice Naslov tablice: Z A G L A V LJ E P R E T S T U P A C

Brojčani dio tablice:

Ukupno Z

Ø prosjek

B

… ne raspolaţe se

R

- nema podatka ( ) nepotpun podatak * ispravljen podatak

I N

I

S T U P A

C

Ukupno

Izvor :

ZBIRNI RED (sume stupaca)

30

Vrste statističkih tablica  Vrste statističkih tablica su

 Jednostavne tablice: samo jedna pojava, jedan statistički niz kada je grupiranje provedeno prema jednom obiljeţju  Skupne ili sloţene tablice: dva ili više statističkih nizova grupiranih prema jednom obiljeţju  Kombinirane tablice: jedan statistički niz promatran prema dva ili više obiljeţja. Sadrţi i zbirni red i zbirni stupac

31

Grafičko prikazivanje nominalnih i redoslijednih nizova 32

Grafičko prikazivanje 

Grafički prikazani statistički podaci razumljiviji su i pregledniji u odnosu na njihovo predstavljanje tablicom



Veća preglednost grafičkog prikaza i snaga prvog vizualnog utiska o karakteristikama promatrane pojave prednosti su grafičkih prikaza



Danas se grafički prikazi konstruiraju pomoću računalnih programa koji u sebi sadrţe predefinirana načela opisne statistike

Skupine grafičkih prikaza Grafički

je moguće prikazati jedan ili

više kvalitativnih nizova



Skupine grafičkih prikaza:

 Površinski

 Linijski

grafikoni

grafikoni

 Kartogrami

34

Površinski grafikoni  podaci se prikazuju površinama geometrijskih likova, površine likova su upravno razmjerne brojevima koji se tim površinama prikazuju

Jednostavni stupci (P = a * b) Razdijeljeni (strukturni) stupci Dvostruki stupci Površina kvadrata (P = a²)

35

Površinski grafikoni



Površina kruga (P = r²π)



Površina polukruga



Varzarov znak ( RBK ili RBS )

(baza= nazivnik odnosa , visina= rel. broj) 

Histogram

36

Linijski grafikoni

 Koriste

se za prikazivanje nizova

a) NUMERIČKIH (kontinuirani i diskontinuirani) b) VREMENSKIH (trenutačni i intervalni)

 Apscisa

- A.M. za obiljeţje

 Ordinata

- A.M. za frekvenciju

37

Kartogrami

 Grupiranje

jedinica prema

geografskom obiljeţju gdje sve grupe zajedno predstavljaju cjelovito geografsko područje

 VRSTE:

 Dijagramske karte  Piktogrami  Statističke karte

38

Grafičko prikazivanje redoslijednih nizova

 Grupiranje

se vrši na isti način kao

i grupiranje prema nominalnom obiljeţju s tim da je redoslijed modaliteta ili grupa uvijek odreĎen rangom intenziteta obiljeţja koji pojedina grupa predstavlja, i to polazeći

od

najniţeg

prema

najvišem ili obratno

39

40

Relativni brojevi 

RELATIVNI BROJ je logičan izraz mjerenja kada se neka veličina mjeri drugom veličinom (nazivnik=baza usporedbe)



Ova posljednja veličina postaje time mjera za veličinu koja se usporeĎuje (mjeri)



Zadatak relativnih brojeva je:  Brojčano izraziti odnose meĎu

pojavama  Omogućiti i olakšati usporedbu 41

Vrste relativnih brojeva 1. Relativni brojevi strukture (D/C) proporcije, postoci, promili (p, %, ‰) 2. Relativni brojevi dinamike (indeksi) bazni, veriţni individualni, skupni 3. Relativni brojevi koordinacije (RBK) 42

Relativni brojevi strukture 

Ako se stavi u odnos broj elemenata dijela skupa prema broju elemenata u skupu,

dobiva se relativan broj koji se zove PROPORCIJA tog dijela u skupu 

Proporciju označavamo s p



Budući da je dio uvijek manji od cjeline,

onda je: 

0
Relativna frekvencija modaliteta ai je omjer apsolutne frekvencije fi tog modaliteta i zbroja apsolutnih frekvencija N:

f (ai ) dio p(ai )   N cjelina

i  1,2,3,...,k

k

N   f (ai ) i 1

43

Svojstva 

Relativne

frekvencije

su

upravno

proporcionalne apsolutnim frekvencijama 

Relativne

frekvencije

se

radi

lakšeg

tumačenja mnoţe sa sto (%) ili sa tisuću

(‰)



0 < fi < N

...

fi=N

0 < pi
...

pi=1

0 < Pi
...

Pi=100

Ekstremni slučajevi: Dio pojave koji se usporeĎuje = 0, tada je i p=0 Dio pojave koji se usporeĎuje = C (cjelina), tada je

p=1

44

Kutno sto, vodoravno sto, okomito sto Analiziranje podataka u kombiniranoj tablici relativnim brojevima strukture: vodoravno 100, okomito 100, kutno 100 Primjer 1. Upisani studenti na stručni i sveučilišni studij prema spolu i načinu strudiranja u ak. g. 2008./2009

Upisani studenti Redovni Izvanredni Ukupno

Studenti

Studentice

Ukupno

36.681

44.721

81.402

8.180

16.360

24.540

44.861

61.081

105.942

Izvor: Statistički ljetopis 2009., str.467 45

Kutno sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema ukupnoj statističkoj masi

Upisani studenti Redovni Izvanredni Ukupno

Upisani studenti Redovni Izvanredni Ukupno

Studenti

Studentice

Ukupno

36.681

44.721

81.402

8.180

16.360

24.540

44.861

61.081

105.942

Studenti

Studentice

Ukupno

34,62

42,21

76,84

7,72

15,44

23,16

42,34

57,66

100,00

+

+

46

Vodoravno sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog stupca

Upisani studenti Redovni Izvanredni Ukupno

Upisani studenti

Studenti

Studentice

Ukupno

36.681

44.721

81.402

8.180

16.360

24.540

44.861

61.081

105.942

Studenti

Studentice

Ukupno

Redovni

45,06

54,94

100,00

Izvanredni

33,33

66,67

100,00

Ukupno

42,34

57,66

100,00

+

47

Okomito sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog reda

Upisani studenti Redovni Izvanredni Ukupno

Upisani studenti

Studenti

Studentice

Ukupno

36.681

44.721

81.402

8.180

16.360

24.540

44.861

61.081

105.942

Studenti

Studentice

Ukupno

Redovni

81,77

73,22

76,84

Izvanredni

18,23

26,78

23,16

100,00

100,00

100,00

Ukupno

+

48

Relativni brojevi dinamike 

Nazivaju se INDEKSI



Pokazuju odnos izmeĎu stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava na različitim

mjestima ili u različitim vremenskim razdobljima  Vrste

indeksa:

 individualni (dinamika jedne pojave)  skupni (odnosi stanja heterogene skupine pojava)

49

Relativni brojevi koordinacije 

Koristi se za usporeĎivanje dvije pojave (P1 i P2), npr. broja studenata prema broju

nastavnika, broj optuţenih u odnosu na broj prijavljenih ... 

Izračunavaju se stavljanjem u odnos frekvencije pojave koja se usporeĎuje, s frekvencijom pojave prema kojoj se provodi usporedba



RBK se grafički prikazuje površinskim grafikonom Varzarovim znakom

P1 RBK= P2

1

P2

= RBK P1

50

51

Numerički niz 

Numerički nizovi konstruiraju se ureĎenjem vrijednosti kvantitativnih varijabli



Vrste: - NUMERIČKI KONTINUIRANI NIZOVI - NUMERIČKI DISKONTINUIRANI NIZOVI



GRUPIRANJE – raščlanjivanje statističkog skupa prema modalitetima obiljeţja



Grupiranje podataka:  ISKLJUČIVO

 ISCRPNO 52

Numerički niz DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA =

skup: (xi,fi) gdje je

k

fi=N i=1 N - broj jedinica statističkog skupa i=1,2,...,k k – broj modaliteta obiljeţja xi – vrijednosti modaliteta obiljeţja  f(i)

APSOLUTNA FREKVENCIJA

 p(i)

RELATIVNA FREKVENCIJA

53

Numerički niz 

Pojedinačni par u distribuciji frekvencija

predstavlja NUMERIČKU GRUPU, tj. broj jednakih

vrijednosti modaliteta obiljeţja varijable x

Modaliteti obiljeţja

Obiljeţje (xi)

Broj jedinica modaliteta obiljeţja (fi)

Distribucija frekvencije

X1

f1

(x1, f1)

X2

f2

(x2, f2)

...

...

...

Xk

fk

(Xk, fk)

fi = N 54

Sturgesovo pravilo 

za odreĎivanje broja razreda k za N podataka k  1 + 3,3 log N



Uobičajeni broj k numeričkih grupa kreće se od 5 do 15 (maximalno 25)



Ako su razredi jednaki, širina im se aproksimativno odreĎuje diobom raspona varijacija i broja razreda:

ΔX = Xmax-Xmin = RV k k

55

Granice razreda 1.) NOMINALNE GRANICE (zadane)  za izračunavanje parametara diskontinuiranog numerickog niza

2.) PRAVE GRANICE (“popravljene”)  za izračunavanja parametara kontinuiranog numerickog niza  crtanje kontinuiranog numerickog niza

3.) PRECIZNE GRANICE  samo za crtanje diskontinuiranih numerickih nizova

56

Formiranje razreda kod kontinuiranog n.o. 

PRAVILO: Gornja granica prethodnog razreda jednaka je donjoj granici idućeg razreda

Formiranje razreda kod diskontinuiranog n.o. 

PRAVILO: Donja granica idućeg razreda za 1 jedinicu je veća od gornje granice prethodnog razreda

57

Veličina razreda



Oznaka za veličinu razreda je “i”



i = L1i +1 – L1i



VELIČINA RAZREDA – od donje granice

i = 1,2,...k

idućeg razreda oduzmemo donju granicu prethodnog razreda

58

Razredna sredina 

za kontinuirane i diskontinuirane nizove

xi=L1i+L2i 2 

RAZREDNA SREDINA – jednaka je poluzbroju donje (L1) i gornje (L2) prave granice i-tog razreda

59

Korigirane frekvencije 

Ako su veličine razreda meĎusobno različite, podijeliti originalne

frekvencije pripadajućim veličinama razreda ili njima proporcionalnim vrijednostima



Frekvencije se obavezno korigiraju:  za crtanje poligona frekvencija  za crtanje histograma  pri izračunavanju moda

60

Korigirane frekvencije 

Fc = apsolutne korigirane frekvencije

fi fc= i 

Pc = relativne korigirane frekvencije

pi pc= i

61

Grafičko prikazivanje numeričkih nizova 62

Grafičko prikazivanje numeričkih nizova Numerički nizovi prikazuju se slijedećim vrstama grafikona:

LINIJSKIM GRAFIKONOM poligon frekvencija

specifičnim vrstama POVRŠINSKOG GRAFIKONA Histogram

S-L dijagram

63

1. Linijski grafikon POLIGON FREKVENCIJA (MNOGOKUTNIK) - distribucija frekvencija (ili kretanje neke pojave) se prikazuje linijama - ako je prethodno nacrtan histogram: polovice vrhova stupaca (tj. sredine razreda Xi) spojiti linijama - ucrtana linija: 

oblik distribucije frekvencija - površina ispod linije:



ukupan broj elemenata statističkog skupa ili opseg stat. skupa

64

 os

X – vrijednost numeričkog

obiljeţja izraţenog sredinom razreda (xi )  os

Y – frekvencija:

- apsolutna (fi), - relativna (pi),

 za

razrede nejednakih veličina:

- korigirati frekvencije! -

aps. korigirana (fc)

-

rel. korigirana (pc) 65

2.

Površinski grafikon



grafikon kontura stupaca



stupci se crtaju bez razmaka



visina pravokutnika – frekvencija ( fi, fc, pi, pc )



baza pravokutnika – veličina razreda



površina svih pravokutnika jednaka je zbroju apsolutnih frekvencija, tj. relativnih frekvencija (1 ili 100 ili 1000)

66

Grafičko prikazivanje kumulativnih nizova

 Kumulativni

nizovi se UVIJEK

tvore od originalnih vrijednosti  KN

“manje od”

X : gornja granica promatranog razreda Y: frekvencija kumulativnog niza

 KN

“više od”

X: donja granica promatranog razreda Y: frekvencija kumulativnog niza

67

Srednje vrijednosti 68

Vrste srednjih vrijednosti



Srednje vrijednosti ili mjere centralne tendencije



Vrste srednjih vrijednosti:

1. POTPUNE SREDNJE VRIJEDNOSTI 2. POLOŢAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI 3. SPECIFIČNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

69

Potpune srednje vrijednosti



Aritmetička sredina – ( A.S.) X

 aritmetička sredina relativnih brojeva strukture – P  aritmetička sredina relativnih brojeva koordinacije – R 

Harmonijska sredina – H



Geometrijska sredina – G



Aritmetička sredina aritmetičkih sredina X

70

Poloţajne srednje vrijednosti 

medijan – Me (ordinalni niz)



mod - Mo (nominalni niz, ordinalni niz)

Specifične srednje vrijednosti 

momenti distribucije frekvencija

71

Osnovne značajke srednjih vrijednosti 

Utjecaj ekstremnih obiljeţja na srednje

vrijednosti



Utjecaj frekvencija u distribuciji frekvencija na srednje vrijednosti



Utjecaj svih obiljeţja koja su različita od srednje vrijednosti na tu srednju vrijednost



Odnos promatrane srednje vrijednosti i drugih obiljeţja

72

Zahtjevi srednjih vrijednosti



Mogućnost utvrĎivanja srednje vrijednosti objektivnim računskim pravilom na jedinstven način



Srednja vrijednost mora biti sadrţana izmeĎu najmanje i najveće vrijednosti obiljeţja



Ako su sve srednje vrijednosti obiljeţja jednake, i srednja vrijednost mora biti jednaka toj vrijednosti

73

Aritmetička sredina 74

Aritmetička sredina (MEAN), X, x 

prosjek



N-ti dio totala



vrijednosti N.O. osnovnog skupa (N – broj jedinica osnovnog skupa) X1,X2,Xi,...XN



i=1,2,...,N

vrijednosti N.O. uzorka (n – broj jedinica uzorka) x1,x2,xi,...xn

i=1,2,...n

75

Aritmetička sredina osnovnog skupa suma vrijednosti num. obiljeţja osnovnog skupa

X=

broj jedinica osnovnog skupa

Total

=

N

Aritmetička sredina uzorka suma vrijednosti num. obiljeţja uzorka

x=

broj jedinica uzorka

total

=

n

76

Jednostavna aritmetička sredina 

Jednostavna, neponderirana A.S. osnovnog skupa



Koristi se za negrupirani niz podataka

Ako obijeţje X od N elemenata ima vrijednosti mjerene na svakom elementu:

X: X1,X2,X3,...XN k

 Xi

X1+X2+X3+...+Xk

X=

N

i 1

=

N

77

Ponderirana, vagana aritmetička sredina 

A.S. vagana frekvencijama



Koristi se za grupirani niz podataka

Ako je zabiljeţeno k modaliteta obiljeţja, podaci predstavljaju distribuciju frekvencija sa:

k

 fiXi i 1

f1X1+ f2X2+ f3X3+ ... + fkXk

X=

f1 + f2 + f3 + ... + fk

=

k

 fi i 1

78

Ponderirana aritmetička sredina relativnih frekvencija Relativne i apsolutne frekvencije



su upravno proporcionalne!  X: X1,X2,Xi, ... , Xk i= 1,2, ..., k

 p: p1,p2, pi, ..., pk i=1,2, ..., k

k

 piXi i 1

p1X1 + p2X2 + piXi+ ... +pkXk

X= f1 + f2 + f3 + ... + fk

=

k

 pi i 1

79

Svojstva aritmetičke sredine 1. svojstvo Algebarski zbroj odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obiljeţja od aritmetičke sredine jednak je nuli

Σ(Xi – X) = 0

2. svojstvo Zbroj kvadrata odstupanja originalnih

vrijednosti numeričkog obiljeţja od aritmetičke sredine jednak je minimumu Σ(Xi – X)2 = min.

80

3. svojstvo

Aritmetička sredina uvijek se nalazi izmeĎu najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obiljeţja varijable Xi Xmin  X  Xmax

4.svojstvo Ako je vrijednost numeričke varijable Xi jednaka konstanti c, aritmetička sredina

te varijable jednaka je konstanti c. X=c X1 = X2 = ... = Xk = c

5. svojstvo Aritmetička sredina je sklona ekstremima 81

Medijan

82

Medijan 

Medijan (Me) je srednja pozicijska vrijednost numeričkog obiljeţja ili redoslijednog obiljeţja



Medijan je srednja vrijednost redoslijednog ili numeričkog obiljeţja koja elemente osnovnog skupa (statističkog niza) dijeli na dva jednaka dijela, tako da se

u jednom dijelu nalaze elementi koji imaju vrijednost obiljeţja manju ili jednaku Me ,a u drugom dijelu se nalaze elementi koji imaju vrijednost obiljeţja jednaku ili veću od Me

83

OdreĎivanje medijana OdreĎivanje medijana moguće je kod: 

Individualnog numeričkog obiljeţja



Redoslijednog numeričkog obiljeţja



Diskontinuiranog numeričkog obiljeţja i=1

Izračunavanje medijana Medijan se izračunava kod: 

Kontinuiranog numeričkog obiljeţja



Diskontinuiranog numeričkog obiljeţja gdje su razredi različiti od 1

Grafičko odreĎivanje medijana Medijan se moţe grafički odrediti uz pomoć: 

Kumulativnog niza “manje od”



Kumulativnog niza “manje od” i kumulativnog niza “više od” 84

OdreĎivanje medijana za individualne vrijednosti Ako je broj elemenata u skupu:

a)

NEPARAN

b)

PARAN

N=(2k+1) onda je Me=k+1 N=2k onda je Me= polusuma

dva srednja elementa

POSTUPAK: 

vrijednosti obiljeţja poredati po veličini



odrediti centralnu jedinicu

85

Izračunavane Me kod grupiranih vrijednosti 

Medijan se ne moţe odrediti nego se mora izračunati prilikom:  Kontinuiranog numeričkog obiljeţja  Diskontinuiranog numeričkog obiljeţja kada je i>1



jer nije poznata vrijednost NO za svaki element, odnosno statističku jedinicu

POSTUPAK:

KORAK 1: Formirati kumulativni niz KORAK 2: Naći N/2 KORAK 3: Odrediti medijalni razred

86

KORAK 4a: Uvrstiti podatke u formulu za korištenje kumulativnog niza “manje od”

Me= l1 + N/2 - fi fmed

l1

*i

– donja granica medijalnog razreda

fi – zbroj frekvencija odozgo prema dolje do medijalnog razreda i

– veličina medijalnog razreda

fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda

87

KORAK 4b: Uvrstiti podatke u formulu za korištenje kumulativnog niza “više od”

Me= l2 -

l2

N/2 - fi fmed

*i

– gornja granica medijalnog razreda

fi – zbroj frekvencija odozgo prema dolje do medijalnog razreda i

– veličina medijalnog razreda

fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda

88

Grafičko odreĎivanje medijana

Aritmetičko mjerilo za frekvencije

N/2

Me

Aritmetičko mjerilo za obiljeţje 89

Uporaba medijana 

Kod redoslijednog obiljeţja medijan je prihvatljivija mjera od aritmetičke sredine



Za vrlo asimetrične distribucije, te distribucije s ekstremno visokim i/ili niskim krajnjim vrijednostima



Za distribucije s otvorenim razredima gdje procjena donje odnosno gornje granice bitno utječe na aritmetičku sredinu

90

Mod 91

MOD (Mo) 

Mod je vrijednost redoslijednog ili numeričkog obiljeţja koja se najčešće javlja u statističkom nizu



Mod je vrijednost obiljeţja oko koje se elementi statističkog skupa najgušće gomilaju



Mod dijeli distribuciju frekvencija na lijevu (rastuću-uzlaznu) i desnu (opadajuću-silaznu) stranu

92

UtvrĎivanje moda 

Mod se utvrĎuje ako su jedinice

numeričkog obiljeţja grupirane u razrede veličine 1, tada je modalna vrijednost, vrijednost razreda koji ima najveću frekvenciju

Primjer:

Ocjena na ispitu

Br. studenata

1

12

2

18

3

31

4

11

5

9



81 93

Izračunavanje moda 

Mod se izračunava kada su elementi statističkog skupa (niza) grupirani prema:  diskontinuirnom numeričkom obiljeţju s razredima i>1  kontinuiranom numeričkom obiljeţju



Kod distribucija koje su grupirane u razrede nejednakih veličina, izračunavanju moda prethodi korigiranje

frekvencija:

fc=

fi i

94



Na temelju odreĎenog Mo razreda (b)

te dva susjedna razreda: lijevog (a) i desnog (c), izračunava se vrijednost Mo Mo  l1 

b  a  i b  a   (b  c)

l1 – donja granica modalnog razreda b – frekvencija modalnog razreda (najveća frekvencija)

a – frekvencija razreda ispred Mo razreda

c – frekvencija razreda iza Mo razreda

i – veličina modalnog razreda 95

U distribuciji frekvencija moţe postojati:



jedna Mo vrijednost - UNIMODALNA DISTRIBUCIJA



dvije Mo vrijednosti - BIMODALNA DISTRIBUCIJA



više Mo vrijednosti - MULTIMODALNA DISTRIBUCIJA



Grafički se Mo moţe odrediti kada se na krivulji

distribucije

frekvencija

(poligon

frekvencija) pronaĎe najveća ordinata (ili tjeme)

iz

kojeg

se

spušta

okomica

na

apscisu, gdje se potom pročita vrijednost Mo

96

Nedostaci i prednosti Mo 

NEDOSTACI



ovisan je načinu formiranja razreda



nema smisla ako se distribucija pribliţava pravokutnoj



sporan je kod bimodalne ili multimodalne distribucije



PREDNOSTI



kod distribucija s ekstremno malim ili velikim vrijednostima NO Me i x imaju teţnju njihovom pribliţavanju, pri čemu će primicanje Me biti značajno manje od primicanja x



Mo neće imati tu tendenciju jer ga odreĎuje najveća frekvencija 97

Mjere disperzije 98

Mjere disperzije



Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje

potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izraţavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obiljeţja



Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI

99

Mjere disperzije



Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje

potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izraţavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obiljeţja



Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI

100



Mjere disperzije mogu biti:  apsolutne (istorodne distribucije)  relativne (raznorodne distribucije)

APSOLUTNE M.D.

RELATIVNE M.D.

Raspon varijacija

Koeficijent varijacije

Interkvartil Kvartilna devijacija Srednje apsolutno odstupanje

Koeficijent kvartilne devijacije

Varijanca Standardna devijacija

101

Apsolutne mjere disperzije prikladne za usporeĎivanje disperzije

samo istorodnih distribucija

Raspon varijacija Interkvartil

Kvartilna devijacija Srednje apsolutno odstupanje Varijanca Standardna devijacija

102

1. Raspon varijacije (R) ili raspon disperzije je gruba informacija o veličini disperzije izmeĎu najveće i najmanje

vrijednosti numeričkog obiljeţja R= Xmax- Xmin Raspon varijacije za distribucije frekvencija s razredima odreĎuje se kao razlika gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda, ili izračunavanjem razlike razrednih sredina posljednjeg i prvog razreda Nepouzdana mjera disperzije jer promatra razliku izmeĎu ekstremnih vrijednosti, a ne uzima u obzir rasporeĎivanje ostalih podataka 103

2. Interkvartil (Iq)  KVANTILI – vrijednosti NO koje niz ureĎen po veličini dijele na q jednakih dijelova  KVARTILI – niz ureĎen po veličini dijele na 4 jednaka dijela Q1 – prvi ili donji kvartil Me – drugi kvartil ili medijan Q3 – treći ili gornji kvartil

104

Donji

kvartil

(Q1)

–

je

vrijednost

redosljednog ili numeričkog obiljeţja, koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¼ (25%) elemenata koji imaju vrijednost obiljeţja jednaku ili manju od vrijednosti donjeg kvartila i na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obiljeţja jednaku ili veću od donjeg kvartila

Gornji

kvartil

(Q3)

–

je

vrijednost

redosljednog ili numeričkog obiljeţja koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obiljeţja jednaku ili manju od gornjeg kvartila i na ¼ (25%) elelmenata koji imaju vrijednost obiljeţja jednaku ili veću od gornjeg kvartila 105

Iq predstavlja raspon izmeĎu Q3 i Q1

IQ = Q3-Q1 25%

25% Q1

Me

N/4

N/2

Q3

3N/4

50% elemenata Izraţen je u jedinicama u kojima je izraţeno i obiljeţje Što je interkvartil brojčano manji to će polovica svih elemenata statističkog skupa biti više nagomilana oko Me, a to znači da će disperzija biti manja i obratno 106

Q1 i Q3 za grupirane vrijednosti izračunavaju se prema formulama: Prvi kvartil Q1

N   f1 Q1  l1  4 i fQ1  Treći kvartil Q3

3N   f1 Q3  l1  4 i fQ3 N

– ukupan broj elemenata

L1 – donja granica kvartilnog razreda fi – suma frekvencija KN “m.o.” do kvartilnog razreda fQ – originalna frekvencija kvartilnog razreda i

– veličina kvartilnog razreda 107

3. Kvartilna devijacija  Rang polu-interkvartila

Q3  Q1 Q 2

4. Srednje apsolutno odstupanje  prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata (bez obzira na smjer odstupanja) N

Za negrupirane vrijednosti

MAD 

x i 1

MAD 

X

N k

Za grupirane vrijednosti

i

f i 1

i

xi  X

k

f i 1

i

108

5. Varijanca (ơ²) je aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numeričkog obiljeţja od x za... Za individualne vrijednosti: X: x1, x2, ...,xN

2  2 2  2 

 x )2 N

 ( xi

Za grupirane vrijednosti: X: x1, x2, ...,xN f: f1, f2, ..., fN

2   2 2   2 



f i ( xi  x )2  fi

109

6. Standardna devijacija (ơ) je drugi korijen iz varijance, standardno odstupanje od prosjeka

 

2

110

Relativne mjere disperzije prikladne i za usporeĎivanje disperzije

raznorodnih distribucija

Koeficijent varijacije Koeficijent kvartilne devijacije

111

1. Koeficijent varijacije relativna mjera disperzije i sluţi za usporeĎivanje varijabilnosti različitih pojava i svojstava Postotni omjer standardne devijacije i aritmetičke sredine

V

 X

100

112

2. Koeficijent kvartilne devijacije Disperzija središnjih 50% jedinica

Q3  Q1 V Q Q3  Q1 Moţe biti u intervalu od 0 do 1

113

Standardizirano obiljeţje

Standardizirano obiljeţje originalnih

Odstupanja numeričkog

obiljeţja

sredine u

od

vrijednosti aritmetičke

raznorodnim distribucijama

frekvencija izračunavaju se s pomoću standardiziranog obiljeţja:

Izračunata odstupanja vrijednosti num. obiljeţja

od

aritmetičke

sredine

su

izraţena

u

jedinicama

standardnih

devijacija, te je na taj način osigurana mogućnost

usporedbe

za

raznorodne

distribucije 115

Svojstva standardiziranog obiljeţja aritmetička sredina standardiziranog obiljeţja jednaka je nuli

standardna devijacija standardiziranog obiljeţja je jednaka 1

Pravilo Čebiševa Standardizirana varijabla moţe poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti One će rijetko odstupati od aritmetičke sredine za više od +3

-3

-2

-



2

3 116 116

Pravilo Čebiševa Za zvonolike distribucije (posebice normalne distribucije): +1

pribliţno 68% podataka,

+2

pribliţno 95% podataka (najmanje 75% svih podataka),

+3

pribliţno 99,7% podataka (najmanje 88,89% svih podataka).

oko oko oko 117

Analiza vremenskih nizova 118

Vremenski nizovi  su

nizovi istovrsnih podataka

prikupljenih u uzastopnim

vremenskim razmacima ili trenucima  namjena

analize VN je promatrati

vremenski razvoj pojava, traţiti zakonitosti pojava i predviđati dalji razvoj pojava ZADATAK DINAMIČKE ANALIZE:  ispitati

promjene pojava kao

funkciju vremena y = f(t) 119

PROBLEM:  utvrĎivanje

homogenosti

podataka tijekom promatranog razdoblja

KOMPONENTE:  trend

komponenta

 ciklička

komponenta

 sezonska  slučajna

komponenta

komponenta

sistematske, determinističke komp. – kovarijacije pojave koje se daju izraziti nekom funkcijom vremena 120

Formiranje vremenskih nizova  Vremenski

niz je skup kronološki

ureĎenih veličina koje su odraz razine intenziteta neke pojave u izabranim vremenskim točkama ili intervalima

 Dvije

vrste vremenskih nizova:

INTERVALNI i TRENUTAČNI

121

Intervalni vremenski niz  Pojave

s jednim smjerom kretanja

 Intervalno

promatranje čijim

grupiranjem nastaje INTERVALNI NIZOVI  Intervali

promatranja: godina,

mjesec, tjedan, dan, sezona, školska (akademska) godina, kazališna ili športska sezona i sl.  Vremenski

intervalni nizovi imaju

svojstvo kumulativnosti

122

Trenutačni vremenski niz



Pojave s dva smjera kretanja



Promatraju se u presjeku vremena ili odreĎenom trenutku ("kritičnom trenutku"), a nizanjem rezultata takvih promatranja formirat će se TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ



Frekvencije trenutačnog vremenskog niza nemaju svojstvo kumulativnsti

123

Usporedivost frekvencija vremenskoga niza Pojmovna i prostorna definicija ne smiju se mijenjati Jednakost intervala vremena promatranja Ako su vremenska razdoblja različita, potrebno je korigirati frekvencije prije usporeĎivanja Kod trenutačnih vremenskih nizova razmaci izmeĎu vremenskih točaka promatranja nisu bitni za usporedbu frekvencija 124

Grafičko prikazivanje vremenskih nizova

Površinski grafikon

INTERVALNI

Linijski grafikon

TRENUTAČNI

Linijski grafikon 125

Intervalni vremenski niz a) površinski (pomoću stupaca) 

izgledom i konstrukcijom nalikuje

histogramu 

na X-osi se nanosi vremensko razdoblje svakog člana vremenskog niza



na Y-osi se unosi član vremenskog niza za

odreĎeno razdoblje (uz napomenu da mjerilo na ordinati mora UVIJEK započinjati s 0) NAPOMENA: potrebno

ako ih

je

razdoblja svesti

nisu na

jednaka

zajedničko

razdoblje, a na ordinatu nanositi korigirane vrijednosti članova vremenskog niza

126

b) linijski 

na X-osi se ucrtava sredina vremenskog razdoblja



na Y-osi se unosi odreĎena vrijednost pripadajućeg člana vremenskog niza, odnosno korigirana vrijednost ako se

radi o različitim razdobljima



linijski grafikon pokazuje SMJER i INTENZITET promjene pojave u

jednom rasponu vremena 

postupnim zbrajanjem članova vremenskog INTERVALNOG NIZA odozgo prema dolje, nastaje

kumulativni vremenski niz 127

Trenutačni vremenski niz samo LINIJSKIM GRAFIKONOM 

na X-os - trenutak promatranja



na Y-os - pripadajući član vremenskog niza (frekvenciju- koja je UVIJEK originalna)



podizanje ordinate na onom mjestu apscise koje odgovara trenutku promatranja pojave



jakost apsolutne promjene – strmina

lin.graf. 

razlika dvije susjedne ordinate- apsolutna promjena pojave u dva trenutka promatranja



mogući prekidi (i vodoravni i okomiti) aritmetičkog mjerila

128

Grafičko usporeĎivanje vremenskih nizova 

Dva se VN mogu usporediti linijskim grafikonom s aritmetičkim mjerilom samo ako su:

a)

izraţena u istim jedinicama mjere

b)

pribliţnih brojčanih vrijednosti

c)

odnose se na isto vremensko razdoblje

129

Indeksna metoda

Indeksi



relativni brojevi dinamike koji pokazuju relativan odnos izmeĎu dva ili više stanja jedne te iste pojave na dva

različita mjesta ili u dva različita vremenska intervala



pomoću indeksnih brojeva mogu se

analizirati i trenutačni i intervalni vremenski nizovi

131

Podjela indeksa 

Prema obuhvatu promatranih pojava:

a) individualni indeksi  S obzirom na bazu usporedbe: a) indeksi stalne i b) indeksi promjenjive baze

b) skupni ili grupni indeksi a) indeksi cijena b) indeksi količina c) indeksi vrijednosti

132

Individualni indeksi stalne baze 133

Individualni indeksi stalne baze 

Dinamika samo jedne pojave pomoću indeksnih brojeva kroz nekoliko vremenskih razdoblja



Baznim indeksima izraţavaju se relativne varijacije izmeĎu dva stanja istog VN, od kojih je jedna pojava bazna veličina Yt It = Yb



Vrijednost kvocjenta pokazuje koliko jedinica usporeĎenih pojava odgovara svakoj jedinici baznog stanja

134



POSTUPAK: 1. Izabiranje baze usporedbe:  Jedan član vremenskog niza

 kod određivanja stalne baze, treba izabrati reprezentativan član (npr. najčešći član u nizu), a ne najnižu ili najvišu vrijednost u nizu

 Neka druga vrijednost:

 Veličina promatrane pojave iz proteklog vremenskog razdoblja koje nije obuhvaćeno intervalom promatranja

 AS vrijednosti pojave kada su varijacije pojave znatne (u oba smjera); baza usporedbe – prosjek varijacija vremenskog niza

2. Svi članovi originalnog VN se stavljaju u odnos prema izabranoj bazi usporedbe

3. Kvocjente pomnoţiti sa 100 (radi tumačenja) 135

Pokazatelji

Yt Yb Yt Yb

Koeficijent promjene

*100= It Indeks promjene

It – 100 = St Stopa promjene (+ rast, - pad)

136

Ako je:



Yt = Yb

It=100



Yt > Yb

It>100



Yt < Yb

It<100

It je uvijek pozitivan

137

Individualni indeksi na bazi srednje vrijednosti promatrane pojave  usporeĎivanje

dva ili više VN

mjerenih raznorodnim obiljeţjima  grafički

se prikazuju i površinskim i

linijskim grafikonima  baza

usporedbe – srednja

vrijednost promatrane pojave

I yi =

Yi

Y

*100

i=1,2,...,N 138

Pravila za indekse na stalnoj bazi 

Niz originalnih vrijednosti VN upravno je proporcionalan nizu indeksa na stalnoj

bazi 

Prikazuju se uglavnom površinskim grafikonima (ordinata-indeksi u artm. mjerilu; ishodište = 100 na ordinati)



Grafikon se čita u odnosu na bazu



Usporedba varijacija različitih VN, ako svi VN imaju jednaku bazu



Izraţavaju relativne promjene VN,

neovisne o sustavima i brojčanim razinama mjerenja u kojima su izraţene originalne vrijednosti originalnih VN 139

Individualni indeksi s promjenjivom bazom (veriţni ili lančani indeksi) 140

Veriţni ili lančani indeksi ako Y1, Y2, Y3, ... Yn, predstavljaju frekvencije nekog vremenskog niza ,i potrebito je saznati

kako se pojava mjenjala iz razdoblja u razdoblje, koriste se VERIŢNI ILI LANČANI INDEKSI to su indeksi na PROMJENJIVOJ BAZI ,a

dobiju se dijeljenjem svakog člana vremenskog niza prethodnim članom te mnoţenjem dobivenog rezultata sa 100 svaka originalna vrijednost javlja se kao:

- tekuća vrijednost koja se usporeĎuje - baza usporeĎivanja iznimke: prva i posljednja orig. vrijednost VN - prva orig. vrij.–samo baza usporeĎivanja

- posljednja orig.vrij.–samo kao tekuća vrij.141

Veriţni indeksi ne mogu biti negativne veličine, jer su frekvencije vremenskog niza uvijek pozitivne Za veriţne indekse vrijede sljedeće relacije: Yt > Y t-1 Yt < Y t-1 Yt = Y t-1 

Vt > 100 Vt < 100 Vt = 100

Veriţni indeks Vt pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica u vremenu t-1



Govori o relativnoj promjeni neke pojave uvijek u odnosu na pojavu iz prethodnog

perioda.

Intenzitet

promjene

izraţen

u

postotku dobije se kao razlika indeksa Vt i veličine 100 ( St=Vt-100 ) 142

Grafičko prikazivanje veriţnih indeksa 

specifična vrsta linijskog grafikona



promjenjiva baza veriţnih indeksa zahtjeva prikazivanje svakog veriţnog indeksa posebnom linijom



ishodište apscise (koja označava vrijeme) je na ordinati označeno vrijednošću 100



veriţni indeksi >100: od apscise prema vrhu ordinate, unutar ili u sredini intervala jedne godine



veriţni indeksi < 100: od apscise prema niţim vrijednostima ordinate



nagib ucrtane linije – intenzitet relativne promjene 143

Preračunavanje individualnih indeksa 144

Preračunavanje baznih indeksa u veriţne -

postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100)

-

kao da je riječ o originalnim frekvencijama VN

145

Preračunavanje veriţnih u bazne ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim mnoţenjem:

It =

I

t-1

* Vt

100

t=2,3,..., N ako bazno razdoblje nije prvo u nizu - bazni indeks za razdoblja koja prethode baznom: I

It =

I I

t-1

t

t-1

* Vt

100 =

= 100

It V

; kada je t > b

*100

; kada je t < b

t

; kada je t = b 146

Srednje vrijednosti vremenskih nizova 147

Srednje vrijednosti vremenskih nizova 

neke pojave su statičkog karaktera



nemaju opću razvojnu tendenciju



analiziraju se statičnim srednjim vrijednostima

 VRSTE:

- AS intervalnog VN - kronološka sredina trenutačnog VN - geometrijska sredina (upotrebljava se u analizi intervalnog i trenutačnog VN)

148

Kronološka sredina  Vremenski

trenutačni niz je

sastavljen od frekvencija čije se vrijednosti u pravilu ne mogu zbrajati te iz toga proizlazi da se za VTN ne bi mogla izračunati srednja vrijednost

 Stoga

se VTN transformira u IVN te

se pomoću kronološke sredine računa srednja vrijednost

149

Geometrijska sredina srednja vrijednost veriţnih indeksa (prosječan tempo promjene) Primjena: a)

u analizi VN negrupiranih i grupiranih podataka (“prosječan tempo promjene”)

b)

kao srednja vrijednost numeričkih nizova za nizove sa

asimetričnim rasporedom podataka

150

Jednostavna, neponderirana geometrijska sredina Za N individualnih vrijednosti varijable X (numeričkog ili vremenskog niza):

G  N x1x2x3 ...xN N

G  N  xi , xi  0 i 1

za svaki xi N

rješava se logaritmiranjem: log G 

 log i 1

xi

N

Logaritam geometrijske sredine jednak je aritmetičkoj sredini logaritama promatrane varijable, odnosno, aritmetičke sredine logaritama elemenata vremenskog niza ili numeričkog niza. 151

Vagana, ponderirana geometrijska sredina Podaci grupirani u distribuciju frekvencija:

G  x1 x 2 x 3 ... x N N

f1

f2

f3

k

fN

N   fi

,

i 1

k

log G 

 f log i 1

i

N

xi

k

,

N   fi i 1

ne računa se za nizove koji sadrţe vrijednost 0 na njenu veličinu utjecati će vrijednost svih elemenata promatranoga niza manja je od aritmetičke sredine istoga niza (osim u slučajevima kada su sve vrijednosti promatranoga niza 152 meĎusobno jednake)

Skupni indeksi 153

Skupni indeksi 

Skupnim indeksima se mjeri dinamika skupine pojava ili se utvrĎuju varijacije heterogene skupine pojava na različitim mjestima (npr. potrošnja, izvoz, uvoz,industrijska proizvodnja )



Najčešće se dinamika heterogenih pojava prati kroz vrijednosni način izraţavanja



-

Razlikujemo:

skupni indeksi količina skupni indeksi cijena skupni indeks vrijednosti

154

Simboli

•

p0 = cijene baznoga razdoblja

•

p1 = cijene izvještajnoga razdoblja

•

q0 = količine baznoga razdoblja

•

q1 = količine izvještajnoga razdoblja

•

p0q0 = ponder vrijednosti baznoga razdoblja

•

p1q1 = ponder vrijednosti izvještajnoga razdoblja

155

Zapamtiti kod izračunavanja skupnih indeksa

 Sve

nizove koji su zadani svesti na istu bazu (stalnu ili promjenjivu)

 Indekse

na stalnoj bazi svesti na isto bazno razdoblje

156

Linearni trend 157

Trend 

Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:

a)

trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme sezonske oscilacije, koje se pojavljuju unutar jedne godine ciklične komponente slučajne komponente, koje čine slučajni, teško predvidivi dogaĎaji

b) c)

d)

158

Metode utvrĎivanja trenda

Za utvrĎivanje trenda mogu se primijeniti: - neparametrijske i - parametrijske metode

159

Neparametrijske metode - ne rezultiraju matematičkom jednadţbom trenda. - dobra prethodnica parametrijskim metodama

 metoda prostom rukom  metoda poluprosjeka  metoda pomičnih prosjeka Prednost: jednostavno izračunavanje Nedostatak: ne postojanje trend vrijednosti za početna i završna razdoblja niza; osjetljivost aritmetičke sredine na ekstremne vrijednosti 160

Parametrijske metode

 Najčešća:

metoda najmanjih

kvadrata Izračunava se jednadţba linije kod

koje će suma odstupanja izmeĎu originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrĎenih trend podataka biti jednaka nuli (model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije)

161

Metoda najmanjih kvadrata 

izračunava se jednadţba linije kod koje će suma odstupanja izmeĎu originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrĎenih trend podataka biti jednaka 0



Označe li se podaci sa Yi, a trend podatke sa Yci, te primjeni li se metoda najmanjih kvadrata, vrijedi sljedeće: N

 (Y  Y i 1



i

ci

) 0

Nadalje vrijedi sljedeće: N

2 ( Y  Y )  i ci  min imun i 1

162

Da bi se uočila tendencija razvoja pojave dobro je: imati što veći vremenski niz (više frekvencija) grafički prikazati pojavu – gdje se iz pribliţnog izgleda nacrtane funkcije donosi sud o mogućem obliku osnovne tendencije razvoja ili tipu trenda

Ako su promatranja po: - jednakim intervalima i - ako su prve diferencije frekvencija pribliţno konstantne (u apsolutnom izrazu)

osnovna tendencija je linearna, linearni trend je polinom prvog stupnja f(x) = a+bx 163

Linearni trend Jednadţba linearnog trenda je jednadţba

pravca: Yci=a+bx ,

i=1,2,...k

gdje su:

Yci – zavisna varijabla (trend vrijednosti) Xi – oznaka za vrijeme (nezavisna varijabla)

parametar a – vrijednost trenda u ishodištu parametar b – koeficijent smjera pravca, te

kazuje koliko se pojava

mijenja u jedinici

vremena 164



Kada se izračunava linearni trend kojemu

je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način:

parametar b: N

b

x y i 1 N

i

x i 1

2 i

parametar a:

N

i

 x  yi i 1 N

a  y  bx

 x  xi i 1

Suma trend vrijednosti mora biti jednaka sumi originalnih vrijednosti promatranog niza

165

 Izračunavanje parametara a i b za jednadţbu linearnog trenda moţe se pojednostaviti tako da se ishodište jednadţbe premjesti u sredinu čitavog promatranog razdoblja



Formule za izračunavanje parametara a i b su sljedeće: N

b

 xi yi i 1 N

2 x  i i 1

N

a

y i 1

N

i

y

166

Preračunavanje godišnjih jednadţbi u kraća vremenska razdoblja Trend se moţe izračunati i za vremenske nizove u kojima su podaci dati u vremenskim razdobljima koja nisu godišnje vrijednosti – npr. u polugodištima, kvartalima, mjesecima i dr. Pri preračunavanju godišnje jednadţbe trenda u trend s kraćim vremenskim razdobljima treba paziti da li se radi o trenutačnom ili intervalnom vremenskom nizu

167

A)TRENUTAČNI NIZ –

preračunavanje godišnje jednadţbe u mjesečnu

parametar “a” ostaje jednak godišnjem ukoliko se nije promijenilo ishodište jednadţbe

b Yci  a  x i , 12

i  1,2,...,N

B) INTERVALNI NIZ –

preračunavanje godišnje jednadţbe u mjesečnu

a b Yci   xi , 12 144

i  1,2,...,N

168

Regresija i korelacija 169

Korelacija  utvrĎivanje

meĎusobne povezanosti

pojava koje se proučavaju te na

osnovi jedne pojave predviĎaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi

POVEZANOST MEĐU POJAVAMA MOŢE BITI  uzročno-posljedična

(regresijski model y=a+bx)  korelativna

(korelacijski model x=f(y) ili y=f(x)) 170

Uzročno - posljedična povezanost  jednostavna

- jedan uzrok jedna posljedica

 složena

- jedan uzrok - više posljedica - više uzroka - jedna posljedica - više uzroka i više posljedica

171

Korelativna povezanost

 pojava

postoji kada promjene u

jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno ,a da jedno nisu uzrok drugima

 proučavanjem

korelativnih odnosa

ne utvrĎuju se uzročno-posljedični odnosi ,ali se pridonosi boljem razumjevanju pojava i dogaĎaja koje

istraţujemo i njihovom boljem predviĎanju 172

 indikator

povezanosti izmeĎu pojava

je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE izmeĎu varijabli

 pokazuje

smjer i intenzitet

povezanosti izmeĎu promatranih, registriranih i mjerenih pojava

 koef.

korelacije vrlo rijetko ukazuje

na uzročno-posljedičnu povezanost,a puno češće ukazuje na korelativni odnos izmeĎu promatranih pojava 173

Korelacijska analiza 1. UtvrĎivanje postojanja veze izmeĎu pojava ili varijabli

(A i B)

2. UtvrĎivanje intenziteta i smjera povezanosti meĎu varijablama

3. UtvrĎivanje oblika veze meĎu varijablama - funkcionalna 4. UtvrĎivanje jakosti veze meĎu

pojavama - stohastička (statistička)

174

Linearna korelacija postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave

DIJAGRAM RASIPANJA (scatter diagram) – pruţa informacije o obliku, smjeru i jakosti veze

UKUPNA VARIJANCA= PROTUMAČENI DIO + NEPROTUMAČENI DIO

175

Koeficijent determinacije (r2) protumačeni dio odstupanja Koeficijent determinacije= ukupna odstupanja

Kako je r2 dan u drugom stupnju češće se koristi PEARSONOV KOEFICIJENT KORELACIJE (r) r = ±1 (mjera jakosti samo za LINEARNU korelaciju)

176

 kod

tumačenja koeficijenta

korelacije (r) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije (r2), te da npr. r=0,70 znači r2=0,49, da je tek 50

% ukupnih odstupanja objašnjivo s promatrane dvije pojave

177

Krivolinijska  kada

se veza meĎu pojavama

najbolje ilustrira krivom linijom  prva

orjentacija o krivolinijskoj

regresiji se dobiva preko dijagrama rasipanja na temelju kojeg se odlučuje koja se matematička krivulja najbolje prilagoĎuje nacrtanim originalnim

vrijednostima.Jakost krivolinijske veze mjeri se INDEKSOM KORELACIJE  (ro)

178

Odnos koeficijenta determinacije i koeficijenta linearne korelacije r

r

Tumačenje

0

0

odsutnost korelacije

0,00-0,25

0,00-0,50

slaba korelacija

0,25-0,64

0,50-0,80

korelacija srednje jakosti

0,64-1,00

0,80-1,00

čvrsta korelacija

1

1

potpuna (perfektna) korelacija

2

179

Parcijalna korelacija  koristi

se u slučaju utvrĎivanja

povezanosti izmeĎu dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable

 KORELACIJA  jakost

RANGA

veze izmeĎu pojava

promatranih po redoslijednom obiljeţju mjeri se koeficijentom korelacije ranga

180



Postupak izračunavanja:

1)

upare se vrijednosti redoslijednog obiljeţja za svaku statističku jedinicu

2)

jednom obiljeţju odredi se rang i poreda ga se po redoslijedu – drugo obiljeţje mu se pridruţuje ne rasparujući prethodno stvorene parove

3)

ako se u nizu pojavi više jednakih vrijednosti njihovi se rangovi zbroje i podijele s brojem pojavljivanja, te se tako izračunana vrijednost pridruţuje jednakim članovima niza

181

4) najniţi rang pripada najniţoj vrijednosti

obiljeţja, najviši rang najvišoj vrijednoati obiljeţja 5) izračuna se di=xri – yri kao razlika

ranga za svaku statističku jedinicu 6) izračuna se kvadrat razlika di2

182

Nedostaci:

 nije

osobito precizna mjera

 primjenom

ovog koeficijenta

korelacije ne mogu se izračunati ostali pokazatelji kao što su koeficijent regresije, koeficijent determinacije, jednadţba analize varijance, jednadţba regresije.

183

Opis koeficijenata korelacije prema jačini veze

Koeficijent korelacije

Tumačenje

0,00–0,10

Nema povezanosti

0,11-0,25

Jako slaba veza

0,26-0,40

Slaba veza

0,41-0,50

Srednje jaka veza

0,51-0,75

Jaka veza

0,76-0,90

Veoma jaka veza

0,91-1,00

Izuzetno jaka veza 184

Korelacijsko-regresijska analiza

KORELACIJA • ispitivanje veze i zavisnosti izmeĎu dvije pojave ili promjenjive veličine Pokazatelji: •koeficijent korelacije •koeficijent determinacije •koeficijent nedeterminacije

REGRESIJA • omogućava sagledavanje očekivane vrijednosti zavisno promjenjive veličine na osnovi vrijednosti nezavisno promjenjive veličine

Pokazatelji: • jednadţba regresije • standardna pogreška procjene regresije

185

Analiza regresijskih modela Osnovicu za analizu reprezentativnosti regresijskih modela čine sljedeći

statistički pokazatelji i metode: 

Rezidualna odstupanja



Relativna rezidualna odstupanja



Standardizirana odstupanja



Koeficijent determinacije



Koeficijent korelacije



Standardna greška regresije



Analiza varijance (ANOVA)



Testiranje razine signifikantnosti regresijskih koeficijenata



OdreĎivanje intervala povjerenja regresijskih koeficijenata



OdreĎivanje intervala povjerenja prognoziranih vrijednosti



Testiranje razine signifikantnosti koeficijenta korelacije

186

Koeficijent multiple determinacije R2 i koeficijent multiple korelacije R

 Koristi

se prosudbu valjanosti i

primjenjivosti modela višestruke regresije

187

Metoda uzoraka 188



ORIGINALNE, EMPIRIJSKE,

OPAŢENE DISTRIBUCIJE su formirane grupiranjem opaţanja ili elemenata skupa prema nekom obiljeţju.



TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

očekivane distribucije u skladu s našim iskustvom ili na temelju teorijskih postavki. Pretpostavljamo ih u nekom statističkom modelu ili ih postavljamo kao hipotezu koju treba ispitati. Pojavljuju se u funkciji distribucije vjerojatnosti

189

Teorijske distribucije diskontinuirane slučajne varijable

 1.

BINOMNA DISTRIBUCIJA

 2.

POISSONOVA DISTRIBUCIJA

190

1. BINOMNA DISTRIBUCIJA 

najjednostavnija teorijska distribucija



distribucija za alternativna obiljeţja

2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA 

koristi se za opis rijetkih dogaĎaja, tj. dogaĎaja s malom vjerojatnošću (br. kvarova strojeva:mjesečni (tjedni), broj dolazaka po min. , broj ˇpadovaˇračunala u jednom mjesecu)

191

Teorijske distribucije kontinuirane slučajne varijable 

najpoznatije:

1) NORMALNA

(GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA

2) STUDENTOVA 3) HI-KVADRAT 4) F

(t) DISTRIBUCIJA

DISTRIBUCIJA

DISTRIBUCIJA

192

1. Normalna (gaussova) distribucija 

Ima oblik zvona



Unimodalna je



Proteţe se od - do + 



Simetrična je, pa je 3=0



Mjera zaobljenosti je 4=3



Egzaktan oblik normalne krivulje bit će poznat ako su poznate arit.sred. i stand.devij.

193

2. Studentova (t) distribucija

 Kod

uzoraka koji broje više od 30

jedinica pribliţava se oblikom i svojstvima normalnoj distribuciji  Kod

n<30 razvučena je po apscisi (u

odnosu na normalnu)

194

3. F distribucija 

Odnos dviju varijanci

4 . Hi-kvadrat distribucija



Primjenjuje se kada treba donijeti odluku o signifikantnosti razlika izmeĎu stvarnih

(opaţenih) i teorijskih (očekivanih) frekvencija 

Moţe zauzeti vrijednosti od 0 do 

195

Osnovni skup i uzorak  Populacija

(odluka, koje jedinice

sudjeluju u populaciji )

 Okvir

uzorka (popis jedinica, iz

kojeg se izabiru jedinice u uzorak npr.popis zaposlenih, lista pretplatnika )

196

Zadaća metode uzoraka 1.

Na osnovi uzorka procijene

karakteristike osnovnog skupa

2.

Na osnovi podataka donosi se odluka o prihvaćanju, odnosno odbacivanju hipoteze koja se odnosi na neku karakteristiku osnovnog skupa

197

Koraci u procesu izabiranja uzorka 1.

OdreĎivanje populacije

2.

Izabiranje primjerenog okvira uzorka

3.

Izabiranje plana uzorka (metode za izbor uzorka )

4.

OdreĎivanje potrebne veličine uzorka

198

Vrste planova uzorka

1. UZORCI BEZ PRIMJENE VJEROJATNOSTI

 Prigodni

uzorci

 Namjerni  Kvotni

uzorci

uzorci

199

2. UZORCI UZ PRIMJENU VJEROJATNOSTI

 Jednostavni

slučajni uzorak

 Stratificirani

uzorak

proporcionalan neproporcionalan  Uzorak

skupina

sustavan područni

200

Pitanja:

[email protected] [email protected] [email protected]

201

Literatura: 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

Kazmier, Leonard J.: Business Statistics. McGraw-Hill, 2004. Neufeld, J. L.: Learning Business Statistics with Microsoft Excel, Prentice Hall, New Jersey, 1997. Newbold, Paul / Carlson, William L. / Thorne, Betty M.: Statistics for Business and Economics. Prentice-Hall, 2002. Petz, Boris: Osnovne statističke metode za nematematičare. Slap, Jastrebarsko, 2004. Sekulić, Branko et al.: Primjena matematike za ekonomiste. Informator, Zagreb 1996. Spiegel, Murray R. / Stephens, Larry J.: Statistics. McGraw-Hill, 1999. Studenmund, A. H.: Using Econometrics: A Practical Guide, HarperCollins Publishers Inc., New York, 1996. Šošić, I.: Pregled formula iz statistike, Mikrorad, Zagreb Šošić, Ivan / Serdar, Vladimir: Uvod u statistiku. Školska knjiga, Zagreb, 2002. Šošić, Ivan: Primijenjena statistika. Školska knjiga, Zagreb, 2004. Šošić, Ivan: Zbirka zadataka iz statistike. Mikrorad, Zagreb, 1998. Wonnacott, Thomas H. / Wonnacott, Ronald J.: Introductory Statistics. Wiley, 1990.

202

Literatura: Internet: 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

http://www.efos-statistika.com/ HyperStat Online (David M. Lane) Statistics: Power from Data! (Statistics Canada) Introductory Statistics: Concepts, Models and Applications (David W. Stockburger) Introduction to Probability (Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell) Virtual Laboratories in Probability and Statistics The R Project for Statistical Computing

Sve tekuće informacije bit će objavljene na www.pravos.hr

203