Operativa

SEGUNDO PARCIAL MÉTODO SIMPLEX El método simplex se basa en el álgebra y se lo emplea para resolver problemas de programación lineal tanto de maximización como de minimización. Es un proceso repetitivo numérico que permite llegar a una solución óptima partiendo de un punto extremo conocido; es decir, partiendo de una solución básica, si esta solución básica factible tomada como punto de partida no satisface, es necesario tomar otra solución que nos da un valor para Z mayor o menor y así sucesivamente hasta llegar a la solución final. Es un método iterativo (aproximaciones sucesivas). Existen tres requisitos en la solución de un problema de programación lineal por el método simplex. Todas las limitaciones deben estar establecidas como ecuaciones. El segundo miembro de una limitante, no puede ser negativo. Todas las variables están restringidas a valores no negativos.

OBJETIVOS Explicar detalladamente por qué el método simplex encuentra soluciones óptimas para problemas de programación lineal. Determinar cuándo un problema de programación lineal tiene soluciones. Determinar cuándo un problema de programación lineal no tiene soluciones. PROCEDIMIENTO Cualquiera que sea el número de inecuaciones y de incógnitas de un sistema, este por sí mismo se ajusta a un tratamiento de identificación que nos dé una idea de que sea sujeto de solución. Cuando el sistema reúne a un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, existen muchas soluciones. Justamente es el caso más frecuente de los problemas de programación lineal, de allí que es necesario introducir (+) variables de holgura en los casos de expresión ≤ (igual o menor), restar (-) variables de holgura e introducir variables artificiales en los casos de ≥ (mayor o igual) y en los casos de = se introduce variables artificiales con signo más. ≤ + Variables de Holgura. ≥ - Variables de Holgura + Variable Artificial. = + Variable Artificial.

+S –S+m +m

Ejercicios en clases

Ejercicio Nº 1 𝑍(max) = 𝑋1 + 2𝑋2 Restricciones: 𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 200 2𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 300 2𝑋2 ≤ 60 Variables de No negatividad: 𝑋1 , 𝑋2 ≤ 0

𝑋1 + 3𝑋2 + 𝑆1 ≤ 200 2𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑆2 ≤ 300 2𝑋2 + 𝑆3 ≤ 60 𝑍(max) = 𝑋1 + 2𝑋2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3

CJ

0 0 0

Xj S1 S2 S3 Zj Cj-Zj

bn 200 300 60 0 ---------

1

2

0

0

0

X1 1 2 0 0 -1

X2 3 2 1 0 -2

S1 1 0 0 0 0

S2 0 1 0 0 0

S3 0 0 1 0 0

CJ

0 0 2

Xj S1 S2 X2 Zj Cj-Zj

bn 20 180 60 120 ---------

CJ

1 0 2

Xj X1 S2 X2 Zj Cj-Zj

bn 20 140 60 140 ---------

CJ

1 0 2

Xj X1 S3 X2 Zj Cj-Zj

bn 125 35 25 175 ---------

1

2

0

0

0

X1 1 2 0 0 -1

X2 0 0 1 2 0

S1 1 0 0 0 0

S2 0 1 0 0 0

S3 -3 -2 1 2 2

1

2

0

0

0

X1 1 0 0 1 0

X2 0 0 1 2 0

S1 1 -2 0 1 1

S2 0 1 0 0 0

S3 -3 4 1 -1 -1

1

2

0

0

0

X1 1 0 0 1 0

X2 0 0 1 2 0

S1 -1/2 -1/2 ½ 1/2 1/2

S2 3/4 1/4 -1/2 1/4 1/4

S3 0 1 0 0 0

Interpretación: Para obtener una utilidad de 175 se necesita tener en disponibilidad 125 unidades de X1 Y 25 unidades de X2.

17.-La firma Kelson Sporting Equipment Inc, fabrica dos tipos de guantes para beisbol, un modelo normal y el modelo para cátcher. La empresa tiene 900 horas de tiempo de producción disponibles en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y envío. Los requisitos de tiempo de producción y las utilidades por guante son las que se presentan en la siguiente tabla: TIEMPO DE PRODUCCION (horas)

MODELO

CORTE Y COSTURA TERMINADO

Normal Para Catcher

1 3/2

1/2 1/3

EMPAQUE Y ENVÍO 1/8 1/4

UTILIDAD POR GUANTE $5 $8

a) Suponiendo que la compañía desea maximizar las utilidades ¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar? b) ¿Cuál es la utilidad que Kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de producción se programará en cada departamento? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? VARIABLES X1= Cantidad de guantes de modelo normal X2= Cantidad de guantes de modelo para cátcher FUNCIÓN OBJETIVO Z(max)= 5x1 + 8x2 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD x1, x2>=0 RESTRICCIONES 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 1800

Disponibilidad de horas en el departamento de corte y costura

1 𝑥 2 1

+ 𝑥2 ≤ 300

Disponibilidad de horas en el departamento

1 𝑥 8 1

+ 4 𝑥2 ≤ 100

1 3 1

Disponibilidad de horas en el departamento de empaque y envío

SOLUCION:

Cj 0 0 0

Bn s1 s2 s3 zj cj-zj

Cj

900 300 100 0

Bn

0 0

s1 s2

8

X2 zj cj-zj

300 166,668 400 3.200

5 X1 1 0,5 0,125 0 5

8 X2 1,5 0,3333 0,25 0 8

0 S1 1 0 0 0 0

0 S2 0 1 0 0 0

0 S3 0 0 1 0 0

5 X1 0,25 0,3333

8 X2 0 0

0 S1 1 0

0 S2 0 1

0 S3 -6 -1,3333

0,5 4 1

1 8 0

0 0 0

0 0 0

4 32 -32

Cj

Bn

0 5 8

s1 X1 X2 zj

174,9996 500,0015 149,9993

5 X1 0 1 0 5

8 X2 0 0 1 8

0 S1 1 0 0 0

0 S2 -0,75 3,0 -1,5 3,0

0 S3 -5,0 -3,9999 6,0 28,0001

0

0

0

-3,0

28,0001

3.700,0015 cj-zj

a) b) c) d)

500 guantes de modelo normal y 150 de modelo tipo catcher. Una utilidad de 3700 dolares. 725h dep CC, 300h dep T Y 100h dep E. Existe holgura en el dep CC de175h.

18.- La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 por cada unidad que se vende del producto 1, y $30 por cada unidad que se vende del producto 2. En seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los tres departamentos. DEPARTAMENTO A DEPARTAMENTO B DEPARTAMENTO C

PRODUCTO 1 1.50 2.00 0.25

PRODUCTO 2 3.00 1.00 0.25

Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 45º horas en el departamento A, 300 horas en el departamento B y 50 horas en el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) Obtenga la producción óptima ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto y cuál es la utilidad que se proyecta? c) ¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en cada departamento? VARIABLES X1= Unidades a fabricar del producto A X2 = Unidades a fabricar del producto B FUNCIÓN OBJETIVO Z (max)= 25X1 + 30X2 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD X1, X2>=0

SOLUCIÓN a) restricciones: 1.5 X1 +3X2 <= 450 disponibilidad de horas en el departamento A 2 X1 + X2 <= 350 disponibilidad de horas en el departamento B 0.25 X1 +0.25X2 <= 50 disponibilidad de horas en el departamento C

Cj 0 0 0

Bn s1 s2 s3 zj cj-zj

Cj 30 0 0

Bn X2 s2 s3 zj cj-zj

Cj 30 0 25

450 350 50 0

150 200 12,5 4.500

Bn X2 s2 X1 zj cj-zj

100 50 100 5.500

25 X1 1,5 2 0,25 0 25 25 X1 0,5 1,5 0,125 15 10 25 X1 0 0 1 25 0

30 X2 3 1 0,25 0 30 30 X2 1 0 0 30 0 30 X2 1 0 0 30 0

0 s1 1 0 0 0 0

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 0 0 1 0 0

0 s1 0,3333 -0,3333 -0,0833 10 -10

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 0 0 1 0 0

0 s1 0,6667 0,6667 -0,6667 3,3333 -3,3333

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 -4 -12 8 80 -80

b) 100 unidades del producto 1 100 del producto 2 dando una utilidad de 5500 dólares. c) 450h en dep A, 300h en dep B, 50h en dep C y existe holgura en el departamento B de 50h.

19.- La Yard CAre, Inc, fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40n y K50.Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900lb de K40 y 400lb de K50. Cada libra del producto llamado “Jardín Verde” utilizando 3/5lb de K50 y 2/5lb de K50. Cada libra del producto designado como “Atención al Jardín” utiliza 1/4lb de K40 y 1/4lb de K50. Además, un determinado límite sobre la disponibilidad e
a) Si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 por libra ¿Cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? VARIABLES X1= Cantidad de producción (lb) de Jardín Verde. X2 = Cantidad de producción (lb) de Atención al Jardín. FUNCIÓN OBJETIVO Z (max)= 3X2 + 3X2 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD X1, X2>=0 RESTRICCIONES 3 𝑥 5 1

+ 4 𝑥2 ≤ 900

1

2 𝑥 5 1

+ 4 𝑥2 ≤ 400

1

𝑥2 ≤ 500

Disponibilidad en libras de fertilizante K40 Disponibilidad en libras de fertilizante K50 Disponibilidad en materiales de empaque para Atención al Jardín

SOLUCIÓN

Cj 0 0 0

Bn s1 s2 s3 zj cj-zj

Cj 0 3 0

Bn s1 X1 s3 zj cj-zj

Cj 0 3 3

900 400 500 0

300,0 1.000,0 500 3.000,0

Bn s1 X1 X2 zj cj-zj

362,5 687,5 500 3.562,5

3 X1 0,6 0,4 0 0 3

3 X2 0,25 0,25 1 0 3

0 s1 1 0 0 0 0

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 0 0 1 0 0

3 X1 0 1 0 3 0

3 X2 -0,125 0,625 1 1,875 1,125

0 s1 1 0 0 0 0

0 s2 -1,5 2,5 0 7,5 -7,5

0 s3 0 0 1 0 0

3 X1 0 1 0 3 0

3 X2 0 0 1 3 0

0 s1 1 0 0 0 0

0 s2 -1,5 2,5 0 7,5 -7,5

0 s3 0,125 -0,625 1 1,125 -1,125

a) Se debe fabricar 687.5 lb jardin verde y 500 lb atencion al jardin. b) Debe aumentar materia prima de k40.

20.- Investment Advisors Inc, es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversipon de $80000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones. ACCIÓN

PRECIO POR ACCIÓN

U.S. OIL HUB PROPERTIES

$25 $50

RENDIMIENTO ANUAL $3 $5

INDICE DE RIESGO 0.50 0.25

El índice de riesgo para las acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan se considera que la inversión en U.S Oil es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera la empresa de inversión evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implica altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones. Además la empresa ha fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U.S Oil, que son las más riesgosas ¿Cuántas acciones de cada tipo se debe comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? VARIABLES X1= Cantidad de acciones en U.S Oil. X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties. FUNCIÓN OBJETIVO Z (max)= 3X1 + 5X2 VARIABLES DE NO NEGATIVIDAD X1, X2>=0 RESTRICCIONES 25X1 + 50 X2 <= 80000

Disponibilidad de dinero para la inversión

X1 <=1000

Disponibilidad de acciones para U.S Oil

0.5 X1 + 0.25 X2 <=700

Disponibilidad para el índice de riesgo

SOLUCIÓN

Cj 0 0

Bn s1 s2

700 1.000

3 X1 0,5 1

5 X2 0,25 0

0 s1 1 0

0 s2 0 1

0 s3 0 0

0

s3 zj cj-zj

Cj 0 0 5

Bn s1 s2 X2 zj cj-zj

Cj 3 0 5

80.000 0

300 1.000 1.600 8.000

Bn X1 s2 X2 zj cj-zj

800 200 1.200 8.400

25 0 3 3 X1 0,375 1 0,5 2,5 0,5 3 X1 1 0 0 3 0

50 0 5

0 0 0

0 0 0

5 X2 0 0 1 5 0

0 s1 1 0 0 0 0

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 -0,005 0 0,02 0,1 -0,1

0 s2 0 1 0 0 0

0 s3 -0,0133 0,0133 0,0267 0,0933 -0,0933

5 X2 0 0 1 5 0

0 s1 2,6667 -2,6667 -1,3333 1,3333 -1,3333

1 0 0

a) Se deben comprar 800 acciones de USOIL y 1200 de HUB PROPERTIES.

26. Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada lata de 16 onzas deCats es una mezcla, o combinación, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean X1 = número de onzas del ingrediente A en lata de 16 onzas. X2 = número de onzas del ingrediente B en lata de 16 onzas. Cada onza del ingrediente A contiene 1/2 onzas de proteínas y 1/8 de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene 1/10 de onza de proteínas y 1/3 de onza de grasas. Las restricciones implican que una lata de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y no más de 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $0.04 por onza y el ingrediente B cuesta $0.03 la onza. ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de16 onzas? Identifique e interprete los valores de las variables de excedente para este problema. Variables X1 = cantidad en onzas del ingrediente A en la lata de 16 onzas. X2 = cantidad en onzas del ingrediente B en la lata de 16 onzas.

Función objetivo: 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 0.04𝑥1 + 0.03𝑥2 Restricciones: 𝑥1 + 𝑥2 = 16

Cantidad de los ingredientes A y B en la lata de 16 onzas

0.5𝑥1 + 0.10𝑥2 ≥ 4 0.375 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 7.5

Cantidad minima de proteinas Cantidad maxima de grasas

No negatividad 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Solución:

Conclusión: La mezcla que tiene un costo minimo de 0.616$ es 13.6 onzas del producto A Y 2.4 onzas.

27. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares,

con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. a) Determine cuantas unidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la carretera b) ¿Cuántos ingresos anuales se generaran en esta estrategia de inversión? Variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero

Función objetivo: 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 8𝑥1 + 3𝑥2 Restricciones: 50𝑥1 + 100𝑥2 ≤ 1200000 5𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 60000 100𝑥2 ≥ 300000 No negatividad 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Solución:

Fondos disponibles Ingreso anual Unidades en fondo

Conclusión: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 4000 unidades a $ 50 en el fondo de acciones y 1000 unidades a $ 200 en el fondo de mercado de dinero con un riesgo minimo y una ganancia de $ 62000 Además se concluye que existen 700 unidades en fondo que no están siendo utilizadas

28. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? c) ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes? Variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo

Función objetivo: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 1𝑥1 + 1,5𝑥2

Restricciones: 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 150

Mezcla de masa

0,25𝑥1 + 0,5𝑥2 ≤ 50

Mezcla de aderezo

𝑥1 ≥ 50

Venta de pizzas normales

𝑥2 ≥ 25

Venta de pizzas de lujo

No negatividad 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

Solución:

Conclusión: Bryant’s Pizza debería producir 100 pizzas normales y 50 pizzas de lujo para maximizar su utilidad a $ 750. Las ventas de pizzas normales tienen un excedente de 50 pizzas, las ventas de pizzas de lujo tienen un excedente de 25 pizzas mientras que las cantidades en mezcla de masa y aderezo no presentan holguras es decir que se consumieron por completo. Además se concluye que existen 25 unidades de mezcla de masa que no están siendo utilizadas y 50 unidades de excedente de pizza de lujo.

29. Wilkinson motors, vende automóviles estándares y camionetas La empresa obtiene una utilidad de $400 dólares por cada automóvil que vende y $500 dólares por cada camioneta. La compañía está planeando el periodo para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas. El tiempo de preparación que requiere en distribuidor es de 2 horas por cada automóvil y de 3 horas para cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los vehículos. ¿Cuántos automóviles y cuantas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades? a) b) c) d) e)

Mostrar el modelo de programación lineal para el problema Identificar las variables de holgura Identifica los puntos extremos de la región factible Encontrar la solución optima Que restricciones son acotables

Variables: X1= cantidad de automóviles estándar X2= cantidad de camionetas

Función objetivo: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 400𝑥1 + 500𝑥2 Restricciones: 𝑥1 ≤ 300

Pedido de automóviles

𝑥2 ≤ 150

Pedido de camionetas

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 900

Tiempo de preparación

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

No negatividad

Solución:

Conclusión: Wilkinson motors debería pedir 300 automoviles y 100 camionetas para maximizar sus utilidades a $170 000. Hay 50 unidades de automóviles que no están siendo comercializados.

30. - En Ryland Farms, en el noreste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en un máximo de 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y cuantos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utilidades?

a) Muestre el modelo de programación para el problema anterior b) Identifique todas las variables de holgura c) Obtenga la solución optima

Variables: X1= acres de frijol de soya X2= acres de maíz Función objetivo: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 100𝑥1 + 200𝑥2

Restricciones: 𝑥1 ≤ 200

Acres de frijol de soya

2𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 1200

Tiempo para sembrar

𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0

No negatividad

Solución:

Conclusión: Ryland Farms debe plantar 200 acres de frijol de soya y 133,33 acres de maíz para aumentar sus utilidades a $ 46666,66.