Pai_lnseries_matematikakeuanganelementer_e-book.pdf

Seri Pendidikan Aktuaris Indonesia

Donny C Lesmana

Matematika Keuangan Elementer

Matematika Keuangan Donny Citra Lesmana

Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Daftar Isi 1

2

3

Pendahuluan 1.1 Bunga Tabungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bunga Pinjaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bunga Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bunga Majemuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Perbandingan bunga sederhana dan bunga majemuk 1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teori Tingkat Bunga 2.1 Tingkat Bunga . . . . . . . . . . . 2.2 Tingkat Bunga Nominal . . . . . 2.3 Faktor Akumulasi . . . . . . . . . 2.4 Force of Interest . . . . . . . . . . . 2.4.1 Catatan Force of Interest . . 2.5 Nilai Kini (Present Value) . . . . . 2.5.1 Formula Stoodley . . . . . 2.6 Nilai Kini bagi Arus Kas Diskret 2.7 Nilai Kini bagi Arus Kas Kontinu 2.8 Penilaian Arus Kas . . . . . . . . 2.9 Generalisasi Arus Kas . . . . . . 2.10 Pendapatan Bunga . . . . . . . . 2.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar 3.1 Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar . . . 3.2 Persamaan Nilai dan Yield Suatu Transaksi 3.2.1 Persamaan Nilai . . . . . . . . . . . 3.3 Anuitas Pasti - Nilai Kini dan Akumulasi . 3.3.1 Hubungan antar formula . . . . . . 3.3.2 Sifat-sifat Anuitas . . . . . . . . . . . 3.4 Anuitas Tunda (Deferred Annuities) . . . . 3.5 Anuitas Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Anuitas Bervariasi . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

1 2 2 3 3 5 5

. . . . . . . . . . . . .

7 7 7 9 11 11 13 14 15 15 16 17 18 19

. . . . . . . . .

23 23 24 25 27 28 28 30 31 32

Daftar Isi 3.7 3.8

3.9 4

5

DAFTAR ISI

Anuitas Bervariasi Kontinu . . . . . . . . . . Penjadwalan Hutang Umum . . . . . . . . . 3.8.1 Penjadwalan Hutang Untuk Anuitas . 3.8.2 Tabel Pembayaran Hutang . . . . . . Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali 4.1 Bunga dibayarkan p-kali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Hubungan Matematis . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Pembayaran Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Anuitas yang dibayarkan p-kali: Nilai Kini dan Akumulasi 4.3.1 Rumus Anuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Rumus Akumulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Rumus-rumus anuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Anuitas yang dibayarkan pada waktu r > 1 . . . . . . . . . 4.5 Penjadwalan Hutang untuk Anuitas p-kali . . . . . . . . . 4.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arus Kas Terdiskon 5.1 Arus kas terdiskon . . . . . . . . . . 5.2 Net Present Value dan Yields . . . . . 5.3 Profitabilitas . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Perbandingan Dua Proyek Investasi 5.5 Perbedaan Suku Bunga . . . . . . . . 5.6 Discounted Payback Period . . . . . . . 5.7 Kasus Khusus DPP . . . . . . . . . . 5.8 Pengaruh Inflasi . . . . . . . . . . . . 5.9 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

33 34 36 36 38

. . . . . . . . . .

45 45 46 47 49 49 50 50 50 52 53

. . . . . . . . .

57 57 58 59 60 61 63 63 64 66

Bab 1 Pendahuluan Bunga (interest) didefinisikan sebagai pembayaran oleh satu pihak (yang disebut peminjam (borrower)) kepada pihak lain (yang disebut pemberi pinjaman (lender)) atas penggunaan aset selama jangka waktu tertentu. Aset tersebut disebut juga sebagai modal (capital). Modal dapat berupa apa saja, misalnya tanah, bangunan, kendaraan, peralatan, uang, dan lain sebagainya. Dalam pembahasan ini, modal yang dimaksud adalah berupa uang. Jika bunga dinyatakan sebagai persentase dari modal, maka disebut juga sebagai tingkat bunga (interest rate). Dalam penggunaannya, tingkat bunga lebih sering dinyatakan dalam satuan tahun, namun dapat juga dinyatakan dalam satuan waktu yang lain, misalnya harian atau bulanan. Terdapat dua perspektif yang harus dipertimbangkan dalam berinvestasi. Yang pertama adalah perspektif pemberi pinjaman, yang mengharapkan imbalan atas penggunaan modal yang dimilikinya. Perspektif kedua adalah perspektif peminjam, yang harus menyerahkan sejumlah pembayaran atas penggunaan modal yang dimiliki pemberi pinjaman. Peminjam membayarkan bunga kepada pemilik modal. Pemberi pinjaman akan menetapkan tingkat bunga yang lebih tinggi jika terdapat risiko gagal bayar. Risiko gagal bayar adalah kemungkinan bagi peminjam untuk tidak mampu mengembalikan pinjamannya. Jika terdapat risiko seperti ini, maka secara umum pemberi pinjaman akan menetapkan tingkat bunga yang lebih tinggi daripada yang biasanya. 1

Bab 1

2

1.1

Bunga Tabungan

Misalkan seseorang mendepositokan uangnya sebesar $1000 pada sebuah bank. Setelah satu tahun, uangnya terakumulasi menjadi $1050. Akumulasi tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar $1000 dan pembayaran bunga sebesar $50. Sedangkan tingkat bunga untuk contoh ini adalah sebesar 1050 − 1000 50 = = 0.05 = 5%. 1000 1000 Secara umum, bunga yang diperoleh dari waktu t hingga t + s adalah sebesar At+s − At ,

(1.1)

dengan At adalah nilai akumulasi pada saat t. Sedangkan tingkat bunga tahunan (i) dari waktu t hingga t + 1 adalah sebesar i=

A t +1 − A t , At

(1.2)

dengan t diukur dalam satuan tahun.

1.2

Bunga Pinjaman

Selain menabung, seseorang juga dapat meminjam uang ke bank. Sebagai ilustrasi, misalkan seseorang meminjam uang ke bank sebesar $12 000. Pinjaman tersebut harus dikembalikan dalam satu tahun sebesar $12 780. Maka besarnya tingkat bunga tahunan untuk pinjaman tersebut adalah 780 12780 − 12000 = = 0.065 = 6.5%. 12000 12000

Bab 1. Pendahuluan

1.3

3

Bunga Sederhana

Jika dana sejumlah C diinvestasikan selama n tahun dengan tingkat bunga sederhana sebesar i per tahun, maka saat investasi tersebut ditutup, dana tadi terakumulasi menjadi sebesar C (1 + ni ) .

(1.3)

Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga sebesar niC. Contoh 1.1. Misalkan dana sebesar $860 didepositokan pada tabungan yang memberikan bunga sederhana sebesar 5 38 % per tahun. Jika diasumsikan tidak ada penarikan dan penambahan dana selama jangka waktu deposito, hitunglah akumulasi dana setelah:

a. 6 bulan, b. 10 bulan, c. 1 tahun.

Jawab   
 a. n = 1/2, sehingga A = C (1 + ni ) = 860 1 + 12 5 38 = $883.11   
 10 b. n = 10/12, sehingga A = C (1 + ni ) = 860 1 + 12 5 38 = $898.52 c. n = 1, sehingga A = C (1 + ni ) = 860 1 + (1) 5 38

1.4





= $906.22

Bunga Majemuk

Misalkan seseorang menabung sebesar C dengan bunga sederhana sebesar i per tahun. Setelah 1 tahun, orang tersebut mendapat sebesar C (1 + i ). Jika dia menutup

Bab 1

4

tabungannya kemudian menabungkan lagi dananya yang sebesar C (1 + i ), maka setelah 1 tahun kemudian dananya menjadi   C (1 + i ) (1 + i ) = C (1 + i )2 = C 1 + 2i + i2 .

(1.4)

Jika dana sebesar C tadi tidak diambil selama 2 tahun, maka setelah 2 tahun dananya menjadi sebesar C (1 + 2i ). Hal ini tidak praktis bagi perbankan, sehingga diperkenalkanlah suku bunga majemuk. Misalkan dana sebesar C diinvestasikan selama n tahun dengan suku bunga majemuk sebesar i per tahun. Maka setelah n tahun dana tersebut menjadi C (1 + i ) n .

(1.5)

Jumlah tersebut terdiri atas pengembalian modal sebesar C dan pembayaran bunga   sebesar C (1 + i )n − 1 . Sebagai ilustrasi perbedaan bunga sederhana dan bunga majemuk, perhatikan contoh berikut. Contoh 1.2. Misalkan dana sebesar $100 diinvestasikan pada tabungan yang memberikan bunga sebesar 4% per tahun. Hitunglah akumulasi dana tersebut setelah (a) 5 tahun, (b) 10 tahun, (c) 20 tahun, dan (d) 40 tahun.

Jawab Jangka waktu (tahun) Bunga Sederhana Bunga Majemuk 5

120

121.66

10

140

148.02

20

180

219.11

40

260

480.10

Bab 1. Pendahuluan

1.5

5

Perbandingan bunga sederhana dan bunga majemuk

Dari contoh di atas, terlihat bahwa bunga majemuk memberikan nilai yang lebih besar untuk waktu yang semakin lama. Imbalan yang diberikan oleh bunga sederhana dan bunga majemuk dapat dilihat pada Gambar 1.1.

G AMBAR 1.1: Akumulasi tabungan menggunakan bunga sederhana dan bunga majemuk

1.6

Latihan

1. Anita menabung sebesar $3 200 pada tanggal 1 Januari 2013. Pada tanggal 31 Desember 2013, uangnya menjadi sebesar $3 294.08. Hitunglah besarnya tingkat bunga yang diterima Anita selama setahun tersebut. 2. Sebuah bank memberikan tingkat bunga sederhana sebesar 6% per tahun. Andi menabung sebesar $100 pada bank tersebut selama 2 tahun. Pada saat yang sama, Budi juga menabung sebesar $100 pada bank tersebut. Namun, setelah 1 tahun, Budi mengambil hasil tabungannya dan langsung menabungkannya kembali di bank tersebut selama 1 tahun lagi. Periksalah siapakah yang mendapatkan hasil tabungan lebih besar pada akhir tahun kedua? 3. Nenek buyut anda telah menabung sebesar $10 pada tanggal 1 Juli 1876 di sebuah bank yang memberikan tingkat bunga efektif tahunan yang tetap sebesar

Bab 1

6

7% per tahun. Jika diasumsikan tidak ada penambahan tabungan dan juga penarikan, berapakah akumulasi tabungan nenek buyut anda tersebut pada tanggal 1 Januari 2014? 4. Pinjaman sebesar $15 000 dikembalikan sebesar $18 375.65 setelah 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga efektif tahunan untuk pinjaman ini. 5. Sebuah bank memberikan tingkat bunga efektif tahunan sebesar 4% untuk 5 tahun terakhir ini. Sebelumnya, tingkat bunga efektif tahunannya adalah sebesar 5%. Sebuah tabungan tunggal yang dilakukan 8 tahun yang lalu telah terakumulasi menjadi $704.21 saat ini. Hitunglah besarnya tabungan tersebut ketika pertama kali dilakukan.

Bab 2 Teori Tingkat Bunga

2.1

Tingkat Bunga

Misalkan investasi sebesar 1 satuan selama jangka waktu 1 satuan waktu dimulai saat t. Misalkan pula saat t + 1 dana terakumulasi menjadi 1 + i (t). Maka i (t) disebut sebagai tingkat bunga efektif. Secara umum, akumulasi (A) dari dana sebesar C dari waktu 0 sampai n adalah sebesar A = C [1 + i (0)] [1 + i (1)] . . . [1 + i (n − 1)] .

(2.1)

Jika tingkat bunga tidak bergantung pada waktu t, maka i (t) = i. Sehingga akumulasi dari dana sebesar C setelah n periode adalah sebesar A = C (1 + i ) n .

2.2

(2.2)

Tingkat Bunga Nominal

Misalkan investasi dilakukan selama h satuan waktu, dengan h > 0 dan h tidak harus bilangan bulat. Didefinisikan ih (t) sebagai tingkat bunga nominal per satuan waktu 7

Bab 2

8

untuk transaksi yang dilakukan saat t selama h periode, yaitu tingkat bunga sedemikian sehingga tingkat bunga efektif untuk periode sepanjang h yang dimulai saat t adalah sebesar hih (t). Sehingga, sejumlah C yang diinvestasikan pada saat t selama h satuan waktu akan terakumulasi pada saat t + h menjadi sebesar C [1 + hih (t)] .

(2.3)

Jika h = 1, tingkat bunga nominal sama dengan tingkat bunga efektif, yaitu i1 ( t ) = i ( t ). Dalam banyak kasus, ih (t) tidak bergantung pada t, sehingga ih (t) = ih untuk setiap t.

Jika h =

1 , dengan p ∈ Z+ , maka tingkat bunga dituliskan sebagai p i( p) = i1/p .

Sehingga investasi sebesar 1 satuan untuk jangka waktu 1/p akan menghasilkan akumulasi sebesar 1+

i ( p) p

i( p) disebut sebagai tingkat bunga nominal yang payable p-kali, atau convertible p-kali. Contoh 2.1. Misalkan diberikan data bunga nominal sebagai berikut

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

9

Jangka Waktu Tingkat Bunga Nominal (%) 1 hari

11 34

2 hari

11 58

7 hari

11 12

1 bulan

11 38

3 bulan

11 14

Hitunglah akumulasi dari investasi sebesar $1000 yang dilakukan saat ini setelah (a) 1 minggu; (b) 1 bulan. Jawab Dari tabel, diperoleh data sebagai berikut: Jangka waktu (h)

1/365

i h ( t0 )

0.1175 0.11625

2/365

7/365 0.115

1/12

1/4

0.11375 0.1125

Sehingga akumulasi dana menjadi   7 a. A = 1000 [1 + hih (t0 )] = 1000 1 + 365 (0.115) = $1002.21 i h 1 b. A = 1000 1 + 12 (0.11375) = $1009.48

2.3

Faktor Akumulasi

Untuk t1 ≤ t2 , didefinisikan A(t1 , t2 ) sebagai akumulasi pada saat t2 dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan saat t1 selama periode (t2 − t1 ). Dari definisi tersebut, diperoleh A (t, t + h) = 1 + hih (t)

(2.4)

Didefinisikan pula A(t, t) = 1 untuk setiap t. Sehingga A(t1 , t2 ) disebut sebagai faktor akumulasi, sebab investasi sebesar C yang dilakukan pada saat t1 akan menjadi CA(t1 , t2 ) pada saat t2 .

Bab 2

10

Misalkan t0 ≤ t1 ≤ t2 . Pada pasar yang konsisten, berlaku Prinsip Konsistensi, yaitu A ( t0 , t2 ) = A ( t0 , t1 ) A ( t1 , t2 )

(2.5)

A ( t 0 , t n ) = A ( t 0 , t 1 ) A ( t 1 , t 2 ) . . . A ( t n −1 , t n )

(2.6)

Secara umum,

untuk setiap n dan barisan naik bilangan t0 , t1 , . . . , tn . Contoh 2.2. Misalkan waktu diukur dalam tahun dan untuk setiap t1 ≤ t2 , A (t1 , t2 ) = exp [0.05 (t2 − t1 )]

a. Periksa bahwa Prinsip Konsistensi Berlaku. b. Hitung akumulasi selama 15 tahun dari investasi sebesar $600.

Jawab a. Misalkan t1 ≤ t0 ≤ t2 . Maka A (t1 , t2 ) = exp [0.05 (t2 − t0 + t0 − t1 )]

= exp [0.05 (t2 − t0 )] × exp [0.05 (t0 − t1 )] = A ( t1 , t0 ) × A ( t0 , t2 )  b. A15 = 600A(0, 15) = 600 exp [0.05 (15 − 0)] = $1 270.20

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

2.4

11

Force of Interest

Force of interest, dinotasikan dengan δ(t), disebut juga sebagai tingkat bunga nominal yang convertible sesaat, didefinisikan sebagai berikut: δ(t) =

lim ih (t)   A(t, t + h) − 1 = lim . h h →0+ h →0+

(2.7)

Hubungan antara faktor akumulasi dan force of interest diberikan pada teorema berikut. Teorema 2.1. Jika δ(t) dan A(t0 , t) adalah fungsi kontinu dari t untuk t ≥ t0 , dan Prinsip Konsistensi berlaku, maka untuk t0 ≤ t1 ≤ t2 , A (t1 , t2 ) = exp

Z

t2 t1

 δ(t) dt

(2.8)

Contoh 2.3. Misalkan δ(t) diberikan oleh: (1) δ(t) = δ; dan (2) δ(t) = a + bt. Tentukan formula untuk akumulasi pada saat t2 dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t1 . Jawab 1. A (t1 , t2 ) = exp [δ (t2 − t1 )], 2. A (t1 , t2 ) = exp

2.4.1

hR

t2 t1

  i i h ( a + bt) dt = exp at2 + 12 bt22 − at1 + 12 bt21 .

Catatan Force of Interest

Pada kasus δ(t) = δ untuk setiap t, A (t0 , t0 + n) = eδn

(2.9)

Bab 2

12 untuk setiap t0 dan n ≥ 0. Sehingga, i = eδ − 1

(2.10)

eδ = 1 + i.

(2.11)

A ( t0 , t0 + n ) = (1 + i ) n .

(2.12)

dan

Maka

Contoh 2.4. Misalkan δ(t) = 0.12 untuk setiap t. Hitunglah tingkat bunga nominal per tahun dari deposito selama (a) 7 hari, (b) 1 bulan, dan (c) 6 bulan.

Jawab Dengan δ(t) = 0.12, diperoleh ih = ih (t) =

exp (0.12h) − 1 . h

Sehingga a. untuk h = 7/365, ih (t) = 12.01%. b. untuk h = 1/12, ih (t) = 12.06%. c. untuk h = 1/2, ih (t) = 12.37%. Misalkan F (t) = A (t0 , t) dengan t0 tetap dan t0 ≤ t. Maka F (t) adalah akumulasi pada saat t dari investasi sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t0 . Dari rumus sebelumnya, diperoleh log F (t) = Sehingga, untuk t ≥ t0 δ(t) =

Z t t0

δ(s) ds.

d F 0 (t) log F (t) = . dt F (t)

(2.13)

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

13

Contoh 2.5. Sebuah bank memberikan bunga berdasarkan force of interest yang berubah-ubah. Pada 1 Juli 1983, seorang nasabah menabung sebesar $50 000. Pada 1 Juli 1985, uang nasabah tersebut berkembang menjadi sebesar $59 102. Jika diasumsikan force of interest per tahun adalah fungsi linear terhadap waktu pada periode tersebut, hitunglah force of interest per tahun pada 1 Juli 1984. Jawab Misalkan waktu diukur sejak 1 Juli 1983, maka diperoleh F (0) = 1 dan F (2) = 59102/50000 = 1.182040. Karena δ(t) adalah fungsi linear terhadap t, maka 1 [log F (2) − log F (0)] 2 1 = (0.167242 − 0) 2 = 0.083621.

δ (1) =

Sehingga force of interest pada 1 Juli 1984 adalah sebesar 8.3621%.

2.5

Nilai Kini (Present Value)

Misalkan t1 ≤ t2 . Maka nilai kini pada saat t1 dari dana sebesar C pada t2 adalah sebesar  C exp −

Z t2 t1

 δ(t) dt .

(2.14)

Secara khusus, nilai kini pada saat 0 dari dana sebesar 1 satuan pada saat t dinotasikan sebagai v(t), dengan  v(t) = exp −

Z t 0

 δ(s) ds .

Contoh 2.6. Misalkan diberikan force of interest sebagai berikut

δ(t) =

   0.09   0.08     0.07

untuk 0 ≤ t < 5 untuk 5 ≤ t < 10 untuk t ≥ 10

(2.15)

Bab 2

14 Tentukan formula bagi v(t) untuk setiap t ≥ 0.

Jawab h R i  t  exp − 0 0.09 ds ; untuk 0 ≤ t < 5    h R5 Rt
i v(t) = exp − 0 0.09 ds + 5 0.08 ds ; untuk 5 ≤ t < 10  h i  R R R
  exp − 5 0.09 ds + 10 0.08 ds + t 0.07 ds ; untuk t ≥ 10, 0 5 10    exp (−0.09t) ; untuk 0 ≤ t < 5   = exp (−0.08t − 0.05) ; untuk 5 ≤ t < 10     exp (−0.07t − 0.15) ; untuk t ≥ 10.

2.5.1

Formula Stoodley

Selain menggunakan rumusan di atas, force of interest juga diberikan oleh Formula Stoodley sebagai berikut: δ(t) = p +

s , 1 + rest

(2.16)

dengan p, r, dan s adalah parameter. Menggunakan force of interest tersebut, diper-oleh formula untuk nilai kini sebagai berikut: v(t) =

r 1 t v1 + v2t , 1+r 1+r

(2.17)

dengan v1 = e−( p+s) dan v2 = e− p . Contoh 2.7. Misalkan diberikan nilai parameter pada formula Stoodley sebagai berikut: p = 0.076961, r = 0.5, dan s = 0.121890. Sehingga δ(t) = 0.076961 +

0.121890 . 1 + 0.5 exp(0.121890t)

Tentukan formula untuk v(t), dan gunakan formula tersebut untuk menghitung nilai kini untuk dana sebesar 1 satuan yang jatuh tempo 10 tahun kemudian.

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

15

Jawab Dari formula Stoodley diperoleh: v(t) =

2 −0.198851t 1 −0.076961t e + e 3 3

Sehingga 2 −1.98851 1 −0.76961 e + e 3 3 ≈ 0.2459

v(10) =

2.6

Nilai Kini bagi Arus Kas Diskret

Nilai kini bagi arus kas sebesar ct1 , ct2 , . . . , ctn yang jatuh tempo pada t1 , t2 , . . . , tn (dengan 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn ) adalah sebesar n

c t1 v ( t 1 ) + c t2 v ( t 2 ) + · · · + c t n v ( t n ) =

∑ c t j v ( t j ).

(2.18)

j =1

Jika arus pembayarannya tak berhingga, maka formula untuk nilai kini arus pembayaran tersebut menjadi

∞

∑ c t j v ( t j ).

(2.19)

j =1

2.7

Nilai Kini bagi Arus Kas Kontinu

Misalkan ρ(t) adalah laju pembayaran pada saat t, dengan 0 ≤ t ≤ T. Maka nilai kini dari arus kas kontinu adalah sebesar Z T 0

v(t)ρ(t) dt.

(2.20)

Bab 2

16 Jika T tak berhingga, maka nilai kininya menjadi Z ∞ 0

v(t)ρ(t) dt.

(2.21)

Contoh 2.8. Misalkan waktu diukur dalam tahun, dan diberikan force of interest sebagai berikut:

  0.04 δ(t) =  0.03

untuk t < 10 untuk t ≥ 10

Tentukan v(t) untuk setiap t, dan hitung nilai kini dari pembayaran kontinu dengan laju pembayaran sebesar $1 per tahun selama 15 tahun yang dimulai saat t = 0.

Jawab  h R i  exp − t 0.04 ds ; untuk t < 10 0 h i v(t) = R R
 exp − 10 0.04 ds + t 0.03 ds ; untuk t ≥ 10, 0 10   exp (−0.04t) ; untuk t < 10 =  exp (−0.03t − 0.1) ; untuk t ≥ 10. Sehingga Nilai Kini (PV) dari pembayaran kontinu tersebut adalah sebesar Z 15 0

1 × v(t) dt =

Z 10 0

e

−0.04t

dt +

Z 15

1 − e−0.4 + e−0.1 0.04 = $11.3543

=

2.8

e−0.03t−0.1 dt

10 e−0.3

− e−0.45 0.03

Penilaian Arus Kas

Misalkan diberikan waktu t1 dan t2 , dengan t2 tidak harus lebih besar daripada t1 . Nilai pada saat t1 dari pembayaran sebesar C pada saat t2 didefinisikan sebagai: • akumulasi C dari waktu t2 sampai dengan t1 , jika t1 ≥ t2 , atau

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

17

• nilai kini dari C pada saat t1 yang jatuh tempo pada saat t2 , jika t1 < t2 . Sehingga nilai pada saat t1 , yang dinotasikan dengan A1 , dari dana sebesar C yang jatuh tempo pada t2 adalah sebesar  A1 = C exp −

Z t2 t1

 δ(t) dt .

(2.22)

Karena Z t2 t1

δ(t) dt =

Z t2 0

δ(t) dt −

Z t1 0

δ(t) dt,

maka nilai pada saat t1 dari dana sebesar C yang jatuh tempo pada t2 adalah A1 = C

2.9

v ( t2 ) . v ( t1 )

(2.23)

Generalisasi Arus Kas

Nilai pada saat t1 dari arus kas yang dibuat saat t2 adalah  

atau

 

Secara Umum

nilai arus kas pada saat t1

nilai arus kas pada saat t1

 





=



nilai arus kas pada saat t2 

 [v(t1 )] = 

nilai arus kas pada saat t





=





 v ( t2 ) v ( t1 )

nilai arus kas pada saat t2

nilai arus kas pada saat ini

 





  [v(t2 )]

 1 . v(t)

(2.24)

(2.25)

Contoh 2.9. Misalkan seorang pengusaha berhutang pada suatu bank senilai $1000 pada 1 Januari 1986; senilai $2500 pada 1 Januari 1987; dan senilai $3000 pada 1 Juli 1987. Dengan menggunakan asumsi bahwa force of interest bernilai konstan 0.06 per tahun, hitunglah nilai hutang pengusaha tersebut pada (i) 1 Januari 1984 dan (ii) 1 Maret 1985.

Bab 2

18 Jawab

Misalkan waktu dihitung sejak tanggal 1 Januari 1984. Maka nilai hutang pengusaha pada tanggal tersebut (PV) adalah sebesar PV = 1000v(2) + 2500v(3) + 3000v(3.5)

= 1000e−0.12 + 2500e−0.18 + 3000e−0.21 = $5406.85 Nilai hutang tersebut pada tanggal 1 Maret 1985 adalah sebesar 

14 5406.85 exp 0.06 × 12

2.10



= $5798.89

Pendapatan Bunga

Misalkan t > t0 dan seorang investor mendepositokan dananya sebesar C pada saat t0 dan akan diambil saat t. Misalkan n > 1 dan investor tersebut akan menerima pembayaran bunga sebanyak n-kali dengan periode waktu yang sama panjang, yaitu pada t0 + h, t0 + 2h, . . . , t0 + nh, dengan h = (t − t0 ) /n. Bunga dibayarkan pada waktu t0 + ( j + 1)h, untuk periode t0 + jh sampai dengan t0 + ( j + 1)h, sebesar Chih (t0 + jh). Sehingga total bunga yang dibayarkan dari t0 hingga t adalah sebesar n −1

C

∑ hih (t0 + jh).

j =0

Jika h mendekati 0 maka total bunga konvergen menuju I (t) = C

Z t t0

δ(s) ds

(2.26)

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

19

dan laju pembayaran pendapatan bunga menjadi sebesar I 0 (t) = Cδ(t). Jika investor tersebut menarik uangnya pada saat T, maka nilai kini untuk pendapatan bunga dan modal menjadi sebesar C

2.11

Z T 0

δ(t) v(t) dt + Cv( T ).

(2.27)

Latihan

1. Pada tahun tertentu, force of interest merupakan fungsi linear terhadap waktu, dengan nilai sebesar 0.15 pada awal tahun dan 0.12 pada akhir tahun. Tentukan nilai pada awal tahun untuk tingkat bunga nominal per tahun pada transaksi selama (a) 3 bulan (b) 1 bulan (c) 1 hari (d) Tentukan juga nilai pada tengah tahun untuk soal (a), (b), dan (c) 2. Sebuah bank memberikan bunga menggunakan force of interest yang ber-ubahubah. Pada awal tahun, investor menabung sebesar $20 000. Uang tersebut berakumulasi menjadi sebesar $20 596.21 pada tengah tahun dan menjadi sebesar $21 183.70 pada akhir tahun. Jika waktu diukur dalam tahun, dan force of interest diasumsikan linear terhadap waktu, nyatakan rumus untuk force of interest dan hitung akumulasi dari investasi tersebut setelah

3 4

tahun.

3. Seorang nasabah memiliki kewajiban untuk mengembalikan hutang sebesar $6 280 pada tahun keempat, sebesar $8 460 pada tahun ketujuh, dan sebesar $7 350 pada tahun ketiga belas. Sebagai alternatif untuk pembayaran ini, nasabah tersebut ditawarkan pilihan sebagai berikut:

Bab 2

20 (a) pembayaran tunggal yang dilakukan pada tahun kelima, atau

(b) membayar total hutang tersebut (yaitu sebesar $22 090) dengan pembayaran tunggal di masa depan yang belum ditentukan waktunya. Dengan menggunakan force of interest per tahun sebesar 0.076961, hitunglah pembayaran tunggal yang dimaksud pada soal (a), dan waktu yang sesuai untuk soal (b) sehingga alternatif pembayaran tersebut dapat diterima. 4. Misalkan δ(t) diberikan oleh formula berikut δ(t) = p +

s 1 + rest

dengan p = 0.058 269, s = 0.037 041, dan r = 1/3. (a) Tunjukkan bahwa v(t) =

3 1 (1.06)−t + (1.1)−t 4 4

(b) Seorang investor sepakat untuk membuat 12 pembayaran tahunan, masingmasing sebesar $600, dan pembayaran pertama dilakukan saat ini. Sebagai pengembalian atas pembayaran itu, investor tersebut akan menerima salah satu dari yang berikut: i. Akumulasi dari pembayarannya yang diterima 12 tahun dari sekarang. ii. Rangkaian 12 pembayaran tahunan dengan jumlah yang tetap, dan pembayaran pertama dilakukan 12 tahun dari sekarang. Hitunglah besarnya pembayaran untuk kedua alternatif tersebut. 5. Sebuah bank memberlakukan force of interest sebesar 0.15 pada awal tahun, sebesar 0.10 pada pertengahan tahun, dan sebesar 0.08 pada akhir tahun. Hitunglah akumulasi pada akhir tahun dari tabungan sebesar $5 000 yang dilakukan di awal tahun jika force of interest diasumsikan (a) fungsi kuadratik terhadap waktu, (b) fungsi linear pada setengah tahun pertama, dan fungsi linear juga pada setengah tahun kedua.

Bab 2. Teori Tingkat Bunga

21

6. Misalkan force of interest diberikan sebagai berikut    0.08   δ(t) = 0.06     0.04

untuk 0 ≤ t < 5 untuk 5 ≤ t < 10 untuk t ≥ 10

(a) Tentukan formula untuk v(t)˙ . (b) Seorang investor membuat kontrak dengan melakukan 15 kali pembayaran (premi) tahunan yang dibayarkan di awal tahun dan akan terakumulasi dengan force of interest seperti di atas. Premi tahunan sebesar $600 dan pembayaran pertama dilakukan saat t = 0. Sebagai pengembalian untuk investasi ini, investor tersebut akan menerima alternatif pembayaran berikut: i. Akumulasi pembayaran tunggal yang dibayarkan setahun setelah premi terakhir dibayarkan, ii. Anuitas yang dibayarkan tahunan selama 8 tahun, dengan pembayaran pertama dilakukan setahun setelah premi terakhir dibayarkan. (c) Hitunglah pembayaran tunggal pada pertanyaan (i) dan anuitas tahunan pada pertanyaan (ii). 7. Misalkan force of interest per tahun diberikan sebagai berikut: δ(t) = ae−bt (a) Tunjukkan bahwa nilai kini dari pembayaran sebesar 1 satuan yang dilakukan pada saat t adalah sebesar v(t) = exp

ha  b

e

−bt

−1

i

(b) Dengan mengasumsikan bahwa force of interest diberikan seperti di atas dan nilainya akan turun sebesar 50% pada tahun kesepuluh dari nilai awalnya

Bab 2

22

sebesar 0.10 pada saat t = 0, hitunglah nilai kini dari 4 pembayaran tahunan yang masing-masing sebesar $1 000 dengan pembayaran pertama dibuat saat t = 1.

Bab 3 Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

3.1

Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

Misalkan diberikan force of interest yang konstan sepanjang waktu, yaitu δ(t) = δ dengan δ konstan untuk setiap t. Sehingga nilai pada saat s dari 1 satuan yang jatuh tempo pada s + t adalah  exp −

Z s+t s

 δ(r ) dr = exp(−δt)

(3.1)

dan tidak bergantung pada s. Sehingga nilai pada sebarang waktu dari 1 satuan yang jatuh tempo setelah t periode adalah sebesar v(t) = e−δt

(3.2)

= vt

(3.3)

= (1 − d ) t

(3.4)

23

Bab 3

24

dengan d adalah tingkat diskon (atau disebut juga dengan tingkat diskon efektif per satuan waktu). Hubungan antar variabel diringkaskan pada tabel berikut

i

v

d

eδ − 1

e−δ

1 − e−δ

(1 + i ) −1

i (1 + i ) −1

δ δ i

log(1 + i )

v

− log v

d

3.2

v −1 − 1

1−v

− log(1 − d) (1 − d)−1 − 1

1−d

Persamaan Nilai dan Yield Suatu Transaksi

Misalkan sebagai pengembalian atas modal sebesar X yang diberikan seorang investor pada saat t = 0, investor tersebut akan menerima sebesar jX pada t = 1, 2, . . . , n beserta pengembalian modal sebesar X pada t = n. Maka j disebut sebagai yield per satuan waktu dari investasi tersebut. Secara umum, misalkan sebagai pengembalian atas pengeluaran sebesar at1 , at2 , . . . , atn pada saat t1 , t2 , . . . , tn , seorang investor akan menerima pembayaran sebesar bt1 , bt2 , . . . , btn pada waktu tersebut secara berturut-turut. (Pada kebanyakan kasus, hanya salah satu atr atau btr bernilai tak-nol). Akan dicari tingkat bunga yang membuat rangkaian pengeluaran sama dengan rangkaian pemasukan, yaitu n

n

r =1

r =1

∑ atr e−δtr = ∑ btr e−δtr

atau

(3.5)

n

∑ ctr e−δtr = 0

r =1

dengan c t r = bt r − a t r adalah arus kas bersih pada waktu tr .

(3.6)

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

3.2.1

25

Persamaan Nilai

Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai Persamaan Nilai atau Persamaan Yield sebagai berikut n

∑ c tr (1 + i ) − tr = 0

(3.7)

r =1

atau dapat juga ditulis sebagai berikut n

∑ ctr vtr = 0.

(3.8)

r =1

Jika terdapat pembayaran kontinu, maka Persamaan Nilai menjadi n

∑ c tr e

r =1

−δtr

+

Z ∞ 0

ρ(t)e−δt dt = 0.

(3.9)

Teorema 3.1. Untuk setiap transaksi di mana seluruh arus kas negatif mendahului seluruh arus kas positif, maka Persamaan Yield terdefinisi baik (memiliki solusi) Teorema 3.2. Misalkan t0 < t1 < . . . < tn dan arus kas bersih investor pada saat ti sebesar cti (dengan sebagian nilai {cti } bernilai positif dan sebagian bernilai negatif). Untuk i = 0, 1, . . . , n, misalkan Ai = ∑ri =0 ctr , sehingga Ai menyatakan akumulasi total yang diterima investor sampai dengan ti . Misalkan pula A0 dan An keduanya taknol. Dengan menghilangkan Ai yang bernilai nol, dan jika { A0 , A1 , . . . , An } memiliki tepat 1 perubahan tanda, maka Persamaan Yield memiliki tepat satu solusi positif. Contoh 3.1. Misalkan sebagai pengembalian atas modal sebesar $500 yang diberikan oleh investor pada t = 0 dan sebesar $200 dua tahun kemudian, investor tersebut akan mendapatkan sebesar $1000 setelah 5 tahun. Hitunglah yield dari transaksi tersebut.

Jawab Persamaan Nilai (pada t = 0) untuk transaksi tersebut adalah f (i ) = −500 − 200 (1 + i )−2 + 1000 (1 + i )−5 = 0.

Bab 3

26

Dari teorema, persamaan tersebut memiliki akar positif yang tunggal. Diperoleh juga f (0.08) = 9.115 dan f (0.09) = −18.405, maka yield berada antara 8% dan 9% per tahun. Dengan interpolasi linear, diperoleh i = 0.08 + (0.09 − 0.08)

9.115 − 0 = 0.0833. 9.115 − (−18.405)

Contoh 3.2. Sebagai pengembalian atas hutang sebesar $100, peminjam sepakat untuk mengembalikan sebesar $110 setelah 7 bulan. Hitunglah

• Tingkat bunga per tahun • Tingkat diskon per tahun • Force of interest per tahun • Sesaat setelah menerima pinjaman, peminjam meminta agar diijinkan mengembalikan sebesar $50 pada waktu yang telah dijanjikan, dan memberikan pembayaran kedua pada saat 6 bulan setelah waktu tersebut. Misalkan pemberi pinjaman sepakat dengan pembayaran ini dengan tingkat bunga sebesar tingkat bunga pada kesepakatan awal. Hitunglah besarnya pembayaran kedua tersebut.

Jawab • Tingkat bunga per tahun diberikan oleh Persamaan Nilai berikut 100(1 + i )7/12 = 110 sehingga i = 0.1775 = 17.75% • Tingkat diskon per tahun diberikan oleh 100 = 110 (1 − d)7/12 sehingga d = 0.1507 = 15.07%

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

27

• Force of interest diberikan oleh 100e(7/12)δ = 110 sehingga δ = 0.1634 = 16.34% • Besarnya pembayaran kedua diberikan oleh 100e(13/12)δ − 50e(1/2)δ − X = 0 sehingga X = $65.11

3.3

Anuitas Pasti - Nilai Kini dan Akumulasi

Misalkan diberikan rangkaian pembayaran sebagai berikut

t

1

1

1

···

1

1

t+1

t+2

t+3

···

t+n−1

t+n

dengan pembayaran ke-r dilakukan pada waktu t + r. Nilai dari rangkaian pembayaran tersebut 1 satuan waktu sebelum pembayaran pertama dilakukan, dinotasikan sebagai an (immediate annuity-certain), sebesar a n = v + v2 + v3 + . . . + v n 1 − vn = . i

(3.10)

Sedangkan nilai rangkaian pembayaran tersebut pada saat pembayaran pertama dilakukan, dinotasikan dengan a¨ n (annuity-due), sebesar a¨ n = 1 + v + v2 + . . . + vn−1 1 − vn = . d

(3.11)

Bab 3

28

Nilai dari rangkaian pembayaran tersebut pada saat pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan Sn , sebesar S n = (1 + i ) n −1 + (1 + i ) n −2 + (1 + i ) n −3 + . . . + 1 (1 + i ) n − 1 . = i

(3.12)

Sedangkan nilainya pada 1 satuan waktu setelah pembayaran terakhir dilakukan, dinotasikan dengan S¨n , sebesar S¨n = (1 + i )n + (1 + i )n−1 + (1 + i )n−2 + . . . + (1 + i ) (1 + i ) n − 1 . = d

3.3.1

(3.13)

Hubungan antar formula

Dari definisi di atas, diperoleh a¨ n = (1 + i ) an ,

(3.14)

a¨ n = 1 + an−1 .

(3.15)

S¨n = (1 + i ) Sn ,

(3.16)

Sn+1 = 1 + S¨n ,

(3.17)

S¨n = Sn+1 − 1.

(3.18)

dan untuk n ≥ 2,

serta

atau

3.3.2

Sifat-sifat Anuitas

Untuk n tetap,

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

29

• an dan a¨ n adalah fungsi turun dalam i. • Sn dan S¨n adalah fungsi naik dalam i. Untuk i tetap, an , a¨ n , Sn dan S¨n adalah fungsi naik dalam n. Untuk n → ∞, anuitas (atau anuitas-due) disebut sebagai perpetuitas (atau perpetuitasdue), dinotasikan sebagai a∞ dan a¨ ∞ , sebesar 1 lim an = , n→∞ i 1 = lim a¨ n = . n→∞ d

a∞ =

(3.19)

a¨ ∞

(3.20)

Contoh 3.3. Misalkan seseorang dihadapkan pada permasalahan berikut:

1. Pinjaman sebesar $2400 harus dikembalikan dalam bentuk 20 pembayaran seragam tahunan. Tingkat suku bunga sebesar 10% per tahun. Hitung besarnya pembayaran tahunan jika pembayaran dilakukan pada: (a) akhir tahun, (b) awal tahun. 2. Setiap tanggal 15 November, dari tahun 1964 hingga tahun 1979 seorang investor menabung sebesar $500. Pada 15 November 1983 investor tersebut menarik seluruh tabungannya. Jika bank memberikan bunga sebesar 7% per tahun, hitunglah jumlah uang yang ditarik investor tersebut. 3. Seorang nasabah sepakat untuk mengembalikan pinjaman sebesar $3000 dengan 15 pembayaran tahunan sebesar $500. Pembayaran pertama dilakukan setelah 5 tahun. Hitunglah yield tahunan untuk transaksi ini.

Jawab

1. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah besarnya pembayaran tahunan yang dilakukan di akhir tahun dan di awal tahun. Maka

Bab 3

30 a. 2400 = Xa10i=0.1 2400 X = a10i=0.1 2400 = = $281.90. 8.5136 b. 2400 = X a¨ 10i=0.1 2400 X = a¨ 10i=0.1 2400 = $256.27. = 9.36496

2. Ada sebanyak 16 rangkaian pembayaran rutin dari tahun 1964 hingga tahun 1979. Akumulasi pembayaran ini pada tahun 1979 kemudian akan berakumulasi lagi selama 4 tahun (hingga tahun 1983). Sehingga nilai rangkaian pembayaran tersebut pada tahun 1983 adalah sebesar

(1.07)4 × 500S16i=0.07 = (1.60578) × 500 × (27.8881) = $22391.08. 3. Akan dicari yield yang memenuhi persamaan nilai berikut: 3000 = v4 × 500a15i .

3.4

Anuitas Tunda (Deferred Annuities)

Misalkan m dan n adalah bilangan bulat taknegatif. Nilai pada t = 0 dari n pembayaran, masing-masing sebesar 1, yang jatuh tempo pada (m + 1) , (m + 2) , . . . , (m + n)

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

31

dinotasikan dengan m | an

0

1

···

m

1

1

···

1

m+1

m+2

···

m+n

Nilai dari anuitas tunda tersebut sebesar m | an

= v m +1 + v m +2 + . . . + v m + n   m 2 n = v v+v +...+v = vm an = am+n − am

Sehingga diperoleh am+n = am + vm an

3.5

(3.21)

Anuitas Kontinu

Misalkan n adalah bilangan taknegatif. Nilai pada t = 0 dari anuitas yang dibayarkan kontinu pada t = 0 hingga t = n, dengan tingkat pembayaran konstan sebesar 1, dinotasikan dengan a¯ n , sebesar a¯ n =

=

Z n 0

e−δt dt

1 − vn . δ

(3.22)

Sedangkan nilai dari anuitas kontinu tunda sebesar m | a¯ n =

=

Z m+n m

Z m+n 0

e−δt dt e

−δt

dt −

Z m 0

e−δt dt

= a¯ m+n − a¯ m = vm a¯ n .

(3.23)

Bab 3

32 Dari (3.22) diperoleh a¯ n

3.6

  i 1 − vn = δ i i = an (untuk δ 6= 0) δ

Anuitas Bervariasi

Secara umum, nilai kini dari sebarang anuitas adalah sebesar n

∑ Xi v t i ,

i =1

dengan pembayaran ke-i sebesar Xi dilakukan pada waktu ti . Untuk kasus khusus Xi = ti = i, anuitas tersebut disebut sebagai Anuitas Naik dan nilai kininya dinotasikan dengan ( Ia)n . Sehingga

( Ia)n = v + 2v2 + 3v3 + . . . + nvn a¨ n − nvn = , i

(3.24)

dan

( I a¨ )n = 1 + 2v + 3v2 + . . . + nvn−1 = (1 + i ) ( Ia)n

(3.25)

= 1 + an−1 + ( Ia)n−1

(3.26)

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

3.7

33

Anuitas Bervariasi Kontinu

• Kasus 1. Tingkat pembayaran konstan sebesar r pada periode ke-r, dinotasikan dengan ( I a¯ )n . Nilai kini untuk kasus ini sebesar n

( I a¯ )n =

∑

r =1

=

a¨ n

Z

r

t

r −1 − nvn

δ



rv dt

.

(3.27)

• Kasus 2. Tingkat pembayaran sebesar t pada waktu t, dinotasikan dengan ( I¯a¯ )n . Nilai kini untuk kasus ini sebesar

( I¯a¯ )n =

Z t 0

tvt dt

a¯ n − nvn = . δ

(3.28)

( Is)n = (1 + i )n ( Ia)n ,

(3.29)

( I s¨)n = (1 + i )n ( I a¨ )n ,

(3.30)

( I s¯)n = (1 + i )n ( I a¯ )n ,

(3.31)

( I¯s¯)n = (1 + i )n ( I¯a¯ )n .

(3.32)

Sedangkan Anuitas Tunda Bervariasi menjadi sebesar m | ( Ia )n

= vm ( Ia)n .

(3.33)

Contoh 3.4. Anuitas dibayarkan tahunan di akhir periode selama 20 tahun. Pembayaran pertama sebesar $8000 dan berkurang sebesar $300 setiap tahun. Hitunglah nilai kini dari anuitas tersebut jika diketahui tingkat bunga sebesar 5% per tahun.

Jawab

Bab 3

34 Cara 1. Misalkan nilai kini tersebut sebesar X. Maka X = 8000v + 7700v2 + 7400v3 + . . . + 2300v20 dan

(1 + i ) X = 8000 + 7700v + 7400v2 + . . . + 2300v19 Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut, diperoleh   iX = 8000 − 300 v + v2 + . . . + v19 − 2300v20 Sehingga X=

8000 − 300a19 − 2300v20 = $70 151 i

Cara 2. Memandang anuitas ini sebagai anuitas pasti sebesar $8 300 per tahun dikurangi anuitas bervariasi dengan pembayaran ke-r sebesar $300 r. Sehingga     X = 8300 v + v2 + . . . + v20 − 300 v + 2v2 + 3v3 + . . . + 20v20

= 8300a20 − 300 ( Ia)20 = $70 151

3.8

Penjadwalan Hutang Umum

Misalkan seorang investor meminjamkan uangnya sebesar L. Atas dana tersebut, investor tadi akan menerima n rangkaian pembayaran, dengan pembayaran ke-r sebesar xr yang jatuh tempo pada saat r (1 ≤ r ≤ n). Misalkan pula pinjaman tadi dihitung menggunakan suku bunga efektif tahunan sebesar ir pada tahun ke-r (1 ≤ r ≤ n).

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

35

Dana yang diinvestasikan merupakan nilai kini dari rangkaian pembayaran tersebut, yaitu L = x 1 (1 + i 1 ) −1 + x 2 (1 + i 1 ) −1 (1 + i 2 ) −1

+ x 3 (1 + i 1 ) −1 (1 + i 2 ) −1 (1 + i 3 ) −1 + · · · + x n (1 + i 1 ) −1 (1 + i 2 ) −1 . . . (1 + i n ) −1 .

Dari pembayaran tersebut akan ditentukan besarnya bagian pembayaran bunga dan pembayaran sisa pokok (capital). Misalkan F0 = L dan, untuk t = 1, 2, . . . , n, misalkan Ft adalah sisa hutang sesaat setelah pembayaran pada saat t dilakukan. Sehingga Ft = Ft−1 − ( xt − it Ft−1 )

= (1 + it ) Ft−1 − xt

(3.34)

Secara rekursif, diperoleh Ft = (1 + i1 ) (1 + i2 ) . . . (1 + it ) L − (1 + i2 ) (1 + i3 ) . . . (1 + it ) x1

− (1 + i 3 ) (1 + i 4 ) . . . (1 + i t ) x 2 − . . . − (1 + i t ) x t −1 − x t

(3.35)

Alternatif lain Ft = (1 + it+1 )−1 xt+1 + (1 + it+1 )−1 (1 + it+2 )−1 xt+2 + . . .

+ (1 + i t +1 ) −1 (1 + i t +2 ) −1 . . . (1 + i n ) −1 x n .

(3.36)

Jika it = it+1 = i, maka

( Ft − Ft+1 ) = (1 + i ) ( Ft−1 − Ft ) + xt+1 − xt .

(3.37)

Bab 3

36

Misalkan f t menyatakan besarnya hutang yang dibayarkan pada saat t. Maka formula tersebut dapat dituliskan menjadi f t +1 = (1 + i ) f t + x t +1 − x t .

3.8.1

(3.38)

Penjadwalan Hutang Untuk Anuitas

Misalkan hutang sebesar an dibuat pada saat t = 0 dan akan dikembalikan dengan n rangkaian pembayaran, yang masing-masing sebesar 1, dan akan dibayarkan saat t = 1, 2, . . . n. Sesaat setelah pembayaran ke-t dilakukan, masih terdapat n − t pembayaran yang tersisa. Sehingga Ft = an−t .

(3.39)

Hutang yang dibayarkan pada saat t sebesar f t = Ft−1 − Ft = an−t+1 − an−t

= v n − t +1 .

3.8.2

(3.40) (3.41)

Tabel Pembayaran Hutang

Ringkasan penjadwalan hutang diberikan pada tabel berikut. Pmbyrn

Pmbyrn Bunga

Pokok

Sisa Hutang

1

ian = 1 − vn

vn

a n − v n = a n −1

2 .. .

ian−1 = 1 − vn−1 .. .

v n −1 .. .

a n −1 − v n −1 = a n −2 .. .

t .. .

ian−t+1 = 1 − vn−t+1 .. .

v n − t +1 .. .

a n − t +1 − v n − t +1 = a n − t .. .

n−1

ia2 = 1 − v2

v1

a2 − v2 = a1

n

ia1 = 1 − v

v

a1 − v = 0

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

37

Secara umum, pinjaman sebesar L yang dikembalikan dengan n rangkaian pembayaran, masing-masing sebesar

L an ,

akan memiliki jadwal hutang seperti pada tabel terse-

but yang dikalikan dengan faktor

L an .

Contoh 3.5. Hutang sebesar $10, 000 akan dibayarkan selama 10 tahun menggunakan anuitas pasti bulanan yang dibayarkan di akhir periode. Besarnya pembayaran dihitung menggunakan suku bunga efektif sebesar 1% per bulan. Tentukan 1. besarnya pembayaran bulanan, 2. total pembayaran pokok dan bunga pada: a. tahun pertama, b. tahun terakhir, 3. setelah bulan ke berapa sisa hutang untuk pertama kali kurang dari $5, 000? 4. pada bulan ke berapa pembayaran pokok untuk pertama kali melebihi pembayaran bunga? Jawab 1. Misalkan 1 bulan adalah satuan waktu, sehingga i = 0.01. Misalkan pula pembayaran bulanan sebesar x, maka xa120 = 10, 000 x = 143.47. Perhatikan pula bahwa total pembayaran setahun sebesar 12x = 1, 721.64. 2. Pembayaran pokok dan bunga. a. Sisa hutang setelah pembayaran tahun pertama sebesar xa108 = 9, 448.62. Sehingga pembayaran pokok sebesar (10, 000 − 9, 448.62) = 551.38, dan pembayaran bunga sebesar (1, 721.64 − 551.38) = 1, 170.26. Alternatif lain, pembayaran pokok untuk bulan pertama sebesar 143.47 − (0.01 × 10, 000) =

Bab 3

38

43.47. Maka total pembayaran pokok selama 1 tahun menjadi 43.47S12 = 551.31. b. Pembayaran pokok tahun terakhir adalah sebesar sisa hutang pada awal tahun terakhir, yaitu sebesar 143.47a12 = 1, 614.77. Bunga yang dibayarkan sebesar (1, 721.64 − 1, 614.77) = 106.87. 3. Setelah pembayaran ke-t, sisa hutang menjadi sebesar 143.47a120−t . Sehingga 143.47a120−t = 5000 a120−t = 34.85 Karena a43 = 34.81 dan a44 = 35.45, maka sisa hutang untuk pertama kali kurang dari $5, 000 adalah saat 120 − t = 43, yaitu t = 77. 4. Pembayaran pokok ke-t adalah sebesar 43.47 (1.01)t−1 . Akan dicari t yang membuat 143.47 2 t > 51.34

43.47 (1.01)t−1 >

Sehingga t yang dimaksud adalah sebesar 52.

3.9

Latihan

1. Misalkan sebuah bank memberikan force of interest sebesar berikut:    0.05   δ(t) = 0.04     0.03

untuk 0 ≤ t < 2 untuk 2 ≤ t < 5 untuk t ≥ 5

(a) Tentukan formula untuk v menggunakan force of interest tersebut.

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

39

(b) Pak Fahmi menabung sebesar $500 pada tahun ketiga, sebesar $400 pada tahun kelima, dan sebesar $800 pada tahun kedelapan. Hitunglah akumulasi dari tabungan Pak Fahmi setelah sepuluh tahun, menggunakan formula v yang diperoleh pada (a). 2. Andi ingin merencanakan masa depannya sebaik-baiknya. Untuk itu, dia membeli asuransi pendidikan yang mengharuskannya membayar premi tahunan selama 10 tahun sebesar $1000 per tahun. Untuk premi tersebut, Andi akan menerima pembayaran sebesar X per tahun untuk biaya kuliahnya selama empat tahun yang dibayarkan dua tahun setelah premi terakhir dibayarkan. Jika suku bunga yang digunakan bank adalah sebesar 10% per tahun, hitunglah pembayaran tahunan yang diterima Andi. 3. Tuti berinvestasi sebesar $1000 pada t = 0. Untuk investasinya ini, Tuti akan mendapatkan rangkaian pembayaran, masing-masing sebesar X, yang akan dia terima pada akhir tahun ke-15, ke-16, dan seterusnya hingga tahun ke-25. Dengan menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 7% per tahun, hitunglah X. 4. Pak Budi ditawari 2 alternatif proyek sebagai berikut. (a) Proyek A memberikan pembayaran tahunan sebesar $1000 per tahun selama 10 tahun. Suku bunga yang ditawarkan pada proyek ini adalah sebesar 10% per tahun untuk 5 tahun pertama, dan sebesar 5% per tahun untuk 5 tahun berikutnya. (b) Proyek B memberikan suku bunga tetap selama 10 tahun sebesar 10% per tahun. Untuk proyek ini, pembayaran yang diberikan adalah sebesar $1000 untuk 5 tahun pertama, namun berkurang sebesar $100 per tahun mulai tahun keenam hingga tahun kesepuluh. Bantulah Pak Budi menentukan nilai kini dari kedua proyek tersebut. 5. Sebagai pengembalian atas investasi sebesar $1000, sebuah proyek usaha menawarkan alternatif keuntungan sebagai berikut: (1) pembayaran lump sum sebesar $1330 setelah 3 tahun;

Bab 3

40 (2) pembayaran lump sum sebesar $1550 setelah 5 tahun; atau

(3) empat pembayaran tahunan masing-masing sebesar $425, dengan pembayaran pertama dilakukan setelah 5 tahun. Setiap investor harus memilih alternatif keuntungan mana yang mereka kehendaki ketika melakukan investasi awal. (a) Tentukan Persamaan Nilai untuk setiap transaksi dan hitung yield tahunannya. (b) Misalkan investor memilih alternatif (1) dan setelah 3 tahun dia mendepositokan hasilnya selama 2 tahun dengan tingkat bunga tetap. Berapakah besarnya tingkat bunga tersebut agar dia menerima sebesar $1550 di akhir masa investasinya? (c) Misalkan seorang investor memilih alternatif (2) dan setelah 5 tahun dia menggunakan hasil investasinya untuk membeli anuitas-due yang dibayarkan selama 4 tahun, dengan besarnya pembayaran tahunan dihitung menggunakan tingkat bunga tetap Berapakah besarnya tingkat bunga tersebut agar pembayaran tahunannya sebesar $425? 6. Misalkan seorang investor harus memilih Rencana Tabungan sebagai berikut: (1) membayar sebesar $100 per tahun yang dibayarkan di awal tahun selama 10 tahun dan akan menerima sebesar $1700 setelah 10 tahun; atau (2) lima belas kali pembayaran tahunan, masing-masing sebesar $100 dan dibayarkan di awal tahun, yang akan memberikan hasil sebesar $3200 setelah 15 tahun. Investor tersebut harus menentukan pilihan investasinya ketika membayar premi pertama. (a) Hitunglah yield untuk setiap pilihan investasi. (b) Misalkan investor tersebut memilih alternatif (1). Misalkan pula setelah 10 tahun, investor tersebut mendepositokan hasilnya pada deposito yang

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

41

memberikan tingkat bunga tetap. Selain itu, investor tersebut juga menabung setiap tahun sebesar $100 per tahun selama 5 tahun, dengan tabungan pertama dilakukan ketika investasi pertama berakhir. Berapakah tingkat bunga yang membuat nilai investasi investor tersebut menjadi sebesar $3200 setelah 15 tahun? 7. Sebuah produk investasi menawarkan m pembayaran tahunan sebesar $Y per tahun atas premi sebesar $X per tahun (yang dibayarkan di awal periode) selama n tahun. Pembayaran tersebut diberikan setahun setelah premi terakhir dibayarkan. (a) Tunjukkan bahwa Persamaan Nilai untuk transaksi tersebut dapat dinyatakan dalam formula berikut: i. Yam+n − ( X + Y ) an = 0; atau ii. ( X + Y ) Sm − XSm+n = 0. (b) Misalkan X = 1000, Y = 2000, dan n = 10. i. Hitunglah yield per tahun untuk transaksi tersebut jika m = 10. ii. Untuk nilai m berapakah sehingga yield per tahun akan berkisar antara 8% dan 10%. (c) Misalkan X = 1000, Y = 2000, dan m = 20. Untuk nilai n berapakah sehingga yield per tahun berkisar antara 8% dan 10%. 8. Misalkan sebuah Perusahaan Mainan menawarkan penjualan mainan kepada retailer sebagai berikut: I. Pembelian tunai sebesar 30% di bawah harga pasar; atau II. Pembelian kredit selama 6 bulan seharga 25% di bawah harga pasar. (a) Hitunglah tingkat diskon efektif per tahun yang diberikan Perusahaan Mainan tersebut untuk retailer yang membayar dengan tunai. Hitung pula tingkat bunga efektif per tahun untuk retailer yang memilih membayar secara kredit.

Bab 3

42

(b) Misalkan Perusahaan Mainan tersebut mengubah kontrak kreditnya sedangkan pembayaran tunai tidak berubah. Andaikan pembayaran kredit selama 6 bulan tidak lagi tersedia dan digantikan dengan kredit selama 3 bulan dengan harga sebesar 27.5% di bawah harga pasar. Apakah pilihan kredit ini memberikan tingkat diskon efektif per tahun yang lebih tinggi atau lebih rendah kepada retailer yang memilih membayar secara tunai? Catatan: Asumsikan harga pasar dari mainan tersebut sebesar $100. 9. Sebuah anuitas dibayarkan selama 20 tahun. Pembayaran tersebut sebesar $5 untuk 6 tahun pertama, kemudian menjadi $7 selama 9 tahun berikutnya, dan berubah menjadi $10 untuk 5 tahun terakhir. (a) Tunjukkan bahwa nilai dari anuitas tersebut pada saat pembayaran pertama dilakukan dapat dinyatakan sebagai berikut: i. 5a¨ 6 + 7 (6 | a¨ 9 ) + 10 (15 | a¨ 5 ); atau ii. 10a¨ 20 − 3a¨ 15 − 2a¨ 6 ; atau iii. 5 + 10a19 − 3a14 − 2a5 . (b) Tunjukkan bahwa nilai anuitas tersebut pada saat pembayaran terakhir dilakukan sebesar: i. 5 (1 + i )14 S6 + 7 (1 + i )5 S9 + 10S5 ; atau ii. 5S20 + 2S14 + 3S5 10. Seorang investor sepakat untuk membayar 20 premi tahunan yang dibayarkan setiap awal tahun. Pada akhir tahun kedua puluh, investor tersebut akan menerima sebesar akumulasi pembayarannya. Jumlah tersebut dihitung menggunakan suku bunga efektif sebesar 8% per tahun untuk lima tahun pertama, 6% per tahun untuk tujuh tahun berikutnya, dan 5% per tahun untuk delapan tahun terakhir. Hitunglah jumlah yang akan diterima investor tersebut untuk pembayaran premi sebesar $100. Hitung juga yield per tahun untuk transaksi tersebut.

Bab 3. Fungsi-Fungsi Bunga Majemuk Dasar

43

11. Pinjaman sebesar $3000 akan dikembalikan menggunakan anuitas pasti yang dibayarkan setiap akhir tahun selama 25 tahun dan dihitung menggunakan suku bunga sebesar 12% per tahun. (a) Hitunglah i. besarnya pembayaran tahunan ii. besarnya pembayaran pokok dan bunga pada akhir tahun kesepuluh dan pada tahun terakhir iii. setelah pembayaran keberapa sisa hutang pertama kali kurang dari $1800? iv. pada pembayaran keberapa pembayaran pokok mele-bihi pembayaran bunga? (b) Sesaat setelah melakukan pembayaran kelima belas, peminjam memohon agar jangka waktu pinjaman diperpanjang selama enam tahun lagi, sehingga besarnya pembayaran tahunan perlu disesuaikan. Jika pemberi pinjaman setuju dengan permohonan ini dan tetap menggunakan suku bunga yang sama, hitunglah besarnya pembayaran tahunan setelah direvisi. 12. Pinjaman sebesar $16, 000 akan dikembalikan dalam bentuk anuitas pasti yang dibayarkan tiap akhir tahun selama 10 tahun menggunakan suku bunga sebesar 8% per tahun. Kontrak perjanjian memungkinkan bagi pemberi pinjaman untuk mengubah suku bunga yang membuat besarnya pembayaran tahunan perlu disesuaikan. (a) Hitunglah besarnya pembayaran tahunan. (b) Sesaat setelah pembayaran keempat dilakukan, suku bunga pinjaman dinaikkan menjadi 10% per tahun. Hitunglah besarnya pembayaran tahunan yang telah disesuaikan.

Bab 3

44

(c) Sesaat setelah pembayaran ketujuh dilakukan, suku bunga pinjaman diturunkan menjadi 9% per tahun. Setelah ini tak ada lagi perubahan suku bunga. Hitunglah besarnya pembayaran tahunan setelah disesuaikan dan tentukan pula besarnya suku bunga efektif yang dibayarkan peminjam untuk transaksi keseluruhan. 13. Hutang sebesar $2000 akan dikembalikan menggunakan anuitas pasti yang dibayarkan tiap akhir tahun selama delapan belas tahun. Besarnya pembayaran tahunan dihitung menggunakan suku bunga sebesar 10% per tahun untuk enam tahun pertama dan sisanya sebesar 9% per tahun. (a) Hitunglah i. besarnya pembayaran tahunan ii. besarnya pembayaran pokok pada pembayaran keempat dan pembayaran kedua belas. (b) Sesaat setelah melakukan pembayaran kedua belas, peminjam melakukan pembayaran pokok tambahan sebesar $100, yang membuat pembayaran tahunan akan disesuaikan. Jika suku bunga tetap seperti perjanjian semula, hitunglah besarnya pembayaran tahunan yang telah disesuaikan.

Bab 4 Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali

4.1

Bunga dibayarkan p-kali

Misalkan pinjaman sebesar 1 satuan pada saat t = 0 akan dikembalikan pada saat t = 1. Atas pinjaman ini, bunga dibayarkan dengan besaran yang sama sebanyak p-kali selama interval waktu tersebut. Total bunga yang dibayarkan dinotasikan dengan i( p) , yaitu total bunga yang dibayarkan dengan p pembayaran dan dibayarkan di akhir setiap subinterval ke-p. Sedangkan d( p) didefinisikan sebagai total bunga yang dibayarkan dengan p pembayaran dan dibayarkan di awal setiap subinterval ke-p. i( p) dan d( p) berturut-turut disebut juga sebagai tingkat bunga nominal dan tingkat diskon nominal yang konvertibel p-kali.

45

Bab 4

46

4.1.1

Hubungan Matematis

Untuk memperoleh formula tingkat bunga dan tingkat diskon nominal, digunakan definisi. Sehingga diperoleh p

atau


( p−t)/p i ( p) =i ∑ p 1+i t =1

(4.1)

  i ( p) (1 + i ) − 1 = i. p (1 + i )1/p − 1

(4.2)

Sehingga tingkat bunga nominal yang konvertibel p-kali diberikan oleh formula berikut. h i i( p) = p (1 + i )1/p − 1 dan

"

i ( p) 1+ p

(4.3)

#p

= 1 + i.

(4.4)

Perhatikan bahwa i(1) = i.

(4.5)

Dengan cara yang serupa, diperoleh formula untuk tingkat diskon nominal yang konvertibel p-kali sebagai berikut. p

atau

d( p) ∑ p (1 − d)(t−1)/p = d t =1

(4.6)

  1 − (1 − d ) d( p) = d. p 1 − (1 − d)1/p

(4.7)

Formula tersebut dapat disederhanakan menjadi d dan

h

( p)

= p 1 − (1 − d )

"

#p

d( p) 1− p

1/p

= 1 − d.

i

(4.8)

(4.9)

Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali

47

Perhatikan pula bahwa d(1) = d.

(4.10)

Contoh 4.1. Misalkan diberikan tingkat bunga sebesar 12% per tahun yang dibayarkan per triwulan. Hitunglah tingkat bunga efektif per tahun.

Jawab Diketahui i(4) = 0.12. Maka "

(1 + i ) =

i (4) 1+ 4

#4

= (1.03)4

i = 0.125509 ≈ 12.55%.

4.2

Pembayaran Ekivalen

Hubungan antara tingkat bunga efektif, tingkat bunga nominal, tingkat diskon efektif, dan tingkat diskon nominal diberikan pada diagram waktu berikut.

0 (1)

d

(2)

d( p) p

(3)

1 p

2 p

3 p

...

p −1 p

d( p) p ( i p) p

d( p) p ( i p) p

d( p) p ( i p) p

...

d( p) p

i ( p) p

...

←

δ

Contoh 4.2. Misalkan diberikan δ = 0.1, hitunglah (a) i, i(4) , i(12) , i(52) , i(365) , (b) d, d(4) , d(12) , d(52) , d(365) .

→

Waktu

Pembayaran i ( p) p

i

(4) (5)

1

ekivalen

Bab 4

48 Jawab Dari formula tingkat bunga dan tingkat diskon nominal, diperoleh h i     i( p) = p (1 + i )(1/p) − 1 = p e(δ/p) − 1 = p e0.1/p − 1 dan d

( p)

h

= p 1 − (1 − d )

(1/p)

i



= p 1−e

−(δ/p)





= p 1−e

−0.1/p



.

Sehingga p

1

4

12

52

365

i ( p)

0.105171 0.101260 0.100418 0.100096 0.100014

d( p)

0.095163 0.098760 0.099584 0.099904 0.099986

Contoh 4.3. Misalkan l dan m adalah bilangan bulat positif. Nyatakan i(m) dalam bentuk l, m, dan d(l ) . Kemudian hitunglah i(12) ketika d(4) = 0.057847.

Jawab

"

d(l ) 1− l

#l

"

i (m) = 1+ m

= e−δ

#−m .

Sehingga i (m) = m Maka i(12) = 12

h

h

! l d(l ) i− m 1− −1 . l 1

d (4) i − 3 1− −1 4

!

= 0.058411 ≈ 5.84%

Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali

4.3

49

Anuitas yang dibayarkan p-kali: Nilai Kini dan Akumulasi ( p)

Jika p dan n adalah bilangan bulat positif, maka an menyatakan nilai pada saat t = 0 dari anuitas pasti yang dibayarkan p-kali di akhir subinterval dengan tingkat pembayaran sebesar 1 satuan per unit waktu pada interval waktu [0, n]. Untuk anuitas ini, pembayaran dilakukan pada saat t = (1/p), (2/p), . . . , n, dengan pembayaran masing-masing sebesar (1/p). Dari definisi, serangkaian pembayaran, masing-masing sebesar

i ( p) p ,

yang dibayarkan

di akhir subinterval ke-p, sepanjang satu satuan interval waktu, memiliki nilai yang sama dengan pembayaran tunggal sebesar i yang dilakukan di akhir interval waktu.

4.3.1

Rumus Anuitas

Rumus-rumus anuitas yang dibayarkan p-kali dapat diturunkan menggunakan definisi tingkat bunga nominal, sehingga diperoleh: ( p)

an =

i

i

1 − vn , i ( p)

(4.11)

i

1 − vn , d( p)

(4.12)

a = ( p) n

dan ( p)

a¨ n =

d

a = ( p) n

atau ( p)

1

( p)

an = v p a¨ n , ( p)

dengan an

(4.13)

adalah nilai kini dari rangkaian pembayaran yang dibayarkan di akhir

periode, dan dibayakan p-kali per satu satuan waktu dengan tingkat pembayaran sebesar 1 satuan per unit waktu pada interval waktu [0, n]. Pembayaran anuitas, masingmasing sebesar 1/p, dilakukan pada waktu 1/p, 2/p, . . . , n − (1/p), n.

Bab 4

50

4.3.2

Rumus Akumulasi

Dengan cara yang serupa, rumus akumulasi dapat diturunkan menjadi ( p)

( p)

Sn = (1 + i ) n a n =

i i ( p)

Sn ,

(4.14)

Sn ,

(4.15)

dan ( p) ( p) S¨n = (1 + i )n a¨ n =

i d( p)

( p)

dengan Sn adalah akumulasi pada saat n dari rangkaian pembayaran yang dibayarkan di akhir periode, dan dibayakan p-kali per satu satuan waktu dengan tingkat pembayaran sebesar 1 satuan per unit waktu pada interval waktu [0, n]. Pembayaran anuitas, masing-masing sebesar 1/p, dilakukan pada waktu 1/p, 2/p, . . . , n − (1/p), n.

4.3.3

Rumus-rumus anuitas

Beberapa rumus hubungan antar anuitas diberikan sebagai berikut: 1 ( p) + a∞ p 1 ( p) a∞ = ( p) i 1 ( p) a¨ ∞ = ( p) d ( p) m ( p) m | a∞ = v a∞ ( p)

a¨ ∞ =

( p) m | a¨ ∞

4.4

( p)

= vm a¨ ∞

(4.16) (4.17) (4.18) (4.19) (4.20)

Anuitas yang dibayarkan pada waktu r > 1

Misalkan k dan r adalah bilangan bulat yang lebih besar daripada 1. Perhatikan rangkaian pembayaran, masing-masing sebesar X, yang dibayarkan pada waktu r, 2r, 3r, . . . , kr. Lihat diagram.

Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali 0

1

Y

...

...

r

r+1

...

2r

...

51

(k − 1)r . . . kr

X

X

X

↑

↑

↑

Y

Y

...

Y

...

Y

...

Y

Dari diagram, dapat diturunkan rumus berikut: YSr = X ⇔ Y =

X . Sr

(4.21)

Sehingga nilai anuitas tersebut adalah sebesar X a . Sr kr

(4.22)

Contoh 4.4. Seorang investor ingin membeli sebuah anuitas pasti yang memberikan pembayaran sebesar $120 per tahun, yang dibayarkan per triwulan di akhir triwulan selama 5 tahun. Hitunglah harga jual (P) anuitas tersebut jika dihitung menggunakan tingkat bunga sebesar 12% per tahun

a. efektif, b. dibayarkan per enam-bulan, c. dibayarkan per tri-wulan, d. dibayarkan per bulan,

Jawab

a. (4)

P = 120a5i=12% = 120

i

a5i=12% i (4)

= $451.58

b. Karena tingkat bunga adalah bunga nominal yang konvertibel per enam-bulan, maka satuan waktunya adalah enam bulan, dan tingkat bunga adalah sebesar

Bab 4

52

6%. Anuitas dibayarkan 2 kali per tahun sebanyak 10 pembayaran masing-masing sebesar $60. Sehingga (2)

P = 60a10i=6% = 60

i i (2)

a10i=6% = $448.13

c. Gunakan triwulan sebagai satuan waktu dan tingkat bunga sebesar 3%. Maka P = 30a20i=3% = $446.32

d. Gunakan bulan sebagai satuan waktu dan tingkat bunga sebesar 1%. Pembayaran anuitas sebesar $30 pada akhir bulan ketiga dapat digantikan dengan rangkaian pembayaran bulanan sebesar 30/S3i=1% . Sehingga P=

4.5

30 S3i=1%

a60i=1% = $445.08

Penjadwalan Hutang untuk Anuitas p-kali ( p)

Terkait hutang sebesar ani , pembayaran pokok pada pembayaran anuitas ke-r (r = 1, 2, . . . , np) adalah sebesar (1/p)vn−(r−1)/p dan sisa hutang sesaat setelah pembayaran ( p)

ke-r diterima adalah sebesar an−r/pi . Contoh 4.5. Pinjaman sebesar $1000 akan dikembalikan dengan anuitas pasti yang dibayarkan di akhir tiap enam-bulan selama 3 tahun yang dihitung menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 15% per tahun. Buatlah tabel penjadwalan hutang yang menggambarkan besarnya pokok dan bunga yang dibayarkan oleh investor tersebut untuk tiap pembayaran.

Jawab Untuk i = 15%, maka

i (2) 2

= 0.072381. Sehingga bunga yang harus dibayarkan di

tiap akhir enam-bulan adalah 7.2381% dari sisa hutang pada awal enam-bulan tersebut. Besarnya pembayaran tahunan adalah

$1000 (2) a 3 i=15%

= $422.68. Sehingga pembayaran

Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali

53

tiap enam-bulan adalah sebesar $211.34. Tabel lengkap pembayaran adalah sebagai berikut: (1)

4.6

(2)

(3)

(4)

Sisa hutang

Bunga pada akhir

Pembayaran Pokok pada

pada awal

tengah-tahun ke-n

akhir tengah-tahun ke-n

n

tengah-tahun ke-n

[0.072381 × (2)]

[211.34 − (3)]

1

1000

72.38

138.96

2

861.04

62.32

149.02

3

712.02

51.54

159.80

4

552.22

39.97

171.37

5

380.85

27.57

183.77

6

197.08

14.26

197.08

Latihan

1. Misalkan diberikan i = 0.0625. Hitunglah i(4) , δ, dan d(2) . 2. Misalkan diberikan i(2) = 0.0625. Hitunglah i(12) , δ, dan d(4) . 3. Tiap 3 tahun, dana sebesar $100 ditabungkan dengan tingkat bunga yang konstan. Hitunglah akumulasi tabungan tersebut sesaat sebelum pembayaran keenam dilakukan, jika tingkat bunga diketahui sebesar (a) 10% per tahun efektif (b) 10% per tahun konvertibel enam-bulanan. 4. Enam belas pembayaran, masing-masing sebesar $240, akan dibuat setiap 3-tahunan. Pembayaran pertama dilakukan 1 tahun dari sekarang. Hitunglah nilai kini dari pembayaran tersebut menggunakan tingkat bunga efektif 8% per tahun. 5. Sebuah anuitas dibayarkan di akhir periode selama 15 tahun. Anuitas tersebut dibayarkan setengah-tahunan untuk 5 tahun pertama, triwulanan untuk 5 tahun

Bab 4

54

berikutnya, dan bulanan untuk 5 tahun terakhir. Pembayaran tahunan anuitas tersebut menjadi 2 kali lipat tiap akhir periode 5-tahunan. Dengan menggunakan tingkat bunga sebesar 8% per tahun yang konvertibel triwulanan untuk 4 tahun pertama, 8% per tahun yang konvertibel setengah-tahunan untuk 8 tahun berikutnya, dan 8% per tahun efektif untuk 3 tahun terakhir, nilai kini dari anuitas tersebut adalah sebesar $2 049. Hitunglah besarnya pembayaran tahunan pertama untuk anuitas ini. 6. Seseorang menabung sebesar $50 pada 1 Juli 1986 dan tiap triwulanan sejak tanggal tersebut. Pembayaran terakhir dilakukan tanggal 1 Oktober 1999. Pada 1 Januari 2000 orang tersebut diberikan sebesar akumulasi dari tabungannya. Hitunglah besarnya uang yang diterima orang tersebut jika tingkat bunga sebesar (a) 12% per tahun efektif, (b) 12% per tahun konvertibel setengah-tahunan, (c) 12% per tahun konvertibel triwulanan, (d) 12% per tahun konvertibel bulanan. 7. Pinjaman sebesar $9 880 diberikan tanggal 10 Juli 1978. Pinjamanan tersebut harus dikembalikan dalam bentuk anuitas pasti yang dibayarkan bulanan di akhir periode (tanggal 10 tiap bulan) selama 25 tahun dan dihitung menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 7% per tahun. Hitunglah (a) besarnya pembayaran bulanan, (b) sisa hutang sesaat setelah pembayaran pada tanggal 10 Maret 1992 dilakukan, (c) besarnya pokok yang harus dibayarkan pada 10 Oktober 1989, (d) bulan di mana pembayaran pokok untuk pertama kali melebihi setengah dari pembayaran bunga. 8. Pinjaman sebesar $11 820 harus dikembalikan menggunakan anuitas yang dibayarkan tiap triwulanan di akhir periode selama 15 tahun. Perjanjian pinjaman

Bab 4. Tingkat Bunga Nominal: Anuitas yang Dibayarkan p-kali

55

ini menyatakan bahwa di akhir tiap periode 5-tahunan, besarnya pembayaran triwulanan akan naik sebesar $40. Anuitas ini dihitung menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 12% per tahun. (a) Hitunglah besarnya pembayaran triwulanan yang pertama. (b) Sesaat setelah pembayaran triwulanan yang ke-33, peminjam mengajukan permohonan agar pembayaran triwulanan yang tersisa tidak mengalami perubahan lagi (tetap) selama durasi pinjaman yang tersisa. Permohonan ini dikabulkan oleh pemberi pinjaman dan pembayaran triwulanan yang baru dihitung menggunakan tingkat bunga awal. Hitunglah besarnya pembayaran triwulanan yang telah direvisi ini.

Bab 5 Arus Kas Terdiskon

5.1

Arus kas terdiskon

Dari bab sebelumnya, arus kas bersih ct pada saat t adalah sebesar ct = kas masuk pada saat t− kas keluar pada saat t Untuk pembayaran kontinu, tingkat arus kas bersih adalah sebesar ρ ( t ) = ρ1 ( t ) − ρ2 ( t )

(5.1)

dengan ρ1 (t) dan ρ2 (t) berturut-turut adalah tingkat kas masuk dan tingkat kas keluar pada saat t. Pada akhir masa proyek (misalnya saat T), akumulasi kas menjadi sebesar

∑ c t (1 + i )

T −t

+

Z T 0

57

ρ(t)(1 + i ) T −t dt

(5.2)

Bab 5

58

5.2

Net Present Value dan Yields

Nilai Kini Bersih (Net Present Value) dari investasi atau proyek bisnis yang memberikan suku bunga i, dinotasikan dengan NPV (i ), sebesar NPV (i ) =

∑ c t (1 + i )

−t

+

Z T 0

ρ(t)(1 + i )−t dt.

(5.3)

Jika ρ(t) = 0, maka NPV (i ) = ct vt .

(5.4)

Yield, i0 , didefinisikan sebagai suku bunga yang memenuhi persamaan nilai NPV (i0 ) = 0.

(5.5)

Dalam ekomoni dan akuntansi, yield per tahun disebut juga sebagai internal rate of return (IRR) atau yield to redemption. Contoh 5.1. Seorang investor sedang mempertimbangkan sebuah proyek bisnis. Bisnis tersebut membutuhkan modal awal untuk pembuatan toko sebesar $20,000 dan modal tambahan sebesar $10,000 setelah satu tahun. Bisnis ini diperkirakan akan memberikan pemasukan sebesar $3000 yang dibayarkan secara kontinu selama 10 tahun dimulai pada tahun ketiga. Bisnis ini juga akan memberikan pendapatan akhir sebesar $6000 pada tahun ketiga belas. Hitunglah NPV dan yield dari bisnis tersebut.

Jawab NPV (i ) = −20000 − 10000v + 3000( a¯ 13 − a¯ 3 ) + 6000v13 dengan yield sebesar i0 = 2.2%.

Bab 5. Arus Kas Terdiskon

5.3

59

Profitabilitas

Misalkan suku bunga pinjaman dan meminjamkan adalah tetap sebesar i1 . Maka sebuah proyek dikatakan menguntungkan jika dan hanya jika NPV (i1 ) > 0.

(5.6)

Jika proyek berakhir pada saat T, maka besarnya keuntungan (atau kerugian, jika negatif) pada saat tersebut adalah sebesar NPV (i1 )(1 + i1 ) T .

(5.7)

Misalkan terdapat yield sebesar i0 dan NPV (i ) berubah tanda dari positif ke negatif ketika i = i0 . Dalam kondisi ini, sebuah proyek dikatakan menguntungkan (profitable) jika dan hanya jika i1 < i0 .

(5.8)

yaitu yield lebih besar daripada suku bunga pinjaman dan tabungan. Contoh 5.2. Misalkan suku bunga pinjaman dan tabungan sebesar 2% per tahun. Periksa apakah proyek pada contoh sebelumnya menguntungkan? Hitung juga besarnya keuntungan (atau kerugian) dari proyek tersebut.

Jawab Karena i0 = 2.2% > i1 = 2% maka proyek tersebut menguntungkan. Nilai harapan keuntungan pada tahun ketiga belas adalah sebesar NPV (0.02)(1.02)13 = 481(1.02)13 = $622.

Bab 5

60

5.4

Perbandingan Dua Proyek Investasi

Misalkan seorang investor sedang membandingkan dua proyek bisnis, yaitu Proyek A dan Proyek B. Misalkan pula NPVA (i ) dan NPVB (i ) berturut-turut menyatakan fungsi nilai kini bersih Proyek A dan Proyek B, dengan i A dan i B menyatakan yield masingmasing proyek. Misalkan i1 adalah suku bunga pinjaman dan tabungan. Maka Proyek A dikatakan lebih menguntungkan jika NPVA (i1 ) > NPVB (i1 ).

(5.9)

Perhatikan bahwa i A > i B tidak menyebabkan NPVA (i1 ) > NPVB (i1 ) (lihat Gambar 5.1)

G AMBAR 5.1: Perbandingan tingkat bunga dan Net Present Value

Contoh 5.3. Seorang investor sedang membandingkan dua proyek sebagai berikut: • Proyek A: Dengan modal sebesar $10,000, investor tersebut akan menerima pembayaran tiap akhir tahun sebesar $1000 per tahun selama 15 tahun. • Proyek B: Dengan modal sebesar $11,000, investor tersebut akan menerima pembayaran tiap akhir tahun sebesar $605 per tahun selama 18 tahun dan pengembalian modal pada akhir masa proyek.

Investor tersebut dapat meminjam dan menabung uang dengan bunga sebesar 4% per tahun. Periksa proyek manakah yang lebih menguntungkan untuk investor tersebut.

Bab 5. Arus Kas Terdiskon

5.5

61

Perbedaan Suku Bunga

Misalkan terdapat perbedaan suku bunga pinjaman dan tabungan, yaitu suku bunga pinjaman sebesar j1 dan suku bunga meminjamkan (tabungan) sebesar j2 , dengan j1 > j2 . Besarnya ( j1 − j2 ) bergantung pada banyak faktor, misalnya tingkat kepercayaan kreditor dan biaya pengadaan pinjaman. Konsep mengenai NPV dan yield secara umum tidak lagi dapat diterapkan untuk kasus ini. Akumulasi harus dihitung berdasarkan apakah arus kas bersih investor berupa kredit ataukah debit dan menerapkan suku bunga yang sesuai dengan arus kas bersih. Contoh 5.4. Sebuah perusahaan tambang sedang mempertimbangkan sebuah proyek pertambangan. Proyek tersebut diestimasi akan menghasilkan 10,000 ton batubara per tahun secara kontinu selama 10 tahun, dan pada akhir tahun kesepuluh perusahaan harus mengeluarkan dana sebesar $300,000 untuk restorasi lahan. Harga pembelian Hak Penggunaan Lahan sebesar $1,000,000 dan biaya operasional sebesar $200,000 per tahun yang dibayarkan secara kontinu. Perusahaan tidak memiliki cukup dana untuk membiayai proyek ini, namun dapat meminjam modal awal sebesar $1,000,000 dari bank dengan bunga efektif sebesar 12% per tahun. Pinjaman ini tidak untuk jangka waktu yang tetap, yaitu perusahaan dapat mencicil hutangnya setiap saat. Ketika perusahaan telah memiliki arus kas bersih positif, maka dana ini dapat didepositokan dengan bunga efektif sebesar 10% per tahun. Jika harga jual minimum batubara ditetapkan agar proyek tersebut break-even (impas), hitunglah berapa lama waktu yang dibutuhkan perusahaan untuk membayar hutangnya ke bank.

Jawab Misalkan P adalah harga break-even per ton batubara. Arus kas bersih untuk proyek ini adalah sebagai berikut c0 = −1, 000, 000, c10 = −300, 000, dan ρ(t) = k = 10, 000P − 200, 000 untuk 0 ≤ t ≤ 10. Akan dicari t1 , waktu saat perusahaan melunasi hutangnya, yaitu 1000000(1.12)t1 = k S¯t1 i=12%

Bab 5

62 atau 1000000 = k a¯ t1 i=12%

Setelah t1 , perusahaan akan memiliki arus kas bersih positif yang dapat didepositokan dengan bunga sebesar 10% per tahun, sehingga k S¯10−t1 i=10% − 300000 = 0 Dari kedua persamaan tersebut, menggunakan aproksimasi, diperoleh t1 = 8.481, sehingga k = 183, 515 dan P=

200000 + k = $38.35 10000

Contoh 5.5. Seperti Contoh 5.4, namun pinjaman modal sebesar $1,000,000 adalah pinjaman dengan jangka waktu tetap, yaitu dibayarkan pada akhir tahun kesepuluh, dan tidak dimungkinan untuk pembayaran lebih awal.

Jawab Misalkan P adalah harga break-even per ton batubara. Bunga pinjaman adalah sebesar 1, 000, 000δ0.12 = $113, 329. Setelah membayar bunga pinjaman, tingkat arus kas kontinu investor adalah sebesar k = 10000P − 200000 − 113329 = 10000P − 313329 per tahun selama 10 tahun. Akumulasi setelah 10 tahun adalah sebesar k S¯10i=10% = 1, 300, 000. Sehingga diperoleh k = 77, 744 dan P = $39.11

Bab 5. Arus Kas Terdiskon

5.6

63

Discounted Payback Period

Misalkan terdapat t1 dimana arus kas bersih investor berganti tanda dari negatif menjadi positif. Nilai t1 disebut sebagai discounted payback period (DPP), yaitu nilai t terkecil yang memenuhi A(t) ≥ 0, dengan A(t) =

∑ cs (1 + j1 )

s≤t

t−s

+

Z t 0

ρ(s)(1 + j1 )t−s ds.

(5.10)

Misalkan proyek berakhir saat T. Jika A( T ) < 0 (yang setara dengan NPV ( j1 ) < 0) maka proyek tersebut tidak memiliki DPP dan tidak menguntungkan. Jika proyek menguntungkan, maka akumulasi keuntungan pada saat T adalah sebesar P = A(t1 )(1 + j2 )

T − t1

+

∑ ct (1 + j2 )

T −t

t > t1

5.7

+

Z T t1

ρ(t)(1 + j2 ) T −t dt.

Kasus Khusus DPP

Jika sebuah proyek investasi hanya memerlukan pembayaran tunggal di awal sebesar C, dan akan memberikan rangkaian pembayaran di akhir tahun yang masing-masing sebesar R selama n tahun, maka DPP (t1 ) adalah bilangan bulat t terkecil yang memenuhi A∗ (t) ≥ 0, dengan A∗ (t) = −C (1 + j1 )t + RSti= j1

(5.11)

yaitu nilai t terkecil sehingga Rati= j1 ≥ C.

(5.12)

Proyek dapat dijalankan jika t ≤ n, dengan akumulasi keuntungan setelah n tahun sebesar P = A∗ (t1 )(1 + j2 )n−t1 + RSn−t1 i= j2 .

(5.13)

Contoh 5.6. Sebuah investasi seharga $100000 akan memberikan rangkaian pembayaran sebesar $10500 per tahun yang dibayarkan di akhir tahun selama 25 tahun. Hitunglah DPP jika

Bab 5

64

suku bunga pinjaman sebesar 9% per tahun. Hitung juga akumulasi profit setelah 25 tahun jika suku bunga deposito sebesar 7% per tahun.

Jawab Dari rumus di atas, DPP adalah bilangan bulat terkecil, t, yang membuat 10500ati=0.09 ≥ 100000. Sehingga t = 23 tahun. Akumulasi keuntungan setelah 25 tahun sebesar p =

h

i −100000(1.09)23 + 10500S23i=0.09 (1.07)2 + 10500S2i=0.07

= $26656

5.8

Pengaruh Inflasi

Misalkan setiap bagian arus kas pada sebuah investasi terkena dampak inflasi sebesar e per satuan waktu. Arus kas pada saat t setelah inflasi adalah sebesar cet = (1 + e)t ct

(5.14)

ρ e ( t ) = (1 + e ) t ρ ( t )

(5.15)

Maka Nilai Kini Bersih dari investasi tersebut adalah sebesar NPVe (i ) =

= dengan 1 + j =

1+ e 1+ i

∑ c t (1 + e ) (1 + i ) t

∑ c t (1 + j ) − t +

⇔j=

−t

Z ∞ 0

+

Z ∞ 0

ρ(t)(1 + e)t (1 + i )−t dt

(5.16)

ρ(t)(1 + j)−t dt

i −e 1+ e .

Sehingga NPVe (i ) = NPV0

i−e , 1+e

(5.17)

Bab 5. Arus Kas Terdiskon

65

dengan IRR untuk investasi ini menjadi sebesar i0e − e = i0 , 1+e

(5.18)

i0e = i0 (1 + e) + e.

(5.19)

atau

Contoh 5.7. Sebuah peternakan biri-biri sedang mempertimbangkan untuk melakukan ekspansi bisnis, dari yang semula hanya menampung 3000 ekor biri-biri menjadi mampu menampung 4500 ekor. Keuntungan tambahan dari menambah biri-biri diproyeksikan sebesar $1.91 per ekor tambahan. Modal awal untuk ekspansi ini adalah sebagai berikut: Pembelian 1500 biri-biri

$4292

Pembuatan kandang

$1850

Perluasan 400 Ha kebun pakan

$8000

Total

$14142

Terdapat juga biaya tambahan tahunan untuk pupuk sebesar $1308 per tahun. Pagar diasumsikan mampu bertahan selama 20 tahun dan nilai jual dari tambahan biri-biri setelah 20 tahun adalah nol. a. Jika diasumsikan tidak terdapat inflasi dan keuntungan bersih tahunan diterima di akhir tahun, hitunglah IRR dari proyek tersebut. b. Berapakah tingkat inflasi tahunan agar proyek ini dapat dijalankan jika investor tersebut dapat meminjam dan menabung uang ke bank dengan bunga sebesar 10% per tahun? Jawab a. Tanpa inflasi, ct = $(1.911500 − 1308) = $1557 untuk t = 1, 2, . . . , 20. c0 =

−14142. Sehingga NPV0 (i ) = −14142 + 1557a20i dengan IRR = 9.07%

Bab 5

66 b. Dari rumus di atas NPVe (i ) = NPV0

i−e 1+e

dengan IRR per tahun sebesar i0e = 0.0907(1 + e) + e. Nilai ini akan lebih besar daripada 0.1 jika e > 0.0085. Sehingga proyek dapat dijalankan jika tingkat inflasi lebih besar dari 0.85% per tahun.

5.9

Latihan

1. Sebuah perusahaan sedang mempertimbangan 2 proyek. Proyek A membutuhkan modal awal sebesar $1 000 000 dan akan memberikan pendapatan sebesar $270 000 per tahun yang dibayarkan di akhir tahun selama 8 tahun. Proyek B membutuhkan modal awal sebesar $1 200 000 dan modal tambahan sebesar $20 000 per tahun yang dibayarkan di akhir tahun selama 3 tahun pertama dan akan memberikan pendapatan sebesar $1 350 000 pada akhir tahun keenam, ketujuh dan kedelapan. (a) Hitunglah Internal Rate of Return (IRR) untuk setiap proyek. (b) Hitunglah Nilai Kini Bersih (Net Present Value/NPV) dari kedua proyek menggunakan tingkat bunga efektif sebesar 15% per tahun. 2. Seorang pengusaha sedang mempertimbangkan 2 proyek. Setiap proyek membutuhkan modal di awal dan tambahan modal setelah 1 tahun. Untuk setiap proyek, pemasukan berupa anuitas pasti yang dibayarkan tahunan di akhir tahun selama 7 tahun dan dimulai pada tahun kelima. Pengeluaran dan pemasukan dari proyek tersebut diringkaskan pada tabel berikut

Bab 5. Arus Kas Terdiskon

67

Proyek Modal Awal Tambahan Modal Pendapatan A

$160 000

$80 000

$60 000

B

$193 000

$80 000

$70 000

(a) Hitunglah IRR per tahun untuk setiap proyek. (b) Sebagai alternatif dari memilih Proyek B, pengusaha tersebut dapat mengambil Proyek A dan pada saat yang sama membeli anuitas pasti seharga $33000 yang memberikan pendapatan tahunan yang dibayarkan di akhir tahun selama 7 tahun dan dimulai pada tahun kelima. Jika anuitas tersebut dihitung menggunakan tingkat bunga yang tetap, hitunglah seberapa besar tingkat bunga tersebut agar kombinasi transaksi ini memberikan keuntungan yang lebih besar daripada proyek B. 3. Sebuah peluang usaha membutuhkan modal awal sebesar $10 000 dan modal tambahan sebesar $3 000 setelah 1 tahun. Usaha tersebut akan memberikan pendapatan sebesar $500 pada akhir tahun kedua, sebesar $1 000 pada akhir tahun ketiga, sebesar $1 500 pada akhir tahun ketiga, dan seterusnya. Pendapatan terakhir sebesar $4000 dibayarkan pada akhir tahun kesembilan. (a) Hitunglah IRR untuk peluang usaha ini. (b) Misalkan seorang pengusaha tidak memiliki cadangan dana untuk usaha ini, namun dapat meminjam ke Bank A kapan saja dengan tingkat bunga efektif yang tetap sebesar 5% per tahun. Pinjaman tersebut dapat dikembalikan seluruhnya atau sebagian-sebagian pada waktu kapan saja yang dikehendaki pengusaha tersebut. Haruskah pengusaha tersebut meminjam uang dari Bank A? Jika ya, berapakah keuntungan pengusaha tersebut pada akhir tahun kesembilan? 4. Misalkan anda baru saja mewarisi sebuah pulau kecil yang dapat digunakan untuk usaha Peternakan Biri-biri (PB), Penggemukan Sapi (PS), atau Hutan Tanaman Industri (HTI). Arus kas untuk ketiga jenis proyek tersebut diberikan pada tabel berikut:

Bab 5

68

Modal awal = $20 000 PB

Pendapatan tahunan = $1 100 dibayarkan di akhir tahun selama 20 tahun Harga jual setelah 20 tahun = $20 000 Modal awal = $20 000

PS

Pendapatan tahunan = $900 dibayarkan di akhir tahun selama 20 tahun Harga jual setelah 20 tahun = $25 000

HTI

Biaya penanaman hutan = $20 000 Harga jual tanaman dewasa setelah 20 tahun = $57 300

(a) Hitunglah IRR untuk setiap proyek tersebut. (b) Misalkan anda tidak memiliki dana untuk memulai usaha ini, namun anda dapat meminjam ke bank sebesar $20 000 dengan bunga efektif sebesar 5% per tahun. Pembayaran pinjaman ini hanya dapat dilakukan setelah dalam waktu 20 tahun dan tidak dimungkinkan untuk pembayaran lebih awal. Kapan saja anda butuh pinjaman, anda dapat meminjamnya dari bank tersebut dengan bunga yang sama dan waktu pengembalian yang sama dengan pinjaman awal. Jika terdapat sisa uang setelah membayar bunga pinjaman bank, anda dapat menginvestasikannya ddalam bentuk tabungan yang memberikan bunga efektif sebesar 4% per tahun. Proyek manakah dari ketiga proyek tersebut yang memberikan keuntungan paling besar setelah 20 tahun?