Pert-cpm

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

PROGRAMACION DE PROYECTOS: CPM Y PERT

1.- Introducción

Un caso particular de los sistemas intermitentes, son los proyectos que se realizan por única vez (los procesos y secuencias responden a pedido) Ejemplo:

• Proyectos constructivos (puentes, edificios, etc) • Desarrollo de productos nuevos (investigación e instalación de líneas de producción, instalación de equipos) • Diseño de campañas publicitarias • Auditorias financieras • Etc. Todos los proyectos, pequeños o grandes, tienen características comunes, entre ellas: • Una combinación de actividades • Una relación secuencial entre algunas de las actividades • Una preocupación por el tiempo: la terminación del proyecto a “tiempo” es importante • Una preocupación por los recursos: completar el proyecto dentro del presupuesto también es importante En este capítulo se presentan las herramientas que pueden usarse para planear, programar y controlar los proyectos.

Planeación del Proyecto (plan del proyecto) En la etapa de planeación requiere desglosar el proyecto en actividades de acuerdo a los objetivos y metas establecidos en éste. Para cada actividad se debe definir: •El tiempo o duración de ésta •Sus interrelaciones (actividades predecesoras o sucesoras) •Los recursos (materiales, monetarios, personas) Además en esta etapa se debe definir: Organización del equipo Definición del proyecto Criterio de desempeño: Tiempo - costo - calidad

Programación del Proyecto (Programa del proyecto) La programación requiere detallar las fechas de inicio y terminación para cada actividad, su sincronización y secuencia para terminar el proyecto en un tiempo mínimo, que se denomina “programa de camino crítico”. El conocimiento de las tolerancias permisibles o la elasticidad del programa permite a la administración la flexibilidad para cumplirlo. Esta permite conocer la disponibilidad de los recursos (humanos, materiales y financieros) importantes para la siguiente etapa del proyecto. Control del Proyecto

El control del proyecto no solo requiere información sobre el estado actual sino analiza los posibles cambios cuando surgen dificultades y hacer la reprogramación cuando sea necesario (monitoreo, revisión y actualización). Debido a la complejidad y al gran número de actividades que se desarrollan simultáneamente, el problema de información y control es complejo. Los sistemas de control e información mediante paquetes computacionales se han hecho comunes para resolver y elaborar programas actualizados que representan las condiciones actuales en nuevos programas realizables.

Las clases de técnicas usadas para el análisis, planificación y programación de proyectos de gran escala están basados en la representación del proyecto en redes de actividades. Las técnicas más usadas son PERT y CPM. Si la duración de cada actividad es conocida con certeza, el Método del Camino o Ruta Crítica (CPM) puede ser empleado para determinar cuál es el tiempo requerido para completar el proyecto. El método CPM también permite identificar cuales actividades pueden ser atrasadas sin afectar la duración total del proyecto.

Si la duración de las actividades no es conocida con certeza, la Técnicas de Revisión y Evaluación del Programa (PERT) puede ser empleado para determinar la probabilidad de que un proyecto termine antes de un periodo definido.

Redes y Teoría de los Grafos Definición: Grafo es la representación gráfica del ordenamiento lógico de las actividades de un proyecto; bajo esta teoría podemos visualizar:  CPM: Critical Path Method, modelo determinístico  PERT: Program Evaluation and Review Thechnique; modelo probabilístico Metodologia de los Grafos Un grafo trata de ser un modelo lo mas preciso posible de aquel proyecto o trabajo que queremos planificar, programar y controlar; como éste, estará formado por tareas o actividades, que son el trabajo que hemos de realizar, con el consiguiente tiempo que hemos de consumir, para llegar a un acontecimiento, suceso o etapa, que no consuma tiempo ni trabajo, ni dinero, pues sólo es el principio o fin de una actividad. Por ejemplo una actividad o tarea es hormigonar, un acontecimiento es terminar el hormigonado.

|

Grafo o Red Secuencia de acontecimientos y actividades  Un acontecimiento se ha verificado cuando han terminado todas las actividades que conducen a él.  Para que una actividad se haya terminado es necesario que todas las actividades que la preceden estén terminadas.  Las actividades preceden o siguen a los acontecimientos

Le preceden



Le siguen

Las actividades en serie indican que no puede comenzar un hasta haber terminado la anterior.

3 

4

5

Las actividades en paralelo se pueden realizar simultáneamente

3

5 7

4

6



A un acontecimiento pueden llegar varias actividades, así como partir de él una o varias.

Acontecimiento inicial y final El diagrama de flechas o red comienza con un acontecimiento inicial, que ramifica en varios caminos que ligan los distintos acontecimientos y termina con el acontecimiento final. Los acontecimientos no consumen tiempo y son principio o fin de una actividad física o mental, designándose con un número.

Acontecimiento 333333

3

3

La actividad es el trabajo necesario para alcanzar un acontecimiento y consume tiempo, dinero o recursos A (actividad)

3

4 15 días (Duración)

Utilización de las flechas Con una flecha se suelen indicar actividades; su origen es el acontecimiento donde se inician y su fin es el acontecimiento donde terminan. Estas actividades tienen una duración nunca negativa, pero que pueden ser cero llamándose entonces actividades ficticias; éstas al tener duración cero, no consumen tiempo. Son indispensables a veces para establecer el orden y las precedencias de las actividades. En contraposición, las actividades normales (que consumen tiempo) se pueden llamar actividades reales. Actividad Ficticia

6

7 0 días

Representación de una Grafo

4

5

1

Acontecimiento Inicial

6

2

3

Acontecimiento Final

Actividad Ficticia 4-6 Caminos: 1-2-3-6 1-3-6 1-4-5-6 1-4-6 Los Grafos no tienen escalas, las longitudes de las flechas o el tamaño de los acontecimientos sólo dependen e la claridad deseada para el grafo y de la necesidad de las precedencias. En los Grafos no pueden existir circuitos cerrados o bucles, ya que es absurdo exigir para una actividad la previa realización de la que le sigue.

Para dar forma a un grafo debemos hacernos tres preguntas: 1. ¿Qué acontecimiento o acontecimientos y actividades deben efectuarse antes de que tenga lugar este otro acontecimiento? 2. ¿Qué acontecimiento y actividades no pueden efectuarse hasta que tenga lugar este acontecimiento? 3. ¿Qué acontecimientos y actividades pueden efectuarse simultáneamente? Se recomienda que deben numerarse secuencialmente y para ello debemos observar que: 1. El orden numérico de los acontecimientos ha de ser creciente en el sentido de las flechas. 2. Para numerar, debemos utilizar una serie progresiva de razón mayor que la unidad, para que podamos intercalar acontecimientos, de ser preciso, sin alterar la numeración fundamental. 3. Debemos evitar el absurdo de los circuitos cerrados

Se plantea la siguiente forma de numeración: 1. Un acontecimiento inicial es aquel que presenta flechas que salen de él, pero con ninguna que le llegue, encontrar el acontecimiento inicial y numerarlo como 1. 2. Suprimir todas las flechas que emergen del acontecimiento numerado, esto creará por lo menos un nuevo acontecimiento inicial.

3. Numérese todos los nuevos acontecimientos iniciales 2,3, etc. 4. Suprímase de nuevo las flechas que salen y continúese de esta forma hasta que se alcance el acontecimiento final que es aquel que no presenta ninguna flecha emergente.

Todas las actividades estarán entonces identificadas únicamente por sus acontecimientos inicial y final.

Trazado de grafo •Evitar que las flechas sean curvas, deben ser rectas para mayor claridad. •Evitar que las flechas se crucen •Evitar que las flechas posean longitudes desproporcionadas unas con otras •Evitar el desorden en la numeración, procurando hacer ésta de izquierda a derecha siempre que sea posible. •Evitar flechas ficticias que no sean necesarias. Si

No 5 5

1

2

4 1

2

3

3 4

2

1

1

2

3

4

3

4

5

5

2

3

4

6

1

4

1 2 3 7

6

7

Si

No

1

3

3

1

2

2

1

3

1

3

2

3

2

4

5

3

4

5 1

2

1

2

Sistema CPM (Método del Camino Critico)  Analisis de Grafo. Se realiza un análisis sistemático de las actividades de un grafo dividiéndolas en: 1. Actividades Críticas 2. Actividades no Críticas A su vez algunas de las no críticas pueden ser sub. críticas  Suceso, acontecimiento o etapa Es el comienzo o fin de una actividad; son instantes de referencia sin consumo de tiempo o de medios (por ejemplo: terminación de la primera planta)  Actividad, operación o tarea Es el trabajo necesario para poder pasar de un acontecimiento al siguiente, exige consumo de tiempo (excepto las virtuales o ficticias, que no consumen) y medios (por ejemplo hacer la cimentación)

2.- Representación como un modelo de Red Par aplicar CPM o PERT se requiere conocer la lista de actividades que incluye un proyecto. Las actividades pueden ser representadas en los nodos o en los arcos de una red. Ejemplo: Proyecto de construcción de una casa

En la representación gráfica que se muestra a continuación, las actividades están representadas como nodos. En este caso los arcos o fechas marcar las relaciones de precedencia de las actividades.

Actividad

Descripción

A

Cimientos paredes

B

Predecesor

Duración (sem)

Ninguna

4

Plomería, electricidad

A

2

C

Techo

A

3

D

Pintura exterior

A

1

E

Pintura interior

B, C

5

B

INICIO

A

C

D

E

FIN

Otra alternativa sería formar una red donde cada actividad está representada como un arco y cada nodo indica el inicio o término de ésta. Por ejemplo la actividad A comienza en el nodo 1 y termina en el nodo 2

Reglas para construir el diagrama de redes: • Una actividad no puede ser representada por más de un arco de red. Ninguna actividad puede representarse dos veces en la red • Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos terminal y de inicio. • Actividades ficticias: se utilizan para respetar las relaciones de precedencia. Son actividades de duración cero y no tienen asignación de recursos.

Así, la red de actividades de la figura 2 quedaría: 5

H (ficticia)

B

A 11 1

E

C 2

3 4

figura 3

D

Ejemplo:

actividad

predecesoras

Duración (días)

A

--

6

B

--

9

C

A, B

8

D

A, B

7

E

D

10

F

C, E

12

3.- Método de la Ruta Crítica: CPM

El método de la ruta crítica se desarrolló para resolver el problema de los trueques entre el tiempo y los recursos. Este supone que las duraciones y los costos de las actividades se pueden predecir bastante bien para poder usar estimaciones determinísticas. Sin embargo, el CPM requiere dos estimaciones de tiempo y costo para cada una de las actividades, en lugar de una sola.

Existen dos conceptos claves para la aplicación del método CPM:

Definición 1: El tiempo más temprano para la actividad A es el instante más inmediato en el cual puede ocurrir dicho evento.

Definición 2: El tiempo más tarde para la actividad A es el último instante en el cual puede ocurrir dicho evento sin retrasar la duración total del proyecto.

i

dij

j

Sea: ESij = instante más temprano de inicio de la actividad (i,j) LSij = instante más tardío de inicio de la actividad (i,j) EFij = instante más temprano de término de la actividad (i,j) LFij = instante más tardío de término de la actividad (i,j) dij

= duración de la actividad (i,j)

ESij = Max { EF de todos los predecesores inmediatos de la

actividad (i,j)}

EFij = ESij + dij LFij = Min { LS de todos los sucesores inmediatos de la actividad (i,j)} LSij = LFij - dij

•Notación INICIO Tiempo lo más próximo

Tiempo lo mas tarde o limite Tiempo lo más próximo

LSI

ESI

Actividad i-j

di j

i

LS h

h

EFJ = Max( EFI,J ; EF h,J )

EFJ

LFJ

Tiempo lo mas tarde o limite

j EF h,J

Número del acontecimiento o suceso

ES h

EFI,J

TERMINO

dh j

Número del acontecimiento o suceso

MÉTODO : Existen dos tipos de holgura:

Holgura Libre: tiempo en que una actividad puede ser retrasada sin que se retrase la iniciación de la actividad que sigue FSij =Min {ES de todos los sucesores inmediatos de (i,j)} - EFj

ESI

LSI

EFj

LFj

FSij=EFj – (ESI+ dij)

dij i

j

Holgura libre (FSij) de una actividad es la diferencia entre el tiempo disponible para realizar la actividad y la duración de este si se inicia y termina lo más pronto posible.

Holgura Total: Tiempo máximo en que una actividad puede ser atrasada sin alterar la fecha de término del proyecto TSij = LFj – ( Esi + dij)

ESI

LSI

EFj

LFj

TSij=LFj – (ESI+ dij)

dij i

j

La holgura total representa la flexibilidad de la programación de actividades relativa al tiempo de completar el proyecto. Definición 3. Una actividad crítica es una actividad que no puede ser retardada sin afectar la duración total de proyecto Definición 4: Se denomina ruta crítica a la ruta más larga de una red. Esta trayectoria es importante porque determina la longitud del proyecto. Si alguna de las actividades en la ruta crítica se retrasa, todo el proyecto se retrasa. Cualquier actividad que tiene holgura total de cero debe estar en la ruta crítica

EJEMPLO: Actividad

A

B

C

D

E

F

Duración

2

3

5

2

2

2

Precedencia

---

---

A

A

B, D

C, E

A 0 0 1

C

2 2 2 2

D 2

B

4

3 3

4 5 3

5

E

2

7 6

7 7 4

F 2 9 9 5

Holgura Libre: tiempo en que una actividad puede ser retrasada sin que se retrase la iniciación de la actividad que sigue FSij =Min {ES de todos los sucesores inmediatos de (i)} - EFj Holgura Total: Tiempo máximo en que una actividad puede ser atrasada sin alterar la fecha de término del proyecto TSij = LSi - ESi= LFj - EFj

EJEMPLO: Actividad

Duración

Predecesora

ES i

EF j

LS i

LF j

A

2

B

TS

--- +

0

2

0

2

0

3

---

0

3

2

5

2

C

5

A

2

7

2

7

0

D

2

A +

2

4

3

5

1

E

2

B, D

4

6

5

7

1

F

2

C, E

7

9

7

9

0

Red de tiempo Mínimo-costo mínimo ¿Cuál es el costo mínimo para completar un proyecto en un mínimo tiempo? Los dos pares de estimaciones que se usan en CPM se llaman tiempo y costo normal y tiempo y costo intensivo para cada actividad. La estimación normal se refiere al tiempo y el costo para determinar una actividad suponiendo un nivel de esfuerzo estándar o normal. La estimación intensiva supone que se aplica el mayor esfuerzo para minimizar el tiempo de terminación de la actividad. El CPM supone que las estimaciones normal e intensiva guardan relación lineal costo

CI

CN tiempo

tI

El costo unitario de aceleración es:

tN

ki 

CN  CI tN  tI

Existen tres enfoques para encontrar la red de tiempo mínimo-costo mínimo: •Comenzar con la red normal e ir reduciendo los tiempos de terminación, hasta un mínimo •Comenzar con la red de todo intensivo y desintensificar actividades para reducir el costo sin afectar el tiempo total •Comenzar con la ruta crítica de la red de todo intensivo con un tiempo mínimo, pero con todas las demás actividades normales. Después reducir las otras trayectorias como sea necesario. Ejemplo: Normal actividad

T(sem)

Intensivo

Costo ($)

T (sem)

Costo ($)

(1,2)

4

1.400

3

2.000

(2,3)

2

1.500

1

2.000

(2,4)

3

1.500

1

2.500

(2,7)

1

600

1

600

(3,4) ficticia

0

--

0

--

(4,5)

23

1.300

2

2.000

(4,6)

2

300

1

500

(5,7)

2

800

1

1.200

(6,7)

2

600

1

1.000

NORMAL

0 0 1

4

4 4 2 2 6 7 3

3 7

5

1 1010

5

6 7 7 4

3 2

1212 12

2

9 10 6

7

2 7

Aceleración de un proyecto: El objetivo es disminuir el tiempo de ejecución del proyecto al mínimo costo. Pasos : 1. Calcular el costo de aceleración por período, para cada actividad en la red. 2. Con los tiempos actuales de las actividades encontrar la (s ) ruta(s) crítica(s ) en la red; identificar las actividades críticas. 3. Acelerar en una unidad de tiempo el proyecto de acuerdo a: ¿Existe sólo una ruta crítica? Si: seleccionar la actividad crítica, y acelerar cuando: a) Todavía se puede acelerar. b) Tiene el menor costo de aceleración por período. No: Entonces hay más de una ruta crítica, acelerar una actividad de cada ruta crítica tal que: a) Cada actividad seleccionada todavía se puede acelerar. b) El costo total por unidad de tiempo sea el menor de todas las actividades c) Considerar que una misma actividad puede pertenecer a la vez a más de una ruta crítica, analizar las combinaciones de actividades a reducir elegir la que de el menor costo. 4. Actualizar los tiempos de las actividades y calcular el nuevo tiempo total del proyecto. Si ya se logró la fecha de entrega deseada detener el proceso. Si no, volver al paso 2. 5. Cuando ya no quedan actividades críticas que se puedan acelerar y que resulten en una reducción del tiempo del proyecto., el proceso termina. 6. Calcular el costo de aceleración sumando los costos unitarios por actividad acelerada para cada período.

Costos Unitarios k ij Actividades

CAMINOS

12

23

12-24-45-57

600

12-27

600

12-24-46-67

600

12-23-34-45-57

600

500

12-23-34-46-67

600

500

24

34

500

45

46

700

500

DURACIÓN DE LOS CAMINOS 57

67

27

400

200 700

400 400

200

400

Tiempos de ACORTAMIENTOS

D0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

12

11

10

9

9

8

8

7

5

5

5

4

4

4

4

4

11

11

10

9

8

8

8

7

11

10

10

9

9

8

7

7

10

10

10

9

8

8

7

7

Actividades acortadas

TA0

1

1

2

0

1

1

1

1

0

TA1

1

1

2

0

1

1

0

1

0

TA2

1

1

1

0

1

1

0

1

0

TA3

0

1

1

0

1

1

0

1

0

TA4

0

1

1

0

1

0

0

1

0

TA5

0

1

1

0

0

0

0

1

0

TA6

0

1

0

0

0

0

0

1

0

TA7

0

0

0

0

0

0

0

1

0

57 24 12 46 45 23 24

COSTOS ASOCIADOS: Costo Normal: C0 = 8000 $ Acortamiento 1: C1 = 8000 + 400 = 8400 $ Acortamiento 2: C2 =8000 + 400 + 500 = 8600 $ Acortamiento 3: C3 =8000 + 400 + 500 + 600 = 9500 $ Acortamiento 4: C4 =8000 + 400 + 500 + 600 + 200= 9700 $ Acortamiento 5: C5 =8000 + 400 + 500 + 600 +200 + 700= 10400 $ Acortamiento 6: C6 =8000 + 400 + 500 + 600 +200 + 700 + 500 = 10900 $ Acortamiento 7: C7 =8000 + 400 + 500 + 600 +200 + 700 +500 +500 = 11400 $

Tiempo estimado de término del proyecto= 7 semanas.

Sistema P.E.R.T: Técnica de revisión y evaluación de programas Análisis de Grafo Este sistema es análogo al C.P.M en cuanto al trazado del grafo, siendo válidas las definiciones dadas para los conceptos: •Actividad •Tiempo mas próximo •Acontecimientos •Tiempo limite Holgura Total •Holgura Libre •Holgura Independiente •Camino Critico La primera diferencia entre ellos es que en PERT la duración de cada actividad , se obtiene por medios probabilísticas, así como la fecha esperada final (tiempo más próximo), mientras que como vimos el CPM es determinístico, ya que para la duración de una actividad se toma sólo un valor, siendo fija por lo tanto la fecha esperada final

4.- Método PERT En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza. Claramente en muchas ocasiones este supuesto no es válido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria de manera tal que el camino crítico probabilística y los programas de todas las actividades muestran esta incertidumbre en lo que se refiere a tiempos. Hay tres estimaciones de tiempo para cada actividad:

Tiempo transcurrido

T0

Tm

Tp

 t2 

(t p  to ) 2 36

te 

to  4tm  t p 6

Donde: 1. Tiempo mas probable ( t m ): El tiempo más probable en que puede realizarse una operación, es el tiempo que se lograría con una mayor frecuencia si la operación se ejecutará muchas veces 2. Tiempo optimista ( t o ): La estimación optimista del tiempo de duración de una operación es aquella que se efectúa considerando que la operación puede realizarse en las mejores circunstancias. 3. Tiempo pesimista ( t p ): La estimación pesimista del tiempo de duración de una operación es aquella que se efectúa considerando que el tiempo que demora la ejecución de ella es el máximo, exceptuando la ocurrencia de casos extremos de catástrofe. 4. Tiempo esperado ( te ): Con las tres estimaciones anteriores se calcula el tiempo esperado, el resultado que se obtiene corresponde a la duración de cada operación. 5. Incertidumbre: Trabajar con tres estimaciones de tiempo para la ejecución de las operaciones. Permite concluir que hay una certeza absoluta de que cada operación, así como el proyecto en su conjunto, tendrá una duración igual al tiempo esperado. Esta incertidumbre es posible cuantificarla y expresarla en términos probabilísticas.

Camino Crítico Probabilístico El supuesto teórico del PERT es que cada una de las actividades tiene distribución de probabilidades independiente. Si la trayectoria contiene muchas actividades independientes cada una con varianza pequeña entonces la duración del proyecto tiene distribución normal: Duración = D ~ N( Σ µ(i,j), Σ σ2(i,j) ) (i,j)ε ruta (i,j)ε ruta

T  t   e   N (0,1) D  D  2    t   T   te p( D  T )  Pr D    t2 

    (T )  

donde Ф(T) corresponde a la función de distribución acumulada normal estándar.

P(T)

Ф(T)

Tiempo transcurrido E(Tij)

Ejemplo Actividad

Predecesoras

to

tp

tm

te

σ2 t

Holgura Total

A

--

2

10

6

6

1,8

0

B

--

5

13

9

9

1,8

0

C

A,B

3

13

8

8

2,8

0

D

A,B

1

13

7

7

4

0

E

D

8

12

10

10

0,4

0

F

C,E

9

15

12

12

1

0

A 0 0 1

C

9 9 2

6

26 26

5

8

12

7 D

9 9 3

38 38

7

B 9

F

16 16

4

E 10

26 26

6

Para esto es necesario calcular: i. La varianza de cada operación ii. La varianza del proyecto 1.-Varianza iii. Varianza de cada operación

  2 t

t

 t2

 to 

2

p

36

iv. Varianza del proyecto

 T2   t2 (de operaciones de la ruta crítica)

2.-cálculo de la probabilidad de cumplir plazos objetivos Para proceder al cálculo de probabilidades se utiliza una tabla estándar de áreas bajo la curva normal. La utilización de esta tabla requiere efectuar una normalización de variables utilizando las siguientes fórmulas:

Z

Z

t s  to



2 t

TS  TO



2 T

Donde: Para una operación Para la totalidad del proyecto

Z = Valor de la variable normalizada TS = Plazo objetivo de cumplir el proyecto

ts = Plazo objetivo de cumplir una operación El valor de Z se ubica en la tabla de áreas, la cantidad así determinada nos da la probabilidad buscada.

Ejemplo de PERT La malla de operaciones de un proyecto y las estimaciones de tiempo de cada una de ellas son las siguientes: 3

4

1

6 2 5

Operación 1-2 1-3 2-3 2-5 3-4 4-5 4-6 5-6 6-7

5

Tiempos tp to tm 4 3 1 1 2 2 2 3 6

5 4 1 2 4 3 2 3 6

6 5 1 3 6 4 2 9 12

te 5 4 1 2 4 3 2 4 7

σt2 0.11 0.11 0 0.11 0.44 0.11 0 1 1

7

te   t2

to  4tm  t p 6

 t 

p  to 

2

36

 T2   t2 4

4 3

1 5

1

4 3

iii) Te =? a. b. c. d. e.

2

2 4 2 5 5 1  2  2  5  5  6  6  7  18 1  2  2  3  3  4  4  6  6  7  19 1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  7  24 1  3  3  4  4  6  6  7  17 1  3  3  4  4  5  5  6  6  7  22

Te  24

7 6

7

4 4

6

10 10

6 3

0

2

4

0

3

1

6

5

2

iv) Cálculo Holguras

TSij=LFj – (ESI+ dij)

13

5

5

17

17

1 13

2

4 7

7

24

24 8

HOLGURAS Actividades

TS ij

FS ij

1-2

5-(0+5)=0

5-(0+5)=0

1-3

6-(0+4)=2

6-(0+4)=2

2-3

6-(5+1)=0

6-(5+1)=0

2-5

13-(5+2)=6

13-(5+2)=6

3-4

10-(6+4)=0

10-(6+4)=0

4-5

13-(10+3)=0

13-(10+3)=0

4-6

17-(10+2)=5

17-(10+2)=5

5-6

17-(13+4)=0

17-(13+4)=0

6-7

24-(17+7)=0

24-(17+7)=0

Por lo tanto TE= 24

v) Una vez determinada la ruta crítica del proyecto se procede al cálculo de la varianza del proyecto

 T2 



2 t

 T2   t2  0.11  0  0.44  0.11  1  1  2.66 

vi) Cálculo de la probabilidad de cumplir plazos objetivos a. Si el objetivo es cumplir el proyecto en 28 días T S = 28 Calcular la probabilidad de cumplir este plazo: T S = 28 T E = 24  T2  2.66

 Z 

TS  TE



2 T



28  24 2.66



4  2.45 1.63

Luego el valor de Z = 2.45 se ubica en la tabla Z = 2.45  0.99286  la probabilidad de cumplir el proyecto en 28 días es de 99.29%

b.-Para ejecutar la operación 5  6 se fija un plazo objetivo de 5 días. Calcular la probabilidad de cumplir ese tiempo. ts = 4 te = 5  t2  1

Z 

t S  te

 t2



54 1



1 1 1.

Z = 1 entonces 0.84134 (de la tabla); la probabilidad de cumplir la operación en 5 días es de 84.13% P (5 días) = 84.13%

vii) Cálculo del plazo objetivo que se debe fijar dada una cierta probabilidad Para efectuar este cálculo es necesario fijar una determinada probabilidad. Al hacer esto Z pasa a ser un valor conocido y lo que debe calcular es T s o ts



 T2  TE

TS  Z ts  Z

 t2  t e

Por ejemplo a.

Qué plazo objetivo se debe asignar a la duración del proyecto si se requiere obtener una probabilidad de 90,32% de cumplirlo. Conocida la probabilidad determino Z en la tabla P (90,32%)  Z = 1.3 Entonces Z = 1.3 T E = 24  T2 =2.66

TS  Z

 T2  TE

Ts  1.3  1.63  24 Ts  2.12  24 Ts  26.12 días Luego el plazo objetivo que se debe asignar a la duración del proyecto para tener una probabilidad de 90.32% de cumplirlo es de 26.12 días (26 días).

b.-Que plazo objetivo se debe asignar a la operación 1-2 para tener una probabilidad de 98,03% de cumplirla. P (98.03%)  Z = 2.06 Entonces Z = 2.06 te = 5

 t2  0.11 t s  Z  t2  te t s  2.06 * 0.33  5 t s  5.68 días

El plazo objetivo que se debe asignar a la ejecución de la operación 1-2, para tener un probabilidad de 98.03% de cumplirla es de 5.68 días (6 días).

viii) calculo de la probabilidad de que una operación No critica, sea crítica Para calcular esta probabilidad es necesario determinar el tiempo disponible de operación TD= LF j – ES i

El TD será el valor que se utilizará como t s para efectuar la normalización de variables. La probabilidad así obtenida es la que corresponde a que la operación sea no crítica. En consecuencia la diferencia de este valor con respecto de 100% dará la probabilidad de que la operación se convierta en crítica. Por ejemplo: a. ¿Cuál es la probabilidad que la operación 2-5 se convierta en crítica? TD= LF j – ES i = 13 – 5 =8 ts = 8 te = 2  t2  0.11 82 Z = 18, no es posible ubicarlo en tabla, se supone Z  18  0.11 que da una probabilidad de 100%

La diferencia 100%-100%= 0,

crítica es 0.

 La probabilidad de que la operación sea

b.- Operación 1-3 sea crítica: TD = LF j – ES j = 6 – 0 = 6 ts = 6 te = 4  t2  0.11

Z

64  6.06  0.11

Z = 6.06, no es posible ubicarlo en tabla, se supone que da una probabilidad de 100%

La diferencia 100%-100%= 0,

 La probabilidad 1-3 sea crítica es 0