Persamaan Differential Parsial.pptx

Persamaan Differential Parsial Ditta Kharisma Yolanda Putri 2316201016 Yosita Dyah Anindita 2316201024

Pengertian Persamaan Differensial Parsial o

  Persamaan differensialyang mengandung sebuah fungsi tak diketahui dan beberapa (dua atau lebih) variabel-variabel bebas.

Persamaan differensial parsial non-linier (6.1) Persamaan differensial parsial linier (6.2) o

Dimana u = u(x,y) dan A,B,C,D,E dan F adalah konstanta-konstanta.

Klasifikasi Persamaan Differensial Orde Dua Group 1 Eliptik

B2-AC < 0

Hiperbolik

B2-AC > 0

Parabolik

B2-AC = 0

Contoh-contoh Aplikasi Persamaan Differensial Parsial o

:  Persamaan Laplace 2-Dimensi atau Persamaan Potensial adalah Eliptik dimana A = 1, B = 0, dan C = 1, sehingga B 2 - AC = 0 - 1.1 = -1 < 0.

o

: Persamaan Panas 1-Dimensi adalah Parabolik, dimana A = α 2, B = 0, dan C = 0, sehingga B2 - AC = 0 - α2.0 = 0.

o

: Persamaan Gelombang 1-Dimensi adalah Hiperbolik, dimana A = α 2, B = 0, dan C = -1, sehingga B2 - AC = 0 - α2.-1 = α2 > 0

Penyelesaian Differensial Parsial Transformas i Laplace

Pemisahan Variabel

Differensia l Parsial

Pemisalan

Selesaikan Seperti PDB

Penyelesaian Persamaan Differensial Parsial o

  Pengintegralan seperti PDB

Contoh 1: Selesaikan PDP :

o

Penyelesaian :

o

=

z = PUPD : z=

Penyelesaian Persamaan Differensial Parsial o

Permisalan u = eax+by

Penyelesaian Persamaan Differensial Parsial Metode Pemisahan Variabel Syarat menggunakan metoda ini adalah: 1. Jenis persoalan adalah persoalan nilai batas 2. Persamaan diferensial harus linier dan homogen. 3. Kondisi batas harus homogen.

Tahapan-tahapan umum: 1.

Lakukan pemisahan variabel untuk memperoleh dus persamaan diferensial biasa.

2.

Selesaikan persamaan diferensial ini dengan menggunakan kondisikondisi batas untuk mendapatkan penyelesaian-penyelesaian parsial.

3.

Dapatkan penyelesaian total yang memenuhi kondisi awal

Penyelesaian Persamaan Differensial Parsial o Transformasi

Laplace

digunakan untuk menyelesaikan persoalan nilai awal dan PD Parsial yang dapat diselesaikan adalah harus linier. Tahap-tahap penyelesaian adalah: 1.

Operasikan Transformasi Laplace pada Persamaan Diferensial Parsial dan kondisi-kondisi batas dengan menggunakan kondisi awal. Operasi ini menghasilkan persamaan diferensial biasa dari pada variable dependen dalam domain Laplace.

2.

Selesaikan persamaan yang diperoleh dari tahap (1) ini untuk mendapatkan pernyataan dari variable dependen dalam domain Laplace.

3.

Operasikan inverse transform pada hasil yang diperoleh pada tahap (2), sehingga dihasilkan pernyataan dari pada variable dependen dalam domain waktu.

o

Contoh :  

o

Perpindahan panas pada dinding semi infinite.

Suatu papan yang sangat tebal (papan dengan ketebalan tak hingga) mulamula pada suhu seragam T0. Tiba-tiba salah satu permukaan papan dikontakkan dengan cairan panas pada suhu T s. Tentukan distribusi suhu didalam papan o

Penyelesaian :

Fenomena perpindahan panas didalam papan dinyatakan dengan persamaan diferensial parsial berikut (Buktikan!): (1) Kondisi Awal : T(x,0) = T0 Kondisi Batas:

(2)

1. T(0,t) = T s

2. T(,t) = T0

(4)

(3)

o   Tahap 1: 

Operasikan Transformasi Laplace pada Persamaan (1):

Atau, (5)   

Operasikan Transformasi Laplace pada Kondisi Batas ( Pers.(3) dan Pers.(4)

1. L{T(0,t)} = L{Ts} (6) 2. L{T(,t)} = L{T0} (7)

o   Step

2:

Penyelesaian umum Persamaan (5) adalah: (8) Dari Kondisi Batas 2 (Pers.(7)) dan Pers.(8)) kita peroleh K 1 = 0. Sehingga Pers.(8) menjadi: (9) Dari Kondisi Batas 1, Pers.(6) dan Pers.(9) persamaan berikut diperoleh, (10) Substitusi Pers.(10) kedalam Pers.(9), (11)

o Step3  

:

(12) atau, (13)